Algebra 3° Año De Sec.pdf

CONTENIDO

Álgebra

Pág.

Cap. 1

Potencia de Exponente Entero ..........................................................................................

4

Cap. 2

Ecuaciones de Primer Grado, Ecuaciones Exponenciales ......................................................

10

Cap. 3

Expresiones Algebraicas ..................................................................................................

19

Cap. 4

Teoría de Grados ............................................................................................................

30

Cap. 5

Polinomios Especiales ......................................................................................................

38

Cap. 6

Multiplicación Algebraica ..................................................................................................

44

Cap. 7

Factorización ..................................................................................................................

50

Cap. 8

Resolución de ecuaciones de Segundo Grado (Por Factorización) .........................................

58

Cap. 9

Radicación Algebraica ......................................................................................................

68

Cap. 10

Transformación de radicales dobles en radicales simples ....................................................

76

Cap. 11

Racionalización ...............................................................................................................

82

Cap. 12

Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado (Por fórmula cuadrática) .................................

88

Cap. 13

Manejo de fórmulas ........................................................................................................

94

Cap. 14

Propiedades de las raíces de la ecuación de Segundo Grado ............................................... 100

3° de secundaria

Cap. 15

Desigualdades ................................................................................................................ 108

Cap. 16

Inecuaciones Lineales o de Primer Grado ........................................................................... 127

Cap. 17

Inecuaciones de Segundo Grado ....................................................................................... 136

Cap. 18

Valor Absoluto ................................................................................................................ 146

Cap. 19

Inecuaciones con Valor Absoluto ....................................................................................... 154

Cap. 20

Números Complejos I ...................................................................................................... 160

Cap. 21

Números Complejos II ..................................................................................................... 169

Cap. 22

Funciones I ..................................................................................................................... 177

Cap. 23

Funciones II .................................................................................................................... 193

Cap. 24

Funciones III ................................................................................................................... 206

Cap. 25

Sistema de ecuaciones. Método Gráfico ............................................................................. 213

Cap. 26

Sistema de ecuaciones. Método Analítico ........................................................................... 222

Cap. 27

Sistema de ecuaciones. Problemas de texto ....................................................................... 232

COLEGIO

ACADEMIA

POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO

1

Potencia de Exponente Entero 3. Exponente negativo:

n

exponente

n

a

a = P



1 an

;  a  IR  { 0};

n  IN

Ejemplo:

Base

Potencia 1 a)   5

1. Exponente Natural:

a; si: n  1 an   a  a  a  ...... a; (n  IN , n  2)

1  b)   2

"n" veces

 2 4  16 3

3

5 3 125 5      3  8 2 2

2 10  2  2  2......  2

Ejercicios Básicos

10 veces 3

b)

 a  a   a  a               3  3   3  3 

c)

( 2 2 )( 2 2 )( 2 2 )................(2 2 )  ( 2 2 ) 219

219 veces d)

5

-4

2 c)   5

Ejemplos: a)

1

a)

2  2  2...............2  ____________________ 219 veces

b)

3  3  3...............3  ____________________ 2003 veces

(2003)( 2003)( 2003)...........(2003) "" veces no tendría sentido pues  IN 2. Exponente cero:

c)

x  x  x ...............x  __________ __________ (2x) veces

a0  1;  a  IR  a  0 d) x x  x x  x x ...............x x  __________ ______ Ejemplo: 10 veces 0

a) (-219) = 1 b) (2003)0 = 1 c) (219129  2003)0 = 1

CARLOS VALDERRAMA

4

ÁLGEBRA Calcular:

Ejemplo:

a) (32  23)0 = ________________________

a) 22 . 23 . 25 = 22+3+5 = 210

b) (125 + 64 + 1000)0 = ________________

b) 51 . 52 . 53 . 54 . 55 = 51+2+3+4+5 = 515

c) (23 + 34 + 56)0 = ____________________

c)

d) (200320003 - 219219)0 = _________________

3 4

b) 3

= ______________________________

   

 4 f)  3 

= ______________________________

2

2 e)   5

2

3 f)   4

3

7

 3 840

h) (54)6 = (33 . 2)6 = 318 . 26

 ____________________________

i) (60)4 = (22 . 3 . 5)4 = 28 . 34 . 54

 ____________________________

 52  56  25  j)     2   6 3  3  9   

 ____________________________

 33  27  k)     2 2  4  

3

3

5

Utilizando los teoremas, calcular:

1. am . an = am+n

am

5

 315    210 

Ejercicios Básicos

Teoremas:

2.

5 6

g) (6)5 = (2 . 3)5 = 25 . 35

3

1 __________ __________ __ c)    __________ 2 1 d)   4

 9 4 3  91

93

2003 d) 2  2 2003 1000  21003 1000 2 e) (2192)3 = (2193)2 = 2196

Efectuar: a) 2

94

a) 31 . 32 . 33 . 34 = _______________________

 a mn ; a  0

an 3. (am)n = am . n

b) 52 . 54 . 56 . 58 = _______________________

También:



 m  a   



c)



n p

  

q .........

   

 a mnpq.......

d)

  

e)



a a 5.     ; b b

CARLOS VALDERRAMA

25

 ________________________________



4. (abc) = a b c 

216

3 2004 31002

 ______________________________

3 4  35 36

 _____________________________

b0

5

Potencia del Exponente Entero x

7. Señalar el exponente de x en:

Pract iquemos

T  xx

Bloque I

a) 2006 d) x2005

1. Efectuar: 1   4 J   4 1  5   2( 6 0 )  ( 219) 0  7  

3

2006

c) x2006

b) 2007 e) x2007

8. Sabiendo que: n 1 n 1 1 T  x  x n 1   x ..........x n ;

x0

n 3 n 3 3   x  x n3   x ..........x n ;

x0

(n  2) veces

a) 216 d) 729

b) 343 e) 1000

c) 512

(n 4) veces

2. Calcular:

 1 U      2 a) 48 d) 1

3

 1      3

2

 (5) 2  2 3

b) 50 e) 27

Determinar:

c) 16

T  2n2

10

a) x

b) x

2n2

14

c) x

3. Simplificar: 10

A=3

9

7

8

. 3 . 3 ......................3

a) 3

b) 9

c)

d) 1

e) 27

8

17

.3 .3

1

14

+n

d) x

10

+ 2n

10

e) x

9. Efectuar:

3



 S  ......  (  2 )  3  

  0

3

 ......  

81

4. Simplificar:

1 1 1   N  1     ................ 2 3 4   a)  d) 

b) 0 e) -1

210 1024

c) 1

a) 219 d) 281

b) 081 e) 2

10.Simplifique:

Q

x 2  x 4  x 6  x 8 ................." n" factores x 3  x 5  x 7  x 9 ................." n" factores

5. Reducir: ( 3 )  (3 ) 2

M

a) 2 d) 1

4

3

4

(3 )

b) 3 e) 5

22

c) 4

A

6

n

b)

1

;

x0

c) xn

x e) nx

Bloque II 11.Reducir:

6. Calcular:

a) 1 d) 1024

a) 1 d) x

5

c) 1

( xy ) U

2 m  4 m  8 m  16 m

( x

2 3 m 7  2 7 m 3

b) 2 e) 64

2

2



3

x y

y) 2 y





4

8

c) 512 a) xy

b) x2y2

d) (xy)4

e) x3y4

c) (xy)3

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 2005

12. Si: k

= 32  k , el valor de:

17. Calcular el valor de:

k  2  2  2  2 .......... ..... 2  2 k

2005

es :

M

24 4  45 2  49 2  4 3

(k + 1) factores b) 48 c) 264 e) Hay 2 correctas

a) 416 d) 168

a) 64 d) 8

" 2n" veces   " 2n" veces   (x  x  x............x)(y  y  y...........y) V (x(x(x.........(x(xy)y)..........y)y)y)    " 2n" paréntesis

2n

a) (xy)

d) ( xy )

c) ( xy )

b) (xy) 3n 2

b) 0,5 e) 4

c) 0,25

18.Calcular:

13.Simplificar:

n

2

 1  36 4   2   25 7 

n 2

M

a) 7 d) 2

(21) 6 (35 ) 3 (80 ) 3 (15 ) 4 (14 ) 9 (30 ) 2

b) 14 e) 1

c) 35

19.Si: 2x = 5  3y = 7 2x  xy   6 Calcular: A    x y    7  5 

e) 1

   

3y

14.Efectuar: 2

2

2

V = (x2)3(x3)2(x3 )(x3 )(x(3) ) a) x9 d) x6

b) x9 e) x3

c) x6

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

20. Simplifique:  1  1     

15.Simplifique: D

1     3

2 x  5  2(2 x  3 )  6(2 x 1 )  4 (2 x 1 )

a) 2

36 (2 x  2 )  2 x  4

b)

1

5 e) 1

d) 3

3

 1  1   9  3            9  3 

c)

1

a) 9

3 d)

1 9

b)

1 3

c) 27

e) 3

16. Reducir:

 a) 5 d) 625

5 x  4  5 x  3  5 x  2  5 x 1  5 x 5 x  4  5 x  3  5 x  2  5 x 1  5 x b) 25 e) 3125

CARLOS VALDERRAMA

c) 125

7

Potencia del Exponente Entero

Tarea domiciliaria 1. Calcular:

8. Obtener: J = (21.30 - 5x22 - 4x2-1 + 50)219

2. Calcular:

3 T    5

6

 25     9 

9

 27     125 

4

9. Efectuar:  1 U      2

4

 1      3

3

  3

T

2

2m  3  4 m  2n 8m  2  16 n  2

10. Señalar el exponente de "xx", en:  = xx

219

3. Calcular:  9 74 729  9 63  9 2  72   97  A 9 68

   

11.Reducir: S

x 2  x 4  x 6  x 8 ..........................(" n " factores) x1  x 3  x 5  x 7 ..........................(" n " factores)

Indicar el exponente final de ‘‘x’’

4. Simplificar: 3 - 343

N = (123456789219 - 20052006)7

12.Efectuar: 5. Indicar cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) y cuales son falsas (F). 2 2005

I. (5 )

  Q  ....  

2007

=5

 219 

12 11 

10



 .... 

2006

2

II. -7 = 49 III. (2/5)-3 = 35/2

13.Siendo:

6. Reducir:

U

M

(m 4) veces    m1 x . x m1 ......... x m1 m2 2 x . x m2 .......... x m (m 3) veces

x  3  x  6  x  6  x  3

3 Qué valor adquiere: U U 6

   

 U 6     U 3   

2

2

7. Calcular: A

216  16 4  316  81 4

14.Reducir la expresión:

41 6  16 4  51 6  16 5

E

" x " veces " x " veces    x x x x (x . x . x ... x)(x . x . x ... x ) 0 1 x 2

(x )

8

.x

2

4

.x

(-2)

4

.x

-2

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 18.Si: 5x = 7y, calcular el valor de:

15.Efectuar: V = (-m)2(m-2)(-m)-2 (-m-2)

E

5

x+3

-7

y+2

7

y+1

-5

x+1

16.Simplifique:

E

5.2 2

x 2

x 5

 2

x4

 6.2

x

 15 . 2  2 . 2

x 1

x 3

19.Si: aa = 4 Calcular: D = a2a

a+1

17. Efectuar: 4

V

10

3

12 . 5 8

5

. 2 . 15 4

11

3 . 5 . 10

CARLOS VALDERRAMA

20.Si: xy = a; xa = 2a y

Calcular: = xy . xx . xx

xy

9

COLEGIO

ACADEMIA ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y ECUACIONES EXPONENCIALES

Ecuación Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en la que al menos esté presente una variable que ahora recibirá el nombre de incógnita.

Primer miembro

• Si se restan miembro a miembro varias igualdades, se obtiene otra igualdad. Por ejemplo, en la igualdad x + 5 = 7, podemos restar 5 a ambos miembros con lo que se obtiene x = 2. OJO

Notación: A(x;y;........;z)

=

B (x;y;......;z) Segundo miembro

Donde: x,y.........,z: incógnitas Una ecuación que sólo se verifique para ciertos valores de las incógnitas recibe el nombre de ecuación condicional o, simplemente, ecuación. Por ejemplo:

Regla de transposición de términos. Cualquier término puede pasar al otro miembro de una igualdad y, por lo tanto, de una ecuación, con la condición de que cambie de signo.

• Si se multiplican miembro a miembro varias igualdades se obtiene otra igualdad. Por ejemplo, si se multiplican por 3 los dos miembros de la igualdad: 2 1 ----- y = 5x 3

 x + 1 = 3 se verifica solo para x = 2; es una 

2

ecuación condicional. x2 – 1 = (x + 1) (x – 1) se verifica para todos los valores de "x"; es una identidad.

Para representar una identidad se emplea el símbolo en lugar del símbolo =. Soluciones de una ecuación: Las soluciones de una ecuación son los valores de las incógnitas que transforman la ecuación en una identidad, es decir, se igualan ambos miembros. Las soluciones satisfacen a la ecuación. Si la ecuación sólo contiene una incógnita, las soluciones se denominan raíces de la ecuación. Resolver una ecuación es hallar todas sus soluciones. Por ejemplo, x = 2 es una raíz, o solución de la ecuación x + 3 = 5, ya que sustituyendo x = 2 en esta se obtiene 2 + 3 = 5, es decir, los dos miembros se hacen iguales y la ecuación se convierte en una identidad. Operaciones aplicadas en la transformación de ecuaciones.

Se obtiene: y = 15x2 Análogamente, si los dos miembros de: 9 C  k  492 5 se multiplican por:

5 9

, se obtiene: C 

5 9

(k  492)

 Si se dividen miembro a miembro varias igualdades se obtiene otra igualdad siempre que no se divida por cero. Por ejemplo, si se dividen los dos miembros de la igualdad 3x = 6 por 3, se obtiene x = 2. Análogamente, en la igualdad: F = ma, se puede dividir los dos miembros por m  0, obteniéndose:

a

F m

• Si se suman miembro a miembro varias igualdades, se obtiene otra igualdad. Por ejemplo en la igualdad x – y = z, podemos sumar "y" a ambos miembros, con lo que resulta x = y + z.

CARLOS VALDERRAMA

10

ÁLGEBRA Ecuaciones equivalentes.

Fórmula:

Son las que tienen las mismas soluciones. Por ejemplo, x + 5 = 7  3x = 6 tienen la solución común x = 2, por lo tanto son equivalentes, sin embargo, x – 2 = 0  x2 – 2x = 0 no son equivalentes, ya que x2 – 2x = 0 tiene además, la solución x = 0.

La fórmula es una ecuación que expresa un hecho general, una regla o un principio.

Las operaciones anteriores aplicadas a la transformación de ecuaciones no dan lugar, en todos los casos, a ecuaciones equivalentes a las permitidas. La aplicación de estas operaciones puede conducir a ecuaciones derivadas que tengan distintas soluciones que la ecuación original.

Forma General: ax + b = 0 (a  0) en donde "a" y "b" son constantes arbitrarias.

Si a ambos miembros de una ecuación dada se multiplican por una expresión que contenga la variable, la nueva ecuación puede tener una o más raíces que no son raíces de la ecuación dada. Estas nuevas raíces se llaman ‘‘extrañas’’ y a la nueva ecuación se llama redundante con respecto a la ecuación dada. Ejemplo: Consideremos la ecuación x = 2 que tiene por raíz 2, si multiplicamos ambos miembros por x  1, obtenemos la ecuación x(x  1) = 2(x  1) que tiene las raíces 2 y 1. Por lo tanto x = 2 y x(x  1) = 2(x  1) no son equivalentes, 1 es una raíz ‘‘extraña’’, y la ecuación x(x  1) = 2(x  1) es redundante con respecto a la ecuación x = 2.

ECUACIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Como primer paso para la resolución de esta ecuación transponemos ‘‘b’’ al segundo miembro obteniéndose así la ecuación equivalente. ax = b Después dividimos ambos miembros entre ‘‘a’’, obteniéndose otra ecuación equivalente que es la solución de la ecuación dada:

x

Si ambos miembros de la ecuación dada se dividen entre la misma expresión que contenga la variable, la nueva ecuación puede tener una o mas raíces respecto a la ecuación dada. En este caso se dice que la nueva ecuación es defectuosa con respecto a la ecuación dada.

a

Si este valor de ‘‘x’’ se sustituye en ax + b = 0 obtendremos la identidad:

 b a    b  0  a bb  0

Observemos otro caso: Si a ambos miembros de x = 2 se elevan al cuadrado, obtenemos la ecuación x2 = 4 cuyas raíces son 2. Lo que significa que esta operación ha introducido la raíz extraña ± 2.

b

Teorema: La ecuación lineal con una incógnita ax + b = 0 (a  0)

Tiene solución única: x  

b a

Por ejemplo: Dividamos ambos miembros de la ecuación x(x – 2) = 4(x – 2) entre x – 2. Obtenemos la ecuación x = 4. La ecuación x(x – 2) = 4(x – 2) tiene las raíces 2 y 4 pero la ecuación x = 4 es defectuosa con respecto a la ecuación x(x – 2) = 4(x – 2) pues solo tiene la raíz 4. En consecuencia, debe tenerse cuidado cuando se efectúen operaciones en una ecuación dada, para que no se introduzcan raíces extrañas y para que no se pierdan raíces validas. Para esto conviene que el estudiante tome como norma la comprobación de cada raíz en la ecuación original, por sustitución directa.

CARLOS VALDERRAMA

11

Ecuaciones de Primer Grado, Ecuaciones Exponenciales e) Resolver:

Problemas resuelt os a) Resolver:

2 + 3[y  (3y  1)] = 2[y + (4y  2)] Solución:

x+1=5

2  3[ y  3 y  1]  2[ y  4 y  2 ] 2  3y  9 y  3  2 y  8 y  4

Solución:

 6 y  5  10 y  4  6 y  10 y  4  5

x+1=5 x=51 x=4

 16 y  9 y 

Comprobación: haciendo x = 4 en la ecuación dada se obtiene: 4 + 1 = 5  5 = 5

9 16

f) Resolver:

b) Resolver:

x2

2x + 5 = 4  3x

x3

Solución:

x 3



x4

Solución: 2x  3x  4  5 5 x  1 x  

( x  2)( x  4 )  ( x  3)( x  3) x 2  2x  8  x 2  9 2 x  9  8 1 x   2

1 5

c) Resolver: 5(x + 1) + 3(x - 2) = 2(x + 2) g) Resolver:

Solución:

3

5 x  5  3x  6  2x  4 5x  3x  2 x  4  5  6 6x  5 x 

x



2 3x

4

Solución: Multiplicando por 3x.

5

9  2  12 x 12 x  11

6

d) Resolver:

x 

11 12

5(x  1) + 2x = 4x + 1 + 3(x  2) h) Resolver: Solución: 5 x  5  2 x  4 x  1  3( x  2 ) 5x  5  2x  4 x  1  3x  6 7x  5  7x  5

 Es una identidad y se verifica para todos los valores de "x".

12

x2 3x



1 x 1



1 3

Solución: Multiplicando por 3x(x + 1)

( x  2 )( x  1)  3 x  x ( x  1) x 2  3x  2  3x  x 2  x 5x  2  0 5x  0  2 2 x  5

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA i) Resolver:

Ejercicios Básicos x 2



x4

x3

I. Resolver las siguientes ecuaciones:

x2

a) 2x  5 = x + 3 ................................... C.S. {

}

b) 4 + 3(y + 1) = 13 .............................. C.S. {

}

c) x  1  3(x  3) = 2(3x  4) ................ C.S. {

}

Solución:

( x  2)( x  2)  ( x  3)( x  4 ) x 2  4  x 2  x  12  4  x  12

d)

x  8 j) Despejar ‘‘x’’:

e)

2x - 4p = x + 3p 2x - x = 3p + 4p ... x = 7p

f)

k) Despejar ‘‘x’’:

4t  3 3 x 1



x2 3 2z





2 z

3t  4

................................ C.S. {

}

................................... C.S. {

}

...................................... C.S. {

}

4

x 1 x 2



1 2

II. Despejar la incógnita indicada:

2 cx  4 d  3 ax  4 b

2 cx  3ax  4 b  4 d ( 2 c  3 a ) x  4 b  4 d x 

Siempre que: 3a  2c

 4b  4 d 2 c  3a

a) 3(x - m) = 4(3m - x) ....................... x =



4b  4 d 3a  2 c

b) 3ay - 2b = 3a - 2by ......................... y = c)

d)

CARLOS VALDERRAMA

3x  b a

ta td





3x  a b

t b tc

............................. x =

.................................. t =

13

Ecuaciones de Primer Grado, Ecuaciones Exponenciales Representación de palabras por símbolos: Expresar por medio de símbolos algebraicos. a) Un número; sea: x = un número. b) El doble de un número. Sea: x = un número.  2x = doble de un número c) El triple de un número aumentado en cinco. Sea: x = un número 3x = triple de un número  El triple del número aumentado en cinco es 3x + 5. d) El cuádruple de un número menos tres. Sea: x= un número 4x = cuádruple de un número . . .El cuádruple del número menos tres = 4x - 3. e) Dos números cuya suma es 20. Si: x = uno de los números . . . 20  x = el otro número. f) Dos números cuya diferencia sea 219

Sea: x = longitud del lado menor. . . . x + 4 = longitud del lado mayor. Perímetro: 2x + 2(x + 4) = 4x + 8 Y el área = x(x + 4) k) El número de litros de alcohol de un recipiente que contiene ‘‘x’’ litros de una mezcla al 40% de alcohol en volumen. En ‘‘x’’ litros de mezcla habrá 0,40x litros de alcohol. Problemas que se resuelven por medio de una ecuación lineal. Es posible resolver una gran variedad de problemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita. El procedimiento consiste, generalmente, en representar con una letra, por ejemplo ‘‘x’’, la cantidad desconocida (o una de las cantidades desconocidas). El siguiente paso consiste en obtener una ecuación que contenga a ‘‘x’’ y que traduzca algebraicamente las condiciones del problema. El paso final será la resolución de esta ecuación. En todo este proceso es importante que el estudiante tenga en cuenta que la letra "x" siempre representa un número. También es importante comprobar la solución viendo que satisfaga las condiciones del problema.

Sea: x = el número menor x + 219 = el número mayor. g) Tres enteros consecutivos (por ejemplo 3,4,5) Si "x" es el menor de los enteros. . . . (x + 1) y (x + 2) serán los otros dos. h) El exceso de 100 sobre el cuádruple de un número. Sea: x = el número dado. 4x = el cuádruple del número. . . . El exceso de 100 sobre 4x es (100  4x) i) La edad de Juan es el triple que la de Renzo y la de éste es doble que la de Mirko. Expresar cada una de estas edades en función a una de ellas. Sea: x = edad de Mirko. La edad de Renzo será: 2x. . . . La edad de Juan será 3(2x) = 6x. j) El perímetro y el área de un rectángulo, uno de cuyos lados es 4m más largo que el otro.

a) Hallar dos números sabiendo que su suma es igual a 33 y que uno de ellos es igual al doble del otro. Sean "x" y "2x" los dos números pedidos. En estas condiciones: x + 2x = 33 o sea: x = 11 los números pedidos son: x = 11 y 2x = 22. Comprobación: 11 + 22 = 33 y 22 = 2(11) b) Hallar tres números consecutivos cuya suma sea 24. Sean los tres números consecutivos: x + (x + 1) + (x + 2) = 24 o sea x = 7; Por tanto, los números son: 7, 8 y 9. c) La edad de una persona es 41 años y la de su hijo es 9. Hallar al cabo de cuántos años la edad del padre es el triple que la del hijo. Sea: x = el número de años buscado. La edad del padre después de ‘‘x’’ años = 3 (edad del hijo después de ‘‘x’’ años). 41 + x = 3(9 + x)  x = 7 años.

14

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA d) Renzo tiene 350 soles en monedas de 2 y 5 soles. Sabiendo que posee 100 monedas, calcular el número de monedas de 5 soles. Sea: x = número de monedas de 5 soles. 100  x = número de monedas de 2 soles. Soles en monedas de 5 + soles en monedas de 2 = 350 soles. 5x + 2(100  x) = 350 Donde: x = 50  x = 50 monedas de 2 y 50 monedas de 5. e) Hallar la temperatura a la que coinciden las indicaciones de dos termómetros grabados, uno en la escala centígrada y otro en la Fahrenheit. Se sabe que: (temperatura fahrenheit) 

9 (temperatura centígrada) + 32 5

Sea: x = temperatura buscada = temperatura Fahrenheit = temperatura centígrada. Tendremos: x 

9 5

x  32

De donde: x = -40  40ºF = 40ºC

Ejercicios Básicos a) Hallar un número sabiendo que su mitad es igual a su sexta parte mas 10. b) Hallar dos enteros pares consecutivos sabiendo que el doble del menor excede al mayor en 18. c) Un padre tiene 24 años más que su hijo. Determinar sus edades actuales, sabiendo que dentro de 8 años la edad del padre será el doble que la del hijo. d) Una bolsa contiene 215 soles en monedas de 5 y 25. Sabiendo que hay 19 monedas más de 5 que de 25, hallar el número de monedas de cada clase. e) Hallar un número de dos cifras sabiendo que la suma de estas es igual a 1/7 del número y que la cifra de las decenas excede en 3 a la correspondiente de las unidades. f) Hallar las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es igual a 100cm y que su longitud es 5cm más pequeña que el doble de su altura.

Ecuación Exponencial

f) La velocidad en aguas de reposo, de una moto acuática es de 25km/h. Sabiendo que cuando avanza contra la corriente recorre 4,2Km/h en el mismo tiempo que recorre a favor de ella 5,8Km/h, calcular la velocidad de la corriente. Sea: x = velocidad de la corriente.

Son aquellas ecuaciones no algebraicas o trascendentes en las que la incógnita aparece como exponente. Casos: I. Si : xb  x c  b  c; x  0;1 II. Si : x b  y b  b  0; x  y

ESPACIO Tiempo = ------------------------VELOCIDAD Tiempo contra la corriente = tiempo favor de la corriente.

4 ,2km ( 25  x )km / h  x  4 km / h



5 ,8km

III. Si : x x  aa  x  a  0; (no siempre se cumple) Ejm: 1. Resolver: 5x+2 = 54-x

( 25  x )km / h Solución:

x 2 4x 2x  2 x 1

CARLOS VALDERRAMA

15

Ecuaciones de Primer Grado, Ecuaciones Exponenciales 2. Resolver:

d) Se escribe el resultado en la forma siguiente: 2

x a  xb a  b

273x+2 = 812x+4

2

2

==> x - y = xy - y

e) Se dividen los dos miembros por (x  y): ==> x + y = y

Solución:

(3 3 ) 3 x 2  (3 4 ) 2 x  4

f) Se sustituye "x" por su igual "y": x+y=y

3 9 x  6  3 8 x 16 9 x  6  8 x  16  x  10

g) De aquí resulta: 2y = y

3. Resolver:

h) Dividiendo por "y": 2 = 1 2 . 3x-1 = 2x-1 . 3

xxaa  xyba  a a  0b

Solución:

3

x 1

3 3

2



x 2

x 1

2

Bloque I

x 2

2 x  2  0  x  2

1. Resolver las ecuaciones siguientes:

Ejercicios Básicos

a) x  3  2(6 - 2x) = 2(2x  5)

Resolver las siguientes ecuaciones: x+1

a) 3

= 243 ....................................... C.S. {

3x7

b) 5

14

=5

x+3(x+2)

c) 13

2(t+3)

d) 2

....................................... C.S. { 2x4

= 13

5(t1)7(t3)

=2

............................. C.S. {

}

= 6 .................................... C.S. {

}

 27 .......................................... C.S. {

}

 219

2

x

2x4

x+1

f) 2 + 2 3

} }

e) 219

5

x

32

x

2

h) [2 . 64] = 1024 .............................. C.S. {

}

i) 2x3 = 3x3 ........................................ C.S. {

}

5(x2)

j) 2

2x+73x

=3

.............................. C.S. {

b)

2t  9 3



3t  4 2

}

......................... C.S. {

x 3

g)

.............................C.S. {

}

c)

2x  3 2x  4



x 1 x 1

d) (2x + 1)2 = (x  1)2 + 3x(x + 2)

e)

2x  1 x



x4 x 1

3

2. Despejar la incógnita indicada. }

a) 2(x  p) = 3(6p  x);

Encontrar el error cometido en el siguiente razonamiento:

b) 2by  2a = ay  4b;

a) Sea:

c) 2x  a  2x  b ; b a

x = y ==> x = y

x

y

x

b) Se multiplican los dos miembros por "x": 2

==> x = xy c) Se resta y2 a ambos miembros: 2

2

2

==> x - y = xy - y

16

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 3. Representar las expresiones siguientes por medio de símbolos algebraicos. a) Cinco veces un cierto número más dos.

14.Hallar "x"

x

Si: 42 = 256

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

b) Dos veces un cierto número menos seis. 15.Calcular ‘‘x’’ si: c) Dos números cuya diferencia sea 25.



d) Los cuadrados de tres enteros consecutivos. e) El exceso del quíntuplo de un cierto número sobre 40.

a) 

4. Hallar dos enteros pares consecutivos, sabiendo que el doble del menor excede al mayor en 18.

d) 

5. Hallar tres números cuya suma es 54 sabiendo que el primero es igual al doble del segundo mas 4 y que el tercero es igual al doble del primero. 6. Leticia tiene quince años más que su hermana Begoña. Hace seis años la edad de Leticia era seis veces la de Begoña. Hallar sus edades actuales. 7. La edad actual de Juan es el doble de la de Fernando. Hace cinco años Juan era tres veces mayor que Fernando. Hallar sus edades actuales. 8. Hallar un número de dos cifras sabiendo que la suma de éstas es igual a 10 y que, si se invierten, el número que resulta es una unidad menor que el número original. 9. Hallar un número de dos cifras sabiendo que la de las decenas es igual a 1/3 de la correspondiente de las unidades y que, si se invierten, el número que resulta es igual al doble del primitivo más la suma de las cifras de este más 2 unidades. 10.Un muchacho tiene 500 soles en monedas de 25 y 50 soles. Sabiendo que el número de las de 25 es igual al doble de las de 50, hallar el número de monedas de cada clase. Bloque II

12.Un lado de un paralelogramo es 4,3cm más largo que el lado consecutivo. Si el perímetro de este paralelogramo es 20,6cm, calcula las longitudes de sus lados.

32

b) 

3 64

e)

9

a

16.Si: 3  216 = 3 Hallar ‘‘a’’

4

64

9

c) 3

17. El valor real de ‘‘x’’ para que 64x-1 dividido entre 4x-1 sea igual a 2562x es:

a) 

d)

2

b) 

3

1

e)

4

18.Al resolver: 163

2x

1

CARLOS VALDERRAMA

c) 0

3

3 8

= 84

2x

Se obtiene la fracción irreducible:

p q

indique: p + q a) 2 d) 5

5

b) 3 e) 6

a

75 a

c) 4

7 a7

5

Calcular el valor de ‘‘a’’ a) 5 d)

3

5

b)

6

5

e)

7

5

c)

5

5

20.Resolver:

x 6

c) 3

9

46

b) 2 e) 5

2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 112 b) 2 e) 5

3

32

c) 

3

13.Resolver:

a) 1 d) 4

3

 125 x   625 2 

a2

a) 1 d) 4

19.Si:

11.Las entradas de un teatro valen 50 soles para los adultos y 20 soles para los niños. Sabiendo que asistieron 280 personas y que la recaudación fue de 8000 soles, hallar el número de niños que asistieron a la función.



 (5 2 ) 3  25  

a) 39 d) 3

3x

7

b) 33 e) 3

3



9 3 8

c) 3

17

Ecuaciones de Primer Grado, Ecuaciones Exponenciales

1. Resuelve y comprueba las ecuaciones siguientes: a) b) c) d) e)

2x - (1 - 6x) = 15 2a - 8 = 3(a - 2) + a 6(c + 10) + 3(2c - 7) = -45 (x + 5)(x - 1) = x2 - 7 x(x + 2) + 5 = (x + 7)(x - 3)

2. Determina el valor de ‘‘x’’ que satisface las ecuaciones siguientes: a) b) c) d)

x - (8x - 69) + (6x - 50) = 2x - (x - 5) 4x - (3x + 5) + (x + 7) = 2x - 3(x - 1) 5x - 6 = 4(x - 1) + x (x + 7)(x - 3) = 2x + (x2 - 5)

e) 2 x  7  x  11  4 5 2 3. Halle la solución de las ecuaciones siguientes: a) 4a + [-a - (a + 5)] = 3 b) 2b - [7 - (3b - 2)] = 1 c) 6c + [2 - (c - 1) - 3] = c

8. En un número de dos cifras, la cifra de las unidades excede en 2 a la cifra de las decenas. Si al número se le agrega el triple de la cifra de sus unidades, resulta 36. ¿Cuál es el número? 9. José tiene 11 años y Luis tiene 28 años. ¿Dentro de cuántos años la edad de Luis será el doble de la de José? 10.En un encuentro de béisbol celebrado en el Estadio Latinoamericano asistieron 35000 aficionados. Habían 26000 hombres más que mujeres y el número de niños era la mitad de la cantidad de mujeres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños asistieron al encuentro de béisbol? 11.En un concurso municipal de conocimientos de las asignaturas Física, Química y Matemática se presentaron un total de 450 alumnos. La cantidad de participantes por Matemática es el doble de la cantidad de participantes por Química, mientras que por Física participaron 18 alumnos más que por Química. ¿Cuántos alumnos participaron por cada asignatura? x+1

12.Resolver: 3

x+2

+3

x

+ 3 = 351

4. Despeja, en cada caso, las variables que se indican: a) F = ma; b) v 

1 ah; 3

h

ac  h; 2 d) y = mx + n ;

c) A 

e) s 

1 2 gt ; 2

a) 1 d) 4

a

c) 3

13.Calcular ‘‘x’’

 3  8 

 

a

m

g

5. Despeja las variables que se indican en las siguientes ecuaciones y calcula su valor numérico para los valores que se dan, en cada caso: a) t = m + np; n para t = 4,5; m= 3; p = 5

a) 1 d) 8

c) a2 = b2 - db; d para a = 2; b = 8 d) A = 2a2 + 4ah; h para A = 24,8; a = 2 e) A = g(R + r); r para A = 141,3; g = 5;  = 3,14; R = 6

3

3   64  4 x   102427  

b) 2 e) 9

c) 4

x

x

2716 = 819 a) 1 d)

1 2

b) 2 e)

c) 

1 2

1 4

15.Resolver la ecuación:

0 ,2 x  0 , 5

6. La suma de dos números es 20. Si se multiplica uno de los números por 3 y se disminuye el otro en 12, entonces se obtienen números iguales. ¿Cuáles son los números? 7. La suma de tres números es 40. El segundo número es 3 unidades mayor que el primero. El tercero es 8 unidades menor que el primero. Halla los tres números.

2

14.Hallar "x":

b) ax + by = c; y para c = 7,4;a = 2; x = 3; b = 2

18

b) 2 e) 5

1 52

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

 5  0 ,04 x 1

c) 3

3° año de Secundaria

COLEGIO

ACADEMIA

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

3

Nociones Previas Expresión Matemática

Constantes Son aquellas expresiones que tienen un valor permanente para todo el problema.

Es una representación matemática formado por números y/o letras anexados por diferentes operadores matemáticos.

Ejm: J ( x, y , z )  3 x y z  5 2

3

5

2

x  y

4



6

9 12

3x y z

Ejm:

 3 x 2 y 3  x  y  7   2 b 3  3  c a  Senx  Cosy 7

Variables

Constantes

 3loga   arc tg  º 3  4 M (a , b , c ) 

OJO

 4

a b c +
e a b 3 3 2

4

5

c 

2 5

a

3

bc



2 5

2e  4 7  Sen45º

Expresión Numérica

Variables

Constantes

Ejercicios Básicos 1. Indicar las variables y constantes en:

Notación Matemática Es aquella representación simbólica de una expresión matemática que nos permite diferenciar a las constantes de las variables.

a) J(x,y) = 219x2y4 + 2005x1/2y6 Variable: ...................................... Constantes: .................................. b) M(a, b, c)  3a 4 b5  2ea4 c 7 

Variables Son aquellas expresiones que para el problema cambian de valor. Generalmente se les representa mediante las últimas letras del alfabeto. (x, y, z,..............)

CARLOS VALDERRAMA

4 3

b6 c 5

Variables: .................................... Constantes:.................................. c) Q(x,y,z) = 2a5b5x6  6a5b6y7  219a6b7z2005 Variables: .................................... Constantes: .................................

19

Expresiones Algebraicas Expresión Algebraica

Partes de un Término Algebraico

Es una expresión matemática en la cual figuran constantes y variables con las que se realizan operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, elevación a exponente natural y extracción de una raíz aritmética, en un número limitado de veces

Posee tres partes:

Ejm:

Sea:

1. Coeficiente o parte constante (incluye el signo) 2. Variable o parte variable. 3. Exponentes de las variables.

 J( x )  x 2  3 x 1  x  M( x ) 

x2



x 2

 Q(x, y)  3 -

3

x

y

4

x 3 x 6  219 4 x 2 y 5  x 3 y 4

OJO

J(x)  x  x  x  ...  ¡ No es una expresión algebraica! Porque tiene infinitos términos M(x)  3x x  4x x1  ¡ No es una expresión algebraica! Porque la variable " x" aparece como exponente.

2. Ubique en el recuadro las partes que se indican de cada término algebraico. Parte Coeficiente Variable M(x) = 5x2 A(x, y) = 2005x6y7 T(x, y) = 3ax4y6 T(x, y) = 219a2b3x6y7 f(x, y, x) = 3e2x6y7z8 S(x, y) = 3p-2 x6 y8

Término Algebraico Es aquella expresión algebraica que solo contiene productos y cocientes de números y letras.

Clasificación de las Expresiones Algebraicas Las expresiones algebraicas se pueden clasificar tomando en cuenta la forma o naturaleza de sus exponentes y por su extensión o número de términos.

Ejm:  A ( x )  3 x 219  B ( x , y )   2005 x 4 y 13  C(x , y) 

16 x 7

OJO

9y 8

Según la naturaleza del exponente: I. Expresión Algebraica Racional (E.A.R.).Una expresión algebraica se llama racional, si los exponentes de las variables son números enteros. Ejm:  J( x )  4 x 3  2 x 2 y

 M( x )  3 x 4  x 3  2 x 5  Q( x , y )  2ex  3  4 

y7 3

Las expresiones algebraicas racionales pueden ser: I.1.Expresión Algebraica Racional Entera (E.A.R.E.).Una expresión racional se llama entera respecto de las variables dadas, si no contiene la operación de división por cada variable dada.

20

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA Ejm:

 J( x )  3x 3  2 x 2  3  M( x , y )  ex 6 





7  5 xy  1 6

1 2

 Q(x, y, z)  a x  b y  c

y3 2 z  e

3 4

III.Expresiones No Algebraicas o Trascendentes: 1. Expresión Exponencial: x

x

x

3 , 2 , a , (x + y)

x

2. Expresión Logarítmica: log x, ln x II.2.Expresión Algebraica Racional Fraccionaria (E.A.R.F.).Una expresión racional se llama fraccionaria con respecto de las variables dadas, si contiene la operación de división por cierta expresión en la que figura la variable, o por la propia variable.

3. Expresión Trigonométrica: Sen x, Cos x, Tg x Ctg x, Sec x, Csc x 4. Expresión de infinitos términos: 1 + x + x2 + x3 + x4 +.............

Ejm:

 J( x )  2 x  M( x , y ) 

219



2005 x



 x  y 2

 Q(x, y, z) 

12 ab xy





5. Expresión Trigonométrica Circular:

3

12 xy

arcSen x, arcCos x, arcTg x

 ex 2 y 3

16 bc xz



18 ac yz

6. Expresión Hiperbólica: Sen hx, Cos hx, Tg hx 7. Expresión Integral:

dx

x 8. Expresión Vectorial:

 A  B  x C   II. Expresión Algebraica Irracional. Una expresion algebraica se denomina irracional, si en ella se prevee la operación de una raíz aritmética respecto de las variables que la integran. Ejm:

 M( x )  219 x  x  3 x 2  x 4  A( x , y) 

x  y  2 xy

 P(x, y, z)  2 3 x  3 3 y  1   4 z  1

CARLOS VALDERRAMA

21

Expresiones Algebraicas Ejercicio Básico Señale con una indicación la clasificación de las expresiones matemáticas tomando en cuenta los exponentes de las variables. Expresión Algebraica Racional Entera

Expresión Algebraica Racional Fraccionaria

Expresión Algebraica Irracional

Expresión Trascendente

x 2  y 2  z2

J( x , y , z) 

U(x, y)  ax  b y

A( x , y)  x   3 e x  2y xy

N( x , y) 

M( x , y)  Sen( x  3) 3 A(x)  T(x) 

3

2

x  2 

4x 2 y

5



3x 4 y6

 



7 2 x 16 y3

T ( x )  Log x  3

( x )  Sen 3  Cos 5  x 4 4

SS(x,  (x, 2e 1+yy 1 2 y) y) = x 5x 5+2e -1

K (x) 

1 0!

I( x )  e



x1 1!



x2 2!

-1/2



x3 3!

 .......

x

E( x)  ( x  e) 3  2 V ( x , y )  2 x  2 x  2 x  ....  

Según el número de términos: Se clasifican en: 1

3x 5

Expresión Algebraica de 1 término.

4  2 x

Expresión Algebraica de 2 términos.

4

Para ‘‘n’’ términos

22

Expresión Algebraica de 3 términos. . . . . .

x  x 3  2 x 5 . . . . .

sería

Expresión algebraica de ‘‘n’’ términos.

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA Sabiendo que:

Polinomios

x,y

Definición: Se denominará polinomio a toda expresión algebraica racional entera respecto de toda variable que figura en dicha expresión.

a,3b,7c,d

Son variables Son constantes

Polinomio de una Variable Un Polinomio es la suma Algebraica de Monomios

Se llama así a aquella expresión algebraica en la que se definen solamente dos operaciones respecto de las variables que lo integran, a saber , multiplicación y elevación a exponente natural. Ejm: 4

6 7

2 3 3

 4 x y ; 3 x y z ; 3a b x y

P(x) = a0 xn + a1xn-1 + a2xn-2 +... + an-1 x + an

a 0 , a1 , a 2 , a 3 ,.........., a n  Coeficientes x  Variable aº  0  Coeficiente Principal

Monomio

3 5

Forma General:

4

Los polinomios pueden clasificarse como aparece en el cuadro: Binomio: es la suma algebraica de dos monomios. Trinomio: es la suma algebraica de tres monomios. Para ‘‘n’’ monomios se llamará polinomio de ‘‘n’’ términos ( n  4 ; n  N) Ejm:

3x + 2y; 3x7  2xyz4

Son binomios. 3 + 4x  x2; x3  4xyz + 219 Son trinomios.

 Término Independiente

an nZ



 Grado

Valor numérico de una Expresión Matemática: Consiste en sustituir las variables por números o constantes efectuando las operaciones indicadas, el valor resultante recibe el nombre de valor numérico de la expresión matemática. Ejemplos:  Sea: P(x) = 2x  3 para: x = 2 P(2) = 2(2) - 3 = 1 a2b - 5c  Sea: P(a,b,c) = --------------a+1 1 para: a = -2; b = ----- ; c = 0,6 4 Sustituimos las variables por los valores indicados:

Notación de un polinomio Es la representación matemática mediante constantes y variables. Un polinomio de variable ‘‘x’’ e ‘‘y’’ se puede representar así:

P(x,y) = ax 12 + 3bx 4 y 7 - 7cx 9 y 9 + dy 7

Variables

Nombre Genérico

Se lee: "P de x  y" que significa: "P" depende de "x" e "y"

CARLOS VALDERRAMA

23

Expresiones Algebraicas ¡Cuidado! En el caso anterior, la expresión algebraica dada carece de valor numérico para a = -1 debido a que al sustituir la variable por este valor, el denominador se anula y la división entre cero no esta definida. Ejercicios Básicos Calcula el valor numérico (en caso de que exista) de las expresiones algebraicas, para los valores de las variables que se indican en cada caso:

a) J( x , y ) 

1 1 2 x y Para x = 2; y = 4 2

b) U ( x )  5 x 2  3 x Para x = 2 c) A ( a , b )  3 a 2 b  2 a Para a  0 ,5; b 

2 3

d) N(p; q; r )  (p  q)2r Para p  1; q  3; r  5 e) M(a)  8(a2  a) Para a 

1 2

Nota 1. La expresión 3x+2 esta definida  x IR ya que la variable puede ser sustituida por cualquier número real y siempre será posible calcular el valor numérico de esta expresión.

7

está definida para  x IR{5} debido a que el denominador se anula para x=5 y no es 5x posible calcular el valor numérico en este caso.

2. La expresión

3. La expresión x esta definida para x IR+. Es decir, la variable puede ser sustituida por cualquier número real no negativo, ya que no es posible calcular el valor numérico para números negativos.

Ejercicios Básicos  Para qué números reales están definidas las expresiones algebraicas siguientes:

a)

1

b) 2a  5

x

d) b  2 b5

f)

7 xy

24

e)

g)

2a

c)

x y 1

 Determina si es posible calcular el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes para los valores de las variables que se indican: a) J( x )  x  3 Para x  3

b) U(a; b) 

ab

8p

c) A (m) 

ab Para a  5; b  1 a5

2m Para m  2 m 1

d) N( x; y) 

2x Para x  8; y  8 xy

e) M(b; c) 

b b  Para b  2; c  0 c c2 3° año de Secundaria

ÁLGEBRA Ejemplo: Teoremas Sea: f(x) = x + 2 Sea: P ( x )  a 0 x  a 1 x n

n 2

 ......  a n 1 x  a n , a 0  0

1. Suma de coeficientes:

Hallar: f(2x  1) Solución: Se reemplaza "x" por 2x – 1.

P (1)  a 0  a1  a 2  a 3  a 4  ......  a n

f ( 2 x  1)  ( 2 x  1)  2  f ( 2 x  1)  2 x  1

2. Término Independiente: Ejemplo:

P (0 )  a n

Sea: f(x + 2) = 3x + 4 Ejemplo:

Hallar: f(x) 2

Sea: P(x) = x + x + 2

Solución: x + 2 = y

Indicar:

Despejas "x"  x = y - 2 2

1. Suma de coeficientes: P(1) = (1) + (1) + 2 = 4

Reemplazas: f ( y )  3( y  2)  4

2

2. Término independiente: P(0) = (0) + (0) + 2 = 2

f (y)  3y  6  4 f (y)  3y  2

Cambio de Variable. Consiste en reemplazar una o más variables de la expresión matemática por una nueva variable o nuevas variables.

Luego: cambiando “y” por ‘‘x’’

 f (x)  3x  2

Ejercicios Básicos Para cada polinomio, obtén los valores que se indican. 1. P(x) = 4x2  3x + 2; obtén:

P ( 2)  ......................... P (1)  .......................... P ( 9)  .........................

P( 3)  ........................... P( 4)  ........................... P( 6)  ...........................

P(0)  ........................... P(6)  ........................... P( 5)  ............................

P (2)  ........................... P ( 2)  ......................... P (3)  ...........................

P ( 3)  .......................... P ( 4 )  ........................... P ( 4 )  ..........................

1 Q    ......................... 2  1 Q     ....................  2 Q ( 2)  ...........................

Q ( 2)  .......................... Q ( 3)  ........................... Q ( 3)  ..........................

2. P(y) = 12y3  8y + 5; obtén:

P (1)  .......................... P (0 )  ......................... P ( 1)  ........................

3. Q(x) = 8x3  12x - 2; obtén:

Q (1)  ........................... Q (2 a)  ........................... Q (  a)  ............................

CARLOS VALDERRAMA

25

Expresiones Algebraicas 4. Siendo:

P( x )  Bloque I

x2 1 x 2

Q( x ) 

1. Clasifica las expresiones algebraicas:

x 1

F( x , y ) 

a) 2x7 + y3 : __________________________

x x y



y x

b) 35 x  3x 6  y 9 : ________________________

Calcular: F[P(2),Q(2)]

c) 4 Cos 37  x 219  y 3 : __________ __________

a)

d)

x4  y4 5

 9 7 : __________________________

15

b)

16

d) 2

e)

16 16 5

2

e) 7 x 3  7 y 9  13 : __________ __________ ______ f)

g)

6x  3 23 x

219 x  2005 y

3 4 * 219x  2005x + 3 5 3 * 7x + 6xy + 6 5 * 3x  4  6 x

*

2 5

a)

1

1

Para : x  

1

c) 9

2 e) 4 99

94

 64x

1 3

+x5

Calcular: E = P(2) + P(1) + P(1) a) 141 d) 75

x 3 5

b) 143 e) 66

c) 72

5

x 6  8 x 2  219

2x  5; Si " x " es par 7. Si : F(x)    x 2  2; Si " x " es impar

Se puede afirmar:

Calcular: F(F(4))

3 son irracionales 3 son racionales enteras 2 son irracionales 2 son racionales enteras 3 son racionales fraccionarias

a) 6 d) 14

Calcular: E  a) 1 d) 4

P( x ) 

P(2)P (1)  P (0)P (2)

c) 11

x 1 x 1

Determine el valor de P(P(P(64)))

P ( 2)  P( 1)

b) 2 e) 0

b) 9 e) 16

8. Si se tiene que:

3. Si: P(x) = 2x2  1

26

b)

4 d) 2

6. Si: P(x) = 2x

x 2  3x 4  8 * 7x

a) b) c) d) e)

1  1     x  1   3  x          3  x       

: _________________________

2. De las siguientes expresiones de variables "x" e "y"

4 * x 

5. Cuál es el valor numérico de la expresión

: __________ __________ __________ __

9 x 4  12 y

c) 1

15

c) 3

a) 2 d) 8

b) 3 e) 7

c) 2

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 15.Si : P(3x + 2) = 3x + 1

1  9. Si : Q  1    4 x 2  2 x  5 x 

Determinar: P(3  5x) a) 3x  1 c) 2 + 5x e) 5x  1

3 Calcular: Q  2 a) 12 d) 16

b) 15 e) 13

c) 14

16.Si : F(x) = x F[P(x) + Q(x)] = x2 + 2x + 4 F[P(x) - Q(x)] = x2 - 2x - 2

10.Sean las expresiones:

P(x  1)  x  3

Indicar: Q(x)

Q(x - 1)  2x - 1

b) 2x  3 d) x  3

a) 2x + 3 c) x + 3 e) 2x

3

M(x - 7)  x N(x  2)  1

17. P(x) = ax + b (a < 0) P(P(x)) = 16(x - 1)

Calcular: P(Q(M(N(10)))) a) 0 d) 8

b) 2  3x d) 2  5x

b) 20 e) 10

c) 7 Calcular: P(a + b)

Bloque II

a) 0 d) 3

3

b) 7 e) 1

c) 5

11.Si: F(x - 1) = x + 5 18.Si : P(x) = ax + b F(F(...........F(7)...........))=F(F(y)+1) Además: P(4) = 22 ^ P(3) = 17

Halle: ‘‘y’’ a) 1 d) 2

b) 0 e) 2

c) 1

Calcular: P(5) a) 5 d) 29

b) 25 e) 27

c) 39

12.Si: P(x) = 3x + 8 19.Si el polinomio:

P(Q(x)) = 6x + 5

P(x + 1) = (2x + 1)n + (x + 2)n  18(x  1) + 2

Calcular: Q(5) a) 1 d) 7

b) 3 e) 9

c) 5

Calcular el valor de ‘‘n’’

13.Si: A(x) = 3x - 1 B(x) = 2 - 5x

a) 2 d) 8

Calcular: A(B(x))  B(A(x)) a) 2 d) 6

es tal que al adicionar la suma de coeficientes y su término independiente se obtiene 125.

b) 0 e) 8

c) 4

b) 4 e) 10

c) 6

20.Dada la expresión: P(x), tal que: P(x)  P(x  1) + P(x  2), además: P(1) = 3; P(2) = 4.

2

14.Si: P(x - 1) = x + 2

Calcular: P(P(P(0)))

Determinar: P(x) a) x2  2x + 3 c) x2 + 2x + 3 e) x2 + 1

CARLOS VALDERRAMA

b) x2 +2x  3 d) x2  2x  3

a) 1 d) 7

b) 3 e) 14

c) 4

27

Expresiones Algebraicas

Tarea domiciliaria 1. De las siguientes expresiones de variables "x" e "y". g)

 219 x 7  3y 3Senx  3Sen75  8 x 219 

j)

3p

r 2

h)

pq

t3

3r

k)

x 3  6x 2

 6 x 3  3x x 1  4 3 x

l)

x2

7  2t

9Logx  76

i)

n2 2n  1 3x

4. En el polinomio obtén los valores que se indican: M(x) = 2x + 3

4

4

 7 x 5  13 x 6  8  4 x 3  x 6 Senhx  y 7 9x 2  5 x  x 1 

x6y7 2005  124

f) M( x  1)  _________

b) M(1)  _________

g) M( x  2 )  ________

c) M( 1)  _______

h) M( x 2 )  __________

d) M( 3)  ________

i) M( 2 x  3)  _______

e) M( 4 )  ________

j) M(3 x  7 )  _______

5. Si se tiene que:

Se puede afirmar: a) b) c) d) e)

a) M( 0 )  ________

P(x, y, z) = x2 + xy + xz + yz

No hay expresiones racionales enteras. 4 son trascendentes. 3 son racionales fraccionarias. 3 son trascendentes. 4 son irracionales.

Determine: P(-3;3;-2)

6. ¿Cuál es el valor numérico de la expresión:

2. Determine el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes para los valores de las variables que se indican:

(2 - x - x2)1 - x para x = -2?

7. En cuánto varía el valor de ‘‘P’’ en la expresión:

3 a) M(a, b, c )  a  2c para a   2; b  ; c  5 4 2

b) A(x , y, z)  4 x 0  y 2 z3

c) T(m,n,p)=(m - n).3p para m=9,2 ; n=4; p=  d) T (r , s , t) 

1 2

(r 2  s) para r  4; s  8; t  6 4t

e)   (x, y , z) 

P

1 para x   ; y  3; z  6 5

x3y  z 1 para x  3; y  ; z  11 x5 3

1 1

1

x

3

De (1) a (0,5) a) Aumenta en:

7

b) Disminuye en:

18

c) Disminuye en:

7

1 9

d) Disminuye en: 0,5

18

e) Disminuye en: 1,5 3. Determine para que números reales estan definidas las expresiones algebraicas siguientes:

a)

7 a

d) 4 ac 2

28

b) e)

m4 5 1 2

x 1

c) f)

3a  1

8. Si: P(x) = x50 - 8x47 + 5x - 1 Hallar: E = P(0) + P(1) + P(2)

b3 xy xy 3° año de Secundaria

ÁLGEBRA  x  5; si : x  3  5; si : x  3 9. Si: F(x)    2x  5;si : x  3  Calcular: F(F(F(-1)))

15.Si: P(x + 2) = 6x + 1 P[F(x)] = 12x  17 Hallar: F(10) 16.Si: P(2x  3) = 2x + 7

10.Si: P(x) = x - 2 G(x) = x + 1

Determinar: P(8  3x)

Hallar: E = P[G[P(2)]] + G[P[G(-1)]]

 x 1  1994 1993 x  2x 4 11.Si: P    x 1 

Halle: P(3)

17. Si: P(x) + Q(x) = ax + b P(x)  Q(x) = a + bx P(5) = 4 Calcular: P(Q(1))

18.Si: P(x) = ax + b P(P(x)) = 9x + 20 x5

12.Si: P(x5 - 3) = xx

5

+ xx + x5 + 5

Indicar la suma de soluciones de "a" y "b".

Calcular: P(2) 19.Si: P(x) = ax + b 13.Si: F(x) = 4x + 7; y además: F(g(x)) = 8x + 19

Además: P(2) = 7 ^ P(3) = 12 Calcular: P(6)

Calcular: F(g(3)) 20.La suma de coeficientes del polinomio: 14.Si: F(x) = 2x + 5 g(x) = 3x  1

P(x) = 4x5 + 5x4 - 6x3 + (7 - n)x + 3n Es 6. Señalar el término independiente.

Calcular: A = F[g(x)]

CARLOS VALDERRAMA

29

COLEGIO

ACADEMIA

TEORÍA DE GRADOS Grado

4

Para Polinomios de dos o más variables:

Es una característica de los polinomios, depende de los exponentes que afectan a sus variables. Para Polinomios de una variable:

Grados de un monomio: a) Grado Relativo (G.R.). Respecto a una variable es el exponente de dicha variable. b) Grado Absoluto (G.A.). Esta dado por la suma de los grados relativos de las variables.

El grado es el mayor exponente de dicha variable. Sea:

Ejemplo: n

n1

P(x) = a0x + a1x

n2

+ a2x

+......+ an1x + an

4 5 * Sea: J(x,y) = 219x y

Grado Relativo a ‘‘x’’ Grado Relativo a ‘‘y’’ Grado Absoluto de ‘‘J’’

Donde: n = grado Ejm: Siendo G: grado J( x )  4 x 2  7 x  6  G J  2 M( x )  5  6 x  7 x 3  6 x 2  G M  3

Puedes decir de qué grado son los siguientes polinomios: M ( x )  219  x 12  33 x 45  3 x 4  G M  __________

G.R.(x) = 4 G.R.(y) = 5 G.A.(J) = 4 + 5 = 9

2 3 4 9 13 * Sea: M( x , y , z )  3 a b x y z G.R .( x )  4 G.R .( y )  9 G.R .( z )  13 G.A .(M)  26

Q ( x )  4 x 6  3 x 4  2 x 5  7 x 7  2 x 2  G Q  ________

Ejercicio Básico Ubica en el recuadro las partes que se indican de cada término algebraico.

Coeficiente M( x , y )  219 x y 13

G.R.(x)

G.R.(y)

G.R.(z)

G.A.

16

A( x, y, z )  3x 4 y 7 z 9 T ( x, y, z )  a 2 bx 4 y 5 z 2 T ( x , y , z)  13ax 3 y 7 ( x , y , z)  2005x 4 y 4 z 4 2

3

S( x , y , z)  4 x 2 y 3 z 4

CARLOS VALDERRAMA

4

30

ÁLGEBRA Grados de un Polinomio.

G.R.(y) Grado Relativo a ‘‘y’’

G.A.(J)

b) Grado Absoluto (G.A.). Esta dado por el mayor grado absoluto que presentan los términos del polinomio.

Grado Absoluto del Polinomio

Ejemplo:

=



a) Grado Relativo (G.R.). Respecto a una variable, esta dado por el mayor exponente de dicha variable en el polinomio.

G.A. T1 = 5 G.A. T2 = 7 G.A. T3 = 9  G.A.(J) = 9

2 4 8 3 2 6 4 5 5 * Sea: M(x,y) = 2 x y  3 x y + 4 x y

2 3 6 5 4 * Sea: J(x,y) = 2x y  4xy + 5x y

G.R.(x) 

=6

=5

G.R. (x) = 5 G.R. (y) = 8 G.A. (M) = 12

Grado Relativo a ‘‘x’’

Ejercicio Básico Completa el recuadro:

G.R.(x) 2 4 5

7 2

G.R.(y)

G.R.(z)

G.A.

9 3

M(x, y) = a x y - 2x y + 3x y

A(x, y, z) = x3y2z - 3xy2z3 + 219x2y3z2 T(x, y, z) = a2x2y3z4 - b3xy4z + c4xy5z2 T(x, y, z) = x6y5 - 2x2y7 - 3x7y6 (x, y, z) = 4x9 + 2x4y - 7y12 - 219z S(x, y, z) = 13x8 + x4y4 - 12y8z - z9y

Operaciones con grados Dados los polinomios P(x) de grado ‘‘m’’ y Q(x) de grado ‘‘n’’, siendo m > n. Operación

Procedimiento

P(x) + Q(x)

En la adición o sustracción de polinomios se conserva el grado de polinomio de mayor grado.

Adición Sustracción P(x) + Q(x)

Grado resultante m m

Multiplicación P(x) . Q(x)

En la multiplicación de polinomios se suman los grados de los factores.

m+n

División P(x)  Q(x)

En la división de polinomios se restan los grados; el grado del polinomio del dividendo menos el grado del polinomio divisor.

m-n

Potenciación [P(x)]k

Multiplicamos el grado del polinomio base por el exponente.

mk

Radicación

Dividimos el grado del polinomio radicando entre el ìndice del radical.

m ------k

k

P(x)

CARLOS VALDERRAMA

31

Teoría de Grados En General: Para 2 o más polinomios de 1 o más variables. 1. 2. 3. 4. 5.

En las sumas o restas predomina el grado del mayor. En la multiplicación se suman los grados. En la división se restan los grados. En la potenciación el grado queda multiplicado por el exponente. En la radicación el grado queda dividido por el índice de la raíz.

OJO

Si no se especifica el tipo de grado se asumirá que es grado absoluto.

Ejemplo: 1. Si: P(x) = x6 - 3x4 + 2x8 + 1 3

Q(x) = 1 - x + x + 2x

es de grado: 8

2

Entonces: (P(x) + _ Q(x))

es de grado: 3 es de grado: 8

2. Si se multiplican los polinomios: (x7 + 3xy + 5) (x6y - 3x9 + 3) ==> El grado del producto: 7 + 9 = 16    Grado 7

Grado 9

Se suman

3. Si se dividen dos polinomios: Grado 12



x12 - 3x4 + 6x3y - 5 ----------------------------------------==> El grado de cociente: 12 5=7 - 4 3 2 x + x y + 2  Se restan Grado 5

4. En la potenciación de polinomios: (x3 + 2x + y2 - xy)7 ==> El grado de la potencia: 3  7 = 21   Grado 3

Se multiplican

5. En la radicación de polinomios: 4

8 x5 y7+ 3x - 4x - 2 ==> El grado del radicando: 12 4  =3    

Grado 12

32

Se divide

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA Ejercicio Básico Sea: El grado de P = 8 El grado de Q = 2

Términos Semejantes: Dos o mas términos son semejantes si poseen las mismas variables afectadas de los mismos exponentes; no importa la naturaleza de los coeficientes.

Calcular el grado de: Ejemplo: a) P + Q = _____________________________ b) P  Q = _____________________________

c) 2P = _______________________________

2x4y5 y 3x 4 y 5 Son términos semejantes. Más no lo serán con: x5y4 Sean los monomios:

M(x, y, z)  d) 5P + 2Q = ___________________________ e) P . Q = _____________________________

f)

Q

 ________________________________

g) P3 = _______________________________ h) Q4 = _______________________________ i) j)

4

A(x, y, z)  2ex 6 y 4 z8 T(x, y, z)  x 8 y 4 z6 (x, y, z)  a2b2 c 2 x 4 y 6 z8 S(x, y, z) 

P

P = _______________________________ Q = ______________________________

3 4 6 8 x y z 5





7  1 x 6 y 4 z8

K(x, y, z)  1, 6x 4 y 6 z8 Podemos afirmar: M;  ; K AyS MyA TyK

Son términos semejantes Son términos semejantes No son términos semejantes No son términos semejantes

Recuerda: para sumar dos o más términos semejantes, se halla la suma algebraica de sus coeficientes y al resultado se le multiplica por la parte variable.

Ejemplo: Si: 2x219y2005; 3y2005x219; 7x219y2005 Son semejantes, se puede reducir a: (2  3 + 7)x219y2005 = 6x219y2005 Ejercicio Básico Escribe tres términos que sean semejantes a: a) 219x = ___________________________ b) 4x2005 = __________________________ c) 3x2y5 = __________________________

CARLOS VALDERRAMA

33

Teoría de Grados 5. Dados los polinomios:

Pract iquemos

P(x) = 3x15  5x45 + 7x30 + 1 Q(x) = x9  7x12 + 3x18  219

Bloque I



Calcular: G.A. 9 P  Q

1. Dado el polinomio:

a) 2 d) 5

F(x) = 2x15 + 2x19 - x + 4 I. Su grado es 19. II. El término independiente es 4. III. El polinomio tiene 4 términos. IV. La suma de coeficientes es 10. V. Su mayor coeficiente es 3.

b) 2 e) 5

Indicar cuántas de las siguientes proposiciones son falsas:  G.A.(P + Q) = 7  G.A.(P - Q) = 3

c) 3

 G.A.(P . Q) = 10  G.A.(P3) = 21

P(x,y) = a2x6y4  2b2x5y7 + 219x7y6 Indicar el valor de verdad de cada una de las proposiciones: I. G.R.(x) > G.R.(y) II. G.A.(P) = 14 III. La suma de coeficientes es: a2  2b2 + 219. b) FVV e) FVF

c) VFV

 G.A.

3

Q =1

 G.A.(P2 + Q4) = 14  G.A.(P2 - Q7) = 0  G.A.(P . Q4) = 19  G.A.(P3 + Q6) = 3 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

M(x,y) = (n2  1)x2n3y3n+2

a) x7y23 d) x4y21

Se tiene: G.R.(x) = 7

b) x23y7 e) x5y20

11n

n 1

b) 20 e) 41

c) 2

R (x)  x

4. Dado el polinomio: P(x,y) = x

y

m+6 n

+x

m+4 n+4

y x

y

Si el G.R.(x) = 20 y el grado absoluto es igual a 40, calcular el G.R.(y). a) 22 d) 24

b) 20 e) 28

c) x21y4

8. Indique el grado de ‘‘R’’, sabiendo que:

Calcular: G.R.(y) + coeficiente (M)

m+2 n1

c) 3

7. Sabiendo que los términos: 5x2a+9yb+3; 6xa+16y3b5 son semejantes reconocer otro término semejante a los anteriores.

3. Dado el monomio:

a) 17 d) 35

c) 4

P(x) y Q(x) en el cual:G.A.(P) = 7 ^ G.A.(Q) = 3

2. Dado el polinomio:

a) FFV d) VVV

b) 3 e) 6

6. Dados los polinomios:

¿Cuántos enunciados verdaderos hay? a) 1 d) 4



c) 18

a) 1 d) 4

2

 3x

3

 219 es un polinomio.

b) 2 e) 5

c) 3

9. Dado el monomio: M(x,y) = (3n + 1)x6n-5y2n+3 Se tiene: G.R.(x) = G.R.(y) Calcular: G.A.(M) + coeficiente (M) a) 28 d) 7

34

b) 21 e) 1

c) 14

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 10.Dado el monomio: M(x,y) = (n3  8)x2n Se tiene: G.R.(x) = 5 Calcular: coeficiente (M) + n

23 n+7

y

b) 2 c) 18 e) más de una es correcta.

a) 0 d) 16

 x m  3 n y p 2 m z n  2 contiene término independiente para cada una de sus variables. Halle: G.A.(P) + G.R.(x) + G.R.(y) + G.R.(z)

Bloque II 11.Si el monomio: M(x,y) = 2abx3a+b . yab es de grado 12 y GR(x) = 11 Indicar su coeficiente. a) 2 d) 250

b) 12 e) 500

c) 18

12.Si el G.R.(x) es ‘‘a’’ y el G.R.(y) es ‘‘b’’. ¿Cuál es el G.A.(M)?

M(x; y) 

a) 1 d) 4

16. Si : P ( x , y , z )  x m n y p m z n6  x m2 n y p 3 n z n 4

x a 4  y b 1 x

7 b

y

c) 3

b) 36 e) 28

P ( x ; y )  2 x m y m 4 

1 3

x m y m7  x m y m5  5 x 2 m6 y 3

Calcular el G.A.(P) mínimo. b) 16 e) 19

Se verifica que la relación entre los grados relativos de ‘‘x’’ e ‘‘y’’ es 2 y además que el menor exponente de ‘‘y’’ es 3. Hallar su grado absoluto. a) 15 d) 18

b) 16 e) 23

c) 17

14.Si el grado absoluto de:

Calcular: G.R.(y) b) 3 e) 6

Hallar el grado de:

a) 3 d) 6

(P 4  Q 3 ) R P  Q (P  Q ) 2

b) 4 e) 2

c) 5

19.Si: G.A.(P) = a ^ G.A.(Q) = b (b > a) Sabiendo: G.A.(P + Q) = 7 G.A(P . Q) = 10 Calcular: G.A.(P7  Q3)

P(x,y) = x2ay3b+1 + 7xay3b1  5xay3b3, es igual a la mitad de la suma de los exponentes de todas sus variables.

a) 2 d) 5

c) 17

18.Si: P(x) es de 5to grado. Q(x) es de 4to grado. R(x) es de 3er grado.

13.Si en el polinomio: P(x,y) = 4xm+n2ym-3 + 8xm+n+5ym4 + 7xm+n6ym+2

c) 40

17. En el polinomio:

a) 15 d) 18

4 3a

b) 2 e) 9

a) 38 d) 24

a) 0 d) 21

b) 3 e) 42

c) 7

20.Dados los polinomios: P(x) y Q(x) de los que se conoce:

 

c) 4

G.A. 4 PQ  3





G.A. P3  Q  4

15.En el siguiente polinomio: P(x,y) = 5xn+3ym-2z6-n + xn+2ym-3zn+m Donde: G.R .( x )  G.R .( y )  3

¿Cuál es el grado de Q(x)? a) 2 d) 8

G.A.(P )  13

b) 4 e) 10

c) 6

Calcular: 2m  n a) 5 d) 11

b) 6 e) 12

CARLOS VALDERRAMA

c) 7

35

Teoría de Grados

Tarea domiciliaria 1. Dado el polinomio:

5. Dados los polinomios:

P(x) = 219x4 + 2005x5 - 3 + 2x6 + 12y I. Su grado es 4. II. Su término independiente es 12. III. El polinomio tiene 5 términos. IV. La suma de sus coeficientes es 223. V. Su coeficiente principal es 2. ¿Cuántos enunciados son correctos? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

P ( x )  x 6  7 x 12  14 x 9  13 Q ( x )  x 12  x 5  4 x 4  3



Calcular: G.A. 3 P  Q a) 3 d) 6



b) 4 e) 7

c) 5

6. Si P(x) es de quinto grado y Q(x) es de cuarto grado, hallar el grado de:

P(x)2  Q(x)3

2. Dado el polinomio:

P(x)  Q(x)   

P ( x ; y )  2 x 4  6 x 3 y 5  3 y 7  10 I. Su grado es 8. II. El G.R.(x) es menor al G.R.(y). III. El coeficiente del término independiente es 10. IV. La suma de coeficientes es 11. V. El menor coeficiente es 2. ¿Cuántos enunciados falsos hay? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

a) 10 d) 13

7. Sabiendo que los términos:

219 x 2 a 7 y 8b ; 2005 x a12 y b 2

c) 3

a) 15 d) 30

b) 20 e) 35

c) 25

8. Indique el grado de "P", sabiendo que:

M( x ; y )  (n  6 ) x 5 n 3 y 2 n7 Se tiene: G.A.(M) = 24

P( x )  x

n 1 3

 3 x 2 n 3  219 x 5 n  2005

Es un polinomio.

Calcular: G.R.(x)  coeficiente(M) b) 32 e) 4

c) 17

son semejantes, indicar: ab

3. Dado el monomio:

a) 31 d) 13

b) 14 e) 15

c) 33

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

9. Dado el monomio:

4. En el siguiente polinomio:

M( x ; y )  (n  3) x 3n

P ( x ; y )  x a1  x a 3 y 2 b 1  x a5 y 2 b 1  x a 7 y 2 b 3

2 4

y 2n

2 5

Se tiene: G.R.(x) = G.R.(y) De donde: G.R.(x) = 9; G.R.(y) = 9 Calcular: coeficiente(M) + G.A.(M) Calcular: G.A.(P) a) 3 d) 9

36

b) 5 e) 18

c) 14

a) 40 d) 52

b) 44 e) 56

c) 48

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 10.Indicar el coeficiente del monomio: 2

3

M( x ; y )  ( a  b ) x

3 a b

16.Indicar el grado del polinomio P(x) sabiendo que el grado

y

de: [P(x)]2 [Q(x)]3 es igual a 21.

2 a 5 b

Además el grado de [P(x)]4 [Q(x)]2 es igual a 22.

Siendo: G.R.(x) = 10; G.R.(y) = 11 a) 10 d) 4

b) 8 e) 2

a) 1 d) 4

c) 6

P( x; y )  x

Q( x ; y )  x

y

x

m 1 n

y x

c) 3

17. Si: G.A.(P) = 3  G.A.(Q) = b

11.Dados dos polinomios: n 7 m1

b) 2 e) 5

n8 m

y

G.A.(P 2 Q 3 )  13 G.A.(P  Q )  6  2b

n m1

x y

m 2 n 1

y

 x m3 y n  2 Calcular: 2(b + a)

Si el G.A.(P) es 20 y el G.R. (y) en "Q" es 10, hallar G.A.(Q). a) 15 d) 14

b) 17 e) 16

a) 8 d) 17

b) 10 e) 6

c) 18 18.En la siguiente adición de monomios:

cx a

12.Calcular la suma de coeficientes del polinomio:

2

P ( x ; y )  mx m1 y n1  2nx m1 y n 3  3 x m 4 y n3

b) 13 e) 11

a) 5 d) 8

c) 14

cx 4



4xa

bx b x

b) 6 e) 9

c) 7

19.Si al polinomio:

13.Si el grado absoluto de:

P ( x ; y )  nx m1 y P 1  mx m2 y P  x n10

P ( x ; y )  x 2 a y b 5  2 x a y b  3  3 x a y b 1 Es igual a la mitad de la suma de los exponentes de todas su variables. Calcular G.R.(y). a) 6 d) 8



Hallar: a + b + c

Sabiendo que: G.A.(P) = 13 G.R.(x)  G.R.(y) = 4 a) 12 d) 10

c) 12

b) 4 e) 10

c) 2

Le restamos 14x2y3 su grado absoluto disminuye. ¿Cuánto vale el G.R.(x)? a) 3 d) 7

b) 4 e) 8

c) 5

20.Hallar ‘‘n’’, si la expresión es de 8vo grado:

14.Si en el polinomio:

P(x; y)  x

mn  4

y

m 5

 7x

mn 5 m 6

y

 48 x

mn  8 m  2

y

El menor exponente de ‘‘y’’ es igual a la diferencia entre los grados relativos a ‘‘x’’ e ‘‘y’’ e igual a 3. Hallar su grado absoluto. a) 12 d) 25

b) 17 e) 9

c) 10

P( x ) 

a) 1 d) 5



 x n 2 

b) 3 e) 6



3

2

 x 2 n 3   x 4 

 

 xn 

2

 x4  

2

c) 4

15.Dado el polinomio:

P ( x ; y )  x a1 y a5  x a3 y a2  x 2 a7 y  x a5 y a 4 Halle su mínimo grado absoluto. a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

CARLOS VALDERRAMA

c) 11

37

COLEGIO

ACADEMIA

POLINOMIOS ESPECIALES Son polinomios que tienen características propias y son:

5

OJO J(x) = 3x4 - 2x + 3x7 - 5x12 + 7 No es ordenado

1. Polinomio Homogéneo: Es aquel polinomio de dos o más variables en el cual todos sus monomios presentan el mismo grado absoluto. Ejm:

*

Polinomio Completo: 2 3

4

3 2

J(x; y)  219x y - (2005x y) + (2x y)     GA 5

GA 5

GA 5

Nótese que todos los monomios son de grado 5, entonces diremos que J(x,y) es homogéneo de grado 5 o el grado de homogeneidad de J(x,y) es 5. 2 4 3

3

6

GA  7

GA 7

5 3 4

y - 3 xy + 5 y * M(x; y)  2 x  x

Un polinomio es completo respecto a alguna de sus variables si esta presenta todos los exponentes es decir desde el mayor exponente hasta el de menor exponente (exponente cero), que es el término independiente. Ejm: 3 2 * A(x) = 4x  3x + 2x  219 El polinomio A(x) es completo respecto a ‘‘x’’ pero desordenado.

GA 7

5 3 2 4 * P(x) = x + 2x  3 + 2x + 4x  7x El polinomio P(x) es completo respecto a ‘‘x’’, pero desordenado.

Grado de Homogeneidad de M(x;y) = 7 Polinomio Ordenado. Un polinomio es ordenado, con respecto a una de sus variables, cuando los exponentes de dicha variable van aumentando o disminuyendo.

3 2 3 2 * Q(x;y) = 2x + 3x y  5y  219xy El polinomio Q(x) es completo respecto a ‘‘x’’ y también es completo respecto a ‘‘y’’.

¿Qué puedes decir de los polinomios? Ejm: 15

4

J( x )  3 x 2  7 x 4  219  2005 x 5

* J(x) = 219x - 2005x + 3x  7 Es decreciente respecto a ‘‘x’’ 9

4 2

* M(x;y) = 2ex - 3x y - 219y Es decreciente respecto a ‘‘x’’ Es creciente respecto a ‘‘y’’ 2

4

15

__________ __________ __________ _________

5

M( x ; y )  2 x 4  3 xy 3  4 x 2 y 2  5 x 3 y  8 y 4 __________ __________ __________ __________

2005

* M(x) = x  3x + 12x + 219x Es creciente respecto a ‘‘x’’ 9

7 2

5 4

Q ( x )  3 x 4 y  8 xy 4  4 x 2 y 3  5 x 3 y 5  2 y 2 __________ __________ __________ _________

6 2

* Q(x;y) = 3y  3y x + 12y x  7x y Es creciente respecto a ‘‘x’’ Es decreciente respecto a ‘‘y’’

CARLOS VALDERRAMA

38

ÁLGEBRA Recuerda: En todo polinomio completo de una sola variable se cumple que el número de términos es igual a su grado aumentado en uno. Ejm: Grado

J( x )  2  x 3 x  3 x  4 x 5  219 x 2  2005 x 3 4

6

# Términos  6  1  7 Términos.

Polinomio de grado cero: a Polinomio lineal: ax + b Polinomio cuadrático: ax2 + bx + c Polinomio cúbico: ax3 + bx2 + cx + d . . . . . Polinomio de enésimo grado:

a 0 x n  a1 x n1  .......  an1 x  a n

Polinomio Completo y ordenado. Un polinomio es completo y ordenado con respecto a alguna de sus variables cuando satisfacen las definiciones de polinomio completo; así como la de polinomio ordenado en forma simultánea. Ejm: J(x) = 2x4  3x3 + 4x2  7x + 219 El polinomio J(x) es completo respecto a "x" y ordenado en forma decreciente.

Polinomios Idénticos () Dos polinomios reducidos, del mismo grado con las mismas variables son idénticos cuando los coeficientes que afectan a sus términos semejantes son iguales. Ejemplo: Sea: J( x )  Ax 2  Bx  C

M( x )  ax 2  bx  c

M(x) = 2005  3x + 24x2 + 19x3 + 17x4  219x5

Si : J( x )  M( x ) 2

2

Ax + Bx + C  ax + bx + c

El polinomio M(x) es completo respecto a ‘‘x’’ y ordenado en forma decreciente. Ejercicio Básico Sea: P(x;y) = 219x2  2005xy  2006y2 Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. El polinomio P(x) es completo y ordenado respecto a ‘‘x’’ ( ) II. El polinomio P(x) es completo y ordenado respecto a ‘‘y’’ ( ) III. La suma de coeficientes del polinomio P(x) es 219 ( ) IV. El término independiente es 2006y2 ( )

Se cumple sí y sólo Sí: A  a Bb Cc Ejemplo: Sea: P ( x ; y )  ax 2  3 xy  cy 2

Q ( x ; y )  219 x 2  bxy  2005 y 2 Si : P ( x ; y )  Q ( x ; y ) ax 2  3 xy  cy 2  219 x 2  bxy  2005 y 2  a  219; 3  b; c  2005

Observación: En aquellos polinomios completos y ordenados con respecto a una variable estos se pueden representar en general:

CARLOS VALDERRAMA

39

Polinomios Especiales Polinomio Idénticamente Nulo (0) Un polinomio es idénticamente nulo cuando todos sus coeficientes son ceros; se anulan, por lo tanto, para cualquier valor que se le asigne a la variable. Sea: P(x) = Ax2 + Bx + C Si:

P(x)

Bloque I 1. Analiza cada uno de los siguientes polinomios, en caso que sea homogéneo, indica el grado de homogeneidad.

0

a) J(x,y) = 2x5  3x4y + 10x3y2 + 15x2y3  9y5

2

Ax + Bx + C 0 ... A = 0; B = 0; C = 0

_________________________________

Ejemplo:

b) T(x,y) = 219x3 + 2005y3 - 7xy2 + 5  33x2y

Sea: J(x;y) = (a  2)x2 + (b  3)xy + (c  4)y2

_________________________________

Si: J( x ; y )  0 2

2

( a  2) x  (b  3) xy  ( c  4 ) y  0 a  2  0  b  3  0  c  4  0 a2

b3

c4

c) A(x,y) = a2xy3 + b3x2y - c4xy - y6 _________________________________ d) R(x,y,z) = 2x6 + 2y6 - 4z6 - 215x2y2z2 _________________________________

OJO: P(x)  0 su grado no esta definido.

2. Escribe dos polinomios homogéneos con las variables ‘‘x’’ e ‘‘y’’ que tengan los siguientes grados:

Polinomio Mónico

a) G.A.(P) = 2;

G.R.(x) = 2;

G.R.(y) = 2

Un polinomio será Mónico cuando su coeficiente principal sea la unidad.

b) G.A.(Q) = 3;

G.R.(x) = 2;

G.R.(y) = 2

3. Ordena en forma ascendente los siguientes polinomios: Ejm:

J(x) = x2 - 5x + 3 M(x) = 4 - 5x + 7x3 + x4

b) M(x) = 4x - 7x5  8x3 + 7x2  5

Polinomio Constante.

c) M(y) = 3y7 + 12  9y12  219y20  4y3

Un polinomio de una o más variables es constante si adopta el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a cada una de sus variables. Se representa:

d) Q(y) = y2  4y25 + 2y8  17y16  6y5

P(x;y;.......;z) = C; C IR  {0} Ejemplo: J(x) = 3 M(x; y) =  Q(x; y) = 2 - 1

40

a) J(x) = 45x3 + 32x2  17 + 13x

4. Ordena en forma descendente los siguientes polinomios: a) J(x) = 23x4 + 13x + 16x2  13x7 b) M(x) = 13x2  4x6  7x3 + 12x8  13x c) M(x) = 2 + 3x3  4x  5x2 d) Q(y) = y33  2y46  13y4 + 25y26

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA Bloque II

5. Dados los polinomios: a) J(x) = -3xm + 3x4  5x3 + 4x2  2x + 1

11.El siguiente polinomio:

b) M(x) = 2xn  3x2 + 7x  12

P ( x )  5 x 3 a 9  10 x ab 3  20 ( x 2 ) 4 b c  a p

c) M(x) = 2 + x  3x2 + 219x3  4x

es ordenado en forma creciente y completo. q

d) Q(x) = 219 + 2x + 13x2  27x3 + 2005x4  2x

Calcular: ab + bc + ac

Si todos los polinomios son completos y ordenados entonces, ¿cuál es el valor de "m + n + p + q"?

a) 15 d) 27

b) 20 e) 29

c) 22

12.Si el polinomio P(x) es completo y ordenado:

6. Si : P ( x ; y )  ax 2  3 y 2

Q( x ; y )  2 x 2  (b  1) y 2

P ( x )  3 x p n5  4 x nm 3  7 x m6  x 2 ( mp )

0

Sabiendo que: P(x,y)  Q(x,y) Calcular: (m + n + p) Hallar: a  _______ b  _______

a) 21 d) 24

7. Si el polinomio:

P ( x )  ( a  2) x 3  ( 3b  9) x 2  c  7

b) 22 e) 25

c) 23

13.Si el siguiente polinomio de 14 términos es completo y ordenado:

P ( x )  x n 4  ........  x a1  x a2  x a3 es idénticamente nulo. Calcular: a + n

Hallar: a  _______ b  _______

a) 3 d) 16

c  _______ 8. Calcular ‘‘a + b + c’’ si el polinomio:

a) 44 d) 41

b) 43 e) 40

c) 42

P ( x ; y )  ax a 3  abx a1 y b  2  2by b  8 es homogéneo. La suma de sus coeficientes es: b) 3 e) 16

c) 11

10.Dado el polinomio homogéneo:

P(x) = 2x + 1 P(x) = x + 5 P(x) = x + 4 P(x) = x + 4 P(x) = x + 5

Calcular: G.A.(P) + ab b) 15 e) 10

CARLOS VALDERRAMA

P(1) = 2P(3) P(2) + 2 = 3P(4) Calcular: P(5) a) 0,8 d) 1,4

b) 1 e) 1,6

c) 1,2

16.Hallar "a + b + p" en:

P ( x ; y )  5 x 3 a 2 b y 4  x 2 a y b  7  x a1 y a3b

a) 5 d) 5

a) b) c) d) e)

15.Un polinomio cuadrático P(x) cumple las condiciones:

9. Si el polinomio:

a) 3 d) 14

c) 4

14.¿Cuál es el polinomio de 1er grado ‘‘p’’ tal que: P(2) = 3; P(3) = 2P(4)?

P ( x ; y )  x a 3 y 2  5 x b 5 y  6 x 8 y c  4  x 10 y 9 es homogéneo.

b) 9 e) 12

c) 10

a

( a a  2) x 5  (b b  3) x 3  (p  7 )  14 x 5  24 x 3  10 a) 21 d) 24

b) 22 e) 28

c) 23

41

Polinomios Especiales

Tarea domiciliaria 1. Analiza cada uno de los siguientes polinomios en caso que sea homogéneo, indica el grado de homogeneidad.

2 2 6. Si: P ( x ; y )  ( a  3) x  7 y

Q ( x ; y )  ( 7  a ) x 2  ( b  3) y 2

a) J( x ; y )  3 x 6  13 x 4 y 2  23 x 3 y 3  33 x 2 y 4  43 y 6 __________ __________ __________ __________ __

Sabiendo que: P ( x ; y )  Q ( x ; y )

b) M( x ; y )  17 x 4 y 5  219  45 x 5 y 4  2005 x 9

Hallar:

__________ __________ __________ ______

a = ______ b = ______

7. Si el polinomio:

c) M( x ; y )  a 3 x 4 y 5  c 4 x 3 y 5  b 5 x 7  c 8 y 4 __________ __________ __________ _____

P ( x ; y ; z )  ( 2  a) x 4  ( 3b  9) y 2  ( 8  4 c ) z 2

4

d) Q ( x ; y ; z )  219 x 7  2005 y 7  2 3 z 7  15 x 3 y 4 z 3 ________________________________________

Es idénticamente nulo. Hallar:

2. Escribe dos polinomios homogéneos con las variables ‘‘x’’ e ‘‘y’’ que tengan los siguientes grados:

a = ______ b = ______ c = ______

8. Sea:

a) G.A.(J) = 1; G.R.(x) = 1; G.R.(y) = 1 b) G.A.(M) = 2; G.R.(x) = 1; G.R.(y) = 1

P ( x ; y ; z )  3 x m1 y 9 z 6  2 x 5 y n 3 z10  4 x 7 y 4 z p 3

3. Ordena los polinomios en forma ascendente: 4

2

a) J( x )  26  34 x  27 x  12 x  x

Si el grado de homogeneidad del mismo es 19, indique: m + n + p.

3

b) M( x )  12 x 2  7 x  x 4  8 x 5  12 x 3  9

a) 17 d) 30

c) P(x)  26  4x 9  x 8  20x 2005  219x100

b) 18 e) 29

c) 19

9. En el polinomio homogéneo:

d) Q ( x )  x 4  33 x 12  x 7  33 x 19  219

P ( x ; y )  ax a 3  abx a1 y b  2  2by b  8

4. Ordena en forma descendente los siguientes polinomios: a) J( x )  15 x 7  24 x  27 x 5  2

Determine la suma de sus coeficientes.

b) M( x )  16 x 2  7  4 x 3  7 x 5  8 x  4 x 9

a) 3 d) 2

c) P(x)  219  4x 3  3x  2005x 2

b) 2 e) 3

c) 1

10.Si el polinomio:

d) Q ( x )  x 15  3 x 27  18 x 9  12 x 36

b

a

R ( x , y , z )  x a  x 7 y b  x 20 z12 5. Dados los polinomios:

J(x)  16x n

m

4

3

Es homogéneo, calcular: (a + b)2

2

 7x  8x  2x  5x  3 3

a) 16 d) 3

2

M(x)  3x  6x  7x  9x  219 2

3

N(x)  9  x  2x  3x  4x 2

b) 49 e) 1

c) 25

p

3

4

5

Q(x)  2005  3x  4x  7x  15x  25x  219x

q

11.Hallar ‘‘b’’ si el polinomio es completo:

P ( x )  x 5  x b 5  2 x b 7  3 x b  4  4 x b 6  9 Si todos los polinomios son completos y ordenados entonces, ¿cuál es el valor de "m + n + p + q"?

42

a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 12.Si el polinomio:

17. De la identidad:

a( ax  y )  b (bx  y )  4 (3 x  y )

P ( x )  mx p  8  nx m  4  px n 5  qx q 2

Es completo y ordenado en forma descendente, hallar la suma de coeficientes. a) 3 d) 9

b) 5 e) 15

c) 7

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

18.Si: a( x  5 ) 2  b ( x  5 ) 2  3( x  5 ) 2  4 ( 2 a  b ) x

13.Si el polinomio:

P( x )  18x a18  32x ab 15  18 x c b 16 Es completo y ordenado en forma ascendente. Calcular: a + b + c. a) 18 d) 68

Indicar: a  b

b) 32 e) 92

c) 36

Calcular: a + b a) 3 d) 12

b) 6 e) 15

c) 9

19.Si el polinomio:

P ( x ; y )  (m  n) x 3 y 5  3 x 5 y 3  11 x 3 y 5  (n  m) x 5 y 3

14.¿Cuál es el polinomio de primer grado ‘‘P’’ tal que:

Es idénticamente nulo, calcule: mn

P ( 2)  9; 5P (1)  P (15) ? a) P(x) = x + 7 c) P(x) = 4x + 5 e) P(x) = 2x + 5

b) P(x) = 2x + 1 d) P(x) = 3x  5

15.Un polinomio lineal P(x) cumple las condiciones:

 P (1)  P (0 )  1  11P ( 2)  P ( 4 )  38

a) 12 d) 24

b) 14 e) 28

c) 16

20.Dadas las columnas: I. P ( x ; y )  2 x 4 y  5 x 2 y 3  3 xy 6 5 2 3 2 3 3 2 II. Q ( x ; y )  4 x  3 x y  10 x y  10 x y

III. R ( x ; y )  x 3  x 2 y  xy 2  y 3

Calcular: P(6) a) 10 d) 16

b) 12 e) 18

c) 14

Una relación correcta puede ser:

16.Se tiene: P ( x )  x 3  4 x n

Q ( x )  x n  2  ( m  2 n) x Ademas: P ( x )  Q ( x ) Calcular: a) 2 d) 5

a. Homogéneo b. Ordenado c. Completo

a) Ia, IIb, IIIc c) Ic, IIb, IIIa e) Ic, IIa, IIIb

b) Ib, IIa, IIIc d) Ib, IIc, IIIa

n2  m3 b) 3 e) 7

CARLOS VALDERRAMA

c) 4

43

COLEGIO

ACADEMIA

MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA 2 * (a  b) = (a  b) (a  b)

Multiplicación Algebraica (x + 2) (x - 2)  Multiplicación indicada

6

a2  ab  ba + b2

x2 - 4

  (a  b)2 = a2  2ab + b2

Producto

Observación: El símbolo ‘‘’’ indica una identidad.

¿Qué es una identidad? Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas que siempre se verifica.

Ejemplo:

El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el duplo del primer término por el segundo mas el cuadrado del segundo.

 75+2  (m+n) (m-n)  m2-n2

Ejemplo:

 (2x3y2) (-3x2y5)  -6x5y7

* (3x + 2)2  (3x)2 + 2(3x)(2) + 22  (3x + 2)2  9x2 + 12x + 4

 (2x2) (3x-5y)  6x3 - 10x2y  (3x+2y) (2x+5y)  6x + 19xy + 10y 2

2

Producto notable

* (2m - 5n)2  (2m) 2 - 2(2m)(5n) + (5n)2  (2m - 5n)2  4m2 - 20mn + 25n2 OJO: ( a  b ) 2  (b  a) 2

Es el resultado de una multiplicación algebraica donde no es necesario la aplicación directa de la propiedad distributiva, se reconoce con la forma que adoptan sus factores: Trinomio cuadrado perfecto: 2 * (a + b)  (a + b) (a + b)

a2 + ab + ba + b2  (a + b)2  a2 + 2ab + b2

OJO

(2x  m)2  (m  2x)2 (5  7n)2  (7n  5)2 Corolario Identidad de Legendre a) (a + b)2 + (a  b)2  2 (a2 + b2) b) (a + b)2  (a  b)2  4ab Ejemplo: (2x + 1)2 + (2x  1)2  2 (4x2 + 1) (3x + 2)2  (3x  2)2  24x

El cuadrado cuadrado de diferencia El de una la suma es igual al es igual al cuadrado del primer cuadrado del primer término, mas el duplo termino, menos el duplo del del producto del primer y segundo término, primer termino por el segundo mas deldel segundo término. maselelcuadrado cuadrado segundo.

CARLOS VALDERRAMA

44

ÁLGEBRA Diferencia de Cuadrados.

II. Efectuar el prodcuto de los binomios en los siguientes ejercicios:

(a + b) (a  b)  a2  ab + ba  b2 a) (x + 7) (x  7) .....................................  (a+b)(a-b) = a2 - b2

b) (x  9) (x + 9) .....................................

OJO: El producto de la suma por la diferencia de dos términos, es igual a la diferencia de cuadrados.

c) (2x + 1) (2x  1) ................................. d) (3x + 1) (3x  1) .................................

Ejemplo: 2

2

* (2x + 3y) (2x  3y)  (2x) 2 (3y)2  (2x + 3y) (2x  3y)  4x  9y

2 2 * (3m + 2n) (2n  3m)  (2n) 2 (3m)2  (2n + 3m) (2n  3m)  4n  9m

Producto de binomios con un término común (x + a) (x + b)  x2 + xb + ax + ab

e) (2x + y) (2x  y) .................................. III. Desarrollar los siguientes ejercicios aplicando las identidades de Legendre: a) (x + 1)2  (x  1)2 ............................... b) (x + 4)2  (x  4)2  ............................... c) (2x + y)2  (2x  y)2 ............................ d) (3x + 2y)2  (3x  2y)2  .........................

 (x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab

e) (4m + n)2  (4m  n)2  ......................... f) (x + 2)2 + (x  2)2 ...............................

Ejemplo: (x + 2)(x + 3)  x2 + 5x + 6 (m + 5) (m + 6)  m2 + 11m + 30 (t + 2) (t  1)  t2 + t  2 (m + 7) (m  2)  m2 + 5m  14 (x  2) (x  3)  x2  5x + 6 Ejercicios Básicos I. En los siguientes ejercicios, efectuar los siguientes binomios elevados al cuadrado:

g) (x + 4)2 + (x  4)2 ............................... h) (2x + 1)2 + (2x  1)2 ............................ i) (3 + 2y)2 + (3  2y)2 ........................... IV. Multiplicar los siguientes binomios los cuales poseen un término común: a) (x + 2) (x + 8) .................................... b) (x + 5) (x + 7) ....................................

2

a) (x + 6)  ...............................................

c) (x  6) (x  4) .....................................

2

b) (x  5) ................................................

d) (x  8) (x  2) .....................................

2

c) (2x + 1)  ..............................................

e) (x + 6) (x  3) ....................................

2

d) (2x  3) ..............................................

f) (x + 11) (x  4) ...................................

2

e) (x + 3y)  .............................................

g) (x  9) (x + 1) ..................................... h) (x  13) (x + 4) ...................................

CARLOS VALDERRAMA

45

Multiplicación Algebraica 8. Realizar:

Pract iquemos T





2 ( x  1) 2  ( x  1) 2  ( x  2 ) 2  ( x  2) 2 ( x  1) 2

Bloque I a) 1 d) 4

1. Reducir:

J  ( x  5) 2  ( x  4 ) 2  18 x a) 3 d) 12

b) 7 e) 15

c) 9

2

(2x  1)2  (2x  1)2   (8x 2  2)2     2 16x

2 2 2 2 U  (x  4)  (x  3)  (x  1)  (x  2)   

b) 9 e) 20

c) 3

9. Realizar:

2. Calcular:

a) 4 d) 25

b) 2 e) 8

2

a) 1 d) 16

b) 4 e) 32

c) 8

10.Efectuar:

c) 16

S = (x + 1)(x + 2)  ( x + 5)(x  2) + (x  4)(x +1 )  (x  1)(x 2)

3. Efectuar:

A a) 16 d) 10



5 2

  2

b) 14 e) 64

5 2

a) 2 d) 8



2

11.Si : a2 + 3a = 5 Q = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

N  (   2) 2  (   2 ) 2 b) 2  e) 16 

a) 5 d) 35

c) 4 

c) 30

V = (x  5)(x  3)(x + 1)(x + 3)  (x2  2x  9)2 + 36

M  ( x  5)( x  4 )  ( x  6 )( x  7 ) a) 20 d) 42

b) 22 e) 82

a) 0 d) 25

b) 1 e) 36

c) 4

c) 62 13.Efectuar:

E  ( x  4 )( x  3)( x  2)( x  3)  ( x 2  x  2)( x  5)( x  4 )

6. Calcular: ( x  12 )( x  12 )  (13  x )(13  x )  ( 5  x ) ( x  5 )  (  x  3 )( x  3 )

a) x d) 4

b) 2 e) 8

a) 32 d) 18

b) 16 e) 112

c) 64

c) 3 14.Si: a + b = 7 ab = 4

7. Reducir:

Hallar: V = (a2 + b2)2 2

2

T  ( a  3b )  2( 3a  b )( 3b  a)  (b  3a)  ( 4 a  4 b ) a) (8a + 8b)2 c) 64ab e) a2  b2

b) (3a + 3b)2 d) 0

2

a) 1444 d) 1681

b) 1521 e) 1764

c) 1600

15.Si la suma de dos números es 8 y su producto es 5. Calcular la suma de sus cuadrados. a) 64 d) 74

46

b) 7 e) 210

12.Efectuar:

5. Efectuar:

A 

c) 6

Bloque II

c) 12

4. Hallar el resultado de efectuar:

a)  d) 8 

b) 4 e) 12

b) 10 e) 44

c) 54

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 16.Siendo: a > b > 0

22.Calcular:

a  b  17

T

ab  4

Calcule: a  b Si : a) 0

b)

2

d) 6

e)

3

c) 1

1 x



1 y



2 x 2  xy y2

x



219 y 2x  y

xy b) 225 e) 232

c) 227

23.Efectuar:

Hallar: a2  b2

R  ( x  1)( x 2  1)( x 4  1)( x 8  1)( x 16  1)  x 32

a) 35 d) 65

b) 45 e) 55

c) 75

Sabiendo: x = 2 a) -1 d) 0

18.Evaluar: M = (x  5y)2  12y (2y  x) + 9

a) 20 d) 27

c) 25

19.Sea: a2 + b2 = 2ab

b

a) 219 d) 224

c) 2

S = (5) (13) (97) (38+28)  316 + 216

b) 22 e) 29

5a

b) 1 e) x64  1

24.Calcular:

Si sabemos que: x + y = 4

Calcular: A 

3x  2 y

4

a) 219 d) 230

17. Si : a2 + b2 = 73 ab = 24; a > b > 0



a) 0 d) 216

b) 232 e) 28

c) 38

25.Si: x + y = 1

 219

b

2

2

2 2

Hallar: M = (x + y)  (x + y )

a

b) 220 e) 226

c) 223

b) 1 e) 2

a) 1 d) 2

c) 0

26.Simplificar:

20.Sabiendo que: (a + b)2 = 4ab

A  (a  b  c)(a  b  d)  (a  c  d)(b  c  d)  (a  b  c  d)2 2

2

Calcular: 2a  b  3a  4b ab b a a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

b) ab  cd e) a2b2  cd

a) ab + cd d) ab + c c) 8

c) ab  c

27. Dado: a2 + b2 + c2 = 2a + 4b + 6c - 14; a, b, c  IR

Bloque III 21.Sabiendo que:

Halle: T 

a b



b a

2

abc

a) 1 d) 2

donde: a;b  0 Hallar el valor de: T 

abc

( a  219 )10  (b  2005 )10 (b  219 )10  ( a  2005 )10

b) 1 e) 3

c) 2

28. Si : x  3    e

y 3e Evalular: T  (x  1)2  (y  1) 2  2xy  1

a) 1 d) 

b) -1 e) Imposible.

CARLOS VALDERRAMA

c) 2 a) 9 d) 100

b) 16 e) 49

c) 64

47

Multiplicación Algebraica

29. Si :

a b

a



1

b

Calcular: N  a) 1 d) 4

30. Si :

7

8

a b



8

a

a 1



a 1

1

Calcular:

b

1 b (a  b)

2

2

2



2

(1  b )(1  a )

b) 2 e) 5

2

(1  b )(1  a ) (a  b)

2

c) 3 a) 2

d)

b)

5

e)

2

2

c)

5

10 3

3 10

Tarea domiciliaria 1. Transforma los siguientes productos en sumas, aplicando los productos notables estudiados:

5. Efectuar: 2

A   13  7    13  7     

a) (x + 2)(x  2) b) (a + 4)2

6. Hallar el resultado de efectuar:

c) (6x + y)(6x  y)

N  ( e  3) 2  (3  e ) 2

d) (8 + y)2 e) (3b - 1)

2

7. Efectuar:

2

M  ( x  6 )( x  3)  ( x  5)( x  2)

f) (a + 4)(a + 2) 8. Calcular: g) (x  6)(x + 7)

A  ( x  24 )( x  24 )  (25  x )( 25  x )  (7  x )( x  7)  (  x  4 )( 4  x )

h) (x2 + 8)(x2  3) 9. Si: 2x + 3y = 1 2. Prueba que las igualdades son válidas:

Efectuar:

a) (a + 5)2  (25 + a2) = 10a

T  ( 3 x  2 y ) 2  2 ( 3 x  2 y )( y  x )  ( y  x ) 2

10.Reducir:

b) (4a + b)(4a  b)  2 (8a2 - b2) = b2

T  ( 3 x  1) 2  (1  3 x ) 2  ( x  6 ) 2  x 2  36

c) (4x  1)2  (16x2 + 1) + 8x = 0

11.Reducir:

3. Reducir:

2 2 2 2   (x  3)  (x  2)  (x  3)  (x  2)    

J  ( x  7 ) 2  ( x  4 ) 2  22 x 4. Calcular: 2

2

2

U = (x - 6) - (x + 4) + (x + 8) - (x - 2)

2

12.Si: a2  2a = 7 Calcular: S  ( a 2  16 )( a  2)( a  6 )

48

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 13.¿Cuál de las siguientes operaciones es correcta? a) b) c) d) e)

(x + 5)(x + 6) = x2 + 10x +30 (x - 4)(x  7) = x2 + 11x  28 (x + a)(x  2b) = x2 + (a  2b) x  2ab (x + 2a)(x  3b) = x2 + (2a  3b) x + 6ab (x + a)(x  3) = x2 + (a + 3) x  3a

17. Si la suma de dos números es 6 y su producto es 10. Calcular la suma de sus cuadrados. 18.Si: a  b = 14 ab = 18 Hallar: T = a2 + b2

14.Efectuar: M  ( x  4 )( x  1)  ( x  7 )( x  2)  ( x  5)( x  2)  ( x  3) x

15.Reducir:

19.Si: (a + b)2 = 18 a  b = 2; a > b >0 Hallar: = a2  b2

A  ( x  2 )( x  1 )( x  2 )( x  5 )  ( x 2  3 x  4 ) 2  42

16.Si: a + b= ab = 3 Hallar: T = a2 + b2

20.¿Cuál es el valor que asume: S

4x2  y2 xy



2x  y x

?

Si: (x + y)2 = 4xy

CARLOS VALDERRAMA

49

COLEGIO

ACADEMIA

FACTORIZACIÓN

Factorización

7

Factor Primo

Se llama así cuando sus coeficientes pertenecen a un campo numérico.

Un polinomio no constante será llamado primo sobre un conjunto numérico determinado sí y solo sí nunca puede ser expresado como el producto de dos factores algebraicos sobre dicho campo.

Ejm:

Por ejemplo analicemos los siguientes polinomios:

Polinomios sobre un campo:

*

J( x ) 

5 2

x 3  7x 4  6x 

2

a) P(x) = x2 - 4

3 * Sobre Q : No es primo sobre Q

Es un polinomio perteneciente al campo de los racionales ya que sus coeficientes son racionales.

¿Por qué?

P(x) = (x + 2)

(x  2)

Factor Primo Sobre Q

Factor Primo Sobre Q

* M( x ; y )  x  7 y  2 Se observa que  y 7 no son racionales pero si reales, entonces el polinomio pertenece al campo de los reales. Factorización:

* Sobre Q: Sí es primo sobre Q

Proceso inverso de la multiplicación por medio del cual una expresión algebraica racional entera es presentada como el producto de dos o mas factores algebraicos.

Un polinomio no constante es factor de otro cuando lo divide exactamente, por lo cual también es llamado divisor.

¿Por qué?

P (x) = x2 

3

2

P(x) = (x + 3 ) (x 

Ejemplo:

CARLOS VALDERRAMA

¿Por qué? Nunca puede ser descompuesto en dos factores algebraicos sobre Q * Sobre R : No es primo sobre R

Factor o Divisor:

x2 + 7x + 10  (x + 2)(x + 5)

b) P(x) = x2 - 3

x+2 x+5 x2 + 7x + 10 1

F A C T O R E S

Factor Primo Sobre R

3)

Factor Primo Sobre R

50

ÁLGEBRA Importante:

c) Identidades: Aplicación de identidades notables para estructuras conocidas.

Todo polinomio lineal es primo sobre cualquier campo numérico. Ejemplo:

Ejemplo: 4 4 * P(x; y)  (x  y )  (x  y ) Diferencia de cuadrados

a. P(x) = 3x + 7 ............ Es primo sobre Q b. T(x) = 3x +

2 ........ Es primo sobre R

Sea: P(x) = 219x (x+1)2 (2x-1)2003 ¿Cuáles son los factores primos de P(x)?

2

2

2

2

P(x; y)  [(x  y )  (x  y) ][(x  y )  (x  y ) ] 2 2 P(x; y)  [2(x  y )][4 xy] Identidades de Legendre

2

2

 P(x; y )  8 xy (x  y )  Posee tres factores prim os.

i) M(x) = x ; ii) Q(x) = x+1; iii) R(x) = 2x-1 Métodos de Factorización:

* Q ( a; b )  a 2  4 ab  4  4 b 2 Q ( a; b )  ( a) 2  2 ( a)( 2 ab )  ( 2b ) 2  4

Trinomio Cuadrado Perfecto

Tenemos: a) Factor común: Consiste en encontrar un factor presente en todos los términos del polinomio.

Q ( a; b )  ( a  2 b ) 2  2 2  Q ( a; b )  ( a  2b  2 )( a  2b  2 )  Posee 2 factores primos.

Ejemplo: Factorizar: 2 2 * P ( x ; y )  x y  xy  xy P ( x ; y )  xy ( x  y  1)

d) Aspa Simple: Generalmente se aplica en polinomios de la forma: P(x) = ax2n + bxn + c

 Posee 3 factores primos. 3 3 2 4 2 3 * Q ( a; b )  a b  a b  4 a b Q ( a; b )  a 2 b 3 ( a  b  4 )

 Posee 3 factores primos : a; b; a  b  4. b) Agrupación: Consiste en seleccionar adecuadamente para encontrar un factor común. Ejemplo: Factorizar: 2

* P(m; n)  3m  3mn  2m  2n P(m; n)  3m(m  n)  2(m  n) P(m; n)  (m  n)(3m  2)  Posee 2 factores primos. * Q( a; b; x ; w ; z)  ax  bx  aw  bw  az  bz Q( a; b; x ; w ; z)  x ( a  b)  w ( a  b)  z( a  b)  Q( a; b; x ; w ; z)  ( a  b)( x  w  z)  Posee 2 factores primos.

a, b, c: coeficientes;

a  0 n  Z+

Ejemplo: 2 * P(x) = 6x + 11x + 3

3x

1

2x

3

2x

9x 11x

 P ( x )  ( 3 x  1)( 2 x  3) 2 * Q(x) = 10x - 16x + 6 Q(x) = 2(5x2  8x + 3)

5x

3

3x

x

1

5x 8x

 Q ( x )  2(5 x  3)( x  1) 2 2 2 * R(x) = x + 2ax + a  b

x

(a + b)

(a + b)x

x

(a  b)

(a  b)x 2ax

 R ( x )  ( x  a  b )( x  a  b) CARLOS VALDERRAMA

51

F ac to riz a ció n Ejercicios Básicos I. En los siguientes ejercicios, indicar el número de factores primos: 1. J(x) = 2x (x + 1) Rpta.: _______________ 2. A(x) = 3(x+1)(x - 2) Rpta. _______________ 3. M(x; y) = 3xy

IV. Factorizar lo siguientes binomios: a) T(x) = x2  9 = .......................................... b) T(x) = x2  64 = ........................................ c) (x) = 4x2  1 = ........................................ d) S(x) = 9x2  1 = ........................................ e) K(x;y) = 4x2  y2 = .................................... f) Y(a;b) = 16a2  9b2 = ................................. g) A(x;y) = 25x2  16y2 = ...............................

Rpta.: _______________ 4. (x; y; z) = -7x2y3z5

V. Factorizar los siguientes polinomios, utilizando el método de aspa simple

Rpta.: _______________

a) N(x) = x2 + 5x + 6 ....................................

5. S(x; y) = 2x2(x + 1)3(x + y)4

b) A(x) = x2 + 3x  4 ...................................

Rpta.: _______________

c) M(x) = x2  4x  5 ...................................

II. Factorizar los siguientes ejercicios:

d) A(x) = x2 + 4x  21 ..................................

a) E(x) = x2 + 2x .....................................

e) T(x) = 2x2 + x  1 ....................................

b) S(x) = x4  3x2 ....................................

f) (x) = 15x2  17x  4 ...............................

c) C(x) = x5 + 3x3 + x2 ..............................

g) S(x) = 6x2  7x + 2  .................................

d) U(x) = x2  3x3  6x .............................

Directrices para factorizar:

e) E(x) = -8x5 + 16x4  32x2 ..................... III. Factorizar los siguientes polinomios, utilizando el método de agrupación: a) L(x; y) = xy + y + x + 1  ........................ b) A(x; y) = 2xy  y + 2x  1 ..................... c) M(x; y) = x2y + y + x2 + 1 ..................... d) A(x; y) = x3y  yx2 + x  1 ....................

52

A. Siempre busca en primer lugar un factor común B. Considera el número de términos.

O J O



Dos términos, trata de factorizar como una diferencia de cuadrados.



Tres términos, términos,¿Es Es un Si Tres un trinomio trinomio cuadrado? cuadrado? Si lo es, factorízalo como el cuadrado de un binomio, si no, prueba con un aspa simple.

C. Factoriza completamente, asegúrate de que cada factor sea primo

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 7. Al factorizar: "J", "M" y "Q"

Pract iquemos

J( x )  x 2  6 x  8 M( x )  x 2  9 x  18

Bloque I

Q ( x )  x 2  9 x  20

1. Sea: M(x; y) = 3x2y8(2x + y)4 (x  2y)5 Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. El número de factores primos es 2. II. La suma de los factores primos es 4x III. El factor primo de mayor multiplicidad es (x  2y) a) VFV d) FFF

b) FVF e) FFV

b) z d) xy

b) x + 4 e) x – 7

c) x – 4

8. Dada la expresión: J ( x ; y )  3( x  y ) 2  7 ( x  y )  2

Sabiendo que ‘‘x – y’’ es par. Proporcione un factor de P(x;y) que puede ser par. a) x – y + 2 c) 3x + 3y – 1 e) x – y – 2

b) 3x – 3y – 1 d) x – y

9. Indique el número de factores primos en:

3. Factorizar: T(a; b) = a3b2 + a2b + a2b3 + ab2 El factor primo de segundo grado es: a) ab d) a2 + ab

a) x – 5 d) x – 6

c) VVV

2. Factorizar: A(x; y) = x2y2 + xyz + xyw + zw e indicar un término de un factor primo a) x c) xz e) Hay dos correctas

Señale el factor primo que proporciona el menor valor numérico para x = 2005.

b) a + b e) b2 + ab

c) ab + 1

U ( x ; y )  x 3 m  2 y 3  7 x 3 m  1 y 4  10 x 3 m y 5

a) 3m + 5 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

10.Un factor primo de: A ( x )  abx 2  ( 3 a  4 b ) x  12 es:

4. Factorizar: T(x; y) = (m + n)x [(m  n) y  m)]  m [m (m  n)y]

a) ax + 4 d) bx + 2

b) ax + 3 e) ax + 6

c) bx + 4

Indique un factor primo obtenido: a) m(y + 1) + ny c) m(y + 1)  ny e) m(y  1)  ny

b) my  n (y  1) d) m(y + x)  ny

11.Factorizar: N( x )  x 2 ( x  7 )  4 x ( x  7 )  4 x  28

5. Factorizar: ( x )  x 3 ( x  5 )  3 x 2 ( x  5 )

b) x + 2 e) x + 5

Indicando un factor primo a) x + 1 d) x + 8

Indicando un factor primo. a) x + 1 d) x + 4

Bloque II

c) x - 3

b) x + 2 e) x + 9

c) x + 3

12.Indicar un factor primo de: M( x )  ( 2 x 2  5 x ) 2  (2 x 2  5 x )  6

6. Factorizar: S(a; b)  1  ab  m(a  b)  m(ab  1)  a  b

a) x – 2 d) 2x + 3

b) x – 3 e) 2x – 1

c) x – 1

Indicar el número de factores primos. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

CARLOS VALDERRAMA

c) 3

53

F ac to riz a ció n 20.Un factor de:

13.Factorizar:

U( x ; y )  x 2  y 2  5 x  5 y es:

A ( x )  ( x 2  5) 2  13 x ( x 2  5 )  42 x 2

Indique la suma de coeficientes de un factor primo. a) 5 d) 2

b) 4 c) 6 e) Hay dos respuestas.

21.Factorizar: E ( x )  ( x  1) 4  5( x  1) 2  4

T ( x )  12 x 2  mx  15 es 7x  2

Indicando un factor primo.

Hallar: ‘‘m’’ b) 10 e) 13

a) x d) x + 9

c) 11

b) x + 7 e) x + 12

M( x ; y )  4 x 4  15 x 2 y 2  54 y 4

T ( x )  x 2  ( 2 m  1) x  ( m  1 ) 2

Es factorizable mediante un aspa simple (en los enteros), además: m  ZZ ^ m < 13, indique un factor primo. b) x + 7 e) x – 1

c) x + 9

e indicar un factor primo lineal. a) x + 6y d) y + 6x

Indicar la suma de coeficientes de un factor primo. b) 4 e) 7

b) a c) 1 + a e) hay dos correctas.

24.Indique el número de factores primos: 2

S ( x ; y )  ( 9 x  4 y )( x  25 y ) 2

2

2

2

Indicando el número de factores primos. b) 2 e) 5

c) 3

18.¿Cuál de los siguientes polinomios es primo? b) x2 + 2x + 1 c) x2 + 3x + 2 e) x2 + 5x + 6

19.Uno de los factores primos de: T(x; y) = (1 + xy)2  (x + y)2; es: a) x + y d) x  1

El término independiente de uno de sus factores primos es: a) 1 d) 2

c) 5

17. Factorizar:

a) x2  1 d) x - 1

b) 1  x e) x2  5x + 6

c) x + y + 1

2

D(a)  (a  5)  (a  5)(2a  5)(3a  5)  a  5a

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

25.Factorizar: M( x ; y )  2( x  y )( x  y ) 2  x 2  y 2  ( x  y )( x  y ) 3

Indicar el número de factores primos. a) 3 d) 12

b) 4 e) 18

c) 6

26.Luego de factorizar: M( x ; y ; z )  x 2  1  2 x  2 yz  y 2  z 2

Proporcione la suma algebraica de los factores primos obtenidos. a) 2(x  1) d) 2x + 2

54

c) 3x + 2y

A(x) = x2 + 2x + 1 + ax + a  ( x )  2 x 4  32

a) 1 d) 4

b) 2x + 3y e) 6x + y2

23.Al factorizar:

16.Factorizar:

a) 2 d) 6

c) x + 8

22.Factorizar:

15.Si el polinomio:

a) x + 5 d) x + 11

c) x  y

Bloque III

14.Si la suma de los factores primos de:

a) 9 d) 12

b) x  y + 5 e) x + y  1

a) x + y + 5 d) x + y + 1

b) x  1 c) x + 1 e) 2(x  y + z) 3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 27. Factorizar:

29.Indique el término común en los factores obtenidos de:

E ( x ; y )  ( x  3 y ) 2 ( x 2  6 xy  4 y 2 )  4 y 4

Indicando un factor primo. a) x + 4y d) x + 16y

b) x + 10y e) x + 7y

c) x + 11y

E ( x ; y ; z )  xy ( xy  2)  ( z 2  1)(1  z 2 )

a) y c) z2 e) Mas de una es correcta.

b) xy d) x

30.Determine el número de factores primos que presenta: 28.Factorizar:

S ( x ; y )  16 x 4  31 x 2 y 4  25 y 8

T ( x ; y )  ( xy  1)( xy  2)( xy  3)( xy  4 )  3 Indicar la suma de los coeficientes de los factores primos. a) 5 d) 8

b) 2 e) 9

a) 5 d) 2

b) 4 e) 1

c) 3

c) 7

Tarea domiciliaria 1. Sea: M( x )  219 ( x  3) 2 ( x  8 ) 4 ( x 2  3) 6 ( x 6  2) Indique el número de factores primos. a) 3 d) 13

b) 4 e) 14

c) 5

5. Factorizar:

S( x ; y)  (ax  by)x  (a  b) y   x x  (b  a) y  Indique un factor primo obtenido. a) ax  b(y  1) c) x(a + 1) + by e) (a + 1) c  by

2. Al factorizar: A ( x ; y )  ab 9 c 9 x 9 y 8  a 2 b 9 c 9 x 8 y 8 z

6. Descomponer en factores primos los siguientes trinomios.

¿Cuántos factores primos se obtienen?

a) J(x) = 2x2 + 7x + 3

a) 5 d) 3

b) U(b) = 6b2  5b  21

b) 36 e) 6

c) 1

c) A(y) = 4y2  23y + 15 d) N(r) = 10r2 + 17r + 3

3. Factorizar: T ( a; b ; c )  m 2 a 2 b 2  nab  m 2 abc  nc

E indicar un factor primo. a) a + bc c) ab + c e) ab + mn

e) S(x;y) = 8x2 - 6xy  35y2 f) Q(b) = 8b3 - 6b2 - 27b g) E(y) = 8y2  15  37y

b) ac + b d) m2 + n

h) E(m) = 13m - 10 + 3m2 7. Cuántos factores primos lineales se obtienen al factorizar: J( a; b ; c )  a 2 bc 3  2 ab 2 c 3  3b 3 c 3

4. Factorizar:  ( x )  x 219 ( x  2005 )  7 x 218 ( x  2005 )

Indicar un factor primo. a) x + 6 d) x + 2004 e) x219

b) x + 7 d) x + 2006

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

8. Indique el número de factores primos en: U( x ; y )  x 4 m  5 y 217  5 x 4 m  4 y 218  6 x 4 m  3 y 219

a) 1 d) 4 CARLOS VALDERRAMA

b) x(a  1)  by d) (a  1) x + by

b) 2 e) 5

c) 3

55

F ac to riz a ció n 9. Un factor primo de:

15.Factorizar: T ( x ; y )  ( 36 x 2  49 y 2 )( 64 x 2  81 y 2 )

A( x )  6abx 2  (14 a  15b) x  35 a) ax + 5 c) 3bx + 5 e) 4bx + 3

b) 2ax + 7 d) 3bx + 7

10.Factorizar:

Indicando el número de factores primos. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

16.Factorizar:

N( x )  x ( x  5)  7 x ( x  5)  10 x  50 2

P(x; y) = (3x + 2y)2 - (x - 2y)2

Indicando un factor primo. a) x + 2 d) x+ 8

b) x + 4 e) x + 10

O( x ; y )  (3 x  2 y ) 2  ( x  2 y ) 2

c) x + 6

E indicar un factor primo. a) 2x d) 4x + 3y

11.Indicar un factor primo de:

b) x e) 8x

c) 3x + 4y

M( x )  ( x 2  x ) 2  8 ( x 2  x )  12

17. Factorizar: b) x  2 e) x  5

a) x + 1 d) x  4

c) x  3

S ( x ; y ; z )  ( x  y )( x 2  z 2 )  ( x 2  y 2 )( x  z )

Indicando el número de factores primos.

12.La expresión: A ( x )  15 x 2  nx  15

Tiene dos factores primos lineales con coeficientes enteros; esto sucede si ‘‘n’’ es: a) Entero impar c) Cero e) Par o impar

b) Entero par d) La unidad

13.La expresión: T(x) = 15x4 - 8x2 - k Presenta dos factores primos cuádraticos en Q. Indique la suma de coeficientes de uno de ellos, si:

a) 3 d) 4

b) 6 e) 12

18.Factorizar: Q ( x )  ( x  2 ) 4  10 ( x  2 ) 2  9

Indicando un factor primo. a) x  2 d) x + 4

b) 2 e) 2

14.Factoriza: a) J(x) = x2  144 b) U(x) = 2x2  50

c) 1

2

e) M(x) = (x  1)  1 f) A = (x  2)2 - (y + 3)2 4

g) T(x) = x  1

c) x + 3

U( x )  4 x 4  37 x 2  9

Indicar un factor primo. a) 2x  1 c) x + 3 e) Todos

b) 2x + 1 d) x  3

20.Factorizar: E ( x ; y )  x 2  4 xy  4 y 2  3 x  6 y

c) A(x;y) = 9x2  25y2 d) N(x;y) = 16x2  81y2

b) x + 2 e) x + 6

19.Factorizar:

11  k  13  k  IN a) 3 d) 4

c) 5

Proporcione la diferencia de los factores primos obtenidos. a) 1 d) x

b) 0 e) x

c) 3

h) S(x) = x8  1

56

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA Algebra 1

CLAVES DE LA TAREA DOMICILIARIA # ¿?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

d c b b e d e a a d

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

c b d b b d a d c d

Algebra 2 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

b a b b c b a a b e

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Algebra 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b

b d c e c c

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

c e d d a d a d d d

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

d e d e e b c c e b

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

e d c d d b b a a e

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b b d c b c c c a a

b d c b b d d d a

CARLOS VALDERRAMA

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

b d c d b a c e c

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

b a a b c e c e b d

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

c c d c e a c d e a

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

d d b a a c b b b a

Algebra 6 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

b d c c c a a e c d

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

d e c e b b c a

Algebra 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

c e d c e c

Algebra 4

Algebra 5 1 2 3 4 5 6 7 8 a 9 a 10 b

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

b b c c b c c d b d

Algebra 8 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

b b a b a b e d b d

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

d c b b e

c e

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

d b

b a b a a

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

b c a b d e d c d b

31 32 33 34 35 36 37

d d b a c e c

57

C

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (POR FACTORIZACIÓN)

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

8

Resolución de una Ecuación de Segundo Grado con una Incógnita por Factorización. Forma general:

ax2 + bx + c = 0

OjO Todo número que satisface a una ecuación con una incógnita recibe el nombre de raíz o solución de esa ecuación.

Siendo: "a", "b", "c" constantes:

a 0 x Incógnita Por ejemplo:

 x2  1  0  x2  4x  3  0  2x 2  x  6  0  x2  x  1  0

OjO Una ecuación cuadrática pura es aquella que carece de término "x". Ejm.: 2

x -1=0 2 7x - 5 = 0

CARLOS VALDERRAMA

58

ALGEBRA Métodos de Resolución de las Ecuaciones de Segundo Grado.

Ejemplo Básico: * Completa el siguiente cuadro según la notación pedida:

En ésta sección se dará a conocer algunas técnicas para su resolución, con el objetivo de tener una base sólida que estudia la forma de resolver INECUACIONES: LINEALES, CUADRÁTICAS.

Ecuación Cuadrática

0

3

-5

0

2

x + 5x = 0 x2 – 6x = 0 x2 + 7x = 0 3x2 + 5x = 0

TEOREMA : Sean "a" y "b" en IR, entonces:

Como consecuencia de este Teorema tenemos el siguiente resultado:

Mayor Solución

x2 – 3x = 0

La resolución de una ecuación cuadrática puede realizarse sea por factorización o completando cuadrados, ambos métodos se basan en los siguientes teoremas.

ab = 0 [a=0] [b=0]

Menor Solución

2do Método: Sea: ax2 + bx + c = 0 a  0; b = 0 La ecuación se reduce a:

TEOREMA: Sean "a" y "b" en IR, entonces: a2 = b2 [a=b a=-b]

ax2 + c = 0 Entonces las raíces son:  

c a

Ejm:

Demostración : a 2  b 2  a 2  b 2  0  (a  b)(a  b)  0  ab 0ab 0  a  b  a  b

Debido a la notación:

Sea: x2  4 = 0 Se puede factorizar así: (x + 2)(x  2) = 0 Que equivale a las dos ecuaciones lineales:

a  b  (a  b)  (a  b) El teorema previo también se puede enunciar como:

x + 2 = 0 x  2 = 0 Con las soluciones 2 y 2, que son raíces de x2  4 = 0.

TEOREMA: Sean "a" y "b" en IR, entonces: a2 = b2 a = ± b

O jO

¿Q ué opinas si re suelves d e esta fo rm a? Siendo : x 2 – 4 = 0 Tendrem o s:

1º Método:

x2  4

2

 x  2

Sea: ax + bx + c = 0 a  0, c = 0 La ecuación se reduce a: ax2 + bx = 0 Se puede factorizar así: x(ax + b) = 0 Que equivale a dos ecuaciones lineales: x = 0 ; ax + b = 0 Con las soluciones 0 y b/a, que son raíces de las ecuaciones de: ax2 + bx = 0. CARLOS VALDERRAMA

Ejm: Sea: 2x2  21 = 0 2 Tendremos: x 

21 2

y las raíces son: x  

21 42  2 2

59

Resolución de ecuaciones de segundo grado (por factorización) Ejemplo:

Ejm:

Sea: x2 + 9 = 0

Resolver: 2

Tendremos: x2 = 9

x - 5x + 6 = 0

Para este tipo de ecuación necesitas saber que:  1  i ; este tipo de número lo estudiaremos el próximo bimestre. Y las raíces son: x    9  3i.

x

-3

x

-2

(x - 3)(x - 2) = 0 Que equivale a dos ecuaciones lineales:

Ejercicios Básicos



x3=0

Completa el siguiente cuadro según la notación pedida.

x2=0

Con las soluciones 3 y 2, que son raíces de la ecuación:

Ecuación Cuadrática

Menor Solución

Mayor Solución

-4

4

x2 – 16 = 0 2

x – 25 = 0 x2 – 100 = 0 4x2 – 9 = 0 49x2 – 81 = 0

x2  5x + 6 = 0 Ejemplo: Resolver: 2

3x  2 x  5 = 0 5 3x 1 x (3 x  5)( x  1)  0

3° Método: Sea: ax2 + bx + c = 0; a 0 Se puede factorizar así: (mx + n)(px + q) = 0

 3x  5  0 5 x 3

Que equivale a dos ecuaciones lineales: mx + n = 0 Con las soluciones 

 px + q = 0

n q y  . m m

Que son raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0

60

x 1  0 x 1

 5  C.S.  ; 1  3 

Siendo: mp = a, nq = c, mq + np = b



Ejemplo: Resolver: x2  4x x x ( x  2 )( x

x  2  0 x 2

 4  0  2  2  2)  0



OjO La ecuación tiene la raíz doble x = 2

x 20 x 2

3° año de Secundaria

ALGEBRA Ejercicio Básico Resuelve las ecuaciones de segundo grado, marca con en el casillero respectivo a las soluciones de cada ecuación:

SOLUCIONES

Ecuación De Segundo Grado

-6

-5

-4

-3

x 2 – 3x + 2 = 0

-2

-1

1

2





3

4

5

6

x 2 + 5x + 6 = 0 x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 + 3x – 18 = 0 x 2 – 2x = 3 x 2 + 11x + 30 = 0 x 2 – x – 20 = 0 x 2 + 2x + 1 = 0 x 2 + 8x + 16 = 0 x 2 – 12x + 36 = 0 x 2 + 6x + 9 = 0 x 2 – 10x + 25 = 0

4° Método

Como una regla para este proceso, tenemos que:

Cuando una expresión cuadrática: ax2 + bx + c = 0, no se puede factorizar en una forma sencilla entonces de lo que se trata es de conseguir el CUADRADO DE UN BINOMIO de manera de convertir dicha expresión en otra de la forma:

1° Al coeficiente de "x", en este caso 8, se le toma la mitad obteniéndose así el valor de "d": 8 x  2(d)( x )  d 

8 4 2

2° Luego, se suma y resta "d2", en este caso 16, para que no se altere la expresión original.

(x + d)2 + t donde "d" y "t" pueden ser inclusive negativos o ceros.

3° Por último se establece el cuadrado perfecto y el término independiente luego de realizar los cálculos correspondientes en forma adecuada. Así obtenemos:

De los binomios al cuadrado: (x + d)2 = x2 + 2(d)(x) + (d)2 (x  d)2 = x2  2(d)(x) + (d)2

x2  8x + 15 = (x  4)2  1

Vemos que en un principio debe obtenerse el término 2(d)(x) en cualquiera de los dos casos. 2

2

x  8x  15  ( x  8x

  x  x

)  15

2

 x  2(4)( x ) 2

 2(4)( x )  4 2

2

 2(4)( x )  4 2

  15  4   15   16  15 2

2

 ( x  4)  1

Ejemplo: Completando cuadrados, Resolver: x2  6x + 8 = 0 Sol.: [x2  2(3)x + 32] - 32 + 8 = 0 (x  3)2  1 = 0 Se puede factorizar así: (x  3 + 1)(x  3  1) = 0 (x - 2)(x - 4) = 0

Este proceso es conocido como la COMPLETACIÓN DE CUADRADOS. CARLOS VALDERRAMA

61

Resolución de ecuaciones de segundo grado (por factorización) Que equivale a dos ecuaciones lineales: x2=0  x  4 = 0

Que equivale a dos ecuaciones lineales: x

Con las soluciones 2 y 4 que son las raíces de: x2  6x + 8 = 0

5 13  0 6 6



x

5 13  0 6 6

5 13 5 13  y  que son las 6 6 6 6 2 raíces de: 3x  5x + 1 = 0.

Con las soluciones:

Ejemplo: Resolver la ecuación: x2 + 4x + 1 = 0

Ejercicios Básicos

Completando cuadrados: 2

2

[x + 2(2)x + 22]  2 + 1 = 0 (x + 2)2  3 = 0 Se puede factorizar así:

x  2  3 x  2  3   0

Que equivale a dos ecuaciones lineales: x2 3 0



x2 3 0

Con las soluciones  2  3 y  2  3 que son raíces de: x2 + 4x + 1 = 0

Recuerda

Hallar el término que se debe sumar a las siguientes expresiones para transformarlas en un cuadrado perfecto. a) x2  2x b) x2 + 4x c) y2 + 5y d)

2  3

Resuelve formando un cuadrado perfecto: a) x2  2x  3 = 0 b) x2  4x  5 = 0 c) x2  6x  16 = 0

OjO Para aplicar este método el coeficiente de x 2 debe ser 1 y el número que hay que sumar a los dos miembros ha de ser el cuadrado de la mitad del coeficiente de "x".

d) x2 + 8x + 12 = 0 e) x2 + 10x + 24 = 0

Ecuaciones Reducible a una forma cuadrática. Ejemplo: 2

Resolver: 3x  5x + 1 = 0 Dividiendo por 3. x2 

5 1 x 0 3 3

Completando cuadrados. 2 2  1 5 5  5  x 2  2  x          0 3  6  6    6 

2

5 13   x    0 6 36  Se puede factorizar así:     x  5  13  x  5  13   0    6 6  6 6  

62

El siguiente problema fue descubierto en los escritos del matemático Hindú Mahavira. La cuarta parte de un hato de camellos fue vista en el bosque, el doble de la raíz cuadrada del total de camellos del hato se fue a las laderas de la montaña, y tres veces cinco camellos fueron vistos en la orilla de un río. ¿Cuál es la medida numérica del hato de camellos? 1 x  2 x  15  x , que modela la 4 situación descrita por Mahavira no es cuadrática. No

La ecuación

obstante por medio de una sustitución de la variable x, se obtiene una ecuación cuadrática. Para resolverlas, primero hacemos una sustitución y resolvemos para nueva variable. Después, sustituimos la variable original y resolvemos de nuevo.

3° año de Secundaria

ALGEBRA Ejemplo:

Ejercicios Básicos

Resolver: x4  17x2 + 16 = 0

Resuelve: a. x4 - 4 = 0

Sol.: Sea: = x2

b. x4 - 10x2 + 9 = 0

Sustituir ""en vez de "x2"

c. x  3 x  10  0

2  17+ 16 = 0 ( 16)( 1) = 0 16 = 0   1 = 0 = 16  = 1

Ecuación Irracional Es aquella que tiene una, o más incógnitas bajo el signo de una raíz (radical) por ejemplo:

x  3  x 1 y

Ahora sustituir "x2" en vez de "". 3

2

 

x = 16 x=4

y  y  4 son ecuaciones irracionales.

2

x =1 x = 1

C.S. {-4; 1; +1; +4} Ejemplo: Resuelve: x  3 x  4  0

Para resolver una ecuación irracional, se despeja uno de los radicales, aislando en un miembro de la ecuación, y se pasan todos los demás términos al otro miembro. Elevando ambos miembros de la ecuación a una potencia igual al índice del radical, desaparecería dicha raíz. Este proceso se continua hasta que se hayan eliminado todos los radicales presentes. Ejemplo:

Sol.:

Resolver:

Sea:   x Sustituir ""en vez de x 2  3  4 = 0 (  4)( + 1) = 0   4 = 0  + 1 = 0  = 4   = 1

x 3  x 1

Transponiendo términos:

x  3  x 1

Elevando al cuadrado: x  3  x  2 x  1 x 1

O sea:

Finalmente, elevando al cuadrado los dos miembros de x en vez de "".

Ahora sustituir x 4 x = 16



OjO

x  1

x  1 se obtiene x = 1.

Comprobación: 1 3  1 1 2 1 1

La ecuación x  1 no tiene solución pues: x 0

¡No olvides! OjO

C.S. {16}

CARLOS VALDERRAMA

Es muy importante comprobar los valores obtenidos ya que al aplicar este método se introducen, frecuentemente soluciones extrañas a la ecuación que habrá de rechazar.

63

Resolución de ecuaciones de segundo grado (por factorización) Ejercicios Básicos

4. Resolver las ecuaciones siguientes completando cuadrados.

Resolver: a)

2x  1  3

b)

5x  4  6

a) b) c) d)

x2 + 4x  5 = 0 x(x  3) = 4 2x2 = x + 1 3x2  2 = 5x

5. Resolver las ecuaciones: c)

x 1  3  x  0

d)

3x  1  2x  3  0

a) x4  13x2 + 36 = 0 b) x4  3x2  10 = 0 c) 4x4  17x2 + 4 = 0 d) 2 x  9 x  4  0

e)

5  2x  x  1

f)

3x  5  x  1

6. Resolver las ecuaciones:

Pract iquemos Bloque I 1. Resolver las ecuaciones siguientes:

a)

x2  x  2  2

b)

2x  2  x  1

c)

4 x  1  3  3x

d)

2x  7 

7. Hallar una raíz de: (x + 2)2 + (x + 3)2 = (x + 4)2

a) x2  15x = 0 b)

a) 1 d) 2

3x 2  5 x

x2 x  0 c) 2 3

b) 3 e) 2

c) 1

8. Resolver: 1  1 1   x   x    3 3 3  

3 2 7x 0 d)  x  4 5

2. Resolver las ecuaciones cuadráticas puras siguientes:

a)

2 3

b) 

2 3

d)

1 3

e) 

1 3

a) x2  40 = 9 b) 2x2  400 = 0

c) 

2 3

9. De la figura:

c) 2x2 + 36 = 9 + 3x2

d)

x 2

x 4  16 x

x

10

3. Resolver las ecuaciones siguientes:

2

a) x + x = 6

b) x2 = 5x + 24

64

y2 y 5   c) 3 2 6

d)

3 x 5   x 3 2

x + 10 2 Hallar ‘‘x’’ a) 5 d) 10

b) 6 c) 16 e) Hay 2 correctas

3° año de Secundaria

ALGEBRA 10.Resolver:

16.Resolver: 3x 9 x x 3 x3

a) 3 d) 9

(3  x ) 3  (4  x ) 3 (3  x ) 2  ( 4  x ) 2

c) 3

b) 3 e) 9

e indicar la raíz a) 2 d) 5

Bloque II 11.Resolver:

7

b) 3 e) 6

c) 4

17. Resolver la ecuación:

3

x 2

2

2 2

3 2

b) 1 e) 4

a) 2 d) 3

1 1 1   x     x    5 x 2 x 

3 3

c) 1

indicar una solución

a) -2

b) 

1 2

e) 4

d) 12.Si: x  6  6  6  ... Entonces "x" es: a) -2 d) a y c

1 2

c) 1

18.Resolver: b) 0 e) a o c

c) 3

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = x(x + 5) + 6 Dando la suma de soluciones enteras.

31 xn0 20 una de sus raíces es 0,8. ¿Cuánto vale la otra raíz?

13.En la ecuación: x 2 

a) 0,50 d) 10,5

b) 0,60 e) 10

c) 0,75

a) 2 d) 7

1

(x + 1)2 + (x + 2)2 + (x + 3)2 + (x + 4)2 + (x + 5)2 = (x + 6)2 + (x + 7)2 + (x + 8)2 + (x + 9)2

a) 6 d) Sólo 2

Se cumple: 362 + 372 +382 + 392 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442 212 + 222 +232 + 242 + 252 = 262 + 272 + 282 + 292 302 + 312 +322 + 332 + 342 = 352 + 362 + 372 + 382 102 + 112 +122 + 132 + 142 = 152 + 162 + 172 + 182 152 + 162 +172 + 182 + 192 = 202 + 212 + 222 + 232

15.Sabiendo que "x1" ^ "x2" son raíces de la ecuación:

c) 5

19.Hallar la suma de valores que verifican la ecuación:

14.Según:

a) b) c) d) e)

b) 3 e) 8

2  6  5x 2 x

17 9 e) 3x

b)

c) Sólo cumple 2

20.Resolver la ecuación: x 2  3x  x 2  3x  1  7

Hallar la suma de soluciones a) 1 d) 3

b) 2 e) 8

c) 3

(a2  b2)x2 + (b2  c2)x + (c2  a2) = 0 x2

Indicar: x1

x

 x1 x 2  x 2 1

a) 1

2 2 b) b  c a2

2 2 d) c  a a2  b2

2 e) c a2

CARLOS VALDERRAMA

2 2 c) b  a a2  c 2

65

Resolución de ecuaciones de segundo grado (por factorización)

Tarea domiciliaria 1. Resolver las ecuaciones siguientes: a) x2 - 17x = 0 2

b)

x x  0 5 4

6 5 c) 7x  2 x

5. Resolver las ecuaciones: 4

2

a) x  20x + 64 = 0 4

2

b) x  x  20 = 0 4

c) 9x

2

 9x

+2=0

d) 4 x  9 x  2  0

2

d) x  3x  0 e 4 2. Resolver las ecuaciones cuadráticas puras siguientes: a) x2  24 = 40

6. Resolver las ecuaciones: a)

x2  x  3  3

b)

5x  5  x  1

2

b) 3x  243 = 0 c) 4x2 + 25 = 16 + 5x2 d)

x 25  9 x

c) x  7 x  21  3 d)

2x  3  x  1  1

7. Hallar una raíz de: 2

3. Resolver las ecuaciones cuadráticas siguientes:

2

(x  4) + (x  3) = (x  2)

2

a) x2  x = 12 b) x2 = 7x +18 c) 3x2 + 3 = 10x d) 25x2 = 25x  4

e)

8. Si: xz > 0; 6x2 + 5x = 6 5z2 + 6z = 0 Hallar el valor de: x  z 9. Resolver: 1  1 1   x   x    4  4 9 

1  3x 3  4 x  4x 3x  4

4. Resolver las ecuaciones siguientes completando cuadrados:

10.Indicar la mayor raíz de: (x  5)(x  2) = 18

2

a) x + 5x + 6 = 0

11.De la figura:

b) x(x  2) = 3 c) 3x2 = 2x + 1

x+1

x+2

d) 2x2  3 = 5x

x+3 Hallar ‘‘x’’

66

3° año de Secundaria

ALGEBRA 12.Resolver:

17. Sea: 4x 8 x x 2 x 2

x  2  12  12  12  12  ...

Calcular: x2 + 219.

13.Señale una raíz de:

4 x 2  3x  5 2

x  2x  13

18.Si una de las dos raíces positivas de la ecuación:

2

2x 2  (p 2  5) x  3p  0 es 4

14.Hallar una raíz de: Hallar la otra raíz. 1 1 5   x3 x4 6

19.Resolver:

15.Resolver:

m2  n 2  x4 x 2  2x



2 x2  4



1 x 2  2x

mn x2



m2  n 2 x

20.Resolver: ( x 2  6 x ) 2  2( x 2  6 x )  35

16.Resolver: x 3

10 10 3 10 3 10 3 3 

CARLOS VALDERRAMA

Indicar la mayor solución.

67

C

RADICACIÓN

9

ALGEBRAICA

Radicación Se llama radicación a la operación matemática o algoritmo a través de la cual, esta dada para una variable real ‘‘x’’ y un número natural ‘‘n’’, existe un tercer número ‘‘r’’ llamado raíz, siempre que: rn = b.

Teoremas: 

Siendo {a;b}  R 0 ; m,n  IN  {1}, entonces: I. Raíz de un producto

Es decir:

n

Si :

n

b  r  b  rn

Donde: n : índice (n  IN ; n  2) b : radicando o cantidad subradical. r : raíz n-ésima de "b".

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

ab  n a.n b

Ejemplo: 7

6  7 37 2

5

15  5 5 5 3 8  4 2 2 2

Ejemplos: 3



3



5

32  2  32  (2)



4

1 1 1 1     81 3 81  3 



10

1024  2  1024  2

18  9 2  3 2

27  3  27  3

5

4

II. Raíz de un cociente

10

a  b

n

n

a

n

b

(b  0)

OjO 2

n= n Se omite el índice

Recuerda:

Ejemplo:



3



5



3

Ley de signos.

OjO

2n

#Positivo  

2n 2n  1

IR número imaginario

#Positivo 

2n  1 #Negativo



*

CARLOS VALDERRAMA

5  2

3

5

3

2

3  7

5

3

5

7

4  27 3  4

3 3

4

27

3 4



3



4 3

3 2

68

ALGEBRA III. Raíz de una raíz

Introducir un factor en un radical.

m n

Para introducir un factor en un radical de índice ‘‘n’’, se elevará el factor a la potencia n-ésima y se multiplicará por el radicando.

a  mn a

Ejemplo: Ejemplo:



7 9



45



3

2 

63

2

 2 5  (2) 2  5  20

219  20 219

 63 2  3 (6) 3  2  432

64  6 64  2

 x 2 5 y  5 ( x 2 ) 5 y  5 x 10 y

Ejercicios Básicos

Ejercicios Básicos

I. Simplica los siguientes radicales.

I. Calcular: a)

3

27 

__3__



_____ = 27

a)

12  __________ ___

d)

b)

3

64 

_____



_____ = 64

b)

27  _____________

e)

c)

4

625 

_____



_____ = 625

c)

24  ____________

f)

d)

5

32 

_____



_____ = 32

e)

3

8 

_____



_____ = 8

f)

7

g)

3



 128  _____

_____ = 125

Para extraer un factor del radical, se descompone el radicando en la multiplicación de otras cantidades, uno de los cuales tiene por exponente el mayor multiplo del índice contenido en el exponente inicial y se divide este exponente entre el índice de dicha raíz. Ejemplo: 180  2 2  32  5  2 2  32  5  2  3 5  6 5



3



5

3

3

270  2  33  5  3 2  3 3 3 5  3 2  33 5  33 10 10 15 2

5

10

a b c  a

5

15

 b

a)

2  _____________ 9

d)

b)

7  ____________ 64

e)

c)

Extraer un factor en un radical.



5

2

2 35

 c a b

c

32  __________ ____ x 3 y  __________

3

x 6 y 3  _________

5

9  __________ 32

II. Simplica los siguientes radicales:

_____ = 128



 125  _____

3

2

3

8  ____________ 27

f)

a  __________ b2c 3

x3 y6

 __________ _

III. Relaciona con una flecha ambas columnas: I. 2 2

a)

II. 6 3

b) 3 24

III. 10 2

c)

IV. 6 6

d) 3 12

V. 4 3

e)

VI. 3 5

f) 2 12

45

8

200

Corolario n

CARLOS VALDERRAMA

a

m



np

a mp

69

Radicación Algebraica Ejemplo:

Radicales Semejantes 23 12

5

2

3

52 

6

8



2

6

23

x 

Son aquellos radicales que además de tener el mismo índice, poseen la misma cantidad subradical.

22  10 4

522  54  6 625 6

6 1 2

2

9 3 

4

10

8 1 4

x

4 1 4

Ejemplo: *

2 1 3 2

a ; b a ; m a; 3 a

3

 3

2

 x1  x

*

2 5 xy ; 3 5 xy ; y 5 xy ; mn 5 xy son semejantes Índice: 5 Cantidad subradical: xy

Ejercicios Básicos I. ¿A qué es igual? a) 4 4 

Son semejantes

Índice: 2 Cantidad subradical: a

Escribe tres radicales semejantes a cada uno de los siguientes radicales:

2

M  2 5 a; ______________________________

b)

6

27  __________

c)

6

8  ____________

d)

10

32  __________

e)

8

A  x 3 x 2 y ; ____________________________ T  45 3 xyz; ___________________________

81  ____________

Clasificación de los Radicales Radicales Heterogéneos. Son aquellos radicales tales que sus índices son diferentes. Ejemplo: 

3

2, 43



5

xy , 7 a



Homogenización de radicales. Para dos o más radicales heterogéneos que quisiéramos expresarlos con un índice común, bastará con que encuentres el m.c.m de los índices que será el nuevo índice. Ejemplo: 3

2; 5; 6 3

El M.C.M de (3;2;6) = 6

3x , 3 2 y

Luego: Radicales Homogéneos. 32

Son aquellos radicales que tienen igual índice.

6

2 2 ; 32 5 3 ; 6 3

4 ; 6 125 ; 6 3

Ejemplo: Ejercicio Básico.



2 ; 3 ; x ; xy

Son homogéneos

I. Encuentra un índice común a los siguientes radicales.

Índice: 2



3

3

3 ;23 x ;5x 3 y ;7 x x 2

a) b)

Índice: 3



5

5

7 ;35 2 ; x x 2 ; xy 5 xy

2 ; 3 2 ; 6 2  ____________________

Son homogéneos 3

5 ; 4 7 3 ; 5 9  __________ _________

Son homogéneos

Índice: 5

70

3° año de Secundaria

ALGEBRA II. Responde V ó F

De donde:

3  4 81

(

)

4 32

(

)

c)

3  10 243

(

)

d)

2 3 3  6 72

(

)

4  15 8

(

)

a) b)

e)

6

5

3

2 3  6 4  6 27

 3 2 3  6 108 La multiplicación de expresiones de dos o más términos, ya sea que algunos o todos contengan radicales, se efectúa al igual que con expresiones algebraicas ordinarias. Ejemplo:

Operaciones con radicales

Multiplica r : 3 x  2 y por 2 x  3 y

Adición y Sustracción.

Sol.:

La suma o sustracción algebraica de radicales semejantes se efectúa como la de términos semejantes, es decir, se multiplica la suma de sus coeficientes por el radical común.

Se ordenan las expresiones y se procede como en la multiplicación ordinaria, la operación se dispone como sigue: 3 x 2 y

Ejemplo:

2 x 3 y

Calcular la suma indicada:

6x  4 xy  9 xy  6y

M  4 2  2 18  3 32  50

6x  5 xy  6y

Sol.: Primero simplificaremos los términos, en caso de que sea posible. Así tenemos:

M  4 2  2 18  3 32  50

Para dividir un radical entre otro se reducen, si es necesario, deben tener el mismo índice. Ejemplo: Efectuar las divisiones indicadas:

M  4 2  2 9  2  3 16  2  25  2 M  4 2 23 2  34 2 5 2

10

a)

2

M  4 2  6 2  12 2  5 2 M  (4  6  12  5) 2

b)

M5 2 c)

Multiplicación y división.

3 3

3

5

x2

7

6



x

27

6



Para multiplicar dos radicales primero se reducen al mismo índice, en caso de que sea necesario.

9

63

35

x 14

35

5

x



35

x9

Ejercicios Básicos Efectúa:

Ejemplo:

Multiplica r

3

2 por

3

a) 2 2  3 2  5 2  __________ ______ b) 33 3  53 3  43 3  ____________

Sol.: El M.C.M. de los índices 3 y 2 es 6 por tanto, convertiremos cada radical al índice 6. Así resulta: 3

10  5 2



c) d)

 2  5   _____________________  8  4   _____________________ 3

3

5

5

1

2

e) 2 8  4 2  ____________________

1

3

f) 33 6  23 3  ____________________

2  23  26  6 4 3  3 2  3 6  6 27

g) 85 35  55 7  ___________________ CARLOS VALDERRAMA

71

Radicación Algebraica No Olvidar OjO

Teorema 2n

x

2n

 |x|

 x; x  0 | x|   x ; x  0

Pract iquemos Bloque I 1. Expresar los radicales en su forma mas simple.

Ejemplo:



100  |10 |  10



b)

54

c) 2 18

(2)  | 2 |  2 4

16   en los reales. 125x

2

 5 5x 5 5 x; si : x  0



 5 5 x; si : x  0 

72

2

 

a)

2

x  4x  4  x  2 x  2; si : x  2  0  x  2; si : x  2  0



Ejercicios Básicos

d)

2 27 3

e)

3 50 a 2 5

f)

3

320

g)

3

a 2b 6 c 7

2. Transformar en radicales enteros, es decir, en radicales de coeficiente 1, los siguientes radicales: a) 3 2 b) 4 3

Efectuar: a)

(3) 2  __________ _____

b)

(4) 2  __________ _____

c) 2x x d) 3x x e) 2 xy x

c)

4

4

(2)  __________ ____

Reducir las siguientes expresiones:

2  2 

2

a)

3. Escribe el símbolo <, = ó > según corresponda en el recuadro entre cada par de radicales. a)

b)

c)

4

 2  3

 __________ ________

3  3 

 __________ _______

4

4

2

3

 __________ ________

b) 2

3

5

c) 2 5

3

11

3 2

4. Agrupa los radicales semejantes del siguiente conjunto:

2 x ;3 xy; x 3 y ;m5 m;7a 3 m; 23 2 xy ;  3 x ; e 3 y;0, 2 x; 5 m; 3 7 3  xy;5 3 y;219 5 m;2005 3 xy ; 4

72

3° año de Secundaria

ALGEBRA 5. Simplifica sumando radicales semejantes:

Bloque II 11.Calcular:

27  48  12

a)

N

b) 5 8  3 18 c) 7 2  3 50  7 32

a) 10 d) 15

98  2  50  18  32

d)

a) 3 8 2 5

  

d)

 6  12 

e)

c)

3

3

3

b) 11 e) 17

c) 13

12.Calcular:

6. Efectúa:

b)

 7  2  7  2   3  2 3  2    5  2 5  2

3

2  32

f)

M

2 6 12

3

2 x 3 18 x 4 3 6 x 2

5

2 5 21 5 5 7 5 6

3

a) 4 d) 6

2 2

2  2

2 3

b) 7 e) 9

2  10 31

c)

13.Efectuar:   A  2 3  2 3  

2

7. Realiza las siguientes operaciones: a) b) c) d) e)

a) 1 d) 6

 5  3 5  2  5 2 3  2 3 2  3   3  1 2  1   3  1 2  1  7  1  2 7  3  2    6  1

T

2

2

3

c)

14.Efectuar:

a) 1 d) 2

2

 3  1 3  1 3  1 4

4

c) 1

b) 0 e) 4

15.Efectuar:

8. Reducir:

J  48  12  3  a)  2

b)  3

d) 3 2

e) 2 3

 27 

75



c)  3 2



T  2 8 3 5 7 2 a) 4 10

b) 40 10

d) 52 10

e) 54 10



  2 3 1

U4 4  2  8 33 6 9 a) 0

b) 1

5

 72  5



20  2 2  198 c) 24 10

16.Efectuar:

9. Efectuar:

d)

b) 2 e) 8

e)

c)

3

a) 18

2

d) 10.Efectuar:







A  2 3 1 3 3  2  3 a)  2 3

b) 0

d) 16

e) 16  3

CARLOS VALDERRAMA

2   3  12  22 b) 9

27 4

3 1

c)

 3  1

9 2

e) 27

17. Simplificar: S

c) 6  2 3 a) 1 d) 2

5 

24

 75 

50



75  50

b) 1 e) 5

c) 2

73

Radicación Algebraica 18.Reducir:

20.Simplificar:  3 16  6 4  3 54   K  4 25  2 5  6 125   

6

8  2x 2  2 4  x 2

Y

x2

1

4x

a)

1 5

b)

1 125

d)

4 125

e)

2 5

2

1

2 125

c)

2



a)

4  x2

b) 2 4  x 2

d)

x2  4

e) 2 x 2  4

x2 4

c) x 2  4

19.¿Cuál de las raíces es menor?

8 ó a)

8

b)

d)

11

e)

3

3

11 ó

4

36 c)

11

3

6

6

Tarea domiciliaria 1. Expresar los radicales en su forma más simple: a)

45

d)

3

b)

98

e)

3 25a 3b 2 ab

f)

4

c) 5 12

ab 5 c 6

32x 3 y 4 z 9

2. Transformar en radicales enteros, es decir en radicales de coeficiente 1 los siguientes radicales:

4. Agrupa los radicales semejantes del siguiente conjunto: 5 y;7x 5 xy ;2x 7 a;2a 3 abc;219 4 2; 4 2005;137 a;2219 3 abc;k k y;123 5 m y ;0, 219

3

xy ;

abc;(x  y) 5 xy ;7 4 2;  2005;

5. Simplifica sumando radicales semejantes. a)

3

3

5

8  50  98  72

a) 2 3

d) 4 x y 2

b) 4 27  3 75

b) 5 2

e) 12ab 2 4 a 3b

c) 23 2  33 16  3 54

c) 3x x

f) 3x 5 y y 3x

d) 3 7  63  4 50  2 200 6. Efectúa:

3. Escribe el símbolo <, = ó > según corresponda en el recuadro entre cada par de radicales. a)

4

b) c) d)

74

4 3

5

2

102

5

2 4

a) 4 2 3 2

  

d)

5

3x 2 5 27 x 5 9 x 2

b) 2 5

  7 

e)

4

x 2 4 xy 4 xy 2

c)

f)

3

27

7

5 2

5 3 2

x x 3 y y2

3

1 x2

3° año de Secundaria

ALGEBRA 7. Realiza las siguientes operaciones:



c) d) e)





 5  1 5  3  4 5  2  5  1 3  1   5  1 3  1  3  2  4 3  5  3    15  1









2

M

3 3

2  2  3 3 2  12

2

2

a)

c)



14.Calcular:

15.Efectuar:

2

8. De ser posible, simplifica sumando términos radicales semejantes.

b)



N 10 2 10 2  6  2 6 2  3  7 3 7

2 5  3  10

a) b)

13.Calcular:

  A  3 8  3 8   16.Efectuar:

T

5a  2 45a 3 3

24 x  3 3x 4  3y 3 3x

 5  1 5  1 5  1 4

4

17. ¿Cuál de las raíces es mayor?

8 y  8  2 y  2  18 y  18

6 ; 3 3 ; 6 15 ; 20 32

9. Reducir:

18.Efectuar:

J  32  50  2 

 8

72



T

10.Efectuar:

7

3  6 2 

7



8

7  3 8 

8

19.Simplificar: 6

3

3

5

U  9  3  81  2 

10

4

O  a2  10a  25  4  4a  a 2

11.Efectuar:

A

2

 75  3

7 2 3

 48 



28  12  12

12.Efectuar:







A  3 2 1 2 2  3  7 2

CARLOS VALDERRAMA

Si: -5 < a < 2 20.Reducir: S   a 2  2ab  b 2  b 2  2ab  a2

Siendo: 0 < a < b

75

C

TRANSFORMACIÓN DE RADICALES

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

10

DOBLES EN RADICALES SIMPLES

Radicales Dobles

Ejemplo:

Son aquellos radicales que se caracterizan porque dentro de un radical, se encuentran contenidos uno o más radicales con otras expresiones a través de operaciones de adición y sustracción.

Transformar a radicales simples:

a)

11  3 8  Se tiene : 11 

 C  11 2  8 x 3 2  7

Ejemplo:

11  7  2

 11  3 8 



A B



A B C D



8  32

3

b)

A B

A B 

2

7  40  C  7 2  40  3 73 73   5 2 2 2

 7  40 

1 caso. Radicales de la forma:

11  7 3 2

A B c)

x  y

3  5  C  32  5  2  3 5 

Elevando al cuadrado:

32 32 5 1    2 2 2 2

 A  B  x  y  2 xy Regla Práctica De donde:

x+y=A

2

x  Ax 

4xy = B

B 0 4

También se puede transformar A  B a radicales simples formando un trinomio cuadrado perfecto para lo cual debemos recordar lo siguiente:

2

x 

Luego:

A B 

A  A B 2

A  A2  B  2

A  A2  B 2

 a  b

2

 a  b  2 ab

Lo aplicaremos de la siguiente manera:

A  B  a  b  2 ab  Que serán raíces simples si:

 a  b

2

 a b

ab

A2  B  C Ejemplo:

A B 

CARLOS VALDERRAMA

AC  2

AC 2

 5  24  3  2  2 3x 2  3  2 

7  40  5  2  2 5 x 2  5  2



28  5 12  25  3  2 25x 3  5  3

76

ÁLGEBRA EJERCICIOS BÁSICOS

Pract iquemos

I. Une las expresiones equivalentes con una línea



52 6



7  40



8  60

 

 2 2

Bloque I

 3 2

1. Descomponer los siguientes radicales dobles en radicales simples:



5 2



10  3

11  6 2



5 2

94 5



3 2



13  120



5 3



6  32

II. Escribe el símbolo <, = ó > según corresponda en el recuadro entre cada par de radicales. a)

9  2 14

a)

8  2 15 = ___________________

b)

16  2 63 = __________________

c)

17  2 66 = __________________

d)

15  2 56 = __________________

e)

18  2 65 = __________________

f)

13  2 30 = __________________

5  2

b)

6 2

10  2 24

c)

7 1

8  28

2. Descomponer los siguientes radicales dobles en radicales simples: a)

4  12 = ____________________

d)

12  6 3

3 3

b)

5  24 = ____________________

e)

16  8 3

3 2 1

c)

6  20 = ____________________

d)

7  48 = ____________________

e)

8  60 = ____________________

f)

9  56 = ____________________

III. A continuación se presentan radicales simples, transformarlos en radical doble. a)

7  2  __________ __________ _____

b)

11  3  __________ __________ ____

c)

7  1  __________ __________ _______

d)

5  1  __________ __________ _______

e) 4  3  __________ __________ _______ f) 5  2  __________ __________ _______

3. Descomponer los siguientes radicales dobles en radicales simples: a)

11  6 2 = ______________________

b)

8  4 2 = ______________________

c)

17  12 2 = _____________________

d)

19  8 3 = ______________________

e)

12  6 3 = ______________________

f)

21  8 5 = ______________________

g) 2 2  3 3  __________ __________ ___ h) 2 5  4  __________ __________ ______

CARLOS VALDERRAMA

77

Transformación de Radicales dobles en Radicales simples 4. A continuación se presentan radicales simples, transformarlos en radical doble.

9. Transformar en un solo radical doble:

  8  2 15  5  2 6 a)

7  2 = _________________________

b)

11  3 = ________________________

c)

7  1 = __________________________

d)

5  1 = __________________________

e) 4  3 = __________________________ f) 5  2 = __________________________

a)

7  2 10

b)

10  2 10

c)

7  2 10

d)

10  2 10

e)

5 2

10.Reducir:

g) 2 2  3 = ________________________ h) 3 3  2 2 = _______________________

S  2  2  3  2 4  15  5

i) 2 5  4 = _________________________

a) 0 d) -1

j) 6  4 2 = _________________________

Bloque II

5. Efectuar:

b) 2 e) 0

c) -1

c) 2

a  60 ; donde a  Q , al descomponer en

11.Dado

M  4  12  7  48 a) 2 2 d) 1

b) 1 e) -2

radicales simples, uno de ellos es a) 2 2

b) 3 2

d)

e)

6

5 . ¿Cuál es el otro? c)

12

3

6. Efectuar:

A  3  9  80  21  320 a) 2 d)

b) 3

7

e)

c) 5

a  4 b  2  a  2  2b

12.Si:

Además: a > b; a, b  IN Descomponer en radicales simples:

a  b  2 a  6b

5

7. Transformar en radicales simples:

T  2x  1  2 x 2  x  12

; x  2006

e indicar uno de ellos.

a)

5 2

b)

3 2

c)

3 1

d)

2 1

e)

7 2

13.Efectuar: a)

x3

b)

x4

c)

x6

d)

x2

e)

x4

M  2n 5  2 6  n 3  2 ; n  ZZ; n > 2

a)

2n

d) 2

n

2

c) 1

e)

n

2 3

  A   13  7  5  7  3  7  

T  5x  2  2 6 x 2  7 x  3  ax  b  cx  a Calcular: a + b + c

78

b)

14.Calcular:

8. Se tiene:

a) 4 d) 7

2

b) 5 e) 8

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

c) 6

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 15.Reducir: 18.Proporcionar el valor de:

T

4

 

13  2 40  7  40  11  6 2 33  8 2  3  8  11  72

a)

2

b) 3 2

d)

2 1

e) 1

A partir de:

11 2  12  4   4   >   {}  IN

c) 3 2  1

16.Simplificar:

a) 1

b) 3 2 4

d) 3 2 2

e) 2 2 3

c)

2 3

  2 3  5  13  48 19.Simplificar: a)

6 2

b)

3 2

c)

6 2

d)

3 1

e)

3 1

Indicando uno de los radicales simples.

17. Descomponer en radicales simples:

S  4 7  48

a)

3 2  2 2

b)

6 2  3 2

c)

6 3  2 2

d)

6 2  2 2

e)

1  2 1  ....  2 1  2 3  2 2

2 3  3 2

CARLOS VALDERRAMA

a)

2

b)

3

d)

6

e)

2 2

c)

5

20.Hallar el valor numérico, convirtiendo los radicales dobles en sencillos de:

3  3  2  2 2 3  2  12  18  128 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

79

Transformación de Radicales dobles en Radicales simples

Tarea domiciliaria 1. Descomponer los siguientes radicales dobles en radicales sencillos.

e)

43  12 7 = ____________________

f)

54  14 5 = ____________________

a)

14  2 48 = ____________________

b)

15  2 54 = ____________________

c)

16  2 55 = ____________________

a)

6  5 = _____________________

d)

17  2 70 = ____________________

b)

7  2 = _____________________

e)

18  2 72 = ____________________

c)

11  3 = ____________________

d)

6  1 = ______________________

f)

19  2 84 = ____________________ e)

5  2 = ______________________

2. Descomponer los siguientes radicales dobles en radicales sencillos:

4. A continuación se presentan radicales simples, transfórmalos en radical doble.

f) 3  7 = ______________________ a)

6  32 = ______________________

g) 4  3 = ______________________

b)

7  40 = ______________________

c)

8  48 = ______________________

i) 2 3  1 = ______________________

d)

9  80 = ______________________

j) 3  5 2 = _____________________

h) 2 2  3 5 = ___________________

5. Resolver: e)

10  96 = _____________________

f)

11  72 = _____________________

3. Descomponer los siguientes radicales dobles en radicales sencillos: a)

18  6 5 = _____________________

b)

27  10 2 = ____________________

M  6  2 5  11  2 30  1 6. Efectuar:

A  19  8 3  21  12 3  3 7. Indique un radical simple de: M  1  2x 1  x 2 ; 0  x  1

8. Si al resolver:

M  x  1  x 2  2x  3 c)

19  8 3 = _____________________ Se obtienen dos radicales simples, calcular el valor numérico de uno de ellos para x = 7.

d)

80

21  6 6 = _____________________ 3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 9. Si:

16.Reducir:

5  x  3 el equivalente de: 2

M  13  4 4  2 6  2 5  5 2x  2 6x  9 

2x  1  2 4 x  6

10.Indique: B – A; sabiendo que:

15  2 54  8  2 12  A  B 11.Reducir:

es: 17. Si:

M

8  2 7  10  2 21



8  2 7  10  2 21

42 3 Hallar: Q 

M 2

42 3

M5

2  3  5  2 7  45 18.¿A cuánto equivale:

12.Efectuar:

M

27  7 5  7  3 5

3 5

?

2  73 5 13.Efectuar:

M  n 5  2  2n 9  4 5

19.Simplificar:

4 2 2 6

14.Reducir:

M

4  15  2  3 13  120  5  24

15.Hallar el equivalente de:

20.Si:

2ab  3b 2  x  2

Hallar el valor natural de "x".

2 3 3 2 2 6 6

CARLOS VALDERRAMA

81

C

ap ít ul

11

RACIONALIZACIÓN

Es el procedimiento por el cual se transforma uno de los componentes de una fracción (numerador o denominador) que se encuentra en forma irracional en otra equivalente parcialmente racional. Por lo general, se emplea para eliminar la irracionalidad de los denominadores. FACTOR RACIONALIZANTE (F.R.) Se llama factor racionalizante a aquella expresión algebraica irracional que multiplicada por el numerador y denominador de una fracción permite que uno de estos se transforme en una expresión algebraica racional.

M I 

x

o

COLEGIO

ACADEMIA

Ejemplo :

7

Indicar el denominador, luego de racionalizar:

3

7 3

32 .

6



3

2

6

3 .

6

3 .

25 25

3



6

3

3

9 2

7 3 . 32 7 3 .  3x2 6

6

32

El denominador es 6. CASO II

F.R. M x F.R  F.R. Racional

N f ( x )  g( x )

; f(x) g(x) IR+.

Expresión Irracional Casos que presentan: CASO I

N n m ; n > m ; m , n INa IR+. a

El factor racionalizante es:

n

a n m

Expresión

Factor Racionalizante

Producto

f (x)  g(x)

f (x)  g(x)

f (x)  g(x)

f (x)  g(x)

f (x)  g(x)

f (x)  g(x)

Ejemplo: 7

Racionalizar el denominador de:

5 2

N



n

a

m

n



n

a

n m

a

n m

n



N a a

n m

Sol :

Ejemplo: Racionalizar el denominador de:

7 5 2 x  5 2 5 2  7

2

5 2



3

2 2 5  2

5 3



5

Indicar el denominador racionalizado de:

5 1 5 3

2

3



3

2

3

2

22



5 4 2

Sol :

5 5 1   5 1 5 1   5



5 1



4

2 5 12

El denominador es 4. CARLOS VALDERRAMA

82

ÁLGEBRA 219

Racionalizar el denominador de:

2

x 1  x

Sol:

219 2

x

x2  1  x 2

x 1  x x 1  x 

 219  x 2  1  x   

2 x 2 1  x 2

El denominador es 1.

Caso

Expresión Irracional

Factor Racionalizante

3

f (x)  3 g(x)

3

f 2 (x)  3 f (x)g(x)  g2 (x)

3

f (x)  3 g(x)

3

f 2 (x)  3 f (x)g(x)  g2 (x)

Producto

3

f(x) + g(x)

3

f(x) - g(x)

III

3

2

3

2

f (x)  3 f(x)g(x)  g(x)

3

f (x)  3 g(x)

f(x) - g(x)

3

f(x)  3 g(x)

f(x) + g(x)

IV 3

2

3

2

f (x)  3 f(x)g(x)  g(x)

Ejercicios Básicos i)

6 5 = _______________________ 5 3

1 = _______________________ 3

j)

3

16 = ______________________ 9

2

k)

5

2 = _______________________ 9

l)

4

27 = ______________________ 32

1. Racionaliza las siguientes expresiones: a)

b)

c)

d)

3

= ______________________

2 3

4

= ______________________

3

2 = ______________________ 5 2 1

2. Racionalizar:

= _____________________

a)

= ______________________

b)

g)

6 = ______________________ 5

c)

h)

10 = ______________________ 7

d)

e)

f)

4

1

= _________________

5 3

8

CARLOS VALDERRAMA

= _________________

3 2

27

1 5

1

1

= _________________

7 3 2

= _________________

7 5

83

Racionalización 1

e)

= ___________________

2 1 1

f)

a 3 b = ___________________

5 2

1

g)

c 4 d

= ___________________

2

3. Demostrar que: = __________________

11  3 1

i)

32 d

d)

7 1 h)

4 b

c)

= ___________________

3 a) 2 24x  4x 2 3x

(x  0)

3 2 3

j)

= ___________________

b)

9v 2

3

2

16

4 7 1

k)

= _______________

3 2 2 3 1

l)

5

c)

1 4



3a7b6 c5 2

24a bc



3

36 v 2

ab 2

5

4c 4

= _______________

5 3 3 5 d)

3

x  2 y 3 z 1 4xyz

2

Practiquemos 4. La expresión:



1

3 2

2xy z

2y 2

 27  3 1 es equivalente a:

Bloque I 1. Racionaliza el denominador de:

a)

2 3

a)

3 6

b)

d)

13 16

e)

3 2 3

b)

3

3

c)

7x

x5 y 7

2. Racionaliza el denominador de:

a)

b)

27 4

27 6

J

2 8  18  50  32

3a

xy 3

c)

5. Racionalizar:

3y

2a3 d)

3 12

2 3 3 2

Luego señale su denominador a) 2 d) 8

b) 4 e) 12

c) 6

6. Racionalizar el denominador en: A 

219 5

xy 3 z11

;

e indique su valor a) xy4z3 d) xy2z3

b) xyz2 e) x2y2z3

c) xyz3

2 6 52 6

84

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 7. Racionalizar el denominador en: N

13.Racionalizar:  

2003 7 2 4

5

a b c

; e indique su valor..

6

a3b4

c) ab2c2

a)

x y



x y



x y

a  10 a4

d) a  7 a  10 a4

2x 2  2y

14.Indicar el denominador racionalizado de:

x2  y 1

S= 3

9. Efectuar: M 

a)

5 2

5

b)

d) - 5

125

a) 1 d) 5 c) - 2

b) 2 e) 15

J 2 3

b) 5 e) 22

a) 2 d) -1

d) 6

e)

3 2



5

1

1 1 5

1



6 2



1 2 2

c) 5

5 1

      2  1 3  U   1 3 3  1   3  3 



1 2

1

c) 1 a) 

12.Reducir: T

1

1



16.Efectuar:

c) 6

b) -2 e) 0

1

1

b) 1

11.Efectuar:

8 6

5

4



a) 0

Bloque II

1

4

3 2

Se obtiene: 5 + q 6 Indicar : 5q + 3

T

c) 14

15.Simplificar:

e) -2 5

a) 3 d) 13

10  14  15  21

25



2

10.Al racionalizar: A 

a  10 2a

b)

e) a  7 a  10 a4

a) a b  b a  a  b  2 ab ab a b b a

x y

a  10 a2

c)

8. Demostrar que:

b)

a  7 a  10

ab3

b) a2b2c2 e) a4b3c2

a) abc d) a3b3c

a  25

1 2 3



1 5 2



1 6 5

c)

1 3  2 2

1 3  2 2

b) 

d)

1 3  2 2

1 3  2 2

e) Ninguna anterior a)

6 2

b)

d)

3-2

e) 4

5 +1

CARLOS VALDERRAMA

c) 0

85

Racionalización 17. Racionalizar:

1

19.Racionalizar: T  a)

b)

1

e indicar el denominador

3 32

3

a) 42 d) 48

1 3

2 3 5

4  3 2 1

b) 44 e) 50

20.Racionalizar:

18.Si se racionaliza el denominador de la expresión:



4 2

T

2  3  5 2 7

x 5 x  4  3x  14

Se obtiene una expresión equivalente cuyo valor para x= 5 es: a) -2 d) 1

c) 46

b) -1 e) 2

e indica el denominador a) 42 d) 48

b) 44 e) 50

c) 46

c) 0

Tarea domiciliaria 1. Racionalizar:

a) 3a 3 3  3 3 12a2 4 2a 8

a) 3 2 2 3 5

b)

2y

5

b) xyz

3x

3x 3 y 5

4

c)

b)

3

2M4 3



1 15e

d)

4

x 2 y 3 z 1 2

125 x yz

2 2 5 3

4. La expresión:

1 10yz 2

5

2 . 34 . 54 . e2M4



1 4 2 5z 5 xyz

 8  2

1

es equivalente a:

3 7

5. Racionalizar: J 

m  n

3 12  27  75

Luego señalar su denominador.

n

c 2 a 3 b

86



a2b2 c

m  d)

2

2x yz

15e

52 3

c)

5

abc

2. Racionaliza el denominador de:

a)

5

3

c)

d)

3. Demostrar que:

6. Simplificar e indicar "a - bc" , si:

U

18 3

2



24 3

16

 ab c

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 7. Racionalizar el denominador en: A

15. Indicar el denominador racionalizado de:

2192003 3

x y z

8. Racionalizar y simplificar. Dar como respuesta el denominador resultante: N

1 2  3  6

16. Simplificar:

24x 4 y 3 5

219

S

; e indicar su valor..

8 2 13

K

2 3

120x 2 y 7

2



1

1



1

1

3

1 3 1

9. Demostrar que: 17. Efectuar: a) 3 3  2 5  47  12 15 7 3 3 2 5

b)

c)

2 3 6

1 3 2 2 3

2 3

4 2 5



      3  2 1  Y   3 2 2 2  1   2  2 

3 52 5



14 5 5 5

18. Simplificar:

1

M

3 2

3 4 2 3 2

10. Al reducir la expresión: M 

1

4

1

4

Se obtiene un número:

 3

1 4

1 2 3

11. Reducir: 1

A

5 3

1



3 1

2



19.Si: x = 4y3 - 3y, hallar el valor de "x" para:

5 1

y

12. Efectuar: T

4 7 3



3 10  7



6 2

2 2 3  10

20.Racionalizar: a)

13. Racionalizar: T

1

1 3

m  36 m  8 m  12

b)

5 32 1

3

9  3 3 1

14. Obtener el equivalente de:



2 3 2 3

CARLOS VALDERRAMA



2 3 2 3

87

C

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (POR FÓRMULA CUADRÁTICA)

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

12

Sea: ax2 + bx + c = 0 , donde a0. Para encontrar las soluciones necesitamos seguir los siguientes pasos:

Recuerdas:

Factorizamos el coeficiente de "x2". MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS. Consiste en completar el cuadrado de un binomio y está basado en la aplicación del siguiente teorema.

c   2 b ax2 + bx + c = 0 a  x  x    0 a a  

a2 = b2  a = b  a = -b

2  x 

b c x 0 a a

EJEMPLO: Hallar la solución de: x2 - 2x - 1 = 0 Dar como respuesta la menor raíz.

Sumar y Restar la mitad del coeficiente de "x":

SOLUCIÓN : Como es difícil de factorizar, usamos el método de completar cuadrados, los pasos a seguir son: x2 - 2x - 1 = 0 Sumar y restar la mitad del coeficiente de "x":

 b  elevado al cuadrado:    2a 

1 (-2)=-1, 2

x2 

elevado al cuadrado: (-1)2 = 1, nos queda 1. 2

2

2

x   2x  1   1 1  0

Raíces

b  b  x    a  2a 





x

b 2a

2

1 b b   2  a  2a

2

 b      2a 

2 

c 0 a

2 b  b2 c   0    x  2 a   4 a2 a

(x 1)2 2 2

Aplicando el teorema: a2 = b2  a = b  a = -b (x - 1)2 = 2 



x-1= x=1+

C.S. 1  2 ; 1  2

2 2





2

x-1=- 2

x = 1 - 2

Si: b2 - 4ac  0, las soluciones son:

x+

b b2  4ac  2a 2a

x = 

x =

CARLOS VALDERRAMA

2

b  b c b  4ac   x      2 2 2a  a  4a 4a

b b2  4ac  2a 2a

b  b2  4ac 2a

o

x

b b2  4ac  2a 2a

o

x= 

o

x=

b b2  4ac  2a 2a

b  b2  4ac 2a

88

ÁLGEBRA Finalmente; las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0, están dadas por:

b  b2  4ac x 2a

b) 4t2 + 12t + 9 = 0 En este caso : a = 4 , b = 12 , c = 9. Luego: t1;2 =

A la expresión b2 - 4ac la llamaremos discriminante y la simbolizaremos por . Así tenemos: = b2 - 4ac

2(4) 12  0 3  8 2

t1;2 =

Ejemplo:

 (12)  (12) 2  4(4)(9)

12  0 8 12  0 3  8 2

Resolver aplicando la fórmula general: a) x2 - 3x + 2 = 0 En este caso: a = 1 , b = -3 , c = 2.

Sabiendo que: x1,2 =

Luego: x1,2 =

b  b2  4ac 2a

2(1)

 3   es una raíz doble.  2 

c) 9x2 + 18x - 17 = 0 Tenemos: a = 9 , b = 18 , c = -17.

 (3)  (3)2  4(1)(2)

3 1 2 2

x1,2 =

C.S.

Luego: x1,2 =

x1,2 =

 (18)  (18)2  4(9)(17) 2(9)  18  936 18

3 1 2

 3  26 3 3 1 1 2

x1,2 =

 18  6 26 18

C.S. 1 ; 2

 3  26 3

 C.S.

CARLOS VALDERRAMA

  3  26  3  26  ;   3 3  

89

Resolución de ecuaciones de segundo grado (por fórmula cuadrática) Ejercicios básicos Completa el siguiente cuadro según la notación pedida.

Ecuación Cuadrática

M enor Solución

M ayor Solución

2

x +x–1=0 2

x -x–1=0 2

x + 2x – 2 = 0 2

x - 3x + 1 = 0 2

x –x–1=0 2

3x - x – 2 = 0

Pract iquemos Bloque I 1. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) x2 + 3 + 5x = 0 b) x2 + 2x = 5 c) 1 + x = 3x2

C.S.  C.S.  C.S. 

  

  

  

  

  

  

2. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) (x + 2)2 = 15 b) (x - 3)2 = 20 c) (2x + 1)2 = 8

C.S.  C.S.  C.S. 

3. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) (x + 1)(x + 3) = 2 b) (x - 1)(x - 4) = 13 c) (x + 2)(x - 5) = 1

C.S.  C.S.  C.S. 

4. Resuelve las ecuaciones siguientes : a) x 2  1  2x  0

C.S. 





b) x 2  3x  2

C.S. 





c) 1  2x 2  5x

C.S. 





5. Resuelve las ecuaciones siguientes:

90

a) (x+5)(x - 5) = 4x - 10

C.S. {

;

}

b) (2x+3)2 = x2+5

C.S. {

;

}

c) (x+4)2= (2x+1)(x - 3)

C.S. {

;

}

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 6. Resuelve las ecuaciones siguientes : a)

2 x x 5

2 12.Calcular la mayor de las raíces: (3x  1)  x  2 8x  1

C.S. {

;

} a)

b)

c)

3x  7 5  4 x

C.S. {

4x x2  x2 2

C.S. {

;

}

11  5 5 2

b)

c)  11  5 5 2 ;

 11  5 5 2

d) 11  5 5 2

} e) Más de una correcta

7. Resuelve las ecuaciones siguientes: 13.Hallar el menor lado del triángulo, comprobar su existencia. a) 2 

3 1  x x2

C.S. {

}

M 

2 7  0 b) 1  x x2

C.S. {

2 3  2 x 1 x

C.S. {

c)

;

;

}

;

4

}

8. Resuelve las ecuaciones siguientes para "x" en términos de "y": a) x2 + 2xy + 3 = 0

C.S. {

;

}

b) 3x2 - 4xy + 5y2 = 0

C.S. {

;

}



J

Q

x+2 2

a)

2 6

b)

d)

6 2

e)  6  2

6 3 2

c)  6  2

14.Hallar "x".

9. Hallar la menor de las raíces de la ecuación:

2x 2 

x

1

x 1

1

3

x 5x 2 14   3x  3 2 5

1

2 3

1 2 

10.Resolver: (x + 3)2 + (x - 3)2 = (x - 2)2 + 12 a) 3  15 3

Indicar una solución. a) 2  2

b) 2  2

d) 1  2

e) 1  2

c)  2  2

d)

x2  x  1

3  11.Halle una raíz de: 2 2 x    1 x 

 1  97 4

b)

 1  97 4

c)

2

x  x 1  1  97 8

a) 2 2 d)

 1  97 d) 8

c)  3  15 3

e) Ninguna es correcta

15.Resolver la ecuación:

Bloque II

a)

3 5 3

b) 3  15 3

1  97 e) 8

CARLOS VALDERRAMA

2 3



3  2 e indicar una solución 3 2

b)

2 1

e)

2

c)

2 1

91

Resolución de ecuaciones de segundo grado (por fórmula cuadrática) 16.Resolver la ecuación:

18.Indicar la menor solución de la ecuación siguiente: (x2 - 5x)2 - 5(x2 - 5x) + 6 = 0

2

3 x 1 3x  8x  2   2x  2 2x 2  2 (x 2  1)(x  1)

e indicar una solución a)  6  13 2

b)  6  2 13 c) 6  13 2 2

d) 7  83 4

e) 6  2 13 2

a) 5  33 2 d)

5  37 2

b) 5  33 2

c)

5  37 2

e) No tiene solución irracional

19.Resolver la siguiente ecuación:

2x 2  3x  5 2x 2  3x  9  3  0 Indicar una solución irracional.

17.Hallar la menor raíz de la ecuación: (k - 2)x2 - (2k - 1)x + k - 1 = 0 Sabiendo que su discriminante es 17.

92

a)  5  17

b)  5  17 2

d) 5  17 2

e)  5  17 2

c) 5  17 2

a)  3  117 b) 3  117 4 4 d) 3  117 8

c) 3  117 4

e) No tiene solución irracional

20.Resolver la ecuación: (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x - 2) = -3 e indicar la mayor de sus raíces. a)  1  21 2

b)  1  21 2

d)  1  13 2

e) 1  21 2

c)  1  13 2

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA

Tarea domiciliaria 11.Resolver: (x + 2)2 + (x + 1)(x - 1) -3 = 0 Indicar una raíz

1. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) x2 + 2 + 7x = 0 b) x2 + x = 3 c) 2 + x = 5x2

C.S. { C.S. { C.S. {

; ; ;

} } }

; ; ;

} } }

1  12.Calcular la menor raíz de: 2 x    1 x 

2. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) (x + 1)2 = 7 b) (x - 3)2 = 18 c) (2x + 5)2 = 24

C.S. { C.S. { C.S. {

2 13.Calcular la mayor de las raíces: (4x  3)  5x  4 3x  2

14.Hallar el mayor lado del triángulo, comprobar su existencia.

3. Resuelve las ecuaciones siguientes:

M a) (x + 2)(x + 3) = 4 C.S. { b) (x - 2)(x - 1) = 5 C.S. { c) (x + 7)(x - 5) = -20 C.S. {

; ; ;

} } }

 3

x+1

4. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) x 2  1  3x  0

C.S. {

2

b) x  2x  3

C.S. {

;

}

;

J

15.Hallar ‘‘x’’.

C.S. { C.S. {

; ;

} }

1

x 2

1

C.S. {

;

}

b) 2 x  5  4 3 x

C.S. {

;

}

7. Resuelve las ecuaciones siguientes:

(x  1)

C.S. {

;

}

C.S. {

;

}

8. Resuelve las siguientes ecuaciones para "x" en términos de "y". a) x2 + 3xy + 4 = 0 b) 4x2 - xy - 5y2 = 0

C.S. { C.S. {

; ;

9. Hallar la menor de las raíces de la ecuación: x2 

x 4x 2 7   2x  2 5 3

10.Resolver: (x - 1)2 + (x + 2)2 = (x - 3)2 CARLOS VALDERRAMA

} }

1 2 

16.Resolver la ecuación: (x  1)2

7 3  2 x x

1

2

3 a) x x 6

b) 2 

1

1

6. Resuelve las ecuaciones siguientes:

2 1 a) 3   x x2

Q

x+2

}

5. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) (x + 4)(x + 3) = x + 13 b) (2x + 5)(x - 1) = x2



2



2 1 2 1

17. Resolver la ecuación siguiente: 2 x3 4x 2  6x  5   3x  9 3x 2  9 (x 2  3)(x  3)

18.Hallar la raíz de la ecuación cuadrática: (k - 1)x2 - 4x + 2 = 0 Sabiendo que su discriminante es 8. 19.Indicar la mayor solución de la ecuación siguiente: x2(4x + 5)2 - 6(4x2 + 5x) + 8 = 0 20.Resolver la siguiente ecuación:

6x 2  9x  49  2x 2  3x  7 Indicar la menor solución

93

C MANEJO DE FÓRMULAS

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

13

INCÓGNITA O VARIABLES Es una cantidad desconocida que representa un valor o magnitud numérica, la cual es posible determinar en una ecuación o fórmula. FÓRMULA Una fórmula no es más que una igualdad entre expresiones algebraicas que expresan algún principio, regla o resultado de índole matemático, físico o relativo a cualquier otra ciencia. Desde grados anteriores ya has trabajado con fórmulas, ya sea en matemática o en otras asignaturas, como la física por ejemplo, conocer fórmulas como:

D

m (densidad) v

V

d (velocidad de un móvil en movimiento rectilíneo uniforme) t

DESPEJAR UNA VARIABLE En la práctica, se presenta muchas veces la necesidad de despejar un elemento particular en una fórmula dada para determinar su valor. Ahora bien, toda fórmula constituye una ecuación. Luego, despejar una variable en una fórmula no es más que resolver una ecuación donde la incógnita es la variable que se va a despejar. Ejemplo. Despeja la variable que se indica en la siguiente fórmula:

*

A

b.h ; "h" 2

Solución:

A

=

b .h 2

2A = b . h

Observa: Para despejar "h", se transpone el denominador 2 al otro miembro

2A =h b

CARLOS VALDERRAMA

multiplicando y el factor "b", pasa dividiendo.

94

ÁLGEBRA Recuerda

OjO En este tipo de problemas debes aislar en un miembro la variable a despejar y pasando al otro miembro los demás elementos con la operación inversa a la que estaban realizando originalmente.

EJEMPLO * Despejar la variables que se indican en la siguiente ecuación y calcula su valor numérico para los valores que se dan, en cada caso:

a) x = * V = V0 + at V - V0 = at

V  V0 t

x=

a

m.n ; "m" para x = 20; n = 5 2 m.n 2

2x = m . n

* an = a1 + (n - 1) d an - a1 = (n - 1) d an - a1 = nd - d an - a1 + d = nd

an  a1  d d

n

2x m n

Reemplazando:

m=8

EJERCICIOS BÁSICOS * Despeja las variables que se indican: a) x + y = z; "y" b) P =

ab ; "a" 2

c) h =

1 E + 3Ep ; "Ec" 2 c

d) Ec =

1 mv2 ; "v" 2

EVALUACIÓN DE FÓRMULAS Consiste en determinar el valor de una incógnita en una fórmula cuando los valores de otras variables son conocidos.

OJO Si deseamos hallar una incógnita para los diversos valores de otras incógnitas, es recomendable despejar dicha incógnita y luego reemplazar los valores conocidos de las demás variables.

2(20) =m 5

b) a = b3 - cd ; "b" para: a = 10, c = -1; d = 2 a = b3 - cd a + cd = b3 3

a  cd  b

Reemplazando: 3 10  (1)(2)  b b=2 EJEMPLO Para un móvil con aceleración constante igual a 2m/s2, durante los 4 primeros segundos de iniciado su movimiento desarrolló una velocidad final de 10m/s. ¿Con qué velocidad inició su movimiento? Usar: VF = Vi + at Siendo: VF : velocidad final Vi = velocidad inicial a = aceleración t = tiempo Solución: Vf = Vi + at Vf - at = Vi 10 - 4(2) = Vi

Despejamos "Vi" Reemplazamos los datos

 Vi = 2m/s Lo cual nos indica que el movimiento se inició con una velocidad de 2m/s.

CARLOS VALDERRAMA

95

Manejo de Fórmulas EJERCICIOS BÁSICOS

5. De los siguientes enunciados, despejar "x" determinando su equivalencia.

Despeja en cada inciso la variable que se indica y calcula su valor para los datos dados: a) x - y = z, "z" para : x = 10 ; y = 4 3 = z; "y" para: x = 4; z = 12 5 c) mn + m2 = p2; "n" para : m = 4; p = 8

b) (x + y)

d)

xy = z; "y" para: z = 6; x = 3 2

e) x + 2x =

y2 ; "x" para: y = 6 12

a) ax - bx = a2 - 2ab + b2 b) cx - 1 = c2 + 2c - x c) bx - b2 = 3x + b - 12 6. Determine el radio de una esfera cuya área es igual a 100cm2. Usar:

A = 4R2

Siendo:

A: área ; R: radio

7. El área de un trapecio es igual a 72m2, la base mayor mide 12 m y la base menor mide 6m. Determine el valor de su altura.

Pract iquemos A=

Siendo:

A : área B : base mayor b : base menor h : altura

Bloque I 1. Despeja en cada inciso las variables que se indican: a) A = r2 ; "r". b) Ec = c) S =

1 mv2; "m". 2 Qab

t2 d) a2 + b2 = h2 ; "b".

e) h = 2V0 + 10t2 ; "t". 2. Despeja en cada inciso la variable que se indica y calcula su valor para los datos dados: a) 3V = a2h; "a"

si: V = 12, h = 1.

1 g t2 ;"g" si: S = 200, t = 10. b) S = 2 1 c) V = r2h; "h" si: V = 24 ; r = 6 . 3

3. De los siguientes enunciados, despejar "x" determinando su equivalencia. a) b) c) d)

3x = 4a + x xy - 3x + 2 = m xa2 + xb + xc = 219 B3x + Bx = -4 + 2005x

4. De los siguientes enunciados, despejar "x" determinando su equivalencia. a) b) c) d)

96

8. ¿Cuál será el radio de una esfera, si el volumen es 36 cm3? usar:

; "a".

x2 - 4 = a(x + 2) ax2 - 9a = mx + 3m x2 - 8y = 16 + 2xy mx + m2 = n2 + nx

1 (B + b) h 2

Usar:

Siendo:

4 3 r 3 r : radio V: volumen

V=

9. Se sabe que el volumen de un exaedro regular es igual a 27 000 cm3, determine el valor de su arista. Usar:

V = a3

Siendo:

a : arista V : volumen

10.Determine la altura de un cilindro de 3cm de radio, si la capacidad volumétrica del cilindro es 27cm3. Usar:

V = r2h

Siendo:

r : radio de la base h : altura V : volumen

Bloque II 11.Hallar el número de lados de un polígono, siendo la suma de ángulos internos igual a 1260°. Usar:

S = 180°(n - 2)

Siendo:

S : suma de ángulos internos n : número de lados

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 12.En cierto lugar un cuerpo de 50kg tiene un peso de 485N, entonces encontrar la aceleración de la gravedad de dicho lugar. Se sabe: P = mg Donde:

P = peso (N) m = masa g = aceleración de la gravedad (m/s2)

13.Una partícula se mueve en una trayectoria circular de 2m de radio en 4m/s. Determine después de 4s, su aceleración centrípeta. Se cumple que: a = c

16.Dos móviles parten simultáneamente al encuentro, ambos con movimiento rectilíneo uniforme (aceleración cero), uno de ellos parte con una velocidad de 30km/h. Si la distancia de separación inicial entre ellos es de 200km y se encuentran luego de 4h de iniciado su movimiento, determine con que velocidad partió el otro móvil.

te 

Usar:

d V1  V2

te = tiempo de encuentro d = distancia de separación inicial V1 , V2 : velocidad de partida

Siendo:

V2 R

17. Despejar la variable "b" en: Si:

a : aceleración centrípeta c V : velocidad R : radio

14.Se tiene un poco de gas hidrógeno de volumen 150 litros sometido a una presión de 32 atmósferas. Determine el nuevo volumen, si la presión es incrementada a 100 atmósferas. La temperatura permanece constante en todo momento. Si:

Ley de Boyle  V1 . P1 = V2 . P2

Siendo:

V : volumen P : Presión

15.Si la potencia eléctrica de un foco es de 100 watts y su resistencia eléctrica es igual a 4 ohmios, determine la corriente eléctrica presente.

w = ba + b2c e

18.Se cumple que:

SB2h =

 mv   TMQ    h 

3

despejar "v". 19.Despejar "x" en: 2 S 5

2gh  x 2 + P tg  = k

20.Despejar "A" en:

2

Usar:

P=I R

Siendo:

P = potencia eléctrica (watts) I = corriente eléctrica (amperios) R = resistencia eléctrica ()

CARLOS VALDERRAMA

T=

2R A

 3R  A  x   2g 

97

Manejo de Fórmulas

Tarea domiciliaria 1. Despeja, en cada caso, las variables que se indican: a) F = ma; b) V =

"m".

1 A .h; 3 B

"h". Sector circular:

ac  h; c) A =   2 

d) F = k

m.m1

7. Determine el radio de un sector circular cuya área es igual a 2m2; Siendo:

R

"c".

R ;

"m".

r2 e) b   ; L 360º

a) t = m + np ; "n" para: t = 4,5; m = 3; p = 5. b) a2 = b2 - bd ; "d" para : a = 2; b = -8 . c)

A=

Siendo:

R : radio A : área  : ángulo interno

"b".

2. Despeja las variables que se indican en las siguientes ecuaciones y calcula su valor numérico para los valores que se dan, en cada caso:

x - z = w; "x" para: y = 4; w = -3,4 ; z = 8. y

8. Se sabe que el volumen de un cono es igual a 80m3 y el radio de la base es 4m. Determinar el valor de su altura. Usar: Siendo:

3. De los siguientes enunciados, despejar "x" determinando su equivalencia. a) 2x + xy = 3b b) xa + xb = a - b c) xa2 + 2xb - b2 = a219 4. De los siguientes enunciados, despejar "x" determinando su equivalencia. a) x2 - 9 = b(x + 3) b) bx2 - 4b = 5x - 10 c) x2 - 10y = 25 + 2xy 5. De los siguientes enunciados, despejar "x" determinando su equivalencia. a) mx + nx = m2 + 2mn + n2 b) ax - 4 = a2 + 4a - 2x c) mx - m2 = 2x + m - 6 6. ¿Cuál será el volumen de una esfera cuyo radio es de 2 m?

98

4 3 r 3

Usar:

v=

Siendo:

r : radio v : volumen

 R2 360º

Usar:

R 2h 3 V : volumen R : radio h : altura V=

9. La suma "S" de los ángulos interiores de un polígono se calcula por la fórmula S = 180° (n - 2) donde "n" es el número de lados del polígono. ¿Cuántos lados tiene un polígono si se conoce que la suma de sus ángulos interiores es igual a 1080°? 10.El área total de un prisma recto de base rectangular puede calcularse mediante la fórmula A = 2ab+2(a+b)h donde "a" y "b" son las aristas de la base y "h" es la altura del prisma. Si se conoce que el área total es 94u2 y las aristas de la base miden 3u y 4u respectivamente, ¿cuál es la altura del prisma? 11.La cifra de unidades de un número de dos cifras es igual al triple de la cifra de las decenas. Si el número se divide por la cifra de las unidades el cociente es 4 y el resto es 1. Hallar el número. Ten en cuenta la relación: D = d.q + R Donde :

D d q R

: dividendo : divisor : cociente : resto

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 12.Se deja caer un objeto desde la parte más alta del arco de la entrada a la ciudad Mattociex, que es de 195 metros de altura. ¿Cuánto tiempo tardará el objeto en llegar al piso? Usar:

h = 4,9 t2 + V0t

Siendo:

h : altura t : tiempo V0 : velocidad inicial

13.0,6 kg de agua al enfriarse desde 90ºC a 15ºC pierde 45kcal. Calcular el calor específico del agua. Usar:

Q = mCe (Ti - Tf)

15.En el siguiente esquema, se pide determinar el radio de la circunferencia mayor, sabiendo que el área sombreada (corona circular) es igual a 9 pies2.

R r= 4p ies

Usar:

A = R2 - r2

Siendo:

A : área R : radio de la circunferencia mayor r : radio de la circunferencia menor

Sabiendo que: Q : cantidad de calor (Kcal) m : masa (g)  cal   Ce : calor específico   gº C  Ti : temperatura inicial

16.¿Cuántos grados Celsius se cumple que la lectura en Farenheit es la misma? C F  32 = 5 9 C : grados Celsius F : grados Farenheit

Siendo:

Tf : temperatura final 14.Un proyectil es lanzado desde el piso alcanzando una altura máxima igual a 500m, determine con que velocidad fue lanzado.

17. Despejar la variable "t" en la ecuación: F  x P =   b t  cos 

2

Usar: Siendo:

Vi hmax = 2g

hmax : altura máxima Vi : velocidad de lanzamiento g : aceleración de la gravedad (g=10m/s2)

18.Despejar la variable "A" en: K = QA2 + FA 19.Despejar la variable "v" en:

m0

M=

1

v2 C

2

20.En base a la ley de gravitación universal de Newton se puede demostrar que la aceleración de la gravedad a una altura "h" sobre la superficie terrestre es: g’ = g0

CARLOS VALDERRAMA

R2 (R  h)2

;

Despejar "h".

99

C

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

14

ax2 + bx + c = 0

Sea la ecuación cuadrática:

a  0 de raíces: "x1" y "x2". Suma de raíces:

x1 + x2 = -

b a

• Demostración:

De: x1;2 =

b  b2  4ac 2a

Luego: x1 + x2 =

 x1 + x2 = -

  x  b   1 entonces   b  x2  

b2  4ac 2a b2  4ac 2a

 2b b  b2  4ac b  b2  4ac + = 2a 2a 2a

b a

Es decir: "La suma de las raíces de una ecuación cuadrática es igual al coeficiente de "x" con signo cambiado entre el coeficiente de x2".

Producto de raíces:

x1 . x2 =

c a

• Demostración:

Ahora:

 b  b2  4ac   x1 . x2 =    2a  

 2   b  b  4ac    2a  

  (b)2   b2  4ac    x1 . x2 = 2 4a

 x1 . x2 =

(b) 2  (b 2  4ac)

CARLOS VALDERRAMA

4a

2

2



4ac 4a

2



c a

100

ÁLGEBRA Es decir: "El producto de las raíces de una ecuación cuadrática es igual al término independiente dividido entre el coeficiente de x2".

OJO La ecuación de segundo grado debe reducirse al máximo dándole la forma general.

Ejemplo: 2 Resolver: x - 5x + 6 = 0 Solución: Factorizando tenemos: (x - 3)(x - 2) = 0 x 1  2 De donde: x  3  2

Además por propiedad:

x1 + x2 = 5 , (2 + 3) x1 . x2 = 6 , (2 . 3)

Ejemplo: Resolver: 2x2 - 3x - 4 = 0 Solución: Aplicando la fórmula tenemos:

x1,2 =

3  9  4(2)(4) 4



3  41 4

 3  41 x 1   4 De donde:  3  41  x 2  4 Además, por propiedad:

x1 + x2 =

3  3  41 3  41    ,   2  4 4  

x1 . x2 = -2,

 3  41 3  41       4 4  

CARLOS VALDERRAMA

101

Propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado Ejemplo: * Sea la ecuación: x2 - 7x + 3 = 0 Hallar la suma y producto de las raíces sin resolver la ecuación. Siendo: a = 1; b = -7; c = 3

Suma de raíces:

 (7) 7 1

Producto de raíces:

3 =3 1

Ejemplo: * Sea la ecuación: 7x2 + 4x - 13 = 0 Hallar la suma y producto de las raíces sin resolver la ecuación.

Siendo: a = 7; b = 4; c = -13

102

Suma de raíces:

 (4)  4  7 7

Producto de raíces:

 13  13  7 7

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA EJERCICIOS BÁSICOS * Completa el cuadro, sin resolver las ecuaciones de segundo grado.

ECUACIÓN ax2 + bx + c = 0

SUMA DE RAÍCES 

b a

PRODUCTO DE RAÍCES c a

x2 - 3x + 2 = 0

x2 - 5x + 6 = 0

2x2 - x + 1 = 0

3x2 - 5x + 4 = 0

7x2 + 4x + 3 = 0

6x2 + 11x + 2 = 0

x2 - 5x = 0

x2 - 7 = 0

4x2 - 9x = 0

3x2 + 2 = 0

2 x2 + x - 3 = 0

5 x2 + 2x - 10 = 0

5 x2 + 2 3 = 0

2 3 x2 -

6 x=0

CARLOS VALDERRAMA

103

Propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado

Diferencia de raíces:

|x1 - x2|=

b2  4ac a

• Demostración: Ahora: x1 - x2 =

 b  b 2  4ac  b  b 2  4ac 2 b 2  4ac   2a 2a 2a b2  4ac a

|x1 - x2| = Ejemplo: Resolver: x2 - 5x + 4 = 0 Solución:

Factorizando tenemos: (x - 1) (x - 4) = 0 x1  1 De donde: x  4 ó  2

x 1  4  x 2  1

Si queremos encontrar: x1 - x2 = 1 - 4 = -3

ó

x1 - x2 = 4 - 1 = 3

|x1 - x2| = 3 * Por propiedad:

|x1 - x2| =

(5) 2  4(1)(4) 1

 9

|x1 - x2| = 3 Ejemplo: Sea la ecuación: 5x2 - 3x - 1 = 0 Hallar la diferencia de las raíces sin resolver la ecuación. Solución: Siendo: a = 5; b = -3; c = -1

|x1 - x2| = |x1 - x2| = x1 - x2 = 

104

(3) 2  4(5)(1) 5 29 5 29 5 3° año de Secundaria

ÁLGEBRA EJERCICIOS BÁSICOS * Sin necesidad de resolver las siguientes ecuaciones, halla la diferencia de sus soluciones. a) 3x2 - 5x + 1 = 0

Rpta: _______________

b) 2x2 - 4x + 1 = 0

Rpta: _______________

c) 3x2 - 10x + 8 = 0

Rpta: _______________

d) 6x2 - 2x - 5 = 0

Rpta: _______________ (x1 + x2)2 - (x1 - x2)2 = 4x1x2

Ojo:

Esta propiedad relaciona a las tres propiedades anteriores en una sola. Definiciones La ecuación de raíces "x1" y "x2" no nulas en: ax2 + bx + c = 0 / a  0 i) Posee raíces simétricas  x1 + x2 = 0 ii) Posee raíces recíprocas  x1 x2 = 1 EJERCICIOS BÁSICOS * Marca con un aspa la casilla respectiva.

ECUACIÓN

RAÍCES SIMÉTRICAS

RAÍCES RECÍPROCAS

3x2 + 5 = 0 4x2 + 5x + 4 = 0 x2 + 1 = 0 5x2 - 3 = 0 2x2 + x = x - 1 (x+1)2 = 2x + 3

TEOREMA Si las ecuaciones cuadráticas: ax2 + bx + c = 0 ; abc  0 mx2 + nx + p = 0 ; mnp  0 Poseen igual conjunto solución.

Se cumple:

a b c   m n p

CARLOS VALDERRAMA

105

Propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado

Pract iquemos

a) +5 d) +9

Bloque I 1. Halla la suma y el producto de soluciones en las siguientes ecuaciones: a) b) c) d) e)

10.Calcular el valor de "m" para que las raíces de la ecuación: x2 + mx + 14 = 0 se diferencien en 5.

x2 + 5x + 2 = 3x - 4 (x + 2)2 + 5x = 3 (3x + 2)2 - (2x + 3)2 = 1 (x + 1)(x + 2) + (x - 3)(x + 4) = (x + 6)(x - 1) (2x + 1)(5x - 2) = (3x + 4)2 - 2x

b) ± 5 e) -9

c) ± 9

Bloque II 11.Si: {x1; x1 + 2} es conjunto solución de la ecuación en "x"; 2x2 - 6x + a + 1 = 0, halle el valor de "a".

12.En la ecuación: x2 - px + 48 = 0 de raíces {x1;x2}.

1 1 219 .   x1 x 2 24

Determinar "p" tal que:

2. Si una solución de la ecuación: x2 + 5x + m = 0 es 2. Calcular la otra solución y el valor de "m". 3. Si una raíz de la ecuación: x2 + mx + 8 = 0 es 4, calcular la otra raíz y el valor de "m". 4. Si una solución de la ecuación de segundo grado mx2 - (m + 4)x + 6 = 0 es 2, encuentre el valor de "m" y la otra solución. 5. Calcular el valor de "m" y "n" para que la ecuación 1 4 mx + nx + 2 = 0 tenga por raíces a: x1 = y x2 = . 2 3 2

a) 219 d) 2005

b) 438 e) 2006

c) 2

13.Dada la ecuación: 2x2 + mx + 30 = 0 y "x1" y "x2" sus raíces. ¿Para qué valores de "m" se cumple la relación

x1 x2



3 5 ?

a)  16 d)  8

b)  10 e)  4

c)  14

14. Si: {m;n} es el conjunto solución de la ecuación: x2 + 2x + 5 = 0 y se sabe que: m2 + n2 = p. Indicar el valor de "p".

6. ¿Cuál es el valor de "m" si una raíz es el doble de la otra raíz de la ecuación: x2 - 9x + m = 0? 7. En la ecuación: (2n + 1)x2 + 3(n - 1)x + 1 - n = 0 La suma de raíces es 3/4, hallar "n". a) 0,75 d) 0,3

b) 0,5 e) 1

c) 0,8

a) -8 d) -2

b) -6 e) 2

c) -4

15.Siendo "r" y "s" las raíces de la ecuación: 2x2 - 4x - 1 = 0

1 1  . Halle el valor de : [(r  1)(s  1)] r s

8. Dada la ecuación: (m+1)x2 -

2 x + 2(m - 1) = 0

Hallar "m + 1", si el producto de sus raíces es igual a la unidad. a) -2 d) 3

b) 0 e) -1

c) 4

9. Halla la diferencia de las raíces en las siguientes ecuaciones: a) b) c) d) e)

106

x2 + 4x + 3 = 2x + 5 (x - 2)2 + 5x = 3 3(x + 5)2 - 2(x - 1)2 = 1 (x + 3)(x - 3) = 3x - 12 (x + 4)(x + 5) + (x - 2)(x + 1) = (x - 7)(x - 3)

5 a)   2

3

2 b)   5

3

2 d)   5

2

2 e)   5

4

5 c)   2

4

16.Si "a" y "b" son raíces de la ecuación: x2 - 5x + 3 = 0 Halle: (a - 4)(b + 2)(b - 4)(a + 2) + 5. a) 4 d) 2

b) 8 e) 9

c) 5

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA

Tarea domiciliaria 1. Halla la suma y el producto de soluciones en las siguientes ecuaciones:

12.Calcular el valor de "n" para que las raíces de la ecuación: 2

x + nx + 15 = 0, se diferencien en 2.

a) x2 + 7x + 4 = 5x - 2 b) (x + 3)2 + 2x = 4 c) (5x + 4)2 - (4x + 5)2 = 2

13.En la ecuación: 2x2 - (n + 2)x + (n + 4) = 0, hallar ''n'' si las raíces difieren en una unidad. 14.En la ecuación: x2 - 2006x + p = 0 de raíces {x1;x2}

2. Si una solución de la ecuación: x2 + 7x + n = 0 es 3, calcular la otra solución y el valor de "n".

Determinar ''p'' tal que: 1  1  1003 x1 x 2 219 15.Dada la ecuación: 4x2 + mx + 56 = 0 y "x1" y "x2" sus raíces. ¿Para qué valores de ''m'' se cumple la relación:

3. Si una raíz de la ecuación: x2 + nx + 12 = 0 es -6, calcular la otra raíz y el valor de "n". 4. Si una solución de la ecuación de segundo grado: nx2 + (n - 3)x - 15 = 0 es 3, encuentre el valor de ''n'' y la otra solución.

x1 2  ? x2 7 16.Si {m;n} es el conjunto solución de la ecuación: x2 + 3x + 7 = 0 y se sabe que: m2 + n2 = k, indicar el valor de ''k''.

5. Calcular el valor de ''m'' y ''n'' para que la ecuación: 2

mx + nx + 6 = 0 tenga por raíces a: x 1 

2 3 y x2  5 5

6. ¿Cuál es el valor de ''m'' si una raíz es el triple de la otra raíz de la ecuación: x2 - 12x + m = 0?

17. La ecuación: 5x2- 2x + 3 = 0, tiene por raíces: "x1" ; "x2" Calcular: M = (1 + x1)(1 + x2) 18.Hallar ''a'' para que las raíces de la ecuación en ''x'': 2

7. La suma de raíces de la ecuación:

2

(a + 8a)x + (7a + 3)x + (a - 12) = 0 sean recíprocas.

2

(m - 1)x - (m + 1)x + 4 = 0, es 2 entonces ''m'' es: 8. En la ecuación: 2

19.Para que valor (es) del parámetro ''k'' las raíces de la ecuación cuadrática en "x": 2

(5m - 3)x - 219

2005

x + 2(m + 2) = 0

Hallar: m - 1, si el producto de sus raíces es

2

2

(k - 1)x + 2(k + k - 2)x + 9(k - k) = 0 5 . 6

9. ¿Para qué valor de ''a'' la suma y el producto de raíces de: (a - 1)x2 + ax - 2 = 0, tienen el mismo valor?

Serán: i) Simétricas

ii) Recíprocas

20.Calcular ''m + n'', de tal manera que las ecuaciones: 2

10.Si "m" y "n" son las dos raíces de la ecuación: x2 - 2x + 2 = 0 Calcular: E = m

m+n

(n - 1)x + 2x + 1 = 0 2

9x + (m + 1)x + 3 = 0

mn

.n

Tengan las mismas raíces.

11.Hallar la diferencia de las raíces en las siguientes ecuaciones: a) x2 + 3x + 7 = 2x + 5 b) (x - 3)3 + 4x = 8 c) 4(x + 1)2 - 3(x - 2)2 = 0

CARLOS VALDERRAMA

107

C DESIGUALDADES

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

15

RELACIÓN DE ORDEN Es una comparación que se establece entre dos elementos de un conjunto que pertenece al campo de los números reales. El campo real es un campo ordenado. SÍMBOLO DE LA RELACIÓN DE ORDEN > : "Mayor que" < : "Menor que"  : "Mayor o igual que" : "Menor o igual que"

DESIGUALDAD Se conoce con el nombre de desigualdad a toda proposición donde aparece la relación "<", ">", "" y "". DESIGUALDAD ABSOLUTA Es aquella que se verifica para todos los valores reales de las letras que intervienen en ella. Ejemplo: (a - b)2 > -1 Es cierta para todos los valores reales de "a" y "b", ya que el cuadrado de todo número real es un número positivo o cero. DESIGUALDAD CONDICIONAL Es aquella que solo es cierta para determinados valores de las letras. Ejemplo:

x-5>3

Solo es verdad para "x" mayor que 8. * *

Las desigualdades a > b y c > d son del mismo sentido. Las desigualdades a > b y x < y son de sentido contrario.

LEY DE TRICOTOMIA Si: a  IR  b  IR, entonces una y sólamente una de las siguientes relaciones se cumple:

a
ó

a=b

ó

a>b

LEY TRANSITIVA Si: a < b y b < c , entonces: a < c Si: a > b y b > c , entonces: a > c CARLOS VALDERRAMA

108

ÁLGEBRA DEFINICIONES Si: "a" es positivo  a > 0 Si: "a" es negativo a < 0 Si: a > b a - b > 0 Si: a < b a - b < 0 Si: a  b a > b ó a = b Si: a  b a < b ó a = b

TEOREMAS RELATIVOS A DESIGUALDADES TEOREMA El sentido de una desigualdad no se modifica si se suma, o resta, un mismo número real a sus dos miembros. Ejemplo: Si: a > b, se tiene:

a+c>b+c y a -c>b-c

Lo mismo se puede decir de los simbolos <,  y . Por consiguiente, para pasar un término de un miembro a otro de una desigualdad no hay más que cambiarle de signo. (a - b > 0)

TEOREMA El sentido de una desigualdad no se altera si se multiplica, o divide, por un mismo número real positivo a sus dos miembros. Ejemplo: Si: a > b y k > 0, se tiene: ka > kb y:

a b  k k

Lo mismo se puede decir de los símbolos <,  y . TEOREMA El sentido de una desigualdad se invierte cuando se multiplica, o divide, por un mismo número negativo sus dos miembros. Ejemplo: Si: a > b y k < 0, se tiene: ka < kb y:

a b  k k

Lo mismo se puede decir de los símbolos <,  y . Ojo: Podemos multiplicar por cualquier número excepto por cero.

CARLOS VALDERRAMA

109

Desigualdades TEOREMA Si: a > b y "a", "b", "n" son positivos se tiene: an > bn , pero: a-n < b-n. Ejemplo: 3

3

5 > 4; se tiene: 5 > 4 ó 125 > 64 -3

-3

Pero: 5 < 4

ó

1 1  125 64

1 1 2 16 > 9, se tiene: 16  9 2 ó 4 > 3

Pero: 16



1 2

9



1 2

1 1  4 3

ó

EJERCICIOS BÁSICOS En una misma recta, grafica los puntos correspondientes a los siguientes números:

3; -5;

2 4 ; ; 3 5

6;- 3 y 2 +

3

* Coloca V o F entre los paréntesis según la proposición sea verdadera o falsa:

a) 0 < -5

.................................... (

)

.................................... (

)

.................................... (

)

.................................... (

)

.................................... (

)

.................................... (

)

.................................... (

)

.................................... (

)

.................................... (

)

j) -8 > -3

.................................... (

)

k) -0,00012 < -0,00013

.................................... (

)

b)

7 >

3

c) 0 < - 2 17  x <

d) x < 3,7 <

e) x < -1  1 + x R

+

f) x > 1  1 - x  R

-

2

g) ( 7 - 3) > 0 h) - ( 5 i)

110

1 7

<

2

2) 0

1 3

17

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA INTERVALOS Si representamos la desigualdad a < b sobre una recta numérica:

-

A

B

a

b

+

* El punto "A", representa al número "a", está a la izquierda del punto "B" que representa al número "b". * También podemos afirmar que existen números reales entre "a" y "b" o también que existen números que están antes que "a" y después de "b".

DEFINICIÓN: Los intervalos son subconjuntos de los números reales, que gráficamente son segmentos de recta o semirecta y sus elementos satisfacen ciertas desigualdades. INTERVALO ACOTADO Se denomina así al intervalo cuyos extremos son números reales, estos a su vez serán: * Intervalo cerrado Si "a" y "b" son números reales tales que a  b, se denomina intervalo cerrado al conjunto de todos los reales "x" para los cuales: a  x  b. [a; b] = {x  IR / a  x  b}

x

-

a

+ b

Nota: Si: a = b  [a; b] = {a} o {b} Ejemplo: El intervalo cerrado de extremos -3 y 2 que se denota por [-3; 2], es el conjunto de números reales "x", tales que: -3  x  2. Gráficamente:

[-3;2]

- -3

+ 2

R

Vemos que el intervalo [-3; 2], es un segmento de recta de longitud 5 unidades y que incluye a los números -3 y 2.

CARLOS VALDERRAMA

111

Desigualdades * Intervalo abierto Si: "a" y "b" son números reales tales que a < b, se denomina intervalo abierto al conjunto de todos los números reales para los cuales: a < x < b = {x  IR / a < x < b}

x

-

+

a NOTA:

Si: x   a < x < b

b

Si: a = b  = 

Ejemplo: El intervalo abierto de extremos -3 y 2 que se denota por <-3; 2>, es el conjunto de número reales "x", tal que: -3 < x < 2.

<-3;2>

- -3

Gráficamente:

+ 2

R Vemos que el intervalo <-3; 2> es un segmento de recta de longitud 5 unidades y NO incluye a los números -3 y 2. * Intervalo semiabierto por la izquierda Si "a" y "b" son números reales tales que a  b, se denomina intervalo semiabierto por la izquierda al conjunto de todos los números reales "x" para los cuales: a < x  b.
x

-

a

+

Si: x 
b

Ejemplo: El intervalo abierto en -3 y cerrado en 2 es el conjunto de números reales "x" tales que: -3 < x  2.

<-3;2]

- Gráficamente:

-3

+ 2

R Vemos que el intervalo <-3; 2] Es un segmento de recta de longitud 5 unidades que no incluye al número -3 y sí incluye al número 2. * Intervalo semiabierto por la derecha. Si "a" y "b" son números reales tales que a  b, se denomina intervalo semiabierto por la derecha al conjunto de todos los reales para los cuales: a  x < b.

Si: x  [a; b rel="nofollow">  a  x < b

[a; b> = {x  IR / a  x < b}

x

- a

112

+ b 3° año de Secundaria

ÁLGEBRA Ejemplo: El intervalo cerrado en -3 y abierto en 2, que se denota por [-3; 2>, es el conjunto de números reales "x" tales que: -3  x < 2.

[-3;2>

- Gráficamente:

-3

+ 2

R Es un segmento de recta de longitud 5 unidades, que incluye al número -3 y no incluye al número 2. NOTA: Un conjunto se dice que es acotado sí y sólo sí es acotado superior e inferiormente a la vez. INTERVALOS NO ACOTADOS Se denomina así, si por lo menos uno de los extremos es + ó -; estos intervalos son de la forma: * Intervalo acotado inferiormente

= {x  IR / x > a}

-

[a; +> = {x  IR / x  a}

-

+

a

+

a

Ejemplo * Números reales mayores que -3, que se denota por <-3; +> es el conjunto de números reales "x" tales que: x > -3.

<-3;+> Gráficamente:

-

+ -3 R

* Números reales mayores o iguales que -3 se denota por [-3; +> es el conjunto de números reales "x" tales que: x  -3.

[-3;+ > Gráficamente: - 

+ -3 R

* Intervalo acotado superiormente

<-; a> = {x  IR / x < a}

-

<-; a] = {x  IR / x  a}

-

CARLOS VALDERRAMA

a

a

+

+

113

Desigualdades Ejemplo: * Números reales menores que -3 Se denota por <-;-3> es el conjunto de números reales "x" tales que: x < -3

<--3> Gráficamente:

-

+ -3 R

NOTA: La notación , que se lee infinito no es un número real, sino un símbolo que se utiliza para indicar que a partir de un número "x" hay números tan grandes como se quiera, por la derecha (+) o por izquierda (-). * <-; +> = {x  IR / x  IR}

R -

+

Ejercicios Básicos * Grafica los siguientes intervalos: a) 1 < x < 5

f) x -3

b) 2  x < 4

g) x < -7

c) -3 < x  7

h) x  3

d) -5  x  0

i) 0  x < 3,5

e) x > 2

j) e  x 

* Expresa cada gráfica en notación de intervalo.

a) - 

b) - 

c) - 

d) - 

e) - 

f) - 

114

2

3

-1

4

0

5

-3

0

-7

3

+

+

+

+

+

+

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA g) - 

2

h) - 

1

+

+

* Escribe V o F entre los paréntesis, según sea verdadero o falso en cada enunciado. a) 3 [2 ; 3]

............... ( )

g)

<0; 3]  [0; 2>

............... ( )

b) -2 <-5; 2>

............... ( )

h)

1 <0; +>

............... ( )

c) 4; 3  <4; 5>

............... ( )

i)

3 <-; 3>

............... ( )

d) 3 <3; 5>

............... ( )

j)

[1; +>  IR

............... ( )

e) -2 [-2;2]

............... ( )

k)

<-; -3> IR

............... ( )

f) [2; 3] [0; 4] ............... ( )

l)

{1} <1; +>

............... ( )

OPERACIONES CON INTERVALOS Siendo los intervalos subconjuntos de los números reales, es posible realizar con ellos las propiedades operativas de los conjuntos (intersección, unión, diferencia y complementación) CONJUNCIÓNE INTERSECCIÓN Cuando dos o más enunciados se unen por medio del conector "y" para formar un enunciado compuesto, el nuevo enunciado se llama conjunción. Ejemplos: La luna es roja

y

la noche es fría

x+y=5

y

x-y=2

-2 = x

y

x<1

Para que una conjunción sea cierta, todos los enunciados individuales deben ser ciertos Ejemplo:

Sean:

A = {x / -2 < x}

-

B = {x / x < 1}

-

+

-2

1

+

Para que un número sea solución de la conjunción, debe pertenecer a ambos conjuntos.

CARLOS VALDERRAMA

115



Desigualdades AB : {x / -2 < x y x < 1} - 

-2

1

+

La conjunción -2 < x y x < 1 se puede abreviar - 2 < x < 1. Los elementos de dos o más conjuntos que son comunes a todos ellos forman un conjunto llamado intersección. Dados dos conjuntos "A" y "B" podemos representar su intersección por medio de A B. Si los conjuntos no tienen elementos en común. La intersección es el conjunto vacío, que se representa por medio del símbolo . El conjunto solución de -2 < x y x < 1 es la intersección de los conjuntos solución. A : {x / -2 < x}  B : {x / x < 1} En conclusión: A  B = {x IR / x A  x B} Símbolo que representa la conjunción. Ejemplo: Representa gráficamente -3 x < 4. El conjunto solución es la intersección de los conjuntos solución individuales. A: {x / -3 x}

B: {x / x < 4}

La gráfica es la intersección de las gráficas individuales.

Gráfica de: A = {x / -3  x}

-

Gráfica de: B = {x / x < 4}

-

+

-3

4

+

Gráfica de la intersección:

A B = {x / -3  x < 4 }

-

+ -3

4

DISYUNCIÓN Y UNIÓN Cuando dos o más enunciados se unen por medio del conector "o" para formar un enunciado compuesto, el enunciado se llama disyunción. Ejemplo: x < -3

Está lloviendo o sopla el viento. o

x3

El conjunto solución de x < -3

o x > 3 es la unión.

A = {x / x < -3}  B = {x / x > 3} En conclusión: A  B = {x  IR / x  A v x  B } Símbolo que representa la disyunción

116

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA Ejemplo: Representa gráficamente x  2 o x  5 Solución: el conjunto solución consiste en la unión de los conjuntos solución individuales. A = {x / x  2}  B = {x / x  5} La gráfica es la unión de las gráficas individuales:

Gráfica de: A = {x / x  2}

-

Gráfica de: B = {x / x  5}

-

A  B = {x / x  2 v x  5}

0 1 2 3 4 5

+

+ 0 1 2 3 4 5 6 7

-

+ -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Para que una disyunción sea cierta, al menos uno de los enunciados individuales debe ser cierto.

Ejemplo:

Sean:

+

A = {x / x < -3} - 

-3

+

B = {x / x  3} - 

3

Si un número pertenece a alguno o a ambos de los conjuntos solución, también pertenece al conjunto solución de la disyunción.

A  B : {x / x < - 3 o x  3}

+

- -3

3

Se llama unión al conjunto que se obtiene al reunir los elementos de dos o más conjuntos. Para dos conjuntos "A" y "B", su unión se denota A  B.

CARLOS VALDERRAMA

117

Desigualdades DIFERENCIA La diferencia de dos conjuntos se define como el conjunto de todos los elementos del conjunto "A" que no pertenece al conjunto "B". Dados dos conjuntos "A" y "B" podemos representar su diferencia por medio de A - B. Ejemplo: Sea: A = {x / -3 < x  12}

-

B = {x / -7 < x  9}

-

+ 12

-3

+ 9

-7

Los elementos que no pertenecen al conjunto "B":

-

-7

+

9

A = {x / -3 < x  12 }  B = {x / x  -7 v x > 9}

-

-7

-3

9

12

+

A - B = {x / -3 < x < 9}

En conclusión:

A - B = { x  IR / x  A  x  B} COMPLEMENTO Si "A" y "B" son conjuntos cualesquiera, tales que "A" es subconjunto de "B", la diferencia B - A se llama complemento de "A" con respecto de "B". Podemos representar el complemento de A por medio de A'.

c A'  CA A

Ejemplo: Sea:

Conclusión:

118

A = <-3; 12]

-

A' = <-; -3] <12; +>

-

+ 12

-3

+ -3

12

A' = {x  IR / x  A} 3° año de Secundaria

ÁLGEBRA Ejemplos: • Si: A = <-3; 8] y B = [4; 12> Hallar: A B y A B Solución:

AB=[4; 8]

-

-3

4

8

+ 12

AB=<-3; 12> A  B = <-3; 8] [4; 12> = <-3; 12> A B = <-3; 8] [4; 12> = (elementos comunes de "A" y "B") A B = [4; 8] • Si: A = <-3; 6] y B = <-2; 5] Hallar: A - B y A' Solución:

B A -

+ -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

I. A - B = <-3; 6] - <-2; 5] = <-3; -2] <5; 6]

-

A + -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

II. A' = <-; -3]  <6; +>

CARLOS VALDERRAMA

119

Desigualdades

Ejercicios Básicos I. Efectúa las operaciones siguientes: a) -; 2] [1; 5

:

___________________________________

b) 3; 5  [4; 9]

:

___________________________________

c) -; 4]  [0; 3

:

___________________________________

d) [-3; -2]  -2,5; 3,5

:

___________________________________

e) [4; 7] - 3; 5

:

___________________________________

f) <-; 3] - 1; +

:

___________________________________

II. Halla el complemento de los siguientes conjuntos: a) M = -; 2

:

___________________________________

b) A = 4; +

:

___________________________________

c) T = -2; 5]

:

___________________________________

d)  = -; 3] {4}

:

___________________________________

e) S = -; -6] - {-8}

:

___________________________________

APLICACIÓN DE INTERVALOS I. Para expresar el conjunto solución de inecuaciones. II. Para expresar el dominio y rango de una relación de R en R. III. Para expresar la "vecindad de un punto X0". IV. Para "acotar".

Pract iquemos Bloque I 1. En cada caso, halla A  B

B B

A A

a) -

+ -2

1

3

c) -

7

-2

0

+

3

B

B A

A b) -

120

1

2

4

5

+

d) -

2,5

3,7

+

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA B

B A

A f) -

e) -

1

+

3

-2

+

5

3. En cada caso, hallar: A - B y B - A

B A

B f) -

+

3

-4

A a) -

2. En cada caso, halla A B.

1

-1

B

+

A

a) -

2

0

5

+

b) -

1

-3

2

5

+

B

B

A

A b)

3

B

A

-1

2

c)

- 3

1

9

7

-

-1

-4

+

+

2

B B

A d)

A c)

- -2

2

+

3

+

2

-1

-

B A B

e)

-

d)

-

+

3,1

2,3

+

1,4

A

B A f)

B

-

-2

3

+

A e)

-

+ 2

CARLOS VALDERRAMA

121

Desigualdades 4. En cada caso, halla el complemento de los siguientes intervalos.

8. Simplificar los siguientes conjuntos: a) (<-2;3] <0;4>) - [2;6] b) (<-2;3] <0;4]) - [2;6] c) <0;4> - (<2;3] - [2;6])

a) -

1

+

7

9. Se dan los conjuntos en IR:

b) -

-3

+

5

A = <-3;8> B = <-;3] C = [6;+> Si V significa verdad y F significa falso, escribe entre los parentesis V o F, según corresponda:

I. (A B) <-; 7] II. (A C)B = <- -3><6; 8> III. (C - A) = [8;+> IV. A' = <-;-3][8;+> c) -

-3

7

.......... .......... .......... ..........

+ 10.Sean los intervalos:A = [-2; 5] B = <1; 3] C = <-3; 5]

+

0

e) -

I. A' B' II. (A - B)'  C' =  III. A' B' = IR IV. A - B = C - [B (C - A)]

+

2

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

Bloque II

-1

2

3

b) M N

+

11. Si: -1  x  3 entonces: ¿A qué intervalo pertenece: 3x + 2? 12.Si: -6  x  2; entonces: ¿A qué intervalo pertenece: 5 - 2x ?

5. Si: M = <-2; 6] y N = [5; 7> Hallar: a) M N d) N - M

c) M - N

13.Si: 2x - 1  [-5; 4>; entonces: ¿A qué intervalo pertenece: 3 - 4x? 14.Si: x <1;5>; entonces:

6. Si: P = <-5; 1] <2; 8] Q = <-; 0>[5; 9>

¿A qué intervalo pertenece:

Hallar: a) P Q d) Q - P

c) P - Q ¿A qué intervalo pertenece:

¿A qué intervalo pertenece: b) M N

5 ? 2  3x

16.Si: x  [-1;4>, entonces:

Hallar:

122

2 ? 4x  3

15.Si: x <-2; 1]; entonces: b) Q P

7. Si: M = [-4;5> {6} N = <-2; +> -{3}

a) M N d) N - M

) ) ) )

¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

d) -

f) -

( ( ( (

c) M - N

2x  1 ? 3x  2

1  1, entonces: 3x  2 ¿A qué intervalo pertenece "x"?

17. Si: -2 

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 23.Si: a, b, c, d son números reales tales que: a
3x  8 18.Si: -1   1, entonces: x 5 ¿A qué intervalo pertenece "x"?

19.Dado: -8 < x - 10 < 6, Calcular: "ab - 2" Si: a <

Podemos afirmar que:

3x  4
a) x > y > z c) z > x > y e) z > y > x

20.¿En qué intervalo se encuentra: x2 + 6x + 12? Si: x <-5; -2>

24.¿En qué intervalo se encuentra 5x + 7 - x2? Si: -5 < x 2.

Bloque III

25.Si: 3 x2 - 2x + 3 11, entonces, ¿a qué intervalo pertenece "x"?

21.Si: 0 < x < 1, entonces: a) 0 < x2 < x3 < 1 c) 0 < x3 < x6 < 1 e) 0 <

b) y > z >x d) x > z > y

b) 0 < x < x2 < 1 d) 0 < 2x < 3x < 1

x x < <1 3 2

26.Si: 1  x2 - x +

13  4, entonces, ¿a qué intervalo 4

pertenece "x"?

22. Sabiendo que: a < b, donde: a; b  IR. ¿Cuál (es) de las siguientes proposiciones se cumple siempre? I. (a + b) (a - b) < 0 II. (a - b) (a2 + ab + b2) < 0 III. (a - b) (a2 + b2) < 0 a) I y II d) I, II y III

b) I y III e) Sólo II

c) II y III

Tarea domiciliaria 1. En cada caso, hallar A  B.

B

B

A

A a)

-

-3

1

5

2

+

d) -

2,3

B

B

A

A b)

-

-2

+

4,1

-1

+

4

e) -

B

B A

A c) -

-4

-2

CARLOS VALDERRAMA

+

3

3

5

+

f) -

-3

2

+

123

Desigualdades 2. En cada caso, halla AB.

B A

B

c) -

A a) -

2

3

4

+

7

B A

B

d) -

A b) -

0

+

2 3

-2

2

7

8

+

-6

-7

+

B A

B

e) -

A c) -

-1

+

5

2

B A

B

f) -

A d) -

+

2,4

+

2,9

-1,7

-1

+

4

4. En cada caso, halla el complemento de los siguientes intervalos.

B a) -

A e) -

2

6

3

7

0

3

+

+

-1

b) -

B

+

A f) -

-2

-4

1

+ c) -

+

3. En cada caso, halla: A - B y B - A.

B

d) -

A a) -

-3

0

1

5

+

2,5

+ e) -

+

-4

B A b) -

124

-2

-1

2

3

+

f) -

2

3

7

+

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 5. Si: M = <-2; 1] y N = [0; 4> Hallar: a) M  N c) M - N

11.Si: -2 < x < 7, entonces: ¿A qué intervalo pertenece: 4x +1 ? 12. Si: -2 < x  4, entonces: ¿A qué intervalo pertenece: -2 - x?

b) M N d) N - M

13.Si: 4x - 3 <1; 5], entonces, ¿a qué intervalo pertenece: 5 - 2x?

6. Si: P = <-4; 2] <3; 7] y Q = <-; -1> <4; 11> Hallar: a) P  Q c) P - Q

14.Si: x <0; 3>, entonces, ¿a qué intervalo pertenece: 4 ? 2x  5

b) P Q d) Q - P

15.Si: x  <2;3> entonces:

7. Si: P = [-5; -2> {3} Q = <-; -3] <3; 6] - {-4}

¿A qué intervalo pertenece:

Hallar: a) P  Q c) P - Q

16.Si: x  <-4; -3>, entonces; ¿A qué intervalo pertenece:

b) P Q d) Q - P

4 x  13 ? x 3

8. Dados los conjuntos: F = <-; -8] <0; 5> G = [-32; -7> <-1; 3]

17. Si: 2 

Hallar: (F G) - (F G)

18.Si: 2 

4x  3  3, entonces, ¿a qué intervalo pertenece x2

"x"?

¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?

19.Hallar el mayor "a" y el menor "b" tal que para todo 1  x   ; 1 se verifique: a  10 x  2  b. 10 x  3 2 

I. A' B' II. (A - B)' C' =  III. A' B'  C = IR IV. A - B = C - [B  (C - A)] b) 1 e) 4

1  3, entonces; ¿a qué intervalo pertenece 2x  3

"x"?

9. Sean los intervalos: A = [-3; 4] B = [2; 7> C = <-1; 5]

a) 0 d) 3

4 ? 2  3x

20. ¿En qué intervalo se encuentra: x2 + 4x + 7? Si: -3 < x < -1 c) 2 21.Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:

10.Se dan los conjuntos en IR: 3a  b 4 2 2 II. a < b  a < b

A = <-5; 7> - {2} B = <-; 2] C = [4; +>

I. a < b  a <

Si V significa verdad y F significa falso, escribe entre los paréntesis V o F, según corresponda:

III. a < b y c < d  ac < bd

I. (A B) <-; 7] II. (A C) B = <4; 7> III. (C - A) =<-3; -1] IV. A' =<-; -3]  [4; +>

CARLOS VALDERRAMA

........... ........... ........... ...........

( ( ( (

) ) ) )

a) VVV d) FVF

b) VFV e) VFF

c) FFV

125

Desigualdades 22. {x,y,z} IR / x, y, z 0, entonces podemos afirmar que:

x x < z
1 1 > y x a) Sólo I es falsa c) Sólo III es falsa e) Todas son falsas

a) b) c) d) e)

III. Si: x < y 

b) Sólo II es falsa d) Sólo I y II es falsa

23.Si: a, b  IR y a < 0 < b, escribe entre los paréntesis verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

I.

ab < -1 b

................ (

)

II. ab - a2 > b2 - ab ................ (

)

III.

1 1  a b

IV. a (a - b) > 0

................ (

)

................ (

)

24.Si: -1 < x < 0, entonces: a) b) c) d)

-1 < x2 < x3 < 0 -1 < x3 < x6 < 0 -1 < x < x2 < 0 -1 < 4x < 5x < 0

x x e) -1 < 2 < <0 3

 25.Dada la relación: a(b c) > 0 donde: a, b, c ZZ, ¿cuál c de las siguientes proposiciones es correcta?

a>0b>0c>0 b < 0 a > b a>0c>0b>-c a < -c b > 0 a + c > 0 b < 0

26.Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. En el intervalo [-3; -1> existen 3 valores enteros. II. El mayor valor en el intervalo <-5;3> es 3. III. La suma de todos los elementos de <-5;5] es 5. a) FVF d) FVV

b) VFF e) FFF

c) FFV

27. Siendo que a < b < 0, donde: a, b IR ¿cuáles de las siguientes proposiciones se cumple siempre? I. (a + b) (b - a) > 0 II. (a + b) (a2 - ab + b2) < 0 III. (a + b) (a2 + b2) < 0 a) I y II d) I, II y III

b) I y III e) Sólo II

c) II y III

28.¿En qué intervalo se encuentra: x2 - 8x + 3? Si: 2  x  4. 29.¿En qué intervalo se encuentra: 1 - 2x - x2? Si: -1  x < 1 30.Si: 1  x2 - 6x + 10  26, entonces ¿a qué intervalo pertenece "x"?

126

3° año de Secundaria

C

INECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

16

INECUACIONES Se denomina inecuación a toda desigualdad condicional que contiene una o más cantidades desconocidas, llamadas variables, y que sólo es verdadera para determinados valores de dichas variables. Forma general de las inecuaciones:

P(x) > 0, P(x) < 0, P(x)  0, P(x)  0

SOLUCIÓN PARTICULAR Es aquel valor (o valores) de la incógnita (o incógnitas) que verifica la inecuación. Ejemplo: * En la inecuación 2x + 3 > x + 5 , es una solución particular x = 5 pues 2(5) + 3 > 5 es cierto. * También en la inecuación: x + y  2 Para x = 1 e y = 1, la inecuación se verifica, pues: 1 + 1  2 es cierto. Luego (1; 1) es una solución particular.

CONJUNTOSOLUCIÓN Es aquel conjunto que agrupa a todas las soluciones particulares (si existen) de una inecuación. INECUACIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO Una inecuación lineal o de primer grado en una variable "x", es una desigualdad de la forma: P(x) = ax + b > 0 P(x) = ax + b < 0 P(x) = ax + b  0 P(x) = ax + b  0 Siendo: a y b  IR , a  0 La técnica para resolver una inecuación lineal es muy sencilla y análoga a la solución de una ecuación lineal con una incógnita. Se basa en la aplicación de axiomas de orden y de teoremas aplicados en aquellos, en lugar de los postulados de igualdad.

CARLOS VALDERRAMA

127

Inecuaciones lineales INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA P(x) = ax + b

ax + b > 0 x>-

y

-

ax + b = 0

b a

x  <-

; a>0

ax + b < 0

b a

x=-

x<-

b ; +> a

x <-; -

y

y

P(x)

P(x)

b a

x<x >-

b a

b a

x

-

el gráfico de la recta

b a es la intersección de la

P(x) esta por encima

recta P(x) con el eje "x".

Para los "x" con x > -

b a

x

b a

b > a

P(x)

b a

x

b a

La raíz real x = -

Para los "x" con x < -

b a

el gráfico de la recta se encuentra debajo del

de "x".

eje "x".

Esto significa P(x) > 0

Esto significa P(x) < 0.

En la práctica, para resolver la ecuación lineal se transponen todos los términos que contienen la variable "x" al primer miembro y los términos independientes al segundo miembro.

Ejemplo: * Hallar el conjunto solución de:

2x + 3 > x + 5

Solución: Pasando los términos de "x" a la izquierda con signo cambiado, e igualmente los términos independientes a la derecha, con signo cambiado: 2x - x > 5 - 3 Reduciendo términos semejantes:

-

128

2

x>2

+

 x <2; +>

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA * Hallar el conjunto solución de: 7 - 4x < 5 + 2x Solución: Pasando los términos de "x" a la izquierda con signo cambiado, e igualmente los términos independientes a la derecha, con signo cambiado: -4x - 2x < 5 - 7 Reduciendo términos semejantes:

Por (-1)

-

Si al final el coeficiente de la variable es negativa (-), se multiplica por menos 1 (-1) a toda la expresión, ya que para hallar el intervalo solución la variable debe tener signo positivo (+).

6x < 2

x>

Simplificando:

-6x < -2

x>

2 6 1 3

+

1 3

x<

1 ; +> 3

OBSERVACIONES • Si al reducir los términos desaparece la variable y la desigualdad que queda es verdadera el conjunto solución son los reales. Ejemplo: 3(x + 4) + 3x > 4x - 5 + 2 (x + 3) 3x + 12 + 3x > 4x - 5 + 2x + 6 3x + 3x - 4x - 2x > -5 + 6 - 12 0 > - 11 (es verdadera) x  IR • En caso contrario si la desigualdad es falsa, no hay solución. Ejemplo: 3(x + 2) + 2x < - 8 + 5x 3x + 6 + 2x < - 8 + 5x 3x + 2x - 5x < - 8 - 6 0 < -14 (es falsa) x 

CARLOS VALDERRAMA

129

Inecuaciones lineales

Ejercicios Básicos * Determina si el número indicado es una solución de la desigualdad:

* Resuelve: a) x + 8 > 3

a) 2x - 5 > - 10 ; 3 b) 5y - 2 > 3y + 8; 8 c) 6 - y < 9; -3

b) x + 5 > 2 c) y + 3 > 2 d) y + 4 < 9

* Representa gráficamente:

e) a + 9 -12 f) a + 7 -13

a) x 4 b) y < -1 c) x > 5 d) x -2

g) t + 4  9 h) x - 9  10

Pract iquemos Bloque I

6. Halla el conjunto solución de:

1. Resuelve las inecuaciones siguientes: a) x + a) b) c) d)

2x + 9 > 23 8 - 3x < -5x + 12 1 - 5x > 12 + 6x 5x - 12 < 3x

2. Resuelve las inecuaciones siguientes: a) b) c) d)

5x - 2 - 22 15 - 4x -6x + 7 3x + 16  x 2 - 3x  37 + 2x

b)

x2 x + 2 7 5

c)

x 2 5 +  2 3 6

d)

x 2x  1 13 9

7. Conecta con una línea las inecuaciones con sus correspondientes conjuntos solución:

3. ¿De qué inecuación, 3 es un elemento del conjunto solución? a) b) c) d)

3 5 < 2 4

7 x + 4x < 15 + x 12 + 5x  3x + 18 2x + 4 > 17 - x - 1 5x - 3 + x  2x + 15

a) b) c) d) e)

(x+4)(x+3) < (x+4)(x-3) (x+1)2 - 4 > (x - 1)2 (x+3)2 + (x - 3)2 > x(2x+9) (2x+1)2 + 4(1 - x)(3 + x)>9 3x(x - 2) - 21>x(3x+1)

I. II. III. IV. V.

<-;-3> <-;-4> <-;-4> <1;+> <-;2>

8. Resolver: 4. Halla las inecuaciones cuyos C.S.: [2; +> a) b) c) d)

8x - 9  7x - 11 4x + 50  12x -30 4x - 7  5x -9 5x + 6  7x + 2

e) f) g) h)

x + 2 + 5x  15 +2x-3 5+3x+2  5x+8-3x 4+7x+3  4x+11+x -21-4x-8 -7x-11-3x

5. Resolver las inecuaciones siguientes: a) 2(x - 3) + 3(x - 1) > 11 b) 3(x + 2) + 7(x - 4)  3x - 1 c) 4(x - 3) - 5(x - 2)  1 d) 8x - 1 - 2(5x - 2) > 8 e) 3(x + 4) + 3x < 4x - 5 + 2(x + 1) f) 5(x + 3) + 2(3x - 2) 6(2x - 1)

130

a) 2x -

1 x  +2 2 3

b) 18 - 3x  3(x + 4)

c) 3x - 5 >

3x 1  x 4 3

d) (x - 3)(x + 4) < (x - 5)(x + 7)

e)

x 3 5 x + < 3 4 12

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 9. Hallar "m" si es el menor entero que cumple x < m y la balanza esta desequilibrada tal como se muestra en la figura.

13.Determine el costo mínimo C (en dólares) dado que 5(C - 25)  1,75 + 2,5 C. 14.Determine la ganancia máxima P(en dólares) dado que 12(2P - 320)  4(3P + 240).

25x-3x 4(x+2)+3

15.Un padre dispone de 320 soles para ir a un evento deportivo con sus hijos. Si toma entradas de 50 soles, le falta dinero y si toma de 40 soles le sobra dinero. El número de hijos es: a) 5 d) 8

10.Resolver:

b) 6 e) 9

c) 7

(x + a)(x + b) > x2 + ab 16.¿Cuántos números enteros mayores que 1 cumplen con la condición de que la tercera parte del número más 15 sea mayor de su mitad más 1?

Si: a + b < 0 a) x > 0 d) x < 1

b) x < 0 e) x 

c) x > 1 a) 81 d) 84

b) 82 e) 85

c) 83

Bloque II 17. Hallar el intervalo solución para "x" en: 11.Resuelve los siguientes sistemas:

3

4x 

a) -3 < 2x + 7 < 15 x 1 <4 3 c) x - 3 < 2x - 5 < x + 1

b) -1 

d) 5x - 2 < 10x + 8 < 2x + 16 e) 3x < 4 - 5x < 5 + 3x f) -

1 1 1  3x -  5 4 3

g) 2x + 3  3x + 4  4x + 5 7 x  2 5 x  6 9 x  34 h) < < 2 3 5

12.Resuelve la siguiente inecuación: x x x   1 ;c>b>a>0 a b c

a) <

abc ; +> ab  bc  ac

b) <

abc ; +> ab  bc  ac

c) <

abc ; +> ab  bc  ac

abc d) < ; +> ac  bc  ac

e) <

5 3

a) <-;5] d) <5;+>

3

4( 4 

3

3) 

b) <-;-5> e) <-5; 5>

3



3

3x

9

c) <-5;+>

18.Resuelva en ZZ +. 5x - 3y > 2 2x + y < 11 y>3 Indique: x2 + y2 a) 4 d) 9

b) 16 e) 36

c) 25

19.Si: {x; y; z}  IN; resolver: 2y < x 4y > 72 x - 4 < 2z z < 20

............ ............ ............ ............

Indicar: E = x +

y 2

a) 52 d) 32

b) 48 e) 27

(1) (2) (3) (4)

c) 41

20.En IR definimos la operación * por: a * b =

ab ; 2

según esto, resolver: (2 - x) * 1  (2 * x) *

3  (3 + 2x) * 5 4

abc ; +> ab  bc  ac

CARLOS VALDERRAMA

131

Inecuaciones lineales Bloque III 21.Determinar para que valor de "k", la inecuación (x + k) (x + 3) > (x + 2k)(x + 2) Tiene un conjunto solución: S = {x  IR / x < -2}

26.Al planear un baile escolar, encuentras que una banda toca por $ 250, mas el 50 % del total de venta por entradas. Otra banda lo hace por una cuota fija más rentable que la primera de las bandas, ¿cuál es el máximo precio que puedes cobrar por entrada, suponiendo que la asistencia será de 300 personas?

22.¿Qué valor deberá tomar m(m>0) para que la 3 x  4m desigualdad: 2x + 3 < m Tenga como solución: <3; +>?

a)

6 13

b)

5 17

d)

17 4

e)

9 13

c)

19 4

23.Entre que límite varía la siguiente expresión: M=

1  1  3a  4 4 1 <M 1 4 2

a) 2  M < 4

b)

c) 1  M  1 2 4

d) 1  M  1 2 4

e)

1 M<1 4 2

24.Un automóvil se renta por $13,95 diarios más $ 0,10 por kilómetro. Tu presupuesto diario para la renta de automóviles es de $ 76,00. ¿Para qué kilometraje te puedes mantener dentro del presupuesto? 25.Vas a invertir $25 000, una parte al 14% y otra al 16%. ¿Cuál es la máxima cantidad que puedes invertir al 14% para hacer que el pago de intereses al cabo de un año sea al menos de $3600?

132

27. En tu nuevo trabajo te pueden pagar de dos formas distintas: Plan A. Un salario mensual de $500 más una comisión del 4% sobre el total de ventas. Plan B. Un salario mensual de $750 mas una comisión de 5% sobre las ventas que superen los $8 000. ¿Para qué monto de ventas totales es mejor el plan "B" que el plan "A", suponiendo que el total de ventas siempre sea superior a $8 000? 28.A un albañil se le puede pagar de dos maneras: Plan A. $300 mas $11,00 por hora. Plan B. $18,50 por hora. Supón que una tarea requiera "n" horas de trabajo. ¿Para que valores de "n" es mejor para el albañil el plan "B" que el plan "A"? 29.Supón que un obrero manufactura cajas rectangulares de distintos tamaños. La longitud de cualquier caja debe ser superior a su ancho en al menos 3 cm, y el perímetro no puede ser superior a los 24 m. ¿Cuáles son las medidas posibles de una caja? 30.La publicidad indica que cierto auto rinde 20 kilómetros por galón en la carretera, 27 kilómetros por galón en la carretera, y que la capacidad del tanque de gasolina es de 18,1 galones. Suponga que existen las condiciones ideales de manejo y determine la distancia que puede recorrer un auto de estas características con el tanque lleno.

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA

Tarea domiciliaria 1. Resuelve las inecuaciones siguientes: a) 5x + 21 > 2x c) 7x - 16 < 5x

b) 7 - 4x > 13 + 2x d) 13 + 4x < 28 + 9x

2. Resuelve las inecuaciones siguientes: a) 4x + 18  2x c) 13x - 25  8x

b) 13 - 2x  48 + 3x d) 3 - 7x  11 - 5x

3. ¿De qué inecuación es 5 un elemento del conjunto solución? a) 3x + 2 > 11 - x - 3 c) x + 5 < 2x

b) 2x - 11  -3x + 4 d) 2x - 4 + x  -x + 18

8. Resolver: 1 x  +2 3 2

a) 2(x+3) > 3x+4

d) 3x+

b) x - 2  3(x+1)

e) 2x - 2 >

c) (x+3)(x-4) < (x+5)(x-7)

f)

x 1x 2 5

x 1 2 x + < 2 3 6

9. Hallar "m" si es el menor entero que cumple x > m y la balanza esta desequilibrada tal como se muestra en la figura.

4. Hallar las inecuaciones cuyo conjunto solución es: <-; 3] a) b) c) d)

15-2x

3x + 20  7x - 40 4(x+5) >3(x - 4) + 7 -1 + 4x + 3  5x + 8 + 2x -8 + 3x + 2  5x - 12

3(x+3)+1

5. Resolver las inecuaciones siguientes: a) b) c) d)

10.Resolver: (ax + 1)(bx + 1) < abx2 + 1 Si: a < b < 0

3(x+2) + 2(x-1) > 14 2(x+3) + 4(x-2)  5x + 1 3(x-2) - 4(x-3)  2 3(x-1) - 4(x-3)  3

a) x>0 d) x>1

6. Halla el conjunto solución de:

b) x<0 e) x 

c) x<1

11.Resuelve la siguiente inecuación: x x x  1 ; a > b > c > 0 a b c

2 5x 1 a) < 7 14 2

b)

x 3 1 +  3 2 6

a) <-,

abc > ab  bc  ac

b) <-,

abc > ab  bc  ac

c)

x x x + + >2 2 3 6

c) <-,

abc > ab  bc  ac

d) <-,

abc > ab  bc  ac

d)

2x 1 x -  5 3 15

e) <-,

abc > ac  ab  bc

7. Conecta con una línea las inecuaciones con sus correspondientes conjuntos solución: a) (x+5) (x+3) < (x+5) (x - 2)

I. <1; +>

b) (x+2)2 - 8 > (x - 2)2

II. <; 6>

c) (x+4)2+(x - 4)2 > x(2x+8)

III. <-; 1>

2

d) (3x+1) +9(1 - x)(2+x)>1

IV. <-; -5>

e) 4x(x - 3)+17>x(4x+5)

V. <-; 4>

CARLOS VALDERRAMA

12.Determina el costo mínimo C (en dólares) dado que: 2(1,5C + 80)  2(2,5 C - 20) 13.Determina la ganancia máxima P (en dólares) dado que: 6(P - 2500)  4(P + 2400) 14.Juan vende 1 000 libros y le quedan más de la mitad de los que tenía. Si luego vende 502 le quedan menos de 500. ¿Cuántos libros tenía?

133

Inecuaciones lineales 15.Un peluquero atiende en promedio a 120 clientes a la semana cobrándoles $4 por corte, por cada incremento de $ 0,50 en el precio, el peluquero pierde 8 clientes. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales por lo menos de $ 520? 16.Resuelve los siguientes sistemas:

a) [-

1 ;+> 2

d) <-;-

1 ] 2

b) [0;+>

c) <-;0]

e) 

21.Resuelve la siguiente inecuación:

a) -15 < 2x + 7 < 3 x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1            3 15 35 63 2 6 12 20 30 42 56 72

x 1 b) -4 < 1 3 c) x - 4 < 2x - 6 < x + 2

a) x >

d) 4x -3 < 7x + 6 < 10x + 9 e) 2x < 3 - 3x < 4 + x

d) x <-

2 1 2 f) -  2x -  3 2 5 g) 2x - 1  3(x + 1)  x + 4

3 3

3

3

1 2

3

5( 5  2) 

b) [-1; +> e) [1; +>

3

 2x 4

a) x > 1 d) x < -1

b) x < 1 e) x > 0

1 2

c) x>-1

23.Determinar para qué valor de "k",

c) <-; 1>

3 x  4k , es x > 3. k

24.En IR definimos la operación binaria * por: a*b=a-b+2

18.Resuelva en ZZ+. 7x - 3y > 1 3x + y < 13 y>2 2

c) x >-

e) x > 2

k > 0 y 2x + 3 < a) <1; +> d) <-; 1]

1 2

3x  2  a < 4x + 5, siendo: a < 1 a 1

17. Hallar el intervalo solución para "x" en:

5x 

b) x <

22.Resuelva:

3x  4 6x  3 7 x  12 h)   2 6 3

3

1 2

Según esto, resolver: 2-1 * x  (2x * 5) * (3 * 1)-1

2

Indique: y - x a) 3 d) 12

b) 5 c) 8 e) Hay 2 correctas

19.Si: {x,y,z}  IN , resolver:

26.En tu nuevo empleo te ofrecen dos planes de pago distintos:

3y < 2x 4y > 8 2x + 5 < 2z z < 12

Plan A: Plan B:

Indicar un valor de: E = x + y a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

20.Resolver:

n2 m2

25.Vas a invertir $ 20 000, una parte al 12% y otra al 16%. ¿Cuál es la máxima cantidad que puedes invertir al 12% a fin de que el interés al cabo de un año sea al menos de $ 3 000?



m (4x +1) n

 n3  m3     m 2n 

Un salario mensual de $600 más una comisión del 4% sobre el total de ventas. Un salario mensual de $800 más una comisión del 6% sobre el total de ventas una vez rebasados los $ 10 000.

¿Para qué cantidad de total de ventas es mejor el Plan "A" que el Plan "B", suponiendo que el total de ventas es siempre superior a los 10 000 dólares?

Si: m < n < 0

134

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 27. A un albañil se le puede pagar de dos maneras: Plan A: $ 300 mas $11,00 por hora. Plan B: $ 18,50 por hora. Supón que una tarea requiera "n" horas de trabajo. ¿Para qué valores de "n" es mejor para el albañil el Plan "B" que el Plan "A"? 28.La empresa Tricemattosky puede vender 12,000 ejemplares de un libro al precio de $25 cada uno. Por cada dólar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 ejemplares. ¿Qué precio como máximo deberá fijarse a cada ejemplar con objetivo de lograr ingresos por lo menos de $300 000?

CARLOS VALDERRAMA

29.Para una compañía que fabrica termostatos, el costo combinado de mano de obra y material es de $5 por termostato. Los costos fijos (los costos de un período dado sin importar la producción) son de $60 000. Si el precio de un termostato es de $7, ¿cuántos termostato debe venderse para que la compañía obtenga utilidades? 30.El Sr. Jumaq fabrica cierto artículo y puede vender todo lo que produce al precio de $60 cada artículo. Gasta $40 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tiene costos adicionales (fijos) de $3000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre como producir y vender para obtener una utilidad de al menos $1,000 a la semana.

135

C

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

17

Son aquellas inecuaciones de la forma: I. ax2 + bx + c > 0 II. ax2 + bx + c  0 III. ax2 + bx + c < 0 IV. ax2 + bx + c  0 Donde: a  IR - {0} ; b, c  IR

Método de Resolución de Inecuaciones de Segundo Grado con una Incógnita. Existen tres métodos:

Ojo: ¡Cuidado!

I. Método de completar cuadrados. II. Método de la ley de signos de la multiplicación. III. Método de los puntos críticos.

Si el coeficiente de x2 es negativo se multiplica por -1 para el cambio del sentido del símbolo en la inecuación.

Método de completar cuadrados Sea:

ax2 + bx + c > < 0(>, <, , ) a0

1. El coeficiente de x2 debe ser 1, si no lo fuese entonces se divide a ambos miembros entre "a". x2 +

bx c >0 + a a <

2. El término independiente se pasa al segundo miembro. x2 +

b c x> <- a a

3. Se busca obtener un trinomio cuadrado perfecto, sumando a ambos miembros la mitad del coeficiente de "x" elevado al cuadrado. 2

 b  c  b   b   +   > - +   x2 + 2(x)  < 2 a a    2a   2a 

2

4. Escribiendo el primer miembro como un binomio al cuadrado y reduciendo el segundo miembro. 2

b  b 2  4ac   x   > 2a  < 4a 2 

5. Finalmente: TEOREMA

CARLOS VALDERRAMA

x2  m  x 

m  x- m ;m>0

x2  m  x 

m  x- m ;m<0

136

ÁLGEBRA Ejemplo x2 - 2x - 24  0

* Resolver: Resolución:

1) x2 - 2x - 24  0

{El coeficiente de x2 debe ser 1

2) x2 - 2x  24

{El término independiente se pasa al segundo miembro.

3) x2 - 2x + 1  24 + 1

Se busca obtener un trinomio cuadrado perfecto  sumando a ambos miembros lamitad del coeficiente de " x " elevado al cuadrado. 

4) (x - 1)2  25

Escribiendo el primer miembro como binomio diferencia  al cuadrado y reduciendo el segundo miembro.

5) x - 1  -25  x - 1  25

Si : x 2  b  x   b  x  b

x -24  x  26 llevando a la recta numérica. +

- 26

 x <-; -24]  [26; +> * Resolver: 2x2 + 3x - 5 < 0

x2 +

{Forma general de la inecuación cuadrática

El coeficiente de x 2 debe ser uno, entonces dividiendo  a todos los términos entre 2.

3 5 x- <0 2 2

2

3 5 3 3 x2 + 2(x)   +   < +  4 2  4    4

3 7 3 7 x+ >-  x+ < 4 4 4 4

x

2

Para obtener en el primer miembro un trinomio cuadrado  perfecto sumamos a ambos miembros, la mitad del coeficiente de "x" elevado al cuadrado.  2

3 49   x  4   16  

Si: x 2  b   x  -b  x  b

5  x 1 2

Llevando a la recta numérica:

+

- C.S. : x 
1 5 ; 1> 2

137

Inecuaciones de 2do Grado TEOREMA

Ejercicios básicos 1. Conecta con una línea las inecuaciones con el término que se debe sumar para formar un trinomio cuadrado perfecto. a) b) c) d) e)

x2 + 2x > 0 x2 - 6x < 0 y2 - 8y  0 x2 + 4x  0 2z2 + 20z < 0

I. 9 II. 50 III. 16 IV. 1 V. 4

ab > 0  (a > 0  b > 0)  (a < 0  b < 0)

Para el ejercicio: (x - 3 > 0  x - 2 > 0) (x - 3 < 0  x - 2 < 0) (x > 3  x > 2)  (x < 3  x < 2)

-

2. Resuelve las inecuaciones completando cuadrados: a) x2 - 2x < 0

C.S.: ______________

b) x2 - 4x > 0

C.S.: ______________

+ - -

+

3 x>3  x<2

2

+

-

2

c) x + 6x  0

C.S.: ______________

d) x2 - 10x  0

C.S.: ______________

2

e) x + 14x  0

3

2

3 2  C.S. : x  <-; 2>  <3; +> * Resolver: 2x2 + x - 1 0

C.S.: ______________ Resolución:

MÉTODO DE LA LEY DE SIGNOS DE MULTIPLICACIÓN 2

Sea: ax + bx + c > < 0 (>, <, , ) 1. Se factoriza el trinomio (factor común, diferencia de cuadrados, aspa simple) 2. Aplica uno de los teoremas siguientes: I. ab II. ab III. ab IV. ab

> 0 (a > 0  b > 0)  (a < 0  b < 0)  0 (a  0  b  0)  (a  0  b  0) < 0 (a > 0  b < 0) (a < 0  b > 0)  0 (a  0  b  0)  (a  0  b  0)

2x2 + x 2x x

- 1 0 {factorizando - 1 -x 1  2x x (2x-1)(x+1)  0 TEOREMA ab  0  (a  0  b  0)  (a  0  b  0) (2x - 1 0  x + 1  0)  (2x-1  0  x + 1  0)

Ejemplo: (x 

* Resolver: x2 - 5x + 6 > 0 Resolución:

1 1  x  -1)  (x   x  -1) 2 2

+

- -1

1 2

-1

x2 - 5x + 6 > 0 {factorizando x x

-3  -3x -2  -2x  -5x

(x - 3) (x - 2) > 0

138

x 

+

-



1 2

1  x   1;  2 

1   C.S. : x   1;  2 

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA Ejemplo:

Ejercicios básicos 1. Relaciona ambas columnas a) b) c) d)

x(x - 2)<0 (x + 2)(x - 2)>0 (x - 5)(x - 2)<0 (x + 5) x > 0

I. x<-;-5><0;+> II. x<2; 5> III. x<0; 2> IV. x<-;-2> <2;+>

Resolución: x2 + 4x + 3  0 x 3  3x x 1 x 4x (x+3)(x+1)  0 {factorizando

2. Resuelve las inecuaciones mediante la ley de signos de la multiplicación. a) x2 + 3x > 0 2

b) x - 9x < 0

x2 + 4x + 3  0

* Resolver:

x + 3 = 0  x = -3 {Hallar los puntos críticos x + 1 = 0  x = -1

C.S.: ________________ C.S.: ________________

c) 3x2 + 5x  0

C.S.: ________________

d) x2 - 7x + 12  0

C.S.: ________________

e) 4x2 > 25

C.S.: ________________

MÉTODO DE LOS PUNTOS CRITICOS

-

Ubicando los puntos  críticos en la recta numérica. 

+ -1

-3

- +

Sea:

-

+ + -1

-3

ax2 + bx + c > < 0 (<, >, , )

Denotando zonas o  regiones determinado por los puntos críticos,  colocando signos empezando por la  derecha con signo  positivo.

P(x) CONSIDERACIONES PREVIAS * En la resolución de una inecuación cuadrática es transponer, si es necesario, todos los términos a un sólo miembro de la desigualdad. * El coeficiente de x2 debe tener signo positivo, si fuese negativo, se debe multiplicar por (-1) a la inecuación. 1. Factorizar la inecuación cuadrática si es posible; si no se puede factorizar aplicar la fórmula cuadrática. 2. Hallar los puntos críticos (valor de "x") igualando a cero el factor o los factores. 3. Ubica los puntos críticos en la recta numérica real. 4. Denotar las zonas o regiones determinados por los puntos críticos colocando los signos intercalados empezando por la derecha con signo positivo. 5. I. Si: P(x) > 0, el conjunto solución es la intervalos positivos (abiertos). II. Si: P(x)  0, el conjunto solución es la intervalos positivos (cerrados). III. Si: P(x) < 0, el conjunto solución es el negativo (abierto). IV. Si: P(x)  0, el conjunto solución es el negativo (cerrado).

CARLOS VALDERRAMA

unión de

- +

-3

+ + -1

Si: P(x)  0  El conjunto solución  es la unión de intervalos positivos (cerrados)

* Resolver: x2 + x - 1 < 0 Resolución: aplicando la fórmula de la ecuación de segundo grado. Recuerda: Si: ax2 + bx + c = 0

x1,2 =

 b  b 2  4ac 2a

unión de

Se tiene: x2 + x - 1 < 0

intervalo

x2 + x - 1 = 0 {se escribe como una ecuación.

intervalo

139

Inecuaciones de 2do Grado a = 1, b = 1, c = -1 Se sustituye en la fórmula de la ecuación de segundo grado.

x1,2 =

x1,2 =

 1  (1) 2  4(1)(1) 2(1) 1  5 2

x2 =



x1 =

1  5 2 1  5 2

+

- -1-5 -1+5 2 2

- +

-

-1+5 2

-1-5 2

- +

-

-1-5 2

x

140

+ +

+ + -1+5 2

Puntos críticos

Ubicando los puntos  críticos en la recta numérica. 

Denotando zonas o regiones determinado  por los puntos críticos,  signos intercalados empezando por la derecha  con signo positivo.

Si : P(x)  0  El conjunto solución es  el intervalo negativo (abierto)

1  5 1  5 ; 2 2

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA EJERCICIOS BÁSICOS * Completa el cuadro. INECUACIÓN

PUNTOS CRÍTICOS

x2 + 3x < 0

x2 - 5x > 0

x2 - 16  0

0; -3

RECTA NUMÉRICA

- +

-3

+ + 0

x  <-3; 0>

+

- 0

5

+

- -4

4

x2 - 4x + 3 > 0

-

+

x2 - 3x + 2  0

-

+

x2 - 10x > 0

-

+

x2 - 5x  0

-

+

CARLOS VALDERRAMA

CONJUNTOSOLUCIÓN

141

Inecuaciones de 2do Grado

TEOREMA

TEOREMA Sea: ax2 + bx + c > 0 ; a > 0 Si:  = b2 - 4ac = 0

Sea: ax2 + bx + c > 0 ; a > 0 Si: b2 - 4ac < 0

b . Se verifica para todo "x" diferente de 2a

Se verifica para todo valor real "x".

 C.S.: x  IR - {

b } 2a

Ejemplo:

 C.S.: x IR Ejemplo: 9x2 - 11x + 6 > 0 = (-11)2 - 4(9)(6) = -95 < 0 Como el discriminante es negativo la inecuación siempre será positiva y se verifica para todo x  IR.

Resuelve la inecuación: 4x2 - 12x + 9 > 0

 C.S.: x IR

 = (-12)2 - 4(4)(9) = 0 3  C.S.: x  IR -   2 

TEOREMA

TEOREMA Sea: ax2 + bx + c < 0 ; a > 0 Si: b2 - 4ac < 0 La inecuación no se verifica para ningún valor real "x".

Sea: ax2 + bx + c < 0 ; a > 0 Si:  = b2 - 4ac = 0

 C.S.: x  Ejemplo: Resuelve la inecuación:

No se verifica para ningún valor real "x".  C.S.: x  Ejemplo: Resuelve la inecuación: x2 - 8x + 16 < 0

x2 - 3x + 5 < 0 = (-3)2 - 4(1)(5) = -11 < 0 < 0 El trinomio x2 - 3x + 5 siempre será positivo y por lo tanto no puede ser menor que cero.  C.S.: x 

= (-8)2 - 4(1)(16) = 0  C.S.: x 

Ejercicio Básico * Conecta con una línea las inecuaciones con sus correspondientes conjuntos solución: a) b) c) d)

142

x2 - 4x + 4 > 0 x2 - 6x + 9 < 0 x2 - 4x + 7 > 0 x2 - 6x + 9  0

I. x IR II. x IR - {2} III. x {3} I. x 

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA

Pract iquemos Bloque I

9. Resuelve las siguientes inecuaciones:

1. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x2 + 4x > 0

b) 4x2 - 3x > 0

c) x2 > 7x

d)

2 x 2 3x  >0 3 2

a) x2 + x - 2 > 0 c) x2 - 4x - 21 > 0

b) x2 - x - 6 > 0 d) 6x2 + x - 2 > 0

10.Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x2 + 2x - 3  0 c) x2 - x - 30  0

b) x2 - 2x - 48  0 d) 2x2 - 5x - 3  0

2. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x2 + 2x  0

b) 3x2  6x

c) x2 - 3x > 0

d)

4 x 2 5x  0 5 4

Bloque II 11.Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x2 + 3x - 4 < 0 c) x2 - x - 20 < 0

b) x2 - 2x - 35 < 0 d) 3x2 + 5x - 2 < 0

3. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x2 + 3x < 0

b) 5x2 - 2x < 0

c) x2 < -12x

3x 2 2 x  d) <0 4 3

12.Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x2 + 4x - 5  0 c) x2 - 13x + 40  0

b) x2 - x - 42  0 d) 4x2 - 11x + 6  0

13.Resuelve las siguientes inecuaciones: 4. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2

2

a) x + 5x  0

b) x  13x

c) 4x2 - 7x  0

d)

3x 2 4 x   0 4 3

5. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x2 - 1 > 0

b) 4x2 - 1 > 0 2

c) 100x2 > 4

d)

x 1  4 49

6. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x2 - 4x  0

b) 9x2  12x

c) x2  121

d)

x2 1  9 25

7. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x2 - 9 < 0

b) 16x2 - 1 < 0

a) x2 + x - 1 > 0 c) x2 + 2x - 4 > 0

b) x2 > 5x - 1 d) 2x2 > x + 3

14.Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x2  4x - 1 c) x2 - x  4

b) x2 + 3x - 2  0 d) x2 + 5x  3

15.Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x2 - x + 3 < 0 c) x2 - x < 5

b) x2 + 4x - 3 < 0 d) x2 + 4x < 1

16.Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x2 + x - 4  0 c) x2 - x  6

b) x2 + 5x - 4  0 d) x2 + 4x  2

17. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) -x2 + 4x < 0 c) 9 - x2 < 0

b) -5x2 - 6x  0 d) 16 - 25x2  0

18.Resuelve las siguientes inecuaciones: 8. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2

2

a) x - 16  0

b) 25x - 1  0

c) x2  169

d)

x2 1  81 6

a) -x2 + 5x > 0 c) -4x2 - 8x  0

19.Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x2 - 2x + 3 > 0 c) x2 - 20x > -100

CARLOS VALDERRAMA

b) 42 - x - x2 > 0 d) 40 - 3x - x2  0

b) x2 + 10x + 26  0 d) x2  14x - 49

143

Inecuaciones de 2do Grado 20.Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x2 + x + 1 < 0 c) x2 - 2x + 4 < 0

b) x2 + 4x + 5  0 d) x2 + 3x + 5  0

26.Si la inecuación: -5x2 + mx + n > 0; presenta como conjunto solución: <-5;5>. Luego el valor de "m - n". a) -125 d) 12

Bloque III 21.Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x2 - 2x + 1 > 0 c) x2 - 6x + 9 > 0

b) x2 + 4x + 4 > 0 d) x2 + 10x + 25 > 0

22.Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x2 - 4x + 4  0 c) x2 - 12x + 36  0

b) x2 + 8x + 16  0 d) x2 + 20x + 100  0

b) 5 e) 25

c) 10

27. Resolver: 5x - 1 < (x + 1)2 < 7x - 3 Indicar un intervalo solución. a) <-; 2> d) <1; 5>

b) <4; +> e) <4; 5>

c) <2; 4>

28.Indicar el menor   número "n" entero que permita: (3 + 2 + x)(3 - 2 - x) < n Se verifica para todo "x" real.

23.Resuelve las siguientes inecuaciones: a) b) c) d)

(x + 2)(3x + 2) > (x + 2)(2x + 1) (x + 1)2  9 (x + 1)(x + 2)(x + 3) < (x + 2)(x + 3)(x + 4) (2x + 1)2 + (x - 2)2 + (x - 3)2 > 0

24.Resolver: x2 - 5x + 3  0

a) 4 d) 6

a)

25 8

b)

144 32

d)

8 25

e)

64 9

c)

32 144

30.¿Para qué valores de "a" en la inecuación cuadrática siguiente, se cumple para todo x  IR?

Indique "m + n" a) 1 d) -5

c) 3

  29.Si: 9 - 2t - 4x2  - 7x;  x  IR, hallar el menor valor de "t" que satisfaga la desigualdad.

Se obtiene como conjunto solución. x  IR - <m; n>

b) 2 e) 10

b) 3 e) -3

c) 5

25.Si la inecuación: x2 - mx + n < 0 Se obtiene como conjunto solución: x <3;5>

x2 + ax - 2 < 2x2 - x + 2 a) a <-6; 2> c) a <1; 3> e) a <3; 6>

b) a <-10; -7> d) a <-15; -10>

Hallar: m + n a) 20 d) 23

144

b) 21 e) 24

c) 22

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA

Tarea domiciliaria 1. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) b) c) d)

x2 - 4x > 0 2

x + 3x > 0 x2 > 6x x2 > -8x

2. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) b) c) d)

x2 - 2x  0 x2 + 4x  0 x2  -8x x2  -9x

3. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) b) c) d)

x2 - 3x < 0 x2 + 5x < 0 x2 < -11x x2 > 12x

4. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) b) c) d)

x2 - 5x  0 x2 + 2x  0 x2  -13x x2  10x

5. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) b) c) d)

x2 - 9 > 0 x2 - 49 > 0 16x2 - 1 > 0 9x2 - 25x > 0

6. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) b) c) d)

x2 - 2x  0 x2 - 64x  0 x2  169 4x2  12x

7. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) b) c) d)

x2 - 1 < 0 x2 - 25 < 0 x2 < 196 4x2 - 1 < 0

8. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) b) c) d)

x2 - 4  0 x2 - 36  0 x2  121 9x2 - 1  0

CARLOS VALDERRAMA

9. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) b) c) d)

x2 - x - 2 > 0 x2 + x - 6 > 0 x2 - 6x + 8 > 0 x2 + 8x + 15 > 0

10.Resuelve las siguientes inecuaciones: a) b) c) d)

x2 - 2x - 3  0 x2 + x - 30  0 x2 - 10x + 24  0 x2 -3x - 18  0

11.Resuelve las siguientes inecuaciones: a) b) c) d)

x2 - 3x - 4 < 0 x2 + x - 20 < 0 x2 + 2x - 35 < 0 x2 + 11x + 30 < 0

12.Resuelve las siguientes inecuaciones: a) b) c) d)

x2 - 4x - 5  0 x2 + x - 42  0 x2 +2x - 63  0 x2 + 13x + 40  0

13.Resuelve las siguientes inecuaciones: a) b) c) d)

x2 - x + 3 > 0 x2 + 4x - 3 > 0 x2 - x < 5 x2 > 3x - 1

14.Resuelve las siguientes inecuaciones: a) b) c) d)

x2 + x - 4  0 x2 + 5x - 4  0 x2 - x  8 x2 - 4x  2

15.Resuelve las siguientes inecuaciones: a) b) c) d)

x2 + x - 1 < 0 x2 + 2x - 4 < 0 x2 - x < 3 x2 + 4x < 2

16.Resuelve las siguientes inecuaciones: a) b) c) d)

x2 + x - 2  0 x2 - x  4 x2 + 5x  3 x2  4x - 1

145

C VALOR ABSOLUTO

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

18

DEFINICIÓN El valor absoluto de un número real "a", denotado por |a|, se define por la regla:  a, si : a  0   a, si : a  0

Se lee: El valor absoluto de "a", es igual al mismo número "a", si "a" es positivo o cero o igual a su opuesto -a, si "a" es negativo. Sólo se borran las barras, pues 5 es positivo.

Ejemplo: |5| = 5

Al borrar las barras, se cambia de signo de -3 a 3. Pues -3 es negativo.

|-3| = - (-3) = 3

Interpretación geométrica del valor absoluto de un número real El valor absoluto de un número real indica gráficamente la longitud del origen al número "a" o la longitud del origen al número -a.

|a|

|a|

+

- -a

0

a

Ejemplo:

|5|

|-5| -

+ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Para dos números "a" y "b": |a - b| = |b - a| Representa la distancia entre estos puntos, sin importar la dirección; así, la distancia entre a = -4 y b = 3 es: |a - b| = |-4 - 3| = |-7| = 7; |b - a| = |3 - (-4)| = |7| = 7 Geométricamente se representa:

|a - b| = 7 +

- -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 a b CARLOS VALDERRAMA

146

ÁLGEBRA EJERCICIOS BÁSICOS

TEOREMAS SOBRE VALOR ABSOLUTO

* Completa la siguiente tabla: Número

Opuesto del número

TEOREMA  a  IR : |a|  0

Valor absoluto del número DEMOSTRACIÓN:

a

op(a)

|a| Si consideramos:

219 Si: a < 0 |a| = -a  -|a| = a  -|a|< 0 |a| > 0 Si: a = 0 |a| = a = 0 Si: a > 0 |a| = a |a| > 0

-2006 0,001  5 - 3  2 - 7  52 - 7   23 - 32   62 - 26 1 3



 |a|  0 TEOREMA a  IR : |a|2 = a2 DEMOSTRACIÓN: Por definición de potencia: |a|2 = |a| |a| Si: a  0  |a|2 = a . a |a|2 = a2

1

Si: a < 0  |a|2 = (-a)(-a) |a|2 = a2

2

TEOREMA 1 8



a  IR : |a| =

1

a2

2

DEMOSTRACIÓN:

-e

Se sabe: |a|2 = a2 * Completa usando los símbolos: < ó >. 2 2 Entonces: | a |  a

a) |-5|

_____

0

b) |-1,01|

_____

1,02

c) -|219|

_____

-218

d) -|-2006|

_____

-2007

e) | 3 - 2 |

_____

1-

f) |2 -

_____

5|

g) - | - e|

|a| = TEOREMA:

2

5 -3

_____

Op(4e - )

_____

1-

a  IR : |a| = |-a|

DEMOSTRACIÓN: Si:

2 ||

a > 0  |a| = a

Por (-1) : -a < 0 |-a| = -(-a) = a  |a| = |-a| Si:

h) |- |2 -

a2

a = 0  |a| = 0

2

Por (-1) : -a = 0 |-a| = 0 Si:

a < 0  |a| = -a

Por (-1) : -a > 0 |-a| = -a CARLOS VALDERRAMA

 |a| = |-a|

 |a| = |-a|

147

Valor Absolut o

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

TEOREMA a,b  IR : |ab| = |a| |b|

Los teoremas que permiten la solución de ecuaciones con valor absoluto son los siguientes:

DEMOSTRACIÓN: Se sabe: |ab| =

TEOREMAS: |a| = b  b  0  (a = b v a = -b)

(ab) 2

TEOREMA DE POTENCIA: |ab| =

DEMOSTRACIÓN:

a2b 2

Se sabe |a|  0,  a  IR Entonces: |ab| =

a2 .

b 2 = |a| |b|

Entonces, si: |a| = b, implica que: b  0

TEOREMA

... (i)

Por definición: |a| = a v |a| = -a

a,b  IR, b 0, entonces:

a Sea: =c b

a b



| a| |b|

a =|c| ................ (i) b

Entonces: a = bc|a|=|bc|=|b||c|

| a| =|c| ... (ii) |b|

Luego, si: |a| = b  b = a v b = -a  a = b v a=-b ...(ii) Por lo tanto, de (i)  (ii): |a| = b (b  0)  (a=b v a=-b) Ejemplo: Resolver: * |x| = 5 |x| = 5  5  0  (x = 5 v x = -5)

Luego, de (i) y (ii) :

a b



| a| |b|

C.S.: x {-5; 5} Resolver:

TEOREMA * |x + 1| = 8 a,b  IR : |a+b||a|+|b| (desigualdad triangular) Resolución: |x+1| = 8  8  0  (x + 1 = 8 v x +1 = -8) x = 7 v x = -9

DEMOSTRACIÓN: Consideremos: |a| |b|  ab 2 |a| |b|  2ab a2 + b2 + 2|a| |b|  a2 + b2 + 2ab |a|2 + |b|2 + 2|a| |b|  a2 + b2 + 2ab (|a| + |b|)2 (a + b)2 (| a |  | b |) 2  (a  b) 2

C.S.: x  {7; -9} Resolver: * |3x+2| = 5 Resolución: |3x+2| = 5  5  0  (3x + 2 = 5 v 3x + 2 = -5) 3x = 3 3x = -7

|a| + |b|  |a+b| x=1

|a+b| |a| + |b| C.S.: x  {1; |x+y| = |x| + |y|  xy  0

v

x=-

7 3

7 } 3

|x+y| < |x| + |y|  xy < 0 OBSERVACIÓN

148

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA TEOREMA

* Resolver:

|a| = |b|  a = b v a = -b

|x - 2| + |x + 2| + |x - 5| = 13 Resolución:

DEMOSTRACIÓN Cada valor absoluto lo igualamos a cero y los valores obtenidos los llamaremos puntos críticos, así:

Consideremos dos casos: b  0 y b < 0 i) Si: b  0 |b| = b Luego: |a| = |b| |a| = b  a = b v a = -b

|x - 2| = 0  x = 2 |x + 2| = 0  x = -2 |x - 5| = 0  x = 5

ii) Si: b < 0 |b| = -b > 0 Luego: |a| = |b|  |a|= -b  a = -b v a = -(-b)  a = -b v a = b

Luego, se tiene tres puntos críticos: P.C.: 2; -2; 5 los cuales lo representaremos sobre la recta numérica real.

Por lo tanto: |a| = |b|  a = b v a = -b

-

II 2

I

+

5

Ahora se analiza cada zona o sección:

Resolver:

I. [5;+>:

* |2x - 1| = |3x - 5| Resolución:

x=

II. [2; 5>:

6 5

III. [-2;2> :

Resolver:

2 - x + x + 2 + 5 - x = 13 x = -4 Pero -4 [-2; 2>  S(III) = 

( x  2) 2 + |3x - 6| = 8

IV. <-; -2>:

Resolución:

2 - x + (-x-2) + 5 - x = 13 -3x = 8  8 x =    3

v x - 2 = -2 x=0

Cuando se presenta diversos valores absolutos, podemos aplicar el método del seccionamiento, que a continuación verás:

 8  C.S.: S(I)  S(II) S(III) S(IV) =  ; 6   3 

EJERCICIOS BÁSICOS * Hallar el valor de "x", si existe: a) |x| = 12 d) |x-2|=3

CARLOS VALDERRAMA

x - 2 + x + 2 + 5 - x = 13 x=8 Pero 8 [2; 5>  S(II) : 

6 } 5

|x - 2| + |3(x -2)| = 8 |x - 2| + |3| |x - 2| = 8 |x - 2| + 3 |x - 2| = 8 4|x - 2| = 8 |x - 2| = 2 x - 2= 2 x=4  C.S.: x  {4;0}

x - 2 + x + 2 + x - 5 = 13 3x = 18 x=6  S(I) : {6}

2x - 1 = 3x - 5 v 2x - 1 = -(3x - 5) 4=x v 5x = 6

*

III -2

Ejemplo:

C.S.: x  {4;

IV

b) |x| = 219 e) |3x| = 1,5

c) |x+1| = 2 f) |7x| = 2,1

149

Valor Absolut o

Pract iquemos Bloque I

9. Resolver las ecuaciones siguientes:

1. Resuelve las siguientes operaciones: a) |4+7|

h) |-4| x 2

b) |7-9|

i) |-2| |-5|

c) |-4 - 5|

j) |10| - |-5|

a) b) c) d)

|x + 2| = -x |x - 3| = -x |3x - 2| = -x |2x + 5| = -x

10.Resolver las ecuaciones siguientes:

d) |-4| + |5|

k)

( 4) 2  | 2 |

e) |-7| + |7|

l)

( 9) 2  81

a) b) c) d)

|x - 4| = 3x |x + 2| = 2x |3x + 2| = -3x |5x + 1| = 7x

Bloque II f) |-9| + |-10|

m) | |7| - |-5| |

g) |-3| - |-3|

n) | |-8| - |-9| | o)

11.Resolver las ecuaciones siguientes:

2

|| 4 |  | 7 ||

2. Hallar el valor de "x", si existe: a) |x| = 219; x  Z+ b) |x| = 2006; x Z

c) |x+1| = 4; x  Z+ d) |x - 2| = 6; x Z

3. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) |x - 3| = 0 b) |x+1| = 0

c) |2x + 1| = 0 d) |3x - 2| = 0

4. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) |x - 3| = 2 b) |x+1| = 5

c) |4x + 1| = 9 d) |5x - 2| = 8

5. Resuelve las ecuaciones siguientes: 2

a) |x | = 0 b) |x2 + 2x| = 0

12.Hallar el conjunto solución de: a) b) c) d)

|x + 1| = x + 1 |x - 2| = x - 2 |4x + 3| = 4x + 3 |5x - 2| = 5x - 2

13.Hallar el conjunto solución de: a) b) c) d)

1 - x = |x + 1| 2 - x = |x + 2| 3 - 4x = |4x + 3| 5 - 6x = |6x + 5|

14.Resolver las ecuaciones siguientes:

c) |3x - 5x| = 0 d) |7x2 - 6x| = 0

a) ||x - 2| - x| = 1 b) ||x - 1| - x| = 2 c)

x4 x 4 2

d)

x5 x 3 3

c) ||3x - 2| - 6| = 0 d) ||5x + 3| - 8| = 0

7. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) ||x - 1| -1| = 1 b) ||x + 1| -2| = 3

|x + 2| = x - 3 |2x + 1| = x + 2 |3x - 2| = x - 1 |4x - 3| = 2x + 1

2

6. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) ||x - 1| -1| = 0 b) ||x + 1| -2| = 0

a) b) c) d)

c) ||4x - 6| - 9| = 3 d) ||3x - 7| - 6| = 2

15.Resolver: |7 - x - x2 + x4| - |x2 - x4 - 7 + x| + |x2 - 16| = 0

8. Resolver las ecuaciones siguientes: Hallar la suma de soluciones. a) |x+1| = x b) |x - 2| = x

150

c) |3x - 2| = x d) |2x + 5| = x

a) 2 d) -2

b) 4 e) -4

c) 0

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 16.Resolver: |x3 - 7 + 2x - x2| - |x2 + 7 - x3 - 2x| + |x2 - 9| = 0 Hallar la suma de soluciones a) 1 d) 4

b) 2 e) 0

c) 3

17. Resolver las ecuaciones siguientes: a)

x 1 1 x 1

b)

x2 1 x 3

c)

x2 1 3x  1

d)

x8 3 x4

18.Resolver las ecuaciones siguientes: a) b) c) d)

|x + 8| = |6x + 3| |3x + 2| = |x + 3| |2x + 1| = |x - 4| |4x - 3| = |2x + 5|

x2 - 4|x| + 4 = 0 x2 - 6|x| + 9 = 0 x2 + 6 = 5|x| x2 + 8 = 6|x|

20.Resolver las ecuaciones siguientes: a) b) c) d)

x2 + 2x - |x + 1| - 1 = 0 x2 - 4x + 2|x - 2| + 1 = 0 x2 + 6x + 15 = 5|x + 3| x2 + 24 + 6|x - 4| = 8x

Bloque III 21.Resolver las ecuaciones siguientes: a) b) c) d)

Entonces: b) -|y| < x d) |y|  x

b)  3  2 

CARLOS VALDERRAMA

c) {-2}

25.Resolver: ||x| + 1| = 6x - 2 3 3 a)  ;  5 7 

b)  5 ; 7  3 3 

d)  3 ; 1  5 7 

e)  5 ; 3  3 5 

c)  1 ; 1  7 5 

a)  9  4

b)  1   4

d)  9   4

e) Más de una es correcta

c)  1  4

27. Resuelva: |3x - 9| + |x + 2| = |2x - 6| + |2x + 4| a) {2}

b)  1   2

1  d)   2 

e) {-2}

c) {0}

28.Resolver:

b) {2;-3} e) {2;-2}

c) {1;2}

a) {-2}

10  b)   3

10   d)  2,  3 

10   e)  2,   3 

 10   c)   3

30.Resolver  x  IR

23.Hallar el conjunto solución de:

a)  1   2

b) {2} e) {-4; 2}

29.Resuelva: |x - 6| - |x - 3| = |x - 1|

27

|6x - 3| + |x -

a) {-4} d) {-4; -2}

a) {3;-2} d) {3;-3}

22.Si: |x| = 3 3 + 4 2 ; y

a) x + |y| < 0 c) |x| - |y| > 0 e) |y| - |x| < 1

24.Resuelva: |x+3| + |x - 1| = 6

|x - 3| + |x2 - 1| = 8

|x2 - 4| = x - 2 |x2 - 9| = x + 3 |4x2 - 1| = 2x - 1 |x2 - 4| = -2x+4

|y| = 3 6 +

1 3 e)  ;   2 2

26.Resolver  x  IR: |5 - |x - 2|| = |3x - 2|

19.Resolver las ecuaciones siguientes: a) b) c) d)

d)  3 ; 3  2 2 

1 |=7 2

c)  3   2

|x| - 2|x + 1| + 3 |x + 2| = 0 a) {1} d) {2}

b) {-2} e) {0}

c) {-1}

151

Valor Absolut o

Tarea domiciliaria 1. Realiza las siguientes operaciones:

10.Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) |5+8|

f) |-10|+|-8| k)

( 3) 2  | 4 |

b) |6-11|

g) |-4|-|-4|

l)

(8) 2  64

c) |-3-4|

h) |-5| x 3

m) ||5| - |-7||

d) |-6|+|3|

i) |-7| |-3|

n) ||-6|-|-8||

e) |-8|+|8|

j) |-9|-|-6|

o)

a) |x|=220; x Z b) |x|=2007; x Z

11.Resuelve las ecuaciones siguientes: c) |4x - 3| = x+2 d) |5x+2| = 2x - 3

12.Hallar el conjunto solución de:

(| 5 |  | 81 |) 2

a) |x - 1| = x - 1 b) |x+2| = x+2

c) |4x - 3| = 4x - 3 d) |5x + 2| = 5x + 2

13.Hallar el conjunto solución de: +

c) |x + 1|=5; x Z d) |x - 3|=7; x Z

3. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) |x - 2| = 0 b) |x+3| = 0

c) |4x+3| = -3x d) |5x+1| = 6x

a) |x - 2| = x+3 b) |2x - 1| = x - 2

2. Halla el valor de "x", si existe: +

a) |x+4| = 3x b) |x - 2| = 2x

a) -2 - x = |x+2| b) -3 - x = |x+3|

c) -2 - 5x = |5x+2| d) -8 - 3x = |3x+8|

14.Resolver las ecuaciones siguientes:

c) |2x + 3| = 0 d) |3x - 4| = 0

a) ||x - 1| - x| = 1

c)

x 1  x 1 2

b) ||x - 2| - x| = 3

d)

x 2 x 2 3

4. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) |x - 2| = 1 b) |x + 2| = 3

c) |5x + 1| = 11 d) |3x - 4| = 2

15.Resolver:

5. Resuelve las ecuaciones siguientes: 2

a) |x | = 0 b) |x2+3| = 0

2

c) |2x - 7x| = 0 d) |8x2 + 5x| = 0

6. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) ||x - 2| - 1| = 0 b) ||x+1|- 3| = 0

c) ||2x - 3| - 6| = 0 d) ||4x + 5| - 3| = 0

|3 + x - x3 - 4x7| - |4x7 + x3 - x -3| + |x2 - 25| = 0 Hallar la suma de soluciones. a) 5 d) -10

c) ||2x - 3| - 3| = 2 d) ||3x - 4| - 5| = 3

8. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) |x + 2| = x b) |x - 3| = x

c) |2x - 3| = x d) |3x+4| = x

9. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) |x - 2| = x b) |x + 3| = -x

c) |3x+4| = -x d) |5x+2| = -x

a)

x2 1 x 3

c)

x3 1 2x  1

b)

x4 1 x5

d)

x4 2 x5

17. Resolver las ecuaciones: a) |x+4| = |2x+1| b) |3x+1| = |x+3|

c) |2x+3| = |x - 4| d) |5x - 2| = |2x+1|

18.Resuelve las ecuaciones siguientes: a) x2 - 2|x| + 1 = 0 b) x2 + 4|x| + 4 = 0

152

c) 0

16.Resolver las ecuaciones siguientes:

7. Resolver las ecuaciones siguientes: a) ||x - 2| - 1| = 1 b) ||x+1| - 3| = 2

b) 10 e) -5

c) x2 - 6 = 5|x| d) x2 - 18 = 7|x|

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 19.Resuelve las ecuaciones siguientes: a) b) c) d)

x2 - 2x + |x - 1| - 1 = 0 x2 + 4x - |x+2| - 2 = 0 x2 - 4x - 2|x - 2| - 4 = 0 x2 + 6x+3|x+3| - 9 = 0

||x| - 3| = |3x + 2|

20.Resuelve las ecuaciones siguientes: a) b) c) d)

26.Resolver:

2

|x - 1| = x - 1 |x2 - 49| = x+7 |9x2 - 1| = 3x - 1 |x2 - 9| = -2x+6

 5 1 a)   ;   4 4

5 1  b)  ;  4 4 

 4  d)  ; 4   5 

5  e)  ; 1 4 

 1 5 c)  ;   4 4

27. Resuelve: |4x - 2| + |x + 3| = |2x - 1| + |3x + 9|

21.Si: |x| = 2 3 + 2 11 |y| = 3 5 + Entonces: a) x+|y| < 0 d) |y|  x

12

b) -|y| < x c) |x|-|y|>0 e) Más de una es correcta

 5 a)    2

 5 b)    4

 4 d)    5

 5 e)    3

28.Resolver:

22.Al resolver: | x  4 | 4 3 x

|x - 2| + |x2 - 9| = 9

Indicar la mayor solución

Indicar el número de soluciones.

a) {0} d) {1; 4}

a) 1 d) 5

b) {4} c) {0; 4} e) Ninguna es correcta

|6x - 12| +

x 13 1  2 2

b) {-1; -3} e) {1; -3}

c) {1; 3}

24.Resuelva: |x + 2| + |x - 3| = 5 a) {-2; 3} d) {-3}

b) {2; 3} e) [-2; 3]

||x| + 2| = 3x - 1  1 3 b)  ;   4 4

c) 3

|x - 3| - |x - 2| = |x| a) {-1}

b) {1}

5  d)  ;  1,1 3 

e) 

3 c)   2 

c) {-1;1}

30.Determina el conjunto solución de la ecuación: |x+1| + 2|x - 2| = |x - 8|

c) {2}

25.Resolver:

3 3  a)  ;  2 4 

b) 4 e) 7

29.Resuelva:

23.Indicar el conjunto solución de:

a) {1} d) {2; 3}

 2 c)    5

 5 11  a)  ;  2 4 

 5 11  b)  ;   2 4

 5 5 d)  ;   2 2

2 4  e)  ;   5 11 

 11 11  ;  c)   4 4

 1 1 d)  ;  e) Más de una es correcta  4 2

CARLOS VALDERRAMA

153

C

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

19

TEOREMA Si: b  0 y |a|  b -b  a  b I. Demostraremos que si: b  0 y |a|  b -b  a  b I.  a  IR : a  |a|, por hipotesis: |a|  b II. Por transitividad: a  b III. De(I): -b - |a| IV. Además,  a  IR : -|a|  a V. De (III) y (IV) : -b a (por transitividad) VI. De (2) y (5): -b  a  b Ejemplo: Resuelve: |x| < 4, después representa gráficamente el conjunto solución. Solución: Las soluciones de |x| < 4 son aquellos números cuya distancia a partir de 0 es menor que 4. El conjunto solución es: {x/-4 < x < 4} La gráfica es la siguiente:

+

- -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Ejemplo: Resuelve:

|3x - 2| < 4 -4 < 3x - 2 < 4 -2 < 3x < 6 . . . sumando 2 -

2 < x < 2 . . . dividiendo entre 3 3

TEOREMA Si: |a|  b  a  b v a  -b Se tiene: |a| > b . . . (I) I CASO

II CASO

Si: a  0  |a| = a ... (II)

Si: a < 0  |a| = -a . . . (III)

Sustituyendo (II) en (I): a > b

Sustituyendo (III) en (I) : -a > b  a < -b

|a| > b  a > b v a < -b

CARLOS VALDERRAMA

154

ÁLGEBRA Ejemplo: * Resuelve: |x|  4. Después, representa gráficamente al conjunto solución. Solución: Las soluciones de |x|  4 son aquellos números cuya distancia a partir de 0 es mayor o igual a 4; en otras palabras aquellos números "x" tales que x  -4 o x  4. El conjunto solución es: {x/x -4 v x  4} La gráfica es la siguiente:

-

+ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

|4x + 2|  6

* Resuelve: 4x + 2 -6 4x -8 x -2

v v v

4x + 2  6 4x  4 x1

(sumando -2) (multiplicando por 1/4)

La gráfica es la siguiente:

-

+ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Ojo: Para eliminar un valor absoluto generalmente este se debe elevar al cuadrado, así tenemos el siguiente teorema: 2> 2 |x| > < |y|  x < y

EJERCICIOS BÁSICOS * Completa el siguiente cuadro: NOTACIÓN DE VALOR ABSOLUTO |x| < 1 |x| > 2

NOTACIÓN DE INTERVALOS x  <-1;1> x <-;-2><2;+>

NOTACIÓN DE DESIGUALDAD -1 < x < 1 x < -2 ó x > 2

|x| 3 x [-5; 5] |x| 4 x -4 ó x 4

CARLOS VALDERRAMA

155

In ecuacion es con Valor A bsoluto

Pract iquemos Bloque I

III) |x - 3| < 0

c) x  {2}

1. Representa en la recta numérica los siguientes conjuntos de números.

IV) |x - 4| > 0

d) x  IR

8. Hallar el conjunto solución de: a) b) c) d)

|x| |x| |x| |x|

>2 3 <4 3

a) |x+1| > |x+2| b) |x - 1| < |x-3|

c) |3x+1| > |2x+1| d) |4x-3| < |3x-2|

9. Resuelve las inecuaciones siguientes: 2. Expresa empleando valor absoluto.

b) -3 < x < 3

2 2 óa<7 7 e) y < -13 ó y > 13

c) x <-4; -><4; +>

f) m <-; >

a) x <-2; 2>

a) |x+1| > x b) |x - 2|  x

c) |x+3| > x + 1 d) |x - 4|  x + 2

d) a >

3. Resuelve:

10.Resuelve las inecuaciones siguientes: a) |x+2| < x b) |x-3|  x

c) |x+4| < x + 2 d) |x-5|  x + 3

Bloque II

a) |x+5|< 4

c) 3|x+9|< 18

b) |x - 3|+2< 5

d) | x  6 | < 6 2

11.Hallar el conjunto solución de: a) |x|>2 |x| < 4 b) |x+1|>3  |x| < 3

c) |x|>1  |x - 3|  4 d) |x+1|2  |x+3|  6

4. Resuelve: 12.Si: 1 < x < 2 a) |x+1|  3

c) 3|x+6|  21

b) |x - 2|+4  5

d)

|x  4| 1 3

5. Resuelve: a) |x+7| > 6

c) 5|x-6| > 20

b) |x-4|+2 > 5

d) | x  1 | > 6 2

Calcular: E  a) 7

b) 9

d) 16 x

e) 1

E a) -5

a) 4|x - 8|  12

d) 4

b) |x+6|  5

| 2x  7 |  | x  6 | | 2x  26 |

b) 1 5 e) 7x

c) 1 2

14.Resolver las siguientes inecuaciones:

c) |x - 3|+4  8

a) ||x| - 2| < 2 b) ||x+1| - 2|  3

|x  4| 1 3

7. Conecta con una línea las inecuaciones con sus correspondientes conjuntos solución: I) |x - 1|  0

a) x 

II) |x - 2|  0

b) x IR - {4}

156

c) 16x

13.Si: x <-2; 5> Determine el valor que toma la expresión:

6. Resuelve:

d)

| 2x  1 |  | x  1 | x

c) ||x - 1| - 2| < 3 d) ||x - 3| + 2|  4

15.Resolver las siguientes inecuaciones: a) b) c) d)

|x2 - 1|<3 |x2 + 2|  3 |x2 - 3| > 6 |2x2 + 5|55 3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 23.Si: a, b  IR , cumple que a > 0 y |b| > 1 Entonces: ab + a + 1 es:

16.Hallar el conjunto solución de: a) b) c) d)

|x2 + 5x| < 6 |x2 + 2x| > 3 |2x2 - 8x - 5|  5 |3x2 - 7x + 2|  2

a) b) c) d) e)

17. Hallar el conjunto solución de: a) b) c) d)

|x2 - 2x - 5| > |x2 + 4x + 1| |3x2 - 2x + 1|  3|x2 + x - 7| |6x2 - 9x - 3| < |2x2 - 9x + 2| |2x2 + x - 1|  |2x2 - x - 1|

24.Determina el conjunto solución de la inecuación dada: (|x - 2| + |x - 3|)(|2 - x| - |3 - x|) > |x2 - 1| a) [ 3 - 1 ;

x3 1 18.Al resolver:  6  2x 2 + -

d) R0 - {-3}

+

b) R _ - {3}

c) R - {3}

e) R0

a) {3} d) <-; 3]

b) [ 11 ;5]

d) [-5; 11 ]

e) [-5;5]

c) [- 11 ; 11 ]

28.Resolver:

a) x[-5; 2] d) x IR

Dar el valor de: 9P + 3Q c) 21

b) x <-5; 2> c) x  e) x  IR - {0}

29.Resuelva en IR. |||x+3| - |x+5||| < 5

22.Resolver: |x - x0| <  ; > 0, si se tiene el siguiente esquema:

a) <-3;5>

b) [-3;5>

c) <





+ 4,5

a) [- 11 ;5]

|5x - 4|  |3x+2| + 2|x - 3|

x 5 Q 5x

b) 16 e) 5

c) [3; +>

|x2 - 4| - |x - 9| |x - 2|

21.Determine el menor número "Q" y el mayor número "P" tal que: P<

b) <3; +> e) [-3; +>

27. Hallar el conjunto solución de:

Bloque III

-

"a" solo pertenece al intervalo <-1; 0> (a-1) siempre es positivo. "a" puede ser menor que -1. (a+1) es positivo a. (a-1)(a)(a+1) no puede ser positivo.

26.Resolver: |x - 1| + |3x - 15|  |10 - 2x| + |2 - 2x|

3|x - 3|2 - 2|x - 3| < 8 |x2 - x|2 - 5|x2 - x| + 6  0 |x2 - 5|2 - |x2 - 5| > 12 |2x - 1|2 - 6|2x - 1|  16 - 5x

1 a) x< ;5> 2

25.Si: |a+1| < |a| < |a-1|; solo es cierta la afirmación: a) b) c) d) e)

M = |x| + 2 A = |x| - 3  = |x - 1| + 1 S = |x + 2| - 3

a) 6 d) 8

d) [-2;2]

+

20.Resolver las inecuaciones siguientes: a) b) c) d)

b) [ 3 -1;2]

e) [1; 3 +1]

19.Si: x  IR, entre qué valores varía: a) b) c) d)

3 +1]

c) [ 3 ; 5 +1]

Se obtiene como conjunto solución: a) R0 - {3}

Siempre mayor que 2. Siempre mayor que 1. Puede ser menor que 1. Siempre es menor que 2. Puede ser negativo.

x0

2x0+1 2

d) <-;-

3 > 2

3 7 ; > 2 2

e) 

30.Resolver: |2x - 1| + |3x - 1| + |7x - 2| + |3x - 5| < 14x - 42 b) x<9;11>

9 11 1 9 d) x< ; > e) x< ; > 2 2 2 2 CARLOS VALDERRAMA

c) x<4;6> a) 1 d) 

1 2 e) 0

b)

c)

1 3

157

In ecuacion es con Valor A bsoluto

Tarea domiciliaria 1. Representa en la recta numérica los siguientes conjuntos de números: a) |x| > 1 b) |x|  4

c) |x| < 6 d) |x|  7

2. Expresa empleando valor absoluto.

8. Hallar el conjunto solución de: a) |x + 2| > |x + 3| b) |x - 3| < |x - 5| c) |3x + 1| |x + 4| x2 2

d)



x3 3

a) x <-4;4> 9. Resuelve las inecuaciones siguientes:

b) -5 < x < 5 c) x<-;-7><7;+>

a) b) c) d)

2 2 ó a 9 9

e) y < -11 ó y > 11 f) m <-e ; e>

|x - 1| > x |x + 2|  x |x + 4| > x + 2 |x - 5|  x + 3

10.Resuelve las inecuaciones siguientes:

3. Resuelve: a) |x + 3| < 5

c) 7|x + 4| < 35

b) |x - 2| + 3 < 7

d) | x  7 | < 2 3

4. Resuelve: a) |x - 1|  4

c) 6|x - 4| 48

b) |x + 4| - 2  3

d)

| x  7| 3 4

a) b) c) d)

|x - 3| < x |x + 4|  x |x + 5| < x + 3 |x - 6|  x + 4

11.Hallar el conjunto solución de: a) b) c) d)

|x| > 3  |x| < 5 |x + 2| > 4  |x|<4 |x| > 2  |x - 4|  7 |x + 2|  3  |x + 4|  8

12.Si: x <-3;-2>, calcular:

5. Resuelve: a) |x - 7| > 5

c) 6|x - 5| > 36

b) |x + 2| + 3 > 7

d)

| x  3| >5 4

6. Resuelve: a) |x - 6|  3

c) 6|x - 8|  48

b) |x + 4| - 5  2

d) | x  7 |  4 3

7. Relaciona según corresponda: I. |x+3|  0 II. |x+4|  0 III. |x+5| < 0 IV. |x+6| > 0

a) b) c) d)

E=

a) -2 d) 3

b) 1 e) 5

A=

x (| x  8 |  | x  1 |) | x  7|| x  7|

9 2

b) 9

d) -9

e) 

c) 

1 2

9 2

14.Resolver las inecuaciones siguientes: a) ||x| - 3| < 1 b) ||x+2| -1|  2

158

c) 2

13.Si: x <-1; 6> Reducir:

a) x  x  IR x  IR - {-6} x {-4}

| 5 x  20 |  | 3x  20 | x

c) ||x - 2| - 1| < 6 d) ||x+3| + 3|  5

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 22.Si: x IR, ¿entre qué valores varía?

x2 <4 2x  3

15.Resolver:

Se obtiene como conjunto solución:

a) x<-; b) x <

10 ><2;+> 9

M = |x| + 4 A = |x| - 5 T = |x| + 6 T = |x| - 7

23.Resolver las inecuaciones siguientes:

10 ;2> 9

a) |x - 1|2 + 2|x - 1| - 3 < 0 b) |x2 - x|2 - 7|x2 - x| + 12  0

c) x IR d) x  e) x <-;

a) b) c) d)

24.Determina el conjunto solución de la inecuación dada: 3 ><2;+> 2

(|x - 1|+|x - 2|) (|1 - x| - |2 - x|)  x2 - 6 25.Sean "a", "b", "c" números enteros positivos y consecutivos tal que a = 1. Si: x  IR, resolver:

16.Si: |x| < 2, entonces: 1 1  n n4 3x

a) n<4

b) n  4

d) 1  n

e) n 

c) n  1

17. Si: |x - a| < 2b Donde: b > 0 a que intervalo pertenece: b x  a  3b 1 b) < ;1] 5

d) 

e) [

1 c) < ;1> 5

7 ] 2

5 ;+> 2

e) x<-;

b) x[

7 ;+> 2

d) x[ 

5 ;+> 2

3 ] 2

27. Hallar el conjunto solución de: |4x + 2|  |x2 - 1| + 3 |x2 - 9|

18.Resolver las siguientes inecuaciones:

28.Hallar el conjunto solución de:

c) |3x2 - 11| > 97 d) |5x2+7|  132

19.Hallar el conjunto solución de: a) |x2 + 6x| < 5 b) |x2 + 3x| > 4

a) x<-;c) x[

1 ; +> 5

a) |x2 - 3| > 1 b) |x2+5|  9

26.Resolver: |x - 3| + |2x - 8| |4 - x| + |6 - 2x|

1 2

1  a)  ;1 5 

||x - a| - b| (c - x)

2|x + 1| - 3|x - 2| + |x - 5| x + 2 29.Resuelva en IR. ||x + 2| - |x - 1|| < 2

c) |5x2 - 8x - 2|  2 d) |2x2 - 7x + 3|  3

20.Resuelve las inecuaciones siguientes: a) |x2 - 3x - 6| < |x2 + 5x + 2| b) |4x2 - 3x + 1| > 4|x2 + x - 2|

a) x<

1 3 ; > 2 2

c) x<-2;1>

b) x<-

3 1 ; > 2 2

d) x<-

3 1 ;- > 2 2

e) x<-1;2> 21.Si: x [10; +> Indicar a que intervalo pertenece "a": |x-1|+|1-x|+|x-2|+|2-x|+ ... + |x-10|+|10-x|=a+50 a) a <20; +> c) a <-;-400> e) a [40; +>

CARLOS VALDERRAMA

b) a <-400; +> d) a <-20; +>

30.Hallar el conjunto solución del sistema:

 4 | 4  x |  |x|4  4   || x  1 |  x |   x

159

C NÚMEROS COMPLEJOS I

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

20

NÚMEROS IMAGINARIOS En el conjunto de los números reales, los números negativos no tienen raíces cuadradas. Ecuaciones como x2 = -49 no tienen solución. Los números imaginarios se crearon para que los números negativos tuviesen raíces cuadradas y ciertas ecuaciones tuviesen solución. Estos números se concibieron por medio de una unidad imaginaria llamada "i", con la convención de que i2 = -1, o i =  1 . Por lo demás suponemos que "i" se comporta como un número real. Las raíces cuadradas de todos los números negativos se pueden expresar como un producto de "i" y un número real. Ejemplo: Expresa los siguientes números en términos de i.

5  1.5   1 . 5  5 i

* *

i

  7    1.7    1. 7   7 i i

 99   1.9.11   1

*

9 11  3 11 i

i

Ejercicios Básicos * Expresa los siguientes números en términos de i. a)

3

e)

b)

 11

f)

c)

4

g)

d)

9

h)

i)

 32

j)

  48

  12

k)

 125

 18

l)

  160

  25 8

* Los números imaginarios son todos los números de la forma "bi", donde "b" es un número real e "i" es la unidad imaginaria, con la propiedad de que i2 = -1. Notación de Euler:

i2 =

1

POTENCIA DE LA UNIDAD IMAGINARIA i1 = i i2 = -1 i3 = -i i4 = 1

i5 = i i 6 = -1 i7 = -i i8=1

i9 = i i10 = -1 i11 = -i i12 = 1

Del cuadro observamos que las potencias de "i" se repiten cada cuatro veces y pueden tomar uno de estos valores: i, -1, -i ó 1. CARLOS VALDERRAMA

160

ÁLGEBRA DEDUCIMOS LO SIGUIENTE

Ejemplo:

I. La unidad imaginaria elevada a una potencia múltiplo de 4 siempre será igual a la unidad.

* Calcular: i138 Solución:

º

4 º

o

i138 = i1 36 + 2 = i 4 +2 = -1

4

i =1

Ejemplo:

Ejemplo:

* Calcular: i4267

* i8 = 1 * i12 = 1 * i20 = 1

Solución:

º

4 º

i4267 = i42 64 + 3 = i4 +3 = -i 16

i

i

16

 32

1     i

1    i



32



116



16

i

132 i

32



Generalizando:

1 1 1

III. Si sumamos las cuatro primeras potencias su resultado es cero.

1 1 1

i

º ±4

Podemos generalizar diciendo: la suma de 4 potencias consecutivas de la unidad imaginaria es igual a cero, es decir: =1

i

n

+i

n+1

+i

n +2

+i

n+3

=0

Recuerda: Un número es divisible por 4 cuando sus 2 últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 4.

EJERCICIOS BÁSICOS * Completa la siguiente tabla: BASE

II. La unidad imaginaria elevada a una potencia múltiplo de cuatro más un residuo, siempre será igual a la unidad imaginaria elevada a ese mismo residuo. º

i 4 +r = i r

¡IMPORTANTE! º

i 4º+1 = i i 4º+2 = -1 i 4 +3 = -i Ejemplo:

EXPONENTE

i

15

i

234

i

9 876

i

22 222

i

1 234 567

i

6 666 666

i

8 686 868

i

2 192 001

i

123 987 123

POTENCIA i15 = -i

* Calcular: i 21 Solución: º

4 º

i 21 = i 20 + 1 = i 4 +1 = i

CARLOS VALDERRAMA

161

Núme r os Co mp le j os I

NÚMEROS COMPLEJOS Para construir un sistema completo, deberíamos definir lo que se entiende por la suma de un número real con un número imaginario. A estos los llamamos números complejos. DEFINICIÓN: Los números complejos se componen de todas las sumas a + bi, donde "a" y "b" son números reales e "i" es la unidad imaginaria. La parte real es "a", y la parte imaginaria es "b". Todo número real "a" es un número complejo, pues a = a + oi. De este modo, los números complejos son una extensión del sistema de los números reales. Todos los números complejos son "b", pues bi = 0 + bi.

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Los números reales se representan gráficamente sobre una recta. Los números complejos a + bi se representan gráficamente de la misma manera que los pares ordenados de números reales (a,b). En el lugar del eje x tenemos un eje real y en lugar del eje y tenemos un eje imaginario. Ejemplo:

B: -4+5i 5 4 3 2

NÚMEROS COMPLEJOS

A:3+2i D:i

1 NÚMEROS REALES

NÚMEROS IMAGINARIOS

-6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1 2

3

E:5 4 5 6

-2 Suponemos que "i" se comporta como un número real, respetando las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva. En consecuencia, para sumar o restar números complejos, podemos manipular "i" como si se tratase de una variable. Sumamos términos semejantes.

-3 -5-4i C

-4 -5 -6

Ejemplos: Suma o resta: * * * *

3i + 4i = (3+4)i = 7i 8i - 6i = (8 - 6)i = 2i (-2+5i) + (3-7i) = (-2+3) + (5-7)i = 1 - 2i (3+2i) - (4+2i) = (3-4) + (2-2)i = -1 + 0i = -1

EJERCICIOS BÁSICOS Intenta lo siguiente: a) b) c) d) e)

162

2i + 4i + 5i 8i - 5i + 7i - 2i (2+i) + (5 + 2i) (-4+9i) + (9 - 4i) (-4+10i) - (-2 + 3i)

REPRESENTA GRÁFICAMENTE A : 3 + 2i B : -4 + 5i C : -5 - 4i D:i E:5 La distancia horizontal corresponde a la parte real de un número complejo. La distancia vertical corresponde a la parte imaginaria.

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA EJERCICIO BÁSICO Representa gráficamente: a) b) c) d) e)

5 - 3i -3 + 4i -5 - 2i -5i -3

Imaginario

7 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-11 2

3

4 5 6

7 8

Real

-2 -3 -4 -5 -6 -7

IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS La igualdad de números complejos es la misma que para los números reales un enunciado como a + bi = c + di dice que a + bi y c + di representan el mismo número. Para que esto sea cierto, "a" y "c" deben ser iguales y "b" y "d" también deben ser iguales entre sí. Por lo tanto, a + bi = c + di siempre y cuando a = c y b = d. Ejemplo: Determina "x"  "y", en: 3x + yi = 5x + 1 + 2i Igualamos las partes reales:

Igualamos las partes imaginarias

3x = 5x + 1

yi = 2i

1 2

y=2

x=-

CARLOS VALDERRAMA

163

Núme r os Co mp le j os I

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

OPUESTO DE COMPLEJOS (Z*)

Multiplicamos números complejos como si multiplicasemos monomios o binomios, tratando las partes imaginarias como términos semejantes.

El opuesto de a + bi es -ai - bi; y el opuesto de -a - bi es a + bi. Ejemplo: Encuentra el opuesto de cada número:

Ejemplo:

a) El opuesto de 2 + i es - 2 - i. b) El opuesto de -3 + 2i es 3 - 2i. c) El opuesto de 4i es -4i, pues 0 - 4i es el opuesto de 0 + 4i. d) El opuesto de -3 es 3 pues 3 - 0i es el opuesto de -3+0i.

Multiplica: * (2i) (4i) = (2.4)i2 = 8i2 = -8 * (7i)2 = 72 . i2 = 49i2 = -49

EJERCICIO BÁSICO * (4+3i) (7+2i) = 4(7) + 4(2i) + 3i(7) + (3i)(2i)

= 28 + 8i + 21i + 6i

2

* En los siguientes ejercicios, calcular el complejo conjugado y el complejo opuesto de: _ Z = __________

= 28 + (8 + 21)i - 6 = 22 + 29i

a) 2 + 4i Z* = __________

EJERCICIO BÁSICO Intenta lo siguiente: a) b) c) d) e) f) g) h)

(3i)(-4i) (-2i)(5i) (-3i)(-4i) (-i)(2i2)(-3i3) (-2i)2 (3i)3 (1 + i) (2 - i) (2 + 3i) (4 - 2i) (-3 - 2i) (6 + 5i)

_ CONJUGADOS DE COMPLEJOS (Z) El conjugado de a + bi es a - bi, y el conjugado de a -bi es a+bi.

_ Z = __________ b) 5 - 2i Z* = __________ _ Z = __________ c) -3 + 7i Z* = __________ _ Z = __________ d) -4 - 3i Z* = __________ _ Z = __________ e) 219i Z* = __________

* Ejemplo:

_ Z = __________

Encuentra el conjugado de cada número. a) El conjugado de 3 + 4i es 3 - 4i. b) El conjugado de -4 - 7i es -4 + 7i. c) El conjugado de 5i es -5i, pues 0 - 5i es el conjugado de 0 + 5i. d) El conjugado de 6 es 6 pues 6 - 0i es el conjugado de 6 + 0i.

164

f) 2006 Z* = __________

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA

Pract iquemos Bloque I 1. Completa la tabla:

x -

2

3 i

2i

22

3i

23

4i

5i

2 3 2. Simplifica las siguientes expresiones: a) i10 d) i99 g) i1334

b) i16 e) i158 h) i45567

c) i23 f) i222

3. Completa las siguientes frases para que se conviertan en proposiciones verdaderas: a) La unidad imaginaria elevada a una potencia múltiplo de cuatro siempre sera igual a ___________. b) La unidad imaginaria elevada a una potencia múltiplo de cuatro mas residuo tres siempre sera igual a ______________.

6. Calcular los valores reales de "x" e "y", que satisfacen las ecuaciones: a) b) c) d)

x + yi = 3 + 4i x - 4 + (2y -1)i = 7 + 3i 3x + y + (3x - 2y - 9)i = 0 x - 5yi = 20

7. Expresar cada uno de los siguientes productos en la forma a + bi, donde "a" y "b" son números reales: a) (1 + i) (2 + i) b) (3 + 2i) (1 - i)

c) i(3 + 2i) d) (4 + i)(4 - i)

8. Completa la siguiente tabla: 4. Simplifica las siguientes expresiones: Z

a) i . i . i . ...... i . i  i . i . i . ...... i . i   35 factores

3-5i

3+5 i

2006 factores

219 - 2006 i

. i . i . ...... i . i  i . i . i . ...... i . i c) i   1234 factores

Siendo:

98765 factores

. i . i . ...... i . i  i . i . i . ...... i . i d) i   33333 factores

Z*

4+i

96 factores

b) i . i . i . ...... i . i  i . i . i . ...... i . i   219 factores

Z*

Z

666666 factores

Z = Número complejo Z = Complejo conjugado Z* = Complejo opuesto

9. Representa gráficamente:

. i . i . i . i . ...... i . i  i . i . i . ...... i . i e) i   221212112 factores

-219 + 2006 i

2300000 factores

5. Completa los números que faltan, sabiendo que debajo de cada casilla hay otros dos cuyos números sumados equivalen al número de la casilla de arriba.

a) 3+2i , 2 - 5i, -4 - 2i b) -4+2i , -8 - 4i, 2 - 3i 10.Calcular: M = (1 + i) + (2 + i2) + (3 + i3) + ..... + (4n + i4n) a) 2n(4n + 1) d) 2n(4n - 2)

b) 2n(4n - 1) e) 8n2

c) 2n(4n + 2)

5 - 3i -4 + 2i 3 - 4i

-2 + 3i

CARLOS VALDERRAMA

4-i

165

Núme r os Co mp le j os I Bloque II 11.Determina si los números dados son soluciones de la ecuación: a) 2i, -2i, b) 4i, -4i;

x2 + 4 = 0 x2 + 16 = 0

c) i 2 , -i 3 ;

x2 + 3 = 0

d) i 3 , -i 2 ;

x2 + 2 = 0

e) -1 + i, -1 - i;

x2 + 2x + 2 = 0

f) 2 - i, 2 + i;

x2 - 4x + 5 = 0

T=

i 4  i 9  i 6 2  i 5  i10  i15

20.Calcular el valor de: =1-

12.Halla el conjunto solución de: J = (1 + 2 i3) (2 + i15) (3 + i9) (3 + i19) 13.Reducir las siguientes expresiones: M=i

16

+i

20

+i

24

+i

1 1 1 1 1     .......  i i2 i3 i4 224

Siendo: i =

1

a) 0 d) 2i

b) i e) -2i

21.¿Cuántos valores diferentes puede tomar la expresión? n

-n

+i

Siendo i =

; si: n  N* 1

A = i3 + i5 + i7 + i9 a) 4 d) -4i

T = i2005 + i2006 + i2007 + i2008 S = i101 + i2002 + i30003 + i400004

c) -i

Bloque III

S=i 12

 1 , el valor mas simplificado de:

19.Siendo: i =

b) -4 e) 0

c) 4i

22.Calcular el valor de: 14.Siendo: i =

 1 , el valor mas simplificado de:

K i

i  i3  i8  i13  i30

K=

12 11 10 9

i=

i  i2  i16

a) 4 d) -4i

A = i + i2 + i3 + i4 + ....... + i219

23.Calcular:

L = i + i2 + i3 + i4 + ....... + i2006

Y  i1

E = 1 + i + i2 + ....... + i

i =

a) n d) 2n2

c) 4n

18.Une con flechas los números imaginarios equivalentes. -32

a) i b) i

-837

c)

9918

d) i

166

1 i

-44451

33

 i3

I. i II. -1 III. 1 IV. -i

 i4

b) 2i e) 3

c) 4i

44

55

 i5

66

 i6

 i7

77

c) i

24.Simplifique:

M

1

b) 2n e) 4n2

i

1

17. Sumar: A = i2 + 2i4 + 3i6 + 4i8 + 5i10 + .... + (4n)i 8n Siendo: i =

22

 i2

a) 1 d) 3 i

16.Demuestra que: ab  a. b no es válido para todos los números reales.

24 23 22 21

i

b) -4 e) 0

11

B = 1 + i + i2 + ....... + i666

i

20 19 18 17

1

15.Reducir las siguientes expresiones:

99

16 15 14 13

a) 1 d) i

i

2  4  6  ...  m

i

1  3  5  ...  n

b) -1 e) 2

c) -i

25.Calcular: S = 3 i + 5 i2 + 7 i3 + 9 i4 + 11 i5+....+(8n+1) i4n - 4n Donde: i = a) 2ni d) -5ni

1

b) -4ni e) 6ni

c) 5ni

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 26.Hallar la suma de: (23 + i

-1

28.Si: Sn = i

) + (43 + i

-2

) + (63 + i-3) + .... + (8n3 + i-n)

º Si: n = 4 a) 4n2(n+1)2 d) n2(n+1)2

b) 2n(n+1)2 e) 2n2(n+1)2

c) 2n(n+1)2

2

+3i

Siendo: i =

3

+4i

4

+ .... +ni

n

+i

n-1

, calcular:

S = S1 + S2 + S3 + ......... + S4n a) 1 d) 4

b) 2 e) 0 n

c) 3

n

29.Si: Sn = i5 + i-3 ;  n  IN.

27. Determine aquel número "n" entero positivo múltiplo de cuatro que verifica la igualdad: i+2i

n

Calcular: M = S1 + S2 + S3 + ......... + S2006 a) 2005 i d) 2006

= 64 - 64i

b) 2005 n e) 2006 i

c) 2006 n

1

a) 16 d) 128

o

b) 32 e) 256

30.Determina aquel número "n" entero positivo 4 que verifica:

c) 64

i + 2i2 + 3i3 + 4i4 + ... + nin = 64(1 - i) a) 12 d) 84

b) 48 e) 128

c) 72

Tarea domiciliaria 1. Completa la tabla:

x

i

4

c)

5i

3i

32

6i

d)

1 e)

2i

2. Simplifica las siguientes expresiones: a) i8 d) i52 g) i1336

b) i15 e) i161 h) i9321

c) i27 f) i219

3. Completa las siguientes frases para que se conviertan en proposiciones verdaderas: a) La unidad imaginaria elevada a una potencia múltiplo de cuatro más residuo dos siempre sera igual a ________________. b) La unidad imaginaria elevada a una potencia múltiplo de cuatro más residuo uno siempre será igual a ________________. 4. Simplifica las siguientes expresiones:

. i . i . . ...... i . i  i . i . i . ...... i . i a) i    37 factores

81 factores

b) i . i . i . . ...... i . i  i . i . i . ...... i . i    201 factores

4536 factores

CARLOS VALDERRAMA

5. Calcular los valores reales de "x" e "y", que satisfacen las ecuaciones: a) b) c) d)

x + yi = 7 + 5i x - 5 + (2y-3)i = 9 + 5i 2x + y + (2x - y - 12)i = 0 x - 4yi = 24

6. Expresar cada uno de los siguientes productos en la forma a + bi, donde "a" y "b" son números reales. a) b) c) d)

(1 - i) (3 + 2i) (4 + i) (2 + i) i (5 + 2i) (5 + i) (5 - i)

7. Completa la siguiente tabla: Z

_ Z

Z*

_ Z*

3 - 2i 5 + 7i 2006 - 219i

5 - 7i -2006+219i

167

Núme r os Co mp le j os I Siendo:

Z = Número complejo

Z = Complejo conjugado Z* = Complejo opuesto

15.Reducir las siguientes expresiones: A = i + i2 + i3 +i 4 + ..... + i 313 L = i + i2 + i3 +i 4 + ..... + i 3 218

8. Representa gráficamente:

B = 1 + i + i2 + ..... + i 217

a) 4 + 3i d) -3 - 3i

R = 1 + i + i2 + ..... + i 87 601

9. En una prueba un alumno escribió la siguiente cadena de igualdades:

16.Calcular "n" si: 1 - 2i + 3 - 4i + 5 - 6i + ..... + (2n-1) - 2ni = a - (a + 50)i

-1 = i2 =  1 .  1 = ( 1)( 1) = 1 (I) (II) (III) (IV) (V) a) b) c) d) e)

La igualdad II es incorrecta. La igualdad III es incorrecta. La igualdad IV es incorrecta. La igualdad V es incorrecta. Las igualdades II y IV son correctas.

10.Determina si los números dados son soluciones de la ecuación:

a) 42 d) 48

b) 43 e) 50

c) 46

17. Calcular: M = (1 - i) + (2 - i2) + (3 - i3) + ..... + (8n - i 8n) a) 4n(4n+1) d) 4n(8n+1)

b) 4n(8n-1) e) 8n2

c) 4n(4n-1)

18.Sumar:

a) i; -i; b) 3i; -3i;

x2 + 1 = 0 x2 + 9 = 0

A = i + 2i3 + 3i5 + 4i7 + 5i9 + ..... + ni 2n-1

c) i 5 ; i 7 ;

x2 + 7 = 0

Siendo: "n" par.

d) i 2 ; i 5 ; e) 1 + i; 1 - i; f) 3 + i; 3 - i;

x2 + 5 = 0 x2 - 2x + 2 = 0 x2 - 3x + 5 = 0

a) 2ni d) -2ni

11.Halla el conjunto solución de: a) x2 + 4 = 0 b) x2 + 49 = 0

c) x2 - 4x + 2 = 0 d) 2x2 + x + 3 = 0

b) (2n-1)i e) -2ni+1

c) -n/2 i

19.Une con flechas los números imaginarios equivalentes. a) b) c) d)

i -52 i -275 i -4438 i -333

I. 1 II. i III. -i IV. -1

12.Reducir las siguientes expresiones J = (1 + 2i7) (3 + i17) (2 + i13) (2 - i15) M = (2i - 1) (3i2 - 2) (4i6 -3) (5i12 - 6) 13.Reducir las siguientes expresiones: M=i

48

+ i52 + i

A=i

11

T=i

5001

+i

13

56

15

+i

5002

+i

+i

+i

60

J=

168

i

2003

+ i 5003 +i 5004

i

70

i

 1 , el valor mas simplificado de: 219

 2i

48

A=

 1 , el valor mas simplificado de:

i 8  i 13  i 22 2  i  9  i 14  i23

21.Calcular el valor de:

17

S = i 99 + i203 + i 3045 +i 40507 14.Siendo: i =

20.Siendo: i =

 1

1 1 1 1    .......  448 i i2 i3 i

Siendo: i = a) 1 d) i

1

b) 0 e) -i

c) -1

 3  i666

3° año de Secundaria

C

o

COLEGIO

ap ít ul

ACADEMIA

NÚMEROS COMPLEJOS II

21

DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS: * Dados dos números complejos: Z1 = a + bi , y Z2 = c + di ,  0 Se define el cociente

Z1 Z1 como el número complejo: Z2 Z2

-1

= Z1 . Z2 .

En la práctica, para calcular el cociente de dos números complejos y expresar el resultado en su forma canónica se siguen los pasos análogos a los_ del cálculo del inverso multiplicativo Z-1; es decir, multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado Z2 del denominador. Si: Z1 = a + bi y Z2 = c + di  0

Z1 a  bi (a  bi) (c  di)   . Z 2 c  di (c  di) (c  di)

Ojo:

-1

Z1 ac  adi  bci  bd i2  Z2 c 2  d2 i2

Si: Z = a + bi entonces el producto Z por su conjugado Z da como resultado un número real. Veamos:

-1

-1

Z1 ac  bd  (bc  ad) i  Z2 c 2  d2



2

2

2

2 2

Z.Z = (a+bi)(a-bi) = a - (bi) = a + b i = a2+b2

Z1 ac  bd  bc  ad    i Z 2 c 2  d2  c 2  d2 

Ejemplo: * Si: Z1 = 2 + i , Z2 = 3 - i Z1 Z2



-1

2  i 2  i 3  i 6  5i  i2 5  5i 5 5i 1 i  .       2 3i 3i 3i 10 10 10 2 2 3i

-1 * Si: Z1 = 2 - 9i , Z2 = 1 + i Z1 Z2



-1

2  9i 2  9i 1  i 2  11i  9 i2  7  11i  7 11i  .     2 2 1i 1i 1i 2 2 2 1 i

-1

CARLOS VALDERRAMA

169

Núme r os Co mp lej o s I I

EJERCICIOS BÁSICOS

EJEMPLO

1. Relaciona ambas columnas:

Calcular: * (1+i)2 = 12 + 2i + i2 = 2i

2 1i

I. 2 + i

5 b) 2i

II. 1 + i

a)

5 c) 1  2i

-1 2

2

* (1 - i) = 1 - 2i + i2 = -2i -1 2

2

* (3+2i) = 3 + 12i + (2i)2 = 9+ 12i + 4 i2 = 5 + 12i III. 1 - i

-1 2

* (5 - 3i) = 5 - 30i + (3i) = 25 - 30i + 9 i2 = 16 - 30i d)

2 1i

2

IV. 1 + 2i * (1+i)3

* Número complejo real  Im (Z) = 0  a  0 * Número complejo imaginario puro  Re (Z) = 0  b  0 * Número complejo nulo  a = b = 0 2. Si: Z = a - 2 + (b - 3)i Escribe V o F entre los paréntesis, según las proposiciones sean verdaderas o falsas: Si: a = 2 entonces Z es imaginario puro. ( Si: b = 3 y a  2 entonces Z es real puro. ( Si: a = 3 y b = 2 entonces Z es complejo nulo. ( Si: a  2 y b  3 entonces Z es un complejo nulo.(

) ) ) )

-

3

- i

 (1 + i)3 = -2 + 2i

¿Qué opinas? ¿qué método es más fácil? *

2 2 2 2 (1  i)4  [(1  i)    ]  (2i)  4 i   4 2i -1

*

2 3 3 3 (1  i)6  [(1  i)    ]  (2i)  8 i   8i 2i -i

* (2 - i)5 = (2 - i)4 (2 - i) = [(2 - i)2]2 (2 - i)

3. Si: Z = aa + (bb - 27)i - 4

= [22 - 4i + i2 ]2 (2 - i)

Escribe V o F entre los paréntesis, según las proposiciones sean verdaderas o falsas:

= [3 - 4i]2 (2 - i)

a) Si: a=-2 y b3 entonces Z es imaginario puro. ( ) b) Si: b= 3 y a=2 entonces Z es imaginario puro. c) Si: a2 y b=3 entonces Z es real puro. d) Si: a=0 y b=3 entonces Z es real puro. e) Si: a=0 y b=3 entonces Z es complejo nulo. f) Si: a=2 y b=3 entonces Z es complejo nulo.

= 13 + 3(1)2(i) + 3(1)(i)2 + (i)3 = 1 + 3i

Dado el número complejo: Z = a + b i será

a) b) c) d)

2

= [32 - 24i + 16 i2 ] (2 - i)

( ) ( ( ( (

= [9 - 24i + 16 i2 ] (2 - i) -1

) ) ) )

= (-7 - 24i) (2 - i) = - 14 + 7i - 48i + 24 i2

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

 (2 - i)5 = -38 - 41i

Para efectuar esta operación se debe tener en cuenta el desarrollo del binomio de Newton, es recomendable aplicarlo para exponentes pequeños. Sea: Z un número complejo, definimos: * * * *

170

Z0 = 1,  Z  0 Z1 = Z Zm+n = Zm . Zn ,  m, n  ZZ Zmn = (Zm)n ;  m, n  ZZ

-1

¡Recuerda! (1-i)2 = -2i

*

1  i 1  i 1  i (1  i) 2  2i  .  2 2   i 1i 1i 1i 1 i 2

¡Recuerda! (1+i)2 = 2i

*

1  i 1  i 1  i (1  i) 2 2i  .   i 1  i 1  i 1  i 12  i2 2

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA EJERCICIOS BÁSICOS RECUERDA: * Completa lo que falta para que se verifique la igualdad: 1i i 1i

1i  i 1i

Calcular:

1i 1i  0 1  i 1 i

*

i

i

1i 1i   2i 1  i 1 i

*

i

i

)2 = 16 + 24i - 9

a) (4 + b) (5 i - 2)2

=

c) (3 + 5 i)2

= 9 + 30 i +

d) (i3 + 1)2

=

+

e) (2 i5 + 3 i)2 =

+

- 20i + 4

+1 - 9

* Une con una flecha las expresiones equivalentes: a) (1 + i)3

I. -8i

6

II. -2(1 + i)

c) (1 - i)

6

III. -2(1 - i)

d) (1 - i)

3

IV. 8i

b) (1 + i)

Pract iquemos 5. Si el complejo: Z = (m2 - 4) + (n3 - 27)i es nulo Determine "mn".

Bloque I 1. Efectúa las siguientes divisiones: a)  5  9i 1i

c)

b) 2  3i 3  5i

d)  5  10i  3  4i

8  3i  2  7i

2. Encuentra el recíproco de: a) b) c) d)

5 + 2i 2 - 3i 4+i 7 - 2i

b) 8 c) -8 e) Más de una es correcta.

6. Efectúa los siguientes binomios: a) b) c) d)

(2 + i)2 (3 - 2i)2 (4 + 3i)2 (5 - i)2

7. Relaciona las siguientes expresiones:

3. Si: Z = (m2 - mn + 7) + (m - n)i; Donde: m  n  IR, siendo Z un complejo real puro. Obtener "Z". a) 4 d) 7

a) 6 d) -6

b) 5 e) 8

c) 6

4. Si: Z = (m3 + n3 + 219) + (m3 + n3 + 2006)i Donde: m  n  IR; siendo Z un complejo imaginario puro.

a) b) c) d) e) f)

(1 +i)4 (i - 1)5 (1 + i)6 (1 - i)7 (i + 1)8 (1 - i)9

I. -8(1+i) II. -8i III. 16 IV. -4 V. 16(1 - i) VI. 4(1 - i)

8. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) b) c) d)

(3 + i)x + i = 5i 3ix - (1 + i) = -4 + 7i (2 + i)x - i = 5 + i 3 - 4i + 2ix = 3i - (1 - i)x

Obtener "Z" a) 219 d) 2225

b) 2006 e) 3210

CARLOS VALDERRAMA

c) 1787

171

Núme r os Co mp lej o s I I 15.Si: n  IR y

9. Efectúa las siguientes operaciones:

Z

i2 i3  a) 1  2i 1  3i

3(n  i)  5(n  3i) 1  2i

Es un complejo real, calcular "n".

i5 i7  b) 1  5i 1  7i

a) -

10.Simplificar:

d)

2 5 11 17 M    i 1  i 2  i 3  2i 4  i

3 8

9 4

b)

9 8

e)

3 4

c) 9

16.Si la grafica del número complejo: a) 5 d) 35

b) 7 e) 40

c) 10

1  mi ; m  IR 1  mi Es la parte que se muestra en la figura, encontrar el valor de "m". Z

Bloque II 11.Si: Z = a + bi, donde "a", "b"  IR; Hallar los valores de "a" y "b" que verifican la igualdad:

Im(Z)

3Z 3Z 4   1i i 3i

Re(Z)

Señalar: (a + b)2 a) 13 4 d)

15 3

b)

16 25

c) 28 a) 4 d) -1

e) 2

b) -2 e) 2

17. Si: Z1 y Z2 son opuestos, determinar (m-n) siendo:

12.Si: 1  1  1   1   1    1   1   ... 1    a  bi i  1  i i2  i  99  

Calcular: a - b; siendo: a) 101 d) 201

c) 1

a) 1 d) 4

1 = i

b) 102 e) 219

b) 2 e) -6

c) 6

18.Halle un complejo que multiplicado por: (1+i) da el

c) 103

870 11  13i

número:

13.Simplificar:

Z i

m 1 +n; Z2 = -m 1i i

Z1 =

a) 3+36i d) -3+i

1i 1i 1 1i 1 1i

b) 3-36i e) -3+36i

c) -3-36i

19.Efectuar: a) M = (1 + i)2 + (1 - i)4 + (1 - i)6

a) 0 d) 2

b) 1 e) -i

c) i

b) A = (1 - i)2 + (1 + i)4 + (1 - i)6 + (1 + i)8

14.¿Cuál es la relación existente entre "m" y "n" para que su producto: (m + ni) (2 + 3i); sea un número imaginario puro? a) m = nn d) mn = n

172

2n 3 e) m3 = n

b) m =

c) m =

3n 2

c) T =

d) T =

(1  i)15 (1  i)13 (2  i)18 (1  2i)18 3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 20.Efectuar:

25.Escribir en la forma canónica todos aquellos números

 1  i219 1  i219  Z =  219 1  i219 1  i a) 0 d) i

2

2007   1  i2007   1  i    1  i2007 1  i2007  

b) 1 e) -i

   

219

b) -1

complejos Z tales que la parte real 1 sea igual a 1 y Z 2 que: a) La parte imaginaria de Z sea cero.

Bloque III

b) La parte imaginaria de 1 sea 1 . Z 2

21.Indique la parte real de:

c) La parte imaginaria de Z sea 1 . 2

Z = (1 + i)2 + (1 + 2i)2 + (1 + 3i)2 + ... + (1 +ni)2; nZ+

a)

n(n  1) 2

n(n  1) d) 6

b) n

c)

n(2n  5) 3

d) La parte imaginaria de 1 sea 1. Z e) La parte imaginaria de Z sea 1. 26.Calcular: 3

22.Calcular el valor de: Z = (1 + i)25 + (1 - i)25 + 10(1 + i)15(1 - i)10+ ...

a) n - 1 d) n + 2

... + 10(1 + i)10(1 - i)15 + 5(1 + i)20(1 - i)5 + 5(1 + i)5(1 - i)20 15

13

a) -8 d) -820

b) -2 e) -810

6

9

 1  3i   1  3i   1  3i  M       ... "n"sumandos  1  3i         1  3i   1  3i 

e) n (2n  5)(1  n) 6

15

27. Si: f(a+bi) =

c) -2

b) n e) n + 3

c) n + 1

b  ai ; a, b  IR; a 0 a(1  i)  i

Calcular la parte imaginaria del conjugado de: 23.Halle un complejo que multiplicado por (1 + i) da el número:

f(1 + 2i) . f(2 + 3i) . f(3 + 4i) . f(4 + 5i).....f(99 + 100i)

870 11  13i

a) 3 + 36i d) -3 + i

b) 3 - 36i e) -3 + 36i

c) -3 - 36i

a) -100 d) 99

b) -9 e) 101

28.Calcular el valor de:

24.Hallar el valor de "K" y señale su parte real: 2005 

K=

13  26i 50  75i 123  164i    ... "n" sumandos 2  3i 3  4i 4  5i

n 2 a) (n +6n+3) 3

n 2 b) (n +9n-13) 4

n c) (2n2+9n-13) 6

n 2 d) (n -9n+13) 3

e)

c) 100

k  k 2i    E= 2  ki  k  k 1 

k



Donde: i = a) 1 d) -i

1

b) i e) 0

c) -1

n (2n2+3n+13) 3

CARLOS VALDERRAMA

173

Núme r os Co mp lej o s I I

Tarea domiciliaria 1. Efectúa las siguientes divisiones:

7. Efectúa los siguientes binomios: a) b) c) d)

3  2i a) 1i

b)

5i 2i

8. Relaciona las siguientes expresiones:

5i c) 2i

d)

a) b) c) d) e) f)

4  3i 2  3i

2. Encuentra el recíproco de: a) b) c) d)

(1 - i)4 (i + 1)5 (1 - i)6 (i + 1)7 (1 - i)8 (1 + i)9

3. Si: Z = (9m2 - 4m2 + 5) + (3m - 2n)i Donde: m  n  IR, siendo Z un complejo real puro. Obtener "Z" b) 4 e) 7

c) 5

4. Si: Z = (m5 + n6 + 2006) + (m5 + n6 + 219)i Donde: m  n  IR, siendo Z un complejo imaginario puro.

a) b) c) d)

(2 + i)x - i= 3i 4 ix - (2 + i)x = -3 + 2i (3 + i)x - i = 3 + i 2 - 5i + 3ix = 2i - (1 + i)x

10.Efectúa las siguientes operaciones:

a)

i  1 1  2i  1i i2

b)

i4 i6  1  4i 1  6i

11.Simplificar: M=

Obtener "Z" a) -219 i d) -2125 i

b) -2006 i e) -2007 i

c) -1787 i

5. Si el complejo: Z = (m2 - 9) + (n3 - 125)i es nulo

a) 12 - 3i d) 13 + i

b) -15 c) 9 e) Más de una es correcta.

6. Halle: (a - b) si el complejo siguiente:

2 10 25 29    1  i 3  i 4  3i 5  2i

b) 13 - i e) 14 + i

3Z Z 17i   2i i 4i

13.Si: 1  1  1   1   1  i 1  1  i 1  2  i .....1  219  i   a  bi      

Z = (3a - 4b) + (a + b - 21)i es nulo.

Calcular: (a + b)(2192 + 1)

a) 1 d) 6

a) 1 d) -2

174

b) 2 e) 10

c) 3

c) 14 - i

12. Si: Z = a + b i; donde: a, b  IR; Hallar los valores de "a" y "b" que verifican la igualdad:

Determine "mn" a) 15 d) 25

I) 8(1 - i) II) -4(1 + i) III) 16 IV) 16(1 + i) V) -4 VI) 8 i

9. Resuelve las siguientes ecuaciones:

5 - 2i 3 + 2i 4-i 7 + 2i

a) 3 d) 6

(2 - i)2 (2 + 3i)2 (3 - 4i)2 (6 + i)2

b) 2 e) 3

c) -1

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 19.¿Cuánto vale "b", si los complejos Z1 y Z2 son opuestos?

1 1  14.Si: Z = a  bi b  ai

Z1 = (a - 3)i3 + (b - 2)i2 - ai + 2b

1i 2 Calcular: (a -1)2 + (b - 1)2

Z2 = (b + 1)i3 + (1 - a)i2 - 3i - 1

Se sabe que: Z =

a) 1 d) -2

b) -1 e) 0

a) 1 d) 4 c) 2

15.¿Cuál es la relación existente entre "m" y "n" para que su producto: (m - ni) (3 + 4i); sea un número real puro?

a) 3m=2n d)

n 2  m 3

b) m=

4 n 3

c)

m 3  n 4

e) mn = 43

2  xi ; sea un complejo imaginario puro. 1  2i

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 3

20.Calcular "a2+b2", sabiendo que: Z1 = a2 + b + 4i Z2 = 3 + a2 bi

Son complejos conjugados {a;b}  IR a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

21.Halle un complejo que multiplicado por: 1 - i da el

16.Calcular "x", para que el complejo: Z=

b) 2 e) 5

148 7  5i

número

a) 12 - 2 i d) 12 + 3 i

b) 12 + 2 i e) 2 - 12 i

b) 2 + 12 i

c) 2 22.Efectuar:

17. ¿Qué valor debe tener "a" para que E sea un número real puro?

a) M = (1 - i)2 + (1 - i)4 + (1 - i)6 b) A = (1 + i)2 + (1 - i)4 + (1 + i)6 + (1 - i)8

E

2a  3i 5a  2i  2i 3  2i

a) - 2 3

b) -

3 2

3 4

e) -

9 2

d) -

c) - 4 3

c) T =

(1  i)17 (1  i)15

23.Reducir:

M

18.Si la gráfica del número complejo: m 1 ; m  IR, es la que se muestra en la figura, 1  mi encontrar el valor de "m".

Z=

1i 1i 1 1i 1 1i 1 1  1

Im(Z)

1i 1i 1 1i

Dar como respuesta: M + i

Re(Z)

a) 0 d) 2i

b) i e) -2i

c) -i

24.Indique la parte imaginaria del complejo definido por: a) -1 d) -2

b) 1 c) 2 e) Más de una es correcta

Z = (1+2i)2 + (1+3i)2 + (1+4i)2 + ... + [1+(n+1)i]2 a) n d) n(n+3)

CARLOS VALDERRAMA

b) n+1 e) -n

c) n(n-1)

175

C FUNCIONES I

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

22

RELACIÓN La palabra relación significa una conexión o correspondencia de un determinado ente con otro. Ejemplo: * Las expresiones "esposo de", "padre de", "hermano de", "hijo de", designan relaciones entre miembros de una familia. * Las expresiones "menor que", "mayor que" denotan relaciones entre números. PAR ORDENADO Llamaremos "par ordenado" de números reales a la expresión (a; b) donde "a" es llamada la primera componente y "b" es llamada la segunda componente. Ejemplo: Son pares ordenados: (1;3), (2;5), (219; 2006), etc.

IGUALDAD DE PARES ORDENADOS Los pares ordenados (a; b) y (c, d) diremos que son iguales si sus correspondientes componentes son iguales. TEOREMA (a;b) = (c;d)  a = c ^ b = d ¡Cuidado! * Los pares ordenados (3; 2) y (3;1) no son iguales, ya que sus segundas componentes son diferentes. * Los pares ordenados (5; 7) y (7; 5) no son iguales pues sus primeras componentes 5 y 7 respectivamente no son iguales, tampoco son iguales sus segundas componentes. En conclusión: Diremos que dos pares ordenados son diferentes si una de sus componentes correspondientes son diferentes. Ejemplo: * Si: (3;b) = (a; 5)  a = 3  b = 5 * Si: (2x - 1; 3y + 2) = (5; -4) Entonces: 2x - 1 = 5 2x = 5 + 1 2x = 6 x=3

CARLOS VALDERRAMA



3y + 2 = - 4 3y = - 4 - 2 3y = - 6 y=-2

177

Funcio nes I EJERCICIOS BÁSICOS I. Escribe V o F entre los paréntesis según cada proposición sea verdadera o falsa: a) b) c) d) e) f)

(-2; 5) = (5; -2) (5; 9)  (9; 5) (1 , 3 ; 3 , 1) = (3 , 1 ; 1, 3) (m; n) = (n; m) (32; 23)  (23; 32) (42; 24)  (24; 42)

....................... ....................... ....................... ....................... ....................... .......................

( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )

II. Halla "x" e "y", según sea el caso, para que se cumpla la igualdad de pares ordenados. a) (x;3) = (7;3)

x = ____________

b) (219; y) = (219; -4)

y = ____________

c) (2; 4) = (x; y - 1)

x = ____________,

d) (-x; 3) = (2; 3)

x = ____________

e) (4x; 12) = (8; y/2)

x = ____________,

y = ____________

f) (x - 2; x + 6) = (4 - x; y + 6) x = ____________,

y = ____________

y = ____________

PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS Una señora tiene dos plantas: un rosal y un ficus, y tres macetas: una azul, una marrón y una verde. ¿De cuántas formas diferentes puedes colocar las plantas en las macetas?

Rosal

Ficus

azul

marrón

verde

Hay tantas posibilidades o formas de colocar las plantas como flechas. Al conjunto de plantas pondremos P = {r; f} y para el conjunto de macetas pondremos M = {a, m, v}.

178

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA Si colocamos el rosal en la maceta marrón lo indicamos con el par ordenado (r; m) y si el ficus se coloca en la maceta azul lo indicamos con (f; a) Así, las formas de colocar las plantas se pueden expresar con los siguientes pares ordenados: (r; a), (r; m), (r;v), (f;a), (f;m), (f;v)

DEFINICIÓN: El conjunto formado por estos pares ordenados se llama producto cartesiano de P por M y se escribe P x M. P x M = {(r; a), (r; m), (r; v), (f; a), (f; m), (f; v)} Dados dos conjuntos A y B se llama producto cartesiano de A por B al conjunto cuyos elementos son los pares ordenados cuyo primer elemento es de A y el segundo es de B y se designa A x B. A x B = {(a; b) / a  A y b  B} Ejemplo: Sean:

A = {1; 3; 5} B = {m; n}

Si uno de los conjuntos A ó B es vacío, entonces A x B = .

Entonces: A x B = {(a; b) / a  A  b  B} A x B = {(a; b) / a {1; 3; 5}  b  {m; n}  A x B = {(1; m), (1; n), (3; m), (3; n), (5; m), (5; n)}

Recuerda: Si los conjuntos A y B son finitos y tienen "m" y "n" elementos, entonces el producto cartesiano A x B tiene "m" . "n" elementos.

Entonces: Considera los siguientes conjuntos: A = {Juan; Manuel} B = {Bueno; Brillante; Bello} A x B = {(Juan; Bueno), (Juan; Brillante), (Juan; Bello), (Manuel; Bueno), (Manuel; Brillante), (Manuel; Bello)} B x A = {(Bueno; Juan), (Bueno; Manuel), (Brillante; Juan), (Brillante; Manuel), (Bello; Juan), (Bello; Manuel)} En general: A x B no da lugar al mismo conjunto de pares ordenados que B x A. AxBBxA

A menos que: B = A

CARLOS VALDERRAMA

179

Funcio nes I Ejemplo: Encuentra el producto cartesiano M x M Donde: M = {2; 3; 4; 5} El producto cartesiano M x M es el siguiente: M x M = {(2;2), (2;3), (2;4), (2;5), (3;2) (3;3), (3; 4), (3; 5) (4;2), (4; 3), (4; 4), (4;5), (5;2), (5;3), (5;4), (5;5)}

EJERCICIO BÁSICO * Si: A = {1; 3; 5} y B = {2; 4} Hallar:

a) b) c) d)

A x B = ___________________________ B x A = ___________________________ A x A = ___________________________ B x B = ___________________________

* Si: A = {x/x  ZZ; -4 < x < 0} B = {y / y  IN; y  2} C = {z / z  ZZ; -3 < z < - 1} Hallar:

a) b) c) d) e)

A x B = ___________________________ A x C = ___________________________ B x C = ___________________________ C x A = ___________________________ C x B = ___________________________

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PRODUCTO CARTESIANO Existen varias formas de realizar dicha representación, que depende del número de elementos que posee cada conjunto con los que se desea efectuar el producto cartesiano. Consideremos el producto cartesiano A x B de los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {a; b} Este producto esta formado por 3 x 2 = 6 pares ordenados.

REPRESENTACIÓN SOBRE EJES CARTESIANOS B (1;b)

(2;b)

(3;b)

(1;a)

(2;a)

(3;a)

b

a

1

180

2

3

A

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA * Sobre el eje de abscisas, a la derecha del origen representamos los elementos del primer conjunto. * Sobre el eje de ordenadas, a partir del origen hacia arriba, representamos los elementos del segundo conjunto. Los elementos del producto son las intersecciones de las rectas perpendiculares a los ejes, trazadas a partir de los elementos de A y B respectivamente.

REPRESENTACIÓN EN LA TABLA CARTESIANA A

1

2

3

a

x

x

x

b

x

x

x

B

REPRESENTACIÓN EN EL DIAGRAMA SAGITAL (FLECHAS) A

B 1

a

2

b

3

Cada par ordenado viene representado por una flecha.

REPRESENTACIÓN EN EL DIAGRAMA EN ÁRBOL a 1 b a 2

3

b a b

Cada par ordenado viene representado por un trazo.

CARLOS VALDERRAMA

181

Funcio nes I

REPRESENTACIÓN MATRICIAL a

b

1

(1; a)

(1; b)

2

(2; a)

(2; b)

3

(3; a)

(3; b)

Observe que en cada par ordenado, la primera componente es un elemento de la izquierda (conjunto A) y la segunda componente tomado de la parte superior (conjunto B).

EJERCICIOS BÁSICOS * Si: A = {2; 4; 6} B = {3; 5} Grafica en los ejes cartesianos: a) A x B b) B x A Si: A = {x/x  ZZ ; -5 < x < -2 } B = {y/y IN; y3} C = {z/z ZZ ; -3 < z < 3} Representa en el diagrama sagital: a) A x B b) B x C c) C x A Representa en el diagrama del árbol: a) A x C b) B x A c) C x B

RELACIONES Sean A y B dos conjuntos no vacíos, decimos que R es una relación de A en B si R es un subconjunto cualquiera de A x B. R es una relación de A en B  R  A x B

Una relación de A en B es también llamada una relación binaria.

Ejemplo: Sean:

A = {1; 2; 3} B = {4; 5}

Los siguientes conjuntos de pares ordenados son algunas relaciones de A en B. R1 = {(1; 4)} R2 = {(3; 5)} R3 = {(2; 1), (2; 5), (3; 5)}

182

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA R4 = {(1; 4), (1; 5), (2; 4), (2; 5)} R5 = A x B R6 = {(2; 4), (3; 4), (4; 4)} No lo es pues el par ordenado (4; 4)  A x B ya que 4  A ¡IMPORTANTE! Si A x B tiene "n" elementos entonces A x B tiene 2n subconjuntos; por lo tanto existen 2n relaciones de A en B. Cuando un elemento (a; b) pertenece a una relación R se denota a R b. Es decir, a R b  (a; b)  R y se lee "a está relacionado con b según la relación R". Ejemplo: Sea:

R = {(1; 2), (3; 4), (5; 6)} 1R2, 3R4, 5R6

/ b y se dice que "a no está relacionado con b, según la relación R". Si (a; b)  R también se denota a R Ejemplo: Se tiene dos conjuntos: El conjunto A formado por las ciudades Barcelona, Paris, Roma, Turín y Londres. El conjunto B formado por los países España, Italia, Cuba, Francia. El conjunto de ciudades: A = {b, p, r, t, l} El conjunto de países: B = {e, i, c, f} Entre los elementos de los conjuntos A y B Definimos la relación:................Pertenece a ......................

OBSERVAMOS QUE:

A = {Ciudades}

B = {países}

Barcelona

España

París

Italia

Roma Turín Londres

Cuba Francia

R = {(b; e), (p; f), (r; i), (t; i)} Nótese que esta relación la cumplen cuatro pares del conjunto A x B y se dice: b R e que se lee: p R f que se lee: r R i que se lee: t R i que se lee:

"b relacionado con e" "p relacionado con f" "r relacionado con i" "t relacionado con i"

CARLOS VALDERRAMA

183

Funcio nes I En conclusión: La relación definida entre los conjuntos A y B es un subconjunto del producto cartesiano A x B OBSERVACIONES: I. Sea R una relación de A en B se simboliza por:

R A

B

R: A  B ó R AB ó RA x B

II. Al conjunto A se le llama conjunto de partida y a B el conjunto de llegada.

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN Sea R una relación no vacía de A en B, es decir: R = {(x,y)  A x B / x R y}

DOMINIO DE LA RELACIÓN El dominio de R es el subconjunto de A formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a la relación DR = {x A / y B; (x; y)  IR}

RANGO DE LA RELACIÓN El rango de R es el subconjunto de B formado por todas las segundas componentes de los pares ordenados que pertenecen a la relación. RR = {y B / x A; (x; y) IR} Ejemplo: R A

B m n p q

1 2 3 4

DR = {m, p, q} R R = {1, 2, 3, 4}

5

* Sea los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {5, 8, 11, 14, 16} R = {(1;5), (2;8), (3; 11), (4; 14)} DR = {1, 2, 3, 4} RR = {5, 8, 11, 14}

184

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA REGLA DE CORRESPONDENCIA Se llama así a la fórmula que define una relación. Ejemplos: • Sean los conjuntos: A = {1, 2, 3} y B = {5, 6, 7} Dentro de A x B se define la relación: R = {(x; y)  A x B / x + y  7} Donde la regla de correspondencia es: x + y 7 con el cual la relación R se puede colocar también así: R = {(1; 5), (2; 5), (1; 6)} y se puede notar que R es un subconjunto de A x B. • Sean los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {5, 7, 9, 11, 13} Dentro de A x B se define la relación: R = {(x; y) A x B / y = 2x + 3} Donde la regla de correspondencia es: y = 2x + 3 con el cual la relación R se puede colocar también así: R = {(1; 5), (2; 7), (3; 9), (4; 11), (5; 13)} y se puede notar que R es un subconjunto de A x B. EJERCICIOS BÁSICOS * Tienes los conjuntos: A = {1; 2} y B = {4; 5} 1. Halla todas las relaciones posibles de A en B. 2. ¿Cuántas relaciones son? _____________ * Si:

M = {j, m, q} y Q = {2, 1, 9}

Una relación de M en Q es: R = {(j; 2), (j; 9), (m; 9), (q; 1), (q; 2)} Coloca entre los paréntesis V o F según las proposiciones sean verdaderas o falsas, respectivamente: a) j R 1 b) j R q c) (m; q) R

( ( (

) ) )

CARLOS VALDERRAMA

d) (1, q)  R e) n(R) = 6 f) (1; m) Q x M

( ( (

) ) )

185

Funcio nes I * Sean los conjuntos: A = {2; 4; 6; 8} B = {1; 3; 5; 7} Y la relación R : A B definida por " . . . es menor que" a) Determinar R por comprensión y por extensión. b) Halla n(R) c) Halla el Dom(R) y Ran(R) * Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5} B = {-2; -1; 0; 1; 2} y la relación: R = {(x;y) A x B / x + y = 3} a) Elabora un diagrama sagital y un diagrama cartesiano. b) Determina R por extensión. c) Halla el Dom (R) y Ran (R).

RELACIÓN EN "A" Lo más frecuente es que una relación binaria se establezca entre los elementos de un mismo conjunto. R: A  A, tal que: R = {(x;y) A x A / x A  y A} Ojo: A x A = A2

Ejemplo: Sea el conjunto A = {1, 2, 3} con el cual: A2 = A x A = {(1;1), (1;2), (1;3), (2;1), (2;2), (2;3), (3;1), (3;2), (3;3)} Son relaciones definidas en A las siguientes: R1 = {(1; 1), (2; 2), (3; 3)} R2 = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1)} R3 = {(1; 3), (2; 3), (3; 3)}

186

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA ¡DEBES SABER ESTO! Si el conjunto A tiene "n" elementos, el producto cartesiano A x A tendrá n2 elementos y el número total de relaciones distintas que se pueden definir en A, es decir el número de subconjuntos 2

de A x A, es: 2n . Ejemplo: Sea el conjunto:

A = {1; 2} donde n = 2; con lo cual:

A x A = {(1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2)} resulta n2 = 4 elementos. Las relaciones definidas en A son: R1 = {(1; 1)}

R9 = {(1; 2), (2; 2)}

R2 = {(1; 2)}

R10 = {(2; 1), (2; 2)}

R3 = {(2; 1)}

R11 = {(1; 1), (1; 2), (2; 1)}

R4 = {(2; 2)}

R12 = {(1; 1), (1; 2), (2; 2)}

R5 = {(1; 1), (1; 2)}

R13 = {(1; 1), (2; 1), (2; 2)}

R6 = {(1; 1), (2; 1)}

R14 = {(1; 2), (2; 1), (2; 2)}

R7 = {(1; 1), (2; 2)}

R15 = {(1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2)}

R8 = {(1; 2), (2; 1)}

R16 = 

22

En total: 2

4

= 2 = 16 relaciones distintas en A.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA RELACIÓN EN "A" Dado el conjunto A = {1; 2; 3; 4}, la relación ". . . es mayor que . . . " definida en "A" y denotada con la letra R, se puede escribir: R = {(2;1), (3;1), (3;2), (4; 1), (4; 2), (4; 3)} Observa el diagrama sagital de la relación R.

A

CARLOS VALDERRAMA

A 1

1

2

2

3

3

4

4

187

Funcio nes I En este caso el diagrama sagital se puede hacer representando una sola vez el conjunto A.

2

A 1

3 4

También se puede representar mediante un diagrama cartesiano.

A 4 (4;3)

3

(3;2) (4;2)

2

(2;1) (3;1) (4;1)

1 0

A 1

2

3

4

EJERCICIOS BÁSICOS * Determina por comprensión y por extensión cada relación de M en M (relación en M) definida en los siguientes diagramas:

2 1

a)

6

1

3

2

4

b)

5

1 2 c)

3

5

Pract iquemos Bloque I

3. Encuentra los siguientes productos cartesianos:

1. Dada la siguiente igualdad de pares ordenados:

a) A x B, donde:

A = {Chile, Pizza, ensalada} y B = {queso, cebolla, pimienta}

b) B x C, donde:

B = {x, y, z} y C = {1; 2}

c) D x D, donde:

D = {5, 6, 7, 8}

(2x ; y + 6) = (x + 4; 3y) Indicar "xy" a) 6 d) 12

b) 8 e) 16

c) 10

2. Determinar los pares ordenados (a;b) que verifican la igualdad: (a2; a + b) = (b ; 6) a) {(2; 3), (4; 6)} b) {(2; 4); (0; 6)} c) {(1; 2), (3; -9)}

188

d) {(1; 2), (3; 6)} e) {(2; 4), (-3; 9)}

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 4. Se tiene los conjuntos: A = {j, m, q} B = {1, 2, 3, 4, 5} C = {g, e, n, i, o}

12.Dado: A = {-2; -1; 0; 1; 2} Halla la suma de elementos del rango de las siguientes relaciones:

a) Inventa tres relaciones de A en B. b) Inventa tres relaciones de B en C. 5. Considera la relación E x E, donde: E = {-7, -3, 1, 2, 5} Encuentra los siguientes conjuntos de pares ordenados determinado por cada una de las siguientes relaciones:

a) M = {(x;y)  A x A / x + y  0} b) A = {(x;y)  A x A / x + y > 0} c) T = {(x;y)  A x A / x  y} 13.Si: A = {2; 5; 7} y B = {3; 6; 8} Siendo R = {(x; y)  A x B / x < y} ¿Cuál de los siguientes diagramas lo representa mejor?

a) < (menor que) c) > (mayor que) e)  (menor o igual que)

b) (mayor o igual que) d) = (igual) f) (distinto)

6. Encuentra el dominio y el rango de cada una de las siguientes relaciones: a) a) {(5; 2), (6; 4), (8; 6)} b) {(6; 0), (7; 5), (8; 5)} c) {(8; 1), (8; 1), (5; 1)}

a) M = {(x; y)  A / x  2, ^ y  3} b) A = {(x; y)  A2 / 2  x  3, ^ y = 3} c) T = {(x; y)  A2 / x = 3 ^ y = 2}

B

8

8

6

6

c)

2

5

7

A

3 0

B

B

8

8

6

6

d)

3 0

8. Se tiene el conjunto A = {-1, 0, 1, 2} Hallar:

b)

3 0

7. Considera la relación A x A, donde A = {2, 3, 4, 5}. Encuentra los conjuntos indicados por cada una de las siguientes descripciones. 2

B

2

5

7

2

5

7

A

2

5

7

2

5

7

A

3 0

A

B 8

a) El producto cartesiano A x A. b) El conjunto de pares ordenados que determina la relación . c) R = {(x, y)  A x A / x2 = y2} 9. Si tenemos el conjunto A = {-1; 1; 3; 5} a) Encuentra el producto cartesiano A x A. b) Encuentra el conjunto de pares ordenados determinado por la relación . c) Encuentra R = {(x,y)  A2 / |x| < |y|} 10.Escribe tres relaciones distintas que tengan el mismo dominio y el mismo rango.

6

e)

3 0

A

14.Al conjunto: A = {x / x es una letra de la palabra ÁLGEBRA} Definimos la relación: R = {(a;b)  A x A / "a" y "b" son consonantes} Calcule: n (R)

Bloque II 11.Dado: A = {1; 2; 3; 4; 5} Hallar la suma de elementos del dominio de las siguientes relaciones. a) M = {(x;y)  A x A / x + y  4} b) A = {(x;y)  A x A / x + y  3} c) T = {(x;y)  A x A / x = y} CARLOS VALDERRAMA

a) 8 d) 20

b) 12 e) 24

b) 16

15.Si: A = {5; 6; 7} Se define en A2 las relaciones: R1 = {(x; y)  A2 / (x+y) es un número primo} R2 = {(a; b)  A2 / a.b es impar}

189

Funcio nes I Calcule: n(R1) . n(R2) a) 10 d) 18

b) 14 e) 20

22.Sean los conjuntos: c) 16

16.En el conjunto: A = {a, b, c} Se define: R = {(x, y)  A2 / x = y}

A = {a/a es impar  a < 4} B = {b/b es par  0 b < 6} Y una relación binaria R: A  B definida: R = {(a; b) / a < b}

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3 Indique si son verdaderas (V) o falsas (F)

17. Sean los conjuntos:

Según corresponda:

A = { x  ZZ/ |x - 3| = 2}

B = {x  ZZ/ x2 + 2x - 8 = 0}

¿Cuál o cuáles de los siguientes conjuntos es una relación de A en B?

b) R1 y R3 e) Ninguna

Dom (R) = A n [Dom (R)  Ran (R)] = 1 Ran (R) = {2; 4} Dom (R) Ran (R) = {0; 1; 2; 3; 4}

a) VVFF d) FVFV

R1 = {(5; 2), (5; -4)} R2 = {(5; 2), (1; 2)} R3 = {(5; -4), (1; -4), (2; 1)} a) R1 y R2 d) R1, R2 y R3

* * * *

b) VFVF e) VFFV

c) FFVV

23.Sea R una relación definida en el conjunto de los números enteros positivos tal que: c) R2 y R3

18.Si: T = {(x;y)  N* x N* / 2x + 3y = 24}

R = {(a+1; a -1) / a2 < 50} Calcule cuántos elementos de R tienen como suma de coordenadas a un número que sea mayor que 8.

Ojo: N* = {0, 1, 2, 3, . . .} Hallar la suma de todos los elementos del rango de T. a) 0 d) 20

b) 14 e) 30

c) 18

Calcular: n(T)

c) 3

24.Si: A = {x / (x2 - 5x + 6 = 0) v (x = 16)} B = {10, 12, 14, 16, 18}

a) 128 d) 1024 b) 3 e) 6

b) 2 e) 9

Además (a;b)  R A x B, tal que b = aº. Calcular el número de subconjuntos de R.

19.Si: A = {x ZZ/ x3 = x} T = {(x; y) A x A / x2 = y2}

a) 2 d) 5

a) 1 d) 4

b) 256 e) 2048

c) 512

c) 4 25.Dados los conjuntos:

20.Si los pares ordenados: (2m; 0), (0; -m), (m; -1) pertenecen a la relación:

A = {x ZZ / -12 < x + 6 < 20} B = {x ZZ / 10 < x2 < 400}

R = {(x;y) Z2 / y = ax + b}

¿Cuántos elementos tiene A x B?

Hallar el valor de: a + b

a) 528 d) 992

a) 5 d) -2,5

b) 2,5 e) -1,5

b) 496 e) 876

c) 1056

c) 1,5 26.Sean los conjuntos:A = {1; 4} {x IR / 2 x  3} B = {x  IR / 1  x  2}

Bloque III Entonces: A x B tiene la forma: 21.Sean: a, b, m, n números enteros positivos tal que: (m2 + b; 8) = (5 + 2b; m + n) Indique la suma de valores de "m + b". a) 630 d) 690

190

b) 640 e) 700

c) 650

a)

b)

d)

e)

c)

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA * Considera el conjunto de todas las ternas ordenadas (x; y; z) en que "x", "y", y "z" son números reales. Todo subconjunto de R x R x R se dice que es una relación en R x R x R.

29.Enumera cinco ternas ordenadas cualesquiera del conjunto:

27. Enumera cinco ternas ordenadas cualesquiera del conjunto:

30.Enumera cinco ternas ordenadas cualesquiera del conjunto:

A = {(x, y, z) R x R x R / x = 1, y = 2 y z > 4}

C = {(x, y, z) Z x Z x Z / x = 3, y > 0 y z = y2}

D = {(x, y, z) N x N x N / x = 2y, y < 0 y z = y3}

28.Enumera cinco ternas ordenadas cualesquiera del conjunto: B = {(x, y, z) Z x Z x Z / x > 1, y > 1, z = x + y}

Tarea domiciliaria 1. Dada la siguiente igualdad de pares ordenados:

6. Encuentra el dominio y el rango de cada una de las siguientes relaciones:

(3x; 5 - 2y) = (x + 6; y - 4) a) {(1; 3), (2;5), (3;7)} b) {(5; 5), (4;5), (3;5), (2;5)} c) {(1; 7), (1; 7), (3; 6)}

Indicar "xy" 2. Calcular "a + b", sabiendo que: (a - b; ab) = (4; 12) 3. Encuentra los siguientes productos cartesianos: a) A x B, donde:

A = {pan, pollo, papa} y B = {hamburguesa, queso, huevo}

b) B x C, donde:

B = {j, m, q} y C = {2, 1, 9}

c) D x D, donde:

D = {2, 0, 0, 6}

4. Se tiene los conjuntos: A = {a, l, g, e, b, r, a} B = {m, e, j, o, r} C = {c, u, r, s, o} a) Inventa tres relaciones de A en B. b) Inventa tres relaciones de B en C. 5. Considera la relación D x D, donde: D = {-2, 1, 0, 3, 5} Encuentra los siguientes conjuntos de pares ordenados determinado por cada una de las siguientes relaciones: a) b) c) d) e) f)

< (menor que) > (mayor que)  (menor o igual que) (mayor o igual que) = (igual) (distinto)

CARLOS VALDERRAMA

7. Considera la relación A x A, donde A = {1,3,5,7} Encuentra los conjuntos indicados por cada una de las siguientes descripciones. a) M = {(x; y)  A2 / x  1 ^ y 5} b) A = {(x; y) A2 / 2 < x < 4 ^ y = 7} 8. Se tiene el conjunto: A = {-3, -1, 3, 7} Hallar: a) El producto cartesiano A x A. b) El conjunto de pares ordenados que determina la relación =. c) R = {(x,y) A x A / x2 = y2} 9. Si tenemos el conjunto: A = {-2, 0, 2, 4} a) Encuentra el producto cartesiano A x A. b) Encuentra el conjunto de pares ordenados determinado por la relación >. c) Encuentra R = {(x;y)A2 / |x| > y} 10.Si: A x B = {(1;-3), (1;-4), (1;-5), (7;-3), (7;-4), (7; -5), (9; -3), (9;-4), (9;-5)} Halla y expresa por extensión: a) El conjunto A b) El conjunto B

191

Funcio nes I 11.Dado: A = {-3, -1, 0, 1, 3} Halla la suma de elementos del dominio de las siguientes relaciones:

16.En el conjunto: A = {T ; A} Se define R = {(x, y)  A2 / x = y} Calcule: n(R) 17. Sabiendo que: A = {2; 3; 4; 5}

a) M = {(x;y) A x A / x + y 2} b) A = {(x;y) A x A / x + y > 3} c) T = {(x;y) A x A / x = y}

Se define la relación: R A x A, tal que:

12.Dado: A = {1, 2, 3, 4, 5} Halla la suma de elementos del rango de las siguientes relaciones: a) M = {(x;y) A x A / x - y 0} b) A = {(x;y) A x A / x + y > 2} c) T = {(x;y) A x A / x  y} 13.Sean: Siendo:

A = {2; 3; 4; 5} y B = {3; 6; 7; 10} R = {(x;y) A x B / "x" divide a "y" exactamente}

Halle: n(R) 14.Dado el conjunto: A = {x/x es una letra de la palabra MATOSKY} Se define la relación: R = {(a;b) A x A/ "a" y "b" son consonantes} Calcule n(R). 15.Si R es una relación en: A = {2, 3, 9} tal que: R = {(x,y) A x A / y + 1 x2}

R = {(a;b) / a + b = par} = {(3;5),(2;2),(5;5),(m,m) (n;4) (4;4) (p;2)(5;q)} Calcular: m + n + p + q

18.Dados los conjuntos:

A = { x  ZZ/x2 + x - 12 = 0} B = {x  IN / |2x - 1| = 3} ¿Cuál o cuáles de los siguientes conjuntos no es una relación de B en A? R1 = {(2;3), (2;4)} R2 = {(-1;3), (2;3)} R3 = {(3;-2)} 19.Sean las relaciones: R1 = {(x;y)  (N*)2 / xy = 8} R2 = {(x;y)  (N*)2 / x + y = 6} R3 = {(x;y)  (N*)2 / 2x + y = 4} Hallar la suma de los elementos del dominio de: (R1 R2) R3 20.Sea la relación:

Halle: n(R) H = {(x; y) Z2 /0 y <

x  0 < x < 3}

Calcular: n(H)

192

3° año de Secundaria

C FUNCIONES II

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

23

FUNCIONES Desde edades muy tempranas te has familiarizado con las correspondencias; así por ejemplo, reconoces que a cada persona corresponde una madre, que a cada polinomio corresponde un área, etcétera. Pero seguro no conoces la importancia que tienen las correspondencias en matemática, para ello, basta señalar que con ayuda de éstas se puede definir uno de los conceptos más importantes de dicha ciencia, el concepto de función. Este concepto esta implícito en las matemáticas de las primeras civilizaciones y ello puede inferirse del estudio de las tablillas de barro babilónicas de la colección Plimpton, que datan del año 1900 a.C. y en las que está grabado un cuadro como se ilustra a continuación, en el cual se expresa con nuestra actual notación como varía en la formula a = 2xy el valor de "a" cuando se asignan valores a las variables "x" e "y".

x

2

9

9

12

20

........

y

1

4

5

5

9

........

a

4

72

90

120

360

........

Este concepto se conserva a lo largo de la historia de la matemática, así René Descartes (1596 - 1652) en su geometría muestra que tiene la idea intuitiva de variable y función. Sin embargo, la palabra función no surge hasta 1694 para designar la dependencia entre los valores de las abscisas y los puntos de la representación gráfica. Leonhard Euler (1707 - 1783) Contribuyó notablemente a la teoría de funciones, a quien la debemos la notación y = f(x). Concepto de función En la práctica se presentan situaciones en las que se relacionan o se hacen corresponder cantidades de magnitudes. Por ejemplo, un móvil parte con movimiento rectilíneo uniforme de un punto A hacia un punto B que se encuentra a 180m de distancia de A. Recorre en: 1s 2s 3s 4s 5s 6s

     

30 m 60 m 90 m 120 m 150 m 180 m

Observa que la situación anterior representa una proporcionalidad directa entre dos magnitudes (tiempo y desplazamiento), donde el factor de proporcionalidad es k = 30 m/s; Luego para un tiempo dado "t" podemos asignar un desplazamiento 30 t en metros, lo que podemos expresar así: t  30 t

CARLOS VALDERRAMA

193

Funci ones I I En esta situación hemos considerado una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos A y B como se muestra a continuación:

A

B 1s

30 m

2s

60 m

3s

90 m

4s

120 m

5s

150 m

6s

180 m

Esta correspondencia existente entre una magnitud con otra se denomina función.

DEFINICIÓN: Sean A y B dos conjuntos no vacíos y sea f una relación de A en B esto es f  A x B Entenderemos por función de A en B como aquella correspondencia que asocia a cada elemento "x" del conjunto A un único elemento "y" del conjunto B.

B

A

x

y

¡NO OLVIDAR! Una función es un conjunto de pares ordenados tales que la primera componente pertenece a A y la segunda componente a B, de modo tal que dos pares ordenados distintos no tengan la misma primera componente.

194

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA Para denotar que f es una función de A en B, se escribe: f : A  B. Y se lee: "f es una función de A en B". Ejemplo: Dados dos conjuntos: A  {1; 3; 5; 7; 9} y

B  {2; 4; 6; 8} En A x B, se definen: J = {(1;2), (3;4), (5;6), (7;6)} M = {(1;6), (3;8), (5;2), (7;8), (3;6)} Q = {(1;2), (3;2), (5;2), (7;2), (9;2)} Donde: J es una función, pues al tomar dos pares ordenados distintos cualesquiera, estos no tienen la misma primera componente. M no es una función, porque dos de sus pares ordenados (3; 8) y (3; 6) tienen la misma primera componente. Q es una función, porque todas las primeras componentes de sus pares ordenados son distintas entre si. Consideremos los siguientes diagramas, que representan relaciones de A en B.

A

B

a)

A

B

A

B

A

B

b)

A

B

c)

d)

A

e)

B

f)

Observamos que las relaciones de los ejemplos (a), (b), (c), (d), (f) son funciones de A en B, en cambio (e) no es función de A en B, pues a un elemento x  A le corresponde dos elementos de B.

CARLOS VALDERRAMA

195

Funci ones I I EJERCICIO BÁSICO

* Si: A = {1; 3; 5} y B = {m,n,p}

* ¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones?

¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones de A en B?

M = {(9;1), (-5;-2), (-2;-1),(3;9)} A = {(6;a), (8;f), (6;b), (-2;p)} T = {(2;7), (y; -5), (r;7), (z; 7), (z; 0), (k; 0)}  = {(2;3), (4;3), (5;3), (0;3), (17;3), (-3;3)} S = {(5;-5),(5;-5)} K = {(9;0), (3;8), (5;8), (9;-1)} Y = {(0;t), (9;e), (-2;9), (-5;6)}

a) b) c) d) e) f) g) h)

R1 = {(1;m), (3;p), (5;n)} R2 = {(1;m), (3;m), (5;m)} R3 = {(5;p), (3;n), (1;m), (5; m)} R4 = {(1;m), (1;n), (1;p)} R5 = {(m;1), (n;3), (p;5)} R6 = {(3;m), (5;n), (1;p), (1;m)} R7 = {(1;m)} R8 = {(n;3)}

* Señala los diagramas que representan funciones. Justifica tu respuesta.

R1

R2 B

A

a)

j

2

m

1

q

9

B

A

b)

j

2

m

1

q

9

R3

R4 B

A

c)

j

2

m

1

q

9

B

A

d)

j

2

m

1

q

9

R4

e)

196

j

2

m

1

q

9

B

A

B

A

f)

j

2

m

1

q

9

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA DEFINICIÓN 2 Sea F un subconjunto de A x B donde existen dos pares ordenados (x; y) y (x; z) que le pertenecen. Este conjunto F será función sólamente si aquellos pares ordenados son iguales, esto es: F es función  y = z

Ojo

Ejemplo:

Todas las primeras componentes de cada par ordenado deben ser diferentes.

Hallar "x" para que el siguiente conjunto de pares ordenados sea una función. f = {(1;3), (-2;x), (3;4), (5;5), (-2;2006)} Solución:

Como f esta expresado como un conjunto de pares ordenados aplicamos la definición 2,

tenemos: (-2;x)  f  (-2; 2006) f es una función si x = 2006. Con la cual nos queda: f = {(1;3), (-2; 2006), (3;4), (5;5), (-2;2006)}  f = {(1;3), (-2; 2006), (3;4), (5;5)}

Ojo Recuerda: Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

EJERCICIOS BÁSICOS * Hallar "a" si J, M, Q son funciones: J = {(1; a), (3; -2), (4;2), (1;3)}

a=

_______________

M = {(2;4), (4;2), (3;3), (2; a)}

a=

_______________

Q = {(1;1), (2;1), (2;a), (4; 1), (4;1)}

a=

_______________

PRUEBA DE LA LÍNEA VERTICAL Si es posible que una línea vertical intercepte una gráfica en más de un punto, entonces la gráfica no representa una función. Ejemplo: ¿Cuáles de las siguientes gráficas representan funciones?

y

y

b)

a)

x

x

CARLOS VALDERRAMA

197

Funci ones I I y

y

x

c)

d)

x

y

y 2 1

e)

x

f)

-1

x

Los ejemplos a, e y f son gráficas de funciones, las gráficas b, c y d no pasan la prueba de la línea vertical.

NOTACIÓN DE UNA FUNCIÓN A menudo las funciones se denotan con letras, puesto que una función es una relación, una función f es un conjunto de pares ordenados. Una función se puede denotar de diferentes formas: f : A  B / y = f(x) A  B / y = f(x) Donde:

A : Conjunto de partida B : Conjunto de llegada. x : Pre imagen de "y" o variable independiente y : imagen de "x" o variable dependiente

Además: y = F(x) que se lee "y igual a f de x" o "y es la imagen de x por f". y = f(x)  (x;y) f Donde la ecuación y = f(x) se llama regla de correspondencia. Ejemplo: f(2) = 5 (2 ; 5) f f(-4) = 7 (-4 ; 7) f f(0) = 6 (0 ; 6) f

198

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA Ejemplo: Considera la función:

Ojo

F = {(-3; 0), (9; 1), (0; -2), (6; 6), (0;-2)}

Regla de correspondencia: Algunas funciones se pueden definir por medio de fórmulas o ecuaciones. Los valores de la función se pueden obtener efectuando sustituciones de variables.

Encuentra: f(-3), f(9) y f(0) Solución: Como tenemos el par ordenado : Análogamente:

(-3; 0)  f(-3) = 0 (9; 1)  f(9) = 1 (0; -2)  f(0) = -2

Ejemplo:

f(x) = 2x2 - 3 Encuentra los siguientes valores: f(x) f(0) f(-3) f(-5)

= = = =

2x2 - 3 2(0)2 - 3 = -3 2(-3)2 - 3 = 15 2(-5)2 - 3 = 47

   

(x, f(x)) (0; -3) (-3; 15) (-5; 47)

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN Se llama dominio de una función f al conjunto de todas sus primeras componentes y se denota por: Dom f = {x  A / [ y  B / (x;y) f] } A ó Dom f = {x  A / [ y  B / y = f(x)] } A

RANGO DE UNA FUNCIÓN Se llama rango o recorrido de la función f al conjunto de las imágenes de todos los elementos de A, vía f; y se le denota Ran (f) ó RF es decir: Rf = {y B / [ x A / y = f(x)]} B Rf = {f(x) B / x  Dom f A } B Ejemplo: Sea:

f = {(1; 8), (3; 2), (5; 4), (9; 6)} Dom f = {1; 3; 5; 9} Rf = {8; 2; 4; 6}

CARLOS VALDERRAMA

f B

A 1

2

3

4

5

6

9

8

199

Funci ones I I EJERCICIOS BÁSICOS

* Sea la función f definida por:

* Si:

f = {(1; 2), (3; -2), (4; 7), (5; 4)} f = {(-2; 2), (1; 3), (2; 7)} Hallar:

Escribe V o F entre los paréntesis, según las proposiciones sean verdaderas o falsas: a) b) c) d) e)

2 es la imagen de -2 1 es la imagen de 3. 2 es la pre imagen de 7. -2 no es la preimagen de 2. 7 no es la preimagen de 2.

( ( ( ( (

) ) ) ) )

a) f(1) + f(4) b) f(3) f(4) - f(1) f(5) c)

f (3)  f (5) f (1)  f (4) 2

2

2

2

d) f (1) + f (3) + f (4) + f (5) * Dadas las funciones siguientes: M = {(1; 2), (2; 4), (3; 5), (4; 7)} A = {(-3; -1), (-2; 0), (-1; -1), (5; 2)} T = {(2; 3), (3; 4), (4; 5), (5; 6)} O = {(-4; 4), (5; -5), (-6; 6), (-7; 7), (8; -8)} S = {(5; 1), (4; 1), (3; 1), (2;1), (0; 1)} Indica el dominio y rango de cada función.

Practiquemos Bloque I

5. ¿Cuáles de las siguientes gráficas representan funciones?

1. ¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? A = {(1;2), (2;3), (3;4), (4;1)} L = {(3; -5), (0;0), (-5; 3), (-3; -5)} G = {(-4; -4), (-1; -6), (-4; 4), (-6; -1)} E = {(2; -9), (4; 2), (0; 5), (4; -9)}

y

y

x

a)

x

b)

2. ¿Cuáles de las relaciones son funciones? B = {(6; -6), (-2; 2), (0; 0), (2;-2), (-6; 6)} R = {(0, a), (1; a), (-1; a), (1; -1), (-1; -1)} I = {(1; 1), (1; 1), (1; 1), (1; 1), (1; 1)} C = {(2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (2; 7)} O = {(5; -2), (-2; 5), (-2; -2)}

y

y

x

c)

x

d)

3. Hallar "a", si el siguiente conjunto representa una función:

y

y

f = {(1; 2a), (2; 7), (5; 1), (1; 3a - 5), (7; 9)} a) 2 d) 8

b) 3 e) 13

c) 5 e)

x

f)

4. Si: f = {(2;6), (1;a-b), (1;4), (2; a+b), (3;4)} Es función, hallar "ab". a) 1 d) 4

200

b) 2 e) 5

c) 3

3° año de Secundaria

x

ÁLGEBRA 6. Encuentra el dominio y el rango de las siguientes funciones. g

f B

A

A

1

1

3

a)

b)

5

2

1 2

-3

3

0

4

4

j A

B

A

c)

1

1

0

2

2

3

k B

A

-1 2

-3

-7

e)

7

1

3 2

f)

3

-4

-9

A

0

-1

3

l

B 5

4

-5

d)

h

B 2

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

B

7. Completa la tabla.

FUNCIÓN

x=0

M(x)=x+1

M(0)=1

x = -2

A(x)=x-4

x=3

x=1

A(-2)=-6

T(x)=5x2+4x

T(3)=57

O(x)=4x2-x+2

S(x)=

x=a

O(a)=4a2-a+2

3x  4 2x  5

S(1)=-

8. Sea la función f definida por: f = {(1; 2), (2; 3), (3; 5) (5; 8), (8; 13), (13; 1)}

A = {1; 3; 5; 7} B = {2; 4; 6; 9; 10; 12} Siendo: f ={(x;y) A x B / y = f(x) = x + 3}

Relaciona ambas columnas:

Indicar la suma de los elementos del rango.

I. f(13) II. f(f(1)) III. f (f (f (3) ) ) IV. f (f (2)) V. f (f (f (8))) VI. f(5)

1 7

10.Sea:

a) 8 b) 5 c) 2 d) 13 e) 1 f) 3

a) 0 d) 10

b) 4 e) 20

c) 6

Bloque II 11.Si "f" representa a una función dada por: f = {(2; 3), (3; a-b), (2;a+b), (3; 1)}

9. Señale la suma de los elementos del rango de la función: Diga cuál de los conjuntos son también funciones: f(x) = 2x - 1 J = {(a; b), (b - a;5), (5; b - a), (a + b; 5)} M = {(3; b), (b; 3), (3; 8), (9; 2a-b)} Q = {(3; 5), (9; 7), (b; a), (5a; 3b)}

Siendo: Dom f = {1; 2; 3; 4} a) 10 d) 16

b) 13 e) 18

CARLOS VALDERRAMA

c) 15

201

Funci ones I I 12.Sabiendo que:

18.Si:

 1; x  0  f ( x)   0; x  0  1; x  0 

F = {(7; n2), (8; 3), (7; 25), (n; 9), (5; n)} Describe una función Indique la suma de los elementos del rango. a) 20 d) 45

b) 25 e) 57

Obtener: M = f (f(1)) + f(f(-1))

c) 32

a) -2 d) 1

13.En la función:

b) -1 e) 2

19.Se representa la gráfica de la función "g".

f = {(1; a2), (a; b), (2; a +2), (2; 3), (-1; 2)}

y

g

41

Calcule "a + b" a) 1 d) 7

c) 0

b) 3 c) 5 e) Hay 2 correctas

5 3,5

14.En la función:

x

6

1

f = {(a; b), (2b; b2), (a; a-b)}

¿Qué relación es correcta? a) 0 d) 3

b) 1 c) 2 e) Hay 2 correctas

15.Si "f" es una función cuyo rango es un conjunto unitario, determinar el dominio de f.

a) b) c) d) e)

g(1) + 2,5 = g(0) g(6) - 46 = g(0) g(0) + 4g (1) = g(6) 8g(0) = g(6) -1 g(6) + g(1) = 10g(1)

f = {(a+b; b), (ab; a-b), (a; 1), (3b; a-1)} 20.Si se tiene la función: a) Dom f = {2; 3} c) Dom f = {5; 3} e) Dom f = {1}

b) Dom f = {1; 10} d) Dom f = {0}

Halla el producto de los elementos de la intersección de los elementos del dominio y el rango de dicha función.

16.De los gráficos siguientes:

y 5

f 2 5

1

3

a) 2 d) 12

g

2

f = {(a;b), (3;0), (1;3), (2b;4)} y que f(x) = x - 2a;

x

b) 3 e) 24

c) 6

Bloque III

4 6

21.Para: A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5}

y

Sean "f" y "g" dos funciones de A en B, tales que:

f (1)  g(f (1)) Calcular el valor de: f (3)  g(f (3)) 17. Dado: f = {(0;1), (1;2), (2;3)} Hallar: f(0)f(1) + f(1)f(2) + f(2)f(0) a) 6 d) 12

202

b) 8 e) 16

c) 10

f = {(1;3), (2;4), (a;b)} y g = {(3;3), (2;4), (c;d)} Si se cumple que  x  A; f(x) = x, Rf  B y g(1) = 3 Hallar el valor de: (b - a) + (c - d) a) 2 d) -1

b) 1 e) -2

c) 0

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 22.Dados los conjuntos:

27. Si: f y g son dos funciones tales que: f(x) = ax + b g(x) = bx + a

A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 3, 4, 5, 6}

Además: (3;3)  f  (1; 1) g y las siguientes relaciones definidas de A en B. Calcular: f [g(1997)] + f [g( 2 )]

R1 = {(x;y)  A x B / x > y}

R2 = {(1, 2), (2, 3), (3,4), (4,5), (5,6)} R3 = {(x;y)  A x B / y - 1 = x} R4 = {(4, 5), (3, 4), (2, 6), (1, 3)} a) Indicar cuáles de las relaciones son funciones. b) Halla el dominio y rango de las funciones anteriores. c) Elabora un diagrama sagital y un diagrama cartesiano para aquellas funciones.

23.Sea el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} Se define en A las funciones: f = {(1;1), (2;3), (4;2), (3;3), (4; m)} y g(x) = mx2 + bx + c

Determine la suma de los elementos del rango de g. b) 32 e) 56

c) 38

24.En un salón de 40 alumnos, las notas van de 0 a 20 y son números enteros positivos. Se dan las siguientes relaciones: R1 = {(nombres de los alumnos, nota de los alumnos)} R2 = {(nota del alumno, nombre del alumno)} a) b) c) d)

I. f(0) = 0 II. f(12) = 4f(3) III. f(-13) = -f(3) b) VFV e) FFV

c) FFF

29.Sea f: N  N una función tal que: f(x) = 2x + 3, indique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos. I. y IN, x IN / f(x) = y II. Si: f(a) = f(b) entonces a = b III. Si: f(ax) = af(x) y f(b+x) = b + 2 + f(x) . x IN Entonce: a + b = 3 b) Sólo II e) I y III

c) Sólo III

0; si x es par Una función definida por: f(x) =  1, si x es impar

De las afirmaciones siguientes, ¿cuáles son verdaderas?

Hallar: a - b b) 1008 e) 1381

c) 784

26.Sea: f una función definida por: f(x) = ax2 + b Además: f(f(x)) = 8x4 + 24x2 + c Hallar el valor de: E = a + b + c a) 24 d) 30

Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

30.Sea: f: N  {0;1}

25.Sea f una función definida por: f(x) = ax + b; Si: f(1) = 107 f(2) = 901

a) 1481 d) 687

c) 3

f(x+3) = f(x) + f(3), x ZZ

a) Sólo I d) II y III

R1 y R2 son funciones. Sólo R1 es función. Sólo R2 es función. R1 y R2 no son funciones.

b) 2 e) 5

28.Sabiendo que f es una función tal que:

a) VVF d) VVV

Si: f(1) = g(1) y g(2) = 4

a) 26 d) 42

a) 1 d) 4

b) 26 e) 28

CARLOS VALDERRAMA

a) b) c) d)

x IN, x N / f(x+y) = f(x) + f(y) x IN, x N / f(x) . f(y) = f(xy) x IN /f(x) = f(x+2) x IN / f(x+1) = f(x)

c) 29

203

Funci ones I I

Tarea domiciliaria 1. Indicar de las siguientes relaciones, cuántas son funciones:

6. Encuentra el dominio y el rango de las siguientes funciones:

M = {(2; 1), (4; 3), (10; 5), (8; 7), (6; 9)} A = {(10; 1), (6; 9), (2; 5), (6; 3), (2; 7)} T = {(4; 1), (5; 1), (7; 1)}

g

f A

2. ¿Cuáles son funciones?

2 3

a)

O = {(1; 4), (1; 5), (1; 10)} S = {(1; -1), (8; 3), (4; 3), (6; 3), (1; 3)} I = {(4; 7), (2; 3), (4; 7), (-2; -5)}

5 3

4. Sea la función:

-1

1

-2

2

0

3

-3

4

-2 4 5

j

B

A

c)

1 2 3 4

b)

h

3. Hallar "a", si el siguiente conjunto representa una función: f = {(2; 3a), (4; 5), (7; 2),(2; 5a + 8), (6, -1)}

A

A

B 1 2 3 4 5

2 3 4 5 6

d)

f = {(2; 5), (-1; -3), (2; 2a-b), (0; 9), (-1; b-a)} Indicar "ab". 5. ¿Cuáles de las siguientes gráficas representan funciones?

y

e)

y

x

a)

k

A

b)

TRILCE

1 3 5 7 9 11

2 4 6 8 10 12

l

A

B

f)

B 2 4 6 8 10

-1 -3 -5 -7 -9

x 7. Completa la tabla.

y

y

x

c)

x=0

M(x)=x+7

(0;7)

A(x)=2x-3

T(x)=x2+3

y

O(x)=4x2-3x e)

x

f)

x=-2

x=3

x=-3

(1;-1)

(-2;7)

(3;27)

x S(x)=

204

x=1

x

d)

y

Función

2x  3 3x  2

(-3;

3 ) 11

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 8. Sea la función f definida por:

15.Determinar "ab" para que la siguiente relación:

f = {(2; 4), (4; 6), (6; 8), (8; 10), (10; 2)}

R = {(4;3), (-5;3), (4;a2-b2), (-5; a+b)}

Relaciona ambas columnas:

Sea una función.

I. f(10) II. f(f (4) ) III. f(f (f (2) ) ) IV. f (f (f (f (8) ) ) ) V. f (f (10) )

a) 10 b) 4 c) 2 d) 8 e) 6

16.Graficando "f" se tiene:

y

9. Se sabe que el dominio de la función f es el conjunto:

y=f(x)

4 2

A = {-2; -1; 0; 1; 2} y que su regla de correspondencia es:

f(x) =

x2 -1 2

3

5 6

x

Calcular: f(0) - f(3) + f(5) + f(6) 17. Dado: f = {(2;3), (3;6), (4;2)}

Calcular el rango de la función f. Hallar: A = {2; 4; 6; 8} B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Siendo: f = {(x;y)  A x B / y = f(x) = x - 2} Indicar la suma de los elementos del rango.

f (2)

f (3)  f ( 4)

10.Sea:

11.Calcular "ab" para que el conjunto de pares ordenados sea una función. F = {(2;4), (3;a+b), (5;6), (3;8), (2;a-b)} 12.Hallar la suma de elementos del rango de la función: 2

f = {(1;5), (a;6), (3;a ), (3; 2a+3)}

18.De la función: 2  x; x  0 f (x)   x  3; x  0

Hallar: E = f(f (3) ) + f(f (-2)) 19.Dada la función: 1, si : x  Q f (x)   0, si : x  Q'

Entonces el valor de: 13.Hallar "a" y "b" para que el conjunto de pares ordenados: A = {(2;5), (-1;-3), (2;2a-b), (-1;b-a), (a+b2;a)} Sea una función. Dar la suma de todos los elementos de su dominio. 14.Sea la función: H = {(a;ab), (a;aa-b), (2b; ba)}

2 f    f (2)[f ( 2 )  f (1,4142)] 3

20.Dada la función: F = {(5; |x|), (x;2), (5;4), (2;7)} Indique la suma de elementos de su dominio.

Indicar "a+b"

CARLOS VALDERRAMA

205

C FUNCIONES III

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

24

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL DEFINICIÓN Cuando los conjuntos de partida y de llegada A y B de una función f son conjuntos de números reales, esta función es llamada función real de variable real.

F:RR Cualquier función queda totalmente definida mediante su regla de correspondencia y su dominio. y = f(x)  x  Domf

Cuando en una función sólo se indica la regla de correspondencia, se debe asumir que aquella función es de la forma F: R  R y que su dominio es aquel conjunto de números reales para los cuales está definida la regla de correspondencia. Ejemplo: Determinar si f(x) = -3x + 2 es una función. Solución: Tenemos que para cada valor real que se le asigne a "x", resulta un único valor real para f(x), por lo tanto es una función. Como la "x" puede tomar cualquier valor real, decimos que el dominio de la función es todo el conjunto de los números reales.

Cálculo del dominio de funciones El dominio de una función f, se determina encontrando el conjunto de todos los valores posibles que puede tomar la variable "x", salvo en el caso que dicho dominio sea especificado. Ejemplos: * ¿Cuál es el dominio de f? f(x) = x2 - 5x + 2 Solución: El dominio de f es IR, ya que "x" puede ser cualquier número real. * ¿Cuál es el dominio de "g"?

g(x) =

x4 x3

CARLOS VALDERRAMA

206

ÁLGEBRA Para encontrar el dominio de g, debemos determinar si hay reemplazos inaceptables. Veamos que pasa cuando x = -3

g(-3) =

3  4 7  33 0

Como no podemos dividir por 0, el reemplazo -3 no es aceptable. Cundo un reemplazo no es aceptable, el número no pertenece al dominio de la función. Así el dominio de g es IR - {-3} * ¿Cuál es el dominio de "h"? h(x) =

x 3

Solución: Para encontrar el dominio de "h" debemos recordar que en IR,

a existe si y solo si a  0.

 x  3 existe en IR si y solo si x - 3  0 entonces x  3, así el dominio de "h" es [3; +>.

Cálculo del rango de funciones

Ejercicios

* Dada la función: f(x) =

1 x

¿Cuál de los valores no pertenece al dominio? a) -219

b) 0

c) 2006

El rango de una función f se determina despejando la variable "x" en función de "y", luego se analiza todos los valores posibles que pueda tomar "y", de tal manera que "x" sea real. Ejemplo: * ¿Cuál es el rango de "f"?

* Dada la función: f(x) =

x

f(x) = x2 - 5x + 2

¿Cuál de los valores no pertenece al dominio? a) -2006

b) 0

y = x2 - 5x + 2

c) 219

Recuerda: y = f(x)

Para determinar el rango debemos despejar "x". Completando cuadrados:

* Relaciona con flechas ambas columnas.

2

I. f(x) = 7x + 4 II. f(x) =

III. f(x) =

1 x

+

b) Domf = R 0 x

2

5 5 5 y = x2 - 2x          2 2 2 2

a) Domf = R - {0}

2

5 17  y =  x    2 4 

c) Domf = R

Despejamos:

y+

17 5  =  x   4 2 

x=



y

y CARLOS VALDERRAMA

2

5 17  y 2 4   

17 17 existe en IR sí y sólo sí y +  0, entonces 4 4

17 , así el rango de f es 4

 17  4 ;    

207

Funciones I II * ¿Cuál es el rango de "g"?

g(x) =

y=

Para encontrar el rango de "g", debemos determinar si hay reemplazos inaceptables. Veamos que pasa cuando y = 1.

x4 x3

x=

x4 x3

Como no podemos dividir por 0, el reemplazo 1 no es aceptable. Cuando un reemplazo no es aceptable, el número no pertenece al rango de la función. Así el rango de g es IR - {1}

Debemos despejar "x". y(x + 3) = x - 4 yx + 3y = x - 4 yx - x = -3y - 4 x(y - 1) = -3y - 4 x=

 3(1)  4  7  1 1 0

* ¿Cuál es el rango de "h"? h(x) =

3y  4 y 1

x 2

Para encontrar el rango de "h" debemos recordar que en IR,

x  0,  x  0.

 x  2  0 si y solo si x - 2  0, Así el rango de "h" es [0; +>

Practiquemos Bloque I

4. ¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones?

1. Hallar el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = x + 5

Dom f : ________

b) f(x) = 2x - 3

Dom f : ________

c) f(x) = 6x+5 - (2x - 3)

Dom f : ________

2. Hallar el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = x2 + 1

Dom f : ________

b) f(x) = 4x2 + 3x

Dom f : ________

c) f(x) = x2 + 5x - 3

Dom f : ________

3. ¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones?

a) f(x) =

b) f(x) =

c) f(x) =

208

x4

;

Dom f : ________

b) f(x) =

3x  4  2 ;

Dom f : ________

c) f(x) =

 5x  2  4 ;

Dom f : ________

5. Hallar el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = |x + 3|

;

Dom f : ________

b) f(x) = |x - 3| +1

;

Dom f : ________

c) f(x) = |x + 5| +2

;

Dom f : ________

6. Hallar el rango de las siguientes funciones:

1 x3

Dom f : ________

3x  2 4x  3

Dom f : ________

4x  5 219 x  2409

a) f(x) =

a) f(x) = 4x + 5

Rf: _________

b) f(x) = -219x - 2006

Rf: _________

c) f(x) = 6(x - 3) - 8(x+5)

Rf: _________

Dom f : ________

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 7. ¿Cuál es el rango de cada una de las siguientes funciones? a) f(x) =

1 x 1

;

Rf: _________

b) f(x) =

1 x2

;

Rf: _________

c) f(x) =

5 x3

;

Rf: _________

II. ¿Cuáles entradas no serían aceptadas por las siguientes máquinas?

entrada x

g(x) =

entrada x

4x  5 a) f(x) = 5x  4

;

Rf: _________

b) f(x) =

x4 x2

;

Rf: _________

c) f(x) =

3  2x x4

;

Rf: _________

h(x) =

;

b) f(x) =

1 x ( x  2)( x  3)

3x 2

x 4

Rf: _________

b) f(x) =

2x  3

;

Rf: _________

c) f(x) =

5  4x

;

Rf: _________

10.¿Cuál es el rango de cada una de las siguientes funciones?

2x+5 salida x2- 9

2x+5 x2 - 9

12.Encontrar el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x) =

9. ¿Cuál es el rango de cada una de las siguientes funciones? x2

x+3 salida x2- x

III.

8. Hallar el rango de las funciones:

a) f(x) =

x+3 x2 - x

c) f(x) =

2 2

x  5x  6

;

Dom f: ________

;

Dom f: ________

;

Dom f: ________

13.Encuentra el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) =

x 2  6x

;

Dom f: ________

a) f(x) = |x + 1|

;

Rf: _________

b) f(x) =

9  x2

;

Dom f: ________

b) f(x) = |x - 2|

;

Rf: _________

c) f(x) =

;

Dom f: ________

c) f(x) = |2x + 5|

;

Rf: _________

x 2  4x  5

14.¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones?

Bloque II 11.Piensa en una función como si fuera una máquina. A ésta se la alimenta con ciertas entradas, dando como resultado en cada caso cierta salida. Las entradas que son aceptables para la máquina son los elementos del dominio de la función. Las salidas de la máquina son los elementos de alcance de la función: I. Encuentra las salidas indicadas:

a) f(x) =

x 3 + x

;

Dom f: ________

b) f(x) =

5x  x 5

;

Dom f: ________

c) f(x) =

x 2  7x

;

Dom f: ________

15.Hallar el dominio de las siguiente funciones:

entrada x 1 f(x) = x

a) f(2) c) f(-2) CARLOS VALDERRAMA

1 salida x

b) f(3) d) f(0)

1 x2

a) f(x) =

x 

b) f(x) =

3x 

c) f(x) =

x4 

1 2

x 4 1 2

x  2x  3

;

Dom f: ________

;

Dom f: ________

;

Dom f: ________

209

Funciones I II 16.Encuentra el dominio de las siguientes funciones: 1

a) f(x) =

b) f(x) =

c) f(x) =

x3

 5x

x6  3 219  2x  4

;

5 9x 

x 1 2006

Dom f: ________

;

Dom f: ________

;

Dom f: ________

17. Obtener el número de elementos enteros del dominio de las siguientes funciones: a) f(x) =

b) f(x) =

c) f(x) =

b) f(x) = -x2 - 4x + 2 c) f(x) = -x2 + 6x - 7

23.Encuentre el rango de las siguientes funciones: a) f(x) = 2x2 + 4x + 3 b) f(x) = -3x2 - 6x + 2 c) f(x) = 4x2 - 8x + 5

a) f(x) = |x - 3| + 4 b) f(x) = -|x - 5| + 6 c) f(x) = |2x+4| + |3x+6|+5

b) f(x) =

x 7  1x

a) f(x) =

x 2  4  3x  x 2

;Dom f: ________

b) f(x) =

x 2  x  2  12  x  x2

;Dom f: ________

16  x 2

x 2  7x  8

;Dom f: ________

a) f(x) = | x  2 | 4

; Dom f: ________

5 | x  3 |

; Dom f: ________

c) f(x) = | x  2 |  | x  3 |

; Dom f: ________

20.Encuentre el rango de las siguientes funciones: a) f(x) = (x + 2)2 + 1 b) f(x) = (x - 3)2 - 2 c) f(x) = (2x + 1)2 + 3

; ; ;

R f: ________ R f: ________ R f: ________

Bloque III 21.Hallar el rango de las siguientes funciones: a) f(x) = x2 - 2x + 1 b) f(x) = x2 + 4x + 5 c) f(x) = x2 - 6x + 10

; ; ;

R f: ________ R f: ________ R f: ________

22.¿Cuál es el rango de cada una de las siguientes funciones? a) f(x) = -x2 + 2x + 3

R f: ________ R f: ________ R f: ________

; ; ;

R f: ________ R f: ________ R f: ________

x2 x2  1 2x 2 3x 2  1

;

R f: ________

;

R f: ________

;

R f: ________

26.Hallar el rango de las siguientes funciones definidas: a) f(x) = x2 - 4x + 7; x  [2; 3] b) f(x) = x2 - 2x + 3; x  [-2; -1]

4

19.Hallar el dominio de las siguientes funciones:

210

x 1

x 2  7 x  12

18.Encuentre el dominio de las siguientes funciones:

b) f(x) =

8 2

x2  4

c) f(x) =

c) f(x) =

; ; ;

24.Hallar el rango de las siguientes funciones:

a) f(x) =

x3  3x



R f: ________ R f: ________

25.Hallar el rango de las siguientes funciones:

x4  4x ( x  1)( x  2)

3

; ;

;

R f: ________

c) f(x) = -x2 + 2x + 4; x  <-3; 4] 27. Halla el dominio de la función: f ( x )  1  1  x 2 a) [-1; 1> d) <0; 1]

b) <-1; 1> e) [0; 1]

c) <0; 1>

28.El dominio de la función: f(x) = 6  x 4  10x 3  25x 2 Es: [a;b]  [c;d], calcular: a + b + c + d a) 10 d) 2

b) 6 e) 16

29.Hallar el rango de: y = a) [0; +> d) [1; +>

c) 8

x  2y

b) [0; 1> c) [-2; 0] e) <-, -2><0; +>

30.Dada la función: f(x) = 1 + x 2  2 x  14 Cuyo dominio es -5  x < 2 Indicar el rango de dicha función:

a) R+ d) [1;

b) R 13 ]

_

c) [1; 8]

e) [1+ 13 ; 8] 3° año de Secundaria

ÁLGEBRA

Tarea domiciliaria 1. Hallar el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = x + 7 b) f(x) = 3x - 2 c) f(x) = -4x + 5 2. Hallar el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = x2 + 2 b) f(x) = -x2 + 4 c) f(x) = 3x2 + 5x 3. ¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones? 1 a) f(x) = x2

b) f(x) =

1 x7

5x  3 c) f(x) = 2x  7

8. Hallar el rango de las funciones:

a) f(x) =

x2 x4

b) f(x) =

3x  1 4x  3

c) f(x) =

7x  3 5x  4

9. ¿Cuál es el rango de cada una de las siguientes funciones? a) f(x) =

x 3

b) f(x) =

4x  5

c) f(x) =

7x  3

10.¿Cuál es el rango de cada una de las siguientes funciones? a) f(x) = |x + 2|

4. ¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones? a) f(x) =

x 5

b) f(x) =

3x  4 -5

c) f(x) =

7x  3

5. Hallar el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = |x + 2| b) f(x) = |x - 5| + 1 c) f(x) = |x + 3| - 5 6. Hallar el rango de las siguientes funciones: a) f(x) = 2x + 7 b) f(x) = 4x - 9 c) f(x) = -2006x - 219 7. ¿Cuál es el rango de cada una de las siguientes funciones? a) f(x) =

1 x2

b) f(x) =

1 x4

c) f(x) =

7 x4

CARLOS VALDERRAMA

b) f(x) = |x - 3| c) f(x) = |3x + 4|

11.Encontrar el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x) =

b) f(x) =

c) f(x) =

1 x ( x  1)( x  2)

4x 2

x 9 4x 2

x  5x

12.Encuentra el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) =

x2  9

b) f(x) =

x 2  8x

c) f(x) =

x 2  3x  18

211

Funciones I II 13.¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones? a) f(x) =

16.Obtener el número de elementos enteros del dominio de las siguientes funciones:

x 2  x

b) f(x) =

7x  x7

c) f(x) =

x 5  6 x

a) f(x) =

b) f(x) =

x3  3x x ( x  2)

x7  7x x 2  5x

14.Hallar el dominio de las siguientes funciones: c) f(x) =

a) f(x) =

1 x  x3

b) f(x) =

x5 

c) f(x) =

1 4x  x4

1 x 7

15.Encuentra el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x) =

b) f(x) =

c) f(x) =

x3 

1 x2

1

x6  3x x 2  9 x  18

17. Encuentre el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) =

x 2  1  2x  x 2

b) f(x) =

x 2  16  x 2  4 x  5

c) f(x) =

x 2  x  20  10  3x  x 2

18.Hallar el dominio de las siguientes funciones:

x

a) f(x) = | x | 5  3x

x6 

1

b) f(x) = | x  2 | 4 c) f(x) =

6  | x 1|

x 5

19.Encuentre el rango de las siguientes funciones: a) f(x) = (x + 1)2 + 2 b) f(x) = (x - 2)2 + 3 c) f(x) = (2x + 3)2 - 4 20.Se define la función: f(x) =

7x 1  7x

; x  [1; +>

Hallar: Dom(f) Ran(f).

212

3° año de Secundaria

MÉTODO GRÁFICO

C

SISTEMAS DE ECUACIONES

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

25

GRÁFICA DE ECUACIONES LINEALES La ecuación K = C + 273, que proporciona la relación entre las escalas de temperatura Kelvin y Celsius, tiene una gráfica que es una línea recta. Tales ecuaciones se llaman lineales o ecuaciones de primer grado.

RECONOCIMIENTO DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación es lineal si en ella no hay productos de variables, las variables sólo figuran elevadas a la primera potencia, y no hay variables en ningún denominador. Ejemplo: ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales? Si una ecuación no es lineal, di por qué. a) b) c) d)

xy = 9 2r + 7 = 25 4x3 = 7y 8x - 17y = y

e) q 

3 p

f) 4x = -3 Las ecuaciones "b", "d" y "f" son lineales. Las ecuaciones "a", "c" y "e" no son lineales. La ecuación "a" tiene un producto de unas variables. La ecuación "c" tiene una variable a la tercera potencia. La ecuación "e" tiene una variable en el denominador. Es equivalente a q = 3p-1, que tiene una variable elevada a una potencia distinta de 1.

EJERCICIO BÁSICO

ECUACIÓN

¿POR QUÉ?

5y + 8x = 9 7y = 11 5y2x = 13

x+4=

7 y

xy = 0 3x - 2y + 5 = 0

CARLOS VALDERRAMA

213

Si stema de ecuaci ones - M étodo gráfi co

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES LINEALES TEOREMA La gráfica de cualquier ecuación lineal es una línea recta. Dado que dos puntos determinan una línea; podemos representar gráficamente una ecuación lineal encontrando dos puntos que pertenezcan a su gráfica. Después, trazamos una línea que pase por dichos puntos. Para mayor seguridad, siempre se debe utilizar un tercer punto como control. A menudo, los puntos más fáciles de encontrar son aquellos en los que la gráfica intersecta los ejes. DEFINICIÓN. La ordenada al origen (intercepto en "y") de una gráfica es la ordenada del punto en el que la gráfica intersecta al eje y. La abscisa del punto en el que la gráfica cruza al eje x. ¡No olvidar! Para encontrar la ordenada al origen, haz x = 0 y resuelve para y. Para encontrar la abscisa al origen, haz y = 0 y resuelve para x. Ejemplo: Representa gráficamente 4x + 5y = 20 Primero encuentra las intersecciones. Para encontrar la ordenada al origen, haz x = 0 y resuelve para y. Encontramos que la ordenada al origen es y = 4. Representamos el punto (0; 4) Para encontrar la abscisa al origen, haz y = 0 y resuelve para x. Encontramos que la abscisa al origen es x = 5. Representamos el punto (5; 0) el punto (1, 3

1 ) fue utilizado como control. 5

y Ordenada al origen 5

(0;4)

3 1 -3

-1

(5;0) 1

3

5

Abscisa al origen x

EJERCICIO BÁSICO Representa gráficamente a) 2x - 3y = 6 b) 5y = 2x - 10 c) y = 3x d) y =

214

7 x 3

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA Introducción a los Sistemas de Ecuaciones Lineales Resolución Gráfica

II. CASO r1 // r2 es decir "r1" y "r2" son paralelos.

y

r

1

Definición Las ecuaciones que pueden reducirse a la forma ax + by + c = 0 donde "x" e "y" son variables con "a", "b" y "c" números reales dados, se llaman ecuaciones lineales con dos variables y como conoces, ellas representan rectas del plano cartesiano. Se llama solución de una ecuación lineal con dos variables, al par de valores para los cuales la ecuación se transforma en una igualdad verdadera. En general, toda ecuación lineal con dos variables admite infinitas soluciones, que son las coordenadas de los infinitos puntos de la recta que ella representa. Se llama sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables a dos ecuaciones de este tipo que pueden reducirse a la forma siguiente:

r

2

x

0

III. CASO r1 = r2 es decir "r1" y "r2" son coincidentes.

a1 x  b1 y  c1  0  a2 x  b 2 y  c 2  0 Son ejemplos de estos sistemas:

y

2 x  y  4  0   x  5y  5  0

r=r 1

2

 y  4x  x  y  2 2 x  4  y   y 5

0

Las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales con dos variables son las soluciones comunes a las dos ecuaciones que lo forman, y el conjunto de estas soluciones reciben el nombre de conjunto solución del sistema, es decir, el conjunto solución de un sistema de ecuaciones es la intersección de los conjuntos solución de ecuaciones que lo forman. Dadas dos rectas "r1" y "r2" en el plano coordenado cuyas ecuaciones son: a1x + b1y + c1 = 0 y a2x + b2y + c2 = 0 respectivamente, puede suceder que:

r1  r2 es decir "r1" y "r2" se intersecan.

y

Estos tres casos que se presentan al analizar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales gráficamente, se pueden determinar utilizando un procedimiento analítico.

y

1

1

r

2

y

x1 P(

;y

)

Siendo: a1 x + b1 y + c1 = 0 a2 x + b2 y + c2 = 0

1

Como ambas ecuaciones corresponden a rectas, podemos conocer las posiciones relativas entre ellas analizando:

1

0

Luego, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables puede tener una solución, como en el caso del sistema formado por las ecuaciones de las rectas representadas en el Caso I, puede no tener solución, como en el Caso II, o puede tener infinitas soluciones como en el Caso III. Resolver un sistema de ecuaciones es determinar su conjunto solución, el cual es vacío en el caso que el sistema no tenga solución.

I. CASO

r

x

x1

CARLOS VALDERRAMA

x

215

Si stema de ecuaci ones - M étodo gráfi co

a1 b1  1. Si: a2 b2

entonces r1  r2 y el sistema tiene solución

única ya que las rectas se intersecan en un punto.

a1 b1  a2 b2

2. Si:

y

b1 c1  b2 c 2

c1 a1 b1   c 2 a2 b2



Entonces r1 // r2 y el sistema no tiene solución.

a1 b1  a2 b2

3. Si:



y

b1 c1  b2 c 2

 a1  3   3x  y  2  3x  y  2  0 b1  1    c1  2 c)  a2  6  6x  2y  2  6x  2y  2  0 b  2  2  c  2   2 a1 b1 c1   a2 b 2 c 2

3  1 2   6 2 2

El sistema no tiene soluciones, pues las rectas son paralelas. MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

c1 a1 b1  = c a2 b2 2

Entonces "r1" y "r2" coinciden y el sistema tiene infinitas soluciones. Ejemplo: Analiza si los siguientes sistemas de ecuaciones tiene una, ninguna o infinitas soluciones.

  2x  y  5  2x  y  5  0  a)    x  y  3  x  y  3  0  

2 1  1 1

El sistema tiene infinitas soluciones pues las rectas coinciden.

a1  b1  c1 a2  b2 c  2

2  1  5 1 1 3

Vamos a estudiar un método para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables, que consiste en representar gráficamente las rectas cuyas ecuaciones forman el sistema y así podemos determinar las coordenadas de los puntos que son comunes (en caso que existan), las cuales forman el conjunto solución del sistema. Por lo general, las soluciones que se obtienen son aproximadas, por lo que se sugiere utilizar papel milimetrado; este método se conoce con el nombre de método gráfico. Ejemplo: Resuelve gráficamente los sistemas de ecuaciones siguientes:  x  y  3 ..... I a)  2 x  y  0 ..... II

Resolución: Representamos las ecuaciones que forman el sistema:

a1 a2  b1 b 2

y

El sistema tiene solución única, pues las rectas se intersectan.

  4 x  3y  12  4 x  3y  12  0   b)   8x  6 y  24  8x  6 y  24  0   4 3 12   8 6 24

216

3

a1  4  b1  3 c  12  1 a2  8  b 2  6 c  24  2

a1 b1 c1   b2 b2 c 2

P(1;2)

2 1 -3 -2 -1

1

2

3

4

x

Las rectas se cortan en el punto P(1;2). 3° año de Secundaria

ÁLGEBRA Representamos las ecuaciones que forman el sistema:

Comprobación: En la ecuación I

x+y=3 1+2=3

En la ecuación II

y

2x - y = 0 2(1) - 2 = 0

4 3

La solución del sistema es un par (1;2) la solución también la podemos escribirla así:

2 1

x  1  y  2

-3 -2 -1-1

1

2

3

4

5

x

-2

El conjunto solución es S = {(1;2)} Las rectas son paralelas, el sistema no tiene solución.

x  y  3  0 b)  2 x  2 y  8

Practiquemos 5. Representa gráficamente:

Bloque I 1. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales?. Si una ecuación no es lineal di por qué. a) 3x - 4 = y

b) 4r2 = 2r +1

c) y = 7

d) 3p - 4 = q - 1

a) x = 2 c) x = -5 e) 3x + 15 = 0

b) x = 4 d) x = -3 f) 2x - 10 = 0

6. Representa gráficamente: 1 x h) 4x - 5y = 20

e) 2+3pq = -9

f) 5 =

g) 3x2 + 4y2 = 16

2. Representa gráficamente cada una de las siguientes ecuaciones lineales. a) x + 2y = 4 c) 4x + 4 = 8 e) 2x +7y = 14

b) x + 3 = 9 d) 3x + y = 6 f) 4x + 5y = 20

3. Representa gráficamente cada una de las siguientes ecuaciones lineales. a) -x + 4y = 8 c) x - 2 = y e) 3x - 6 = 2y

b) -x + 2y = 6 d) 2y - 8 = 4x f) 3x - 5y = 15

4. Representa gráficamente y completa: a) y = 3x + 3 b) y =

1 x+1 2

c) y = -2x - 4



y = 3x



y=



y = -2x

CARLOS VALDERRAMA

1 x 2

a) y = 3 c) y = -2 e) 2y + 4 = 0

b) y = 5 d) y = -4 f) 3y - 6 = 0

7. Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes para las siguientes ecuaciones: a) 2x + 5y + 2 = 5x - 10y - 8 b) x = -

7y 2 3 11

8. Comprueba gráficamente si los sistemas de ecuaciones tienen una, infinitas o ninguna solución. x  y  2 a)  x  y  1 6 x  3 y  18 b)  2 x  y  6  8 y  2 x  32 c)  16 y  4 x  16

217

Si stema de ecuaci ones - M étodo gráfi co 9. Determinar analíticamente si los sistemas siguientes tienen o no solución. En caso que tengan solución, específica si es única o si son infinitas.

15.Determina el valor de "a" para que los sistemas siguientes no tengan ninguna solución:  x  ay  1 a)  ax  4 y  3

y  3x  1 a)  y  2 x  3

2y  2x  8 b)  x  y  4

 3x  2 y  5 b)  ax  4 y  3

2 x  4 y  1 c)  4 x  8 y  5

16.Resuelve gráficamente.

10.En cada inciso agrega una ecuación de modo que se obtenga un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables que tengan exactamente una solución. a) y = x + 2 b) 2x - 3y = -6 Bloque II 11.En cada inciso agrega una ecuación de modo que se obtenga un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables que no tengan solución.

 2x  6  x a)  3x  2 y  6

x  y  3 b)  x  y  5

2 x  y  4 c)  5 x  y  10

3x  y  5 d)  x  2y  4

4 x  y  9 e)  x  3y  16

2 y  6  x f)  3x  2 y  6

17. Resuelve gráficamente: 3x  y  5 a)   y  3 x  2

 y  3 x  5 b)  4 y  12 x  20

a) x + y = 4 b)

18.En el siguiente gráfico, hallar "m".

x y  1 5 3

7

12.En cada inciso agrega una ecuación de modo que se obtenga un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables que tengan infinitas soluciones. a) x + y = 4 b) 3x + 4y = 12

-3

13.Determina cuáles de los siguientes pares numéricos son soluciones del sistema:  xy  4 a)  2x y  2

b x+ m y=

y

(0;1), (2;2), (-2;-2)

3x  2 y  26  0 (0;0), (2;5), (-2;-10) b)  y  5x 

14.Determina el valor de "a" para que los sistemas siguientes tengan una solución:

a) 1 d) 5

x

5 b) 8 e) 3

c) 2

19.Escribe sistemas de ecuaciones con las siguientes soluciones: a) (5;1) b) (-7;3)

c) Ninguna solución d) Una infinidad de soluciones

20.Un sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones (1;-1) y (-2; 3) a) ¿Podrías encontrar otra solución? b) ¿Cuántas soluciones debe haber?

ax  y  2 a)  2 x  4 y  3

ax  6 y  19 b)  3x  2 y  0

218

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA Bloque III

25.Calcular "m" si el sistema:

21. Considera la ecuación: y - 2 = k (x - 3) el conjunto de todas las líneas que resultan de sustituir "k" con distintos valores en una familia de líneas, y "k" es el parámetro de la familia.

(m  3) x  8 y  13  2 x  (m  3) y  m  2

Posee solución única. a) Sustituye "k" con cualesquiera cuatro números representa gráficamente las ecuaciones que resulten de ello. b) ¿Qué observas respecto a estas líneas? c) Representa gráficamente cuatro líneas que pasen por el punto (-5;3). Escribe una ecuación con parámetro "k" que describa estas líneas. 22. La interpretación geométrica del sistema lineal en "x" e "y". y  ax  2a   y  x  5a

b) m -5

a) m  5 d) m 

7

e) m 

c) m 5 7

26.¿Para qué valor de "m" el sistema: (m - 1)x + 8y = m + 7 6x + (m+1)y = 2m Tiene infinitas soluciones? a) 7 d) -6

b) -7 e) ±6

c) ±7

27. Calcular el valor de , para que el sistema de ecuaciones: (- 1) x - 4y = 11 +  -x + ( + 2)y = 2 Tenga más de una solución.

y

4x0 a) 3 d) -2

28.Calcular "m", si el sistema: (m - 4)x - 7y = m - 11 x + (m + 4)y = 2 No tiene solución.

De acuerdo a ello, halle: a 6 5

b)

2 d) 5

5 6

c) 0

5 e) 2

23.Calcular "m" para que el sistema: (1 + m)x - 3y = m (3 - m)x + 2y = 4 Tenga solución única. 7 5 e) m  10

a) m  5

b) m 

d) m  7

=9 +y 2x

0 a) 6 d) 8

c) m  11

CARLOS VALDERRAMA

b) -3

d) ±3

e) ± 23

c) ± 11

a) 5 d) 12 y 5

b) 12 e) 6 y 10

c) 6

30.Para qué valores de "m" el sistema de ecuaciones:  x  2y  m  3x  4 y  5

tiene soluciones positivas.

y=a+2

x

a+1 b) 2 e) 12

a) 3

29.Halle "m", si el sistema: (m - 17)x - 20y = m - 13 3x + my = 2 No tiene solución.

24.En el sistema gráfico, calcular: a + 3 ("a" es constante)

y

c) 1

x

3x0

a)

b) 2 e) -3

c) 4

a)

5 5  m 3 2

b)

5 5  m < 3 2

c)

5 5 <m 3 2

d)

3 5 <m< 2 2

e)

5 5 <m< 3 2

219

Si stema de ecuaci ones - M étodo gráfi co

Tarea domiciliaria 1. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales? 3

a) 7y - 4 = 6x

b) 5r = 4r + 2

c) x = 219

d) 123x + 2006 = y - 34 4 f) =1 x h) 5x - 4y = 100

e) 4 + xy = -32 g) x2 + 2 = y2

2. Representa gráficamente cada una de las siguientes ecuaciones lineales: a) x + 3y = 6 b) 3x + 2y = 12

a) -x + 2y = 6 b) x - 3 = y 4. Representa gráficamente y compara:

3y  4 x  12 b)  6 y  8 x  24 5 x  5 y  7 c)  x  y  2

10.En cada inciso agrega una ecuación de modo que se obtenga un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables que tenga exactamente una solución.

5. Representa gráficamente: a) x = 3 c) x = -4 e) 4x + 20 = 0

b) x = 5 d) x = -6 f) 5x - 30 = 0

a) y = 2 c) y = -3 e) 3y + 9 = 0

b) y = 4 d) y = -5 f) 4y - 12 = 0

7. Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes para las siguientes ecuaciones: a) 3x + 7y + 13 = 4x + 5y + 7 4y 3  5 7

8. Comprueba gráficamente si los sistemas de ecuaciones tiene una, infinitas o ninguna solución: 4 x  4 y  8 a)  3x  5 y  30

a) b) c) d)

y=x+5 3x + 2y = 10 4x - 5y = -20 2x - 3y = -4

11.En cada inciso agrega una ecuación de modo que se obtenga un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables que no tenga solución.

6. Representa gráficamente:

220

9. Determina analíticamente si los sistemas siguientes tienen o no solución en caso que tengan solución, especifica si es única o si son infinitas.

 y = 2x

1 1 b) y = x + 2  y = x 3 3

b) x = -

4 x  5 y  20 c)  8 x  10 y  80

y  4 x  2 a)   y  3x  5

3. Representa gráficamente cada una de las siguientes ecuaciones lineales:

a) y = 2x + 3

2 x  3y  12 b)  4 x  6 y  24

a) x + y = 5 b)

x y  1 7 3

b) 3x + 4y = 7 d)

x y  4 4 3

12.En cada inciso agrega una ecuación de modo que se obtenga un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables que tenga infinitas soluciones. a) x + y = 5 b) 4x + 5y = 17 13.Determina cuáles de los siguientes pares ordenados son soluciones del sistema: x  y  5 a)   x  2 y  1

(2;1), (3;2), (3;4)

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA x  5y  4 b)   7y  x

17. Resuelve gráficamente: (6;3), (7;1), (14;2)

14.Determine el valor de "a" para que los sistemas siguientes tengan una solución. ax  3y  5 a)  2 x  6 y  8

4 x  y  8 a)  y  4 x  12

 y  2 x  7 b)  5 y  10 x  25

18.En el siguiente gráfico, hallar "m". 4 x  ay  16 b)  2 x  5 y  0

y

b x+ m y=

5 15.Determina el valor de "a" para que los sistemas siguientes no tengan ninguna solución.

1 2 x  ay  1 a)  5 x  3y  4

4 x  3 y  2 b)  ax  12 y  4

x

2 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

19.Escribe sistemas de ecuaciones con las siguientes soluciones:

16.Resuelve gráficamente: x  y  7 a)  x  y  3 3x  2 y  12 b)  4 x  3y  24

a) (4;3) b) (-5;6) c) Ninguna solución d) Una infinidad de soluciones. 20.Un sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones (3;-3) y (-5; 2). 1) ¿Podrías encontrar otra solución? 2) ¿Cuántas soluciones debe haber?

5 x  2 y  3 c)  5 x  3y  6

CARLOS VALDERRAMA

221

C

SISTEMAS DE ECUACIONES MÉTODOS ANALÍTICOS

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

26

MÉTODOS ANALÍTICOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES Estudiaremos ahora dos métodos analíticos para resolver los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. La esencia de ambos métodos radica en la obtención de una ecuación con una sola incógnita a partir de las dos ecuaciones con dos incógnitas que forman el sistema. Al resolver esta ecuación hallamos el valor numérico de una de las incógnitas. El valor de la otra incógnita lo obtenemos sustituyendo el valor numérico hallando en una de las dos ecuaciones del sistema. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Consiste en resolver una de las ecuaciones del sistema respecto a una incógnita y sustituir este valor en las demás ecuaciones, de este modo se reduce en 1 el número de incógnitas. La ecuación resuelta con respecto a una de las incógnitas y las que resultaron de sustituir aquella, forman un sistema equivalente al original. Enseguida se resuelve otra ecuación respecto a otra incógnita y se sustituye en las restantes, etc, hasta conseguir una ecuación con una incógnita. • Ejemplo: Resuelve por el método de sustitución el sistema siguiente: 2 x  3y  6 ..........(1)  3x  y  20..........(2)

Resolución: Despejamos una variable en una de las dos ecuaciones. En este caso resulta más fácil despejar "y" en la segunda ecuación: y = 20 - 3x .......... (3) Sustituimos el valor de "y" en la primera ecuación, y así obtenemos una ecuación que tiene una sola variable "x": 2x - 3 (20 - 3x) = 6 Resolvemos la ecuación anterior y así obtenemos el valor de la variable "x": 2x - 60 + 9x = 6 11x = 66 66 11 x=6

x=

Sustituimos el valor x = 6 en la ecuación (3) para calcular el valor de "y": y = 20 - 3(6) y = 20 - 18 y=2

CARLOS VALDERRAMA

222

ÁLGEBRA Podremos comprobar ahora si los valores hallados de "x" e "y" satisfacen las ecuaciones originales del sistema. Comprobación En la ecuación (1):

En la ecuación (2):

2(6) - 3(2) = 6 12 - 6 = 6 6=6

3(6) + 2 = 20 18 + 2 = 20 20 = 20

Ahora podemos afirmar que el par numérico ordenado (6; 2) es la solución del sistema. • Ejemplo: Resolver el sistema: x - 2y + z = -9 .......... (1) 3x + 5y - 2z = 8 .......... (2) 2x - 4y + 3z = -14 ......... (3) Resolución Despejamos una incógnita en una de las tres ecuaciones. En este problema vamos a despejar "x" de la ecuación (1) x = 2y - z - 9 ................. (4) Sustituimos el valor de "x" en la ecuaciones (2) y (3). (4) en (2) 3(2y - z - 9) + 5y - 2z = 8 11y - 5z = 35 ............. (5) (4) en (3) 2(2y - z - 9) - 4y + 3z = -14 z=4 Sustituimos el valor de z = 4 en la ecuación (5) para calcular el valor de "y": 11y - 5(4) = 35 11y - 20 = 35 11y = 55 y=5 Sustituimos el valor de z = 4 e y = 5 en la ecuación (4) para calcular el valor de "x": x = 2(5) - 4 - 9 x = -3 Ahora podemos afirmar que el par numérico ordenado (-3; 5; 4) es la solución del sistema.

CARLOS VALDERRAMA

223

Sistema de ecuaciones - Método Analítico

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Comprobación:

Este método es una variable del método anterior y consiste en despejar la misma incógnita de todas las ecuaciones despejadas a los segundos miembros de cada uno de los restantes, hasta quedarse con una sola incógnita.

En la ecuación (1):

En la ecuación (2)

 12  1  4   - 3   = 9  5  5

 12  1  3   + 4   = 8  5  5

• Ejemplo: Resuelve por el método de igualación el sistema siguiente:

48 3  9 5 5 9=9

36 4  8 5 5 8=8

4 x  3y  9 ..........(1)  3x  4 y  8..........(2)

Ahora podemos afirmar que el par numérico ordenado

Resolución Despejamos la variable "x" de la primera ecuación:

• Ejemplo:

4x = 9 + 3y x=

9  3y ............. (3) 4

Resolver el sistema:

Despejamos la variable "x" de la segunda ecuación: 3x = 8 - 4y x=

8  4y ............ (4) 3

9  3y 8  4 y  4 3 3(9 + 3y) = 4(8 - 4y) 27 + 9y = 32 - 16y 25 y = 5

x = 2 - y - z ........... (4) x = 6 + y - z .......... (5) x = 4 - y + z .......... (6) Igualamos los segundos miembros de las ecuaciones: (4) con (5) y (5) con (6)

1 5

Sustituimos el valor de y =

 x  y  z  2..........(1)   x  y  z  6..........(2)  x  y  z  4..........(3)  Despejamos una variable en cada una de las ecuaciones. En este problema vamos a despejar "x" de cada ecuación.

Igualamos los segundos miembros de las ecuaciones (3) y (4) para calcular el valor de "y".

y=

 12 1   ;  es la solución del sistema.  5 5

1 en la ecuación (3) para 5

calcular el valor de "x".

(4) = (5): Reduciendo:

2-y-z=6+y-z -4 = 2y -2 = y

(5) = (6): Reduciendo:

6+y-z=4-y+z 2 = 2z - 2y 1 = z - y ........... (7)

Reemplazando y = -2 en (7) 1 = z - (-2) 1=z+2 -1 = z

1 9  3  5 x= 4

x=

12 5

Debemos comprobar ahora si los valores hallados de "x" e "y" satisfacen las ecuaciones originales del sistema.

224

En (4):

x = 2 - (-2) - (-1) x=2+2+1 x=5

Ahora podemos afirmar que el par numérico ordenado (5; -2; -1) es la solución del sistema.

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA MÉTODO DE REDUCCIÓN O MÉTODO DE GAUSS Consiste en sumar o restar miembro a miembro las ecuaciones del sistema, multiplicadas previamente por factores convenientes, de tal manera que se elimine una de las incógnitas. Repitiendo reiteradas veces el proceso se logra eliminar las incógnitas a excepción de una, cuyo valor se halla, y el valor de las otras incógnitas se obtiene sustituyendo en las ecuaciones anteriores los valores encontrados. • Ejemplo: Resuelve por el método de reducción el sistema siguiente:

Multiplicando (3) por 2 y sumando con (2) (3) x 2 (2)

6x + 2y + 2z = 12 2x + y - 2z = 12 8x + 3y = 14 ... (5) 4x + 5y = 14 ........... (4) 8x + 3y = 14 ........... (5)

Para eliminar "y" se multiplica (4) por 3 y (5) por -5, obteniendo: (4) . 3 :

12x + 15y = 42

(5). -5 :

-40x - 15y = -70

Sumando: -28x x

2 x  y  4 ............(1)   x  2 y  3...........(2)

4(1) + 5y = 14 5y = 10 y=2

Para eliminar "y", se multiplica (1) por 2 y se suma con (2), obteniendo:

Sustituyendo: : : : :

=1

Sustituyendo: x = 1 en (4) se obtiene:

Resolución:

2 (1) (2) Suma O sea

= -28

4x - 2y = 8 x + 2y = -3 5x =5 x=1

x = 1; y = 2 en (1)

Se obtiene: (1) + 2(2) + z = 6 z=1

Sustituyendo x = 1 en (1), se obtiene: 2-y=4 y = -2

Ahora podemos afirmar que el par numérico ordenado (1; 2; 1) es la solución del sistema. Pasos necesarios para resolver problemas por medio de reducciones.

Debemos comprobar ahora si los valores hallados de "x" e "y" satisfacen las ecuaciones originales del sistema. Comprobación: En la ecuación (1):

En la ecuación (2):

2(1) - (-2) = 4 2+2 =4 4 =4

1 + 2(-2) = -3 1 - 4 = -3 - 3 = -3

1. Escribe las ecuaciones en la forma Ax + By = C. 2. Elimina todos los decimales y todas las fracciones. 3. Elige una variable para eliminarla. 4. Haz que los términos de la variable seleccionada sean inversos aditivos, multiplicando una o ambas ecuaciones por algún número. 5. Elimina la variable mediante la suma de ecuaciones. 6. Sustituye a fin de resolver para la otra variable. REGLA DE CRAMER PARA DOS ECUACIONES

• Ejemplo: Resolver: x + 2y + z = 6 ... (1) 2x + y - 2z = 2 ... (2) 3x + y + z = 6 ... (3) Resolución:

Gabriel Cramer (1704 - 1752), físico de nacionalidad suiza, desarrolló un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El sistema general de dos ecuaciones: ax + by = c dx + ey = f Se puede resolver para "x" e "y":

Multiplicando (1) por 2 y sumando con (2). (1) x 2

2x + 4y + 2z = 12  2x + y - 2z = 2  Sumando 4x + 5y = 14 ... (4)

CARLOS VALDERRAMA

x=

ce  bf ; ae  bd

y=

af  cd ae  bd

Como los denominadores son iguales, ae - bd, es útil encontrar primero este número y guardar el resultado.

225

Sistema de ecuaciones - Método Analítico

Practiquemos Bloque I 1. Utiliza el método de sustitución para resolver los siguientes sistemas:  x  6  3y a)  5 x  2 y  13 x  8  5y b)   7 x  8 y  25 5 x  10 y  30 c)  2 x  2 y  6

2. Utiliza el método de igualación para resolver los siguientes sistemas: 2 x  y  6 a)  2 x  y  4 5 x  y  9 b)  4 x  y  7 6 x  5 y  9 c)  2 x  3y  4

3. Resuelve por el método de reducción. x  y  5 a)   x  y  1

5. Halla el conjunto solución y comprueba: 8 x  5  7 y  9 a)   6 x  3y  6

x  1  y  1 b)   x  3  3y  7

3( x  2)  2 y c)  2( y  5)  7 x

x  1  2( y  6) d)  x  6  3(1  2 y )

6. Halla el conjunto solución y comprueba:

x y  7  3  5 a)  3y  x  26  14

x y  5  4 b)   y  x  1  3 3

7. Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes donde "x" e "y" son las incógnitas a encontrar: x  y  a  b a)  x  y  a  b

x  y  m b)  x  y  n

2 x  y  b  2 c)  bx  y  0

x  y  1  a d)  x  y  1  a

8. Cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones son no lineales en apariencia no obstante, cada uno de ellos es formalmente lineal porque una sustituición (digamos en vez de

1 1 y V en vez de ) da lugar a un sistema x y

5 x  y  9 b)  4 x  y  7

lineal. Halla el conjunto solución de los sistemas:

6 x  5 y  9 c)  2 x  3y  4

1 2 7 x  y  6  a)  2  1  4  x y 3

4. Resuelve por el método de Cramer. x  y  2 a)   x  3 y  4 4 x  y  1 b)   x  2 y  16 3y  x  7 c)  5 x  6 y  14

226

7 6 x  y  4   b)  5 4  7  x y 1 3 x  y  2   c)  6 5   34  x y

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 9. Resolver:

Indicar una de sus soluciones.

x  y  3 x  y  2   2 3  x  y  4  x  y  3 3 4 

a) 4 d) 3

b) -1 e) 6

c) 0

4

x  y  2 = 2 ........... (1)

a) 4 d) 6

x  y  3 = 3 ........... (2)

Calcular: y a) 2 d) 5

1 1 5   3x  2y  1 x  2y  3 12 1 1 1   x  2y  3 x  2y  1 12

10.Resolver: 3

b) 2 e) -2

c) 3

16.Resolver: x - y + z = 1 ....... (1) b) 3 e) 6

c) 4

x + y - z = 3 ....... (2) -x + y + z = 3 ....... (3)

Bloque II

Calcular "xyz"

11.Resolver:

a) 2 d) 12

(x + 5)(y + 4) = xy + 61 .......... (1) (x + 4)(y + 5) = xy + 60 .......... (2) Calcular "xy" a) 6 d) 15

c) 5

15.Calcular "y"

Calcular "y" a) -6 d) 1

b) 2 e) -1

b) 8 e) 20

c) 12

b) 6 e) 24

c) 8

17. Resolver:

 2x  y  z  2   x  2 y  z  4   x  y  2z  6  Calcular "3z"

12.Hallar "a.b" para que el sistema de ecuaciones: a) 8 d) 32

(a - 1)x + (b + 9)y = -1 (a + 3)x + (b + 8)y = 82

b) 16 e) 48

c) 24

18.Resolver: Admita como solución: x = 5; y = 9 a) -40 d) 36

b) -36 e) 18

c) -18

13.Determine el valor de "xy", sabiendo que:

b) -6 e) 18

14.Resolver el sistema: 4  10  x  2 y  3x  y  6    25  3  8  x  2 y 3x  y

Calcular el valor de "x" a) -3 d) 3

x(y - 2) - y(x - 3) = -14 y(x - 6) - x(y + 9) = 54 a) -12 d) 6

 2 x  3y  5z  10  3x  7 y  4 z  3  x  2y  2z  3 

c) 12

c) 2

19.Sea la terna (a; b; c) solución del sistema de ecuaciones:

 7 x  4 y  4z  7   7 x  5y  12 11x  8z  19  Entonces la suma (a + b + c) es igual a: a) -3 d) 1

CARLOS VALDERRAMA

b) -2 e) 4

b) 2 e) 3

c) -2

227

Sistema de ecuaciones - Método Analítico 20.Resolver:

25.Hallar los valores de "a" y "b" sabiendo que los siguientes sistemas tienen las mismas soluciones.

47x - 17y = 483 29x + 93y = 277

ax  2 y  5  bx  3 y  10

Indique: x + y a) 10 d)

b) 2

5 8

e)

c) 15

23 7

a) (1;4) d) (3;1)

2 x  ay  4  3x  by  11

b) (4;1) e) (2;3)

c) (1;3)

26.Resolver:

xy 1  .......... (1) xy 3

Bloque III 21.Al resolver el sistema, dar: x + y 3x  5 y  9  3x  5 y  4  7

1 1   5 ........... (2) x y

3x  5 y  9  3x  5 y  4  1

Indicando "4y"

a) 1 d) 4

b) 2 e) 7

c) 3

22.Resolver el sistema, indicar: (y - x) 2 3 2 x  5 y  4  5 3x  2 y  5  16

a) 1 d) 4

x  2 y z  3y x  z   2 5 2 3

Calcular: b) 2 e) 5

c) 3 a) 65 d) 3

23.Resolver: x

y

y y x xy x x y xy

x

y x 2

x 4

c) 5

xz 3  ............... (2) xz 4

zy 6  ............... (3) zy 5

Indique: 2x - y a) 7 d) 4

b) -35 e) 1

xy 2  ............... (1) xy 3

x y

xz y

28.Resolver el sistema:

y

y

c) 3

27. Resolver:

3 3 2 x  5 y  4  2 3x  2 y  5  5

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

b) 5 e) 3

c) 6

24.¿Qué números naturales deben formar el dominio de la variable "a", para que las soluciones del sistema sean números naturales?

Indicar: x + y + z a) 1 d) 6

b) 2 e) 8

c) 5

 5ax  y  32   ax  y  0

228

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 29.Resolver:

30.Si el sistema de ecuaciones lineales:

1 1 1   6 x y z

ax + y + z = 1 x + ay + z = a x + y + az = a2

1 1 1   4 x y z

a  1  a -2. Hallar el valor de "x".

1 1 1   y z x

a) 

Calcular "xyz"

d)

a)

1 2

b)

1 90

d)

1 30

e) 1

c)

a 1 a2

1 a2

1 60

b) a  1 a2

c) a  1 a2

2 e) a  1 a2

Tarea domiciliaria 1. Utiliza el método de sustitución para resolver los siguientes sistemas:  2x  y  4 a)  x  2 y  3

y  4 x  8 b)   y  5 x  11 3x  y  6 c)  2 x  3y  7

2. Utiliza el método de igualación para resolver los siguientes sistemas:  x  3y  7 a)   x  4 y  7

2 x  y  6 b)   xy3 3x  y  6 c)  2 x  3y  7

3. Resuelve por el método de reducción: x  y  10 a)  x  y  2

3x  y  2 b)  2 x  3y  5  9 x  7 y  4 c)   3y  11x  12 CARLOS VALDERRAMA

4. Resuelve por el método de Cramer:  x  y  4 a)   xy2 3x  2 y  10 b)  4 x  y  6

 7 y  5 x  21 c)  20 x  9 y  68

5. Halla el conjunto solución y comprueba: 5 y  3  2 x a)  3x  2 y  1 2( x  4)  9 y b)  5( y  z)  4 x

2 x  3y  4  5 x  6 y c)  2 x  3y  4  5 x  6 y

6. Halla el conjunto solución y comprueba:

x y  7  3  a)  x y  1 12 12

229

Sistema de ecuaciones - Método Analítico

 2x y  3  5  6  b)  x y   4  6 2

x y  4  2  3  c)  x y2  3 7. Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes donde "x" e "y" son las variables. x  2 y  a  2b a)  x  2 y  a  2b

3x  y  b  3 b)  bx  y  0

10.Resolver: 3

x  y  1  3 ............ (1) x  y  4  4 ............ (2)

Calcular "x" 11.Resolver: (x + 2)(y + 3) = xy + 25 ................ (1) (x + 3)(y + 2) = xy + 22 ................ (2) Calcular "xy".

12.Si el sistema de ecuaciones: (a + 1)x + (a - 1)y = 8 (2a + b)x + (3a - 2b)y = -17 Admite como solución: x = -2; y = 5 El valor de "a + b" es:

3x  y  4 a c)  x  2 y  0

8. Halla el conjunto solución de los sistemas.

 2 5  x  y  13   a) 12 5   18  x y

2 3 4 x  y  3   b)  3 4 5    x y 4 3 2 1 xy2   c)  2 5 23    x y 12

13.Resolver:  x ( y  5)  y ( x  7)  11   y ( x  2)  x ( y  3)  12

14.Proporcionar "x" del sistema: 5  2  3x  y  y  2 x  2    4  3  17  3x  y y  2 x

15.Resolver:

10  3x  y  5 2y 20  3x  y  5 2y

8 3  x 1 8 0  x 1

Dar "x + y" 9. Resuelve:

x  y  4 x  y  3   3 4  x  y  2 x  y 5    5 2

16.Dado el sistema de ecuaciones: 5x - 2y = m x + 3y = m El valor de "m" para que "x" exceda en 7 a "y".

Calcular "y".

230

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 17. Resolver:

 x  y  2   y  z  13 z  x  21  Indicando: x2. 18.Resolver: x + 2y + z = 10 x + y + 2z = 12 2x + y + z = 16

19.Calcular: x + y + z del sistema:

 x  2y  z  9 .......... (1)  2x  y  2z  14 .......... (2) 3x  3y  4z  13 .......... (3)  20.Resolver: 27 x  13 y  100  13 x  27 y  140

Indique: x + y

Calcular: y + z

CARLOS VALDERRAMA

231

PROBLEMAS DE TEXTO

C

SISTEMAS DE ECUACIONES

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

27

Para resolver un problema se necesita: I. Comprender el problema. II. Concebir un plan. III. Ejecución del plan. IV. Examinar la solución obtenida.

I. COMPRENDER EL PROBLEMA * ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? * ¿Cuál es la condición? ¿ Es una condición suficiente para determinar la incógnita? ¿Es insuficiente? ¿Redundante? ¿Contradictoria?

II. CONCEBIR UN PLAN * ¿Se ha encontrado con un problema semejante? ¿O ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente? * ¿Conoce un problema relacionado con éste? ¿Conoce algún teorema que le pueda ser útil? Mire atentamente la incógnita y trate de recordar un problema que le sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar. * Al recordar un problema relacionado al suyo y que se ha resuelto ya. ¿Podría usted utilizarlo? ¿Podría utilizar su resultado? ¿Podría emplear su método? ¿Le haría a usted falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utilizarlo? * ¿Podría enunciar el problema en otra forma? ¿Podría plantearlo en forma diferente nuevamente? Refiérase a las definiciones. * Si no puede resolver el problema propuesto, trate de resolver primero algún problema similar. ¿Podría imaginarse un problema análogo un tanto más accesible? ¿Puede resolver una parte del problema? Considere sólo una parte de la condición; descarte la otra parte; ¿en qué medida la incógnita queda ahora determinada? ¿En qué forma puede variar? ¿Puede usted deducir algún elemento útil de los datos? ¿Puede pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva incógnita y los nuevos datos estén más cercanos entre sí?. * ¿Ha empleado todos los datos? ¿Ha empleado toda la condición? ¿Ha considerado usted todas las nociones esenciales concernientes al problema?

III. EJECUCIÓN DEL PLAN * Al ejecutar su plan de la solución, comprende cada uno de los pasos. * ¿Puede usted ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede usted demostrarlo?

IV.VISIÓN RETROSPECTIVA * ¿Puede usted verificar el resultado? * ¿Puede obtener el resultado en forma diferente? ¿Puede verlo de golpe? ¿Puede usted emplear el resultado o el método en algún otro problema?

CARLOS VALDERRAMA

232

ÁLGEBRA ¿CÓMO RESOLVER UN PROBLEMA? Familiarizarse con el problema ¿Por dónde debo empezar? Empiece por el enunciado del problema. ¿Qué puedo hacer? Trata de visualizar el problema como un todo, tan claramente como pueda. No se ocupe de los detalles por el momento. ¿Qué gano haciendo esto? Comprenderá el problema, se familiarizará con él, grabando su propósito en su mente. La atención dedicada al problema puede también estimular su memoria y prepararla para recoger los puntos importantes. Trabajar para una mejor comprensión ¿Por dónde debo empezar? Empiece de nuevo por el enunciado del problema. Empiece cuando dicho enunciado resulte tan claro y lo tenga tan bien grabado en su mente que pueda ested perderlo de vista por un momento sin temor de perderlo por completo. ¿Qué puedo hacer? Aislar las principales partes del problema. La hipótesis y la conclusión son las principales partes de un "problema por demostrar"; la incógnita, los datos y las condiciones son las principales partes de un "problema por resolver". Ocúpese de las partes principales del problema considérelas una por una, reconsidérelas, considérelas después combinándolas entre sí, estableciendo las relaciones que puedan existir entre cada detalle y los otros y entre cada detalle y el conjunto del problema. ¿Qué gano haciendo esto? Está usted preparando y aclarando detalles que probablemente entrarán en juego más tarde. En busca de una idea útil ¿Por dónde debo empezar? Empiece por considerar las partes principales del problema. Empiece cuando dichas partes estén, por usted, claramente dispuestas y concebidas, gracias a su trabajo previo, y cuando considere que su memoria "responde". ¿Qué puedo hacer? Considere el problema desde varios puntos de vista y busque puntos de contacto con sus conocimientos previamente adquiridos. Considere el problema desde varios puntos de vista. Subraye las diferentes partes, examine los diferentes detalles, examine los mismos detalles repetidamente, pero de modo diferente, combine entre sí los detalles de diversos modos, abórdelos por diferentes lados. Trate de ver algún nuevo significado en cada detalle, alguna nueva interpretación del conjunto. Busque puntos de contacto con sus conocimientos previamente adquiridos. Trate de acordarse de lo que le ayudó en el pasado ante circunstancias análogas. Trate de reconocer algo familiar en lo que examina y de encontrar algo útil en lo que reconoce. ¿Qué puedo encontrar? Una idea que le sea útil, quizá una idea decisiva que le muestre de golpe cómo llegar a la solución misma del problema. ¿Cómo puede ser útil una idea? Haciéndole ver el conjunto del razonamiento o una parte de él. Le sugiere más o menos claramente cómo puede proceder. Las ideas son más o menos terminantes. Es ya una suerte tener una idea sea cual fuere ésta. ¿Qué puedo hacer con una idea incompleta? La debe considerar. Si parece ventajosa, la debe considerar más a fondo. Si parece digna de confianza, usted debe averiguar hasta dónde le puede llevar y debe reconsiderar la situación. La situación ha cambiado gracias a su idea útil. Considere la nueva situación desde varios puntos de vista y busque puntos de contacto con sus conocimientos adquiridos anteriormente. ¿Qué gano haciendo esto nuevamente? Puede usted tener la suerte de encontrar alguna otra idea. Quizá su nueva idea lo conduzca directamente al camino de la solución. Quizá requiera usted alguna idea más. Quizá, incluso, alguna de estas ideas le desvía a usted del camino correcto. No obstante, usted debe de alegrarse por toda nueva idea que surja, también por las de poca importancia o confusa, y también por las ideas suplementarias que añadan alguna precisión a una idea confusa o permitan la corrección de una idea menos afortunada. Incluso si, por un cierto tiempo, no se le presenta una nueva idea verdaderamente buena; considérese afortunado si su concepción del problema se torna más completa o más coherente, más homogénea o mejor equilibrada.

CARLOS VALDERRAMA

233

Sistema de ecuaciones - Problemas de Textos Ejecución del plan ¿Por dónde debe empezar? Empiece por la feliz idea que le conduce a la solución. Empiece cuando esté seguro de tener el correcto punto de partida y esté seguro de poder suplir los detalles menores que pueden necesitarse. ¿Qué puedo hacer? Asegúrese de que tiene la plena comprensión del problema. Efectúe en detalle todas las operaciones algebraicas o geométricas que previamente ha reconocido como factibles. Adquiera la convicción de la exactitud de cada paso mediante un razonamiento formal o por discernimiento intuitivo o por ambos medios, si es posible. Si su problema es muy complejo, usted puede distinguir "grandes" pasos y "pequeños" pasos, estando compuesto cada gran paso de varios pequeños. Compruebe primero los grandes pasos y después considere los menores. ¿Qué gano haciendo esto? Una presentación de la solución para la cual la exactitud y corrección de cada paso no ofrece duda alguna. Visión retrospectiva ¿Por dónde debe empezar? Por la solución, completa y correcta en todos sus detalles. ¿Qué puedo hacer? Considerar la solución desde varios puntos de vista y buscar los puntos de contacto con sus conocimientos previamente adquiridos. Considere los detalles de la solución y trate de hacerlos tan sencillos como pueda; reconsidérelos más extensamente y trate de condensarlos; trate de abarcar de un vistazo la solución completa. Trate de modificar, en beneficio de ellas, tanto las partes principales como las secundarias; trate de mejorar la solución en su conjunto de tal modo que se adivine por sí misma y que quede grabada, en forma natural, en el cuadro de sus conocimientos previos. Examine atentamente el método que le ha llevado a la solución, trate de captar su razón de ser y trate de aplicarlo a otros problemas. Examine atentamente el resultado y trate igualmente de aplicarlo a otros problemas. ¿Qué gano haciendo esto? Puede encontrar una solución mejor y diferente, descubrir nuevos hechos interesantes. En todo caso, si toma el hábito de reconsiderar las soluciones y examinarlas muy atentamente, adquiere usted una serie de conocimientos correctamente ordenados, utilizables en cualquier momento, a la vez que desarrolla su aptitud en la resolución de problemas. • Ejemplo: Un camión de entregas llega al almacén Roberst con 8 cajas pequeñas y 5 grandes. El cobro total por las cajas, incluyendo el impuesto y los gastos de envío, es de $184. El flete de una caja grande cuesta $3.00 más que el de una caja pequeña. ¿Cuál es el costo del flete de cada una de las cajas?

DIRECTRICES PARA RESOLVER PROBLEMAS ENTIENDE el problema. Elabora y lleva a cabo un PLAN.

Para resolver problemas, a menudo los traducimos en un sistema de ecuaciones de dos incógnitas. En este caso, el sistema se convierte en un modelo matemático de la situación.

Encuentra la RESPUESTA y COMPRUÉBALA.

Resolución: Podemos resolver el problema anterior recurriendo a las directrices para resolver problemas. ENTIENDE el problema. Pregunta: ¿Cuál es el costo del flete de una caja de cada tamaño?

Aclaración del problema.

8 cajas pequeñas más 5 cajas grandes por $184. El flete de una caja grande cuesta $3.00 más que el de una pequeña.

Descripción de relaciones.

234

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA Elabora y lleva a cabo un PLAN. Hay dos enunciados en el problema. Traduce cada uno de ellos en una ecuación. Sea "x" el costo del flete de una caja pequeña. Sea "y" el costo del flete de una caja grande.

8 veces el flete de una caja pequeña más 5 veces el flete de una caja grande es $184. 8x

5y

+

=

184

Traduciendo el enunciado 1 El flete de una caja grande cuesta $3.00 más que el de una caja pequeña. y

=

3

Traduciendo el enunciado 2

x

+

Ahora tenemos un sistema de ecuaciones. 8x + 5y = 184 y=3+x Sustituyendo "3 + x" en vez de "y" en la primera ecuación, tenemos que 8x + 5(3 + x) = 184. Resolviendo para "x", tenemos que x = 13. Como y = 3 + x, y = 16. Encuentra la RESPUESTA Y COMPRUÉBALA 8 veces $ 13 ($ 104) más 5 veces $ 16 ($ 80) es $184. $16 es $3 más que $13. Ambas condiciones se satisfacen.

Comprobando en el problema original.

El flete de una caja grande cuesta $16 y el de una pequeña $13.

Presentación clara de la respuesta.

• Ejemplo Una solución "A" contiene 2 % de alcohol y otra solución "B" 6% de alcohol. El propietario de una estación de servicio quiere mezclar las dos soluciones para obtener 60 litros de una solución que contenga 3,2% de alcohol. ¿Cuántos litros de cada solución necesita? Resolución ENTIENDE el problema Pregunta:¿Cuántos litros de cada solución se necesitan para que la mezcla tenga un 3,2% de alcohol?

Aclarando el problema

Datos:

Identificación de datos

La solución "A" tiene 2% de alcohol. La solución "B" tiene 6% de alcohol. Se necesitan 60 L de la mezcla.

Elabora y lleva a cabo un PLAN. Organiza la información en una tabla. Cantidad de la solución

Porcentaje de alcohol

Cantidad de alcohol en la solución

A

"x" litros

2%

2 % x ó 0,02 x

B

"y" litros

6%

6 % y ó 0,06 y

Mezcla

60 litros

3,2 %

CARLOS VALDERRAMA

0.032 x 60 ó 1,92 litros

235

Sistema de ecuaciones - Problemas de Textos Si sumamos "x" e "y" en la primera columna, obtenemos 60, el volumen total de la solución. Esto nos proporciona una ecuación, x + y = 60. En cada caso multiplicamos la cantidad por el porcentaje de alcohol para encontrar la cantidad de alcohol en cada solución y en la mezcla. Si sumamos las cantidades en la tercera columna, obtenemos 1,92. Esto nos proporciona una segunda ecuación: 0,02x + 0,06y = 1,92 Ahora tenemos un sistema de ecuaciones. x + y = 60 0,02x + 0,06y = 1,92 Eliminamos los decimales de la segunda ecuación. x + y = 60  x + y = 60 100(0,02x) + 100(0,06y) = 100(1,92)  2x + 6y = 192

Multiplicando por 100

La solución del sistema es (42; 18). Encuentra la RESPUESTA y COMPRUÉBALA Número total de litros de la mezcla

Comprobando en el problema original.

x + y = 42 + 18 = 60 L Cantidad total de alcohol 2% x 42 + 6% x 18 = 0,02 x 42 + 0,06 x 18 = 1,92 L El porcentale de alcohol en la mezcla

Los números concuerdan con el problema

1,92  0 ,032 , ó 3,2% 60

El propietario debería utilizar 42 L de la solución al 2% y 18 L de la solución al 6%.

Esto es razonable pues se necesita más de la solución "A" que de la solución "B". (3,2 % es más próximo a 2% que a 6%)

• Ejemplo: Un tren sale de la ciudad de México rumbo al este a 30 km/h. Dos horas más tarde, otro tren sale a 45 km/h de la misma cuidad y en la misma dirección sobre una vía paralela. ¿A qué distancia de la ciudad dará alcance el segundo tren al primero? Para traducir problemas de movimiento, utilizamos la definición de velocidad.

Velocidad promedio =

dis tan cia tiempo

d   v   t 

o la ecuación equivalente d = vt. Para resolver este problema, primero dibujamos un diagrama.

236

3° año de Secundaria

ÁLGEBRA Ciudad de México

30 km/h

Los

t + 2 horas

"d" kilómetros

trenes se

Ciudad de México

45 km/h

encuentran

t horas

"d" kilómetros

aquí

Podemos ver a partir del diagrama que las distancias son iguales. Ambas se pueden representar con la letra "d". Sea "t" el tiempo del tren más rápido. El tiempo del tren más lento será igual a "t + 2". Podemos organizar la información en una tabla. Distancia (km)

Velocidad (km/h)

Tiempo (h)

Tren lento

d

30

t+2

Tren rápido

d

45

t

Utilizando d = vt en cada renglón de la tabla, obtenemos una ecuación. Como resultado tendremos un sistema de dos ecuaciones. d = 30 (t + 2) d = 45 t Resolvemos utilizando el método de sustitución. 45t = 30(t + 2) 45t = 30t + 60 15t = 60 t=4

Sustituyendo 45 t en vez de "d" en la primera ecuación.

Por consiguiente, el tiempo para el tren más rápido debería ser de 4 horas, y para el más lento de 6 horas. El tren más rápido viajaría 45 x 4, o 180 km en 4 horas. El tren más lento viajaría 30 x 6, ó 180 km en 6 horas. El tren más rápido dará alcance al tren más lento a 280 kilómetros de distancia de la ciudad de México. • Ejemplo: En una fábrica hay tres máquinas, "A", "B" y "C". Cuando los tres están trabajando, producen 222 trajes por día. Si "A" y "B" trabajan, pero "C" no, producen 159 trajes por día. Si "B" y "C" trabajan, pero "A" no, producen 147 trajes por día. ¿Cuál es la producción diaria de cada máquina? Utilicemos "x", "y", "z" para denotar el número de trajes producidos en un día por las máquinas "A", "B" y "C" respectivamente. Hay tres proposiciones. Cuando las tres máquinas trabajan, producen 222 trajes por día. x + y + z = 222 Cuando "A" y "B" trabajan, producen 159 trajes por día. x + y = 159 Cuando "B" y "C" trabajan, producen 147 trajes por día. y + z = 147

CARLOS VALDERRAMA

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Sistema de ecuaciones - Problemas de Textos Ahora tenemos un sistema de tres ecuaciones. x + y + z = 222 x + y = 159 y + z = 147 Al resolver obtenemos x = 75, y = 84, z = 63. Estos números concuerdan con las hipótesis, de modo que la respuesta al problema es que "A" produce 75 trajes por día, "B" produce 84 trajes por día y "C" produce 63 trajes por día.

Practiquemos Bloque I 1. La suma de dos números es -42. El primero de ellos menos el segundo es 52. Calcula estos números. 2. La diferencia entre dos números es 16. Tres veces el mayor de ellos es nueve veces el más pequeño. ¿Cuáles son los números? 3. La soya contiene un 16% de proteínas y el maíz un 9%. ¿Cuántos kilogramos de cada uno de estos ingredientes se debería mezclar para obtener una mezcla de 350 kilogramos con un 12% de proteínas? 4. Una bebida refrescante tiene 15% de jugo de naranja y otra tiene 5% de esta sustancia. ¿Cuántos litros de cada una de ellas se debería mezclar para obtener 10 L de bebida refrescante con un 10% de jugo de naranja? 5. Se hicieron dos inversiones por un total de $8800. En cierto año estas inversiones produjeron $1326 de interés simple. Una parte del dinero se invirtió al 14% y otra al 16%. Encuentra la cantidad invertida a cada tipo de interés. 6. Se invirtió un total de $1150, parte al 12% y el resto al 11%. El interés total fue de $133,75. ¿Cuánto se invirtió a cada tipo de interés? 7. Un tren sale de una estación y viaja hacia el norte a 75 km/h. Dos horas más tarde un segundo tren deja la estación sobre una vía paralela y viaja hacia el norte a 125 km/h. ¿A qué distancia de la estación dará alcance el segundo tren al primero? 8. Dos motociclistas viajan aproximándose entre sí a velocidades de 110 y 90 km/h entre Chicago e Indianápolis, ciudades que se encuentran a unos 350 kilómetros de distancia. Partieron a la misma hora. ¿En cuánto tiempo se encontrarán? 9. Un día una tienda vendió 30 camisetas. Las blancas costaban $9,95, y las amarillas $10,50. En total, se vendieron $310,60 en camisetas. ¿Cuántas camisetas se vendieron de cada color? 10.Un día una tienda vendió 45 plumas, las de un tipo a $8,50 y las del otro a $9,75. El total de ventas fue de $398,75. ¿Cuántas plumas de cada tipo se vendieron? Bloque II 11.Carlos es 8 años mayor que su hermana María. Hace 4 años la edad de María era dos tercios la de Carlos. ¿Qué edad tiene cada uno de ellos? 12.El perímetro de un campo rectangular es 628 m. El largo del campo excede a su ancho en 6 m. Calcula las dimensiones. 13.El perímetro de un rectángulo es 86 cm. El largo es 19 cm más grande que el ancho. Calcula el largo y el ancho. 14.Iván y Luis son profesores de matemáticas. En total llevan 46 años dando clases. Hace dos años, Iván llevaba 2,5 veces los años que tenía Luis como profesor. ¿Cuántos años lleva en la enseñanza cada uno de ellos? 15.El dígito de las decenas de un entero positivo de dos dígitos es 2 más que tres veces el dígito de las unidades. Si los dígitos se intercambian, el nuevo número es 13 menos que la mitad del número dado. Averigua el entero dado. (Sugerencia: Sea x = dígito de las decenas e y = dígito de las unidades, entonces 10x + y es el número). 16.La medida de uno de dos ángulos suplementarios es 8° más que tres veces el otro. Encuentra la medida del mayor de los dos ángulos.

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3° año de Secundaria

ÁLGEBRA 17. El radiador de un automóvil contiene 16 litros de anticongelante y agua. El porcentaje de anticongelante es 30%. ¿Qué cantidad de esta mezcla se debería drenar y reemplazar con anticongelante puro para que el porcentaje de éste fuese del 50%? 18.Un tren sale de la Estación Unión hacia el Estación Central, a 216 km de distancia, a las 9.00 a.m. Una hora más tarde, un tren sale de la Estación Central hacia la Estación Unión. Se encuentran al mediodía. Si el segundo tren hubiese partido a las 9.00 a.m. y el primero a las 10.30 a.m. también se habrían encontrado al mediodía. Averigua la velocidad de cada tren. 19.La suma de tres números es 105. El tercero es 11 menos que diez veces el segundo. Dos veces el primero es 7 más que tres veces el segundo. Calcula los números. 20.La suma de tres números es 5. El primer número menos el segundo más el tercero es 1. El primero menos el tercero es 3 más el segundo. Calcula los números. Bloque III 21.En el triángulo ABC, la medida del ángulo "B" es 2° más que tres veces la medida del ángulo "A". La medida del ángulo "C" es 8° más que la medida del ángulo "A". Calcula las medidas de los ángulos. 22.En el triángulo TUV, la medida del ángulo "U" es el doble que la del ángulo "T". La medida del ángulo "V" es 80° mayor que la del ángulo "T". Calcula las medidas de los ángulos. 23.Gina vende revistas. El jueves, viernes y sábado vendió en total $66. El jueves vendió $3 más que el viernes. El sábado vendió $ 6 más que el jueves. ¿Cuánto vendió en cada día? 24.Cristina obtuvo un total de 225 puntos en tres exámenes. La suma de las calificaciones del primero y segundo de ellos excede en su tercera calificación en 61 puntos. Su primera calificación supera a la segunda en 6 puntos. Encuentra las tres calificaciones. 25.Las sierras de agua "A", "B" y "C" pueden producir 7400 metros cuadrados de tabla en un día. "A" y "B" juntas pueden producir 4700 metros cuadrados, mientras que "B" y "C" pueden producir 5200 metros cuadrados. ¿Cuántos metros cuadrados puede producir cada sierra de agua por separado? 26.Tomás, David y Carla pueden soldar 37 metros lineales por hora cuando trabajan juntos. Tomás y David, juntos, pueden soldar 22 metros lineales por hora, mientras que Tomás y Carla, juntos, pueden soldar 25 metros lineales por hora. ¿Cuántos metros lineales por hora puede soldar cada uno de ellos por separado? 27. La edad de Tomás es la suma de las edades de Carmen y Daniel. La edad de Carmen es 2 años más que la suma de las edades de Daniel y Marco. La edad de Daniel es cuatro veces la edad de Marco. La suma de las cuatro edades es 42. ¿Qué edad tiene Tomás? 28.Andrés le da a Rafael tantos boletos para la rifa como los que Rafael ya tenía, mientras que a Jorge le da tantos como los que él ya tenía. Análogamente, Jorge les da a Andrés y a Rafael tantos boletos como los que ya tenían. Los tres terminaron con 40 boletos. ¿Cuántos boletos tenía originalmente Rafael? 29.En una feria campestre, los boletos para los adultos se venden en $5,50, para los jóvenes en $4,00 y para los niños $1,50. El día de la apertura, el número de boletos para jóvenes y niños que se vendieron fue 30 más que la mitad de los boletos de adultos vendidos. El número de boletos para jóvenes vendidos fue 5 más que cuatro veces el número de boletos para niño. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron si la venta total de boletos ascendió a $14 970? 30.Una ciclista tiene un promedio a distintas velocidades cuesta arriba, en terreno llano, y cuesta abajo. Ella estima el siguiente kilometraje para sus tres últimos recorridos: Kilómetros cuesta arriba

Kilómetros en terreno llano

Kilómetros cuesta abajo

Tiempo total

2

15

5

1,5 horas

6

9

1

1,4 horas

8

3

8

1,6 horas

¿Cuáles son las velocidades promedio cuesta arriba, en terreno llano y cuesta abajo? CARLOS VALDERRAMA

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Sistema de ecuaciones - Problemas de Textos

Tarea domiciliaria 1. La suma de dos números es -63. El primer número menos el segundo es -41. Calcula estos números.

13.El perímetro de un rectángulo es 384 m. El largo es 82m más grande que el ancho. Calcula el largo y el ancho.

2. La diferencia entre dos números es 11. El doble del más pequeño más tres veces el mayor es 123. ¿Cuáles son los números?

14.Nancy corre y camina a la escuela cada día; tiene un promedio de 4 km/h caminando y 8 km/h corriendo. La distancia de su hogar a la escuela es de 6 km y realiza el viaje en una hora. ¿Qué distancia hace corriendo?

3. Un químico tiene una solución que contiene ácido al 25% y otra solución que contiene ácido al 50%. ¿Cuántos litros de cada una de ellas se debería mezclar para obtener 10 L de una solución que contenga ácido al 40%? 4. El anticongelante "A" contiene 18% de alcohol. El anticongelante "B" contiene 10% de alcohol. ¿Cuántos litros de cada uno de ellos se debería mezclar para obtener 20 L con 15% de alcohol? 5. Se hicieron dos inversiones por un total de $15 000. Cierto año estas inversiones produjeron $1432 en interés simple. Parte de los $15 000 se invirtieron al 9% y el resto al 10%. Encuentra la cantidad invertida a cada tipo de interés. 6. Se invirtió un total de $27 000, una parte al 10% y el resto al 12%. El rendimiento total fue de $ 2990. ¿Cuánto se invirtió a cada tipo de interés? 7. Dos automóviles salen de la ciudad viajando en direcciones contrarias. Uno viaja a 80 km/h y el otro a 96 km/h. ¿En cuánto tiempo se encontrarán a 528 kilómetros de distancia entre sí? 8. Dos aviones viajan aproximándose entre sí después de partir de ciudades que se encuentran a 780 kilómetros de distancia, a velocidades de 190 y 200 km/h. La salida fue a la misma hora, ¿en cuántas horas se encontrarán? 9. Una semana un establecimiento vendió 40 manteles. Los blancos costaban $4,95, y los estampados $7,95. En total las ventas fueron de $282. ¿Cuántos manteles de cada tipo se vendieron? 10.Se vendieron 117 entradas para un concierto. Cada adulto pagó $ 1,25, y cada niño $ 0,75. En total, se vendieron entradas por $ 129,75. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?

15.Una edición limitada de un libro publicado por una sociedad de historia se ofreció en venta a sus miembros. El costo era de un libro por $12 o dos libros por $20. La sociedad vendió 880 libros y el monto de las ventas fue de $9840. ¿Cuántos miembros compraron dos libros? 16.Dos muchachos están a 100 metros de distancia. Si corren en sentidos opuestos, uno hacia el otro, se encuentran en 10 segundos, pero si corren en el mismo sentido el más rápido alcanza al otro en 50 segundos. Halla la velocidad de cada uno. 17. En una competencia de ajedrez de 12 rondas, un ajedrecista no perdió ninguna partida y acumuló 8 puntos. ¿Cuántas partidas ganó y cuántas hizo tablas si recibió 1 punto por cada partida ganada y 0,5 punto por cada tabla? 18.En una granja estatal tenían sembrados 480 ha más de papas que de cereales. Después de haber recolectado el 80% del cultivo de papas y el 25% del de cereales quedaron en el campo 300 ha más de cereales que de papas. ¿Qué cantidad de hectáreas de cada uno de los cultivos habían sembrado en la granja? 19.Un tanque ha recorrido un camino de 230 km. En el tanque de combustible, lleno al principio, quedan aún 39,9 L. Si el consumo de combustible por cada 100 km se reduce en 15,0 L, este tanque tendrá un radio de acción de 270km. ¿Cuál es la capacidad del tanque de combustible? ¿Qué cantidad de combustible consume por cada 100 km? 20.Dos amigos recorren una pista de 400 m de un campo deportivo. Uno de ellos necesita para dar dos vueltas el mismo tiempo que el otro por dar tres. Si ambos parten de un punto de la pista al mismo tiempo y en direcciones contrarias se encuentran cada 40 s. ¿A qué velocidad corre cada uno?

11.Paula es 12 años mayor que su hermano Roberto. Dentro de 4 años Roberto tendrá las dos terceras partes de la edad de Paula. ¿Qué edad tiene cada uno de ellos? 12.El perímetro de un terreno es de 190 m. El ancho es la cuarta parte del largo. Calcula las dimensiones.

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3° año de Secundaria