Teorema De Pothenot

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION UNIVERSITARIA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “ROMULO GALLEGOS” EDO. GUARICO ÁREA DE INGENIERIA, ARQUITECTURA Y TECNOLOGIA MENCION: INGENIERIA CIVIL. UNIDAD CURRICULAR: VIAS DE COMUNICACIÓN II

PROFESOR: ING. Juan Sheuat

BACHILLER: Montenegro, Leonardo. C.I.: 25.717.863 SECCIÓN 1

SAN JUAN DE LOS MORROS, LUNES 22 DE ABRIL DEL 2019

INTRODUCCION

Para la realización de un trabajo topográfico se necesitan puntos con coordenadas conocidas en los que apoyarse directa o indirectamente. Estos puntos se denominan vértices, y al conjunto de ellos red topográfica o red básica. La finalidad de las observaciones puede ser obtener las coordenadas de dichos puntos o crear la estructura topográfica para el desarrollo de trabajos cartográficos o fotogramétricos. En un proyecto se suele distinguir entre la red básica planimétrica y la red básica altimétrica. Las redes planimétricas tienen la finalidad de establecer coordenadas geográficas latitud y longitud (j, l) o bien cartesianas (X, Y) de los puntos. Las redes altimétricas determinan la tercera coordenada, la altura sobre el Geoide. Una red planimétrica estará formada por el conjunto de vértices con coordenadas (j, l) ó (X, Y), mientras que la red básica altimétrica lo será por vértices con máxima precisión en la coordenada H. Los vértices pueden ser los mismos, pero los condicionantes de situación son completamente diferente, y esto hace que no siempre los puntos que forman ambas redes en un mismo trabajo, coincidan. Cuando los puntos que componen la red básica altimétrica y planimétrica coinciden se habla de redes tridimensionales. En este caso el conjunto de puntos está definido por coordenadas (j, l, h) ó (X, Y, Z) con máxima precisión en el trabajo.

FUNDAMENTO TEORICO.

El problema de Pothenot también conocido como problema de tres puntos se basa en la posición de puntos referidos a una red de triangulación.

La ventaja de resolver el problema de Pothenot es que ya tiene ángulos conocidos como ser los lados de la red y los ángulos internos de dicha red.

Este procedimiento es aplicable especialmente cuando el punto por situar está muy alejado de los puntos conocidos o estando cerca las medidas de las distancias a esos puntos conocidos son difíciles de hacer o resultan imprecisas por obstáculos en el terreno.

Se entiende por problemas de tres puntos o Pothenot a la forma metodológica de determinar el posicionamiento de cualquier punto que este dentro del área circundante del levantamiento topográfico realizado en base a una triangulación.

Con frecuencia se presenta en los trabajos topográficos la necesidad de establecer las coordenadas exactas de un punto en el área de levantamiento, por ello el problema de Pothenot es útil en la resolución rápida y exacta del posicionamiento de cualquier punto.

OBJETIVOS DEL METODO DE POTHENOT

OBJETIVOS ESPECIFICOS El objetivo principal de esta práctica es resolver el problema de tres puntos o problema de Pothenot mediante el método analítico y método gráfico.

OBJETIVOS SECUNDARIOS

Obtener los datos de campo suficientes para resolver el problema de los tres puntos en gabinete:

   

Determinar los Ángulos Faltantes (X, Y, 𝛉𝟏 𝐲 𝛉𝟐 ). Determinar los lados AP, BP y CP. Determinar las coordenadas de los puntos B, C y P. Determinar mediante solución grafica el problema de Pothenot.

METODO GRAFICO Y ANALITICO DE POTHENOT

METODO ANALITICO El método analítico consta de los siguientes pasos: 

Se ubica los lados de apoyo de la red de triangulación que van servir para resolver el problema, determinando los tres vértices consecutivos de apoyo.  Ubicar exactamente el punto P en la posición que se desea determinar respecto a la red de triangulación.  Haciendo estación en el punto P y trazando alineamientos en los vértices de apoyo se forman dos direcciones desconocidas que se denominan alfa y beta cuyos valores los debemos determinar en campo siguiendo uno de los métodos conocidos el de reiteración y repetición y cinco lecturas como mínimo para cada ángulo.  Se realiza el procedimiento en gabinete que consta de los siguientes puntos:

El método analítico establece dos ecuaciones normales que son:

Ambas ecuaciones tienen variables conocidas y determinadas previamente como incógnitas tienen los valores X y Y, que se obtienen de la resolución del sistema de dos ecuaciones.

Además podemos hacer una comprobación utilizando la siguiente relación:

Una vez realizado la comprobación se procede a resolver el cálculo de la distancias (AP, BP y CP) aplicando el teorema de los senos del se tiene las siguientes relaciones.

METODO GRAFICO Este método se lo utiliza para resolver el problema de Pothenot, mediante una gráfica; este método es mucho más directo pero menos preciso y se toma en cuenta los siguientes aspectos para su resolución:

A. PARA ALFA Y BETA MENORES DE 90º (α<90º; β<90º)

Si α < 90º, entonces: 90º –α; el punto 0 está por debajo de la línea AB. Si β < 90º, entonces: 90º –β; el punto 0 está por debajo de la línea BC. Primeramente se observa si los Ángulos α y β son menores a 90º, en ese caso se resta 90º -α y 90º-β, por consiguiente se procede a trazar una línea que inicia del punto A y B y en el otro extremo B y C, con una inclinación del ángulo obtenido de la resta de 90º -α y 90º-β y de la intersección entre las dos rectas se obtiene un punto O que es el centro de la circunferencia tanto para la recta AB, como para la recta BC, el punto donde se intersectan las dos circunferencias se lo llama punto P. Después de realizar todo este proceso se procede a determinar con un escalímetro la distancia AP, BP y CP. Y con un transportador se hallan los ángulos X, Y, Ѳ1 y Ѳ2.

B. PARA ALFA Y BETA MAYORES DE 90º (α>90º; β>90º)

Si α > 90º, entonces: α –90º; el punto 0 está por encima de la línea AB. Si β > 90º, entonces: β –90º; el punto 0 está por encima de la línea BC.

Primeramente se observa si los Ángulos α y β son mayores a 90º, en ese caso se resta α–90º y β–90º, por consiguiente se procede a trazar una línea que inicia del punto A y B y en el otro extremo B y C, con una inclinación del Angulo obtenido de la resta de α–90º y β–90º y de la intersección entre las dos rectas se obtiene un punto O que es el centro de la circunferencia tanto para la recta AB, como para la recta BC, el punto donde se intersectan las dos circunferencias se lo llama punto P.

Después de realizar todo este proceso se procede a determinar con un escalímetro la distancia AP, BP y CP. Y con un transportador se hallan los ángulos X, Y, Ѳ1 y Ѳ2.

OTROS CASOS

MÉTODO DE POTHENOT MÚLTIPLE:

Puede darse el caso que en vez de tener un punto desconocido tengamos varios como por ejemplo P1, P2, P3 para determinar sus coordenadas. Este problema se denomina método de Pothenot múltiple. Se considera múltiple por ser más de uno los puntos a determinar, pero no debemos olvidar que este no es el criterio que nosotros hemos adoptado para considerar una intersección como tal.

Para la resolución numérica tenemos como datos iniciales las coordenadas A(X, Y), B(X, Y), C(X, Y) y los de campo son los ángulos que pueden obtenerse por diferencias de lecturas. Al igual que en el problema de Hansen, la geometría queda obteniendo el valor de los ángulos A y C.

Operando en los triángulos ABP1, P1BP2, obtenemos:

CALCULO DE COORDENADAS

Para obtener las coordenadas de los puntos desconocidos basta con determinar los acimuts y las distancias a ellos desde los puntos cuyas coordenadas nos han sido proporcionadas:

Con estos términos se procede a determinar el valor de las coordenadas parciales y absolutas de cada uno de los puntos.

CONCLUSION

Podemos decir como conclusión que llegamos a resolver problemas de los tres vértices o problemas de Pothenot con gran éxito, empleando los métodos ya mencionados en el trabajo. Esta teoría fue de fácil entendimiento y nos demostró que la aplicación de los métodos es rápida y sencilla, y podemos decir que es una buena forma de resolver el problema que se nos puede presentar en una red de triangulación de un proyecto, aplicando los conceptos básicos y métodos ya vistos. Para realizar un mejor trabajo se recomienda realizar la práctica en clase junto al maestro y dando ejemplos en un terreno plano y ubicar los puntos en lugares visibles, tratando de realizar las lecturas con la mayor precisión posible. Teniendo en cuenta que se debe de nivelar nuestra estación correctamente y al momento de lecturar los ángulos y distancias tratar de sujetar el prisma nivelando con el ojo de pollo.