Tema 2_segunda Parte. Análisis Cinemático De Mecanismos Planos

TUTORÍA INTERCAMPUS 2014 / 2015 SISTEMAS MECÁNICOS

TEMA 2. ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS PLANOS 2.0 Objetivo ◦ Poder calcular la posición, velocidad y aceleración de cualquier punto o eslabón del mecanismo.

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2.1 Velocidades en las máquinas 2.1.1. Posición, desplazamiento y velocidad de un punto Para analizar el movimiento de un sistema, hay que definir inicialmente su posición y desplazamiento. El movimiento se considera como una serie de desplazamientos en el tiempo, siguiendo posiciones sucesivas. Los sistemas de coordenadas y los marcos de referencia son arbitrarios: existen para la conveniencia del ingeniero que los define. Todos los movimientos son, en realidad, relativos. Se suele considerar un sistema de coordenadas global o absoluto, y los demás serán sistemas de coordenadas locales dentro del sistema global. El término marco de referencia inercial se utiliza para denotar un sistema que por sí mismo no tiene aceleración. En cuanto al criterio de signo para los ángulos, se consideran de signo positivo los de sentido antihorario. Para estudiar el movimiento de los eslabones, se pueden considerar: • Sistemas de coordenadas no rotatorios locales , si se quiere medir el ángulo de un eslabón cuando éste rota en el sistema global. • Sistemas de coordenadas rotatorios locales , para medir parámetros en el eslabón, independientes de su rotación. La posición de un punto en el plano puede definirse por medio de un vector de posición. La elección de ejes de referencia es arbitraria, y se elige de conformidad con el observador.

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Un vector bidimensional tiene dos atributos, que pueden expresarse: • En coordenadas polares: módulo y ángulo del vector. • En coordenadas cartesianas: componentes X e Y del vector. R = √ (X2 + Y2) θ = arc tg (Y/X)

El desplazamiento de un punto es el cambio en su posición y se define como la distancia en línea recta entre la posición inicial y final de un punto que se ha movido en el marco de referencia. No es necesariamente igual a la longitud de la trayectoria que el punto pueda haber recorrido de la posición inicial a la final. Utilizando la notación “R” para designar un vector de posición, el desplazamiento entre dos puntos A y B viene dada por: RBA = RB – RA = RB0 – RA0 Es decir, la posición de B respecto a A es igual a la posición (absoluta) de B menos la posición (absoluta) de A, donde absoluta significa con respecto al origen del marco de referencia global. Hay que diferenciar dos casos: • Un cuerpo en dos posiciones sucesivas: diferencia de posición. • Dos cuerpos simultáneamente en dos posiciones distintas: posición relativa.

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La relación entre el desplazamiento de un punto y el tiempo empleado en el mismo, se denomina velocidad media del punto. La velocidad media será un vector de módulo ΔR/ Δt y de dirección y sentido iguales a los del vector desplazamiento ΔR. La velocidad instantánea se refiere a un tiempo dt.

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2.1.2. Posición, desplazamiento y velocidad angular de un sólido Cualquier movimiento de un sólido se puede suponer como combinación de dos movimientos: el desplazamiento de un punto del sólido y un giro del sólido alrededor del punto. Visto el desplazamiento del punto en el apartado anterior, veremos ahora el giro del sólido. Para definir la posición angular de un sólido, basta con conocer el ángulo que forma una línea AB del mismo con el eje del sistema de coordenadas (θAB ). Cuando un sólido cambia de posición angular, se dice que se ha producido

un

desplazamiento

angular

del

mismo.

Este

desplazamiento angular no depende de la trayectoria seguida, sino de la posición angular inicial y final (θA'B' =.θAB + ΔθAB).

La velocidad media angular de un sólido se define como la relación entre su desplazamiento angular y el tiempo empleado en el mismo. Si este tiempo es un “dt”, se denomina velocidad angular instantánea, o simplemente velocidad angular: ωAB = dθAB / dt.

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2.1.3. Método de las velocidades relativas 2.1.3.1 Velocidad relativa entre dos puntos. Sea un punto A, que se desplaza de la posición A a la A'. Y un punto B que se desplaza de la posición B a la posición B'. Los desplazamientos absolutos de los puntos A y B vendrán dados por los vectores ΔRA e ΔRB.

El desplazamiento relativo de B respecto al punto a vendrá dado por el vector ΔRBA. De este modo, se cumple que: ΔRB = ΔRA + ΔRBA ΔRA = ΔRB + ΔRAB Aplicando a velocidades, tenemos que: vB = vA + vBA vA = vB + vAB Y tenemos que, vBA = - vAB

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2.1.3.2 Velocidad relativa entre dos puntos del mismo eslabón.

ΔRB = ΔRA + ΔRBA En este caso, al pertenecer A y B al mismo sólido, la distancia AB no puede variar, por lo que el único movimiento posible de B respecto a A es un giro con radio AB. Si lo expresamos en velocidades, tenemos: vB = vA + vBA Donde, vBA = ω x AB

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2.1.3.3 Aplicación del método de velocidades relativas a un eslabón. La ecuación vectorial antes obtenida ( vB = vA + vBA ) es la base del método de velocidades relativas. Se trata de una ecuación vectorial, que permite calcular una incógnita vectorial o dos incógnitas algebraicas como un módulo y una dirección, dos módulos o dos direcciones.

Partimos de los puntos A, B y C de un eslabón que se mueve con una velocidad angular ω desconocida. Conocemos el módulo y la dirección de VA. De VB, conocemos la dirección, pero no el módulo. De VBA, no conocemos el módulo, ya que no sabemos la velocidad angular.

Pero sí sabemos que su dirección es perpendicular al

segmento AB (rotación).

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Operando a partir de la ecuación inicial ( vB = vA + vBA ), obtenemos dos ecuaciones con dos incógnitas: el módulo de VB y la velocidad angular ω. De este modo, podemos hallarlas.

También se puede resolver gráficamente. Partimos del valor conocido, VA. También conocemos la dirección de VB. Se cierra el polígono con la dirección conocida de la velocidad V BA, perpendicular a AB.

Tanto el método analítico como el método gráfico se pueden aplicar para calcular velocidades en mecanismos, según se indica en el libro, entre las páginas 33 y 50.

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2.1.4. Método de los centros instantáneos de rotación 2.1.4.1 Centro instantáneo de rotación de un sólido rígido. Cualquier desplazamiento de un sólido rígido en el plano, se puede considerar como una rotación pura alrededor de un punto. A este punto se le denomina centro instantáneo de rotación (C.I.R.).

Sea un sólido que se desplaza de la posición AB a la posición A'B'. El cambio pudo ser debido a una rotación pura del triángulo OAB alrededor de 0, punto que surge de la intersección de las mediatrices de los segmentos AA' y BB'. Los desplazamientos de los puntos A y B se pueden expresar en función de la distancia al centro 0 y del desplazamiento angular del sólido Δθ.

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Calculando estos desplazamientos para un tiempo infinitesimal, se puede considerar que el cuerpo gira alrededor de 0 como centro instantáneo de rotación.

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2.1.4.2 Obtención del centro instantáneo de rotación. Hemos demostrado que en un movimiento plano puede considerarse en cada instante, como una traslación o como una rotación en torno al centro instantáneo de rotación. Si se trata de una rotación, sabemos que: ➢ El centro de giro es el único punto con velocidad nula. ➢ El vector velocidad de cualquier punto de la pieza es perpendicular al radio de giro. Estos dos hechos nos permitirán determinar el C.I.R. de un modo inmediato. ➔ Si tenemos algún punto de la pieza con velocidad nula en un cierto instante, este punto sería el centro instantáneo.

El punto A es un centro instantáneo permanente.

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El punto I es el centro instantáneo, por tener velocidad nula, pero no es permanente. ➔ Si sabemos la dirección en que se mueven dos puntos de una pieza, quedará localizado el centro instantáneo, que será aquel punto en donde se cortarán las perpendiculares a las direcciones de los dos movimientos conocidos.

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2.1.4.3 Centros instantáneos relativos. Dadas dos piezas a y b, cualesquiera de un mecanismo, llamaremos centro instantáneo relativo de a respecto a b, al centro instantáneo de la pieza a estando la pieza b fija. Utilizaremos la notación I(a,b) para representar el centro instantáneo de a respecto a b.

Cuando el mecanismo esté ligado de algún modo a una pieza base o bancada, los centros instantáneos respecto a ella, serán llamados centros instantáneos absolutos.

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Propiedades: 1. Los centros instantáneos relativos de dos piezas cualesquiera son recíprocos. I(a,b) = I(b,a). Es decir, el centro instantáneo de a, estando b fija, es el mismo que el de la pieza b estando fija a. 2. En un mecanismo de n piezas móviles, el número de centros instantáneos relativos viene dado por las combinaciones de los n elementos tomados de dos en dos. 3. Dos piezas pueden considerarse articuladas en su centro instantáneo relativo sin que el movimiento del mecanismo quede impedido en aquel instante.

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2.1.4.4 Teorema de los tres centros o teorema de Kennedy. Los tres centros instantáneos relativos de tres piezas cualesquiera de un mecanismo (no tienen porqué ser consecutivas), están siempre alineados. Otro enunciado:

los tres CIR relativos de tres eslabones con

movimiento plano deben estar siempre alineados en una línea recta. Demostración en la página 55 del libro.

Aplicación en la localización de los CIR de un mecanismo. El teorema de los tres centros se hace particularmente útil en la determinación de los centros instantáneos de las piezas de un mecanismo, cuando no todos ellos son inmediatos. Dado un mecanismo formado por una serie de piezas, a, b, c,... de las que se desea conocer sus centros instantáneos de rotación, se procede del siguiente modo:  Determinar todos los centros inmediatos.  Una

vez

obtenidos,

para

obtener

uno

de

los

centros

desconocidos, Iab, consideraremos la terna formada por las piezas a, b y una tercera, m, escogida de tal modo que de los tres centros instantáneos relativos, dos de ellos (Iam e Ibm) sean conocidos. Por lo tanto, Iab deberá estar alineado con ellos dos.  Se repite la operación con otra terna, formada por las mismas piezas, a y b, junto con otra n, escogida con el mismo criterio que n. Conociendo Ian e Ibn, Iab estará alineado con ellos.  Iab será el punto de intersección de ambas rectas.

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2.1.4.5 Aplicación de los C.I.R. al cálculo de la velocidad. El cálculo de las velocidades utilizando los centros instantáneos de rotación nos permite calcular directamente la velocidad de cualquier punto del mecanismo sin necesidad de calcular primero las velocidades de otros puntos.

Tenemos un mecanismo de cuatro barras en el que se conoce la velocidad del punto A. Para calcular la velocidad del punto B con este método, simplemente calculamos la velocidad del CIR relativo de dos eslabones. Es importante resaltar que el CIR se comporta como si perteneciera simultáneamente a ambos eslabones, por lo que su velocidad debe ser la misma si la obtenemos en base a uno u otro eslabón. El proceso completo sería el siguiente:

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1. Se identifican los eslabones a los que pertenecen tanto el punto de velocidad conocida, como el punto de velocidad desconocida y el eslabón de referencia o barra fija (2, 4, 1). 2. Se hallan los tres C.I.R. Relativos correspondientes a las barras citadas, que estarán alineados según nos indica el teorema de Kennedy (12, 14, 24). La línea recta que forman la usaremos como línea de abatimiento. 3. Se calcula la velocidad del C.I.R. relativo de los dos eslabones no fijos (el 24) considerándolo como un punto perteneciente a la barra de velocidad conocida (barra 2). V24 = (12-24)/(12-23)*VA. 4. Se considera la velocidad hallada (V24) como la de un punto del eslabón cuya velocidad queremos hallar.

Conociendo la

velocidad de un punto del eslabón (V24) y su centro de giro (14), podemos encontrar la velocidad de cualquier otro punto del mismo (VB). VB = (14-34)/(14-24)*V24.

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2.2 Aceleraciones en las máquinas 2.2.1. Aceleración de un punto La aceleración se define como la tasa de cambio de la velocidad con respecto del tiempo. La aceleración es una magnitud vectorial, al igual que la velocidad (V, ω). La aceleración puede ser lineal o angular: α = d ω / dt A = dV / dt

En la figura se observa que se cumple que ΔV = mn + nq, donde: ➢ nq representa el cambio de módulo (cambio escalar) de la velocidad del punto A, cuando este pasa de una posición a otra. Su módulo es la diferencia entre los módulos de V 2 y V1.

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➢ mn representa el cambio de dirección de la velocidad V1, de forma que V1 + mn = on. Como ya hemos visto, on es un vector con la dirección de V2 y el módulo de V1. La aceleración media será: Am = mn / Δt + nq / Δt. Cuando Δt tiende a cero, las direcciones de mn y nq son respectivamente perpendicular y paralela al vector velocidad V1, o lo que es lo mismo, normales y tangenciales a la trayectoria en el punto A. Por ello, estos vectores reciben el nombre de aceleración normal y aceleración tangencial, An y At. De este modo, la aceleración de un punto se puede descomponer en dos componentes: • Aceleración normal. Tiene la dirección normal a la trayectoria, con el sentido hacia el centro de la misma. Esta componente es la responsable del cambio de dirección de la velocidad del punto. Su módulo vale: An = ω2 R = V2 / R • Aceleración tangencial.

Tiene la dirección tangente a la

trayectoria, es decir, idéntica al vector velocidad del punto. Su sentido puede ser igual o contrario al del vector velocidad, dependiendo de que ésta aumente o disminuya.

Su módulo

vale: At = α R + ω dR/dt.

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2.2.2. Aceleración relativa de dos puntos cualesquiera. La aceleración relativa de un punto A respecto al otro B, es la relación entre el vector cambio de velocidad relativa de un punto respecto al otro y el tiempo.

Sea un punto que se mueve de la posición A1 a la posición A2 en el mismo tiempo en que B1 se desplaza a B2: VA2 = VA + ΔVA VB2 = VB + ΔVB Operando según se indica en las páginas 67 y 68, tenemos que las aceleraciones instantáneas serán: AB = AA + ABA Por tanto, el vector aceleración del punto B es igual a la suma de los vectores aceleración del punto A más el vector aceleración relativa B respecto de A.

Esta última aceleración a su vez tendrá una

componente normal y otra tangencial.

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2.2.3.

Aceleración relativa de dos puntos de un mismo sólido

rígido. Al no variar la distancia entre los puntos de un sólido rígido, el movimiento relativo entre ellos es un giro de uno alrededor del otro. El vector aceleración relativa de los dos puntos, B y A, puede desglosarse en dos componentes: ➢ La componente normal, AnBA, siempre perpendicular al vector velocidad relativa de dichos puntos, y dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria seguida. En este caso, dirigida a A. ➢ La componente tangencial lleva la dirección del vector velocidad relativa.

En este caso, como la aceleración tangencial tiene

sentido contrario a la velocidad angular, la componente tangencial de la aceleración tiene sentido contrario a la velocidad relativa.

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En un eslabón AB que se mueve con una velocidad angular ω, y una aceleración angular α, los valores de las componentes normal y tangencial de la aceleración relativa entre B y A, serán: AB = AA + ABA = AA + AnBA + AtBA = AAx i + AAy j + ω x VBA + α x AB Para el caso de un sólido rígido que gira alrededor de un centro fijo O, el vector aceleración absoluta de un punto cualquiera P del sólido será la aceleración relativa al punto fijo O: ω x VPO

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2.2.4. Cálculo de aceleraciones de un mecanismo. Se trata de afrontar el problema fundamental de este tema: conseguir determinar la aceleración de cualquier punto en una pieza de un mecanismo. Sea pues un mecanismo cualquiera, del que nos dan unos datos de entrada, y deseamos conocer las aceleraciones de ciertos puntos de las piezas que lo forman.

2.2.4.1 Se conoce la aceleración de dos puntos de la pieza.

Sea la pieza ABC, de la que se conocen las aceleraciones de los puntos A y B (AA y AB) y se pide la aceleración del punto C. Podrá construirse el cinema de aceleraciones directamente, pues conociendo AA y AB, se toma un punto 0, origen de los vectores 0A' = AA , y 0B' = AB.

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Teniendo la línea A'B', se puede, por semejanza, construir el cinema completo de la pieza. La aceleración de de cualquier otro punto C será determinada inmediatamente, tomando en el cinema un punto C', homólogo del C de la pieza. El vector OC' será la aceleración AC buscada.

Podría resolverse el mismo problema por otro procedimiento, que consistiría en plantear las ecuaciones vectoriales que relacionan la aceleración de C con la de los puntos A y B: AC = AC/A + AA AC = AC/B + AB Que pueden transformarse: AC = AnCA + AtCA + AA AC = AnCB + AtCB + AB

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De la primera, conocemos AA y AnCA = VCA2/ CA. El valor de VCA puede hallarse en el análisis de velocidades de la pieza.

También es

conocida la dirección de AtCA , por ser perpendicular a AnCA.

Transformando gráficamente esta ecuación, resulta que la aceleración AC deberá tener su origen en 0 y su extremo en la recta que representa la dirección de AtCA, con lo que esta recta es el lugar geométrico de las posibles posiciones del extremo de AC. Al representar la segunda ecuación a partir de 0, tendremos un lugar geométrico análogo. El vector AC quedará determinado por la intersección de los dos lugares geométricos.

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2.2.4.2 Se conoce la aceleración de un punto y la dirección de la aceleración de otro.

Sea la pieza ABC de la que se conoce la aceleración del punto A, AA y la dirección de la aceleración de B. Se suponen conocidas también las velocidades de los puntos de la pieza. La aceleración del punto, B, puede ser relacionada con la del A, por la igualdad vectorial: AB = ABA + AA = AnBA + AtBA + AA Conocemos la dirección de AB, la componente normal AnBA, la aceleración de A, AA y la dirección de la componente tangencial, AtBA. Representando gráficamente, tomamos un punto O, cualquiera, y conocemos AA , AnBA y la dirección AtBA.

Simplemente trazando a

partir de O la dirección de AB, ya tenemos en la intersección la aceleración AB.

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Para hallar AnBA, habrá que partir de la velocidad relativa de B respecto de A, VBA. El módulo de la componente normal es AnBA = VBA2/ BA. Conociendo la aceleración de dos puntos, A y B, de la pieza, podremos conocer la de cualquier otro, bien cosntruyendo el cinema de aceleraciones, bien por el método de lugares geométricos.

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2.2.4.3 Se conoce la aceleración de un punto y la componente normal de la aceleración de otro.

Sea la pieza ABC de la que se conocen la aceleración del punto A, AA, y la componente normal de la aceleración de B, AB.

Además,

suponemos conocidas las velocidades de todos los puntos de la pieza. AB = AnB + AtB AB = ABA + AA = AnBA + AtBA + AA Conocemos el módulo y la dirección de AnB y la dirección de AtB. Tenemos una recta de posibles lugares de AB.

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También conocemos AA, la dirección de AtBA y la componente normal, AnBA = VBA2/ BA. Tenemos otra recta de posibles lugares de AB.

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2.2.5. Componente de Coriolis de la aceleración. Siempre que un cuerpo se mueve a lo largo de una trayectoria definida sobre un segundo cuerpo, y si el segundo cuerpo está girando, la aceleración de un punto cualquiera del primer cuerpo relativa a un punto coincidente del segundo cuerpo tendrá, además de las componentes normal y tangencial estudiadas hasta ahora, una nueva componente: aceleración de Coriolis.

En esta figura, el eslabón 3 representa una deslizadera que se mueve con trayectoria rectilínea sobre la línea 0 2F del eslabón 2. El punto P3 del eslabón 3 se encuentra sobre el punto P2 del eslabón 2, de forma que los dos coinciden en el instante representado en la figura. AP3 = AP2 + AP3P2

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La aceleración relativa AP3P2 tiene, además de las componentes normal y tangencial estudiadas hasta ahora, una nueva componente denominada aceleración de Coriolis: AP3P2 = AnP3P2 + AtP3P2 + ACP3P2 A = 2 * VP3P2 * ω2 La componente de Coriolis de la aceleración es un vector perpendicular al vector velocidad relativa, cuya dirección y sentido son los del vector VP3P2 girado 90º en el sentido de ω2, y puede expresarse vectorialmente como: A = 2 * (ω2 x VP3P2) El término Coriolis ha aparecido en la expresión de aceleración, simplemente porque la longitud del vector de posición es una función del tiempo. La magnitud de la componente Coriolis es dos veces el producto de la velocidad de deslizamiento y la velocidad angular del eslabón que contiene la ranura. Su dirección está girada 90 grados de la del vector de posición original, con su sentido en función del sentido de ω. Esta componente de la aceleración de Coriolis siempre se presenta cuando existe una velocidad de deslizamiento asociada con cualquier miembro que también tiene una velocidad angular. Sin uno u otro de esos dos factores, la componente Coriolis será cero.

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EJEMPLO. Sea el mecanismo de corredera rectilínea de la figura, del que se conoce la velocidad angular y la aceleración angular de la barra 1. Nos proponemos hallar la aceleración del punto A.

En primer lugar, se averigua la velocidad del punto A. Conocemos la velocidad de A como si perteneciese a la barra 1.

También

conocemos las direcciones de las velocidades absoluta (perpendicular a O3A) y relativa (paralela a la barra 1): VA = Vr + Vrr

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Para determinar la aceleración de A, tenemos que: AA = AnA + AtA. Conocemos la dirección de AtA, perpendicular a O3A, y el módulo de AnA en función de VA: AnA = VA2/ O3A. Por otra parte, el punto A, aunque pertenece a la barra 3, está ligado también a la barra 1 por medio de un contacto deslizante. De este modo, tomando como sistemas de referencia la base fija y la barra 1, las aceleraciones de A respecto a cada uno de los sistemas se relacionan por: AAB = AA = AnA + AtA = Ar + Arr + 2 * (ω x Vr)

De esta ecuación, conocemos: ➢ La dirección de AtA ➢ La dirección de Ar , por ser paralela a la barra 1. ➢ Arr es la dirección de A, como si fuera fijo en la barra 1, con componente normal y tangencial.

Por tanto, la componente

normal vendrá dada por Varr2/O1A, y la componente tangencial por la aceleración angular por el radio: α1 x O1A.

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➢ El producto vectorial 2 * (ω x Vr) será un vector cuyo módulo será el producto de los módulos de 2, ω y Vr, siendo

ω y Vr

perpendiculares. ➢ La dirección de 2 * (ω x Vr) será perpendicular a Vr , y su sentido vendrá indicado por la regla del sacacorchos.

Con todo esto, podemos representar cada módulo de la ecuación: AnA + AtA = Ar + Arr + 2 * (ω x Vr) Del primer miembro, la dirección de AtA nos marca un lugar geométrico de posiciones del extremo de AA. Del segundo miembro, la dirección de Ar nos indica otro lugar geométrico. La intersección de ambos lugares geométricos nos determinará la aceleración AA buscada.

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