Otimização De Processos.pdf
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ANÁLISE EM REGIME TRANSIENTE DE PROCESSOS CONTÍNUOS: BALANÇOS DE MASSA, ENERGIA E MOMENTUM APLICADO A OPERAÇÕES UNITÁRIAS DA INDÚSTRIA QUÍMICA
Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] Departamento de Engenharia Química da UFBA
Escola Politécnica da UFBA UFBA
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CURRÍCULO DO INSTRUTOR Ricardo de Araújo Kalid, D. Sc. 04/09/64 [email protected]
(0xx71) 203.9811 / 9984.3316 Prof. Depto Engenharia Química da UFBA
ÁREAS DE ATUAÇÃO E LINHAS DE PESQUISA Modelagem e simulação em regime estacionário e transiente de processos Identificação de processos Controle de processos Otimização de processos Síntese de redes de transferência de calor e massa OUTROS Professor do Mestrado em Engenharia Química da UFBA e do Mestrado em Produção Limpa Professor (anos 92 e 93) do Curso de Especialização em Instrumentação e Controle (CEINST) promovido pelo Departamento de Engenharia Mecânica da UFBA Professor de Cursos de Educação Continuada (Controle Avançado, Controle Preditivo Multivariável, Identificação de Processos, Otimização de Processos Químicos, Controle de Colunas de Destilação) para DOW, PETROBRAS, GRIFFIN, EDN, CIQUINE, OXITENO, COPENE. Professor (98) do Curso de Especialização em Automação de Sistemas Industriais (CEASI) promovido pelo Depto de Engenharia Elétrica da UFBA Professor e Coordenador (99) do Curso de Especialização em Controle e Automação de Processos Industriais (CECAPI) promovido pelos Depto de Engenharia Química e Elétrica da UFBA Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Professor e Coordenador (2000 a 2002) do Curso de Especialização em Instrumentação, Automação, Controle e Otimização de Processos Contínuos (CICOP 1ª e 2ª turmas) promovido pelo Depto de Engenharia Química e UFBA e AINST. Coordenador do II e do III Seminário Nacional de Controle e Automação (II SNCA-2001 e III SNCA-2003) PROJETOS COOPERATIVOS E/OU CONSULTORIAS PARA INDÚSTRIAS MONSANTO-GRIFFIN-POLITENO: Síntese de redes de transferência de calor e massa DETEN: Simulação do reator radial para desidrogenação de parafinas / Minimização de água industrial EDN: participou da equipe de desenvolvimento do plano diretor de automação PDAI/BA - Programa de Desenvolvimento da Automação Industrial, participantes: UFBA, UNIFACS, CEFET/BA, CETIND-SENAI, FIEB, SEPLANTEC, PETROBRAS, NITROCARBONO, DETEN, OXITENO, OPP, POLIBRASIL, POLITENO, BRASKEM/UNIB GRIFFIN: Sistema de controle de pH de efluentes. POLITENO: Sistema de controle de pH de efluentes. BRASKEM/UNIB: Identificação de processos; Sintonia de controladores industriais; Simulação, controle e otimização do conversor de acetileno da ETENO II BRASKEM/UNIB-POLITENO-UFBA: Diagnóstico de Malhas de Controle Preditivo Multivariável (MPC) BRASKEM/UNIB
-UFBA:
Projeto
de
produção
+
limpa
para
minimização/reuso de águas industriais POLICARBONATOS-UFBA: Diagnóstico de Malhas de Controle PID + VOA’s (Redes Neurais) INDICADORES DE PRODUÇÃO CIENTÍFICA
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Trabalhos
Apresentados
em
Congressos: Trabalhos Publicados em Periódicos: Dissertação Tese
de
de
Doutorado
Mestrado (1)
(1)
Defendidas
14 2
e e
2
Aprovadas: Participação de Bancas de Mestrado (5) e de Doutorado (1): Orientação de Iniciação Científica e Tecnológica Orientação Mestrado:
6 21 (concluídas) e 6 em andamento
de
Dissertações
de
8 (em andamento), 5 concluídas
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Trabalhos em parceria com indústrias: N
TEMA
PARTICIPANTES
INSTITUIÇÃO
Integração
Sebastião Luís
POLITENO
energética de plantas 35 de polimerização de etileno
a
baixa
pressão
STATUS
João Nery José Geraldo
Em UFBA
desenvolvimento
Ricardo Kalid
Otimização
das
Wagner Mônaco
ELEKEIROZ
Ricardo Kalid
UFBA
Wagner Mônaco
ELEKEIROZ
34 colunas de destilação de 2-etil-hexanol Otimização
das
Em desenvolvimento
33 colunas de destilação
Concluído Ricardo Kalid
de octanol Otimização
do
Alexander
32 sistema de sepação Morbeck Brinker de efluentes Otimização 31
reator
do
UFBA
DOW
Ricardo Kalid
UFBA
Frederico Epstein
MONSANTO
Concluído
Em
de
desidrogenação de di-
Ricardo Kalid
UFBA
Nadja Fontes
BRASKEM
desenvolvimento
etanol-amina (DEA)
30
Otimização
de
unidade
de
uma
separação e reforma
Em Ricardo Kalid
UFBA
desenvolvimento
de nafta 29
Minimização uso
de
água
do no
José luiz Bravo
CARAÍBA
Péricles Júnior
Em desenvolvimento
processo industrial da CARAÍBA (AGUAÍBA)
Asher Kiperstok
UFBA
Leoni Pustilnik
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N
TEMA
PARTICIPANTES
INSTITUIÇÃO
STATUS
Daniela Fontana Ricardo Kalid Carlos Pessoa Erisvaldo Cunha Minimização uso
de
água
do no
28 processo industrial da DETEN
DETEN
(DETEN-
ÁGUA)
Cláudio Costa Em
Asher Kiperstok Carlos Maurício
desenvolvimento UFBA
Salvador Ávila Ricardo Kalid Desenvolvimento 27
de
projetos
de
Fábio Carrilho
ZCR
Ruben Delgado
desenvolvimento
controle e otimização de processos
Ricardo Kalid
Em
UFBA
Luciano Ferraz Sebastião Luís Integração 26 energética de plantas de polimerização
POLITENO
Jean Cailleaux
Em desenvolvimento
João Nery José Geraldo
UFBA
Ricardo Kalid 25
Integraçao energética de plantas
João Colonese
Em desenvolvimento
Klauss V. Serra
de química fina Nelson Siem
GRIFFIN
Tadeu Aloísio
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N
TEMA
PARTICIPANTES Marcelo Escobar
INSTITUIÇÃO
STATUS
UFBA
Ricardo Kalid Antônio Malan Carlos Modesto Sérgio Maronato Diagnóstico
e
otimização de malhas 24 de
controle
PID
industriais: PROJETO POLICARBOMAX
POLICARBONATOS
Marcelo Coutinho Gabriella
Em
Sá
desenvolvimento
Vieira Grazziela Gomes Marcelo
UFBA
Embiruçu Ricardo Kalid Otimização 23
reator
de
PIA
do
Klauss V. Serra
MONSANTO Em
da
planta da Monsanto
Ricardo Kalid
UFBA
Frederico Epstein
MONSANTO
desenvolvimento
Nordeste Otimização 22
e
Em
integração energética de
uma
unidade
Ricardo Kalid
UFBA
Daniel Cortes
MONSANTO
desenvolvimento
industrial a batelada. Reuso 21
e de
Ricardo Kalid
líquidos
José Geraldo
reciclagem efluentes industriais
20
Em UFBA
desenvolvimento
Asher Kiperstok
Otimização
de
Ana
um sistema de fornos Viana
Carolina
BRASKEM
Em desenvolvimento
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N
TEMA de Pirólise Otimização
19
de
PARTICIPANTES
INSTITUIÇÃO
Ricardo Kalid
UFBA
Patricia C.Lima
MONSANTO
STATUS
Em
reatores a batelada: definição
do
perfil
Ricardo Kalid
UFBA
desenvolvimento
ótimo de operação Maurício Santos Elaine Santana Nadja Fontes
BRASKEM
César Moraes Márcia Cunha Diagnóstico 18
malhas
de
de
controle
preditivo multivariável – MPC
Lúcio Estrella Ricardo Muller
POLITENO
Concluído
Jean Cailleaux Carlos Pinheiro Marcelo Embiruçu Yuri Guerrieri
UFBA
Marcos Britto Ricardo Kalid 17
Minimização dos recurso
de
águas
industriais
Moisés Augusto Sufredini
-
BRASKEM - ÁGUA
Concluído BRASKEM
Carlos Alberto João Severiano Fernando Pelegrini
UFRJ
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N
TEMA
PARTICIPANTES
INSTITUIÇÃO
Roger Zemp
UNICAMP
STATUS
Asher Kiperstok José Geraldo Sandra
de
Oliveira
UFBA
Christiane Perazzo Daniela Fontana Ricardo Kalid Sistemas de pH 16 dos
efluentes
da
GRIFFIN
Leandro Caputo
GRIFFIN Concluído UFBA
Ricardo Kalid
Controle
Mauricio Moreno
otimizante de um trem de
Nelson Siem
separação
BRASKEM
Fábio Carrilho
de
15 xilenos (3 colunas de destilação
em
série/paralelo)
da
Concluído UFBA Ricardo Kalid
COPENE Simulação,
Kleber Lima
BRASKEN
controle e otimização 14
de
reator
de
Em
leito
fluidizado
para
produção
de
Ricardo Kalid
UFBA
Igor Monteiro
DUPONT
Breno Brasil
UFBA
desenvolvimento
polietileno 13
Simulação, controle e otimização
Em desenvolvimento
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N
TEMA de
reator
PARTICIPANTES para
produção de nylon 6 Reconciliação de 12 dados de processos continuos
STATUS
UFBA
Concluído
Ricardo Kalid Elcio Pereira Iraí Santos Ricardo Kalid
Controle 11
INSTITUIÇÃO
Estatítico
João Colonese de
GRIFFIN
Grazziela Gomes
Processos: Contínuos Ricardo Kalid
( CEP - contínuo) Modelagem, simulação do reator 10 de desidrogenação de n-parafinas
Concluído UFBA
da
Gian Carlos
DETEN
Mário Mendes
UNICAMP
Ricardo Kalid
UFBA
Concluído
DETEN Modelagem 9
por
redes neurais híbridas e
otimização
de
reatores de CPD Estimativa 8
do
tempo de campanha
Falcon
UFBA
Murilo Amorim
BRASKEM
Eliane Santanta
destilação
e
Williane Carneiro Cathia
R.
BRASKEM Concluído
de Apenburg
sulfolane da COPENE Modelagem,
Concluído UFBA
Ricardo Kalid
controle de colunas de
BRASKEM Concluído
Tatiana Freitas
de fornos de pirólise
Simulação
6
Alberto
Ricardo Kalid
da COPENE
7
Luiz
Ricardo Kalid
UFBA
Maurício Moreno
BRASKEM
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Concluído
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N
TEMA
PARTICIPANTES
simulação, controle e otimização
de
conversores
de
acetileno da COPENE
INSTITUIÇÃO
STATUS
Paulo Freitas Fabrício Brito Tatiana Marucci
UFBA
Ricardo Kalid Sintonia
do
controlador de topo da 5
Almir Cotias Filho
GRIFFIN
Klauss V. Serra
Concluído
coluna de destilação de
3,4
DCA
da
Ricardo Kalid
UFBA
Mark Langerhost
BRASKEM
GRIFFIN Simulação 4
e
controle de colunas
Sintonia
de
controladores
UFBA
Mauricio Moreno Gustavo Freitas
industriais
BRASKEM Concluído UFBA
Ricardo Kalid Mauricio Moreno
Identificação de 2
Concluído
Ricardo Kalid
da COPENE
3
Lueci V. do Vale
de destilação de BTX
modelos dinâmicos de
Daniel Jes Cerqueira
processos químicos
BRASKEM Concluído UFBA
Ricardo Kalid Plano diretor de 1
automação da EDN (Estireno Nordeste)
EDN
Herman Lepikson Francisco
do Teixeira
Concluído UFBA
Cauby Costa Ricardo Kalid
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INSTRUTOR: RICARDO KALID - [email protected] Cursos e apostilas sobre MODELAGEM DE PROCESSOS Operações Unitárias em Regime Transiente – Balanços de Massa, Energia e Momentum Aplicados a Processos Químicos. Identificação de Processos Químicos. SIMULAÇÃO DE PROCESSOS Métodos Numéricos e Simulação de Processos. Programação em MATLAB com Aplicação em Reatores Químicos. CONTROLE DE PROCESSOS Sistemas de Controle dos Principais Equipamentos da Indústria de Processos Químicos e Petroquímicos. Controle de Processos Químicos. Definição da Estrutura do Sistema de Controle Multimalha de Processos Multivariáveis. Controle Avançado de Processos – Estratégias Clássicas de Controle. Controle de Coluna de Destilação. Controle Preditivo Multivariável: DMC - Controle por Matriz Dinâmica. Sintonia Ótima de Controladores Industriais OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS Otimização de Processos Químicos sem restrições Otimização de Processos Químicos com restrições Otimização de Processos Químicos a batelada Essas apostilas você encontra no site www.LACOI.ufba.br
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ÍNDICE
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 1.1
16
METODOLOGIA PARA A MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO DE
PROCESSOS CONTÍNUOS
19
1.2
PRINCÍPIOS PARA FORMULAÇÃO DE UM MODELO MATEMÁTICO
1.3
MÉTODOS NUMÉRICOS
20
22
CAPÍTULO 2. LEIS FUNDAMENTAIS: BALANÇOS DE MASSA, ENERGIA E MOMENTUM 24 2.1
LEIS FUNDAMENTAIS 24
2.2
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 25
2.2.1
BALANÇO DE MASSA GLOBAL 25
2.2.2
BALANÇO MOLAR POR COMPONENTE 30
2.3
EQUAÇÃO DA ENERGIA
34
2.4
EQUAÇÃO DO MOMENTUM
43
2.4.1
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
50
2.4.2
FATOR DE FRICÇÃO
51
2.4.3
MEDIÇÃO DE VAZÃO
55
2.5
EXERCÍCIOS
2.5.1
TANQUE EM LINHA
2.5.2
CSTR 60
2.5.3
TANQUES NÃO INTERATIVOS EM SÉRIE 61
2.5.4
TANQUE ESFÉRICO
2.5.5
TANQUE NÃO INTERATIVOS EM SÉRIE 2 62
2.5.6
TANQUES EM SÉRIE COM BOMBA
2.5.7
TANQUE NÃO INTERATIVOS EM SÉRIE COM BOMBA
2.5.8
TANQUE NÃO INTERATIVO EM SÉRIE 3 65
60 60
61 63 64
CAPÍTULO 3. OUTRAS LEIS FUNDAMENTAIS 67 3.1
EQUAÇÕES DE TRANSPORTE 67
3.2
EQUAÇÕES DE ESTADO
3.3
CINÉTICA QUÍMICA
68
70
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3.4
ENTALPIA DAS REAÇÕES QUÍMICAS
3.5
EQUILÍBRIO DE FASES 73
3.5.1
EQUILÍBRIO LÍQUIDO-VAPOR
3.6
EXERCÍCIOS
3.6.1
REATOR CSTR ISOTÉRMICO
78
3.6.2
EQUILÍBRIO LÍQUIDO-VAPOR
78
3.6.3
DIAGRAMA XY 79
3.6.4
ALQUILAÇÃO DO BENZENO
3.6.5
COMBUSTÃO
71
75
78
79
79
CAPÍTULO 4. EXEMPLOS DE MODELOS MATEMÁTICOS DE PROCESSOS QUÍMICOS
81
4.1
REATOR CSTR NÃO-ISOTÉRMICO
4.2
EVAPORADOR 87
4.2.1
ANÁLISE DOS GRAUS DE LIBERDADE
4.3
COLUNA DE DESTILAÇÃO
91
4.3.1
MODELO ESTACIONÁRIO
92
4.3.2
MODELO DINÂMICO
4.4
COLUNA DE ABSORÇÃO, EXTRAÇÃO, ESGOTAMENTO E LAVADORA 114
4.5
EXERCÍCIOS
4.5.1
COLUNA DE DESTILAÇÃO
4.5.2
TANQUE AGITADO COM SERPENTINA
4.5.3
REATOR CSTR 117
81 91
112
116
CAPÍTULO 5. EXEMPLO PRÁTICO
116 116
121
5.1
MODELO NÃO-LINEAR EM ESPAÇO DE ESTADOS
121
5.2
MODELO LINEAR CONTÍNUO EM ESPAÇO DE ESTADOS
5.3
MATRIZES DE LINEARIZAÇÃO 126
5.4
MODELO LINEAR DISCRETO EM ESPAÇO DE ESTADOS
5.5
ADIMENSIONALIZAÇÃO
5.6
EXERCÍCIOS
123 135
138
139
CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE 140 6.1
INTRODUÇÃO 140 Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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6.2
PROPRIEDADES E TEOREMAS 141
6.3
TRANSFORMADA DE ALGUMAS FUNÇÕES SIMPLES E ÚTEIS
143
6.4
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
144
6.5
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 148
CAPÍTULO 7. LINEARIZAÇÃO
151
7.1
INTRODUÇÃO 151
7.1.1
MODELAGEM EM REGIME TRANSIENTE 151
7.2
EXERCÍCIOS
7.2.1
LINEARIZAÇÃO 156
7.2.2
MISTURA BINÁRIA
7.2.3
EQUILÍBRIO LÍQUIDO-VAPOR
7.2.4
PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA
7.2.5
TEOREMAS DO VALOR INICIAL E FINAL 158
7.2.6
TRANSFORMADA DE LAPLACE 158
7.2.7
SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 158
7.2.8
EQUAÇÃO DIFERENCIAL – SISTEMA DE 1ª ORDEM
159
7.2.9
EQUAÇÃO DIFERENCIAL – SISTEMA DE 2ª ORDEM
159
156 156 157
CAPÍTULO 8. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
157
160
8.1
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 160
8.2
MATRIZ FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 164
CAPÍTULO 9. SÍMBOLOS E ABREVIATURAS
168
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Capítulo 1.
Introdução Modelos ajudam no entendimento dos fenômenos físicos
Processos e sistemas químicos são complexos
Em controle uma forma de modelo muito conveniente é o tipo entrada-saída: ENTRADA DISTÚRBIO INPUT
SISTEMA PROCESSO
SAÍDA RESPOSTA OUTPUT
1.
Fenomenológicos X Empíricos X Híbridos
2.
Contínuos X Discretos X Mistos
3.
Lineares X Linearizados X Não-Lineares
4.
Monovariáveis X Multivariáveis
5.
Parâmetros Concentrados X Parâmetros Distribuídos
6.
Estacionários X Dinâmicos
7.
Invariantes X Variantes no Tempo Representação no Espaço de Estados X Representação Entrada/Saída
Classificação dos tipos de Modelos
Modelos Matemáticos
y y
Modelos Físicos (plantas piloto) Modelos Analógicos (computadores analógicos, variação das marés Kelvin) Gráficos e Mapas Modelos Matemáticos
y y
Determinístico Estocásticos (probabilísticos)
y y
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Modelos de Balanços de População ex.: distribuição de tempos de residência y Modelos Empíricos ex. 1: polinômios ajustados a dados experimentais pelo método mínimos quadrados. ex. 2: função de transferência ajustados a dados experimentais através de métodos gráficos. y Modelos Fenomenológicos ex.: equações fenomenológicas de balanços de massa, energia e momentum. y
Modelos Determinístico
Modelos Fenomenológicos
y Parâmetros Distribuídos ex.: equações diferenciais parciais y Parâmetros Concentrados ex.: equações diferenciais ordinárias
Equações Diferenciais x Equações de Diferenças Finitas
∂Τ ∂t
← →
∆Τ ∆t
Utilidades dos Modelos Matemáticos 9
Entender mais claramente as relações de causa-efeito existentes
entre as variáveis do processo. 9
Modelos matemáticos podem (devem) ser utilizados em todas as
etapas de um trabalho de engenharia, desde a pesquisa e desenvolvimento até a operação da planta, passando pelas análises técnico-econômicas: • Pesquisa e desenvolvimento: determinação das propriedades físico-químicas das substâncias; tratamento de dados experimentais de laboratórios ou de plantas piloto; auxiliando nos cálculos de aumento de escala (scale-up); explorando os efeitos de diferentes condições operacionais visando o projeto de um sistema de otimização e/ou controle eficaz. • Projeto: explorando a dimensão e disposição dos equipamentos de processo mais eficiente do ponto de vista técnico-econômico; estudo das interações entre as várias partes do processo, particularmente quando existe reciclo de matérias Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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e/ou integração energética; avaliação de alternativas de processos e de sistemas de controle; simulação de procedimentos operacionais, partidas (start-up), paradas (shut-down) e situações de emergência. • Operação da planta: treinamento de operadores; estudo dos efeitos de uma ampliação da planta; otimização da operação. O uso de modelos matemáticos usualmente diminui os custos e o tempo de desenvolvimento de um projeto, além de aumentar a segurança dos resultados obtidos. Isto não significa que experimentos conduzidos em laboratórios, plantas pilotos ou mesmo nas plantas industriais são desnecessários, contudo a modelagem aumenta a eficácia do esforço realizado. A Tabela 1.1-1 mostra as aplicações mais comuns de modelos e simulação em regime estacionário e transiente. Tabela 1.1-1: Modelagem Matemática e Simulação de Processos.
Tipo do regime
Áreas de aplicação Projeto de novos processos Flexibilidade a novas condições
Regime permanente
Otimização econômica de processos em regime permanente Otimização on-line Projeto e otimização do sistema de controle do processo Tolerância a distúrbios
Regime transiente Análise das condições de partida ou parada Otimização on-line
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1.1 Metodologia para a modelagem simulação de processos contínuos
matemática
e
9
Definir os objetivos a serem alcançados.
9
Estudar/identificar/avaliar a situação física real.
9
Listar as variáveis/parâmetros/dimensões dos equipamentos, das
interconexões e os valores de projeto ou de referência. Modelar matematicamente a partir de princípios físicos (modelagem
9
fenomenológica) ou através de relações empíricas. Definir: • Variáveis dependentes; • Variáveis independentes; • Parâmetros do sistema; • Equações de conservação fundamentais (balanços de massa, energia e/ou momentum; • Equações constitutivas (equações de taxas de reação, de estado, etc.); • Restrições do processo; • Condições iniciais e/ou de contorno. Resolver o problema atendendo às restrições e condições iniciais/de
9 contorno.
• Por métodos analíticos; • Por métodos numéricos. 9
Validar o modelo e sua resolução. • Validação qualitativa; • Validação quantitativa; • Comparação com dados reais; • Comparação com dados de outras simulações; • Comparação com dados da literatura;
Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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• Utilizar o bom senso. 9
Estudo de casos e de sensibilidade. SITUAÇÃO REAL
OBJETIVOS
VARIÁVEIS / PARÂMETROS
MODELAGEM
RESOLUÇÃO
VALIDAÇÃO
COMPARAÇÃO COM DADOS REAIS COMPARAÇÃO COM OUTRAS SIMULAÇÕES COMPARAÇÃO COM DADOS DA LITERATURA BOM SENSO
ESTUDO DE CASOS
9
Auditoria, avaliação, manutenção e melhoria continuada do modelo.
1.2 Princípios Matemático 9
para
Formulação
de
um
Modelo
Bases Os modelos fenomenológicos são baseados em leis fundamentais (balanços
de massa, energia, momentum e entropia) e em equações constitutivas (equações empíricas ou semi-empíricas que caracterizam as transformações e/ou os fluxos presentes no sistema). 9
Hipóteses Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
Página 21 de 172
Provavelmente a etapa vital na construção de modelo seja o estabelecimento das simplificações impostas ao modelo, pois essas têm que ser escolhidas de modo a não comprometer a adequação do modelo à realidade. Contudo, um modelo extremamente rigoroso é (a) inadequado devido ao longo tempo necessário para encontrar a sua solução, ou (b) impossível de ser resolvido devido a não disponibilidade dos parâmetros do modelo. Portanto, o modelo ideal é aquele que atende ao compromisso entre precisão e exeqüibilidade. A tarefa de estabelecer as restrições impostas ao modelo requer do engenheiro um profundo conhecimento do processo em análise, conhecimentos teóricos e uma boa dose de experiência, aliados a um espírito criativo e inovador. 9
Consistência Matemática do Modelo Depois de escrita as equações matemáticas que descrevem um processo,
deve-se verificar se o número de variáveis desconhecidas é igual ao número de equações, isto é, deve-se calcular os graus de liberdade (GL) do sistema. Se o modelo for em estado estacionário o mesmo deve ser zero, se não for verdade o sistema está superespecificado (mais variáveis que equações) ou subespecificado (mais equações que variáveis). Porém, se o modelo for em regime transiente os graus de liberdade informam se o sistema está superespecificado (GL < 0, mais variáveis controladas que manipuladas, e neste caso algumas variáveis controladas apresentarão desvio permanente) ou sub-especificado (GL > 0, menos variáveis controladas que manipuladas, neste caso alguma variáveis não estão sob controle). Outra conferência que sempre deve ser realizada é a consistência dimensional dos vários termos das equações.1 Embora essas verificações não garantam que o modelo esteja correto, pelo menos garantem quando está errado, economizando horas de trabalho.
9
Solução do Sistema de Equações
1
Um erro comum em simulações dinâmicas é a mistura de unidades de tempos diferentes, por exemplo, minutos com segundos. Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Tabela 1.2-1: Dificuldades para Solução Analítica de Equações
Tipo de Equação
Equações lineares
Equações não-lineares
uma
algumas
muitas
uma
algumas
muitas
Algébrica
trivial
fácil
essencial. impossível
difícil
muito difícil
impossível
Diferencial Ordinária
fácil
difícil
essencial. impossível
muito difícil
impossível
impossível
Diferencial Parcial
difícil
essencial. impossível
impossível
impossível
impossível Impossív.
Adaptado de: Franks, R. G. E., Modeling and Simulation in Chemical Engineering. Resumindo: Sistemas reais são não-lineares
1.3
→
Solução
Métodos Numéricos Foi mencionado anteriormente que a solução analítica para um modelo
matemático só é possível em casos muito especiais. Na verdade, na maioria das vezes, os modelos matemáticos que melhor representam processos reais só são possíveis de serem resolvidos numericamente. Na Tabela 1.3-1 são listados alguns métodos numéricos e respectivos problemas onde podem ser empregados. Tabela 1.3-1: Métodos Numéricos.
Método Numérico
Problemas
Substituição direta
SEANL
Newton
SEANL
Runge-Kutta-Gill
SEDO-PVI
Runge-Kutta-Semi-Implícito
SEDO-STIFF-PVI
Diferenças Finitas
SEDO-PVC, SEDP
Colocação Ortogonal
SEDO-PVC, SEDP
Elementos Finitos com Colocação Ortogonal
SEDO-PVC, SEDP
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GAUSS
–
Método para solução de problemas de SEANL.
SEANL
–
Sistema de Equações Algébricas Não-Lineares.
SEDO-PVI
–
Sistema
de
Equações
Diferenciais
Ordinárias
–
Sistema
de
Equações
Diferenciais
Ordinárias
–
Problema de Valor Inicial. SEDO-PVC
–
Problema de Valor de Contorno SEDP
–
Sistema de Equações Diferenciais Parciais
STIFF
–
Sistema de Equações Diferenciais Rígidas
A combinação dos métodos às vezes é necessária para a solução de problemas, por exemplo: uma equação diferencial parcial no tempo e na variável espacial z, neste caso pode-se utilizar o método da colocação ortogonal para “reduzir” uma SEDP a uma SEDO-PVI, que pode ser resolvida por Runge-KuttaSemi-implícito. 9
Validação Uma importante parte do desenvolvimento de modelos matemáticos é a
verificação do mesmo com a realidade. Embora durante a etapa de projeto de uma nova unidade isto não possa ser feito, pois a planta industrial ainda não existe, sempre há uma planta industrial similar ou uma planta piloto na qual dados experimentais podem ser obtidos. Nas demais situações é sempre possível validar o modelo desenvolvido, as hipóteses adotadas e os parâmetros das equações adotados com dados coletados na planta industrial.
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Capítulo 2. Momentum
Leis
Fundamentais:
2.1
Leis Fundamentais
Balanços
de
Massa,
Energia
e
Quatro leis fundamentais são aplicáveis em todos os sistemas físicos, exceto para fenômenos relativísticos e/ou nucleares. Tabela 2.1-1: Leis fundamentais.
Lei
Equação
1. Lei da Conservação da Massa
Equação da Continuidade
2. Segunda Lei de Newton do Movimento
Equação do Momentum
3. Primeira Lei da Termodinâmica
Equação da Energia
4. Segunda Lei da Termodinâmica
Equação da Entropia
A Segunda Lei da Termodinâmica, embora de importância fundamental, não faz parte do escopo deste curso. As equações da continuidade, momentum e energia podem ser expressas em palavras como: Eq 2.1-1
Taxa de Taxa de Taxa de Taxa de Taxa de acúmulo no entrada pela saída pela geração no consumo no − + + = volume do superfície do superfície do volume do volume do sistema sistema sistema sistema sistema
O objetivo da construção de modelos é substituir estas palavras por expressões matemáticas tão rigorosas quanto possíveis e que envolvam o menor número possível de parâmetros. O modelo matemático de um fenômeno físico em regime transiente tem, necessariamente, duas partes:
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As equações diferenciais que representam o fenômeno de maneira
9 geral;
Condições iniciais e/ou de contorno adequadas a um determinado
9 sistema.
Partes de um Modelo Matemático
y y
Equação matemática Condição inicial e/ou de contorno
Existem milhares de maneiras de escrever os balanços de massa, energia e momentum: balanços integrais ou diferenciais; em coordenadas retangulares, cilíndricas, esféricas ou elípticas; utilizando derivada substancial (também denominada material ou de Lagrange) ou derivadas parciais; balanços microscópicos ou macroscópicos; combinação entre essas formas, etc. Essas maneiras de escrever os balanços são completamente equivalentes, contudo cada uma é mais adequada para a resolução de determinada classe de problema. Neste curso é impossível, devido ao exíguo espaço de tempo, apresentar muitas dessas formas, portanto vamos nos ater aos balanços macroscópicos (tipo mais apropriado à maioria dos problemas de controle de processos), embora sejam citados alguns exemplos de balanços microscópicos.
2.2
Equação da Continuidade A equação da continuidade pode (e deve) ser aplicada de duas formas: Balanço global mássico no sistema, ou seja, aplicando o princípio de
9
conservação da massa (“Na natureza nada se perde, tudo se transforma”); Balanço por componente ou balanço molar, pois ao contrário da
9
massa a composição não é conservada. 2.2.1
Balanço de Massa Global
A equação total da continuidade ou simplesmente o balanço de massa aplicado a um processo em regime transiente pode ser expresso por:
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Taxa de Taxa de Taxa de saída entrada pela acumulação no = − pela superfície volume do sistema superfício do do sistema sistema
Eq 2.2-1
As unidades dessa equação são massa por tempo. Apenas uma e somente uma equação de balanço mássico global pode ser escrita para um processo. A seguir apresentamos dois exemplos de modelagem de processos bastantes comuns na indústria do petróleo e petroquímica. Tanque de armazenamento
9
Considere um tanque utilizado no armazenamento de líquidos, aberto para a atmosfera (Figura 2.2-1). A vazão de alimentação, q1(t) [ = ] m3/s, é variável com o tempo, pois depende das condições a montante. A descarga do tanque se dá para a atmosfera.
q1(t)
h(t) q2(t) = f(h(t)) Figura 2.2-1: Tanque de armazenamento aberto para atmosfera.
No estado estacionário (steady state): q1,ss = q2,ss = constante. Sabe-se que no estado estacionário a vazão de descarga do tanque depende da coluna de líquido conforme a Figura 2.2-2.
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Altura máxima do tanque
h(t) Altura de projeto do tanque
Vazão máxima de projeto
q2(t)
Figura 2.2-2: Altura versus vazão de descarga no estado estacionário.
Portanto, da Figura 2.2-2 podemos escrever:
q 2, ss = C * hss
. Assumindo que
este comportamento também é válido para o regime transiente (hipótese 1) e que massa específica do líquido é constante (hipótese 2) podemos escrever o seguinte balanço global 2 para o tanque: Eq 2.2-2
{acumulação de massa} = dm(t ) = dρV (t ) = ρ dAT h(t ) = ρAT
Eq 2.2-3
{entrada por convecção} = m& 1 (t ) = ρ1q1 (t )
Eq 2.2-4
{sai por convecção} = m& 2 (t ) = ρ 2 q 2 (t ) = ρ 2 C h(t )
Eq 2.2-5
dt
ρ AT
. dh (t) =m &1 dt
(t )− m& .
2
dt
dt
dh(t ) dt
(t ) = ρ1 q1 (t ) − ρ 2 C h(t )
Considerando-se que ρ = ρ1 = ρ2 = constante. Dividindo a Eq 2.2-5 por ρ e rearranjando obtemos:
2
Neste caso utilizamos uma abordagem macroscópica. Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Eq 2.2-6
AT
dh (t) +C dt
h(t ) = q1 (t )
Para completar o modelo devemos estabelecer as condições de contorno e/ou iniciais. Neste caso temos um PVI de 1a ordem, logo basta definir uma condição inicial (C.I.): Eq 2.2-7
C.I.: para t = 0Æh (0) = hss
A equação a Eq 2.2-6 é uma Equação Diferencial Ordinária de coeficientes constantes não homogênea não linear. Desse exemplo pode-se perceber que os sistemas químicos de interesse industrial são, sem exceção, formados por equações não lineares. Existe solução analítica para a Eq 2.2-6, porém na prática os modelos são formados por sistemas de 2 ou mais equações cuja solução quase sempre só são possíveis de se obter através da utilização de métodos numéricos. Mais adiante retornaremos a esse exemplo e iremos obter um modelo linearizado cuja solução desenvolveremos utilizando a Transformada de Laplace. Escoamento em uma tubulação
9
Considere uma tubulação de diâmetro constante na qual escoa um fluido compressível (gás) em regime transiente (Figura 2.2-3). O fluxo é turbulento (hipótese 1), portanto podemos assumir que o perfil de velocidade é achatado, ou seja, o escoamento é pistonar (plug flow), logo não existem gradientes na direção radial (r). Contudo, gradientes na direção axial (z) existem (hipótese 2), logo a velocidade (v) e a massa específica (ρ) do fluido variam com o tempo (t) e com a posição (z). Ou seja, as duas variáveis dependentes (ρ e v) variam simultaneamente com as variáveis independentes (t e z), isto é:
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ρ = ρ (t, z)
Eq 2.2-8 Eq 2.2-9 v = v (t ,z)
Para aplicar a Eq 2.1-1 neste processo considere um volume de controle3 definido entre z e z + ∆z (Figura 2.2-3).
R
r z z
z + ∆z
Figura 2.2-3: Fluxo através de uma tubulação.
{Taxa de acúmulo no volume do sistema} = Eq 2.2-10
[
∂ π R 2 ∆z ρ (t , z ) ∂t
{Taxa de entração por convecção} = π R 2 [ v ( t , z ) ρ ( t, z )] Eq 2.2-11
{Taxa de saída por convecção} = π R 2 [ v ( t, z )
ρ ( t, z )]
Eq 2.2-12
]
z
z + ∆z
Substituindo as equações de Eq 2.2-10 a Eq 2.2-12 na Eq 2.1-1 e dividindo por πR2∆z, obtemos:
3
Neste caso utilizamos uma abordagem microscopia. Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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∂ρ (t , z ) = ∂ t
Eq 2.2-13
v ( t, z ) ρ ( t, z )
− v ( t, z ) ρ ( t, z ) z
z + ∆z
∆z
Passando o limite quando ∆z tende a zero, lembrando da definição de derivada e rearranjando a Eq 2.2-13, obtemos: ∂ρ (t , z ) ∂ [v ( t, z ) . ρ (t , z)] + =0 ∂t ∂z
Eq 2.2-14
Agora devemos estabelecer uma condição inicial (C.I.) e uma condição de contorno (C.C.): Eq 2.2-15
C.I.para t = 0 → ρ (0, z ) = f 1 ( z )
Eq 2.2-16
v(t ,0 ) = f 2 ( z ) C.C. para z = 0 → ρ (t ,0 ) = f 3 ( z )
Observe que temos 1 grau de liberdade, pois existem 2 variáveis dependentes (ρ e v) e apenas 1 equação. Portanto, para completar este modelo devemos estabelecer mais uma equação, esta será fornecida pelo balanço de momentum do sistema. Logo, a modelagem matemática deste processo resultará
num sistema de 2 equações diferenciais parciais. 2.2.2
Balanço Molar por Componente
Se no processo ocorrem reações químicas, além do balanço global é necessário realizar balanços por componente, pois o número de moles de alguma(s) substância(s) decresce enquanto para outra(s) cresce, com o avanço da reação. Reator contínuo de mistura perfeita
9
Considere um tanque contendo um líquido perfeitamente agitado (hipótese 1) no qual ocorre uma reação química (Continuos Stirred Tank Reactor – CSTR), Figura
2.2-4.
A
substância
A
reage
isotermicamente
(hipótese
2)
irreversivelmente produzindo a substância B, conforme a seguinte reação: A
→
B
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e
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q1(t)
h(t) q2(t) = f(h(t)) Figura 2.2-4: Reator de mistura perfeita (CSTR).
Para A:
{acumula} =
Eq 2.2-17
dn A ( t ) dC A ( t ) . V ( t ) dC A ( t ) . h ( t ) = =A dt dt dt
Eq 2.2-18
{entra} = C A,1 (t )q1 (t )
Eq 2.2-19
{sai} = C A, 2 (t )q 2 (t )
Assumindo que a taxa de consumo de A por unidade de volume é proporcional a concentração A presente no reator podemos escrever: Eq 2.2-20
{consumido} = V (t )ΓA (t )
Eq 2.2-21
ΓA (t ) = kC A (t )
Então: A Eq 2.2-22
dC A (t) h ( t ) = C A,1 (t )q1 (t ) − C A, 2 (t )q 2 (t ) − V (t )ΓA (t ) dt
Para tanque perfeitamente agitado: Eq 2.2-23
C A (t ) = C A, 2 (t )
Admitindo que (hipótese 3): Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Eq 2.2-24
q 2 (t ) = C h ( t )
Substituindo a Eq 2.2-21, a Eq 2.2-23 e a Eq 2.2-24 na Eq 2.2-22 e rearranjando obtemos: A Eq 2.2-25
dC A t) h ( t ) = C A,1 (t )q1 (t ) − C A (t )C h(t ) − Ah(t )kC A (t ) dt
Para completar o modelo fazemos agora um balanço global no CSTR: A Eq 2.2-26
dh(t) + C h(t ) = q1 (t ) dt
Condições iniciais:
para t = 0
CA(0) = CA, ss h(0) = hss
Eq 2.2-27
A Eq 2.2-6 e Eq 2.2-25 formam um sistema 2 x 2, portanto corretamente especificado e possível de ser resolvido. Alternativamente, poderíamos ter feito o balanço molar para o componente B. Neste caso obteríamos: A Eq 2.2-28
dC B (t)h ( t ) = C B ,1 (t )q1 (t ) − C B (t )C h(t ) dt
Observe que um sinal presente no lado esquerdo da equação mudou para positivo, pois B é produzido pela reação química. Note que no estado estacionário não podemos utilizar simultaneamente as equações Eq 2.2-6, Eq 2.2-25 e Eq 2.2-28, pois existe uma relação entre as concentrações molares e a massa específica dada por: Eq 2.2-29
PMACA + PMBCB = ρ
Onde PMA e PMB são os pesos moleculares de A e B respectivamente.
9
Reator tubular isotérmico com dispersão
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Agora faremos o balanço molar por componente para o reator tubular, no qual ocorre uma reação química (Figura 2.2-5). Assumindo que o reator é isotérmica (hipótese 1), que um modelo pseudo-homogêneo é válido (hipótese 2), que a dispersão obedece a Lei de Fick (hipótese 3), obtemos o seguinte balanço molar: ∂ CA ∂ [− v z C A + D ef . z] ∂ C A + 1 . ∂ r D ef r ∂ C A − ρ L ΓG, A = r ∂r ∂t ∂z ∂z ∂r
Eq 2.2-30
V(t)
R
r
CA,o(t)
z
L Figura 2.2-5: Reator tubular.
Eq 2.2-31
~ n z = − Def , z n~ = − D ef , r r Dispersão obedece à Lei de Fick:
∂C A ∂z ∂C A ∂r
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2.3
Equação da Energia
A primeira lei da termodinâmica aplicada a sistemas abertos (onde fluxos de material e/ou energia entram e saem) pode ser escrito da seguinte forma: Eq 2.3-1
Fluxo de energia cinética, Fluxo de energia cinética, Taxa de = potencial e interna entrando no − potencial e interna saindo no acumulação de energia no sistema sistema por convecção ou difusão sistema por convecção ou difusão Calor adicionado ao sitema por Trabalho realizado pelo + − condução, radiação ou reação sistema sobre as vizinhaças
Tanque de aquecimento
9
Seja o tanque de aquecimento com agitação (Figura 2.3-1). O objetivo deste processo é aquecer a corrente q1(t) da temperatura T1(t) até atingir a temperatura T2(t).
T1(t), q1(t)
h(t)
T2(t), q2(t) W st(t) condensado vapor
Figura 2.3-1: Tanque de aquecimento agitado.
Hipóteses: H01.
Agitação perfeita Æ T(t) = T2(t);
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H02.
Alimentação da serpentina com vapor saturado a pressão constante,
condensação total do vapor, o condensado está saturado Æ Q(t) = Hvl*Wst(t), onde Hvl é a entalpia de condensação do vapor e Wst(t) sua vazão mássica; Massa específica do fluido não depende da temperatura Æ ρ
H03.
=
constante; Capacidade calorífica do fluido não depende da temperatura Æ cp =
H04. constante; H05.
Não há perdas de calor para o meio ambiente;
H06.
A vazão volumétrica de líquido é constante: q1 = q2 = q = cte.
As hipóteses H03 e H04 são válidas porque, neste caso, o intervalo de variação da temperatura é pequeno, portanto a temperatura não se afasta muito do estado estacionário e podemos considerar o valor médio das propriedades do fluido como representativo das características do mesmo. 2.3.1.1 Desenvolvimento do Modelo Matemático 9
Balanço de Massa
Eq 2.3-2
{acumula} = {entra} – {sai} + {produzido} – {consumido}
Eq 2.3-3
{acumula} = dm(t ) = dρ V(t ) = ρA dh (t ) dt
dt
dt
Pois ρ = cte Eq 2.3-4
{entra} − {sai} = ρ1 q1 − ρ 2 q 2 = q(ρ1 − ρ 2 ) = 0 ,
pois ρ = cte·.
{produzido} = {consumido}, pois não há reação química.
Eq 2.3-5
dm( t ) =0 dt
∴ h(t) = h = cte, ou seja, não acumula massa no sistema. 9
Balanço de Energia
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Eq 2.3-6
Eq 2.3-7
{acumula} = {entra} − {sai} + {adicionado} − {trabalho} {acumula} = dE(t ) = d[U(t ) + K (t ) + P(t )] ≅ dU(t ) dt
dt
dt
Pois os termos relativos a energia cinética K(t) e a energia potencial P(t) do sistema são desprezíveis quando comparados com o termo de energia interna U(t). Vamos procurar escrever o balanço de energia em termos de variáveis mensuráveis, no caso, em termos da temperatura do sistema. Eq 2.3-8
U(t) = H(t) – p(t).v(t)
Como para fluido incompressível o produto pressão do sistema p(t) vezes volume específico do fluido v(t) é desprezível quando comparamos com o termo da entalpia H(t), podemos escrever: Eq 2.3-9
U(t)
≅ H(t)
Substituindo a Eq 2.3-9 na Eq 2.3-7, obtemos:
Eq 2.3-10
{acumula} = dE(t ) dt
dH(t ) dt
≅
Mas, T
Eq 2.3-11
Eq 2.3-12
H = H (t, T) = H o + ∫ C p (T )dT To
H (t, T ) = H = m(t, T )H (t, T )
Como por hipótese cp não depende da temperatura, podemos escrever: Eq 2.3-13
H(T) = Ho + m(t)Cp(T(t) – To)
E lembrando que m(t) =ρV(t) não depende da temperatura: Eq 2.3-14
H(T) = Ho + ρV(t)Cp(T(t) - To)
Substituindo Eq 2.3-14 na Eq 2.3-10:
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{acumula} = ρV (t )c p dT(t ) dt
Eq 2.3-15
{entra por conveção} = ρ1 q1 H 1 (t ) =
Eq 2.3-16
Onde
H1
ρ 1 q1 H o + c p (T1 (t ) − T o )
é a entalpia específica do fluido na entrada
{calor adicionado pela serpentina} = Q(t ) = H VLWst (t )
Eq 2.3-17
Ou seja, estamos desprezando a dinâmica da transferência de calor pela serpentina. Eq 2.3-18
{sai} = {sai por convecção} + {perdas para a vizinhança}
Eq 2.3-19
{sai por conveção} = ρ 2 q 2 H 2 (t) =
[
(
ρ 2 q 2 H o + c p T2 (t ) − T 0
)]
Por hipótese não há perdas para o meio ambiente: Eq 2.3-20
{perdas para a vizinhança} = 0
Como não ocorre reação química, não existe liberação ou absorção de energia, ou seja, nada é adicionado devido a reações químicas: Eq 2.3-21
{liberado} = {absorvido} = 0
Substituindo as equações Eq 2.3-15, Eq 2.3-16, Eq 2.3-17, Eq 2.3-19, Eq 2.3-20 e Eq 2.3-21 na Eq 2.3-6 obtemos:
ρVc p dT (t ) Eq 2.3-22
[
( (
)] )]
= ρ 1 q1 H 1 (t ) = ρ 1 q1 H o + ρ 1 q1 c p T1 (t ) − T o +
dt H VLW st (t ) − ρ 2 q 2 H 2 (t ) = ρ 2 q 2 H o + ρ 2 q 2 c p T2 (t ) − T o
[
Como ρ1q1 = ρ2q2 = ρq, então:
Eq 2.3-23
ρVc p
dT (t ) = ρ . q . Cp . [T1 (t) − T2 (t)] + H VLW st (t ) dt
Dividindo Eq 2.3-26 por ρqcp e lembrando que T(t) = T2(t), obtemos:
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H V d [T(t)]+ T(t) = T1 (t) + fg Wst(t) ρ q Cp q dt
Eq 2.3-24
Para os propósitos de controle de processos é conveniente escrever o modelo matemático de um processo segundo uma forma padrão, conforme a Eq 2.3-24, isto é: • Variável dependente do lado esquerdo do sinal de igualdade; • Coeficiente da derivada de ordem zero unitário; • Equação diferencial de 1ª ordem linear; • Variáveis independentes do lado direito do sinal de igualdade.
Denomina-se o produto V/q de constante de tempo ou tempo característico do processo, pois tem unidade de tempo: τT = Eq 2.3-25
V [=]s q
Denominam-se os coeficientes dos termos do lado direito do sinal de igualdade de ganho do processo:
Eq 2.3-26
o H VL KQ = [=] C . s ρ . q.Cp Kg
O ganho do processo com relação a temperatura da alimentação T1(t) é unitário: Eq 2.3-27
KT1 = 1 [=] adimensional
Observe que quanto menor a constante de tempo mais cedo atingimos o estado estacionário, o caso limite τT = 0 corresponde ao modelo do processo em regime permanente. Por outro lado, o ganho do processo determina o estado estacionário que será alcançado. Se compararmos o efeito de uma mesma perturbação na vazão do vapor sobre a temperatura do tanque, quanto maior o ganho maior a variação da temperatura do tanque. Substituindo as constantes τT, KQ e KT1 na Eq 2.3-24, obtemos: Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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τT
Eq 2.3-28
dT(t ) + T (t ) = K T 1T1 (t ) + K aW st (t ) dt
A Eq 2.3-28 é denominada equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear, com coeficientes constantes, não homogênea, e pode ser
resolvida analiticamente. Um procedimento muito conveniente para os objetivos de controle de processos é o método da Transformada de Laplace. Tanque de aquecimento (continuação)
9
Considere o tanque de aquecimento agitado submetido às seguintes condições: W
=
200 lb/min
V
=
1.60 ft3
cp
=
0.32 Btu/lboF
ρ
=
62.4 lb/ft3
Calor é transferido a uma taxa de Q = 1,920 Btu/min, sendo a temperatura da corrente de alimentação T1 = 70oF, o sistema é mantido nestas condições até atingir o estado estacionário. Pergunta-se: • Qual a temperatura da corrente de saída T2? • Qual o comportamento dinâmico deste processo se subitamente a
temperatura da alimentação aumenta para T1(0) = 90 oF? Solução: Calculando os parâmetros do modelo:
τT =
V ρ .V (62.4)(1.60) = = = 0.5min q W (200)
K QWst =
HVL (1920) = = 30.05º F ρqc p (62.4)(3.2)(0.32)
Então no estado estacionário, para T1,ss = 70oF: T2,ss = T1,ss + KQ . Wst,ss = 70 + 30 = 100 oF Após o aumento de T1 o novo estado estacionário alcançado, mantendo constantes as demais condições é igual: T2,ss = T1,ss + KQ . Wst,ss = 90 + 30 = 120 oF Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Observe que a perturbação ocorre em T1(t) e neste caso denomina-se perturbação degrau (Figura 2.3-2) de amplitude ∆T = 20ºF: T1(t) = T1 (0) + ∆T= 70 + (90 – 70)
110.0 105.0 100.0 95.0 90.0
T1 85.0 80.0 75.0 70.0 65.0 60.0
t
Figura 2.3-2: Perturbação degrau na temperatura de alimentação.
O comportamento dinâmico entre esses dois estados estacionários é obtido resolvendo a Eq 2.3-28. Duplicando as vazões de entrada e de saída ρq = 400 lb/min (ρ1q1 = ρ2q2 = ρq) e mantendo as demais condições, qual o comportamento dinâmico do
sistema? Solução:
τT =
V ρ .V (62.4)(1.60) = = = 0.25min q W (400)
Vemos que a constante de tempo diminui e que, conseqüentemente, o sistema atinge o estado estacionário mais rapidamente, além disso, ao duplicar na vazão da alimentação modificamos o ganho do processo: K QWst =
Q
ρ .q C p
=
(1920 ) =15º F ( 400 )(0.32)
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Logo T2,ss = T1,ss + KQ . Wst,ss = 90 + 15 = 105 oF
1.00
0.90
0.80
0.70
Curva A 0.60
0.50
0.40
0.30
Curva B
0.20
0.10
0.00 0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00
Figure 2.3-1: Resposta tanque de aquecimento a perturbação degrau em T1(t). Curva A τT = 0.5 e Curva B τT = 0.125.
9
Reator tubular não isotérmico com dispersão Considere um reator tubular (Figura 2.2-1) no qual ocorre uma reação não-
isotérmica (∆HR ≠0), ou seja, o sistema absorve (reação endotérmica) ou libera (reação exotérmica) energia. Considere que a energia devida a reação contribui muito mais para o balanço de energia que as outras formas de energia (potencial, cinética, etc.) e que o trabalho (hipótese 1). A dispersão de energia obedece a lei de Fourier (hipótese 2). Balanço de Energia: Hipóteses • ∆HR >> outras contribuições • Dispersão obedece à Lei de Fourier Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Eq 2.3-29
q r = −k ef , r q = − k ef , z z
∂T ∂r ∂T ∂z
Realizando um procedimento análogo ao empregado no balanço de massa, obtemos: Eq 2.3-30
∂T ∂T ∂ ∂T ∂T 1 ∂ = − ρC pνz + k ef , z +Q+ rk ef ,r (r ) − (− ∆H R ) ρ L ΓG ∂t ∂z ∂z ∂z ∂r r ∂r
ρ Cp
Resumindo, o modelo matemático será formado por um sistema de 2 equações diferenciais parciais não lineares com suas condições de contorno e iniciais. Equação diferencial parcial em r, z e t.
• Balanço de Massa ∂C A ∂ = ∂t ∂z
Eq 2.3-31
∂C A 1 ∂ − vz . C A + D ef ,z . ∂z + r . ∂r
∂C A r . D ef ,r . ∂r − ρL . ΓG.A
• Balanço de Energia Eq 2.3-32
ρ .Cp .
∂T ∂T ∂T ∂ ∂T 1 ∂ = − ρ .Cp .νz . + kef ,z . + Q + . r . kef ,r ( r ) . − ( − ∆H R ) .ρ L . ΓG r ∂r ∂r ∂t ∂z ∂z ∂z
• Condições de Contorno e Iniciais: Vamos admitir que o reator esta inicialmente a temperatura constante To e que não contém o reagente A. As condições iniciais e de contorno dessas equações são: Em t = 0 e z ≥ 0
Æ
CA = 0
Em t > 0
Æ
T = To = constante
Em z = 0
Æ
νz (r ).C A,o =νz (r ) .C A (0, r ) − Def , z (r , z ) .
∂C A (0, r ) ∂z
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νz (r )To = νz (r ) T (0, r ) −
Em z = L
k ef , z (r , z ) ∂T (0, r ) . ρ Cp ∂z
Æ
∂C A ( L ,r ) = 0 ∂z ∂T ( L ,r ) = 0 ∂z
Em r = 0
Æ
∂C A ( z ,0 ) = 0 ∂r
∂T ( L,0) = 0 ∂r Em r = R
Æ
∂C A ( z, R) = 0 ∂r ∂T U (z,R) = . [TE − T (z,R)] ∂r kef ,R
Onde TE é a temperatura em r = R.
2.4
Equação do Momentum
No segundo grau fomos apresentados a segunda lei de Newton do movimento que diz: força é igual a massa vezes aceleração; para um sistema com massa constante M. F= Eq 2.4-1
m.a gc
Tabela 2.4-1: Valores de gc para os sistemas de unidades usuais.
Sistema
Massa
Comprimento
Tempo
Força
gC
SI
kg
m
S
N
1 kg.m / (N.s2)
Inglês 1
slug
ft
S
lb
1 slug.ft / (lb.s2)
Inglês 2
lgm
ft
s
lb
32.174 lbm.ft / (lb.s2)
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Sistema
Massa
Comprimento
Tempo
Força
gC
Métrico, CGS
g
cm
s
d
1 g.cm / (d.s2)
Métrico, MKS
kg
m
s
kgf
9.806 kg.m / (kgf/s2)
A generalização da Eq 2.4-1 para o caso em que a massa varia e com o sistema submetido a mais de uma força é dado por: Eq 2.4-2
{acúmulo de momentum} = {Somatório de forças}
Eq 2.4-3
1 dm(t).vi (t) N . = ∑ Fji (t) gC dt j =1
A Eq 2.4-2 diz que a taxa de variação do momentum na direção i é igual ao somatório das forças nessa mesma direção, também pode ser compreendido como
sendo
um
balanço
dinâmico
das
forças
do
sistema
ou,
mais
eloqüentemente, conservação do momentum. Devemos escrever um balanço de momentum para cada dimensão espacial (uma para direção x, outra para y e outra para z). Portanto, obtemos três equações de balanço de momentum. Contudo é mais conveniente (e elegante) escrever essas 3 equações sob a forma vetorial. Porém, neste curso consideramos apenas problemas unidimensionais no espaço. Escoamento por gravidade de um tanque
9
Considere um tanque de área AT, cuja descarga acontece por gravidade, através de uma tubulação cuja área da seção transversal ao escoamento é AP e comprimento L. Aplicando o balanço de massa global a esse processo, assumindo fluido incompressível (hipótese 1) e escoamento pistão (hipótese 2), obtemos:
Eq 2.4-4
ρA T
dh(t ) = m1 (t ) − m2 (t ) = ρ q1 (t ) − ρ q 2 (t ) dt
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q1(t)
h(t)
q2(t)
L Figura 2.4-1: Tanque de armazenamento aberto para atmosfera.
É importante observar que não ocorre acúmulo de massa dentro da tubulação, pois a mesma está completa preenchida com líquido incompressível, isto é: m p = ρ A p L = cons tan te
Eq 2.4-5
A relação entre a vazão na descarga do tanque e a velocidade na tubulação é dada por: q 2 (t ) = AP v P (t )
Eq 2.4-6
Assumindo que a área do tanque AT é muito maior que a área da tubulação AP
(hipótese
3),
a
velocidade
dentro
do
tanque
é
muito
pequena,,
conseqüentemente, todo o acúmulo de momentum ocorre na tubulação a jusante do mesmo:
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{acúmulo de momentum} = Eq 2.4-7
1 dm P v P (t) 1 d ρ AP L v P (t) ρ AP L dv P (t) = = gc dt gc dt gc dt
{somatório de forças} = {força hidráulica} − {força de atrito}
Eq 2.4-8
{força hidráulica} = {área x presão} = AP γh(t ) = Eq 2.4-9
{força de atrito} =
Eq 2.4-10
AP ρgh(t ) gc
fLv P2 (t )
onde Eq 2.4-11
f = f(Re)
Re =
v p .Dp. ρ
Eq 2.4-12
µ
Substituindo as equações Eq 2.4-7 a Eq 2.4-10 em Eq 2.4-2 obtemos:
ρA P L dv p (t ) Eq 2.4-13
gC
dt
= A pρ
g h(t ) − fLv 2p (t ) gc
Rearranjando a Eq 2.4-13:
dv p (t ) Eq 2.4-14
dt
=
fg c 2 g h(t ) − v p (t ) L ρA p
A modelagem matemática desse processo é dada pelo balanço de massa, Eq 2.4-4, e pelo balanço de momentum, Eq 2.4-14, mais suas respectivas condições iniciais. Substituindo Eq 2.4-6 em Eq 2.4-4, dividindo por ρAT e rearranjando, obtemos a Eq 2.4-15, que ao lado da Eq 2.4-14 formam um sistema SEDO 2x2, não linear.
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[
dh(t ) 1 = q1 (t ) − A p v p (t ) dt AT
Eq 2.4-15
dv p (t ) dt
Eq 2.4-16
=
]
f gc 2 g h(t ) − v P (t ) L ρA p
Tabela 2.4-2: Dados para o escoamento por gravidade do tanque.
Tubulação
DP = 3 ft
AP = 7.06 ft2
L = 3,000 ft
Tanque
DT = 12 ft
AT = 113 ft2
Altura máxima = 7 ft
Estado estacionário (condições iniciais) q1,ss = 35.1 f t3/s
vp,ss = 4.97 ft/s
hss = 4.72 ft
f = 2.81 x 10-2 lbf/(ft/s)2.ft
Parâmetros: Re = 1,380,000
Substituindo esses dados nas Eq 2.4-14 e Eq 2.4-16 obtemos:
Eq 2.4-17
dh(t) = 0,00885 q 1 (t) − 0,0624v p (t) dt dv p (t)
Eq 2.4-18
dt
= 0,0107 h(t) - 0,00205 v 2p (t)
Estudamos esse exemplo para uma perturbação degrau positivo na vazão da alimentação de 10%. A solução dessas equações foi obtida numericamente utilizando o Método de Runge-Kutta-Gill de 4ª ordem. As curvas de h(t) e vp(t) são vistas na Figura 2.4-2. Observamos que as variáveis apresentam uma oscilação amortecida, com sobre-elevação (overshoot), isto é, o valor máximo alcançado excede o valor do estado estacionário final: h(∞) = 5.79 ft
e
hmax = 6.29 ft
vP(∞) = 5.50 ft/s
e
vp,max = 5.63 ft/s
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Nível do Tanque e V eloc idade na Tubulaç ão 6.4 6.2
h(t)
h (ft)
e
vp (ft/s )
6 5.8 5.6 5.4
vp(t)
5.2 5 4.8 4.6
0
100
200
300
400 500 600 tem po (s eg)
700
800
900
1000
Figura 2.4-2: Resposta a perturbação de 10% na vazão de alimentação.
Repetimos o mesmo exemplo para uma perturbação positiva de 20% na vazão de alimentação. Na Figura 2.4-3 vemos que o sistema submetido a uma perturbação maior apresenta maiores oscilações e sobre-elevação. Observe também que para 20% de perturbação o nível do tanque ultrapassa 7 ft (altura máxima do tanque), ou seja, o tanque transborda, apesar do estado estacionário alcançado ser menor que esse limite. Nível do Tanque e V eloc idade na Tubulação 8 h(t) 20% 7.5
6.5
h (ft)
e
vp (ft/s)
7
vp(t) 20%
6
h(t) 10% 5.5 vp(t) 10%
5
4.5
0
100
200
300
400
500 tem po (seg)
600
700
800
900
1000
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Figura 2.4-3: Resposta do nível e velocidade de descarga para perturbação de +10% e +20% na vazão de alimentação.
Na seção 2.2 assumimos que: q 2 (t ) = C h(t )
Eq 2.4-19
Agora iremos demonstrar em que condições esta hipótese é válida. Se a massa contida na tubulação é pequena, então o acúmulo de momentum pode ser desprezado: m=ρ Ap L → 0
⇒
Eq 2.4-20
ρ A p L dv p (t ) gc
Eq 2.4-21
dt
= A pρ
ρ A p L dv p (t ) gc
dt
→ 0
g h(t ) − f L v 2p (t ) = 0 gc
De Eq 2.4-21: v 2p (t) = Eq 2.4-22
Ap ρ g f L gc
h(t)
⇒
v p (t) =
AP ρ g h(t) f L gc
Multiplicando por Ap: q 2 (t ) = AP v P (t ) = AP Eq 2.4-23
AP ρ g h(t) = C h(t) f L gc
onde C = AP Eq 2.4-24
AP ρ g f L gc
Portanto, a Eq 2.4-19 só será válida se, e somente se, o acúmulo de momentum na tubulação for desprezível. Neste caso, o processo responderia a
perturbação de 10 e 20% na vazão de alimentação da seguinte forma:
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Res pos ta do nível em diferentes s ituaç ões 7
+ 20% 6.5
h (ft)
6
+ 10% 5.5
5
4.5
0
100
200
300
400 500 600 tem po (s eg)
700
800
900
1000
Figura 2.4-4: Resposta do tanque desprezando o acúmulo de momentum (perturbação de +10% e +20% na vazão de alimentação).
Observe que nesses o limite máximo do nível não é violado. 2.4.1
Equação de Bernoulli
Realizando um balanço da energia mecânica em regime transiente para um fluxo isotérmico (hipótese), obtemos: 2 ~ d [K tot (t ) + φtot (t ) + Atot (t )]= − ∆ v (t ) + φ (t ) + G (t ) m (t ) − W (t ) − Ev (t ) dt 2
Eq 2.4-25
Onde: K tot = ∫
ρ v2 2
. dV
~
φ tol = ∫ ρ φ dV ~
φ = gh(t ) Se considerarmos que o fluido é incompressível a Eq 2.4-25 torna-se:
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2 d [K tot (t ) + φtot (t ) + Atot (t )] = − ∆ v (t ) + φ~ (t ) + G (t ) m (t ) − W (t ) − E v (t ) dt 2
Eq 2.4-26
Dividindo pela massa do sistema e aplicando o estado estacionário a Eq 2.4-25 fica: p
Eq 2.4-27
2 v2 dp ˆ ˆ ∆ + g. ∆h + ∫ + W + Ev = 0 ρ 2 p1
Essa equação é denominada Equação de Bernoulli, embora historicamente esta nomenclatura tenha sido reservada para a equação correspondente com fricção nula (Ev = 0) e sem realizar trabalho (W = 0). p2
Eq 2.4-28
Gás ideal e escoamento isotérmico : ∫
p1
p2
Eq 2.4-29
Fluido incompressível : ∫
p1
dp
ρ
=
dp
ρ
=
P ln 2 PM P1
Rg T
P2 − P1
ρ
Esses dois casos limites são muito utilizados em trabalhos de engenharia. Talvez estejamos mais acostumados a trabalhar com a Eq 2.4-27 da seguinte forma:
Eq 2.4-30
v2 v2 P P + + = + h + + hf h γ 1 2 g γ 2g 2
A Eq 2.4-30 é válida para estado estacionário (hipótese 1), fluxo isotérmico (hipótese 2) e fluido incompressível (hipótese 3). 2.4.2
Fator de Fricção
Na equação de Bernoulli aparece um termo devido às perdas por atrito (Êv). Esse termo é proporcional ao quadrado da velocidade do escoamento e ao comprimento da tubulação e inversamente proporcional ao raio hidráulico:
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f .L.v Eˆ v = 2 . Rh
Eq 2.4-31
2
Talvez estejamos mais acostumados a trabalhar com a equação de DarcyWeisbach (para tubos circulares), que pode ser obtida dividindo Eq 2.4-31 por g. Onde
fD = 4.f
O fator atrito fD depende da velocidade do escoamento e das características geométricas da tubulação ou do acidente. Existem inúmeras fórmulas para calcular o fator de atrito, a seguir citamos algumas delas: Para escoamento laminar:
Eq 2.4-32
Re < 2.1x10
3
:
fD =
64 Re
Para escoamento intermediário:
Eq 2.4-33
2,1 x 103 < Re <105 :
fD =
0,3164 Re 1 / 4
(esta equação é denominada Fórmula de Blasius) Para escoamento turbulento, Re > 105: Fórmula de Colebrook:
1 Eq 2.4-34
f
D
k / D 0,6275 = − 0,86 . ln 3,7 Re . f D
Na Figura 2.4-5 temos o fator de fricção fD versus o número de Reynolds, para diferentes rugosidades de tubos. Na presença de conexões (válvulas, cotovelos, etc.), a perda de carga devido a esses acidentes pode ser escrita em termos de comprimento equivalente de tubulação he:
Eq 2.4-35
v2 he = K 2g
Onde K é dado na Tabela 2.4-3. Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Tabela 2.4-3: Coeficientes K de perda de carga para algumas conexões.
Conexões
K
Válvula globo (totalmente aberta)
10.0
Válvula angular (totalmente aberta)
5.0
Cotovelo comum
0.9
Canto vivo
0.5
Figura 2.4-5: Ábaco de Moody – Fator de fricção em tubulações.
9
Determinação da vazão de descarga: Regime estacionário Seja um tanque que contém água a 20oC (v = µ/ρ = 1.01x10-6 m2/s), Figura
2.4-6. Calcule a vazão pela tubulação (D = 150mm, e k /D = 0.0017). Assuma que o nível no tanque é mantido constante.
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1 válvula
22 m
2 12 m cotovelos comuns
30 m
canto vivo
60 m
Figura 2.4-6: Escoamento de um tanque de nível constante.
Aplicando Bernoulli entre os pontos 1 e 2 obtemos:
v 22 + 12 + 1 atm + h f 0 + 22 + 1atm = 2. g
Eq 2.4-36
Onde
hf = hcanto vivo + htrecho reto + hcotovelos + hválvula
v 22 v 22 v 22 (30 + 12 + 60) v 22 h f = 0,5 + . + fD . + ( 2 ).0,9 . + 10 . 0,15 2g 2g 2g 2 g h f = [12,3 + 680 f D ]
v 22 2g
logo 10 = [13,2 + 680 f D ] Eq 2.4-37
v 22 2g
A Eq 2.4-37 é não linear, pois, além disso, fD depende de v2. Para resolvê-la vamos estimar um valor para fD = 0.022. Calculando a velocidade pela Eq 2.4-37 obtemos: v2 = 2.63 m/s
Æ
E do gráfico de Moody:
Re = 391,000 fD = 0.023
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Como este valor está bem próximo do valor estimado inicialmente paramos a cálculo, caso fosse diferente reiniciaríamos o mesmo, partindo de último valor estabelecido, até atingirmos o valor verdadeiro. Portanto, a vazão é: q2 = Ap. v2 = 45.9 l/s. 2.4.3
Medição de Vazão
Existem inúmeros elementos primários para medição de vazão, a seguir apresentaremos 3 instrumentos (tubo de Pilot, tubo Venturi e placa de orifício) cujos princípios físicos de funcionamento são baseados nos balanços de massa e momentum vistos anteriormente. Nesta seção apresentaremos os resultados para
fluido incompressíveis, conseqüentemente, quando o fluido a ser medido for um gás
ou
vapor
fatores
de
correção,
que
levam
em
consideração
a
compressibilidade e variação da massa específica do fluido com a pressão e temperatura, devem ser acrescentados às fórmulas aqui apresentadas. 9
Tubo de Pitot Seja um tubo de Pitot simples conforme a Figura 2.4-7.
Figura 2.4-7: Tubo de Pitot simples.
Aplicando a Equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 obtemos: Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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v12 P1 P2 + = 2.g γ γ
Eq 2.4-38
ou 2 . (P2 − P1 ) ρ
v1 = Eq 2.4-39
Devido ao fato de que o escoamento não obedece exatamente às condições impostas pela Equação de Bernoulli, um fator de correção K1 é introduzido para levar em conta os desvios em relação a Eq 2.4-38, assim a equação de trabalho para o Tubo de Pitot é: v1 = K 1 Eq 2.4-40
2∆P
ρ
Onde K1 é aproximadamente 1 para a maioria das instalações, mas para medição mais precisas seu valor deve ser determinado por calibração do instrumento. O tubo de Pitot mede velocidade local, se precisarmos saber a vazão devemos tomar medições de velocidade ao longo do eixo radial da tubulação e obter a velocidade média por um método numérico ou gráfico. 9
Tubo Venturi Considere o tubo Venturi conforme a Figura 2.4-8.
1
2
Figura 2.4-8: Medidor Venturi.
Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 obtemos:
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v2 P + 2 . g γ
Eq 2.4-41
v2 P + + hf = 2 1 2 . g γ
Se não levarmos em consideração a perda de carga que ocorre entre os pontos 1 e 2 a Eq 2.4-41 será escrita em termos da velocidade teórica vt: v t2 P v 2t P + = + 2 g γ 1 2 g γ 2
Eq 2.4-42
Aplicando a equação da continuidade (balanço de massa) entre os pontos 1 e 2 obtemos: Eq 2.4-43
m& 1 = m& 2
Eq 2.4-44
A1 ρ1 v1 = A 2 ρ 2 v 2
A Eq 2.4-44 é válida tanto para a velocidade real como para a teórica. Dessa equação obtemos:
Eq 2.4-45
A ρ v V1 = 2 2 2 A 1 ρ1
2
A ⇒ v = 2 v 22 A1 2 1
Substituindo a Eq 2.4-45 em Eq 2.4-42 e rearranjando: V1 = Eq 2.4-46
2 g (P1 − P2 ) / γ 1 − (A 2 / A 1 ) 2
Para obter a vazão real multiplicamos a Eq 2.4-46 por um fator de correção K1 e pela área do tubo na seção 2: q = K 1 A2 Eq 2.4-47
9
2g (P1 − P2 ) / γ 1 − (A 2 / A 1 ) 2
Placa de orifício O instrumento de medição de vazão mais utilizado na indústria petroquímica
é a placa de orifício, pois é simples, baixo custo inicial e precisão adequada à
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maioria das aplicações. Considere um tubo no qual inserimos um obstáculo – uma placa com um orifício de diâmetro menor que o da tubulação (Figura 2.4-9).
Figura 2.4-9: Placa de orifício.
Para um fluido incompressível a equação de Bernoulli, desprezando a perda de carga entre os pontos 1 (anterior a placa de orifício) e 2 (na vena contracta) é:
Eq 2.4-48
v2 P v2 P + = + 2 . g γ 1 2 . g γ 2
Aplicando a equação da continuidade entre os pontos 1 e 2 e substituindo na Eq 2.4-48 obtemos: v2 = Eq 2.4-49
2. g. (P1 − P2 ) / γ A 1 − 1 A2
2
Com o objetivo de tornar a Eq 2.4-49 alguns fatores de correção devem ser acrescentados para considerar o efeito de: • Rugosidade da tubulação; • Compressibilidade do fluido (quando for o caso); • Expansão térmica da placa; • Local da tomada de pressão;
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• Presença de furo para dreno (quando for o caso); • Características construtivas da placa; • Viscosidade muito elevada do fluido (quando for o caso). Podemos observar que a medição de vazão nos elementos primários deprimogênitos de área constante é proporcional à raiz quadrada da queda de pressão provocada, ou seja: Eq 2.4-50
q = K. ∆P
Onde K é um fator de proporcionalidade que leva em conta os desvios em relação à equação é um fator de proporcionalidade que leva em conta os desvios em relação à equação de Bernoulli, a compressibilidade do fluido e as características geométricas do instrumento de medição de vazão.
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2.5
Exercícios 2.5.1
Tanque em linha
O tanque mostrado na figura abaixo é colocado na linha para suavizar a variação da pressão po(t). No estado estacionário a vazão de alimentação e as pressões são: qi,s
=
25.0
kgmoles/s
pi,s
=
2,000.0
kN/m2
ps
=
1,800.0
kN/m2
po,s
=
1,600.0
kN/m2
po(t)
pi
p(t) qi
qo(t)
O volume do tanque é V = 10m3. Desenvolva o modelo matemático para este processo, assuma gás ideal. As vazões de entrada e saída do tanque são dadas por
qi (t) = ki . pi (t).[pi (t) − p(t)]
q o (t) = ko . p(t).[p(t) − p o (t)] Onde ki e ko são constantes.
2.5.2
CSTR
Considere um reator de mistura perfeita CSTR mantido isotérmico. A vazão de alimentação é constante. A
→
B
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Com equação da taxa r = k. CA Desenvolva o modelo matemático deste processo.
2.5.3
Tanques não interativos em série
Considere dois tanques não interativos em série (figura abaixo). Assuma que os tanques têm a mesma área transversal (A = 5 ft2). Inicialmente, o sistema está no estado estacionário com qs = 1 ft3/min e h1 = h2 = 3ft. q(t)
h1 R1
q1
h2
R2
q2(t)
Desenvolva o modelo matemático deste processo. 2.5.4
Tanque esférico
Considere o processo matemático mostrado na figura abaixo. O tanque é esférico com raio de 4 ft. A vazão nominal de entrada e de saída é 300,000 lbm/h, a massa específica do líquido é 70 lbm/ft3 e o nível em regime permanente é 5 ft. O volume de uma esfera é dado por 4πr3/3. A relação entre o volume e a altura é dada por: h 2 (t).(3.r − h(t)) V(t) = VT . 4.r 3 A vazão através das válvulas são dadas por
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f (t) = 500.Cv.VP(t). G f .∆Ρ
Onde: Cv1 = 20.2 e Cv2 = 28.0
P1 = 65 psig
P2 = 50 psig
h(t) P3 = 45 psig v2
A pressão sobre nível de líquido é mantida constante no valor de 50 psig. Obtenha modelo matemático deste processo.
2.5.5
Tanque não interativos em série 2
Considere o processo mostrado na figura a seguir. A vazão de líquido através dos tanques, f, é constante e igual a 110 kg/min. A densidade do líquido pode ser assumida constante e igual a 800 kg/m3. A capacidade calorífica do fluido também é constante e igual a 1.3 kcal/kgoC. O volume de cada tanque é 0.3 m3. A perda de calor para as vizinhanças é negligenciável e a agitação é perfeita.
T1(t), f To(t), f
T2(t), f
W st(t) condensado vapor
T3(t), f
Obtenha o modelo matemático para este processo.
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2.5.6
Tanques em série com bomba
Considere o processo mostrado na figura abaixo. qA(t)
qo
PR
2
h1(t )
Tanque de mistura
3 4
hR
CA5(t)
h2(t)
1
L
5
Reator
Vazão da corrente de alimentação com concentração CAO, constante [ = ] m3/s CAi(t)
Concentração de A na seção
ρ
[=]
Massa específica, constante
kgmol/m3 [
=
]
kg/m3 ki(t)
Altura do nível de líquido no equipamento
kR
Altura da entrada do reator em relação à saída do mesmo [ = ] m
PR
Pressão na copa do reator
L
Comprimento
[=]
[=]
m
KPa [=]
AT
Área da seção transversal do tanque
[=]
m2
AR
Área da seção transversal do reator
[=]
m2
m
As seguintes informações são conhecidas sobre este processo: • A massa específica de todas as correntes é aproximadamente constante e igual; • O fluxo através da bomba de velocidade constante é dado por: qb(t) = A{1+B.[p1(t) – p2(t)]2}, m3/s • A tubulação entre os pontos 2 e 3 é longa com comprimento L, m. O fluxo através da tubulação é muito turbulento (plug flow). O diâmetro do tubo é D [ = ] m. A queda de pressão entre esses dois pontos ∆p pode ser considerada constante.
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• Podemos assumir que os efeitos associados à reação são negligenciáveis, conseqüentemente, a reação ocorre à temperatura constante. A taxa de reação (A Æ B) é dada por rA (t ) = kC A (t )[=]
Kgmol m 3s
O fluxo através da válvula é dado por q v (t ) = CV VP h2 (t)
Onde VP é a posição em que se encontra a válvula, constante. Obtenha o modelo matemático que representa este processo.
2.5.7
Tanque não interativos em série com bomba
Considere o processo mostrado na figura abaixo. q1(t)
q2(t)
q4(t) q3(t)
m(t) q5(t)
As seguintes informações são fornecidas: • A densidade do líquido é constante. • A vazão de descarga dos tanques é dada por qi (t ) = Cvi * VPi * hi (t )
[ = ] m3/h
• A vazão através da bomba é dada por: q3(t) = Kb [m(t) - 4] [ = ] m3/h, onde m(t) é a energia fornecida à bomba Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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• A válvula de controle pode ser representada por um sistema de 1ª (primeira) ordem de ganho Kv e constante de tempo τV. • Os diâmetros dos tanques são D1 e D2. Obtenha o modelo matemático deste processo. 2.5.8
Tanque não interativo em série 3
Considere o processo mostrado na figura abaixo. Nós queremos manter a temperatura Ta em um determinado valor manipulado as vazões de vapor d’água q1,st e q2,st. T1(t), q
T2(t), q
q1,st(t) condensado vapor
T3(t), q
Tanque 1
q1,st(t) condensado vapor
Tanque 2
As seguintes informações são fornecidas: a) Vazão do produto constante, q = cte. b) A temperatura de entrada T1(t) é o principal distúrbio. c) A dinâmica dos dois tanques de aquecimento é dada por τ1 .
dT2 (t) + T2 (t) = T1 (t) + K1Q1 (t ) dt
τ2 .
dT3 (t) + T3 (t) = T2 (t) + K 2Q 2 (t) dt
Onde
τ1 = 4; τ2 = 10
e
K1 = 4; K2 = 10
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Interprete os efeitos das perturbações (vazões de vapor para as serpentinas dos tanques 1 e 2). Em que condiçao é mais conveniente modificar a vazão do vapor para o tanque 1? E para o tanque 2?
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Capítulo 3.
Outras Leis Fundamentais
No Capítulo 2, vimos os balanços de massa, energia e momentum aplicados a alguns processos típicos de indústrias petroquímicas. Neste capítulo, completaremos o estudo das leis (princípios) fundamentais a que todos os sistemas físicos estão submetidos.
3.1
Equações de Transporte
Nos balanços de massa, energia e momentum desenvolvidos vimos que o fluxo resultante (taxa de transferência por unidade de área) é proporcional à força motriz (gradiente de temperatura, concentração e velocidade) no qual o sistema está submetido, cuja constante de proporcionalidade é uma propriedade física dos sistemas (condutividade térmica, difusividade mássica e viscosidade). Os
balanços
microscópicos
de
massa,
energia
e momentum são
denominados de Lei de Fick, Lei de Fourier e Lei de Newton da viscosidade, respectivamente. A Tabela 3.1-1 sumariza as equações de transporte utilizadas no desenvolvimento de modelos matemáticos.
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Tabela 3.1-1: Leis de Transporte.
Quantidade
Calor
Massa
Momentum
Fluxo
Q
ÑA
τx y
Transporte molecular (microscópico) Força motriz
∂Τ ∂x
∂C A ∂Χ
∂v x ∂γ
Lei
Lei de Fourier
Lei de Fick
Lei de Newton
Propriedade
Condutividade térmica kT
Difusividade mássica DA
Q =k Τ.
Relação
∂Τ ∂x
∂C A ~ Ν A = DA . ∂X
Viscosidade µ
τ
xy
=µ.
∂vx ∂y
Transporte global (macroscópico)
3.2
Força motriz
∆T
∆CA
∆P
Propriedade
Coeficiente de troca térmica hT
Coeficiente de transferência de massa - kM
Fator de fricção fD
Relação
Q = hT*∆T
~ NA = k M . ∆C A
fD =
D . ∆Ρ /L 2 . ρ . v2
Equações de Estado
Ao desenvolver os modelos matemáticos precisamos conhecer como as propriedades do sistema, como, por exemplo, massa específica e entalpia, variam com o estado do sistema (temperatura, pressão e composição). As relações que permitem calcular uma determinada propriedade a partir do estado do sistema são denominadas equações de estado. Talvez a equação de estado mais familiar seja a Lei dos Gases Ideais:
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Eq 3.2-1
PV = nRgT
Da equação de estado, Eq 3.2-1, podemos obter a massa específica de gás:
ρ= Eq 3.2-2
n.PM V
=
PM .P R g.T
Para levar em consideração a não idealidade dos gases podemos, por exemplo, multiplicar a Eq 3.2-1 por um fator de correção, o fator de compressibilidade Z, então obtemos: Eq 3.2-3
PV = ZnRgT
Para os líquidos podemos, na maioria das vezes, considerar como sendo um fluido incompreensível, portanto com massa específica constante. As entalpias dos líquidos podem ser expressas por: H L = C pT
Eq 3.2-4
Se precisar de uma maior precisão no cálculo da entalpia, podemos supor que a capacidade calorífica varia linearmente com a temperatura, isto é:
C (T) =α + β .Τ P
Eq 3.2-5
então
Eq 3.2-6
Τ
β
ΤΟ
2
Η L = ∫ C P (Τ).dΤ =α . (Τ − ΤΟ ) +
2
2
. (Τ − Τ )
A entalpia dos vapores saturados pode ser expressa por: Eq 3.2-7
Η V = Η L + Η LV
Também podemos expressar a entalpia de gases ou vapores por relações análogas à Eq 3.2-6. Para misturas de substâncias podemos calcular a entalpia por uma média ponderada com as frações molares dos componentes das misturas.
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NC
∑ x j.Η j .PM Η=
∑ x j .PM
j
j =1
Eq 3.2-8
3.3
j
j =1 NC
Cinética Química
Na indústria química e petroquímica, um dos equipamentos mais crítico e menos conhecido é o reator químico. Este fato decorre, principalmente, pela dificuldade de se determinar a cinética da reação e, conseqüentemente, de se estabelecer a equação da taxa da reação. A seguir, apresentamos uma análise qualitativa das taxas de reações químicas. A taxa de uma reação é a taxa de mudança do número de moles de um componente por unidade de volume, devido à reação química, dividindo pelo seu coeficiente estequiométrico. Por definição: Γ= Eq 3.3-1
1 dn J . vJ . V dt
Para uma reação do tipo:
2.A + 3.B
→
4.C + 5.D
vA = -2; vB = -3; vC = +4; vD = +5 A taxa é:
Γ=
1 dn A 1 dnB 1 dnC 1 dnD . . . . = = = − 2.V dt − 3.V dt 4.V dt 5.V dt
Via de regra, a taxa com que uma reação se processa é função da concentração dos reagentes e da temperatura do meio reacional, então podemos escrever, por exemplo, a equação da taxa de uma reação como sendo:
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Eq 3.3-2
Γ = k ( Τ ) . C aA . C bB
a=2eb=3 A constante da taxa k é uma função da temperatura e segue a Equação de Arrhenius, isto é:
Eq 3.3-3
−E k (T ) = k o exp R g . Τ
Da Eq 3.3-1 podemos calcular a taxa de consumo de reagentes por unidade de volume e a taxa de formação de produtos por unidade de volume: ΓA = vA . Γ = − 2. Γ = Eq 3.3-4
1 dn A . V dt ; c o n s u m o d e A · .
ΓC = vC . Γ = + 3. Γ = Eq 3.3-5
3.4
1 dnC . V dt ; p r o d u ç ã o d e C · .
Entalpia das reações químicas
Toda reação química se processa liberando (reação exotérmica) ou absorvendo (reação endotérmica) energia. A reação exotérmica provoca o aquecimento do reator, neste caso, para evitar o aumento da temperatura, é necessário o resfriamento do mesmo. Quando a reação é endotérmica, o reator é resfriado à medida que a reação avança, nestes casos, pode ou não ser preciso o aquecimento do reator. Uma maneira simples de se avaliar a exotermicidade (ou endotermicidade) de uma reação, é comparar as entalpias de formação4 dos produtos e reagentes envolvidos na reação. A entalpia de reação é a diferença entre a entalpia de formação dos produtos menos a entalpia de formação dos reagentes. Veja o exemplo abaixo: Para uma reação do tipo:
2.A + 3.B
→
4.C + 5.D
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vA = -2; vB = -3; vC = +4; vD = +5 A entalpia de reação é: ∆HR = 4HfC + 5HfD – 3HfA – 2HfB Generalizando: NC
∆Ηr = ∑ vi . Η f i Eq 3.4-1
i =1
As entalpias de formação são propriedades tabeladas e geralmente referenciadas a temperatura de 25 ºC, portanto se uma reação se processa a uma temperatura diferente, será necessário levar em conta essa diferença, isto é feito utilizando-se a Eq 3.2-6 ou Eq 3.2-7. A Tabela 3.4-1 apresenta a entalpia de formação de algumas substâncias, enquanto na Tabela 3.4-2 vemos a entalpia de reação de algumas reações.
Tabela 3.4-1: Entalpia de formação de algumas substâncias.
Substância
Hºf (kcal/mol)
H2 (g)
0.000
H2O (g)
-57.796
H2O (1)
-68.315
CH4 (g)
-17.880
C2H4
12.490
Obs.: Por definição entalpia de formação de uma substância simples no estado mais estável a 1 atm e 25 ºC é zero.
4
Todas as substâncias “consomem” alguma energia para serem formadas. Essa quantidade de energia denomina-se entalpia de reação. Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Tabela 3.4-2: Entalpia de reação de algumas reações
Reação
∆Hºr (kcal/mol)
C (s) + 2Η 2 Ο(g ) ↔ CO2 + H 2 O
21.55
C 2 Η 4 ( g ) + Η 2 Ο(1) ↔ C 2 H 5 OH (l )
- 10.54
Obs: Entalpias de reação para 25 oC e 1 atm As reações exotérmicas têm entalpia de reação negativa, enquanto que as reações endotérmicas têm entalpia de reação positiva:
3.5
Reação exotérmica
Æ
∆Hr < 0
Reação endotérmica
Æ
∆Hr > 0
Reação isotérmica
Æ
∆Hr = 0
Equilíbrio de Fases
Sempre que dois ou mais fluidos entram em contato pode ocorrer a formação de porções de fluidos com composições e características físicas bem diferentes, diz-se que ocorreu a separação de fases. Isto acontece quando um fluido em fase líquida entra em contato com outro fluido em fase de vapor (Figura 3.5-1), ou quando dois líquidos imiscíveis se misturam provocando o surgimento de duas fases (por exemplo, água em contato com óleo provoca o aparecimento de duas fases, uma orgânica e outra aquosa - Figura 3.5-2).
VAPOR
LÍQUIDO
Figura 3.5-1: Uma fase líquida em contato com uma fase vapor.
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LÍQUIDO II
LÍQUIDO i
Figura 3.5-2: Duas fases líquidas imiscíveis em contato.
A tendência de todos os sistemas é evoluírem no sentido de alcançar o menor potencial, ou seja, procurando atingir o equilíbrio termodinâmico. Na presença de duas ou mais fases diferentes, tal equilíbrio é alcançado quando o potencial químico de cada substância, presente no sistema, é o mesmo em todas as fases. Considere duas fases em contato. O equilíbrio termodinâmico é alcançado quando é satisfeita a seguinte relação: µ Ij = µ IIj
Eq 3.5-1
Onde: µjI
Potencial químico do componente j na fase I
µjII
Potencial químico do componente j na fase II
No equilíbrio termodinâmico existe transferência de moléculas entre as fases, porém o número de moles que passa da fase I para a fase II é o mesmo que passa da fase II para a fase I. O equilíbrio é favorecido quando ocorre uma forte mistura entre as fases, ou seja, quanto mais agitado for o sistema, mais rapidamente o equilíbrio é alcançado. No projeto de equipamentos de separação líquido-líquido (absorvedoras ou extratoras) ou líquido-vapor (colunas de destilação ou evaporadores) precisamos de relações que permitam o cálculo de composição de uma fase, conhecendo a composição de outra fase.
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A partir daqui nos fixaremos ao estudar o equilíbrio líquido-vapor: 3.5.1
Equilíbrio Líquido-Vapor
O problema mais comum que surge envolvendo o equilíbrio líquido-vapor é o cálculo do Ponto de Bolha (BP – Buble Point): calcular a temperatura T e a composição do vapor yj a partir da pressão P e da composição do líquido xj, ou seja, obter o estado da primeira bolha formada (Figura 3.5-3).
T e yi desconhecidos VAPOR P e xj conhecidos LÍQUIDO Figura 3.5-3: Cálculo do ponto de bolha.
A solução de um problema BP é, freqüentemente, obtida através de um procedimento interativo, iniciado a partir de uma estimativa inicial, pois as equações envolvidas são não-lineares. Outro problema envolvendo o equilíbrio líquido-vapor é o cálculo do Ponto de Orvalho (DP – Dew Point): calcular a temperatura T ou pressão P e a composição do líquido yj a partir da pressão P ou temperatura T e da composição do vapor yj, ou seja, obter o estado da primeira gota de orvalho formada (Figura 3.5-4).
T (ou P) e yi conhecidos VAPOR P (ou T) e xj desconhecidos LÍQUIDO Figura 3.5-4: Cálculo do ponto de orvalho.
Também são freqüentes os cálculos de Flash: não conhecemos nem a composição do vapor e nem a do líquido, então combinamos as relações de equilíbrio, o balanço de massa e energia para encontrar as incógnitas.
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Assumiremos alguns modelos para representar o equilíbrio líquido-vapor: A fase vapor tem comportamento ideal, isto é, a Lei de Dalton é
9
válida: a pressão parcial de um componente é igual a fração molar deste componente vezes a pressão total do sistema. Eq 3.5-2
Lei de Dalton:
Pj = y j Ρ
Para sistemas que fogem a idealidade, como, por exemplo, os submetidos a altas pressões, é necessário introduzir fatores de correção na Eq 3.5-2, para esses casos, conceitos como fugacidade e coeficiente de fugacidade foram desenvolvidos. A fase líquida tem comportamento ideal, isto é, a Lei de Raoult é
9
válida: a pressão do sistema é o somatório do produto da fração molar vezes a pressão de vapor de cada componente presente na fase líquida. Lei de Raoult: ΝC
Ρ = ∑ x j . PjS Eq 3.5-3
j =1
Combinando a Lei de Dalton com a Lei de Raoult, obtemos:
Eq 3.5-4
yj =
x j P sj P
Onde as pressões de vapores freqüentemente variam com a temperatura, segundo, por exemplo, a Equação de Antoine:
Eq 3.5-5
A j P s j = exp +Bj T
9
Outra maneira de representar o equilíbrio líquido-vapor é através do
conceito de volatilidade relativa. Por definição, a volatilidade relativa αij do componente i em relação ao componente j é:
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αi j = Eq 3.5-6
γ i χi γ j χj
Quanto maior a volatilidade relativa, maior a concentração da substância na fase de vapor. Em muitos sistemas a volatilidade relativa pode ser assumida constante, nesses casos é conveniente utilizar esse conceito. Para sistemas binários, isto é, com apenas 2 componentes, a volatilidade α do composto mais volátil, é:
α= Eq 3.5-7
y/x (1− y ) (1− x )
ou y= Eq 3.5-8
α. x 1+ (α −1) x
Um conceito muito utilizado na indústria do petróleo é o de constante
9
de distribuição no equilíbrio K. Por definição, a constante de distribuição Kj do componente j é o resultado da divisão da fração molar desse componente na fase vapor pela fração molar desse componente na fase líquida. Kj = Eq 3.5-9
Constante de equilíbrio:
yj xj
Kj é uma função da temperatura, composição e, mais fracamente, da pressão do sistema. Quando o líquido não se comporta de maneira ideal, a Lei de Raoult
9
deve ser modificada para acomodar as não-idealidades. Neste caso, é incorporado um fator de correção intitulado coeficiente de atividade γj: Ρ=
NC
∑x j =1
Eq 3.5-10
j.
P Sj γ j
O coeficiente de atividade é função da composição, pressão e temperatura do sistema. Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Utilizando as relações de equilíbrio líquido-vapor, podemos desenvolver os modelos matemáticos de operações unitárias de separação líquido-vapor e/ou líquido-líquido. No próximo capítulo estudaremos o comportamento dinâmico das seguintes operações unitárias: • Reator CSTR; • Evaporação; • Destilação; • Absorção; • Extração.
3.6
Exercícios 3.6.1
Reator CSTR isotérmico
Escreva os balanços de massa para um reator CSTR isotérmico no qual ocorrem as seguintes reações de 1ª ordem: k1 A → B k
(a) duas reações irreversíveis simultâneas: (b) uma reação irreversível:
(c) duas reações irreversíveis em série:
3.6.2
2 A → C
A ←→ B k1 k
k1 2 A → B → C
Equilíbrio líquido-vapor
Uma maneira bastante conveniente de representar o equilíbrio líquido-vapor de uma mistura binária é através do diagrama xy dessa mistura, conforme a figura abaixo. Construa o diagrama xy para a mistura binária de volatilidade relativa igual a dois (α = 2). Construa no mesmo gráfico a curva de equilíbrio para uma mistura binária com volatilidade relativa igual a três (α = 3). Compare os resultados:
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1
0.5
P = 1 atm T variável
0 0
0.5
1
Diagrama xy para uma mistura binária ideal. 3.6.3
Diagrama xy
Construa o diagrama xy para a mistura benzeno-tolueno. Assuma que este sistema pode ser representado por volatilidade relativa constante. A pressão do sistema é 1 atm. 3.6.4
Alquilação do benzeno
Calcule o calor de reação da reação de alquilação do benzeno para a produção de benzeno a 25 ºC e a 100 ºC e 1 atm. C6H6 + CH4
⇔
C7H8 + H2
Essa reação é exotérmica ou endotérmica? 3.6.5
Combustão
Calcule o calor liberado pela combustão completa de 1 mol de gás natural (gás metano) a 25 ºC e 1 atm. E se a combustão não for completa e ocorrer a formação de 1 mol de monóxido de carbono para cada mol de dióxido formado, qual o calor liberado? Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Combustão completa:
CH4 + 2O2
⇔
CO2 + 2H2O
Combustão incompleta:
2CH4 + 7/2O2
⇔
CO + CO2 + 4H2O
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Capítulo 4.
Exemplos de Modelos Matemáticos de Processos Químicos
A seguir, apresentaremos algumas análises da dinâmica de processos químicos.
4.1
Reator CSTR Não-Isotérmico
Considere um reator de medida perfeita (CSTR) de área AT contendo um líquido perfeitamente agitado no qual ocorre uma reação exotérmica. Esse reator é resfriado por uma jaqueta (Figura 4.1-1). A substância A reage irreversivelmente produzindo a substância B, conforme a seguinte reação exotérmica: →
A
B
q1(t), CA1(t), T1(t)
qj1(t), Tj1(t)
Vj Tj
CA(t) CB(t) T(t)
h(t)
Vj Tj
qj2(t), Tj2(t)
q2(t), CA2(t), CB2(t), T2(t)
Figura 4.1-1: Reator de mistura perfeita (CSTR) não isotérmico.
Para construção do modelo matemático deste processo vamos assumir as seguintes hipóteses: H.01.
Massa específica constante;
H.02.
Capacidade calorífica do líquido refrigerante cpj constante;
H.03.
Capacidade calorífica de A igual a capacidade calorífica de B;
H.04.
Entalpia da reação constante;
H.05.
Reator homogêneo, isto é, bem agitado;
H.06.
Jaqueta completamente pré-enchida com fluido refrigerante;
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H.07. Fluido da jaqueta bem agitado (fluido homogêneo); H.08. Coeficiente global de troca térmica, UG, constante. O volume reacional V(t) varia com o tempo a depender da vazão de alimentação e descarga do reator, conseqüentemente, o nível do reator h(t) também varia com o tempo, pois:
Eq 4.1-1
V (t ) = A T h (t )
O modelo matemático deste processo consiste do balanço de massa global, balanço molar para o reagente A e do balanço de energia. 9
Balanço global
Eq 4.1-2
{acumula} = {entra} − {sai}
Eq 4.1-3
{acumula} = dm(t ) = dρ . V(t ) = dt
dt
Eq 4.1-4
{entra} = m& 1 (t ) =
Eq 4.1-5
{sai} = m& 2 (t) = ρ2 . q 2 (t )
ρ .A Τ .
dh (t ) dt
ρ1 . q 1 (t )
Substituindo as Eq 4.1-3, Eq 4.1-4 e Eq 4.1-5 em Eq 4.1-2 obtemos:
Eq 4.1-6
ρ AΤ
dh (t ) = ρ 1 q 1 (t ) − ρ 2 q 2 (t ) dt
Lembrando que pela hipótese H.01: ρ = ρ1 = ρ2 = constante:
Eq 4.1-7
ρ .A Τ .
dh (t ) = q1 (t ) − q 2 (t ) dt
9
Balanço molar
Eq 4.1-8
{acumula} = {entra} − {sai} − {consumido}
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Assumindo que a taxa de consumo de A por unidade de volume é de ordem a e proporcional a concentração de A presente no reator, podemos escrever o seguinte balanço molar: Para A:
Eq 4.1-9
{acumula} =
dn A (t ) dC A (t ). V(t ) dC (t ). h (t ) = = AΤ . A dt dt dt
Eq 4.1-10
{entra} = C A1 (t ). q 1 (t )
Eq 4.1-11
{sai} = C A2 (t ). q 2 (t )
Eq 4.1-12
{consumido} = V(t ). ΓΑ (t )
Eq 4.1-13
ΓΑ (T ) = k (Τ) C aA (t )
Eq 4.1-14
-E k (T ) = k Ο exp R g T
Substituindo Eq 4.1-9, Eq 4.1-10, Eq 4.1-11 e Eq 4.1-12 em Eq 4.1-8 obtemos:
Eq 4.1-15
AΤ
dC A (t ) h (t ) dt
= C Α1 (t )q 1 (t ) − C Α 2 (t ) q 2 (t ) − V (t ) ΓΑ (Τ )
Para tanque perfeitamente agitado: Eq 4.1-16
C Α (t ) = C Α 2 (t )
Substituindo Eq 4.1-13, Eq 4.1-14 e Eq 4.1-16 em Eq 4.1-15 e rearranjando obtemos:
AΤ
Eq 4.1-17
dC Α (t ) h (t ) = C Α1 (t ) q 1 (t ) − C Α 2 (t ) q 2 (t ) + dt - E a − {A T h (t ) } k Ο exp C Α (t ) R g Τ(t )
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9
Balanço de energia no reator
Eq 4.1-18
{acumula} = {entra} − {sai} − {liberado} − {transferido}
Eq 4.1-19
{acumula} = dm
(t ) Η (Τ) dt
= ρ
dV (t) Η (Τ) dt
Eq 4.1-20
{entra} = ρ1 q 1 (t ) Η 1 (Τ)
Eq 4.1-21
{sai} = ρ 2 q 2 (t ) Η 2 (Τ)
Eq 4.1-22
{liberado} = ∆Η r (Τ) V (t ) ΓΑ (Τ)
Eq 4.1-23
{transferido} = Q(t ) = h Τ ∆Τ = U G A J [Τ (t ) − ΤJ (t )]
Substituindo Eq 4.1-19, Eq 4.1-20, Eq 4.1-21, Eq 4.1-22 e Eq 4.1-23 em Eq 4.1-18 obtemos:
ρ Eq 4.1-24
dV (t) Η (Τ ) = ρ 1 q 1 (t ) Η 1 (Τ ) − ρ 2 q 2 (t ) Η 2 (Τ ) + dt − ∆Η r (Τ ) V (t ) ΓΑ (Τ ) − U G Α J [Τ (t ) − ΤJ (t )]
A entalpia é uma função da temperatura e composição, porém, devido às hipóteses H.02 e H.03, podemos escrever: Eq 4.1-25
Η (Τ) = C P Τ(t )
Eq 4.1-26
Η 1(Τ ) = C P 1Τ1 (t ) = C P Τ1 (t )
Eq 4.1-27
Η 2 (Τ ) = C P 2 . Τ2 (t ) = C P . Τ2 (t )
Substituindo Eq 4.1-25, Eq 4.1-26 e Eq 4.1-27 em Eq 4.1-24 e aplicando as hipóteses H.01, H.04 e H.05 obtemos:
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A Τ ρc p
dh (t ) Τ(t ) = ρc p [q 1 (t )Τ1 (t ) − q 2 (t ) Τ (t )] + dt - E a − ∆Η r {A Τ h (t )} k Ο exp C Α (t ) + R g Τ(t ) − U G A J [Τ (t ) − ΤJ (t )]
Eq 4.1-28
9
Balanço de energia na jaqueta
Eq 4.1-29
{acumula} = {entra} − {sai} + {transferido}
Eq 4.1-30
{acumula} =
dm J Η dt
J
(Τ)
= ρ J VJ
d Η J (Τ) dt
Eq 4.1-31
{entra} = ρ J q J1 (t )Η J1 (Τ)
Eq 4.1-32
{sai} = ρ J q J2 (t ) Η J2 (Τ)
Eq 4.1-33
{transferido} = Q (t ) = U G A J [Τ (t ) − ΤJ (t ) ]
Substituindo Eq 4.1-30, Eq 4.1-31, Eq 4.1-32 e Eq 4.1-33 em Eq 4.1-29 e lembrando que a jaqueta está completamente preenchida [qJ1(t) = qJ2(t) = qJ(t)], obtemos:
Eq 4.1-34
ρ J VJ
dΗ J (Τ) = ρ J q J (t ) Η J1 (Τ) − Η J2 (Τ) + U G A J [Τ (t ) − ΤJ (t )] dt
[
]
A entalpia é uma função da temperatura e composição, porém devido a hipótese H.02 podemos escrever:
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Eq 4.1-35
Eq 4.1-36
Eq 4.1-37
Η
J
(Τ) =
Cp J ΤJ ( t)
Η
J1
(Τ) =
Cp J ΤJ 1 (t )
Η
J2
(Τ) =
Cp J ΤJ 2 (t )
Substituindo Eq 4.1-35, Eq 4.1-36 e Eq 4.1-37 em Eq 4.1-34 e aplicando as hipóteses H.01, H.06 e H.07, obtemos:
Eq 4.1-38
ρ J VJ c p J
dΤJ (t ) = ρ J c p J q J (t ) ΤJ1 (Τ ) − ΤJ (Τ ) + U G A J [Τ (t ) − ΤJ (t )] dt
[
]
Portanto, o modelo matemático desse CSTR é formado por um sistema de 4 equações diferenciais ordinárias de 1a ordem, não-lineares, não-homogêneas de coeficientes constantes: 9
Eq 4.1-39
9
Balanço de massa global AΤ
dh (t ) = q 1 (t ) − q 2 (t ) dt
Balanço molar para o reagente A
AΤ
dC Α (t ) h (t ) = C Α1 (t ) q 1 (t ) − C Α (t ) q 2 (t ) + dt - E a − A Τ . h (t ) k Ο exp C Α (t ) R g (t )
{
Eq 4.1-40
9
Balanço de energia no reator A Τ ρc p
Eq 4.1-41
9
}
dh (t ) Τ(t ) = ρc p [q 1 (t )Τ1 (t ) − q 2 (t ) Τ (t )] + dt - E a − ∆Η r {A Τ h (t )}k Ο exp C Α (t ) + R g (t ) − U G A J [Τ (t ) − ΤJ (t )]
Balanço de energia na jaqueta
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ρ J VJ c p J
Eq 4.1-42
4.2
dΤJ (t ) = ρ J c p J q J (t ) ΤJ1 (Τ) − ΤJ (Τ) + U G AJ [Τ (t ) − ΤJ (t )] dt
[
]
Evaporador
A evaporação é uma operação unitária freqüente nos processos químicos (exemplo: caldeiras). Considere uma caldeira conforme a Figura 4.2-1. Neste processo parte do líquido é vaporizado, isto é, passa para a fase vapor devido ao aquecimento provocado pela fonte de calor.
VV(t) TV(t) PV(t) ρL1(t)
qV2(t) TV2(t) ρV2(t)
qL1(t) TL1(t) ρL1(t)
Figura 4.2-1: Caldeira.
Para descrever matematicamente este processo temos que aplicar as equações de conservação para a fase líquida e para a fase vapor. Porém, se o volume ocupado pela fase vapor for pequeno, podemos negligenciar o acúmulo de massa e calor nesta fase, conseqüentemente, podemos desprezar sua dinâmica. 9
Balanço de massa para o vapor
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Eq 4.2-1
{entra} = {vaporiza} = {sai}
Eq 4.2-2
{entra} = {vaporiza} = WV (t )
Eq 4.2-3
{sai} = ρ V (Τ) q V (t ) = ρ V2 (Τ) q V2 (t )
então Eq 4.2-4
WV (t ) = ρ
V
(Τ).q V (t )
9
Balanço de energia para o vapor
Eq 4.2-5
{entra} = {sai}
Eq 4.2-6
{entra} = WV (t ) Η V (t )
Eq 4.2-7
{sai} = ρ V2 (Τ) q V2 (t ) Η V 2 (t )
Substituindo Eq 4.2-6 e Eq 4.2-7 em Eq 4.2-5: Eq 4.2-8
WV (t ) Η V (t ) = ρ V2 (Τ ) q V2 (t ) Η V 2 (t )
Substituindo Eq 4.2-4 em Eq 4.2-8 e rearranjando: Eq 4.2-9
Η V (t ) = Η V 2 (t )
9
Balanço de massa para o líquido
Eq 4.2-10
{acumula} = {entra} − {vaporiza}
Eq 4.2-11
{acumula} = dm(t ) = dt
Eq 4.2-12
{entra} = m L1 (t )
Eq 4.2-13
{sai} = WV (t )
dρ L (Τ) V (t ) dt
= ρ L1 (Τ ) q L1 (t )
= ρ V (Τ) q V (t )
Substituindo Eq 4.2-10, Eq 4.2-11 e Eq 4.2-12 em Eq 4.2-9:
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Eq 4.2-14
dρ L (Τ ). V (t ) = ρ L1(Τ). q L1(t ) − ρ V (Τ ). q V (t ) dt
Se a temperatura do líquido na caldeira não varia muito, podemos assumir uma massa específica média e constante para o líquido no seu interior (ρL = constante), então a Eq 4.2-14 se torna:
Eq 4.2-15
ρL
dV (t ) = ρ L1 (Τ ) q L1 (t ) − ρ V (Τ) q V (t ) dt
9
Balanço de energia para o líquido
Eq 4.2-16
{acumula} = {entra} − {vaporiza} + {transferido}
Eq 4.2-17
{acumula} = dm(t ) Η (Τ) =
dρ L (Τ) VL (t ) Η L (Τ)
dt
dt
Eq 4.2-18
{entra} = ρ L1 (Τ) q L1 (t ) Η L1 (Τ)
Eq 4.2-19
{sai} = WV (t ) Η V (Τ) = ρ V2 (Τ) q V2 (t ) Η V 2 (t )
Eq 4.2-20
{transferido} = Q (t ) = ρ C q C (t )∆Η C
Substituindo Eq 4.2-17, Eq 4.2-18, Eq 4.2-19 e Eq 4.2-20 em Eq 4.2-16: d ρ L (Τ)VL (t ) Η L (Τ) dt Eq 4.2-21
= ρ L1 (Τ) q L1 (t ) Η L1 − ρ V2 (Τ)q V2 (t )Η V2 (t ) + ρ C q C (t )∆Η C
Assumindo que a entalpia do líquido pode ser representada por Η V = Η L + ∆Η LV , onde ∆Η LV é a entalpia de valorização do líquido e que a
temperatura da caldeira não se modifica muito, obtemos. Cp ρ L Eq 4.2-22
dVL (t )ΤL (t ) = Cpρ L1(Τ ) q L1 (t ) ΤL1 (t ) + dt − ρ V2 (Τ ) q V2 (t ) Cp ΤL (t ) + ∆Η LV + ρ C ∆Η C q C (t )
[
]
Para completar este modelo, precisamos ainda de equações de estado que representem as variações das propriedades do fluido com a temperatura. Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Massa específica do vapor:
ρV = Eq 4.2-23
PM P V R g TV
Pressão do vapor:
Eq 4.2-24
A Ρv = Ps = exp + B ΤL
Temperatura do vapor: Eq 4.2-25
Τv = ΤL
Estamos admitindo que o sistema esteja em equilíbrio termodinâmico. Massa específica do líquido: Eq 4.2-26
ρ = f (Τ)
Na verdade temos duas equações como essa: Eq 4.2-27
ρ L1 = ρ L
Portanto, o modelo matemático dessa caldeira é formado por um sistema de 2 equações diferenciais ordinárias Eq 4.2-15 e Eq 4.2-22, mais 4 equações algébricas Eq 4.2-23, Eq 4.2-24, Eq 4.2-25, Eq 4.2-26 e Eq 4.2-27: 9
Eq 4.2-28
9
Balanço de massa para o líquido
ρL
dVL (t ) = ρ L1 (Τ ) q L1 (t ) − ρ V (Τ ) q V (t ) dt
Balanço de energia para o líquido
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cP ρL Eq 4.2-29
4.2.1
dVL (t ). ΤL (t ) = c P ρ L1 (Τ ) q L1 (t ). ΤL1 (t ) + dt − ρ V (Τ) q V (t ) c P ΤL (t ) + ∆Η LV + ρC ∆Η C . q C (t )
[
]
Análise dos graus de liberdade
Incógnitas: ρL, VL, ρL1, qL1, ρV, qV, cP, TL1, TL, ∆HLV, ρC, ∆HC, qC, PV, TV, PM, A, B
total
de
+18 Incógnitas conhecidas:
cp, ∆HC, ρC, PM, A, B
total de - 7
Equações: 2 diferenciais e 5 algébricas
total de - 7
Graus de liberdade: qL1(t), qC(t), TL1(t), qV(t)
total de +4
4.3
Coluna de Destilação
As colunas de destilação são equipamentos presentes em praticamente todas as plantas petroquímicas e/ou químicas. Neste item, vamos estudar os princípios físicos que regem a operação de uma coluna de destilação. As separações envolvendo multicomponentes são as mais comuns, mas para simplificar vamos aproximá-las para uma mistura binária ou pseudo-binária (definindo um componente-chave leve e um componente-chave pesado), Figura 4.3-1.
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Figura 4.3-1: Destilação binária ou pseudo-binária.
4.3.1
Modelo Estacionário
Com o intuito de entender os fenômenos físicos que existem na destilação, iremos inicialmente desenvolver o modelo em estudo estacionário, posteriormente apresentaremos e analisaremos o modelo dinâmico. No desenvolvimento do modelo matemático, vamos considerar as seguintes hipóteses: H.01. A mistura é bem representada por uma mistura binária ou pseudobinária formada por duas substâncias: um componente-chave pesado (menos volátil) e um componente-chave leve (mais volátil); Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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H.02. Os dois componentes têm a mesma entalpia molar de vaporização; H.03. A perda de calor para as vizinhanças e o calor de solução é desprezível. As hipóteses H.02 e H.03 implicam em assumir vazões internas molares de vapor e de líquido constantes ao longo de cada seção da coluna, isto é, para seção de retificação (rectifying) VR e LR constantes, e para a seção de esgotamento (stripping) VS e LS constantes. Como conseqüência dessas hipóteses para cada mol vaporizado existe um mol condensado em cada estágio da coluna e não existe a necessidade de desenvolver o balanço de energia para a coluna. H.04. Estágios no equilíbrio (eficiência de separação de 100%); H.05. Volatilidade relativa constante. Desta forma, o equilíbrio líquido – vapor pode ser descrito pela relação: yn = Eq 4.3-1
α .xn 1 + (α - 1). xn
Podemos representar o equilíbrio líquido-vapor por um diagrama xy, Figura 4.3-2.
Figura 4.3-2: Diagrama de equilíbrio xy.
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H.06. Condensador total, estando o refluxo e o destilado no ponto de bolha da mistura, isto é, líquido saturado. Se a descarga térmica no condensador é exatamente igual ao calor latente do vapor saturado (ponto de orvalho), o condensado formado também estará saturado (ponto de bolha). Se a carga térmica for maior, o líquido será sub-resfriado. Em ambos os casos a pressão no condensador e no acumulador será a pressão de vapor do condensado, a não ser que algum gás incondensável seja injetado para aumentar a pressão de operação da coluna; H.07. Retirada de fundo no ponto de bolha, isto é, líquido saturado. 4.3.1.1 Coluna
Balança de Massa Global
9
F=D+B
Eq 4.3-2
Para uma vazão de alimentação F constante, um aumento da vazão de destilado D provoca uma diminuição na retirada de fundo B, e vice-versa: Para F = ↑ cte e ↓ D
ÆB
Balanço Molar para o Componente mais Volátil: Eq 4.3-3
Fz = Dx D + B x B
Para F, z e xD = ctes. e D
Æ
B e xB
Para F, z e xB = ctes. e D
Æ
B e xD
Tabela 4.3-1: Fechamento do balanço material.
F
z
Z*F
D
xD
xD*D
B
xB
xB*B
100.0
0.700
70.0
80.0
0.800
64.0
20.0
0.300
6.0
100.0
0.700
70.0
85.0
0.800
68.0
15.0
0.133
2.0
100.0
0.700
70.0
85.0
0.771
65.5
15.0
0.300
4.5
4.3.1.2 Prato de alimentação 9
Balanço de Massa Global
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O estado de carga influencia nos moles de líquido saturado formado no prato de alimentação, ou seja, nas vazões internas de líquido de vapor. Para caracterizar este estado, define-se o parâmetro q: q= Eq 4.3-4
calor para converter 1 mol de alimentação até vapor saturado calor molar de vaporização
Alimentação de líquido sub-resfriado:
q>1
Alimentação de líquido saturado:
q=1
Alimentação de carga parcialmente “flasheada”5
1>q>0
Alimentação de vapor saturado:
q=0
Alimentação de vapor superaquecido:
q<0
Na Figura 4.3-3 plotamos as diferentes possibilidades da linha q no prato de alimentação.
Figura 4.3-3: 5 Possibilidades para linha q no prato de alimentação.
Considere um invólucro no prato de alimentação, conforme Figura 4.3-4, então o balanço de massa global é:
5
Fase líquida em equilíbrio com seu vapor. Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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q. F + L NF + 1 = L NF
Eq 4.3-5
(1 − q ). F + VNF - 1 = VNF
Eq 4.3-6
Somando Eq 4.3-5 e Eq 4.3-6: F + L NF + 1 + VNF - 1 = L NF + VNF
Eq 4.3-7
Se a alimentação for de líquido saturado, a vazão de vapor é constante ao longo da coluna, enquanto a vazão de líquido é diferente entre as seções de retificação e esgotamento. O contrário ocorre se a carga é de vapor saturado.
Figura 4.3-4: Invólucro no prato de alimentação.
Balanço Molar para o Componente mais Volátil
9
z . F + x NF + 1 . L NF + 1 + y NF − 1 . VNF -1 = x NF . L NF + x NF . VNF
Eq 4.3-8
4.3.1.3 Condensador e Vaso de Refluxo 9
Balanço de Massa Global
Eq 4.3-9
VR = R + D
9
Balanço Molar
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Eq 4.3-10
VR y NT = Rx R + Dx D
Dividindo Eq 4.3-10 por VR obtemos a equação da linha de operação do topo: R D xR + xD VR VR
y NT = Eq 4.3-11
4.3.1.4 Seção de retificação
Balanço Molar
9
Considere dois invólucros na seção de retificação, Figura 4.3-5. Os balanços molares para estes invólucros são: Eq 4.3-12
Vn y n = L n + 1 x n + 1 + Dx D
ou yn = Eq 4.3-13
L n +1 Vn
x n +1 +
D xD Vn
e yn-2 = Eq 4.3-14
L n -1 Vn - 2
x n -1 +
D xD Vn - 2
Onde NF < n < NT
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Figura 4.3-5: Invólucros para balanço de massa na seção de retificação.
Aplicando a hipótese de vazão molar constante ao longo da seção de retificação Vn = VR e R = Ln = LR, observamos que Eq 4.3-11, Eq 4.3-13 e Eq 4.3-14 representam uma equação de uma reta de coeficiente linear (D/V). xD e coeficiente angular LR/VR: yn = Eq 4.3-15
Dx n LR x n +1 + VR VR
A composição no topo da coluna é igual a composição do destilado, isto é, yNT = xD portanto, a reta de operação intersectada a reta x = y, conforme Figura 4.3-6. Na Figura 4.3-6, plotamos a equação da linha de operação de topo (Eq 4.314) num diagrama xy.
Figura 4.3-6: Linha de operação de topo da coluna.
A razão R/D é denominada de razão de refluxo externo (RRE), enquanto que a razão LR/VR é denominada razão de refluxo interno (RRI) da seção de retificação. 4.3.1.5 Refervedor e base coluna 9
Balanço de Massa Global Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Eq 4.3-16
L1 = V1 + B
9
Balanço Molar
Eq 4.3-17
L1 x 1 = V1 y B + Bx B
Dividindo Eq 4.3-17 por L1 obtemos a equação da linha de operação do fundo: yB =
L1 B x1 − x B V1 V1
ym =
LS B x m +1 − xB VS VS
Eq 4.3-18
ou
Eq 4.3-19
onde Eq 4.3-20
1 < m < NF
Aplicando a hipótese de vazão molar constante ao longo da seção de esgotamento Vm = Vs e Lm = Ls, observamos que a Eq 4.3-19 representa uma equação de uma reta de coeficiente linear (B/VS)xB e coeficiente angular Ls/Vs. A composição do fundo da coluna é igual a composição do resíduo, isto é, yB = xB , portanto a reta de operação intersecta a reta x = y. Na Figura 4.3-7 plotamos a equação da linha de operação de fundo Eq 4.3-19 num diagrama x = y. 4.3.1.6 Linhas de operação da coluna
A construção das linhas de operação a partir de xB ou xD e ϕ é um procedimento tipo tentativa-e-erro: • Marcar no diagrama x = y os pontos (xB, yB) ou (xD, yD); • Desenhar no diagrama x = y a linha q no prato de alimentação; • Como as retas de operação do topo e fundo tem que se interceptar em
algum ponto da linha ϕ, plotar uma estimativa inicial para as linhas de operação de topo (ou de fundo) partindo do ponto de xD = yD (ou de xB = yB); Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Yn = ym sobre a linha q:
Eq 4.3-21
L DxD LR B xB xF + = S xF − VS VR VS VR
• Plotar a linha de operação do fundo a partir de dois pontos disponíveis: xB =
yB (ou de xD = yD) e o ponto de interseção da reta de topo com a linha q; • Partindo do ponto xB = yB (ou de xD = yD) traçar as retas que descrevem o
equilíbrio do líquido com o seu vapor em cada prato; • Verificar se a partir do ponto (xB, yB) foi alcançado o ponto (xD, yD), se não foi
fazer nova estimativa para a linha de topo (ou de fundo) e retornar ao passo (d) até que seja satisfeita as condições estabelecidas. Para se determinar a vazão de reciclo de uma coluna existente a partir de um número de pratos NT e estado da alimentação q conhecido, devemos especificar a corrente de entrada (F e z) e uma corrente de saída, geralmente o destilado (D e xD). Considere uma coluna de destilação de 8 estágios de equilíbrio (incluindo o refervedor), a carga é líquido saturado (q = 1) nas condições de temperatura e pressão do prato de alimentação (NF = 4, F = 1,000 mol/h e xNF = 0.4). O condensador é total. A composição molar do destilado deve conter 95% do componente mais volátil, com uma recuperação de 96.1875% do total do componente mais volátil. Plotar as linhas de operação da coluna e calcular a vazão de reciclo e razão de reciclo externo (RRE). Solução: 9
Fração molar Recuperação de 96.1875%:
xD = 0.95 D = 96.1875% * F * (z / xD)
9
Vazão de destilado
D = 405 mol/h
9
Vazão do resíduo
B = F – D = 1000 – 405 = 595 mol/h
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Para plotar as linhas de operação temos que seguir um procedimento de tentativa-e-erro. Estimando um coeficiente linear para a reta de topo: (D*xD)/VR = 0.18 = 2,137.5 mol/h. VR = (D*xD)/0.18 = 2,137.5 mol/h
Vazão interna do vapor:
A inclinação da reta de topo é a razão de refluxo interno RRI, lida na Figura RRI = LR/VR = 0.818
4.3-7:
Vazão interna de líquido:
LR = RRI * VR = 1,748.48 mo/h
Vazão de reciclo:
R = LR = 1,748.48 mol/h
Razão de refluxo externo:
RRE = R/D = 4.317
Ou de VR = R + D
Æ
R/RRI = R + D
Æ
R = 1,820 mol/h
A diferença nos valores obtidos para R é devido a imprecisão na leitura do valor do coeficiente linear no diagrama xy. Coeficiente angular da reta de base: L’/V’ = LS/VS = (R + F)/Vr = 1.286 As linhas de operação podem ser vistas na Figura 4.3-7.
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Figura 4.3-7: Linhas de operação da coluna.
9
Efeito do aumento da vazão de reciclo Aumentar o reciclo mantendo as vazões de alimentação e retirada
constantes (F, D e B constantes) resulta numa melhor separação, isto é, num aumento de xD e, conseqüentemente, da recuperação do componente mais volátil. Porém, o incremento de R provoca, neste caso, um incremento do fluxo interno de vapor V, ou seja, num aumento no consumo de utilidades: Para D e B constantes e R ↑ Para os dados do exemplo com R = 2200
Æ
VR = R + D↑ VR = 2,605 mol/h
RRI = LR/VR=2200/2605 = 0.84453 aumento do coeficiente angular da reta de topo.
(R + F) L' L s = = = 1,2242 V ' Vs Vr 9
Diminuição do coeficiente angular da reta de fundo. A solução deste problema novamente é por tentativa-e-erro, mas podemos
perceber que o incremento de R causará um incremento em xD
e,
conseqüentemente, diminuição em xB. O número de pratos define a altura da coluna, enquanto o refluxo define as vazões internas na coluna e, conseqüentemente, influencia na operação do condensador, refervedor, bombas e outros acessórios da coluna. Um refluxo ótimo diminui o consumo de utilidades (vapor d’água, energia e fluido refrigerante). O refluxo não pode ser muito grande senão causa inundação ou formação de espuma em excesso, nem muito pequeno senão causa pulsação e/ou passagem de líquido indevida. Para uma determinada coluna (número fixo de pratos), o incremento do refluxo provoca, se não houver problemas operacionais, uma melhor separação, conseqüentemente, a diminuição de R resulta numa separação mais pobre. Porém, admitindo que o número de pratos pudesse ser aumentado, poderíamos operar uma coluna com um refluxo menor, aumentando adequadamente o número
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de estágios, e assim alcançar a mesma separação. No limite teríamos um refluxo mínimo e um número infinito de pratos. As colunas de destilação são projetadas para trabalharem com razão de refluxo externo (RRE) em torno de 1.5 a 2 vezes o RRE mínimo. Efeito do aumento da vazão interna de vapor
9
Aumentar a vazão de vapor, mantendo as vazões de retirada constantes (D e B constantes), resulta numa melhor separação, isto é, um aumento de xD e, conseqüentemente, da recuperação do componente mais volátil. Porém, para incrementar V o refervedor tem que transferir mais calor (maior consumo de energia) para o líquido na base da coluna; por sua vez, este vapor deve ser liquefeito no condensador (maior consumo de fluido refrigerante). Ou seja, o aumento de V implica no aumento de utilidades. Balanço total de energia da coluna
9
Fazendo um balanço total de energia em regime estacionário obtemos:
Eq 4.3-22
{entra de calor} = {sai de calor}
Eq 4.3-23
{entra} = {a lim entação} + {refervedor}
Eq 4.3-24
{entra} = F . Η F
Eq 4.3-25
{sai} = {topo} + { fundo} + {condensador} + {perdas}
Eq 4.3-26
{sai} = D . Η D
+ QR
+ B. Η B + QC + 0
Substituindo Eq 4.3-24 e Eq 4.3-26 em Eq 4.3-22 obtemos: Eq 4.3-27
F.H F + Q R = D . Η D + B . Η B + Q C
( )
(
)
As entalpias das correntes de entrada Η F e de saída Η D e Η B dependem das composições e da temperatura das respectivas correntes. Admitindo que as capacidades caloríficas das substâncias presentes na destilação são parecidas podemos considerar que a entalpia de uma corrente seja apenas função da temperatura. Portanto, se aumentarmos a quantidade de calor Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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cedido no refervedor para manter as demais condições constantes, temos que aumentar a retirada de calor no condensador. • Balanço de energia no condensador Eq 4.3-28
{entra} = {vapor de topo}
Eq 4.3-29
{sai} = {destilado} + {refluxo} + {condensador}
Eq 4.3-30
VR Η vr = D Η D + R Η R + Q C
mas Eq 4.3-31
VR = D + R
Eq 4.3-32
e
H D = H R = H LR
então
(
Q C = VR . Η vr − Η Lr
Eq 4.3-33
(Η vr
)
Se o condensador for total e o líquido formado estiver saturado, então − Η Lr
) é a própria entalpia de vaporização do líquido, nas condições do
tambor de refluxo. • Balanço de energia no refervedor Eq 4.3-34
{entra} = {líquido da base} + {refervedor}
Eq 4.3-35
{sai} = {residuo} + {vapor}
Eq 4.3-36
LS .Η LS + Q R = B . Η B + VS . Η VS
mas, Eq 4.3-37
LS = B + VS
e
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Eq 4.3-38
Η B = Η LS
Eq 4.3-39
então
(
Q R = VS . Η VS − Η B
)
O vapor formado no refervedor é saturado, então
(Η VS
− ΗB
) é a própria
entalpia de vaporização do líquido da base da coluna. 4.3.1.7 Hidráulica
Até aqui estudamos o equilíbrio líquido-vapor e os balanços de massa e energia de uma coluna de destilação, mas muito pouco foi discutido sobre o escoamento dos fluidos no interior da torre. Para acontecer a transferência dos componentes leves para a fase vapor e dos pesados para a fase líquida o equipamento de separação deve promover um íntimo contato entre as fases, para tanto são instalados anteparos (pratos ou recheio) que provocam uma maior turbulência e dispersão das fases, melhorando o contato entre as mesmas. Neste curso estudaremos o funcionamento das colunas de bandejas (configuração mais freqüente), embora alguns conceitos a seguir citados também sirvam para as colunas e recheio. Os tipos mais comuns de pratos são (a) com válvulas, (b) com borbulhadores, (c) bandejas de grade, (d) bandejas perfuradas. Nas Figura 4.3-8 e Figura 4.3-9 observamos um prato com borbulhadores e prato perfurado, respectivamente.
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Figura 4.3-8: Bandeja com borbulhadores.
Figura 4.3-9: Bandeja perfurada.
O escoamento interno de vapor e de líquido ao longo da coluna, Figura 4.3-10 e Figura 4.3-11, deve ser tal que favoreça o contato entre as fases
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tornando mais eficientes a separação, porém devem evitar os seguintes fenômenos: (a) arraste de líquido, (b) formação de cones de vapor, (c) pulsação, (d) passagem de líquido ou gotejamento, (e) inundação, (f) formação de espuma em excesso.
Figura 4.3-10: Escoamento por uma bandeja com borbulhadores.
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Figura 4.3-11: Escoamento por bandeja perfurada.
9
Arraste (entrainment) em pratos com borbulhadores ou perfurados Uma alta velocidade do vapor pode provocar o arraste de líquido de um prato
inferior para o imediatamente superior, contaminando este último com porções de líquido mais pesado. Observe que a velocidade pode aumentar devido ao aumento da vazão mássica ou diminuição da pressão de operação da coluna (e conseqüente aumento do volume específico do vapor). Colunas a vácuo são construídas com um diâmetro maior que colunas atmosféricas, pois devido às baixas pressões das primeiras o volume específico do vapor é grande implicando em elevadas velocidades internas de vapor. 9
Formação de cones de vapor em pratos com borbulhadores Se a vazão de líquido é pequena poderá haver uma altura insuficiente de
líquido, sobre as fendas dos borbulhadores, formando assim regiões isentas de líquido em torno dos borbulhadores, conseqüentemente, as fases não estarão em contato, não ocorrendo a transferências de massa, Figura 4.3-12.
Figura 4.3-12: Condições operacionais de uma bandeja com borbulhadores. Distribuição não homogênea do vapor ao longo do prato devido ao gradiente de nível de líquido no prato.
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Pulsação em pratos com borbulhadores
9
Se a vazão de vapor for pequena pode ser que o vapor presente num prato inferior não tenha pressão suficiente para vencer a resistência oferecida ao seu escoamento, acumulando neste prato até o momento em que a pressão aumenta forçando a passagem brusca do vapor. Após este instante, a pressão do vapor diminui rapidamente e novamente acontece o bloqueio da vazão de vapor. Este ciclo se repete, originando uma vazão em pulsos (passagem pulsante), Figura 4.3-12. 9
Passagem de líquido em pratos com borbulhadores Uma vazão de vapor baixa e de líquido alta pode ocasionar a passagem de
líquido pelas fendas dos borbulhadores. Geralmente, este fenômeno ocorre nos borbulhadores próximos ao(s) downcomer(s), Figura 4.3-11. 9
Passagem de líquida (weeping) em pratos perfurados Uma vazão muito baixa de vapor provoca o escoamento de líquido pelas
perfurações do prato, diminuindo a eficiência da separação. Este fenômeno pode ser localizado. 9
Inundação (flooding) em pratos perfurados e com borbulhadores A inundação de uma coluna ocorre quando o nível de líquido nos tubos de
queda (downcomer) atinge o prato superior causando retorno de líquido, também pode ser causada pelo arraste de líquido. A inundação é favorecida pela elevação da perda de carga e pelo aumento da vazão de líquido. A inundação de uma coluna pode ser detectada quando ocorre um rápido aumento da queda de pressão no prato e/ou a eficiência da separação cai bruscamente. 9
Formação de espumas (foaming) em pratos perfurados ou com
borbulhadores Um certo grau de formação de espumas é desejável desta forma a área disponível para a transferência de massa aumenta, porém o excesso de espuma causa arraste e/ou inundamento do prato. De modo geral, há uma tendência crescente de formação de espumas do topo para o fundo da coluna devido ao incremento da tensão superficial neste sentido.
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Flexibilidade
9
operacional
de
bandejas
perfuradas
e
com
borbulhadores Pelo que discutimos a carga de vapor e de líquido deve estar limitada entre valores máximos e mínimos. Nas Figura 4.3-13 e Figura 4.3-14, observamos quais os limites de vazão que devem ser observados.
Figura 4.3-13: Limites das vazões de vapor e de líquido em pratos com borbulhadores.
Figura 4.3-14: Limites das vazões de vapor e de líquido em pratos perfurados.
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Eficiência de um prato
9
Na descrição da operação de uma coluna de destilação foi considerado que cada estágio estava em equilíbrio termodinâmico. Quando isto acontece ocorre a máxima separação possível. Porém, nas condições operacionais típicas de colunas de destilação este equilíbrio não é alcançado. Conseqüentemente, para uma mesma separação, se a eficiência do prato for menor que 100%, o equipamento terá um número de pratos maior que o calculado para eficiência de 100%. Os principais fatores que influenciam nesta eficiência são: (a) taxa de transferência de massa na fase vapor; (b) taxa de transferência de massa na fase líquida; (c) grau de mistura do líquido em cada prato; (d) quantidade de líquido arrastado pelo vapor. Na Figura 4.3-14 observamos como deve ser realizado o cálculo de uma coluna binária a eficiência de Murphree: En = Eq 4.3-40
y n − y n −1 y *n − y n −1
Figura 4.3-15: Aplicação da eficiência de Murphree.
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4.3.2
Modelo Dinâmico
Nesta seção iremos desenvolver o modelo matemático em regime transiente de uma coluna de destilação. Utilizaremos as mesmas hipóteses utilizadas no desenvolvimento do modelo para regime estacionário, acrescentando algumas outras que citaremos. O acúmulo de massa e calor na linha entre o topo da coluna e o vaso de refluxo é pequeno, de forma que podemos negligenciar sua dinâmica. Apesar disso a composição do vapor do topo yNT só será igual a composição do destilado xD no estado estacionário. Esta hipótese é apropriada para a maioria das colunas industriais, porém não é para plantas piloto ou colunas de laboratórios. O condensador é total. O conteúdo do vaso de refluxo está perfeitamente misturado e no ponto de bolha. A vazão de destilado é D. A base da coluna a vazão de retirada é B. O vapor é gerado em um refervedor tipo termosifão e retorna para a coluna devido a convecção natural. O líquido na base da coluna e no refervedor estão perfeitamente misturados e tem a mesma composição xB e um acúmulo total de massa (hold-up) de MB. O vapor gerado no refervedor yB está em equilíbrio com o líquido na base da coluna xB. A coluna tem NT pratos teóricos perfeitamente misturados com composição xn e hold-up de líquido Mn. O hold-up de vapor é negligente em todo o sistema, pois, embora o volume ocupado pelo vapor seja grande, seu volume específico também o é, conseqüentemente, o acúmulo de massa e energia é pequeno. Esta hipótese não pode ser assumida em colunas de alta pressão. As hipóteses H.02 e H.03 citadas anteriormente implicam que, no estado estacionário, os fluxos molares internos (líquido e vapor) são constantes em cada seção, porém no regime transiente isto não mais acontece (o fluxo interno não é equimolar). Se admitirmos que o acúmulo de vapor é negligenciável, então sua vazão através da coluna será:
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Eq 4.3-41
Vs(t) = VNT(t) = VNT-1(t) = ... = VNF(t)
Eq 4.3-42
Vr(t) = V1(t) = V2(t) = ... = VNF-1(t)
Eq 4.3-43
e VNF = VNF-1(t) + ( 1 – q ).F(t)
Por outro lado o acúmulo de líquido não pode ser desprezado,, conseqüentemente, as vazões de líquido de um prato para outro não são iguais. Para descrever a quantidade de líquido que escoa de uma bandeja para outra utilizamos a fórmula de Francis: Eq 4.3-44
Fórmula de Francis: qn = 3.33hw.(how)1,5
Eq 4.3-45
L = PM.ρ.qn
A partir das hipóteses estabelecidas, o modelo matemático que descreve este processo é: • Condensador e vaso de refluxo
Eq 4.3-46
dM D = VR (t ) − R (t ) − D (t ) dt
dM D x D (t ) Eq 4.3-47
dt
= Vr (t )y NT (t ) − [R (t ) + D(t )].x D (t )
• Prato de topo (n = NT)
Eq 4.3-48
dM NT (t ) = R (t ) − LN (t ) dt
dM NT x NT (t ) Eq 4.3-49
dt
= R (t ) x D (t ) + VR (t ) y NT -1 (t ) − L NT (t )x NT − Vr (t )y NT (t )
• Prato n (seção de retificação)
Eq 4.3-50
dM n (t ) = L n + 1 (t ) − L n (t ) dt
Eq 4.3-51
dM n (t ) x n (t ) = L n + 1 (t ) x n + 1 (t ) + VR (t )y n -1 (t ) − L n (t )x n (t ) − VR (t ) y n (t ) dt
• Prato de alimentação (n = NF) Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Eq 4.3-52
dM NF (t ) = L NF + 1 (t ) − L NF (t ) + F (t ) dt
Eq 4.3-53
dM NF (t ) x NF (t ) = L NF + 1 (t )x NF + 1 (t ) + Vr (t ) y NF -1 (t ) z − L NF (t )x NF (t ) − VR (t )y NF (t ) dt
• Primeiro prato (n = 1)
Eq 4.3-54
dM1 (t ) = L 2 (t ) − L1 (t ) dt
Eq 4.3-55
dM 1 (t ) x 1 (t ) = L 2 (t ) x 2 (t ) + VS (t ) y B (t ) − L1 (t ) x 1 (t ) − VS (t )y1 (t ) dt
• Refervedor e base da coluna
Eq 4.3-56
dM B (t ) = L1 (t ) − V2 (t ) − B (t ) dt
Eq 4.3-57
dM B (t ) x B (t ) = L1 (t )x 1 (t ) + VS (t )y B (t ) − B (t )x B (t ) dt
Obs: Neste caso não é necessário desenvolver o balanço de energia
4.4 Lavadora
Coluna de Absorção, Extração, Esgotamento e
Na Figura 4.4-1 observamos quais as correntes de alimentação e descarga de colunas de absorção (absortion), colunas de esgotamento (scripping), colunas de extração (extration) e colunas lavadora de gás (washing).
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Figura 4.4-1: Diagrama simplificado de processos de separação.
Tabela 4.4-1: Outros tipos de operações de separação.
Operação Unitária
Fase contínua
Fase dispersa
Produto Principal
absorção
líquida
gás
gás residual
esgotamento
líquida
gás
gás rico
extração
líquida
líquida
refinado ou extrato
Lavagem
gás
líquida
gás pobre
Muitas das observações feitas para colunas de destilação são válidas para absorvedoras, colunas de esgotamento, extratoras e lavadoras. Por exemplo, que existem vazões máximas e mínimas para operação do processo, devemos promover um íntimo contato entre as fases.
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4.5
Exercícios 4.5.1
Coluna de Destilação
4.5.01. Considere uma coluna de destilação. Dados: Alimentação líquido saturado:
F
=
10,000 kg/h
HF
=
=
4,000 kg/h
HB
=
50
kcal/kg
(50ºC) Resíduo:
B
50
kcal/kg
(100ºC) Destilado:
HD
=
15 kcal/kg (30 ºC)
Carga térmica no refervedor:
QR
=
540 kcal/h
Condensador total, com formação de líquido saturado, entalpia de vaporização da mistura no condensador:
HLV
=
50 kcal/kg
Calcule a carga térmica do condensador, as vazões do vapor e líquido nas seções de retificação e esgotamento, a vazão de refluxo R, as razões de refluxo interno (RRI) e externo (RRE). Mantendo as condições (vazões e temperaturas) de entrada e saída da coluna constante, calcule QC, R, RRI e RRE se o calor introduzido pelo refervedor (QR) aumenta para 1,000 kcal/h? Compare esses resultados com os anteriores.
4.5.2
Tanque agitado com serpentina
Um líquido é continuamente alimentado em um tanque bem agitado, que é aquecido por uma serpentina de vapor. O hold-up de líquido M é mantido constante. Vapor é adicionado ao sistema a uma vazão qst(t). A alimentação do tanque F1 é constante, mas sua temperatura T1(t) é variável com o tempo. Dados do problema: Alimentação:
F1
=
50,000 Ibm/h
ρ
=
50 lbm/ft3
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Tanque:
M
cp
=
0.5 Btu/lbm.ºF
T1ss
=
80ºF
=
4,000 lbm
Tss
=
=
900 Btu/lbm
190ºF
Serpentina: Calor latente de vaporização do vapor
λst
Modelo matemático deste processo
9
τp .
onde
dΤ (t ) + Τ(t ) = K1 . Τ1 (t ) + K 2 . qst (t ) dt
τp =
Μ F1
K1 = 1
K2 =
λst C P F1
Pede-se: • Vazão do vapor no estado estacionário. • Vazão do vapor necessária para manter a temperatura no tanque constante
quando a temperatura de carga muda para 70 ºF. • Qual o efeito sobre este processo quando a vazão da carga aumenta de
10%? • Qual o efeito da mudança de temperatura do vapor neste processo?
4.5.3
Reator CSTR
Considere o modelo fenomenológico de um CSTR, descrito a seguir. Reescreva o modelo utilizando notação matricial (Exemplo adaptado do Corripio, pg 471-475).
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Fi, CAi,CBi, Ti
Fc1, Tc1
A
B
h(t)
Fc, Tc F, CA, CB Figura 4.5-1: CSTR.
9
Balanço global
Eq 4.5-1
dV (t ) = Fi (t ) − F (t ) dt
9
Balanço de massa para o reagente A
Eq 4.5-2
dV (t ).C A (t ) = (Fi (t ).C Ai (t ) − F (t ).C A (t )) + ΓA (t ).V (t ) dt
9
Balanço de massa para o reagente B
Eq 4.5-3
dV (t ).C B (t ) = (Fi (t ).C Bi (t ) − F (t ).C B (t )) + ΓB (t ).V (t ) dt
9
Balanço de energia no reator
Eq 4.5-4
dE (t ) = f (L, Fi , C A , Ti , T , Tc ,) dt
9
Balanço de energia na camisa do reator
Eq 4.5-5
dE (t ) = f (Fc , T , Tci , Tc ,) dt
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As equações Eq 4.5-1 a Eq 4.5-5 constituem o modelo fenomenológico nãolinear do CSTR. Hipóteses Adicionais
9
H1. Seção transversal do tanque é constante e de área AT. Então V(t) = AT.L(t) H2. As propriedades dos componentes e da mistura não variam com a temperatura. H3. Energia = Entalpia H4. Os efeitos do calor de mistura são desprezíveis H5. Reação do tipo: A → B de 1ª ordem, irreversível. Portanto podemos escrever: Equação 1 Então, omitindo a explicitação da dependência com o tempo (t) e considerando as hipóteses acima, podemos escrever: 9
Balanço global f1 =
Eq 4.5-6
9
dL Fi F = − dt At At
Balanço de massa para o reagente A
Eq 4.5-7
9
Balanço de massa para o reagente B
Eq 4.5-8
9
9
E
− dC B Fi 1 f3 = = ⋅ ⋅ (C Bi − C B ) + k o .e R.(T + 273.15 ) .C A2 dt At L
Balanço de energia no reator
Eq 4.5-9
E
− dC A Fi 1 f2 = = ⋅ ⋅ (C Ai − C A ) − k o .e R.(T + 273.15 ) .C A2 dt At L
f4 =
E
∆H R .k o − R.(T + 273.15 ) 2 dT Fi 1 U .A 1 .C A − = ⋅ ⋅ (Ti − T ) − ⋅e ⋅ ⋅ (T − Tc ) dt At L ρ .Cp ρ .Cp. At L
Balanço de energia na camisa do reator Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Eq 4.5-10
f5 =
dTc Fc U .A = ⋅ (Tci − Tc ) + ⋅ (T − Tc ) ρ c .Cpc .Vc dt Vc
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Capítulo 5.
Exemplo prático
5.1
Modelo Não-Linear Em Espaço De Estados
Vamos pegar como exemplo o reator CSTR. Definindo os vetor dos estados·:
Eq 5.1-1
x1 = L x = C A 2 x = x3 = C B x4 = T x5 = Tc 5×1
Observe que temos ne = 5 estados. Definindo o vetor dos distúrbios externos (ou simplesmente distúrbios):
Eq 5.1-2
d1 = Fi d = C Ai 2 d = d 3 = C Bi d 4 = Ti d 5 = Tci 5×1
Observe que temos nd = 5 distúrbios. Definindo o vetor das variáveis manipuladas:
Eq 5.1-3
u = Fc u= 1 u 2 = F 2×1
Observe que temos nm = 2 variáveis manipuladas. Utilizando as definições Eq 5.1-1 a Eq 5.1-3, podemos re-escrever (EQ. 05.04-05) da seguinte forma.
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Eq 5.1-4
f1 (t , x, d , u ) f1 x&1 f (t , x, d , u ) f x& 2 2 2 x& = x&3 = f 3 = f 3 (t , x, d , u ) = f (t , x, d , u ) f 4 (t , x, d , u ) f4 x& 4 f 5 (t , x, d , u ) f 5 x&5 5×1 5×1 5×1
Acrescentando à Eq 5.1-4 relações que descrevem as variáveis medidas (variáveis de saída do sistema) obtemos um modelo não-linear em espaço de estados. Eq 5.1-5
y = h(t , x, d , u )
Onde h é um vetor cujos componentes são funções não-lineares ou lineares. Resumindo e generalizando, um modelo não-linear em espaço de estados é dado pelas Eq 5.1-4 e Eq 5.1-5:
Eq 5.1-6
x& = f (t , x, d , u ) y = h(t , x, d , u )
Por exemplo, considerando que apenas a temperatura na saída do reator seja medida e que a mesma é idêntica à temperatura dentro do tanque, podemos escrever:
Eq 5.1-7
x& = f (t , x, d , u ) y = x4
Neste caso o vetor h é escrito da seguinte maneira Eq 5.1-8
h = [0 0 0 1 0]1×5
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5.2 Modelo Espaço de Estados
Linear
Contínuo
em
Novamente vamos tomar como exemplo o reator CSTR. Expandindo em Série de Taylor o modelo não-linear em espaço de estados, Eq 5.1-6, em torno de um ponto de referência qualquer, pr = (tr, xr, dr, ur), obtemos:
Eq 5.2-1
( (
) ( ) (
) ( ) (
x& ≅ f r + A. x − x r + B. u − u r + D. d − d r r r r r y ≅ h + C. x − x + E. u − u + F . d − d
) )
No exemplo em estudo a matriz A, denominada de Jacobiano ou matriz Jacobiana do sistema em relação aos estados, é dada por:
Eq 5.2-2
a11 a 21 A = a31 a41 a51
a12 a 22 a32 a 42 a52
a13 a23 a33 a43 a53
a14 a24 a34 a44 a54
a15 a 25 a35 a 45 a55 5×5
∂f1 ∂x 1 ∂f 2 ∂x1 ∂f = 3 ∂x1 ∂f 4 ∂x1 ∂f 5 ∂x 1
∂f1 ∂x2 ∂f 2 ∂x2 ∂f 3 ∂x2 ∂f 4 ∂x2 ∂f 5 ∂x2
∂f1 ∂x3 ∂f 2 ∂x3 ∂f 3 ∂x3 ∂f 4 ∂x3 ∂f 5 ∂x3
∂f1 ∂x4 ∂f 2 ∂x4 ∂f 3 ∂x4 ∂f 4 ∂x4 ∂f 5 ∂x4
∂f1 ∂x5 ∂f 2 ∂x5 ∂f 3 ∂x5 ∂f 4 ∂x5 ∂f 5 ∂x5
Portanto cada elemento dessa matriz é Eq 5.2-3
aij =
∂f i ∂x j
Ou seja, a derivada parcial de cada equação diferencial i em relação a cada estado j. A matriz B é dada por:
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Eq 5.2-4
b11 b12 b 21 b22 B = b31 b32 b41 b42 b51 b52 5×2
∂f1 ∂u 1 ∂f 2 ∂u1 ∂f = 3 ∂u1 ∂f 4 ∂u1 ∂f 5 ∂u1
∂f1 ∂u 2 ∂f 2 ∂u 2 ∂f 3 ∂u 2 ∂f 4 ∂u 2 ∂f 5 ∂u 2
Portanto, cada elemento dessa matriz é Eq 5.2-5
bij =
∂f i ∂u j
Ou seja, a derivada parcial de cada equação diferencial i em relação a cada variável manipulada j. A matriz D é dada por:
Eq 5.2-6
d11 d 21 D = d 31 d 41 d 51
d12 d 22 d 32 d 42 d 52
d13 d 23 d 33 d 43 d 53
d14 d 24 d 34 d 44 d 54
d15 d 25 d 35 d 45 d 55 5×5
∂f1 ∂d 1 ∂f 2 ∂d1 ∂f = 3 ∂d1 ∂f 4 ∂d1 ∂f 5 ∂d 1
∂f1 ∂d 2 ∂f 2 ∂d 2 ∂f 3 ∂d 2 ∂f 4 ∂d 2 ∂f 5 ∂d 2
∂f1 ∂d 3 ∂f 2 ∂d 3 ∂f 3 ∂d 3 ∂f 4 ∂d 3 ∂f 5 ∂d 3
∂f1 ∂d 4 ∂f 2 ∂d 4 ∂f 3 ∂d 4 ∂f 4 ∂d 4 ∂f 5 ∂d 4
∂f1 ∂d 5 ∂f 2 ∂d 5 ∂f 3 ∂d 5 ∂f 4 ∂d 5 ∂f 5 ∂d 5
Portanto cada elemento dessa matriz é Eq 5.2-7
d ij =
∂f i ∂d j
Ou seja, a derivada parcial de cada equação diferencial i em relação a cada distúrbio j.
Cada elemento das matrizes C, E e F são definidos (analogamente à maneira das matrizes A, B e D, respectivamente) como sendo as derivadas parciais das Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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funções hi em relação aos estados xj, às variáveis manipuladas uj e em relação aos distúrbios dj, respectivamente. Os vetores fr e hr são conhecidos, pois são calculados no ponto de referência pr. Contudo, se tomarmos como referência o estado estacionário então fr = 0. Além disso, muitas vezes a relação entre os estados e as variáveis medidas é dada por expressões lineares, o que torna desnecessário a expansão em Série de Taylor das funções h. Mesmo quando o ponto de referência não é o estado estacionário, o que ocorrerá em algumas situações, é comum desprezar o termo fr. Evidentemente que estamos incorporando um erro ao nosso modelo, mas a prática determina que este erro não compromete os resultados alcançados, nas situações que analisaremos. Portanto, considerando: r
f =0 r
h =0
E definindo as variáveis desvio: x = x−x
r
u = u −u
r
d = d −d y = y−h
r
r
Podemos re-escrever a Eq 5.2-1 da seguinte forma:
Eq 5.2-8
x& = A.x + B.u + D.d y = C.x + E.u + F .d
Um caso bastante comum na prática é quando E = 0 e F = 0, então Eq 5.2-8 fica:
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x& = A.x + B.u + D.d y = C.x
Eq 5.2-9
A Eq 5.2-8 ou Eq 5.2-9 é a representação de um modelo contínuo linear em espaço de estados6 ou, conforme o jargão dos "controleiros", é a realização em espaço de estados ou simplesmente é o espaço de estados do sistema, ou mais abreviadamente é o espaço de estados.
5.3
Matrizes de Linearização
Iremos agora desenvolver as expressões analíticas das matrizes de linearização, A, B e D. É interessante observar que essas matrizes também podem ser calculadas numericamente, e às vezes apenas podem ser obtidas dessa maneira. Geralmente, o tempo investido na obtenção das expressões analíticas das matrizes de linearização é recompensado devido ao: a)
Aumento da precisão dos resultados alcançados;
b)
Maior número de procedimentos matemáticos que podem ser
empregados na análise da estabilidade e/ou síntese do sistema de controle; c)
Diminuição do tempo computacional, quando utilizarmos rotinas
numéricas; d)
Aumento da generalização dos resultados obtidos.
Assim, quando factível, é interessante obter as expressões analíticas das matrizes A, B e D. Será exatamente isso que faremos agora.
No exemplo do CSTR a vazão de saída (F) pode ser ou não uma função do nível (L). Se a descarga do reator for forçada devido a presença de uma bomba,
6
Embora no exemplo em estudo os estados definidos tenham um significado físico, no caso mais geral isto não é necessário. Assim, o espaço de estado para um "controleiro" é uma "entidade matemática" que pode ou não ter significado físico e será assim interpretado deste ponto em diante. Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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então podemos considerar que F seja praticamente independente de L. Porém, se a descarga ocorrer devido a gravidade então Eq 5.3-1
F ( L ) = α . ρ . g .L
Chamaremos de • Caso a: F = F(L); • Caso b: F não depende de L.
O modelo não-linear do CSTR é dado pelo sistema não-linear de equações diferenciais ordinárias: dL Fi F = − dt At At
Eq 5.3-2
f1 =
Eq 5.3-3
− dC A Fi 1 f2 = = ⋅ ⋅ (C Ai − C A ) − k o .e R.(T + 273.15 ) .C A2 dt At L
Eq 5.3-4
− dC B Fi 1 f3 = = ⋅ ⋅ (C Bi − C B ) + k o .e R.(T + 273.15 ) .C A2 dt At L
Eq 5.3-5
∆H R .k o − R.(T + 273.15 ) 2 dT Fi 1 U .A 1 f4 = = ⋅ ⋅ (Ti − T ) − ⋅e ⋅ ⋅ (T − Tc ) .C A − dt At L ρ .Cp ρ .Cp. At L
Eq 5.3-6
f5 =
E
E
E
dTc Fc U .A = ⋅ (Tci − Tc ) + ⋅ (T − Tc ) dt Vc ρ c .Cpc .Vc
Os estados, distúrbios e variáveis manipuladas são:
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Eq 5.3-7
x1 = L x = C A 2 x = x3 = C B x4 = T x5 = Tc
5×1
Eq 5.3-8
d1 = Fi d = C Ai 2 d = d 3 = C Bi d 4 = Ti d 5 = Tci 5×1
Eq 5.3-9
u = Fc u= 1 u 2 = F 2×1
Matriz A
As derivadas parciais das equações fi em relação ao vetor x são:
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Eq 5.3-10
a11 =
∂f1 ∂ Fi F (L ) ∂ Fi α ρ .g.L 1 α ρ .g = =− ⋅ = − − At ∂L At At 2 At . L ∂x1 ∂L At
Eq 5.3-11
a11 =
∂f1 ∂ Fi F = − =0 ∂x1 ∂L At At
Eq 5.3-12
a12 = a13 = a14 = a15 = 0
Eq 5.3-13
− F .(C − C ) ∂f ∂ Fi 1 ⋅ ⋅ (C Ai − C A ) − k o .e R.(T + 273.15 ) .C A2 = − i Ai 2 A a 21 = 2 = ∂x1 ∂L At L At .L
E
E
Eq 5.3-14
− ∂f ∂ ( f 2 ) = − Fi ⋅ 1 − 2.k o .e R.(T +273.15 ) .C A a22 = 2 = ∂x2 ∂C A At L
Eq 5.3-15
a23 =
∂f 2 ∂ ( f2 ) = 0 = ∂x3 ∂C B E − R .(T + 273.15 )
Eq 5.3-16
a24 =
.C A2 ∂f 2 ∂ ( f 2 ) = − k o .E.e = 2 ∂x4 ∂T R.(T + 273.15)
Eq 5.3-17
a 25 =
∂f 2 ∂ ( f2 ) = 0 = ∂x5 ∂Tc
Eq 5.3-18
− ∂f F .(C − C ) ∂ F 1 a31 = 3 = i ⋅ ⋅ (C Bi − C B ) + k o .e R.(T + 273.15 ) .C A2 = − i Bi 2 B ∂x1 ∂L At L At .L
E
Eq 5.3-19
Eq 5.3-20
a33 =
a34 =
− ∂f ∂ ( f 3 ) = 2.k o .e R.(T +273.15 ) .C A a32 = 3 = ∂x2 ∂C A
Eq 5.3-21
E
∂f 3 ∂ ( f 3 ) = − Fi ⋅ 1 = ∂x1 ∂C B At L E − R .(T + 273.15 )
∂f 3 ∂ .C A2 ( f 3 ) = k o .E.e = 2 ∂x4 ∂T R.(T + 273.15)
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Eq 5.3-22
a35 =
∂f 3 ∂ ( f3 ) = 0 = ∂x5 ∂Tc
∂f ∂ F .(T − T ) ∆H R .k o − R.(T + 273.15 ) 2 U . A.(T − Tc ) .C A − a41 = 4 = i i − ⋅e ∂x1 ∂L At .L ρ .Cp ρ .Cp. At .L
Eq 5.3-23
E
=−
Fi 1 U .A 1 ⋅ 2 ⋅ (Ti − T ) + ⋅ 2 ⋅ (T − Tc ) ρ .Cp. At L At L
E
Eq 5.3-24
− ∂f ∂ ( f 4 ) = −2 ⋅ ∆H R .k o ⋅ e R.(T +273.15 ) .C A a42 = 4 = ∂x2 ∂C A ρ .Cp
Eq 5.3-25
a43 =
∂f 4 ∂ ( f4 ) = 0 = ∂x3 ∂C B E − R .(T + 273.15 )
Eq 5.3-26
Fi ∆H R .k o E.e .C A2 ∂f 4 ∂ U .A ( f4 ) = − a 44 = = − ⋅ − 2 At .L ∂x4 ∂T ρ .Cp ρ .Cp. At .L R.(T + 273.15)
Eq 5.3-27
a45 =
Eq 5.3-28
a51 = a52 = a53 = 0
Eq 5.3-29
a54 =
∂f 5 ∂ Fc U .A U .A ⋅ (Tci − Tc ) + = ⋅ (T − Tc ) = ∂x4 ∂T Vc ρ c .Cpc .Vc ρ c .Cpc .Vc
Eq 5.3-30
a55 =
∂f 5 ∂ ( f 5 ) = − Fc − U . A = ∂x5 ∂Tc Vc ρ c .Cpc .Vc
∂f 4 ∂ ( f 4 ) = U .A ⋅ 1 = ∂x5 ∂Tc ρ .Cp. At L
Matriz B
As derivadas parciais das equações fi em relação ao vetor u são:
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Eq 5.3-31
b11 =
∂f1 ∂ Fi F (L ) − =0 = ∂u1 ∂Fc At At
Eq 5.3-32
b11 =
∂f1 ∂ Fi F − =0 = ∂u1 ∂Fc At At
Eq 5.3-33
b12 =
∂f1 ∂ Fi F (L ) − =0 = ∂u 2 ∂F At At
Eq 5.3-34
b12 =
∂f1 ∂ Fi F 1 − = − = ∂u 2 ∂F At At At
Eq 5.3-35
− ∂f ∂ Fi 1 b21 = 2 = ⋅ ⋅ (C Ai − C A ) − k o .e R.(T + 273.15 ) .C A2 = 0 ∂u1 ∂Fc At L
E
∂f 2 ∂ ( f2 ) = 0 = ∂u 2 ∂F
Eq 5.3-36
b22 =
Eq 5.3-37
− ∂f ∂ Fi 1 ⋅ ⋅ (C Bi − C B ) + k o .e R.(T + 273.15 ) .C A2 = 0 b31 = 3 = ∂u1 ∂Fc At L
E
∂f 3 ∂ ( f3 ) = 0 = ∂u 2 ∂F
Eq 5.3-38
b32 =
Eq 5.3-39
∂f ∂ Fi .(Ti − T ) ∆H R .k o − R.(T + 273.15 ) 2 U . A.(T − Tc ) − ⋅e =0 .C A − b41 = 4 = ∂u1 ∂Fc At .L ρ .Cp ρ .Cp. At .L
E
Eq 5.3-40
b42 =
∂f 4 ∂ ( f4 ) = 0 = ∂u 2 ∂F
Eq 5.3-41
b51 =
(T − T ) ∂f 5 ∂ Fc U .A ⋅ (Tci − Tc ) + = ⋅ (T − Tc ) = ci c ∂u1 ∂Fc Vc ρ c .Cpc .Vc Vc
Eq 5.3-42
b52 =
∂f 5 ∂ ( f5 ) = 0 = ∂u 2 ∂F Matriz D
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As derivadas parciais das equações fi em relação ao vetor d são:
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Eq 5.3-43
d11 =
∂f1 ∂ Fi F (L ) 1 − = = ∂d1 ∂Fi At At At
Eq 5.3-44
d11 =
∂f1 ∂ Fi F 1 − = = ∂d1 ∂Fi At At At
Eq 5.3-45
d12 = d13 = d14 = d15 = 0
Eq 5.3-46
(C − C ) − ∂f ∂ Fi 1 A ⋅ ⋅ (C Ai − C A ) − k o .e R.(T + 273.15 ) .C A2 = Ai d 21 = 2 = ∂d1 ∂Fi At L At .L
E
∂f 2 ∂ ( f 2 ) = Fi = ∂d 2 ∂C Ai At .L
Eq 5.3-47
d 22 =
Eq 5.3-48
d 23 = d 24 = d 25 = 0
Eq 5.3-49
(C − C ) − ∂f ∂ Fi 1 B ⋅ ⋅ (C Bi − C B ) + k o .e R.(T + 273.15 ) .C A2 = Bi d 31 = 3 = ∂d1 ∂Fi At L At .L
Eq 5.3-50
d 32 =
∂f 3 ∂ ( f3 ) = 0 = ∂d 2 ∂C Ai
Eq 5.3-51
d 33 =
∂f 3 ∂ ( f 3 ) = Fi = ∂d 3 ∂C Bi At .L
Eq 5.3-52
d 34 = d 35 = 0
E
Eq 5.3-53
∂f ∂ d 41 = 4 = ∂d 1 ∂Fi
Eq 5.3-54
E F (T − T ) ∆H k − UA(T − Tc ) (Ti − T ) R o i i R .(T + 273.15 ) e C A2 − = − At L ρCp ρCpAt L At L
d 42 = d 43 = 0 d 44 =
Eq 5.3-55
∂f 4 ∂ ( f 4 ) = Fi = ∂d 4 ∂Ti At .L
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∂f 4 ∂ ( f4 ) = 0 = ∂d 5 ∂Tci
Eq 5.3-56
d 45 =
Eq 5.3-57
d 51 = d 52 = d 53 = d 54 = 0
Eq 5.3-58
d 55 =
F ∂f 5 ∂ Fc U .A ⋅ (Tci − Tc ) + = ⋅ (T − Tc ) = c ∂d 5 ∂Tci Vc ρ c .Cpc .Vc Vc
Matriz C
As variáveis medidas no exemplo em estudo são as próprias variáveis de estado, portanto não haverá transformações lineares ou não-lineares sobre x para gerar y. A depender da situação em análise nem todas as variáveis de estado serão medidas. Assim é possível, por exemplo, estudar os seguintes casos: Caso M5: todas as variáveis de estado são medidas
Eq 5.3-59
1 0 C = I 5 = 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 = 0 0 1 0 0 0 0 1
0
1
0
1 1
1
Neste caso, o problema de controle fica fácil, pois todas as informações necessárias estão disponíveis. Porém, é um caso pouco realista. Caso M4: a composição do reagente no reator não é medida
Eq 5.3-60
1 0 C= 0 0
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 4×5
Neste caso, o problema de controle ainda é fácil, pois geralmente a variável controlada mais importante é a concentração do produto (CB) e esta continua sendo medida. Caso M3: as composições não são medidas Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Eq 5.3-61
1 0 0 0 0 C = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 3×5
Neste caso, o problema de controle é dificultado, pois a variável controlada mais importante (CB) não é medida. Duas alternativas são possíveis: a primeira controlar a temperatura T com a esperança que essa tenha uma relação biunívoca com CB; a segunda inferir, a partir do modelo do CSTR a variável CB, então utilizar essa medida indireta como sendo o valor da variável controlada. Caso M2: as composições e a temperatura da camisa não são medidas
Eq 5.3-62
1 0 0 0 0 C= 0 0 0 1 0 2×5
Neste caso, o problema de controle é ainda mais difícil, pois o número de informações disponíveis é pequeno. Analogamente ao caso M3, a variável controlada mais importante (CB) não é medida. Duas alternativas são possíveis: a primeira controlar a temperatura T com a esperança que essa tenha uma relação biunívoca com CB; a segunda inferir, a partir do modelo do CSTR a variável CB, então utilizar essa medida indireta como sendo o valor da variável controlada. Caso M1: apenas o nível é medido Eq 5.3-63
C = [1 0 0 0 0]1×5
Neste caso, o problema de controlar a conversão do CSTR é impossível, apenas nos resta manter o nível em uma faixa aceitável. Este problema ocorreria quando, por exemplo, temos apenas medição da temperatura e esse elemento primário de medição falha. Outras combinações de variáveis medidas também são possíveis, mas os casos apresentados são os mais encontrados na prática.
5.4
Modelo Linear Discreto em Espaço de Estados
Uma outra forma de apresentar um modelo em espaço de estados é através da discretização das derivadas:
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Eq 5.4-1
d x ∆ x x k +1 − x k x& = ≅ = dt t k +1 − t k ∆t
Esta aproximação será tanto mais válida quanto menor for o intervalo de tempo de discretização. Aplicando (Eq 5.4-1) em (5.2.8) obtemos
Eq 5.4-2
∆ x x k +1 − x k = = A.x k + B.u k + D.d k ∆t ∆t y k = C.x k
Rearranjando a equação (Eq 5.4-2):
Eq 5.4-3
x k +1 = x k + ∆t. A.x k + ∆t.B.u k + ∆t.D.d k y k = C .x k
Ou melhor,
Eq 5.4-4
x k +1 = (I + ∆t. A).x k + ∆t.B.u k + ∆t.D.d k y k = C .x k
Definindo as matrizes A d = (I + ∆t. A) Eq 5.4-5
B d = ∆t.B D d = ∆t.D
E substituindo (Eq 5.4-5) em (Eq 5.4-4) obtemos:
Eq 5.4-6
x k +1 = A d .x k + B d .u k + D d .d k y k = C.x k
A equação (Eq 5.4-6) é a representação de um modelo discreto linear em espaço de estados ou, conforme o jargão dos "controleiros", é a realização em espaço de estados discretos ou simplesmente é o espaço de estados discretos do sistema, ou mais abreviadamente é o espaço de estados discretos. A discretização através da aproximação das derivadas no tempo por diferenças finitas só é válida se o intervalo de discretização for pequeno. Podemos
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evitar esse erro resolvendo analiticamente a equação ((5.2.8). Ogata7 mostra em detalhes como resolvê-la. Abaixo apenas iremos reproduzir a solução encontrada:
Eq 5.4-7
t + ∆t A.τ t + ∆t A.τ A.∆t x k +1 = e .x k + ∫ e dτ .B .u k + ∫ e dτ .D .d k t t y C . x = k k
Definindo as matrizes Φ=e Eq 5.4-8
A.∆t
(
)
(
)
t + ∆t A.τ A. ∆t −1 −1 Γ = ∫ e .dτ .B = A . e − I .B = A .(Φ − I ).B t t + ∆t A.τ A.∆t −1 −1 Λ = ∫ e .dτ .D = A . e − I .D = A .(Φ − I ).D t
obtemos
Eq 5.4-9
x k +1 = Φ.x k + Γ.u k + Λ.d k y k = C.x k
A equação (Eq 5.4-9) é exata, isto é, os valores calculados para o estado e/ou saída do sistema são os mesmos que os calculados pelo modelo contínuo, nos pontos de discretização. Ou seja, se escolhemos trabalhar com uma taxa de amostragem de 1 segundo, iremos resolver (Eq 5.4-9), interativamente, e a cada um segundo conhecemos o estado do sistema. No MATLAB, a função c2d converte um espaço de estados contínuos para discreto. Como essa função tem como argumento o tempo de amostragem, e apenas as matrizes A e B, temos que incorporar em B a matriz D e aumentar o vetou u incorporando o vetor d:
7
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u ud = d BD = [B D ]
Eq 5.4-10
No MATLAB, a função d2c converte um espaço de estados discretos para contínuo.
5.5
Adimensionalização
É sempre recomendável adimensionalizar as variáveis e parâmetros dos modelos, pois isso pode melhorar o comportamento numérico dos programas. Esta recomendação é válida para resolução de: • Equações Algébricas Lineares ou Não; • Equações Diferenciais Ordinárias ou Parciais; • Otimização; • Reconciliação de Dados; • Ajuste de Curvas; • Modelagem por Redes Neuronais; • Tratamento Estatístico de Dados; • Etc.; • Outros.
Para adimensionalizar temos que definir um estado de referência (um estado estacionário, em relação às condições da entrada, em relação a um valor arbitrário, etc.). A escolha influencia nos resultados obtidos e, se possível, deve-se testar diferentes formas de adimensionalizar. Podemos permitir que as variáveis adimensionalizadas variem entre dois valores quaisquer (0 e 1, ou 0.1 e 0.9, por exemplo). Novamente, a escolha influencia nos resultados obtidos e, se possível, deve-se testar diferentes formas de adimensionalizar.
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Outra vantagem da adimensionalização é que a mesma pode gerar grupos adimensionais (número de Reynolds, número de Peclet, número de Biot, etc) que facilitam a interpretação e generalização dos resultados obtidos. Uma maneira simples de proceder a adimensionalização é a seguinte: a)
Estabelecer o intervalo de variação das variáveis adimensionalizadas,
por exemplo, entre 0 e 1, este passo determina os procedimentos a serem adotados nos passos (b) e (c). b)
Estabelecer a referência, por exemplo, temperatura máxima Tmax.
τ=
T Tmax , ou seja, T = τT . max
c)
Definir a variável adimensional
d)
Substituir T por τ*Tmax, nas expressões e fórmulas, assim a variável
de trabalho passa a ser τ. e)
Seguir os passos de (a) a (d) para todas as variáveis e parâmetros do
modelo que queremos tornar adimensionais.
5.6
9
Exercícios
Desenvolva um modelo adimensional para o CSTR apresentado
anteriormente. 9
Desenvolva um modelo adimensional para o modelo em espaço de
estados do CSTR apresentado anteriormente.
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Capítulo 6.
Transformada de Laplace
6.1
Introdução
Observamos que a modelagem matemática de processos em regime transiente conduz a sistemas de equações diferenciais. Neste curso, trabalharemos com SISTEMAS LINEARES OU LINEARIZADOS INVARIANTES COM O TEMPO Æ EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES COM COEFICIENTES
CONSTANTES. A TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UMA FUNÇÃO ƒ (t) É A FUNÇÃO ƒ (S) QUE SATISFAZ À EQUAÇÃO ∞
L{f(t )}= f( s ) = lim lim ∫ f(t ).e − st dt = ∫ f(t ).e − st . dt L
L→∞ ε
o
ε →o
Eq 6.1-1
onde Eq 6.1-2
S = o + jω
E ο e ω são números reais Exemplo: ƒ (t) = 1 Æ L {ƒ (t) = ƒ (s) = ? ∞
Eq 6.1-3
L{1}= f ( S ) ∫ 1.e −S .t dt =1 / s → L{1}= 1 / s o
Obs: a Transformada de Laplace não contém informações para t < 0, mas como estamos interessados apenas no comportamento do sistema para t ≥ 0 isto não constitui uma limitação. A transformada inversa de Laplace de uma função ƒ(s) é a função ƒ(t) que satisfaz à Eq 6.1-4.
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o + j .ω
1 L {f ( s )} = f ( s ) = f (s )e st ds ∫ 2πj o − j .∞ -1
Eq 6.1-4
Na prática não é necessário avaliar esta integral.
6.2
Propriedades e Teoremas
1.
A Transformada de Laplace é uma transformação linear, portanto é
válido o Princípio da Superposição. Eq 6.2-1
2. Eq 6.2-2
3.
L{af 1 (t )u (t ) + bf 2 (t )u (t )} = aL{ f 1 (t )u (t )} + bL{ f 2 (t )u (t )}
A Transformada Inversa de Laplace é uma transformação linear L-1{a.ƒ1(s)+ b.ƒ2(s)} = a.L
-1
{ƒ1(s)} + b.L
-1
{ƒ2(s)}
Transformada de Derivadas
Eq 6.2-3
d f (t). u (t) + L = s. f (s) - f (0 ) dt
Eq 6.2-4
d n f L n = s n f (s) - s n -1 f (0) - s n -2 f (1) (0) − .... − s. f n − 2 (0) − f n −1 (0) dt
4.
Transformada de Integrais L
Eq 6.2-5
5.
{∫ f(t)dt}= f (s)s t
o
Teorema do Valor Final f (∞) = lim f (t). u(t ) = lim s. f (s) t →∞
Eq 6.2-6
s→o
se ∃ lim f (t) t →∞
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Para que o T.V.F. seja aplicável é necessário e suficiente que o produto s.f(s) tenha valor finito para qualquer valor de s ∈ R+. 6. Eq 6.2-7
7. Eq 6.2-8
8. Eq 6.2-9
9. Eq 6.2-10
10.
Tempo Morto L {ƒ(t - to) . u(t – to)} = e-tºs.ƒ(s)
Translação complexa L {e-a.tƒ(t).u(t)} = ƒ(s + a)
Escalada em tempo L {ƒ(t / a). u (t)} = a.ƒ(a.s)
Escalada em freqüência L-1 {ƒ(s / a) = a.ƒ(a.t). u(t)
Integral de convolução complexa L {f 1 (t). f 2 (t)} =
Eq 6.2-11
11.
1 o + j.∞ L{f 1 (ω )}.L{f 2 ( s − ω )}.dω 2.Π.j ∫o − j.∞
Integral de convolução
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Eq 6.2-12
6.3 Úteis
L
-1
t
{f1 (S). f2 (S)} = ∫ + f1( t ).f2 ( t − t )dt =
Transformada
o
de
Algumas
t
∫o
+
f1( t − t ). f2 ( t )dt
Funções
Simples
Tabela 6.3-1: Pares de transformadas de Laplace.
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e
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6.4
Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias
Eq 6.4-1
d 2Y dY +3 + 2Y = uο (t ); uο ≡ (degrau unitário ) 2 dt E x . 1 : dt Y (0 ) = −1
Condições iniciais :
dY dt
e
Eq 6.4-2
= 2
t =0
Função Característica da Equação Homogênea Eq 6.4-3
D 2 + 3D + 2 = 0
Aplicando a Transformada de Laplace a ambos os lados da equação e as propriedades 01 e 03:
Eq 6.4-4
Eq 6.4-5
d2 Y d2 Y dY dY L 2 + 3. + 2.Y = L 2 + L 3. + L (2.Y ) = L {uο } dt t t dt
s 2Y (s ) − s.Y (0) − Y ' (0) '+ 3.[s.Y (s ) − Y (0)] + 2.Y (s ) =
(
)
∴ s 2 + 3s + 2 .Y (s ) + s + 1 = Eq 6.4-6
1 s
⇒ Y (s ) =
1 s
(
) )
− s2 + s −1 s s 2 + 3s + 2
(
Roteiro para solução de SEDO por Transformada de Laplace: algebrismo
SEDO
SEAL
SOLUÇÃO
L -1
SOLUÇÃO EM t
Expansão em frações parciais Raízes Reais Distintas
Expansão em frações parciais:
Y (s ) = Eq 6.4-7
(
) )
(
)
− s 2 + s −1 − s 2 + s −1 A B C = = + + 2 s s + 3s + 2 s (s + 1)(s + 2) s s + 1 s + 2
(
Através de uma tabela de Transformadas de Laplace observamos que a inversa da 1a parcela corresponde a função degrau, enquanto que a 2a e a 3a parcelas a função exponencial. Portanto: Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Eq 6.4-8
(
)
Y (t ) = A + B. e-1 + C. e- 2.t . uο (t )
⇒
O valor das constantes pode ser obtido pelo seguinte procedimento: Multiplicando Eq 6.4-7 por s e fazendo
s=0 Æ
A=½
Multiplicando Eq 6.4-7 por (s + 1) e fazendo
s = -1 Æ
B = -1
Multiplicado Eq 6.4-7 por (s + 2) e fazendo
s= -2 Æ
C = -1/2
Eq 6.4-9
Eq 6.4-10
(
)
⇒
Y (t ) = 1 2 − e− t − 1 2 . e− 2 . t
Y (t ) = 1 2 − e − t − 1 2 . e − 2 . t . uο (t )
⇒
Como t ≥ 0
(
)
Raízes Complexas Distintas
Y (s ) = Eq 6.4-11
s +1 B C = + s − 2s + 5 s - (1 + 2 j) s - (1 - 2 j) 2
Multiplicando por s – (1 + 2j) e fazendo s = 1 + 2j
Æ
B = (1 – j) / 2
Multiplicando por s – (1 - 2j) e fazendo s = 1 - 2j
Æ
C = (1 + j) / 2
Lembrando que ⇒ Eq 6.4-12
L-1 {1 / (s + a)} = e-ªt. U(t). Y (t ) =
1 − j (1+ 2 . j ) . t 1 + j (1 − 2 . j ) . t .e + .e 2 2
Lembrando da Identidade de Euler:
Eq 6.4-13
Eq 6.4-14
e − jwt + e cos (wt ) = 2
j wt
e − j wt − e j wt ; sen (wt ) = j 2
⇒ e(K1 + j . K 2 ) . t = eK1 . t . [cos .(K 2 . t ) + j .sen (K 2 . t )]
Substituindo Eq 6.4-14 e Eq 6.4-12 e rearranjando:
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. [cos .(2 . t ) + sen (2 . t )] . u (t )
Eq 6.4-15
⇒
Y (t ) = e
Eq 6.4-16
ou
Y (t ) = 2 . e
pois
a1 . cos (K 2 . t ) + a 2 . sen (K 2 . t ) = a3 . sen (K 2 + θ)
onde
a3 = a12 + a 22
Eq 6.4-17
t
t
. [sen (2 . t + 45)] . u (t )
a θ = arcig 1 a2
,
Eq 6.4-18
Obs: a) as raízes complexas são pares conjugadas; b) os coeficientes das parcelas complexas são conjugados; c) a resposta no do tempo será uma função periódica. Generalizando:
Y (s ) = Eq 6.4-19
f (s ) (s + K 1 + j K 2 ). (s + K1 − j K 2 )
Expandindo em frações parciais:
Y (s ) = f1 (s ) + Eq 6.4-20
a1 + j a 2_ s + K1 + j K 2
a1 − j a 2_
+
s + K1 − j K 2
Onde ƒ1 (s) são as parcelas referentes às raízes reais. Então, temos da transformada inversa originada das raízes complexas:
Eq 6.4-21
2 . e −K1 . t . [a3 . sen (K 2 . t + θ)]
Onde a3 e θ são dadas pela Eq 6.4-18.
Raízes Múltiplas Y (s ) = Eq 6.4-22
1
A
=
(s + 1) (s + 2) (s + 1) 3
x(s + 2): e fazendo s = - 2
3
→
+
B
(s + 1)
2
+
C D + (s + 1) (s + 2)
D = -1
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D . (s + 1) 1 2 = A + B . (s + 1) + C . (s + 1) + X (s + 1) : (s + 2 ) (s + 2)
3
3
Eq 6.4-23
s = -1 →
Fazendo
A = +1
Derivando esta última equação em relação a s: − Eq 6.4-24
1
(s + 2)2
Fazendo
= B + 2 C (s + 1) +
→
s = -1
D (s + 1) (2 s + 5) 2
(s + 2)2
B = -1
Derivando: 2
(s + 2 )
3
Eq 6.4-25
Fazendo
= 2c +
(
d 2 (s + 1). s 2 + 5 .s + 7
(s + 2)
→
s = -1
(
)
2
C = -1
)
Eq 6.4-26
Y (t ) = e− t 1 − t + t 2 2 − e − 2 . t
9
Generalização Equações diferenciais ordinárias com coeficiente constantes. São da forma: n
Eq 6.4-27
∑ ai . i ≡ο
di y dn y d n−1 y dy = a . + a . + . . . + a1 . + aο . y = b . f (t ). u (t ) n −1 n n −1 n i dt dt dt dt
Onde b, an, an-1, ..., a1 . ao são constantes b.ƒ(t).u(t) é chamada de Função Perturbação Função característica da equação homogênea: anλn + an-1λn-1 + ... + a(1)λ(1) + a(0)λ(0) As condições iniciais são:
Eq 6.4-28
dK y = yοK , K dt
K = 0, 1, . . ., n − 1
onde yοK são ctes.
Equação transformada: Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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i ai s . y (s ) − ∑ t ≡0
i −1
n
Eq 6.4-29
∑s
i −1 − K
K ≡0
. y 0K = b . f (s ) i −1
n
⇒ Y (s ) =
b . f (s ) n
∑ a .S i ≡c
Eq 6.4-30
+
∑a .∑ S i ≡0
i
i
i
K ≡0 n
∑a i ≡0
i
i −1− K
.S
.Y0K
i
=
b . f (S) n
∑ a .S i ≡0
+I i
i
Obs: 1.
1º termo após sinal da igualdade depende apenas da entrada.
2.
Enquanto que o 2º termo depende das condições iniciais.
3.
O denominador da equação transformada tem a mesma forma da
função característica da equação diferencial homogênea. 4.
Se utilizarmos variável desvio, freqüentemente, i = 0.
5.
ƒ(s) freqüentemente é uma fração de dois polinômios em S.
Denominador da Eq 6.4-30 pode ser fatorado e obtemos uma equação equivalente na forma de frações parciais: n
Eq 6.4-31
Y (s ) = ∑ i ≡o
Bi (s - ri )
Ri são as raízes do denominador: podem ser reais, complexas e também podem se repetir.
6.5
Resolução de Equações Diferenciais Parciais
Roteiro para solução de SEDP por Transformada de Laplace:
SEDP
SEDO
Solução por outros
SOLUÇÃO EM s
L -1
SOLUÇÃO EM t
Expansão em frações parciais
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Eq 6.5-1
∂ y (x , t ) ∂ y (x , t ) + =0 ∂x ∂t
Eq 6.5-2
Condição de contorno :
EX :
y (0, t ) = t
,
t > 0
y ( x, 0 ) = 0
Eq 6.5-3
Condição inicial :
Eq 6.5-4
∂y L + x . [s L (y ) − y ( x, 0 )] = 0 ∂ x
onde
Eq 6.5-5
∂ y ∞ − s . t ∂y ∂ ∞ ∂ L dt = ∫ e − s . t y . d . t = L (y ) = ∫ο e . ∂x ∂x ο ∂x ∂ x
OBS: para a maioria das equações de interesse em engenharia a inversão da ordem de integração com a diferenciação é válida. Escrevendo L {Y(x, t)} = Y (x, s):
Eq 6.5-6
dy ( x, s ) + x . s. y. ( x, s ) = 0 dx
Esta é uma equação diferencial ordinária homogênea que pode ser resolvida pelo método da separação de variáveis. Eq 6.5-7
⇒
y ( x, s ) = C (s ). e − s . x
2
2
Condições de Contorno: L {Y(0, t)} = L {t} = 1/s2 = Y (0,s) = C(s) ⇒ Eq 6.5-8
y ( x, s ) =
1 −s . x2 2 .e s2
Aplicando a transformada inversa a ambos os membros (fazendo a = x2/2 e lembrando da Propriedade 07 – Tempo Morto)
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Eq 6.5-9
se t < a 0 y ( x, t ) = [t − a ]. u a (t − a ) = t - a se t > a
ou Eq 6.5-10
0 x 2 x 2 y (x, t ) = t − u t − = 2 x2 2 t − 2
x2 se t < 2 x2 se t > 2
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Capítulo 7.
Linearização
7.1
Introdução
• Processos reais são não lineares • Aproximação por modelos lineares em torno do ponto de operação ou do estado estacionário. O desenvolvimento de uma função de duas variáveis, em torno do ponto (xs, ys), em série de Taylor e truncada no segundo termo é dada por:
f (x, y ) = f (x ss , y ss ) + ( x − x ss ). Eq 7.1-1
∂f (x, y ) ∂ f (x, y ) + ( y − y ss ). ∂x x ss , yss ∂y x
ss , y ss
Para mais de três variáveis o procedimento é uma extensão do mostrado na Eq 7.1-1.
7.1.1
Modelagem em regime transiente
Linearização e função de transferência de um sistema SISO: Nível de um tanque
q1(t)
h(t) q2(t) Figura 7.1-1: Tanque de carga.
Balanço de massa global:
acumula = entra - sai
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Eq 7.1-2
dm(t ) = ρ 1 (t ).q1 (t ) − ρ 2 (t ).q 2 (t ) dt
mas Eq 7.1-3
m(t ) = A.ρ (t ).h(t )
Substituindo a Eq 7.1-3 em Eq 7.1-2:
Eq 7.1-4
dA.ρ (t ).h(t ) = ρ 1 (t ).q1 (t ) − ρ 2 (t ).q 2 (t ) dt
Admitindo que a massa específica é constante: Eq 7.1-5
ρ (t ) = ρ 1 (t ) = ρ 2 (t ) = ρ = constante
Substituindo a Eq 7.1-5 em Eq 7.1-4 e dividindo por ρ:
A Eq 7.1-6
dh(t ) = q1 (t ) − q 2 (t ) dt
A vazão de descarga do tanque depende da altura de líquido no tanque, pois nesse tanque o escoamento é devido à força de gravidade. Nesse caso, aplicando a equação de Bernoulli entre a superfície livre do tanque e um ponto localizado no início da tubulação de descarga, obtemos a seguinte relação entre nível e vazão de descarga: Eq 7.1-7
q 2 (t ) = α h(t )
Demonstração da Eq 7.1-7: Aplicando a equação de Bernoulli na superfície do líquido e num ponto a jusante da válvula:
Eq 7.1-8
p2 v2 p v2 + h + = 2 + h2 + 2 + hL 2. g γ 2. g γ
hL = K v Eq 7.1-9
v 22 v2 v2 + f 2 + D Ki 2 2g 2g 2g
Note que se considerarmos a área do tanque suficientemente grande implica que Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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p = p2 = 1 atm, h2 = 0 e v ≅ 0·.
Eq 7.1-10
Então a Eq 7.1-2 fica
v22 h = [1 + K v + f + D K i ]. 2. g
Eq 7.1-11
Então:
v22 = Eq 7.1-12
Eq 7.1-13
2 . g.h [1 + K v + f + D K i ]
v2 = C h
ou Eq 7.1-14
q 2 = AT C h = α h
Substituindo a Eq 7.1-7 em Eq 7.1-6:
A Eq 7.1-15
dh(t ) = q1 (t ) − α h(t ) dt
Em controle de processos é conveniente trabalhar com o modelo em formato de função de transferência. Para tanto o modelo deve ser linear, então temos que linearizar os termos não-lineares da Eq 7.1-15. Aplicando a série de Taylor em (7.114) e truncando no segundo termo dessa série, obtemos:
q 2 (t ) = α h(t ) = α href + Eq 7.1-16
∂q 2 ∂h
.(h(t ) − href ) = α href + ref
α 2 href
.(h(t ) − href
Substituindo a Eq 7.1-16 em Eq 7.1-15:
A Eq 7.1-17
dh(t ) α .(h(t ) − href = q1 (t ) − α href + dt 2 href
)
Definindo as variáveis desvio:
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)
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Eq 7.1-18
h (t ) = h(t ) − href q1 (t ) = q(t ) − q ref = q(t ) − α href
E lembrando que:
Eq 7.1-19
dh (t ) dh(t ) = dt dt
Obtemos:
A Eq 7.1-20
α dh (t ) = q1 (t ) − h (t ) dt 2 href
Colocando do lado esquerdo os termos que aparecem a variável de estado do
α sistema, no caso, o nível, e dividindo a Eq 7.1-20 por
Eq 7.1-21
τP
2 href
, obtemos:
dh (t ) + h (t ) = K P .q1 (t ) dt
onde Eq 7.1-22
2 A href τ P = → Constante de tempo ou tempo característico do processo [=]s α 2 href m → Ganho estacionário do processo [=] 3 K P = α m /s
Observações: 1.
A constante de tempo do processo8 e o ganho estacionário em um
processo não-linear é função do ponto de referência estabelecido. 2.
Normalmente, adota-se como ponto de referência a condição
operacional estacionária no qual o processo deve trabalhar. 3.
Se o ponto de operação do equipamento for diferente do ponto de
referência
8
adotado
o
modelo
linearizado
pode
não
representar
Ou tempo característico Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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adequadamente o processo. Neste caso, é recomendado fazer uma nova linearização tomando como referência o novo ponto de operação. 4.
A constante de tempo define o tempo de resposta do processo.
Quanto maior a constante de tempo mais lentamente reage o processo. 5.
O ganho do processo define a variação entre estados estacionários
que o processo sofrerá. O ganho pode ser positivo ou negativo, no primeiro caso o processo reage no mesmo sentido da perturbação no segundo no sentido contrário. Aplicando na eq. 7.1.21 a transformada de Laplace e rearranjando, obtemos a função de transferência G(s) do processo: G (s ) = Eq 7.1-23
KP h (s ) = q1 (s ) τ P .s + 1
Onde τP e KP são a constante de tempo e o ganho do processo, respectivamente, e ambos são funções do estado estacionário hss = href, estado de referência ou do ponto de operação do processo, conseqüentemente, a dinâmica do processo se modifica continuamente (τp e Kp não são constantes) com a alteração do set-point deste processo. Portanto, a linearização de um modelo não-linear conduz a aproximação que só serão válidas quando controlarmos o processo em torno do estado estacionário tomado como referência. Observações: Para obter a função de transferência o processo deve ser linear ou
9
linearizado. 9
G(s) dá a relação entre a variável de saída do processo em desvio
h (s ) e a variável de entrada em desvio q1 (s ) .
Representando pictoricamente a Eq 7.1-23, temos:
q1(s)
h(s) G(s)
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Figura 7.1-2: Representação pictórica de uma função de transferência.
7.2
Exercícios
7.2.1
Linearização
Linearize as seguintes equações: a.
a.
dy(t ) = α . y(t ) + β . [y(t )]2 + γ . ln. [y (t )] dt onde α , β e γ são constantes
dy(t ) y(t ) = α . y(t ) . e y (t ) + β . dt 1 − y(t ) onde α e β são constantes
7.2.2
Mistura Binária
A composição de uma mistura binária em equilíbrio líquido-vapor pode ser expressa por: y( x ) =
α.x 1 + ( α − 1).x
Linearize essa expressão com relação a variável indicada. Sabe-se que o intervalo de aplicação de uma equação linearizada depende do grau de não-linearidade da mesma e/ou do quão afastado está o ponto a ser estudado do ponto em torno do qual a equação foi linearizada (ponto de referência). Demonstre esta afirmação utilizando o resultado obtido no item anterior. Interprete e justifique os resultados obtidos, indicando quais os razoáveis e os absurdos. Sugestão: utiliza os seguintes valores: α = 1.1
xref = 0.1
α = 1.1
xref = 0.9
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α = 5.0
xref = 0.1
α = 5.0
xref = 0.9
Onde xref é a fração molar do componente i no ponto de referência. Estude para fração molar x igual a 0.8. Interprete os resultados para α = 1.0. 7.2.3
Equilíbrio Líquido-Vapor
O equilíbrio líquido-vapor (fase líquida solução ideal, fase vapor gás ideal) pode ser representado pela Lei de Raoult: A pressão de vapor pode ser expressa pela equação de Antoine: ln[Pv (T )] = A −
B T +C
Para o 1-2 butadieno (C4H6): A
B
C
Tmin (K)
Tmax (K)
Tc (K)
9.4837
2,397.26
- 30.88
245
305
443.7
Linearize essa expressão para cálculo da fração molar da fase vapor, apresentando os resultados em termos de variáveis desvio. Para o 1-2 butadieno, avalie os parâmetros da equação linearizada em torno das seguintes condições: Substância
xi,ss
Tss (K)
Pss (bar)
1-2 butadieno
0.5
273.15
0.65
Compare e discuta a precisão da equação linearizada quando o sistema é submetido a uma pressão de 0.7 bar, e quando está sob uma pressão de 1.0 bar. 7.2.4
Propriedades da Transformada
Usando as propriedades da transformada de Laplace obtenha ƒ(S):
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a. ƒ(t) = [1 + 2.t + 3.t2].u(t) b. ƒ(t) = e-2.t.[1 + 2.t + 3.t2].u(t) c. ƒ(t) = [1 + e-2.t – 2.e-t].u(t) d. ƒ(t) = [1 – e-t – t.e-t].u(t) e. ƒ(t) = [1 – e-3.(t-2). sen(t - 2)].u(t – 2) 7.2.5
Teoremas do Valor Inicial e Final
Cheque a validade dos teoremas do valor inicial e do valor final no exercício anterior. 7.2.6
Transformada de Laplace
Resolva, utilizando a transformada de Laplace, as seguintes equações diferenciais: a.
b.
c.
d 2 . x (t ) dt
2
d 2 . x (t ) dt
2
d 2 . x (t ) dt
2
+
d . x (t ) + x (t ) = u (t ) , dt
+ 2.
onde
d . x (t ) + x (t ) = u (t ) , dt
+ 3.
d . x (t ) + x (t ) = u (t ) , dt
x (0 ) = x' (0 ) = 0
onde
x(0 ) = x' (0 ) = 0
onde
x (0 ) = x' (0 ) = 0
Esboce e interprete os gráficos das soluções.
7.2.7
Sistema de Equações Diferenciais
Encontre a solução do seguinte sistema de equações diferenciais: dx1 dt = 2 x1 (t ) + 3x 2 (t ) + 1; onde x 1 (0) = 0 dx 2 = 2 x (t ) + x (t ) + e t ; onde x (0) = 0 1 2 2 dt
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7.2.8
Equação Diferencial – Sistema de 1ª ordem
A forma padrão da equação diferencial de um sistema de 1ª ordem com tempo morto é:
τP
dy (t ) + y (t ) = K f (t − τ m ) dt
Assumindo γ (0) = γo, encontre γ(t) para cada função perturbação a seguir: a. ƒ(t) = ƒss + δ(t).u(t) b. ƒ(t) = ƒss. + u(t) c. ƒ(t) = ƒss + sen(ω.t). u(t) ; 7.2.9
onde ω é constante.
Equação Diferencial – Sistema de 2ª ordem
A forma da equação diferencial de um sistema de 2ª ordem é:
τ2
d 2 y (t ) dy (t ) + 2 ζτ + y (t ) = K f (t ) 2 dt dt
Assumindo sistema inicialmente relaxado, estude para ƒ(t) = ƒss + u(t) Os seguintes casos: a. ζ > 1
{sistema superamortecido}
b. ζ = 1
{sistema criticamente amortecido}
c. 0 < ζ < 1
{sistema subamortecido}
d. ζ = 0
{sistema não amortecido}
e. ζ < 0
{sistema instável}
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Capítulo 8.
Função de Transferência
8.1
Função de transferência
Uma outra maneira de representar um sistema em regime transiente é através da função de transferência. Uma característica dos modelos baseados em funções de transferência é que são modelos lineares. Na Tabela 8.1-1 observamos algumas formas que tais modelos lineares podem assumir. Tabela 8.1-1: Modelos lineares em regime dinâmico.
Tipo de sistema
Tipo de modelo Função de transferência no domínio de Laplace
Equação diferencial 1a Ordem com tempo morto
τP
2a Ordem com tempo morto
τ2
Resposta inversa ou sobreelevação e tempo morto
τ2
dy (t ) + y (t ) = K P x(t − τ m ) dt
KP Y (s ) = e −τ m S X (s ) τ P s + 1
K Y (s ) d 2 y (t ) dy (t ) = 2 2 P e −τ m S + 2τξ + y (t ) = K P x(t − G (s ) = 2 X (s ) τ s + 2τξs + 1 dt dt
d 2 y (t ) dy (t ) + 2τξ + y (t ) = dt dt 2 dx (t − τ m ) K P τ d + x(t − τ m ) dt
dy (t ) = Kx (t − τ m ) dt
Integrador com tempo morto
G (s ) =
G (s ) =
K (τ s + 1) −τ m S Y (s ) e = 2 2P d X (s ) τ s + 2τξs + 1
G (s ) =
Y (s ) K −τ m S = e X (s ) s
Onde: t
tempo
y
variável medida ou controlada, variável de saída.
Y x X
KP
variável de saída na forma de desvio, Y(t) = y(t) – yref. variável manipulada ou perturbação, variável de entrada. variável de entrada na forma de desvio, X(t) = x(t) – xref.
ganho em estado estacionário,
KP =
y (t = ∞ ) − y (t = 0 ) x(t = ∞ ) − x(t = 0 )
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K
inverso multiplicativo da capacitância do sistema
Quando aplicamos uma perturbação degrau de amplitude A num processo o mesmo pode reagir conforme mostrado na Tabela 8.1-2. Para identificar o valor dos parâmetros para um sistema de 1ª ordem com tempo morto seguimos o procedimento abaixo: 1)
Identificar o ganho estático do processo
2)
Identificar visualmente o tempo morto: tempo decorrido entre o
instante da perturbação e o momento que o processo começa a reagir 3)
Calcular a constante de tempo do processo: tempo necessário para o
processo atingir 62.3% do valor final, descontado o tempo morto e o tempo em que ocorreu a perturbação. Para identificar o valor dos parâmetros para um sistema de 2ª ordem com tempo morto seguimos o procedimento abaixo: 1)
Identificar o ganho estático do processo
2)
Identificar visualmente o tempo morto: tempo decorrido entre o
instante da perturbação e o momento que o processo começa a reagir 3)
Calcular o período natural de oscilação e o fator de amortecimento
pelo método desenvolvido por Smith: • Obter o tempo necessário para atingir 20% e 60% da variação da PV, t20 e t60, respectivamente. • Calcular a razão t20/t60, e entrar na abscissa dos gráficos da Figura 8.1-1 com esse valor, lendo no eixo das ordenadas os valores de t60/τ do fator de amortecimento, ξ , respectivamente. Para identificar o valor dos parâmetros para um sistema de com resposta inversa sobre-elevação ou outro tipo de comportamento, com ou sem tempo morto, podemos empregar o procedimento abaixo: 1)
Identificar visualmente o tempo morto: tempo decorrido entre o
instante da perturbação e o momento que o processo começa a reagir
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2)
Ajustar os demais parâmetros utilizando um algoritmo de ajuste de
curvas. Seguindo
os
procedimentos
descritos
identificamos
as
funções
de
transferência do processo em relação às perturbações externas e às variáveis manipuladas. De posse das funções de transferência podemos aplicar vários procedimentos para avaliar quantitativamente quais as MV's, PV'S, pares MV-PV e sintonia mais indicada para um determinado sistema de controle multimalha. No restante deste capítulo apresentaremos alguns desses procedimentos. Tabela 8.1-2: Resposta de sistemas lineares a perturbação degrau de amplitude A.
Tipo de sistema
Resposta do processo Resposta no domínio do tempo
y (t ) = y (0) +
3
(
A.K P 1 − e
−(t −τ m ) / τ P
)
Y X
2.5
2 X e Y
1a ordem com tempo morto
Gráfico da resposta
1.5
1
0.5 tm 0
y (t ) = y (0 ) + τ .e A.K p 1 − 1
τ1 =
tp 20
30
40 tempo
50
60
70
80
4
(− t / τ 1 )
− τ 2 .e τ1 − τ 2
(− t / τ 2 )
τ τ , τ2 = 2 ξ − ξ −1 ξ + ξ 2 −1
y (t ) = y (0 ) +
Y X
3
2.5
2
1.5
1
0.5 0
2a ordem subamortecido com tempo morto
10
3.5
X e Y
2a ordem superamortecido com tempo morto
0
tm 10
20
30
40 tempo
50
60
70
4
1 − e (−ξ .(t −τ m ) / τ ) . 1 − ξ 2 (t − τ m ) + cos AK p τ 1−ξ 2 ξ (t − τ m ) sin 2 τ 1 − ξ
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Tipo de sistema
Resposta do processo Resposta no domínio do tempo y (t ) = y (0 ) +
4.5
τ a − τ 1 (− (t −τ e 1 + τ1 −τ 2 A.K p τ − τ 2 (− (t −τ ) / τ a e τ 2 −τ1
m
m
2
) / τ1 )
)
+
Y X
4
3.5
X e Y
Resposta inversa e tempo morto
Gráfico da resposta
3
2.5
2
1.5
1 0
y (t ) = y (0 ) +
A (t − τ m ) K
20
30
40 tempo
50
60
70
80
8 7 6 Y X
5 X e Y
Resposta de sistema integrador com tempo morto
10
4 3 2 1
10
4.5
9
4
8
3.5
7
3
6
2.5
10
20
30
40 tempo
50
60
70
qsi
t60/tal
0 0
5
2
Figura 8.1-1: t60/τ e ξ para sistemas de 2ª ordem.
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8.2
Matriz função de transferência
Um sistema multivariável pode ser modelado através de funções de transferência. Essas funções de transferência, que associam as saídas do sistema com as perturbações externas e com as variáveis manipuladas constituem as denominadas matriz função de transferência para a carga (GL) e para as MV's (GM). Os projetos clássicos de controladores emparelham os pares MV-PV, formando uma matriz diagonal, onde cada elemento representa o controlador do para MV-PV. Na Figura 8.2-1 vemos a representação em diagramas de blocos das perturbações externas (L), das MV's (M), das saídas do sistema (Y), dos set-points (YSP) e das respectivas matriz função de transferência. L
YSP
e
+
GC
M
GL
GM
Y
-
Figura 8.2-1: Diagrama de blocos de um sistema de controle clássico multivariável.
Legenda:
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Eq 8.2-1
Gc11 0 Gc = M 0
GM Eq 8.2-2
Eq 8.2-3
G M 11 G = M 21 M G Mn1
G L11 G G L = L 21 M G Ln1
0 Gc 22 O L
0 O M O 0 0 Gc nn L
G M 12 L G M 1n G M 22 O G M 2 n O O M G Mn 2 L G Mnn G L12 L G L1n G L 22 O G L 2 n O O M G Ln 2 L G Lnn
E as FT's em malha fechada são dadas por:
Eq 8.2-4
{
} {
}
y = [I + G M ( s )GC ( s ) ] G M ( s )GC ( s ) y sp [I + G M ( s )GC ( s ) ] G L ( s ) L( s ) −1
−1
Ou melhor, Eq 8.2-5
x = GMMF( s ) x sp + GLMF ( s ) L( s )
É mais conveniente, do ponto de vista numérico e de controle, que os sinais e ganhos das funções de transferência sejam adimensionais, para tanto podemos utilizar a faixa definida de variação das variáveis nos sistema de controle (range dos instrumentos). Nos estudos a seguir é necessário conhecer as funções de transferência (FT) do processo. Existem basicamente 3 procedimentos para identificá-las: a)
Experimentalmente, através da coleta de dados de entrada e saída da
planta e posterior tratamento numérico dessas informações. b)
Através de simulações em estado estacionário.
c)
Através de simulações em regime dinâmico.
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A seguir mostraremos como obter as FT's tendo disponível o modelo dinâmico fenomenológico não-linear da planta. Caso o modelo disponível seja linear em espaço de estados, basta pular a etapa 1: Obtenha o modelo linear em espaço de estados, para tanto faça a
9
linearização analítica ou numérica. Neste último caso, se a simulação foi implementada no MATLAB/SIMULINK, utilizando as s-functions basta usar as functions trim e linmod de forma apropriada. A resposta da function linmod é o espaço de estados linear. Podemos obter, a partir do espaço de estados, a matriz de função de
9
transferência e dos ganhos estacionários aplicando as equações Eq 8.2-6 e Eq 8.2-7:
[ [
] ]
Eq 8.2-6
G M (s ) = C (sI − A)−1 B + D G L (s ) = C (sI − A)−1 E + F
Eq 8.2-7
K M = D − CA −1 B K L = F − CA −1 E
Demonstração: Seja o espaço de estados lineares em variáveis desvio dado pelo sistema: x& (t ) = Ax(t ) + Bu (t ) + Ed (t ) y (t ) = Cx(t ) + Du (t ) + Fd (t )
Eq 8.2-8
Onde: t
Variável independente tempo
u
Variáveis manipuladas
d
Distúrbios externos
x
Estados dos sistemas
y
Saídas do sistema
Aplicando a transformada de Laplace ao sistema (Eq 8.2-8), obtemos:
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Eq 8.2-9
sIx(s ) = Ax(s ) + Bu (s ) + Ed (s ) (sI − A)x(s ) = Bu (s ) + Ed (s ) ⇔ y (s ) = Cx(s ) + Du (s ) + Fd (s ) y (s ) = Cx(s ) + Du (s ) + Fd (s )
Ou melhor,
Eq 8.2-10
x(s ) = (sI − A)−1 Bu (s ) + (sI − A)−1 Ed (s ) y (s ) = Cx(s ) + Du (s ) + Fd (s )
Em (Eq 8.2-10), substituindo x(s) em y(s) : y (s ) = C (sI − A) Bu (s ) + C (sI − A) Ed (s ) + Du (s ) + Fd (s ) −1
Eq 8.2-11
−1
Agrupando os termos semelhantes em (Eq 8.2-11) Eq 8.2-12
[
]
[
]
y (s ) = C (sI − A) B + D u (s ) + C (sI − A) E + F d (s ) −1
−1
E obtemos as funções de transferência entre a saída y(s) e as entradas u(s) e d(s):
Eq 8.2-13
[ [
] ]
G M (s ) = C (sI − A)−1 B + D G L (s ) = C (sI − A)−1 E + F
Aplicando perturbações degrau unitário em u(s) e d(s), separadamente, e utilizando o teorema do valor final, obtemos:
Eq 8.2-14
[
]
[
]
1 −1 [ f u (t )] = lim[sf u (s )] = lims C (sI − A) B + D = D − CA −1 B K M = lim t →∞ s →0 t →∞ s K = lim[ f (t )] = lim[sf (s )] = lims C (sI − A)−1 E + F 1 = F − CA −1 E d s →0 t →∞ L t →∞ d s
Portanto, os ganhos estacionários para as variáveis manipuladas e para os distúrbios externos são, respectivamente, dados por:
Eq 8.2-15
K M = D − CA −1 B K L = F − CA −1 E
Observe que, se dispomos de um modelo fenomenológico válido, não é necessário, para obter as funções de transferência do processo, realizar a identificação a partir de dados experimentais.
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Capítulo 9.
Símbolos e Abreviaturas
AeB
Constantes de Antoine
a
Aceleração
[=]
m/s2
A
Área da seção transversal
[=]
m2
A
Energia livre de Helmholtz = U – TS
[=]
kcal
a, b
Constantes, podendo ser iguais em módulo aos coeficientes
estequiométricos B
Vazão molar de retirada (fundo)
[=]
kgmol/s
C
Concentração molar
[=]
kgmol/m3
C
Constante que depende das características geométricas do tanque e
das propriedades físico-químicas do líquido cp
Capacidade calorífica a pressão constante
[=]
kcal / (kg.K)
Cv
Coeficiente de fluxo para válvula; expressa com fluxo de água em
gal/min a 60ºF e 1,0 psi d
Diâmetro da tubulação
[=]
m
[=]
kgmol/s
D
Vazão molar de destilado
Def
Difusividade ou dispersão efetiva, inclui as difusividades molecular e
turbulenta baseadas na área total (πR2) perpendicular à direção do escoamento [=]
m2 / s
E
Energia de ativação
[=]
kcal / kgmol
E
Energia
[=]
kcal
EK
Energia cinética
[=]
kcal
EP
Energia potencial
[=]
kcal
Ev
Perda por fricção, perda de carga
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f
Fator de fricção, depende da natureza do fluido, da
velocidade de escoamento, características geométricas e da rugosidade da tubulação
[ = ] adimensional
F
Força
[=]
N
F
Vazão molar de alimentação
[=]
kgmol/s
Fji
Força j atuando na direção i
[=]
N
[=]
m/s2
g
Aceleração local da gravidade
G
Energia livre de Gibbs (Entalpia livre) = H – TS
gC
Constante dimensional
Gf
Densidade do fluido
h
=
[=]
kcal
1 kg.m/N.s2 ou 32,1740 lbm.ft/lbf.s2 [=]
Altura do nível no tanque
adimensional [=]
m
H
Entalpia = U + PV
[=]
kcal
hL
Perda de carga (energia potencial) devido ao fluxo
[=]
m
how
Altura do líquido sobre o anteparo
[=]
ft
hw
Altura do anteparo (Weir) do prato
[=]
ft
[=]
m3
k
Constante da taxa
(kgmol.s) K
Ganho do processo
ki
Fator de fricção para os diversos acidentes
ko
Fator pré-exponencial
[=]
m3/(kgmol.s)
L
Comprimento da tubulação
[=]
m
L
Vazão molar do líquido
[=]
kgmol/s
[=]
kgmol
M
Acúmulo de massa (hold-up) no estágio
M
Hold-up de líquido
m
Massa
[=]
kg
MB
Acúmulo no refervedor e na base da coluna
[=]
kgmol/s
MD
Acúmulo no vaso de refluxo Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
/
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n
Prato n
n
Número de molares
[=]
kgmol
pi
Pressão parcial do componente i
[=]
atm
P
Pressão
[=]
atm
PM
Peso molecular
[=]
kg/kgmol
[=]
m3/s
[=]
kcal/h
q Q
Vazão volumétrica Calor trocado
r
Raio
R
Constante universal dos gases ideais
R
Vazão molar do refluxo
[=]
kgmol/s
Re
Número de Reynolds
[=]
adimensional
RH
Raio hidráulico (área transversal / perímetro molhado)
t
Temperatura
[=]
ºC
t
Tempo
[=]
h
T
Temperatura absoluta
[=]
K (graus Kelvin)
U
Energia interna
[=]
kcal
UG
Coeficiente global de troca térmica
[=]
kcal/m2. h.K
[=]
m/s
[=]
m3
v
Velocidade
V
Volume
VP
Posição da válvula, uma fração da abertura máxima da válvula
W
Trabalho
[=]
kcal
w
Vazão mássica
[=]
kg/h
x
i
Fração molar do componente i (em geral) e na fase líquida (em
i
Fração molar do componente i (em geral) e na fase vapor ou
particular) y
gasosa (em particular) z
Direção axial Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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z Z
Fração molar do componente leve na alimentação Fator de compressibilidade
[=]
adimensional
Símbolos gregos
9
α γ
Volatilidade relativa Coeficiente de atividade
εn
Eficiência de Murphree no prato n
∆
Diferença, valor final menos valor inicial
ζ
Fator de amortecimento
κT
Condutividade térmica
µi
Potencial químico do componente i
µ
Viscosidade
[=]
kg/(m.s)
ρ
Massa específica
[=]
kg/m3
τ
Momentum
τ
Período natural de oscilação
τd
Tempo de avanço (lead time), associado à perturbação x
τm
Tempo morto
τp
Constante de tempo do processo
τT
Constante de tempo
ν Γ
Coeficiente estequiométrico da substância Taxa de reação
[=]
kgmol / (s.m3)
Sobrescrito
9
-
Propriedade da mistura
.
Propriedade por unidade de massa
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~
Propriedade por unidade molar
º
Propriedade no estado padrão
Define as condições na entrada Define as condições na saída
Subscrito
9
C
Referente ao combustível
D
Propriedade do destilado
f F
Propriedade de formação da substância Propriedade da substância na alimentação
j
Referente à jaqueta (camisa) do tanque
l
Propriedade da substância no estado líquido
NC
Número total de componentes
p
Referente à tubulação (pipe)
R
Referente à reação
ss
Referente ao estado estacionário
st
Propriedade referente ao vapor (stream)
t T v
Referente ao tanque Total Propriedade da substância no estado vapor
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Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] Departamento de Engenharia Química da UFBA
Escola Politécnica da UFBA UFBA
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CURRÍCULO DO INSTRUTOR Ricardo de Araújo Kalid, D. Sc. 04/09/64 [email protected]
(0xx71) 203.9811 / 9984.3316 Prof. Depto Engenharia Química da UFBA
ÁREAS DE ATUAÇÃO E LINHAS DE PESQUISA Modelagem e simulação em regime estacionário e transiente de processos Identificação de processos Controle de processos Otimização de processos Síntese de redes de transferência de calor e massa OUTROS Professor do Mestrado em Engenharia Química da UFBA e do Mestrado em Produção Limpa Professor (anos 92 e 93) do Curso de Especialização em Instrumentação e Controle (CEINST) promovido pelo Departamento de Engenharia Mecânica da UFBA Professor de Cursos de Educação Continuada (Controle Avançado, Controle Preditivo Multivariável, Identificação de Processos, Otimização de Processos Químicos, Controle de Colunas de Destilação) para DOW, PETROBRAS, GRIFFIN, EDN, CIQUINE, OXITENO, COPENE. Professor (98) do Curso de Especialização em Automação de Sistemas Industriais (CEASI) promovido pelo Depto de Engenharia Elétrica da UFBA Professor e Coordenador (99) do Curso de Especialização em Controle e Automação de Processos Industriais (CECAPI) promovido pelos Depto de Engenharia Química e Elétrica da UFBA Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Professor e Coordenador (2000 a 2002) do Curso de Especialização em Instrumentação, Automação, Controle e Otimização de Processos Contínuos (CICOP 1ª e 2ª turmas) promovido pelo Depto de Engenharia Química e UFBA e AINST. Coordenador do II e do III Seminário Nacional de Controle e Automação (II SNCA-2001 e III SNCA-2003) PROJETOS COOPERATIVOS E/OU CONSULTORIAS PARA INDÚSTRIAS MONSANTO-GRIFFIN-POLITENO: Síntese de redes de transferência de calor e massa DETEN: Simulação do reator radial para desidrogenação de parafinas / Minimização de água industrial EDN: participou da equipe de desenvolvimento do plano diretor de automação PDAI/BA - Programa de Desenvolvimento da Automação Industrial, participantes: UFBA, UNIFACS, CEFET/BA, CETIND-SENAI, FIEB, SEPLANTEC, PETROBRAS, NITROCARBONO, DETEN, OXITENO, OPP, POLIBRASIL, POLITENO, BRASKEM/UNIB GRIFFIN: Sistema de controle de pH de efluentes. POLITENO: Sistema de controle de pH de efluentes. BRASKEM/UNIB: Identificação de processos; Sintonia de controladores industriais; Simulação, controle e otimização do conversor de acetileno da ETENO II BRASKEM/UNIB-POLITENO-UFBA: Diagnóstico de Malhas de Controle Preditivo Multivariável (MPC) BRASKEM/UNIB
-UFBA:
Projeto
de
produção
+
limpa
para
minimização/reuso de águas industriais POLICARBONATOS-UFBA: Diagnóstico de Malhas de Controle PID + VOA’s (Redes Neurais) INDICADORES DE PRODUÇÃO CIENTÍFICA
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Trabalhos
Apresentados
em
Congressos: Trabalhos Publicados em Periódicos: Dissertação Tese
de
de
Doutorado
Mestrado (1)
(1)
Defendidas
14 2
e e
2
Aprovadas: Participação de Bancas de Mestrado (5) e de Doutorado (1): Orientação de Iniciação Científica e Tecnológica Orientação Mestrado:
6 21 (concluídas) e 6 em andamento
de
Dissertações
de
8 (em andamento), 5 concluídas
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Trabalhos em parceria com indústrias: N
TEMA
PARTICIPANTES
INSTITUIÇÃO
Integração
Sebastião Luís
POLITENO
energética de plantas 35 de polimerização de etileno
a
baixa
pressão
STATUS
João Nery José Geraldo
Em UFBA
desenvolvimento
Ricardo Kalid
Otimização
das
Wagner Mônaco
ELEKEIROZ
Ricardo Kalid
UFBA
Wagner Mônaco
ELEKEIROZ
34 colunas de destilação de 2-etil-hexanol Otimização
das
Em desenvolvimento
33 colunas de destilação
Concluído Ricardo Kalid
de octanol Otimização
do
Alexander
32 sistema de sepação Morbeck Brinker de efluentes Otimização 31
reator
do
UFBA
DOW
Ricardo Kalid
UFBA
Frederico Epstein
MONSANTO
Concluído
Em
de
desidrogenação de di-
Ricardo Kalid
UFBA
Nadja Fontes
BRASKEM
desenvolvimento
etanol-amina (DEA)
30
Otimização
de
unidade
de
uma
separação e reforma
Em Ricardo Kalid
UFBA
desenvolvimento
de nafta 29
Minimização uso
de
água
do no
José luiz Bravo
CARAÍBA
Péricles Júnior
Em desenvolvimento
processo industrial da CARAÍBA (AGUAÍBA)
Asher Kiperstok
UFBA
Leoni Pustilnik
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N
TEMA
PARTICIPANTES
INSTITUIÇÃO
STATUS
Daniela Fontana Ricardo Kalid Carlos Pessoa Erisvaldo Cunha Minimização uso
de
água
do no
28 processo industrial da DETEN
DETEN
(DETEN-
ÁGUA)
Cláudio Costa Em
Asher Kiperstok Carlos Maurício
desenvolvimento UFBA
Salvador Ávila Ricardo Kalid Desenvolvimento 27
de
projetos
de
Fábio Carrilho
ZCR
Ruben Delgado
desenvolvimento
controle e otimização de processos
Ricardo Kalid
Em
UFBA
Luciano Ferraz Sebastião Luís Integração 26 energética de plantas de polimerização
POLITENO
Jean Cailleaux
Em desenvolvimento
João Nery José Geraldo
UFBA
Ricardo Kalid 25
Integraçao energética de plantas
João Colonese
Em desenvolvimento
Klauss V. Serra
de química fina Nelson Siem
GRIFFIN
Tadeu Aloísio
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N
TEMA
PARTICIPANTES Marcelo Escobar
INSTITUIÇÃO
STATUS
UFBA
Ricardo Kalid Antônio Malan Carlos Modesto Sérgio Maronato Diagnóstico
e
otimização de malhas 24 de
controle
PID
industriais: PROJETO POLICARBOMAX
POLICARBONATOS
Marcelo Coutinho Gabriella
Em
Sá
desenvolvimento
Vieira Grazziela Gomes Marcelo
UFBA
Embiruçu Ricardo Kalid Otimização 23
reator
de
PIA
do
Klauss V. Serra
MONSANTO Em
da
planta da Monsanto
Ricardo Kalid
UFBA
Frederico Epstein
MONSANTO
desenvolvimento
Nordeste Otimização 22
e
Em
integração energética de
uma
unidade
Ricardo Kalid
UFBA
Daniel Cortes
MONSANTO
desenvolvimento
industrial a batelada. Reuso 21
e de
Ricardo Kalid
líquidos
José Geraldo
reciclagem efluentes industriais
20
Em UFBA
desenvolvimento
Asher Kiperstok
Otimização
de
Ana
um sistema de fornos Viana
Carolina
BRASKEM
Em desenvolvimento
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N
TEMA de Pirólise Otimização
19
de
PARTICIPANTES
INSTITUIÇÃO
Ricardo Kalid
UFBA
Patricia C.Lima
MONSANTO
STATUS
Em
reatores a batelada: definição
do
perfil
Ricardo Kalid
UFBA
desenvolvimento
ótimo de operação Maurício Santos Elaine Santana Nadja Fontes
BRASKEM
César Moraes Márcia Cunha Diagnóstico 18
malhas
de
de
controle
preditivo multivariável – MPC
Lúcio Estrella Ricardo Muller
POLITENO
Concluído
Jean Cailleaux Carlos Pinheiro Marcelo Embiruçu Yuri Guerrieri
UFBA
Marcos Britto Ricardo Kalid 17
Minimização dos recurso
de
águas
industriais
Moisés Augusto Sufredini
-
BRASKEM - ÁGUA
Concluído BRASKEM
Carlos Alberto João Severiano Fernando Pelegrini
UFRJ
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N
TEMA
PARTICIPANTES
INSTITUIÇÃO
Roger Zemp
UNICAMP
STATUS
Asher Kiperstok José Geraldo Sandra
de
Oliveira
UFBA
Christiane Perazzo Daniela Fontana Ricardo Kalid Sistemas de pH 16 dos
efluentes
da
GRIFFIN
Leandro Caputo
GRIFFIN Concluído UFBA
Ricardo Kalid
Controle
Mauricio Moreno
otimizante de um trem de
Nelson Siem
separação
BRASKEM
Fábio Carrilho
de
15 xilenos (3 colunas de destilação
em
série/paralelo)
da
Concluído UFBA Ricardo Kalid
COPENE Simulação,
Kleber Lima
BRASKEN
controle e otimização 14
de
reator
de
Em
leito
fluidizado
para
produção
de
Ricardo Kalid
UFBA
Igor Monteiro
DUPONT
Breno Brasil
UFBA
desenvolvimento
polietileno 13
Simulação, controle e otimização
Em desenvolvimento
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N
TEMA de
reator
PARTICIPANTES para
produção de nylon 6 Reconciliação de 12 dados de processos continuos
STATUS
UFBA
Concluído
Ricardo Kalid Elcio Pereira Iraí Santos Ricardo Kalid
Controle 11
INSTITUIÇÃO
Estatítico
João Colonese de
GRIFFIN
Grazziela Gomes
Processos: Contínuos Ricardo Kalid
( CEP - contínuo) Modelagem, simulação do reator 10 de desidrogenação de n-parafinas
Concluído UFBA
da
Gian Carlos
DETEN
Mário Mendes
UNICAMP
Ricardo Kalid
UFBA
Concluído
DETEN Modelagem 9
por
redes neurais híbridas e
otimização
de
reatores de CPD Estimativa 8
do
tempo de campanha
Falcon
UFBA
Murilo Amorim
BRASKEM
Eliane Santanta
destilação
e
Williane Carneiro Cathia
R.
BRASKEM Concluído
de Apenburg
sulfolane da COPENE Modelagem,
Concluído UFBA
Ricardo Kalid
controle de colunas de
BRASKEM Concluído
Tatiana Freitas
de fornos de pirólise
Simulação
6
Alberto
Ricardo Kalid
da COPENE
7
Luiz
Ricardo Kalid
UFBA
Maurício Moreno
BRASKEM
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Concluído
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N
TEMA
PARTICIPANTES
simulação, controle e otimização
de
conversores
de
acetileno da COPENE
INSTITUIÇÃO
STATUS
Paulo Freitas Fabrício Brito Tatiana Marucci
UFBA
Ricardo Kalid Sintonia
do
controlador de topo da 5
Almir Cotias Filho
GRIFFIN
Klauss V. Serra
Concluído
coluna de destilação de
3,4
DCA
da
Ricardo Kalid
UFBA
Mark Langerhost
BRASKEM
GRIFFIN Simulação 4
e
controle de colunas
Sintonia
de
controladores
UFBA
Mauricio Moreno Gustavo Freitas
industriais
BRASKEM Concluído UFBA
Ricardo Kalid Mauricio Moreno
Identificação de 2
Concluído
Ricardo Kalid
da COPENE
3
Lueci V. do Vale
de destilação de BTX
modelos dinâmicos de
Daniel Jes Cerqueira
processos químicos
BRASKEM Concluído UFBA
Ricardo Kalid Plano diretor de 1
automação da EDN (Estireno Nordeste)
EDN
Herman Lepikson Francisco
do Teixeira
Concluído UFBA
Cauby Costa Ricardo Kalid
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INSTRUTOR: RICARDO KALID - [email protected] Cursos e apostilas sobre MODELAGEM DE PROCESSOS Operações Unitárias em Regime Transiente – Balanços de Massa, Energia e Momentum Aplicados a Processos Químicos. Identificação de Processos Químicos. SIMULAÇÃO DE PROCESSOS Métodos Numéricos e Simulação de Processos. Programação em MATLAB com Aplicação em Reatores Químicos. CONTROLE DE PROCESSOS Sistemas de Controle dos Principais Equipamentos da Indústria de Processos Químicos e Petroquímicos. Controle de Processos Químicos. Definição da Estrutura do Sistema de Controle Multimalha de Processos Multivariáveis. Controle Avançado de Processos – Estratégias Clássicas de Controle. Controle de Coluna de Destilação. Controle Preditivo Multivariável: DMC - Controle por Matriz Dinâmica. Sintonia Ótima de Controladores Industriais OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS Otimização de Processos Químicos sem restrições Otimização de Processos Químicos com restrições Otimização de Processos Químicos a batelada Essas apostilas você encontra no site www.LACOI.ufba.br
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ÍNDICE
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 1.1
16
METODOLOGIA PARA A MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO DE
PROCESSOS CONTÍNUOS
19
1.2
PRINCÍPIOS PARA FORMULAÇÃO DE UM MODELO MATEMÁTICO
1.3
MÉTODOS NUMÉRICOS
20
22
CAPÍTULO 2. LEIS FUNDAMENTAIS: BALANÇOS DE MASSA, ENERGIA E MOMENTUM 24 2.1
LEIS FUNDAMENTAIS 24
2.2
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 25
2.2.1
BALANÇO DE MASSA GLOBAL 25
2.2.2
BALANÇO MOLAR POR COMPONENTE 30
2.3
EQUAÇÃO DA ENERGIA
34
2.4
EQUAÇÃO DO MOMENTUM
43
2.4.1
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
50
2.4.2
FATOR DE FRICÇÃO
51
2.4.3
MEDIÇÃO DE VAZÃO
55
2.5
EXERCÍCIOS
2.5.1
TANQUE EM LINHA
2.5.2
CSTR 60
2.5.3
TANQUES NÃO INTERATIVOS EM SÉRIE 61
2.5.4
TANQUE ESFÉRICO
2.5.5
TANQUE NÃO INTERATIVOS EM SÉRIE 2 62
2.5.6
TANQUES EM SÉRIE COM BOMBA
2.5.7
TANQUE NÃO INTERATIVOS EM SÉRIE COM BOMBA
2.5.8
TANQUE NÃO INTERATIVO EM SÉRIE 3 65
60 60
61 63 64
CAPÍTULO 3. OUTRAS LEIS FUNDAMENTAIS 67 3.1
EQUAÇÕES DE TRANSPORTE 67
3.2
EQUAÇÕES DE ESTADO
3.3
CINÉTICA QUÍMICA
68
70
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3.4
ENTALPIA DAS REAÇÕES QUÍMICAS
3.5
EQUILÍBRIO DE FASES 73
3.5.1
EQUILÍBRIO LÍQUIDO-VAPOR
3.6
EXERCÍCIOS
3.6.1
REATOR CSTR ISOTÉRMICO
78
3.6.2
EQUILÍBRIO LÍQUIDO-VAPOR
78
3.6.3
DIAGRAMA XY 79
3.6.4
ALQUILAÇÃO DO BENZENO
3.6.5
COMBUSTÃO
71
75
78
79
79
CAPÍTULO 4. EXEMPLOS DE MODELOS MATEMÁTICOS DE PROCESSOS QUÍMICOS
81
4.1
REATOR CSTR NÃO-ISOTÉRMICO
4.2
EVAPORADOR 87
4.2.1
ANÁLISE DOS GRAUS DE LIBERDADE
4.3
COLUNA DE DESTILAÇÃO
91
4.3.1
MODELO ESTACIONÁRIO
92
4.3.2
MODELO DINÂMICO
4.4
COLUNA DE ABSORÇÃO, EXTRAÇÃO, ESGOTAMENTO E LAVADORA 114
4.5
EXERCÍCIOS
4.5.1
COLUNA DE DESTILAÇÃO
4.5.2
TANQUE AGITADO COM SERPENTINA
4.5.3
REATOR CSTR 117
81 91
112
116
CAPÍTULO 5. EXEMPLO PRÁTICO
116 116
121
5.1
MODELO NÃO-LINEAR EM ESPAÇO DE ESTADOS
121
5.2
MODELO LINEAR CONTÍNUO EM ESPAÇO DE ESTADOS
5.3
MATRIZES DE LINEARIZAÇÃO 126
5.4
MODELO LINEAR DISCRETO EM ESPAÇO DE ESTADOS
5.5
ADIMENSIONALIZAÇÃO
5.6
EXERCÍCIOS
123 135
138
139
CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE 140 6.1
INTRODUÇÃO 140 Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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6.2
PROPRIEDADES E TEOREMAS 141
6.3
TRANSFORMADA DE ALGUMAS FUNÇÕES SIMPLES E ÚTEIS
143
6.4
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
144
6.5
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 148
CAPÍTULO 7. LINEARIZAÇÃO
151
7.1
INTRODUÇÃO 151
7.1.1
MODELAGEM EM REGIME TRANSIENTE 151
7.2
EXERCÍCIOS
7.2.1
LINEARIZAÇÃO 156
7.2.2
MISTURA BINÁRIA
7.2.3
EQUILÍBRIO LÍQUIDO-VAPOR
7.2.4
PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA
7.2.5
TEOREMAS DO VALOR INICIAL E FINAL 158
7.2.6
TRANSFORMADA DE LAPLACE 158
7.2.7
SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 158
7.2.8
EQUAÇÃO DIFERENCIAL – SISTEMA DE 1ª ORDEM
159
7.2.9
EQUAÇÃO DIFERENCIAL – SISTEMA DE 2ª ORDEM
159
156 156 157
CAPÍTULO 8. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
157
160
8.1
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 160
8.2
MATRIZ FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 164
CAPÍTULO 9. SÍMBOLOS E ABREVIATURAS
168
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Capítulo 1.
Introdução Modelos ajudam no entendimento dos fenômenos físicos
Processos e sistemas químicos são complexos
Em controle uma forma de modelo muito conveniente é o tipo entrada-saída: ENTRADA DISTÚRBIO INPUT
SISTEMA PROCESSO
SAÍDA RESPOSTA OUTPUT
1.
Fenomenológicos X Empíricos X Híbridos
2.
Contínuos X Discretos X Mistos
3.
Lineares X Linearizados X Não-Lineares
4.
Monovariáveis X Multivariáveis
5.
Parâmetros Concentrados X Parâmetros Distribuídos
6.
Estacionários X Dinâmicos
7.
Invariantes X Variantes no Tempo Representação no Espaço de Estados X Representação Entrada/Saída
Classificação dos tipos de Modelos
Modelos Matemáticos
y y
Modelos Físicos (plantas piloto) Modelos Analógicos (computadores analógicos, variação das marés Kelvin) Gráficos e Mapas Modelos Matemáticos
y y
Determinístico Estocásticos (probabilísticos)
y y
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Modelos de Balanços de População ex.: distribuição de tempos de residência y Modelos Empíricos ex. 1: polinômios ajustados a dados experimentais pelo método mínimos quadrados. ex. 2: função de transferência ajustados a dados experimentais através de métodos gráficos. y Modelos Fenomenológicos ex.: equações fenomenológicas de balanços de massa, energia e momentum. y
Modelos Determinístico
Modelos Fenomenológicos
y Parâmetros Distribuídos ex.: equações diferenciais parciais y Parâmetros Concentrados ex.: equações diferenciais ordinárias
Equações Diferenciais x Equações de Diferenças Finitas
∂Τ ∂t
← →
∆Τ ∆t
Utilidades dos Modelos Matemáticos 9
Entender mais claramente as relações de causa-efeito existentes
entre as variáveis do processo. 9
Modelos matemáticos podem (devem) ser utilizados em todas as
etapas de um trabalho de engenharia, desde a pesquisa e desenvolvimento até a operação da planta, passando pelas análises técnico-econômicas: • Pesquisa e desenvolvimento: determinação das propriedades físico-químicas das substâncias; tratamento de dados experimentais de laboratórios ou de plantas piloto; auxiliando nos cálculos de aumento de escala (scale-up); explorando os efeitos de diferentes condições operacionais visando o projeto de um sistema de otimização e/ou controle eficaz. • Projeto: explorando a dimensão e disposição dos equipamentos de processo mais eficiente do ponto de vista técnico-econômico; estudo das interações entre as várias partes do processo, particularmente quando existe reciclo de matérias Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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e/ou integração energética; avaliação de alternativas de processos e de sistemas de controle; simulação de procedimentos operacionais, partidas (start-up), paradas (shut-down) e situações de emergência. • Operação da planta: treinamento de operadores; estudo dos efeitos de uma ampliação da planta; otimização da operação. O uso de modelos matemáticos usualmente diminui os custos e o tempo de desenvolvimento de um projeto, além de aumentar a segurança dos resultados obtidos. Isto não significa que experimentos conduzidos em laboratórios, plantas pilotos ou mesmo nas plantas industriais são desnecessários, contudo a modelagem aumenta a eficácia do esforço realizado. A Tabela 1.1-1 mostra as aplicações mais comuns de modelos e simulação em regime estacionário e transiente. Tabela 1.1-1: Modelagem Matemática e Simulação de Processos.
Tipo do regime
Áreas de aplicação Projeto de novos processos Flexibilidade a novas condições
Regime permanente
Otimização econômica de processos em regime permanente Otimização on-line Projeto e otimização do sistema de controle do processo Tolerância a distúrbios
Regime transiente Análise das condições de partida ou parada Otimização on-line
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1.1 Metodologia para a modelagem simulação de processos contínuos
matemática
e
9
Definir os objetivos a serem alcançados.
9
Estudar/identificar/avaliar a situação física real.
9
Listar as variáveis/parâmetros/dimensões dos equipamentos, das
interconexões e os valores de projeto ou de referência. Modelar matematicamente a partir de princípios físicos (modelagem
9
fenomenológica) ou através de relações empíricas. Definir: • Variáveis dependentes; • Variáveis independentes; • Parâmetros do sistema; • Equações de conservação fundamentais (balanços de massa, energia e/ou momentum; • Equações constitutivas (equações de taxas de reação, de estado, etc.); • Restrições do processo; • Condições iniciais e/ou de contorno. Resolver o problema atendendo às restrições e condições iniciais/de
9 contorno.
• Por métodos analíticos; • Por métodos numéricos. 9
Validar o modelo e sua resolução. • Validação qualitativa; • Validação quantitativa; • Comparação com dados reais; • Comparação com dados de outras simulações; • Comparação com dados da literatura;
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• Utilizar o bom senso. 9
Estudo de casos e de sensibilidade. SITUAÇÃO REAL
OBJETIVOS
VARIÁVEIS / PARÂMETROS
MODELAGEM
RESOLUÇÃO
VALIDAÇÃO
COMPARAÇÃO COM DADOS REAIS COMPARAÇÃO COM OUTRAS SIMULAÇÕES COMPARAÇÃO COM DADOS DA LITERATURA BOM SENSO
ESTUDO DE CASOS
9
Auditoria, avaliação, manutenção e melhoria continuada do modelo.
1.2 Princípios Matemático 9
para
Formulação
de
um
Modelo
Bases Os modelos fenomenológicos são baseados em leis fundamentais (balanços
de massa, energia, momentum e entropia) e em equações constitutivas (equações empíricas ou semi-empíricas que caracterizam as transformações e/ou os fluxos presentes no sistema). 9
Hipóteses Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Provavelmente a etapa vital na construção de modelo seja o estabelecimento das simplificações impostas ao modelo, pois essas têm que ser escolhidas de modo a não comprometer a adequação do modelo à realidade. Contudo, um modelo extremamente rigoroso é (a) inadequado devido ao longo tempo necessário para encontrar a sua solução, ou (b) impossível de ser resolvido devido a não disponibilidade dos parâmetros do modelo. Portanto, o modelo ideal é aquele que atende ao compromisso entre precisão e exeqüibilidade. A tarefa de estabelecer as restrições impostas ao modelo requer do engenheiro um profundo conhecimento do processo em análise, conhecimentos teóricos e uma boa dose de experiência, aliados a um espírito criativo e inovador. 9
Consistência Matemática do Modelo Depois de escrita as equações matemáticas que descrevem um processo,
deve-se verificar se o número de variáveis desconhecidas é igual ao número de equações, isto é, deve-se calcular os graus de liberdade (GL) do sistema. Se o modelo for em estado estacionário o mesmo deve ser zero, se não for verdade o sistema está superespecificado (mais variáveis que equações) ou subespecificado (mais equações que variáveis). Porém, se o modelo for em regime transiente os graus de liberdade informam se o sistema está superespecificado (GL < 0, mais variáveis controladas que manipuladas, e neste caso algumas variáveis controladas apresentarão desvio permanente) ou sub-especificado (GL > 0, menos variáveis controladas que manipuladas, neste caso alguma variáveis não estão sob controle). Outra conferência que sempre deve ser realizada é a consistência dimensional dos vários termos das equações.1 Embora essas verificações não garantam que o modelo esteja correto, pelo menos garantem quando está errado, economizando horas de trabalho.
9
Solução do Sistema de Equações
1
Um erro comum em simulações dinâmicas é a mistura de unidades de tempos diferentes, por exemplo, minutos com segundos. Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Tabela 1.2-1: Dificuldades para Solução Analítica de Equações
Tipo de Equação
Equações lineares
Equações não-lineares
uma
algumas
muitas
uma
algumas
muitas
Algébrica
trivial
fácil
essencial. impossível
difícil
muito difícil
impossível
Diferencial Ordinária
fácil
difícil
essencial. impossível
muito difícil
impossível
impossível
Diferencial Parcial
difícil
essencial. impossível
impossível
impossível
impossível Impossív.
Adaptado de: Franks, R. G. E., Modeling and Simulation in Chemical Engineering. Resumindo: Sistemas reais são não-lineares
1.3
→
Solução
Métodos Numéricos Foi mencionado anteriormente que a solução analítica para um modelo
matemático só é possível em casos muito especiais. Na verdade, na maioria das vezes, os modelos matemáticos que melhor representam processos reais só são possíveis de serem resolvidos numericamente. Na Tabela 1.3-1 são listados alguns métodos numéricos e respectivos problemas onde podem ser empregados. Tabela 1.3-1: Métodos Numéricos.
Método Numérico
Problemas
Substituição direta
SEANL
Newton
SEANL
Runge-Kutta-Gill
SEDO-PVI
Runge-Kutta-Semi-Implícito
SEDO-STIFF-PVI
Diferenças Finitas
SEDO-PVC, SEDP
Colocação Ortogonal
SEDO-PVC, SEDP
Elementos Finitos com Colocação Ortogonal
SEDO-PVC, SEDP
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GAUSS
–
Método para solução de problemas de SEANL.
SEANL
–
Sistema de Equações Algébricas Não-Lineares.
SEDO-PVI
–
Sistema
de
Equações
Diferenciais
Ordinárias
–
Sistema
de
Equações
Diferenciais
Ordinárias
–
Problema de Valor Inicial. SEDO-PVC
–
Problema de Valor de Contorno SEDP
–
Sistema de Equações Diferenciais Parciais
STIFF
–
Sistema de Equações Diferenciais Rígidas
A combinação dos métodos às vezes é necessária para a solução de problemas, por exemplo: uma equação diferencial parcial no tempo e na variável espacial z, neste caso pode-se utilizar o método da colocação ortogonal para “reduzir” uma SEDP a uma SEDO-PVI, que pode ser resolvida por Runge-KuttaSemi-implícito. 9
Validação Uma importante parte do desenvolvimento de modelos matemáticos é a
verificação do mesmo com a realidade. Embora durante a etapa de projeto de uma nova unidade isto não possa ser feito, pois a planta industrial ainda não existe, sempre há uma planta industrial similar ou uma planta piloto na qual dados experimentais podem ser obtidos. Nas demais situações é sempre possível validar o modelo desenvolvido, as hipóteses adotadas e os parâmetros das equações adotados com dados coletados na planta industrial.
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Capítulo 2. Momentum
Leis
Fundamentais:
2.1
Leis Fundamentais
Balanços
de
Massa,
Energia
e
Quatro leis fundamentais são aplicáveis em todos os sistemas físicos, exceto para fenômenos relativísticos e/ou nucleares. Tabela 2.1-1: Leis fundamentais.
Lei
Equação
1. Lei da Conservação da Massa
Equação da Continuidade
2. Segunda Lei de Newton do Movimento
Equação do Momentum
3. Primeira Lei da Termodinâmica
Equação da Energia
4. Segunda Lei da Termodinâmica
Equação da Entropia
A Segunda Lei da Termodinâmica, embora de importância fundamental, não faz parte do escopo deste curso. As equações da continuidade, momentum e energia podem ser expressas em palavras como: Eq 2.1-1
Taxa de Taxa de Taxa de Taxa de Taxa de acúmulo no entrada pela saída pela geração no consumo no − + + = volume do superfície do superfície do volume do volume do sistema sistema sistema sistema sistema
O objetivo da construção de modelos é substituir estas palavras por expressões matemáticas tão rigorosas quanto possíveis e que envolvam o menor número possível de parâmetros. O modelo matemático de um fenômeno físico em regime transiente tem, necessariamente, duas partes:
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As equações diferenciais que representam o fenômeno de maneira
9 geral;
Condições iniciais e/ou de contorno adequadas a um determinado
9 sistema.
Partes de um Modelo Matemático
y y
Equação matemática Condição inicial e/ou de contorno
Existem milhares de maneiras de escrever os balanços de massa, energia e momentum: balanços integrais ou diferenciais; em coordenadas retangulares, cilíndricas, esféricas ou elípticas; utilizando derivada substancial (também denominada material ou de Lagrange) ou derivadas parciais; balanços microscópicos ou macroscópicos; combinação entre essas formas, etc. Essas maneiras de escrever os balanços são completamente equivalentes, contudo cada uma é mais adequada para a resolução de determinada classe de problema. Neste curso é impossível, devido ao exíguo espaço de tempo, apresentar muitas dessas formas, portanto vamos nos ater aos balanços macroscópicos (tipo mais apropriado à maioria dos problemas de controle de processos), embora sejam citados alguns exemplos de balanços microscópicos.
2.2
Equação da Continuidade A equação da continuidade pode (e deve) ser aplicada de duas formas: Balanço global mássico no sistema, ou seja, aplicando o princípio de
9
conservação da massa (“Na natureza nada se perde, tudo se transforma”); Balanço por componente ou balanço molar, pois ao contrário da
9
massa a composição não é conservada. 2.2.1
Balanço de Massa Global
A equação total da continuidade ou simplesmente o balanço de massa aplicado a um processo em regime transiente pode ser expresso por:
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Taxa de Taxa de Taxa de saída entrada pela acumulação no = − pela superfície volume do sistema superfício do do sistema sistema
Eq 2.2-1
As unidades dessa equação são massa por tempo. Apenas uma e somente uma equação de balanço mássico global pode ser escrita para um processo. A seguir apresentamos dois exemplos de modelagem de processos bastantes comuns na indústria do petróleo e petroquímica. Tanque de armazenamento
9
Considere um tanque utilizado no armazenamento de líquidos, aberto para a atmosfera (Figura 2.2-1). A vazão de alimentação, q1(t) [ = ] m3/s, é variável com o tempo, pois depende das condições a montante. A descarga do tanque se dá para a atmosfera.
q1(t)
h(t) q2(t) = f(h(t)) Figura 2.2-1: Tanque de armazenamento aberto para atmosfera.
No estado estacionário (steady state): q1,ss = q2,ss = constante. Sabe-se que no estado estacionário a vazão de descarga do tanque depende da coluna de líquido conforme a Figura 2.2-2.
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Altura máxima do tanque
h(t) Altura de projeto do tanque
Vazão máxima de projeto
q2(t)
Figura 2.2-2: Altura versus vazão de descarga no estado estacionário.
Portanto, da Figura 2.2-2 podemos escrever:
q 2, ss = C * hss
. Assumindo que
este comportamento também é válido para o regime transiente (hipótese 1) e que massa específica do líquido é constante (hipótese 2) podemos escrever o seguinte balanço global 2 para o tanque: Eq 2.2-2
{acumulação de massa} = dm(t ) = dρV (t ) = ρ dAT h(t ) = ρAT
Eq 2.2-3
{entrada por convecção} = m& 1 (t ) = ρ1q1 (t )
Eq 2.2-4
{sai por convecção} = m& 2 (t ) = ρ 2 q 2 (t ) = ρ 2 C h(t )
Eq 2.2-5
dt
ρ AT
. dh (t) =m &1 dt
(t )− m& .
2
dt
dt
dh(t ) dt
(t ) = ρ1 q1 (t ) − ρ 2 C h(t )
Considerando-se que ρ = ρ1 = ρ2 = constante. Dividindo a Eq 2.2-5 por ρ e rearranjando obtemos:
2
Neste caso utilizamos uma abordagem macroscópica. Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Eq 2.2-6
AT
dh (t) +C dt
h(t ) = q1 (t )
Para completar o modelo devemos estabelecer as condições de contorno e/ou iniciais. Neste caso temos um PVI de 1a ordem, logo basta definir uma condição inicial (C.I.): Eq 2.2-7
C.I.: para t = 0Æh (0) = hss
A equação a Eq 2.2-6 é uma Equação Diferencial Ordinária de coeficientes constantes não homogênea não linear. Desse exemplo pode-se perceber que os sistemas químicos de interesse industrial são, sem exceção, formados por equações não lineares. Existe solução analítica para a Eq 2.2-6, porém na prática os modelos são formados por sistemas de 2 ou mais equações cuja solução quase sempre só são possíveis de se obter através da utilização de métodos numéricos. Mais adiante retornaremos a esse exemplo e iremos obter um modelo linearizado cuja solução desenvolveremos utilizando a Transformada de Laplace. Escoamento em uma tubulação
9
Considere uma tubulação de diâmetro constante na qual escoa um fluido compressível (gás) em regime transiente (Figura 2.2-3). O fluxo é turbulento (hipótese 1), portanto podemos assumir que o perfil de velocidade é achatado, ou seja, o escoamento é pistonar (plug flow), logo não existem gradientes na direção radial (r). Contudo, gradientes na direção axial (z) existem (hipótese 2), logo a velocidade (v) e a massa específica (ρ) do fluido variam com o tempo (t) e com a posição (z). Ou seja, as duas variáveis dependentes (ρ e v) variam simultaneamente com as variáveis independentes (t e z), isto é:
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ρ = ρ (t, z)
Eq 2.2-8 Eq 2.2-9 v = v (t ,z)
Para aplicar a Eq 2.1-1 neste processo considere um volume de controle3 definido entre z e z + ∆z (Figura 2.2-3).
R
r z z
z + ∆z
Figura 2.2-3: Fluxo através de uma tubulação.
{Taxa de acúmulo no volume do sistema} = Eq 2.2-10
[
∂ π R 2 ∆z ρ (t , z ) ∂t
{Taxa de entração por convecção} = π R 2 [ v ( t , z ) ρ ( t, z )] Eq 2.2-11
{Taxa de saída por convecção} = π R 2 [ v ( t, z )
ρ ( t, z )]
Eq 2.2-12
]
z
z + ∆z
Substituindo as equações de Eq 2.2-10 a Eq 2.2-12 na Eq 2.1-1 e dividindo por πR2∆z, obtemos:
3
Neste caso utilizamos uma abordagem microscopia. Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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∂ρ (t , z ) = ∂ t
Eq 2.2-13
v ( t, z ) ρ ( t, z )
− v ( t, z ) ρ ( t, z ) z
z + ∆z
∆z
Passando o limite quando ∆z tende a zero, lembrando da definição de derivada e rearranjando a Eq 2.2-13, obtemos: ∂ρ (t , z ) ∂ [v ( t, z ) . ρ (t , z)] + =0 ∂t ∂z
Eq 2.2-14
Agora devemos estabelecer uma condição inicial (C.I.) e uma condição de contorno (C.C.): Eq 2.2-15
C.I.para t = 0 → ρ (0, z ) = f 1 ( z )
Eq 2.2-16
v(t ,0 ) = f 2 ( z ) C.C. para z = 0 → ρ (t ,0 ) = f 3 ( z )
Observe que temos 1 grau de liberdade, pois existem 2 variáveis dependentes (ρ e v) e apenas 1 equação. Portanto, para completar este modelo devemos estabelecer mais uma equação, esta será fornecida pelo balanço de momentum do sistema. Logo, a modelagem matemática deste processo resultará
num sistema de 2 equações diferenciais parciais. 2.2.2
Balanço Molar por Componente
Se no processo ocorrem reações químicas, além do balanço global é necessário realizar balanços por componente, pois o número de moles de alguma(s) substância(s) decresce enquanto para outra(s) cresce, com o avanço da reação. Reator contínuo de mistura perfeita
9
Considere um tanque contendo um líquido perfeitamente agitado (hipótese 1) no qual ocorre uma reação química (Continuos Stirred Tank Reactor – CSTR), Figura
2.2-4.
A
substância
A
reage
isotermicamente
(hipótese
2)
irreversivelmente produzindo a substância B, conforme a seguinte reação: A
→
B
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e
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q1(t)
h(t) q2(t) = f(h(t)) Figura 2.2-4: Reator de mistura perfeita (CSTR).
Para A:
{acumula} =
Eq 2.2-17
dn A ( t ) dC A ( t ) . V ( t ) dC A ( t ) . h ( t ) = =A dt dt dt
Eq 2.2-18
{entra} = C A,1 (t )q1 (t )
Eq 2.2-19
{sai} = C A, 2 (t )q 2 (t )
Assumindo que a taxa de consumo de A por unidade de volume é proporcional a concentração A presente no reator podemos escrever: Eq 2.2-20
{consumido} = V (t )ΓA (t )
Eq 2.2-21
ΓA (t ) = kC A (t )
Então: A Eq 2.2-22
dC A (t) h ( t ) = C A,1 (t )q1 (t ) − C A, 2 (t )q 2 (t ) − V (t )ΓA (t ) dt
Para tanque perfeitamente agitado: Eq 2.2-23
C A (t ) = C A, 2 (t )
Admitindo que (hipótese 3): Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Eq 2.2-24
q 2 (t ) = C h ( t )
Substituindo a Eq 2.2-21, a Eq 2.2-23 e a Eq 2.2-24 na Eq 2.2-22 e rearranjando obtemos: A Eq 2.2-25
dC A t) h ( t ) = C A,1 (t )q1 (t ) − C A (t )C h(t ) − Ah(t )kC A (t ) dt
Para completar o modelo fazemos agora um balanço global no CSTR: A Eq 2.2-26
dh(t) + C h(t ) = q1 (t ) dt
Condições iniciais:
para t = 0
CA(0) = CA, ss h(0) = hss
Eq 2.2-27
A Eq 2.2-6 e Eq 2.2-25 formam um sistema 2 x 2, portanto corretamente especificado e possível de ser resolvido. Alternativamente, poderíamos ter feito o balanço molar para o componente B. Neste caso obteríamos: A Eq 2.2-28
dC B (t)h ( t ) = C B ,1 (t )q1 (t ) − C B (t )C h(t ) dt
Observe que um sinal presente no lado esquerdo da equação mudou para positivo, pois B é produzido pela reação química. Note que no estado estacionário não podemos utilizar simultaneamente as equações Eq 2.2-6, Eq 2.2-25 e Eq 2.2-28, pois existe uma relação entre as concentrações molares e a massa específica dada por: Eq 2.2-29
PMACA + PMBCB = ρ
Onde PMA e PMB são os pesos moleculares de A e B respectivamente.
9
Reator tubular isotérmico com dispersão
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Agora faremos o balanço molar por componente para o reator tubular, no qual ocorre uma reação química (Figura 2.2-5). Assumindo que o reator é isotérmica (hipótese 1), que um modelo pseudo-homogêneo é válido (hipótese 2), que a dispersão obedece a Lei de Fick (hipótese 3), obtemos o seguinte balanço molar: ∂ CA ∂ [− v z C A + D ef . z] ∂ C A + 1 . ∂ r D ef r ∂ C A − ρ L ΓG, A = r ∂r ∂t ∂z ∂z ∂r
Eq 2.2-30
V(t)
R
r
CA,o(t)
z
L Figura 2.2-5: Reator tubular.
Eq 2.2-31
~ n z = − Def , z n~ = − D ef , r r Dispersão obedece à Lei de Fick:
∂C A ∂z ∂C A ∂r
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2.3
Equação da Energia
A primeira lei da termodinâmica aplicada a sistemas abertos (onde fluxos de material e/ou energia entram e saem) pode ser escrito da seguinte forma: Eq 2.3-1
Fluxo de energia cinética, Fluxo de energia cinética, Taxa de = potencial e interna entrando no − potencial e interna saindo no acumulação de energia no sistema sistema por convecção ou difusão sistema por convecção ou difusão Calor adicionado ao sitema por Trabalho realizado pelo + − condução, radiação ou reação sistema sobre as vizinhaças
Tanque de aquecimento
9
Seja o tanque de aquecimento com agitação (Figura 2.3-1). O objetivo deste processo é aquecer a corrente q1(t) da temperatura T1(t) até atingir a temperatura T2(t).
T1(t), q1(t)
h(t)
T2(t), q2(t) W st(t) condensado vapor
Figura 2.3-1: Tanque de aquecimento agitado.
Hipóteses: H01.
Agitação perfeita Æ T(t) = T2(t);
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H02.
Alimentação da serpentina com vapor saturado a pressão constante,
condensação total do vapor, o condensado está saturado Æ Q(t) = Hvl*Wst(t), onde Hvl é a entalpia de condensação do vapor e Wst(t) sua vazão mássica; Massa específica do fluido não depende da temperatura Æ ρ
H03.
=
constante; Capacidade calorífica do fluido não depende da temperatura Æ cp =
H04. constante; H05.
Não há perdas de calor para o meio ambiente;
H06.
A vazão volumétrica de líquido é constante: q1 = q2 = q = cte.
As hipóteses H03 e H04 são válidas porque, neste caso, o intervalo de variação da temperatura é pequeno, portanto a temperatura não se afasta muito do estado estacionário e podemos considerar o valor médio das propriedades do fluido como representativo das características do mesmo. 2.3.1.1 Desenvolvimento do Modelo Matemático 9
Balanço de Massa
Eq 2.3-2
{acumula} = {entra} – {sai} + {produzido} – {consumido}
Eq 2.3-3
{acumula} = dm(t ) = dρ V(t ) = ρA dh (t ) dt
dt
dt
Pois ρ = cte Eq 2.3-4
{entra} − {sai} = ρ1 q1 − ρ 2 q 2 = q(ρ1 − ρ 2 ) = 0 ,
pois ρ = cte·.
{produzido} = {consumido}, pois não há reação química.
Eq 2.3-5
dm( t ) =0 dt
∴ h(t) = h = cte, ou seja, não acumula massa no sistema. 9
Balanço de Energia
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Eq 2.3-6
Eq 2.3-7
{acumula} = {entra} − {sai} + {adicionado} − {trabalho} {acumula} = dE(t ) = d[U(t ) + K (t ) + P(t )] ≅ dU(t ) dt
dt
dt
Pois os termos relativos a energia cinética K(t) e a energia potencial P(t) do sistema são desprezíveis quando comparados com o termo de energia interna U(t). Vamos procurar escrever o balanço de energia em termos de variáveis mensuráveis, no caso, em termos da temperatura do sistema. Eq 2.3-8
U(t) = H(t) – p(t).v(t)
Como para fluido incompressível o produto pressão do sistema p(t) vezes volume específico do fluido v(t) é desprezível quando comparamos com o termo da entalpia H(t), podemos escrever: Eq 2.3-9
U(t)
≅ H(t)
Substituindo a Eq 2.3-9 na Eq 2.3-7, obtemos:
Eq 2.3-10
{acumula} = dE(t ) dt
dH(t ) dt
≅
Mas, T
Eq 2.3-11
Eq 2.3-12
H = H (t, T) = H o + ∫ C p (T )dT To
H (t, T ) = H = m(t, T )H (t, T )
Como por hipótese cp não depende da temperatura, podemos escrever: Eq 2.3-13
H(T) = Ho + m(t)Cp(T(t) – To)
E lembrando que m(t) =ρV(t) não depende da temperatura: Eq 2.3-14
H(T) = Ho + ρV(t)Cp(T(t) - To)
Substituindo Eq 2.3-14 na Eq 2.3-10:
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{acumula} = ρV (t )c p dT(t ) dt
Eq 2.3-15
{entra por conveção} = ρ1 q1 H 1 (t ) =
Eq 2.3-16
Onde
H1
ρ 1 q1 H o + c p (T1 (t ) − T o )
é a entalpia específica do fluido na entrada
{calor adicionado pela serpentina} = Q(t ) = H VLWst (t )
Eq 2.3-17
Ou seja, estamos desprezando a dinâmica da transferência de calor pela serpentina. Eq 2.3-18
{sai} = {sai por convecção} + {perdas para a vizinhança}
Eq 2.3-19
{sai por conveção} = ρ 2 q 2 H 2 (t) =
[
(
ρ 2 q 2 H o + c p T2 (t ) − T 0
)]
Por hipótese não há perdas para o meio ambiente: Eq 2.3-20
{perdas para a vizinhança} = 0
Como não ocorre reação química, não existe liberação ou absorção de energia, ou seja, nada é adicionado devido a reações químicas: Eq 2.3-21
{liberado} = {absorvido} = 0
Substituindo as equações Eq 2.3-15, Eq 2.3-16, Eq 2.3-17, Eq 2.3-19, Eq 2.3-20 e Eq 2.3-21 na Eq 2.3-6 obtemos:
ρVc p dT (t ) Eq 2.3-22
[
( (
)] )]
= ρ 1 q1 H 1 (t ) = ρ 1 q1 H o + ρ 1 q1 c p T1 (t ) − T o +
dt H VLW st (t ) − ρ 2 q 2 H 2 (t ) = ρ 2 q 2 H o + ρ 2 q 2 c p T2 (t ) − T o
[
Como ρ1q1 = ρ2q2 = ρq, então:
Eq 2.3-23
ρVc p
dT (t ) = ρ . q . Cp . [T1 (t) − T2 (t)] + H VLW st (t ) dt
Dividindo Eq 2.3-26 por ρqcp e lembrando que T(t) = T2(t), obtemos:
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H V d [T(t)]+ T(t) = T1 (t) + fg Wst(t) ρ q Cp q dt
Eq 2.3-24
Para os propósitos de controle de processos é conveniente escrever o modelo matemático de um processo segundo uma forma padrão, conforme a Eq 2.3-24, isto é: • Variável dependente do lado esquerdo do sinal de igualdade; • Coeficiente da derivada de ordem zero unitário; • Equação diferencial de 1ª ordem linear; • Variáveis independentes do lado direito do sinal de igualdade.
Denomina-se o produto V/q de constante de tempo ou tempo característico do processo, pois tem unidade de tempo: τT = Eq 2.3-25
V [=]s q
Denominam-se os coeficientes dos termos do lado direito do sinal de igualdade de ganho do processo:
Eq 2.3-26
o H VL KQ = [=] C . s ρ . q.Cp Kg
O ganho do processo com relação a temperatura da alimentação T1(t) é unitário: Eq 2.3-27
KT1 = 1 [=] adimensional
Observe que quanto menor a constante de tempo mais cedo atingimos o estado estacionário, o caso limite τT = 0 corresponde ao modelo do processo em regime permanente. Por outro lado, o ganho do processo determina o estado estacionário que será alcançado. Se compararmos o efeito de uma mesma perturbação na vazão do vapor sobre a temperatura do tanque, quanto maior o ganho maior a variação da temperatura do tanque. Substituindo as constantes τT, KQ e KT1 na Eq 2.3-24, obtemos: Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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τT
Eq 2.3-28
dT(t ) + T (t ) = K T 1T1 (t ) + K aW st (t ) dt
A Eq 2.3-28 é denominada equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear, com coeficientes constantes, não homogênea, e pode ser
resolvida analiticamente. Um procedimento muito conveniente para os objetivos de controle de processos é o método da Transformada de Laplace. Tanque de aquecimento (continuação)
9
Considere o tanque de aquecimento agitado submetido às seguintes condições: W
=
200 lb/min
V
=
1.60 ft3
cp
=
0.32 Btu/lboF
ρ
=
62.4 lb/ft3
Calor é transferido a uma taxa de Q = 1,920 Btu/min, sendo a temperatura da corrente de alimentação T1 = 70oF, o sistema é mantido nestas condições até atingir o estado estacionário. Pergunta-se: • Qual a temperatura da corrente de saída T2? • Qual o comportamento dinâmico deste processo se subitamente a
temperatura da alimentação aumenta para T1(0) = 90 oF? Solução: Calculando os parâmetros do modelo:
τT =
V ρ .V (62.4)(1.60) = = = 0.5min q W (200)
K QWst =
HVL (1920) = = 30.05º F ρqc p (62.4)(3.2)(0.32)
Então no estado estacionário, para T1,ss = 70oF: T2,ss = T1,ss + KQ . Wst,ss = 70 + 30 = 100 oF Após o aumento de T1 o novo estado estacionário alcançado, mantendo constantes as demais condições é igual: T2,ss = T1,ss + KQ . Wst,ss = 90 + 30 = 120 oF Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Observe que a perturbação ocorre em T1(t) e neste caso denomina-se perturbação degrau (Figura 2.3-2) de amplitude ∆T = 20ºF: T1(t) = T1 (0) + ∆T= 70 + (90 – 70)
110.0 105.0 100.0 95.0 90.0
T1 85.0 80.0 75.0 70.0 65.0 60.0
t
Figura 2.3-2: Perturbação degrau na temperatura de alimentação.
O comportamento dinâmico entre esses dois estados estacionários é obtido resolvendo a Eq 2.3-28. Duplicando as vazões de entrada e de saída ρq = 400 lb/min (ρ1q1 = ρ2q2 = ρq) e mantendo as demais condições, qual o comportamento dinâmico do
sistema? Solução:
τT =
V ρ .V (62.4)(1.60) = = = 0.25min q W (400)
Vemos que a constante de tempo diminui e que, conseqüentemente, o sistema atinge o estado estacionário mais rapidamente, além disso, ao duplicar na vazão da alimentação modificamos o ganho do processo: K QWst =
Q
ρ .q C p
=
(1920 ) =15º F ( 400 )(0.32)
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Logo T2,ss = T1,ss + KQ . Wst,ss = 90 + 15 = 105 oF
1.00
0.90
0.80
0.70
Curva A 0.60
0.50
0.40
0.30
Curva B
0.20
0.10
0.00 0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00
Figure 2.3-1: Resposta tanque de aquecimento a perturbação degrau em T1(t). Curva A τT = 0.5 e Curva B τT = 0.125.
9
Reator tubular não isotérmico com dispersão Considere um reator tubular (Figura 2.2-1) no qual ocorre uma reação não-
isotérmica (∆HR ≠0), ou seja, o sistema absorve (reação endotérmica) ou libera (reação exotérmica) energia. Considere que a energia devida a reação contribui muito mais para o balanço de energia que as outras formas de energia (potencial, cinética, etc.) e que o trabalho (hipótese 1). A dispersão de energia obedece a lei de Fourier (hipótese 2). Balanço de Energia: Hipóteses • ∆HR >> outras contribuições • Dispersão obedece à Lei de Fourier Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Eq 2.3-29
q r = −k ef , r q = − k ef , z z
∂T ∂r ∂T ∂z
Realizando um procedimento análogo ao empregado no balanço de massa, obtemos: Eq 2.3-30
∂T ∂T ∂ ∂T ∂T 1 ∂ = − ρC pνz + k ef , z +Q+ rk ef ,r (r ) − (− ∆H R ) ρ L ΓG ∂t ∂z ∂z ∂z ∂r r ∂r
ρ Cp
Resumindo, o modelo matemático será formado por um sistema de 2 equações diferenciais parciais não lineares com suas condições de contorno e iniciais. Equação diferencial parcial em r, z e t.
• Balanço de Massa ∂C A ∂ = ∂t ∂z
Eq 2.3-31
∂C A 1 ∂ − vz . C A + D ef ,z . ∂z + r . ∂r
∂C A r . D ef ,r . ∂r − ρL . ΓG.A
• Balanço de Energia Eq 2.3-32
ρ .Cp .
∂T ∂T ∂T ∂ ∂T 1 ∂ = − ρ .Cp .νz . + kef ,z . + Q + . r . kef ,r ( r ) . − ( − ∆H R ) .ρ L . ΓG r ∂r ∂r ∂t ∂z ∂z ∂z
• Condições de Contorno e Iniciais: Vamos admitir que o reator esta inicialmente a temperatura constante To e que não contém o reagente A. As condições iniciais e de contorno dessas equações são: Em t = 0 e z ≥ 0
Æ
CA = 0
Em t > 0
Æ
T = To = constante
Em z = 0
Æ
νz (r ).C A,o =νz (r ) .C A (0, r ) − Def , z (r , z ) .
∂C A (0, r ) ∂z
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νz (r )To = νz (r ) T (0, r ) −
Em z = L
k ef , z (r , z ) ∂T (0, r ) . ρ Cp ∂z
Æ
∂C A ( L ,r ) = 0 ∂z ∂T ( L ,r ) = 0 ∂z
Em r = 0
Æ
∂C A ( z ,0 ) = 0 ∂r
∂T ( L,0) = 0 ∂r Em r = R
Æ
∂C A ( z, R) = 0 ∂r ∂T U (z,R) = . [TE − T (z,R)] ∂r kef ,R
Onde TE é a temperatura em r = R.
2.4
Equação do Momentum
No segundo grau fomos apresentados a segunda lei de Newton do movimento que diz: força é igual a massa vezes aceleração; para um sistema com massa constante M. F= Eq 2.4-1
m.a gc
Tabela 2.4-1: Valores de gc para os sistemas de unidades usuais.
Sistema
Massa
Comprimento
Tempo
Força
gC
SI
kg
m
S
N
1 kg.m / (N.s2)
Inglês 1
slug
ft
S
lb
1 slug.ft / (lb.s2)
Inglês 2
lgm
ft
s
lb
32.174 lbm.ft / (lb.s2)
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Sistema
Massa
Comprimento
Tempo
Força
gC
Métrico, CGS
g
cm
s
d
1 g.cm / (d.s2)
Métrico, MKS
kg
m
s
kgf
9.806 kg.m / (kgf/s2)
A generalização da Eq 2.4-1 para o caso em que a massa varia e com o sistema submetido a mais de uma força é dado por: Eq 2.4-2
{acúmulo de momentum} = {Somatório de forças}
Eq 2.4-3
1 dm(t).vi (t) N . = ∑ Fji (t) gC dt j =1
A Eq 2.4-2 diz que a taxa de variação do momentum na direção i é igual ao somatório das forças nessa mesma direção, também pode ser compreendido como
sendo
um
balanço
dinâmico
das
forças
do
sistema
ou,
mais
eloqüentemente, conservação do momentum. Devemos escrever um balanço de momentum para cada dimensão espacial (uma para direção x, outra para y e outra para z). Portanto, obtemos três equações de balanço de momentum. Contudo é mais conveniente (e elegante) escrever essas 3 equações sob a forma vetorial. Porém, neste curso consideramos apenas problemas unidimensionais no espaço. Escoamento por gravidade de um tanque
9
Considere um tanque de área AT, cuja descarga acontece por gravidade, através de uma tubulação cuja área da seção transversal ao escoamento é AP e comprimento L. Aplicando o balanço de massa global a esse processo, assumindo fluido incompressível (hipótese 1) e escoamento pistão (hipótese 2), obtemos:
Eq 2.4-4
ρA T
dh(t ) = m1 (t ) − m2 (t ) = ρ q1 (t ) − ρ q 2 (t ) dt
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q1(t)
h(t)
q2(t)
L Figura 2.4-1: Tanque de armazenamento aberto para atmosfera.
É importante observar que não ocorre acúmulo de massa dentro da tubulação, pois a mesma está completa preenchida com líquido incompressível, isto é: m p = ρ A p L = cons tan te
Eq 2.4-5
A relação entre a vazão na descarga do tanque e a velocidade na tubulação é dada por: q 2 (t ) = AP v P (t )
Eq 2.4-6
Assumindo que a área do tanque AT é muito maior que a área da tubulação AP
(hipótese
3),
a
velocidade
dentro
do
tanque
é
muito
pequena,,
conseqüentemente, todo o acúmulo de momentum ocorre na tubulação a jusante do mesmo:
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{acúmulo de momentum} = Eq 2.4-7
1 dm P v P (t) 1 d ρ AP L v P (t) ρ AP L dv P (t) = = gc dt gc dt gc dt
{somatório de forças} = {força hidráulica} − {força de atrito}
Eq 2.4-8
{força hidráulica} = {área x presão} = AP γh(t ) = Eq 2.4-9
{força de atrito} =
Eq 2.4-10
AP ρgh(t ) gc
fLv P2 (t )
onde Eq 2.4-11
f = f(Re)
Re =
v p .Dp. ρ
Eq 2.4-12
µ
Substituindo as equações Eq 2.4-7 a Eq 2.4-10 em Eq 2.4-2 obtemos:
ρA P L dv p (t ) Eq 2.4-13
gC
dt
= A pρ
g h(t ) − fLv 2p (t ) gc
Rearranjando a Eq 2.4-13:
dv p (t ) Eq 2.4-14
dt
=
fg c 2 g h(t ) − v p (t ) L ρA p
A modelagem matemática desse processo é dada pelo balanço de massa, Eq 2.4-4, e pelo balanço de momentum, Eq 2.4-14, mais suas respectivas condições iniciais. Substituindo Eq 2.4-6 em Eq 2.4-4, dividindo por ρAT e rearranjando, obtemos a Eq 2.4-15, que ao lado da Eq 2.4-14 formam um sistema SEDO 2x2, não linear.
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[
dh(t ) 1 = q1 (t ) − A p v p (t ) dt AT
Eq 2.4-15
dv p (t ) dt
Eq 2.4-16
=
]
f gc 2 g h(t ) − v P (t ) L ρA p
Tabela 2.4-2: Dados para o escoamento por gravidade do tanque.
Tubulação
DP = 3 ft
AP = 7.06 ft2
L = 3,000 ft
Tanque
DT = 12 ft
AT = 113 ft2
Altura máxima = 7 ft
Estado estacionário (condições iniciais) q1,ss = 35.1 f t3/s
vp,ss = 4.97 ft/s
hss = 4.72 ft
f = 2.81 x 10-2 lbf/(ft/s)2.ft
Parâmetros: Re = 1,380,000
Substituindo esses dados nas Eq 2.4-14 e Eq 2.4-16 obtemos:
Eq 2.4-17
dh(t) = 0,00885 q 1 (t) − 0,0624v p (t) dt dv p (t)
Eq 2.4-18
dt
= 0,0107 h(t) - 0,00205 v 2p (t)
Estudamos esse exemplo para uma perturbação degrau positivo na vazão da alimentação de 10%. A solução dessas equações foi obtida numericamente utilizando o Método de Runge-Kutta-Gill de 4ª ordem. As curvas de h(t) e vp(t) são vistas na Figura 2.4-2. Observamos que as variáveis apresentam uma oscilação amortecida, com sobre-elevação (overshoot), isto é, o valor máximo alcançado excede o valor do estado estacionário final: h(∞) = 5.79 ft
e
hmax = 6.29 ft
vP(∞) = 5.50 ft/s
e
vp,max = 5.63 ft/s
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Nível do Tanque e V eloc idade na Tubulaç ão 6.4 6.2
h(t)
h (ft)
e
vp (ft/s )
6 5.8 5.6 5.4
vp(t)
5.2 5 4.8 4.6
0
100
200
300
400 500 600 tem po (s eg)
700
800
900
1000
Figura 2.4-2: Resposta a perturbação de 10% na vazão de alimentação.
Repetimos o mesmo exemplo para uma perturbação positiva de 20% na vazão de alimentação. Na Figura 2.4-3 vemos que o sistema submetido a uma perturbação maior apresenta maiores oscilações e sobre-elevação. Observe também que para 20% de perturbação o nível do tanque ultrapassa 7 ft (altura máxima do tanque), ou seja, o tanque transborda, apesar do estado estacionário alcançado ser menor que esse limite. Nível do Tanque e V eloc idade na Tubulação 8 h(t) 20% 7.5
6.5
h (ft)
e
vp (ft/s)
7
vp(t) 20%
6
h(t) 10% 5.5 vp(t) 10%
5
4.5
0
100
200
300
400
500 tem po (seg)
600
700
800
900
1000
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Figura 2.4-3: Resposta do nível e velocidade de descarga para perturbação de +10% e +20% na vazão de alimentação.
Na seção 2.2 assumimos que: q 2 (t ) = C h(t )
Eq 2.4-19
Agora iremos demonstrar em que condições esta hipótese é válida. Se a massa contida na tubulação é pequena, então o acúmulo de momentum pode ser desprezado: m=ρ Ap L → 0
⇒
Eq 2.4-20
ρ A p L dv p (t ) gc
Eq 2.4-21
dt
= A pρ
ρ A p L dv p (t ) gc
dt
→ 0
g h(t ) − f L v 2p (t ) = 0 gc
De Eq 2.4-21: v 2p (t) = Eq 2.4-22
Ap ρ g f L gc
h(t)
⇒
v p (t) =
AP ρ g h(t) f L gc
Multiplicando por Ap: q 2 (t ) = AP v P (t ) = AP Eq 2.4-23
AP ρ g h(t) = C h(t) f L gc
onde C = AP Eq 2.4-24
AP ρ g f L gc
Portanto, a Eq 2.4-19 só será válida se, e somente se, o acúmulo de momentum na tubulação for desprezível. Neste caso, o processo responderia a
perturbação de 10 e 20% na vazão de alimentação da seguinte forma:
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Res pos ta do nível em diferentes s ituaç ões 7
+ 20% 6.5
h (ft)
6
+ 10% 5.5
5
4.5
0
100
200
300
400 500 600 tem po (s eg)
700
800
900
1000
Figura 2.4-4: Resposta do tanque desprezando o acúmulo de momentum (perturbação de +10% e +20% na vazão de alimentação).
Observe que nesses o limite máximo do nível não é violado. 2.4.1
Equação de Bernoulli
Realizando um balanço da energia mecânica em regime transiente para um fluxo isotérmico (hipótese), obtemos: 2 ~ d [K tot (t ) + φtot (t ) + Atot (t )]= − ∆ v (t ) + φ (t ) + G (t ) m (t ) − W (t ) − Ev (t ) dt 2
Eq 2.4-25
Onde: K tot = ∫
ρ v2 2
. dV
~
φ tol = ∫ ρ φ dV ~
φ = gh(t ) Se considerarmos que o fluido é incompressível a Eq 2.4-25 torna-se:
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2 d [K tot (t ) + φtot (t ) + Atot (t )] = − ∆ v (t ) + φ~ (t ) + G (t ) m (t ) − W (t ) − E v (t ) dt 2
Eq 2.4-26
Dividindo pela massa do sistema e aplicando o estado estacionário a Eq 2.4-25 fica: p
Eq 2.4-27
2 v2 dp ˆ ˆ ∆ + g. ∆h + ∫ + W + Ev = 0 ρ 2 p1
Essa equação é denominada Equação de Bernoulli, embora historicamente esta nomenclatura tenha sido reservada para a equação correspondente com fricção nula (Ev = 0) e sem realizar trabalho (W = 0). p2
Eq 2.4-28
Gás ideal e escoamento isotérmico : ∫
p1
p2
Eq 2.4-29
Fluido incompressível : ∫
p1
dp
ρ
=
dp
ρ
=
P ln 2 PM P1
Rg T
P2 − P1
ρ
Esses dois casos limites são muito utilizados em trabalhos de engenharia. Talvez estejamos mais acostumados a trabalhar com a Eq 2.4-27 da seguinte forma:
Eq 2.4-30
v2 v2 P P + + = + h + + hf h γ 1 2 g γ 2g 2
A Eq 2.4-30 é válida para estado estacionário (hipótese 1), fluxo isotérmico (hipótese 2) e fluido incompressível (hipótese 3). 2.4.2
Fator de Fricção
Na equação de Bernoulli aparece um termo devido às perdas por atrito (Êv). Esse termo é proporcional ao quadrado da velocidade do escoamento e ao comprimento da tubulação e inversamente proporcional ao raio hidráulico:
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f .L.v Eˆ v = 2 . Rh
Eq 2.4-31
2
Talvez estejamos mais acostumados a trabalhar com a equação de DarcyWeisbach (para tubos circulares), que pode ser obtida dividindo Eq 2.4-31 por g. Onde
fD = 4.f
O fator atrito fD depende da velocidade do escoamento e das características geométricas da tubulação ou do acidente. Existem inúmeras fórmulas para calcular o fator de atrito, a seguir citamos algumas delas: Para escoamento laminar:
Eq 2.4-32
Re < 2.1x10
3
:
fD =
64 Re
Para escoamento intermediário:
Eq 2.4-33
2,1 x 103 < Re <105 :
fD =
0,3164 Re 1 / 4
(esta equação é denominada Fórmula de Blasius) Para escoamento turbulento, Re > 105: Fórmula de Colebrook:
1 Eq 2.4-34
f
D
k / D 0,6275 = − 0,86 . ln 3,7 Re . f D
Na Figura 2.4-5 temos o fator de fricção fD versus o número de Reynolds, para diferentes rugosidades de tubos. Na presença de conexões (válvulas, cotovelos, etc.), a perda de carga devido a esses acidentes pode ser escrita em termos de comprimento equivalente de tubulação he:
Eq 2.4-35
v2 he = K 2g
Onde K é dado na Tabela 2.4-3. Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Tabela 2.4-3: Coeficientes K de perda de carga para algumas conexões.
Conexões
K
Válvula globo (totalmente aberta)
10.0
Válvula angular (totalmente aberta)
5.0
Cotovelo comum
0.9
Canto vivo
0.5
Figura 2.4-5: Ábaco de Moody – Fator de fricção em tubulações.
9
Determinação da vazão de descarga: Regime estacionário Seja um tanque que contém água a 20oC (v = µ/ρ = 1.01x10-6 m2/s), Figura
2.4-6. Calcule a vazão pela tubulação (D = 150mm, e k /D = 0.0017). Assuma que o nível no tanque é mantido constante.
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1 válvula
22 m
2 12 m cotovelos comuns
30 m
canto vivo
60 m
Figura 2.4-6: Escoamento de um tanque de nível constante.
Aplicando Bernoulli entre os pontos 1 e 2 obtemos:
v 22 + 12 + 1 atm + h f 0 + 22 + 1atm = 2. g
Eq 2.4-36
Onde
hf = hcanto vivo + htrecho reto + hcotovelos + hválvula
v 22 v 22 v 22 (30 + 12 + 60) v 22 h f = 0,5 + . + fD . + ( 2 ).0,9 . + 10 . 0,15 2g 2g 2g 2 g h f = [12,3 + 680 f D ]
v 22 2g
logo 10 = [13,2 + 680 f D ] Eq 2.4-37
v 22 2g
A Eq 2.4-37 é não linear, pois, além disso, fD depende de v2. Para resolvê-la vamos estimar um valor para fD = 0.022. Calculando a velocidade pela Eq 2.4-37 obtemos: v2 = 2.63 m/s
Æ
E do gráfico de Moody:
Re = 391,000 fD = 0.023
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Como este valor está bem próximo do valor estimado inicialmente paramos a cálculo, caso fosse diferente reiniciaríamos o mesmo, partindo de último valor estabelecido, até atingirmos o valor verdadeiro. Portanto, a vazão é: q2 = Ap. v2 = 45.9 l/s. 2.4.3
Medição de Vazão
Existem inúmeros elementos primários para medição de vazão, a seguir apresentaremos 3 instrumentos (tubo de Pilot, tubo Venturi e placa de orifício) cujos princípios físicos de funcionamento são baseados nos balanços de massa e momentum vistos anteriormente. Nesta seção apresentaremos os resultados para
fluido incompressíveis, conseqüentemente, quando o fluido a ser medido for um gás
ou
vapor
fatores
de
correção,
que
levam
em
consideração
a
compressibilidade e variação da massa específica do fluido com a pressão e temperatura, devem ser acrescentados às fórmulas aqui apresentadas. 9
Tubo de Pitot Seja um tubo de Pitot simples conforme a Figura 2.4-7.
Figura 2.4-7: Tubo de Pitot simples.
Aplicando a Equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 obtemos: Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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v12 P1 P2 + = 2.g γ γ
Eq 2.4-38
ou 2 . (P2 − P1 ) ρ
v1 = Eq 2.4-39
Devido ao fato de que o escoamento não obedece exatamente às condições impostas pela Equação de Bernoulli, um fator de correção K1 é introduzido para levar em conta os desvios em relação a Eq 2.4-38, assim a equação de trabalho para o Tubo de Pitot é: v1 = K 1 Eq 2.4-40
2∆P
ρ
Onde K1 é aproximadamente 1 para a maioria das instalações, mas para medição mais precisas seu valor deve ser determinado por calibração do instrumento. O tubo de Pitot mede velocidade local, se precisarmos saber a vazão devemos tomar medições de velocidade ao longo do eixo radial da tubulação e obter a velocidade média por um método numérico ou gráfico. 9
Tubo Venturi Considere o tubo Venturi conforme a Figura 2.4-8.
1
2
Figura 2.4-8: Medidor Venturi.
Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 obtemos:
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v2 P + 2 . g γ
Eq 2.4-41
v2 P + + hf = 2 1 2 . g γ
Se não levarmos em consideração a perda de carga que ocorre entre os pontos 1 e 2 a Eq 2.4-41 será escrita em termos da velocidade teórica vt: v t2 P v 2t P + = + 2 g γ 1 2 g γ 2
Eq 2.4-42
Aplicando a equação da continuidade (balanço de massa) entre os pontos 1 e 2 obtemos: Eq 2.4-43
m& 1 = m& 2
Eq 2.4-44
A1 ρ1 v1 = A 2 ρ 2 v 2
A Eq 2.4-44 é válida tanto para a velocidade real como para a teórica. Dessa equação obtemos:
Eq 2.4-45
A ρ v V1 = 2 2 2 A 1 ρ1
2
A ⇒ v = 2 v 22 A1 2 1
Substituindo a Eq 2.4-45 em Eq 2.4-42 e rearranjando: V1 = Eq 2.4-46
2 g (P1 − P2 ) / γ 1 − (A 2 / A 1 ) 2
Para obter a vazão real multiplicamos a Eq 2.4-46 por um fator de correção K1 e pela área do tubo na seção 2: q = K 1 A2 Eq 2.4-47
9
2g (P1 − P2 ) / γ 1 − (A 2 / A 1 ) 2
Placa de orifício O instrumento de medição de vazão mais utilizado na indústria petroquímica
é a placa de orifício, pois é simples, baixo custo inicial e precisão adequada à
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maioria das aplicações. Considere um tubo no qual inserimos um obstáculo – uma placa com um orifício de diâmetro menor que o da tubulação (Figura 2.4-9).
Figura 2.4-9: Placa de orifício.
Para um fluido incompressível a equação de Bernoulli, desprezando a perda de carga entre os pontos 1 (anterior a placa de orifício) e 2 (na vena contracta) é:
Eq 2.4-48
v2 P v2 P + = + 2 . g γ 1 2 . g γ 2
Aplicando a equação da continuidade entre os pontos 1 e 2 e substituindo na Eq 2.4-48 obtemos: v2 = Eq 2.4-49
2. g. (P1 − P2 ) / γ A 1 − 1 A2
2
Com o objetivo de tornar a Eq 2.4-49 alguns fatores de correção devem ser acrescentados para considerar o efeito de: • Rugosidade da tubulação; • Compressibilidade do fluido (quando for o caso); • Expansão térmica da placa; • Local da tomada de pressão;
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• Presença de furo para dreno (quando for o caso); • Características construtivas da placa; • Viscosidade muito elevada do fluido (quando for o caso). Podemos observar que a medição de vazão nos elementos primários deprimogênitos de área constante é proporcional à raiz quadrada da queda de pressão provocada, ou seja: Eq 2.4-50
q = K. ∆P
Onde K é um fator de proporcionalidade que leva em conta os desvios em relação à equação é um fator de proporcionalidade que leva em conta os desvios em relação à equação de Bernoulli, a compressibilidade do fluido e as características geométricas do instrumento de medição de vazão.
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2.5
Exercícios 2.5.1
Tanque em linha
O tanque mostrado na figura abaixo é colocado na linha para suavizar a variação da pressão po(t). No estado estacionário a vazão de alimentação e as pressões são: qi,s
=
25.0
kgmoles/s
pi,s
=
2,000.0
kN/m2
ps
=
1,800.0
kN/m2
po,s
=
1,600.0
kN/m2
po(t)
pi
p(t) qi
qo(t)
O volume do tanque é V = 10m3. Desenvolva o modelo matemático para este processo, assuma gás ideal. As vazões de entrada e saída do tanque são dadas por
qi (t) = ki . pi (t).[pi (t) − p(t)]
q o (t) = ko . p(t).[p(t) − p o (t)] Onde ki e ko são constantes.
2.5.2
CSTR
Considere um reator de mistura perfeita CSTR mantido isotérmico. A vazão de alimentação é constante. A
→
B
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Com equação da taxa r = k. CA Desenvolva o modelo matemático deste processo.
2.5.3
Tanques não interativos em série
Considere dois tanques não interativos em série (figura abaixo). Assuma que os tanques têm a mesma área transversal (A = 5 ft2). Inicialmente, o sistema está no estado estacionário com qs = 1 ft3/min e h1 = h2 = 3ft. q(t)
h1 R1
q1
h2
R2
q2(t)
Desenvolva o modelo matemático deste processo. 2.5.4
Tanque esférico
Considere o processo matemático mostrado na figura abaixo. O tanque é esférico com raio de 4 ft. A vazão nominal de entrada e de saída é 300,000 lbm/h, a massa específica do líquido é 70 lbm/ft3 e o nível em regime permanente é 5 ft. O volume de uma esfera é dado por 4πr3/3. A relação entre o volume e a altura é dada por: h 2 (t).(3.r − h(t)) V(t) = VT . 4.r 3 A vazão através das válvulas são dadas por
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f (t) = 500.Cv.VP(t). G f .∆Ρ
Onde: Cv1 = 20.2 e Cv2 = 28.0
P1 = 65 psig
P2 = 50 psig
h(t) P3 = 45 psig v2
A pressão sobre nível de líquido é mantida constante no valor de 50 psig. Obtenha modelo matemático deste processo.
2.5.5
Tanque não interativos em série 2
Considere o processo mostrado na figura a seguir. A vazão de líquido através dos tanques, f, é constante e igual a 110 kg/min. A densidade do líquido pode ser assumida constante e igual a 800 kg/m3. A capacidade calorífica do fluido também é constante e igual a 1.3 kcal/kgoC. O volume de cada tanque é 0.3 m3. A perda de calor para as vizinhanças é negligenciável e a agitação é perfeita.
T1(t), f To(t), f
T2(t), f
W st(t) condensado vapor
T3(t), f
Obtenha o modelo matemático para este processo.
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2.5.6
Tanques em série com bomba
Considere o processo mostrado na figura abaixo. qA(t)
qo
PR
2
h1(t )
Tanque de mistura
3 4
hR
CA5(t)
h2(t)
1
L
5
Reator
Vazão da corrente de alimentação com concentração CAO, constante [ = ] m3/s CAi(t)
Concentração de A na seção
ρ
[=]
Massa específica, constante
kgmol/m3 [
=
]
kg/m3 ki(t)
Altura do nível de líquido no equipamento
kR
Altura da entrada do reator em relação à saída do mesmo [ = ] m
PR
Pressão na copa do reator
L
Comprimento
[=]
[=]
m
KPa [=]
AT
Área da seção transversal do tanque
[=]
m2
AR
Área da seção transversal do reator
[=]
m2
m
As seguintes informações são conhecidas sobre este processo: • A massa específica de todas as correntes é aproximadamente constante e igual; • O fluxo através da bomba de velocidade constante é dado por: qb(t) = A{1+B.[p1(t) – p2(t)]2}, m3/s • A tubulação entre os pontos 2 e 3 é longa com comprimento L, m. O fluxo através da tubulação é muito turbulento (plug flow). O diâmetro do tubo é D [ = ] m. A queda de pressão entre esses dois pontos ∆p pode ser considerada constante.
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• Podemos assumir que os efeitos associados à reação são negligenciáveis, conseqüentemente, a reação ocorre à temperatura constante. A taxa de reação (A Æ B) é dada por rA (t ) = kC A (t )[=]
Kgmol m 3s
O fluxo através da válvula é dado por q v (t ) = CV VP h2 (t)
Onde VP é a posição em que se encontra a válvula, constante. Obtenha o modelo matemático que representa este processo.
2.5.7
Tanque não interativos em série com bomba
Considere o processo mostrado na figura abaixo. q1(t)
q2(t)
q4(t) q3(t)
m(t) q5(t)
As seguintes informações são fornecidas: • A densidade do líquido é constante. • A vazão de descarga dos tanques é dada por qi (t ) = Cvi * VPi * hi (t )
[ = ] m3/h
• A vazão através da bomba é dada por: q3(t) = Kb [m(t) - 4] [ = ] m3/h, onde m(t) é a energia fornecida à bomba Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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• A válvula de controle pode ser representada por um sistema de 1ª (primeira) ordem de ganho Kv e constante de tempo τV. • Os diâmetros dos tanques são D1 e D2. Obtenha o modelo matemático deste processo. 2.5.8
Tanque não interativo em série 3
Considere o processo mostrado na figura abaixo. Nós queremos manter a temperatura Ta em um determinado valor manipulado as vazões de vapor d’água q1,st e q2,st. T1(t), q
T2(t), q
q1,st(t) condensado vapor
T3(t), q
Tanque 1
q1,st(t) condensado vapor
Tanque 2
As seguintes informações são fornecidas: a) Vazão do produto constante, q = cte. b) A temperatura de entrada T1(t) é o principal distúrbio. c) A dinâmica dos dois tanques de aquecimento é dada por τ1 .
dT2 (t) + T2 (t) = T1 (t) + K1Q1 (t ) dt
τ2 .
dT3 (t) + T3 (t) = T2 (t) + K 2Q 2 (t) dt
Onde
τ1 = 4; τ2 = 10
e
K1 = 4; K2 = 10
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Interprete os efeitos das perturbações (vazões de vapor para as serpentinas dos tanques 1 e 2). Em que condiçao é mais conveniente modificar a vazão do vapor para o tanque 1? E para o tanque 2?
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Capítulo 3.
Outras Leis Fundamentais
No Capítulo 2, vimos os balanços de massa, energia e momentum aplicados a alguns processos típicos de indústrias petroquímicas. Neste capítulo, completaremos o estudo das leis (princípios) fundamentais a que todos os sistemas físicos estão submetidos.
3.1
Equações de Transporte
Nos balanços de massa, energia e momentum desenvolvidos vimos que o fluxo resultante (taxa de transferência por unidade de área) é proporcional à força motriz (gradiente de temperatura, concentração e velocidade) no qual o sistema está submetido, cuja constante de proporcionalidade é uma propriedade física dos sistemas (condutividade térmica, difusividade mássica e viscosidade). Os
balanços
microscópicos
de
massa,
energia
e momentum são
denominados de Lei de Fick, Lei de Fourier e Lei de Newton da viscosidade, respectivamente. A Tabela 3.1-1 sumariza as equações de transporte utilizadas no desenvolvimento de modelos matemáticos.
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Tabela 3.1-1: Leis de Transporte.
Quantidade
Calor
Massa
Momentum
Fluxo
Q
ÑA
τx y
Transporte molecular (microscópico) Força motriz
∂Τ ∂x
∂C A ∂Χ
∂v x ∂γ
Lei
Lei de Fourier
Lei de Fick
Lei de Newton
Propriedade
Condutividade térmica kT
Difusividade mássica DA
Q =k Τ.
Relação
∂Τ ∂x
∂C A ~ Ν A = DA . ∂X
Viscosidade µ
τ
xy
=µ.
∂vx ∂y
Transporte global (macroscópico)
3.2
Força motriz
∆T
∆CA
∆P
Propriedade
Coeficiente de troca térmica hT
Coeficiente de transferência de massa - kM
Fator de fricção fD
Relação
Q = hT*∆T
~ NA = k M . ∆C A
fD =
D . ∆Ρ /L 2 . ρ . v2
Equações de Estado
Ao desenvolver os modelos matemáticos precisamos conhecer como as propriedades do sistema, como, por exemplo, massa específica e entalpia, variam com o estado do sistema (temperatura, pressão e composição). As relações que permitem calcular uma determinada propriedade a partir do estado do sistema são denominadas equações de estado. Talvez a equação de estado mais familiar seja a Lei dos Gases Ideais:
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Eq 3.2-1
PV = nRgT
Da equação de estado, Eq 3.2-1, podemos obter a massa específica de gás:
ρ= Eq 3.2-2
n.PM V
=
PM .P R g.T
Para levar em consideração a não idealidade dos gases podemos, por exemplo, multiplicar a Eq 3.2-1 por um fator de correção, o fator de compressibilidade Z, então obtemos: Eq 3.2-3
PV = ZnRgT
Para os líquidos podemos, na maioria das vezes, considerar como sendo um fluido incompreensível, portanto com massa específica constante. As entalpias dos líquidos podem ser expressas por: H L = C pT
Eq 3.2-4
Se precisar de uma maior precisão no cálculo da entalpia, podemos supor que a capacidade calorífica varia linearmente com a temperatura, isto é:
C (T) =α + β .Τ P
Eq 3.2-5
então
Eq 3.2-6
Τ
β
ΤΟ
2
Η L = ∫ C P (Τ).dΤ =α . (Τ − ΤΟ ) +
2
2
. (Τ − Τ )
A entalpia dos vapores saturados pode ser expressa por: Eq 3.2-7
Η V = Η L + Η LV
Também podemos expressar a entalpia de gases ou vapores por relações análogas à Eq 3.2-6. Para misturas de substâncias podemos calcular a entalpia por uma média ponderada com as frações molares dos componentes das misturas.
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NC
∑ x j.Η j .PM Η=
∑ x j .PM
j
j =1
Eq 3.2-8
3.3
j
j =1 NC
Cinética Química
Na indústria química e petroquímica, um dos equipamentos mais crítico e menos conhecido é o reator químico. Este fato decorre, principalmente, pela dificuldade de se determinar a cinética da reação e, conseqüentemente, de se estabelecer a equação da taxa da reação. A seguir, apresentamos uma análise qualitativa das taxas de reações químicas. A taxa de uma reação é a taxa de mudança do número de moles de um componente por unidade de volume, devido à reação química, dividindo pelo seu coeficiente estequiométrico. Por definição: Γ= Eq 3.3-1
1 dn J . vJ . V dt
Para uma reação do tipo:
2.A + 3.B
→
4.C + 5.D
vA = -2; vB = -3; vC = +4; vD = +5 A taxa é:
Γ=
1 dn A 1 dnB 1 dnC 1 dnD . . . . = = = − 2.V dt − 3.V dt 4.V dt 5.V dt
Via de regra, a taxa com que uma reação se processa é função da concentração dos reagentes e da temperatura do meio reacional, então podemos escrever, por exemplo, a equação da taxa de uma reação como sendo:
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Eq 3.3-2
Γ = k ( Τ ) . C aA . C bB
a=2eb=3 A constante da taxa k é uma função da temperatura e segue a Equação de Arrhenius, isto é:
Eq 3.3-3
−E k (T ) = k o exp R g . Τ
Da Eq 3.3-1 podemos calcular a taxa de consumo de reagentes por unidade de volume e a taxa de formação de produtos por unidade de volume: ΓA = vA . Γ = − 2. Γ = Eq 3.3-4
1 dn A . V dt ; c o n s u m o d e A · .
ΓC = vC . Γ = + 3. Γ = Eq 3.3-5
3.4
1 dnC . V dt ; p r o d u ç ã o d e C · .
Entalpia das reações químicas
Toda reação química se processa liberando (reação exotérmica) ou absorvendo (reação endotérmica) energia. A reação exotérmica provoca o aquecimento do reator, neste caso, para evitar o aumento da temperatura, é necessário o resfriamento do mesmo. Quando a reação é endotérmica, o reator é resfriado à medida que a reação avança, nestes casos, pode ou não ser preciso o aquecimento do reator. Uma maneira simples de se avaliar a exotermicidade (ou endotermicidade) de uma reação, é comparar as entalpias de formação4 dos produtos e reagentes envolvidos na reação. A entalpia de reação é a diferença entre a entalpia de formação dos produtos menos a entalpia de formação dos reagentes. Veja o exemplo abaixo: Para uma reação do tipo:
2.A + 3.B
→
4.C + 5.D
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vA = -2; vB = -3; vC = +4; vD = +5 A entalpia de reação é: ∆HR = 4HfC + 5HfD – 3HfA – 2HfB Generalizando: NC
∆Ηr = ∑ vi . Η f i Eq 3.4-1
i =1
As entalpias de formação são propriedades tabeladas e geralmente referenciadas a temperatura de 25 ºC, portanto se uma reação se processa a uma temperatura diferente, será necessário levar em conta essa diferença, isto é feito utilizando-se a Eq 3.2-6 ou Eq 3.2-7. A Tabela 3.4-1 apresenta a entalpia de formação de algumas substâncias, enquanto na Tabela 3.4-2 vemos a entalpia de reação de algumas reações.
Tabela 3.4-1: Entalpia de formação de algumas substâncias.
Substância
Hºf (kcal/mol)
H2 (g)
0.000
H2O (g)
-57.796
H2O (1)
-68.315
CH4 (g)
-17.880
C2H4
12.490
Obs.: Por definição entalpia de formação de uma substância simples no estado mais estável a 1 atm e 25 ºC é zero.
4
Todas as substâncias “consomem” alguma energia para serem formadas. Essa quantidade de energia denomina-se entalpia de reação. Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Tabela 3.4-2: Entalpia de reação de algumas reações
Reação
∆Hºr (kcal/mol)
C (s) + 2Η 2 Ο(g ) ↔ CO2 + H 2 O
21.55
C 2 Η 4 ( g ) + Η 2 Ο(1) ↔ C 2 H 5 OH (l )
- 10.54
Obs: Entalpias de reação para 25 oC e 1 atm As reações exotérmicas têm entalpia de reação negativa, enquanto que as reações endotérmicas têm entalpia de reação positiva:
3.5
Reação exotérmica
Æ
∆Hr < 0
Reação endotérmica
Æ
∆Hr > 0
Reação isotérmica
Æ
∆Hr = 0
Equilíbrio de Fases
Sempre que dois ou mais fluidos entram em contato pode ocorrer a formação de porções de fluidos com composições e características físicas bem diferentes, diz-se que ocorreu a separação de fases. Isto acontece quando um fluido em fase líquida entra em contato com outro fluido em fase de vapor (Figura 3.5-1), ou quando dois líquidos imiscíveis se misturam provocando o surgimento de duas fases (por exemplo, água em contato com óleo provoca o aparecimento de duas fases, uma orgânica e outra aquosa - Figura 3.5-2).
VAPOR
LÍQUIDO
Figura 3.5-1: Uma fase líquida em contato com uma fase vapor.
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LÍQUIDO II
LÍQUIDO i
Figura 3.5-2: Duas fases líquidas imiscíveis em contato.
A tendência de todos os sistemas é evoluírem no sentido de alcançar o menor potencial, ou seja, procurando atingir o equilíbrio termodinâmico. Na presença de duas ou mais fases diferentes, tal equilíbrio é alcançado quando o potencial químico de cada substância, presente no sistema, é o mesmo em todas as fases. Considere duas fases em contato. O equilíbrio termodinâmico é alcançado quando é satisfeita a seguinte relação: µ Ij = µ IIj
Eq 3.5-1
Onde: µjI
Potencial químico do componente j na fase I
µjII
Potencial químico do componente j na fase II
No equilíbrio termodinâmico existe transferência de moléculas entre as fases, porém o número de moles que passa da fase I para a fase II é o mesmo que passa da fase II para a fase I. O equilíbrio é favorecido quando ocorre uma forte mistura entre as fases, ou seja, quanto mais agitado for o sistema, mais rapidamente o equilíbrio é alcançado. No projeto de equipamentos de separação líquido-líquido (absorvedoras ou extratoras) ou líquido-vapor (colunas de destilação ou evaporadores) precisamos de relações que permitam o cálculo de composição de uma fase, conhecendo a composição de outra fase.
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A partir daqui nos fixaremos ao estudar o equilíbrio líquido-vapor: 3.5.1
Equilíbrio Líquido-Vapor
O problema mais comum que surge envolvendo o equilíbrio líquido-vapor é o cálculo do Ponto de Bolha (BP – Buble Point): calcular a temperatura T e a composição do vapor yj a partir da pressão P e da composição do líquido xj, ou seja, obter o estado da primeira bolha formada (Figura 3.5-3).
T e yi desconhecidos VAPOR P e xj conhecidos LÍQUIDO Figura 3.5-3: Cálculo do ponto de bolha.
A solução de um problema BP é, freqüentemente, obtida através de um procedimento interativo, iniciado a partir de uma estimativa inicial, pois as equações envolvidas são não-lineares. Outro problema envolvendo o equilíbrio líquido-vapor é o cálculo do Ponto de Orvalho (DP – Dew Point): calcular a temperatura T ou pressão P e a composição do líquido yj a partir da pressão P ou temperatura T e da composição do vapor yj, ou seja, obter o estado da primeira gota de orvalho formada (Figura 3.5-4).
T (ou P) e yi conhecidos VAPOR P (ou T) e xj desconhecidos LÍQUIDO Figura 3.5-4: Cálculo do ponto de orvalho.
Também são freqüentes os cálculos de Flash: não conhecemos nem a composição do vapor e nem a do líquido, então combinamos as relações de equilíbrio, o balanço de massa e energia para encontrar as incógnitas.
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Assumiremos alguns modelos para representar o equilíbrio líquido-vapor: A fase vapor tem comportamento ideal, isto é, a Lei de Dalton é
9
válida: a pressão parcial de um componente é igual a fração molar deste componente vezes a pressão total do sistema. Eq 3.5-2
Lei de Dalton:
Pj = y j Ρ
Para sistemas que fogem a idealidade, como, por exemplo, os submetidos a altas pressões, é necessário introduzir fatores de correção na Eq 3.5-2, para esses casos, conceitos como fugacidade e coeficiente de fugacidade foram desenvolvidos. A fase líquida tem comportamento ideal, isto é, a Lei de Raoult é
9
válida: a pressão do sistema é o somatório do produto da fração molar vezes a pressão de vapor de cada componente presente na fase líquida. Lei de Raoult: ΝC
Ρ = ∑ x j . PjS Eq 3.5-3
j =1
Combinando a Lei de Dalton com a Lei de Raoult, obtemos:
Eq 3.5-4
yj =
x j P sj P
Onde as pressões de vapores freqüentemente variam com a temperatura, segundo, por exemplo, a Equação de Antoine:
Eq 3.5-5
A j P s j = exp +Bj T
9
Outra maneira de representar o equilíbrio líquido-vapor é através do
conceito de volatilidade relativa. Por definição, a volatilidade relativa αij do componente i em relação ao componente j é:
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αi j = Eq 3.5-6
γ i χi γ j χj
Quanto maior a volatilidade relativa, maior a concentração da substância na fase de vapor. Em muitos sistemas a volatilidade relativa pode ser assumida constante, nesses casos é conveniente utilizar esse conceito. Para sistemas binários, isto é, com apenas 2 componentes, a volatilidade α do composto mais volátil, é:
α= Eq 3.5-7
y/x (1− y ) (1− x )
ou y= Eq 3.5-8
α. x 1+ (α −1) x
Um conceito muito utilizado na indústria do petróleo é o de constante
9
de distribuição no equilíbrio K. Por definição, a constante de distribuição Kj do componente j é o resultado da divisão da fração molar desse componente na fase vapor pela fração molar desse componente na fase líquida. Kj = Eq 3.5-9
Constante de equilíbrio:
yj xj
Kj é uma função da temperatura, composição e, mais fracamente, da pressão do sistema. Quando o líquido não se comporta de maneira ideal, a Lei de Raoult
9
deve ser modificada para acomodar as não-idealidades. Neste caso, é incorporado um fator de correção intitulado coeficiente de atividade γj: Ρ=
NC
∑x j =1
Eq 3.5-10
j.
P Sj γ j
O coeficiente de atividade é função da composição, pressão e temperatura do sistema. Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Utilizando as relações de equilíbrio líquido-vapor, podemos desenvolver os modelos matemáticos de operações unitárias de separação líquido-vapor e/ou líquido-líquido. No próximo capítulo estudaremos o comportamento dinâmico das seguintes operações unitárias: • Reator CSTR; • Evaporação; • Destilação; • Absorção; • Extração.
3.6
Exercícios 3.6.1
Reator CSTR isotérmico
Escreva os balanços de massa para um reator CSTR isotérmico no qual ocorrem as seguintes reações de 1ª ordem: k1 A → B k
(a) duas reações irreversíveis simultâneas: (b) uma reação irreversível:
(c) duas reações irreversíveis em série:
3.6.2
2 A → C
A ←→ B k1 k
k1 2 A → B → C
Equilíbrio líquido-vapor
Uma maneira bastante conveniente de representar o equilíbrio líquido-vapor de uma mistura binária é através do diagrama xy dessa mistura, conforme a figura abaixo. Construa o diagrama xy para a mistura binária de volatilidade relativa igual a dois (α = 2). Construa no mesmo gráfico a curva de equilíbrio para uma mistura binária com volatilidade relativa igual a três (α = 3). Compare os resultados:
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1
0.5
P = 1 atm T variável
0 0
0.5
1
Diagrama xy para uma mistura binária ideal. 3.6.3
Diagrama xy
Construa o diagrama xy para a mistura benzeno-tolueno. Assuma que este sistema pode ser representado por volatilidade relativa constante. A pressão do sistema é 1 atm. 3.6.4
Alquilação do benzeno
Calcule o calor de reação da reação de alquilação do benzeno para a produção de benzeno a 25 ºC e a 100 ºC e 1 atm. C6H6 + CH4
⇔
C7H8 + H2
Essa reação é exotérmica ou endotérmica? 3.6.5
Combustão
Calcule o calor liberado pela combustão completa de 1 mol de gás natural (gás metano) a 25 ºC e 1 atm. E se a combustão não for completa e ocorrer a formação de 1 mol de monóxido de carbono para cada mol de dióxido formado, qual o calor liberado? Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Combustão completa:
CH4 + 2O2
⇔
CO2 + 2H2O
Combustão incompleta:
2CH4 + 7/2O2
⇔
CO + CO2 + 4H2O
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Capítulo 4.
Exemplos de Modelos Matemáticos de Processos Químicos
A seguir, apresentaremos algumas análises da dinâmica de processos químicos.
4.1
Reator CSTR Não-Isotérmico
Considere um reator de medida perfeita (CSTR) de área AT contendo um líquido perfeitamente agitado no qual ocorre uma reação exotérmica. Esse reator é resfriado por uma jaqueta (Figura 4.1-1). A substância A reage irreversivelmente produzindo a substância B, conforme a seguinte reação exotérmica: →
A
B
q1(t), CA1(t), T1(t)
qj1(t), Tj1(t)
Vj Tj
CA(t) CB(t) T(t)
h(t)
Vj Tj
qj2(t), Tj2(t)
q2(t), CA2(t), CB2(t), T2(t)
Figura 4.1-1: Reator de mistura perfeita (CSTR) não isotérmico.
Para construção do modelo matemático deste processo vamos assumir as seguintes hipóteses: H.01.
Massa específica constante;
H.02.
Capacidade calorífica do líquido refrigerante cpj constante;
H.03.
Capacidade calorífica de A igual a capacidade calorífica de B;
H.04.
Entalpia da reação constante;
H.05.
Reator homogêneo, isto é, bem agitado;
H.06.
Jaqueta completamente pré-enchida com fluido refrigerante;
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H.07. Fluido da jaqueta bem agitado (fluido homogêneo); H.08. Coeficiente global de troca térmica, UG, constante. O volume reacional V(t) varia com o tempo a depender da vazão de alimentação e descarga do reator, conseqüentemente, o nível do reator h(t) também varia com o tempo, pois:
Eq 4.1-1
V (t ) = A T h (t )
O modelo matemático deste processo consiste do balanço de massa global, balanço molar para o reagente A e do balanço de energia. 9
Balanço global
Eq 4.1-2
{acumula} = {entra} − {sai}
Eq 4.1-3
{acumula} = dm(t ) = dρ . V(t ) = dt
dt
Eq 4.1-4
{entra} = m& 1 (t ) =
Eq 4.1-5
{sai} = m& 2 (t) = ρ2 . q 2 (t )
ρ .A Τ .
dh (t ) dt
ρ1 . q 1 (t )
Substituindo as Eq 4.1-3, Eq 4.1-4 e Eq 4.1-5 em Eq 4.1-2 obtemos:
Eq 4.1-6
ρ AΤ
dh (t ) = ρ 1 q 1 (t ) − ρ 2 q 2 (t ) dt
Lembrando que pela hipótese H.01: ρ = ρ1 = ρ2 = constante:
Eq 4.1-7
ρ .A Τ .
dh (t ) = q1 (t ) − q 2 (t ) dt
9
Balanço molar
Eq 4.1-8
{acumula} = {entra} − {sai} − {consumido}
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Assumindo que a taxa de consumo de A por unidade de volume é de ordem a e proporcional a concentração de A presente no reator, podemos escrever o seguinte balanço molar: Para A:
Eq 4.1-9
{acumula} =
dn A (t ) dC A (t ). V(t ) dC (t ). h (t ) = = AΤ . A dt dt dt
Eq 4.1-10
{entra} = C A1 (t ). q 1 (t )
Eq 4.1-11
{sai} = C A2 (t ). q 2 (t )
Eq 4.1-12
{consumido} = V(t ). ΓΑ (t )
Eq 4.1-13
ΓΑ (T ) = k (Τ) C aA (t )
Eq 4.1-14
-E k (T ) = k Ο exp R g T
Substituindo Eq 4.1-9, Eq 4.1-10, Eq 4.1-11 e Eq 4.1-12 em Eq 4.1-8 obtemos:
Eq 4.1-15
AΤ
dC A (t ) h (t ) dt
= C Α1 (t )q 1 (t ) − C Α 2 (t ) q 2 (t ) − V (t ) ΓΑ (Τ )
Para tanque perfeitamente agitado: Eq 4.1-16
C Α (t ) = C Α 2 (t )
Substituindo Eq 4.1-13, Eq 4.1-14 e Eq 4.1-16 em Eq 4.1-15 e rearranjando obtemos:
AΤ
Eq 4.1-17
dC Α (t ) h (t ) = C Α1 (t ) q 1 (t ) − C Α 2 (t ) q 2 (t ) + dt - E a − {A T h (t ) } k Ο exp C Α (t ) R g Τ(t )
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9
Balanço de energia no reator
Eq 4.1-18
{acumula} = {entra} − {sai} − {liberado} − {transferido}
Eq 4.1-19
{acumula} = dm
(t ) Η (Τ) dt
= ρ
dV (t) Η (Τ) dt
Eq 4.1-20
{entra} = ρ1 q 1 (t ) Η 1 (Τ)
Eq 4.1-21
{sai} = ρ 2 q 2 (t ) Η 2 (Τ)
Eq 4.1-22
{liberado} = ∆Η r (Τ) V (t ) ΓΑ (Τ)
Eq 4.1-23
{transferido} = Q(t ) = h Τ ∆Τ = U G A J [Τ (t ) − ΤJ (t )]
Substituindo Eq 4.1-19, Eq 4.1-20, Eq 4.1-21, Eq 4.1-22 e Eq 4.1-23 em Eq 4.1-18 obtemos:
ρ Eq 4.1-24
dV (t) Η (Τ ) = ρ 1 q 1 (t ) Η 1 (Τ ) − ρ 2 q 2 (t ) Η 2 (Τ ) + dt − ∆Η r (Τ ) V (t ) ΓΑ (Τ ) − U G Α J [Τ (t ) − ΤJ (t )]
A entalpia é uma função da temperatura e composição, porém, devido às hipóteses H.02 e H.03, podemos escrever: Eq 4.1-25
Η (Τ) = C P Τ(t )
Eq 4.1-26
Η 1(Τ ) = C P 1Τ1 (t ) = C P Τ1 (t )
Eq 4.1-27
Η 2 (Τ ) = C P 2 . Τ2 (t ) = C P . Τ2 (t )
Substituindo Eq 4.1-25, Eq 4.1-26 e Eq 4.1-27 em Eq 4.1-24 e aplicando as hipóteses H.01, H.04 e H.05 obtemos:
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A Τ ρc p
dh (t ) Τ(t ) = ρc p [q 1 (t )Τ1 (t ) − q 2 (t ) Τ (t )] + dt - E a − ∆Η r {A Τ h (t )} k Ο exp C Α (t ) + R g Τ(t ) − U G A J [Τ (t ) − ΤJ (t )]
Eq 4.1-28
9
Balanço de energia na jaqueta
Eq 4.1-29
{acumula} = {entra} − {sai} + {transferido}
Eq 4.1-30
{acumula} =
dm J Η dt
J
(Τ)
= ρ J VJ
d Η J (Τ) dt
Eq 4.1-31
{entra} = ρ J q J1 (t )Η J1 (Τ)
Eq 4.1-32
{sai} = ρ J q J2 (t ) Η J2 (Τ)
Eq 4.1-33
{transferido} = Q (t ) = U G A J [Τ (t ) − ΤJ (t ) ]
Substituindo Eq 4.1-30, Eq 4.1-31, Eq 4.1-32 e Eq 4.1-33 em Eq 4.1-29 e lembrando que a jaqueta está completamente preenchida [qJ1(t) = qJ2(t) = qJ(t)], obtemos:
Eq 4.1-34
ρ J VJ
dΗ J (Τ) = ρ J q J (t ) Η J1 (Τ) − Η J2 (Τ) + U G A J [Τ (t ) − ΤJ (t )] dt
[
]
A entalpia é uma função da temperatura e composição, porém devido a hipótese H.02 podemos escrever:
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Eq 4.1-35
Eq 4.1-36
Eq 4.1-37
Η
J
(Τ) =
Cp J ΤJ ( t)
Η
J1
(Τ) =
Cp J ΤJ 1 (t )
Η
J2
(Τ) =
Cp J ΤJ 2 (t )
Substituindo Eq 4.1-35, Eq 4.1-36 e Eq 4.1-37 em Eq 4.1-34 e aplicando as hipóteses H.01, H.06 e H.07, obtemos:
Eq 4.1-38
ρ J VJ c p J
dΤJ (t ) = ρ J c p J q J (t ) ΤJ1 (Τ ) − ΤJ (Τ ) + U G A J [Τ (t ) − ΤJ (t )] dt
[
]
Portanto, o modelo matemático desse CSTR é formado por um sistema de 4 equações diferenciais ordinárias de 1a ordem, não-lineares, não-homogêneas de coeficientes constantes: 9
Eq 4.1-39
9
Balanço de massa global AΤ
dh (t ) = q 1 (t ) − q 2 (t ) dt
Balanço molar para o reagente A
AΤ
dC Α (t ) h (t ) = C Α1 (t ) q 1 (t ) − C Α (t ) q 2 (t ) + dt - E a − A Τ . h (t ) k Ο exp C Α (t ) R g (t )
{
Eq 4.1-40
9
Balanço de energia no reator A Τ ρc p
Eq 4.1-41
9
}
dh (t ) Τ(t ) = ρc p [q 1 (t )Τ1 (t ) − q 2 (t ) Τ (t )] + dt - E a − ∆Η r {A Τ h (t )}k Ο exp C Α (t ) + R g (t ) − U G A J [Τ (t ) − ΤJ (t )]
Balanço de energia na jaqueta
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ρ J VJ c p J
Eq 4.1-42
4.2
dΤJ (t ) = ρ J c p J q J (t ) ΤJ1 (Τ) − ΤJ (Τ) + U G AJ [Τ (t ) − ΤJ (t )] dt
[
]
Evaporador
A evaporação é uma operação unitária freqüente nos processos químicos (exemplo: caldeiras). Considere uma caldeira conforme a Figura 4.2-1. Neste processo parte do líquido é vaporizado, isto é, passa para a fase vapor devido ao aquecimento provocado pela fonte de calor.
VV(t) TV(t) PV(t) ρL1(t)
qV2(t) TV2(t) ρV2(t)
qL1(t) TL1(t) ρL1(t)
Figura 4.2-1: Caldeira.
Para descrever matematicamente este processo temos que aplicar as equações de conservação para a fase líquida e para a fase vapor. Porém, se o volume ocupado pela fase vapor for pequeno, podemos negligenciar o acúmulo de massa e calor nesta fase, conseqüentemente, podemos desprezar sua dinâmica. 9
Balanço de massa para o vapor
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Eq 4.2-1
{entra} = {vaporiza} = {sai}
Eq 4.2-2
{entra} = {vaporiza} = WV (t )
Eq 4.2-3
{sai} = ρ V (Τ) q V (t ) = ρ V2 (Τ) q V2 (t )
então Eq 4.2-4
WV (t ) = ρ
V
(Τ).q V (t )
9
Balanço de energia para o vapor
Eq 4.2-5
{entra} = {sai}
Eq 4.2-6
{entra} = WV (t ) Η V (t )
Eq 4.2-7
{sai} = ρ V2 (Τ) q V2 (t ) Η V 2 (t )
Substituindo Eq 4.2-6 e Eq 4.2-7 em Eq 4.2-5: Eq 4.2-8
WV (t ) Η V (t ) = ρ V2 (Τ ) q V2 (t ) Η V 2 (t )
Substituindo Eq 4.2-4 em Eq 4.2-8 e rearranjando: Eq 4.2-9
Η V (t ) = Η V 2 (t )
9
Balanço de massa para o líquido
Eq 4.2-10
{acumula} = {entra} − {vaporiza}
Eq 4.2-11
{acumula} = dm(t ) = dt
Eq 4.2-12
{entra} = m L1 (t )
Eq 4.2-13
{sai} = WV (t )
dρ L (Τ) V (t ) dt
= ρ L1 (Τ ) q L1 (t )
= ρ V (Τ) q V (t )
Substituindo Eq 4.2-10, Eq 4.2-11 e Eq 4.2-12 em Eq 4.2-9:
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Eq 4.2-14
dρ L (Τ ). V (t ) = ρ L1(Τ). q L1(t ) − ρ V (Τ ). q V (t ) dt
Se a temperatura do líquido na caldeira não varia muito, podemos assumir uma massa específica média e constante para o líquido no seu interior (ρL = constante), então a Eq 4.2-14 se torna:
Eq 4.2-15
ρL
dV (t ) = ρ L1 (Τ ) q L1 (t ) − ρ V (Τ) q V (t ) dt
9
Balanço de energia para o líquido
Eq 4.2-16
{acumula} = {entra} − {vaporiza} + {transferido}
Eq 4.2-17
{acumula} = dm(t ) Η (Τ) =
dρ L (Τ) VL (t ) Η L (Τ)
dt
dt
Eq 4.2-18
{entra} = ρ L1 (Τ) q L1 (t ) Η L1 (Τ)
Eq 4.2-19
{sai} = WV (t ) Η V (Τ) = ρ V2 (Τ) q V2 (t ) Η V 2 (t )
Eq 4.2-20
{transferido} = Q (t ) = ρ C q C (t )∆Η C
Substituindo Eq 4.2-17, Eq 4.2-18, Eq 4.2-19 e Eq 4.2-20 em Eq 4.2-16: d ρ L (Τ)VL (t ) Η L (Τ) dt Eq 4.2-21
= ρ L1 (Τ) q L1 (t ) Η L1 − ρ V2 (Τ)q V2 (t )Η V2 (t ) + ρ C q C (t )∆Η C
Assumindo que a entalpia do líquido pode ser representada por Η V = Η L + ∆Η LV , onde ∆Η LV é a entalpia de valorização do líquido e que a
temperatura da caldeira não se modifica muito, obtemos. Cp ρ L Eq 4.2-22
dVL (t )ΤL (t ) = Cpρ L1(Τ ) q L1 (t ) ΤL1 (t ) + dt − ρ V2 (Τ ) q V2 (t ) Cp ΤL (t ) + ∆Η LV + ρ C ∆Η C q C (t )
[
]
Para completar este modelo, precisamos ainda de equações de estado que representem as variações das propriedades do fluido com a temperatura. Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Massa específica do vapor:
ρV = Eq 4.2-23
PM P V R g TV
Pressão do vapor:
Eq 4.2-24
A Ρv = Ps = exp + B ΤL
Temperatura do vapor: Eq 4.2-25
Τv = ΤL
Estamos admitindo que o sistema esteja em equilíbrio termodinâmico. Massa específica do líquido: Eq 4.2-26
ρ = f (Τ)
Na verdade temos duas equações como essa: Eq 4.2-27
ρ L1 = ρ L
Portanto, o modelo matemático dessa caldeira é formado por um sistema de 2 equações diferenciais ordinárias Eq 4.2-15 e Eq 4.2-22, mais 4 equações algébricas Eq 4.2-23, Eq 4.2-24, Eq 4.2-25, Eq 4.2-26 e Eq 4.2-27: 9
Eq 4.2-28
9
Balanço de massa para o líquido
ρL
dVL (t ) = ρ L1 (Τ ) q L1 (t ) − ρ V (Τ ) q V (t ) dt
Balanço de energia para o líquido
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cP ρL Eq 4.2-29
4.2.1
dVL (t ). ΤL (t ) = c P ρ L1 (Τ ) q L1 (t ). ΤL1 (t ) + dt − ρ V (Τ) q V (t ) c P ΤL (t ) + ∆Η LV + ρC ∆Η C . q C (t )
[
]
Análise dos graus de liberdade
Incógnitas: ρL, VL, ρL1, qL1, ρV, qV, cP, TL1, TL, ∆HLV, ρC, ∆HC, qC, PV, TV, PM, A, B
total
de
+18 Incógnitas conhecidas:
cp, ∆HC, ρC, PM, A, B
total de - 7
Equações: 2 diferenciais e 5 algébricas
total de - 7
Graus de liberdade: qL1(t), qC(t), TL1(t), qV(t)
total de +4
4.3
Coluna de Destilação
As colunas de destilação são equipamentos presentes em praticamente todas as plantas petroquímicas e/ou químicas. Neste item, vamos estudar os princípios físicos que regem a operação de uma coluna de destilação. As separações envolvendo multicomponentes são as mais comuns, mas para simplificar vamos aproximá-las para uma mistura binária ou pseudo-binária (definindo um componente-chave leve e um componente-chave pesado), Figura 4.3-1.
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Figura 4.3-1: Destilação binária ou pseudo-binária.
4.3.1
Modelo Estacionário
Com o intuito de entender os fenômenos físicos que existem na destilação, iremos inicialmente desenvolver o modelo em estudo estacionário, posteriormente apresentaremos e analisaremos o modelo dinâmico. No desenvolvimento do modelo matemático, vamos considerar as seguintes hipóteses: H.01. A mistura é bem representada por uma mistura binária ou pseudobinária formada por duas substâncias: um componente-chave pesado (menos volátil) e um componente-chave leve (mais volátil); Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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H.02. Os dois componentes têm a mesma entalpia molar de vaporização; H.03. A perda de calor para as vizinhanças e o calor de solução é desprezível. As hipóteses H.02 e H.03 implicam em assumir vazões internas molares de vapor e de líquido constantes ao longo de cada seção da coluna, isto é, para seção de retificação (rectifying) VR e LR constantes, e para a seção de esgotamento (stripping) VS e LS constantes. Como conseqüência dessas hipóteses para cada mol vaporizado existe um mol condensado em cada estágio da coluna e não existe a necessidade de desenvolver o balanço de energia para a coluna. H.04. Estágios no equilíbrio (eficiência de separação de 100%); H.05. Volatilidade relativa constante. Desta forma, o equilíbrio líquido – vapor pode ser descrito pela relação: yn = Eq 4.3-1
α .xn 1 + (α - 1). xn
Podemos representar o equilíbrio líquido-vapor por um diagrama xy, Figura 4.3-2.
Figura 4.3-2: Diagrama de equilíbrio xy.
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H.06. Condensador total, estando o refluxo e o destilado no ponto de bolha da mistura, isto é, líquido saturado. Se a descarga térmica no condensador é exatamente igual ao calor latente do vapor saturado (ponto de orvalho), o condensado formado também estará saturado (ponto de bolha). Se a carga térmica for maior, o líquido será sub-resfriado. Em ambos os casos a pressão no condensador e no acumulador será a pressão de vapor do condensado, a não ser que algum gás incondensável seja injetado para aumentar a pressão de operação da coluna; H.07. Retirada de fundo no ponto de bolha, isto é, líquido saturado. 4.3.1.1 Coluna
Balança de Massa Global
9
F=D+B
Eq 4.3-2
Para uma vazão de alimentação F constante, um aumento da vazão de destilado D provoca uma diminuição na retirada de fundo B, e vice-versa: Para F = ↑ cte e ↓ D
ÆB
Balanço Molar para o Componente mais Volátil: Eq 4.3-3
Fz = Dx D + B x B
Para F, z e xD = ctes. e D
Æ
B e xB
Para F, z e xB = ctes. e D
Æ
B e xD
Tabela 4.3-1: Fechamento do balanço material.
F
z
Z*F
D
xD
xD*D
B
xB
xB*B
100.0
0.700
70.0
80.0
0.800
64.0
20.0
0.300
6.0
100.0
0.700
70.0
85.0
0.800
68.0
15.0
0.133
2.0
100.0
0.700
70.0
85.0
0.771
65.5
15.0
0.300
4.5
4.3.1.2 Prato de alimentação 9
Balanço de Massa Global
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O estado de carga influencia nos moles de líquido saturado formado no prato de alimentação, ou seja, nas vazões internas de líquido de vapor. Para caracterizar este estado, define-se o parâmetro q: q= Eq 4.3-4
calor para converter 1 mol de alimentação até vapor saturado calor molar de vaporização
Alimentação de líquido sub-resfriado:
q>1
Alimentação de líquido saturado:
q=1
Alimentação de carga parcialmente “flasheada”5
1>q>0
Alimentação de vapor saturado:
q=0
Alimentação de vapor superaquecido:
q<0
Na Figura 4.3-3 plotamos as diferentes possibilidades da linha q no prato de alimentação.
Figura 4.3-3: 5 Possibilidades para linha q no prato de alimentação.
Considere um invólucro no prato de alimentação, conforme Figura 4.3-4, então o balanço de massa global é:
5
Fase líquida em equilíbrio com seu vapor. Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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q. F + L NF + 1 = L NF
Eq 4.3-5
(1 − q ). F + VNF - 1 = VNF
Eq 4.3-6
Somando Eq 4.3-5 e Eq 4.3-6: F + L NF + 1 + VNF - 1 = L NF + VNF
Eq 4.3-7
Se a alimentação for de líquido saturado, a vazão de vapor é constante ao longo da coluna, enquanto a vazão de líquido é diferente entre as seções de retificação e esgotamento. O contrário ocorre se a carga é de vapor saturado.
Figura 4.3-4: Invólucro no prato de alimentação.
Balanço Molar para o Componente mais Volátil
9
z . F + x NF + 1 . L NF + 1 + y NF − 1 . VNF -1 = x NF . L NF + x NF . VNF
Eq 4.3-8
4.3.1.3 Condensador e Vaso de Refluxo 9
Balanço de Massa Global
Eq 4.3-9
VR = R + D
9
Balanço Molar
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Eq 4.3-10
VR y NT = Rx R + Dx D
Dividindo Eq 4.3-10 por VR obtemos a equação da linha de operação do topo: R D xR + xD VR VR
y NT = Eq 4.3-11
4.3.1.4 Seção de retificação
Balanço Molar
9
Considere dois invólucros na seção de retificação, Figura 4.3-5. Os balanços molares para estes invólucros são: Eq 4.3-12
Vn y n = L n + 1 x n + 1 + Dx D
ou yn = Eq 4.3-13
L n +1 Vn
x n +1 +
D xD Vn
e yn-2 = Eq 4.3-14
L n -1 Vn - 2
x n -1 +
D xD Vn - 2
Onde NF < n < NT
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Figura 4.3-5: Invólucros para balanço de massa na seção de retificação.
Aplicando a hipótese de vazão molar constante ao longo da seção de retificação Vn = VR e R = Ln = LR, observamos que Eq 4.3-11, Eq 4.3-13 e Eq 4.3-14 representam uma equação de uma reta de coeficiente linear (D/V). xD e coeficiente angular LR/VR: yn = Eq 4.3-15
Dx n LR x n +1 + VR VR
A composição no topo da coluna é igual a composição do destilado, isto é, yNT = xD portanto, a reta de operação intersectada a reta x = y, conforme Figura 4.3-6. Na Figura 4.3-6, plotamos a equação da linha de operação de topo (Eq 4.314) num diagrama xy.
Figura 4.3-6: Linha de operação de topo da coluna.
A razão R/D é denominada de razão de refluxo externo (RRE), enquanto que a razão LR/VR é denominada razão de refluxo interno (RRI) da seção de retificação. 4.3.1.5 Refervedor e base coluna 9
Balanço de Massa Global Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Eq 4.3-16
L1 = V1 + B
9
Balanço Molar
Eq 4.3-17
L1 x 1 = V1 y B + Bx B
Dividindo Eq 4.3-17 por L1 obtemos a equação da linha de operação do fundo: yB =
L1 B x1 − x B V1 V1
ym =
LS B x m +1 − xB VS VS
Eq 4.3-18
ou
Eq 4.3-19
onde Eq 4.3-20
1 < m < NF
Aplicando a hipótese de vazão molar constante ao longo da seção de esgotamento Vm = Vs e Lm = Ls, observamos que a Eq 4.3-19 representa uma equação de uma reta de coeficiente linear (B/VS)xB e coeficiente angular Ls/Vs. A composição do fundo da coluna é igual a composição do resíduo, isto é, yB = xB , portanto a reta de operação intersecta a reta x = y. Na Figura 4.3-7 plotamos a equação da linha de operação de fundo Eq 4.3-19 num diagrama x = y. 4.3.1.6 Linhas de operação da coluna
A construção das linhas de operação a partir de xB ou xD e ϕ é um procedimento tipo tentativa-e-erro: • Marcar no diagrama x = y os pontos (xB, yB) ou (xD, yD); • Desenhar no diagrama x = y a linha q no prato de alimentação; • Como as retas de operação do topo e fundo tem que se interceptar em
algum ponto da linha ϕ, plotar uma estimativa inicial para as linhas de operação de topo (ou de fundo) partindo do ponto de xD = yD (ou de xB = yB); Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Yn = ym sobre a linha q:
Eq 4.3-21
L DxD LR B xB xF + = S xF − VS VR VS VR
• Plotar a linha de operação do fundo a partir de dois pontos disponíveis: xB =
yB (ou de xD = yD) e o ponto de interseção da reta de topo com a linha q; • Partindo do ponto xB = yB (ou de xD = yD) traçar as retas que descrevem o
equilíbrio do líquido com o seu vapor em cada prato; • Verificar se a partir do ponto (xB, yB) foi alcançado o ponto (xD, yD), se não foi
fazer nova estimativa para a linha de topo (ou de fundo) e retornar ao passo (d) até que seja satisfeita as condições estabelecidas. Para se determinar a vazão de reciclo de uma coluna existente a partir de um número de pratos NT e estado da alimentação q conhecido, devemos especificar a corrente de entrada (F e z) e uma corrente de saída, geralmente o destilado (D e xD). Considere uma coluna de destilação de 8 estágios de equilíbrio (incluindo o refervedor), a carga é líquido saturado (q = 1) nas condições de temperatura e pressão do prato de alimentação (NF = 4, F = 1,000 mol/h e xNF = 0.4). O condensador é total. A composição molar do destilado deve conter 95% do componente mais volátil, com uma recuperação de 96.1875% do total do componente mais volátil. Plotar as linhas de operação da coluna e calcular a vazão de reciclo e razão de reciclo externo (RRE). Solução: 9
Fração molar Recuperação de 96.1875%:
xD = 0.95 D = 96.1875% * F * (z / xD)
9
Vazão de destilado
D = 405 mol/h
9
Vazão do resíduo
B = F – D = 1000 – 405 = 595 mol/h
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Para plotar as linhas de operação temos que seguir um procedimento de tentativa-e-erro. Estimando um coeficiente linear para a reta de topo: (D*xD)/VR = 0.18 = 2,137.5 mol/h. VR = (D*xD)/0.18 = 2,137.5 mol/h
Vazão interna do vapor:
A inclinação da reta de topo é a razão de refluxo interno RRI, lida na Figura RRI = LR/VR = 0.818
4.3-7:
Vazão interna de líquido:
LR = RRI * VR = 1,748.48 mo/h
Vazão de reciclo:
R = LR = 1,748.48 mol/h
Razão de refluxo externo:
RRE = R/D = 4.317
Ou de VR = R + D
Æ
R/RRI = R + D
Æ
R = 1,820 mol/h
A diferença nos valores obtidos para R é devido a imprecisão na leitura do valor do coeficiente linear no diagrama xy. Coeficiente angular da reta de base: L’/V’ = LS/VS = (R + F)/Vr = 1.286 As linhas de operação podem ser vistas na Figura 4.3-7.
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Figura 4.3-7: Linhas de operação da coluna.
9
Efeito do aumento da vazão de reciclo Aumentar o reciclo mantendo as vazões de alimentação e retirada
constantes (F, D e B constantes) resulta numa melhor separação, isto é, num aumento de xD e, conseqüentemente, da recuperação do componente mais volátil. Porém, o incremento de R provoca, neste caso, um incremento do fluxo interno de vapor V, ou seja, num aumento no consumo de utilidades: Para D e B constantes e R ↑ Para os dados do exemplo com R = 2200
Æ
VR = R + D↑ VR = 2,605 mol/h
RRI = LR/VR=2200/2605 = 0.84453 aumento do coeficiente angular da reta de topo.
(R + F) L' L s = = = 1,2242 V ' Vs Vr 9
Diminuição do coeficiente angular da reta de fundo. A solução deste problema novamente é por tentativa-e-erro, mas podemos
perceber que o incremento de R causará um incremento em xD
e,
conseqüentemente, diminuição em xB. O número de pratos define a altura da coluna, enquanto o refluxo define as vazões internas na coluna e, conseqüentemente, influencia na operação do condensador, refervedor, bombas e outros acessórios da coluna. Um refluxo ótimo diminui o consumo de utilidades (vapor d’água, energia e fluido refrigerante). O refluxo não pode ser muito grande senão causa inundação ou formação de espuma em excesso, nem muito pequeno senão causa pulsação e/ou passagem de líquido indevida. Para uma determinada coluna (número fixo de pratos), o incremento do refluxo provoca, se não houver problemas operacionais, uma melhor separação, conseqüentemente, a diminuição de R resulta numa separação mais pobre. Porém, admitindo que o número de pratos pudesse ser aumentado, poderíamos operar uma coluna com um refluxo menor, aumentando adequadamente o número
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de estágios, e assim alcançar a mesma separação. No limite teríamos um refluxo mínimo e um número infinito de pratos. As colunas de destilação são projetadas para trabalharem com razão de refluxo externo (RRE) em torno de 1.5 a 2 vezes o RRE mínimo. Efeito do aumento da vazão interna de vapor
9
Aumentar a vazão de vapor, mantendo as vazões de retirada constantes (D e B constantes), resulta numa melhor separação, isto é, um aumento de xD e, conseqüentemente, da recuperação do componente mais volátil. Porém, para incrementar V o refervedor tem que transferir mais calor (maior consumo de energia) para o líquido na base da coluna; por sua vez, este vapor deve ser liquefeito no condensador (maior consumo de fluido refrigerante). Ou seja, o aumento de V implica no aumento de utilidades. Balanço total de energia da coluna
9
Fazendo um balanço total de energia em regime estacionário obtemos:
Eq 4.3-22
{entra de calor} = {sai de calor}
Eq 4.3-23
{entra} = {a lim entação} + {refervedor}
Eq 4.3-24
{entra} = F . Η F
Eq 4.3-25
{sai} = {topo} + { fundo} + {condensador} + {perdas}
Eq 4.3-26
{sai} = D . Η D
+ QR
+ B. Η B + QC + 0
Substituindo Eq 4.3-24 e Eq 4.3-26 em Eq 4.3-22 obtemos: Eq 4.3-27
F.H F + Q R = D . Η D + B . Η B + Q C
( )
(
)
As entalpias das correntes de entrada Η F e de saída Η D e Η B dependem das composições e da temperatura das respectivas correntes. Admitindo que as capacidades caloríficas das substâncias presentes na destilação são parecidas podemos considerar que a entalpia de uma corrente seja apenas função da temperatura. Portanto, se aumentarmos a quantidade de calor Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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cedido no refervedor para manter as demais condições constantes, temos que aumentar a retirada de calor no condensador. • Balanço de energia no condensador Eq 4.3-28
{entra} = {vapor de topo}
Eq 4.3-29
{sai} = {destilado} + {refluxo} + {condensador}
Eq 4.3-30
VR Η vr = D Η D + R Η R + Q C
mas Eq 4.3-31
VR = D + R
Eq 4.3-32
e
H D = H R = H LR
então
(
Q C = VR . Η vr − Η Lr
Eq 4.3-33
(Η vr
)
Se o condensador for total e o líquido formado estiver saturado, então − Η Lr
) é a própria entalpia de vaporização do líquido, nas condições do
tambor de refluxo. • Balanço de energia no refervedor Eq 4.3-34
{entra} = {líquido da base} + {refervedor}
Eq 4.3-35
{sai} = {residuo} + {vapor}
Eq 4.3-36
LS .Η LS + Q R = B . Η B + VS . Η VS
mas, Eq 4.3-37
LS = B + VS
e
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Eq 4.3-38
Η B = Η LS
Eq 4.3-39
então
(
Q R = VS . Η VS − Η B
)
O vapor formado no refervedor é saturado, então
(Η VS
− ΗB
) é a própria
entalpia de vaporização do líquido da base da coluna. 4.3.1.7 Hidráulica
Até aqui estudamos o equilíbrio líquido-vapor e os balanços de massa e energia de uma coluna de destilação, mas muito pouco foi discutido sobre o escoamento dos fluidos no interior da torre. Para acontecer a transferência dos componentes leves para a fase vapor e dos pesados para a fase líquida o equipamento de separação deve promover um íntimo contato entre as fases, para tanto são instalados anteparos (pratos ou recheio) que provocam uma maior turbulência e dispersão das fases, melhorando o contato entre as mesmas. Neste curso estudaremos o funcionamento das colunas de bandejas (configuração mais freqüente), embora alguns conceitos a seguir citados também sirvam para as colunas e recheio. Os tipos mais comuns de pratos são (a) com válvulas, (b) com borbulhadores, (c) bandejas de grade, (d) bandejas perfuradas. Nas Figura 4.3-8 e Figura 4.3-9 observamos um prato com borbulhadores e prato perfurado, respectivamente.
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Figura 4.3-8: Bandeja com borbulhadores.
Figura 4.3-9: Bandeja perfurada.
O escoamento interno de vapor e de líquido ao longo da coluna, Figura 4.3-10 e Figura 4.3-11, deve ser tal que favoreça o contato entre as fases
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tornando mais eficientes a separação, porém devem evitar os seguintes fenômenos: (a) arraste de líquido, (b) formação de cones de vapor, (c) pulsação, (d) passagem de líquido ou gotejamento, (e) inundação, (f) formação de espuma em excesso.
Figura 4.3-10: Escoamento por uma bandeja com borbulhadores.
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Figura 4.3-11: Escoamento por bandeja perfurada.
9
Arraste (entrainment) em pratos com borbulhadores ou perfurados Uma alta velocidade do vapor pode provocar o arraste de líquido de um prato
inferior para o imediatamente superior, contaminando este último com porções de líquido mais pesado. Observe que a velocidade pode aumentar devido ao aumento da vazão mássica ou diminuição da pressão de operação da coluna (e conseqüente aumento do volume específico do vapor). Colunas a vácuo são construídas com um diâmetro maior que colunas atmosféricas, pois devido às baixas pressões das primeiras o volume específico do vapor é grande implicando em elevadas velocidades internas de vapor. 9
Formação de cones de vapor em pratos com borbulhadores Se a vazão de líquido é pequena poderá haver uma altura insuficiente de
líquido, sobre as fendas dos borbulhadores, formando assim regiões isentas de líquido em torno dos borbulhadores, conseqüentemente, as fases não estarão em contato, não ocorrendo a transferências de massa, Figura 4.3-12.
Figura 4.3-12: Condições operacionais de uma bandeja com borbulhadores. Distribuição não homogênea do vapor ao longo do prato devido ao gradiente de nível de líquido no prato.
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Pulsação em pratos com borbulhadores
9
Se a vazão de vapor for pequena pode ser que o vapor presente num prato inferior não tenha pressão suficiente para vencer a resistência oferecida ao seu escoamento, acumulando neste prato até o momento em que a pressão aumenta forçando a passagem brusca do vapor. Após este instante, a pressão do vapor diminui rapidamente e novamente acontece o bloqueio da vazão de vapor. Este ciclo se repete, originando uma vazão em pulsos (passagem pulsante), Figura 4.3-12. 9
Passagem de líquido em pratos com borbulhadores Uma vazão de vapor baixa e de líquido alta pode ocasionar a passagem de
líquido pelas fendas dos borbulhadores. Geralmente, este fenômeno ocorre nos borbulhadores próximos ao(s) downcomer(s), Figura 4.3-11. 9
Passagem de líquida (weeping) em pratos perfurados Uma vazão muito baixa de vapor provoca o escoamento de líquido pelas
perfurações do prato, diminuindo a eficiência da separação. Este fenômeno pode ser localizado. 9
Inundação (flooding) em pratos perfurados e com borbulhadores A inundação de uma coluna ocorre quando o nível de líquido nos tubos de
queda (downcomer) atinge o prato superior causando retorno de líquido, também pode ser causada pelo arraste de líquido. A inundação é favorecida pela elevação da perda de carga e pelo aumento da vazão de líquido. A inundação de uma coluna pode ser detectada quando ocorre um rápido aumento da queda de pressão no prato e/ou a eficiência da separação cai bruscamente. 9
Formação de espumas (foaming) em pratos perfurados ou com
borbulhadores Um certo grau de formação de espumas é desejável desta forma a área disponível para a transferência de massa aumenta, porém o excesso de espuma causa arraste e/ou inundamento do prato. De modo geral, há uma tendência crescente de formação de espumas do topo para o fundo da coluna devido ao incremento da tensão superficial neste sentido.
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Flexibilidade
9
operacional
de
bandejas
perfuradas
e
com
borbulhadores Pelo que discutimos a carga de vapor e de líquido deve estar limitada entre valores máximos e mínimos. Nas Figura 4.3-13 e Figura 4.3-14, observamos quais os limites de vazão que devem ser observados.
Figura 4.3-13: Limites das vazões de vapor e de líquido em pratos com borbulhadores.
Figura 4.3-14: Limites das vazões de vapor e de líquido em pratos perfurados.
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Eficiência de um prato
9
Na descrição da operação de uma coluna de destilação foi considerado que cada estágio estava em equilíbrio termodinâmico. Quando isto acontece ocorre a máxima separação possível. Porém, nas condições operacionais típicas de colunas de destilação este equilíbrio não é alcançado. Conseqüentemente, para uma mesma separação, se a eficiência do prato for menor que 100%, o equipamento terá um número de pratos maior que o calculado para eficiência de 100%. Os principais fatores que influenciam nesta eficiência são: (a) taxa de transferência de massa na fase vapor; (b) taxa de transferência de massa na fase líquida; (c) grau de mistura do líquido em cada prato; (d) quantidade de líquido arrastado pelo vapor. Na Figura 4.3-14 observamos como deve ser realizado o cálculo de uma coluna binária a eficiência de Murphree: En = Eq 4.3-40
y n − y n −1 y *n − y n −1
Figura 4.3-15: Aplicação da eficiência de Murphree.
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4.3.2
Modelo Dinâmico
Nesta seção iremos desenvolver o modelo matemático em regime transiente de uma coluna de destilação. Utilizaremos as mesmas hipóteses utilizadas no desenvolvimento do modelo para regime estacionário, acrescentando algumas outras que citaremos. O acúmulo de massa e calor na linha entre o topo da coluna e o vaso de refluxo é pequeno, de forma que podemos negligenciar sua dinâmica. Apesar disso a composição do vapor do topo yNT só será igual a composição do destilado xD no estado estacionário. Esta hipótese é apropriada para a maioria das colunas industriais, porém não é para plantas piloto ou colunas de laboratórios. O condensador é total. O conteúdo do vaso de refluxo está perfeitamente misturado e no ponto de bolha. A vazão de destilado é D. A base da coluna a vazão de retirada é B. O vapor é gerado em um refervedor tipo termosifão e retorna para a coluna devido a convecção natural. O líquido na base da coluna e no refervedor estão perfeitamente misturados e tem a mesma composição xB e um acúmulo total de massa (hold-up) de MB. O vapor gerado no refervedor yB está em equilíbrio com o líquido na base da coluna xB. A coluna tem NT pratos teóricos perfeitamente misturados com composição xn e hold-up de líquido Mn. O hold-up de vapor é negligente em todo o sistema, pois, embora o volume ocupado pelo vapor seja grande, seu volume específico também o é, conseqüentemente, o acúmulo de massa e energia é pequeno. Esta hipótese não pode ser assumida em colunas de alta pressão. As hipóteses H.02 e H.03 citadas anteriormente implicam que, no estado estacionário, os fluxos molares internos (líquido e vapor) são constantes em cada seção, porém no regime transiente isto não mais acontece (o fluxo interno não é equimolar). Se admitirmos que o acúmulo de vapor é negligenciável, então sua vazão através da coluna será:
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Eq 4.3-41
Vs(t) = VNT(t) = VNT-1(t) = ... = VNF(t)
Eq 4.3-42
Vr(t) = V1(t) = V2(t) = ... = VNF-1(t)
Eq 4.3-43
e VNF = VNF-1(t) + ( 1 – q ).F(t)
Por outro lado o acúmulo de líquido não pode ser desprezado,, conseqüentemente, as vazões de líquido de um prato para outro não são iguais. Para descrever a quantidade de líquido que escoa de uma bandeja para outra utilizamos a fórmula de Francis: Eq 4.3-44
Fórmula de Francis: qn = 3.33hw.(how)1,5
Eq 4.3-45
L = PM.ρ.qn
A partir das hipóteses estabelecidas, o modelo matemático que descreve este processo é: • Condensador e vaso de refluxo
Eq 4.3-46
dM D = VR (t ) − R (t ) − D (t ) dt
dM D x D (t ) Eq 4.3-47
dt
= Vr (t )y NT (t ) − [R (t ) + D(t )].x D (t )
• Prato de topo (n = NT)
Eq 4.3-48
dM NT (t ) = R (t ) − LN (t ) dt
dM NT x NT (t ) Eq 4.3-49
dt
= R (t ) x D (t ) + VR (t ) y NT -1 (t ) − L NT (t )x NT − Vr (t )y NT (t )
• Prato n (seção de retificação)
Eq 4.3-50
dM n (t ) = L n + 1 (t ) − L n (t ) dt
Eq 4.3-51
dM n (t ) x n (t ) = L n + 1 (t ) x n + 1 (t ) + VR (t )y n -1 (t ) − L n (t )x n (t ) − VR (t ) y n (t ) dt
• Prato de alimentação (n = NF) Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Eq 4.3-52
dM NF (t ) = L NF + 1 (t ) − L NF (t ) + F (t ) dt
Eq 4.3-53
dM NF (t ) x NF (t ) = L NF + 1 (t )x NF + 1 (t ) + Vr (t ) y NF -1 (t ) z − L NF (t )x NF (t ) − VR (t )y NF (t ) dt
• Primeiro prato (n = 1)
Eq 4.3-54
dM1 (t ) = L 2 (t ) − L1 (t ) dt
Eq 4.3-55
dM 1 (t ) x 1 (t ) = L 2 (t ) x 2 (t ) + VS (t ) y B (t ) − L1 (t ) x 1 (t ) − VS (t )y1 (t ) dt
• Refervedor e base da coluna
Eq 4.3-56
dM B (t ) = L1 (t ) − V2 (t ) − B (t ) dt
Eq 4.3-57
dM B (t ) x B (t ) = L1 (t )x 1 (t ) + VS (t )y B (t ) − B (t )x B (t ) dt
Obs: Neste caso não é necessário desenvolver o balanço de energia
4.4 Lavadora
Coluna de Absorção, Extração, Esgotamento e
Na Figura 4.4-1 observamos quais as correntes de alimentação e descarga de colunas de absorção (absortion), colunas de esgotamento (scripping), colunas de extração (extration) e colunas lavadora de gás (washing).
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Figura 4.4-1: Diagrama simplificado de processos de separação.
Tabela 4.4-1: Outros tipos de operações de separação.
Operação Unitária
Fase contínua
Fase dispersa
Produto Principal
absorção
líquida
gás
gás residual
esgotamento
líquida
gás
gás rico
extração
líquida
líquida
refinado ou extrato
Lavagem
gás
líquida
gás pobre
Muitas das observações feitas para colunas de destilação são válidas para absorvedoras, colunas de esgotamento, extratoras e lavadoras. Por exemplo, que existem vazões máximas e mínimas para operação do processo, devemos promover um íntimo contato entre as fases.
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4.5
Exercícios 4.5.1
Coluna de Destilação
4.5.01. Considere uma coluna de destilação. Dados: Alimentação líquido saturado:
F
=
10,000 kg/h
HF
=
=
4,000 kg/h
HB
=
50
kcal/kg
(50ºC) Resíduo:
B
50
kcal/kg
(100ºC) Destilado:
HD
=
15 kcal/kg (30 ºC)
Carga térmica no refervedor:
QR
=
540 kcal/h
Condensador total, com formação de líquido saturado, entalpia de vaporização da mistura no condensador:
HLV
=
50 kcal/kg
Calcule a carga térmica do condensador, as vazões do vapor e líquido nas seções de retificação e esgotamento, a vazão de refluxo R, as razões de refluxo interno (RRI) e externo (RRE). Mantendo as condições (vazões e temperaturas) de entrada e saída da coluna constante, calcule QC, R, RRI e RRE se o calor introduzido pelo refervedor (QR) aumenta para 1,000 kcal/h? Compare esses resultados com os anteriores.
4.5.2
Tanque agitado com serpentina
Um líquido é continuamente alimentado em um tanque bem agitado, que é aquecido por uma serpentina de vapor. O hold-up de líquido M é mantido constante. Vapor é adicionado ao sistema a uma vazão qst(t). A alimentação do tanque F1 é constante, mas sua temperatura T1(t) é variável com o tempo. Dados do problema: Alimentação:
F1
=
50,000 Ibm/h
ρ
=
50 lbm/ft3
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Tanque:
M
cp
=
0.5 Btu/lbm.ºF
T1ss
=
80ºF
=
4,000 lbm
Tss
=
=
900 Btu/lbm
190ºF
Serpentina: Calor latente de vaporização do vapor
λst
Modelo matemático deste processo
9
τp .
onde
dΤ (t ) + Τ(t ) = K1 . Τ1 (t ) + K 2 . qst (t ) dt
τp =
Μ F1
K1 = 1
K2 =
λst C P F1
Pede-se: • Vazão do vapor no estado estacionário. • Vazão do vapor necessária para manter a temperatura no tanque constante
quando a temperatura de carga muda para 70 ºF. • Qual o efeito sobre este processo quando a vazão da carga aumenta de
10%? • Qual o efeito da mudança de temperatura do vapor neste processo?
4.5.3
Reator CSTR
Considere o modelo fenomenológico de um CSTR, descrito a seguir. Reescreva o modelo utilizando notação matricial (Exemplo adaptado do Corripio, pg 471-475).
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Fi, CAi,CBi, Ti
Fc1, Tc1
A
B
h(t)
Fc, Tc F, CA, CB Figura 4.5-1: CSTR.
9
Balanço global
Eq 4.5-1
dV (t ) = Fi (t ) − F (t ) dt
9
Balanço de massa para o reagente A
Eq 4.5-2
dV (t ).C A (t ) = (Fi (t ).C Ai (t ) − F (t ).C A (t )) + ΓA (t ).V (t ) dt
9
Balanço de massa para o reagente B
Eq 4.5-3
dV (t ).C B (t ) = (Fi (t ).C Bi (t ) − F (t ).C B (t )) + ΓB (t ).V (t ) dt
9
Balanço de energia no reator
Eq 4.5-4
dE (t ) = f (L, Fi , C A , Ti , T , Tc ,) dt
9
Balanço de energia na camisa do reator
Eq 4.5-5
dE (t ) = f (Fc , T , Tci , Tc ,) dt
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As equações Eq 4.5-1 a Eq 4.5-5 constituem o modelo fenomenológico nãolinear do CSTR. Hipóteses Adicionais
9
H1. Seção transversal do tanque é constante e de área AT. Então V(t) = AT.L(t) H2. As propriedades dos componentes e da mistura não variam com a temperatura. H3. Energia = Entalpia H4. Os efeitos do calor de mistura são desprezíveis H5. Reação do tipo: A → B de 1ª ordem, irreversível. Portanto podemos escrever: Equação 1 Então, omitindo a explicitação da dependência com o tempo (t) e considerando as hipóteses acima, podemos escrever: 9
Balanço global f1 =
Eq 4.5-6
9
dL Fi F = − dt At At
Balanço de massa para o reagente A
Eq 4.5-7
9
Balanço de massa para o reagente B
Eq 4.5-8
9
9
E
− dC B Fi 1 f3 = = ⋅ ⋅ (C Bi − C B ) + k o .e R.(T + 273.15 ) .C A2 dt At L
Balanço de energia no reator
Eq 4.5-9
E
− dC A Fi 1 f2 = = ⋅ ⋅ (C Ai − C A ) − k o .e R.(T + 273.15 ) .C A2 dt At L
f4 =
E
∆H R .k o − R.(T + 273.15 ) 2 dT Fi 1 U .A 1 .C A − = ⋅ ⋅ (Ti − T ) − ⋅e ⋅ ⋅ (T − Tc ) dt At L ρ .Cp ρ .Cp. At L
Balanço de energia na camisa do reator Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Eq 4.5-10
f5 =
dTc Fc U .A = ⋅ (Tci − Tc ) + ⋅ (T − Tc ) ρ c .Cpc .Vc dt Vc
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Capítulo 5.
Exemplo prático
5.1
Modelo Não-Linear Em Espaço De Estados
Vamos pegar como exemplo o reator CSTR. Definindo os vetor dos estados·:
Eq 5.1-1
x1 = L x = C A 2 x = x3 = C B x4 = T x5 = Tc 5×1
Observe que temos ne = 5 estados. Definindo o vetor dos distúrbios externos (ou simplesmente distúrbios):
Eq 5.1-2
d1 = Fi d = C Ai 2 d = d 3 = C Bi d 4 = Ti d 5 = Tci 5×1
Observe que temos nd = 5 distúrbios. Definindo o vetor das variáveis manipuladas:
Eq 5.1-3
u = Fc u= 1 u 2 = F 2×1
Observe que temos nm = 2 variáveis manipuladas. Utilizando as definições Eq 5.1-1 a Eq 5.1-3, podemos re-escrever (EQ. 05.04-05) da seguinte forma.
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Eq 5.1-4
f1 (t , x, d , u ) f1 x&1 f (t , x, d , u ) f x& 2 2 2 x& = x&3 = f 3 = f 3 (t , x, d , u ) = f (t , x, d , u ) f 4 (t , x, d , u ) f4 x& 4 f 5 (t , x, d , u ) f 5 x&5 5×1 5×1 5×1
Acrescentando à Eq 5.1-4 relações que descrevem as variáveis medidas (variáveis de saída do sistema) obtemos um modelo não-linear em espaço de estados. Eq 5.1-5
y = h(t , x, d , u )
Onde h é um vetor cujos componentes são funções não-lineares ou lineares. Resumindo e generalizando, um modelo não-linear em espaço de estados é dado pelas Eq 5.1-4 e Eq 5.1-5:
Eq 5.1-6
x& = f (t , x, d , u ) y = h(t , x, d , u )
Por exemplo, considerando que apenas a temperatura na saída do reator seja medida e que a mesma é idêntica à temperatura dentro do tanque, podemos escrever:
Eq 5.1-7
x& = f (t , x, d , u ) y = x4
Neste caso o vetor h é escrito da seguinte maneira Eq 5.1-8
h = [0 0 0 1 0]1×5
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5.2 Modelo Espaço de Estados
Linear
Contínuo
em
Novamente vamos tomar como exemplo o reator CSTR. Expandindo em Série de Taylor o modelo não-linear em espaço de estados, Eq 5.1-6, em torno de um ponto de referência qualquer, pr = (tr, xr, dr, ur), obtemos:
Eq 5.2-1
( (
) ( ) (
) ( ) (
x& ≅ f r + A. x − x r + B. u − u r + D. d − d r r r r r y ≅ h + C. x − x + E. u − u + F . d − d
) )
No exemplo em estudo a matriz A, denominada de Jacobiano ou matriz Jacobiana do sistema em relação aos estados, é dada por:
Eq 5.2-2
a11 a 21 A = a31 a41 a51
a12 a 22 a32 a 42 a52
a13 a23 a33 a43 a53
a14 a24 a34 a44 a54
a15 a 25 a35 a 45 a55 5×5
∂f1 ∂x 1 ∂f 2 ∂x1 ∂f = 3 ∂x1 ∂f 4 ∂x1 ∂f 5 ∂x 1
∂f1 ∂x2 ∂f 2 ∂x2 ∂f 3 ∂x2 ∂f 4 ∂x2 ∂f 5 ∂x2
∂f1 ∂x3 ∂f 2 ∂x3 ∂f 3 ∂x3 ∂f 4 ∂x3 ∂f 5 ∂x3
∂f1 ∂x4 ∂f 2 ∂x4 ∂f 3 ∂x4 ∂f 4 ∂x4 ∂f 5 ∂x4
∂f1 ∂x5 ∂f 2 ∂x5 ∂f 3 ∂x5 ∂f 4 ∂x5 ∂f 5 ∂x5
Portanto cada elemento dessa matriz é Eq 5.2-3
aij =
∂f i ∂x j
Ou seja, a derivada parcial de cada equação diferencial i em relação a cada estado j. A matriz B é dada por:
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Eq 5.2-4
b11 b12 b 21 b22 B = b31 b32 b41 b42 b51 b52 5×2
∂f1 ∂u 1 ∂f 2 ∂u1 ∂f = 3 ∂u1 ∂f 4 ∂u1 ∂f 5 ∂u1
∂f1 ∂u 2 ∂f 2 ∂u 2 ∂f 3 ∂u 2 ∂f 4 ∂u 2 ∂f 5 ∂u 2
Portanto, cada elemento dessa matriz é Eq 5.2-5
bij =
∂f i ∂u j
Ou seja, a derivada parcial de cada equação diferencial i em relação a cada variável manipulada j. A matriz D é dada por:
Eq 5.2-6
d11 d 21 D = d 31 d 41 d 51
d12 d 22 d 32 d 42 d 52
d13 d 23 d 33 d 43 d 53
d14 d 24 d 34 d 44 d 54
d15 d 25 d 35 d 45 d 55 5×5
∂f1 ∂d 1 ∂f 2 ∂d1 ∂f = 3 ∂d1 ∂f 4 ∂d1 ∂f 5 ∂d 1
∂f1 ∂d 2 ∂f 2 ∂d 2 ∂f 3 ∂d 2 ∂f 4 ∂d 2 ∂f 5 ∂d 2
∂f1 ∂d 3 ∂f 2 ∂d 3 ∂f 3 ∂d 3 ∂f 4 ∂d 3 ∂f 5 ∂d 3
∂f1 ∂d 4 ∂f 2 ∂d 4 ∂f 3 ∂d 4 ∂f 4 ∂d 4 ∂f 5 ∂d 4
∂f1 ∂d 5 ∂f 2 ∂d 5 ∂f 3 ∂d 5 ∂f 4 ∂d 5 ∂f 5 ∂d 5
Portanto cada elemento dessa matriz é Eq 5.2-7
d ij =
∂f i ∂d j
Ou seja, a derivada parcial de cada equação diferencial i em relação a cada distúrbio j.
Cada elemento das matrizes C, E e F são definidos (analogamente à maneira das matrizes A, B e D, respectivamente) como sendo as derivadas parciais das Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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funções hi em relação aos estados xj, às variáveis manipuladas uj e em relação aos distúrbios dj, respectivamente. Os vetores fr e hr são conhecidos, pois são calculados no ponto de referência pr. Contudo, se tomarmos como referência o estado estacionário então fr = 0. Além disso, muitas vezes a relação entre os estados e as variáveis medidas é dada por expressões lineares, o que torna desnecessário a expansão em Série de Taylor das funções h. Mesmo quando o ponto de referência não é o estado estacionário, o que ocorrerá em algumas situações, é comum desprezar o termo fr. Evidentemente que estamos incorporando um erro ao nosso modelo, mas a prática determina que este erro não compromete os resultados alcançados, nas situações que analisaremos. Portanto, considerando: r
f =0 r
h =0
E definindo as variáveis desvio: x = x−x
r
u = u −u
r
d = d −d y = y−h
r
r
Podemos re-escrever a Eq 5.2-1 da seguinte forma:
Eq 5.2-8
x& = A.x + B.u + D.d y = C.x + E.u + F .d
Um caso bastante comum na prática é quando E = 0 e F = 0, então Eq 5.2-8 fica:
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x& = A.x + B.u + D.d y = C.x
Eq 5.2-9
A Eq 5.2-8 ou Eq 5.2-9 é a representação de um modelo contínuo linear em espaço de estados6 ou, conforme o jargão dos "controleiros", é a realização em espaço de estados ou simplesmente é o espaço de estados do sistema, ou mais abreviadamente é o espaço de estados.
5.3
Matrizes de Linearização
Iremos agora desenvolver as expressões analíticas das matrizes de linearização, A, B e D. É interessante observar que essas matrizes também podem ser calculadas numericamente, e às vezes apenas podem ser obtidas dessa maneira. Geralmente, o tempo investido na obtenção das expressões analíticas das matrizes de linearização é recompensado devido ao: a)
Aumento da precisão dos resultados alcançados;
b)
Maior número de procedimentos matemáticos que podem ser
empregados na análise da estabilidade e/ou síntese do sistema de controle; c)
Diminuição do tempo computacional, quando utilizarmos rotinas
numéricas; d)
Aumento da generalização dos resultados obtidos.
Assim, quando factível, é interessante obter as expressões analíticas das matrizes A, B e D. Será exatamente isso que faremos agora.
No exemplo do CSTR a vazão de saída (F) pode ser ou não uma função do nível (L). Se a descarga do reator for forçada devido a presença de uma bomba,
6
Embora no exemplo em estudo os estados definidos tenham um significado físico, no caso mais geral isto não é necessário. Assim, o espaço de estado para um "controleiro" é uma "entidade matemática" que pode ou não ter significado físico e será assim interpretado deste ponto em diante. Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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então podemos considerar que F seja praticamente independente de L. Porém, se a descarga ocorrer devido a gravidade então Eq 5.3-1
F ( L ) = α . ρ . g .L
Chamaremos de • Caso a: F = F(L); • Caso b: F não depende de L.
O modelo não-linear do CSTR é dado pelo sistema não-linear de equações diferenciais ordinárias: dL Fi F = − dt At At
Eq 5.3-2
f1 =
Eq 5.3-3
− dC A Fi 1 f2 = = ⋅ ⋅ (C Ai − C A ) − k o .e R.(T + 273.15 ) .C A2 dt At L
Eq 5.3-4
− dC B Fi 1 f3 = = ⋅ ⋅ (C Bi − C B ) + k o .e R.(T + 273.15 ) .C A2 dt At L
Eq 5.3-5
∆H R .k o − R.(T + 273.15 ) 2 dT Fi 1 U .A 1 f4 = = ⋅ ⋅ (Ti − T ) − ⋅e ⋅ ⋅ (T − Tc ) .C A − dt At L ρ .Cp ρ .Cp. At L
Eq 5.3-6
f5 =
E
E
E
dTc Fc U .A = ⋅ (Tci − Tc ) + ⋅ (T − Tc ) dt Vc ρ c .Cpc .Vc
Os estados, distúrbios e variáveis manipuladas são:
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Eq 5.3-7
x1 = L x = C A 2 x = x3 = C B x4 = T x5 = Tc
5×1
Eq 5.3-8
d1 = Fi d = C Ai 2 d = d 3 = C Bi d 4 = Ti d 5 = Tci 5×1
Eq 5.3-9
u = Fc u= 1 u 2 = F 2×1
Matriz A
As derivadas parciais das equações fi em relação ao vetor x são:
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Eq 5.3-10
a11 =
∂f1 ∂ Fi F (L ) ∂ Fi α ρ .g.L 1 α ρ .g = =− ⋅ = − − At ∂L At At 2 At . L ∂x1 ∂L At
Eq 5.3-11
a11 =
∂f1 ∂ Fi F = − =0 ∂x1 ∂L At At
Eq 5.3-12
a12 = a13 = a14 = a15 = 0
Eq 5.3-13
− F .(C − C ) ∂f ∂ Fi 1 ⋅ ⋅ (C Ai − C A ) − k o .e R.(T + 273.15 ) .C A2 = − i Ai 2 A a 21 = 2 = ∂x1 ∂L At L At .L
E
E
Eq 5.3-14
− ∂f ∂ ( f 2 ) = − Fi ⋅ 1 − 2.k o .e R.(T +273.15 ) .C A a22 = 2 = ∂x2 ∂C A At L
Eq 5.3-15
a23 =
∂f 2 ∂ ( f2 ) = 0 = ∂x3 ∂C B E − R .(T + 273.15 )
Eq 5.3-16
a24 =
.C A2 ∂f 2 ∂ ( f 2 ) = − k o .E.e = 2 ∂x4 ∂T R.(T + 273.15)
Eq 5.3-17
a 25 =
∂f 2 ∂ ( f2 ) = 0 = ∂x5 ∂Tc
Eq 5.3-18
− ∂f F .(C − C ) ∂ F 1 a31 = 3 = i ⋅ ⋅ (C Bi − C B ) + k o .e R.(T + 273.15 ) .C A2 = − i Bi 2 B ∂x1 ∂L At L At .L
E
Eq 5.3-19
Eq 5.3-20
a33 =
a34 =
− ∂f ∂ ( f 3 ) = 2.k o .e R.(T +273.15 ) .C A a32 = 3 = ∂x2 ∂C A
Eq 5.3-21
E
∂f 3 ∂ ( f 3 ) = − Fi ⋅ 1 = ∂x1 ∂C B At L E − R .(T + 273.15 )
∂f 3 ∂ .C A2 ( f 3 ) = k o .E.e = 2 ∂x4 ∂T R.(T + 273.15)
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Eq 5.3-22
a35 =
∂f 3 ∂ ( f3 ) = 0 = ∂x5 ∂Tc
∂f ∂ F .(T − T ) ∆H R .k o − R.(T + 273.15 ) 2 U . A.(T − Tc ) .C A − a41 = 4 = i i − ⋅e ∂x1 ∂L At .L ρ .Cp ρ .Cp. At .L
Eq 5.3-23
E
=−
Fi 1 U .A 1 ⋅ 2 ⋅ (Ti − T ) + ⋅ 2 ⋅ (T − Tc ) ρ .Cp. At L At L
E
Eq 5.3-24
− ∂f ∂ ( f 4 ) = −2 ⋅ ∆H R .k o ⋅ e R.(T +273.15 ) .C A a42 = 4 = ∂x2 ∂C A ρ .Cp
Eq 5.3-25
a43 =
∂f 4 ∂ ( f4 ) = 0 = ∂x3 ∂C B E − R .(T + 273.15 )
Eq 5.3-26
Fi ∆H R .k o E.e .C A2 ∂f 4 ∂ U .A ( f4 ) = − a 44 = = − ⋅ − 2 At .L ∂x4 ∂T ρ .Cp ρ .Cp. At .L R.(T + 273.15)
Eq 5.3-27
a45 =
Eq 5.3-28
a51 = a52 = a53 = 0
Eq 5.3-29
a54 =
∂f 5 ∂ Fc U .A U .A ⋅ (Tci − Tc ) + = ⋅ (T − Tc ) = ∂x4 ∂T Vc ρ c .Cpc .Vc ρ c .Cpc .Vc
Eq 5.3-30
a55 =
∂f 5 ∂ ( f 5 ) = − Fc − U . A = ∂x5 ∂Tc Vc ρ c .Cpc .Vc
∂f 4 ∂ ( f 4 ) = U .A ⋅ 1 = ∂x5 ∂Tc ρ .Cp. At L
Matriz B
As derivadas parciais das equações fi em relação ao vetor u são:
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Eq 5.3-31
b11 =
∂f1 ∂ Fi F (L ) − =0 = ∂u1 ∂Fc At At
Eq 5.3-32
b11 =
∂f1 ∂ Fi F − =0 = ∂u1 ∂Fc At At
Eq 5.3-33
b12 =
∂f1 ∂ Fi F (L ) − =0 = ∂u 2 ∂F At At
Eq 5.3-34
b12 =
∂f1 ∂ Fi F 1 − = − = ∂u 2 ∂F At At At
Eq 5.3-35
− ∂f ∂ Fi 1 b21 = 2 = ⋅ ⋅ (C Ai − C A ) − k o .e R.(T + 273.15 ) .C A2 = 0 ∂u1 ∂Fc At L
E
∂f 2 ∂ ( f2 ) = 0 = ∂u 2 ∂F
Eq 5.3-36
b22 =
Eq 5.3-37
− ∂f ∂ Fi 1 ⋅ ⋅ (C Bi − C B ) + k o .e R.(T + 273.15 ) .C A2 = 0 b31 = 3 = ∂u1 ∂Fc At L
E
∂f 3 ∂ ( f3 ) = 0 = ∂u 2 ∂F
Eq 5.3-38
b32 =
Eq 5.3-39
∂f ∂ Fi .(Ti − T ) ∆H R .k o − R.(T + 273.15 ) 2 U . A.(T − Tc ) − ⋅e =0 .C A − b41 = 4 = ∂u1 ∂Fc At .L ρ .Cp ρ .Cp. At .L
E
Eq 5.3-40
b42 =
∂f 4 ∂ ( f4 ) = 0 = ∂u 2 ∂F
Eq 5.3-41
b51 =
(T − T ) ∂f 5 ∂ Fc U .A ⋅ (Tci − Tc ) + = ⋅ (T − Tc ) = ci c ∂u1 ∂Fc Vc ρ c .Cpc .Vc Vc
Eq 5.3-42
b52 =
∂f 5 ∂ ( f5 ) = 0 = ∂u 2 ∂F Matriz D
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As derivadas parciais das equações fi em relação ao vetor d são:
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Eq 5.3-43
d11 =
∂f1 ∂ Fi F (L ) 1 − = = ∂d1 ∂Fi At At At
Eq 5.3-44
d11 =
∂f1 ∂ Fi F 1 − = = ∂d1 ∂Fi At At At
Eq 5.3-45
d12 = d13 = d14 = d15 = 0
Eq 5.3-46
(C − C ) − ∂f ∂ Fi 1 A ⋅ ⋅ (C Ai − C A ) − k o .e R.(T + 273.15 ) .C A2 = Ai d 21 = 2 = ∂d1 ∂Fi At L At .L
E
∂f 2 ∂ ( f 2 ) = Fi = ∂d 2 ∂C Ai At .L
Eq 5.3-47
d 22 =
Eq 5.3-48
d 23 = d 24 = d 25 = 0
Eq 5.3-49
(C − C ) − ∂f ∂ Fi 1 B ⋅ ⋅ (C Bi − C B ) + k o .e R.(T + 273.15 ) .C A2 = Bi d 31 = 3 = ∂d1 ∂Fi At L At .L
Eq 5.3-50
d 32 =
∂f 3 ∂ ( f3 ) = 0 = ∂d 2 ∂C Ai
Eq 5.3-51
d 33 =
∂f 3 ∂ ( f 3 ) = Fi = ∂d 3 ∂C Bi At .L
Eq 5.3-52
d 34 = d 35 = 0
E
Eq 5.3-53
∂f ∂ d 41 = 4 = ∂d 1 ∂Fi
Eq 5.3-54
E F (T − T ) ∆H k − UA(T − Tc ) (Ti − T ) R o i i R .(T + 273.15 ) e C A2 − = − At L ρCp ρCpAt L At L
d 42 = d 43 = 0 d 44 =
Eq 5.3-55
∂f 4 ∂ ( f 4 ) = Fi = ∂d 4 ∂Ti At .L
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∂f 4 ∂ ( f4 ) = 0 = ∂d 5 ∂Tci
Eq 5.3-56
d 45 =
Eq 5.3-57
d 51 = d 52 = d 53 = d 54 = 0
Eq 5.3-58
d 55 =
F ∂f 5 ∂ Fc U .A ⋅ (Tci − Tc ) + = ⋅ (T − Tc ) = c ∂d 5 ∂Tci Vc ρ c .Cpc .Vc Vc
Matriz C
As variáveis medidas no exemplo em estudo são as próprias variáveis de estado, portanto não haverá transformações lineares ou não-lineares sobre x para gerar y. A depender da situação em análise nem todas as variáveis de estado serão medidas. Assim é possível, por exemplo, estudar os seguintes casos: Caso M5: todas as variáveis de estado são medidas
Eq 5.3-59
1 0 C = I 5 = 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 = 0 0 1 0 0 0 0 1
0
1
0
1 1
1
Neste caso, o problema de controle fica fácil, pois todas as informações necessárias estão disponíveis. Porém, é um caso pouco realista. Caso M4: a composição do reagente no reator não é medida
Eq 5.3-60
1 0 C= 0 0
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 4×5
Neste caso, o problema de controle ainda é fácil, pois geralmente a variável controlada mais importante é a concentração do produto (CB) e esta continua sendo medida. Caso M3: as composições não são medidas Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Eq 5.3-61
1 0 0 0 0 C = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 3×5
Neste caso, o problema de controle é dificultado, pois a variável controlada mais importante (CB) não é medida. Duas alternativas são possíveis: a primeira controlar a temperatura T com a esperança que essa tenha uma relação biunívoca com CB; a segunda inferir, a partir do modelo do CSTR a variável CB, então utilizar essa medida indireta como sendo o valor da variável controlada. Caso M2: as composições e a temperatura da camisa não são medidas
Eq 5.3-62
1 0 0 0 0 C= 0 0 0 1 0 2×5
Neste caso, o problema de controle é ainda mais difícil, pois o número de informações disponíveis é pequeno. Analogamente ao caso M3, a variável controlada mais importante (CB) não é medida. Duas alternativas são possíveis: a primeira controlar a temperatura T com a esperança que essa tenha uma relação biunívoca com CB; a segunda inferir, a partir do modelo do CSTR a variável CB, então utilizar essa medida indireta como sendo o valor da variável controlada. Caso M1: apenas o nível é medido Eq 5.3-63
C = [1 0 0 0 0]1×5
Neste caso, o problema de controlar a conversão do CSTR é impossível, apenas nos resta manter o nível em uma faixa aceitável. Este problema ocorreria quando, por exemplo, temos apenas medição da temperatura e esse elemento primário de medição falha. Outras combinações de variáveis medidas também são possíveis, mas os casos apresentados são os mais encontrados na prática.
5.4
Modelo Linear Discreto em Espaço de Estados
Uma outra forma de apresentar um modelo em espaço de estados é através da discretização das derivadas:
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Eq 5.4-1
d x ∆ x x k +1 − x k x& = ≅ = dt t k +1 − t k ∆t
Esta aproximação será tanto mais válida quanto menor for o intervalo de tempo de discretização. Aplicando (Eq 5.4-1) em (5.2.8) obtemos
Eq 5.4-2
∆ x x k +1 − x k = = A.x k + B.u k + D.d k ∆t ∆t y k = C.x k
Rearranjando a equação (Eq 5.4-2):
Eq 5.4-3
x k +1 = x k + ∆t. A.x k + ∆t.B.u k + ∆t.D.d k y k = C .x k
Ou melhor,
Eq 5.4-4
x k +1 = (I + ∆t. A).x k + ∆t.B.u k + ∆t.D.d k y k = C .x k
Definindo as matrizes A d = (I + ∆t. A) Eq 5.4-5
B d = ∆t.B D d = ∆t.D
E substituindo (Eq 5.4-5) em (Eq 5.4-4) obtemos:
Eq 5.4-6
x k +1 = A d .x k + B d .u k + D d .d k y k = C.x k
A equação (Eq 5.4-6) é a representação de um modelo discreto linear em espaço de estados ou, conforme o jargão dos "controleiros", é a realização em espaço de estados discretos ou simplesmente é o espaço de estados discretos do sistema, ou mais abreviadamente é o espaço de estados discretos. A discretização através da aproximação das derivadas no tempo por diferenças finitas só é válida se o intervalo de discretização for pequeno. Podemos
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evitar esse erro resolvendo analiticamente a equação ((5.2.8). Ogata7 mostra em detalhes como resolvê-la. Abaixo apenas iremos reproduzir a solução encontrada:
Eq 5.4-7
t + ∆t A.τ t + ∆t A.τ A.∆t x k +1 = e .x k + ∫ e dτ .B .u k + ∫ e dτ .D .d k t t y C . x = k k
Definindo as matrizes Φ=e Eq 5.4-8
A.∆t
(
)
(
)
t + ∆t A.τ A. ∆t −1 −1 Γ = ∫ e .dτ .B = A . e − I .B = A .(Φ − I ).B t t + ∆t A.τ A.∆t −1 −1 Λ = ∫ e .dτ .D = A . e − I .D = A .(Φ − I ).D t
obtemos
Eq 5.4-9
x k +1 = Φ.x k + Γ.u k + Λ.d k y k = C.x k
A equação (Eq 5.4-9) é exata, isto é, os valores calculados para o estado e/ou saída do sistema são os mesmos que os calculados pelo modelo contínuo, nos pontos de discretização. Ou seja, se escolhemos trabalhar com uma taxa de amostragem de 1 segundo, iremos resolver (Eq 5.4-9), interativamente, e a cada um segundo conhecemos o estado do sistema. No MATLAB, a função c2d converte um espaço de estados contínuos para discreto. Como essa função tem como argumento o tempo de amostragem, e apenas as matrizes A e B, temos que incorporar em B a matriz D e aumentar o vetou u incorporando o vetor d:
7
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u ud = d BD = [B D ]
Eq 5.4-10
No MATLAB, a função d2c converte um espaço de estados discretos para contínuo.
5.5
Adimensionalização
É sempre recomendável adimensionalizar as variáveis e parâmetros dos modelos, pois isso pode melhorar o comportamento numérico dos programas. Esta recomendação é válida para resolução de: • Equações Algébricas Lineares ou Não; • Equações Diferenciais Ordinárias ou Parciais; • Otimização; • Reconciliação de Dados; • Ajuste de Curvas; • Modelagem por Redes Neuronais; • Tratamento Estatístico de Dados; • Etc.; • Outros.
Para adimensionalizar temos que definir um estado de referência (um estado estacionário, em relação às condições da entrada, em relação a um valor arbitrário, etc.). A escolha influencia nos resultados obtidos e, se possível, deve-se testar diferentes formas de adimensionalizar. Podemos permitir que as variáveis adimensionalizadas variem entre dois valores quaisquer (0 e 1, ou 0.1 e 0.9, por exemplo). Novamente, a escolha influencia nos resultados obtidos e, se possível, deve-se testar diferentes formas de adimensionalizar.
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Outra vantagem da adimensionalização é que a mesma pode gerar grupos adimensionais (número de Reynolds, número de Peclet, número de Biot, etc) que facilitam a interpretação e generalização dos resultados obtidos. Uma maneira simples de proceder a adimensionalização é a seguinte: a)
Estabelecer o intervalo de variação das variáveis adimensionalizadas,
por exemplo, entre 0 e 1, este passo determina os procedimentos a serem adotados nos passos (b) e (c). b)
Estabelecer a referência, por exemplo, temperatura máxima Tmax.
τ=
T Tmax , ou seja, T = τT . max
c)
Definir a variável adimensional
d)
Substituir T por τ*Tmax, nas expressões e fórmulas, assim a variável
de trabalho passa a ser τ. e)
Seguir os passos de (a) a (d) para todas as variáveis e parâmetros do
modelo que queremos tornar adimensionais.
5.6
9
Exercícios
Desenvolva um modelo adimensional para o CSTR apresentado
anteriormente. 9
Desenvolva um modelo adimensional para o modelo em espaço de
estados do CSTR apresentado anteriormente.
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Capítulo 6.
Transformada de Laplace
6.1
Introdução
Observamos que a modelagem matemática de processos em regime transiente conduz a sistemas de equações diferenciais. Neste curso, trabalharemos com SISTEMAS LINEARES OU LINEARIZADOS INVARIANTES COM O TEMPO Æ EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES COM COEFICIENTES
CONSTANTES. A TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UMA FUNÇÃO ƒ (t) É A FUNÇÃO ƒ (S) QUE SATISFAZ À EQUAÇÃO ∞
L{f(t )}= f( s ) = lim lim ∫ f(t ).e − st dt = ∫ f(t ).e − st . dt L
L→∞ ε
o
ε →o
Eq 6.1-1
onde Eq 6.1-2
S = o + jω
E ο e ω são números reais Exemplo: ƒ (t) = 1 Æ L {ƒ (t) = ƒ (s) = ? ∞
Eq 6.1-3
L{1}= f ( S ) ∫ 1.e −S .t dt =1 / s → L{1}= 1 / s o
Obs: a Transformada de Laplace não contém informações para t < 0, mas como estamos interessados apenas no comportamento do sistema para t ≥ 0 isto não constitui uma limitação. A transformada inversa de Laplace de uma função ƒ(s) é a função ƒ(t) que satisfaz à Eq 6.1-4.
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o + j .ω
1 L {f ( s )} = f ( s ) = f (s )e st ds ∫ 2πj o − j .∞ -1
Eq 6.1-4
Na prática não é necessário avaliar esta integral.
6.2
Propriedades e Teoremas
1.
A Transformada de Laplace é uma transformação linear, portanto é
válido o Princípio da Superposição. Eq 6.2-1
2. Eq 6.2-2
3.
L{af 1 (t )u (t ) + bf 2 (t )u (t )} = aL{ f 1 (t )u (t )} + bL{ f 2 (t )u (t )}
A Transformada Inversa de Laplace é uma transformação linear L-1{a.ƒ1(s)+ b.ƒ2(s)} = a.L
-1
{ƒ1(s)} + b.L
-1
{ƒ2(s)}
Transformada de Derivadas
Eq 6.2-3
d f (t). u (t) + L = s. f (s) - f (0 ) dt
Eq 6.2-4
d n f L n = s n f (s) - s n -1 f (0) - s n -2 f (1) (0) − .... − s. f n − 2 (0) − f n −1 (0) dt
4.
Transformada de Integrais L
Eq 6.2-5
5.
{∫ f(t)dt}= f (s)s t
o
Teorema do Valor Final f (∞) = lim f (t). u(t ) = lim s. f (s) t →∞
Eq 6.2-6
s→o
se ∃ lim f (t) t →∞
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Para que o T.V.F. seja aplicável é necessário e suficiente que o produto s.f(s) tenha valor finito para qualquer valor de s ∈ R+. 6. Eq 6.2-7
7. Eq 6.2-8
8. Eq 6.2-9
9. Eq 6.2-10
10.
Tempo Morto L {ƒ(t - to) . u(t – to)} = e-tºs.ƒ(s)
Translação complexa L {e-a.tƒ(t).u(t)} = ƒ(s + a)
Escalada em tempo L {ƒ(t / a). u (t)} = a.ƒ(a.s)
Escalada em freqüência L-1 {ƒ(s / a) = a.ƒ(a.t). u(t)
Integral de convolução complexa L {f 1 (t). f 2 (t)} =
Eq 6.2-11
11.
1 o + j.∞ L{f 1 (ω )}.L{f 2 ( s − ω )}.dω 2.Π.j ∫o − j.∞
Integral de convolução
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Eq 6.2-12
6.3 Úteis
L
-1
t
{f1 (S). f2 (S)} = ∫ + f1( t ).f2 ( t − t )dt =
Transformada
o
de
Algumas
t
∫o
+
f1( t − t ). f2 ( t )dt
Funções
Simples
Tabela 6.3-1: Pares de transformadas de Laplace.
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e
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6.4
Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias
Eq 6.4-1
d 2Y dY +3 + 2Y = uο (t ); uο ≡ (degrau unitário ) 2 dt E x . 1 : dt Y (0 ) = −1
Condições iniciais :
dY dt
e
Eq 6.4-2
= 2
t =0
Função Característica da Equação Homogênea Eq 6.4-3
D 2 + 3D + 2 = 0
Aplicando a Transformada de Laplace a ambos os lados da equação e as propriedades 01 e 03:
Eq 6.4-4
Eq 6.4-5
d2 Y d2 Y dY dY L 2 + 3. + 2.Y = L 2 + L 3. + L (2.Y ) = L {uο } dt t t dt
s 2Y (s ) − s.Y (0) − Y ' (0) '+ 3.[s.Y (s ) − Y (0)] + 2.Y (s ) =
(
)
∴ s 2 + 3s + 2 .Y (s ) + s + 1 = Eq 6.4-6
1 s
⇒ Y (s ) =
1 s
(
) )
− s2 + s −1 s s 2 + 3s + 2
(
Roteiro para solução de SEDO por Transformada de Laplace: algebrismo
SEDO
SEAL
SOLUÇÃO
L -1
SOLUÇÃO EM t
Expansão em frações parciais Raízes Reais Distintas
Expansão em frações parciais:
Y (s ) = Eq 6.4-7
(
) )
(
)
− s 2 + s −1 − s 2 + s −1 A B C = = + + 2 s s + 3s + 2 s (s + 1)(s + 2) s s + 1 s + 2
(
Através de uma tabela de Transformadas de Laplace observamos que a inversa da 1a parcela corresponde a função degrau, enquanto que a 2a e a 3a parcelas a função exponencial. Portanto: Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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Eq 6.4-8
(
)
Y (t ) = A + B. e-1 + C. e- 2.t . uο (t )
⇒
O valor das constantes pode ser obtido pelo seguinte procedimento: Multiplicando Eq 6.4-7 por s e fazendo
s=0 Æ
A=½
Multiplicando Eq 6.4-7 por (s + 1) e fazendo
s = -1 Æ
B = -1
Multiplicado Eq 6.4-7 por (s + 2) e fazendo
s= -2 Æ
C = -1/2
Eq 6.4-9
Eq 6.4-10
(
)
⇒
Y (t ) = 1 2 − e− t − 1 2 . e− 2 . t
Y (t ) = 1 2 − e − t − 1 2 . e − 2 . t . uο (t )
⇒
Como t ≥ 0
(
)
Raízes Complexas Distintas
Y (s ) = Eq 6.4-11
s +1 B C = + s − 2s + 5 s - (1 + 2 j) s - (1 - 2 j) 2
Multiplicando por s – (1 + 2j) e fazendo s = 1 + 2j
Æ
B = (1 – j) / 2
Multiplicando por s – (1 - 2j) e fazendo s = 1 - 2j
Æ
C = (1 + j) / 2
Lembrando que ⇒ Eq 6.4-12
L-1 {1 / (s + a)} = e-ªt. U(t). Y (t ) =
1 − j (1+ 2 . j ) . t 1 + j (1 − 2 . j ) . t .e + .e 2 2
Lembrando da Identidade de Euler:
Eq 6.4-13
Eq 6.4-14
e − jwt + e cos (wt ) = 2
j wt
e − j wt − e j wt ; sen (wt ) = j 2
⇒ e(K1 + j . K 2 ) . t = eK1 . t . [cos .(K 2 . t ) + j .sen (K 2 . t )]
Substituindo Eq 6.4-14 e Eq 6.4-12 e rearranjando:
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. [cos .(2 . t ) + sen (2 . t )] . u (t )
Eq 6.4-15
⇒
Y (t ) = e
Eq 6.4-16
ou
Y (t ) = 2 . e
pois
a1 . cos (K 2 . t ) + a 2 . sen (K 2 . t ) = a3 . sen (K 2 + θ)
onde
a3 = a12 + a 22
Eq 6.4-17
t
t
. [sen (2 . t + 45)] . u (t )
a θ = arcig 1 a2
,
Eq 6.4-18
Obs: a) as raízes complexas são pares conjugadas; b) os coeficientes das parcelas complexas são conjugados; c) a resposta no do tempo será uma função periódica. Generalizando:
Y (s ) = Eq 6.4-19
f (s ) (s + K 1 + j K 2 ). (s + K1 − j K 2 )
Expandindo em frações parciais:
Y (s ) = f1 (s ) + Eq 6.4-20
a1 + j a 2_ s + K1 + j K 2
a1 − j a 2_
+
s + K1 − j K 2
Onde ƒ1 (s) são as parcelas referentes às raízes reais. Então, temos da transformada inversa originada das raízes complexas:
Eq 6.4-21
2 . e −K1 . t . [a3 . sen (K 2 . t + θ)]
Onde a3 e θ são dadas pela Eq 6.4-18.
Raízes Múltiplas Y (s ) = Eq 6.4-22
1
A
=
(s + 1) (s + 2) (s + 1) 3
x(s + 2): e fazendo s = - 2
3
→
+
B
(s + 1)
2
+
C D + (s + 1) (s + 2)
D = -1
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D . (s + 1) 1 2 = A + B . (s + 1) + C . (s + 1) + X (s + 1) : (s + 2 ) (s + 2)
3
3
Eq 6.4-23
s = -1 →
Fazendo
A = +1
Derivando esta última equação em relação a s: − Eq 6.4-24
1
(s + 2)2
Fazendo
= B + 2 C (s + 1) +
→
s = -1
D (s + 1) (2 s + 5) 2
(s + 2)2
B = -1
Derivando: 2
(s + 2 )
3
Eq 6.4-25
Fazendo
= 2c +
(
d 2 (s + 1). s 2 + 5 .s + 7
(s + 2)
→
s = -1
(
)
2
C = -1
)
Eq 6.4-26
Y (t ) = e− t 1 − t + t 2 2 − e − 2 . t
9
Generalização Equações diferenciais ordinárias com coeficiente constantes. São da forma: n
Eq 6.4-27
∑ ai . i ≡ο
di y dn y d n−1 y dy = a . + a . + . . . + a1 . + aο . y = b . f (t ). u (t ) n −1 n n −1 n i dt dt dt dt
Onde b, an, an-1, ..., a1 . ao são constantes b.ƒ(t).u(t) é chamada de Função Perturbação Função característica da equação homogênea: anλn + an-1λn-1 + ... + a(1)λ(1) + a(0)λ(0) As condições iniciais são:
Eq 6.4-28
dK y = yοK , K dt
K = 0, 1, . . ., n − 1
onde yοK são ctes.
Equação transformada: Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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i ai s . y (s ) − ∑ t ≡0
i −1
n
Eq 6.4-29
∑s
i −1 − K
K ≡0
. y 0K = b . f (s ) i −1
n
⇒ Y (s ) =
b . f (s ) n
∑ a .S i ≡c
Eq 6.4-30
+
∑a .∑ S i ≡0
i
i
i
K ≡0 n
∑a i ≡0
i
i −1− K
.S
.Y0K
i
=
b . f (S) n
∑ a .S i ≡0
+I i
i
Obs: 1.
1º termo após sinal da igualdade depende apenas da entrada.
2.
Enquanto que o 2º termo depende das condições iniciais.
3.
O denominador da equação transformada tem a mesma forma da
função característica da equação diferencial homogênea. 4.
Se utilizarmos variável desvio, freqüentemente, i = 0.
5.
ƒ(s) freqüentemente é uma fração de dois polinômios em S.
Denominador da Eq 6.4-30 pode ser fatorado e obtemos uma equação equivalente na forma de frações parciais: n
Eq 6.4-31
Y (s ) = ∑ i ≡o
Bi (s - ri )
Ri são as raízes do denominador: podem ser reais, complexas e também podem se repetir.
6.5
Resolução de Equações Diferenciais Parciais
Roteiro para solução de SEDP por Transformada de Laplace:
SEDP
SEDO
Solução por outros
SOLUÇÃO EM s
L -1
SOLUÇÃO EM t
Expansão em frações parciais
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Eq 6.5-1
∂ y (x , t ) ∂ y (x , t ) + =0 ∂x ∂t
Eq 6.5-2
Condição de contorno :
EX :
y (0, t ) = t
,
t > 0
y ( x, 0 ) = 0
Eq 6.5-3
Condição inicial :
Eq 6.5-4
∂y L + x . [s L (y ) − y ( x, 0 )] = 0 ∂ x
onde
Eq 6.5-5
∂ y ∞ − s . t ∂y ∂ ∞ ∂ L dt = ∫ e − s . t y . d . t = L (y ) = ∫ο e . ∂x ∂x ο ∂x ∂ x
OBS: para a maioria das equações de interesse em engenharia a inversão da ordem de integração com a diferenciação é válida. Escrevendo L {Y(x, t)} = Y (x, s):
Eq 6.5-6
dy ( x, s ) + x . s. y. ( x, s ) = 0 dx
Esta é uma equação diferencial ordinária homogênea que pode ser resolvida pelo método da separação de variáveis. Eq 6.5-7
⇒
y ( x, s ) = C (s ). e − s . x
2
2
Condições de Contorno: L {Y(0, t)} = L {t} = 1/s2 = Y (0,s) = C(s) ⇒ Eq 6.5-8
y ( x, s ) =
1 −s . x2 2 .e s2
Aplicando a transformada inversa a ambos os membros (fazendo a = x2/2 e lembrando da Propriedade 07 – Tempo Morto)
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Eq 6.5-9
se t < a 0 y ( x, t ) = [t − a ]. u a (t − a ) = t - a se t > a
ou Eq 6.5-10
0 x 2 x 2 y (x, t ) = t − u t − = 2 x2 2 t − 2
x2 se t < 2 x2 se t > 2
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Capítulo 7.
Linearização
7.1
Introdução
• Processos reais são não lineares • Aproximação por modelos lineares em torno do ponto de operação ou do estado estacionário. O desenvolvimento de uma função de duas variáveis, em torno do ponto (xs, ys), em série de Taylor e truncada no segundo termo é dada por:
f (x, y ) = f (x ss , y ss ) + ( x − x ss ). Eq 7.1-1
∂f (x, y ) ∂ f (x, y ) + ( y − y ss ). ∂x x ss , yss ∂y x
ss , y ss
Para mais de três variáveis o procedimento é uma extensão do mostrado na Eq 7.1-1.
7.1.1
Modelagem em regime transiente
Linearização e função de transferência de um sistema SISO: Nível de um tanque
q1(t)
h(t) q2(t) Figura 7.1-1: Tanque de carga.
Balanço de massa global:
acumula = entra - sai
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Eq 7.1-2
dm(t ) = ρ 1 (t ).q1 (t ) − ρ 2 (t ).q 2 (t ) dt
mas Eq 7.1-3
m(t ) = A.ρ (t ).h(t )
Substituindo a Eq 7.1-3 em Eq 7.1-2:
Eq 7.1-4
dA.ρ (t ).h(t ) = ρ 1 (t ).q1 (t ) − ρ 2 (t ).q 2 (t ) dt
Admitindo que a massa específica é constante: Eq 7.1-5
ρ (t ) = ρ 1 (t ) = ρ 2 (t ) = ρ = constante
Substituindo a Eq 7.1-5 em Eq 7.1-4 e dividindo por ρ:
A Eq 7.1-6
dh(t ) = q1 (t ) − q 2 (t ) dt
A vazão de descarga do tanque depende da altura de líquido no tanque, pois nesse tanque o escoamento é devido à força de gravidade. Nesse caso, aplicando a equação de Bernoulli entre a superfície livre do tanque e um ponto localizado no início da tubulação de descarga, obtemos a seguinte relação entre nível e vazão de descarga: Eq 7.1-7
q 2 (t ) = α h(t )
Demonstração da Eq 7.1-7: Aplicando a equação de Bernoulli na superfície do líquido e num ponto a jusante da válvula:
Eq 7.1-8
p2 v2 p v2 + h + = 2 + h2 + 2 + hL 2. g γ 2. g γ
hL = K v Eq 7.1-9
v 22 v2 v2 + f 2 + D Ki 2 2g 2g 2g
Note que se considerarmos a área do tanque suficientemente grande implica que Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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p = p2 = 1 atm, h2 = 0 e v ≅ 0·.
Eq 7.1-10
Então a Eq 7.1-2 fica
v22 h = [1 + K v + f + D K i ]. 2. g
Eq 7.1-11
Então:
v22 = Eq 7.1-12
Eq 7.1-13
2 . g.h [1 + K v + f + D K i ]
v2 = C h
ou Eq 7.1-14
q 2 = AT C h = α h
Substituindo a Eq 7.1-7 em Eq 7.1-6:
A Eq 7.1-15
dh(t ) = q1 (t ) − α h(t ) dt
Em controle de processos é conveniente trabalhar com o modelo em formato de função de transferência. Para tanto o modelo deve ser linear, então temos que linearizar os termos não-lineares da Eq 7.1-15. Aplicando a série de Taylor em (7.114) e truncando no segundo termo dessa série, obtemos:
q 2 (t ) = α h(t ) = α href + Eq 7.1-16
∂q 2 ∂h
.(h(t ) − href ) = α href + ref
α 2 href
.(h(t ) − href
Substituindo a Eq 7.1-16 em Eq 7.1-15:
A Eq 7.1-17
dh(t ) α .(h(t ) − href = q1 (t ) − α href + dt 2 href
)
Definindo as variáveis desvio:
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)
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Eq 7.1-18
h (t ) = h(t ) − href q1 (t ) = q(t ) − q ref = q(t ) − α href
E lembrando que:
Eq 7.1-19
dh (t ) dh(t ) = dt dt
Obtemos:
A Eq 7.1-20
α dh (t ) = q1 (t ) − h (t ) dt 2 href
Colocando do lado esquerdo os termos que aparecem a variável de estado do
α sistema, no caso, o nível, e dividindo a Eq 7.1-20 por
Eq 7.1-21
τP
2 href
, obtemos:
dh (t ) + h (t ) = K P .q1 (t ) dt
onde Eq 7.1-22
2 A href τ P = → Constante de tempo ou tempo característico do processo [=]s α 2 href m → Ganho estacionário do processo [=] 3 K P = α m /s
Observações: 1.
A constante de tempo do processo8 e o ganho estacionário em um
processo não-linear é função do ponto de referência estabelecido. 2.
Normalmente, adota-se como ponto de referência a condição
operacional estacionária no qual o processo deve trabalhar. 3.
Se o ponto de operação do equipamento for diferente do ponto de
referência
8
adotado
o
modelo
linearizado
pode
não
representar
Ou tempo característico Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
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adequadamente o processo. Neste caso, é recomendado fazer uma nova linearização tomando como referência o novo ponto de operação. 4.
A constante de tempo define o tempo de resposta do processo.
Quanto maior a constante de tempo mais lentamente reage o processo. 5.
O ganho do processo define a variação entre estados estacionários
que o processo sofrerá. O ganho pode ser positivo ou negativo, no primeiro caso o processo reage no mesmo sentido da perturbação no segundo no sentido contrário. Aplicando na eq. 7.1.21 a transformada de Laplace e rearranjando, obtemos a função de transferência G(s) do processo: G (s ) = Eq 7.1-23
KP h (s ) = q1 (s ) τ P .s + 1
Onde τP e KP são a constante de tempo e o ganho do processo, respectivamente, e ambos são funções do estado estacionário hss = href, estado de referência ou do ponto de operação do processo, conseqüentemente, a dinâmica do processo se modifica continuamente (τp e Kp não são constantes) com a alteração do set-point deste processo. Portanto, a linearização de um modelo não-linear conduz a aproximação que só serão válidas quando controlarmos o processo em torno do estado estacionário tomado como referência. Observações: Para obter a função de transferência o processo deve ser linear ou
9
linearizado. 9
G(s) dá a relação entre a variável de saída do processo em desvio
h (s ) e a variável de entrada em desvio q1 (s ) .
Representando pictoricamente a Eq 7.1-23, temos:
q1(s)
h(s) G(s)
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Figura 7.1-2: Representação pictórica de uma função de transferência.
7.2
Exercícios
7.2.1
Linearização
Linearize as seguintes equações: a.
a.
dy(t ) = α . y(t ) + β . [y(t )]2 + γ . ln. [y (t )] dt onde α , β e γ são constantes
dy(t ) y(t ) = α . y(t ) . e y (t ) + β . dt 1 − y(t ) onde α e β são constantes
7.2.2
Mistura Binária
A composição de uma mistura binária em equilíbrio líquido-vapor pode ser expressa por: y( x ) =
α.x 1 + ( α − 1).x
Linearize essa expressão com relação a variável indicada. Sabe-se que o intervalo de aplicação de uma equação linearizada depende do grau de não-linearidade da mesma e/ou do quão afastado está o ponto a ser estudado do ponto em torno do qual a equação foi linearizada (ponto de referência). Demonstre esta afirmação utilizando o resultado obtido no item anterior. Interprete e justifique os resultados obtidos, indicando quais os razoáveis e os absurdos. Sugestão: utiliza os seguintes valores: α = 1.1
xref = 0.1
α = 1.1
xref = 0.9
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α = 5.0
xref = 0.1
α = 5.0
xref = 0.9
Onde xref é a fração molar do componente i no ponto de referência. Estude para fração molar x igual a 0.8. Interprete os resultados para α = 1.0. 7.2.3
Equilíbrio Líquido-Vapor
O equilíbrio líquido-vapor (fase líquida solução ideal, fase vapor gás ideal) pode ser representado pela Lei de Raoult: A pressão de vapor pode ser expressa pela equação de Antoine: ln[Pv (T )] = A −
B T +C
Para o 1-2 butadieno (C4H6): A
B
C
Tmin (K)
Tmax (K)
Tc (K)
9.4837
2,397.26
- 30.88
245
305
443.7
Linearize essa expressão para cálculo da fração molar da fase vapor, apresentando os resultados em termos de variáveis desvio. Para o 1-2 butadieno, avalie os parâmetros da equação linearizada em torno das seguintes condições: Substância
xi,ss
Tss (K)
Pss (bar)
1-2 butadieno
0.5
273.15
0.65
Compare e discuta a precisão da equação linearizada quando o sistema é submetido a uma pressão de 0.7 bar, e quando está sob uma pressão de 1.0 bar. 7.2.4
Propriedades da Transformada
Usando as propriedades da transformada de Laplace obtenha ƒ(S):
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a. ƒ(t) = [1 + 2.t + 3.t2].u(t) b. ƒ(t) = e-2.t.[1 + 2.t + 3.t2].u(t) c. ƒ(t) = [1 + e-2.t – 2.e-t].u(t) d. ƒ(t) = [1 – e-t – t.e-t].u(t) e. ƒ(t) = [1 – e-3.(t-2). sen(t - 2)].u(t – 2) 7.2.5
Teoremas do Valor Inicial e Final
Cheque a validade dos teoremas do valor inicial e do valor final no exercício anterior. 7.2.6
Transformada de Laplace
Resolva, utilizando a transformada de Laplace, as seguintes equações diferenciais: a.
b.
c.
d 2 . x (t ) dt
2
d 2 . x (t ) dt
2
d 2 . x (t ) dt
2
+
d . x (t ) + x (t ) = u (t ) , dt
+ 2.
onde
d . x (t ) + x (t ) = u (t ) , dt
+ 3.
d . x (t ) + x (t ) = u (t ) , dt
x (0 ) = x' (0 ) = 0
onde
x(0 ) = x' (0 ) = 0
onde
x (0 ) = x' (0 ) = 0
Esboce e interprete os gráficos das soluções.
7.2.7
Sistema de Equações Diferenciais
Encontre a solução do seguinte sistema de equações diferenciais: dx1 dt = 2 x1 (t ) + 3x 2 (t ) + 1; onde x 1 (0) = 0 dx 2 = 2 x (t ) + x (t ) + e t ; onde x (0) = 0 1 2 2 dt
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7.2.8
Equação Diferencial – Sistema de 1ª ordem
A forma padrão da equação diferencial de um sistema de 1ª ordem com tempo morto é:
τP
dy (t ) + y (t ) = K f (t − τ m ) dt
Assumindo γ (0) = γo, encontre γ(t) para cada função perturbação a seguir: a. ƒ(t) = ƒss + δ(t).u(t) b. ƒ(t) = ƒss. + u(t) c. ƒ(t) = ƒss + sen(ω.t). u(t) ; 7.2.9
onde ω é constante.
Equação Diferencial – Sistema de 2ª ordem
A forma da equação diferencial de um sistema de 2ª ordem é:
τ2
d 2 y (t ) dy (t ) + 2 ζτ + y (t ) = K f (t ) 2 dt dt
Assumindo sistema inicialmente relaxado, estude para ƒ(t) = ƒss + u(t) Os seguintes casos: a. ζ > 1
{sistema superamortecido}
b. ζ = 1
{sistema criticamente amortecido}
c. 0 < ζ < 1
{sistema subamortecido}
d. ζ = 0
{sistema não amortecido}
e. ζ < 0
{sistema instável}
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Capítulo 8.
Função de Transferência
8.1
Função de transferência
Uma outra maneira de representar um sistema em regime transiente é através da função de transferência. Uma característica dos modelos baseados em funções de transferência é que são modelos lineares. Na Tabela 8.1-1 observamos algumas formas que tais modelos lineares podem assumir. Tabela 8.1-1: Modelos lineares em regime dinâmico.
Tipo de sistema
Tipo de modelo Função de transferência no domínio de Laplace
Equação diferencial 1a Ordem com tempo morto
τP
2a Ordem com tempo morto
τ2
Resposta inversa ou sobreelevação e tempo morto
τ2
dy (t ) + y (t ) = K P x(t − τ m ) dt
KP Y (s ) = e −τ m S X (s ) τ P s + 1
K Y (s ) d 2 y (t ) dy (t ) = 2 2 P e −τ m S + 2τξ + y (t ) = K P x(t − G (s ) = 2 X (s ) τ s + 2τξs + 1 dt dt
d 2 y (t ) dy (t ) + 2τξ + y (t ) = dt dt 2 dx (t − τ m ) K P τ d + x(t − τ m ) dt
dy (t ) = Kx (t − τ m ) dt
Integrador com tempo morto
G (s ) =
G (s ) =
K (τ s + 1) −τ m S Y (s ) e = 2 2P d X (s ) τ s + 2τξs + 1
G (s ) =
Y (s ) K −τ m S = e X (s ) s
Onde: t
tempo
y
variável medida ou controlada, variável de saída.
Y x X
KP
variável de saída na forma de desvio, Y(t) = y(t) – yref. variável manipulada ou perturbação, variável de entrada. variável de entrada na forma de desvio, X(t) = x(t) – xref.
ganho em estado estacionário,
KP =
y (t = ∞ ) − y (t = 0 ) x(t = ∞ ) − x(t = 0 )
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K
inverso multiplicativo da capacitância do sistema
Quando aplicamos uma perturbação degrau de amplitude A num processo o mesmo pode reagir conforme mostrado na Tabela 8.1-2. Para identificar o valor dos parâmetros para um sistema de 1ª ordem com tempo morto seguimos o procedimento abaixo: 1)
Identificar o ganho estático do processo
2)
Identificar visualmente o tempo morto: tempo decorrido entre o
instante da perturbação e o momento que o processo começa a reagir 3)
Calcular a constante de tempo do processo: tempo necessário para o
processo atingir 62.3% do valor final, descontado o tempo morto e o tempo em que ocorreu a perturbação. Para identificar o valor dos parâmetros para um sistema de 2ª ordem com tempo morto seguimos o procedimento abaixo: 1)
Identificar o ganho estático do processo
2)
Identificar visualmente o tempo morto: tempo decorrido entre o
instante da perturbação e o momento que o processo começa a reagir 3)
Calcular o período natural de oscilação e o fator de amortecimento
pelo método desenvolvido por Smith: • Obter o tempo necessário para atingir 20% e 60% da variação da PV, t20 e t60, respectivamente. • Calcular a razão t20/t60, e entrar na abscissa dos gráficos da Figura 8.1-1 com esse valor, lendo no eixo das ordenadas os valores de t60/τ do fator de amortecimento, ξ , respectivamente. Para identificar o valor dos parâmetros para um sistema de com resposta inversa sobre-elevação ou outro tipo de comportamento, com ou sem tempo morto, podemos empregar o procedimento abaixo: 1)
Identificar visualmente o tempo morto: tempo decorrido entre o
instante da perturbação e o momento que o processo começa a reagir
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2)
Ajustar os demais parâmetros utilizando um algoritmo de ajuste de
curvas. Seguindo
os
procedimentos
descritos
identificamos
as
funções
de
transferência do processo em relação às perturbações externas e às variáveis manipuladas. De posse das funções de transferência podemos aplicar vários procedimentos para avaliar quantitativamente quais as MV's, PV'S, pares MV-PV e sintonia mais indicada para um determinado sistema de controle multimalha. No restante deste capítulo apresentaremos alguns desses procedimentos. Tabela 8.1-2: Resposta de sistemas lineares a perturbação degrau de amplitude A.
Tipo de sistema
Resposta do processo Resposta no domínio do tempo
y (t ) = y (0) +
3
(
A.K P 1 − e
−(t −τ m ) / τ P
)
Y X
2.5
2 X e Y
1a ordem com tempo morto
Gráfico da resposta
1.5
1
0.5 tm 0
y (t ) = y (0 ) + τ .e A.K p 1 − 1
τ1 =
tp 20
30
40 tempo
50
60
70
80
4
(− t / τ 1 )
− τ 2 .e τ1 − τ 2
(− t / τ 2 )
τ τ , τ2 = 2 ξ − ξ −1 ξ + ξ 2 −1
y (t ) = y (0 ) +
Y X
3
2.5
2
1.5
1
0.5 0
2a ordem subamortecido com tempo morto
10
3.5
X e Y
2a ordem superamortecido com tempo morto
0
tm 10
20
30
40 tempo
50
60
70
4
1 − e (−ξ .(t −τ m ) / τ ) . 1 − ξ 2 (t − τ m ) + cos AK p τ 1−ξ 2 ξ (t − τ m ) sin 2 τ 1 − ξ
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Tipo de sistema
Resposta do processo Resposta no domínio do tempo y (t ) = y (0 ) +
4.5
τ a − τ 1 (− (t −τ e 1 + τ1 −τ 2 A.K p τ − τ 2 (− (t −τ ) / τ a e τ 2 −τ1
m
m
2
) / τ1 )
)
+
Y X
4
3.5
X e Y
Resposta inversa e tempo morto
Gráfico da resposta
3
2.5
2
1.5
1 0
y (t ) = y (0 ) +
A (t − τ m ) K
20
30
40 tempo
50
60
70
80
8 7 6 Y X
5 X e Y
Resposta de sistema integrador com tempo morto
10
4 3 2 1
10
4.5
9
4
8
3.5
7
3
6
2.5
10
20
30
40 tempo
50
60
70
qsi
t60/tal
0 0
5
2
Figura 8.1-1: t60/τ e ξ para sistemas de 2ª ordem.
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8.2
Matriz função de transferência
Um sistema multivariável pode ser modelado através de funções de transferência. Essas funções de transferência, que associam as saídas do sistema com as perturbações externas e com as variáveis manipuladas constituem as denominadas matriz função de transferência para a carga (GL) e para as MV's (GM). Os projetos clássicos de controladores emparelham os pares MV-PV, formando uma matriz diagonal, onde cada elemento representa o controlador do para MV-PV. Na Figura 8.2-1 vemos a representação em diagramas de blocos das perturbações externas (L), das MV's (M), das saídas do sistema (Y), dos set-points (YSP) e das respectivas matriz função de transferência. L
YSP
e
+
GC
M
GL
GM
Y
-
Figura 8.2-1: Diagrama de blocos de um sistema de controle clássico multivariável.
Legenda:
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Eq 8.2-1
Gc11 0 Gc = M 0
GM Eq 8.2-2
Eq 8.2-3
G M 11 G = M 21 M G Mn1
G L11 G G L = L 21 M G Ln1
0 Gc 22 O L
0 O M O 0 0 Gc nn L
G M 12 L G M 1n G M 22 O G M 2 n O O M G Mn 2 L G Mnn G L12 L G L1n G L 22 O G L 2 n O O M G Ln 2 L G Lnn
E as FT's em malha fechada são dadas por:
Eq 8.2-4
{
} {
}
y = [I + G M ( s )GC ( s ) ] G M ( s )GC ( s ) y sp [I + G M ( s )GC ( s ) ] G L ( s ) L( s ) −1
−1
Ou melhor, Eq 8.2-5
x = GMMF( s ) x sp + GLMF ( s ) L( s )
É mais conveniente, do ponto de vista numérico e de controle, que os sinais e ganhos das funções de transferência sejam adimensionais, para tanto podemos utilizar a faixa definida de variação das variáveis nos sistema de controle (range dos instrumentos). Nos estudos a seguir é necessário conhecer as funções de transferência (FT) do processo. Existem basicamente 3 procedimentos para identificá-las: a)
Experimentalmente, através da coleta de dados de entrada e saída da
planta e posterior tratamento numérico dessas informações. b)
Através de simulações em estado estacionário.
c)
Através de simulações em regime dinâmico.
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A seguir mostraremos como obter as FT's tendo disponível o modelo dinâmico fenomenológico não-linear da planta. Caso o modelo disponível seja linear em espaço de estados, basta pular a etapa 1: Obtenha o modelo linear em espaço de estados, para tanto faça a
9
linearização analítica ou numérica. Neste último caso, se a simulação foi implementada no MATLAB/SIMULINK, utilizando as s-functions basta usar as functions trim e linmod de forma apropriada. A resposta da function linmod é o espaço de estados linear. Podemos obter, a partir do espaço de estados, a matriz de função de
9
transferência e dos ganhos estacionários aplicando as equações Eq 8.2-6 e Eq 8.2-7:
[ [
] ]
Eq 8.2-6
G M (s ) = C (sI − A)−1 B + D G L (s ) = C (sI − A)−1 E + F
Eq 8.2-7
K M = D − CA −1 B K L = F − CA −1 E
Demonstração: Seja o espaço de estados lineares em variáveis desvio dado pelo sistema: x& (t ) = Ax(t ) + Bu (t ) + Ed (t ) y (t ) = Cx(t ) + Du (t ) + Fd (t )
Eq 8.2-8
Onde: t
Variável independente tempo
u
Variáveis manipuladas
d
Distúrbios externos
x
Estados dos sistemas
y
Saídas do sistema
Aplicando a transformada de Laplace ao sistema (Eq 8.2-8), obtemos:
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Eq 8.2-9
sIx(s ) = Ax(s ) + Bu (s ) + Ed (s ) (sI − A)x(s ) = Bu (s ) + Ed (s ) ⇔ y (s ) = Cx(s ) + Du (s ) + Fd (s ) y (s ) = Cx(s ) + Du (s ) + Fd (s )
Ou melhor,
Eq 8.2-10
x(s ) = (sI − A)−1 Bu (s ) + (sI − A)−1 Ed (s ) y (s ) = Cx(s ) + Du (s ) + Fd (s )
Em (Eq 8.2-10), substituindo x(s) em y(s) : y (s ) = C (sI − A) Bu (s ) + C (sI − A) Ed (s ) + Du (s ) + Fd (s ) −1
Eq 8.2-11
−1
Agrupando os termos semelhantes em (Eq 8.2-11) Eq 8.2-12
[
]
[
]
y (s ) = C (sI − A) B + D u (s ) + C (sI − A) E + F d (s ) −1
−1
E obtemos as funções de transferência entre a saída y(s) e as entradas u(s) e d(s):
Eq 8.2-13
[ [
] ]
G M (s ) = C (sI − A)−1 B + D G L (s ) = C (sI − A)−1 E + F
Aplicando perturbações degrau unitário em u(s) e d(s), separadamente, e utilizando o teorema do valor final, obtemos:
Eq 8.2-14
[
]
[
]
1 −1 [ f u (t )] = lim[sf u (s )] = lims C (sI − A) B + D = D − CA −1 B K M = lim t →∞ s →0 t →∞ s K = lim[ f (t )] = lim[sf (s )] = lims C (sI − A)−1 E + F 1 = F − CA −1 E d s →0 t →∞ L t →∞ d s
Portanto, os ganhos estacionários para as variáveis manipuladas e para os distúrbios externos são, respectivamente, dados por:
Eq 8.2-15
K M = D − CA −1 B K L = F − CA −1 E
Observe que, se dispomos de um modelo fenomenológico válido, não é necessário, para obter as funções de transferência do processo, realizar a identificação a partir de dados experimentais.
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Capítulo 9.
Símbolos e Abreviaturas
AeB
Constantes de Antoine
a
Aceleração
[=]
m/s2
A
Área da seção transversal
[=]
m2
A
Energia livre de Helmholtz = U – TS
[=]
kcal
a, b
Constantes, podendo ser iguais em módulo aos coeficientes
estequiométricos B
Vazão molar de retirada (fundo)
[=]
kgmol/s
C
Concentração molar
[=]
kgmol/m3
C
Constante que depende das características geométricas do tanque e
das propriedades físico-químicas do líquido cp
Capacidade calorífica a pressão constante
[=]
kcal / (kg.K)
Cv
Coeficiente de fluxo para válvula; expressa com fluxo de água em
gal/min a 60ºF e 1,0 psi d
Diâmetro da tubulação
[=]
m
[=]
kgmol/s
D
Vazão molar de destilado
Def
Difusividade ou dispersão efetiva, inclui as difusividades molecular e
turbulenta baseadas na área total (πR2) perpendicular à direção do escoamento [=]
m2 / s
E
Energia de ativação
[=]
kcal / kgmol
E
Energia
[=]
kcal
EK
Energia cinética
[=]
kcal
EP
Energia potencial
[=]
kcal
Ev
Perda por fricção, perda de carga
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f
Fator de fricção, depende da natureza do fluido, da
velocidade de escoamento, características geométricas e da rugosidade da tubulação
[ = ] adimensional
F
Força
[=]
N
F
Vazão molar de alimentação
[=]
kgmol/s
Fji
Força j atuando na direção i
[=]
N
[=]
m/s2
g
Aceleração local da gravidade
G
Energia livre de Gibbs (Entalpia livre) = H – TS
gC
Constante dimensional
Gf
Densidade do fluido
h
=
[=]
kcal
1 kg.m/N.s2 ou 32,1740 lbm.ft/lbf.s2 [=]
Altura do nível no tanque
adimensional [=]
m
H
Entalpia = U + PV
[=]
kcal
hL
Perda de carga (energia potencial) devido ao fluxo
[=]
m
how
Altura do líquido sobre o anteparo
[=]
ft
hw
Altura do anteparo (Weir) do prato
[=]
ft
[=]
m3
k
Constante da taxa
(kgmol.s) K
Ganho do processo
ki
Fator de fricção para os diversos acidentes
ko
Fator pré-exponencial
[=]
m3/(kgmol.s)
L
Comprimento da tubulação
[=]
m
L
Vazão molar do líquido
[=]
kgmol/s
[=]
kgmol
M
Acúmulo de massa (hold-up) no estágio
M
Hold-up de líquido
m
Massa
[=]
kg
MB
Acúmulo no refervedor e na base da coluna
[=]
kgmol/s
MD
Acúmulo no vaso de refluxo Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
/
Página 170 de 172
n
Prato n
n
Número de molares
[=]
kgmol
pi
Pressão parcial do componente i
[=]
atm
P
Pressão
[=]
atm
PM
Peso molecular
[=]
kg/kgmol
[=]
m3/s
[=]
kcal/h
q Q
Vazão volumétrica Calor trocado
r
Raio
R
Constante universal dos gases ideais
R
Vazão molar do refluxo
[=]
kgmol/s
Re
Número de Reynolds
[=]
adimensional
RH
Raio hidráulico (área transversal / perímetro molhado)
t
Temperatura
[=]
ºC
t
Tempo
[=]
h
T
Temperatura absoluta
[=]
K (graus Kelvin)
U
Energia interna
[=]
kcal
UG
Coeficiente global de troca térmica
[=]
kcal/m2. h.K
[=]
m/s
[=]
m3
v
Velocidade
V
Volume
VP
Posição da válvula, uma fração da abertura máxima da válvula
W
Trabalho
[=]
kcal
w
Vazão mássica
[=]
kg/h
x
i
Fração molar do componente i (em geral) e na fase líquida (em
i
Fração molar do componente i (em geral) e na fase vapor ou
particular) y
gasosa (em particular) z
Direção axial Análise em regime transiente de processos contínuos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] – [email protected] – www.LACOI.ufba.br
Página 171 de 172
z Z
Fração molar do componente leve na alimentação Fator de compressibilidade
[=]
adimensional
Símbolos gregos
9
α γ
Volatilidade relativa Coeficiente de atividade
εn
Eficiência de Murphree no prato n
∆
Diferença, valor final menos valor inicial
ζ
Fator de amortecimento
κT
Condutividade térmica
µi
Potencial químico do componente i
µ
Viscosidade
[=]
kg/(m.s)
ρ
Massa específica
[=]
kg/m3
τ
Momentum
τ
Período natural de oscilação
τd
Tempo de avanço (lead time), associado à perturbação x
τm
Tempo morto
τp
Constante de tempo do processo
τT
Constante de tempo
ν Γ
Coeficiente estequiométrico da substância Taxa de reação
[=]
kgmol / (s.m3)
Sobrescrito
9
-
Propriedade da mistura
.
Propriedade por unidade de massa
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Página 172 de 172
~
Propriedade por unidade molar
º
Propriedade no estado padrão
Define as condições na entrada Define as condições na saída
Subscrito
9
C
Referente ao combustível
D
Propriedade do destilado
f F
Propriedade de formação da substância Propriedade da substância na alimentação
j
Referente à jaqueta (camisa) do tanque
l
Propriedade da substância no estado líquido
NC
Número total de componentes
p
Referente à tubulação (pipe)
R
Referente à reação
ss
Referente ao estado estacionário
st
Propriedade referente ao vapor (stream)
t T v
Referente ao tanque Total Propriedade da substância no estado vapor
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