T12-flexion-plastica

Lecci´ on 12

Flexi´ on pl´ astica Contenidos 12.1. Modelado del comportamiento del material . . . . . . . . 148 12.2. Plastificaci´ on de la secci´ on en flexi´ on pura . . . . . . . . 148 12.2.1. Momento pl´astico

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

12.2.2. M´ odulo pl´astico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 12.2.3. Factor de forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 12.2.4. Eje neutro en secciones plastificadas . . . . . . . . . . . . . 152 12.2.5. Diagrama momento-curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 12.3. Plastificaci´ on de la secci´ on en flexi´ on compuesta . . . . . 154 12.3.1. Plastificaci´on de la secci´on en flexi´on compuesta: Plastificaci´ on parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 12.3.2. Plastificaci´on de la secci´on en flexi´on compuesta: Plastificaci´ on total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 12.4. Plastificaci´ on en secciones sometidas a flexi´ on simple . . 156 12.5. Formaci´ on de r´ otulas pl´ asticas . . . . . . . . . . . . . . . . 158 12.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

148

Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

12.1

Modelado del comportamiento del material

El comportamiento de los aceros de bajo contenido en carbono puede modelarse mediante el diagrama tensi´ on-deformaci´ on de la Figura 12.1 a), que se conoce como comportamiento elastopl´ astico perfecto, o mediante el diagrama tensi´on-deformaci´on de la Figura 12.1 b) en el que se considera el endurecimiento por deformaci´on.

Figura 12.1 Diagramas elastopl´ asticos del acero. a) Comportamiento elastopl´astico perfecto b) Comportamiento elastopl´astico con endurecimiento Ambos modelos de comportamiento suponen que los l´ımites de proporcionalidad, el´astico y de fluencia coinciden. El modelo elastopl´ astico perfecto supone que la tensi´on de fluencia del material se mantiene constante para cualquier deformaci´on superior a la del l´ımite el´ astico. El elastopl´ astico con endurecimiento admite un aumento de la resistencia a partir de deformaciones k εe siendo k del orden de 10 a 15. En ambos modelos se admiten id´enticos comportamientos en tracci´on y compresi´on, tanto para el l´ımite el´ astico como para el m´ odulo de elasticidad.

12.2

Plastificaci´ on de la secci´ on en flexi´ on pura

En la Figura 12.2 se muestran una secci´on bisim´etrica sometida a un momento flector seg´ un el eje y, y los diagramas planos de las distribuciones de deformaciones longitudinales y tensiones normales correspondientes. En ninguna de la fibras se ha alcanzado la deformaci´ on del l´ımite el´astico y en consecuencia las tensiones en cualquier punto de la secci´ on est´ an por debajo del l´ımite el´astico del material.

Figura 12.2 Diagramas de distribuci´on de deformaciones y de tensiones en r´egimen el´astico Las distribuciones de tensiones y deformaciones son lineales, respondiendo a las ecuaciones (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

Flexi´ on pl´ astica

149

σx (y, z) = ε (z) =

M z Iy σx (y, z) M z = χz = E EIy

(12.1) (12.2)

siendo E el m´ odulo de elasticidad longitudinal y χ la curvatura de la secci´on. Considerando una rebanada diferencial de un elemento estructural, la curvatura χ de la secci´ on es el ´ angulo que se inclina una cara de la rebanada respecto de la otra, dividido por la distancia que las separa. Si se consideran dos secciones separadas una unidad de longitud, la curvatura es χ=

ε (z) z

(12.3)

Si el momento flector se va incrementando, la tensi´on y la deformaci´on en cada fibra de la secci´ on aumentan. Habr´a un valor de M para el que la deformaci´on en las fibra extremas (las m´ as tensionadas) coincida con la deformaci´on en el l´ımite el´astico, εe , correspondi´endoles la tensi´ on del l´ımite el´astico, σe . En la Figura 12.3 se muestran los diagramas planos de las distribuciones de deformaciones longitudinales y tensiones normales.

Figura 12.3 Diagramas de distribuci´on de deformaciones y de tensiones en r´egimen el´ astico con las fibras extremas alcanzando el l´ımite el´astico Si se sigue incrementando el momento flector, se llegar´a a un estado tal que las fibras extremas de la secci´ on habr´an superado la deformaci´on correspondiente al l´ımite el´ astico junto con parte de las contiguas, trabajando todas ellas a una misma tensi´ on σe . En la Figura 12.4 se muestran los diagramas planos de las distribuciones de deformaciones longitudinales y tensiones normales correspondientes.

Figura 12.4 Diagramas de distribuci´on de deformaciones y de tensiones en r´egimen elastopl´astico (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

150

Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

Si se sigue incrementando M , habr´ a una extensa zona de la secci´on donde todas las fibras superen la deformaci´ on correspondiente al l´ımite el´astico y por tanto trabajen a la tensi´on del l´ımite el´ astico, como se muestra en la Figura 12.5.

Figura 12.5 Diagramas de distribuci´on de deformaciones y de tensiones en r´egimen elastopl´ astico. Gran parte de la secci´on plastificada La deformaci´on en el l´ımite el´ astico para un acero es funci´on del tipo de acero, estando acotada entre εe = 0, 00112 para un acero con σe = 235 MPa y εe = 0, 00169 para un acero con σe = 355 MPa. Considerando una deformaci´ on longitudinal unitaria en rotura para el acero de εrot = 0, 01, cuando en la fibra m´ as tensionada de la secci´on se alcance la deformaci´on correspondiente a la rotura, la zona de la secci´on trabajando en r´egimen el´astico, que se muestra en la Figura 12.6, ser´ a z0 z1 z1 (12.4) = = εrot εe εl´ım es decir, la zona el´ astica tiene una extensi´on como m´aximo el doble de z1 (en el caso de que la sea secci´ on sim´etrica respecto al eje neutro), siendo z1 z1 =

εe z0 εrot

(12.5)

Figura 12.6 Diagramas de distribuci´on de deformaciones y de tensiones en r´egimen elastopl´ astico. Fibras m´ as tensionadas con la deformaci´on en rotura As´ı, para un acero con εe = 0, 00169, la zona trabajando en r´egimen el´astico ser´a, como m´aximo, 2 × z1 = 2 ×

0, 00169 z0 = 0, 338 z0 0, 01

(12.6)

De la ecuaci´on (12.6) se deduce que dicha zona es muy peque˜ na en relaci´on con la zona plastificada. Por este motivo se acepta la distribuci´on de tensiones mostrada en la Figura 12.7, en la que toda la secci´ on est´ a totalmente plastificada. Dicha distribuci´on corresponde al caso, te´ orico, de curvatura infinita de la secci´on. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

Flexi´ on pl´ astica

151

Figura 12.7 Diagramas de distribuci´on de deformaciones y de tensiones en r´egimen pl´astico

12.2.1

Momento pl´ astico

El momento que produce el estado tensional mostrado en la Figura 12.7 recibe el nombre de momento pl´ astico, Mp . Al ser dicho momento est´aticamente equivalente al momento producido por la distribuci´on de tensiones normales, ha de cumplirse que Z zt z σx (y, z) b dz (12.7) Mp = zc

siendo zt y zc las alturas, en valor absoluto, de las zonas traccionada y comprimida, respectivamente y b el ancho de la secci´on. Al ser σx (y, z) = σe en la zona traccionada y σx (y, z) = −σe en la zona comprimida, sustituyendo en (12.7) se obtiene Z

zt

Z

zt

Z

0

zc

0

z b dz + σe

z σx (y, z) b dz = σe

Mp =

z b dz

(12.8)

zc

Las integrales corresponden a los momentos est´aticos de las ´areas traccionada y comprimida de la secci´ on respecto al eje neutro. Por tanto, (12.8) se puede reescribir (considerando los valores absolutos de Qyt y Qyc ) como Mp = σe (Qyt ( z )+Qyc ( z ))

12.2.2

(12.9)

M´ odulo pl´ astico

En el apartado 9.5, se dio el concepto de m´odulo resistente y se expres´o la tensi´on en un punto en funci´ on del m´odulo resistente asociado a dicho punto como M M = (12.10) Ien W h siendo h la m´ınima distancia del punto al eje neutro. El momento el´astico Me , a partir de la ecuaci´ on (12.10), puede expresarse como σx (y, z) =

Me = σ e W

(12.11)

Comparando las ecuaciones (12.9) y (12.11), el momento pl´astico puede ser expresado en la forma Mp = σe Wp (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

(12.12)

152

Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

siendo Wp el m´ odulo pl´ astico de la secci´ on Wp = Qyt (z) + Qyc (z)

12.2.3

(12.13)

Factor de forma

La relaci´on entre los momentos pl´ astico (Mp ) y el´astico (Me ) da una idea de la mayor resistencia de la secci´ on cuando trabaja en r´egimen pl´astico. Wp Mp = (12.14) Me W Esta relaci´on se denomina factor de forma y se denota con la letra griega λ. El factor de forma depende exclusivamente de la geometr´ıa de la secci´on (tanto W como Wp son solamente funci´ on de la geometr´ıa de la secci´on). Cuanto menor sea el factor de forma de una secci´ on, mejor estar´ a dise˜ nada para trabajar a flexi´on. λ=

12.2.4

Eje neutro en secciones plastificadas

Para determinar la posici´ on del eje neutro en una secci´on plastificada se van a plantear los equilibrios de fuerzas y de momentos de la secci´on. Sea una secci´ on sometida a un sistema de cargas contenidas en un mismo plano, tal que producen un momento flector que plastifica la secci´on.

Figura 12.8 Diagrama de distribuci´ on de tensiones en una secci´on asim´etrica totalmente plastificada En la Figura 12.8 se muestra la distribuci´on de tensiones correspondientes y la posici´on del eje neutro. Planteando el equilibrio de fuerzas (las resultantes de la distribuci´on de tensiones propuesta), se ha de verificar Fc = Ft

(12.15)

σe Sc = σe St

(12.16)

es decir,

siendo Fc , Ft , Sc y St las resultantes y las ´areas de las zonas comprimida y traccionada, respectivamente. De (12.16) se deduce que las ´areas de las zonas comprimida y traccionada son iguales en una secci´ on totalmente plastificada sometida a flexi´on pura y, obviamente, dichas ´ areas coinciden con la mitad del ´area S de la secci´on. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

Flexi´ on pl´ astica

153

Sc = St =

S 2

(12.17)

La conclusi´ on expresada en (12.17) implica que el eje neutro, en secciones asim´etricas totalmente plastificadas, no pasa por el centro de gravedad de la secci´on. Planteando el equilibrio de momentos respecto al eje que resulta de la intersecci´on del plano de cargas con la secci´on, eje del plano de cargas, se obtiene Z Z σe y dS − σe y dS = 0 (12.18) St

Sc

Al ser las ´ areas comprimida y traccionada iguales Z Z y dS y dS = St

(12.19)

Sc

siendo las integrales los momentos est´aticos de las zonas traccionada y comprimida respecto al eje del plano de cargas con la secci´on. Por tanto, se concluye que el eje neutro en una secci´ on totalmente plastificada divide a la secci´on en dos zonas cuyos momentos est´ aticos respecto al eje del plano de cargas son iguales. Al ser iguales las ´ areas traccionada y comprimida, los centros de gravedad de ambas zonas se encuentran sobre una misma recta que adem´as es paralela al eje del plano de cargas, como muestra la Figura 12.8. Por consiguiente, si el eje del plano de cargas es de simetr´ıa, el eje neutro de la secci´on totalmente plastificada ser´ a perpendicular al eje del plano de cargas. En la Figura 12.9 se muestra la misma secci´on, divida en dos ´areas iguales pero diferentes a las realizadas en (12.8). Se comprueba que los centros de gravedad de estas ´ areas no coinciden sobre una misma l´ınea, paralela al eje del plano de cargas, por lo que no se verifica la ecuaci´on (12.19) y el eje neutro mostrado no es posible.

Figura 12.9 Eje neutro no posible en secci´on asim´etrica totalmente plastificada

12.2.5

Diagrama momento-curvatura

El diagrama momento-curvatura de una secci´on describe el comportamiento resistente de la misma. Al actuar un momento sobre una rebanada diferencial, ´esta se curva manteni´endose las caras de la misma planas y por tanto, existiendo una distribuci´on tambi´en plana (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

154

Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

de deformaciones. Al ir aumentando el momento, se va incrementando la curvatura de la secci´on. El diagrama momento-curvatura se obtiene representando en un diagrama de abscisa la curvatura y de ordenada el momento, para distintos valores del momento la curvatura obtenida. Dicho diagrama tiene una parte lineal, de ecuaci´on M χ= . Sigue una parte no lineal, y finalmente el diagrama acaba en Mp con una EI curvatura infinita (rama asint´ otica de la gr´afica de la Figura 12.10). La curvatura σe . Siendo ze la en la parte no lineal se puede obtener mediante la expresi´on χ = ze E profundidad de la zona el´ astica comprimida.

Figura 12.10 Diagrama momento-curvatura

12.3

Plastificaci´ on de la secci´ on en flexi´ on compuesta

Se distinguir´an dos casos: 1. Plastificaci´ on parcial de la secci´ on 2. Plastificaci´ on total de la secci´ on

12.3.1

Plastificaci´ on de la secci´ on en flexi´ on compuesta: Plastificaci´ on parcial

Se trata de obtener la distribuci´ on de tensiones y la curvatura en una secci´on solicitada a flexi´on compuesta (se entiende que el axil es de compresi´on), sin que la secci´on se agote (plastifique totalmente). En la Figura 12.11 se muestran la dos posibilidades: S´olo una cabeza de la secci´ on ha plastificado, como se muestra en la Figura 12.11 a). Las inc´ ognitas son ze y σ1 . Las dos cabezas de la secci´ on han plastificado, como se muestra en la Figura 12.11 b). Las inc´ ognitas son z1 y z2 . Para el primer caso, alcanzar´ a antes la plastificaci´on aquella cabeza que seg´ un las ecuaciones cl´asicas de la resistencia de materiales est´e m´as tensionada. Las deformaciones en la secci´ on se obtienen teniendo en cuenta que la inclinaci´on del diagrama de tensiones en la parte el´ astica es E χ y que ε(z) = χ z. Dependiendo de la complicaci´ on de la secci´on, para determinar la distribuci´on de tensiones puede ser necesario recurrir a m´etodos iterativos. Se parte de una distribuci´on que se va corrigiendo hasta conseguir que los valores de Ni y Mi de la (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

Flexi´ on pl´ astica

155

i -´esima iteraci´ on coincidan con los N y M que solicitan a la secci´on. Hay que tener en cuenta a la hora de establecer los incrementos para iterar, que un incremento en la curvatura produce un aumento en el momento, y que un desplazamiento del eje neutro hacia la zona de tracci´on, produce un aumento del axil.

Figura 12.11 Secci´ on sometida a flexi´on compuesta seg´ un el eje y. Plastificaci´on parcial

12.3.2

Plastificaci´ on de la secci´ on en flexi´ on compuesta: Plastificaci´ on total 0

0

Se trata de obtener las parejas de valores Mp y NP que agotan la secci´on dando lugar a una distribuci´ on de tensiones como la mostrada en la Figura 12.12.

Figura 12.12 Secci´ on sometida a flexi´on compuesta seg´ un el eje y. Plastificaci´on total 0

0

Con las distintas parejas de valores Mp y Np que agotan la secci´on, se construye el ´ diagrama de interacci´ on de la secci´on, que se muestra en la Figura 12.13 a). Este se genera determinando para distintos valores de profundidad del eje neutro, zi , los (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

156

Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales 0

0

valores de Mpi y Npi que agotan la secci´ on. Estos valores se representan en un sistema 0 0 de ejes, de abscisas Np y ordenadas Mp .

Figura 12.13 a) Diagrama de interacci´on b) Obtenci´on de la carga de agotamiento de una secci´ on a partir del diagrama de interacci´on En la Figura 12.13 a) se han representado sendos diagramas de interacci´on correspondientes a una secci´ on bisim´etrica y a una secci´on no bisim´etrica. En secciones 0 bisim´etricas el valor m´ aximo de Mp coincide con Mp . En secciones no bisim´etricas, 0 el valor m´aximo de Mp es superior al momento pl´astico de la secci´on, Mp . A partir del diagrama de interacci´ on es posible obtener la carga de agotamiento para una secci´on. Para ello se traza la recta que pasa por el origen y tiene de pendiente M (siendo M y N las solicitaciones sobre la secci´on). La intersecci´on de dicha recta N con el diagrama de interacci´ on da el valor de los esfuerzos cr´ıticos, tal y como se muestra en la Figura 12.13 b).

12.4

Plastificaci´ on en secciones sometidas a flexi´ on simple

Sobre una secci´ on sometida a flexi´ on simple act´ uan las tensiones normales que produce el momento flector y las tangenciales que produce el esfuerzo cortante. Por tanto, para estudiar la plastificaci´ on de la secci´ on es necesario tener en cuenta ambos estados tensionales para determinar un estado tensional u ´nico que permita determinar si existe plastificaci´ on en la secci´ on. Esto implica utilizar alg´ un criterio de plastificaci´on. Tresca estableci´ o en 1872 que la plastificaci´ on en un punto de un elemento estructural se produce cuando la tensi´ on tangencial m´ axima en dicho punto alcanza un valor igual al que se produce cuando se alcanza el valor de la tensi´ on del l´ımite σe el´ astico en el ensayo de tracci´ on del material, τm´ax = como se muestra en la 2 Figura 12.14 a). El criterio de Tresca para un estado de tensiones no principal, seg´ un se deduce de la Figura 12.14 b), es r  σx 2 σ 2 = e τm´ax = R = + τxz (12.20) 2 2 Si se aplica el criterio de Von Mises, la plastificaci´on de la secci´on se produce cuando la tensi´on equivalente de Von Mises, σvm , alcanza el valor del l´ımite el´astico σe . σvm =

p 2 =σ σx2 + 3τxz e

(c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

(12.21)

Flexi´ on pl´ astica

157

Figura 12.14 a) C´ırculo de Mohr para el ensayo de tracci´on. b) C´ırculo de Mohr para un estado tensional no principal En el caso en que s´ olo existe tensi´on normal, la plastificaci´on, para cualquiera de los dos criterios anteriores, se produce cuando la tensi´on normal alcanza el l´ımite el´ astico. Si s´ olo existe tensi´ on tangencial, seg´ un el criterio de Tresca, la plastificaci´on se produce cuando σe (12.22) 2 mientras que el criterio de Von Mises establece que la plastificaci´on se produce cuando τxz =

σe τxz = √ 3

(12.23)

En el proceso de plastificaci´on de la secci´on, cuando las fibras extremas alcanzan el l´ımite el´ astico y plastifican, todas estas fibras est´an trabajando a la misma tensi´on a ambos lados de la secci´ on (rebanada diferencial), como se muestra en la Figura 12.15 a) y en la Figura 12.15 b).

Figura 12.15 Rebanada diferencial de un elemento estructural trabajando a flexi´on simple. Plastificaci´on parcial Por tanto, la resultantes de fuerzas a un lado y otro de la secci´on son iguales, por lo que no aparecen tensiones tangenciales para equilibrarlas (τzx = 0). As´ı pues, en plasticidad las tensiones tangenciales se reparten de acuerdo a lo establecido en el apartado 10.2, pero s´ olo sobre la parte de la secci´on que trabaja en r´egimen el´astico tras aplicar el momento flector M. Es decir, las fibras plastificadas por la flexi´on no sufren tensi´ on tangencial alguna. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

158

Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

12.5

Formaci´ on de r´ otulas pl´ asticas

Sea el p´ortico biarticulado e hiperest´ atico de la Figura 12.16 sometido a una carga puntual P en el dintel.

Figura 12.16 P´ ortico biarticulado sometido a carga puntual en el dintel En la Figura 12.17 se muestra la ley de momentos flectores.

Figura 12.17 P´ ortico biarticulado sometido a carga puntual en el dintel. Diagrama de momentos flectores El momento m´ aximo (MC ) se produce en la secci´on C donde act´ ua la carga P. En los nudos B y D, los momentos son iguales (MB = MD ), aunque se siguen nombrando con el sub´ındice indicando la secci´ on donde act´ uan. Si MC es inferior al momento que agota la secci´ on en r´egimen el´ astico, Me , la distribuci´on de deformaciones y de tensiones en la secci´ on en estudio es la mostrada en la Figura 12.17. Al incrementar el valor de P hasta que la secci´on C se agote en r´egimen el´astico, la ley de momentos flectores y la distribuci´on de tensiones en la secci´on C son los mostrados en la Figura 12.18. Si se sigue incrementando P, comenzar´ a la plastificaci´on de la secci´on C, llegando un momento en que toda la secci´ on plastificar´a; se ha alcanzado la deformaci´on en (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

Flexi´ on pl´ astica

159

Figura 12.18 P´ ortico biarticulado sometido a carga puntual en el dintel. Diagrama de momentos flectores y distribuci´on de tensiones en la secci´on C al alcanzarse σe en dicha secci´on rotura de la fibra m´ as deformada, form´andose una r´otula pl´astica. En este momento, la estructura inicialmente hiperest´atica, ha pasado a ser isost´atica, como se muestra en la Figura 12.19.

Figura 12.19 Formaci´on de una r´otula pl´astica en la secci´on C Simult´ aneamente, en las secciones B y D tambi´en aumenta el momento llegando ´estas a agotarse el´ asticamente. Al seguir incrementando el valor de P, seguir´a aumentando el momento flector en B y D. En la secci´on C el momento pl´astico que agot´o la secci´on se mantiene constante, como muestra la Figura 12.20.

(c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

160

Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

Figura 12.20 P´ ortico biarticulado sometido a carga puntual en el dintel. Redistribuci´ on de momentos en B y D Habr´a un valor de P para el que las secciones extremas B y D se agotan, form´andose sendas r´otulas pl´ asticas, que provocan el colapso de la estructura al transformarse ´esta en un mecanismo, como muestra la Figura 12.21.

Figura 12.21 Colapso de la estructura por transformaci´on en mecanismo por la formaci´ on de r´otulas pl´asticas

12.6

Ejercicios propuestos

Ejercicio 12.1 Para la secci´on que se muestra en la Figura 12.22 Obtener: 1. Las propiedades est´ aticas de la secci´on: ´area S e inercias principales IyG , IzG 2. Para el eje y: a) El momento el´ astico (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

Flexi´ on pl´ astica

161

b) El momento pl´ astico c) El factor de forma

Figura 12.22 Secci´on en T invertida. Flexi´on pl´astica Datos:

h = b = 100 mm , ealma = eala = 10 mm σe = 260 MPa Soluci´ on: 1. Las propiedades est´ aticas de la secci´on: ´area S e inercias principales IyG , IzG

S = 1900 · 103 mm2 IyG = 1800, 044 · 103 mm4 IzG = 840, 833 · 103 mm4 2. Para el eje y: a) El momento el´ astico:

Me = 5, 562 kN·m

b) El momento pl´ astico:

Mp = 11, 823 kN·m

c) El factor de forma:

λ = 1, 802

Ejercicio 12.2 Para la secci´ on en la Figura 12.23 Obtener: 1. El diagrama momento-curvatura, considerando la flexi´on seg´ un el eje y

(c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

162

Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

Figura 12.23 Secci´ on rectangular. Flexi´on pl´astica Soluci´ on: 1. Obtener el diagrama momento-curvatura, considerando la flexi´on seg´ un el eje y

Figura 12.24 Secci´ on rectangular. Diagrama momento-curvatura Tabla 12.1 Diagrama momento-curvatura. Valores

z 0 h 8 h 4 3h 8 h 2

M

χ

bh2 σe 6 2 13bh σe 64 2 11bh σe 48 2 47bh σe 192 2 bh Mp = σe 4

2σe σe hE 8σe σe 3hE 4σe σe hE 8σe σe hE

Me =

∞

(c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

Flexi´ on pl´ astica

163

Ejercicio 12.3 Para la secci´ on de Figura 12.25 sometida a un cortante Vz , realizada de un material con l´ımite el´ astico σe

Figura 12.25 Secci´ on rectangular sometida a flexi´on simple. Flexi´on pl´astica Obtener: 1. El momento est´ aticamente equivalente a la distribuci´on de tensiones en la secci´ on cuando τxz m´ax alcanza la mitad del l´ımite el´astico Soluci´ on: 1. El momento est´ aticamente equivalente a la distribuci´on de tensiones en la secci´ on cuando τxz m´ax alcanza la mitad del l´ımite el´astico

M=

3V 2 bh2 σe − z 4 4bσe

(c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez