Tipos De Levantamientos Topograficos Y Coordenadas

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA

TOPOGRAFIA I Tema: Coordenadas Polares, rectangulares, geográficas y UTM, Métodos de levantamiento Topográfico Profesor: Enciso Gutiérrez Antonio Celestino Alumno: Casabona Orihuela Víctor Augusto

Código: 20041067

La Molina – PERU 2011

1.-Tipos de Levantamiento Topográfico 1.1-Levantamientos de tipo general (lotes y parcelas) Estos levantamientos tienen por objeto marcar o localizar linderos, medianías o límites de propiedades, medir y dividir superficies, ubicar terrenos en planos generales ligando con levantamientos anteriores o proyectar obras y construcciones. Las principales operaciones son: Definición de itinerario y medición de poligonales por los linderos existentes para hallar su longitud y orientación o dirección. Replanteo de linderos desaparecidos partiendo de datos anteriores sobre longitud y orientación valiéndose de toda la información posible y disponible. División de fincas en parcelas de forma y características determinadas, operación que se conoce con el nombre de particiones. Amojonamiento de linderos para garantizar su posición y permanencia. Referencia de mojones, ligados posicionalmente a señales permanentes en el terreno. Cálculo de áreas, distancias y direcciones, que es en esencia los resultados de los trabajos de agrimensura. Representación gráfica del levantamiento mediante la confección o dibujo de planos. Soporte de las actas de los deslindes practicados.

1.2.-Levantamiento longitudinal o de vías de comunicación Son los levantamientos que sirven para estudiar y construir vías de transporte o comunicaciones como carreteras, vías férreas, canales, líneas de transmisión, acueductos, etc. Las operaciones son las siguientes: Levantamiento topográfico de la franja donde va a quedar emplazada la obra tanto en planta como en elevación (planimetría y altimetría simultáneas). Diseño en planta del eje de la vía según las especificaciones de diseño geométrico dadas para el tipo de obra. Localización del eje de la obra diseñado mediante la colocación de estacas a cortos intervalos de unas a otras, generalmente a distancias fijas de 5, 10 o 20 metros. Nivelación del eje estacado o abscisado, mediante itinerarios de nivelación para determinar el perfil del terreno a lo largo del eje diseñado y localizado.

Dibujo del perfil y anotación de las pendientes longitudinales Determinación de secciones o perfiles transversales de la obra y la ubicación de los puntos de chaflanes respectivos. Cálculo de volúmenes (cubicación) y programación de las labores de explanación o de movimientos de tierras (diagramas de masas), para la optimización de cortes y rellenos hasta alcanzar la línea de subrasante de la vía. Trazado y localización de las obras respecto al eje, tales como puentes, desagües, alcantarillas, drenajes, filtros, muros de contención, etc. Localización y señalamiento de los derechos de vía ó zonas legales de paso a lo largo del eje de la obra.

1.3.- Levantamientos de minas Estos levantamientos tienen por objeto fijar y controlar la posición de los trabajos subterráneos requeridos para la explotación de minas de materiales minerales y relacionarlos con las obras superficiales. Las operaciones corresponden a las siguientes: Determinación en la superficie del terreno de los límites legales de la concesión y amojonamiento de los mismos. Levantamiento topográfico completo del terreno ocupado por la concesión y confeccionamiento del plano o dibujo topográfico correspondiente. Localización en la superficie de los pozos, excavaciones, perforaciones para las exploraciones, las vías férreas, las plantas de trituración de agregados y minerales y demás detalles característicos de estas explotaciones. Levantamiento subterráneo necesario para la localización de todas las galerías o túneles de la misma. Dibujo de los planos de las partes componentes de la explotación, donde figuren las galerías, tanto en sección longitudinal como transversal. Dibujo del plano geológico, donde se indiquen las formaciones rocosas y accidentes geológicos. Cubicación de tierras y minerales extraídos de la excavación en la mina.

1.4.- Levantamientos hidrográficos Estos levantamientos se refieren a los trabajos necesarios para la obtención de los planos de masas de aguas, líneas de litorales o costeras, relieve del fondo de lagos y ríos, ya sea para fines de navegación, para embalses, toma y conducción de aguas, cuantificación de recursos hídricos, etc. Las operaciones

generales son las siguientes: Levantamiento topográfico de las orillas que limitan las masas o corrientes de agua. Batimetría mediante sondas ecográficas para determinar la profundidad del agua y la naturaleza del fondo. Localización en planta de los puntos de sondeos batimétricos mediante observaciones de ángulos y distancias. Dibujo del plano correspondiente, en el que figuren las orillas, las presas, las profundidades y todos los detalles que se estimen necesarios. Observación de las mareas o de los cambios del nivel de las aguas en lagos y ríos. Medición de la intensidad de las corrientes o aforos de caudales o gastos (volumen de agua que pasa por un punto determinado de la corriente por unidad de tiempo).

1.5.- Levantamientos catastrales y urbanos Son los levantamientos que se hacen en ciudades, zonas urbanas y municipios para fijar linderos o estudiar las zonas urbanas con el objeto de tener el plano que servirá de base para la planeación, estudios y diseños de ensanches, ampliaciones, reformas y proyecto de vías urbanas y de los servicios públicos, (redes de acueducto, alcantarillado, teléfonos, electricidad, etc.). Un plano de población es un levantamiento donde se hacen las mediciones de las manzanas, redes viales, identificando claramente las áreas públicas(vías, parques, zonas de reserva, etc.) de las áreas privadas (edificaciones y solares), tomando la mayor cantidad de detalles tanto de la configuración horizontal como vertical del terreno. Estos planos son de gran utilidad especialmente para proyectos y mejoras y reformas en las grandes ciudades. Este trabajo debe ser hecho con extrema precisión y se basa en puntos de posición conocida, fijados previamente con procedimientos geodésicos y que se toman como señales permanentes de referencia. Igualmente se debe complementar la red de puntos de referencia, materializando nuevos puntos de posición conocida, tanto en planta en función de sus coordenadas, como en elevación, altitud o cota. Los levantamientos catastrales comprenden los trabajos necesarios para levantar planos de propiedades y definir los linderos y áreas de las fincas campestres, cultivos, edificaciones, así como toda clase de predios con espacios cubiertos y libres, con fines principalmente fiscales, especialmente para la determinación de avalúos y para el cobro de impuesto predial. Las operaciones que integran este trabajo son las siguientes: Establecimiento de una red de puntos de apoyo, tanto en planimetría como en

altimetría. Relleno de esta red con tantos puntos como sea necesario para poder confeccionar un plano bien detallado. Referenciación de cierto número de puntos especiales, tales como esquinas de calles, con marcas adecuadas referido a un sistema único de coordenadas rectangulares. Confección de un plano de la población bien detallado con la localización y dimensiones de cada casa. Preparación de un plano o mapa mural. Dibujo de uno o varios planos donde se pueda apreciar la red de distribución de los diferentes servicios que van por el subsuelo (tuberías, alcantarillados, cables telefónicos, etc.).

2.-Tipos de Coordenadas 2.1.-Coordenadas polares

Localización de un punto en coordenadas polares. El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia. De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, θ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector» mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º). Conversión de coordenadas

Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas. En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje x. Conversión de coordenadas polares a rectangulares Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

Conversión de coordenadas rectangulares a polares Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es: (Aplicando el Teorema de Pitágoras) Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:

 

Para r = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real. Para r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].

Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas (arcan denota la inversa de la función tangente):

Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:

Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y del denominador gracias a la implementación de la función atan2, que tiene argumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la función atan puede recibir como parámetro la coordenada x (como ocurre en Lisp). Ecuaciones polares Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva algebraica expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo r como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma (r(θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función r. Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar r. Si r(−θ) = r(θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si r(180°−θ) = r(θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y

si r(θ−α°) = r(θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo. Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide. Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva. Circunferencia

Un círculo con ecuación r(θ) = 1. La ecuación general para una circunferencia con centro en (r0, φ) y radio a es

En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene:8

Línea Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación

Donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan m donde m es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto (r0, φ) tiene la ecuación

Rosa polar

Una rosa polar con ecuación r(θ) = 2 sin 4θ. La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple,

Para cualquier constante φ0 (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones producirán una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional pero no entero, se producirá una forma similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa.

Espiral de Arquímedes

Un brazo de la espiral de Arquímedes con ecuación r(θ) = θ para 0 < θ < 6π. La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la ecuación

Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva es una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación polar.

Otros ejemplos de espirales son la espiral logarítmica y la espiral de Fermat.

Secciones cónicas

Elipse, indicándose su semilado recto. Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dada por:

Donde e es la excentricidad y es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define una hipérbola; si e = 1, define una parábola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculo de radio .

Números complejos

Ilustración de un número complejo z en el plano complejo.

Ilustración de un número complejo en el plano complejo usando la fórmula de Euler. Cada número complejo se puede representar como un punto en el plano complejo, y se puede expresar, por tanto, como un punto en coordenadas cartesianas o en coordenadas polares. El número complejo z se puede representar en forma rectangular como

Donde i es la unidad imaginaria. De forma alternativa, se puede escribir en forma polar (mediante las fórmulas de conversión dadas arriba) como

Por lo que se deduce que

Donde e es la constante de Neper. Esta expresión es equivalente a la mostrada en la fórmula de Euler. (Nótese que en esta fórmula, al igual que en todas aquellas en las que intervienen exponenciales de ángulos, se asume que el ángulo θ está expresado en radianes.) Para pasar de la forma polar a la forma rectangular de un número complejo dado se pueden usar las fórmulas de conversión vistas anteriormente. Para las operaciones de multiplicación, división y exponenciación de números complejos, es normalmente mucho más simple trabajar con números complejos expresados en forma polar que con su equivalente en forma rectangular: 

Multiplicación:



División:



Exponenciación (Fórmula de De Moivre):

2.2.-Coordenadas cartesianas o rectangulares Son un sistema de coordenadas formado por un eje en la recta, por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abscisa y ordenada. Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y x=0, rectas que se cortan en el origen 0 cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina también abscisa al eje x y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo; así por ejemplo las coordenadas del punto A serán ambas positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas. Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes. Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA.

La posición del punto A será:

La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:

Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC. Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino:

Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia dAB entre los puntos A y B antes calculada - Campos vectoriales Un campo vectorial es una construcción del cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo. Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la física para, por ejemplo, modelar la velocidad y la dirección de un líquido móvil a través del espacio, o la

intensidad y la dirección de una cierta fuerza, tal como la fuerza magnética o la gravitatoria, pues cambian punto a punto. En el tratamiento matemático riguroso, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Rn → Rn queUn campo vectorial es en Rn es una aplicación F:A asigna a cada punto x de su dominio A un vector F (x). Si n = 2, F se llama campo vectorial en el plano, y si n = 3, F es un campo vectoriales del espacio. Visualizar F adhiriendo una flecha a cada punto (Fig. 4.3.1). En Rn → R que asigna un número a cada punto es uncontraste, una aplicación f:A campo escalar. Un campo vectorial F (x,y,z) en R3 tiene tres campos escalares componentes F1, F2 y F3, así que F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)). De manera análoga, un campo vectorial Rn tiene n componentes F1, …, Fn. Si cada componente es una función Ck, decimos que el campo vectorial F es de clase Ck. Se dará por hecho que los campos vectoriales son, al menos, de clase C1, a no ser que se diga lo contrario.

La siguiente definición presenta uno de los campos vectoriales más importantes de la física. - Campos escalares Representa a una magnitud física que requiere de sólo un número para su identificación. Se trata de un concepto que data del siglo XIX. Su aplicación está orientada a la descripción de fenómenos relacionados con la distribución de temperaturas dentro de un cuerpo, con las presiones en el interior de fluidos, con el potencial electroestático o con la energía potencial en un sistema gravitacional. Las funciones de estos fenómenos no se pueden modelar en un gráfico, por requerirse cuatro dimensiones, y por eso mismo dan pie para estudiar el «espacio curvo» en el cual cohabitamos. Son también las herramientas optimizantes para aquellos casos donde intervienen distintas variables. Matemáticamente, un campo escalar es una función, cuyo valor depende del punto del espacio en que se considere, y se expresa de la siguiente manera:

En que es un vector de coordenadas (cartesianas) (x, y, z), que representa la posición del observador en el espacio. Un ejemplo recurrente e intuitivo, son las curvas de los mapas bidimensionales de los topógrafos que representan topográficamente a una región. El campo escalar que corresponde es el campo de altura H ( x, y ), de una región de la superficie de la tierra, en función de la posición de puntos sobre un plano proyectivo. Evidentemente, se trata de un campo escalar en el espacio bidimensional, en que la altura de un punto está dada por z = H ( x, y ). - Operaciones con vectores Las operaciones que se pueden realizar con los vectores en el plano. SUMA Y RESTA DE VECTORES Dados dos vectores libres del plano, definiremos suma de estos vectores al vector resultante de unir el origen del primer vector con el extremo del segundo vector, haciendo coincidir previamente el extremo del primer vector con el origen del segundo vector. Gráficamente se puede ver el desarrollo de esta operación: escogeremos un representante del segundo vector libre cuyo origen sea el extremo del representante del primer vector libre. Justo después, se unirá el origen del primer vector con el extremo del segundo vector. Geométricamente, podemos dibujar un paralelogramo con estos dos vectores, y la suma nos dará la diagonal de dicho paralelogramo.

Para hallar el producto de un vector por un escalar (control a para u; control b para v), bastará con multiplicar el punto extremo del vector, y después sumar las coordenadas de los puntos origen y extremo. Gráficamente, consiste en prolongar el vector u a-veces sobre la misma recta sobre la que está el vector v. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES. Si combinamos las dos operaciones anteriores, obtenemos combinaciones lineales de un conjunto de vectores. Dado un conjunto de vectores V ={u,v,w,s,t,…}, y un conjunto de escalares U = {a,b,c,d,e,…}decimos que una combinación lineal de vectores es toda expresión de la forma: a•u+b•v+c•w+d•s+e•t+… Al hacer operaciones, el resultado final, es otro vector del plano. Se puede ver gráficamente en la escena cómo lo que hacemos es sumar dos nuevos vectores, obtenidos al multiplicarlos previamente por escalares. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES Para ello debemos definir un nuevo concepto: ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES. El ángulo que forman dos vectores es el menor de los ángulos que definen las dos rectas sobre las que se encuentran dichos vectores. Se define Producto escalar de los vectores u y v como el resultado de realizar las operaciones: u•v= |u|•|v|•cos(u,v) donde |u| y |v| indican los módulos de los vectores, y cos(u,v) es el coseno del ángulo que forman los dos vectores. Gradiente El gradiente de un campo escalar en un punto es un vector, definido como el único que permite hallar la derivada direccional en cualquier dirección como siendo un vector unitario y la derivada direccional de en la dirección de , que informa de la tasa de variación del campo escalar al desplazarnos según esta dirección:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar:

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca.

El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

En esta imagen, el campo escalar se aprecia en blanco y negro, los cuales representan valores bajos o altos respectivamente, y el gradiente correspondiente se aprecia por flechas azules. Divergencia Divergencia de un campo mide la tendencia de dicho campo vectorial a originarse en o a converger hacia ciertos puntos. La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen:

Donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite. El símbolo representa el operador nabla. Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee manantiales. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo eléctrico. Magnitudes Escalares: Son aquellas que quedan perfectamente definidas mediante un valor numérico, acompañado de la unidad de medida correspondiente.(Ver ejemplo 4.4.1). Magnitudes Vectoriales: Son aquellas en las que, además de un valor numérico, se necesitan otros detalles. Dirección, sentido y módulo son los requisitos necesarios para definirlas.(Ver ejemplo 4.4.2). Ejemplo 4.4.1: Masa, tiempo, temperatura. Ejemplo 4.4.2: Velocidad, aceleración, fuerza.

Se llaman fuentes escalares del campo partir de la divergencia de

al campo escalar que se obtiene a

La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través del teorema de Gauss o teorema de la divergencia. Cuando la definición de divergencia se aplica al caso de un campo expresado en coordenadas cartesianas,

El resultado es sencillo

Sin embargo, para un caso más general de coordenadas curvilíneas, como las cilíndricas o las esféricas, la expresión se complica debido a la dependencia de los vectores de la base con la posición. La expresión para un sistema de coordenadas ortogonales es

Donde los hi son los factores de escala del sistema. Esta fórmula general, para el caso de coordenadas cartesianas (hx = hy = hz = 1) se reduce a la expresión anterior. Para coordenadas cilíndricas (

Para coordenadas esféricas (

2.3.-Coordenadas geográficas

) resulta

) resulta

Mapa de la Tierra mostrando las líneas de latitud (rectas horizontales) y de longitud (arcos) y ángulos laterales. El sistema de coordenadas geográficas es un sistema de referencia que utiliza las dos coordenadas angulares , latitud (norte o sur) y longitud (este u oeste)y sirve para determinar los ángulos laterales de la superficie terrestre (o en general de un circulo o un esferoide). Estas dos coordenadas angulares medidas desde el centro de la Tierra son de un sistema de coordenadas esféricas que están alineadas con su eje de rotación. La definición de un sistema de coordenadas geográficas incluye un datum, meridiano principal y unidad angular. Estas coordenadas se suelen expresar en grados sexagesimales 



La latitud mide el ángulo entre cualquier punto y el ecuador. Las líneas de latitud se llaman paralelos y son círculos paralelos al ecuador en la superficie de la Tierra. La latitud es la distancia que existe entre un punto cualquiera y el Ecuador, medida sobre el meridiano que pasa por dicho punto. Para los paralelos, sabiendo que la circunferencia que corresponde al Ecuador mide 40.075,004 km, 1º equivale a 111,319 km. o La latitud se suele expresar en grados sexagesimales. o Todos los puntos ubicados sobre el mismo paralelo tienen la misma latitud. o Aquellos que se encuentran al norte del Ecuador reciben la denominación Norte (N). o Aquellos que se encuentran al sur del Ecuador reciben la denominación Sur (S). o Se mide de 0º a 90º. o Al Ecuador le corresponde la latitud 0º. o Los polos Norte y Sur tienen latitud 90º N y 90º S respectivamente.

La longitud mide el ángulo a lo largo del ecuador desde cualquier punto de la Tierra. Se acepta que Greenwich en Londres es la longitud 0 en la mayoría de las sociedades modernas. Las líneas de longitud son círculos máximos que pasan por los polos y se llaman meridianos. Para los meridianos, sabiendo que junto con sus correspondientes antimeridianos se forman circunferencias de 40.007 km de longitud, 1º equivale a 111,131 km.

Combinando estos dos ángulos, se puede expresar la posición de cualquier punto de la superficie de la Tierra. Por ejemplo, Baltimore, Maryland (en los Estados Unidos), tiene latitud 39,3 grados norte, y longitud 76,6 grados oeste. Así un vector dibujado desde el centro de la tierra al punto 39,3 grados norte del ecuador y 76,6 grados al oeste de Greenwich pasará por Baltimore. La insolación terrestre depende de la latitud. Dada la distancia que nos separa del Sol, los rayos luminosos que llegan hasta nosotros son prácticamente paralelos. la inclinación con que estos rayos inciden sobre la superficie de la Tierra es, pues, variable según la latitud. En la zona intertropical, a mediodía, caen casi verticales, mientras que inciden tanto más inclinados cuanto más se asciende en latitud, es decir cuanto más nos acercamos a los Polos. Así se explica el contraste entre las regiones polares, muy frías y las tropicales, muy cálidas.1 El ecuador es un elemento importante de este sistema de coordenadas; representa el cero de los ángulos de latitud y el punto medio entre los polos. Es el plano fundamental del sistema de coordenadas geográficas.

2.4.-Sistema de Coordenadas Universal Transversal de Mercator El Sistema de Coordenadas Universal Transversal de Mercator (En inglés Universal Transverse Mercator, UTM) es un sistema de coordenadas basado en la proyección cartográfica transversa de Mercator, que se construye como la proyección de Mercator normal, pero en vez de hacerla tangente al Ecuador, se la hace tangente a un meridiano. A diferencia del sistema de coordenadas geográficas, expresadas en longitud y latitud, las magnitudes en el sistema UTM se expresan en metros únicamente al nivel del mar que es la base de la proyección del elipsoide de referencia.

Proyección Transversa de Mercator

La UTM es una proyección cilíndrica conforme. El factor de escala en la dirección del paralelo y en la dirección del meridiano son iguales (h = k). Las líneas loxodrómicas se representan como líneas rectas sobre el plano (mapa). Los meridianos se proyectan sobre el plano con una separación proporcional a la del modelo, así hay equidistancia entre ellos. Sin embargo los paralelos se van separando a medida que nos alejamos del Ecuador, por lo que al llegar al polo las deformaciones serán infinitas. Es por ello que solo se representa la región entre los paralelos 84ºN y 80ºS. Además es una proyección compuesta; la esfera se representa en trozos, no entera. Para ello se divide la Tierra en husos de 6º de longitud cada uno (Ver Husos UTM). La proyección UTM tiene la ventaja de que ningún punto está alejado del meridiano central de su zona, por lo que las distorsiones son pequeñas. Pero esto se consigue al coste de la discontinuidad: un punto en el límite de la zona se proyecta en dos puntos distintos, salvo que se encuentre en el ecuador. Una línea que una dos puntos de entre zonas contiguas no es continua salvo que cruce por el ecuador. Para evitar estas discontinuidades, a veces se extienden las zonas, para que el meridiano tangente sea el mismo. Esto permite mapas continuos casi compatibles con los estándar. Sin embargo, en los límites de esas zonas, las distorsiones son mayores que en las zonas estándar.

Coordenadas UTM

Husos y Zonas UTM.

Mapa del mundo en proyección transversa de Mercator, centrado sobre el meridiano 0º y el ecuador.

Mapa del mundo en proyección transversa de Mercator, centrado sobre el meridiano 45º E y el ecuador. Husos UTM Se divide la Tierra en 60 husos de 6º de longitud, la zona de proyección de la UTM se define entre los paralelos 80º S y 84º N. Cada huso se numera con un número entre el 1 y el 60, estando el primer huso limitado entre las longitudes 180° y 174° W y centrado en el meridiano 177º W. Cada huso tiene asignado un meridiano central, que es donde se sitúa el origen de coordenadas, junto con el ecuador. Los husos se numeran en orden ascendente hacia el este. Por ejemplo, la Península Ibérica está situada en los husos 29, 30 y 31, y Canarias está situada en el huso 28. En el sistema de coordenadas geográfico las longitudes se representan tradicionalmente con valores que van desde los 180º hasta casi 180º (intervalo -180º → 0º → 180º); el valor de longitud 180º se corresponde con el valor -180º, pues ambos son el mismo Bandas UTM Se divide la Tierra en 20 bandas de 8º Grados de Latitud, que se denominan con letras desde la C hasta la X excluyendo las letras "I" y "O", por su parecido con los números uno (1) y cero (0), respectivamente. Puesto que es un sistema norteamericano (estadounidense), tampoco se utiliza la letra "Ñ". La zona C coincide con el intervalo de latitudes que va desde 80º S (o -80º latitud) hasta 72º S (o -72º latitud). Las bandas polares no están consideradas en este sistema de referencia. Para definir un punto en cualquiera de los polos, se usa el sistema de coordenadas UPS. Si una banda tiene una letra igual o mayor que la N, la banda está en el hemisferio norte, mientras que está en el sur si su letra es menor que la "N".