Algebra 1° Año De Sec.pdf

CONTENIDO

Álgebra

Pág.

Cap. 1

Historia del Álgebra - Números Enteros ............................................................................. 4

Cap. 2

Adición y Sustracción de Números Enteros.........................................................................

15

Cap. 3

Adición y Sustracción de Monomios ..................................................................................

20

Cap. 4

Adición y Sustracción de Polinomios .................................................................................

24

Cap. 5

Multiplicación de Números Enteros.................................................................................... 28

Cap. 6

División de Números Enteros............................................................................................ 30

Cap. 7

Potencia con Números Enteros.......................................................................................... 39

Cap. 8

Potencia de Exponente Entero .......................................................................................... 44

Cap. 9

Multiplicación Algebraica .................................................................................................. 48

Cap. 10

Valor Numérico................................................................................................................ 52

Cap. 11

Gráficas lineales .............................................................................................................. 56

Cap. 12

Gráficas de Polinomios Cuadráticos ................................................................................... 60

Cap. 13

Productos Notables I ........................................................................................................ 65

Cap. 14

Productos Notables II ....................................................................................................... 68

Cap. 15

Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita .................................................................. 70

Cap. 16

Planteo de Ecuaciones I ................................................................................................... 74

1er año de secundaria

Cap. 17

Planteo de Ecuaciones II............................................................................................... 78

Cap. 18

Sistema de Ecuaciones I .............................................................................................. 80

Cap. 19

Sistema de Ecuaciones II ............................................................................................. 83

Cap. 20

Sistema de Ecuaciones III ............................................................................................ 87

Cap. 21

Planteo de Sistema de Ecuaciones ................................................................................ 91

Cap. 22

Polinomios con Coeficientes Fraccionarios y Valores Numéricos Fraccionarios.................... 93

Cap. 23

Ecuaciones con Números Fraccionarios.......................................................................... 98

Cap. 24

Problemas de texto con Ecuaciones Fraccionarias ......................................................... 101

Cap. 25

Manejo de Fórmulas .................................................................................................. 107

Cap. 26

Inecuaciones de Primer Grado .................................................................................... 111

Cap. 27

Sistemas de Inecuaciones de Primer Grado.................................................................. 115

Síntesis Histórica del Álgebra 1. Una Aclaración Necesaria. Para ocuparnos de la evolución algebraica es necesario tener una idea clara y precisa de lo que es el álgebra. Por que si vamos a incluir dentro del álgebra cualquier problema que resolviéramos ahora por procedimientos algebraicos, diríamos que su origen se pierde más allá del siglo XVIII. AC. Si vamos a considerar como Álgebra el primer esfuerzo sería por tratar de encontrar un lenguaje y un simbolismo algebraico aunque muy imperfectos; todavía diríamos que su origen está alrededor del siglo III D.C. Pero, el álgebra como generalización de la Aritmética – tal como lo consideraba Newton - ya como sistema orgánico de expresión simbólica y de gran perfección operatoria; sólo podemos encontrarla recién en las cercanías del siglo XVII D.C. 2. ALJUARIZMI. (Siglo IX) Dio a la incógnita el nombre de ‘‘XAI’’, cuyo significado en árabe es «cosa» con el tiempo en vez de la palabra ‘‘XAI’’, se uso abreviadamente su inicial ‘‘X’’. Para representar a la incógnita la cual se consagró a través de los siglos. 3. El Origen de la Palabra Álgebra. El matemático árabe Abuadala Mohamed Ibn Musa, más comúnmente llamado ALJUARIZMI, después de estudiar en la India y asimilar la ciencia hindú escribe su famoso libro ‘‘Al' Djabr W' Al Mukabala’’ que quiere decir ‘‘transposición y reducción de términos semejantes’’. Al principio esta nueva disciplina se designó con el nombre completo de la obra de Aljuarizmi, pero ya en el siglo XVI se suprimía la segunda parte para llamarle simplemente ‘‘Al' djabr’’ o sea Álgebra, a la Teoría de las Ecuaciones. 4. Padre del Álgebra. Diofanto llego a resolver perfectamente los sistemas de ecuaciones que tienen más ecuaciones que incógnitas y consideraba solamente las soluciones positivas, aún cuando no ignoraba la existencia de soluciones negativas, tuvo verdadera predilección por las ecuaciones indeterminadas. Diofanto inicia el verdadero simbolismo, el método analítico en la resolución de los problemas, la simplificación y la generalización que al álgebra le hacían

CARLOS VALDERRAMA

C

HISTORIA DEL ÁLGEBRA NÚMEROS ENTEROS

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

1

falta para emprender su vuelo incontenible, la organización de la teoría de las ecuaciones plasmada por primera vez al Álgebra en un libro, el libro se llamó Aritméticas . Por todo esto se considera a Diofanto como el padre del Álgebra.

Números Enteros 1. Conexión con la Historia Desde hace mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas. Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números. En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas. El alemán Michael Stifel (1487-1567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgó el uso del signo menos ( - ) para designar la resta; de hecho, los signos + y - estaban ya en uso entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenes. Con todo, la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos.

4

ÁLGEBRA En la matemática actual el conjunto de los números enteros abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales). 2. Positivos que no Alcanzan

b) Las fechas referidas a la Era Cristiana: El año -450 significa el año 450 antes de Cristo y el año +180 significa el año 180 después de Cristo.

Positivos y Negativos en la línea del tiempo. a) Las cantidades de dinero que posee o que gana una persona se consideran positivas, y las cantidades que debe, gasta o paga se consideran negativas.

Para el ser humano es importante contar lo que tiene, lo que quiere, lo que necesita, lo que comparte, lo que da. Esa fue la razón que tuvo para crear números y formó el conjunto de los números naturales: N = {1, 2, 3, 4 .......} Luego, necesitó expresar con cifras el conjunto vacío, es decir, identificar que no había nada, no quedaba nada o no faltaba nada. Entonces, apareció el 0, y formó así otro conjunto numérico, el de los números cardinales:

SENTIDO NEGATIVO 450 Antes

SENTIDO POSITIVO

Nacimiento de Cristo

+180 Después

Eladio ha ganado 1800 soles se escribe: +1800 soles. Pedro ha gastado 4600 soles se escribe: - 4600 soles.

No = {0, 1, 2, 3, 4 ...}

POSITIVOS Y NEGATIVOS EN EL DEBE Y EN EL HABER.

Contando con estos conjuntos numéricos, resolvió operaciones: agregó, quitó, dividió, multiplicó. Sin embargo, se le presentaron otros problemas:

Debe () Ganancia de Eladio

¿Cómo indicar temperaturas bajo 0 ? ¿Cómo diferenciar alturas y profundidades de la Tierra? ¿Cómo expresar que quedó debiendo algo? a) Si un día oímos decir que la temperatura en Puno es de cuatro grados, nos quedará la duda de si se trata de cuatro grados bajo cero o sobre cero.

Gasto de Pedro

Haber (+) + 1800

 4600

Hay magnitudes que varían en dos sentidos. Por convenio diremos que uno es positivo y el otro negativo.

Para expresar cuatro grados sobre cero se escribe +4° y bajo cero - 4°.

CARLOS VALDERRAMA

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Historia del Álgebra - Números Enteros

Los números positivos son mayores que cero. Se escriben precedidos por el signo más ( + ) e indican:

Los números negativos son menores que cero. Se escriben precedidos por el signo menos ( - ) e indican:

      

      

Hacia la derecha. Hacia delante. Al norte del Ecuador. Tiempo posterior al despegue. Sobre el nivel del mar. Temperatura sobre cero. Tengo dinero.

Hacia la izquierda. Hacia atrás. Al sur del Ecuador. Tiempo anterior al despegue. Bajo el nivel del mar. Temperatura bajo cero. Debo dinero.

Para expresar las cantidades positivas se utilizan los números naturales con el signo ( + ). Para expresar las cantidades negativas se utilizan los números naturales con el signo menos ( - ). 3. Conjunto de los Números Enteros Para indicar si un objeto se encuentra a la derecha o a la izquierda de un punto de referencia, podemos indicar con un signo «+» si está hacia la derecha y con un signo "-" si se ubica hacia la izquierda. De ésta forma obtenemos dos conjuntos:

Z -  Conjunto de números negativos.

Z+ Conjunto de números positivos. -

+

-

0 +1 +2 +3 +4 +5

+ -5 -4 -3 -2 -1 0

El conjunto formado por los números positivos, los números negativos y el cero se llama conjunto de números enteros. Z = {.....-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, .....}

Z = { ... -4 , -3, -2, -1 0, +1, +2, +3, +4, ....} -

+ -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2

6

+4

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA 4. Valor Absoluto de un Número Entero Se llama valor absoluto de un número entero al número cardinal que resulta de prescindir su signo, también se le considera como la distancia del número dado al cero. El valor absoluto de un número se expresa encerrando este número entre dos barras. El valor absoluto de +5 es 5, y se escribe |+5| = 5. El valor absoluto de –6 es 6, y se escribe |–6| = 6. El valor absoluto de

0 es 0, y se escribe | 0 | = 0.

NOTA: Al valor absoluto también se le llama módulo.

5. El Opuesto de un número entero. El opuesto de un número entero es el número que tiene el mismo valor absoluto, pero diferente signo; por ejemplo: El opuesto de +8 es –8 El opuesto de –15 es + 15 -49 y +49 son números opuestos.

6. Relación de Orden en Z Z es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay números enteros mayores o menores que otros. Un número entero es menor que otro, si está colocado a la izquierda de él en la recta numérica; y es mayor, cuando está a su derecha. Analicemos los siguientes ejemplos: • Ordenaremos de menor a mayor +7, -6, +4 y -2 en la recta numérica, a partir del 0. Así, tenemos que:

+

- -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1 +2

+4 +5 +6 +7 +8

El número menor es -6, porque es el que está más a la izquierda; luego viene el -2, el +4 y el +7. En símbolos queda: -6 < -2 < +4 < +7. • En el siguiente ejemplo, ordenaremos de mayor a menor -1, +2, +5, 0 y -3. Tenemos:

+

- -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

El número mayor es +5 y el menor es -3. Nos queda:

CARLOS VALDERRAMA

+4 +5 +6 +7 +8

+5 > +2 > 0 > -1 > -3

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Historia del Álgebra - Números Enteros C ON CLUSIONE S Ú T IL ES Analizando los ejemplos anteriores, podemos sacar algunas conclusiones muy importantes. Estas nos servirán para ordenar números enteros sin dibujar la recta numérica: * * * *

Todo número entero positivo es mayor que 0. Todo número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo. Todo número entero negativo es menor que 0. Todo número entero negativo es menor que cualquier entero positivo. Ejemplos: A) +7 > +2 D) –45 > –72

B) +87 > +54 E) +51 > 0

C) –5 > –9 F) 0 > –6

 Entre enteros positivos, es mayor el que tiene un valor absoluto mayor. Por ejemplo, si ordenamos +40, +9, +300 de mayor a menor, tenemos que: el mayor valor absoluto lo tiene 300, luego sigue 40 y finalmente 9. Entonces decimos: +300 > +40 > +9

Mientras más lejos de 0 esté un número entero positivo, su valor es mayor, porque está más a la derecha.

En los enteros negativos sucede lo contrario: mientras más lejos de 0, su valor es menor, porque está más a la izquierda en la recta numérica. Esta conclusión nos permite determinar que en los enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto. Por ejemplo, ordenaremos de menor a mayor -40, -9, -300. El menor es -300, porque tiene el valor absoluto mayor, le sigue -40 y luego -9. -300 < -40 < -9

A NT ECESOR

Y

S U CESOR

Otra característica que presenta un conjunto numérico ordenado es que cada número tiene antecesor y sucesor. Para cualquier número, es antecesor el que se ubica inmediatamente a la izquierda de él y es sucesor, el que está inmediatamente a su derecha. Observa:

Número

-

Antecesor 8 7 6 5 4 3 2 Antecesor

Sucesor Número

8

+

Sucesor 1

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 Antecesor

Sucesor Número

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA

Pract iquemos

9. Representa en una recta numérica los siguientes números: +4 ; –6 ; –5 ; –7 ; +1 ; 0 ; –13 ; +8 ; +6 ; –11

Nivel I 1. ¿Cuál es el número entero que separa los números positivos de los negativos? 2. ¿Cuál es el número opuesto a –20?

a) ¿Cuál es el número más cercano a – 3? b) ¿Qué número esta más alejado de –3? 10.Ordena los siguientes números de mayor a menor. –6 ; +8 ; –4 ; +12 ; 0 ; –1 ; +15 ; –100 ; +23 ; –16

3. ¿Cuál es el opuesto de 30? 4. Si ‘‘x’’ es un número entero; ¿qué valor puede tomar ‘‘x’’ de modo que: 2 < x < 4? 5. Responde las siguientes preguntas: a) Si: 32 grados sobre cero son representados por +32º C. ¿Cómo se representa 5º bajo cero?

Nivel II 11. Completa: a) |+4| = |–4| = b) |–8| = |

|=

c) op(+7) = b) Si: 20 puntos ganados se representa por +20 puntos. ¿Cómo se representa 9 puntos perdidos? c) Si Elena deposita S/. 5000 en su cuenta de ahorros, se representa por +5000 nuevos soles. ¿Cómo se representa un retiro de S/. 600?

d) op(–15) = 12.Si "x" es un número entero, que valores puede tomar "x". (donde "<" es el signo de "menor que") a) –2<x<+3

6. Expresa con números enteros: a) Un submarino se encuentra 85m bajo el nivel del mar.

b) 2
b) Richard tiene una ganancia de S/. 3219. c) El año 1243 antes de cristo.

13.Comenzando desde el sótano de un edificio; un ascensor sube 5 pisos; después 3 más y, a continuación, baja 9 pisos. ¿Dónde se encuentra al final del recorrido?

7. Contesta las siguientes preguntas: a) Si: 12m bajo el nivel son indicados por –12m. ¿Cómo se puede indicar 35m sobre el nivel del mar?

14.Un avión parte desde un punto situado a 120 Km al oeste de su base y vuela hacia un punto situado a 140 Km al este de su base. ¿Cuántos kilómetros recorrió?

b) Si: 25m a la izquierda son indicados por –25m. ¿Cómo pueden indicarse 45m a la derecha?

15.Si la temperatura desciende 8 °C cada día; después de 4 días la temperatura es:

c) Si: 3 pisos abajo son indicados por –3 pisos. ¿Cómo puede indicarse 5 pisos para arriba?

16.Un atleta comienza a correr desde el inicio 50m; al final de la carrera retrocede 15m, luego de detenerse inicia un recorrido de 20m, contrario al anterior. ¿A cuántos metros de donde inicio la carrera se encuentra finalmente?

8. Representar en una recta numérica los siguientes números: +4 ; –7 ; +9 ; –5 ; +11 ; –6 ; 8 ; –15 ; +6 ; –2 a) ¿Cuál es el número más próximo al origen?

17.Comenzando con 4 °C bajo cero; la temperatura se eleva a 9 °C; después desciende 11 °C y; finalmente, se eleva 7 °C. Hallar la temperatura final.

b) ¿Qué número esta más alejado del origen?

CARLOS VALDERRAMA

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Historia del Álgebra - Números Enteros 18.En el gráfico, cada división corresponde a 7 grados.

De 8 a 9

De 9 a 10

De 10 a 11

De 11 a 12

-42º

De 13 a 14

De 14 a 15

De 15 a 16

19.Del gráfico anterior, responda las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la temperatura máxima? ¿A qué hora se registra? b) ¿Cuál es la temperatura mínima? ¿A qué hora se registra? 20.Del gráfico de la pregunta ‘‘18’’ responda las siguientes preguntas:

10

a) ¿Cuál es la temperatura en cada una de las horas señaladas?

a) ¿Cuál es el mayor aumento de temperatura? ¿Entre que horas se registra?

b) Completa la tabla con la variación de temperatura.

b) ¿Cuál es el menor aumento de temperatura? ¿Entre que horas se registra?

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA

Tarea domiciliaria Nivel I 1. De la siguiente lectura, realiza una línea de tiempo de los principales personajes y acontecimientos que encuentre.

Un poco de Historia En el siglo XVI a.C. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa posición". No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita. Alrededor del siglo I d.C. los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu (que significa El arte del cálculo), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (suan zí) tenían la posibilidad de representar números positivos y negativos. En el siglo II, el matemático griego Nicómaco de Gerasa publicó su Introducción a la Aritmética y en ella expuso varias reglas para el buen uso de los números. En el siglo III el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la cual, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa no sólo las ecuaciones de primer grado, sino también las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas de álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería "la teoría de ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como el padre del álgebra moderna. En el siglo VII los hindúes habían desarrollado ya las reglas algebraicas fundamentales para manejar números positivos y negativos. Siglo IX. Época en la que trabajó el matemático y astrónomo musulmán Al-Jwarizmi, cuyas obras fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollo del álgebra. Al-Jwarizmi investigó y escribió acerca de los números, de los métodos de cálculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que, usaba primero para referirse a los métodos de cálculos numéricos en oposición a los métodos de cálculo con ábaco, adquirió finalmente su sentido actual de procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que se usaba primero para referirse a los métodos de cálculos numéricos en oposición a los métodos de cálculo con ábaco, adquiriendo finalmente su sentido actual de procedimiento sistemático de cálculo. En cuánto a la palabra álgebra, deriva del título de su obra más importante, que presenta las reglas fundamentales del álgebra, Al-jabr wal muqabala. En el siglo X vivió el gran algebrista musulmán Abu Kamil, quien continuó los trabajos de Al-Jwarizmi y cuyos avances en el álgebra serían aprovechados en el siglo XIII por el matemático italiano Fibonacci. Durante este mismo siglo, el matemático musulmán Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre los trabajos de Diofanto y Al-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron la Arithmetica de Diofanto. 1202. Después de viajar al norte de África y a Oriente, donde aprendió el manejo del sistema de numeración indoarábigo, Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, publicó el Lider Abaci (Tratado del Ábaco) obra que en los siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos estudiosos de la aritmética y el álgebra. CARLOS VALDERRAMA

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Historia del Álgebra - Números Enteros

En el siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los números negativos, introdujo además una notación exponencial muy parecida a la que usamos hoy en día, en la cual se utilizan indistintamente exponenciales positivos o negativos. En 1489 el matemático alemán Johann Widmann d'Eger inventó los símbolos "+" y "-" para sustituir las letras "p" y "m" que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (más) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y la resta. En 1525, el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la raíz cuadrada que usamos hoy en día. Este símbolo era una forma estilizada de la letra "r" de radical o raíz. En 1545 y 1560, los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de que el uso de los números imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. En 1557 el matemático inglés Robert Recorde inventó el símbolo de la igualdad, =. En 1591 el matemático francés Francois Viète desarrolló una notación algebraica muy cómoda, representa las incógnitas con vocales y las constantes con consonantes. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de Álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las Matemáticas fue el descubrimiento de la Geometría Analítica que contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones. En el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo (Números complejos). En los tiempos de Gauss, el Álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estilo. Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la Aritmética de los números complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos son de la forma a + bi (i  1) , las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk: Después del descubrimiento de Hamilton el matemático alemán Hermann Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J.W. Gibbs encontró en el Álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir: "Investigación sobre las leyes del pensamiento" (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el Álgebra moderna -también llamada álgebra abstracta- ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas la ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.

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Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA 2. Expresa como números enteros. a) 340 km al norte b) Arquímedes nació en el año 287 antes de Cristo. c) El ascensor está en la planta 5 del sótano.

Nivel II 11.Si Carmen recorre 15 km cada hora. Hace 4 horas estaba: Rpta: _________________________________

3. a) ¿Cuál es el opuesto de 54?

12.Si Pedro hace depósitos de S/. 4 cada semana, al cabo de 4 semanas tendrá depositado:

Rpta: _________________________________ Rpta: _________________________________ b) ¿Cuál es el opuesto de 24? Rpta: _________________________________ 4. Si: ‘‘x’’ es un número entero, que valor puede tomar ‘‘x’’ de modo que: 3 < x < 1. Rpta: _________________________________ 5. Responda las siguientes preguntas: a) Si 40 grados sobre cero son representados por +40ºC, ¿cómo se representa 8° bajo cero? b) Si 50 puntos ganados se representa por +50 puntos. ¿Cómo se representa 18 puntos perdidos? c) Si Elenita deposita +3500 en su cuenta de ahorros; se representa por 3500 dólares. ¿Cómo se representará un retiro de $ 1520? 6. Expresa con números enteros.

13.Comenzando el 6 °C sobre cero; la temperatura se eleva 3 °C después desciende 9 °C y finalmente se eleva a 7 °C. Hallar la temperatura final. 14.Un avión parte de un punto situado a 250 km al este de su base; vuela hacia el oeste hasta a un punto situado 320 km al de su base. ¿Qué distancia ha recorrido? En el gráfico; las barras representan los movimientos (depósitos o retiros) de la cuenta de ahorros del Sr. Valladares en la segunda quincena de Marzo.

+3600 +3000 +2400 +1800

a) Un avión vuela a 140 m sobre el nivel del mar. b) Ricardo hace un retiro de $7000. c) El año 1320 después de Cristo. 7. Contesta las siguientes preguntas: a) Si 24m sobre el nivel del mar son indicados por +24m. ¿Cómo se puede indicar 15m bajo el nivel del mar? b) Si 52m a la derecha son indicados por +52m. ¿Cómo puede indicarse 35m a la izquierda? c) Si 12 pisos arriba son indicados por +12 pasos. ¿Cómo puede indicarse 4 pisos abajo? 8. Representa en la recta numérica los siguientes números: +16; +3; 12; 2; +2; 0; +14; 4 a) ¿Cuál de ellos esta más próximo a +10? b) ¿Cuál de ellos esta más alejado de +10? 9. Ordena los siguientes números de menor a mayor: a) +4; 6; 5; 8; +1; 0; 13 b) 7; +2; 1; 10; +4; 6; +12 10.Ordenar los siguientes números de mayor a menor: a) 7; +3; 0; 8; +2; 1; 5 b) 7; +2; 1; 10; +4; 6; +12 CARLOS VALDERRAMA

-1800 -2400 -3000

15.¿Cuál es el depósito o retiro de cada uno de los días señalados? 16.¿Cuál es el mayor depósito? ¿en qué día se hizo? 17. ¿Cuál es el mayor retiro? ¿con saldo a favor o en contra? 18.¿Cómo finaliza el mes? ¿con saldo a favor o en contra? Expresa en la tabla de situación de las amigas antes y después de cobrar su sueldo. Daniela, Carla y Jazmin, trabajan en el Colegio Trilce. Cada una cobra S/. 1000 al mes.

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Historia del Álgebra - Números Enteros I. El 30 de marzo a Jazmin se le acabó el dinero del sueldo y necesitaba comprar medicinas para su hijo. Pidió entonces un vale de S/. 80. II. Daniela ahorro durante Febrero S/. 120. III. Carla luego llego a fin de mes sin ahorrar, ni pedir prestado. IV. El 31 de marzo las tres cobraron su sueldo.

Observa la tabla de beneficios (en millones de soles) de una empresa durante 6 meses. Grafica la tabla y contesta.

Importe en S/. Antes de Cobrar Después de Cobrar Daniela Carla Jazmin

A continuación responda las siguientes preguntas: 19.¿Cuál de ellas esta en mejor situación económica? ¿cuánto tiene? 20.¿Cuál de ellas esta en peor situación económica? ¿cuánto tiene?

MES

BENEFICIOS

Enero

+12

Febrero

-7

Marzo

+4

a) |5| + |5| = _______________________________

Abril

-12

b) |17| + |29| = ____________________________

Mayo

+8

Junio

-3

Nivel III 21.Calcular:

c) |op(+8)| + |+3| = ___________________________ d) |53|  |29| = ____________________________ 22.Definimos: Min(a;b) = menor de los números entre "a" y "b". op(a) = opuesto de "a". Calcular:

23.¿Entre qué dos meses consecutivos hubo mayor variación en los beneficios? ¿de cuánto fue? 24.¿Entre qué dos meses consecutivos hubo mayor disminución en los beneficios? ¿de cuánto fue? 25.Aproxima las siguientes temperaturas a: ...; -20ºC; -10ºC; 0ºC; +10-C; +20ºC; ...

a) |Min (3;5)| = __________________________ b) |Min (18;op (+13))|= ____________________ Temperatura

c) |op (Min (7;4))|= ______________________ d) op|Min (18;32)|= ______________________

14

Aproximación

Temperatura

+33° C

-27° C

+48° C

-7° C

+22° C

-34° C

+16° C

-18° C

+8° C

-39° C

Aproximación

Primer Año de Secundaria

C

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

1. Representación Geométrica de un número entero. Todo número distinto de cero se puede representar por una ‘‘flecha’’ que parte del cero y llega al punto correspondiente a dicho número.

2

3º CASO: Para sumar un número positivo y un número negativo, se resta el menor valor absoluto del mayor valor absoluto y al resultado se le antepone el signo del número que tenga mayor valor absoluto. (+5) + (-3) = +2

5

Ejm: +4;

?

-5

+5

+ -5

-4

-3

-3

+4

- -6

-2

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

0

-1

+1

+2

+

- -6

+4 +5 +6

-5

-3

-4

-2

0

-1

+1

+2

+4

+5

+6

(-6) + (+2) = -4

Nota: Si el número es positivo, la flecha se dirige hacia la derecha; pero si el número es negativo, la flecha se dirige hacia la izquierda.

?

+2 -6

2. Procedimiento para sumar dos números enteros: 1° CASO : Para sumar dos números positivos, se suman sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo más (+).

+

- -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1 +2

+4

(-61) + (+85) = __________________ (+42) + (-71) = __________________

(+3) + (+5) = + 8 Nota: Un número sin signo es un número positivo +5

+3

7 = +7 ; 18 = +18

+

- -4

-3

-2

-1

0 +1 +2

Observación:

+4 +5 +6 +7 +8

(+23) + (+49) = _____________________________

a) Para sumar tres o más números positivos, se usa el primer caso.

(+257) + (+495) = ____________________________ (+5) + (+32) + (+27) = +64 (+18) + (+9) + (+45) = +72

2° CASO : Para sumar dos números negativos, se suman sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo menos (-). (-4) + (-2) = -6 -4

-2

+

- -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+4 +5

(-76) + (-58) = _______________________________ (-246) + (-349) = _____________________________

CARLOS VALDERRAMA

b) Para sumar tres o más números negativos, se usa el segundo caso. (-3) + (-2) + (-7) + (-4) = -16 (-24) + (-18) + (-57) = -99 c) Para sumar tres o más números de signos distintos, primero se suman los números positivos, luego los números negativos y finalmente los dos resultados. (-14) + (+8) + (-15) + (21) + (-2) + (+12) = +10 (+8) + (+21) + (+12) = +41 (-14) + (–15) + (–2) = -31 (+41) + (-31) = +10

15

Adi ci ón y Sustr acci ón de Número s Entero s d) La suma de un número y su opuesto es cero. (Cero no tiene signo).

Para calcular la diferencia de dos números enteros, se debe sumar el minuendo con el opuesto del sustraendo.

(+8) + (-8) = 0 (-15) + (+15) = 0 3. Axiomas de la Adición de Números Enteros 1° Axioma de Clausura. La suma de dos números enteros es otro número entero. Si: a  ZZ y b ZZ  (a+b)ZZ 2° Propiedad Conmutativa. El orden de los sumandos no altera el resultado. Si: a  ZZ y b  ZZ  a + b = b + a

Ejemplo:

(14) + (+6) = (+6) + (14) –8

3° Axioma Asociativa. La forma como se agrupen los sumandos no altera el resultado. Si: a  ZZ , b  ZZ y c  ZZ

Ejemplo : [(+8) + (4)] + (+16) = (+8) + [(4) + (+16)]

+20

=

(+12)

+20

4º Axioma del Elemento Neutro: En ZZ el elemento neutro es el cero (0), que al sumarse con cualquier número entero, resulta el mismo número. 0  ZZ ,

a  ZZ



5. Escritura Simplificada. (+4) + (-8) = 4 - 8 = -4 (-3) + (-5) = -3 - 5 = -8 (-12) - (-15) + (-13) = -12 + 15 - 13 = -10 (-16) + (+13) + (-3) + (+8) = -16 + 13 - 3 + 8 = 21 - 19 =2 6. Operaciones Combinadas de adición y sustracción.

Para resolver una suma algebraica debemos aplicar correctamente las reglas prácticas que rigen la supresión de signos de colección: 1° Todo signo de colección precedido por un signo ‘‘+’’ puede ser suprimido, escribiendo luego los números contenidos en su interior, cada cual con su propio signo.

entonces: a + (b + c) = (a + b) + c

(+8) +

a - b = a + (-b) (+3) - (-8) = (+3) + (+8) = +11

La adición y la sustracción en ZZ son consideradas como una única operación llamada suma algebraica.

8

=

(+4) + (+16)

4. Sustracción de Números Enteros.

a+0=0+a=a

7 + (-5 - 9 + 3) = 7 - 5 - 9 + 3 14 + (-5 - 8) + (-2 + 5 + 1) = 14 - 5 - 8 - 2 +5 + 1 2° Todo signo de colección precedido por un signo ’’-’’ puede ser eliminado, escribiendo luego cada uno de los números contenidos en su interior con su signo cambiado. Nota: Signos de colección usuales: ( ); [ ]; { }. (+14) - [(+18) - (+3) + (-15)] = 14 - [18 - 3 - 15] = 14 - 18 + 3 + 15 = 14

(+15) + 0 = +15 (-23) + 0 = -23 5º Axioma del Elemento Opuesto: Todo número tiene un opuesto que sumado con dicho número resulta cero. a  ZZ ,

(-a)  ZZ  a + (-a) = 0

(+13) + (-13) = 0 (-24) + (+24) = 0

16

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA 7. Calcula las siguientes operaciones:

Pract iquemos

a) –3 + 9 – (5 – 14 + 7) = _______________________ b) –(4 – 2 + 3) + 5 – 12 – (–5 + 3 – 4) = ______________

Nivel I 1. Representa con una ‘‘flecha’’ cada uno de los siguientes números. a) +5 c) –5

a) 40 + 25 + 5 –17 – 8 = _______________________

b) –3 d) +8

b) – (–15) + (–7) – 5 + (–3) = ______________________

2. Calcula y representa en una recta numérica: a) (+3) + (+5) c) (+7) + (–4)

b) (–3) + (–5) d) (–9) + (+6)

3. Calcular: a) c) e) g)

8. Efectúa las siguientes operaciones:

c) –9 – (–5) + (–11) – (–12) + 5 – (–7) = _____________ 9. Restar: a) (–23) de (–12) = _____________________________ b) (+34) de (+9) = ____________________________

123 + 254 (–27) + (–54) (+59) + (–35) (–48) + (+25)

b) d) f) h)

2415 + 1324 –234 – 342 748 – 563 –287 + 95

4. Calcular:

c) (+12) de (–17) = ____________________________ 10.Si: A = (+8) + (–5) – (+7) y B = (–4) – (–6) – (+8) + (–17). Hallar: A + B

a) (+25) + (+13 + (+42)) = _____________________

Nivel II

b) (–46) + (–24) + (–18) = _____________________ c) –81 + 153 – 76 = ___________________________ d) 746 – 256 + 601 – 972 = _____________________ 5. Escribe en el cuadrado el número que hace verdadera la igualdad y el axioma utilizado. a) (–5) + 14 = b) [(–2) +

+ (–5) ..................................... ] + 5 = (–2) + [4 +

]

11.Si: A = – (–9) + (–3) – (–2) – (+13) B = + (–12) – [+3 – (+7) + (–2)] Calcular: A – B 12.Restar: A = 2 – [– 4 – (–3 – 5 - (–2) – 11)] + 7 De B = 12 + [ 5 + (7 – (+2) – 4)] – 8 13.Calcular: A + B – C ; si se sabe que: A = 13 – 9 – 5 + 11 B = –7 – {5 – [–8 + (–1 + 3 – 5) – 10]} C = – (–2 + 6) – (–9 + 4)

....................................................................... 14.Dadas las expresiones: c) 16 + d) (–54) +

= 0 ...............................................

A = 4 – {2 – [3 – (–1 + 4)] – (1 – 5)} B = [2 – (–1) + (1–9) – 25] – [1 – (–4 + 9)]

= (–54) .................................... Hallar el valor de: B – A.

6. Empleando números enteros, calcular las sumas siguientes: a) 30Kg ganados + 13Kg perdidos. _________________________________________ b) 19Kg perdidos + 5Kg ganados. _________________________________________ c) 10° C de aumento + 19° C de descenso. _________________________________________ CARLOS VALDERRAMA

15.Si: A = {(–30) + (–100) – (–5)} – (+8 – 9) B = – (–16 + 2 – 5) – {+5 – (–6 – 9)} Calcular: A – B – [–A – (–A – B)] 16.Elenita camina 11 pasos a la izquierda de un punto "A"; luego 17 pasos a la derecha y posteriormente 7 a la izquierda. ¿A dónde llega?. Representa en la recta numérica el problema si el punto "A" coincide con cero y cada paso mide una unidad.

17

Adi ci ón y Sustr acci ón de Número s Entero s 17. Encuentra el término que falta: a)

– 8 = –3

c) –8 –

=3

b) d) 9 –

18.Plantea los siguientes problemas y resuélvelos: –6=4 = –6

a) ¿Qué número debe restarse a – 8 para que la diferencia sea 8? b) ¿Cuál es el minuendo si el sustraendo es –8 y la diferencia es 6?

19.Un submarino desciende 245m respecto a un punto "A" de la playa y luego asciende 148m. Encuentra la posición del submarino respecto al punto inicial.

Tarea domiciliaria Nivel I

6. Efectuar: 7  [+8  3 + 5]  {9 + 5}

1. Representa con una flecha cada uno de los siguientes números. a) +7 c) 3

b) -5 d) -4

2. Calcula y representa en una recta numérica: a) (+4) + (+6) c) (+9) + (4)

b) (7) + (4) d) (11) + (+7)

3. Efectuar las siguientes operaciones: a) (+345) + (+134) = ___________________________ b) (+457) + (345) = ___________________________ c) -4599 + (234) = ___________________________ d) (348) + (764) = ___________________________ 4. Efectúa las siguientes operaciones: a) (+2615)  (+3561) = __________________________ b) (+4539)  (1561) = __________________________

7. En el segundo semetre del año 2005, las ventas de la cevicheria ‘‘Chino Limón’’ cambiaron de la siguiente manera: * Julio, subieron 12 mil soles. * Agosto, subieron 6 mil soles. * Setiembre, bajaron 14 mil soles. * Octubre, bajaron 8 mil soles. * Noviembre, bajaron 4 mil soles. * Diciembre, subieron 18 mil soles. Si a fines de Junio la cevicheria habia vendido 42 mil soles, ¿cuántos millones de soles vendió ‘‘Chino Limón’’ en el año 2005? 8. Un móvil recorre 75 metros a la izquierda del punto ‘‘A’’ y luego recorre 52 metros a la derecha. Expresa su posición respecto al punto ‘‘A’’. 9. Cierto día el termómetro marcó 13 °C a las 11 de la mañana y (9º) a las 9 de la noche. ¿Cuál fue el cambio de temperatura? 10.A = {(50) + (100)  (-7)}  (+8  13) B =  (19 + 3  7)  {+5 - (7  4)}

c) (2365)  (4587) = __________________________ d) (+1594)  (2954) = __________________________

Calcular: A  B  [A  (A  B)] Nivel II

5. Efectuar las siguientes operaciones: 11.Efectuar: a) b) c) d)

Sumar (13) con el opuesto de (15). Sumar (27) con el valor absoluto de (19). Restar (+32) del opuesto de (24). Restar (+46) de su opuesto.

a) 5  [3  (4  7(3)  9)] + 6 b) 6 + [4 + (8  (+6)  5)]  9 c) 8  {3  [7 + (3  1)]  7} + 3 Calcule el valor de: A + B + C.

18

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA 12.Escriba en el cuadrado el número que hace verdadera la igualdad y el axioma utilizado. a) (-8) + (-5) =

+ (-8)

Axioma _______________________

b) [(+3) + (-4)] + (-7) =

+ [(+3) +

Lugar

Máxima

Mínima

Puno

8ºC

5ºC

Cuzco

17ºC

2ºC

Arequipa

19ºC

3ºC

Juliaca

6ºC

7ºC

]

Axioma _______________________

c) (-17) +

a) b) c) d)

=0

Axioma _______________________

d) (-45) +

¿Qué ciudad registró la mayor amplitud térmica? ¿Qué ciudad registró la menor amplitud térmica? ¿Cuál fue la menor temperatura? ¿Cuál fue la temperatura mas próxima a cero?

15.La empresa de viajes San Ricardo, vende pasajes de avión para los vuelos nacionales e internacionales. Averiguar con base en la tabla los valores en miles de soles e investiga el significado de esta expresión:

= (-45)

Axioma _______________________

e) [(+3) +

] + (-5) = (+3) + [(-2) +

]

Axioma _______________________ 13.Un buzo desciende 104 metros respecto a un punto ‘‘A’’ en la superficie del mar y luego asciende a 54 metros. ¿Cuál es la posición del buzo respecto al punto ‘‘A’’? 14.Se denomina amplitud térmica a la diferencia entre la temperatura máxima y la temperatura mínima registrada en un lugar. Observa la tabla correspondiente al día 30 de enero del 2006 y responde:

CARLOS VALDERRAMA

a) Ganancias al año. b) Pérdida al año c) ¿Cuánto ganó o cuánto perdió la empresa en el año? M ES

V A LO R

M ES

V A LO R

Enero

8200

Julio

11200

Febrero

-5400

Agosto

-1000

M arzo

7500

Septiembre

-2000

Abril

-1000

Octubre

-4000

M ayo

8900

Noviem bre

12000

Junio

104000

Diciembre

15000

19

Término Algebraico.

C

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

3

Grados de un monomio

Es aquella expresión algebraica donde no se definen las operaciones de adición ni sustracción entre las variables. Exponentes de sus variables

1. Grado Relativo (G.R.) Esta indicada por el exponente que afecta a la variable. 2. Grado Absoluto (G.A.)

P( x,y ,z)  -4 x4 y 7 z8 Variables

Esta indicado por la suma de todos los grados relativos del monomio. Coeficientes

M(x;y;z) = 5x7y5z3

Signo del término

GR(x) = 7 Términos Semejantes.

GR(y) = 5

GA = GR(x) + GR(y) + GR(z)

Dos o más términos, son semejantes si dichos términos poseen la misma parte literal afectados de los mismos exponentes. La adición o sustracción de 2 o más términos semejantes se reducen a un solo término algebraico.

GR(z) = 3

GA = 7 + 5 + 3 =15

 Son términos semejantes

5x3; 9x3;15x3 3x y ; 7x y ; 4x y ; 4y x

 Son términos semejantes

4x4y5 ; 3x5y4

 No son términos semejantes

2 3

2 3

2 3

3 2

Adición y Sustracción de Monomios. Se presentan dos casos: 1° Si son semejantes se efectúan las operaciones indicadas solo con los coeficientes y luego se le agrega la parte literal.

Ejemplo: Si: 5x7yb-4 es semejante con 8xa+3 y2

Ejm: 5x3 + 7x3 = (5 + 7)x3 = 2x3 8x2y  13x2y + 2x2y = (8  13 + 2) = 3x2y

Hallar: a+b Solución: Si son semejantes, entonces las variables deben de poseer los mismos exponentes:

 

En "x": 7 = a + 3 En "y": b - 4 = 2

a=4 b=6

a + b = 4 + 6 = 10 Monomio Es un término algebraico; con variables afectados de exponentes enteros y positivos.

2° Si no son términos semejantes la operación queda indicada, no se puede efectuar. Ejm: 4x3 + 5x2 = 4x3 + 5x2 3x2y - 9x2 + 5y = 3x2y - 9x2 + 5y Nota: En este caso, la suma indicada se llama Polinomio de dos o más términos.

Ejemplo: 5 3

4x y ; 5

2 5 3 x y ; 3 4

3 7

5x ; 7x y ; 9x y ; CARLOS VALDERRAMA

5 3

3x y 3

2x

4

 Son monomios  Son monomios

20

ÁLGEBRA

Pract iquemos Nivel I

6. En cada uno de los siguientes monomios, determina su coeficiente; su parte literal, sus grados relativos de cada variable y su grado absoluto. a) E(x,y,z) = –5x3y4z6

1. Hallar las siguientes sumas de términos semejantes. a) +13a – 2a – a  = ............................................. 2

2

2

b) +5r s – 2r s + r s  = ........................................ 2

2

b) L(x,y) = 6x5y3 c) C(x,y,z) = 24x3yz2 d) N(x,y,z) = –9xy3z4 e) A(x,y,z) = 25x6y7z5

2

c) +7rs – 2rs + rs  = ........................................ d) 5xy + 9xy – 5xy = .......................................... e) 2x2y + 7x2y – 3x2y + 7x2y = .............................. f) 3x2y2 + 6x2y2 – 7x2y2 – 5x2y2 = ....................... 2. Efectuar: a) 4xy - 5xy + 6xy + 7xy - 8xy b) 5m + 6m + 7m - 18m c) 3ab - 4bc - 5ab + 6bc d) 3xy + 4xy - 5xz - 6xz - 7xy

7. Escribe cada uno de los monomios (de dos variables) cuyas características son: a) Nombre: R ; coeficiente = –35 ; Grado relativo a: x = 4 ; Grado relativo a: y = 7. b) Nombre: F ; coeficiente = –28 ; Grado relativo a: x = 7 ; Grado absoluto = 12. 8. Escribe cada uno de los monomios (de tres variables) cuyas características son: a) Nombre: V; coeficiente = 7 ; Grado relativo a: x = 9. Grado relativo a: y = 7 ; Grado relativo a: z = 4.

3. Reducir: a) 3a + 4a + 5a - 3(4a + 5) b) -6x + 5 - 3(-2x + 4) c) 3x + 4(3x - 4) + 5x + 4(-5x + 4) d) 2(x + 4) - 3(x + 3) + 4(x - 2) 4. Efectúa las siguientes operaciones: a) De 32x4 restar 45x4 = .......................................... b) De –17x3y4 restar 8x3y4 = .................................... c) Restar –15abc de 7abc = ................................... d) Restar –24m3n de –18m3n = .............................. 5. Simplificar: a) 3ab – {2ab – [–5ab – (12ab – 5ab)] – 3ab} b) –[3x2 – 8x2 – (–12x2 + 23x2)] c) 4x – {3x+[–5x – (12x – 23x) + 8x] – 13x} + 7x d) –{3m2 – [2m2 + (3m2 – 8m3) – (–5m2 + 9m2)]}

b) Nombre: C ; coeficiente = –24 ; Grado relativo a: x = 3. Grado relativo a: y = 7 ; Grado relativo a: y = 7 ; Grado absoluto = 15. 9. Si el termino 5xay7 es semejante con el término 8x5yb. Hallar: a + b. 10.Si: t1 = 2x5yb-3 y t2 = 7xa-2y8; son dos términos semejantes. Hallar: b – a. Nivel II 11.Si: t1 = (a+3)x3yb y t2 = (b+7)xay5; son términos semejantes. Hallar : t1 + t2. 12.Si: t1 = (a+5)x6yb+2 y t2 = (b – 3)xa-5y11; son términos semejantes. Hallar: t1 + t2. 13.Calcular el coeficiente del monomio: 3a+b–5x2ayb–2 si su grado absoluto es 10 y el grado relativo a "y" es 2. 14.Si los términos: axa+by2 ; bx6ya–b ; son semejantes. Hallar el valor de: 3a + 2b. 15.Si los términos: 5xn+3yn+5 ; –8x2nym+3 ; son semejantes. Hallar el valor de: E = 2m + 3n. 16.Al efectuar la siguiente suma de monomios semejantes mxa + (8 – 3m)x6 – m, se obtiene: 2xb - 2. Hallar: (a – b) x m

CARLOS VALDERRAMA

21

Adició n y Sust racció n de M onom io s

Tarea domiciliaria 7. Si: xa+5yb1 es un término semejante con el término: x8y3

Nivel I 1. Hallar las siguientes sumas de términos semejantes:

Hallar: E = 4a + b

a) -2x2 - 8x2 - 15x2 =

8. Si los términos: __________________________________________ 2

2

2

2

b) -4abc + abc - 3abc + 12abc = __________________________________________ c) +5x2y + 10x2y - 7x2y = __________________________________________ 2. Sumar los siguientes monomios semejantes:

Son semejantes, hallar: N = t1 + t2 Nivel II 9. Si los términos: t1 = 3nx2n+4yn+2 t2 = 4mx3nym+2

a) -5x3 + 12x3 - 6x3 = __________________________________________ b) -3x2yz3 - 5x2yz3 - (-14x2yz3) = __________________________________________ c) -8a3b5 + (14a3b5 - 17a3b5) - [-3a3b5 - (+13a3b5)]= __________________________________________ 3. Efectúa las siguientes operaciones: a) De 14x5 restar 4x5 4 2

t1 = (2a + 1)xa-5y2b-5 t2 = (b + 3)x7yb+2

4 2

b) De 12x y restar 26x y

c) Restar 26abc de 14abc d) Restar 28mn3 de 54mn3 4. Simplificar: a) 3ab  {5ab  [7ab  (11ab  3ab)]  23ab} b) [5x2  9x2  (7x2 + 13x2)] + 8x2 c) 6x  {7x + [3x  (x  21x) + 14x]  6x} + 17x d) {7m2  [m2 + (9m2  4m2)  (5m2 + 2m2)]} 5. Si el término: 12x3yb es semejante con el término 9xay7,

son semejantes, hallar: t1 + t2 10.Escribe cada uno de los monomios (de dos variables) cuyas características son: a) Nombre R, coeficiente = 15; grado relativo a: x = 6; grado absoluto = 9 b) Nombre F; coeficiente = (n+2); grado relativo a: x = n; grado relativo a: y = 4; grado absoluto = 7. 11.Escribe cada uno de los monomios (de tres variables) cuyas características son: a) Nombre V; coeficiente = 15; grado relativo a: x = 7; grado relativo a y = 8; grado relativo a: z = 5. b) Nombre C; coeficiente = (2b + 3); grado relativo a: x = 3; grado relativo a: y = b  2; grado relativo a: z = 5; grado absoluto = 16. 12.En cada uno de los siguientes monomios, determina su coeficiente, su parte literal, sus grados relativos a cada variable y su grado absoluto. E(x,y,z) = -5x6y2z4 L(x,y,z) = 3x2y8z7 P(x,y,z) = 24x4y7z8 Q(x,y,z) = -8x5y4z3

hallar: E = a + b. 6. Si: 4x4yb1z2; 2xa+3y7zc2 son dos términos semejantes, hallar: L = a + b  3c.

13.Calcular el coeficiente del monomio: (2)2m+n8x2m+1yn+2 Si su grado absoluto es 16 y su grado relativo a "y" es 5.

22

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA 14.Calcular el perímetro de la siguiente figura:

5x

15.Elenita se encuentra en el sexto piso de un edificio, luego baja al tercer piso; vuelve a subir al quinto piso y finalmente baja al segundo. Si entre piso y piso hay 7x3y2 escalones, ¿cuántos escalones ha bajado Elenita?

3x

CARLOS VALDERRAMA

23

C

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

4

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

Polinomios Grados de un Polinomio

Definimos Es la expresión algebraica que consta de 2 o más términos no semejantes enlazados por las operaciones de adición y sustracción.

1. Grado Relativo (GR).- Esta indicado por el mayor exponente que afecta a la variable a lo largo del polinomio. 2. Grado Absoluto (GA).- Esta indicado por el mayor grado absoluto de uno de sus términos.

Notación Polinómica. Es aquella expresión que nos permite diferenciar mediante un sub-índice a las variables de los constantes. Sea el polinomio ‘‘p’’ de variable ‘‘x’’ e ‘‘y’’ cuya notación es la siguiente:

Ejm: Sea el polinomio: P( x , y )  2 x 4 y 5z 6  3x 6 y 2 z12  5x 3 y 4 z 6      GA  9 GA 8 GA  7

P(x;y) = ax 5 + bx4 y3 + cy 4 Coeficientes o constantes

GR(x) = 6 GR(y) = 5 GR(z) = 0

Variables Nombre genérico: Se lee: “P” de “x” e “y”

 GA(P) = 9

Ejm: P(x,y) = 2x4y – 5x2y6 + 3x4y2z8

Ejemplo : 4 3 4

Es un polinomio porque sus variables ‘‘x’’ e ‘‘y’’ están afectadas por exponentes enteros y positivos; ‘‘z’’ no es variable y por lo tanto no interesa el exponente que lo afecta. Ejm: P(x,y) = 4x5 + 2xy-3 + 8x2y4z8 No es polinomio; porque una de sus variables que es ‘‘y’’ esta afectado de exponente negativo.

2 5 6

6 4 5

P(x, y)  5x y z  7x y z  12x y z       GA  7

GA 7

GA 10

Calcular: E = GR(x) + GR(y) + GA(P) Solución: Nota: Las únicas que tienen grado son las variables que se encuentran en el sub-índice del polinomio ‘‘P’’.

GR(x) = 6 GR(y) = 5 GA(P) = Al mayor grado absoluto de uno de sus términos GA = 10 E = 6 + 5 + 10 = 21

CARLOS VALDERRAMA

24

ÁLGEBRA Polinomio de una variable- Es aquel polinomio que consta de una variable, donde se puede observar que el grado relativo de la variable coincide con el grado absoluto.

Nota: Si hay signos de agrupación dentro de otros, se comienza eliminando los más interiores. Ejm: Q(x,y) = 5x – {-4y – [7x-(5x – 2y)] – (x + 3y)}

Ejm: Sea el polinomio: P( x )  2 x 5  7 x 8  5 x 2  7 GA  5 GA  8 GA  2 GA  0

Solución: Q(x,y) = 5x – {-4y – [7x – 5x + 2y] – x – 3y} = 5x – {-4y – 7x + 5x – 2y – x – 3y} = 5x + 4y + 7x – 5x + 2y + x + 3y

Su GR(x) = 8 y su GA = 8 Notación:

Q(x,y) = 8x + 9y n

n-1

P(x)=a0x + a1x

n-2

+a2x

+ ..... + an

Pract iquemos

Donde: 1. a0 ; a1 ; a2 ; ... ; an coeficientes. 2. a1: coeficiente principal (coeficiente que multiplica a la variable de mayor grado). 3. a n: término independiente (coeficiente que no multiplica a la variable.) 4. "x": variable. 5. "n"  ZZ+ ; n: Grado del Polinomio (mayor exponente de la variable).

Nivel I 1. En cada uno de los siguientes polinomios indica: el grado, el coeficiente principal, el término independiente, el término lineal (variable de 1er grado); el término de segundo grado y la suma de sus coeficientes: a) E(x) = -3x4 - 2x3 + 7x2 - 8x + 5

Ejm: Sea el polinomio:

b) C(y) = 2y2 - 5y5 + 3y3 - 2y + 11y4 - 3 c) P(n) = -5n3 + 2n - 3n2

P(x) = 7x5 - 2x3 + 8x6 - 4x9 + 5x - 3

2. Dado los polinomios:

Hallar: 1. 2. 3. 4.

A = 3x2 + 8x + 7

Su coeficiente principal: -4 Su término independiente: -3 Grado del polinomio: 9 Suma de coeficientes del polinomio: 7 – 2 + 8 – 4 + 5 – 3 = 11

B = x2 + 7 Con respecto a la diferencia de A y B, indica el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones:

Reducción de Polinomios. Para reducir polinomios que contienen términos semejantes se agrupan cada clase y luego se reduce cada uno de ellos efectuando las operaciones de sumas y restas según correspondan.

I. Es un polinomio de tres términos II. Su término independiente es cero III. Su coeficiente principal es 4

( ( (

) ) )

3. Si: R(x) = 5x2 - 7x + 3, indique el valor de verdad de los siguientes enunciados:

Ejm:

I. R(x) es un trinomio

(

)

P(a,b)=13a2 - 5b2 + 13ab + 8a2 - 10b2 - 2ab + 6b2 - 8ab

II. R(x) es un polinomio de segundo grado III. El coeficiente de su término lineal es -7

(

)

(

)

IV. Su coeficiente principal es 5

(

)

2

2

2

2

2

P(a,b) = (13a +8a )+ (13ab - 2ab - 8ab) +(-5b - 10b + 6b ) P(a,b) = 21a2 + 3ab - 9b2.

4. Encuentra la suma de los siguientes polinomios: a) P = 2x3 - 3x + 5 - 4x2 Q = 7x2 + 4 + 3x3 - 2x R = 3x2 - 5x + 8 - 2x3 Calcular: P + Q + R

CARLOS VALDERRAMA

25

Adició n y Sust racció n de P olinom io s 9. Se compran cuatro casas, la segunda cuesta "x" soles mas que la primera; la tercera "2x - 3" mas que la segunda y la cuarta "3x - 9" soles menos que la tercera. Si la primera cuesta "5x + 6" soles, ¿cuál es el total de la compra?.

b) P = 3a2 – 4ab + 4b2 Q = 5a2 – 4ab + 6b2 R = -4a2 + 3ab – 7b2 Calcular: P + Q + R 5. Efectúa las siguientes operaciones: a) De 5x – 7 restar 11x + 9 2

a) P(x,y) = x4 – 3x3y + 8x2y2 – 5y3

2

b) De 3x – 5x – 4 restar 5x + 4x – 6 2

10.Hallar el grado relativo con respecto a las variables ‘‘x’’ e ‘‘y’’ de cada uno de los polinomios siguientes:

2

c) Restar 2x + 4x + 9 de – 3x + 5x – 7 6. Simplifica cada uno de los siguientes polinomios: a) 15x2 – 8y2 + 6x2 – 9xy – 3xy – 12y2 – 8xy – 7y2 b) 8y3 + 5x3 – 7x2y – 8xy2 – 3xy2 + 10y3 – 5x2 – 3x3 – 4xy2 c) 4x – {-2y – [6y – (3x – 7y)]} 7. Restar la suma de: a2 – ab + b2 ; 7b2 + 3a2 – 8ab ; – 5a2 – 17b2 + 11ab de la suma de: 3b2 – 2a2 + 7ab con – 5ab – 17b2

b) Q(x,y) = 7x3y2 – 4xy4 + 6y6 – 3x5 c) R(x,y) = 2x3 + 3x2y – 5xy2 + 7y3 + 4x – y 11.Hallar el grado absoluto de cada uno de los siguientes polinomios: a) P(x,y) = 3x4y2 + 5x3y5 – 8x2y3 – 7xy6 b) Q(x,y) = -2x3y2 – 7x3y – 3xy5 + 2x2y3 12.Dado el Polinomio: P(x,y) = 5x4z10 + 2xy7z2 – 7x6y3z12 Hallar: GR(x) + GR(y) + GA(P)

Nivel II

13.Si se tiene el polinomio: A(x,y) = 3xa+3y4 + 5xa+1y5 + axay7. Donde el GR(x) = 5 Hallar la suma de coeficientes del polinomio.

8. La edad de Miguel es de "2x + 3" años; la edad de su hermano Andrés es de "3x - 7" años menos y la de su hermana Silvia es de "5 - x" años menos que la de Andrés. ¿Cuánto suman las 3 edades?

14.En el polinomio F(x,y) = xa+1yb+3 + axayb+1 + bxa-1yb+2. Si se sabe que: el GR(x) = 7 ; GR(y) = 9 ; además: a,b  ZZ+. Hallar la suma de coeficientes del polinomio. 15.Si el grado absoluto del polinomio "P" es 11; determinar el valor de "n": P(x,y) = x3n-1yn – 2x2n-2y2n + xn-3y3n

26

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA

Tarea domiciliaria Nivel I

7. Simplifica cada uno de los siguientes polinomios:

1. En cada uno de los siguientes polinomios indica: el grado; el coeficiente principal; el término independiente; el término lineal (de primer grado); el término de segundo grado y la suma de sus coeficientes: a) E(x) = 13x3 + 2x5  7x + 18 b) C(y) = 2y5  6y3 + 12y2  32y + 5 c) P(n) = 8n2  5n3 + 7n4  18n + 3

P(x) = 4x3 + 2x2 + 5x  3

Nivel II

Calcular la diferencia entre la suma de sus coeficientes y su término independiente. 3. Sumar los siguientes polinomios: P(x) = 3x2 + 5  8x Q(x) = 2  5x2 + 7x R(x) = 4x2  1 + 2x Calcular la suma de coeficientes del resultado. 4. Calcula la diferencia "P  Q" en cada uno de los siguientes casos: Q = 9x + 2 Q = -2y2 + 4y + 9 Q = 8x2 + 5x4 - 9  3x3 Q = 4x2  3x3 + 7 + 4x

5. De 4x3  6x2 + 9x  12 restar la suma de: x3 + 3x2  5x con 4x2 + 7x + 6. Dar como respuesta la diferencia entre el coeficiente principal y el término independiente. 6. Dados los polinomios:

9. Pablo es ‘‘2y + 1’’ centímetros mas alto que Antonio y éste es ‘‘y  2’’ centímetros mas bajo que César. Si la altura de César es de ‘‘3y  7’’ centímetros, ¿cuánto suman las alturas de los tres? 10.Se compran cuatro libros; el segundo cuesta "2x + 3" soles más que el primero, el tercero "3x - 8" soles menos que el segundo y el cuarto "7x - 4" soles menos que el tercero. Si el primero cuesta "8x - 5" soles, ¿cuál es el gasto total de la compra? 11.En el siguiente polinomio: P(x;y) = 5x9y7  3x12y7 + 9x17y3 Hallar: GA(P) + GR(x) + GR(y) 12.Sea: a-9 7 a-12 4 a-10 19 Q(x;y) = 2x y + 3x y + 2x y Si: GR(x) = 5; hallar el grado absoluto de ‘‘Q’’. 13.Si: R(x;y) = xa+9ya-5 + xa+7ya + xa+1y3 cuyo grado absoluto es 27. Hallar: E = GR(x) + GR(y)

P(x) = 4x2 + 2x + 4 Q(x) = 8x3 + 3x2 + x + 5

14.En el siguiente polinomio: P(x;y) = xa+1y2b+3  xa+3y2b+1 + xa+5y2b-1  xa+7y2b-3

Con respecto a la suma de P y Q, indica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I. Tiene tres términos II. Su término independiente es 4 III. Su coeficiente principal es 8

8. Suprimir los siguientes signos de agrupación y reducir los términos semejantes en las expresiones siguientes: P = 4x  {2y - [6y  (3x  7y)]} Q = -9x  {2x  3y  [3y  2x  (4y  5x)]} R = -3y + {2x  [5x  (2y  7x)] + 8x} S = 3x  {2y + (3x  5y)  2x + [3y  (2x  7y) + 4x]}

2. Dado el polinomio:

I. P = 5x  7; II. P = 5y2  2y + 4; III. P = 3x5  3x2 + 2x  2x4; IV. P = 2x3  3x + 8;

a) 15x2  8y2 + 6x2  9xy  3xy  12y2  8xy  7y2 b) 8y3 + 5x37x2y  8xy2 - 3xy2 + 10y3  5x2y 3x3 4xy2

( ( (

) ) )

Donde: GR(x) = 9; GR(y) = 9. Determinar el GA(P). 15.Señale la suma de coeficientes del polinomio: E(x;y) = x3a+2by2b + ax3a+by2b-1 + bx3a-by2b-3 Donde: G.A. (E) = 18; G.R.(y) = 6

CARLOS VALDERRAMA

27

* PROCEDIMIENTO PARA MULTIPLICAR DOS NÚMEROS ENTEROS: 1. Si multiplicamos dos números del mismo signo ; se multiplican sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo mas (+). Ejm:

C

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

5

Pract iquemos Nivel I 1. Efectuar: a) (+32) (–7) = ...............................................

(+2) (+7) = +14

b) (+27) (–13) = ..............................................

(–4) (–5) = +20

c) (–214) (+12) = ............................................

2. Si multiplicamos dos números de diferentes signos; se multiplican sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo menos (–).

d) (–243) (–254) = .......................................... 2. Resuelve las siguientes operaciones combinadas: a) 2 (4 + 5) – 4 + [–9 . 3 – 6 + 5]

Ejm:

b) –[–(–4 + 6) (–3) – (–2 – 5 + 3)] – 10 + 8 + 15 (+3) (–4) = –12

c) –{–2 – [3 + (6 + 2.4 – 5)]} – {–5 – [8 – (9 + 3 . 2 – 7)]}

(–6) (+5) = –30 3. Efectuar: Consideramos: a) (11 – 4)5 – 4(6 + 2) + 4(5 – 3) – 2(8 – 6) Regla de Signos

b) 3(9 – 2) + 2(5 – 1) (4 + 3) + 3(6 – 4)(8 – 7) c) 300 – 3(5 – 2) + (6 + 1)(9 – 3) + 4(8 + 1)

(+) . (+) = (+) (–) . (–) = (+) (+) . (–) = (–) (–) . (+) = (–)

d) [(5 + 2)3 + (6 – 1)5] [(8 + 6)3 – (4 – 1)2] 4. Efectuar: E = (+3)(-5) + [(-2)(-5) - (+7)(-8)] 5. Si: A = (-4)(-3)+[-(-5)(+2) - (+4)(-2)] B = (-2)(-3)(+4) + (-7)(-2)(-1)

* Operaciones combinadas Las operaciones combinadas se realizan teniendo en cuenta la siguiente prioridad operativa: A. Se resuelven los signos de colección: { } ; [ ] ; (

)

B. Se resuelven las operaciones de multiplicación y división (si aparecen seguidas se resuelven de izquierda a derecha). C. Después de resolver las operaciones de multiplicación y división, se resuelven las operaciones de adición y sustracción. 4

D. Si se tiene: 3 . 2 ; Primero se desarrolla la potencia y luego se multiplica; es decir: 3 . 16 = 48.

CARLOS VALDERRAMA

Calcular: A.B 6. Si: M = -[-(-2+5) + (-3)(-1)] + (-2)(-3) N = -2+{-[(-3)(+2) - (-4)(+1)] + 7} Calcular: 2N + 3M 7. Desde hace 6 minutos: José está cargando gasolina en el tanque de su camión, a razón de 7 litros por minuto. En este momento el tanque tiene 51 litros. Indica la cantidad de gasolina que: a) Tenía hace 3 minutos. b) Tendrá dentro de 2 minutos.

28

ÁLGEBRA 8. La diferencia de un número y el triple de –4 es -8. ¿Cuál es el número? Nivel II 9. La suma de dos números enteros es –12 y su producto es +35. Hallar dichos números. 10.El triple de un número aumentado en 8 es igual a –10. ¿Cuál es el número? 11.Un terreno cuadrado tiene 169m2 de área y se quiere cercar con 3 hileras de alambre de púas. ¿Cuántos metros de alambre de púas se necesitan para cercarlo? 12.Si por cada 3 chapitas; Carlitos puede canjear una botella de gaseosa, ¿cuántas gaseosas podrá canjear con 15 chapitas? 13.Elenita al llegar al edificio donde trabaja de 9 pisos; realiza los siguientes movimientos:

1ro: Su jefe la envía al 3er piso para entregar un informe a su secretaria. 2do: La secretaria envía a Elenita al 6to piso para que lleve el informe donde se encuentra el subgerente para que lo firmará. 3ro: El subgerente envía a Elenita al 9no piso donde se encuentra el gerente general para que le de el visto final. Si entre el 1er y 3er piso, cada piso tiene 17 escalones y del 3ro al 6to piso cada piso tiene 19 escalones y del 6to y 9no piso cada piso tiene 15 escalones. ¿Cuántos escalones subió Elenita? 14.Si: a * b = 5a + 2b a b = b  2a Calcular el valor de: [(-2) * (-4)] * 4)

[(+3)*(-1)] (3

15.Si: a * b = a2  b2 c b = 2c  d2 ¿Cuál es el valor de: E = (5 * 4)

(3

1)

Tarea domiciliaria Nivel I 1. Efectúa:

8. Un surtidor consume 470L de agua cada hora. Si cada día funciona 12 horas. ¿Cuál es el consumo semanal de agua del surtidor?

a) (+13) (-17) = ................................................

Nivel II

b) (+157) (-234) = ............................................

9. Felipe compró 84 ovejas a $ 54 cada una. Se le murieron 15 y vendió el resto a $ 72 cada una. ¿Qué beneficio obtuvo en la operación?

c) (-347) (+15) = .............................................. d) (-756) (+124) = ............................................. 2. Calcular: E = (-2)(-7)(+6) - (+3)(-7)(-5)+[-4-(3-(-2)(+5))] 3. Si: A = -{-3-[2-(3-7)+5]} B = +2-{5-[3-(-4-2)-5]} Calcular: A . B 4. Si: M = (+3)[(-2)(+7)-(-3)(-2)(+4)] N = (-2)[-5-(-3)(4) - (+5)(-2)(-1)] Calcular: M . N 5. Efectúa las siguientes operaciones: a) (25 + 2) + 2 . [(2 + 3)(5  2)] 4 . [(26  20) + (15  19)] b) (25.5) 2 + 10 (50.10) – 2 . (3 – 1) + 3 . (16.4) c) 25 + [3(12  2) + 2 (10.5)]  (27.9). 3 + 5 (2 + 8) + 3 6. Calcular: E = (13-7)(4) - 5(8+1) + 5(7-4) - 6(9-7) + 3(9-2) + 3(4-1)(3+2) + 3(5-2)(9-7) 7. Si: x = (-2)(+3) + (-5) [-4+2(7-3(4-6))] y = (-5)(-4) [(+6)(-17)-(-11)(+12)] Calcular: M = 3x - 2y Organización Educativa TRILCE

10.La fábrica "Richfer" tiene un gasto diario de $ 2 300. El gasto acumulado hoy es $ 18 500. Calcula el gasto acumulado: a) Que tuvo hace 4 días. b) Que tendrá dentro de 5 días. 11.El producto de 3 enteros consecutivos es 120. ¿Cuáles son sus enteros? 12.Elena dispone de 80 soles para su almuerzo durante el presenta mes. Si cada almuerzo cuesta 4 soles con 50 céntimos y debe almorzar los 22 días escolares, ¿cuál será su situación económica a fin de mes? 13.La suma de dos números es 144. Uno de ellos es igual a 5 veces el otro. ¿Cuáles son estos dos números? 14.El producto de dos números enteros es 12. Si uno de ellos es primo, hallar la suma de dichos números. 15.Un atleta recorre 3000 metros en una hora, a la 2da hora decide duplicar su recorrido anterior, haciendo una constante en las siguientes horas. Al cabo de 9 horas, ¿cuánto fue su recorrido final?

29

C DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

6

¿Es divisible -27 por +9? ¿Es divisible +15 por -7? ¿Cómo podríamos saber si un número entero es divisible por otro número? Como -27= (+9)(-3), decimos que -27 es divisible por +9. La división es exacta y da como resultado -3.

Se observa que la división se hará primero con los valores absolutos de -27  9 y anteponiendo el signo -.

Por otro lado, no se puede multiplicar (-7) por otro número entero que nos de (+15), por lo tanto +15 no es divisible por (-7).

El cociente de los valores absolutos de 157 no es exacto (No es un número entero)

Conclusión Dados dos números enteros "a" y "b" decimos que la división

es exacta, o que

"a" es divisible por "b", si la división de los valores absolutos de los números es exacta.

CARLOS VALDERRAMA

30

ÁLGEBRA Ejercicios básicos I. Distribuye los números del cuadro para que se cumplan las multiplicaciones siguientes:

c) (-80)  (-10) =

d) (+36)  (+6) =

-4

3

-7

9

-1

-1 e) (-21)  (+3) =

a) (-4)

= (-36) f) (-1)  (+1) =

b) (+5)

= (-20)

c) (+5)

= (-5)

Sabías que * La división es la operación inversa de la multiplicación.

d) (+10)

= (-70)

Dividendo

divisor

residuo

cociente

* Si residuo es igual a "0": e) (+5)

= (+15)

f) (+1)

= (-1)

Dividendo  divisor = cociente Divisor . cociente = Dividendo Dividir es hallar el número por el que se debe multiplicar al divisor para obtener el dividendo.

II. Distribuye los números del cuadro para que cumplan las siguientes divisiones: En la división de números enteros se cumple la siguiente "ley de signos"

8

-1

6

a) (+1)  (+1) =

-7

6

1

(+) (+) () ()

   

(+) () (+) ()

= = = =

(+) () () (+)

Nota: a. Al dividir dos números enteros puede ser que no resulte otro número entero.

b) (+12)  (+2) =

b. Nunca se puede dividir por el número "0". Ejemplo:

CARLOS VALDERRAMA

•

5  no se puede dividir.. 0

•

0  0, si se puede dividir.. 5

31

Di vi si ón de Número s Entero s

Pract iquemos Nivel I 1. Calcula las siguientes divisiones de enteros. a) (-24)  (+3) =

..............................................................................................................

b) (+12)  (+2) =

..............................................................................................................

c) (-15)  (-5) =

..............................................................................................................

d) (+11)  (+1) =

..............................................................................................................

e) (+9)  (-9) =

..............................................................................................................

f) (-6)  (+1) =

..............................................................................................................

g) (+6)  (-1) =

..............................................................................................................

h) 0  (-4) =

..............................................................................................................

2. Resuelve las siguientes divisiones exactas de números enteros.

a)

40  4

..............................................................................................................

b)

15  3

..............................................................................................................

c)

48  12

..............................................................................................................

d)

75  5

..............................................................................................................

e)

18  6

..............................................................................................................

f)

15  5

..............................................................................................................

3. Calcular: a) 1488  -16 =

..............................................................................................................

b) -1517  -37 =

..............................................................................................................

c) -6420  12 =

..............................................................................................................

d) -3015  -45 =

..............................................................................................................

e) -34858  -601 = .............................................................................................................. f) -9867  -143 = .............................................................................................................. g) -66234  798 = .............................................................................................................. h) 98775  -225 = ..............................................................................................................

32

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA CADA NÚMERO DEL CUADRADO MÁGICO MULTIPLICATIVO DE LA IZQUIERDA DIVÍDELO POR EL NÚMERO DE AFUERA.

Los resultados son los números de abajo, colócalos en las casillas correspondientes de la derecha. Obtendrás otro cuadrado mágico multiplicativo.

CARLOS VALDERRAMA

33

Di vi si ón de Número s Entero s 6. Divide los números de las casillas correspondientes. De estos cuadrados mágicos multiplicativos los resultados son los números de abajo y colocamos en las casillas correspondientes de la derecha .

7. Completa el cuadrado:

8. Reemplaza dentro del

con < , = ó > para hacer una afirmación verdadera:

a)

-24  3

40  8

b)

-10  -2

-25  5

c)

28  -7

-35  -5

d)

-72  6

-48  +6

Nivel II 9. Calcula:

34

a)

(10)  [2  (7  4  3)  3] (2)

b)

(20  10)  (18  16) 36  (3  (3))  3

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA 10. Completa cada serie: a) 16 ; -8 ; 4 ; -2 ;

12. Desde hace 5 minutos Gordosky está cargando gasolina en el tanque de su auto, a razón de 7 litros por minuto. En este momento el tanque tiene "x" litros. Indica la cantidad de gasolina que:

________________________________________ b) 48 ; -24 ; +12 ; -6 ;

a) Tenía hace 3 minutos. b) Tendrá dentro de 2 minutos.

________________________________________ c) -80 ; +40 ; -20 ; +10 ; ________________________________________ 11. Calcular el número que falta:

13. Un agricultor tiene 360 kg de fertilizante. Esparce parte del fertilizante en 3 parcelas del mismo tamaño y aún le sobraron 72 kg del mismo. ¿Cuántos kilogramos de fertilizante esparció en cada campo? 14. Se define: a  b = (a + b) (a - b). Calcula: 5 3 + -9 -3 15. Una familia dispone 15 soles para el pago del consumo mensual de energía eléctrica. En el cuadro inferior aparecen los artefactos que posee la familia y el consumo respectivo. Si el costo de 20 000 watt es de 1 sol, y se consideran los meses de 30 días para hallar el consumo mensual. a) ¿Qué pasará a fin de mes? ¿Ese dinero dispuesto será suficiente para el pago del recibo de luz? b) ¿Cuál es la cantidad que sobra o falta?

Watt mes Consumo Total

Importe consumo de energía eléctrica

CARLOS VALDERRAMA

35

Di vi si ón de Número s Entero s

Tarea domiciliaria Nivel I 1. Calcula las siguientes divisiones de enteros. a) (-48)  (+2) =

..............................................................................................................

b) (-15)  (-3) =

..............................................................................................................

c) (+25)  (-5) =

..............................................................................................................

d) (+18)  (-6) =

..............................................................................................................

e) (+15)  (-15) = .............................................................................................................. f) (-12)  (-4) =

..............................................................................................................

g) (+8)  (-1) =

..............................................................................................................

h) 0  (-5) =

..............................................................................................................

2. Resuelve las siguientes divisiones exactas de números enteros.

a)

72  6

..............................................................................................................

b)

24  3

..............................................................................................................

c)

56  7

..............................................................................................................

d)

51  17

..............................................................................................................

e)

48  16

..............................................................................................................

f)

14  2

..............................................................................................................

3. Calcular: a) 1440  -12 =

..............................................................................................................

b) -6939  +9 =

..............................................................................................................

c) -3125  -25 =

..............................................................................................................

d) -4096  64 =

..............................................................................................................

e) -3322  -22 =

..............................................................................................................

f) +1024  -16 =

..............................................................................................................

g) 115148  5234 =.............................................................................................................. h) 6860  3430 =

36

.............................................................................................................. Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA * CADA CUADRADO MÁGICO MULTIPLICATIVO DIVÍDELO POR EL NÚMERO DE AFUERA. Los resultados son los números de abajo, colócalos en las casillas correspondientes de la derecha.

6.

Divide los números de las casillas correspondientes. De estos cuadrados mágicos multiplicativos los resultados son los números de abajo, colócalos en las casillas correspondientes de la derecha.

CARLOS VALDERRAMA

37

Di vi si ón de Número s Entero s 7. Completa el cuadro:

8. Reemplaza dentro del

con < , = ó > para hacer una afirmación verdadera:

a)

-8  +4

-12  - 3

b)

+15  + 5

-75  -15

c)

-81  + 27

+54  -18

d)

+36  - 9

-125  + 5

Nivel II 9. Calcular:

a

(16)  [5  (3  2  1)  1] 2

(30  10)  (15  7) b 28  (2  (2))  1 10.Completa la serie: a) -81; +27 ; -9 ; +3 ; _____ b) +64 ; -32 ; +16 ; -8 ; _____

12.El colegio Trilce tiene un gasto diario de $ 700. El gasto acumulado hasta hoy es, en dólares, "x". Calcula el gasto acumulado. a) ¿Qué tuvo hasta hace 5 días? b) ¿Qué tendrá dentro de 3 días? 13.Un agricultor tiene 360 kg de fertilizante. Esparce parte del fertilizante en 3 parcelas del mismo tamaño y aún le sobraron 72 kg del mismo. ¿Cuántos kilogramos de fertilizante esparció en cada campo? 14.Se define: a * b = (a2 - b2)  (a - b). Calcula: (3 * -5) * (-7 * 2)

c) 162 ; -54 ; ____ ; +6 ; +2 11. Calcular:

15.Reemplaza ? con "1" ; "-1" ; "n" o el opuesto de "n" para tener una afirmación verdadera ("n" representa un número entero) a) Si n0, entonces el cociente de "n" y el opuesto de "n" es ?. b) n -1 = ? c) El producto de "n" y el opuesto de -1 es ?.

38

Primer Año de Secundaria

C

POTENCIA CON NÚMEROS ENTEROS

Es aquella expresión que se representa por:

an = P

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

7

Resuelve los ejercicios siguientes: 1) (-200)0 = ............................................................. 2) -1759340 = ...........................................................

a Base n Exponente P Potencia

3) -50 + (-5)0 = ......................................................... 4) [1720 - 1840 + 1010]0 = ..........................................

Exponente Entero Positivo TEOREMAS Definición:

1. Producto de bases iguales: am x a n = a m + n

Siendo :

* a ZZ * n ZZ+

 n 2

Ejemplos: * 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 * (-3)3 = (-3)(-3)(-3) = -27

Ejemplo: * (-7)20 . (-7)4 = (-7)24 * (12)205 . (12)7 = (12)212 2. División de bases iguales: m

a

En efecto, como podemos notar el exponente nos indica la cantidad de veces que se va a multiplicar la base por sí misma.

n

a

m n

a

; a0

* (-25)15  (-25)13 = (-25)2 = 625 Observar: 1. Para: n = 1  a1 = (1)(a) = a, luego a1 = a

*

4

(-17)  (-17)  (-17) 3

2. Para: n = 0  a0 = 1;  a  ZZ ; a  0

(-17)  (-17)

2

2

1

(-17)  -17 Ejemplos: * (-2)0 = 1 * -20 = -1 Podemos notar que en el primer ejemplo, el exponente nulo afecta a todo lo que está entre paréntesis y en el segundo ejemplo únicamente el exponente nulo afecta al valor numérico 2, sin tomar en cuenta el signo, por ello obtenemos respuestas distintas.

CARLOS VALDERRAMA

Procedemos de izquierda a derecha.

39

Potencia con números enteros Ejercicios resueltos

3. Potencia de Potencia: n (am) = am.n

1. Reducir: E = (8)4  (-2)5 x (-4)6  (-8)5 Resolución: En este caso procedemos de izquierda a derecha.

Ejemplo: 1er PASO: *

3 (52)

*

4 ((-2)3)

=

56

= 15625

En este caso procedemos de izquierda a derecha. (8)4 : (-2)5

= (-2)12 = 4096

Observación:

a

x

y

x

 (a )

y

2do PASO: Por Ley de signos:

En efecto:

8

4

2

5

3er PASO: Uniformizando bases y por potencia de potencia:

2  3

4

5

2

12



2

5

2

4to PASO: LEY DE SIGNOS PARA LA POTENCIACIÓN ( + )PAR

= (+)

( + )IMPAR = ( + ) ( - )PAR

= (+)

( - )IMPAR

= (-)

Ley de signos y la división de bases iguales, obtenemos: -27. Tenemos : -27 . (-4)6 5to PASO: Ley de signos y uniformizando bases, y potencia de potencia, obtenemos: - 27 . (-22)6 = -27 . 212

Observaciones:

6to PASO:

1. Cualquier número entero positivo elevado a un exponente positivo par o impar, tendrá siempre una potencia positiva. 2. Si se tiene una base entera negativa, entonces obtendremos:

Producto de bases iguales, obtenemos -219. Tenemos: -219  (-8)5 7mo PASO: Ley de signos, uniformizando bases y potencia de potencia

(Negativo)Par = Positivo

tenemos: -219 (-23)5 = -219 -215

(Negativo)Impar = Negativo Ejemplos: (-7)3 = (-7)(-7)(-7) = -343

(entero negativo)

(-10)2 = (-10)(-10) = 100

(entero positivo)

8vo PASO: División de bases iguales, tenemos: 24 = 16

Antes de comenzar a practicar, observemos éste ejercicio resuelto, con la finalidad de ilustrar nuestros conocimientos teóricos:

40

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA

Practiquemos Nivel I 1. Hallar cada una de las siguientes potencias: a) 152 =

..............................................................................................................

b) (-5)2 =

..............................................................................................................

4

c) -2 =

..............................................................................................................

d) (-2)4 =

..............................................................................................................

e) (-3)5 =

..............................................................................................................

2. Calcular las siguientes potencias y contesta: 12 ; 13 ; 120 ; 18 ; (-1)7 ; (-1)4 ; (-1)6 ; (-1)5 ; (-1)11 a) b) c) d)

¿Cuánto valen todas las potencias de 1? ¿Cuánto valen las potencias de base -1 elevadas a un exponente par? ¿Cuánto valen las potencias de base -1 elevadas a un exponente impar? Determine el valor de: (-1)759376581 ; -1200730012

3. Calcula los productos de las siguientes potencias de igual base. a) 32 . 33 = 4

................................................................................................ 2

b) (-2) (-2) =

................................................................................................

c) (-1)7(-1)5 (-1)3 = ................................................................................................ d) (-5)3 . (-5)2 =

................................................................................................

4. Calcular el valor de los siguientes cocientes:

a)

b)

c)

d)

25 22



( 7) 8 ( 7)5

.......................................................................................................



.......................................................................................................

200060 (2600)0 (13)2000 (13)1998 (9)777

 .......................................................................................................

 .......................................................................................................



.......................................................................................................

 215  f)  12    2 

.......................................................................................................

e)

(9)774 2

CARLOS VALDERRAMA

41

Potencia con números enteros 5. Calcular la potencia de potencia de: 3

a) (3)5  = ................................................................................................   6

b) (5)0  = ................................................................................................   c) (-42)3 =

................................................................................................

d) (82)3 =

................................................................................................

e) (69)3 =

...............................................................................................

f) (-23)5 =

...............................................................................................

6. Simplificar:

53 9 2  6 2   a) 32  60  120    

8. Siendo:

0 

..................................................................... b) (-7)9 . (-7)6 : (-7)10 . (-7)3 : (-7)8 =

3 200 0 A  (17) 0  151  (3) 4

0 20 50 B  (15)3  (90) 0  (4) 2 Hallar el valor de: AB. Nivel II

......................................................................

2 3 2  c)    52   :  55  :   52           

9. Simplificar: I. [(-72)3 . (73)2] (74)3 II. [12x(-12)3 . (-12)4] [(-12)5 . (-12)2 ] III. [85 215]5

..................................................................... 7. Ordenar de mayor a menor:

10.Simplificar: E 

(2)16 (3)9 . (25) 4 (5)3 (9) 4 (16)4

A = (-3)2 . (-3)3  (-3)4

(4)5 B=  42 C = (-1)100 (-1)99

D  (2) 4

11.Reducir: E 

2110. 2515. 167 2014.3510.156.92

12.Luego de reducir: A

30

B

184.723.60 4 6002. 367

700 4.153 492. 3003. 252

Hallar (A - B)3  (B - A)2

42

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA 13.Si: a * b = a2 - b2 c d = c3 - d2

15.Siendo:

a Determine el valor de:

a

b b

=a-1

; si: a < b

2

=b+1

; si: a > b

E = [(-3) * 2]  [5 * (-6)] Determinar el valor de: 14.Si: 1

a = a3 ; cuando "a" es par.

E=

3

4

- 4

3

a = a2 ; cuando "a" es impar.

Calcular: E =

4

-

2

-

7

Tarea domiciliaria Nivel I 1. Hallar cada una de las siguientes potencias:

  310   e)   8   3 

3

a) 162 = b) (-7)3 = c) -34 = d) (-5)2 =

4. Calcula la potencia de potencia de: 2 3 a)  2   =  

e) (-2)5 = 2. Calcular los productos de las siguientes potencias de igual base: a) 53 . 52 = b) (-3)3 . (-3)2 =

100 0 b)  13  =  

3  2  c)   17        

0 =

c) (-1)300 (-1)100 (-1)4477 = d) (-2)2 (-2)5 = 3. Calcular el valor de los siguientes cocientes:

10 a) 2  27 b)

5. Efectuar:

3 6 6 5   E     25       23            

(11)15 (11)12

0 c) (1998)  19980 d)

1 3  2   d)   5   =     

 1503 (150) 2

CARLOS VALDERRAMA

6. Efectuar: | E   716   

210

10 14 50  7 32  7 2  7 2

43

C

POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

8

2. Exponentes Iguales.

NOTACIÓN

m m

* a b = (a.b)

Exponente

n

a

Potenciación

=P

Potencia

Base DEFINICIÓN DE EXPONENTE ENTERO POSITIVO

an  a . a . a . ......... a . a ; n  ZZ     n 2 "n" veces

m

*

am bm

m

a   b

; b0

Ejemplo: * 3 2  2 2  (3 . 2 ) 2  6 2  36 * 15 7  (5 .3) 7  5 7  3 7 *

52 22

2

5     (2 ,5 ) 2 2

3. Potencia de Potencia. (am)n = am.n = (an)m

Ejm:

• 34  3.3.3.3  81

Ejemplo:

 26  2.2.2.2.2.2  64

* (32)4 = 32.4 = 38

DEFINICIÓN DE EXPONENTE CERO

a0  1

;

(a  0)

* 232523.2.5 230

Nota:

Ejemplo: i) Todo número elevado a un exponente ‘‘par’’ resultará siempre positivo.

0

• 5 = 1 • (3)0 = 1 • 30 = 1

* (+)

TEOREMAS

par

4 = (+)  (2) = 16 4  (-2) = 16

par * (-) = (+)

1. Bases Iguales.

* am . an  amn

*

am  amn ; (a  0) n a

Ejm: * 23 . 24 = 23+4 = 27 * 53+n = 53 . 5n = 125 . 5n *

27 2

4

 27 4  23

n 2  * 3

3n 2

3



CARLOS VALDERRAMA

3n 9

4 Obs.: 2 = 16 ii) Todo número elevado a un exponente ‘‘impar’’, saldrá positivo si su base es (+) y saldrá negativa, si su base es (). impar * (+) = (+)

 (2) 3 = 8

* (-)



= (-)

3

3

Obs.: (2)3 (8) = 8

44

ÁLGEBRA

Pract iquemos Nivel I

7. Reducir:

-2

2

3

+ -2

3

2

8. Reducir: L = 32 + (32)3 - 272 + 5

1. Resolver: 4 * 3 =

________________________

2 5 * 2 .2 =

________________________

9. Calcular:

 760 D  72  750  49  42    77 

   

10.Calcular:

57 *

=

54

________________________

I

0

0 2

0

* 3 +2 +2 =

"10" veces  x 2 . x 2 . x 2 ....... x 2 . x n  2 x. x . x......... . x x (20 n) veces

________________________ Nivel II

2

2

* (23) + (32) =

________________________

11.Calcular:

A *

23 . 24 . 25 (23 )4



________________________

R

327 273

13.Calcular:

(x 2 . x 3 . x 4 )3 (x 3 . x 2 )2

D

3. Reducir:

216  162 88

14.Reducir: 0

0

2 5 C  80     (320)0  (3)0     (20 )  1 9   4

L

153.6 4 93  4 2  125

15.Simplificar:

4. Hallar: 0

 1 H  (2)      (5)0  23  5 0

5. Hallar:

82

12.Calcular:

R 2. Calcular:

28

1 0 2 0 V  52  3 4  7 0  4 4

2 (7n 2) veces    x10  2n    x . x . x ......... x . x  A .  x . x . x ....... x . x x . x . x ......... x     (n  3) veces "2n" veces 16.Calcular: A

6. Efectuar: 2 139 5

A  24

CARLOS VALDERRAMA

 26

(21)6 (35)5 (80)3 (15) 4 (14)10 (30)2

2  (52  321 )

45

Po ten cia de Ex pon en te E n tero 17. Reducir:

19.Efectuar: (ab3) veces      x. x. x .....x. x  S  x. x. x ....x. x      (ab2) veces 

3519  4016  2713

E

3030  455  1418

18.Reducir:

R

6n  35n  341 n

(ab5) veces      x. x. x .........x. x    x. x. x .........x. x     (ab 4) veces 

20.Si: nn = 2

62n  15n  77n

n1 n 1 n

Mn

Calcular:

Tarea domiciliaria 9. Siendo: A = 162 ;

Nivel I

B = 216

Obtener: B 2 A

1. Efectuar en cada caso: a) x5 . x7 . x9 . x11

b)

12

10

8

6

10.Si: I 

a .b

a .b

47

84 Hallar: I + A

c) x . x2 . x3 . x4 . .. x9

Nivel II

d) x1 . x-2 . x3 . x-4 . x5

11.Calcular:

N

3 4 5 6 7 8

2. Reducir: x y x y x y

3. Efectuar: (x2y)(x3y2)(x4y3)(x5y4)

Calcular: T  5

6

3

4

x .x .x .x .x 4

5

2

316  812 98

(a3 )a (a2 )a

13.Reducir:

5. Calcular: 0

E

0

3 1 0 0 0 0 C  7     (240)  (5)     (3 )  1 4 2

5

4

0

0

9

2

2

2

E

0

7. Calcular: 3

2

A  ( 2)  (7)  ( 3)

15.Si: I 

2

36  102  27 64  5

14.Reducir:

6. Hallar: 1 2

814

2

3

x .x .x .x .x

V3

318

12.Si: aa = 3

4. Reducir:

152  25  632 352  452

36  102  27 4

6 5

1

; A  24  2

Hallar : I + A

8. Realizar:

     

M 3

46

;A

5

4

 5

9

3

 3

4

5

 

 9   5 

1

  

3

1er Año de Secundaria

ÁLGEBRA 16.Reducir:

L

4

5

3

8

10

6

4 4 4 2 2

2

19.Si: T 

2a2  4 a2b 8a2  16b2

Hallar: T2 17. Calcular:

A

23  43  16 84



(32 )4  (23 )6 85  812

18.Calcular:

20. Hallar: M  x x

x 1

Si: xx = 3 21.Si: nn = 2

 536 R  54  530  29  4   25 

CARLOS VALDERRAMA

   

n 1 Hallar: V  n3n

47

I. MULTIPLICACIÓN DE DOS O MAS MONOMIOS. Se efectúa aplicando las reglas de la potenciación y los signos y las propiedades: asociativa y conmutativa del producto. Propiedad: Bases Iguales:

C

MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

9

Multiplicación de dos polinomios. Se efectúa multiplicando cada uno de los términos de un polinomio con todos los términos del otro polinomio; sumando después los productos obtenidos. Es conveniente ordenar los polinomios según las potencias crecientes (o decrecientes) de una de las variables.

am . an = am+n

1. Ejm: Efectuar:

5. Ejm:

a. x2 . x3 = x2+3 = x5 b. x4x5y2y3 = x9y5

Multiplicar (x3+2x) por (x  3)

2. Ejm:

Resolución:

Multiplicar los monomios

Ordenando según las potencias decrecientes de ‘‘x’’

(-4x4y3)  (+5x7y2)

3

x  2x ...........() x 3

Sol:

x

(-4x4y3) . (+5x7y2) = (-4) (+5) (x4) (x7) (y3) (y2) = -20x11y5

4

 2x

2

Multiplicando () por x

3

 3x  6x 4

II. MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO. Se efectúa multiplicando el monomio por todos y cada uno de los términos del polinomio; sumando luego los productos obtenidos. 3. Ejm. (Método de multiplicación lineal) Multiplicar: (2x+3x2+4x3) por 2x

3

Multiplicando () por ( 3) 2

x  3x  2x  6x

6. Ejm: Multiplicar: (x3 + 2x) por (x-3) (Método de multiplicación líneal)

3

Solución:

4

2

3

(x - 3) . (x + 2x) = x + 2x - 3x - 6x

( 2 x ) . (2 x  3 x 2  4 x 3 ) 2

Ordenando según las potencias: 3

 ( 2 x )( 2 x )  (2 x )(3 x )  (2 x )( 4 x )  4x 2  6x 3  8x 4

x4 – 3x3 + 2x2 – 6x

4. Ejm. Multiplicar: 2x3 – 3x4 por (-3x)

( 3 x ) (2 x 3  3 x 4 )  ( 3 x )(2 x 3 )  ( 3x )(  3x 4 )  6x 4  9x5 CARLOS VALDERRAMA

48

ÁLGEBRA 14.Multiplicar: (x + 3) por (x – 1)

Pract iquemos

a) x2 + 3x –1 c) x2 – 2x + 3 e) N.A.

Nivel I 1. Efectuar:

b) x2 + 2x – 3 d) x2 – 3x – 3

15.Multiplicar: (7x – 3) por (4 + 2x)

a) x5 . x12 . x3 = ................................................. b) 3x9 . 2x4 = .................................................... c) (-4x7) (-7x5y2) = ............................................ 2. Efectuar: a) (2x3) (-7x5y2) = ............................................ b) (-5x3y4) (-4x4y5) = ........................................ c) (-2x4y) (+5x3z4) (-6y7z2) = ............................ 3. Multiplicar: D = (-4x3y5) (+3x4z6) (-7y2z3) 4. Multiplicar: A = (-4a5bc) (-3a3b3c3) (8a2bc) (-5ab4) 5. Multiplicar: N = (23x4y3) (32x5z7) (52y4w6) (25z3y4) 6. Multiplicar: I = (-5xm-3yn+7zp+2) (-27x5-my3-nz3-p) 7. Multiplicar: T = (+243x6ym+1zn-5) (-432x2y9-mz13-n) 4

3

2

5

6

a) 14x2 + 22x – 12 c) 14x2 – 22x + 12 e) 14x2 – x + 12

b) 14x2 + x + 12 d) 14x2 – 22x – 12

16.Multiplicar: (3x + 2) por (x – 1) a) 3x2 – x – 2 c) x2 – 3x + 2 e) 3x2 – x + 2

b) 3x2 + x + 2 d) 3x2 + x – 2

17. Multiplicar: (5x – 3) por (2x + 3) a) 10x2 + 9x – 9 c) 10x2 + 9x + 6 e) 10x2 – 3x + 9

b) 10x2 + 11x – 6 d) 10x2 – 9x + 2

18.Multiplicar: (x – 1) por (x2 + x + 1) a) x3 +3x2 + x + 1 c) x3 – 1 e) 3x3 + x2 + x –1

b) x3 – 3x2 + 3x – 1 d) 3x3 + 1

19.Multiplicar: (x + 2) por (x2 – 2x + 4) a) x3 + 8 c) x3 – 8x2 + 16x – 8 e) x3 – 8x2 + 8

b) x3 + 8x + 8 d) x3 – 8

20.Multiplicar: (x + 2) por (x2 – x + 1)

8. Multiplicar: O = (+5x ) (-3x ) + (-6x ) (-4x ) – (x ) (+5x) 9. Multiplicar: E = (+7x2y3) (x3 – 5x2y + 3xy4 – y3) 10.Multiplicar: N = (-3x5y4) (4 - 4x6y3 + 53x4)

a) x3 + x2 – x + 2 c) x3 – x2 + 2x – 2 e) x3 + x2 – x –2

b) x3 + 3x2 – x – 2 d) x3 – x2 + x – 2

Nivel III 21.Multiplicar: (x + 2) por (x2 + x – 1)

Nivel II 11. Multiplicar: x7y5 (57x5y7 + 75x12 – 4y25) 12.Si: I = (-4x2) (x5 – 6x3 + 5x2 + x – 3) C = (+3x) (2x6 +3x4 – 7x3 – 5x2 + 8x)

a) x3 + 2x2 – x – 2 c) x3 – 3x2 + x – 2 e) x3 + 2x2 – x + 2

b) x3 + 3x2 + x – 2 d) x3 – 2x3 + 3x – 2

22.Multiplicar: A = (24xm+7yn+2) (33x3-my8-n + 43x2-ny7-n) 23.Dado el siguiente polinomio:

Calcular: I + C D(x,y,z) = (77x6y5z4) (73x7y4 – 75x4y9z3 + 74y13y2z13) 13.Multiplicar: R = x4y7 (x5y2 – 6x3y3 + 3x2) – 5x2y5 (x7y4 + x5y5 – 2x4y2)

CARLOS VALDERRAMA

Calcular: G.R.(x) + G.R.(y) + G.R.(z) + G.A.(D)

49

Mult ipli caci ón Algebraica 24.Multiplicar: (x2 + x + 1) por (x2 – x + 1) a) b) c) d) e)

x4 + x2 + 1 x4 – x3 + x2 + 1 x4 + x3 + 2x2 + 1 x4 – x2 + 1 x4 – x3 + x2 – 1

25.Multiplicar: (x2 + xy + y2) por (x2 – xy + y2) a) b) c) d) e)

x4 + x3y3 + xy2 + y2 x4 – x2y2 + y4 x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4 x4 + x2y2 + y4 x4 + x3y – x2y3 + xy2 – y4

26. Multiplicar: (x2 – x + 2) por ( x2 – x – 2) a) b) c) d) e)

x4 – 2x3 + x2 – 4 x4 + 2x3 + x2 + 4 x4 – x2 + 4 x4 + x2 + 4 x4 – x3 + x2 – 4

27. Multiplicar: (x3 – y + x2) por (x3 + x2 + y) a) b) c) d) e)

x9 – x3y + xy4 + x4 – y2 x6 + 2x5 + x4 – y2 x6 + x4 + y2 x6 – x5 + x4 – y2 x9 + x5 +x4y + x3y2 + x2 – y2

28. Multiplicar: (x3y + xy2 + yx2 + y3) por (x2 – xy + y2) a) b) c) d) e)

x5 + x3y2 + x2y3 + y5 x5 – x3y2 + x2y3 x5 – x4y + xy4 – y5 x5 + x4y3 + x3y2 + x2y3 + xy4 + y5 x5 + x4 + xy4 + y5

29.Multiplicar: (x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) por (x3 – x2 + x – 1) 30.Multiplicar: (x7 – x5 + x3 – x + 1) por (x4 – x2 + 1)

Tarea domiciliaria Nivel I 1. Efectuar:

7. Multiplicar: (343x12y5-mzn+2) (121x8ym+15z18-n) 8. Multiplicar: (6x7) (2x3)  (+5x6) (3x4) + (4x8) (8x2)

a) x5 . x13 . x26 = ..................................................... b) 4x5 . 8x6 = .........................................................

9. Multiplicar: (13x6y4) (2x7  9x3y5 + 4x2y3  y8)

c) (2x4) (4x5) (7x3) = ........................................ 2. Efectuar:

10.Multiplicar: (4x7y6) (9 + 5x9y5 + 34x8)

a) (5x7) (8x4y5) = .................................................

Nivel II

b) (6x4y3) (8x3y4) = ...........................................

11.Si: R(x) = (5x3) (x9 – 4x5 + 7x3 + x2) J(x) = (4x2) (2x10 + 5x6 – 9x4 – x3)

c) (2x3y2) (+3x4y3) (+4x5z4) = .................................. 3. Multiplicar: (9x5y7) (7x6x8) (12y7z4)

Calcular: C = R(x) + J(x)

4. Multiplicar: (7a5b2c) (-4a8b5c3) (3ab4c) (8a2b6c5)

12.Multiplicar: (x + 5) por (x – 4)

5. Multiplicar: (33x5z4) (25x3y8) (5y7w11) (102z12w9)

13.Multiplicar: (2x + 1) por (3x – 2)

6. Multiplicar: (8xm-4yn+3zp-3) (32x9-my4-nz7-p)

14.Multiplicar: (3x + 5) por (7x – 3) 15.Multiplicar: (x – 3) por (x2 + 3x + 9)

50

1er Año de Secundaria

ÁLGEBRA 16.Multiplicar: (x – 7) por (x2 + 7x + 49)

23. Dado el polinomio: D(x,y,z) = (34x5z3) (33x9y7 + 32x8y12z6 + 35y17z18)

2

17. Multiplicar: (x + 3) por (x – 3x + 9) Calcular: G.R.(x) + G.R.(y) + G.R.(z) + G.A.(D) 18.Multiplicar: (2x – 3) por (4x2 + 3x + 9)

24.Multiplicar: (x3 + 2y + x) por (x3 + x – 2y)

19.Multiplicar: (x2 – 2x + 3) por (x2 – 2x – 3)

25.Multiplicar: (x4 + x2 + 1) por (x4 – x2 + 1)

20.Multiplicar: (42x9-my7+n) (25x2+my4-n + 83xm+1y3-n)

26.Multiplicar: (x2 + xy2 + y4) por (x2 – xy2 + y4)

Nivel III

27. Multiplicar: (x8 + x4y4 + y8) por (x8 – x4y4 + y8)

21.Si se tiene el polinomio: 6 7

9 5

13

H(x,y) = (–3x y ) (4x y + 5x

28.Multiplicar: (x3 + x2 + x + 1) por (x2 – x + 1)

15

– 9y ) 29.Multiplicar: (x3y + x4 + xy3 + x2y2 + y4) por (x – y)

Calcular: A = G.A.(H) + G.R.(y) + G.R.(x) 22.Multiplicar: 7 5

3 7

4 6

2

5 3

5 9

6 8

4 2

30.Multiplicar: (x3 + x2y + xy2 + y3) por (x3 – x2y + xy2 – y3)

R (x,y)= 4x y (x y –5x y + x )–6x y (x y –3x y + x y )

CARLOS VALDERRAMA

51

C VALOR NUMÉRICO

Es el resultado obtenido luego de reemplazar a las variables de una expresión algebraica por cantidades o constantes definidas. Ejemplo:

Si: E(x; y) = 2x2 + 5xy - y3

Hallar el valor numérico (V.N.) de E(x,y) si se sabe que x = 3, y = 2. Solución:



E(3;2) = 2(3)2 + 5(3)(2)  (2)3 = 2(9) + 5(6)  8 E(3;2) = 18 + 30  8 = 40

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

10

2

3. Si: C(x) = x + 2; calcular el V.N. en cada caso: * C(1) * C(-2) * C(5)

* C(-1) * C(3) * C(-6)

* C(2) * C(-4) * C(7)

4. Si: E(x) = 2x3 + 1; calcular el valor numérico en cada uno: * E(0) * E(5) * E(4)

* E(2) * E(1) * E(a)

* E(1) * E(2) * E(b)

5. Si: L(x;y) = 3x2y3 + 2; calcular el valor numérico en cada caso.

Ejemplo: 2

Si: P(x;y) = 2x + 5xy - y

* L(0;0) * L(5;3) * L(4;2)

2

Calcular: P (5; 0)

x = 5; y = 0 2

P(5; 0) = 2(5) + 5(5)(0) - (0)

2

P(5; 0) = 2(25) + 0 - 0

* E(0;0;1) * E(5;3;1)

* E(2;3;1) * E(1;3;4)

* E(1;3;2) * E(-2;3;2)

7. Hallar el valor numérico de cada polinomio para el valor de la variable indicada: a) N(x) = 2x2 + 4x + 5; Para: x = 2 b) I(y) = 3y3 + 2y2 + y  13; Para y = 3

 P(5; 0) = 50

Pract iquemos

c) T(m) = m4 + m3  2m2 + 8m + 3; Para m = 2 8. Hallar el valor numérico de los siguientes términos para: a = 1; b = 5; c = 4; m = -1; n = -2

Nivel I 1. Si: A(x) = 2x + 5; calcular el valor numérico en cada caso. * A(-2) * A(+5) * A(-8)

* A(3) * A(-6) * A(9)

2. Si: B(x) = -3x - 7; calcular el valor de numérico en cada caso. * B(0) * B(-3) * B(-6)

* L(1;2) * L(2;3) * L(b;2)

6. Si: E(x;y;z) = -2x3y2z + 3; calcular el valor en cada caso:

Solución:

* A(1) * A(-4) * A(+7)

* L(2;1) * L(1;4) * L(a;3)

* B(1) * B(-4) * B(7)

CARLOS VALDERRAMA

a) 8bcm d) 40ab2c2

b) -bm2n e) cm3n

c) 4a2b3c f) -b2n2

g) a2bcm3n

h) -4m2n

i) a3bcm2n

9. Si: A(z) = 3z3 + 2z2 + 3z - 15 Calcular: M = 2A(3) - 3A(2) 10.Si: f(x) = 3x - 5

 f(1)

= ______________

* B(-2) * B(5) * B(-8)

52

ÁLGEBRA 26.Sea: N(2x  5) = 3(2x  5)7 + 2(2x  4)3 + 5

Nivel II 11.Si: g(x) = x2 - 3x + 2  g(0)

= ______________

12.Si: h(x) = x2 - 4x + 5  h(1)

= ______________

Hallar: I = N(1)  N(1) + N(0) 27. Sea: A(x) = x + 3; además: A[P(x)]= 2x + 7

2

13.Si: p(x) = (x - 4) + 2  p(0) = ______________ Hallar: P(5) 14.Si: q(x) = (x+5)2 - 7  q(1)

= ______________

15.Si: r(x) = (x2 - 4x + 6)2 - 3

 r(0) = __________

16. Si: s(x) = (x+2)(x-3)+5

 s(1) = __________

17. Si: t(x) = (x2+2)2 -(x - 3)+2

 t(0) = __________

18.Si: w(x) = (x3+2x+5)(x5-x2+2)

 w(1)= __________

P(x) = 4x2 + bx + c; Si: P(0) = 3 y P(1) = -2

19.Si: z(x) = (x5 - 2x + 1)20

 z(0) = __________

Calcular el valor de: E = 3b  5c + 8

20.Si: m(y) = (y7 - 2)2(y4 + 3)3

m(1) = __________

28.Sea: P(x) = 4x  5; además: P[Q(x)] = 5x  8 Hallar: Q(5) 29.Dado el polinomio:

30.Dado el polinomio: I(x) = 3mx  9; Si: I(2) = 9

Nivel III

Hallar el valor de ‘‘m’’.

21.Si: P(x) = 5x + 7 y Q(x) = 2x  5 Calcular: N = P(3) + Q(2) + P[Q(3)] 22.Sea: E(3x  1) = 6x + 2; calcular: a) E(2); b) E(5); c) E(8);

d) E(11); e) E(1); f) E(4);

23.Si: L(x  2) = x2  x + 3

g) E(7) h) E(a) i) E(3b)

Nivel IV 31.Si: P(x;y) = x2 + y2  xy + x  y + 3 Calcular: L = [P(0;0)  2P(1;1)] - [P(1;2)  P(3;2)] 32.Si: P(x;y) = 2xy2  x2y + x  y Q(x) = 2x3  2x2 + 3x + 2 Calcular el valor de: E = Q[P(2;2)] + P[Q(1);Q(0)].

Calcular = L(7) + L(5)  L(6) 33.Sea: P(x + 3) = 2x - 5; además: P[Q(x) + 2] = 3x  7 24.Sea: T(2x  7) = 8x  17 Hallar: Q(7) Hallar: A = T(9) + T(9) 34.Sea: F(2x  3) = 4x + 5; además: F[G(x)  1] = 6x  7 25.Sea: M(3x  1) = 4x  13 Hallar: G(5) Hallar: I = M(8) + M(5) + M(2) 35.Sea: P(x) = 2x  6; además: P[2Q(x) + 1] = 4x  10 Hallar: Q(3)

CARLOS VALDERRAMA

53

Valor N um ér ico

Tarea domiciliaria 9. Si: P(z) = 2z4  3z2  5z + 11

Nivel I 1. Si: A(x) = 3x - 7; calcular el valor numérico en cada caso. * A(2) * A(-5) * A(8)

* A(-3) * A(6) * A(-9)

* A(4) * A(-7) * A(10)

Calcular el valor de: E = 2P(3)  3P(2)  f(1) = _________

10.Si: f(x) = 4x + 7 Nivel II 2

2. Si: B(x) = -2x + 5; calcular el valor numérico en cada caso.

11.Si: g(x) = x + 4x - 5 g(0) = _________ 2

* B(0) * B(3) * B(-6)

* B(1) * B(-4) * B(7)

* B(-2) * B(5) * B(-8)

3. Si: C(x) = x2 + 3; calcular el valor numérico en cada caso. * C(1) * C(-2) * C(5)

* C(-1) * C(3) * C(-6)

* C(2) * C(-4) * C(7)

4. Si: M(x) = 5x3; calcular el valor numérico en cada caso. M(0); M(5); M(4);

M(2); M(1); M(a);

M(1); M(2); M(b)

5. Si: N(x;y) = 2x2y; calcular el valor numérico en cada caso. N(0,0); N(5,3); N(4,2);

N(2,1); N(1;4); N(a;3);

N(1,2); N(-2,3); N(b;2)

6. Si: P(x,y,z) = 2x3y2z4; calcular el valor numérico en cada caso. P(0,0,1); P(5,3,1);

P(2,3,1); P(-1,3,4);

P(1,3,2); P(1,2,1)

7. Hallar el valor numérico de cada polinomio para el valor de la variable indicada: I. P(x) = -3x3 + 5x2 + 7x  18; para x = 2 II. Q(y) = 5y5  2y3 + 4y2 - 25y + 5; para y = 1 III. R(m) = 6m2  13m + 7; para m = 3 IV. G(x) = 4x2 + 3x  8; para x = 2 8. Halla el valor numérico de los siguientes términos para: a = 1; b = 2; c = -3; p = -2; q = 1 a) abc d) b2cp3

b) b2pq e) bp3q2

g) abcpq

h) 4ab2pq3

c) 3acq f) -4abc i) -3a3b4cpq5

12.Si: h(x) = x -5x + 13 h(1) = _________ 2

13.Si: p(x) = (x-3) + 2 p(0) = _________ 2

14.Si: q(x) = (x+6) - 5 q(1) = _________ 2

2

15.Si: r(x) = (x - 3x + 2) + 3  r(0) = _________ 2

2

3

16.Si: t(x) = (x +4) -(x -3)+4  t(1) = _________ 7

2

8

4

19

 z(1) = _________

17. Si: w(x) = (x -3x +2)(x -x +3)  w(0) = _________ 19

24

18.Si: g(x) = (x -3x +1) 4

3

2

19.Si: s(x) = (x+1) (x-2) (x+3)  s(0) = _________ 5

4

4

3

20.Si: m(y) = (y -3) (y +2)  m(1) = _________

Nivel III 21.Si: P(x) = -2x2 + 3x + 5 Calcular el valor de: E = 2P(2) + 3P(3) 22.Si: P(x,y) = x3  3x2 + 2xy2  y3 Calcula: a) b) c) d)

P(0,0); P(2,3); P(3,3); P(2,3)

23.Si: P(x) = 3x - 6 y Q(x) = 2x + 5 Calcular: N = P(4) + P(3) + P[Q(0)] 24.Sea: E(2x  3) = 4x + 5; calcular: a) E(5) b) E(3) c) E(7)

d) E(1) e) E(3) f) E(7)

g) E(2a) h) E(b)

25.Si: L(x + 3) = x2 + x  1 Calcular: E = L(5) + L(3)  L(4)

54

1er Año de Secundaria

ÁLGEBRA 26.Sea: N(5x  4) = 2(5x  4)19 + 3(5x  4)2 + 1 Hallar: I = N(1) + N(1) + N(0) 27. Sea: T(4x  7) = 5x  9

Nivel IV 31.Calcular: E = [P(0,0)  2P(1,1)]  [P(2,3)  P(4,5)] 32.Si: P(x,y) = x4 + y4  2x2y2 Q(x) = 2x3  3x2 + 8x  1

Calcular: A = T(9) + T(3) Calcular el valor de: 28.Sea: M(3x  2) = 5x  9 Hallar: I = M(7) + M(10)  M(13) 29.Sea: A(x) = x + 5 y A(P(x)) = 2x + 3 Hallar: P(2) 30.Sea: P(x) = 3x + 1 P[Q(x)] = 5x + 7

a) Q[P(2,1)] b) P[Q(1); Q(2)] 33.Sea: F(2x  3) = 4x + 5; además F[G(x)] = 6x  7 Hallar: G(4) 34.Sea: P(x + 2) = 2x + 5; además: P[F(x)-3] = 4x-11 Hallar: F(7)

Hallar: Q(3) 35.Sea: Q(x + 2) = 3x  5; además: Q[P(x)  4] = 9x + 1 Hallar: P(5)

CARLOS VALDERRAMA

55

C

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

GRÁFICAS LINEALES

Plano Cartesiano

11

El segundo número de par ordenado (-3;1) determina el desplazamiento vertical respecto al cero.

Sobre una recta numérica cada punto corresponde a un número. En un plano, cada punto corresponde a un par ordenado de números tomado de Z x Z. Para representar este producto cartesiano, trazamos un eje X y un eje Y perpendiculares entre sí. Su intersección se llama origen y se designa con el símbolo O. Las flechas indican las direcciones positivas. A este sistema se le llama sistema de coordenadas cartesianas.

* Positivo para los números ubicados hacia arriba. * Negativo para los números ubicados hacia abajo. Los ejes dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. Indicadas por números romanos y numeradas en contra del sentido de las manecillas del reloj a partir del cuadrante superior derecho. Ejemplo N° 1

Par ordenado

Representa gráficamente los pares ordenados:

Sea: P = (x,y)

(-3; 2), (-1; -4), (4; 3), (5; 5)

El primer miembro de un par ordenado se llama coordenada en x, o abscisa. El segundo miembro se llama coordenada en y u ordenada. A estos dos números se les llama coordenadas de un punto.

5

y (5,5)

4

Punto A (-3,1) -3

-2

(-3,2)

3

2

2

1

1

-5 -4 -3 -2 -1 0 -1

-1 0 -1

1

2

3

x

2

3

4

5

-3 (-1,-4)

Plano Cartesiano

La ubicación de un punto cualquiera del plano se determina midiendo su distancia respecto de los ejes x e y. El primer número del par ordenado (-3;1) determina el desplazamiento horizontal respecto al cero. * Positivo para los números ubicados a la derecha. * Negativo para los números ubicados a la izquierda.

CARLOS VALDERRAMA

1

-2

-2 -3

(4,3)

3

y

-4 -5

Gráfica de un polinomio de primer grado o lineal Es de primer grado o lineal si el grado absoluto del polinomio es 1 Notación: Y = P(x) = ax + b; (a  0)

56

ÁLGEBRA Si un polinomio tiene dos variables, debes encontrar pares ordenados de números con la propiedad de que al sustituir los números en vez de las variables éstas verifican la igualdad.

Ejemplo N° 1

Ejemplo

Primero encuentra algunos pares ordenados que verifiquen la igualdad. Podemos escoger cualquier número por el que tenga sentido reemplazar "x" y después determinar "y".

Determina si los pares ordenados siguientes pertenecen a la igualdad "y". (-1; -4)  (7; 5) ; y = 3x - 1 a) Verificamos para el punto (-1; -4), donde x=-1 e y=-4, luego sustituye -1 en vez de "x" y - 4 en vez de "y". y=

3x - 1

-4 -4 -4

3(-1) -1 -3 -1  se verifica la igualdad -4

La proposición es cierta, de modo que (-1;-4) pertenece a la gráfica de y = 3x - 1. b) Verificamos para el punto (7; 5), donde x=7 e y=5, luego: sustituye 7 en vez de "x" y 5 en vez de "y".

Representa gráficamente: y = 3x - 1. Solución:

Sea x = 0. En tal caso, y = 3(0) -1 = -1. Así (0,-1) Es un par ordenado. Sea x = -1. En tal caso, y = 3(-1) -1 = -4. Así (-1,-4) Es un par ordenado. Sea x = 1. En tal caso, y = 3(1) -1 = 2. Así (1,2) Es un par ordenado. Sea x = -2. En tal caso, y = 3(-2) -1 = -7. Así (-2,-7) Es un par ordenado. Sea x = 2. En tal caso, y = 3(2) -1 = 5. Así (2,5) Es un par ordenado. Anotamos los valores que verifican la igualdad.

5

y 3x - 1 5 3(7) -1 5 21 - 1 5 20

y (2; 5)

4 3

 no se verifica la igualdad

2 La proposición es falsa, de modo que (7;5) no pertenece a la gráfica de y = 3x - 1.

Observaciones importantes * La gráfica de un polinomio de primer grado es siempre una recta. * Para trazar la gráfica se hace una tabla de valores.

Utiliza papel milimetrado. Marca los ejes con símbolos para las variables. Utiliza flechas para indicar las direcciones positivas. Marca algunos números sobre los ejes para indicar la escala. 5. Representa algunos pares ordenados y completa la gráfica.

(1; 2)

1 1 2 -3 -2 -1 0 -1 (0; -1) -2

3

4

5

-3 (-1; -4)

-4 -5

Directrices para la representación gráfica 1. 2. 3. 4.

y=3x-1

x

y = 3x - 1

Pares ordenados

0

-1

(0; -1)

1

2

(1; 2)

2

5

(2; 5)

-1

-4

(-1; -4)

-2

-7

(-2; -7)

Después representamos estos puntos. Si pudiésemos marcar todos los pares ordenados, éstos formarían una línea recta. Podemos trazar la línea con una regla, y rotularla como y = 3x - 1. (observe el gráfico) CARLOS VALDERRAMA

57

Gráficas Lineales Ejemplo N° 2

Pract iquemos

Representar gráficamente: y = x+2 Solución: Tomamos valores de "x" al azar y tabulamos:

x

y=x+2

Pares ordenados

-3

-1

(-3;-1)

-1

1

(-1;1)

1

3

(1;3)

2

4

(2;4)

Nivel I 1. Representa gráficamente los pares ordenados: a) (-2;-2) d) (-3;5) g) (-5;2)

a) (1;7),(2;9) ; b) (-1;4),(0;6) ;

y = 2x + 5 y = -2x + 3

3. ¿Cuáles de las siguientes igualdades son lineales? Si una igualdad no es lineal, di porqué

y

y=x+2 a) xy = 9 d) 8x-17y = 5

(2; 4)

4 3

b) 2r + 7= 45 e) 4x - 3

3

c) 4x = 7y f) x5 - 1 = y

* Representa gráficamente:

(1; 3)

2 (-1; 1)

c) (5;6) f) (3;2) i) (-4,0)

2. Determina si los pares ordenados que se indican verifican la igual dad.

* Se localizan los puntos obtenidos en un plano cartesiano.

5

b) (1;-4) e) (0;8) h) (-4;3)

4.

P(x) = 4 - x

5.

P(x) = 5 + x

6.

P(x) = x - 6

7.

P(x) = -3 + x

8.

y = -2x - 10

9.

y = -x

10.

x=4

1

-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 (-3; -1) -2 -3

1

2

3

4

5

-4 -5

Nivel II

58

11.

y = -3

12.

y=0

13.

x = -5

14.

-2x = 6y

15.

3x = -8y

16.

2y = 5x

17.

2x - 6y = -2

18.

3y = 2x - 6

19.

3y = 4x - 12

20.

5x = 3y + 15 1er Año de Secundaria

ÁLGEBRA

Tarea domiciliaria Nivel I

* Representa gráficamente:

1. Representa gráficamente los pares ordenados: a) (-3;3) d) (-4;-2) g) (-7;0)

b) (2;-5) e) (0;5) h) (-5;6)

c) (1;-6) f) (2;1) i) (-2;-4)

2. Determina si los pares ordenados que se indican verifican la igualdad. a) (1;2); (2;1) ; y = 3x - 5 b) (2;-6); (-1;2); y = -4x + 2 3. ¿Cuáles de las siguientes igualdades son lineales? si una igualdad no es lineal, di por qué. a) xy = 7 b) x - y = 3 c) r + s = 6 d) 2r - 5s = 7 e) 9c - d3 = 4z f) x + y = 2z

CARLOS VALDERRAMA

4.

P(x) = 6 - x

5.

P(x) = x - 3

6.

P(x) = x - 8

7.

P(x) = -5 + x

8.

-y = -3x + 9

9.

10 + 2y = 4x

10.

-y = x

Nivel II 11.

x=2

12.

y = -4

13.

y=x

14.

x = -5

15.

5x = 6y

16.

2x = -7y

17.

2y = 3x

18.

2x + 4y = -6

19.

2x = 3y + 6

20.

4x = 3y + 12

59

C

GRÁFICAS DE POLINOMIOS

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

12

CUADRÁTICOS

Un polinomio es cuadrático cuando el grado absoluto del polinomio es "2"

Por ejemplo:

x

NOTACIÓN: 2

Término Independiente Término Lineal Término Cuadrático a: coeficiente principal

P(x) = x

2

Pares ordenados

-2

4

(-2;4)

-1

1

(-1;1)

0

0

(0;0)

1

1

(1;1)

2

4

(2;4)

b) Se localiza los puntos obtenidos en un plano cartesiano y luego se unen por medio de una línea.

CLASES DE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO

y 7 6

Los polinomios de segundo grado se clasifican en completos e incompletos.

5 4

(-2; 4)

* Completos Cuando todos sus coeficientes son distintos de cero: Ejm.:

(2; 4)

3 2

2

P(x) = 3x + 7x - 4 2 Q(x) = -2x - 4x + 3 2 P(x) = 5x - 2x + 4

1

(-1; 1)

(1; 1) 0 1

-5 -4 -3 -2 -1

2

3

4

5

-1

* Incompletos Cuando carece del coeficiente del término independiente o término lineal. Ejm.:

-2 -3

2

-4

P(x) = x 2 Q(x) = -2x + 5 2 P(x) = 3x + 2x

-5

Ahora:

GRÁFICA DE UN POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO Si y = P(x) = ax2 Ejemplo: 1. Graficar: P(x) = x2 a) Para trazar la gráfica de un polinomio de segundo grado se hace una tabla de valores:

CARLOS VALDERRAMA

2

2. Grafiquemos el polinomio P(x) = -x . a) Tabla de valores:

x

P(x) = -x 2

Pares ordenados

-2

-4

(-2;-4)

-1

-1

(-1;-1)

0

0

(0;0)

1

-1

(1;-1)

2

-4

(2;-4)

60

ÁLGEBRA b)

Si el coeficiente principal del polinomio es negativo (a<0), entonces la parábola se abre hacia abajo y tiene un valor máximo en "k".

y 2 1

* V(h;k) : Vértice de la parábola.

(0; 0)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 (-1; -1) -1 (1; -1)

4

5

-2

Donde: h

-3 -4

(-2; -4)

b 2a

(2; -4)

k

-5 -6

4ac  b 4a

2

Nota: Si P(x) = ax2 + bx + c; (a  0) podemos hallar "k", reemplazando el valor numérico P(h).

-7

P(h) = k

Observaciones * La gráfica de un polinomio de segundo grado es siempre una parábola. * La parábola tiene un punto especial llamado vértice. Si: y = P(x) = ax2 + bx + c; (a  0)

Ejemplo: Graficar F(x) = x2 - 6x + 5 Solución: a) Hallando el vértice.

(6) b h =   h=3 2(1) 2a Para hallar "k", reemplazamos el valor numérico F(h) k = F(h)  k = F(3) = (3)2 - 6(3) + 5  k = -4

h= a)

y

Y=P(x)=ax2+bx+c Si: (a>0)

b) Tabulando

h

k

 h

V(h;k)

Si el coeficiente principal del polinomio es positivo (a>0), entonces la parábola se abre hacia arriba y tiene un valor mínimo en "k".

x

y = x 2 - 6x + 5

Pares ordenados

1

0

(1; 0)

2

-3

(2; -3)

3

-4

(3; -4)

4

-3

(4; -3)

5

0

(5; 0)

Graficando: y

y

b)

V(h;k)

F(x)=x 2 - 6x + 5

k

h

Y=P(x) = ax2+bx+c Si: (a<0)

-1

h

1

2

3

4

5

-2 -3

k -4 -5

V(3;-4)

-6

CARLOS VALDERRAMA

61

Gr á fi c a s de p o l i nom i o s cua d r á ti co s

Nota:

6. Graficar los siguientes polinomios:

a) Para trazar la gráfica de un polinomio de 2do grado se hace una tabla de valores (consultar con tu profesor). b) Se localizan los puntos obtenidos en un plano cartesiano y luego se unen por medio de una línea. (Utilizar de preferencia un pistolete) Para realizar graficas de un polinomio de 2do grado se recomienda hacerlo en papel milimetrado con ayuda y asesoramiento de un profesor.

Pract iquemos

b) Q(x) = -x2 + 3 d) S(x) = -2x2 + 1

¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas para P(x), Q(x) y para R(x), S(x)? 7. Graficar los siguientes polinomios: a) P(x) = x2 - 2 c) R(x) = 3x2 - 1

b) Q(x) = x2 + 2 d) S(x) = 3x2 + 1

¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas para P(x), Q(x) y para R(x), S(x)?

Nivel I

8. Graficar los siguientes polinomios:

1. Determina cuáles de los polinomios siguientes son cuadráticos y cuáles no. a) y =

x d) -y = 2x2-x

b) y = x2 + 5 2

c) y=x2 - 3x + x3

2

e) y = x + 5

2. Indica si cada uno de los siguientes polinomios es completo o incompleto, explica por qué. a) P(x) = 3x2 c) R(x) = 2x2 + x

b) Q(x) = -x2 +4x+ 3 d) S(x) = -2x2 - 4

3. En cada uno de los siguientes polinomios indica su coeficiente principal, su coeficiente del término lineal y su término independiente: 2

2

a) P(x) = x - 3x - 2 c) R(x) = 2x2 - x + 8

b) Q(x) = -x - 7 d) S(x) = -3x2 - 2x + 4

a) P(x) = 2x2 c) R(x) = 3x2

b) Q(x) = -2x2 d) S(x) = -3x2

b) Q(x) = -x2 + 2x d) S(x) = -2x2 + 4x

¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas para P(x), Q(x) y para R(x), S(x)? 9. Graficar los siguientes polinomios: a) P(x) = x2 - 2x c) R(x) = 2x2 - 4x

b) Q(x) = -x2 - 2x d) S(x) = -2x2 - 4x

¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas para P(x), Q(x) y para R(x), S(x)? 10.Graficar los siguientes polinomios: a) P(x) = x2 - 2x + 2 c) R(x) = 2x2 - 4x + 3

b) Q(x) = -x2 - 2x + 2 d) S(x) = -2x2 - 4x + 3

Nivel II

5. Encuentre el vértice de cada parábola que aparece en la figura:

y 5

11.Calcular el valor mínimo de cada uno de los siguientes polinomios: a) P(x) = x2 + 2 c) R(x) = x2 + 4x

b) Q(x) = x2 + 1 d) S(x) = x2 + 6x

12.Calcular el valor máximo de cada uno de los siguientes polinomios:

4 3

a) P(x) = - x2 + 3 c) R(x) = - x2 + 4x

2 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

a) P(x) = x2 +2x c) R(x) = 2x2 + 4x

¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas para P(x), Q(x) y para R(x), S(x)?

4. Graficar los siguientes polinomios:

1 -1 -2 -3 -4 -5

62

a) P(x) = x2 +3 c) R(x) = 2x2 + 1

2

3 4 5

6 7

b) Q(x) = - x2 - 2 d) S(x) = - x2 - 2x

x 13.¿Cuánto vale "a", para que la gráfica del polinomio P(x) = ax2 +4x - 5 pase por el punto (2; 11)? 14.La suma de dos números es 16, si uno de ellos es igual a "x": a. ¿A qué es igual el otro número? b. Expresa el producto de dichos números como un polinomio de variable "x". c. ¿Cuál es el máximo producto que se puede obtener? 1er Año de Secundaria

ÁLGEBRA 15.La empresa Dátil's ha hecho un estudio sobre sus ventas, obteniendo como resultado que sus ventas estarán dadas por la gráfica que se muestra, en el año 2002 sus ventas fueron máximas (5000 unidades) y (ventas) 5000 4000 3000 2000 1000 x (año)

2003 2001 2002

a. ¿Cuántas unidades esperan vender el año 2003? b. ¿Cuántas unidades esperan vender el año 2004? c. ¿Cuántas unidades se vendieron en el año 2000?

Tarea domiciliaria Nivel I 1. Determinar cuáles de los siguientes polinomios son cuadráticos y cuáles no. Fundamente su respuesta. a) b) c) d) e) f)

y = x2 + 5x x=y+2 x2 = 5 - y x2 + y = y2 + 3 x2 + 0,5 = 2y - 6x + 7 = x2 + y

4. Graficar los siguientes polinomios: a) b) c) d)

P(x) = 4x2 Q(x) = -4x2 R(x) = 5x2 S(x) = -5x2

5. Encuentre el vértice de cada parábola que aparece en y la figura:

2. Indica si cada uno de los siguientes polinomios es completo o incompleto, explica por qué. a) b) c) d)

P(x) = 4x2 - 3 Q(x) = -x2 +6x -5 R(x) = 2x2 - x S(x) = -4x2

3. En cada uno de los siguientes polinomios indica su coeficiente principal, su coeficiente del término lineal y su término independiente: a) b) c) d)

x

P(x) = 5x2 - x - 8 Q(x) = -3x2 - 25 R(x) = 2x2 - 5x + 1 S(x) = -5x2 - 7x + 9

CARLOS VALDERRAMA

6. Graficar los siguientes polinomios: a) b) c) d)

P(x) = x2 +5 Q(x) = -x2 + 5 R(x) = 2x2 + 4 S(x) = -2x2 + 4

¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas comparando P(x), Q(x) y R(x), S(x)?

63

Gr á fi c a s de p o l i nom i o s cua d r á ti co s

7. Graficar los siguientes polinomios: a) b) c) d)

P(x) = x2 - 6 Q(x) = x2 + 6 R(x) = 2x2 - 5 S(x) = 2x2 + 5

¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas comparando P(x), Q(x) , R(x) y S(x)? 8. Calcular el valor mínimo de cada uno de los siguientes polinomios: a) b) c) d)

P(x) = x2 + 9 Q(x) = x2 + 13 R(x) = x2 + 8x S(x) = x2 + 16x

9. Calcular el valor máximo de cada uno de los siguientes polinomios: a) b) c) d)

P(x) = - 2x2 + 9 Q(x) = - 3x2 - 4 R(x) = - x2 + 8x S(x) = - x2 - 10x

10.Graficar los siguientes polinomios: a) b) c) d)

P(x) = x2 +8x Q(x) = -2x2 + 6x R(x) = 2x2 + 12x S(x) = -2x2 + 10x

12.Graficar los siguientes polinomios: a) b) c) d)

P(x) = x2 - 4x -6 Q(x) = -x2 - 4x + 5 R(x) = 2x2 - 6x + 7 S(x) = -2x2 - 4x + 5

¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas? 13.¿Cuánto vale "a", para que la gráfica del polinomio P(x) = 3x2 +ax - 5 pase por el punto (-2; 13)? 14.La suma de dos número es 36, si uno de ellos es igual a "x": a. ¿A qué es igual el otro número? b. Expresa el producto de dichos números como un polinomio de variable "x". c. ¿Cuál es el máximo producto que se puede obtener? 15. La empresa Colpa ha hecho un estudio sobre sus ventas, obteniendo como resultado que sus ventas estarán dadas por la gráfica que se muestra, en el año 2002 sus ventas fueron máximas (5 000 unidades). y (ventas) 5000 4000 3000 2000 1000

¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas?

x (año)

Nivel II 11.Graficar los siguientes polinomios: a) b) c) d)

P(x) = x2 - 4x Q(x) = -x2 - 6x R(x) = 2x2 - 14x S(x) = -2x2 - 8x

¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas?

64

2003 2001 2002

a. ¿Cuántas unidades vendieron en el año 2002? b. ¿Cuántas unidades esperan vender el año 2003? c. ¿Cuántas unidades se vendieron en el año 2001?

1er Año de Secundaria

Son los resultados de ciertas multiplicaciones cuyo producto es fácil de recordar mediante ciertas reglas que a continuación daremos.

7.

(2x + 3y)2 =

8.

(3x - 2)2 =

a. Binomio suma cuadrado perfecto

9.

(5x - 1)2 =

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

C

PRODUCTOS NOTABLES I

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

13

10. (4x - 3y)2 = Nivel II

b. Binomio diferencia al cuadrado (x - y)2 = x2 - 2xy + y2

Efectuar: 1. (x + 3y)2

= (x)2 + 2(x)(3y) + (3y)2 = x2 + 6xy + 9y2

2. (2x - 3y)2

= (2x)2 - 2(2x)(3y) + (3y)2 = 4x2 - 12xy + 9y2

3. (m + 8n)2

= (m)2 + 2(m)(8n) + (8n)2 = m2 + 16mn + 64n2

4. (2q + 3p2)2 = (2q)2 + 2(2q)(3p2) + (3p2)2 = 4q2 + 12qp2 + 9p4 5. (2r - 5s)2

= (2r)2 - 2(2r)(5s) + (5s)2 = 4r2 - 20rs + 25s2

11.Reducir: S = (2x + 1)2 + (2x - 3)2 - 8x(x - 1) a) 1 d) 10

b) 2 e) 12

c) 4

12.Calcular: M = (3x + 2)2 - (3x + 1)2 - 3(2x + 1) a) 1 d) -4

b) 0 e) -8

c) -1

13.Simplificar: S = (x + 1)2 + (x + 2)2 + (x + 3)2 - 3x(x + 4) a) -1 d) 12

b) 0 e) 14

c) 10

14.Reducir:

Pract iquemos Nivel I

W = (x - 1)2 + (x - 2)2 + (x - 3)2 - 3x(x - 4) a) 0 d) 13

b) -1 e) 14

c) 12

Desarrollar cada una de las siguientes expresiones: 1. 2.

(x + 2)2 =

15.Reducir: S = (x + y)2 - 2(x + y)(x - 2y) + (x - 2y)2

2

(x + 5) =

3.

(x - 7) =

a) 6y2 d) 16y2

4.

(x - 4)2 =

16.Simplificar:

5.

(2x + 3)2 =

6.

(4x + 7)2 =

2

CARLOS VALDERRAMA

b) 3y2 e) 18y2

c) 9y2

R = (x + 1)2 - (x + 2)2 - (x + 3)2 + (x + 4)2 a) 1 d) 4

b) 2 e) 12

c) 3

65

Pr odu ctos

Notab les

I

17. Simplificar:

2

R = (x + 8)2 + (x - 8)2 + (x + 6)2 + (x - 6)2 - 4x2 a) 64 d) 400

b) 128 e) 500

c) 200 2

 x   4  = 29.   16 

18.Si: Hallar: L = x2 + y2 a) 100 d) 49

x + y = 13 x.y = 50

b) 69 e) 59

x  28.  - 8  = 4  

2

c) -69

 x n    30.  = x   n 2

 x y  4  = 31. 4 x   y

19.Si: x - y = 12 x.y = -20

Hallar: U = x2 + y2 a) 40 d) -44

b) -40 e) 180

c) 104

Nivel IV 32.Si:

x2 + y2 = 25 x.y = 12

20.Si: a + b = 12 a2 + b2 = 120 Hallar: S = a.b a) 6 d) 18

b) 12 e) 16

c) 14

Hallar: E = x - y a) 1 d) a ó b

b) -1 e) 16

c) a y b

33.Reducir: 2

a a  a  a   S =  2    2 2   3 -    3 -  2 2  2  2  

Nivel III 21. (4x2 - 5x)2 = 22. (5x2 + 2y3)2 =

a) 2 d) 20

b) 4 e) 25

c) 9

34.Simplificar: 2

a a  a    a  R =  5   - 2 5   - 7    - 7  3 3  3    3 

23. (3x3 - 7y2)2 = 24. (m2 + 2n3)2 = 2

x 2 25.  -  = 2 x

a) 121 d) 144

b) 49 e) 169

2

c) 25

35.Hallar "A", si: 2

x y 26.  -  3 2

2

 2m 3n   2m 3n      A     3n 2m   3n 2m 

2

= a) 1 d) - 8

b) - 2 e) - 12

2

c) - 4

2

3x   2   = 27.  3 x 2  

66

1er Año de Secundaria

ÁLGEBRA

Tarea domiciliaria Nivel I

9. Si: x + y = 14 2 x + y = 100 2

1. Efectuar: Hallar: L = x.y 2

= _______________________

a. (x + 7) 2

x - y = 12 2 2 x + y = 120

2

b. (x + 3)

= _______________________

2

c. (3x + 2y)

d. (2x - 9)

= _______________________

Hallar: M = x.y

Nivel II 11.Si:

2

3

10.Si:

2

2

x + y = 41 x.y = 20

= _______________________ Hallar: S = x + y

4 2

e. (4x - 3y )

= _______________________ 12.Reducir:

2. Efectuar:

2

2

2

L = (4x + 1) + (4x - 3) - 16x(2x - 1)

x x  x  x   P =  4    2 4   5 -    5 -  7 7 7 7       

2

3. Simplificar: 2

2

2

R = (x + 3) + (x - 3) + 2(4 - x ) 4. Reducir: 2

13.Reducir: 2

2

x x  x    x  S  5    2 5     7     7  9 9 9 9       

2

M = (2x + 3) - (2x - 3) + 4(5 - 6x) 14.Simplificar:

5. Simplificar:

2

2

2

2

R = (2x + 3) + (2x - 1) - (2x - 6) - 4x(x + 8)

2

2

2

2

W = (x + 5x) - 2(x + 5x)(x - 7x) + (x - 7x)

2

6. Reducir: 2

2

2

2

W = (x + 2) + (x + 1) + (x + 8) - 3x - 22x - 60

15.Reducir: 2

2

2

2

W = (x + y) + (x - y) - 2(x + y ) 7. Si: 2

2

x + y = 13 x.y = 20

Hallar: R = x + y 8. Si: 2

2 2

x - y = 14 x.y = - 40

Hallar: R = (x + y )

CARLOS VALDERRAMA

67

c. Diferencia de cuadrados 2

2

(a + b)(a - b) = a - b

Ejemplo: 1. (x + 2)(x - 2) = x2 - 22 = x2 - 4

C

PRODUCTOS NOTABLES II

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

14

f. (4 + 5x3)(5x3 - 4)

= ___________________

g. (34 + 1)(34 - 1)

= ___________________

h. (28 - 1)(28 + 1)

= ___________________

2. Efectuar:

2. (x + 5)(x - 5) = x2 - 52 = x2 - 25

a. (x + 8)(x + 2)

= ___________________

3. (2x - 3y)(2x + 3y) = 4x2 - 9y2

b. (x + 12)(x - 13)

= ___________________

c. (2x + 3)(2x + 5)

= ___________________

d. (3x + 8)(3x - 11)

= ___________________

e. (7x - 5)(7x - 1)

= ___________________

f. (x2 + 8)(x2 - 3)

= ___________________

d. Identidad de Steven (Multiplicación de dos binomios con un término común) (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Ejemplos: 1. (x + 3)(x + 5)

2. (x + 7)(x - 3)

= x2 + (3 + 5)x + (3)(5) = x2 + 8x + 15 = x2 + (7 - 3)x + (7)(-3) = x2 + 4x - 21

3. (x - 5)(x + 2)

= x2 + (-5 + 2)x + (-5)(2) = x2 - 3x - 10

4. (x - 4)(x - 6)

= x2 + (- 4 - 6)x + (- 4)(- 6) = x2 - 10x + 24

Pract iquemos

g. (a + c + 7)(a + c - 3) = ___________________ h. (5x2 + 12)(5x2 - 8)

Nivel II 1. Simplificar: H = (x + 5)(x - 3) - (x + 7)(x - 5) + 4 2. Reducir: M = (x+2)(x-2) + (3 - x)(x + 3) + (4+x)(x-4) + (x+5)(5-x) 3. Simplificar: E=

Nivel I

( x  13)( x - 13) - (x  5)(x - 5)

4. Simplificar:

1. Efectuar: a. (x + 6)(x - 6)

= ___________________

b. (x - 11)(x + 11)

= ___________________

c. (2x + 1)(2x - 1)

= ___________________

d. (9 - x2)(x2 + 9)

= ___________________

e. (5 - 3x)(3x + 5)

= ___________________

2

2

4

4

8

8

16

16

32

S = (x + y)(x - y)(x + y )(x + y )(x + y )(x + y ) + y

5. Reducir:

CARLOS VALDERRAMA

= ___________________

3

2

3

3

E = (x - 3) - (x - 1)(x - 5) 6. Reducir: 2

M = (m + 2n) - (m + 2n)(m - 2n) - 2n(m + 4n)

68

ÁLGEBRA 7. Efectuar:

10.Simplificar:

W=

32

3(22  1)(2 4  1)(2 8  1)(216  1)  1

8. Reducir:

2

2

2

P = 2(x - 3) - 3(x + 1) + (x - 5)(x - 3) + 4(x - 5x + 1) 11.Transformar:

R=

16

8(32  1)(3 4  1)(38  1)  1

9. Reducir:

2

2

E = 5(x - 2) - 5(x + 3) + (2x - 1)(5x + 2) - 10x

2

12.Simplificar: 2

2

2 2

S = (3x - 1) - 5(x - 2) - (2x + 3) - (5x + 2)(x - 1)

2

E = (1 - 2xy)(1 + 2xy) - (x y - 2) + (xy)

4

2

13.¿Cuánto se le debe sumar a (p + 2q) para obtener 2 (p - 2q) ?

Tarea domiciliaria 7. Si: x2 + 3x = 5

Nivel I 1. Efectuar:

Calcular: R = (x + 2)(x + 1)

a. (14 + x)(14 - x)

=

__________________

Nivel II

b. (8 + x)(8 - x)

=

__________________

8. Simplificar: M = (x + 2)(x - 2)(x2 + 4)(x4 + 16) + 256

c. (6 + 2x)(6 - 2x)

=

__________________

d. (3n + 2y)(3n - 2y) =

__________________

e. (4x + y)(4x - y)

=

__________________

10.Reducir: P = (m - 2n)(m2 + 4n2)(m + 2n)(m4 + 16n4)

a. (x + 10)(x + 2)

=

__________________

11.Si: a +

b. (x + 12)(x - 6)

=

__________________

Hallar:

c. (x + 14)(x + 7)

=

__________________

d. (x - 8)(x + 2)

=

__________________

e. (x + 12)(x - 6)

=

__________________

9. Efectuar:

S = (y2 - 2)(y2 + 2)(y4 + 4)(y8 + 16)

2. Efectuar: 1 5 = a 2

S = a2 + P = a4 +

1 a2 1

a4 Luego, indicar: (S.P)

3. Efectuar: E = (x+6)(x-6) + (x+7)(7-x) + (x+8)(8-x) + (x+9)(x-9) 4. Efectuar: S = (2x + 3)(2x - 7) - (2x - 5)(2x + 1) + 7

12.Si: x +

6. Si: m + n = 12 m2 - n2 = 120 Hallar: S = m.n Organización Educativa TRILCE

3

Hallar: 1  2 S =  x  2 x 

5. Calcular el valor de la manera más rápida posible sin calculadora. W = (1999)(2001) - (1998)(2002)

1 = x

1 = x

13.Si: x -

1  4  x  4 x 

  

1  4  x  4 x 

  

3

Hallar: 1  2 S =  x  2 x 

69

C

COLEGIO

Ecuación.- Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas "incógnitas" y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas.

ap ít ul

o

ECUACIONES DE 1ER GRADO CON UNA INCÓGNITA

ACADEMIA

15

 ¿Qué es la solución de una ecuación? ____________________________________________ ____________________________________________

Las incógnitas se representan por las últimas letras del alfabeto: x; y; z; u; v;... Así: x + 7 = 10 ; se observa que la igualdad se verifica solo pasa x = 3; en efecto si sustituimos la "x" por "3" tenemos: (3) + 7 = 10; osea: 10 = 10

 ¿Qué es el conjunto solución de una ecuación? ____________________________________________ ____________________________________________  ¿Qué significa resolver una ecuación?

A una ecuación de primer grado también se le llama "Ecuación lineal" cuya forma general de representarla es:

____________________________________________ ____________________________________________

ax+b=0

Resolver por simple inspección:

Donde: "x"; es la incógnita "a" y "b"; son los coeficientes

Su solución viene dada por:

x=

b a

1er Miembro

_______________________________

x2 = x + 2

_______________________________

Resolución de ecuaciones 1. Principio de transposición:

1. Miembros de una ecuación: Ecuaciones 3x = 9 2x - 5 = 7x + 8 3x + 7 = 9 - 4x

2x + 3 = 7

2do Miembro

2. Solución y conjunto solución:  La ecuación x + 3 = 9, se verifica cuando x = 6, a este número 6, se le llama solución de la ecuación, y al conjunto {6} se le llama conjunto solución. Ejemplo: Resolver por simple inspección la ecuación: 3x - 8 = 22

a) Si un término que está sumando en uno de los miembros pasa al otro, lo hace restando. x + 17 = 25

x = 25 - 17

x + 9 = 15

x = _________

b) Si un término que está restando de uno de los miembros pasa al otro, lo hace sumando. x - 12 = 24

x = 24 + 12

x - 18 = 15

x = _________

c) Si un término que está multiplicando en uno de los miembros pasa al otro, lo hace dividiendo.

 La solución es: ______________________ 2x = 222 El conjunto solución es: _______________

 7x = 49

CARLOS VALDERRAMA

x

222 2

x = _________

70

Á L GE B R A d) Si un término que está dividiendo en uno de los miembros pasa al otro, lo hace multiplicando. x =6 4

x=4.6

x =9 3

x = ________

2. El cambio de signo: Si una ecuación tiene la forma: -ax = b, se puede cambiar de signo a los dos miembros y quedará una ecuación de la forma: ax = -b. -4x = 64

4x = -64

-x = 53

x = -53

-6x = -72

6x = 72

 Ecuación: Es un enunciado abierto en el cual aparece el signo igual (=), se caracteriza porque es verdadero para algún o algunos valores de la variable. Por ejemplo: x+5=9

______________________________

x2 - 5x = 6

______________________________

 Inecuación: Es un enunciado abierto en el cual aparece el signo menor que (<) o mayor que (>), es verdadero para ciertos valores de la variable. Por ejemplo: 11 < x < 12

______________________________

2x > 11

______________________________

 Identidad: Es un enunciado abierto que es verdadero para todos los valores de la variable. Por ejemplo: 2(x + 3) = 2x + 6 ______________________________

* Sabías que: ...

x2 + 3 > 0

1. Enunciado y proposición:  Enunciado: Es toda expresión del lenguaje; por ejemplo: a) El Perú es un país industrial. b) Él es el Alcalde del distrito de La Molina. c) 9 > 15 d) x + 7 = 81 e) Un número aumentado en 8. f) El doble de la suma de un número y cuatro. De los enunciados anteriores afirmamos que A y C, son proposiciones.  Proposición: Es un enunciado con sentido que afirma o niega algo y proporciona una información.

_______________________________

 Contradicción: Es un enunciado abierto que es falso para todos los valores de la variable. 2(x + 3) = 2x + 5______________________________ x2 + 3 < 0

______________________________

Ejercicio: • Indica si cada uno de los siguientes enunciados abiertos es una ecuación, una inecuación, una identidad o una contradicción: a) 4x + 7 = 31 b) 2x + (3x + 7) = (4x + 3) + (x + 4)

Toda proposición establece una verdad o una falsedad, pero no ambas.

c) 3x - 5 = 3x + 2 d) 4(x - 5) = 4x + 20

 Enunciado Abierto: Es aquel enunciado en el que aparece una palabra o una letra llamada variable que al sustituirla por un valor determinado se convierte en una proposición, por ejemplo: Sustituir la variable y establecer el valor de verdad.

e) 2x2 - 3 < 3 f) 5x2 - 3x = 2 g) 7x + 2 = (3x + 5) + (4x - 2) h) 8x - 5 = 11

a) Él es arquero de la selección de Perú. __________________________________

( )

__________________________________

( )

b) 2(x + 8) = 2x + 16 __________________________________

( )

__________________________________

( )

CARLOS VALDERRAMA

71

Ecuaciones de 1er grado con una incógnita 4. Encontrar la solución en:

Practiquemos

a) 3(5 - x) = 4(x - 5)

Nivel I

b) 6a - (10 - a) = 20 - (a - 2)

1. Indica si los siguientes números dados son o no solución de las ecuaciones correspondientes.

c) 20(x - 2) - 15(2x - 3) = 20(5x - 7) - 75 d) 138 - 2(6x - 3) = 15(2x + 4)

a) 4; 5x = 20 e) 3(x - 7) + 9 = 4(5 - x) + 6x b) 3; 2x - 5 = 3x - 8 5. Resolver: c) -3; 2(x + 1) = -x - 7 a) 2(x + 1) + 3(x - 2) = 4(2 - x) + 6 2

d) 2; x - 3x = 6 b) 8(x - 1) - 5(x + 3) = 2(x + 8) e) 6; 2x + 3(x - 2) = 24 c) 5x - [3x - 2(x - 5)] = [3(4 - x) - 5(x - 2) + 4] 2

2

f) 8; (x - 1) - (x - 2) = 10 d) [7(3 - x) + 8(x - 4)] - [2 - 3(x + 2) + x] = 8 2. Por simple inspección resuelve las siguientes ecuaciones: Nivel II a) 3x = 24 1. Resolver las siguientes ecuaciones: b) x + 1 = 3x - 7 c) x(x - 2) = 24

a) (x + 3)2 = (x - 2)2 - 5 b) (x + 2)2 = 32 + (x - 2)2

2

d) x + x = 2 e) 4x + 5x = 27

3. Resolver las siguientes ecuaciones:

c) (x + 5)2 - (x - 5)2 = 5(2x + 4) d) (x - 3)2 = (x - 3)(x - 4) e) (x - 7)(x + 7) = (x - 5)(x + 10) - 4

a) 3x - 15 = 2x + 8

f) (x + 7)(x + 1) - (x + 6)(x + 3) = 24

b) 7x - 9 = 3x + 7

g) (x + 2)2 + (x - 2)2 = (2x - 1)(x + 1)

c) 2x + 3 = 7x - 12

h) (2x + 3)(2x + 1) - (2x + 5)(2x - 1) + 5 = 7 - x

d) 4x - 2 = 3x + 6

i) (3x - 4)(4x - 3) = (6x - 4)(2x - 5) + 18 j) 14 - (5x - 1)(2x + 3) = 11 - (10x + 1)(x - 6)

72

1er Año de Secundaria

Á L GE B R A

Tarea domiciliaria Nivel I

4. Resolver las siguientes ecuaciones:

1. Indica si los siguientes números dados son o no solución de las ecuaciones correspondientes:

a) 12x - 15 = 5x + 13 b) 17x + 9 = 6x +31

a) 8; 2x - 5 = x + 3 c) 5x + 3(x - 1) = 13 b) -7; 2(x + 3) = x - 1 d) 2(x + 1) + 3(x - 2) = 4(x + 1) c) 9; 4x + 5x = 2(x + 15) e) 35(34 - x) = 70(7x - 13) 2. Por simple inspección resuelve las siguientes ecuaciones: 5. Encontrar el conjunto solución en: a) x + 3 = 2x a) (x - 3) - (x - 5) = 5(x - 1) - 3(x + 1) b) x(x - 3) = 18 b) 3x - (15 - x) = 17 - (x + 4) - x c) 3x + 4x = 42 c) 2(3 - x) - 3(x - 1) = 5(x + 2) - (2x + 9) 3. Indica si cada uno de los siguientes enunciados abiertos es una ecuación, una inecuación, una identidad o una contradicción:

d) [2 - 3(x + 1)] + 5(x - 2) = {3[2 - (x + 3)] + 1} e) 8(x + 1) - 5(x + 3) = 2x - {(x - 3) - (5 + x)}

a) 5x - 31 = 24 Nivel II b) 7x - (3x + 9) = (3x + 3) + (x - 6) Hallar "x" en: c) 9x - 7 = 9x - 5 d) 8(2x - 7) = 16x - 56

6. (x + 9)2 = (x - 9)2 + 72 7. (x + 4)(x + 1) = (x + 2)2

e) 23x + 9 = (17x + 12) + (6x - 3) 8. 4(x + 2) + 5 = 2(x + 7) + x f) 12x - 1 = 4(3x - 1) 2

g) x + 2x + 8 > 0

2

2

9. (x + 5) = (x + 4) - 7 2

10.(x + 3) = 64 + (x - 3)

2

11.(x + 3) (x + 2) - (x + 7) (x - 1) = 5 12. (3x + 2) (3x + 5) - (3x + 9) (3x - 2) = x

CARLOS VALDERRAMA

73

C

ap ít ul

PLANTEO DE ECUACIONES I

I. Traducción de enunciados abiertos: 1. Del lenguaje usual a una expresión algebraica:

o

COLEGIO

ACADEMIA

16

Un número es ocho más que un segundo número Sea x = segundo número Luego x + 8 = primer número Tipo3. La suma de dos números es un número dado.

 Un número aumentado en 5:

_________________

 El doble de un número:

_________________

 El triple de un número:

_________________

 La diferencia de 9 veces un número y 7:

_________________

 El triple de un número aumentado en 8:

_________________

Nota: En los problemas de este tipo cualquiera de los dos números desconocidos puede ser representado por una letra.

Modelo de George Polya: Para resolución de problemas:

 El doble de la suma de un número y 6:

_________________

 El triple de la diferencia de un número y 4:

_________________

2. De una expresión algebraica al lenguale usual:  4x:

__________________________________

 3x + 5:

__________________________________

 3(x + 5):

__________________________________

 2x + 3:

__________________________________

3. Representación de dos números desconocidos: a) Siempre que sea posible, representa la cantidad desconocida más pequeña por alguna letra. b) Luego representa la cantidad desconocida mayor en términos de dicha letra. Hay tres tipos de representaciones: Tipo1. Una cantidad es algún número de veces una segunda cantidad. Un número es ocho veces un segundo número Sea x = segundo número Luego 8x = primer número Tipo2. Una cantidad es algún número mayor que o menor que una segunda cantidad.

CARLOS VALDERRAMA

La suma de dos números es ocho. Sea x = primer número Luego 8 - x = segundo número

Existen varios modelos para resolver problemas, pero el más utilizado es el modelo desarrollado por: George Polya (Hungría: 1889 - 1985), que fue presentado en 1945 en su libro How to solve it (Princenton University Press, 1971). El modelo consiste de cuatro pasos, observa y estudia cada uno, luego los aplicarás en la solución de los problemas propuestos en tu vida cotidiana. A) Comprender el problema.- Comprender el problema significa determinar de que se trata, cuál es la información que se te ha dado y cual te piden. Debes reconocer los datos pertinentes para llegar a la solución y detectar aquellos que no lo sean. Además en este paso es clave que determines si los datos que le dan son suficientes para resolverlo. B) Desarrollar un plan.- Este paso se refiere a identificar la estrategia o estrategias que puedes usar al resolver un problema. Recuerda que puede no haber un plan único de resolución. C) Llevar a cabo el plan.- En este paso efectuar las acciones propuestas en tu plan. Algunas veces obtendrás resultados, en este caso debes revisar bien tus operaciones, y si aun no logras el resultado entonces debes revisar y cambiar si es necesario el plan desarrollado en el paso "B". D) Verificar.- Debes verificar que el resultado obtenido satisfaga realmente las condiciones dadas en el problema.

74

Á L GE B R A Ejm. La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65.

Practiquemos

Hallar los números. Solución: 1. Comprender el problema. Las incógnitas en este problema son el valor de los números desendidos. mayor = x segundo = x - 32 menor = x - 65 2. Desarrollar un plan. La suma de los tres números es 200, por lo tanto: x + x - 32 + x - 65 = 200 Se establece la ecuación: 3x - 97 = 200... () 3. Llevar a cabo el plan: Resolver la ecuación () 3x = 200 + 97 3x = 297 297 3 x = 99

Nivel I 1. Expresa cada uno de los siguientes enunciados, referidos a un número, como una expresión algebraica: a) b) c) d) e) f) g) h)

Un número aumentado en 17. Un número disminuido en 5. El doble de un número. El quíntuplo de un número. El doble de un númeo aumentado en 5. El triple de un número disminuido en 8. El doble de la suma de un número y 5 El doble de la diferencia de un número y 8

2. Escribe cada una de las siguientes expresiones algebraicas como un enunciado en el lenguaje usual (referido a un número): a) x + 13 d) 4x g) 2(x - 3)

b) x - 8 e) 3x + 2 h) 5(x - 4)

c) 3x f) 3(x + 2)

3. Expresa cada uno de los siguientes enunciados, referidos a una situación concreta, como una expresión algebraica:

x=

Como "x" es el mayor, se tiene que el mayor es 99; el segundo tramo: x - 32 = 99 - 32 = 67 y el menor es: x - 65 = 99 - 65 = 34 4. Verificar: Se observa con claridad que 99; 67 y 34 satisfacen las condiciones del problema. Su suma es 200. Respuesta: Los números son el mayor es 99, el segundo es 67 y el menor es 34.

a) b) c) d) e) f)

La edad de Inés hace cuatro años. La edad que tendrá Pedro dentro de cinco años. El costo de "n" teléfonos si cada uno cuesta 20 soles. La suma de dos números consecutivos. El triple de la edad de Miguel disminuido en 5 años. El doble de la suma del dinero que tiene José y 350 soles. g) El cuadrado de la suma de dos números enteros consecutivos. h) El triple del precio de un televisor aumentada en 3000 soles. i) El triple de la suma del precio de un televisor y 3000 soles.

4. Escribe cada una de las siguientes ecuaciones como un enunciado en el lenguaje usual: a) b) c) d) e)

3x + 5 = 23 3(x + 2) = 8x - 5 x + (x + 1) = 21 x2 - 1 = 15 x + 2(x - 1) = 13

5. Escribe cada una de las siguientes expresiones algebraicas como un enunciado en el lenguaje usual (referido a una situación concreta): a) x + 35 d) 7x g) 3(x - 8)

CARLOS VALDERRAMA

b) x - 5 e) 4x + 5 h) 3x + 4

c) 5x f) 4(x + 5)

75

Ecuaciones de 1er grado con una incógnita 6. Escribe una ecuación y resuelve cada una de las siguientes situaciones problemáticas. a) Un número aumentado en 8 es igual a 15. Hallar el número. b) El triple de un número aumentado en 5 es igual a 16. Encontrar el número c) El doble de la suma de un número y 5 es igual a 16. Hallar el número aumentado en 3. d) La suma de dos números enteros consecutivos es 17. Hallar el número mayor. e) La edad de Victoria dentro de 7 años será igual a 16 años. Encontrar su edad hace 5 años. f) El doble de un número disminuido en 5 es igual a 9. Hallar el cuadruplo del número. g) El dinero que tiene Pedro excede a S/. 8 en S/. 13 ¿Cuánto tiene Pedro? h) El triple de un número aumentado con el doble del cuádruplo de dicho número es igual a 132. Hallar la tercera parte de un número. i) Dos recipientes tienen 80 y 180 litros de agua, si se les añade la misma cantidad a cada uno, el contenido del segundo recipiente es el doble del contenido del primero. ¿Cuánto se añadió a cada recipiente? Nivel II 1. La suma de tres números es 238. El primero excede al duplo del segundo en 8 y al tercero en 18. Hallar los números. 2. Entre A, B y C tienen 130 bolas. C tiene el doble de lo que tiene A y 15 bolas menos que B. ¿Cuánto tiene cada uno? 3. Dividir 254 en tres partes tales que la segunda sea el triple de la primera y 40 unidades mayor que la tercera. 4. Se ha comprado un traje, un bastón y un sombrero por S/. 259. El traje costó 8 veces lo que costo el sombrero y el bastón S/. 30 menos que el traje. Hallar los precios respectivos. 1 del 5 tercero y el primero excede al tercero en 6. Hallar los números.

5. La suma de tres números es 72. El segundo es

6. Entre A y B tienen 99 dólares. La parte de B excede al triple de A en 19. Hallar la parte de cada uno.

7. Una varilla de 74 cm de longitud se ha pintado de azul y blanco. La parte pintada de azul excede en 14 cm al doble de la parte pintada de blanco. Hallar la longitud de la parte pintada de cada color. 8. Repartir S/.152 entre A, B y C de modo que la parte de B sea S/.8 menos que el duplo de la A y S/.32 más que la C. Hallar cuanto le corresponda a A; B y C. 9. El exceso de un número sobre 80 equivale al exceso de 220 sobre el duplo del número. Hallar el número. 10.Si me pagaran 60 euros tendría el doble de lo que tengo ahora más 10 euros. ¿Cuánto tengo? Nivel III 1. El asta de una bandera de 9,10 m de altura se ha partido en dos. La parte separada tiene 80 cm menos que la otra parte. Hallar la longitud de ambas partes del asta. 2. Las edades de un padre y su hijo suman 83 años. La edad del padre excede en 3 años al triple de la edad del hijo. Hallar ambas edades. 3. En una elección en que había 3 candidatos A; B y C, se emitieron 9000 votos. "B" obtuvo 500 votos menos que "A" y 800 votos más que "C". ¿Cuántos votos obtuvo el candidato triunfante? 4. El exceso de 8 veces un número sobre 60 equivale al exceso de 60 sobre 7 veces el número. Hallar el número. 5. Preguntando a un hombre por su edad, responde: Si al doble de mi edad se quitan 17 años se tendrá lo que me falta para tener 100 años. ¿Qué edad tiene el hombre? 6. Tres números consecutivos enteros suman 204. Hallar los números. 7. Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194. 8. La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar los números. 9. Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en cada cesto? 10.Dividir $ 454 entre tres hermanos, sabiendo que el menor tiene 15 dólares menos que el segundo y 70 dólares menos que el mayor.

76

1er Año de Secundaria

Á L GE B R A

Tarea domiciliaria Nivel I

Nivel II

1. La suma de dos números es 100 y el duplo del mayor equivale al triple del menor. Hallar los números.

11.Dividir 160 en dos partes tales que el triple de la parte menor disminuido en la parte mayor equivale a 16.

2. Divido 1080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivale a la menor aumentada en 100.

12.La suma de dos números es 506 y el triple del menor excede en 50 al mayor aumentado en 100. Hallar los números.

3. La suma de dos números es 540 y el mayor excede al triple del menor en 88. Hallar los números. 4. Entre "A" y "B" tienen 150 soles. Si "A" pierde 46; lo que le queda equivale a lo que tiene "B". ¿Cuánto tiene cada uno? 5. Dos ángulos suman 180º y el duplo del menor excede en 45º al mayor. Hallar los ángulos.

13.Dividir 254 en tres partes tales que la segunda sea el triple de la primera y 40 unidades mayor que la tercera. 14.En una clase hay 60 alumnos entre jóvenes y señoritas. El número de señoritas excede en 15 al duplo de los jóvenes. ¿Cuántos jóvenes hay en la clase y cuántas señoritas?

6. La diferencia de dos números es 36. Si el mayor se disminuye en 12 se tiene el cuádruplo del menor. Hallar los números.

15.Una estilográfica y un lapicero han costado 18 soles. Si la estilográfica hubiera costado 6 soles menos y el lapicero 4 soles más, habrían costado lo mismo. ¿Cuánto costó cada uno?

7. Un perro y su collar han costado S/.54; y el perro costó 8 veces lo que el collar. ¿Cuánto costo el perro y cuánto el collar?

16.Una varilla de 84 cm de longitud esta pintada de rojo y negro. La parte roja es de 4 cm menos que la parte pintada de negro. Hallar la longitud de cada parte.

8. Entre "A" y "B" tienen S/.84. Si "A" pierde S/.16 y "B" gana S/. 20, ambas tienen lo mismo. ¿Cuánto tiene cada uno?

17. Se ha comprado un caballo y sus arreos por $600. Si el caballo costo 4 veces los arreos, ¿cuánto costó el caballo y cuánto los arreos?

9. Entre "A" y "B" tienen S/.81. Si "A" pierde S/.36, el duplo de lo que queda equivale al triple de lo que tiene "B" ahora. ¿Cuánto tiene cada uno?

18.La suma de tres números es 238. El primero excede al duplo del segundo en "B" y al tercero en 18. Hallar los números.

10.Las edades de un padre y su hijo suman 60 años. Si la edad del padre se disminuyera en 15 años se tendría el doble de la edad del hijo. Hallar ambas edades.

19.Se ha comprado un traje; un bastón y un sombrero por $259. El traje costo 8 veces lo que el sombrero y el bastón $30 menos que el traje. Hallar los precios respectivos. 20.El número de días que ha trabajado Richard es 4 veces el número de días que ha trabajado Lunático. Si Richard hubiera trabajado 15 días menos y Lunático 21 días más, ambos habrían trabajado igual número de días. ¿Cuántos días trabajó cada uno?

Organización Educativa TRILCE

77

C PLANTEO DE ECUACIONES II

ap ít ul

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COLEGIO

ACADEMIA

17

Pract iquemos Nivel I 1. Un número es cuatro veces un segundo número. El segundo número aumentado en 23 es igual al primer número disminuido en 13. Encuentra dichos números. 2. Un número excede en 24 a otro número. La suma de dos veces el segundo número y cinco veces el primero es igual a 372. Encuentre el primer número. 3. Tano y Paquito pesan juntos 125 kg la diferencia entre dos veces el peso de Paquito y tres veces el peso de Tano es 45 kg. Encuentra el peso de cada uno. 4. La suma de tres números es 72. El segundo es un quinto del tercero y el primero excede al tercero en 6. Hallar los números. 5. Hace 14 años la edad de un padre era el triple de la edad de su hijo y ahora es el doble. Hallar las edades respectivas hace 14 años. 6. Dentro de 22 años la edad de Juan será el doble de la de su hijo y actualmente es el triplo. Hallar las edades actuales. 7. Vanesa: ¿Cuánto dinero tienes? Elena: Si agregas 37 soles a 6 veces lo que tengo, obtienes 349 soles. ¿Cuánto tiene Elena? 8. Enrique tiene 5 veces lo que tiene su hermano. Si Enrique le diera a su hermano 50 cts; ambas tendrían lo mismo. ¿Cuánto tiene cada uno? 9. Un colono tiene 1400 sucres en dos bolsas. Si de la bolsa que tiene más dinero saca 200 y los pone en la otra bolsa, ambas tendrían igual cantidad de dinero. ¿Cuánto tiene cada bolsa? 10.El número de días que ha trabajado Pedro es 4 veces el número de días que ha trabajado Enrique. Si Pedro hubiera trabajado 15 días menos y Enrique 21 días más, ambos habrían trabajado igual número de días. ¿Cuántos días trabajó cada uno? Nivel II 11.Entre "A" y "B" tienen S/.84. Si "A" gana S/.80 y "B" gana S/.4; "A" tendrá el triple de lo que tiene "B". ¿Cuánto tiene cada uno?

CARLOS VALDERRAMA

12.Compré doble número de sombreros que de trajes por 702 soles. Cada sombrero costó S/. 2 y cada traje S/. 50. ¿Cuántos sombreros y cuántos trajes compré? 13.Un comerciante compró 35 trajes de a 30 dólares y de 25 dólares pagando por todos 1015 dólares. ¿Cuántos trajes de cada precio compró? 14.Un comerciante compró trajes de dos calidades por 1624 soles. De la mejor calidad compró 32 trajes y de la calidad inferior 18. Si cada traje de la mejor calidad le costo 7 soles más que cada traje de la calidad inferior, ¿cuál era el precio de un traje de cada calidad? 15.Un hacendado compró caballos y vacas por 40000 dólares. Por cada caballo pagó 600 y por cada vaca 800. Si compró 6 vacas menos que caballos, ¿cuántas vacas y cuántos caballos compró? 16.Un padre pone 16 problemas a su hijo con la condición de que por cada problema que resuelva el muchacho recibirá 12 soles y por cada problema que no resuelva perderá 5 soles. Después de trabajar en los 16 problemas el muchacho recibe 73 soles. ¿Cuántos problemas resolvió y cuántos no resolvió? 17. Un capataz contrata un obrero por 50 días pagándole S/.3 por día de trabajo con la condición de que por cada que el obrero deje de asistir al trabajo perderá S/.2. Al cabo de los 50 días el obrero recibe S/.90. ¿Cuántos días trabajó y cuántos no trabajó? 18.Pague S/. 582 por cierto número de sacos de azúcar y de fríjoles. Por cada saco de azúcar pagué S/. 5 y por cada saco de frijoles S/. 6. Si el número de sacos de frijoles es el triplo del número de sacos de azúcar mas 5, ¿cuántos sacos de azúcar y cuántos de frijoles compre? 19.Tenía cierta suma de dinero. Ahorre una suma igual a lo que tenía y gasté 50 soles; luego ahorré una suma igual al doble de lo que me quedaba y gasté 390 soles. Si ahora no tengo nada. ¿Cuánto tenía al principio? 20.Un muchacho compró triple número de lápices que de cuadernos. Cada lápiz le costo S/. 0,05 y cada cuaderno S/. 0,06 cts. Si por todo pagó S/. 1,47, ¿cuántos lápices y cuántos cuadernos compró?

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Á L GE B R A

Tarea domiciliaria Nivel I

Nivel II

1. Un número aumentado en 39 es igual a 64. Encuentre dicho número.

11.El largo de un bosque que es 461 pies; excede en 11 pies a 5 veces el ancho. Hallar el ancho.

2. El triple de un número aumentado en 6 es igual a 78. Hallar dicho número.

12.Tenía S/. 85. Gasté cierta suma y lo que me queda es el cuadruplo de lo que gasté. ¿Cuánto gasté?

3. La suma de dos números es 108 y el doble del mayor excede el triplo del menor en 156. Hallar los números.

13.Elenita viajó 680 km en total, el segundo día viajó 68 km más que el primer día. ¿Cuántos km viajó cada día?

4. La edad de "A" es el triple que la de "B" y hace 5 años era el cuádruplo de la "B". Hallar las edades actuales.

14.El exceso del triple de un número sobre 55 equivale al exceso de 233 sobre el número. Hallar el número.

5. Dividir 196 en tres partes tales que la segunda sea el duplo de la primera y la suma de las dos primeras excede a la tercera en 20.

15.Un hacendado compró 35 caballos. Si hubiera comprado 5 caballos más por el mismo precio, cada caballo le habrá costado S/.10 menos. ¿Cuánto le costó cada caballo?

6. Hace 12 años la edad de "A" era el doble de la de "B" y dentro de 12 años la edad de "A" será 68 años menos que el triplo de la de "B". Hallar las edades actuales. 7. Si a un número se resta 24 y la diferencia se multiplica por 12, el resultado es el mismo que si al número se resta 27 y la diferencia se multiplica por 24. Hallar el número. 8. Carlita cortó una soga de 79 m de largo en dos partes; la parte mayor tiene 21 m más que la parte menor. ¿Qué longitud tiene cada parte? 9. Daniel y Jorge pesan juntos 180kg. La diferencia entre dos veces el peso de Jorge y tres veces el peso de Daniel es 60kg. Encuentre el peso de cada uno. 10.Hallar tres números enteros consecutivos, tales que el duplo del menor más el triplo del mediano más el cuádruplo del mayor equivale a 740.

Organización Educativa TRILCE

16.Un comerciante adquiere 50 trajes y 35 pares de zapatos por 16000 soles. Cada traje costo el doble de lo que costó cada par de zapatos más 50 soles. Hallar el precio de un traje y de un par de zapatos. 17. 6 personas iban a comprar una casa contribuyendo por partes iguales pero dos de ellas desistieron del negocio y entonces cada una de las restantes tuvo que poner 2000 soles más. ¿Cuál era el valor de cada casa? 18.Tengo S/.1,85 en monedas de 10 y 5 centavos. Si en total tengo 22 monedas. ¿Cuántas son de 10 centavos y cuántas de 5 centavos? 19.Un hombre ha recorrido 150 km. En auto recorrió una distancia triple que a caballo y a pie 20 km menos que a caballo. ¿Cuántos km recorrió de cada modo? 20.Un hombre deja una herencia de 16500 dólares para repartir entre 3 hijos y 2 hijas, y manda que cada hija reciba 2000 más que cada hijo. Hallar la parte de cada hijo y de cada hija.

79

1. Sistema de ecuaciones.- Vamos a estudiar sistema de ecuaciones con dos incógnitas, normalmente "x" e "y" de primer grado es decir que el mayor exponente de las incógnitas sea uno. a x  by  e  (I) Forma canónica :  c x  dy  f  (II)

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SISTEMA DE ECUACIONES I

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COLEGIO

ACADEMIA

18

Ejm: Expresar en su forma canónica el siguiente sistema:

x+4 -y=2 3 x-1 + 3y = 5 2

x + 4 - 3y = 6

x - 3y = 2

x - 1 + 6y = 10

x + 6y = 11 "Forma canónica"

donde "x" e "y"; son las incógnitas 2 x  5 y  7  (I) 4 x - 7y  1 ; Ejm:  4 x  3y  15  (II) 3x  4y  10

2. Solución de un sistema.- La solución de un sistema es el conjunto de valores de la variable que transforman las ecuaciones en igualdades. Resolver un sistema es encontrar su solución:

Sistema

Solución

3x - 5y = 1 x = 2; y = 1 4x + 3y = 11 2x - 3y = 12 4x - y = 7

Igualdades 3(2) - 5(1) = 1 4(2) + 3(1) = 11

x = 3; y = 2

3. Principios de equivalencia. Primer principio: Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta el mismo número o expresión algebraica, se obtiene otra ecuación equivalente.  Segundo principio: Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por un mismo número o expresión algebraica se obtiene otra ecuación equivalente. Nota: De estos dos principios se deducen las reglas de transposición que se usan para transformar en sistema en su forma "canónica"

Métodos de resolución 1. Método de igualación: Consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones, para luego igualar sus equivalencias. x  2 y  7... (I) Ejm: Resolver:  x  y  4... (II)

Resolución: Despejando la incógnita "x" de las dos ecuaciones de (I): de (II):

x + 2y = 7 x-y=4

x = 7 - 2y x=4+y

Igualando las equivalencias de "x" de las ecuaciones (I) y (II). 7 - 2y = 4 + y

7 - 4 = y + 2y 3 = 3y 1=y

El valor de "y" se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones. El valor de "y" reemplazamos en la ecuación (II). x =4 + y

x = 4 + (1)

x 5

Ahora el conjunto solución del sistema será los valores de "x" e "y".

 CS  x; y  CS  5; 1

CARLOS VALDERRAMA

80

Á L GE B R A Nivel II

Practiquemos Nivel I 1. Resolver: x  y  7  x - y  13

2. Resolver: x  3y  8  x - y  4

3. Resolver: x  6 y  27  x - y  - 1

4. Resolver: 2 x  y  8  3x - y  7

5. Resolver: 2x  y  19  3x - y  -4

6. Resolver: 7x  y  17  5x - y  19

7. Resolver:  x  6y  27   x - 3y  9

8. Resolver:  x - 2y  -2   x  8y  -62

9. Resolver: 3x  y  7  2x - y  -2

1. Resolver por igualación: 3m - 7n  5  2m - n  3

2. Resolver por igualación: 2a - b  3  a  3b  - 4

3. Resolver por igualación: 2a  3b  8  3a  b  5

4. Resolver por igualación: 3 - x  2 y  4 x - 3  2 x  y  8

5. Resolver: 9 x  16 y  7  4 y - 3 x  0

6. Resolver: 14 x - 11y  - 29  13y - 8 x  30

7. Resolver: 15 x - 11y  - 87  - 12 x - 5 y  - 27

8. Resolver: 7 x  9 y  42  12 x  10 y  - 4

9. Resolver: 6 x - 18 y  - 85  24 x - 5 y  - 5

10.Resolver: 3x  7 y  15  2 x - 5 y  - 19

10.Resolver:  x - 4y   11   x  8y  13

CARLOS VALDERRAMA

81

Sistema de ecuaciones I

Tarea domiciliaria Nivel I

Nivel II

1. Resolver:

11.Resolver:

x  y  17  x - y  5

2. Resolver: x  2 y  8  x - y  5

3. Resolver:  x - 3y  2  x  y  6

4. Resolver por igualación: 3x  y  11  5 x - y  13

5. Resolver: 2 x  8  y  2  y  4  x  2

6. Resolver: 2 x - 3y  - 11  3x  y  11

7. Resolver: 5 x  2 y  24  3x - y  10

8. Resolver: x - 2y  5  2 x  4 y  18

9. Resolver: x  y  6  5 x - 4 y  12

 x  3y  6  5 x - 2 y  13

12.Resolver por igualación: 2 x  y  5   x - 3y  6

13.Resolver por igualación: 3x - y  7  2 x  3y  12

14.Resolver: x - 5y  8  - 7 x  8 y  25

15.Resolver: 5 x  6 y  20  4 x - 3y  - 23

16.Resolver: 4 x  5 y  - 32  3x - 5 y  11

17. Resolver: 5 x  7 y  - 1  - 3x  4 y  - 24

18.Resolver:  4 y  3x  8  8 x - 9 y  - 77

19.Resolver por igualación:

 2y - 6  x   5 y - x  9 

10.Resolver: x - 2 y  10  2 x  3y  - 8

82

20.Resolver por igualación: 1 x  y - 2  x - y 3   3 x  y 3 1   2 y - x 11

1er Año de Secundaria

Resolución por el método de sustitución. Consiste en despejar una incógnita de las dos ecuaciones para luego reemplazarla en la ecuación que no se despejo dicha incógnita. Ejm. Resolver el sistema: x  2 y  7... (I)  x - y  4... (II)

Despejamos la incógnita "x" de la ecuación (I) de (I):x = 7 - 2y

Desarrollando:

C

SISTEMA DE ECUACIONES II

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COLEGIO

ACADEMIA

19 7 - 3y = 4 7 - 4 = 3y

3 = 3y 1=y

Finalmente sustituimos el valor de "y" en la ecuación (I): x = 7 - 2y x = 7 - 2(1) x=5 Luego la solución del sistema es: x = 5; y = 1

 CS  5; 1

Ahora la incógnita "x" despejado de la ecuación (I) lo reemplazamos en la ecuación (II) 7 - 2y - y = 4 es decir: x - y = 4

Practiquemos Nivel I Resuelva usando el método de sustitución los siguientes sistemas: x  y  14 1.  x - y  6

5. Exprese en forma canónica el siguiente sistema y halle el valor de las incógnitas. 5 (a  b)  b  22  a  5 (a  4)  b  15

6. Resolver por sustitución: 2x  y  4 2.  3x - y  11

3m  2n  2m  n  2

7. Resolver por sustitución: 2 x  y  4 3.  x  y  - 2

4. Exprese en forma canónica el siguiente sistema y resuelve: 3x  2( y - 3)  2 y  2 x - ( y  2x)  4

CARLOS VALDERRAMA

a  b - 5  2a  b  8

8. Resolver: 5 x  2 y  6  7 x  2 y  10

83

Sistema de ecuaciones II 9. Resolver: 6 x  4 y  14  6 x - 3y  - 21

10.Resolver:

 x  2y  10  x  2 - y  3

15.Resolver: - 13y  11x  - 163  - 8x  7 y  94

16.Resolver por sustitución: 3 (a - 2b)  15  2 (2a - 5b)  14

17. Resolver por sustitución: Nivel II 11.Resolver: 7 x - 2 y  - 34  5 x  3y  - 11

12.Resolver: 10 x  18 y  - 11  16x - 9 y  - 5

13.Resolver: 4 x  5 y  5  - 10y - 4 x  - 7

14.Resolver: 32 x - 25 y  13  16x  15 y  1

84

30 - (8 - m)  2n  30  5m - 29  m - (5 - 4n)

18.Resolver: 3x - (4y  6)  2y - (x  18)  2 x - 3  x - y  4

19.Resolver por sustitución: 8x - 5  7y - 8  6x  3y  9

20.Resolver:

2y  1 x - 2 5  3  4   2x - 1  y  5  4 3

1er Año de Secundaria

Á L GE B R A

Tarea domiciliaria Nivel I 1. Resolver: 2x  y  1  3x - y  14

2. Resolver: 4x  5 y  7  x  3y  7

3. Resolver el sistema: 5x  y  14  3x - 4y  36

4. Resolver el sistema: 7x  y  1  5x - 2y  17

5. Resolver: 7x - 3y -15  0   4x  9y  24  0

6. Resolver: 2x - 3y  - 14  3x  3y  39

10.Resolver por sustitución: 3 (m  2)  2n  2 (n  5)  7m

Nivel II 11.Resolver por sustitución:  x - 1  2 (y  6)   x  6  3 (1 - 2y)

12.Llevar a su forma canónica y resolver: 2x  (x - 3y)  5(x  y)  2  3x  3x - (2y - x)  35  3y

13.Resolver: 4( x  3)  2 y  11  3( x  2) - 3y  13

14.Resolver por sustitución: 3a - (9a  b)  5b - (2a  9b)  4 a - (3b  7)  5b - 47

15.Resolver por sustitución: (x - y) - (6x  8y)  - (10x  5y  3)  y - 1  (x  y) - (9y - 11x)  2y - 2x

7. Resolver: 16.Resolver: 3x  8y - 18  7   x  5y  7  13

8. Resolver: 3x  5  -y   y - 13  6x

x - 1  y  1   x - 3  3y - 7 CARLOS VALDERRAMA

17. Resolver:



9. Resolver por sustitución:

 2x 5y  3  2  3   x  2y  4  2 3

2(x  y) - 4  10 - x 3x 2y 17   10 5 5

85

Sistema de ecuaciones II 18.Resolver:

3y  2 x - 1 4  2  5   3x  2  2 y  3x 3  3

20.Llevar a su forma canónica y resolver:

y -1 x - 1  2  3  4   2x  1 - 3y  2  x  5  3 2 3 6

19.Resolver:

x y  x - 1 2y - 3    4 2 6  3 2x - y  4 - (3x - 2y) 

86

1er Año de Secundaria

Resolución por el método de reducción Consiste en eliminar una incógnita combinando las dos ecuaciones, tratando que los coeficientes de la incógnita a eliminar tengan el mismo valor absoluto y el signo contrario.

C

SISTEMA DE ECUACIONES III

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

20

Ahora sumamos miembro a miembro las ecuaciones de este sistema y obtenemos. 3x = 15 de donde x = 5

Ejm: Resolver el sistema x  2 y  7... (I)  x - y  4... (II)

Finalmente sustituimos el valor hallado de "x" en la primera ecuación y hallamos y = 1 luego la solución del sistema es:

Multiplicando ambos miembros de la segunda ecuación por 2, obtenemos el sistema.

x=5;y=1

 CS  5; 1

x  2 y  7  2 x - 2 y  8

Practiquemos Nivel I Resolver los siguientes sistemas por el método de reducción.

6. Resolver: x - 1  y  1  x - 3  3y - 7

1. Resolver: x - y  4   x  y  12

7. Resolver:  x - 1  2( y  6)   x  6  3(1 - 2y)

2. Resolver: 2x - y  -3  3x  y  8

8. Resolver: 3( x  2)  2 y  2( y  5)  7 x

3. Resolver: 3x - 7y  3  2x + y  2

9. Resolver: 8 x - 5  7 y - 9  6x  3y  6

4. Resolver: 2x + 2y  5  -2x + y  4

10.Resolver por reducción: 6 x - 5y  - 9  4 x  3y  13

5. Resolver por reducción: 7 x - 15y  1  - x - 6 y  8

Nivel II 11.Resolver por reducción: 3x - 4y  41  11x  6 y  47

CARLOS VALDERRAMA

87

Sistema de ecuaciones III 12.Resolver: 30 - (8 - x)  2 y  30  5 x - 29  x - (5 - 4y)

13.Resolver por reducción: 2 (a  5)  4 (b - 4 a)  10 (b - a)  11b - 12a

14.Resolver: 2( x  5)  4( y - 4x)  10( y - x )  11y - 12 x

15.Resolver: 3x - 4y - 2(2x - 7)  0  5( x - 1) - (2y - 1)  0

17. Resolver: ( x - y ) - (6x  8y)  - (10x  5 y  3)  ( x  y ) - (9y - 11x )  2 y - 2x

18.Resolver: 5( x  3y ) - (7x  8 y)  - 6  7 x - 9 y - 2( x - 18y)  0

19.Resolver: 12( x  2 y ) - 8(2 x  y)  2(5x - 6 y )  20( x - 4y)  - 10

20.Resolver por reducción: 5 (m  3n) - (7m  8n)  - 6  7m - 9n - 2 (m - 18n)  0

16.Resolver: 3x - (9 x  y )  5 y - (2x  9y)  4 x - (3y  7)  5y - 47

88

1er Año de Secundaria

Á L GE B R A

Tarea domiciliaria Nivel I 1. Resolver:  x - y  10  2x  y  8

9. Resolver por reducción: 10 x - 3y  36  2 x  5 y  - 4

10.Resolver por reducción: 2. Resolver: 5x + y  -8  7x - y  -16

11x - 9 y  2  13 x - 15 y  - 2

Nivel II 3. Resolver: 3x  4y  15  2 x  y  5

4. Resolver: 5x  y  16   4x  3y  15

5. Resolver:  x  2y  10  x  y   8

6. Resolver: 3x - ( y  2)  2 y  1  5 y - (x  3)  3x  1

7. Resolver: 3x - (4 y  6)  2 y - (x  18)  2 x - 7  x - y

8. Resolver por reducción:

11.Resolver por reducción: 9 x  11y  - 14  6 x - 5 y  - 34

12.Resolver: 3(2 x  y ) - 2(y - x)  - 4(y  7)  3(2y  3x) - 20  - 53

13.Resolver por reducción: 12 (m  2n) - 8 (2m  n)  2 (5m - 6n)  20 (m - 4n)  - 10

14.Resolver: x ( y - 2) - y (x - 3)  - 14  y ( x - 6) - x(y  9)  54

15.Resolver:

y x  5  4  y  x - 1  3 3

3m - 4n - 2 (2m - 7)  0  5 (m - 1) - (2n - 1)  0 CARLOS VALDERRAMA

89

Sistema de ecuaciones III 16.Resolver:

3y  3  x  4  y  - 1  5 x  4

18.Resolver:

 3x  2  y  11  x  y  7  2

19.Resolver: 17. Resolver: 2 x  y x - y -7    8x  y - 1  2  x - y - 2

y -3  3x - 5  6  3y - x - 2  9  7

20.Resolver:

3x  4 y 2   x 7 3  5 x  4 x  24 2y   11 2

90

1er Año de Secundaria

C

PLANTEO DE SISTEMA DE ECUACIONES

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

21

Pract iquemos Nivel I 1. Encontrar dos números cuya suma es 13 y cuya diferencia es -4. 2. Un terreno rectangular tiene un perímetro de 540 m. Su largo es 30 m mayor que el doble de su ancho. Hallar sus dimensiones. 3. El perímetro de un terreno rectangular es de 490 m. Su largo es 70 m menor que el doble de su ancho. Hallar sus dimensiones. 4. Una persona compró estampillas de 6 y de 10 céntimos por un valor de S/.4,86. En conjunto compró 55 estampillas. ¿Cuántas compró de cada valor? 5. Se tiene un montoncito de 18 monedas de 10 y 25 céntimos por un valor de S/. 2,25. Hallar el número de cada tipo de monedas. 6. En una bandeja hay 18 dulces entre chocolates y caramelos. Si los chocolates se venden a 30 céntimos y los caramelos a 10 céntimos. ¿Qué combinación de dulces debe haber en la bandeja que al venderse todos los dulces se recaude S/. 3? 7. En una librería han vendido 20 libros a dos precios distintos: unos a 800 soles y otros a 1 200 soles con los que han obtenido 19 200 soles. ¿Cuántos libros han vendido de cada precio? 8. Un hombre tiene $ 404 en 91 monedas de a $ 5 y de a $ 4. ¿Cuántas monedas son de $ 5 y cuántas de $ 4? 9. En un cine hay 700 personas entre adultos y niños. Cada adulto pagó S/. 40 y cada niño S/. 15 por su entrada. La recaudación es de S/. 18000. ¿Cuántos adultos y cuántos niños hay en el cine? 10.Se tienen $419 en 287 billetes de $1 y de a $2. ¿Cuántos billetes son de $1 y cuántos de $2? Nivel II 11.Con 174 dólares compré 34 libros de 3 y de 7 dólares. ¿Cuántos libros compré de cada precio?

CARLOS VALDERRAMA

12.Un granjero tiene en su finca un total de 330 animales entre gallinas y cerdos y un conteo de las patas de estos animales arrojo un total de 878 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos posee el granjero? 13.El perímetro de un triángulo isósceles mide 84 cm y la longitud de uno de sus lados iguales es dos tercios de la longitud de la base. Hallar la longitud de la base del triángulo. 14.Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma es 15. Mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174. 15.Un pueblito tiene 23 500 habitantes. Si el número de mujeres excede en 2500 al doble del número de hombres, ¿cuántos habitantes de cada sexo hay en dicho pueblito? 16.La cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble que la cifra de las unidades. Halla ese número sabiendo que si le sumamos el número formado por sus cifras cambiadas de lugar el resultado es 99. 17. Un chofer conduce diariamente a una velocidad promedio de 60km por hora en carretera y a 24km por hora en ciudad. Su tiempo diario de manejo sobre un recorrido de 330km fue de 7 horas. ¿Cuánto tiempo condujo sobre carretera y cuánto sobre ciudad? 18.En el colegio se ha hecho una colecta con motivo de la campaña contra el hambre. Los profesores han contribuido con 500 soles cada uno y los alumnos con 100 soles. Se han recaudado 252 000 soles. Sabiendo que hay cuatro profesores por cada cien alumnos, ¿cuántos profesores y cuántos alumnos hay en el colegio? 19.Si "B" le da a "A" 2 soles, ambos tienen lo mismo, y si "A" le da a "B" 2 soles, "B" tiene el doble de lo que le queda a "A". ¿Cuánto tiene cada uno? 20.Se quieren mezclar vino de 60 soles con otro de 35 soles, de modo que resulte vino con un precio de 50 soles el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla?

91

Planteo de sistema de ecuaciones

Tarea domiciliaria Nivel I 1. La suma de dos números es 180. Si uno de ellos es 6 unidades menor que el doble del otro, hallar dichos números. 2. En un salón de clase hay 37 alumnos. Si los varones son 9 más que las damas, ¿cuántas damas hay en la clase? 3. Las edades de Andrés y Miguel suman 36 años, se sabe que cuando Andrés nació, Miguel tenía la quinta parte de la edad que tiene ahora. ¿Cuál es la edad de Miguel?

12.Un hacendado compró 4 vacas y 7 caballos por $514 y más tarde, a los mismos precios; compró 8 vacas y 9 caballos por $918. Hallar el costo de una vaca y de un caballo. 13.Un granjero tiene en su finca un total de 330 animales entre gallinas y cerdos, y un conteo de patas de estos animales arrojó un total de 878 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos posee el granjero?

4. La edad de A excede en 13 años a la edad de B, y el duplo de la edad de B excede en 29 años a la edad de A. Hallar ambas edades.

14.Cierta tienda de animales vende loros y periquitos; cada loro se vende a tres veces el precio de un periquito. Entró una señora y compró seis loros y tres periquitos. Si en vez de eso hubiese comprado cuatro loros y seis periquitos habría gastado 36 dólares menos. ¿Cuál es el precio de cada pájaro?

5. La suma de las edades de Rocío y Walter es 78 años. Si hace 10 años la diferencia de sus edades era 2 años, ¿qué edad tenía Rocío?

15.Roberto y Javier tienen juntos S/.100; un medio de lo que tiene Roberto equivale a un tercio de lo que tiene Javier. ¿Cuánto tiene Javier?

6. Las entradas para un partido de fútbol se venden a

16.Con el objeto de recaudar fondos para el club de computadoras del colegio, Jaime consiguió unas bandejas donde caben un total de 18 dulces entre chocolates y caramelos a 10 céntimos el caramelo y a 30 céntimos los chocolates, ¿qué combinación de dulces debe hacer Jaime para que cada bandeja tenga un precio de venta de 3 soles?

S/. 25 la de Oriente y S/ . 50 la de Occidente. Si se vendieron en tot al 2750 ent radas y se recaudó S/. 118 750. Hallar el número de entradas de Oriente que se vendieron.

7. Un obrero recibe por cada día que trabaja la suma de 20 soles y si no asiste a sus labores se le descuenta 8 soles. Al final de 25 días recibe 192 soles. ¿Cuántos días 17. Un fabricante de mesas y sillas rústicas hizo un envío de dejó de trabajar? sus productos en un camión por carretera de Lima a 8. Se ha pagado una deuda de S/.265 con monedas de S/.2 y S/.5. El número de monedas de S/.2 es mayor que el de S/.5 en 17. ¿Cuántas monedas de S/.2 se utilizaron? 9. En un corral el número de patos excede en 4 al número de conejos. Además el número de patas excede al número de cabezas en 24. ¿Cuántos conejos hay?

Huaral. Preocupado por que no se pasara del límite de kilogramos de carga permitido por la policía de carreteras, anotó que la carga pesaba 8800 kilogramos. También anotó que había enviado un total de 615 unidades entre cada una. Conociendo que cada mesa pesa 35 kilogramos y cada silla 10 kilogramos, ¿podrías ayudar al fabricante a recodar los datos olvidados? 18.María pesa 3 kg más que Juana y juntas pesan 8 kg menos que el promedio del equipo de voley el cual pesa 420 kg. ¿Cuánto pesa María?

10.Las entradas para un concierto cuestan S/.40 la platea y S/. 27,50 la galería. Si asistieron 1600 personas y se recaudó S/.55 250, ¿cuántas entradas de la platea se 19.Pedro le da a Juan S/. 3, ambos tienen igual suma, pero vendieron? si Juan le da a Pedro S/. 3, este tiene 4 veces lo que le queda a Juan. ¿Cuánto tiene cada uno? Nivel II 11.Un comerciante empleó 6720 sucres en comprar trajes a 375 sucres y sombreros a 45. Si la suma del número de trajes y el número de sombreros que compró es 54, ¿cuántos trajes compró y cuántos sombreros?

92

20.Pedro le dice a Juan: Si me das 15 cts tendré 5 veces lo que tú; y Juan le dice a Pedro: Si tú me das 20 cts. tendré 3 veces lo que tú. ¿Cuánto tiene cada uno?

1er Año de Secundaria

C

POLINOMIOS CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS Y VALORES NUMÉRICOS FRACCIONARIOS

I. Valor numérico en polinomios Si la variable o variables de un polinomio, toman un valor fraccionario el valor numérico se calcula siguiendo las reglas de las operaciones combinadas. Ejm: 1 2 Si: P(x) = x - x + 2; entonces calcular: P   2

2

1 1 1 P   =   -   + 2 ; entonces 2   2 2

A. Sumar Colocando los polinomios uno debajo del otro respetando la semejanza en sus términos. Ejemplo.

Solución:

3 2 1 x  x 2 3 2 2 1 Q( x )  x - x  6 3 2 13 2 x 7 P( x )  Q( x )  x   6 2 3 P( x ) 

1 1-2 8 7 3  1 P   = 2 4 4 4  

II. Coeficientes fraccionarios en un polinomio

3 2 2 1 1 3 2 x  x  , en donde: , y 9 2 3 9 2 3 son los coeficientes.

3 2 1 2 1 y Q( x )  x 2 - x  6 x  x 2 3 3 2

Hallar: P(x) + Q(x)

1 1 1 2 P   = 4 2 2

¿Será posible que los coeficientes de un polinomio sean números fraccionarios? Si es posible, por ejemplo

22

III.Operaciones con polinomios de coeficientes fraccionarios ¿Podremos sumar, restar o multiplicar polinomios con coeficientes fraccionarios? sí, veamos:

Si: P( x ) 

Solución:

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

B. Resta Colocando los polinomios uno debajo del otro por semejanza de términos, y cambiando de signo al segundo polinomio.

• P(x) =

2 2 4 1 x - x  5 7 2 ¿Cuáles son sus coeficientes?

3 • Q(x) = 5 x 

* Valor Numérico En el polinomio anterior P(x), calcular: P(2) Solución:  P(2) 

= 6 

3 2 1 12 4 1 (2) 2  (2)    2 3 9 2 3 9

Ejemplo. De los polinomios anteriores, hallar: P(x) - Q(x) Solución:

3 2 x  x 2 2 2 - Q(x)  - x  3 5 2 P(x)  Q(x)  x  6 P(x) 

1 3 x -6 2 3 19 x 2 6

4 1 54  12 - 1 65 2   7 3 9 9 9 9

CARLOS VALDERRAMA

93

P ol ínom i os

co n

c oe fi ci e ntes

fr ac c io nar io s

y

v al o res

num ér ic o s

fr acc io nar ios

Nota

Pract iquemos

1. De A restar B  A - B Ejemplo. De

2 2 1 1 2 1 x  x restar x  x 3 5 4 3

Solución: 2 2 1 x  x 3 5 1 2 1  x  x 4 3 _______________ 5 2 8 x  x 12 15

2. Restar A de B  B - A Ejemplo.

Nivel I 1. Si: a = 2 y b = 3 Hallar el valor numérico de: E 

2 1 1 1 1 3 2 a  b 2 - ab  b 2  ab - b 2 4 3 3 9 6 3

2. Si: P(x) = 8x3 + 2x2 - x + 3 2

1 Calcular: P   2 1 3 3 2 2 x - x  x 2 2 4 3 Hallar la suma de sus coeficientes.

3. Si P( x ) 

4. Sean los polinomios:

Restar 2 x 2  1 x de 1 x 2  1 x 3 5 4 3

P (x) 

2 2 1 1 x  x 3 4 2

Solución:

Q(x) 

1 2 3 1 x  x 2 5 3

R (x) 

3 3 2 1  x  x 4 2 6

1 2 1 x  x 4 3 2 2 1 x  x  3 5 _______________ 5 2 8  x  x 12 15

C. Multiplicación Colocando los polinomios uno debajo del otro y multiplicando término por término: Ejemplo.

Hallar: a) b) c) d)

P(x) + Q(x) P(x) + R(x) P(x) - Q(x) Q(x) - R(x)

5. Efectúa la siguiente suma. 1 3 1 3 1 2 E   x     x -    5 5 2 5 3 3

 1 4 x     4 5

6. Hallar la suma de:

3 2 1 x  x -  2 3 x 2 2 x x  6 3 2  3 x 4 - x 3  9x 2 4 2 3 1 2 x - x  6x 3 2 2 2 x - x  -2 9 6 1 3 149 2 37 x4 x  x  x -2 12 18 6

94

1 2 1 1 1 2 x  xy  xy  x 2 3 2 4

7. Efectúa las siguientes operaciones: a) De

4 2 4 2 x x restar 7 3 7 3

b) De

5 1 3 1 x  x restar 6 2 4 3

1er Año de Secundaria

 x  

ÁLGE BRA c) Restar

1 2 3 2 2 2 1 1 x - x  de x - x  4 5 3 3 5 2

d) Restar

5 2 3 2 4 2 1 2 x  y de x  y 9 8 3 4

4 2 14.Pablo es  m   cm más alto que Antonio y este es 5 3

2 4  m -  cm más bajo que César. Si la altura de César 3 5

8. Multiplicar:

3  es  m - 1  cm, ¿cuánto mide Pablo? 4  

2 2 1 5 1 3 m  m2n - mn2 - n3 por m2n3 3 2 6 9 4

15.Si P( x )  -

9. Multiplicar: x -

2 5 1 y por y  x 5 6 3

Calcular el valor de: E 

10.En la figura adjunta: la parte superior corresponde a triángulos equiláteros y la parte inferior a un rectángulo. Hallar su perímetro.

BC  DE  FG  AB 

E C B

2 2 1 3 2 a - ab - b 3 2 4

17. Calcular el área de la siguiente figura:

D

A

F

H

I

11.Simplificar a) x - 2  3x  2 4 6

b)

a-1 2a 3a  4   3 6 12

c)

2 2 1 a  ab 5 3

12.Simplificar:

3 2  2 2  5 2  1 2 2 2  3 2  x -  x - - x -  x - x  - x  4 5  5 4  5   2

13.De 3 x 2 - 2 x 2  1 x - 1 restar la diferencia de 8 5 3 1 2 2 3 2 1 x - x 3 y x - x - 2. Dar como respuesta 5 3 4 3 la diferencia entre el coeficiente principal y el término independiente. CARLOS VALDERRAMA

7 x 8 2 AB  x 5 1 CD  x 8 1 DE  x 4 AF 

Nivel II

E 

16.Si Q(a; b) 

2 1 P(- 1)  P(2) 5 3

 1 1 Calcular el valor de Q - ;   3 2

G 1 2 xy 8 3 2 xy 8 3 2 xy 4 1 2 xy 2

1 2 3 x  x 2 2 4

3 5 1 2 2  3 1  2



B

C

E

D

A

F

18.Calcular el área de la parte sombreada en la siguiente figura:

3 x 3 B 4 Q 7 1 BC  x 8 2 1 PQ  x - 3 2 P 1 PS  x  5 A 2 AB  2x 

C R

S D

19.Calcula el volumen del siguiente sólido:

3 5 1 AC  3x 4 2 3 CD  x 3 5 AB  2x 

B D A

C

95

P ol ínom i os

co n

c oe fi ci e ntes

fr ac c io nar io s

y

v al o res

num ér ic o s

fr acc io nar ios

20.Dado el polinomio P(x) = ax2 + bx + c. Si P(0) =

3 4

Su coeficiente principal es

1 2 y P(1)  2 3

Calcular el valor de: E  2a  3b - 4c Reto: Responde las siguientes preguntas. 3 2 1  a) Si P x    x  ; ¿cuánto vale P(1)? 4 5 2 

b) Si Q2 x - 3 

3 2 x - , ¿cuánto vale Q(3)? 5 3

Tarea domiciliaria Nivel I

6. Multiplicar:

1. Simplificar:

a)

3 2 x  x  4 5

b)

5 1 x  x  8 6

c)

3 2 4 m  m2  4 5

1 1 1 1 a - b por a b 2 3 3 2 2 4 3 2 1 5 x  x3 - x2 - x  5 4 3 2 6 Hallar la suma de sus coeficientes

7. Si Q( x ) 

8. Dados los polinomios: P( x ) 

2 2 5 1 x - x  3 6 4

Q( x ) 

5 2 3 1 x  x  6 2 3

R ( x) 

1 2 2 5 x - x 2 3 6

2. Hallar la suma de: 1 1 1 1 1 E  a  ab - ab  b 2 - ab - b 2 2 4 2 4 5 2

3. Si: x = 2 ; y = 3 Hallar el valor numérico de L  x2 

4. De:

2 1 5 2 xy - xy  y 2 - xy  y 2 3 6 6 3

1 2 4 2 1 a - b restar a b2 3 5 9 2

5. Multiplicar: 3 1 2 5 a - b  c por - ac 2 5 6 5 3

96

Calcular: E = P - Q + R 9. Efectúa las siguientes operaciones: 3  3  2 1 a) De  x  y  restar  x  y  5 8 2 4     2 1 4 5 b) De  a -  restar  a   5 2 9 6 1 5  2 3 1 2 3 c) Restar  2 x - x   de  x - x -  5 2 4 6  2

1er Año de Secundaria

ÁLGE BRA Nivel II 10.Considerando la siguiente figura, calcula su perímetro. 1 3 a 3

E  1 3 a 9

1 P(6) - 2P(-2) 2

16.Si M( x; y ) 

4 3 a 9

2 2 1 1 x  xy - y 2 3 2 3

 1 1 Calcular el valor de: M - ;   2 2

1 3 a 12

17. Calcula el área de la parte sombreada en la siguiente figura:

2 3 a 9 5 3 a 6

1 2 x  3 5 3 AB  2BC  x - 1 4

MN  NP 

11.Simplificar:

E 

2 2 3 1 x - x  3 4 2 Calcular el valor de:

15.Si P( x ) 

B

C

4 2  1 2  2 2  3 2 5 2  3 2  1 2  ab -  ab   ab -  ab - ab   ab  - ab  3 4  2  8  8 5  2

3 2 12.La edad de Miguel es  x   años; la de su primo 5 4  

1 3 Andrés es  x -  años menos y la de su hermana 2 5 2 4 Silvia es  x   años menos que la de Andrés. 3 5 ¿Cuánto suman las tres edades? 2 1 13.Se compran tres cosas la primera vale  x   soles; 2 3 

3 2 la segunda cuesta  x -  soles más que la primera 5 4  4 3 y la tercera  x -  soles menos que la primera, 5 4 ¿cuál es el gasto total de la compra?

N

P

M

Q

A

D

18.Calcula el volumen del siguiente sólido:

1 x 1 4 1 BC  x - 2 4 2 AG  x - 4 3 AB 

C

B A

G 2

19.Dado el polinomio P(x) = ax + bx + c Si P(0) = P(1) =

2 1 y ; su coeficiente principal es 5 2

1 . Calcular el valor de "a + b + c". 5

20.Responde las siguientes preguntas: 14.Calcular el área de la siguiente figura:

AF  BC  CD  AB 

1 x 2 1 x 4 1 x 3 1 x 2

-3 1

D

C

E

2 1 2  a) Si P x    x - . ¿Cuánto vale P(1)? 5 3 5 

b) Si M3x - 1 

B

2 4 x - . ¿Cuánto vale M(2)? 3 5

-2 2

CARLOS VALDERRAMA

A

F

97

C

ECUACIONES CON

ap ít ul

NÚMEROS

o

COLEGIO

ACADEMIA

23

FRACCIONARIOS 1. Ecuaciones que tienen la variable en un solo miembro.

2. Ecuaciones que tienen la variable en ambos miembros.

Ejemplo 1:

Ejemplo 1: Resolver: -7x = 4 Resolver:

Solución:

Resolver una ecuación para "x" es encontrar el valor de +1x. Para obtener +1x ó x en el primer miembro, debemos dividir entre -7. Si dividimos el primer miembro de la ecuación por -7 también debemos dividir el segundo miembro por -7. Así dividiendo ambos miembros de la ecuación por -7, obtenemos: x -

4 7

Ejemplo 2:

6 2 4 x   x 5 3 5

Solución: El m.c.m. de los denominadores es 15. Multiplicamos a la ecuación por el m.c.m. y obtenemos la ecuación equivalente.

18 x  10  12 x 18 x - 12x  10 (transposi ción de términos) 6x  10 10 5  3 6 2 x 1 3 x 

Resolver: -

5 2 5 x  2x  3 3 6

Solución: El m.c.m. de los denominadores es 6. Multiplicamos a la ecuación por el m.c.m. y obtenemos la ecuación equivalente:

- 10x  12x  4 - 5 2x  - 1 1 x 2 Ejemplo 3:

Ejemplo 2: Resolver: 4 -

2 5 r  r -7 5 6

Solución: El m.c.m. de los denominadores es 30. Multiplicamos a la ecuación por el m.c.m. y obtenemos la ecuación equivalente.

120 - 12r  25r - 210 3x 5 7  Resolver: 5 2 4

Solución: El m.c.m. de los denominadores es 20. Multiplicamos a la ecuación por el m.c.m. y obtenemos la ecuación equivalente.

12 x - 50  35 12x  35  50 (transposi ción de términos) 12x  85 85 12 1 x 7 12

120  210  25r  12r (transposi ción de términos) 330  37r 330 r 37 34 r 8 37 Ejemplo 3: Resolver:

35 x x  60800  108 2

x 

CARLOS VALDERRAMA

98

ÁLGE BRA Solución: El m.c.m. de los denominadores es 108, multiplicando la ecuación por el m.c.m. obtenemos la ecuación equivalente:

7. 12 -

2k  9 k 3  5 7

35 x  60800 .108  54 x 60800 .108  19 x

8. 2k -

11  k 19  k  2 3

60800 .108  x 19 x  3200 .108

9. 2 x  3 - x - 3  2 5 3

x  345600

10. x - 2 - 3(2x  1)  3( x - 2)  0 10 3 2

Practiquemos

Nivel II Nivel I 11. x  6 - x  7  x  8  1 7 8 9

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)

x 1  4 3

b)

5m 1  7 14

c)

2y 7 5

d)

k k 8 3 4

f)

x x  1 3 4

2c c - 4  e) 9 6

2. Resuelve y comprueba las siguientes ecuaciones:

a)

5x x  - 4 18 6

3x x -2 c) 4 5

b) y  14 

y y  3 5

3h 2h 7   d) 4 5 20

3. Resuelve las siguientes ecuaciones: 1 ( x - 2)  4 a) 5

b) c)

1 1 (2 x - 1)  (11 - 8x) 3 7 1 1 1 (3c  5) - (2c  3)  4 2 2

1 1 y - (20 - y)  1 d) 6 8

Resuelve y comprueba las siguientes ecuaciones: 1 1 ( x - 7)  (7 - x) 4. 2 5

5.

c- 4 c 2 1  c 9 6 3

6.

1 1 ( y  1) - ( y - 1)  7 2 3 CARLOS VALDERRAMA

12. 1 x  20  x - 5 x  1 x  7 4 8 6 2

13. 5 y 

1 1 (3y - 4)  (5 y  3)  43 7 3

14. x - 10  x - 8 - x - 5  x - 11 - 5 5 6 10 3 2 15.Hallar "x". 2  x  1 3x - 6      3  5  4  3 

16.Hallar "x". 4-

10x  1 16x  3  4x 6 4

17. Hallar "x". 10 -

3x  5 11 x 3 6 12 8

18.Hallar "x". 5x 3 x  24 ( x - 20) - (2x - 1)  4 17 34

19.Hallar "x". 5

x 1  4 3

x 2 1   2 -   2 3 4 

5x   10  3  

20.Analice y resuelva: La ecuación xn - 1 + x + n - 7 = 0 es de primer grado, ¿qué valor o valores puede tomar "x"?

99

E cuacio nes

co n

número s

fr acci onar io s

Tarea domiciliaria Nivel I 9. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)

3 2 x  4 3

1 r  44 7

10. 2 x - 1 - x  10  10 - 3x - x  40 3 6 5 2

5 p 3 6

d)

x 2x 11   3 5 15

Nivel II

b b  5 3 2

f)

m 2m 1 2 5

11.

c) p e)

b) 3

10 x  7 11x  4 5 x  8 2 4

6 2  6 4 11 3 y -  y   - y  y 5 5 25 5 5 55  

2. Resuelve y comprueba las siguiente ecuaciones: 12. 3x a)

2x x  4 7 3

2x 5x 23   c) 3 4 24

b)

7x 5 3x  6 3 4

2c c -1 d) 9 6

3. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)

c 6 c -3  7 8

h1 1 - 2h 1b) 2 5

c)

2x 3  (35 - x)  25 3 4

d)

c 2 - (90 - c )  1 6 9

Resuelve y comprueba las siguientes ecuaciones: 4. x - 4 - 3( x - 2)  0 5 10

x - 30 3(8x - 30)  x  5 10

13. x  6

14.

1 1 1   - 34x - 1  8 x   - 3 x   4 4 4  

2c - 3 5c  2 8c - 1 3c  5  8 6 9 12

15.Hallar "x". 1 x - 1 - x - 3  1 x  3  1 2 3 6

16.Hallar "x". 3  2x - 1  4  5  6  3

 3x  2  1  x - 2  1   -    0  4  5 3  5

17. Hallar "x". x -1 x -2 x -3 x -5 2 3 4 5

18.Hallar "x". 5. x - 2 

5x 2(x - 1) 3 9

6. 3x - 1 - x - 3  4 6 4 3

7.

8.

x  4 x  12 x -2  3 6 12 3c - 3 3 5c - 7  0 4 2 4

100

x  x x    3 -  - 1 -   7 -  x -  2 3 2      

19.Hallar "x". 3x - 1  2  2 x -  2x   8  3 

x  2 1    4  6 

20.Analice y resuelva: La ecuación x n - 1  2 x  2n - 5  0 es de primer grado, ¿qué valor o valores puede tomar "x"?

1er Año de Secundaria

C

PROBLEMAS DE TEXTO CON ECUACIONES

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

24

FRACCIONARIAS ¿Cómo resolver un problema de texto? Recuerda los cuatro pasos del modelo de George Polya. 1. Comprender el problema: En el proceso de entender el problema se debe tener bien claro cuál o cuáles son las incógnitas que intervienen y cuál es su relación. Primero se hace una lista de todas las incógnitas, luego se les asigna un nombre. Posteriormente se establece su interrelación. La tabla A te ayudará en este paso. Este proceso es importante para entender cuál es la información que le proporciona el problema y cuál la que se está preguntando. En algunas ocasiones, el problema no proporciona toda la información porque se presupone que quien lo resuelve ya la conoce, por lo tanto se debe incluir en la lista otra información que puede ser utilizada en la resolución del problema (el número de elementos en una docena y el numerador de semanas en un año, son ejemplos de ellos). 2. Desarrollar un plan: En este caso el plan consiste en escribir el problema como una ecuación. 3. Llevar a cabo un plan: El plan se desarrolla mediante la resolución de la ecuación. 4. Verificar: Se toma la respuesta obtenida y se lleva al problema original para comprobar que satisface las condiciones dadas. Finalmente se escribe una oración que sea la respuesta al problema. Tabla A: Enunciados verbales y su equivalente algebraica. Enunciado Verbal Es igual a, es lo mismo que son iguales La suma de, sumando a, se aumenta en, más La diferencia, de restado a, se disminuye en, menos El producto de, multiplicado por, veces por El cociente de, dividido entre, la razón de CARLOS VALDERRAMA

Operación

Símbolo =

Adición

+

Sustracción

-

Multiplicación

x

Ejemplo 1: Javier va al cine ODEON y decide estacionar su auto en una playa de estacionamiento. En esta playa cobran S/. 1.00 3 del sol por cada hora adicional. 5 ¿Cuánto tiempo puede dejar su auto si tiene S/. 4.00 disponible para el pago?

por la primera hora más

Solución: 1. Comprender el problema: ¿Cuál(es) es(son) la(s) incógnita(s) del problema? Tiempo que se deja el auto en el estacionamiento = t Costo total del servicio = c Piden calcular el valor de "t". 2. Desarrollar un plan: El costo del servicio es S/. 1.00 por la primera hora más 3 del sol. Por cada hora adicional, es decir: 5

C=1+

3 x (número de horas adicionales) 5

C=1+

3 (t - 1) 5

Como Javier dispone de S/. 400 para el pago del estacionamiento, se reemplaza C por 4 y se obtiene la ecuación. 4=1+

3 (t - 1)... () 5

3. Llevar a cabo el plan: Resolver la ecuación ()

3 (t - 1) 5 3(t - 1) 3 5 15  3(t - 1) 15  3t - 3 4 -1

3t  18 18 t  3 t 6

División

101

Pr oblemas de t exto con ecuacio nes fr acci onar ias 4. Si Javier deja el carro 6 horas debe pagar S/. 1.00 por 3 (5)  3.00 por las 5 horas 5 adicionales. El costo total será S/. 4.00 por lo tanto el valor es correcto.

3. Llevar a cabo el plan: Resolver la ecuación ()

la primera hora más

Respuesta: Javier puede dejar su auto por 6 horas. Ejemplo 2: La suma de las edades de mis tres hijos es 22. Si el mayor tiene tres años más que el segundo y la edad del tercero es la mitad del mayor. ¿Cuál es la edad de cada uno de ellos? Solución: 1. Comprender el problema: Las incógnitas en este problema son las edades de los hijos. mayor = x + 3 segundo = x menor =

1 ( x  3) 2

2. Desarrollar un plan: La suma de las tres edades es 22, por lo tanto:

2x x 3   19 1 2 4 x  x  3  38 5 x  35 35 5 x 7 x 

Como "x" es el segundo, se tiene que el segundo tiene 7 años, el mayor tiene x + 3 = 7 + 3 = 10 años y el menor tiene

1 (10)  5 años. 2

4. Verificar: Se observa con claridad que 10, 7 y 5 satisfacen las condiciones del problema. Su suma es 22: 10 es 3 más y además 5 es la mitad de 10. Respuesta: Las edades de los hijos son: el mayor tiene 10 años, el segundo tiene 7 años y el menor tiene 5 años.

x + 3 + x + 1 (x + 3) = 22 2 Se establece la ecuación: 2x + 3 + x  3 = 22 2 2x + x  3 = 19... () 2

Pract iquemos Nivel I 1. Encontrar un número tal que la suma de su sexta parte y su novena parte sea 15.

2. Existe un número cuya quinta parte es menor que su cuarta parte en 3. Encontrarlo. Un número

Un número

su quinta parte

La suma de su sexta parte y su novena parte

su cuarta parte

sea 15 Resolución de ecuación:

102

la quinta parte es menor que su cuarta parte en 3 Resolución de ecuación:

1er Año de Secundaria

ÁLGE BRA 3. Dos números consecutivos son tales que un cuarto del menor excede a un quinto del mayor en 1, encontrar los números.

5. El ancho de una habitación es dos tercios de su largo. Si el ancho tuviera 3 metros más y el largo tres metros menos la habitación sería cuadrada. Hallar sus dimensiones.

Dos números consecutivos

largo de la habitación

un cuarto del menor excede a un quinto del mayor

el ancho de una habitación es dos tercios de su largo

en 1

Si el ancho tuviera 3 metros más el largo tres metros menos

Resolución de ecuación: la habitación sería cuadrada. Resolución de ecuación.

4. De un cierto número de fichas se toman 3 y el resto se divide por 4; el cociente se aumenta en 4 y se divide por 5 y el resultado es 2. Hallar el número. Número de fichas se toman 3

. 6. De la mitad de cierto número se resta 1; a la tercera parte del resto se quita 1 y a la quinta parte del nuevo resto se agrega 1 resultando 4. ¿Cuál es el número?

el resto se divide por 4

Un número

el cociente se aumenta en 4

su mitad se resta 1

y se divide por 5

el resto será

el resultado es 2

a la tercera parte del resto se quita 1

Resolución de ecuación

el nuevo resto a la quinta parte del nuevo resto se agrega 1 resultando 4 Resolución de ecuación

CARLOS VALDERRAMA

103

Pr oblemas de t exto con ecuacio nes fr acci onar ias 7. Pedro distribuye por partes iguales cierto número de manzanas entre sus tres hermanos. Al primero le da dos novenos del total más una manzana, al segundo los tres séptimos del total menos una manzana y al tercero lo restante. ¿Cuántas manzanas tenía Pedro? Manzanas de Pedro

9. En una familia trabajan el padre, la madre, el hijo mayor, ganando conjuntamente S/. 720 000. La ganancia de la madre es igual a los 2 del padre y la del hijo es 1 de 2 3 la de su madre. ¿Cuánto gana cada uno? Ganancia del Padre

Al primero le da dos novenos del total mas una manzana Al segundo los tres séptimos del total menos una manzana

Ganancia de la madre es 2 de la del padre 3

1 2

El primer hermano y el segundo tienen igual cantidad

Ganancia del hijo es

Resolución de ecuación

Entre los tres ganan conjuntamente S/. 720 000

de la de su madre.

Resolución de ecuación

8. Una fracción tiene por denominador 8 unidades más que su numerador. Si el numerador y el denominador se disminuyen en 5 unidades, se obtiene una fracción equivalente a 6 . ¿Cuál es la fracción original? 7

10.Al repartir una herencia entre tres hermanos: al mayor le corresponden los 3/5, al segundo 1/6 y al menor S/. 35 000. ¿A cuánto ascendía la herencia? Herencia

Numerador de la fracción al mayor le corresponde los

Denominador de la fracción tiene 8 unidades más que su numerador

al segundo

Numerador se disminuye en 5 unidades

y al menor S/. 35 000

Denominador se disminuye en 5 unidades

la nueva fracción es

6 7

3 5

1 de la herencia 6

se repartió entre los 3 hermanos

Resolución de ecuación

Resolución de ecuación

104

1er Año de Secundaria

ÁLGE BRA Nivel II 11.Dos quintos del dinero que tiene "A" es igual a lo que tiene "B" y los siete novenos de "B" es igual a lo que tiene "C" y entre los tres tienen S/. 770. ¿Cuánto tiene cada uno? 12.Si una esfera pesa 1 kilogramo más la mitad de su 2 propio peso, ¿cuánto pesa? 13.La edad de "B" es los 3 de la edad de "A" y la edad de 5 "C" es los 3 de la de "B". Si las tres edades suman 73 8 años, hallar las edades respectivas. 14.Cuenta la leyenda que cuando le preguntaban a Pitágoras (nacido en Grecia, en la isla de Samos, a mediados del siglo IV a. C.) por la cantidad de personas que frecuentaban su escuela, contestaba:

"La mitad estudia sólo matemática, la mitad del resto se interesa nada más por la música, una séptima parte asiste pero no participa y además vienen tres ancianos." Averigüemos: i) ¿Qué número de personas concurría a su escuela? ii) ¿Cuántas personas se dedicaban a la matemática y cuántas a la música?

16.Gonzalo vive en Lima y decide visitar a su hermano que vive en la provincia de Huacho. El primer día recorre 2/7 del camino y el segundo día 2/5 de lo que falta. Si le quedan aún 900 km por recorrer, ¿cuántos Km. tiene el camino? 17. Sobre un terreno rectangular de 630 x 800m hay una pequeña laguna que ocupa la décima parte de la superficie total, un pequeño bosque que ocupa 2/9 de la superficie restante y un viñedo que se extiende sobre el resto. ¿Cuántas hectáreas ocupa el viñedo? 18.El Sr. Gómez decide repartir su capital en partes iguales entre sus tres hijos: Roberto, Jorge y Gloria, reservándose para sí un quinto del total. A su vez, Roberto renuncia a sus derechos a favor de sus hijas: Ana, Mercedes y María, que se reparten lo heredado en partes iguales. Jorge es el padrino de María, le da a ésta la mitad de lo que le corresponde a él y entonces María recibe en total S/. 8000. ¿Con cuánto se quedó el Sr. Gómez? 19.Compré cierto número de libros a 4 por $ 3 y un número de libros igual a los 3 del número de libros anterior a 4 10 por $ 7. Vendimos todos a 2 por $ 3 gané $ 54 ¿cuántos libros compré? 20.Compré un caballo, un perro y un buey. El buey me costó $ 80. El perro y el buey me costaron el doble que el 1 caballo y el caballo y el buey me costaron 6 veces lo 2 que el perro. ¿Cuánto me costó el caballo y cuánto el perro?

15.Del total de alumnos en el colegio Trilce Miraflores la mitad vive en ese distrito, un tercio en el distrito de Surco y los restantes viven en otros distritos. Si son 83 alumnos del colegio que viven en otros distritos, ¿cuántos de los alumnos del colegio viven en el distrito de Miraflores?

CARLOS VALDERRAMA

105

Pr oblemas de t exto con ecuacio nes fr acci onar ias

Tarea domiciliaria Nivel I 1. ¿Cuál es el número cuya octava, sexta y cuarta parte suman 13? 2. Dos números difieren en 28 y uno de ellos es los ocho novenos del otro, encontrarlos. 3. Encontrar tres números consecutivos tales que si ellos son divididos por 10, 17 y 26 respectivamente, la suma de sus cocientes es 10. 4. Los dos quintos de los ahorros de Laura son S/. 5340. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado? 5. Si a un número se le suma la quinta parte de él, se obtiene el número siguiente. ¿Cuál es el número? 6. Repartir 196 soles entre A y B de modo que si los 3 de 8 la parte de A se dividen entre el quinto de la de B, se obtiene de 1 de cociente y 16 de residuo. 7. Vendí mi computador en S/. 400 000 más la tercera parte de lo que pagué por él y en esta operación gané S/. 100 000. ¿Cuánto me había costado? 8. Ya completé los 2/5 de un álbum. Para llenar un cuarto de lo que me falta necesito 36 figuritas. ¿Cuántas figuritas en total tiene el álbum? 9. La diferencia de dos fracciones es 5/8. Si una de ellas es 1/4, ¿cuál es la otra? 10.Dividir 200 en dos partes tales que dividiendo la primera por 16 y la segunda por 10, la diferencia de sus cocientes sea 6.

Nivel II 11.La diferencia de dos números es 6 y la mitad del mayor excede en 10 a los 3 del menor. ¿Cuáles son los 8 números?

106

12.¿Qué número hay que agregar a los términos de la fracción 12/25 para que valga 3/4? 13.Si los 3/5 de una cantidad se aumentan en la mitad del resto, resulta 20. ¿Cuál es la cantidad? 14.Pagamos 38 por un libro, un cuaderno y un lapicero. El precio del cuaderno es un quinto del precio del libro. El lapicero cuesta un tercio de lo que cuesta el cuaderno. ¿Cuánto cuesta el libro? 15.La diferencia entre un número y sus 2/5 es igual a los 2/3 del número menos 2. ¿Cuál es el número? 16.Javier ayuda a su papá en su negocio. Durante las vacaciones lo hace de lunes a viernes y en época de clases, los sábados. Por cada día de trabajo recibe S/. 4,50. Al terminar las 8 semanas de vacaciones había ganado 2/3 del dinero que necesita para comprarse una bicicleta nueva. ¿En cuántos sábados reunirá lo que falta? ¿Cuánto cuesta la bicicleta que quiere comprar? 17. En una bandeja de cubitos de hielo, Andrea ha preparado helados. Invita a sus amigos y se beben la mitad de la bandeja. En la cena ella se toma 1/3 de los que le quedaban y guarda en el refrigerador los 6 que han sobrado. ¿Cuántos helados preparó Andrea? 18.Un hombre viajó 9362 km. Por barco, tren y avión. Por tren recorrió los

4 de lo que recorrió en barco y en 9

5 de lo que recorrió en tren. ¿Cuántos km 8 recorrió de cada modo?

avión los

19.El lunes gasté la mitad de lo que tenía y $2 más, el martes la mitad de lo que quedaba y $2 más; el miércoles la mitad de lo que me quedaba y $2 más y me quede sin nada. ¿Cuánto tenía el lunes antes de gastar todo? 20.Un hombre compró un bastón, un sombrero y un traje. Por el bastón pagó $15. El sombrero y el bastón le 3 del precio del traje y el traje y el 4 sombrero $10 más que el triple del sombrero. ¿Cuánto le costó cada cosa?

costaron los

1er Año de Secundaria

Incógnita o variables: Es una cantidad desconocida que representa un valor o magnitud numérica, la cual es posible determinar en una ecuación o fórmula. Fórmula Es una representación simbólica de operaciones que relacionan entre si una o más incógnitas.

25

 Ahora, si sólo hubiera que hacer una única valoración se recomienda sustituir directamente en la fórmula y luego resolver con las operaciones respectivas. Ejemplo: Hallar la suma de todos los ángulos internos de un polígono de 20 lados. Resolución: Polígono 20 lados < > Icoságono Fórmula a usar: S = 180º . (n - 2)

Despejar una variable Consiste en aislar o separar, mediante ciertas operaciones matemáticas, una incógnita de otras cantidades y variables que la acompañen.

Siendo: n

número de lados

 Reemplazando directamente: S = 180º (20 - 2)  S = 3240º

Ejemplo: Por la Segunda Ley de Newton, que relaciona la fuerza, masa y aceleración a la cual está sometida un cuerpo, se sabe: F = ma

C

MANEJO DE FÓRMULAS

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

 La suma es de 3240° Nota:

 Si deseamos determinar la masa: m 

Para simplificar, recordar las identidades siguientes:

F a

 Si deseamos determinar la aceleración: a 

F m

• (a + b)(a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 • (a - b)(a - b) = (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Evaluación de fómulas: Consiste en determinar el valor de una incógnita de una fórmula cuando los valores de otras variables son conocidos.

• (a + b)(a - b) = a2 - b2

 Si deseamos hallar el valor de una incógnita para los diversos valores de otras incógnitas, es recomendable despejar dicha incógnita y luego reemplazar los valores conocidos de las demás variables.

• (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3

Ejemplo: Para un móvil con aceleración constante igual a 2 2m/s , durante los 4 primeros segundos de iniciado su movimiento desarrollo una velocidad final de 10 m/s. ¿Con qué velocidad inició su movimiento?

• (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3

Pract iquemos Nivel I 1. De los siguientes enunciados, despejar "x":

Resolución: Fórmula a usar: 1. Despejamos la "Vi" 2. Reemplazamos datos:

V = Vi + at f

Vi = V - at f Vi = 10 - (4)(2) Vi = 2m/s

3. El movimiento se inició con una velocidad de 2m/s.

CARLOS VALDERRAMA

a) ax + bx = a + b b) ax + bx + cx = 2m c) a2x - b2x = a - b d) ax - bx = a2 - 2ab + b2

107

M anej o de fór mulas 2. Del siguiente enunciado, despejar "m": 3 3 a - bm = am - b

Usar: V = a3 Siendo: a V

3. Despejar "x". 2 2 ax + b = a + bx 4. Despejar "y" en: 2 2 2 3 b - a = ab y - a y

6. Despejar "x" en la siguiente igualdad: 2 bx - b = 3x + b - 12 7. De la siguiente igualdad, despejar "a": m(m - a) = n(n - a) 8. Despejar "c" en: 2 2 b (ac - 1) = a (1 - ac) 2

2

9. En: a = b + c - 2bx; despejar "x".

10.En A 

h (B  b) , despejar "b". 2

Usar: Ley de Boyle Siendo: V Volumen P Presión

11.En: V 

e ; despejar "d". d

12.En: e 

v2 ; despejar "v". 2a

13.¿Cuál será el volumen de una esfera cuyo radio es de 2m? V 

4  r3 3

Siendo: r V

17. Si la potencia eléctrica de un foco es de 100 watts, y su resistencia eléctrica es igual a 4 ohmios, determine la corriente eléctrica presente. Usar: P = I2 . R Siendo: P Potencia eléctrica (en Watts) I Corriente eléctrica (en Amperios) R Resistencia eléctrica (en Ohmios)

radio volumen

Usar: Ley de Ohm: V = I . R Siendo: V Voltaje I Corriente R Resistencia 19.Hallar el número de lados de un polígono, siendo la suma de ángulos internos igual a 1260º. Usar: S = 180º (n - 2) Siendo: S Suma de ángulos internos n Número de lados 20.Se sabe que el volumen de un cono es igual a 80 m3 y el radio de la base es 4m. Determinar el valor de su altura.

14.Determine la capacidad volumétrica de un cilindro de 4m de altura y 3m de radio. Usar: V= Siendo: r: h: V:

108

V 1 . P1 = V 2 . P 2

18.Si por una pila circula una corriente de 8 amperios y arroja una diferencia de potencial (Voltaje) de 160 voltios, determine su resistencia eléctrica.

Nivel II

Usar:

Arista Volumen

16.Un poco de gas hidrógeno de volumen 150 litros sometido a una presión de 32 atmósferas. Determine el nuevo volumen si la presión es incrementada a 100 atmósferas. La temperatura permanece constante en todo momento.

5. Despejar "m" en: 2 cm - 1 = c + 2c - m

2

15.Se sabe que el volumen de un exaedro regular (cubo) 3 es igual a 27 000 cm , determine el valor de su arista.

2

 .r .h Radio de la base Altura Volumen

Usar:

V 

Siendo: V R h

 .R 2 . h 3

Volumen Radio de la base Altura

1er Año de Secundaria

ÁLGE BRA

Tarea domiciliaria 2

Nivel I

14.El área de un trapecio es igual a 64m , la base mayor 13m y la base menor de 7m. Determine el valor de su altura.

1. Despejar "z" en: 2 2 2 2 a - b = -a bz + b az 2. Despejar "y" en: 2 2 ay + b - a = 2ab + b

Usar:

A 

1 (b  B) . h 2

Siendo: A B

3. Despejar "x" 2 2 a - ax - b = bx

Área ; b Base mayor h

base menor altura

15. Determine el radio de un sector circular cuya área es 4. Despejar "m" en: 2 2 - cm + dm = c - 2cd + d

igual a 2m2 , siendo: Sector circular:

5. Despejar "q" en: b(q - b) = q - (2 - b)

R

6. Despejar "c" en: 3 3 a - bc = ac - b

 = 45º R

7. Despejar "p" en: 2 ap + p = a - 1 8. Despejar "q" en: a(q - a) + b(q - b) = b(b + q) - (a + b) 1 1 1  9. En: despejar "b". a b c

10.En: e 

A

Usar:

A 

 R 2 360º

Siendo: R A 

Radio Área Ángulo interno

16.En el siguiente esquema, se pide determinar el radio de la circunferencia mayor, sabiendo que el área sombreada 2 (corona circular) es igual 9  pies .

1 a.t 2 , despejar "t". 2

Nivel II

R 11.En: I 

c.t r , despejar "r". a

12.En: e = v.t -

1 2 at , despejar "t". 2

13.Determine el radio de una esfera cuya área es igual a

100  cm2 . Usar: Donde:

A  4 R 2 A = Área ;

CARLOS VALDERRAMA

r

Usar:

A = R 2 - r 2

Siendo: A R r Dato:

Área Radio de circunferencia mayor Radio de circunferencia menor

r = 4 pies

R = radio

109

M anej o de fór mulas 17. Un proyectil es lanzado desde el piso alcanzado una máxima altura igual a 500m, determine con qué velocidad fue lanzado. 2

V  i 2g

Usar:

hmax

Siendo:

hmax : Altura máxima

Dato:

Vi

: Velocidad de lanzamient o

g

: Aceleració n de la gravedad 2

g = 10m/s

18.Dos móviles parten simultáneamente al encuentro, ambos con movimiento rectilíneo uniforme (aceleración cero), uno de ellos parte con una velocidad de 30km/h. Si la distancia de separación inicial entre ellos es de 200 km y se encuentran luego de 4h de iniciado su movimiento, determine con que velocidad partió el otro móvil.

t 

Sindo:

t d V ;V

110

Usar:

I

C x r x t 100

Siendo: I C r t

Interés ganado Capital ahorrado Tasa de interés anual Tiempo (en años)

20.En la siguiente fórmula: A = p + prt, determine el valor de "p" cuando:

A = 200 ;

r 

7 2

;

t 

6 7

d V1  V2

Usar:

1

19.El profesor de álgebra de cierto colegio PREUNIVERSITARIO, deposita en cierto banco de renombre la cantidad de $ 25 000, dicho banco le ofrece una tasa de interés del 24% anual. Durante cuánto tiempo su capital deberá estar ahorrado para que gane un interés igual a $ 3 000.

2

Tiempo de encuentro Dist. de separación inicial Velocidad de partida

1er Año de Secundaria

1. Desigualdes. Simboliza las siguientes proposiciones: Lenguaje verbal

Simbolización

• Mayor que • es mas que

>

• menor que • es menos que

<

• mayor o igual que • por lo menos



• menor o igual que • a lo más



C

INECUACIONES DE PRIMER GRADO

ap ít ul

o

COLEGIO

ACADEMIA

26

Definición: Una inecuación es una desigualdad con una o más variables que se satisface para un conjunto de valores asignados a dicha o dichas variables. Ejemplos: • 2x < 4 • 3x + 1  -5 • x+47 • 2x - 1 > 5

a) 3 es menor que 6: ___________________________

3. Conjunto solución Está formado por los valores de la Variable (Números) que satisfacen la desigualdad.

b) 5 es mayor que 2: ____________________________

a) x  ZZ + y x<5: C.S. = {1; 2; 3; 4}

c) 4 es un número positivo: _______________________

b) x  IN y x + 4 < 13: C.S. = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

d) -2 es menor que -1: __________________________

c) x  IN y 2x > 7: C.S. = {4; 5; 6; 7; ...}

e) -3 es un número negativo: _____________________ 2. Inecuaciones. Simboliza los siguientes enunciados: a) "x" es un número entero positivo menor que 5: __________________________________________ b) La suma de un número natural y menor que 13: __________________________________________ c) El doble de un número natural es menor que 11: __________________________________________ d) La diferencia del doble de un número natural y 5 es mayor que 3: __________________________________________ e) La suma del triple de un número natural y 4 es mayor o igual que 5: __________________________________________

4. Resolución de una Inecuación: Resolver una inecuación es encontrar un conjunto solución. Para resolver una inecuación se utilizan los principios de trasposición enunciados para las ecuaciones, sólo hay que tener cuidado cuando el coeficiente de "x" es negativo pues se deben cambiar los signos y el sentido de la desigualdad. Ejemplos: a) Resolver: 4 + 3x < 13 3x < 13 - 4 3x < 9 x

9 3

x<3

f) La suma de dos números naturales es menor o igual que 7: __________________________________________

CARLOS VALDERRAMA

111

I necuacio nes de pri mer gr ado b)

7 - 2x  19 - 2x  19 - 7 - 2x  12 2x  12 12 x2 x-6

5. Resolución de un problema de texto: Enunciado: "El doble de la edad de Antonio más 5 es menor que 8". ¿Qué edad tiene Antonio?

2. Desarrollar un plan: El doble de la edad de Antonio más 5 es menor que 8; determinar la inecuación: 2x + 5 < 8 3. Llevar a cabo el plan: Resolviendo la inecuación 2x + 5 < 8 2x < 8 - 5 2x < 3

3 2 x=1 x

Solución: 1. Comprender el problema: ¿Cuál es la incógnita del problema? La edad de Antonio: x

4. Verificar: Si la edad de Antonio es 1 año, entonces: 2x + 5 = 2 . 1 + 5 = 7 < 8 Respuesta: La edad de Antonio es 1 año.

Practiquemos Nivel I

5. Simboliza y encuentra el conjunto solución de los siguientes enunciados:

1. Simboliza cada una de las siguientes proposiciones. a) "n" es un número natural mayor que 7. b) "x" es un número natural menor que 11. c) Un número natural sumado con 3 es mayor o igual que 12. d) "x" es un entero negativo menor que o igual a 10. 2. Encuentra el conjunto solución de cada una de las inecuaciones del ejercicio 1.

a) La suma de un número natural y 15 es mayor o igual a 23. b) La diferencia entre un número natural y 13 es menor que o igual a 48. c) El doble de un número entero más 9 es menor que 33. d) El triple de un número natural disminuido en 15 es mayor 47. 6. Hallar el mayor valor ZZ de "x" en:

3. Si: x  ZZ , resuelve las siguientes inecuaciones: x 

a) 3x + 4 < 7 b) -2 - 5x  3 c) 3 - 4x  11 d) 3x + 4 > 13

3 7 x   4 4 2

7. Dar la suma de valores enteros y positivos de "x" que verifican la inecuación: 9

1 1 x  15 - x 3 2

4. Si: x  ZZ +, resuelve las siguientes inecuaciones: a) 2x + 5 < 4x - 9 b) x  8  5 x - 7 c) -7 + 3x < -2x + 4 d) -13x + 9 > 5x - 18

8. Indique el menor valor entero al resolver la siguiente inecuación. 3 2 x  9 x -3 2 3

9. Resolver: 2x  1 2 - x 1 5 3

112

1er Año de Secundaria

ÁLGE BRA 10.Resolver: 5 x - 1 3x - 13 5x  1  4 10 3

Nivel II 11.Resolver: 3x - 1 x  1 x 15 2 7

12.Resolver: x 1-3 x 2   3 10 12

13.Se desea saber el menor número de alumnos que hay en un aula, si al triple de dicho número se le disminuye en 7, el resultado es mayor que 21. 14.Determinar el mínimo número entero, cuyo triple disminuido en 6 sea mayor que su mitad aumentada en 4. 15.¿Cuántos números naturales pares cumplen con la condición de que la tercera parte del número aumentado en 15 sea mayor que su mitad más 1?

16.Una fábrica de lapiceros quiere rematar un saldo de lapiceros que le sobró de la producción anterior; el costo de fabricar un lapicero es S/. 500 y él desea venderlo en S/. 800 c/u. ¿Cuántos lapiceros se deben vender para garantizar una ganancia mínima de S/. 1500? 17. Un libro de matemática tiene el cuádruple de hojas que uno de Biología y entre los dos tienen menos de 180 hojas. Si el libro de Biología tiene el mayor número de hojas posible, ¿cuántas hojas tiene el libro de matemática? 18.El consumo anual por persona C de arroz (en kilogramos) después del año 2000 está dado por la expresión C = 15 + 4t, donde "t" es el número de años a partir del 2000. ¿Para qué año se espera que el consumo por persona de arroz rebasará los 48 kilogramos? 19.Para aprobar un examen de elección múltiple que consta de 20 preguntas, debe obtenerse por lo menos 50 puntos. Cada pregunta respondida correctamente vale 5 puntos y por cada respuesta incorrecta se restan 2 puntos. Pedro respondió todas las preguntas, ¿cuántas respuestas correctas debe tener como mínimo para aprobar? 20.Hallar el menor valor que puede tomar un número entero y positivo, sabiendo que la tercera parte del que le precede disminuida en una decena es mayor que 14.

Tarea domiciliaria Nivel I 1. Simboliza cada una de las siguientes proposiciones: a) "p" es un número natural menor que 7. b) "x" es un número natural menor que o igual a 18. c) El doble de un número entero disminuido en 11 es mayor que 27. d) La cuarta parte de un número aumentado en 3 es mayor que o igual a 7. 2. Encuentra el conjunto solución de cada una de las inecuaciones del ejercicio 1. 3. Si: x  IN , resuelve las siguientes inecuaciones: a) 2x + 8 < 21 b) 4 x  7  13 c) 5x + 8 > 85 d) 5 x - 3  28

CARLOS VALDERRAMA

4. Si: x  ZZ , resuelve las siguientes inecuaciones. a) 3(x - 1) - 4(x - 2) > 6(x - 3) - (x - 4) b) 2 ( x  3)  5 ( x - 2)  2x - 1 - 2 (x - 3) c) 2(3x - 5) - 3(4x + 8) < 17 - 3x d) 4(2x + 1) - 3(3x + 1) < 6(x + 5) + 2(2x - 3) 5. Simboliza y encuentra el conjunto solución de los siguientes enunciados: a) La suma de un número natural y 13 es menor que 45. b) La diferencia entre un número natural y 15 es menor que o igual a 12. c) El triple de un número entero más 15 es mayor que 37. d) La diferencia de cinco veces un número entero y es mayor que o igual a 4.

113

I necuacio nes de pri mer gr ado 6. Hallar el mayor valor entero de "x" luego de reducir: 2x -

1 11 7x   3 3 4

7. Hallar la suma de valores enteros y positivos, luego de resolver la siguiente inecuación. x 

3 x - 1 2  (2 x  1)  2 2 3

8. Hallar el menor valor entero de "x" luego de resolver: 5 x x 1    (5  2 x ) 4 3 2 3

9. Resolver: 2 x  1 3x - 1 x 5 2x - 3   4 3 6 2

10.Resolver: 3x 4x x - 1 2x - 3   2 3 5 6

15.Calcular el menor número que cumpla lo siguiente: "Cinco veces este número aumentado en 20 no es menor que el triple del mismo aumentado en 78". 16.Katia tiene una cierta cantidad de dinero. Si al triple de esta cantidad se le disminuye S/. 75, le quedan menos de los tres cuartos de su dinero aumentado en S/. 13. ¿Podrá Katia comprar una blusa que cuesta S/. 42? (Justifique su respuesta). 17. Un libro de Literatura cuesta cuatro veces lo que cuesta un libro de Historia y entre los dos cuestan menos de 240 soles. Si el libro de Historia cuesta lo máximo posible, ¿cuánto cuesta el libro de Literatura? 18.Si dos resistencias R y R se conectan en paralelo en 1 2 un circuito eléctrico, la resistencia neta R estará dada

1 1 1   , si R = 8 ohms, ¿qué valores 1 R R1 R2 enteros de R harán que la resistencia neta sea menor 2 que 3 ohms?

por:

Nivel II

11.Resolver: 2x x 2 x  3 3 4 6

12.Resolver: 4 x - 3 2x x 1 2x - 3   5 3 6 15

13.Se desea saber el mayor número de alumnos que hay en un aula, si al quíntuple de dicho número se le aumenta 13, el resultado es menor que 97. 14.¿Cuántos números naturales impares cumplen con la condición de que la cuarta parte del número disminuido en 3 sea mayor que su mitad disminuida en 13?

114

19.Para aprobar un examen de elección múltiple que consta de 20 preguntas, debe obtenerse por lo menos 60 puntos. Cada pregunta respondida correctamente vale 4 puntos y por cada respuesta incorrecta se resta 1 punto. Pablo respondió todas las preguntas. ¿Cuántas respuestas correctas debe tener como mínimo para aprobar? 20.El consumo anual por persona "C" de papas (en kilogramos) después del año 2000 está dado por la expresión C = 13 + 5t, donde "t" es el número de años a partir del 2000. ¿Para qué año se espera que el consumo por persona de papas rebasará los 56 kilogramos?

1er Año de Secundaria

C

COLEGIO

1. Definición. Un sistema de inecuaciones con una variedad está conformado por dos o más inecuaciones lineales.

ap ít ul

o

SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO

ACADEMIA

27

Intersectando se tiene que el conjunto solución del sistema es: C. S. = {2} 3. Un problema de texto.

Ejemplos:

Antonio tenía "x" kg. de tocino y medita "Si vendiera

x  2x  3  2  5   3x - 5  x  1  2 3

2x  3  3x - 5  2x - 5  x - 7

1   x  2  kg. de tocino a S/. 100 el kg; recaudaría entre 2 

S/. 900 y S/. 960; si oferta a S/. 50 el kg de tocino y al mismo precio el kg. de jamón, obtendría entre S/. 900

2. Resolución de un sistema. Para encontrar el conjunto solución de un sistema, se resuelve cada una de las inecuaciones que lo conforman y luego se interceptan los conjuntos solución encontrados. Ejemplos: Si x  ZZ , resolver:

7x  15 1 7 C. S ()  ... - 1; 0; 1; 2  x 2

En () el m.c.m. de los denominadores es 4, luego:

3 17 C. S ()   2; 3; 4;...  x 1

CARLOS VALDERRAMA

Comprender la solución del problema:

número de kilogramos de tocino: x número de kilogramos de jamón: y

2° Desarrollar el plan. En la venta de tocino se recauda:

3 (x - 1)  2 (2x - 3)  6  3x - 3  4x - 6  6

17x  20

números enteros?

-

En () el m.c.m. de los denominadores es 6, luego:

14x  3x  20

kilogramos de jamón se tienen sabiendo que son

1° La incógnita de problema son:

 x - 1 2x - 3  2  3  1... ()   7x  3x  5... () 4  2

2 (7x)  3x  5 (4)

y S/. 1000". ¿Cuántos kilogramos de tocino y cuántos

1  S/. 100  x  2  . 2  

1

Entonces: 900 < 100  x  2 2  < 960... ()

  Al ofertar el tocino, en la venta de tocino y de jamón se recauda 50 (x + y); entonces 900 < 50 (x + y) < 1000... ( ).

Debemos resolver () y ()

3° Llevar a cabo el plan. 5  () : 900  100  x    960 2  5 96 9x   2 10 90  10 x  25  96

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Sistemas de i necuacio nes de pri mer gr ado 6. Resolver el sistema: (x  ZZ)

65  10x  71 5 65 71 6  x7 10 10 10 1 1 6 x7 2 10 x7 () : 900  50(7  y)  1000 18  7  y  20 7  y  19 y  12

4° Verificar. Venta de tocino: 5  100  7   = 950; 900 < 950 < 960. 2 

Venta de tocino y jamón:

50 (7  12)  50 (9)  950 600  950  1000 Respuesta: Se tiene 7kg. de tocino y 12kg. de jamón.

Pract iquemos

3x - 7  5  4x  5  2x  17

7. Resolver el sistema: (x  ZZ )

7 2x 6 2   x  3 3 5 5 5x  17  9x - 63  8. Resolver el sistema: (x  ZZ )

x -1 x  2x  3  4  6  5   4 x - 1 - 2x  x  1  2  5 4 10 9. Las lecturas de temperatura en las escalas Fahrenheit y Celsius se relacionan mediante la fórmula 5 (F - 32) . ¿Qué valores impares de "F" 9 corresponde a los valores de "C" tales que C 

30  C  40 ? 10.Según la Ley de Hooke, la fuerza F, en kilogramos, necesaria para entrar "x" centímetros en determinado resorte respecto a su longitud natural, es F  2 x (Véase 1  F  8. ¿Cuáles son los valores enteros 2 que corresponde a "x"?

figura). Si 4 Nivel I 1. Hallar que valores de "x" satisfacen las inecuaciones:

Longitud natural

2 x - 4  6  3x  5  4x - 7 ; (x  Z)

Alargamiento de "x" centímetros

2. Resuelve el siguiente sistema, si x  ZZ - 3 < 2x - 5 < 7

x

3. Hallar la suma de valores enteros que satisfacen las inecuaciones: 5 x - 3  3x - 9  3x  1  2x  6

4. Resolver el sistema; si x  ZZ 3

2x - 3 7 5

5. Resolver el sistema; x  ZZ 2x - 3  0  3x  2  0

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Nivel II 11.Se desea saber el mayor número de alumnos que hay en una aula, si al doble del número de éstos se le disminuye en 9, el resultado es mayor que 31 y si al triple se le disminuye en 7, el resultado es menor que el doble del número aumentado en 16. 12.Un padre dispone de 320 soles para ir a un concierto con sus hijos, si toma entradas de 50 soles le falta dinero y si las toma de 40 soles le sobra dinero. ¿Cuál es el número de hijos? 1er Año de Secundaria

ÁLGE BRA 13.Antonio vende 100 libros y le quedan más de la mitad de los que tenía. Si luego vende 48 libros le quedan menos de 54. ¿Cuántos libros tenía? 14.Hallar el número natural que sumado con 11 sea mayor que la diferencia entre su triple y 7, y que sumando con 85, resulte menor que la diferencia entre su doble y 2. 15.Para elaborar un determinado número de problemas, se duplicó este número, eliminando 40 de ellos por ser muy fáciles, quedaron menos de 60. Si se hubiera triplicado el número original de problemas y aumentado 20, habrían más de 164. ¿Cuántos problemas habían inicialmente?

17. Dos hermanos gemelos discuten sobre su edad, el primero dice: "Si a la edad que tengo le resto la cuarta parte de la diferencia de mi edad y 3, a lo más se obtienen 15 años"; respondiendo el segundo "Si a mi edad le resto la quinta parte de la diferencia de mi edad y 4, se obtiene no menos de 16 años". ¿Qué edad tienen? 18.Una empresa fabrica un número determinado de calculadoras, si duplica su producción y vende 60 le queda más de 26. Pero si bajara su producción a la tercera parte y vendiera 5, entonces tendría menos de 10 calculadoras. ¿Cuántas calculadoras se fabricaron?

16.Para aprobar una prueba de elección múltiple que consta de 50 preguntas, deben obtenerse por lo menos 100 puntos. Cada pregunta respondida correctamente vale 4 puntos. Por cada respuesta incorrecta se resta 2 puntos.

19.Una empresa trata de decidir cuál de dos modelos de máquinas comprar. El modelo A cuesta $50 000 dólares y su mantenimiento es de S/. 4 000 anuales. El modelo B cuesta $40 000 y sus costos anuales de mantenimiento son S/. 5 500. ¿Durante cuántos años debe usarse el modelo A para que sea más económico que el B?

a) Marco respondió todas las preguntas, ¿cuántas respuestas correctas debe tener como mínimo, para aprobar? b) Pablo respondió 35 preguntas. ¿Podrá aprobar con menos respuestas correctas que Marco?

20."Juan tiene por lo menos 6 primos" -dice José "No tiene menos de 6"- corrige Ramírez "Tal vez tengas razón", pero lo que yo sé es que tienes más de un primo"- agrega Ezequiel. ¿Cuántos primos tiene Juan si se sabe que uno sólo de los chicos dice la verdad?

Tarea domiciliaria Nivel I 1. Hallar que valores enteros de "x" satisfacen las inecuaciones: x - 3  5  2x  5  7

2. Resolver el sistema. (x  ZZ) 2x - 5 < x + 3 < 3 x - 7 3. Hallar la suma de valores enteros que satisfacen el sistema de inecuaciones: 5 x  4  7 x - 18  8 - 7x  14 - 5x

4. Resolver el sistema: (x  ZZ ) 3x  4  2x  10  3x  6  5x - 10

5. Resolver el sistema: (x  ZZ ) 2x  5  5x - 9  5x  14  3x - 2

CARLOS VALDERRAMA

6. Resolver el sistema: (x  ZZ )

1 - 2x  3x - 1   2 3  7 x - 9  10 - x  3 7. Resolver el sistema: (x  ZZ )

x - 3 2 - x  2  4   x - 2  3x - 1  3 8. Resolver el sistema: (x  ZZ ) x 1 1 - 2x x +1 2 5 3 4

9. Se compra un número par de naranjas, si se vende la cuarta parte, quedan menos de 118 por vender, y si se vendiera la sexta parte, quedaría más de 129 por vender. ¿Cuántas naranjas se compraron? 10.Se tienen un cierto número de monedas, si se forman montones de a 7, no se pueden completar 8 de aquellos, y si se forman montones de a 6, se completa 9 y queda una sobrante. ¿Cuál es el número de monedas?

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