Integración De Romberg Y Cuadratura De Gauss

- INTEGRACIÓN DE ROMBERG - CUADRATURA DE GAUSS

INTEGRACIÓN DE ROMBERG Las aproximaciones sucesivas se obtienen mediante la ecuación:

Integración de Romberg

Para obtener las primeras aproximaciones mediante la Regla del Trapecio se usa la siguiente tabla:

Integración de Romberg

Luego se encuentran las aproximaciones sucesivas de acuerdo al esquema siguiente:

Integración de Romberg

PROBLEMA: Encuentre el valor de: 5

𝐼 = න (𝑥 5 −1)𝑑𝑥 −3

Integración de Romberg

RESOLUCIÓN:

Integración de Romberg

Integración de Romberg

INTEGRACION POR CUADRATURA • Disminuir el error • En lugar de tomar los puntos A y B toma los puntos C y D

Cuadratura de Gauss-Legendre

POLINOMIOS ORTOGONALES

POLINOMIOS LEGENDRE PARA HALLAR LOS PESOS

𝐿𝑖 𝑃n+1 (𝑋) = 𝑑𝑃n+1 (𝑋𝑖)(𝑋 − 𝑋𝑖) Cuadratura de Gauss-Legendre

EJEMPLOS DE POLINOMIOS DE LEGENDRE Xi

Wi

Cuadratura de Gauss-Legendre

TABLA DE PUNTOS DE GAUSS Y PESOS

Cuadratura de Gauss-Legendre

CUADRATURA DE GAUSS - LEGENDRE • La cuadratura de Gauss-Legendre tiene la forma:

• Aquí los limites tienen que ir de [-1 ; 1]. • Cuando te dan cualquier integral tienes que llevar a [-1 ; 1]. Con esta formula: 𝑥=

𝑏−𝑎 𝑧 𝑎+𝑏 + 2 2

𝑑𝑥=

𝑏−𝑎 ⅆ𝑧 2

Cuadratura de Gauss-Legendre

Ejercicios:

Cuadratura de Gauss-Legendre

CUADRATURA DE GAUSS-LAGUERRE • Los polinomios de Laguerre son ortogonales en el intervalo [0, ∞] con respecto a una función peso 𝑤 𝑥 = 𝑒 −𝑥 , es decir: ∞ −𝑥 ‫׬‬0 𝑒 𝐿𝑛

𝑥 𝐿𝑚 𝑥 𝑑𝑥 = 0; 𝑠𝑖 𝑛 ≠ 𝑚

∞ −𝑥 ‫׬‬0 𝑒 [𝐿𝑛 (𝑥)]2 𝑑𝑥

= 𝐶 𝑛 ≠ 0; 𝑠𝑖 𝑛 = 𝑚

Cuadratura de Gauss-Laguerre

• Los polinomios respectivos son: 𝐿0 𝑥 = 1 𝐿1 𝑥 = −𝑥 + 1 𝐿2 𝑥 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 2 𝐿3 𝑥 = −𝑥 3 + 9𝑥 2 − 18𝑥 + 6 Formula General: 𝐿𝑛 𝑥 = 2𝑛 − 𝑥 − 1 𝐿𝑛−1 𝑥 − 𝑛 − 1 2 𝐿𝑛−2 (𝑥)

FORMA DE LA INTEGRAL ∞ −𝑧 ‫׬‬0 𝑒 𝑓

𝑧 𝑑𝑧 = σ𝑛𝑖=0 𝑤𝑖 𝑓(𝑧𝑖 ) Cuadratura de Gauss-Laguerre

• Tambien se puede usar para integrar

∞ −𝑥 ‫𝑓 𝑒 𝑎׬‬

𝑥 𝑑𝑥

por medio de una transformación lineal: x = z+a Luego ∞ −𝑥 ‫𝑓 𝑒 𝑎׬‬

𝑥 𝑑𝑥 =

∞ − 𝑧+𝑎 ‫׬‬0 𝑒

𝑓 𝑧 + 𝑎 𝑑𝑧 =

𝑒 −𝑎

∞ −𝑧 ‫׬‬0 𝑒 𝑓

𝑧 + 𝑎 𝑑𝑧

Formula General ∞

𝑚

න 𝑒 −𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 −𝑎 ෍ 𝑤𝑖 𝑓(𝑧𝑖 + 𝑎) 0

𝑖=0 Cuadratura de Gauss-Laguerre

• POLINOMIO DE LAGUERRE(OTRA FORMULA): 𝑛 𝑑 𝐿𝑛 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑛 (𝑒 −𝑥 𝑥 𝑛 ) 𝑑𝑥

• FORMULA PARA HALLAR LOS PESOS wi: ∞ 1 𝐿𝑛 (𝑥)𝑒 −𝑥 (𝑛!)2 𝑤𝑖 = ′ න 𝑑𝑥 = 𝐿 𝑛 (𝑥𝑖 ) 0 𝑥 − 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝐿′ 𝑛 (𝑥𝑖 )

2

• FORMULA PARA HALLAR EL ERROR: 𝑛! 2 𝐸= 𝑦 2𝑛 !

2𝑛

(𝜃)

Cuadratura de Gauss-Laguerre

• HALLAR EL POLINOMIO DE LAGUERRE Y LOS PESOS CORRESPONDIENTES: PARA n = 1 (𝑛!)2 𝑤𝑖 = 𝑑 ′ (𝑥 ) 2 𝑥 𝐿 𝑥 −𝑥 𝑖 𝑛 𝑖 𝐿1 𝑥 = 𝑒 (𝑒 𝑥) 𝑑𝑥 2 (1!) 𝑥 −𝑥 −𝑥 𝐿1 𝑥 = 𝑒 𝑒 − 𝑒 𝑥 𝑤1 = ′ (𝑥 ) 2 𝑥 𝐿 1 1 1 𝐿1 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑒 −𝑥 1 − 𝑥 1 𝐿1 𝑥 = 1 − 𝑥 𝑥1 = 1 𝑤1 = 1−𝑥 =0 1 −1 2 𝐿′1 𝑥 = −1 𝑤 =1 1

Cuadratura de Gauss-Laguerre

• n=2 2 𝑑 𝐿2 𝑥 = 𝑒 𝑥 2 (𝑒 −𝑥 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 𝑑 𝑥 𝐿2 𝑥 = 𝑒 (2𝑒 −𝑥 𝑥 − 𝑥 2 𝑒 −𝑥 ) 𝑑𝑥 𝐿2 𝑥 = 𝑒 𝑥 (2𝑒 −𝑥 − 2𝑥𝑒 −𝑥 + 𝑥 2 𝑒 −𝑥 − 2𝑥𝑒 −𝑥 )

𝐿2 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑒 −𝑥 (2 − 2𝑥 + 𝑥 2 − 2𝑥) 𝑥1,2 = 2 ± 2 𝐿2 𝑥 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 2 𝐿′2 𝑥 = 2𝑥 − 4)

𝑥1 = 2 − 2 𝑥2 = 2 + 2

Cuadratura de Gauss-Laguerre

(2!)2 𝑤1 = 𝑥1 𝐿′ 2 (𝑥1 ) 𝑤1 =

4

(2 − 2) 𝐿′ 2 (2 − 2)

(2!)2 𝑤2 = 𝑥2 𝐿′ 2 (𝑥2 ) 𝑤2 =

2

2

=

4

(2 − 2) 2 2 − 2 − 4

2

= 0.8535533909

2

= 0.1464466094

2

4 (2 + 2) 𝐿′ 2 (2 + 2)

2

=

4 (2 + 2) 2 2 + 2 − 4

Cuadratura de Gauss-Laguerre

Cuadratura de Gauss-Laguerre

• Ejercicio: Usar la cuadratura de Gauss-Laguerre de dos puntos para calcular la integral

Cuadratura de Gauss-Laguerre

CUADRATURA DE GAUSS-CHEBYSHEV • La cuadratura de Gauss-Chebyshev tiene la forma: 1 1 ‫׬‬−1 1−𝑥 2 𝑓

𝑥 𝑑𝑥 =

σ𝑛𝑖=0 𝑊(𝑖)𝑓(𝑥𝑖)

𝑊 𝑥 =

1 1−𝑥 2

• En [-1,1], los polinomios de Chebyshev forman una familia ortogonal, T0 ( x)  1 T1 ( x)  x T2 ( x)  2 x 2  1 T3 ( x)  4 x 3  3 x T4 ( x)  8 x 4  8 x 2  1 Tn ( x)  2 x Tn 1 ( x)  Tn  2 ( x)

n  2,3,  Cuadratura de Gauss-Chebyshev

y Tn(x) tiene n raices reales distintas:

xk

 2k  1  cos 2n

• Los Wi: • El Error:

k = 0,1,2,  , n - 1

𝜋 𝑊 𝑖 = 𝑛 2𝜋 𝑦 2𝑛 (𝜃) 𝐸 = 2𝑛 2 2𝑛 !

Cuadratura de Gauss-Chebyshev

• N=1 1 1 ‫׬‬−1 1−𝑥 2 𝑑𝑥

y(x)=1

T1 ( x)  cos(arccos x)  x xk  0  y (0)  

Cuadratura de Gauss-Chebyshev

• N=3 1 1 ‫׬‬−1 1−𝑥 2 𝑑𝑥

y(x)=𝑥 4

T3 ( x )  4 x 3  3 x 4 x  3x  0 3

x ( 4 x 2  3)  0 x1  0

4x2  3  0 3 x2  4 3 x2 , 3   2

 3  3  9 9 3 ( y (0)  y ( )  y( ))  (0   ) 3 2 2 3 16 16 8 Cuadratura de Gauss-Chebyshev

Cuadratura de Gauss-Hermite Basa en la propiedad de ortogonalidad de los polinomios de los polinomios de Hermite puede deducirse una fórmula útil para integrar expresiones del tipo. ∞

2

‫׬‬−∞ 𝑒 −𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = σ𝑛i=0 𝑤𝑖 f 𝑥𝑖

∞

2

‫׬‬−∞ 𝐹 𝑥 𝑑𝑥 = σ𝑛i=0 𝑤𝑖 𝑒 𝑧𝑖 𝐹(𝑧𝑖 )

Cuadratura de Gauss-Hermite

Polinomio de Hermite

d𝑛 −𝑥 2 𝐻𝑛 𝑥 = 𝑒 𝑛 d𝑥 Los primeros cinco polinomios de Hermite: 𝐻0 𝑥 = 1 𝐻1 𝑥 = 2𝑥 𝐻2 𝑥 = 4𝑥 2 − 2 𝐻3 𝑥 = 8𝑥 3 − 12𝑥 𝐻4 𝑥 = 16𝑥 4 − 48𝑥 2 + 12 2 𝑛 𝑥 (−1) 𝑒

Cuadratura de Gauss-Hermite

Raíces de los polinomios de Hermite 𝑯𝒏+𝟏 (𝒙) y peso para la cuadratura de Gauss-Hermite

Peso:

𝑤𝑖 = (2𝑛+1 𝑛! π0.5 )/(𝐻 ′ 𝑛 (𝑥𝑖 )) 2

Cuadratura de Gauss-Hermite

𝑯𝒏

Puntos Raíces(𝒁𝒊 )

Pesos(𝑾𝒊 )

1

1

0.00000000

1,7724538509

2

2

±0.7071067811

0.8862269255

3

3

±1.2247448714 0.0000000000

0.2954089752 1.1816359006

±1.6506801239 ±0.5246476233

0.0813128354 0.8049140900

±2.20201828705 ±0.9585724646 0.0000000000

0.0199532421 0.3436193232 0.9453087205

4

4

5

5

Cuadratura de Gauss-Hermite

Ejercicio ∞

න

2 −𝑥 𝑒

𝑥 2 𝑑𝑥

−∞

Cuadratura de Gauss-Hermite

INTEGRANTES

• SANCHEZ HUAMAN, RONALDO • TOLENTINO SUMARAN, JHAN MARCO • CUEVA MALLQUI, REINERD • REYES GARCIA, CADMIEL

• NACION HURTADO, DEYBI