Solucionario-circunferencia
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA
01. Calcule el centro y radio de la circunferencia que cuya ecuación general es: x2 + y2 + 4x - 6y – 12 = 0 , (graficar) x2 + y2 + 4x - 6y – 12 = 0
Solución:
Agrupamos convenientemente: x2 + 4x + y2 – 6y – 12 = 0 (x + 2)2 – 22 + (y – 3)2 – 32 – 12 = 0 (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25 = 52
(x + 2)2 + (y – 3)2 = 52
Gráfico:
y
C(-2; 3)
R=5
C(-2; 3) x
02. Calcule la ecuación de la circunferencia de centro (-2; 3) que sea tangente a la recta 4x –3y –12 = 0 , (graficar). Solución: Ubicamos el centro de la circunferencia C(-2; 3) en el plano bidimensional y graficamos la recta dada. Ver figura 1.
Carlos Romero
Página 1
GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA y
C(-2; 3)
x
4x - 3y - 12 = 0
Figura 1 Luego dibujamos una circunferencia de centro C(-2; 3) y que sea tangente a la recta 4x – 3y – 12 = 0 y
C(-2; 3)
R
x
4x - 3y - 12 = 0
Posteriormente calculamos la distancia de un punto a la recta, para ello utilizaremos la siguiente fórmula.
d
ax1 by1 c a 2 b2
C(-2; 3) = (x1;y1) 4x – 3y – 12 = 0 ax + by + c = 0
Carlos Romero
Página 2
GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA
La distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es la longitud del radio de la circunferencia.
dR
4(-2) - 3(3) - 12 (4)2 (-3)2
29
5
29 5
Ver figura 2
y
C(-2; 3)
R=d x
4x - 3y - 12 = 0
Figura 2 2 2 2 Forma de la ecuación ordinaria de la circunferencia: (x h) (y k) R
(h, k) = (-2; 3) , R = 29/5 Reemplazando los datos tenemos:
29 (x 2) (y 3) 5 2
2
2
Resolviendo obtenemos la ecuación general de la circunferencia: 25x2 + 25y2 + 100x – 150y – 516 = 0
Carlos Romero
Página 3
GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA
03. Calcule la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2; 3) y (-1; 1) y cuyo centro está situado en la recta x – 3y – 11 = 0 (graficar). Solución: Ubicamos los puntos (2; 3) y (-1; 1) en el plano bidimensional y graficamos la recta dada. Ver figura 1.
y
B(2; 3)
A(-1; 1)
x
x - 3y - 11 = 0
Figura 1 Por un punto de la recta x – 3y – 11 = 0, se encuentra el centro de la circunferencia C(x,y) y a la vez que pase por los puntos A(-1; 1) y B(2; 3).
Ver figura 2
y
B(2; 3)
A(-1; 1)
x
x - 3y - 11 = 0
Figura 2
C(x, y)
Carlos Romero
Página 4
GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA
La distancia de AC y BC son iguales, porque los puntos A y B pertenecen a la circunferencia. Ver figura 3 y
B(2; 3)
A(-1; 1)
R
x
R
x - 3y - 11 = 0 C(x, y)
Figura 3
d AC d BC
(x - (-1))2 (y 1) 2 (x 2) 2 (y 3) 2 Elevando al cuadrado ambos miembros y realizamos operaciones matemáticas:
(x 1) 2 (y 1) 2 (x 2) 2 (y 3) 2 x 2 2x 1 y 2 2y 1 x 2 4x 4 y 2 6y 9 6x 4y 11 El punto que se desea encontrar C(x, y) = C(h, k) , corresponde al centro de la circunferencia. Pero ya tenemos una ecuación lineal que es: 6x + 4y = 11 En la figura 3, se observa que el punto C(x, y) también pertenece a la recta x – 3y – 11 = 0 Para encontrar el centro de la circunferencia se tiene que resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Carlos Romero
Página 5
GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA 6x 4y 11 x 3y 11
Resolviendo se obtiene: x = 7/2
y = - 5/2 C(x, y) = C(h, k) = (7/2; - 5/2)
Cálculo del radio de la circunferencia:
130 7 5 (x 1) (y 1) 1 1 2 2 2 2
R d AC
2
2
2
Ecuación de la circunferencia (forma ordinaria)
(x h) 2 (y k) 2 R 2
2
2
5 130 7 x - y 2 4 2
Ecuación de la circunferencia (forma general) Desarrollando la ecuación anterior se obtiene:
x 2 y 2 7x 5y 14 0
04. Calcule las ecuaciones de las circunferencias que pasan por los puntos (1; 2) y (3; 4) y sean tangentes a la recta 3x + y – 3 = 0 , (graficar). Solución: Ubicamos los puntos (1; 2) y (3; 4) en el plano bidimensional y graficamos la recta dada. Ver figura 1.
Carlos Romero
Página 6
GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA
y
B(3; 4)
A(1; 2)
x
3x + y - 3 = 0
Figura 1 La circunferencia pasa por los puntos A(1; 2) y B(3;4), (dato del problema). Sea el centro de la circunferencia el punto C(x, y) = C(h, k). Ubicamos un punto C(h, k) que diste de los puntos A(1; 2) y B(3; 4). Ver figura 2: y
B(3; 4)
A(1; 2)
C(h,k)
x
3x + y - 3 = 0
R
Figura 2 Carlos Romero
Página 7
GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA
Para hallar las coordenadas del centro C(h, k), se tienen en cuenta lo siguiente:
d AC d BC R
(h - 1) 2 (k 2) 2 (h 3) 2 (k 4) 2 Elevando al cuadrado ambos miembros y realizamos operaciones matemáticas:
h 2 2h 1 k 2 4k 4 h 2 6h 9 k 2 8k 16
hk5 Cálculo del radio de la circunferencia: Para ello unimos del centro de la circunferencia con el punto de tangencia la recta con la circunferencia. (ver figura 3) y
B(3; 4)
A(1; 2)
R
C(h,k)
x
3x + y - 3 = 0
Figura 3
Carlos Romero
Página 8
GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA
Posteriormente calculamos la distancia de un punto a la recta, para ello utilizaremos la siguiente fórmula.
ax1 by1 c
d
C(h; k) = (x1;y1)
a 2 b2
3x + y – 3 = 0 ax + by + c = 0 La distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es la longitud del radio de la circunferencia.
dR
3(h) 1.(k) - 3 (3)2 (1)2
3h k 3 10
Sabemos:
d AC d BC R
(h - 1) 2 (k 2) 2 (h 3) 2 (k 4) 2
3h k 3 10
Reducimos la siguiente ecuación:
(h - 1) 2 (k 2) 2
3h k 3 10
Elevando al cuadrado ambos miembros:
(h 1)
2
(k 2)
2
2
3h k 3 10
2
10(h 2 2h 1 k 2 4k 4) (2h h k 3) 2 5
10(h 2h 1 k 4k 4) (2h 2) 2 2
2
10h 2 20h 10 10k 2 40k 40 4h 2 8h 4 Reduciendo se obtiene:
2h 2 11h 12 0 2h
-3
1h
-4
h=4
h = 3/2
hay dos valores para “h”, entonces hay dos soluciones en el problema.
Carlos Romero
Página 9
GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA
Como se sabe que: h+k=5 Caso (1) Si:
h=4
k=1
C(h, k) = (4; 1) Cálculo del radio: Posteriormente calculamos la distancia del centro de la circunferencia a la recta dada, para ello utilizaremos la siguiente fórmula:
d
ax1 by1 c
C(h; k) = (x1;y1) = (4; 1)
a 2 b2
3x + y – 3 = 0 ax + by + c = 0 La distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es la longitud del radio de la circunferencia.
dR
3(4) 1.(1) - 3 (3)2 (1)2
12 1 3 10
10
Ecuación de la circunferencia (forma ordinaria)
(x h) 2 (y k) 2 R 2 (x 4) 2 (y 1) 2 10 Ecuación de la circunferencia (forma general) Desarrollando esta ecuación, resulta: x2 + y2 – 8x – 2y + 7 = 0
Caso 2 Si:
h = 3/2
k = 7/2
C(h, k) = (3/2; 7/2) Cálculo del radio: Posteriormente calculamos la distancia del centro de la circunferencia a la recta dada, para ello utilizaremos la siguiente fórmula:
Carlos Romero
Página 10
GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA
d
ax1 by1 c
C(h; k) = (x1;y1) = (3/2; 7/2)
a 2 b2
3x + y – 3 = 0 ax + by + c = 0 La distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es la longitud del radio de la circunferencia.
dR
3(3/2) 1.(7/2) - 3 (3) (1) 2
2
5 10
10 2
Ecuación de la circunferencia (forma ordinaria)
(x h) 2 (y k) 2 R 2 2
2
7 5 3 x - y 2 2 2
Ecuación de la circunferencia (forma general) Desarrollando esta ecuación, resulta: x2 + y2 – 3x – 7y + 12 = 0
En resumen tenemos dos circunferencias:
2
(x 4) 2 (y 1) 2 10
2
7 5 3 x - y 2 2 2
Graficamos ambas circunferencias y la recta 3x + y – 3 = 0, en el plano bidimensional. Ver figura 4.
Carlos Romero
Página 11
GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA
y
B(3; 4)
C(3/2; 7/2)
A(1; 2)
C(4; 1)
x
3x + y - 3 = 0
Figura 4
Carlos Romero
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CIRCUNFERENCIA SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA
01. Calcule el centro y radio de la circunferencia que cuya ecuación general es: x2 + y2 + 4x - 6y – 12 = 0 , (graficar) x2 + y2 + 4x - 6y – 12 = 0
Solución:
Agrupamos convenientemente: x2 + 4x + y2 – 6y – 12 = 0 (x + 2)2 – 22 + (y – 3)2 – 32 – 12 = 0 (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25 = 52
(x + 2)2 + (y – 3)2 = 52
Gráfico:
y
C(-2; 3)
R=5
C(-2; 3) x
02. Calcule la ecuación de la circunferencia de centro (-2; 3) que sea tangente a la recta 4x –3y –12 = 0 , (graficar). Solución: Ubicamos el centro de la circunferencia C(-2; 3) en el plano bidimensional y graficamos la recta dada. Ver figura 1.
Carlos Romero
Página 1
GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA y
C(-2; 3)
x
4x - 3y - 12 = 0
Figura 1 Luego dibujamos una circunferencia de centro C(-2; 3) y que sea tangente a la recta 4x – 3y – 12 = 0 y
C(-2; 3)
R
x
4x - 3y - 12 = 0
Posteriormente calculamos la distancia de un punto a la recta, para ello utilizaremos la siguiente fórmula.
d
ax1 by1 c a 2 b2
C(-2; 3) = (x1;y1) 4x – 3y – 12 = 0 ax + by + c = 0
Carlos Romero
Página 2
GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA
La distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es la longitud del radio de la circunferencia.
dR
4(-2) - 3(3) - 12 (4)2 (-3)2
29
5
29 5
Ver figura 2
y
C(-2; 3)
R=d x
4x - 3y - 12 = 0
Figura 2 2 2 2 Forma de la ecuación ordinaria de la circunferencia: (x h) (y k) R
(h, k) = (-2; 3) , R = 29/5 Reemplazando los datos tenemos:
29 (x 2) (y 3) 5 2
2
2
Resolviendo obtenemos la ecuación general de la circunferencia: 25x2 + 25y2 + 100x – 150y – 516 = 0
Carlos Romero
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA
03. Calcule la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2; 3) y (-1; 1) y cuyo centro está situado en la recta x – 3y – 11 = 0 (graficar). Solución: Ubicamos los puntos (2; 3) y (-1; 1) en el plano bidimensional y graficamos la recta dada. Ver figura 1.
y
B(2; 3)
A(-1; 1)
x
x - 3y - 11 = 0
Figura 1 Por un punto de la recta x – 3y – 11 = 0, se encuentra el centro de la circunferencia C(x,y) y a la vez que pase por los puntos A(-1; 1) y B(2; 3).
Ver figura 2
y
B(2; 3)
A(-1; 1)
x
x - 3y - 11 = 0
Figura 2
C(x, y)
Carlos Romero
Página 4
GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA
La distancia de AC y BC son iguales, porque los puntos A y B pertenecen a la circunferencia. Ver figura 3 y
B(2; 3)
A(-1; 1)
R
x
R
x - 3y - 11 = 0 C(x, y)
Figura 3
d AC d BC
(x - (-1))2 (y 1) 2 (x 2) 2 (y 3) 2 Elevando al cuadrado ambos miembros y realizamos operaciones matemáticas:
(x 1) 2 (y 1) 2 (x 2) 2 (y 3) 2 x 2 2x 1 y 2 2y 1 x 2 4x 4 y 2 6y 9 6x 4y 11 El punto que se desea encontrar C(x, y) = C(h, k) , corresponde al centro de la circunferencia. Pero ya tenemos una ecuación lineal que es: 6x + 4y = 11 En la figura 3, se observa que el punto C(x, y) también pertenece a la recta x – 3y – 11 = 0 Para encontrar el centro de la circunferencia se tiene que resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Carlos Romero
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA 6x 4y 11 x 3y 11
Resolviendo se obtiene: x = 7/2
y = - 5/2 C(x, y) = C(h, k) = (7/2; - 5/2)
Cálculo del radio de la circunferencia:
130 7 5 (x 1) (y 1) 1 1 2 2 2 2
R d AC
2
2
2
Ecuación de la circunferencia (forma ordinaria)
(x h) 2 (y k) 2 R 2
2
2
5 130 7 x - y 2 4 2
Ecuación de la circunferencia (forma general) Desarrollando la ecuación anterior se obtiene:
x 2 y 2 7x 5y 14 0
04. Calcule las ecuaciones de las circunferencias que pasan por los puntos (1; 2) y (3; 4) y sean tangentes a la recta 3x + y – 3 = 0 , (graficar). Solución: Ubicamos los puntos (1; 2) y (3; 4) en el plano bidimensional y graficamos la recta dada. Ver figura 1.
Carlos Romero
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA
y
B(3; 4)
A(1; 2)
x
3x + y - 3 = 0
Figura 1 La circunferencia pasa por los puntos A(1; 2) y B(3;4), (dato del problema). Sea el centro de la circunferencia el punto C(x, y) = C(h, k). Ubicamos un punto C(h, k) que diste de los puntos A(1; 2) y B(3; 4). Ver figura 2: y
B(3; 4)
A(1; 2)
C(h,k)
x
3x + y - 3 = 0
R
Figura 2 Carlos Romero
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA
Para hallar las coordenadas del centro C(h, k), se tienen en cuenta lo siguiente:
d AC d BC R
(h - 1) 2 (k 2) 2 (h 3) 2 (k 4) 2 Elevando al cuadrado ambos miembros y realizamos operaciones matemáticas:
h 2 2h 1 k 2 4k 4 h 2 6h 9 k 2 8k 16
hk5 Cálculo del radio de la circunferencia: Para ello unimos del centro de la circunferencia con el punto de tangencia la recta con la circunferencia. (ver figura 3) y
B(3; 4)
A(1; 2)
R
C(h,k)
x
3x + y - 3 = 0
Figura 3
Carlos Romero
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA
Posteriormente calculamos la distancia de un punto a la recta, para ello utilizaremos la siguiente fórmula.
ax1 by1 c
d
C(h; k) = (x1;y1)
a 2 b2
3x + y – 3 = 0 ax + by + c = 0 La distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es la longitud del radio de la circunferencia.
dR
3(h) 1.(k) - 3 (3)2 (1)2
3h k 3 10
Sabemos:
d AC d BC R
(h - 1) 2 (k 2) 2 (h 3) 2 (k 4) 2
3h k 3 10
Reducimos la siguiente ecuación:
(h - 1) 2 (k 2) 2
3h k 3 10
Elevando al cuadrado ambos miembros:
(h 1)
2
(k 2)
2
2
3h k 3 10
2
10(h 2 2h 1 k 2 4k 4) (2h h k 3) 2 5
10(h 2h 1 k 4k 4) (2h 2) 2 2
2
10h 2 20h 10 10k 2 40k 40 4h 2 8h 4 Reduciendo se obtiene:
2h 2 11h 12 0 2h
-3
1h
-4
h=4
h = 3/2
hay dos valores para “h”, entonces hay dos soluciones en el problema.
Carlos Romero
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA
Como se sabe que: h+k=5 Caso (1) Si:
h=4
k=1
C(h, k) = (4; 1) Cálculo del radio: Posteriormente calculamos la distancia del centro de la circunferencia a la recta dada, para ello utilizaremos la siguiente fórmula:
d
ax1 by1 c
C(h; k) = (x1;y1) = (4; 1)
a 2 b2
3x + y – 3 = 0 ax + by + c = 0 La distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es la longitud del radio de la circunferencia.
dR
3(4) 1.(1) - 3 (3)2 (1)2
12 1 3 10
10
Ecuación de la circunferencia (forma ordinaria)
(x h) 2 (y k) 2 R 2 (x 4) 2 (y 1) 2 10 Ecuación de la circunferencia (forma general) Desarrollando esta ecuación, resulta: x2 + y2 – 8x – 2y + 7 = 0
Caso 2 Si:
h = 3/2
k = 7/2
C(h, k) = (3/2; 7/2) Cálculo del radio: Posteriormente calculamos la distancia del centro de la circunferencia a la recta dada, para ello utilizaremos la siguiente fórmula:
Carlos Romero
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA
d
ax1 by1 c
C(h; k) = (x1;y1) = (3/2; 7/2)
a 2 b2
3x + y – 3 = 0 ax + by + c = 0 La distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es la longitud del radio de la circunferencia.
dR
3(3/2) 1.(7/2) - 3 (3) (1) 2
2
5 10
10 2
Ecuación de la circunferencia (forma ordinaria)
(x h) 2 (y k) 2 R 2 2
2
7 5 3 x - y 2 2 2
Ecuación de la circunferencia (forma general) Desarrollando esta ecuación, resulta: x2 + y2 – 3x – 7y + 12 = 0
En resumen tenemos dos circunferencias:
2
(x 4) 2 (y 1) 2 10
2
7 5 3 x - y 2 2 2
Graficamos ambas circunferencias y la recta 3x + y – 3 = 0, en el plano bidimensional. Ver figura 4.
Carlos Romero
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
CIRCUNFERENCIA
y
B(3; 4)
C(3/2; 7/2)
A(1; 2)
C(4; 1)
x
3x + y - 3 = 0
Figura 4
Carlos Romero
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