Unidad 4(2)

´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION ´ ´ DINAMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACION EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS

´ F´ISICA MECANICA Octavio Jos´e Ruiz Chim´a

UNIVERSIDAD DEL NORTE DEPARTAMENTO DE F´ISICA 2015

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION ´ ´ DINAMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACION EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS

´INDICE GENERAL 1

´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION ´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

2

´ ´ DINAMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACION TORCA ´ ANGULAR DE UN CR TORCA Y ACELERACION ´ DE UN CUERPO R´IGIDO SOBRE UN EJE MOVIL ´ ROTACION ´ TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ROTACION MOMENTO ANGULAR

3

EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS CONDICIONES DE EQUILIBRIO CENTRO DE GRAVEDAD

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION ´ ´ DINAMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACION EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS

´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

´ ANGULAR POSICION

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION ´ ´ DINAMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACION EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS

´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

DESPLAZAMIENTO ANGULAR

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION ´ ´ DINAMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACION EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS

´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

VELOCIDAD ANGULAR MEDIA

Definimos la velocidad angular media ωmed−z del cuerpo como la raz´on entre el desplazamiento angular ∆θ y el intervalo de tiempo ∆t durante el que ocurre el desplazamiento: ωmed−z =

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θ2 − θ1 ∆θ = t2 − t1 ∆t

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION ´ ´ DINAMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACION EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS

´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

´ VELOCIDAD ANGULAR INSTANTANEA La velocidad angular instant´ anea ωz es el l´ımite de ωmed−z cuando ∆t tiende a cero, es decir, la derivada de θ con respecto a t: ∆θ dθ ωz = l´ım = ∆t→0 ∆t dt

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION ´ ´ DINAMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACION EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS

´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

VELOCIDAD ANGULAR COMO VECTOR

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION ´ ´ DINAMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACION EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS

´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

´ ANGULAR MEDIA ACELERACION Definimos la aceleraci´ on angular media αmed−z en el intervalo ∆t = t2 − t1 como el cambio en la velocidad angular dividido entre ∆t: ∆ωz ω2z − ω1z = αmed−z = t2 − t1 ∆t

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION ´ ´ DINAMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACION EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS

´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

´ ANGULAR INSTANTANEA ´ ACELERACION

La aceleraci´ on angular instant´ anea αz es el l´ımite de αmed−z cuando ∆t tiende a cero: ∆ωz dωz = ∆t→0 ∆t dt

αz = l´ım

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION ´ ´ DINAMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACION EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS

´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

´ ANGULAR COMO VECTOR ACELERACION

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION ´ ´ DINAMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACION EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS

´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

´ ANGULAR VELOCIDAD Y ACELERACION Ejemplo La posici´on angular θ de un volante de 0.36m de di´ametro est´a dada por θ = (2· 0 rad/s3 )t3 a) Calcule θ, en radianes y en grados, en t1 = 2.0 s y t2 = 5.0 s. b) Calcule la distancia que recorre una part´ıcula en el borde del volante durante el intervalo t1 = 2.0 s a t2 = 5.0 s. c) Calcule la velocidad angular media, en rad/s y en rev/min, en ese intervalo. d) Calcule las velocidades angulares instant´aneas en t1 = 2.0 s y t2 = 5.0 s. e) Calcule la aceleraci´on angular media entre t1 = 2.0 s y t2 = 5.0 s. f) Calcule las aceleraciones angulares instant´aneas en t1 = 2.0 s y t2 = 5.0 s. ´ OCTAVIO RUIZ CHIMA

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION ´ ´ DINAMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACION EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS

´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

´ CON ACELERACION ´ ANGULAR ROTACION CONSTANTE

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´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

´ CON ACELERACION ´ ANGULAR ROTACION CONSTANTE Ejemplo Imagine que usted acaba de ver una pel´ıcula en Blu-ray y el disco se est´a deteniendo. La velocidad angular del disco en t = 0 es de 27.5 rad/s y su aceleraci´ on angular constante es de −10.0 rad/s2 . En la superficie del disco se encuentra una l´ınea P Q a lo largo del eje +x en t = 0. a) ¿Qu´e velocidad angular tiene el disco en t = 0.300s? b) ¿Qu´e ´angulo forma la l´ınea P Q con el eje +x en ese instante?

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´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

´ DE UN CUERPO RAPIDEZ LINEAL EN LA ROTACION R´IGIDO v = rω

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION ´ ´ DINAMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACION EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS

´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

´ LINEAL EN LA ROTACION ´ DE UN ACELERACION CUERPO R´IGIDO atan =

dv dw =r = rα dt dt

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´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

´ LINEAL EN LA ROTACION ´ DE UN ACELERACION CUERPO R´IGIDO arad =

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v2 = ω2r r

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´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

´ LINEAL EN LA ROTACION ´ DE UN ACELERACION CUERPO R´IGIDO Ejemplo Un lanzador de disco gira el disco en un c´ırculo con radio de 80.0cm. En cierto instante, el lanzador gira a 10.0 rad/s y la rapidez angular est´a aumentando a 50.0 rad/s2 . a) Calcule las componentes de aceleraci´on tangencial y centr´ıpeta del disco en ese instante, y la magnitud de la aceleraci´ on en ese instante. b) Si la rapidez angular se duplica mientras α permanece constante, calcule la magnitud de la aceleraci´on.

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´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

Energ´ıa cin´etica de rotaci´ on La energ´ıa cin´etica de rotaci´ on de un cuerpo r´ıgido que gira alrededor de un eje fijo depende de la rapidez angular ω y del momento de inercia I para ese eje de rotaci´ on: 1 K = Iω 2 2

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´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

MOMENTO DE INERCIA

Momento de inercia El momento de inercia I de un cuerpo alrededor de un eje dado es una medida de su inercia rotacional. Se expresa como una sumatoria de las part´ıculas mi que constituyen el cuerpo, cada una de las cuales est´a a una distancia perpendicular ri del eje. I = m1 r12 + m2 r22 + · · · =

X

mi ri2

i

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´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

MOMENTO DE INERCIA

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´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

´ ´ ENERG´IA CINETICA DE ROTACION

Ejemplo La h´elice de un avi´on tiene 2.08 m de longitud (de punta a punta) y masa de 117 kg, y gira a 2400 rpm (rev/min) alrededor de un eje que pasa por su centro. Trate a la h´elice como una varilla delgada. a) ¿Qu´e energ´ıa cin´etica de rotaci´ on tiene? b) Suponga que, debido a restricciones de peso, usted tuviera que reducir la masa de la h´elice al 75.0 de su masa original, pero siguiera requiriendo el mismo tama˜ no y la misma energ´ıa cin´etica. ¿Cu´al tendr´ıa que ser su rapidez angular en rpm? Resp. a) 1.33 × 106 J b) 2770 rpm

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´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

MOMENTO DE INERCIA Ejemplo La pieza de una m´aquina est´a formada por tres discos unidos por puntales ligeros. a) ¿Qu´e momento de inercia tiene este cuerpo con respecto a un eje que pasa por el centro del disco A y es perpendicular al plano del diagrama? b) ¿Qu´e momento de inercia tiene con respecto a un eje que pasa por el centro de los discos B y C? c) Si el cuerpo gira alrededor del eje que pasa por A con rapidez angular ω = 4.0 rad/s, ¿qu´e energ´ıa cin´etica tiene?

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´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

MOMENTO DE INERCIA Ejemplo Cuatro esferas peque˜ nas, que pueden considerarse como puntos con masa de 0.200 kg cada una, est´an colocadas en un cuadrado de 0.400 m de lado, conectadas por varillas muy ligeras. Calcule el momento de inercia del sistema alrededor de un eje a) que pasa por el centro del cuadrado, perpendicular a su plano (que pasa por O en la figura); b) que biseca dos lados opuestos del cuadrado (a lo largo de la l´ınea AB en la figura); c) que pasa por los centros de las esferas superior izquierda e inferior derecha y por el punto O. Resp. a) 0.0640 kg · m2 b) 0.0320 kg · m2 c) 0.0320 kg · m2

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´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

MOMENTO DE INERCIA

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´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

MOMENTO DE INERCIA Ejemplo La rueda de una carreta est´a construida como se muestra en la figura. El radio de la rueda es de 0.300 m y la masa de su borde es de 1.40 kg. Cada uno de sus ocho rayos que se encuentran sobre un di´ametro tiene 0.300 m de longitud, y una masa de 0.280 kg. ¿Qu´e momento de inercia tiene la rueda con respecto a un eje que pasa por su centro y es perpendicular a su plano? Resp. 0.193 kg · m2

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´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION Ejemplo Enrollamos un cable ligero y que no se estira en un cilindro s´olido de masa M y radio R. El cilindro gira con fricci´on despreciable alrededor de un eje horizontal fijo. Atamos el extremo libre del cable a un bloque de masa m y soltamos el bloque a partir del reposo a una distancia h sobre el piso. Conforme el bloque cae, el cable se desenrolla sin estirarse ni resbalar. a) Obtenga las expresiones para la rapidez del bloque que cae y la rapidez angular del cilindro cuando el bloque golpea el suelo. b) Suponga que el cilindro y el bloque tienen la misma masa, de manera que m = M . Justo antes de que el objeto golpee el piso, ¿cu´al es mayor: la energ´ıa cin´etica del bloque que cae o la energ´ıa cin´etica de rotaci´ on del cilindro? ´ OCTAVIO RUIZ CHIMA

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´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

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´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION Ejemplo En el sistema que se ilustra en la figura, una masa de 12.0 kg se suelta desde el reposo y cae, haciendo que el cilindro uniforme con masa de 10.0 kg y di´ametro de 30.0 cm gire en torno a un eje sin fricci´on que pasa por su centro. ¿Qu´e distancia deber´a descender la masa para impartir al cilindro 480 J de energ´ıa cin´etica? Resp. 13.9 m

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´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION Ejemplo Un cable ligero, y que no se estira, se enrolla alrededor de un cilindro s´olido con masa de 50 kg y 0.120 m de di´ametro, que gira alrededor de un eje fijo horizontal y est´a montado en cojinetes sin fricci´on. Una fuerza constante de 9.0N tira del extremo libre del cable una distancia de 2.0 m, haciendo girar el cilindro conforme se desenrolla sin resbalar. Si el cilindro est´a inicialmente en reposo, calcule su rapidez angular final y la rapidez final del cable. Resp. ω = 20rad/s; v = 1.2 m/s

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION Ejemplo Un alambre ligero y delgado se enrolla alrededor del borde de una rueda, como se muestra en la figura. La rueda gira sin fricci´on alrededor de un eje horizontal fijo que pasa por su centro. La rueda es un disco uniforme de radio R = 0.280 m. Del extremo libre del alambre se encuentra suspendido un objeto de m = 4.20 kg. El sistema se libera del reposo y el objeto desciende con aceleraci´on constante una distancia de 3.00 m en 2.00 s. ¿Cu´al es la masa de la rueda? Resp. 46.5 kg

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION Ejemplo Unos ingenieros est´an dise˜ nando un sistema en el que una masa m, al caer, imparte energ´ıa cin´etica a un tambor uniforme giratorio, al cual est´a unida con un alambre delgado y muy ligero que est´a enrollado alrededor del borde del tambor . No hay fricci´ on considerable en el eje del tambor y todo el sistema parte del reposo. Este sistema se prob´o en la Tierra, pero debe utilizarse en Marte, donde la aceleraci´on debida a la gravedad es de 3.71 m/s2 . En las pruebas en la Tierra, cuando m es de 15.0 kg y se le permite descender una distancia de 5.00 m, imparte 250.0 J de energ´ıa cin´etica al tambor. a) Si el sistema se opera en Marte, ¿qu´e distancia tendr´ıa que descender la masa de 15.0 kg para impartir la misma cantidad de energ´ıa cin´etica al tambor? b) ¿Con qu´e rapidez se mover´a la masa de 15.0 kg en Marte justo cuando el tambor gane 250.0 J de energ´ıa cin´etica? ´ OCTAVIO RUIZ CHIMA

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION Ejemplo La polea de la figura tiene radio R y momento de inercia I. La cuerda no resbala sobre la polea y esta gira sobre un eje sin fricci´on. El coeficiente de fricci´ on cin´etica entre el bloque A y la mesa es µk . El sistema se suelta del reposo y el bloque B desciende. El bloque A tiene masa mA ; y la de B es mB . Use m´etodos de energ´ıa para calcular la rapidez de B en funci´ on de la distancia d que ha descendido.

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION Ejemplo La polea de la figura tiene 0.160 m de radio y su momento de inercia es de 0.560 kg · m2 . La cuerda no resbala en la polea y el sistema se suelta desde el reposo. Use m´etodos de energ´ıa para calcular la rapidez del bloque de 4.00 kg justo antes de golpear el piso. Resp. 2.65 m/s

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION Ejemplo Dos discos met´alicos, con radios R1 = 2.50 cm y R2 = 5.00 cm, y masas M1 = 0.80 kg y M2 = 1.60 kg, se sueldan y se montan en un eje sin fricci´on que pasa por el centro com´ un. a) ¿Qu´e momento de inercia total tienen los discos? b) Una cuerda ligera se enrolla en el extremo del disco m´as chico y del extremo libre de la cuerda se cuelga un bloque de 1.50 kg. Si el bloque se suelta del reposo a una altura de 2.00 m sobre el piso, ¿qu´e rapidez tiene justo antes de golpear el piso? c) Repita el inciso b), pero ahora con la cuerda enrollada en el borde del disco grande. ¿En qu´e caso el bloque alcanza mayor rapidez? Explique su respuesta. Resp. a) 2.25 × 10−3 kg · m2 b) 3.40 m/s c) 4.95 m/s ´ OCTAVIO RUIZ CHIMA

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ENERG´IA POTENCIAL GRAVITACIONAL DE UN CUERPO EXTENSO

Energ´ıa potencial gravitacional Si la aceleraci´on de la gravedad g es la misma en todos los puntos del cuerpo, la energ´ıa potencial gravitacional es igual que si toda la masa estuviera concentrada en el centro de masa del cuerpo. U = M gycm

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ENERG´IA POTENCIAL GRAVITACIONAL DE UN CUERPO EXTENSO

Ejemplo Una escalera uniforme de 2.00 m de longitud y masa de 9.00 kg est´a apoyada contra un muro vertical formando un ´angulo de 53.0◦ con el piso. Un trabajador empuja la escalera contra la pared hasta que queda vertical. ¿Cu´al es el aumento de la energ´ıa potencial gravitacional de la escalera? Resp. WGrav = −17.7 J

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TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Teorema de los ejes paralelos Ip = Icm + M d2

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´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS

Ejemplo Considere una barra r´ıgida uniforme de masa M y longitud L. a) Encuentre el momento de inercia de la barra en torno a un eje perpendicular a la barra a trav´es de un extremo. b) Calcule el momento de inercia de la barra alrededor de un eje perpendicular que pasa por el punto x = L4 .

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION ´ ´ DINAMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACION EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS

´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS

Ejemplo Calcule el momento de inercia de un aro (anillo hueco de paredes delgadas) con masa M y radio R, alrededor de un eje perpendicular al plano del aro y que pasa por el borde. Resp. I = 2M R2

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´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Ejemplo Se cuelga un aro delgado de radio R de un clavo. El aro se desplaza lateralmente (dentro de su plano) un ´angulo β con respecto a su posici´on de equilibrio y se suelta. ¿Qu´e rapidez angular tiene al volver p a su posici´on de equilibrio? Resp. ω = g(1 − cosβ)/R

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´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Ejemplo Una placa met´alica rectangular delgada tiene lados que miden a y b y una masa M . Use el teorema de los ejes paralelos para calcular el momento de inercia de la l´amina alrededor de un eje perpendicular al plano de la placa y que pasa por una esquina de esta. Resp. I = 13 M (a2 + b2 )

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TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Ejemplo a) Para la placa rectangular delgada que se muestra en la figura, calcule el momento de inercia en torno a un eje que est´a en el plano de la placa, pasa por el centro de esta y es paralelo al eje que se muestra en la figura. b) Calcule el momento de inercia de la placa en torno a un eje que est´a en el plano de la placa, pasa por el centro 1 M a2 de esta y es perpendicular al eje del inciso a). Resp. a) I = 12 1 2 b) I = 12 M b

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´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Ejemplo Una varilla delgada uniforme de masa M y longitud L se dobla por su centro de manera que los dos segmentos son ahora perpendiculares entre s´ı. Determine el momento de inercia alrededor de un eje perpendicular a su plano y que pasa por a) el punto donde se cruzan los dos segmentos y b) el punto medio de la recta que conecta los 1 1 dos extremos. Resp. a) I = 12 M L2 b) I = 12 M L2

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TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS

Ejemplo Una varilla uniforme delgada se dobla formando un cuadrado de lado a. Si la masa total es M , calcule el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por el centro y es perpendicular al plano del cuadrado. (Sugerencia: Use el teorema de los ejes paralelos). Resp. I = 13 M a2

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TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Ejemplo La pieza de un acoplamiento mec´anico tiene una masa de 3.6 kg. Su momento de inercia IP alrededor de un eje que pasa a 0.15 m de su centro de masa es IP = 0.132 kgm2 . Calcule el momento de inercia Icm alrededor de un eje paralelo que pasa por el centro de masa.

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´ CALCULOS DE MOMENTO DE INERCIA

Distribuci´on continua de masa Z

I=

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r2 dm

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´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERG´IA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

´ CALCULOS DE MOMENTO DE INERCIA Ejemplo Usando integraci´on, calcule el momento de inercia de una varilla delgada uniforme con masa M y longitud L alrededor de un eje en un extremo, perpendicular a la varilla.

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´ CALCULOS DE MOMENTO DE INERCIA Ejemplo Usando integraci´on, calcule el momento de inercia de una barra r´ıgida uniforme de longitud L y masa M en torno a un eje perpendicular a la barra (el eje y) y que pasa a trav´es de su centro de masa.

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´ CALCULOS DE MOMENTO DE INERCIA Ejemplo La figura muestra un cilindro hueco con densidad uniforme de masa r, longitud L, radio interior R1 y radio exterior R2 . (Podr´ıa ser el cilindro de acero de una imprenta. Usando integraci´on, calcule el momento de inercia alrededor del eje de simetr´ıa del cilindro.

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TORCA

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TORCA ´ ANGULAR DE UN CR TORCA Y ACELERACION ´ DE UN CUERPO R´IGIDO SOBRE UN EJE MOVIL ´ ROTACION ´ TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ROTACION MOMENTO ANGULAR

TORCA Magnitud ~ act´ Cuando una fuerza F ua sobre un cuerpo, la torca de esa fuerza con respecto a un punto O tiene una magnitud dada por el producto de la magnitud de la fuerza F y el brazo de palanca l: τ = Fl

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TORCA ´ ANGULAR DE UN CR TORCA Y ACELERACION ´ DE UN CUERPO R´IGIDO SOBRE UN EJE MOVIL ´ ROTACION ´ TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ROTACION MOMENTO ANGULAR

TORCA Vector ~ act´ Cuando una fuerza F ua en un punto que tiene un vector de posici´on ~r con respecto a un origen O, la torca ~τ de la fuerza con respecto a O es la cantidad vectorial: ~ ~τ = ~r × F

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TORCA

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TORCA

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TORCA Ejemplo Para aflojar una junta de tuber´ıa, un plomero aficionado ensarta un pedazo de tubo (una extensi´ on) en el mango de su llave. Se coloca de pie en el extremo del tubo, aplicando todo su peso de 900 N en un punto a 0.80 m del centro de la junta. El mango de la llave y la extensi´on forman un ´angulo de 19◦ con la horizontal. Encuentre la magnitud y direcci´on de la torca que se aplica en torno al centro de la junta.

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TORCA Ejemplo A un cilindro de una pieza se le da la forma que se muestra en la figura, con una secci´ on central que sobresale desde el cilindro m´as grande. El cilindro es libre de dar vuelta en torno al eje central que se muestra en el dibujo. Una soga enrollada en torno al tambor, que tiene radio R1 , ejerce una fuerza T1 hacia la derecha sobre el cilindro. Una soga enrollada en torno a la parte central, que tiene radio R2 , ejerce una fuerza T2 hacia abajo sobre el cilindro. a) ¿Cu´al es el momento de torsi´ on neto que act´ ua en el cilindro en torno al eje de rotaci´on? b) Suponga T1 = 5.0 N , R1 = 1.0 m, T2 = 15.0 N y R2 = 0.50 m. ¿Cu´al es el momento de torsi´ on neto en torno al eje de rotaci´on, y de qu´e forma da vuelta el cilindro si parte desde el reposo? ´ OCTAVIO RUIZ CHIMA

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TORCA

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TORCA ´ ANGULAR DE UN CR TORCA Y ACELERACION ´ DE UN CUERPO R´IGIDO SOBRE UN EJE MOVIL ´ ROTACION ´ TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ROTACION MOMENTO ANGULAR

TORCA Autoevaluaci´on Calcule la torca (magnitud y direcci´ on) alrededor del punto O debida a la fuerza en cada una de las situaciones que se representan en la figura. En todos los casos, la fuerza y la varilla est´an en el plano de la p´agina, la varilla mide 4.00 m de largo y la fuerza tiene magnitud F = 10.0N . Resp. a) 40.0N m b) 34.6N m c) 20.0N m d) 17.3N m e) 0 f) 0

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TORCA Autoevaluaci´on Calcule la torca resultante alrededor del punto O para las dos fuerzas aplicadas. La varilla y las dos fuerzas est´an en el plano de la p´agina. Resp. τ = −28.0 N m

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TORCA Autoevaluaci´on Una placa met´alica cuadrada de 0.180 m por lado pivota sobre un eje que pasa por el punto O en su centro y es perpendicular a la placa. Calcule la torca neta alrededor de este eje debida a las tres fuerzas que se muestran en la figura, si las magnitudes de las fuerzas son F1 = 18.0 N , F2 = 26.0 N y F3 = 14.0 N . La placa y todas las fuerzas est´an en el plano de la p´agina. Resp. τ = 2.50 N m

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TORCA Autoevaluaci´on Se aplican tres fuerzas a una rueda con radio de 0.350 m, como se indica en la figura. Una fuerza es perpendicular al borde, otra es tangente a este y la otra forma un ´angulo de 40.0◦ con el radio. ¿Cu´al es la torca neta sobre la rueda debida a estas tres fuerzas para un eje perpendicular a la rueda y que pasa por su centro? Resp. τ = −0.31 N m

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TORCA Autoevaluaci´on ~ B, ~ C ~ y D ~ tienen cada una 50 N de En la figura, las fuerzas A, magnitud y act´ uan en el mismo punto en el objeto. a) ¿Qu´e torca (magnitud y direcci´on) ejercen cada una de estas fuerzas sobre el objeto sobre el punto P ? b) ¿Cu´al es la torca total sobre el punto P ? Resp. a) τA = 8.7 N m, τB = 0, τC = −5.0 N m, τD = −10.0 N m b) τ = −6.3 N m

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TORCA Autoevaluaci´on Un maquinista usa una llave inglesa para aflojar una tuerca. La llave tiene 25.0 cm de longitud y ´el ejerce una fuerza de 17.0 N en el extremo del mango, formando un ´angulo de 37◦ con el mango. a) ¿Qu´e torca ejerce el maquinista alrededor del centro de la tuerca? b) ¿Cu´al es la torca m´axima que el maquinista podr´ıa ejercer con esta fuerza y c´omo deber´ıa orientarse la fuerza? Resp. a) τA = 2.56 N m b) τ = 4.25 N m

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´ ANGULAR TORCA Y ACELERACION An´alogo rotacional de la segunda ley de Newton La torca neta que act´ ua sobre un cuerpo r´ıgido es igual al momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rotaci´ on multiplicado por su aceleraci´on angular: X

τz = Iαz

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´ ANGULAR TORCA Y ACELERACION Ejemplo Una barra uniforme de longitud L y masa M unida en un extremo a un pivote sin fricci´on es libre de dar vueltas en torno al pivote en el plano vertical, como en la figura. La barra se libera desde el reposo en la posici´on horizontal. ¿Cu´ales son la aceleraci´ on angular inicial de la barra y la aceleraci´ on traslacional inicial de su extremo r´ıgido? Si se coloca una moneda en el extremo de la barra y despu´es se libera la barra, ¿la moneda permanecer´ıa en contacto con la barra?

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´ ANGULAR TORCA Y ACELERACION

Ejemplo Enrollamos un cable ligero y que no se estira en un cilindro s´olido de masa M y radio R. El cilindro gira con fricci´on despreciable alrededor de un eje horizontal fijo. Atamos el extremo libre del cable a un bloque de masa m y soltamos el bloque a partir del reposo a una distancia h sobre el piso. Conforme el bloque cae, el cable se desenrolla sin estirarse ni resbalar. ¿Cu´ales son la aceleraci´on del bloque que cae y la tensi´ on en el cable?

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´ ANGULAR TORCA Y ACELERACION

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´ Y ROTACION ´ COMBINADAS TRASLACION

Cuerpo r´ıgido con traslaci´ on y rotaci´ on Si un cuerpo r´ıgido se mueve en el espacio al tiempo que gira, su movimiento puede considerarse como la suma de un movimiento de traslaci´ on del centro de masa y un movimiento de rotaci´on en torno a un eje que pasa por el centro de masa. De esta manera, la energ´ıa cin´etica es la suma de las energ´ıas cin´eticas traslacional y rotacional: 1 1 2 K = M vcm + Icm ω 2 2 2

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´ Y ROTACION ´ COMBINADAS TRASLACION

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´ Y ROTACION ´ COMBINADAS TRASLACION Condici´ on para rodar sin resbalar vcm = Rω

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´ Y ROTACION ´ COMBINADAS TRASLACION

Ejemplo Se hace un yoyo enrollando una cuerda con masa despreciable varias veces alrededor de un cilindro s´ olido de masa M y radio R. Se sostiene el extremo de la cuerda fija mientras se suelta el cilindro desde el reposo. La cuerda se desenrolla sin resbalar ni estirarse conforme el cilindro cae y gira. Use consideraciones de energ´ıa para calcular la rapidez vcm del centro q de masa del cilindro despu´es de caer una distancia h. Resp. vcm = 43 gh

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´ Y ROTACION ´ COMBINADAS TRASLACION

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´ Y ROTACION ´ COMBINADAS TRASLACION Ejemplo Para el yoyo del ejemplo anterior, calcule la aceleraci´on hacia abajo del cilindro y la tensi´on en la cuerda. Resp. acm−y = 32 g, T = 13 M g

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´ Y ROTACION ´ COMBINADAS TRASLACION Ejemplo Una bola de bolos s´olida rueda sin resbalar bajando por una rampa que est´a inclinada un ´angulo β con la horizontal. ¿Qu´e aceleraci´on tiene la bola y cu´al es la magnitud de la fuerza de fricci´on sobre esta? Trate la bola como esfera s´ olida uniforme, despreciando los agujeros. Resp. acm−x = 75 gsenβ, f = 27 M gsenβ

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´ Y ROTACION ´ COMBINADAS TRASLACION Ejemplo Un cilindro s´olido uniforme de masa M y radio 2R descansa en una mesa horizontal. Se ata una cuerda mediante un yugo a un eje sin fricci´on que pasa por el centro del cilindro, de modo que este pueda girar sobre el eje. La cuerda pasa por una polea con forma de disco de masa M y radio R, que est´a montada en un eje sin fricci´on que pasa por su centro. Un bloque de masa M se suspende del extremo libre del hilo. La cuerda no resbala en la polea, y el cilindro rueda sin resbalar sobre la mesa. Si el sistema se libera del reposo, determine: a) La magnitud de la aceleraci´ on del bloque. b) Las tensiones sobre el bloque y sobre el centro de masa del cilindro. c) La aceleraci´on angular del cilindro y de la polea. d) La velocidad final del bloque cuando haya descendido una altura h. Resp. a) a = 31 g b) T2 = 23 M g, q

T1 = 12 M g c) αC =

g 6R ,

αP =

g 3R

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d) v =

2 3 gh

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´ Y ROTACION ´ COMBINADAS TRASLACION

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION ´ ´ DINAMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACION EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS

TORCA ´ ANGULAR DE UN CR TORCA Y ACELERACION ´ DE UN CUERPO R´IGIDO SOBRE UN EJE MOVIL ´ ROTACION ´ TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ROTACION MOMENTO ANGULAR

´ Y ROTACION ´ COMBINADAS TRASLACION Ejemplo Una esfera hueca uniforme de masa ME = 5.0 kg y radio RE = 50 cm, gira libre de fricci´ on en torno a un eje vertical que pasa por su centro de masa O. Una cuerda de masa despreciable pasa alrededor del ecuador de la esfera, sobre una polea uniforme de masa MP = 2.0 kg y radio RP = 25 cm, y por u ´ltimo est´a unida a una masa puntual m = 1.0 kg que puede caer verticalmente. Halle: a) Las tensiones T1 y T2 b) La aceleraci´ on angular de la esfera y de la polea. c) El valor de la aceleraci´ on lineal del sistema. d) Si el sistema parte del reposo, calcule la velocidad final de la masa m cuando haya descendido una altura h = 50cm. Resp. a) T1 = 6.2N , T2 = 8.1 N b) αE = 3.7 rad/s2 , αP = 7.4 rad/s2 c) a = 1.9 m/s2 d) v = 1.4 m/s ´ OCTAVIO RUIZ CHIMA

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TORCA ´ ANGULAR DE UN CR TORCA Y ACELERACION ´ DE UN CUERPO R´IGIDO SOBRE UN EJE MOVIL ´ ROTACION ´ TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ROTACION MOMENTO ANGULAR

´ Y ROTACION ´ COMBINADAS TRASLACION

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TORCA ´ ANGULAR DE UN CR TORCA Y ACELERACION ´ DE UN CUERPO R´IGIDO SOBRE UN EJE MOVIL ´ ROTACION ´ TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ROTACION MOMENTO ANGULAR

´ Y ROTACION ´ COMBINADAS TRASLACION Ejemplo La figura muestra un bloque de masa m que puede ser modelado como una part´ıcula. Una polea cil´ındrica homog´enea, de masa Mp y radio Rp , que rota alrededor de un eje fijo y sin fricci´on que pasa por su centro de masa (punto O). Un cilindro, tambi´en homog´eneo, de masa Mc y radio Rc , que rueda sin deslizar sobre un plano inclinado un ´angulo θ. El bloque est´a conectado al cilindro mediante una cuerda inextendible y de masa despreciable, atada mediante un yugo, a un eje sin fricci´on que pasa por el centro de masa del cilindro (punto A). La cuerda en cuesti´ on no resbala sobre la polea. Si el sistema se libera desde el reposo, calcule: a) La aceleraci´ on del bloque. b) Las tensiones sobre el bloque y sobre el centro de masa del cilindro. ´ OCTAVIO RUIZ CHIMA

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TORCA ´ ANGULAR DE UN CR TORCA Y ACELERACION ´ DE UN CUERPO R´IGIDO SOBRE UN EJE MOVIL ´ ROTACION ´ TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ROTACION MOMENTO ANGULAR

´ Y ROTACION ´ COMBINADAS TRASLACION

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION ´ ´ DINAMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACION EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS

TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ´ ROTACION Trabajo efectuado por una torca Si una torca act´ ua sobre un cuerpo r´ıgido que gira, ´esta efect´ ua trabajo sobre el cuerpo: Z θ2

W =

τz dθ θ1

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TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ´ ROTACION

Trabajo efectuado por una torca constante Si la torca es constante y el ´angulo cambia en una cantidad finita: W = τz (θ2 − θ1 ) = τz ∆θ

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TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ´ ROTACION

El teorema trabajo-energ´ıa El trabajo rotacional total efectuado sobre un cuerpo r´ıgido es igual al cambio de energ´ıa cin´etica de rotaci´ on: Z ω2

Wtot = ω1

1 1 Iωz dωz = Iω22 − Iω12 2 2

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TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ´ ROTACION

Potencia Si una torca τz (con respecto al eje de rotaci´ on) act´ ua sobre un cuerpo que gira con velocidad angular ωz , su potencia (rapidez con que efect´ ua trabajo) es: P = τz ωz

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TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ´ ROTACION

Ejemplo Un motor el´ectrico ejerce una torca constante de 10 N m sobre una piedra de afilar que tiene un momento de inercia de 2.0 kg · m2 . El sistema parte del reposo. Calcule el trabajo W efectuado por el motor en 8.0 s y la energ´ıa cin´etica K en ese lapso. ¿Qu´e potencia media Pmed desarroll´o el motor?

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MOMENTO ANGULAR Momento angular de una part´ıcula El momento angular de una part´ıcula con respecto a un punto O es el producto vectorial del vector de posici´ on ~r de la part´ıcula con respecto a O y su momento lineal ~p = m~v : ~L = ~r × ~p = ~r × m~v

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MOMENTO ANGULAR

Momento angular de una part´ıcula La rapidez de cambio del momento angular de una part´ıcula es igual a la torca de la fuerza neta que act´ ua sobre ella: d~L = ~τ dt

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MOMENTO ANGULAR Ejemplo Una part´ıcula de masa m se mueve en el plano xy con una velocidad ~v a lo largo de una l´ınea recta. ¿Cu´ales son la magnitud y direcci´on de su momento angular, a) respecto del origen O, y b) respecto del origen O0 ?

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MOMENTO ANGULAR Ejemplo Una part´ıcula se mueve en el plano xy en una trayectoria circular de radio r, como en la figura. a) Encuentre la magnitud y la direcci´on de su momento angular relativo a O cuando su velocidad es ~v . b) Encuentre una expresi´ on alternativa para L en funci´on de la velocidad angular, ω.

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MOMENTO ANGULAR Momento angular de un cuerpo r´ıgido Si un cuerpo sim´etrico gira alrededor de un eje de simetr´ıa estacionario, su momento angular es el producto de su momento de inercia y su vector velocidad angular: ~L = I~ ω

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MOMENTO ANGULAR

Momento angular de un cuerpo r´ıgido La rapidez de cambio del momento angular total del sistema de part´ıculas es igual a la suma de las torcas externas: X

~τ =

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d~L dt

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TORCA ´ ANGULAR DE UN CR TORCA Y ACELERACION ´ DE UN CUERPO R´IGIDO SOBRE UN EJE MOVIL ´ ROTACION ´ TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ROTACION MOMENTO ANGULAR

MOMENTO ANGULAR

Ejemplo Una h´elice de turbina del motor a reacci´ on de un avi´on tiene un 2 momento de inercia de 2.5 kg · m alrededor de su eje de rotaci´ on.
Al arrancar la turbina, su velocidad angular es ωz = 40 rad/s3 t2 . a) Calcule el momento angular de la h´elice en funci´on del tiempo y su valor en t = 3.0 s. b) Determine la torca neta que act´ ua sobre la h´elice en funci´on del tiempo, y su valor en t = 3.0 s.

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´ DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION

Principio de conservaci´ on del momento angular Si la torca externa neta que act´ ua sobre un sistema es cero, el momento angular total del sistema es constante (se conserva): Si

X

~τ = 0 ⇒

d~L = 0, y ~L = constante dt

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TORCA ´ ANGULAR DE UN CR TORCA Y ACELERACION ´ DE UN CUERPO R´IGIDO SOBRE UN EJE MOVIL ´ ROTACION ´ TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ROTACION MOMENTO ANGULAR

´ DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION Ejemplo Un proyectil de masa m y velocidad ~vi se dispara contra un cilindro s´olido de masa M y radio R. El cilindro est´a inicialmente en reposo y est´a montado sobre un eje horizontal fijo que pasa por su centro de masa. La l´ınea de movimiento del proyectil es perpendicular al eje y est´a a una distancia d < R del centro. Encuentre la velocidad angular del sistema despu´es de que el proyectil incide y se adhiere a la superficie del cilindro.

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´ DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION Ejemplo Una puerta de 1.00 m de ancho y masa de 15 kg tiene bisagras en un costado, de modo que puede girar sin fricci´ on sobre un eje vertical. Una bala de 10 g de masa con rapidez de 400 m/s pega en el centro de la puerta, en direcci´ on perpendicular al plano de la puerta, y se incrusta dentro de esta. Calcule la rapidez angular de la puerta. ¿Se conserva la energ´ıa cin´etica? Resp. 0.40 rad/s; No

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´ DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION Ejemplo Un port´on de madera s´ olida, cuadrado y uniforme, de 4.5 kg, de 1.5 m de lado cuelga verticalmente desde un pivote sin fricci´on en el centro de su extremo superior. Un cuervo de 1.1 kg que vuela horizontalmente a 5.0 m/s se dirige hacia el centro de la puerta y rebota en la direcci´ on contraria 2.0 m/s. a) ¿Cu´al es la velocidad angular de la puerta justo despu´es de que es golpeada por el desafortunado cuervo? b) Durante la colisi´ on, ¿por qu´e se conserva el momento angular, pero no el momento lineal? Resp. 1.71 rad/s

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TORCA ´ ANGULAR DE UN CR TORCA Y ACELERACION ´ DE UN CUERPO R´IGIDO SOBRE UN EJE MOVIL ´ ROTACION ´ TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ROTACION MOMENTO ANGULAR

´ DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION Ejemplo Un blanco de una galer´ıa de tiro consiste en una barra vertical de madera de masa M = 0.750 kg y longitud L = 0.250 m, que pivota en un extremo sobre un eje fijo sin fricci´on. Un proyectil de 1.90 g que viaja perpendicular al centro de la barra con una velocidad de 360 m/s î, choca con ´esta y se incrusta en su centro. Trate el proyectil como una part´ıcula y a la barra como un s´olido r´ıgido homog´eneo. Para la situaci´ on descrita calcule: a) El momento angular total del sistema justo antes del choque. b) La rapidez angular del sistema despu´es del choque? c) La altura m´axima sobre la posici´on de equilibrio que alcanza el centro de la barra? c) La rapidez m´ınima que deber´ıa tener el proyectil para que la barra realice media vuelta despu´es del impacto Resp. a) L1 = 0.0855 kgm2 /s b) ω2 = 5.46 rad/s c) h = 0.0317 m d) v = 1010 m/s ´ OCTAVIO RUIZ CHIMA

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´ DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION

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´ DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION Ejemplo Un ave de 500.0 g vuela horizontal y distra´ıdamente a 2.25 m/s, cuando de repente viaja directo hacia una barra vertical estacionaria, golpe´andola a 25.0 cm debajo de la parte superior. La barra es uniforme con longitud de 0.750 m y masa de 1.50 kg, y tiene una bisagra en la base. El choque aturde al ave, de modo que despu´es simplemente cae hacia el suelo (aunque pronto se recupera para continuar volando felizmente). ¿Cu´al es la velocidad angular de la barra, a) justo despu´es de que es golpeada por el ave, y b) cuando esta llega al suelo? Resp. a) 2.00 rad/s b) 6.58 rad/s

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´ DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION

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TORCA ´ ANGULAR DE UN CR TORCA Y ACELERACION ´ DE UN CUERPO R´IGIDO SOBRE UN EJE MOVIL ´ ROTACION ´ TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ROTACION MOMENTO ANGULAR

´ DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION Ejemplo Un ´agil profesor de f´ısica se pone de pie en el centro de una mesita giratoria y sin fricci´on con los brazos extendidos horizontalmente y una mancuerna de 5.0 kg en cada mano. Se le pone a girar sobre un eje vertical, dando una revoluci´ on cada 2.0 s. Calcule la velocidad angular final del profesor si ´el pega las mancuernas a su abdomen. Su momento de inercia (sin las mancuernas) es de 3.0 kg · m2 con los brazos extendidos, y baja a 2.2 kg · m2 si coloca las manos en el abdomen. Las mancuernas est´an a 1.0 m del eje al principio y a 0.20 m al final. Resp. 2.5 rev/s = 15.7 rad/s

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´ DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION

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TORCA ´ ANGULAR DE UN CR TORCA Y ACELERACION ´ DE UN CUERPO R´IGIDO SOBRE UN EJE MOVIL ´ ROTACION ´ TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ROTACION MOMENTO ANGULAR

´ DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION Ejemplo Un proyectil de masa mp = 25 g que se mueve con velocidad constante v0 = 45 m/s hacia un disco estacionario de masa md = 0.50 kg y radio Rd = 15 cm; que gira libremente en el plano x − y, alrededor de un pivote que pasa por su eje O y que es perpendicular al plano de giro como se muestra en la figura. Antes del impacto, el proyectil se desplaza a lo largo de una recta situada a una distancia b = 5.0 cm por debajo del eje. El proyectil choca inel´asticamente contra el disco y queda adherido a ´el en el punto B. Trate el proyectil como una part´ıcula y al disco como un s´ olido homog´eneo. Para esta situaci´on calcule: a) El momento angular total del sistema (disco + proyectil) justo antes del choque. b) La velocidad angular del sistema (disco + proyectil) despu´es del choque. c) La energ´ıa cin´etica disipada en la colisi´on. ´ OCTAVIO RUIZ CHIMA

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TORCA ´ ANGULAR DE UN CR TORCA Y ACELERACION ´ DE UN CUERPO R´IGIDO SOBRE UN EJE MOVIL ´ ROTACION ´ TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ROTACION MOMENTO ANGULAR

´ DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION

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TORCA ´ ANGULAR DE UN CR TORCA Y ACELERACION ´ DE UN CUERPO R´IGIDO SOBRE UN EJE MOVIL ´ ROTACION ´ TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ROTACION MOMENTO ANGULAR

´ DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION Ejemplo Una part´ıcula de masa m = 2.0 kg, que viaja inicialmente hacia la derecha con rapidez v0 , golpea en ´angulo recto, una barra de masa M = 1.0 kg y longitud L = 4.0 m. Ambos, la part´ıcula y la barra se encuentran en una superficie plana sin fricci´ on, como se muestra en la vista superior de la figura. Suponga que despu´es de la colisi´on la part´ıcula no se desv´ıa de su l´ınea de movimiento original. Justo despu´es de la colisi´on. la rapidez de m es de v = 5.0 m/s y la rapidez angular de la barra es ω = 5.45 rad/s. Con la informaci´on suministrada encuentre: a) La rapidez inicial v0 de la part´ıcula antes de la colisi´on. b) La rapidez del centro de masa vcm de la barra justo despu´es del choque. c) La energ´ıa cin´etica disipada en la colisi´on. Resp. a) v0 = 8.6 m/s b) vcm = 7.2 m/s c) 22 J ´ OCTAVIO RUIZ CHIMA

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TORCA ´ ANGULAR DE UN CR TORCA Y ACELERACION ´ DE UN CUERPO R´IGIDO SOBRE UN EJE MOVIL ´ ROTACION ´ TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ROTACION MOMENTO ANGULAR

´ DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION

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CONDICIONES DE EQUILIBRIO CENTRO DE GRAVEDAD

CONDICIONES DE EQUILIBRIO Para que un cuerpo r´ıgido est´e en equilibrio, deben cumplirse dos condiciones: 1

La suma vectorial de todas las fuerzas externas que act´ uan sobre el cuerpo debe ser igual a cero:

X 2

Fx = 0

X

~ = ~0 F

X

Fy = 0

X

Fz = 0

La suma de las torcas debidas a todas las fuerzas externas que act´ uan sobre el cuerpo con respecto a cualquier punto espec´ıfico debe ser igual a cero: X ~τ = ~0 ´ OCTAVIO RUIZ CHIMA

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CONDICIONES DE EQUILIBRIO CENTRO DE GRAVEDAD

CENTRO DE GRAVEDAD La torca debida al peso de un cuerpo se calcula suponiendo que todo el peso se concentra en el centro de gravedad: ~τ = ~rcm × M~g = ~rcm × w ~

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CONDICIONES DE EQUILIBRIO CENTRO DE GRAVEDAD

´ DEL CENTRO DE GRAVEDAD OBTENCION

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CONDICIONES DE EQUILIBRIO CENTRO DE GRAVEDAD

USO DEL CENTRO DE GRAVEDAD

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CONDICIONES DE EQUILIBRIO CENTRO DE GRAVEDAD

EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS Ejemplo Un oso hambriento que pesa 700 N camina hacia afuera de una viga en un intento por recuperar una canasta de comida que cuelga en el extremo de la viga. La viga es uniforme, pesa 200 N y mide 6.00 m de largo; la canasta pesa 80.0 N . a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para la viga. b) Cuando el oso est´a en x = 1.00 m, encuentre la tensi´on en el alambre y las componentes de la fuerza que ejerce la pared sobre el extremo izquierdo de la viga. c) Si el alambre puede resistir una tensi´on m´axima de 900 N , ¿cu´al es la distancia m´axima que el oso puede caminar antes de que el alambre se rompa? Resp. b) T = 343 N ; Rx = 171 N ; Ry = 683 N c) x = 5.13 m

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CONDICIONES DE EQUILIBRIO CENTRO DE GRAVEDAD

EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS

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CONDICIONES DE EQUILIBRIO CENTRO DE GRAVEDAD

EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS Ejemplo Una pluma uniforme de 1200 N est´a sostenida mediante un cable, como se muestra en la figura. La pluma est´a articulada en la parte baja, y un objeto de 2000 N cuelga de su parte superior. Encuentre la tensi´on en el cable y las componentes de la fuerza de reacci´on que ejerce el suelo sobre la pluma. Resp. T = 1.46 kN ; H = 1.33 kN

´ OCTAVIO RUIZ CHIMA

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CONDICIONES DE EQUILIBRIO CENTRO DE GRAVEDAD

EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS

Ejemplo Un extremo de una barra uniforme de 4.00 m de largo y peso Fg est´a sostenido mediante un cable. El otro extremo descansa contra la pared, donde se mantiene por fricci´ on, como se muestra en la figura. El coeficiente de fricci´ on est´atica entre la pared y la barra es µs = 0.500. Determine la distancia m´ınima x desde el punto A en el que un objeto adicional, tambi´en con el mismo peso Fg , se puede colgar sin hacer que la barra se deslice en el punto A. Resp. xmin = 2.82 m

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION ´ ´ DINAMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACION EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS

CONDICIONES DE EQUILIBRIO CENTRO DE GRAVEDAD

EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS

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´ DE CUERPOS R´IGIDOS ROTACION ´ ´ DINAMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACION EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS

CONDICIONES DE EQUILIBRIO CENTRO DE GRAVEDAD

EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS Ejemplo Una gr´ ua de 15, 000 N puede girar alrededor de un eje sin fricci´on en su base y est´a sostenida por un cable que forma un ´angulo de 25◦ con la gr´ ua. La gr´ ua tiene 16 m de largo y no es uniforme; su centro de gravedad est´a a 7.0 m del eje medidos a lo largo de la gr´ ua. El cable est´a sujeto a 3.0 m del extremo superior de la gr´ ua. La gr´ ua se levanta a 55◦ por encima de la horizontal, sosteniendo un contenedor con ladrillos de 11, 000N mediante una cuerda muy ligera de 2.2m. Calcule a) la tensi´ on en el cable y b) las componentes vertical y horizontal de la fuerza ejercida por el eje sobre la gr´ ua. Comience dibujando un diagrama de cuerpo libre de la gr´ ua. Resp. a) T = 2.93 × 104 N b) Rx = 2.54 × 104 N ; Ry = 4.06 × 104 N ´ OCTAVIO RUIZ CHIMA

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EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS Ejemplo En la figura se muestra una barra esbelta de masa m = 100 kg y longitud L, en equilibrio est´atico pero a punto de deslizar. El coeficiente de rozamiento est´atico entre la barra y la superficie horizontal es µs = 0.6. Para la situaci´ on descrita, calcule: a) El ´angulo θ que el alambre forma con la pared. b) La tensi´on T en el alambre que une el extremo superior de la barra con la pared vertical. Resp. a) θ = −47◦ b) T = 516 N

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EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS Ejemplo Un peso W se sostiene unido a un poste met´alico vertical y uniforme, mediante una cuerda ligera que pasa por una polea, cuya masa y fricci´on son despreciables. La cuerda est´a unida al poste 40.0 cm debajo de la parte superior y tira horizontalmente de ´el. El poste pivota alrededor de una bisagra en su base, tiene 1.75 m de altura y pesa 55.0 N . Un alambre delgado conecta la parte superior del poste con una pared vertical. El clavo que une este alambre a la pared se saldr´a si una fuerza hacia afuera mayor que 22.0 N act´ ua sobre ´el. a) ¿Cu´al es el peso m´aximo W que puede soportarse de esta forma sin que se salga el clavo? b) ¿Cu´al es la magnitud de la fuerza que la bisagra ejerce sobre el poste? Resp. a) W = 28.5 N b) F = 84.5 N ´ OCTAVIO RUIZ CHIMA

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EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS Ejemplo Una se˜ nal uniforme de peso Fg y ancho 2L cuelga de una viga horizontal ligera con bisagra en la pared y sostenida por un cable. Determine a) la tensi´on en el cable y b) las componentes de la fuerza de reacci´on que ejerce la pared sobre la viga, en t´erminos de Fg , d, L y θ.

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EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS Ejemplo Suponga que usted inaugura un restaurante y espera atraer a sus clientes colgando un letrero en el exterior. La viga horizontal uniforme que sostiene el letrero tiene 1.50 m de longitud y masa de 12.0 kg, y est´a sujeta a la pared mediante una bisagra. El letrero es uniforme con masa de 28.0kg y longitud de 1.20m. los dos alambres que sostienen el letrero tienen una longitud de 32.0 cm cada uno, est´an separados 90 cm y se encuentran igualmente espaciados con respecto al punto medio del letrero. El cable que sostiene la viga tiene 2.00 m de longitud. a) ¿Qu´e tensi´ on m´ınima debe soportar el cable sin que se caiga el letrero? b) ¿Qu´e fuerza vertical m´ınima debe soportar la bisagra sin salirse de la pared? Resp. a) T = 379 N b) Fv = 141 N ´ OCTAVIO RUIZ CHIMA

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EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS Ejemplo La figura muestra una puerta de cochera que est´a montada en un riel superior. Las ruedas en A y B se oxidaron, de modo que no ruedan, sino que se deslizan sobre el riel. El coeficiente de fricci´on cin´etica es de 0.52. La distancia entre las ruedas es de 2.00 m, y cada una est´a a 0.50 m del borde vertical de la puerta. La puerta ~ la empuja a la es uniforme y pesa 950 N . Una fuerza horizontal F izquierda con rapidez constante. a) Si la distancia h es de 1.60 m, ¿Qu´e fuerza vertical ejerce el riel sobre cada rueda? b) Calcule el valor m´aximo que h puede tener para que la rueda izquierda A no se levante del riel. Resp. a) nA = 80 N , nB = 870 N b) h = 1.92 m

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EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS Ejemplo Una puerta de 4.00 m de ancho y 2.00 m de altura pesa 500 N ; su centro de gravedad est´a en su centro, y tiene bisagras en A y B. Para aliviar la deformaci´ on en la bisagra superior, se instala el alambre CD como se muestra en la figura. La tensi´on en CD se aumenta hasta que la fuerza horizontal en la bisagra A es cero. a) ¿Qu´e tensi´on hay en el alambre CD? b) ¿Qu´e magnitud tiene la componente horizontal de la fuerza en la bisagra B? c) ¿Qu´e fuerza vertical combinada ejercen las bisagras A y B? Resp. a) T = 268 N b) HBh = 232 N c) HAv + HBv = 366 N

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EQUILIBRIO DE CUERPOS R´IGIDOS Ejemplo Imagine que est´a tratando de subir una rueda de bicicleta de masa m y radio R a una acera de altura h; para ello, aplica una fuerza ~ logra subir la rueda, si la horizontal. ¿Qu´e magnitud m´ınima de F fuerza se aplica a) al centro de la rueda? b) ¿Y en la parte superior de la rueda? c) ¿En cu´al caso√ se requiere menos fuerza? Resp. a) √ 2 2Rh−h2 c) En b) F = mg R−h b) F = mg 2Rh−h 2R−h

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TEOR´IA Ejemplo En la figura se muestran dos masas id´enticas que est´an unidas por poleas sin fricci´on mediante cuerdas muy delgadas, enrolladas alrededor del borde de la polea, y se liberan partiendo del reposo. Ambas poleas tienen la misma masa y el mismo di´ametro, pero una es s´olida y la otra es un aro. Conforme las masas caen, podemos afirmar que la tensi´on en la cuerda de la polea s´ olida es: a) El doble de la tensi´ on de la cuerda que tiene aro. b) El triple de la tensi´ on de la cuerda que tiene aro. c) La mitad de la tensi´ on de la cuerda que tiene aro. d) Igual en ambos casos.

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TEOR´IA Ejemplo Una piedra de 2.00 kg tiene una velocidad horizontal con magnitud 12.0 m/s cuando est´a en el punto P de la figura. En ese instante, el momento angular que tiene respecto a O es: a) 115 kg · m2 /s entrando al plano de la p´agina. b) 96 kg · m2 /s entrando al plano de la p´agina. c) 57.64 kg · m2 /s saliendo del plano de la p´agina. d) 153.53 kg · m2 /s saliendo del plano de la p´agina.

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TEOR´IA Ejemplo Dos masas, mA = 1 kg y mB = 2.5 kg, se unen en los extremos opuestos de una varilla de 1 m de longitud. La masa de la barra es de 1.5 kg. Si el sistema gira alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por su centro con una rapidez angular de 4 rad/s. El momento de inercia del sistema alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por su centro es: a) 1.37 kg · m2 b) 1.25 kg · m2 c) 2 kg · m2 d) 1 kg · m2

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TEOR´IA Ejemplo Una fuerza de 10 N se aplica tangente a una rueda de radio R, mientras que una fuerza de 15 N se aplica tangente a una rueda de radio R/3 montada en la parte superior de la rueda anterior, como se muestra aqu´ı. El momento de torsi´ on que act´ ua sobre el sistema es: a) 5R en la direcci´on x negativa. b) 5R en la direcci´on x positiva. c) 5R en la direcci´on y negativa. d) 5R en la direcci´on y positiva. e) 5R en el plano xz.

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TEOR´IA Ejemplo Cinco objetos de masa m se mueven con velocidad ~v a una distancia r de un eje de rotaci´on perpendicular a la p´agina por el punto A, como se muestra en la figura. El que tiene momento angular cero alrededor de ese eje es:

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TEOR´IA Ejemplo La figura muestra dos bloques de masas m1 y m2 , conectados por medio de una cuerda ligera que pasa por una polea de radio R y momento de inercia I alrededor de su eje. El bloque m2 se desliza sobre una superficie horizontal sin fricci´ on. Cuando se libera m1 , los bloques se aceleran y la polea gira. El momento angular total del sistema, el cual se compone de los dos bloques m´as la polea en torno a un eje que coincide con el eje de la polea es: a) El mismo en cualquier instante. b) Proporcional al radio de la polea. c) Proporcional a la velocidad de los bloques. d) Proporcional a la longitud de la cuerda. e) Todas las anteriores. ´ OCTAVIO RUIZ CHIMA

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BIBLIOGRAF´IA

F. Sears, M. Zemansky, H. Young, R. Freedman, F´ısica Universitaria, Vol. 1. D´ ecimo tercera edici´ on. M´ exico, Addison Wesley Longman, 2004. 864p, ISBN: 978-607-442-288-7.

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