Tarea 1 - El Concepto De Integral_100411_81

Tarea 1 - El concepto de integral

Presentado Por: Daniel Hernández Ayala Jhonatan Montero Javier Gutierrez Gilberto Machado

Presentado a: Edgar Andrés Sosa Tutor

Universidad Nacional Abierta y a Distancia Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Calculo Integral Septiembre de 2019

Actividades a desarrollar

Introducción

En esta actividad se abordaran los temas referentes a los conceptos básicos de integral apoyándonos en los referentes bibliográficos ubicados en el entorno de conocimiento del curso de cálculo integral y en los conocimientos adquiridos previamente en los cursos de los anteriores semestres como calculo diferencial, algebra, y trigonometría. Para profundizar los conocimientos en el tema abordado, se propone que el estudiante desarrolle cuatro ejercicios referentes a los temas, teorema de integración, integral definida, integrales inmediatas y sumas de riemann.

Cada uno de los ejercicios

A continuación, se definen los 4 Tipos de ejercicios a desarrollar según las temáticas de la unidad.

Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas.

Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. (pp. 15 – 23).

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado.

Ejercicio a. ∫

𝑥4 − 1 𝑑𝑥 ; 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠, 3𝑥 3 − 3𝑥

(𝑥 2 )2 − 1 ∫ 𝑑𝑥 3𝑥(𝑥 2 − 1)

∫

(𝑥 2 + 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) 𝑑𝑥 3𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

∫

(𝑥 2 + 1) 𝑑𝑥 3𝑥

Hasta aquí logramos simplificar la integral, ahora desarrollamos la integral.

1 (𝑥 2 + 1) ∫ 𝑑𝑥 ; 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥 3 𝑥

1 1 ∫ 𝑥 + 𝑑𝑥 ; 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 3 𝑥

1

1

∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 𝑑𝑥 ; 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 ∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx 3

Resolvemos la integral:

1 1 2 ( 𝑥 + 𝐶 + ln(|𝑥|) + 𝐶) 3 2

Simplificamos Respuesta 1 1 2 ( 𝑥 + ln(|𝑥|) + 𝐶) 3 2

Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann

Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 2 – 13).

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann

Ejercicio a.

i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función

𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 en el intervalo [3, 7], en donde use una partición de n=5. Siga los siguientes pasos: -

-

Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (5) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 en el intervalo [3, 7], en donde use una partición de n=12

Siga los siguientes pasos: -

-

Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (12) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 5 y n=12.

Comparación de cálculos con sumas de Riemann:

Resultado De La Integral

Suma de Riemann n=5

Suma de Riemann n=12

16

12.8

14.67

En conclusión, entre mas aumente el valor de n que en este caso es el número de rectángulos en que dividimos el área debajo de la curva, más aproximación tendremos al resultado de la integral.

Tipo de ejercicios 3 – Teorema de integración.

Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 50 – 53).

Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando 𝐹′(𝑥) de las siguientes funciones

Ejercicio a. 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝐹(𝑥) = ∫ cos 𝑥

𝑑𝑡 1 + √1 − 𝑡

Tipo de ejercicios 4 – Integral definida.

Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso:

Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 54 – 57).

Desarrollar el ejercicio que ha elegido Utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo.

Ejercicio a.

Calcular la siguiente integral definida:

2

𝑥 3 − 27 ∫ 𝑑𝑥 −4 𝑥 − 3

Siga los siguientes pasos: -

-

Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida.

EJERCICIOS 2

Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado. Ejercicio b. ∫

2𝑥 + 1 √4𝑥 + √2𝑥

𝑑𝑥

Solución: Reescribimos y simplificamos la raíz: ∫

2𝑥 + 1

𝑑𝑥

√2√𝑥 + 2√𝑥

Ahora derivamos cada uno de los integrales: ∫(

2√𝑥 + √2 + 2

1

)𝑑𝑥

(√2 + 2)√𝑥

Aplicamos norma de linealidad: =

2 √2 + 2

∫ √𝑥 𝑑𝑥 +

Resolvemos cada una de las integrales: ∫ √𝑥 Aplicamos regla de Potencia: ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =

𝑥 𝑛 +1 𝑛+1

1

con 𝑛 = 2 3

Quedando así:

2𝑥 2 3

1 √2 + 2

∫

1 √𝑥

𝑑𝑥

1

Ahora resolvemos: ∫ 𝑥 𝑑𝑥 √ 1

Aplicamos regla de Potencia con 𝑛 = − 2 Quedando así: 2√𝑥 Por último reemplazamos integrales resueltas: =

2 √2 + 2

∫ √𝑥 𝑑𝑥 +

1 √2 + 2

∫

3

1 √𝑥

𝑑𝑥 =

4𝑥 2 3(√2 + 2)

+

2√𝑥 √2 + 2

La ecuación resuelta quedaría: ∫

2𝑥 + 1 √4𝑥 + √2𝑥

3

𝑑𝑥 =

4𝑥 2 3(√2 + 2)

+

2√𝑥 √2 + 2

+𝐶

Lo cual simplificamos y quedaría de la siguiente manera: =

(√2 + 2)√𝑥(2𝑥 + 3) +𝐶 3

Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann Ejercicio b. i.

Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝒇(𝒙) = (𝒙 – 𝟑)𝟐+ 𝟏 en el intervalo [0, 2], en donde use una partición de n=5.

Solución: 𝑓(𝑥) = (𝑥 – 3)2 A=∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑋𝑖)Δ𝑋 𝑛=5 0 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 [ 𝑎

2 ] 𝑏

Ahora hallaremos Δx: Δx = Reemplazamos:

b−a n

Δx =

2−0 2 = = 0.4 5 5

Decimos que 0.4 es el ancho del rectángulo. Hallamos 𝑋𝑖 = 𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑚á𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜. En este caso sería= 𝑋𝑖 = 0 Ahora hallamos cada 𝑋𝑖 hasta encontrar el valor de 𝑋5: 𝑋1 = 𝑎 = 0 𝑋2 = 𝑎 + (Δx) = 0 + 0.4 = 0.4 𝑋3 = 𝑎 + 2(Δx) = 0.8 𝑋4 = 𝑎 + 3(Δx) = 1.2 𝑋5 = 𝑎 + 4(Δx) = 1.6 5

∑ 𝑓(𝑋𝑖)Δx = 𝑓(0)0.4 + 𝑓(0.4)0.4 + 𝑓(0.8)0.4 + 𝑓(1.2)0.4 + 𝑓(1.6)0.4 𝑖=1

Reemplazamos el valor de X por Xi: 𝑓(0) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(0) = (0 − 3)2 + 1 𝑓(0) = (−3)2 + 1 𝑓(0) = 9 + 1 𝒇(𝟎) = 𝟏𝟎

𝑓(0.4) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(0.4) = (0.4 − 3)2 + 1 𝑓(0.4) = (−2.6)2 + 1 𝑓(0.4) = 6.76 + 1

𝒇(𝟎. 𝟒) = 𝟕. 𝟕𝟔

𝑓(0.8) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(0.8) = (0.8 − 3)2 + 1 𝑓(0.8) = (−2.2)2 + 1 𝑓(0.8) = 4.84 + 1 𝒇(𝟎. 𝟖) = 𝟓. 𝟖𝟒

𝑓(1.2) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(1.2) = (−1.8 − 3)2 + 1 𝑓(1.2) = (−3.24)2 + 1 𝑓(1.2) = 4.24 + 1 𝒇(𝟏. 𝟐) = 𝟒. 𝟐𝟒

𝑓(1.6) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(1.6) = (1.6 − 3)2 + 1 𝑓(1.6) = (−1.4)2 + 1 𝑓(1.6) = 1.96 + 1 𝒇(𝟏. 𝟔) = 𝟐. 𝟗𝟔 Ahora reemplazaremos todos los valores en 𝑓(𝑥) y lo multiplicamos por el valor de Δx: 5

∑ 𝑓(𝑋𝑖)Δx = 10 ∗ 0.4 + 7.76 ∗ 0.4 + 5.84 ∗ 0.4 + 4.24 ∗ 0.4 + 2.96 ∗ 0.4 = 𝟏𝟐. 𝟑𝟐𝒖𝟐 𝑖=1

Ahora se resuelve por medio de una integral definida, así que ponemos los límites de integración y la función:

2

𝐴 = ∫ (𝑥 − 3)2 + 1 0

Se integra cada termino y al tener una integral definida entonces se evalúa entre los límites 0,2 (3𝑥 3 ) + 𝑥 2 𝐴= ∫ 3 0 Simplificamos: (3𝑥 3 ) + 𝑥 2 𝐴= ∫ 3 0 Ahora evaluamos el límite 2: 2 3

𝐴 = 𝑥 + 𝑥 ∫ 𝐴 = (8 + 2) = 10 0

Ahora evaluamos el límite 0: 2 3

𝐴 = 𝑥 + 𝑥 ∫ 𝐴 = (10 + 0) = 10 0

𝐴 = 10𝑢2 Siga los siguientes pasos: - Graficar la función f(x) en Geogebra.

- Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (5) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva f(x).

ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝒇(𝒙) = (𝒙 – 𝟑)𝟐 + 𝟏 en el intervalo [0, 2], en donde use una partición de n=10 Solución: 𝑓(𝑥) = (𝑥 – 3)2 A=∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑋𝑖)Δ𝑋 𝑛 = 10 0 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 [ 𝑎

2 ] 𝑏

Ahora hallaremos Δx: Δx =

b−a n

Reemplazamos: Δx =

2−0 2 = = 0.2 10 10

Decimos que 0.2 es el ancho del rectángulo. Hallamos

𝑋𝑖 = 𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑚á𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜. En este caso sería= 𝑋𝑖 = 0 Ahora hallamos cada 𝑋𝑖 hasta encontrar el valor de 𝑋5: 𝑥1 = 0 𝑥2 = 0 + 1(0.2) = 0.2 𝑥3 = 0 + 2(0.2) = 0.4 𝑥4 = 0 + 3(0.2) = 0.6 𝑥5 = 0 + 4(0.2) = 0.8 𝑥6 = 0 + 5(0.2) = 1 𝑥7 = 0 + 6(0.2) = 1.2 𝑥8 = 0 + 7(0.2) = 1.4 𝑥9 = 0 + 8(0.2) = 1.6 𝑥10 = 0 + 9(0.2) = 1.8 5

∑ 𝑓(𝑋𝑖)Δx = 𝑓(0)0.2 + 𝑓(0.4)0.2 + 𝑓(0.6)0.2 + 𝑓(0.8)0.2 + 𝑓(1)0.2 𝑖=1

+ 𝑓(1.2)0.2𝑓(1.4)0.2 𝑓(1.6)0.2𝑓(1.8)0.2 Reemplazamos el valor de X por Xi: 𝑓(0) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(0) = (0 − 3)2 + 1 𝑓(0) = (−3)2 + 1 𝑓(0) = 9 + 1 𝒇(𝟎) = 𝟏𝟎

𝑓(0.2) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(0.2) = (0.2 − 3)2 + 1

𝑓(0.2) = (−2.8)2 + 1 𝑓(0.2) = 7.84 + 1 𝒇(𝟎. 𝟐) = 𝟖. 𝟖𝟒

𝑓(0.4) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(0.4) = (0.4 − 3)2 + 1 𝑓(0.4) = (−2.6)2 + 1 𝑓(0.4) = 6.76 + 1 𝒇(𝟎. 𝟒) = 𝟕. 𝟕𝟔

𝑓(0.6) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(0.6) = (0.6 − 3)2 + 1 𝑓(0.6) = (−2.4)2 + 1 𝑓(0.6) = 5.76 + 1 𝒇(𝟎. 𝟔) = 𝟔. 𝟕𝟔

𝑓(0.8) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(0.8) = (0.8 − 3)2 + 1 𝑓(0.8) = (−2.2)2 + 1 𝑓(0.8) = 4.84 + 1 𝒇(𝟎. 𝟖) = 𝟓. 𝟖𝟒

𝑓(1) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1

𝑓(1) = (1 − 3)2 + 1 𝑓(1) = (−2)2 + 1 𝑓(1) = 4 + 1 𝒇(𝟏) = 𝟓

𝑓(1.2) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(1.2) = (1.2 − 3)2 + 1 𝑓(1.2) = (−1.8)2 + 1 𝑓(1.2) = 3.24 + 1 𝒇(𝟒. 𝟐𝟒) =

𝑓(1.4) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(1.4) = (1.4 − 3)2 + 1 𝑓(1.4) = (−1.6)2 + 1 𝑓(1.4) = 2.56 + 1 (𝟏. 𝟒) = 𝟑. 𝟓𝟔 𝑓(1.6) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(1.6) = (1.6 − 3)2 + 1 𝑓(1.6) = (−1.4)2 + 1 𝑓(1.6)1.96 + 1 (𝟏. 𝟔) = (𝟐. 𝟗𝟔) 𝑓(1.8) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑓(1.8) = (1.8 − 3)2 + 1

𝑓(1.8) = (−1.2)2 + 1 𝑓(1.8) = 1.4 + 1 (𝟏. 𝟖) = 𝟐. 𝟒𝟒 Ahora reemplazaremos todos los valores en 𝑓(𝑥) y lo multiplicamos por el valor de Δx: 5

∑ 𝑓(𝑋𝑖)Δx = 10 ∗ 0.2 + 8.84 ∗ 0.2 + 7.76 ∗ 0.2 + 6.76 ∗ 0.2 + 5.84 ∗ 0.2 + 5 ∗ 0.2 + 4.24 ∗ 0.2 𝑖=1

+ 3.56 ∗ 0.2 + 2.96 ∗ 0.2 + 2.44 ∗ 0.2 = 𝟏𝟏. 𝟒𝟖𝒖

Ahora se resuelve por medio de una integral definida, así que ponemos los límites de integración y la función: 2

𝐴 = ∫ (𝑥 − 3)2 + 1 0

- Graficar la función f(x) en Geogebra.

- Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (10) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva f(x).

ii.

Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 5 y n=10.

Al momento de realizar la comparación de los resultados con respecto a la aproximación que se obtuvo utilizando la suma de Riemann en ambas graficas con n= 5 y n=10, podemos decir que a pesar de que en la gráfica la curva sale en la parte superior y las barras al lado inferior los recuadros forman parte de esa curva que representa la función 𝑓(𝑓) = (𝑓 − 3)^2 + 1 y las dos funciones de 0 tiene como resultado 10 tanto en n=5 y en n=10, aunque no me explico porque no me sale dentro de la curva que representa la función. Tipo de ejercicios 3 – Teorema de integración. Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando F′(x) de las siguientes funciones: Solución: 𝒃

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒇(𝒃) − 𝑭(𝒂) = 𝑭(𝒙)𝒅𝒕|𝒃 𝒂 𝒂

Aplicamos el Teorema fundamental del cálculo parte II “Si F es una antiderivada de f entonces: 𝒃

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒇(𝒃) − 𝑭(𝒂) = 𝑭(𝒙)𝒅𝒕|𝒃 𝒂 𝒂

Entonces:

𝑣(𝑥)

𝑑/𝑑𝑥 [∫

𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑣(𝑥) ∗ 𝑢′(𝑥)]

𝑎

𝑓 ′ (𝑥) = (𝑆𝑒𝑛(𝑥 3 )2 ) ∗ (𝑥 3 )′ − (𝑆𝑒𝑛(𝑥 2 ) ∗ (𝑥)′ 𝑓 ′ (𝑥) = (𝑆𝑒𝑛𝑥 6 ) ∗ 3𝑥 2 − (𝑆𝑒𝑛𝑥 2 ) ∗ (1) 𝑓 ′ (𝑥) = 3 ∗ (𝑆𝑒𝑛𝑥 6 ) ∗ (𝑥 2 ) − (𝑆𝑒𝑛𝑥 2 )

Tipo de ejercicios 4 – Integral definida. Desarrollar el ejercicio que ha elegido Utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo. Ejercicio b. Calcular la siguiente integral definida: 𝟒

∫ |𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔|𝒅𝒙 𝟏

Solución: La regla de Barrow que es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función. Siga los siguientes pasos: - Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida.

EJERCICOS 3

Integrales inmediatas.

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado

2. Sumas de Riemann

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann

i.

Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑓) = 4𝑓3 + 1 en el intervalo [0, 3], en donde use una partición de n=6.

Siga los siguientes pasos:

-

Graficar la función 𝑓(𝑓) en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (6) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑓).

ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑋) = 4𝑥 3 + 1 en el intervalo [0, 3], en donde use una partición de n=12

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función 𝐹(𝑋) en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (12) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝐹(𝑋).

Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 6 y n=12.

esta es la integral total, lo que concluye que la medida que se hacen más particiones más aproximación se tiene a 84

– Teorema de integración.

Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando 𝑓′(𝑓) de las siguientes funciones

Desarrollo

4.Integral definida.

Desarrollar el ejercicio que ha elegido Utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo.

Calcular la siguiente integral definida:

desarrollo

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica.

Ejercicio 4

1. Integrales inmediatas Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado. ∫[

𝑻𝒂𝒏(𝒙) + 𝐂𝐬𝐜 𝟐 (𝒙)] 𝒅𝒙 𝑺𝒆𝒏(𝒙)𝑪𝒐𝒔(𝒙)

∫

𝑇𝑎𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ Csc 2 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑆𝑒𝑛(𝑥)𝐶𝑜𝑠(𝑥)

∫

𝑇𝑎𝑛(𝑥) 1 ∗ 𝑑𝑥 + ∫ Csc 2 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑆𝑒𝑛(𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑥)

∫ 𝑆𝑒𝑐(𝑥) ∗ 𝑆𝑒𝑐(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ Csc 2 (𝑥) 𝑑𝑥

∫ 𝑆𝑒𝑐 2 (𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ Csc 2 (𝑥) 𝑑𝑥

= 𝑇𝑎𝑛(𝑥) − 𝐶𝑜𝑡(𝑥) + 𝑐

Comprobación derivando 𝒇(𝒙) = 𝑻𝒂𝒏(𝒙) − 𝑪𝒐𝒕(𝒙) + 𝒄

De acuerdo a las tablas de integración

𝑓′(𝑥) = 𝑆𝑒𝑐 2 (𝑥) + Csc 2 (𝑥) + 0

2. Sumas de Riemann Desarrollar el siguiente ejercicio utlizando sumas de Riemann

a) Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 − 1|en el intervalo [−1, 2], en donde use una partición de n=8. 𝑎 = −1

𝑛=8

𝑏=2

∆𝑥 =

∆𝑥 =

2 − (−1) 8

∆𝑥 =

3 8

𝑏−𝑎 𝑛

∆𝑥 = 0,375 𝒙𝟏 = 𝑎

= −1

𝒙𝟓 = 𝑎 + 4∆𝑥 = 0,5

𝒙𝟐 = 𝑎 + ∆𝑥 = −0,625

𝒙𝟔 = 𝑎 + 5∆𝑥 = 0,875

𝒙𝟑 = 𝑎 + 2∆𝑥 = −0,25

𝒙𝟕 = 𝑎 + 6∆𝑥 = 1,25

𝒙𝟒 = 𝑎 + 3∆𝑥 = 0,125

𝒙𝟖 = 𝑎 + 7∆𝑥 = 1,625

Al ser una función de valor absoluto se evaluara de dos maneras diferentes cuando 𝒙𝟐 − 𝟏 ≥ 𝟎

y

𝒙𝟐 − 𝟏 < 0

Despejando en términos de 𝒙𝟐 obtenemos 𝒙𝟐 − 𝟏 ≥ 𝟎

𝒙𝟐 − 𝟏 < 0

𝒙𝟐 ≥ 𝟏

𝒙𝟐 < 1

Entonces; |𝑥2 − 1| = {

𝑥 2 − 1, −𝑥 2 + 1,

𝑥2 ≥ 1 𝑥2 < 1

Con esto sabemos que debemos evaluar la función como 𝒙𝟐 − 𝟏 cuando los valores de 𝑥 sean ≥ 1, y con −𝒙𝟐 + 𝟏 cuando los valores de 𝑥 < 1.

8

∑ 𝑓(𝑥)∆𝑥 = 𝑓(−𝟏) ∗ 0,375, 𝑓(−𝟎, 𝟔𝟐𝟓) ∗ 0,375, 𝑓(−𝟎, 𝟐𝟓) ∗ 0,375, 𝑓(𝟎, 𝟏𝟐𝟓) ∗ 0,375, 𝑓(𝟎, 𝟓) 𝑖=1

∗ 0,375, 𝑓(𝟎, 𝟖𝟕𝟓) ∗ 0,375, 𝑓(𝟏, 𝟐𝟓) ∗ 0,375, 𝑓(𝟏, 𝟔𝟐𝟓) ∗ 0,375

Evaluamos la función de la forma −𝒙𝟐 + 𝟏 porque los valores que tomara 𝑥 son < 1



𝑓(−𝟏) = −(−1)2 + 1

𝑓(−𝟏) = −(1) + 1



𝑓(−𝟏) = 𝟎

𝑓(𝟎, 𝟏𝟐𝟓) = −(0,015625) + 1

𝑓(−𝟎, 𝟔𝟐𝟓) = −(−0,625)2 + 1

𝑓(𝟎, 𝟐𝟏𝟓) = 𝟎, 𝟗𝟖𝟒𝟑𝟕𝟓

𝑓(−𝟎, 𝟔𝟐𝟓) = −(0,390625) + 1



𝑓(−𝟎, 𝟔𝟐𝟓) = 𝟎, 𝟔𝟎𝟗𝟑𝟕𝟓 

𝑓(𝟎, 𝟓) = −(0,25) + 1

𝑓(−𝟎, 𝟐𝟓) = −(−0,25)2 + 1 𝑓(−𝟎, 𝟐𝟓) = −(0,0625) + 1

𝑓(𝟎, 𝟓) = 𝟎, 𝟕𝟓 

𝑓(−𝟎, 𝟐𝟓) = 𝟎, 𝟗𝟑𝟕𝟓 

𝑓(𝟎, 𝟓) = −(0,5)2 + 1

𝑓(𝟎, 𝟖𝟕𝟓) = −(0,875)2 + 1 𝑓(𝟎, 𝟖𝟕𝟓) = −(0,765625) + 1

𝑓(𝟎, 𝟏𝟐𝟓) = −(0,125)2 + 1

𝑓(𝟎, 𝟖𝟕𝟓) = 𝟎, 𝟐𝟑𝟒𝟑𝟕𝟓

Ahora evaluaremos la función de la forma 𝒙𝟐 − 𝟏 porque ahora los valores que tomara 𝑥 son >=1 

𝑓(𝟏, 𝟐𝟓) = (1,25)2 − 1



𝑓(𝟏, 𝟔𝟐𝟓) = (1,625)2 − 1

𝑓(𝟏, 𝟐𝟓) = (1,5625) − 1

𝑓(𝟏, 𝟔𝟐𝟓) = (2,640625) − 1

𝑓(𝟏, 𝟐𝟓) = 𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓

𝑓(𝟏, 𝟔𝟐𝟓) = 𝟏, 𝟔𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓

Con esto obtenemos la suma de Riemann 8

∑ 𝑓(𝑥)∆𝑥 = 𝟎 ∗ 0,375, 𝟎, 𝟗𝟑𝟕𝟓 ∗ 0,375, 𝟎, 𝟔𝟎𝟗𝟑𝟕𝟓 ∗ 0,375, 𝟎, 𝟗𝟖𝟒𝟑𝟕𝟓 ∗ 0,375, 𝟎, 𝟕𝟓 𝑖=1

∗ 0,375, 𝟎, 𝟐𝟑𝟒𝟑𝟕𝟓 ∗ 0,375, 𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 ∗ 0,375, 𝟏, 𝟔𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓 ∗ 0,375 = 𝟐, 𝟏𝟒𝟒𝟓𝟑𝟏𝟐𝟓𝒖𝟐

El área aproximada bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 − 1| en el intervalo [−1, 2], en donde use una partición de n=8 es de 𝟐, 𝟏𝟒𝟒𝟓𝟑𝟏𝟐𝟓𝒖𝟐

Grafica 𝒇(𝒙) = |𝒙𝟐 − 𝟏|

b) Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 − 1|en el intervalo [−1, 2], en donde use una partición de n=16. 𝑎 = −1

𝑛=8

𝑏=2

∆𝑥 =

∆𝑥 =

2 − (−1) 16

∆𝑥 =

3 16

𝑏−𝑎 𝑛

∆𝑥 = 0,1875 𝒙𝟏 = 𝑎

= −1

𝒙𝟗 = 𝑎 + 8∆𝑥 = 0,5

𝒙𝟐 = 𝑎 + ∆𝑥 = −0,8125

𝒙𝟏𝟎 = 𝑎 + 9∆𝑥 = 0,6875

𝒙𝟑 = 𝑎 + 2∆𝑥 = −0,625

𝒙𝟏𝟏 = 𝑎 + 10∆𝑥 = 0,875

𝒙𝟒 = 𝑎 + 3∆𝑥 = −0,4375

𝒙𝟏𝟐 = 𝑎 + 11∆𝑥 = 1,0625

𝒙𝟓 = 𝑎 + 4∆𝑥 = −0,25

𝒙𝟏𝟑 = 𝑎 + 12∆𝑥 = 1,25

𝒙𝟔 = 𝑎 + 5∆𝑥 = −0,0625

𝒙𝟏𝟒 = 𝑎 + 13∆𝑥 = 1,4375

𝒙𝟕 = 𝑎 + 6∆𝑥 = 0,125

𝒙𝟏𝟓 = 𝑎 + 14∆𝑥 = 1,625

𝒙𝟖 = 𝑎 + 7∆𝑥 = 0,3125

𝒙𝟏𝟔 = 𝑎 + 15∆𝑥 = 1,8125

Al ser una función de valor absoluto se evaluara de dos maneras diferentes cuando 𝒙𝟐 − 𝟏 ≥ 𝟎

y

𝒙𝟐 − 𝟏 < 0

Despejando en términos de 𝒙𝟐 obtenemos 𝒙𝟐 − 𝟏 ≥ 𝟎

𝒙𝟐 − 𝟏 < 0

𝒙𝟐 ≥ 𝟏

𝒙𝟐 < 1

Entonces; |𝑥2 − 1| = {

𝑥 2 − 1, −𝑥 2 + 1,

𝑥2 ≥ 1 𝑥2 < 1

Con esto sabemos que debemos evaluar la función como 𝒙𝟐 − 𝟏 cuando los valores de 𝑥 sean ≥ 1, y con −𝒙𝟐 + 𝟏 cuando los valores de 𝑥 < 1. 16

∑ 𝑓(𝑥)∆𝑥 = 𝑓(−𝟏) ∗ 0,1875, 𝑓(−𝟎, 𝟖𝟏𝟐𝟓) ∗ 0,1875, 𝑓(−𝟎, 𝟔𝟐𝟓) ∗ 0,1875, 𝑓(−𝟎, 𝟒𝟑𝟕𝟓) 𝑖=1

∗ 0,1875, 𝑓(−𝟎, 𝟐𝟓) ∗ 0,1875, 𝑓(−𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟓) ∗ 0,1875, 𝑓(𝟎, 𝟏𝟐𝟓) ∗ 0,1875, 𝑓(𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓) ∗ 0,1875, 𝑓(𝟎, 𝟓) ∗ 0,1875, 𝑓(𝟎, 𝟔𝟖𝟕𝟓) ∗ 0,1875, 𝑓(𝟎, 𝟖𝟕𝟓) ∗ 0,1875, 𝑓(𝟏, 𝟎𝟔𝟐𝟓) ∗ 0,1875, 𝑓(𝟏, 𝟐𝟓) ∗ 0,1875, 𝑓(𝟏, 𝟒𝟑𝟕𝟓) ∗ 0,1875, 𝑓(𝟏, 𝟔𝟐𝟓) ∗ 0,1875, 𝑓(𝟏, 𝟖𝟏𝟐𝟓) ∗ 0,1875

Evaluamos la función de la forma −𝒙𝟐 + 𝟏 porque los valores que tomara 𝑥 son < 1







𝑓(−𝟏) = −(−1)2 + 1 𝑓(−𝟏) = −(1) + 1

𝑓(𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟓) = −(0,00390625) + 1

𝑓(−𝟏) = 𝟎

𝑓(𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟓) = 0,99609375 

𝑓(−𝟎, 𝟖𝟏𝟐𝟓) = −(0,8125)2 + 1

𝑓(𝟎, 𝟏𝟐𝟓) = −(0,125)2 + 1 𝑓(𝟎, 𝟏𝟐𝟓) = −(0,015625) + 1

𝑓(−𝟎, 𝟖𝟏𝟐𝟓) = −(0,66015625) + 1

𝑓(𝟎, 𝟏𝟐𝟓) = 0,984375

𝑓(−𝟎, 𝟖𝟏𝟐𝟓) = 𝟎, 𝟑𝟑𝟗𝟖𝟒𝟑𝟕𝟓 

𝑓(𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟓) = −(0,0625)2 + 1



𝑓(𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓) = −(0,3125)2 + 1

𝑓(−𝟎, 𝟔𝟐𝟓) = −(−0,625)2 + 1 𝑓(𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓) = −(0,09765625) + 1 𝑓(−𝟎, 𝟔𝟐𝟓) = −(0,390625) + 1 𝑓(𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓) = 0,90234375 

𝑓(−𝟎, 𝟔𝟐𝟓) = 𝟎, 𝟔𝟎𝟗𝟑𝟕𝟓 

𝑓(𝟎, 𝟒𝟑𝟕𝟓) = −(0,4375)2 + 1

𝑓(𝟎, 𝟓) = −(0,25) + 1

𝑓(𝟎, 𝟒𝟑𝟕𝟓) = −(0,19140625) + 1

𝑓(𝟎, 𝟓) = 0,75 

𝑓(𝟎, 𝟒𝟑𝟕𝟓) = 𝟎, 𝟖𝟎𝟖𝟓𝟗𝟑𝟕𝟓 

𝑓(𝟎, 𝟓) = −(0,5)2 + 1

𝑓(𝟎, 𝟔𝟖𝟕𝟓) = −(0,6875)2 + 1 𝑓(𝟎, 𝟔𝟖𝟕𝟓) = −(0,47265625) + 1

𝑓(−𝟎, 𝟐𝟓) = −(−0,25)2 + 1

𝑓(𝟎, 𝟔𝟖𝟕𝟓) = 0,52734325

𝑓(−𝟎, 𝟐𝟓) = −(0,0625) + 1 

𝑓(𝟎, 𝟖𝟕𝟓) = −(0,875)2 + 1

𝑓(−𝟎, 𝟐𝟓) = 𝟎, 𝟗𝟑𝟕𝟓 𝑓(𝟎, 𝟓) = −(0,765625) + 1 𝑓(𝟎, 𝟓) = 0,234375 𝟐

Ahora evaluaremos la función de la forma 𝒙 − 𝟏 porque ahora los valores que tomara 𝑥 son >=1 

𝑓(𝟏, 𝟎𝟔𝟐𝟓) = (1,0625)2 − 1

𝑓(𝟏, 𝟎𝟔𝟐𝟓) = (1,12890625) − 1



𝑓(𝟏, 𝟎𝟔𝟐𝟓) = 𝟎, 𝟏𝟐𝟖𝟗𝟎𝟔𝟐𝟓

𝑓(𝟏, 𝟒𝟑𝟕𝟓) = (2,06640625) − 1

𝑓(𝟏, 𝟐𝟓) = (1,25)2 − 1

𝑓(𝟏, 𝟒𝟑𝟕𝟓) = 𝟏, 𝟎𝟔𝟔𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓

𝑓(𝟏, 𝟐𝟓) = (1,5625) − 1



𝑓(𝟏, 𝟔𝟐𝟓) = (1,625)2 − 1 𝑓(𝟏, 𝟔𝟐𝟓) = (2,640625) − 1

𝑓(𝟏, 𝟔𝟐𝟓) = 𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓

𝑓(𝟏, 𝟔𝟐𝟓) = 𝟏, 𝟔𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓 

𝑓(𝟏, 𝟖𝟏𝟐𝟓) = (1,8125)2 − 1 𝑓(𝟏, 𝟖𝟏𝟐𝟓) = (3,28515625) − 1



𝑓(𝟏, 𝟒𝟑𝟕𝟓) = (1,4375)2 − 1

𝑓(𝟏, 𝟖𝟏𝟐𝟓) = 𝟐, 𝟐𝟖𝟓𝟏𝟓𝟔𝟐𝟓

Con esto obtenemos la suma de Riemann 16

∑ 𝑓(𝑥)∆𝑥 = 𝟎 ∗ 0,1875, 𝟎, 𝟑𝟑𝟗𝟖𝟒𝟑𝟕𝟓 ∗ 0,1875, 𝟎, 𝟔𝟎𝟗𝟑𝟕𝟓 ∗ 0,1875, 𝟎, 𝟖𝟎𝟖𝟓𝟗𝟑𝟕𝟓 𝑖=1

∗ 0,1875, 𝟎, 𝟗𝟑𝟕𝟓 ∗ 0,1875, 𝟎, 𝟗𝟗𝟔𝟎𝟗𝟑𝟕𝟓 ∗ 0,1875, 𝟎, 𝟗𝟖𝟒𝟑𝟕𝟓 ∗ 0,1875, 𝟎, 𝟗𝟎𝟐𝟑𝟒𝟑𝟕𝟓 ∗ 0,1875, 𝟎, 𝟕𝟓 ∗ 0,1875, 𝟎, 𝟓𝟐𝟕𝟑𝟒𝟑𝟐𝟓 ∗ 0,1875, 𝟎, 𝟐𝟑𝟒𝟑𝟕𝟓 ∗ 0,1875, 𝟎, 𝟏𝟐𝟖𝟗𝟎𝟔𝟐𝟓 ∗ 0,1875, 𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 ∗ 0,1875, 𝟏, 𝟎𝟔𝟔𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓 ∗ 0,1875, 𝟏, 𝟔𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓0,1875, 𝟐, 𝟐𝟖𝟓𝟏𝟓𝟔𝟐𝟓 ∗ 0,1875

El área aproximada bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 − 1| en el intervalo [−1, 2], en donde use una partición de n=8 es de 𝟐, 𝟑𝟗𝟓𝟎𝟏𝟗𝟓𝟑𝒖𝟐

Grafica 𝒇(𝒙) = |𝒙𝟐 − 𝟏|

3. Teorema de integración 𝒙

∫ 𝟏⁄ 𝒙

𝟏 𝒅𝒕 𝟏 − 𝒕𝟐

Utilizando el primer teorema fundamental del cálculo 𝒃(𝒙)

𝒅 ∫ 𝒇(𝒕)𝒅𝒕 = 𝒇(𝒃(𝒙)) ∗ 𝒃′ (𝒙) − 𝒇(𝒂(𝒙)) ∗ 𝒂′(𝒙) 𝒅𝒙 𝒂(𝒙)

Entonces; Hallaremos primero las derivadas de a y b. Derivada de a

𝑓(𝑥) =

1 𝑥

𝑓(𝑥) = 1 ∗ 𝑥 −1

Derivada de b 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝒇′(𝒙) = 𝟏

𝑓(𝑥) = 𝑥 −1 𝑓′(𝑥) = 𝑥 −2

𝒇′(𝒙) =

𝟏 𝒙𝟐

Ya con las derivadas resueltas, reemplazamos en el primer teorema fundamental del cálculo

𝒃(𝒙)

𝒅 ∫ 𝒇(𝒕)𝒅𝒕 = 𝒇(𝒃(𝒙)) ∗ 𝒃′ (𝒙) − 𝒇(𝒂(𝒙)) ∗ 𝒂′(𝒙) 𝒅𝒙 𝒂(𝒙)

𝒙

𝒅 𝟏 𝟏 𝟏 −𝟏 (𝟏) ∫ 𝒅𝒕 = ( ) − ( ) ( ) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝟏 − 𝒕𝟐 𝟏 − (𝒙)𝟐 𝒙𝟐 𝟏 − ( ) 𝟏⁄ 𝒙 𝒙 𝒙

𝒅 𝟏 𝟏 𝟏 −𝟏 ∫ 𝒅𝒕 = − ( )( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟏 𝒅𝒙 𝟏 − 𝒕 𝟏−𝒙 𝒙 𝟏− 𝟐 𝟏⁄ 𝒙 𝒙 𝒙

𝒅 𝟏 𝟏 𝟏 −𝟏 ∫ 𝒅𝒕 = − ( ) ( ) 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙 𝟏 − 𝒕𝟐 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝟏⁄ 𝒙 𝒙𝟐 𝒙

𝒅 𝟏 𝟏 𝟏 −𝟏 ∫ 𝒅𝒕 = − ( ) ( ) 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙 𝟏 − 𝒕𝟐 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝟏⁄ 𝒙 𝒙𝟐 𝒙

𝒅 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒕 = − (− ) 𝒙𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟏) 𝒅𝒙 𝟏 − 𝒕𝟐 𝟏 − 𝒙𝟐 𝟏⁄ 𝒙 𝒙𝟐 𝒙

𝒅 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒕 = − (− 𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝒅𝒙 𝟏 − 𝒕 𝟏−𝒙 𝒙 −𝟏 𝟏⁄ 𝒙

𝒙

𝒅 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒕 = + 𝟐 𝟐 𝟐 𝒅𝒙 𝟏 − 𝒕 𝟏−𝒙 𝒙 −𝟏 𝟏⁄ 𝒙

𝒙

𝒅 𝟏 𝟐 ∫ 𝒅𝒕 = 𝒅𝒙 𝟏 − 𝒕𝟐 𝟏 − 𝒙𝟐 𝟏⁄ 𝒙

4. Integral definida Calcular la siguiente integral definida 𝟓

𝟐𝒕𝟐 + 𝒕𝟐 √𝒕 − 𝟏 ∫( ) 𝒅𝒕 𝒕𝟐 𝟏

Sabemos que la integral de una suma es la suma de las integrales Entonces organizamos primero la integral para hacerla más sencilla; 𝟓

𝟓 𝟐 𝟓 𝟐𝒕𝟐 𝒕 √𝒕 𝟏 ∫ 𝟐 𝒅𝒕 + ∫ 𝒅𝒕 − ∫ 𝒅𝒕 𝟐 𝒕 𝒕𝟐 𝟏 𝟏 𝒕 𝟏

𝟓

𝟓

𝟓

∫ 𝟐 𝒅𝒕 + ∫ √𝒕 𝒅𝒕 − ∫ 𝟏

𝟏 𝟓

𝟓

𝟏

𝟏

𝟏 𝒅𝒕 𝒕𝟐

𝟓

𝟐 ∫ 𝒅𝒕 + ∫ 𝒕𝟐 𝒅𝒕 − ∫ 𝟏 ∗ 𝒕−𝟐 𝒅𝒕 𝟏 𝟓

𝟓

𝟐 ∫ 𝒅𝒕 + ∫ 𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏 𝒕𝟐 𝒅𝒕

𝟓

− ∫ 𝒕−𝟐 𝒅𝒕 𝟏

𝟑

𝒕𝟐 𝟓 𝒕−𝟏 𝟓 𝟓 = 𝟐𝒕 | + | − ( | ) 𝟑 𝟏 𝟏 −𝟏 𝟏 𝟐 Realizamos producto de medios y extremos y también bajamos el exponente negativo 𝟑

𝟐𝒕𝟐 𝟓 𝟏 𝟓 𝟓 = 𝟐𝒕 | + | − (− 𝟏 | ) 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏𝒕 𝟏 Expresamos el exponente fraccionario como una raíz 𝟐√𝒕𝟑 𝟓 𝟏 𝟓 𝟓 = 𝟐𝒕 | + | − (− ) | 𝟏 𝟑 𝟏 𝒕 𝟏 Aplicamos regla de signos 𝟐√𝒕𝟑 𝟓 𝟏 𝟓 𝟓 = 𝟐𝒕 | + | + | 𝟏 𝟑 𝟏 𝒕 𝟏 Ahora podemos evaluar la función en los límites para hallar el área bajo la curva entre esos dos puntos según la forma: 𝒃

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂) 𝒂

Entonces evaluamos; 𝟐√𝒕𝟑 𝟓 𝟏 𝟓 𝟓 = [𝟐𝒕 | ] + [ | ] + [ | ] 𝟏 𝟑 𝟏 𝒕 𝟏

= [𝟐(𝟓) − 𝟐(𝟏) ] + [

𝟐√(𝟓)𝟑 𝟐√(𝟏)𝟑 𝟏 𝟏 − ] + [ − ] 𝟑 𝟑 (𝟓) (𝟏)

Realizamos las operaciones correspondientes

= [𝟏𝟎 − 𝟐 ] + [

𝟐√𝟏𝟐𝟓 𝟐√𝟏 𝟏−𝟓 − ] + [ ] 𝟑 𝟑 𝟓

= [𝟖 ] + [

𝟐(𝟏𝟏, 𝟏𝟖𝟎𝟑) 𝟐(𝟏) −𝟒 − ] + [ ] 𝟑 𝟑 𝟓

= [𝟖 ] + [

𝟐𝟐, 𝟑𝟔𝟎𝟕 − 𝟐 −𝟒 ] + [ ] 𝟑 𝟓

Aplicamos regla de signos

= [𝟖 ] + [

𝟐𝟎, 𝟑𝟔𝟎𝟕 𝟒 ] + [− ] 𝟑 𝟓

= 𝟖 + 𝟔, 𝟕𝟖𝟔𝟖 − 𝟎, 𝟖 = 𝟏𝟑, 𝟗𝟖𝟔𝟖𝟗 𝒖𝟐

El área aproximada bajo la curva de la función definida es de 13,98689 unidades cuadradas

Ejercicios 4

Link de videos Link ejercicio 1 https://www.loom.com/share/86535ebe4e884a0f8062cd7e2ea958b6

Link ejercicio 2 https://www.youtube.com/watch?v=R57xj_w-r7

Link ejercicio 3 https://1drv.ms/u/s!At4pH_0yAmvzm2MPk_4gTgC4dbz5?e=cNIOqO

Link ejercicio 4 Video en el foro