Taller Ed Julio 2020

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER TALLER ECUACIONES JULIO 2020

1. Una bala se introduce en una tabla de h = 10 cm de espesor con la velocidad v 0 = 200 m/ s traspasándola con la velocidad v1 = 80 m/s. Suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad, hallar el tiempo del movimiento de la bala por la tabla. 2. Un campo de trigo rebosante de saltamontes se fumiga con un insecticida que tiene una efectividad de 200 por 100 por hora. ¿Qué porcentaje de saltamontes seguirá con vida una hora más tarde? 3. El fondo de un depósito de 300 litros de capacidad, está cubierto de sal. Suponiendo que la velocidad con que se disuelve la sal es proporcional a la diferencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la solución saturada (1 kg de sal para 3 litros de agua) y que la cantidad de agua pura dada disuelve 1/3 de sal por minuto, hallar la cantidad de sal que contendrá la solución al cabo de una hora. 4. A la 1 P. M. Un termómetro que lee 10 ° F se retira de un congelador y se coloca en un cuarto cuya temperatura es 65 ° F. A la 1:05 P M el termómetro lee 25 ° F. Más tarde el termómetro se coloca de nuevo en el congelador. A la 1:30 P.M. el termómetro lee32° F. ¿Cuando regresó el termómetro al congelador y cuál era la lectura del termómetro en ese momento? 5. Se está enfriando el aire en una habitación. En el tiempo t (en horas) la 𝑡

temperatura del aire es T 0 (t) = 60 + 15𝑒 − 2 . Se coloca un objeto en la habitación en el tiempo t = 0. La temperatura inicial del objeto es 40 0 c y cambia de acuerdo con la ley de Newton con k = -

1  , donde  >0 es 2

constante Encuentre la temperatura T(t), del objeto para cualquier instante. 6. Un tanque con capacidad de 300 galones contiene una solución de 200 galones de agua y 50 lb de sal. Una solución que contiene 3 lb de sal por galón se deja fluir en el tanque a una tasa de 4 gal/min. La mezcla sale del tanque a una tasa de 2 gal/min. ¿Cuántas libras de sal quedan en el tanque después de 30 min? ¿Después de 60 min?

7.

Un tanque de 100 galones está inicialmente lleno de agua que tiene 10 libras de sal disueltas. El tanque se derrama cuando agrega agua en exceso. Se tiene una bomba conectada a un sensor, para bombear agua pura hacia dentro a una tasa proporcional a la concentración de sal en el tanque. La constante de proporcionalidad es 10

( gal ) 2 / lb  min

. Encuentre la cantidad y la concentración de contaminante como una función del tiempo 8. Un campo de trigo rebosante de saltamontes se fumiga con un insecticida que tiene una efectividad de 200 por 100 por hora. ¿Qué porcentaje de saltamontes seguirá

con vida una hora más tarde? 9. Un tanque cuya capacidad es de 1000 litros contiene inicialmente 500 litros de agua y 50 kg de sal disuelta. Una corriente con 2 kg de sal por litro fluye al tanque a razón de litros por minuto. La mezcla se mantiene uniforme revolviéndola y sale del tanque a razón de 3 litros por minuto. A causa de un aparato calentador se evapora agua (sin sal) del tanque a razón de 1 litro por minuto. Cuando el tanque se llena se derrama determinar la cantidad de sal en el tanque en cualquier momento. 10. Una gota de lluvia esférica, parte del reposo y cae por el influjo de la gravedad. Si recoge vapor de agua (supuesto en reposo) a un ritmo proporcional a su superficie y su radio inicial era 0, probar que cae por influjo de la gravedad con aceleración constante g/4. 11. Al Presidente y al Primer Ministro les sirven tazas de café a la misma temperatura y al mismo tiempo. El Presidente añade inmediatamente una pequeña cantidad de crema fría, pero no bebe su café hasta pasados 10 minutos. El Primer Ministro espera diez minutos, añade entonces la misma cantidad de crema fría y bebe su café. ¿Quién bebe el café más caliente? Justifique su respuesta. 12. Un bote de masa m navega a una velocidad. En el instante t = 0 se apaga el motor. Suponiendo que la resistencia del agua es proporcional a 𝑣 𝑛 donde n es una constante y v la velocidad instantánea del bote, determine v en función de la distancia recorrida En los ejercicios 13 y 14 encontrar las trayectorias ortogonales al conjunto de curvas

13

14

.

15. Encuentre el miembro de la familia de trayectorias ortogonales de pasa por el punto (0,5). 16. Halle el miembro de la familia de trayectorias ortogonales de

que

3𝑥𝑦 2 = 2 + 3𝑐𝑥

que pasa por (0,10). 17. El yodo radioactivo

se usa mucho como indicador en medicina. Suponga que una

dosis dada se inyecta en la corriente sanguínea en el tiempo t y se distribuye homogéneamente por todo el sistema sanguíneo antes de que ocurra alguna perdida. Si la tasa diaria de eliminación de yodo por el hígado es

por ciento, y por la glándula tiroides

es de por ciento, ¿qué porcentaje de la cantidad inicial estará todavía en la sangre después de un día? 18. Un termómetro que lee 70 F se lleva afuera en donde la temperatura es 10 F. Cinco minutos más tarde el termómetro lee 40 F. ¿Qué tanto tiempo después de haber sido sacado afuera la lectura del termómetro está dentro de medio grado de la temperatura ambiente? 19. Un termómetro que lee 80 F se lleva afuera. Cinco minutos más tarde el termómetro lee 60 F. Después de otros cinco minutos el termómetro lee 50 F. ¿Cuál es la temperatura exterior? 20. Un tanque contiene 200 galones de agua fresca. Una solución salina que consta de 2 lb de sal por galón entra al tanque a una tasa de 5 gal/min. Supongamos que la mezcla en el tanque se mantiene a concentración uniforme y que la mezcla sale del tanque a la misma tasa que entra. ¿Cuantas libras de sal quedan en el tanque después de 30 minutos? ¿Cuál es el valor límite del número de libras de sal en el tanque? 21. Un tanque con capacidad de 300 galones contiene una solución de 200 galones de agua y 50 lb de sal. Una solución que contiene 3 lb de sal por galón se deja fluir en el tanque a una tasa de 4 gal/min. La mezcla sale del tanque a una tasa de 2 gal/min. ¿Cuantas libras de sal quedan en el tanque después de 30 minutos? ¿Después de 60 min? (Sugerencia: ¿Cuándo empieza a rebosarse el tanque?). 22. Un tanque de 100 galones contiene inicialmente agua fresca. Una solución de colorante de 30% fluye en el tanque a una tasa de 5 gal/min y la mezcla resultante sale a la misma tasa. Después de 15 min el proceso se detiene y se hace fluir agua fresca al tanque a una tasa de 5 gal/min y la mezcla sale a la misma tasa. Encuentre la concentración de colorante en el tanque después de 30 minutos. 23. Un tanque contiene 500 galones de salmuera. En t = 0 empieza a fluir al tanque salmuera que contiene 2 libras de sal por galón, a razón de 5 galones por minuto, y la mezcla, que se mantiene homogénea, en t = 0, empieza a salir la mezcla del tanque a razón de 10 galones por minuto. Si la cantidad máxima de sal se obtiene en el tanque a los 20 minutos, ¿cuál era el contenido inicial de sal en el tanque? 24. Una fábrica de papel está situada cerca de un río con un flujo constante de 𝑚3

𝑚3

1000 , el cual va a dar a una única entrada de un lago que tiene un volumen de 109 , 𝑠 e . Suponga que en el tiempo t = 0, la fábrica de papel comienza a bombear contaminantes 𝑚3

en el río a razón 1 𝑠 , y que la entrada y la salida de agua del lago son constantes. ¿Cuál será la concentración de contaminantes en el lago después de 10 horas? ¿Después de 100 horas? ¿Después de un año? 25. Un muchacho ata una cuerda de longitud a en un bote. El muchacho coloca el bote en una esquina ( a, 0 ) de una piscina rectangular y se traslada a la otra esquina (0,0). Después el muchacho camina sobre el otro lado de la piscina-el eje y . El bote se desliza en el agua atrás de él. (Ver figura 1 ). Encontrar la ecuación de la ruta que sigue el bote. La curva solución de este problema se denomina una tractriz (del latín tractum, arrastrar).

26. Un tanquero debe reabastecerse de un submarino. El submarino emerge y divisa al tanquero a 3 millas de distancia. Una bruma densa inmediatamente aparece en el océano. La velocidad del submarino es el doble de la del tanquero. Se sabe que el tanquero sigue un curso recto de dirección desconocida. ¿Qué curso debe seguir el submarino para alcanzar al tanquero? Sugerencia: El submarino debe continuar 2 millas en la dirección en donde se divisa al tanquero. El punto en donde se divisa el tanquero debe designarse origen de un sistema de coordenadas polares y la línea inicial de desplazamiento del submarino debe tomarse como al eje coordenado. 27. Un recipiente parabólico que tiene la misma profundidad y radio, y un recipiente hemisférico de las mismas dimensiones están llenos de agua. Encontrar la relación de los tiempos requeridos para vaciarlos a través de un agujero del mismo tamaño en el fondo. 28. Un tanque en la forma de un prisma con extremos en forma de triángulos equiláteros, descansa en una de sus caras rectangulares y está lleno de agua. Tiene una entrada en el fondo y otra de igual tamaño en la parte superior. Demostrar que el tanque se vacía en la mitad del tiempo si se invierte. 29. (La clepsidra o reloj de agua) Un reloj de agua de 12 horas va a ser diseñado con las dimensiones que se muestran en la Figura 1.6, con la forma de la superficie de revolución obtenida al girar la curva y=f(x) alrededor del eje de ordenadas. ¿Cuál debe ser la curva y cual debe sr el radio del agujero practicado en el fondo para que el agua descienda a razón de (1/6) m/s?

30. Determine la ecuación de la curva que pasa por el punto (0 ,1) la cual es ortogonal a cada miembro de la familia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑐𝑒 𝑥 31. Determine la ecuación de la curva que pasa por el punto (0 ,1) la cual es ortogonal a cada miembro de la familia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑐𝑒 −𝑥 32. Encontrar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑐𝑦 = 1 33. Encontrar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑐𝑥 = 1 34. Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias que pasan por los puntos (1, 1) y (-1, -1).

35. Una gota de lluvia esférica, partiendo del reposo, cae por influencia de la gravedad. Si recoge vapor de agua (supuesto en reposo) a un ritmo proporcional a su superficie y su radio inicial era cero, probar que cae con aceleración constante: 𝑔 4

36. Una gota de lluvia esférica, partiendo del reposo, cae por influjo de la gravedad. Si cae sobre una niebla uniforme y recoge gotitas de agua (supuesta en reposo) a un ritmo proporcional a su superficie y su radio inicial era 𝑟0 , y r es el radio en el instante t, demostrar que la aceleración en el instante t es: 𝑔

(1 + 4

3(𝑟0) 4 𝑟4

)

. 37. Un objeto de masa m es lanzado directamente hacia arriba desde la superficie de la tierra con velocidad 𝑣0 . Supongamos que la aceleración debida a la gravedad tiene valor constante g y que el aire opone una resistencia igual k veces el cuadrado de la velocidad. a) Encontrar la ecuación del movimiento b) Encontrar la altura máxima que alcanza el objeto y el tiempo que necesita para alcanzar esta altura c) Encontrar el tiempo T que necesita el objeto para volver a la Tierra desde su altura máxima y encontrar la velocidad de impacto. 38. Un circuito RC tiene una fem de 10 sent voltios, una resistencia de 100 ohmios, una capacitancia de 0.005 faradios y ninguna carga inicial en el capacitor. a) Encuentre una expresión para la carga en el capacitor en cualquier tiempo t, y b) Encuentre la corriente de estado estacionario 39. Un circuito RC tiene una fem de 300cos 2t voltios, una resistencia de 150 ohmios, una 1 capacitancia de 6 ∗ 10−2 faradios y una carga inicial en el capacitor de 5 culombios a) Encuentre una expresión para la carga en el capacitor en cualquier tiempo t, y b) Encuentre la corriente de estado estacionario. 40. Un circuito RL tiene una fem dada de 4 sent voltios, una resistencia de 100 ohmios una inductancia de 4 henrios y no tiene corriente inicial. a) Hallar la corriente en cualquier momento t b) Encuentre la corriente transitoria

41. Un circuito RL tiene una fem dada de 100 sen 60t voltios, una resistencia de 10 ohmios una inductancia de 2 henrios y no tiene corriente inicial. a) Hallar la corriente después de 0.1segundos 42. Ponemos en una habitación de temperatura de 60° F un objeto cuya temperatura es 220° F. Diez minutos más tarde la temperatura del objeto es 200° F. En este momento hacemos funcionar el equipo de refrigeración que baja la temperatura de la habitación a una velocidad de 1° F/min. ¿Cuál es la temperatura del objeto t minutos después de haber hecho funcionar el equipo?