Tarea 1 - El Concepto De Integral

CÁLCULO INTEGRAL

TAREA 1 - EL CONCEPTO DE INTEGRAL

PRESENTADO A:

GRUPO: 100411_15

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA VALLEDUPAR- CESAR 27/10/2018

INTRODUCCIÓN La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

A continuación, se definen los 4 Tipos de ejercicios a desarrollar según las temáticas de la unidad. Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas.

Ejercicio a. 3 x5 − √ x ∫ x 3 dx 3 x5 √ x ∫ ( x 3 − x 3 ¿ )dx ¿ 5

∫ 3xx3

dx−∫

√ x dx

dx−∫

x1 /2 dx x3

5

∫ 3xx3

x3

∫ 3 x 5 x −3 dx−∫ x 1 /2 x −3 dx ∫ 3 x 2 dx−∫ x−5/ 2 dx 3∫ x 2 dx−∫ x −5 /2 dx −5 +1 2

2+ 1

3

x x − +c 2+1 −5 +1 2 −3

x3 x 2 3 − +c 3 −3 2 1 x 3 /2 x 3− +c −3 2 x 3+ x 3+

2 +c 3 x 3/ 2 2 3 √ x3

+c

Ejercicio b.

∫ ∫

[√

5 2

x

2

x (x −1) 5 2

2

√ x ( x −1 )

]

−4 dx

dx−∫ 4 x dx

x

∫ 4 x dx=−4 ln 4 ∫ ∫

5 2

√ x (x 2−1) 5 x √ x 2−1

5∫ 5

[

dx

dx

dx x √ x 2−1

1 aresec x =5 sec −1 x 1

]

−1

5 sec x−

4x +c ln 4

Ejercicio d. Solución por sustitución:

∫ Sen ( 32π + y ) dy u=

3π +y 2

du=dy

∫ Sen ( 32π + y ) dy=∫ Sen ( u ) du ¿−cos ( u ) +C

∫ Sen ( 32π + y ) dy

R// ¿−cos

( 32π + y)+C

Ejercicio e. Se realiza el desarrollo de la integral con ayuda de reglas trigonométricas para simplificar el proceso:

∫ ( e3 x + cot2 ( x ) +2 ) dx=∫ e3 x dx +∫ cot2 ( x ) dx +∫ 2 dx 1

∫ e3 x dx= 3 e3 x +C 1

∫ cot 2 ( x ) dx=∫ [ Csc2 ( x )−1 ] dx=−cot ( x )−x +C 2 ∫ 2 dx=2 x +C 3 1

∫ ( e3 x + cot2 ( x ) +2 ) dx= 3 e3 x −cot ( x )−x+ 2 x +C

Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann Ejercicio a. i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función f ( x )=1+ x 2 en el intervalo [0, 4], en donde use una partición de n=8 n

A ≈ ∑ f (x i) ∆ x i=1

Con i=1 , 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8 Si tenemos [0,4] entonces ∆ x=

4−0 4 1 = = ∆ x=0.5 8 8 2

Si tenemos [0,4] Si n=8 entonces i=1 , 2, 3 , 4 ,5 , 6 , 7 , 8

x 1=¿0 x 2=0+ 0.5=0.5

x 3=0+2 ( 0.5 ) =1 x 4 =0+3 ( 0.5 )=1.5 x 5=0+ 4 ( 0.5 ) =2 x 6=0+ 5 ( 0.5 )=2.5 x 7=0+ 6 ( 0.5 )=3 x 8=0+7 ( 0.5 )=3.5 8

∑ f ( x i) ∆ x=f ( x 1 ) 0.5+ f ( x 2 ) 0.5+ f ( x 3 ) 0.5+f ( x 4 ) 0.5+ f ( x 5 ) 0.5+f ( x 6 ) 0.5+ f ( x7 ) 0.5+ f ( x 8 ) 0.5 i=1 8

∑ f ( x i) ∆ x=f ( 0 ) 0.5+ f ( 0.5 ) 0.5+ f ( 1 ) 0.5+ f ( 1.5 ) 0.5+f ( 2 ) 0.5+ f ( 2.5 ) 0.5+ f ( 3 ) 0.5+ f ( 3.5 ) 0.5 i=1 8

∑ f ( x i ) ∆ x=( 1 ) 0.5+ (1.25 ) 0.5+ (2 ) 0.5+( 3.25 ) 0.5+ ( 5 ) 0.5+( 7.25 ) 0.5+( 10 ) 0.5+( 13.25 ) 0.5 i=1 8

∑ f ( x i ) ∆ x=0.5+0.625+1+1.625+2.5+3.625+ 5+6.625 i=1 8

∑ f ( x i) ∆ x=21.5 i=1

i. Graficar en Geogebra la función en el intervalo dado, tome un pantallazo de la gráfica y ayudándose de Paint represente los rectángulos definidos por la suma de Riemann.

ii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y analizar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n=8.

https://www.geogebra.org/graphing/bsgerzvs

Ejercicio b. i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función f(x)=2x+1 en el intervalo [0, 1], en donde use una partición de n=8, 1 1 ∆ x= = 8 n 1 1 x i=0+ i= i n n n

n

∑ f ( x i) ∆ x=∑ i=1

i=1

n

1 1 2 1 i + 1 =∑ i+ 1 n n i=1 n n

[( ) ] 2

[ ]

n

∑ i=1

2i 1 + n2 n

[ ]

n

n

i=1

i=1

∑ 2n2i +∑ 1n n

n

lim ∑

n → ∞ i=1

2i 1 + lim ∑ 2 n n→ ∞ i =1 n n

2 1 lim 2 ∑ i+ lim n → ∞ n i=1 n →∞ n

[ [

lim 2

n→∞ 2

n

n

()

) +1 ( n ( n+1 2 )]

lim 1

n→∞

n

]

( n+ 1 ) + 1

lim 1 lim 1+ n → ∞ +1 n n→∞ 1+0+1=2 i. Graficar en Geogebra la función en el intervalo dado, tome un pantallazo de la gráfica y ayudándose de Paint represente los rectángulos definidos por la suma de Riemann.

ii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n=8.

Ejercicio d. i.

Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función f(x)=Sen(x) en el intervalo [0, π], en donde use una partición de n=8, Graficar en Geogebra la función en el intervalo dado, tome un pantallazo de la gráfica y ayudándose de Paint represente los rectángulos definidos por la suma de Riemann. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n=8. b−a π Δx= = n n π x i= i n

ii.

iii.

Con los criterios hallados se procede a realizar la sumatoria: lim i=1n n→ 8

n

π π Sen i n n

( )

π π ¿ lim ∑ Sen i =¿ ¿ n n → 8 n i=1 ¿ lim

n→8

( )

π π π π cot = cot =1,97423 n 2n 8 2∗8

[ ( )]

( )

Ejercicio e. i.

Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función f(x)=1/x en el intervalo [1, 5/2], en donde use una partición de n=8, Graficar en Geogebra la función en el intervalo dado, tome un pantallazo de la gráfica y ayudándose de Paint represente los rectángulos definidos por la suma de Riemann. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n=8.

ii.

iii. •

Se hace una Partición geométrica de razón r en el intervalo:

r=

√ n

b >1 a

||Δ=a r n−1 ( r −1 )||→0 

Se hallan los valores de Δ x y x i

Δ x =a r i−1 ( r −1 )=a r i−1 ( r−1 ) x i=a r i n

∑ i=1

n

1 i−1 ( r ( r −1 ) )=∑ r −1 = r−1 n i r r r i =1

()

( )



Se plantea una sustitución para desarrollar directamente la sumatoria:

b u= → r=√n u a n

lim ∑ n→ 8 i=1

u=

(

u1 /n−1 n u1/ n

(

u1 /n−1 n=0,86576 u1/ n

)

5 2 n

lim ∑ n→ 8 i=1



)

Graficas:

Tipo de ejercicios 3 – Teorema de integración. Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando F'(x) de las siguientes funciones

Ejercicio a. 2

(2 x)

F ( x )=

1 dt t Sen(x )

∫

2

F ( x )=ln ⁡∨t∨¿ d f ( x )=f ( x ) =ln ( 2 x 2 ) ( 4 x ) −ln ⁡( sen ( x 2 ) )cos ⁡(x 2)( x ) dx

Ejercicio b. 3 xCos(x)

F ( x )=

Sen(t) dt

∫

√3 3 x 3 cos( x)

0

3 x cos(x)

∫

sen (t ) dt= ∫ sen ( t ) dt +

∫

√3 3 x

√3 3 x

3

√3x

sen ( t ) dt

0

3 x cos ⁡( x)

− ∫ sen ( t ) dt + −sen ( √3 3 x ) 3

sen ( t ) dt

∫

0

0

1 + sen ¿ √ 9 x2 3

−2

√

d √3 x 1 = (3 x ) 3 ∗3 dx 3 1 3

2

=3

1

√( 3 x ) √9 x

2

d ¿ dx 3 xcos(x)

∫

√3 3 x

sen ( t ) dt= 3

1

√9 x

3

2

sen ( √ 3 x ) + ( 3 cosx −3 x( senx) ) sen ( 3 x (cosx) )

Ejercicio d. 2

F ( x )= x

x

2

e Sen (x)

∫

( 2+t ) dt=∫ ( 2+ t ) dt−

∫

P

e Sen (x)

u=x2 →

x

x

( 2+t ) dt

P

du =2 x dx

v=e x Sen(x )→

dv x =e ( Senx +Cosx ) dx

F ' ( x )=( 2+ ( x 2 ) ) ( 2 x )−( 2+ ( e x Sen ( x) ) ) e x ( Senx+Cosx )

[

F ' ( x )=4 x +2 x 3− (2+ ( e x Sen(x ) ) ) e x ( Senx +Cosx )

]

Ejercicio e.

F ( x )=

2x

2x

tan (x) x e

∫

cos ( t 2) dt=∫ cos ( t 2 ) dt−

∫

C

tan(x) x e

C

du =2 dx

u=2 x → v=

cos ( t 2 ) dt

tan(x ) dv − x → =e ( Sec 2 x−Tanx ) x dx e

F ' ( x )=2cos ( 4 x 2 )−cos

tan 2 x −x ( [ e Sec 2 x−Tanx ) ] 2x e

( )

Tipo de ejercicios 4 – Integral definida. Desarrollar el ejercicio que ha elegido Utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo. Ejercicio a. 5

∫ 2

( x 3−125 ) x 2 ( x−5 )

dx

5

( x−5 ) ( x 2+5 x +25 ) dx ∫ x 2 ( x−5 ) 2 5

∫ 2

( x 2+ 5 x +25 ) x

2

5

dx

5

5

x2 dx ∫ x 2 dx +∫ 5xx2 dx +∫ 25 2 2 2 2 x 5

5

5

5

5

dx ∫ 1 dx +∫ 5x dx+∫ 25 2 2 2 2 x 5 −1

∫ 1 dx +∫ 5 x 2

2

dx +∫ 25 x−2 dx 2

25 5 x 5 +5 ln ⁡∨ x∨ 5− 2 2 x 2

{

{

{

( 5−2 )+ ( 5 ln |5|−5 ln|2|)−( 3+ 4.55+

25 25 − ) 5 2

15 2

15.05 Y realizar la gráfica de la función en Geogebra y tomar un pantallazo en donde se vea el intervalo a integrar, con ayuda de Paint editar la imagen para colorear el área que representa la integral.

Ejercicio b. Calcular la siguiente integral definida, 5

∫|x−3|dx 0 3

5

∫ (−x +3 ) dx +∫ ( x−3 ) dx 0

[

3

−x 2 +3x 2

3

]| [ 0

]|

x2 5 −3 x 2 3

−9 25 1 +9+ −15 − −9 2 2 2

(

)( )

−9 25 9 +9+ −15− +9 2 2 2

−9+ 9−6+ 25+

25 2

−12+ 25 13 = 2 2

Y realizar la gráfica de la función en Geogebra y tomar un pantallazo en donde se vea el intervalo a integrar, con ayuda de Paint editar la imagen para colorear el área que representa la integral.

∆ 1=

3∗3 9 = 2 2

∆ 2=

2∗2 =2 2

∆

9 13 t=¿ ∆1+∆2 = +2= ¿ 2 2

Ejercicio d. 2

∫ x2x+1 dx −1 2

∫ x2x+1 dx −1

u=x2 +1 du=2 x dx x=−1 →u=2 x=2 →u=5 2

∫ −1

5

x 1 du dx= ∫ 2 2 2 u x +1

5

1 du 1 1 = ln ( u ) ¿52= ( ln ( 5 ) −ln ⁡( 2) ) =0,458145 ∫ 22 u 2 2

Ejercicio e. Calcular la siguiente integral definida.

π

∫ π 2

(

tan(x ) dx Sen ( x ) Sec ( x ) +cos( x ) 2

)

Realizar la gráfica de la función en Geogebra y tomar un pantallazo en donde se vea el intervalo a integrar, con ayuda de Paint editar la imagen para colorear el área que representa la integral.

SOLUCION TRIGONOMETRICA: tan( x ) tan( x ) = 2 Sen ( x ) Sec ( x ) +cos( x) Sen ( x ) + cos(x ) cos ( x) 2

Sen ( x ) tan( x ) tan ( x ) cos ( x ) ¿ = = =Sen( x) 2 2 1 1 Sen ( x ) +cos ( x ) cos(x ) cos( x ) cos (x)

PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: π

∫ ( Sen( x )) dx=−cos ( x ) ¿ππ =−cos ( π ) − −cos ( π2 ) =1 π 2

2

(

GRAFICA DE LA FUNCION SENO:

)

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

 Ortiz, F (2015). Cálculo diferencial (2a. ed.) Grupo editorial patria. (pp. 121-128)







   

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