Uc0065_mai_calculoi_ed1_v1_2015.pdf

Cálculo I Saúl Orlando Matías Caro

Datos de catalogación bibliográfica Cálculo I. Manual Autoformativo / Saúl Orlando Matías Caro–Huancayo: Universidad Continental. Modalidad Virtual ; 2016.–190 p. Datos de catalogación del CENDOC UC

Cálculo I. Manual Autoformativo Interactivo Saúl Orlando Matías Caro Primera edición Huancayo, agosto de 2016 De esta edición © Universidad Continental Av. San Carlos 1980, Huancayo-Perú Teléfono: (51 64) 481-430 anexo 7361 Correo electrónico: [email protected] http://www.continental.edu.pe/ Versión e-book Disponible en http://repositorio.continental.edu.pe/ ISBN electrónico N.° 978-612-4196Dirección: Emma Barrios Ipenza Edición: Eliana Gallardo Echenique Asistente de edición: Andrid Poma Acevedo Asesoría didáctica: Fabio Contreras Corrección de textos: Corina Delgado Morales Diseño y diagramación: Francisco Rosales Guerra Todos los derechos reservados. Cada autor es responsable del contenido de su propio texto. Este manual autoformativo no puede ser reproducido, total ni parcialmente, ni registrado en o transmitido por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electro-óptico, por fotocopia, o cualquier otro medio, sin el permiso previo de la Universidad Continental.

Índice INTRODUCCIÓN DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA RESULTADOS DEL APRENDIZAJE:

UNIDAD I

7 8 8

UNIDADES DIDACTICAS:

8

TIEMPO MINIMO DE ESTUDIO:

8

“LÍMITES DE UNA FUNCIÓN”

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD I TEMA Nº 1: LíMITES DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL 1. INTRODUCCIÓN

9 9 12 12

2. LIMITE DE UNA FUNCION

13

3. PROPIEDADES DE LOS LíMITES

14

4. LíMITES INDETERMINADOS

15

5. LíMITES LATERALES

19

videos

24

ACTIVIDAD FORMATIVA N° 1

24

TEMA Nº 2: LíMITES TRIGONOMETRICOS 1. LíMITES TRIGONOMÉTRICOS 2. Cálculo CON LíMITES TRIGONOMÉTRICOS video TEMA Nº 3: LíMITES QUE INVOLUCRAN AL INFINITO Y ASINTOTAS 1. LíMITES INFINITOS Y ASINTOTAS VERTICALES 2. LíMITES AL INFINITO Y ASINTOTAS HORIZONTALES

25 25 26 27 28 28 29

videos

31

ACTIVIDAD FORMATIVA N° 2

32

LECTURA SELECCIONADA 1

33

PRIMERA PRUEBA DE DESARROLLO

33

GLOSARIO DE LA UNIDAD I

34

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD i

35

AUTOEVALUACIÓN de la unidad i

36

UNIDAD II

“LA DERIVADA”

39

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD II

39

TEMA Nº 1: LA DERIVADA Y SU INTERPRETACION 1. INTRODUCCIÓN

42 42

VIDEO

42

2. LA DERIVADA Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

43

3. LA DERIVADA Y SU INTERPRETACIÓN FÍSICA.

49

4. DEFINICIÓN DE LA DERIVADA

51

TEMA N° 2: REGLAS DE DERIVACIÓN 1. INTRODUCCIÓN

54 54

2. REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

54

3. DERIVADAS DE PRODUCTOS Y COCIENTES

55

ACTIVIDAD FORMATIVA N° 1 TEMA Nº 3: LA DERIVADA DE FUNCIONES TRANSCENDENTES (I PARTE) 1. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. VIDEO

59 60 60 62

2. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.

63

3. LA REGLA DE LA CADENA

65

4. DERIVADAS IMPLÍCITAS

68

ACTIVIDAD FORMATIVA N° 2

71

LECTURA SELECCIONADA N° 1:

71

TEMA Nº 4: LA DERIVADA DE FUNCIONES TRANSCENDENTES (II PARTE) 1. DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA

72 72

2. DERIVADA DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA

74

3. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.

76

4. DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL

78

ACTIVIDAD FORMATIVA N° 3

83

LECTURA SELECCIONADA n° 2:

83

TEMA Nº 5: LA DERIVADA DE FUNCIONES HIPERBOLICAS 1. DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN HIPERBÓLICA 2. DERIVADA DE LA FUNCIÓN HIPERBÓLICA. VIDEO

84 84 86 88

ACTIVIDAD FORMATIVA N° 4

88

LECTURA SELECCIONADA N° 3

89

SEGUNDA PRUEBA DE DESARROLLO

89

GLOSARIO DE LA UNIDAD II

90

BIBLIOGRAFÍA DE LA II UNIDAD ii

91

AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD II

92

UNIDAD III

“APLICACIONES DE LA DERIVADA”

95

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD III

95

TEMA Nº 1: APLICACIÓN A LA FISICA 1. MOVIMIENTO DE CAMBIO

98 98

2. RAZÓN DE CAMBIO RELACIONADAS. video TEMA Nº 2: MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS 1. EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN.

100 104 105 105

2. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Y EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA.

112

3. CONCAVIDAD, PUNTOS DE INFLEXIÓN Y EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

118

TEMA Nº 3: TEOREMA DEL VALOR MEDIO 1. TEOREMA DEL VALOR MEDIO

126 126

ACTIVIDAD FORMATIVA n° 1

128

LECTURA SELECCIONADA n° 1:

128

TEMA Nº 4: OPTIMIZACIÓN 1. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN. videos TEMA Nº 5: REGLA DE L’HOSPITAL 1. REGLA DE L’HOSPITAL. video

129 129 136 137 137 143

ACTIVIDAD FORMATIVA nº 2

143

LECTURA SELECCIONADA nº 2:

144

TERCERA PRUEBA DE DESARROLLO

145

GLOSARIO DE LA UNIDAD iii

146

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD iii

147

AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD III

148

UNIDAD IV

DERIVADAS PARCIALES

155

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD IV

155

TEMA Nº 1: FUNCIONES Y LíMITES DE VARIAS VARIABLES 1. INTRODUCCIÓN

158 158

2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

158

3. LÍMITES Y CONTINUIDAD

161

video ACTIVIDAD FORMATIVA Nº 1

162 162

TEMA Nº 2: DERIVADAS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1. DERIVADAS PARCIALES

163 163

2. LINEALIZACIÓN Y DIFERENCIALES

164

3. REGLA DE LA CADENA

165

video ACTIVIDAD FORMATIVA Nº 2 TEMA Nº 3: MÁXIMO Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1. EXTREMOS DE FUNCIONES MULTIVARIABLES

168 168 169 169

2. MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

172

3. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

174

video

177

ACTIVIDAD FORMATIVA Nº 3

177

LECTURA SELECCIONADA Nº 1:

178

CUARTA PRUEBA DE DESARROLLO

178

GLOSARIO DE LA UNIDAD IV

179

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD IV

180

AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD IV

181

ANEXO: CLAVE DE RESPUESTAS DE LAS AUTOEVALUACIONES

188

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

INTRODUCCIÓN

L

La asignatura de Cálculo I se desarrolla con una modalidad de educación virtual, para eso este manual autoformativo es su material didáctico más importante dentro de su formación profesional. La matemática como ciencia es una de las más importantes y poderosas herramientas creada por el ser humano. Es así como la asignatura de Cálculo I, trata de temas básicos que permite a los estudiantes desarrollar sus habilidades y destrezas y lo más importantes incursionar en el inicio del estudio de las matemáticas superiores en toda su universalidad. De esta manera se ha planteado 4 unidades, las cuales están debidamente organizadas y sistematizadas teniendo en cuenta los principios pedagógicos, motivo por el cual en primer lugar se presenta la teoría, luego ejercicios resueltos, actividades de autoaprendizaje y finalmente la autoevaluación. Para el estudio del manual se sugiere la siguiente secuencia en cada unidad:

•

Realizar el estudio de los contenidos. Es necesario la lectura analítica, la comprensión de los ejemplos y el repaso de los temas.

•

Desarrollar las actividades, con referencia en los ejemplos resueltos por cada tema.

•

Desarrollar la autoevaluación, que es una preparación para la prueba final de la asignatura

•

Desarrollar las actividades programadas para cada semana en el aula virtual, con la asesoría del Tutor

Por tanto Ud. requiere un conocimiento directo y práctico de la matemática que le permita aplicar en temas de su carrera profesional, tomando casos de su entorno, logrando de esta manera la adquisición de conocimientos de la matemática a través de la aplicación directa de la teoría sin dejar de lado la motivación y la aplicación de nuevas metodologías para desarrollar un buen aprendizaje

7

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA

RESULTADOS DEL APRENDIZAJE: Al finalizar la asignatura, el estudiante elabora y sustenta un proyecto de investigación sobre la construcción de la gráfica de una función, utilizando límites y derivadas, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión, tanto para producir e interpretar distintos tipos de información, como para ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y espaciales de la realidad, y para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana y con el mundo laboral.

UNIDADES DIDACTICAS: UNIDAD I

UNIDAD II:

Unidad III

Unidad IV

Límites de una Función

La Derivada

Aplicaciones de las Derivadas

Derivadas de Parciales

TIEMPO MINIMO DE ESTUDIO:

8

UNIDAD I

UNIDAD II

UNIDAD III

UNIDAD IV

1 y 2 semana

3 y 4 semana

5 y 6 semana

7 y 8 semana

16 horas

16 horas

16 horas

16 horas

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

UNIDAD I

“LÍMITES DE UNA FUNCIÓN” DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD I

• Al finalizar la unidad, el estudiante en forma escrita y en tiempo determinado aplica los procedimientos de los límites para el cálculo en situaciones formales y del entorno físico, analizando los resultados.

9

ACTIVIDADES FORMATIVAS (habilidades y actitudes)

CONTENIDOS Tema Nº 1: LíMITES de una función de variable real 1 Introducción 2 Límites de una función de variable

real 3 Propiedades de los límites 4 LíMITES indeterminados 5 LíMITES laterales

Tema Nº 2: Límites indeterminados 1 Límites trigonométricos 2 Cálculo con límites trigonométricos

• Utiliza instrumentos, técnicas y fórmulas, para aplicar los límites en expresiones indeterminadas. • Resuelve ejercicios de límites indeterminados utilizando el límite en funciones trigonométricas y que involucran el infinito • Trabaja individual y grupalmente resolviendo ejercicios y problemas de aplicación de contenidos

Tema Nº 3: LíMITES que involucran al infinito y asíntotas 1 LíMITES infinitos y asintotas

verticales 2 LíMITES al infinito y asíntotas

horizontales

SISTEMA DE EVALUACIÓN (Técnicas y Criterios) Procedimientos e indicadores de evaluación permanente: • Entrega puntual de los trabajos realizados • Calidad, coherencia y pertinencia de los contenidos desarrollados • Participa en actividades colaborativas y tutorizadas Criterios de evaluación de capacidades matemáticas: 1.  Identifica

y diferencia los límites de una función de variable real 2.  Analiza las propiedades de los límites 3.  Realiza Cálculos con límites trigonométricos. 4.  Resuelve ejercicios de LíMITES infinitos y asíntotas verticales. 5.  Resuelve ejercicios de límites al infinito y asíntotas horizontales.

RECURSOS: VIDEOS: Tema Nº 1 Limite indeterminado 0/0 por factorizacion https://www.youtube.com/watch?v=EdbwBJ5GPKA duración 5. 12 min. Tema Nº 2 Límite de funciones trigonométricas https://www.youtube.com/watch?v=ZdEumqWYMvA duración 6.14 min. Tema Nº 3 Cálculo de límites infinitos a partir de la gráfica  https://www.youtube.com/watch?v=IAhlrfWGu8Y duración 6.11 min

DIAPOSITIVAS ELABORADAS POR EL DOCENTE: Lectura complementaria: Lectura Seleccionada Nº 1 Rodríguez, S. O. (Enero 2003). Aportaciones de Jean Bernoulli al Cálculo. Apuntes de Historia de las Matemáticas, 1(2), 14-15.

10

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Instrumento de evaluación

Prueba de desarrollo Básica Larson, R. & Edwards, B.H. (2009). Cálculo Diferencial – Matematica I (8 ed.). México: Mc Graw Hill. Ubicación: Biblioteca UC: 515.1-L25-2006 Complementaria Anton (2009). Cálculo de una Variable. Trascendentes Tempranas (2 ed.). México: Limusa. Espinoza, E. (n.d.). Analisis Matematico I (4 ed.). Lima: Servicios Gráficos J.J. Hoffmann, Bradley & Rosen (2006). Cálculo Aplicado para Administración, Economia y Ciencias Sociales (8 ed.) México: Mc Graw Hill.

Bibliografía (Básica y Complementaria)

Howard, A. (2009). Cálculo de una Variable (2 ed.). México. Limusa Wiley. Larson, R. & Edwards, B.H. (2010). Cálculo Esencial (8 ed.). México: Cengage Learning. Larson, R. & Edwards, B.H. (2012). Cálculo de una Variable. (9 ed.). México: Mc Graw Hill. Leithold (2013). El Cálculo. 33. México: Editorial Oxford/Harla. Purcell, Varberg & Rigdon (2001). Cálculo. (8 ed.) México: Prentice Hall. Stewart, J. (2008). Cálculo: Trascendentes Tempranas. (6 ed.). México: Cengage Learning. Zill, D.G. & Wright, W.S. (2011). Cálculo de una Variable: Transcendentes Tempranas (4 ed.). China: Mc Graw Hill. Proyecto Matex ( 8 de julio de 2015). Límites y Continuidad. Recuperado de http:// personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_1/LimiContiC1.pdf

Recursos Educativos digitales

Sauce ( 8 de julio de 2015). Límites y Continuidad de Funciones. Recuperado de http:// sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T09.pdf Youtube ( 08 de julio 2015). Límites de una Función Real. Recuperado de https://www. google.com.pe/?gws_rd=ssl#q=LíMITES+de+una+funcion&tbm=vid

11

UNIDAD I

TEMA Nº 1: LíMITES DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL

TEMA Nº 1

1. INTRODUCCIÓN En el Cálculo, su fundamento de estudio ésta en los límites, por tanto este tema es trascendental. De hecho, la derivada y la integral definida son conceptos basados en límites. Conceptualizar límite determinando el comportamiento de una función e interpretarlo en su gráfica, ayudará bastante en el inicio del análisis de los límites. A continuación veamos los siguientes ejemplos: A veces algo no se puede calcular directamente... Usemos por ejemplo esta función:

x2 −1 y= x −1 Y calculemos su valor para

y=

x = 1:

12 − 1 1 − 1 0 = = 1 −1 1 −1 0 0

0

¡Pero 0 es un problema! En realidad no podemos saber el valor de , así que tenemos que encontrar otra 0 manera de hacerlo. En lugar de calcular con

x = 1 vamos a acercarnos poco a poco: X

Vemos que cuando x se acerca a 1,

x2 −1 x −1

0.5

1.50000

0.9

1.90000

0.99

1.99000

0.999

1.99900

0.9999

1.99990

0.99999

1.99999

...

...

x2 −1 se acerca a 2 x −1

Ahora tenemos una situación interesante:

12

x = 1 no sabemos la respuesta (es indeterminada)

•

Cuando

•

Pero vemos que va a ser 2

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra “límite” para refe-

El límite de

x2 −1 cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2 x −1

Es importante señalar que al estudiar el límite de una función, no se menciona el valor que toma la función exactamente en el punto. Así, en el ejemplo, no importa cuál es el valor de f 1 , sino el valor de f x cuando tiende a 1. Esto se debe a que el concepto de límite de una función en un punto es independiente del valor que toma la función en este.

( )

()

x

f

la función definida por la ecuación:

La representación gráfica de f es:

2 x 2 − 3x − 2 para toda x ∈ R, x ≠ 2 f ( x) = x−2

TEMA Nº 1

Ahora veamos otro caso, puede suceder que en dicho punto la función no esté definida y aún exista el limite. El siguiente ejemplo presenta esta situación: Sea

UNIDAD I

rirse exactamente a estas situaciones.

Figura 1. Gráfica de una f no definida

De la gráfica puede observarse que aunque la función f no está definida para x cercanos a 2 la función se aproxima a 5, lo que escribimos como:

= 2, cuando x toma valores muy

lim f ( x ) = 5 x→2

2. LIMITE DE UNA FUNCION De lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso todavía, podemos emitir la siguiente definición:

x

Una función f tiene limite L en un punto , si f se aproxima a 0 tomar el valor L cada vez que su variable independiente x se aproxima a tomar el valor

x0. Lo que se denota como:

lim f ( x ) = L.

x → x0

La definición anterior es clara desde un punto de vista intuitivo. No obstante es imprecisa por lo que es necesario dar una definición rigurosa formalizando especialmente la expresión “cada vez más próximos”.

13

Suponga que se plantea el problema de demostrar que: lim 3 x + 2 = 8 o qué lim x→2

x→2

x 2 − 3 x − 10 = −3 Para esto, x+2

debemos garantizar formalmente el acercamiento que tiene la función a su correspondiente valor cada vez que su variable independiente se aproxime al valor especificado. La demostración consistirá en escribir matemáticamente, en lenguaje formal, la metodología del proceso, lo cual nos lleva a la necesidad de tener una definición formal de límite y no sólo para estos dos ejemplos, sino para cualquier función. Una función f de variable real y sean ε y ∂ cantidades positivas muy pequeñas.

TEMA Nº 1

UNIDAD I

DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITES

Suponga que f se aproxima a L cuando x se aproxima a

x0 denotado por lim f ( x) = L x → x0

, significa que para toda proximidad ε que se desee estar con f en torno a L, deberá poderse definir un intervalo en torno a x0 en el cual tomar x, sin que necesariamente x = x0 , que nos garantice el acercamiento. Es decir:

( lim f ( x=) L ) ≡ ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − x

0

x → x0

< δ ⇒ f ( x) − L < ε

La definición indica que para asegurar que una función tiene límite deberíamos establecer una relación entre δ y ε. Una manera de interpretar gráficamente lo mencionado es:

Figura 2. Representación de la relación entre δ y ε

3. PROPIEDADES DE LOS LíMITES Sean f y g funciones con límite en

lim k a)  x→ x

= k,

lim x b) 

= x0

0

x → x0

14

∀k ∈R

x0 ; es decir, suponga que lim f ( x) = L y lim g ( x) = M . Entonces: x → x0

x → x0

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

c)

lim k . f ( x) = k lim f ( x) = k .L

∀k ∈R

x → x0

lim d)  x → x0

[ f ( x) + g ( x)] = xlim →x

f ( x) + lim g ( x) = L + M

lim e) 

[ f ( x) − g ( x)] = xlim →x

f ( x) − lim g ( x) = L − M

x → x0

0

0

0

0

x → x0

x → x0

f ( x). lim g ( x) = L.M x → x0

f ( x) L  f ( x)  xlim → x0 = = lim g)   x → x0 g ( x )  g ( x) M   xlim →x 0

TEMA Nº 1

[ f ( x).g ( x)] = xlim →x

lim f)  x→ x

UNIDAD I

x → x0

siempre que lim g ( x) ≠ 0 x →x0

n

n f ( x) ] =  lim f ( x)  = Ln [  x → x0  x → x0

h)  lim

i)  lim n x → x0

f ( x) = n lim f ( x) = n L x → x0

4. LíMITES INDETERMINADOS Cálculo de límites Las propiedades de los límites permiten establecer límites de ciertas funciones. Ejemplo Calcular: lim x→2

(x

3

+ 5x − 4)

Solución: Aplicando las propiedades de los límites, tenemos:

(

)

lim x3 + 5 x 2 − 4 = lim x3 + lim 5 x − lim 4 x→2

(

)

x→2

x→2

3

x→2

( inciso d y e )

( inciso h, c y a )

= lim x + 5lim x − 4 x→2

x→2

= 23 + 5 ( 2 ) − 4

= 14

Respuesta

Del ejemplo anterior nos permite concluir que con una sustitución basta y podemos usar el siguiente teorema: Teorema De Sustitución: Sea f una función polinomial o una función racional, entonces

lim f ( x ) = f ( x0 )

x → x0

( )

siempre que f x0 , este definida y que el denominador no sea cero para el caso de una función racional.

15

UNIDAD I

Entonces, de principio o de final en el cálculo de límite, se empleara el teorema de sustitución:

Ejemplo Calcular: lim x→2

(x

3

+ 5x − 4)

TEMA Nº 1

Solución: Aplicando el teorema de sustitución, tenemos:

(

)

lim x3 + 5 x 2 − 4 = ( 2 ) + 5 ( 2 ) − 4 = 14 x→2

3

EJERCICIOS RESUElTOS Calcule el límite de las siguientes funciones:

( 2x

a)  lim x→2

2

+ 3x − 5)

x+2 x →−1 1 − x x −3 lim c)  x →3 2 x − 1 b)  lim

d)  lim x →1

x2 + 2 x 2x2 + 1

Solución Para calcular los límites de las funciones, se hará en forma directa usando la sustitución de sus variables (teorema de sustitución)

( 2x

lim a)  x→2

2

+ 3x − 5) = 2 ( 2 ) + 3 ( 2 ) − 5 = 9 2

x+2 −1 + 2 1 = = x →−1 1 − x 1 − ( −1) 2

lim b) 

x −3 3−3 0 = = = 0 x →3 2 x − 1 2 ( 3) − 1 7

lim c)  d)  lim x →1

x2 + 2x = 2 x2 + 1

1+ 2 = 2 +1

3 = 1 3

En otros casos, al calcular límites, una vez aplicado el teorema de sustitución, se requerirá un trabajo adicional si se presentan resultados de la forma indeterminada: 0 0

Ejemplo Calcular: lim x →1

16

x 2 + 3x − 4 x 2 − 3x + 2

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Solución x →1

2 x 2 + 3 x − 4 1 + 3 (1) − 4 0 = = una indeterminación, para x 2 − 3 x + 2 12 − 3 (1) + 2 0

destruirla vamos a simplificar la expresión, es decir factorizando:

lim x →1

UNIDAD I

Empleando el teorema de sustitución tenemos: lim

( x + 4 )( x − 1) = lim ( x + 4 )( x − 1) = lim ( x + 4 ) x 2 + 3x − 4 = lim 2 x →1 ( x − 2 )( x − 1) x →1 ( x − 2 )( x − 1) x →1 ( x − 2 ) x − 3x + 2 =

1+ 4 5 = = -5 1-2 -1

TEMA Nº 1

( x + 4) x →1 ( x − 2 )

lim

Y finalmente por el teorema de sustitución:

EJERCICIOS a)  Calcular: lim x→2

x 4 − 16 x−2

Solución

lim Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: x →2

x 4 − 16 24 − 16 0 = = x−2 2−2 0

una indeterminación, simplificamos esta expresión:

x 2 − 4 )( x 2 + 4 ) ( x-2 )( x + 2 ) ( x 2 + 4 ) ( x 4 − 16 = lim = lim = lim ( x + 2 ) ( x 2 + 4 ) lim x →2 x →2 x→2 x − 2 x →2 x−2 x−2 Finalmente por sustitución, resulta:

lim ( x + 2 ) ( x 2 + 4 ) = x →2

b)  Calcular: lim x→4

( 2 + 2 )( 4 + 4 )

= 32

x + 5 x − 14 x −2

Solución Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

4 − 5 4 − 14 0 = 0 4 −2

una indeterminación, simplificamos esta expresión:

lim x→4

x + 5 x − 14 = lim x →4 x −2

(

x +7

)(

x −2

x −2

)

= lim x →4

(

x +7

)

Aplicando el teorema de Sustitución, resulta:

lim x →2

(

x +7

)

=

(

)

4 +7 = 9

17

c)  Calcular: lim

UNIDAD I

x →1

x −1 x −1

Solución

TEMA Nº 1

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: Racionalizando el numerador y simplificando:

1 − 1 0 (indeterminación) = 1−1 0

 x − 1 x + 1 x −1 x −1 = lim  . = lim  x →1 x →1 x −1 x + 1 ( x − 1) x + 1  x −1

lim

(

x →1

)

= lim x →1

1 x +1

Aplicando el teorema de Sustitución, resulta:

1 = x +1

lim x →1

1 1 = 2 1 +1

d)  Calcular: lim x →0

x +1 −1 x+2− 2

Solución Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

0 +1 −1 0 = 0+2 − 2 0

una indeterminación, luego racionalizando

tanto el numerador y denominador, y simplificando:

 x +1 −1 x +1 −1 x +1 +1 x + 2 + 2  = lim  . .  = x →0 x+2− 2  x + 2 − 2 x +1 +1 x + 2 + 2 

lim x →0

(

)

(

 x + 1 2 − 1   = lim  2 x →0  x+2 − 2 

(

= lim x →0

x+2+ 2

) ( )  (

x

( x

(

x+2+ 2

)

x +1 +1

2

)

x +1 +1

) = lim ( x →0

)

(

( x + 1 − 1) ( x + 2 + 2 ) = x →0 ( x + 2 − 2 ) ( x + 1 + 1)

= lim

x+2 + 2

)

)

x +1 +1

Aplicando el teorema de Sustitución, resulta:

lim x →0

(

(

0+2 + 2

)

0 +1 +1

)=

e)  Calcular: lim

x →1 3

18

2+ 2 2 2 = = 2 1+1 2

x −1 x −1

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Solución

1 −1 0 = 3 1 −1 0

una indeterminación; luego para este tipo de límites se sugiere utilizar “cambio de variable” porque hay radicales de diferentes grados:

Si x = u 6 ⇒ x = u 6 = u 3

y

3

x = 3 u 6 = u 2. Luego:

Aplicando el teorema de Sustitución, resulta:

u →1

2

+ u + 1)

( u + 1)

=

TEMA Nº 1

u 2 + u + 1) ( u − 1) ( u 2 + u + 1) ( x −1 u3 −1 lim 3 = lim 2 = lim = lim x →1 u →1 ( u + 1) x − 1 u →1 u − 1 u →1 ( u − 1)( u + 1)

(u lim

UNIDAD I

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

1+1+1 3 = 1+1 2

5. LíMITES LATERALES Existen funciones que por la derecha de un punto tienen un comportamiento y por la izquierda del punto tienen otro comportamiento. Esto ocurre frecuentemente en funciones que tienen regla de correspondencia definida en intervalos y que su gráfica presenta un salto en un punto, como se observa en la grafica siguiente:.

Figura 3. Gráfica que representa un salto en un punto

Para expresar formalmente este comportamiento se hace necesario definir límites en un punto por una sola dirección.

19

UNIDAD I TEMA Nº 1

Figura 4. El limite cuando:

x → x0+ ≠ x → x0− Por lo tanto, el límite cuando x → x0 no existe.

DEFINICIÓN 1 El límite lateral por la derecha de f (x) cuando “x” tiende al valor “a” por la derecha es igual a “L” y escribimos

lim f ( x ) = L

x→a+

Observemos que en la definición dada se supone que la función f (x), está definida en el intervalo (a,c) , para valores de c > a .

DEFINICIÓN 2 El límite lateral por la izquierda de f(x) cuando “x” tiende al valor “a” por la izquierda es igual a “L” y escribimos

lim f ( x ) = L

x→a−

En esta definición se supone que la función f(x), está definida en el intervalo (d,a), para valores de d < a . Ahora para ver la relación que existe entre los límites laterales el teorema siguiente:

f ( x) con el lim f ( x), se da lim f ( x) y xlim x→a →a−

x→a+

Teorema De Existencia de Limite:

x

Si f es una función con límite en 0 entonces se cumple que tanto por izquierda como por derecha f tiende a tomar el mismo valor. Es decir:

( lim f ( x ) = L ) ≡ lim f ( x ) = L ∧ lim f ( x ) = L x → x0+

x → x0

Si se da que

x → x0−

lim f ( x) ≠ lim f ( x), se dice que lim f ( x) no existe −

x → x0+

x0

x → x0

Ejemplo: Obtenga los límites indicados en cada caso y trace la gráfica:

20

 4 − x2 f ( x) =  2 2+ x

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Obtenga:

lim f ( x ) y

x →1−

lim f ( x )

UNIDAD I

lim f ( x ) ,

x →1+

x →1

Solución: Hallamos los límites tal como nos indican:

( ) lim f ( x ) = lim ( 2 + x ) = 2 + 1 = 3 x →1

x →1−

x →1−

TEMA Nº 1

lim f ( x ) = lim+ 4 − x 2 = 4 − 1 = 3

x →1+

2

Por lo tanto:

lim f ( x ) = 3 x →1

De acuerdo al teorema de la existencia de Límites, podemos concluir que tanto por izquierda como por derecha f tiende a tomar el mismo valor. Es decir existe el límite. Su gráfica sería:

Figura 5. El limite cuando: x → Por lo tanto, el límite cuando x

x0+ ≠ x → x0− .

→ x0 existe.

EJERCICIOS 1. Sea

f ( x) =

2x − 3 f ( x) . Hallar: lim x→2 2x − 3

Solución Expresando la regla de correspondencia sin valor absoluto, resulta:

 2x − 3  2x − 3 2x − 3  = f ( x) = 2 x − 3  − ( 2 x − 3)   2x − 3

;

x>2

;

x<2

1 = −1

; ;

x>2 x<2

21

1. Sea

f ( x) =

2x − 3

. Hallar: lim f ( x ) x→2

Solución Expresando la regla de correspondencia sin valor absoluto, resulta:

TEMA Nº 1

UNIDAD I

Esto quiere decir que su gráfica es: Esto quiere decir que su gráfica es:

f ( x) no existe. De la grafica observamos que lim+ f ( x) = 1 y lim− f ( x) = −1 entonces se concluye que lim x→2 x → 2 lim f ( x ) = 1 →2 y entonces se De la grafica xobservamos que lim f ( x ) = − 1 x → 2− x → 2+ 2. Dada la siguiente función: concluye que lim f ( x ) no existe. si x →2 x < −4  x+4  f ( x ) =  2.16Dada si −4función: − x 2 la siguiente <x<4  x−4 si x≥4  si x < −4  x+4  f= si −4 < x < 4 ( x )  16 − x 2 lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x), xlim f ( x),  Obtenga: + x →−4− x →−4 si x →≥ 4− 4 x →−4x − 4 Solución:

Obtenga:

lim f ( x),

x →−4−

lim f ( x),

x → 4+

lim f ( x), lim f ( x), lim− f ( x),

x →−4+

x →−4

x→4

lim f ( x),

x→4

lim f ( x),

x → 4+

lim f ( x),

x→4

Hallamos los límites tal como nos indican:

lim f ( x ) = Solución: lim− ( x + 4 ) = −4 + 4 = 0

x →−4−

x →−4

Hallamos los límites tal como nos indican:

lim+ f ( x ) = lim+ 16 − x 2 = 16 − 16 = 0

x →−4

x →−4

lim f ( x ) = lim ( x + 4 ) =−4 + 4 =0 lim f ( x) = 0 (existe límite)

x →−4− x →−4− De acuerdo al cálculo obtenemos:

x →−4

19

lim f ( x ) = lim− 16 − x = 16 − 16 = 0 2

x → 4−

x→4

lim f ( x ) = lim+ ( x − 4 ) = 4 − 4 = 0

x → 4+

22

x→4

De acuerdo al cálculo obtenemos: lim x→4

f ( x) = 0 (existe límite)

lim f ( x ) = lim+ ( x − 4 ) = 4 − 4 = 0

x → 4+

x→4

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

De acuerdo al cálculo obtenemos: lim f ( x) = 0 (existe límite) x→4

Siendo su gráfica: Siendo su gráfica:

UNIDAD I TEMA Nº 1

3. Dada la siguiente función:

3. Dada la siguiente función:

Obtenga:

lim f ( x),

lim f ( x), lim f ( x), lim− f ( x),

x →−2−

x →−2+

Solución: Obtenga: lim f ( x ), − x →−2

x →−2

x→2

lim f ( x),

x → 2+

lim f ( x), lim f ( x), lim− f ( x),

x →−2+

x →−2

x→2

lim f ( x),

x→2

lim f ( x),

x → 2+

lim f ( x),

x→2

Previamente podemos graficar:

Solución: Previamente podemos

graficar:

20 Observamos que según la gráfica los límites laterales son diferentes, esto indica que los límites lim f ( x) no existen. Estos resultados se comprueban en seguida. x→2

( f ( x ) = lim ( x

lim f ( x) y

x →−2

) + 1) = 4 + 1 = 5

lim− f ( x ) = lim− 4 − x 2 = 4 − 4 = 0

x →−2

lim

x →−2+

Entonces:

x →−2

x →−2+

2

lim f ( x) no existe

x →−2

(

)

(

)

lim f ( x ) = lim− x 2 + 1 = 4 + 4 = 5

x → 2−

x→2

lim f ( x ) = lim+ x 2 − 4 = 4 − 4 = 0

x → 2+

x→2

Entonces: lim x→2

f ( x) no existe

23

UNIDAD I

videos Limite indeterminado 0/0 por factorizacion https://www.youtube.com/watch?v=EdbwBJ5GPKA

TEMA Nº 1

duración 5. 12 min.

ACTIVIDAD FORMATIVA N° 1 I. Desarrollo de Conceptos •

 n el contexto del cálculo de límites, analizar qué se quiere decir mediante las funciones que concuerdan E salvo en un punto.

•

Elaborar un ejemplo de funciones que concuerdan salvo en un punto.

•

¿Qué se quiere decir con indeterminaciones o forma indeterminada?

Obtenga el límite de las funciones que se dan:

x2 − 2x − 8 1.  f ( x ) = lim x →−2 x2 − 4

x 2 − x − 12 f ( x) = lim 3 3.  x →−3 x + 27 x+3 − 3 5.  f ( x) = lim x →0 x

7.

9.

24

f ( x) = lim

x →0 4

x −1 x −1

( x + 1) f ( x) = lim x →0

x

2

−1

( x + 2) − 8 f ( x) = lim 2.  2 x →0 ( x + 2) − 4 3

f ( x) 4. 

= lim

3

x →0

x +1 −1 x

x 2 − (1 + a ) x + a f ( x) = lim 6.  x →−1 x −1

8.

 3 x2 − 2 3 x + 1  f ( x) = lim   2 x →1   x − 1 ( )  

10.

f ( x ) = lim− x→2

[3x − 2 2 − x [

II.

x2 − 4

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

UNIDAD I

TEMA Nº 2: LíMITES TRIGONOMETRICOS 1. LíMITES TRIGONOMÉTRICOS

lim senx = 0

;

X →0

lim cosx = 1 x →0

TEMA Nº 2

Para resolver límites que involucran funciones Trigonométricas, resulta conveniente conocer los límites de las siguientes funciones:

Ahora considérese el siguiente límite:

senx x →0 x

lim

r=1

s x t

Figura 6. Gráfica circulo unitario donde se indica:

senx < x < tgx senx senx x x 1 < < cosx ⇒ 1 < < senx senx senx senx cosx

1>

senx > cosx x

lim (1) = 1 = lim cosx x →0

∴lim x →0

x →0

senx =1 x

Con los tres límites, esto es:

lim senx = 0 x →0

;

lim cosx = 1 x →0

;

senx =1 x →0 x

lim

es posible resolver muchos límites de funciones trigonométricas.

25

UNIDAD I

2. Cálculo CON LíMITES TRIGONOMÉTRICOS Ejercicio 1 1 − cos x x →0 x

Calcular: lim

TEMA Nº 2

Solución Aplicando el Teorema de sustitución:

1 − cos 0 0 = (indeterminación). 0 0

Multiplicando por el conjugado y aplicando propiedades:

1 − cos x 1 + cos x 1 − cos 2 x sen 2 x . = lim = lim x →0 x 1 + cos x x →0 x(1 + cos x) x →0 x(1 + cos x)

lim

senx senx  sen0  0 = (1)  lim = =0 x →0 x x →0 1 + cos x  1 + cos 0  2

= lim

Ejercicio 2 sen mx x → 0 sen nx

Calcular: lim Solución:

Aplicando propiedades obtenemos:

senmx senmx senmx m. senmx mx = lim m . mx = m lim = lim x = lim x → 0 sennx x → 0 sennx x →0 sennx x →0 n sennx n n. x nx nx

Ejercicio 03 Calcular: lim x →0

1 + tan x − 1 + senx x3

Solución Al aplicar el Teorema de sustitución:

1 + tan0 − 1 + sen0 0 = 03 0 genera indeterminación, luego calculamos multiplicando por el conjugado y aplicando propiedades:

lim x →0

1 + tan x − 1 + senx 1 + tan x + 1 + senx tan x − senx 1 . = lim . 3 3 x x 1 + tan x + 1 + senx x→0 1 + tan x + 1 + senx

senx 1 sen 2 x 1 1 11 1 1 1 = 1. . . . = . . 2 . . x →0 x cos x x 1 + cos x 1 + tan x + 1 + senx 11 2 2 4

lim

26

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

x →0

1 + tan x − 1 + senx 1 = x3 4

UNIDAD I

Entonces el lim

Ejercicio 04 1 − 2 x 2 − 2 cos x + cos 2 x x →0 x2

Calcule: lim

Agrupando convenientemente y aplicando propiedades:

2 1 − 2 cos x + cos 2 x ) − 2 x 2 ( 1 − cos x ) − 2 x 2 ( 1 − 2 x 2 − 2 cos x + cos 2 x lim = lim = lim x →0 x →0 x →0 x2 x2 x2

(1 − cos x ) = lim x →0

x2

2

TEMA Nº 2

Solución

 1 − cos x  2  2 x2 − 2 = lim  − 2  x →0 x x   

Aplicando el teorema de sustitución, obtenemos:

 1 − cos x  2  − 2  = 0 − 2 = −2 lim   x →0 x   

1 − 2 x 2 − 2 cos x + cos 2 x = −2 x →0 x2

Entonces el lim

video Límite de funciones trigonométricas https://www.youtube.com/watch?v=ZdEumqWYMvA duración 6.14 min.

27

UNIDAD I

TEMA Nº 3: LíMITES QUE INVOLUCRAN AL INFINITO Y ASINTOTAS

TEMA Nº 3

1. LíMITES INFINITOS Y ASINTOTAS VERTICALES Estos son límites laterales y se caracterizan porque cuando la variable tiende a algunos valores, las funciones tienden a infinito o a menos infinito, como se ilustra en los ejemplos que se dan a continuación.

Ejemplo. Si

f ( x) =

2 . Obtenga el lim− f ( x) y lim+ f ( x ) x →3 x →3 x −3

Solución Calculando los límites se obtiene:

lim− f ( x) = lim-

x →3

x →3

2 2 f ( x) = lim+ = +∞ = −∞ y xlim + →3 x →3 x − 3 x−3

La gráfica de la función será:

Observamos que la grafica de f ( x ) = derecha la grafica crece sin límite.

EJERCICIOS 1.  Para la función lim f ( x).

f ( x) =

x →1+

En base a ella trace su grafica.

28

2x 1 − x2 ,

2 tiene una asíntota vertical x = 3 y tanto por izquierda como por x −3

obtenga los límites indicados: ,

f ( x) y lim f ( x), lim− f ( x), xlim →1

x → −1+

x →1

−

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Solución

lim− f ( x) = lim−

x → −1

x → −1

lim− f ( x) = lim−

x →1

x →1

UNIDAD I

Calculando los límites se obtiene:

2x 2x = +∞ y lim+ f ( x ) = lim+ = −∞ 2 x → −1 x → −1 1 − x 2 1− x

2x 2x = +∞ y lim+ f ( x) = lim+ = −∞ 2 x →1 x →1 1 − x 2 1− x TEMA Nº 3

La gráfica de la función será:

f ( x) =

2x 1− x2

Observamos que la grafica de tiene dos asíntotas verticales x como por derecha la grafica crece sin límite.

2. Calcular: Solución

lim+

x→2

= −1 y x = 1 , tanto por izquierda

x+3 x−2

Empleando sustitución, tenemos:

lim+

x→2

x + 3 2+ + 3 5+ = = = +∞ x − 2 2+ − 2 0+

La grafica de f ( x) =

x+3 tiene una asíntota vertical x = 2 y por su derecha la grafica crece sin limite x−2

2. LíMITES AL INFINITO Y ASINTOTAS HORIZONTALES En ciertas ocasiones puede ser necesario estudiar el comportamiento de una función cuando la x toma valores muy grandes, diremos cuando x tiende al infinito. Suponga que f se aproxima a tomar un valor L cuando la variable x toma valores muy grandes, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente manera:

lim f ( x ) = L

x →∞

29

UNIDAD I

Ejemplo 01. Calcular

2x + 5 . x → +∞ 3 x − 8 lim

Solución

TEMA Nº 3

Aquí se presenta la indeterminación:

∞ ∞

2x + 5 2x + 5 = lim x Dividiendo numerador y denominador para x: lim x → +∞ 3 x − 8 x → +∞ 3 x − 8 x 2x + 5 2x 5 5 + 2+ x = 2+0 = 2 lim x = lim x x = lim x → +∞ 3 x − 8 x → +∞ 3 x 8 x→+∞ 8 3−0 3 3− − x x x x El resultado indica que la gráfica de

f ( x) =

2x + 5 2 tiene una asíntota horizontal y = en el infinito positivo 3x − 8 3

Ejemplo 02. Calcular

x 2 − 7 x + 3. lim x → +∞ 4x3 + 8

Solución Aquí se presenta la indeterminación:

∞ ∞

Dividiendo numerador y denominador para

x 3:

1 7 3 x 2 7x 3 x 2 − 7x + 3 − + − + 2 x − 7x + 3 x 3 x 3 x 3 = lim x x 2 x 3 x3 = = lim lim lim x → +∞ x → +∞ x → +∞ x → +∞ 8 4x 3 + 8 4x 3 + 8 4x 3 8 4+ 3 + 3 3 3 x x x x =

El resultado indica que la gráfica de sitivo

30

0−0+0 =0 4+0

x 2 − 7x + 3 f ( x) = tiene una asíntota horizontal y = 0 en el infinito po4 x 3 + 8x

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

videos https://www.youtube.com/watch?v=IAhlrfWGu8Y

UNIDAD I

Cálculo de límites infinitos a partir de la gráfica

duración 6.11 min

TEMA Nº 3 31

UNIDAD I TEMA Nº 3

ACTIVIDAD FORMATIVA N° 2 I.  ¿Verdadero o falso?. En los ejercicios 1 al 4 , determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o propocionar un ejemplo que demuestre que lo es.

p ( x ) es un polinomio, entonces la función dada por: f ( x) =

Si

•

La gráfica de una función racional tiene al menos una asíntota vertical

•

Las funciones polinómicas carecen de asíntotas verticales

•

Si f tiene una asíntota vertical en

II.

x = 0, entonces no está definida en x = 0

Obtenga el límite de las funciones que se dan:

III.

tan x x

1. 

f ( x) = lim

3. 

f ( x) = lim

x →0

sen( x + a ) − senx x →0 a

Resuelva los siguientes ejercicios que se dan:

− x4

•

lim 

•

2 x + x −1 x→∞ 3 x − 7

x →∞

x 4 − 7x3 + 7x 2 + 9

lim

•



•



lim

3

x → −∞ 3

lim

x →∞

32

p ( x) tiene una asíntota en x = 1 x −1

•

x −5 x x +5 x

x −1 + x −4 x − 2 − x −3

tan(a 2 − 1) 2. f ( x ) = lim x →0 a2 −1 4. f

1 − cot x π x → 1 − tan x

( x) = lim 4

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

UNIDAD I

LECTURA SELECCIONADA 1 Leer artículo: Aportaciones de Jean Bernoulli al Cálculo (pp. 14-15). Universidad de Sonora. (Enero, 2003). Jean I. Apuntes de Historia de Las Matemáticas, II, 14–16. Disponible en https://issuu.com/abelgalois/docs/apuntes_de_la_historia_de_las_matematicas_vol_ii

TEMA Nº 3

PRIMERA PRUEBA DE DESARROLLO Cálculo I INSTRUCCIONES: Lea atentamente cada enunciado y resuelva consignando todo el procedimiento. La limpieza y el orden influirán en la calificación final.WW

1.  Calcular el: (3p)

lim

x →−1

x +1 6 x 2 + 3 + 3x

2.  Calcular el: (4p)

3.  Dada la función: (4p)

 x2  f ( x ) =  Mx + N  2x − 6 

Determine los valores de “M” y “N” tales que

; x ≤ −2 ; −2 < x < 2 ;2 ≤ x

lim f ( x ) y lim f ( x ) existan.

x →−2

x→2

4.  Calcule: (5p)

lim x →0

x − sen 3 x x + sen 5 x

5.  Halle las asíntotas verticales y horizontales de la siguiente función:

f ( x) =

(4p)

3x − 7 4x − 9x 2 + 2x 33

UNIDAD I

GLOSARIO DE LA UNIDAD I A

TEMA Nº 3

ASÍNTOTAS Son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente. ASÍNTOTAS HORIZONTALES Son rectas horizontales a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Las asíntotas horizontales son rectas de ecuación: y = k. Asíntotas verticales Son rectas verticales a las cuales la función se va acercando indefinidamente sin llegar nunca a cortarlas. Las asíntotas verticales son rectas de ecuación: x = k.

C Continuidad Una función f es continua para el valor x=c, si c está en el dominio de f(x) y si: 1) f(c) está definida 2) Lim f(x) existe 3) Lim f(x)=f(c)

D Discontinuidad Cuando una función no cumple con las tres condiciones de continuidad.

E Evaluar o determinar el límite de una función cociente. Son procesos puramente mecánicos, que nos permiten convertir a una función indeterminada a una función determinada.

F Función: Una función f Es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x en un conjunto (dominio) un solo valor f(x) de un segundo conjunto. El conjunto de todos los valores así obtenidos se denomina rango de la función.

G Gráfica de una función. Representación en un sistema rectangular de coordenadas de la asociación entre X y Y (o dos variables cualesquiera) de una función particular.

34

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

I UNIDAD I

InFInito. Expresión que indica que algo no tiene fin. Se denota con el símbolo ∞. También puede indicar que no tiene fronteras.

L

Límites laterales. Son una herramienta desarrollada para dar lugar a precisiones.

TEMA Nº 3

Límite de una función. Es el valor hacia donde tiende la variable dependiente cuando el valor de la variable independiente se acerca a un valor fijo.

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD i BÁSICA Larson, R. & Edwards, B.H. (2009). Cálculo Diferencial – Matematica I (8 ed.). México: Mc Graw Hill. Ubicación: Biblioteca UC: 515.1-L25-2006

COMPLEMENTARIA Anton (2009). Cálculo de una Variable. Trascendentes Tempranas (2 ed.). México: Limusa. Espinoza, E. (n.d.). Analisis Matematico I (4 ed.). Lima: Servicios Gráficos J.J. Hoffmann, Bradley & Rosen (2006). Cálculo Aplicado para Administración, Economia y Ciencias Sociales (8 ed.) México: Mc Graw Hill. Howard, A. (2009). Cálculo de una Variable (2 ed.). México. Limusa Wiley. Larson, R. & Edwards, B.H. (2010). Cálculo Esencial (8 ed.). México: Cengage Learning. Larson, R. & Edwards, B.H. (2012). Cálculo de una Variable. (9 ed.). México: Mc Graw Hill. Leithold (2013). El Cálculo. 33. México: Editorial Oxford/Harla. Purcell, Varberg & Rigdon (2001). Cálculo. (8 ed.) México: Prentice Hall. Stewart, J. (2008). Cálculo: Trascendentes Tempranas. (6 ed.). México: Cengage Learning. Zill, D.G. & Wright, W.S. (2011). Cálculo de una Variable: Transcendentes Tempranas (4 ed.). China: Mc Graw Hill.

35

UNIDAD I

AUTOEVALUACIÓN de la unidad i 3 x + 27 1. Calcular: lim x → −3 x + 3

TEMA Nº 3



a) -1

2.  Calcular:

b) 0

x+h − x h b) 2 x

h →0

x

4.  Calcular: lim x →0



b) 0

b) -15

a) 

d) 9

e) 27

x 3 − x 2 − x + 10 lim x → −2 x 2 + 3x + 2

3.  Calcular: lim

c) 3

4

c) -1

c) 2

d) 5

1 c)

2 x

e) 15

−

d)

1 x

e) 1

x −1 x −1 b) 0

c) 2

d) 4

e) 12

c) 3

d) 4

e) -8

( x + 2) 3 − 8 5.  Calcular: lim x → 0 ( x + 2) 2 − 4

a) -1

b) 0

6.  Cuál de las siguientes graficas representa el siguiente limite:

( a )

7.  Si: f ( x) =

36

a) -1

( b )

2x x + 2x − 3 2

b) 0

Hallar



(c)

lim f ( x ) = ∞

x→a−

( d )

lim f ( x)

x →3 −

c) 1

d) −∞

e) +∞

( e )

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

8.  Calcular el a) -2

9.  Calcular el:

b) 1

lim+

x →1

a) 0



a) 0

11.

Calcular el lim



a) 0

12.

Calcular el



a) -1

13.

Calcular el



a)  − senx

14.

Calcular:

c) -2

d) −∞

c) 2

d) 3

e) 4

8 3

e) 3

x →0

∞

e) +∞

sen4 x x

sen 5 x 2x c)

5 2

d)

c)

1 2

d) 1

b) 1

lim

e)

x 2 + 2x − 3

b) 1

x →0



TEMA Nº 3

x →0

d)

2x b) 1

10. Calcular el lim

−∞

c) 3

UNIDAD I



2x 2 − 2x lim x→+ ∞ 2x + 6

tan x − sen x x3 b) −

1 2

e)

3 2

cos( x + a ) − cos x x →0 a

lim

b) senx

c) − cos a

d) cos a

e) 1

1 − cot gx π 1 − tgx x→ lim 4



a) -1

15.

Calcular el lim



a) -1

b)

0



c)

1 2

d) 1

e) −

2

1 − cos 3 x x →0 sen 2 x b) −

1 2

c)

1 2

d) 1

e)

3 2

37

TEMA Nº 3

UNIDAD I

16.

De las siguientes proposiciones que se presenta, indique cual es verdadero (V) o falso(F):

lim f ( x ) = L , entonces x→a

I.  f está definida en x = a

f (a) = L

II.

f es continua en x = a



a) VFV

17.

Obtenga el valor de W de tal forma que la función sea continua en el punto indicado.

b) FFV

c) VVF

 x2 − 4  f ( x) =  4x − 8 W  a) 0 18.



b) 1

d) VVV

si x ≠ 2

c) 2

e) FFF

en x = 2

si x = 2 d) 3

e) 4

Obtenga el valor de k de tal forma que la función sea continua en todos los reales.

4kx 2 − 2 f ( x) =   3kx + 7 a) 2

si x < 1 si x ≥ 1

b) 4

c) 6

d) 9

e) 10

19.  Obtenga el valor de c y k de tal forma que la función sea continua en todos los reales. Y dar como respuesta: S = c + k

 x + 2c  f ( x ) = 3cx + k  3 x − 2k 

a) -1 20.

si x < −2 si −2 ≤ x ≤ 1 si x > 1 b) 0

c) 1

d) 2

Indique si la función que se da es continua o no en todos los reales.

 x +1  f ( x ) = 2 − x  2x −1 

si x ≤ −2 si −2 < x ≤ 2 si x > 2

a) Si es continua en todos los reales b) No es continua c) Es continua sólo en

x = −2 y x = 2

d) Es continua en todos los reales menos en e) Es continua en todos los reales menos en

38

e) 9

{−2; 2}

x = −2

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

UNIDAD II

“LA DERIVADA” DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD II

•

Al finalizar la unidad, el estudiante resuelve ejercicios y problemas, en un tiempo determinado aplicando de manera crítica y reflexiva los límites y las razones de cambio para conceptualizar y calcular las derivadas de una función de variable real, y en la formulación y resolución de problemas de su vida cotidiana, y en algunas áreas de las ingenierías y las ciencias.

39

CONTENIDOS Tema Nº 1: La Derivada y su interpretación 1 Introducción 1 La derivada y su interpretación

geométrica 1 La derivada y su interpretación física 1 Definición de la derivada.

Tema Nº 2: Reglas de Derivación 1 Introducción 1 Reglas básicas de Derivación

ACTIVIDADES FORMATIVAS (habilidades y actitudes) • U  tiliza instrumentos, técnicas y fórmulas, para aplicar la derivada en una función. • R  esuelve ejercicios de derivadas de funciones transcendentes utilizando reglas de derivación en funciones trigonométricas y sus inversas, así como también, en funciones exponenciales y logarítmicas • T  rabaja individual y grupalmente resolviendo ejercicios y problemas de aplicación de contenidos

Procedimientos e indicadores de evaluación permanente: • E  ntrega puntual de los trabajos realizados • C  alidad, coherencia y pertinencia de los contenidos desarrollados • P  articipa en actividades colaborativas y tutorizadas Criterios de evaluación de capacidades matemáticas:

1 Derivadas de productos y cocientes.

1. Identifica y diferencia las reglas de derivación de una función de variable real

Tema Nº 3: La derivada de funciones trascendentes (I parte)

2. Analiza las propiedades de las derivadas

1 Derivadas de funciones

3. Realiza cálculos de derivación de las funciones transcendentes.

trigonométricas 1 Derivadas de orden superior. 1 Regla de cadena 1 Derivadas implícitas

Tema Nº 4: Derivadas de funciones Transcendentes (II PARTE) 1 Derivadas de la función inversa. 1 Derivadas de la función

trigonométrica inversa 1 Derivadas de la función exponencial 1 Derivadas de la función Logaritmo

Natural. 1 Derivadas de funciones hiperbólica

Tema Nº 5: La derivada de funciones Hiperbólicas. 1 Definición de una función

Hiperbólica 1 Derivadas de la función Hiperbólica.

RECURSOS: VIDEOS: Tema Nº 1 Derivadas: Introducción y Definición https://www.youtube.com/watch?v=KHuO1CK5fhs duración: 6.48 min. Tema Nº 3 Derivadas trigonométricas https://www.youtube.com/watch?v=eAlRGsCR_nY duración: 2.30 min. Tema Nº 4 Cálculo Funciones trigonométricas hiperbólicas e hiperbólicas inversas https://www.youtube.com/watch?v=mlbRfMhR1BI duración: 11.18 min

40

SISTEMA DE EVALUACIÓN (Técnicas y Criterios)

4. Resuelve ejercicios de derivadas de funciones hiperbólicas.

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

DIAPOSITIVAS ELABORADAS POR EL DOCENTE:

Lectura complementaria: Lectura Seleccionada Nº 1 Rodríguez, S. O. (Enero, 2003). Origen del cálculo diferencial. Apuntes de Historia de las Matemáticas, 1(2), 22–25. Lectura Seleccionada Nº 2 Instituto Politécnico Nacional (2005). El concepto de velocidad instantánea. Cálculo Diferencial – Libro para el estudiante (pp. 155158). México: Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior del Instituto Politécnico Nacional. Lectura Seleccionada Nº 3 Instituto Politécnico Nacional (2005). Georg Cantor: ¡Se han formado las parejas!. Cálculo Diferencial – Libro para el estudiante” (pp. 142-144). México: Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior del Instituto Politécnico Nacional. Prueba de desarrollo

Instrumento de evaluación Básica Larson, R. & Edwards, B.H. (2009). Cálculo Diferencial – Matematica I (8 ed.). México: Mc Graw Hill. Ubicación: Biblioteca UC: 515.1-L25-2006 Complementaria Anton (2009). Cálculo de una Variable. Trascendentes Tempranas (2 ed.). México: Limusa. Espinoza, E. (n.d.). Analisis Matematico I (4 ed.). Lima: Servicios Gráficos J.J. Hoffmann, Bradley & Rosen (2006). Cálculo Aplicado para Administración, Economia y Ciencias Sociales (8 ed.) México: Mc Graw Hill.

 ibliografía (Básica y B Complementaria)

Howard, A. (2009). Cálculo de una Variable (2 ed.). México. Limusa Wiley. Larson, R. & Edwards, B.H. (2010). Cálculo Esencial (8 ed.). México: Cengage Learning. Larson, R. & Edwards, B.H. (2012). Cálculo de una Variable. (9 ed.). México: Mc Graw Hill. Leithold (2013). El Cálculo. 33. México: Editorial Oxford/Harla. Purcell, Varberg & Rigdon (2001). Cálculo. (8 ed.) México: Prentice Hall. Stewart, J. (2008). Cálculo: Trascendentes Tempranas. (6 ed.). México: Cengage Learning. Zill, D.G. & Wright, W.S. (2011). Cálculo de una Variable: Transcendentes Tempranas (4 ed.). China: Mc Graw Hill. Proyecto Matex ( 8 de julio de 2015). Límites y Continuidad. Recuperado de http:// personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_1/LimiContiC1.pdf

Recursos Educativos digitales

Sauce ( 8 de julio de 2015). Límites y Continuidad de Funciones. Recuperado de http:// sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T09.pdf Youtube ( 8 de julio de 2015). Límites de una Función Real. Recuperado de https://www. google.com.pe/?gws_rd=ssl#q=LíMITES+de+una+funcion&tbm=vid

41

UNIDAD II

TEMA Nº 1: LA DERIVADA Y SU INTERPRETACION

TEMA Nº 1

1. INTRODUCCIÓN Los orígenes del cálculo estuvieron motivados por el deseo de resolver diversos problemas vinculados al movimiento de los cuerpos, así como problemas de tipo geométrico de importancia en óptica y problemas de cálculo de valores máximos y mínimos de una función dada. Simplificando, podemos destacar dos problemas principales: •

Determinar la tangente a una curva en un punto (el problema de las tangentes)

•

Determinar el área encerrada por una curva (el problema de las cuadraturas)

Son los conceptos de derivada e integral, respectivamente, los que permiten resolver satisfactoriamente dichos problemas. Mientras el concepto de integral tiene sus raíces en la antigüedad clásica. La otra idea fundamental del cálculo, la derivada, no se formuló hasta el siglo XVII. Fue el descubrimiento efectuado por Sir Isaac Newton (1642 – 1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) de la relación entre estas dos ideas, tan dispares en apariencia, lo que inicio el magnífico desarrollo del Cálculo. Si bien los trabajos de Newton y Leibniz son decisivos por sus aportaciones e influencia, no hay que olvidar que ellos son el punto culminante de un largo proceso en el que han participado científicos de la talla de Johannes Kepler (1571-1630), René Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat (1601-1665), John Wallis (1616-1703) e Isaac Barrow (1630-1677) entre otros. Para entender los resultados del Cálculo Diferencial es necesario, antes que nada, comprender la idea básica del mismo: el concepto de derivada. La derivada de una función puede interpretarse geométricamente como pendiente de una curva, y físicamente como una razón “instantánea“ de cambio, que a continuación detallamos:

VIDEO Derivadas: Introducción y Definición https://www.youtube.com/watch?v=KHuO1CK5fhs duración: 6.48 min.

42

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

2. LA DERIVADA Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

DEFINICIÓN 1

el nombre de DEFINICIÓNdiferentes 1 Recibe de una curva.

UNIDAD II

Para la curva en el plano cartesiano que define la gráfica de una función, la derivada es el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto correspondiente, obteniéndose así su interpretación geométrica para la derivada que sienta las bases DEFINICIÓN 1 para el estudio analítico de curvas y superficies. Veamos

recta secante cualquier recta que pase por dos puntos

Recibe el nombre de recta secante cualquier recta que pase por dos puntos

TEMA Nº 1

diferentes desecante una curva. Recibe el nombre de la recta cualquier que pase por dos puntos diferentes una curva. En siguiente figura serecta ha representado gráficamente unade recta L secante a una curva: En lasesiguiente figuragráficamente se ha representado una recta L secante a En la siguiente figura ha representado una recta Lgráficamente secante a una curva: una curva:

Figura 9.- Recta secante a una curva Figura 9.-7. Recta Rectasecante secante a una curva Figura a una curva

Como al conocer la pendiente de una recta y un punto de ella, la recta queda completamente determinada, se tiene que el problema de trazar una recta Como al conocerComo la pendiente de unalarecta y un punto ella, la recta queda completamente determinada, al conocer pendiente de de una recta y un punto de ella, la recta queda se tangente a una curva dada, por un punto de ésta, se reduce a encontrar la tiene que el problema de trazar una recta tangentese a una curvaque dada,elporproblema un punto dede ésta, se reduce completamente determinada, tiene trazar unaa encontrar recta pendiente de la recta. la pendiente tangente de la recta. a una curva dada, por un punto de ésta, se reduce a encontrar la pendiente de la recta. Consideremos la representación gráfica de una curva con ecuación y = f(x), Consideremos la representación gráfica de una curva con ecuación y = f(x), donde f es una función continua. donde f es una función continua. Consideremos la representación gráfica de una curva con ecuación y = f(x), donde f es una función continua.

Figura 10.- Gráfica de la f (x) Figura 8. Gráfica de la f (x) Figura 10.- Gráfica de la f (x)

Se desea trazar la recta tangente en un punto 𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑥𝑥𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦𝑦𝑦0 ) dado de la curva. Se desea trazar la recta tangente en un punto P x , y dado de la curva. 0 0 Se desea trazar la recta tangente en un punto 𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑥𝑥𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦𝑦𝑦0 ) dado de la curva. Sea PQ recta por 𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑥𝑥𝑥𝑥0La , 𝑦𝑦𝑦𝑦pendiente desecanla 0 ) y 𝑄𝑄𝑄𝑄(𝑥𝑥𝑥𝑥, x, y puntos Sea PQ la recta secante quelapasa por secante los puntosque y Q (los de𝑦𝑦𝑦𝑦) esta ) de la curva. P ( xpasa 0 , y0 ) curva. La pendiente de esta secante, denotada 𝑚𝑚𝑚𝑚 está dada por: 𝑠𝑠𝑠𝑠 Sea PQ la recta secante que pasa por los puntos 𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑥𝑥𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦𝑦𝑦0 ) y 𝑄𝑄𝑄𝑄(𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑦𝑦) de la curva. La pendiente de esta secante, denotada 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠 está dada por:

(

)

𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑦𝑦𝑦𝑦0 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) − 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥0 ) = 𝑥𝑥𝑥𝑥0 0 ) 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥−−𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥00 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑥𝑥𝑥𝑥−−𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠 = = 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥0 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥0 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠 =

43

UNIDAD II

te, denotada

ms está dada por: y − y0 f ( x ) − f ( x0 ) = ms = x − x0 x − x0 Como la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje x, y como θ el ángulo para la recta secante, entonces:

TEMA Nº 1

= ms tan = θ

f ( x ) − f ( x0 ) x − x0

Supongamos que existe una recta tangente a la curva en

P ( x0 , y0 ) . Sea PT dicha recta.

Mantenemos ahora el punto P fijo y hacemos que el punto Q se aproxime a P, a lo largo de la curva. Cuando esto sucede, la inclinación θ de la recta secante se aproxima a la inclinación de ∝ de la recta tangente, lo que puede escribirse como:

lim θ = ∝

Q→P

En igual forma, la pendiente de la secante tiende a la pendiente de la tangente, es decir:

lim tan= θ tan ∝

Q→P

Además, cuando Q tiende hacia P, la abscisa x tiende hacia

x0 por lo que, la anterior relación puede escribirse:

lim tan= θ tan ∝

x → x0

Luego:

lim tan= θ lim

x → x0

x → x0

Si denotamos por

f ( x ) − f ( x0 ) = tan ∝ x − x0 mtg ( x0 ) la pendiente de la recta tangente a la curva en P ( x0 , y0 ) , entonces: mtan = lim

x → x0

f ( x ) − f ( x0 ) x − x0

DEFINICIÓN 2 Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f, en un punto x0 :

44

𝒎𝒎𝒎𝒎𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥

𝒙𝒙𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝒙𝒙𝟎𝟎𝟎𝟎

𝒙𝒙𝒙𝒙→𝒙𝒙𝒙𝒙𝟎𝟎𝟎𝟎

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

DEFINICIÓN 2

TEMA Nº 1

6

UNIDAD II

Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f, en un punto 𝑥𝑥𝑥𝑥0 :

Figura 11.- Recta tangente al punto 𝑥𝑥𝑥𝑥0 . x Figura 9. Recta tangente al punto 0 .

La ecuación de la recta tangente estaría dada por: La ecuación de la recta tangente estaría dada por:

y − f ( x0 ) = mtan ( x − x0 )

𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥0 ) = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥0 )

habría que calcular pendiente la recta tangente. Observe la Figura: Ahora, habría Ahora, que calcular la pendiente de la la recta tangente.de Observe la Figura:

Figura 12.- Gráfica que representa la interpretación geométrica Figura 12.- Gráfica que representa la interpretación geométrica de la derivada de la derivada

(

) (

) 0 + ℎ, 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥0 + ℎ)�

x0 , los f ( xpuntos , f ( x)� La pendiente la recta secante entre secante los puntos ) 0 ) y x�𝑥𝑥𝑥𝑥 0 +h 0 +yh�𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥 La de pendiente de la recta entre f ( x 0 + h) −f (f x( x 0+) h) − f ( x ) 0 0 = sería: msec sería: msec h= h

0

0

La pendiente de recta tangente serecta obtendría haciendo h se hagahaciendo cada vez más porque en este La lapendiente de la tangente seque obtendría que pequeña, h se haga cada caso la recta toma la posición de la resolveríamos es decir: vezsecante más pequeña, porque enrecta estetangente, caso lay recta secantenuestro toma problema; la posición de la recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; es decir:

mtan = lim

f ( x0 + h ) − f ( x0 ) h

h→0

𝒇𝒇𝒇𝒇(𝒙𝒙𝒙𝒙𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝒉𝒉𝒉𝒉) − 𝒇𝒇𝒇𝒇(𝒙𝒙𝒙𝒙𝟎𝟎𝟎𝟎 ) 𝒉𝒉𝒉𝒉→𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒉𝒉𝒉𝒉

𝒎𝒎𝒎𝒎𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥

45

UNIDAD II TEMA Nº 1

h =∆ x , entonces la fórmula anterior se puede escribir de la

También deducimos de acuerdo a la gráfica que: siguiente manera:

mtan = lim

f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆x

∆ x →0

Que sería la misma representación a la interpretación geométrica de la derivada

EJEMPLOS 1.  Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuación

f ( x= ) x 2 − 3x , en el punto x = 1 .

Solución Utilizando la definición anterior vamos a averiguar la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto x = 1 . Así,

mtan = lim

f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 ) ∆x

∆ x →0

Reemplazando adecuadamente, hallamos la pendiente:

mtan = lim

( x +∆ x)

2

(

− 3 ( x + ∆ x ) − x 2 − 3x

)

∆x

∆ x →0

x 2 + 2 x ∆ x + ( ∆ x ) − 3x − 3 ∆ x − x 2 + 3x 2

mtan = lim

∆x

∆ x →0

Operando nos queda:

2x ∆ x + ( ∆ x) − 3 ∆x 2

mtan = lim

∆ x →0

∆x

= lim

∆ x ( 2 x + ∆ x − 3)

∆ x →0

∆x

mtan = lim ( 2 x +∆ x − 3) ∆ x →0

Evaluando el límite por sustitución:

mtg = 2 x + ( 0 ) − 3 Entonces para hallar la pendiente en cualquier punto de esa curva será:

mtan = 2x − 3 Y en el punto: x = 1 la pendiente será:

mtan =2 (1) − 3 =−1

Luego hallamos la ecuación de la recta tangente que pasa por ese punto, pero antes calculamos: f ( x) = y= f (1) = 12 − 3 (1) = −2 ; luego reemplazamos en la formula siguiente:

46

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

y − f ( x0 ) = mtan ( x − x0 ) UNIDAD II

𝑦𝑦𝑦𝑦 − (−2) = −1(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1) ⟹ 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 2 = −𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1

Finalmente la ecuación de la recta tangente de es:la recta tangente es: Finalmente la ecuación

x + y +1 = 0

La representaciónLagráfica de la curva ygráfica de la recta tangente el la siguiente: representación de la curva yesde recta tangente es el siguiente:

(

2 13.- Recta = 𝑥𝑥𝑥𝑥punto − 3𝑥𝑥𝑥𝑥,1, −2 Figura 10. Figura Recta tangente a f tangente x= x 2 a− 3𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) x , en en punto (1, −2)

( )

TEMA Nº 1

𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 = 0

)

2.  Determinar la ecuación de la recta tangente a la parábola con ecuación y = x 2 , y que es paralela a la recta con ecuación y = 4 x 2. Determinar la ecuación de la recta tangente a la parábola con ecuación 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 , y que es paralela a la recta con ecuación 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥𝑥𝑥 Solución Solución Recuerde que si dos rectas son paralelas entonces sus pendientes son iguales. Recuerde que si dos rectas son paralelas entonces sus pendientes son Note que en esteiguales. caso no nos indican el punto de tangencia en la curva. Como la recta tangente es paralela a la recta de ecuación y = 4 x , entonces su pendiente es: m = 4 . Note que en este caso no nos indican el punto de tangencia en la curva. Calculemos:

Como la recta tangente es paralela a la recta de ecuación 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥𝑥𝑥 , entonces su pendiente es:m𝑚𝑚𝑚𝑚 = . f x0 + ∆ x − f x0 = 4lim

(

tan

)

∆ x →0

Calculemos: Reemplazando adecuadamente, hallamos la pendiente:

mtan

( )

∆x

𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥0 + ∆𝑥𝑥𝑥𝑥) − 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥0 ) 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡( x=+∆lim x − ) x 2 ∆𝑥𝑥𝑥𝑥 ∆𝑥𝑥𝑥𝑥→0 = lim ∆ x →0 ∆x

( )

Reemplazando adecuadamente, hallamos la pendiente:

(𝑥𝑥𝑥𝑥x )+ −∆𝑥𝑥𝑥𝑥) x2 + 2x ∆ x + ( ∆ x 2 2 − (𝑥𝑥𝑥𝑥 2 ) = lim 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = lim ∆𝑥𝑥𝑥𝑥→0 ∆ x →0 ∆𝑥𝑥𝑥𝑥 ∆x 2

mtan

𝑚𝑚𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡

Operando nos queda:

𝑥𝑥𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥∆𝑥𝑥𝑥𝑥 + (∆𝑥𝑥𝑥𝑥)2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 = lim ∆𝑥𝑥𝑥𝑥→0 ∆𝑥𝑥𝑥𝑥

47

UNIDAD II

Operando nos queda:

mtan = 2 x Como Si

mtan = 2 x

x=2

𝑚𝑚𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 2𝑥𝑥𝑥𝑥

se tiene que 4 = 2 x y por tanto x = 2 Como mtan = 2 x se tiene que 4 = 2 x y por tanto 2 entonces y = 2 = 4 . El punto de tangencia es P (2, 4).

x=2

2

TEMA Nº 1

Si x = 2 entonces y = 2 = 4 . El punto de tangencia es P (2, 4). La ecuación de la recta tangente es: La ecuación de la recta tangente es:

y − f ( x0 ) = mtan ( x − x0 )

𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥0 ) = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥0 )

𝑦𝑦𝑦𝑦 − (4) = 4(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 2) ⟹ 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 4 = 4𝑥𝑥𝑥𝑥 − 8

Finalmente la ecuación de la recta tangente es: Finalmente la ecuación de la recta tangente es:

= y 4x − 4

𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥𝑥𝑥 − 4

representación de la curva y la recta tangente es el siguiente: La representaciónLa gráfica de la curva ygráfica de la recta tangente esde el siguiente:

( )

2

Figura 11. Recta14.tangente a tangente paralela f x = xa ,𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) Figura Recta = 𝑥𝑥𝑥𝑥 2a, paralela a 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥𝑥𝑥

y = 4x

3. LA DERIVADA Y SU INTERPRETACIÓN FÍSICA. En el caso de la función de posición de un cuerpo físico con respecto al tiempo, la derivada corresponde a la noción de velocidad instantánea, que así resulta definida como el límite de las velocidades promedio tomadas en intervalos de tiempo cuya duración tiende a cero. Las características de la derivada hacen de está el concepto adecuado para la formulación de las leyes dinámicas en las ciencias naturales. Determinemos la velocidad de una partícula en un instante de tiempo 𝑡𝑡𝑡𝑡0 .

48

Suponga que se tengan la ecuación del espacio e recorrido por un móvil, y que sea función del tiempo; es decir 𝒆𝒆𝒆𝒆 = 𝒇𝒇𝒇𝒇(𝒕𝒕𝒕𝒕). Suponga ahora que se quiere

10

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

3. LA DERIVADA Y SU INTERPRETACIÓN FÍSICA.

determinar la velocidad media 𝒗𝒗𝒗𝒗𝒎𝒎𝒎𝒎 en un intervalo de tiempo Determinemos la velocidad de una partícula en un instante de tiempo t0 . estaría dada por:

[𝒕𝒕𝒕𝒕𝟎𝟎𝟎𝟎 , 𝒕𝒕𝒕𝒕𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝒉𝒉𝒉𝒉], esta

𝑚𝑚𝑚𝑚

∆𝑡𝑡𝑡𝑡

𝑡𝑡𝑡𝑡0 + ℎ − 𝑡𝑡𝑡𝑡0

[

]

, esta estaría dada por: La velocidad instantánea v ∆ sería calculada en intervalos de f velocidad t + h − f media t e la vm pequeño; = = es0 decir: 0 tiempo ∆𝒕𝒕𝒕𝒕 cada vez más

∆t

(

)

( )

TEMA Nº 1

Suponga que se tengan la ecuación del espacio e recorrido por un móvil, y que sea función del tiempo; es decir ∆𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑡𝑡𝑡𝑡0 + ℎ) − 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑡𝑡𝑡𝑡v 0 ) la velocidad media m en un intervalo de tiempo t 0 , t 0 + h e = f ( t ) . Suponga ahora que se quiere determinar 𝑣𝑣𝑣𝑣 = =

UNIDAD II

En el caso de la función de posición de un cuerpo físico con respecto al tiempo, la derivada corresponde a la noción de velocidad instantánea, que así resulta definida como el límite de las velocidades promedio tomadas en intervalos de tiempo cuya duración tiende a cero. Las características de la derivada hacen de está el concepto adecuado para la formulación de las leyes dinámicas en las ciencias naturales.

t0 + h − t0

La velocidad instantánea v sería la velocidad media calculada en intervalos ) −tiempo 𝒇𝒇𝒇𝒇(𝒕𝒕𝒕𝒕𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝒉𝒉𝒉𝒉de ∆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒇𝒇𝒇𝒇(𝒕𝒕𝒕𝒕𝟎𝟎𝟎𝟎∆ ) t cada vez más pequeño; es decir: 𝒗𝒗𝒗𝒗 = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒗𝒗𝒗𝒗𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 ∆𝒕𝒕𝒕𝒕→𝟎𝟎𝟎𝟎 ∆𝒕𝒕𝒕𝒕→𝟎𝟎𝟎𝟎 ∆𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒉𝒉𝒉𝒉→𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒉𝒉𝒉𝒉

f ( t0 + h ) − f ( t0 ) ∆e = lim ∆ t →0 ∆ t h→ 0 h

v = lim vm = lim ∆ t →0

que estapara definición parainstantánea la velocidad instantánea tieneque la misma forma quedelala recta Note que Note esta definición la velocidad tiene la misma forma la de la pendiente pendiente de la recta tangente, por tanto el problema sería el mismo. tangente, de porla tanto el problema sería el mismo. De aquí seDe dará la definición de definición la derivada.de la derivada. aquí se dará la

EJEMPLOS EJEMPLOS 1.  La altura s sobre el suelo, de una deja caer desde superior St. Louis s sobre el pelota suelo,que deseuna pelota quela parte se deja caerdedesde la Gateway parte Arch 1. La altura 2 2 Encontrar la velocidad está dada por: , donde s se mide en metros y t en segundos. s = − 4.9 t + 192 superior de St. Louis Gateway Arch está dada por: 𝑠𝑠𝑠𝑠 = −4.9𝑡𝑡𝑡𝑡 + 192, donde s

se mide en metros y t en segundos. Encontrar la velocidad instantánea de la instantánea de lacuando pelota cuando pelota 𝑡𝑡𝑡𝑡1 = 3 tsegundos . 1 = 3 segundos.

Solución

Solución

Al utilizar la definición, se sabe que la velocidad instantánea es: Al utilizar la definición, se sabe que la velocidad instantánea es:

V ( t1 ) = lim

∆ t →0

f ( t1 +∆ t ) − f ( t1 ) ∆t

𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑡𝑡𝑡𝑡1 + ∆𝑡𝑡𝑡𝑡) − 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑡𝑡𝑡𝑡1 ) ∆𝑡𝑡𝑡𝑡→0 ∆𝑡𝑡𝑡𝑡

𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑡𝑡𝑡𝑡1 ) = lim

Ahora al considerar la información del problema:

−4.9(𝑡𝑡𝑡𝑡1 + ∆𝑡𝑡𝑡𝑡)2 + 192 − (−4.9𝑡𝑡𝑡𝑡1 2 + 192) ∆𝑡𝑡𝑡𝑡→0 ∆𝑡𝑡𝑡𝑡1

𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑡𝑡𝑡𝑡1 ) = lim

49

TEMA Nº 1

UNIDAD II

Ahora al considerar la información del problema:

V ( t1 ) = lim

(

−4.9 ( t1 +∆ t ) + 192 − −4.9t12 + 192 2

)

∆ t1

∆ t →0

−4.9t12 − 9.8t1 ∆ t1 − 4.9 ∆ t12 + 192 + 4.9t12 − 192 V ( t1 ) = lim ∆ t →0 ∆ t1

∆ t ( −9.8t1 − 4.9 ∆ t1 ) −9.8t1 ∆ t1 − 4.9 ∆ t12 = lim 1 ∆t → 0 ∆ t →0 ∆ t1 ∆ t1

V ( t1 ) = lim

V ( t1 ) = lim − 9.8t1 − 4.9∆ t1 = −9.8t1 ∆ t →0

Por lo tanto la velocidad instantánea a los 3 segundos es:

v ( 3) = −9.8 ( 3) = −29.4 m / s Obsérvese que el signo negativo del resultado, indica que la pelota se mueve hacia abajo, que es la dirección contraria a la positiva. 2.  Un globo aerostático sube verticalmente. A las t horas su distancia s de la tierra, medida en kilómetros está dada por la fórmula s ( t = ) 9t − 3t 2 . a) ¿Cuál será la velocidad instantánea del globo en la primera hora? b) ¿Cuál será la velocidad instantánea del globo en la segunda hora?

Solución Sabemos que la velocidad instantánea está representada por:

V ( t1 ) = lim

f ( t1 +∆ t ) − f ( t1 ) ∆t

∆ t →0

Luego:

( 9t + 9∆ t − 3t V ( t ) = lim 1

1

∆ t →0

2 1

) (

− 6t1 ∆t − 3 ∆t 2 − 9t1 − 3t12

)

∆t

9t1 + 9 ∆ t − 3t12 − 6t1 ∆ t − 3 ∆ t 2 − 9t1 + 3t12 ∆ t →0 ∆t

V ( t1 ) = lim

∆t ( 9 − 6t1 − 3 ∆t ) 9∆ t − 6t1 ∆ t − 3 ∆ t 2 = lim ∆ t →0 ∆ t →0 ∆t ∆t

V ( t1 ) = lim

V ( t1 ) = lim ( 9 − 6t1 − 3∆ t ) = 9 − 6t1 ∆ t →0

50

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Por lo tanto la velocidad instantánea en la primera hora es:

UNIDAD II

v (1) = 9 − 6 (1) = 3 km / h y la velocidad instantánea en la segunda hora es:

v ( 2) = 9 − 6 ( 2) = −3 km / h Observemos que el resultado fue negativo y esto indica que el globo al cumplir 2 horas de vuelo ya va hacia abajo.

La derivada de la función

f ( x ) se denota por f ´( x ) o por

función se define por:

f ´( x ) = lim

dy para cualquier número x en el dominio de la dx

TEMA Nº 1

4. DEFINICIÓN DE LA DERIVADA

f ( x +∆ x ) − f ( x ) ∆x

∆ x →0

Si el límite existe. Observemos que la velocidad instantánea y la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto, es lo mismo que la derivada de la función evaluada en dicho punto. Derivación de funciones utilizando la definición a)

Empleando la definición, hallar la derivada

f ( x= ) 2x +1

Solución Al utilizar la definición sabemos que la derivada de la función es:

f ´( x ) = lim

f ( x +∆ x ) − f ( x ) ∆x

∆ x →0

f ´( x ) = lim

2 ( x +∆ x ) + 1 − ( 2 x + 1) ∆x

∆ x →0

f ´( x ) = lim

∆ x →0

2 x + 2∆ x + 1 − 2 x − 1 ∆ x →0 ∆x

= lim

2∆ x = lim 2 ∆ x ∆ x →0

∴

f ´( x ) = 2

b)

Empleando la definición, hallar la derivada

f (= x)

8x − 7

51

UNIDAD II

Solución: Como en el ejercicio anterior utilizamos la definición de la derivada y realizando las operaciones respectivas, tenemos:

8 ( x +∆ x ) − 7 − 8 x − 7

f ´( x ) = lim

∆x

∆ x →0

= lim

∆ x →0

8 x + 8∆ x − 7 − 8 x − 7 ∆x

TEMA Nº 1

Racionalizando tenemos:

8x + 8 ∆ x − 7 − 8x − 7 8x + 8 ∆x − 7 + 8x − 7 . ∆x 8 x + 8∆ x − 7 + 8 x − 7

f ´( x ) = lim

∆ x →0

( f ´( x ) = lim ∆ x →0

f ´( x ) = lim

∆ x →0

f ´( x ) = lim

∆ x →0

f ´( x ) =

(

8 x + 8∆ x − 7

∆x

∆x

∆x

(

(

) −( 2

8x − 7

)

8x + 8 ∆ x − 7 + 8x − 7

8 x + 8∆ x − 7 − 8 x + 7 8x + 8 ∆ x − 7 + 8x − 7 8∆ x

(

8x + 8 ∆ x − 7 + 8x − 7 8

8x − 7 + 8x − 7

2

)

) )

= lim

∆ x →0

(

8 8x + 8 ∆ x − 7 + 8x − 7

)

)

∴

4 f ´( x ) = 8x − 7

c)

Empleando la definición, hallar la derivada

f ( x ) = sen x ; para x = 0

Solución Utilizando la definición de la derivada y realizando las operaciones respectivas, tenemos:

f ´( x ) = lim

∆ x →0

sen ( x +∆ x ) − sen x ∆x

= lim

∆ x →0

senx.cos ∆ x + sen ∆ x.cosx − senx ∆x

Agrupando convenientemente:

 − senx (1 − cos ∆ x )  sen∆ x   f ´( x ) = lim  cosx  +  ∆ x →0 ∆x  ∆x   

 1 − cos ∆ x   sen ∆ x  f ´( x ) = − senx. lim   + ∆lim   .cosx ∆ x →0 x → 0 ∆x    ∆x  52

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

f ´( x ) = − senx. ( 0 ) + (1) .cosx UNIDAD II

f ´( x ) = cosx

∴

= f ´( 0 ) cos = ( 0) 1

Finalmente:

Empleando la definición, hallar la derivada

d)

f ( x ) = log x ; para x = 1

Utilizando la definición de la derivada y realizando las operaciones respectivas, tenemos:

f ´( x ) = lim

log ( x +∆ x ) − log x ∆x

∆ x →0

∆ x →0

  ∆x f ´( x ) = lim log 1 +  ∆ x →0  x    f ´( x ) =

= lim

x ∆x

x +∆ x ∆x ∆x

1 x

 1  = log ( e ) x  

1 log e x = f ´(1) log = ( e ) 0.4343

Finalmente: e)

log

TEMA Nº 1

Solución

Es sabido que la función f(0)=0 y que existe el límite de la expresión

este límite es igual a

f ´( 0 ) .

f ( x) para x → 0 . Demostrar que x

Demostración En= efecto, si y

f ( x)

→

Según la definición: f ´( x) = lim

∆x → 0

∆y f ( x + ∆x) − f ( x) = ∆x ∆x

f ( x + ∆x) − f ( x) ∆x

Para

x=0

→

f ´( 0 ) = lim

∆x → 0

f ( x + ∆x) − f ( x) ∆x

= lim

∆x →0

f ( ∆ x) ∆x

f ´( 0 ) =0. Como y = f ( x ) en el límite podemos intercambiar f ( x) lim = f ´( 0 ) l.q.q.d x →0 x

ya que

∆ x por x, en consecuencia:

53

UNIDAD II

TEMA N° 2: REGLAS DE DERIVACIÓN

TEMA N° 2

1. INTRODUCCIÓN Como habrás notado, para calcular la derivada de una función y = es necesario llevar a cabo un laborioso procedimiento algebraico.

f ( x ) mediante la definición, generalmente

Para evitar tal complejidad, se opta por el uso o la aplicación de resultados o reglas básicas generales que nos permiten el cálculo de la derivada de diversas funciones de uso frecuente.

2. REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las fórmulas siguientes: A. 

f ´(k ) =

d k =0 dx

; ∀k ∈ ℜ

Ejemplos: a) Si

f ( x ) = 7 , entonces f ´( x ) = 0

b) Si

f ( x ) = −523 , entonces f ´( x ) = 0

c) Si

f ( x) = 2π , entonces f ´( x ) = 0

B.  f ´(x) =

dx =1 dx n

( ) = dxdx

C.  f ´ xn

(

= n x n −1

)

Ejemplos:

54

a) Si

f ´( x ) f ( x ) = 7 x5 , entonces=

b) Si

−250 x124 f ( x ) = −2 x125 , entonces f ´( x ) =− (125) 2 x125−1 =

c) Si

f ( x) = x

−8,

entonces

5 ) 7 x5−1 (=

35 x 4

f ´( x ) = −8 x −9 = − ( −8) x −8−1 =

8 x9

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

D) 

f ´[g ( x) + h( x)] =

Ejemplos: a) Si

85 x 4 + 4 x ( 5)17 x5−1 + ( 2 ) 2 x 2−1 = f= ( x ) 17 x5 + 2 x 2 , entonces f ´( x ) =

b) Si

f ( x )= 4 x −3 + 2 x 2 + 5 x + 6 , entonces:

f ´( x ) = ( −3) 4 x −3−1 + ( 2 ) 2 x 2−1 + 5 x1−1 + 0



f ´( x ) = −12 x −4 + 4 x + 5 Respuesta

E. 

f ´[g ( x) − h( x)] =

TEMA N° 2



UNIDAD II

d [g ( x) + h( x)] = g´(x) + h´(x) (suma) dx

d [g ( x) − h( x)] = g´(x) − h´(x) (resta) dx

Ejemplos: a) Si

f= ( x ) 12 x 4 − 6 x 2 , entonces:

= f ´( x )

( 4 )12 x 4−1 − ( 2 ) 6 x 2−1

f ´= ( x ) 48 x3 − 12 x Respuesta

b) Si

f ( x= ) 100 x6 − 12 x5 + 25 x 2 − 6 x − 1008 , entonces:



f= ´( x )

( 6 )100 x6−1 − ( 5)12 x5−1 + ( 2 ) 25 x 2−1 − 6 x1−1 − 0



f ´( x )= 600 x5 − 60 x 4 + 50 x − 6 Respuesta

3. DERIVADAS DE PRODUCTOS Y COCIENTES Para la derivación de productos de funciones, usamos la siguiente fórmula:

f ´ g (= x ) .h ( x ) 

d  g (= x ) .h ( x )  g´( x ) h ( x ) + g ( x ) h´( x ) dx 

Para la derivación de cociente de funciones, usamos la siguiente fórmula:

 g ( x )  d  g ( x )  h ( x ) g´( x ) − g ( x ) h´( x ) = f ´  =   2 ( h ( x ))  h ( x )  dx  h ( x ) 

55

UNIDAD II

Ejemplos

(

)(

y= x 2 − 1 2 x3 + 3

a) Derivar:

)

Solución: Se trata de derivar un producto de funciones, usando la fórmula de derivación tenemos:

(x

TEMA N° 2

y´=

= y´

)(

2

) (

)(

)

− 1 ´ 2 x3 + 3 + x 2 − 1 2 x3 + 3 ´

( 2 x ) ( 2 x3 + 3) + ( x 2 − 1)( 6 x 2 ) y´= 4 x 4 + 6 x + 6 x 4 − 6 x 2

y´= 10 x 4 − 6 x 2 + 6 x Respuesta b) Derivar:= y

(

)

x . 4 x3 + 2 x 2 − 1

Solución Se trata de derivar un producto de funciones, usando la fórmula de derivación tenemos:

= y´

( x )´( 4 x 1/2

3

) ( x ) ( 4x

+ 2x2 −1 +

 1 −1  y´  x 2  4 x3 + 2 x 2 − 1 + = 2 

3

)

+ 2x2 −1 ´

) ( x ) (12 x

(

2

+ 4x

)

Operando obtenemos:

y´=

4 x3 + 2 x 2 − 1 + 2 x

y´=

( x ) (12 x

2

+ 4x

4 x3 + 2 x 2 − 1 + 24 x3 + 8 x 2 2 x 28 x3 + 10 x 2 − 1 y´= 2 x

c) Derivar:

56

y=

4 x + 10 2x − 9

)

Respuesta

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Se trata de derivar un cociente de funciones, usando la fórmula de derivación tenemos:

( 2 x − 9 )( 4 x + 10 )´− ( 4 x + 10 )( 2 x − 9 )´ 2 ( 2x − 9)

y´=

( 2 x − 9 )( 4 ) − ( 4 x + 10 )( 2 ) 2 ( 2x − 9) y´=

8 x − 36 − 8 x − 20

( 2x − 9)

TEMA N° 2

y´=

UNIDAD II

Solución

2

Finalmente operando obtenemos:

y´=

d) Derivar:

−56

( 2x − 9)

y=

respuesta

2

x2 − 3 x3 − x

Solución Se trata de derivar un cociente de funciones, por tanto debemos usar la fórmula de derivación, que en forma resumida se puede presentar de la siguiente manera:

y=

f g . f ´− f .g´ ⟹ y´= 2 g (g)

Operando en la función:

(x y´= (x y´= y´=

3

3

)(

) (

)(

)

− x x 2 − 3 ´− x 2 − 3 x3 − x ´

)

(x

3

−x

(

)

2

)(

)

− x ( 2 x ) − x 2 − 3 3x 2 − 1

(x

3

−x

)

2

2 x 4 − 2 x 2 − 3x 4 + 9 x 2 + x 2 − 3

(x

3

−x

)

2

57

UNIDAD II

Obteniéndose:

y´=

− x4 + 8x2 − 3

(x

3

−x

TEMA N° 2

e) Derivar:

)

respuesta

2

z=

x2 +1 + x 2 − 1 (1 − x ) 2 x −1

(

)

(

)

Solución Se trata de derivar un producto y cociente de funciones, por tanto debe usar la fórmula de derivación respectiva:

z´

z´

= z´

58

(x (x

2

2

)(

(x

)(

)+

)

(x

2

(

)

−1

2

)

−1 ( 2 x ) − x2 + 1 ( 2 x )

−4 x 2

) (

− 1 x 2 + 1 ´− x 2 + 1 x 2 − 1 ´

)

−1

(x

2

2

)

−1

2

− 3x 2 + 2 x + 1

(

(x

2

)

(

)

− 1 (1 − x )´+ (1 − x ) x 2 − 1 ´

)

+ x 2 − 1 ( −1) + (1 − x )( 2 x )

Respuesta

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

I. Resuelva los siguientes problemas usando el criterio de la interpretación geométrica o física de la derivada:

1.  Determine las ecuaciones de la recta tangente

Lt y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente)

x 2 − 8, en el punto P (3, 1).

2.  Si un objeto es arrojado verticalmente hacia arriba (o hacia abajo) desde una altura locidad inicial

S0 (pies), con una ve-

TEMA N° 2

LN a la curva de ecuación: f ( x ) =

UNIDAD II

ACTIVIDAD FORMATIVA N° 1

v0 (pies/seg), y si s es la altura sobre el piso después de t segundos, puede demostrarse

que la posición S como función del tiempo viene dada por:

S= f (t ) = −16t 2 + v0 .t + S0 3.  Supóngase que se arroja un objeto hacia arriba desde la parte superior de un edificio de 160 pies de altura con una velocidad inicial de 64 pies/seg.

a) ¿Cuándo el objeto alcanza la altura máxima?



b) ¿Cuál es la altura máxima?



c) ¿Cuándo llega al piso?



d) ¿Con qué velocidad llega al piso?



e) ¿Cuál es su aceleración en el instante t = 2 s ?

II.

Obtenga la derivada de la función por medio de la definición:

III.

4. 

f ( x ) = x3 − 2 x + 3

6. 

f ( x) =

5. f

2x − 2 3x + 2

( x=)

f ( x) 7. 

2 − 7 x2

=x+

4 x

Obtenga la derivada de la función usando las Reglas Básicas:

8. 

10.

f ( x) = 2 x + 3.3 x + 4.4 x

y=

x x +1 2

f ( x) 9. 

11.

=

f ( x) =

3 3

x4

+

1 4

x2

−

(

5 5

x3

)

1 x−4 − x . x 2 − 1 (2 x − 5) 2x − 7

59

UNIDAD II

TEMA Nº 3: LA DERIVADA DE FUNCIONES TRANSCENDENTES (I PARTE)

TEMA Nº 3

1. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Para ciertas funciones trigonométricas definidas de manera simple se pueden emplear las fórmulas siguientes:

= y´ y´=



d = ( sen x ) cos x dx



d ( cos x ) = −senx dx

= y´

d = y´ = ( tan x ) sec 2 x dx

y´=

y´=

d ( cot x ) = − csc2 x dx d = ( sec x ) sec x tanx dx

d ( cosec x ) = − csc x cot x dx

Y finalmente las fórmulas de derivadas para las funciones trigonométricas compuestas serían:

= y´

d = ( senu ) dx

( cos u ) .u´

y´=

d ( cos u ) = dx

( −sen u ) .u´



d = ( tanu ) ( sec 2 u ).u´ dx

= y´

EJEMPLOS Obtenga la derivada de las funciones siguientes: a)

y = sen ( 3 x )

Solución Como u

= 3x ⟹

u´= 3 entonces:

y´= cos ( 3 x ) .3 y´= 3.cos ( 3 x )

(

respuesta

3 = b) y tan 4 x + 2 x

60

)



y´=

= y´



y´=

d ( cot u ) = (−cosec2u ).u´ dx d = ( sec u ) (sec u tanu ).u´ dx d ( cosec u ) = (−cosecu cot u ).u´ dx

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Solución

= 4 x3 + 2 x ⟹

(

u´= 12 x 2 + 2 entonces:

)(

)

(

)

y´=sec 2 4 x3 + 2 x . 12 x 2 + 2

(

)

y´=+ 12 x 2 2 .sec 2 4 x3 + 2 x

respuesta TEMA Nº 3

c) y

UNIDAD II

Como u

= cosec ( tan x )

Solución Como u

= tan x ⟹

u´= sec 2 x entonces:

y´= −cosec ( tan x ) .cot ( tan x ) . sec 2 x y´= − sec 2 x .cosec ( tan x ) .cot ( tan x ) .

d)

(

y= tan ( 3 x + 9 ) .sec x5 + 2

respuesta

)

Solución Al utilizar la derivada de un producto y las fórmulas de las derivadas trigonométricas, llegamos a lo siguiente:

(

)

(

)

(

)

(

)

y´= tan ( 3 x + 9 )  sec x5 + 2 .tan x5 + 2 .5 x 4  + sec x5 + 2 sec 2 ( 3 x + 9 ) .3

(

)

(

)

= y´ 5 x 4 .tan ( 3 x + 9 ) sec x5 + 2 .tan x5 + 2 + 3.sec x 5 + 2 sec 2 ( 3 x + 9 ) respuesta

e)

y=

sen(3x) cos(5 x)

Solución Al utilizar la derivada de un cociente y las fórmulas de las derivadas trigonométricas, llegamos a lo siguiente:

y´=

cos ( 5 x ) .3cos ( 3 x ) − sen ( 3 x ) .[ −5.sen(5 x ] cos ( 5 x ) 

2

61

UNIDAD II

y´=

f)

3.cos ( 5 x ) .cos ( 3 x ) + 5sen ( 3 x ) .sen ( 5 x ) cos ( 5 x ) 

2

respuesta

y = sen3 ( 4 x )

TEMA Nº 3

Solución La función se puede escribir también de la siguiente manera: Observamos que aparece una función de la forma

y =  sen ( 4 x ) 

3

( )

n n −1 u n y cuya derivada es: u ´= nu .u´ . Luego:

u = sen ( 4 x ) ⟹ u´= cos ( 4 x ) .4 = 4cos ( 4 x ). Por lo tanto: y´= 3sen 2 ( 4 x ) .4cos ( 4 x ) y´= 12.sen 2 ( 4 x ) .cos ( 4 x )

respuesta

VIDEO Video: Derivadas trigonométricas https://www.youtube.com/watch?v=eAlRGsCR_nY duración: 2.30 min.

62

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

2. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.

Se sabe que si la función f (x) es una función derivable, su derivada la podemos representar por f ‘(x). Ahora si la función f ‘(x) se deriva nuevamente, dicha derivada se representa como: [ f ‘(x)]’ = f ‘’(x) a esta función se le llama Segunda Derivada de f (x) . De igual forma la función f ‘’’(x) es la tercera derivada de f (x), y así sucesivamente.

a)

Si:

TEMA Nº 3

EJEMPLOS

UNIDAD II

La derivada es una función por tanto se podría obtener también la derivada de esta función y así sucesivamente. Es decir:

y = x.sen x . Obtenga f ´´( x )

Solución Usando la derivada de un producto, obtenemos:

= y´ x ( senx )´+ senx ( x )´ = y´ xcosx + senx y derivando nuevamente:

y´´= x ( cos x )´+ cos x ( x )´+ ( senx )´ y´´= x ( − senx ) + cos x + cos x y´´= − x.sen x + 2 cos x

b)

Si:

respuesta

f ( x )= 4 x 4 − 2 x3 + 2 x 2 − x + 3 . Obtenga: f ´ , f ´´ , f ´´´ .

Solución Derivando sucesivamente, obtenemos:

f ´( x )= 16 x3 − 6 x 2 + 4 x − 1 f ´´( x ) = 48 x 2 − 12 x + 4 f ´´(= x ) 96 x − 12

c)

Calcule las primeras tres derivadas de:

g (t ) =

1 2 t

−

3

3 1− t

Solución La función puede escribirse de la siguiente forma:

g (t= )

1 −1/2 −1/3 t − 3 (1 − t ) 2 63

UNIDAD II

Derivamos sucesivamente:

1 −4/3 g´( t ) = − t −3/2 − (1 − t ) 4 g´´( t )=

3 −5/2 4 −7/3 t − (1 − t ) 8 3

TEMA Nº 3

15 28 −10/3 g´´´( t ) = − t −7/2 − (1 − t ) 16 9

d)

Hallar la “n-enésima” derivada de:

Solución Aquí tenemos:

 1  y=   1 − 2x 

 1  −1 y =  = (1 − 2 x )  1 − 2x 

Obteniendo derivadas hasta generalizarla, resulta:

y´= − (1 − 2 x )

( −2 ) =(1 − 2 x ) .2 =1!(1 − 2 x ) .21 −3 −3 −3 y´´= 2 ( −2 )(1 − 2 x ) ( −2 ) = 2 (1 − 2 x ) .22 = 2!(1 − 2 x ) .22 −4 −4 −4 y´´´=2 ( −3)(1 − 2 x ) ( −2 ) 22 =( 2x3)(1 − 2 x ) .23 =3!(1 − 2 x ) .23 −2

−2

y iv = ( 2x3)( −4 )(1 − 2 x )

−5

−2

( −2 ) 23 = ( 2x3x4 )(1 − 2 x )

Directamente la quinta derivada sería: = yv

−5

( 5!)(1 − 2 x )

−6

.24 = 4!(1 − 2 x ) .24 −5

. 25

Por tanto la “n-enésima” derivada sería:

= yn

( n !)(1 − 2 x ) (

− n +1)

. 2n

e)  Supóngase que la función:

s =t 3 − 4t 2 + 7t , describe la posición de una partícula donde “t “ se mide en

segundos y “s” se mide en metros. i. Obtenga la aceleración en el instante ”t”. Obtenga la aceleración a los 5 segundos. ii.

Grafique la posición de la partícula, la velocidad y la aceleración

Solución i. Al derivar la función:

v ( t ) = s´( t ) = 3t 2 − 8t + 7

64

s =t 3 − 4t 2 + 7t se obtiene la velocidad, es decir:

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Solución

i. Al derivar la función: 𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑡𝑡𝑡𝑡 3 − 4𝑡𝑡𝑡𝑡 2 + 7𝑡𝑡𝑡𝑡 se obtiene la velocidad, es decir: 𝑣𝑣𝑣𝑣(𝑡𝑡𝑡𝑡) = 𝑠𝑠𝑠𝑠´(𝑡𝑡𝑡𝑡) = 3𝑡𝑡𝑡𝑡 2 − 8𝑡𝑡𝑡𝑡 + 7

UNIDAD II

Y la aceleración es la derivada de la función velocidad: Y la aceleración es la derivada de la función velocidad:

) =( 6𝑡𝑡𝑡𝑡) − 8 𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑡𝑡𝑡𝑡) = (𝑣𝑣𝑣𝑣´(𝑡𝑡𝑡𝑡)

a t= v´ t= 6t − 8

Entonces, a los 5 segundos la aceleración es: Entonces, a los 5 segundos la aceleración es:

a ( 5 ) = 6 ( 5 ) − 8 = 30 − 8 m a ( 5 ) =𝑚𝑚𝑚𝑚22 respuesta 2 seg 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡(5) = 22

𝑡𝑡𝑡𝑡(5) = 6(5) − 8 = 30 − 8 ii.

TEMA Nº 3

ii.

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒2

Las gráficas de las funciones s, v y a , se dan a continuación: Las gráficas de las funciones 𝑠𝑠𝑠𝑠, 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑡𝑡𝑡𝑡, se dan a continuación:

3. LA REGLA DE LA CADENA En varios de los ejemplos trabajados con anterioridad, se utilizó de manera implícita la regla de la cadena. En esta sección se le dará formalidad a la Regla de la Cadena y se verá que la idea esencial es la misma que la ya trabajada.

3. LA REGLA DE LA CADENA

En varios de los ejemplos trabajados con anterioridad, se utilizó de manera implícita la regla de la cadena. En esta sección se le dará formalidad a la Regla de la Cadena y se verá que la idea esencial es la misma que la ya trabajada.

Sea Sea

𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑅𝑅𝑅𝑅) y 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥𝑥𝑥). Si g es diferenciable en "𝑥𝑥𝑥𝑥0 " y 𝑓𝑓𝑓𝑓

la función compuesta y =diferenciable f ( u ) y u = g ( x"𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥𝑥𝑥 diferenciable en " x0 " y f diferenciable " g ( x0 " entonces ) . Si0"g esentonces (𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑙𝑙𝑙𝑙)(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 𝑓𝑓𝑓𝑓�𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥𝑥𝑥)� es diferenciable en "𝑥𝑥𝑥𝑥0 " y

( f o g )( x ) = f ( g ( x ) ) es diferenciable en " x0 " y 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒇𝒇𝒇𝒇´�𝒈𝒈𝒈𝒈(𝒙𝒙𝒙𝒙𝟎𝟎𝟎𝟎 )�[𝒈𝒈𝒈𝒈´(𝒙𝒙𝒙𝒙𝟎𝟎𝟎𝟎 )] �𝒇𝒇𝒇𝒇�𝒈𝒈𝒈𝒈(𝒙𝒙𝒙𝒙)��� 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒙𝒙𝒙𝒙 d f g x𝒙𝒙𝒙𝒙=𝒙𝒙𝒙𝒙𝟎𝟎𝟎𝟎 ( ( ) ) x = x0 = f ´( g ( x0 ) )  g´( x0 ) dx

la función compuesta

(

)

O lo que es lo mismo: O lo que es lo mismo:

𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 dy 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 dy du . = =. �. 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒙𝒙𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 dx 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒙𝒙𝒙𝒙 du 𝒅𝒅𝒅𝒅=𝒈𝒈𝒈𝒈(𝒙𝒙𝒙𝒙) dx u= g ( x )

26

65

UNIDAD II

Ejemplo

(x

Si:= y

2

+2

)

20

entonces haciendo

= y f= = u g ( x= ( u ) u 20 de donde: ) x 2 + 2 tenemos

dy dy = 20 = u19 y 2x dx dx

TEMA Nº 3

Por tanto:

dy dy du = = dx du dx

( 20u ) ( 2 x ) 19

Que al reemplazar " u " resulta:

(

dy =20 x 2 + 2 dx

(

) ) ( 2 x ) =40 x ( x 19

2

+2

)

19

El ejemplo anterior fue resuelto con un enfoque de cambio de variable para observar la regla de cadena. Pero en la práctica esto no es necesario, la regla de la cadena puede ser aplicada de manera rápida.

EJEMPLOS a)

( 2 x + 3)

Derivar:= y

4

Solución Utilizando la siguiente fórmula (Regla de la cadena):

d n n −1 u = n ( u ) .u´ dx Entonces en el ejercicio tendríamos:

y´= 4 ( 2 x + 3)

4 −1

.

d ( 2 x + 3) dx

= y´ 4 ( 2 x + 3) . ( 2 ) 3

= y´ 8 ( 2 x + 3)

b)

Derivar:

3

= y

respuesta

1 − 3x

Solución Utilizando la fórmula resumida de la Regla de la cadena: 1 1 −1 d y´= (1 − 3x ) 2 . (1 − 3x ) 2 dx

66

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

y´= −

3 2 1 − 3x

c)

Derivar: = y

UNIDAD II

1 1 − y´=(1 − 3 x ) 2 . ( −3) 2

respuesta

3

( 4x

2

−7

)

2

Utilizando la fórmula resumida de la Regla de la cadena:

2 4x2 − 7 y´= 3

(

)

2 −1 3

.

d 4x2 − 7 dx

(

TEMA Nº 3

Solución

)

1 2 2 4 x − 7 3 .(8x ) = y´ 3

(

y´=

d)

)

16 x

respuesta

3 3 4x2 − 7

y= (1 − x ) ( 5 x + 1) 3

Derivar:

4

Solución Utilizando la fórmula de derivación de un producto de funciones y Regla de la cadena:

y´= (1 − x ) . 3

d 4 4 d 3 ( 5 x + 1) + ( 5 x + 1) . (1 − x ) dx dx a

b



3  3 d 3 3 a =(1 − x ) .  4 ( 5 x + 1) ( 5 x + 1) =20 (1 − x ) ( 5 x + 1) dx  

4 2 d 4 2 −3 ( 5 x + 1) (1 − x ) b= ( 5 x + 1) . 3 (1 − x ) . (1 − x ) = dx  

Luego:

y´= 20 (1 − x ) ( 5 x + 1) − 3 ( 5 x + 1) (1 − x ) 3

3

4

2

y´= (1 − x ) ( 5 x + 1)  20 (1 − x ) − 3 ( 5 x + 1)  2

3

y´=(1 − x ) ( 5 x + 1) ( −35 x + 17 ) 2

3

respuesta 67

TEMA Nº 3

UNIDAD II

4. DERIVADAS IMPLÍCITAS Cuando se da una relación entre dos o más variables y la función dada no está resuelta para una de las variables, entonces se le llama función implícita. Cuando en una expresión algebraica, se encuentra despejada una variable se dice que está en forma explícita, ejemplo: = y x 2 + 2 x -3 En algunas ocasiones tenemos relación de dos o más variables en la cual no está despejada ninguna variable, en este caso se dice que está en forma implícita, ejemplo: x 2 + y 2 = r2 En los temas anteriores se vio como derivar funciones explicitas, pero no siempre es fácil despejar una variable para poderla derivar, ejemplo:

y 3 − 3 x 2 + yx = 0 Para derivar la expresión anterior, derivamos ambos miembros de la ecuación con respecto a “ x " , posteriormente se despeja " y´ " .

Ejemplo: Derive la siguiente función:

x2 + y 2 = 9

Solución: a)

Derivando ambos miembros, tendríamos:

d 2 d x + y 2 =9 dx dx d 2 d 2 x + y = 0 dx dx

(

b)

)

Derivando término a término:

2x + 2 y

dy = 0 dx

c) Despejando

dy x = − dx y Note que la expresión resultante se encuentra en termino de (x , y), en algunas ocasiones esto resulta incómodo, pero como generalmente la derivada la utilizamos para encontrar la pendiente en un punto en el que son conocidas las coordenadas (x , y), no tendremos dificultad. Así, si se desea calcular el valor de la derivada en el punto (3, 4), entonces:

dy x 3 = − = − dx y 4

Ejercicios Resueltos: 1) Derive la función:

68

y 3 − 3 x 2 + yx = 0

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Solución:

d 3 d y − 3 x 2 + yx =0 dx dx

(

)

d 3 d 2 d y − 3x + yx = 0 dx dx dx

UNIDAD II

Derivando término a término en la expresión:

Derivando término a término:

dy dy − 6x + y + x = 0 dx dx

TEMA Nº 3

3y2

Despejando

dy 6 x − y = dx 3 y 2 + x

2) Derive la función:

( 2x + 3y )

2

= x+ y

Solución: Siguiendo los pasos anteriormente descritos, obtenemos:

dy  dy  2 ( 2x + 3y )  2 + 3  = 1+ dx  dx 

( 4 x + 6 y )  2 + 3 

dy  dy 1+ = dx  dx

dy dy dy + 18 y = 1+ dx dx dx dy dy dy 12 x + 18 y − =1 − 8 x − 12 y dx dx dx 8 x + 12 y + 12 x

Despejando obtendremos la derivada de la función implícita:

dy 1 − 8 x − 12 y = dx 12 x + 18 y − 1

3) Derivar la siguiente función implícita

sen ( x + y ) = y 2 tan x

Solución: Siguiendo los pasos anteriormente descritos, obtenemos:

dy  dy  2 2 cos ( x + y ) 1 + =  y sec x + tan x.2 y dx  dx  69

UNIDAD II

cos ( x + y ) + cos ( x + y )

dy dy − 2 y.tan x = y 2 sec 2 x dx dx

dy ( cos ( x + y ) − 2 y.tan x )= dx

y 2 sec 2 x − cos ( x + y )

Despejando obtendremos la derivada de la función implícita:

TEMA Nº 3

2 2 dy y sec x − cos ( x + y ) = dx cos ( x + y ) − 2 y.tan x

4) Determinar la ecuación de la recta normal a la curva cuya ecuación es:

x.cos = y sen ( x + y ) en P ( 0, 0 )

Solución: La recta normal es la perpendicular a la recta tangente, por tanto:

mnormal = −

1 mtan

Derivando la función implícitamente:

d d = ( x.cos y ) ( sen ( x + y ) ) dx dx Obtenemos:

dy    dy  1.cos y + x  − sen y =  cos ( x + y ) 1 +  dx    dx  En la última expresión se puede reemplazar las coordenadas de punto, es decir x = 0 y

y = 0 , y luego

y´ : dy    dy  cos 0 + 0  − sen 0 =  cos ( 0 + 0 ) 1 +  dx    dx 

despejar

1+ 0 = 1+

dy dx

⟹

dy =0 dx

Esto quiere decir que la recta tangente es horizontal y por tanto la recta normal será vertical con pendiente:

mnormal = −

1 = −∞ 0

Y su ecuación será:

x = 0 (el eje y)

70

y − 0 =−

1 ( x − 0) 0

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

1. Obtenga la derivada de las funciones que se dan:

= y sen 1)

3

sec 2 x. sen 2 x + 1 cos 2 x. cotx

y=

2. Obtenga la derivada de orden superior que se indican en cada caso.

4)  y =



5) = y



6) 

TEMA Nº 3

3) 

( x + 1)

( cot x )

2) y = tan5

UNIDAD II

ACTIVIDAD FORMATIVA N° 2

2 x 4 − x 2 + 2 x + 8 . y´´´ . 3 x + 1 . y( ) . 2 d 2  x sen (π x )    dx 2  1 + x 

A=

3. Obtenga la derivada de las funciones implícitas que se dan: 7) x + ln

( x y) + 3y

8) x2 + y 2

(

2

2

= 2x2 −1

= −1

cos x. y 9)

2

) =y

2

+x x+ y



I. Obtenga la derivada de orden superior que se indican



10) x 3



11) x 2/3



12) Para la función

− 4 y2 + 3 = 0 . y´´ + y 2/3 = 1 . y´´´ y = f ( x ) dada en forma implícita por la ecuación:

x − tgy + e

Determine

y−

π 4

=2

d2y  π en el punto  2 ,  2 dx  4

LECTURA SELECCIONADA N° 1: Avila Tovar, N. V. (s.f.). Antecedentes históricos del cálculo diferencial. Disponible en https://www.academia.edu/18545560/ANTECEDENTES_HISTORICOS_del_calculo_diferencial

71

UNIDAD II

TEMA Nº 4: LA DERIVADA DE FUNCIONES TRANSCENDENTES (II PARTE)

TEMA Nº 4

1. DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA Los dos teoremas siguientes discuten la derivada de las funciones inversas.

I. Teorema de existencia de la función inversa Si f es una función estrictamente monótona en su dominio entonces f tiene una inversa

El teorema nos indica que es suficiente definir que una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente para saber que es una función que tiene inversa. Ahora nos vamos a preocupar de la derivada de la función inversa.

II.

Teorema de la derivada de la función inversa

Sea f una función derivable y estrictamente monótona en un intervalo I. Si f´(x) ≠ 0 en cierto “x” en I, entonces

f −1 es derivable en el punto correspondiente “y”, y:

1  d −1   dx f  ( y ) = f ´( x )

Lo que en esencia nos manifiesta el teorema es que la pendiente de la recta tangente a de la recta tangente a

m2 =

f −1 ( m2 ) se relacionan de la forma:

1 m1

Y que se puede encontrar la derivada de la inversa

f −1 , trabajando con f en el punto correspondiente. Es decir,

sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de

72

f ( m1 ) y la pendiente

f −1 . Ilustrando en la siguiente figura:

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

UNIDAD II TEMA Nº 4

( )

EJEMPLOS EJEMPLOS a)

1

−1

( )

x Figura 16.- Gráfica de la f x y su función Inversa f Figura 16.- Grafica de la 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) y su función Inversa 𝑓𝑓𝑓𝑓 −1 (𝑥𝑥𝑥𝑥) .

) x=+1x𝑥𝑥𝑥𝑥−3 1+. Calcular Sea f ( x= f −1 ´ . (𝑓𝑓𝑓𝑓 −1 )´. 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1. Calcular a) Sea 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) 4

Solución:

3

Solución:

4

( )

f es inyectiva, tiene inversa. Antes de nada, hagamos constar que como Antes de nada, hagamos constar que como f es inyectiva, tiene inversa. CalculamosCalculamos la derivada delaladerivada función inversa, usando elinversa, teorema:usando el teorema: de la función

1  d −1   dx f  = f ´( x )

�

1 𝑑𝑑𝑑𝑑 −1 𝑓𝑓𝑓𝑓 � = 𝑓𝑓𝑓𝑓´(𝑥𝑥𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥

Luego reemplazando y derivando en el denominador,

Luego reemplazando y derivando en el denominador,

1  d −1   dx f  = d  1 3   x + x − 1 dx  4  obtendremos:

obtendremos:

1  d −1   dx f  = 3 2 x +1 4 b)

𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑓𝑓𝑓𝑓 −1 � = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥

�

𝑑𝑑𝑑𝑑 1 3 � 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥 4

1

+ 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1�

𝑑𝑑𝑑𝑑 −1 1 𝑓𝑓𝑓𝑓 � = 3 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 + 1 4

5 Sea una estrictamente monótona.monótona. Hallar b) fSea +función 1 una función estrictamente Hallar = x5 = + 2𝑥𝑥𝑥𝑥x ++12𝑥𝑥𝑥𝑥 ( x )𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥)

𝑑𝑑𝑑𝑑  d −1  � 𝑓𝑓𝑓𝑓 −1 � (4) )  dx f  ( 4𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥

37

73

UNIDAD II

Solución: En este caso “4” es rango para f por tanto habrá que encontrar el correspondiente x para reemplazarlo en:

1  d −1   dx f  ( 4 ) = f ´( x ) Entonces, teniendo

4 = x5 + 2 x + 1 por inspección deducimos que x = 1 la satisface.

TEMA Nº 4

Por lo tanto:

1 1 1 = = 4 f ´(1) 5(1) + 2 7

 d −1   dx f =  ( 4 )

No olvide que este resultado significa que la recta tangente a f en el punto

(1, 4 )

tiene pendiente m = 7 y por

tanto su ecuación sería:

y − 4= 7 ( x − 1) En cambio, la recta tangente a

y −= 1

f −1 en el punto correspondiente ( 4,1) tiene pendiente: m =

1 ( x − 4) 7

1 y por ecuación: 7

2. DERIVADA DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA Para ciertas funciones trigonométricas inversas definidas de manera simple se pueden emplear las fórmulas siguientes:

= y´



y´=

= y´

d = ( arc sen x ) dx

1 1 − x2

y´=



1 d ( arc cot x ) = − 2 dx 1+ x

d 1 d = y´ = ( arc cos x ) = − ( arc sec x ) dx dx 1 − x2

1 d = ( arc tan x ) dx 1 + x2

y´=

1 x

d ( arc cosec x ) = − dx x

x2 −1 1 x2 −1

Finalmente las fórmulas anteriores pueden ser generalizadas para una función u = u(x):

= y´

74

d = ( arc senu ) dx

u´ 1− u

2



y´=

d u´ ( arc cot u ) = − 2 dx 1+ u

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

= y´

d u´ d u´ = y´ = ( arc cos u ) = − ( arc sec u ) 2 dx dx 1− u u u2 −1

d u´ = ( arc tanu ) dx 1+ u2

y´=

d u´ ( arc cosec u ) = − dx u u2 −1

UNIDAD II

y´=



EJEMPLOS Figura 17.- función

y = arc cos x3

y = senh x

TEMA Nº 4

A continuación se dan ejemplos sobre la derivada de funciones trigonométricas inversas:

Solución Tenemos que: u

= x3 ⟹

u´= 3 x 2. Luego usando la fórmula de derivación correspondiente:

3x 2 3x 2 y´= − = − 2 1 − x4 1 − x2

Respuesta

( )

= y arc tan ( 5 x + 8 )  Solución Tenemos que: u

= 5x + 8

⟹ u´= 5. Luego usando la formula de derivación correspondiente:

5 5 y´= − = − 2 2 25 x + 80 x + 65 1 + ( 5x + 8)

Respuesta

 4x − 2  y = arc sen    7x +1  Solución Tenemos que: u

=

4x − 2 7 x +1

⟹ u´=

( 7 x + 1)( 4 ) − ( 4 x − 2 )( 7 ) = 28 x + 4 − 28 x + 14 = 18 . 2 2 2 ( 7 x + 1) ( 7 x + 1) ( 7 x + 1)

Luego usando la fórmula de derivación correspondiente:

18

( 7 x + 1) = 2

= y´

 4x − 2  1−    7x +1 

2

18

( 7 x + 1)

2

 4x − 2  1−    7x +1 

2

respuesta

75

TEMA Nº 4

UNIDAD II

y = arc sen e9 x − 2 Solución Tenemos que: u

= e9 x − 2 ⟹ u´= 9e9 x − 2. Luego usando la formula de derivación correspondiente:

9e9 x − 2 9e9 x − 2 y´ = 2 9 x−2 18 x − 4 −1 e9 x − 2 . e9 x − 2 − 1 e . e

(

)

y = arc cosec

( x)

Solución Tenemos que: u

1 −1/2 1 x = . Luego usando la formula de derivación correspondiente: 2 2 x 1 1 2 x Respuesta =− 2 x. x − 1 x . x −1

= x1/2 ⟹ u´=

1 y´= −

Respuesta

2 x

( x ). ( x )

2

=− −1

( )

( )

y = arc cot e x

Solución: Tenemos que: u

y´= −

y´= −

= e x ⟹ u´= e x. Luego usando la formula de derivación correspondiente:

ex

( )

1 + ex

2

ex 1 + e2 x

Respuesta

3. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL. Las fórmulas que utilizaremos para obtener la derivada de las funciones exponenciales simples: son:

d x e = ex dx d x a = a x .ln a dx 76

x y = ex y y = a ,

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

en donde: a > 0

d u e = eu .u´ dx

d u a = a u .ln a.u´ dx

EJEMPLOS Obtenga la derivada de las funciones que se indican: a)

y = e 2x

5

TEMA Nº 4

en donde: a > 0

UNIDAD II

Las fórmulas anteriores pueden ser generalizadas para una función u = u(x):

+3 x −7

Solución Usando la fórmula de derivación correspondiente, tenemos:

= y´ e 2 x

5

+3 x −7

= y´ e 2 x

5

+3 x −7

= y´

b)

(10 x

4

y=

.

d 2 x5 + 3x − 7 dx

( + 3) .e

(

. 10 x 4 + 3

)

)

5

2 x +3 x −7

Respuesta

2x 3 e x −9

Solución Usando la fórmula de derivación correspondiente, tenemos:

y´=

2x 3 e x −9 .

2x 2x    (3 x − 9 )(2 ) − 2 x(3)  d  2x  3 x − 9 3 x −9 6 x − 18 − 6 x e . =  =e   2  dx  3 x − 9  (3x − 9)2   (3 x − 9 )  

Finalmente se obtendrá:

c)

y´=

18

(3x − 9)2

2x .e 3 x −9

y = e x + x 3 − 6x

Solución Podemos expresar la función de la siguiente manera:

77

TEMA Nº 4

UNIDAD II

x

(

x

y = e + x − 6x = e + x − 6x 3

3

)

1 2

Y usando la fórmula de derivación correspondiente, tenemos:

y´=

1 1 1 x (e + x 3 − 6 x )− 2 . d (e x + x 3 − 6 x ) = 1 (e x + x 3 − 6 x )− 2 .(e x + 3x 2 − 6) 2 dx 2

Finalmente se obtendrá: d)

y´=

e x + 3x 2 − 6 2. e x + x 3 − 6 x

y = 7 5 x+6

Solución Tenemos que:

= a 7

y´= 7 5 x + 6 . ln 7.

d (5 x + 6) = 7 5 x +6. ln 7.(5) dx

Finalmente se obtendrá: e)

y=3

= u 5 x + 6 Luego usando la fórmula de derivación correspondiente

y

3 x+7

(

y´= 5. ln 7. 7 5 x + 6

)

Solución Tenemos que:= a

y´= 3

3 x+7

y´= 3

3x+7

. ln 3.

3

d dx

y

(

= u

)

3x + 7 = 3

3 x + 7 Luego usando la fórmula de derivación correspondiente 3 x+7

1 d 1  . ln 3. (3 x + 7 )− 2 . (3 x + 7 ) dx 2 

1 1  . ln 3. (3 x + 7 )− 2 .(3) 2 

Finalmente se obtendrá:

y´=

3 ln 3

2. 3 x + 7

3

3x+7

4. DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL La fórmula que utilizaremos para obtener la derivada de la función logaritmo natural

d 1 ln u = .u´ dx u

78

y = ln u es:

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

EJEMPLOS UNIDAD II

Obtenga la derivada de las funciones que se indican: a)

(

y = ln 5 x 3 − 4 x + 7

)

Solución Usando la fórmula de derivación correspondiente, tenemos:

(

)

.

Finalmente se obtendrá: y´= b)

(

d 1 5x 3 − 4 x + 7 = 3 . 15 x 2 − 4 5 x − 4 x + 7 dx 5x − 4 x + 7 1

3

(

y = ln 1 − x 2 + 2 x 3

TEMA Nº 4

y´=

)

15 x 2 − 4 5x 3 − 4 x + 7

)

Solución Usando la fórmula de derivación correspondiente, tenemos:

y´=

1 1 − x 2 + 2x 3

.

(

Finalmente se obtendrá: c)

)

(

d 1 1 − x 2 + 2x 3 = . − 2x + 6x 2 2 3 dx 1 − x + 2x

y´=

)

− 2x + 6x 2 1 − x 2 + 2x 3

y = ln (ln x )

Solución Usando la fórmula de derivación correspondiente, tenemos:

y´=

1 d 1 1 . (ln x ) = .  ln x dx ln x  x 

Finalmente se obtendrá:

y´=

1 x. ln x

Observación. Cuando sea necesario derivar funciones en donde aparezca el logaritmo de un producto, de un cociente o de una expresión elevada a una potencia. Se sugiere utilizar las propiedades del logaritmo; estas propiedades son: •

Propiedad 1: ln

(a.b ) = ln a + ln b 79

UNIDAD II

•

Propiedad 2: ln a  = ln a

•

Propiedad 3: ln a r

b

− ln b

= r ln a

Entonces, primero se aplicarán las propiedades que correspondan de los logaritmos y posteriormente se obtendrá la derivada de las funciones

TEMA Nº 4

EJEMPLOS Obtenga la derivada de las funciones que se indican: a)

[(

)(

y = ln x 4 + 2 x 3 − 3

)]

Solución Primeramente, usando la propiedad 1 tenemos:

[(

)] (

)(

) (

)

y = ln x 4 + 2 x 3 − 3 = ln x 4 + 2 + ln x 3 − 3

Usando la fórmula de derivación correspondiente, tenemos:

y´=

(

)

.

y´=

Finalmente se obtendrá: b)

(

)

d 4 d 3 1 x +2 + 3 . x −3 x + 2 dx x − 3 dx 1

4

 x2 + x   y = ln 2  3 x − 7  

4x 3 x4 + 2

+

3x 2 x3 − 3

Solución Primeramente, usando la propiedad 2 tenemos:

(

) (

 x2 + x   = ln x 2 + x − ln 3 x 2 − 7 y = ln 2  3x − 7   

)

Usando la fórmula de derivación correspondiente, tenemos:

y´=

(

.

Finalmente se obtendrá:

c)

80

)

(

d 2 d 1 x +x − 2 . 3x 2 − 7 dx dx x +x 3x − 7 1

2

y= ln

y´=

2x +1 6x − 2 2 x + x 3x − 7

( 4 x + 3) ( x 4 + 5)

)

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Solución 1

y= ln  ( 4 x + 3) ( x 4 + 5)  2

Primeramente, usando la propiedad 3 tenemos:

= y

1 ln  ( 4 x + 3) ( x 4 + 5)  2

UNIDAD II

La función se puede escribir de la siguiente forma:

Y luego por la propiedad 1:

= y

Usando la fórmula de derivación correspondiente, tenemos:

1 1 1 1 d d . . ( 4 x + 3) + . 4 . ( x 4 + 5) 2 4 x + 3 dx 2 x + 5 dx 1 1 1 1 = y´ . .( 4) + . 4 . ( 4 x3 ) 2 4x + 3 2 x +5

= y´

Finalmente se obtendrá: = y´

TEMA Nº 4

1 1 ln ( 4 x + 3) + ln( x 4 + 5) 2 2

2 2 x3 + 4 4x + 3 x + 5

DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN ELEVADA A OTRA FUNCIÓN Cuando las reglas de correspondencia de los lugares geométricos son un tanto complicadas o cuando son funciones potenciales de la forma y = f ( x) g ( x ) , lo mejor será aplicar logaritmo y derivar implícitamente.

Ejemplos a)

Derivar la función:

y = xx

Solución Primero, aplicando logaritmos a ambos miembros, tenemos:

ln y = ln x x ln y = x.ln x Ahora derivando implícitamente, resulta:

d d ln y = x.ln x dx dx 1 dy 1 . x.   + ln x. (1) = y dx x dy = y. (1 + ln x ) dx

81

UNIDAD II

Finalmente se obtendrá: b)

Derivar la función:

dy = x x .(1 + ln x ) dx y = ( sen 2 x )

arctan x

Solución

TEMA Nº 4

Primero, aplicando logaritmos a ambos miembros, tenemos:

ln y = ln ( sen 2 x )

arctan x

ln y = arctan x.ln ( sen 2x ) Ahora derivando implícitamente, resulta:

d d ln y = arctan x.ln ( sen 2x )  dx dx

1 dy 1  1  . = . ln(sen 2x ) + arctan x. .(cos 2x )( . 2 ) 2 y dx 1 + x  sen 2x  1 dy 1  1  = . .ln ( sen 2x ) + arctan x.  . ( cos 2x ) . ( 2 )  2 y dx 1 + x  sen 2x   ln ( sen 2x ) 2.cos 2x.arc tan x  1 dy . y.  = +  2 y dx sen 2 x  1+ x  Finalmente se obtendrá:

1 dy 2.cos 2x.arc tan x  arctan x  ln ( sen 2x ) + . = ( sen 2x ) .  2 y dx sen 2 x  1+ x 

82

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

UNIDAD II

ACTIVIDAD FORMATIVA N° 3 Resuelva los siguientes ejercicios:

f ( x ) =x 7 + 3 x3 + 2 Hallar:  f −1 ´( 6 ) −1 3 2. Si f ( x ) =x 7 + 3 x 3 + 2 , para x > . Hallar:  f ´( 5 ) 2 1. Si

TEMA Nº 4

 dg   π  , si g es la función inversa de f tal que: f (= x ) ln x + arc tg x     dx   4   4 senx  4. Hallar y´ de la siguiente función: y = arc tan    3 + 5cos x  3. Hallar

5. Hallar

x y´ de la siguiente función: = y x.arc tan   − ln x 2 + 4 2

(

)

Determine la derivada de cada una de las funciones siguientes: 6.

f ( x ) = x 2π −4 x

7.

 2 − 5e x  h ( x ) = ln  3x   2 + 5e 

8.

f ( x) = x 2 + e − x .ln 1 + 2− x

(

3

) (

)

Resuelva los siguientes problemas propuestos 9. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuación: recta con ecuación: x + y = 2

y = 3e −2 x tal que sea paralela a la

10. Determinar la ecuación de la recta tangente trazada a la curva con ecuación intersección con el eje Y.

y=e

1 x 2

en el punto de su

11. La dependencia entre la cantidad x de sustancia obtenida en cierta reacción química y el tiempo t de reacción se expresa por la ecuación= x A 1 − e − kt . Determinar la velocidad de reacción.

(

)

LECTURA SELECCIONADA n° 2: Leer apartado: El concepto de velocidad instantánea (pp. 155-158). Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior del Instituto Politécnico Nacional. (s.f.). 18-4 El concepto de velocidad instantánea. En Calculo Diferencial Libro para el Estudiante (pp. 155–158). Disponible en http://bit.ly/2c90W5w

83

TEMA Nº 5: LA DERIVADA DE FUNCIONES HIPERBOLICAS

TEMA Nº 5

UNIDAD II

TEMA Nº 5: LA DERIVADA DE FUNCIONES HIPERBOLICAS

1. DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN HIPERBÓLICA En el campo real,FUNCIÓN las funciones hiperbólicas son funciones dependientes de la 1. DEFINICIÓN DE UNA HIPERBÓLICA 𝑥𝑥𝑥𝑥 función trascendente elemental: 𝑒𝑒𝑒𝑒 .

En el campo real, las funciones hiperbólicas son funciones dependientes de la función trascendente elemental: Las funciones hiperbólicas son de la combinación exponencial e hipérbola, sus e x . ecuaciones son: Las funciones hiperbólicas son de la combinación exponencial e hipérbola, sus ecuaciones son: • Función Senohiperbólico • Función Senohiperbólico Su regla de correspondencia es: y = f ( x ) = senhx Su regla de correspondencia es:

x −x e x − e−x e − e = y = f ( x) = senhx = 2 2

Por tanto su gráfica sería: su gráfica sería: Por tanto

•

Figura 12. Función y = senh x Figura 17.- función 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ℎ 𝑥𝑥𝑥𝑥

Función cosenohiperbólico • Función cosenohiperbólico Su regla de correspondencia es: y = f ( x) = cosh

x=

Su regla de correspondencia es:

e x + e−x 2 e x + e−x y = f ( x) = cosh x = 2

Por tanto su gráfica sería:

84

Figura 18.- función 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ 𝑥𝑥𝑥𝑥

52

• Función cosenohiperbólico

y = f ( x) = cosh x =

Su regla de correspondencia es:

e x + e−x 2

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Por tanto su gráfica sería: Por tanto su gráfica sería:

UNIDAD II

• Función tangente hiperbólica: • Función tangente hiperbólica:

y = f ( x) = tanh x = senhx = ex x − e−−x x = f ( x)hiperbólica: = tanh x =cosh x =e x+ e − x Función y tangente cosh x e +senhx e

Su regla de correspondencia es: y = f ( x ) = Por tanto su gráfica sería: Por tanto su gráfica sería: Por tanto su gráfica sería:

tanh x =

cosh x

=

52

TEMA Nº 5

•

Su regla de correspondencia es: Figura 18.Su regla de correspondencia es:función Figura 13. Función cosh𝑥𝑥𝑥𝑥x senhx e x − e𝑦𝑦𝑦𝑦y− =x= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ

e x − e− x e x + e−x

Figura 19.- función 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑙𝑙𝑙𝑙ℎ 𝑥𝑥𝑥𝑥 Figura 19.- función 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑙𝑙𝑙𝑙ℎ 𝑥𝑥𝑥𝑥 Figura 14. Función y = tgh x

Al igual que las funciones trigonométricas circulares, en las funciones hiperbólicas Al igual que las funciones trigonométricas circulares, encirculares, las funciones se cumplen las siguientes se cumplen laslas siguientes identidades fundamentales: Al igual que funciones trigonométricas enhiperbólicas las funciones hiperbólicas identidades fundamentales: se cumplen las siguientes identidades fundamentales:

cosh ( x ) e x + e − x coth ( x ) = cosh (x )= ex x + e− x− x coth (x ) =senh( x ) =e x− e − x senh(x ) e − e 1 2 = sec h(x ) = x 1 2 −x sec h(x ) =cosh (x ) =e x+ e − x cosh (x ) e + e 1 2 = x 2 −x cos ech(x ) = 1 cos ech(x ) =senh(x ) =e x− e − x senh(x ) e − e

Debido a esto, es lógico pensar que habrá una relación equivalente al Teorema de Pitágoras. Así, para las funciones hiperbólicas sabe que: Debido a esto, es lógico pensar que habrá unase relación equivalente al Teorema de Pitágoras. Así, para las funciones hiperbólicas se sabe que:

cosh 2 x − senh 2 x = 1 . 2

2

85

UNIDAD II

Debido a esto, es lógico pensar que habrá una relación equivalente al Teorema de Pitágoras. Así, para las funciones hiperbólicas se sabe que:

cosh 2 x − senh 2 x = 1 .

2. DERIVADA DE LA FUNCIÓN HIPERBÓLICA. TEMA Nº 5

Por ser combinación de funciones exponenciales, las funciones hiperbólicas son derivables para todo x. El siguiente cuadro se resume las fórmulas de derivación de las funciones hiperbólicas: Si u es una función derivable de x.

= y´

d = ( senhu ) dx

( cosh u ) .u´



y´=

d ( cothu ) = −(csch 2u ).u´ dx

= y´

d = ( coshu ) dx

( senhu ) .u´



y´=

d ( sechu ) = −(sech u tanhu ).u´ dx



y´=

d ( cosec u ) = −(cschu coth u ).u´ dx



= y´

d = ( tanhu ) ( sech2 u ).u´ dx

EJEMPLOS Obtenga la derivada de las funciones que se indican: a)

y = senh ( x 2 − 3)

Solución Usando la fórmula de derivación correspondiente, tenemos:

y´= cosh (x 2 − 3).

(

Finalmente se obtendrá: b)

)

d 2 x − 3 = cosh (x 2 − 3).(2 x ) dx 2

y´= 2 x. cosh (x − 3)

y = [ ln (cosh x)]

Solución Usando la fórmula de derivación correspondiente, tenemos:

y´= 86

1 d 1 . (cosh x ) = senh x cosh x dx cosh x

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

c)

y´=

senh x = tanh x cosh x

y = [x.senhx − cosh x ]

Usando la fórmula de derivación correspondiente, tenemos:

y´=

d [x.senhx − cosh x] = x. cosh x + senhx − senhx dx Finalmente se obtendrá:

TEMA Nº 5

Solución

UNIDAD II

Finalmente se obtendrá:

y´= x. cosh x

d) La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de λ , la longitud de onda (distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas, h . La función que relaciona esta s variables es

v2 =

gλ  2πh  tanh  2π  λ 

donde v es la velocidad, y g es la gravedad. Suponiendo que se mantiene h constante, esto es, que el oleaje se propaga por un océano de profundidad constante (50 m), determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando λ = 5 m . Solución Derivamos la función:

dv = dλ

v2 =

gλ  2πh  tanh   2π  λ 

v=

gλ  2πh  tanh  2π  λ 

 g  2πh   gλ  2πh  2  2πh   tanh     − 2  sec h  +  λ   λ   2π  λ  gλ  2πh   2π 2 tanh  2π  λ  1

dv = dλ

 g  2πh  gh  2πh    tanh sec h 2  −    λ  λ  λ  gλ  2πh   2π 2 tanh  2π  λ  1

87

TEMA Nº 5

UNIDAD II

Se sustituyen los valores numéricos en cuestión:

dv = dλ

 9.81  2π(50 )  (9.81)(50 )  2π(50 )   sec h 2  tanh   −  5  5   5  ( 9.81)(5)  2π(50 )   2π 2 tanh   2π  5  dv = 8.72 dλ 1

Entonces, para este valor de la longitud de onda y de la profundidad, la velocidad de la ola va aumentando respecto a la longitud de onda.

VIDEO Cálculo Funciones trigonométricas hiperbólicas e hiperbólicas inversas https://www.youtube.com/watch?v=mlbRfMhR1BI duración: 11.18 min

ACTIVIDAD FORMATIVA N° 4 I. Obtenga la derivada de las funciones que se dan: 1)  f (x ) =

(

tanh 4 x 2 − 3

)

( ) = ln tanh(3 x 2 + 2 ) − cosh(3 x 2 + 2 )

2)  f x

3)  y 2 .sen x + y = arc tan x 4)  y=

e ax − e − ax e ax + e − ax

5)  y = ln 6)  y=

88

(ln tan x )

x ln x

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

UNIDAD II

LECTURA SELECCIONADA N° 3 Leer apartado: Georg Cantor: ¡Se han formado las parejas! (pp. 142-144). Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior del Instituto Politécnico Nacional. (s.f.). 4. Georg Cantor: ¡Se han formado las parejas! En Calculo Diferencial Libro para el Estudiante (pp. 142–144). Disponible en http://bit.ly/2c90W5w

TEMA Nº 5

SEGUNDA PRUEBA DE DESARROLLO INSTRUCCIONES: Lea atentamente cada enunciado y resuelva consignando todo el procedimiento. La limpieza y el orden influirán en la calificación final.

1.  Calcular el siguiente límite: (3p)

lim

x →−∞

3x − 7 4 x − 9 x2 + 2 x

2.  Derive la siguiente función: (4p)

Dar como respuesta las ecuaciones de la recta tangente y recta normal en x = 1

3. Encuentre una ecuación de la recta tangente y la normal a la gráfica de la función dada en el punto indicado. (4p)

2 xy + π sen y = 2π ;

 π 1 ;  2 

4. Calcular la derivada y dar como respuesta en su forma más reducida:

(4p)

 y ln x 2 + y 2 = arctan   x 5.  Determinar los puntos de la curva: (5p)



en los que la recta tangente es horizontal

89

UNIDAD II

GLOSARIO DE LA UNIDAD II D

TEMA Nº 5

Derivada. La derivada de una función respecto a una variable es el límite del incremento de la función entre el incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero.

F Función explícita Es aquella en la es posible expresar una variable en términos de la otra. Función implícita Es aquella en la que no se le puede despejar la variable independiente de la variable dependiente. Es decir, no es posible expresar una variable en términos de la otra.

P Pendiente de una recta La tangente de su inclinación. Si designamos la inclinación por ø y la pendiente por m tenemos: tan ø =m Recta normal Es la recta perpendicular a la tangente en su punto de contacto a la curva en dicho punto.

V Velocidad Es la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo. Velocidad promedio Es la distancia entre la primera posición y la segunda, dividida entre el tiempo consumido.

90

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Básica

UNIDAD II

BIBLIOGRAFÍA DE LA II UNIDAD ii

Larson, R. & Edwards, B.H. (2009). Cálculo Diferencial – Matematica I (8 ed.). México: Mc Graw Hill. Ubicación: Biblioteca UC: 515.1-L25-2006

Anton (2009). Cálculo de una Variable. Trascendentes Tempranas (2 ed.). México: Limusa. Espinoza, E. (n.d.). Analisis Matematico I (4 ed.). Lima: Servicios Gráficos J.J.

TEMA Nº 5

Complementaria

Hoffmann, Bradley & Rosen (2006). Cálculo Aplicado para Administración, Economia y Ciencias Sociales (8 ed.) México: Mc Graw Hill. Howard, A. (2009). Cálculo de una Variable (2 ed.). México. Limusa Wiley. Larson, R. & Edwards, B.H. (2010). Cálculo Esencial (8 ed.). México: Cengage Learning. Larson, R. & Edwards, B.H. (2012). Cálculo de una Variable. (9 ed.). México: Mc Graw Hill. Leithold (2013). El Cálculo. 33. México: Editorial Oxford/Harla. Purcell, Varberg & Rigdon (2001). Cálculo. (8 ed.) México: Prentice Hall. Stewart, J. (2008). Cálculo: Trascendentes Tempranas. (6 ed.). México: Cengage Learning. Zill, D.G. & Wright, W.S. (2011). Cálculo de una Variable: Transcendentes Tempranas (4 ed.). China: Mc Graw Hill.

91

UNIDAD II

AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD II 1. Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación:

TEMA Nº 5

ecuación:

x + 12 y − 6 = 0.

a) x − 12 y + 7 = 0

b)

x + 15 y + 6 = 0

e)

d)

= y x 3 + 1 , que es paralela a la recta de

x − 12 y + 86 = 0

c)

x + 12 y + 86 = 0

x − 15 y + 20 = 0

2. Si un objeto se mueve a lo largo del eje coordenado de modo que su posición en cualquier instante t satisface la ecuación: S = f ( t ) = 2t 2 − 12t + 8

Determine la rapidez del objeto al cabo de:

t = 2 seg

a) −4 cm / s

b) −2 cm / s c) 2 cm / s

d) 4 cm / s

e) 24 cm / s

3. Hallar la ecuación de la recta tangente a a) y − 1= d)

3 ( x − 1)

y+2= 3 x

f ( x ) = x3 en x = 1

b)

y − 2 y =x − 1

e)

3 y + 2= 3 ( x − 1)

c)

y + 1= 3 ( x + 1)

4. Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto ( −2; −5 ) y que son tangentes a la curva definida por la ecuación = y x2 + 4x .

Dar como respuesta la ecuación de una recta tangente a ese punto.

y= −2 x − 5 a)

b)

= y 2 x + 1

e)

d)

5. Si

= y 2 x + 5

c)

= y 2x −1

= y 3x − 1

f , g y h son funciones tales que: h( x) =

f ( x) g ( x) , 2 f ( x) + 3g ( x)

f (1) = 3, g (1) = −3, f ´(1) = −2, g´( x ) = 1 . Determine h´(1) a) −4 6. Obtenga

−2

2

d) 4

e) 28

c) 0

d) 2

e)

c)

x2 + 2 f ´( 0 ) de f ( x) = 3

a) −2

92

b)

x +1

b)

−1

no existe

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

7. Determine

f ´( 0 ) , si f ( x )= x ( x + 1)( x + 2 ) …( x + 100 )

f ( x) 8. Si: =

(

d) 50

e) 100!

d) 1

e) 2

)

sen x3 − 3 x . Calcular f ´(1)

a) −3

b)

c) 0

− x

f ( 2 ) = 4 , f ´( 4 ) = 6 , f ´( 2 ) = −2 Hallar:

a) −12 10. Derivar:

b) −8

= f ( x)

d [ f (x)]3 dx d) 6

c) -2

3

( 4x

2

−7

)

2 3

b) 0

a) 2z −3

b)

z −3

c)

f ( x ) = sen x . Obtenga: f (10)

a)

cos x

2z 3

− cos x

c)

d)

14. Halle

b) –n!x

z 6

sen x

= y 13. Halle la “n-enésima” derivada de la función: a) 1 − nx

e) −24

 1 + 3z  w( z ) =  (3 − z )  3z 

12. Si

b)

f ´( 0 )

d) −6

c) -2

11. Halle la segunda derivada de:

e) 24

2

Dar como respuesta: a)

TEMA Nº 5

9. Si

c) 50!

b) 20!

UNIDAD II

a) 2!

xn

c) n !−

e)

3z 3

d) − sen x

e)

cos 2x

n∈

x

d)

c) n !− 1

d)

1 −!nx

e) n !

 1   

f n ( 0 ) si: f ( x) = ln 1 − x 

a) n !

b) 1 − n !

= y 15. Halle las constantes a y b de modo que:

( n − 1)!



e)

( n + 1)!

a.sen3 x − b.cos3 x satisfaga la ecuación diferencial:

y´´+4 y´+3 y = 10.cos 3 x a) = a 1= yb d) = a

2

= = 5 y b 2 / 3 b) a 1/

c) a 2= = / 3 y b 1/ 3

2= yb = 1 e) a 1/= 6 y b 1/ 2

93

UNIDAD II

16. Sea:

x2 y − 2 y3 = 2 . Encuentre y´´ en ( 2,1)

a) −15 17.

e) 15

d) 12

(

d)

TEMA Nº 5

c) 0

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva: 8 x 2 ℵy 2

a) 9 x ℵ13 y

40 0

b)

x + 5 y − 45 = 0

e)

9 x − 13 y + 5 = 0

)

(

2

100 x 2

c)

y2

)

x − 5 y + 45 = 0

x + 5 y − 89 = 0

18. En la parábola y = x se han marcado dos puntos cuyas abscisas son x1 = 1 y x2 = 3. Por estos puntos pasa la secante. En qué punto de la parábola la tangente a ésta es paralela a la secante trazada. 2

(

)

a) 2 , 4

19.

b)

( −8, 5)

c) (8,5)

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de:

y − x + 2 = 0 a)

b) 2 y − x + 3 = 0

d) 3 y + 2 x − 7 = 0

e)

20.

y = tan ( x + y ), halle y´´´

Dada la función implícita:

a) y´´´= − y −8

94

b) −8

d)

( 12, 2 )

(x

2

c)

y+x+2=0

+ y2

)

3

b)

c)

y´´´= −10 y −8 − 16 y −6 − 6 y −4

d)

e)

y´´´= y −8 − 16 x −6 + 6 y −4

(1, 0 )

= 8 x 2 y 2en el punto (1,−1)

y + 3x + 8 = 0

− 16 y −6 + 6 y −4

e)

y´´´= −10 y −8 − 16 x −6 − 6 y −4 y´´´= −12 y −8 − 6 x −6 + 16 y −4

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

UNIDAD III

“APLICACIONES DE LA DERIVADA” DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD III

•

Al finalizar la unidad, el estudiante, resuelve ejercicios y problemas aplicando en forma crítica y reflexiva las funciones y sus derivadas en la modelación, formulación y resolución de problemas en diversos contextos, y hace una evaluación de los resultados.

95

ACTIVIDADES FORMATIVAS (habilidades y actitudes)

CONTENIDOS

SISTEMA DE EVALUACIÓN (Técnicas y Criterios) Procedimientos e indicadores de evaluación permanente:

2. Razones de cambio relacionados

• U  tiliza instrumentos, técnicas y fórmulas, para aplicar las derivadas en la física y optimización de funciones.

Tema Nº 2: Máximos y Mínimos Relativos

• R  esuelve ejercicios del Teorema del Valor Medio utilizando el criterio del teorema del valor medio

• C  alidad, coherencia y pertinencia de los contenidos desarrollados

Tema Nº 1: Aplicación a la Física 1. Movimiento de Cambio

1. Extremos de funciones (relativos y absolutos) 2. Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la Primera Derivada.

• T  rabaja individual y grupalmente resolviendo ejercicios y problemas de aplicación de la Regla de L’Hospial

3. Concavidad, puntos de inflexión y el criterio de la segunda Derivada. Tema Nº 3: Teorema del Valor Medio 1. Teorema del valor medio. Tema Nº 4: Optimización 1. Problemas de optimización Tema Nº 5: Regla de L`Hospital 1. Regla de L` Hospital

• E  ntrega puntual de los trabajos realizados

• P  articipa en actividades colaborativas y tutorizadas Criterios de evaluación de capacidades matemáticas: 1. Identifica y analiza las aplicaciones de la derivada en la física. 2. Analiza las propiedades de los máximos y mínimos relativos 3. Realiza cálculos con el Teorema del valor medio. 4. Resuelve ejercicios de optimización aplicados a la vida real. 5. Resuelve ejercicios aplicando la Regla de L’Hospital.

RECURSOS: Videos: Tema Nº 1: Razón de cambio https://www.youtube.com/watch?v=NpURFBaJI80 duración: 6.43 min. Tema Nº 4: Problemas de Optimización https://www.youtube.com/watch?v=jtGYI9H2DCc duración: 11.38 min. Tema Nº 5: Regla de L’Hôpital. Infinito elevado a 0 https://www.youtube.com/watch?v=Jk5bLF0u930 duración: 9.19 min.

DIAPOSITIVAS ELABORADAS POR EL DOCENTE: Lectura complementaria: Lectura Seleccionada Nº 1 Bromberg, S. & Rivaud J. J. (2001). Determinación de Máximos y Mínimos (Método usado por Fermat). Fermat y el Cálculo Diferencial e Integral. Miscelánea Matemática 34, 63–65. Lectura Seleccionada Nº 2 Instituto Politécnico Nacional (2005). Otro eureka de Arquímedes. Cálculo Diferencial – Libro para el estudiante (pp.141). México: Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior del Instituto Politécnico Nacional.

96

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Prueba de desarrollo

Instrumento de evaluación Básica Larson, R. & Edwards, B.H. (2009). Cálculo Diferencial – Matematica I (8 ed.). México: Mc Graw Hill. Ubicación: Biblioteca UC: 515.1-L25-2006 Complementaria Anton (2009). Cálculo de una Variable. Trascendentes Tempranas (2 ed.). México: Limusa. Espinoza, E. (n.d.). Analisis Matematico I (4 ed.). Lima: Servicios Gráficos J.J. Hoffmann, Bradley & Rosen (2006). Cálculo Aplicado para Administración, Economia y Ciencias Sociales (8 ed.) México: Mc Graw Hill.

 ibliografía (Básica y B Complementaria)

Howard, A. (2009). Cálculo de una Variable (2 ed.). México. Limusa Wiley. Larson, R. & Edwards, B.H. (2010). Cálculo Esencial (8 ed.). México: Cengage Learning. Larson, R. & Edwards, B.H. (2012). Cálculo de una Variable. (9 ed.). México: Mc Graw Hill. Leithold (2013). El Cálculo. 33. México: Editorial Oxford/Harla. Purcell, Varberg & Rigdon (2001). Cálculo. (8 ed.) México: Prentice Hall. Stewart, J. (2008). Cálculo: Trascendentes Tempranas. (6 ed.). México: Cengage Learning. Zill, D.G. & Wright, W.S. (2011). Cálculo de una Variable: Transcendentes Tempranas (4 ed.). China: Mc Graw Hill. Proyecto Matex ( 8 de julio de 2015). Límites y Continuidad. Recuperado de http:// personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_1/LimiContiC1.pdf

 ecursos Educativos R digitales

Sauce ( 8 de julio de 2015). Límites y Continuidad de Funciones. Recuperado de http:// sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T09.pdf Youtube ( 8 de julio de 2015). Límites de una Función Real. Recuperado de https:// www.google.com.pe/?gws_rd=ssl#q=LíMITES+de+una+funcion&tbm=vid

97

UNIDAD III

TEMA Nº 1: APLICACIÓN A LA FISICA

TEMA Nº 1

1. MOVIMIENTO DE CAMBIO El movimiento de una partícula P a lo largo de una línea recta queda completamente definido por la ecuación: s = f t , ley del movimiento, siendo t ≥ 0 el tiempo y s la distancia a P a un punto fijo O de la trayectoria.

()

La velocidad de P, en un instante t, es: v

=

ds dt

•

Si v

> 0, P se mueve en la dirección creciente de s.

•

Si v

< 0, P se mueve en la dirección decreciente de s.

•

Si v

= 0, P está en reposo en dicho instante.

La aceleración de P, en un instante t, es: a

=

dv d 2 s = dt dt 2

•

Si a

> 0, v aumenta; si a < 0, v disminuye.

•

Si v

y a tienen el mismo signo, la celeridad (modulo de la velocidad) de P aumenta.

•

Si v

y a tienen signo contrario, la celeridad de P disminuye.

EJEMPLOS En los problemas que siguen sobre el movimiento rectilíneo el espacio s se mide en metros y el tiempo t en segundos. a)

La ley del movimiento rectilíneo de un cuerpo viene dada por

s=

1 3 t − 2t. Hallar su velocidad y acele2

ración al cabo de 2 segundos.

Solución Obtenemos las derivadas respectivas para ambos casos y calculamos:

v=

ds 3 2 = t −2 dt 2

a=

dv = 3t dt

Para t = 2 ⟹ v =

3 2 ( 2) − 2 = 4 m / s 2

Para t = 2 ⟹ a = 3 ( 2 ) = 6 m / s

b) El espacio recorrido por un móvil en línea recta viene dado por la ecuación: movimiento).

98

s = t 3 − 6t 2 + 9t + 4 (ley del

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

=0

ii.

Hallar s y v cuando a

=0

iii.

¿Cuándo aumenta s?

iv.

¿Cuándo aumenta v?

UNIDAD III

i.  Hallar s y a cuando v

v.  ¿Cuándo cambia el sentido del movimiento?

Derivando respectivamente tenemos:

v=

ds = 3t 2 − 12t + 9 = 3 ( t − 1)( t − 3) dt

a=

TEMA Nº 1

Solución

dv = 6 (t − 2) dt

Luego, analizando las preguntas tenemos: i.  Para v ii.

Para a

= 0, t = 1 y 3. Para t = 1, s = 8 y a = −6. Para t = 3, s = 4 y a = 6

= 0, t = 2. Para t = 2, s = 6 y v = −3.

iii. s aumenta cuando v

> 0, ed., cuando t 1 y t 3

iv. v aumenta cuando a

> 0, ed., cuando t > 2

v.  El sentido del movimiento cambia cuando v do t = 1 y t = 3 c)

= 0 y a ≠ 0. De ( a ) se deduce que el sentido cambia cuan-

La ley del movimiento rectilíneo de un cuerpo viene dado por:

s = t 3 − 9t 2 + 24t Determinar cuando aumenta y disminuye: i.  El espacio s ii.

La velocidad v

iii.

La celeridad del cuerpo

iv.

La distancia total recorrida en los primeros 5 segundos del movimiento

Solución Derivando respectivamente tenemos:

ds = 3t 2 − 18t + 24 = 3 ( t − 2 )( t − 4 ) dt dv a= = 6 ( t − 3) dt v=

99

UNIDAD III

Luego, analizando las preguntas tenemos: i. s aumenta cuando v s disminuye cuando v

y t 4

< 0, esto es, cuando 2 < t < 4

ii. v aumenta cuando a

> 0, esto es, cuando t > 3 v disminuye cuando a < 0, esto es, cuando t < 3 iii.

TEMA Nº 1

> 0, esto es, cuando t 2

la celeridad aumenta cuando

v y a tienen el mismo signo y disminuye cuando v y a son de signos

contrarios. Como v cambia de signo en los intervalos t

t = 2 y t = 4 y a lo hace en t = 3, hemos de comparar los signos en

< 2, 2 < t < 3, 3 < t 4 y t 4.

En el intervalo t

2, v 0 y a < 0; la celeridad disminuye

2 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 4 y a lo hace en 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 3, hemos de comparar los signos en los En el intervalo 2 < t < 3, v < 0 y a < 0; la celeridad aumenta intervalos 𝑡𝑡𝑡𝑡 < 2, 2 < 𝑡𝑡𝑡𝑡 < 3, 3 < 𝑡𝑡𝑡𝑡 < 4 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑡𝑡𝑡𝑡 > 4. En el intervalo 3 < t

< 4, v 0 y a 0; la celeridad disminuye

En el intervalo 𝑡𝑡𝑡𝑡 < 2, 𝑣𝑣𝑣𝑣 > 0 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑡𝑡𝑡𝑡 < 0; la celeridad disminuye el intervalo 2 < 𝑡𝑡𝑡𝑡 < 3, 𝑣𝑣𝑣𝑣 < 0 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑡𝑡𝑡𝑡 < 0; la celeridad aumenta En el intervalo t > 4 ,En v > 0 y a > 0; la celeridad aumenta En el intervalo 3 < 𝑡𝑡𝑡𝑡 < 4, 𝑣𝑣𝑣𝑣 < 0 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑡𝑡𝑡𝑡 > 0; la celeridad disminuye 𝑡𝑡𝑡𝑡 > 4 , 𝑣𝑣𝑣𝑣 >en 0 el𝑦𝑦𝑦𝑦 origen 𝑡𝑡𝑡𝑡 > 0;O.laAlceleridad aumenta 0, yelelintervalo iv. Para t = 0, s = En cuerpo se encuentra principio, el cuerpo se mueve hacia la derecha

Para 𝑡𝑡𝑡𝑡 los = 0,dos 𝑠𝑠𝑠𝑠 =primeros 0, y el cuerpo se encuentra origen del O. Al principio, segundos, alcanzando en unaeldistancia origen O de sel= f ( 2 ) = 20 (v >iv.0), durante

cuerpo se mueve hacia la derecha (𝑣𝑣𝑣𝑣 > 0), durante los dos primeros segundos, alcanzando una distancia del origen O de 𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑓𝑓𝑓𝑓(2) = 20 metros. metros. Durante lossiguientes dos segundos siguientes mueveyhacia izquierda, y alse encuentra en Durante los dos segundos se mueve hacia la se izquierda, al finallade este tiempo, final de este tiempo, se encuentra en 𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑓𝑓𝑓𝑓(4) = 16 metros de O. de O. s = f 4 = 16Ametros continuación, se mueve hacia la derecha y, después de transcurridos desde que se inició elde movimiento, 𝑓𝑓𝑓𝑓(5) = 20 metros deinició el moviA continuación,5sesegundos mueve hacia la derecha y, después transcurridos 𝑠𝑠𝑠𝑠5 = segundos desde que se O. miento, metros de O.

( )

s = f ( 5 ) = 20

espacio total es: 20 4 + 4se = 28 metros. Tal como se El espacio totalElrecorrido es: 20 Tal+como muestra en la figura: + 4 recorrido + 4 = 28 metros. muestra en la figura: O

20

2. RAZÓN 2.  RAZÓNDE DECAMBIO CAMBIO RELACIONADAS. RELACIONADAS.

dy

4 4

dyfunción y = f x es su razón de cambio instantáneo con respecto a la variable x. CuanLa derivada de una La derivada de una función 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) es su razón de cambio instantáneo con dx dx

100

( )

do una funciónadescribe posiciónx.o distancia, su razón de cambio con respecto al tiempo se interpreta respecto la variable Cuando entonces una función describe posición o distancia, como velocidad. general, una razón derespecto cambio (oalintensidad de interpreta variación) con respecto al tiempo es la resentonces su En razón de cambio con tiempo se como velocidad. puesta a la pregunta varia una(o cantidad?” . Por ejemplo, si V representa un volumen En general, una“¿Cuán razónrápido de cambio intensidad de variación) con respecto al que varía o tiempo es la respuesta a la pregunta “¿Cuán rápido varia una cantidad?”. Por cambia en el tiempo, entonces dV/dt es la razón, o la rapidez, a la cual está variando el volumen con respecto al 3 ejemplo, si V representa un dV/dt= volumen que varía o cambia el tiempo, entonces 10 centímetiempo t. Una razón de, por ejemplo, 10 cm /seg., significa que elen volumen está aumentando dV/dt es la razón, o la rapidez, a la cual está variando el volumen con respecto al tiempo t. Una razón de, por ejemplo, dV/dt= 10 cm3/seg., significa que el volumen está aumentando 10 centímetros cúbicos cada segundo. De manera semejante, si una persona va caminando hacia el poste de alumbrado que se ve en la Figura, a una razón constante de 3 pies/seg entonces dx/dt=-3 pies/seg. Por otra parte, si la persona camina alejándose del poste entonces dx/dt=3pies/seg. Las razones negativas y positivas significan, desde luego, que la distancia x está

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

TEMA Nº 1

Figura 29.- Criterio de la razón de cambio

UNIDAD III

tros cúbicos cada segundo. De manera semejante, si una persona va caminando hacia el poste de alumbrado que se ve en la Figura, a una razón constante de 3 pies/seg entonces dx/dt=-3 pies/seg. Por otra parte, si la persona camina alejándose del poste entonces dx/dt=3pies/seg. Las razones negativas y positivas significan, desde luego, que la distancia x está decreciendo y creciendo, respectivamente.

En este tipo de problemas es de vital importancia tener muy claro ¿qué es lo que se pide en el problema? así como, ¿qué es lo que se sabe del problema? Teniendo claro lo que se pide y29.lo15.Criterio que procedemos a matematizar el Figura Criteriose de razón dede cambio Figura de lalasabe, razón cambio problema. En este tipo de problemas es de vital importancia tener muy claro ¿qué es lo que se pide en el problema? así como, ¿qué es lo que se sabe del problema? Teniendo claro lo que se pide y lo que se sabe, procedemos a maEJEMPLOS tematizar el problema. En este tipo de problemas es de vital importancia tener muy claro ¿qué es lo que se pide el problema? ¿qué es lo que se se sabe del problema? a) Un cuadrado se en expande con asíel como, tiempo. ¿Cómo relaciona la razón de EJEMPLOS Teniendo claro lo que se pide y lo que se sabe, procedemos a matematizar el aumento del área del cuadrado con la razón de aumento de la longitud de su problema. lado? a)  Un cuadrado se expande con el tiempo. ¿Cómo se relaciona la razón de aumento del área del cuadrado EJEMPLOS con la razón de aumento de la longitud de su lado?

Solución a) Un cuadrado se expande con el tiempo. ¿Cómo se relaciona la razón de x del lado: En cualquier instante el área A es una deaumento la longitud aumento del área del cuadrado con función la razón de de la longitud de su Solución

lado? En cualquier instante el área A es una función de la𝐴𝐴𝐴𝐴longitud = 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 x del lado: Solución AsíA que las razones seesobtienen derivando lax ecuación del En cualquier instante el área A una funciónla de la longitud que las razonesrelacionadas relacionadas se obtienen derivando ecuación anterior, conlado: respectoanterior, al tiempo, se = x 2Así

con respecto al tiempo, se ve que: ve que:

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑥𝑥𝑥𝑥 2

Así que las razones relacionadas se obtienen derivando la ecuación anterior, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 dA 𝑑𝑑𝑑𝑑 d con respecto al tiempo, se ve que: = = x𝑥𝑥𝑥𝑥22

mismo que: EsEslolo mismo que:

Es lo mismo que:

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡dt

dt 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡

𝑑𝑑𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡

𝑑𝑑𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴dA = 2 x dx𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥𝑥𝑥dt𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡dt𝑑𝑑𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡

Razones Razones relacionadas relacionadas

b) Se inyecta aire a un globo esférico a razón de 20 pie3/min. ¿A qué razón varia inyectaelaire un globo a razón de 20 pie3/min. ¿A qué razón radioacuando mide esférico 3 pie?

b) Se el radio cuando mide 3 pie?

varia

Solución

Solución

Como se muestra en la figura, se denota el radio del globo por r y su volumen por V. Ahora bien, la

101

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡

= 2𝑥𝑥𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡

Razones relacionadas

UNIDAD III

nyecta aire a un globo esférico a razón de 20 pie3/min. ¿A qué razón varia dio cuando mide 3 pie? b) Se inyecta aire a un globo esférico a razón de 20 pie3/min. ¿A qué razón varia el radio cuando mide 3 pie? ución

TEMA Nº 1

o se muestra en la figura, se denota el radio del o por r y su volumen por V. Ahora bien, la pretación de “se inyecta aire…a razón de 20 min” significa que:

71 Solución Como se muestra en la figura, se denota el radio del globo por r y su volumen por V. Ahora bien, la interpretación de “se inyecta aire…a razón de 20 pie3/min” significa que: 3 dV = 20pie /min., entonces, se quiere: dt dr dt r =3

Dado:

Finalmente, la fórmula del volumen de una esfera proporciona una relación entre V y r. Se conoce: V

4 = π.r3 3

Derivando con respecto a t y empleando el primer resultado se obtiene:

dV 4 d 3 4  2 dr  2 dr = π r = π  3r  = 4π r dt 3 dt 3  dt  dt Pero dV/dt=20; por lo tanto, 20

= 4π .r 2

dr dt

da:

dr 20 5 = = dt 4π .r 2 π .r 2 Así que

dr dt

= r =3

5

π . ( 3)

2

=

5 pie / min ≈ 0.18 pie / min 9π

c)  A un depósito cilíndrico de base circular y 5 m de radio, le está entrando agua a razón de 2.5 litros por segundo. Calcular la rapidez a la que sube la superficie del agua.

Solución ¿Qué se pide en el problema? Se pide calcular la rapidez (velocidad) a la que está aumentando la altura de un cilindro circular de radio fijo, cuando su volumen aumenta a razón de 2.5 litros por segundo. Es decir, si consideramos un cilindro circular que tiene un radio fijo r = 5m, altura h y volumen V, entonces lo que se desea es calcular la rapidez con que cambia (razón de cambio de) la altura h, cuando la razón de cambio del dV = 2.5 lt/s. volumen V es de 2.5 lt/s. Esto es, se pide calcular la derivada dh cuando r = 5 m y dt dt

102

Es decir, si consideramos un cilindro circular que tiene un radio fijo r = 5m, altura h y volumen V, entonces lo que se desea es calcular la rapidez con que Cálculo I cambioAUTOFORMATIVO del cambia (razón de cambio de) la altura h, cuando la razón deMANUAL volumen V es de 2.5 lt/s. Esto es, se pide calcular la derivada

dV = 2.5 lt/s. dt El volumen V de un cilindro circular de radio r y altura h es

V = π r 2 h. Entonces cuando r = 5m, el volumen del El volumen V de un cilindro circular de radio r y altura h es 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝜋𝜋𝜋𝜋𝑟𝑟𝑟𝑟 2 ℎ. 2 Entonces .h lt3. r = 5m, el volumen del cilindro es 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝜋𝜋𝜋𝜋(5)2 ℎ = 25𝜋𝜋𝜋𝜋. ℎ lt3. cilindro es V = π ( 5 ) h = 25πcuando

TEMA Nº 1

72

UNIDAD III

5 𝑚𝑚𝑚𝑚 y

dh cuando 𝑟𝑟𝑟𝑟 = dt

Sabiendo que tanto la altura como el volumen son función del tiempo t, derivamos respecto a t y obtenemos:

dV dh 1  dV  dh 1  dh  = 25π   ⟹ = . ( 2.5 )  ⟹ = dt dt 25π  dt  dt 25π  dt 

dh 1 L = ≈ 0.032 . s dt 10π

Por lo tanto, la rapidez con que sube la superficie del agua es

dh L ≈ 0.032 s dt

d)  Un hombre está parado en un muelle y jala una lancha por medio de una cuerda. Sus manos están a 3 m por encima del amarre de la lancha. Cuando la lancha está a 4 m del muelle el hombre está jalando la cuerda a una velocidad de 80 cm/s. ¿A qué velocidad se aproxima la lancha al muelle?

Solución ¿Qué se pide en el problema? Se pide calcular la rapidez (velocidad) a la que está disminuyendo la distancia que hay entre la lancha y el muelle, cuando dicha distancia es de 4 m y la longitud de la cuerda está “disminuyendo” a razón de 0.8 m/s. Es decir, si consideramos que (en cierto instante t) la lancha se encuentra a una distancia x(t) del muelle y z(t) es la longitud de la cuerda, entonces lo que se desea es calcular la rapidez con que cambia (razón de cambio de) la distancia x(t), cuando el valor de x(t) es de 4 m y la razón de cambio de la longitud z(t) de la cuerda es de −0.8 m/s. Esto es se pide calcular la derivada

dx dz cuando x = 4 y = −0.8 [El signo negativo en la razón de cambio de dt dt

la longitud z(t) de la cuerda se debe a que dicha longitud está disminuyendo (decreciendo)]. Consideramos el triángulo rectángulo cuyos vértices están en el amarre de la lancha, la base del muelle y las manos del hombre. Este triángulo tiene catetos de longitudes x(t) (distancia entre la lancha y el muelle) y 3 (altura entre la base del muelle y las manos) e hipotenusa de longitud z(t) (longitud de la cuerda).

103

negativo en la razón de cambio de la longitud z(t) de la cuerda se debe a que dicha longitud está disminuyendo (decreciendo)].

UNIDAD III

Consideramos el triángulo rectángulo cuyos vértices están en el amarre de la lancha, la base del muelle y las manos del hombre. Este triángulo tiene catetos de longitudes x(t) (distancia entre la lancha y el muelle) y 3 (altura entre la base del muelle y las manos) e hipotenusa de longitud z(t) (longitud de la cuerda).

TEMA Nº 1

73

Por el teorema de Pitágoras se cumple que: z ( t )2 = x ( t )2 + 32 = x ( t )2 + 9 donde x(t) y z(t) dependen del tiempo t. Derivando implícitamente con respecto a t se obtiene

 dz   dx  2z (t )   = 2x (t )    dt   dt  de donde, para cualquier instante

dx z ( t )  dz  =   dt x ( t )  dt 

En el instante

t ≥ 0, mientras x > 0 se tiene que

t0 en que x ( t0 ) = 4m se tiene que:

z ( t0 ) = 42 + 9 = 25 2

Y debido a que

⟹ z ( t0 ) = 5 m

dz = −0.8 m/s obtenemos que, en ese instante dt

t 0:

dx  z ( t0 )   dz   5  =  .   =   ( −0.8 ) = −1 dt  x ( t0 )   dt   4 

Entonces la lancha se aproxima a una velocidad de:

dx = −1 m / s dt

video Razón de cambio https://www.youtube.com/watch?v=NpURFBaJI80 duración: 6.43 min.

104

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Extremos de la Función. Los valores Máximo y Mínimo de f en el intervalo I (si hay algunos) se llaman Extremos de la Función. Recordemos primero la definición de valor máximo y mínimo Recordemos primero la definición demáximo valor máximo Recordemos primero la definición de valor y mínimoy mínimo DEFINICIÓN DEFINICIÓN DEFINICIÓN I. Un número f (c) es un máximo absoluto de una función f si: f (x) ≤ f (c) f (c) un máximo I. Un número el es dominio de f. absoluto de una función f si: f (x) ≤ f (c) para todo x en el dominio de fde . una función f si: f (x) ≤ f (c) para todo x en el dominio de f. paraf todo I.  Un número (c) esxunenmáximo absoluto Las figuras muestran una porción de la gráfica de una función que tiene Las figuras muestran una porción decla gráfica de unade función que tiene un valor máximo c. .una un máximo en Lasvalor figuras muestran porción la gráfica de una función queen tiene un valor máximo en c.

TEMA Nº 2

1. EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN. 1. EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN. de x, continua en todo el intervalo. Sea y=f (x) una función 1. EXTREMOS DE UNAuniforme FUNCIÓN. Sea y=f (x) una función uniforme de x, continua en todo el intervalo. Los valores Máximo y Mínimo de f en el intervalo I (si hay algunos) se llaman Sea y=f (x) una función uniforme de x, continua en todo el intervalo. Los valores y Mínimo de f en el intervalo I (si hay algunos) se llaman Extremos de Máximo la Función.

UNIDAD III

TEMA Nº 2: MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS

TEMA Nº 2: MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS TEMA Nº 2: MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS

Un número f (c) es un mínimo absoluto de una función f si: f (x) ≥ f (c) f (c) un mínimo Un número el es dominio de f. absoluto de una función f si: f (x) ≥ f (c) para todo x en para todo x en el dominio de f. II. Un número f (c) es un mínimo absoluto de una función f si: f (x) ≥ f (c) para todo x en el dominio de f. Las figuras muestran una porción de la gráfica de una función que tiene un mínimo en c. una porción de la gráfica de una función que tiene Lasvalor figuras muestran Las figuras muestran una porción de la gráfica de una función que tiene un valor mínimo en c. un valor mínimo en c. II. II.

El teorema siguiente se utiliza para determinar los números posibles en los que una función tiene un extremo relativo. El teorema siguiente se utiliza para determinar los números posibles en los que una función tiene un extremo relativo.

75 75

105

UNIDAD III

El teorema siguiente se utiliza para determinar los números posibles en los que una función tiene un extremo Teorema: relativo. Si f (x) existe para todos los valores de x en el intervalo abierto < a, b>, y si f tiene un extremo relativo en c, donde a < c < b y además f´(x) Teorema: existe, 𝑓𝑓𝑓𝑓´(𝑐𝑐𝑐𝑐) 0 Si f (x) existeentonces para todos los = valores de x en el intervalo abierto < a, b>, y si f tiene un extremo relativo en c, donde a < c < b y además f´(x) existe,

TEMA Nº 2

( )

entonces f ´ c = 0 En términos geométricos el teorema establece que si f tiene un extremo relativo en c, y f´(c) existe, entonces la gráfica de f debe tener una recta tangente horizontal en el punto donde 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑐𝑐 . En términos geométricos el teorema establece que si f tiene un extremo relativo en c, y f´(c) existe, entonces la f es una donde función entonces los teorema indicahorizontal que si en gráfica de f El debe tener unatambién recta tangente el punto x =diferenciable, c. únicos números posibles c para los cuales f puede tener un extremo relativo son El teorema también queque si f 𝑓𝑓𝑓𝑓´(𝑐𝑐𝑐𝑐) es una=función diferenciable, entonces los únicos números posibles c para los aquellosindica en los 0 cuales f puede tener un extremo relativo son aquellos en los que f ´ c = 0

( )

Ejemplo

Ejemplo

Sea f la función definida 2por: 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥𝑥𝑥 + 5 Sea f la función definida por: f x = x − 4 x + 5

( )

Entonces

Entonces 𝑓𝑓𝑓𝑓´(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥𝑥𝑥 − 4. Como 𝑓𝑓𝑓𝑓´(2) = 0, f puede tener un extremo relativo en 2.

. Como f ´( 2 ) = 0, f puede tener un extremo relativo en 2. Puesto que f ( 2 ) = 1 y f Puesto ´( x ) = 2que x − 4𝑓𝑓𝑓𝑓(2) = 1 y 1 < 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) cuando 𝑥𝑥𝑥𝑥 < 2 ó 𝑥𝑥𝑥𝑥 > 2, la definición II garantiza

que f tiene un mínimo relativo en 2. La figura siguiente muestra la gráfica de f,

x 2 ó x 2, lavértice definición II garantiza que f tiene un mínimo relativo en 2. La tiene figura siguiente 1 < f ( x ) cuando una parábola cuyo está en el punto (2,1) en donde la gráfica una

recta tangente horizontal. muestra la gráfica de f, una parábola cuyo vértice está en el punto (2,1) en donde la gráfica tiene una recta tangente horizontal.

Observe que f´(c) puede igual a cero aunque tenga un extremo relativo c, como relativo se muesta f´(c) puede ser igual fano cero aunque f no tenga unenextremo en en la Observe queser grafica de lac,función siguiente: como se muesta en la grafica de la función siguiente:

76

106

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

UNIDAD III Otro caso es, una función puede tener un extremo relativo en un número en el que la es, derivada no exista, seextremo muestarelativo en la gráfica de la función Otro caso una función puede como tener un en un número en el quesiguiente: la derivada no exista, como Otro caso es, una función puede tener un extremo relativo en un número en el que se muesta en la gráfica de la función siguiente: la derivada no exista, como se muesta en la gráfica de la función siguiente:

Figura 17. En

TEMA Nº 2

Figura 20 .- Función continua en ℝ. No hay ni máximos ni mínimos absolutos Figura 20 .- Función continua en ℝ. No hay ni Figura 16. Función continua en R . No ni máximos ni mínimos absolutos máximos ni hay mínimos absolutos

Figura 21.- En 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 2 se alcanza un máximo relativo.

relativo. En este caso f ´( 2 ) no existe o no está definido x = 2 se alcanza un máximo En este caso 𝑓𝑓𝑓𝑓´(2) no existe o no está

Figura 21.- En 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 2 se alcanza un máximo relativo. definido Ennúmero este caso 𝑓𝑓𝑓𝑓´(2) no existe o no está En resumen, si una función f está definida en un c, una condición necesaria para que f tenga un extremo definido

( )

relativo en que f ´ c si= 0 o que f´(c) nofexista. en cuenta esta condición necesaria pero no está Tenga definida en unque número c, unaescondición Enc es resumen, una función necesaria para que f tenga un extremo relativo en c es que 𝑓𝑓𝑓𝑓´(𝑐𝑐𝑐𝑐) = 0 o que f´(c) suficiente.En resumen, si una función f está definida en un número c, una condición no exista. Tenga en cuenta que esta condición es necesaria pero no necesaria para que f tenga un extremo relativo en c es que 𝑓𝑓𝑓𝑓´(𝑐𝑐𝑐𝑐) = 0 o que f´(c)

suficiente.

no exista. Tenga en cuenta DEFINICIÓN DE NÚMERO CRÍTICO

que esta condición es necesaria pero no suficiente. DEFINICION DE NÚMERO CRÍTICO DEFINICION DE número NÚMERO Si c es un delCRÍTICO dominio de la función f, y si

f ´( c ) = 0 o

, entonces c es unde número crítico fSi´( cc) es no existe un número del dominio la función f, yde si f. 𝑓𝑓𝑓𝑓´(𝑐𝑐𝑐𝑐) = 0

o 𝑓𝑓𝑓𝑓´(𝑐𝑐𝑐𝑐) 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒, entonces c es un número crítico de f. Si c es un número del dominio de la función f, y si 𝑓𝑓𝑓𝑓´(𝑐𝑐𝑐𝑐) = 0 o 𝑓𝑓𝑓𝑓´(𝑐𝑐𝑐𝑐) 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒, entonces c es un número crítico de f.

Debido aDebido esta definición a la discusión una condición pero nonecesaria, suficiente, para a esta ydefinición y a anterior, la discusión anterior,necesaria, una condición peroque nouna función tenga un extremo relativo en c es que c sea un número crítico. suficiente, para que una función tenga un extremo relativo en c es que c sea un Debido crítico. a esta definición y a la discusión anterior, una condición necesaria, pero no número suficiente, para que una función tenga un extremo relativo en c es que c sea un número crítico.

77 77

107

UNIDAD III

EJEMPLOS f ( x) = x 4 + 4 x 3 − 2 x 2 − 12 x a)

Encontrar los números críticos de:

Solución

f ´( x ), se iguala a cero y se despeja x.

TEMA Nº 2

Se calcula

4 x 3 + 12 x 2 − 4 x − 12 = 0

x 3 + 3x 2 − x − 3 = 0 x 2 ( x + 3) − ( x + 3) = 0

( x + 3)( x 2 − 1) = 0 Luego: x + 3 = 0

x = −3

∨

x2 −1 = 0

x = ±1 ∈ Dominio f ( x )

∨

Entonces: se ha confirmado que los números críticos son: −3, −1 y 1 b)

Determine los números críticos de la función definida por:

f ( x ) = x 4/3 + 4 x1/3 Solución Se calcula

f ´( x ), se iguala a cero y se despeja x.

Igualamos a cero la

f ´( x ) =

4 1/3 4 −2/3 x + x 3 3

f ´( x ) =

4 −2/3 x ( x + 1) 3

f ´( x ), para calcular los números críticos: 4 ( x + 1) 3 x 2/3

Cuando

x = −1,

f ´( x ) = 0, y cuando x = 0, f ´( x ) no existe. Tanto -1 y 0 están en el dominio de f; por tanto,

los números críticos se f son: −1

108

=0

y0

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

c)

Determine los números críticos de la función definida por:

UNIDAD III

g ( x ) = sen x.cos x

Solución Como: sen 2 x Se calcula

= 2sen x.cos x

g´( x ), se iguala a cero:

g´( x ) =

1 sen 2 x 2

1 ( cos 2 x ) 2 2

TEMA Nº 2

g ( x) =

g´( x ) = cos 2 x

Puesto que g´(x) existe para toda x, los únicos números críticos son aquellos para los que g´(x)=0. Como cos 2 x = 0 cuando:

1 2 x = π + kπ donde k es cualquier número entero 2 1 1 Así, los números críticos de g son: π + kπ , donde k es cualquier número entero. 4 2

APLICACIONES QUE INVOLUCRAN UN EXTREMO DE UNA FUNCION a)  Un campo rectangular va a ser cercado a lo largo de la orilla de un río; no se requiere cerca alguna del lado de la corriente. Si el material de la cerca cuesta $8 por pie lineal para los dos extremos y $12 por pie lineal para el lado paralelo al río, determinar las dimensiones del campo de mayor área posible que puede ser cercado con un costo de $3 600 para la cerca.

Solución

Sea x la longitud de pies de un extremo del campo; y la longitud en pies del lado paralelo al río y A, el área en pies cuadrados del campo. Véase la Figura. En consecuencia

A = x. y …. (1) Puesto que el costo del material para cada extremo es de $8 por pie lineal y la longitud de un extremo es de 8x

109

TEMA Nº 2

UNIDAD III

dolares. Análogamente, el costo total de la cerca para el tercer lado es de 12 y dolares. Entonces,

8 x + 8 x + 12 y = 3600 ... (2) Para expresar A en términos de una sola variable, resolvemos la ecuación (2) para y en términos de x y sustituimos este valor en (1), quedando A como una función de x, y

4   A ( x ) = x  300 − x  3   A partir de (2), si

y = 0, x = 225; y si x = 0, y = 300. Como ambas x e y deben ser no negativas, el valor de x

que hará de A un máximo absoluto está en el intervalo cerrado cerrado

[0, 225]. Ya que A es continua en el intervalo

[0, 225], concluimos del teorema del valor extremo que A tiene un valor máximo absoluto en este in-

tervalo. De la última ecuación, tenemos:

A ( x ) = 300 x −

4 2 x 3

Por tanto:

8 A´( x ) = 300 − x 3 Como

A´( x ) existe para toda x, los números críticos de A se encontrarán haciendo A´( x ) = 0, lo cual da: 1 x = 112 2

El único número crítico de A es 112½, el cual se halla en el intervalo cerrado [0, 225]. Por lo tanto, el valor máximo absoluto de A debe ocurrir en 0, 112½, o 225. Como A(0) = 0 y A(225)=0, mientras que A(112½)=16875, concluimos que el valor máximo absoluto de A en [0,225] es 16875 y ocurre cuando x = 112½ y y = 150 (obtenido de la ecuación (2) al sustituir x por 112½). Por lo tanto, la mayor área posible que puede ser cercada por $3 600 es de 16 875 pies cuadrados y esto se obtiene cuando el lado paralelo al río sea de 150 pies de largo y los extremos cada uno de 112½ pies de largo. b)  Encontrar las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que pueda ser inscrito en un cono circular recto con un radio de 5 cm y una altura de 12 cm.

Solución Sea r el radio del cilindro en centímetros; h la altura del cilindro en centímetros; V el volumen del cilindro en centímetros cúbicos. La Figura 18 ilustra el cilindro inscrito en el cono y la Figura 19 ilustra una sección plana que pasa por el eje del cono.

110

Solución Cálculo I Sea r el radio del cilindro en centímetros; h la altura del cilindro en MANUAL AUTOFORMATIVO centímetros; V el volumen del cilindro en centímetros cúbicos.

La Gráfica 1 ilustra el cilindro inscrito en el cono y la Gráfica 2 ilustra una sección plana que pasa por el eje del cono.

UNIDAD III TEMA Nº 2

Figura 19. Sección plana Gráfica que pasa2por el eje del cono.

Figura 18. Cilindro inscrito Gráfica 1 en el cono.

==012, y htenemos = 12, tenemos cilindro degenerado, el cual es elSieje del Si Si r =Si 0 yr h un cilindroun degenerado, el cual es el eje del cono. r =5 y hcono. = 0, también tenemos r =5 y h = 0, también tenemos un cilindro degenerado, el cual es un diámetro un cilindro degenerado, el cual es un diámetro de la base del cono. Concluimos que r está en el intervalo cerrado [0, 5] y h está en el intervalo cerrado [0, 12].

80

La siguiente fórmula expresa V en términos de r y h:

V = π .r 2 .h …(1) Para expresar V en términos de una sola variable necesitamos otra ecuación que incluya a r y h. De la Figura 2, usando triángulos semejantes tenemos:

12 − h 12 = r 5

⟹

h=

60 − 12r 5

Sustituyendo en la fórmula (1), obtenemos V como una función de r y escribimos:

V (r ) =

(

12 π 5r 2 − r 3 5

)

con r en [ 0, 5]

Como V es continua en el intervalo cerrado [0, 5], del teorema del valor extremo resulta que V tiene un valor máximo absoluto en este intervalo. Los valores de r y h que dan este valor máximo absoluto para V son los números que deseamos encontrar:

V ´( r ) =

(

12 π 10r − 3r 2 5

)

Para encontrar los números críticos de V, hacemos V ´( r ) = 0 y despejamos r; r nemos r

=0

;

r=

(10 − 3r ) = 0, de donde obte-

10 3

Como V’(r) existe para todos los valores de r, los únicos números críticos de V son 0 y 103, ambos están en el intervalo cerrado [0, 5]. El valor máximo absoluto de V en [0, 5] debe ocurrir en 0, 103 o 5. De la ecuación obtenemos

V (0) = 0

 10  400 π V = 9  3

V (5) = 0

111

UNIDAD III

Por lo tanto concluimos que el valor máximo absoluto de V es

r=

10 , encontramos en la ecuación que h=4 3

400 10 . Cuando π , y esto ocurre cuando r = 9 3

Así, el volumen máximo de un cilindro inscrito en el cono dado es

400 cm3 , lo cual ocurre cuando el radio es π 9

TEMA Nº 2

10 cm y la altura es 4 cm 3 2. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Y EL CRITERIO DE 2.  FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Y EL CRITERIO DE LA PRIMERA PRIMERA DERIVADA. DERIVADA.

LA

La gráfica de una función puede estar creciendo o decreciendo, dependiendo de La gráfica de una funciónes puede creciendo decreciendo, dependiendo de de dicha es más incluso dicha función, másestar incluso puedeono estar haciendo ninguna lasfunción, dos opciones puede noanteriores, estar haciendo ninguna de las dos opciones siguiente ¿cómo saberlo? Veamos la anteriores, siguiente ¿cómo figura saberlo? que nosVeamos aclara laun poco figura que nos este aclarapanorama. un poco este panorama.

Figura 20. Formas crecientes y decrecientes de una función Figura 23.- Formas crecientes y decrecientes de una función

La gráfica de la función y=f (x) de la figura conforme aumenta de (izquierda a derecha) en el intervalo

I1 , entre

y=f y(x) de la asciende. figura conforme aumenta La gráfica la función x1 (izquierda y x2 son dosa puntos a y b, los valores de f (x)de también aumentan la curva Esto significa que si de derecha) en el intervalo 𝑰𝑰𝑰𝑰𝟏𝟏𝟏𝟏 , entre a y b, los valores de f (x) también aumentan y la curva que si 𝑥𝑥𝑥𝑥1 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥2 son dos que puntos cualquiera en 𝑰𝑰𝑰𝑰𝟏𝟏𝟏𝟏 , en 1. cualquiera en asciende. , tales queEsto entonces f es una función creciente x1 < xsignifica f x1 < f x2 . Se dice 2 1 tales que 𝑥𝑥𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥𝑥𝑥2 entonces 𝑓𝑓𝑓𝑓 (𝑥𝑥𝑥𝑥1 ) < 𝑓𝑓𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥2 ). Se dice que f es una función creciente en 𝑰𝑰𝑰𝑰𝟏𝟏𝟏𝟏 .conforme Por otrax parte, x aumenta 𝑰𝑰𝑰𝑰𝟐𝟐𝟐𝟐 entreEn c y d, intervalo la curvax < x Por otra parte, aumentaconforme en el intervalo c yel d, intervalo la curva desciende. este I entreen 3 4 desciende. En este intervalo 𝑥𝑥𝑥𝑥3 < 𝑥𝑥𝑥𝑥4 2implica que 𝑓𝑓𝑓𝑓 (𝑥𝑥𝑥𝑥3 ) < 𝑓𝑓𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥4 ), se dice que f es una función decreciente enque 𝑰𝑰𝑰𝑰𝟐𝟐𝟐𝟐f.es una función decreciente en I . implica que , se dice

I

f ( x3 ) < f ( x4 )

112

( )

I

( )

2

f (x) es creciente eny es el intervalo b>intervalo la figura que y = en En la figuraEn planteada se planteada deduce quese y =deduce f (x) es creciente el intervalo decreciente. Además en el intervalo , las líneas . Además en el intervalo , las líneas tangentes a la curva tienen pendientes positivas; es decir: f ‘(x) f '(x) >es0.decir: Y en el < 0. Totienen pendientes positivas; es decir:negativas; > 0. Y entangentes el intervalo acurva las líneas tangentes a la curva tienen pendientes f ‘(x) intervalo las líneas tangentes a la curva tienen pendientes negativas; es mando como base estas observaciones, podemos enunciar una regla en la que al usar la derivada de una función decir: f '(x) < 0. Tomando como base estas observaciones, podemos enunciar una regla en la que al usar la derivada de una función sepamos cuando una función es creciente o decreciente. REGLA: Criterios para funciones crecientes o decrecientes

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

sepamos cuando una función es creciente o decreciente.

UNIDAD III

REGLA: Criterios para funciones crecientes o decrecientes Sea f diferenciable en el intervalo .

• Si f ´( x ) > 0, para todo x en , entonces f es creciente en • Si f ´( x ) < 0, para todo x en , entonces f es decreciente en

Para cada una de las funciones que se indican, use la derivada de la función y obtenga los intervalos en donde la función es creciente o decreciente.

TEMA Nº 2

EJEMPLOS

f ( x) = x 3 + 6 x 2 + 15

a)

Solución Derivamos la función y se obtiene:

f ´(x) = 3x 2 + 12 x

Ahora para obtener los valores que forman los intervalos en donde la función es creciente o decreciente, se iguala la derivada con cero:

3x 2 + 12 x = 0 se divide entre 3

x 2 + 4 x = 0 se factoriza x( x + 4 ) = 0 de donde se obtiene que x

= 0 y x = −4. Estos valores forman los intervalos −∞, −4 , −4, 0 y 0, ∞

el fin de obtener el signo de la derivada Si

f ´(x) = 3x 2 + 12 x, se evalúa en valores que están en cada intervalo.

x = −5 ⇒ f ´(−5) = 3(−5) 2 + 12(−5) = 75 − 60 = 15 > 0

Por lo tanto, la función es creciente en el intervalo Si

. Con

−∞, −4 ,

x = −2 ⇒ f ´(−2) = 3(−2) 2 + 12(−2) = 12 − 24 = −12 < 0

Por lo tanto, la función es decreciente en el intervalo Y si

−4, 0

.

x = 1 ⇒ f ´(1) = 3(1) 2 + 12(1) = 3 + 12 = 15 > 0

Por lo tanto, la función es creciente en el intervalo

0, ∞

.

La gráfica de la función en donde se ilustra lo anterior es:

113

Y si

Por lo tanto, la función es decreciente en el intervalo < −4, 0 >.

x = 1 ⇒ f ´(1) = 3(1) 2 + 12(1) = 3 + 12 = 15 > 0

Por lo tanto, la función es creciente en el intervalo < 0, ∞ >.

TEMA Nº 2

UNIDAD III

La gráfica de la función en donde se ilustra lo anterior es:

f ( x) = −

b)

2 3 x + 18 x 3

83

Solución Derivamos la función y se obtiene:

f ´(x) = −2 x 2 + 18

De nuevo se iguala la derivada con cero:

2 x 2 − 18 = 0 se divide entre 2

x 2 − 9 = 0 se factoriza ( x − 3)( x + 3) = 0 de donde se obtiene que x

= −3 y x = 3. Estos valores forman los intervalos −∞, −3 , −3, 3 y 3, ∞

el fin de obtener el signo de la derivada Si

f ´(x) = −2 x 2 + 18, se evalúa en valores que están en cada intervalo.

x = −4 ⇒ f ´(−4) = −2(−4) 2 + 18 = −32 + 18 = −14 < 0

Por lo tanto, la función es decreciente en el intervalo Si

−∞, −3 ,

x = 0 ⇒ f ´(0) = −2(0) 2 + 18 = 18 > 0

Por lo tanto, la función es creciente en el intervalo Y si

−3, 3 .

x = 4 ⇒ f ´(4) = −2(4) 2 + 18 = −32 + 18 = −14 < 0

Por lo tanto, la función es decreciente en el intervalo

3, ∞

La gráfica de la función en donde se ilustra lo anterior es:

114

. Con

..

Y si

x = 4 ⇒ f ´(4) = −2(4) 2 + 18 = −32 + 18 = −14 < 0 Por lo tanto, la función es decreciente en el intervalo < 3, ∞ >. .

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

La gráfica de la función en donde se ilustra lo anterior es:

UNIDAD III

2 f ( x) =2− 3 x 3 + 18 x x 3 + 18 x

f ( x) = −

3

TEMA Nº 2

Figura 20. ilustrativa Gráfica ilustrativa Grafica de: de:

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

CRITERIO Consideremos DE LA PRIMERAuna DERIVADA función f

(x) en un valor x = a para el cual f (x) y f '(x) son continuas. En la sección anterior cuando se trabajaron los intervalos en los que Consideremos una función f (x) en un valor x = a para el cual f (x) y f ‘(x) se sonobservó continuas. Ensila en sección 𝑥𝑥𝑥𝑥 = anterior una función es creciente o decreciente, geométricamente que cuando𝑡𝑡𝑡𝑡se trabajaron los intervalos en los que una función es creciente o decreciente, geométricamente se existe un máximo relativo de f (x), entonces f '(x) cambian de positiva a negativa un punto máximox relativo de f (x), entonces ‘(x)xcambian de positiva a negativa en observóenque si en xx = a existe cuanto pasa por el = a; análogamente, si fen = a existe un mínimo cuanto relativo x pasa por x = a; análogamente, en negativa x = a existe mínimo dexf pasa (x), entonces f ‘(x) 84 (x), entonces f '(x) cambiasi de a un positiva enrelativo cuanto por deelf punto cambiael depunto negativa a positiva en cuanto x pasa por el punto x = a. A continuación se dan dos gráficas donde se x = a. A continuación se dan dos gráficas donde se ilustra lo anterior ilustra lo anterior

RESUMEN: Derelativo La Primera FiguraCriterio 21. Máximo Derivada Figura 22. Mínimo relativo Figura 24.- Máximo relativo Figura 25.- Mínimo relativo y f '(x)De son en x = a y si f '(a) = 0, entonces: Si f (x) RESUMEN: Criterio Lacontinúas Primera Derivada

• Cuando f '(x) cambia de (+) a (-) al pasar por x = a entonces en x = a existe Si f (x) y f ‘(x) son continúas en x = a y si f ‘(a) = 0, entonces: un máximo relativo. f '(x) (-) por a (+) porenx x==aa entonces en x = relativo. a existe • • Cuando Cuando f ‘(x) cambia de cambia (+) a (-) alde pasar x =ala pasar entonces existe un máximo un mínimo relativo. f '(x) cambia de al(+) a (+) (-) a (-) en al xpasar por un x =mínimo a entonces • Y si cambia • Cuando f ‘(x) de (-) a (+) pasar por o x =de a entonces = a existe relativo.no existe extremo relativo • Y si f ‘(x) cambia de (+) a (+) o de (-) a (-) al pasar por x = a entonces no existe extremo relativo Observación.

Observación. Mediante

este procedimiento se obtienen los máximos y mínimos relativos que ocurren en valores de x para los cuales f (x) y f '(x) son continuas. Mediante este procedimiento se obtienen los máximos y mínimos relativos que ocurren en valores de x para los cuales f (x) y f ‘(x) son continuas. EJEMPLOS Obtenga los puntos máximos relativos, mínimos relativos, intervalos en donde la función es creciente o decreciente y trace un bosquejo de su gráfica.

115

UNIDAD III

EJEMPLOS Obtenga los puntos máximos relativos, mínimos relativos, intervalos en donde la función es creciente o decreciente y trace un bosquejo de su gráfica. a)

f ( x) = x 3 + 6 x 2 + 15

TEMA Nº 2

Solución En primer lugar se obtienen los números críticos y esto se logra al derivar la función e igualarla con cero:

f ´(x) = 3x 2 + 12 x 3x 2 + 12 x = 0 se divide entre 3

x 2 + 4 x = 0 se factoriza x( x + 4 ) = 0 de donde se obtiene que

x = 0 y x = −4

son los números críticos. Estos valores forman los intervalos

2 −∞, −4 , −4, 0 y 0, ∞ . Con el fin de obtener el signo de la derivada f ´(x) = 3 x + 12 x, se evalúa en va-

lores que están en cada intervalo. Si

x = −5 ⇒ f ´(−5) = 3(−5) 2 + 12(−5) = 75 − 60 = 15 > 0

Si

x = −2 ⇒ f ´(−2) = 3(−2) 2 + 12(−2) = 12 − 24 = −12 < 0

Y si

x = 1 ⇒ f ´(1) = 3(1) 2 + 12(1) = 3 + 12 = 15 > 0

Por lo tanto en

x = −4 existe un máximo relativo y en x = 0 hay un mínimo relativo. Además en los intervalos

−∞, −4 y 0, ∞

es creciente y en el intervalo

−4, 0

es decreciente. Para trazar la gráfica se evalúa la fun-

ción en cada punto obtenido. Si

x = −4 ⇒ f (−4) = (−4) 3 + 6(−4) 2 + 15 = −64 + 96 + 15 = 47

Por lo tanto: Y si:

116

( −4, 47 ) es un máximo relativo

x = 0 ⇒ f (0) = (0) 3 + 6(0) 2 + 15 = 0 + 0 + 15 = 15

en cada punto obtenido. Si

x = −4 ⇒ f (−4) = (−4) 3 + 6(−4) 2 + 15 = −64 + 96 + 15 = 47

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Por lo tanto: (−4, 47) es un máximo relativo

Y si: Por lo tanto:

x = 0 ⇒ f (0) = (0) 3 + 6(0) 2 + 15 = 0 + 0 + 15 = 15

UNIDAD III

mínimo(relativo ( 0,15Por ) eslountanto: 0, 15) es un mínimo relativo

TEMA Nº 2

b)

2 3 x + 218 x f (3x) = − x 3 + 18 x

f ( x) = − b)

Solución

3

Solución

De nuevo derivamos la función e igualamos a cero: De nuevo derivamos la función e igualamos a cero:

f ´(x) = −2 x 2 + 18

f ´(x) = −2 x 2 + 18

86

2 x 2 − 18 = 0 se divide entre 2

x 2 − 9 = 0 se factoriza ( x − 3)( x + 3) = 0 de donde se obtiene que

x = −3 y x = 3

son los números críticos. Estos valores forman los intervalos

2 −∞, −3 , −3, 3 y 3, ∞ . Con el fin de obtener el signo de la derivada f ´(x) = −2 x + 18, se evalúa en va-

lores que están en cada intervalo. Si

x = −4 ⇒ f ´(−4) = −2(−4) 2 + 18 = −32 + 18 = −14 < 0

Si

x = 0 ⇒ f ´(0) = −2(0) 2 + 18 = 18 > 0

Y si

x = 4 ⇒ f ´(4) = −2(4) 2 + 18 = −32 + 18 = −14 < 0

Por lo tanto en

x = −3 existe un minino relativo y en x = 3 hay un máximo relativo. Además en los intervalos

117

Si

x = 0 ⇒ f ´(0) = −2(0) 2 + 18 = 18 > 0

Y si

x = 4 ⇒ f ´(4) = −2(4) 2 + 18 = −32 + 18 = −14 < 0

UNIDAD III

−∞, −3 y 3, ∞

es decreciente y en el intervalo 3, 3 es creciente. Para trazar la gráfica se evalúa la función Por lo tanto en 𝑥𝑥𝑥𝑥 = −3 existe un minino relativo y en 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 3 hay un máximo en cada puntorelativo. obtenido. Además en los intervalos < −∞, −3 > 𝑦𝑦𝑦𝑦 < 3, ∞ > es decreciente y en el intervalo < 3, 3 > es creciente. Para trazar la gráfica se evalúa la función en 2 Si x = −3 ⇒cada f (−3punto ) = − obtenido. (−3) 3 + 18(−4) = 18 − 54 = −36

3

Si x = −3

TEMA Nº 2

Por lo tanto: Y si:

2 ⇒ f (−3) = − (−3) 3 + 18(−4) = 18 − 54 = −36 3

( −3, −36 ) es un mínimo relativo

Por lo tanto: (−3, −36) es un mínimo relativo

2 x = 3 ⇒ f (3) = − (3) 3 + 18(3) = −18 + 54 = 36 2 3 3 Y si: x = 3 ⇒ f (3) = − (3) + 18(3) = −18 + 54 = 36 3

Por lo tanto:

máximo( relativo 3, 36) es un máximo relativo ( 3, 36Por ) eslountanto:

3. CONCAVIDAD, PUNTOS DE INFLEXIÓN DE LA 3. CONCAVIDAD, PUNTOS DE INFLEXIÓN Y EL CRITERIOY DEELLACRITERIO SEGUNDA DERIVADA

Hemos observado que la primera derivada brinda información muy útil para el SEGUNDA DERIVADA trazado de gráficas. Se usa para obtener los intervalos en donde la función es Hemos observado que la primera derivada brinda información muy útil para el trazado de gráficas. Se usa para creciente o decreciente. Sin embargo, para conocer la verdadera forma de una obtener los intervalos en donde la función es creciente o decreciente. Sin embargo, para conocer la verdadera curva necesitamos más información. Para tal efecto se consideran las tres curvas 87 forma que de una necesitamos más información. Para tal efecto se consideran las tres curvas que se muesse curva muestran: tran:

118

Observemos que estas figuras abren hacia arriba. Esto significa que si se trazan rectas tangentes a cada curva, Observemos que estas figuras abren hacia arriba. Esto significa que si se trazan las curvas quedan por arriba de éstas. También las pendientes lasarriba líneas de tangentes crecen en las cada valor al rectas tangentes a cada curva, las curvas quedan de por éstas. También crecer pendientes x. En la figurade (a) las las pendientes parten de valores positivos pequeños y aumentan; en la figura (b) se inicia líneas tangentes crecen en cada valor al crecer x. En la figura (a) con pendientes negativas y éstas acercan positivos a cero y enpequeños la figura (c)ylas pendientes en pasan de valores las pendientes parten desevalores aumentan; la figura (b)negativos a positivos. Ahoracon dado que f ‘(x) indica la pendiente en un unaapendiente creciente significa que f ‘(x) es se inicia pendientes negativas y éstas sepunto, acercan cero y en la figura (c) las pendientes pasan de valores negativos a positivos. Ahora dado que f '(x) indica la pendiente en un punto, una pendiente creciente significa que f '(x) es una función creciente. Cuando ocurre lo anterior, se dice que la curva es cóncava hacia arriba.

UNIDAD III

Observemos que estas figuras abren hacia arriba. Esto significa que si se trazan rectas tangentes a cada curva, las curvas quedan por arriba de éstas. También las Cálculo I pendientes de las líneas tangentes crecen en cada valor al crecer x. En la figura (a) MANUAL las pendientes parten de valores positivos pequeños y aumentan; en la figura (b) AUTOFORMATIVO se inicia con pendientes negativas y éstas se acercan a cero y en la figura (c) las pendientes pasan de valores negativos a positivos. Ahora dado que f '(x) indica la pendiente en un punto, una pendiente creciente significa que f '(x) es una función creciente. Cuando ocurre lo anterior, se dice que la curva es cóncava hacia arriba. una función creciente. Cuando ocurre lo anterior, se dice que la curva es cóncava hacia arriba. De igual forma para describir curvas que sean cóncavas hacia abajo, se plantean tresdescribir figuras curvas que abren hacia abajo: hacia abajo, se plantean tres figuras que abren hacia De igual forma para que sean cóncavas abajo:

TEMA Nº 2

En cada una de éstas, las curvas están en la parte inferior de las líneas tangentes y cuando x crece, las pendientes de las líneas tangentes son En cada una de éstas, las están ensela dice parte que inferior de las y cuando x crece, las pendienf '(x) eslíneas una tangentes función decreciente y esto decrecientes. De curvas esta forma tes de ocasiona las líneas tangentes son decrecientes. De esta forma se dice que f ‘(x) es una función decreciente y esto que sea cóncava hacia abajo. DEFINICION ocasiona que sea cóncava hacia abajo.

DEFINICIÓN Supongamos que f (x) es derivable en el intervalo . Se dice que f (x) es cóncava hacia en el intervalo ,b>. si Se f '(x) en dicho Supongamos que farriba (x) es derivable en el intervalo dicees quecreciente f (x) es cóncava hacia intervalo y es cóncava hacia abajo, si f '(x) es decreciente en el intervalo arriba en el intervalo , si f ‘(x) es creciente en dicho intervalo y es cóncava hacia abajo, . si f ‘(x) es decreciente en el intervalo .

Recuerde que si f ‘(x) > 0 en el intervalo , entonces f (x) es creciente en el mismo intervalo y si f ‘(x) < 0 en el intervalo , entonces f (x) es decreciente en el intervalo ). De la misma forma si f ‘’(x) > 0 en el intervalo , entonces f ‘(x) es creciente y si f ‘’(x) < 0 en el intervalo , entonces f ‘(x) es 88 decreciente en el intervalo . A partir de estas afirmaciones, se enuncia el criterio siguiente:

CRITERIO DE CONCAVIDAD Sea f ‘(x) derivable en el intervalo . Se dice que y = f (x) es cóncava hacia arriba en el intervalo , si f ‘’(x) > 0 para toda x en dicho intervalo. Y es cóncava hacia abajo en el intervalo , si f ‘’(x) < 0 para toda x en el mencionado intervalo.

EJEMPLOS Obtenga los intervalos en los que la función es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia abajo. Use el criterio de concavidad. a)

f ( x) = x 3 + 6 x 2 + 15

119

TEMA Nº 2

UNIDAD III

Solución Para obtener los posibles intervalos, se encuentra la segunda derivada de la función y se iguala con cero:

f ´(x) = 3x 2 + 12 x f ´´(x) = 6 x + 12

6 x + 12 = 0

x = −2 de donde se obtiene que signo de la derivada Si

x = −2. Este valor forma los intervalos −∞, −2 y −2, ∞

. Con el fin de obtener el

f ´´(x) = 6 x + 12, se evalúa en valores que están en cada intervalo.

x = −3 ⇒ f ´´ (−3) = 6(−3) + 12 = −18 + 12 = −6 < 0

Por lo tanto, la función es cóncava hacia abajo en el intervalo Y si:

x = 0 ⇒ f ´´ (0) = 6(0) + 12 = 0 + 12 = 12 > 0

Por lo tanto, la función es cóncava hacia arriba en el intervalo

f ( x) =

b)

−∞, −2

−2, ∞

3 2 1 4 x − x 2 4

Solución Para obtener los posibles intervalos, se encuentra la segunda derivada de la función y se iguala con cero:

f ´( x) = 3x − x 3

f ´´(x) = 3 − 3 x 2 3 − 3x 2 = 0 operando obtenemos:

x = −1 ∧ x = 1 de donde se obtiene que

x = −1 y x = 1. Estos valores forman los intervalos −∞, −1 , −1,1 y 1, ∞

Con el fin de obtener el signo de la derivada

f ´´(x) = 3 − 3 x 2, se evalúa en valores que están en cada interva-

lo. Si

x = −2 ⇒ f ´´ (−2) = 3 − 3(−2) 2 = 3 − 12 = −9 < 0

Por lo tanto, la función es cóncava hacia abajo en el intervalo Si:

Por lo tanto, la función es cóncava hacia arriba en el intervalo

120

−∞, −1

x = 0 ⇒ f ´ (0) = 3 − 3(0) 2 = 3 > 0

Y si:

.

x = 2 ⇒ f ´´ (2) = 3 − 3(2) 2 = 3 − 12 = −9 < 0

−1,1

Si:

Por lo tanto, la función es cóncava hacia abajo en el intervalo < −∞, −1 >

x = 0 ⇒ f ´´ (0) = 3 − 3(0) 2 = 3 > 0

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Por lo tanto, la función es cóncava hacia arriba en el intervalo < −1, 1 >

Y si:

x = 2 ⇒ f ´´ (2) = 3 − 3(2) 2 = 3 − 12 = −9 < 0

1

TEMA Nº 2

3

UNIDAD III

1, ∞ Por lo tanto, la función cóncavalahacia abajoes encóncava el intervalo Por es lo tanto, función hacia abajo en el intervalo < 1, ∞ >

Figura 23. Gráfica ilustrativa de: f ( x) = 2 x − 4 x Figura 26.- Grafica ilustrativa de: f ( x) = 3 x 2 − 1 x 4 2 4 2

4

DE INFLEXION PUNTOS PUNTOS DE INFLEXION Un punto sobre una gráfica, es de inflexión, si en dicho punto existe un cambio Un punto sobre una gráfica, es de inflexión, si en dicho punto existe un cambio en la concavidad; es decir, si al en la concavidad; es decir, si al lado izquierdo del punto la curva es cóncava hacia lado izquierdo del punto la curva es cóncava hacia abajo ( f ‘’(x) < 0) y si del lado derecho del punto la curva es abajo ( f ''(x) < 0) y si del lado derecho del punto la curva es cóncava hacia arriba cóncava hacia arriba>( f0) ‘’(x) 0) y viceversa. A continuaciónse se dan dan curvas enen donde aparecen puntos de inflexión. y >viceversa. A continuación curvas donde aparecen puntos ( f ''(x) de inflexión.

90

Figura 24. Puntos de Inflexión.

Para obtener los puntos de inflexión de la función f (x), se encuentran los valores de x para los que f ‘’(x) = 0 y dichos valores se grafican sobre la recta real para formar ciertos intervalos y en ellos se verifica la concavidad de la función.

EJEMPLOS Obtenga los puntos de inflexión para cada función que se da. a)

f ( x) = 12 + 2 x 2 − x 4

Solución Para obtener los posibles intervalos, se encuentra la segunda derivada de la función y se iguala con cero:

f ´( x) = 4 x − 4 x 3

121

UNIDAD III

f ´´(x) = 4 − 12 x 2 4 − 12 x 2 = 0 operando obtenemos: 1 1 x=− ∧ x= 3 3

TEMA Nº 2

Ahora al graficar los valores de la x, se obtienen los intervalos y se encuentran los signos de f ‘’(x), para conocer las concavidades.

Si Si Si:

x = −2 ⇒ f ´´ (−2) = 4 − 12(−2) 2 = 4 − 48 = −44 < 0

2 x = −2 ⇒ Si: f ´´x(−=20) =⇒4 −f 12 > 0< 0 ´´ ((0−)2=) 4 =− 412−(048 ) 2 ==−444

2 (=2)4=>40− 12(2) 2 = 4 − 48 = −44 < 0 x = 0 ⇒ fY ´´si:(0)x==42− ⇒ 12(0f)´´

2 x = 2 ⇒ f ´´ (2) = 4 − 12 1 (2) = 4 − 48 1 = −44 < 0 ∧ x= son puntos de inflexión dado que en dichos Luego: x = − 3 1 13 Luego: x = − valores soncambios puntos de dado que en dichos valores se dan los cambios en las ∧ se x =dan los eninflexión las concavidades. 3 3

Y si:

concavidades.

Observación. Una regla que resulta muy útil para verificar en algunos casos si ciertos puntos son de inflexión o no es la siguiente: Observación. Una regla que resulta muy útil para verificar en algunos casos si ciertos puntos son de inflexión o no es la siguiente: Regla: Si

f ´´( a ) = 0 y si f ´´´( a ) ≠ 0 entonces en x = a existe un punto de inflexión Regla: Si 𝑓𝑓𝑓𝑓 ´´ (𝑡𝑡𝑡𝑡) = 0 y si 𝑓𝑓𝑓𝑓 ´´´ (𝑡𝑡𝑡𝑡) ≠ 0 entonces en x = a existe un punto de inflexión

122

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA UNIDAD III

En base a lo que hemos visto anteriormente sobre la segunda derivada y las concavidades de una función f (x), la segunda derivada podemos usarla para verificar si los números críticos son máximos relativos o mínimos relativos. A continuación se da una gráfica ilustrativa.

TEMA Nº 2

Figura 25. Criterio de la segunda derivada

RESUMEN: Criterio de La Segunda Derivada Si f (x) y f ‘(x) son continúas en x = a y si f ‘(a) = 0, entonces: •

 f

´´( a ) < 0 ⟹ un máximo relativo en x = a

•

f

´´( a ) > 0 ⟹ un mínimo relativo en x = a.

•

Y si

f ´´( a ) = 0 ⟹ que no existe máximo ni mínimo en x = a

EJEMPLOS En la función que se da, use el criterio de la segunda derivada para obtener los puntos máximos y mínimos relativos, encuentre los puntos de inflexión usando el cambio en las concavidades o por medio de la regla ( f ‘’(a) = 0 y f ‘’’(a) ± 0), construya la gráfica, encuentre los intervalos en los que la función es creciente o decreciente e indique las concavidades de la función en cada intervalo. a)

f ( x) = x 3 + 6 x 2 + 15

Solución Primeramente se obtienen los números críticos y para tal efecto se deriva la función y se iguala con cero.

f ´(x) = 3x 2 + 12 x 3x 2 + 12 x = 0 operando obtenemos:

x = −4 ∧ x = 0

123

Si x = −4 ⇒ f ´´ ( −4) = 6( −4) + 12 = −24 + 12 = −12 < 0

UNIDAD III

Por lo tanto, en 𝑥𝑥𝑥𝑥 = −4 existe un máximo

x = 0 si⇒losf puntos ´´ (0) =críticos 6(0) +x12= =0 12 Ahora paraSi: verificar y x>=0-4 son puntos máximos o mínimos se obtiene la segunda derivada y se evalúa en los puntos críticos. Por lo tanto, en 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 existe un mínimo

f ´´(x) = 6 x + 12

Si

verificamos si para dichos valores la tercera derivada es diferente de cero. Por lo tanto, en x = −4 existe un máximo Si:

TEMA Nº 2

Para obtener los puntos de inflexión usamos la regla antes vista; es decir:

x = −4 obtenemos ⇒ f ´´ (−4)los = 6(valores −4) + 12de = −x24para + 12 =los −12que < 0 la segunda derivada sea cero y f ´´(x) = 0 ⇒ 6 x + 12 = 0 ⇒ 6 x = −12 ⇒

x = 0 ⇒ f ´´ (0) = 6(0) + 12 = 12 > 0

Por lo tanto, en

x = −2

x = 0 existe un mínimo

f ´´´(x) = 6 ≠ 0 ⇒

en 𝑥𝑥𝑥𝑥 = −2 existe un punto de inflexión. Para obtener los puntos de inflexión usamos la regla antes vista; es decir: obtenemos los valores de x para los que la segunda derivada sea cero y verificamos si para dichos valores la tercera derivada es diferente de cero.

f ´´(x) = 0Para ⇒trazar 6 x + 12 = 0 ⇒se6evalúa x = −12la ⇒ x = en −2 cada uno de los puntos obtenidos. la gráfica función de inflexión. f ´´´(x) = 6 ≠ 0 ⇒ en x = −2 existe un punto 3 2 Si: Si x = −4 ⇒ f (−4) = (−4) + 6(−4) + 15 = −64 + 96 + 15 = 47 Para trazar la gráfica se evalúa la función en cada uno de los puntos obtenidos. Por lo tanto: (−4, 3 47) es 2un máximo. Si: Si x = −4 ⇒ f ( −4) = ( −4) + 6( −4) + 15 = −64 + 96 + 15 = 47 3

f (máximo. 0 )⇒ 0) = (0) es un ( −x4,= 47

Si: Por lo tanto: Si:

+ 6(0) 2 + 15 = 0 + 0 + 15 = 15

2 x = 0 ⇒ Por f (0lo ) =tanto: (0) 3 + (6(0,0)15) + 15 0 +mínimo 0 + 15 = 15 es =un

(

)

Por lo tanto: 0,15 es un mínimo 3 Y si: x = −2 ⇒ f ( −2) = ( −2)

+ 6(−2) 2 + 15 = −8 + 24 + 15 = 31 Y si: x = −2 ⇒ f (−2) = (−2) + 6( −2) + 15 = −8 + 24 + 15 = 31 3

Por lo tanto:

2

Por lo tanto: (−2,31) es de inflexión.

( −2,31) es de inflexión.

A continuación se grafican los y se la gráfica A continuación se puntos grafican lostraza puntos y se traza la gráfica

Para obtener los intervalos en donde la función es creciente o decreciente, consideramos los puntos máximos y mínimos para formar los intervalos y observamos la gráfica para ver si es creciente o decreciente 94

124

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

UNIDAD III

Luego en el intervalo En el intervalo

−4, 0

la función es creciente.

la función es decreciente.

0, ∞

la función es creciente.

También para obtener las concavidades, se grafica el punto de inflexión para formar los intervalos y se observa la gráfica.

Luego en el intervalo Y en el intervalo

−∞, −2

−2, ∞

TEMA Nº 2

Y en el intervalo

−∞, −4

la función es cóncava hacia abajo.

la función es cóncava hacia arriba.

125

TEMA Nº 3: TEOREMA DEL VALOR MEDIO UNIDAD III

TEMA Nº 3: TEOREMA DEL VALOR MEDIO

1. TEOREMA DEL VALOR MEDIO

1. TEOREMA DEL VALOR MEDIO TEMA Nº 3

Si f es una función continua en [a, b] y derivable en entonces, existe al menos un número "𝑥𝑥𝑥𝑥0 " en tal que

Si f es una función continua en [a, b𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑏𝑏𝑏𝑏) ] y derivable − 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑡𝑡𝑡𝑡) en entonces,

𝑓𝑓𝑓𝑓´(𝑥𝑥𝑥𝑥0 ) =

existe al menos un número

𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑡𝑡𝑡𝑡

" x0 " en tal que f ´( x0 ) =

f (b ) − f ( a ) b−a

Lo que nos indica este teorema es que si la función es continúa en un intervalo Lo que cerrado nos indica teorema que si entonces la función es continúa un intervalo y suave y este suave en su es interior existirá un en punto en ese cerrado intervalo para en el su interior entonces existirá un punto en ese intervalo para el cual la recta tangente y la recta secante en los extremos del cual la recta tangente y la recta secante en los extremos del intervalo tienen intervalo tienen igual pendiente. igual pendiente.

Figura 26. Gráfica Gráfica del del del ValorValor Medio Figura 22.delTeorema Teorema Medio

EJEMPLOSEJEMPLOS a)

queelse cumple Teorema del valor medio para: Verificaa) queVerifica se cumple Teorema delelvalor medio para:

[2, 5] − 7𝑥𝑥𝑥𝑥 + 10 en el intervalo [2, 5] f ( x ) = 2 x 2 − 7 x𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) + 10=en2𝑥𝑥𝑥𝑥el2 intervalo

126

96

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Solución

f (b ) − f ( a )

f ´( x0 ) =

b−a

UNIDAD III

La función, por tratarse de un polinomio, es continua y derivable en todo ℝ, por lo que debe de existir, como mínimo, un c tal que:

Ahora, busquemos el valor de c; sustituimos los datos del enunciado en la expresión

⟹ 4c − 7 = Entonces:

c= b)

Sea la función: f

( x) = 5 −

21 3

TEMA Nº 3

f ( x ) = 2 x 2 − 7 x + 10⟹f ´( x ) = 4 x − 7  f ( 5) − f ( 2 )  f ( b ) = f ( 5 ) = 2.52 − 7.5 + 10 = 25 ⟹f ´( c ) = 5−2 f ( a ) = f ( 2 ) = 2, 22 − 7.2 + 10 = 4 

7 2

4 . Halla todos los valores pertenecientes al intervalo (1, 4) , que denotaremos x

por c, que cumplan lo siguiente:

f ´( c) =

f (4) − f (1) 4 −1

Solución Para hallar c tenemos que encontrar el valor de f′(c) y eso se hace sustituyendo los valores de f (4) y f (1) en la expresión f ( 4) − f (1) :

4 −1

4  = 4 f ( 4 ) − f (1) 4 − 1  4 ⟹ f ´( c ) = 1 = ⟹ 4 4 −1 4 −1  f (1) = 5 − = 1  1

f ( 4) = 5 −

Los valores c que hace que se cumpla

⟹

⟹

Pero en (1, 4 ) sólo está incluido el

f ´( c ) = 1 son: ⟹

2 . Aquí nuestra solución es: x = 2

127

UNIDAD III

ACTIVIDAD FORMATIVA n° 1 I. Resuelva los siguientes problemas propuestos

1) Una partícula se mueve a lo largo de una línea horizontal de acuerdo con la ley:

f (t ) = t 4 − 6t 3 + 12t 2 − 10t + 3

TEMA Nº 3

. Determinar: a)

Cuándo aumenta la velocidad y cuándo disminuye

b)

En que instante cambia el sentido del movimiento

c)

El espacio total recorrido en los 3 primeros segundos del movimiento

2) Una fábrica que elabora un producto tiene una capacidad de producción de 3000 unidades al mes. La función de utilidad por producir y vender “q” unidades mensuales está dada por:

1 U ( q ) = −100000 + 60000q + 985q 2 − q 3 3 Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad mensual

3) Verifica que se cumple el Teorema del valor medio para:

f ( x) = x 3 + x − 1en el intervalo [0, 2] y encuentra

todos los números c que lo satisface

4) Demuestra que f (x) cumple todas los requisitos del teorema del valor medio en se cumple?

2x − 3  f ( x) =  2 − x + 10 x − 19

[ 2, 6]. ¿Para qué puntos

si x < 4 si x ≥ 4

LECTURA SELECCIONADA n° 1: Leer el apartado 3. “Determinación de máximos/mínimos.” (Pp. 63-67) Bromberg, S., & Rivaud, J. J. (2001). Fermat y el cálculo diferencial e integral. Miscelanea Matemática. Disponible en http://www.miscelaneamatematica.org/Misc34/bromberg.pdf

128

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

UNIDAD III

TEMA Nº 4: OPTIMIZACIÓN 1. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.

Una de las aplicaciones más frecuentes del cálculo consiste en la determinación de valores máximos y mínimos. Téngase en cuenta cuántas veces hablamos de máximo beneficio, mínimo costo, voltaje máximo, forma óptima, tamaño mínimo, máxima resistencia o máxima distancia. Veamos un ejemplo:

TEMA Nº 4

Problemas de Aplicación de Máximos y Mínimos

Ejemplo 1.- Se desea instalar un observatorio entre las ciudades X e Y cuya distancia entre ellas es 40km. La ciudad X tiene 8 veces más iluminación que la ciudad Y, esto se ve reflejado en el siguiente modelo que describe I la luminosidad de un punto situado a x km. de X.

I ( x) =

8k k + x 2 ( 40 − x )2

donde k es una constante positiva. Encuentre la mejor ubicación lumínica del observatorio, esto es donde la luminosidad sea mínima.

Solución Ilustrando el problema tenemos:

Aún cuando en el problema no se dice nada acerca de los valores posibles de x, es claro que debe estar en el intervalo (0,40). Una vez que tenemos claro el intervalo donde se va a buscar el mínimo pasamos a derivar para luego conseguir los puntos críticos

129

) (

(

)

UNIDAD III

I ´(x) = 8kx −2 ´ + k (40 − x )−2 ´

I ´(x) = −16kx −3 ´+2k (40 − x )−3 Planteamos

I ´( x ) = 0 a fin de conseguir los puntos críticos

TEMA Nº 4

− 16kx −3 ´+2k (40 − x )−3 = 0 Resolvemos observando que cada variable sólo está en factores elevados a la

16kx

−3

= 2k (40 − x )

−3.

−3

8 x −3 = (40 − x )−3 3

8 x −3 = 3 (40 − x )

−3

2 x −1 = (40 − x )−1

2(40 − x) = x

x= x=

80 3

80 es el único valor crítico dentro del intervalo. Para clasificarlo usamos el criterio de la segunda derivada. 3

Es fácil verificar que la segunda derivada está dada por:

I ´´ ( x) = 48k .x −4 + 6k (40 − x )−4, cuando evaluamos esta derivada en x =

80 , obtenemos que  80  I ´´   > 0  3 3

, también se puede confirmar por ser la suma de dos cantidades positivas. Por tanto, en este punto se alcanza la mínima luminosidad. Remarcamos que éste es el mínimo absoluto pues hay un solo extremo relativo en el intervalo cerrado. En definitiva hay que ubicar el observatorio a

80 km de la ciudad X. 3

Observación Los problemas de la vida real no se presentan tan explícitos como el problema de arriba. En los que siguen por lo menos se plantea el problema. El estudiante deberá entender que una de las cuestiones que quedará en él es identificar diversos problemas de optimización que diariamente puede formular, y probablemente resolver con estas técnicas.

ESTOS PASOS DEBERÁN SER TOMADOS EN CUENTA A FIN DE RESOLVER PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

130

•

Leer el problema hasta comprenderlo, esté atento que cantidad se pide optimizar.

•

Realice uno ó varios dibujos de la situación que muestre como se relacionan los elementos que varían. Escoja nombres a las variables de interés. Si hay varias variables involucradas, vea como se relacionan. Formule una ecuación que plantee las relaciones entre las variables. Esta ecuación se suele llamar de ligadura (porque establece la relación entre las variables), otros autores la llaman de restricción.

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Exprese la cantidad que se quiere optimizar como función de una de las variables. Si necesitó dos o más variables, despeje las demás variables en términos de una sola, usando la ecuación de ligadura (o restricción) y sustitúyala en la función a optimizar. Determine el dominio de la función resultante de acuerdo a la naturaleza del problema.

•

Determine los máximos o mínimos de la función a optimizar por algunos de los métodos aprendidos, recuerde siempre garantizar que es absoluto.

•

Responda con palabras cada pregunta del problema.

a)  Se desea cercar un terreno donde uno de sus lados colinda con un río, este lado no se piensa cercar. Se dispone de 1200 metros lineales de cerca. ¿Cómo deben ser las dimensiones del terreno a fin de maximizar el área a cercar?

TEMA Nº 4

EJEMPLOS

UNIDAD III

•

Solución Son muchas las posibilidades de cercar este terreno con 1200 metros de cerca, por ejemplo algunas de ellas son como se muestra abajo

Pero se quiere conseguir la que tiene área máxima. Observe que el área está dada por:

A = x. y La cantidad A a maximizar depende de dos variables, debemos expresarla en términos de una sola de estas variables. Para ello se debe establecer una ecuación que de la relación entre x e y para luego despejar una de ellas y sustituirla en A. La relación entre x e y está dada por la restricción de la cantidad de cerca a utilizar. Esta relación viene dada por

x + x + y = 1200

2 x + y = 1200 Despejamos

y = 1200 − 2 x

y

131

UNIDAD III TEMA Nº 4

Se sustituye y en el área, a fin de expresar A como función de x

A ( x ) = x (1200 − 2 x ) Conviene observar que el Dom: A = (0, 600) Esta función la podemos reescribir como:

A ( x ) = 1200 x − 2 x 2

Derivamos a fin de obtener los números críticos: Buscamos los puntos críticos: 0 = 1200 − 4 x

A´( x ) = 1200 − 4 x.

x = 300

⟹

Para clasificar este número crítico calculamos la segunda derivada:

(

( )

)

A´´ x = −4. Al evaluarla en 300 obtenemos que A´´ 300 = −4<0, por tanto allí se alcanza un máximo relativo, al tener un único extremo relativo en el intervalo (0,600) entonces él debe ser absoluto. En conclusión: Las dimensiones del terreno deben ser 600 en el lado que corre paralelo al río y 300 por los otros dos lados. b)  Se estima que en un terreno si se plantan 200 matas de aguacates, la producción estimada será de 300 kg. por árbol y que por cada árbol que se deje de plantar la producción aumentará en 3 kg. por árbol. ¿Cuál es el número de árboles que debe plantarse en el terreno a fin de obtener la máxima cosecha posible en el terreno? ¿Cuál es este valor máximo?

Solución La variable que puede ser usada para modelar este problema es: x = Número de árboles que se dejan de plantar Así que:

Números de árboles a plantar = 200 − x y

La producción estimada por árbol está dada por

P = producción por árbol = 300 + 3 x De esta manera:

La produccióntotal = ( número de árboles a plantar ) . ( producción por árbol )

P ( x ) = ( 200 − x ) . ( 300 + 3 x ) Es claro que 0 < x < 200 . Como deseamos obtener el máximo de la producción derivamos a fin de conseguir los puntos críticos. Primero reescribimos la función:

P ( x ) = 6000 + 300 x − 3x 2 Se deriva

P´( x ) = 300 − 6 x Buscamos los valores críticos

132

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

300 − 6 x = 0 Resolvemos la ecuación Como estamos buscando el máximo en un intervalo cerrado y P es una función continua, evaluamos P en 50 y en los extremos del intervalo cerrado.

P ( 0 ) = 60000

UNIDAD III

x = 50

P ( 50 ) = 67500

El máximo rendimiento es 67.500 kg. y se alcanza cuando se dejan de plantar 50 árboles. Esto es cuando se plantan: 200 − 50 = 150 árboles.

TEMA Nº 4

P ( 200 ) = 0

c)  Una ventana tiene forma de rectángulo, culminando en la parte superior con un triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es de 3 metros. ¿Cuál debe ser la longitud de la base del rectángulo para que la ventana tenga el área máxima?

Solución En este caso se debe maximizar el área de la siguiente figura geométrica: Se han señalado con las letras “x “ y “y” las longitudes de los lados de la ventana.

El área de la ventana está dada por la suma de las áreas del triángulo y del rectángulo.

x.h 2 Área del rectángulo = x. y

Área del triángulo =

Área total =

x. y +

x.h 2

Como el perímetro de la ventana es 3 metros entonces: 2y+3x = 3 de donde

3 − 3x es una ecuación auxiliar. 2  3 − 3 x  x.h . Debemos escribir h también en términos de x. Luego: A = x +  2  2 y=

2

Se tiene en el triángulo: h 2

 x +   = x2 2 133

x2 3 2 h =x − = x 4 4

UNIDAD III

2

h=

TEMA Nº 4

Luego:

A( x) =

(

2

3x , h>0 2

)

x 3 1 x 3x − 3x 2 + . 2 2 2

3 3 3 2 Determinamos los valores críticos: x − x2 + x 2 2 4 3 3 3 3 . Luego: A ´( x) = 0 ⇔ − 3x + x=0 A ´( x) = − 3x + x 2 32 2 2 −  3  3 3 2   3 0 + x − = ⇔ x = ⇔ x = Resolviendo:  2  2 3 6− 3   −3 2 3 El valor crítico es: x = 6− 3 A( x) =

Utilizando el criterio de la segunda derivada se tiene que

3 y , A ´  3  = 3 − 3 < 0, , 6− 3 2 2 3 de donde x = es un valor máximo 6− 3 A ´´ (x) = -3 +

Luego, la longitud de la base del rectángulo debe ser La altura del rectángulo debe ser: d)

x=

3 6− 3

para que la ventana tenga el área máxima.

9 − 3 y el lado del triángulo es: 3 12 − 2 3 6− 3

Maximización del ingreso

La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es:

p=

80 − q 0 ≤ q ≤ 80 4

Donde q es el número de unidades y p el precio por unidad. ¿Para qué valor de q se tendrá un ingreso máximo? ¿Cuál es el ingreso?

Solución Sea r el ingreso total, el cual es la cantidad por maximizar. Ingreso (r) = (precio) (cantidad) = p.q Se tiene: r

= p.q =

Donde: 0 ≤ q

134

80 − q 80q − q 2 .q = 4 4

≤ 80. Haciendo

dr = 0, se tiene: dq

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

80 − 2q = 0

q = 40

UNIDAD III

dr 80 − 2q = =0 dq 4

Entonces 40 es el único valor crítico, examinar si este es valor máximo.

Si q

> 40, entonces

q < 40, se tiene

dr > 0, por lo que r es creciente. dq

dr < 0, por lo que r es decreciente. dq

TEMA Nº 4

La primera derivada 0 ≤

Por consecuencia, de que a la izquierda de 40, r es creciente y a la derecha de r es decreciente, se concluye que q = 40 es el ingreso máximo absoluto. Ya que:

r=

80(40) − (40) 2 4

r = 400 e)

Minimización del costo medio

La función de costo total de un fabricante está dada por:

q2 c= + 3q + 400 4 donde c es el costo total de producir q unidades. ¿Para qué nivel de producción será el costo promedio por unidad mínimo? ¿Cuál es el mínimo?

Solución La cantidad por minimizar es el costo promedio ( c ). La función del costo promedio es:

q2 + 3q + 400 q c 400 4 c= = = +3+ q q 4 q

Aquí q debe ser positiva. Para minimizar c diferenciar:

q 2 − 1600 dc 1 400 = − 2 = dq 4 q 4q 2 Para obtener los valores críticos, resolver

dc =0 dq q 2 − 1600 = 0

(q − 40)(q + 40) = 0 q = 40

135

UNIDAD III

(ya que q > 0), para determinar si este nivel de producción da un mínimo relativo, se utiliza la prueba de la segunda derivada.

d 2c dq 2

=

800 q2

es positiva para q

= 40. Así el costo promedio tiene un mínimo relativo cuando q = 40 y que es continuo para

TEMA Nº 4

q > 0. Como es el único valor extremo relativo se concluye que también es un mínimo absoluto. Sustituyendo este valor en la ecuación respectiva, se obtiene un: Costo promedio mínimo = 23

videos Problemas de Optimización https://www.youtube.com/watch?v=jtGYI9H2DCc duración: 11.38 min.

136

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

UNIDAD III

TEMA Nº 5: REGLA DE L’HOSPITAL 1. REGLA DE L’HOSPITAL.

En el cálculo de límites pueden aparecer siete expresiones (formas) indeterminadas. Y los cuales son:

0 0  

∞ ∞  

[ 0.∞ ] [ ∞ − ∞ ]

[1 ] [ 0 ] [ ∞ ] ∞

0

0

TEMA Nº 5

Indeterminaciones:

Las dos primeras pueden resolverse aplicando la regla de L’Hospital; las otras cinco formas habrá que transformarlas previamente para poder aplicar dicha regla. Regla de L’Hospital para resolver la indeterminación:

0 ∞ 0 ; ∞    

Anteriormente, la evaluación del

lim f ( x )

cuando f ( a ) =

x→a

0 ∞ ó 0 ∞

se discutió para ciertos tipos particulares de funciones. En este apartado se dan procedimientos más generales para evaluar estos límites indeterminados, este procedimiento se basa en la regla de L’Hospital:

Si :

f ( a ) = f (b ) = 0

ó

f ( a ) = f (b ) = ∞

y lim x→a

f ( x)

g ( x)

existe

Entonces:

lim x→a

Si lim

x→ a

y:

lim

x→a

f ( x)

g ( x)

= lim x→a

f ´( x )

g´( x )

.

( Esta regla es válida para " a " finita oinfinita)

0 ∞ f ´( x) es en sí mismo una indeterminación   ó   entonces esta regla se aplica nuevamente 0 ∞ g ´( x)

f ´( x) f ´ ( x) = lim , y así sucesivamente. g ´( x) x →a g ´ ( x)

EJEMPLOS a)

sen x x →0 x

Calcular el limite lim

137

TEMA Nº 5

UNIDAD III

Solución

sen(0) 0 (indeterminación) sen x ⇒ = x →0 x 0 0

Evaluando el límite tendremos: lim

Luego usando la regla de L’Hospital, tendremos:

d sen x cos x sen x lim ⇒ lim dx = lim x →0 x →0 x →0 1 d x x dx cos(0) 1 cos x ⇒ = =1 x →0 1 1 1 sen x =1 Entonces el lim x →0 x Evaluando: lim

b)

h + 25 − 5 h

Calcular el limite lim

h →0

Solución Evaluando el límite tendremos:

lim

h →0

h + 25 − 5 ⇒ h

0 + 25 − 5 0 = (Indeterminación) 0 0

Luego usando la regla de L’Hospital, tendremos:

1

− d 1 h + 25 − 5 (h + 25) 2 h + 25 − 5 ⇒ lim dh = lim 2 lim h →0 h →0 h →0 d h 1 h dh 1

− 1 (h + 25) 2 1 1 1 1 2 = lim ⇒ = = Evaluando: lim h →0 h →0 2 h + 25 1 2 0 + 25 2(5) 10

h + 25 − 5 1 = h →0 h 10 tan x - x Calcular el limite lim x →0 x − sen x

Entonces el lim c)

Solución:

0 y puede aplicarse el teorema. Luego: 0 d ( tan x − x ) tan x − x sec 2 x − 1 lim ⇒ lim dx = lim x →0 x − sen x x →0 d (x − sen x ) x→0 1 − cos x dx

Note que tan 0 −0 = 0; 0 − sen 0 = 0; se presenta la forma

138

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

aquí se presenta de nuevo la forma

(

)

2

Entonces el lim

x →0

d)

tan x - x =2 x − sen x

ln x x →∞ x

TEMA Nº 5

d sec 2 x − 1 sec x − 1 2 sec x. tan x. sec x lim ⇒ lim dx = lim x →0 1 − cos x x →0 d sen x (1 − cos x ) x→0 dx 2 sec x. tan x. sec x 2 sec 2 x.sen x 2 sec 2 x 2.(1) lim = lim = lim = =2 Operando: x →0 x →0 sen x. cos x x →0 cos x 1 sen x

Entonces:

UNIDAD III

0 por lo que es posible aplicar otra vez el teorema. 0

Calcular el limite lim

Solución: Note que

∞ y puede aplicarse el teorema. Luego: ∞ 1 d (ln x ) ln x 0 lim ⇒ lim dx = lim x = = 0 x →∞ x x →∞ d ( x ) x →0 1 1 dx

ln ∞ = ∞; x = ∞; se presenta la forma

ln x =0 x →∞ x

Entonces el lim e)

Calcular el limite

x x → +∞ ln x lim

Solución: Note que

Entonces el f)

∞ y puede aplicarse el teorema. Luego: ∞ d ( x) x 1 1 lim ⇒ lim dx = lim = =∞ x → +∞ ln x x → +∞ d x → +∞ 1 0 (ln x ) dx x

x = ∞ ; ln ∞ = ∞ se presenta la forma

x =∞ x → +∞ ln x lim

Calcular el limite lim

x →∞

x4 ex

Solución: Note que ∞

4

∞

= ∞; e∞ = ∞; se presenta la forma ∞ y puede aplicarse el teorema. Luego: lim

x →∞

x4 ex

= lim

x →∞

4x 3 ex

= lim

x →∞

12 x 2 ex

= lim

x →∞

24 x ex

= lim

x →∞

24

ex

=0 139

UNIDAD III

Observemos que la regla se aplicó cuatro veces. Entonces el lim

x →∞

ex

=0

Ejemplos de límites donde aparece la indeterminación ∞ − ∞.

g)

TEMA Nº 5

x4

1  1 −   x →0  sen x x

Calcular el limite lim

Solución: Note que

1 1 = ∞; = ∞presenta la forma ∞ − ∞y puede aplicarse el 0 sen 0

teorema. Luego operando tendremos:

1 1 − cos x  1  x − sen x  −  = lim  lim   = lim x →0  sen x x  x →0  x.sen x  x →0 x cos x + sen x 0 sen x = lim = =0 x →0 x ( − sen x ) + cos x + cos x 0 +1+1 1  1 − =0 Entonces el lim  x →0  sen x x 1  1  h) Calcular el limite lim  − x x →0  x e − 1 Solución: Note que

1 1 1 1 = ∞; e 0 − 1 = 1 − 1 = 0 = ∞ presenta la forma ∞ − ∞y puede aplicarse el teorema. Luego ope0

rando tendremos:

 ex −1− x  1  ex −1 1   lim  − x = lim  = lim x →0  x e − 1  x →0  x e x − 1  x →0 xe x + e x − 1 (1) 1 1 ex = lim x = = x x x →0 xe + e + e 0 +1+1 2 1  1 1 = Entonces el lim  − x x →0  x e − 1 2

(

)

(

)

Ejemplos de límites en donde aparece la indeterminación 0 ⋅∞ . i)

Calcular el limite lim

x →0

(x. ln x )

Solución: Note que

140

aplicarse el teorema. Luego operando tendremos: x = 0; ln 0 = ∞ presenta la forma 0.∞y puede 1

ln x − x2 x lim (x. ln x ) = lim+ = lim+ = lim = lim+ (− x ) = 0 x →0 x →0 x →0 x →0 1 1 x →0 + x − 2 x x

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Entonces el lim j)

(x. ln x ) = 0

Calcular el límite lim

x →0

UNIDAD III

x →0

(x. cot x )

Solución: Note que

x = 0; cot 0 = ∞ presenta la forma 0.∞y puede aplicarse el teorema. Luego operando tendremos: 1

−

2 cot x − csc x x2 = lim = lim sen x = lim x →0 x →0 x →0 x →0 x →0 sen 2 x 1 1 1 − 2 − 2 x x x 2x 2 2 = lim = lim = =1 x →0 2 senx. cos x x →0 2 senx.( − senx) + cos x.( 2 cos x ) 0+2

lim (x. cot x ) = lim

Entonces el lim

x →0

TEMA Nº 5

2

(x. cot x ) = 1

[ ] [0 ] [∞ ]

LÍMITES EN DONDE APARECE LA INDETERMINACIÓN 1∞

0

0

Si al intentar calcular lim f ( x) aparece alguna de estas formas (esto es: x→ a

[ ]

[ ]

lim f ( x) = 1∞ , ó lim f ( x) = 0 0 x→a

x →a

[ ]

lim ó lim f ( x) = ∞ 0 ) se calculará, si se puede, el límite x→0 x →a

ln( f ( x) . Con

esto la indeterminación inicial se transforma en otra del tipo [0.∞ ] , que se resolverá como se ha indicado antes. L Una vez resuelto, si lim ln ( f ( x) ) = L , se tiene que el límite buscado vale lim f ( x) = e . x →a

x→a

Nota: Los límites cumplen la siguiente propiedad lim ln ( f ( x) ) = ln lim f ( x)  x→a

 x→a



EJEMPLOS k)

1  1 +  x →∞  x

Calcular el límite lim

Solución:

x

x

∞

[ ]

1 1   Note que al evaluar el lim 1 +  = 1 +  presenta la forma 1∞ . Aplicando logaritmos: x →∞  ∞ x   x

x

1 1   lim ln1 +  = lim x. ln1 +  = [∞.0] x →∞ x →∞ x x   Transformando:

1  ln1 +  1 x  0   lim x. ln1 +  = lim =  x →∞ x →∞ 1 x  0 x x

141

−

Por el teorema de la Regla de L´Hospital:

UNIDAD III

1  ln1 +  x  lim x →∞ 1 x

x

1

x2 1 1+ x = lim 1 = 1 = 1 = lim x →∞ x →∞ 1 1 1+ 0 − 2 1+ x x

TEMA Nº 5

1  1 1 +  = e = e Por tanto: lim x →∞  x l)

lim x x

Calcular el límite x →0 +

Solución: Note que al evaluar el

lim x x presenta la forma

x →0 +

[0 ]. Aplicando logaritmos: 0

lim ln x x = lim+ x. ln x = [0.(−∞)]

Transformando:

lim+

x →0

x →0 +

ln x  ∞  =  1 ∞  x

x →0

Por el teorema de la Regla de L’Hospital:

1 ln x lim+ = lim+ x = lim+ (− x) = 0 x →0 x →0 1 1 x →0 − 2 x x

Por tanto: m)

lim+ x x = e 0 = 1

x →0

Calcular el límite lim

x →∞

(x

2

+4

)

1

ln x

Solución: Note que al evaluar el lim

x →∞

(x

2

+4

(

)

1

)

ln x

presenta la forma

[∞ ]. Aplicando logaritmos:

(

0

)

(

)

1 ln x 2 + 4  ∞  . ln x 2 + 4 = lim =  x →∞ x →∞ ln x x →∞ ln x ∞  2x Por el teorema de la Regla de L’Hospital: 2 2x 2 ∞  =  lim x + 4 = lim 2 x →∞ x →∞ x + 4 1 ∞  x lim ln x 2 + 4

1

ln x

= lim

Otra vez por L’Hospital:

lim Por tanto: lim

x →∞

142

(x

2

+4

)

x →∞

1 ln x

= e2

2x 2 2

x +4

4x =2 x →∞ 2 x

= lim

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Regla de L’Hôpital. Infinito elevado a 0 https://www.youtube.com/watch?v=Jk5bLF0u930

UNIDAD III

video

duración: 9.19 min.

TEMA Nº 5

ACTIVIDAD FORMATIVA nº 2 Resuelva cada uno de los problemas que se enumeran. 1)  Encuentre dos números cuya suma sea 40 y cuyo producto sea máximo. 2)  Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 20 y el doble de uno de ellos multiplicado por el cuadrado del otro sea un máximo. 3)  Dado un rectángulo de perímetro “p” y área “A”. Si el perímetro es 8. Calcular sus dimensiones para que el área sea máxima. 4)  Supóngase que una empresa necesita fabricar latas de aceite en la forma de un cilindro recto y éstas deben almacenar un litro (1000 cm3) de aceite. ¿Cuáles serán las dimensiones que debe tener la lata, de forma tal que requiera la mínima cantidad de lámina para su fabricación? 5)  Un terreno rectangular que tiene 3200 m2, se va a cercar y dividir en 3 porciones iguales mediante dos cercas paralelas a dos de los lados. Encontrar las dimensiones del terreno que requieran la menor cantidad de cerca 6)  Un arrendador ha adquirido un nuevo edificio con 100 apartamentos para rentar y encuentra que entre más unidades “x” quiere rentar, menor deberá ser su precio P(x) , de acuerdo a la fórmula

P ( x ) = 180 − 1.2 x 0 ≤ x ≤ 100

¿Cuántas unidades y a qué precio deberá intentar rentar, para maximizar sus ingresos?

143

UNIDAD III

Evalúe los límites siguientes usando la regla de L’Hospital. lim 7)  x →0

8)  lim x →1

TEMA Nº 5

3x 3 + 5 x 2 − x e x + e−x − 2

x2

 1 −  x →1  x − 1  cos x lim  − x →0  senx

lim+ 9)  10)

x 3 − 2x 2 + 4x

1   x −1 

1  x

LECTURA SELECCIONADA nº 2: Leer apartado: Otro eureka de Arquímedes (pp.141). Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior del Instituto Politécnico Nacional. (s.f.). 2. Otro eureka de Arquímedes. En Calculo Diferencial Libro para el Estudiante (p. 141). México. Disponible en http://bit.ly/2c90W5w

144

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

UNIDAD III

TERCERA PRUEBA DE DESARROLLO INSTRUCCIONES: Lea atentamente cada enunciado y resuelva consignando todo el procedimiento. La limpieza y el orden influirán en la calificación final.

(5p)

3 x 2 + 5 y 2 − 3 x 2 y 2 = 11

(1 , 2 )

a)

Obtener la ecuación de su recta tangente en el punto

b)

Calcular las abscisas de los puntos sobre la curva con rectas tangentes horizontales

2.  Dada la función:

TEMA Nº 5

1.  Dada la curva definida por:

(3p)

Determinar, los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad. 3.  Suponga que un incendio forestal se propaga en la forma de un circulo cuyo radio cambia a razón de 1.8 m/min ¿A qué razón está creciendo el área de la región incendiada cuando el radio alcanza 60 m.? (3p) 4.  Un solar rectangular de 11250 m2 se divide en tres zonas rectangulares para venderlo como muestra la figura. Se valla el borde del campo y la separación entre las zonas. Calcula las dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea mínima. (4p)

5. Calcular el limite mediante la regla L’Hospital

 1 + tan x  lim   x →0 1 + sen x  

1 sen x

(5p)

145

UNIDAD III

GLOSARIO DE LA UNIDAD iii c

TEMA Nº 5

Concavidad Se dice que una función es cóncava (cóncava hacia arriba) cuando su segunda derivada es positiva. Convexidad Se dice que una función es cóncava hacia abajo (convexa) cuando su segunda derivada es negativa

f Función creciente Una función es creciente cuando al aumentar el valor de la variable independiente (X) el valor de la variable dependiente (Y) también aumenta. Función decreciente Una función es decreciente cuando al aumentar la variable independiente (X) el valor de la variable dependiente (Y) disminuye.

p Punto de inflexión Es un punto de la gráfica de una función en donde hay un cambio en la concavidad de la gráfica. Pendiente de una recta La tangente de su inclinación. Si designamos la inclinación por ø y la pendiente por m tenemos: tan ø =m

r Razón Es comparar dos cantidades por cociente

t Teorema de valor intermedio Si f es continua en [a,b] y f(a) ≠ f(b), entonces, para todo número c ente f(a) y f(b) existe por lo menos un número x0 en el intervalo abierto (a,b) para el cual f(x0)=c Teorema de valor extremo Si f es continua en [a,b] entonces f toma un valor M y un valor máximo M en el infinito.

v Velocidad Es la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo. Velocidad promedio Es la distancia entre la primera posición y la segunda, dividida entre el tiempo consumido.

146

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Básica

UNIDAD III

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD iii

Larson, R. & Edwards, B.H. (2009). Cálculo Diferencial – Matematica I (8 ed.). México: Mc Graw Hill. Ubicación: Biblioteca UC: 515.1-L25-2006

Anton (2009). Cálculo de una Variable. Trascendentes Tempranas (2 ed.). México: Limusa. Espinoza, E. (n.d.). Analisis Matematico I (4 ed.). Lima: Servicios Gráficos J.J.

TEMA Nº 5

Complementaria

Hoffmann, Bradley & Rosen (2006). Cálculo Aplicado para Administración, Economia y Ciencias Sociales (8 ed.) México: Mc Graw Hill. Howard, A. (2009). Cálculo de una Variable (2 ed.). México. Limusa Wiley. Larson, R. & Edwards, B.H. (2010). Cálculo Esencial (8 ed.). México: Cengage Learning. Larson, R. & Edwards, B.H. (2012). Cálculo de una Variable. (9 ed.). México: Mc Graw Hill. Leithold (2013). El Cálculo. 33. México: Editorial Oxford/Harla. Purcell, Varberg & Rigdon (2001). Cálculo. (8 ed.) México: Prentice Hall. Stewart, J. (2008). Cálculo: Trascendentes Tempranas. (6 ed.). México: Cengage Learning. Zill, D.G. & Wright, W.S. (2011). Cálculo de una Variable: Transcendentes Tempranas (4 ed.). China: Mc Graw Hill.

147

UNIDAD III TEMA Nº 5

AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD III 1) Encontrar el intervalo donde la función:

a)

−∞; −1



b)

−1;3



c)

3; ∞



d)

−∞;1



e)

1; 3

f ( x ) = x 3 − 3x 2 − 9 x es decreciente

2) Indique cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas (V) y cuales son falsas (F) I. Si f diferenciable entonces la gráfica de

y = ( f ( x ))

3

es creciente

II. Si una función diferenciable alcanza un máximo en un punto c interior de su dominio, entonces

III.La suma de dos funciones crecientes es una función creciente.



a)

FVV



b)

VVF



c)

VFV



d)

FFV



e)

FFF

f ´( c ) = 0

3) Un agricultor estima que si planta 120 árboles de aguacates en un terreno, la producción esperada al cabo de unos años por árbol será 475 Kg. y esta disminuirá en 5 Kg. por árbol, por cada árbol adicional plantado en el terreno. ¿Cuántos árboles debería plantar el cultivador para maximizar la producción total?

a)

122



b)

134



c)

140



d)

154



e)

175

4) Un gimnasio tiene la cuota mensual en S/100. A ese precio se inscriben mensualmente un promedio de 550 clientes. Se quiere subir los precios y se estima que por cada aumento de S/2 se pierden 5 clientes ¿Qué precio se deberá fijar a fin de que el gimnasio obtenga el máximo ingreso?

148

a)

110

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

b)

125



c)

145



d)

158



e)

160

UNIDAD III



y=

5) Dada la función: a)

−∞; −3



b)

−3; 2



c)

2; ∞



d)

−∞; 2



e)

2; 3

6) Dada la función:

y=

TEMA Nº 5



1 3 1 2 x + x − 6 x + 8, calcular el intervalo en el cual la función es decreciente. 3 2

1 3 1 2 x + x − 6 x + 8, calcular los intervalos en el cual la función es creciente y dar 3 2

como respuesta uno de ellos.

a)

−∞; −3



b)

−3; 2



c)

−2; ∞



d)

−∞; 2



e)

2; 3

7) Dada la función:

a)



b)



c)



d)



e)

y=

1 3 1 2 x + x − 6 x + 8, calcular el valor máximo de la función. 3 2

1 2 25 3 36 3 43 2 63 2

149

y=

TEMA Nº 5

UNIDAD III

8) Dada la función:

a)

3 2



b)



c)

2 3 4 3



d)

5 2



e)

5 3

1 3 1 2 x + x − 6 x + 8, calcular el valor mínimo de la función 3 2

9) Dada la siguiente función: y falsas (F)

y = x 3 − 8. Indique cuales de las siguientes proposiciones, son verdaderas (V)

I. No tiene valores máximos

x=2



II. Tiene un valor mínimo en



III.Tiene un punto de inflexión en



a)

FVV



b)

VVF



c)

VFV



d)

FFV



e)

FFF

x=0

10) Determinar la concavidad de la función valo de ellas

150

1 3



a)

x<−



b)



c)

x < −1 1 x< 3



d)

x <1



e)

x<

2 3

y = 3x 4 − 10 x 3 − 12 x 2 + 12 x − 7. Dar como respuesta un inter-

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

y = 3x 4 − 10 x 3 − 12 x 2 + 12 x − 7. Dar como respuesta un punto UNIDAD III

11) Determinar los puntos de inflexión de de inflexión

 1 322   − ,−   3 27   1 322   ,−   3 27 

a)



b)



c)



d)

(− 2, − 63) (− 2, 63)



e)

(0, 67 )

12) Determinar los puntos de inflexión de de inflexión

TEMA Nº 5



y = 3x 4 − 10 x 3 − 12 x 2 + 12 x − 7. Dar como respuesta un punto

3   0,−  2  1 2  ,−  3 3



a)



b)



c)



d)

(− 2, 0) (0, 2)



e)

No existe punto de inflexión

13) Hallar el valor máximo de la función siguiente en el intervalo dado:

a)

Max, ( = 9 ) en x = 0



b)

Max, ( = 0 ) en x = 9



c)

Max, ( = 3) en x = 0



d)

Max, ( = 5 ) en x = 2



e)

Max, ( = 2 ) en x = 5

14) Hallar el valor mínimo de la función siguiente en el intervalo dado:

a)

Min, ( = 4 ) en x = 0



b)

Min, ( = 0 ) en x = 0



c)

Min, ( = 3) en x = ±2



d)

Min, ( = 5 ) en x = 2



e)

Min, ( = 2 ) en x = 5

y = ( x − 3)2 en 0 ≤ x ≤ 4

y = 25 − 4 x 2

en 4 ≤

x ≤ 29

151

TEMA Nº 5

UNIDAD III

15) Hallar el valor máximo de la función:

Max, ( 5, 0 )



a)



b)

Max, ( 0, 5 )



c)

Max, ( 5, 3)



d)

Max, ( −5, 6 )



e)

Max, ( 5, 53)

x + sen 2 x x →0 x − sen 2 x

16) Calcular: lim

a)

-3



b)

0



c)

1



d)

3



e)

5

17) Calcular: lim

e x + e−x − x 2 − 2

x →0



a)

−



b)

−



c)



d)



e)

18) Calcular:

152

sen 2 x − x 2

3 2

1 2 1 − 4 3 2 1 2

lim

x →+ ∞



a)

-4



b)

0



c)

1



d)

7



e)

∞

2 + x2 x

y = 2 x 2 − 4 xy + 3 x 2 − 8 x + 8 x − 1

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

19) Calcular:

lim+ x sen x

a)

-1



b)

0



c)

1



d)

e



e)

∞

20) La intensidad de corriente por una bobina de resistencia R y coeficiente de autoinducción L, conectada a una fuerza electromotriz constante E viene dada, en función del tiempo t, por: i una fórmula de aplicación en el caso de que la resistencia R sea muy pequeña

a)



b)



c) d)

R →0

lim

R →0

lim

lim

R →0



e)

(

E 1 − e Rt R

/L

). Obtener

lim i =

R →0



E RL Et i= L E L i= R L i= R t E t i= L R

=

TEMA Nº 5



UNIDAD III

x →0

lim

R →0

..

153

154

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

UNIDAD IV

DERIVADAS PARCIALES DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD IV

•

Al finalizar la unidad, el estudiante manipula instrumentos, técnicas y fórmulas, para resolver ejercicios y problemas en entornos formales y físicos, utilizando las derivadas parciales en funciones de varias variables, identificando e interpretando los resultados.

155

ACTIVIDADES FORMATIVAS (habilidades y actitudes)

CONTENIDOS Tema Nº 1: Funciones y Limites de Varias Variables 1 Introducción 2 Funciones de varias variables 3 Límites y continuidad

Tema Nº 2: Derivadas de Funciones de Varias Variables 1 Derivadas parciales

• Utiliza instrumentos, técnicas y fórmulas, para aplicar las funciones y límites de varias variables. • Resuelve ejercicios de derivadas de funciones de varias variables utilizando el criterio de las derivadas parciales y sus propiedades • Trabaja individual y grupalmente resolviendo ejercicios y problemas de aplicación de contenidos

2 Linealización y diferenciales 3 Regla de la cadena

Tema Nº 3: Máximo y Mínimos de Funciones de Varias Variables 1 Extremos de funciones

multivariables 2 Método de mínimos cuadrados 3 Multiplicadores de Lagrange

SISTEMA DE EVALUACIÓN (Técnicas y Criterios) Procedimientos e indicadores de evaluación permanente: • Entrega puntual de los trabajos realizados • Calidad, coherencia y pertinencia de los contenidos desarrollados • Participa en actividades colaborativas y tutorizadas. Criterios de evaluación de capacidades matemáticas: • Identifica y diferencia las límites de una función de varias variables • Analiza las propiedades de las derivadas de funciones de varias variables • R  ealiza cálculos con máximo y mínimo de funciones de varias variables.

RECURSOS: VIDEOS: Tema Nº 1 Límite en Varias Variables https://www.youtube.com/watch?v=O3w8nIy2xWY Tema Nº 2 Derivada direccional y gradiente https://www.youtube.com/watch?v=QxeIAgd9f0M Tema Nº 3 Multiplicadores de Lagrange con dos restricciones https://www.youtube.com/watch?v=G9TWDQmzNPw

DIAPOSITIVAS ELABORADAS POR EL DOCENTE: Lectura complementaria: Lectura Seleccionada Nº 1 García, M. (2014). Historia del cálculo multivariable [sitio web]. Disponible en: http://es.slideshare.net/negag/historia-del-cálculomultivariable?from_action=save

156

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Instrumento de evaluación

Prueba de desarrollo Básica Larson, R. & Edwards, B.H. (2009). Cálculo Diferencial – Matematica I (8 ed.). México: Mc Graw Hill. Ubicación: Biblioteca UC: 515.1-L25-2006 Complementaria Anton (2009). Cálculo de una Variable. Trascendentes Tempranas (2 ed.). México: Limusa. Espinoza, E. (n.d.). Analisis Matematico I (4 ed.). Lima: Servicios Gráficos J.J. Hoffmann, Bradley & Rosen (2006). Cálculo Aplicado para Administración, Economia y Ciencias Sociales (8 ed.) México: Mc Graw Hill.

Bibliografía (Básica y Complementaria)

Howard, A. (2009). Cálculo de una Variable (2 ed.). México. Limusa Wiley. Larson, R. & Edwards, B.H. (2010). Cálculo Esencial (8 ed.). México: Cengage Learning. Larson, R. & Edwards, B.H. (2012). Cálculo de una Variable. (9 ed.). México: Mc Graw Hill. Leithold (2013). El Cálculo. 33. México: Editorial Oxford/Harla. Purcell, Varberg & Rigdon (2001). Cálculo. (8 ed.) México: Prentice Hall. Stewart, J. (2008). Cálculo: Trascendentes Tempranas. (6 ed.). México: Cengage Learning. Zill, D.G. & Wright, W.S. (2011). Cálculo de una Variable: Transcendentes Tempranas (4 ed.). China: Mc Graw Hill. Proyecto Matex ( 8 de julio de 2015). Límites y Continuidad. Recuperado de http:// personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_1/LimiContiC1.pdf

Recursos Educativos digitales

Sauce ( 8 de julio de 2015). Límites y Continuidad de Funciones. Recuperado de http:// sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T09.pdf Youtube ( 8 de julio de 2015). Límites de una Función Real. Recuperado de https:// www.google.com.pe/?gws_rd=ssl#q=LíMITES+de+una+funcion&tbm=vid

157

UNIDAD IV

TEMA Nº 1: FUNCIONES Y LíMITES DE VARIAS VARIABLES

TEMA Nº 1

1. INTRODUCCIÓN No siempre es posible expresar una magnitud como función matemática de una sola variable. Al contrario, las funciones de interés en ingeniería dependerán en general de un gran número de variables. Esta unidad está dedicada a extender a funciones de más de una variable los conceptos de límite y derivabilidad que ya hemos visto en una dimensión en las unidades anteriores. Empezaremos proporcionando ejemplos de magnitudes que se describen mediante funciones de varias variables y representaremos en tres dimensiones las funciones de dos variables. Cantidades de la vida cotidiana o económica o ciertas cantidades físicas dependen de dos o más variables. El volumen de una caja, V, depende del largo, x, del ancho, y, y de z la altura de la caja. Los costos de una empresa que fabrica dos tipos de artículos dependen de la cantidad de artículos de tipo I y la cantidad de artículos de tipo II que produce. La temperatura que tiene un gas depende del volumen que ocupa y de su presión.

2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Definición Veamos la definición formal de una función real de dos variables.

(

)

Sea D un conjunto de pares ordenados, x , y , de números reales, D ⊂ R 2. Una función real de dos variables reales es una regla que asigna a cada par ordenado x , y en D un único número real, denotado por f x , y .

(

)

(

)

El conjunto D es llamado el dominio de la función y el conjunto de todos los valores de la función es el rango de la función.

Observación: Cuando tenemos una función de dos variables se suele utilizar z para representar los valores de la función:. La variable z es la variable dependiente y x y y las variables independientes

Dominio Normalmente no se específica cual es el dominio de la función. Cuando éste es el caso tenemos que considerar el dominio implícito. El dominio implícito de una función de dos variables es el conjunto más amplio de donde tiene sentido evaluar la fórmula, y el resultado es un número real. Muchas veces este dominio se representa gráficamente. En el caso de dos variables la representación es una región en el plano.

158

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

sentido evaluar la fórmula, y el resultado es un número real. Muchas veces sentido evaluar fórmula, y el resultado En es un número este dominio se la representa gráficamente. el caso de real. dos Muchas variablesveces la este dominio se representa gráficamente. En el caso de dos variables la representación es una región en el plano. representación es una región en el plano.

Ejemplo 11 Ejemplo Ejemplo 1

UNIDAD IV

Sea 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑦𝑦) = �𝑦𝑦𝑦𝑦 + 4𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 4. Sea Sea 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑦𝑦) = �𝑦𝑦𝑦𝑦 + 4𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 4. a) Calcular Calculareleldominio dominio de a) def.f. Calcular dominio de .f. b)a)Calcule 𝑓𝑓𝑓𝑓(2el, 0), 𝑓𝑓𝑓𝑓( 1 , −1) b) b) Calcule Calcule .𝑓𝑓𝑓𝑓(2 , 0), 𝑓𝑓𝑓𝑓( 1 , −1) .

𝑦𝑦𝑦𝑦 + 4𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 4 ≥ 0

2 Así que el dominio es el conjunto de todas 𝑦𝑦𝑦𝑦 +las 4𝑥𝑥𝑥𝑥parejas − 4 ≥tales 0 que

que el dominio es el conjunto de todas las parejas ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑦𝑦 ) tales que MásAsí formalmente escribimos: Así que el dominio es el conjunto de todas las parejas ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑦𝑦 ) tales que

TEMA Nº 1

Solución Solución Solución a) La función está bien definida y es un número real cuando el radicando es a)mayor La función bienesto definida o igualestá a cero, es: y es un número real cuando el radicando es a) mayor La función está a bien definida es un número real cuando el radicando es mayor o igual a cero, esto es: o igual cero, estoyes:

𝑦𝑦𝑦𝑦 + 4𝑥𝑥𝑥𝑥 2 ≥ 4 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 4𝑥𝑥𝑥𝑥 2 ≥ 4

b)  La formalmente evaluación de funciones se hace de manera similar al caso de funciones de una sola variable. Por ejemMás escribimos: Más formalmente escribimos: plo para obtener el valor f (2,0) sustituimos el valor de x por 2 y el de y por 0. Así

b) La evaluación de funciones se hace de manera similar al caso de funciones b)deLauna evaluación de funciones se hace deobtener maneraelsimilar caso sustituimos de funciones sola variable. Por ejemplo para valor fal(2,0) unade sola variable. Pory ejemplo para obtener el valor f (2,0) sustituimos x por 2 y el de por 0. Así elde valor el valor de x por 2 y el de y por 0. Así

Ejemplo 2 Encuentre el dominio de la siguiente función y represéntelo gráficamente.

Ejemplo Solución 2 Ejemplo 2 Para que la el función estéde bien y sea un número real se tienegráficamente. que cumplir que entonces: Encuentre dominio la definida siguiente función y represéntelo Encuentre el dominio de la siguiente función y represéntelo gráficamente. Sabemos que la representación gráfica de esta región del plano es un semiplano por ser una desigualdad lineal. Solución Solución Para determinar el semiplano rápidamente, primero graficamos la recta punteada pues los puntos sobre la recta no satisface desigualdad. Para que lala función esté bien definida y sea un número real se tiene que Para que la función definida y sea un número real se tiene que > 0 , bien entonces: cumplir que 4𝑥𝑥𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑥𝑥esté cumplir que 4𝑥𝑥𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 > 0 , entonces:

Sabemos que la representación gráfica de esta región del plano es un Sabemos por que ser la representación gráfica estadeterminar región delelplano es un semiplano una desigualdad lineal.dePara semiplano semiplano por ser una desigualdad lineal. Para determinar el semiplano

128 128 159

TEMA Nº 1

UNIDAD IV

puntos sobre la recta no satisface la desigualdad.

Luego tomamos un punto de prueba fuera de la recta, si este punto satisface la desigualdad el semiplano es donde está este punto, en caso que no se cumpla la desigualdad el conjunto solución es el otro semiplano.

+ El punto escogido es defuera nuevo , 0) porque de la curva 4𝑥𝑥𝑥𝑥 −el2𝑦𝑦𝑦𝑦semiplano Luego tomamos un punto de prueba de (0 la recta, si esteestá puntofuera satisface la desigualdad es . Como el punto (0,0) satisface la desigualdad 4𝑥𝑥𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 > 0 , entonces 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 donde está este punto, en caso que no se cumpla la desigualdad el conjunto solución es el otro semiplano. el dominio de la función es el semiplano que contiene el origen. De nuevo 4𝑥𝑥𝑥𝑥la−curva 2𝑦𝑦𝑦𝑦 + .𝑥𝑥𝑥𝑥Como = 0 , elen forma insistimos, senuevo ha dibujado la recta El punto escogido es de porque está fuera de punto (0,0)punteada satisface lapara desigualdad , indicar que ella no pertenece al dominio de la función. entonces el dominio de la función es el semiplano que contiene el origen. De nuevo insistimos, se ha dibujado la recta en forma punteada para indicar que ella no pertenece al dominio de la función.

Gráfica una función de dos variablesde dos variables  de Gráfica de una función La grafica de una función de dos variables es el conjunto de puntos ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑦𝑦 , 𝑧𝑧𝑧𝑧 ) tales que 𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑓𝑓𝑓𝑓( 𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑦𝑦 ) ∧ 𝑥𝑥𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷𝐷𝐷 . Es decir,

𝐺𝐺𝐺𝐺𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑓𝑓𝑓𝑓 = �� 𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑦𝑦, 𝑓𝑓𝑓𝑓( 𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑦𝑦 )�� (𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑦𝑦) ∈ 𝐷𝐷𝐷𝐷�

La grafica La de una función dosfunción variablesde puede como una superficie S en el grafica de de una dos interpretarse variables 𝑧𝑧𝑧𝑧geométricamente = 𝑓𝑓𝑓𝑓( 𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑦𝑦 ) puede interpretarse espacio de tal forma que su proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. En consecuencia, a cada punto geométricamente como una superficie S en el espacio de tal forma que su (x,y) en D le corresponde un punto (x,y,z) en la superficie y, a la inversa, a cada punto (x,y,z) en la superficie le proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. En consecuencia, a cada corresponde un punto (x,y) en D. punto (x,y) en D le corresponde un punto (x,y,z) en la superficie y, a la inversa, a cada punto (x,y,z) en la superficie le corresponde un punto (x,y) en D.

129

160

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

3. LÍMITES Y CONTINUIDAD

Sea D un subconjunto de R y f : D → R, una función definida en D, y sea a en un punto de acumulación de D. Decimos que el límite de una función f cuando x se acerca a a es L ∈ R, y lo escribiremos lim f x = L si para cada > 0 hay un δ > 0 tal x→a que f x − L < si x ∈ D y 0 < d x.a < δ n

( )

UNIDAD IV

LIMITE

( ) ( )

TEMA Nº 1

Por ejemplo, si la función es de dos variables, esto significa que para un entorno de L, (L − , L + ), encontramos un disco de centro a tal que la imagen de todos los puntos del disco donde la función esté definida, diferentes del mismo a, está comprendida dentro de (L − , L + ).

CONTINUIDAD Intuitivamente, la definición de continuidad significa que la función no tiene saltos repentinos. Cuando tratamos con subconjuntos de ℝ, solo contamos con dos direcciones mediante las cuales un punto puede ser aproximado: desde la izquierda o desde la derecha. Sin embargo, cuando hay más variables la situación cambia, ya que tenemos muchas trayectorias posibles de aproximación. Esto, por un lado, marca una diferencia no trivial con respecto al caso de una variable y, por el otro, hace que la definición de límite sea más restrictiva, puesto que el límite se encuentra bien definido si, y solo si, existe para todas y cada una de las trayectorias posibles de aproximación.

161

UNIDAD IV

video Límite en Varias Variables https://www.youtube.com/watch?v=O3w8nIy2xWY

TEMA Nº 1

duración: 8.05 min

ACTIVIDAD FORMATIVA 1 ACTIVIDAD FORMATIVA 1

ACTIVIDAD FORMATIVA Nº 1

I. En los ejercicios siguientes, determine el dominio de f y dibuje su gráfica: I.I.  En En loslos ejercicios determineel el dominio f y dibuje su gráfica: ejerciciossiguientes, siguientes, determine dominio de fde y dibuje su gráfica:

II.

a) 𝑓𝑓𝑓𝑓 (𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑦𝑦) = �16 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 a) 𝑓𝑓𝑓𝑓 (𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑦𝑦) = �16 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 b) 𝑓𝑓𝑓𝑓 (𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑦𝑦) = 144 − 9𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 16𝑦𝑦𝑦𝑦 2 b) 𝑓𝑓𝑓𝑓 (𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑦𝑦) = 144 − 9𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 16𝑦𝑦𝑦𝑦 2 c) 𝑓𝑓𝑓𝑓 (𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑦𝑦) = 4𝑥𝑥𝑥𝑥 2 + 9𝑦𝑦𝑦𝑦 2 c) 𝑓𝑓𝑓𝑓 (𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑦𝑦) = 4𝑥𝑥𝑥𝑥 2 + 9𝑦𝑦𝑦𝑦 2 d) 𝑓𝑓𝑓𝑓 (𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑦𝑦) = �𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 d) 𝑓𝑓𝑓𝑓 (𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑦𝑦) = �𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 e) 𝑓𝑓𝑓𝑓 (𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑦𝑦) = �100 − 25𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 4𝑦𝑦𝑦𝑦 2 e) 𝑓𝑓𝑓𝑓 (𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑦𝑦) = �100 − 25𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 4𝑦𝑦𝑦𝑦 2

En los ejercicios, evalúe el límite mediante los teoremas de límites

II. En los ejercicios, evalúe el límite mediante los teoremas de límites

II. En los ejercicios, evalúe el límite mediante los teoremas de límites lim (3𝑥𝑥𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑦𝑦𝑦𝑦 2 ) a) a)

(𝑥𝑥𝑥𝑥,𝑑𝑑𝑑𝑑)→(−1,4)

c) c) d)

162

3𝑥𝑥𝑥𝑥−2𝑑𝑑𝑑𝑑

lim 𝑥𝑥𝑥𝑥+4𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝑥𝑥𝑥𝑥,𝑑𝑑𝑑𝑑)→(2,−1) 3𝑥𝑥𝑥𝑥−2𝑑𝑑𝑑𝑑 lim

(𝑥𝑥𝑥𝑥,𝑑𝑑𝑑𝑑)→(2,−1) 𝑥𝑥𝑥𝑥+4𝑑𝑑𝑑𝑑 3 d) lim 𝑦𝑦𝑦𝑦 �𝑥𝑥𝑥𝑥 3

+ 2𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦 �𝑥𝑥𝑥𝑥 3 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦

(𝑥𝑥𝑥𝑥,𝑑𝑑𝑑𝑑)→(−2,4)3

lim

(𝑥𝑥𝑥𝑥,𝑑𝑑𝑑𝑑)→(−2,4)

e) e)

lim (3𝑥𝑥𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑦𝑦𝑦𝑦 2 ) lim (5𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 ) (𝑥𝑥𝑥𝑥,𝑑𝑑𝑑𝑑)→(−1,4) lim (5𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 )

(𝑥𝑥𝑥𝑥,𝑑𝑑𝑑𝑑)→(2,3)

b)

b)

(𝑥𝑥𝑥𝑥,𝑑𝑑𝑑𝑑)→(2,3)

𝑥𝑥𝑥𝑥 4 −(𝑑𝑑𝑑𝑑−1)4

lim 4 2 4 2 𝑥𝑥𝑥𝑥 +(𝑑𝑑𝑑𝑑−1) (𝑥𝑥𝑥𝑥,𝑑𝑑𝑑𝑑)→(0,1) 𝑥𝑥𝑥𝑥 −(𝑑𝑑𝑑𝑑−1) lim 2 2

(𝑥𝑥𝑥𝑥,𝑑𝑑𝑑𝑑)→(0,1) 𝑥𝑥𝑥𝑥 +(𝑑𝑑𝑑𝑑−1)

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

UNIDAD IV

TEMA Nº 2: DERIVADAS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1. DERIVADAS PARCIALES

TEMA Nº 2

Suponga que tenemos una función f en dos variable x y y. Si dejamos una variable fija, por ejemplo la x, asumiendo un valor a y variamos la y, podemos ver en cierta manera que tenemos una función de una sola variable dada por . Podemos entonces considerar derivar g con respecto a su variable, el resultado es la derivada parcial de f con respecto a la variable y en (a, y) . o por la notación de Leibniz

A continuación establecemos la definición formal de derivadas parciales para funciones en dos variables:

Observación: El símbolo se lee derivada parcial de f con respecto a x. Si los valores de f son representados por z, esto es si entonces también usamos notaciones como para las derivadas parciales. Otras notaciones usadas para las derivadas parciales están dadas por , para referirse a las parciales con respecto a x y y respectivamente.

CÁLCULO DE DERIVADA PARCIALES Para calcular derivadas parciales nos valemos de las reglas existentes para una sola variable. Si por ejemplo queremos calcular ∂f/∂x consideramos a y como una constante y derivamos con respecto la x. Si queremos calcular ∂f/∂y se deriva con respecto a y manteniendo a x como una constante.

Ejemplo 1 Calcule

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥𝑥𝑥

Soluciòn

y

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑑𝑑𝑑𝑑

Primero calculamos como una constante

para 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑦𝑦) = 3𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 5𝑦𝑦𝑦𝑦 3 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥𝑥𝑥

. Derivamos como una suma, recuerde que y se comporta

163

Calcule

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥𝑥𝑥

Soluciòn

y

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

para 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑦𝑦) = 3𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 5𝑦𝑦𝑦𝑦 3

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑑𝑑𝑑𝑑

UNIDAD IV

SoluciònPrimero calculamos

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

. Derivamos como una suma, recuerde que y se comporta 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥𝑥𝑥 una constante Primero como calculamos . Derivamos como una suma, recuerde que y se comporta como una constante.

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑓𝑓𝑓𝑓 (3𝑥𝑥𝑥𝑥 2 ) − (4𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦) + = (5𝑦𝑦𝑦𝑦 3 ) 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥𝑥𝑥

TEMA Nº 2

3 seconstante, comporta En el segundo factor4ysacamos de factor constante. El término 5𝑦𝑦𝑦𝑦una En el segundo factor sacamos de factor 4y constante. El término se comporta como su derivada como una constante, su derivada es 0 es 0

Ahora calculamos Derivamos como una suma, recuerde que x se comporta como una constante

Ahora calculamos

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑑𝑑𝑑𝑑 como una constante

Derivamos como una suma, recuerde que x se comporta

En el segundo factor sacamos 4x de factor constante. El término se comporta como una constante, su derivada es 0

En el segundo factor sacamos 4x de factor constante. El término (3𝑥𝑥𝑥𝑥 2 ) se comporta como una constante, su derivada es 0

2. LINEALIZACIÓN Y DIFERENCIALES LINEALIZACION

(

)

Si una función es diferenciable en un punto x0 , y0 . , entonces la función: 2. LINEALIZACIÓN Y DIFERENCIALES

LINEALIZACION

(

)

(

)

(

)

se dice que es una linealización de f en x0 , y0 . Para un punto x , y cercano a x y la aproximación 0, 0 Si una función 𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑦𝑦) es diferenciable en un punto �𝑥𝑥𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦𝑦𝑦0 �, entonces la función: se denomina una aproximación lineal local de f en

(x

0,

y0 )

Ejemplose1 dice que es una linealización de f en �𝑥𝑥𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦𝑦𝑦0 �. Para un punto �𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑦𝑦� cercano a �𝑥𝑥𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦𝑦𝑦0 � la aproximación Encuentre una linealización de f x, y

(

)=

Soluciòn Las primeras derivadas parciales de f son

164

x 2 + y 2 en 4 , 3 ( )

134

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

4 3 y f y ( 4 , 3) = , se deduce que una linealización de f en 5 4

f ( 4 , 3) = 5 , f x ( 4 , 3) =

Sea

z = f ( x , y)

una función para la cual las primeras derivadas parciales

diferenciales de x y y son

f x y f y existen. Entonces las

. La diferencial de z,

TEMA Nº 2

DIFERENCIAL

UNIDAD IV

Utilizando los valores (4, 3) es

también se denomina diferencial total de z

Ejemplo 2 Si

z = x 2 − xy, entonces:

la diferencial total de la función es

3. REGLA DE LA CADENA y = f ( x)

Para derivar funciones compuestas de una sola variable podíamos usar la regla de la cadena. Si y x a su vez es una función de t, entonces podíamos pensar a y como función de t y para calcular su derivada lo podíamos hacer directamente por la regla de la cadena: a)

dy dy dx = . dt dx dt

En el caso de varias variables tenemos muchas situaciones. Veamos la primera.

Observación.- Note como se ha usado los signos

∂z de derivadas parciales cuando corresponde a una función ∂x

165

UNIDAD IV

de varias variable y la notación

dx cuando se refiere a la derivada de una función en una sola variable. dt

Ejemplo 1 Sean

z = y 2 x + 1 donde x ( t ) = t 3 − t y y ( t ) = t 2 − 2t + 4. Encontrar

dz dt

TEMA Nº 2

Soluciòn Por la regla de la cadena tenemos

Esta derivada la podemos expresar sólo en términos de t al hacer las sustituciones b)

(

)

2 x = t 3 − t y y = t − 2t + 4

2

t 2 − 2t + 4 dz = . 3t 2 − 1 + 2 t 2 − 2t + 4 3 3 dt 2 t − t +1

(

) (

Una segunda versión surge cuando tenemos

)

t 3 − t + 1. ( 2t − 2 )

z = f ( x, y ) pero ahora las variables x y y dependen de otras dos

variables u y v. Entonces podemos pensar que indirectamente z es función de u y v. Así que tiene sentido calcular las derivadas de z con respecto a u y a v. Formalmente tenemos:

En toda regla de la cadena tenemos tres tipos de variables: Las variables independientes, en este caso son u y v, las variables intermedias, en este caso x y y, y por último la variable dependiente, una sola y en este caso z. Normalmente las fórmulas de las distintas versiones de la regla de la cadena no se aprenden sino se

reconstruyen a partir de ciertas observaciones. Una importante es que toda regla de la cadena tiene tantos términos como variables intermedias. Otra observación importante es que si se quiere calcular por ejemplo ∂z , uno ∂v

de los términos de la fórmula de la regla de la cadena está asociado a la variable intermedia x y es fácilmente reconstruible, éste es ∂z . ∂x . Fíjese que si canceláramos, no se puede , obtenemos la expresión de la derivada ∂z deseada: . ∂v

∂x ∂u

Es útil recordar la regla de la cadena para

166

∂z a través del diagrama del árbol. Para construir el diagrama se colo∂v

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

UNIDAD IV

ca arriba la variable dependiente, en este caso z, luego las intermedias y en la última fila las variables independientes. Luego se establece todos los caminos que van de z a v. Las derivadas parciales involucradas en cada trayectoria se multiplican y por último se suman estos resultados.

TEMA Nº 2

Ejemplo 2 Sean

z = e x −3 y , x ( u , v ) = vu 3 − v y y ( u , v ) = u − 4v. Encontrar

∂z ∂z y ∂u ∂v

Solución Por la regla de la cadena tenemos

Y

167

UNIDAD IV

video Derivada direccional y gradiente https://www.youtube.com/watch?v=QxeIAgd9f0M

TEMA Nº 2

duración: 3.25 min.

ACTIVIDAD FORMATIVA Nº 2 I.  En los ejercicios calcule la derivada parcial considerando todas las variables, excepto una, como constantes y aplicando los teoremas para la derivación ordinaria:

(

f x, y c)

) = 4 y3 +

x2 + y 2

; D1 f ( x, y )

f (θ , ∅ ) = d)

sen3θ .cos 2∅ ; f∅ (θ , ∅ ) x2 ∂z y/ x z = e ln ; e) y ∂−y1/2 ∂u 2 2 2 f) u= x +y +z ; ∂u∂z g) u = arc tan ( xyzw ) ; ∂w

(

)

II. Suponga que la función de costos conjuntos de una empresa que elabora dos tipos de paraguas está dada por C ( q1 , q2 ) = q12 + 2q22 + 4q1q2 + 700. Se tiene planeado reducir la producción de los dos tipos de paraguas en los próximos meses de acuerdo a las fórmulas q1 = 150 − 3t y q2 = 100 − 2t donde t está medido en meses. Exprese la razón de cambio de los costos con respecto al tiempo. III. Usando la regla de la cadena, encuentre las derivadas indicadas de las funciones dadas 3 h) f ( x, y ) = x + ( y − 2 )

i) f ( x, y ) =

; x = r + 5t

x + y2 ; x = t 2 + t

w = xy − yz − x 2 yz ; x = t − 1 j)

;

;

y = 3r − 4t

y = t − 200

; y = 2t 3

;

;

df dt

∂f ∂t

; z = t2 +1 ;

∂w ∂w ∂w k) z = e x + y ; x = r + t ; y = u − 2t ; z = u − 2r 2 ; ; ; ∂u ∂r ∂t

168

dw dt

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

El desarrollo de la teoría de máximos y mínimos en funciones de varias variables es una extensión del caso de funciones de una sola variable.

Definición de extremo relativo.- Una función f en dos variables tiene un máximo relativo (local) en

( x0 , y0 )

si

f ( x0 , y0 ) ≥ f ( x , y )

TEMA Nº 3

1. EXTREMOS DE FUNCIONES MULTIVARIABLES

UNIDAD IV

TEMA Nº 3: MÁXIMO Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

para todo (x, y) en una región rectangu-

( x0 , y0 ) . Similarmente la función tiene un mínimo relativo en ( x0 , y0 ) si f ( x0 , y0 ) ≥ f ( x , y ) para todo (x, y) en una región rectangular que contenga a ( x0 , y0 ).

lar que contenga a

Los máximos relativos corresponden a los picos o cimas de las montañas y los mínimos relativos a los hoyos o pozos. En los picos, alguna de las dos derivadas parciales no existe y en los hoyos o cimas de la montaña las dos derivadas parciales son cero.

En todo este desarrollo supondremos que f es una función con derivadas parciales continuas.

(x

,y

)

0 0 . Observe En la siguiente figura se tiene la gráfica de una función que tiene un máximo absoluto en como las pendientes de las rectas tangentes en la dirección de ambos ejes son ceros, estas son las derivadas parciales con respecto a x y a y.

169

UNIDAD IV TEMA Nº 3

(

Teorema.- Si f tiene un máximo o un mínimo relativo en x , y 0 0 les existen en ese punto y en puntos cercanos a éste entonces:

De manera análoga a la teoría en una sola variable, si un punto que allí se alcance un extremo relativo.

) y las derivadas parcia-

 f ( x0 , y0 ) = 0 no implica  y ( x0 , y0 ) = 0

( x0 , y0 ) es tal que  f x

îíì =Pero estos puntos serán los únicos candidatos donde ocurran los máximos y mínimos relativos de la función

 f x ,y =0 ( x0 , y0 ) tal que  x ( 0 0 ) se lo denomina un punto crítico  f y ( x0 , y0 ) = 0 Si los extremos relativos de una función ocurren en un punto ( x0 , y0 ) tal que las derivadas parciales existen en puntos cercanos a este punto entonces éste es un punto crítico donde   f x ( x0 , y0 ) = 0   f y ( x0 , y0 ) = 0

Definición de puntos críticos.- Un punto de f

170

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

(

Llamaremos un punto de silla a un punto x0 , y0 no se alcanza ni un máximo ni un mínimo relativo.

) donde las derivadas parciales se hacen cero y sin embargo

UNIDAD IV

De manera similar al caso de funciones de una sola variable, existen funciones, como la silla de montar, donde las derivadas parciales son ceros en el punto crítico y sin embargo en ese punto no se alcanza ni un máximo ni un mínimo relativo. Observe que en la dirección y la función tiene un máximo y en la dirección x tiene un mínimo.

En el siguiente ejemplo nos dedicaremos sólo a conseguir los puntos críticos, sin clasificarlos en máximos o mínimos.

Encontrar los puntos críticos de la función

f ( x, y ) = x 2 + y 2 + xy − 2 y + 10

TEMA Nº 3

Ejemplo 1

Soluciòn: •

Conseguimos primero las derivadas parciales de primer orden:

•

Planteamos el sistema de ecuaciones

En este caso queda

 f x ( x0 , y0 ) = 0   f y ( x0 , y0 ) = 0

Este es un sistema de ecuaciones lineales. Podemos en este caso resolverlo con cualquiera de los métodos existente. Usamos el método de reducción. Multiplicamos por -2 la primera ecuación

y sumamos ambas ecuaciones para obtener:

Para encontrar y cuando x (1)

=−

2 sustituimos en (1) o (2), la que consideremos más fácil de resolver, escogemos 3

En conclusión el único punto crítico de la función es el punto

171

TEMA Nº 3

UNIDAD IV

2. MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

(

) (

) (

)

En ocasiones tenemos unos datos x1 , y1 , x2 , y2 …. xn , yn que al graficarlos parecen estar sobre una recta. También podemos tener motivos para pensar que nuestros datos provienen de una relación lineal y = ax + b, entre las variables pero que en el momento de tomar los datos se ven perturbados por fenómenos aleatorios. El planteamiento en todo caso es que dados los datos x1 , y1 , x2 , y2 …. xn , yn queremos conseguir la recta y = ax ˆ + bˆ, que mejor se ajuste a ellos. No vamos a conseguir la recta y = ax + b, sino vamos a proponer una estimación de ella: y = ax ˆ + bˆ.

(

) (

) (

Es difícil precisar que quiere decir la que mejor se ajusta, pero un criterio para conseguir una buena recta es la que minimiza la suma de las distancias verticales al cuadrado. Más precisamente: la distancia vertical del i-ésimo dato a la recta está dado por

yi − ( axi + b ) .

Así que para conseguir la mejor recta, debemos calcular a y b que minimizan

Observe que S es una función de a y b. Podemos conseguir una fórmula general para la pendiente y para la ordenada en el origen. Pero preferimos dejar planteado el sistema para conseguir los puntos críticos: Para las dos derivadas vamos a tener una suma Se puede sacar factor común -2 en la primera ecuación y luego este factor pasa dividiendo.

En la segunda ecuación se multiplica ambos miembro por -1.

172

)

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

En la primera ecuación se distribuyó

TEMA Nº 3

Se separó la sumatoria y se sacaron los factores constantes fuera de la sumatoria

UNIDAD IV

xi. En la segunda ecuación separamos la sumatoria.

Si llamamos el último sistema de ecuaciones queda planteado como:

ˆ y b las soluciones del sistema anterior, ellas estiman la pendiente y la ordenada en el origen de la Llamamos a recta y = ax + b. Esto es conocido como una regresión de y sobre x. ˆ

Veamos primero el procedimiento a través de los datos dados por el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1 Suponga que un producto tiene una ecuación de demanda lineal con respecto al precio q siguientes datos sobre su comportamiento en el mercado

= ap + b. Se tiene los

173

UNIDAD IV

Estime la ecuación de demanda usando el criterio de mínimos cuadrados, esto es, haga una regresión de q sobre p. Solución. Planteamos la ecuación de demanda como una relación lineal, esto es una recta. l)

q = ap + b

TEMA Nº 3

Debemos conseguir a y b que minimizan

Sustituimos nuestros datos

Vamos ahora a buscar los puntos críticos de S

Las soluciones dan

Así la ecuación de demanda es estimada en este caso por

3. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE En problemas de la vida real se busca maximizar o minimizar funciones de dos o más variables sujetas a una condición o restricción de las variables. El problema matemático en dos variables y con una sola restricción se plantea como

(Debemos entender que optimizar puede ser maximizar o minimizar dependiendo de la situación o interés que se tenga). La función tricción.

174

f ( x, y ) es conocida como la función objetivo y la ecuación g ( x, y ) = 0 como la ecuación de res-

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Este problema pudo ser resuelto despejando una de las variables de esta ecuación y sustituyéndola en la función a minimizar. El problema se reduce entonces a minimizar una función de dos variables.

UNIDAD IV

El problema de encontrar las dimensiones de la caja con menor superficie y con volumen igual a 250cc. se considera un problema de minimización sujeto a restricción. La restricción en este caso es que el volumen debe ser igual a 250cc. Y se traduce en la ecuación xyz = 250.

En ocasiones esta técnica puede resultar engorrosa o simplemente resulta imposible despejar alguna de las variables para sustituirla en la función a optimizar.

El método de los Multiplicadores de Lagrange introduce una nueva variable ge y se basa en la función definida por

El método asegura que cumple la restricción g

λ , llamada multiplicador de Lagran-

( x0 , y0 , λ0 ) es un punto crítico de F si y sólo si ( x0 ( x , y ) = 0.

TEMA Nº 3

Existe un método alternativo conocido como los Multiplicadores de Lagrange, en honor a este Matemático francés, donde no se tiene que despejar una de las variables de la ecuación de restricción.

, y0 ) es un punto crítico de f que

A continuación formulamos los pasos del método de los multiplicadores de Lagrange. Pasos para aplicar el Método de los Multiplicadores de Lagrange Paso 1.- Identifique bien la función a maximizar (minimizar) Escriba la ecuación de restricción en la forma g esta ecuación.

( x, y ) = 0, definiendo a g como el lado izquierdo de

Defina

Paso 2.- Calcular los puntos críticos de ecuaciones

F ( x , y , λ ).

Para ello plantee y resuelva el sistema de

(Una recomendación para resolver este sistema es despejar λ de la primera y segunda ecuación e igualar ambas ecuaciones, quedando entonces un sistema de dos ecuaciones en x y y, que son la obtenida y la ecuación F = 0.) λ

Paso 3.- (Se asume que el valor óptimo existe y se alcanza en alguno de los puntos críticos). Evaluar la función en los puntos críticos. El valor más alto (bajo) es el valor máximo (mínimo) en la restricción.

Ejemplo 1 Use los Multiplicadores de Lagrange para encontrar los puntos críticos de x 2 + y 2 = 1.

f ( x, y ) = xy sujeto a la condición

175

UNIDAD IV

Solución Paso 1.- La restricción la escribimos como

En este caso

g ( x, y ) = x 2 + y 2 − 1

TEMA Nº 3

Definimos la función.

Paso 2.- Encontramos los puntos críticos de

Aplicamos la recomendación dada para resolver este sistema (recuerde que simplemente es una recomendación, pudiendo haber alternativas más sencillas para resolver sistemas de ecuaciones particulares). Despejamos

λ

de la primera y segunda ecuación

e igualamos ambas ecuaciones

reescribiendo la ecuación queda entonces un sistema de dos ecuaciones en x y y, que son ésta y la ecuación

Fλ = 0

x 2 = y 2 en la segunda ecuación 2 y 2 = 1 cuyas soluciones son x = ± 2 2 2 tenemos , dando los puntos críticos  2 2  y  2 2  Para y = , ,     − 2 2  2 2 2     2  2  Para y = − 2 tenemos x = ± 2 , dando los puntos críticos  y  − 2 ,− 2  , −   2 2   2 2  2 2  Sustituimos

176

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Multiplicadores de Lagrange con dos restricciones https://www.youtube.com/watch?v=G9TWDQmzNPw

UNIDAD IV

video

duración: 11.32 min.

TEMA Nº 3

ACTIVIDAD FORMATIVA Nº 3 I.  Encontrar los puntos críticos de las siguientes funciones:

a)

f ( x, y, z ) = x 3 − y 3 − xz − yz



b)

f ( x, y, z ) = x 3 + y 3 − xz − yz



c)

f ( x, y, z ) = x 3 + y 3 + x − yz

II.

a) Encontrar los máximos y mínimos relativos de la siguiente función:

f ( x, y , z ) = e x

b) Verifique que g

2

+ 2 y 2 − xy +12 x

( x, y, z ) = x 2 + 2 y 2 − xy + 12 x alcanza sus extremos en los mismos puntos (x, y) que f.

III. Las ventas de carros de una marca x han ido aumentando en los últimos años según muestra la siguiente tabla donde las ventas son expresada en miles de unidades vendidas en el año



a) Haga una regresión de V sobre t contado a partir del año 1999.



b) Estime las ventas para el año 2010.

IV.

Use los Multiplicadores de Lagrange para encontrar los puntos críticos de:



sujeto a la condición

f ( x, y ) = x + y

xy = 9 177

UNIDAD IV

LECTURA SELECCIONADA Nº 1: Leer artículo: Historia del cálculo multivariable

TEMA Nº 3

García, M. (2014). Historia del cálculo multivariable [sitio web]. Disponible en: http://es.slideshare.net/ negag/historia-del-cálculo-multivariable?from_action=save

CUARTA PRUEBA DE DESARROLLO INSTRUCCIONES: Lea atentamente cada enunciado y resuelva consignando todo el procedimiento. La limpieza y el orden influirán en la calificación final. 1. Para la siguiente función, calcule todas las derivadas parciales de primer orden:

(4p)

z = xye xy

2. Suponga que se desea construir una caja rectangular. Para construir los lados laterales se empleará un 2 material cuyo costo es de S/ 1 el , para la2tapa se utilizará un material con costo de S/ 2 el m 2 y para el fondo el costo de material es de S/ 4 el . Si se dispone de S/ 36 ¿Cuáles son las dimensiones de la caja con mayor volumen? (4p)

m

3.  Sean:

z = x 2 + 2 xy ; x = r 2 − 5s

m

; y = 2t 3. Use la regla de la cadena para encontrar

∂z cuando ∂r

r = 3, s = 5 y t = 2 (4p) 4. Calcule y evalúe la derivada parcial indicada

(4p)

5. Encuentre, por el método de los Multiplicadores de Lagrange, los puntos críticos de la función sujeto a la restricción indicada. (4p)

178

(

)

f ( x, y ) = ln x 2 + 1 ,

x2 + y 2 = 1

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

C

UNIDAD IV

GLOSARIO DE LA UNIDAD IV

Cálculo multivariable El cálculo multivariable no es más que la extensión del cálculo infinitesimal a funciones escalares y vectoriales de varias variables, con todo lo que esta generalización conlleva

TEMA Nº 3

Coordenadas cartesianas en el espacio En el espacio existen tres ejes, un eje vertical y dos horizontales, considerando al plano xy como horizontal y z como vertical. Dichos ejes tienen secciones positivas y negativas por lo regular únicamente utilizamos las positivamente orientadas, en los cuales al ver hacia abajo el eje z se observa el plano xy . Se especifica un punto en el espacio mediante coordenadas (x,y,z) con respecto a los ejes ; primero comenzamos en el origen , avanzamos x unidades en el eje de las x , paralelamente avanzamos y unidades en el eje y y finalmente z unidades paralelas al eje z , las coordenada pueden ser positivas , cero o negativas.

D Derivada Parcial Una  derivada parcial de una  función  de diversas variables, es su  derivada  respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes.

F Función de dos variables  Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z.  

L Líneas o curvas de nivel Si tenemos una función de dos variables dada por z = f (x, y), entonces la gráfica de la ecuación f (x, y) = constante = c es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, c). Todos estos puntos tienen el mismo valor para la coordenada z, es decir, z = c. Por lo tanto todos esos puntos están a la misma altura sobre el plano xy, o sea que están “al mismo nivel” sobre el plano xy.

L Mínimos cuadrados lineales  Es el nombre de un método para encontrar los parámetros poblacionales en un modelo de regresión lineal. Este método minimiza la suma de las distancias verticales entre las respuestas observadas en la muestra y las respuestas del modelo. El parámetro resultante puede expresarse a través de una fórmula sencilla, especialmente en el caso de un único regresionador. Multiplicadores de Lagrange En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones.

179

UNIDAD IV

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD IV Básica

TEMA Nº 3

Larson, R. & Edwards, B.H. (2009). Cálculo Diferencial – Matematica I (8 ed.). México: Mc Graw Hill. Ubicación: Biblioteca UC: 515.1-L25-2006

Complementaria Anton (2009). Cálculo de una Variable. Trascendentes Tempranas (2 ed.). México: Limusa. Espinoza, E. (n.d.). Analisis Matematico I (4 ed.). Lima: Servicios Gráficos J.J. Hoffmann, Bradley & Rosen (2006). Cálculo Aplicado para Administración, Economia y Ciencias Sociales (8 ed.) México: Mc Graw Hill. Howard, A. (2009). Cálculo de una Variable (2 ed.). México. Limusa Wiley. Larson, R. & Edwards, B.H. (2010). Cálculo Esencial (8 ed.). México: Cengage Learning. Larson, R. & Edwards, B.H. (2012). Cálculo de una Variable. (9 ed.). México: Mc Graw Hill. Leithold (2013). El Cálculo. 33. México: Editorial Oxford/Harla. Purcell, Varberg & Rigdon (2001). Cálculo. (8 ed.) México: Prentice Hall. Stewart, J. (2008). Cálculo: Trascendentes Tempranas. (6 ed.). México: Cengage Learning. Zill, D.G. & Wright, W.S. (2011). Cálculo de una Variable: Transcendentes Tempranas (4 ed.). China: Mc Graw Hill.

180

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

z = f ( x, y ) es una función matemática. ¿Qué representan x e y?

1)  Si

UNIDAD IV

AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD IV

a) x e y representan las variables independientes b) x e y representan las variables dependientes

d) x e y representan las variables neutrales e) x e y no representan variables

TEMA Nº 3

c) x e y representan las variables paramétricas

2)  Determine el dominio de la siguiente función

Dom f = {( xy ) / x ≠ −2}



a)



b)

Dom f = {( x, y ) / x ≠ −1}



c)

Dom f = {( x, y ) / x ≠ 0}



d)

Dom f = {( x, y ) / x ≠ 1}



e)

Dom f = {( x, y ) / x ≠ 2}

3)

Determine el dominio de la siguiente función



a)



b)



c)



d)



e)

{( xy ) / x Dom h = {( xy ) / x Dom h = {( xy ) / x Dom h = {( xy ) / x Dom h = {( xy ) / x Dom h =

}

2

+ y 2 ≥ −1

2

+ y2 ≥ 0

2

+ y2

2

+ y2

2

+ y2

} ≥ 1} ≥ 2} ≥ 4}

4)  Para la siguiente función, calcule todas las derivadas parciales de primer orden



a)

∂z = −2 x ; ∂x

∂z 3 =− ∂y y



b)

∂z = −4 x ; ∂x

∂z 2 =− ∂y y 181

UNIDAD IV TEMA Nº 3



c)

∂z = −x ; ∂x

∂z 1 =− ∂y y



d)

∂z = 2x ; ∂x

∂z 3 =− ∂y y



e)

∂z = −2 x ; ∂x

∂z 3 = ∂y y

5)  Para la siguiente función, calcule todas las derivadas parciales de primer orden



a)

∂z 1 = + 2 y2 ; ∂x y

∂z 4 =− ∂y y



b)

∂z 1 = − 2 y2 ; ∂x y

∂z x = − 2 − 4 xy ∂y y



c)

∂z 1 = − + 2 y2 ; ∂x y



d)

∂z 4 = − 2 y2 ; ∂x y

∂z 2x = − 2 − 4 xy ∂y y



e)

∂z 3 = − − 2x ; ∂x y

∂z 3x = − 4 xy ∂y 2 y 2

6)

Evalúe la derivada parcial indicada



a)

110



b)

125



c)

143



d)

155



e)

175

∂z x = 2 + 4 xy ∂y y

7)  Evalúe la derivada parcial indicada

182

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

a)

−2.5



b)

−3.5



c)

−5.5



d)

−7.5



e)

−12.5

UNIDAD IV



TEMA Nº 3

8)  Una compañía elabora dos tipos de celulares, el básico y el sofisticado. La función de costos conjuntos está dada por

Donde x es el número de celulares básicos y y el número de celulares sofisticados a producir. Encuentre los costos marginales cuando se producen 500 celulares del tipo básico y 100 del otro tipo.

a)

C x ( 500,100 ) = 500 ; C y ( 500 ,100 ) = 2100



b)

C x ( 500,100 ) = 550 ; C y ( 500 ,100 ) = 2150



c)

C x ( 500,100 ) = 600 ; C y ( 500 ,100 ) = 2200



d)

C x ( 500,100 ) = 650 ; C y ( 500 ,100 ) = 2250



e)

C x ( 500,100 ) = 680 ; C y ( 500 ,100 ) = 2280

9)  Usando la regla de la cadena, encuentre la derivada indicada de la función dada

f ( x, y ) = x + y 2 ; x = t 2 + t ; y = t − 200 ;

a)

df 2t 2 + 4t + 1 = dt 2 x + y2



b)

df − 2t 2 − 4t + 1 = dt − 2 x + y2



c)

df 2t 2 + 4t − 1 = dt 2 − x + y 2



d)

df t 2 + 4t + 1 = dt x + y2



e)

df 2t 2 − 4t − 1 = dt − x + y2

df dt

183

TEMA Nº 3

UNIDAD IV

10)  Sean

z = x 2 + 2 xy ; x = r 2 − 5s ; y = 2t 3. Use la regla de la cadena para encontrar

r = 3, s = 5 y t = 2.

a)

∂z = −2 ∂r



b)

∂z = −1 ∂r



c)

∂z =0 ∂r



d)

∂z =2 ∂r



e)

∂z =4 ∂r

11)

Sean

y = x 2 (2 x − 3) ; x = t 2 − 2trs.

Encuentre

184

∂y cuando r = 0, s = 1 y t = −2 ∂t



a)

∂y = −288 ∂t



b)

∂y = 288 ∂t



c)

∂y = −188 ∂t



d)

∂y = 188 ∂t



e)

∂y = −88 ∂t

∂z cuando ∂r

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

a)

0.3π cm 2 / min



b)

0.7π cm 2 / min



c)

1.2π cm 2 / min



d)

1.8π cm 2 / min



e)

2.3π cm 2 / min

13)  La superficie de un envase cilíndrico está dado por S = 2π r + 2π rh. Estime el cambio en la superficie cuando el radio aumenta de 4 a 4.2 cm. y la altura aumenta de 9 a 9.4 cm 2



a)

110π cm 2



b)

112π cm 2



c)

114π cm 2



d)

115π cm 2



e)

116π cm 2

14)

La función de costos conjuntos de dos artículos viene dada por:



Calcule el costo de producir 120 unidades del artículo tipo 1 y 200 unidades del tipo 2.



a)

21000



b)

22000



c)

23500



d)

25000



e)

26000

TEMA Nº 3



UNIDAD IV

12) Un ceramista está haciendo un florero en forma de cilindro circular recto. Cuando tiene una forma con radio 6cm y altura 12cm cambia de dimensiones: la altura a una razón de 0.8cm/min y el radio disminuye a razón de 0.4cm/min. ¿A qué razón cambiará la superficie con tapa?

15) Las ecuación dada define a z como función de x y y. Encuentre la derivada parcial indicada por diferenciación parcial implícita



a)

∂z 3 y = ∂x 2 z



b)

∂z y = ∂x 2 z

185

UNIDAD IV TEMA Nº 3



c)

∂z 3 y = ∂x z



d)

∂z 4 y = ∂x 3 z



d)

4y ∂z =− ∂x 3z

16)

Evalúe la derivada parcialarcial indicada para los valores dados de las variables



a)

−1



b)

0



c)

1



d)

5



e)

7

17)

Evalúe la derivada parcial indicada para los valores dados de las variables

e xz + z − 3xy − y 2 = 1 ; ∂z / ∂y; ( x, y, z ) = ( 0, 2,5 )



a)

−1



b)

0



c)

1



d)

4



e)

6

18) Encuentre los puntos críticos de la siguiente función. Clasifíquelo e indique un punto crítico usando el criterio de la segunda derivada

186



a)



b)



c)



d)



e)

( −1;1) mínimo relativo ( −1;1) máximo relativo ( 1; 2 ) mínimo relativo ( 1; 2 ) máximo relativo ( 3; 4 ) máximo relativo

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

Encuentre el punto crítico de la siguiente función. Clasifíquelo usando el criterio de la segunda derivada



a)



b)



c)



d)



e)

( −2;1/ 2 ) ( −2;1/ 2 ) ( 2; −1/ 2 )

mínimo relativo

máximo relativo

UNIDAD IV

19)

mínimo relativo

20) Use los multiplicadores de Lagrange para determinar los máximos y mínimos de la siguiente función con las restricciones dadas. (Asuma que en los puntos críticos se alcanzan extremos de la función)



a)

f (1;1) = 2 mínimo relativo



b)

f (1;12) = máximo relativo



c)

f (2; 24) = mínimo relativo



d)

f (2;2)=4 máximo relativo



e)

f (3;4)=5 máximo relativo

TEMA Nº 3

( 2; −1/ 2 ) máximo relativo ( 3; 4 / 5) máximo relativo

187

UNIDAD IV ANEXO

ANEXO: CLAVE DE RESPUESTAS DE LAS AUTOEVALUACIONES AUTOEVALUACION N° 1 N° PREGUNTA

RESPUESTA

N° PREGUNTA

RESPUESTA

1

E

11

C

2

A

12

C

3

C

13

A

4

C

14

A

5

C

15

E

6

D

16

D

7

D

17

B

8

E

18

D

9

E

19

C

10

E

20

E

AUTOEVALUACION N° 2

188

N° PREGUNTA

RESPUESTA

N° PREGUNTA

RESPUESTA

1

C

11

A

2

D

12

D

3

A

13

E

4

C

14

D

5

A

15

C

6

C

16

E

7

E

17

A

8

C

18

A

9

A

19

A

10

B

20

C

Cálculo I MANUAL AUTOFORMATIVO

UNIDAD IV

AUTOEVALUACION N° 3 RESPUESTA

N° PREGUNTA

RESPUESTA

1

B

11

A

2

A

12

E

3

D

13

A

4

E

14

C

5

B

15

C

6

A

16

A

7

D

17

C

8

B

18

C

9

D

19

C

10

A

20

B

ANEXO

N° PREGUNTA

AUTOEVALUACION N° 4 N° PREGUNTA

RESPUESTA

N° PREGUNTA

RESPUESTA

1

A

11

A

2

C

12

D

3

E

13

C

4

A

14

A

5

B

15

A

6

E

16

C

7

D

17

D

8

A

18

D

9

A

19

C

10

C

20

A

189

E

ste manual autoformativo es el material didáctico más importante de la presente asignatura. Elaborado por el docente, orienta y facilita el auto aprendizaje de los contenidos y el desarrollo de las actividades propuestas en el sílabo.

Los demás recursos educativos del aula virtual complementan y se derivan del manual. Los contenidos multimedia ofrecidos utilizando videos, presentaciones, audios, clases interactivas, se corresponden a los contenidos del presente manual. La educación a distancia en entornos virtuales te permite estudiar desde el lugar donde te encuentres y a la hora que más te convenga. Basta conectarse al Internet, ingresar al campus virtual donde encontrarás todos tus servicios: aulas, videoclases, presentaciones animadas, biblioteca

de recursos, muro y las tareas, siempre acompañado de tus docentes y amigos. El modelo educativo de la Universidad Continental a distancia es innovador, interactivo e integral, conjugando el conocimiento, la investigación y la innovación. Su estructura, organización y funcionamiento están de acuerdo a los estándares internacionales. Es innovador, porque desarrolla las mejores prácticas del e-learning universitario global; interactivo, porque proporciona recursos para la comunicación y colaboración síncrona y asíncrona con docentes y estudiantes; e integral, pues articula contenidos, medios y recursos para el aprendizaje permanente y en espacios flexibles. Ahora podrás estar en la universidad en tiempo real sin ir a la universidad.

MANUALES AUTOFORMATIVOS