Temario Probabilidad

Didáctica de la Probabilidad y de la Estadística

Situación legislativa de la enseñanza de la estadística y la probabilidad [1.1] ¿Cómo estudiar este tema? [1.2] Recomendaciones internacionales [1.3] El rol de la estadística y la probabilidad en el currículo español [1.4] El porqué de enseñar estadística y probabilidad

TEMA

1

[1.5] Referencias bibliográficas

TEMA 1 – Esquema

Justificando su presencia

• RDL 1513/2006: Tratamiento de la información, azar y probabilidad

¿Qué sucede en España?

• Guía GAISE • Consejo Nacional de Maestros de Matemáticas

¿Cuáles son las recomendaciones internacionales?

La estadística en el currículo

Situación legislativa de la enseñanza de la estadística y la probabilidad

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Esquema

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Ideas clave 1.1. ¿Cómo estudiar este tema? Para estudiar este tema lee atentamente las Ideas clave que se presentan a continuación. También tendrás que leer el siguiente artículo: Batanero, C., Arteaga, P. y Gea, M. (2012). El currículo de estadística: reflexiones desde una perspectiva internacional. UNO, 59, 9-17. Disponible en el aula virtual en virtud del artículo 32.4 de la Ley de Propiedad Intelectual. Para abordar el trabajo desde la etapa infantil, deberás leer el siguiente artículo: Alsina, Á. (2012). La estadística y la probabilidad en Educación Infantil: conocimientos disciplinares, didácticos y experienciales. Didácticas Específicas, 7, 4-22. Disponible en el aula virtual en virtud del artículo 32.4 de la Ley de Propiedad Intelectual. Además, lee el siguiente artículo: Alsina, Á. (2016). La estadística y la probabilidad en educación primaria: ¿dónde estamos y hacia dónde debemos ir? Aula de Innovación Educativa, 251, 12-17. Disponible en el aula virtual en virtud del artículo 32.4 de la Ley de Propiedad Intelectual. En este tema situaremos los contenidos de acuerdo a la legislación vigente, no únicamente desde lo que sucede en España, sino desde ámbitos internacionales. La estadística tiene una aplicación en muchas áreas de conocimiento y en espacios en el entorno más cercano, desde el análisis de los datos sobre el tratamiento de enfermedades (medicina) al análisis de los consumos del gas que aparecen en nuestro recibo de la luz (economía doméstica). La estadística podría considerarse como una competencia transversal, un conjunto de conocimientos-habilidades que van a servir a muchas otras materias y a la interpretación del propio entorno que rodea al niño.

TEMA 1 – Ideas clave

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No ha sido incluida en los currículos de matemáticas hasta las últimas definiciones legislativas, sin embargo, es de enorme importancia dado que estamos rodeados de un enorme conjunto de datos que los estudiantes deben saber interpretar de forma crítica.

1.2. Recomendaciones internacionales Deberíamos comenzar por una definición clara de estadística, para así dar un punto de partida para justificar su inclusión en los planes de estudio durante la educación primaria. «La estadística estudia el comportamiento de los fenómenos llamados de colectivo. Está caracterizada por una información acerca de un colectivo o universo, lo que constituye su objeto material; un modo propio de razonamiento, el método estadístico, lo que constituye su objeto formal; y unas previsiones de cara al futuro, lo que implica un ambiente de incertidumbre, que constituyen su objeto o causa final» (Cabriá, 1994, citado en Batanero, 2001, p. 9). Es por tanto una herramienta para transformar un colectivo, mediante un método, en una forma y unas previsiones; traducido a nuestro lenguaje, tendríamos un conjunto de datos que transformar en tablas, gráficos e incluso inferencias sobre lo que pasará en el futuro. Desde esta definición podemos utilizar la justificación dada por Begg (1997, citado en Batanero, 2001, p. 118) para enseñar estadística en la escuela cuando señala que «la estadística es un buen vehículo para alcanzar las capacidades de comunicación, tratamiento de la información, resolución de problemas, uso de ordenadores, trabajo cooperativo y en grupo, a las que se da gran importancia en los nuevos currículos».

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Así, si lo que buscamos es una justificación para su enseñanza en la etapa de Educación Primaria, no tenemos más que acudir al periódico de la mañana y abrir cualquiera de sus secciones donde podremos ver multitud de datos aplicados a la educación, la medicina, la economía, etc. ¿Qué tal si utilizamos esto, «un vistazo a la prensa del día», como una herramienta motivadora?

Figura 1. Ejemplo de datos estadísticos en la prensa diaria. Fuente: http://www.diariosur.es/v/20131008/malaga/mayoria-ninos-come-verduras-20131008.html

El informe Cockcroft (1985, citado en Molina, 2001) asegura lo siguiente: «La estadística es una materia cultural imprescindible en la formación del individuo al afirmar que la competencia estadística requiere competencia de los números, reconocimiento de los niveles de precisión apropiados, elaboración de las estimaciones sensatas, sentido común en el uso de los datos para apoyar un argumento, conciencia de la variedad de interpretaciones posibles de los resultados y exacta comprensión de los conceptos de amplio uso tales como promedios y porcentajes. Puesto que todo esto forma parte de la vida diaria, una buena enseñanza de la estadística puede estimular a los alumnos a pensar correctamente sobre esos aspectos». El grupo GAISE, perteneciente a ASA (American Statistical Association), ha elaborado las directrices para la evaluación y la enseñanza en educación estadística que es de interés para la franja de edad en la que nosotros estamos trabajando. Para ampliar información, puedes consultar la guía: GAISE College Resport ASA Revision Comittee (2016). Guidelines for Assesmente and Instruction in Statistics Education College Report 2016. Recuperado de http://www.amstat.org/asa/files/pdfs/GAISE/GaiseCollege_Full.pdf

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Durante el último cuarto de siglo, las estadísticas (normalmente la etiqueta de análisis de datos y probabilidad) se han convertido en un componente clave en la educación primaria. Los avances en la tecnología y los métodos modernos de análisis de datos en la década de 1980, junto con la riqueza de datos de la sociedad en la era de la información, llevaron al desarrollo de materiales curriculares orientados a la introducción de los conceptos estadísticos en el programa escolar ya en los grados de primaria. El Consejo Nacional de Maestros de Matemáticas (National Council of Teachers of Mathematics, NCTM) dio eco a este esfuerzo a nivel local cuando su influyente documento, Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics (NCTM, 1989), incluyó «análisis de datos y probabilidad» como una de las cinco ramas de contenido. Como este documento y su aplicación –Principles and Standards for School Mathematics (NCTM, 2000)– se convirtieron en la base para la reforma de los programas de matemáticas en muchos estados, la aceptación y el interés por la estadística como parte de la educación matemática ganó fuerza. En los últimos años, muchos educadores matemáticos y estadísticos han dedicado grandes segmentos de su carrera para mejorar las estadísticas de materiales educativos y técnicas pedagógicas.

Algunos de los puntos importantes de este informe GAISE pueden servirnos como marco inicial para la introducción de este tema en el currículo de primaria: » La NCTM incluyó ya en su informe de 1989 un bloque de contenidos llamado «análisis de datos y probabilidad».

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» Los programas educativos de Educación Primaria deben conseguir que todos los estudiantes sean capaces de lo siguiente: o Formular preguntas que se pueden responder con datos; recoger, organizar y mostrar la información relevante para responder a ellas. o Seleccionar y utilizar métodos estadísticos apropiados a analizar los datos. o Desarrollar y evaluar inferencias y predicciones que se basan en los datos. o Entender y aplicar conceptos básicos de probabilidad.

Es importante, por tanto, en este punto de la didáctica, que mostremos a los niños los contenidos muchas veces a través de preguntas a las que ellos deben dar respuesta, basándose en el análisis pautado de los datos que tienen delante.

1.3. El rol de la estadística y la probabilidad en el currículo español Vamos a acudir a la legislación educativa y, en concreto, al Real Decreto 126/2014, de 28 de febrero, por el que se establecen el currículo básico de de la Educación Primaria. Para esta etapa educativa veremos, a continuación, los contenidos o aspectos que hemos de tener en cuenta. Estadística y Probabilidad Encontramos un bloque de contenido denominado «Estadística y Probabilidad», considerado como bloque 5. Llega aquí nuestra primera reflexión: ¿es conveniente tratarlo al final de los temarios de matemáticas? « Los contenidos se han organizado en cinco grandes bloques […]

Pero esta agrupación no determina métodos concretos, sólo es una forma de organizar los contenidos que han de ser abordados de una manera enlazada atendiendo a configuración cíclica de la enseñanza del área, construyendo unos contenidos sobre los otros, como una estructura de relaciones observables de forma que se facilite su comprensión y aplicación en contextos cada vez más enriquecedores y complejos. Esta agrupación no implica una organización cerrada, por el contrario, permitirá organizar de diferentes maneras los contenidos adoptando la metodología más adecuada a las

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características de los mismos y del grupo de alumnos. » (RD 126/2014, de 28 de febrero, p. 19387). Por lo tanto, ¿no sería conveniente verlo junto con los números o inmediatamente después? Dejamos la pregunta abierta para que seas tú quien dé la respuesta. Distribución de los contenidos asociados a este quinto bloque.

Bloque 5. Estadística y Probabilidad Contenidos

» » » » »

Gráficos y parámetros estadísticos. Recogida y clasificación de datos cualitativos y cuantitativos. Construcción de tablas de frecuencias absolutas y relativas. Iniciación intuitiva a las medidas de centralización: le media aritmética, la moda el rango. Realización e interpretación de gráficos sencillos: diagramas de barras, poligonales y sectoriales.

» Análisis crítico de informaciones que se presentan mediante gráficos estadísticos. » Carácter aleatorio de algunas experiencias. » Iniciación intuitiva al cálculo de la probabilidad de un suceso. Criterios de evaluación 1. Recoger y registrar una información cuantificable, utilizando algunos recursos sencillos de

representación gráfica: tablas de datos, bloques de barras, diagramas lineales, comunicando la información.

2. Realizar, leer e interpretar representaciones gráficas de un conjunto de datos relativos al

entorno inmediato.

3. Hacer estimaciones basadas en la experiencia sobre el resultado (posible, imposible,

seguro, más o menos probable) de situaciones sencillas en las que intervenga el azar y comprobar dicho resultado.

4. Observar y constatar que hay sucesos imposibles, sucesos que con casi total seguridad se

producen, o que se repiten, siendo más o menos probable esa repetición.

5. Identificar, resolver problemas de la vida cotidiana, adecuados a su nivel, estableciendo

conexiones entre la realidad y las matemáticas y valorando la utilidad de los conocimientos matemáticos adecuados y reflexionando sobre el proceso aplicado para la resolución de problemas.

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Estándares de aprendizaje evaluables 1.1. Identifica datos cualitativos y cuantitativos en situaciones familiares. 2.1. Recoge y clasifica datos cualitativos y cuantitativos, de situaciones de su entorno, utilizándolos para construir tablas de frecuencias absolutas y relativas. 2.2 Aplica de forma intuitiva a situaciones familiares, las medidas de centralización: la media aritmética, la moda y el rango. 2.3. Realiza e interpreta gráficos muy sencillos: diagramas de barras, poligonales y sectoriales, con datos obtenidos de situaciones muy cercanas. 3.1. Realiza análisis crítico argumentando sobre las informaciones que se presentan mediante gráficos estadísticos. 4.1. Identifica situaciones de carácter aleatorio. 4.2. Realiza conjeturas y estimaciones sobre algunos juegos (mondas, dados, cartas, lotería…). 5.1. Resuelve problemas que impliquen dominio de los contenidos propios de estadística y probabilidad, utilizando estrategias heurísticas, de razonamiento (clasificación, reconocimiento de las relaciones, uso de contraejemplos), creando conjeturas, construyendo, argumentando, y tomando decisiones, valorando las consecuencias de las mismas y la conveniencia de su utilización5.2. Reflexiona sobre el proceso de resolución de problemas: revisando las operaciones utilizadas, las unidades de los resultados, comprobando e interpretando las soluciones en el contexto, proponiendo otras formas de resolverlo. Tabla 1. Distribución de los contenidos asociados al bloque 5, Estadística y Probabilidad. Fuente: RD

126/2014, de 28 de febrero, p. 19393.

1.4. El porqué de enseñar estadística y probabilidad Para dar un mayor sentido a este apartado, te aconsejamos que veas en primer lugar la clase magistral correspondiente a este tema. Como hemos visto, parece suficiente mirar a nuestro alrededor para descubrir que gran parte de la información que nos rodea proviene de datos que se recogen y analizan, mostrándonos un producto de llegada que, si no tenemos suficiente formación e información, puede resultar casi engañoso. Quizá resulte más complejo justificar el estudio de la probabilidad, por lo que acudimos a Batanero (2000). «Por otro lado, y a partir de los estudios de Piaget e Inhelder (1951), la adquisición de las ideas de aleatoriedad y probabilidad, del razonamiento combinatorio, de la intuición de la frecuencia relativa, distribución y convergencia, así como de la capacidad de cuantificación de probabilidades ha sido analizada en los niños desde sus primeros años a la adolescencia, determinándose, en consecuencia, diferentes etapas en el desarrollo del

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razonamiento probabilístico. Otros autores han estudiado también la influencia de creencias previas y concepciones animistas de los niños sobre su capacidad de percepción de lo aleatorio. La importancia que estos trabajos tienen para los profesores es que permiten seleccionar de una forma racional el tipo de tareas probabilísticas que podemos proponer a nuestros alumnos en función de su edad. Los instrumentos de evaluación construidos en estas investigaciones son también útiles para valorar los conocimientos y modos de razonamientos de nuestros alumnos» (p. 6). Está así justificada en la percepción de lo aleatorio como una necesidad para formar a nuestros estudiantes en estos aspectos. Pero queremos ahondar más allá de una justificación general, en situaciones concretas, como los lenguajes de representación. La estadística supone una importante fuente de conocimiento a la hora de la interpretación de gráficos y tablas, dado que si algo distingue a la estadística dentro de las matemáticas en general es la necesidad de considerar su trabajo dentro de un entorno concreto que le dé sentido. Por ejemplo, si nos encontramos varios números seguidos de los que tenemos que calcular su media, podremos hacerlo de forma mecánica y dar un resultado, pero ¿tendría algún fundamento sin saber de dónde salieron los datos, cómo se recogieron, qué unidades tienen o qué objetivo tiene el cálculo? Porque, a lo mejor, si supiésemos todo esto, no calcularíamos todo eso y nos limitaríamos a decir: «calcular la media no tiene sentido alguno». Y es que, además, la estadística tiene un lenguaje propio. Si miras la figura 2, será suficiente para saber que cada uno de los diagramas se ha construido con un tipo de datos –discreto y continuo– muy diferentes, y que aun en ausencia de etiquetas en el eje OX tendría sentido su interpretación de acuerdo a uno u otro tipo.

Figura 2. Ejemplo de diagramas de datos.

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1.5. Referencias bibliográficas Batanero, C. (2001). Didáctica de la estadística. Granada: Grupo de Investigación en Educación Estadística. Batanero, C. (2000). ¿Hacia dónde va la educación estadística? Blaix, 15(2), 2-13. Recuperado de http://www.ugr.es/~batanero/pages/ARTICULOS/BLAIX.pdf Molina, M. C. (2001). La estadística y probabilidad en la formación de los maestros de educación primaria. En Jornades europees d’estadística: l’ensenyament i la difusó de l’estadística (pp. 265-273). Palma: Consejería de Economía, Comercio e Industria, Gobierno de las Islas Baleares. National Council of Teachers of Mathematics (1989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, VA: The Council. National Council of Teachers of Mathematics (2002). Navigating through Data Analysis and Probability Series. Reston, VA: The Council. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: The Council.

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Lo + recomendado No dejes de leer… El proyecto internacional de alfabetización estadística Serradó, A. (2013). El proyecto internacional de alfabetización estadística. Números: Revista de Didáctica de las Matemáticas, 83, 19-33. En este artículo se analiza el significado de los conceptos de alfabetización, competencia y cultura estadística que se usan en la actualidad para describir las necesidades de la población con el fin de participar de forma efectiva en la sociedad y la economía. Se presenta el proyecto internacional de alfabetización estadística que tiene por misión promover la difusión de la alfabetización estadística a nivel mundial. A su vez, se describen las acciones llevadas a cabo por los miembros de dicho proyecto que tienen en cuenta al profesorado, aportándoles conocimientos teóricos, recursos para la enseñanza y actividades para promocionar la alfabetización estadística entre el alumnado. Accede al artículo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/83/Monografico_02.pdf

TEMA 1 – Lo + recomendado

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+ Información A fondo Perspectivas de la educación estadística como área de investigación Batanero, C. y Godino, J. D. (2005). Perspectivas de la educación estadística como área de investigación. En R. Luengo (Ed.), Líneas de investigación en Didáctica de las Matemáticas (pp. 203-226). Badajoz: Universidad de Extremadura. En los últimos años asistimos a un aumento notable de la investigación, publicaciones y materiales curriculares relacionados con la educación estadística. El trabajo respecto a este tema no solo se lleva a cabo dentro del área de didáctica de la matemática, sino que, por el contrario, han sido los mismos estadísticos, así como algunos campos dentro de la psicología, los que lo iniciaron y han contribuido en mayor medida a su estado actual. En este trabajo se trata de resumir los avances recientes en educación estadística en estas tres áreas y describir las principales fuentes de información sobre el tema. Accede al artículo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: http://www.ugr.es/~batanero/pages/ARTICULOS/Perspectivas.pdf

TEMA 1 – Actividades

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El humor en el aula de Estadística Guitart-Coria, M. B. y Flores, P. (2013). El humor en el aula de Estadística. Probabilidad Condicionada: Revista de Didáctica de la Estadística, 2, 237-241. Los estudios sobre el humor concluyen que produce efectos favorables en la salud, las relaciones personales y en otros contextos, como el educativo. Tras analizar el concepto de humor y los múltiples aspectos involucrados en él, sin olvidar la subjetividad de cada sujeto que interviene, nos planteamos estudiar qué efectos produce el empleo del humor en clase, a partir de una propuesta didáctica para el humor en la enseñanza de la estadística en carreras de ingeniería. Accede al artículo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=4770287

TEMA 1 – Actividades

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Test 1. La estadística es una herramienta… A. Que da previsiones. B. Que da anticipaciones. C. Que permite emitir demostraciones. D. C y B son correctas. 2. Según la GAISE, los estudiantes en relación a la estadística deben ser capaces de… A. Formular preguntas. B. Seleccionar métodos. C. Evaluar inferencias. D. Todas son correctas. 3. La estadística estudia el comportamiento de los fenómenos llamados de individualización. A. Falso. B. Verdadero. 4. ¿En qué bloque del RD 126/2014, de 28 de febrero, se encuentran los contenidos de probabilidad y estadística? A. 3. B. 5. C. 4. D. 1. 5. Según el RDL 126/2014, de 28 de febrero, la probabilidad y estadística persigue… A. Comprender la información dada por los medios de información. B. Analizar de forma crítica problemas del entorno. C. Resolver problemas que impliquen estrategias de razonamiento estadístico. D. Todas las anteriores. 6. En primer ciclo de Educación Primaria no es recomendable trabajar con gráfico. A. Verdadero. B. Falso.

TEMA 1 – Test

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7. Recoger datos sobre hechos y objetos de la vida cotidiana utilizando técnicas sencillas de recuento es propio del… A. Primer ciclo de Educación Primaria. B. Segundo ciclo de Educación Primaria. C. Tercer ciclo de Educación Primaria. D. B y C son correctas. 8. A la hora de estudiar probabilidad… A. Es necesario tener en cuenta las creencias previas de los alumnos sobre los fenómenos aleatorios. B. El profesor debe elegir el tipo de tareas centradas en el trabajo numérico. C. No es necesario realizar una evaluación previa de los conocimientos de los alumnos. D. A y B son correctas. 9. A la hora de proponer tareas, es necesario preguntarse por… A. La fuente de los datos. B. El proceso de recogida de los datos. C. Las unidades que tienen los datos. D. Todas son correctas. 10. Cuando calculamos una media, modo, mediana, etc.,… A. Tiene sentido cuando los datos nos vienen dados directamente. B. Tienen sentido cuando existe un objetivo para calcularlo. C. Tiene sentido si los datos vienen dados de tal manera que facilitan el cálculo. D. B y C son correctas.

TEMA 1 – Test

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Conceptos básicos de estadística y probabilidad [2.1] ¿Cómo estudiar este tema? [2.2] El sentido estocástico [2.3] ¿Cuáles son los conceptos básicos que necesitamos?

TEMA

2

[2.4] Mentiras estadísticas

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TEMA 2 – Esquema

Conceptos básicos Mentiras

Sentido estocástico

Probabilidad Estadística

Conceptos básicos de estadística probabilidad

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Ideas clave 2.1. ¿Cómo estudiar este tema? Para estudiar este tema lee atentamente las Ideas clave que se presentan a continuación. Además, para el apartado «El sentido estocástico», deberás leer las páginas 169-184 del siguiente libro: Ruiz-Hidalgo, J. F. y Serrano, L. (2015). Sentido estocástico. En P. Flores y L. Rico (Coords.), Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en Educación Primaria. Madrid: Ediciones Pirámide. Disponible en el aula virtual en virtud del artículo 32.4 de la Ley de Propiedad Intelectual. En este tema analizaremos los principales conceptos con los que vamos a trabajar, centrándonos en la etapa de Educación Primaria y basándonos en la definición que hace el currículo en estas etapas. Podríamos estructurar el tema por tanto en dos bloques:

Sentido estocástico

Conceptos básicos

2.2. El sentido estocástico Vamos a comenzar este apartado definiendo dos tipos de situaciones con las que trabajar:

Situaciones deterministas

Situaciones no deterministas

Un fenómeno es determinista cuando tiene únicamente una respuesta. Por ejemplo, si lanzo una moneda y anoto su color, siempre me saldrá lo mismo. Cabe decir que ambos lados serían iguales en la moneda del ejemplo, sin embargo, en un fenómeno no determinista o aleatorio los resultados dependen del azar. Supongamos esa moneda, pero anotamos si sale cara o cruz, todo dependería de cómo caiga la moneda.

TEMA 2 – Ideas clave

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Una vez que tengamos claro este punto de partida y llegados a este punto, debes haber leído ya las páginas propuestas en el apartado «¿Cómo estudiar?» de Ruiz-Hidalgo y Serrano (2015), ya que ahora vamos a marcar algunos puntos clave a los que debes dar respuesta. Responde a las siguientes preguntas para saber si has comprendido el apartado: » ¿Qué es el sentido estocástico? » Completa las siguientes frases: o Una persona que sabe razonar estadísticamente…

o Una persona que sabe razonar probabilísticamente…

» ¿Qué identifica a una situación aleatoria? » ¿En qué consiste la búsqueda y obtención de datos? » ¿Qué significa «realizar inferencias»? » ¿En qué consiste el «tratamiento de la información»? » ¿Qué otros sentidos matemáticos se relacionan con el sentido estocástico? » ¿Se puede cuantificar la incertidumbre?

2.3. ¿Cuáles son los conceptos básicos que necesitamos? En este apartado vamos a acercarnos a algunos conceptos que se trabajarán con los chicos y chicas en primaria. No vamos a acercarnos a ellos desde el punto de vista didáctico, sino al contenido y su dominio. Los contenidos básicos que se verán a lo largo la etapa son los siguientes:

Estadística • • • •

Variables y tipos Tablas de frecuencias Gráficos sencillo Medidas de descentralización y dispersión

Probabilidad

• •

Sucesos Definición de probabilidad

Figura 1. Contenidos básicos de la etapa de Educación Primaria.

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Estadística Pensemos en una situación como la siguiente:

¿Cuál es el nivel en matemáticas de los niños españoles de 5º de primaria?

Población: todos los niños de 5º de Primaria en España

Muestra: selección de 500 niños tomados al azar

Variable: resultados en matemáticas en una prueba ad hoc Figura 2. Ejemplo de una posible situación a través de la que veremos algunos conceptos básicos.

Nos preguntamos cuál es el nivel en matemáticas de los niños españoles de 5º de Primaria y hemos de plantearnos dónde están nuestros nuevos conceptos. » La población. El conjunto de todos los individuos que podrían ser objeto de estudio, en nuestro caso, es el conjunto de todos los niños y niñas de 5º de Primaria. Sobre esta población hemos de recoger una información, entonces, ¿podemos hacerlo con cada uno de los individuos de la población? Podríamos, pero nos llevaría mucho tiempo, al igual que en la mayoría de estudios, donde alcanzar a todos los elementos de la población puede ser complicado, por el tiempo, el coste, la mortalidad, etc. » La muestra. Seleccionamos, por tanto, una colección de elementos de la población de los que sí podemos recoger la información, por ejemplo, pasándoles una prueba de contenido. Por ejemplo, 500 niños tomados al azar en distintas provincias y escuelas. » La variable es cada una de las características o cualidades que poseen los individuos de una población. Nuestra variable sería entonces «resultados en matemáticas en una prueba ad hoc»·

TEMA 2 – Ideas clave

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Pero la pregunta que nos surge sería ¿de qué forma seleccionamos a los individuos de la muestra? Lo primero que hemos de pensar es: ¿qué es el muestreo? El muestreo es el procedimiento mediante el que seleccionamos una muestra representativa de la población que vamos a estudiar. Lo más importante es que con pocos elementos (muestra) podamos sacar conclusiones sobre la población y, además, que estas representen realmente a toda la población y no únicamente a una parte de ella.

Partiremos de una población de tamaño N, para seleccionar una muestra de tamaño n. La situación ideal a la hora de recoger los elementos de una muestra es que todos los elementos de la población tengan la misma oportunidad de ser elegidos, de esta manera la muestra estará siendo elegida al azar. Es lo que vamos a llamar muestra aleatoria. Para seleccionar una muestra con estas características tenemos diversas formas, las más usuales son las siguientes: » Muestra aleatoria simple (MAS). Para llevar a cabo la selección, primero asignamos un número a cada individuo de la población y después, a través de algún medio mecánico (bolas dentro de una bolsa, tablas de números aleatorios, números aleatorios generados con una calculadora u ordenador, etc.), se eligen tantos elementos como sea necesario para completar el tamaño de muestra requerido.

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» Muestreo aleatorio sistemático. De nuevo, numeramos todos los elementos de 𝑁𝑁 𝑛𝑛

la población, calculamos el coeficiente de elevación, que es 𝑘𝑘 = , elegimos un número aleatorio entre 1, 2,… k. Se parte de ese número aleatorio i, y los elementos que integran la muestra son los que ocupan los lugares i, i+k, i+2k, i+3k,…, i+(n-1)k. Encontramos dos grandes tipos de variables: cuantitativas y cualitativas. La forma de distinguirlas es que las primeras vienen asociadas con números y las segundas con cualidades o categorías.

Variable cuantitativa

Sus resultados son medidas numéricas. Hay dos tipos:

Variable cuantitativa discreta. Los valores que toma son números enteros, por ejemplo, el número de hijos de una familia: 1, 2, 3, 4,… Variable cuantitativa continua. Puede tomar cualquier valor en una escala de medidas, ya sea entero o fraccionario, por ejemplo, estatura: 1.90 m,…

Variables cualitativas Cuando no es posible hacer medidas numéricas, son susceptibles de clasificación, por ejemplo, color de los coches de un garaje: rojo, verde, azul,…

También pueden ser de dos tipos: nominales y ordinales. La diferencia entre ellas radica en que las ordinales se pueden «ordenar» y las nominales no.

Tabla 1. Tipos de variables.

A partir de ahora, vamos a tener en cuenta el tipo de variable para aquello que queramos hacer, porque no todo se puede hacer para cualquier tipo de variable. Para comenzar nuestros cálculos vamos a separar los tipos de variables, para que sea más sencillo ver las diferentes formas de trabajo con ellas. Cuando tenemos una gran colección de datos, no nos aportan gran información, así que hemos de buscar estrategias que nos ayuden a resumir e interpretar esos datos. Lo primero que solemos hacer es dar forma a una tabla de frecuencias. Las frecuencias que recogeremos en la tabla son de tres tipos:

1

Frecuencia absoluta: n

2

Frecuencia relativa: f

3

Frecuencia porcentual: p Figura 3. Tipos de frecuencias.

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Es importante que, llegado este momento, tengamos claro que no importa cómo sea la notación (dado que encontraremos otros manuales donde a n se le llame f y viceversa), sino cómo trabajar con ellas, su significado y utilidad. » Frecuencia absoluta: número de datos que aparecen en cada clase. » Frecuencia relativa: proporción de datos que aparecen en cada clase. » Frecuencia porcentual: porcentaje de datos que aparecen en cada clase. 𝑛𝑛𝑖𝑖 = 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑁𝑁

𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝑓𝑓𝑖𝑖 ⋅ 100

Comprueba siempre lo siguiente (importante): » La suma de las frecuencias absolutas es el total de los datos (N). » La suma de las frecuencias relativas es 1. » La suma de las frecuencias porcentuales es 100. Ejemplo: En el último examen las notas obtenidas por los 25 alumnos de la clase han sido las siguientes: 7, 7, 8, 5, 6, 9, 6, 7, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 6, 7, 5, 2, 8, 9, 10, 5, 5, 6 N=25 Contamos cuántas veces aparece cada una de las notas y comenzamos a rellenar una tabla. Nota

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Total

Frecuencia absoluta

0

1

0

1

6

5

5

4

2

1

25

La frecuencia relativa es la proporción de alumnos que han sacado cada una de las notas. Se define como el cociente entre la frecuencia absoluta y el total de alumnos. Nota

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Total

Frecuencia absoluta

0

1

0

1

6

5

5

4

2

1

25

Frecuencia relativa

0

0.04

0

0.04

0.24

0.20

0.20

0.16

0.08

0.04

1

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La frecuencia porcentual se obtendrá multiplicando por 100 la frecuencia relativa, dando lugar a un porcentaje. Nota

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Total

Frecuencia absoluta

0

1

0

1

6

5

5

4

2

1

25

Frecuencia relativa

0

0.04

0

0.04

0.24

0.20

0.20

0.16

0.08

0.04

1

Frecuencia porcentual

0

4

0

4

24

20

20

16

8

4

100

Los principales gráficos que utilizaremos para representar los distintos tipos de variables son los siguientes: Gráfico

Tipos de variable Cualitativa

Diagrama de barras

Cuantitativa discreta Cualitativa

Diagrama de sectores

Cuantitativa discreta Histograma

Cuantitativa continua

Polígono de frecuencias

Cuantitativa continua

Tabla 2. Tipos de representaciones más usuales de los distintos tipos de variables.

» Diagrama de barras Es indiferente cuál de las frecuencias seleccionemos, la forma del diagrama será la misma. Forma de elaborarlo: sobre el eje horizontal OX realizamos una marca por cada una de las etiquetas (o datos), levantamos barras separadas de la misma amplitud hasta la altura que nos señale la frecuencia elegida. Importante: para que sea un diagrama de barras, las barras han de estar separadas.

TEMA 2 – Ideas clave

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Didáctica de la Probabilidad y de la Estadística

Figura 4. Ejemplo de diagrama de barras.

» Polígono de frecuencias Desde el propio diagrama de barras y haciendo una marca en la mitad de la barra (parte superior) podemos unir esas marcas para dar lugar a un gráfico como el siguiente.

Figura 5. Ejemplo de polígono de frecuencias.

» Diagrama de sectores

Figura 6. Ejemplo de diagrama de sectores.

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Didáctica de la Probabilidad y de la Estadística

Forma de elaborarlo: si queremos hacerlo a mano, es necesario el uso de un transportador de ángulos. Sabemos que el giro completo son 360°, así que este se corresponderá con el total de los datos. 360° → 25 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 → 5 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 =

360 · 5 = 72° 25

Trasladaremos esta medida sobre el círculo hasta completar todos los valores. Estos tres gráficos, al igual que las tablas de frecuencias, podemos construirlos tanto con variables cualitativas como cuantitativas. » Histograma ¿Has visto en alguna ocasión un gráfico de este tipo?

Figura 7. Ejemplo de polígono de frecuencias.

Este tipo de gráficos, donde las barras están pegadas, se llaman histogramas, y corresponden a la representación de una variable cuantitativa continua, donde los datos aparecen con forma de intervalos de la siguiente forma:

TEMA 2 – Ideas clave

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Intervalo

Frecuencia absoluta

[0,5)

651

[5,10)

1730

[10,15)

2950

[15,20)

2756

[20.25)

3074

[25,30)

1868

[30,35)

2227

Por ejemplo el intervalo [5,10) representa todos los valores que se encuentran entre 5 (incluido) y 10 (sin incluir), por ejemplo: 7, 7,01, 7,57,… o cualquier número dentro del intervalo. Las barras están pegadas porque donde acaba un intervalo comienza el otro. Este tipo de representación es sencilla cuando los intervalos tienen la misma amplitud, pero no lo es tanto cuando tienen distinta longitud. Si quieres conocer más sobre cómo se realizaría este histograma puedes consultar el recurso que te proponemos en el apartado «Webgrafía». Otra forma de buscar información desde una colección de datos, después de las tablas y los gráficos, son las medidas (o parámetros) de centralización y dispersión, que nos sirven para tener toda la información de los datos de forma sencilla y agrupada. No todas se pueden calcular con todo tipo de variables. Vamos a trabajar a continuación con algunas de las medidas de centralización, pero siempre advirtiendo que hay muchas más, quizá un poco más complejas en el cálculo. ¿Dónde se encuentra el medio o el valor más representativo de los datos? Para ilustrar aquello que vamos trabajando, lo haremos desde una colección de 19 datos (N=19). 7

7

7

5

3

5

11

7

4

8

8

7

10

2

5

11

2

11

7

Para que sea más sencillo el trabajo lo colocamos en una tabla de frecuencias absolutas.

Dato

2

3

4

5

7

8

10

11

Frecuencia absoluta

2

1

1

3

6

2

1

3

TEMA 2 – Ideas clave

N = 19

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Tenemos varias formas de ver cuál es el «centro» de la colección de datos:

Media Mediana Moda

» Media Es el centro numérico de los datos. Dado un conjunto de n observaciones (x1, x2,… xn), se define la media aritmética de la siguiente manera:

𝑋𝑋� =

∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑛𝑛

Para calcularla, construimos una nueva columna en la tabla, resultado de multiplicar el dato por su frecuencia absoluta. Si nos fijamos en el dato 7 que está 6 veces, sumar el dato 7 seis veces es lo mismo que 7·6=42, de ahí la razón de este cálculo en la tabla.

Dato

2

3

4

5

7

8

10

11

Frecuencia absoluta

2

1

1

3

6

2

1

3

N = 19

4

3

4

15

42

16

10

33

127

Así, el cálculo es el resultado de sumar todas las observaciones y dividir por el número de ellas.

𝑋𝑋� =

TEMA 2 – Ideas clave

∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑥𝑥𝑖𝑖 127 = = 6,68 𝑛𝑛 19

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A tener en cuenta La media no puede calcularse para datos cualitativos. Es la medida de centralización que más se utiliza. Si la distribución tiene valores extremos, la media se ve distorsionada. Tiene en cuenta todos los datos de la distribución. Puede calcularse para datos en intervalos, tomando como dato la marca de clase (= mitad del intervalo). No se puede calcular cuando los datos están agrupados en clases (intervalos) y alguna de ellas es abierta. Tabla 3. Aspectos a tener en cuenta sobre la media.

» Mediana Es la posición central de los datos. Ordenaremos los datos de menor a mayor y la mediana será el valor que ocupe el lugar central. Ahora podemos preguntarnos lo siguiente: ¿y qué pasa cuando el número de datos es par? Pues la mediana se calculará sumando los dos valores centrales y dividiendo por dos. 19 + 1 𝑁𝑁 + 1 = = 10 2 2

La mediana será el dato que ocupe el lugar número 10. Buscamos en la columna de la frecuencia absoluta acumulada con qué dato se corresponde.

Dato

2

3

4

5

7

8

10

11

Frecuencia absoluta

2

1

1

3

6

2

1

3

2

3

4

7

13

15

16

19

Frecuencia absoluta acumulada

N = 19

El dato marcado 13 indica que los datos 8º, 9º, 10º, 11º, 12º y 13º son igual a 7 (comenzamos por el 8º porque hasta entonces nos indicaban que había 7 datos). Por lo tanto: Me = 7.

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A tener en cuenta La mediana no tiene sentido para datos que no tengan un sentido de orden, por lo tanto, no podremos calcularla para datos que no podamos ordenarlos de menor a mayor. Es útil para aquellos conjuntos donde no se puede calcular la media. Depende de la posición y no del valor de los datos. En el histograma, la vertical correspondiente a la mediana lo divide en dos partes de igual área. Tabla 4. Aspectos a tener en cuenta sobre la mediana.

» Moda Cuando algo está «de moda» todo el mundo lo lleva, pues ese mismo sentido tiene este parámetro. Es el valor que más se repite en un conjunto de datos. Se puede calcular con cualquier tipo de variable. Es la más indicada para datos cualitativos. Puede haber más de una: unimodal, bimodal, trimodal o plurimodal.

Dato

2

3

4

5

7

8

10

11

Frecuencia absoluta

2

1

1

3

6

2

1

3

N = 19

La mayor frecuencia absoluta se corresponde con el dato 7, por lo tanto: Mo=7. Una vez abordados los principales conceptos de la parte estadística, vamos con la parte de probabilidad. Cabe destacar cómo estos contenidos, proporcionalmente, son escasos de forma global en los currículos. Probabilidad Comenzamos definiendo una serie de conceptos. » Experimento aleatorio: es un proceso que puede dar lugar a varios resultados sin que sea posible predecir cuál va a ocurrir. » Espacio muestral: es el conjunto de resultados básicos de un experimento. » Suceso: es cada uno de los posibles resultados a los que da lugar un experimento.

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Para entender mejor estas definiciones, planteamos un experimento concreto: el lanzamiento de una moneda. ¿Cuáles son los posibles resultados básicos que vamos a obtener en este experimento?

C: sacar cara

X: sacar cruz

Entonces, el espacio muestral es el siguiente: Ω = {𝐶𝐶, 𝑋𝑋}. Siendo C y X cada uno de ellos un suceso.

Ahora, te dejamos a ti una segunda parte de este ejemplo: ¿qué sucedería si, en lugar de una moneda, tenemos dos monedas?, ¿cuál sería el espacio muestral? Ejemplo: María tiene 3 caramelos de fresa y dos de menta. ¿Cuál es la probabilidad de que me dé uno de menta?

𝑃𝑃(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) =

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 2 = = = 0,4 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓) 2+3 5

Parece que los primeros pasos que se dieron con la probabilidad fueron de la mano de Cardano, personaje alrededor del cual corren rumores de si era un gran aficionado al juego (Meavilla, s. f.). Vamos a considerar como definición de probabilidad la dada por Laplace (1812), que afirma que en el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral Ω sean equiparables, la probabilidad del suceso A es el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados posibles del experimento.

𝑝𝑝 = Puedes

ampliar

la

𝑛𝑛º 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑛𝑛º 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

información

sobre

Laplace

a

través

de

este

enlace:

http://sauce.pntic.mec.es/~rmarti9/laplace1.html Para ilustrar la aplicación de la fórmula vamos a trabajar con un ejemplo, que además nos ayudará a manejar el lenguaje de la probabilidad.

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Tenemos una baraja de 48 cartas, dividida en cuatro palos (copas, oros, bastos y espadas) de 12 cartas cada uno. 1. Supongamos que se extrae una carta. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una copa?

𝑝𝑝 =

12 48

o En el numerador colocamos el 12 porque hay 12 casos favorables o, lo que es lo mismo, 12 copas. o En el denominador colocamos el 48 porque hay 48 cartas en total cuando vamos a extraer una de ellas. 2. Ahora extraemos dos de ellas. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean copas? Construimos un diagrama de árbol.

Primera carta

Segunda carta Copas

Copas No copas Baraja de 48 cartas Copas No copas No copas

Figura 8. Diagrama de árbol.

Si las dos deben ser copas, tenemos una única opción: 11 12 11 ⋅ = 188 48 47

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Una de las formas más sencillas de representar las posibilidades en un determinado experimento aleatorio compuesto es mediante un diagrama en árbol, que nos sirve también para obtener la probabilidad de cada caso. En este diagrama anotamos, para cada experimento, sus posibilidades y la probabilidad de los diferentes resultados. En el diagrama en árbol, la probabilidad final de un resultado es el producto de las probabilidades en cada rama que lleva a este resultado. Si dicho resultado proviene de dos o más ramas, estas deben ser sumadas. Referencias bibliográficas Meavilla, V. (s. f.). Cardano, Gerónimo (1501-1576) [entrada en línea]. Recuperado de https://goo.gl/bWVsK5

2.4. Mentiras estadísticas A la hora de abordar este apartado no podemos olvidarnos de la gran cantidad de información que nos rodea y que se nos muestra tantas veces interpretada erróneamente. Queremos hacer en este apartado un ejercicio de reflexión como docentes, pensando en lo siguiente: ¿podemos conjugar la adquisición de contenidos de forma significativa con el desarrollo de la capacidad de crítica en los niños? La respuesta sería claramente sí, y creemos que la estadística y la probabilidad constituyen una disciplina que ayuda a esto. Vayamos, por ejemplo, a la prensa. Tomamos una imagen del diario El Mundo que Josu Mezo ponía en su blog Malaprensa el 22 de septiembre de 2015.

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Figura 9. Mapa con datos sobre el negocio de los cajeros en España. Fuente: http://www.malaprensa.com/2015_09_01_archive.html

Podemos preguntar a los niños dónde hay menos cajeros. La mayoría se fijarían en la situación de La Rioja, sin relacionar el color. Ahora veamos el color: ¿los datos son coherentes?, ¿conviene trabajar con números absolutos? Este tipo de reflexiones sencillas pueden ayudar a los estudiantes a seleccionar qué tipo de números conviene asociar a un estudio u otro o qué cálculos podemos facilitar para la interpretación coherente de los datos. Conviene que este tipo de trabajo, encaminado al desarrollo de una competencia de aprender a aprender desde el análisis de la información mostrada, no se haga únicamente desde gráficos, sino también desde textos. Extraer la información de un texto realizando la interpretación de los datos puede aportar una situación excepcional para ver la coherencia de palabras y datos,

TEMA 2 – Ideas clave

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seleccionando lo más importante. Esto será importante para desarrollar habilidades necesarias en la resolución de problemas. Escalas no adecuadas, gráficos truncados, etc. El profesor en clase te facilitará algunos datos más, pero ¿podrías tú localizar alguna de estas situaciones?

TEMA 2 – Ideas clave

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Lo + recomendado No dejes de leer… Estadística a través de la prensa Collanqui, P. D., Soto, J. L. y Gutiérrez, K. M. (2017). Módulo 4. Aspectos didácticocurriculares [entrada en línea]. Dirección Regional de Educación de Lima Metropolitana. Este documento recoge una propuesta de intervención con actividades para trabajar la estadística a través de la prensa. Accede al artículo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: http://www.criced.tsukuba.ac.jp/math/apec/apec2017/PedroDiscussion5.pdf

No dejes de ver… Las aventuras de Troncho y Poncho: la probabilidad Troncho y Poncho nos explicarán de manera divertida qué es la probabilidad.

Accede al vídeo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: https://www.youtube.com/watch?v=slaR4f6db6k

TEMA 2 – Lo + recomendado

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+ Información A fondo Ideas de estocástico en Primaria Flores, M. P. y Ojeda, A. M. (2009). Enseñanza y comprensión resultante de ideas fundamentales de estocásticos en tercer ciclo de Educación Primaria. En P. Lestón (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (pp. 45-55). México DF: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa. Se presenta una experiencia de trabajo con niños de 11-12 años en México que trabajan en un proyecto de probabilidad. Se muestra cómo podemos relacionarlo con contenidos numéricos básicos. Accede al artículo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: http://funes.uniandes.edu.co/4669/1/FloresEnse%C3%B1anzaAlme2009.pdf

TEMA 2 – + Información

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La noción de aleatoriedad Azcárate, P., Cardeñoso, J. M. y Porlán, R. (1998). Concepciones de futuros profesores de Primaria sobre la noción de aleatoriedad. Enseñanza de las Ciencias: Revista de Investigación y Experiencias Didácticas, 16(1), 85-97. Este artículo describe los primeros resultados obtenidos en un estudio exploratorio llevado a cabo con los maestros de Primaria sobre sus concepciones con respecto a la noción de aleatoriedad. Los resultados obtenidos indican la naturaleza parcial y mal formada de sus concepciones, que reflejan, en la mayoría de los casos, argumentaciones causales y baja identificación de la aleatoriedad de los acontecimientos diarios. Esto demuestra la necesidad de desarrollar una formación específica en el conocimiento probabilístico, el aprendizaje y la enseñanza, basado en los conceptos antes mencionados. Accede al artículo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: http://www.raco.cat/index.php/Ensenanza/article/view/83237/108220

Webgrafía Malaprensa Blog de Josu Maeztu sobre errores de la prensa.

Accede a la página web a través del aula virtual o desde la siguiente dirección: http://www.malaprensa.com/

TEMA 2 – + Información

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INE explica Portal divulgativo para el aprendizaje del Instituto Nacional de Estadística.

Accede a la página web a través del aula virtual o desde la siguiente dirección: http://www.ine.es/explica/explica_estadymas.htm

Estadística descriptiva y probabilidad La representación gráfica de una distribución de frecuencias depende del tipo de datos que la constituya. En esta web podrás ampliar información sobre los distintos tipos de representaciones gráficas.

Accede a la página web a través del aula virtual o desde la siguiente dirección: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0278-01/est_des4.html

TEMA 2 – + Información

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Didáctica de la Probabilidad y de la Estadística

Test 1. Un fenómeno es determinista… A. Cuando tiene una única respuesta. B. Cuando existen varias alternativas de respuesta. C. Cuando no tiene respuesta. D. A y B son correctas. 2. Si lanzamos un dado y anotamos el número que sale, el fenómeno es… A. Indeterminista. B. Aleatorio. C. Determinista. D. B y C son correctas. 3. El razonamiento probabilístico se entiende como la manera en que las personas argumentan, hacen inferencias y dan sentido a información. A. Falso. B. Verdadero. 4. El sentido estocástico… A. Representa el sentido matemático de las situaciones indeterministas. B. Dificulta la obtención de conclusiones coherentes por ser paradójica. C. Está relacionado con los procesos cognitivos que tienen lugar cuando intervienen las situaciones no deterministas. D. B y C son correctas. 5. Una persona que sabe razonar probabilísticamente… A. Analiza y argumenta. B. Formula e interpreta. C. Demuestra enunciados. D. Todas son correctas. 6. Una muestra es el conjunto de individuos que podrían ser objeto de estudio. A. Verdadero. B. Falso.

TEMA 2 – Test

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7. Las formas más usuales de elegir la muestra son… A. Muestra aleatoria simple y muestra aleatoria compleja. B. Muestreo aleatorio sistemático y aleatorio complejo. C. Muestreo aleatorio asistemático y aleatorio complejo. D. Muestro aleatorio sistemático y aleatorio simple. 8. El número de veces que una familia va al cine a lo largo de un mes es una variable… A. Cuantitativa discreta. B. Cuantitativa continua. C. Cualitativa discreta. D. Cualitativa continua. 9. Si al realizar un estudio en el que los valores obtenidos son 5, 7, 9, 2, 3, 5 y 4 se calcula un parámetro obteniendo como valor para dicho parámetro 5, hemos calculado… A. La media. B. La mediana. C. La moda. D. Todas son correctas. 10. Se han representado los resultados de un estudio mediante un histograma. La variable analizada y estudiada es… A. Cuantitativa discreta. B. Cuantitativa continua. C. Cualitativa discreta. D. Cualitativa continua. 11. A la hora de calcular la media de los datos 7, 5, 0, 5, 7,… A. No es necesario sumar 0 y dividimos los resultados entre 4. B. Es necesario sumar 0 y dividir el resultado entre 4. C. El resultado no varía sumemos 0 o 0. D. Hay que sumar el 0 y dividir el resultado entre 5.

TEMA 2 – Test

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Los significados de la probabilidad [3.1] ¿Cómo estudiar este tema? [3.2] Los significados de la probabilidad

TEMA

3

[3.3] El abordaje didáctico desde cada uno de los significados

Didáctica de la Probabilidad y de la Estadística

Abordaje didáctico

Frecuencial Clásico Intuitivo

Los significados de la probabilidad

Subjetivo

Axiomático

Esquema

TEMA 3 – Esquema

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Ideas clave 3.1. ¿Cómo estudiar este tema? Para estudiar este tema lee atentamente las Ideas clave que se presentan a continuación. Además, deberás leer los siguientes artículos: » Gómez, E. y Contreras, J. M. (2013). Significados de la probabilidad en el currículo español para la Educación Primaria. Probabilidad Condicionada: Revista de Didáctica de la Estadística, 1, 571-578. Disponible en el aula virtual en virtud del artículo 32.4 de la Ley de Propiedad Intelectual. » Alsina, Á. y Vásquez, C. (2016). La probabilidad en Educación Primaria: de lo que debería enseñarse a lo que se enseña. Uno: Revista de Didáctica de las Matemáticas, 71, 46-52. Disponible en el aula virtual en virtud del artículo 32.4 de la Ley de Propiedad Intelectual. » Vásquez, Á. y Alsina, A. (2014). Enseñanza de la probabilidad en Educación Primaria: un desafío para la formación inicial y continua del profesorado. Números: Revista de Didáctica de las Matemáticas, 85, 5-23. Disponible en el aula virtual en virtud del artículo 32.4 de la Ley de Propiedad Intelectual. Abordaremos en este tema la enseñanza de la probabilidad, tras haber conocido de forma inicial tanto el currículo con el que vamos a trabajar como el abordaje de la estadística que debe hacerse de manera inicial. La enseñanza de la probabilidad ha de fundamentarse en esta etapa en el reconocimiento de la presencia del azar en la vida cotidiana.

3.2. Los significados de la probabilidad Comienza en este apartado leyendo el artículo de Gómez y Contreras (2013), «Significados de la probabilidad en el currículo español para la Educación Primaria».

TEMA 3 – Ideas clave

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Para guiaros en la lectura del artículo, vamos a señalar algunas preguntas para que le des respuesta y de esta forma la lectura sea comprensiva. Te aconsejamos que visualices de forma previa la lección magistral donde haremos una síntesis de estos significados de la probabilidad. Ilustrando con algunos ejemplos e ideas. 1. ¿Qué es el EOS? 2. ¿Cuáles son los significados de la probabilidad? Enúncialos. 3. ¿Qué distingue a uno y otro significado? 4. Desde la concreción del currículo en España, ¿cuál de los significados tiene mayor aplicación en la etapa de educación primaria y por qué?

3.3. El abordaje didáctico desde cada uno de los significados Para este apartado queremos que leas el artículo de Alsina y Vásquez (2016), «La probabilidad en Educación Primaria: de lo que debería enseñarse a lo que se enseña». El objetivo a la hora de leer el artículo no es que lo hagas de forma pasiva, sino que vayas planteando tu propio diseño didáctico. Para ello, debes responder a las siguientes preguntas: 1. ¿Cuáles son las fases de desarrollo de los conocimientos de probabilidad en la Educación Primaria? 2. Sitúate en el currículo de la comunidad autónoma donde tienes planteado trabajar como docente, selecciona los objetivos que has de tratar para el eje de datos y probabilidades.

TEMA 3 – Ideas clave

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3. Elige un material que tengas a mano de un curso determinado de la etapa y valora a modo de tabla si se ajusta a esos contenidos. Estas intervenciones se recogerán en un foro. Para terminar, y continuando con el anterior artículo, lee el artículo de Vásquez y Alsina (2014), «Enseñanza de la probabilidad en Educación Primaria: un desafío para la formación inicial y continua del profesorado», centrado en la formación del profesorado, que te ayudará a valorar cuáles son tus necesidades personales en este tipo de didáctica para garantizar un abordaje adecuado de los contenidos en el aula.

TEMA 3 – Ideas clave

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Lo + recomendado No dejes de leer… Razonamiento probabilístico en la vida cotidiana Batanero, C. (2006). Razonamiento probabilístico en la vida cotidiana: un desafío educativo. En P. Flores y J. Lupiáñez (Eds.), Investigación en el aula de matemáticas. Estadística y Azar. Granada: Sociedad de Educación Matemática Thales. El azar es inherente a nuestras vidas y aparece en múltiples situaciones cotidianas o de la vida profesional. Pero las intuiciones en probabilidad con frecuencia nos engañan y una enseñanza formal es insuficiente para superar los sesgos de razonamiento que pueden llevar a decisiones incorrectas. Accede al artículo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: https://www.researchgate.net/profile/Carmen_Batanero/publication/273456667_RA ZONAMIENTO_PROBABILSTICO_EN_LA_VIDA_COTIDIANA_UN_DESAFO_EDU CATIVO/links/5516d9370cf2d70ee276f630.pdf

TEMA 3 – Lo + recomendado

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No dejes de ver… La manera de resolver problemas de probabilidad por simulación En este trabajo se reflexiona alrededor de una manera de resolver problemas de probabilidad que llamamos por simulación. Se describe la forma de resolver los problemas en cuatro etapas y un método de resolución con contenido heurístico en un número de pasos. Se muestra con un ejemplo el método y su uso para la formación de maestros, justificando la pertinencia de un enfoque posible basado en la resolución de problemas de probabilidad por simulación con intención didáctica.

Accede al vídeo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: https://www.youtube.com/watch?v=FjLJ41JRYYE&list=PLQxU_f3jveH0iC6PN0q04o takUiyr8BfD&index=8

TEMA 3 – Lo + recomendado

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Más por menos 7: Las leyes del azar Desde la más remota antigüedad el ser humano se ha sentido preocupado por lo que le deparará el futuro. En este capítulo se esbozan, entre otros temas, algunos de los principios del cálculo de probabilidades, poniendo ejemplos prácticos de los tres principales soportes de la teoría de la probabilidad: variaciones, permutaciones y combinaciones.

Accede al vídeo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: https://www.youtube.com/watch?v=OXEulY1hrn8

TEMA 3 – Lo + recomendado

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+ Información A fondo Dificultades de futuros profesores en la lectura y cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada Contreras, J. M., Estrada, A., Díaz, C. y Batanero, C. (2010). Dificultades de futuros profesores en la lectura y cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada. En M. M. Moreno, A. Estrada, J. Carrillo y T. A. Sierra (Eds.), Investigación en Educación Matemática XIV (pp. 271-280). Lleida: SEIEM. Se analizan las respuestas de una muestra de sesenta y nueve futuros profesores de Educación Primaria de la Universidad de Granada a preguntas elementales sobre cálculo de probabilidad simple, conjunta y condicional en una tabla de contingencia, comparando los resultados con los de Estrada y Díaz (2006). Mientras que la falacia de la condicional transpuesta y la confusión entre diferentes tipos de probabilidad, descritos en trabajos previos, es escasa en las dos muestras, aumenta el porcentaje de participantes que es incapaz de abordar el problema, así como la confusión entre frecuencias y probabilidades. Accede al artículo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: http://funes.uniandes.edu.co/1694/1/343_2010Dificultades_SEIEM13.pdf

TEMA 3 – + Información

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La comprensión de la probabilidad en los niños Batanero, C. (2013). La comprensión de la probabilidad en los niños: ¿qué podemos aprender de la investigación? En J. A. Fernandes, P. F. Correia, M. H. Martinho y F. Viseu (Eds.), Atas do Encontro de Probabilidades e Estatística na Escola. Braga: Centro de Investigação em Educação da Universidade do Minho. El razonamiento probabilístico de los niños ha sido caracterizado en diversas investigaciones, particularmente por Piaget e Inhelder y Fischbein. En este trabajo se describen los resultados de estos trabajos, con el fin de orientar adecuadamente a los profesores para enseñar la probabilidad a niños en la Educación Primaria. Accede al artículo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: http://aplicaciones2.colombiaaprende.edu.co/ntg/ca/Modulos/estadistica/docs/LaCo mprensionDelaProbabilidadEnlosNinos.pdf

TEMA 3 – + Información

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Test 1. ¿Cuántos significados distintos de probabilidad nos podemos encontrar? A. 5. B. 4. C. 6. D. 7. 2. Aprovechar el interés del niño por el juego ayuda a generar un significado… A. Clásico de la probabilidad. B. Lúdico de la probabilidad. C. Subjetivo de la probabilidad. D. Intuitivo de la probabilidad. 3. El significado axiomático de la probabilidad puede ser comprendido por los alumnos de primaria a nivel intuitivo. A. Falso. B. Verdadero. 4. ¿Cuáles son los significados de probabilidad que tienen mayor aplicación en segundo ciclo de Educación Primaria? A .Intuitivo y subjetivo. B. Subjetivo y frecuencial. C. Frecuencial e intuitivo. D. Intuitivo y clásico. 5. La enseñanza-aprendizaje de la probabilidad aporta al desarrollo de la competencia… A. Tratamiento de la información. B. Conocimiento e interacción con el mundo físico. C. Competencia artística. D. A y B son correctas.

TEMA 3 – Test

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6. Según el Nacional Council of Teachers of Mathematics (NCTM), el estudio de la probabilidad debe comenzarse desde Educación Primaria y extenderse hasta bachillerato. A. Verdadero. B. Falso. 7. El desarrollo de los conocimientos de probabilidad en Educación Primaria pasa por… A. 5 fases. B. 4 fases. C. 3 fases. D. Ninguna es correcta. 8. Los conocimientos probabilísticos en el currículo español mantienen un paralelismo con el currículo americano, y se refieren básicamente a los siguientes significados: intuitivo, laplaciano y frecuencial de la probabilidad. A. Verdadero. B. Falso. 9. Indica cuál de las siguientes no se corresponde con una de las fases de desarrollo del conocimiento probabilístico. A. Desarrollo de actividades informales. B. Realización de experimentos aleatorios con material concreto. C. Cálculo de probabilidades de sucesos compuestos. D. Cuantificar la posibilidad de ocurrencia de un suceso indeterminado. 10. En los libros de texto… A. La probabilidad se aborda des una perspectiva laplaciana. B. La probabilidad se aborda desde una perspectiva intuitiva. C. La probabilidad se aborda des una perspectiva frecuencial. D. La probabilidad se aborda des una perspectiva subjetiva.

TEMA 3 – Test

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Proyectos estadísticos [4.1] ¿Cómo estudiar este tema? [4.2] Causalidad y casualidad [4.3] Actividades

TEMA

4

[4.4] Proyectos colaborativos en el aula

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TEMA 4 – Esquema

Diseñando mi propio proyecto

Recomendaciones de actividades

¿Causalidad o casualidad?

Proyectos estadísticos

Esquema

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Ideas clave 4.1. ¿Cómo estudiar este tema? Para estudiar este tema lee atentamente las Ideas clave que se presentan a continuación. Además, deberás leer las páginas 125-164 del siguiente libro: Batanero, C. y Díaz, C. (2004). El papel de los proyectos en la enseñanza y aprendizaje de la estadística. En J. Patricio (Ed.), Aspectos didácticos de las matemáticas. Zaragoza: ICE. Además, deberás leer el siguiente artículo: Arteaga, P., Batanero, C., Cañadas, G. R. y Gea, M. M. (2012). Evaluación del conocimiento especializado de la estadística en futuros profesores mediante el análisis de un proyecto estadístico. Educaçao Matemática Pesquisa, 14(2), 279-297. El objetivo del tema es que puedas diseñar tu propio proyecto con base en los contenidos de estadística y probabilidad. Para ello, vamos a facilitarte un repositorio de actividades que pueden servirte como inspiración para el diseño de tu proyecto.

4.2. Causalidad y casualidad Anteriormente, hemos querido introducir algunos conceptos que hemos considerado importantes para comprender y contextualizar la didáctica de este apartado de las matemáticas. En este tema queremos dar importancia a distinguir dos elementos que a veces se confunden: causalidad y casualidad. Fundamentales a la hora de trabajar con el azar. Vamos a acercarnos al manual de Prats (2011). Su apartado «cómo acercar al alumnado al concepto de causalidad», si bien el alcance es hacia otra área de la didáctica, consideramos que puede ser esclarecedor del significado de casualidad que puede ser más complejo.

TEMA 4 – Ideas clave

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«La enseñanza-aprendizaje de la noción de causalidad e intencionalidad se suele plantear en tres niveles de comprensión. El primero es el más sencillo: trata de identificar el «por qué» ocurrieron los hechos. Se trabaja con simples problemas de causalidad lineal, en una mera relación de causa-efecto. El segundo nivel de comprensión introduce la acción intencional y se inicia con la identificación de diferentes tipos de factores causales y acciones intencionales. El tercer nivel es el más complejo, ya que se articulan la explicación intencional y la causal, como ocurre en la realidad, y se elaboran teorías explicativas más o menos complejas. Se supone que para abordar este aprendizaje el alumnado debe haberse familiarizado ya con algunos aspectos del trabajo del historiador, tales como el planteamiento de las hipótesis, clasificar y analizar las fuentes, evidenciar las contradicciones de los testimonios, etc.» (p. 84). Los efectos de una variable sobre otra pueden provenir de esta casualidad y contaminar las conclusiones, asociando dos elementos, por ejemplo, que no tenían relación causal. Además, el hecho de demostrar una relación entre dos variables utilizando un procedimiento estadístico adecuado, no implica que haya causalidad. Sería conveniente trabajar con los estudiantes estos conceptos de manera aplicada, es la razón de que hayamos incluido este apartado en el diseño de proyectos, para garantizar su aplicación en contexto. Referencia bibliográfica Prats, J. (2011). Didáctica de la Geografía y la Historia (Vol. 2). Barcelona: Graó.

4.3. Actividades A continuación se presentan una serie de actividades que servirán como fundamento de la tipología de actividades que pueden incluirse a posteriori en un proyecto. Actividad 1: ¿Qué hay en el patio? (estadística) » Contenido: tabla de frecuencia, representación y moda. » Lugar: patio del colegio. » Material: ficha para cada grupo y lapiceros. » Agrupamiento: grupos de tres estudiantes. » Procedimiento: todos los grupos tendrán la ficha, los niños podrán deambular por el patio completando la ficha durante unos 15 minutos. Después se pondrán en común los resultados en gran grupo en el aula, observando el significado del objeto que más

TEMA 4 – Ideas clave

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se repite, formalizando el significado de «la moda». De la misma manera, el profesor construirá la tabla en la pizarra en gran grupo dando sentido a la columna de conteo como la «frecuencia absoluta». o Ficha: • Columpio • Mesas • Fuente • Árbol • Farola • Porterías Completa la tabla según el siguiente ejemplo, un patio en el que había 3 mesas:

Observo

Marco

Cuento

│││

3

Marco

Cuento

o Tabla: Observo

Podríamos completar esta tabla con la representación. En este caso la recomendación es combinar con el material manipulativo, los policubos.

TEMA 4 – Ideas clave

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Una ventaja de este material es que nos permite tener en cuenta las categorías ausentes de una forma muy visual, así como asociar color a cada una de las categorías que estamos clasificando. Actividad 2: Dibujando un pictograma (estadística) » Contenido: pictograma. » Lugar: aula. » Material: ficha de trabajo y folletos de un hipermercado. » Agrupamiento: individual. » Procedimiento: un pictograma es un tipo de gráfico que representa mediante dibujos la característica estudiada. o Ficha:

1 euro

5 euros

10 euros

Utiliza un folleto del hipermercado de los que tiene el maestro y elige tres productos: uno de tecnología, otro de alimentación y otro de moda. Haz una representación del precio de los tres productos utilizando el símbolo anterior.

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Actividad 3: Dominó (estadística y probabilidad) » Contenido: frecuencia absoluta y suceso más probable. » Lugar: aula. » Material: dominó. » Agrupamiento: pequeño grupo. » Procedimiento: en cada una de las mesas habrá un dominó con las piezas puestas hacia abajo, los estudiantes darán la vuelta a las piezas una a una y tomarán nota del resultado de la suma de los dos resultados. Volverán a colocar la pieza, mezclando el conjunto antes de repetir el proceso. Esta operación la repetirán al menos quince veces. Sus resultados se pondrán en común en el grupo grande. El objetivo es que realicen un recuento en una tabla de frecuencias de todos los resultados, observando cuál es resultado más probable.

Actividad 4: El juego de las bolsas (probabilidad) » Contenido: suceso seguro, suceso posible, suceso imposible. » Lugar: aula. » Material: 3 bolsas transparentes, 3 bolsas opacas, 15 bolas blancas, 15 bolas azules » Agrupamiento: grupos de cinco estudiantes. » Procedimiento: o En el grupo grande tendremos las tres bolsas transparentes con la siguiente distribución:

10 blancas

TEMA 4 – Ideas clave

10 azules

5 blancas

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o El profesor toma dos bolas sin que los niños sepan de dónde las ha tomado. o Presenta las bolas:

• La primera acción presentará dos bolas de distinto color • En la segunda acción, serán del mismo color o Tras cada una de las acciones, tendrá lugar un proceso de discusión que permita identificar conceptos como suceso seguro o suceso imposible. o En cursos superiores se trabajará con bolsas opacas y la misma distribución interior. En esta ocasión es preferible una distribución en pequeños grupos. o Se colocarán las tres bolsas en cada una de las mesas. Los niños no conocerán la disposición interior. Deben hacer inferencias pudiendo extraer como máximo tres bolas de cada bolsa anotando los resultados y procediendo al reemplazamiento. o Tras 15 minutos de trabajo, los niños pondrán en común en el gran grupo los resultados de sus indagaciones para valorar la disposición de las bolas de cada una de las bolsas. o Será conveniente que el profesor pueda recoger toda la información aportada por los niños en un mapa conceptual a modo de árbol, que facilite la visualización de los posibles resultados. Actividad 5: Haciendo series (probabilidad) » Contenido: combinaciones. » Lugar: aula. » Material: gomets de formas y colores distintos. » Agrupamiento: individual. » Procedimiento: se dan cuatro elementos a cada niño (gomets) para que puedan construir las distintas disposiciones. Trabajaremos como si fuesen cuatro ejercicios distintos, dependiendo la tipología de los gomets que se dan a los niños: o Primero todos distintos: ∇ o Dos iguales: ∇ o Iguales dos a dos: ∇∇ o Tres iguales: ∇ Después de cada una de las distribuciones y tras el trabajo individual de los niños, pondremos en común los resultados como parte de un proceso reflexivo del grupo.

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Actividad 6: Cómo me visto hoy (probabilidad) » Contenido: combinaciones que nos permitan la representación como un árbol. » Lugar: aula. » Material: juego con diferentes prendas. » Agrupamiento: parejas. » Procedimiento: daremos a los niños tres posibles prendas para colocar en dos lugares distintos. Los niños deberán construir el árbol de las posibles opciones que encontrarían a la hora de colocar las prendas sobre los muñecos, como en el siguiente ejemplo:

Construyendo un tablero de Galton (probabilidad) » Contenido: distribución binomial. » Lugar: aula. » Material: tablero de Galton. » Agrupamiento: grupo grande. » Procedimiento: el aparato de Galton es un mecanismo en el que una bola choca con un tope y se desplaza a izquierda o derecha, choca nuevamente y se desplaza de nuevo a izquierda o derecha y así sucesivamente hasta caer en uno de los compartimentos finales. Para determinar el número esperado de bolas que caen en cada casillero, se

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puede considerar que al chocar cada bola se duplica, y una se va por la izquierda y otra por la derecha. Se podrá construir el tablero entre los niños o utilizar un simulador (disponible

en

https://phet.colorado.edu/sims/html/plinko-

probability/latest/plinko-probability_en.html)

4.4. Proyectos colaborativos en el aula Te recomendamos que visualices la clase magistral antes de continuar con la lectura de las ideas clave. Para comenzar la elaboración de nuestro proyecto, deberás leer el capítulo de Batanero y Díaz (2014), «El papel de los proyectos en la enseñanza y aprendizaje de la estadística. Dado que uno de los objetivos es alcanzar unas competencias de investigación adecuadas, vamos a proponerte completar el aprendizaje analizando una investigación basada en el aprendizaje por proyectos. Lee «Evaluación del conocimiento especializado de la estadística en futuros profesores mediante el análisis de un proyecto estadístico, de Arteaga, Batanero, Cañadas y Gea (2012). Te damos a continuación algunas recomendaciones para que puedas diseñar tu propio proyecto: 1. Ten en cuenta la puesta en escena en el aula, plantéala dentro del proyecto. Agrupamientos y duración del proyecto debe ser previsto a priori.

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2. Los objetivos a alcanzar deben estar claramente definidos, tanto desde los contenidos como desde los criterios de evaluación. 3. Incluye siempre algún aspecto que permita el cambio de representación, tanto para adaptarnos a los diferentes estilos de aprendizaje de los estudiantes como para que puedan consolidar los nuevos aprendizajes. 4. El proyecto debe incluir un aspecto bidireccional, es decir, partir del número al gráfico y del gráfico al número, ambos aspectos son importantísimos para conocer la aplicación práctica de lo que se está haciendo. 5. Incluye aspectos de contexto que puedan aplicarse en algún aspecto que esconda valores formativos, por ejemplo, cuidado de la salud, respeto al medioambiente, etc.

TEMA 4 – Ideas clave

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Lo + recomendado No dejes de leer… Errores y dificultades en la comprensión de los conceptos estadísticos Batanero, C., Godino, J. D., Green, D. R., Holmes, P. y Vallecillos, A. (1994). Errores y dificultades en la comprensión de los conceptos estadísticos elementales. International Journal of Mathematics Education in Science and Technology, 25(4), 527-547. En el artículo se analizan las investigaciones sobre los principales conceptos estadísticos elementales que han sido incluidos en muchos diseños curriculares recientes en los niveles no universitarios. Este análisis muestra la complejidad de algunos de estos tópicos y puede proporcionar al profesor una comprensión mayor del razonamiento estocástico de sus alumnos. Accede al artículo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: https://www.researchgate.net/profile/Carmen_Batanero/publication/237768038_ER RORES_Y_DIFICULTADES_EN_LA_COMPRENSION_DE_LOS_CONCEPTOS_EST ADISTICOS_ELEMENTALES/links/0046352222434f269a000000.pdf

5 plataformas online para conocer datos y estadísticas interesantes del mundo En este artículo podrás encontrar algunis sitios web con gran cantidad de datos. Estas bases de datos pueden venirte bien para trabajar con los estudiantes con datos reales. Accede al artículo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: https://www.educaciontrespuntocero.com/recursos/plataformas-open-datagratis/38405.html

TEMA 4 – Lo + recomendado

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No dejes de ver… Estadística con Geogebra A través de este vídeo podremos conocer el trabajo con el programa Geogebra.

Accede al vídeo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: https://www.youtube.com/watch?v=5Rmet9QcX_c

TEMA 4 – Lo + recomendado

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+ Información A fondo Estadística con proyectos Batanero, C. y Díaz, C. (2011). Estadística con proyectos. Granada: Universidad de Granada. Este manual nos permitirá conocer un manual que puede darnos múltiples ejemplos de proyectos en el aula. Accede al manual a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: http://www.ugr.es/~batanero/pages/ARTICULOS/Libroproyectos.pdf

Proyectos de estadística En este enlace conoceréis algunos proyectos hechos en el aula y otros alcances que pueden servirnos de inspiración para nuestro propio diseño. Accede al manual a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: http://www.estadisticaparatodos.es/curriculo/proyectos.html

TEMA 4 – + Información

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Test 1. La enseñanza-aprendizaje de la noción de causalidad se plantea en… A. 3 niveles de comprensión. B. 4 niveles de comprensión. C. 5 niveles de comprensión. D. 6 niveles de comprensión. 2. El nivel de comprensión de la intencionalidad que intenta identificar por qué ocurrieron los hechos es… A. El cuarto. B. El tercero. C. El segundo. D. El primero. 3. El tercer nivel de comprensión de la causalidad se inicia con la identificación de factores causales. A. Falso. B. Verdadero. 4. Selecciona la opción incorrecta: «Antes de articular la intencionalidad y la causalidad el alumno...». A .Debe haber planteado hipótesis. B. Debe obviar las contradicciones. C. Debe clasificar las fuentes. D. Debe analizar la información. 5. Los efectos de una variable sobre otra o su relación… A. Provienen de la causalidad. B. Pueden asociar dos elementos que no tenían relación casual. C. Vienen condicionados por la aplicación de procedimientos estadísticos. D. No implica que haya causalidad.

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6. A la hora de diseñar un proyecto hay que incluir algún aspecto que permita el cambio de representación A. Falso. B. Verdadero. 7. Indica la opción incorrecta a la hora de plantear un proyecto. A. Agrupamientos y duración deben establecerse previamente. B. Debe incluir aspectos de bidireccionalidad. C. Debe incluir aspectos de contexto que puedan aplicarse en aspectos que incluyan valores informativos. D. Debe verse una aplicación práctica. 8. La utilización de los cambios de representación permite consolidar nuevos aprendizajes en probabilidad y estadística. A. Verdadero. B. Falso. 9. La utilización de situaciones de combinación… A. Dificultan la representación en árbol. B. Se utiliza para la estadística y no para la probabilidad. C. Se puede plantear desde el juego. D. A y C son correctas. 10. En la actividad en la que los niños tienen que determinar los cubiertos que hay en un cajón… A. Se puede trabajar la elaboración de tablas de frecuencia. B. Puede trabajarse el concepto de moda. C. Puede trabajarse la elaboración de diagramas de barras. D. Todas son correctas.

TEMA 4 – Test

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El juego como elemento de aprendizaje [5.1] ¿Cómo estudiar este tema? [5.2] Equitativo y equiprobable [5.3] El juego para comprender la estadística

TEMA

5

[5.4] El juego como elemento de azar

TEMA 5 – Esquema

• • • • Cruzar el río Juego de siembra Juego de dados El bingo

Juegos de azar

• Diagrama de barras • Piezas geométricas

Juegos de estadística

Equitativo y equiprobable

El juego como herramienta de aprendizaje

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Esquema

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Ideas clave 5.1. ¿Cómo estudiar este tema? Para estudiar este tema lee atentamente las Ideas clave. Además, para completar el apartado «Equitativo y equiprobable» deberás leer los siguientes artículo: Cañizares, M. J., Batanero, C., Serrano, L. y Ortiz, J. J. (marzo, 1999). Comprensión de la idea de juego equitativo en los niños. Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 37, 37-55. Disponible en el aula virtual en virtud del artículo 32.4 de la Ley de Propiedad Intelectual. Para documentar los diferentes juegos que exponemos en el apartado «El juego como elemento de azar», tendrás que leer los siguientes artículos: » Páginas 200-207 del siguiente libro: Gallardo, S., Cañadas, M. C., MartínezSantaolalla, M. J. y Molina, M. (2007). Jugando con la probabilidad. En P. Flores, R. Roa y R. Pozuelo (Eds.), Investigación en el aula de matemáticas: estadística y azar. Granada: SAEM Thales y Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada. Disponible en el aula virtual en virtud del artículo 32.4 de la Ley de Propiedad Intelectual. » Rupérez, J. A. y García-Déniz, M. (julio, 2011). Juegos de siembra: juegos africanos con aplicación didáctica. Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 77, 157–166. Disponible en el aula virtual en virtud del artículo 32.4 de la Ley de Propiedad Intelectual. » Alsina, Á. (2012). La estadística y la probabilidad en Educación Infantil: conocimientos disciplinares, didácticos y experienciales. Revista de Didácticas Específicas, 7, 4-22. Disponible en el aula virtual en virtud del artículo 32.4 de la Ley de Propiedad Intelectual. En otras asignaturas has podido conocer el juego como metodología fundamental en estas etapas educativas y las ventajas que puede suponer. En este tema vamos a centrarnos en el juego como herramienta de aprendizaje de la estadística, profundizando en conceptos clave que pueden favorecer la comprensión de su uso didáctico.

TEMA 5 – Ideas clave

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5.2. Equitativo y equiprobable Dado que iniciamos el apartado con dos conceptos, vamos a buscar en el Diccionario de la lengua de la Real Academia Española las definiciones que nos aportan de ellos de manera general. Equitativo, va. Der. del lat. aequĭtas, -ātis ‘igualdad’. 1. adj. Que tiene equidad (RAE, 2001). La palabra equiprobable no está en el Diccionario de lengua española. Como vemos estamos utilizando una palabra que a priori no existe como calificativo de una situación de forma habitual. Así que, partiendo de esta situación lingüística, nos adentramos en el significado operativo de esta situación, centrándonos en el espacio del juego que nos ocupa en el tema. El concepto equiprobable se asocia a cada uno de los sucesos de espacio muestral, es decir, a todos los elementos que conforman los resultados de un experimento. Un par de sucesos se consideran equiprobables si tienen la misma probabilidad de ser elegidos. Veamos un ejemplo, vamos a jugar con una caja opaca con la siguiente distribución:

Figura 1. Ejemplo de una caja en la que hay 3 bolas naranjas y 3 moradas.

Si el juego consiste en que los niños sacan una bola naranja o bola morada, ambos sucesos tienen la misma probabilidad de ser elegidos, 3/6, por lo tanto, podríamos considerarlos equiprobables. Pero ¿esto es lo mismo que equitativo?

TEMA 5 – Ideas clave

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Para ver el alcance del término «equitativo» lee ahora el artículo de Cañizares, Batanero, Serrano y Ortiz (1999), «Comprensión de la idea de juego equitativo en los niños». Referencias bibliográficas Real Academia Española (2001). Diccionario de la lengua española (22.ª ed.). Recuperado de http://dle.rae.es/?id=G0Vudk4

5.3. El juego para comprender la estadística Son distintos los juegos que podemos diseñar para aprender estadística, de hecho, cualquier juego podemos encaminarlo a este aprendizaje haciendo recuento de los puntos en una gráfica y, posteriormente, construir una gráfica resumen. Conviene, en este sentido, que tengamos claro lo que significa una situación en formato de juego y qué distingue una situación de aula de una situación de aula-juego. La palabra juego suele asociarse de manera inmediata a palabras como entretenimiento y diversión, sin hacer referencia a ningún aspecto que guarde relación con cualquier proceso de enseñanza-aprendizaje. Podría definirse, de manera general, de la siguiente manera: » Una actividad lúdica, entretenida y recreativa cuya finalidad es divertirse. » Puede ser una actividad tanto física como mental. » Actividad que debe tener un conjunto de reglas claras que rigen el juego, dejando claro los objetivos y que deben determinar cuando acaba el juego. » A priori, no busca ningún fin utilitario. Juego 1: diagrama de barras Objetivo: conteo, tabla de frecuencias y representación. Queremos dejar este juego lo más abierto posible y vamos a limitarnos a ilustrar los posibles resultados finales en forma de fotografía para dejar en manos de vuestra creatividad que podáis adaptar estas posibles situaciones a diferentes edades y diferentes contextos.

TEMA 5 – Ideas clave

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» Situación 1. Desde un montón de cartas, los niños cuentan cuántas hay de cada tipo y construyen el gráfico de barras.

Figura 2. Ejemplo de la situación 1.

» Situación 2. Tras realizar una consulta en el colegio sobre el uso de fondos públicos, cada voto se representa con un garbanzo y se coloca en la urna correspondiente.

Figura 3. Ejemplo de la situación 2.

» Situación 3. Cada niño coloca la pieza de color según el número de hermanos que tiene.

Figura 4. Ejemplo de la situación 3.

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» Situación 4. Los niños cuentan el número de animales que tienen en uno de sus juegos.

Figura 5. Ejemplo de la situación 4.

» Situación 5. Con los más pequeños podemos trabajar con estas manos de Miniland, contando por ejemplo el número de alguna tipología de objetos por diferentes espacios del centro educativo.

Figura 6. Ejemplo de la situación 5. Fuente de la imagen: Método ABN (Grupo Facebook)

Reflexión con el juego: es conveniente que demos tanta importancia a las categorías que existen como a las que están vacías. Los datos que tiene sentido ordenar y los que no. Y la conveniencia o no de pegar las barras o no. Juego 2: piezas geométricas Objetivo: agrupamiento y representación. Damos conjuntos de piezas, al azar, a los distintos grupos de niños, teniendo en cuenta tanto las variables forma como color.

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Podemos tener bolsas preparadas de forma previa que los niños van cogiendo. Por ejemplo: A= {Triángulo, Cuadrado, Círculo, Rombo}, todas de color amarillo. B= {Triángulo amarillo, Cuadrado azul, Cuadrado amarillo, Rombo verde} Cada una de las consignas dará un elemento de competición entre grupos, ganando el que consiga mayor número de ordenaciones. » Consigna 1: ¿de cuántas maneras diferentes se pueden ordenar los elementos del conjunto? » Consigna 2: ¿de cuántas maneras diferentes podemos agrupar los elementos del conjunto de 2 en 2? » Consigna 3: ¿de cuántas maneras diferentes podemos agrupar los elementos del conjunto de 3 en 3? Reflexión con el juego: trabajar con la combinatoria basándonos en algoritmo de cálculo no tiene sentido, sin embargo, estos conocimientos se necesitarán más tarde y podemos ponerlos en escena a través de la observación y el conteo de elementos manipulativos.

5.4. El juego como elemento de azar Vamos a aportar algunas ideas en este apartado que permitan conocer algunos usos de juegos sencillos para el aprendizaje del azar y la probabilidad. Nuestra idea inicial es que, a partir de estas ideas previas, puedas ir construyendo otros alcances de los mismos juegos o de otros distintos. Intentaremos documentar cada uno de los juegos con una lectura que debes leer a posteriori de cada una de las instrucciones dadas. Juego 1: cruzar el río Objetivo: sucesos equiprobables y no equiprobables.

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Figura 7. Ejemplo de tablero del juego Cruzando el río.

La franja central representa un río y a cada lado doce casillas numeradas del 1 al 12. » Material: 24 fichas y dos dados. » Número de jugadores: 2, cada uno con 12 fichas. Se debe colocar cada ficha en cada una de las doce casillas (una ficha por casilla). El primer jugador lanzará dos dados, sumará los puntos obtenidos en las caras superiores de los mismos y pasará al otro lado del río la ficha que esté situada en la casilla que tenga el número que ha obtenido al realizar la suma. A continuación lanzará los dos dados el segundo jugador, quien deberá repetir el mismo proceso. Así se deberá continuar hasta que alguno de los jugadores pase todas sus fichas al otro lado del río. Reflexión con el juego: ¿es esto posible? No, el objetivo de pasar todas las fichas no se cumple para la primera posición, nunca pasará el río. Lee ahora el capítulo de Gallardo, Cañadas, Martínez-Santaolalla y Molina (2007) que te proponemos en el apartado «¿Cómo estudiar?». Juego 2: juego de siembra Objetivo: números combinatorios.

Figura 9. Tablero del juego de siembra.

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Los movimientos consisten en recoger las semillas de un cuenco propio (de la hilera del lado del jugador) y sembrar una semilla en cada uno de los cuencos siguientes en el sentido contrario a las agujas del reloj. Se juega por turnos. Llamaremos «jugador sur» al que juega en la parte inferior del tablero (casillas A – F) y «jugador norte» al que juega en la parte superior (casillas a – f). Cada jugador trata de tomar las semillas de los hoyos de su adversario. Lo consigue cuando la última semilla distribuida cae en el hoyo del adversario que solo contiene una o dos semillas. Con la semilla depositada, el total asciende a dos o tres. Estas son capturadas, retiradas del juego y almacenadas en el granero del jugador. Después de efectuar una toma, un jugador puede capturar las semillas del hoyo precedente, así como las de los siguientes, si (a) los hoyos se encuentran en el lado del adversario y (b) cada hoyo contiene el número deseado de semillas, es decir, dos o tres. A veces, cuando el juego está avanzado, hay muchas semillas en el mismo hoyo, lo que indica que al sembrar se pueden dar varias vueltas al tablero. En este caso, una regla establece que no se pueden poner piezas en el agujero que acaba de ser liberado. Con esta modalidad se pueden capturar muchas semillas si se aprovecha el momento oportuno para jugar a partir de un hoyo que esté muy lleno. Este

juego

tiene

una

versión

digital:

Món

Awalé

(disponible

en

http://www.awale.info/joc/es/index.html).

Figura 11. Captura de la versión digital del juego.

Reflexión con el juego: sirve para que los niños practiquen el conteo, los agrupamientos (combinatoria) y, además, lo hagan con estrategia, para acumular el mayor número de fichas posibles. Lee el artículo de Rupérez y García-Déniz (2011), «Juegos de siembra: juegos africanos con aplicación didáctica».

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Juego 3: juego de dados Objetivo: cálculo de probabilidades.

Figura 12. Diferentes tipos de dados. Fuente: http://www.tocamates.com/dados-en-clase-de-primaria/

Entre los múltiples sistemas de juego con dados destacan los juegos de mesa, por ejemplo, el parchís, el juego del ganso, etc., así como los que se juegan a través de apuestas, como el Craps, también denominado «Seven eleven», con dos dados que tienen que entrar dentro de unos límites marcados de la mesa.

Figura 13. Ejemplos de dados para utilizar en actividades en clase.

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Reflexión con el juego: los dados pueden darnos muchas posibilidades de trabajar con la probabilidad, conviene utilizar distintos tipos de dados, incluso símbolos. Por ejemplo, con los más pequeños, tenemos alternativas del siguiente tipo:

Figura 13. Recta numérica con apoyo de dedos y dados. Fuente: https://es.pinterest.com/pin/76068681185391659/

Lee el artículo de Alsina (2012) «La estadística y la probabilidad en educación infantil: conocimientos disciplinares, didácticos y experienciales».

Juego 4: el bingo Objetivo: identificación de sucesos: seguro, probable, imposible.

Figura 14. Bolas de bingo. Fuente: Flickr.

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La estrategia base del juego es la misma siempre, el juego variará dependiendo del formato de los cartones y de la cuantía de los números. Cada niño tendrá su cartón. La posición correspondiente al que «lleva el juego» irá variando a lo largo de los turnos, de esta manera, los niños aprenderán también a leer los números. Vamos a pensar en el juego para los más pequeños, trabajaremos con números hasta el 20. Hay dos opciones para los cartones: 1. Les damos la cuadrícula y los niños tendrán que colocar sus seis números de manera ordenada (por filas). De esta manera, están aprendiendo a ordenar los números y la grafía.

Figura 15. Ejemplo de cartón con seis números.

2. Podemos también fabricar nuestras propias tarjetas y hacerlas de mayor tamaño, incluyendo casillas de color, de manera que no sea tan sencilla la localización respecto al orden.

Figura 16. Ejemplo de cartón números y casillas de color.

Para el juego también hay varias opciones (será conveniente que se ponga como norma que no se podrá hablar durante la partida): 1. Las bolas tienen solamente números. El que conduce la partida irá diciendo los números según se obtienen, los niños irán poniendo una ficha (podemos utilizar

TEMA 5 – Ideas clave

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legumbres) sobre el cartón según su número aparezca, la partida terminará cuando alguien complete todos sus números. 2. Las bolas tienen números y signos, por ejemplo, incorporamos la suma. En este caso, si los cartones son hasta el 20, las bolas podrán ser del 0 al 10. Habrá dos bolsas para sacar las bolas, una con los signos, que se sacará primero, otra con las bolas, de la que se sacarán dos. El resultado será la suma de los números, que será el número que deben localizar en su cartón. En esta forma de juego, pueden repetirse los resultados, pero si lo advertimos desde el comienzo no será un inconveniente, además, esto les servirá para ver que hay varias formas de conseguir el mismo número al sumar. 3. Esta forma de jugar puede tener otra versión y sería al revés, cuando sale un número de la bolsa podemos marcar dos números sobre nuestro cartón, siguiendo la pauta dada por «los amigos», ¿qué significa? Si el número que sale es el 10, unos niños podrán marcar en sus cartones el 1 y el 9, o el 2 y el 8, etc., es decir, dos números que sumen el resultado que se pide. Para facilitar la comprobación, podemos hacerlo incorporando el color, es decir, los objetos que utilizamos para señalar deben ser de un color distinto cada vez que marco una pareja. Puedes ayudarte, por ejemplo, de tapones de plástico o de diferentes tipos de legumbre. Podemos considerar dentro de este bloque el juego con cartas, para trabajar con el mismo objetivo: sucesos posibles e imposibles. Pondríamos las cartas boca abajo e iríamos sacando de una en una hasta completar cartones o hasta alcanzar la apuesta a una carta determinada.

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Lo + recomendado No dejes de leer… Juegos de azar: aleatoriedad y razonamiento falaz Iranzo, V. (2012). Juegos de azar: aleatoriedad y razonamiento falaz. Revista Española de Drogodependencias, 37(3), 269-286. El artículo consta de cuatro apartados. El primero hace un breve recorrido histórico para mostrar la estrecha imbricación entre los juegos de azar y las matemáticas. En el segundo se argumenta que los juegos de azar son «injustos» para el apostante y favorables para la casa de apuestas, precisamente en eso reside el margen de beneficios que obtiene esta última y que la convierte en un negocio rentable. Accede al artículo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: http://roderic.uv.es/bitstream/handle/10550/47580/4029131.pdf?sequence=1

Enseñanza de la probabilidad en Educación Primaria. Un desafío para la formación inicial y continua del profesorado Vásquez, C. y Alsina, A. (2008). Enseñanza de la probabilidad en Educación Primaria. Un desafío para la formación inicial y continua del profesorado. Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas, 85, 5-23. Este artículo analiza diferentes currículos educativos y sitúa el uso del juego en el aula para la enseñanza-aprendizaje del azar y la probabilidad. Accede al artículo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/85/Articulos_01.pdf

TEMA 5 – Lo + recomendado

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No dejes de ver… Superseis Este es un juego divertidísimo con pinceladas de probabilidad, estrategia, conteo… y que puedes hacer tú mismo.

Accede al vídeo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: https://www.youtube.com/watch?v=zKUHgubOSdc&feature=youtu.be

Aprendiendo probabilidades Podemos conocer la definición y uso de algunas propiedades de los sucesos.

Accede al vídeo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: https://www.youtube.com/watch?v=vunDtx095mE

TEMA 5 – Lo + recomendado

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+ Información A fondo La enseñanza de los racionales y sus propiedades a través de juegos como el dominó y el bingo Tamayo, C. A. y Ramírez, A. F. (2009). La enseñanza de los racionales y sus propiedades a través de juegos como el dominó y el bingo. En G. García de García (Comp.), 10º Encuentro Colombiano de Matemática Educativa. Bogotá: Asociación Colombiana de Matemática Educativa. En este artículo se describen cuáles son las características, la importancia y el tipo de objetivos de una empresa. Accede al artículo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: http://funes.uniandes.edu.co/777/1/laensenanza.pdf

El uso de juegos para la promoción del razonamiento probabilístico Mael, H., Yumi, V. y Silva, M. (diciembre, 2010). El uso de juegos para la promoción del razonamiento probabilístico. Revista Iberoamericana de Educación Matemática, 24, 69-83. La secuencia didáctica que se presenta busca trabajar la idea de probabilidad, su cálculo e interpretación con el uso de dados y que puede auxiliar a los alumnos en etapa pre universitaria (16 a 18 años) a observar fenómenos aleatorios, a levantar datos y a tomar decisiones. Los resultados fueron satisfactorios, pues los alumnos pasaron a un nivel más avanzado de razonamiento probabilístico, y que puede contribuir en la transición al razonamiento estadístico. Accede al artículo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: http://www.fisem.org/www/union/revistas/2010/24/Union_024_009.pdf

TEMA 5 – + Información

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Test 1. En un juego, la equitatividad se da… A. Si en cada jugada del juego todos los jugadores tienen la misma probabilidad de ganar. B. Si en cada partida completa del juego todos los jugadores tienen la misma probabilidad de ganar. C. Si se igualan las esperanzas de ganancia. D. Ninguna es incorrecta. 2. Considera los experimentos del artículo Comprensión de la idea de juego equitativo en los niños (apartado ¿Cómo estudiar este tema?). A la hora de realizar una investigación en torno al concepto de equitatividad, hay que tener en cuenta en cuenta... A. La edad de los estudiantes. B. El rendimiento en Matemáticas de los estudiantes. C. El sexo de los estudiantes. D. A y B son correctas. 3. La mayoría de los alumnos son capaces de determinar si dos sucesos compuestos son o no equiprobables en contextos de urnas. A. Falso. B. Verdadero. 4. Los juegos que podemos utilizar para el aprendizaje de la estadística… A. Son solamente aquellos relacionados de manera directa con este bloque de contenidos. B. Es cualquiera en el que exista una recogida de puntos. C. Son solamente aquellos que permiten analizar variables cuantitativas. D. Son solamente aquellos que permiten analizar variables cualitativas. 5. El concepto equiprobable… A. Se asocia a cada suceso del espacio muestral. B. Solo tiene lugar cuando hay el mismo número de elementos que forman parte de la muestra que cumplen características comunes C. Solo tiene lugar cuando el número de elementos que forma parte de una muestra que tienen características comunes es par

TEMA 5 – Test

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D. A y B son correctas 6. La palabra equiprobable, según la RAE, significa que tiene la misma probabilidad de ocurrir. A. Verdadero. B. Falso. 7. Si en una bolsa opaca hay 4 bolas naranjas, 4 bolas verdes y 4 bolas rosas… A. No es una muestra que permita que los sucesos sean equiprobables. B. No es una muestra que permita que haya equitatividad. C. Es una muestra que permite que los sucesos sean equiprobables. D. A y B son correctos. 8. Trabajar conceptos de combinatoria a través del juego y la manipulación no tiene sentido. A. Falso. B. Verdadero. 9. La afirmación «los profesores deberían proporcionar a los alumnos numerosas oportunidades de poner en práctica el pensamiento probabilístico en situaciones simples, a partir de las cuales puedan desarrollar nociones de azar», se recoge… A. En las orientaciones del currículo de secundaria. B. En las orientaciones del currículo de primaria. C. En las orientaciones del NCTM. D. A y B son correctas. 10. En el juego de cruzar el río… A. Se trabaja el concepto de suceso equiprobable. B. Se trabaja el concepto de suceso no equiprobable. C. Se trabaja el concepto de suceso imposible y suceso más o menos probable. D. Todas son correctas.

TEMA 5 – Test

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Recursos tecnológicos para estadística y probabilidad [6.1] ¿Cómo estudiar este tema? [6.2] Software

TEMA

6

[6.3] En línea

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TEMA 6 – Esquema

Excel

TIC para la estadística

NCES

En línea Software

Recursos tecnológicos para estadística y probabilidad

Esquema

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Ideas clave 6.1 ¿Cómo estudiar este tema? Para estudiar este tema lee atentamente las Ideas clave que se presentan a continuación. Además, deberás leer el siguiente documento: Belfiori, L. V. (2014). Enseñanza de estadística con recursos TIC. En Memorias del Congreso Iberoamericano de Ciencia, Tecnología,

Innovación

y

Educación.

Madrid:

Organización

de

Estados

Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura. Disponible en el aula virtual en virtud del artículo 32.4 de la Ley de Propiedad Intelectual. En este tema analizaremos las TIC desde el uso que de ellas se puede hacer en la enseñanza como facilitadoras de las actividades en la clase y así conseguir los objetivos del currículo y proporcionar oportunidades de aprendizaje a los estudiantes (Adell, 2004). Queremos atender las distintas particularidades de los centros educativos donde nuestros estudiantes se encuentren y los recursos con que cuenten, teniendo en cuenta la opción del software con instalación y en línea, siempre intentando que sea gratuito y adecuado al nivel evolutivo de los niños que están en el aula. Referencia bibliográfica Adell, J. (2004). Internet en el aula: las webquest. Edutec: Revista Electrónica de Tecnología Educativa, 17.

6.2. Software Comenzamos nuestro apartado de nuevo a modo de reflexión: ¿qué utilidad puede tener la tecnología en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la estadística? Sin duda, nuestra respuesta es que son muchas las ventajas, comenzando por la facilidad de visualización de gráficas y los distintos registros de representación de la información, la gran capacidad para gestionar y resumir un conjunto grande de datos, etc.

TEMA 6 – Ideas clave

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Pero es importante que tengamos un sustento teórico desde el planteamiento, conociendo el parecer de los autores que han escrito sobre ello. Para esto, queremos que leas el artículo de Belfiori (2014) que te proponemos en el apartado «¿Cómo estudiar?», que te mostrará una experiencia de aula que podrías adaptar para los estudiantes en los últimos cursos de Educación Primaria. Fíjate cómo se lleva a cabo la secuencia didáctica y toma nota de las recomendaciones didácticas. Una vez leído el artículo vamos a ver algunas situaciones en las que podemos utilizar software. La hoja de cálculo Vamos a utilizar Excel con un complemento gratuito: ∑ZAnalyze (disponible en http://www.ezanalyze.com/).

En la lección magistral podrás ver cómo realizar el proceso de descarga e instalación de la herramienta ∑ZAnalyze. Partimos de preguntar a los niños qué edad tienen y agrupar los datos más tarde en una tabla.

Figura 1. Agrupación de datos en una tabla de Excel.

¿Qué preguntas podemos hacer y utilizar a modo de consigna para guiar el trabajo de los niños?: por ejemplo, ¿cuántos niños hay en total? o ¿cuál es la media de edad?

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Figura 2. Operación de suma del total de niños.

Desde la opción que aporta la figura 3, veremos que no se podrá calcular la media, dado que los datos está agrupados en la tabla, de esta manera situaremos a los niños ante un reto que deberán solucionar.

Figura 3. ¿Cuál es la media de edad?

Aumentamos el rango de preguntas: ¿cómo conviene mostrar los datos?, ¿agrupados o en bruto? Veremos que es conveniente tener los datos en bruto y dejar que sea el programa el que nos facilite la tabla, por ejemplo, utilizando el complemento que acabamos de instalar.

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Figura 4. Tabla creada a partir de los datos introducidos, mediante la herramienta ∑ZAnalyze.

Desde esta tabla construida a partir de los datos podemos realizar un gráfico, pero ¿cuál es más adecuado? Podemos dejar que los niños también intenten construir el gráfico a partir de los datos en bruto. Como ves, nuestro objetivo es mostrarte un camino de preguntas para hacer que los niños desarrollen una competencia crítica respecto a la información que se les facilita.

Figura 5. Diagrama de barras resultante de los datos introducidos.

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Hemos optado por los porcentajes, pero ¿tendría la misma forma cualquiera de las otras frecuencias?, ¿por qué las barras están separadas?, ¿qué etiquetas pondremos bajo las barras?, ¿qué otros gráficos podemos hacer?, ¿cuál nos aporta más información?

Figura 6. Diagrama de sectores resultante de los datos introducidos.

De esta manera, defendemos la enseñanza de la estadística utilizando las TIC, planteando preguntas que inviten a la acción y la investigación. Geogebra Quizá hayas visto este software en otras asignaturas, pero queremos darle un uso específico desde la estadística. Vamos a utilizar la versión instalable en el ordenador, aunque también puedes trabajar en línea y desde cualquier tipo de dispositivo (Disponible en https://www.geogebra.org/download).

El entorno para la estadística hemos de buscarlo también desde la hoja de cálculo.

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Figura 7. Interface de la herramienta Geogebra.

La aplicación nos devuelve en primera opción un diagrama, denominado histograma. Pero ¿es esto un histograma?

Figura 8. Histograma de Geogebra.

¿Qué diferencia hay entre el gráfico de la figura 8 y la figura 9?

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Figura 9. Diagrama de barras de Geogebra.

¿Qué significan estas medidas y estos otros gráficos que nos facilita el programa (figura 10)?

Figura 10. Diagrama de caja de Geogebra.

Los contenidos que aparecen aquí muchos de ellos exceden el nivel señalado para los niños en esta etapa, pero podemos facilitarles la indagación para conocer qué otros tipos de coeficientes o gráficos se pueden calcular.

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6.3. En línea Son varios los apoyos que podemos tener en línea, pero nos vamos a fijar en NCES, un software que va mejorando y que se adapta a las características de los niños de esta etapa (disponible en http://nces.ed.gov/nceskids/).

Comenzamos utilizando un simulador de tiradas de dados.

Figura 11. Simulador de lanzamiento de dados en NCES.

Es genial cómo, al elegir el número de tiradas, nos facilita más tarde la construcción del diagrama de barras. Podemos combinar estas acciones: por ejemplo, mientras una parte de la clase utiliza dados convencionales, que la otra realice simulaciones, para comparar más tarde los resultados. Pero la gran ventaja de NCES es el constructor de gráficos.

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Figura 12. Crear un gráfico en NCES.

La ventaja de este programa es que podemos trabajar como si fuese un juego, siendo sencillo, además, cambiar la estética y poder adjuntar el trabajo de la sesión para que el docente lo reciba en su correo. Comenzamos introduciendo los datos.

Figura 13. Pestaña para introducir los datos en NCES.

TEMA 6 – Ideas clave

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Y, de forma sencilla, podemos ver el gráfico elegido.

Figura 14. Pestaña para previsualizar el gráfico generado en NCES.

Será suficiente cambiar de pestaña para ver otras opciones para colorear, elegir otro tipo de gráfico o enviarlo al profesor. Podríamos seleccionar otro tipo de software para ayudar en la estadística, pero, de alguna manera, serán transversales a nuestro trabajo, como paneles digitales o comic online, que pueden suponer un elemento motivacional añadido.

TEMA 6 – Ideas clave

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Lo + recomendado No dejes de leer… Gráficos interactivos Coll, V. y Blasco, O. (2010). El uso de gráficos interactivos en Excel para facilitar la comprensión de conceptos básicos de Estadística. @tic: revista d'innovació educativa, 5, 30-34. En este trabajo se muestra una serie de aplicaciones realizadas en Excel que pretenden apoyar la docencia de la asignatura de Estadística. Concretamente, se presentan distintos gráficos interactivos que persiguen reforzar el contenido desarrollado en una clase y facilitar la comprensión conceptual por parte del estudiante de los principales aspectos analizados. Los estudiantes pueden relacionar, fácilmente, la teoría con una representación gráfica dotada de cierto grado de dinamicidad. Accede al artículo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=3361852

TEMA 6 – Lo + recomendado

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No dejes de ver… Media y moda Mostramos un canal específico para el aprendizaje en Primaria.

Accede al vídeo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: https://www.youtube.com/watch?v=ogl6N2vy420

Estadística descriptiva Geogebra Este videotutorial muestra los usos básicos de la herramienta Geogebra en la estadística descriptiva.

Accede al vídeo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: https://www.youtube.com/watch?v=G3I-LRy7D8Y

TEMA 6 – Lo + recomendado

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+ Información A fondo Proyecto Gauss Álvarez, J. L. y Losada, R. (2012). Estadística y probabilidad en el Proyecto Gauss. Uno: Revista de Didáctica de las Matemáticas, 59, 26-39. En este artículo se valora la importancia del uso de las TIC en la enseñanza y el aprendizaje de la estadística y de la probabilidad. Se expone la propuesta de tratamiento de estos contenidos en el Proyecto Gauss y su organización en tres secciones: recuento, medidas y estimación. Se presentan a continuación un buen número de actividades de cada una de las secciones. Accede al artículo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: http://www.jupenoma.es/cibem/Ponencia_Gauss/Estad%C3%ADstica%20y%20Proba bilidad%20en%20el%20Proyecto%20Gauss_imag.pdf

Geogebra García, G. I. y Cuadros, P. (2013). Estrategias para mejorar la enseñanza de la estadística con Geogebra. Actas del VII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática, Montevideo, bloque V.4, 6335-6342. Es notoria la necesidad de actualizar la metodología de enseñanza de la matemática, favoreciendo el uso de software como soporte al proceso de enseñanza-aprendizaje. GeoGebra se puede utilizar como recurso en todos los campos de la matemática. La elección de la temática se basa en que es un tema de gran interés desde el punto de vista matemático y de otras ciencias. Accede al artículo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: http://cibem7.semur.edu.uy/7/actas/pdfs/599.pdf

TEMA 6 – + Información

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Test 1. La utilización de software en estadística… A. Permite trabajarla coordinando distintos registros de representación. B. Permite mecanizar el cálculo de medidas de dispersión. C. Permite mecanizar el cálculo de medidas de centralización. D. C y B son correctas. 2. A la hora de utilizar software en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la estadística… A. Hay que tener una gran capacidad para gestionar datos. B. Hay que tener una gran capacidad para resumir resultados. C. Es necesario tener un sustento práctico en que apoyarnos. D. Es necesario tener un sustento teórico en que apoyarnos. 3. Únicamente cuando se tiene claro el software a utilizar podemos establecer el propósito de la actividad que vamos a desarrollar. A. Falso. B. Verdadero. 4. La utilización de la tecnología en el aprendizaje de la estadística… A. Es más limitado que cuando usamos lápiz y papel. B. Dificulta la atención a la diversidad de alumnado. C. Cambia la tipología de problemas que podemos plantear. D. B y C son correctas. 5. El objetivo de introducir software en el aprendizaje de la estadística… A. Se hace con la intención de resolver ejercicios de una manera más directa. B. Persigue la obtención mecánica de resultados. C. Busca asimilar y conocer técnicas de muestreo. D. Se hace para propiciar la adquisición de conocimiento a través de distintas fuentes de información.

TEMA 6 – Test

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6. Excel facilita aumentar el rango de preguntas dentro de un estudio estadístico que podemos realizar en Educación Primaria. A. Falso. B. Verdadero. 7. A partir de un conjunto de datos introducidos en Excel… A. Es conveniente guiar a los alumnos hacia el gráfico más adecuado que se puede construir a partir de ellos. B. Es conveniente hacer que los niños desarrollen una competencia crítica respecto a la información. C. Es conveniente dejar a los niños que identifiquen por sí solos qué gráfico es más adecuado para el conjunto de datos. D. B y C son correctas. 8. La utilización de un software como Geogebra… A. Permite abordar contenidos de cursos superiores a través de la indagación. B. Permite abordar contenidos de cursos superiores a través de la teoría. C. Permite abordar contenidos de cursos superiores a través de la modelización. D. A y C son correctas. 9. Con Geogebra… A. Solo se puede trabajar estadística pero no probabilidad. B. Se puede trabajar probabilidad y estadística. C. Permite construir gráficos como histogramas y diagramas de barras. D. A y C son correctas. 10. A través de un simulador de lanzamientos de dados… A. Podemos construir un histograma. B. Podemos construir un diagrama de barras. C. Podemos realizar un mayor número de tiradas que con unos dados físicos. D. B y C son correctas.

TEMA 6 – Test

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Situación de la investigación en didáctica de la estadística y la probabilidad [7.1] ¿Cómo estudiar este tema?

TEMA

7

[7.2] Investigaciones didácticas más relevantes

TEMA 7 – Esquema

• Carmen Batanero (equipo) • Ángel Alsina

Autores de relevancia en infantil y primaria

La necesidad del docente como investigador

La importancia de la investigación

Situación de la investigación didáctica de la estadística y la probabilidad

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Esquema

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Ideas clave 7.1. ¿Cómo estudiar este tema? Para estudiar este tema lee las Ideas clave disponibles a continuación, así como las lecturas que se incluyen y que te listamos a continuación. » Páginas 203-226 del siguiente libro: Batanero, C. y Godino, J. (2005). Perspectivas de la educación estadística como área de investigación. En R. Luengo (Ed.), Líneas de investigación en Didáctica de las Matemáticas. Badajoz: Universidad de Extremadura. Disponible en el aula virtual en virtud del artículo 32.4 de la Ley de Propiedad Intelectual. » Del Pino, G. y Estrella, S. (2012). Educación estadística: relaciones con la matemática. Pensamiento Educativo. Revista de Investigación Educacional Latinoamericana, 49(1), 53-64. Disponible en el aula virtual en virtud del artículo 32.4 de la Ley de Propiedad Intelectual. » Páginas 9-21 del siguiente documento: Batanero, C. (2013). La comprensión de la probabilidad en los niños: ¿qué podemos aprender de la investigación. En J. A. Fernandes, F. Viseu, M. H. Martinho y P. F. Correia (Orgs.), Actas do III Encontro de Probabilidades e Estatística na Escola (9-21). Braga: Centro de Investigação em Educação (CIEd), Instituto de Educação, Universidade do Minho. Disponible en el aula virtual en virtud del artículo 32.4 de la Ley de Propiedad Intelectual. » Vásquez, C. y Alsina, A. (2014). Enseñanza de la probabilidad en Educación Primaria: un desafío para la formación inicial y continua del profesorado. Números, 85, 5-23. Disponible en el aula virtual en virtud del artículo 32.4 de la Ley de Propiedad Intelectual. En este tema situaremos la atención en los focos en los que se centra la investigación en didáctica de la estadística y la probabilidad con el objetivo de dar al estudiante en formación una perspectiva general de los avances en investigación, para que las aulas sean espacios vivos donde los docentes investiguen como proceso de mejora constante.

TEMA 7 – Ideas clave

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7.2. Investigaciones didácticas más relevantes De acuerdo con lo recogido en el proyecto Tuning –contribución de las universidades al proceso de Bolonia-, Ortega (2010) señala las competencias de investigación que deben tener lugar a lo largo de la formación universitaria. Estas están «vinculadas a la búsqueda de nuevas metodologías, información y recursos para la formación. Este tipo de competencias le van a capacitar al docente para enseñar al estudiante cómo localizar la información y hacer un uso eficaz de la misma, así como para desarrollar actitudes críticas de búsqueda de nuevas actuaciones, recopilar, analizar y valorizar datos referidos a la formación y enseñar a buscar la información y hacer un uso más eficaz de la misma» (p. 319).

Por ello, en este tema, queremos aportar algunos datos importantes referidos a la investigación en didáctica de la estadística y la probabilidad, que pueden ayudar a desarrollar en los futuros egresados una visión que contribuya a que en las aulas los maestros sean investigadores en acción. Lee el capítulo de Batanero y Godino, «Perspectivas de la educación estadística como área de investigación, páginas 203-226 del libro Líneas de investigación en Didáctica de las Matemáticas. ¿Te das cuenta de la cantidad de institutos, sociedades e iniciativas que hay referidas a la didáctica de la estadística y la probabilidad? Quizá en la actualidad esto se está ampliando dado el boom que existe con el número de datos que nos rodean y que ha dado lugar a distintas disciplinas, como el big data.

TEMA 7 – Ideas clave

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Carmen Batanero lidera un grupo de investigación en la Universidad de Granada que te invitamos a visitar por la relevancia que tiene no solo en el panorama español, sino también a nivel internacional (disponible en http://www.ugr.es/~batanero/).

Pero, ¿podríamos englobar esta investigación dentro de la didáctica de la matemática? Serían muchos los que estarían a favor de esto, pero también otros muchos que no. Para ello vamos con la segunda lectura del tema, que nos hará reflexionar sobre las particularidades de esta didáctica, partiendo ya de la siguiente cuestión importante: Para la estadística y la probabilidad el contexto es fundamental, es decir, no podemos realizar problemas o tareas de manera aislada, es necesario que el contexto se explicite desde el comienzo de la tarea. Lee ahora el artículo de Del Pino y Estrella (2012), «Educación estadística: relaciones con la matemática», para ver esas particularidades de investigación entre ambas disciplinas. Otro de los grupos de investigación que hemos de mencionar en este capítulo es IASE (International Association for Statistical Education), que te invitamos a conocer para ver el enorme alcance de sus aportaciones al entorno educativo (disponible en http://iaseweb.org/About.php)

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Pero ¿qué utilidad tiene la investigación en el aula? Vamos ahora a centrarnos en la probabilidad. Para ello, lee el capítulo de Batanero (2013), «La comprensión de la probabilidad en los niños: ¿qué podemos aprender de la investigación?». Desde esta área de la probabilidad queremos acercarte a una investigación de carácter «teórico», que recoge un análisis exploratorio de referentes curriculares internacionales y nacionales, desde la que puedes plantear, por ejemplo, investigaciones encaminadas a profundizar en los materiales que se están utilizando de una manera crítica y fundamentada en evidencias. Lee ahora el artículo de Vásquez y Alsina (2014), «Enseñanza de la probabilidad en Educación Primaria: un desafío para la formación inicial y continua del profesorado». Terminamos nuestro recorrido por la investigación con un repositorio de revistas especializadas en la didáctica de la estadística y la probabilidad. » International Journal on the Teaching and Learning of Statistics. Disponible en http://ww2.amstat.org/publications/jse/jse_index.htm

» Teaching Statistic. Disponible en http://onlinelibrary.wiley.com/journal/10.1111/%28ISSN%291467-9639

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» Probabilidad Condicionada: Revista de Didáctica de la Estadística. Disponible en https://dialnet.unirioja.es/servlet/revista?codigo=22101

» Journal of Official Statistic. Disponible en https://www.degruyter.com/view/j/jos

» Statistique et Enseignement. Disponible en http://publications-sfds.math.cnrs.fr/index.php/StatEns/index

Referencia bibliográfica Ortega, M. C. (2010). Competencias emergentes del docente ante las demandas del espacio europeo de educación superior. Revista Española de Educación Comparada, 16, 305-328.

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Lo + recomendado Lecciones magistrales Iniciando la investigación En esta lección magistral se presentará cómo iniciar una investigación sencilla en el aula, alimentándose de los resultados.

Accede a la lección magistral a través del aula virtual

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No dejes de leer… Paradigmas, problemas y metodologías de investigación en didáctica de la matemática Godino, J. D. (1993). Paradigmas, problemas y metodologías de investigación en didáctica de la matemática. Quadrante, 2(1), 9-22. En este trabajo se analizan diferentes concepciones de la didáctica de la matemática como disciplina y de los paradigmas de investigación adecuados a la misma. Estos dos factores determinan la definición de los problemas de investigación y constituyen componentes principales de la teoría de la educación matemática, junto con la perspectiva sistémica, cuya consideración es inevitable dada la complejidad de los sistemas didácticos y de enseñanza. Accede al artículo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: https://www.researchgate.net/profile/Juan_Godino/publication/242324533_PARADI GMAS_PROBLEMAS_Y_METODOLOGIAS_DE_INVESTIGACIN_EN_DIDACTICA_ DE_LA_MATEMATICA/links/54fddedf0cf2672e223e9a98.pdf

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Didáctica de la Probabilidad y de la Estadística

Ensino e aprendizagen de investigações estatísticas: Dois estudos de caso com futuras professoras Santos, R. y Ponte, J. P. (2014). Ensino e aprendizagen de investigações estatísticas: Dois estudos de caso com futuras professoras. Quadrante, 28(1), 47-68. La realización de investigaciones estadísticas permite a los estudiantes entender cómo construir el conocimiento utilizando esta disciplina y ofrece oportunidades para el aprendizaje de conceptos y representaciones estadísticas. Sobre la base de dos estudios de caso de los futuros educadores y maestros (1º y 2º ciclo), se analizaron sus perspectivas

en

la

investigación

estadística

como

una

actividad

de

enseñanza-aprendizaje y la forma en que llevan a cabo la investigación estadística en el aula. La recolección de datos incluye los comentarios de las investigaciones estadísticas en el aula, informes escritos de las investigaciones estadísticas, cuestionarios y entrevistas. Accede al artículo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: https://www.researchgate.net/publication/292565482_Ensino_e_aprendizagem_de_ investigacoes_estatistica_Dois_estudos_de_caso_com_futuras_professoras

TEMA 7 – Lo + recomendado

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Didáctica de la Probabilidad y de la Estadística

No dejes de ver… Etapas de una investigación estadística Este vídeo recorre las etapas que son necesarias en una investigación fiable.

Accede al vídeo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: https://www.youtube.com/watch?v=fRvL6WGEF9U

Assumpta Estrada Roca: actitudes positivas hacia la estadística La profesora Estrada nos presenta una investigación centrada en las actitudes.

Accede al vídeo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: https://www.youtube.com/watch?v=Tj7uu3wgkY8

TEMA 7 – Lo + recomendado

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Didáctica de la Probabilidad y de la Estadística

+ Información A fondo Estadística y didáctica de la matemática: relaciones, problemas y aportaciones mutuas Batanero, C. (2002). Estadística y didáctica de la matemática: relaciones, problemas y aportaciones mutuas. En C. Penalva, G. Torregrosa y J. Valls (Coord.), Aportaciones de la didáctica de la matemática a diferentes perfiles profesionales (95-120). Alicante: Universidad de Alicante. En este capítulo, encontrarás una reflexión sobre el interés que para los futuros estadísticos tiene la formación didáctica. La autora analiza los componentes y la metodología que considera adecuados y sugiere posibles actividades para llevar a cabo esta formación. Accede al capítulo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: http://www.ugr.es/~batanero/pages/ARTICULOS/castellon.pdf

TEMA 7 – Actividades

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Didáctica de la Probabilidad y de la Estadística

Intuitive conceptions of kindergarten children about the total of two dice problem, through the use of a microworld Fesakis, G., Kafoussi, S. y Malisiova, E. (2011). Intuitive conceptions of kindergarten children about the total of two dice problem, through the use of a microworld. International Journal for Technology in Mathematics Education, 18(2), 61-70. Muchos investigadores afirman que los niños desde muy temprana edad manejan concepciones intuitivas de probabilidad, que pueden ser adaptadas a través de actividades de aprendizaje, diseñados adecuadamente. Además, los generadores de números aleatorios, así como las representaciones interactivas dinámicas que ofrecen las tecnologías digitales, abren nuevas posibilidades en el aprendizaje de conceptos de probabilidad. En este trabajo, se presenta un caso de estudio sobre la influencia que un micromundo informático especialmente diseñado tenía sobre el desarrollo de las concepciones intuitivas sobre la probabilidad. El micromundo propuesto se basa en el total de los dos dados, mientras que el estudio de sus efectos se refiere a los niños de jardín de infantes. Los resultados experimentales apoyan el valor de aprendizaje del micromundo propuesto. Accede al artículo a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: https://www.researchgate.net/publication/282325991_Intuitive_conceptions_of_kin dergarten_children_about_the_total_of_two_dice_problem_through_the_use_of_a _microworld

TEMA 7 – Actividades

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Didáctica de la Probabilidad y de la Estadística

Webgrafía En el aula con Blanca En este blog podrás conocer otras revistas dedicadas a la didáctica de las matemáticas no especializadas únicamente en la didáctica de la estadística y la probabilidad en la sección «Revistas».

Accede a la página web a través del aula virtual o desde la siguiente dirección: http://auladeblanca.blogspot.com.es/p/revistas.html

TEMA 7 – Actividades

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