Loading documents preview...
1. Rangkuman materi dari pertemuan Pertama sampai pertemuan terakhir Arti Logika Informatika Aturan-aturan logika yang menggunakan kaidah-kaidah tertentu dalam informatika yang dipergunakan untuk membuktikan validitas suatu argumen. Aturan-aturan logika yang menggunakan kaidah-kaidah tertentu dalam matematika yang dipergunakan untuk membuktikan validitas suatu argumen dalam bidang informatika. Argumen Adalah suatu usaha untuk mencari kebenaran dari pernyataan berdasarkan kesimpulan, dengan berdasarkan kebenaran dari satu kumpulan pernyataan yang disebut premis-premis. Contoh argumen 1. Semua siswa pandai premis andi adalah siswa
premis
Dengan demikian, andi pandai
kesimpulan
Proposisi Proposisi adalah setiap pernyataan yang memiliki nilai benar atau salah. Logika proposional adalah logika yang menangani/memproses/memanipulasi penarikan kesimpulan secara logis dari proposi-proposisi. Contoh: a) 6 adalah bilangan genap. b) x + 3 = 8. c) Ibukota Provinsi Jawa Barat adalah Semarang. Contoh : Proposisi atomik : Ayah pergi ke Surabaya Ibu pergi ke Bandung Proposisi majemuk : Ayah pergi ke Surabaya dan Ibu pergi ke Bandung Jenis-jenis silogisme : Silogisme Kategorial Contoh : Semua makhluk hidup pasti mati (premis mayor/premis umum) Komodo adalah hewan yang dilindungi (premis minor/premis khusus) Komodo pasti akan mati (konklusi/kesimpulan)
Silogisme Hipotetik Contoh : 1. Jika anda belajar rajin, maka anda lulus ujian. 2. Jika anda lulus ujian, maka anda senang. 3. Dengan demikian, jika anda belajar rajin maka anda senang. Argumen diatas dapat diselesaikan :
A = Anda belajar rajin B = Anda lulus ujian
variable-variabel proposisional
C = Anda senang Bentuk Argumen / Rumus : 1. Jika A, maka B 2. Jika B, maka C 3. Jika A, maka C Silogisme Alternatif Contoh : Adi tinggal di Jakarta atau Malang Adi tinggal di Jakarta Jadi, Adi tidak tinggal di Malang Silogisme Disjungtif Contoh :
1. Program Komputer ini mempunyai bug atau masukannya salah 2. Masukannya tidak salah 3. Dengan demikian,program komputer ini mempunyai bug. Argumen diatas dapat diselesaikan : A = Program komputer ini mempunyai bug B = Masukannya salah Bentuk Argumen / Rumus : 1. A atau B 2. Tidak B 3. A
Tabel Kebenaran
TAUTOLOGI Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran: 1. (p ʌ ~q) → p Pembahasan: q ~q (p ʌ ~q) (p ʌ ~q) p →p F F T F T F T F F T T F T T T T T F F T Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q) → p selalu benar.
KONTRADIKSI Contoh dari Kontradiksi: 1. (A ʌ ~A)
Pembahasan:
A
~A
(A ʌ ~A)
F T
T F
F F
Dari tabel kebenaran diatas dapat disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.
CONTINGENT Example : 1. ((A ^ B) → C) → A A B C
A^ B
F F F F T T T T
F F F F F F T T
F F T T F F T T
F T F T F T F T
(A ^ B) → C T T T T T T F T
R F F F F T T T T
EKUIVALEN LOGIS Contoh : buktikan kedua pernyataan dibawah ini ekuivalen logis : 1. (1) Riani jujur dan baik hati (2) Riani baik hati dan jujur Variabel proposional : A : Riani jujur B : Riani baik hati Ekspresi logika untuk kedua pernyataan tersebut: 1. A Λ B 2. B Λ A Pembuktian dengan tabel kebenaran : A F F T
B F T F
AΛ B F F F
BΛA F F F
(A Λ B) ↔ (B Λ A) T T T
T
T
T
T
T
Maka dapat ditulis : (A Λ B) ≡ (B Λ A)
Operasi Penyederhanaan Example : 1. ( A v 0 ) ^ ( A v ¬A ) ≡ A ^ ( A v ¬A ) Zero of v ≡ A ^ 1 Tautologi ≡ A Identity of ^ 2. ( A ^ ¬B ) v ( A ^ B ^ C ) ≡ (A ^ ¬B) v ( A ^(B ^ C) ) Tambah Kurung ≡ A ^ ( ¬B v ( B ^ C )) Distributif 1 ≡ A ^ ( ( ¬B v B ) ^ ( ¬B v C ) ) Distributif 2 ≡ A ^ ( 1 ^ ( ¬B v C ) ) Tautologi ≡ A ^ ( ¬B v C ) 3. ¬A → ¬( A → ¬B ) A → B ≡ ¬A v B ≡ ¬ ¬A v ¬(A → ¬B) A → B ≡ ¬A v B ≡ ¬ ¬A v ¬(¬A v ¬B) ≡ ¬ ¬A v (¬ ¬A ^ ¬ ¬ B) Hukum De’Morgan ≡ A v ( A ^ B ) Law of Double Negation ≡A
BENTUK NORMAL KALIMAT Example:
1. Mengubah Ekspresi Logika menjadi CNF a. (A~C) (B(A~C)) Jawab : (A~C) (B(A~C)) ((A~C) (B(A~C))) (((B(A~C)) (A~C)) (~(A~C)(~B(~A~C))) (~((~B(~A~C))(A~C)) ( (~A~~C)(~B(~A~C))) ((~~B(~~A ~~C))(A~C)) ( (~AC)(~B(~A~C))) ((B(AC))(A~C)) Cara Membuat Bentuk Normal Dari Tabel Kebenaran •
Contoh : ~(A B) (~A ~C)
Tabel Kebenarannya :
*
A
B
C
A B
~(AB )
~A
~C
~A~ C
*
Keterangan
T
T
T
T
F
F
F
F
T
DNF
T
T
F
T
F
F
T
T
F
CNF
T
F
T
F
T
F
F
F
F
CNF
T
F
F
F
T
F
T
T
T
DNF
F
T
T
F
T
T
F
T
T
DNF
F
T
F
F
T
T
T
T
T
DNF
F
F
T
F
T
T
F
T
T
DNF
F
F
F
F
T
T
T
T
T
DNF
RESOLUSI Contoh : Jika durian ini manis, maka durian ini enak dimakan. Jika durian ini enak dimakan, maka saya akan memakannya. Dengan demikian, jika durian ini manis, maka saya akan memakannya. Pertanyaan : Buktikan bahwa argument diatas valid. Langkah 1 : Tentukan variabel proposisionalnya A = Durian ini manis B = Durian ini enak dimakan C = Saya akan memakannya Langkah 2 : Bentuk ekspresi logikanya (1). A → B (2). B → C (3). A → C
Langkah 3 : Susun dalam bentuk ekspresi logika ( ( A→ B ) ^ ( B → C ) ) → ( A→ C ) Ekspesi logika diatas adalah Silogisme Hipotetis. Dengan pembuktian di Tabel Kebenaran jelas akan bernilai Tautologi. Langkah 4 : Gunakan strategi pembalikan ( A → B) ^ (B → C) ^ ¬(A → C) Kalau dibuktikan dengan tabel kebenaran maka semua akan bernilai salah (Kontradiksi).
Langkah 5 : Perlihatkan ketidakkompatibelannya
Falsum adalah konstanta proposisional yang selalu bernilai salah. Artinya jika nilai kebenaran dari premis-premis dan negasi kesimpulan-kesimpulan bernilai salah(falsum) maka argument pasti valid. Langkah 6 : Lakukan Teknik Resolving Argument dengan cara diubah menjadi CNF (A → B) ^ (B → C) ^ ¬(A → C) (diubah menjadi CNF) ≡ (¬A v B) ^ (¬B v C) ^ ¬(¬A v C) ≡ (¬A v B) ^ (¬B v C) ^ (¬¬A ^ ¬C) ≡ (¬A v B) ^ (¬B v C) ^ (A ^ ¬C) ≡ (¬A v B) ^ (¬B v C) ^ A ^ ¬C assosiatif Langkah 7 : Buat Pohon Terbalik dengan tetap menggunakan CNF
Caranya : 1. Klausa (¬A v B) dan (¬B v C) diresolved (¬A v C) 2. Klausa (¬A v C) dengan A diresolved C 3. Klausa C dengan ¬C diresolved ┴
LOGIKA PREDIKAT 1. Pengantar Logika predikat diperkenalkan oleh Sir William Hamilton (1788 – 1856) dengan doktrinnya yang dinamakan “Quant ification Theory”. Logika predikat merupakan pengembangan dari logika proposisional. Hal itu didasari karena dari suatu argument yang sangat kuat logikanya, memang ada yang tidak dapat ditangani oleh logika proposisional. Contoh :
Badu dan Dewi berpacaran
Pada Logika Predikat : Badu, Dewi disebut term (kata benda) Berpacaran disebut predikat. Sebagai pelengkap term dan predikat, orang menggunakan kuantor yang akan dibahas berikutnya. Peranan Logika Predikat di Ilmu Komputer : 1. Logika predikat memberi alasan logis yang mendasari bahasa pemrograman logika. Misal : Prolog (Programming Logic) dan LISP (List Processing). 2. Logika predikat mampu mendorong pengembangan kebutuhan aplikasi computer. 3. Logika predikat mampu berperan di bagian pembuktian tentang masalah “correctness” sehingga dapat secara tepat mengetahui kondisi program yang menghasilkan keluaran yang benar. Didalam logika predikat kita memakai beberapa operator logika : 1. Konjungsi : ^ (and) 2. Disjungsi : v (or) 3. Negasi : ¬ 4. Kuantor : V = untuk semua, setiap Ǝ = beberapa, ada, tidak semua, sebahagian.
1. Fhilip adalah seorang mahasiswa STMIK-AMIK Riau Logika Predikatnya : mhs (Fhilip) 2. Fhilip kuliah dijurusan Teknik Informatika. Logika Predikatnya : teknik informatika (Fhilip). 2. Kuantor Kuantor merupakan symbol didalam logika predikat. Kuantor dibagi dua macam : 1. Kuantor Universal : Simbol = ( ∀ ) Kuantor universal mengindikasikan bahwa sesuatu bernilai benar untuk semua individual-individualnya. Ciri – cirinya : 1. Pernyataan didalam bahasa Indonesia menggunakan kata Semua Setiap 2. Pernyataan didalam bahasa inggris menggunakan kata every people all people anybody each people Langkah-langkah dalam melakukan Pengkuantoran Universal dari sebuah pernyataan : 1. Carilah lingkup (scope) dari kuantor universal 2. Berilah kuantor universal di depannya. 3. Ubahlah menjadi suatu fungsi. Contoh :
1. Semua mahasiswa harus belajar rajin a. Mahasiswa (x) → harus belajar rajin (x) “Jika x adalah mahasiswa maka x harus belajar rajin” b. ( ∀x ) ( mahasiswa (x) → harus belajar rajin (x) ) c. ( ∀x) ( M(x) → B(x) ) 2. Semua gajah mempunyai belalai. Logika predikat : ( ∀x) ( G(x) → B(x) ) Baca : untuk semua x, jika x seekor gajah, maka x mempunyai belalai. 3. Setiap mahasiswa harus belajar dari buku teks Logika predikat : (∀n ) ( M(n) → B(n) ) Baca : untuk semua x, jika x adalah mahasiswa, maka x harus belajar dari buku teks. 4. Semua bilangan prima adalah ganjil. Logika predikat : (∀x ) ( P(x) → G(x) ) 2. Kuantor Eksistensial : Simbol = ( Ǝ ) Kuantor eksistensial mengindikasikan bahwa sesuatu kadang-kadang bernilai benar untuk individual-individualnya. Ciri – cirinya : 1. Pernyataan didalam bahasa Indonesia menggunakan kata ada tidak semua beberapa 2. Pernyataan didalam bahasa inggris menggunakan kata some there is at least one Langkah-langkah dalam melakukan Pengkuantoran Eksistensial dari sebuah pernyataan : 1. Carilah lingkup (scope) dari kuantor eksistensial. 2. Berilah kuantor eksistensial di depannya. 3. Ubahlah menjadi suatu fungsi. Example : 1. Ada pelajar memperoleh beasiswa prestasi. a. pelajar(x) ^ memperoleh beasiswa prestasi(x) “ada x yang adalah pelajar, dan x memperoleh beasiswa prestasi” b. ( Ǝx ) ( pelajar(x) ^ memperoleh beasiswa prestasi(x) ) c. ( Ǝx) ( P(x) ^ B(x) ) 2. Adapun Materi yang tidak dipahami adalah pada Materi mengubah bentuk CNF dan DNF serta Materi Resolusi, dan bagian penyederhanaan dari Ekspresi Logika