Turbomaquinas Problemas Resueltos De Turbinas Francis Y Kaplan-2018-ii.doc

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TURBINAS FRANCIS Ejemplo y aplicación: 1. Deseamos proyectar una turbina rápida para H=5 m, rendimiento hidráulico 0,88. El diámetro del rodete lo suponemos de momento D 1=600 mm y la velocidad tangencial u1 = 4,5 H . Solución: Se obtiene con estos datos:

u1 = 4,5 H = 4,5 5 = 10 m / seg y El número de revoluciones:

n=

60u1 60 x10 = = 318,3 rpm D1 .p (0,6)x(3,1416)

Por la ecuación fundamental:

u1 .cu1 = hh .g.H y

Si consideramos:

hh = 0,88

Resulta:

u1 .cu1 = (0,88)(9,81)(5) = 43,3

Con lo cual:

cu1 = c1cosa1 =

43,3 43,3 = = 4,33 m / seg u1 10

Si dibujamos el paralelogramo o el triángulo de entrada y suponemos α1=40°, resultara β1=30°, lo que daría lugar naturalmente a canales muy largos. Si desplazamos o retiramos el borde de las paletas hacia el interior y se reduce el diámetro, por ejemplo, hasta D 1=450 mm, con las mismas revoluciones que antes, nos resultara una velocidad tangencial bastante menos, que será:

D1, 45 u = u1 . = (10).( ) = 7,5 m / seg D1 60 , 1

Lo que correspondería a:

u1, = 3,3 H Como: Ing. Willy Morales Alarcón

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u1 .cu1 = 43,3 Se sigue verificando para el nuevo valor del diámetro:

cu1 = 43,3 / 7,5 = 5,8 m / seg.

El triángulo toma ahora la forma de la fig. Viéndose que el ángulo de la paleta aumento hasta ser b1 = 70� . Prácticamente daríamos a esta paleta, teniendo en cuenta lo manifestado antes sobre la conveniencia de aumentar ligeramente el valor obtenido por el cálculo, un ángulo de entrada de 75°. , La altura del triángulo y con ella también el nuevo ángulo a1 se deducen de ,

, la que podríamos llamar componente meridiana cu1 y esta se obtiene a su

vez por la superficie de entrada del rodete. Si continuamos disminuyendo el ángulo β 1 podría irse aumentando el número de revoluciones, que habíamos calculado n=320. Así, pues, con valores pequeños de β1 y disminución del diámetro exterior del rodete en la forma expresada en la fig. Se consigue mayor rapidez y se puede llegar a valores de ns=300 a 500. Rodete Normal - Ejemplo: 2. Se trata de proyectar una turbina Francis con eje vertical de tipo análogo al normal representado en la fig. Los datos conocidos son: El salto útil H=6 m y el caudal medio Q=2 m3/seg. El número de revoluciones no se nos fija, pero si la condición de escoger un tipo normal. La turbina deberá trabajar normalmente con la máxima admisión y obtener en estas condiciones el mejor rendimiento. a) Potencia de la turbina: Calculando con su rendimiento h = 0,85 , obtenemos:

Pc =

1000 x2 x6 x 0,85 = 136 cv 75

b) Tubo de aspiración: Para determinar la velocidad de salida c 3 podemos contar con el 6 % de la altura del salto, y entonces:

c3 = 2.g(6%)H = 2.g(0,06)(6) = 2,66 m / seg Si suponemos además, que c3 se halla en la dirección del eje, se deduce inmediatamente la sección del tubo de aspiración: Ing. Willy Morales Alarcón

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A=

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D32 .p Q 2 = = = 0,75 m2 4 c3 2,66

Para lo cual es preciso que sea:

D3 = 1000 mm

Debemos observar que cuando el eje de la turbina se prolonga dentro del tubo de aspiración hay que aumentar el diámetro del tubo para compensar la disminución de sección. Si c 3 no está en la misma dirección del eje, no debemos hacer intervenir en el cálculo a c 3, sino a su componente meridiana cm 3 = c3 sena 3 , pudiendo poner en lugar de α3 el ángulo α2. c) Rodete y numero de revoluciones: El diámetro del rodete D1 en una turbina normal debe ser ligeramente superior a D3, lo preciso que la construcción exige. En nuestro caso adoptamos:

D1 = 1050 mm

La velocidad tangencial u1 se deduce, al substituir β1=90°, resultando:

u1 = 2,94 H = 2,94 6 = 7,2 m / seg. Ecuación que representa en nuestro caso a la fundamental de las turbinas. El número de revoluciones se deduce fácilmente.

n=

60.u1 60(7,2) = = 130 rpm D1 .p 1,05(3,14)

d) Anchura de la corona directriz: Se escoge, por ejemplo, z0=20 alabes con un ancho entre alabes a 0=55 mm y un espesor de paleta s 0= 7 mm. (El número de alabes es muy variable y se determina de acuerdo con el tamaño de la corona. La anchura a0 entre los alabes oscila entre 40 y 200 mm, también teniendo en cuenta la magnitud de la corona). Con un diámetro interior para la corona directriz D 0=1100, se obtiene para el paso de un alabe t0 =

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1100.p = 172,5 mm . 20

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Ahora se puede dibujar esquemáticamente en cualquier escala el final de la cámara de las paletas directrices y se obtiene a1 = a 0 . a0 + s0 Por el cálculo se obtendría también sena 0 = . t0 El paralelogramo de velocidades puede también construirse, toda vez que son conocidos u1=7,2 y β=900 De la fig. se obtiene: c1 = c0 = 7,75 m / seg O por el cálculo: u c0 = 1 cosa 0 De la formula Q = z0 a0 b0 c0 , se deduce el ancho de la corona directriz: Q 2 b0 = = = 0,235 m z0a0 c0 (20)(0,055)(7,75) En la práctica tomamos b0=240 mm. e) Construcción del rodete y del eje: Después de calcular las medidas principales podemos proyectar ya el rodete en la forma que indica la fig. En escala de 1:10. La rueda es de hierro fundido y las paletas de plancha de acero de 5 a 6 mm de espesor y aprisionadas al fundir la rueda. Teniendo esto en cuenta hay que procurar que el espesor de las paredes sea relativamente grande. Además hay que disponer la curvatura de las superficies interiores y exteriores del rodete de modo que faciliten las desviaciones del agua pasando sin cambio brusco de dirección desde las paletas directrices al tubo de aspiración. Algunos taladros hechos en la proximidad del eje sirven para equilibrar la presión. El eje, trabajando verticalmente, solo se calcula a la torsión según la conocida fórmula: d 3 .p .kt = M 16 Ahora bien: N 136 Mt = 71620 = 71620. = 75000 Kgcm n 130 Y si adoptamos kt=300 kg/cm 2, valor pequeño para el coeficiente de trabajo por torsión, pero en previsión de que también se produzcan Ing. Willy Morales Alarcón

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pequeños esfuerzos de flexión en el eje por los engranajes, etc, al substituir en la formula anterior se deduce: 16.75000 d=3 = 10,8 cm 3,14.300 Por la construcción hemos adoptado d=110 mm. Rodete rápido - Ejemplo: 3. Proyectemos ahora una turbina Francis para un caudal medio Q=5m 3/seg. Con un salto de H=4 m. El número de revoluciones hay que tomarlo lo bastante grande para que el alternador, que debe ser accionado por la turbina por medio de un simple engranaje, marche a la velocidad normal de n=750 rpm. Para la turbina se pide un tipo de eje vertical. Se desea que el mejor rendimiento tenga lugar para ¾Q. Hay que calcular la potencia y las principales dimensiones de la turbina adoptando el sistema de regulación por paletas giratorias. a) Potencia de la turbina: Con un rendimiento a plena admisión de h = 0,82 , obtendremos: 1000.Q.H.h (1000).(5).(4).(0,82) Nc = = = 220 CV 75 75 b) Tubo de aspiración: Funcionando con todo el caudal se destina un 12% de la altura del salto a producir la velocidad de salida del agua. Con esto deduciremos: c3 = 2.g.H = 2.g.(0,12).(4) = 3,1 m / seg Al comienzo del tubo de aspiración tendrá una sección que se obtiene directamente, ya que en este caso no hay que considerar reducción de la misma por el emplazamiento del eje. Así, pues. p D2 Q 5 S3 = 3 = = = 1,61 m2 4 c3 3,1 De donde: D3 = 1430 mm Para ¾ Q, se reducirá en la misma proporción la velocidad de salida, o 3 c3 = c3, = 2,3 , lo que corresponde a 6,5% de H. Por medio de tubo 4 de aspiración, convenientemente dispuesto, esta velocidad, al llegar al sea a

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canal de salida, aun sería más reducida, con lo cual recuperaremos una parte de la energía. c) Diámetro del Rodete y numero de revoluciones: Con un rodete de la forma representada en la fig. Deberemos adoptar un diámetro de entrada: D3 = 1000 mm = D1 Si tomamos un tipo medio entre los rodetes rápidos, por ejemplo, que corresponda a: u1 = 3,3 H = 6,6 m / seg. Se obtiene un número de revoluciones: 60.u1 60(6,6) n= = = 125 rpm D1 .p 1.p Un engranaje de relación 6:1 sería suficiente para conseguir para el alternador la velocidad angular deseada de 750 rpm. d) Angulo de los alabes a la entrada: A la entrada en el rodete podemos aplicar la ecuación fundamental de las turbinas en la forma simplificada: c1 .u1 .cosa 1 = hh .g.H Consideremos el mejor rendimiento hidráulico para ¾ de admisión y admitimos que se alcance en etas condiciones hh = 0,88 . También suponemos que a 1, = 250 . Con estos elementos resulta: c1, x 6,6 xcos250 = 0,88 x 9,81x 4 0,88 x 9,81x 4 c1, = = 5,8 m / seg. 6,6 x 0,9 Podemos construir el paralelogramo de velocidades o el triangulo para ¾ de admisión, teniendo en cuenta que para este valor debe tener lugar el mejor rendimiento y por tanto la entrada del agua sin choque. Se obtiene de la fig. el ángulo de entrada en el rodete b1 = 620 , valor que es bastante aceptable. La velocidad relativa de entrada vale w1, = 2,8 m / seg . Para todo el caudal Q aumentaría hasta valer:

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3 w1 = .w1, = 3,73 m / seg 4 Y si el triángulo variaría como se representa punteado en la misma fig. Los valores exactos no pueden precisarse hasta que se conozcan más detalles sobre la construcción de la corona directriz y el rodete. e) Paletas directrices y ancho bo: Aunque las paletas directrices cambien de posición, según las necesidades de la regulación, en el corto trecho que va desde la salida de la corona directriz hasta la entrada en el rodete, podemos considerar que no se modifican los ángulos ni las velocidades. Así, pues, para ¾ Q: c0, = c1, = 5,8 m / seg. y a 0, = a 1, = 250 Si escogemos ahora Z0=16 paletas y suponemos que estas paletas parcialmente cerradas presentan sus bordes en un círculo de diámetro D0, = 1200 mm , obtendremos: D0, .p 1200(p ) = = 236 mm z0 16 La distancia entre alabes resulta: a0, + s0 = f0, .sena 0, = 236(0,42) = 100 mm Con un espesor de paletas, que como mínimo en su borde hemos de suponer s0=10 mm. Se obtiene: a0, = 90 mm El ancho b0 se obtiene finalmente, como en el ejemplo anterior A, de la fórmula: 3 .Q = z0 .a0, .b0 .c1, 4 De donde: 3,5 b0 = = 0,448 m (4).(16).(0,09).(5,8) En la práctica se tomaría: b0 = 450 mm El ancho de las paletas puede también calcularse como sigue: Del triángulo de velocidades se obtiene la componente meridiana: cm, 0 = c1, sena 1, @ 2,1 m / seg; De lo cual, finalmente, f0, =

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3,5 @ 0,45 m, Como antes (4).(0,9).(1,2).(3,14).(2,5) f) Construcción del rodete y del eje: El rodete puede construirse como respuesta a escala 1:10 la fig. Corona de fundición, paletas de plancha de acero de 6 a 8 mm de espesor, aprisionadas en una pieza al fundir la corona. L forma de la coronas que sujetan los laves se determina de modo que guíen el agua hacia el tubo de aspiración de una manera suave y sin cambios bruscos; hay que procurar especialmente que la curvatura de la corona exterior no sea demasiado fuerte para evitar que algunos filetes líquidos se despeguen de la pared, lo que daría lugar a vacíos, remolinos y fuertes corrosiones. El eje puede calcularse como en el ángulo A para esfuerzos de torsión, con un coeficiente de trabajo k1=300 kg/cm2. Por tanto: d 3 .p kt. =M 16 Por otra parte: N 220 Mt = 71620 = 71620. = 126 000 kgcm n 125 Finalmente: (126 000).(16) d=3 = 12,8 cm (3,14).(300) Para la construcción: d = 130 mm Ejemplo: 4. Una turbina Francis, tiene un rotor de 500 mm de diámetro externo y 50 mm de ancho externo. Si D1/D2=0,70; β2=95° y β1=15°. El área perimétrico del rotor tiene un 6% ocupado por el espesor de los alabes, suponiendo el salto neto de 52 m y la eficiencia hidráulica de 0,88. ¿Calcular el caudal Q y los rpm? Solución b0 =

Turbina Francis: D2=500 mm; b2=50 mm; D1/D2=0,70 β2=95°; β1=15° Área de los alabe=6% AT H=52 m; ηh=0,88. Q=?; n= rpm? Ing. Willy Morales Alarcón

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Según datos el rodete tiene la siguiente configuración:

c2 β2

n

β2 c1

w2 u2 Q w1 β1 u1

c1 α =90°w1 1 β1=15° u1

cm2 c2 β =95° w α2 2 2 u2 w2u c2u

s2

Asumiendo salida radial α 1=90° y cm1=cm2 ordenamos el triángulo de velocidades.

s1 D

Asumiendo salida radial α1=90° y cm1=cm2, ordénanos el triángulo de velocidades:

Area frontal = p D2b2 Areaocupado por el espesor de losalabes = z Area frontal Area ocupado por el espesor de losalabes = 0,06(p D2b2 ) Luego: Q = cm2 (p D2 b2 - zp D2 b2 ) = cm2 (p D2 b2 - 0,06p D2b2 ) Q = cm2p D2 b2 (0,94) (1

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H=

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u2 c2u g

En el triángulo de velocidades:

tan(180�- b2 ) = Luego en:

HR =

cm 2 �tan b2 w2 u

cm 2 ) tan b2 ; g

u2 (u2 +

(2

Además en las turbinas cumple:

HR = hhH

(3

Igualando las ecuaciones 2 y 3:

cm 2 ) tan b2 = hhH g

u2 (u2 +

(4

Del triángulo de velocidades:

cm1 = u1 tan b1 Al ser:

y

u1 = u2 (

D1 ) D2

c m 1 = cm 2

Por consiguiente:

cm1 = cm 2 = u2

D1 tan b1 D2

(5

Reemplazando en (4

ghhH =

D1 )tan b1 D2 tan b2

u22 + u22 (

u22 (1 + 0,70 tan15� ) tan15� u2 = 21,05 m / s

9,81(0,88)(52) =

Reemplazando en la ec. 5: cm1 = cm2 = (21,05)(0,70)(tan75� ) = 3,54 m / s pD n 60u2 60(21,05) u2 = 2 ; n= = = 804 rpm 60 p D2 p (0,5) Ing. Willy Morales Alarcón

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Reemplazando en la ec. 1): Q = cm2p D2 b2 (0,94) = (3,54)p (0,500)(0,050)(0,94) = 0,261 m3 / s Ejemplo: 5. Una turbina Francis de eje vertical desarrolla a 135,87 HP en el eje con un caudal de 12,3 m3/s. El rodete tiene un diámetro de 1,10m y gira a 450 rpm. La componente meridiana de velocidad en la entrada del rodete es de 8 m/s y la diferencia de presión entre la entrada y salida del rodete es 63 m de agua; la eficiencia total es 73%; la eficiencia hidráulica 79% y el espesor de los alabes restringe el área de ingreso del rodete en 4%. Calcular: a) El ángulo y la velocidad absoluta del flujo al ingreso del rotor. b) En ancho de entrada del rotor. c) La velocidad absoluta del flujo a la salida del rotor. d) El grado de reacción y la velocidad especifica de potencia. Solución Peje=135,87 HP; Q=12,3 m3/s; D2=1,10 m n=450 rpm cm1=8 m/s P2 - P1 = 63 m g

ηtotal=73%;

ηh=79%

s k = 2 = 0,04 (% del área por el espesor del alabe) t2 ´ e

Triangulo de velocidades considerando salida radial

n c1

β1

u1

w1

c2 u2

c3 α α2 3

cm2 w3 β2

w2 c m3

c =c3u a) Calculo del ángulo y la velocidad absoluta del flujo 2ual ingreso del rotor Hutil = hh H =

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u2 c2u g

(1

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p D2 n p (1,10)(450) = = 25,92 m / s 60 60 76 P 1000QHh 76(13587) P= H= = = 115 m 76 1000Qh 1000(16,3)(0,73)

u2 =

Reemplazando en la ec. 1. para determinar c 2u Hutil = hh H =

u2 c2u g

0,79(115) =

25,92 c2u 9,81

c2u = 34,384 m / s

Además: ke =

cm 2 cm 3

cm 3 =

cm2 c 8 = m2 = = 7,68 m / s 1 1 ke 1 - ke´ 1 - 0,04

En el triángulo de velocidades, tenemos: taga2 =

cm 2 c2u

a 2 = arctag

cm 2 c2u

a 2 = arctag

8 = 14,6� 34,384

taga 3 =

cm 3 c2u

a 3 = arctag

cm3 c2u

a 3 = arctag

7,68 = 13,98� 34,384

c2 = c22u + cm2 2 = (34,384)2 + (8)2 = 35,3 m / s c2 = c22u + cm2 3 = (34,384)2 + (7,68)2 = 35,23 m / s

b) Calculo del ancho de entrada del rotor: Q = p D2 b2 cm2

12,3 = p (1,10)(b2 )(3)

b2 = 0,445 m

c) Calculo de la velocidad del flujo a la salida del rotor: Hutil = Hexti - H nt

Además tenemos: Hutil = hh H =

P2 - P1 c22 - c12 + g 2g

0,74(115) = 63 +

(35,3)2 - c12 2(9,81)

c1 = 26,45 m / s

d) Calculo del grado de reacción y el ns: R =1-

Hint Hext 63 = = = 0,693 Hutil Hutil 0,79(115)

P=13587 HP 1CV = 0.986HP 1HP=1,014CV

P = 13587 HP = 13587 ( 1,014CV ) = 13779,92 CV

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ns =

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n P 450 13779,92 = = 140,27 H 5/4 (115)5/4

Ejemplo: 6. Una turbina Francis tiene un rodete de 610 mm de diámetro externo y 50 mm de ancho externo. El diámetro interno es 0,65 del externo. Los ángulos de los alabes de entrada y salida son 14° y 95° respectivamente, la componente meridiana es constante a través del rotor y la superficie periférica tiene un 8% ocupado por el espesor de los alabes. Si la turbina opera bajo un salto de 53,6 m, la eficiencia hidráulica es de 88% y la eficiencia total de 81%; determinar: a) La velocidad de rotación del eje en rpm. b) El caudal en lits/s. c) La potencia el eje en HP. d) El número específico de revoluciones. e) El coeficiente de corrección del espesor de los alabes. Solución Trazar un esquema de la turbina e ilustrar su solución con esquemas. w c2 β2 2 β2 Q c1 α1β w1

u2 n

u1

r1

1

r2

D2=610 mm=0,61 m=2r2; b2=50 mm=0,05 mm; β2=95°; β1=14°; cm2=cm1 ke=0,08=8%; Hutil=53,6 m ηh=88 %; Area=zS2=0,08(πD2) Como πD2=zt2 zS2=0,08(zt2) S2/t2=0,08 a) Velocidad de rotación del eje: pD n 60u2 u2 = 2 ; n= u2 = ? (1) 60 p D2 Ing. Willy Morales Alarcón

D1=0,65D2 ηtotal=81 %;

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En el triángulo de velocidades considerando salida radial a1 = 90� Y cm 1 = cm 2 c1 α =90°w1 1 β1=14° u1 u1 =

p D1n ; 60

c1=cm1=cm2 cm2 c2 β =95° w α2 2 2 u2 w2u c p D2 n 2u u1 D1 u2 = � = = 0,65 60 u2 D2

En las turbinas:

hh =

HR Hu

�

HR = hh Hu

Pero también: u2 c2u u2 c2u � (2 g g Del triángulo de velocidades: cm c tagb2 = ; � tagb1 = m c2u - u2 u1 Luego: u1 tagb2 u1 u2 tag95� = = � = tagb1 c2u - u2 c2u - 1 tag14� u2 � c2u = 1,01143u2 En la ec. (2) u2 (1,01143u2 ) = 0,88(53,6); u2 = 21,389 m / s; 9,81 HR =

0,65 c2u -1 u2

c2u = 21,633 m / s

En la ec. (1) n=

60u2 60(21,389) = = 669,6 �670 rpm p D2 p (0,610)

En el diseño se recalcula con 670 rpm. b) Calculo del caudal en litros: A nivel de periferia de entrada:

Q = p D2 b2 cm (3 cm = u1tagb1 = (0,65u2 )tagb1 = 0,65(21,389)tag14�= 3,1 m / s

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En la ec. 3. Q = p D2 b2 cm = p (0,61)(0,05)(3,1) = 0,2977 m3 / s = 297,7 lts / s

c) Calculo de la potencia al eje (HP): Se tiene:

g QH 1000(0,2977)(53,6) htotal = (0,81) = 170 HP 76 76 g QH 1000(0,2977)(53,6) Peje = htotal = (0,81) = 172,33CV 76 75 Peje =

d) El numero especifico de revoluciones: En este caso se refiere a ns ya que se trata de una turbina y el objetivo de una turbina es generar potencia: ns =

n P 670 172,33 = = 60,65 H 5/4 (53,6)5/4

Ejemplo: 7. El rendimiento total de una TF de185 kw, que funciona en un salto de 70 m, es de 82%. La velocidad periférica a la entrada del rodete es 25 m/s, y el ancho del rodete a la entrada es 1/6 del diámetro a la entrada también. La componente meridional de la velocidad permanece constante en el rodete e igual a 4,5 m/s; el agua sale del rodete sin componente periférica alguna. El diámetro de salida de los alabes es 3/4 de la entrada. Rendimiento volumétrico, 0,95; coeficiente de obstrucción de los alabes a la entrada, 0,89; ángulo β1=90°. Calcular: a) Diámetro exterior del rodete. b) Velocidad de rotación c) Angulo de salida de los alabes del distribuidor d) Rendimiento hidráulico e) Rendimiento mecánico f) Numero especifico de revoluciones g) Angulo β2. Solución a) Diámetro d1: De Pa = QgHhtot (kw), se obtiene el caudal : P 185 Q= a = = 0,3285 m3 / s gHhtot 9,81 g70 g0,82 Ing. Willy Morales Alarcón

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Ahora bien: 1 tp d1 d1c1m tp 6 Q= = hv

1 b1 = d1 ; 6

1 2 d1 c1m ; 6 hv

d12 =

hv Q 1 ; t 1p c1m 6

hv Q 0,95 � 0,3285 = = 0,3858 m 1 1 t 1p c1m 0,89 ��� p 4,5 6 6 b) Numero de revoluciones: 60u1 60 � 25 pd n n= = = 1238 rpm u1 = 1 ; p d1 p � 0,3858 60 (Para sincronismo con alternador de dos pares de polos) c) Angulo α1: c c a1 = arctan 1m ; c1u = u1 - 1m = u1 = 25 m / s c1u tan b1 4,5 a 1 = arctan = 10�12´14´´ 25 w1 d1 =

b1

d) Rendimiento mecánico:

hh =

Hu H

a1 u1 = c1u

Hu =

c1u 252 = = 63,71 m g 9,81

hh =

Hu 63,71 = = 0,9101 H 70

c1

Luego

e) Rendimiento mecánico:

htot 0,82 = = 0,9484 hhhv 0,9101 � 0,96 f) Numero especifico de revoluciones: P(kw) 185 Pa = = = 251,4 CV 0,7358 0,7358 nPa1/2 1238 � 251,41/2 ns = 5/4 = = 96,95 H 705/4 g) Angulo β2: hh =

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b2 = arctan

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c2m u2

3 3 u2 = u1 = (25) = 18,75 m / s 4 4 4,5 b2 = arctan = 13� 29´45´´ 18,75

Ejemplo: 8. Las dimensiones de una turbina Francis, que gira a 400 rpm, son las siguientes: d1=750 mm, d2=630 mm; α1=15°; relación ancho diámetro b1/d1=0,12. Velocidad absoluta a la entrada del rodete 14 m/s; velocidad absoluta a la salida del rodete sin circulación=5 m/s; coeficiente de obstrucción a la entrada=0,91; rendimiento hidráulico 82%; las perdidas mecánicas ascienden a 3,7 kw; rendimiento volumétrico=0,9. Calcular: a) Triángulo de velocidad b) Caudal c) Salto útil d) Salto neto e) Potencia útil suministrada por la turbina f) Número específico de revoluciones. Solución a) Triángulo de velocidades: Triángulo de entrada fig. 1. cm1 w1 β 1

c1u u p d n p (0,750)(400) 1 u1 = 1 = = 15,71 m / s 60 60 c1m = c1 sena1 = 14 sen15�= 3,623 m / s c1u = c1 cosa1 = 14 cos15�= 13,52 m / s 3,623 b1 = arctag = 58� 50´54´´ 15,71 - 13,52 Ing. Willy Morales Alarcón

w2

β2

α1

c1

c2m=c2 α2 u2

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Triángulo de salida fig. (2)

d2 630 = 15,71 = 13,20 m / s d2 750 5 b1 = arctag = 20� 44´46´´ 13,20 c2 = c2m = 5 m / s Caudal El caudal que circula por el interior del rodete es Qhv ; luego: t pb d c 0,91(p )(0,12)(0,750)2 Q = 2 1 1 1m = = 0,7768 m3 / s hv 0,9 Salto útil: uc 15,71(13,52) Hu = 1 1u = = 21,65 m g 9,81 Salto neto: 21,65 Hu = = 26,40 m 0,82 Potencia útil: Pa = QgH - 3,7 = (0,7768)(9,81)(21,65) - 3,7 = 161,3 kw Número específico de revoluciones Pa = 161,3 kw = 219,2 cv u1 = u1

b)

c)

d)

e) f)

ns = 9.

400 219,2 = 98,96 (26,40)5/4

Una turbina de reacción, en la que se desprecian las perdidas, tiene las siguientes características: n=375 rpm, β1=90°, α1=10°, c1m=c2m=2 m/s, D2=1/2D1, b1=100 mm. El agua sale del rodete sin componente periférica. El espesor de los alabes resta un 4% al área útil a la entrada del rodete. Calcular: a) Salto neto b) β2 c) D1 y D2 d) Potencia desarrollada por la turbina

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Solución

w1 = c1m = 2 m / s

c2 m = 2 m / s b 2 = 19� , 43

b1 = 90�

a1 = 10� u1 = c1u = 11,343 m / s

a 2 = 90�

u2 = 5, 671 m / s

a) Como no hay pérdidas,

H = Hu (Altura útil o altura de Euler) Como el agua sale del rodete sin componente periférica (triángulo de salida rectángulo en α) c2u=0, y

Hu =

u1c1u g

Como el triángulo de entrada es rectángulo en β (véase figura), tendremos:

c1u = u1 = Luego

c1m 2 = = 11,343 m / s tan a1 tan10� H u = 13,115 m Salto neto = 13,115 m

b) Véase figura

u2 = 0,5u1 = 5, 671 m / s

y

b 2 = arctan c)

u1 =

2 = 19, 43� u2

60u1 60 p D1n = u1 = 578 mm , luego D1 = p n p (375) 60 D2 = 0,5D1 = 289 mm

d) La potencia desarrollada por el rodete es la potencia que, en este caso, coincide la potencia útil o potencia en el eje, porque no se consideran las perdidas mecánicas, y con la potencia neta, porque no se consideran las perdidas hidráulicas y volumétricas. Luego, teniendo en cuenta que:

Q = 0,96p D1b1c1m = 0,96gp gD1 g0,1g2 = 0,3484 m3 / s

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Tendremos:

Pi = P = Q r gH = 44,828 x103 w = 44,828 kw TURBINAS KAPLAN Ejemplo 1: 1. Dimensionar una turbina Kaplan para su máximo rendimiento que es de 87% el caudal de 6,5 m3/seg. Y la altura útil de 5,5 m. La altitud de montaje es de 1000 msnm y su coeficiente de cavitación es 0,82 además el ángulo de ataque o ingreso de agua es de 50°. a) Potencia hidráulica: 1000QHh N= CV 75 1000 x 6,5x 5,5x 0,87 N= = 414,7 CV 75 b) Tubo de aspiración:  En la entrada: c3 = 2.g.0,3H = 2(9,81).(0,3)(5,5) = 5,69 m / seg Q 6,5 S3 = = = 1,14 m2 c3 5,69 D3 =

4Q 4 x 6,5 = = 1,21 m = 1210 mm p c3 p x 5,69

 En la salida: S4 = 4 S3 = 4(1,14) = 4,56 m2 Q 6,5 c4 = = = 1,43 m / seg S4 4,56 D4 =

4Q 4 x 6,5 = = 2,41 m = 2410 mm p c4 p x1,43

 Altura de aspiración (Hs): HS = B , - s H Dónde: σ: coeficiente de cavitación. B, = B B=10 m de agua

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altitud 1000

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1000 = 9m 1000 HS = 9 - (0,82).(5,5) = 4,49 m B , = 10 -

c) El rodete:  Diámetro:

D2 = 0,995D3 D2 = 0,995(1210 mm) ; D2 = 1203,95 mm = 1204 mm  El cabezal: Dn = 0,4D2 Dn = 0,4(1204 mm) ; Dn = 481,6 mm = 482 mm  Diámetro de entrada – Diámetro medio D + D2 482 + 12104 D1 = n D1 = = 843 mm ; 2 2 d) Diagrama de velocidades Cu1 D2 - Dn2 1,2042 - 0,4822 ; S =p 2 S =p = 0,95 m2 4 4 4.(0,8).Q 4.(0,8).(6,5) cm 1 = cm 1 = = 5,44 m / seg ; p (D22 - Dn2 ) p (1,204 2 - 0,4822 )

cu1 = u1 =

hgH ; cu1

cm 1 ; tana

cu1 =

5,44 tan50�

cu1 = 4,56 m / seg 0,87(9,81).(5,5) 46,94 u1 = = 4,56 4,56

u1 = 10,29 m2 5,44 c1 = ; sen50�

cm 1 c1 = 7,10 m / seg ; sena e) Ancho de la corona directriz:  Diámetro de corona: D0 = D2 ; D0 = 1204 mm Asumimos que la corona tiene las mismas dimensiones del rodete para evitar fugas.  Componente meridiana: cm 0 = 0,65cm1 ; cm 0 = 0,65(5,44 m / seg) ; c1 =

cm 0 = 3,53 m / seg

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B0 =

0,8.Q ; 0,9.D0 .p .cm 0

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0,8.(6,5) 5,2 = 0,9.(1,204).p .(3,53) 12,02 B0 = 0,43 m B0 =

f) Numero de revoluciones: 60.u1 60.(|10,29) n= n= n = 233,2 rpm ; ; p .D1 p .(0,843) Ejemplo 2: 2. Determinar la velocidad de rotación y, para el radio externo, la longitud de la cuerda del alabe de una turbina hidráulica de flujo axial tipo Kaplan que produce una potencia de 8613 HP bajo un salto neto de 4,81 m. Asuma lo siguiente: relación de cubo de 0,35, eficiencia total de 0,88, numero de alabes de 5; del mismo modo, para el radio externo: cm / (2gH)0,5 = 0,65 , u / (2gH)0,5 = 2,1 , coeficiente de sustentación de 0,4 y fundamente su solución e ilústrele con esquemas. Solución  Calculando el caudal: 76P 76 x8613 Q= = = 154,65 m3 / s g Hh 1000 x 4,81x 0,88  Velocidad meridiana: cm = 0,65 2gH = 0,65 2 x 9,81 x 4,81 = 6,31 m / s  Calculo del diámetro exterior (despreciando el espacio por los alabes): D Di p Q = De2 [1 - ( i )2 ]cm = 0,35 4 De De Dónde: 4Q 1 4 x154,65 1 De = x = x = 5,963 m p cm p x 6,31 Di 1 - (0,35) 1-( ) De  Velocidad de rotación: pD n 1 u = m = 20,39 m / s , pero Dm = (De + Di ) = 4,025 m 60 2 \ n = 97 rpm Ejemplo 2: 3. Una turbina Kaplan desarrolla una potencia de 10000 kw bajo un salto de 5 m; u = 2 2gH y cm = 0,6 2gH (ambas velocidades referidas al diámetro Ing. Willy Morales Alarcón

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exterior del rodete). Relación del diámetro del cubo al diámetro exterior, 0,45. Rendimiento total, 90 %. Calcular: a) Diámetro exterior del rodete. b) Rpm c) Numero especifico de revoluciones Calculo de una turbina de Hélice: Ejemplo: 4. En un salto de H=3,5 m y con un caudal de Q=6m 3/seg. Se desea instalar una turbina de hélice; vamos a determinar sus dimensiones principales. El eje de desea desde luego verifica. La turbina ha de llevar seis paletas fijas y conseguir su mejor rendimiento para una admisión del 80%. Calcular: a) La potencia con un rendimiento de 85%. b) En el tubo de aspiración con todo el caudal Q debe emplearse un 30% de la altura salto para determinar C3. c) El diámetro superior D3 del tubo de aspiración. d) La velocidad efectiva de salida C 4 si se ensancha el tubo de aspiración de forma que su sección en el desagüe sea cuatro veces mayor, alcanzaremos una velocidad efectiva de salida. e) En el rodete y el número de revoluciones adoptar D 2=1300 mm con ηh=0,88. f) La anchura de la rueda directriz B 0, para el 80% de admisión. Solución a) Potencia: Con un rendimiento η=0,85 a plena admisión, obtendríamos: 1000QHh 1000 x6 x3,5 x 0,85 P= = = 240 CV 75 75 b) Tubo de aspiración: Con todo el caudal Q debe emplearse un 30% de la altura del salto para determinar C3. Por tanto: c3 : 2.g.0,3H = 2 x 9,81 x 0,3x3,5 : 4,5 m / seg. c) Diámetro superior D3: El diámetro superior del tubo de aspiración D 3 se obtiene en el supuesto de que c3 está dirigida en el sentido axial por la formula: D 2 .p Q 6 s3 = 3 = = = 1,33 m2 4 c3 4,5 De donde: Ing. Willy Morales Alarcón

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D3 = 1305 mm d)

e)

Velocidad efectiva de salida c4: Si se ensancha el tubo de aspiración de forma que su sección en el desagüe sea cuatro veces mayor, alcanzaremos una velocidad efectiva de salida: c4 : 1,1 m / seg. O sea una perdida bastante reducida. Rodete y el número de revoluciones: El rodete debe tener un diámetro ligeramente inferior al de tubo de la fig. Para conseguir un pequeño huelgo. Podemos adoptar: D2 = 1300 mm Como diámetro del cubo se indicó anteriormente que se toma, aproximadamente, 0,4 del diámetro del rodete, luego podemos considerar: Dn = 500 mm Y entonces resulta como diámetro medio del rodete: D1 = 900 mm Para este diámetro medio hay que determinar ahora el triangulo de entrada. Según la ecuación fundamental resulta aquí para: hh = 0,88 u1cu1 = hhgH = 0,88 x 9,81x 3,5 = 30 (D22 - Dn2 ).p 4 Habrá que tener en cuenta la llamada componente meridiana: cm1 = c1 sena 1 Y el mejor rendimiento η ha de obtenerse con 80% de la admisión podremos escribir: (D2 - Dn2 ).p 0,8.Q = 2 cm 1 4 De donde: 0,8 x 6 x 4 cm 1 = = 4,2 m / seg. (1,32 - 0,52 ).p En este sentido no se ha tomado en cuenta la disminución de sección por el grueso de las seis paletas, porque el número de ellas es pequeño y el espesor se reduce aguzándolas en la entrada. Para obtendré valores de u1 debe resultar pequeño en la ecuación principal el valor de: Como la superficie del rodete ya está determinada:

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f)

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cu1 = c1cosa 1 Lo que requiere que sea grande α1. Si escogemos, por ejemplo. a1 = 55� Al construir con los valores conocidos el triangulo de la fig. Resulta: cu1 = 2,9 m / seg. Y teniendo en cuenta que: u1 cu1 = 30 De donde: 30 u1 = = 10,3 m / seg. 2,9 Puede completarse el triángulo de entrada. De él se obtiene para el centro de las paletas un ángulo de entrada: b1 = 30� El número de revoluciones del rodete resulta finalmente: 60.u1 60.10,3 n= = = 220 / min D1 .p 0,9 x 3,14 Si se quiere accionar un alternador normal con una velocidad angular: n = 750 / min Habrá que intercalar un engranaje cilíndrico o cónico. Anchura de la rueda directriz Bo: Para el 80% de admisión, o sea con las paletas directrices parcialmente abiertas, podemos suponer un diámetro interior en la corona directriz, podemos suponer un diámetro interior en la corona directriz: Do : 1300 mm La sección libre de salida debe ser mayor que la superficie de entrada en el rodete y tal que la componente meridiana sea: cm 0 = 0,7 a 0,6cm1 Las velocidades irán aumentando en las proximidades del rodete. En nuestro ejemplo se ha sumado: cm 0 = c0 sena 0 = 0,65cm1 = 0,65 x 4,2 : 2,7 m / seg Si calculamos con un gasto de 0,8Q y se considera que la distancia de sección por el espesor de las paletas directrices (que son unas doce) alcanzara al 10%, nos resulta la formula: 0,8Q = 0,9.D0 .p .B0 .cmo Y de aquí:

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B0 =

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0,8 x 6 = 0,48 m 0,9 x1,3 xp x2,7

Se toma, desde luego:

B0 = 480 m Salida del rodete: Para la sección media de la fig. (Que será una sección cilíndrica del rodete) tenemos ya: u2 = u1 = 10,3 m / se g Y también: cm2 = cm1 = 4,2 m / se g Si el rodete alcanza su mejor rendimiento hay que aceptar que c 2 es perpendicular a u2 y entonces resulta también: c1 = cm2 = 4,2 m / seg El triángulo de salida tendrá la forma de la fig. y el ángulo β 2 alcanza entonces unos 22°. h) Corte de los alabes: El triángulo de entrada puede dibujarse de acuerdo con lo dicho anteriormente sobre el triángulo de salida en la forma indicada con puntos en la fig. Se obtiene así para la sección del alabe los ángulos β 1 y β2 con lo que puede ya dibujarse aquel de la manera como se efectuado en la fig. Como las turbinas que tienen un espacio interior sin alabes conviene exagerar los ángulos, podemos dar prácticamente a los de nuestro ejemplo los valores de 35° en la entrada y 20° en la salida. De modo análogo se puede determinar cualquiera otra sección cilíndrica de los alabes, por ejemplo, la del diámetro exterior y la del interior del rodete. Para la exterior se obtiene: D 1,3 u1 = u2 = u1 2 = 10,3 = 14,9 m / seg D1 0,9 Ejemplo: 5. Dimensionar una turbina Kaplan para su máximo rendimiento que es de 88% el caudal de 6,0 m3/seg. Y la altura útil de 3,5 m. La altitud de montaje es de 500 msnm y su coeficiente de cavitación es 0,85 además el ángulo de ataque o ingreso de agua es de 55°. a) Potencia hidráulica: g)

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1000QHh CV 75 1000 x 6,0 x 3,5x 0,88 P= = 246,4 CV 75 P=

b) Tubo de aspiración:  En la entrada: c3 = 2.g.0,3H = 2(9,81).(0,3)(3,5) = 4,54 m / seg Q 6,0 S3 = = = 1,32 m2 c3 4,54 D3 =

4Q 4 x 6,0 = = 1,29 m = 1290 mm p c3 p x 4,54

 En la salida: S4 = 4 S3 = 4(1,32) = 5,28 m2 Q 6,0 c4 = = = 1,14 m / seg S4 5,28 D4 =

4Q 4 x 6,0 = = 2,59 m = 2590 mm p c4 p x1,14

 Altura de aspiración (Hs): HS = B , - s H Dónde: σ: coeficiente de cavitación. B, = B B=10 m de agua

altitud 1000

500 = 9,5 m 1000 HS = 9,5 - (0,85).(3,5) = 6,5 m B, = 10 -

c) El rodete:  Diámetro:

D2 = 0,995D3 D2 = 0,995(1290 mm) ; D2 = 1283,5 mm = 1283,5 mm  El cabezal: Dn = 0,4D2 Dn = 0,4(1283,5 mm) ; Dn = 513,4 mm = 0,5134 m

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 Diámetro de entrada – Diámetro medio D + D2 513,4 + 1283,5 D1 = n D1 = = 838,45 mm ; 2 2 d) Diagrama de velocidades Cu1 D2 - Dn2 1,28352 - 0,51342 S =p 2 ; S =p = 1,08 m2 4 4 4.(0,8).Q cm 1 = ; p (D22 - Dn2 ) 4.(0,8).(6,0) 19,2 = = 4,42 m / seg 2 2 p (1,2835 - 0,5134 ) 4,09 c 4,42 cu1 = m1 ; cu1 = tan55� tana cu1 = 3,09 m / seg hgH 0,88(9,81).(3,5) 30,21 u1 = u1 = = ; cu1 3,09 3,09 cm 1 =

u1 = 9,78 m2 4,42 c1 = ; sen50�

cm 1 c1 = 5,4 m / seg ; sena e) Ancho de la corona directriz:  Diámetro de corona: D0 = D2 ; D0 = 1,28 m Asumimos que la corona tiene las mismas dimensiones del rodete para evitar fugas.  Componente meridiana: cm 0 = 0,65cm1 ; cm 0 = 0,65(4,42 m / seg) ; c1 =

cm 0 = 2,87 m / seg B0 =

0,8.Q ; 0,9.D0 .p .cm 0

B0 =

0,8.(6,0) 0,9.(1,28).p .(2,87)

B0 = 0,46 m f) Numero de revoluciones: 60.u1 n= ; p .D1

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n=

60.(9,78) ; p .(0,898)

n = 208,00 rpm

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