Tanto Por Uno

Bases sugeridas para el cálculo en tanto por uno de los parámetros y variables que modelan las máquinas sincrónicas Ing. Alfredo Muñoz Ramos 1. Consideraciones previas Para estudiar el comportamiento de máquinas sincrónicas es necesario conocer los parámetros que las caracterizan. Es común que sólo sean conocidos parte de ellos, razón por la cual es adecuado disponer de un método para estimar los parámetros restantes. El método más lógico a emplear consiste en dividir las variables más importantes por sus valores nominales, de modo que, en régimen permanente, sean muy aproximadamente uno. Desafortunadamente existen variables cuyos valores nominales son desconocidos: enlaces de flujo, corrientes por los enrollados amortiguadores, la corriente del enrollado de campo, etc. También existe duda respecto a si el tiempo es ventajoso o no expresarlo en tanto por uno y en qué base. La inercia, las inductancias propias y mutuas (del estator y del campo), son parámetros que resulta adecuado expresarlos en tanto por uno, pero se requiere sugerir una base para ello. Finalmente, se requiere definir los parámetros en ejes DQ para lo cual es necesario definir si las bases en ejes DQ son las mismas que aquellas usadas en ejes ABC. Se demostrará que este método es singularmente útil y que, algunos parámetros (como todas las inductancias mutuas) pueden definirse igual a uno sin pérdida de generalidad.

2. Elección de una base para resistencias (y reactancias).

voltajes,

flujos

y

La ecuación fundamental de voltaje en unidades MKS es:

v A  RA i A 

d dt

En régimen permanente sinusoidal, se tiene que:

1

v A  V mx nom cos  red nom t  v  iA  I mx nom cos  red nom t  i 

A   mx nom cos  red nom t    Así,

Vmxnom cos  rednomt  v   RA I mxnom cos  rednom t  i   rednom mxnom   sen  rednomt    Si la ecuación fundamental se divide por Vmxnom :

vA Vmxnom vA Vmx nom

 vA

o

1



RA iA 1 d  Vmxnom I mxnom Vmxnom dt I mxnom RA Vmx nom

 RA

o

1

iA I mx nom

 iA

o

1

I mx nom Esto significa que los valores base elegidos son:

VB  Vmxnom I B  I mxnom V RB  mxnom I mxnom De este modo, en régimen permanente:

v A o 1  1cos  red nom t  v  iA o 1  1cos  red nom t  i 

Resta elegir el enlace de flujo base del estator. Para ello si se supone RA  0 :

1 cos  rednomt  v   

rednom mxnom  cos  rednomt  v  Vmxnom

O sea,

mxnom  

Vmxnom rednom

2

Y este es el valor sugerido para el enlace de flujo base B :

B  

Vmxnom rednom

Se sugiere utilizar todos los valores en su magnitud fase neutro.

3. Elección de la base de la velocidad mecánica y el tiempo base. La base de la velocidad mecánica se elige en función de la frecuencia base de la red, la que a su vez es igual a la frecuencia nominal de la red. Es decir:

redbase  rednom 2 mecbase  rednom  mecnom p p

número de polos.

En relación al tiempo, es también conveniente expresarlo en tanto por uno. El tiempo base que se sugiere tomar es:

tbase 

1

redbase

4. Elección de la base de la reactancia e inductancia del estator. La base de la reactancia del estator ya se ha elegido debido a que es la misma que la de la resistencia:

XB 

Vmxnom

I mxnom

La base de la inductancia del estator es lógicamente:

LB  

XB

rednom

De este modo, la reactancia y la inductancia en tanto por uno son iguales, si red  o 1   1 .

3

5. Elección de la base de la corriente de campo y de la inductancia mutua entre el campo y el estator. Cuando la máquina está en vacío, girando a velocidad nominal:

vA  eA 

d   p   I f M Af cos   mec  dt   2  

v A  eA  I f M Af

p   p   mec   seno   mec 2  2   

Si se llama:

I fnom

= corriente de campo que produce tensión nominal en vacío a mecnom

Entonces

Vmax nom  I fnom M Af 2p mecnom Y esto define:

M Afnom 

Vmax nom I fnom 2p mecnom

Es lógico entonces definir:

I fB  I fnom

= corriente de campo base.

M AfB  M Afnom = inductancia base entre la bobina A del estator y el campo f. Ahora es posible expresar v A  o 1  en vacío:

vA 

o

1

  eA  1   o

v A  o 1   eA  o 1  

I f M Af 2p mec Vmxnom If

M Af

I fB M

p Afnom 2

 seno

p 2

 mec 

mec  seno 2p  mec   mecnom p 2

Pero, en condiciones nominales:



eA  o 1   1  seno 2p mec



I f  I fB ; mec  mecnom Luego, 4

M Af Por

 o1  

M Af M Afnom

 1 o 1 

tanto,

sin pérdida de generalidad, en todas las máquinas M Af  1   1 1  con las bases elegidas. Se sugiere expresar todos los valores en su magnitud fase neutro. o

o

6. Elección de la base de los voltajes, corrientes y flujos en ejes D y Q del estator. Se ha indicado que en régimen permanente sinusoidal, balanceado, se tiene que, en unidades MKS:

v A  V mx nom cos  red nom t  v  iA  I mx nom cos  red nom t  i 

A   mx nom cos  red nom t    Esto implica que:

VD  MKS  

3 Vm  MKS  cos(v ) 2

Esta relación, conduce a sugerir que los valores base deben ser:

VDB  VQB 

3 VB  2

3 Vmxnom 2

I DB  I QB 

3 IB  2

3 I mxnom 2

 DB  QB 

3 B  2

3 mxnom  2

p

VDB 2  mecbase

7. Elección de la base de la potencia y el torque. En régimen sinusoidal, y con la notación empleada, la potencia trifásica que entra a una máquina sincrónica es:

3 P3 f  Vm I m cos  v  i  2

5

Esta relación contribuye a recomendar que el valor de la potencia base (trifásica) a utilizar sea:

3 3 PB  VB I B  Vmxnom I mxnom 2 2 Y, al mismo tiempo, tomando en cuenta la definición de VDB e I DB , recientemente adoptada, se cumple que:

PB  VDB I DB Cabe hacer notar que esta elección de bases implica las siguientes expresiones en tanto por uno:

p  o 1   2 3  v A  o 1  iA  o 1   vB  o 1  iB  o 1   vC  o 1  iC  o 1   p  o 1   vD  o 1  iD  o 1   vQ  o 1  iQ  o 1 

Estas expresiones son válidas para voltajes y corrientes no sinusoidales, es decir, tienen absoluta generalidad. El torque base  TorB  se sugiere definirlo mediante la ecuación:

TorB 

PB V I  p  DB DB    DB I DB mecB mecB  2

Con esta elección se tiene que:

TOR  MKS   ( p / 2) *  D  MKS  * iQ  MKS   Q  MKS  * iD  MKS   TOR  o 1   D  o 1  * iQ  o 1   Q  o 1  * iD  o 1 

8. Elección de los parámetros iniciales de una máquina sincrónica. Para iniciar el planteamiento de un modelo de máquina sincrónica es bueno tener una primera estimación de los parámetros: las matrices siguientes muestran los valores que se sugiere emplear en una primera aproximación.

6

 Rs 0 0  Rs 0  R Rf   

0 0 0 Rdd

MDf  LD 0  LQ 0  L Lf   

0  0  0   0  Rqq

MDd 0 Mfd Ldd



0, 009 0 0 0 0, 009 0 0    0, 0008 0  0,1416   

0  MQq 0   0  Lqq 



0  0  0   0   0,5478

1, 2936 0 1, 0 1, 0 0, 7948 0 0    1, 0472 0,9231  0,9886   

0  1, 0  0   0   1, 7882

Ambas matrices son simétricas. Este conjunto de parámetros da origen a constantes de tiempo transitorias y subtransitorias característicos de todas las máquinas sincrónicas. Estas constantes de tiempo se pueden calcular con un software que se proporciona en el documento “Método de determinación de parámetros de las máquinas sincrónicas: corrientes de cortocircuito” del mismo autor. Acerca del autor. Alfredo Muñoz Ramos, es Ingeniero Civil Electricista y Profesor Titular de la Universidad de Chile. Trabaja en el Programa de Estudios e Investigaciones en Energía de la Universidad de Chile y es asesor permanente de importantes empresas mineras de Chile. Puede ser comunicado indistintamente en [email protected] y [email protected].

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