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PROBLEMA 3 El automóvil recorre la rampa de salida de un aparcamiento con una celeridad cte. de 16km/h. La rampa es una hélice de diámetro 36m. y paso de rosca de 6m.(lo que desciende cada vuelta completa). Determinar el módulo de la aceleración del automóvil cuando desciende por la rampa.

SOLUCIÓN: DATOS V = 16 km/h= 4,4444 m/s = cte. Diámetro =36m Radio =18m Paso de rosca = 6m (descenso) Hallar el módulo de la aceleración cuando desciende por la rampa: SOLUCIÓN: Calculamos la posición en coordenadas cilíndricas: r= r et + z k ; donde r= 18m Hallamos z: Por regla de tres simple: z θ z = (C1-𝟑θ ) π

-6m

2πrad

k

Entonces:

a

3 r  18er  (C1 )k

eθ



v

v  r'er  r'e z' k; r  cte.  3' v  0er 18'e k 



er

4.4444𝑚

𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑣 𝑒𝑠 𝑐𝑡𝑒 =

, 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝑠 (18𝜃′)2+(−3𝜃′/𝜋)2 de aquí obtenemos que θ’=0.2466 rad, por tanto:

4.4444𝑚/𝑠 = v=(0er + 4.4388eθ - 0.2355k) m/s Pero a nosotros nos piden la aceleración: a=(r’ -r𝜃′2)er + (rθ’ + 2r’θ’)eθ + z’’k Como r=cte. , r’=0, r´´=0, θ’=cte., θ’’= 0 Entonces: ′∗𝜃′′ 2 −3𝜃 a= (-r𝜃′ )er + (0)eθ + ’’k

Nos piden el módulo de la aceleración:

𝜋

(-18x0.24662)er

a= + 0eθ – 0k a= (-18x0.24662)er + 0eθ – 0k a= -1.0946er + 0eθ – 0k

|a| = (−1.0946)2+(0)2+(0)2 |a| = -1.0946 m/𝑠2

INTERPRETACIÓN La interpretación de ese problema sería, como se puede apreciar en la gráfica de la velocidad y aceleración, nuestra velocidad nos sale tangente, es decir, cumple con la teoría y cabe recalcar que la aceleración nos sale hacia adentro de la rampa, esto es muy bueno porque permitirá que dicho automóvil descienda por la rampa sin salirse de ella pero a la velocidad anteriormente calculada.

PROBLEMA 7 El movimiento tridimensional de una partícula está definido por el vector posición r=(At cost)i + (A 𝑡2 + 1)j + (Bt sent)k, donde r y t se expresan en pies y segundos, respectivamente. Para A=3 y B=1, determine la dirección de la binormal de la trayectoria descrita por la partícula cuando a)t=0, b)t=pi/2s.

SOLUCIÓN: De la figura podemos apreciar de que la dirección de la binormal está dada por: 𝑣𝑥𝑎 eb= |𝑣𝑥𝑎|

Con A=3 y B=1 r=(3t cost)i + (3 𝑡2 + 1)j + (t sent)k 𝑑𝑟 v=𝑑𝑡 v=3(cost – t sent)i + (3 𝑡 )j + (sent + t cost)k 𝑡2+1

𝑡2+1−𝑡(

a=𝑑𝑣= 3(-sent – sent – t cost)i + 3 𝑑𝑡

a=-3(2 sent + t cost)i +

3

(𝑡2+1)3/2

Inciso a) cuando t=0 v= (3 ft/s)i a= (3 ft/𝒔𝟐)j + (2ft/𝒔𝟐)k vxa = 3i X (3j +2k) 3(−2𝑗+3𝑘) (−2 𝑗+3 𝑘 ) eb= 3√13 = √13 Sus direcciones: cosθx = 0 cosθy = θx= 90°

𝑡 𝑡2+1

𝑡2+1

)

j +(cost + cost – t sent)k

j+ (2 cost – t sent)k

vxa= 3(-2j + 3k)

2

√13

θy= 123.7°

cosθz =

3

√13

θz= 33.7°

|vxa|= 3 (−2)2+(3)2 =3√13

𝝅

Inciso b) Cuando t= v=

𝜋 -(3 2 𝑓𝑡/𝑠)i 𝑓𝑡

+

𝟐 3𝜋 ( 2 ft/s)j 𝜋 +4 24 2

+ (1 ft/s)k 𝜋

2

a= -(6𝑠2) i + [(𝜋2+4)3/2ft/𝑠 ]j – ( 2 𝑓𝑡/𝑠 )k Entonces: 𝑖 𝑗 𝑘 3𝜋 −3𝜋/2 1 vxa = 𝜋2+4 24 −6 −𝜋/2 (𝜋2+4)3/2

eb para t=0

vxa= -4.43984i – 13.40220j + 12.99459k Por lo tanto: |vxa|= (−4.43984)2+(−13.40220)2+(12.99459)2 |vxa|= 19.18829

eb para t=𝝅/𝟐

Entonces:

1(−4.43984𝑖 −13.40220𝑗+12.99459𝑘)

eb=

19.18829

Sus direcciones: − 4.43984 cosθx = 19.18829 θx= 103.4°

13.40220

12.99459

cosθy = - 19.18829 cosθz = 19.18829 θy= 134.3° θz= 47.4°

INTERPRETACIÓN Recordamos de que el eje normal y el eje tangencial forman el plano osculador, el cual es perpendicular al eje binormal, estos cálculos pueden servir en la vida si tenemos una gráfica de esa forma ya sabemos como calcular y tener todos los datos de su movimiento.

PROBLEMA 14 Un pequeño bloque B gira con el plato horizontal A. La distancia entre plato el bloque y el eje de rotación es r=100 mm., la aceleración angular del s α= 2rad/𝑠2=cte. y la velocidad angular inicial es nula. Calcular y representar gráficamente: a. El módulo de la aceleración aB del bloque en función del ángulo de rotación Ө para las dos primeras revoluciones del plato. b. El ángulo ϕ que forma la aceleración aB del bloque con el radio OB en función del ángulo de rotación para las dos primeras revoluciones del plato.

SOLUCIÓN: DATOS: r= 100mm α= 2rad/𝑠2=cte. w0= 0 PARA a): Sabemos: 𝑑𝑤 α=w 𝜃

𝑑𝜃

𝑤

2‫׬‬0 𝑑𝜃 = ‫׬‬0 𝑑𝑤 𝑤2 2𝜃= 2

𝑤2=4𝜃 Ahora: a= r𝑤2 en + r𝛼 𝑒𝑡 a= (100x4𝜃)en + (100x2)et |a|=100 (4𝜃)2+22 a =100 16𝜃2 + 4 mm/𝑠2 𝑅𝑝𝑡𝑎. LA GRÁFICA SE MUESTRA A CONTINUACIÓN:

Para la parte b nos piden el ángulo ∅ que forma el radio con la aceleración: Usaremos la fórmula del producto escalar: r . a=|r| |a| cos∅ r= -100 en + 0et | r |= 100mm a= 400𝜃en + 200et | a |= 100 16𝜃2 + 4 (-400x100𝜃) = 100x 100 16𝜃2 + 4 cos∅ −4𝜃 |cos∅ |=| | 16𝜃2+4

𝜃 4𝜃

tan∅ =

2 4𝜃 1 2𝜃

1

∅ = arctan( ) 2𝜃

2

φ B

tan∅ = 16𝜃2 + 4

a

Rpta.

INTERPRETACIÓN Podemos afirmar de que si queremos elaborar en la vida real este tipo de motores y equipos ya sabemos que valores van a tener la velocidad y aceleración de su movimiento y qué ángulo va rotar, por eso es bueno el estudio de la DINÁMICA.