Electricidad, Magnetismo Y óptica-d.e.roller-r.blum .tomo 2-vol 1.pdf

D. E. Roller \ R. Blum

Física Tomo 11

Electricidad, Magnetismo y Óptica Volumen 1

EDITORIAL REVERTÉ

Barcelona · Bogotá · Buenos Aires · Caracas · México

Título de la obra original: PHYSICS: Electricity, Magnetism, and Light Volumetwo Edición original en lengua inglesa publicada por Holden-day, San Francisco Copyright© by Holden-Day, Inc. Edición en español: © Editorial Reverté, S. A., 1990 Edición en papel ISBN: 978-84-291-4341-6

Tomo II, Volumen 1

ISBN: 978-84-291-4340-9

Obra completa

Edición ebook (PDF) ISBN: 978-84-291-9507-1

Versión española por: Dr. Juan de la Rubia Pacheco Catedrático de Física General de la Universidad de Valencia

y Dr. José Aguilar Peris Catedrático de Termología de la Universidad Complutense de Madrid Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15. Local B 08029 Barcelona, España Tel: (34) 93 419 33 36 [email protected] www.reverte.com Reservados todos los derechos. La reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografia y el tratamiento informático, queda rigurosamente prolubida, salvo excepción prevista en la ley. Asimismo queda prolubida la distnbución de ejemplares mediante alquiler o préstamo públicos, la comunicación pública y la transformación de cualquier parte de esta publicación (incluido el diseño de la cubierta) sin la previa autorización de los titulares de la propiedad intelectual y de la Editorial. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (Art. 270 y siguientes del Código Penal). El Centro Español de Derechos Reprográficos (CEDRO) vela por el respeto a los citados derechos. # 1004

Prólogo Este libro tiene sus bases en el prestigioso texto clásico Mechanics, Molecular Physics, Heat, and Sound, de Robert A. Millikan, Duane Roller y E. C. Watson, editado por vez primera en 1938, y en una serie de apuntes de clase sobre electricidad, magnetismo y óptica, escritos por los mismos autores en colaboración con Car/ Anderson y Wo/jgang Panofsky. El principal autor de esta primera versión fue el profesor Duane E. Roller, quien posteriormente emprendió -como su gran ambición- el trabajo de revisión y puesta al día para su publicación a lo largo de su vida. Para poder realizar este proyecto aceptó en 1957 el puesto que le ofreció Joseph Platt, presidente del Harvey Mudd College en Claremont, California, recientemente inaugurado y donde enseñó física y trabajó en el manuscrito. Fue durante este período cuando el profesor Roller me presentó su libro y despertó mi entusiasmo para revisarlo y publicarlo. Sin embargo, su muerte sobrevino en 1965 cuando el proyecto estaba todavía en la etapa de desarrollo. Por sugerencia del profesor David Saxon solicité al doctor Ronald Blum, entonces profesor de física de la Universidad de Chicago, que completase el manuscrito. Fue una empresa ambiciosa que el doctor Blum realizó en la Universidad de Maryland mientras en la Comisión sobre College Physics dirigía un esfuerzo pionero de exploración y desarrollo del uso de ordenadores en la enseñanza de la física general. El presente libro representa, pues, un tratamiento clásico de la física general puesta al día mediante una completa revisión y la adición de nuevos capítulos, abundantes y nuevos ejemplos, aplicaciones, problemas e ilustraciones. Una característica fundamental es el uso del ordenador dentro del contexto de la física general. El doctor B/um, principal autor de estos volúmenes, ha conseguido f usionar el tratamiento pedagógico del primer trabajo con un enfoque moderno, ofreciendo al estudiante un texto de física introductoria, único en su género. La publicación de este libro es la culminación de un ambicioso proyecto de ambos autores. El profesor Roller fue uno de los más respetados y conocidos profesores de física de su época y por ello fue recompensado con la Medalla Oersted en 1949 por la Asociación Americana de Profesores de Física. Durante toda su vida dedicó una cantidad considerable de tiempo en la preparación de la primera versión y posteriormente en su revisión. El doctor Blum ha dedicado más de una década en la expansión, desarrollo y modernización del material. Por su esfuerzo, cuidado y dedicación para la terminación de este proyecto me complace expresarle mi sincero agradecimiento. Desde un punto de vista personal la publicación de este libro significa algo muy importante para nosotros dos. Estamos en deuda con muchas personas que revisaron el manuscrito y proporcionaron valiosos comentarios y sugerencias creativas que mejoraron globalmente el texto. En las primeras etapas fueron muy eficaces las ayudas de Richard O/son y Norma Campbell. Un agradecimiento especial merecen el profesor Anthony Buffa por su meticuloso esfuerzo en el desarrollo editorial del libro y el profesor V

VI

Prólogo

Sumner Davis por su generosa entrega en tiempo y consejo. Gracias también a aquellos implicados en la producción real del libro, en particular a Nancy Clark, que diseñó el libro y dirigió el primer volumen, a Larry McCombs, que dirigió el segundo volumen, y a Edward Riley, editor gerente. Vosotros, estudiantes, seréis los beneficiarios de los esfuerzos combinados de estas personas. Esperamos que sabréis entender y apreciar los pensamientos e ideas expuestos en este libro y que vuestra dedicación al estudio reflejará la dedicación que hizo posible su creación. Mucho de lo que aprendáis en este libro permanecerá con vosotros toda la vida y os será valioso en futuros estudios. Independientemente del campo de vuestra profesión, quizás también contribuiréis con aquello que estudiéis en este libro a la formación de fu turas generaciones, para su mejor comprensión y más profunda apreciación de esa hermosa ciencia que es la Física. San Francisco Frederick H. Murphy

Prefacio Einstein señaló una vez que la característica más asombrosamente simple del universo es que resulta extraordinariamente comprensible y razonable. Este libro es una introducción a la física, que es la más razonable de las ciencias naturales. El objetivo que se ha pretendido conseguir es el de reunir las fuentes, la teoría y la práctica de cada tema y alcanzar así una descripción unificada en la cual 'surjan lógica y razonablemente, unas de otras, las etapas del desarrollo de la física, sin ningún hueco mistificador o salto acrobático de intuición. Cuando no ha sido posible dentro del nivel del texto proceder con lógica inexorable de un paso al siguiente, se orienta por lo menos al alumno para que consiga una apreciación del grado en que resulta razonable el resultado mediante argumentos heurísticos, claramente señalados como tales. Sean cualesquiera los defectos que se encuentren en estas páginas, se espera sinceramente que no esté entre ellos la vacilación. Este libro es el segundo volumen de un texto sobre introducción a la física para alumnos que estudien seriamente ciencias físicas, ciencias de la vida e ingeniería. Aquellos que sigan este curso deberán haber estudiado previamente geometría, álgebra y trigonometría; el cálculo diferencial e integral, el álgebra y la trigonometría son también requisitos previos para el segundo volumen. El primer volumen cubre la mecánica y la termodinámica; el segundo estudia la electricidad y el magne(ismo, la luz y la óptica. Tenemos en preparación un tercer volumen sobre física moderna y mecánica cuántica. La organización del contenido es esencialmente clásica con tres importantes excepciones. En primer lugar nuestro objetivo son los conceptos y no los fenómenos aislados. Así en este volumen los capítulos 26 a 29 tratan la electrostática de las cargas puntuales en el vacío y el capítulo 30 extiende estos conceptos a la materia macroscópica, aunque las deducciones estén basadas en modelos moleculares. Los capítulos 31 y 32 aplican la electrostática a los fenómenos estacionarios de lascorrientes eléctricas uniformes y el capítulo 33 es una mezcla de temas avanzados que incluyen los fundamentos de los circuitos electrónicos. La siguiente área importante es el estudio de la magnetostática que se trata en los capítulos 34 a 36. Este último capítulo extiende la magnetostática a la materia macroscópica por medio del concepto de corrientes de Ampere. Los capítulos 37 y 38 sobre fems inducidas y autoinducciones ponen los cimientos de la teoría electromagnética de la luz y la radiación que se trata en los capítulos 41 y 42. En cierto sentido el capítulo 39 es una digresión, aunque muy práctica e importante, en la cual los circuitos de CA se tratan detalladamente. Este capítulo introduce también el uso de variables complejas ofreciendo así al estudiante las herramientas para el tratamiento sucinto y fructífero de la óptica física y, en consecuencia, la mecánica cuántica. (Se han incluido referencias cruzadas para los capítulos del tercer volumen.) VII

VIII El último tema importante tratado en este volumen es la óptica. Los capítulos 43 y 44 ofrecen los fundamentos necesarios de la óptica geométrica para entender los sistemas prisma, espejo y lente y aparatos como los telescopios, microscopios y cámaras fotográficas. Los capítulos 45 y 46 discuten la óptica física basada en la construcción de Huygens (ya introducida en el capítulo 18 del primer volumen). La construcción de Huygens no distingue entre ondas longitudinales y transversales, pero el capítulo 47 discute los efectos de polarización que revelan la naturaleza transversal de las ondas electromagnéticas en medios ilimitados. La segunda característica excepcional para un libro de esta naturaleza es la inclusión de abundante material histórico, no como mera deferencia al pasado opatriotismo científico, sino más bien para que el alumno actual de física conozca el crecimiento orgánico de nuestro conocimiento. La física no ha surgido bruscamente de la frente del genio, sino que es el resultado de múltiples experiencias variadas y de la discusión de muchas teorías distintas. Nuestro objetivo se verá cumplido si el alumno puede detectar la racionalidad de este crecimiento y quizás piense, «dados estos hechos, ¿ habría llegado yo a las mismas conclusiones?». Así por ejemplo, en los capítulos 34 y 35 comenzamos nuestro estudio de la magnetostática con la observación de Gilbert de los polos magnéticos y utilizamos esta analogía con la ley de la electrostática de Coulomb y la tercera ley del movimiento de Newton para deducir la ley de Biot y Savart (que usualmente se expone al alumno por proclamación). La historia es un asunto específicamente humano y forma parte de nuestro estudio del presente y nuestra esperanza de futuro. El físico es humano y está (o debería estar) implicado con los problemas y el futuro de la humanidad. En línea con esta filosofía hemos incluido un capítulo sobre física del plasma y magnetohidrodinámica, así como discusiones detalladas sobre física espacial, reactores de fusión y holografía. Además en discusiones y problemas se encontrarán numerosos ejemplos de nuestro interés por los futuros recursos energéticos. La tercera característica poco corriente en este texto es la inclusión de métodos orientados por un ordenador. Dado el desarrollo histórico de la física, ¿cuáles son las herramientas que se necesitan para este proceso continuo? Una herramienta muy importante -tan importante que empieza a ser por sí misma un factor conceptual en el propio desarrollo de la ciencia- es el ordenador y más recientemente el calculador de mano programable y el microprocesador. La física como cuerpo de conocimiento debe asimilar para sí la potencia del cálculo electrónico, lo mismo que en etapas anteriores incluyó el álgebra, el cálculo diferencial e integral, la matemática superior y la tecnología. Las modernas técnicas de cálculo con ordenador deben hacerse asequibles a los alumnos dentro del contexto de la física en la etapa más inmediata posible de su desarrollo intelectual. De aquí que este volumen continúe el curso sobre métodos de ordenador iniciado en el primer volumen. Ahora aplicamos viejos métodos a una variedad de nuevos problemas e introducimos nuevos métodos para la integración de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. El hecho de que un ordenador se programe fácilmente para manipular variables complejas nos animó a introducir el álgebra compleja en nuestros estudios de circuitos de CA y de óptica, en lugar de seguir fieles a los venerables, pero complicados métodos de los fasores. Así, a expensas de cierto trabajo laborioso inicial se gana profundidad física y se reduce la carga matemática. En lugar de presentar muchas secciones cortas de longitud variable, hemos preferido utilizar un enfoque modular, manteniendo la longitud de cada sección

Prefacio

Prefacio

IX aproximadamente constante. Existen cinco o seis secciones por capítulo y una sesión de clase ordinaria dará de sí lo suficiente como para cubrir una o dos secciones. Todos los capítulos pueden completarse en el tiempo de una semana, y puede desarrollarse el volumen completo en un año académico regular o quizás en menos tiempo. Cada sección con sus problemas puede considerarse como una unidad de estudio separada, lo cual hace más fácil que el profesor y los alumnos sepan dónde están y acomoden su marcha al unísono. La estructura modular no sólo se presta a la autoenseñanza personalizada sino que permite también el desarrollo de un sistema de estudio mediante tres posibles vías. Las vías, que se ilustran en forma de un diagrama de flujo en la guía del curso que se expone a continuación son (A) física básica de iniciación, (B) métodos de la física orientados al manejo del ordenador y (C)física de iniciación avanzada. Cada vía es autoconsistente y supone el conocimiento de la vía anterior, estando dispuestas de modo que el material más avanzado generalmente se presenta al final de cada capítulo. Las secciones opcionales se indican con asteriscos en la guía del curso. Si el tiempo es limitado puede darse un curso breve siguiendo sólo la vía A. La Guía del Profesor ofrece una discusión más detallada del método de vías. En este volumen se encuentran 187 ejemplos resueltos, que deben considerarse como parte integral del texto. También los problemas tienen una importancia considerable. Los alumnos no pueden aprender a pensar como los físicos a no ser que resuelvan, y en cantidad apreciable, problemas interesantes y que llamen la atención sobre puntos sobresalientes o conflictivos del temario. En este volumen se presentan 912 problemas y la mayoría de ellos constan de dos o más partes; algunos de ellos son más bien cuestiones para pensar, que verdaderos problemas con cálculos más o menos elaborados. Al final de cada capítulo se dan casi todas las soluciones de los problemas sin que sean visibles de modo inmediato. Los problemas se dividen de acuerdo con las secciones del texto, de modo que los más difíciles se sitúan al final de cada sección. Los problemas más avanzados llevan al alumno a través de un determinado número de pasos hasta llegar a alguna conclusión interesante o valiosa. Se sugiere que el profesor o instructor seleccione algunos de los problemas del final de cada capítulo y los asigne como tarea para casa si no hay tiempo suficiente para resolverlos en clase. Los temas relacionados con el ordenador están marcados claramente con un asterisco y los problemas orientados para su resolución con ordenador están también señalados adecuadamente (aunque la mayoría de ellos no requieren realmente confeccionar ningún programa, sino que se ocupan fundamentalmente de los métodos). Los programas de ordenador que se encuentran en el texto están escritos en el lenguaje de ordenador universal -el diagrama o gráfico del flujo-, de modo que la presentación se hace sin un lenguaje especial. Además, no se necesita ninguna experiencia previa en ordenadores. De hecho, los métodos de ordenador pueden estudiarse con provecho sin tener que recurrir a ningún ordenador, aunque siempre es recomendable el tener experiencia propia. Una breve introducción a los fundamentos del lenguaje de programación BASIC se incluye en el Apéndice I; éste puede servir como guía para el uso del BASJC en casi todos los ordenadores o microordenadores ahora en uso. Cuando se llega a comprender cada vez más a los ordenadores y sus métodos de cálculo, se tiende a ser menos dependientes de ellos tanto sicológica como prácticamente. El conocimiento del análisis numérico, de las aproximaciones y errores puede frecuentemente conducir a soluciones rápidas en una calculadora manual y así se le ayuda también al alumno a evitar los peligros de sustituir el cálculo nu-

X

mérico por la intuición. Las evidentes ventajas del ordenador son la facilidad de cálculo (más física con menos matemáticas) y el estudio de casos o situaciones más reales. También anima al estudio de los errores y construcción de algoritmos, al empleo de procedimientos de recurrencia y a la simulación de experimentos. El empleo del ordenador obliga a la precisión y a la disciplina, conduce a ser más conscientes de nuestros propios procesos de abstracción y análisis e incluso sirve para hacer surgir cuestiones fundamentales acerca de la naturaleza de nuestra descripción de la realidad física. El ordenador puede introducir un nuevo sentido de descubrimiento incluso en los problemas más conocidos y hace posible una puerta abierta en el currículum físico, en el trabajo propio y en el laboratorio. La redacción de este libro ha costado unos trece años. Numerosas personas han suministrado consejos, sugerencias útiles, críticas acertadas e indicaciones y ciertamente merecen que se les reconozca su labor aquí. En primer y más principal lugar hemos de mencionar al muy respetado físico, profesor, escritor y académico Duane Roller, quien suministró el manuscrito inicial del primer volumen, junto con un ejemplo de constancia y dedicación a la enseñanza que me ha servido de guía e inspiración. Sin esta base, nunca se habría escrito este libro. Mi único sentimiento es el de no haber podido conocer al profesor Roller. Alfred Bork sugirió la integración de los ordenadores en el texto. Julius Brandstatter nos animó de modo constante y su ayuda fue de gran valor. Anthony Buffa realizó una maravillosa y penosa labor en las detalladas revisiones de las distintas versiones de este libro, así como de las pruebas de imprenta. Entre los que revisaron el manuscrito e hicieron muchos comentarios y sugerencias valiosas podemos citar a Sumner Davis, Charles Bordner, Douglas Shawhan, Robert Leighton, Harold D. Rohrschac, Walter D. Wales, David Cook, Robert March, Stanley Williams, Charles Whitten, Jr., R. Wayne Crews, Don Martín, Malcolm Smith, Warren Blaker, ferry Pine, Anthony Leitner, David McDaniels, D. Murray Alexander, J. Gordon Stipe, Jr., H. R. Brewer, M. E. Oakes, John L. Powell, Herbert D. Peckham, Susan Schwartz, Harry Bates, Peter Sturrock, Philip DeLavore, David Saxon, Kenneth folles, Mark Zemansky, Burton Fried, Arthur Leuhrmann, John Robson, Timothy Kelley, Louis Deegan, Jr., Christopher iones y Mary Ashford. Frederick H. Murphy, Presidente de Holden-Day, fortaleció mi propia resolución, de modo que sin su fe en el éxito de este libro no habría llegado a terminarse. Mi agradecimiento también a Ted Riley por su extraordinario esfuerzo en supervisar la producción de cada volumen y a Judy Notan de Allservice Phototypesetting por su ayuda en convertir el manuscrito en letra impresa. Finalmente deseo expresar mi mayor aprecio a Larry McCombs, editor de este volumen, por su gran y absoluta dedicación. Ha sido un placer y un aprendizaje trabajar con él, aunque no me admitiera decir «puesto que» en lugar de «porque». Baltimore Ronald Blum Septiembre, 1981

Prefacio

A mis padres, Sol y Helen Blum, por el amor que nunca me faltó y a mis hijos, Elana, Tamara y Don, con el amor que nunca les faltará

Guía del curso VOLUMEN UNO Vía B Métodos orientados al ordenador

Vía A Física básica

Vía C Física avanzada

Corriente principal Sec. 3.6 Diagramas de flujo

Caps. 1-4 De~cripción Vectore.1:.

Derivación numérica

Cinemática

¡

Sec. 6.6 Ley de Hooke Método de Euler

Corriente princip al

Caps. 5-6 Masa Cantidad de

Sec. 5.6 Sistemas de

movimiento

no inerciale:-,

referencia

Fuerza

i

1

Sec. 7.6 Regla del trapecio Decaimiento exponencial

Caps. 7-8 Trabajo Potencia Energía

Sec. 8.4 ~

Energía potencial

Relacionados con los capítulos del vol. II

r----------,

1

Cap. 27 : Potencial 1 1 eléct rirn 1__________ JJ

,_ _______

-----~1

en , D

l

1

Car. 9 Cantidad de movimiento

Sec. 9.6 Propulsión de cohetes

1

Sec. 10.5 Integración múltiple Tabla de consulta

Cap. 10 Cuerpos rígidos Centro de masas

! i

1

Caps. 11-12 Rotaciones Momentos Dinámica

¡ Sec.s. 12.4-5* Fuer la~ ccn t rí fuga.., y de CorioJi..,, gi ró.,copo-.

1

Sec. 13.6 Método mejorado de Euler rara las órbitas

........

Cap. 13 Gravedad y fuerzas ceritralc,

i

t XII

Sec. 13.2 Gra\edad a ran ir de las lcYcs de Kcri'er !

t

Vía B Métodos orientados al ordenador

Vía e Física avanzada

Vía A Física básica

v Cap. 14 Elasticidad

...

Secs. 14.4-5 Relaciones entre los módulos Modelos atómicos

r---------1

Sec. 16.4 Regla de Simpson Péndulo físico

1

Cap. 16 Oscilaciones

...

Cap. 15 Mecánica de fluidos Secs. 15.5 *

1 Cap. 40 1 _.,...j Física del plasma 1 1 Magnetohidro ¡ 1 dinámica 1

Cap. 19 Relatividad Sec. 19.9 •

l -oP-1 l

L _________ J

Sec. 16.5 Oscilaciones amortiguadas y forzadas

r--------7

Caps. 17-18 Ondas Interferencias

Caps. 48-50 Mecánica cuántica

1 1

l

L ________ _J

1

Sec. 20.6 Interpolación polinomios de Lagrange

Cap. 20 Temperatura·

1

Sec. 21.6 Raíces de ecuaciones Método Newton-Raphson

Cap. 21 Calor 1

Cap. 22 Teoría l'iné1 ka, energía

~

Cap. 23 Fases de la materia Sec. 23.5'

'

r--------7

Sec. 24.1 Reducción de datos Recta de ajuste

Car. 24 Teoría cinética. tran~ronc

Se,. 24.6 Ir

Cap. 25 Entropía Segundo principio 1.de la termodinámica

1

-...J

1

1 L

Caps. 48-50 Me,áni.:a

!

1

cuántica

1

________ _j1

Se,. 25.6 Entro ria y estadístka

.,

• Secc10n opc10nal

XIII

VOLUMEN DOS Vía B Métodos orientados al ordenador

Vía e Física avanzada

Vía A Física básica

Corriente principal Caps. 26-27 Cargas y campos eléctricos

Sec. 27-7 'v · E = p/
Cap. 28 Potencial eléctrico

Sec. 28.4 Simetría axial Sec. 28.7

eorriente principal Sec. 28.8 Métodos de relajación

'v'V

Sec. 29.6 Derivación numérica

Sec. 32.5 Sistemas de ecuaciones

pf,,,

Sec. 29.5 Métodos imagen Sec. 30.6 Teoría potencial

Caps. 29-30 Capacidad Dieléctricos

Caps. 31-32 Corrientes Resistencia Teoría de circuitos

--

1-+-

Sec. 32.6* Circuitos equivalentes

Cap. 33 Conducción no-óhmica Sec. 33.7*

XIV

Sec. 34.6 Unidades electromagnética,

Cap. 34 Campos y fuerzas magnéticos

~

Cap. 35 Campos magnéticos de cargas móviles

1-+- Transformaciones

Sec. 35.2 de campo

Sec. 35.8 'v X B = µ.J

Cap. 36 Medios magnéticos

Sec. 36.6 Ecuaciones diferenciales Sec. 36.4•

t

t

Vía B Métodos orientados al ordenador

Vía e Física avanzada

Vía A Física básica

v Sec. 37 .5 Predictorcorrector

(;a!vanómetro

¡,.

Caps. 37-39 Ley de Lenz Teoría de los circuitos CA

~

Sec. 39-5• Transformadores y filtros

Cap. 40 Física del plasma Magnetohidrodinámica

Cap. 41 Ondas electromagnéticas

Sec. 42.6 Solución numérica de la ecuación de ondas

...

Sec. 4!.6 Dispersión

Cap. 42 Radiación guiada

Secs. 42.4-5 Guías de ondas

Cap. 43 Óptica geométrica-!

~

Sec. 43.4 Principio de Fermat

C_ap. 44 Optica geométrica-ll

11>-

Sec. 44.3 Lentes gruesas y compuestas

Cap. 45 Interferencia

.... ~

Sec. 46.2 Dí fracción

Cap. 46 Dí fracción

Sec. 45.7* Fuentes extensas

lo-- en una abertura

circular

t Cap. 47 Polarización

~

Sec. 47.3 Ecuaciones de Fresnel Sec. 47.8*

I+-

Caps. 48-50 Física moderna

Sec. 48.6* ¡...,. Calor específico de Debye

• Sección opcional

XV

Índice analítico

Prólogo VI Prefacio VIII Guía del curso XII

CAPÍTULO 26

Carga y fuerza eléctrica

911

26.1

Orlgenes históricos de la teoría eléctrica

26.2

Carga

26.3

Ley de Coulomb

26.4

Deducción de la ley del inverso de .los cuadrados

26.5

Carga y átomo

CAPÍTULO 27

912

917 922 930

Campos eléctricos

939

27.1

Intensidad del campo eléctrico

27.2

Dipolo eléctrico

27.3

Campos eléctricos de cargas distribuidas

27.4

Líneas de campo eléctrico

940

943

27.6 Aplicaciones de la ley de Gauss

959 967

27. 7 Forma diferencial de la ley de Gauss

Potencial eléctrico

948

952

27.5 Flujo eléctrico y ley de Gauss

CAPÍTULO 28

927

978

991

28.1

Energía potencial electrostática

28.2

Potencial

992

995 XVII

XVIII

Índice analítico

28.3

Aplicaciones de las funciones potenciales

28.4

Función potencial: simetrla axial

28.5

Movimiento de una part(cula cargada

28.6

Superficies equipolencia/es Relajación

CAPÍTULO 29

1009 1013

1019

28. 7 Ecuaciones de Poisson y Laplace 28.8

1000

1023

1027

Capacidad y condensadores

1041

29.1

Capacidad

29.2

Cálculos de capacidades

1047

29.3

Sistemas de conductores

1054

29.4

Energ(a del campo electrostático y tensión

29.5

Cálculo de capacidades: método de las imágenes

29.6

Cálculo de capacidades: métodos numéricos

CAPÍTULO 30

Dieléctricos

1042

Polarización

30.2

Susceptibilidad eléctrica

30.3

Desplazamiento eléctrico

30.4

Comportamiento del dieléctrico

30.5

L(neas de campo en los l(mites del dieléctrico

30.6

Teoda potencial

1068

1084 1090 1095 1103

1111

Corrientes eléctricas y resistencia

31.1

Corriente

31.2

Conducción

31.3

Resistencia

31.4

Cálculos de resistencias

1126 ll32 JJ 35

1142

31.5 Corriente de desplazamiento

CAPÍTULO 32

1065

1083

30.1

CAPÍTULO 31

1059

Teoría de circuitos

32.1

Fuerza electromotriz

32.2

Leyes de Kirchhoff

1169 1170 1176

ll51

1125

1107

XIX

indice analítico

32.3

Análisis de circuitos

32.4

Mediciones

lJ 85

1190

32.5 Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas 32.6

CAPÍTULO 33

Circuitos equivalentes

1205

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no-óhmica 1223

33.1

Electroqwínica

33.2

FEM química

33.3

Termoelectricidad

33.4

Conducción no-óhmica: electrones en el vacío

1224 1229 1236 1244

33.5 Conducción no-óhmica: electrones en la materia 33.6

Circuitos de transistores

1267

Campos y fuerzas magnéticas

1281

34.1

El campo magnético

34.2

Fuerzas magnéticas

34.3

Par sobre un dipolo magnético: aplicaciones

1283 1287

34.4 Fuerza magnética sobre una carga móvil 34.5 Aplicaciones en la investigación 34.6

CAPÍTULO 35

1253

1262

33. 7 Redes equivalentes de transistores

CAPÍTULO 34

1197

Unidades electromagnéticas

1294

1299

1305

1310

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

35.1

Ley de Biot y Savart

35.2

Transformaciones de campos

35.3

Campo creado por un hilo rectilíneo

35.4

Campo de una espira circular

35.5 Ley de Ampere 35.6

1324 1328 1331

1338

1343

Líneas de campo magnético

1351

35. 7 Láminas de corriente y solenoides

1356

35.8 Ecuaciones diferenciales de la magnetostática

1363

1323

XX

Índice analítico

CAPÍTULO 36

Medios magnéticos

1377

36.1

Imanación

1378

36.2

Susceptibilidad magnética

36.3

Formulación diferencial de la magnetostática, continuación 1392

36.4

Solución general

36.5

Circuitos magnéticos

1385

1394 1401

36.6 Diamagnetismo y paramagnetismo

36. 7 Ferromagnetismo

CAPÍTULO 37

1407

1413

Fuerza electromotriz inducida

1425

37.1

FEM de movimiento: traslaciones

37.2

FEM de movimiento: rotaciones

1426 1431

37.3

Ley de Faraday y ley de Lenz

37.4

Aplicaciones de la ley de Faraday

1437 1441

37.5 Movimientos del galvanómetro y método del predictor-corrector 1446 37.6

Ecuaciones de Maxwell

1451

Autoinducción

1463

38.1

A utoinducción

1464

38.2

Inducción mutua

38.3

Inducciones combinadas

38.4

Transitorios inductivos

CAPÍTULO 38

1468 1472 1476

38.5 Energía del campo magnético

CAPÍTULO 39

Corrientes alternas

/481

1495

39.1

Elementos de circuitos de CA

39.2

Álgebra compleja

39.3

Teoría de circuitos de CA

1497

1506 1510

39.4 Ampliación de la teona de circuitos de CA 39.5 Potencia 39.6

1521

Transformadores y filtros

1528

1516

Índice analítico

XXI

CAPÍTULO 40

Física del plasma y magnetohidrodinámica

40.1

Movimientos de las part(culas cargadas

40.2

Espejos magnéticos

1550

40.3

Teorema de Alfvén

1554

40.4

Magnetohidrodinámica (MHD)

40.5

F(sica del plasma

40.6

Ondas MHD

1543

1556

1560

1565

40.7 Mecánica magnetofluida solar-terrestre

CAPÍTULO 41

Ondas electromagnéticas

1568

1581

41.1

Ecuación de ondas

41.2

Ondas sobre /(neas de transmisión

41.3

Ondas electromagnéticas en el espacio

41.4

Energ(a y cantidad de movimiento de las ondas electromagnéticas 1602

41.5

Índice de refracción

41.6

Dispersión

CAPÍTULO 42

1541

1583 1587 1593

1608

1610

Radiación y ondas guiadas

42.1

Oscilaciones libres

42.2

Oscilaciones forzadas

42.3

Radiación dipolar

1621

1622 1629 1634

42.4 L(neas de transmisión: ondas electromagnéticas transversales (EMT) 1639 42.5 Gu(as de ondas: los modos ET y MT y la velocidad de grupo 1644 42.6

CAPÍTULO 43

Solución numérica de la ecuación de ondas

Óptica geométrica: reflexión y refracción

43.1

Luz

1667

43.2

Reflexión

43.3

Refracción

43.4

Principio de Fermat

1670 1676 1682

43.5 Reflexión en una supe,jicie esférica 43.6

Refracción en una superficie esférica

1685 1693

1650

1665

XXII

Índice analítico

CAPÍTULO 44

Óptica geométrica: lentes e instrumentos ópticos

44.1

Prismas

44.2

Lentes

44.3

Lentes gruesas y lentes compuestas

44.4

Amplificadores (o lupas) y microscopios

44.5

Telescopios

44.6

Otros dispositivos ópticos

CAPÍTULO 45

1712 1717 1724 1732

1739 1746

Interferencias de la luz

1763

45.1

Condiciones de interferencia

45.2

Interferencias desde dos focos

45.3

Interferencias por focos múltiples

45.4

Fuentes extensas: películas y placas delgadas

45.5

Reflexión y transmisión

45.6

Aplicaciones: interferometría y holografía

1765 1769

Difracción

1775 1781

1788

45. 7 Más sobre superficies extensas

CAPÍTULO 46

1794

1800

1813

46.1

Difracción de Fraunhofer

46.2

Difracción de Fraunhofer por una abertura circular

46.3

L1ínite de resolución: lentes

46.4

L1ínite de resolución: redes y prismas

46.5 Difracción por cristales 46.6

CAPÍTULO 47

17ll

Difracción de Fresnel

Polarización

1816 1820

1822 1828

1833 1837

1855

47.1

Teon'a electromagnética de la reflexión y refracción

47.2

Fórmulas de Fresnel

47.3

Deducción de las fórmulas de Fresnel

47.4

Polarización mediante cristales

47.5

Polarización por reflexión y refracción

47.6

Tipos de polarización

47. 7 Análisis de la luz

1862

1885

1881

1865

1867 1875

1858

XXIII

Índice analítico

47.8 Polarización elfptica general Epl7ogo

APÉNDICES

1891

1903

1905 A

Glosario de s(mbolos y abreviaturas

1907

B Sistema internacional de unidades (SI)

e

Factores de conversión

1917

1921

D Fórmulas y aproximaciones del álgebra y la geometrfa E

Trigonometrfa y álgebra vectorial

F

Cálculo diferencial, integral y vectorial

G

Tabla periódica de los elementos

1931 1947

H Convenios de los diagramas de flujo I

El lenguaje BASJC de ordenador

J

Tablas estadfsticas

K

Series de Fourier

L

Constantes f(sicas fundamentales

M Álgebra compleja N Métodos numéricos

1937 1951

1953

1973 1979 1983

1985 1989

O Sistemas de unidades eléctricas y magnéticas

ÍNDICE ALFABÉTICO

2013

ÍNDICE DE AUTORES

2025

2001

1927

CAPÍTULO

26

Carga y Juerza eléctrica «De acuerdo con ello, el 21 de diciembre [1766} electrifiqué una vasija de estaño de un cuartillo de capacidad, apoyada sobre una pieza de madera; y observé que un par de bolitas de médula de saúco, aisladas mediante su sujeción al extremo de una varilla de vidrio, y que colgaban totalmente introducidas dentro de la vasija, de modo que no sobresalía de la misma ningún trozo de hilo, permanecían exactamente donde se les dejaba, sin verse influidas en lo más mínimo por la electricidad... A partir de aquí podemos inferir de este experimento que la atracción de la electricidad está sometida a las mismas leyes que las de la gravitación y que varía, de acuerdo con ello, en razón a los inversos de los cuadrados de las distancias; así pues, se demuestra fácilmente que, si la Tierra tuviese forma de corteza, todo cuerpo en su interior no se vería atraído hacia un lado con más fuerza que hacia otro.» JosEPH PRIESTLEY, Historia y estado presente de la electricidad, con experimentos originales

En este capítulo presentamos los conceptos fundamentales de la electricidad. La base de nuestro estudio se encuentra en ciertos principios y conceptos fundamentales que hemos desarrollado ya (tales como fuerza, energía, y magnitudes vectoriales), pero nos vamos a encontrar ahora con una nueva propiedad física de la materia, la carga eléctrica, y la fuerza asociada con ella. Esta propiedad es el elemento unificador que enlaza conjuntamente el inmenso campo de fenómenos considerados en este volumen. A diferencia de la masa, la carga puede ser (según nuestra manera de describirla) positiva o negativa y un cuerpo que no posee ninguna carga neta se considera como neutro. Como la masa, la carga es la fuente de una fuerza característica del universo; la fuerza asociada con la carga se denomina fuerza eléctrica. Sin embargo, esta fuerza, aunque semejante a la gravedad en su formulación matemática, puede ser atractiva o repulsiva, como se demuestra experimentalmente, según que las cargas que interaccionen sean de signos opuestos o iguales. 911

Carga y fuerza eléctrica

912

Las pruebas experimentales han demostrado que los dos tipos de cargas pueden neutralizarse entre sí al combinarse, produciendo una carga neta nula, lo cual representa simplemente su suma algebraica. Si no fuese por el hecho de que los cuerpos se encuentran generalmente en una condíción neutra, todos los fenómenos macroscópicos se verían dominados por las fuerzas eléctricas, que son mucho más intensas que las fuerzas gravitatorias. La primera etapa para la comprensión de la naturaleza de estas fuerzas consiste en describir las interacciones entre cuerpos estacionarios que poseen una carga neta que no varía con el transcurso del tiempo. Este estudio de la electrostática será el tema de los cinco capítulos siguientes. Después de la electrostática estudiaremos las cargas móviles (o corrientes eléctricas) y las fuerzas magnéticas a que dan origen. Veremos que existe una relación directa y estrecha entre los fenómenos eléctricos y los magnéticos, ¡relación que conduce a la deducción de la velocidad de la luz y a la naturaleza de su propagación por el espacio! Luego emprenderemos el estudio de la luz, u óptica, para mostrar finalmente la conexión existente entre los colores observados (frecuencias) de ciertos tipos de luz radiada y los principios de la estructura atómica y de la mecánica cuántica, rama fundamentalísima de la física que considera a las ondas y a las partículas como dos aspectos de la misma realidad física. (Es decir, las ondas y las partículas no son entidades físicas diferentes, sino más bien dos tipos de comportamiento que presentan todas las entidades de esta clase.) Estos principios se aplican asimismo a la estructura de los núcleos atómicos, dentro de los cuales se almacenan las tremendas energías que se liberan en el Sol y en los dispositivos termonucleares. En este capítulo seguiremos los orígenes históricos de la teoría de la electricidad y estudiaremos las pruebas teóricas y experimentales correspondientes a la formulación de la ley de Coulomb, que es la descripción básica de las fuerzas existentes entre las partículas cargadas. Finalmente, mencionaremos las ideas modernas de la estructura atómica que describen las cargas en el átomo, sus tamaños y posiciones relativas y algunos de sus efectos so0re los fenómenos atómicos.

26.1

Orígenes históricos de la teoría eléctrica

La teoría moderna de la electricidad tuvo sus comienzos en el siglo XVI en el trabajo de William Gilbert, el más famo50 físico experimental inglés de su época. En 1600 publicó los resultados de 17 años de investigación en De Magnete, libro que compite con el libro Dos nuevas Ciencias de Galileo en la distinción de ser el primer texto sobre física moderna. Aunque trata fundamentalmente del magnetismo, el único capítulo dedicado a la electricidad representa el primer tratado importante sobre el tema. Antes de la época de Gilbert, el conocimiento de los fenómenos eléctricos había progresado poco más allá del hecho (aparentemente conocido desde la antigüedad) de que el ámbar y el azabache, al ser frotados, adquieren la propiedad de atraer a pequeñas porciones de materia. Con objeto de estudiar esta propiedad de la electrización, Gilbert ideó el primer instru-

Carga y fuerza eléctrica

913

mento eléctrico, que denominó «versorium», pero que hoy llamaríamos electroscopio (ver figura 26.1 ). Con su ayuaa encontró que se pueden electrizar por frotamiento otras muchas sustancias además del ámbar y que también atraen a una amplia variedad de otros objetos. Sin embargo, una determinada clase de sustancias, especialmente los metales, se resistieron a todos los intentos de Gilbert para electrizarlos. Tuvieron que pasar más de cien años antes de que se demostrase que esta clase de materiales se compone de sustancias «conductoras», a través de las cuales pueden moverse libremente las cargas eléctricas y como Gilbert las sujetaba con su mano mientras las frotaba, perdían su electrización al mismo tiempo que la iban recibiendo.

La varilla de metal se introduce dentro de la cámara

Hojas metálicas

Aislante

Caja metálica aislada de B y de la base.

Fig. 26.1

Electroscopio de hojas o láminas.

Durante todo el siglo XVII sólo se hizo un avance significativo sobre los descubrimientos de Gilbert. Otto van Guericke fue el primero en darse cuenta claramente de que en muchos casos, si un objeto ligero es atraído hacia un objeto electrizado y entra en contacto efectivo con éste durante unos momentos, a continuación se ve repelido en lugar de ser atraído por el objeto electrizado. (Ahora sabemos que dicha repulsión se produce entre dos cuerpos que están electrizados de modo semejante -en otras palabras, el contacto produce una electrización del objeto que inicialmente estaba sin electrizar). Van Guericke ideó el primer generador eléctrico elemental, una esfera giratoria de azufre, que podía frotarse apoyando simplemente la palma seca de la mano cuando giraba. Entonces acercaba un objeto ligero (sin electrizar) que era atraído hacia la esfera electrizada. Si dejaba que el objeto en cuestión tocase a la esfera, entonces se veía repelido por la misma. A partir de ese momento el objeto ligero adquiría la capacidad de atraer a otros objetos sin electri-

914

Carga y tuerza eléctrica

zar. Esta electrización del objeto utilizado podía eliminarse poniéndolo en contacto con un dedo o con el suelo o bien acercándolo a una llama. Después de esto dejaba de atraer a otros objetos sin electrizar y era de nuevo atraído por la esfera electrizada. Von Guericke realmente estaba experimentando acerca de la conducción de la electricidad entre cuerpos electrizados y sin electrizar puestos en contacto. Sin embargo, quedó para Stephen Gray al principio del siglo xvm la demostración experimental de que la electricidad puede transportarse a lo largo de hilos metálicos y cuerdas mojadas, pero que la propiedad de la conducción se limita prácticamente a una determinada clase de sustancias. Sus observaciones condujeron a la división de las sustancias en dos clases, conductores y aislantes, de acuerdo con su capacidad de transmitir la electricidad. Así los metales y las soluciones acuosas de sales y ácidos son todos conductores eléctricos, mientras que la porcelana, la goma, la mica, la goma laca, la trementina, la parafina y los aceites son generalmente no conductores. Sin embargo, no puede trazarse ninguna línea clara y definida entre conductores y aislantes; pueden encontrarse sustancias con todos los grados de conductividad entre los correspondientes al azufre, el ámbar y el cuarzo (los mejores aislantes) y los de la plata y el cobre (los mejores conductores). En una repetición de los experimentos de Gray, su contemporáneo Charles Frarn;:ois de Cisternay du Fay demostró que incluso un conductor se puede electrizar mediante frotamiento o «fricción» con tal de que se le coloque sobre un soporte no conductor. «La electricidad -concluía du Fay- es una cualidad universalmente extendida en toda la materia que conocemos y que influye sobre el mecanismo del universo bastante más de lo que pensamo~." Así se demostró que la electrización es el resultado de frotar dos sustancias diferentes -aunque en la mayoría de las parejas de sustancias el efecto es pequeño y sólo puede detectarse con aparatos especiales. Sin embargo. lo aue es esencial para producir una electrización apreciable es el contacto íntimo entre los dos cuerpos distintos, y no el frotamiento o fricción. Un trozo de parafina sujeto mediante un mango aislante presenta una electrización considerable después de sumergirse simplemente en agua, debido a que el contacto entre un líquido y un sólido es muy íntimo; pero dos objetos sólidos, cuyas superficies son más o menos irregulares, deben presionarse entre sí y frotarse para que entren en contacto partes mayores de sus superficies. Du Fay descubrió también que la electrización producida en los cuerpos por el frotamiento es de dos tipos únicamente. Usando una lámina o pan de oro como electroscopio, la electrizó tocándola con unc1 varilla de vidrio que había sido frotada con seda. Como es natural la laminilla de oro era repelida por la varilla de vidrio pero, en contra de lo que du Fay esperaba, era atraída y no repelida por una varilla de resina o de ámbar que había sido frotada con lana. Análogamente, una laminilla de oro que tocase primero la resina y luego se viese repelida por ella, sería entonces atraída por el vidrio. Du Fay denominó al tipo de electrización producida en el vidrio como «vítrea» y la correspondiente a la resina como «resinosa». Además estableció una generalización básica importante:

Carga y fuerza eléctrica

915

Los cuerpos análogamente electrizados se repelen entre sí, mientras que los cuerpos electrizados de modo diferente se atraen los unos a los otros. Las denominaciones de du Fay fueron posteriormente desplazadas por los términos más convenientes de positiva (vítrea) y negativa (resinosa) sugeridos por Benjamin Franklin. Aunque nos duela reconocerlo, ha sido esta desafortunada selección del convenio de signos realizada por tan renombrado científico lo que ha obligado a asignar un valor negativo a la carga del electrón y ha sido la causa de incontables errores en el signo algebraico a incontables generaciones de estudiantes de física. Sin embargo este convenio ha sido ratificado por el tiempo y la tradición: honi soit qui mal y pense. Hasta promediado el siglo XVIII no existía ninguna explicación sobre todos los hechos conocidos hasta ese momento como consecuencia de la electricidad: un cuerpo electrizado atraía a trocitos de materia, aunque no se hubiese impartido ninguna electrización a los mismos por fricción o conducción. En 1753 John Cantan (y después Franklin entre otros) aclararon todo el problema mediante experimentos del tipo siguiente. Un cuerpo Q cargado positivamente se acerca a un conductor aislado C equipado con bolitas de médula de saúco a, b y e (ver figura 26.2). Las bolitas a y e divergen, mostrando así que los extremos de C han resultado

b

Conductor

Soporte aislante

Fig. 26.2

El conductor C resulta eléctricamente polarizado en presencia de la carga Q.

electrizados, mientras que b permanece inalterada, lo que indica que la parte media de C no ha sido electrizada. Además, se identifican los tipos de cargas en los extremos cuando resulta que una varilla del vidrio con carga positiva repele a e y atrae a a. Aparentemente la simple influencia de un cuerpo electrizado sobre un conductor situado en su proximidad da como resultado la electrización de dicho conductor, recibiendo el extremo más alejado del conductor una carga del mismo signo que la carga original mientras que el otro extremo próximo almacena una carga del signo opuesto. Cuando se retira Q, desaparecen completamente las cargas en a y en e y el conductor C resulta de nuevo neutro, indican-

Carga y fuerza eléctrica

916

do así que la cantidad total de carga o electricidad positiva que aparece en un extremo de C es exactamente igual a la cantidad total de electricidad negativa que aparece en el otro extremo. El fenómeno en virtud del cual aparecen cargas del mismo valor pero signo opuesto en los extremos opuestos de un conductor colocado cerca de un cuerpo cargado se denomina inducción _electrostática y un conductor en esta condición se dice que está polarizado eléctricamente. Cuando con la mano o mediante un hilo conductor se une a tierra el conductor C en presencia de Q, desaparece la carga situada en el extremo más alejado de C, pero queda la que se encuentra en el extremo más próximo, y cuando se rompe la conexión de C con la tierra y Q se aleja, se distribuye por sí misma la carga restante en C por todo el conductor. Entonces resulta el conductor con una carga opuesta a la de Q y esto se ha llevado a cabo sin ninguna disminución de la carga Q. La producción de electrización negativa se ve acompañada siempre por la producción de una cantidad igual de electrización positiva; esto puede verse de modo más convincente con ayuda del aparato indicado en la figura 26.3, que consiste en un recipiente metálico hueco C, que posee una abertura pequeña y que está conectado mediante un alambre a un

e

R

Conectado a tierra o masa

1 Fig. 26.3 Aparato del cubo de hielo de Faraday.

electroscopio sensible de láminas de oro E. (Este aparato corresponde al famoso «cubo de hielo» de Faraday, denominado así porque en la versión original utilizaba un cubo de estos como recipiente, porque fue el objeto más conveniente que se encontraba a mano). Se sujeta en un mango aislante un trozo de fieltro F y se frota con el extremo de una varilla de ebonita R. Cuando los dos cuerpos frotados se introducen juntos dentro del recipiente C, las hojas del electroscopio no muestran ninguna señal de separarse. Sin embargo, cuando se elimina uno de los cuerpos frotados, la lámina de oro adopta la posición indicada a trazos. Si se elimina el otro cuerpo, entonces la lámina diverge en la misma cantidad que antes, pero se puede comprobar que el electroscopio tiene una carga de signo opuesto. La demostración de la figura 26.3 muestra que dos cuerpos frotados conJuntamente no presentan ninguna electrización en tanto se encuen-

Carga y fuerza eléctrica

917

tren juntos, pero cuando se separan poseen cargas de signo opuesto pero en cantidad igual. Esta observación puede interpretarse en el sentido de que la carga no se crea ni se destruye, sino que simplemente se transfiere entre los cuerpos que se han colocado en contacto íntimo mediante el frotamiento. Por tanto, este experimento es una demostración de uno de los más fundamentales principios de la electricidad: En todo proceso se conserva la carga neta. En la electrización interviene siempre la separación de cargas y no la producción de cargas.

Ejemplo 26.1 En el experimento del cubo de hielo de 1843, Faraday in-. trodujo un conductor cargado Q mediante un hilo de seda dentro del recipiente vacío C de la figura 26.3 sin permitir que Q tocase a C, viéndose entonces que divergía la lámina del electroscopio E. Entonces tocó el conductor cargado Q con el interior de C y observó que la lámina del electroscopio permanecía en la misma posición que antes. Además, al sacarlo del recipiente se vio que Q era eléctricamente neutro. ¿Qué conclusiones pueden sacarse de este experimento? Solución El experimento demuestra que la carga situada sobre la lámina es igual en valor y en signo a la carga que poseía Q. La carga de signo opuesto inducida en el interior del cubo era exactamente la necesaria para neutralizar el conductor Q cuando éste se ponía en contacto con el interior de C, dejando únicamente una carga igual y opuesta sobre la lámina; de aquí que esta carga deba ser igual que la situada originalmente en Q.

26.2

Carga

La acumulación de hechos relativos a la electricidad era todavía pequeña en una época bastante posterior al comienzo del siglo xvm; la ciencia de la electricidad, a diferencia de la mecánica y de la óptica del mismo período, estaba casi totalmente desprovista de aplicaciones prácticas, carecía de ningún intento de realizar mediciones y no estaba coordinada por ninguna teoría. Las primeras teorías de valor a la hora de dirigir y sistematizar la experimentación tuvieron su advenimiento únicamente después que du Fay encontrase que se puede electrizar toda clase de materia, y que la electrización es de dos tipos opuestos. Desarrolló la teoría de que todos los cuerpos contienen cantidades iguales de dos fluidos sin peso: electricidad resinosa y vítrea. Se suponía que los fluidos eran autorrepelentes pero mutuamente atractivos, de modo que sus efectos se neutralizaban entre sí completamente en los cuerpos en condiciones normales. Esta teoría de los dos fluidos tuvo su rival en la teoría de un solo fluido propuesta en 1746 por William Watson e independientemente algunos meses después por Benjamin Franklin. Difería de la teoría de du Fay en

918

Carga y fuerza eléctrica

considerar la electrización positiva (vítrea) como indicación de un exceso de una cierta cantidad normal de un solo fluido, que lo impregnaba todo, la electricidad positiva, que es auto-repelente pero que se ve atraída fuertemente por la materia ordinaria. La electrización negativa (resinosa) es una deficiencia de este fluido. Con objeto de explicar las repulsiones mutuas de cuerpos cargados negativamente, era necesario admitir que las partículas de la materia ordinaria, cuando se disocian del fluido eléctrico, se repelen entre sí. Las teorías modernas enseñan que la electricidad es una propiedad fundamental e independiente de la mayoría de las partículas elementales que componen la materia. El signo y cantidad de dicha electricidad es característica de una partícula dada y se denomina su carga. Algunas partículas son neutras y carecen de toda carga. La primera clave que condujo a las ideas modernas de la electricidad y de la estructura atómica radica en el trabajo de Faraday sobre la electrolisis que se remonta a 1833. Obtuvo que la cantidad de un elemento químico producido por electrolisis -descomposición de un compuesto químico cuando circula por él una corriente eléctrica- es proporcional a la cantidad de carga que pasa a través del compuesto. Además: Pesos equivalentes (ver sección 22.1) de diversos elementos exigen para su separación por electrolisis la misma cantidad de carga. El significado de esta dependencia sobre el número de partículas que reaccionan más bien que sobre la masa condujo a G. J. Stoney en 1874 y a Hermano von Helmholtz en 1881 a obtener conclusiones análogas a las que condujeron a Dalton y A vogadro a construir la teoría atómica. Este razonamiento conducía inevitablemente a la conclusión de que la electricidad, como la masa, no es un fluido continuo, sino que más bien se compone de porciones discretas, aunque microscópicas. Se obtuvo una prueba adicional en favor de esta conclusión a partir del estudio de descargas de electricidad en gases, como las que se producen en los anuncios de neón. En 1895 Jean Perrin encontró experimentalmente que dichas descargas transportan con ellas cargas eléctricas negativas. En 1896 J. J. Thomson demostró que la descarga se compone de partículas cargadas negativamente que poseen una masa aproximadamente igual a 1/1850 de la masa de un átomo de hidrógeno -o, según determinaciones recientes, una masa de 9, 11 x 10-28 g. Así se descubrió el electrón, proporcionando la primera prueba definitiva de que existen en la naturaleza partículas más pequeñas que los átomos. También se demostró claramente que todos los electrones tienen la misma masa y carga, independientemente de la clase de gas a través del cual tenía lugar la descarga y que los electrones son constituyentes universales de los átomos. Pronto se obtuvo un apoyo adicional de esta hipótesis cuando en 1896 se descubrió la radiactividad y Antaine Henri Becquerel, Marie y Pierre Curie, Ernest Rutherford y otros científicos encontraron que los átomos radiactivos emiten espontáneamente dos tipos de partículas, «partículas a» y «partículas (3» y que las partículas (3 eran simplemente electrones.

Carga y fuerza eléctrica

Continuaron acumulándose pruebas de este tipo después del comienzo de este siglo hasta que ha resultado claro y fuera de toda duda que, cualquiera que pueda ser la estructura de los átomos, los electrones deben ser uno de sus constituyentes. Subsiguientemente, se descubrieron partículas que poseían cargas positivas. El primer modelo de átomo fue sugerido por Lord Kelvin (William Thomson) en 1902 y fue investigado detalladamente en 1904 por J. J. Thomson. Este modelo sufrió posteriormente modificaciones; además de los electrones, salieron a la luz otras diversas partículas de dimensiones subatómicas. Rutherford y sus colaboradores, en experimentos que empezaron en 1922, demostraron la existencia independiente de una partícula con carga positiva, que ya se sabía que era constituyente del átomo de hidrógeno. Esta partícula denominada protón, tiene prácticamente la misma masa que el átomo de hidrógeno pero tiene una carga positiva del mismo valor que la carga negativa del electrón. En 1932 James Chadwick descubrió el neutrón, que es una partícula de materia sin carga que posee una masa casi igual a la del protón. Todas las partículas elementales libres* descubiertas hasta ahora tienen cargas que son múltiplos enteros de la carga del electrón, cuyo valor se indica por e. Prácticamente la masa completa de cualquier átomo está compuesta por sus protones y neutrones, que forman un núcleo central cargado positivamente. Distribuidos a diversas distancias alrededor de este núcleo se encuentran sus electrones asociados, en una configuración que es característica del elemento particular. Estas distancias son muy grandes en comparación con las dimensiones del núcleo o del electrón. El número de electrones extranucleares o atómicos en el átomo neutro de un elemento dado cualquiera es igual al número atómizo Z del elemento, que es su número ordinal en la tabla periódica (ver apéndice G). Así, un átomo de hidrógeno tiene un solo electrón atómico, un átomo de helio tiene dos, un átomo de litio tiene tres y así sucesivamente en toda la tabla periódica. Además la carga negativa total de los Z electrones tiene el mismo valor que la carga positiva neta del núcleo, lo cual explica el que un átomo sea en condiciones normales eléctricamente neutro. El átomo más sencillo, el de hidrógeno, se compone de un solo protón, que es su núcleo, y un electrón. Todo átomo de número atómico y masa atómica mayores tiene un núcleo compuesto por protones y neutrones presentes en número suficiente para explicar la masa atómica del átomo y para proporcionar una carga positiva de valor igual a la carga negativa total de los Z electrones atómicos. El átomo de helio, por ejemplo, contiene dos protones, dos neutrones y dos electrones atómicos. *Como últimos constituyentes de los protones, neutrones y otras partículas se ha postulado la existencia en combinaciones diversas de unas partículas denominadas quarks, que poseen cargas fraccionarias de 1/3 e y 2/3 e. Hasta el año 1981, al menos, no ha podido demostrarse la existencia de los quarks como partículas independientes. Se han llevado a cabo algunos experimentos que parecen indícar dicha existencia independiente, pero la comunidad científica no está aún satisfecha de su validez.

919

Carga y fuerza eléctrica

920

Cuando uno o más electrones se adicionan o eliminan de algún modo a un átomo normal, el resultado es un átomo cargado, conocido como un ion. Un ion negativo posee más de Z electrones; un ion positivo posee menos de Z electrones. Ciertos electrones de un átomo se encuentran mucho menos atraídos (o ligados) al núcleo positivo que los demás del átomo. Cuando uno o varios de estos electrones se separa del átomo, éste se convierte en un ion positivo. Inversamente, la ganancia de uno o más electrones débilmente ligados procedentes de otro átomo o molécula da como resultado un ion negativo. Las partículas a que espontáneamente emiten algunos átomos radiactivos tienen la misma masa y carga ( + 2e) que un núcleo de helio y puede considerarse que es un átomo de helio desprovisto de sus dos electrones atómicos. Un ion de hidrógeno es sim. plemente un protón. También pueden ionizarse las moléculas, que están formadas por uno o más átomos. Ahora podemos explicar ya de forma cualitativa las observaciones de los fenómenos electrostáticos estudiados en la sección 26.1. Por ejemplo, un cuerpo neutro se ve atraído hacia un cuerpo cargado porque éste último induce una separación de cargas en el cuerpo neutro. Las partículas con carga de signo opuesto a las del cuerpo cargado tienden a ser atraídas hacia la parte del objeto neutro que está más próxima al cuerpo cargado, mientras que las del mismo signo tienden a ser repelidas hacia la parte opuesta del cuerpo cargado. El movimiento de un número relativamente pequeño de partículas cargadas puede crear una separación de cargas significativa, de modo que la fuerza atractiva entre el cuerpo cargado y la parte próxima del cuerpo neutro sea más intensa que la fuerza repul-· siva entre el cuerpo cargado y la parte más distante del objeto neutro. Por consiguiente, éste se ve atraído hacia el cuerpo cargado. Cuando un peine de plástico roza con el pelo, adquiere una carga positiva. El peine es capaz entonces de atraer trocitos de papel (ver figura 26.4). Como tanto el plástico como el papel son aislantes, las cargas inicialmente permanecen localizadas del modo indicado. Finalmente, las cargas que originan la atracción se mueven lentamente a través de los aislantes para neutralizar las cargas de las superficies en contacto y el papel se desprende del peine.

Fig. 26.4

Trocito de papel atraído por un peine.

Cuando una varilla de vidrio cargada (positivamente) se acerca a una bola de metal (neutra) suspendida de un hilo de seda, la bola se ve atraí-

921

Carga y fuerza eléctrica

da inicialmente hacia la varilla debido a las fuerzas atractivas netas de las cargas inducidas (ver figura 26.5a). Si la bola toca la varilla, parte de la carga positiva pasa de la varilla a la bola, dando a esta ultima una carga neta positiva, lo cual hace que predominen las fuerzas repulsivas, de modo que la bola se ve repelida por la varilla (ver figura 26.5b). Lo que ocurre realmente es que la varilla de vidrio tendrá un déficit de electrones, que está originado por los electrones que se mueven libremente a través del metal y que se han transferido a la varilla de vidrio, dejando un déficit neto de electrones tanto sobre la varilla como en la bola; en consecuencia, la bola se ve repelida (ver figura 26.5c). I I I I I

/ O

I

I

I

I

I

I

I

I

I

+

(a)

(b)

(e)

Fig. 26.5 Carga de una esfera de metal por contacto con una varilla cargada.

Un conductor debe ser una sustancia en la que se mueven con libertad los electrones o iones. La mayoría de los líquidos puros son muy malos conductores a no ser que tengan disueltos en ellos un ácido, una base o una sal que estén disociados en iones libres para moverse por el seno del líquido. Cuando una sustancia está en estado sólido, los electrones se encuentran ligados a posiciones relativamente fijas. Pero si el sólido es un metal, resulta que uno o más electrones de cada átomo se encuentra en libertad para moverse, estando ligados a sus núcleos muy débilmente. Estos electrones móviles pertenecen al conductor sólido como un todo y se denominan electrones de conducción. Este «mar» de electrones móviles es el responsable de las propiedades de conducción de los metales.

Ejemplo 26.2 Un electroscopio típico de laboratorio tiene el aspecto indicado en la figura 26.1. Cuando se coloca una carga sobre la bola B, la hojilla L diverge. Explicar la naturaleza de la transferencia de carga en los procesos siguientes. (a) Una varilla de goma negativamente cargada toca a la bola, haciendo que la lámina diverja. Cuando se retira la varilla y la bola se toca con el dedo, la lámina retorna a su posición vertical. (b)

Carga y fuerza eléctrica

922

Una varilla de goma cargada negativamente se acerca a la bola sin que llegue a tocarla, lo cual hace que diverja la lámina. Cuando la bola se toca con el dedo, la lámina cae a la posición vertical. Cuando se retira primero el dedo y luego la varilla, las láminas divergen. Solución (a) La bola adquiere cargas negativas (electrones) procedentes · de la varilla, que se desplazan hasta la lámina debido a su repulsión mutua, de modo que la lámina con carga igual diverge del soporte. Cuando estos electrones se retiran a través del dedo, el electroscopio queda neutralizado. (b) Cuando se acerca la varilla, se induce una separación de cargas en el electroscopio cuando los electrones se ven repelidos de la bola hacia la lámina (la parte más alejada del sistema conductor). Las láminas resultan cargadas negativamente y, por tanto, divergen. Cuando el dedo toca a la bola, se crea un sistema conductor mayor en el cual los electrones pueden ser repelidos incluso aún más lejos a través del cuerpo hacia tierra. Las láminas pierden su exceso de electrones y por ello su carga, de modo que dejan de repelerse mutuamente. Sin embargo, la bola posee ahora un déficit de electrones (una carga positiva), y cuando primero el dedo y después la varilla se retiran, el electroscopio queda desconectado de tierra y algunos electrones se retiran de los átomos neutros de las láminas hacia la bola, con lo que queda un déficit neto de electrones sobre el electroscopio entero. Como ahora las láminas tienen una carga neta positiva, se repelen de nuevo mutuamente. (¿Qué ocurriría si primero se retirase la varilla y luego el dedo?)

26.3 Ley de Coulomb En el considerable número de descubrimientos eléctricos realizados durante el siglo XVIII, se infería normalmente la existencia de estados de electrización en los cuerpos a partir de las observaciones de las formas en que los cuerpos influían sobre los movimientos de los demás, y estos cambios o variaciones de los movimientos se atribuían a su vez a la existencia de fuerzas mecánicas entre las propias cargas eléctricas. De aquí que todo lo que necesitamos para poder aplicar los principios de la mecánica a la electricidad consiste en determinar cómo variarían estas fuerzas entre las cargas eléctricas con las diversas circunstancias físicas. El establecimiento de la ley precisa de la fuerza en la última parte del siglo citado está especialmente asociado con los nombres de Joseph Priestley, Henry Cavendish y Charles Augustus Coulomb. Así empezó la ciencia de la electrostática, el estudio de las cargas que están en reposo respecto al observador. La ley de Coulomb, que es la ley de la fuerza existente entre cargas eléctricas, fue descubierta por Priestley en 1766 (ver cita al principio del capítulo) y redescubierta por Cavendish pocos años después, pero fue Coulomb (en 1785) quien la sometió en primer lugar a ensayos experimentales directos. Habiendo investigado previamente la torsión de hilos.

Carga y fuerza eléctrica

923

delgados, Coulomb concibió la idea de utilizar una balanza de torsión para estudiar las fuerzas existentes entre cargas eléctricas. Se sujetó a un extremo de una barra horizontal ligera una esferita que poseía una carga q, estando suspendida la barra de un hilo delgado de constante de torsión conocida (ver figura 26.6). Se colocaba una segunda esferita que tenía una carga q' en la tangente a la circunferencia horizontal que des-

Fig. 26.6

Diagrama esquemático de la balanza de torsión de Coulomb.

cribiría q al girar alrededor del hilo de torsión. La fuerza electrostática entre las cargas q y q' hacía que la barra girase y se medía el valor de dicha fuerza mediante el ángulo que resultaba torcido el hilo de suspensión. Mediante este experimento directo Coulomb demostró el hecho siguiente: Dos cuerpos pequeños cargados actúan uno sobre el otro con una fuerza electrostática que tiene la dirección de la línea que une las cargas y que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r que les separa. Además, esto resulta cierto aunque el signo de las cargas sea el mismo o sea diferente. Como resulta indefinible lo que se entiende por distancia entre dos cuerpos extensos, el enunciado de la relación inversa del cuadrado de la distancia debe incluir también la especificación de que los cuerpos cargados tengan dimensiones lineales que sean pequeñas en comparación con la distancia r entre ellos. Entonces puede considerarse a cada cuerpo como situado en un punto y por ello pueden llamarse partículas cargadas. Así que continuaremos la antigua y honorable tradición de la abstracción y simplificación, como hicimos en nuestro desarrollo de la mecánica, en donde también empezamos con partículas (masas que podían considerarse concentradas en puntos individuales). Coulomb halló también que la fuerza F es directamente proporcional a la cantidad de carga existente en cada cuerpo cargado. De aquí que podamos expresar matemáticamente la ley de Coulomb en la forma F

qq' kr2

[26.1]

Carga y tuerza eléctrica

924

en donde k es una constante de proporcionalidad. En un sentido puramente matemático, en la ecuación [26.1] se encierra la siguiente relación dimensional, en donde Q indica la dimensión de carga:* MLT- 2

dim (fuerza) =

dim (k) . Q 2L- 2

[26.2]

Esto nos proporciona dos alternativas posibles para nuestra selección de las unidades de carga. En primer lugar podemos escoger que la constante sea la unidad (k = 1), de modo que

será la definición constitutiva de la unidad de carga. En segundo lugar, podemos definir operacionalmente la carga en función de la medición de alguna magnitud estándar o patrón de acuerdo con una secuencia prescrita de operaciones. En este caso, dim (k) da las dimensiones de la constante de proporcionalidad, dependiendo su valor numérico de la magnitud física definida como la unidad operacional de carga. Antes de que se reconociese que las propiedades eléctricas de la materia eran fundamentales e independientes de las propiedades mecánicas clásicas, era natural utilizar la definición constitutiva en unidades cgs. Así pues, una carga de 1 statculombio (statC) es la carga que ejerce una fuerza de una dina sobre otra carga idéntica situada a 1 cm de distancia, y la ecuación [26.1] se reduce a ....

F

(en unidades cgs)

[26.3]

en donde [F] = dinas, [q] = [q '] = statculombios, [r] = centímetros, y k = 1. Este sistema, conocido como sistema cgs-gaussiano se utiliza ampliamente, especialmente en física teórica avanzada. A pesar de su simplicidad aparente, el sistema cgs-gaussiano da origen a ciertas expresiones matemáticas poco atractivas en las que interviene la constante geométrica 1r y (cuando se utiliza para describir fenómenos magnéticos) la velocidad de la luz, c. Como resultado, ha sido sustituido (en gran parte de los casos) por el sistema mks racionalizado, que emplea unidades mks para todas las magnitudes mecánicas, pero que expresa las magnitudes eléctricas y magnéticas en función de una unidad de carga definida operacionalmente conocida como el culombio (C), que debe considerarse tan fundamental como las unidades de masa, longitud y tiempo. La definición patrón SI del culombio viene dada realmente en función del amperio (A), que representa una corriente de un culombio *En unidades SI, se define operacionalmente como dimensión fundamental la de corriente eléctrica / = QT- 1, pero utilizaremos Q en lugar de IT como dimensión de la carga.

Carga y fuerza eléctrica

925

fluyendo por un conductor en un segundo. Se ha escogido el amperio como la unidad SI eléctrica básica debido a que es relativamente fácil de medir directamente. Estudiaremos detalladamente las corrientes eléctricas en capítulos posteriores. A partir de las unidades fundamentales del número de moles, longitud, masa, tiempo, temperatura y corriente eléctrica pueden constituirse todas las demás unidades utilizadas en el texto. Sin embargo, durante un

siglo ha dominado la confusión y la anarquía desde la invención de la pila voltaica (en 1800) hasta la adopción en 1904 del sistema mks racio·nalizado -o mksA (A por amperio)-, tiempo durante el cual se desarrollaron muchas unidades independientemente en diversas ramas de la física y de la química, sin conexiones aparentes. En las unidades racionalizadas mksA, la ley de Coulomb se escribe

F

=

en donde [F]

k

1 41rE 0

(qq') r2

(en unidades mksA)

[26.4]

newtons, [q] = [q'] = culombios, [r] = metros, y 8.98742 X 109 N-m 2/C 2 8.85415 X 10- 12 C 2/N-m 2

[26.5]

La constante e0 se conoce como la permitividad del espacio vacío (pero normalmente se lee «épsilon subcero»). La fuerza F se conoce como la fuerza de Coulomb. A partir de ahora utilizaremos exclusivamente las unidades mksA, excepto cuando discutamos sus relaciones con otros sistemas de unidades. Respecto a esta formulación, el brillante (pero poco convencional), teórico inglés Oliver Heaviside escribió: «La supresión del término 41r en las fórmulas [sistema cgs] de la fuerza central (ecuación [26.3]), en donde está con pleno derecho, es completamente antinatural y afecta a toda la teoría electromagnética». La inclusión del 41r en la ecuación [26.4] es lo que se designa con el término de unidades «racionalizadas».

Ejemplo 26.3 (a) Si la carga de un electrón es -e = -1,6 x 10- 19c, ¿cuál será la carga total de 1 kmol de electrones? (b) Si la masa de un electrón es me = 9, 11 x 1o- 31 kg, ¿cuál será la masa de 1 kmol de electrones? (e) ¿Cuál será la carga total de 1 kg de electrones? (d) Imaginemos dos cuerpos, cada uno de ellos compuesto de solamente 316 kg de electrones, separados a una distancia entre sí de 60 Re, en donde Re = radio de la Tierra ::::: 6400 km. ¿Cuál sería la fuerza electrostática entre estos cuerpos? (e) Hallar la atracción gravitatoria entre la Tierra y la Luna si su separación es 60Re y la masa lunar es M 1 = 7,41 x 10 22 kg.

926

Carga y fuerza eléctrica

Solución (a)

-6.02 X 1o~h X 1.6 X 1O ,., C

-N,e

q

-9.63 X 10 7 C (b)

m

(e)

q

5.48 X 1O

J

kg

(-9.63 X 1o··c/kmol) ( _ 5 48

~

l0 J kmol/kg )(lkg)

- 1.76 X 10" C (d)

1

F

4-irt 0

(q!) rJ

9 _0 X IO'' X 016 X 1.76 X 10'')·' (3.84 X IO"f

1.88 X 10'0 N (e)

F

-

La moraleja de todos estos cálculos es que las fuerzas electrostáticas son muy grandes en comparación con las fuerzas gravitatorias. Si tanto la Tierra como la Luna se sustituyeran por sendos cuerpos compuestos únicamente por 316 kg de electrones, la fuerza electrostática entre estos cuerpos sería del mismo orden de magnitud que la fuerza gravitatoria que existe entre la Tierra y la Luna realmente. Así pues, el hecho de que la estructura del sistema solar esté determinada gravitatoriamente es una prueba excelente de que el sistema solar es eléctricamente neutro -resultado que puede extrapolarse al resto del universo. De aquí que supongamos que la carga eléctrica total del universo se conserva y es igual a cero. Ejemplo 16.4

¿Cuál es el factor de conversión entre culombios y statcu-

lombios? Solución Según las ecuaciones [26.4) y [26.5], la fuerza entre dos cargas de 1 culombio distantes 1 metro entre sí es F

8.98742 X 10" dinas

8.98742 X 10" N

Utilizando la ecuación [26.3], podemos considerar este valor como la fuerza que se ejerce entre dos cargas distantes 100 cm y hallar así el valor de 1 C de carga expresado en statculombios: 8.98742 X 10·• dinas

=

lq'I statC' IOJ cm)

o

q

=

2.9979 X 10'' statC

Por consiguiente, IC

2.9979 X 10'' statC

[26-6)

Carga y fuerza eléctrica

927

Como originalmente se dedujo el statculombio por conveniencia a la hora de describir los experimentos de laboratorio, es evidente que el culombio debe ser una carga increíblemente grande para las mediciones electrostáticas. Esto se debe al hecho de que el culombio se deriva del amperio, unidad muy práctica para la medida de corrientes eléctricas típicas. Es interesante y útil señalar que el factor de conversión de la ecuación (26.6] es exactamente 10 !el, en donde !el es el valor numérico de la velocidad de la luz cuando se expresa en metros por segundo. Como veremos en el capítulo 41, esto no es una simple coincidencia.

26.4 Deducción teórica de la ley del inverso de los cuadrados Diecinueve años antes de que Coulomb llevara a cabo sus ensayos y pruebas directas de la ley de la fuerza electrostática, Franklin anunció a Priestley que había sido incapaz de detectar fuerza alguna electrostática actuando sobre un cuerpo encerrado dentro de un recipiente de metal cargado. Priestley confirmó esta importante observación. Recordando la demostración teórica de Newton de que una corteza uniforme de materia no ejerce ninguna fuerza gravitatoria sobre un cuerpo situado en su interior si (y únicamente si) es válida la ley del inverso de los cuadrados (ver sección 13.3), Priestley infirió que es válida para las fuerzas electrostáticas la misma ley. Varios años después, Cavendish dedujo independientemente la ley del inverso de los cuadrados mediante un razonamiento semejante. En primer lugar llevó a cabo un experimento como el de Franklin y Priestley con un aparato semejante en principio al indicado en la figura 26. 7. Se encierra un cuerpo conductor en un cuerpo hueco conductor, estando

Fig. 26. 7 Características esenciales del aparato del cubo de hielo de Faraday modificado. dibujan los dos conductores como esferas concéntricas para simplificar la interpretación matemática del experimento.) (Se

ambos aislados entre sí. Se le da una carga al conductor exterior. Si a continuación se hace pasar un hilo a través de un pequeño orificio abierto en el mismo de modo que conecte eléctricamente ambos conductores,

928

Carga y fuerza eléctrica

no se observa ninguna disminución de carga del conductor externo, ni. aparece tampoco ninguna carga en el conductor del interior. Como no se produce ninguna transferencia de carga en ningún sentido al conectarse los dos conductores, Cavendish razonó que no debía existir ninguna fuerza eléctrica debida a estas cargas externas sobre un cuerpo cargado situado en un punto cualquiera del espacio cerrado. La prueba de Cavendish supone que el conductor cargado hueco es una esfera y que un cuerpo de carga q situado en un punto cualquiera P en el interior de la esfera es suficientemente pequeño como para considerarse como una partícula (ver figura 26.8). Imaginemos que se dibujan líneas rectas que pasan por el punto P y que dividen a la totalidad del espacio interior en parejas de conos. Sean dA 1 y dA 2 las áreas de las bases que dos de estos conos infinitesimales cortan en la superficie de la esfera. Sean r 1 y r 2 las distancias respectivas de estas bases a P. Sea a el ángulo entre una de estas bases cualquiera y un plano dibujado perpendicularmente al eje de los conos.

Fig. 26.8 Diagrama geométrico para la prueba indirecta de la ley del inverso del cuadrado.

Por simetría, la carga situada originalmente sobre la esfera conductora debe distribuirse uniformemente sobre la superficie exterior, debido a la repulsión mutua. Por consiguiente, si a es la densidad superficial de carga (o carga por unidad de área), entonces las cargas infinitesimales sobre los elementos de área dA 1 y dA 2 son a dA 1 y a dA 2 , respectivamente. Se sabe que la fuerza electrostática entre dos partículas cargadas es cierta función inversa de la distancia, de modo que supondremos que esta fun-

Carga y tuerza eléctrica

929

ción es de la forma 1/rn. Entonces la fuerza F 1 que a dA 1 ejerce sobre la carga q en P es _l 41rE 0

(qu~A,)

[26. 7)

r1

mientras que la fuerza de sentido opuesto F 2 debida a adA 2 es [26.8) Pero las pruebas experimentales demuestran que la fuerza total ejercida por las cargas externas sobre una carga situada en un punto cualquiera dentro de la esfera es cero. Por consiguiente, los valores de F 1 y F 2 deben ser iguales en cada pareja de conos. De aquí que, según las ecuaciones [26.7) y [26.8), [26.9) Podemos describir el par de conos diciendo que cada una de las áreas dA I y dA 2 subtienden en P el ángulo sólido infinitesimal

díl

dA 1 cosa

dA 2 cosa

rf

r~

[26.10)

en donde dA I cos a y dA 2 cos a son las proyecciones respectivas de dA I y dA2 sobre el plano perpendicular al eje de los conos. La unidad utilizada para describir los ángulos sólidos es el estereorradián (sr), según la cual una esfera subtiende un total de íl

A

41r sr

r2

El ángulo sólido medido en estereorradianes es la analogía tridimensional del ángulo medido en radianes (que se definen mediante dO = ds/r). Dividiendo la ecuación [26.9) por la ecuación [26.10) se tiene [26.11)

*

En el caso general, r 1 r 2 , de modo que el único valor de n que satisface siempre a la ecuación [26.11) es n = 2. Así pues, la fuerza de Coulomb debe ser inversamente proporcional a la distancia al cuadrado. Estimando la menor carga que detectaría su electroscopio, Cavendish obtuvo un valor experimental de n = 2,00 ± 0,02. Faraday repitió el experimento a escala mayor en 1836 utilizando una caja conductora con una carga más elevada y utilizando el instrumento más sensible de que se disponia entonces y fue incapaz de detectar fuerza alguna electrostática

Carga y fuerza eléctrica

930

en el interior de la caja. Maxwell, empleando una forma refinada del aparato indicado en la figura 26. 7, redujo la incertidumbre de la determinación de Cavendisch a ± 1/21 600. Un experimento más reciente realizado con modernos instrumentos de elevada precisión reduce la incertidumbre a sólo ± 2 x 10-9• Además, se ha demostrado que la ley del inverso de los cuadrados es válida a distancias de muchos kilómetros, mientras que los experimentos de Ernest Rutherford (ver la siguiente sección) muestran que es válida hasta dentro de 1 O/o a distancias tan pequeñas como 10- 15 m. (Y las colisones positrón-electrón indican a su vez la validez de esta ley a distancias menores que 10- 17 m.)

26.5

Carga y átomo

Terminamos este capítulo de introducción con un modelo simplificado de la estructura del átomo que nos proporcionará una base adecuada para posteriores estudios. A mediados del siglo pasado, quedaron bien establecidos por los químicos los pesos atómicos y entonces pudo estimarse que los átomos deberían tener unas dimensiones lineales del orden de 1o-s cm = 1 Á (angstrom). Después, durante los últimos años de dicho siglo y el primer decenio del actual, fue aislado el electrón, que es un constituyente del átomo, determinándose su carga y su masa. En 1910 se sabía que algunos átomos eran naturalmente radiactivos y que la radiación a se compone de partículas con una masa cuatro veces mayor que la del átomo de hidrógeno y con una carga de valor doble que la del electrón. Sin embargo, poco más se sabía acerca del átomo y de la distribución de cargas en su interior. Rendijas colimadoras

Haz de pan~as "'

•

Dt'ICC!Or

lJ

n

No se desvía la mayor panc del haz

Lamina de oro

Fig. 26.9 Diagrama esquemático del experimento de dispersión de partículas de Rutherford.

En esa época, el grupo de investigación dirigido por Ernest Rutherford en la Universidad de Cambridge, Inglaterra, había estado investigando a fondo los productos de la radiactividad natural. Hans Geiger y Ernest Marsden estaban haciendo un experimento en el cual se dirigía un haz bien colimado (estrecho) de rayos a hacia una lámina muy delgada de oro (ver figura 26.9). La mayor parte de las partículas a pasaban di-

Carga y fuerza eléctrica

n~ctamente a través de la lámina, sin dar ninguna prueba de que interaccionasen en absoluto con los átomos de oro, pero algunas sufrían una desviación (en inglés denominada «scattering») en ángulos muy grandes. La desviación no podía achacarse a los electrones porque estas partículas tan ligeras no pueden producir una gran variación en la cantidad de movimiento de las partículas a mucho más pesadas. Ad~más, cualquiera que fuese la parte masiva del átomo que estaba siendo responsable de la desviación había de ser de tamaño muy pequeño, ya que eran muy pocas las partículas a que se desviaban en ángulos grandes. Para explicar las desviaciones observadas de las partículas a, Rutherford supuso que el átomo estaba constituido por un núcleo pequeño, pesado y de carga positiva a cuyo alrededor orbitaban a distancias variables los electrones que se movían bajo la acción de una fuerza electrostática central y atractiva. Al analizar las desviaciones, Rutherford pudo ignorar la presencia de los electrones debido a su pequeña cantidad de movimiento y pudo concentrarse sobre el pesado núcleo central. Así pudo admitir una fuerza de Coulomb repulsiva que actuaba entre las dos partículas cargadas, la partícula a y el núcleo de número atómico Z conocido. En el caso de los átomos de oro, pudo considerar al núcleo como un «centro de desviación» o «centro de scattering» de masa infinita (ver figura 26.10). El resultado de todo esto es un problema de fuerzas centrales que es matemáticamente semejante al problema general resuelto en el capítulo 13. Se disponía ya de todo el aparato matemático y sólo había que aplicarlo al caso experimental particular en cuestión.

Fig. 16.10 Dispersión de Rutherford de partículas a desde un centro de dispersión o desviación fijo con carga + Ze. Los ángulos de desviación aumentan cuando la colisión se hace más directa. (Se supone que todas las partículas tienen la misma velocidad de incidencia v.)

931

Carga y fuerza eléctrica

932

Así Rutherford pudo explicar y predecir la distribución de los ángulos de desviación O debidos a un haz incidente de partículas uniforme de velocidad conocida que incidía sobre una distribución uniforme también de centros de desviación -los núcleos de los átomos de oro. Su predicción de que el número de partículas desviadas en un ángulo O es proporcional a cosec 4 fue comprobada experimentalmente, estableciendo así firmemente el modelo nuclear del átomo. Si la carga nuclear positiva Ze estuviese distribuida uniformemente en todo el volumen del átomo, éste sería en su totalidad neutro y Rutherford no habría observado los grandes ángulos de desviación que realmente encontró. Si, por otra parte, no fuesen eléctricas las fuerzas dominantes (sino, por ejemplo, debidas a las colisiones del tipo de esferas duras) entonces la distribución angular de las partículas que emergían de la experiencia hubiese sido significativamente diferente. Así se demostró que casi toda la masa atómica está en el núcleo, constituido con los protones y neutrones de masa relativamente grande y que valen

+o

1.6726 X 10- 27 kg [16.12]

1.6749 X 10- 27 kg rn. mientras que la masa del electrón es sólo

m,

9.1096 X 10- 31 kg

[26.13]

El número de masa atómica A es el número total de nucleones (protones más neutrones). Si el número de protones es Z y N el de neutrones, entonces 0

A

N+Z

[26.14]

Generalmente es más conveniente expresar las masas nucleares y atómicas en unidades de masa atómica (u) basadas en el isótopo más común del carbono como patrón, que contiene Z = 6 protones y N = 6 neutrones y se conoce como carbono-12 (o 12 C). De aquí que un kilogramo-mol (1 kmol) de 12 C, o sea NA átomos, debe contener 12 kg = l2NA u. Así pues 1 u

1 kg 6.02217 X 10 26

1.66053 X 10- 21 kg [26 · 151

De este modo mP = 1,0073 u y mn = 1,0087 u, y la masa real de un átomo en unidades de masa atómica está siempre dentro del 1 % de su número másico A. En este volumen supondremos siempre que la masa atómica en unidades de masa atómica viene dada por el número A. El «cuanto de carga» es e (l.60219 ± 0.00001) X 10- 19 C [26.16] Así pues, la carga protónica es qP = + e y la carga electrónica es qe = -e. Parece lógico que los protones situados tan cerca entre sí en el núcleo, si obedecen a la ley de Coulomb, deberían separarse violentamente a causa de su repulsión mutua. Sin embargo, los neutrones se enlazan con todas

Carga y fuerza eléctrica

933

las partículas del núcleo mediante unas fuerzas nucleares extraordinariamente intensas y de corto alcance que actúan entre los propios neutrones y los protones vecinos. (En este volumen no estudiaremos estas fuerzas nucleares.) El resultado es que, según los elementos van siendo cada vez de mayor masa, requieren más neutrones para enlazar todos sus núcleos. Por ello, los núcleos estables progresan a lo largo de la tabla periódica desde NIA = 0,50 para el helio hasta N/A = 0,60 para los núcleos más pesados. Las propiedades químicas de los átomos quedan determinadas por los electrones cuyas órbitas forman las «capas» externas (o de valencia) de los átomos y, en la mayor parte de los casos, explican sus capacidades de reacción. Así pues, el número atómico Z caracteriza el comportamiento químico de un elemento y los átomos que poseen el mismo Z tienen un comportamiento químico prácticamente idéntico, aunque puedan tener valores ligeramente diferentes de N y de A = N + Z. Dichos átomos se denominan isótopos de un elemento dado, porque sus capas de valencia son iguales. Los tamaños nucleares se miden generalmente en fermis, o femtómetros, con 1 fm = 10- 15 m. La materia nuclear es esencialmente incompresible, de modo que las variaciones de densidad son sólo del orden del 10 por ciento. Nuestro concepto de tamaño de un objeto depende de la naturaleza de las fuerzas que interaccionan cuando chocamos contra él; el radio del núcleo, determinado mediante sondas formadas por partículas de alta energía es aproximadamente (26.17)

r

en donde Ro = 1,5 fm y A es el número de masa. Es de esperar la dependencia con A 113 si la densidad del núcleo es uniforme. En contraste, el radio del átomo (es decir, el de las órbitas de los electrones exteriores) es del orden de 10-IOm

lÁ

Ejemplo 26.5 ¿Cuál es la densidad del núcleo de carbono-12? Solución

m V

p

La densidad es

Au

3u

(4,r /3)R,;A

41rR¡;

-

0.072 u/fm'

Como 1 u/fm 1

1.66 X 10- 2• g 10- lQ cm·'

se tiene p

-

1.2 X 10 1• g/cm1

1.66 X 10 1' g/cm 1

934

Carga y fuerza eléctrica

PROBLEMAS 26.1-26.2

Carga y electrización

26.1 Cuando la goma se frota con lana o algodón adquiere una carga negativa. Si se frota un globo vigorosamente contra la camisa, se podrá maravillar a algún niño pequeño haciendo que se «pegue» a la pared. Finalmente el globo caerá. Explicar el proceso en función de las cargas eléctricas y de sus interacciones.

26.2 Se produce una chispa en el aire haciendo que los electrones se muevan de un cuerpo a otro. ¿Por qué se ven chispas cuando se deslizan los zapatos de suela de goma contra una alfombra en una tarde de invierno y luego se toca un interruptor eléctrico, un radiador o algún otro objeto de metal conectado a tierra? Describir el proceso. ¿Va acompañada la chispa de algún «trueno»?

B

26.3 Lord Kelvin ideó un procedimiento para la recogida continua de la carga eléctrica generada por fricción (ver figura). Cae agua a través de una boquilla de metal A que está conectada a tierra mediante un conductor. La boquilla está rodeada por un cilindro metálico cargado y aislado B. Las gotas caen en un colector de metal C y se drenan por un agujero situado en su fondo. Se observa que el colector C resulta cargado. Explicarlo.

•• • •

e

• • 26.4 Una varilla de ebonita (goma dura) tiene una carga elevada y se aproxima a un electroscopio cargado positivamente. Se observa que las hojas del electroscopio que está ligeramente cargado, convergen cuando

Carga y tuerza eléctrica

se aproxima la varilla. Sin embargo, cuando la varilla continúa acercándose, se observa que las hojas terminan divergiendo. Explicarlo.

26.3-26.4 Ley de Coulomb 26.5 Dos partículas fijas tienen las cargas y posiciones en el espacio siguientes (descritas mediante coordenadas rectangulares): 200 statC en (0,0,0); y 100 statC en, (O, 10 cm, O). Calcular la fuerza electrostática ejercida por cada partícula sobre la otra. 26.6 Si dos cuerpos son tan pequeños como para poder considerarlos como partículas cuando están situados a una distancia entre sí de 1 m y si se les pudiese dar una carga de l C a cada uno, ¿cuál sería el valor de la fuerza electrostática que se ejercería entre ellos? 26. 7 Una partícula fija de carga -50 statC y posición (10 cm, 0,0) se adiciona al sistema descrito en el problema 26.5. Calcular la fuerza total sobre cada una de las tres partículas. Comprobar que la suma de fuerzas es nula. 26.8 Dos cargas idénticas Q están situadas en ± L sobre el eje x. Si en el origen se sitúa una carga q del mismo signo que Q, ¿se moverá hacia el origen de nuevo o se alejará aún más cuando q sufra un desplazamiento (a) de .1x < L en la dirección x; (b) de .1y en la dirección y? 26.9 Dos bolitas idénticas con la misma carga y con una masa de 1 g cada una de ellas cuelgan del mismo punto de hilos de 50 cm de longitud. Su repulsión mutua hace que cada bola y su hilo formen un ángulo de 30° con la vertical. (a) ¿Cuál es la fuerza electrostática sobre cada bola? (b) ¿Cuál es la carga sobre cada bola?

26.10 Se montan sobre mangos aislantes dos esferas de metal de radios r1 y r 2 , de modo que puedan retener cargas. Una de las esferas recibe una carga Q y luego toca a la otra esfera de modo que la carga se reparte entre ambas. Si la carga sobre cada esfera es proporcional a su radio, ¿cuál debe ser el cociente r1/ r 2 si la repulsión electrostática entre las esferas debe ser máxima para la carga dada Q? (Suponer que las esferas están separadas a una distancia R entre sí que es mucho mayor que cualquiera de los radios.) 26.11 Un anillo de metal muy delgado de 1,2 m de diámetro lleva una carga de 3 x 10-7 C distribuida uniformemente a todo Jo largo de su circunferencia. Calcular la fuerza ejercida sobre una partícula de carga q' situada a 0,8 m del plano del anillo y sobre su eje. (INDICACIÓN: Considerar el componente axial de la fuerza sobre q' debida a un pequeño segmento del anillo.) 26.12

Una carga 2Q está a una distancia L a la izquierda de una carga

-Q en el origen. ¿En qué punto o puntos se anulará la fuerza electrostática sobre una tercera carga?

26.13 (a) Una carga q está situada a una distancia L de una carga Q. Si se sitúa otra carga Q' como se indica en la figura, ¿cuál será el co-

935

Carga y fuerza eléctrica

936

ciente q/Q si la fuerza neta sobre Q' es cero? (b) Si Q' = Q, ¿cuál es la fuerza sobre la carga Q? {e) Si la línea que une a Q y Q' = Q se considera que es la diagonal de un cuadrado y si colocamos otras cargas Q en los otros dos vértices del cuadrado, ¿cuál es la fuerza electrostática total sobre la carga situada en cada vértice? Q

q

Q'

r-----L-----+------L------i

26.14 Una copa hemisférica de ebonita delgada de radio R lleva una carga q que está uniformemente distribuida sobre su superficie. Hallar la fuerza electrostática ejercida sobre una partícula de carga q' situada en el centro del hemisferio. 26.15 Si se sitúa una carga Q en cada uno de los cuatro vértices de un cuadrado, ¿cuál debe ser la carga q situada en el centro del cuadrado si ha de ser nula la fuerza neta sobre la carga de cada vértice? *26.16 Se sitúan sobre el eje x en (L,O) y (-L ,O), respectivamente, dos partículas de masa m y cargas iguales opuestas Q y -Q. En el instante t = O, se dejan en libertad de modo que chocan en el origen. (a) Hallar la ecuación del movimiento de la partícula cargada positivamente. (b) Transformar a escala la ecuación con magnitudes adimensionales. (e) Calcular el tiempo transcurrido hasta que las partículas chocan. 26. 5

Carga y átomo

26.17 Un átomo de hidrógeno está compuesto de un protón y un electrón separados por una distancia de 5,3 x 10- 11 m. (a) Hallar la fuerza electrostática ejercida por cada partícula sobre la otra. {b) Hallar la velocidad con que debe estar moviéndose el electrón en una órbita circular alrededor del protón si el átomo es estable. (e) Calcular la aceleración centrípeta del electrón.

26.18 Si la masa del átomo de hidrógeno es 1,008 u, calcular el cociente entre las fuerzas atractivas electrostática y gravitatoria que existe entre el protón y el electrón. 26.19 Cuando un neutrón incide sobre un núcleo de uranio, éste se divide en un núcleo de bario (de masa 141 u y Z = 56) y un núcleo de kripton (de masa 92 u y Z = 36). Representar la división (o fisión) del núcleo como un proceso semejante al de una gota de agua que se divide en dos gotitas separadas. ¿Cuál es la fuerza repulsiva ejercida sobre cada uno de los núcleos por el otro en el instante de la separación? ¿Es necesario considerar el efecto de los electrones atómicos? (Suponer que la fuerza electrostática es la misma que la que existiría si toda la carga estuviese localizada en los centros de los núcleos.) 26.20 Dos partículas a fijas tienen posiciones (O,R,O) y (0,-R,O) en coordenadas rectangulares. Deducir las expresiones adecuadas para {a) la fuerza electrostática total ejercida por las partículas a sobre un protón

937

Carga y fuerza eléctrica

situado en el plano xz a una distancia d del eje y; y (b) el lugar geométrico de los puntos sobre el plano xz en donde la fuerza sobre el protón es máxima.

Soluciones 26 • 5 F = 200 dinas = 2 x 10- 3 N, repulsiva 26 • 6 F = 9 x 109 N == 106 toneladas de fuerza 26 • 7 F = 223,6 dinas en el origen, dirección 296,6º; F = 183,2 dinas en (0,10,0), dirección 84,5 º; F = 119,0 dinas en (10,0,0), dirección 171,5º 26 • 8 (a) Hacia el origen; (b) alejándose del origen. 26 • 9 (a) F = 565,8 dinas; (b) q = 0,40 µC 26 • 10 r¡lr2 = l 26•11 F = 2157q' N, alejándose del anillo 26 • 12 X = 2,4142L 26•13 (a) q/Q = -0,25; (b) F = O; (e) F = 0,7071Q 2/L 2 (en unidades cgs-gaussianas)

a lo largo de la diagonal y alejándose del centro del cuadrado. 26 • 14 F = qq' /81rE 0 R 2 26•15 q = -0,957Q 26 • 16 (a) m d 2xldt 2 = -Q 2/161rEoX 2; (b) u = x/L, T = t/T, T2 = l61rE 0mL3/Q2; (e) t = 1rTI.Js == l,lllT 26•17 (a) F = 8,2 x 10- 8 N; (b) v = 2,2 X 10 6 mis; (e) a = 9,0 x 10 22 mls 2 26 • 18 F,!Fg = 22,7 x 10 38 26•19F = 2185 N, no 26•20(a) F = 4e 2dl(d 2 + R2)312; (b)

x2 + z2 =

+R

2,

y

=

O

CAPÍTULO

27

Campos eléctricos Todos estos puntos indican la existencia de líneas físicas de fuerza eléctri- _ ca: la relación absolutamente esencial de las superficies positivas y negativas entre sí y su mutua dependencia contrastada con la movilidad conocida de las fuerzas no admite ninguna otra conclusión. La acción realizada también en líneas curvas debe depender de una línea física de fuerza. en Proceedings of the Royal Institution, 11 de junio de 1851

MICHAEL FARADAY,

Una vez establecida que es también válida en electrostática una ley de fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de las distancias, como en la gravitación, los físicos pudieron aplicar a la teoría eléctrica diversos conceptos y métodos matemáticos que ya se habían desarrollado previamente en la teoría de la gravitación. También empezaron a dirigir una mayor atención sobre el espacio que rodea a los cuerpos cargados, y esto constituyó el punto de partida histórico de la teoría moderna de campos. La ley de Coulomb es de hecho la expresión original de uno de los cuatro principios básicos que gobiernan los campos eléctricos y magnéticos: la ley de Gauss. En este capítulo la deduciremos a partir de la ley de Coulomb. Si cierto fenómeno definido afecta de modo continuo a toda una región del espacio, entonces dicho fenómeno puede describirse en función de un campo. La descripción del campo del fenómeno puede realizarse asignando un valor escalar o vectorial a cada punto de la región del espacio en donde pueden observarse los efectos del fenómeno. Así, decimos que todo cuerpo está rodeado por un campo gravitatorio (ver sección 13.3) y, si transporta una carga, por un campo eléctrico. Si nuestro interés se centra específicamente en la fuerza electrostática que un cuerpo cargado estacionario ejerce sobre los cuerpos vecinos, hablaremos del campo de fuerza electrostático del cuerpo cargado en cuestión. En muchos problemas, en lugar de calcular la fuerza electrostática neta sobre 939

940

Campos eléctricos

un cuerpo como la suma de las fuerzas producidas por sus interacciones con los demás cuerpos cargados que se encuentran en sus inmediaciones, resulta más conveniente y deseable considerar que la fuerza sobre el cuerpo es el resultado de su interacción con el campo electrostático neto de fuerza producido por los otros cuerpos. Para facilitar este modo de descripción, veremos a continuación cómo puede representarse la fuerza eléctrica mediante líneas de campo, que son curvas en el espacio tangentes a los vectores de fuerza del campo en todos sus puntos. Nuestro examen del significado físico ligado a esta representación conduce entonces, con toda naturalidad, a la ley de Gauss. Esta ley afirma, en efecto, que pueden considerarse las líneas de campo como si fuesen líneas físicas que enlazan los cuerpos cargados atravesando el espacio entre ellos. Cada línea debe empezar en una carga positiva y terminar en una carga negativa; se conserva el número de líneas y, por definición, se hace proporcional a la cantidad de carga que les da origen. Finalmente, vere:nos que esta atribución de significado físico a las líneas de campo nos permite razonar en sentido contrario a partir de las mismas y deducir así los campos eléctricos debidos a cuerpos extensos. En este capítulo aplicaremos esta técnica únicamente a casos con simetría muy elevada o a conductores perfectos. Sin embargo, el principio encerrado en dicha técnica es muy general y puede aplicarse ampliamente en física e ingeniería.

27.1

Intensidad del campo eléctrico

La fuerza electrostática existente entre dos partículas cargadas actúa a lo largo de la línea recta que las une (ver sección 26.4). Así, si tenemos dos cargas q 1 y q 2 situadas en r, y r2 (ver figura 27 .1), entonces la fuerza sobre q 2 debida a q 1 es 1 1 2 .._ F, 2 [27.1] 41rEo Rf2 en donde

- (q q)R12

ll,2

R12

= lr2 - r,1

..J-(x-- --x-,)-=2-+---,-(Y_2___Y_,1):--2-+--;-(z_2___z",)2 2

o Fig. 27.J

Forma vectorial de la ley de Coulomb

941

Campos eléctricos

La fuerza F 12 señala el sentido de alejamiento de q 1 (repulsión) si ambas cargas poseen el mismo signo; señala hacia q 1 (atracción) si las cargas son de signo opuesto. Las pruebas experimentales demuestran que las fuerzas eléctricas debidas a un número cualquiera de cargas eléctricas separadas son independientes y se suman como vectores. Así pues, la fuerza electrostática neta ejercida sobre una carga q en un punto r del campo por un conjuntb de cargas q k emplazadas en los puntos r k (para k = 1, 2, 3, ... ) es

F

_q_"'~ .:!!...Rk R¡

(27 .2]

41rE0

en donde Rk es el vector desplazamiento r - rk de qk a q. En la naturaleza las cargas son rara vez estacionarias debido a que se ejercen fuerzas entre sí. El mejor procedimiento para investigar el campo de fuerzas en una región del espacio determinada sin alterarlo consiste en introducir una carga de prueba o testigo !::i,.q muy pequeña, de modo que sea demasiado reducida como para influir apreciablemente sobre las fuentes del campo. Entonces podemos determinar la fuerza ejercida sobre !::i,.q en los diversos puntos del mismo. Para eliminar cualquier ambigüedad en la descripción del campo, convendremos en utilizar siempre una carga de prueba positiva y en especificar, no la fuerza neta 1::i,.F sobre la carga de prueba, sino más bien la fuerza electrostática por unidad de carga positiva sobre la partícula testigo en el punto en cuestión. Esta medida del campo se denomina la intensidad del campo eléctrico y la designaremos por E. Se define como .....

E

[27 .3]

. l::i,.F l 1m D.q-0

!::i,.q

Como E es el producto de un escalar (1/!::i,.q) por un vector (1::i,.F), es evidente que E es una magnitud vectorial. Su módulo tiene las dimensiones [E] = N/C. Por ejemplo, si E en un punto determinado Pes 2 N/C hacia el este, entonces podremos predecir que una partícula de carga -4 C introducida en P experimentará la acción de una fuerza de -8 N hacia el este, es decir, + 8 N hacia el oeste. Consideremos al campo eléctrico de una sola partícula de carga q. En una posición R respecto a la partícula, la intensidad del campo eléctrico vale _l 1::i,.F !::i,.q

1

41rEo

(

q)

R2

A

R [27.4]

y su direccióp se alejará de q si ésta es positiva o se acercará hacia q, si q· es negativa. Debido a que podemos considerar cualquier campo eléctrico como debido a una o más partículas cargadas, podemos siempre, en principio, calcular la intensidad del campo en un punto hallando el vector suma de las intensidades de campo debidas a las cargas individuales: E(r)

[27.5]

942

Campos eléctricos

Sin embargo, dichos cálculos son difíciles de realizar excepto en los casos más sencillos. Por consiguiente, resulta afortunado que se hayan desarrollado métodos alternativos más sencillos, basados en la ley de Gauss (ver sección 27 .5). El campo eléctrico y la idea asociada de «acción a distancia» -interacciones en las que no intervienen colisiones en sentido clásico- encierran algo más que un concepto conveniente de «fuerza específica». Implican también que un campo puede asociarse con toda partícula cargada, campo que es independiente de la presencia de toda otra partícula cargada- a diferencia de la fuerza electrostática descrita por la ley de Coulomb, que es el resultado de una interacción binaria. Esta distinción es fundamental y pronto se llega a pensar que una partícula cargada interacciona con el campo total que hay en su posición en lugar de hacerlo con las diversas cargas que son las fuentes de dicho campo total. Ejemplo 27. 1 En los vértices de un triángulo equilátero de lados s (ver figura) están situadas tres cargas positivas iguales de valor q. (a) ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre la carga situada en el vértice superior? (b) ¿Cuál es el campo eléctrico neto E en el punto medio de la base? (c) ¿Cuál es el campo eléctrico neto E en el punto en donde se cortan las bisectrices de los tres ángulos?

Fig. 27.2

Solución (a) Obsérvese que el caso es simétrico respecto a la bisectriz del ángulo superior; las componentes i de las fuerzas debidas a las cargas de la base se verán contrarrestadas entre sí por dicha simetría. Así la fuerza que· actúa sobre la carga en cuestión debe tener sólo una componente j, que según la ecuación [27.2) vale F

son

(b) Las distancias desde el punto medio de la base a las tres cargas -½s, ½s, y ½../3s, pero los campos debidos a las cargas de la base se

943

Campos eléctricos

neutralizan entre sí en este punto. Por tanto, a partir de la ecuación (27.5),

E (e) Todas las cargas distan sl../3 del punto en consideración. Sumando los componentes de E se tiene

=

E

41rE0

ts/J3 ) 3

2

[(cos 30° i

+ sen +

30° j)

(-cos 30° i

+

sen 30° j) - j]

=

O

¿Cómo podría obtenerse esta solución a partir solamente de consideraciones de simetría? (Considerar lo que le ocurriría al campo si se hiciese girar 180 ° el triángulo alrededor de cada bisectriz separadamente.)

Ejemplo 27.2 Una carga q está situada en (-1,-2,1), ¿Qué fuerza ejerce sobre una carga de -2q situada en (1, 1,0)? (Utilizar un esquema para comprobar los resultados.) Solución

=

'1

Sean q 1 = q y q 2 - i - 2j

+k

= -2q.

Entonces

'2= i + j

y

Así pues, R 12

'2 -

Ru

..J4 +

r1 9

2i

+

+

3j

- k

..m

Por consiguiente según la ecuación (27 .1 ], Fp •

27.2

= -

_ l_ 41rE0

2i + 3j (2q2) ../T4 14

k = -

Dipolo eléctrico

En la sección 26.1 señalábamo~ aue la electrización consiste siempre en una separación de cargas. En realidad con más frecuencia esta separación es sólo una ligera deformación o distorsión de las órbitas electrónicas de los átomos y moléculas bajo la influencia de un campo eléctrico externo. En la mayoría de los casos, la distribución de la carga neta sobre el propio .átomo o sobre la propia molécula puede representarse mediante un dipo-

q2

28 ../T41rt0

(2i

+ 3j - k)

Campos eléctricos

944

lo eléctrico, que equivale a dos cargas iguales pero opuestas separadas por un desplazamiento ó "" 10- 10 m. Representemos el dipolo mediante dos cargas ± q separadas una distancia ó, de modo que la línea que pasa por ambas cargas determine el eje x, con el origen en el punto medio entre las cargas (ver figura 27 .3a). Los vectores de posición r ~ de las cargas vienen dados por ± -½ói. Calculemos el campo eléctrico E en un cierto punto P cuyas coordenadas polares son (r, 0), en donde x = r cos 0 e y = r sen0 son las coordenadas cartesianas correspondientes. Los desplazamientos del punto P respecto a las cargas son r + de la carga + q y r_ de la carga -q. Así

r -

½ói

r

r

+ ½ói

xi

r

+

yj

[27 .6]

y, por consiguiente,

_q (.!:±.. 411'E o r3+

E(r,0)

- ~) r3

(27.7]

-

La dimensión atómica ó es mucho menor que la dimensión del laboratorio r (es decir, r ~ó) y así podemos aproximar (ver figura 27.3b)

'+ -

r -

r

r

-

ó 2

+

cos 0

ó - cos 0 2

r r

+

[27.8]

xó 2r

xó 2r

y

r P = (r,0)

-q

r'_ O

r'+

+q

p = qbi (a)

Fig. 27.3 Esquema geométrico de un dipolo

(b)

Campos eléctricos

945

Despreciando los términos de segundo orden en ó2/r 2 por ser muy pequeños, el desarrollo del binomio de r~ nos da

r3

+

, 3

frxó

(l

3xó) 2,2

::¡::

[27.9]

Sustituyendo las ecuaciones [27 .6] y [27 .9] en la ecuación [27. 7] se tiene E

q ( r - (ó/2)i 41re 0 r 3 1 - 3xó/2r 2

_

r

1

+ (ó/2)i ) + 3xó/2r 2

[

27 -101

Reduciendo el término dentro del paréntesis al mínimo común denominador y suponiendo que ó2/r 2 == O, se puede hacer

(x (º:) ,2

1 _

2..4 ,2

)

de modo que E

1r!

4

0

,3 [

(r -

+ ~;~) -

½ói) ( 1

(r

+

½ói) ( 1 -

~;~)]

]27.11] Agrupando y eliminando términos, obtenemos una expres10n para el campo eléctrico neto E del dipolo en el punto P que resulta ser independiente de las posiciones exactas de ± q:

E

q 41reor3

(3xó 7 r - o·) I

para,» ó

[27 .12)

(Obsérvese que expresamos la aproximación del dipolo por la condición r ¡¡,,. ó, debido a que ó determina la escala física del problema.) Si expresamos E en coordenadas cartesianas, la aproximación del dipolo da

xy)

~3 ( 3 2 41rEof

r

para,» ó [27 .13]

Sin embargo, es mucho más ventajoso representar E en coordenadas polares. Podemos descomponer i en sus componentes í" y (ver figura 27.3b), de modo que

9

cos 0

r -

sen 0 0

X

r cos 0

y

r sen 0 [27.14]

Sustituyendo las ecuaciones [27 .14) en la ecuación [27 .12] se tiene E

qó

- -3 (2 cos 0 41re 0 r

r + sen 0

~

8)

para,» ó

[27 .15]

Puede comprobarse fácilmente que esta fórmula es cualitativamente correcta para algunos casos límites sencillos: por ejemplo, E tiene el sentido negativo del eje de las x en todo punto sobre el eje y, mientras que posee

Campos eléctricos

946

el sentido negativo o positivo de eje x en los puntos de este último, como exige la simetría. Como q y ó aparecen únicamente como el producto qó en las ecuaciones (27.12) y [27.15) es costumbre denominar a este producto momento dipolar p = qó del par de cargas. El momento dipolar se define como una magnitud vectorial dirigida desde la carga negativa a la positiva, de modo que en este caso p = qói. Por simetría, el campo eléctrico del dipolo debe tener el mismo aspecto en cualquier plano que contenga al eje dipolar; de aquí que no pueda existir ningún componente del campo perpendicular a uno de estos planos cualesquiera. Así pues, el radio polar r puede identificarse con el radio vector tridimensional general, si entendemos que () representa el ángulo que existe entre p y r en tres dimensiones. Así, la ecuación [27.15) da la forma más general del campo dipolar (ver figura 27.4). Resulta de particular importancia el señalar que el campo dipolar E es proporcional a l/r 3 y, por ello, disminuye más rápidamente al aumentar la distancia que en el caso del campo de una sola carga puntual. Esto se debe al efecto neutralizador del campo de cada carga sobre el de la otra a distancias mucho mayores que ó = plq.

E,~

-q

p

1-----ó-------t

Fig. 27.4 Campo general de un dipolo eléctrico

Si se sitúa un dipolo en un campo eléctrico externo constante Ee y se orienta de forma que forme un cierto ángulo con él, entonces dicho campo ejercerá únicamente un momento o par sobre el sistema dipolar, y tenderá a hacerle rotar (ver figura 27.5). En nuestro estudio de la mecánica, demostramos que el par ,,. debido a un par de fuerzas F que actúan en los extremos del vector ó es T

5XF

[27 .16)

y así el par sobre el dipolo es

....

T

5

X qE. <

=

p X

E ,

[27 .17]

947

Campos eléctricos

Fig. 17.5 El par 1' = p x Ee ejercido sobre un dipolo de momento p en un campo eléctrico externo uniforme Ee

Así el efecto de un campo externo constante (uniforme) sobre un dipolo de momento fijo consiste en hacerlo girar hasta quedar alineado paralelamente al campo. La ecuación [27 .17] es válida también en tres dimensiones. En general, el efecto de cualquier campo externo sobre un dipolo eléctrico es producir la rotación del mismo; si el campo no es uniforme, entonces también producirá su traslación.

Ejemplo 27.3 Dos cargas ±q están situadas en el eje x como se indica en la figura 27.3, con ó = 2 m. Calcular el valor y la dirección de su campo eléctrico dipolar en (r, 0) = (10 m, 45 º),osea (x,y) = (7,071 m, 7,071 m) hasta cuatro cifras significativas (a) utilizando la ley de Coulomb para cada carga y (b) utilizando la aproximación del dipolo de las ecuaciones [27.13]. (e) Comparar los resultados de ambos cálculos. Solución (a) Primero calcularemos las distancias de las cargas al punto del campo: r.

../(6.071)2

+

(7.071f

../86.86

r

../(8.071 ) 2

+

(7.071) 2

.J 115.14

9.320 m 10.730 m

Por consiguiente, r i.

809.5 m 3

ri

1235.5 m·1

Utilizaremos las ecuaciones [27 .6] y (27. 7) para hallar el campo eléctrico total en (r, 8): E

q

41rEu

(6.071. 809.5 I

_!l._ (9.671 i

41rE 0

+ +

7.071 . 809.5 J

8.071 . 1235.5

--- 1

30. l 2j) X 10 ·• N/C

7.071 ") 1235.5 J

Campos eléctricos

948

en donde q viene dado en culombios. (b) A partir de la aproximación del dipolo, ecuaciones [27.13], se tiene _ q_ (_2_)[(3 X (7.071)2 _ l)i 41rEn 1000 100

.....!L (IO.OOi 41rt 0

+

+

3 X (7.071)" ·] 100 J

30.00j) X 10 • N/C

(c) Comparando los resultados se tiene

E,

tg 72.2°

Ey,d,r)

tg 71.6°

1.00036

E,1diri

Así, pues, la aproximación del dipolo concuerda muy bien con el cálculo exacto mediante la ley de Coulomb, aunque r es únicamente 5 veces mayor que ó.

27.3 Campos eléctricos de cargas distribuidas Hasta ahora hemos supuesto que los campos de las diversas cargas puntuales aisladas son independientes entre sí. De hecho, experimentalmente se demuestra que esto es así incluso para una gran colección de cargas en una región determinada del espacio. Por consiguiente, muchas de estas situaciones pueden estudiarse utilizando los métodos del cálculo integral. Sin embargo, debemos ser meticulosos a la hora de distinguir entre los puntos r del campo en los que ha de medirse o calcularse E y los puntos fuentes r' en los que están situadas las cargas que dan origen al campo. Veremos que a la hora de considerar distribuciones de cargas continuas resulta más conveniente definir una densidad de volumen de carga p (x',y',z'): p

.!!!L.

. ~ l1m t:,.'V'

[27 .18]

d'V'

a'V'-O

en donde t:,.'V' es un volumen pequeño del espacio y ll.q es la carga contenida en su interior. (Utilizaremos el símbolo 'V para el volumen en nuestro estudio de la electricidad para evitar confusiones con el símbolo V que utilizaremos más tarde para el potencial.) Si el volumen cargado d'V' se sitúa en una posición de fuente r' (como se ve en la figura 27.6), entonces el campo eléctrico que produce en la posición del campo r es donde R

=r-

r'

[27.19]

Integrando la ecuación (27 .19] respecto a todas las cargas, obtenemos E(r)

=

_ l_ ( _l pR d'V' 41rE0 J'V.

R3

[27 .20]

949

Campos eléctricos z

E(r)

~ ;___ _ __ _ _ __ _ __ _ y

Fig. 27.6 Cálculo del campo eléctrico ~{r) en la posición r de un punto del campo debido a la carga p d'V' del elemento de volumen d 'V' = dx' dy' dz' en una posición de fuente r'.

Podemos considerar la ecuación [27 .20] como una «prescripción» para calcular el campo neto debido a una distribución de cargas en el volumen entero 'V'. El realizar el cálculo puede resultar difícil (o puede que sólo sea posible mediante métodos numéricos), pero por lo menos la ecuación (27 .20] especifica completamente el procedimiento básico. La ecuación [27 .20] es muy general: p puede ser una función cualquiera de la posición r' y 'V' puede cubrir cualquier porción del espacio (o incluso consistir de varias porciones separadas del espacio en donde p es no nulo). El punto del campo r = xi + yj + zk puede estar en cualquier posición del espacio, bien dentro o bien fuera de 'V' y r se toma como una constante en la integración, que se lleva a cabo respecto a las coordenadas de la fuente (x', y', z'). Sin embargo, consideraremos únicamente casos que presenten un elevado grado de simetría o de simplicidad, como en los ejemplos siguientes.

Ejemplo 17.4 Una carga está distribuida uniformemente en toda la longitud de un alambre muy largo con una densidad de carga lineal >- = dqldx'. Hallar el campo eléctrico E a una distancia y del alambre. (Suponer que la longitud del mismo es mucho mayor que y, de modo que el alambre puede considerarse infinitamente largo.) Solución Utilizando el sistema de coordenadas indicado en la figura 27. 7, incluyamos dentro de la prescripción de la ecuación [27 .20] las cantidades apropiadas r

yj

r'

x'i

R

-Jy- +

x' ~

pd'V'

>-.dx'

Campos eléctricos

950 y

E

= (A/2-in.,y)j

x'i

Hg. 27.7

dq _

_

>.. dx'

_ _ ___,.,_ X

H

x·;

r'

- ·x·i

r'

=

dx'

para obtener X

E(r)

- --

f

41rEo

~X>

(yj -

x'i) d X ,

[27 · 21]

--'-''-'----'--

. ,X, (y1

+

x'2) 3;2

El integrando del componente i es una función impar de x', de modo que las contribuciones a este componente de E procedentes de cargas situadas a ± x' se compensan entre sí. (La figura aclara esta simetría.) Por tanto,

[27 · 22]

E(r)

La integral de la ecuación [27 .22] se calcula fácilmente utilizando la sustitución x' /y = tg 0 para obtener ·+co

d(x' /y)

- oo

+

j

./[l

I

(x'/y)2P,'

2

y2 ,l y-

f

+r/

2

-r/2

f

+rn

sec 1 0 d0 (1 + tg 2 0) 312 cos f) di)

-1r/2

2

y2

Así la ecuación [27 .22] se reduce a E

(para una carga lineal)

[27 -23]

Como la carga lineal posee una simetría axial respecto al eje x, el campo eléctrico debe tener el mismo aspecto en un plano cualquiera que conten-

951

Campos eléctricos

ga a dicho eje. Así podemos identificar y en la ecuación [27 .23] con la distancia radial, en tres dimensiones, del punto del campo a la línea de cargas y podemos identificar j con el vector unidad que se aleja radiálmente de la línea de cargas. Así, pues, E señala radialmente alejándose de la línea de cargas en todas direcciones, siendo su valor inversamente proporcional a la distancia al hilo. Si la longitud del alambre fuese finita, entonces habría· que calcular la integral de la ecuación [27 .21] entre los extremos del alambre y, en general, sólo se anularía el componente x del campo en los puntos del campo comprendidos en el plano perpendicular al alambre en su punto medio. Ejemplo 27.5 Sobre el plano xy y con su centro en el origen yace un anillo circular de radio a uniformemente cargado. La carga total sobre el anillo es q. Hallar el campo a lo largo del eje z. Solución Por simetría, cada segmento a d8' del anillo (como se ve en la figura 27 .8) está exactamente a la misma distancia del punto del campo

E(O,O,z)

[qz/4,r,o
+

z 1) 31 ')k

f'ig. 27.8

(q/21ra)a d8'

X

y

(0,0,z,) .. Así, se contrarresta por pares la componente del campo perpendicular al eje z debido a los elementos en 8' y en 7r + 8', quedando únicamente las componentes z. La suma de estas componentes z debe tener

952

Campos eléctricos

el mismo efecto que la componente z del campo debido a una sola carga puntual q situada en cualquier punto del anillo. Por consiguiente, E(0,0,z) = _ q_ (cos a)k 41rt0 R 2

Obsérvese que E - q/41rE 0z2 para distancias z rel="nofollow"> a, de acuerdo con la ley de Coulomb. Debido al elevado grado de simetría del ejemplo 27 .5, no es necesario utilizar todas las posibilidades de la prescripción general para la determinación de E que se ha dado en la ecuación [27.20]. Sin embargo, resultará instructivo ver lo que ocurre si la utilizamos. El procedimiento parece muy complicado, pero consiste esencialmente en tener cuidado a la hora de hacer las cuentas. Como para especificar cada posición sobre el anillo sólo se necesita una sola coordenada ()', podemos utilizar una densidad de carga lineal X. = q/21ra, y luego podemos utilizar la longitud del arco de un segmento del anillo, ad()', en lugar de p d'V'. Utilizando el sistema de coordenadas de la figura 27 .8, insertemos en la prescripción de la ecuación (27 .20] las magnitudes apropiadas r

=

zk

r'

= a(cos 8' i + sen ()' j)

R

=

,Ja 2

+

z

2

para obtener 2

E(0,0,z) = _ l _ ( '" -'-(z_k_ _a_c_o_s_8_'_i_-_a_s_e_n_8_'...:c.j.;..:)(...._q,_/2_1r_a_,_)(.,_a_d_8---<-') 411'Eo Jo (a 2 + z2)31 2

[27 .24]

Obsérvese que R es independiente de 8 y que

r·

cos ()' d()'

=

O =

f"

sen 8' d8'

(27.25]

de modo que la ecuación (27 .25] se reduce a la expresión ya encontrada como solución del ejemplo 27.5. No es posible siempre utilizar argumentos de simetría y a veces hay que considerar geometrías irregulares. Cuando ocurra esto, podemos utilizar la ecuación [27 .20] y realizar la integración numéricamente con un ordenador, hallando la contribución al campo eléctrico procedente de cada elemento de volumen por separado y luego sumándolos todos para obtener el campo total.

2 7. 4 Líneas de campo eléctrico Cuando presentamos por primera vez el concepto de un campo de fuerza en la sección 13.3, decíamos que «se considera que cada cuerpo está con-

953

Campos eléctricos dicionando la región del espacio que lo rodea, de tal modo que cualquier otro cuerpo experimentará la acción de una fuerza si se coloca en un punto cualquiera de esta región». Matemáticamente, definíamos el campo asignando un valor (o conjunto de valores) a cierta variable física en todos los puntos del espacio. Definíamos el campo escalar correspondiente a una determinada magnitud Q a partir de una función escalar de punto fl..x,y,z) que da el valor de Q unívocamente en todos los puntos del campo (x,y,z). En notación vectorial, definimos una función f(r) que da el valor de Q en todo punto r = xi + yj + zk del campo. Análogamente podemos definir un campo vectorial a partir de una función vectorial de punto A(x,y,z,) o A(r) que da un solo valor de una magnitud vectorial en todo punto del campo. Obsérvese que una función vectorial de punto puede sustituirse por tres funciones escalares de punto; por ejemplo, podemos utilizar las funciones escalares f, g y h y sustituir una función vectorial única A del modo siguiente: A

A(r)

A(x,y,z)

= f(x,y,z}i

+ g(x,y,z}j + h(x,y,z)k

Así pues, un campo eléctrico E puede describirse en coordenadas cartesianas como E(r)

Ex(x,y,z}i

+

Ey(z,y,z)j

+

E,(x,y,z)k

Los conceptos de funciones vectoriales de punto y de campos son centrales en las teorías modernas de la electricidad y el magnetismo. El concepto básico de campo fue desarrollado inicialmente por Michael Faraday, uno de los físicos experimentales más grandes del siglo pasado, como modo de hallar una representación física para las fuerzas eléctricas que estaba investigando. El método gráfico que desarrolló demostró ser de gran utilidad como una guía en sus investigaciones. Faraday utilizó las «líneas de campo» para representar el «condicionamiento» del espacio que rodea a un cuerpo cargado. Nuestro concepto matemático de campo fue una abstracción posterior de su propia representación gráfica, pero las líneas de campo siguen siendo una herramienta de gran utilidad a la hora de resolver problemas eléctricos y magnéticos. Consideremos un campo vectorial que define un vector en cada punto del espacio. Imaginemos a continuación una línea con dirección formada por cortos segmentos construidos en dicho campo vectorial de modo que vayan de punto a punto con una dirección tangente al vector existente en cada ·punto. Dicha línea es una línea de campo. Construyendo estas líneas podemos obtener una representación gráfica del campo vectorial a través de toda una región del espacio. En el caso del campo eléctrico E(r} estas líneas son líneas de intensidad de campo eléctrico, denominadas de forma más común aunque con menos propiedad líneas de fuerza eléctrica. Toda línea de fuerza eléctrica debe originarse en una carga positiva y terminar en una carga negativa. En el caso de una partícula sola y aislada cargada positivamente, las líneas de campo tienen dirección radial alejándose de la carga (ver figura

954

Campos eléctricos

(a) Campo creado por una

carga puntual positiva aislada

(b) Campo creado por dos cargas puntuales de valores

iguales pero signos opuestos

Fig. 17.9 Líneas de campo de diversos campos electrostáticos (c)

Campo creado por dos cargas puntuales del mismo valor y signo

27 .9a). Si la carga es negativa, entonces las líneas de campo están dirigidas radialmente hacia la carga. Así pues, si la carga está en el origen, entonces la ecuación de cualquier línea de campo simple como éstas se especifica dando dos de sus cosenos directores (ver sección 2.2). Resulta evidente al inspeccionar la figura 27 .9b,c que la ecuación general de las líneas de campo en un campo producido por dos o más cargas será más compleja. En general, el requisito de que una línea de campo sea tangente al vector de intensidad eléctrica E puede expresarse completamente mediante la simple relación vectorial E

X dr

o

[27.26]

que afirma simplemente que, si el vector dr ha de ser tangente a la línea de campo que pasa por r, entonces debe ser paralelo a E(r).

955

Campos eléctricos

Esta simple ecuación vectorial encierra un procedimiento para calcular puntos que correspondan a una línea de campo concreta (por ejemplo, la que se especificaría exigiendo que pasase a través de un punto determinado del espacio). La figura 27. 10 muestra la relación existente entre los componentes de un desplazamiento diferencial dr a lo largo de una línea de campo y¡las componentes del campo eléctrico E. En un pla-

y

Fig. 27.10

Líneas de campo eléctrico en coordenadas cartesianas (x,y) o polares (r,8). Los vectores eléctricos (de color) son tangentes a las líneas de campo, pero pueden descomponerse en vectores componentes E,, E9 o Ex, E1 en ambos sistemas

no podemos utilizar coordenadas cartesianas o polares. En el caso cartesiano,

dr

dxi

+

dy j

Sustituyendo esta expresión en la ecuación [27 .6] se tiene

[27.27]

Campos eléctricos

956

que es equivalente a la ecuación diferencial de primer orden dy dx

[27 .28)

= f(x,y)

El cociente de los componentes del campo es simplemente cierta función escalar de punto f(x,y). En principio, el proceso de resolver la ecuación [27 .28) no difiere en nada de la resolución de cualquier otra ecuación diferencial de primer orden. En la práctica, resulta que a veces es más fácil obtener ecuaciones de líneas de campo generales en dos dimensiones en forma implícita F(x,y) = constante, mediante la consideración de ciertas propiedades físicas de los campos eléctricos. Entonces para calcular la expresión de las líneas de campo que pasan por un punto particular (x 0 ,y0) debemos resolver la ecuación implícita F(x,y)

para hallar los valores de x e y correspondientes a los puntos de la línea. En algunos casos puede hacerse esto resolviendo la ecuación implícita analíticamente para x(y) o y(x); en casos más complejos deberemos utilizar un método numérico como el de Newton-Raphson (ver apéndice N). Como ejemplo simple, hallemos la ecuación de las líneas de campo que surgen de una carga positiva q situada en el origen de coordenadas. Sustituyendo las ecuaciones [27.4] y [27 .27) en la ecuación [27 .26) se tiene _q_(xi

E X dr

411'f0

r3

+

yj) X (dx i

+

dy j)

0[27.29)

que da dy dx

l..

o

lny

lnx

+e

[27 .30)

X

en donde C es una constante. Es decir, ax

y

donde a

=

constante

[27.31)

Esta es la ecuación de una recta que pasa por el origen, como era de esperar en el caso de líneas de campo procedentes de una carga puntual. La línea de campo que pasa por un punto particular (x 0 ,y0) viene dada por y

Yo

-X Xo

X

tg 0o

[27 .32)

en donde 80 es el ángulo que la línea de campo forma con el eje x. Incluso en los casos más sencillos, la deducción de la ecuación de las líneas de campo puede ser muy tediosa y, una vez obtenida, puede ser difícil de interpretar. Sin embargo, si empezamos desde un punto del espacio cualquiera, es posible entonces calcular los puntos sucesivos de una línea de campo que pasa por dicho punto utilizando el método de Euler de integración numérica (ver sección 6.6) o el método de Euler mejorado (ver apéndice N). Por ejemplo, el método de Euler más sencillo da la

957

Campos eléctricos

fórmula siguiente para la determinación de Yn Yn) Y Xn

+ 1

=

Yn+I

Xn -

+

+ 1

cuando se conoce (xn,

.ix:

Yn

(EY) AX Ex n

+

[27 .33]

El cociente de los componentes del campo eléctrico se evalúa en (xn, Yn)Si estamos utilizando coordenadas polares o queremos representar un caso con simetría axial como el del dipolo eléctrico (ver sección 27 .2), entonces utilizaremos el vector desplazamiento a lo largo de la línea de campo en la forma que dedujimos en la sección 12.4: (dr)i

dr

+

[27.34]

(r d8)8

Como puede verse fácilmente en la figura 27 .10, esto nos da la ecuación de la línea del campo [27.26] en la forma r

d8 dr

E,

E8

= f(r, 8)

[27.35]

Podemos resolver esta expresión del mismo modo exactamente que cualquier otra ecuación diferencial de primer orden. Como en la representación cartesiana, esta ecuación puede resolverse normalmente en forma implícita F(r,8) = constante. Se aplican también las indicaciones realizadas acerca de las soluciones explícitas a las soluciones de este tipo r(8). Si se requiere un cálculo numérico punto a punto, entonces la fórmula del método de Euler es [27.36]

Si se desea una mayor exactitud puede utilizarse el método de Euler mejorado. Consideremos ahora el campo del dipolo eléctrico (ver figura 27.4). En dos dimensiones el campo es E(r)

_p_ (2 cos 8 i 41rE 0 r

3

sen 88)

(27.37]

En coordenadas polares, la ecuación [27 .35] nos da

f

2 cot 8 d8

[27.38]

Así pues, si k es una cierta constante arbitraria, In r

2 In (sen 8)

+

k

[27.39]

o bien, ....,

r

= r 0 sen 2 8

[27.40]

Campos eléctricos

958

en donde r0 = ek es una constante de integración arbitraria cuyo valor caracteriza una línea de campo particular por su distancia máxima r0 al dipolo. La figura 27 .11 muestra las líneas de campo obtenidas mediante esta ecuación para diversos valores de r0 •

Fig. 27.J 1

Líneas de campo correspondientes a un dipolo eléctrico suponiendo que r

>,,

ó.

Las líneas de campo en otros planos que contienen el eje del dipolo tienen la misma forma, de modo que puede obtenerse el campo tridimensional haciendo girar la figura 27 .11 alrededor del eje p. Obsérvese que todas las líneas de campo determinadas mediante la ecuación [27.40] pasan por el origen en lugar de empezar o terminar en las cargas. Esto se debe a que hemos utilizado la ecuación del campo deducida mediante la aproximación del dipolo, que es válida únicamente a distancias grandes y que supone que ambas cargas pueden considerarse situadas en el origen. Si hubiésemos utilizado una ecuación más exacta para el campo E hubiésemos obtenido líneas de campo en la proximidad del dipolo como las indicadas en la figura 27. 9b.

Ejemplo 27.6 (a) ¿Cuál es la fórmula correspondiente al valor del campo eléctrico de un dipolo a lo largo de la línea de campo que pasa por el punto del campo (r,8) = (1 m, 1r/2)? ¿Cuál es el valor del campo en (1 m, 1r/2)?

Solución (a) La ecuación correspondiente a la línea del campo es r = r 0 sen 2 8, de modo que

lm 1

lm

=

959

Campos eléctricos

para la línea en cuestión. Así r = sen 2 0 en todo punto de esta línea de campo. Según la ecuación [27 .15) el valor del campo es E(r,0)

=

_p_ ..J 4 cos 2 8 41rEor3

+ sen 2 0

=

_p_ 41rE0 r

3

.J 4

-

3 sen 2 0

A lo largo de la línea de campo que estamos investigando, r = sen 2 8, de forma que E(r,8) (b) Sustituyendo en el resultado de la parte (a) los valores r

0

=

1r/2, se tiene

E(l m, 1r/2)

27.5 Flujo eléctrico y ley de Gauss De la definición de una línea de campo resulta directamente el concepto de flujo eléctrico. Se define el flujo de un vector cualquiera que atraviesa una superficie por analogía con el flujo de agua a través de una tubería, en donde la cantidad que se descarga por segundo es proporcional a la velocidad del fluido y a la sección recta del tubo (ver sección 15.2). Así pues, el flujo d~ de cualquier vector E a través de una superficie infinitesimal dA viene dada por [27.41]

dw

Sea íi el vector unitario normal a la superficie dA (ver figura 27 .12a). Entonces [27.42] dw E• íi dA dA

(a) Ángulo de flujo 0°, de

modo que dv

= E dA

Fig. 27.12

(b) Ángulo de flujo 90°,

de modo que dv

=O

(e) Ángulo de flujo ,t,, de modo que dv = E dA cos q, = E dA l.

El flujo dv de E a través de áreas infinitesimales dA

= dA

í\

= Imy

Campos eléctricos

~bU

Si el ángulo formado entre E y dA es
E dA cos cp

E dA.1

(27.43)

(ver figura 27 .12c). Es necesaria una definición vectorial del flujo porque la sección recta del flujo que pasa por dA es dA cos cp. Sin embargo, obsérvese que el propio flujo es un escalar. En el caso de una superficie finita A, se tiene el flujo total integrando respecto a la superficie: '11

L

E• dA

[27.44)

En general, el vector unitario normal íi es una función de la posición (x,y,z). Con objeto de obtener una definición única de ft, supondremos que en cualquier punto de la superficie, cuando es cerrada, seftala siempre hacia fuera. Así, en el caso de una esfera de radio R centrada en el origen xi + yj + zk J__ (xi + yj + zk) fi [27.45]

..Jxi +

y2

+

z2

R

para la línea en cuestión. Así r = sen 2 () en todo punto de esta línea de campo. Según la ecuación (27.15) el valor del campo es E(r,8)

=

_p__ ..J 4 cos 2 O + sen 2 () 41rtor3

A lo largo de la línea de campo que estamos investigando, r forma que

=

sen 2 8, de

E(r,8)

(b) Sustituyendo en el resultado de la parte (a) los valores r

() = 11'12, se tiene E(l m, 1r/2)

=

= 1m y

J__ 411'Eo

Si construimos las líneas de fuerza para un campo eléctrico determinado, tenemos una representación que muestra la dirección y sentido de E en cada punto del campo, pero no tenemos indicación en dicha representación del valor de E en esos mismos puntos. Utilizaremos el concepto de flujo eléctrico para conseguir que sea cuantitativa la representación de líneas de campo definiendo arbitrariamente el número de líneas de campo que pasan a través de una superficie de forma que sea igual al flujo eléctrico d~ del vector eléctrico E que pasa a través de la misma superficie.

961

Campos eléctricos

Por ejemplo, el número de líneas de campo (el flujo eléctrico) que atraviesa una esfera de radio r centrada en una carga puntual aislada positiva viene dado por

EA

[27.46]

g_ Eo

Obsérvese que el flujo que atraviesa la esfera es independiente del radio de la misma. Así pues, tal y como lo hemos definido, se conserva el flujo eléctrico procedente de una carga puntual; ni se crea ni se destruye al pasar a través de un espacio vacío hasta que finalmente (porque el universo es eléctricamente neutro) termina en unas cargas negativas. Para mayor coherencia, es costumbre suponer que las líneas de fuerza que proceden de una carga aislada terminan en cargas opuestas situadas en r = oo. Puesto que se conserva, el flujo eléctrico es una ayuda atractiva para una asimilación intuitiva de la naturaleza de los campos electrostáticos. Por ello puede dibujarse en el espacio un «tubo de flujo» en el cual el flujo es constante en toda su longitud. (Este concepto es análogo al de tubos de flujo estudiado en la sección 15.2.) Por ejemplo, supongamos que las líneas de campo que limitan el área A I de la figura 27 .13 definen un tubo de flujo. Si A 2 es una sección recta en otro punto del tubo, entonces todas las líneas de campo que pasan por el interior de A I deben

Fig. 17.13

Tubo de flujo

pasar también por el interior de A 2• Si una línea cualquiera pasase a través de A I y no a través de A 2 , entonces existiría un punto en el espacio en donde debería cortar a las líneas de campo que forman el contorno del tubo y esto implicaría que el campo eléctrico no es único en algún determinado punto del espacio libre de carga. Puede demostrarse rigurosamente que el campo eléctrico debe ser único en todo punto del espacio en estas condiciones. Por consiguiente, el campo normal a la sección recta del tubo puede estimarse en un punto cualquiera a partir de la estimación del área de dicha sección recta y de la definición '1r A

[27.47]

Las líneas de campo pueden considerarse como entidades físicas. El valor o módulo E del campo puede interpretarse como la densidad del flujo eléctrico -a saber, el número de líneas de campo por unidad de área de sección recta (E = 'Ir I A). En donde las líneas de fuerza sean paralelas, el

962

Campos eléctricos

campo es uniforme. Si las líneas convergen en un determinado sentido, entonces la intensidad del campo aumenta desde un punto a otro sucesivo en dicha dirección y sentido. Si las líneas de campo divergen, entonces el campo decrece en dicho sentido.

Ejemplo 27.8 En la figura 27 .13 suponer que el radio del disco circular es y el del disco A 2 es Si el campo en A 1 es Ei, hallar el campo E 2 en A 2 •

A1

a

ta.

Solución El flujo V es el mismo en una sección cualquiera del tubo de flujo, de modo que y

4

Así pues,

En 1839 Karl Friedrich Gauss dedujo una prueba más general y convincente de la constancia del flujo eléctrico en el espacio libre de carga, basada en el hecho de que la ley de Coulomb establece que la fuerza eléctrica es proporcional exactamente al inverso del cuadrado de la distancia. Consideremos una partícula aislada de carga q situada en un punto O, e imaginémosla rodeada por una superficie cerrada de forma cualquiera (ver figura 27 .14). Dicha superficie cerrada hipotética se denomina superficie gaussiana. Imaginemos un cono infinitesimal de ángulo sólido díl

Fig. 27.14 Representación geométrica para la prueba de la ley de Gauss. El cono subtiende un ángulo sólido díl = dA i lr 2 (estereo"rradianes)

963

Campos eléctricos

dibujando con el punto O como su vértice. El eje OP = r de este con9 debe pasar a través de un cierto punto P del campo perteneciente a la superficie gaussiana y el cono intersecciona la superficie en un elemento de área dA. En el punto P del campo, la intensidad del campo eléctrico debido a la carga q es E

Si cp es el ángulo existente entre E y n en el punto P, entonces E cos cp

E"

y, según las ecuaciones [27.42) y [27.43), el flujo saliente de E a través de dA es

d\J!

E•fidA

=

q díl [27 .48)

E"dA

41rEo

_en donde la expresión final se obtiene utilizando la definición del ángulo sólido dada en la ecuación [26.10). Para obtener la expresión correspondiente al flujo saliente a través de la totalidad de la superficie gaussiana, debemos integrar la ecuación [27.48) entre los límites íl 1 = O y íl 2 = 41r (el ángulo sólido que subtiende cualquier superficie cerrada vista desde un punto en su interior). Así el flujo total debido a q es

f

4-,

E•dA

_q_ 41rEo

1

díl

[27.49)

O

en donde el símbolo ½ representa siempre la integral respecto a una superficie cerrada. Como los campos eléctricos procedentes de cargas separadas son independientes, podemos aplicar el mismo argumento al campo neto de un sistema de N partículas cargadas q 1, q 2, ... qN situadas en diversos puntos en el interior de una superficie gaussiana para obtener

[27.50]

.Por consiguiente,

f

N

E•dA

Q

en donde Q =

¿ qk

[27.51]

k=I

Obsérvese que Q es la carga neta que hay dentro de la superficie gaussiana A. La ecuación [27.51) se denominaforma integral de la ley de Gauss,· es una de las cuatro ecuaciones fundamentales de la teoría de los campos electromagnéticos.

964

Campos eléctricos

Físicamente la ley de Gauss afirma que las líneas de fuerza únicamente. pueden comenzar o terminar sobre cargas, de modo que la conservación de las líneas de fuerza es equivalente a la conservación de la carga. Debido a que las líneas de campo tienen sentido, las líneas de campo iguales y opuestas pueaen neutralizarse entre sí, lo cual resulta ser un caso análogo al de neutralización de cargas. La superficie gaussiana de la figura 27 .14 carece de generalidad en el sentido de que el eje OP del cono corta a la misma una sola vez. Sin embargo, podemos ampliar fácilmente la ley de Gauss al caso más general. Si OP corta a la superficie una segunda vez, entonces deberá cortarla también otra tercera vez (ver figura 27.15). En la segunda intersección el ángulo e/>' debe tener un valor 90 ° :s:: e/>' s; 180 ° (recuérdese que e/>' es el ángulo formado entre E y la normal hacia fuera a la superficie). De aquí que E: dA'

=

E' cos
=

en donde el signo negativo indica que esta contribución al flujo total se realiza hacia el interior de la sup~rficie cerrada y no hacia el exterior. En la tercera intersección, OO :s:: e/>" s; 90 °, de modo que E:dA"

E" cose/>" dA"

Fig. 17.15 Representación geométrica para una prueba más general de la ley de Gauss

valor que coincide con el del primer corte. Puede aplicarse el mismo razonamiento a cualquier par de cortes adicionales. Como el número de cortes o intersecciones será siempre impar, por compleja que pueda ser la superficie gaussiana, las contribuciones a f A En dA para todas las intersecciones, excepto la primera., se anularán por parejas, dejando así inalterada la ecuación f27.51]. Las cargas situadas en los puntos fuera de la

965

Campos eléctricos

superficie no contribuyen a ½A En dA por.que sus intersecciones deben presentarse siempre en pares que se compensan. Si existe un flujo neto cualquiera a través de una superficie cerrada se deberá únicamente a las cargas situadas dentro de la superficie. La figura 27 .16 muestra un ejemplo de una configuración de líneas de campo más compleja -corresponde a una carga puntual positiva Q en presencia de una esfera de metal que está conectada a tierra mediante un hilo conductor. La carga puntual induce una carga negativa neta sobre la esfera, que se concentra preferentemente en la zona más próxima a la carga positiva. Esta concentración está indicada por la acumulación de líneas de campo en la región delantera de la esfera. Este caso posee simetría axial, de modo que la configuración tridimensional completa puede visualizarse como una rotación de esta figura alrededor del eje x. De aquí que las líneas de campo en la parte delantera de la esfera se acumulen incluso más densamente de lo que resulta evidente a partir de la figura bidi-

(a)

(b) Fig. 27.16 Líneas de campo producidas por una carga puntual positiva Q en presencia de una esfera conductora conectada a tierra. La intensidad del campo en el punto N es nula

966

Campos eléctricos

mensional. Cuando la esfera se acerca a la carga puntual, se induce cada vez más carga sobre la misma "1 cada vez más líneas de fuerza procedentes de la carga se desvían para terminar en la zona delantera de la esfera. Existe una línea de campo límite que va desde la carga puntual a un punto N situado sobre el eje x detrás de la esfera. Esta línea de campo se «fracciona» en el punto neutro N, en donde E = O. La superficie de revolución generada por esta línea de campo limite divide el espacio en dos regiones: en el interior de la superficie todas las líneas de campo procedentes de la carga puntual terminan sobre la esfera; en el exterior de la misma, todas las líneas de campo se «extienden hasta el infinito». (Como se presupone que el universo es neutro, deberán existir algunas cargas negativas en algún punto en donde terminarán estas líneas de campo, pero suponemos que estas cargas están demasiado alejadas para influir en nuestro análisis.) Es posible demostrar que la carga total inducida sobre la esfera es Q' = -OQ/41r, si la superficie límite está limitada por un

ángulo sólido de íl centrado en Q. Como puede verse, es posible deducir bastante información física observando simplemente una configuración de líneas de campo. El esquema de líneas de campo de la figura 27 .16 se dibujó mediante un tubo de rayos catódicos (TRC) controlado por un ordenador. Cada esquema tardó unos 5 s en representarse en la pantalla y fue registrado fotográficamente mediante una cámara con un obturador abierto montado frente a la pantalla del TRC. El ordenador también cerraba el obturador y hacía avanzar la película entre cada dos esquemas correspondientes a distancias variables de la carga puntual a la esfera, generando así una película.

Una carga Q está distribuida uniformemente por toda una esfera de radio R. (a) Hallar el campo eléctrico a una distancia r > R del centro de la esfera. (b) Hallar el campo a una distanciar s R.

Ejemplo 27.9

Solución (a) Dibujemos una superficie de Gauss esférica de radio r > R. Por simetría, E tiene el mismo módulo en todos los puntos de la superficie y señala radialmente hacia fuera. Según la ley de Gauss (ecuación [27 .5 l ]),

f

E•dA

y, por tanto, E(r)

parar> R

(b) Dibujemos una superficie de Gauss esférica de radio r < R concéntrica con el cuerpo esférico que contiene a Q. Esta esfera contiene una carga Q' = (r/R) 3Q, porque la carga está distribuida uniformemente con

Campos eléctricos

967

densidad e de Gauss, 41rr 2E(r)

= Q/ { 1rR 3 • Q_ Eo

Por consiguiente, aplicando como antes la ley

(~Yº R

Eo

y E(r)

= _.!!2__3 41rE 0 R

parar< R

27.6 Aplicaciones de la ley de Gauss La ley de Gauss equivale a otro enunciado de la ley de Coulomb en el lenguaje de la teoría de campos; las cargas se consideran, no como centros de fuerzas, sino como fuentes del flujo eléctrico en la región que las rodea. Si se escoge juiciosamente la superficie de Gauss, el cálculo de E(r) resulta frecuentemente mucho más sencillo que el de las fuerzas netas a partir de la ley de Coulomb, especialmente cuando la distribución de cargas tiene una elevada simetría, como sucede en el ejemplo 27.9. Si en dicho ejemplo el cuerpo cargado hubiese sido una corteza esférica, la densidad de carga resultaría nula para r < R y, por ello, el campo eléctrico en el interior de la corteza sería también nulo. Pero para r :::?= R,

E(r)

de modo que el campo exterior a la corteza es idéntico al campo en el exterior de la esfera. Existe en el método de Gauss un factor oculto, que es el mismo que utilizó con éxito Faraday: consiste en la apreciación intuitiva de las direcciones probables de las líneas de campo que se esparcen en el espacio de modo semejante a como lo hace un fluido. (Señ.alemos, incidentalmente, que existen buenas razones físicas para aplicar esta analogía particular). Este concepto intuitivo de la simetría es lo que nos permite utilizar con buenos resultados la ley de Gauss y es también la razón por la cual resulta una· herramienta teórica de tanta utilidad el concepto de líneas de campo, incluso en el caso de problemas muy complejos, como los de la física espacial y la investigación en el campo de la fusión. Consideremos otro caso más: la línea de carga infinita del ejemplo 27.4. La figura 27 .17 muestra la línea en cuestión coincidiendo con el eje z, mientras que res el radio polar desde este eje en el plano xy. Es evidente de modo inmediato (o puede demostrarse formalmente sobre la base de la símetría axial ya discutida en la sección 10.4) que el campo sólo puede depender de r. Además el campo debe estar dirigido radialmente hacia fuera, porque la presencia de cualquier otro tipo de componente

968

Campos eléctricos

z

Fig. 17.17 Campo eléctrico E de una línea de carga coincidente con el eje z, siendo >.. su densidad de carga lineal

destruiría la simetría. Supongamos, por ejemplo, que E tiene una cierta componente z. Si se invierte el sentido de z, no hay nada que cam-bie en la situación física y, sin embargo, la componente z de E invertiría su sentido. Evidentemente, pues, E no puede tener ninguna componente z. Si la densidad lineal de carga es X.. entonces el flujo eléctrico a través de cierta superficie gaussiana cilíndrica de radio r y longitud L es

f

E•dA

21rrLE,

= XL

[27.52]

o bien,

E,

(27.53]

lo cual está de acuerdo con la ecuación (27 .23]. Como es natural, cualquier distribución real de cargas es finita, de modo que las líneas de campo en los extremos lejanos de la línea de carga se extienden alejándose en todas direcciones. Sin embargo, nuestra intuición física de la naturaleza de las líneas de campo nos lleva a aceptar que las líneas de campo estarán dirigidas radialmente y hacia fuera desde la línea de carga, en tanto que r sea mucho menor que la distancia al extremo más cercano de la línea de carga. (En todo caso, esto es lo que habría dicho Faraday). Consideremos a continuación una corteza cilíndrica uniformemente cargada de radio R situada alrededor del eje z (ver figura 27 .18). Si dibujamos una superficie gaussiana cilíndrica en el interior de la corteza, la superficie no encierra ninguna carga. Por simetría, E debe tener el mismo valor en todo punto de la superficie, de modo que E = O en todo punto del interior de la corteza. Sin embargo, si consideramos una superficie cilíndrica gaussiana de radio r > R que contiene a la corteza y es coaxial

969

Campos eléctricos

z

Fig. 27.18 Campo eléctrico E de una corteza cilíndrica cargada de radio R y densidad superficial de carga u

con ella, entonces la aplicación de la ley de Gauss a una longitud L nos da 21íRLu parar> R [27.54]

f

E•dA

en donde u es la densidad superficial de carga de la corteza. De aquí que

=

E '

o-R E0r

=

_ A_ 27íE0r

para r

>

R

[27.55]

en donde A = 21rRa es la densidad de carga lineal de la corteza. Obsérvese que el campo en el exterior de la corteza cilíndrica cargada es equivalente a la que existe alrededor de una línea de carga de la misma densidad de carga linéal. Obsérvese también que existe una brusca variación del valor de E cuando se atraviesa la corteza. Finalmente, consideremos una varilla cargada de radio R que posee una densidad volumétrica de carga uniforme p (ver figura 27 .19). Consideremos una superficie gaussiana cilíndrica de radio r > R coaxial con la varilla. En una longitud L, la ley de Gauss da

f

27rrLE,

E•dA

o bien,

E, =

pR2 2E0r

=

A 21rE0r

1rR2Lp

para r> R

[27.56]

Eo

para r > R [27.57]

en donde A = 1rR 2 p es la densidad de carga lineal de la varilla. Otra vez resulta que el campo en el exterior de la varilla es equivalente al de una línea de carga. Sin embargo, supongamos que se dibuja una superficie gaussiana cilíndrica de radio r < R en el interior de la varilla. Esta superficie encierra una carga de densidad lineal

970

Campos eléctricos E

y

(a) Campo de la varilla de radio R

(b) Corte de la varilla, en donde se ve la

superficie gaussiana de radio r Fig. 17.19 Campo eléctrico E de una varilla cilfndrica uniformemente cargada de radio R y densidad volumétrica de carga p

El campo en el interior de la superficie debe ser una función del radio y debe estar dirigida radialmente hacia fuera, de modo que E

E,(r)

1!!.... 2E0

parar< R

[27.58]

Así pues, el campo en el interior de la varilla cargada es una función lineal del radio y se anula sobre el eje. Este resultado es completamente diferente al que se obtiene para el campo cercano a una carga lineal (que tiende a infinito cuando la distancia se aproxima al radio) y distinto del campo en el interior de la corteza (que es nulo en todos sus puntos interiores). Podemos resaltar la linealidad de la ecuación [27 .58) aún más, escribiendo E,(r)

.!.... E,(R)

parar< R

[27.59]

R

en donde E,{.R) = pR/2E0 es el valor del campo en la superficie de la varilla. En la figura 27 .20 se comparan los valores de Er(r) para los tres casos que hemos considerado. Analicemos a continuación el campo en el interior de un conductor metálico. Los electrones de conducción de elevada movilidad de un trozo de metal sin cargar están distribuidos uniformemente por todo el mismo y no poseen ningún movimiento neto en ninguna dirección particular. (Poseen cierta energía térmica, pero este movimiento térmico se realiza al azar y puede ignorarse.) En un volumen determinado cualquiera del me-

971

Campos eléctricos E,

Fig. 27.20 Gráficos de Er(r) correspondientes a una densidad de carga lineal>. (curva en negro), a una densidad de carga superficial cilíndrica a (curva gris) y a una densidad volumétrica de carga de forma cilíndrica p (curva a trazos); las tres curvas son idénticas para

r> R

/

Carga lineal / Varilla cargada /

Corteza cargada

R

tal la carga neta es cero. De aquí que la ley de Gauss nos lleva a la conclusión de que la intensidad del campo eléctrico es cero en todo punto del interior del conductor. Si el metal está aislado del suelo y se sitúa en el campo electrostático de algún cuerpo cargado, entonces los electrones de conducción sufren una separación relativa respecto a los iones positivos que están inmóviles. Los dipolos resultantes crean un campo inducido neto dentro del conductor, siendo la dirección de este campo inducido opuesta a la del campo externo. La separación cesa cuando el campo eléctrico contrarresta exactamente al campo exterior en todos los puntos del interior del conductor. Así pues, cuando las cargas quedan en reposo, el campo eléctrico neto en todo punto del conductor posee de nuevo una intensidad nula. En general, la presencia de un campo eléctrico neto en todo punto del interior de un conductor llevará a una separación de cargas, produciendo un campo inducido que anula el campo que produce dicha separación, Bien esté el metal sin carga, con carga o en presencia de un campo eléctrico exterior, se obtiene la siguiente importante conclusión: El campo eléctrico en todo punto del interior de un conductor tiene una intensidad nula. Utilizando la ley de Gauss, podemos demostrar que una carga electrostática cualquiera situada sobre un conductor debe estar enteramente en su superficie exterior. Supóngase que dibujamos una superficie gaussiana A que está justamente debajo de la superficie exterior de un conductor cargado (ver figura 27 .2la). Acabamos de ver que E = O en todo punto del interior del conductor, de modo que { E"dA

=

O

y debe ser nula la carga neta q en el interior de la superficie gaussiana. Se aplica el mismo razonamiento aunque el conductor sea hueco (ver figura

972

Campos eléctricos Superficie gaussiana A

Superficie gaussiana 4

Q (a) Conductor cargado

I (b) Conductor cargado que contiene una cavidad

'

Sup«fide ''"'"'"' A

\_ - /

Fig. 27.21 La carga existente en un conductor está situada totalmente sobre su superficie

Q

(c) Conductor cargado que contiene una cavidad que encierra a su vez un cuerpo cargado aislado

27.21b). La cavidad vacía no contiene carga eléctrica ni existe en ella flujo eléctrico de modo que el campo en el interior de la región cerrada limitada por el conductor debe anularse. La ley de Gauss nos conduce, pues, a esta conclusión: Toda carga que se encuentre en un conductor debe encontrarse por entero sobre su superficie exterior. Sin embargo, si en el interior de una cavidad que existe dentro de un conductor se sitúa una carga separada y aislada Q, su flujo debe terminar en las paredes de la cavidad si ha de ser nulo el campo en el interior del conductor (ver figura 27 .2lc). Por consiguiente, en este caso debe inducirse una carga Q' = -Q en la pared interna de la cavidad del conductor. (De modo equivalente, podemos razonar que una superficie gaussiana dibujada en su totalidad en el interior del conductor debe contener una carga neta nula, de modo que Q' + Q = O.) Si el conductor hueco estuviese inicialmente sin carga, entonces la carga -Q que aparece en su

973

Campos eléctricos

superficie interior debe equilibrarse mediante una carga inducida de valor Q situada en su superficie exterior. En cualquier caso, las cargas pueden residir solamente sobre las superficies de los conductores. La distribución exacta de la carga superficial situada sobre un conductor depende de la geometría del mismo; la densidad superficial de carga puede ser diferente de unos puntos a otros. Cuando la distribución de carga es estática sobre un conductor, E debe ser normal a la superficie; en otro caso, los electrones de conducción deberían tener un movimiento neto a lo largo de la superficie. Para obtener la expresión correspondiente a E en un punto cualquiera, escojamos como superficie de Gauss un cilindro cerrado de sección recta de área infinitesimal dA (ver figura 27.22). A esta superficie suele denominársele «caja de Gauss». Las generatrices del cilindro se dibujan perpen-

Fig. 27.22

Cálculo de la intensidad de campo en la superficie de un conducwr cargado

dicularmente a la superficie del conductor y una de las bases se encuentra en el interior del conductor mientras que la otra se encuentra en la proximidad inmediata del exterior de la superficie y paralela a la misma. No existe ningún flujo que atraviese la superficie lateral del cilindro, porque E no posee ningún componente que sea normal a la misma. De modo semejante, no existe ningún flujo que atraviese la cara situada en el interior del conductor, porque allí es nula la intensidad del campo. De aquí que el flujo que atraviesa la superficie del cilindro sea igual únicamente al flujo que atraviesa la cara o base exterior, que según la ley de Gauss vale [27 .60]

EdA

Por consiguiente, E

=

(1) Eo

dq dA

=

<1

[27 .61]

en donde <1 = dqldA es la densidad superficial de carga. Sin embargo, esta ecuación se aplica únicamente a la región situada encima de una superficie plana infinita o en una zona muy próxima a la superficie del conductor -es decir, tan próximo al mismo que a esa distancia se comporta como un plano infinito.

974

Campos eléctricos

A distancias grandes en comparación con las dimensiones del conductor, sabemos que su campo debe aproximarse al campo de Coulomb de una partícula con la misma carga neta. No obstante, si se colocan muy juntas dos placas que lleven cargas iguales pero opuestas, entonces las líneas de campo no divergen sino que van de una placa a otra directamente, excepto en la región de los bordes, en donde se presenta cierta dispersión de las mismas (ver figura 27 .23). De aquí que permanezca constante la densidad de flujo y que E = al 1: 0 en toda la región comprendida entre las placas.

Fig. 27.23 líneas de campo entre dos láminas o placas paralelas y con cargas opuestas

Ejemplo 27.10 Hallar el campo eléctrico cerca de una lámina metálica muy grande y muy delgada, si contiene una carga de a C/m 2•

(1

- E0 i

+

+E0 i

-

+ dA -

+

-

+

Fig. 27.24

+

+ l.v' (a) Campo de la placa visto en un corte

(b) Superficie o caja gaussiana utilizada

de la misma

para calcular la intensidad del campo

Solución Supongamos que el plano de la lámina sea el plano yz. La lámina no es una superficie cerrada de modo que no podemos suponer que el campo es nulo en ningún punto excepto en el infinito. (Supondremos que el espesor de la lámina es infinitesimal.) Las líneas de campo en la

Campos eléctricos

975

proximidad de la lámina deben ser normales a la misma y alejándose de ella, como se indica en la figura. Imaginemos una caja de Gauss que se extiende a un lado y otro de la placa. La ley de Gauss nos da la siguiente integral extendida a su superficie: aA

en donde E 0 es el valor uniforme del campo cerca de la superficie. Así pues, en la región situada a la derecha de la lámina,

E.

(j

= Eo =

2Eo

parax > O

y en la región a la izquierda de la misma (j

parax < O

2Eo

Estas expresiones son válidas en aquella región en donde las líneas no se. desvían apreciablemente de la dirección x. Como es natural, a distancias grandes en comparación con las dimensiones de la lámina, las líneas de campo deberán esparcirse radialmente, aproximándose al esquema de las líneas de campo procedentes de una carga puntual igual a la carga total que existe sobre la placa y situada en su centro. Obsérvese aue el valor de F'g. 17.25 (1

(1

-(1

•

)11

+

)11

+

•

E =

o

-(1

o

+

lf

+

lf

+ E = 2E0 i

~ó-j (a) Campos producidos por las dos placas

(b) Campo neto de las dos placas

976

Campos eléctricos

E es la mitad del que se obtuvo en la ecuación [27.61] para el campo próximo a una superficie conductora cargada, porque las líneas de campo procedentes de la densidad de carga se extienden ahora en ambos sentidos a partir de la lámina.

Ejemplo 2 7. JJ Muy cerca de la lámina del ejemplo 27. 10 se coloca una segunda lámina con la misma carga, pero de signo opueslo, como se ve en la figura 27 .25. Hallar el campo eléctrico en la proximidad de cada cara de la lámina original. Solución Llamemos ó a la separación entre las placas. En la región comprendida entre ambas, los campos producidos por ambas láminas tienen el mismo sentido. Sumando los vectores paralelos se tiene (j

para O< x < ó

En las regiones exteriores al par de placas, los campos tienen sentidos opuestos, de modo que E,

O

para x < O y x

> ó

El campo en la región exterior a las placas o láminas es nulo. Esto es un modo delicado de decir que las láminas de campo van directamente de una lámina a la otra; únicamente las líneas de los bordes parecen «perderse» hacia el espacio exterior, como en la figura 27 .23. A distancias grandes en comparación con las dimensiones de las láminas, este campo que se «pierde» se aproxima al campo de un dipolo de momento Qó, siendo Q el valor de la carga sobre cada placa. Ejemplo 27.12 Dos cilindros coaxiales muy largos de radios a y b (con a < b) poseen cargas iguales y opuestas. El cilindro interior está cargado negativamente con una densidad de carga lineal ->-.. Hallar el campo eléctrico en las proximidades de los cilindros. Solución Como en el caso de una sola corteza cilíndrica (ver figura 27 .18), podemos demostrar que debe anularse el campo en el interior del cilindro más interno. Si imaginamos una corteza gaussiana que encierre ambos cilindros, la carga neta en su interior es cero, de modo que el campo debe anularse también en la región más exterior. Si integramos el campo en una corteza gaussiana comprendida entre los dos cilindros, entonces únicamente aparece en la ecuación la carga más interna, de modo que E,

E

para a< r < b

O para r < a

y r

> b

Campos eléctricos

977

Ejemplo 27. 13 Hallar la velocidad que necesita poseer una partícula de masa m y carga q si ha de pasar exactamente entre las dos placas curvas cargadas de la figura 27 .26, que tienen unas densidades de carga superficiales de ± a, como está indicado. Las placas forman un sector de círculo; el radio correspondiente al centro del espacio situado entre las placas es R.

Fig. 27.26

Solución Para mantener a la partícula sobre su trayectoria curva de radio R, e! campo existente entre las placas debe proporcionar una fuerza radial dirigida hacia dentro de mv 2/R para vencer la reacción centrífuga de inercia de la partícula. El campo, como se indica en la figura, está dirigido radialmente y hacia dentro, de modo que q debe ser positiva para proporcionar la fuerza electrostática hacia dentro necesaria. Como las líneas de campo son aproximadamente normales a las superficies (excepto cerca de los bordes de la cavidad), E = alto y así

mv·

R

qE

Por consiguiente,

Las partículas que entren en la cavidad con velocidades mayores que ésta chocarán contra la pared externa, mientras que las que tengan velocidades menores, caerán sobre la pared interna. Dicho montaje ~e puede denominar un «filtro de velocidades» porque selecciona partículas de una determinada velocidad solamente a partir de un haz de partículas cargadas.

Campos eléctricos

978

27. 7 Forma diferencial de la ley de Gauss Hasta ahora hemos utilizado la forma integral de la ley de Gauss. Es posible también representar la ley de Gauss en forma diferencial, que describe la ley en una región microscópica del espacio. Consideremos un volumen d'Y = dx dy dz que contiene una carga dq (ver figura 27 .27) y calculemos el flujo neto que sale por las caras normales al eje z. Si el E,

T

rr

__¡,.-.,;¡~~liflt,-!~..,.,

/

dx

_L. -~

Fig. 27.27 Flujo d't del vector E a través de las caras superior e inferior de un elemento de volumen d 'V = dx dy dz

campo en el centro P del cubo es E(x,y,z), entonces el flujo hacia dentro (negativo) a través del fondo es d'\ft:

=

-E,(x, y, z -

½dz) dx dy

y el flujo saliente (positivo) a través de la parte superior es d'\ft;

=

E,(x, y, z

+ ½dz) dx dy

Por consiguiente, el flujo neto que sale de d'V en la dirección z es d'\ft,

d'\ft: + d'\ft; [E,(x, y, z +

[27 .62]

½dz) - E,(x, y, z - ½dz)] dx dy

Mediante el cálculo sabemos que para un dz que tiende hacia cero, la di-ferencia comprendida entre corchetes en la ecuación [27 .62] es E,(x, y, z

+ ½dz)

-

E,(x, y, z - ½dz)

=

(ddE,) Z

dz x,y consl.

= fJE, dz f)z

[27.63]

en donde la notación de «derivada parcial» fJE//Jz indica que las demás variables x e y se consideran constantes durante la derivación de Ez respecto a z. Así la ecuación [27.62] se convierte en d'\ft'

aE, dz) dx dy ( f)z

fJE, d'Y f)z

[27 .64]

Campos eléctricos

979

Siguiendo un razonamiento semejante para las otras parejas de superficies se tiene

f

d'iJ.r

aEx ( ax

E•dA

+

aEY ay

aE,) d'Y

+

a;

[27 .65]

en donde la integral se extiende a toda la superficie del cubo. Despejando la .suma de las derivadas parciales se tiene

(1) E0

dq d'Y

[27 .66]

en donde p = p (x,y,z;) = dqld'Y es la densidad de carga en el punto del espacio en donde han de calcularse las derivadas parciales de E(x,y,z,). La ecuación [27.66] es la forma diferencial de la ley de Gauss. Es una ecuación escalar. Las expresiones como la ley de Gauss en las que intervienen vectores y derivadas parciales son de tanta importancia en la física y en las matemáticas que se ha ideado una notación especial para expresarlas de modo más conveniente. Se define un vector simbólico denominado nabla (V) mediante la relación [27.67] Nabla es un operador, parecido al operador diferencial didx; es decir, no posee ningún valor sino que es más bien una notación abreviada para representar un proceso de cálculo que se realiza siempre que a su derecha aparece un escalar o un vector en la fórmula concreta. Así -a1. ( ax

aEx ax

+

-aJ. ay

+

aEY

+-+ ay

a ··) • (E xi. az

-11\.

aE, az

[27.68]

que es un escalar, como cualquier producto escalar de dos vectores. Aunque anteriormente hemos utilizado operadores diferenciales, el vector nabla es algo nuevo: es un vector operador diferencial. Puede manipuiarse formalmente de acuerdo con las reglas y definiciones del álgebra vectorial dadas ec el capítulo 2. El valor de V • V calculado para un vector cualquiera V se conoce como la divergencia del vector (y a veces se escribe como div V). La ley de Gauss se puede expresar como ..

divE

p_

[27 .69]

Eo

En muchos casos el físico no dispone de más elementos que una densidad de carga conocida y ciertas condiciones que debe cumplir E sobre ciertas .fronteras o límites cerrados en el espacio. Trabajando en sentido contra-

Campos eléctricos

980

río a partir de la forma diferencial de la ley de Gauss, es posible determinar el esquema al que deben ajustarse las líneas de campo en el interior de la región limitada por la superficie frontera cerrada. Todo campo eléctrico debe satisfacer la ecuación [27 .69} o no puede existir en la naturaleza, porque esta relación matemática, un poco abstracta sin duda, es la condición necesaria y suficiente para la validez de la ley de Coulomb. Supóngase que unimos dos cubos idénticos de tamaño d'Y por una cara normal al eje x y luego sumamos los flujos que atraviesan a ambos. En su cara común, los flujos son iguales pero opuestos y, de este modo, se anulan mutuamente. Esto hace que el flujo neto sea igual al correspondiente a la superficie externa combinada de los dos cubos. Sin embargo, según la ecuación [27.65}, este flujo neto debe ser igual a la divergencia escalar sumada en ambos volúmenes d'Y. En otras palabras, el flujo total que sale del volumen es igual a la integral de la divergencia de E extendida al volumen completo, como en la ecuación [27.65}. Podemos generalizar este resultado sumando en cualquier cara cubos pequeños y, de este modo, se puede probar rigurosamente que, en el caso de un vector matemático E cualquiera cuyo flujo pueda calcularse sobre una superficie A que limita a un volumen finito 'Y,

L

('v. E) d'Y

En Gauss lumen origen válida

[27.70}

matemáticas, la ecuac1on [27. 70} se conoce como teorema de y es generalizable a vectores de más de tres dimensiones. Si° el vo-

se reduce de modo que 'Y - O, entonces la ecuación [27. 70} da a la definición exacta de la divergencia de un vector cualquiera E, en todos los sistemas coordenados ortogonales:

'v • E

. ..;;.._ ft.A_E•dA __ ¡1m A'Y-0 A'Y

[27 .71)

en donde M es la superficie que limita al volumen A'Y. Físicamente, entonces, en un punto del campo: La divergencia de un vector es igual al flujo neto que sale por unidad de volumen. Esta es la razón por la cual se ha dado el nombre de «divergencia» a esta expresión.

Hallar la divergencia de los vectores siguientes. (a) El vector de posición r. (b) El vector velocidad de una partícula que gira con velocidad angular w alrededor del eje z.

E}emplo 27.14

Solución

(a) como r

= xi + yj + zk,

ax + ay + az· = ax ay az

entonces 3

981

1.;·ampos eléctricos

Obsérvese que, aunque el propio nabla no tiene valor por sí mismo, tiene dimensiones de L - 1• (b) Podemos expresar el vector velocidad como \'

wk

X

r

wk X (xi

+

yj

+

zk)

w(xj -

yi)

Así pues, a( -wy) ax

+

a(wx) ay

o

Es decir, una rotación no puede poseer ningún «flujo» saliente neto. Ejemplo 27.15 Consideremos el siguiente problema monodimensional. Se sabe que la densidad de carga varía a lo largo del eje x positivo de

acuerdo con p

para x > O

p0 x 2

en donde Po es una constante. Se sabe también que el campo eléctrico en esta región sólo tiene componente x y se sabe que se anula en el origen. (a) Hallar el campo para x > O integrando la forma diferencial de la ley de Gauss. (b) ¿Sería consistente la solución si añadiéramos un componente y del campo Ey que fuese constante? Solución (a) Suponiendo E = E.,.(x)i, obtenemos mediante la ley de Gauss, (ecuación [27 .69]) dE ,

dx

en donde hemos igualado la derivada parcial de Ex a su derivada ordinaria, porque x es la única variable que interviene en este problema monodimensional. Esta ecuación es fácil de resolver. Dadas las condiciones de contorno se tiene 't.°,

PoX

l

3t 0

(Se ignora el hecho de que esta expresión conduce a un campo infinito para x = o: . Como es natural, en un problema físico real dicho resultado sería muy sospechoso.) En general las ecuaciones diferenciales con derivadas parciales son bastante más complicadas de resolver que las ecuaciones diferenciales ordinarias. Sin embargo, en muchos casos una ecuación diferencial en derivadas parciales puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que puede resolverse numéricamente, si fuese necesario. (b) Como oE/oy = O, la presencia de una componente y constante del campo E será consistente con la solución obtenida en la parte (a) mediante la ley de Gauss.

982

Campos eléctricos

PROBLEMAS 27. 1 Intensidad de campo eléctrico 27. 1 La fuerza electrostática ejercida sobre un electrón vale 32 x 10-10 N y está dirigida hacia arriba. (a) ¿Cuál es la intensidad del campo en la posición del electrón? (b) -Si este campo se debe a una partícula a, ¿en dónde está situada esta partícula a? 27.2 Dos partículas que poseen cargas de -400 y + 200 statC y masas de 20 y 5 g, respectivamente, están situadas sobre el eje x. El origen corresponde a su centro de masas. La partícula más ligera está situada en x = 4 cm. Hallar las componentes del campo eléctrico (a) en (8 cm, O); (b) en (O cm, 8 cm); (e) en (8 cm, 8 cm). 27.3 Un triángulo rectángulo isósceles posee una carga Q > O en el extremo izquierdo de la hipotenusa, sobre la cual se apoya el triángulo, y una carga Q' en el extremo derecho. (a) Cuando Q' varía uniformemente desde -Q hasta + Q, ¿qué le ocurre al campo eléctrico en el vértice correspondiente al ángulo recto del triángulo? (b) ¿Para qué valor de Q' es mínima la intensidad de este campo y cuál será la dirección correspondiente del campo? 27.4 En el instante t = O se proyecta horizontalmente una partícula de masa m y carga q con una velocidad inicial v0 hacia el interior de un campo eléctrico dirigido verticalmente y hacia arriba. ¿En qué momento estará dirigida la velocidad de la partícula de forma que tenga un ángulo de 45 ° respecto a su dirección inicial? (No considerar la gravedad.) 27.5 Dos placas paralelas, con cargas opuestas, horizontales y de anchura D tienen entre ellas un campo vertical de intensidad constante E. En el campo entra una partícula cargada y se desvía del modo indicado. (a) Demostrar que la trayectoria desviada de la partícula corta a la trayectoria original en un punto que es el intermedio entre las placas. (b) Demostrar que el resultado de la parte (a) es independiente de la masa, de la velocidad y de la carga de la partícula y que es independiente del valor de E. (No tener en cuenta las irregularidades del campo en los bordes de las placas ni la gravedad y suponer que el campo eléctrico termina bruscamente en los bordes de las placas.) 1-------D------

___

,;::::::---

27.2 Dipolo eléctrico 27.6 Demostrar que el campo eléctrico de un dipolo eléctrico en un cierto punte del campo (r, O) forma un ángulo <J> con el radio vector tal que tg <J> = -½-tg o.

Campos eléctricos

983

27. 7 Es posible expresar el campo dipolar eléctrico en una formulación

vectorial completa. Comprobar que la siguiente expresión vectorial es equivalente a las fórmulas cartesianas y polares dadas en la sección 27 .2: 3(p•r)r - r2p 41re0 r 5

E

El átomo de cloro tiene 17 electrones distribuidos con simetría esférica alrededor de su núcleo. Cuando se combina con un átomo de hidrógeno, forma una molécula de HCl con un momento dipolar eléctrico de p = 3,45 x 10-3 C.m. Podemos representar esta molécula mediante una carga de 17 e en el origen del eje x, una carga de e en x = 1,28 x 10-10 m y una nube con simetría esférica de carga total - l 8e cuyo centro está situado en x = x 0 (ligeramente a la derecha del origen). (a) Hallar x 0 • (b) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico en el eje del dipolo a una distancia de 10-s m del núcleo del cloro? 27. 8

°

Un dipolo situado en el origen está dirigido a lo largo del eje y de tal modo que p = pj. (a) Si se aplica un campo eléctrico externo E, tal que E = (E0y/2a)j, en donde 2a es la separación del dipolo, hallar la fuerza neta sobre el mismo. (b) Demostrar que, en el caso de un campo E cualquiera en el plano xy de modo que

27.9

E(x,y)

ExCx,y)i

+

Ey(x,y)j

la fuerza sobre el dipolo es F

p_.i_E(x,y)

ay

en donde se calcula la derivada parcial en el centro del dipolo. (e) Comprobar que la solución a la parte (a) satisface a la fórmula de la parte (b). [La fórmula más general en tres dimensiones es (p • V)E.] 27.10 En las esquinas de un cuadrado se sitúan cuatro cargas del modo

indicado. Si R ;il> a, hallar el campo eléctrico en P. (Indicación: ¿Se puede utilizar la derivada del campo dipolar?)

-q

+q

Ir I

+q

p 10

R--------1

-q

Una varilla aislante rígida de longitud L tiene una carga q en un extremo y otra carga -q en el otro. Se cuelga de un hilo sujeto a su punto medio y se coloca en un campo eléctrico horizontal de valor E. Supo-

27.11

984

Campos eléctricos

ner que el hilo no ejerce ningún par cuando se tuerce y que 8 es el ángulo formado entre el campo y la varilla. (a) ¿Cuál es la posición de equilibrio de la varilla? (b) Si se desplaza la varilla ligeramente de su posición de equilibrio, hallar la frecuencia angular w del movimiento resultante, si es / el momento de inercia de la varilla.

27.3

Campos eléctricos de cargas distribuidas

27.12 Una carga de 1 µ,C está distribuida uniformemente sobre un hilo delgado recto ne 20 m de longitud. Calct1lar la intensidad del campo en un punto a 6 cm del hilo e igualmente alejado de sus extremos. 27.13' Una varilla delgada de vidrio de longitud L posee una carga uniformemente distribuida de densidad de carga lineal A. Los puntos extremos de la varilla tienen las coordenadas cartesianas (0,0,0) y (-L,0,0). Hallar una expresión para la intensidad del campo (a) en un punto cualquiera (x,0,0) no situado en la varilla; (b) en un punto cualquiera (0,y,z). Utilizar la forma integral, ecuación [27 .20]. No evaluar la integral de la parte (b). 27.14 Si la varilla del problema 27.13 es infinitamente larga (L = oo), demostrar que el campo eléctrico en (0,y, O) viene dado por E

_A._(i 41T'EoY

+

j)

27.15 Demostrar que la intensidad del campo axial de un anillo cargado de radio a es máxima en z = al ,ji. 27.16 Un semicírculo cargado con carga total Q se sitúa en la parte superior del plano xy (y 2:: O) con sus extremos situados en x = a y X·= -a. Utilizando la integral de la ecuación [27.25], hallar el campo sobre el eje z. 27.17 Una carga Q está distribuida por toda una esfera de radio R con una densidad de carga

Hallar Q en función de Po y R.

27.18 Un disco circular de radio a y espesor infinitesimal posee una carga uniformemente distribuida de densidad superficial de carga a C/m 2• Está situado en el plano xy con su centro en el origen. (a) Demostrar que la intensidad del campo eléctrico en la posición (0,0,z) del campo es Ez

a

2Eo

(i

.Jai

z

+

zi

)

(b) Demostrar que esta expresión es equivalente a la ley de Coulomb en el caso límite en el que (alz) ~ l. (e) ¿Cuál es el campo eléctrico a cada

985

Campos eléctricos

lado de un plano cargado uniformemente de extensión infinita, espesor infinitesimal y densidad de carga a Clm 2? (Comparar con la solución del ejemplo 27 .10.) 27.19 Una carga Q está distribuida uniformemente sobre una corteza esférica de radio R. Utilizando la ley de Coulomb, demostrar que la intensidad del campo eléctrico en un punto del campo situado a una distancia r > R del centro de la corteza es

y dirig1d~ radialmente hacia fuera. (Indicación: Dividir la corteza en anillos coaxiales circulares alrededor del radio hasta el punto del campo y utilizar la distancia del anillo al punto del campo como variable de integración.) 27.20 Una carga Q está distribuida uniformemente por toda una esfera de radio R. Utilizando el resultado del problema 27 .19 demostrar que la intensidad del campo eléctrico en un punto del campo situado a una distancia r > R del centro de la esfera es

Un cuadrado situado en el plano xy y limitado por x = O,

*27.21

x = L, y = O e y = L posee una carga Q distribuida uniformemente. Calcular el campo total en (0,0,L) dividiendo el cuadrado en N 2 cuadrados menores y sumando las contribuciones provinientes de estos cuadrados más pequeños. Utilizar los valores N = l, 2, 4 ... , continuando con valores crecientes de N hasta que dos resultados sucesivos converjan dentro del 2 % de los valores correctos

-0.223-º47rfoL2 (Para N 27.4

=

Ez

Q 0.524--2 41rE0 L

2, por ejemplo, se obtendrán coeficientes de -0,233 y 0,531.)

Líneas de campo eléctrico

27.22 (a) Repetir la deducción de la ecuación de las líneas de campo correspondie1,1tes al campo de una carga puntual Q, utilizando un sistema coordenado tridimensional completo en el espacio xyz. (b) Demostrar que una solución posible es una línea recta que pasa por el origen. (e) ¿Cuál es la ecuación de esta línea de campo? 27.23 Volver a escribir la ecuación correspondiente a las líneas de campo de un dipolo eléctrico en coordenadas cartesianas bidimensionales y demostrar que su derivada no satisface la ecuación de las líneas de campo expresadas en coordenadas cartesianas.

986

Campos eléctricos

27.24 (a) Utilizando la ecuac10n [27 .26], demostrar que las líneas de campo en el plano xy correspondientes a la figura 27 .9b,c (con una carga Q situada en x = L y una carga Q' en x = -L) vienen dadas por la ecuación general

L)

Q(x -

F(x,y)

.J(x -

L)

2

+

y

2

+

Q'(x .J(x

+

+ L)

2

L)

+

y2

e

en donde C es una constante. Para ello se puede demostrar que, en el caso de un elemento de trayectoria de longitud dr = dx i + dy j a lo largo de la línea del campo, la condición de que Fes constante da dF

=

aF dx ax

+

aF dy ay

o

(ignorando un término multiplicativo). Debido a que las cargas no coinciden con el centro, debe utilizarse el álgebra vectorial para determinar E. (b.) Explicar por qué debe ser válida ·1a condición general aF/ax aF/ay

si F(x,y) ha de ser una representación correcta de las líneas de campo. 27.25 Una carga Q está situada en x = L y otra carga Q' = -+Q está situada en x = -L. Como el número de líneas que salen o que entran en una carga es proporcional a la cantidad de carga, la mitad de las líneas de campo procedentes de Q deben terminar en Q' y el resto de las líneas deben extenderse hasta el «infinito». Dibujar un esquema aproximado de las líneas de campo. (Obsérvese que la línea de campo límite que separa las que terminan en Q' de aquellas que se extienden hasta el infinito debe «dividirse» en un cierto punto situado sobre el eje x negativo de modo semejante al punto N de la figura 27.16b). Como el campo no puede señalar en dos direcciones a la vez, su valor debe ser cero en este punto neutro.) *27.26 (a) Calcular las líneas de campo en el plano xy correspondientes a la configuración del problema 27 .25 para las líneas que salen de la carga positiva formando ángulos de 45°, 90° y 135°. Empezar los cálculos en los puntos situados sobre un anillo de radio L/10 dibujado alrededor de la carga positiva. (b) ¿Por qué será de esperar un comportamiento inusual de la línea de campo a 90º? (e) Utilizar la ecuación de las líneas de campo del problema 27.24 para comprobar su exactitud. 27.5

Flujo eléctrico y ley de Gauss

27.27 El campo vectorial A(x,y,z) viene dado por

987

Campos eléctricos

Hallar el flujo por unidad de área en el punto (x,y,z) = (1,2,3) si la normal unitaria a la superficie a través de la cual pasa (a) está en la dirección y negativa; (b) está en la dirección x positiva; (e) viene dada por

-

1

-(3i

..fso

+

4j -

Sk)

27.28 Consideremos el campo eléctrico de un núcleo de litio (un átomo de litio al que se le ha despojado de sus electrones). (a) ¿Cuántas líneas de fuerza representan el campo? (b) ¿Cuántas líneas de fuerza por unidad de área pasan a través de una superficie esférica de radio 10 cm dibujada alrededor del centro del núcleo de litio? (e) ¿Cuál es la intensidad del campo en un punto cualquiera de esta esfera? 27.29 ¿Cuántas líneas de campo cortan una superficie cilíndrica gaussiana de longitud 33 cm y de 3,5 m de radio que es coaxial con una línea de carga de densidad },. = 2,8 x 10-4 C/m? 27.30 Un plano corta a una esfera originando un círculo. Si un radio del círculo subtiende un ángulo 0 en el centro de la esfera, ¿cuántos estereorradianes de ángulo sólido son subtendidos desde el centro de la esfera por el área del círculo? 27.31 Las líneas de campo indicadas en la figura 27.16b emanan de la carga positiva Q situada en el origen a intervalos de 10°. Utilizando el resultado del problema 27 .30, determinar la carga Q' inducida sobre la esfera conectada a tierra. (Obsérvese que la línea de campo límite que pasa por el punto N separa las líneas que terminan sobre la esfera de aquellas que «terminan» en el infinito.) 27. 32 En la figura 27. 16 se coloca una esfera metálica conectada a tierra a una distancia D a la derecha de una carga puntual Q situada en el origen. Supongamos a continuación que se coloca otra esfera metálica idéntica y también conectada a tierra a una distancia D a la izquierda del origen. El correspondiente cálculo muestra que el 28 OJo de las líneas de campo que proceden de la carga puntual terminan en el «infinito». ¿Cuál es la cantidad de carga Q' inducida sobre cada esfera? 27.33 Una corteza esférica de radio R posee una carga Q. Está rodeada por un conductor esférico concéntrico de radio SR que está construido con una tela metálica de mallas amplias y que está conectada a tierra. La carga inducida sobre la tela es -+Q. (a) ¿Cuál es la intensidad del campo dentro de la corteza? (b) ¿Cuál es la intensidad (aproximada) del campo existente entre la corteza y la tela metálica? (e) ¿Cuál es la intensidad del campo a distancia muy grande de la tela metálica? (d) ¿Qué cantidad de flujo eléctrico procedente de la esfera termina en el infinito? 27.34 Una corteza esférica gruesa de radio interior a y radio exterior b posee una carga Q distribuida uniformemente. ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico (a) en r < a; (b) en r > b; (e) en a :5 r :5 b? (d) ¿Está de acuerdo la respuesta de la parte (e) con las dadas a las partes (a) y (b)?

988

Campos eléctricos

27. 35 En el caso de la distribución de cargas del problema 27 .17, (a) hallar la intensidad del campo electrostático E para r > R; (b) hallar la intensidad E para r < R; (e) hallar el valor de r para el cual es máximo E.

Una esfera conductora hueca de radio R y densidad de carga su-· perficial a tiene un corte en forma de disco circular de radio r ~ R. Suponer que la distribución de carga original no resulta perturbada apreciablemente por esta operación. Demostrar que el campo en el orificio es

27.36

E (INDICACIÓN: Considerar el campo original total fuera del conductor como la suma del campo del disco más el campo producido por el resto de la esfera.)

*27.37 Las teorías de la mecánica cuántica indican que el electrón del átomo de hidrógeno puede considerarse como una carga distribuida a través de todo el espacio con una densidad de carga p = K exp (-2rla 0), en donde a0 = 0,53 x 10- 10 m se denomina el radio de Bohr del átomo y r se mide desde su centro. (a) Determinar el valor de la constante K. (b) Si el núcleo de hidrógeno (un protón) se supone que es una carga puntual situada en r = O, hallar el campo eléctrico E,(r) debido al átomo de hidrógeno. (e) ¿Para qué radio es la intensidad del campo debida al átomo el 1 % de la debida al núcleo solamente? 27. 7 Forma diferencial de la ley de Gauss

27.38 Una superficie conductora real tiene un espesor finito t en el cual varía el campo eléctrico desde cero en el interior a un cierto valor E 0 en el exterior. Considerar una porción de dicha superficie normal al eje x entre x = O y x = t. Si el campo es una función lineal de x, ¿cuál es la densidad de carga dentro del elemento de superficie? 27.39 Demostrar que la divergencia del vector unidad en la dirección radial en tres dimensiones es 2

r (INDICACIÓN:

Expresar

r en

coordenadas cartesianas.)

27.40 En una cierta región del espacio, las medidas realizadas muestran que E = Kx 113i. Expresar la densidad volumétrica de carga p en esta región en función de E. 27.41

¿Es posible que exista un campo eléctrico de la forma

en una región del espacio libre de carga?

989

Campos eléctricos

Soluciones 27-1. (a) E= 2 X I0 1ºN/C; (b) z = 3,8 x 10- 10 m por encima del electrón 27 • 2 (a) E = 7 ,562i dinas/statC; (b) E = 3,354i - 2,236j dinas/statC; (e) E = 0,944i + 0,403j dinas/statC 27 • 3 (a) E gira en sentido antihorario desde la horizontal a la vertical; (b) Q' = O, el campo forma 45 º con la horizontal 27•4 t = lm V/o /qEI 27•8 (a) x 0 = 5.9 X I0- 12 m; (b) E = 62100 N/C 27 • 9 (a) F = pE0 /2a 27 • 10 E = 3qa2 /41rE 0 R4, hacia abajo 27•11 (a)(}= O; (b) w = ,JqEL/l 27-12 E= 15 000 N/C 27 • 13 (a) E = 'AL/41rE0 x(x + L); (b) E = ('A/41rE 0 ) \{)_L (rj - x'i)(r2 + x' 2) - 312 dx', en donde r2 = y 2 + z2 27 -16 E = (1 /41rE0 )Q(a2 27•17 Q = (81r/15)p 0R 3 27•18 (e) E= u/2Eo

+

z2 ) - 312 (zk - 2aj)

27 • 22 (e) y = ax y z = bx, en donde a y b son constantes 2 -+-Y-.2 , en donde cos (} = xlr y 27 • 23 r = -,J,-x,c-sen(}

= y/r

27•27 (a) w/A = -1.5; (b) 'il!/A = 1; (e) 'il!/A = 0.330 27•28 (a) 3e/E0 = 5.42 X 10- 18 líneas; (b) igual que en la parte (a); (e) E = 4,32 x 10-7 N/C 27 • 29 1,045 x 107 líneas 27•30 n = 21r(l - cos0)sr 27•31 Q' = -¼Q 27 • 32 Q' = -0.36Q 27 • 33 (a) E = O; (b) E = Q/41rE0 r2; (e) E = Q/61rE0 r 2 ; (d) ,J, = 2Q/3Eo 27•34 (a)E=0; (b)E=Q/41rE 0 r 2 ; (e) E = q/41rv2, en donde q = Q(r 3 - a 3)/(b3 - a3) 27 • 35 (a) E = Q/41rE0 r 2 ; (b) E= (p0 /3E0 )(r - 3r 3 /5R 2); (e)¡.= t../sR 27 • 37 (a) K = -e/1rag; (b) E, = (e/21rE0 r 2) X [exp ( -2r/ a 0 )].(r 2/ ªii + r/ a0 + ½) 27 • 38 p = E0 E 0 /t 27•40 p = tEaK3/E 2

CAPÍTULO

28

Potencial eléctrico Es bien conocido que casi todas las fuerzas atractivas y repulsivas que existen en la naturaleza son de tal clase que, si consideramos un punto ·material cualquiera P, el efecto en una dirección dada de todas las fuerzas que actúan en dicho punto, procedentes de un sistema cualquiera de cuerpos S en consideración, podrá expresarse mediante una derivada parcial de una cierta función de las coordenadas que sirven para definir la posición del punto en el espacio ... ; para abreviar, la denominaremos función potencial procedente del sistema S. Si p es una partícula de electricidad positiva sometida a la influencia de las fuerzas que se originan en un cuerpo electrificado cualquiera, se obtendrá la función en cuestión, como bien sabemos, dividiendo la cantidad de electricidad existente en cada elemento del cuerpo por su distancia a la partícula p y sumando todos estos cocientes para el cuerpo completo, considerándose como negativas las cantidades de electricidad de aquellos elementos que están electrificados negativamente. Ensayo sobre la aplicación del Análisis Matemático a las Teorías de la Electricidad y Magnetismo, 1828

GEORGE GREEN.

Los conceptos de trabajo y energía empezaron a ocupar una posición central en las teorías de la mecánica y del calor en la primera parte del siglo pasado y pronto se incorporaron a las teorías de la electricidad, en donde gradualmente asumieron papeles de importancia fundamental. Una vez definido claramente el concepto de trabajo, resultó evidente que debe realizarse un trabajo por o contra las fuerzas que existen entre cuerpos cargados cuando dichos cuerpos se desplazan relativamente entre sí. De aquí que resultase adecuado el desarrollar los conceptos apropiados de energía potencial electrostática. En este capítulo desarrollaremos una descripción energética de los campos eléctricos que simplifica grandemente su cálculo analítico o numérico. También se verá cómo la forma diferencial de la ley de Gauss conduce a la ley de Laplace, que es una ecuación que interviene en el cálculo de los campos eléctricos a todos los niveles, tanto de la física co991

Potencial eléctrico

992

mo de la técnica. Hasta que estudiemos la radiación electromagnética en el capítulo 41, supondremos generalmente que todos los cuerpos cargados se mueven con velocidades mucho menores que la velocidad de la luz (3 x 108 m/s) y que son despreciables las fuerzas gravitatorias. Aquellos casos en los que intervengan velocidades de partículas que sean relativistas se indicarán claramente como tales.

28.1 Energía potencial electrostática Si una carga se mueve en un campo eléctrico por la acción de un agente externo, este agente debe realizar trabajo sobre la carga contra las fuerzas eléctricas netas del campo. Una vez eliminado el agente externo, el campo queda libre para hacer volver la carga a su posición original, realizando a su vez trabajo en el proceso. Así pues, por analogía con la energía potencial mecánica, podemos asociar una energía p9tencial electrostática Ve con cualquier carga situada en el interior de un campo eléctrico. Como en mecánica, calcularemos las diferencias de energía potencial electrostática considerando el trabajo externo realizado contra la fuerza eléctrica. Como caso más sencillo, consideremos dos cargas próximas q y q', en donde q está fija en el sistema de referencia del observador mientras que q' se mueve lentamente desde un punto P 1 a otro punto P 2, a causa de la aplicación de cierta fuerza externa (ver figura 28.1).

- P,

q

Fig. 18.1 Geometria necesaria para el cálculo del trabajo realizado al desplazar una particula cargada respecto a otra.

La única fuerza que se opone a este movimiento es la fuerza electros-tática F ejercida por la carga q sobre q'. El trabajo realizado en contra de F al mover la carga a lo largo de un elemento infinitesimal de trayectoria ds es

-F•ds

dU,

siendo ds

=

dri

+

r d8

8 [28 · 11

993

Potencial eléctrico

en donde Ue es, por definición, la función* energía potencial electrostática. Así pues, la variación total de energía cuando q' se mueve desde P 1 hasta P 2 es P2

!:i,.U,

-

f

F cos

<JJ

ds

[28.2]

P¡

en donde <jJ es el ángulo existente entre F y ds. En el plano que contiene a F y ds, cos <jJ ds

dr

(28.3]

y la ecuación [28.2] se reduce a (28.4] Obsérvese que /:i,.Ue es una función escalar del radio solamente, de modo que podemos definir Ue como U,(r)

[28.5]

Para el trayecto desde P 1 hasta P 2 , [28.6] de modo que podemos identificar Ue como la energía potencial electrostática de una carga q' en el campo de una carga q, siendo r la distancia entre las cargas. El nivel de referencia (o «suelo») de Ue está situado en r = oo, en donde se escoge como cero a su valor de referencia («valor del suelo»). Esta energía potencial electrostática es semejante en su forma a la energía potencial gravitatoria (ver sección 13 .2); sin embargo, el signo de Ue depende del signo del producto qq'. Si qq' < O, entonces Ue(r) es un valle de potencial atractivo (o «pozo») en el sentido de los diagramas de la energía de la sección 8.3. Si qq' > O, entonces Ue(r) es una colina de potencial repulsivo (o «barrera»). Lo mismo que otras funciones de energía potencial que hemos estudiado, /:i,.Ue depende únicamente de los puntos extremos P 1 y P 2 y es independiente del trayecto seguido entre ellos. En este caso particular depende solamente de la distancia r. Así pues, el trabajo realizado al transferir q' desde un punto a otro es únicamente función de la distancia radial neta recorrida. Además, el trabajo total realizado sobre q' cuando se mueve a lo largo de cualquier trayecto cerrado en el campo es nulo, debido a que regresa al punto de partida. Por tanto, como las fuerzas gravitatorias y las elásticas, las fuerzas electrostáticas son conservativas. De • Cuando hablamos de un cambio de posición a lo largo de una trayectorias, utilizamos muchas veces la notación ds en vez de dr, a fin de evitar confusiones entre dr = f' • dr y ds = .j (dr) 2 + (r d0) 2 •

994

Potencial eléctrico

aquí que podamos representar la energía total constante de una partícula en un campo electrostático como

....

K

+

= ½mv 2 +

U,

U,

[28. 7)

En unidades mks, Ue se expresa en julios, como es natural.

Ejemplo 18.1 Hallar el trabajo realizado por el campo al mover una carga q ' en el interior del campo de una carga q (en el origen) desde (x,y.z) = (-1,2,-3 ) hasta (2,-1,-4 ). Solución El radio de la primera posición es r 1 =..J.t + 4 + 9 == ./T4 y el de la segunda es , 2 =../4 + l + 16 = ~ - El trabajo realizado por el campo es la variación de la energía potencial con signo contrario, de modo que

!H._( .fil 1

=

.lW

1 )

./14

411'Eo

+o.049!H.... 411'E0

Moviéndose libremente bajo la influencia del campo, q ' adquiere una cantidad de energía cinética t:J< = -ll.Ue. Ejemplo 18.1 Deducir una expresión para la energía potencial electrostática de una partícula cargada q en un campo eléctrico uniforme (constante) E = Eoi. Solución La fuerza sobre la partícula es constante, F == qE0 i . Teniendo en cuenta que ds = dx i + dy j + dz k, tenemos F • ds = Fdx. Por consiguiente, U,(x) -

!).U,

U,(x0 )

=

-

L

qEo dx

qEo(X 0

-

X)

Si tomamos el suelo como origen (x0 = O), entonces el valor del suelo es Ue(O) = O y la función de energía potencial electrostática se reduce a U,

=

-qE0 x

¿Puede indicarse por qué serían inapropiados en este caso el suelo Y el valor del suelo del ejemplo 28. l?

Una fórmula que será muy útil posteriormente es la de la energía potencial de un di~olo eléctrico p en un campo externo constante Ee (ver figura 27 .5). Debido a que la fuerza neta sobre un dipolo eléctrico en un campo uniforme es cero, no existe energía potencial asociada con el movimiento de su centro de masas. Sin embargo, el par neto es r = p x Ee;

995

Potencial eléctrico

por tanto el trabajo contra el campo externo empleado en hacer girar el dipolo en un ángulo dOe es dW =

[28.8]

--r-d8,

(1' y d8~ son antiparalelos). Puede demostrarse (ver problema 28.8) que la energía potencial del dipolo debida a su orientación en el campo Ee puede expresarse como

u, 28.2

=

-pE, cos O,

[28.9]

-p • E,

Potencial

En la sección 28.1 hemos considerado principalmente el campo electrostático de una sola partícula o cuerpo cargados. A continuación consideraremos el caso general del campo debido a una configuración cualquiera de cargas fijas, dirigiendo nuestra atención al propio campo más que a las cargas que lo producen. Esto hace posible incorporar en la teoría dos conceptos de campo muy poderosos: diferencia de potencial y potencial. Estos conceptos habían sido introducidos en la teoría gravitatoria por Lagrange y Laplace, pero fueron claramente aplicados por primera vez a la teoría eléctrica por George Green en 1828 (ver cita en la introducción al capítulo). Si el campo eléctrico en un punto es E, entonces una partícula testigo de carga positiva pequeña t,.q situada en dicho punto experimentará la acción de una fuerza F

[28.10]

LiqE

Cuando la carga testigo se mueve lentamente siguiendo una trayectoria cualquiera desde un cierto punto del campo P 1 a otro P 2 , el trabajo realizado por el agente externo, y por tanto, la variación resultante t,.Ue de la energía potencial, es '2

'2

LiU,

-

f.,,

-Liq

F•ds

f.,, E•ds

[28.11]

Del· mismo modo que resulta venta)oso en la teoría de campos el considerar principalmente las intensidades de campo en lugar de las propias fuerzas, introduciremos ahora el concepto de diferencia de energía potencial por unidad de carga positiva, siendo su ecuación de definición LiU, Liq

'2

-

f.

r¡

E•ds

[28.12]

Potencial eléctrico

996

La magnitud .:l V se conoce como diferencia de potencial entre los puntos P 1 y P 2 lo cual significa que es la diferencia de energía potencial por uni-

dad de carga positiva entre los dos puntos. Como LlUe y Llq son magnitudes escalares, .:l V debe ser también una magnitud escalar. La unidad de diferencia de potencial cgs-gaussiana es el ergio por statculombio, que se denomina statvoltio (statV). La unidad SI de diferencia de potencial es el julio por culombio que se denomina voltio (V). Así pues, la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera es l V, si el trabajo realizado por un agente externo en trasladar una carga testigo o de prueba desde un punto al otro (siguiendo cualquier trayectoria) es l J por culombio de la carga testigo. Si, por ejemplo, .:l V = 3 V entre P 1 y P 2, entonces el trabajo realizado por un campo externo para mover q = 2 C desde P 1 hasta P 2 en un trayecto cualquiera es .:l W = Ll Ve = 2 C x 3 V = 6 J. Si la carga vuelve de nuevo de P 2 a P 1, entonces el trabajo realizado po'r el campo externo es -6 J. Finalmente podemos definir V(r) como la energía potencial por unidad de carga positiva en un punto r: V(r)

U,(r)

[28.13]

Llq

Esta magnitud V(r) se denomina potencial en el punto r. Podemos ahora volver a escribir la ecuación [28.12), que es la variación de potencial al ir desde r 1 hasta r 2, como

V(r 2)

-

V(r 1)

= -

rE •

ds

[28.14]

1

Si arbitrariamente hacemos igual a cero la energía potencial (y, por tanto, el potencial) en puntos a distancia infinita de la región del espacio en donde existe el campo, entonces el potencial general V(r) en el punto del campo r viene dado por .,_

V(r)

[28.15]

El potencial V(r) según se define en la ecuación [28.15] es igual al trabajo por unidad de carga que debe realizar un agente externo para llevar una carga de prueba positiva desde un punto completamente exterior al campo hasta el punto del campo r, a lo largo de cualquier trayectoria. Evidentemente, el potencial es una magnitud escalar y se expresa en las mismas unidades que la diferencia de potencial. En el caso de una carga puntual q,

E•ds

_q_dr 2 41rE 0 r

[28.16]

997

Potencial eléctrico

De modo que la ecuación [28.15] nos da .....

_ q_

V(r)

(para una carga puntual q)

411'E0 r

[28.17]

A veces estamos interesados en el potencial V únicamente en una región en donde puede suponerse que el campo E es uniforme. Consideremos dos placas conductoras con densidades de carga iguales y opuestas ± a (ver figura 28.2). Si su separación d es mucho menor que sus dimensiones globales, entonces todas las líneas de campo procedentes de la placa positiva van directamente a la placa negativa (excepto en las proximidades de los bordes) y el campo es uniforme E = Ei, en donde E = alE 0 (ver ejemplo 27.11). Así pues, utilizando la prescripción de la ecuación [28.14] y suponiendo que V(d) = O (como en la figura 28.2), V(x)

=

-r

Edx

!!... (d - x)

E(d -

x)

para O ::::; x ::=; d

[28.18]

Eo

y

V = O

•U

Fig. 28.2 Campo entre dos placas cargadas uniformemente

Los campos eléctricos debidos a cargas individuales son independientes, de modo que sus potenciales son también independientes, y como escalares los potenciales aislados pueden sumarse a/gebraicamente para dar el potencial total del sistema de cargas. (Compruébese por el lector como ejercicio.) Si los cuerpos cargados responsables de un campo pueden considerarse como partículas que están a distancias Ri, R 2, •• • , Rn del punto del campo r en donde ha de calcularse ·el potencial, entonces

.....

V(r)

en donde,

Ir

[28. 19]

Potencial eléctrico

998

En algunos casos fas cargas no se presentarán como entidades distintas sino que más bien se encontrarán repartidas de tal modo que su distribución podrá considerarse continua desde un punto de vista de escala grande. En este caso, la ecuación (28.19) se reducirá de una suma a una in!egral extendida al volumen 'V' de la distribución continua: V(r)

=

_1_¡ 41rE 0

'Y'

dq R

=

_ l_ 41rE 0

f 'Y'

p(x' ,y' ,z') d'V'

Ir - r'I

(28.21)

Como sucedió con la expresión correspondiente al campo eléctrico de cargas distribuidas (ecuación [27 .20)), consideraremos esta fórmula como una prescripción universal para plantear los cálculos necesarios para hallar los campos potenciales eléctricos debidos a cargas distribuidas con una densidad de carga p. Los cálculos de los casos individuales mediante esta prescripción variarán de método y complejidad.

Ejemplo 28.3 (a) Utilizando la ecuación [28.15), hallar el potencial en el punto (0,0,z) sobre el eje del anillo cargado indicado en la figura 28.3. (b) Repetir el cálculo utilizando la ecuación (28.21). ;;

(0,0,z)

R =

(q/21ra)a dfl'

Fig. 28.3 y

(a) La carga de prueba puede llevarse desde el infinito a (0,0,z) a lo largo de cualquier trayecto, de modo que escogeremos el eje z y según el ejemplo 27 .5

Solución

E

E,

Potencial eléctrico

999

Entonces V(O,O,z)

(b) Si se desconociese el campo eléctrico o fuese difícil de integrar, se podría utilizar la ecuación [28.21] para calcular 2..

V(O,0,z)

_ 1_

i

41rEo o

(q/21fa)a d()'

_ l) ( 411'Eo

+

..J a2 q

211' ..J a

2

+

z2

z

2

li.

q

d0'

o

Así pues, el resultado es el mismo, bien lo consideremos en función de los campos como en la parte (a) o de sus fuentes, como en la parte (b). Ejemplo 28.4 Hallar el potencial en un punto (0,0,z) sobre el eje de un disco cargado uniformemente de radio a y densidad superficial de carga u= qhra 2• z

(O.O,;:)

Fig. 18.4

~ - - - 1'

X

Solución Como se indica, dividimos el disco en anillos de radio r', espesor dr' y área 211'r' dr'. A partir del resultado del ejemplo 28.3, el potencial debido a la carga dq = 21rur' dr' sobre un anillo es

dV(0,0,z)

21rur' dr'

1000

Potencial eléctrico

Integrando para todos los anillos (O :s; r' :s; a), obtenemos

.!!_(.Ja 2 + z 2

V(0,0,z)

-

lzl)

2Eo

en donde debemos utilizar Iz I porque lim O-

.../a 2 +

paraz > O para z < O

z 2•

,0

Ejemplo 28.5 (a) Hallar el potencial de una línea de carga con densidad lineal A. (b) Hallar el potencial de un cilindro conductor largo de radio a y densidad lineal de carga A. Solución (a) Según la ecuación [27 .23), tenemos E = (Al21rE: 0 r)r, en donde res el radio del cilindro (es decir, el valor de la perpendicular desde el punto del campo al eje cargado). Así pues, Adr

dV = -E•ds

o

A 21rE 0

f' ,

0

dr r

Por consiguiente, V

=

V0

A -

--

r ln -

21rE0

r0

.en donde V0 = V(r0) y estamos en libertad de escoger la constante r 0• Obsérvese que V tiende a - 0 0 cuando r tiende a 00; esto no produce ninguna dificultad porque estamos interesados en diferencias de potencial. Además, en cualquier situación real, no puede haber ninguna línea de carga infinita y la aproximación falla cuando r tiende a infinito. (b) Según la ecuación [27.55), la fórmula para E fuera del cilindro es la misma que la utilizada en la parte (a), pero E = O en todo punto del interior del cilindro, de modo que V es constante allí. Por conveniencia, podemos hacer r 0 = a y V0 = O, de modo que

V

=

A r - - - Ina { O 21rEo

parar > a parar < a

28. 3 Aplicaciones de las funciones potenciales Veremos ahora cómo pueden determinarse las componentes de la intensidad del campo eléctrico E a partir de las derivadas parciales de la función

1001

Potencial eléctrico

potencial V. Recordemos que la variación de potencial debida a un desplazamiento d s = dx i + dy j + dz k es

dV

=

(28.22]

-E•ds

Utilizando la ecuación (28.22], podemos deducir o derivar el vector de campo eléctrico E(r) a partir del campo potencial escalar V(r). Para apreciar el significado de la ecuación (28.22], consideremos una función de punto escalar, diferenciable y continua cualquiera J(x,y,z). El cálculo demuestra que -en el caso de variaciones infinitesimales dx, dy y dz de las coordenadas- podemos expresar la variación del valor de / como j(x

+ dx,

y

+ dy, z + dz)

- j (x,y,z) aj dx ax

dj

+

aj dy ay

+

aj dz [28.23] az

en donde aj/ax es la derivada de primer orden de J (x,y,z) suponiendo constantes y, z, y así sucesivamente. Las propias derivadas parciales son también generalmente funciones de x, y y z. Comparando la ecuación (28.23] con la ecuación (28.22], vemos que la función V(x,y,z) debe relacionarse con las funciones componentes de E(x,y,z) por

av

av

ax

ay

Ez

av az

[28.24]

Es decir, si conocemos V(x,y,z), entonces podemos determinar E(x,y,z) tomando las derivadas parciales de V con signo contrario como las componentes del campo eléctrico. Como veremos, frecuentemente es posible hacer numéricamente este cálculo incluso en los casos en que no tengamos ninguna fórmula analítica para V(x,y,z). Es costumbre expresar la relación indicada por la ecuación [28.24] en función del operador nabla.

ª·+ª·+ªk -J -

-1

ax

ay

az

(28.25]

que es el análogo vectorial del operador diferencial escalar dldx. Es deci-r, se comporta formalmente igual que cualquier otro vector, pero únicamente puede calcularse cuando aparece precisamente a la izquierda de una magnitud vectorial o escalar sobre las cuales opera. Así

E

-v'V

=

av.

--1

(28.26]

ax

La capacidad de deducir campos vectoriales a partir de las derivadas parciales de un campo potencial escalar es de gran valor y la utilizaremos a menudo. La magnitud vectorial V V se denomina gradiente de la función escalar de punto V y suele escribirse también como grad V.

1002

Potencial eléctrico

Ejemplo 18.6 Demostrar que el campo eléctrico E en un punto r debido a una carga q situada en un punto r' puede derivarse a partir de la funaón potencial de la ecuación [28.17]: donde R =-

Solución R

Ir - r'I

Podemos expresar R como

=

.J(x -

x') 2

+

(y -

y') 2

+

(z -

z')2

y luego hallar las derivadas parciales de 1/R que se necesitan para la ecuación (28.26]:

a(l/R)

=

ax a(l/ R)

az

X -

éJ(l/R)

X'

ay

R .t z - z' R .t

- y' = - y R1

Utilizando estas derivadas parciales en la ecuación [28.25], tenemos

E -

-v'V

=

en donde (x -

x')i

+

(y -

y')j

+

(z -

z')k

R

es el vector unitario que seftala desde r' hasta r. Ejemplo 28. 7 (a) Evaluar la función f = xy2/z 3 en los puntos (x,y,z) = (2,3,1) y (2,1; 3,1; 1,1) y hallar la diferencia ,1/'entre los valores en esos puntos. (b) Predecir el valor de ,1/' a partir de la ecuación [28.23), aproximando A/ = df y áx = dx, etc. Utilizar un número de cifras significativas suficiente para compar~r el resultado con el de la parte (a). Solución (a) Tenemos f(2,3,I)

/(2.1, 3.1, 1.1)

2 X 32

18

1)

2,1 X (3,1)2 = ----' ----'__;_,:....._ = 15,162

(1,1)3

de modo que

4/ = 15,162 - 18,000 = -2,838

Potencial eléctrico

1003

(b) Según la ecuación [28.23), tlf

df

===

(.El.. ax

===

+ .EÍ._ ay + 21...) az 0.1

en donde se han calculado las derivadas parciales en (2,3,1), de modo que

!L ax af

y2

=

ZJ

-~xl

=

z4

éJz

ji_

9

=

2x,.y

ay

12

zl

-54

Por consiguiente,

t:i.f -

0.1(9

+

12 -

54)

=

-3.300

que no es mala aproximación considerando el tamaño de los intervalos. Si hubiésemos escogido .1..x = t:i.y = t;.z = 0,01, obtendríamos t:i.f = = -0,324 en la parte (a) y AJ = -0,330 en la parte (b).

A continuación hallemos el campo axial Ez de un anillo cargado mediante derivación parcial de la expresión correspondiente a V(0,0,z) obtenida en el ejemplo 28.3: aV(0,0,z) éJz

E,(0,0,z~

qz 41rEo(a 2

+

z 2p12

[28.27)

que concuerda con la solución del ejemplo 27 .5. Obsérvese que esta representación del potencial no es válida en los puntos que no pertenecen al eje z, porque deliberadamente hemos ignorado en el ejemplo 28.3 la dependencia de V con x e y. Análogamente podemos hallar el campo axial de un disco cargado mediante derivación parcial de la solución al ejemplo 28.4:

_ (_!!__) _a(_.Ja_2 _+_z__- __;, ,lz-"'- -1) 2

E,(0,0,z)

2Eo

é}z

de modo que paraz > O Ez(O,O,z)

[28.28]

= para z < O

Potencial eléctrico

1004

La figura 28.5 muestra los gráficos de V y Ez en función de zen el caso del disco cargado. Obsérvese la abrupta discontinuidad de E, en el disco, en donde Ez (0,0,0) = ± u/2e 0• Esta discontinuidad era de esperar porque hemos supuesto que el disco tiene un espesor despreciable y existe un flujo neto hacia fuera procedente de cada cara del disco. Sin embargo, el resultado parece estar en desacuerdo con el campo E = al e0 que obtuvimos a partir de la ecuación [27 .61) para el campo próximo a un conductor. ¿Cómo puede explicarse esta discrepancia? V(O,O,z)

V

=

ua/2E0

(a) Potencial

;_--z

-2a

a

-a

2a

E,(0,0,z)

(b) Intensidad del campo eléctrico

Fig. 28.5 Campo axial de un disco cargado

La respuesta es que hemos idealizado el disco a un plano matemático de densidad de carga u, a partir del cual el flujo se emite en ambos sentidos, a diferencia del conductor de la figura 27 .22, en la cual el flujo sólo se emite en un sentido. De aquí que integrando en la caja gaussiana de la figura 28.6 se tiene 2EA

aA es decir E Eo

=

(J

[28.29)

Potencial eléctrico

1005

A

E

E <1

Fig. 28.6 Caja de Gauss que corta a una lámina delgada cargada

En efecto, el disco cargado de espesor infinitesimal y densidad de carga que no es necesariamente un conductor, es equivalente a un conductor real muy delgado de densidad superficial de carga +a sobre cada superficie. El campo eléctrico en un punto interior cualquiera de un conductor es nulo y el campo en todo punto de la superficie es normal a la misma. Por consiguiente dV = -E • ds = O, siendo ds cualquier elemento de trayectoria que esté en el interior o sobre la superficie del conductor. De aquí se obtiene la conclusión siguiente: <1,

El potencial de un conductor es constante en todo punto de su interior o de su superficie. En el caso de una esfera conductora de radio Ro, maciza o hueca, el campo en el exterior de la esfera es el mismo que si toda la carga de la esfera se concentrase en una partícula _situada en su centro: V

parar > R 0

=

[28.30]

Como el potencial es constante, tanto en la superficie como en el interior de la esfera, parar :,; R 0

V =

[28.31]

.La figura 28.7 muestra gráficamente los valores de E(r) y V(r) correspon-

dientes a un conductor esférico (macizo o hueco). Obsérvese que en la superficie del conductor, E

a

a

de acuerdo con la ecuación [27 .61]. Cualquier otra carga de prueba adicional situada en la superficie o en el interior del conductor, debería en principio permanecer estacionaria o desplazarse con una velocidad constante. De hecho, su presencia alteraría ligeramente la distribución uniforme original de carga para producir un campo de tal forma que la carga de prueba se desplazase a la posición más próxima de la superficie del conductor y luego se distribuiría por sí misma sobre el conductor para establecer una nueva distribución de car-

Potencial eléctrico

1006

E = O

' 1/

1· = - 4,rfQRo 1

'

1 1 1

E(Ro)

1

V

1 V(R 0 )

i--------.~ 1

.

= -AV =

~

Ar

pen d 1ente

-E(r)

/

1 .- Q_ ~ ,,__ __ _ _ _ _ _ _~d: __ _ _ , __ _ _.,.. r

Fig. 28. 7 Distribuciones del potencial y de la intensidad del campo correspondientes a una esfera conductora cargada de radio R 0

ga. Este hecho explica el experimento del cubo de hielo de Faraday (ver sección 26.4). El aparato idealizado del cubo de hielo de la figura 28.8 se compone de dos esferas conductoras concéntricas. La esfera interior de radio r 0 po-

Fig. 28.8 Aparato del cubo de hielo idealizado

Potencial eléctrico

1007

see una carga q y la esfera exterior de radio R 0 una carga Q. Las esferas están aisladas entre sí de modo que la carga no puede transferirse entre ellas. Como los potenciales se suman algebraicamente, el potencial en la superficie o en el interior de la esfera interna es igual a la suma de los potenciales interiores independientes de ambas esferas:

_q_ 41rE0 r 0

+

___Q_ 41rE0

[28.32)

R0

El potencial sobre la esfera exterior es, de modo semejante, la suma algebraica de los términos independientes debidos a las dos esferas: V sobre=

l

41rE0

( q

R0

+

--ª-) R

[28.33)

0

La diferencia potencial entre las dos esferas es ~V

=

Vint -

Vsobre=

_q_ 41rE0

(.!_r 0

_l )

R0

[28.34)

Esto significa que la carga q sobre la esfera interior tiene Ue = q~ V más energía que la que tendría sobre la esfera exterior, con independencia del valor de Iql, por pequeño que éste sea. Así pues, si conectamos ambas esferas mediante un hilo conductor, la carga q «descenderá» a lo largo del hilo hacia la esfera externa, perdiendo energía potencial y adquiriendo energía cinética en el proceso (igual que sucede con una masa que cae en un campo gravitatorio). La energía cinética se disipa finalmente en forma de calor y la carga queda en reposo en la superficie exterior. Después de esto, el campo es nulo y V es constante en todo punto del interior de la esfera externa.

Ejemplo 28.8 Dos esferas conductoras de radios R 1 y R 2 están separadas por una distancia entre sus centros de R > R 1 + R 2 como está indicado. Se coloca una carga sobre una esfera y luego se conectan las dos esferas mediante un hilo conductor. (a) ¿Cuál es el cociente de las cargas finales Q 1 y Q 2 sobre las esferas? (b) ¿Cuál es el cociente de las densidades superficiales de carga finales a 1 y a 2?

Fig. 18.9

Conductor

/

i-----R------1

1008

Potencial eléctrico

Solución (a) Las dos esferas y su hilo de conexión forman un solo conductor con el mismo potencial constante V. El potencial en todo punto del interior de cada esfera debe ser V también. Podemos representar el potencial en el centro de cada esfera como la suma de los términos debidos a cada una de las esferas de modo que

para la esfera 1

V

para la esfera 2

Así pues,

Obsérvese que si R 1 > R 2 , entonces Q¡IQ2 > l. Es decir, la esfera más grande posee más carga. (b) Debido a que u = q/41rr2 en el caso de una esfera de radio r,

Q1/41rR~ Qif41rRi

Ri(R

Si R 1 > R 2, entonces como R > R 1 + R 2 , tenemos R(R 1

+

R 2)

>

(R 1

RR2

>

R 1R 1

-

R2R2

RR 2

-

R2R2

-

R 2) (R 1

-

R 2)

= R 2,

-

R 22

Así pues,

RR 1

-

o bien RR, -

R 1R 1

>

De aquí que R 1(R -

R 1)

>

R 2(R -

R 2)

y, por consiguiente, u 1/u 2 < l. Es decir, la esfera más grande tiene la menor densidad superficial de carga.

Los resultados del ejemplo 28.8 pueden ampliarse para demostrar que la densidad superficial de carga y, por tanto, la intensidad de campo eléctrico son mayores sobre aquellas porciones del conductor que tienen una mayor curvatura superficial (es decir, poseen un menor radio de curvatura). Obsérvese que esta variación de la densidad de carga y de la intensidad de campo es un resultado consistente con el hecho de que todos los

Potencial eléctrico

1009

puntos de un mismo conductor están al mismo potencial. Si el conductor tiene alguna parte puntiaguda en su superficie, la intensidad de campo será muy grande en estos puntos. La intensidad de campo puede incluso ser lo suficientemente grande como para ionizar el aire en la proximidad de estos puntos y originar así una descarga en corona de electricidad a través del aire, visible normalmente en forma de una chispa.

28.4 Función potencial: simetría axial Existen tres tipos de geometría en los cuales es semejante el tratamiento matemático de la función potencial: problemas bidimensionales que pueden describirse en coordenadas _ polares (r,0); 2 problemas tridimensionales con simetría axial de tal modo que las líneas de campo pueden hacerse girar alrededor del eje x, en donde pueden utilizarse las coordenadas (r,0) para representar la longitud del vector de posición tridimensional y su ángulo respecto al eje x; 3 problemas tridimensionales en los que se añade la dirección z a las coordenadas polares planas para construir un sistema de coordenadas general, conocido como coordenadas cilíndricas. En el sistema de coordenadas cilíndricas, las coordenadas se designan generalmente como (e,
_q(_l __l)

V

41rf 0

r+

[28.35]

r_

Si el ángulo que forma r con el eje del dipolo es 0, la aproximación del dipolo nos da r+

-

r -

½ó cos 0

y

r

-

r

+ ½ó

cos 0

Potencial eléctrico

1010

De aquí que, según la ecuación [28.35), V

--'-

q(r - ½ó1

41rE0

cos 8

r

1)

+ ½ó

cos 8

qó cos ~ -

41rE0

r2

[28.36) Así pues, en función del momento dipolar eléctrico p V

==

parar

=

» ó

qói,

[28.37)

z

1-ó-j Fig. 18.10 Esquema geométrico de un dipolo eléctrico mostrando sus ejes de simetría.

Obsérvese que la ecuación [28.37] es independiente del sistema de coordenadas particular utilizado para describir el problema. La única hipótesis matemática que se utiliza en esta fórmula, aparte de que r ¡¡;,. ó, es la de simetría axial. A continuación veamos cómo podemos aplicar esta fórmula en cada uno de los tres sistemas coordenados: polar, con simetría axial y cilíndrica. Como vimos en la sección 12.4, una longitud de arco elemental en coordenadas polares planas viene dada por

ds

[28.38]

drr+rd88

en donde i' es el vector unidad en la dirección de r creciente y 8 es el vector unidad en la dirección de 8 creciente. Así pues, el producto escalar de la ecuación [28.22) es

dV

-E, dr -

y tenemos

E,

av., = -ar

E8 r d8

-(.!.) avao r

[28.39]

[28.40]

1011

Potencial eléctrico

Así podemos deducir los componentes radial y tangencial del campo eléctrico a partir de la función potencial V(x,y) si la transformamos en una función V(r,0) y tomamos sus derivadas parciales como se ve en la ecuación [28.40]. Estas fórmulas son válidas también en el caso de la simetría axial, en donde se entiende que res el vector de posición tridimensional y 0 es el ángulo que el vector r forma con el eje de simetría. Si ahora aplicamos las ecuaciones [28.40] al caso del dipolo eléctrico · axialmente simétrico de momento p, tenemos según la ecuación [28.37]

av ar

E,

~

2p cos 0 3 41rE0 r

=

P sen (J [28.41] 3 41rE0 r

Estas fórmulas concuerdan con las obtenidas en la ecuación [27 .15] A partir de la ecuación [28.26] sabemos que E = -VV. Según las ecuaciones [28.40] vemos que el operador debe adquirir la forma siguiente en este sistema coordenado: [28.42]

Es conveniente distinguir entre el operador nabla como un formalismo conveniente y el concepto de gradiente como una consecuencia fundamental de los conceptos de trabajo y energía potencial. Podemos variar la forma del operador para adaptarlo a las necesidades de la descripción, pero la noción básica de que E = -grad V no varía de un sistema coordenado a otro. Es decir, si definimos el gradiente de una funciónf(r) en un sistema coordenado cualquiera, tal que la variación df del valor de f cuando nos trasladamos de r a r + ds es f(r

+

ds) - f(r)

df

= (grad f) • ds = 'vf • ds

[28.43]

entonces el hecho de que dV =

'vV•ds

-E•ds

implica que E= -V V

en cualquier sistema coordenado.

[28.44]

El lector se dará cuenta de que, aunque nabla por sí mismo es simplemente una notación conveniente, el módulo IV VI del gradiente del potencial es una cantidad de importancia fundamental, que representa el trabajo máximo que puede realizarse por el campo eléctrico conservativo por unidad de distancia sobre una unidad de carga que se mueva a su través. Finalmente, consideremos el empleo de coordenadas cilíndricas (p,cp,z) como se ve en la figura 28.11. Aunque este sistema puede utilizarse para describir cualquier problema, lo encontraremos más conveniente

Potencial eléctrico

1012 z

Td:

l. zk dzk

Fig. 28.11,.. Sistema de coordenadas cillndricas ( p,,z) en donde ds + P dq, + dz k

= dp p +

cuando estemos considerando casos tridimensionales que tengan simetría axial, escogiendo el eje de simetría como eje z. La coordenada p es el radio cilíndrico, análoga al radio r en coordenadas planas polares; da la distancia a que se encuentra un punto cualquiera del eje z. El ángulo no son constantes, sino que varían de posición, mientras k es un vector constante. Como se ve en la figura 28.11, una variación diferencial de la posición puede describirse en la forma ds

=

dp {>

+

p dct,


[28.45]

dz k

Así pues, con objeto de explicar el factor p que se encuentra en el componente
grad V(p,q,,z)

= vv = av ¡, + éJp

(l) av
éJ
éJz

k

[28.46]

1013

Potencial eléctrico

de modo que dV = V V • ds. (Obsérvese la forma del operador en coordenadas cilíndricas.) Podemos aplicar la ecuación [28.46) para la deducción del campo de un dipolo eléctrico. En coordenadas cilíndricas, p • r = pz, de modo que la ecuación [28.37) da donde r =

V

.Jp + 2

z

2

[28.47]

Por consiguiente,

E"

-(:~

y

Ez

0

):p(: (:~º)

3pzp 41n 0 r 5

3)

__ p_ 41n 0 r 3

E,¡,

o

[28.48)

2

:z (:

3

)

- p- (3z --1) 41n 0 r 3 r 2

[28.49)

Si sustituimos z por x y p por y, se verá que las ecuaciones [28.48) y [28.49) concuerdan con la ecuación [27. 13), que describe el campo del dipolo eléctrico en coordenadas cartesianas bidimensionales.

28.5 Movimiento de una partícula cargada Desde finales del siglo pasado se sabe que los protones y los electrones juegan papeles esenciales en fenómenos tales como los procesos radiactivos y las descargas eléctricas en gases (ver capítulo 26). Estos descubrimientos condujeron a la ampliación de los estudios sobre las propiedades de estas partículas, utilizando para ello un método _basado en la observación de su comportamiento al atravesar un campo electrostático. Se emplea un campo electrostático intenso E, suficientemente elevado para que no se vea apreciablemente perturbado por la presencia de las partículas con sus pequeñas cargas. Además, se reduce la presión en el aparato, de modo que sean despreciables las fuerzas eléctricas entre las partículas y los átomos del gas. La ecuación del movimiento de una partícula de masa relativista m y carga q en el campo E es

qE

dp

dt

d(mv) dt

[28.50)

en donde p es la cantidad de movimiento de la partícula, v su velocidad y m

[28.51)

siendo m 0 la «masa en reposo», correspondiente al cuerpo en reposo respecto al observador. La constante e es la velocidad de la luz en el vacío, 2,997925 x 108 m/s.

1014

Potencial eléctrico

Sin embargo, de momento consideraremos únicamente los movimientos no relativistas (v --e c), en los cuales m == m 0 , de modo que la ecuación [28. 50] se reduce a ....

qE

[28.52]

ma

en donde a es la aceleración de la partícula. En el caso más sencillo de un campo E uniforme (constante), podemos aplicar la teoría balística desarrollada en el capítulo 4 para el campo gravitatorio de una tierra plana. Como el campo eléctrico es conservativo (es decir, derivable de una función potencial), la energía total E 101 de la partícula se conserva y obedece la ecuación de la energía ....

K

+

qV

=

[28.53]

E101

J. J. Thomson empleó en J897 un campo electrostático uniforme en parte de su experimento clásico que condujo al descubrimiento del electrón. Un tubo de vidrio en el que se ha hecho el vacío contiene dos electrodos metálicos (ver figura 28.12). El electrodo con potencial más alto (electrodo positivo) se denomina ánodo (A). El electrodo con potencial menor (electrodo negativo) se denomina cátodo (C). La diferencia de po-

-,

o

Fig. 28.12

P' JI Vo

~

ilV , j-

p

Diagrama esquemático del aparato de Thomson

tendal V0 existente entre los electrodos se mantiene conectándolos a los terminales opuestos(± ) de una batería (ver figura 28.13). La diferencia de potencial mantenida entre los terminales de la batería es una constante, característica de la batería utilizada. Obsérvese que el terminal positivo de la batería se conecta a tierra o «masa», suponiendo que la tierra está al mismo potencial V = O en todos sus puntos. Así pues, el potencial del ánodo A es V = O y el potencial del cátodo C es V = - V0 • La diferencia de potencial V0 entre C y A produce un campo eléctrico E en la región existente entre los electrodos. Los electrones presentes en

Potencial eléctrico

1015

J_ Pila o batería

+

Hilos conductores que se cruzan sin conexión

Tierra o masa

Conexión entre hilos conductores Fig. 28.13 Algunos símbolos normalizados utilizados en los diagramas de circuitos eléctricos

el gas residual se aceleran desde C hacia A por este campo y algunos de ellos pasan a través del orificio que hay en el centro del ánodo con velocidad v 0 en dirección horizontal. Emergen del orificio en forma de un haz estrecho que incide en el punto O de la superficie S, que puede ser por ejemplo una pantalla de sulfuro de zinc fluorescente o una placa fotográfica. Se diseña el ánodo de forma cónica con objeto de reducir al mínimo las fuerzas desaceleradoras que experimentan los electrones después de salir del orificio (es decir, para reducir el campo del ánodo a la derecha del orificio), de modo que la velocidad de los electrones sea esencialmente constante después de pasar a través del ánodo. Quizás sea más fácil entender esto mediante la utilización intuitiva de las líneas de campo. Estas líneas surgen tanto de las superficies internas como externas del ánodo A, que no es una superficie cerrada y que lleva una carga positiva como resultado de estar conectado al terminal positivo de la batería. Las líneas de campo salen perpendicularmente del ánodo, pero en el interior del orificio se acumulan alrededor del eje para producir un campo electrostático intenso. Las líneas de campo no son tan densas fuera del ánodo, en donde tienen más espacio para extenderse, de modo que sólo existe un campo desacelerador despreciablemente pequeño sobre el eje a la derecha del ánodo. En el aparato se incluyen también dos placas metálicas paralelas P y P' encerradas dentro del tubo. Conectando P' al terminal positivo de una batería y conectando P al terminal negativo de la misma, podemos crear un campo uniforme E 0 entre las placas que desviará a los electrones hacia arriba a su paso entre ellas. La aceleración ascendente de los electrones será constante:

a

F

eE0

m

m

[28.54)

en donde -e es la carga del electrón. Esta aceleración constante es análoga a la producida por la gravedad, de modo que tenemos una analogía

Potencial eléctrico

1016

matemática con el vuelo de un proyectil sobre la tierra (supuesta plana). Por tanto, el desplazamiento vertical total de cada electrón es

eEa 2 -t 2m

y

(28.55]

en donde L es la anchura de las placas, porque cada electrón tarda un tiempo t = Llv 0 en pasar entre las mismas. Si la diferencia de potencial entre las placas P y P' es ..1 V y la distancia entre las mismas es d, entonces el valor del campo uniforme que existe entre las mismas es I E 0 1 = ..1 V/d e 2

y

L ..1 2d

V(..!...)_!_ V6

(28.56)

m

Es evidente que el campo electrostático no será perfectamente uniforme cerca de los dos bordes de las placas paralelas, pero puede aplicarse una corrección si se conoce la distribución real del campo. La energía total de cada electrón debe conservarse. Según la ecuación [28.53), la energía de un electrón estacionario situado en C (en donde V= -V0) es O

+ (- e)( -

Cuando llega al ánodo (en donde V energía E(O(

eV0

(28.57)

V0 )

=

O), debe seguir teniendo la misma

½mvii + o

½mvii

(28.58)

Así pues,

-e m

V6 2V0

(28.59)

Sustituyendo la ecuación [28.59] en la ecuación (28.56] se tiene y

(28.60]

Vemos así que la desviación es realmente independiente de e y de m. Como todas las demás cantidades de la ecuación [28.60) pueden medirse independientemente, podemos utilizar esta ecuación como medio de determinar el potencial acelerador efectivo V0 que puede ser ligeramente diferente del potencial aplicado realmente entre los electrodos. Obsérvese la forma de la energía del electrón de la ecuación (28.57). La energía total e V0 es simplemente proporcional al cuanto de carga y esta relación da origen a la unidad de energía de empleo universal en física atómica, molecular y nuclear. Esta unidad, el electrón voltio (eV) se defi-

Potencial eléctrico

1017

ne como la energía cinética adquirida por el electrón cuando se acelera a través de una diferencia de potencial de un voltio. Así 1 eV

(1.6 X 10- 19 C)(l J/C)

e(l V)

1.6 X 10- 19 J

[28.61)

Esta relación resulta muy conveniente, porque la energía adquirida por un electrón que se acelera a través de una diferencia de potencial de valor numérico (AV} en voltios es simplemente AUe = (AV} eV, que puede multiplicarse por (el = 1,6 x 10- 19 para obtener el valor de AUe en julios. Las unidades múltiplos son el keV (kiloelectrón voltio), el MeV (megaelectrón voltio) y el GeV (gigaelectrón voltio), y se utilizan con mucha frecuencia. Mediante la constante k de Boltzmann se expresa otra relación útil, que puede utilizarse para calcular la energía cinética media de una partícula a una temperatura T como K = 3kT/2. El valor de k es k

1.38 X 10- 23 J/K

=

8.62 X 10-s eV/K

[28.62)

Por ejemplo, la energía cinética media de una partícula a 10 000 K es 1,29 eV. El aparato de Thomson indicado en la figura 28.12 se conoce en la actualidad como tubo de rayos catódicos (TRC). En versiones posteriores de los TRC se añadió un segundo conjunto de placas en sentido perpendicular a las placas P y P' para producir la desviación (o «deflexión») del haz de electrones en la dirección x (ver figura 28.14). Un TRC de este tipo en el cual se envía el haz directamente a una pantalla fluorescente se

Placas deflectoras verticales ÁV,(t)

Placas deflectoras horizontales ÁV,(t)

Fig. 28./4 Diagrama simplificado de un osciloscopio

denomina osciloscopio. Si se aplican dos diferencias ele potencial distintas variables en el tiempo y separadas a cada par de placas, el haz dibujará sobre la pantalla una figura plana con coordenadas x(t) e y(t) que serán proporcionales a A Vi(t) y A V2(t), respectivamente. El TRC es una herramienta indispensable en cualquier laboratorio moderno para la presentación gráfica de las medidas tomadas con una diversi-

Potencial eléctrico

1018

dad de instrumentos electrónicos. Además, puede conectarse un ordenador directamente al TRC, utilizando éste como un dispositivo de salida para producir dibujos o esquemas, gráficos precisos de fórmulas matemáticas e incluso películas. Los dibujos originales de muchas de las figuras y gráficos de este libro (por ejemplo, al figura 27 .11) se obtuvieron mediante TRC controlados por un ordenador. El TRC también puede hacerse intervenir como entrada para el usuario debido a que éste puede utilizar un «lápiz de luz» (una fotocélula que aprecia la posición del lápiz sobre la pantalla) para «marcar» directamente sobre la pantalla del TRC. Un análisis adicional de los gráficos por ordenador nos llevaría demasiado lejos, pero todo científico debe ser consciente de sus posibilidades.

Ejemplo 28.9 Una partícula de masa m y carga Q se coloca en el punto x y otra de masa m y carga -Q se sitúa en (-L,0). A continuación se dejan en libertad. (a) Hallar la ecuación de la energía de la partícula positiva. (Ó) Hallar su velocidad u = dxldt. (L,O) del eje

Solución (a) Según las propiedades de simetría, si la posición de la partícula positiva en un instante de tiempo determinado es x, entonces la posición de la partícula negativa es -x y la distancia entre las partículas es 2x. Si la velocidad de la partícula positiva es u, entonces la de la partícula negativa es -u. Según la ecuación [28.5), la energía potencial del sistema de dos partículas es U, y

la energía cinética del sistema es

K

+mv 2

+

½m(-v)2

, mv-

La energía total del sistema es constante (e igual a la energía potencial inicial), de modo que E,o,

K

+

U,

Obsérvese que esta ecuación de la energía se expresa en función de la masa, de la posición y de la velocidad de la partícula positiva, como se requería. Si lo deseamos, podemos considerar que la mitad de la energía potencial del sistema pertenece a cada partícula, debido a la simetría de la situación. Podemos escribir entonces la ecuación de la energía de la partícula positiva en la forma

_Je_ (_!_ - _!_) l 61rt0

x

L

Potencial eléctrico

1019

que corresponde simple11_1ente a la mitad de la ecuación de la energía del sistema. ' (b) Despejando en el resultado de la parte (a) la velocidad (negativa) de la partícula positiva en el punto (x,0), se tiene

V

dx dt

J (1 1) 2

n ; - L -~

28. 6 Superficies equipotenciales En la sección 27.4 desarrollamos una representación gráfica de un campo vectorial dibujando líneas de campo que indican el valor y las posiciones de la función vectorial en un punto en toda la región del espacio. Un campo escalar puede representarse gráficamente mediante superficies, en donde cada una de ellas representa el lugar geométrico de un sistema de puntos en los que la función escalar puntual tiene el mismo valor constante. Si la función c:!scalar que estamos considerando es un potencial, entonces la superficie así construida se denomina superficie equipolencia/. En general, V = f(x,y,z) es una función potencial de tres variables. Si hacemos V = V0 (una constante), entonces tenemos

=

f(x,y,z)

(28.63]

V0

Una ecuación de tres variables tiene tres grados de libertad: de aquí que deba representarse mediante una superficie en el espacio tridimensional. Si estamos considerando un problema bidimensional en el que V= g(x,y), y hacemos V = V0 = g(x,y) se obtiene un contorno equipolencia/ en el espacio xy, de un modo semejante a como se dibujan las líneas de nivel en un mapa de la superficie terrestre. Como un potencial es una función de las distancias entre las partículas, su valor no puede cambiar bruscamente en ningún punto. Por consiguiente, toda superficie equipotencial es una superficie cerrada. Por ejemplo, en el caso de una sola partícula cargada, el campo potencial debe representarse mediante una familia de superficies esféricas concéntricas con la partícula. Los radios de estas superficies vienen dados por

r- = ,

q

--

41rEoV;

constante

(28.64]

en donde V¡ es el valor constante del potencial sobre la superficie i. Aunque existe un número infinito de estas superficies, normalmente se construyen únicamente las superficies correspondientes a valores específicos V¡ o para incrementos d V = V¡ + 1 - V¡.

1020

Potencial eléctrico

Si una variación infinitesimal de posición ds = dx i + dy j + dz k está totalmente comprendida en una superficie equipotencial dada por f(x,y,z) = V0 , entonces f(x

+ dx,

y+ dy, z

+ dz)

- f(x,y,z)

df

=

'vf•ds

[28.65]

Sin embargo, como f = V0 en toda la superficie, df = O = Vf • ds. Esto significa que el gradiente de f(x,y,z) es perpendicular a cualquier ds tangente a la superficie en (x,y,z) y, por tanto, que Vf(x,y,z) es normal a la superficie en (x,y,z). Así pues, se puede construir siempre la normal a una superficie si conocemos su ecuación. Si tenemos la forma explícita de la misma z = h(x,y), entonces, podemos hacer f(x,y,z) = h(x,y) - z y calcular el gradiente: 'vf

=

ah. + -ah. J _ ax ay

-1

k

[28.66]

En cualquier caso, una vez deducido el gradiente, la normal unidad a la superficie es fi

Como E

[28.67]

= V V(x,y,z), se llega a la siguiente conclusión:

La intensidad del campo eléctrico calculado en un punto del campo es perpendicular a la superficie equipoten.cial que contiene a dicho punto. Este enunciado es consistente con nuestra descripción del campo eléctrico de un conductor cargado como normal a su superficie, ya que demostramos mediante la ley de Gauss que era una superficie equipotencial. Así pues, las líneas de fuerza y las superficies equipotenciales se cortan siempre perpendicularmente. Por ejemplo, la representación de un campo eléctrico uniforme se compone de una familia de líneas de fuerza paralelas e igualmente espaciadas y, perpendicularmente con ellas, una familia de planos equipotenciales paralelos e igualmente espaciados. La figura 28.15 muestra los contornos de potencial constante (las intersecciones de las superficies equipotenciales con el plano xy) superpuestas a las líneas de campo de las figuras 27.9 y 27.20. Es costumbre dibujar equipotenciales que difieran en incrementos iguales .:l V. Consideremos el paso de una superficie V(x,y,z) = V¡ a la siguiente V(x,y,z) = V¡ + .:l V siguiendo la ruta más directa -es decir, a lo largo de la normal a la primera superficie. Sobre este trayecto, de longitud .:ln, podemos aproximar la variación de V utilizando la forma diferencial de la ecuación [28 .65]: .:l V

==

'vV • (.:lnn)

[28.68]

Potencial eléctrico

1021

(a) Carga puntual positiva aislada

(b) Dos cargas puntuales del mismo valor pero signo opuesto

(c) Dos cargas puntuales del mismo valor y signo. (d) Dos placas o láminas paralelas de metal con cargas opuestas Fig. 28.15 Líneas de campo (flechas grises) y líneas equipolencia/es (curvas negras) correspondientes a varias distribuciones de cargas.

en donde ñ es el vector unitario normal a la primera superficie. Sin embargo, como el gradiente es normal también a la superficie, V V • ñ = = ± IVVI. Por tanto,

An

±IVvl

±E

[28.69]

nos da un procedimiento para estimar el valor de E a partir del diagrama de equipotenciales, a lo largo de la normal a la superficie de potencial más elevado y dirigido hacia la superficie de potencial más bajo.

Potencial eléctrico

1022

Para un .i V determinado, los valores de E son mayores en donde son menores los valores de .in -es decir, donde las superficies equipotenciales se aproximan más. El campo, por el contrario, es más débil en donde se separan más. Así en la figura 28.15b, los campos sobre el eje y son más intensos en el origen y en la figura 28 .15d son más intensos (y son aproximadamente uniformes) entre las placas cargadas. Como las superficies equipotenciales son una especie de diagramas de niveles de energía tridimensionales en el espacio, el trabajo realizado por unidad de carga para mover una carga pequeña desde una superficie a otra es simplemente igual a la diferencia de potencial entre las superficies.

Ejemplo 28.10 ¿Cuál es la ecuación de las superficies equipotenciales correspondientes a un campo de un dipolo, utilizando la aproximación del dipolo (r > ó)?

Solución

Con r

~

ó, podemos utilizar la ecuación (28.37] y hacer

V= V¡: f!.. cos 8 471'E 0 r:

~

V,

4,rt 0 r-'

o bien r

=

l!. cos (J 4,rE 0 V,

En particular, se verá que r - O para todas las superficies cuando 8 90°. Ejemplo 28.11 (a) Utilizando el operador gradiente, hallar el vector unitario normal íi (en coordenadas cartesianas) a la superficie de una esfera de radio R = [so con su centro en el origen. (b) Calcular fi en el punto (x,y,z) = (3,4,5) Solución

(a) La ecuación implícita de la esfera es

f(x,y,z)

50

de modo que

"ilf

2yj

+

2./x~ +

y2

2xi

+

2zk

y

IVJI

+

z 2 = 2./so

Potencial eléctrico

1023

Por consiguiente, ñ

=

S!L IV/1

=

-

1

- (xi

..[so

(b) En el punto (x,y,z)

º

+

yj

+

zk)

= (3,4,5), tenemos

= - 1-(3i + 4j + 5k) ..[so

Este ejemplo es muy sencillo, pero del mismo modo se tratan otras superficies más complicadas y los cálculos no suelen ser mucho más difíciles.

28. 7 Ecuaciones de Poisson y Laplace En la sección 28.2 dedujimos expresiones correspondientes al potencial como la suma algebraica de los potenciales debidos a una colección de cargas puntuales y como la integral extendida a una distribución volumétrica de carga. Sin embargo, resulta posible también formular el potencial a través de una simple ecuación en derivadas parciales que se aplica a una región completa del espacio y que está sometida a ciertas «condiciones de contorno» especificadas en los límites o fronteras de dicha región. La expresión se deduce directamente de la forma diferencial de la ley de Gauss, ecuación [27 .66], a partir de la cual se obtiene la ecuación de Poisson del potencial: V•E

=

=

V•(-VV)

-V•VV =

p_

[28.70)

En

La divergencia del gradiente de un escalar tiene un significado tan importante, en física como en matemáticas, que ha recibido el nombre de operador laplaciano y se simboliza mediante V2 (en donde V2 = V • V en analogía con el cuadrado de un vector, A2 = A • A). Obsérvese que V2 es un operador escalar; da origen a una sola ecuación diferencial. En coordenadas cartesianas,

a: (f)

= [

::iJ,,

const.

y así sucesivamente. Así pues, V•VV

=

'v 2 V

a2 ~)v

= (~ 2 + 2 + 2 ax ay az

[28.71)

y la ecuación de Poisson se convierte en

_p_ Eo

[28.72)

Potencial eléctrico

1024

En el caso especial (pero muy corriente) de una región que no contiene fuentes del campo, p = O, y se obtiene la ecuación de Laplace: [28. 73] En el cálculo teórico de los campos electrostáticos, el problema crucial radica generalmente en hallar la solución de la ecuación [28.73). Si puede resolverse la ecuación de Laplace, entonces normalmente resulta tratable la ecuación de Poisson. De hecho, la teoría de campos gira fundamentalmente alrededor de las soluciones de la ecuación de Laplace. Además, las soluciones obtenidas en la teoría de la electricidad encuentran también aplicación en las teorías de la conducción térmica, de la difusión, de la dinámica de fluidos y del movimiento ondulatorio. Se han aplicado incluso para la descripción de problemas de tráfico denso. En el estudio matemático avanzado, conocido como teoría del potencial, se demuestra rigurosamente que, si se especifican los valores de V sobre todos los límites o fronteras de una región, entonces existe una solución única de la ecuación de Laplace. Esto es de la máxima importancia práctica porque, en el caso de contornos finitos, es siempre posible integrar numéricamente la ecuación de Laplace (y también la ecuación de Poisson en aquellas regiones en las que 'P sea finito). Como ejemplo trivial, pero ilustrativo, consideremos un par de placas planas infinitas perpendiculares al eje x, de modo que V = V(x) no depende de y ni de z. Supóngase que se crea una diferencia de potencial .6 V = V0 entre las placas situando una carga + Q en la placa localizada en el origen y otra carga -Q en la placa de posición x = d (ver figura 28.2). Podemos utilizar la ecuación [28.73) en la región existente entre las placas (en donde p = O):

o

[28.74]

Esta ecuación tiene la solución general V(x)

C'

+

Cx

[28.75)

en donde C y C' son constantes de integración arbitrarias. Podemos utilizar las condiciones de contorno para calcular estas constantes. En el límite x = O, sabemos que V(O) = V0 ; sustituyendo este valor en la ecuación [28.75), obtenemos C' = V0 • En el límite x = d, sabemos que V(d) = O. Sustituyendo estos valores y el valor de C' en la ecuación [28. 75], obtenemos el valor buscado de la constante de integración Vo d

e =

"Por consiguiente, la ecuación [28.75] se reduce a V(x)

=

V. o

Vo d

-X

(28.76]

Potencial eléctrico

1025

que es el potencial de un campo uniforme dV

= dx

Vo

[28.77]

d

(comparar con la ecuación [28.18]). Como V0 y d son fáciles de medir, la ecuación [28.77] es muy útil.

Ejemplo 28.12 Si la región entre las placas de la figura 28.2 tiene una densidad de carga constante p, hallar el potencial y el campo entre las placas. Solución

Se resuelve la ecuación de Poisson en una dimensión

para hallar

V(x)

C'

+

Cx -

px~

2Eo

(Obsérvese que la solución general de la ecuación de Poisson es aquí la misma que la correspondiente a la ecuación de Laplace [28. 75], excepto en el término particular de la densidad de carga.) Aplicando las ecuaciones de contorno V(O) = V0 y V(d) = O a la solución general, se obtiene C' = V0 y C = p_d/2e 0 - V0 /d. Por tanto,

+

V(x)

_p_ (xd - x 2) 2Eo

El campo eléctrico es EX

dV

dx

Vo d

+

_P (d

2Eo

-

2x )

en donde puede adscribirse el término V0 / d a la carga situada sobre las placas (ver ecuación [28.77]) y el otro término restante corresponde a la carga situada entre las placas. Obsérvese que el campo neto de estas cargas espaciales (que se representan mediante p) cambia de sentido cuando nos movemos desde una placa a la otra.

La formulación diferencial del potencial nos sugiere también nuevos procedimientos para obtener soluciones a los problemas en los que inter-

Potencial eléctrico

1026

vienen geometrías complicadas. Como la solución depende únicamente de las condiciones de contorno, podemos resolver ciertos problemas construyendo un «sistema análogo» más sencillo de la situación problema. En la analogía se busca un caso que posea las mismas condiciones de contorno a lo largo de superficies equipotenciales correspondientes a los límites del problema real aunque estas superficies pueden ser superficies físicas reales en el caso real, pero no en la a"'ilogía. El ejemplo más sencillo es el caso de una sola partícula cargada q situada a una distancia z = h por encima de un plano conductor infinito conectado a tierra (ver figura 28.16a). Sabemos que un buen conductor es siempre una superficie equipotencial, porque no se requiere ningún trabajo para mover una carga sobre su superficie y, por ello, V debe ser constante en toda la superficie conductora. De aquí que el plano xy es una frontera sobre la cual debe ser constante el potencial. Por encima de este plano, el potencial debe estar compuesto por dos términos: uno debido a la r'irga puntual en (0,0,h) y el otro debido a la carga inducida sobre la superficie conductora que es de signo opuesto. Podemos utilizar un «método de imagen» para resolver este problema. En la figura 28.15b, puede observarse que el plano intermedio entre las dos partículas con cargas opuestas y que es perpendicular a la línea entre ellas es una superficie equipotencial. Supóngase que imaginamos una carga ficticia -q situada en (0,0,-h) por debajo del plano e imaginamos que se suprime el plano conductor (ver figura 28.16b). En esta analogía ficticia de la situación real, el plano xy debe ser una superficie equi-

h

(a) Carga positiva situada a una distancia h por encima de un plano infinito perfectamente conductor

(b) Situación análoga con una carga nega_tiva ficticia por debajo del plano; las lfneas de campo más oscuras son ficticias Fig. 28.16 Método de la imagen para calcular un campo

Potencial eléctrico

1027

potencial y, por simetría su potencial debe ser nulo. Por consiguiente, si consideramos únicamente la región que hay por encima del plano xy, la condición de contorno a lo largo del plano xy es la misma en el caso real y en el análogo. Esto significa que el potencial (y de aquí el campo) encima del plano debe ser el mismo en ambas situaciones. Así pues, aunque utilicemos la ecuación de Poisson para nuestra justificación teórica, nos evitamos Ja terrible perspectiva de tener que resolverla directamente. En lugar de ello, se escribe simplemente la función potencial para las dos cargas puntuales (una real y la otra ficticia): V(x,y,z)

= _q 41rE 0

(-1 __1) R+

[28. 78]

R_

en donde Ri

xi

R2_

x2

+

+ +

y2 y2

+ +

h)2

(z (z

+

h)2

El campo eléctrico normal que hay sobre el plano conductor es

E,-o =

- ( ~~ }x.y,o) =

_ -9!!_ (x2

+

yz

+

h2)-J/2 [28.79]

27íEo

A partir de la ecuación [28.79), podemos determinar la carga superficial inducida a = EoE en todo punto (x,y, O) del plano conductor. Como el flujo que atraviesa el plano es el mismo que sería producido por una carga -q situada por debajo del plano, puede demostrarse fácilmente que la carga total inducida sobre el plano es ! a dxdy = -q. En esta sección hemos demostrado que puede deducirse un campo electrostático a partir de su función potencial. Además, utilizando sólo la ley de Coulomb y la conservación de la energía, hemos deducido dos reglas muy importantes (las ecuaciones de Laplace y de Poisson) que prescriben la forma funcional que necesariamente debe tener cualquier campo potencial electrostático. Al hacer esto hemos empezado a pensar casi exclusivamente en función de campos en lugar de considerar cargas, utilizando conceptos de flujo eléctrico y de superficies equipotenciales. Las soluciones generales de las ecuaciones de Laplace y de Poisson son extraordinariamente complicadas y están más allá del objetivo de este libro. Sin embargo, en la sección siguiente veremos cómo pueden resolverse numéricamente estas ecuaciones en problemas bidimensionales siempre que los límites y las cargas sean finitas. Utilizando este método de «relajación», podemos en principio resolver problemas que eran prácticamente imposibles de solucionar antes de la llegada de los ordenadores electrónicos de altas velocidades.

*28. 8 Relajación La integración numérica de la ecuación de Laplace se realiza mediante una técnica conocida como método de relajación, que se basa en la apro-

Potencial eléctrico

1028

ximación de las derivadas parciales por diferencias finitas en los valores de la función. Aunque la relajación puede aplicarse a problemas tridimensionales (mucho más tediosos), consideraremos únicamente el problema en el plano xy. 2

3

(xo,Yo)

o

a

~hb h

Fig. 28.17 Esquema geométrico correspondiente a una aproximación numérica de la ecuación de Laplace en dos dimensiones en el punto (x0 , y 0 )

4

1

La figura 28.17 muestra un punto típico (x 0 , y 0) en el plano xy; este punto está rodeado por otros vecinos (numerados del l al 4) con un espaciado h. Podemos aproximar las derivadas parciales de V respecto a x en los puntos a y b próximos a (x 0 , y 0) como

-E

= x.

(ªV) ax

a

=

V¡ h

Sin embargo, a V/ax tanto

(aaxv)

Vo _E = (ªaxV) _ ~V_3__V._o xb

b

[28.80]

= -Ex es a su vez una función de la posición. Por

2

2

h

[28.81] h

O

Sustituyendo las ecuaciones [28.80] en la ecuación [28.81], se tiene

(av) 2

ax 2

[28.82] O

Análogamente, puede demostrarse que

(aayv)º 2

[28.83]

2

Así pues, la ecuación de Laplace proporciona una relación aproximada entre los potenciales que hay en los puntos vecinos:

o

[28.84]

Potencial eléctrico

1029

Ordenando la ecuación [28.84), podernos expresar V0 corno el promedio de los valores de V en los puntos vecinos equidistantes: [28.85]

En general, una función f cualquiera que satisface la ecuación de Laplace, V2f = O, se denomina función armónica y El valor de una función armónica cualquiera en un punto es igual al promedio de los valores de la función en las proximidades de dicho punto. y

Y•---------~---.,

V = IOOOV

~ Aisladores 2m

V = O 16m

V = O

-~

Ys-

ol..'::::::::==========='.l -~--x

1

V= O

,___ _ _ _ 16 m

Xs

- - - ---1

(a) Geometrfa del tubo

(b) Malla de puntos utilizados en el método de relajación para N = 9

Fig. 28.18 Sección recta de un tubo cuadrado cargado

Corno ejemplo simple en dos dimensiones, consideremos el potencial en el interior de un tubo conductor muy largo de sección cuadrada, de 16 rn de arista. La superficie superior a un potencial V = 1 000 V está separada mediante aisladores perfectos de las otras superficies, que están conectadas a masa, ( V = O). Consideremos corno plano xy a la sección recta, con el origen en la esquina inferior izquierda del tubo (ver figura 28.18a). Dividiendo cada lado del tubo en N puntos igualmente espaciados, se crea una «malla» de puntos (X¡,y¡) en la sección recta en donde i,j = 1, 2, ... , N (ver figura 28.18b). En principio debernos resolver (N - 2) 2 ecuaciones simultáneas de la forma de la ecuación [28.84) para hallar el valor de V en cada uno de los (N - 2) 2 puntos interiores. Sin embargo, la propiedad única del método de relajación en el caso de la ecuación de Laplace es que no necesitarnos resolver todas estas ecuaciones simultáneamente. En lugar de ello empezaremos estimando Y;¡ = V(x¡, Y¡) para cada punto. Luego utilizaremos

Potencial eléctrico

1030

el método de promediar de la ecuación [28.85) para revisar el valor de V;· en cada punto. Si se repite este proceso de promediar una y otra vez, la~ «relajaciones» sucesivas convergen hacia los valores correctos. Se obtienen valores más precisos haciendo menor el tamaño de la malla h e incrementando, por tanto, N. En la práctica, es más conveniente calcular primero el error, o residuo en cada punto, [28.86)

y luego modificar cada valor de V0 con objeto de hacer que se anule el residuo en dicho punto. Es decir, el nuevo valor V0 viene dado por V0

V'o

+

Ro 4

o bien

Ro 4

~V0

[28.87]

Se repite el proceso hasta que los residuos se hacen tan pequeños que pueden despreciarse. En general, puede acelerarse mucho la convergencia del proceso mediante la técnica de la sobre-relajación, en la cual se hace ¿iV = wR 0 !4, en donde 1 :S w < 2. (El valor óptimo de w depende de la «finura» de la malla y de la naturaleza de los contornos). En este caso, el nuevo residuo es Ró = (1 - w)R 0 • Para ahorrar tiempo, podemos hacer la suposición inicial de los valores de V haciendo N = 3 y utilizando los valores en los límites como puntos vecinos para el punto central (ver figura 28.19a). Así tenemos, V0

=

¼(O

+

+

1000 V

O

+

O)

250V

en el punto central. A continuación subdividimos repetidamente la malla, calculando V en cada punto de la misma como el promedio de sus cuatro vecinos próximos. Este proceso evoluciona más rápidamente si utilizamos tanto líneas diagonales como líneas de malla para localizar los vecinos próximos cuando prosigue la subdivisión (ver figura 28.19b, e). ComV = 1000V

o

1000 312.5

V=0

V=250V

312.S

o

250

62.5

V= 0 (a)

o

o

312.5 468.8 312.5

o

º156.3 250 156.3

62.5

62.S

o

1000 1000 1000

94

o

(b)

Fig. 28.19 Aproximaciones iniciales en la solución numérica de la ecuación de Laplace para el tubo cuadrado cargado de la figura 28. 18

(e)

62.5

Potencial eléctrico

1031

parar el resultado de la figura 28.19c con la solución en la figura 28.20, obtenida con N = 9 y w = 1,6. Obsérvese que el cálculo manual rápido de la figura 28.19c da una idea excelente acerca del comportamiento general de V en la región. El residuo máximo en el cálculo de la figura 28.20 fue R(l4,14) = 0,01 después de 24 relajaciones.* La figura 28.21 muestra el diagrama de flujo del algoritmo para el cálculo con ordenador. Este algoritmo escribe V y sus residuos después de cada relajación, pero puede modificarse para que si se desea sólo escriba el resultado de la iteración final. En general, una solución aceptable mostrará. los residuos finales distribuidos más o menos al azar en toda la región y de modo que variarán entre valores positivos pequeños y negativos pequeños. Después que se halla la solución con la exactitud requerida, pueden construirse las equi-

Yo

Ys

Y1

Ys

o

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

o

o

482.59

661.05

730.54

749.54

730.05

661.05

482.59

o

o

269.30

431.06

511.84

536.08

511.84

431.06

269.30

o

o

l.,,,

282.03

349.67

371.36

349.67

282.03

163.57

o

o

102.94

183.83

233.46

250.00

233.46

183.83

102.94

o

o

64.38

116.87

150.33

161.74

150.33

116.87

64.38

o

o

37.68

68.95

89.27

96.27

89.27

68.95

37.68

o

o

17.42

31.97

41.52

ld1,83

41.52

31.97

17.42

o

o

o

o

o

o

o

o

o

Y1 X¡

X7

Xg

Fig. 28.20 Distribución del potencial en el tubo cuadrado de la figura 28. 18 calculada mediante el método de relajación con h = 2 m y w = 1,6, después de 24 iteraciones. Todos los residuos resultaron menores de 0,01 después de esta iteración

• Para un estudio detallado de los métodos de relajación, ver F. S. Shaw, Relaxation Methods (Nueva York, Dover, 1953).

Potencial eléctrico

1032

Vi,,

IZEll

t,

Valores de entrada iniciales de potencial Vu, del residuo máximo f, del número de la malla N y del parámetro de relajación 1 ::5 "' < 2

N,w

l

Indice para contar el número de residuos

IR;¡ I <

E

i = 2aN-l i ,_ i

+

j = 2aN-l

j-j+

R~

= v,. ,.,

+ v,.,- , + v,_ 'J + v,J+, -

i

IR,, I <~ ~

Calcular los residuos

4V,,

M- M

+

Si los residuos son aceptables, no se necesita ningún cálculo posterior

1

Cálculo del nuevo valor del potencial y del nuevo residuo

V,1 - Y¡1 + wR,,/4 R,, - (1 - w)R,1

; < N J

1

N 1

ESCRIBIR

= J

N -

Vq,

R,,

, M _,_ .__ _ _ _ _N

'

(N -

STOP

2) 1

Comprobación para ver si son aceptables todos los residuos; si no es así, se repite la relajación .

Hg. 18.21 Algoritmo para el método de relajación utilizado en el cálculo de los resultados indicados en la figura 28.20

potenciales promediando e interpolando entre los valores de las mallas de V;¡- Las líneas de campo eléctrico pueden dibujarse entonces perpendicularmente a las equipotenciales.

Potencial eléctrico

PROBLEMAS 28.1

Energía potencial electrostática

28.J El electrón y el protón de un átomo de hidrógeno están separados por 0,53 x 10- 10 m. (a) Determinar la energía electrostática del átomo (incluyendo su signo). (b) Determinar la cantidad de energía requerida para ionizar el átomo - es decir, para separar el protón y el electrón a una distancia muy grande. (Puede suponerse que la órbita del electrón es exactamente circular.)

28.2 Explicar por qué la energía electrostática de dos cargas aisladas q y q' separadas en una distanciar es Ue = qq' l41TE 0 r en lugar del doble de este valor. 28.3 Consideremos un cuadrado de lado L, con una carga Q en cada esquina y una carga -Q en su centro. Hallar la energía electrostática total del sistema de cinco cargas. (INDICACIÓN: Imaginar que las cargas se llevan una a una a sus posiciones finales.) 28.4 En los vértices de un triángulo equilátero de lado L están situadas tres cargas q > O. Las cargas se dejan en libertad sucesivamente. (a) ¿Cuál es la energía cinética final de la primera carga que se deja suelta? (b) ¿Cuál es la energía cinética final de la segunda carga que se libera? (e) ¿Cuál es la energía cinética final de la última carga libre? (d) ¿Cuáles serían las energías cinéticas finales de cada una de las cargas si se dejasen en libertad simultáneamente? 28.5 Aplicando la ley de Gauss como en el ejemplo 27.9 demostrar que el trabajo realizado al cargar una corteza esférica conductora de radio R con una carga Q es -½-Q 2/47rE 0 R. (INDICACIÓN: Considerar el trabajo realizado en llevar una pequeña cantidad de carga dq hasta la corteza en un instante en el que ya posee una carga q.) 28.6 Imaginar que una distribución esférica uniforme de carga Q hasta un radio R está constituida por cortezas esféricas delgadas concéntricas de radio r, espesor dr y densidad de carga constante p. (a) ¿Cuál es la energía potencial de la carga dq situada en la superficie de la esfera de carga uniforme y radio r? (b) ¿Cuál es la energía potencial electrostática de la esfera completa de radio R totalmente cargada? 28. 7 Con objeto de producir energía mediante fusión termonuclear, es necesario que dos deuterones se pongan en contacto. Un deuterón es un protón más un neutrón. (a) Utilizar la ecuación [26.17] para determinar la energía cinética necesaria para vencer la repulsión electrostática entre las dos partículas. (Suponer que la carga está localizada en el centro de cada partícula.) (b) Si cada deuterón adquiere la mitad de esta energía en forma de energía térmica aleatoria, ¿qué temperatura se requiere para que tenga lugar la fusión? 28.8 Imaginemos dos cargas + q y -q unidas en el origen en presencia de un campo eléctrico exterior aplicado E. Si las cargas se alejan de mo-

1033

1034

Potencial eléctrico

do que su momento dipolar llega a valer p, demostrar que la parte de su energía potencial debida al campo E viene dada por Ue = -p • E. 28.2-28.3

Potencial

28.9 Un campo eléctrico en el plano xy viene dado por E = 2(x + y)i + 2(x - y)j. Sea V(0,0) = O en el origen. (a) Utilizar la ecuación [28.14] para hallar V(x,y) integrando el componente tangencial de E a lo largo del trayecto desde el punto (0,0) hasta (0,y) y luego desde (O,y) hasta (x,y). (Para evitar confusiones, utilizar x' e y' como variables de integración.) (b) Repetir la integración utilizando una línea recta como trayectoria entre r 1 y r 2• ¿Se tendrá la misma respuesta para V(x,y) en ambos casos? ¿Por qué? 28.10 Una carga de q = 1 µC está situada a 0,1 m norte y 0,1 m oeste de otra carga Q = 30 µC. A continuación se mueve la segunda carga a 0,3 m al este y la primera carga se mueve a un punto a 0,2 m de ella al norte. (a) ¿Cuál es la variación de energía potencial de la primera carga en el campo de la segunda? (b) ¿Cuál es la variación de potencial de la segunda carga en el campo de la primera? (e) ¿Cuál es la variación de energía potencial del sistema de dos cargas? 28.11 Utilizando la ley de Gauss, demostrar que el potencial de una carga con distribución esférica de densidad p(r) y carga total

Q

=

r

2

p(r)41rr dr

viene dado por V

=

parar > R

28.12 El potencial junto al exterior de una esfera conductora cargada es 200 V. A uha distancia radial de 10 cm de la superficie, el potencial es 150 V. Utilizando el resultado del problema 28.11, hallar el radio de la esfera y su carga. 28.13 Una carga de densidad p se distribuye uniformemente por toda una región esférica de radio R. Hallar el potencial V(r) parar :5 R y hacer un esquema gráfico para todo r. Comparar este resultado con el del problema 28.11. 28.14 Utilizando la ecuación [28.15] demostrar que, si un campo eléctrico se debe a un cierto número de fuentes de modo que E = I:¡E¡, entonces el campo potencial total es la suma algebraica V = r; V¡ de los potenciales debidos a los campos individuales. 28.15 Sea V¡¡ el potencial en una cierta carga puntual q¡ debido a otra carga puntual qj, (a) Demostrar que q¡ V¡j = qj ~;- (b) Demostrar que la energía electrostática total de las dos cargas aisladas es Uu = +(q¡ V¡j + qj~;). (e) En el caso de un sistema de cargas puntuales, demostrar que la energía electrostática total puede expresarse como Ue = ½I:¡(q¡ V¡) en

Potencial eléctrico

donde V; es el potencial en q¡ debido a todas las otras cargas Qj· (d) Demostrar que, en el caso de una distribución de carga continua, Ue = -½ I p V d<\f, en donde d<\f es un volumen infinitesimal. (e) Aplicar la fórmula de la parte (d) a la distribución esférica del problema 28.13 y comparar el resultado con el del problema 28.6 b. 28.16 En el caso de la varilla delgada de vidrio del problema 27.13, hallar la distribución del potencial a lo largo del eje x fuera de la varilla a partir de la ecuación [28.21]. Comprobar la respuesta. 28.17 A partir de la solución al problema 28.16, el potencial en el eje x positivo es -(>J4n 0) In x cuando el extremo más alejado de la varilla se extiende hasta x = - oo (con V = O en x = 1). El resultado del problema 27. 14 muestra que sobre el eje y el campo eléctrico de la varilla tiene un componente y de Ey = >J4n 0 y. Hallar el trabajo realizado al mover una carga q desde el punto (x, O) al punto (0,y) en el campo de la varilla (x > O e y > O). (INDICACIÓN: Se puede mover la carga a lo largo de los ejes, pero ¿cómo se soslaya la singularidad del origen?) 28.18 Dos líneas de cargas iguales y opuestas de densidad ± >. paralelas al eje z cortan al plano xy en ( ± L, O). Hallar la función potencial V(x,y), poniendo V(0,0) = O.

28.19 Una esferita de masa O, 1 g cuelga de un hilo entre dos placas metálicas paralelas que están separadas una distancia de lO cm. La carga sobre la estera vale 9,8 x 10- 8 c. ¿Qué diferencia de potencial ~Ventre las placas hará que el hilo forme un ángulo de 45 ° con la vertical? 28.20 Suponer que la tierra es una esfera uniformemente cargada de carga total 6,83 x 10 5 C y un potencial 9,6 x 10 8 v; (a) Hallar el campo geoeléctrico en la superficie de la tierra (en V/m). (b) Comparar este valor con el del campo entre dos placas paralelas distantes 1 cm que se cargan al conectarlas a una pila de 1,5 V de una linterna. 28.21 En un campo eléctrico externo constante E existe un dipolo de momento p. Demostrar que la energía gastada por el campo para hacer girar el dipolo hasta su alineación con E es pE - p • E. 28.22 (a) Un dipolo de momento p = qó está situado en un campo potencial V(x) en x de tal modo que V(x ± ó) = V(x) ± ó(dVldx). Demostrar que la energía potencial mínima del dipolo es Ue = -PEx. (b) ¿Cuánto trabajo debe realizarse para llevar un dipolo hasta el infinito cuando está alineado con el campo de una carga puntual Q a una distancia R > ó de Q? 28.23 Dos esferas conductoras huecas distan entre sí 1 m. La primera esfera tiene un radio de 2,5 cm, una carga de 7 x 10-8 C y en su centro se encuentra otra pequeñ.a esfera aislada de la misma con una carga de 10-8 C. La segunda esfera tiene un radio de 1,0 cm y una carga de 10-8 C. Si las dos esferas se conectan a continuación por un hilo conductor, ¿cuál es la carga final sobre cada una de ellas? 28.24 En el ejemplo 27.13, una partícula de masa m, carga q y velocidad v se desvía a través de un arco de circunferencia de radio R cuando

1035

Potencial eléctrico

1036

pasa entre dos placas de metal curvadas (ver figura 27 .26). Para una u dada y una distancia d entre las placas (siendo d o del origen. (a) ¿Cuál es la energía de la carga puntual en el campo del dipolo? (b) ¿Cuál es la energía del dipolo en el campo de la carga puntual? (e) ¿Cuál es la energía total de este sistema de cargas? 28.26 Se sabe que un determinado campo potencial en el espacio tiene la forma V(r,8)

V0 E.. cos (J

r en donde i- !Y (J son las coordenadas planas polares y V0 y a son constantes. (a) Hallar los componentes radial y tangencial del campo eléctrico. (b) Hallar los componentes x e y del campo eléctrico derivando la función potencial. 28.5

Movimiento de una partícula cargada

28.27 Una cámara de vidrio en la que se ha hecho el vacío contiene una cierta cantidad de gas oxígeno monoatómico de baja densidad, parte del cual está ionizado debido a la pérdida de un electrón por cada átomo. La cámara está situada entre dos placas que están conectadas a los terminales opuestos de una batería de 16 voltios. (a) Si un átomo ionizado está en reposo cerca de la placa positiva, ¿cuánta energía cinética gana al ser acelerado por el campo hasta la otra placa? (b) ¿Qué le ocurre a un electrón que se encuentre en reposo cerca de la placa negativa? (e) ¿Cuánta energía cinética (en electrón-voltios) puede adquirir el electrón del campo eléctrico entre las placas? (d) ¿Cuál es la velocidad final del átomo ionizado de la parte (a)? (e) ¿Cuál es la velocidad final del electrón de la parte (b)? 28.28 Una partícula de masa en reposo m 0 y carga q se acelera desde el reposo a través de una diferencia de potencial A V. Deducir la expresión correcta relativista para su velocidad final u en función de e como unidad (velocidad de la luz). (INDICACIÓN: Sumar m 0 c 2 a los dos miembros de la ecuación [28.53].) 28.29 Utilizar el resultado del problema 28.28 para determinar la diferencia de potencial necesaria para acelerar un electrón de masa en reposo mec2 = 511 keV (a) desde el reposo hasta una velocidad de 0,3c; (b) desde 0,3c hasta 0,6c. (e) Un cierto acelerador lineal puede acelerar electrones hasta energías de 20 Ge V. ¿Cuál será su velocidad final? 28.30 En un aparato de Thomson con un vacío elevadísimo (ver figura 28.12), se mantiene una diferencia de potencial de 3 000 V entre el cátodo y el ánodo. Las placas paralelas P y P' tienen 4 cm de largo y distan

Potencial eléctrico

1037

8 mm entre sí mientras que se mantiene entre ellas una diferencia de potencial de 10 V. La pantalla S está a 30 cm más allá de las placas. Un haz de luz ultravioleta dirigido sobre el cátodo metálico hace que se emitan electrones de él (efecto fotoeléctrico). Suponer que un electrón de estos emerge normalmente al cátodo con una velocidad tan pequeña que puede suponerse despreciable. (a) ¿Cuál es la energía cinética y la velocidad de un electrón de éstos en el momento en que entra en la región comprendida entre las placas paralelas? (b) ¿Cuál es la distancia vertical h entre el punto O sobre el eje y el punto de la pantalla sobre el que incide el electrón? 28.31 Un protón se está moviendo con una energía cinética de 2 eV en una dirección paralela al momento dipolar de una molécula. Corta a la mediatriz del dipolo a una distancia de 4 x 10- 10 m de su centro y luego se ve forzado (no importa cómo) a moverse a lo largo de una línea de campo hacia el dipolo hasta que su energía cinética se consume y su radio vector a partir del dipolo forma un ángulo de 45° con el eje del mismo. ¿Cuál es el momento dipolar de la m_olécula? *28.32 Dos cargas positivas Q están situadas en (±L,0) sobre el eje x. Entonces se dejan en libertad. (a) Hallar la ecuación del movimiento de la carga en x = + L y transformarla a escala en magnitudes adimensionales. (b) Transformar la ecuación de segundo orden del movimiento d 2 u/dr2 = l!u 2 en dos ecuaciones diferenciales de primer orden e integrarlas simultáneamente, utilizando el método mejorado de Euler (ver apéndice N). (e) Comparar la solución con la exacta T

1 - - [

.fi,

"u

2

-

u+ In ( "u - 1 +

\!u) ]

y comprobar que los errores son proporcionales a (.:lr} 3 • 28.33 Consideremos las dos partículas con cargas opuestas descritas en el ejemplo 28.9. Integrar la ecuación de la velocidad obtenida como resultado de dicho ejemplo para hallar el tiempo te requerido para la colisión de las cargas. {INDICACIÓN: Utilizar (} como variable de integración, siendo sen 2 (} = x/L.) 28.6 Superficies equipotenciales 28.34 Un cilindro conductor muy largo de radio 4 cm se carga hasta una diferencia de potencial de 300 V. La superficie equipotencial V = 200 V es un cilindro de radio 12 cm. ¿Cuál es el radio de la superficie equipotencial V = 100 V? 28.35 (a) Hacer un esquema de las líneas equipotenciales correspondientes a un dipolo eléctrico en el caso de r ~ ó. (b) ¿Cuál es la ecuación exacta para las equipotenciales de un dipolo eléctrico en coordenadas (x,y)? (e) Calcular los cuatro puntos sobre la superficie equipotencial V= 0,3q/41rE 0ó para los cuales y = O o x = y dibujar un corte de esta superficie en el plano xy.

+o,

1038

Potencial eléctrico

28.36 Puede demostrarse que, si un campo electrostático E(r) no tiene componente z, entonces debe ser únicamente función de x e y -es decir, E(r) = E(x,y). (a) Demostrar que las líneas de nivel equipotenciales de dicho campo en el plano xy obedecen a la ecuación diferencial dy/dx = -ExlEy, en donde Ex(x,y) y Ey(x,y) son los componentes del campo electrostático. (b) Comparar la ecuación de la parte (a) con la ecuación [27.28) y explicar por qué no son contradictorias. *28.37 Idear un método (numérico o analítico) para hallar las coordenadas de un contorno equipotencial en el plano xy que pase por el punto (Xo, yo). *28.38 Dos líneas de carga son perpendiculares al plano xy; una en (L,O) tiene densidad lineal de carga >-. y la otra en (-L,O) tiene densidad ->-.; (a) A partir del resultado del problema 28.18, demostrar que las líneas equipotenciales son circunferencias con sus centros situados sobre el eje x (b) Demostrar que el eje y es equipotencial y vale V = O. (e) Hallar las ecuaciones de las dos equipotenciales para las cuales V = ± >-.l21rE 0 • *28.39 Repetir la parte (e) del Problema 28.38, pero esta vez integrar numéricamente la ecuación dyldx = -ExlEy (ver problema 28.36) para determinar las equipotenciales. Debe decidirse si conviene más utilizar x o y como variable de integración y si los pasos de integración deben ser positivos o negativos. Comprobar la exactitud conseguida con el resultado del problema 28.38c. 28. 7 Ecuaciones de Poisson y de Laplace 28.40 Una distribución de potencial continua en el espacio, que es función únicamente de la coordenada x viene dada por V0 (Ax -

V(x)

=

1) - V0 (x/a - 1) 2 { V (B - Cx) 0

parax < O para O :::; x < 2a para x > 2a

La densidad de carga es p(x), una función discontinua pero uniforme de la coordenada x únicamente. (a) Utilizando la ley de Gauss, demostrar que el campo eléctrico debe ser continuo y función únicamente de x. (b) Hallar E(x) en cada una de las tres regiones. (e) Hallar p(x). 28.41 Demostrar que V(x,y) = Ax2 + 2Bxy - Ay2 es una posible función potencial, siendo A y B constantes arbitrarias cualesquiera. 28.42 (a) Demostrar que V = Al p, en donde p2 = x 2 + y 2 , no es una posible solución de la ecuación de La place. (b) Demostrar que V = A ln p es una posible solución de la ecuación de Laplace. (e) Demostrar que V = Blr, en donde r 2 = x 2 + y 2 + z 2 es una solución posible de la ecuación de Laplace. 28.43 Un cilindro conductor de radio R muy largo conectado a tierra se coloca dentro de un campo eléctrico uniforme Ee = E 0 i normal a su longitud. El campo induce una separación de cargas en el cilindro, que a su vez da origen a un campo E' que altera el campo total en el exterior del

Potencial eléctrico

1039

cilindro. Suponer que el potencial Ve del campo uniforme es cero en el centro del cilindro. Escoger el centro del cilindro como origen de coordenadas polares (r,0) en el plano xy. (a) Expresar Ve en coordenadas polares. (b) El potencial debido al cilindro es V' = (Alr) cos 0 y este potencial satisface a la ecuación de Laplace. Si el potencial total debe anularse en la superficie del cilindro, hallar el valor de A. (e) Hallar la densidad superficial de carga a sobre el cilindro en función de 0. 28. 8 Relajación *28.44 Un cuadrado en el plano xy tiene 10 cm de lado y los potenciales de sus vértices son de 50 V, 100 V, 30 V y O V, correspondientes a los vértices del noroeste, nordeste, sudeste y sudoeste, respectivamente. Estimar el potencial aproximado y la intensidad del campo eléctrico en el centro del cuadrado. Suponer que el potencial carece de dependencia con z. *28.45 (a) Utilizando los resultados de la figura 28.20, dibujar esquemáticamente las líneas equipotenciales de 800 V, 600 V, 400 V y 200 V. Dibujar las líneas de campo. (b) ¿Cuál es el campo eléctrico E en el centro del tubo? *28.46 Utilizando N = 7, calcular una solución al problema del tubo de la figura 28.18. (INDICACIÓN: Aprovechar la simetría respecto a la línea de la malla que es vertical y corresponde a x = 8 m.) *28.47 Una tubería larga metálica de sección recta cuadrada de 6L de lado está colgada en el interior de otra tubería mayor cuadrada de 18 L de lado, centrada con ella. El potencial de la tubería interior es V = 100 V y la tubería exterior está conectada a tierra. (a) Realizar un cálculo numérico para obtener el potencial en los puntos entre las tuberías con una malla de espaciado L. Hacer V = O para todos los puntos interiores como hipótesis inicial y comprobar el número de iteraciones que se necesitan para que los resulta.dos converjan dentro de .6. V = O, 1 V. (b) Repetir el cálculo con diferentes valores del factor de sobre-relajación w y hacer un gráfico del número de iteraciones requeridas en función del valor de u. ¿Cuál parece ser el valor óptimo de u? (NOTA: Utilizando la simetría del problema, puede reducirse la tarea necesaria en un factor de ocho).

Soluciones (a) U, = -4.34 X 10- 18 J; (b) D.U, = 2.17 X 10- 18 J

28 • 1

U,= -{3.fi. - 4)Q 2/41rE 0 L (a) K = 2q 2/41rE 0 L; (b) K = q 2 /41rE0 L; (e) K = O; (d) K = q 2 /41rE0 L 28•6 (a) U,= (Qr 2 /41rE 0 R 3 )dq; (b) U, = 3Q 2/201rE0 R 28•3 28•4

28•7 (a) K = 6.1 X 10- 14 J; (b) T= 1.5 X 109 K 28•9 V(x,y) = y 2 - 2xy - x 2 28 • 10 b.U, = 0.559 J en los tres casos 28 • 12 R = 30 cm, Q = 6.67 X 10- 9 C = 6.67 nC 28 • 13 V = (p/6Eq)(3R 3 - r 2) para r ::5 R, y V= pR 3/3e 0 r parar~ R

Potencial eléctrico

1040

28 • 37 Para todo ax, calcular 6.y == -(E/Ey) ax para pasar de (x,y) a (x + ax, y + 6.y) sobre una equipotencial. Si E/Ey - oo, calcular ax== -(E/Ex)ay. 28 • 38 (e) Circunferencias de radio 0,851L, con centros en ( ± 1,3 lL,O) 28•40 (b) E = -2Vofa para x s O, E= (2V0 /a)(xla - 1) para O :s x :s 2a, E = 2V0 /a para x 2: 2a; (e) e = 2 V0 /a 2 para O s x s 2a, e = O para x s O y para x 2: 2a 28 • 41 INDICACIÓN: Demostrar que V2 V = O 28•43 (a) V,= -E0 x = -E0 r cos8;

28 • 16 V= (X/41rE 0) In [x/(x + L)J 28 • 17 W = (Xq/41rE 0 )ln (x/y) 28 • 18 V = (X/ 41rE 0 ) X In {[(x + L) 2 + y 2 ]/[(x - L) 2 + y 2]} 28 • 19 ~.V = 1000 V 28•20 (a) E= 150V/m; (b) E= 150V/m 28•22 (b) W = pQ/41rE 0 R 2 28 • 23 Q 1 = 5.46 X 10- 8 C, Q 2 = 2.55 X 10- 8 C 28•24 6.V= rnu 2d/qR 28•25 (a) U,= Qp/41rE0 R2; 2 (b) U, = Qp/41rE 0 R 2 ; (e) U, = Qp/41rE 0 R 2 )cos8, a/r (V E,= 28•26 (a) 0 E8 = (V0 a/r 2 )'seii¡8; (b) Ex= (Voa/r 4 )(x 2 - y 2), Ey = 2V0 axy/r 4 2G•27 (a) M= 2.56 X 10- 18 J; (b) M( = 2.56 X 10- 18 J; (e) 6.K = 16 eV; (d) u = 1.38 X 104 m/s; 6 ( e) u = 2.3 7 X 1~0__m__,_/~s--~~ 28•28 u/e= -Ji - (l + µ)- 2 , 2 donde µ = q6.V/rnoC 28•29 (a) av = 24.7 kV; (b) av = 103.l kV; (e) u= e - 9.8 cm/s 28•30 (a) K = 4.8 X 10- 16 J, u = 3.25 X 107 m/s; (b) h = 2.67 mm 28•31 p = 12.57 X 10- 3ºC·m 28•33 t~ = 21r 3E0 rnL 3/Q 2 28 • 34 r = 36 cm 28 • 35 (a) Las equipotenciales vienen dadas por r = r0 '\ÍCOS8; (b) l ../(x - ½0) 2 + y 2 2 l / (x + ½ll) 2 + y = constante; (e) (x,y) = (0.075, O), (3.51, O), (l, 1.98), (1, -1,98) en unidades de ½ó

(b) A = E 0 R2; (e) u = 2E0 E 0 cos 8 28 • 44 V = 45 V, E = 806,2 V/m (dirigido

a 60,3° en sentido horario respecto a la dirección hacia abajo. ~8 • 45 (b) E = -52,4j V/m (Se encuentra una mejor aproximación E = -51,8j V/m subdividiendo la malla alrededor del punto medio) 28•46 j = 2 j = 3 j = 4 469 V 246 V 135 V

6 i

= 5 4 3 2

72 V

31 V

17 16 15 i= 14 13

= 2 2.3

j

= 3 4.6 9.2

j

669V 419 V 250 V 138 V 61 V

(Por simetría pueden hallarse los puntos situados a la derecha de la línea media.)

28•47 j

629 V 379 V 221 V 121 V 53 V

= 4 6.9 13.7 20.7

j

= 5 9.0 18.2 27.4 37.0

j

= 6 11.0 22.1 33.9 46.3 59.9

j

= 7 12.6 25.5 39.2 54.7 73.2

j

= 8 13.8 27.8 43.0 59.4 78.3

j

= 9 14.4 29.3 44.9 61.8 80.2

j

= 10 14.7 29.7 45.6 62.5 80.8

Todos los valores están en voltios. Pueden hallarse otros puntos por simetría. Este problema y su solución se ha tomado de E. M. Purcell, Electricidad y Magnetismo [Berkeley Physics Course, vol. 2], probs. 3.29 y 3.30 (Ed. Reverté, Barcelona).

CAPÍTULO 29

Capacidad y condensadores Quiero advertiri aconsejo no intente repetir por sí mismo ... Estaba yo realizando algunas investigaciones sobre la fuerza de la electricidad; con este objeto había colgado mediante dos hilos de seda un cañón de fusil que recibía por comunicación la electricidad de un globo de vidrio que se hacía girar rcípidamente sobre su eje mientras se frotaba con las manos; en el Ótro extremo colgaba libremente un hilo de latón, cuyo extremo estaba introducido en un frasco de vidrio redondo, parcialmente lleno de agua, que yo mantenía en mi mano derecha y con la otra mano intenté producir chispas desde el cañón electrificado; de repente mi mano derecha fue sacudí~ da tan violentamente que se vio afectado todo mi cuerpo como si hubiese recibido la descarga de un rayo ... En una palabra, creí que todo había terminado para mí... La persona que intente realizar el experimento puede estar simplemente de pie sobre el suelo, pero es importante que sea el mismo individuo el que sujete el frasco en una mano mientras procura obtener chispas con la otra; el efecto es muy ligero si estas acciones las realizan dos personas diferentes ... Carta de Pieter van Musschenbroek (1692-1761) a M. de Réaumur, enero de 1746 fenómenos electrostáticos en un ambiente de casi abstracción matemática, excepto en lo que se refiere a los conductores y al cuanto de carga. Ahora empezaremos a desarrollar aquellos conceptos que nos permitirán finalmente describir las propiedades eléctricas y sus efectos sobre la materia macroscópica. Las propiedades eléctricas macroscópicas fundamentales de la materia se describirán en la sección 30.3 en función de la permitividad E, que se utiliza de un modo formalmente análogo al empleo de Eo y que nos permite la descripción de los campos eléctricos en el interior de los materiales. Sin embargo, hemos 1041

Capacidad y condensadores

1042

visto también el importante papel que las consideraciones geométricas juegan en los fenómenos eléctricos y es evidente que también deben considerarse las formas y los tamaños macroscópicos de los agregados de la materia. Esto se hace definiendo una magnitud que combina factores geométricos y del material: la capacidad C, que está también relacionada con la energía almacenada en un campo eléctrico. En este capítulo estudiaremos la definición y el cálculo de la capacidad en los casos en que el «medio» donde se establece el campo eléctrico es simplemente el vacío. De aquí que empleemos e0 = 8,85 x 10- 12 C2/N • m 2 , que es la permitividad del espacio vacío. En el capítulo próximo consideraremos el efecto de la presencia de la materia sobre la capacidad y nos veremos agradablemente sorprendidos cuando nos encontremos con que se necesita solamente un cambio relativamente ligero en nuestra descripción actual para que represente adecuadamente un conjunto muy amplio y diverso de fenómenos.

29.1 Capacidad Como introducción al concepto de capacidad, consideremos el caso idealizado de dos cortezas esféricas conductoras concéntricas, como las indicadas en la figura 29. l. El radio de la esfera interior es a y el de la esfera exterior es b. Entre ambas esferas se encuentra el vacío. La esfera interior tiene una carga neta de + q, mientras que la exterior posee una carga neta de -q. Las esferas pueden cargarse por conexión a los terminales opuestos de una batería o a otra fuente cualquiera de diferencia de potencial.

Fig. 29.J

Sección de dos cortezas esféricas conductoras concéntricas

Según la ley de Gauss, el campo eléctrico fuera de la esfera exterior debe anularse; de aquí que Vp, = O para todo punto P' situado sobre la esfera exterior. Por la ley de Gauss y por simetría, la intensidad del campo en el espacio situado entre las dos esferas es radial, y el campo eléctrico se debe únicamente a la carga situada sobre la esfera interna: E

paraa 5 r

< b

[29.1]

Capacidad y condensadores

1043

Por tanto, la diferencia de potencial con la ecuación [28.33], liV

-f

Vp

Á

V entre las esferas es, de acuerdo

q 411"Eo

E•ds

P'

=

4!Eo (; -

½)

rr

dr

b

[29.2]

en donde P f'S un punto cualquiera situado sobre la esfera interna. El valor de la diferencia de potencial es proporcional a q y, por ello, el cociente q/ Á V es independiente de q y depende únicamente de la permitividad del espacio libre (€ 0) y del factor geométrico abl(b - a). A partir de la ecuación [29.2], [29.3] en el caso de la pareja de esferas conductoras concéntricas. Todo sistema formado por dos cuerpos conductores aislados entre sí se denomina condensador. Si uno de ellos posee una carga + q y el otro una carga -q y si la diferencia de potencial entre ellos es Á V, entonces su capacidad eléctrica viene definida por [29.4] en donde q es, por convenio, la carga situada sobre el electrodo o armadura positiva del condensador. La importancia del concepto de capacidad radica en el hecho de que es una propiedad del sistema de conductores y depende, tanto de la geometría de las líneas de campo como del medio entre los conductores; es totalmente independiente de las intensidades de los campos y de las cargas aplicadas a los conductores. Esta definición de capacidad puede ampliarse a pares de conductores de cualquier forma y tamafio. Aunque C es una propiedad del sistema, puede medirse en principio como se indica en la ecuación [29.4] aplicando una carga conocida y determinando la variación de potencial. Podemos imaginarnos el condensador como un dispositivo para almacenar cargas, en el que la capacidad indica cuánta carga puede almacenarse para una determinada diferencia de potencial. Por ejemplo, puede aumentarse la capacidad del condensador formado por dos esferas concéntricas dada por la ecuación [29.3] si dejamos que a se aproxime a b. Como la atracción mutua entre las cargas situadas sobre las superficies con cargas opuestas aumenta cuando las acercamos entre sí, resulta entonces más fácil almacenar la carga. Sin embargo, existe un límite práctico para C, ya que el campo eléctrico aproximado que existe entre las esferas, E = Á V/(b - a), produciría finalmente una chispa para la neutralización de sus cargas mediante la ionización de las moléculas del aire existente entre las esferas. Los condensadores son los elementos o

Capacidad y condensadores

1044

dispositivos construidos para almacenar cargas; las configuraciones de conductores que almacenan cargas son, ipso facto, condensadores. El primer caso de un aislador recubierto por sus dos caras con superficies conductoras y que almacenaba cargas eléctricas fue anunciado en 1745 por un deán de catedral en Alemania denominado von Kleist, algunos meses después este efecto fue vuelto a descubrir por Pieter van Musschenbroek en Leyden, Holanda. A partir de aquí se deriva el nombre de vaso de Leyden que recibió un vaso de vidrio cuyas superficie exterior e interior estaban recubiertas con una lámina de estañ.o. El fenómeno del almacenamiento de cargas sobre un condensador fue investigado adicionalmente por Benjamin Franklin en los añ.os 1747 y 1748 y demostró que las cargas sobre las dos armaduras de un condensador tienen signos opuestos. Franklin construyó un condensador mediante una placa de vidrio recubierta por ambos lados con hojas de estañ.o. La palabra «condensador» se originó por la idea de que los condensadores condensaban la electricidad en una forma nueva y más poderosa. A veces se habla de la capacidad de un cuerpo conductor único y aislado. Como es natural, en la práctica no puede conseguirse realmente que un cuerpo esté totalmente aislado de los demás. Sin embargo, si las distancias de separación entre él y otro cuerpo cualquiera es grande en comparación con sus propias dimensiones, podemos a todos los efectos prácticos considerarlo como aislado y hablar de su capacidad como si fuese un cuerpo aislado libre. La capacidad de un cuerpo así suele denominarse capacidad respecto a tierra o respecto al infinito considerado como tierra. Podemos estudiar una esfera aislada como un caso especial de un condensador esférico imaginando que el radio de la esfera exterior de la figura 29.1 aumenta indefinidamente mientras que el radio de la esfera interior permanece fijo. Entonces,

...,_ e

. 47rE ab l1 m -0 - b-oo b a

[29.5]

En la deducción de la ecuación [29.5], la hipótesis de que b - oo implica que se lleva hasta el infinito una carga -q. En la práctica, si se sitúa una esfera conductora en un punto muy alejado de otros c~nductores o cargas, su capacidad puede ser muy próxima a 4n 0 a si los otros conductores o cargas presentes están a una distancia suficientemente grande de la esfera como para que su campo sea aproximadamente el de una carga puntual. El condensador de interés práctico más sencillo es el condensador de láminas planas paralelas, es decir, dos placas conductoras paralelas situadas muy cerca una de la otra. En un condensador de este tipo, el campo eléctrico debido a las cargas almacenadas es despreciablemente pequeñ.o excepto en la región existente entre las placas y no se ve afectado prácticamente en absoluto por la presencia de otros cuerpos en sus proximidades. El ligero «efecto de dispersión» de las líneas de campo (ver figura 28.15d) en los bordes de las placas es en general des,reciable. En este ca-

Capacidad y condensadores

1045

so, el 1.:i:11npo E0 existente entre las placas es uniforme y está relacionado con su carga superficial y con el gradiente de potencial entre ambos: LlV

q

d

Eo

(29.6]

en donde A es el área de cada placa y d es la separación entre ellas (ver figura 29.2). Por consiguiente,

.....

e = ..!L

(29.7]

LlV

A V = ~V

Fig. 29.2 Condensador de placas paralelas de área A y separación a

Ejemplo 29.J Demostrar que la capacidad de un condensador esférico se aproxima a la del condensador de placas paralelas cuando el radio a tiende al radio b.

Solución La separación de las cortezas en la ecuación [29.3] es d = b - a. Así pues, IimC

=

a-b

en donde A

. 41rabE 0 l1m - - a-b a b

= 41Tb 2 es el

área de la superficie esférica.

En los sistemas mksA y SI, q se mide en culombios y Ll V en voltios. La unidad de capacidad se denomina fa radio (F) en honor de Farad ay y 1F

=

1 C/V

=

1 C 2/ J

1046

Capacidad y condensadores

Fig. 19.3 Algunos tipos de condensadores comerciales

En el caso de la mayoría de los condensadores actuales, el faradio es una unidad muy grande y poco conveniente. Las unidades de empleo más común son el microfaradio (1 µF = 10-6 F) y el picofaradio (1 pF = = 10- 12 F). Los condensadores se fabrican en una gran diversidad de formas y tamafios (ver figura 29.3).

Ejemplo 29.2 Un caso de gran importancia práctica es el de un par infinitamente largo de cilindros coaxiales de radios a y b (ver figura 29.4). Suponer una densidad de carga lineal A sobre el cilindro interior y de - A sobre el exterior. ¿Cuál es la capacidad de dicho condensador?

1047

Capacidad y condensadores

Fig. 29.4

Solución Por simetría, el campo sólo puede tener componente radial. Como se vio en el ejemplo 28.5,

l

a

~V

=

-

h

,\

b - -.ln21ri0 a

,\

--dr 27rir/

,\

In~

b

Así pues, podemos definir una capacidad distribuida por unidad de longitud como

e,

,\

27rEo

~V

In (b/a)

Si la longitud del par de cilindros es L, entonces su capacidad es

Esta solución proporciona una aproximación muy buena a la capacidad real medida de estos condensadores cilíndricos, siempre que L >-- b y que los cilindros sean rectos o curvados con un radio de curvatura que sea mucho mayor que b.

29.2

Cálculos de capacidades

Podemos utilizar la definición general de capacidad C = q/ ~ V, para calcular la capacidad de parejas de conductores de diversas formas. En algunos casos esto puede hacerse directamente mediante el cálculo de ~ V a partir de las distribuciones de cargas. Sin embargo, en cualquier caso podemos en principio utilizar la ecuación de Laplace (ver sección 28. 7) para determinar la capacidad -bien teóricamente, o si fallan estos procedimientos, mediante el método de relajación (ver sección 28.8).

1048

+r- v-

c, _ _-I ----11-+

e,

+

Capacidad y condensadores Fig. 29.5 Condensadores conectados en paralelo

En la ·práctica suele ser deseable conectar varios condensadores juntos en diversas combinaciones. Es fácil de calcular la capacidad de dichas combinaciones. Consideremos en primer lugar varios condensadores C 1, C2•• • Cn conectados como se indica en la figura 29.5. (Obsérvese que el símbolo utilizado para designar un condensador es un par estilizado de placas paralelas.) Los condensadores están conectados en este caso en paralelo; todas las placas o armaduras positivas están conecta,fas .al mis-

mo potencial V mientras que todas las armaduras negativas están conectadas de modo análogo a tierra. Así pues, la diferencia de potencial es la misma A V = V para todos los condensadores y las cargas de los mismos son

= c.v

q.

[29.8]

La carga positiva total q sobre todas las placas positivas de los condensadores es la suma de los valores correspondientes a los condensadores individuales:

"

q

[29.9]

Sustituyendo las ecuaciones [29.8] en la ecuación [29.9) se tiene q

<e,

+

C2

+ . . . + c.) v

v

=

¿" e¡

[29.10]

i-1

Por consiguiente,

e

!l. V

¿" C; (para condensadores en paralelo)

[29.11)

i- 1

La capacidad equivalente de un grupo de condensadores conectados en paralelo es la suma de las capacidades de los condensadores aislados. Consideremos a continuación los mismos condensadores pero conectados ahora como se ve en la figura 29.6. Aquí el terminal positivo de un condensador está conectado al terminal o armadura negativa del siguiente . Este tipo de conexión se denomina en serie. Sean Vi, V2, V3, • •• Vn las diferencias de potencial que aparecen en cada condensador por separado . En este caso la diferencia de potencial total V entre los extremos de la serie es la suma de las diferencias de potencial individuales:

" [29.12]

Capacidad y condensadores

1049

Supóngase que la diferencia de potencial aplicada V entre los extremos de la serie produce una carga positiva q sobre la armadura positiva de C 1• En la armadura negativa de este mismo condensador se inducirá una carga igual pero opuesta -q, pero esto sólo puede suceder mediante la separación de cargas en el interior del circuito que conecta esta armadura con la armadura positiva de C 2• Por consiguiente, debe crearse una carga q sobre la armadura positiva de C2, que a su vez inducirá una carga de -q sobre la armadura negativa de C 2• Siguiendo este razonamiento, a través de toda la serie de condensadores se ve que q

[29. 13]

Por definición, q

=

cnvn e,

para í

1

= 1, 2, ... , n

-r· ,.

+·

q

-

- q

V~

+

q

V,

-

- q

[29.14]

Por consiguiente,

!L

1

CV, de modo que

q

V,

V,

+J;

-

-· e,

Ci

e, V

[29.15]

Sustituyendo la ecuación [29.15] en la ecuación [29.12], se tiene

n V

[29.16]

1

V,,

+

),

q

l~_,... - q

c.

Así pues, 1

V

e

q

I ~. i =J

{en el caso de condensadores en serie)

[29.17]

'

Fig. 29.6 Condensadores conectados en serie

El inverso de la capacidad equivalente de un grupo de condensadores conectados en serie es la suma de los inversos de las capacidades de los condensadores individuales. Al deducir estas relaciones para las capacidades equivalentes en paralelo y en serie, hemos supuesto implícitamente que todas las líneas de campo que salen de una placa o armadura de un condensador terminan en la armadura opuesta del mismo -es decir, que las cargas positivas y negativas tienen el mismo valor absoluto. Esto es sólo estrictamente cierto si no existe ninguna línea de campo que se escape de un condensador para terminar en otro. Tendremos en cuenta esta «pérdida» en la próxima sección.

Ejemplo 29.3 La figura 29. 7a muestra una red triangular de condensadores. Hallar la capacidad equivalente de la red si se aplica una diferen-

Capacidad y condensadores

1050

cia de potencial (a) entre los terminales a y e; (b) entre los terminales b y c. Fig. 19.7

e

(e)

(b)

(a)

Solución (a) El potencial tiene el mismo valor en todos los puntos de un conductor. Por consiguiente, para facilitar la comprensión, podemos «alargar» los hilos que conectan los condensadores en tanto que no alteremos las propias conexiones. Así se puede volver a dibujar el circuito como se ve en la figura 29'. 7b para resaltar el hecho de que los condensadores C 2 y C 3 están conectados en serie y que esta serie está conectada en paralelo con el condensador C 1• Según la ecuación [29.17], la capacidad equivalente de la rama que contiene a C2 y C3 viene dada por

I

e

=

- 1-

e,

+ -1-

e,

o bien C'

Y según la ecuación [29 .11], la capacidad equivalente de la red es

C 1C2

c.,.

+ C2

+

C 1C1

+

C2 C 1

e,

(b) Volviendo a dibujar el circuito esta vez como se ve en la figura 29.7c, vemos que C 1 y C 3 están en serie y que C 2 está en paralelo con ellos. Siguiendo un razonamiento semejante al anterior se tiene

C 1 C2

eh,

+

C 1C,

+

C2C)

el+ e)

Obsérvese que

e "·

- e . e, + e) "· C1 + C.1 El ejemplo 29.3 ilustra dos hechos importantes. En primer lugar podemos calcular la capacidad equivalente de una red cualquiera por etapas, alternando entre combinaciones en serie y en paralelo. En segundo

Capacidad y condensadores

1051

lugar, la capacidad equivalente de la red depende del lugar en donde se aplique la diferencia de potencial externo. Esto no debe resultar sorprendente si recordamos que la capacidad es una propiedad del sistema y que depende de la geometría de las líneas de campo entre los conductores, que se ve alterada cuando se modifican las conexiones. Utilizando las leyes de las conexiones en serie y en paralelo deducidas anteriormente, podemos determinar la capacidad equivalente de los condensadores conectados juntos de una forma arbitraria. Sin embargo, a veces debemos considerar circuitos en los que los condensadores primero se cargan y luego se conectan entre sí. En estos casos, suele ser más sencillo aplicar primero la ecuación básica q = Cti. V a cada condensador por separado y luego observar que debe anularse la suma de las diferencias de potencial AV¡ aplicadas a los condensadores en el circuito cerrado completo. Al recorrer un trayecto cerrado cualquiera en un campo electrostático no se obtiene ningún cambio neto de potencial porque el trayecto debe acabar en donde empezó; esto es cierto aunque el trayecto cerrado no esté totalmente dentro de conductores. AV1

A.V1

C,

C2

~,1J ~- -¼I,

1 K

K

-...:,,\

(a) Condensadores cargados independientemente

q

q

E= O

E = O

q

'·------:--.. ~

...~!.

+

q .'

- - - - - -'g/

4V' - ' 3

(b) Flujo de las cargas cuando se cierran los interruptores para conectar en serie a los condensadores

Fig. 29.8 Flujo de cargas cuando algunos condensadores cargados independientemente en-

tre sí se conectan en serie

Capacidad y condensadores

1052

Supóngase que tenemos tres condensadores separados C 1, C2 y C3 que están cargados independientemente con las diferencias de potenciales ~·V¡, ~ V2 y ·~ V3, respectivamente (ver figura 29.8a). A continuación se desconectan las baterías y se conectan entre sí los tres condensadores como se indica en la figura 29.8b, cerrando los interruptores K, permitiendo así que la carga fluya de un condensador a otro. Utilizando los principios de la conservación de la energía y de la conservación de la carga, podemos determinar las diferencias de potencial ~ Ví, ~ Ví y ~ V3 que aparecen en los condensadores después de cerrar los interruptores. Una vez que se han redistribuido las cargas entre los condensadores y que se ha alcanzado un equilibrio, el trabajo realizado al mover una carga unidad alrededor de un trayecto cerrado cualquiera debe seguir siendo cero. Consideramos un trayecto L a lo largo de los hilos de conexión y de los condensadores en sentido antihorario alrededor del circuito como se indica en la figura 29.8b. El campo en el interior de los hilos se anula, de modo que únicamente se realiza trabajo al mover la carga a través del espacio existente entre las armaduras del condensador. Por consiguiente, en todo el trayecto L se tiene

O (29.18)

en donde E 1, E 2 y E 3 son los campos que aparecen entre las armaduras de los condensadores, Sin embargo, sabemos que el campo E es uniforme en el espacio entre. las mismas, de modo que E • ds = -~ V; es decir, la integral de lín6i del campo entre las armaduras es igual a la diferencia de potencial con'-signo contrario entre las armaduras. Por consiguiente, la ecuación (29 .18) se convierte en

r

- Ti E• ds

=

f

dV

=

~v: +

~v; +

.lV; =

o

[29.19)

Obsérvese que hemos supuesto una diferencia de potencial positiva en cada uno de los condensadores . en nuestro camino antihorario alrededor del circuito. Si consideramos tódos los condensadores de modo consistente de este modo, obtendremos fos signos correctos de las diferencias de potencial en el extremo. Podemos entonces revisar cualquiera de las polaridades indicadas en la figura 29.8b, si es necesario. Supongamos que al cerrar los interruptores, fluyese una carga q desde la armadura positiva de C 1 a la armadura negativa de C-3. La adición de esta carga q haría que una carga correspondiente q fluyese alejándose de la armadura positiva de C3 hasta alcanzar armadura negativa de C2• Análogamente, fluiría una carga q desde la armadura positiva ·de C2 hacia la armadura negativa de C 1, estableciendo así un nuevo equilibrio a lo largo del circuito con cargas del mismo valor en las dos armaduras de cada condensador. El efecto neto es el mismo que si la carga q se transfiriese desde la armadura positiva a. la negativa de cada condensador.

Capacidad y condensadores

1053

El condensador C¡, que estaba inicialmente cargado a Q¡ = C¡A V¡ ahora tiene una carga QÍ = C¡A V¡ - q. Por consiguiente, la diferencia de potencial en el condensador es

_g_

=

AV;'

e,

para i

= 1, 2, 3

[29.20]

y la ecuación [29.19] se convierte en 3

AV:+ AV; +.AV;

q

"C,AVC, ¿

=

i-1

o

[29.21]

I

Despejando el valor de q se tiene q

=

C0 (AV,

+

AV2

+

AV3)

en donde [29.22]

Sustituyendo este valor de q en la ecuación [29.20], obtenemos el valor de las diferencias de potencial finales en los condensadores en función de las diferencias de potencial iniciales y de las capacidades de cada condensador: AV/

=

AV¡ -

Co (AV,

e,

+

LiV2

+

AV3)

para i = l, 2, 3

[29.23]

en donde C0 es la capacidad equivalente de los tres condensadores conectados en serie.

Ejemplo 29.4 Supongamos que cada condensador de la figura 29.8a está inicialmente cargado a la diferencia de potencial AV = V y que C 1 = 2C2 = 3C3 = C. Hallar q (cantidad de carga que fluye en el circuito cuando se cierran los interruptores) y las diferencias de potencial Ví, Ví y V3 finales que aparecen en cada condensador.

Solución Según la ecuación [29.22], 1

+l +l e e e y q

½CV

6

e

es decir C0

= e 6

Capacidad y condensadores

1054

Según la ecuación [29.23], V -

V -

ó.V;

V -

__f'._ 3V 6C 2C 3V

o

JC 3V 6C

- ½V

6C

Así pues, el primer condensador se descarga parcialmente, el segundo condensador se descarga totalmente y el tercer condensador resulta con su polaridad invertida cuando se cierran los interruptores.

29. 3 Sistemas de conductores Generalmente consideraremos en este texto únicamente la capacidad de un sistema de dos conductores con cargas opuestas. Sin embargo, es interesante señalar cómo podemos enfocar los problemas en los que intervengan las capacidades de un sistema de conductores. Supongamos que la carga neta sobre el sistema es nula, que el sistema puede considerarse aislado de todo otro sistema y que cada conductor es equivalente a una superficie equipotencial que está aislada de los otros conductores. q, V¡,

p

-----::::i=------s -=

+

(a)

P'

p

+ p'

p

----~-=-i::------s (e)

---------,---s =

+

(b)

Fig. 29.9 Sistema de conductores (ver texto)

(d)

Capacidad y condensadores

1055

En primer lugar, consideremos un cuerpo conductor P situado por encima de una superficie conductora S y que está aislado de la misma (ver figura 29.9a). Supongamos que S está unida a tierra ( V5 = O) y que la distancia entre P y S es mucho mayor que las dimensiones de P. Si se sitúa sobre P una carga q, lo cual crea una diferencia de potencial .::i V entre P y S, la capacidad de P respecto a la superficie S conectada a tierra es C = q/.::iV. Como .::iV = Vp - V5 = Vp - O= Vp, podemos decir que la capacidad de un cuerpo conductor con respecto a tierra es C = q IV en donde V es el potencial del cuerpo respecto a tierra. Supongamos a continuación que se coloca próximo a P un cuerpo P' cargado negativamente (ver figura 29.9b). El trabajo W = V requerido para llevar una carga positiva unidad desde S hasta P se ve ahora disminuido, porque existe una fuerza atractiva entre la carga y P'; así, pues, debe aumentar la capacidad C = q/V. Para decirlo de otro modo, la carga que se necesita para elevar P al potencial Vp debe ser mayor en presencia de P'. Supongamos ahora que el conductor P' es inicialmente neutro. La presencia de la carga q sobre P inducirá una separación de carga neta en P' (ver figura 29.9c). Debido a que las cargas negativas inducidas sobre P' están más próximas a P que las cargas positivas inducidas en P', la presencia del conductor neutro P' hace que sea también más fácil llevar una unidad de carga positiva desde S hasta P y, por tanto, aumenta la capacidad de P. Finalmente, supongamos que se conecta el conductor neutro P' a la superficie conectada a tierra S mediante un hilo conductor (ver figura 29.9d). La presencia de la carga q sobre P inducirá una separación de carga neta en el sistema de P' y de S, atrayendo cargas negativas del suelo desde S a través del hilo hasta P'. De nuevo, la presencia de carga negativa sobre P' aumenta la capacidad de P. Debe quedar claro también que la inclusión de un tercer conductor P" (cargado o no, conectado a tierra o aislado) influirá asimismo sobre las capacidades de P y de P'. Evidentemente, no podemos definir una capacidad única para un sistema de conductores a diferentes potenciales. Sin embargo, podemos dar un razonamiento heurístico sobre el método que realmente se utiliza si pensamos en función del flujo eléctrico entre los conductores. Si todas las líneas de campo procedentes de uno de los dos conductores terminan en el otro conductor con carga opuesta, entonces el flujo eléctrico total 'Ir entre los conductores es 'Y = qlE 0 , de acuerdo con la ley de Gauss. Así podemos definir la capacidad C de la pareja de conductores como igual a Eo multiplicada por el cociente del flujo entre los conductores y la diferencia de potencial entre ello!''

e =

'V

f-

o .:lV

[29.24]

Tanto el flujo como la diferencia de potencial son proporcionales a la intensidad del campo existente entre los conductores. Por consiguiente, se elimina en la ecuación [29.24] el valor del propio campo, quedando únicamente la permitividad y los factores geométricos.

Capacidad y condensadores

1056

Apliquemos la definición de la ecuación (29.24] a un sistema de tres conductores con cargas Qi, Q2 y Q 3 y potenciales V1, V2 y V3 respecto al infinito (V = 0). Las líneas de campo deben extenderse desde un conductor a otro o desde un conductor hasta el infinito (ver figura 29.10). El flujo entre dos conductores estacionarios cualesquiera debe ser proporcional a la diferencia de potencial entre ellos. Por consiguiente, 00

para i,j

= 1, 2,

3yi

*j

(29.25]

en donde 'Y¡j es el flujo desde el conductor i al conductor j y ªu es una constante que depende únicamente de la geometría de los sistemas. Además, el flujo desde i hasta j debe ser el contrario del flujo desde j a i. Así

wij =

-

'i'¡; ,

o sea,

aij( V;

-

(29.26]

V¡)

De aquí que [29.27] y podemos definir de modo consistente (29.281 como el flujo que desde i termina en el infinito (que es negativo para V¡< O).

Fig. 29.10 Cálculo de las capacidades de un sistema de conductores. Las áreas limitadas por trazos indican flujos i' ij entre conductores y flujos v ;; que terminan sobre cargas en el infinito.

Si ahora sumamos los flujos procedentes de cada conductor, tenemos según la ley de Gauss 3

Q;

=

E0

¿ j -1

'1';¡

para i

= 1, 2, 3

[29.29]

1057

Capacidad y condensadores

En el caso del primer conductor, sustituyendo los valores tomados de las ecuaciones [29.25] y [29.28], se tiene

Q¡

to{'V11 to[(a11

+ 'V12 + + ª12 +

'V11) all)V1 -

ª12V2 -

a13V1]

[29.30]

Obsérvese que Q 1 es linealmente dependiente de los tres potenciales. Definamos la auto-capacidad del primer conductor como

y definamos sus capacidades mutuas con los demás conductores como

Entonces podemos volver a escribir la ecuación [29.30] como C 11 V1

+

C 12 V2

+

C 13 V3

[29.31]

Q2

C21 Vi

C22V2

C11V1

+ +

C21V1

Q3

+ +

[29.32] [29.33]

Q¡ Análogamente,

C12V2

C11V1

en donde

cij

cji

C'"iª'i to

a;k

para i

'* j

[29.34]

para i = j

k-1

De aquí que existan únicamente seis capacidades independientes. Esta descripción es muy útil y se generaliza fácilmente a un sistema de N ecuaciones de la forma N

¿ cij ~

para i = 1, 2, ... , N

[29.35]

J-1

correspondientes a N conductores. En muchos circuitos eléctricos reales, algunas líneas de campo se «escapan» de los condensadores y no terminan sobre la armadura opuesta. En este caso, debe mclmrse en el análisis estas «capacidades parásitas». Por ejemplo, en el sistema de tres conductores, supongamos que todos los conductores excepto el primero están conectados a tierra, de modo que V2 = V3 = O. Entonces la ecuación [29.30] da [29.36] en donde el segundo término representa una corrección debida a las líneas de flujo que van desde el primer conductor a los demás. Por consi-

1058

Capacidad y condensadores

guiente, podemos representar estas Hneas de flujo por una capacidad parásita C' = €o(a12 + a13), de modo que

Q,

[29.37]

En otras palabras, esta capacidad parásita puede representarse mediante un pequeño condensador C' en paralelo con el condensador primario C 11 , de modo que la capacidad total del sistema es C 11 + C'. En general, podemos representar la capacidad parásita mediante una pequeña capacidad adicional añadida a la capacidad pnmaria del condensador o del conductor en cuestión.

Ejemplo 29.5 Aplicar la formulación precedente de la capacidad a un condensador de placas planas paralelas con armaduras de área A y separación d, y demostrar cómo pueden obtenerse las capacidades C;¡ conectando a tierra alternativamente primero una de las armaduras y luego la otra. Solución Prescindamos de los campos marginales y supongamos que todo el flujo V = EA que sale de una armadura termina en la otra. Entonces no hay ningún flujo que termine en el infinito y a 11 = a22 = O. Por consiguiente, según la ecuación [29.25], 'V

EA

A

LlV

LlV

d

Por la ecuación [29.34], C, 1 = C,,-- =

E0 A - = -d

Eoa,,

Si, en el caso de un par cualquier de conductores, podemos medir cargas potenciales a nuestro gusto, entonces podemos conectar a tierra el segundo conductor (V2 = O) y, según las ecuaciones [29.31] y ]29.32], tenemos

o sea

= e:!, obteniendo así expresiones para las capacidades en función de cantidades medibles. Si, por el contrarioi conectamos a tierra el primer conductor ( V1 = O), podemos medir también

Capacidad y condensadores

1059

De hecho, se puede utilizar esta técnica para determinar las capacidades de un sistema que contenga un número cualquiera de conductores.

Ejemplo 29. 6 Hemos visto que el potencial de un conductor sin carga se altera cuando se le acerca otro conductor cargado, porque cualquier carga testigo que se esté moviendo hacia el cuerpo sin carga deberá pasar a través del campo del cuerpo cargado. Supongamos que un conductor con carga Q1 = O tiene un potencial V 1 = V cuando está en presencia de un conductor cargado con Q2 = Q. Supongamos a continuación que se retira esta carga Q ·del cuerpo 2 y se deposita sobre el cuerpo 1. Demostrar que el cuerpo 2 tiene ahora un potencial V2 = V. So/uci6n En la situación original tenemos, según las ecuaciones (29.31) y (29.32),

o

Q2

= Q

Despejando entre estas dos ecuaciones V, se tiene V

=

c,!Q

Después dé que la carga se mueve desde el cuerpo 2 al cuerpo 1, tenemos Despejando V2, se tiene

v;

t,2Q

V

Obsérvese que esta reciprocidad entre las cargas y los potenciales es un resultado directo de la conservación del flujo eléctrico y es independiente de la geometría de los conductores.

29.4 Energía del campo electrostático y tensión Para cargar un condensador debe consumirse energía; esta energía se almacena como energía potencial electrostática Ve y se libera nuevamente cuando se descarga el condensador. Podemos calcular esta energía evaluando el trabajo requerido para cargar el condensador. Imaginemos que tomamos una pequeña carga + dq de uno de los conductores y la depositamos en el otro. Repetimos este proceso hasta que el condensador se carga hasta una carga final Q, originando una diferencia de potencial V entre los conductores. Supongamos que en cierta etapa de este proceso de carga, se ha depositado ya una carga + q sobre una de las armaduras, quedando la otra con una carga -q, de modo que existe una diferencia de potencial V'

Capacidad y condensadores

1060

entre ambas. En esta etapa, el trabajo dW que se necesita para llevar el siguiente incremento de carga dq de un conductor al otro es dW

=

dU,

V'dq

[29.38)

según la ecuación [28.12). El trabajo total realizado en la carga del condensador puede hallarse entonces por integración: W

=

r

[29.39)

V'dq

En el caso de una cantidad de carga q cualquiera sobre la armadura positiva, V' = q/C según la definición de capacidad de la ecuación [29.7). Por tanto,

w

l

Q

º2

g_ dq

[29.40)

2C

º e

También podemos escribir el trabajo (que es igual a la energía potencial electrostática Ue debida al proceso de carga) como

w =

u,

º2

2C

½CV 2

=

½QV

[29.41)

Este valor Ue representa la energía potencial electrostática almacenada en el condensador cargado. Obsérvese que nuestra deducción se sigue tan directamente de las definiciones generales de Vy C que se aplican las ecuaciones [29.40) y [29.41) a cualquier par de conductores con cargas opuestas, con independencia de su geometría. El truco a la hora de utilizar estas ecuaciones consiste, como es natural, en determinar C, puesto que V es fácil de medir. En unidades SI, W se expresa en julios. En unidades cgs-gaussianas se aplican las mismas definiciones de V y de C, de modo que las formas de las ecuaciones [29.40) y [29.41) siguen siendo válidas, pero expresando W en ergios. Como ejemplo, consideremos la energía electrostática almacenada en un condensador de placas plano-paralelas de capacidad C, diferencia de potencial V, área de las placas A y separación entre las mismas d:

u,

½CV 2

[29.42)

siendo E 0 la intensidad ctel campo existente entre las placas. Esta expresión nos lleva a una cuestión interesante: ¿en dónde se almacena la energía Ue? ¿Se almacena en las cargas o en el propio campo? Nos encontramos de nuevo con el dualismo de los fenómenos eléctricos, que pueden describirse bien en función de los campos o de sus fuentes. En función

Capacidad y condensadores

1061

del campo electrostático E 0 existente entre las placas podemos definir una densidad de energía electrostática ue como u,

u, Ad

[29.43]

.en donde Ad es el volumen ocupado por el campo existente entre las placas (despreciando los campos marginales). Es posible también adscribir la energía potencial a la posición de cada cuerpo cargado en el campo potencial del otro. Sin embargo, en la práctica, suele ser más conveniente adscribir una densidad de energía al propio campo, particularmente cuando se estudia la luz, la radio, el radar y otras ondas electromagnéticas que se propagan por el espacio (ver capítulo 41). Con objeto de deducir una expresión general para la densidad de energía de un campo eléctrico en el vacío, haremos uso de cargas «imagen». Todo campo electrostático puede deducirse de una función potencial y vimos en la sección 28.7 que toda función potencial debe satisfacer la ecuación de Laplace [28. 73] en el espacio libre de cargas. Puede demostrarse matemáticamente que, si se especifica el potencial o el campo eléctrico en todos los puntos del contorno de una región del espacio, existe solamente un único campo posible en el interior de la región que satisface simultáneamente la ecuación de Laplace y las condiciones de contorno. Esto significa que podemos estudiar el comportamiento del campo en una determinada región, imaginando una situación en la cual el campo se deba a un conjunto de fuentes (cargas imagen) situadas sobre el contorno o en el exterior del mismo, de forma que esta configuración de cargas cree el campo o potencial apropiado sobre el contorno de la región. Denominamos cargas imagen a dichas cargas porque crean una imagen del campo original dentro de la región de interés.* Sin embargo, son solamente una ficción conveniente, de forma que la imagen que crean es válida únicamente en el interior de la región citada. Imaginemos dos superficies equipotenciales vecinas (ver sección 28.5) de un campo electrostático E en una región libre de cargas, estando una de las superficies al potencial Vy la otra al potencial V + dV (ver figura 29.1 la). Podemos sustituir estas superficies equipotenciales por dos superficies perfectamente conductoras que coincidan con las superficies originales (ver figura 29.1 lb) porque un conductor perfecto es equipotencial. Se satisfarán las condiciones de contorno dando a cada conductor una densidad superficial de carga a = ± E0 E, en donde E es la intensidad del campo eléctrico real entre las equipotenciales, colocando la carga positiva sobre la superficie que posea el potencial más elevado. Ahora podemos olvidarnos del campo exterior a los conductores y hacer uso de nuestros cálculos para el caso de los condensadores de placas plano-

*El término «imagen» fue utilizado originalmente para indicar una imagen especular (como en la fig. 28.16), pero aquí se utiliza en su sentido más moderno de «semejanza exacta». Es decir, una carga imagen no necesita ser una reflexión especular de una carga real.

Caoacidad v condensadores

1062 Equipotenciales

(o) Superficies equipotencioles en un campo E

{b) El campo E resulto sin variación cuando se sustituyen los equipolencia/es por superficies conductoras cargados

dq

Fig. 29.11 Empleo de un cálculo mediante cargas «imagen» para hallar la densidad de energía de un campo eléctrico en un espacio libre de cargas (c) Condensador de placas poro/e/os infinitesimal formado mediante segmentos de los superficies conductoras cargados.

paralelas con objeto de determinar la densidad de energía entre los conductores. A continuación «recortemos» un condensador infinitesimal en el espacio situado entre los conductores. Consideremos el volumen dC\/ de sección recta dA y espesor ds entre los conductores (ver figura 29.1 lc). Como ds es paralela al campo eléctrico entre los co_nductores, todo el flujo que sale del área dA de una superficie termina sobre el área correspondiente de la segunda superficie, como en el caso del condensador de placas plano-paralelas. La energía potencial electrostática dUe almacenada en este condensador infinitesimal ficticio es precisamente la energía que se requería para situar las cargas superficiales sobre las áreas dA de los dos conductores. A partir de la ecuación [29.42] tenemos con E 0 - E, A - dA y d - ds,

[29.44]

Capacidad y condensadores

1063

Por consiguiente, en un punto cualquiera del espacio vacío libre de cargas, la densidad de energía es dU,

[29.45]

d'V

en donde E es la intensidad del campo eléctrico en dicho punto. De aquí que la energía potencial electrostática total contenida en cualquier campo eléctrico sea [29.46]

fu, d'V

en donde la integración se realiza extendiéndose a todo el espacio libre de cargas en el que existe campo -es decir, en todo el espacio exterior a las fuentes que producen el campo.

Ejemplo 29. 7 Utilizando la ecuación [29.46], calcular la energía potencial electrostática de una esfera cargada y demostrar que el resultado obtenido es equivalente al que se consigue mediante la ecuación [29.41]. Solución Supongamos que todo elemento de volumen en el espacio posee forma de corteza esférica de radio r, espesor dr y volumen d'V = 47rr2 dr. Si la esfera tiene un radio R y posee una carga Q, entonces según la ecuación [29 .46]

1 00

U, =

½fo

2

(~)

R

41rE 0 r

2

47rr dr = ½Q-º- = ½QV 41rE0 R

puesto que V = Ql47rEoR es el potencial de la esfera respecto al infinito, es decir, la diferencia de potencial entre la esfera y las cargas opuestas que se presume que están en el infinito o a distancias muy grandes de la esfera. Así, pues, el resultado concuerda con el obtenido con la ecuación [29.41].

Las cargas opuestas que existen sobre las dos placas de un condensador de placas plano-paralelas ejercen una fuerza atractiva entre sí. La fuerza atractiva sobre una placa de densidad de carga superficial a debida al campo neto E 0 = -!-alE 0 de la carga situada sobre la otra placa es

+

F

=

½aAE0

[29.47]

.Esta fuerza es equilibrada por otra fuerza atractiva igual y opuesta sobre la otra armadura o placa. Así, pues, el campo existente entre las placas transmite una tensión de «tracción» F A

[29.48]

Capacidad y condensadores

1064

entre ellas. Podemos aplicar también este razonamiento a las cargas imagen de la figura 29.11 para obtener el resultado general

F

[29.49]

A

para cualquier campo en el espacio libre de cargas. Un conductor que coincida con la superficie equipotencial que pasa por ese punto del campo se verá sometido a una tensión normal F / A debida a las líneas del campo eléctrico que terminan sobre las cargas inducidas en el conductor. Un campo eléctrico no sólo contiene energía sino que transmite también una tensión a lo largo de las líneas del campo, que actúan de modo semejante a cuerdas elásticas tensas entre las cargas positivas y las negativas. Las medidas a realizar en un campo electrostático son casi exclusivamente medidas de diferencias de potencial, porque son las más sencillas de realizar. Por ejemplo, como todos los puntos de un conductor deben estar al mismo potencial, podemos aplicar una diferencia de potencial deseada entre dos conductores conectándolos simplemente a puntos situados sobre superficies conductoras de potenciales conocidos. Cuando los conductores se disponen de modo que constituyan piezas móviles de un sistema de modo que sean medibles las fuerzas que se ejercen entre sí, tenemos un electrómetro o voltímetro electrostático. En el electrómetro de discos, los dos conductores son placas metálicas paralelas con densidades de carga superficiales ± a, separación d y un campo E 0 = alEo entre 'ellas. La diferencia de potencial entre las placas es V = E 0 d. La fuerza existente entre las placas de área A es F = E 0E5A, de modo que

+

(2ii

y~

[29.50]

y podemos expresar la diferencia de potencial como V

1W

y-;;;¡

[29.51]

La figura 29.12a muestra el aparato. Las dos placas paralelas son circulares. La placa inferior está montada sobre una varilla de cuarzo fija mientras que la placa superior se suspende de uno de los brazos de una balanza sensible. Se ajusta de tal modo, que cuando no existe ninguna diferencia de potencial entre las placas, la placa superior cuelga exactamente en el plano de un anillo metálico G que la rodea y que tiene el mismo espesor (el espacio de separación entre la placa y el anillo ha de ser muy pequeño). Cuando ha de realizarse una medida, se conecta la placa inferior al potencial desconocido V. La placa superior, junto con el anillo G y la balanza, está unida a tierra, eliminándose así las perturbaciones debidas al entorno. La fuerza atractiva que aparecerá entre las placas hará-

Capacidad y condensadores

1065

G -a dc=i

+a

~J.,----.:L ..._ O

,G V

[*:

G

{a) Diagrama esquemático del electrómetro

G

fflíf 1t H t t t t f t t 'ftttQ) V

Fig. 29.12

Electrómetro de discos

(b) Detalle aumentado de las placas; obsérvese cómo el anillo de guarda reduce al mfnimo los efectos def los bordes de la placa superior

necesaria la colocación de pesas de masa m en el platillo de la balanza para hacer que la placa recupere su posición inicial. Como F = mg, la ecuación [29.51) se convierte en [29.52] _y así podemos medir todas las cantidades que se necesitan para calcular V. La función del anillo de guarda G consiste en asegurar que el campo

existente entre las placas sea muy aproximadamente un campo uniforme (ver figura 29.12b); esto es esencial si se quieren hacer medidas exactas.

29. 5

Cálculo de capacidades: método de las imágenes

En la sección 29.4 vimos que se pueden sustituir las superficies equipotenciales de un campo en el espacio mediante superficies conductoras sobre las que se colocan cargas imagen que reproducen exactamente el campo original existente entre las equipotenciales. Ahora vamos a invertir este razonamiento y lo utilizamos para determinar el campo existente entre dos conductores -problema que posee un considerable interés práctico. Si dos conductores son de tal tipo que sus formas y tamañ.os relativos son exactamente los mismos que los de cierto par concreto de equipotenciales debidas a cierta distribución conocida de cargas puntuales, entonces podemos utilizar estas cargas puntuales como imágenes que nos permitan calcular el campo existente entre los conductores. Entonces, en el caso de una diferencia de potencial particular entre dos superficies equipotenciales, podemos calcular las densidades de carga superficiales <1 = ± e0 E que deben existir realmente sobre los conductores correspondientes para mantener el campo calculado entre ellas. Puede pensarse que es muy difícil encontrar dicha distribución simple de cargas imagen para un conjunto particular de conductores. Sin embar-

Capacidad y condensadores

1066

(a) Condensador formado por dos superficies conductoras con cargas opuestas que son superficies de revolución ·alrededor de sus ejes

=

(b) Campo de las cargas imagen q a la separación ó en la i cual las superficies conductoras cargadas son equipolencia/es

36/7

H H 6/3 {c) Posiciones relativas de las cargas imagen y de las superficies conductoras

Fig. 29.13 Aplicación del método de imagen a dos conductores

go, un buen mecamco puede hacer unos conductores satisfactorios. En aquellos casos en los que debamos considerar conductores cuyas formas no sean las ideales, todavía podemos encontrar una distribución de cargas imagen con equipotenciales que se aproximen a los contornos de los

Capacidad y condensadores

1067

conductores y así puede obtenerse una información aproximada útil acerca del campo entre ellos. Nuestro objetivo consiste en determinar el campo potencial existente entre los conductores debido a las cargas imagen correspondientes. De acuerdo con la ley de Gauss, el flujo que atraviesa una superficie equipotencial cerrada debe ser igual a l/e 0 multiplicado por la carga imagen que la superficie encierra. Por consiguiente, esta carga imagen ± q debe ser igual a la carga real que reside sobre la· superficie del conductor correspondiente. Así, pues, la capacidad de los dos conductores viene dada simplemente por C = ql Á V. Como ejemplo, consideremos los dos conductores indicados en la figura 29.13a, que son superficies de revolución alrededor del eje x. La superficie positiva está a un potencial V+ y la negativa a un potencial V_. Se escogen específicamente estas superficies como nuestro ejemplo, porque sabemos de antemano que corresponden a superficies equipotenciales de un par de cargas puntuales ± q iguales y opuestas separadas entre sí una distancia ó sobre el eje x, (ver figura 29.13b). El conductor negativo está a una distancia mínima de 3ó/7 de la carga imagen negativa -q y el conductor positivo está a una distancia mínima de ó/3 de la carga imagen positiva q (ver figura 29.13c). Como cada superficie es una equipotencial, necesitamos determinar su potencial únicamente en un punto -cualquier punto bastará. El punto en donde resulta más fácil el cálculo es el que está a distancia mínima de la carga imagen encerrada. Así, en el caso del punto adecuado situado sobre el conductor cargado negativamente,

_q

V_

(-1 __1)

41l'Eo 4o/7

(29.53)

3o/7

Análogamente, el punto situado sobre el conductor cargado positivamente está a un potencial V+

q ( 1 41rEo ó/3 -

=

/3)

1 20

..2!l_ 81rEoÓ

(29.54)

Por consiguiente, ÁV

=

V,.

V-

--10L 481rE 0 Ó

(29.55]

y

e = ...!L =

(29.56]

.ó.V

Ejemplo 29.8 Supongamos que los dos conductores de la figura 29.13a están a 1 cm de distancia entre sí y que se encuentran cargados con una diferencia de potencial de 100 V por su conexión a los bornes opuestos de

"""",... :·vuO

Capacidad y condensadores

una batería. (a) Hallar la carga sobre cada conductor. (b) Hallar el valor máximo del campo eléctrico existente entre ellos. (e) Hallar la fuerza electrostática neta ejercida sobre cada conductor. Solución

d

(a) La distancia mínima entre los conductores es

8 -

38

- 7

58

8

3

1cm

21

Por consiguiente, 4.2 cm

=

Como A V

0.042 m

l 00 V, la ecuación [29. 55) da

~ 481rf0 8

l00 V

y despejando el valor de q se tiene q

488 X

41rt 0

2.24 X !O

°C

1

(b) Según la figura 29.13a, podemos ver que las líneas de campo son más densas en el punto más a la izquierda del conductor pequeño, de modo que allí el campo es más intenso. En este punto, el campo debido a las cargas imagen es

E

q 41rt 0

(

1 (8/3)2

1 ) (28/3)2

7714 V/m

(c) Podemos considerar que el campo que transmite la fuerza entre las cargas sobre los conductores es semejante a una tensión de tracción distribuida sobre sus superficies. Esta fuerza se transmite a lo largo de las líneas del campo imagen completo entre las cargas imagen, de modo que debe igualar a la fuerza electrostática ejercida entre las cargas imagen. (¡Esto es un razonamiento y no una prueba!) Por consiguiente, la fuerza que se ejerce entre los conductores es una fuerza atractiva F

2.56Xl0

7

N

0.0256 dinas

*29.6 Cálculo de capacidades: métodos numéricos Si conocemos una solución correspondiente al campo potencial existente entre un par de conductores, entonces podemos evaluar el campo eléctrico, por ejemplo, en el contorno A+ del conductor positivo. Podemos de-

1069

Gapacidad y condensadores

terminar entonces la carga total q sobre dicho conductor integrando la densidad superficial de carga a en el contorno:

q

=

L_

<1

dA +

=

Eo

L_E• dA +

=

-E0

L. VV• dA+

(29.57]

El campo eléctrico es normal a una superficie perfectamente conductora, de modo que la capacidad del par de conductores es E0

e=

...9.__ ÁV

=

L+ l'vVI dA+ V+ -

Eo

l

(avJan)dA+

(29.58)

A+

V_

en donde n es la coordenada normal a A + y IV VI = -a Vlan es variación de V respecto a n. (El signo menos es necesario porque V disminuye cuando nos alejamos de A +. ) Por consiguiente, podemos hallar la capacidad entre dos conductores de formas cualesquiera resolviendo la ecuación de Laplace en la región entre ellos para una diferencia de potencial dada cualquiera Á V = V+ - V_ . Según la ecuación (28.66), el valor absoluto del gradiente de potencial es igual a variación de la función potencial en la dirección normal a la superficie, de modo que podemos aproximarlo numéricamente como

IVVI

(29.59)

_Puede determinarse numéricamente el numerador de la ecuación [29.58) (ver ejemplo 29.9) aproximando IV VI en diversos puntos a lo largo de la superficie de contorno A + y realizando luego una cuadratura numérica para hallar q mediante la regla de los trapecios o la regla de Simpson.

Ejemplo 29. 9 Calcular la capacidad aproximada C1 por unidad de longitud del condensador cuadrado cuya sección recta se indica en la figura 28.18a.

Sea A la superficie superior del conductor situada en y = 16 m y con un potencial de 1000 V. Utilizando la solución indicada en la figura 28.20, podemos aproximar av1ay utilizando los valores en y= 14 m: Solución

+

av

V(x.16) - V(x,14) 2m V(x,14) Y/m

l'vVI

ély

1000 -

2

Capacidad y condensadores

1070

Obtenemos así 2

4

6

8

10

12

V(x,14). V

482.6

661.0

730.5

749.3

730 ..'i

661.0

482.6

-f.~. V/m

258.7

169.5

134.8

125.4

134.8

169.5

258.7

X, ffi

14

Sea >,, = QIL la carga por unidad de longitud (en la dirección z) sobre la cara superior del conductor. A partir de la ecuación (29.57],

Podemos realizar numéricamente esta integración utilizando los datos correspondientes a E. tomados de la tabla anterior y la regla de los trapecios descrita en el apéndice N para la integral de una función f(x), en donde .:ix = (XN - Xo)IN:

rN j(X) dx

Íxo

Obtenemos así 1985t,,

1.758 X 10 'C/m

Por consiguiente, la capacidad por unidad de longitud vale aproximadamente

e~ -

X

-

1.758 X 10-a C/m 1000 V

1.758 X 10

11

F/m

Podemos mejorar esta aproximación haciendo disminuir el tamaño de la red y realizando de nuevo la relajación, o bien simplemente interpolando valores medios de V entre los valores conocidos en las proximidades del contorno y utilizando un método de cuadratura más exacto para determinar>-..

En el Ejemplo 29.9, podríamos determinar E con más exactitud sobre el conductor positivo si de alguna manera pudiéramos tambi~n tener en cuenta el comportamiento de V(x,y) en más de un punto, alejándonos del conductor y permitiendo así una mejor estimación del valor de aV loy. Se puede llegar a esto utilizando la técnica del polinomio de interpolación único (ver apéndice N). Consideremos una hilera de puntos a lo largo de una línea vertical de la malla x = xj = constante que es perpendicular a la superficie superior del conductor descrito en la figura 28.18. Podemos construir una forma

Capacidad y condensadores

1071

Fig. 19.14 Esquema de interpolación para hallar élV/ély en Yo a partir de la solución por relajación de la figura 28.10 derivando el polinomio de interpolación.

V0 = lOOOV

Y = Yo V,

de Lagrange del polinomio de interpolación único P(y) = V(x¡, y) que pasa por los valores de V que hemos determinado a lo largo de la malla en x = X¡, como se haría exactamente para cualquier función monodimensional de datos espaciados por igual. Adaptando el polinomio de la ecuación [20.32], se tiene V(xj,y)

=

P(y)

=

A 0 (y)Vo

+

A 1(y)V1

+ ··· +

AN(v)VN [29.60)

en donde V¡ para i = O, 1, ... , N son los valores conocidos de V(x¡, y) en N + l puntos de la malla igualmente espaciados (x¡,Yo), (x¡, y 1),.:., (x¡, YN) como en la figura 29.14. Como vimos en la sección 20.6, podemos expresar este polinomio de interpolación P(y) en función de una variable normalizada v: P(y)

fL.., a;(v) v; en donde

N(y -

Yo)

v = ---- =

YN -

i=O

Y - Yo Ll Y

Yo

[29.61)

< O, la variable ves positiva y siguen siendo válidas las fórmulas de interpolación.) Podemos deducir ahora una fórmula aproximada correspondiente al campo eléctrico en el conductor derivando simplemente la ecuación [29.61):*

(NOTA: Aunque y ~ Yo e y

-

. (aV) ay = Y=Yo

-

(dP) dy

Y=Yo

N

=

- _l ~ a'(O) V LlyL , ,

[29.62)

i-0

en donde aí = da¡ldv. Aplicando el polinomio de interpolación a tres puntos igualmente espaciados de la ecuación [N .16), se tiene

en donde v = y_-_ _Y_o Lly

Derivando la ecuación [29.63) y calculando la derivada en v mos el componente y del campo:

[29.63)

= O, obtene-

[29.64)

* Valores de las derivadas de a 1 superiores a la derivada quinta y N = 5 pueden hallarse en M. Abramowitz e l. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions (Washington, D.C.: National Bureau of Standards, 1965).

V2

V3

Capacidad y condensadores

1072

Después de ordenar se ve que la ecuación [29.64] es simplemente una combinación ponderada de dos aproximaciones menos precisas de la derivada en el contorno conductor: [29.65]

Aplicando la ecuación [29.64] a los datos de la figura 28.20, obtenemos los valores siguientes del módulo E = -Ey del campo en el contorno (en donde Ax = ~Y = 2 m). X, ffi

E, V/m

2

4

6

334.74

196.72

147.42

134.73

10

12

14

147.42

196.72

334.74

Utilicemos la regla de los trapecios para realizar la integración correspondiente a '1' e, el flujo eléctrico por unidad de longitud (en la dirección z) procedente de la placa superior: 2 m [E(2) 2.

+

2E(4)

+

2E(l0)

2316 líneas/m

+ +

2E(6)

+ 2E(8)

2E(12)

+

E(14)] [29.66]

Así pues, la capacidad total por metro es

2316 1000

--f

°

2.051 X 10-s F/m [29.67]

Este valor difiere en un 16,6 por ciento del valor menos exacto obtenido en el ejemplo 29.9. En este ejemplo numérico hemos despreciado todo campo o efecto de los bordes y hemos hecho algunas aproximaciones basadas en razonamientos físicos con objeto de simplificar el análisis. Sin embargo, pueden superarse estos inconvenientes. La idea básica de un cálculo por relajación es siempre aplicable en cualquier caso en el que la ecuación de Laplace v' 2 V = O se satisfaga en una región limitada en donde V sea finito. A partir de esta solución podemos a su vez aproximar numéricamente los valores del campo eléctrico, de las densidades superficiales de carga y de las capacidades. Estos métodos numéricos son útiles fundamentalmente en problemas que pueden reducirse a· problemas bidimensionales en el plano xy o a problemas con simetría axial. Los métodos de relajación son muy utilizados en el estudio del magnetismo, de la electrónica y de la mecánica de fluidos, así como de la electrostática.

Capacidad y condensadores

1073

Ejemplo 29.10 (a) Hallar una aproximación de Lagrange de cuatro puntos a V(x¡,y). (b) Hallar la aproximación a Ey en Yo y en y 1• (a) Según el apéndice N, los coeficientes normalizados son

Solución a0

= -

k(v -

I )(v -

l)(v -

- ½v(v -

en donde v

= (y -

=

o 0 V0

V(x,,y)

2)(v -

3)

=

a,

3)

½v(v

2)(v

3)

i-v(v

I )(v

2)

y 0)/ Ay y estos coeficientes dan la aproximación

+

a 1V,

+

a 2V2

+

a 3 V3

(b) Derivando y reuniendo términos, se tiene

- t(3v 2

12v

- ½(3v2

a'2

_en donde aí

=

8v

+ 11) + 3)

-

- ~Y I

a;(O)V,

-f I

a;(J)V;

6Ay

3

-

a3

1 - - (IJV0

;-o

Ey(i• 1)

l

½(3v 2

10v

H3v~

fü,

+ 6) + 2)

da¡ldv. Calculando el campo, tenemos 3

E)yo)

a;

y ,-o

=

1 - - (2V0 6Ay

-

I8V1

+

3V, -

+

9V, -

6V2

+

2V3)

Vi)

Las derivadas calculadas en puntos del interior del intervalo Yo s y s y 3 serán más exactas que las calculadas al final del intervalo.

Obsérvese que hemos estado considerando a V(x,y) como calculado para un valor fijo x = X¡, de forma que hemos tratado a V como si fuese una función de y solamente. De hecho, el análisis de esta sección se aplica a cualquier función continua de una sola variable con derivadas continuas.

PROBLEMAS 29. 1

Capacidad

29.1 Dos cilindros metálicos coaxiales tienen radios R y R + d, siendo R ;l1:> d, de modo que el área superficial de cada cilindro es aproximadamente A = 21rR L, en donde L es la longitud de los cilindros. Demostrar que la capacidad de los dos cilindros es aproximadamente igual a la de dos placas paralelas, cada una de área A, separadas entre sí una distancia d.

Capacidad y condensadores

1074

29.2 ¿Cuál es la capacidad de la tierra? (Comparar el resultado obtenido con la solución del problema 28.20.)

Hallar la capacidad de un condensador formado con dos esferas de radio R cuyos centros están separados una distancia L, siendo L iil>- R.

29.3

29.4 (V

Dos esferas conductoras concéntricas están -aisladas del suelo

= 0). Un hilo conductor pasa por un pequeño orificio de la esfera ex-

terior sin tocarla y se conecta a la esfera interior, que se carga entonces a un potencial de 100 V uniendo el otro extremo del hilo a una batería. Se retira a continuación el hilo, que se emplea para conectar la esfera exterior al suelo. Se mide entonces el potencial de la esfera interior y resulta ser 20 V. ¿Cuál sería el potencial de la esfera interior si se hubiese utilizado el hilo para conectar entre sí a ambas esferas en lugar de unir la exterior con tierra? 29.5 Entre las armaduras o placas de un condensador de láminas planoparalelas distantes d entre sí se introduce una lámina de metal de espesor t, de modo que sea paralela a las placas sin tocarlas. Demostrar que la capacidad por unidad de área se ha incrementado en !:l.(C/A) = e0tld(d - t).

Un transductor de entrada es un dispositivo para convertir los cambios o variaciones que sufre una cierta magnitud no eléctrica en señales eléctricas fácilmente medibles. (Un transductor de salida hace lo opuesto.) Puede utilizarse un condensador de placas plano-paralelas en el que una de ellas es móvil como transductor de entrada para medir pequeñas variaciones de distancia en sentido normal a sus placas. Si cada placa tiene un área de I cm 2 y se cargan con una diferencia de potencial de 2,5 V, ¿qué valor mínimo !:l.d de separación de la placa podrá medirse con un instrumento capaz de detectar una variación de 1 m V en diferencia de potencial? Suponer que se mantiene constante la carga sobre el condensador.

29.6

29. 7 Una esfera conductora de radio b encierra una segunda esfera conductora de radio a < b. (a) Si la esfera exterior se conecta a tierra y la interior se carga a un potencial V constante respecto a tierra, hallar la carga Q sobre la esfera interior. (b) Si el radio de la esfera interior es variable, demostrar que la intensidad del campo eléctrico en la esfera interior será un mínimo cuando a = b/2. (c) Hallar el valor mínimo de la intensidad de campo en la parte (b). 29.8 Dos cilindros concéntricos de radios a y b > a están cargados a una diferencia de potencial !:l. V. ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico en la superficie del cilindro interior? 29.9 Dos placas paralelas P 1 y P 2 de área A y separación d están conec-

tadas a los terminales opuestos de una batería que mantiene una diferencia de potencial !:l. V. (a) Se coloca una tercera placa P 3 a una distancia d de la placa positiva P 2, de la forma indicada en la figura, y se conecta al terminal negativo de la batería. ¿Cuál es el incremento !:l.C de la capacidad del sistema de placas? (b) ¿Cuál es la carga Q2 sobre la placa P 2? (c) Se sitúa otra placa P 4 a una distanciad de la placa P 3 y se conecta al terminal positivo, como también se indica. ¿Cuál es la capacidad total del sistema de cuatro placas?

Capacidad y condensadores

29.2

1075

Cálculo de capacidades

29.10 Tres condensadores se conectan del modo indicado en la figura. Se cierra el interruptor S 1 y el condensador C3 se carga a 330 V. Luego se abre S 1 y se cierra S2• (a) ¿Cuál es la diferencia de potencial en cada condensador? (b) ¿Cuál es la carga de cada condesador?

29.11 Se carga un condensador C 1 = 20 µFa una diferencia de potencial de 50 V mientras que otro condensador C2 = 30 µF se carga por separado a 300 V. Luego se conectan en serie y se colocan en paralelo con un tercer condensador descargado C3 = 50 µP. Hallar la carga final sobre cada condensador. 29.12 Las placas de un condensador de láminas plano-paralelas están ligeramente desalineadas como se indica en la figura. Suponer que ó ~ d, de modo que las líneas de campo entre las placas pueden considerarse como aproximadamente horizontales. (a) Demostrar que la capacidad del condensador es

Aeo d + ó C± - - ln - 2ó d- ó

l-d+ó---1

(INDICACIÓN: Aproximar el condensador por parejas de tiras o cintas que constituyen unos condensadores infinitesimales conectados en paralelo.) (b) Demostrar que la expresión obtenida para la parte (a) se reduce a la fórmula usual cuando ó - O.

Capacidad y condensadores

1076

En el circuito indicado en la figura, C 1 = 3 µF, C 2 = 2 µF y C3 = 4 µF. (a) Hallar la carga sobre cada uno de los tres condensadores. (b) Hallar la diferencia de potencial en cada condensador. (e) Hallar la capacidad equivalente C0 del sistema de los tres condensadores. 29.13

Dos conductores tienen unas capacidades C 1 y C2 respecto a tierra. Se le da al primer conductor una carga Q 1 y se mide su potencial V1 respecto a tierra(~ = O). Luego se conecta mediante un hilo al segundo conductor, que estaba inicialmente descargado. El par de conductores conectados tiene ahora un potencial medido V respecto a tierra. (a) Si se conoce C 1, hallar C2• (b) Hallar las cargas finales Qí y Qí sobre los conductores. (Suponer que la distancia entre los conductores es grande en comparación con sus dimensiones o con sus distancias a tierra.) 29.14

29.15 Cada uno de los condensadores del circuito indicado en la figura tiene una capacidad C. Hallar la capacidad equivalente del circuito C 0 si se aplica una diferencia de potencial (a) entre los terminales a y b; (b) entre los terminales b y c. (INDICACIÓN: Suponer que se puede cambiar la forma y longitud de los conductores que unen los condensadores sin alterar la capacidad del circuito. Puede volverse a dibujar el circuito para una mejor comprensión de las conexiones en serie y en paralelo en cada caso.) 29.16 A los terminales opuestos de una batería se conecta una red de condensadores con una capacidad equivalente C. En paralelo con la red se conecta otro condensador C 1• (a) ¿Cuál es la capacidad equivalente del nuevo cricuito? ¿Es mayor o menor que C? (b) Se conecta otro condensador C2 en serie con el conjunto anterior y se conecta a la misma bateríll. ¿Cuál es ahora la capacidad equivalente del circuito? ¿Es mayor o mc:IIur que antes de incíuir el condensador Ci'"t (e) ¡,Se puede hallar una relación entre C 1 y C 2 tal que la capaciáad equivalente final sea igual a C, la capacidad equivalente de la red inicial? (d) En este caso, si C 1 = C2 , ¿cuál es el valor de CiJC? 29.3

Sistemas de conductores

29. 17 En la figura 29.9b, si la carga sobre P' fuese positiva, ¿aumentaría o disminuiría su presencia la capacidad de P? Explicarlo. 29.18 Tres placas conductoras paralelas P 1, P 2 y P 3 (con P 2 en el medio) tienen un área A y unas separaciones d 12 y d 23 • Suponer que estas separaciones son tan pequeñas que pueden dejarse de tener en cuenta las líneas de flujo que terminen o empiecen en el infinito y, por tanto, las líneas

1077

Capacidad y condensadores

desde P 1 y P 3 sólo pueden ir a -P2• (a) Hallar los coeficientes de flujo (b) Hallar las capacidades mutuas Cu.

ªu·

29.19 A partir de la solución al problema 29.18, ¿cuál es la capacidad del sistema de tres placas si las placas P 1 y P 3 se conectan mediante un hilo conductor y P 2 se carga a una diferencia de potencial A V respecto a ellas?

Mediante consideraciones basadas en los flujos demostrar que (para un número cualquiera de conductores)

29.20

parai=j 29.21 Un sistema está constituido por tres conductores A 1, A 2 y A 3• El conductor A I está totalmente encerrado por A 2, y A 3 es exterior a A 2 • Suponer que la tierra (a potencial v;, = O) está muy alejada de los conductores de modo que su influencia es despreciable. (a) Considerando el caso en el que A 3 está cargado y A 2 está conectado a tierra mediante un hilo largo, demostrar que C 32 = -C33 y que C 13 = C 31 = O. (Obsérvese que la segunda relación implica que A I y A 3 están «apantallados» entre sí por A 2, de modo que la carga que exista en uno de ellos carece de influencia sobre el otro.) (b) Considérese el caso en el que A I está cargado mientras A 2 y A 3 están conectados a tierra y demostrar que C 12 = -C 11 • (NOTA: Aunque determinemos algunos de los valores de las capacidades CiJ mediante la consideración de casos especiales, estos valores son válidos para cualquier combinación de cargas, dependiendo únicamente de la geometría y de Eo).

Dos conductores A I y A 2 están totalmente encerrados dentro del conductor A 3 • Los conductores están aislados entre sí. (a) Considerando los flujos hacia el infinito, demostrar que C 12 + C 13 = -Cu Y que C 12 + C 23 = -C22 • (b) Suponer que el conductor exterior está cargado a un cierto potencial V3 mientras que los conductores interiores está sin cargar. Demostrar que la capacidad ordinaria del conductor exterior A 3 es C = Eo033.

29.22

29.23 Nuestra hipótesis crucial a la hora de deducir las ecuaciones [29.34) fue que 'Yu = aiJ(V¡- Vj). Es razonable suponer que, si existe cualquier dependencia entre 'Y y A V, entonces dicha dependencia debe ser lineal porque tanto 'Y como V son proporcionales a las cargas. Sin embargo, demostrar que debe existir cierta dependencia. Es decir, demostrar que 'YiJ = O cuando V¡ = v¡. (INDICACIÓN: Suponer que V¡ = Vj y que 'Yu O y demostrar que esta hipótesis implica que V¡ v¡. Puede servir de ayuda un esquema.)

*

*

29.4 Energia del campo electrostático y tensión Una nube plana a una altitud de 100 m tiene un área de 0,3 km 2 • Suponer que forma un condensador de placas paralelas ideal con la tierra. Durante una tormenta, este condensador se descarga mediante rayos

29.24

Capacidad y condensadores

1078

cuando la intensidad del campo alcanza el valor de ruptura en aire que es 3 x 106 V/m. Si toda la energía almacenada en este condensador con su carga completa se convirtiese en energía potencial gravitatoria, ¿a qué altura podría elevarse un automóvil de 2 000 kg? 29.25 Considerando el incremento de energía potencial electrostática en un desplazamiento infinitesimal de una placa de un éondensador de placas paralelas, deducir la expresión correspondiente a la tensión de tracción sobre la placa. 29.26 ¿Cuánto trabajo debe realizarse para cargar una esfera de metal aislada de 1 m de diámetro a un potencial de 30 kV respecto al infinito? 29.27 Los condensadores C 1 y C2 tienen cargas Q1 y Q2 cuando están aislados. Luego se conectan en paralelo. (a) ¿Cuánta energía potencial electrostática se pierde cuando se hace la conexión? (b) ¿Qué le ocurre a esta energía? 29.28 En el problema 29.10, el condensador C3 = 3 µ,F se cargó a 330 V y luego se hizo que repartiese su carga con los condensadores C 1 = 1 µ,F y C2 = 2µ,?. (a) ¿Cuál es la energía electrostática inicial de C 3 después de cargarse? (b) ¿Cuál es la energía electrostática final del sistema de tres condensadores? (e) ¿Cuánta energía se ha perdido en forma de calor en los hilos de conexión? 29.29 Los condensadores C 1 = 50 µ,F y C2 = 30 µ,F se cargan separadamente a diferencias de potencial de .:i V1 = 310 V y .:i V2 = 250 V. Luego se conectan entre sí sus terminales positivos. ¿Cuánta energía se disipa en calor por las cargas que se mueven a través de los hilos de conexión? (Dar la respuesta en calorías.) 29.30 Calcular la energía almacenada en el campo de una esfera cargada uniformemente de radio R y carga Q. Comparar este resultado con el obtenido en el problema 28.6. ¿Deberían ser iguales las dos soluciones? 29.31 Dos placas paralelas de área A y separación 2L poseen cargas de + Q y -Q. Están aisladas de modo que no puede variar su carga. Cada placa tiene una masaµ, por unidad de área. En el instante t 0 = O se dejan en libertad ambas placas, ¿en qué instante te chocari'm? 29.32 Si las placas del problema 29.31 permanecen conectadas a una batería durante su movimiento, de modo que se mantenga entre ellas una diferencia de potencial .:i V constante, ¿cuál ser.\ el vafor de te? (INDICACIÓN: Utilizar la solución al problema 28.33.) 29.5

Cálculo de capacidades: métodos imagen

29.33 Consideremos los dos conductores del ejemplo 29.8. (a) Si los conductores estuviesen separados 10 cm en lugar de 1 cm, ¿cómo deberían cambiarse sus dimensiones respecto a las del ejemplo? (b) En este caso, ¿cuál sería la fuerza que se ejercería entre ellos si .:i V = 100 V? (e) Si la diferencia de potencial entre los conductores en el ejemplo hubiese sido 1000 V en lugar de 100 V, ¿cómo deberían cambiar sus dimensiones res-

Capacidad y condensadores

1079

pecto a las del ejemplo? (d) Si se aumentase en un factor de 10 la separación entre conductores, ¿cómo variaría la fuerza entre ellos? 29.34 Supongamos que el conductor negativo de la figura 29.13 se sustituye por un plano conductor infinito conectado a tierra coincidiendo con la superficie equipotencial V = O entre los dos conductores. Hallar la capacidad del plano y del conductor con carga positiva. 29.35 Dos cilindros largos paralelos y conductores de radio R y separación 2h entre sus ejes se cargan a una diferencia de potencial de Á V. Según los resultados de los problemas 28.18 y 28.38, su campo puede representarse mediante el campo de dos cargas lineales imagen ± >... (a) Demostrar que X. está relacionado con .i V por 1rE

ÁV

cos h - 0- >..

.!!._ en donde cosh x = ½(ex R

+ e-x)

y e es la base de los logaritmos neperianos. (b) Demostrar que la capacidad por unidad de longitud del par es cosh- 1 (h/R) en donde arg cosh x = y si cosh y = x. (INDICACIÓN: Enfocar la atención en la determinación de las dimensiones de los equipotenciales en función de Á V y de las cargas imagen. Obsérvese que Ce depende únicamente de la geometría.) 29.36 Un plano conductor infinito está situado a una distancia h del eje de un cilindro conductor muy largo de radio R. Demostrar que la capacidad por unidad de longitud entre estos conductores es

cosh- 1 (h/R) (INDICACIÓN: Imaginar una placa conductora infinita pero de espesor pequeño insertada exactamente entre los cilindros del problema 29.35 y preguntarse cuántos condensadores deben haber.)

29.6

Cálculo de condensadores: métodos numéricos

*29.37 Utilizar los resultados del problema 28.47 para determinar la capacidad por unidad de longitud de los dos tubos de metal. (a) Determinar la densidad de carga lineal del tubo exterior. (b) Determinar la densidad de carga lineal del tubo interior. (e) ¿Cómo se explica esta notable discrepancia? ¿Qué número parece de más confianza? (d) Utilizar la aproximación de relajación para interpolar los valores de V más próximos al contorno interno. ¿Mejora el acuerdo? (e) ¿Cuál es la capacidad por unidad de longitud?

Capacidad y condensadores

1080

*29.38 Se sabe que una función f(x) posee los valores siguientes para 0 :5 X $ 3: X

0.00

1.00

2.00

3.00

f

1.000

2.718

7.389

20.086

(a) Utilizando la fórmula de interpolación de cuatro puntos de Lagrange, calcular los valores de f(x) en los tres puntos medios de los intervalos. (b) Compararlos con los valores conocidos de f(x) = ex en estos puntos.

¿Cuáles son los errores de interpolación? (e) Comparar estos errores con los obtenidos mediante una interpolación lineal ordinaria (con dos puntos). *29.39 (a) A partir del ejemplo 29.10 deducir las fórmulas para P' (2) y P' (3), las primeras derivadas en x = 2, 3 de la aproximación polinómica P(x) a la función f(x) del problema 29.38. (b) Calcular los valores de P' (2) y P' (3). (e) Comparar los resultados con los valores conocidos del problema 29.38 y hallar los errores. *29.40 Mediante el polinomio de interpolación de cinco puntos de Lagrange hallar la fórmula para P' (2), la primera derivada en el punto central del intervalo del polinomio. 29.41 (a) ¿Por qué es la ecuación [29.67] únicamente un límite inferior a la capacidad real del tubo de la figura 28.18a? (b) Para mejorar la aproximación al flujo procedente de la placa superior, podíamos hacer que la intensidad del campo en los extremos fuese de 500 V/m, ¿por qué? ¿Cuál es el valor resultante de 'fe? (e) Calcular 'Y¡ utilizando la fórmula de dos puntos sobre la parte conectada a tierra del tubo, contando dos veces el valor V = 17 ,42 para (2,2) (¿Por qué?) (d) Explicar la discrepancia. Soluciones

29 • 2 C, = 711 µF 29 • 3

C

= 21rt0 RL/ (L - R)

29•4 V= 80 V 29 • 6 M = 0.0004d 29•7 (a) Q = 41rt0 abV/(b - a); (e)

Em;n

= 4V/b

29•8 E= .lV/[a In (b/a)] 29•9 (a) .:lC = At0 /d; (b) Q 2 = 2At 0 .lV/d; (e) C = 3At0 '1V/d 29•10 (a) .:lV¡ = 180V, .:lV2 = 90V, .:lV3 = 270 V; (b) Q 1 = 180 µC, Q 2 = 180 µC, Q 1 = 810 µC 29 • 11 Q1 =:e 2 mC, Q2 = 3 mC, Q3 = 5 mC 29•13 (a) Q1 = 4 µC, Q2 = 4/3 µC, Q3 = 8/3 µC; (b) .1V1 = 4/3 V, .1V2 = 2/3 V = .:lV3 ; (e) C0 = 2 µF

29 • 14 (a) C2 = C 1(V1/V -

Q;

(b) 29• 15

=

C 1 V,

Q; =

1);

C 1(V1 - V) (a) C0 = 2C; (b) C0 = 8C/5 29•16 (a) C0 = C + C 1, mayor; (b)Co = C2(C + C 1)/(C + C 1 + C2),menor; (e) C2 = C(C/C1 + 1); (d) C1/C = 1.62

29 • 17 Disminuye porque una carga de prueba llevada hacia P se ve repelida por la carga en P'. 29• 18 (a) ª12 = ª21 = A/d12, ª21 = ª12 = A/d23, G¡¡ = ª22 = G33 = ª11 = ll3¡ = O; toa12, Ci1 = toa23> C22 = C11 + C12 = -C1 1, C23 = -C)l, C 13 = O 29•19 C = C22 = t 0 A(I/d12 + l/d23 ) 29•24 h = 61 km 29•25 F/A = hE6 29•26 W = 0.025 J (b) C11 =

C11,

1081

Capacidad y condensadores (a) t.U,

29 • 27

=

Q2C1) 2/2C 1Ci(C1 + C2); (b) convertida en energía cinética de las cargas móviles y luego en energía térmica cuando las cargas quedan en reposo. 29•28 (a) U,= 163.4 mJ; (b) U,= 133.7 mJ; (c).6.U, = 29.7 mJ 29 • 29 .6.U, = 0.7 cal

(Q 1C2

-

= 3Q 2 /201rt 0 R

29-30

U,

29•31.

t, =

../4µ.A 2LEo/Q

2

3

29•32

t, = ../(1rj.6.V)(L µ./t 0 ) 29 • 33 (a) Diez veces mayor; (b) sin cambio; (e) sin cambio; (d) 100 veces mayor 29. 34 e = 2.671rt/) 29 • 37 (a) ;>.. = -656t0 regla de los trapecios; (b) ;>.. = +516t 0 ; (e) Ce = 6.56t 0 29 • 38

X

f= ex f 4-puntos f 2-puntos

2.5

0.5

1.5

1.649

4.482

12.182

1.807

4.367

12.417

1.859

5.054

13.738

6/1 + 3/2 + 2/i), 18/2 + 11/3 ); = 18.401; (e) 60Jo para P'(2), 8,40Jo para P'(3) 29•40 P'(2) = (1/24)(2/0 - 16/1 + 16/3 - 2/4 ) 29 • 41 (a) Las líneas de fuerza se concentran en los extremos de la placa superior y tienden allí a ser horizontales en lugar de verticales. (b) Las líneas en los extremos de la placa van directamente al tubo conectado a tierra y el campo es aproximadamente uniforme a (1000 V)/(2 m) en esta región: '11 1 = 2647 líneas/m. (e) '11 1 = 3 502 líneas/m. (d) El cálculo en la placa exterior es mucho más exacto que el de la placa superior porque el cálculo de la parte (b) omite gran parte del flujo en los extremos de la placa superior. Este ejemplo permite que el lector aprenda a ser cauteloso con la utilización de resultados numéricos sin comprobaciones independientes de su consistencia. Con una malla más fina se podría haber hecho mucho mejor. 29 • 39

(a) P'(2) = Hfo -

P'(3) = t(-2/0 + 9/1 (b) P'(2) = 7.839, P'(3)

CAPÍTULO

30

Dieléctricos Se montaron una junto a otra sobre soportes aislantes tres placas circulares de latón [A, By C]... Dos laminillas de oro se suspendieron mediante hilos aislantes en el interior de un recipiente de vidrio; una de las placas exteriores, B, se conectó a una de las laminillas de oro y la placa exterior [C] con la otra laminilla ... La placa [de en medio] A sr cargó positivamente ... mientras que By C recibieron cargas negativas... y las laminillas de oro colgaban como es natural paralelas entre sí en un estado relativamente no electrificado. Entonces se introdujo una placa de goma laca [neutra] entre las placas A y B; inmediatamente se alteró la relación eléctrica entre las tres placas y las laminillas de oro se atrajeron entre si... La goma laca podía introducirse en cualquier lado de la placa A, porque entonces la placa externa de ese lado se hacía positiva y la otra placa exterior se convertía en negativa, tanto respecto a las otras como a los demás cuerpo exteriores no aislados. Cuando se empleó una placa de azufre en lugar de goma se obtuvieron los mismos resultados; todo ello de acuerdo con las conclusiones obtenidas concernientes a la elevada capacidad inductiva especifica de estos cuerpos. MICHAEL FARADAY (1791-1867),

Investigaciones experimentales

Cuando la materia se introduce dentro de un campo eléctrico, se produce siempre cierto movimiento o reordenación de las cargas existentes dentro de la materia. En un conductor perfecto, que coincide aproximadamente con el comportamiento de las sustancias metálicas reales, los electrones se mueven libremente hasta que se anula el campo neto en el interior ·del conductor. Sin embargo, en el caso de la mayoría de los materiales no metálicos, las cargas no tienen libertad para moverse y los electrones están ligados estrechamente a sus moléculas. La única reordenación posible consiste en un desplazamiento neto de carga dentro de cada molécula, como si se aplicase una fuerza en ambos extremos de un muelle muy resis1083

1084

Dieléctricos

tente, deformándolo ligeramente -muy ligeramente. Sin embargo, el efecto macroscópico acumulativo de un número tan elevado de pequeñas deformaciones o distorsiones puede ser muy notable y fácil de medir. Michael Faraday demostró (en 1838) que la introducción de una sustancia no conductora entre las placas de un condensador incrementa su capacidad en un factor C' IC = K > 1, que denominó capacidad inductiva específica, conocida más comúnmente como constante dieléctrica. Dicho comportamiento se denomina dieléctrico, porque el efecto que produce la sustancia así introducida consiste en hacer disminuir el campo eléctrico existente entre las placas. Las sustancias que poseen esta propiedad se denominan dieléctricos. Mediante su sola presencia reducen el campo total y, por tanto, la diferencia de potencial entre las placas en un factor 1/K, de modo que la capacidad C = QIt:. V aumenta en un factor de K. Aunque la clase de los dieléctricos incluye una gran diversidad de sustancias, veremos que es posible desarrollar una teoría general que se aplica a todas ellas. Además, en los dieléctricos más comunes, el efecto macroscópico de la presencia de la materia está totalmente contenida en la constante dieléctrica K, que puede definirse como el cociente entre el campo de una carga puntual en el vacío dividido por el valor que tendría el campo si la carga estuviese inmersa en el dieléctrico, como veremos en la sección 30.3. Pueden describirse las propiedades eléctricas macroscópicas de la materia utilizando un parámetro conocido como permitividad € = K€ 0 • Incluso el vacío puede considerarse como un «medio» de permitividad € 0 • En este capítulo desarrollaremos el formalismo matemático que describe los campos electrostáticos en la materia y veremos cómo pueden relacionarse directamente los fenómenos macroscópicos con los detalles microscópicos de la estructura atómica y molecular.

30.1 Polarización Cuando se aplica un campo eléctrico externo a una molécula dieléctrica,. las cargas negativas de la misma sufren un desplazamiento neto antiparalelo al campo aplicado. Así se produce un momento dipolar inducido neto y se dice que el dieléctrico está polarizado. Ciertas moléculas asimétricas polares como el agua (H 20) y el amoníaco (NH 3) tienen momentos dipolares permanentes. Algunos sólidos cristalinos tienen estructuras asimétricas que imponen ciertas restricciones sobre la polarización; estas restricciones se relacionan tanto con la dirección como con el valor del campo aplicado. Excluiremos dichas moléculas polares y cristales anisótropos de nuestro estudio. Consideraremos dieléctricos isótropos, homogéneos y no polares, en los cuales la constante dieléctrica K es la misma cualquiera que sea la dirección del campo aplicado. Nuestro primer paso a la hora de estudiar los fenómenos dieléctricos consiste en investigar la polarización de un dieléctrico, su relación con ciertos fenómenos macroscópicos como la densidad de carga inducida y las densidades de carga superficiales en los límites o fronteras del dieléctrico y las descripciones matemáticas de estos fenómenos. Si se aplica un

Dieléctricos

1085

campo eléctrico externo Ee = E 0 i en la dirección x, se producirá una deformación o distorsión de todas las moléculas o átomos y por tanto, una separación neta de carga en cada uno de ellos que dará origen a un pequeño dipolo eléctrico. Así pues, se inducen cargas q¡ y q1 = -q¡ en la molécula o átomo i, con una separación neta de t, iJ = r; - r 1 , que es la diferencia entre los vectores de posición de las cargas. El momento dipolar Pu = q¡f,iJ puede expresarse como una suma vectorial: [30.1] Por consiguiente, podemos representar el momento dipolar total 'P de una distribución de cargas en la forma:

[30.2] en donde la suma se extiende a todas las cargas qk independientemente de su signo. Como es natural, las cargas están realmente en movimiento dentro de los átomos o moléculas. Sin embargo, podemos considerar que rk es la posición promediada en el tiempo de la carga qk. Esta descripción resulta apropiada cuando la utiliza un observador cuya escala de tiempos es mucho mayor que el período de revolución del electrón alrededor de su núcleo (aproximadamente 10- 15 s) y cuyas dimensiones sean mucho mayores que las dimensiones moleculares (aproximadamente 10- 10 m = 1 Á). La figura 30.1 ilustra el caso que acabamos de describir. En ausencia de un campo externo, los átomos o moléculas no polares neutros no poseen ningún momento dipolar neto (ver figura 30. la). Cuando se aplica el campo exterior Ee, se separan los centros de carga positiva y negativa, de modo que las cargas positivas se desplazan en el sentido del campo y las negativas lo hacen en sentido opuesto (ver figura 30.lb). En realidad, debido a que el campo de un protón nuclear a una distancia de 1 Á es 1,44 x 10 11 V/m, la magnitud de la separación de cargas que produce incluso un campo tan intenso aplicado como E 0 ,.,, 106 V /m es únicamente del orden de

O

=

106 V/m X 1 A 10 11 V/m

10- 5 A

1 fm

10-is m

[30.3)

Macroscópicamente el interior del dieléctrico permanece aparentemente neutro, pero en las caras de área A que son perpendiculares al campo aplicado aparecen cargas de polarización ± q' = ±Aa' (ver figura 30.lc). Definamos ahora la magnitud P conocida como polarización, o momento dipolar por unidad de volumen. Si el espesor del dieléctrico medido en sentido paralelo al campo aplicado Ee es d, entonces el momento dipolar neto debe ser el correspondiente a las cargas superficiales ± q', de

1086

Dieléctricos

• • • • • •

• • • • • •

• • • • • • • •

• • • • • •

•• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• ••

•• •• •• et• .,. •• @e •• •• ••'Pe• •• •• •• •• •• ••

• • • •

G•

• • •

(a) Dieléctrico sin polarizar

•

• • •• --

•• •• •• •• ••

Ee

{b) Dieléctrico polarizado por el campo aplicado

Ee

d

Ee

•• •• •• •• •• ••

------- •• •• •• •• •• ••

•• •• ••P•• •• oe -o' •• •• •• •• •• •• o' •• •• eeoe •• •• Q.e-e •• •• •• ••

E,

~

(c) Cargas superficiales de polarización

p

Fig. 30.1 Polarización de un dieléctrico mediante un campo aplicado

modo que 'P = q' d = u 'Ad. Así pues, por definición, la polarización debe ser p

=

'P Ad

=

u'

[30.4]

Obsérvese que la polarización es exactamente igual que la densidad de carga superficial inducida sobre la cara del dieléctrico que resulta cargada positivamente. Supongamos que una de las caras del dieléctrico no es perpendicular al campo externo (ver figura 30.2). La cara oblicua no influye sobre la distribución de los dipolos inducidos. La cantidad de carga positiva sobre la superficie oblicua todavía debe ser q', pero la superficie oblicua posee un área A/cos 8, siendo fJ el ángulo formado entre el campo y la normal a la superficie. Así pues, la densidad de carga superficial sobre la cara oblicua es u' = (q' I A) cos fJ = P cos 8. En general, si la polarización P

1087

Dieléctricos

ee se Ee

0e

"e

•e

oe

ee

oe

oe

oe

••

~ñ...,_oe oe'le.p oe

a' = - P

¡¡

,. ft oe

.ae

ae

,,e

ee

&e

&e

••

c,e

1?1e

ce

0e

,¡,e

oe

•e

a,e

Ee a'=Pcos0

ee

' i'h.

Fig. 30.2 Densidad superficial de carga sobre la superficie de pendicular al campo aplicado

dieléctrico que no es per-

es un vector de valor P paralelo al campo aplicado, entonces la densidad superficial de carga sobre cualquier superficie del dieléctrico es [30.5]

<1'

-en donde ñ es el vector unitario normal a la superficie. Obsérvese que esta fórmula es ·consistente con la densidad superficial de carga negativa que lógicamente debe aparecer sobre la cara izquierda del dieléctrico en la figura 30.2 porque aquí ñ = -i, y <1'

Pi•(-i)

-P

Fig. 30.3 Cargas de polarización sobre un dieléctrico con P

= constante

8(±) 8(±)

Corte

Fig. 30.4 Aspecto de las cargas superficiales inducidas cuando se corta un dieléctrico

1088

Dieléctricos

Puede aplicarse el mismo razonamiento a cualquier área de superficie infinitesimal dA ' de un cuerpo uniformemente polarizado de forma cualquiera y arbitraria, como se ha indicado mediante la distribución de carga superficial de la figura 30.3. Además, si cortamos el dieléctrico por un punto cualquiera, se crean dos nuevas superficies, y cada una de ellas poseerá una densidad de carga superficial a' = P • fi- = ± P cos 0, en donde el signo depende del sentido de la normal a la nueva superficie (ver figura 30.4). Hemos deducido la expresión a' = P • fi para el caso de la polarización uniforme, pero el análisis puede ampliarse al caso en que p varía con la posición en el interior del dieléctrico (P es idénticamente nulo fuera del dieléctrico). La carga superficial total sobre el dieléctrico debe ser

j P• fi dA'

q~

L,

[30.7]

en donde A' es la superficie que limita el dieléctrico. Si comparamos la ecuación [30. 7) con la ecuación [27.44), vemos que q Á es precisamente el flujo del vector polarización P a través de la superficie A: Todo vector constante debe tener un flujo neto nulo a través de una superficie cerrada, de modo que la carga superficial neta debe ser cero en el caso de la polarización uniforme. Pero, ¿qué ocurre si P no es uniforme de tal modo que la integral de la ecuación [30. 7) no se anula? Es fácil concebir que ocurra esto, por ejemplo, con un dieléctrico fluido en el que exista un gradiente de presión-densidad. En este caso, qÁ -=I=- O, pero la conservación de la carga neta sobre el dieléctrico requiere que deba existir alguna otra carga dentro del dieléctrico para neutralizar a qÁ. Esta carga sólo puede estar constituida por una carga neta q ''V repartida por todo el volumen 'Y' del dieléctrico con una densidad volumétrica de carga p' = óq'cy/ d'Y' en donde d'V' es un elemento diferencial de volumen del interior del dieléctrico. De aquí que la neutralidad de la carga exija que

J

'V'

p' d'V'

q'cy

-q~

_ j P• fi dA'

L,

[30.8]

De hecho, esta ecuación que relaciona a p' y a P es válida para un volumen cualquiera que podamos haber escogido para desgajarlo del dieléctrico si hacemos la hipótesis adicional de que cualquier elemento de volumen d 'Y' desgajado del dieléctrico es eléctricamente neutro. Es decir, si suponemos que d'V' es macroscópicamente pequeño -es decir, muy pequeño a escala de laboratorio, pero de modo que contenga todavía un número de moléculas tan grande como para ser eléctricamente neutro (por ejemplo, un micrómetro cúbico de agua contiene aproximadamente 10 10 moléculas). Así pues, la carga superficial neta a' A' sobre cualquier volumen desgajado del dieléctrico equilibrará exactamente a la carga del volumen neta p''Y' . Como es usual, estamos razonando en función de cargas, para prepararnos a nosotros mismos a comprender las relaciones

Dieléctricos

1089

existentes entre los diversos campos vectoriales que existen debido a la presencia del dieléctrico. Las densidades a' y p' reciben diversos nombres tales como densidades de carga inducida, de polarización o ligadas («ligadas» porque no poseen libertad para moverse a través del dieléctrico). Aunque es important<:: comprender las relaciones existentes entre a', p' y P, no disponemos todavía de ningún método práctico para determinar los campos que aparecen como consecuencia de las distribuciones de estas cargas inducidas, ni su contribución al campo total ni -cerrando la cadena de dependencias- el efecto de este campo total sobre la polarización que es inducida. Volveremos sobre estos temas en las secciones siguientes.

Ejemplo 30.1 Una esfera dieléctrica concreta de radio R tiene una densidad de carga volumétrica uniforme. Hallar a' y p' para P = Pi (a) si P = P 0 = constante; (b) si P = P 0 xlR. Solución (a) La componente de P normal a la esfera varía con el ángulo 8 respecto al eje x (ver figura 3O.5a) de modo que a'

P0 cos 8

d = P0 cos0 Fig. 30.5

(a) Esfera uniformemente polarizada

Para todo valor de 0 = 8 1 < 1r/2, existe otro 0 = 82 = 1r - 0 1, tal que cos 82 = -cos 01• Así pues, las contribuciones a la densidad de carga superficial a' en estos dos ángulos se compensan exactamente. Por consiguiente, cuando sumemos respecto a la totalidad de la superficie A', q',

o

-q~.

y de aquí p'

o (b) Como x/R

a'

P cos 0

=

cos 0, tenemos, como se ve en la figura 3O.5b. P0 cos 2 8

1090

Dieléctricos

Consideremos una superficie en forma de anillo de área dA = 21r x R sen 8 x R d8 = 21rR 2 sen 8 d8, como está indicado. Integrando la densidad de carga superficial a' para estas áreas extendidas a toda la esfera, se tiene

r

(P0 cos 2 íJ)(21rR 2 sen8)d8

=

Sin embargo, debido a que la neutralidad de la carga exige que

-q'4

q;.

41rR)

- - p'

3

obtenemos p'

Po

X

R

Fig. 30.5

(b) Esfera polarizada no uniformemerlfe

(NOTA: No debe deducirse de este ejemplo que p' es una constante en todos los casos. De hecho, en muchas aplicaciones importantes de electrónica, p ' es una función de la posición).

30.2 Susceptibilidad eléctrica Las distribuciones de cargas inducidas deben dar por sí mismas origen a campos que obedecen a la ley de Coulomb para una carga q situada en r ' :

____q!!_3 en donde R =

E(r)

41rE 0 R

r - r'

(30.9)

Sea E' el campo «inducido» neto debido a todas estas contribuciones procedente de los elementos de car"ga en un dieléctrico. Si R es el vector de posición del elemento de carga de volumen dq' = p' d'V' o del elemento de carga de superficie dq' = a' dA' en el punto P del campo en el que se está calculando E', entonces como se ve en la figura 30.6, E'

·- l

47rEo

(f 'V'

p'R d'V'

R3

+

f

A'

a'R dA') R 3

(30.10)

1091

Dieléctricos dE' = p' d'V' 4irE 0

R{.

R"

V

u' dA' • dE' = - -1 R, 4irE 0 R 1

p.

Fig. 30.6 Contribuciones al campo eléctrico en un punto P debidas a la carga superficial inducida dqÁ y a la carga de volumen dq'.y en un dieléctrico polarizado.

Esta expresión nos da el campo promediado en el tiempo de una distribución de cargas supuesta continua. No es evidente, pero puede demostrarse que E' es el campo medio correcto, dentro o fuera del pieléctrico, debido a las cargas inducidas. Este campo representa también un valor medio espacial macroscópico que se aplica incluso en la proximidad de una sola molécula, en donde no se cumple la aproximación del dipolo y donde pueden producirse fluctuaciones muy rápidas e intensas del c·ampo microscópico instantáneo. El campo eléctrico macroscópico promedio total dentro del dieléctrico es E

=

E0

+

E'

[30.11)

siendo E0 el campo neto debido a las cargas libres (tales como las partículas cargadas o las cargas sobre los conductores). A primera vista, no parece que deberíamos sorprendernos si la polarización P fuese dependiente de E0. Sin embargo, la polarización neta es la suma de todos los dipolos moleculares aislados p. Si la densidad numérica de moléculas dieléctricas es n, entonces p

[30.12)

np

en donde el dipolo molecular p es inducido por el campo neto que se le aplica a la molécula. Así pues, aunque P dependa de E 0 indirectamente, depende más directamente del campo local E1oc que se aplica a cada molécula. Como cad.a molécula polarizada tiene un campo dipolar Emol por sí mismo, el campo neto E 1oc que se aplica es E -

Emol

=

Eo

+

E' -

Emol

[30.13)

1092

Dieléctricos

que es precisamente el campo medio E menos la contribución media Emot debida al dipolo inducido de la molécula en particular que estamos considerando. Revisemos ios campos eléctricos que estamos estudiando. Aunque interrelacionados, representan diferentes fenómenos físicos. Citamos a continuación cinco de ellos. . 1 Eo

Campo debido a las cargas libres Campo debido a la distribución de cargas ligadas que se induce en un dieléctrico situado en el campo de las cargas libres. Campo total en el espacio, E = E 0 + E'. Es paralelo a los campos libre e inducido únicamente en donde sean paralelos entre sí Campo de una sola molécula polarizada Campo local aplicado a una sola molécula polarizada, que debe ser la diferencia entre el campo neto y el campo molecular: Eioc = E - Emol = E 0 + E' - Emol·

2 E'

. 3 E

Suponiendo que E0 venga dado en un caso particular, nos siguen quedando dos ecuaciones vectoriales que relacionan cuatro magnitudes vectoriales. En esta sección deduciremos una relación entre Emol y la polarización P, y a partir de P es posible (en principio) determinar E' y E mediante la ecuación [30.8], aunque sólo lo haremos así en algunos casos res_tringidos. En las secciones siguientes, veremos cómo podemos deducir soluciones completas para E a partir de este conocimiento y del empleo de la ley de Gauss. El campo neto E es una magnitud de primaria importancia física, porque representa la fuerza por culombio que sería apreciada por una pequeña carga testigo situada en el dieléctrico. Evidentemente, la polarización de una sola molécula debe estar relacionada con Eioc· Sin embargo, no debemos considerar a E 1oc como la «causa» de la polarización. Los fenómenos transitorios que se producen al inicio de la polarización en un dieléctrico real son tan complejos que no es válido un análisis tan simple. En lugar de ello, debemos considerar a E 10c como el campo que es necesario para mantener la molécula en su estado de equilibrio final de polarización. Las fuerzas electrostáticas dentro de la molécula son muy fuertes y el desplazamiento de carga real ó es muy pequeño; por consiguiente, podemos admitir que se aplica la ley de Hooke a la separación efectiva de carga en la molécula. Si la constante de fuerza k de la molécula es k

F ó

p

qó

entonces

qE1oc ó

[30.14]

2

q E1oc k

[30.15]

En otras palabras, el momento dipolar inducido es proporcional al campo local aplicado. Por consiguiente, [30.16]

Dieléctricos

1093

en donde a = q 2/k es una constante denominada polarizabilidad molecular (o atómica). La polarizabilidad a depende únicamente de la estructura de la propia molécula dieléctrica. Dada la ecuación [30.16), podemos ahora expresar Eioc y Emol en función de la polarización P. Primeramente, como P = np = naE1oc, la ecuación [30.13) da p

[30.17]

Sin embargo, con objeto de calcular Emoh debemos considerar la distribución media en el tiempo de los electrones en sus órbitas como un cierto tipo de nube electrónica con simetría esférica que envuelve al núcleo. El centro de carga negativa de la nube en ausencia de un campo aplicado es coincidente con el centro de la carga positiva. Cuando se aplica un campo, la nube se desplaza en una cantidad ó (ver figura 30.7). Esta situación es matemáticamente equivalente al caso de una esfera polarizada uniformemente (ver ejemplo 30. la), porque el efecto de la polarización consiste en que se produce un desplazamiento ó relativo entre los centros de dos distribuciones de cargas esféricas uniformes coincidentes. De aquí que podamos determinar el campo interior a partir de las densidades superficiales equivalentes de la carga de polarización, aunque estamos considerando realmente un volumen del tamañ.o de una molécula y con distribuciones de carga promediadas en t:!l tiempo en lugar de considerar partículas cargadas individuales. Si el radio de la molécula es R, entonces la polarización efectiva por unidad de volumen de la molécula es

p (4/3)1rR 3

pmol

Fig. JO. 7 Desp/azam,ento de la nube electrónica de una molécula

[30.18)

De aquí que, según el ejemplo 30. la, la carga superficial equivalente sea o-~ 0 1 y

=

p COS B (4/3)1rR 3

[30.19)

la carga volumétrica equivalente, 1

Pmol

o

[30.20)

Utilizando la ecuación [30.10), -podemos hallar el campo Emol en el centro de la molécula como se indica en la figura 30.8 sumando las contribuciodA'

dE mol

R sen

8 X

p

n'

~

=

,/'RdO Fig. 30.8

Modelo del campo molecular de la esfera uniformemente polarizada

Pcos O

1094

Dieléctricos

nes de cada anillo cargado .de área 21rR 2 sen O dO (ver ejemplo 30. lb y figura 30.5a). Según la ecuación [30.20] sabemos que la integral de volumen es cero, de modo que 2

_ _1_1" p cosO (21rR senO)R cosO dOi 41rEo o (4/3)1rR 3 R3 - __ 3p_3

81rE0 R

Como p expresar

=

1" cos

2

O sen O dO

[30.21]

0

Pin, siendo P la polarización total del dieléctrico, podemos en función de P: p [30.22]

Emol

Sustituyendo la ecuación [30.22] en la ecuación [30.17] se tiene p

o bien

p

[30.23]

Así pues, siempre que Emol sea directamente proporcional al momento dipolar molecular p, entonces la polarización P es directamente proporcional al campo macroscópico E. Esta proporcionalidad define la constante característica del dieléctrico, conocida como su susceptibilidad eléctrica Xe = PIE 0 E, o .....

p

[30.24]

EoXeE

en donde Xe es adimensional. En el caso de muchos gases y de líquidos no polares, la ecuación [30.23] se cumple muy bien y Xe

na

[30.25]

Si conocemos el tamaño R de una molécula, podemos determinar a, Emol y P a partir de Xe y de E. El significado de la ecuación (30.25] es que Xe es un parámetro constante del dieléctrico independiente de E; una vez medido puede aplicarse al dieléctrico con cualquier campo aplicado o condición de contorno. Si se conocen Xe y el volumen molecular, podemos utilizar la ecuación [30.25] para determinar la polarizabilidad y así investigar las fuerzas que retienen unida a la molécula. Inversamente, si comprendemos estas fuerzas, podremos predecir la susceptibilidad y comprobar nuestra teoría comparándola con las medidas del laboratorio.

Dieléctricos

1095

Ejemplo 30.2 Sea
a

>

O o bien, 1 - - - 3Eo
>

o

De aquí que a

<

3Eol\' mol

O

bien, a < 3E0l\f mol

(b) A partir de la ecuación [30.25), X,

a( 1/l\f oc)

=

(e) Si
na/Eo

==

(1/n) -

(a/E 0)(1/3)

1 -

para líquidos no polares

na/3E 0

(d) Si Emol ~ E, entonces la ecuación ~30.22) nos da

p 41íEonR3E

=

Emol

E

=

EoX,E

41íEonR3E

x,l\f oc 3<\f mol

A partir del resultado de la parte (b) tenemos a

o sea Xel'\f oc

=

a Eo

(l +

x,
a

3<\f mol

y X,

-

na

para los gases

30. 3 Desplazamiento eléctrico En esta sección completaremos nuestra formulación de la descripción básica de los campos en los dieléctricos definiendo una nueva magnitud

<<

1096

Dieléctricos

vectorial denominada desplazamiento eléctrico D, que resulta un poco más sutil y difícil de asimilar intuitivamente que el campo eléctrico, con el cual está relacionado. Empezaremos recordando la ley de Gauss:

= !l..

[30.26]

Eo

en donde q es la carga neta en el interior de una superficie gaussiana A. Dedujimos esta ley sobre una base completamente general (ver sección 27.5), de modo que no es necesaria ninguna modificación en el caso de los dieléctricos con tal de que se incluyan todas las cargas presentes, estén libres o ligadas a una molécula. En el caso más general, la superficie gaussiana A puede cortar al dieléctrico, que puede ser inhomogéneo y estar polarizado no uniformemente (ver figura 30.9). La carga total q dentro de A incluye las cargas libres q0 situadas en el volumen 'V encerrado por A y las cargas ligadas q' de-

íl

Fig. 30. 9 Carga dentro de una superficie de Gauss que corta a un dieléctrico polarizado

bidas a la presencia del dieléctrico contenido dentro de A. De aquí que, a partir de la ecuación [30.26], [30.27] Como q' puede incluir tanto las cargas superficiales QÁ como las cargas de volumen q ~ q'

+

q~

f

q:V

P• dA'

+

J p' ó'V' 'Y'

A'1

[30.28]

en donde A í es aquella porción de la superficie del dieléctrico que está contenida dentro de A y o/' es el volumen del dieléctrico que está contenido dentro de A. Utilizando la ecuación [30.8], podemos sustituir la integral de volumen por una integral de superficie:

q'

I

P• dA'

A'1

-f

A'¡+

P•dA' Aí

[30.29]

Dieléctricos

1097

en donde Aí es aquella porción de A que corta al dieléctrico y limita a 'V'. De aquí que las integrales de superficie sobre A í se anulen entre sí y la ecuación [30.29] se reduce a

-f

q'

P•dA'

[30.30]

A'2

porque P = O en todo A excepto Aí, Sustituyendo la ecuación [30.30] en la ecuación [30.27] y reordenando términos se encuentra que q -

q'

[30.31]

en donde q 0 es la carga libre. La relación indicada por la ecuación [30.31] es válida generalmente para cualquier superficie gaussiana A -bien sea que la región que encierra no contenga ningún dieléctrico o bien contenga parte de dieléctrico o esté completamente llena de dieléctrico. El integrando vectorial de la ecuación [30.31] se conoce como desplazamiento eléctrico D: ..,_

D

[30.32]

De aquí que, a partir de la ecuación [30.31], [30.33] Como el flujo de D que atraviesa cualquier superficie gaussiana A es igual a la carga libre q 0 contenida dentro de A, podemos interpretar que la ecuación [30.33] significa que las líneas de desplazamiento eléctrico empiezan y terminan únicamente sobre cargas libres -a diferencia de las líneas de campo eléctrico, que empiezan y terminan sobre cargas libres o sobre cargas inducidas, o de las líneas de campo de polarización, que empiezan y terminan únicamente sobre cargas inducidas. Si escribimos la ecuación [30.32] en función de la susceptibilidad eléctrica Xe, obtenemos [30.34]

D

en donde hemos introducido dos nuevos parámetros, la constante dieléctrica K y la permitividad eléctrica E: ....

K

1

+

Xe

[30.35] [30.36]

Los parámetros K y E caracterizan el comportamiento electrostático del dieléctrico. La constante K se conoce también con el nombre de capacidad inductiva específica, que fue el término utilizado por Faraday en la cita que ha servido de introducción para esta capítulo. En la tabla 30.1 se relacionan algunas constantes dieléctricas para diversos materiales.

Dieléctricos

1098

El análisis precedente puede aplicarse también a los dieléctricos polares con momentos dipolares moleculares permanentes y a los cristales iónicos. Los dieléctricos polares (como el agua, el metano!, el etanol y el amoníaco) muestran típicamente los mayores valores de K, debido a que el campo aplicado únicamente necesita alinear los dipolos permanentes en lugar de crear dipolos mediante desplazamiento de cargas. Los valores siguientes más elevados de K corresponden a los cristales iónicos (como el NaCI), seguidos con valores más pequeños por los líquidos no polares (como el aceite) y sólidos no cristalinos (como el vidrio, la goma, el azufre y la madera). Los menores valores de K corresponden a los gases, en donde Xe = K - I es proporcional a la densidad (comparar, por ejemplo, los valores de la tabla 30.1 para el aire a 1 atm y a 100 atm). El valor de K disminuye al aumentar la temperatura en las sustancias polares como el· etanol debido a que la agitación térmica de los dipolos hace que sea más difícil alinearlos. Como el campo total E incluye una contribución E' procedente de las cargas inducidas, la sustitución de E = E 0 + E' en la ecuación [30.32) nos da D

[30.37)

y, en general, D =I=- E0 E 0 • De aquí que no sea generalmente cierta la afirmación de que D/ Eo es el campo que deberíamos calcular a partir de la distribución de las cargas verdaderas solamente, ni es cierto tampoco que -P / Eo sea el campo que deberíamos calcular a partir de la distribución de las cargas de polarización únicamente. La razón estriba en que, aunque el flujo total de cada uno de los tipos de campo es proporcional al tipo correspondiente de carga, la distribución de las líneas de fuerza de los diferentes campos se ve afectada por la presencia del dieléctrico. En el exterior del dieléctrico, por ejemplo, P = O, pero generalmente existe cierta contribución a E', de modo que E =I=- E 0 • Sin embargo, la relación general D

[30.38)

debe ser válida en todas partes. En el caso especial común en que todos los contornos del dieléctrico coincidan con equipolencia/es (normalmente conductores) del sistema de cargas libres solamente, las líneas de campo no se ven deformadas por la presencia del campo del dieléctrico E'. Para ello, imaginemos una especie de rebanada d'V' de un volumen relleno de dieléctrico situado entre dos equipotenciales del campo total E y limitada entre ellas por líneas de flujo (ver figura 30.10). Como las líneas de flujo no pueden cortarse entre sí, el campo inducido E' entre las equipotenciales es el mismo que el que se produciría mediante cargas inducidas ± u'= ±P situadas en caras opuestas del volumen 'V'. (Este enfoque es semejante al razonamiento que utilizamos en la sección 29.4 para generalizar la fórmula de la densi-

Dieléctricos

1099 Constantes dieléctricas

Tabla 30.J

constante dieléctrica K

medio

estado

Vacío gases (a 1 atm y O ºC, a no ser que se indique otra cosa)

Aire

1,00059

Aire

1,055

Dióxido de carbono

1,00098

Helio

1,000064

Hidrógeno

1,00026

Cloruro de hidrógeno

1,0046

Nitrógeno

1,00058

Oxígeno

1,00054

100 atm

24ºC

sólidos y líquidos no polares

Aire

1,43

líquido

Benceno

2,28

1 atm, 20ºC

Vidrio

3 a 10 3a 6

·Mica Aceite

2

Oxígeno

1,49

Parafina

2,1

Cloruro de sodio

6,12

Azufre

4,0

líquido, 1 atm, -184 ºC, densidad 1,14 g/cm 3 cristal iónico

líquidos polares

Amoníaco

22

-34 ºC, momento permanente 0,382 Á

Etanol

28,4

OºC

Etanol

54,6

-120ºC

Metano!

32,6

momento permanente 0,354 Á

Agua

80

20 ºC, momento permanente 0,382 Á

dad de energía.) Como todas las líneas de flujo van directamente de una cara a la otra, la ley de Gauss da E' = a'/ f.o, o sea

E'

p

[30.39)

Dieléctricos

1100

Fig. JO.JO Volumen de dieléctrico d'V' cuyas caras extremas coinciden con equipotenciales del campo total E.

De aquí que, en este caso especial, la ecuación [30.37] se reduzca a

D

[30.40)

y, por tanto,

E

[30.41)

Así, pues, nuestra hipótesis de superficies equipotenciales coincidentes para E y E 0 es autoconsistente. Además, como la ecuación [30.39) es cierta localmente, resulta correcta en todo punto del dieléctrico si los límites del dieléctrico coinciden con las equipolencia/es originales de E0 • * Un ejemplo importante de este caso especial es el de un dieléctrico homogéneo que llena el espacio situado entre las placas planas paralelas infinitas de un condensador o entre cilindros coaxiales u otros contornos conductores. Apliquemos el estudio realizado en el párrafo anterior a un dieléctrico homogéneo situado entre las placas de un condensador de placas planas paralelas. Antes de introducir el dieléctrico, la intensidad del campo entre las placas es E0 = q 0/ e0 A, en donde ::1:: q 0 = ::1:: a0 A es la carga sobre las placas (ver figura 30. l Ia). En ausencia del dieléctrico la ecuación [30.38) nos da [30.42)

D

porque E' = P = O. Cuando se introduce el dieléctrico entre las placas, aparecen cargas de polarización ::1:: a' en los límites del mismo junto a las placas (ver figura 30.1 lb). Estas cargas inducidas dan origen a un campo inducido no uniforme E' de valor E'

=

a'

p

-x,E

[30.43)

* Esta condición especial la hemos señalado en cursiva, dos veces en este párrafo, porque esta restricción es causa frecuente de confusión. Muchas veces tratamos con geometrías de condensadores simples, tales como placas con dieléctricos o cilindros concéntricos, para los cuales E = E0 /K y uno adquiere fácilmente el hábito de que la ec. [30.41] es completamente general. Esto no ocurre así, como veremos al discutir una esfera dieléctrica en un campo uniforme en la sección 30.6.

Dieléctricn.c:

1101

f--d~ ~

+

+ + +

-

-+

-

a'

K

E0

D =

<1 11

D

-

= - ~(~)

E

E,,

=

E" K

= ºº

X

{a) Campo Eo antes de introducir el dieléctrico

o'

1:..·,1 - -

E11

X

(c) Campo macroscópico resultante E

(b) Polarización del dieléctrico después de su inserción

Fig. 30.11 Polarización de un dieléctrico limitado por las placas de un condensador cargado

Las placas cónductoras eran equipotenciales del campo inicial E0 , de modo que en este caso especial los límites o contornos del dieléctrico coinciden con las equipotenciales de E 0 y según la ecuación [30.41] E

[30.44]

Sustituyendo la ecuación [30.44] en la ecuación [30.43] se tiene a'

EoX,Eo - = = --K

K - 1 EoEo K

=

K K

<Jo

[30.45]

El desplazamiento es D

E0 E 0

+

E0 E'

+P =

qo -

A

p

+

p

qo

A


Así pues, como se predijo en la ecuación [30.40], el desplazamiento en este caso concreto no se ve afectado por la presencia del dieléctrico. Hasta ahora hemos presentado e incluido en este capítulo un número apreciable de nuevas relaciones. El lector puede encontrarse razonablemente más confuso de lo normal, pero no debe alarmarse. Para comprender lo que ocurre cuando se introduce un dieléctrico dentro de un campo eléctrico basta recordar los siguientes puntos esenciales.

2

Cuando se aplica un campo externo a un dieléctrico isótropo no polar, se deforman o distorsionan elásticamente los enlaces electrostáticos existentes dentro de cada molécula, dando origen a un momento dipolar molecular p y a un momento dipolar macroscópico por unidad de volumen, o polarización P = np. Las cargas de polarización efectivas QÁ y q'"', dan origen a un campo inducido E', que contrarresta parcialmente el campo apli-

(30.46]

Dieléctricos

1102

3

4

cado, de modo que el campo macroscópico medio neto dentro del dieléctrico es E = E0 + E' . La polarización es directamente proporcional a E:

en donde Xe es la susceptibilidad eléctrica del dieléctrico. Podemos definir un vector desplazamiento D = e0 E + P cuyo flujo depende únicamente de la carga libre: q0

fA D• dA 5

Definiendo dos nuevas constantes -la constante dieléctrica = 1 + Xe y la permitividad e = eo (1 + Xe)- tenemos

K

D 6

E0 KE

=

EE

En el caso especial común en que los límites del dieléctrico coinciden con las superficies equipotenciales del campo E0 debido a las cargas libres, el campo neto E = Eo/K, el desplazamiento D = e 0 E 0 y el campo inducido E' = -[(K - l)/K]E 0 .

Ejemplo 30.3 A partir del resultado de la parte (e) del ejemplo 30.2 hallar la relación existente entre K y na. Solución K

A partir de la solución del ejemplo 30.2c,

+

=

Xe

1

+

nCY.j Eo 1

Reordenando términos se tiene K K

+

I 2

• "d os no po 1-ares -na para 11qui 3Eo

El resultado del ejemplo 30.3 se conoce como ecuación de C/ausiusMossotti. Es válida aproximadamente en el caso de líquidos no polares y también se adapta muy bien a muchos gases en los que Xe
1

+

2

==

_l_ "· 3 ¿ Eo

f

11 1 -ot1

[30.47)

Sin embargo, la ecuación de Clausius-Mossotti no es válida generalmente en el caso de sólidos cristalinos.

Dieléctricos

1103

Ejemplo 30.4 Hallar la fuerza F existente entre dos cargas q 1 y q 2 que se encuentran dentro de un medio dieléctrico de permitividad E. Solución Por simetría, el campo de desplazamiento debido a la carga q 1 no depende de la dirección, de modo que debe tener el mismo valor y dirección radial en todo punto de una superficie esférica de radio r alrededor de la carga q 1• Así pues,

l

D•dA

y, por tanto,

EE

=

D

=

q¡ 4,rr 2

y la fuerza sobre la carga q 2 situ.ada en un punto sobre esta esfera es

Ocurre que este es uno de esos casos especiales, pero muy corrientes, en los que resulta sin modificación la forma de las superficies equipotenciales (esféricas) por la presencia del dieléctrico. Por consiguiente, E está relacionada de modo muy simple con el campo en el vacío E0 de la carga libre: E = Eof K.

30.4 Comportamiento del dieléctrico Consideremos un condensador de placas paralelas planas con áreas A y separación d, que está conectado a una pila de diferencia de potencial Á V. El espacio entre las placas se encuentra relleno de un dieléctrico de permitividad €. El campo neto E entre las placas es uniforme (despreciando los efectos de los bordes) y tiene sólo un componente que puede definirse como dirección x:

- -av = constante

ax

[30.48)

Por consiguiente, Á V = Ed. Como puede verse en la figura 30. I 1, la única parte de carga que ha sido colocada sobre el condensador por medios externos es la carga libre q0 y ésta es la carga de que se dispondría si se descargase el condensador. De aquí que, si se enc4entra presente algún dieléctrico, deba modificarse la fórmula correspondiente a la capacidad C = ql Á V de la forma siguiente

e =

[30.49)

Dieléctricos

1104

Sin embargo, en función del desplazamiento D, AD

qo

[30.50]

Por consiguiente,

e =

AeE Ed

AD LlV

-AE

[30.51]

d

y

...... e

KEoA d

KC0

[30.52]

en donde C 0 es la capacidad del mismo condensador sin el dieléctrico. De forma que la presencia del dieléctrico hace aumentar la capacidad en un factor de K. Consideremos un condensador aislado que, en ausencia de un dieléctrico, se carga a una diferencia de potencial Ll V con una carga sobre las placas de Q = C 0 Ll V. Cuando se inserta entre las placas del mismo un dieléctrico de constante K, el campo disminuye en un factor de l / K. Como ahora se necesita emplear menos trabajo en mover la carga de prueba positiva contra el campo entre las placas, ahora la diferencia de potencial es Ll V' = Ll V/K y la capacidad debe ser

Q)

e = __Q_

KC0 en donde K

LlV ( LlV' LlV

LlV'

=

LlV [30.53] LlV'

de acuerdo con la ecuación [30.52], aunque el caso físico sea ligeramente distinto. Frecuentemente se toma la ecuación [30.53] como la definición de K, que puede medirse como el cociente entre las diferencias de potencial antes y después de introducir el dieléctrico entre las placas. En la sección 29.5 dedujimos la energía potencial electrostática de un condensador:

u,

½QV

=

Q2 2C

(30.54]

en donde V es la diferencia de potencial existente entre las placas y Q es la carga libre en ellas. Debido a que en esta deducción no interviene la naturaleza del condensador, sino únicamente el trabajo realizado al adicionar cargas libres en las placas del condensador, esta relación debe seguir siendo válida en presencia de un dieléctrico entre ambas. Sustituyendo valores a partir de la ecuación (30.52], podemos hallar la densidad de la energía potencial electrostática en el dieléctrico en donde V = Ed:

u,

u, Ad

QEd 2Ad

Q/A E 2

½DE

[30.55]

Como en la sección 29.4, podemos demostrar que en el caso de un volumen infinitesimal cualquiera d'V, conteniendo o no un dieléctrico,

.....

u,

½DE

[30.56]

1105

Dieléctricos y

....

U,.

=

I

(30.57]

u, d'V

Hemos incluido a E dentro de la integral, que puede extenderse a todo el espacio y así permanece válida incluso si E cambia abruptamente en los límites del dieléctrico. Como en las ecuaciones (29.47] a [29.49], el campo en el dieléctrico transmite una tensión mecánica F

(30.58]

A

en donde Fes la fuerza atractiva neta entre las placas.

Ejemplo 30.5 Un condensador tiene sus placas de forma cuadrada con lados L. Se carga conectándolo a una pila de diferencia de potencial V. Luego se desconecta la pila y se inserta una lámina de dieléctrico entre las placas rellenando todo el espacio vacío. (a) ¿Cuál es la variación resultante de la energía electrostática? (b) ¿Qué fuerza media ejerce la placa cuando se está introduciendo el dieléctrico? (a) La variación de energía se debe a un cambio en C mientras que Q permanece constante. Por consiguiente,

Solución

Fig. 30.12

Esto es, disminuye la energía electrostática. Cuando aparecieron en el dieléctrico cargas inducidas al verse sometido a la acción de los campos de los bordes, se vieron atraídas hacia la placa más próxima (con carga opuesta), de modo que el dieléctrico se vería succionado hacia el interior

1106

Dieléctricos

del condensador, como indica la figura. De aquí que el condensador realice un trabajo W = -AUe sobre el dieléctrico, que adquiere energía cinética a expensas de la energía potencial almacenada en el campo entre las placas. (b) Para hallar la fuerza media con que el dieléctrico se ve atraído hacia el interior del condensador, basta observar que W = FAS = FL. Por tanto, Q

F

2

2C0

(K - 1) KL

que es una fuerza atractiva.

Ejemplo 30.6 Supongamos que el condensador del ejemplo 30.5 permanece conectado a la pila mientras se está insertando el dieléctrico. ¿Cuál es la variación de la energía potencial en este caso? ¿Es compatible este resultado con el obtenido en el ejemplo 30.5? Solución La diferencia de potencial V permanece constante, de modo que la carga sobre las placas debe variar al cambiar el valor de la capacidad. Por consiguiente,

½CV 2

t:.U,

-

tv 2( C

½C0 V 2

½C0 V2 (K -

1)

>

O

Es decir, aumenta la energía electrostática. De hecho, para suministrar

!:!i.Q = (C - C 0) V al condensador, la pila debe realizar un trabajo W

=

Vt:.Q

Como sólo la mitad de esta cantidad total se adiciona a la energía almacenada en el campo existente entre las placas, el resto debe representar el trabajo realizado sobre el dieléctrico al atraerlo hacia las placas del condensador, como en el ejemplo 30. 5.

Los condensadores comerciales se fabrican en una inmensa diversidad de materiales, formas y tamaños para su empleo en los circuitos eléctricos (ver figura 29.3). La esencia de su rendimiento en cuanto a disefio consiste en almacenar la máxima cantidad de carga para un tamafio dado. Para cumplir este objetivo, muchos condensadores se fabrican de láminas u hojas enrolladas en cilindros y separadas entrl;' sí por finas hojas de dieléctricos como la mica o papel parafinado. Se puede aumentar aún más la capacidad construyendo «sandwichs» cilíndricos concéntricos de conductores y dieléctricos conectados en paralelo (ver sección 29.2), reduciendo al mínimo la distancia entre las placas con carga opuesta y «blindando» el condensador con una envuelta metálica para evitar el

Dieléctricos

1107

«escape» de flujo (no puede existir ningún flujo en el exterior de la superficie cerrada del recipiente conductor).

30. 5 Líneas de campo en los límites del dieléctrico Hemos utilizado un desarrollo completamente general para obtener nuestras ecuaciones para los campos eléctrico, de- polarización y de desplazamiento en presencia de un dieléctrico. Sin embargo, los únicos casos que hemos analizado son casos en que los campos son estrictamente normales a las superficies límites o de contorno del dieléctrico. Para conseguir soluciones en casos más generales deberíamos entrar en complejidades que exceden del objetivo de este libro (aunque consideraremos un ejemplo simple de esta clase en la sección siguiente). Sin embargo, podemos examinar el comportamiento de las líneas de campo cuando cruzan los contornos del dieléctrico y este estudio nos dará una visión y comprensión adicional del comportamiento general de los campos en presencia de dieléctricos. Consideremos una caja de Gauss pequefia y de muy poca profundidad que se extiende sobre el contorno o límite de separación entre dos dieléctricos de constantes K 1 y K 2 (ver figura 30.13). Supongamos que no existen cargas libres sobre el citado límite. Si la caja tiene caras de áreas dA paralelas al límite y los lados o generatrices dn son muy pequefios, entonces el flujo de D a través de la superficie lateral es nulo. Como ½D • dA = O, el flujo a través de las caras paralelas dA es [30.59] o sea, [30.60]

Fig. 30.JJ Caja de Gauss a través de la superficie que limita dos dieléctricos

Por consiguiente, el componente normal de D es continuo a través del límite o frontera, con tal de que no existan cargas superficiales libres sobre ella. Podemos volver a escribir la ecuación [30.60] como [30.61]

Dieléctricos

1108

Si K 1 * K2 , entonces el componente normal de E debe ser discontinuo a través de la frontera. Consideremos a continuación una carga positiva unidad que se transporta a lo largo de una trayectoria rectangular a caballo sobre el contorno (ver figura 30.14). Despreciando la contribución debida a las generatrices de longitud dn pequefia (que pueden hacerse arbitrariamente pequefias), el trabajo total realizado el transportar la unidad de carga a lo largo de la trayectoria en el sentido horario es dW

=

(E, 1

-

(30.62)

E, 2 )dL

-Fig. 30.14 Integral de lfnea o curvilínea de un campo conservativo a lo largo de un trayecto cerrado en la interfase entre dos dieléctricos

en donde Et1 y E, 2 son las componentes tangenciales de E en la interfase. (Estamos utilizando E en lugar de D en esta ecuación porque E es el campo debido a todas las cargas.) Si no se anulase dW podríamos construir una máquina de movimiento perpetuo transportando la carga a lo largo del circuito en un sentido u otro (dependiendo del signo de dQ). De aquí que, por el principio de la conservación de la energía, dW = O, y (30.63)

E,2

A partir de las condiciones en los límites o fronteras de las ecuaciones [30.61) y [30.63) para los componentes tangenciales y normales del campo eléctrico, vemos que las líneas de campo deben cambiar de dirección

abruptamente lo mismo que de valor en la frontera entre los dos dielécK2• Como se ve en la figura 30.15, los ángulos 81 y 82 que tricos si K 1 los campos forman con la normal a la frontera están relacionados entre sí por

*

K1

K2

tg 82

Et1

=

E,2 Eni

K2(~) K1 Eni

K2E,2 Dni

=

=

K2E,1 Dni

K2 tg 8¡ K1

(30.64)

Fig. J0.15 Refracción de las Uneas de campo en la superficie entre dos dieléctricos para K1 < K2

1109

Asi pues, fa linea de fuerza se incurva alejándose de fa normal cu ando entra en un medio de oonstame dielectrica may r (mayor susceptibHidad) y lo hace acercándose a la normal cuando entra en un medio de oonslanl dieJ,éct rica menor (susceptibi]idad menor) . En la inler fase ,emre un dí eléctrico y un con ductor, 1o compon me · tangenciales deben anularse ambos de acuerdo con la ecuación [30.63] porque el campo e]ect:rico E I en el con dueto r es cero . Si E r 1 - Ea - O, las Hneas de campo on normales a la superfi ie conductora, como en el a io y D 1 "" O. De a.qui qu~ ]as lineas de- de p1azamiento deban originar~ se en cargas superficiales libre positivas ituad::1 obre el conductor y con una d.ensi.dad u1 = D11 2 = D2. Haciendo K2 = K, ta carga de polari~

zadón es. por consiguiente. K l --o-, K

""'

[ 0.65]

oomo

itnos en el caso sencillo de las pla as paraieias en la ecuación [30.45]. (Con objet"o de no confundir los signos recuerdese que ñ1 = - ñ1,)

Ejempla JO. 7 Calcular la capacidad de un condensador de placa para]elas de áreas A y eparación d j e espacio emre ellas .se reJlena con dos dieléctrico , uno de ,espesor L con una constante diel.éctrka K 1 y el otro de espe:s.or d - L y con nna oonsta.11te die-léc1ric-a K 2 •

Solución No existen cargas libre en la interfase. entre ambo dieléctricos, de modo que según la ecuación [30.60], el desplazamiento Des oo dnuo y normal a la frontera. As', pue , Ja di fe-renda de potencial a través AV

K¡

K2

~

D

D

E¡

E2

.

Rg. JO.Jf,

+Q

------d- -------1 1---- L ----1

-Q

1110

Dieléctricos

de los dieléctricos (entre las placas) se debe a los campos E 1

Ei =

Dli: 0 K 2 :

La carga sobre las placas es Q = AD. Por tanto,

e

AD ~V

L/K

1

+

(d -

L)/K,

Por simetría no existen componentes tangenciales de los campos eléctricos, de modo que la interfase entre los dieléctricos debe ser equipotencial y podemos imaginar la inclusión de una placa conductora en dicha interfase sin que se produzca ninguna variación en absoluto del campo. Pero esto sería igual que conectar dos condensadores de placas paralelas en serie y puede comprobarse que 1/C = l/C 1 + l/C2•

En la sección 27 .2 propusimos un método experimental idealizado para medir el campo eléctrico E en el vacío: llevar una pequeña carga de prueba + q al punto en cuestión, midiendo la fuerza F ejercida sobre ella y calculando luego E en la forma E = Flq. En este capítulo ampliaremos la idea de un campo eléctrico para incluir los campos debidos tanto a las cargas libres como a las cargas de polarización sobre los aislantes (dieléctricos). Fuera de los propios dieléctricos, el campo puede medirse como antes sefialábamos, porque E representará la fuerza ejercida sobre una carga unidad debida a la acción de todas las cargas. Sin embargo, este método resulta imposible de llevar a cabo si ha de medirse el campo dentro de un dieléctrico. Si la carga es suficientemente pequefia en sus dimensiones como para poder ajustarse entre los intersticios que existen entre los átomos, entonces las fuerzas que actúan sobre ella deben depender de las fuerzas atómicas locales y las medidas no nos darán una medición del campo macroscópico como se observaría a mayor escala. Por el contrario, si nuestra carga de prueba es suficientemente grande de forma que los campos atómicos se encuentran suficientemente promediados en sus dimensiones, entonces el cuerpo de prueba o testigo no puede introducirse dentro de un dieléctrico sólido sin cortar un agujero en él. Si ha de hacerse dicho agujero, ¿podrá cortarse de forma tal que, si se introduce una carga de prueba en el mismo, la fuerza por unidad de carga que actúa sobre el cuerpo nos proporcionará el valor correcto del campo? La respuesta a esta cuestión la da el tipo de condiciones que existan en los contornos o fronteras de los dieléctricos. Consideremos la ranura estrecha y larga cortada en la porción inferior del dieléctrico de la figura 30.17. Como el eje mayor de la ranura es paralelo al campo, la componente tangencial de E es continua en ambos

Dieléctricos

1111

lados de su dimensión mayor. Supongamos que el dieléctrico sea el medio 1 y que el vacío de la rendija es el medio 2. Según la ecuación [30.63], Ei = E 1• De aquí que si se introduce un cuerpo testigo en la ranura, la fuerza por unidad de carga sobre él nos proporcionará una medida correcta del campo E 1 porque la ranura es tan estrecha que E 2 es constante en su interior. Consideremos ahora el resultado que se obtendría si se cortase la ranura perpendicular al campo, como en la porción superior del dieléctrico de la figura 30.17. En este caso, E y D tienen únicamente componentes normales al borde largo de la ranura. Por consiguiente, la ecuación [30.61] nos dice que K 1E 1 = K 2E 2 . Hagamos K 1 = K. Sabemos que K2 = 1 en el vacío dentro de la ranura, de modo que

Q

Eo

-Q

[30.66]

Fig. 30.17 Ranuras cortadas en un dieléctrico situado entre las placas de un condensador

en donde K es la constante dieléctrica del medio en estudio. De aquí que una medida del campo dentro de la ranura perpendicular nos daría un resultado mayor que el campo en el dieléctrico en un factor K. Si hacemos estos dos experimentos, se puede calcular K como el cociente entre los dos valores E 2 y E 1 medidos. Obsérvese que en la ranura paralela al campo los contornos del dieléctrico en la ranura no están definitivamente dirigidos a lo largo de equipotenciales, ·con el resultado de que el campo total dentro de la misma no es igual a E0 (el campo de las cargas libres existente fuera del dieléctrico). En lugar de ello, E2 = Eo/K. Así, pues, en la ranura el desplazamiento D = e0 E 0/ K. Esto resalta el hecho de que D = e0 E0 únicamente en ciertos casos especiales.

30. 6 Teoría potencial En la sección 30.1, presentábamos una prueba heurística de que, en un volumen 'V' cualquiera limitado por una superficie A ' y totalmente relleno con un dieléctrico polarizado de densidad volumétrica de carga inducida p',

L.

_ J P•dA'

p' d'V'

L-

[30.67]

Dada esta relación, en la sección 30.3 hemos demostrado que, de hecho

q'

-L

P•dA

[30.68]

en donde A es una superficie cerrada cualquiera en el espacio, independientemente de que contenga o no dieléctrico. Sin embargo, debemos se-

Dieléctricos

1112

ñalar una importante cualificación: q' es la carga distribuida por todo el volumen encerrado por A. En la figura 30. 7, no existen cargas superficiales en A. Sin embargo, incluso aunque A coincidiese con la superficie del dieléctrico, seguiría siendo válida la ecuación (30.68), porque se reduciría a la ecuación [30.8], que expresa simplemente la neutralidad total de carga del dieléctrico. Expresemos q' en un volumen cualquiera CV del espacio en función de una densidad volumétrica de carga (idénticamente nula en el vacío) p' = dq '/dCV. A partir del teorema de Gauss de la ecuación [27. 70], podemos escribir

L

p' dCV

- { P•dA

-L

V•PdCV

[30.69]

El teorema de Gauss afirma que el flujo de un campo vectorial continuo cualquiera a través de una superficie cerrada es igual a la integral de

volumen, de su divergencia extendida a toda la región del interior de esta superficie. (Recordemos que en coordenadas cartesianas V • P = aPxlax + + aPylay + aP2 /az). Si el teorema de Gauss ha de ser cierto en todo punto, entonces los dos inte~randos de las integrales de volumen deben ser iguales. Es decir, si se conoce la polarización, entonces pueden determinarse las densidades de las cargas inducidas a partir de las ecuaciones [30.69] y [30.5]: p'

en todo punto

[30.70]

u'

en la superficie del dieléctrico

[30.71]

Así, pues, dado P, podemos (en principio) calcular el campo eléctrico inducido E' a partir de la ley de Coulomb expresada en la forma integral de la ecuación [30.10]. ¿Hasta dónde nos llevará este proceso? Hasta ahora sabemos en principio (1) cómo hallar el campo E' debido a una polarización de volumen P y (2) cómo relacionar P con el campo neto E en el dieléctrico de modo que (1

+

x,)E

D

[30.72]

En aquellos casos especiales en que la forma de las líneas del campo de desplazamiento no se vea afectada por la presencia del dieléctrico, hemos visto que DI Eo es simplemente el campo E 0 debido a las cargas libres solas. En esos casos podemos obtener una solución completa. Sin embargo, en general KE E 0 , de modo que debemos conocer primero P con objeto de determinar E a partir de las distribuciones de carga inducidas -pero, ¡para determinar P debemos conocer primero E! Evidentemente, esta situación resulta imposible. Es claro que deberemos conocer algo más sobre E. Podemos obtener una información adicional considerando el campo de desplazamiento y las condjciones de contorno sobre E en la región del dieléctrico, como se dedujo en la sección anterior.

*

Dieléctricos

1113

A partir de la ecuac10n [27. 69], la forma diferencial de la ley de Gauss para el campo eléctrico total E es 'v•E

=

.!!...

[30.73]

Eo

en donde p es la densidad volumétrica de carga neta, tanto libre como ligada. Según la ecuación [30. 72], se tiene

Pero la ecuación [30.73] da 'v • E0 E

p

y la ecuación [30. 70] da 'v. p

-p'

de modo que podemos escribir p -

=

p'

[30.74]

Po

en donde Po debe ser la densidad volumétrica de carga libre. Podríamos haber obtenido este resultado directamente aplicando el teorema de Gauss a la ecuación [30.27], que dice que el flujo de desplazamiento a través de una superficie cerrada es igual a la carga libre encerrada dentro de dicha superficie. Podemos expresar ahora este resultado como una ecuación diferencial para E dentro del dieléctrico: [30. 75]

Po

En la mayoría de los problemas electrostáticos, E es constante y Po = O dentro de un dieléctrico. Por consiguiente, la ecuación [30. 75] se reduce a

o

[30.76]

Como el campo electrostático es conservativo en un dieléctrico igual que en el espacio libre, puede representarse por un potencial como E = -v' V, de modo que la ecuación [30. 76] se convierte en 'v•(-'vV)

o

[30.77]

Es decir, el potencial en el interior de un dieléctrico no polar, uniforme y homogéneo debe satisfacer también la ecuación de Laplace, 'v 2 V

=

[30.78]

O

Las condiciones en los límites sobre sus derivadas direccionales son aún -K av

E,

= constante a través del contorno

an av = at

[30.79] constante a través del contorno

Dieléctricos

1114

en donde n es la coordenada normal al contorno y t la coordenada tangencial al mismo. El potencial V tiene un único valor en el contorno y es continuo a su través. Existe una amplia bibliografía acerca de las soluciones analíticas para tales problemas e, in extremis, pueden obtenerse soluciones numéricas aplicando técnica:s de relajación sobre los límites o contornos finitos. Los puntos que deseamos señalar en este estudio son a la vez teóricos y prácticos: dado el contorno de un dieléctrico de constante dieléctrica conocida, es posible en principio (utilizando la función potencial) obtener una solución única al problema de un dieléctrico sumergido dentro de un determinado campo electrostático E0 y determinar el campo resultante E. En problemas bidimensionales o con simetría axial, pueden utilizarse si es necesario técnicas de relajación para obtener soluciones numéricas. Dados un ordenador y suficiente paciencia, se tienen las herramientas necesarias para resolver problemas que fueron prohibitivamente difíciles hace sólo una generación.

Ejemplo 30.8 Un campo constante E0 produce una polarización uniforme P en una esfera dieléctrica de radio R y susceptibilidad Xe que está colocada dentro del campo. (a) Hallar E' en el interior de la esfera. (b) Hallar E dentro de la esfera. (e) Hallar E fuera de la esfera. Solución

(a) Sabemos que

p

E'

EoX,

Como tanto P como E 0 son uniformes en todo punto del interior de la esfera, vemos que E' también debe ser uniforme en dichos puntos, como se ve en la figura 30.18. En nuestro análisis del campo interior del dipolo molecular, vimos en la ecuación [30.22] que el campo inducido E' en el centro de una distribución esférica de carga de radio R y momento dipolar total 'P es E'

41re 0 R 3

y éste debe ser el valor de E' en toda la esfera. Expresada en función de la polarización de la esfera, P = 'P /(4/3)1rR3, de modo que en todo punto del interior

E'

p

1115

Dieléctricos

Hg. 30.18

(b) El campo total en todos los puntos del interior de la esfera debe ser también uniforme porque p E Eo + E' Eo - 3Eo Como P = 1:oxeE, esta expresión se convierte en E

x,E

Eo -

3

De aquí que E

3

3

3EoX,

p 3

+

Xe

Eo

Eo

X,

E'

D

+ x,.

3

EE

+

X, 3 3

Eo

+ 3x, EoEo + X,

=1-

EoEo

en todo el interior de la esfera. Así, pues, dentro de la esfera el campo eléctrico original se reduce en un factor de 3/(3 + Xe), mientras que el desplazamiento original se incrementa en el factor (3 + 3xe)l(3 + xe>· (c) A distancias grandes, el campo de la esfera deberá aproximarse al de un dipolo de momento

'P

1116

Dieléctricos

como se ve en la figura 30.19. (De hecho es posible demostrar que el campo exterior inducido E' es exactamente el de un dipolo de momento 'P situado en el centro de la esfera.) Así, pues, fuera de la esfera, utilizando las ecuaciones del campo del dipolo [28.48] y [28.49] para E', se obtiene

E

x,.

En+ 3

+

X,,

E(R)·i [2 cos8 i r 0

sen 8 8] Fig. 30.19

(a) Campo inducido en el exterior de la esfera

(b) Campo inducido ranro en el inrerior como en el exrerior de la esfera

Obsérvese que fuera de la esfera E' se suma al campo original, pero modifica ligeramente su dirección (ver figura 30.20). Obsérvese también que D = € 0 E =t- € 0 E0 fuera de la esfera.

E,.

E,,

'====~ X

'- =:!""==./ ~

E

E,, 1-ig. 30.20

Dieléctricos

1117

PROBLEMAS 30.1-30.2

Polarización y susceptibilidad eléctrica

30.1 A lo largo de una circunferencia de radio R y a intervalos de D..0 = = 60° se distribuyen uniforme y alternativamente cargas positivas y negativas ± Q. Hallar el momento dipolar total (a) si la primera carga está situada en 0 = Oº; (b) si la primera carga está en 0 = 45 °. 30.2 Una molécula de agua puede representarse como un triángulo isósceles con dos electrones orbitales de carga total -2e procedentes del oxígeno en su vértice superior y con una carga positiva de + e correspondiente a un núcleo de hidrógeno en cada vértice de la base. La distancia entre los átomos de hidrógeno y el oxígeno es de 1 Á y el ángulo superior vale 105 °. ¿Cuál es el momento dipolar permanente de la molécula? 30.3 Un vértice de un cuadrado está situado en el origen (0,0) y los otros están en (L,0), (L,L) y (0,L ). (a) Hallar el momento dipolar de la configuración de cargas siguiente: existen cargas de Q, 2Q, -Q y -2Q, respectivamente, en los vértices señalados. (b) Transformar las coordenadas de modo que el origen esté en el centro del cuadrado y repetir el cálculo anterior.

30.4 Demostrar que 'P es el mismo en todos los sistemas coordenadas para cualquier configuración neutra de cargas -es decir, que la expresión correspondiente a 'P es independiente del sistema coordenado. 30.5 Una muestra de grafito (gravedad específica = 2,25) tiene un momento dipolar medio de 6 x 10- 37 C • m por átomo. Hallar su polarización P. 30.6 Demostrar que el campo molecular está relacionado con la polarización por Emol = -P /3E 0 en el caso de un líquido y por Emol = -(P /3E 0) ('V c/'V moi)' en el caso de un gas en donde 'V oc = 1/n y 'V moi = 47rR 3/3. 30. 7 (a) Deducir la fórmula correspondiente a la polarizabilidad de una molécula de un líquido no polar en función de su densidad y susceptibilidad eléctrica Xe· Suponer que se conoce su peso molecular M. (b) Calcular la polarizabilidad del benceno (C 6H 6) para el cual p = 0,88 g/cm 3 y Xe = 1,28. 0

30.8 Un medio dieléctrico está polarizado uniformemente con un campo neto E y una polarización P = EoXeE. Se corta en este medio una pequeña cavidad esférica de radio R. (a) ¿Cuál es la densidad superficial de carga que aparece en el contorno de la cavidad? (b) ¿Cuál es el campo en el centro de la cavidad debido a esta carga superficial? (e) ¿Cuál es el campo total en el centro de la cavidad? Suponer que la cavidad es tan pequeña que no se ven modificados ni E ni P. (INDICACIÓN: Poner al revés la derivación de Em 0 ,). 30. 9 Podemos representar un átomo de hidrógeno mediante una carga positiva e situada en su centro y un electrón de carga -e girando en una órbita circular de radio R alrededor del origen. Suponer que la reacción inercial («fuerza» centrífuga) del electrón está en equilibrio con la atracción electrostática debida al campo E 0 existente entre las cargas. (a) Si se

1118

Dieléctricos

aplica al átomo un campo exterior Ee de valor Ee ..¡¡¡¡ E 0 , explicar cómo este campo puede dar origen a un momento dipolar medio en la dirección de Ee y explicar por qué el electrón no puede desplazarse simplemente alejándose del protón. (b) Consideremos la situación de la parte (a) como problema monodimensional en la dirección r, en el que la fuerza centrífuga ficticia sea proporcional a 1/r3, y demostrar que la aplicación de Ee en la dirección r dará como resultado una variación del momento dipolar

t.i.p

et.i.r

=

E er-' Ea

30.10 (a) Utilizando el resultado del problema 30.9, demostrar que la polarizabilidad del átomo es a

3Eo'V mol

en donde 'V mol = (4/3)1rR 3 es el volumen del átomo de hidrógeno. (b) Hallar la polarizabilidad y la constante de la fuerza restauradora para el hidrógeno si R = 0,53 Á. 30.11 Un disco dieléctrico plano de radio R y espesor L
gas

X,

He 0.00026

0.000064

0.00054

0.00098

(b) en el caso del oxígeno líquido a 89 K, 1 atm y densidad 1,14 g/cm 3 , calcular A si Xe = 0,50.

Dieléctricos

30.3-30.4 Desplazamiento eléctrico y comportamiento de los dieléctricos 30. 15 La figura describe el campo alrededor de una esfera conductora cargada de radio R y carga q que está encerrada dentro de una corteza esférica dieléctrica de radio R'. (a) Hallar los campos eléctricos fuera de la esfera. (b) Hallar la polarización P. (e) Hallar las cargas inducidas sobre la superficie de la corteza. (d) Demostrar que la densidad volumétrica de carga inducida dentro de la corteza se anula.

30.16 Se aplica un campo eléctrico horizontal uniforme E0 a una losa dieléctrica vertical infinita de espesor L, constante dieléctrica K, densidad numérica de átomos n y número atómico Z. ¿Cuál es la distancia media en que se desplazan los electrones y protones? 30. 17 Un condensador de placas planas paralelas separadas entre sí una distancia d contiene una lámina de dieléctrico de espesor L < d. Hallar la capacidad por unidad de área de las placas. 30.18 Un condensador de placas planas paralelas de capacidad C = 0,002 µF está relleno de parafina de K = 2, 1 y tiene unas placas de área 0,5 m 2• Se cargan las placas a .:iV = l kV. (a) ¿Cuál es la carga libre sobre la placa positiva? (b) ¿Cuál es el desplazamiento D? (e) ¿Cuál es la intensidad del campo E entre las placas? (d) ¿Cuál es la polarización P? (e) ¿Cuál es la carga neta en la frontera entre la placa positiva y el dieléctrico?

30.19 Dos condensadores de placas planas paralelas de áreas 0,1 m 2 y separación 1 mm están conectados en paralelo y cargados a una diferencia de potencial de 300 V. Luego se desconectan de la fuente de tensión sin alterar las conexiones entre ellos. Entonces se introduce un dieléctrico de constante K = 5 en el condensador 1. Calcular la carga final sobre cada condensador y el campo eléctrico en su interior. 30.20 Se conectan en serie tres condensadores idénticos con aire entre sus placas y luego se une el conjunto a una línea de 6 V del modo indicado en la figura. A continuación se llenan los condensadores C 1 y C 2 con líquidos de constantes dieléctricas K 1 y K 2, respectivamente. Las diferen-

1119

1120

Dieléctricos

cias de potencial finales en estos condensadores son ~ Vsc = 2 V. Hallar K 1 y K 2•

=

I V y

K,

K1

6

~ VAB

V-- - 11 l------111 -111-------.=.l_

V =-•

t---

B e D 30.21 Se construye un condensador con dos placas metálicas circulares de 20 cm de diámetro separadas por 5 mm de aire. Se carga a una dife-rencia de potencial de 600 V y, una vez aislado, se introduce una placa de vidrio de 5 mm de espesor y K = 6 entre las placas. (a) ¿Cuál es la nueva diferencia de potencial entre las placas? (b) ¿Cuánto trabajo realiza el condensador al atraer la placa de vidrio hacia el interior del espacio entre las placas? A

30.22 Se llena con un dieléctrico de K = 3 un condensador de olacas planas paralelas de áreas 100 cm 2 y con una separación de 1 cm. Si la carga sobre la placa positiva es 0,025 µC, ¿cuál es el momento dipolar inducido total del dieléctrico? 30.23 Expresar la fuerza de atracción existente entre las placas de un condensador lleno de un dieléctrico de constante K en función de la carga libre Q sobre la placa positiva y su área A. 30.24 Un condensador compuesto por cortezas esféricas concéntricas de radios a y b > a se llena con un dieléctrico de constante K y se carga a una diferencia de potencial V entre las cortezas. (a) Halla la capacidad. (b) Hallar la carga inducida sobre el dieléctrico en la corteza interior (conectada a tierra). 30.25 Un condensador de placas planas verticales separadas d entre sí tiene su placa izquierda centrada en el origen y normal al eje x. Se llena con un dieléctrico cuya constante dieléctrica varía linealmente a lo largo del eje x:

K(x)

K1

+

1

(K2 -

K1)

¿Cuál es la capacidad por unidad de área? 30.26 En el problema 30.25, ¿cuál es el valor de x tal que se almacena la mitad de la energía a cada lado de x cuando se aplica una diferencia de potencial entre las placas? (INDICACIÓN: Utilizar ue = D 2l2E.) 30.27 Considerar el condensador del problema 30.25. Hallar (a) el desplazamiento D y (b) la intensidad del campo eléctrico E en el interior del dieléctrico en función de x si la placa izquierda está al potencial V y la derecha se conecta a tierra. -30.28 Integrando la polarización del condensador del problema 30.25 hallar el momento dipolar total por unidad de área del condensador. 30.29 Se llena el condensador del problema 30.24 con un dieléctrico de constante K 1 para a < r < R y con un dieléctrico de constante K 2 para

Dieléctricos

1121

R < r < b. Hallar su capacidad. (INDICACIÓN: Utilizar el resultado del ¡xoblema 30.24.) 30.30 Considerar el condensador descrito en el problema 30.29. (a) ¿Cuál es el cociente entre la energía total almacenada en la corteza dieléctrica interior y la almacenada en la corteza dieléctrica exterior? (b) ¿Cuál es el valor de R si se almacena la misma cantidad de energía en cada corteza? 30.31 Un condensador de placas planas paralelas lleno de aire tiene una capacidad de 0,5 µ,F. La mitad izquierda del condensador se llena luego con un dieléctrico de constante K = 2 y la mitad derecha con un dieléctrico de constante K = 3. ¿Cuál es la capacidad resultante? 30.32 Un condensador esférico de radio interior a y radio exterior b tiene una capacidad C, con aire entre las placas. Se abre un orificio en la parte superior del condensador y se vierte aceite de constante dieléctrica K = 2 entre las cortezas hasta que quedan llenas hasta la mitad. ¿Cuál es la capacidad resultante después de cerrar de nuevo el orificio? 30.6

Teoría potencial

30.33 Hallar la densidad de carga volumétrica inducida en el caso del condensador del problema 30.25. 30.34 Un dieléctrico polarizado uniformemente contiene un campo eléctrico E. Se corta en el dieléctrico un cilindro muy largo de longitud L y radio a de forma que su eje mayor resulta paralelo al campo. (a) Hallar el campo resultante en el centro del cilindro, suponiendo que la polarización no se ve afectada por el corte. (b) Demostrar que, para 2a 2 ~ L 2, el campo total dentro del corte es aproximadamente igual a E. (INDICACIÓN: Ver el problema 27.18.) 30.35 Deducir la ecuación [30.68] a partir de la neutralidad de la carga de un dieléctrico en el caso en que parte de la superficie A que lo contiene coincida con parte de la superficie que está totalmente contenido dentro de A. 30.36 Un cilindro dieléctrico muy largo de radio R y constante dieléctrica K es coaxial con el eje z y está dentro de un campo electrostático constante E 0 = E 0 i. Este campo da como resultado la polarización del dieléctrico de tal modo que el campo total E fuera del mismo está representado por el gradiente de la función potencial Ve(r,0) y el campo total E en su interior por el gradiente de la función potencial V¡(r,0), siendo r el radio cilíndrico a partir del eje z. Como el campo total E = E 0 + E', podemos admitir que el potencial es la suma de dos términos. Demostrar que son soluciones posibles las siguientes funciones: Ve

- E 0 r cos 0

+ -A r

cos 0

-E0 r cos 0

+

Br cos 0

30.37 Utilizando las condiciones de contorno de la ecuación (30. 79] aplicada a los potenciales del problema 30.36 sobre la superficie del cilin-

1122

Dieléctricos

dro, (a) demostrar que A

E R2_K_ _ o K +

B

E-K_ _ oK +

(b) calcular E'; (e) calcular E; y (d) calcular P tanto dentro como fuera

del cilindro.

30.38 Dado que la polarización P del cilindro del problema 30.36 es uniforme y paralela a E 0 , (a) hallar E' dentro del cilindro en función de P; (b) hallar E dentro del cilindro en función de E 0 . Comparar los resultados con los del problema 30.37. (INDICACIÓN: Hallar E' a partir de las cargas superficiales inducidas consideradas como líneas de cargas.) 30.39 Demostrar que las condiciones de contorno de la ecuación [30.79) se satisfacen sobre la superficie del dieléctrico esférico uniformemente polarizado del ejemplo 30.8. 30.40 Consideremos el dieléctrico esférico uniformemente polarizado del ejemplo 30.8. (a) Hallar una función potencial V0 que dé origen al campo uniforme E0. (b) Hallar una función potencial v; que dé origen al campo dieléctrico E' fuera de la esfera. (e) Hallar una función potencial V[ que dé origen a E' dentro de la esfera. Escoger cualquier constante aditiva de modo que v; = Ví en todo punto del contorno de la esfera.

Soluciones 30 • 1 (a) 'P = O; (b) 'P = O 30 • 2 p = 1,95 x 10-29 C • m (el valor real es

0,62 x 10-29 C • m, porque las nubes electrónicas se retiran hacia los núcleos de hidrógeno) 30 • 3 (a) 'P = QL(i - 3j); (b) la misma solución 30•5 P = 6.75 X 10-s C/m 2 30 • 7 (a) a = (3f. 0X,M / NAp)/(3 + x,); (b) a= 1.17 X 10- 39 F-m 2 30 • 8 (a) u' = P cos 0; (b) E' = P /3f. 0 ; (e) E, 01 = E + P /3f. 0 30•1.0 (b) a= 1.65 X 10-• 1 F-m 2 (el verdadero valor es 7.28 X 10-• 1 F-m 2), k = 1551 N/m 30 • 11 (a) E' == - P / f. 0 ; ( b) E' == O; (e) un campo dipolar con p = 1rR2LP 30•12 E= E 0 /(1 + x,) 30•13 (a) E'= -(P/f. 0 )(1 - L/2R); (b) E' = (LPR 2 /2f. 0 )(z 2 + R 2) - 3 i 2 ; (e) E' = (P/f. 0 )(L/2R) 30•14 (a) A(H 2) = 5.17, A(He) = 1.27, A(0 2) = 10.7, A(C0 2) = 19.5 (Los mejores valores de que se dispone son 5,35, 1,43, 11,1 y 17,3 respectivamente); (b) A = 10,7

30 • 15 (a) E = ql 41rEr, en donde E = KEo en el dieléctrico y f. = fo fuera del dieléctrico; (b) P = (K - l)f. 0 E; (e) u'(R) = -[(K - 1)/K](q/41rR 2), u'(R') = -u'(R) X (R/R') 2 30 • 16 ó = (K - l)E 0 /nZeK 30• 17 CA = f. 0 /[d - (K - l)L/K] 30• 18 (a) Q = 2 µC; (b) D = 4 X 10- 6 C/m 2; (e) E= 2.15 X 10 5 V/m; (d) P = 2.t>9 X 10- 6 C/m 2 30 • 19 Q 1 = 88.5 nC, Q2 = 443 nC 30•20 K 1 = 3, K 2 = 1.5 30•21. (a) 6-V = 100 V; (b) W = 8.341 µJ 30•22 p = 1.67 X 10- 10 c-m 30•23 F = Q 2 /2KAf. 0 30 • 24 (a) C = 41rf.0 Kab/(b - a); (b) Q' = CV(K - 1)/K 30•25 CA = ~ 0 /d)(K 1 - K 1)/[ln (K2/K 1)] 30•26 x = d( K¡/K 1 - l)/(K2/K 1 - 1) 30•27 (a) D = f. 0 V(K2 - K 1)/[d In (K¡/K 1)]; (b) E = D/i 0 K(x)

1123

Dieléctricos

30•28 V[(K2

'P/A =

In (K 2/Ki)]/(ln (K2/K 1)] 30•29 C0 = 47rE 0 RK 1K 1ab/[ab(K1 - K 2 ) + R(K1b - K 1a)] 30•30 (a) V,/V; = (bK 2 /aK 1 )(R - a)/

E 0

-

K 1) -

(b - R); (b) R = ab(K 1 + K 2 )/(aK 1 + bK1) 30 • 31 C0 = 1.2 µF 30•32 C0 =3C/2 2 30-33 p' = -E 0 V(K 1 - K 1) 7 [K 1d + (K2 - K1)x]2[ln (K2/K 1)] _ 30o37(b) E' = (Alr 2 ) (cos 0 r + sen_0 8) para

r

?:: R,

y E' = -B(cos 0 r -

-Bi para O :5 r

< R;

sen 0 8)

=

(e) E = E 0 i + E' parar ;;:,:, R, y E = [2E0 /(K + l)]i para O ::s r < R; (d) P = Eox,E para O :5 r < R, y P = O

en cualquier otra parte. (a) E'= -P/2E 0 ;

30•38

(b) E = [2E0 /(K + l)]i; estos resultados concuerdan con los obtenidos mediante el método más general.

30•40 (b)

v: =

(a) V0 = -E0 x = -E 0 rcos0; [x,R/(3

parar ;;:,:, R; (e) v; = [x,/(3

+ x,)]E (R/r)

+ x,)]E

0

0

1

cos0

r cos 0 parar

:5

R

CAPÍTULO

31

Corrientes eléctricas • • y resistencia Así es la teoría de este nuevo principio de la electricidad, para la cual, sin embargo, no resulta adecuado el nombre de electricidad animal en el sentido utilizado por Ga/vani y otros, según los cuales el fluido eléctrico resulta desequilibrado en los órganos de los animales y ello por su pr.opia fuerza, debido a cierta acción particular de las potencias vitales. No, es una mera electricidad artificial, inducida por una causa externa, es decir excitada originalmente de un modo hasta ahora desconocido, mediante la conexión de metales con cualquier clase de sustancia húmeda. Y los órganos de los animales, los nervios y los músculos, son simplemente pasivos, aunque fácilmente entran en acción, porque al estar en el circuito de la corriente eléctrica, producida del modo ya mencionado, se ven atacados y estimulados por ella, especialmente los nervios. en una carta a Tiberius Cava/lo, el 22 de mayo de 1793

ALESSANDRO VOLTA,

Si dos conductores aislados cargados a potenciales diferentes se unen mediante un hilo conductor, los electrones negativos fluyen desde el conductor que se encuentra al potencial más bajo hacia el otro hasta que ambos conductores lleguen a estar al mismo potencial. Los electrones móviles constituyen una corriente; el fenómeno es el de conducción. Antes de acabar el siglo dieciocho se sabía poco acerca de este fenómeno porque no había manera de mantener el potencial existente entre los conductores cargados, manteniendo así de modo permanente el flujo de corriente. Sin embargo, el invento de la pila voltaica por Alessandro Volta en 1800 abrió un nuevo campo de investigación que condujo a algunos de los logros más importantes de la física del siglo diecinueve. 1125

Corrientes eléctricas y resistencia

1126

Volta encontró que dos conductores sólidos diferentes -por ejemplo, cobre y cinc o carbón y cinc- presentaban una diferencia de potencial y una separación de cargas entre ambos, cuando se ponían en contacto en forma de electrodos con cualquier líquido conductor (distinto de un metal fundido) -como el agua con sal o una disolución acuosa de ácido sulfúrico. El cobre y_ el carbono eran relativamente positivos y el cinc relativamente negativo. Cuando los terminales de los electrodos se conectaban externamente mediante un conductor, se producía una corriente continua mantenida en el mismo. Los electrodos se recargaban mediante la acción química de la disolución con la misma rapidez con que se descargaban a-través del conductor externo. En este capítulo y en el siguiente consideraremos las corrientes estacionarias que no varían con el tiempo. No tendremos en cuenta el movimiento de las cargas individuales, sino que enfocaremos nuestra atención sobre un punto del espacio y sobre la velocidad con que el flujo de cargas pasará por él. Las fuentes de corriente eléctrica, como la pila voltaica o las baterías, se conocen como fuerzas electromotrices (FEM) y son la causa del movimiento de las cargas. En este capítulo supondremos que dicha fuerza electromotriz es la que viene dada por una diferencia de potencial constante entre los electrodos y nos concentraremos sobre los fundamentos del flujo de corriente. Sin embargo, en capítulos posteriores se hará un análisis más detallado por las FEM.

31. 1 Corriente En la sección 15.2 definíamos el concepto de flujo para describir el desplazamiento de un fluido. Análogamente, podemos definir un flujo de carga, o corriente eléctrica, en función de la cantidad neta de carga transportada a través de un área determinada cada segundo. Como modelo básico consideremos una región del espacio en la que existen partículas de carga + q y densidad numérica n. Un campo eléctrico E en esta región hace que las partículas se muevan a lo largo de las líneas de campo. Prescindiendo del movimiento térmico de las partículas nos imaginaremos que tienen una velocidad de «desplazamiento» o «corrimiento» v que es paralela a E (ver figura 31.1). (Los resultados del análisis subsiguiente se

Fig. 31.J

cargadas.

Movimiento de desplazamiento de partículas

Corrientes eléctricas y resistencia

1127

aplicarían igualmente bien a partículas cargadas negativamente q < O, si se invirtiese el sentido del campo E.) Consideremos el flujo de cargas a través de un elemento de área A. En un intervalo de tiempo dt, cada partícula se mueve a través de un desplazamiento v dt. Consideremos el volumen d'V definido por todos los vectores v dt que terminan sobre A. En la figura, puede verse que toda carga situada inicialmente en d'V debe pasar a través de A durante el intervalo de tiempo dt y que no puede pasar a través de A ninguna otra carga en dicho intervalo. Si el ángulo formado entre v y el vector unitario íi normal a A es 0, entonces un = u cos 0 es la componente de la velocidad de desplazamiento normal a A. Así pues, d'V = Avndt. La densidad de carga en d'V es Pq = nq, de modo que la carga total en d'V es dQ = nqvnA dt. Por consiguiente, el flujo de cargas, o corriente eléctrica I, a través de A debe ser ......

dQ dt

l

nqvA cos 0

[31.1]

o bien, con notación vectorial, I

(nqv) •

(Aíi)

[31.2]

La corriente I es un escalar, pero el término vectorial nqv de la ecuación [31.2] es análogo a la densidad de flujo definido para el flujo de un fluido. Llamaremos a esta magnitud vectorial, por definición, densidad de corriente J:

.....

J

nqv

[31.3]

La densidad de corriente J tiene dimensiones de corriente por unidad de área y define la densidad de corriente media que atraviesa A. En el caso general, la corriente no está distribuida uniformemente sobre A, de modo que necesitamos considerar un elemento infinitesimal de área dA y considerar que la densidad de corriente es una cantidad que puede variar de un punto a otro tanto en módulo como en dirección. Entonces di, la contribución a la corriente debida al flujo que pasa por dA, viene dada por di

=

J •íi dA

[31.4]

y la corriente neta que atraviesa una superficie cualquiera A, abierta o cerrada, se expresa mediante la integral

..

I

=

L

J•íidA

[31.5]

En algunos casos importantes actúan como portadores de carga partículas de dos tipos y de opuestas polaridades -por ejemplo, los iones en «electrolitos» líquidos o sólidos y en los gases. Las velocidades de las partículas positivas y negativas tienen sentidos opuestos en un campo

Corrientes eléctricas y resistencia

1128

eléctrico dado. Consideremos una distribución de dos tipos de partículas con densidades numéricas n 1 y n 2 y cargas individuales q 1 y q 2• La carga neta que cruza A en el tiempo dt es dQ

[31.6]

Si q 1 > O y q 2 < O, entonces u 1n > O y u2n < O. De aquí que los términos nqun posean todos el mismo signo, con independencia de la polaridad de la carga, y que los dos flujos de cargas se sumen mutuamente. En este caso, la densidad de corriente es [3 l. 7) Así pues, la definición matemática de la densidad de corriente de la ecuación [31.3) está de acuerdo con la observación experimental de que el efecto de las partículas positivas desplazándose en un sentido es completamente equivalente al de las partículas negativas con la misma carga y velocidad pero desplazándose en sentido contrario. Hablamos de «desplazamiento» o «corrimiento» porque v es realmente la velocidad media del grupo de partículas. En la práctica puede que sean muy pequeñas en comparación con la velocidad térmica media de las partículas; sin embargo, estas velocidades térmicas medias, al ser aleatorias, no dan origen a ningún flujo neto (ver figura 31.2).

,,

Fig. 3/.2

Una partfcula cargada en movimiento aleatorio (vectores en gris) está sometida a un campo aplicado que le imprime una velocidad de desplazamiento media v en la dirección x. Cuando esta velocidad de desplazamiento se suma a cada uno de los vectores de velocidad originales, el movimiento global de la partfcula adquiere un desplazamiento hacia adelante estacionario (vectores en negro). En las cinco colisiones indicadas aquí con tiempos de colisión medio t,, la partfcula se desplaza tu = 511t, hacia la derecha.

3'

E----

X

En los metales, el portador móvil de carga es el electrón con carga negativa. El modelo de la figura 31.1 es aplicable a este caso si invertimos simplemente el sentido del campo eléctrico E. Hemos visto que en el proceso de conducción en un campo dado pueden participar tanto las partículas positivas como las negativas. Por consiguiente, debe adoptarse algún convenio con objeto de asociar el sentido de la corriente con el movimiento de cargas positivas o negativas. Es costumbre referirse al senti-

Corrientes eléctricas y resistencia

1129

do de la corriente como si todos los portadores de carga fuesen positivos. Así pues, una corriente compuesta por electrones moviéndose hacia el oeste se representa mediante un vector señalando hacia el este. (¡Gracias a Benjamin Franklin!) La figura 31.3 muestra un conductor que conecta los terminales T + y T_ que se mantienen a una diferencia de potencial estacionaria .6. V = V mediante una cierta FEM. Mediante esta diferencia de potencial se mantiene en el conductor un cierto campo eléctrico E. Esto no contradice nuestra afirmación anterior de que un campo electrostático se anula en el interior de un conductor, porque no estamos ante una situación estática. Mientras la FEM mantenga continuamente el campo dentro del conductor, las cargas estarán en movimiento de modo continuo. Si el conductor se desconectase de un terminal, las cargas existentes en el conductor se distribuirían rápidamente por sí mismas, de tal modo que el campo en el conductor se anularía y también se haría cero la velocidad de desplazamiento media de los portadores de carga. Por convenio, consideraremos que el campo mantenido por la FEM «impulsa» a la corriente / a través del conductor, aunque sería más exacto considerar que el campo está «tirando» de los electrones de conducción desde T _ hacia T + • Si la FEM es una pila o batería, el flujo de corriente a través de la misma se mantiene mediante fuerzas de tipo químico, moviéndose los iones positivos desde T _ a T +, mientras que los iones negativos se mueven en sentido contrario.

-~

Movimiento de

E los electrones ,.

Conductor -

E

T

•H

-

tt

Sentido convenido / de la corriente

T, V FEM

Fig. 31.3 Circuito simple

La unidad de corriente es el amperio (A). Según la ecuación [31.1],

[/] = amperio = culombio/segundo o sea 1 A = 1 C/s

[31.8)

Sin embargo, es el amperio y no el culombio el que se toma como unidad básica definida operacionalmente. Las fuerzas «magnéticas» que existen entre conductores por los que circulan corrientes (ver capítulo 35) pueden medirse con mucha exactitud en función de unidades primarias de longitud, masa y tiempo. Por consiguiente, la unidad de corriente en el siste-

Corrientes eléctricas y resistencia

1130

ma mksA, el amperio, se define como aquella corriente que si está circulando a la vez por dos hilos paralelos de longitud muy grande (infinita) separados 1 m entre sí, hará que los conductores experimenten una fuerza magnética de 2 x 10-7 N por metro de longitud del hilo. De aquí que en el sistema internacional SI el culombio sea una unidad derivada definida como un amperio-segundo (lC = 1 A • s). En el sistema cgs gaussiano la unidad de corriente es el statamperio (statA): [ I]

statA

statC/s

[31.9)

Consideremos una cierta región del espacio l\f limitada por una superficie A través de la cual están circulando unas corrientes (ver figura 31.4). La conservación de la carga exige que el flujo o circulación neta lí + lí + / 3- / 1 - lz sea igual a -dQ/dt, que es la acumulación de carga por unidad de tiempo en
{ J•dA

=

- aq

ar

[31.11)

Esta ecuación de continuidad* se basa en el principio de conservación de carga. Es simplemente un modo más riguroso de decir que la carga neta se conserva en condiciones no estáticas. * Comparar la ecuación [31. 11-] con la ecuación de continuidad correspondiente al flujo másico estacionario de la ecuación [15.8], en donde p representa la densidad másica. Ambas ecuaciones establecen leyes de conservación. Utilizando el teorema de Gauss, f J • dA = = ¡ V, J d"V, podemos escribir la ecuación [31.11] en forma diferencial como V • J = -í'Jp / í'Jt y en el caso de corrientes estacionarias V • J = O.

Corrientes eléctricas y resistencia

1131

,, ' ', ' ....

/

,,lJ I

,'

I

I

Q

I A

Fig. 31.4 Conservación de lo carga Q en la región 'V cuando existe un flujo de corriente a través de la superficie límite A.

Obsérvese que hemos utilizado / = -aqlat en lugar de / = dQ/dt como en la ecuación [31.1]. No existe ninguna contradicción; Q corresponde a una magnitud escalar que representa la carga que cruza una superficie, independientemente de la dirección, mientras que q representa la carga contenida realmente en CV, que está disminuyendo. Utilizamos la derivada parcial porque la densidad de carga puede ser una función de la posición en el espacio al mismo tiempo que es función del tiempo.

Ejemplo 31. 1 (a) Un hilo de cobre de 1 mm 2 de sección transporta una

corriente de 5 A. Si cada átomo contribuye a la misma con un electrón libre, hallar la velocidad de desplazamiento media II de los electrones que originan la corriente. (b) Un tubo de vidrio de 1 cm 2 de sección recta contiene un gas ideal a 0,01 atm y 100 ºC. Si una molécula de cada mil se ioniza para producir un electrón libre, hallar la velocidad de desplazamiento media de los electrones que originan la corriente cuando pasa por el tubo una corriente de 0,05 A. No tener en cuenta la corriente debida a los iones positivos porque su masa es mucho mayor relativamente y se desplaza con mucha lentitud en el campo.

Solución (a) En el caso de los electrones/ = ne11A, de modo que la velocidad de desplazamiento es 11 = llneA. La densidad del cobre es p = 8,89 g/cm 3 y su peso molecular es M = 63,5 kg para NA = 6,02 x 1026 átomos. La carga electrónica es e = 1,6 x 10- 19 C. Así pues, n

P;~

= 8,43 X 1022 atomos/cm 3

Corrientes eléctricas y resistencia

1132

(o electrones libres por cm 3) y de aquí que

V

=

I neA

=

5 C/s (8,43 X 10 28 m- 3)(1,6 X 10- 19 C)(l0- 6 m 2)

3,71 X 10- 4 m/s (b) Sabemos que 22,4 m 3 de gas en condiciones normales (O ºC Y 1 atm) contienen NA moléculas de gas. Como la presión es menor que la

normal mientras que la temperatura es más elevada, este valor debe multiplicarse por el factor (0,01 atm/1 atm) x (273 K/373 K). Así pues, 26

n

=

10

_3 elect X 10- 2 atm X 273 K X 6,02 X 10 mol 373 K 22,4 m3 mol 1 atm

1,97 X I0 20 elect/m 3 (en donde mol representa molécula y elect corresponde a electrón) Y V

I neA 0,05 C/s (1,97 X 1020 m- 3)(1,6 X 10- 19 C)(l0- 4 m2)

15,9 m/s

Este valor es muy pequeño en comparación con la velocidad térmica media que vale aproximadamente 400 mis.

31.2 Conducción Siempre que en un medio existe un campo, las cargas móviles se moverán, en tanto que no sean capaces de acumularse en algún lugar del medio y establecer así un campo opuesto. Así pues, en electrostática, las cargas se acumulan en la superficie de un conductor y contrarrestan al campo aplicado, de modo que se anula el campo en el interior del conductor. Sin embargo, si el conductor forma parte de un circuito completo (por ejemplo, el de la figura 31.2), entonces las cargas se mantendrán fluyendo o circulando a través del conductor del mismo modo que el agua lo hace por una tubería y el campo aplicado E debido a la FEM V permanece siendo el mismo porque no existe ninguna separación neta de cargas en el conductor. Un medio conductor no sólo sirve como una fuente de cargas móviles, sino que su naturaleza influye también sobre el movimiento de cargas, determinando cuánta corriente puede circular por él para un campo aplicado determinado. La mayoría de los conductores de empleo práctico son sustancias metálicas y el primer avance importante realizado en la formulación de una teoría de los metales fue hecho por Paul K. L. Drude en 1900, poco después del descubrimiento del electrón

Corrientes eléctricas y resistencia

1133

por Thomson. Drude supuso que los iones de un metal estaban fijos y que, en el espacio entre ellos, se encontraban los electrones de conducción en movimiento rápido y aleatorio. No se consideraron las colisiones mutuas de los electrones (puesto que el diámetro efectivo del electrón es solamente 10-5 el de un átomo), de modo que sólo era necesario considerar sus colisiones con los iones fijos. Así pues, se consideró que los electrones de conducción se podían mover con total libertad por el interior del conductor. Si se aplica un campo externo a un conjunto de electrones libres, cada electrón adquiere una aceleración en sentido opuesto al campo. Si no existe ninguna otra fuerza, el electrón se acelerará indefinidamente bajo la acción del campo. Sin embargo, debido a que se producen choques, existe un cierto tipo de fuerza amortiguadora resistiva (o de rozamiento) que es proporcional a la velocidad de desplazamiento u. Si suponemos que la variación media de la cantidad de movimiento por choque es -meu y que te es el tiempo medio entre colisiones, entonces podemos representar esta fuerza amortiguadora como Fd = -meulte, siendo me la masa del electrón. Según la segunda ley de Newton, (F = ma), podemos obtener ahora la ecuación diferencial correspondiente a u: eE -

F

m,v

dv m,-;¡¡

te

[31.12]

o bien dv m, d[

m,

+ --¡;- V

eE

[31.13]

en donde -e es la carga del electrón de modo que la fuerza debida al campo es (-e) (-E) = eE. La velocidad u es la velocidad de desplazamiento superpuesta a las velocidades térmicas aleatorias. A partir de la ecuación [31.13], la cuadratura simple nos da u

dv

o

Ee/m, -

l

[31.14]

v/tc

y así V

vd l

[

-¡;

exp - t )] en donde vd = eEtc m, (

[31.15]

Y ud es la velocidad de desplazamiento final o terminal a- que tiende el electrón para t }> te, Cuando t = te, el electrón ha alcanzado por término medio una velocidad uc = 0,62 ud. Sin entrar en detalles, podemos admitir que existe un cierto «tiempo de relajación» característico tr del orden de magnitud tr = te, tal que et, E

m,

[31.16]

Corrientes eléctricas y resistencia

1134

en donde · v es la velocidad de desplazamiento media de los electrones entre colisiones. La densidad de corriente J producida por los electrones de desplazamiento es, pues, 2

J

-n,ev

n,e t, E

m,

[31.17]

en donde ne es el número de electrones móviles por unidad de volumen. Obsérvese que el término constante nee2trlme representa la constante de proporcionalidad entre un campo aplicado E y la densidad de corriente J que produce. Esta constante se denomina conductividad 11 del conductor: 11

[31.18]

m,

Podemos así escribir la ecuación [31.17] como [31.19]

11E

y esta ecuación es conocida con el nombre de forma microscópica de la ley de Ohm. Esta forma de la relación lineal existente entre J y E es la preferida para el estudio teórico, mientras que en su empleo práctico suele utilizarse la forma inversa: E

pJ en dondep =

1 11

[31.20]

La constante p se denomina la resistividad del medio (no hay que confundirla con la densidad de carga). Cuando aumenta la temperatura, crece la velocidad térmica de los electrones y, por consiguiente, disminuye el tiempo de colisión te entre los electrones libres y los iones. Según la ecuación [31.18], sería de esperar que una disminución de te (y, por tanto, de tr) condujese a una disminución de la conductividad 11. De acuerdo con lo predicho, un aumento de la temperatura de un metal conduce a una disminución de su conductividad (y de aquí, a un incremento en la resistividad). Si el campo eléctrico es tan intenso que la partícula cargada adquiere una energía cinética comparable en valor a su energía térmica, entonces las colisiones darán como resultado un calentamiento apreciable del medio, con una consiguiente alteración de tr. Si el medio es de densidad muy baja dan también como resultado ciertas discrepancias respecto a las ecuaciones que acabamos de deducir. Por otro lado, en un conductor gaseoso a presión elevada, se produce un «efecto de avalancha» cuando los electrones acelerados golpean con gran violencia a los iones o partículas neutras, expulsand9 de los mismas más electrones exteriores que se convierten en portadores de corriente y produciendo a su vez más electrones libres en las colisiones sucesivas. En el caso de campos eléctricos variables con el tiempo (que estudiaremos más adelante), la mayoría de las variaciones significativas se producen dentro de tiempos que son muy grandes en comparación con te = 10-12 s, de modo que de!Jeremos con-

Corrientes eléctricas y resistencia

1135

siderar a a (y, por tanto, a p) como una constante para un conductor dado a una temperatura determinada independientemente del campo aplicado. Los conductores que no obedecen a la ecuación [31.19] se denominan conductores no-óhmicos -algunos de los más importantes entré ellos son los semiconductores no metálicos silicio y germanio utilizados en la fabricación de transistores. En estos semiconductores la densidad de los portadores de carga móviles puede depender del campo -es decir, n = n(E)- cuando el campo es suficientemente grande como para dar origen a aceleraciones apreciables que proporcionan a los portadores de carga una cantidad de movimiento suficiente como para ionizar otras partículas y causar un efecto avalancha semejante al que se observa en los conductores gaseosos a presiones elevadas. Este efecto se utiliza para amplificar corrientes en dispositivos fotoeléctricos. El ritmo según el cual realiza trabajo una fuerza sobre una partícula móvil es la potencia P = F • v. En el caso de una partícula portadora de corriente de carga q, P

qE•v

Como existen n de dichas partículas por unidad de volumen, la potencia media consumida por unidad de volumen para conseguir una corriente de densidad J es ....

p'V

uE 2

E• (nqv)

pJ2

[31.21]

Como este trabajo se realiza contra fuerzas resistivas, aparece en forma de calor. Si el medio no es homogéneo, puede integrarse la ecuación microscópica sobre el volumen 'Y del medio: p

L

L

2

pJ2 d'Y

uE d'Y

[31.22]

31.3 Resistencia Para analizar circuitos eléctricos reales de un modo práctico conviene obtener la forma macroscópica de la ley de Ohm a partir de la forma microscópica, J = aE. Consideremos un conductor homogéneo de longitud L, sección recta A y conductividad a por el que circula una corriente estacionaria I de densidad uniforme J (ver figura 31.5). La resistencia a esta corriente produce una diferencia de potencial Á V = V entre los extremos del conductor. Esta diferencia de potencial es una caída de potencial -es decir, debe realizarse trabajo para que circule la corriente I por el conductor. La intensidad del campo eléctrico E es E = VIL y la corriente total es I = JA. Sustituyendo en la forma microscópica de la ley de Ohm (ecuación [31.19]), se obtiene

I A

aV L

V

pL

[31.23]

Corrientes eléctricas y resistencia

1136

L

(

J

~1

=

aE

{J

A Fig. 31.5 Deducción de la ley de Ohm, V

V

= RI

-

que se acostumbra escribir en la forma .....

V

=

pl I A

=

RI

[31.24]

en donde la constante de proporcionalidad R se denomina resistencia del conductor. La ecuación [31.24) es la forma macroscópica de la ley de Ohm. El valor de R puede calcularse a partir de la resistividad conocida del conductor junto con la geometría del flujo de la corriente a su través. Cuando J es uniforme y perpendicular a la sección recta del conductor, como en la figura 31.5, se tiene simplemente R

pl

[31.25]

A

Sin embargo, en el caso de un conductor óhmico extenso cualquiera (es decir, en un conductor cualquiera en el que J = aE), la corriente total es proporcional a la caída de potencial, de modo que podemos definir siempre una resistencia medible del conductor, determinada a partir del cociente. R

V

[31.26)

I

En su forma más general, podemos escribir la ley de Ohm como ..,_

R

dV di

[31.27]

= constante

Esta ecuación define la resistencia como la pendiente de la curva de V en función de I e implica que R depende únicamente del medio conductor y de su geometría. La ley de Ohm se ha ensayado en unos márgenes muy amplios de valores y se ha encontrado que es válida para corrientes estacionarias en un metal o líquido hasta el límite de precisión con que puede medirse, con una excepción: en el caso de campos extraordinariamente grandes (alrededor de 3 x 106 V/m en líquidos por ejemplo) las separaciones respecto a la ley de Ohm pueden llegar al 50 o/o. El parámetro Rdy = d VIdi se denomina resistencia dinámica y es útil en la teoría de los conductores no-óhmicos, en los que Rdy constante. La primera investigación realizada sobre la relación existente entre el flujo o circulación de corriente y la caída de potencial en un conductor fue llevada a cabo por Henry Cavendish en 1781. Cavendish anticipó

*

Corrientes eléctricas y resistencia

1137

parcialmente esta relación que hemos desarrollado para conductores metálicos y líquidos, pero esta ley fue totalmente establecida por Georg Simon Ohm en 1827. Ohm se inspiró en la teoría de la conducción del calor desarrollada por Jean Fourier en 1822. Mediante una gran cantidad de experimentación sistemática con corrientes estacionarias en hilos conductores, Ohm demostró que la relación entre la diferencia de potencial y la corriente es análoga a la de la diferencia de temperaturas y el flujo térmico en la conducción del calor. Como E = -dV/dx, podemos volver a escribir la ecuación [31.23) como I

=

AuV

dV -Audx

AuE

L

expresión que recuerda la ecuación de la conducción [21.35] correspondiente al flujo térmico: dQ/dt = -JfA(dTldx). La semejanza no es meramente fortuita, porque los buenos conductores de la electricidad son también buenos conductores del calor. En el caso de los metales, la teoría avanzada predice la ley de Franz-Weidemann: J{

[31.28]

en donde k es la constante de Boltzmann y T, la temperatura absoluta. La unidad de resistencia es el ohmio (íl). Como R = V//, vemos que 2 [R] = ohmio = voltio/amperio = vatio/amperio 1íl = 1 V/A= 1 W/A 2

[31.29]

A partir de la ecuación [31.24], se tiene que p = RAIL, de modo que la unidad de resistividad es

[p]

[31.30]

íl·m

aunque la unidad más común de p es el íl • cm. Otra magnitud útil es la conductancia G, que se expresa en función de una unidad llamada mho: G

1 R

y

[G]

o-1

mho

[31.31)

De aquí, como a = 1/ p, resulta que la unidad de conductividad es

[u]

mho/m

[31.32]

El ohmio también se define a partir de un patrón internacional, el ohmio internacional, que es la resistencia de una columna de mercurio de sección recta constante, de longitud 106,300 cm, de masa 14,4521 g y a la temperatura del hielo fundente (ver ejemplo 31.2). En el National Bureau of Standards de los Estados Unidos se encuentran otros tipos de resistencias patrón construidas con arrollamientos de hilos adecuados. Como p representa un cierto tipo de resistencia de «fricción» al flujo de la corriente, es de esperar que aumente al crecer la temperatura. Esta

Corrientes eléctricas y resistencia

1138

relación se expresa mediante el coeficiente de temperatura medio de la resistencia a. Como el aumento es relativamente pequeño y casi lineal en un margen amplio de temperaturas, es costumbre desarrollar la resistividad en serie de Taylor alrededor de r = OºC. p

==

Po

+

r(dp) dr

[31.33]

o

En la tabla 31.1 se relacionan algunos valores representativos de las resistividades, junto con sus coeficientes de temperatura a. El coeficiente a es positivo para todos los metales, pero es negativo para los electrolitos y para el carbono, el silicio y algunas otras sustancias (ver figura 31.6).

6

4

2

o

200ºC

400ºC

600ºC

T

Flg. 31.6 Dependencia de la resistividad con la temperatura

Ciertas aleaciones como la inanganina y el constantán poseen un coeficiente prácticamente nulo en un determinado margen limitado de temperaturas. Esto es cierto también para cualquier metal puro a temperaturas muy bajas. Ciertos metales (especialmente el mercurio y el plomo) y algunas aleaciones y compuestos metálicos poseen la notable propiedad de que a una cierta temperatura de transición característica de la sustancia (pero en la mayoría de los casos por debajo de los 10 K de temperatura), la resistencia disminuye bruscamente hasta un valor demasiado pequeño como para ser medido. Este fenómeno se denomina superconductividad. Una corriente establecida en un circuito superconductor persiste sin FEM una vez iniciada -¡se han observado corrientes que se mantienen durante años sin disminuir apenas!-. Cuando se deja que se eleve la temperatura por encima del punto de transición, se restablece la conductividad normal. Hasta ahora se han descubierto millares de superconductores y parece que puede existir la superconductividad en cierta extensión en todos los metales y sus compuestos.

Corrientes eléctricas y resistencia

1139

Tabla 31.J Resistividades eléctricas resistividad p íl • cm

sustancia Parafina

>5

Goma, dura Laca Vidrio, ordinario Agua, destilada

9

5

Alcohol etílico

3

Agua, de mar

25

Nichrom Hierro Mercurio Latón, recocido Níquel Tungsteno

a, 0/K

22

X 1018 X 1016

22

X 101)

20

22

X 10

5

18

X 10

5

15 20

103

20

0.0004

10

10- 6

20

0.0050

9.407 X 10- 6 7.0 X 10- 6 6.141. X 10- 6

o o o

0.0009

X

10- 6

20

0.0045

X

10- 6

o o

-0.0005

20

0.0039

20

0.0038

X

3.5

Aluminio

2.63 X 10- 6 1.72 X 10- 6 1.629 X 10- 6

Grafito

ºC

X 1018

Carbono

Plata

constante de temperatura

X 10- 6

5.51

Cobre, comercial

temperatura r

1.375 X 10-

6

0.0020 0.0060

0.0039

o

Todo cuerpo que posea resistencia eléctrica puede denominarse una

resistencia. En los diagramas de los circuitos, el símbolo correspondiente a una resistencia es una línea en zigzag (ver figura 37.7a). Allí donde la

Resistencia

Reostato

Potenciómetro

(a) S(mbolos para las resistencias en los circuitos Plata Rojo

Marrón

Fig. 31.7 Notación de resistencias

{b) Código de colores de una resistencia de 320 O con 10% de tolerancia. Las dos bandas de la izquierda indican los dos primeros dlgitos de un número entero, lo tercera banda da la potencia de diez por la que debe multiplicarse dicho entero y la cuarta banda seflala el lfmite superior de la desviación estándar porcentual (o tolerancia) del proceso de fabricación.

Corrientes eléctricas y resistencia

1140

resistencia de un medio conductor entre dos puntos sea de importancia, podemos representarla en los diagramas y en los cálculos como una simple resistencia conectada entre estos puntos. Las resistencias utilizadas en la mayoría de las aplicaciones están constituidas por pequeños cilindros de una composición de grafito y arcilla cocidos con unos terminales de hilo metálico en sus extremos. Para trabajos de más precisión se utilizan resistencias de bobinas de hilos conductores. La mayoría de las resistencias llevan indicado su valor mediante un código de color en bandas, en donde cada color equivale a un dígito o a una potencia de diez, dependiendo de su posición (ver figura 31.7b y tabla 31.2).* La última banda puede ser dorada, plateada o carecer de color, indicándose así la tolerancia del fabricante para obtener el valor indicado de la resistencia. Un Tabla 31.2

Código normalizado de colores para las resistencias color

dlgito

Negro

o

tolerancia

Marrón Rojo

2

Anaranjado

3

Amarillo

4

Verde

5

Azul

6

Violeta

7

Gris

8

Blanco

9

Oro

5%

Plata

10%

Ninguno

20%

reostato es una resistencia variable. Un potenciómetro es una resistencia con dos terminales fijos, mientras que existe otro terminal intermedio móvil (ver figura 31.7a); estos últimos se utilizarán por ejemplo, como controles de volumen en radio y televisión. La figura 31.8 muestra cinco resistencias diferentes, cada una de ellas de 65 O. En el caso de la última resistencia, la disolución 0,5 N (medio-normal) de cloruro de potasio, la corriente es transportada por la disolución mediante los iones K + y cien lugar de electrones de conducción. Para calcular la potencia disipada por la corriente que circula por una resistencia. observemos que el trabajo realizado sobre una carga dQ • Existen diversas reglas mnemotécnicas para recordar este código de colores. Desgraciadamente, la mayoría de ellas son de dudoso gusto literario o son poco apropiadas, de forma que se ha preferido no incluirlas aquí. Quizás el lector pueda idear una adecuada.

Corrientes eléctricas y resistencia

1141

(o) Hilo de nichrom del n. 0 40 de 28 cm de longitud

(b) Un carrete de 0,5 libros de hilo de cobre esmaltado del n. 0 28 para electroimanes (1030 pies).

(c) Dos resistencias de 70 O y uno de 30 O

(e) Uno disolución de KCI 0,5 N con electrodos

de cierto toma/lo y separación apropiado

Fig. 31.8

(d) Lámpara de incandescencia de tungsteno de 25 W, /15 V (fria)

cuando «cae» a través de una diferencia de potencial V es simplemente VdQ. De aquí que el trabajo realizado en un segundo es ....

p

vdQ dt

VI

= Rl 2

f31.34J

La energía cinética adquirida por la carga se convierte en energía térmica debido a la resistencia del medio, produciendo el efecto conocido como calentamiento o efecto Joule, que es la base de las aplicaciones de calefacción eléctrica. Obsérvese que la ecuación [31.34] concuerda con la ecuación [31.21] porque p =

Rl 2

RA 2J2

(uE 2)AL [31.35]

Varias resistencias de 65

n

Corrientes eléctricas y resistencia

1142

y, por consiguiente, P,y

= aE 2 es la potencia disipada por unidad de

volumen. Es de señalar una vez más que es práctica común hablar del «voltaje» que aparece en una parte del circuito eléctrico y utilizar el símbolo V para representar esta diferencia de potencial en lugar de d V. Sin embargo, es importante recordar que estas ecuaciones se aplican a diferencias de potencial.

Ejemplo 31.2 Calcular la resistencia de la columna de mercurio patrón internacional (descrita después de la ecuación [31.32]), utilizando el valor de la resistividad dado en la tabla 31.1. Solución Según la tabla 31.3, p = 9,407 x 10- 5 íl • cm. En el apéndice G se tiene la densidad del mercurio que vale 13,595 g/cm 3• El volumen de la columna es

14,4521 g 13,595 g/cm 1

1,063 crn 3

La sección recta de la columna es A

R =

= 'VI L. Como R

(l06,3crn)2(9,407 X 10- 5 íl·cm) 1,063 cm 3

pL/A, tenemos

1,000 íl

31.4 Cálculos de resistencias Con objeto de calcular la resistencia R de un cuerpo conductor (dada una diferencia de potencial d V entre sus extremos), debemos 1 2 3 4

conocer la resistividad p del cuerpo; conocer la forma y tamaño del cuerpo; calcular / = (l/ p) IA E • dA a través de una cierta sección recta A del cuerpo; calcular el cociente R = d VIl.

En general, este procedimiento no es sencillo, porque las variaciones en el esquema de flujo de la corriente influirán en la cantidad de corriente para una diferencia de potencial determinada. Por ejemplo, si los terminales de la resistencia son cubiertas metálicas planas sujetas a sus extremos, entonces la distribución de corriente será de la forma de líneas rectas entre los terminales (ver figura 31.9a). Sin embargo, si los terminales son hilos sencillos unidos a la resistencia, entonces la densidad de corriente será más elevada cerca de los terminales (ver figura 31.9b); en este caso, la resistencia tiene la forma efectiva indicada en la figura 31.9c.

Corrientes eléctricas y resistencia

/

Electrodos

_ _ _ _ _ _ __..,. --------•

I

1143

- --.t - - - - - - - - -

I (a) Densidad de corriente uniforme, con R = Vil = pLIA

=::::::::::::::::::

V

---------

------L--------1

/'

/'

(b) Corriente no uniforme /' que entra en una resistencia con

hilos de conexi6n, siendo R' = Vil' > R

y

/' (c) Geometría efectiva de fa resistencia, sin tener en cuenta ef flujo despreciable de corriente en las esquinas

V

Fig. 31.9 Geometrfas reales y efectivas de resistencias. Las flechas representan tanto las lineas de campo como las corrientes que fluyen a lo largo de las mismas

La sección recta eficaz media de la resistencia se ve reducida y así ofrece una mayor resistencia al paso de la corriente. La resistencia, como la capacidad, depende de la geometría del flujo eléctrico existente entre las diferentes equipotenciales -en este caso, los terminales de la resistencia. Para representar el flujo de corriente estacionaria a través de una resistencia de constante p, imaginemos el flujo de agua a través de una tubería que tenga la misma forma que la resistencia. La densidad de corriente es mayor en aquella parte de la tubería en donde el agua deberá fluir más rápidamente. Ordinariamente, es más sencillo medir directamente la resistencia. Sin embargo, si suponemos que la corriente se reparte uniformemente sobre toda sección recta como en la figura 31.9a, podemos olvidarnos de la poco agradable realidad de la figura 31.9b y se puede calcular un lfmite inferior de la resistencia real como

R =

( l!..dx

Jo

A

[31.36]

en donde x es la coordenada en la dirección de la longitud L del conductor y A = A(x) es el área de la sección recta del conductor, que puede ser no uniforme.

Corrientes eléctricas y resistencia

1144

Un caso simple es el de un flujo de corriente radial entre dos cilindros coaxiales (ver figura 31.10), estando el espacio existente entre ambos lleno con un conductor de resistividad f!. Por simetría, la corriente debe circular radialmente saliendo del cilindro central. Esta corriente no influye sobre la solución previa electrostática correspondiente al campo alrededor del cilindro (ver ejemplo 28.5). Si la coordenada radial cilíndrica es ,, el radio del cilindro interior es a, b el del cilindro exterior y V es la diferencia de potencial entre los cilindros, entonces V

X b - In= a 2'l!"Eo V r In (b/a)

X

E(r)

(31.37]

2'l!"Eof

para a < r< b

[31.38]

Para llevar a cabo la etapa 3 del proceso de cálculo de la resistencia, calculemos ahora la corriente que pasa por una sección recta (un cilindro de radio r): I

=

E(r)2'l!"rh

_!_lE·dA

2'll"hV (31.39] pln(bja)

p

p A

Finalmente, podemos calcular la resistencia reordenando la ecuación (31.39): R

V

p

In (b/a)

(31.40]

2'l!"h

I

Hemos utilizado este ejemplo que es muy fácil de resolver para aclarar el método general de cálculo de la resistencia. Sin embargo, podíamos haber utilizado también la ecuación (31.36] sustituyendo x por r como coordenada a emplear en esta ecuación: b

R

l 0

_P_d, 2'l!"rh

p

2'l!"h

b

l O

dr

p

In (b/a) 2'll"h

r

(31.41]

Este resultado concuerda con el de la ecuación (31.40] porque el flujo de la corriente es siempre perpendicular a la sección cilíndrica de radio r, de modo que el área efectiva coincide con el área real. Si comparamos la ecuación [31.40] con el resultado del ejemplo 29.2, observaremos que la capacidad de los cilindros concéntricos de longitud h en el vacío es

e

PEo

R

(31.42]

Esta relación no es accidental, sino que es inherente a la naturaleza de los medios isótropos. Puede comprenderse esto más fácilmente en función del flujo eléctrico 'Ir entre los electrodos. Si la geometría del medio conductor es tal que el flujo eléctrico entre los electrodos es exactamente el

Corrientes eléctricas

y resistencia

1145

T /¡

1 Fig. JI.JO

Resistencia de una corteza cilfndrica conductora

que debería existir si los electrodos fuesen las dos armaduras de un condensador, entonces según la ecuación [29.24], C

=

Eo'Y V

[31.43]

Sin embargo, la corriente total / está relacionada también con el flujo eléctrico V = IA E • dA: T

L

J•dA

=

L

uEodA

[31.44]

De aquí que, sustituyendo ir en la ecuación [31.43],

e =

;(i)

PEo

R

[31.45]

Aunque esta expresión es sólo aproximadamente aplicable en la mayoría de los casos (debido a los campos marginales y a las pérdidas de flujos y de corrientes), esta relación puede ser de gran utilidad en manos hábiles. Resulta incluso más simétrica aún si se expresa en función de la conductancia G: 'V V

e

G (j

[31.46]

En la sección siguiente, veremos que esta conexión fundamental entre campos y corrientes que se encuentra encerrada en la ley de Ohm conduce de modo natural (si el lector resulta ser un nuevo James Clerk Maxwell) a la idea de las corrientes de desplazamiento, que es el concepto clave que hizo posible la teoría electromagnética de la luz (ver el capítulo 41).

Corrientes eléctricas y resistencia

1146

Ejemplo 31.3 Calcular la resistencia de un medio conductor de resistividad p que llena el espacio entre dos placas paralelas de un condensador de áreas A y separación d. Solución En este caso, podemos utilizar o bien la relación existente entre capacidad y resistencia de la ecuación [31.45] o el hecho de que las secciones rectas del conductor son perpendiculares al flujo, haciendo que sea aplicable la ecuación [31.36). En cualquier caso se obtiene R

C

A

Ejemplo 31.4 Estimar la resistencia del cuerpo conductor indicado en la figura 31.1 l. 2b

r-L--L--L-----,

Fig. Jl./1

Solución Podemos obtener una estimación inferior aplicando la ecuación [3 l. 36) separadamente a cada sección cilíndrica:

R

> pL

(-l- + _l_ + _I_) 1t'a2

1t'b2

1t'a 2

Podemos obtener una aproximación superior de poca calidad observando que la resistencia real debe ser menor la que existiría si la sección central no fuese más ancha. En el caso de un cilindro largo de radio a se tiene R

<

3pL 1t'a2

De aquí que

pL(- 21t'a2

+

_I_) < 1t'b2

R

< 3pL 1ra 2

Podemos ampliar nuestra noción general de resistencia R = V// a varias resistencias en combinación, definiendo su resistencia equivalente R 0 como el cociente entre la diferencia de potencial total aplicada a la com-

Corrientes eléctricas y resistencia

1147

binación y la corriente neta que circula por la misma. Por ejemplo, consideremos N resistencias R; (en donde i = 1, 2, ... , N) en serie (ver figura 31.12). A través de todas las resistencias debe circular la misma corriente /, de modo que la caída de potencial en la resistencia i es

V,

= RJ

=

para i

1, 2, ... , N

[31.47]

Por consiguiente, la caída de potencial total en la serie es N

V

I¿R;

=

IR 0

[31.48]

i- 1

Así pues, la resistencia equivalente R 0

= VII es

para resistencias en serie

- I

V

I

[31.49]

I

Fig. 31.12

y N resistencias R; en serie pueden sustituirse (conceptualmente o en la práctica) por una sola cuyo valor R 0 sea la suma de las resistencias individuales R ¡. La figura 31.13 muestra la caída de potencial a lo largo de un circuito que contiene una pila de diferencia de potencial V0 conectada a tres resistencias en serie por hilos conductores que suponemos perfectamente conductores, de modo que no existe ninguna diferencia de potencial en dichos hilos de conexión. Si se conectan en paralelo N resistencias R; como en la figura 31.14, entonces en el caso general por cada resistencia puede circular una corriente diferente I;. Sin embargo, la caída de potencial V es la misma para todas las resistencias porque todas están conectadas a los mismos terminales. Por tanto,

V

=

R;I;

pára i

= 1, 2, . .. , N

[31.50]

Sin embargo, en estado estacionario, la corriente total que entra en el circuito en un punto a y sale por otro punto b debe coincidir exactamente con la suma de las corrientes que circulan por las distintas ramas I;: N

I

=

¿I; i =I

[31.51]

Resistencias en serie

Corrientes eléctricas y resistencia

1148 I _...,___.

R,

R_,

R, 1 1 1

V

T

1

Vo

1

1

1

1

dV/dl

R,

1

1

1

1

1

1

1

1

1

dV/ dl =

R,

1

R,

o Fig.

31./J Caldas de potencial a lo largo de un circuito con tres resistencias en serie

=

Por consiguiente, como R 0 es

....

VI/, la resistencia equivalente del circuito

N

"'"' __!_ LR. 1-1

para resistencias en paralelo

1

[31.52)

1.:7 ------,, 11

1.;- _¡ R~

v --

/t

a V

e

1,..

ll b

!/ -

Fig.

31.14 Resistencias en paralelo

Corrientes eléctricas y resistencia

1149

Obsérvese que la resistencia equivalente R 0 es menor que cualquiera de las resistencias componentes (R 0 < R;) porque las resistencias en paralelo proporcionan más trayectos al flujo de la corriente -de modo semejante a como varias tuberías estrechas en paralelo ofrecen menos resistencia a la circulación de un fluido que cualquiera de las tuberías aisladamente.

Ejemplo 31.5 (a) Hallar la resistencia equivalente R 0 de la red de resistencias iguales R indicada en la figura 31.15a. (b) ¿Cuánta potencia se gasta en este circuito para una diferencia de potencial dada V? R

V

A

B

R

Fig. 31.15 R

R

(a)

e

f)

Solución (a) Empezaremos sustituyendo las tres resistencias en serie de la rama BD por la resistencia equivalente

+

R V

R

+

R

(bt

3R

R A

R

e

(ver figura 31.15b). Podemos entonces sustituir las dos resistencias en paralelo de la rama AC por la resistencia equivalente RAc: 1 R.1c

..!._ R

+

_I_ 3R

4 3R

V

(C)

RAC = 3RJ4

0

R.K sea

3R 4

1150

Corrientes eléctricas y resistencia

(ver figura 31.15c). Finalmente, podemos reemplazar las tres resistencias en serie entre el potencial V y el suelo por la ecuación equivalente simple

+ 3R +

R

IIR 4

R

4

V

R0

~

I IR/4

(ver figura 31.15d). A continuación podemos calcular ya la corriente que circula por el circuito que vale l

V

4V

R0

I IR

(b) Es posible hallar la corriente en cada resistencia individual y Juego sumar la pérdida de potencia en cada una de ellas. Sin embargo, como cada carga dQ que pasa desde el potencial V a tierra (potencial cero) absorbe la misma energía dW = V dQ procedente de la FEM, la pérdida total de potencial debe ser

p

=

VI

0.364~ R

Comparar este resultado con la ecuación [31.34), que como puede verse ahora es una fórmula general, aplicable a cualquier red de resistencias. Ejemplo 31.6 Consideremos el circuito cuadripolo elemental i_ndicado en la figura 31.16a. (a) Hallar la resistencia equivalente del circuito si se conecta una FEM entre los terminales A y B. (b) Hallar la resistencia equivalente si se conecta la FEM entre los terminales A y D. A

R

8

Fig. 31.16 R

R

(a)

e

D

R

Corrientes eléctricas y resistencia

1151

R

A

2R A

B

D

(e)

(b)

V

V

JR

2R

(a) Podemos volver a dibujar el circuito como se indica en la figura 31. 16b. La resistencia equivalente de las tres resistencias R en serie es 3R, de modo que tenemos que hallar la resistencia equivalente de una resistencia R y otra 3R en paralelo: Solución

1

R

+

1

4

3R

3R

o sea

R0

3R 4

(b) Podemos volver a dibujar el circuito como se indica en la figura 31. 16c. La resistencia equivalente de cada par de resistencias en serie es 2R, de modo que buscamos la resistencia equivalente de dos resistencias de valor 2R en paralelo:

2R

+

1

2R

R

o sea

31. 5 Corriente de desplazamiento En las cálculos realizados hasta ahora hemos supuesto que todas las corrientes eran constantes. Por ejemplo, no hemos mencionado cómo alcanza una corriente su valor final después de cerrar un interruptor o de conectar una FEM. Las corrientes «transitorias» que aparecen en un circuito durante el breve tiempo en que se produce una variación repentina de las condiciones del sistema son fenómenos muy complicados. Estudiaremos ahora algunos casos simples en el caso de circuitos en los que intervienen resistencias y condensadores. Y luego mostraremos cómo la presencia de un conductor descargándose conduce al nuevo e importante concepto de corriente de desplazamiento. Consideremos un circuito que incluye un condensador C con una carga ± Q0 en sus armaduras (ver figura 31.17a). En el instante t = O se cierra el interruptor S y empiezan a circular a través de la resistencia R los electrones procedentes de la placa del condensador cargada negativamente (ver figura 31.17b). Esta corriente continúa circulando hasta que la carga negativa en exceso se ha trasladado toda hasta la parte positiva del condensador neutralizándolo. En un instante de tiempo cualquiera t, la diferencia de potencial V entre las armaduras del condensador es V(t)

q(t)

e

[31.53]

R

Corrientes eléctricas y resistencia

1152 R

-q(t)

+q(t)

-----ti

i-----'

e Flg. 31.17 Condensador en descarga

(b) Calda de potencial V y corriente / en el circuito de descarga

(a) Condiciones iniciales

en donde ::1:: q es la carga sobre sus armaduras. La velocidad con que disminuye q con el tiempo es igual a la corriente / que fluye por el circuito; el condensador pierde carga a razón de dq dt

=

_ V(t ¿ R

=

-l(t)

<

O

[31.54]

(Obedeciendo al convenio normal , consideramos que la carga q fluye desde el terminal positivo hacia el negativo a través de la resistencia, aunque los electrones cl..e conducción se muevan realmente en sentido opuesto.) Combinandn las ecuaciones [31.53] y [31.54] y eliminando V, se tiene

o

[31.55)

Cambiando términos e integrando, tendremos

r~ -r~ Qo

In q -

In Q0

=

q

= ln !l.. =

ºº q

o

[31.56] .

RC

t RC

= Q0 exp(-

[31.57]

;e)

[31.58)

Podemos hallar la corriente en la resistencia derivando la ecuación [31.58]:

1

-~ = dt

ºº (

t)

RC exp - RC

[31.59]

Corrientes eléctricas y resistencia

1153

Como Vo = Q 0/C es la diferencía de potencial en C en el instante t = O, la corriente inicial que pasa por R debe ser / 0 = Qol RC. Por consiguiente, podemos escribir la ecuación (31.59] como

(31.60]

Fig. 31.18 Curva de disminución exponencial correspondiente a la carga y a la corriente de un condensador en descarga

o

2

3

Tanto la corriente como la carga del condensador obedece a la curva de decaimiento exponencial indicada en la figura 31.18. La magnitud RC tiene dimensiones de tiempo; se denomina constante de tiempo del circuito. La constante de tiempo representa el tiempo en el que la carga inicial Q0 sobre el condensador disminuye hasta un valor de Q0 exp(-1) = 0,3679Q0 , como puede verse si se hace t = RC en la ecuación [31.58]. Obsérvese que exp (-t I RC) tiende a cero cuando t se hace infinito, de modo que el condensador cargado nunca puede descargarse por completo en un tiempo finito. Sin embargo, en un problema práctico cualquiera, la descarga puede considerarse completa en un tiempo relativamente corto. Por ejemplo, consideremos un condensador de 1 µ.F que se descarga a través de un hilo de 0,01 íl de resistencia. El condensador tiene una carga de 10-4 Q 0 en el tiempo t = RC ln 10-4 = 9,212 x X 10-8 S. El aislamiento entre las armaduras de un condensador real nunca es perfecto. Podemos representar la pérdida de carga a través del aislamiento mediante una resistencia equivalente en paralelo denominada resistencia de pérdida R¿ del condensador. Así pues, todo condensador real puede representarse mediante un circuito equivalente como el de la figura (31.19]. R,_

Fig. 31.19 Resistencia de pérdida de un condensador

Ejemplo 31. 7 Un condensador de papel aislado l µF pierde la mitad de su carga en 10 min = 600 s. Hallar su resistencia de pérdida R¿.

4

t/RC

1154

Corrientes eléctricas y resistencia

Según la ecuación [31.58),

Solución

1

2

600 ) exp ( - 10-6R1.

A.si, pues, 6 X 108 In 2

8,656 X 108 !2

865,6 Míl (megohmios)

Obsérvese que en la figura 31.17 b tenemos una corriente circulando en un circuito incompleto, porque no existe ninguna corriente de conducción fluyendo a través del dieléctrico existente entre las armaduras del condensador. Esta corriente en un circuito incompleto es transitoria, de modo que el fenómeno no contradice las ideas que hemos desarrollado previamente para el caso de corrientes estacionarias. Sin embargo, es posible definir una corriente «total» / 101 que es continua en todo el circuito completo, tanto a través de los aislantes como de los conductores. La corriente de conducción I es un flujo de partículas cargadas en los conductores. Sin embargo, obsérvese que existe otro fluj_o que se produce en el vacío o en el dieléctrico existente entre las armaduras del condensador y no por el interior del conductor; este flujo es el de las líneas de desplazamiento D, que empieza y termina únicamente sobre cargas libres (ver figura 31.20). Definamos una nueva magnitud denominada corriente de desplazamiento lv y veremos que en una sección recta cualquiera del circuito,

+

I

[31.61)

10

= l~~IA ..,.._

10 10

=

1

=

=

I

O

~I +q

O

8\ D (±) •'I"""+8 \p <±l

8h(f; -~

8 8/

10

I

=

=

O

~I

- q

E (±)

(±)

Rg. 31.20 Corriente de desplazamiento en un condensador en descarga

Corrientes eléctricas y resistencia

1155

Consideremos un área A' que encierra una placa del condensador y definamos la corriente de desplazamiento lv, haciendo uso de q = f D • dA, como

- j_f D•dA' at

- dq dt

>

O

(31.62)

A'

en donde hemos utilizado aiat como en la ecuación [31.11] para indicar la derivación respecto a una variación del tiempo solamente. En este caso podemos introducir el operador derivada parcial en la integral obteniéndose así

-f

aD •dA' at

A'

(31.63)

Obsérvese que, si D está disminuyendo al transcurrir el tiempo según se va descargando el condensador, entonces aDlot tendrá el mismo sentido (antiparalelo a D) que /. Así pues, podemos definir la densidad de corriente de desplazamiento Jv por analogía con la densidad de corriente de conducción J como

.....

JD

ªºat

=

(31.64)

Como las líneas de desplazamiento son aproximadamente uniformes y se ven confinadas casi por completo al área A existente entre las placas, podemos escribir la ecuación [31.63) como

ID

ªa~

==

1

(31.65)

1A

en el caso del condensador de placas paralelas. En este caso, según la ecuación [30.46), D = q/A y el sentido de Des constante, de modo que lv == dqldt. Así tenemos

I,a,

I

+

ID

-{:,

- dq dt

==

lªa~I

en los conductores d

A

= -

[31.66)

· dtq en eId.1erectnco

y hemos obtenido nuestro objetivo de la ecuación [31.61) de definir una

corriente eléctrica total - dq dt

(31.67)

de modo que tengamos el mismo valor en todo punto del circuito, tanto en los conductores como en los dieléctricos.

Corrientes eléctricas y resistencia

1156

Esta definición encierra algo más. Obsérvese que J

_ D

-

oD

E

Ol

º

aE

at

+

aP

at

[31.68]

Cuando el condensador se descarga, la polarización disminuye con el tiempo, de modo que el término éJP/éJt corresponde a un flujo neto de carga positiva en el dieléctrico hacia la armadura positiva cuando disminuye el campo polarizador E y las moléculas del dieléctrico recuperan sus formas sin polarizar. De hecho, esto equivale a una corriente en el sentido de /. La explicación del término Eo(éJE/éJt) deberá demorarse hasta un capítulo posterior. Consideremos a continuación la carga de un condensador descargado colocando una FEM de diferencia de potencial constante V0 entre sus armaduras (ver figura 31.21). La resistencia R representa la resistencia equivalente del circuito completo cuando está cerrado el interruptor S, de modo que la corriente que circula por R debe ser proporcional a la diferencia de potencial entre sus extremos, V0 - V,

=

I

V0

-

V

[31.69]

R

Esta corriente entra en la armadura positiva del condensador que posee un potencial V

= !J.. e

[31.70]

Así pues, podemos utilizar la ecuación [31.70] para volver a escribir la ecuación [31.69] como

I

= = + !!!l. dt

Vo -

q/C R

[31.71]

Ordenando, se tiene R !!fl. dt

Fig. 31.21

Carga de un condensador

+

!J..

e

Vo

[31.72]

Corrientes eléctricas y resistencia

1157

Esta expresión puede integrarse por cuadratura:

r 0

In

Ldt

RCdq CV0 - q CV0

q

-

CV0

=

[31. 73] t

[31.74]

RC

o sea [31. 75]

q

y realmente q - CV0 únicamente cuando t - oo. La figura 31.22 muestra el gráfico de q(t). Esta resistencia u oposición a que varía la carga del q.l V,./R

º[,

2

3

t/RC

4

Fig. 31.22 Crecimiento de la carga de un condensadur. Obsérvese que la velocidad de crecimiento, l = dqldt = (V0 !R) exp (-t!RC) disminuye exponencialmente (curva gris)

condensador -el hecho de que no varía de modo instantáneo- es lo que da origen a un gran número de aplicaciones del condensador en donde éste se utiliza para suavizar cualquier cambio repentino de potencial que pueda aparecer en el circuito.

Ejemplo 31.8 ¿Cuál es la energía total perdida en la resistencia cuando se descarga el condensador de la figura 31.17?

La pérdida de potencia es R/ 2, de modo que la energía total perdida que se debe al efecto Joule debe ser

Solución

WJ

Como/ W,

fº

RJZ dt

= dq/dt = /0 exp (-t/RC), RI¿

f'

exp ( -

~~)

dt

tenemos RI¿( tRC)

Corrientes eléctricas y resistencia

1158

Sin embargo, / 0

=

V0 /R

=

tR

2

Q0 /RC, de modo que

c(;~)2

;J

Esta expresión es simplemente la energía electrostática original almacenada en el condensador. Así, pues, se ve que toda la energía almacenada se disipa enteramente en forma de calor en la resistencia durante la descarga, independientemente del valor de R. Ejemplo 31.9 Demostrar que la energía perdida en la resistencia R mientras se está cargando el condensador originalmente descargado de la figura 31.21 es precisamente igual a la energía final almacenada en el mismo -en otras palabras, que el trabajo realizado para cargar el condensador es el doble de la cantidad de energía potencial almacenada en el condensador cargado. Solución

Derivando la ecuación (31. 75), se tiene

+ !!9._

I

dt

Vo R exp ( -

t ) RC

(Es interesante señalar que inicialmente 10 = VclR y que el circuito se comporta como si no estuviese presente ningún condensador, conduciendo simplemente la corriente estacionaria equivalente predicha por la ley de Ohm.) La energía total disipada en la resistencia es, como en el ejemplo 31.8,

tR 2Cil

W1

= tCVl

que es igual a la energía almacenada en el condensador después de su carga. Este resultado es consistente en los anteriores, porque significa que la pila suministra una energía total W

=

2W1

que, de hecho, es la manera de definir el potencial de una pila


PROBLEMAS 31.1 Corriente 31.1

La corriente / en un hilo es una función del tiempo: I(t)

2

+

6t

+ s, 2

Corrientes eléctricas y resistencia

en donde l está en amperios y t en segundos. (a) ¿Cuánta carga pasa por una sección del hilo durante el intervalo de tiempo entre t 1 = 5 s y t 2 = 10 s? (b) ¿Qué corriente constante 10 transportaría la misma carga en el mismo intervalo de tiempo? 31.2 (a) Dado l(t) = 10 cos wt, hallar la fórmula correspondiente a la cantidad, total de carga que pasa por un conductor en el intervalo de tiempo entre t 0 = O y t 1• (b) Interpretar la solución para t 1 = 21rlw. 31.3 Un acelerador de electrones puede acelerar a estas partículas hasta energías de 20 GeV (1 GeV = 109 eV). Produce pulsos de electrones de valor medio 35 mA por pulso, 143 pulsos por segundo y una duración de 1 µs por pulso. (a) ¿Cuál es la corriente media del haz de electrones? (b) ¿Cuál es el número de electrones en un pulso? (e) Si los electrones chocan contra un blanco y son absorbidos, ¿cuántos megavatios (MW) de potencia son absorbidos? 31.4 Un electrón gira alrededor de un núcleo de hidrógeno con un radio de 0,53 Á y con una frecuencia angular de 6,57 x 10 15 Hz. Así parece que existe una corriente media circulando en una circunferencia alrededor del núcleo. ¿Cuál es el valor de esta corriente? 31.5 En un hilo de plata existe una densidad de corriente de 50 MA/m 2• La densidad de la plata es de 10,5 g/cm 3• (a) ¿Cuál es la velocidad de desplazamiento de los electrones, suponiendo un electrón libre por átomo? (b) Si el diámetro del hilo es de 40,3 mils (1 mil = 10-3 pulgadas), ¿cuál es la corriente que circula por él? 31.6 Un cierto tipo de memoria de un ordenador se compone de muchos pequeños anillos ferromagnéticos o «núcleos». Estos núcleos se imanan en un sentido o en otro mediante la acción de corrientes que pasan por sus centros en dos hilos mutuamente perpendiculares. Suponer que un núcleo está sobre el plano xy con su centro en el origen de coordenadas y que los dos hilos tienen las direcciones de las diagonales a ± 45 ° en el plano xz. La corriente en cada hilo es l. (a) Hallar el componente de la corriente neta normal al núcleo en el origen si ambas corrientes tienen sentido hacia arriba en los hilos. (b) Hallar el componente normal de la corriente neta si se invierte la corriente en uno de los hilos. 31. 7 Si J es constante y uniforme en todo un medio conductor, demostrar que la corriente que pasa a través de cualquier superficie abierta A del medio es precisamente l = JAn, en donde An es la proyección de A normal a J. 31.8 Un hilo por el que circula una corriente 11 = 5 mA entra por el polo norte de una esfera dieléctrica de radio 10 cm. Otro hilo sale de su polo sur transportando una corriente lz = 11(1 - 10-6 ). (a) ¿Con qué velocidad se acumula la carga sobre la esfera? (b) Suponer que las corrientes permanecen constantes y que la carga se acumula de modo uniforme en toda la esfera. Si la esfera posee una carga Q0 = O y un potencial V0 = O en el instante t 0 = O, hallar una expresión para el potencial de la esfera en función del tiempo. (e) ¿Cuánto tiempo tardará en empe-

1159

Corrientes eléctricas y resistencia

1160

zar a descargarse la esfera si la resistencia a la ruptura dieléctrica del aire es 3 MW/m?

31.2-31.3

Conducción y resistencia

31.9 (a) Suponiendo un electrón de conducción por átomo, calcular el tiempo de relajación tr para la plata a 20 ºC, utilizando el valor de la resistividad tomado de la tabla 31.1. (b) La velocidad media térmica de los electrones en la plata a esta temperatura es v = 1400 km/s. Calcular la distancia media recorrida por un electrón en el tiempo tr. ¿Cómo es este valor en comparación con la distancia media de s = 2,9 Á entre iones en el cristal de plata? 31.10 Suponer que la ecuación [31.15) representa la velocidad de desplazamiento de cada electrón móvil. Suponer también que los desplazamientos de estos electrones se ven detenidos bruscamente por una colisión a t = te. (En un caso real sería de esperar algún tipo de distribución estadística de los tiempos de colisión alrededor de te.) Demostrar que la velocidad de desplazamiento media en el intervalo desde t 0 = O a te es ud = eEtrlm, en donde t, = 0,368 te. 31.11 Suponer que es posible mantener un gradiente lineal de concentración de ácido sulfúrico en un tubo de sección recta de 1 cm 2 y longitud 15 cm. En un extremo del tubo la concentración es del 10 OJo y la conductividad u = 39,2 mho/m; en el otro extremo, la concentración es del 20 OJo y u = 65,3 mho/m. Si la conductividad u varía linealmente con la concentración, hallar la potencia perdida cuando se aplica entre los extremos del tubo una diferencia de potencial de 3 V. Suponer que el campo en el ácido es uniforme. 31.12 La resistividad del cobre recocido normalizado a 68 ºF es 1,72 cm. Hallar la resistencia a 68 ºF de 1 000 pies de hilo de cobre calibre n.º 18 que tiene un diámetro de 40,3 mils (1 mil = 10-3 pulgadas).

µfl •

31.13 ¿Cuál es la resistencia de una cierta longitud de hilo de plata de 1 mm de diámetro y un peso de O, 105 kg? El peso específico de la plata es 10,5. 31.14 Un prisma recto de un material conductor óhmico tiene seis caras rectangulares de aristas 3 cm, 5 cm y 7 cm. Sea R 7 la resistencia del prisma cuando se dirige un campo uniforme paralelamente a la dimensión más larga, definiéndose R 5 y R 3 de modo análogo. Hallar la razón R 3 : R 5 : R 7 • ¿Qué conclusión se puede obtener de este ejemplo? 31.15 Dos barras, una de aluminio y la otra de cobre, tienen cada una de ellas una longitud de 0,75 m y una sección recta cuadrada de 0,03 m 2 • Las barras se unen por sus extremos y se hace pasar por ellas una corriente de 91, 7 A. (a) Hallar la resistencia de la barra de cobre. (b) Hallar la resistencia de la barra de aluminio. {e) Hallar la caída de potencial total en las dos barras juntas. (d) Hallar la potencia total disipada en las barras. Suponer que la densidad de corriente es uniforme en las barras y que la temperatura vale 20 ºC.

Corrientes eléctricas y resistencia

31.16 Una placa cuadrada de lado L y espesor d se encuentra con una densidad de corriente uniforme que pasa por ella normalmente a su espesor. Demostrar que la resistencia R de la placa es independiente de L. 31.17 Suponiendo que la resistividad y la densidad de un hilo son cons-

tantes cuando se estira, ¿cuál es la variación relativa de la resistencia R cuando el hilo es estira en una fracción f = t:.LIL? 31.18 Cuando se mantiene una diferencia de potencial de 110 V entre los terminales de una bombilla, pasa por ellos una corriente de 0,9 A. (a) Calcular la potencia gastada por la bombilla. (b) Si la energía eléctrica cuesta 6 pesetas por kW • h, ¿cuál es el coste de tener encendida la bombilla durante 4 horas? 31.19 Una lámpara conectada a una pila se sumerge en un kg de agua contenida en un calorímetro. La corriente que circula por la misma es 0,5 A. Durante 1 min la temperatura del agua varía desde 19 ºC hasta 21 ºC. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los terminales de la lámpara? 31.20 Se hace pasar una corriente de 0,4 A por una bobina sumergida en agua; se mide la velocidad de producción de calor por la bobina y resulta ser de 2 cal/s. (a) Calcular la potencia gastada en la bobina. (b) Hallar la resistencia de la bobina. (e) Hallar la diferencia de potencial entre los terminales de la bobina.

31.21 Un recipiente de 30 cal/K de capacidad térmica contiene 1600 g de agua. Cuando el agua está a 90 ºC, se observa que su temperatura disminuye a un ritmo de 6 K/min. ¿Qué corriente deberá mantenerse a través de una bobina de calefacción de 10 íl de resistencia sumergida en el agua para mantener constante la temperatura del agua a 90 ºC? 31.12 Una bombilla tiene una potencia de 75 W funcionando con una diferencia de potencial de 110 V. Su filamento está construido de tungsteno (a = 0,0045) y su resistencia a 20 ºC vale 12 íl. Suponiendo que a es constante, ¿cuál es la temperatura de funcionamiento del filamento? 31.23 Con objeto de ahorrar energía se dispone que se establezca una disminución del 10 OJo en la diferencia de potencial (o voltaje) aplicado a todas las líneas de transmisión de energía eléctrica. (a) ¿Qué porcentaje de potencial se conserva en el caso de una bombilla de incandescencia con un filamento de tungsteno de resistencia R(l + ar), siendo r la temperatura del filamento en ºC, si la potencia nominal de la bombilla es de W vatios cuando funciona normalmente? Suponer que la temperatura de funcionamiento es proporcional al calentamiento debido al efecto Joule y que la temperatura de funcionamiento antes de implantar esta medida era de 2000°C. (b) Hallar r. 31.24 Una fuente de potencial de alta tensión produce W vatios con una diferencia de potencial V aplicada en sus terminales. Sin embargo, cuando se hace pasar la corriente a través de un cable de cobre muy largo de longitud L, radio r y resistencia R, el calentamiento por efecto Joule produce la pérdida de W' vatios de potencia. (a) Hallar R y la corriente J

1161

Corrientes eléctricas y resistencia

1162

que pasa por el cable en función de V, W y W'. (b) Si W' /W < 0,03, V = 50 kV y W = 6 MW, hallar el área mínima de la sección recta del cable si su longitud es\L = 30 km. 31.25 Se sumerge en agua que fluye a su alrededor una varilla de hierro de masa m y área de su superficie A. El agua que es destilada está a una temperatura absoluta T 0 • Se pasa una corriente a través de la varilla que empieza a calentarse. Sin embargo, de acuerdo con las leyes de la conducción del calor (ver sección 21.5), la varilla también pierde calor a un ritmo de dQ/dt = JíA(T - T0)/ó, en donde ó ~ res el espesor de una capa cilíndrica de fluido que rodea a la varilla, dentro de la cual se está calentando el agua. Sin embargo, podemos suponer que la temperatura del agua permanece a T0 en el radio r + ó. Si la resistencia inicial del hierro es R 0 , el coeficiente de temperatura es a y la corriente / es constante, hallar la temperatura final de la varilla. No tener en cuenta la dilatación del hierro al aumentar la temperatura. 31.26

Consideremos de nuevo la varilla de hierro del problema 31.25.

(a) Si el calor específico de la varilla es e, hallar la ecuación para la variación de temperatura t:.T = T - T0 en función del tiempo t. (b) Hallar la

ecuación a escala con las magnitudes adimensionales ~ = t:.TID y r¡ = th, y hallar las constantes D y 7. (e) Resolver la ecuación y expresar Ten función de T0 , T1 , 7 y t. *31.27 Consideremos otra vez la varilla del problema 31.25. Esta vez se mantiene constante la diferencia de potencial aplicada a la misma e igual a 1 V. El área de la sección recta de la varilla es A = 1 cm 2 y su longitud es L = 1 m. El espesor de la capa de calentamiento es ó = 1 mm. (a) En el caso del agua, Jí = 0,00586 J/s • cm • K. Calcular la temperatura final de la varilla T1 y compararla con el valor obtenido a partir de la solución al problema 31.25 en el caso en que / 0 = t:.VIR. (b) Hallar la ecuación correspondiente a d(t:. DIdt en las variables adimensionales ~ = t:.TID y r¡ = th y hallar las constantes D y 7. (e) Resolver numéricamente la ecuación diferencial a escala para O :5 ~ :s; ~1 . El calor específico del hierro es e = 0,11 cal/g • K. 31.4

Cálculos de resistencias

31.28 Dos cortezas esféricas concéntricas de metal cuyos radios son a y b > a, están rellenas de un material con resistividad p. ¿Cuál es la resistencia R entre las cortezas? 31.29 Dos esferas metálicas, cada una de ellas de radio r, están separadas a una distancia L ~ r en un medio infinito de resistividad p. Si se aplica entre las esferas una diferencia de potencial, ¿cu'ál es la resistencia a una corriente que fluye entre ambas? (INDICACIÓN: ¿Cuál es su capacidad?) 31.30 Consideremos nuevamente las esferas del problema 31.29. Esta vez supongamos que la línea que une los centros de las esferas está contenida en un plano que es el límite entre dos medios de resistividades p' y p". En este caso, ¿cuál es la resistencia R entre las dos esferas?

Corrientes eléctricas y resistencia

1163

31.31 Tres bobinas de resistencias R 1 = 1 íl, R 2 = 3 íl y R 3 = 6 íl están conectadas en serie, mientras que se mantiene una diferencia de potencial de 110 V entre los extremos de la serie. (a) Hallar la corriente que recorre las bobinas. (b) Hallar la caída de potencial en cada bobina. (e) Hallar la pérdida de potencial en cada bobina. 31.32 Consideremos los dos circuitos indicados en la figura, en el que se encuentran conectadas entre sí las cinco resistencias A, B, C, D y E. Si se aplica una diferencia de potencial V entre los terminales 1 y 2 en cada caso, ¿son iguales las resistencias de los dos circuitos? Explicar el razonamiento utilizado. A

e

B

A

E

E

D

2

e D

B

31.33 Dos bobinas de resistencias R 1 = 2 íl y R 2 = 8 íl están conectadas en paralelo en un circuito de modo que por esta parte del circuito fluye una corriente total de 12 A. (a) Hallar la caída de potencial en cada una de ellas. (e) Hallar la corriente en cada bobina. 31.34 Obtener la resistencia equivalente de la red indicada en la figura cuando se aplica entre los terminales 1 y 2 una diferencia de potencial. Las resistencias son todas iguales. Obsérvese que los hilos en la parte central de la red se cruzan pero están aislados entre sí. (INDICACIÓN: Razonar por simetría cuáles deben ser las caídas de potencial en las resistencias).

R

R

R

2

2

Corrientes eléctricas y resistencia

1164

31.35 En el circuito indicado el amperímetro A indica una corriente de 10 A. (a) Hallar la corriente en cada una de las resistencias en paralelo. (b) Hallar la potencia gastada en la parte del circuito indicada en la figura. (e) Halla la diferencia de potencial .6. V entre los terminales. 10 T+ ...----..rv·v----1,-...--..-----,

R,

AV

T _ _ _ _-11

200

R;

=

1000

A _ _ _ _ _ _.,___ __.

31.36 Un candelabro tiene 12 bombillas de 300 íl de resistencia cada

una, cuando están calientes, conectadas en paralelo entre hilos de resistencia despreciable. Se aplica entre estos hilos una diferencia de potencial de 110 V. (a) Hallar la resistencia equivalente del candelabro. (b) Hallar la corriente que circula por cada bombilla. (e) Hallar la corriente total que circula por el candelabro. (d) Hallar la potencia total gastada por el candelabro. 31.37 En el circuito indicado en la figura, las resistencias R 1 representan las resistencias de las líneas que transportan corriente a la parte principal del circuito. La diferencia de potencial en los extremos de cada R 1 es 2 V y la corriente que pasa por ellas es de 10 A. Las cinco resistencias del circuito poseen el mismo valor R 2 y la caída de potencial en cada una de ellas es de 11 O V. (a) Hallar la resistencia total de las líneas de entrada y de salida. (b) Hallar la corriente en cada resistencia R 2 • (e) Hallar la resistencia de cada R 2• (d) Hallar la diferencia de potencial entre los terminales Ty T'.

-

JOA

R,

...-------.rv·u---• T

IIOV

R1

R,

R,

------'V",1V---

T'

IOA

31.38 En el circuito del problema 31.37, deseamos transmitir energía de tal modo que la diferencia de potencial entre las resistencias R 2 en paralelo siga siendo 110 V, pero que la corriente en la línea sea de 30 A. (a) Si la caída de potencial en las resistencias R 2 ha de ser el 98 % de la diferen-

Corrientes eléctricas y resistencia

cia de potencial existente entre los terminales T y T'. ¿cuál deberá ser la resistencia equivalente de las líneas solamente? (b) ¿Qué potencia se gasta en la transmisión por las líneas? 31.39 Las lámparas l, 2 y 3 están proyectadas para consumir 50 W, 100 W y 150 W, respectivamente, cuando se conectan individualmente a una diferencia de potencial de 110 V. Si las lámparas se conectan en el circuito indicado, ¿cuánta potencia consumirá cada una de ellas?

90V

31.40 Un cable de cobre de l cm de radio está rodeado por una envuelta de hierro de radio exterior 1,5 cm. Si la resistencia del cable de cobre es l íl, ¿cuál es la resistencia del cable compuesto? 31.35

Corriente de desplazamiento

31.41 Un condensador C = 0,5 µ.F se descarga a través de una resistencia R = 1 000 íl. ¿Cuántos segundos pasarán hasta que la diferencia de potencial del condensador disminuya a 0,001 veces su valor original? 31.42 Un condensador de l µ.F se descarga hasta la mitad a través de su resistencia de pérdida en 30 min. A través de una resistencia desconocida se descargaría hasta la mitad en 7 ,6 min. Hallar el valor R de esta resistencia. (Esto constituye un método para medir resistencias de valores R muy grandes.) 31.43 Se conecta a un condensador de l µ.F una FEM. La resistencia equivalente entre los terminales de la FEM es 10 íl. ¿Cuánto tiempo tardará el condensador en obtener el 990/o de su carga final? 31.44

Utilicemos la ecuación de continuidad de la corriente

'v •J

+

8p

ar

o

para definir una densidad de corriente J101 = J + J' de tal forma que

J101 se conserve siempre (es decir, V • J, 01 = O). Demostrar que entonces se sigue que J'

=

aD iJt

1165

Corrientes eléctricas y resistencia

1166

31.45 Demostrar que la corriente total neta se anula a través de cualquier superficie cerrada en el circuito del condensador que se está descargando de la figura 31.17b. 31.46 En el circuito de la figura 31.21, sustitúyase el condensador C por una resistencia r(t) que varía con el tiempo de tal forma que la corriente permanezca la misma que existía en el instante t = O en que se cerró el interruptor, estando R y r(t) en serie y sin condensador en el circuito. Hallar r(t) y en particular observar los valores r(0) y r( oo ); estos valores son claves para explicar el comportamiento del condensador real en el instante en que empieza la carga y después de alcanzarse el régimen estacionario. 31 .47 En. el circuito de la figura 31.17, sustituir el condensador que se está descargando por una resistencia variable r(t) en serie con una FEM de V = Q0 ! C. Demostrar que esta sustitución conduce exactamente al mismo resultado que se obtuvo en el problema 31.46.

*31.48 Un condensdor de O, 1 F (una ~apacidad muy grande) se carga a V = 50 kV y luego se descarga a través de un cable de hierro aislado eléctrica y térmicamente, de 1 km de longitud y 1 cm 2 de sección recta, que está inicialmente a 20 ºC. La densidad del hierro es 7,86 g/cm3, su calor específico es e = O, 11 cal/g • K, la resistividad vale 1O µíl cm y el coeficiente de temperatura del hierro es a = 0,0005 K- 1• (a) ¿Cuántos julios son absorbidos por el hierro en el proceso de descarga? (b) ¿Cuál es la variación !l.T de la temperatura del hierro durante la descarga? (e) ¿Cuál es la resistencia del cable después de que se ha completado la descarga? (d) Hallar la ecuación diferencial correspondiente a q(t) y hallar una ecuación de la energía que relacione q(t) y !l.T(t). (e) Escribir a escala las ecuaciones, poniendo ~ = !l.TID, en donde O < ~ < 1, r¡ = q/Q = q/CV, en donde O < r¡ :5 1 y r = tlr ::::: O, siendo r = R 0 C = 0,1 s. O

Soluciones (a) Q = 2568 C; (b) / 0 = 513.7 A (a) ~Q = (/0 /w) sen wt (a)l=5µA; = 2.2 X 10 11 elec/pulso; (e) P = 0.1 MW 31•4 I = 1.05 mA 31 • 5 (a) ü = 5.33 mm/s; (b) I = 41.l A 31•6 (a) I. = .fi.I; (b) I. = O 31•8 (a) dq/dt = 5 X 10- 9 A; (b) V= (5 X 10- 8)t/41rE0; (e) t = 667 s 31•9 (a) t, = 3.73 X 10- 14 s; (b) J = 522Á = 180s 31 -11 P = 3 14 m W 31 • 12 R = 6.37 !l 31 • 13 R = 0.264 !l

:U• 1 :U•2 :U•3 (b) n

31 • 14 R 3 : R 5 : R 7 = 9 : 25 : 49 31 • 15 (a) Re" = 0.43 µ!l; (b) RAI = 0.66 µ!l; (e) ilV = 100 µV; (d) P = 9.2 mW 31 •16 R = p/d 31•17 .:lR/R = 2/ 31 • 18 (a) P = 99 W; (b) coste = 2.4 pta 31•19 ilV= 279V 31 • 20 (a) P = 8.37 W; (b) R = 52.3 !l; (e) .lV = 20.9 V 31•21 I = 8.26 A 31•22 T = 3034ºC 31•23 (a) M'/P = 10.5%; (b) T = 1790ºC 31•24 (a) R = W'V 2 /W2, I = W/V; (b) A

31•25

?;

0.41 cm 2

Tr = T 0 +R0 I 2 /(J{A/li - aR0 1

2

)

Corrientes eléctricas y resistencia

31 • 26 (b) D = T1 - T0, 2 T 0), d~/dr¡ = 1 - ~ T = (mc/R 0 / )(T 1 31 •27 (a) T1 = 60.1 ºC, T1 = 83.5°C en el caso de corriente constante; (b) D = V 2f>/J(AR 0 , r = mcf>/J(A; (e) d~ldr¡ = 1/(1 + 0,2410 - t para O :s; ~ :s; 0,833, en donde D = 48,16ºC y r = 17,4 s 31 •28 R = p(b - a)/41rab 31 •29 R = (p/21rr)(l - r/L) 31•30 R = p'p"(l - r/L)/(p' + p")1rr 31 • 31 (a) I = 11 A; (b) AV, = 11 V, AV2 = 33 V, AV3 = 66 V; (e) P, = 121 W, P2 = 363 W, P3 = 726 W 31 • 32 Sí. Cada circuito proporciona los mismos cuatro trayectos alternativos que no constituyen ningún lazo entre los terminales: AE, BCE, BD y ACD. 31 • 33 (a) R 0 = 1.6 íl; (b) AV= 19.2 V; (e) / 1 = 9.6 A, / 2 = 2.4 A 31•34 R0 = R/2 31•35 (a) I, = 5A, / 2 = 4A, / 3 = 1 A; (b) P= 1100W; (e) AV= llOV.

1167 31•36 (a) R 0 = 25íl; (b) I = 0.361 A; (e) I = 4.4A; (d) P = 484 W 31•37 (a)R0 =0.4íl; (b)l=2A; (e) R 2 = 55 íl; (d) AV= 114 V 31 • 38 (a) 2R, = 0.0748 íl; (b) P = 61 .3 W 31 • 39 P, = 23.24 W, P 2 = 1.86 W, P 3 = 2.79 W 31 • 40 R = 0.823 íl 31 •41 t = 3.25 ms 31•42 R = 881 Míl 31 • 43 t = 46 µs 31 • 46 r(t) = R [exp (t/ RC) - 1], r(O) = O, r(oo) = oo 31 • 48 (a) W = 125 MJ; (b) D = 345.4ºC; (e) R = 2.73R0 = 2.73 íl; (d) Ro(l + aAT)(dq/dt) + q/C = O, y fCV 2 (1 - q 2 /0 2 ) = mcAT: (e) puesto que mcD = fQ2!C, tenemos 2 1 r¡ = 1 - ~ y d~ldt = 2(1 + avo- (1 - O, y se tiene que r¡ = lle = 0,368 para ~ = 0,865 y r = 1,99, utilizando un tamai'l.o del paso de dt = 0,05 y un método de Runge-Kutta de segundo orden

CAPÍTULO 32

Teoría de circuitos Dado un sistema de n hilos conductores 1, 2, ... , n conectados de cualquier forma, en los que existen unas fuerzas electromotrices arbitrarias, se obtiene el número necesario de ecuaciones lineales para la determinación de las corrientes / 1, Ji, ... , In que circula por los conductores utilizando los dos teoremas siguientes: l.

Si los hilos conductores >..1, >..2 , ••• se unen en un punto y se toman como positivas todas las corrientes I>.¡, I>.2 , ••• que concurren en dicho punto, entonces

h1 + h2 + ... = JI.

Ü

Si los conductores k 1 , k 2 , ••• forman un bucle cerrado y designamos respectivamente por wk y Ek la resistencia del hilo k y la fuerza electromotriz en el mismo, escogida como positiva si tiene el mismo sentido que h, entonces, con tal de que se tomen todas las corrientes lk 1, h 2 , ••• como positivas en el mismo sentido: wkJk1

+ wk2h2 + ··· =

Ek 1

+

Ek2

+ ···

en Gesammelte Abhandlungen, Leipzig, 1882

GUSTA V R. KIRCHHOFF'

En el capítulo 31 hemos estudiado los elementos de los circuitos -resistencias y condensadores- considerados aisladamente del resto del universo (excepto en lo que se refiere a la temperatura ambiente proporcionada por el universo y la diferencia de potencial aplicada). Sin embargo, es tan imposible considerar los elementos de los circuitos aisladamente cuando se proyecta un circuito como el proyectar un puente considerando aisladamente un pilar o una viga por separado, ignorando todos los demás componentes del mismo y el mundo en que debe asentarse. Por consiguiente, es lógico que el análisis de circuitos eléctricos y de redes de circuitos interconectados dé origen a sistemas de ecuaciones simultáneas que 1169

1170

Teoría de circuitos

hay que resolver para encontrar los valores desconocidos de las corrientes o de los voltajes o de ambos. La base para el análisis de circuitos en estado estacionario o de corriente continua (ce), que estudiaremos en este capítulo la forman dos leyes fundamentales enunciadas por Gustav Robert Kirchhoff en 1847 y 1848. Estas leyes se fundamentan en los principios de conservación de la carga y de la energía, de modo que pueden generalizarse para obtener sistemas de ecuaciones simultáneas en variables complejas en el caso de condiciones variables periódicamente (circuitos de corriente alterna o CA) o sistemas de ecuaciones diferenciales simultáneas en el caso de condiciones transitorias. Para la resolución de estas ecuaciones existen técnicas poderosas y avanzadas, tanto numéricas como analíticas, que cuando las resistencias son óhmicas se simplifican notablemente, ya que entonces los sistemas de ecuaciones son lineales. Las técnicas mencionadas pueden ser tan abstractas que nos recuerden más a la teoría de funciones de variable compleja que al análisis de circuitos convencionales. Sin embargo, su empleo permite especificar el comportamiento deseado de un circuito in advance y luego «sintetizar» un circuito que garantice este comportamiento. A partir de este enfoque se ha ido desarrollando el método «modular» en ingeniería electrónica, en donde se construyen dispositivos muy complicados (incluyendo ordenadores) mediante una síntesis de sus componentes separados, cada uno de los cuales se ha proyectado con objeto de proporcionar un tipo específico de comportamiento deseado. Muchos microordenadores actuales se construyen literalmente de componentes disponibles en el comercio, de modo que el vendedor sólo tiene que conectarlos adecuadamente entre sí.

32.1 Fuerza electromotriz Como hemos visto, la fuente de energía que se requiere para mantener una diferencia de potencial y una corriente en un circuito se denomina fuerza electromotriz o FEM, * mientras que el dispositivo que la suministra se denomina fuente de la fuerza electromotriz. Una FEM puede obtenerse mecánicamente (mediante un generador electrostático que consume trabajo al separar las cargas por fricción), químicamente (como en el caso de las pilas secas ordinarias o de las baterías de coches) o por medios electromagnéticos (como en el caso de los grandes generadores rotatorios -alimentados por un salto de agua o por combustibles como el carbón o el fuel-oil, o mediante energía nuclear- que proporcionan la energía que se utiliza en la mayoría de las necesidades eléctricas de la so* El término «fuerza electromotriz» o FEM se emplea generalmente en toda la bibliografía de la electricidad. Sin embargo, el concepto así denominado no es una fuerza sino más bien un trabajo por unidad de carga. El término «fuerza electromotriz» fue utilizado en una época en que no estaba suficientemente clara la diferencia entre fuerza y trabajo. Un término más preciso para la FEM podría ser el de electromotancia, pero en este texto seguiremos la norma usual. La abreviatura FEM también se escribe a veces fem.

7éoría de circuitos

ciedad actual). Sin embargo, continuamos utilizando el símbolo normalizado de la «pila» o «batería» de la figura 28.13 para cualquier FEM. Este símbolo se obtuvo originalmente de la representación esquemática de una pila química compuesto por dos electrodos o placas sumergidos en un fluido o pasta conductora, denominada electrolito. + . Antes de estudiar el significado eléctrico de la FEM, consideremos un caso análogo en un campo gravitatorio. Un esquiador se sube a la cima de una colina mediante un telesilla, luego desciende la colina contra la resistencia de la nieve y del viento y finalmente queda en reposo en la base de la misma- momento a partir del cual se repite el ciclo (ver figura 32.1 ). A lo largo de todo el proceso está actuando sobre el esquiador el campo gravitatorio conservativo, que proporciona una fuerza hacia abajo Fg = mg, siendo m la masa del esquiador. Para elevar al esquiador el telesilla debe proporcionar una fuerza hacia arriba F que equilibre a la fuerza gravitatoria y que a la vez venza al rozamiento interno de la telesilla; de aquí que Fsea mayor que mg. Si J = F lm es la fuerza hacia arriba por unidad de masa del esquiador, entonces / es mayor que g.

T

I

Fig. 32.1 motriz

Un telesilla constituye un sistema mecánico análogo al de una fuerza electro-

Si la cima está a una distancia vertical h por encima de la base del telesilla, entonces el esquiador experimenta una variación de energía potencial t:..U durante la subida, siendo t:..U = mgh. Podemos definir una diferencia de potencial gravitatorio t:,. V entre la base y la cima, en donde t:,. V = t:..Ulm = gh. Obsérvese que t:,. V es el trabajo que el telesilla realiza sobre el esquiador por unidad de masa en cada viaje completo. La energía potencial adquirida por el esquiador durante su ascenso se disipa en forma de calor durante el descenso. Obsérvese también que J > g = t:,. V/h. El trabajo total realizado por la gravedad en un viaje completo es cero porque el esquiador regresa al punto de partida en el campo conservativo gravitatorio. El trabajo total por unidad de masa + Estrictamente hablando una baterfa consiste en dos o más células o pilas conectadas en serie

1171

1172

Teoría de circuitos

realizado por el telesilla en cada viaje completo (incluyendo el trabajo realizado contra el rozamiento interno del mismo) es /h. El telesilla es análogo a la fuente de FEM de un circuito eléctrico y el viaje descendiendo la colina es análogo a la «caída» de las cargas a través de la diferencia de potencial en el resto del circuito. El campo gravitatorio conservativo es análogo al campo eléctrico conservativo que actúa sobre cada carga a lo largo de todo el trayecto por el circuito. Como es natural, la fuerza producida por el campo eléctrico es proporcional a la carga y no a su masa, de modo que se define el potencial eléctrico por unidad de carga en vez de por unidad de masa. Consideremos ahora un circuito ~imple formado por un hilo conductor conectado entre los terminales de una pila eléctrica que actúa como fuente de FEM (ver figura 32.2). Dentro de la pila debe existir una fuerza media por unidad de carga que mueva a las cargas positivas desde el terminal negativo T _ hacia el terminal positivo T + contra el campo electrostático E' establecido dentro de la pila por las cargas estáticas que aparecen en los terminales. Podemos representar esta fuerza media por unidad de carga como un campo E" que se opone al campo E'. Las cargas situadas en los terminales tambíén producen un campo E' en el hilo fuera de la pila.* Obsérvese que este campo electrostático E' hace que circule la corriente fuera de la pila pero se opone al flujo de la corriente en su interior. Obsérvese que E' es análogo a g en el modelo del esquiador, mientras que E" es análogo a/ En el ejemplo gravitatorio, el campo g existe como resultado de la presencia de la tierra. En el circuito eléctrico, el campo E' es un resultado de la presencia de cargas estáticas sobre los terminales de la pila, que se acumulan y mantienen allí mediante algún mecanismo concreto -que hemos de hecho representado por el campo E".

-

di

Conductor

e r-----------1 1 1 1

1

!~q

V_ ·- --------1 T_

1 1 1 1 1 1

- E:., ____..

E"

1

Fig. 32.2 Circuito simple

!

~ q ,______ ~+ _ 1 1 1 1 1 1

T•

1

Pila

* Por razones que se estudian en texto más avanzados, puede suponerse que el campo externo E' está completamente confinado al hilo de elevada conductividad cuando está rodeado de un medio no conductor como el aire.

Teoría de circuitos

1173

Definamos la fuerza electromotriz (o FEM) 8 en un trayecto cerrado C como el trabajo realizado sobre una carga positiva unidad por la fuerza eléctrica total que actúa sobre la carga cuando recorre dicho trayecto. Si el campo total en un punto del circuito es E, entonces E= E'

+ E"

en donde E" = O fuera de la pila

[32.1]

Integrando en todo el circuito C, incluyendo su paso a través de la pila, obtenemos (para el elemento de trayecto infinitesimal di) [32.2] que no es igual a cero en presencia de una corriente estacionaria. Sin embargo, el componente electrostático E' es conservativo y, por ello,

o

[32.3]

Por consiguiente,

¡:_+ E"•dl

[32.4]

pila

En otras palabras, la FEM total del circuito completo es precisamente la que ha sido desarrollada por la fuente dentro de la pila. Como E" = O fuera de la fuente de FEM, señalemos que E" no puede deducirse como el gradiente de una función escalar. Es un campo no-conservativo, como debe ser si ha de estar suministrando energía continuamente a las partículas cargadas para vencer la resistencia que se encuentran en el resto del circuito. (Recuérdese que el campo/ existe únicamente dentro del telesilla y que es no conservativo porque está realizando trabajo continuamente contra el rozamiento o fricción.) Igual que el campo J del telesilla debe vencer al rozamiento interno en el ascenso, así la fuerza electromotriz debe vencer la resistencia dentro de la pila. De aquí que E" > E' en la pila cuando está circulando corriente. Teniendo en cuenta que la diferencia de potencial Á V entre los terminales de la pila es igual a la caída de potencial en el hilo conductor, podemos escribir

= JT_ E' •dl = T+

1 E'. di

Te

-

ÁV

½e E

T+

E'. dl [32.5]

T_

(pila)

(conductor)

Como E' = E - E" y 8 = en la forma:

f

• df podemos escribir la ecuación [32.5]

t; -

T-a (E" JT (pila)

+

E') • d l

[32.6]

1174

Teoría de circuitos

De aquí que '1 V < t; , cuando está circulando la corriente. Sin embargo, si hemos de medir directamente t; , podemos hacerlo más fácilmente en función de la diferencia de potencial en los terminales. Para ello, hagamos la resistencia del circuito exterior tan grande que no pueda circular en esencia ninguna corriente -en otras palabras, desconectemos el hilo de uno de los terminales. Si eliminamos la conexión externa entre los terminales de una FEM funcionando, entonces el campo aplicado E" dentro de la pila continuará acumulando carga positiva sobre el terminal positivo T + y carga negativa sobre T _, pero únicamente hasta que el campo electrostático opuesto E' establecido por la acumulación de estas cargas equilibre al campo aplicado E". Así pues, el campo dentro de la pila alcanza una condición de equilibrio en la cual

E" + E'

E

=

[32.7)

O

y la ecuación [32,6) se convierte en LlV

Trayecto cerrado imaginario

/

//

\ --' "

\

I 1

\ 1 /

\ \ '- V_

~

V+

/

'e.... ~../ T -1 T -

+

/

=

t;

[32.8)

en un circuito abierto

La ecuación [32.8) proporciona un modo único de especificar la FEM de una fuente, en donde el trayecto externo desde T + hasta T _ puede ser cualquier camino en el espacio a través del campo electrostático de cargas sobre los terminales (ver figura 32.3). Obsérvese que el campo externo, que se supone que está confinado al hilo en un circuito cerrado, ciertamente no lo está en un circuito abierto. Fig. 32.3

La

FEM

de un circuito abierto es t; = V+ -

V_ = AV

Como E" > E' en la pila cuando está circulando una corriente, O (en la pila) y, por consiguiente, se está disipando cierto trabajo en E forma de calor dentro de la misma. Como un electrolito es un conductor óhmico, podemos definir una resistencia r interna de la pila, tal que la potencia neta disipada por el paso de una corriente I sea Pint = rl 2• Como esta potencia procede del campo neto E = E" + E' en la pila, debe igualar al trabajo total realizado en la misma por E en cada segundo, que según la ecuación [31.34) vale

*

r/2

1f~+E•dt

[32.9]

(pila)

o sea,

r+ (pila)

(E"+ E')•dl

rl

[32.10)

Teoría de. circuitos

1175

Sustituyendo la ecuación [32.10] en la ecuación (32.6], obtenemos 8 -

V_

rl

(32.11]

r-----, v . (~ T

,

1v I

(

L _ _ _ _ ...J

T. Fig. 32.4

Circuito equivalente de una fuerza electromotriz (rectángulo a trazos)

Así pues, la diferencia de potencial realmente suministrada a través de los terminales de un circuito cerrado se reduce desde su valor óptimo 8 por las pérdidas de energía resistiva rl (en J/C) debidas al paso de la corriente por la pila. Aunque la resistencia interna de una pila es generalmente pequeña, debe tenerse siempre en cuenta. Así se puede representar siempre una fuente real de FEM como una FEM pura en serie con una resistencia r (ver figura 32.4). Realmente, debería ser más correcto incluir r entre los electrodos, porque el campo electroquímico E" actúa en realidad dentro de capas muy delgadas que rodean a los electrodos. Imaginemos que se dibuja gráficamente el potencial verdadero alrededor del circuito en la tercera dimensión por encima del circuito, como se indica sobre una superficie cilíndrica idealizada en la figura 32.5. La FEM total es la suma 8 = 8 + + 8 _ de las FEM generadas en las superficies de los electrodos y la caída de potencial total se debe a la resistencia interna r de la

~JI r1I V_

--

Hilo

Fig. 32.5

Gráfico cilíndrico del potencial V a lo largo del circuito de la figura 32.4

pila y a la resistencia R del hilo. (En un gráfico bidimensional todas las líneas aparecerían como rectas. Inténtese dibujar el gráfico de V en función de f, la distancia a lo largo del circuito.)

Teoría de circuitos

1176

Ejemplo 32. 1 Si se conecta a tierra (V_ = O) el terminal negativo de la pila de las figuras 32.4 y 32.5, hallar A V = V + e / en función de 8 , r y

R.

Solución Según la ley de Ohm, A V = RI. A partir de la ecuación (32.11), A V = f -rl. (Obsérvese que esta ecuación expresa la conservación de la energía, incluyendo el calor, por unidad de carga.) Despejando entre estas dos ecuaciones A V e /, se tiene

I

R8 R

+

r

R

+

r

32.2 Leyes de Kirchhoff Gustav Kirchhoff (1824-1887) trabajó con Robert Bunsen (el inventor del mechero Bunsen) en Heidelberg e hizo importantes contribuciones a la teoría eléctrica y al estudio de las frecuencias luminosas emitidas por las sustancias calientes. En la teoría eléctrica, las leyes de Kirchhoff son esencialmente un esquema descriptivo para satisfacer los requisitos de la conservación de la carga y de la energía. La primera ley de Kirchhoff establece que, en estado estacionario, no puede acumularse carga en ningún punto del circuito. Por consiguiente, el flujo de carga que sale de un cierto volumen en un circuito en estado estacionario debe ser igual al flujo de carga que entra en dicho volumen. Definamos un nudo (también llamado una unión o un punto de ramificación) como la intersección de tres o más conductores. Entonces podemos enunciar la primera ley de Kirchhoff del modo siguiente: La suma de las corrientes que entran en un nudo cualquiera es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo. Por ejemplo, en la figura 32.6, / 1 + Ii + h = 14 + 15• Si representamos todas las corrientes que entran en un nudo como cantidades negativas y todas las corrientes que salen del mismo como cantidades positivas, entonces podemos escribir la ecuación general

o

(primera ley de Kirchhoff)

Por ejemplo, en el caso de la figura 32.6, esta ley dice que

Fig. 32.6 Ejemplo para ilustrar la primera ley de Kirchhoff

(32.12)

7éoría de circuitos

11n

Ya se ha utilizado implícitamente la primera ley de Kirchhoff al deducir la resistencia equivalente de resistencias en paralelo. Consideremos un trayecto conductor único y cerrado C que contiene N fuentes de FEM 8 i, 8 2, •.. , & N conectadas en serie (ver figura 32.7). Tomando la integral curvilínea en el sentido indicado y separando los campos electrostático y electromotriz, se tiene a partir de la ecuación (32.2] N

1 E' • d t +

Te

k =I

f

N

T k

E" • d t

I 15

k

k;; 1

rk-1

[32.131

Como ½e E' • df se anula, cada integral de la suma es exactamente igual a la FEM máxima 8 k (sin corriente) entre los terminales Tk_, y Tk. Por ejemplo, supongamos que se conectan en serie tres pilas de FEM 2 V, 3 V y 4 V como se ve en la figura 32. 7. Según la ecuación (32.13] la FEM total resultante es 8 = 2 + 3 + 4 = 9 V. Sin embargo, supongamos que se invierten las conexiones de la primera pila como se ve en la I ....._,

e

Fig. 32. 7 Circuito que contiene N fuentes de

FEM

conectadas en serie

figura 32.8. En este caso, se invierte el signo de E" en la primera pila, produciendo una FEM negativa (o fuerza contraelectromotriz), de modo que 8 = -2 + 3 + 4 = 5 V. En otras palabras, al seguir el camino C, una carga de prueba (una carga positiva unidad) ha de circular a través de la pila invertida contra E", de modo que en ella se realiza trabajo contra el campo aplicado E" y por el campo electrostático E'. Por ejemI ..,__

Circuito que contiene una fuerza contraelectromotriz. La

FEM

total del circuito

Teoría de circuitos

1178

plo, si 8 1 fuese una batería de coche en carga, esta batería durante este proceso de carga se considera como si tuviese una fuerza contraelectromotriz; la carga absorbe energía del circuito y la almacena en forma de energía química, siendo 8 1 la cantidad de energía almacenada por cada unidad de carga que se obliga a pasar por la batería. Análogamente, un motor eléctrico en un circuito es una fuente de fuerza contraelectromotriz igual a la energía por unidad de carga que es absorbida por el motor y convertida en energía mecánica. Imaginemos a continuación que el circuito externo contiene M resistencias Rj (en donde j = 1, 2, ... , M) como se ve en la figura 32.9. Podemos volver a escribir la integral del camino general f c E • de de la ecuación [32.13] descomponiéndola en una serie de integrales extendidas sobre cada resistencia por separado: [32.14] Cada integral de la primera suma representa, según la ecuación [32.10], la caída de potencial ~ Vk = rklk en la fuente k-ésima 8 k debida a su resistencia interna rk. Análogam~nte, cada integral de la segunda suma representa la caída de potencial ~ Vj = R/j a través de la resistencia j-ésima Ri Así se obtiene la segunda ley de Kirchhoff: La suma de las FE\1 de un circuito es igual a la suma de las caídas de potencial a lo largo del circuito. Expresada matemáticamente, M

M

k~ 1

j= 1

¿ rJk + ¿ R¡f, (segunda ley de Kirchhoff)[32.15] Como es natural, en un circuito que conduce en estado estacionario único y cerrado. la corriente es Ik = Ij = I en todo punto. Sin embargo, RM - 1

PM _ , e---"V\lv~,-- -

- - -----""-
Fig. 32.9 Diagrama esquemático de un circuito conductor cerrado. Cada resistencia representa la resistencia de un conductor particular. Las rectas de conexión deben considerarse como conductores «sin resistencia».

Teoría de circuitos

1179

la ecuación [32.15] se aplica con toda generalidad a cualquier trayecto cerrado C a lo largo de un sistema cualquiera de conductores, independientemente de lo complicado o enmarañado que pueda ser, con tal de que nos demos cuenta de que la corriente puede variar a lo largo de dicho trayecto. Sin embargo, toda clase de corrientes o FEM que se opongan al sentido supuesto del trayecto deben tomarse como negativas. Si se invierte la corriente en una resistencia, entonces se invierten también tanto el campo en la resistencia como el signo de E • di, de modo que se producen términos negativos en el segundo miembro de la ecuación [32.15), igual que una FEM de signo opuesto da origen a términos negativos en la primera suma de esta ecuación

Ejemplo 32.2 Consideremos n pilas idénticas de FEM 8 y resistencia interna r conectadas en paralelo, con una resistencia R aplicada a sus terminales. (a) Hallar la corriente I que atraviesa la resistencia externa R. (b) Hallar la resistencia interna equivalente r0 del conjunto de pilas. (c) Hallar la FEM equivalente 8 0 del conjunto de pilas. Solución (a) Consideremos el trayecto cerrado C a través de los hilos conductores señalados en negro en la figura 32. IOa (esta clase de trayecto cerrado a lo largo de una parte de un circuito se denomina lazo o malla). Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al lazo C, se tiene

e

r/ 1

+

RI I

'R

e

'1

e Fig. 32./0

-----

,~)

·!

t,

I~

t.;

11 ---e

'J

11~

1

a

b

1 1

1el '"'

1

Por simetría, se saca ·la conclusión de que la corriente es la misma en cada una de las FEM idénticas. Es decir. /,

/'

para i

1, 2, ... , n

Teoría de circuitos

1180

Según la primera ley de Kirchhoff se tiene ni'

I '

1

y así / 1 = /In. De aquí que para el lazo C tengamos

e,

I

r -

n

+

RI

Despejando el valor de / se tiene

I

R

+ r/n

(b) Las resistencias internas de las pilas se conectan en paralelo, de modo que

i

I r

n-

_!_ , . . , r,,

o bien

r

ro

n

(e) Sustituyamos el conjunto de pilas por una FEM equivalente 8 o con resistencia interna r0 , como se ve en la figura 32. lOb. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a este circuito,

0u

r0 I

+

RI

(r 0

+

R)I

(~ +

R)I

8

I

--;¡(nJ

I

'l

r------, a

1

&11

1

1

ro

1 b

ti

L--------'

Así se ve que la FEM de las pilas en paralelo es igual a la FEM de una sola pila,-mientras que la corriente que atraviesa el conjunto de pilas en paralelo es mayor que la que recorre una sola pila. Refiriéndonos a la analogía del esquiador, una colección de telesillas puede prestar servicio a más esquiadores por unidad de tiempo pero no subirá a cada esquiador más alto en la colina de lo que sube con un solo telesilla. En general, la conexión en paralelo de pilas idénticas aumenta la corriente a través del circuito sin modificar la FEM.

7éoría de circuitos

1181

Ejemplo 32.3 Consideraremos el circuito de la figura 32.11. (a) Hallar la corriente / a través de las FEM. (b) Hallar la diferencia de potencial existente en los terminales de cada FEM. (e) Hallar la corriente que circula por cada una de las resistencias en paralelo R 1, R 2, R 3•

,,

Ri = 150 !/

R~

R1

~

l1

4Ü

1.

::! ~!

El~. J1.1J

R,

I

14 !)

I

6', =

e,

10\i

= <, v

I

(a) Podemos hallar la resistencia equivalente R 0 de las tres ramas en paralelo:

Solución

-1 + R,

Ro

-

l

R2

+

R1

o sea R 1R2 R 1

Ro

R1R2

+

R1R1

+

1,32 n

R 1 R;

Sustituyendo esta resistencia equivalente encontrada para las ramas, tenemos un circuito cerrado simple en el cual la segunda ley de Kirchhoff nos da 8

0¡

+

02

16 V

r1/

+

r1 /

( 16,42 ü)/

o sea I

=

16 V t6,42 n

0,974 A

+

R~I

+

R0 /

Teoría de circuitos

1182

(b) A partir de la ecuación [32.11], tenemos

IOV

(0,974 A X 0,7 U)

9,32 V

6V

(0,974 A X 0,4 íl)

5,61 V

(e) La corriente total I que atraviesa las tres ramas es I, de modo que .l V0 = IR 0 , en donde A V0 es la caída de potencial a través de las resis-

tencias en paralelo. Así pues,

.iv"

0 1974 A X 1,32 n

1,286 V

De aquí que J, /,

.l V¡, --

1,286 V 2n

0,643 A

AV,>

1,286 V 4n

0,321 A

1,286 V 150 n

0,00857 A

R,

R1 J,

.lVo

R)

8,57 mA

l~jemplo 32.4 Una batería se compone de n células idénticas 8 de modo que se tiene a n células conectadas en serie en cada rama y nlx ramas conectadas en paralelo, como se indica en la figura 32.12. Hallar el valor de x que proporciona la máxima corriente de la batería. R

e

I

Fig. Jl.11

x células .:,' en cada rama

Solución Por simetría, la corriente l' es la misma en cada célula, de modo que a partir de la primera ley de Kirchhoff tenemos (nlx)I' = l. Aplicando la segunda ley al lazo C, se tiene

X0

RI

+

xr/'

Teoría de circuitos

1183

o bien

x8

I

(R - x 2r/n)8 (x 2r/n + R) 2

di dx

y

Igualando dlldx a cero, vemos que / es máxima cuando x2 sea x = -/nR/r; es decir, cuando células por rama núm. de ramas

X

x2

n/x

n

= nR/r, o

R r

Puede comprobarse fácilmente que la resistencia equivalente R 0 de las para obtener la corriente máxima viene dada por

FEM

_!_ de modo que R0

R

R

Esto constituye un ejemplo de cómo se hace máxima la potencia suministrada a la resistencia de carga R mediante «ajuste» o «acoplo» con una resistencia igual, como veremos en el ejemplo siguiente. Ejemplo 32.5 La resistencia externa R conectada a una FEM se denomina la carga que actúa sobre la FEM y puede representar la energfa absorbida a partir de la FEM en cualquier forma -mecánica, química o eléctrica como asimismo en forma de calentamiento Joule (aunque en todo caso siempre forma parte de la carga una porción de generación de calor). En el caso de una FEM dada con una resistencia internar, se escoge la resistencia externa R de modo que haga máxima la transferencia de energía o de potencia PL a la carga, en donde PL = R/ 2. En la figura 32. 13, ¿cuál es la resistencia de carga óptima? I

Fig. 32.JJ R

En el ejemplo 32.1 vimos que / Por consiguiente,

Solución

P,.

R/2

R(R

)2 +r

t;

y

= t;

l(R + r) en este caso.

8 2 (r (R

+

R) r) 3

"Teoría de circuitos

1184

Así pues, dP¿/dR = O cuando R = r, de modo que la potencia máxima transferida a la carga es cuando R

r

En la rama indicada en la figura 32.14a resultan correctos los resultados de la segunda ley de Kirchhoff, independientemente del sentido asignado a la corriente. Supongamos que V > V'; entonces deberemos tomar / en el sentido indicado. Como V - V' es la caída de potencial en el resto del circuito, la segunda ley de Kirchhoff da

V -

V'+ RI

(32.16)

= 8

r---"---------7 1

Resto del circuito

1 1

:

1 1

1 1 1

r; V'

R

L--------'\1\1\,

1 ~I

r----.J

1(a)

r ------ - ------,

1

1

1 1

1 1

1

1

r;

1

l

V'

~

R

1

1

L------'V\/'v---f r----.J

-1· (b)

Fig. 31.14 Podemos suponer cualquier sentido para la corriente en un circuito

Si, por el contrario, suponemos que V' > V, deberíamos tomar la corriente /' en el sentido indicado en la figura 32.14b y aplicando la segunda ley de Kirchhoff a este caso se tendría V' -

V

+

RJ'

= - ~

(32.17)

Así que la FEM <$ aparecería como una fuerza contraelectromotriz. Las ecuaciones (32.16) y (32.17) deben ser mutuamente consistentes. Podemos pues, ver que la ecuación (32.17) es simplemente la inversa de la ecuación [32.16) si observamos que I'

-/

(32.18)

de modo que ambas soluciones son idénticas y difieren únicamente en el sentido supuesto de la corriente. En muchos casos se debe empezar a intentar resolver un problema suponiendo los sentidos de los flujos de corriente, porque no se conocen con certeza. Si no se cometen errores ni equivocaciones en los cálculos y deducciones, el análisis de cada caso conducirá siempre al valor correcto

"Teoría de circuitos

1185

de la corriente. Si se encontrase un valor negativo de la corriente, esto indicaría que circula en sentido contrario al supuesto inicialmente. (Esto recuerda un poco el modo de enfocar la selección de la dirección y sentido de fuerzas desconocidas con que nos enfrentamos en la sección 11.6.) En general, utilizamos el término red para referirnos a un sistema que contiene dos o más nudos. Un bucle o malla es un trayecto cerrado a través de la red; puede pasar por varios nudos (excepto en el caso de un solo bucle aislado). Puede estar compuesto también por varias ramas, que son segmentos de trayecto entre nudos y cada rama a su vez puede contener diversas resistencias u otros elementos de circuito. Si un nudo de una red se conecta a un cuerpo a un potencial constante (como tierra), este nudo se denomina nudo de referencia y los potenciales de. los otros nudos se calculan a partir de las diferencias de potencial con respecto al nudo de referencia.* La figura 32.15 ilustra y aclara estas definiciones. Los puntos grises indican nudos en los que se cortan tres o más ramas. Los

Rama

Nudo de referencia

Elementos de los circuitos

Fíg. 32.15· Nomenclatura de los circuitos

cuadrados indican simplemente resistencias o combinaciones de resistencias. Esta red tiene cuatro mallas evidentes. ¿Cuántas mallas más podría seleccionarse para realizar un análisis de la red?

32.3 Análisis de circuitos Utilizando las leyes de Kirchhoff de un modo sistemático podemos analizar cualquier red formada por resistencias y FEM constantes para determinar la corriente que circula por cada rama y el potencial exi&tente en cada nudo. En general existen tres métodos diferentes para realizar este análisis pero los tres son fundamentalmente equivalentes ·y deben dar los mismos resultados. En los ejemplos de la sección anterior 1 suponíamos la existencia de una corriente en cada rama y analizábamos la red utilizando ambas leyes de Kirchhoff. Este procedimiento para analizar un sistema de B ramas exige un total de B ecuaciones independientes. Como ejemplo de este método, denominado análisis por ramas, consideramos la red indicada en la figura 32.16 que contiene cuatro nudos y

* Si el circuito está completamente aislado, es costumbre asignar de modo arbitrario el potencial cero al nudo con potencial más bajo

léoría de circuitos

1186

R,

Rb

'VIA /,-1,'1··

~

I,

.I

Malla .3

I¡

Rd

4

,.

V2

R¡

__...

____..

,.t ,,

,,, R,

, - v.= o

e

Fig. 32./6 Análisis de circuitos

...... 1,

Id '

I,

R.

i

J.

)

Malla 1 J,

V¡

..,__

• !;.

seis ramas, suponiendo que las corrientes incógnitas en las ramas son la, IJJ, le, Id, fe e I¡, mientras que se conocen las FEM constantes {;ª y t;d· Para obtener mediante este método las seis corrientes incógnitas debemqs obtener seis ecuaciones independientes. Aplicando la primera ley de Kirchhoff a los nudos l, 2 y 3 se tiene Id lb

I,

+ le + l¡ + /ª

-

lb

-

/ª

-

(

= O en el nudo 1 = O en el nudo2

[32.19)

O en el nudo 3

En el nudo 4 (el de referencia) podríamos escribir Id + fe + I¡ = O, pero esta ecuación no es independiente de las otras tres como se ve fácilmente si se suman. En general la primera ley de Kirchhoff da origen a N - l ecuaciones independientes para N nudos. (Mediante la conservación de la carga, la especificación de las condiciones en todos los demás nudos determina el flujo de carga requerido en el último nudo.) Ahora podemos aplicar la segunda ley de Kirchhoff a las tres mallas que están indicadas en el dibujo:

[32.20)

Puede comprobarse que la ecuación correspondiente a cualquier otro bucle posible representa la suma de dos o tres de estas ecuaciones. Sin em-

Teoría de circuitos

1187

bargo, ahora tenemos las seis ecuaciones independientes necesarias para la resolución del problema y así se pueden despejar las seis corrientes de las ramas. Puede determinarse el potencial en un punto cualquiera del circuito, respecto al nudo de referencia ( V4 = O) sumando las caídas de potencial a lo largo de cualquier camino o trayecto desde dicho punto.al nudo de referencia. Por ejemplo, los potenciales de los nudos, V1, V2 y V3 vienen dados por las relaciones R,I,

[32.21]

Obsérvese que hemos supuesto que el sentido de la corriente Id concuerda con el sentido de 8 d• de modo que la caída de potencial total en la rama d debe ser 8d + V 1• Un segundo tipo de análisis se conoce como análisis serie o de mallas. En este método, se reduce primeramente el número de ecuaciones nezesarias para resolver la red que contiene N nudos de B a M = B - (N - 1) eliminando las ecuaciones de la primera ley. Esto se hace asignando las corrientes circulantes 11, 12, ••. IM a las M mallas, como se indica con las corrientes circulantes / 1 , /z eh de la figura 32.16. Como cada corriente es continua, la ecuación de los nudos se satisface automáticamente. Obsérvese que

I,

l¡

=

[32.22]

Sustituyendo estas ecuaciones en las ecuaciones [32. 19], puede verse que la información contenida en las ecuaciones de la primera ley se incorpora a las definiciones de las corrientes de las mallas. Esta circunstancia conveniente se hace a costa de incluir términos adicionales en las ecuaciones de las mallas. Siguiendo cada trayecto en el sentido de la corriente supuesta de la malla, las ecuaciones [32.20] se convierten ahora en R.11

+

R¡(/1

R¡(/2

/ 1)

R,(/3

l¡)

+ +

-

/ 2)

Rb/2

+ +

R, (/1

/

RA/2

/ 3)

RAl3 - 12)

+

3

)

RJ3

8

0

8d

en la malla 1 en la malla2

[32.23]

-8d en la malla3

Tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas, de modo que podemos despejar / 1, /z e h. Luego, podemos hallar las corrientes que circulan por cada rama mediante las ecuaciones [32.22] y los potenciales de los nudos mediante las ecuaciones [32.21]. Carece de importancia la selección que se haga de las mallas cerradas, con tal de que cada rama se recorra al menos en una malla. Por ejemplo, podríamos haber escogido igualmente bien la malla 1 como el bucle que recorre el perímetro de la figura a lo largo de las ramas a, b y c. Las mallas deben seleccionarse de modo que se reduzca al mínimo los cálculos necesarios.

1éoría de circuitos

1188

El tercer modo de análisis se denomina shunt o nudo. Aunque se emplea menos que el análisis de mallas, a veces resulta más conveniente desde el punto de vista matemático. En este método, se reduce el sistema a N - 1 ecuaciones de nudos eliminando las ecuaciones de mallas. Esto se hace considerando los potenciales de los nudos V1, Vi, ... , VN _ 1 como las cantidades incógnitas a determinar (en donde hemos supuesto que VN = O es el potencial de referencia conocido). Si sumamos las caídas de potencial a lo largo de una malla cualquiera, empezando en un nudo, la suma es automáticamente cero porque volvemos al mismo potencial de partida. Si expresamos entonces la corriente que sale de cada nudo en función de las caídas de potencial en las ramas y de las conductancias G0 = l/R 0 , Gb = 1/Rb, etc., las ecuaciones de los nudos [32.19] se reducen a

+ 8d) + Gb(V, - V2) + V¡) + Ga(V2 G1V2 + Gb(V2 V,) + G (V3 G,V3 + Gc(V3

Gd(V,

0

=

O en el nudo 1

Gc(V,

V3}

V3

8ª)

O en el nudo 2

8ª)

O en el nudo 3 (32.24]

V2

+

Tenemos de nuevo tres ecuaciones con las tres incógnitas V 1, Vi y V3 de modo que podemos despejar los potenciales de los nudos. Aunque hemos supuesto que todas las corrientes están saliendo de los nudos, alguna de ellas debe entrar en el nudo; esto significa que una o más de las diferencias de potencial en cada ecuación debe ser negativa. Obsérvese también que podemos seleccionar el nudo de referencia a nuestro gusto para simplificar las ecuaciones tanto como sea posible, de modo que algunos potenciales de los nudos pueden ser negativos. (Posteriormente podemos ajustar los valores de los potenciales si no existe ninguna referencia externa, asignando un potencial cero al más bajo del circuito.) Una vez determinados los potenciales, pueden hallarse las corrientes en las ramas a partir de las ecuaciones (32.21] y de las relaciones /a /,

=

Ga(V3 (32.25]

Gc(V,

El análisis de nudos nunca da más ecuaciones que las obtenidas con el análisis de_ mallas y en la inliyona de los casos origina menos ecuaciones. Sin embargo, hay que tener cuidado el asignar los signos a las FEM de modo que concuerden con los sentidos de las corrientes supuestas.

Ejemplo 32.6 En el circuito de la figura 32.16, suponer que R,

= R1 = 0.5 Q

Teoría de circuitos

1189

(a) Analizar el circuito mediante análisis de ramas. (b) Analizar el circuito mediante análisis de mallas. (e) Analizar el circuito mediante análisis de nudos.

(a) Según las ecuaciones [32.20), tenemos las ecuaciones de la

Solución

segunda ley 2

0.51, 2/d

+

0.5ft -

2/d -

= =

0.51¡

lb

21(

Resolviendo estas ecuaciones junto con las de la primera ley (32.19), obtenemos /a Id

=

48 A 41

lb

_!iA

I,

41

=

22 A 41

I,

~A 41

_ 42 A 41

I¡

26 A 41

Obsérvese que el sentido real de la corriente le es opuesto al sentido supuesto originalmente en la figura 32.16. A continuación podemos hallar los potenciales de.los nudos mediante las ecuaciones [32.21). (b) Mediante las ecuaciones (32.23), tenemos

+

/1

+ 0.5(/1 11) + 12 + 2(/2 11) + 2(/3 - /2) +

0.5(/1 -

0.5(/2 0.5(/3 -

12)

/3)

2

/3)

1

2/3

- 1

que al despejar nos dan /1

48 A 41

=

22 A 41

=

12

/3

=

~A 41

Mediante las ecuaciones (32.22), puede comprobarse fácilmente que estos valores conducen a las mismas corrientes de las ramas que las obtenidas con el análisis de las ramas de la parte (a). (e) Según las ecuaciones [32.24), tenemos

+

1)

+

2V2

+

(V2

V1)

0.5(V3

V1)

0.5(VI

2V3

+

(VI -

V2)

+ +

+

0.5(V1 -

(V2

V3

(V3

V2

+

V3)

o

2)

= o

2)

o

V3

- l!_ V

cuya resolución nos da Vi

9 41

-- V

V2

_!l V 41

41

1190

7éoría de circuitos

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones [32.21) y [32.25], podemos obtener valores para las corrientes de las ramas que concuerdan con las calculada& mediante los otros métodos de análisis. Obsérvese que los potenciales de los nudos I y 3 son negativos respecto al nudo de referencia, que se toma como conectado a tierra ( V4 = O) en este circuito.

32.4 Mediciones Los instrumentos más comunes y convenientes para la medición de corrientes, diferencias de potenciales y resistencias se basan en el galvanómetro de bobina móvil, en el cual se encuentra una bobina de hilo suspendida en el campo de un imán. Cuando por la bobina pasa una corriente 10 , la bobina sufre una desviación angular que es proporcional a 10 (ver sección 35.3). Si se une a la bobina una aguja indicadora larga, puede calibrarse el instrumento resultante de modo que la posición de la punta de la aguja sobre una escala (ver figura 32.17a) proporcione una lectura directa de la corriente fo. (Si se invierte el sentido de la corriente, la aguja se desviará en sentido opuesto.) Por ejemplo, un método de calibración podría consistir en la conexión de una resistencia R en serie con el galvanómetro, sumergiendo a continuación la resistencia en un calorímetro. A Amperímetro

A ¡....-- -

R Escala Bobina

(b) Circuito que contiene el amperímetro

(a) Diagramo esquemático del galvanómetro

Fig. 32.17 El galvanómetro utilizado como amperímetro

(o) Circuito equivalente del amperímetro

1191

Teoría de circuitos

partir de la variación observada dT/dt de la temperatura T del calorímetro debida al efecto Joule, se podría calcular 10 mediante la relación MC(dT/dt) = Rl2c;. Los valores medidos de lo podrían utilizarse entonces para calibrar la escala del galvanómetro. En un galvanómetro típico, la resistencia interna del mismo es R 0 """ 1 íl a 10 íl y una corriente de 10 = lmáx """ 1 mA = 10-3 A producirá la desviación de la aguja hasta el fondo de la escala. (No obstante, en el mercado existen galvanómetros con resistencias internas y corrientes de máxima desviación bastante diferentes de las mencionadas.) El galvanómetro, cuando se utiliza para medir corrientes se denomina amperímetro. La figura 32.17 b muestra un amperímetro de este tipo conectado en serie con una FEM 8 de resistencia interna r y con una resistencia externa R. La corriente I que recorre el circuito también pasa a través del amperímetro. En la mayoría de los casos, la corriente I que deseamos medir es mucho mayor que lmáx· Por consiguiente, parte de la corriente debe desviarse del galvanómetro a través de una resistencia en paralelo con él, que suele denominarse resistencia shunt RP o simplemente «shunt» Rp y que normalmente está incluida dentro del aparato de medida y en paralelo con la bobina móvil (ver figura 32.17c). Si la máxima desviación de la aguja ha de producirse con una corriente 1 = lp (con 10 = lmá.J entonces deberemos tener [32.26] Como la caída de potencial en ambas ramas del amperímetro es la misma,

o sea [32.27] puesto que generalmente lp ~ lmáx· Los amperímetros típicos de laboratorio tienen un conmutador que permite al usuario variar RP (normalmente en factores de 3 o de 10), de modo que la sensibilidad a fondo de escala del amperímetro varía de acuerdo con ello. La resistencia equivalente de un amperímetro (para Rp .,i¡¡ R 0 ) es

Como Rp suele ser mucho menor que la resistencia exterior R del circuito, la inclusión en el mismo del amperímetro tiene una influencia despreciable sobre la corriente I del circuito. La cantidad RA es lo que suele especificarse como resistencia de entrada del amperímetro y se debe escoger un amperímetro con un valor de RA tan bajo como sea posible de acuerdo con la exactitud deseada en la medida -es decir, que se ajuste a la

Teoría de circuitos

1192

necesidad de que le sea suficientemente grande como para producir una desviación apreciable del galvanómetro. La diferencia de potencial ~Ve en los extremos de la bobina del galvanómetro es proporcional a la corriente le que la recorre. Por consiguiente, el galvanómetro puede utilizarse para medir diferencias de potencial si se conecta en paralelo con una cierta resistencia R en la que ha de medirse la caída de potencial que produce. Sin embargo, si la presencia del galvanómetro no ha de tener una influencia significativa sobre la resistencia total, entonces la resistencia de la rama en la que se incluye el galvanómetro debe ser mucho mayor que R. Por consiguiente, se conecta una resistencia grande Rs en serie con el galvanómetro para estas mediciones; el instrumento que incluye el galvanómetro y la resistencia Rs se denomina voltímetro. La figura 32.18 muestra un voltímetro conectado en paralelo con una resistencia R para medir la diferencia de potencial V1 entre sus extremos. Si se desea una sensibilidad tal que la diferencia de potencial ~ VF en R produzca una desviación· de la aguja hasta el fondo de la escala (/0 = lmroJ, entonces

Voltímetro

r--7 V, --+---.

1 1

Re¡

v, ----, R R

1 1 1

RI '1 1 L---...J

(b) Circuito equivalente para el galvanómetro utilizado como voltímetro

(a) Circuito que contiene el voltímetro

Fig. 32.18 El galvanómetro utilizado como voltímetro

y, como generalmente Rs R,

~VF -

~

R0 ,

=

RG

/max

~VF

[32.28]

/max

La resistencia equivalente del voltímetro y de R conectados en paralelo es

Req

R(R, R,

+

+ RG

RG)

+

R

RR,

R,

+

R

Por consiguiente, si Rs ~ R, tenemos Req == R y la conexión del voltímetro en el circuito tendrá un efecto despreciable sobre la caída de potencial

Teoría de circuitos

1193

a través de R. Como en el caso del amperímetro, los voltímetros ordinarios disponen de un conmutador que permite variar la sensibilidad del instrumento mediante variaciones del valor de R 5 • Conviene buscar el valor de Rs mayor posible que permita todavía la circulación de suficiente corriente / 0 como para producir una desviación apreciable de la aguja del galvanómetro. Si se conecta un galvanómetro en serie con una fuente de FEM t; G conocida, puede utilizarse para una medición directa de la resistencia de ciertos elementos de circuito. Dicho instrumento se denomina ohmímetro y se conecta a la resistencia a medir R del modo indicado en la figura 32.19. La corriente en el galvanómetro con este circuito es {;G R

+

RG

es decir R

[32.29)

Si R ~ R 0 , entonces la es proporcional aproximadamente a 1/R, de modo que la escala del galvanómetro puede calibrarse de modo que dé directamente valores de R, aunque la escala no sea lineal. En la práctica es más sencillo instalar una resistencia variable Rs en serie con Ra que una r-----7 1 1 0c 1 Ohmírnetro

R

R

1 ' I O h m1metro 1 1 1 L _____ _j1 Re

(b)

(a)

Fig. 32.19 El galvanómetro utilizado como ohmímetro FEM variable como medio de ajuste de la sensibilidad del ohmímetro. En este caso se tiene en el ohmímetro una resistencia Ra + Rs y

R

0G

-I

G

-

(R G -

R) s

Obsérvese que se obtiene la desviación a escala completa o fondo de escala Ua = /má,) para R Oy Rs

Como es de esperar también, los aparatos comerciales disponen de una serie de conmutadores que permiten el que se les utilice como amperímetros, voltímetros u ohmímetros.

Teoría de circuitos

1194

En el caso de instrumentos muy precisos, suele ser deseable utilizar un método de medida de ajuste a cero. Un método de ajuste a cero exige el equilibrado exacto de una cantidad desconocida mediante una combinación de patrones conocidos. La balanza analítica, por ejemplo, funciona mediante un método de ajuste a cero, en el que una masa desconocida se equilibra mediante una combinación de masas conocidas. Ahora consideraremos dos métodos de ajuste a cero utilizados comúnmente en las medidas eléctricas: el potenciómetro utilizado para medir FEM y el puente de Wheatstone empleado para medir resistencias. La figura 32.20 muestra el circuito esencial del potenciómetro, en donde 8 1 y 8 2 son las FEM que hay que comparar (normalmente una se

,,e ,,e r. /Jo

il

1 1

R"

2

1

--

-:i_

1

--

(J l

3

Fig. 32.20 Circuito potenciométrico típico. El conmutador S puede conectarse con el terminal 1 o con el 2

conoce y la otra, no). El conmutador S conecta 8 1 y se ajustan los terminales deslizantes T y T' hasta que no circula ninguna corriente por el amperímetro (Ji = O). Si en esta posición la resistencia entre T y T' es R 1, entonces la diferencia de potencial entre los terminales deslizantes es R¡l1• Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla 1, se tiene (R'

+

[32.30)

R")/ 1

En el caso de la malla 2, obtenemos para Ji RG/2

+

R1U2 -

l¡)

=

-R¡l¡

=O =

-8¡

[32.31)

Sustituyendo la ecuación [32.30) en la ecuación [32.31), se tiene R'

R180 + R"

A continuación se pasa el conmutador S hacia 8 dimiento. Esta vez se obtiene

[32.32) 2

y se repite este proce-

[32.33)

Teoría de circuitos

1195

en donde R 2 es la resistencia entre los terminales T y T' en la posición que hace que la lectura del amperímetro sea cero. Combinando las ecuaciones [32.32] y [32.331, tenemos

[32.34] De aquí que el cociente de las dos FEM sea simplemente la razón de las resistencias que aparecen entre los terminales en los dos montajes. En un potenciómetro típico la resistencia R " se compone de un conjunto de bobinas exactamente ajustadas teniendo un solo terminal con contacto deslizante (mientras que el otro permanece fijo); la resistencia existente entre T y T' puede leerse directamente a partir de la posición del contacto móvil en una escala calibrada. Obsérvese que no es preciso conocer ni 8 0 ni R', puesto que permanecen constantes en todo el método. Como el cociente de las FEM es igual a la razón de las resistencias R 21R I es conveniente utilizar una resistencia ajustable R' y hacer las medidas de un modo tal que permita una lectura directa de la FEM incógnita a partir de la escala situada sobre R ". En este caso, le proceso de medida es el siguiente:

2 3 4

se ajustan los terminales T y T' de modo que las lecturas sobre la escala de la resistencia entre los terminales sea igual a la FEM patrón conocida 8 1; se conecta S sobre . C I y luego se ajusta la resistencia variable R' hasta que el amperímetro marca cero; se cambia S a 8 2 y se ajustan los terminales T y T' hasta que el amperímetro marque cero de nuevo; se lee directamente la FEM 8 2 en la escala sobre la resistencia entre los dos terminales.

Con este método basta con haber calibrado la escala de modo que pueden leerse directamente los valores de los potenciales ( & 11 y ( 8 21. La exactitud del potenciómetro se ve limitada únicamente por la exactitud de sus bobinas de resistencias y por la precisión con que pueda leerse la posición del terminal deslizante. La sensibilidad del galvanómetro puede ajustarse a un valor suficientemente alto de acuerdo con la ecuación [32.31] de modo que no limite la precisión que pueda obtenerse.

Ejemplo 31. 7 El potenciómetro puede utilizarse como un voltímetro de elevada precisión que no extrae corriente conectando los terminales 2 y 3 entre dos puntos cuya diferencia de potencial haya de medirse (ver figura 32.21). Deducir la expresión apropiada para ~V= V1 - V0 en función de los parámetros del potenciómetro.

1196

Teoría de circuitos

{;

Fig. 32.21

Con el conmutador en la posición 2 se ajusta la resisteµcia R 2 hasta que el amperímetro no aprecia ninguna circulación de corriente en la malla 2 del potenciómetro. Este caso se presenta cuando no existe ninguna diferencia de potencial entre el terminal 3 y el T. Así pues, igualando las caídas de potencial desde el terminal T', tenemos

Solución

RI

6.V

Como Ji = O, no existe ninguna corriente que permita una transferencia de carga neta entre la malla 1 y el circuito externo. Por consiguiente, / 1 es la misma corriente que la que existe en la malla 1 cuando desconectamos el circuito externo y determinamos R 2 como antes, e / 1 = fd 1/R 1• Sustituyendo esta expresión en la ecuación que nos da 6. V se tiene 6.V

=

8 Ri IR

1

Si R es una resistencia patrón conocida, entonces el potenciómetro puede utilizarse como un amperímetro y calibrarse directamente en función de la corriente 6. VI R que pasa por R.

b

a

d

El puente de Wheatstone es ampliamente utilizado como sistema de medida de resistencias de ajuste a cero. Fue inventado probablemente en 1843 por Charles Wheatstone. La figura 32.22 muestra el circuito del puente de Wheatstone. Si la resistencia desconocida es R ¡, se ajustan los valores de las resistencias R 2, R 3 y R 4 hasta que no circule ninguna corriente por el galvanómetro. Esto ocurre cuando Ve = Vd, lo cual significa que R 1/ 1

R2 / 1

= V = V,

0

[32.35] [32.36]

Dividiendo la ecuación [32.35] por la [32.36], se tiene Fig. 32.22 Puente de Wheatstone

(32.37]

7éoría de circuitos

1197

En este puente pueden utilizarse resistencias patrones conocidas o bien resistencias variables calibradas con objeto de determinar el valor de una resistencia desconocida. En los laboratorios de alumnos se tiene como equipo normal puentes y potenciómetros portátiles, en los que se contiene todo lo necesario para una amplia gama de medidas, con inclusión de una fuente de FEM, un galvanómetro y una serie de resistencias de precisión ajustables. Sin embargo, hasta que se consigue su equilibrado, el mecanismo de medida que es muy sensible y delicado debe preservarse de corrientes excesivamente elevadas.

*32. 5 Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas En la sección 32.3 vimos que el análisis de las corrientes estacionarias en conductores óhmicos da origen a sistemas de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas, con independencia del método utilizado -análisis de ramas, mallas o nudos. De hecho, estos sistemas de ecuaciones aparecen en casi todas las disciplinas en donde se apliquen tratamientos matemáticos a problemas complejos, desde la sociometría hasta los hiperespacios n-dimensionales de la matemática abstracta. La resolucion de estos sistemas de ecuaciones es teóricamente directa, pero en la práctica puede resultar algo muy tedioso. Por ello, para la resolución de estos sistemas se ha ideado una diversidad increíble de métodos tanto analíticos como numéricos. En esta sección estudiaremos únicamente el método clásico de resolución mediante determinantes que es poco eficaz pero muy directo.* Podemos representar un sistema de n ecuaciones simultáneas lineales como

b;

para i

1, 2, ... , n

[32.38]

en donde cada ªu y cada b; es una constante (que puede ser cero) y en donde las variables x1 representan las n cantidades incógnitas. Por ejemplo, en las ecuaciones de las mallas [32.23], tenemos x1 = 11 y

R.

+

R1

+

R,

-R, y así sucesivamente. Podemos escribir los n 2 coeficientes ªu del sistema de la ecuación [32.38] como una matriz n x n de números A = ((a;j)). Este procedimiento es útil porque existe un operador denominado el deter-

* Se recomienda que al principio se lea brevemente esta sección.

ii98

Teoría de circuitos

IA I de

minante que proporciona un valor escalar

este conjunto de nú-

meros:

det A

[32.39]

anl

an2

La definición del determinante es un poco complicada. Sean a, (3, ... , v cierta permutación de los números 1, 2 ... , n. Existen c/J = n ! de estas permutaciones. Para una permutación determinada, supongamos que sea µ, el número mínimo de intercambios de pares de índices entre los índices a, (3, ... , v que se requiere para restaurarlos al orden 1, 2, ... , n. Entonces se define el determinante como

IAI = ~' (- l)µa ,,a ¡¡ •

det A

1

2

• •

[32.40]

a.,

todo
en donde la notación «E' respecto a todo c/J» significa que hay que sumar los productos respecto a todas las posibles permutaciones de a, (3, ... , v. Tabla 32.1 Obtención del determinante de una matriz cuadrada 3 x 3 a

{3

V

µ

(-1)µ

2

3

o

+l

+a,1a22ªJi

3

2

-1

-a11a23a32

3

-1

-a12a2,ªii

2

2

3

2

2

3

+l +l

2

3

( -1 )µa 1,,a 2¡¡a 3,

2

+a 12 a 23 a 31 +a1iª21ªJ2

-1

-a¡3a22ª31

Por ejemplo, consideremos una matriz 3 x 3 en donde i, j = 1, 2, 3. La tabla 32.1 muestra la deducción de los términos individuales del sumatorio de la ecuación [32.40] y vemos que ll¡ ¡ll22ll33

+

ll12ll23ll3¡ -

+

ll13ll21ll32

ª1 ¡ll23ll32

-

ª12ll2¡ll33

[32.41] -

ll¡3ll22ll3¡

Análogamente puede comprobarse que I A 1 = a 11 a22 - a 12 a21 en el caso de una matriz 2 x 2. Definiremos ahora el menor Mu del determinante IA I como el determinante de la matriz (n - 1) X (n - 1) que se obtiene cuando suprimimos la fila i y la columna j que contiene al término ªu de la matriz A.

1199

Teoría de circuitos

Por ejemplo, en el caso de la matriz 3 x 3,

En cursos de álgebra más avanzados se demuestra que

!Al =

¿ ou(-1)i+j Mij para cualquier i =

1, 2, ... ,

0

n [32.42]

j=I

y que las soluciones x; se obtienen (mediante la «regla de Cramern) como

IAl- 1

X;

¿ bj(- l)i+j Mij

para i = 1,

2, ... , n [32.43]

j=I

Esta expresión compacta, pero de terrible aspecto, dice simplemente lo siguiente: Para hallar X;, se sustituyen los elementos de la columna i de A por los valores correspondientes de b¡ (en donde j designa la fila apropiada para cada valor b), se calcula el determinante de la matriz resultante y luego se divide el resultado por el determinante del sistema

IAI, Así, pues, en el caso de un sistema 3 x 3 en donde

!Al =

o,,

0 12

013

º21

º22

023

031

032

033

[32.44]

tenemos

X1

IAl-

1

h1

0 12

013

• b2

º22

0 23

b3

032

033

+ 0 12°23G31 + 013021°32 -

0 11h22033

º11023032 -

º12º21033 -

013022G31

[32.45] Análogamente,

X2

IAl-

1

0 11

bl

013

• 0 21

h2

023

031

b3

033

X3

IAl-l,

0 11

0 12

0 21

0 22

b, b2 [32.46]

03¡

032

b3

Si el sistema es homogéneo (b; = O para todo i), entonces es soluble únicamente para razones de las incógnitas: x 2 /x 1, x 3/x 1 y así sucesivamente -y esto sólo si IA 1 = O.

Teoría de circuitos

1200

Ligadas a la definición de determinante existen ciertas reglas para su manipulación. Las siguientes poseen un particular interés ahora. 1

2

3

4

Si se intercambian entre sí dos filas o dos columnas cualesquiera de un determinante, se cambia el signo del mismo pero su valor permanece inalterable. Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por el mismo factor, entonces el valor del determinante resulta multiplicado por dicho factor. Un determinante es nulo si tiene dos filas o dos columnas idénticas, o si tiene una o más filas o columnas compuestas sólo por ceros. El valor de un determinante no se altera si se multiplica todo elemento de una cierta fila o columna por el mismo factor y luego se suma al elemento correspondiente de otra fila o columna.

Consideremos la matriz triangular A':

O O

a; 2 a;3 a; 2 a;3 O

a;

3

[32.47]

A'

o

o

o

o ª~"

No puede aplicarse la regla tercera porque no hay ninguna fila o columna que esté compuesta totalmente por ceros. Sin embargo, un ligero examen nos permite ver que todo término excepto el primero del desarrollo del determinante en la ecuación [32.40] contiene un factor cero. Por consiguiente, en este caso especial,

IA'I

[32.48]

Este hecho constituye la base de nuestro algoritmo para el cálculo de las soluciones de ecuaciones lineales simultáneas. Multipliquemos cada elemento de la primera fila (i = 1) de A por a1 ¡1a 11 y restemos este valor resultante al elemento correspondiente de la segunda fila. Estos últimos se convierten entonces en a
0 21

-

0 21

o

0(1) 22

ª22

-

ª12ª21 ª11

di)

23

ll13ll21 ll23 · -

a 11

di)

2n

ll2n

-

ll¡nll2¡

ª"

1201

Teoría de circuitos

De acuerdo con la regla 4, este cambio no altera el valor del determinante. Podemos aplicar un procedimiento correspondiente a cada una de las filas restantes de A sin alterar el valor de IA 1, de modo que obtenemos

ª12

0¡3

O¡n

a(IJ 22

di) 23

dlJ 2n

di) 32

a(ll

Q(J)

ª11

IAI

o o

33

o

3n

di)

nn

A continuación multipliquemos cada elemento de la segunda fila de esta nueva expresión por a~Yla~Y- Restando estos valores de los elementos correspondientes a la tercera fila, se obtiene aW = O. Podemos utilizar un procedimiento semejante para las filas restantes hasta conseguir que a<~J = 12 = O para 3 :5 i :5 n. Entonces podemos utilizar la tercera fila de este determinante para operar sobre todas las filas que están debajo de ella y así sucesivamente hasta que obtengamos finalmente un determinante triangular: ª1 i

o o

ª12

0¡3

aln

di) 22

a(ll

di)

o

ª(2) 33

d2) 3n

23

2n

IAI

(32.49]

o

o

o

a
Entonces, según la ecuación (32.48], tenemos

IAI

O¡¡ Oi~>ag>

• • ai~-i¡

[32.50]

La figura 32.33 es un diagrama de flujo del algoritmo que describe el cálculo que lleva a la ecuación (32.50], cuya esencia es la relación de recurrencia dk+l) lj

a
(32.51]

La figura 32.24 muestra el diagrama de flujo correspondiente a la solución completa de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas de dimensión n, utilizando el algoritmo de la figura 32.23 como una subrutina para la valoración de los determinantes de la ecuación [32.43].

Teoría de circuitos

1202 A D

= IAI

D =I

a

k = 1a n D-

m

k

a... ,

= k

- - - - Inicio de

la

1a n

< la,.I

la,d

o.,., m

- D

i ¡

iteración k

+ +

!

k +

+ +

s =

- - ciente a;k «pivote»

1 1

j - j+

+

a,, - sa.,

1

Dau

D -

Cambiar D y proceder a la siguiente iteración

SI

--+

m = k

Innecesario el - - intercambio de filas

J

!

1

- - + D = O-+

a,,lau

k + la n

j

a,, -

1

SI

n

i-i+

J ~-~-

Si todo a;k < E (muy pequel\o) pero no nulo, para tener en cuenta los errores de redondeo, entonces D = O

a

D -

+ +

Da,.

2

j,-j

+

t

1

Volver al programa principal --a'

a,,

º•,

a.,,

a,,,,

a=:

a'

RETORNO

Intercambio de las filas k y m

~ a

Flg. J2.2J Algoritmo de la subrutina para el cálculo de un determinante

1203

léoría de circuitos

Q

- - -

Entrada de la matriz y cons:antes del sistema

= A

~-------C

A

--

1a n

_ ¡ +

¡

Construir la matriz de «trabajo»

C = A (ver más adelante)

e, - O

e ------,,--,-----

º··

= ICI

1

º·-

Sí

= o

1

j -

1a n

j +

---.1!1

______,_-A

.;;....

ESCRIBIR «NO SOLUCIÓN

DETA

-o»

J -

C

A

¡

Hallar el determinante de C (ver figura 32.23)

[,

J =

I a

j -

j

¡

Volver a poner = A

+ at x,

e,

e, -

11

+

1

e, -- b,

Cá kulo de errores en la solución apcoximada ESCRIBIR TODOS STOP

x, D, e

C

¡ =

[

1a n

i-i+

¡ "v --¡ b,

A C

Sustituir la columna j de C por constantes

X1 -

1a n

k k

e D,

A

k

¡

- ICI

+

¡

m -

D,/D•. , _ _ _ . a

m- m + 1

[

Subrutina para igualar dos matrices

1a n

¡

"'·

-

O¡,,.

Fig. 32.24 Algoritmo para la resolución de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas: Ej aijxj = b; para i = I, 2, ... , n

1204

Teoría de circuitos

Si los coeficientes del determinante son de un orden de magnitud poco conveniente, pueden transformarse a escala multiplicando cada ecuación por una constante adecuada antes de su resolución. Como a'{J no puede ser cero en la ecuación [32.51), es necesario intercambiar la fila k con una de las filas siguientes (i > k) si se presenta este caso (ver regla 1). Para reducir al mínimo los errores de redondeo, lo mejor es intercambiar con la fila que tenga el mayor valor de Ia;k 1. Sin embargo, si también todo a;k = O, entonces esto significa que se anula el determinante completo. Aunque los errores de redondeo suelen bastar para evitar la presencia de coeficientes cero, podemos prevenirnos contra la presencia de a{",! extremadamente pequeños intercambiando filas antes de cada iteración, escogiendo cada vez el valor más grande posible para a'/:J. Este procedimiento conocido como «pivotamiento» (pivoting) ha sido incorporado en el algoritmo indicado en la figura 32.23. Todo centro de cálculo bien equipado posee una «biblioteca» de programas, incluyendo programas o «subrutinas» proyectadas para resolver ecuaciones algebraicas lineales simultáneas. El usuario únicamente necesita suministrar los coeficientes a;¡ de las incógnitas x1 y las constantes b; correspondientes, llamar a la subrutina y pasar el programa para obtener los valores deseados de x1. Además la mayoría de los microordenadores utilizan el lenguaje BASIC (ver apéndice I), que incluyen subprogramas incorporados (built-in) para la manipulación de matrices como la A. En el álgebra matricial se define una operación conocida como «multiplicación de matrices» (*) de tal forma que por cada matriz real A existe una matriz inversa A- 1 tal que ((/u)) en donde lij

= {~

para i

=

j [32.52)

para¡ -:/:- j

Así pues I es una matriz con unos en los elementos de la diagonal principal y ceros en todos los demás; 1 se denomina matriz identidad porque

Utilizando la regla del álgebra matricial, podemos definir las matrices «columna»

X

=

y

B

y representar luego el sistema completo de la ecuación [32.38] mediante la sencilla ecuación matricial [32.53]

1205

"Teoría de circuitos

La solución de esta ecuación es 1* X

[32.54)

X

Así pues, pueden hallarse fácilmente los valores de xj utilizando los operadores matriciales del lenguaje BASIC. Sin embargo, debe señalarse también que cuando se progresa en la física es fácil encontrar numerosas aplicaciones en las que el valor de I A I tiene por sí mismo un significado especial.

32. 6 Circuitos equivalentes En la sección 31.4 vimos que siempre podemos sustituir las resistencias en serie o en paralelo por una resistencia equivalente. Podemos considerar a dicha resistencia equivalente como un «modelo» de la resistencia real -modelo que nos proporciona los mismos valores exactamente para el flujo de corriente, las caídas de potencial y las pérdidas de potencia que los que se obtendrían mediante el análisis más complejo de las resistencias físicas reales del circuito. A partir de la forma general de las leyes de Kirchhoff para las corrientes estacionarias, puede demostrarse matemáticamente que una red cualquiera puede sustituirse por otra red equivalente. Supóngase que tenemos una red de resistencias y FEM muy complicada, con dos terminales finales a los que podemos conectar otras resistencias y/o FEM cualesquiera. Entonces es posible sustituir la red completa por una sola FEM en serie con una resistencia única. Este aspecto de la teoría de circuitos hace posible sintetizar dispositivos eléctricos extremadamente complicados a partir de redes de componentes separadas, cuyas redes equivalentes se conocen. Nuestro estudio aquí es elemental, pero esta sección iniciará al lector en los conceptos fundamentales de la síntesis de redes. Consideremos la red de doble nudo de la figura 32.25. Podemos describir esta red con la ecuación de nudos sencilla V - 81 R1

+

_.!'.'._ R3

+

V - 82 R2

o

[32.55]

cuya solución es

V =

[32.56]

Imaginemos a continuación que encerramos la malla de la izquierda en una «caja negra» como está indicado mediante el recuadro a trazos de la figura 32.25. Como se ve en la figura 32.26a se dejan únicamente dos terminales saliendo de la caja. Ahora utilizaremos el teorema de Thévenin (que no demostramos): Toda red lineal compuesta por resistencias y FEM puede reemplazarse por una sola FEM 8 Th y una sola resistencia RTh en serie entre dos

1206

Teoría de circuitos

r----------, 1

1

1 1

1 1 1

~--1'1.

8,

V 1

R,

R,

1 1 1 f

R,

1

1

1 I

1 1

-=-

1

1

1

L __________ _J1

Fig. 32.25 Red de doble nudo

puntos cualesquiera de la red que se han seleccionado como terminales de salida. Podríamos calcular los equivalentes de Thévenin 8 Th y RTh a partir de la teoría de circuitos, pero existe otro procedimiento mucho más fácil para hallarlos. La red equivalente de Thévenin debe simular exactamente la red real de cualquier forma que se la considere. Por consiguiente, su comportamiento debe ser idéntico al de la red real (1) cuando los terminales externos estén abiertos (como se ve en la figura 32.26a) y (2) cuando no existan fuentes de FEM activas en el circuito -es decir cuando 8¡ = Ü = gTh· En el primer caso, la FEM en circuito abierto viene dada por la caída de potencial en la resistencia real R 3 ; este valor debe ser el mismo que el de la FEM equivalente 8 Th porque, cuando el circuito está abierto, no circula ninguna corriente en la red equivalente. De aquí que {;Th

=

[32.57]

Este valor se determina fácilmente de modo empírico conectando simplemente un potenciómetro en los terminales externos y midiendo la diferencia de potencial en ellos.

r--'VV'v--f1

+

8,

1

+

I

R,

R,

~

Y,-

1

L-----+-

(a) La malla de la izquierda de la figura 32.25 se encierra en una «caja negra» con dos terminales externos

(b) Equivalente de Thévenin del circuito de la caja negra, teniendo conectado el resto del circuito de la figura 32.25 como una red exterior aplicada a los terminales de la caja negra

Fig. 32.26 Obtención del equivalente de Thévenin de una malla

Teoría de circuitos

1207

El segundo caso, en el que se supone que no existen fuentes activas de en la caja negra, equivale a imaginar a todas las FEM cortocircuitadas por sendos hilos conectados entre sus terminales. En este caso, el circuito es una resistencia pura y RTh debe ser simplemente la resistencia equivalente de la caja negra entre sus terminales externos: FEM

R1 R3

[32.58]

Si no existen fuentes de FEM activas en el circuito real, entonces RTh se mide fácilmente. Si existen fuentes de FEM en la caja negra, entonces puede determinarse RTh empíricamente cortocircuitando los terminales externos y midiendo la corriente /Th entre ellos. Como /Th debe ser igual a VTh/RTh• se tiene [32.59] Como comprobación de nuestros cálculos, imaginemos que R 2 y 8 2 están conectados entre los terminales externos de la caja negra como se ve en la figura 32.26b. El circuito equivalente origina una corriente

I

[32.60]

Puede comprobarse fácilmente que este valor es idéntico a la corriente I

[32.61]

que viene predicha por la resolución de la ecuación [32.56] de la ecuación de nudos [32.25] • Como es natural, el empleo de redes. equivalentes no nos da ninguna información acerca de los parámetros correspondientes a cada una de las resistencias o FEM reales que existen en el interior de la caja negra. Sin embargo, en la mayoría de los casos, nuestro interés principal se centra en hacer máxima (o mínima) la potencia cedida a un componente determinado unido a los terminales de una caja negra dada. Para obtener la máxima transferencia de potencia en el caso de la caja negra de la figura 32.26a, basta simplemente hacer R 2 = RTh como en el ejemplo 32.5, sin necesidad de ningún otro análisis, con objeto de ajustar o acoplar la carga a la caja negra. El punto que conviene sefl.alar en nuestro análisis hasta ahora es realmente doble: (1) los equivalentes de Thévenin 8Th y RTh pueden determinarse empíricamente en el caso de una red estacionaria cualquiera respecto a dos terminales exteriores también cualesquiera y (2) una vez que se conocen estos equivalentes, normalmente disponemos ya de todo lo necesario para conocer el comportamiento de la red respecto a cualquier otra resistencia o FEM (o incluso otra caja negra) conectada a sus terminales externos.

Teoría de circuitos

1208

Ejemplos 32.8 Imaginemos que dentro de una caja negra se encuentra encerrado el circuito completo de la figura 32.25 con dos terminales externos conectados a los nudos del circuito como se indica en la figura 32.27. (a) Hallar la red equivalente de Thévenin. (b) Si R 1 = 2 íl, R 2 = 5 íl, R 3 = 10 íl, & 1 = 2 V y & 2 = 9 V, calcular los equivalentes de Thévenin y determinar los valores de una resistencia de carga RL perfectamente acoplada (que hace máxima la transferencia de potencia) conectada a los terminales exteriores y determinar la potencia que se le transfiere.

.,. V

r------

-------,

1 1

1

1 R

R_.

1

1

1

1 1 1

1 1 1

R,

e.

1

{; )

1

1

1

L_ ____ _

1 1 1

_ _ _ _ _ _ _ ..J1

"

Ca¡a . negra

Fig. 32.27

Solución (a) Si los terminales están en circuito abierto, entonces el potencial entre ellos es V como viene dado por la ecuación [32.56]; de aquí que

(; In

Si ahora imaginamos cortocircuitadas las FEM (de modo que & , = O = = & 2), entonces la caja negra se reduce a tres resistencias en paralelo entre los terminales exteriores y R n,

Puede comprobarse fácilmente que este resultado es el mismo que se obtendría si pusiésemos en corto los terminales exteriores de modo que V = O, midiésemos la corriente / 1 h entre ellos y calculásemos (para V = O, tenemos 13 = 0)

&n

1209

Teoría de circuitos

(b) Sustituyendo los valores dados en las ecuaciones obtenidas en la parte (a), tenemos

8n

3.5 V

!..25 Q

y

En el caso de la resistencia de carga perfectamente acoplada R1., tenemos R1. = RTh = 1,25

I

6Th 2RTh

n. La corriente en la resistencia de carga vale 1.4 A

y, por tanto, la pérdida de potencia en la misma es

P,

2.45 W

Otro concepto de circuito equivalente que tiene una particular utilidad en la electrónica de transistores es la del generador de corrientes, que es una fuente de corriente de una cantidad fija del mismo modo que la FEM es una fuente de diferencia de potencial fija en circuito abierto. El símbolo de un generador de corriente es una flecha dentro de una circunferencia (ver figura 32.28a), en el que la flecha indica el sentido de la corriente generada que se toma como fija. Todo generanor de corriente real tiene 1 1

1 1 1

+

f

t

I ' RNI R"'"' i

l! ______ L 1 1

_,

{a) Generador de corrien,e (equivalente Norton)

-=

,n ru

1 1-= L...-----(b) Equivalente de Thévenin del generador de corriente

Fig. 32.28 Generador de corriente en situación de circuito abierto

cierta pérdida de corriente y cierta resistencia interna, de modo que podemos representar el generador de corriente real mediante un generador de corriente ideal en paralelo con una resistencia (shunt) que drena parte de la corriente. En teoría, un generador real de corriente proporciona la totalidad de su corriente únicamente cuando es nula su resistencia de carga -es decir, cuando está cortocircuitado el generador. Esto es análogo a lo que ocurre cuando una FEM real suministra su potencial total a través de un circuito abierto. La figura 32.28a muestra una caja negra que contiene un generador de corriente en paralelo con su resistencia shunt. El generador de corriente debe obedecer a las leyes de Kirchhoff, de modo que puede representarse mediante un equivalente de Thévenin como se ve en la figura 32.28b. Si se cortocircuitan los terminales del generador de corriente, en-

1210

Teoría de circuitos tonces la corriente que pasa por ellos debe ser igual a la corriente en la red equivalente cortocircuitada:

8Th

[32.62]

Si ahora ponemos IN = O (es decir, si desconectamos el generador de corriente, dejando únicamente la resistencia shunt), entonces RN debe igualar la resistencia de la red equivalente cuando se cortocircuita 8 Th: RN RTh [32.63] Podríamos obtener también el mismo resultado observando que, cuando los terminales del generador están abiertos, entonces la caída de potencial entre ellos debe ser RNIN = 8Th = RThJN. Si invertimos el razonamiento, vemos que cualquier red puede representarse mediante un generador de corriente en paralelo con una resistencia shunt. Esto nos da el teorema de Norton:

Toda red lineal compuesta por resistencias y FEM puede sustituirse por un solo generador de corriente IN en paralelo con una sola resistencia RN entre dos puntos de la red que se seleccionan como terminales exteriores. Las ecuaciones [32.62] y [32.63] dan las relaciones apropiadas exisicntes entre los equivalentes de Norton y de Thévenin. El modo más sencillo de determinar los equivalentes de Norton directamente es (1) medir o calcular la corriente IN entre los terminales externos cuando se encuentran cortocircuitados por un hilo perfectamente conductor y (2) medir o calcular la resistencia equivalente RN entre los terminales cuando se hacen iguales a cero todos los generadores de corriente y todas las fuentes de FEM (es decir, cuando se desconectan los generadores de corriente y se cortocircuitan las FEM). O bien, en la segunda etapa, podíamos determinar la diferencia de potencial VTh = 8Th en los terminales cuando están en circuito abierto y luego utilizar las ecuaciones [32.62) y [32.63] para calcular

8Th

IN

[32.64]

Ambos teoremas pueden ser de gran utilidad para determinar el potencial existente entre dos puntos cualesquiera de un circuito determinado. Por ejemplo, para hallar el potencial V en la figura 32.25, imaginemos primeramente dos terminales exteriores conectados al nudo V y a tierra como en la figura 32.27 y luego pasaremos a encontrar la red equivalente de Norton. Si cortocircuitamos los terminales, esto es lo mismo que desconectar R 3 (porque no circulará ninguna corriente por ella frente a la preferencia de circular por el hilo que conecta V con tierra). De aquí que la corriente total será como se indica en la figura 32.29: [32.65]

Teoría de circuitos

1211

-

Is

Nudo V 1 1

R, 8,

T

f

Ri

1 1 1 1

Cortocircuito entre nudos

R2

C2

-!

T

Fig. 32.29 Cálculo del equivalente de Norton del generador de corriente IN cortocircuitando los nudos de fa red de fa figura 32.27

Entonces la resistencia equivalente RN es la resistencia de las tres resistencias Ri, R 2 y R 3 en paralelo como se determinó para RTh en la solución de la parte (a) del ejemplo 32.8. Por consiguiente,

V =

R 1R 2

+

R2R3

R 3 (R 2 8 1

+

+

R 1R 3

R2 8 1 + R 18 2 R1R2

X ------

R 1 8 2)

8Th

[32.66]

que es exactamente el mismo resultado que el que se obtuvo a partir del análisis del circuito de la ecuación [32.56].

Ejemplo 32.9 En el caso del puente de Wheatstone ligeramente no equilibrado que se indica en la figura 32.30a, hallar la corriente que pasa a través de un galvanómetro de 50 íl de resistencia conectado entre los terminales A y B.

(a)

150 Y

Fig. 32.30

Solución En primer lugar, imaginemos el circuito del puente encerrado en una caja negra de modo que únicamente muestre al exterior los termi-

Téoría de circuitos

1212

nales del galvanómetro (ver figura 32.20b). Las corrientes internas en las dos mallas son

l

150 1500

=

y

0.1 A

150 149

['

1.00671 A

de modo que la diferencia de potencial en circuito abierto entre los terminales es 1000/ - 99/'

0.336 V

Caja negra

50 íl (b)

500 íl

A continuación calculemos la resistencia equivalente de la caja entre los terminales del galvanómetro cuando se encuentra cortocircuitada la FEM. En este caso, la caja equivale a dos pares de resistencias en paralelo (ver figura 32.30c) con una resistencia equivalente Rrh

=

1

l

1/99

+

1/50

+

1/1000

+

1/500

367 íl

A

50 íl

99 H

(d)

(e)

0.336 V

soo n

1000 íl

B

1213

Teoría de circuitos

Si ahora calculamos la corriente que circula por el galvanómetro a partir del equivalente de Thévenin indicado en la figura 32.20d, se tiene 0.336 V 367 íl + 50 íl

806µA

Podríamos haber obtenido la misma respuesta (con un posible error de redondeo de ± 5 µA) utilizando o bien el equivalente de Norton (más trabajo) o un análisis normal de circuitos con mallas o nudos (mucho más trabajo).

PROBLEMAS 32.1

Fuerza electromotriz

32.1 (a) Calcular la FEM existente entre dos puntos del espacio vacío que se encuentran a distancias de 10 cm y 20 cm, respectivamente, de una partícula de carga 1 µC. (b) ¿Depende el valor de la FEM del trayecto concreto recorrido entre los puntos? (e) ¿Cuál es el valor de la FEM a lo largo de un trayecto cerrado que incluye los dos puntos? (d) ¿Cuál es la FEM existente entre estos dos puntos cuando se conectan mediante un hilo conductor? 32.2 Un hilo conductor se conecta a través de los terminales de un generador de FEM 8 = 50 V. (a) Hallar la FEM a lo largo del circuito completo. (b) ¿Cuánta energía por unidad de carga se disipa en el circuito? (e) Si la corriente en el circuito es de 0,5 A, ¿cuánta energía se disipa en el circuito en 1 minuto? (d) ¿Qué diferencia de potencial existe entre los terminales de este generador cuando está en circuito abierto? 32.3 Una pila de FEM /; = 1,06 V y resistencia interna r = 1,8 íl tiene una resistencia de R = 6,0 íl conectada entre sus terminales. (a) Hallar la diferencia de potencial existente entre los terminales de la pila. (b) Hallar la corriente del circuito. (e) Hallar la potencia disipada en la pila. 32.4 Una pila de FEM /; tiene una resistencia interna r. Cuando se conectan en serie dos resistencias de 1 íl y 2 íl entre los terminales de la pila, circula una corriente de 2 A. Cuando entre los terminales se conectan las dos resistencias en paralelo, circula a través de la pila una corriente de 6 A. Hallar 8 y r. 32.5 Dos FEM 8 1 y 8 2 con resistencias internas r 1 y r2 se encierran en cajas negras B 1 y B 2 , de forma que únicamente los terminales positivo y negativo de cada FEM están expuestos. La diferencia de potencial en circuito abierto entre los terminales de B 1 es 12 V y entre los terminales de B2 es 6 V. Cuando se conectan entre sí los terminales positivos de las dos

1214

7éoría de circuitos

cajas y se hace lo mismo con los terminales negativos, circula un~ corriente de 3 A entre las cajas. Cuando se cortocircuita B 2, circula entre sus terminales una corriente de 12 A. ¿Cuál es la corriente de cortocircuito de B 1? 32.6 Un terminal de la FEM 8 1 se conecta a un terminal de la FEM 8 2. (a) Hallar la diferencia de potencial en circuito abierto a través de los otros terminales si 8 1 impulsa la carga en el mismo sentido que 8 2 en esta red. (b) Hallar la diferencia de potencial en circuito abierto entre los terminales restantes si se oponen entre sí los campos no conservativos de las FEM. Demostrar los resultados considerando la integral 8 = = f E• ds.

32. 7 En la figura 32.4, suponer que el circuito externo a través de los terminales de la FEM & se compone de un condensador descargado C en serie con su resistencia R. Hallar la diferencia de potencial entre los terminales de la FEM (a) en el instante t = O cuando la FEM se conecta por primera vez al circuito externo; (b) en el instante t = oo. 32.2 Leyes de Kirchhoff 32.8 Dos pilas 8 1 y & 2 de resistencias internas r 1 y r 2 se conectan mediante dos hilos de resistencias R 1 y R 2 de tal manera que las FEM se oponen entre sí. (a) Si / es la corriente que pasa a través del circuito en el mismo sentido que el de 8 i, hallar/. (b) ¿Qué ocurre con la respuesta si

02 > 8,? 32. 9 Consideremos una rama simple entre los puntos a y b de un circuito, como se ve en la figura. Expresar la diferencia de potencial .6 V = = V0 - Vb en función de las FEM f; 1 y &2, de sus resistencias internas r 1 y r2 , de las resistencias exteriores R 1 y R 2 y de la corriente /. I --~i--

32.10 En la rama del circuito del problema 32.9 hallar la diferencia de potencial .6 V considerando la generación y pérdida de potencia en la rama. 32.11 En la red indicada, todas las resistencias tienen el mismo valor R. La corriente / entra en el nudo á y sale por el nudo e. Hallar las corrientes en las ramas ab, bd y be. (INDICACIÓN: Utilizar la simetría.)

--::--

/

1

e _ ¡_,¡,...

léoría de circuitos

1215

32. 12 Hallar la resistencia equivalente de la red del problema 32.11 entre los nudos a y e. (INDICACIÓN: R 0 = ~ V 0 ell.) 32.13 Tres pilas, cada una de ellas con una FEM 8 1 = 1,1 V y una resistencia interna , 1 = 1,4 íl se conectan en serie entre los terminales de una batería de resistencia desconocida r 2• La resistencia externa total de los conductores es 0,3 íl. La corriente observada en el circuito es 1, 17 A. Cuando se invierten las conexiones a los terminales de la batería, se observa que la corriente vale 0,26 A en sentido opuesto. (a) ¿Cuál es la FEM 8 2 de la batería? (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los terminales de la batería con las conexiones originales? (e) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre dichos terminales después de invertir las conexiones? 32.14 Se conectan en serie dos pilas idénticas cada una de ellas de FEM 8 y resistencia interna r y producen una corriente 11 en un hilo de resistencia R conectado a sus terminales. Cuando se conectan en paralelo, producen una corriente lz en el mismo hilo. Demostrar que 11 12

r 2r

+ 2R +R

32.15 Una batería se compone de dos células de FEM 8 1 y 8 2 y resistencias internas r 1 = 1 íl y r 2 = 2 íl, conectadas de modo que las FEM están en oposición. Cuando se conecta entre los terminales de la batería un hilo de 4 íl de resistencia, se encuentra que la diferencia de potencial entre los terminales de la primera célula es 1,5 V y que la que aparece entre los terminales de la segunda célula es 3 V. Hallar 8 1 y 8 2 • 32.16 Consideremos n pilas idénticas, cada una con resistencia interna r. Las pilas se conectan en serie o en paralelo, con una resistencia externa R entre los terminales de la batería resultante. Se observa en R una corriente IP cuando las pilas se conectan en paralelo y una corriente Is cuando se conectan en serie. Hallar la relación existente entre r y R (a) si Is > lp; (b) si IP > Is; si Ip = Is. 32.17 Dos resistencias R 1 y R 2 se conectan en paralelo entre sí. Toda corriente 10 que pasa a través de ellas la dividen de tal manera que la diferencia de potencial existente en los extremos de cada resistencia es la misma. (a) Demostrar que esta condición R 1J 1 = R 2 lz da la mínima disipación de energía total para cualquier posible reparto de 10 entre las dos resistencias. (b) ¿Puede realizarse una prueba similar para la distribución de potencial entre R 1 y R 2 cuando se conectan en serie para demostrar que debe pasar la misma cantidad de corriente a través de cada resistencia? 32.3 Análisis de circuitos 32.18 En el circuito indicado en la figura de la página siguiente, R 1 = = R 2 = 2 íl, R 3 = 3 íl, 8 1 = 8 V y 8 2 = 2 V. Hallar la corriente que circula por la resistencia R 3• Despreciar las resistencias internas y utilizar el método de análisis que se prefiera.

1216

Teoría de circuitos

R,

R,

~1 -

- ¡;,

32. 19 En el circuito indicado en la figura que sigue, & 1 = 20 V, & 2 = = 4 V y r 1 = r 2 = 1 íl. Hallar las diferencias de potencial Á VI y Á V 2 entre los terminales de las baterías. 1 íl

5 íl

líl

8,

32.20 En la red del problema 32.11, hallar los potenciales Vb y Vd si Ve = O y se conoce V0 • (INDICACIÓN: Usar la simetría y el análisis de ramas.)

En muchos casos, un pasillo se ilumina mediante una sola luz con un conmutador de dos posiciones en cada extremo del pasillo. Tanto si está la luz encendida como si está apagada, el cambio de posición de uno cualquiera de los conmutadores hace variar el estado de la luz. Dibujar un circuito que se comporte de este modo. 32.21

V

...L

- --

_._,~...---,

....

,,

32.22 En la red indicada en la figura, cada rama tiene una resistencia y puede incluir una FEM. (a) Hallar el número B de ecuaciones de ramas necesarias para resolver el sistema. (b) Hallar el número N - 1 de ecuaciones de nudos que se necesitan. (e) Hallar el número M de ecuaciones de mallas necesarias. 32.23 Se conectan entre los terminales de una batería de FEM & dos resistencias R 1 y R 2 • Cuando las resistencias se conectan en serie, la potencia Ps se disipa en la carga (despreciar la resistencia interna de la batería). Cuando las resistencias se conectan en paralelo, se disipa una potencia Pp en la carga. ¿Cuál es el valor mínimo posible de Pp/P5? 32.24 En el circuito del problema 32.18, (a) hallar las corrientes en las ramas / 1, Ji e h. (b) Hallar la cantidad de energía disipada en cada resistencia. (e) Hallar la cantidad de energía suministrada por cada FEM.

En el circuito indicado a la izquierda, cada resistencia tiene el mismo valor R. (a) Hallar la resistencia equivalente de la red de resistencias. (b) Utilizando el análisis de ramas, hallar las corrientes en las ramas / 1 , Ji e / 3 • (No considerar la resistencia interna.) 32.25

a

b

1217

Teoría de circuitos

32.26 En el circuito del problema 32.25, hallar las corrientes en las ramas 11, Ji e h utilizando el análisis de mallas. 32.27 En el circuito del problema 32.25, hallar las corrientes de las ramas 11, Ji eh mediante análisis de nudos. 32.28 Una línea de un ferrocarril eléctrico tiene 10 millas de longitud y posee una dirección este-oeste. El motor eléctrico de' una máquina se conecta entre el hilo aéreo y un carril conductor. El hilo aéreo tiene una resistencia lineal de 0,07 íl/mi y el carril de retorno una resistencia lineal de 0,005 íl/mi. En el extremo oeste de la línea se conecta una FEM de 500 V con una resistencia interna de 0,02 íl entre el hilo y el carril. En el extremo este se conecta asimismo una FEM de 490 V con una resistencia interna de 0,03 íl. (a) ¿En qué punto de la línea tendrá un mínimo de diferencia de potencial aplicada el motor de una máquina por el que debe circular una corriente de 100 A? (b) ¿Cuál es esta diferencia de potencial mínima? 32.29 En el circuito del problema 32.18, si 8 1 > 8 2 , ¿cuál debe ser el cociente 8 2/8 1 si no circula corriente alguna por 8 2? 32.4

Mediciones

32.30 En la figura 32.17b, suponer que el amperímetro tiene una resistencia equivalente RA <1¡ R + r. Hallar la variación t:,.J de la corriente debida a la inclusión del amperímetro en el circuito.

En la figura 32.18b, (a) hallar la disminución relativa !:,.V¡IV1 de V 1 debida a la conexión del voltímetro a la resistencia de carga R. (b) Si R 0 <1¡ R <1¡ Rs y r <1¡ R, demostrar que!:,,. V 1/V 1 r/R 5 • 32.31

=

32.32 En el circuito indicado en la figura, la lectura del amperímetro es 0,4 A y la del voltímetro es 50 V. La resistencia equivalente del voltímetro es 300 íl. (a) Hallar R. (b) Si la resistencia equivalente de la rama del circuito que contiene el amperímetro es 2, 1 íl, hallar la FEM.

32.33

La bobina de un galvanómetro tiene una resistencia R 0

=

100 íl

y da una lectura a fondo de escala cuando circula por ella una corriente ImáY. = 1 mA. (a) Si ha de utilizarse este galvanómetro en un amperímetro

para el que queremos que la lectura a fondo de escala corresponda a 10 mA, ¿qué resistencia en shunt Rp debe colocarse en paralelo con el galvanómetro? (b) Si este galvanómetro ha de utilizarse en un voltímetro para el que deseamos una lectura a fondo de escala de 1 V, ¿qué resistencia Rs debe colocarse en serie con el mismo? (e) Si este galvanómetro ha de utilizarse como ohmímetro con una pila de '0 = 2 V conectada en serie con él, ¿qué resistencia Rs debe conectarse en serie con el galvanómetro y la pila con objeto de obtener una lectura en el punto medio de la escala correspondiente a 1 000 íl? 32.34 Un galvanómetro con una corriente a fondo de escala de ImáY. = 1 mA y una resistencia R O = 20 íl se conecta en serie con tres resistencias

como se ve en la figura para utilizarlo como voltímetro con tres escalas.

R

Teoría de circuitos

1218

. El instrumento se emplea para medir la diferencia de potencial entre el terminal marcado con «-» y cualquiera de los otros tres terminales, en donde se ha indicado la lectura a fondo de escala para los tres terminales. Hallar los valores de Ri, R 2 y R 3 que son necesarios para conseguir estas lecturas a fondo de escala.

sv

25 V

Un determinado amperímetro de resistencia RA = 1,5 íl se desvía hasta la división 54 de la escala cuando se conecta a los terminales de una batería. Cuando una resistencia adicional de 2 íl se pone en serie con el amperímetro y los terminales de la batería, se observa que la desviación sólo llega hasta la división 42. Hallar la resistencia interna de la batería. 32.35

32.36 Un amperímetro de resistencia RA = 20 íl muestra una desviación de 5 divisiones de la escala cuando se conecta a los terminales de una batería B 1 cuya FEM es 8 1 = 1,08 V y r 1 = 2 íl. Cuando el amperímetro se conecta a los terminales de otra batería B 2 , la desviación corresponde a 8 divisiones. Cuando se pone en paralelo con el amperímetro conectado a los terminales de B 2 un hilo de 20 íl de resistencia, la desviación es de sólo 7 ,5 divisiones. Hallar la FEM _8 2 y la resistencia interna r2 de la batería B 2 • 32.37 (a) Un milivoltímetro tiene una lectura a fondo de escala de 1 mV y una resistencia equivalente de 20 íl. ¿Qué resistencia debe conectarse en serie con este instrumento de medida si ha de utilizarse como un voltímetro de lectura a fondo de escala 100 mV? (b) Un miliamperímetro tiene una lectura a fondo de escala de O, 1 A y una resistencia equivalente de 5 íl. ¿Qué resistencia debe conectarse en paralelo con el mismo si ha de utilizarse como amperímetro con una lectura a fondo de escala de 10 A?

32.38 El conmutador S del circuito de la figura conecta un terminal de la línea al punto a, b, e o d. ¿Cuál debe ser la relación existente entre las resistencias ab, be y cd si la razón entre las desviaciones del galvanóme,-------1 G - - - - - - ,

b

a

e d

1219

Teoría de circuitos

tro para las conexiones en b, e y d deben ser 1 : 10 : 100 para una corriente constante por la línea?

32.39 En el circuito de la figura, cada pila tiene una FEM 0 = 2, 1 V y resistencia interna r = 2 íl. Si R = 70 íl y la resistencia equivalente del voltímetro es 600 íl, ¿cuál es la lectura del voltímetro? 32.40 Una línea de transmisión se extiende en una longitud de 5 millas, como se ve en la figura desde AA ' hasta BB', con una resistencia uniforme lineal de Re(íl/mi). Una parte de la línea está conectada a tierra a una distanciad de A, y B está conectado a B' .,La fuente de FEM 0, las resistencias R y R' y el galvanómetro G están conectados como indica la figura. El galvanómetro marca cero cuando R = 87 íl y R' = 128 íl. ¿Cuál es la distanciad? ------- d-------i A

B

,Q_ _l. i

l

A ~ - -5 mi---------< '

32.41 Cuando el puente de Wheatstone de la figura 32.22 se encuentra equilibrado, no circula corriente por el galvanómetro. (a) Escribir las ecuaciones de las ramas para las corrientes / 1 e / 3 que se indican en la figura para el puente equilibrado. Suponer que Vb = O y que se corwce Va- (b) Se desequilibra entonces el puente añadiendo una resistencia muy pequeña r 1 a R 1• Esto produce una pequeña variación f:i./ 1 en la corriente / 1 que recorre R 1 y una pequeña variación f:i.lJ en la corriente fJ que recorre R 3 , suponiendo que Va no se altera y que el nudo b sigue conectado a tierra. Además, empieza a circular ahora una pequeña corriente fa por el galvanómetro. Escribir las cinco ecuaciones de las ramas correspondientes al puente desequilibrado, suponiendo que /G fluye desde d hacia c. (e) Utilizando los resultados de la parte (a) reducir las cinco ecuaciones de la parte (b) a tres ecuaciones en f:i./ 1, f:i.lJ e fa. (d) Suponer que r 1 es mucho menor que cualquiera de las demás resistencias y que RG es mucho mayor que las demás resistencias de las ramas del puente. Hallar la sensibilidad del puente. Se define la sensibilidad como el cociente entre la disminución relativa de la diferencia de potencial en el puente (Á V/Va = RGfalVa, en donde Á Va es la variación de Vª debida a la adición de r 1) y la variación relativa de la resistencia (r 1/ R 1). (e) Demostrar que la sensibilidad del puente es máxima cuando R 1 = R 2 y R 3 = R 4 • 32.5

Ecuaciones algebraicas lineales simultáneas

*32.42 Idear un programa para el ordenador de que se disponga que permita el cálculo del determinante de la matriz 3 x 3 A = ((au)) y utilizarlo para resolver el sistema de ecuaciones de mallas del ejemplo 32.6b.

R

1220

Teoría de circuitos

*32.43 Utilizar el programa del problema 32.42 para resolver el sistema de ecuaciones de nudos del ejemplo 32.6c. *32.44 Manualmente (utilizando las reglas del álgebra de matrices) o mediante un programa de ordenador, hallar el valor del determinante del sistema de ecuaciones de las ramas del ejemplo 32.6a. 32.45 El método de Gauss-Seidel es un método iterativo para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas. (El cálculo por relajación de la sección 28.8 es realmente un caso especial de este método). Se empieza con un valor inicial de tanteo de las incógnitas X; = x\0>. Luego se utilizan las ecuaciones originales E 1 ªu x1 = b; para calcular las primeras aproximaciones, utilizando cada nuevo valor de xp> en lugar de xf> tan pronto como haya sido calculado: b¡

x(I>

-

ll12X~O)

-

ll13X~O)

-

ll1nX~O)

-

-

a2.x~º>

a.2x~1> -

-

1 ª•,n-1 x~ 2,

1

ª11

b2

x~1¡

-

ª21

xP>

-

ll23X~O) ª22

y así hasta b. -

xº> n

ª•1

x\1> -

ª··

Este proceso se repite tantas veces como sea preciso hasta que se reduzcan las diferencias entre aproximaciones sucesivas (x['< + 1> - xf'<J¡ por debajo de un cierto valor predeterminado aceptable. La velocidad con que se alcanza la convergencia depende del acierto de la hipótesis inicial. En general, la convergencia es suficientemente satisfactoria si únicamente se están ajustando algunos coeficientes en un sistema previamente resuelto y puede aumentarse esta rapidez si se escoge el orden de filas de modo que se obtengan los máximos valores de la diagonal a¡¡. La aparición de ceros (excepto en las diagonales) también acelera la convergencia. Considérese el siguiente sistema de tres ecuaciones: 4x -X

+

-X -

y -

7y 4y

+

z

4

4z

2

9z

-2

Para empezar, empléese x = y = z = O. Realizar tres iteraciones sucesivas para hallar las soluciones aproximadas del sistema. Dar los resultados de cada iteración y compararlos con los resultados exactos (este problema se puede hacer fácilmente con una calculadora manual). 32.6 Circuitos equivalentes 32.46 Hallar los equivalentes de Thévenin para la red indicada en la figura.

1221

Teoría de circuitos 3 !1

2 !1

+ 10 V

5 !1

32.47 Hallar los equivalentes de Norton de la red del problema 32.46. 32.48

Hallar los equivalentes de Thévenin para la red de la figura.

+

R,

32.49 (a) Tomando a y b como los terminales exteriores, hallar los equivalentes de Norton y de Thévenin del circuito del problema 32.25. (b) Utilizar los métodos de circuitos equivalentes para hallar 13• 32.50 Se sustituye la resistencia de 99 íl del puente de Wheatstone de la figura 32.30a por una resistencia variable R = 100 íl + '1R.. Utilizar los métodos de circuitos equivalentes para determinar la relación existente entre la corriente del galvanómetro fa y t:i.R. Comprobar el resultado obtenido con el calculado en el texto. Soluciones 32 • 1 (a) 8 = 45 kV; (b) no; (e) 0 = O; (d) 0 = o 32•2 (a) 0 = 50 V; (b) E/q = 50 J/C = 50 V; (e) t:i.W = 1.5 kJ; (d) t:i.V = 50 V 32•3 (a)l::i.V=0.815V; (b)/=0.136A; (e) P = 33.2 mW 32 • 4 8 = 7 V, r = 0.5 íl 32•5 /=8A 32•7 (a) l::i.V= V+ - V_= R8/(R + r); (b)t:i.V=0 32•8 (a) I = (0 1 - 0 2)/(R 1 + R2 +

r1

+ r 2);

(b) la corriente tiene sentido opuesto al supuesto

32•9 V -Vb= (R 1 + R 2 + r 1 + r 2) / - 0 1 + 0 2 32•11 I b = 1/2, lbd = 1/8, lb,= 3//8 32 • 12 R 0 = 7R/8 32•13 (a) 0 2 = 5.19V; (b) l::i.V= 1.97V; (e) t:i.V = 4.47 V 32• 15 0 1 = 1.125 V, 0 2 = 3.75 V 32•16 (a)rR; (c)r=R 32 • 18 / 3 = 1.25 A (mediante análisis shunt) 32 • 19 t:i.V1 = 13.8 V, l::i.V2 = 5.3 V 32•20 Vi= 3V./7, Vd= 2V /7 0

0

0

1222

Teoría de circuitos

32•21

Luz

C--1-· Conmutador

Conmutador

32•22 (a) B = 8; (b) N- l = 3; (e) M = 5 32•23 PP/ P, = 4 cuando R 1 = R 2 32 • 24 (a) / 1 = 17 /8 A, / 2 = 7 /8 A (en sentido hacia 0 2), / 3 = 10/8 A; (b) P 1 = 9.03 W, P2 = 1.53 W, P 3 = 4.69 W; (e) P 1 = 17 W, P 2 = -1,75 W. (El signo menos indica que se disipa potencia en 0 2 • Explicar el equilibrio.) 32•25 (a) R 0 = 8R/15; (b) / 1 = 3V/8R, / 2 = V/2R, 13 = V/4R 32 • 28 (a) A 4.27 millas del extremo este (b) 6V = 474.7 V 32•29 0 2/0 1 = R3/(R1 + R3) 32•30 · M = RAI(R + r) 32•31 (a) 6V1/V 1 = r(R' - r)/R(R' + r), en donde R' = R(R, + RG)l(R + Rs + Ra) 32• 32 (a) R = 214 Q; (b) 0 = 50.84 V .l.2 • .33 (a) RP = 11.l Q; (b) R., = 900 Q; (e) R, = 2900 n 32 • 34 R 1 = 4.98 kQ, R 2 = 20 kQ, R 3 = 225 kQ

32•35 r = 5.5 Q 32•36 0 2 = 1.68V, r 2 = 1.43Q 32 • 37 (a) R, = 1.98 kQ; (b) RP = 50.5 mn 32 • 38 Rab : Rbc : Red = 1 : 9 : 90 32 • 39 Lectura = 4,01 V 32•40 d = 4.05 mi 32 • 41 (a) V = (R 1 + R 2) / 1 = (Ri + R4)/i; (e) (R 1 + r 1 + R 2)6/ 1 + R 2h = - r 1 / 1, (R¡ + R4)6/3 = R4/G, -R¡.ll¡ + R46/3 = (Re + R2 + R4)/G; (d) (6V0 /V0 )/(r1/R 1) = R 1 R 2 /(R 1 + R 2 ) 2 = R3R4/(R3 + R4) 2 32,.44 IAI = -41/2 32•45 0

z

X

k = 1 k = 2 k = 3

exacto

1.00 1.27 1.17 1.17

0.429 0.513 0.537 0.537

0.0794 0.147 0.146 0.146

32 • 46 0Th = 6.25 v, RTh = 3.88 n 32•47 /N=l.61A, RN=3.88Q 32•48 0Th = 8Rif(R 1 + R 2), RTh = R 1 (R 1 + 2R2 )/(R1 + R 2 ) 32 • 49 (a) 0Th = V¡/2, IN = V 1/2R, RTh = RN = R 32•50 IG = -3.lR/(3750 + 2MR)

CAPÍTULO

33

lectroquímica, termoelectricida y conducción no-óhmica ... Como estaba en conexión con el punto importante de la acción electroquímica constante sobre el agua, irlvestigué a continuación los efectos producidos por una corriente eléctrica que pasa a través de soluciones acuosas de ácidos, sales y compuestos, todos ellos notablemente diferentes entre sí en cuanto a su naturaleza y me encontré con que se obtenían resultados asombrosamente uniformes ... Cuando se encuentra sometida a la influencia de la corriente eléctrica, una cierta cantidad de agua se descompone en forma exactamente proporcional a la cantidad de electricidad que le atraviesa, con total independencia de la gran cantidad de variaciones en las condiciones y circunstancias en las que se pudo encontrar en cada momento; y además, ... los productos de la descomposición pudieron recogerse con tal exactitud que han proporcionado una medida excelente y de gran valor de la electricidad que intervino en su evolución. MICHAEL FARADAY, «Electrical decomposition» en Philosophical Transactions, 1834

Los fenómenos de la electricidad están íntimamente asociados con los detalles más íntimos de la estructura de la materia. Muchas de las aplicaciones que caracterizan nuestra avanzada civilización tecnológica dependen de la comprensión de las complejas relaciones eléctricas de la materia. En este capítulo examinaremos estas relaciones con especial conexión con la generación de fuerzas electromotrices y con los fenómenos de la conduc1223

1224

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

ción no óhmica. Sin embargo, continuaremos restringiéndonos a los casos estacionarios. Empezaremos nuestro estudio con un análisis del funcionamiento de las pilas químicas como fuentes de FEM. Luego pasaremos a estudiar las velocidades diferenciales de difusión electrónica producidas por las diferencias de temperaturas dentro de un metal determinado o en una unión o soldadura de metales diferentes y de las FEM térmicas así producidas. Finalmente, consideraremos los dispositivos no lineales, en los cuales la conducción no obedece a la ley de Ohm. Las leyes de Kirchhoff pueden aplicarse a circuitos que contienen estos dispositivos no lineales, aunque entonces la expresión de las ecuaciones resultantes es no lineal y requiere la utilización de métodos gráficos o numéricos para su resolución.

33.1 Electroquímica En toda reacción química que evoluciona hasta completarse (como opuesta a aquellas en las que las sustancias reaccionantes mantienen un equilibrio dinámico), interviene una variación neta de las energías potenciales internas debidas a las fuerzas que existen dentro y entre los átomos componentes de las moléculas que reaccionan. Normalmente este cambio es de disminución hacia un potencial más estable (recuérdese que los potenciales estables son los mínimos). En la mayoría de los casos, la energía liberada en una de estas reacciones exotérmicas adquiere la forma de calor desprendido. También son posibles las reacciones endotérmicas (en las que se absorbe energía procedente de alguna fuente externa), aunque la probabilidad de que se produzcan espontáneamente es mucho menor. La energía química puede convertirse directamente en energía eléctrica durante las reacciones y viceversa. El estudio de los fenómenos en los que intervienen estas conversiones de formas de energía recibe el nombre de electroquímica. Aquí consideraremos la electroquímica de las disoluciones electrolíticas -disoluciones acuosas de ácidos, bases y sales. La sustancia disuelta es el electrolito, pero este término se utiliza frecuentemente para referirse también a la disolución como un todo. La conducción electrolítica es aproximadamente óhmica, pero la molécula del electrolito se rompe en iones y los portadores de carga son los iones de la disolución.* La corriente electrolítica total se compone de los movimientos combinados de los iones positivos que «descienden» por las líneas del campo y de los iones negativos que «ascienden» por las líneas citadas. La conductividad depende de las concentraciones de los iones por unidad de volumen de la disolución. Sin embargo, existe una tendencia por la cual los iones se mueven (como las moléculas gaseosas) más rápidamente al aumentar la temperatura en contraste con el efecto de la temperatura sobre la conductividad electrónica de los metales. * Consideramos solamente electrolitos fuertes, en los que la fracción de moléculas disociadas en iones en la disolución es ex == 1. Realmente, ex < 1 en el caso de muchos electrolitos y ex ~ 1 cuando se trata de electrolitos débiles como el ácido acético.

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1225

Las conductividades de los electrolitos son del orden de a ""' 1 a 100 mho/m. Aunque estas conductividades son aproximadamente 106 veces menores que las de los metales, las disoluciones electrolíticas se consideran como buenos conductores. Las conductividades de otros líquidos pueden dividirse en dos categorías: (1) a ""' 10-3 a 10-4 mho/m en el caso de los líquidos puros como el alcohol y el agua y para ciertas disoluciones de moléculas orgánicas; y (2) a ""' 10-9 a 10- 11 mho/m para aislantes tales como el aceite. En 1807 Sir Humphrey Davy hizo pasar una corriente a través de una disolución de potasa (hasta entonces considerada como un elemento) y produjo su descomposición, aislando así por primera vez el elemento potasio y mostrando que la potasa es realmente el hidróxido de potasio (KOH). En 1830 Michael Faraday, el alumno más distinguido de Davy, empezó a estudiar la conducción electrolítica, que culminó en las leyes de Faraday de la electrolisis:

2

La masa de sustancia liberada en un electrodo por el paso de una corriente eléctrica es proporcional a la cantidad de carga que ha pasado. La masa de sustancia liberada por una cantidad determinada de carga es proporcional al peso equivalente de la sustancia.

Recuérdese (sección 22.1) que el peso equivalente de una sustancia en combinación química es precisamente su peso atómico M 0 dividido por un cierto número entero pequeño. Ahora sabemos que este entero es la valencia u de la sustancia -el número de electrones que cada átomo de la sustancia transfiere (adquiere o pierde) en la combinación química. Tomadas en conjunto, las leyes de Faraday afirman que, en el caso de una sustancia de peso equivalente Mol u, la masa m liberada por una carga Q es m

[33.1]

La constante F que aparece en forma inversa se denomina constante de Faraday. Como m/M0 = n, número de kmoles liberados, podemos escribir la ecuación [33.1] como Q

nFu

[33.2]

.Y de aquí Q0, la carga necesaria para liberar 1 kmol, es

Fu

[33.3]

Así pues, F debe ser igual a la cantidad de la carga de 1 kmol de electrones: F

=

~e

(96.4846 ± 0.0003) X 106 C/kmoles

[33.4]

Las tres constantes de la ecuación [33.4] pueden medirse independientemente y los resultados de estas medidas están de acuerdo con la ecuación [33.4], lo que constituye una confirmación muy significativa de fa atomicidad de la materia y de la naturaleza eléctrica del enlace químico.

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1226

Obsérvese también que la ecuación [33.3] proporciona un método directo para medir la valencia. Aunque F se dedujo como una constante de proporcionalidad, es evidente a partir de la ecuación [33.4] que puede considerarse como una unidad de carga por unidad de materia. Esta unidad, 96 500 kC/kmol, denominado Jaraday no deberá confundirse con la unidad de capacidad, el faradio (F). Las leyes de Faraday, con su dependencia de números enteros pequeños, proporcionaron la primera prueba clara de que la electricidad (como la materia) puede estar compuesta de ciertos números de cargas eléctricas elementales de tamaño definido. El hecho de que las valencias empíricamente determinadas u = QoF fuesen enteras apuntaba hacia la cuantificación de la carga eléctrica en unidades de e = 1,6 x 10- 19 C, aunque esta interpretación no llegó a alcanzarse hasta este siglo. En una reacción electrolítica típica, un electrolito XY (cuando se disuelve o se funde) se separa en iones positivos xu+ y en iones negativos yu- que son libres de moverse en un campo eléctrico aplicado (ver figura 33.1). Los iones positivos se desplazan hacia el electrodo negativo (cáto-

-~t'

, - - -...... - 1:-+_ _ _

Fig. 33. I

Electrolisis

_do) y los iones negativos hacia el electrodo positivo (ánodo). En el cátodo, los iones positivos se neutralizan en la semirreacción catódica (en el cátodo)

[33.5]

en la cual u electrones e- se transfieren del cátodo a cada ion positivo. Análogamente, cada ion negativo cede u electrones al ánodo en la semirreacción anódica: y u-

........

y

+

ue

(en el ánodo)

[33.6]

Si la batería puede mantener la corriente / y si los productos de la descomposición pueden recogerse inmediatamente de modo que no bloqueen la continuidad de la reacción, entonces este procedimiento puede utilizarse (y se utiliza) como método práctico (denominando electrolisis) para la separación de los electrolitos en sus componentes relativamente puros.

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1227

Ejemplo 33.J Si a través de una disolución de cJoruro sódico (NaCl, sal común) pasa O, 1 A durante 1 min, ¿cuántas moléculas de gas cloro (Q:z) se liberarán? La valencia del sodio es u = 1. Solución La carga transferida es Q = (0,1 C/s) (60 s) = 6 C. La valencia de un electrón es 1, de modo que según la ecuación [33.2], el número de electrones transferidos es n

'

Q Fu

=

-

=

6 F

6.22 X 10--s kmoles

-

Esta cantidad es suficiente para neutralizar ne kmoles de iones a-, produciéndose ne/2 kmoles de gas C!i (porque dos iones c1- pierden dos electrones y se combinan para formar una molécula de gas Cli.). Asi pues, n, 3.11 X 10-s kmoles nc11 = 2

No,

=

NAnc1 1

1.87 X l0 19 moléculas Cl 2

Si a partir de la disolución ha de liberarse un ion, su neutralidad debe restaurarse mediante transferencia de electrones. Esto sólo puede producirse si una sustancia semejante pero más activa ocupa su lugar en la disolución. Por ejemplo, cuando se sumerge una placa de zinc (Zn) en una disolución de sulfato de cobre (CuS0 4) que contiene iones sulfato (SO¡-) e iones cobre (Cu 2 +), se transfieren directamente electrones del zinc al cobre: Zn

+

Cu 2 +

__,

zn2+

+

[33. 7]

Cu

Esta reacción continúa hasta que la placa de zinc resulta cubierta completamente por una delgada capa de cobre metálico. Este procedimiento se denomina recubrimiento por depósito electroqufmico. Para seguir el proceso, debemos suministrar (1) una fuente de iones de cobre para reemplazar a los iones depositados sobre el zinc y (2) una FEM para mantener el zinc a un potencial negativo de modo que siga atrayendo a los iones cobre hacia el zinc. El aparato de electrodeposición que se muestra en la figura 33.2 cumple ambos requisitos. Las semirreacciones en los electrodos producidas en esta célula son

+ 2e- __, + so~- -

Cu 2+

Cu

Cu

2e-

+

CuS0 4

(en el cátodo)

[33.8]

(en el ánodo)

[33.9]

Obsérvese que el metal del cátodo no interviene en la semirreacción del cátodo. La naturaleza del cátodo influye sobre la naturaleza y adherencia de los depósitos de cobre, pero puede utilizarse como cátodo casi cual-

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1228

7\I

..-------11~+____

-.--!

Fig. 33.2 Recubrimiento elec1rolí1ico o por depósito electro/(tico de un mela/ anódico (cobre en es1e caso) sobre un metal ca1ódico diferente

Cátodo

quier clase de conductor. El efecto neto de la corriente que atraviesa la célula consiste en transferir cobre metálico desde el ánodo al cátodo. Los portadores de corriente en la disolución son los iones de cobre (Cu 2 +) que se mueven en el sentido de la corriente convencional /. El recubrimiento de cobre requiere 2 faradays de carga por mol-kilogramo de Cu. La electrodeposición puede verificarse a tensiones o potenciales muy pequeños; la tensión seleccionada depende en la práctica del tamaño del aparato y de la duración del proceso. Sin embargo, la electrolisis de un determinado compuesto se produce únicamente cuando la FEM proporciona una energía potencial mínima, porque se necesita energía para romper los enlaces químicos y descomponer las moléculas. Cuando se combinan el cloro y el sodio para formar sal ordinaria, se libera energía en forma de calor. Este calor de formación vale 98 200 kcal/mol y, como mínimo, hay que suministrar esta cantidad de energía para descomponer el NaCI. Así, pues, en el caso de una sola molécula d'lJ mol

1 (98 200 kcal)(4190 J/kcal) - NAe

4,3 eV

[33.10)

Esta energía corresponde al paso de un electrón a todo lo largo del circuito de la figura 33 .1, de modo que vemos que la batería debe suministrar por lo menos una diferencia de potencial de 4,3 V a la célula electrolítica. (A partir de este cálculo se comprende la costumbre de expresar en electrón-voltios las energías de los enlaces químicos.) La FEM real requerida es un poco mayor que este valor mínimo debido a la resistencia del circuito y a las resistencias internas al movimiento de los iones dentro de la célula. La conductividad eléctrica de una disolución electrolítica puede expresarse en función de las movilidades iónicas µ, = u/E, en donde u es la velocidad de desplazamiento del ion en el campo de valor E. Si la carga sobre cada ion es q = ± ue y el número de moléculas ionizadas por unidad de volumen es n, entonces J

n(ue)(v+

+

v_)

nue(µ,+

+

µ_)E

[33.11)

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1229

de modo que, (l

nue(µ,+

+

µ,_)

[33.12]

A partir del análisis que condujo a la ecuación [32.14] es de esperar que µ, - uet,/m, en donde el tiempo de relajación t, depende principalmente de la densidad del solvente, aunque disminuirá ligeramente cuando aumente la concentración de los iones del electrolito y las colisiones entre ellos, por tanto, hagan crecer la resistencia al movimiento a lo largo de las líneas de campo. De aquí que las movilidades sean relativamente constantes y, de esta forma, constituyen una medida útil de la conductividad. La densidad del electrolito es p = nMolNA y la concentración c del mismo nos da el número de pesos equivalentes M = Me/u por unidad de volumen. De aquí que e

~ (~)

.P_

M

n

=

u-

~

[33.13]

Así puede definirse, la conductividad equivalente (o conductancia equivalente) r como

r

(l

[33.14]

c

El valor de r debe ser aproximadamente constante (disminuyendo lentamente al aumentar c), mientras que la conductividad será casi proporcional a la concentración.

33.2 FEM química En la sección precedente, vimos cómo puede transformarse una fuente externa de energía eléctrica en energía química dando origen a ciertos efectos químicos como la electrolisis y la electrodeposición. En la pila voltaica la situación es la contraria: los efectos químicos producen una deficiencia de electrones en uno de los electrodos y un exceso de electrones en el otro. Si estos electrones se acumulan en los electrodos, este desequilibrio crea un campo electrostático E' que finalmente resulta suficientemente grande como para contrarrestar al campo electromotriz efectivo E" debido a las fuerzas químicas, y la reacción cesa. Sin embargo, si los electrodos se conectan mediante un hilo exterior, entonces los electr-ones pueden fluir de modo continuo entre los electrodos a través del circuito exterior, de modo que E' < E" y la reacción química se convierte entonces en una fuente continua de FEM. Por ejemplo, consideremos la reacción de electrodeposición de la ecuación [33.7]. Supongamos que podemos disponer esta reacción en dos etapas, o semirreacciones, Cu2+

+

Zn

_,

zn2+

2e-

_,

Cu

+

2e-

[33.15] [33 .16]

1230

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

Si entonces conectamos los electrodos mediante un hilo externo para proporcionar el camino más fácil a los electrones liberados por el zinc, tendríamos una pila voltaica. Esta puede conseguirse, como se ve en la figura 33.3, utilizando una barrera porosa (por ejemplo, una pared o vaso de loza) para separar la disolución de sulfato de zinc (ZnSO 4) de la disolución de sulfato de cobre (CuSO 4), pero que permite la difusión de los iones a su través. Puede verse a partir del sentido del flujo de corriente que el cátodo de zinc es el terminal negativo de la FEM voltaica. El sentido de I es opuesto al de la corriente de electrodeposición de la figura 33.2.

i - - - - - V "' 1.1 V- - - - - t

Cu

Fig. 33.3 Pila Daniel/ descargándose a través de una resistencia muy elevada R. Barrera porosa

Cuando la reacción prosigue, el zinc pasa a la disolución y los iones de zinc se ven empujados por el campo E = E ' + E" hacia el ánodo de cobre, junto con los iones de cobre que se reducen a la forma metálica en el ánodo. (Cualquier zinc metálico presente en el ánodo se vería inmediatamente ionizado por un ion de cobre en una reacción directa de deposición.) Los iones de sulfato emigran hacia el cátodo de zinc. Si la barrera porosa no estuviera presente, los iones de cobre encontrarían más rentable obtener directamente los electrones en el electrodo de zinc y, así, no circularía ninguna corriente externa. Una pila de este tipo se denomina pila de Danie/1. Es posible construir una pila semejante en la que se consiga la separación de las disoluciones mediante efectos gravitatorios. En el fondo de la pila se coloca el cátodo y la disolución más densa de ZnSO 4, mientras que el ánodo y la disolución menos densa de CuSO 4 se sitúa en su parte superior. Este tipo de pila se denomina de gravedad. Las pilas Daniell y de gravedad han sido algunas de las pilas más antiguas y de más amplio empleo como fuente práctica de FEM. La diferencia de potencial desarrollada por una pila voltaica es hasta cierto punto dependiente de las concentraciones de los reactivos y de su temperatura, porque estos factores determinan la rapidez de la reacción química. Sin embargo, la diferencia de potencial no depende en absoluto del tamaño de la pila ni de las dimensiones de los electrodos, ni de la

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1231

Tabla 33.1 Serie electromotriz de potenciales de oxidación de elementos seleccionados (en valor relativo al H 2 como cero, a 25 ºC) Elemento Li

Li

K

K

u+ + 1eK+ + le-

Ni

+2.924 V

Sn

Sn

+ 2eNa+ + leMg 2+ + 2e-

+2.76 V

Pb

Pb

+2.711 V

H2

H2

+2.375 V

Cu

Cu

+ 1.706 V

Hg

2Hg

+1.029 V

Ag

Ag

Ca 2+

Na

Na

Mg

Mg

Al

Al

Mn

Mn

Al3+ + 3eMn 2+ + 2e-

Zn

Zn

Zn 2+

s

s2-

Fe

----+

__,

s

+ 2e-

+ 2e-

Fez+ + 2eCd 2+ + 2e-

Fe Cd

Semirreacción

Ni

Ca

----+

Elemento

+3.045 V

Ca

Cd

Potencial

Semirreacción

+0.763 V

Hg

Hg

+0.508 V

Cl 2

2c1-

+0.409 V

Au

+0.403 V

F2

----+

----+

__,

Ni2+ + 2eSn 2+ + 2ePb2+ + 2e-

+0.230 V

2H+ + 2eCu 2+ + 2eHg~+ + 2e-

0.000 V

FuENTE:

__,

2Hg +

so~-

2H+

--->

zn2+

+

+

1.52 eV

-0.796 V

-0.852 V

Cl 2 + 2e-

-1.358 V

Au

AuH + 3e-

-1.42 V

2F-

__,

F 2 + 2e-

-2.87 V

potencial 0.615 V

H 2 (gas)

-0.340 V

__,

cantidad de disolución presente; estos factores determinan únicamente la cantidad máxima de corriente que la pila puede suministrar a su diferencia de potencial característica. Volvamos ahora al problema de determinar la diferencia de potencial en circuito abierto a través de una pila voltaica. Si colocamos una placa de zinc en agua, obtenemos la siguiente reacción entre el zinc y los iones de hidrógeno que se encuentran presentes en el agua:

+

+0.126 V

-0.800 V

Handbook of Chemistry and Physics, 57.ª edición (Cleveland: CRC press, 1976).

Zn

+0.136 V

Ag+ + leHg 2+ + 2e-

re"'"ción en el electrodo positivo de la pila de Weston: Hg 2SO 4 + 2e-

Potencial

[33.17]

Estos 1,52 eV representan la energía liberada cuando se transfieren dos electrones desde el zinc al gas hidrógeno, de modo que cada electrón del zinc cae espontáneamente a través de una diferencia de potencial de 1,52/2 = 0,76 V en la reacción. Asignemos arbitrariamente un potencial cero a la molécula de hidrógeno diatómica; entonces podemos asignar un potencial de 0,76 V al metal zinc. De este modo, se puede asignar un potencial a cada elemento, relativo al hidrógeno diatómico. La tabla 33.1 relaciona estos potenciales de oxidación y las semirreacciones correspondientes. Si introducimos una placa de cobre en agua, no existe ninguna reacción espontánea entre el cobre y los iones de hidrógeno. Sin embargo, se

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1232

verifica la reacción inversa, porque el hidrógeno cede electrones con más facilidad que el cobre: H 2 + Cu2+

-+

2H+ + Cu + 0.68 eV

[33.18]

Por consiguiente, debemos asignar un potencial negativo de -0,34 V al cobre, ya que el electrón cae espontáneamente a través de la diferencia de potencial desde el hidrógeno diatómico al cobre. En otras palabras, debe suministrarse energía para mover los electrones desde el cobre al hidrógeno diatómico, energía que procede de las energías potenciales de los electrones de valencia en las moléculas. Obsérvese que en la tabla 33 .1 se han dado dos potenciales diferentes para el mercurio (Hg), dependiendo del ion particular de mercurio que se forma en la reacción. Esto se debe a que la variación de energía potencial durante la reacción depende del número y posición en la molécula de los electrones transferidos y de hecho existe también una variación en la energía potencial interna de la molécula o ion del que se extraen los electrones. Así resulta más exacto considerar estos potenciales de oxidación como característicos de las semirreacciones más bien que considerarlos característicos de los propios elementos. En la práctica se determinan los potenciales de oxidación midiendo la diferencia de potencial producida en una pila voltaica en la que se utiliza el hidrógeno como uno de los electrodos (lo cual se consigue haciendo burbujear gas hidrógeno sobre un electrodo de platino). En otras pilas voltaicas se encuentran potenciales ligeramente mayores debido a los efectos térmicos que aparecen en las reacciones entre los iones en disolución. Volvamos de nuevo a la pila de Daniell de la figura 33.3. Según la tabla 33.1 vemos que existe un incremento de potencial de O, 763 V cuando los iones de zinc dejan el metal y pasan a la disolución. Existe otro incremento adicional de potencial de 0,34 V cuando los iones de cobre se convierten en cobre metálico en el electrodo de cobre (porque la semirreacción indicada en la tabla 33.1 ahora se desarrolla en sentido contrario). Por consiguiente, la diferencia de potencial total entre los electrodos de la pila en circuito abierto es ilV

=

t;

0.763 + 0.340

1.103 V

En general, podemos utilizar la serie electromotriz de la tabla 33.1 para hallar la diferencia de potencial desarrollada por cualquier pila voltaica del modo siguiente. En primer lugar, se escriben las semirreacciones correspondientes a los electrodos. Luego se hallan los potenciales de oxidación de estas semirreacciones en la tabla 33 .1, utilizando el negativo del valor dado en ella si la semirreacción se desarrolla en sentido opuesto al indicado en la misma. Finalmente, se suman los potenciales de ambas semirreacciones. Por ejemplo, consideremos una pila voltaica semejante a la pila de Daniell de la figura 33.3, pero utilizando un electrodo de hierro y una disolución de FeSO 4 en la mitad derecha de la pila. Las semirreac. ciones son

Fe2+

+

Zn

-+

Zn 2 + + 2e-

potencial +0.763 V

2e-

__,

Fe

potencial -0.409 V

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1233

de modo que la FEM de la pila es 8 = 0,763 - 0,409 = 0,354 V y la suma de los potenciales de semirreacción nos da el potencial en circuito abierto de la pila.

Disolución de CdSO 4 saturada

Pasta de CdS0 4 y Hg 2SO 4 Amalgama

Mercurio (Hg)

de cadmio

+

Fig. 33.4 Pila patrón de Weston (saturada)

Los potenciales de oxidación dado en la tabla 33.1 son exactos únicamente para las pilas a 25 ºC que contienen disoluciones 1 mola/ de reactivos (l0- 3 kmol de soluto por kg de solvente). Existen fórmulas para la conversión a otras temperaturas y concentraciones, pero está fuera del objetivo de nuestro estudio. En otros textos de referencia de tipo químico pueden encontrarse tablas más extensas en las que se incluyen un amplio margen de semirreacciones más complejas. La serie electromotriz puede utilizarse también para predecir el sentido de una reacción puramente química entre dos sustancias de la lista; la reacción se producirá espontáneamente en el sentido que dé un potencial total positivo. En la práctica, las fuentes químicas de FEM pueden clasificarse en tres grupos: standard o patrón, primaria y secundaria. Las pilas patrón se han ideado con objeto de conseguir una diferencia de potencial constante y estable para su empleo en los sistemas de medida de punto cero (por ejemplo, en un potenciómetro) en donde apenas si se extrae alguna corriente de la pila. La mayoría de las pilas patrón de empleo común son modificaciones de la pila normal de Weston, que está formada por un tubo de vidrio en forma de H y en donde los electrodos se introducen por las partes inferiores de ambas ramas verticales (ver figura 33.4). El cátodo es una amalgama de cadmio, compuesta por un 12,5 OJo en peso de cadmio disuelto en un 87 ,5 OJo de mercurio en peso; el ánodo es mercurio puro. El ánodo se cubre con una pasta de cristales de Hg 2SO4 y CdSO 4• El electrolito es una disolución saturada de Hg 2SO4 y CdSO 4 ; el exceso de cristales de CdSO 4 sin disolver en el fondo de la disolución asegura que la concentración del electrolito permanezca constante a temperatura constante. Si se construye con materiales puros, la pila normal de Weston tiene una FEM muy estable y perfectamente reproducible; suele utilizarse como un patrón secundario de diferencia de potencial.

Electroquímica. termoelectricidad y conducción no óhmica

1234

8

(§@

'

'

CdS04

Hg2S04

+ +

+ I +

+

Cd

Hg

(a) Electrodo negativo

(a) Electrodo positivo

Fig. 33.5 Semirreacciones de una pila Weston cuando hay una carga externa

La figura 33.5a muestra la semirreacción que tiene lugar en la base de la disolución y encima del ánodo de mercurio, en donde los iones Hg~+ procedentes del Hg 2SO 4 disuelto están adquiriendo electrones procedentes de la corriente que pasa a través del mercurio. La figura 33.5b muestra la semirreacción que se produce encima del cátodo, en donde los iones de cadmio están pasando a la disolución. Según la tabla 33.1, las semirreacciones son Hg2SO4 + 2e-

-----.

Cd -----. Así, pues, la 8

=

FEM

2Hg + SO¡-

potencial +0,615 V [33.19]

Cd2+ + 2e-

potencial +0,403 V [33.20]

de una pila normal de Weston es

0,615 + 0,403

1,018 V

a 25ºC

[33.21]

Las pilas primarias son aquellas que se destruyen irreversiblemente si se descargan completamente durante su empleo. Un ejemplo común es la conocida pila seca (o pila Leclanché) que tiene una varilla de carbón en su centro como ánodo y una envuelta exterior de zinc como cátodo. El electrolito es una pasta húmeda preparada con cloruro de zinc (ZnCli.), cloruro amónico (NH 4Cl) y dióxido de manganeso (MnOi}. Cuando están nuevas, estas pilas tienen una FEM de 1,53 V próximamente. La FEM de la pila disminuye con el uso y si se utiliza la pila hasta que la FEM ha caído hasta casi cero, los cambios químicos irreversibles producidos destruyen la capacidad de la pila para producir una FEM.

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1235

Las pilas secundarias son aquellas en las cuales pueden invertirse las reacciones químicas que crean la FEM cuando la pila se está descargando mediante la aplicación de una FEM externa opuesta mayor que la FEM de la pila. Este proceso conocido como de carga, es esencialmente el mismo que la electrolisis en donde se convierte la energía eléctrica en energía química. Las pilas secundarias se conocen también como acumuladores o pilas reversibles. Pueden cargarse incluso aunque estén totalmente descargadas, mientras que una pila primaria únicamente puede cargarse si ha sido parcialmente descargada y conserva todavía una FEM próxima a la que posee cuando está completamente cargada. Las pilas o acumuladores de plomo utilizados en los automóviles son el ejemplo más común de pila secundaría. El acumulador de plomo tiene un cátodo de plomo (Pb) y un ánodo de dióxido de plomo (PbOi), sumergidos en un electrolito de ácido sulfúrico (H 2SO 4). Durante la descarga se forma en ambos electrodos sulfato de plomo (PbSO 4 ) sólido y disminuye la concentración de ácido sulfúrico en la disolución. De aquí que la medida de la densidad de la disolución proporcione una indicación de la cuantía en que se ha descargado la batería. Finalmente debemos mencionar la pila de combustible, una forma de pila primaría en la cual los electrodos son fluidos (líquidos o gases) que pueden volverse a sustituir cuando circulan a través de la pila. Por ejemplo, puede hacerse burbujear gas natural (metano, CH 4) a través de un electrolito de carbonato-hidróxido mientras que se hace burbujear también gas oxígeno a través del ánodo, obteniéndose así una fuente de potencia cuyo rendimiento es el doble que el de un generador eléctrico accionado por un motor de combustión interna que queme el mismo gas. El tipo de célula o pila de combustible que fue empleado en las misiones lunares Apolo utilizaba un electrolito fundido de K2CO 3 (punto de fusión 891 ºC).

Ejemplo 33.2 La diferencia de potencial entre los terminales de una pila que se está descargando es 3 V cuando por el circuito exterior circula una corriente de 0,4 A. Cuando la pila está siendo cargada por una corriente de 1,6 A, la diferencia de potencial entre los terminales es de 4 V. (a) ¿Cuál es la FEM 8 en circuito abierto de la pila? (b) ¿Cuál es la resistencia interna r de la pila? Solución

0

Según la segunda ley de Kirchhoff, ecuación [32.15], tenemos 0,4r

+

3

cuando la pila se está descargando, en donde la diferencia de potencial de 3 V entre los te:rminales debe representar R 0 / correspondiente al circuito exterior. Cuando la pila se está cargando, la corriente y la diferencia de potencial son negativos con respecto a la FEM de la pila, de modo que {,

- l,6r

+ 4

1236

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

eliminando r entre estas dos ecuaciones se tiene {]

3.2 V

(b) Es fácil de obtener entonces r

0.5 íl

33.3 Termoelectricidad Imaginemos que unas partículas cargadas idénticas se difunden mediante un movimiento térmico aleatorio alejándose del origen de coordenadas. En una dimensión, si la difusión es simétrica en los sentidos + x y -x, entonces por simetría V(x) = V(-x) y no existe ninguna diferencia de potencial entre valores positivos y negativos de x del mismo valor absoluto. Sin embargo, supongamos que cierta fuerza externa (como la gravedad o la presencia de una resistividad anisótropa) dificulta la difusión en un sentido -por ejemplo, el sentido negativo. Entonces la densidad de carga será mayor a lo largo del eje positivo (ver figura 33.6). De aquí que se cree un campo electrostático neto E' = -E' i por la separación neta de cargas. La fuerza impulsora que efectúa la difusión y que produce esta distribución puede representarse de modo efectivo mediante el campo electromotriz E" = E"i. Se alcanza el equilibrio cuando E" = E'. Estos casos se presentan en el laboratorio cuando en un metal existe un gradiente de temperaturas, o cuando se ponen en contacto metales diferentes. En esta sección consideraremos estos dos efectos y su papel en la producción de FEM térmicas.

Fig. 33.6 Difusión resultante o neta de cargas positivas en el sentido positivo del eje x debida a un campo electromotriz efectivo E" que lleva a la existencia de un campo opuesto E' que satisfaga la ecuación de Poisson: oE' lox = p/Eo

E"

Si a lo largo de un trozo de metal existe un gradiente de temperaturas, entonces los electrones de conducción libres (móviles) tienen energías térmicas superiores en el extremo más caliente (T = T11) que en el extremo más frío (T = Te). De aquí que exista una difusión neta de electrones desde el extremo más caliente hacia el más frío. Este efecto descubierto por William Thomson (Lord Kelvin) en 1851, se denomina efecto Thomson. La intensidad del campo electromotriz E" es proporcional al gradiente de temperaturas: · E"

dT

C1T -

dx

[33.22]

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1237

siendo el coeficiente de Thomson ªT (no confundir con la conductividad a) una característica de la sustancia conductora que es dependiente de la temperatura. Si el movimiento térmico continúa hasta que se alcanza el equilibrio (E" = E') entonces se crea una FEM entre los extremos del metal (ver figura 33.7). Esta FEM Thomson (o FEM térmica) es [33.23] ,- - - - - - - L - - - - - - - i

dT/dx>O

Frío

Fig. 33. 7 La diferencia de temperaturas Th > Te en un metal crea una FEM térmica de 7ñomson 8= ¡~E"dx = ¡ Th <1 dT

r,.

eeeeee 0 e e 0 e 0 eeee8e e e e l~ Comente o flujo neto

-+--

de electrones

Las FEM son generalmente del orden de 1 a 10 mV. Si el metal forma un circuito cerrado entre los extremos de temperatura, no circulará ninguna corriente neta (¿Por qué?). Sin embargo, es posible medir C T mediante un método de cero, utilizando el elemento térmico como una resistencia en un puente de Wheatstone. Aunque los electrones están libres para moverse a través de la red cristalina del metal, no lo están para salir de la superficie excepto en condiciones especiales. La fuerza atractiva que los retiene se representa más fácilmente por una diferencia de potencial A V = tp. Para poder escapar de la superficie. un electrón debe adquirir una energía AE = etp suficiente para vencer esta «barrera de energía», que se conoce como función de trabajo del metal. Puede adquirir esta energía a partir de energía cinética térmica o bien de un campo exterior. La distribución de las energías cinéticas de los electrones dentro de una red cristalina metálica es notablemente diferente de la distribución de Boltzmann (ver sección 24.3) que describe las energías térmicas de las partículas de un gas ideal. A temperaturas ordinarias, la inmensa mayoría de los electrones de un metal se alojan en niveles energéticos muy bajos. Globalmente, la distribución no difiere apenas de la correspondiente en el cero absoluto de temperaturas (T = O K). En el cero absoluto los electrones poseen cierta energía cinética, pero no pueden ser inducidos a transferirla a ninguna otra partícula. Sin embargo, la «cola» de alta energía de la distribución energética de los electrones en un metal a temperatura ordinaria (conocida como distribución de Fermi) recuerda a la cola de alta energía de la distribución de Boltzmann. Son estos electrones de energía elevada los que interaccionan con otros cuerpos y con los campos eléctricos, dando origen así al concepto de un «gas de electrones» contenido dentro del metal.

E"

E'

Caliente

1238

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

Consideremos ahora dos metales diferentes con funciones de trabajo 11' 2. El metal 2 tiene una barrera de energía más elevada ell' 2 > ell'i, de modo que el metal 2_E_ebe contener también la mayor energía térmica electrónica media K 2 > K 1 (porque los electrones «dentro» de la barrera poseen un intervalo o margen más amplio de energías cinéticas posibles por encima de las correspondientes al cero absoluto). Si los metales se ponen en contacto, el potencial es el mismo inicialmente a través de su unión. Sin embargo, los electrones de energía superior del metal 2 se difunden más fácilmente a través de la unión que los electrones de energía inferior del metal 1, de modo que existe un flujo de electrones inicial neto del metal 2 al metal 1. Como en nuestro análisis del efecto Thomson, podemos representar la causa de este flujo electrónico asimétrico por el campo E", que está dirigido desde el metal 1 al metal 2. Al continuar el flujo de electrones, la separación de cargas crea gradualmente un campo electrostático E' opuesto a E". Cuando E' = E", se alcanza el equilibrio y existe un flujo electrónico neto cero a través de la unión. Después de que se ha establecido el equilibrio, existe una diferencia de potencial a través de la unión de los metales (ver figura 33.8). La difusión neta de los electrones a través de la unión es cero, pero realmente los electrones se difunden a través de la unión en la misma proporción en ambos sentidos. Consideremos un electrón que pasa por la unión desde el metal l al metal 2; su velocidad se ve incrementada cuando cruza la unión debido a la atracción del campo eléctrico E'. Después de cruzar la unión, este electrón tiene una energía cinética superior que la media, de modo que tiende a perder energía cediéndola a otras en los choques, resultando así termalizada su energía cinética, de modo que se produce un calentamiento. Por otra parte consideremos un electrón que pasa del metal 2 al metal l; su velocidad se ve reducida por efecto del campo E', de modo que después de cruzar la unión posee una energía cinética inferior a la media y tiende a ganar energía procedente de las otras partículas en las colisiones con las mismas. Así, pues, su energía cinética se ve aumentada a expensas de la energía térmica de las partículas del entorno y se produce un enfriamiento. (Puede ser interesante considerar este fenómeno como un proceso evaporativo en el cual se eliminan partículas de ll'I

<

1

V

Flujo de electr~nes inicial neto l

11(

E'1 1 1

_______,/ ln12 1

Unión-1

X

1 1 1 1

Metal 1

Fig. 33.8 Una diferencia en las energías térmicas medias de los electrones K1 < K2 entre dos metales diferemes conduce a una fEM térmica Peltier n 12 en su unión

E"

Metal 2

1239

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

energía alta de una distribución de Boltzmann, haciendo que se restableca el equilibrio térmico a una temperatura media inferior.) En el equilibrio en circuito abierto, se compensan los efectos de calentamiento y enfriamiento y no se produce ningún efecto térmico neto en la unión. Sin embargo, supongamos que se aplica una FEM externa a través de la unión para producir un flujo neto de electrones desde el metal 2 al metal 1 (de modo que la corriente convencional concuerda con la FEM térmica); entonces existirá un efecto de enfriamiento neto en la unión. Inversamente, una FEM aplicada en el sentido que produzca un flujo neto de electrones del metal 1 al metal 2 originará un efecto neto de calentamiento en la unión. Estos efectos térmicos, conocidos colectivamente como el efecto Peltier, fueron descubiertos en 1834 por Jean Peltier en Francia. El calenta.miento o enfriamiento Peltier es algo separado y diferente del calentamiento Joule, que está siempre presente. Como en una unión entre dos metales diferentes se crea una diferencia de potencial, esta unión sirve de fuente de FEM. La FEM Peltier II 12 en una unión es el trabajo realizado por unidad de carga positiva por el campo E" contra la diferencia de potencial debida a E' al pasar del metal 1 al metal 2 en la figura 33.8. Así, pues, LlW Llq

[33.24)

('· En este caso, E" procede de la diferencia de energías térmicas, de modo Sr, = J,. "" dT parecido al efecto Thomson. El efecto Thomson puede utilizarse también para enfriar si se envía una corriente de electrones desde el extremo caliente del metal al extremo frío, de modo que la corriente convencional concuerde de nuevo con la FEM térmica, y la energía térmica se convierte en energía eléctrica. Aunque las FEM Peltier y Thomson son del orden de los milivoltios, se han fabricado unidades de refrigeración comerciales que utilizan este efecto para conseguir el enfriamiento. La FEM Peltier es una función sensible de la temperatura en la unión. Así, pues, si se unen dos metales diferentes por ambos extremos para formar un circuito completo, circulará a lo largo del mismo una corriente neta si las uniones están a diferentes temperaturas. Esta combinación de 612 = J,' 'u 0 dT los efectos Thomson y Peltier se denomina efecto Seebeck. Fue descubierto por Thomas Seebeck en Prusia en 1821, siendo realmente el primero de los tres efectos térmicos que fue observado. El circuito mencionado Fig. 33.9 FEM Seebeck en un termopar se denomina termopar (ver figura 33.9). La FEM Seebeck neta desarrollada a lo largo del circuito es

n,,1,

l Tº"

--,1-

[33.25) en donde hemos adoptado el convenio de que todos los sentidos de las corrientes se toman desde el metal 1 hasta el metal 2 a través de la unión caliente (Th) hacia la unión fría (Te). La figura 33.10 muestra el potencial a lo largo del circuito, incluyendo las caídas de potencial debidas a las resistencias R 1 y R 2 de los metales.

1240

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica V

Fig. 33. 10 Gráfico de un potencial V a lo largo del circuito del termopar de la figura 33.9

No es necesario medir las FEM de los termopares para cada pareja imaginable de metales. En lugar de ello podemos escoger un metal particular como patrón de referencia y tabular las FEM de todos los demás metales relativas al patrón; el metal escogido como patrón es el plomo (Pb). Supóngase que construimos un termopar con el metal 1 y el metal de referencia Pb y otro termopar con un metal 2 y el metal de referencia Pb, funcionando ambos termopares entre las temperaturas Te y Th. Según la ecuación [33.25], se tiene

rh rh

rr;Pb -

01Pb

(TTPb

dT

Il1Pb

02Pb

y

=

rr;Pb -

rh + rh

+

un dT

[33.26

T,

T,

(TTPb

dT -

Il2Pb

uT2dT

33.27]

T,

T,

así

Sin embargo, supóngase que construimos un circuito compuesto por los tres metales a la misma temperatura. Entonces desaparece el efecto Thomson, y las FEM Peltier separadas indicadas en la figura 33.11 deben sumarse y anularse: Il12

+

Il2Pb

+

o

IlPbl

[33.29]

Por consiguiente, Il12

=

-

IlPbl

-

Il2Pb

=

IllPb -

Il2Pl,

[33.30)

y análogamente, con las tres uniones a la temperatura superior,

[33.31] Fig. 33./1 Circuito con tres metales; si el circuito está en su totalidad a temperatura constante, entonces la FEM térmica total es 8 12 Pb = 11 12 + Il 2 Pb + rrPbl = O

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1241

Sustituyendo las ecuaciones [33.30] y [33.31] en la ecuac10n [33.25] y comparando el resultado con la ecuación [33.28], vemos que [33.32) Así, pues, podemos determinar la FEM Seebeck 0' 12 para un termopar de metales 1 y 2 a partir de las FEM Seebeck respectivas de estos metales en combinación con el metal de referencia Pb. Los estudios empíricos muestran que [33 .33] en donde a y (3 son constantes características del par de metales que interviene en el termopar. La tabla 33.2 relaciona los valores de a y (3 para diversos metales combinados con el plomo como metal de referencia. (En estas listas suele escogerse el plomo como metal de referencia porque presenta un coeficiente Thomson aTPb despreciable, pero en principio podría utilizarse cualquier metal para referencia.) Esta tabla puede utilizarse en unión de las ecuaciones [33.33) y [33.32) para hallar la FEM Seebeck prevista para cualquier termopar en que intervengan los metales relacionados. Tabla 33.2 Coeficientes Seebeck a y {3 para diversos metales, referidos al plomo como metal de referencia con temperatura de referencia Te = 273 K

metal Aluminio (Al)

a,

µV/K

0.47

{3, µV/K2 +0.003

Bismuto (Bi)

-43.7

-0.465

Constantán (60% Cu, 40% Ni)

-38.11

-0.0888

Cobre (Cu)

+ 2.76

+0.012

Oro (Au)

+ 2.90

+0.007

Hierro, dulce (Fe)

+16.65

-0.0297

Níquel (Ni)

-19.l

-0.030

1.79

-0.035

Platino-Rodio (85 OJo Pt, 15 OJo Rh)

+ 6.69

+0.011

Plata (Ag)

+ 2.50

+0.012

Acero

+10.8

-0.016

Tungsteno (W)

+ 1.59

+0.034

Platino, de Baker (Pt)

NOTA: La FEM Seebeck de un termopar entre el metal y el plomo es {; = ar + +{3r2, en donde r es la temperatura de la unión caliente en grados Celsius. Obsérvese que un signo positivo de a corresponde a una corriente eléctrica del plomo al metal en la unión caliente. Obsérvese también que los valores se expresan en microvoltios (1 µV = 10-6 V).

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1242

En estudios termodinámicos más avanzados puede demostrarse que, para T = Th y T 0 = Te,

II

Tdt; dT

aT

+

(3T(T -

T0)

[33.34] [33.35]

en relación al termopar formado entre el metal 1 y el plomo. Como se indica en la tabla 33.2 es costumbre tomar T0 = 273 K = OºC y expresar la temperatura de la unión caliente en grados Celsius, r = T - T0 , de modo que la ecuación [33.33] se reduce a 0(r,O)

A

Cu T,

B

Cu

T' Fig. 33.12

Circuito de un termopar

ar

+

½f3r 2

[33.36]

La ecuación [33.36] da la FEM Seebeck de un termopar compuesto por plomo y otro metal cuando los valores de a y (3 se tomen de la tabla 33.2. Las constantes a y (3 de Seebeck son características de una combinación dada de metales y son prácticamente constantes en un amplio margen de temperaturas; aquí supondremos simplemente que son constantes. Es costumbre escoger los signos de a y (3 de modo que correspondan a un flujo de corriente desde el otro metal al plomo en la unión de referencia (T0) porque el observador está normalmente a la temperatura de referencia; esto es exactamente lo opuesto a lo considerado en la deducción que hemos hecho aquí, pero esta diferencia no debe producir ninguna dificultad. En la actualidad se está realizando una abundante investigación sobre dispositivos termoeléctricos para la conversión de la energía solar en energía eléctrica. En particular, los cristales del tipo germanio y silicio, conocidos como semiconductores, que se emplean en la construcción de transistores, pueden desarrollar FEM térmicas centenares de veces mayores que las desarrolladas por los metales. Los dispositivos semiconductores se han utilizado con éxito como generadores termoeléctricos y como refrigeradores para aplicaciones especiales. Sin embargo, el principal empleo de los termopares en el momento actual es la medición de temperaturas. Consideremos el circuito indicado en la figura 33 .12. Los hilos A y B corresponden a dos metales diferentes. Por un extremo están unidos; y por el otro extremo están conectados a los terminales de un galvanómetro. El circuito que está contenido en el galvanómetro es enteramente de cobre (Cu). Las uniones de A y B con los hilos de cobre se mantienen a una temperatura constante T 0 , de modo que los hilos de Cu carecen de efectos térmicos y la unión de A con B se lleva al equilibrio químico con la temperatura T' > T 0 que ha de medirse. El aparato puede calibrarse para leer directamente la temperatura T' sobre la escala del galvanómetro para un valor fijo de T0 • Dichos termopares son extremadamente sensibles, compactos, de confianza, económicos y .duraderos. Si el metal A

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1243

es una aleación de platino-rodio y el metal Bes platino puro, puede utilizarse el termopar para medir temperaturas en un intervalo desde OºC a 1 700 ºC. Para medir temperaturas por debajo de OºC se prefiere un termopar de cobre y constantán. El termopar de mayor uso es probablemente el formado por chromel y alumel.

Ejemplo 33.3 En el circuito de la figura 33.12, el metal A es hierro dulce y el metal Bes constantán. La temperatura de referencia T0 = 273 K = = OºC y T' = 473 K = 200 ºC. (a) Hallar la FEM Seebeck entre los terminales del galvanómetro. (b) Hallar la FEM Peltier en la unión caliente. (e) Hallar la FEM Thomson neta del termopar. Solución

/3,c

Según la Tabla 33.2, 16,65 µV/K

0:cu-Ni

-38,l l µV/K

-0,0297 µV/ K 2

f3cu-N,

-0>0888 µV/K 2

Mediante la ecuación [33.36), las FEM Seebeck respecto al plomo son 6'¡.,

0,01485-r 2

16,65-r -

8 ("u.:-.i

0,0444-r 1

38, 1 1-r -

-

de modo que según la ecuación [33.32), la FEM Seebeck del termopar es 54, 76-r

En este caso, r

=

10952

+

+

0,02955-r 2

200 ºC, de modo que 1182

=

12134µV

12,13 mV

dirigida desde el hierro hacia el constantán en las uniones frías. (b) Según la ecuación [33 .34) y la ecuación obtenida en la parte (a),

11 '

T -dC

473(54,76

d-r

31 492 µV

+

0,0591-r)

31,49 mV

(e) Según las ecuaciones [33.23) y [33.35), 47.1

!

.

( -/3 1.,

+

f3cu-:-.,) T dT

~7'\

-4409 µV

-4,41 mV

dirigida en sentido contrario a t; .

=

-O 0591 _(4_7_3)_2_ _(2_7_3_)2 2 )

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1244

Se puede comprobar la consistencia de estos cálculos observando que, a la temperatura de referencia, I1 0 = 273 x 54,76 = 14,95 mV, de modo que la FEM del termopar es 31,49 -

14,95 -

4,41

12,13 mV

Ejemplo 33.4 Respecto al platino como metal de referencia, los coeficientes Seebeck para la aleación platino-rodio (1 OOJo Rh) son (3

7,01 µV/K

0,0064 µV/ K'

Calcular la FEM Seebeck para este termopar a r = 800 ºC. (b) Si el valor experimental medido indica una FEM de 7,33 mV, hallar el error del resultado teórico.

.(a)

Solución

(a) Según la ecuación [33.36], 800(7,01

+

0,0032 X 800)

(b) El error es 0,33/7 ,33

=

7656 µV

7,66 mV

4,5 OJo.

33.4 Conducción no-óhmica: Electrones en el vacío La ley de Ohm no es una ley general de la física; se aplica exactamente sólo a la conducción electrónica en los metales. Incluso en el caso de conductores metálicos se presentan desviaciones de esta ley a densidades de corriente extraordinariamente elevadas. Los conductores que no obedecen la ley de Ohm se denominan conductores no-óhmicos (o no lineales). Los tipos principales de dispositivos no-óhmicos pueden clasificarse en tres grupos:

electrones en el vacío; 2 unión de semiconductores; 3 descargas gaseosas. El tercer grupo cae fuera del objetivo de este libro; los dos primeros grupos se estudiarán en esta sección y en la siguiente. Con objeto de analizar el funcionamiento de un dispositivo no-óhmico, debemos tener una información detallada acerca de la dependencia existente entre la corriente / que circula por el dispositivo y la diferencia de potencial .6. V = V aplicada a sus terminales. Esta información es costumbre darla gráficamente en la forma / = f( V); dicho gráfico se denomina característica del dispositivo. Como ejemplo de un dispositivo no-óhmico simple, consideremos una resistencia construida con thirita, que es un material cerámico para el que I = a(V) 3•5, en donde a depende de la longitud y del área de la sección recta del dispositivo. La figura 33.13 muestra una característica típica de

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1245

'' 1

/(V)

=

aV 35

V

Fig. 33.13 Característica de un elemento de thirita

la thirita. Aunque el elemento es no-óhmico, todavía podemos definir una resistencia estática efectiva Rs,, en la forma

R,1

V

V

I

f(V)

y una resistencia dinámica Rdy como -dV = - -1 di f'(V)

[33.37]

[33.38]

En general, R., y Rdy sólo serán iguales en el caso de conducción óhmica. Aunque la representación algebraica de f(V) no se modifica generalmente con las variaciones de temperatura, los parámetros de la expresión algebraica pueden variar con la temperatura y con otras condiciones externas. Esto es cierto incluso en el caso de una resistencia óhmica, cuya característica es aproximadamente una línea recta que cambia de pendiente gradualmente (1/R) con la temperatura (ver sección 31.3). Esta dependencia con la temperatura es muy útil en los termistores, que son resistencias hechas de óxidos de metales semiconductores como el manganeso y el níquel, cuya resistividad disminuye abruptamente al aumentar la temperatura. Los termistores se emplean mucho como termómetros y para la medición de la radiación. Como el termistor es mucho más compacto que el termopar (aunque menos exacto), los termistores pueden situarse en catéteres e insertarse en los vasos sanguíneos para medir la velocidad de la sangre por sus efectos de enfriamiento sobre el termistor. Volvamos al primer grupo de dispositivos no-óhmicos, aquellos en los que intervienen corrientes de electrones en el vacío. En 1883 Thomas A. Edison encerró un electrodo extra (denominado colector) en la envuelta de vidrio de una lámpara de incandescencia. Cuando conectó el colector a un terminal del filamento de la lámpara a través de un amperímetro sensible, se encontró con que el aparato registraba una corriente cuando se hacía circular por el filamento la corriente de caldeo del mismo (ver figura 33.14). Con este experimento, Edison descubrió el fenómeno de la

r.;,.

Filamento

1

+ ['

Colector

i1 t 7 J

\ - t,· '---+-+-t--"1 L....f, _____

-

1

+ /'

Fig. 33.14 Diagrama esquemático de la lómpara de Edison con un electrodo colector

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1246

emisión termoiónica, que puede considerarse como un proceso de evapo-

ración. Los electrones dentro del metal caliente del filamento están en movimiento térmico rápido, y existe una cierta probabilidad de que un electrón escape del metal a través de la barrera de energía eip. Esta probabilidad crece mucho al aumentar la temperatura, porque las velocidades medias del movimiento térmico (y, por ello, las energías cinéticas medias) de los electrones aumentan con la temperatura. Algunos de los electrones que se escapan se difunden hacia el colector, creando así una pequeña corriente /' que convencionalmente está dirigida desde el colector hacia el filamento. Puede aumentarse la corriente /' mediante la inclusión de una fuente de FEM que cree una diferencia de potencial entre el filamento y el colector, de forma que este último tenga un potencial mayor que el filamento. El campo resultante entre el filamento y el colector atrae hacia el colector un mayor porcentaje de los electrones que escapan del filamento. Cuando se aumenta esta diferencia de potencial, crece este porcentaje y aumenta /', pero podemos esperar que se alcance un cierto valor máximo de /' cuando esencialmente todos los electrones que escapen sean recogidos por el colector. La figura 33 .15a muestra el circuito correspondiente a este montaje. Obsérvense los símbolos standard correspondientes a la envuelta de vidrio en la que se ha hecho el vacío (tubo de vacío), del filamento caliente (cátodo) y el colector (ánodo o placa).

Placa

Cátodo

Tubo de vacío

Fig. 33.15 Diodo tubo de vacío

(a) Diagrama esquemático de un diodo de vacío

Sentido del flujo de corricnt e '

(b)

Símbolo del diodo

Un tubo de vacío que contenga únicamente un filamento caliente y una placa se denomina diodo. La característica del diodo es un gráfico de la corriente de placa lp (debida a los electrones termoiónicos recogidos por ella) en función de la diferencia de potencial Á VP entre los terminales de la placa. La figura 33.16 muestra una característica típica de un diodo. Seguimos la costumbre usual de definir como cero el potencial del cátodo, de modo que Á VP = Vp, el potencial de la placa. Los detalles principales de la característica del diodo son los siguientes: la corriente IP es esencialmente cero para VP < O porque la placa con polarización negativa repele a los electrones termoiónicos emitidos por el cátodo;

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

2 3

1247

dentro de un cierto margen O < VP :s; Vs, la corriente IP es proporcional a Vf 2; en el caso de potenciales VP > Vs, la corriente es casi constante e independiente del potencial VP . .• lp

Región de saturación

Fig. 33./6 Característica típica de un diodo

El valor máximo Is de IP se denomina corriente de saturación; como es de esperar existe este límite porque el potencial de saturación Vs crea un campo suficientemente fuerte como para atraer esencialmente a todos los electrones que escapan del cátodo a la placa. La región de la característica para la cual VP > Vs se denomina región de saturación. La región de la característica en la cual O < VP :s; Vs se denomina región de carga espacial limitada, porque la corriente IP en esta región está limitada por la densidad de los electrones libres («carga espacial») entre el cátodo y la placa, que tiende a inhibir el flujo de corriente. Como los diodos sólo permiten el paso de los electrones en un sentido (es decir, IP = O cuando VP < 0) pueden utilizarse para «rectificar» una corriente alterna (que circula a veces en un sentido y otras veces en sentido contrario) en una corriente continua (que siempre fluye en un solo sentido). Así, pues, el diodo se denomina también rectificador y puede representarse mediante el símbolo indicado en la figura 33.15b (en donde la flecha señala en el sentido del flujo convencional de corriente -es decir, de la placa al cátodo). La corriente de saturación Is equivale a la velocidad con que se escapan los electrones del metal del cátodo a su temperatura de funcionamiento. (El efecto del campo creado por VP al extraer electrones del metal es muy pequeño, como indica el hecho de que IP permanece casi constante cuando VP aumenta en la región de saturación.) La corriente de saturación Is aumenta rápidamente cuando se hace aumentar la temperatura del cátodo; la figura 33.17 muestra la característica de un diodo representada para varias temperaturas del cátodo. La variación de Is con la temperatura T del cátodo viene descrita por la ecuación de RichardsonFig. 33./7 Dependencia de la característica de un diodo con la temperatura (T 1 < T 2 < T3)

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1248

Dushman correspondiente a la densidad de corriente de saturación J 5 que sale del cátodo:

J,

[33.39]

en donde la constante A == 60 A/cm 2 • K2 para la mayoría de los metales, k es la constante de Boltzmann y e

-4Y 20

IS

10

5 Fig. 33.18 Familia de líneas de «nivel» características de un triodo. La ((nea cruzada es la característica de la resistencia de carga R¿ = 20 kíl (ver figura 33.21). El punto A, con coordenadas (10 , V0 ) es el punto de funcionamiento del triodo para V8 = -2 Y; el punto Bes el de funcionamiento para ~ = -4 V

o

* La teoría cinética avanzada predice A do h la constante de Planck.

V0

=

200

41rm,ek 2 /h 3

300

Vr• Y

= 120 A/cm 2 • K2, sien-

1249

Electroquímica, termoelectricidaa y conducción no óhmica guna corriente hacia la rejilla (despreciando las pérdidas y fenómenos semejantes), de modo que la acción de control característica de la rejilla no requerirá ningún consumo de potencia. La presencia de la rejilla no altera grandemente la forma de la característica del diodo (figura 33.16) pero altera marcadamente sus valores numéricos. En la figura 33.18 se ha representado el desplazamiento de las características típicas del diodo debido a la presencia de una rejilla a potenciales de O V, -2 V, -4 V y -6 V (con el cátodo conectado al potencial cero de tierra). Se dice entonces que la rejilla está polarizada negativamente respecto al cátodo. Como puede verse en la figura, el funcionamiento de un triodo se describe mediante tres variables: la corriente de placa lp, el potencial de placa ~ y el potencial de rejilla ~. Sus interrelaciones definen una superficie característica en un espacio cuyas coordenadas x,y,z son ( Vp, Iµ, V8 ); la figura 33 .18 es un mapa de líneas de nivel de esta superficie proyectada sobre el plano VP/P.

-V

1

J - j {V)

R

J

-

Fig. 33./9 Circuito que contiene un elemento no-óhmico con caracterfstica I = f(V)

c.

La presencia de elementos no-óhmicos complica la tarea del análisis del circuito. Todavía se aplican los principios de conservación de carga y energía, de modo que siguen siendo válidas las leyes de Kirchhoff, pero en una forma no lineal. Por consiguiente, es necesario resolver las ecuaciones del circuito o gráfica o numéricamente. La figura 33.19 muestra un circuito general en el que se incluye una FEM, una resistencia óhmica y un elemento no-óhmico representado en forma de caja negra con la característica / = j(V). Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a las caídas de tensión indicadas a lo largo del circuito, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, I y V: Rl

+

V

[33.40)

= &o

I

[33.41]

f(V)

La primera ley de Kirchhoff exige que I sea la misma en todas las partes de la malla. Si conocemos la función característica f(V), entonces podemos resolver la única ecuación Rf(V)

+

V

= 80 =

constante

[33.42]

bien por métodos analíticos o bien mediante algún método aproximado como el de Newton-Raphson (ver sección 21.6). Sin embargo, es más co-

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1250

rriente, representar la característica en línea recta definida mediante la ecuación [33.40], que se conoce como línea de carga:

l

=

80

-

V

[33.43]

R

A continuación se halla la intersección de esta recta en el plano IV con la característica / = f( V), como se ve en la figura 33.20. El punto de funcionamiento resultante tiene coordenadas ( V0 , / 0), que representan la solución de las ecuaciones del circuito y describen así el estado del mismo.

Fig. 33.20 Análisis gráfico del circuito de la figura 33.19.

Como ejemplo específico de un elemento de circuito no-óhmico, consideremos el circuito del triodo de la figura 33.21. Obsérvese que la rejilla está simbolizada por una línea a trazos en el interior del tubo de vacío. La característica de este triodo se muestra en la figura 33.18, en donde la línea de carga del circuito se ha indicado mediante la línea de color que pasa por los puntos (Vp, Ip) = (300 V, O) y (Vp, fp) = (O, 15 mA). Los valores correspondientes a estos puntos se determinan poniendo primeramente / = O en la ecuación [33.43] para obtener 300V y

luego poniendo VP I

=

80 R

=

O en la misma ecuación para obtener

o sea, IP

300 V 20 kf!

=

15 mA

v,

20 kQ

2V

300 V

(33.44]

Fig. 33.21 Circuito de un triodo

[33.45]

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

Estos dos puntos determinan la recta línea de carga, que corta a la característica correspondiente a Vg = -2 V en el punto A de la figura 33.18. A partir del gráfico puede leerse la solución a las ecuaciones del circuito que son VP = V0 = 150 V e IP = 10 = 7,5 mA. Así, pues, el punto de funcionamiento del triodo en este circuito es (V0 , IJ = (150 V, 7,5 mA). Hasta ahora todo parece perfecto, pero no para maravillarse demasiado. Consideremos a continuación lo que ocurre si modificamos la polarización de la rejilla a Vg = -4 V añadiendo otra pila de 2 V en serie en el circuito de la rejilla. Entonces el punto de funcionamiento se desplaza al punto B de la Fig. 33.18, en donde la línea de carga corta a la característica de Vg = -4 V. El nuevo punto de funcionamiento es (V0, IJ = (210 V, 4,5 mA). Es decir, un pequeño cambio (2 V) en el potencial de la rejilla produce un gran cambio en el potencial de placa (60 V). No podemos describir en pocas líneas la inmensa importancia de este efecto para la ciencia y para toda nuestra civilización; por ello nos limitamos simplemente a describir el fenómeno. Como hemos señalado, la variación de 2 V en el potencial de rejilla produce una variación de 60 V en el potencial de la placa, amplificando de este modo la variación en un factor de 30. Sin embargo, es mucho más significativo la influencia sobre la potencia PL cedida a la resistencia de carga RL por la batería de 300 V de placa. La caída de potencial A VL en la resistencia de carga es AVL = 300 - 150 = 150 V cuando Vg = -2 Vy vale AVL = 300 - 210 = 90 V cuando Vg = -4 V. Así, pues, la corriente IP = A VLIRL disminuye de 7,5 mA a 4,5 mA como resultado de la variación de Vg. La potencia PL disipada en .la resistencia de carga es PL = I¡Rv de modo que PL varía desde 1,125 W a 0,405 W como resultado de la variación de ~; esto significa que el cambio en 2 V en ~ reduce la potencia cedida a RL a sólo el 36 % de su valor original. Además el electrodo rejilla consume una corrie~te muy pequeña, de modo que no existe esencialmente ningún gasto de energía para que la rejilla efectúe esta notable disminución de la potencia consumida en la carga. Como la potencia disipada en RL puede representar la potencia utilizada por cualquier dispositivo eléctrico, vemos que el triodo representa una «válvula» muy sensible y económica para controlar el flujo de energía a dicho dispositivo. Este fundamental descubrimiento realizado por de Forest condujo al desarrollo de la electrónica, que se define de modo más bien amplio como el estudio del comportamiento de los electrones móviles en el vacío y en todas las clases de materia, incluyendo los gases completamente ionizados a altas temperaturas conocidos como plasmas. La industria electrónica abarca la mayor parte de las formas de comunicación (video, telegrafía, telefonía, telemetría de cohetes, etc.), automatización (control automático de sistemas de medida, de máquinas herramientas, de maquinaria pesada, circulación del tráfico, flujos de líquidos y gases, etc.) y todos los aspectos de los circuitos de los ordenadores (computer hardware). La electrónica es sin duda la clave tecnológica de nuestro tiempo y es probable que resulte aún más importante en el futuro. En la sección siguiente estudiaremos uno de los más importantes desarrollos de la electrónica del período posterior a la Segunda Guerra Mundial: el empleo de

1251

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1252

semiconductores, circuitos integrados y las pastillas o «chips» de los microprocesadores que forman el corazón de las calculadoras electrónicas, ordenadores pequeños y diversos aparatos caseros, y que juegan un papel importante en los grandes sistemas de ordenadores. La explosión de los ordenadores de los afios 1970 hasta la actualidad tiene su origen en el desarrollo de los dispositivos de semiconductores.

Ejemplo 33.5 En la figura 33.19, sea ~o = 300 V y R = 2 kíl y supongamos que el elemento no-óhmico sea un disco de thirita con característica

= (8 X 10- 10) V 3·5

l

(a) Hallar la caída de potencial en el disco de thirita. (b) Hallar la co-

rriente / en el circuito. (e) Hallar la resistencia estática Rs, del disco de thirita. Solución tenemos

(a) Sustituyendo los valores de / y de R en la ecuación [33.40),

(2000)(8 X 10- 10) V 3·5

+

V

= 300 V

o sea (1,6 X 10- 6)V 35

+

V

=

300V

-Si probamos V = 100 V, obtenemos un valor de 116 Y para el primer miembro de la ecuación. Si probamos V = 200 V, obtenemos un valor de ~81 V para dicho primer miembro. Como / aumenta rápidamente al crecer V, tomemos V0 = 200 V como punto de partida para una aproximación de Vpor el método de Newton-Raphson (ver sección 21.6). Desarrollando el primer miembro de la ecuación anterior en serie de Taylor, se tiene (1,6 X 10- 6) V!· 5

+ +

Vn (Vn+I -

Vn) ((5,6 X 10- 6) V! 5

+

1)

300V

que conduce a la fórmula de recur-rencia V

+

n

300 - (1 ,6 x 10- 6) V n3·5 (5,6 X 10- 6) V!· 5 +

.Empezando con V0 = 200 V, obtenemos V1 = 180,6 V, V2 = 178,5 V y V3 = 178,5 Y. Así, pues, tenemos una solución correcta hasta cuatro cifras significativas: V

.178,5 V (b) A partir de la característica del disco de thirita, tenemos

I

= (8 X 10- 10)V 3·5 = (8 X 10- 10)(178,5) 3·5 = 60,8mA

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1253

(e) Según la ecuación [33.37], V

T

178.5 V 60.8 mA

=

2936 íl

Como la resistencia de un dispositivo de thirita disminuye rápidamente al aumentar la diferencia de potencial, este sistema puede ser de utilidad para salvaguardar equipos eléctricos contra aumentos repentinos de tensión. Por ejemplo, supongamos que se conecta el equipo a tierra a través de una resistencia de thirita.· En condiciones normales, la diferencia de potencial que aparece aplicada a la resistencia de thirita es pequeña, de modo que la resistencia es relativamente grande y la mayor parte de la corriente circula por el equipo eléctrico. Sin embargo, si de repente se produce una elevación de potencial en el circuito, se produce asimismo un repentino incremento de diferencia de potencial en la thirita, cuya resistencia disminuirá rápidamente, con lo que la mayor parte de la corriente se desviará a tierra a través de ella en lugar de pasar por el equipo que se quiere proteger. Cuando cesa la anomalía en el potencial, la resistencia de la thirita recupera su valor original y la corriente circula de nuevo preferentemente por el equipo eléctrico.

33. 5 Conducción no-óhmica: electrones en la materia Una conducción no-óhmica en la que interviene el flujo de electrones a través de la materia se produce en las sustancias denominadas semiconductores. Las conductividades de las sustancias comprenden un intervalo muy amplio que se extiende desde 10- 16 mho/m para la goma hasta 108 mho/m para el cobre. No existe ninguna diferencia nítida física entre los aislantes (no conductores) y los conductores (metales). La misma sustancia que es un aislante a bajas temperaturas puede resultar un conductor a temperaturas suficientemente altas. (Esto se debe a que una energía cinética media de las partículas más elevada dentro de una sustancia produce una fracción mayor de electrones de valencia que realmente pueden considerarse libres para cambiar sus posiciones en el cristal bajo la influencia de un campo eléctrico aplicado.) Podemos definir los conductores como aquellas sustancias (metales) que conducen cantidades significativas de corriente a temperaturas normales con diferencias de potenciales que poseen los valores normales en un laboratorio. Análogamente, podemos definir los aislantes como aquellas sustancias que no conducen corrientes de valor significativo a temperaturas normales con las diferencias de potencial normales en un laboratorio. La conducción en los metales es óhmica en condiciones normales; la conducción en los aislantes es despreciable en condiciones normales.

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1254

Quedan entonces ciertas sustancias en las que se produce una conducción no-óhmica (y no despreciable) en condiciones normales. Estas sustancias son los semiconductores, que pueden agruparse en dos categorías:

2

compuestos metálicos (como los óxidos de hierro, cobre, zinc y aluminio; sulfuros de plomo y hierro y otros muchos compuestos); elementos «frontera» (boro, silicio, selenio y germanio) que caen aproximadamente en la frontera que existe entre los metales y los no metales en la tabla periódica (ver apéndice G).

En los dispositivos electrónicos actuales el silicio y el germanio son los dos semiconductores más importantes y en el estudio siguiente nos referiremos exclusivamente a ellos. Se observa conducción no-óhmica en los compuestos metálicos cuando se prepara el compuesto de modo que tenga un exceso de uno de los constituyentes -por ejemplo, un exceso de zinc en el sulfuro de zinc. Análogamente las propiedades no-óhmicas de los elementos frontera se ven grandemente influidas por el dopado- la adición de pequeñas cantidades de impurezas seleccionadas de modo que sean semejantes, pero no totalmente idénticas, a las moléculas del semiconductor en cuanto a su estructura electrónica exterior. Estas impurezas adquieren unas posiciones en la estructura cristalina del semiconductor de forma tal que producen un exceso o defecto local de electrones. La figura 33.22a muestra esquemáticamente cómo el átomo de germanio (Ge) en un cristal de germanio Ge4+

••

•• Ge4+

••

•• ••

•• Ge4+

Ge4+

8

••

••

••

Ge4+

Ge4+ • • '--.. Electrones de valencia Ge4+ compartidos

•• ••

(a) Germanio puro

/

Ge4+

Ge4+

••

•• Ge4+

••

••

e·~ . ••

•• Ge4+

Ge4+

••

Electrón extra

•

•• ••

Ge4+

•• ••

Ge4+

(b) Germanio tipo n

Fig. 33.22 Distribuciór, de electrones en un cristal de germanio

puro comparte sus cuatro electrones de valencia con cuatro electrones de valencia procedentes de átomos de germanio vecinos. Si el cristal está dopado con arsénico (As), que tiene cinco electrones de valencia, entonces cada átomo de arsénico que ocupe el lugar de un átomo de germanio en la estructura del cristal tiene un electrón de valencia «extra» que no se comparte con los átomos de germanio vecinos (ver figura 33.22b). Así, pues, este exceso de electrones está en relativa libertad para moverse en un campo eléctrico aplicado. Este tipo de semiconductor dopado se denomina semiconductor tipo-n porque los portadores de carga son negativos.

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1255

Los átomos de impureza se denominan en este caso donadores porque proporcionan un exceso de electrones. Por otra parte, el indio (In) tiene sólo tres electrones de valencia. Si el germanio se dopa con indio en vez de utilizar el arsénico, existe una deficiencia de electrones compartidos cerca de los átomos de indio (ver figura 33.23). En este caso, bajo la acción de un campo eléctrico aplicado, un electrón procedente de un átomo vecino será capaz de «saltar» dentro del «hueco» que existe en la proximidad del átomo de indio. Esto hace que quede un hueco en otro punto, el cual a su vez se verá rellenado por un electrón ligado que pasará a ocuparlo procedente de otro átomo vecino y así sucesivamente. El efecto del movimiento de los electrones ligados es exactamente como si los propios huecos se moviesen en el sentido del campo aplicado y, por tanto, los huecos pueden considerarse como portadores cargados positivamente con q = + e. Un semiconductor de esta clase se denomina semiconductor tipo-p (considerando a los huecos como portadores de cargas positivas) y los átomos de impureza se denominan aceptadores porque (aunque sean neutros) pueden aceptar electrones en sus estructuras electrónicas exteriores. Campo aplicado E

Ge4+

••

•• Ge4+

Ge4+

••

••

••

e

••

•• •O Hueco Movimiento del electóy'

Ge4+

••

Ge4+

••

Ge4+

Ge4+

••

••

Ge4+

Ge4+

•• Ge4+

Hueco en la es1ruc111ra ex1erior de un á1omo de indio

(a)

Fig. 33.23

••

••

••

••

o

•

Ge4+

••

••

Movimiento del hueco /

Ge4+

Ge4+

e

••

Ge4+

••

••

Ge4+

•• Ge4+

(b) Movimienlo del hueco por /ransferencia de 1111 elec1rón bajo la acción de un campo eléclrico aplicado

Huecos en un crislal de germanio con impurezas o «dopado»

Apliquemos a continuación este modelo de huecos-electrones a un diodo de unión, formado por la unión de un semiconductor tipo p y otro tipo n (ver figura 33.24). Seguiremos un razonamiento análogo al utilizado en el estudio de la FEM Peltier (ver sección 33.3). La difusión inicial de electrones y huecos en sentidos opuestos a través de la unión crea una densidad de carga espacial a cada lado de la unión. Esta región no neutra se denomina zona de extinción de portadores, porque el número de portadores móviles de carga se extingue dentro de ella cuando los huecos y los electrones se «anulan» entre sí; la zona es del orden de I µ.m de anchura. El campo electrostático E' creado por estas cargas espaciales aumenta hasta que detiene a la difusión de portadores y se alcanza el equilibrio. La ba-

1256

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

- - - - - - - - - lcm- - - - - - -----1 1

t--

tipo - p

1 1 1 1

1

1 µ m --;

1

E'I

1

•

tipo- n

1

• •• 1

1 1

Huecos móviles

{ 1 1 1 1

•

•

• • ••

p ., Densidad de carga

X

V',, _º_i-stn _·_bu-c-io_'n_d_e_p_o-te-n-ci-al_ v ( _ -- -- --

_J

1

X

Fig. 33.24 Diferencias de potencial a través de un diodo de unión

rrera de diferencia de potencial Vb se debe a E'. Como se observó en el caso de la FEM Peltier, podemos unir ·1os extremos opuestos de un diodo mediante un hilo conductor y mantenerlos a una temperatura diferente de la que existe en la unión de los semiconductores y generar así una FEM térmica. Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones de interés tenemos que ocuparnos de los semiconductores en dispositivos de control. Consideremos lo que ocurre cuando aplicamos un campo externo a través de la unión del diodo conectando una fuente de FEM de potencial V como se indica en la figura 33.25. Cuando el sentido de la FEM es el que se ve en la figura 33.25a, el campo externo aplicado a la unión se opone al campo E'; así hace desplazar a los electrones en exceso hacia el interior del semiconductor tipo p y empuja a los huecos hacia el interior del semiconductor tipo n, creando así una corriente convencional equivalente / a través de la unión en el sentido del movimiento del hueco. En este caso, se dice que tiene polarización directa. En ausencia de cualquier resistencia externa, se produce en la unión casi toda la caída de potencial externa V, de modo que el campo de polarización directa disminuye la barrera de potencial efectivo en la unión desde Vb hasta VÍJ = Vb - V,

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1257

,.

p

n

n

p

(a) Polarización directa

(b) Polarización inversa

Fig. 33.25 Rectificador de unión de semiconductores tipos

II

y p: /'

~

I

siendo V el potencial suministrado por la FEM, activando así la difusión adicional a través de la unión. Por otra parte, si la FEM se dirige en la forma indicada en la figura 33.25b, el campo aplicado mueve a los huecos hacia la izquierda y a los electrones hacia la derecha, alejár1dolos de la unión. Así se impide o inhibe la recombinación y, como no se generan nuevos portadores de carga en la unión, únicamente circula a través de la unión una corriente inversa muy pequeña I'
I

/0

(exp eV r¡kT

1)

[33.46]

en donde V es la diferencia de potencial de polarización directa (que se toma negativa si la polarización es inversa), r¡ es un factor de corrección (aproximadamente 1 para el germanio y 2 para el silicio), k es la constante de Boltzmann y V0 = r¡kT/e. La característica se ha representado en la figura 33.26a. Para V rel="nofollow"> V0 positivo, la corriente crece exponencialmente con V. En el caso de polarización inversa ( V < 0), el término exponencial disminuye rápidamente cuando I tiende a - /0• Los valores típicos para el germanio a temperatura ambiente (T = 300 K) son del orden de / 0 = 1 µA y V0 = 25,9 mV. La figura 33.26b muestra el gráfico de la característica en la forma acostumbrada, habiéndose ampliado la escala de corriente negativa en el caso de la polarización inversa. La resistencia dinámica puede calcularse como 1

dJ/dV

V exp

-

0

fo

(

V)

- -

Vo

1

+

10

[33.47]

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1258 I / l.

50

/. rn:\

40

40

30 -

30 -

20 -

10

- 3

- 2

10 -

-1

-0.2 -0.1

-""

2

3

v¡JI,,

0.3 V/V,,

- 1

-0.5 µ.i\

(a)

- 1 µ./\

Característica del diodo normalizada

l. µ.,\ (b) Valores típicos de la característica de un diodo de germanio

Fig. 33.16

Características de un diodo de semiconductores

Así, pues, en el caso de ciertos valores típicos, obtenemos las siguientes resistencias dinámicas para cada tipo de polarización V

0,2 V

/

2>25 mA

R/

V

-0,l V

/

-0,98 µA

R,

89 n

polarización directa

102 000 Q polarización inversa

Si el potencial de polarización inversa es suficientemente grande como para generar un campo del orden de 10 MV /m en la unión, entonces un portador de carga puede acelerarse lo suficiente por la acción del campo entre colisiones que puede en una de ellas liberar a otro electrón compartido, el cual a su vez se verá acelerado de forma que puede adquirir energía suficiente para romper otro enlace covalente. Por tanto, el número de portadores de carga puede incrementarse rápidamente en un efecto avalancha y la unión del diodo «se rompe» y resulta conductora.

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1259

A continuación consideremos el problema de construir un triado semiconductor. Podemos considerar el triado de vacío como dos diodos en sentido opuesto, es decir, «espalda contra espalda». La placa y la rejilla forman un diodo de polarización directa. Como la polarización de la rejilla respecto al cátodo es negativa, la rejilla y el cátodo forman un diodo de polarización inversa, inhibiendo el flujo de corriente convencional procedente de la placa y así proporciona el mecanismo de control. Apliquemos esta analogía al diodo de unión creando un transistor de unión como si se uniesen «espalda contra espalda» dos diodos de unión (ver figura 33.27). Queremos que el flujo de corriente sea controlado, pero no cortado, de modo que tendremos que hacer la región tipo n (conocida como base), existente entre los dos segmentos tipo p, de espesor muy pequeño para reducir al mínimo la recombinación de los portadores de carga dentro de la base. El segmento tipo p de la izquierda de la figura 33.27 se denomina emisor; el segmento tipo p de la derecha se denomina colector. Lo normal es que la corriente que sustrae la base de muy pequeño espesor sea muy reducida de modo que la corriente de huecos JE que pasa a través del emisor es aproximadamente igual a la corriente fe que pasa por el colector. Así, pues, la razón entre las potencias producidas por los dos componentes es

R,

R¡

~ 2 mm

20

µm

1

1

»

[33.48]

2 mm~

Base Emisor

V, ••,___ __

__..

tipo-p

tipo-p

Colector

___..

----e--V2

(a) Transistor de unión tipo-pnp

le

1,.

Colector

'~ 1 ,Base

(b) Red equivalente utilizando dos

diodos de unión tipo-pn

Fig. 33.27 Un transistor de unión y un circuito análogo con dos diodos de unión pn en funcionamiento opuesto

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1260

La potencia de salida es mucho mayor que la potencia de entrada, lo cual nos sugiere que podemos utilizar el transistor como la base de un dispositivo de control análogo al que se obtenía utilizando el triodo de tubo de vacío. El nombre de «transistor» es de hecho una abreviatura de «powertransfer resistor» (resistencia de transferencia de potencia). Recuérdese que el transistor actúa como una válvula; la potencia se obtiene a partir de una batería externa o de alguna otra fuente de FEM. El segundo principio de la termodinámica nos impide así la conversión directa de la ener-gía térmica de los electrones de valencia en potencial eléctrico. El transistor de la figura 33.27 se dice que es del tipo pnp. También es posible construir un transistor tipo npn, con la base construida con un semiconductor tipo p y el colector y el emisor hechos con semiconductores tipo n. De hecho, el transistor de unión tipo npn es el de empleo más común. Como podemos evitar algunos signos menos y algunos. problemas co11ceptuales al estudiar los sentidos de las corrientes, consideraremos únicamente transistores tipo npn en la sección siguiente. La figura 33.28 muestra los símbolos utilizados ordinariamente para representar los dispositivos de semiconductores en los diagramas de circuitos. En los símbolos que representan transistores, la flecha indica el sentido del flujo de corriente convencional a través de la unión emisor-base. En las aplicaciones corrientes por la base circula sólo el 1 % de la corriente.

Emisor

Colector

Emisor

•

Base (a) Transistor tipo pnp

®

(b) Diodo de unión

•

Colector

Base (e) Transistor tipo npn

Fig. 33.28 Símbolos utilizados en los diagramas de circuitos

Los transistores fueron inventados en 1948 en los Estados Unidos por John Bardeen, Walter Brattain y William Shockley, quienes compartieron en 1956 el Premio Nobel de Física por su descubrimiento. Los transistores han demostrado ser mucho más estables, compactos y fiables que los tubos de vacío y sus necesidades de potencia son mucho menores porque no necesitan ninguna calefacción. También resultan más baratos en su fabricación en cantidad. Así, pues, el descubrimiento de los transistores condujo a una revolución de largo alcance en la electrónica. Comparando dos aparatos de radio de tipo medio construidos en 1945 con tubos de vacío y en la actualidad con transistores, puede decirse que su tamaño y su precio se han reducido aproximadamente por diez (teniendo en cuenta el alza en el coste de la vida). Un ordenador grande típico de la década de los 50 ocupaba varias salas grandes, requería grandes cantidades de potencia y necesitaba unos sistemas de refrigeración muy complejos y

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

amplios para eliminar el calor generado en los tubos de vacío. En la actualidad puede conseguirse una gran potencia de cálculo y una gran capacidad de memoria en un pequeño microordenador, basado en una simple pastilla o «chip» que contiene un elevado número de transistores fabricados a la vez en una pequeña lámina u oblea de silicio del tamaño de una uña (o incluso menor). Estos microordenadores se consiguen ahora a unos precios tan bajos que hace que sean una necesidad corriente en los centros escolares, laboratorios e industrias y está encontrando una utilización cada vez más amplia en los utensilios caseros, en ciertos juegos e incluso como ordenadores programables aislados. Antes de abandonar el tema general de la conducción no-óhmica en la materia, mencionaremos algunas de las características generales de la conducción en los gases, aunque cualquier estudio detallado está fuera del ,objetivo de este libro. Como un gas en condiciones normales está compuesto por moléculas neutras, siendo así no conductor, deben inducirse de alguna manera en el gas las cargas portadoras de la corriente antes de que pueda actuar como conductor. Esto puede hacerse de tres modos: 1 por efecto de las colisiones entre partículas en movimiento muy rápido que golpean a los electrones de las moléculas neutras liberándolos de las mismas; 2 mediante el efecto de la radiación electromagnética, como la luz, que puede ionizar ciertas moléculas si la radiación posee la frecuencia apropiada; 3 mediante la introducción de partículas cargadas procedentes de una fuente exterior. Una vez inducidas las cargas en el gas, puede explicarse una diferencia de potencial V entre los terminales del tubo de descarga gaseosa, como ocurre en los anuncios luminosos de neon o en una lámpara fluorescente. Las partículas ionizadas se aceleran al moverse desde un terminal hacia el otro bajo la influencia del campo (ver.figura 33.29). Cuando V< VA la conducción está garantizada por las cargas inducidas creadas inicialmente (o presentes de modo natural). Si V ~ VA, las partículas cargadas adquieren energía suficiente, acelerándose por el campo entre colisiones de forma que pueden ionizar las moléculas neutras cuando chocan contra ellas. Por tanto, se origina un efecto avalancha en el que se producen cada vez más partículas cargadas por las colisiones sucesivas de las partíI

V

Fig. 33.29 Caracterfstica de una descarga en gases

1261

1262

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

culas originales y de las de nueva creación. Una vez iniciado el efecto avalancha, la corriente aumenta rápidamente y la caída de potencial en el tubo disminuye (es decir, se necesita menos trabajo para que una carga determinada se mueva a lo largo del tubo). Sin embargo, si la diferencia de potencial externa se incrementa aún más, la corriente dentro del tubo tiende gradualmente a un nuevo valor de saturación. Por ello, la característica del tubo de gas puede tener varios valores diferentes de / = f(V) para un valor determinado de V. El punto real de funcionamiento depende, así, de la historia previa de funcionamiento del tubo y en este sentido puede decirse que dicho tipo de tubo tiene memoria. El tema de los dispositivos no lineales es muy complejo. Sin embargo, su importancia teórica y práctica es inestimable y el estudio que sigue a continuación servirá para proporcionar algunos fundamentos generales para estudios futuros y para despertar la curiosidad del lector. En su pleno y real sentido, gran parte de los triunfos más inspirados de la tecnología moderna se deben a la explotación inteligente de la no linealidad en los circuitos eléctricos.

33. 6 Circuitos de transistores Los transistores pueden conectarse y polarizarse de varias maneras diferentes. Normalmente uno de los terminales del transistor es común -es decir, se conecta a la vez al terminal de entrada y al de salida. En la figura 33.30 se ve una disposición simplificada de emisor común. En esta .configuración, el emisor es la fuente de portadores de carga, el colector

V, - - ----. R,

n

B----

V

+ .___ __. p

/

Unión con ~larización

inversa

--Unión con polarización directa

(a) Circuito amplificador

(b) Polarización de la unión del transistor

Fig. 33.30 Disposición de emisor común

recibe la mayor parte de los mismos y la base actúa como una válvula para controlar su flujo. Así resulta una dependencia complicada entre la corriente del colector / e y la diferencia de potencial Ve aplicada al transistor. (El terminal de emisor está conectado a tierra.) A su vez, el potencial Ve depende sensiblemente de la corriente / B que se extrae por la base.

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

La figura 33.31 muestra el conjunto resultante de curvas característicru le= f(Vc, / 8 ), con algunos de los valores típicos para el germanio. Consideremos la configuración de la figura 33.30 en un caso en el que Vce = 9 V y R L = l kíl. Podemos dibujar la característica de la línea de carga le= (Vcc - Vc)R¿ entre los grupos (9 V, O) y (O, 9 mA) como se ve en la figura 33.31. Entonces el punto de funcionamiento Q para una corriente de base de Is = 20 µA está en (7V, 2 mA), en donde la línea de carga corta a la característica adecuada. Por tanto, la potencia transferida a la carga es 4mW Supongamos a continuación que cierta fuente externa de FEM produce una variación en / 8 hasta valer 60 µA (el triple del valor anterior de la corriente de la base). El nuevo punto de funcionamiento Q' está en (4V, 5 mA), de modo que la variación 11/e de la corriente del colector es Me = 5 - 2 = 3 mA. De aquí que la potencia cedida a la carga sea ahora

P'L

25mW

Por tanto, triplicar el valor de Is produce un incremento superior a seis veces la potencia consumida por la carga. Para comprobar que el transistor es realmente un dispositivo de control efectivo, necesitaremos determinar cuánta potencia adicional se gasta en la base cuando la corriente Is se varía a 60 µA. En primer lugar, obsérvese que la unión base-emisor está polarizada directamente -es decir, el potencial positivo Vs tiende a ayudar al movimiento de los electrones desde el emisor tipo n a la base tipo p. Por consiguiente, podemos estimar el potencial a partir de la característica del diodo de unión idealit,.

o

mA

2

4

6

8

10

Fig. 33.31 Función característica de salida correspondiente a un transistor tipo npn con emisor común (ver figura 33.30)

1263

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1264

zado. Si tomamos como típicos los valores / 0 = 1 µ,A y V0 = 25,9 mV, entonces la ecuación [33.46] para V = VB predice V8

=

19 mV

20µA

106mV

60µA

Por tanto, el consumo incrementado de potencia en la malla base-emisor vale solamente t:,.P8

=

(106 X 60 -

79 X 20) nW

=

4.78 µ,W

Aunque este cálculo no es exacto, nos da una idea del orden de magnitud del control hecho posible a través del empleo del transistor. Una buena medida de este control es el cociente t:,.pL D.PB

=

21 mW 4.78 µW

4375

[33.49]

Otras medidas útiles de la efectividad de este amplificador con emisor común son sus ganancias. La ganancia de corriente es 3mA 40µA

Á¡

[33.50]

75

y la ganancia de tensión es

RLD.lc --= D.V 8

3V

27 mV

111

[33.51]

. siendo A V8 la variación de VB. Finalmente·, existe la ganancia de potencia: Ap

=

AvA1

=

15 X 111

8300

[33 .52]

La ecuación [33.52] es comparable pero no es la misma que la ecuación [33.49]. Como la Unión colector-base posee polarización inversa, la mayor parte de la variación de potencial en la malla de salida aparece a través de esta unión. En la unión base-emisor únicamente a,parece una variación relativamente pequeña, siendo dicha unión común a ambas mallas; de aquí que exista una ganancia de tensión significativa. La variación de la corriente del colector correspondiente es de acuerdo con ello mucho mayor que la pequeña variación de corriente de la malla de entrada, de modo que la ganancia de potencia es muy grande. Varios circuitos de transistores pueden disponerse en cascada, de modo que la salida de un circuito forma la entrada del siguiente y así sucesivamente. Entonces la ganancia global de la cascada completa es el producto de las ganancias individuales de sus transistores componentes. Otros dos tipos de circuitos de transistores fundamentales son el de base común y el de colector común (o seguidor de emisor, «emitterfollowern). La figura 33.27 muestra un transistor tipo pnp en un circuito con base común. Como hemos visto las corrientes del emisor y del colee-

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1265

VE

l-

n

v• .,__.

p n

Malla~

Malla de

em.rada

salida

(a) Circuito

/

-

Unión con polarización directa Unión con polarización inversa

(b) Polarización

Fig. 33.32

tor son aproximadamente iguales, de modo que no existe ninguna ganancia significativa de corriente. Sin embargo, la unión base-colector posee polarización inversa, mientras que la unión emisor-base tiene polarización directa. Así, pues la ganancia de potencia a través de una resistencia de carga situada en la malla base-colector (salida) será del orden de magnitud de R,IR¡ ¡¡¡,,. I, de modo que existe una moderada ganancia de potencia, aunque le == /E. Normalmente la ganancia de potencia en el caso de una configuración de base común es uno o dos órdenes de magnitud menor que la ganancia de potencia en el caso de la configuración de emisor común. La figura 33.32 muestra una disposición con colector común. Como la unión base-colector común en ambas mallas tiene polarización inversa, la mayor parte de la variación de potencial a través del transistor aparece en esta unión y, por ello, la ganancia de tensión es aproximadamente la unidad. Es decir, como la variación de potencial en la unión base-emisor es esencialmente despreciable, cualquier variación de potencial que se produzca en la malla de entrada constituirá la casi totalidad de la variación de potencial que aparece en la malla de salida. Sin embargo, existe una ganancia de corriente en esta configuración, de modo que la ganancia de potencia no es la unidad. Estos tres tipos de circuitos de transistores con un electrodo común difieren en sus resistencias de entrada y de salida -que son las resistencias equivalentes medidas entre los terminales del transistor en las mallas de entrada y de salida, respectivamente -y lo mismo ocurre con sus ganancias. La tabla 33.3 nos da una comparación entre los órdenes de magnitud correspondientes a estas tres configuraciones. Otro tipo importante de transistor es el transistor de efecto de campo o FET («field-effect transistor»). En este transistor, la corriente circula a través de un canal semiconductor que está limitado por uniones con otros semiconductores; los semiconductores que lo rodean y sus uniones con el canal forman la puerta (gate en inglés) que controla el flujo de corriente a través del canal. Obsérvese que en este caso la corriente fluye junto a las uniones en lugar de pasar a su través. La figura 33.33a muestra un transistor de este tipo denominado FET de canal N, en el que el canal

Disposición de colector común

1266

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

Tabla 33.3 Propiedades de las configuraciones de los transistores (valores de los órdenes de magnitud)

Emisor común

Propiedad

Base común

Ganancia de corriente

100

Ganancia de tensión

100

100

10,000

100

Ganancia de potencia Resistencia de entrada Resistencia de salida

Colector común 100

100

1000 íl

100 íl

100,000 íl

100,000 íl

1,000,000 íl

100 íl

está formado por un material tipo n y la puerta está formada por un material tipo p. Los electrones fluyen desde el extremo negativo (la fuente, «source») a través del canal tipo n al extremo positivo (el drenaje, «drain»). Si la puerta se polariza negativamente respecto al canal, entonces las uniones que rodean el canal poseen polarización inversa, de modo que los portadores de carga se ven alejados de las uniones para formar zonas de extinción alrededor de ellas, como se ha indicado. Dentro de estas zonas, la separación de cargas da origen a grandes campos localizados que inhiben el flujo de los portadores de tipo n -de modo que producen el efecto de reducir o constreñir el canal. Si se aumenta la polarización negativa de la puerta se incrementa el tamaño de las zonas de extinción, inhibiéndose aún más el flujo de la corriente de drenaje ID. Pequeños cambios en el potencial de la puerta Va dan origen a grandes cambios en ID, de modo que en este transistor se verifica una amplificación notable. El efecto es semejante en principio al funcionamiento del circuito del triodo de la figura 33.21, en el cual la rejilla se encuentra polarizada negativamente respecto al cátodo. Sin embargo, en la región de funcionamiento normal de un FET, la corriente de drenaje ID depende casi por completo del potencial de la puerta Va y es casi completamente independiente del potencial de drenaje VD. Es posible construir también un FET

Drenaje

(a) Transistor

Fig. 33.33

(b) Diagrama del circuito

Transistor con efecto de campo y canal N (FET)

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1267

-con canal P, en el que el canal se construye con material tipo p y la puerta con material tipo n. La figura 33.33b muestra el símbolo convencional de un FET canal P.

33. 7 Redes equivalentes de transistores Como ejemplo de aplicación de la electrónica supongamos que se desea tomar una señal de pequeña amplitud variable con el tiempo (como las ondas de radio detectadas por una antena) y amplificarla hasta conseguir una señal de mayor amplitud sin modificar la forma de la señal -es decir, sin distorsión. De aquí que posean un particular interés las variaciones de los potenciales y de las corrientes a través de la carga. Es posible crear una caja negra con cuatro terminales que sirva para representar el efecto producido por cualquier circuito de transistores en dichas variaciones sobre porciones razonablemente grandes de la superficie característica en regiones de la misma en donde es aproximadamente plana. Así, pues, podemos crear un modelo linealizado de funcionamiento del transistor en un intervalo determinado de tensiones y corrientes al cual podamos aplicar entonces la teoría de los circuitos lineales estudiadas en los capítulos 31 y 32. Consideremos el circuito de transistores como una caja negra, como se ve en la figura 33.34, con variables de entrada iB

IB

+

ib

VB

[33.53]

je

Ve

[33.54]

y variables de salida ie

le

+

en donde las letras mayúsculas representan el punto de funcionamiento del circuito Is, Ve, le, a las que ahora debemos añadir la magnitud Vs (porque la ecuación del diodo de unión no es exactamente válida para el caso de la unión base-emisor con polarización directa), y las corrientes y potenciales totales vienen dados por is, u s, ie y u e; las cantidades i b, u b• ic y ve representan las variaciones de los valores totales respecto a los valores constantes del punto de funcionamiento.

v•• + Caja negra

Fig. 33.34 Red con un transistor en emisor común considerada como una caja negra con cuatro terminales

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1268

Sobre bases físicas, podemos suponer que existe alguna relación analítica entre las cantidades de entrada y salida de modo que, en principio, podemos hallar dos de ellas si conocemos las otras dos. Se ha visto que lo mejor consiste en considerar a i8 y ve como magnitudes independientes y a v8 = f(i 8 , ve) e ic = g(i 8 , ve) como magnitudes dependientes. Ya hemos señalado en la sección 28.3 que, en el caso de regiones suficientemente pequeñas alrededor de un cierto punto fijo (X, Y) una función F(x,y) puede aproximarse por la fórmula F(x,y) -

F(X,Y)

aF

-(x ax

X)

+

aF -(y ay

Y)

[33.55]

en donde las derivadas parciales se calculan en el punto fijo (X, Y). Esta aproximación se cumple muy bien si la superficie es aproximadamente plana en la vecindad requerida del punto fijo. Así, pues, en el caso de la diferencia de potencial base-emisor V 8 y de la corriente del colector le, podemos escribir

aie

-. Un az 8

Is)

aie

+ -ave (ve

-

Ve) (33.57]

en donde las derivadas parciales se calculan en el punto de funcionamiento (/8 , Ve). Así podemos relacionar las variaciones de las corrientes y potenciales por h;,ib h¡,ib

+ +

h,,vc

(33.58]

ho,vc

[33.59]

en donde los coeficientes h se denominan parámetros híbridos y pueden identificarse con las derivadas parciales de las ecuaciones [33.56] y (33.57]. El subíndice e se refiere a la configuración en emisor común; para las configuraciones en base común o colector común se utilizan ,parámetros diferentes. Lo que hace particularm~nte interesante a la representación dada por las ecuaciones [33.58] y [33.59] es que podemos utilizar los equivalentes de Thévenin y Norton que vimos en la sección 32.6 (de aquí el término «híbrido») para crear un par equivalente de circuitos interrelacionados que nos servirán como un modelo de la caja negra de cuatro terminales de la figura 33.34, con tal de que las variaciones de la corriente y del potencial no superen la región aproximadamente plana de la superficie característica alrededor del punto de funcionamiento (/s, Ve). Estos circuitos equivalentes se ilustran en la figura 33.35. Si planteamos las ecuaciones correspondientes a las diferencias de potencial en las resistencias, se recuperan ·las ecuaciones [33.58] y [33.59] porque y

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

269

Como ejemplo del empleo de este circuito equivalente de un transistor, apliquémoslo al cálculo correspondiente al circuito de la figura 33.30. Podemos determinar h¡e y h 0 e con exactitud razonable a partir del gráfico de la característica de la figura 33.31. h¡,

-

(~Íc) (~ic) ~jB

ho,

-

5.3mA 60µ,A

1.8 mA 20µ,A

87.5

3.8mA 9V

3.2mA 2V

85.7 µ,mho

uc-5.5 V

~Ve

ís-40µA

La figura 33.31 se conoce más específicamente como el gráfico de las características de salida, con una representación de le en función de Ve mostrando las líneas correspondientes a diversos valores constantes de IB. Para hallar los otros parámetros, necesitaríamos un gráfico o tabla de las características de entrada, en donde se muestre a IB en función de VB con curvas para diversos valores constantes de Ve. Valores típicos de h;e y hre son 1.2 kíl

h,,

3 X 10- 4

Apliquemos ahora el modelo del circuito equivalente al caso indicado en la figura 33.35, en donde se ha conectado una resistencia R a la.base y se le ha aplicado a la misma una señal de potencial vs y en donde queremos hallar las ganancias de potencial, de corriente y de potencia en la resistencia de carga RL. Este problema es una versión más exacta de los cálculos llevados a cabo en la sección precedente.

-i,

1/h~

Equivalentes de Thévenin y Norton para señal pequeña en el caso de la caja negra de cuatro terminales de la figura 33.34

Fig. 33.35

Supogamos que la resistencia de entrada R se ajusta al equivalente de Thévenin, de modo que R = h;e = 1,2 kíl, y que RL = 1 kíl. Entonces necesitamos cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas (i/J, vb, ic y ve) para resolver el sistema. Según el equivalente de Norton tenemos dos ecuaciones í33.60]

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1270

de modo que podemos utilizar las sustituciones y

[33.61)

El signo menos en la última ecuac1on significa que un aumento de i8 > O)da como resultado una disminución de ve (ve < O) y viceversa. Utilizando las ecuaciones [33.61), se ve que la ganancia de corriente es

(ib

79.3

[33.62]

que es comparable con el valor de 75 que obtuvimos en el caso de una variación más bien grande en la ecuación [33.50). A partir del equivalente de Thévenin, se hallan dos ecuaciones más: y

Así, pues, empleando ve tencial como

vs

(R

+

h;e)ib

+

h,evc [33.63)

-RLic, podemos calcular la ganancia de po-

Av=

67.4 [33.64] que está dentro del orden de magnitud del valor de 111 que obtuvimos para una variación grande en la ecuación [33.51]. Ahora podemos hallar la ganancia de potencia: A 1 Av

=

(- 79.3) X (-67.4)

5345

[33.65)

que está dentro del orden de magnitud del valor de la ecuación [33.52). La porción final de la ecuación [33.64) es de interés si queremos determinar los valores numéricos reales de las cuatro variables de interés cuando se ha dado el valor de v5 • Por ejemplo, si v5 = +O,l V, entonces (puesto que ve = -RL ic), tenemos a partir de la ecuación [33.63), 0.1 Como ie

= 0.1

2400ib

+

0.0003vc

0.3ic

2400ib -

79,3ib, se tiene

(2400 -

24)ib

o sea, ib

42µA

Y de aquí Íc

3.3mA

y

ve

-3.3 V

Así, pues, vemos que la señal v5 se ve efectivamente invertida y multiplicada por 33 cuando se reproduce como la señal ve en los terminales de ·salida. (¿Puede explicarse por qué velv 5 -=I=- velvb?)

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

PROBLEMAS 33.1-33.2

Electroquímica y FEM química

33.1 A través de una disolución de nitrato de plata (AgNO 3) pasa una corriente 1 durante 36 min. Como resultado, se depositan en el cátodo 0,54 g de plata (Ag). Despreciando el calentamiento por efecto Joule del electrolito, ¿cuál es el valor mínimo de J? 33.2 El voltámetro fue en una cierta época el dispositivo standard o patrón para la medición de corriente en función de la masa depositada de un electrolito sobre un cátodo en lo que constituye esencialmente una operación de electrodeposición. El cátodo, de forma hemisférica, es de platino. Por cada culombio de carga que pasa por el electrolito, se depositan 3,292 x 10-7 kg de cobre (Cu) en el cátodo de platino (Pt). (a) Hallar el peso equivalente del cobre. (b) Hallar el peso atómico del cobre. 33.3 El calor de formación del agua es 68.400 kcal/kmol. ¿Cuál es la mínima diferencia de potencial que se requiere para la electrolisis del agua? 33.4 El óxido de aluminio (alúmina, AL 2O 3) se obtiene refinando el mineral bauxita. Luego se produce el aluminio puro (Al) mediante la electrolisis de la alúmina. En 1970 la electrolisis del aluminio a gran escala se podía realizar con un consumo de 13 kW • h de energía eléctrica por cada kg de aluminio producido. El calor de formación del Al 2O 3 es 399 000 kcal/kmol. (a) ¿Cuál es el rendimiento del proceso de electrolisis? (b) La producción anual mundial de aluminio a partir de la alúmina es aproximadamente 107 toneladas métricas. ¿Cuál es la corriente total media que debe estar circulando en el mundo en un instante dado para disociar la alúmina? 33.5 La disociación de los electrolitos en iones cuando se disuelven en agua se justifica por el hecho, entre otros, de que la constante dieléctrica del agua es 80. Considerando que la distancia media entre un par de iones Na+ -Cl- en un cristal de sal es 4 Á, calcular el trabajo requerido para separar completamente los iones (a) en el vacio, (b) en el agua. 33.6 En el sistema cgs utilizado en química, la conductividad equivalenter se define como r = <J!c', en donde e' es la concentración del electrolito en pesos equivalentes gramo por 1 cm 3 de disolución. (a) A 18 ºC, la conductividad equivalente de una disolución de sal 0,08 molar (en moles-gramo) es r = 93,5 cm 2/íl, y la de una disolución 0,1 molar es r = 92,0 cm 2/íl. Hallar las conductividades de estas disoluciones en mho/m. (b) Para una concentración determinada cualquiera, el valor de r para una disolución de sal incrementa en un 2,7% por cada incremento de 1 ºC de temperatura. ¿Cuál es el valor de r para la disolución O, 1 molar a 100 ºC? *33. 7 Estudios empíricos demuestran que la conductividad equivalente r disminuye en proporción a la raíz cuadrada· de la concentración del electrolito. Utilizar r = ale' como se definió en el problema 33.6 y po-

1271

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1272

ner r = r O -kJc, en donde e = 106c' es la concentración en pesos equivalentes gramo por 1 m 3 de disolución. Ajustar la ecuación empírica a los datos siguientes en el caso de la disolución de nitrato de plata para determinar los valores de r O y k. e

r (INDICACIÓN:

10 108.0

20 105.1

40 101.3

80 96.5

Utilizar un ajuste lineal con x

100 94.6

= -Je;

ver sección 24.1)

*33.8 (a) Utilizando la fórmula y el resultado del problema 33.7, hallar la concentración e de una disolución de nitrato de plata (AgNO 3) si a = 4,7 mho/m. (b) Hallar la concentración aproximada de nitrato de plata en la disolución por peso.

33.9 Podríamos añadir la siguiente semirreacción correspondiente al yodo a la serie electromotriz de la tabla 33 .1:

potencial -0.54 V Los dos electrodos de una pila electroquímica se componen de yodo diatómico gaseoso (li) y cloro gaseoso (Cli) que burbujean alrededor de unos electrodos sumergidos en una disolución que contiene iones 1- y Cl - . Alrededor de cada electrodo sólo burbujea uno de los gases. (a) ¿Cuál es la FEM en circuito abierto de la pila? (b) ¿Qué gas forma el terminal negativo de la misma? (e) Escribir una ecuación química sencilla que exprese la transferencia de electrones y la FEM de la pila . Después que una pila Daniell ha estado funcionando durante algún tiempo, se observa que el electrodo de zinc ha reducido su peso en 6,54 g. (a) ¿Cuánto peso ha ganado el electrodo de cobre? (d) ¿Cuánta energía ha producido la pila?

. 33.10

33.11

La reacción esencial de una pila de mercurio es Zn + HgO

--+

ZnO + Hg

(a) ¿Cuál es la FEM de la pila de mercurio? (b) Si la vida de la pila está limitada por los 22 g de zinc presentes en el electrodo de la pila, ¿durante cuánto tiempo podrá estar produciendo la pila una corriente de O, 1 A? 33.12 Una batería ordinaria de plomo-ácido está compuesta de tres a seis elementos conectados en serie. En cada uno de ellos la semirreacción en el ánodo de plomo es

Pb + SO¡-

--+

PbSO 4 + 2e-

potencial + 0,345 V

y la que se produce en el ánodo de dióxido de plomo es PbO 2 + 2e- + 4H+ + SO¡-

--+

PbSO 4 + 2H 2O potencial+ 1 680 V

(a) ¿Cuál es la diferencia de potencial en los terminales de una sola célula? (b) ¿Cuál es la reacción química completa? (e) Si una batería de 12 V

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1273

totalmente cargada suministra 25 A durante un período de 2 h, ¿cuánto sulfato de plomo se forma en sus electrodos? 33.13 Un objeto ha de recubrirse con cobre en un baño de éuSO 4 y tiene un área superficial A. La capa de cobre ha de ser de un espesor ó. Si la densidad del cobre es p y su peso molecular es M 0 , entonces (utilizando las demás notaciones acostumbradas para las diversas magnitudes) hallar el tiempo que se necesitará para el recubrimiento si se utiliza una corriente /. 33. 3

Termoelectricidad

33.14 En la fórmula empírica del termopar intervienen otras dos temperaturas además de la de referencia T0 : la temperatura neutra T-,, a la cual d& /dT = O y la temperatura de inversión T¡ T0 a la cual 0= O. (a) Demostrar que T¡- T0 = -2 cd{3. (b) Demostrar que Tn -- T0 = -cd{3. (c) Hallar Tn y T¡ para un par de plomo-hierro con T0 = 273 K = OºC.

*

33.15 Una unión de un par cobre-hierro está a 573 K y la otra a 273 K. (a) Hallar la FEM Seebeck del termopar. (b) Hallar el poder termoeléctrico, que se define como la variación del incremento de la FEM con el aumento de temperatura o sea d 8/dT. 33.16 Un termopar hecho de plomo y de un metal desconocido se estudia experimentalmente. Cuando Th = 423 K y Te = 273 K, la FEM Seebeck es 153 µ. V dirigida hacia el metal desconocido en la unión caliente y el poder termoeléctrico (ver problema 33.15) es 3,36 µ. V/K. ¿Cuál es el metal desconocido? 33.17 Demostrar que las fórmulas de las ecuaciones [33.34] y [33.35] para TI y ªT están de acuerdo con la fórmula empírica del termopar correspondiente a la FEM total en el circuito del termopar:

{INDICACIÓN:

Calcular & a partir de TI y de

aT

como en la ecuación

[33.25] .) 33.18 Si &A(r' ,O) es la FEM de· un termopar construido con un metal A y plomo cuando la unión caliente está a una temperatura r' y la fría está

a OºC, demostrar que, cuando la unión fría está a r

(INDICACIÓN:

*

OºC, la FEM es

Utilizar la ecuación [33.25].)

33.19 Un termopar está hecho de los metales A y B, estando la unión fría a una temperatura r y la caliente a r'. (a) Demostrar que la FEM del termopar es

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1274

en donde ~ y f3 son los coeficientes Seebeck relativos al plomo a OºC. (b) Calcular la FEM de un termopar de hierro-constantán con temperaturas de las uniones de r' = 500 ºC y r = 100 ºC. (INDICACIÓN: Utilizar el resultado del problema 33.18). 33.20 En la práctica, un termopar se calibra en un cierto intervalo de temperaturas refiriéndose a tablas standard de FEM de termopares para ciertas combinaciones populares de metales. (Estas tablas se encuentran, por ejemplo, en el Handbook of Chemistry and Physics publicado por CRC Press.) Los datos siguientes corresponden a un termopar compuesto por una aleación de platino-rodio (10 OJo de Rh) y platino, con la unión fría a OºC: r, ºC

8(r,0), mV

400 3.25

800 7.33

600 5.22

1000

1200

9.57

11.94

Utilizar el ajuste por mínimos cuadrados de una recta (ver apéndice N) para calcular ~ y f3 para este termopar. Comparar los resultados con los obtenidos en el ejemplo 33.4. 33.21 Se unen del modo indicado en la figura el semiconductor A y el metal B. Con la unión a una temperatura r', el valor de IIAB es 150 mV. Se conecta de la forma señalada una pila de FEM 1,5 V y la resistencia óhmica total del circuito es 5 íl. (a) Hallar el calentamiento (o enfriamiento) en cal/s que tiene lugar en la unión de A y B si se mantiene la ·condición de estado estacionario en el circuito. (No tener en cuenta todas las demás FEM térmicas.) (b) Invertir el sentido de la pila y repetir el cálculo de la parte (a). 1.5 V

5 fl

T

33.4

B

A

T

Conducción no-óhmica: electrones en el vacío

33.22 La función trabajo del tungsteno es ecp = 4,52 eV y para este metal, A = 60,2 A/cm 2 • K2• (a) Hallar la corriente de saturación Is para un filamento de tungsteno de 0,2 mm de radio, 10 cm de longitud y una temperatura de 2 500 K. (b) Hallar el incremento porcentual de Is cuando se aumenta la temperatura a 2 600 K. (Utilizar k = 86,2 ¡.ie V /K) 33.23 Después de recubrir con óxido de cesio el filamento del problema 33.22, cp = 1 V y A = 0,01 A/cm 2 • K2 • ¿Cuál es la corriente de saturaci0n Is de este filamento recubierto a 1 500 K?

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

1275

*33.24 Puede demostrarse teóricamente que / = KV3/2 en el caso de un diodo de tubo de vacío cilíndrico en el cual la placa es un cilindro concéntrico alrededor del cátodo cilíndrico conectado a tierra, siendo K una constante que se determina por consideraciones geométricas. En la práctica se obtiene la relación empírica/ = KVp, determinándose experimentalmente las constantes K y a. En uno de estos diodos se obtuvieron los datos siguientes:

/, A

10

20

30

40

50

60

0.1

0.25

0.43

o. 71

1.00

1.22

Utilizar el ajuste de una recta para determinar a y K. (INDICACIÓN: Utilizar logaritmos.) Se nos da una caja negra con dos terminales que contiene una de resistencia interna r. El terminal negativo de & está conectado a tierra y el potencial del terminal positivo es V. (a) Hallar la ecuación de la característica / = f(V). (b) Hallar la resistencia estática. (b) Hallar la resistencia dinámica. 33.26 El circuito indicado en la figura se denomina rectificador en puente. (a) ¿En qué sentido fluye la corriente h en la resistencia de carga RL? (b) ¿En qué sentido circula cuando se invierte el sentido de & ? 33.25

FEM &

33.27 Un brazo de un puente de Wheatstone está formado por una resistencia de thirita con característica / = 1o-s V 3•5• Los otros tres brazos del puente tiene resistencias de 1 kíl. Cuando el puente se encuentre equilibrado, ¿cuánta corriente total deberá suministrar al puente la pila del mismo? 33.28 Si el circuito de la figura 33. 19 se encuentra en un cierto punto de funcionamiento ( V0 , / 0) para el que se conoce la resistencia dinámica Rdy, demostrar que una pequeña variación ó& en &0 producirá un cambio óV

=

en Vy otro cambio ó/ = ó V/Rdy en l. (NOTA: Esto significa que, si han de calcularse cambios pequeños, podemos considerar el circuito como si estuviese compuesto por dos resistencias R y Rdy, en donde esta última representa la resistencia del dispositivo no lineal en dicho punto de funcionamiento.)

1276

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33.29 En una lámpara de incandescencia, el coeficiente de temperatura de la resistencia del filamento es a, una constante. Como la temperatura varía considerablemente con la diferencia de potencial V aplicada al filamento, la característica / = f( V) de la lámpara no es lineal. Cuando el filamento a temperatura T está en equilibrio térmico con el gas que lo rodea a temperatura T 0 , el filamento pierde energía a través de la conducción térmica a un ritmo de P = C(T - T0 ), en donde Ces una constante (ver el problema 27 .25). La resistencia del filamento es R 0 a la temperatura T 0 • (a) Hallar la característica del filamento en la forma implícita F(I, V) = O. (b) Si a (T - T0) ~ 1, hallar una expresión aproximada para la característica f (V). *33.30 Un diodo de vacío con característica/ = f(V) = 10-4 yi. 5 es el elemento no-óhmico del circuito de la figura 33.19 y R = 500 íl. Un experimentador que estudia el circuito está fundamentalmente interesado en la respuesta de corriente a diferentes valores de la FEM aplicada 8 0 • Esta función / = g(8 0) se denomina característica dinámica del circuito -en contraste con f( V), que se denomina también característica estática. El valor de g( 8 0 ) depende también de R. (a) Calcular g(80) a intervalos de 50 V para O :s 8 0 :s 300 V. (b) Representar un gráfico de g(. 8 0) y compararlo con el gráfico de f( V) dibujado a la misma escala. (INDICACIÓN: En lugar de resolver repetidamente la ecuación [33.42] para V( 80), es más sencillo calcular 8 0 (V) para un intervalo de valores de V e interpolar luego.) 33.31 Una expresión general para la superficie característica de un triodo de vacío viene dada por

en donde A y µ son constantes. (a) Hallar una expresión que nos dé la resistencia de la placa

(b) Hallar una expresión para la transconductancia

gm

=

(ªlp) avg

vp const.

(c) Hallar una expresión para el factor de amplificación

(d) ¿Cómo se relacionan entre sí estas tres cantidades? 33.32 En el circuito del triodo de la figura 33.21, suponer que RL es 12 kíl. El valor de Yg se cambia de -2 V a -4 V mediante la adición de una segunda pila en serie con la primera. (a) Hallar la variación aproximada en la diferencia de potencial en RL que resulta de esta variación de

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Vg. (b) Hallar la variación de la potencia disipada en R¿ como consecuencia de la variación de ~- (INDICACIÓN: Dibujar la característica en la figura 33.18 y aplicar el método de la línea de carga.)

33.5-33.6 Conducción no-óhmica en la materia y circuitos de transistores 33.33 (a) Un rectificador ideal no debería ofrecer ninguna resistencia al paso de la corriente en un sentido y una resistencia infinita la paso de la corriente en sentido contrario. Dibujar un gráfico de su característica. (b) Los diodos de semiconductores se emplean mucho como rectificadores. Demostrar que las resistencias estática y dinámica de un diodo de unión son aproximadamente iguales para e V
33.35 Utilizando las soluciones al problema 33.34, determinar la variación de la potencia entregada a la carga cuando / 8 varía (a) desde 40 µA a 20 µA; (b) de 40 µA a 60 µA. 3J.36 La superficie característica de un amplificador a emisor común (ver figura 33.30) en la región en que ha de estar funcionando es aproximadamente el plano en el espacio I 8 Vclc dado por le

=

15/8

+

0.1 Ve

en donde las corrientes vienen dadas en miliamperios y los potenciales en voltios. (a) Si el colector se polariza mediante una batería de 12 V e / 8 = 60 µA. ¿qué valor de la resistencia de carga dará la máxima transferencia de potencia a la carga? (b) ¿Cuánta potencia se transfiere a la carga en estas condiciones? 33.37 El amplificador por transistor de la figura tiene una resistencia de 990 n entre el emisor y tierra. En la zona de funcionamiento del dispositivo se sabe que le = 10018 • (a) Hallar las caídas de potencial A V es entre el colector y la base, A VBE entre la base y el emisor y A VCE entre el colector y el emisor cuando / 8 = 20 µA. (b) Determinar si cada unión está con polarización directa o inversa.

1500 fl

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33. 7 Redes equivalentes de transistores 33.38 Una aproximación que suele hacerse en el estudio del amplificador de emisor común consiste en tomar h 0 e = O = h,e siempre que h0 eRL !:= 0,1. Haciendo uso de esta aproximación, (a) dibujar la red equivalente para el caso de la figura 33.30 y (b) volver a calcular las ganancias de corriente, tensión y potencia. 33.39 Utilizar los valores de los parámetro híbridos dados en el texto. (a) Calcular las ganancias de corriente, tensión y potencia en el amplificador de emisor común de la figura 33.30 cuando la resistencia de carga es 5 kíl. (b) Si la resistencia de la base R = 1 800 íl, hallar la amplificación de la seiíal de tensión de entrada v5 • *33.40 Utilizar las ecuaciones [33.62] y [33.64] para las ganancias de corriente y potencia del amplificador a transistor con emisor común. (a) Hallar la expresión correspondiente a la ganancia de potencia en función de los parámetros híbridos y de la resistencia de carga RL. (b) Demostrar bien analítica o bien numéricamente que la resistencia de carga que proporciona la máxima ganancia de potencia viene dada por

(c) Hallar RL y Ap para el ejemplo resuelto en el texto. 33.41 Suponer que el elemento no-óhmico en el circuito de placa de la figura 33.19 es un triodo con característica IP = f(Y¡,, Vg) y que las derivadas parciales en el punto de funcionamiento vienen dadas por

resistencia de placa µ

factor de amplificación

.Entonces las pequefías variaciones de las magnitudes del circuito están relacionadas entre sí por

_Para una resistencia de carga RL determinada y una caída de potencial en ella VL conocida, demostrar que y

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1279

33.42 (a) Utilizando los resultados c;lel problema 33.41, idear una red equivalente para la malla de salida (placa) del triodo. (b) A partir del gráfico de la característica de un triodo de la figura 33.18, hallar la resistencia de placa r P y la transconductancia g m en el punto de funcionamiento A. Utilizar las relaciones

(e) Como las tres variables Vp, lp y Vg están conectadas mediante una simple ecuación superficial, puede demostrarse que µ

Utilizando esta relación, determinar el factor de amplificación µ a partir del resultado de la parte (b). (d) Con los resultados del problema 33.41, hallar Mp y ó~ cuando 5Vg = -2 V y RL = 20 kíl. Comparar los resultados de las partes (b ), (e) y (d) con los obtenidos en el texto de la sección 33.4. · Soluciones

33 • 1 1 = 224 mA 33•2 (a) M 0 /u = 31.77 kg/kmoles; (b) M 0 = 63.54 kg/kmoles 33•3 U= 3 eV/mol, es decir, .1.V = 1.5 V 33•4 (a) 35%; (b) l= (1.11 X 109) faradays/año = 3.4 x 10 9 A 33 • 5 (a) W = 3.6 eV; (b) W = 0.045 eV 33 • 6 (a) u008 M = 0.748 mho/m, uo.iM = 0.92 mho/m; (b) r = 296 cm 2/U 33•7 ro= 113.9cm2/U, k = l.95cm 2/fl 33 • 8 (a) e = 800 g • peso eq/m 3 = 0,8 kg • peso eq/m 3; (b) 120Jo (el valor verdadero de u a esta concentración más bien elevada es 5,5 mho/m) 33 • 9 (a) 8 = 0.82 V; (b) 12 ; (e) 21- + Cl 2 _, 12 + 2C1- + 0.82 V 33 • 10 (a) .1.m = 6.35 g; (b) .1.E = 21.25 kJ 33• 11 (a) 8 = 1.615 V; (b) t = 180.4 h = 1 semana 33•12 (a) .1.V = 2.025 V; (b) Pb + Pb0 2 + 2H 2SÜ 4 _, 2PbS0 4 + 2H 2 O; (e) .1.m = 566 g (o 0.00186 kmoles) 33 • 13 t = pAóu/ M 0 1 faradays 33• 14 (e) Tn = 828 K; T; = 1383 K 33• 15 (a) 8 = 2277 µV; (b) d8/dT = 1.29 µV/K

33• 16 Cobre 33 • 19 (b) 8 = 28,9 m V desde el hierro al constantán en la unión fría 33•20 8/r = (7.29 + 0.00226r) µV/K, a = 7.29 µV/K, (3 = 0.00452 µV/K 2 33 • 21 (a) Enfriamiento, 11,8 x 10-3 cal/s; (b) calentamiento, 9,67 x 10-3 cal/s 33•22 (a) 1, = 0.372A; (b) M,/1, = 142% 33 • 23 1, = 12.4 A 33 • 24 K = 0.00365, a = 1.42 33•25 (a) 1 = (V - 8)/r; (b) R,, = rV/(V - 8); (e) Rdy = r (NOTA: Como la caja negra contiene un elemento activo, la fuente de FEM, el valor de R" puede ser neiativo.) 33•26 (a) De A a :B; (b) de A a B 33•27 1 = 0.2 A 33•29 (a) F(l,V) = (aVR 0 /C)l 2 + R 0 1 - V= O; (b) 1 = (V/ R 0 ) [l - (aR 0 /C) (V/ R 0 ) 2 ] 33. 30 (a) Algunos valores representativos: g(O) = = O = V, g(150) = 0,1 y V = 100, g(300) = = 0,241 y V= 119,6 33•31 (a) rP = 2/3A..JV0 + µVg; (b) Km = (3µA/2) ..JVP + µVg; (e) µ0 = µ; (d) µ0 = rpgm

1280

.33•32 (a) ~VL= -57V; (b) ~pl == 0.55 W - 1.55 W = -1 W 33. 33 (a) El eje x negativo y el eje y positivo; (b) R,1 ::::::: Rcty ::::::: kT!el0 ; (e) R,/ R¡ = 2.5 X 10 34 ; (d) R¡ = 73 n 33•34 (a) fe== 3.3 mA, Ve== 3.5 V; (b) le == 1.7 mA, Ve == 4.7 V; (e) le== 4.8 mA, Ve== 2.4 V 33•35 (a) ~PL == -6 mW; (b) ~PL == +9 mW 33•36 (a) RL = lOkn; (b) PL = 81.2mW 33•37 (a) ~Ves= 5 V, ~VBE = 2 V, ~vce = ~vCB + ~VsE = 7 V; (b) BE polarización directa, CB polarización inversa.

Electroquímica, termoelectricidad y conducción no óhmica

33 • 38 (a) Cortocircuitar la batería h,ev e y desconectar la resistencia llh 0 e; (b) A 1 = 87.5, Av = 72.9, Ap = 5781 33 • 39 (a) A 1 = 61.25, Av = 276.4, Ap = 16.930; (b) A = 105.3 33•40 (a) Ap = RLA;j(h;, - RLA,h,,); (e) RL = 13.52 kn, Ap = 21,450 33 • 42 (a) Una fuente de FEM o& = µó Vg en serie con las resistencias rP y RL;

(b) rP == 5330 n, Km == 6.5 X 10- 3 mho; (e) µ == 34.6; (d) ólp = -2.73 mA, oVP = 54.6 V

CAPÍTULO 34

Campos y fuerzas magnéticas Cuando la parte rectilínea de este hilo [portador de corriente] se coloca en posición horizontal sobre la aguja magnética con una suspensión muy suave y paralela a la misma ... [Entonces] la aguja magnética se mueve y ciertamente bajo aquella parte del hilo cercano que recibe la corriente de modo más inmediato del extremo negativo del aparato galvánico [pila voltaica] se desvía hacia el oeste ... Si la distancia entre ambos aumenta, los ángulos [de desviación o «declinación»] disminuyen ... Si el hilo conductor se coloca en un plano horizontal debajo de la aguja magnética, todos los efectos producidos son iguales que cuando el hilo estaba en un plano superior, solo que en sentido inverso ... Cuando el hilo está situado en el plano horizontal en el que se mueve la aguja ... no perturba a la misma ni hacia el este ni hacia el oeste, sino que únicamente la hace oscilar en el plano de inclinación, de modo que el polo cerca del cual entra la fuerza negativa en el hilo se ve obligado a descender cuando está situado en la parte oeste y a elevarse cuando está al este. HANS CHRISTIAN ÜERSTED, Experimenta circa efficacium conf/ictus electrici in acum magneticam, Copenhaguen, 1820

En el capítulo 26 estudiamos la ley básica que gobierna las fuerzas electrostáticas (la fuerza mutua que actúa sobre las cargas eléctricas en reposo). El valor de la fuerza que una carga ejerce sobre la otra es directamente proporcional al producto de los valores de ambas cargas y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que les separa; las cargas del mismo signo se repelen entre sí mientras que las cargas de signo contrario se atraen mutuamente. Además, estas fuerzas electrostáticas son centrales, es decir, fuerzas que actúan siempre a lo largo de la línea 1281

1282

Campos y fuerzas magnéticas que une las dos cargas puntuales en cuestión. Sin embargo, ahora dirigiremos nuestra atención a otro tipo de fuerza totalmente diferente. Los experimentos demuestran que una corriente eléctrica ejerce una fuerza sobre otra segunda corriente eléctrica. En muchos aspectos, la naturaleza de estas fuerzas entre cargas móviles posee un notable contraste con la naturaleza de las fuerzas electrostáticas. Estas fuerzas representan un fenómeno fundamentalmente más complejo que aquél en el que intervienen las fuerzas electrostáticas y por ello su descripción es bastante más complicada. Las fuerzas entre corrientes eléctricas se denominan fuerzas magnéticas, debido a que precisamente este fenómeno es el que justifica las fuerzas que actúan entre materiales magnéticos tales como trocitos de hierro imantados. Históricamente, las fuerzas magnéticas se observaron por primera vez en conexión con el comportamiento de las piedras imanes naturales. Existen algunas pruebas fragmentarias de que los chinos conocian los fenómenos magnéticos ya en el año 2637 antes de Cristo. La piedra imán o magnetita es un óxido de hierro (Fe 3 O 4), que se encontraba antiguamente en Magnesia, una ciudad de la Grecia Jónica, y se mencionaba en los escritos de Thales de Mileto (640-546 a. C.). Sin embargo, el empleo de una aguja imantada como brújula parece haberse originado únicamente en el período medieval que coincide aproximadamente con el año 1000 d. C., posiblemente con los chinos o los árabes. En 1296, Petrus Peregrinus de Maricourt, un cruzado francés, describió detalladamente la brújula y su empleo en navegación y fue el primer escritor que aplicó el término polos a los extremos del imán en donde parecen concentrarse las fuerzas magnéticas. En este capítulo y en el siguiente, presentaremos los fundamentos de la teoría del magnetismo. En la mayoría de los textos su estudio empieza con el enunciado de la ley de Biot-Savart (sección 35.1) que relaciona los campos magnéticos con las corrientes y la geometría del problema y luego pasan a deducir las fórmulas fundamentales de la teoría magnética a partir de esta ley. Sin embargo, el estudio del magnetismo empezó casi dos siglos antes que el estudio de la electricidad, de modo que dicho método soslaya la secuencia natural en que se desarrollaron los conceptos del magnetismo. En este capítulo veremos cómo los estudios experimentales iniciales y las teorías primitivas empezaron con la noción de polos magnéticos y el descubrimiento de Oersted (ver cita al principio del capítulo) y que, combinadas con las leyes de Newton del movimiento, pueden conducir a importantes principios y conceptos de las teorías magnéticas, creándose así una estructura para el concepto teórico del magnetismo. En el capítulo siguiente, veremos cómo esta estructura conduce directamente a la ley de Biot-Savart. Ningún principio científico nace completamente desarrollado de una sola mente; cada nuevo avance se apoya en los errores y aciertos que le precedieron. Nuestro estudio histórico y parcialmente unificado que incorpora los desarrollos que culminan con la ley de Biot-Savart resulta instructivo; además proporciona la base para el estudio de los materiales magnéticos del capítulo 36. Empezaremos con la descripción clásica de los campos magnetostáticos de los polos de un imán en forma de barra, observando la semejanza

Campos y fuerzas magnéticas

1283

formal con la ley de Coulomb correspondiente al campo electrostático. Definiremos entonces una intensidad de campo magnético (que posteriormente volveremos a definir para que sea consistente con el descubrimiento de Oersted de la relación existente entre los fenómenos magnéticos y los eléctricos). Finalmente, examinaremos los efectos de los campos magnéticos sobre los conductores por los que circulan corrientes y sobre cargas en movimiento libre. En este capítulo no estudiaremos las propias fuentes de los campos magnéticos. Volveremos a este tema en el capítulo 35, en donde veremos que las propias cargas móviles dan origen a los campos magnéticos, aunque pueda existir una neutralidad global completa.

34.1

El campo magnético

Aunque durante muchos siglos se conocieron las fuerzas ejercidas por las piedras imán naturales o por los trozos de hierro imantados permanentemente, la primera investigación científica extensa de estos fenómenos fue llevada a cabo por William Gilbert, físico de la reina Isabel de Inglaterra, y fue publicada en su gran obra De Magnete en 1600. Gilbert observó que cada imán tiene dos polos en los que parece concentrarse sus efectos magnéticos. Además, la propia Tierra actúa como un inmenso imán que posee sus polos cerca de los polos norte y sur geográficos. Así, pues, en ausencia de ligaduras externas un imán tiende a alinearse por sí mismo sobre la superficie de la tierra en dirección norte-sur. Gilbert llamó polo norte al polo del imán que señala hacia el norte y al otro polo lo llamó polo sur. Esta nomenclatura sigue utilizándose todavía, aunque hoy se denomina a veces polo positivo al polo norte y polo negativo al polo sur. Gilbert demostró que polos del mismo nombre se repelen, mientras que polos diferentes se atraen entre sí. Posteriormente John Michell (en 1750) y Charles Coulomb (en 1785) demostraron que las fuerzas dirigidas de centro a centro de los polos varían en proporción directa con la intensidad o fuerza de los mismos y en proporción inversa con el cuadrado de la distancia que los separa. Michell demostró que los polos magnéticos siempre aparecen en parejas norte-sur y con intensidades iguales, uno en cada extremo del imán (formando así un dipolo magnético). Sin embargo, utilizando una barra imantada muy larga, podemos reducir al mínimo el efecto o influencia del polo opuesto y obtener de modo efectivo un polo aislado puntual. Estos resultados sugieren inmediatamente que podemos definir una intensidad de polo magnético p que puede estar relacionada con las fuerzas y distancias de un modo semejante a como se relacionan en la ley de Coulomb las fuerzas electrostáticas entre cargas puntuales. (NOTA: p es una magnitud escalar.) La fuerza F sobre un polo de intensidad p' situado en r debida a la acción de otro polo de intensidad p en el origen (en el sistema mksÁ de unidades) es ..

F

[34.1]

Campos y tuerzas magnéticas

1284

en donde la intensidad de polo se mide en unidades Sl denominadas webers (Wb), la fórmula está racionalizada mediante el factor geométrico l/47í (ver sección 26.4) y viene definida la constante µ, 0, que se conoce como la permeabilidad del espacio libre como 47f X 10- 7

12.5664 X 10- 7 Wb 2 /N-m 2

[34.2]

Comparando las ecuaciones [34.1] y [26.4], se observa la semejanza matemática entre ambas expresiones correspondientes a las fuerzas magnetostáticas entre polos puntuales y a las fuerzas electrostáticas entre cargas puntuales. Esta simetría formal de fácil recuerdo sugiere la posibilidad de otras analogías adicionales. Se observa en estas definiciones que el weber es una unidad más bien grande. Dos polos cada uno de ellos de 1 Wb de intensidad separados por una distancia de 1 m expenmentarán una fuerza de 63 326 N o sea casi 7 toneladas métricas de fuerza. Como veremos, esta unidad magnética tan grande es el resultado de nuestra selección del amperio, que es una unidad de corriente conveniente, como unidad básica del sistema SI. Prosegmremos nuestra analogía con la electrostática definiendo una intensidad de campo magnético (o intensidad magnética) H como la fuerza por unidad de polo magnético que es ejercida por el campo magnético debido al polo p:

F . l!ID -

H

<' rel="nofollow">p-0

ó.p

1 ) p ~ ( 41rµo 7i r

[34.3]

en donde se supone que se coloca un polo de prueba o testigo muy pequeño ó.p en el campo p. En cierta extensión podemos aplicar nuestro estudio matemático de las fuerzas eléctricas al estudio de las fuerzas magnetostáticas, pero pueden surgir ciertas complicaciones. Por una parte, no puede definirse el weber (unidad de intensidad del polo) con independencia de las unidades que hemos definido para la carga eléctrica. Esto se debe a la conexión básica existente entre la electricidad y el magnetismo, hecho demostrado cuando en 1820 el físico danés Hans Oersted observó que una corriente eléctrica ejerce una fuerza mecánica sobre un trozo de hierro imantado (ver la cita al comienzo del capítulo). Oersted presentó su hallazgo a la Academia Francesa de Ciencias el 18 de septiembre de 1820. Exactamente seis semanas después, J. B. Biot y F. Savart comunicaron a la Academia Francesa que la fuerza ejercida por el campo magnético sobre un hilo por el que circula una corriente normal a la dirección del campo es proporcional a la corriente y a la longitud del hilo. Es decir,

F

KHIL

[34.4]

en donde K es la constante de proporcionalidad, / es la corriente en amperios, L la longitud en metros, F la fuerza en newtons y H es la intensidad del campo magnético en newtons por weber. La magnitud KH se denomina inducción magnética, B ~ KH. A partir de la ecuación [34.4], F

=

BIL

[34.5]

Campos y fuerzas magnéticas

1285

La unidad de la inducción magnética es el tesla (T) y podemos determinar sus dimensiones a partir de la ecuación (34.5]:

[B]

[F] [/] [L]

N

T

A-m

(34.6]

De aquí que podamos definir operacionalmente a Ben función de magnitudes mksA fundamentales, de modo que debe considerarse a la inducción magnética B como la magnitud fundamental en nuestras mediciones de los fenómenos magnetostáticos y así definiremos constitutivamente la intensidad del campo magnético H como H = BIK. La selección que hagamos de K determinará a su vez, como veremos, la definición constitutiva de la intensidad del polo en las unidades mksA. Los hechos experimentales demuestran que, en el espacio libre, la inducción magnética es un vector By, como en el caso del campo eléctrico, podemos definir un flujo magnético escalar cuya densidad en líneas de flujo por unidad de área sea B. El flujo magnético que atraviesa un área A es

L

B•dA

[34.7]

Las líneas de flujo son tangenciales al campo B y están determinadas por

o

B X dr

(34.8]

en exacta analogía con las líneas de flujo electrostático (ver sección 27 .4). En el sistema mksA en el espacio vacío, escogeremos K = µ, 0 • Entonces las ecuaciones [34.4] y [34.6] implican que

H [H]

B N Wb

2

-N- -N-m - -2 = A-m

Wb

N 2 -m . Wb2 [34.9]

Y así se tienen las dimensiones del weber,

1 Wb

N-m 1-A

1 l._ A

(34.101

y según la ecuación (34.6] vemos que 1T

1~

A-m

l Wb m2

(34.111

Por definición, la inducción magnética B a una distancia de 1 m de un polo de intensidad pes B = µ, 0H = {pl/47r Wb/m 2• De aquí que el campo ejercerá una fuerza de F = {p}/47r N sobre un metro de conductor normal a B por el que circule una corriente de 1 A. Así podemos medir la

1286

inlen idad del polo p en función de u eí, cm sobre u11i hil por cl qu~ drula una corriente patró[I . Otra relacione· dimen ionale · í11iles son 1 Wb

l

v.s.

Wb /A·m

Ejemplo 34.l El campo magoétko de la tjerra (can1po geomagnético) puede aproximarse muy bien por el de un dipolo magnético simado en el cenlm de la tierra, pero indinado ~ un ángulo de 11,5 " res~to al eje de r ación de la tierra en el plano de 69 g de longitud oe'.!)le. Su momento de dipolo magnéUco m (definido en analogía ron el mo1nerllo dipolar electrico, ver ección 27 .2) ¡ic11e el \"alor m -= 32 '11" x 101~ \l b . m = l ,0 x 10 17 Wb - .m y señala hada el sur (es dedr. el polo 1morte)) de la tierra es ne.gatlvo, pue.slo que por definición am1e a los polos norte· o positivos de los imane!i). Aproxirnat..lamenlé, ¿cuál e el campo magnélico horizontal m dio de la tierra en el ecuador?

'Solución Si p está en la dirección hacia arriba ( [27. JSi tenemos

z). según la ecuación

Flg•.U.I

s

[H

-

A/m

[34.12)

Campos y fuerzas magnéticas

1287

para el componente tangencial del campo electrostático de un dipolo eléctrico de momento p. Sustituyendo las magnitudes magnetostáticas correspondientes y observando que el dipolo geomagnético señala hacia el polo sur (hacia abajo) se tiene

En la superficie de la tierra en el ecuador, () == que se obtiene

+ y r = R "' de modo 1r

m 41rµ0 R;

El campo magnético se expresa comúnmente en función de la inducción magnética B: m 41rR~

32'11" X 10 11 Wb-m 41r(6.37 X 106 mf

-3.10 X 10-~ T y el campo señala hacia el norte (porque el campo está dirigido desde el polo positivo hacia el negativo). Sabemos que el dipolo geomagnético forma un ángulo de 11,5 ° con el eje de rotación, de modo que de hecho en el ecuador 78,5° =:; () =,; 101,5°. Un cálculo más preciso de la inducción B total utilizando estos valores nos da 3.10 X IO-' T ~ B < 3.41 X IO-' T El componente vertical Br es mucho menor que B 9 . (Debe señalarse que el campo geomagnético se expresa normalmente en unidades cgs de inducción, l gauss (G) = 10-4 Wb/m 2 = 10-4 T; ver sección 34.6).

34.2 Fuerzas magnéticas Como se señalaba en la cita de introducción, la fuerza sobre una aguja magnetizada o imantada debida a la acción de una corriente no parece ser de atracción ni de repulsión, sino más bien un par mecánico. De acuerdo con la tercera ley del movimiento de Newton, la declinación de la aguja está producida por la reacción al par que el campo magnético de la aguja ejerce sobre el hilo portador de la corriente. Faraday fue el primero en demostrar la existencia de este par en 1821. Podemos considerar la aguja de la brújula como un dipolo magnético. La figura 34.2 muestra las líneas de campo de la aguja en el plano que contiene tanto la aguja como el hilo portador de corriente. La fuerza dF que actúa sobre un segmento del conductor se opone a las fuerzas de reacción F' que

Campos y fuerzas magnéticas

1288

actúan sobre la aguja. El valor y dirección de la fuerza dF vienen dados por la fórmula deducida empíricamente dF

=

I df X B

[34.13]

en donde df es un vector en la dirección de la corriente con módulo igual a la longitud del elemento de corriente. (Suponemos que el hilo es tan delgado que B no varía apreciablemente en su interior, como sucede normalmente.) Si integramos respecto a la longitud total del circuito L, obtenemos la fuerza total F ejercida sobre el hilo: F

=

f

I df X B

=

-

f

/8 X dt

[34.14]

Si el campo es uniforme a lo largo de toda la longitud L del hilo rectilíneo, entonces la fuerza es ....

F

=

/LX B

[34.15)

Obsérvese que la fuerza es siempre perpendicular a la dirección de la corriente /. Esto está de acuerdo con la observación de Oersted de que la corriente produce únicamente pares sobre la aguja. El valor de F es proporcional al seno del ángulo formado entre L y B. La ecuación [34.15) implica también que, cuando el flujo de la corriente es paralelo al campo, entonces L x B = O y la fuerza magnética ejercida sobre el hilo portador de la corriente es nulo. Podemos explicar las observaciones de Oersted descritas en la cita del comienzo del capítulo haciendo girar simplemente la figura 34.2 sobre el eje del dipolo magnético. Todas las relaB

Fig. 34.2 Experimento de Oersted con el hilo encima de la aguja

Campos y fuerzas magnéticas

1289

dones físicas permanecen igual, aunque el dipolo queda libre de moverse únicamente en el plano horizontal. Cuando la corriente está directamente debajo del dipolo, el par de fuerzas reactivo hace que el dipolo oscile en sentido opuesto al indicado en la figura 34.2, como se ve en la figura 34.3a. Si la corriente está comprendida dentro del plano horizontal que contiene la aguja de la brújula, entonces el par reactivo tiende a producir una rotación en el plano vertical, pero esta rotación está impedida por el

montaje de la aguja de la brújula (ver figura 34.3b). Oersted observó también que se invierte la rotación de la aguja cuando se invierte el sentido de la corriente /; esto está de acuerpo con el empleo del signo convencional correcto para/ en la ecuación [34.14].

B

(a) Hilo debajo de la aguja

(b) Hilo y aguja en el mismo plano horizontal

Fig. 34.3 Otros aspectos del experimento de Oersted

Consideremos a continuación las fuerzas que se ejercen sobre una espira rectangular de corriente situada en el plano xy, con el campo magnético constante y dirigido en la dirección x (ver figura 34.4). Este caso es de una importancia especial. Supongamos que la espira de corriente es rígida e incluye una fuente de FEM y concentremos nuestra atención sobre la interacción entre el campo magnético y la espira. Sobre los elementos de longitud L x no se ejerce ninguna fuerza porque su longitud es paralela al campo magnético. Sin embargo, se ejerce una fuerza

F

[34.16]

sobre el centro de masas del elemento ab y otra igual pero opuesta F' = -F sobre el centro de masas del elemento cd. El resultado es un par o momento neto -r

L) X F

=

-Ilxl_..B(i X k)

=

Il,,lrBj

[34.17]

Camaos y fuerzas magnéticas

1290

Fig. 34.4 Espira rectangular de corriente en un campo magnético constante B espira en la posición de par máximo.

= Bi, con la

7

L,

y/ 1---L,~

Este par hace girar a la espira alrededor del eje y. (Ver la sección 11.5 para un estudio del momento que resulta como consecuencia de la acción de un par de fuerzas.) La figura 34.5 muestra la misma espira después de que se le ha hecho girar un ángulo
T

Por tanto, el par continúa haciendo girar la espira alrededor del eje y hasta que es normal al campo cuando
F Fig. 34.5 la espira de corriente de la figura 34.4 girada un ángulo campo magnético B. ·



por la acción del

1

~v

)

L, cost/,

B X

F

y

Campos y fuerzas magnéticas

1291

cos = sen 0 y LxLy = A, de modo que la ecuación [34.18] puede expresarse como el producto vectorial

r

[34.19]

IA X B

porque el vector par es perpendicular al plano que contiene A y B. Por analogía con la fórmula correspondiente al par sobre un dipolo eléctrico (T = p x E), podemos poner IA

y

m X B

T

[34.20]

y llamar a m el momento dipolar de la espira de corriente. Este momento dipolar m no debe confundirse con el momento dipolar magnético m de una barra imanada. Si la barra imán tiene una longitud L y una intensidad de polo p, entonces m = pL y las dimensiones de m son

[m]

[F] [L] [µ 0 ] [B]

[F][L] [H]

[p] [L]

Wb-m

En contraste, a partir de la ecuación [34.20], se tiene [m]

[r] [B]

N,m 3 Wb

[F][L]

[B]

J Wb

Las dimensiones de m y de m difieren así en un factor [µ 0]. Obsérvese que en el caso de una barra imán,

r

mXH

[34.21]

Una espira de corriente plana de forma cualquiera puede aproximarse tanto como se quiera por la suma de un cierto número de espiras rectangulares que poseen lados perpendiculares o paralelos al plano que contiene tanto la normal íi a la espira como al campo magnético B (ver figura 34.6). Las corrientes interiores se compensan por parejas en los contornos mutuos de las espiras rectangulares, dejando precisamente la corriente neta I a lo largo del contorno más exterior de la espira. Igual que en el caso de la espira de corriente rectangular de la figura 34.5, cada espira elemental de área t:,.A = Míi experimenta la acción de un par de valor MAn X B

[34.22]

Y, para la espira de corriente como un todo,

r

lim "\"' !:J.r .'.l.A-0¿

IAn X B

J ( lim

.'.l.A-0

m X B

"t:,.A)

L..,

fi X B [34.23]

De aquí que la ecuación [34.20] sea válida para toda espira de corriente plana en un campo constante, con independencia de su forma. Si un par actúa sobre una espira de corriente aislada situada en un punto cualquiera del espacio, existe un campo de inducción magnética B

Campos y tuerzas magnéticas

1292

z

Fig. 34.6 Espira de corriente plana considerada como la suma de muchas espiras rectanguB lares elementales.

en dicha región. Cuando la espira está en la única orientación estable en que el par neto es igual a cero, entonces la dirección de B está dirigida a lo largo de la perpendicular al plano de la espira y paralelo al sentido de rotación de la corriente. El valor del campo es B = rlm, siendo r el par máximo que el campo puede ejercer sobre la espira. Así, pues, podemos considerar a una espira de corriente muy pequeña como el equivalente magnético de una «carga de prueba» en electrostática, utilizando la expresión B = Tlm como la definición operacional del campo magnético B. El comportamiento de una espira de corriente en un campo magnético recuerda al de un dipolo magnético, de modo que de ahora en adelante nos referiremos a la espira de corriente como a un dipolo de corriente o dipolo de espira. Sin embargo, es corriente encontrar que a dicha espira se le denomina en la bibliografía simplemente como dipolo magnético. La analogía entre una espira de corriente y una barra imanada es un concepto muy importante en la teoría magnética. Puesto que la expresión para el par ejercido sobre el dipolo de corriente es matemáticamente análoga a la del par ejercido sobre un dipolo eléctrico, podemos utilizar exactamente el mismo razonamiento mecánico que se expuso en la sección 28.1 para demostrar que la energía potencial magnética del dipolo de corriente en un campo magnético es

.....

Um

=

-m•B

[34.24)

o, en el caso del imán en forma de barra o aguja,

Um

=

-m•H

[34.25)

Expresando Um en función del ángulo 8 entre m y B, podemos ver que Um tiene dos valores extremos:

-mB cos 8 mB sen 8 =

[34.27)

o

para 8

= 0° o 180°

[34.26]

Cuando 8 = 0°, entonces Um es un mínimo, de modo que m es paralelo a B en un estado de equilibrio estable. Cuando 8 = 180°, entonces Um es un máximo, de modo que, aún siendo cero el par cuando m y B son anti-

Campos y fuerzas magnéticas

1293

paralelos, el equilibrio es inestable y la perturbación más ligera puede hacer que el dipolo gire hacia la posición de equilibrio estable, oscilando alrededor de su centro de masas.

Ejemplo 34.2 Utilizando la ecuación [34.13] demostrar que el par ejercido sobre una espira de corriente de forma circular y radio R en un campo magnético constante B viene dado por r= m x B, siendo m = hrR~fi. Las ecuaciones m = IA y dF = Idt x B expresan las relaciones existentes entre vectores y no hacen referencia a ningún sistema coordenado particular. Por consiguiente, podemos escoger el eje z paralelo al vector unidad normal fi y escoger al eje x de tal modo que los vectores B y fi estén comprendidos en el plano xz, como en la figura. Entonces el par sobre un elemento de corriente cualquiera es dr = r x dF, o sea

Solución

dr

r X (/ df X 8)

en donde

+ sen j) R d( -sen i + cos B(sen 0 i + cos 0 k) R( cos i

r

dt B

j)

Según la ecuación [34.14], el par total sobre la espira es

r

=

liT dr d o

d

RIBad

+

dF1. =

Fig. 34.7

sen ,pj)

Campos y fuerzas magnéticas

1294

Desde este punto el cálculo es ya directo y cuestión principalmente de cuidado. Podemos ahorrarnos trabajo observando que todas las fuerzas debidas al componente z del campo, Bz = B cos O, son radiales y se compensan por pares como se ve en la figura. De aquí que podamos omitir este componente de la integral y escribir únicamente 'T

f

+ sen

rlR 2B{cos i

IR 2B

f·

X [( -sen

(cos <J> i

JR 2B sen() j

j)

f"

+ sen cJ, j)

cos 2 <J> d<J> -



i

+

X ( -cos <J,

cos j) X sen Oi]d

sen () k)d

IR 2B sen fJ i L\en <J, cos d<J,

La segunda integral de la última expresión se anula, quedando 'T

I(1rR 2)(Bsen fJ)j

m X 8

34.3 Par sobre un dipolo magnético: aplicaciones Hemos visto que el par sobre un dipolo de corriente en un campo magnético es directamente proporcional a la corriente que circula por la espira. Este hecho proporciona la base para el galvanómetro (ver sección 32.4). En el galvanómetro se mantiene fija la espira o el imán que da origen al campo; el otro componente está libre para girar cuando circula una corriente. Mediante un muelle helicoidal o un hilo de torsión se aplica un par contrario que hace que el elemento quede en reposo después de un desplazamiento angular proporcional al par y de aquí a la corriente que circula por la espira. Excepto en aquellos casos en que hayan de medirse corrientes muy pequeñas el sistema más utilizado es el de bobina móvil. Un galvanómetro de bobina móvil se compone de una pequeña bobina de hilo conductor fino (normalmente de forma rectangular y montada sobre una «armadura» de hierro dulce) que tiene libertad para moverse entre dos piezas de acero imantadas permanentemente. Estas piezas polares poseen una forma tal que la inducción magnética en la región en que oscila la bobina tiene dirección radial (ver figura 34.8). El eje de rotación de la bobina debe ser vertical, estando la bobina suspendida de un hilo de torsión; este diseño se denomina galvanómetro de D' Arsonval. Más corrientemente, el eje de rotación de la bobina es horizontal y suministra el par de equilibrio un muelle en espiral. Si la espira de corriente es un rectángulo de anchura W y longitud L, entonces (debido a que el campo es siempre normal a los lados axiales L) se ejerce sobre los lados L una fuerza F = /LB, que produce un par r

= ILBW =

IAB

[34.28]

campos y tuerzas magnéticas Fig. 14,/J u,1ifo.mw

Escala

Diagrama esqu~1ml!ka cli!

entre tos

(J

e:.,as

1u1

g,;,lwmómelro de bol)ina móvil; e-l rnmpg radiaf B,

pv/(jres :s~ ha indicado rnn fl~tflfu ascurm

Armadura

+ en donde A es eJ área del bobi a. o e iste ninguna contribución al par de las fuerzas que actuan sobre los lados extrem.os W y, por tanto, la ecuación [34 .28] repJ\esenta el par total que actúa sobre una espira forma da por una ola vuelca de hilo . Evidenteme it , i la e pira oontiene N ue ta de hilo. enlonce e par total. es T

..

NIAB

l34.29] El par hace gi a:r la bobjna un ángulo O, en cuyo momento este par se encuen lra equilibrado po,r el momento restaurador ,-0 Ode] muelle, sien do To la constan e de torsi ·ll dei mi mo. De a:q ui ,gue, en el equilibrio,

NIAB' -

-riJ

!34,.30]

1

Hilo de torsión

l(Í 1.

o sea

I

To

o = NAB

K

[343 1

en dond la conslante de proporcionalidad K se denomina constante del gafv,a námetro. Para caJibrar un galvan 6:metro, se toma una s,erie de me~

didas de l en función de O con corrientes conocidas y se les aj u ta una rocta; la pendiente de la misma es ]a mejor aproximación de K. La escala del, apara.lo e calibra en Lonoes directamente e:n amperios o voltios. Para medidas muy exactas se utiliza un gal vanómetf\O de D' Arsonval ( ver figura 34.'9); con este aparato pueden medirse corriente· tan pequei'las como ]0;- 11 A.

En mucho caso -e d ea m dir la carga d 'l ectricidad que circula a través de un ga]vanórne ro durantJe un interva1o de tiempo muy pe-qu ño.

,+

1296

Campos y fuerzas magnéticas

Un galvanómetro utilizado para estas medidas se denomina galvanómetro balístico. Mientras la carga está pasando a su través, la corriente eléctrica

que forma en la bobina reacciona con el campo magnético y ejerce un par momentáneo sobre la bobina. Según la ecuación [34.29], el par en el instante en que la corriente tiene el valor / es r = NIAB. La corriente / varía, disminuyendo rápidamente con el tiempo. Así, pues, el impulso angular total que se le da a la bobina es

r

NAB

rdt

r

Idt

NABQ

[34.32]

en donde Q es la carga total que pasa por este galvanómetro. Aunque los límites de integración se extienden teóricamente desde t = O hasta t = oo, en la práctica casi toda la carga pasa a través del galvanómetro en una fracción de segundo. Para medidas prácticas, la desviación del galvanómetro balístico no sería apreciable durante el breve tiempo en que la carga pasa por la bobina. De aquí que se empleen normalmente instrumentos especiales que poseen un gran momento de inercia / 0 como galvanómetros balísticos. Como el momento cinético adquirido es igual al impulso, tenemos

'P low [34.33] en donde w es la velocidad angular inicial de la bobina en el momento preciso en que ha pasado la carga. A partir de la ecuación [34.31], tenemos que NAB r 0 /K. Entonces según las ecuaciones [34.32] y [34.33] resulta

No se observa directamente w; en lugar de ello observamos la distancia angular total (Jmáx a través de la cual oscila el galvanómetro como resultado de esta velocidad angular inicial. Así se debe calcular w en función de (Jmáx· La energía cinética inicial de la bobina (precisamente después del impulso) debe ser igual al trabajo que se realiza para mover la bobina en un ángulo (Jmáx contra el momento restaurador de la suspensión del muelle. (Obsérvese que suponemos movimiento cero de la bobina durante el paso de la carga, como se mencionó anteriormente.) De aquí que

f

½Jow2

max

TofJ d(J

½rofJ~ax

[34.35]

o sea w

(Jmax

ff:

[34.36]

Entonces, a partir de las ecuaciones [34.34] y [34.36], Q

[34.37]

Campos y fuerzas magnéticas

1297

Así, pues, la desviación total 0máx es proporcional a la carga Q que pasa a través del galvanómetro. El período completo T de un sistema cualquiera de torsión con amplitud pequeña viene dado por (ecuación [16.26)),

=

T

21r

. .¡{l; -;;

[34.38)

Combinando las ecuaciones [34.37] y [34.38), se obtiene

K0ma,T

Q

[34.39)

21r

y así se consigue una expresión de Q en función de cantidades fáciles de determinar. , - - - - - - - - - - - r --------------1

1 1 1 1 1

m

,.._ --"',

1 1 1

'

_____ __,1_. '

Fig. 34. JO Método de Gauss para la medida de la inducción magnética. B

'

1

Se denomina magnetómetro a cualquier instrumento utilizado para medir la inducción magnética. Magnetómetros absolutos son aquellos que miden campos magnéticos estáticos en función de fuerzas y pares que actúan sobre imanes o bobinas patrón conocidos. En el ejemplo clásico de uno de estos instrumentos, se utiliza un imán permanente de momento m para medir un campo magnético B desconocido en dos etapas, hallando primero el cociente m!B y obteniendo luego el producto mB. En la primera etapa se coloca una aguja magnética dentro del campo desconocido B. Luego se coloca un imán permanente de momento m a una distancia r de la aguja magnética (siendo r grande en comparación con las dimensiones del imán) y se orienta el imán de rriodo que su momento señale hacia el centro de la aguja magnética de tal forma que la línea definida entre el imán y la aguja forme un ángulo recto con el campo B (ver figura 34.10). Utilicemos de nuevo el equivalente magnetostático de la fórmula correspondiente al campo electrostático de un dipolo eléctrico (ver ejemplo 34.1): H Como el centro de la aguja está situado sobre el eje del dipolo, 0 por tanto la inducción B 0 en la aguja debida a m es

[34.40]

= O,

y

[34.41]

Campos y fuerzas magnéticas

1298

Esta inducción forma un ángulo recto con la inducción incógnita B. La aguja se alinea por sí sola con el campo total B + B0 , de modo que si et, es el ángulo formado entre la aguja y B, entonces tg = B 0 / B o sea tg

y

·

m B

21rr 3 tg



[34.42]

Para conseguir medidas de precisión del ángulo se sujeta a la aguja un pequeño espejo; se observa entonces la posición de la aguja magnética mediante un sistema óptico y una regla graduada o escala. En la etapa segunda de la medida, se suspende el imán de momento m en el campo B mediante un hilo de constante de torsión 7 0 muy pequeña. Entonces se mide el período T de una oscilación completa pequeña del imán. Si el imán gira respecto a su posición de equilibrio (paralela a B), entonces se ve sometido a la acción de un momento o par restaurador

-mH sen 8

7

y, poniendo 7o

= mBI µ 0 en

==

mBO [34.43]

la ecuación [34.38], obtenemos el período [34.44]

Despejando B entre las ecuaciones [34.42] y [34.44] se tiene

B

=

1 T

-

(34.45]

Así se obtiene un valor para B en función de cantidades medibles absolutas.

Ejemplo 34.3

Comprobar que la ecuación [34.45) es dimensionalmentc

correcta. Solución [B]

Las unidades del campo son

T

Las unidades de la expresión del segundo miembro de la ecuación {34.45] son (kg- m 2)(kg- m/A =-s 2) s

m;

Así, pues, vemos que la ecuación (34.45] es dimensionalmeme correcta, como resulta necesario.

Campos y fuerzas magnéticas

1299

34.4 Fuerza magnética sobre una carga móvil En la sección 34.2 mostramos que la fuerza magnética que actúa sobre un elemento de corriente en el interior de un campo magnético es dF

=

[34.46]

Id-l X B

En un instante de tiempo dado, supongamos que existen n electrones móviles por unidad de volumen en el elemento de corriente que se mueven con velocidad v antiparalelamente a df. Si la sección recta del elemento tiene un área A, entonces podemos representar dF en función de la densidad de corriente del flujo electrónico. Sabemos que / df = JA df y la ecuación [31. 7] nos dice que J = n(-e)v, de modo que dF

-(nA dl)ev X B

(34.47]

.El número de electrones móviles en el elemento de corriente es nA df y, por tanto, la fuerza sobre cada electrón es

F,

dF

nA dl

(-e)v X B

[34.48].

Podemos generalizar la ecuación (34.48] para predecir la fuerza F = Fq sobre una partícula cualquiera que lleve una carga q y que se mueva con una velocidad v a través de un campo magnético B: .....

F

qv X B

[34.49]

A partir de esta ecuación vemos que la fuerza F es siempre perpendicular a la velocidad de la partícula v y al campo magnético B. Por consiguiente, F • v = O. Como F • v = O, el campo magnético no puede hacer variar la energía cinética ni el módulo de la velocidad de la partícula cargada realizando trabajo sobre ella; sin embargo, el campo puede modificar la dirección del movimiento de la partícula. Si el campo magnético B es constante y normal a v, entonces F es una fuerza centrípeta que obligará a la partícula a girar uniformemente en el plano que contiene a F y a v alrededor de un punto determinado conocido como centro guía (ver figura 34.11). En esta figura y en las siguientes, seguiremos el convenio de que ® representa un vector dirigido hacia el papel (queriéndose indicar la cola de una flecha), mientras que 0 representa un vector dirigido hacia el lector (como si fuese la punta de una flecha). Recuérdese que en el movimiento circular uniforme, el radio rL y la velocidad v a lo largo de la órbita de la partícula están relacionados por

F

qvB

[34.50]

Campos y fuerzas magnéticas

1300

B uniforme hacia el papel;

0

® F

F

Centro

• guia

F

Órbita de la partícula

Fig. 34./1 Movimiento de una partícula cargada positivamente con una velocidad perpendicular a un campo magnético uniforme B (dirigido hacia el papel)

en donde m es la masa de la partícula. El radio rL se denomina radio giromagnético, o de Larmor, de la trayectoria de la partícula y la ecuación [34.50] nos da mu qB

[34.51]

La frecuencia angular de rotación de la partícula es ....

w,

[34.52]

Obsérvese que el radio rL depende de la cantidad de movimiento mu de la partícula,. pero que la frecuencia angular wc depende únicamente de la razón carga a masa, qlm de la partícula y de la inducción magnética B. La frecuencia wc se denomina frecuencia de ciclotrón de la partícula cargada en el campo B. Gran parte de nuestro conocimiento acerca de las propiedades de las diversas partículas atómicas procede de los estudios realizados sobre sus movimientos en los campos eléctricos y magnéticos. Por ejemplo, supongamos que se sustituye el campo electrostático deflector E0 en el tubo de rayos catódicos de Thomson de la figura 28.12 por un campo magnético B dirigido hacia el plano de la figura 34.12a, como está indicado. Entonces el haz de electrones se desvía hacia abajo. La velocidad u de los electrones debida a la diferencia de potencial aceleradora V es

V

[34.53]

Campos y fuerzas magnéticas

1301

Pantalla, fluorescente r -

d

r

B, uniforme

I

I I

(a) Configuración experimental del TRC

(b) Geometría de la desviación

Fig. 34.12 Experimento de Thomson para determinar la razón carga a masa del electrón

y el radio de curvatura r del haz de electrones en el tubo vale V

r

[34.54]

w

A partir de la geometría indicada en la figura 34.12b, resulta claro que r2 = f 2 + (r - d)2, siendo d la desviación del punto sobre la pantalla y de aquí

d2

r

+

¿2

[34.55]

2d

Combinando las ecuaciones [34.54] y [34.55], se tiene

d2

+ 2d

¿2

ffí 2

[34.56]

o sea -

e

m

8Vd 2 B2(d2 + ¿2)2

[34.57]

Así, pues, se puede determinar fácilmente la razón elm para un electrón en función de cantidades fáciles de medir. Thomson midió este cociente únicamente y no la carga o la masa independientemente. Sin embargo, esta razón era de un valor tan elevado respecto a lo que entonces se conocía a partir de experimentos de electrolisis correspondientes al ion de hidrógeno (protón) que Thomson intuyó la presencia de una nueva partícula que tenía carga negativa y una masa mucho menor que las masas de las moléculas ordinarias. De aquí que se atribuya a Thomson el mérito del descubrimiento del electrón.

Campos y tuerzas magnéticas

1302

La fuerza electromagnética total ejercida sobre una partícula cargada es la suma vectorial de las fuerzas eléctricas y magnéticas y se conoce como fuerza de Lorentz F L: q(E

+

V

X B)

[34.58)

Para la determinación de la razón carga a masa del electrón, Thomson utilizó realmente un método de cero en que se compensaban y anulaban mutuamente las desviaciones electrostática y magnética simultáneas (ver figura 34.13). Cuando un electrón pasaba entre las placas, experimentaba una desviación hacia abajo debida al campo magnético B y otra desviación hacia arriba debida al campo electrostático E, que es perpendicular a B y a v. Thomson ajustó el potencial deflector hasta que el haz de electrones pasaba entre las placas sin experimentar ninguna desviación neta o resultante. En este caso, la fuerza total de Lorentz FL debe ser nula y, por tanto, la ecuación [34.58) nos da qE

L

qvB

o sea,

v

E B

[34.59)

+

©

B

:1 : IE:

® 1 ®

V

•

T

h _l_ Fig. 34.13

Selector de velocidades para partículas cargadas de velocidad

u

= EIB.

Un par de campos cruzados como éste se denomina selector de velocidades. Aquellos electrones cuyas velocidades se salgan de un estrecho margen de valores alrededor de EIB se verán desviados lo suficiente como para chocar contra la placa superior o la inferior de modo que resultarán eliminados del haz. Sustituyendo la ecuación [34.59) en la ecuación [34.52), se tiene e

E

m

rLB2

[34.60)

Este método de determinar el cociente o razón mencionado elimina cualquier incertidumbre que exista acerca del valor real del potencial acelerador V o la influencia de las velocidades térmicas variables de los electrones dentro del haz. Consideremos a continuación el caso general en el que la velocidad v de una partícula cargada tiene componentes paralelos y perpendiculares al campo magnético B: V

V¡¡

+

V_¡_

[34.61)

A partir de la ecuación [34.49), sabemos que la fuerza sobre la partícula de carga q es F

qv X B

[34.62)

Campos y tuerzas magnéticas

1303

El componente de velocidad v1 no se verá afectado, pero la partícula experimentará la acción de una fuerza dirigida perpendicularmente al plano que contiene v .1 y B. Dicha fuerza hará que la partícula gire con velocidad angular constante w alrededor de un eje paralelo a B. La ecuación general del movimiento correspondiente a la rotación con velocidad angular constante "' alrededor de un eje paralelo a w (ver sección 11.3) es

dv

w X

[34.63]

V

dt

A partir de la segunda ley de Newton y de la ecuación [34.62] tenemos

dv

F m

dt

.!1. v m

-.!l.Bxv

X B

m

[34.64]

Comparando las ecuaciones [34.63] y [34.64], vemos que la partícula gira alrededor de su centro guía con una velocidad angular .....

w

-wcB

[34.65]

en donde el vector "' es antiparalelo a B. Así, pues, la partícula realizará un movimiento espiral o helicoidal en el espacio, como se ve en la figura 34.14. Su centro de guía se mueve paralelamente al campo B con velocidad v 1, mientras que la propia partícula gira alrededor de su centro de

[)

B

....J

~P-1

y

)

w

l Fig. 34.14 Movimiento general de una partícula cargada positivamente en un campo mag-

nético uniforme

guía con una velocidad angular w 0 velocidad tangencial u .1 y radio giromagnético rL. = u 1.lwc· El ángulo a

=

tg

V

- 1~

V¡,

[34.66]

se denomina ángulo de paso de la partícula respecto a la dirección del campo magnético.

Ejemplo 34.4 Partículas cargadas con carga q entran en un campo magnético uniforme B a través de una rendija como la indicada y salen de nuevo a través de otra rendija situada a una distancia D de la primera. ¿Cuál es la cantidad de movimiento de cada partícula?

Campos y tuerzas magnéticas

1304

B, uniforme Fig. 34.15

~!:,.q 1 - - - - - [) - - - -

Solución El radio giromagnético debe ser rL ción (34.51] tenemos mu

= D/2.

Según la ecua-

qBD 2

Así, pues, este dispositivo actúa como un selector de cantidad de movi= mvlq se conoce como rigidez magnética de la partícula.

miento. La cantidad BRL

Si una corriente de densidad J = nqv pasa a través de un conductor situado dentro de un campo magnético, entonces el campo ejerce una fuerza por unidad de carga de E"

F q

V

X B

(34.67]

Por tanto, el campo actúa exactamente como una fuente de FEM que obliga a las cargas móviles a desplazarse hacia un lado del conductor (ver figura 34.16). La carga se acumula a lo largo de uno de los lados del conductor, dando origen a un campo electrostático E' = -E", como en una pila en caso de que esté en circuito abierto. Estos campos son normales al campo de conducción E = pJ que es el responsable del flujo real de corriente. Si o es el espesor del conductor en sentido normal al campo magnético, entonces este efecto Hall (denominado así por E. H. Hall , quien lo descubrió en 1879) origina una tensión Hall.

E"ó

vBo

[34.68]

El signo de la tensión Hall correspondiente a una densidad de corriente J determinada depende de si los portadores de cargas son electrones negativos con v paralela a -J o son huecos positivos (ver sección 33 .5) con v paralela a J.

J

Fig. 34.16 Efecto Hall debido a un campo magnético transversal a través de un conductor, suponiendo que hay n portadores de carga q positiva por unidad de volumen. En el caso de conducción por electrones basta simplemente invertir los signos de E', v y VH.

Campos y fuerzas magnéticas

1305

El efecto Hall es particularmente importante en el estudio de los semiconductores como el germanio y el silicio a partir de los cuales se fabrican los transistores porque, cuando los electrones negativos emigran de un átomo a otro bajo la influencia de un campo aplicado en los semiconductores tipo p se comportan en todo caso exactamente como si los portadores de cargas reales fueran los huecos positivos que los electrones van dejando tras de sí. Así, pues, el efecto Hall proporcionó la primera prueba experimental directa de la validez de la hipótesis de los huecos y de la «teoría de bandas de los sólidos» de la mecánica cuántica que dio origen a la misma. Sin embargo, toda discusión adicional sobre los huecos nos llevaría demasiado lejos. Si el espesor del conductor paralelamente al campo magnético es w, entonces / = Jwó y u = J/nq = 1/nqwó. (La dirección de v es opuesta al sentido convencional de I si q es negativa, como sucede en el caso de los electrones.) La velocidad puede expresarse de modo conveniente en función de la constante de Hall, RH = 1/nq como v = RHJ. Según la ecuación [34.68],

nq

[34.69]

Aunque RH es negativa en el caso de los metales monovalentes y la mayoría de los demás metales, resulta positiva a temperatura ambiente para el berilio, el zinc y el cadmio, lo cual indica que nuestro sencillo modelo de la conducción por electrones libre en los metales no es una teoría completa de la conducción.

34.5 Aplicaciones en la investigación Los elementos tal y como se encuentran en la naturaleza no están compuestos generalmente de átomos idénticos sino que más bien son mezclas de átomos de pesos diferentes pero con propiedades químicas idénticas, que es lo que se conoce como isótopos de los elementos. Todos los isótopos de un elemento determinado poseen el mismo número atómico e igual estructura electrónica, pero contienen en sus núcleos un número variable de neutrones. Cuanto más pesado es el elemento, mayor número de isótopos tendrá con toda probabilidad. Por ejemplo, el mercurio (número atómico 80) tiene siete isótopos estables, con pesos atómicos comprendidos entre 196 y 204 y con unas abundancias relativas que van desde el 0,15% para el mercurio-196 hasta el 29,8% para el mercurio202. Además, existen otros 16 isótopos radiactivos del mercurio que se transforman espontáneamente en otros elementos en tiempos medios que van desde 2 minutos ha.~ta 2 años. Para analizar un elemento como este y obtener sus isótopos, se ioniza primeramente (de modo que se le pueda aplicar la fuerza de Lorentz); luego se hacen pasar los iones a través de un selector de velocidades y finalmente se introducen en el campo de un selector de cantidades de movimiento. Un aparato que combina todas estas características se denomina espectrógrafo de masas (ver figura 34.17).

Campos y fuerzas magnéticas

1306

Cámara en la que se ha hecho el vacío

B

-~ t~----=----0-----+-----1

~J

---1-:!_::J. . . ._

!},,D

Selector de velocidades

De una fuente de iones

Fig. 34.17 Espectrógrafo de masas, en el que se ven las trayectorias de los isótopos ionizados de carga q y masas m y m + ilm, incidiendo sobre la placa fotográfica P

Cuando están simplemente ionizados, todos los isótopos de un elemento dado tienen la misma carga q = + e y aquellos que sobreviven después de pasar el selector de velocidades poseen la misma velocidad u. Pero como sus masas difieren, lo mismo ocurre con sus radiqs gí_romagnéticos en el campo magnético del selector de cantidades de m'ovirniento. De aquí que incidirán sobre la placa fotográfica P a distancias diferentes D = 2mulqB de la rendija. Una fórmula conveniente que nos da la separación entre las imágenes es D -Di.m m

(34.70]

Si sustituimos la placa fotográfica por un electrómetro con una abertura en forma de rendija estrecha para admitir el haz de iones, podemos medir la carga total debida a cada isótopo que incide spbre la placa P. Las relaciones de cargas medidas indican las abundancias relativas de los isótopos. Estos aparatos permiten la detección de diferencias de masas tan pequeñas como el I OJo de la masa de un protón. Con objeto de comprobar la naturaleza de las fuerzas físicas, debemos utilizar fuerzas contrarias y energías de interacción que sean del mismo orden de magnitud que aquellas que pretendemos explorar y debemos emplear herramientas a escala geométrica del orden de las dimensiones del fenómeno en consideración. Así, pues, si deseamos interaccionar con la estructura Interna de los átomos y núcleos en donde las partículas se ejercen entre sí fuerzas del orden de 1 MeV/fem = 16 dinas, debemos comprobarlas con «herramientas» tales como electrones y partículas a con energías cinéticas muy elevadas, del orden cle I a 100 Me V.* Estas partículas de alta energía se producen mediante los aceleradores de partículas.

* Se necesitan energías mucho mayores para disecar las estructuras detalladas de los núcleos

Campos y fuerzas magnéticas

1307

Los aceleradores de partículas son de dos tipos básicos: aceleradores lineales y aceleradores cíclicos. Un acelerador lineal es un dispositivo en el cual las partículas que se mueven en una línea recta se ven aceleradas por un campo eléctrico constante o pulsante. En un acelerador cíclico, se utiliza un campo magnético para hacer que las partículas se muevan en una trayectoria circular o periódica, de forma que adquieren incrementos sucesivos de energía al pasar a través de un campo eléctrico acelerador durante cada revolución. En esta última categoría de acelerador cíclico se encuentran el ciclotrón, el sincrociclotrón y el sincrotrón. El ciclotrón fue inventado por Ernest O. Lawrence de la Universidad de California (Berkeley, 1932). El cuerpo principal del aparato se compone de dos piezas semicilíndrir,s de cobre planas, huecas y en las que se ha hecho el vacío, denominadas «des» por su forma (ver figura 34.18). Si se mantiene un campo magnético intenso B perpendicular al plano de las des, las partículas cargadas que se desprendan de una fuente de iones central girarán dentro del campo en el interior de las des huecas. Si se aplica una diferencia de potencial en el espacio hueco existente entre las des, entonces los iones positivos inyectados dentro de dicho espacio por la fuente de iones se verán acelerados hacia la de negativa, adquiriendo energía cinética. Sin embargo, su frecuencia de rotación dentro del campo magnético permanece constantemente igual al Wc = qB/m, de modo que perderían energía cuando cruzasen la vez siguiente el espacio electrificado, a no ser que se invierta el sentido del campo. Potencial oscilante aplicado m d ~p,cio ' " " ,~ des.

Haz

[¡ V

+ 8

Fig. 34.18 Vista en corte de un ciclotrón con una fuente de iones Sen su centro, las des huecas y un deflector para extraer los iones acelerados. El ciclotrón completo está dentro del campo magnético B y se aplica a través del espacio intermedio entre las des un potencial oscilante V que está sincronizado con los cruces sucesivos de las partfculas por dicho espacio. El plano de la órbita de la partícula es horizontal

1308

Campos y fuerzas magnéticas

Se consigue esta inversión haciendo que la diferencia de potencial entre las des oscile sinusoidalmente con exactamente la misma frecuencia wc. Así los iones se ven acelerados de nuevo cada vez que cruzan el espacio hueco mencionado. Al «caer» a través de una diferencia de potencial il V = V, los iones adquieren una energía cinética adicional qV

[34.71]

en donde V es típicamente del orden de 10 5 V. Como el radio giromagnético rL es proporcional a la cantidad de movimiento (mu = qBrd, la energía que puede irse acumulando en estos procesos dentro del ciclotrón está limitada por el radio R de las des:

½mv~ ••

(qBR) 2

[34.72]

2m

El radio R está limitado a su vez por el tamaño del imán disponible para producir el campo B sobre la de. Para conseguir los campos mayores prácticos en un ciclotrón, B "" 1 Wb/m 2 y R "" 1 m, el imán de este aparato necesita más de 100 toneladas de hierro. En este caso la energía máxima adquirida por los protones (con q = + e y mp = 1,67 x 10-21 kg) es (1.6 X 10- 19 X 1 X 1) 2 J 2 X 1.67 X 10- 27

50 MeV

[34.73]

También pueden acelerarse en el ciclotrón otras partículas de masa relativamente grande como el deuterón (isótopo «pesado» del hidrógeno formado por un neutrón y un protón, con q = + e y md == 2mp) y la partícula a (con q = + 2e y mª == 4mp)EI primer ciclotrón tenía un radio de sólo 1,25 pulgadas y aceleraba protones hasta energías de 80 keV. Sin embargo, al cabo de veinte años, se utilizaban ciclotrones en todos los laboratorios en donde se estuviese realizando una investigación nuclear importante y sus diámetros llegaban a valer hasta 184 pulgadas. Con su empleo se obtuvo un gran número de nuevos elementos radiactivos, se efectuaron transformaciones nucleares de un elemento en otro y se desarrollaron las técnicas de los trazadores radiactivos para su empleo en química, biología y medicina. Sin embargo, pronto resultó evidente que existía un límite tanto relativista como económico al empleo y utilidad del ciclotrón. Como se vio en la sección 19.6, la segunda ley de Newton, F = dpldt, es correcta relativistamente para p = m0rv, en donde 'Y = 11,J 1 - v 2/ c 2 , siendo e la velocidad de la luz en el vacío y m 0 la masa propia o en reposo de la partícula. Utilizando técnicas que se salen del objetivo de este texto, es posible demostrar que la fuerza magnética (incluso a velocidades relativistas) viene dada por F

dp dt

qv X B

_!l.Bxp m

[34.74]

Campos y tuerzas magnéticas

1309

y, por ello, la frecuencia de ciclotrón es [34.75] En un ciclotrón, B es constante y, por consiguiente, wc disminuye cuando aumenta la energía de la partícula (y 'Y, por tanto). En el caso de un protón de 50 Me V de energía [34. 76] Como mpc 2

= 938

v2

2Kmax m pc 2

-

c2

MeV, se tiene 100 MeV 938 MeV

[34.77]

0.1066

o sea, -

V

-e

y

3

'Y

-

1

1

+ 18

1.056

[34.78]

Por consiguiente, wc == 0,95qB/mP y después de sólo una revolución el protón está desfasado en 0,31 rad o 18º respecto al potencial acelerador oscilante. Para v = c/3 y R = 1 m, el prntón realiza 1,6 x 107 revoluciones por segundo y, por tanto, el protón rápidamente pierde el sincronismo con el potencial acelerador entre las des y (en valor medio) deja de ganar energía. Con V = 500 kV, la máxima energía obtenible por un protón de un ciclotrón es de unos 22 Me V debido a este límite relativista. En un ciclotrón bien proyectado, aproximadamente el 10 % de la potencia suministrada a la máquina se convierte en energía de las partículas y puede extraerse alrededor del 25 % de la energía de las partículas para realizar experimentos en forma de un haz de corriente / ,a,; 100 µA. Para poder soslayar el límite relativista correspondiente a las energías de las partículas obtenidas en un ciclotrón, se desarrolló el sincrociclotrón. En este dispositivo, la frecuencia del potencial aceleradm entre las des se sincroniza con las frecuencias de ciclotrón decrecientes de las partículas aceleradas. Con este aparato pueden obtenerse protones con energía hasta de 1 GeV. Sin embargo, como los cambios de frecuencia deben producirse en ciclos periódicos, el sincrociclotrón origina un haz «pulsado» de corriente de solo. 1 µA aproximadamente, en pulsos de una duración aproximada de 100 µ,s. Según la teoría relativista, el radio de la máquina debe ser R

Con

Kmáx

mu

[34.79]

qB

= 1 GeV == mpc2, B = 1 T y v -'- e, se tiene

R

2mPc qB

6.25 m

Campos y fuerzas magnéticas

1310

Aunque una máquina de este radio resulta muy grande, puede construirse pero únicamente a un costo muy elevado. Como el volumen del metal utilizado en los imanes crece en proporción a R 2, resulta muy caro construir máquinas grandes en las que se puedan obtener energías mayores para las partículas. Para obtener energías aún mayores, se ha desarrollado un nuevo tipo de máquina denominada sincrotrón. En este aparato se incrementa gradualmente el valor del campo magnético con objeto de mantener a las partículas cargadas moviéndose en una órbita de radio constante, de forma que se ven aceleradas en una cámara de forma toroidal en la que se hace el vacío (ver figura 34.19). Cada vez que un grupo o «racimo» de partículas realiza una revolución, se acelera cuando pasa a través de una sección del toroide que contiene campos eléctricos pulsantes de elevada

Haz inyectado (preacelerado)

Haz saliente V

e

Fig. 34.19 Diagrama esquemático (vista superior) de un sincrotrón

Sección de acelerado

frecuencia y entonces se incrementa el campo magnético en el toroide de forma correspondiente para conseguir que permanezca constante el radio R = mulqB. Cuando se alcanza el máximo de energía, las partículas se desvían hacia el exterior de la máquina mediante campos magnéticos y se dirigen contra blancos experimentales fuera del sincrotrón (en muchos casos, incluso en edificios separados). Con este aparato pueden obtenerse energías de hasta 400 GeV para los protones. Sin embargo, los pulsos de haz se producen con una frecuencia mucho menor que en el sincrociclotrón.

34. 6 Unidades electromagnéticas Hemos visto que la forma algebraica de la expresión correspondiente a las fuerzas magnetostáticas entre polos puntuales es análoga a la forma de la ley de Coulomb para las fuerzas electrostáticas entre cargas puntuales. Por consiguiente, igual que definíamos las unidades cgs de carga en función de magnitudes mecánicas absolutas en la sección 26.4, podemos definir también las unidades correspondientes para la intensidad del polo. En estas unidades, la fuerza sobre el polo p' debida al polo p (en donde p' está situado en una posición r relativa a p) viene dada por

F

=

pp'

-

rJ

r (en el sistema cgs-uem)

[34.80]

Campos y tuerzas magnéticas

1311

Así, pues,

[F,2] 112

[p]

dina½ ·cm

uem

(34.81]

Esta unidad electromagnética (uem) tiene las mismas dimensiones que el statculombio. Por definición, la fuerza entre dos polos de intensidad 1 ume separados a una distancia de 1 cm es 1 dina. Para determinar el factor de conversión entre webers y umes, observemos que la fuerza entre dos polos de 1 Wb separados entre sí 1 m es

1012 1fr¡r 2 dinas

10 7 -N 1fr¡r 2

F

Esta fuerza debe ser igual a la ejercida entre dos polos de p = x ume separados una distancia de 100 cm, siendo x el factor de conversión:

F

=

x 2 uem 4

10 cm

1012 11' dinas 16 2

2

o sea, 7.958 X 10 6

X

De aquí que 1 Wb

108 -uem 411'

7.958 X 10 6 uem

[34.82]

Como puede verse el weber es excesivamente grande para utilizarlo en las medidas de los imanes de laboratorio, de modo que se utiliza para ello comúnmente el ume en el trabajo experimental. La unidad electromagnética de inducción B es el gauss (G), que es igual a la inducción debida a un polo de 1 ume a una distancia de 1 cm (es decir, Kume = 1). Un polo de intensidad 1 Wb = 108/471' ume produce un campo con una inducción B = 114'1!" T a una distancia de 1 m, de modo que podemos escribir 8

10 /47!" uem 104 cm 2

B

104 411'

-G

Y, por tanto, 1 T

104 G

[34.83]

Los valores de B están generalmente comprendidos entre 0,2 G que corresponde al campo geomagnético de la tierra hasta 106 G = 1 MG para los campos muy intensos producidos en el laboratorio y el gauss es la unidad utilizada más corrientemente para expresar los valores de la inducción. La ausencia del factor 1/47!" en la ecuación (34.80] y el hecho de que B = H en el sistema cgs-ume hace que estas unidades eleétromagné-

1312

Campos y fuerzas magnéticas

ticas sean más convenientes que las unidades SI en muchas aplicaciones. Otra unidad utilizada ampliamente en geofísica y astrofísica es el gamma (-y), siendo 1 -y = 10-5 G = 10-9 T. El momento dipolar del campo geomagnético se expresa normalmente en el sistema cgs-ume como 8.0 X 10 25 G-cm 3

m,.

8.0 X 10 25 uem-cm

(34.84]

Obsérvese que la fórmula correspondiente al campo dipolar en el sistema cgs-ume sin racionalizar es B - mlr 3 y que el factor 47!" no aparece en la ecuación. Por consiguiente, no podemos suponer a partir de la ecuación [34.83] que, puesto que 10 4 G = 1 Wb/m 2 , podemos hacer el momento dipolar de I G • cm 3 igual a 10- 10 Wb • m . Se requiere un factor de 471" para conseguir un sistema consistente con las fórmulas del sistema mks racionalizado. Así

m,

(411" X 10- 10 Wb-m/uemcm)(8.0 X 10 25 uem-cm) [34.85] 1.0 X 10 17 Wb-m

Ejemplo 34.5 En 1856, Wilhelm Weber y Rudolph Kohlrausch midieron la constante de proporcionalidad K para la relación F

=

KqvB

utilizando unidades electromagnéticas para la inducción y unidades electrostáticas para la carga mientras utilizaban unidades cgs para las demás magnitudes ¿Qué valor obtuvieron para K? Solución Sea q = 1 statC = -+ x 10-9 C Sea v = 1 cm/s = 0,01 mis. Sea B = l G = 10-4 T. En el sistema mksA, tenemos F

=

qvB

Como l N F

=

t

=

=

½ X 10-• X 10- 2 X 10- 4

= t X 10- is N

105 dinas, se tiene

X 10

10

dinas

=

KqvB

= K(l

statC)(l cm/s)(l G)

De aquí que K

=

{

X 10- 1º (dina/statC)(cm/s)(uem/cm 2)

Por definición, 1 (dina cm 2) 1il

1 statC

1 uem

y, por tanto, K

½ X 10- 10 s/cm

e

Campos y fuerzas magnéticas

1313

en donde e = 3 x 10 10 cm/ses la velocidad de la luz en el vacío. Como es natural, los valores mksA de Eo y µ. 0 son un poco artificiales, puesto que se han escogido específicamente para dar el resultado deseado de que e = 11-Jµ.
PROBLEMAS 34. 1 Campo magnético 34.J (a) Expresar [H] en unidades mksA. (b) Suponer que definimos una nueva unidad de intensidad de polo P, el michell, de tal modo que F = pB cuando p se expresa en michells. Hallar el equivalente de I michell en unidades mksA. (e) ¿Cuál es el factor de conversión entre michells y webers? (d) ¿Cuál es la fórmula para el campo B debido a un solo polo p, en donde p se expresa en michells? 34.2 Una aguja magnética de momento m puede pivotar en un plano horizontal alrededor de su mediatriz y está comprendida en el plano de un campo uniforme de intensidad H. (a) Demostrar que el par sobre m.es r = mH sen8, siendo 8 el ángulo formado entre m y H. (b) Demostrar que en tres dimensiones generalmente r = m x H. 34.3 Suponer que la aguja magnética del problema 34.2 es una varilla de 4 cm de longitud y de 1 g de masa y que su periodo de oscilación en el campo geomagnético He vale 5 s en un punto de la superficie de la tierra cuyo radio forma un ángulo de 45° con el radio que va al polo norte magnético. ¿Cuál es la intensidad de polo de la aguja? 34.4 Dos dipolos magnéticos de momentos m y longitudes L iguales se alinean paralelamente, estando sus centros separados a una distancia de R ;!l> L. ¿Cuál es la fuerza neta de atracción entre los dipolos? 34.5 Las dos barras imanadas del problema 34.4 se acercan a continuación, de modo que R = L + ó, siendo ó ~ L. Si los imanes están en li-

N S

s

N

1314

Campos y fuerzas magnéticas

bertad para moverse en el plano de la página alrededor de una línea que pasa por sus centros (ver la figura) y si cada una de ellas tiene un momento de inercia /, ¿cuál es la frecuencia angular aproximada de su oscilación cuando se desplazan en un ángulo pequeño de su posición de equilibrio? 34.6 Si una aguja magnética está en libertad de girar en un plano vertical, el ángulo que forma con la horizontal en el campo geomagnético se denomina ángulo de inclinación. Supongamos que se definen una latitud magnética y una longitud magnética respecto al eje del dipolo geomagnético, en analogía con las definiciones de latitud y longitud respecto al eje de rotación terrestre. (a) Demostrar que la tangente del ángulo de inclinación es igual al doble de la tangente de la latitud magnética. (b) Demostrar que la inducción magnética en el ecuador magnético es igual a la mitad de la inducción magnética en los polos magnéticos.

34.2-34.3

Fuerzas y momentos o pares magnéticos

34. 7 Un hilo de 10 cm de longitud se sitúa en un campo uniforme B = (2i - 3j + 5k) T. Por el hilo circula una corriente de 3 A en la dirección - i + 4j + 3k. (a) Hacer un esquema del sistema. (b) Hallar la fuerza total F ejercida sobre el hilo debida al campo magnético B. 34.8 Se construye un puente de Wheatstone en la forma de un cuadrado de lado a como se indica en la figura. Se coloca en el interior de un campo magnético B que está comprendido en el plano del puente y de modo que quede paralelo a la rama que contiene el galvanómetro. La corriente total que entra en el puente es /. (a) ¿Cuál es la fuerza neta F sobre el puente? (b) ¿Depende la respuesta a la parte (a) de si el puente está o no equilibrado?

-1

34.9 Una corriente I circula por un hilo semicircular de radio R que está comprendido dentro de un plano perpendicular a un campo magnético B. ¿Cuál es la fuerza total F ejercida sobre el hilo?

34.10 Consideremos una espira de corriente plana de forma cualquiera que siempre yace en campo uniforme B de dirección arbitraria. Demostrar que la fuerza neta sobre la espira es F = f dF = -/ f B x df = O. 34.11 Utilizando el resultado del problema 34.10, demostrar que la fuerza sob!"e un hilo plano por el que circula una corriente en un campo

Campos y tuerzas magnéticas

1315

uniforme es la misma para un hilo cualquiera que transporte la misma corriente entre los dos mismos puntos. Puede utilizarse este resultado para obtener inmediatamente las soluciones a los problemas 34.8 y 34.9. (INDICACIÓN: Demostrar que t df = O, pero no confundir esto con t df que es un escalar.) 34.12 Una espira de corriente de área A tiene la forma de un paralelogramo con un vértice en el origen y los otros dos vértices en (1,0,2) y (-1, 1, 0). Está en el interior de un campo magnético B = B0 (i + 2j + 3k) y transporta una corriente / con sentido desde el origen hacia el vértice en (1,0,2). (a) Dibujar un esquema que muestre a A, B e /. (b) ¿Cuál es el par ejercido sobre la espira? 34. 13 Aunque no existe ninguna fuerza neta sobre una espira de corriente en un campo magnético uniforme, es de esperar que las fuerzas radiales originen tensiones mecánicas en el hilo (ver figura 34.7). Hallar la fuerza de tracción en una espira de radio R por la que circula una corriente / en un campo B. (INDICACIÓN: Ver el Problema 34.9.) 34.14 Hallar el momento magnético m de una esfera dieléctrica de radio R en rotación si posee una densidad superficial de carga uniforme a y una frecuencia de rotación v. 34.15 Con una longitud L de hilo se construye un solenoide de N vueltas. ¿Cuál es el par máximo r por unidad de inducción magnética B cuando circula por el mismo una corriente n 34.16 Una espira circular de radio R situada en el plano xy tiene su centro en el origen. También situado en el origen se encuentra el polo norte p de una barra imanada muy larga (de longitud L ;il> R), que está sobre el eje z negativo. El sentido convencional de rotación de la corriente es el de las z positivas. (a) ¿Cuál es la fuerza neta sobre la espira de corriente y cuál es su dirección y sentido? (b) ¿Cuál es el par sobre la espira de corriente? 34.17 Hemos visto que una espira de corriente es semejante a un dipolo magnético en cuanto al par que experimenta en el interior de un campo magnético. Sin embargo, la espira también se comporta como un dipolo que se ve sometido a la acción de una fuerza neta F = m(dB/dz) B(z

B(z)

+

dz)

1316

Campos y fuerzas magnéticas

cuando el campo B = Bk no es uniforme en la dirección z (supuesta paralela a m), como en el caso de una barra imanada en donde existe una separación clara de los polos a lo largo del campo inhomogéneo. Las etapas siguientes ayudan a demostrar esta semejanza. (a) Hallar la fuerza ejercida sobre la espira de corriente en el campo indicado. (b) Relacionar el ángulo 0 con la variación de la densidad de flujo B = déf!/dA a lo largo del eje z. (Puede suponerse que 0 es pequeño aunque esta hipótesis no es necesaria.) 34.18 Escribir un programa de ordenador que pueda utilizarse para el cálculo de o bien la fuerza ejercida sobre un hilo recto de longitud L = Lxi + Lyj + Lzk o bien el par aplicado a una espira de corriente de área A = Axi + Ayj + Azk en el campo B = Bxi + Byj + Bzk para un valor determinado de la corriente 1 en el conductor. Comprobar el programa con las soluciones a los problemas 34.7 y 34.12. 34.19 La existencia del campo geomagnético se atribuye generalmente a ciertas corrientes que circulan en el núcleo fundido de la tierra (como veremos en el capítulo 35, el campo producido por una espira de corriente es idéntico a distancias grandes al campo de un dipolo magnético). El núcleo de la tierra es aproximadamente una esfera de radio Re = 3 500 km. (a) Si se supone que la corriente fluye en forma de circunferencia alrededor del límite del núcleo en el plano del ecuador magnético, ¿cuánta corriente se necesita para justificar el dipolo magnético observado? (b) Si la corriente fluye uniformemente (dlldr = constante) en un disco en el plano ecuatorial del núcleo, ¿cuál es la corriente total que circula por el núcleo? 34.20 Mediante integración directa, demostrar que el momento magnético de una espira de corriente elíptica de semiejes a y b debe ser m = 1rlab si r = m x B. 34.21 La desviación hasta el fondo de escala de un determinado galvanómetro es 90 ° cuando circula una corriente de 5 mA. (a) ¿Cuál es la constante del galvanómetro? (b) Si la bobina del galvanómetro tiene 200 vueltas de radio l cm en un campo de O, 1 T, ¿cuál es la constante de torsión del muelle del galvanómetro? 34.22 Una corriente circula por una barra conductora horizontal de masa despreciable que se encuentra equilibrada sobre un punto de apoyo y está situada en un campo magnético. El punto de apoyo se encuentra a 6 cm del extremo l de la barra y a 10 cm del extremo 2. Se cuelga una masa de 5 kg del extremo 1 y otra masa de 4 kg del extremo 2. Si la corriente circula del extremo l hacia el extremo 2, ¿cuál es el valor mínimo y la dirección del campo magnético B requerido para equilibrar la barra? 34.23 Los galvanómetros más sensibles se construyen como galvanómetros de D' Arsonval, con un espejo unido al hilo de torsión. Un rayo de luz se refleja en el espejo y se proyecta sobre una escala alejada. (a) Se

Campos y fuerzas magnéticas

1317

define el número de mérito de dicho galvanómetro como la corriente requerida para producir una desviación de 1 mm sobre una escala situada a 1 m del espejo. ¿Cuál es el número de mérito del galvanómetro descrito en el problema 33.21? (b) Se define la sensibilidad de dicho galvanómetro como la resistencia (en MO) que debe conectarse en serie con el galvanómetro a través de una diferencia de potencial de 1 V para producir una corriente igual al número de mérito. ¿Cuál es la sensibilidad del galvanómetro del problema 33 .21? Una espira de corriente plana está formada por dos segmentos rectilíneos de hilo de 10 cm de longitud separados entre sí otros 10 cm y unidos por sus extremos mediante semicircunferencias de 5 cm de radio. La espira está situada en un campo uniforme de B = 0,5 T, como está indicado en la figura. En el instante t = O, pasa por la espira una carga de 0,001 C durante un tiempo que es demasiado corto como para que la espira gire ningún ángulo apreciable durante el paso de la carga, pero que le hace recibir un impulso angular. Si el momento de inercia de la espira alrededor del eje x es 3 x 10-4 kg • m2, ¿cuál es la velocidad angular de la espira cuando se detenga la corriente y cuál es su sentido? 34.24

B

-

X

f

~10 cm~

En el capítulo 35 veremos que una espira de corriente circular produce un campo casi uniforme en su centro y que este campo es proporcional a la corriente que circula por la espira y resulta normal al plano de la misma. Si se conectan dos espiras circulares situadas en planos perpendiculares con una resistencia R (una en serie y la otra en paralelo) como está indicado, demostrar que el par sobre la espira más pequefia es 34.25

R, -->-

R

Campos y fuerzas magnéticas

1318

proporcional a la potencia gastada en la resistencia si no se hubiesen conectado las espiras en el circuito. Suponer que a .¡¡; b y que R 5 ~ R. (Este montaje se denomina vatímetro.) 34.26 Una espira de corriente cuadrada de 20 cm de lado cuelga en un plano vertical bajo la influencia de la gravedad y puede girar alrededor de uno de sus lados horizontales como eje de rotación. Está situada dentro de un campo magnético vertical. Cuando por la espira circula una corriente de 2 A, oscila alrededor de su eje hasta que queda en reposo formando un ángulo de 45° con la horizontal. Si la masa de la espira es 80 g, ¿cuál es el valor B del campo magnético? 34.4-34.5

Fuerza sobre una carga móvil

34.27 Un haz de electrones entra en un campo magnético uniforme formando un ángulo recto con éste. ¿Cuál deberá ser el valor de B si los electrones realizan una revolución completa en 0,01 µs? 34.28 Un protón en una cámara c'e niebla se está moviendo a través de un campo de O, 1 T y su traza forma una circunferencia de 0,5 m de radio. ¿Cuál es la energía cinética del protón expresada en electrón-voltios? 34.29 Se proyecta un ion de razón carga a masa qlm en el interior de un campo magnético uniforme B con velocidad u. Demostrar que p = (21rmulqB) cos ex da el «paso» de la trayectoria helicoidal. (Ver figura 34.14.) 34.30 Los «cinturones de Van Allen» son regiones toroidales centradas alrededor de la tierra en las que se encuentran «atrapac,los» protones de alta energía, electrones y otras partículas cargadas por el campo geomagnético (ver figura 40.21). Estas regiones se dividen en el «cinturón interior» desde 1, 1Re hasta 2Re y el «cinturón exterior» desde 2Re hasta 8Re. Los ejes de los cinturones están a lo largo del eje del dipolo geomagnético y los cinturones son simétricos alrededor del plano ecuatorial geomagnético. Un protón típico en el cinturón exterior tiene una energía cinética de 1 MeV. ¿Cuál es el radio giromagnético en el plano ecualorial del campo dipolar geomagnético a una distancia de 5Re del centro de la tierra? 34.31 Un tubo de televisión es en esencia un tubo de rayos catódicos en el que dos campos magnéticos perpendiculares («cruzados») proporcionan las deflexiones vertical y horizontal del haz electrónico. Estos campos fluctúan de un modo tal que «barren» una imagen completa en 1/30 s (en Norteamérica y el Japón). Uno de los campos hace que el haz se mueva hacia un lado y otro horizontalmente a través de la pantalla mientras que el otro hace mover el haz de arriba hacia abajo. Durante cada viaje de izquierda a derecha, el haz varía de intensidad para producir una línea de puntos de intensidad variable sobre la pantalla. Supóngase que el potencial acelerador es 20 kV y que la máxima desviación vertical del haz vale 72º y se crea mientras el haz atraviesa una región de 2 cm de longitud en donde se verifica dicha desviación vertical. ¿Cuál es el valor máximo del campo magnético que produce la deflexión vertical?

Campos y fuerzas magnéticas

1319

34.32 (a) Demostrar que en el problema 34.31 el campo B predicho a partir de las consideraciones relativistas está relacionado con la predicción clásica Bnrel mediante B = Bnrel .JI + fk, en donde k = Klmec 2• (b) ¿Cuál es la solución relativista al problema 34.31? 34.33 Se inyecta verticalmente en un selector de velocidades como se indica en la figura una partícula de masa m, carga q y velocidad despreciable. (a) Utilizando las ecuaciones del movimiento, hallar la relación existente entre la posición horizontal x y la posición vertical y. (b) Utilizando la conservación de la energía, determinar el valor que deberá tener el campo magnético B para impedir que la partícula llegue a tocar la placa negativa.

T h

J_ 34.34 (a) ¿Cuál es el radio giromagnético de la partícula del problema 34.33 cuando justo roza la placa negativa? (b) ¿Cuál es el radio de curvatura de la trayectoria de la partícula en el punto de tangencia? (INDICACIÓN: Considerar la fuerza centrípeta.) 34.35 Un conductor de plata de sección recta cuadrada de 0,04 cm 2 transporta una corriente de 200 A en un campo de l T y desarrolla un potencial de Hall de 10,6 µ,V. (a) Calcular la velocidad de desplazamiento y densidad numérica de los portadores de carga. (b) Comparar esta densidad numérica con la densidad numérica de los átomos de plata (la gravedad especifica de la plata vale 10,5). ¿Cuál es la valencia de un átomo de plata? 34.36 Suponer que las partículas que entran en el selector de cantidad de movimiento de la figura 34.15 se aceleran primeramente a través de una determinada diferencia de potencial V. (a) Hallar la relación de dependencia entre m y V en el caso de las partículas que salen del selector a través de una rendija situada a una distancia D de la rendija de entrada. (b) Suponer que la mayoría de las partículas llegan a la rendija de salida cuando el potencial acelerador es V, pero que se observa otro pequeñ.o pico de corriente a través de la misma rendija si el potencial acelerador se disminuye en una pequeñ.a cantidad d V
1320

Campos y fuerzas magnéticas

34.37 Los valores relativistas de la cantidad de movimiento p, energía total E y energía de masa en reposo E 0 de una partícula están relacionados entre sí por

(ver sección 19.7). (a) Hallar la fórmula correspondiente al radio máximo de un sincrociclotrón en función de la masa en reposo y de la energía cinética de la partícula relativista. (b) Calcular el radio para un protón con Kmáx = m 0 c 2 ='= 1 GeV, siendo B = 1 T. (La solución debe ser ligeramente menor que la obtenida en el cálculo poco aproximado que sigue a la ecuación [34. 79]). 34.38 Si una partícula cuya energía cinética es igual a su energía de masa en reposo ha de pasar a través de un selector de velocidades sin que se desvíe de su trayectoria, ¿cuál es el valor requerido de EIB? 34.39 ne un (hasta quiere

El sincrotrón de protones del National Accelerator Laboratory tieradio de 1 km. Acelera protones hasta una energía de 500 GeV el momento). ¿Cuál es el valor del campo magnético B que se repara mantener los protones en órbita a la energía máxima?

34.40 (a) Hallar la frecuencia final wc¡ de una partícula (réiativista) acelerada de masa en reposo m 0 y energía máxima Kmáx en un sincrociclotrón de radio R si su frecuencia de ciclotrón inicial es Wco• (b) Realizar el mismo cálculo para un sincrotrón. 34.41 Al proyectar un selector de velocidades de longitud horizontal L y anchura vertical h (ver figura 34.13), podemos escoger el campo magnético B lo suficientemente débil para que L < rL/2 en el caso de partículas de carga q y masa m. Entonces podemos suponer que la velocidad horizontal de dichas partículas que entran a lo largo del eje del selector es aproximadamente constante durante su recorrido por el selector. (a) Si la velocidad de entrada de las partículas es v 0 + u 0 , siendo v 0 = E/B, demostrar que su aceleración vertical es ay = wcu 0 • (b) Hallar la ecuación (cuadrática) correspondiente a la velocidad normalizada " = uof v0 tal que la partícula pase rozando el borde de la placa superior. (e) Si la velocidad de entrada es v0 - uó, hallar la ecuación para "' = uéJvo. (d) Hallar las raíces de estas ecuaciones en el caso en que h/L ~ Lwclv 0 y explicar su significado. 34.42 (a) Hallar las ecuaciones adimensionales del movimiento de la partícula del problema 34.41 transformando a escala todas las longitudes con el radio giromagnético rL = mv 0/qB y todas las velocidades con v 0 = EIB. (b) ¿Cuáles son las condiciones iniciales transformadas a estas mismas escalas? *34.43 (a) Integrar numéricamente las ecuaciones a escala del problema 34.42 para hallar los valores de JJ¡ y "Í para Llh = 10 y LlrL = 0,5. (Este método deberá ser más sencillo que una integración analítica, en el que intervendrían algunas ecuaciones simultáneas transcendentes y dará cierta idea de la física que interviene en este tipo de problemas.) (b) Comparar

Campos y fuerzas magnéticas

1321

las soluciones con las raíces de las ecuaciones cuadráticas del problema 34.41. (e) ¿Cómo se explica físicamente la diferencia entre v 1 y Pí?

34. 6

Unidades electromagnéticas

34.44 Cuando se utiliza el sistema cgs-ume, es coherente el utilizar la conversión 1 G • cm 2 = 1 ume. Sin embargo, cuando se pasa de unidades cgs-ume a unidades mksA, se debe recordar que G • cm 2 es propiamente una unidad de inducción y no de intensidad de polo. Demostrar que la conversión 1 ume • cm = 1 Wb • m da un resultado que es dimensionalmente consistente con la conversión de G • cm 3 a Wb • m, pero que existe una discrepancia numérica de 41r. 34.45 El campo magnético solar es muy complejo, pero tiene un componente dipolar magnético fundamental a lo largo de su eje norte-sur (normal al plano de la eclíptica) que produce un campo de intensidad 1 G en su polo norte. (a) ¿Cuál es el momento dipolar magnético del sol? (El radio solar es 109Re.) (b) El campo solar disminuye hasta 2 'Y aproximadamente en la órbita de la tierra. ¿Cuál es la dependencia del campo con la distancia al sol? ¿Está de acuerdo con un campo dipolar?

34.46 En el sistema cgs-ume, la unidad de [H] es el Oersted (Oe). (a) Hallar el factor de conversión a unidades mksA. (b) Demostrar que no es igual al factor de conversión entre G y T y explica por qué.

Soluciones 34•1 (a) [H] = A/m; (b)l michell = 1 A-m (e) 1 michell = {µ 0 } Wb; (d) B = µ 0 p/4u 2 34•3 p = 3 X ¡o-'Wb (utilizando la expresión T = 21r ,J 1/ mH8 ) 34• 4 F = 3m 2 /21rµ 0 R 4 34 • 5 w = ( m / óL) -Ji'-L-/8_1r_µ_ 1 0 34 • 7 (b) F = ( 1.706i + 0.647j - 0.294k) N 34•8 (a)F= .fi.aJB 34•9 F=21BR 34•12 (a) A= -2i - 2j + k; (b) r = 1Bo(-8i + 7j - 2k) 34•13 F = RIB 34 • 14 m = 81r 2vR4ir 34 • 15 r / B = IL 2 / 41r N 34 • 16 (a) F = pl/2R en la dirección -z (b) T = 0 34 • 17 (a) F, = 21rRIB sen8 (hacia abajo); -(R/2B)(dB/dz) (b) sen 34 • 1.9 (a) 1 = 2.07 X 109 A; (b) 1 = 6.2 X 109 A 34•21 (a) K = 3.18 mA/rad; (b) r 0 = 2 X 10- 5 N -m/rad

e=

34 • 22 B = 9,8 T dirigida hacia el plano que contiene a la barra L y a la aceleración de la gravedad g, paralelo a L x g 34 • 23 (a) Número de mérito = l 59 µA· (b) sensibilidad = 0,628 Míl ' ' 34 • 24 w = 0,030 rad/s, dirigida hacia la izquierda 34•26 B = 0.98 T 34•27 B = 3.57 mT 34•28 KP = 120 keV 34•30 rL = 583 km 34 • 31 Bmax = 0.0227 T 34 • 32 (b) Bma, = 0.0229 T 34•33 (b)B= ,,/2mE/qh 34•34 (a) rL = h; (b) r = 2h 34 • 35 (a) u = 0.53 cm/s, n, = 5.9 X 10 28 m-3; (b) u = 34•36 (a) m = qB 2D 2/8V; (b) m 2/m 1 = 1 + AV/V; (e) D = 80.46 cm, AD = 2.04 cm 34 • 37 (a) Rma, = p/qB = ( 1/ qB) ,J 2m0 Kma, + K~.,/ c 2 ; (b) Rma, = 5.65 m

Campos y fuerzas magnéticas

1322

34•38 E/B = 2.60 X 108 m/s 34 • 39 B = l ,67 T (los imanes «desviadores» en la máquina real están situados a lo largo de sólo el 75 o/o del trayecto, de modo que B = 2,23 T) 34 • 40 (a) Wc¡ = Wco ( l + Km"' m 0 c 2); (b) wcr = (c/R) (2k + k2)/(I + 2k + k 2 ), 2 en donde k = KmáJm 0 c 34 • 41 (b) ,i + (2 - A)v + 1 = O, donde A wcL 2 /hu 0 ; (e) v' 2 - (2 + A)v' + 1 = O; (d) v 1

==

1/A,

v == 2

A,

v; ==

1/A,

v; = A,

y las velocidades permitidas que pasan a través del selector están comprendidas dentro de los intervalos v0 (1 - 1/A) ::s; v < v 0 (l + IIA) Y v ::s; v0 (l + A). Como A ~ 1, la raíz v; carece de significado físico.

(a) d 2X/dT 2 = -dY/dT, d2YldT 2 = -1 + dXldT, donde X = xlrL' Y= ylru y T = wct; (b) X(0) = Y(0) = O, (dX/dT) 0 = l + u0 /u 0 , (dY/dT) 0 = O

34•42

34•43(a) V¡ = 0,382, VÍ = 0,151 (e) la partícula de velocidad menor gasta más tiempo durante la acción desviadora del campo magnético, de modo que el margen permitido de velocidades v < v0 es más estrecho 34•45 (a) m = 1,67 x 1032 uem • cm; (b) B - r- 2 , 3 , que no está de acuerdo con un campo dipolar (en el que B - r- 3).

34•46

(a) 1 Oe

= (1000/41r)A/m

CAPÍTULO

35

Campos magnéticos producidos por cargas móviles Entonces me encontré con que dos conductores voltaicos actúan entre sí; a veces se atraen y a veces se repelen; he podido hacer la distinción entre ellos y he descrito las acciones que realizan en los diversos casos o situaciones en que se encuentran unos respecto a los otros; también he establecido la igualdad de la acción que es ejercida por un conductor rectilíneo y la que se ejerce mediante un conductor curvo, con tal de que se encuentre a una distancia muy pequeña del primero y que sus extremos terminen en los mismos puntos. He conseguido expresar mediante una fórmula el valor de la fuerza atractiva o repulsiva entre dos de sus elementos o partes infinitamente pequeñas, con objeto de deducir a partir de la misma y mediante los métodos conocidos de integración, la acción que tiene lugar entre dos porciones de los conductores deforma y posición dadas. Théorie Mathématique des Phénomenes Electro-dynamiques uniquement déduite de l'Experience, 1826

ANDRÉ MARIE AMPERE,

Oersted realizó su gran descubrimiento de la interacción entre el magnetismo y las corrientes eléctricas el 21 de julio de 1820 y lo comunicó a la Academia Francesa de las Ciencias el 18 de setiembre de 1820. Dos semanas después, André Marie Ampere anunció a la Academia otro descubrimiento fundamental cuando estableció los resultados de sus experimentos que demostraban que una «espiral galvánica» (una bobina por la que circulaba una corriente eléctrica) actúa para todos los efectos magnéticos 1323

1324

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

como si fuese un imán de hierro. Señalaba que todos los efectos magnéticos podían reducirse finalmente a los efectos que se producen entre corrientes eléctricas. En 1826 el trabajo de Ampere culminó con la publicación de su Théorie des Phénomenes Electro-Dynamiques, tratado matemático en el que se incorporaban muchos de los resultados obtenidos por él mismo así como por otros científicos en los años anteriores. En lugar de seguir el camino iniciado por Ampere e investigar el magnetismo como una fuerza entre corrientes, varios investigadores se basaron en el descubrimiento de Oersted para investigar cuantitativamente la fuerza ejercida sobre los imanes por corrientes de diferentes disposiciones geométricas. J. B. Biot y F. Savart comunicaron a la Academia Francesa el 30 de octubre de 1820 la relación o dependencia existente entre la «fuerza magnética» debida a una corriente que circula por un hilo largo con la distancia al mismo. A partir de estos resultados el gran matemático Pierre de Laplace dedujo que la «fuerza magnética» debida a un elemento de longitud de un hilo por el que circula una corriente varía en razón inversa con el cuadro de la distancia al elemento. Sin embargo, no fue capaz de deducir cómo depende la fuerza de la orientación del elemento de línea respecto al punto de observación. Con objeto de investigar la dependencia angular de la fuerza, Biot midió las fuerzas ejercidas sobre una aguja magnética debidas a las corrientes en ciertos hilos que tuviesen un codo angular y de este modo dedujo con éxito la ley· completa que da la «fuerza magnética» debida a un elemento de línea de corriente (ver sección 35.1). En 1821 Michael Faraday consiguió también demostrar el fenómeno inverso del descubrimiento de Oersted -a saber, la producción de una fuerza sobre una corriente que circula en una región de «fuerza magnética». Mucho después, en 1876, H. A. Rowland demostró que los efectos magnéticos de las cargas móviles son idénticos a los efectos magnéticos de las corrientes eléctricas. Este experimento constituye el enlace entre el punto de vista de Ampere según el cual el magnetismo se debe a las corrientes moleculares y los conceptos modernos de la producción de campos magnéticos a través de los movimientos de las partículas cargadas fundamentales de la materia (ver capítulo 36). A partir de ahora en nuestro estudio de las fuerzas magnéticas adoptaremos esencialmente el punto de vista de Ampere y consideraremos las leyes de interacción entre corrientes eléctricas como la base para toda acción magnética, incluyendo las propiedades de los imanes permanentes. Este capítulo considera únicamente los casos más sencillos, en donde el medio que rodea a los conductores es el espacio libre. Además, supondremos que las corrientes consideradas son corrientes estacionarias -es decir, corrientes que permanecen constantes y no cambian con el tiempo. Deduciremos las fórmulas para el campo de inducción debido a algunas disposiciones o distribuciones geométricas de las corrientes de tipo standard.

35.1

Ley de Biot y Savart

Al estudiar el resultado del experimento de Oersted en la sección 34.2, establecimos la fórmula correspondiente a la fuerza que un campo B de un

1325

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

.imán ejerce sobre un elemento de corriente / df, obteniéndose la expresión ..,_

dF

Idl

[35.1]

X B

porque la tercera ley de Newton (acción y reacción) exige que la fuerza ejercida sobre el elemento de corriente sea opuesta a la fuerza observada ejercida por la corriente sobre el imán. Pero el hecho claro de que una corriente puede ejercer una fuerza no electrostática sobre un polo magnético implica que el elemento de corriente actúa como una fuente de campo magnético. Para deducir la fórmula correspondiente al campo magnético de la corriente según la ecuación [35. l], debemos suponer por tanto la existencia (aunque sólo sea en sentido matemático) de un polo magnético puntual. Imaginemos un polo magnético positivo unidad que se encuentra en un punto r medido respecto al centro del elemento de corriente / df, que tomaremos como origen de coordenadas (ver figura 35. l). La fuerza de reacción de la corriente sobre el polo es dF'

=

-Jdl

'-dF

[35.2]

X B'

en donde el campo de inducción del polo en el elemento de corriente es, según la ecuación [34.3~, B'

[35.3]

La fuerza dF' ejercida por el elemento de corriente sobre el polo unidad situado en r es, por definición, la intensidad del campo dH en r debida a la corriente. De aquí que

dH

y

dF'

dB

Sustituyendo el valor de B' tomado de la ecuación [35.3], se tiene µol

..,_ dB

(dl

X

r3

41r

r)

(ley de Biot y Savart)

--- --y

B' 1

¡:

~J X

't

[35.4]

Polo positivo unidad (extremo norte de un imán en forma de barra muy larga)

dF

Fig. 35. J Deducción de la ley de Biot y Savart

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1326

Esta fórmula da la inducción magnética dB debida al elemento de corriente/ df en un punto cualquiera del campo r. (Obsérvese la posición de Jl(J en esta fórmula.) Aunque estamos en deuda con Ampere por la formulación matemática de la ecuación [35.4) (y la de la ecuación [35.1)), la relación resumida en la ecuación [35.4] fue propuesta por primera vez por Biot en 1820 y se conoce como ley de Biot y Savart. Para completar el razonamiento de que las corrientes eléctricas dan origen a los campos magnéticos, sólo queda por demostrar que dos corrientes pueden ejercer fuerzas magnéticas mutuas. Ampere proporcionó esta confirmación en aquel notable año de 1820 cuando demostró que dos corrientes rectilíneas paralelas se atraen entre sí mientras que dos corrientes rectilíneas antipara/e/as se repelen mutuamente.

Fig. 35.2 Atracción ejercida sobre un elemento de corriente l df por un elemento de corriente paralelo /' df'

Para comprender este resultado, consideremos dos elementos de corriente / df e /' df' situados en las posiciones r y r', respectivamente, siendo R = r - r' el vector de posición relativa (ver figura 35.2). El campo de inducción dB sobre el elemento / df debido a /' df' es dB

µol' (dl' X 41r R3

R)

donde R = r - r'

[35 .5)

Según la ecuación [35.1), la fuerza sobre/ df es el diferencial de segundo orden µoll' dl X (dl' X R) [35.6] d 2F = I dl X dB 41rR 3 En términos puramente matemáticos, la expresión del segundo miembro se calcula de manera muy directa, hallando primeramente el producto vectorial entre paréntesis y calculando luego el producto vectorial de df con su resultado. Sin embargo, en función de la intuición física esta expresión es bastante difícil de digerir y su adecuada asimilación requiere cierta concentración mental. Para determinar las direcciones y sentidos de dB y d 2 F resulta ahora muy útil la regla de la mano derecha que nos permite hallar la dirección y sentido de un producto vectorial (ver sección 11.4)*. *No es infrecuente en una conferencia o coloquio el ver al distinguido conferenciante que parece estar jugando con los botones de su traje cuando está de cara a la pizarra. En realidad está utilizando la regla de la mano derecha para comprobar los resultados que quiere presentar como evidentes.

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1327

En el caso de la figura 35.2, la dirección de dB viene dada haciendo girar de' hacia R como está indicado, siendo el sentido de rotación

descendente respecto al plano de las dos corrientes paralelas y paralelo a dB. Por tanto, haciendo girar df hacia dB, encontramos que la fuerza d 2 F sefiala de nuevo hacia df'. Aplicando el mismo razonamiento a la fuerza que df ejerce sobre df', podemos demostrar que las dos fuerzas son iguales, opuestas y atractivas- de acuerdo con las observaciones de Ampere. Si invertimos el signo (sentido) de una de las corrientes, resulta que las fuerzas son· repulsivas en lugar de atractivas. Podemos expresar también la ecuación [35.4] en función de las cargas móviles que constituyen la corriente en el elemento I df. Siguiendo el razonamiento utilizado en la sección 34.4, sustituiremos I de por dq v y tendremos

....

dB

µodq (" X 47í R3

R)

[35.7]

donde R = r - r'

La cantidad instantánea dq de carga en el elemento df se está moviendo con velocidad v. Obsérvese cuidadosamente que hemos fijado nuestra atención sobre df como un «volumen de control» en el espacio y no sobre la propia carga. El campo de una sola carga móvil en el espacio es más complicado que el de una línea de corriente estacionaria. Sin embargo, la ecuación [35.7] es válida para una partícula de carga dq que se mueve con una velocidad constante v de valor no relativista, considerando a r' = ró + vt como la posición instantánea de la partícula cargada en el instante t.

Ejemplo 35. 1 Una carga q que se mueve en una órbita circular de radio m, como si fuese equivalente a una espira de corriente circular. ¿Cuál es su velocidad media v?

R tiene un momento dipolar

Solución El periodo de rotación de la carga es T = 27íRlv. De aquí que la carga total que por segundo pasa por un punto determinado de la circunferencia de la órbita es / = q/T = qvl27rR = qwl27r. Como m = 17íR 2, se obtiene

o sea

m

V

=

2m

qR

Ejemplo 35.2 Se sitúa en el origen, como se indica en la figura, un elemento de corriente /' df = (l' df' 1$) (i - j + k). Su campo magnético ejerce una fuerza d2F sobre un elemento vertical / df situado en r = i + j. Hallar la dirección de la fuerza d2F. So/uci6n · La dirección viene dada por k X [(i -

j

+

k) X (i

+

j)]

k X (2k -i -

j

+

j -

i)

1328

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

fig. 35.3

como puede verse. Si consideramos que df' está compuesto por tres elementos perpendiculares (df' l./3)i, -(dfl./3)j y (df' l./3)k, vemos que los dos primeros (que son perpendiculares a df = df k) producen campos que son paralelos al elemento de corriente vertical en r; de aquí que la única fuerza vertical sea la atractiva debida a la componente vertical de df'.

35.2

Transformaciones de campos

Ahora que ya tenemos las relaciones existentes entre el campo magnético y los movimientos de las partículas cargadas, estamos finalmente preparados para considerar una cuestión largamente retrasada: ¿cómo son los campos eléctricos y magnéticos vistos* por un observador móvil? Es decir, si/ crea los campos E y Ben nuestro sistema de laboratorio, ¿medirá un observador que se mueve con velocidad v respecto a nosotros los mismos o diferentes valores de E' y B', que los observados en su sistema móvil? Consideremos el caso especial de una sola partícula cargada q que se mueve con una velocidad v respecto a nosotros. Dicha partícula crea un campo B en una cierta posición R relativa a q que viene dado por la ecuación [35. 7]. Podemos volver a escribir esta ecuación en la forma B

1 'V X E

-

c2

[35.8]

en donde e = ll,Jµ 0E0 es la velocidad de la luz y E es el campo «electrostático» instantáneo de la carga móvil. A continuación imaginemos a un observador que transporta una carga de prueba q' y que se está moviendo con una velocidad v. A velocidades no relativistas u2 ~ c 2 , demostramos en el capítulo 19 que es válida la relatividad de Galileo y que las fuerzas y las aceleraciones son invariantes -es decir, tienen el mismo valor medidas en el sistema del labora*Como es normal en estos estudios, utilizamos la palabra «visto» queriendo significar «determinado mediante cualquier procedimiento experimental».

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1329

torio o sobre un sistema móvil (ver sección 5.6). Así, pues, las fuerzas totales eléctricas y magnéticas, o fuerzas de Lorentz, sobre q' son iguales en los dos sistemas: q'(E

+

V

X B)

[35.9]

Sin embargo, el observador móvil ve ambas cargas en reposo, de modo que atribuye toda la fuerza a un campo eléctrico E', F~

q'

E'

E+ v

X B

(35.10]

y cree que su campo magnético B' es cero. De hecho, la ecuación [35.10] proporciona la transformación correcta para determinar E' en un sistema cualquiera moviéndose con velocidad v respecto al sistema en el cual los campos son E y B, aunque fue deducida para un caso especial. Sin embargo, esta transformación es únicamente válida para la aproximación no relativista v2 <;¡ c 2 . Si la carga q se estuviera moviendo realmente a otra velocidad v' v, entonces el observador móvil también vería un campo magnético. Además, para ser consistentes, llegamos a la conclusión de que él vería al campo eléctrico en nuestro sistema como una función vectorial de E' y B' de tal modo q~e, en el límite de v2 <;¡ c 2,

*

E

E' -

V

X B'

[35.11]

No es demasiado difícil deducir a partir de este razonamiento que debería ser matemáticamente posible determinar B' como una función vectorial de E y B, pero ¿posee significado físico dicha expresión? Consideremos de nuevo al observador que se mueve con la carga q con una velocidad v. Hemos visto que mide a B' como cero en este caso, de modo que según la ecuación [35.8] podemos hacer B'

B -

lv c2

X E

[35.12]

que nos da B' = O como deseábamos. Además satisface a la condición necesaria de que B' = B cuando v = O. De hecho, la ecuación [35.12] es la transformación correcta para obtener B' en cualquier sistema que se_ está moviendo con una velocidad v relativa al sistema en que los campos son E y B, con tal de que v2 <;¡ c 2 • Si esta transformación ha de ser consistente desde el punto de vista del observador móvil, también debe verificarse la transformación inversa: B

B'

+

_!_ v X E' c2

[35.13]

Así, pues, cualquier carga que se esté moviendo en un campo electrostático se verá sometida a la acción de una fuerza «magnética» normal a su dirección del movimiento y al campo. Sin embargo, debido al factor l/c 2 que aparece en estas expresiones, esta fuerza es generalmente de valor despreciable y podemos ignorarla de ahora eri adelante. Sin embargo, co-

1330

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

mo vimos en el caso del efecto Hall en la sección 34.4, la corrección v x B al campo electrostático no puede ignorarse en general.

Ejemplo 35.3 Demostrar que las transformaciones del campo son consistentes en el límite no relativista.

Solución E'

Dadas las transformaciones y

E+" X B

podemos primeramente despejar E en función de E' y de B' calculando en la segunda ecuación

y sustituyendo el valor de v x B en la primera ecuación de transformación: E'

E

=

E

+" + \'

X B' X

B'

+

c- 2 v X (v X E) para v 2 « c2

Así, pues, se obtiene E

E' -

v X B'

que está de acuerdo con la ecuación [35 .10) como la transformación desde el sistema móvil al sistema del laboratorio, que tiene la velocidad -v visto por el observador móvil. Para obtener la transformación inversa del campo magnético, calculemos en primer lugar \' X

E

" X E' -

" X (\' X B)

a partir de la primera ecuación de transformación. Sustituyendo el valor de v x E en la segunda ecuación de transformación, se tiene B'

B

B

para v 2

« c2

Por consiguiente, la transformación del sistema móvil al sistema del laboratorio es

que está de acuerdo con la ecuación [35.12).

Aunque hemos «deducido» estas ecuaciones de transformación sobre la base de un caso muy especial, se demuestra en la teoría de la·relativi-

1331

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

dad más avanzada que son válidas con independencia de las fuentes de los campos, pero en el caso relativista es necesario incluir el factor 'Y

para explicar los efectos de la dilatación relativista del tiempo y la contracción de Lorentz. Las transformaciones relativistas correctas deben escribirse en función de los componentes del campo perpendicular y paralelo a v (como se indica mediante los subíndices simbólicos adecuados): y B E = E 11 + E_¡_ Las transformaciones de los campos son entonces

[35.14]

B11

-y(B_¡_ -

c- 2v

X

E_¡_)[35.15]

En el límite no relativista, -y :±: 1, y podemos obtener de nuevo las transformaciones del ejemplo 35.3, ya que v x E = v x E_¡_ y v x B = V X BJ_,

35. 3 Campo creado por un hilo rectilíneo Para calcular el campo de inducción magnética en un punto del espacio producido por una corriente que circula por un circuito, es necesario en primer lugar calcular a partir de la ley de Biot y Savart la contribución al campo en dicho punto debida a la corriente que circula en una parte infinitesimal del circuito. Entonces, mediante el cálculo integral, sumaremos las contribuciones debidas a todas las partes infinitesimales con objeto de obtener el campo debido al circuito completo C. La prescripción formal para ello es B(r)

~J /(r') dl 411" Te R

3

X R

[35.16]

en donde R = r - r' es el vector desplazamiento desde el punto fuente r' en el que está situado df hasta el punto del campo r. Debido a la complejidad de las relaciones espaciales en esta prescripción, el cálculo de esta integral requiere un cuidado considerable, particularmente al seleccionar las coordenadas para describir la situación física. Incluso configuraciones sencillas de las corrientes pueden dar origen a integrales que sólo pueden calcularse numéricamente en puntos r específicos y que no pueden expresarse como fórmulas algebraicas cerradas válidas para cualquier r. Como primer ejemplo de dicho cálculo, consideremos el caso del campo magnético debido a un segmento de hilo recto. Si el punto del campo está a una distancia y del hilo que es mucho menor que su distancia al ex-

1332

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

tremo más cercano del hilo, entonces podemos sustituir aproximadamente este caso mediante un hilo de longitud infinita. Como la solución debe poseer simetría axial alrededor del hilo, consideraremos la situación en dos dimensiones, como se ve en la figura 35.4, en donde se ha supuesto que el hilo se extiende hasta el infinito en ambos sentidos. Así, pues, podemos tomar el punto del campo r sobre el eje y, con lo que se simplifica mucho el cálculo. Consideremos un elemento de corriente infinitesimal / df = I dx' i situado a una distancia x' del eje y. El vector desplazamiento R desde este elemento de corriente al punto r = yj del campo es

-x'i

R

+

yj

[35.17]

y

dB :3

r

=

yj

I

_/ r·

dB'»

X

= x'i

(O, - y)

(a) Representación bidimensional

B

-

I

,, -----+----+---+---"""T"--

I X

8

(b) El campo es tangencial a una circunferen,ia concéntrica con el hilo

Fig. 35.4 Campo magnético de un hilo conductor rectilíneo de longitud infinita

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1333

Así, pues, el campo dB producido en el punto (0,y) por el elemento de corriente es dB

-

!!:2.. I dx' i 4,r

X

_!_ = R3

[35.18)

µol ( y dx' ) k 4,r (x'2 + y2)3/2

Por consiguiente, dB señala hacia el lector en la parte superior del hilo y

hacia el papel en la parte inferior, como se ve en la figura 35.4a. Utilizando la prescripción de la ecuación [35 .16), podemos integrar sobre el hilo completo y se tiene

=

f"'

µolY [ 2 41ry

µolY dx' ~ _00 (x'2 + y2)J/2

]x·-

x'

.Jx12 +

y2

00

x'=-00

µol

[35.19]

21ry

en donde y es la distancia del hilo. Si giramos la figura alrededor del hilo, podemos ver que el campo señala a lo largo de la tangente a una circunferencia de radio y concéntrica con el hilo (ver figura 35.4b). Esta fórmula es la que obtuvieron primeramente Biot y Savart en 1820. En el caso de un hilo rectilíneo que se extiende desde z1 hasta z2 sobre el eje z (ver figura 35.5), el campo en el plano xy de un elemento de corriente / df = I dz'k viene dado por dB

µ 0 1 dz' k =-X (XI. 3

41rR

+

YJ. -

z

'k)

=

µ0 1 dz' (-yi

41rR3

+

')

XJ [35.20)

El radio cilíndrico desde el origen hasta el punto del campo es p = = xi + yj y, por tanto, p • dB = O, de modo que las líneas del campo

y

B X

Fig. 35.5 Campo magnético de un hilo recto situado sobre el eje z entre z 1 y z2; observese que el ángulo 8 que se ve en la figura es negativo

1334

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

son perpendiculares al radio vector y forman circunferencias cerradas alrededor de la línea de corriente sobre el eje z, como se ve en la figura 35.5. Esta orientación puede obtenerse también a partir de consideraciones de simetría, porque el campo magnético debe ser perpendicular al plano que contiene al eje z y al vector de desplazamiento R y su valor no varía cuando se hace girar R alrededor del eje z. Para recordar esta orientación es útil la regla de la mano derecha cerrada: Si se sujeta con la mano derecha el elemento de corriente de modo que el pulgar señ.ale en el sentido del flujo de corriente, entonces los dedos curvados señ.alan el sentido de las líneas de campo magnético. El campo total se representa mediante circunferencias concéntricas alrededor de la corriente, de modo que B señ.ale la dirección azimutal, <1, = (-yi + xj)I p. La forma diferencial dB a partir de la ecuación [35.20] se convierte así en

dB

µolP dz'

[35.21]

411"R 3

Para calcular el valor de la inducción total, cambiaremos la variable de integración, sustituyendo

z'

tg 6

R

p

p

sec 6

dz'

p

sec 2 6 d6

[35.22]

en la ecuación [35.20]. Integrando entre los límites 61 = arctg (z 1! p) < O y 62 = arctg (z 2/ p) > O, obtenemos µ J -º-

B(p)

411"p

(1

8 2

µ I -º-(sen 62 -

cos 6 d6 ) A

41l"p

e,

A

sen 61) [35.23]

Esta fórmula es independiente del sistema coordenado y puede aplicarse también a puntos del campo para los cuales z =I=- O (ver problema 35.16). Obsérvese que en el caso de hilos largos, 6 == f 11" == -6 1, de modo que la ecuación [35.23] se reduce a la ecuación [35.19]. Para aplicar la ecuación [35.19], se requiere que sen 6 _> 0,99, que es lo mismo que

~

tg 6

>

p

1.0

Así, pues, cuando p es menor que un séptimo de la distancia al extremo más cercano del hilo, la ecuación [35.19] da un error menor del 1 O?o. Podemos representar los resultados gráficamente, transformando a escala todas las variables con respecto a las dimensiones del problema. Consideremos un conductor de longitud L centrado en el origen, como se ve en la figura 35.6. Ahora z 2 = L/2 y z 1 = -L/2. Para el punto del campo situado en ( p, z) la ecuación [35.23] nos da B

µol

- - (sen 6 2 411"p

µ01 (

41l"p

-

sen 6 1 )

½L - z ..}p + (½L 2

z)2

+

½L

..}p 2

+

+ (½L

z

+

[35.24]

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1335

::

B

® I

Fig. 35.6 Campo magnético de un segmento rectiUneo de corriente ll a una distancia radial p del segmento y a una distancia z de su mediatriz p

Ben unidades de ll(//47rl

-tl-

t------ l - - - - - - - - 1,

z"

Fig. 35. 7 Campo magnético de un hilo rectilíneo de longitud l a diferentes distancias del eje del mismo.

Si las coordenadas a escala del punto del campo son p" ;;: p./L y z" ;;: zl L y si tomamos B" ;;: B/(µ, 0 //41rL), entonces el campo a escala en el radio p y

altura z viene dado por B"

1 ( p" ..J p"2

½ - z" + (½ _ z")2

+

..Jp"2

) ½ + z" + (½ + z") 2 [35 .25)

La figura 35.7 muestra los gráficos de B"(z") para diversos valores del radio cilíndrico p . Obsérvese que cuando la distancia al hilo es pequeña en comparación con su longitud, el campo es aproximadamente el mismo que el de un hilo infinito, en donde 02 - +1r y 0 1 - - +1r de modo que

B(p)

µol 21rp

[35.26]

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1336

Más allá del hilo pero próximo al eje, p -:e z - L/2 y -82 == -½1r L/2) y -8 1 = -½1r - P/(z + L/2), de modo que el campo cae a cero a lo largo de la línea de z constante aproximadamente en una forma lineal con p (ver el problema 35.17). Puede verse este efecto al cruzar las diferentes curvas de la figura 35.7 y puede deducirse desarrollando los radicales de la ecuación [35.25) en un desarrollo del binomio alrededor de z ". Sin la ayuda de un ordenador o de un cálculo cuidadoso de los valores límites, el factor 1/ p de la ecuación [35.23) puede llevar a pensar que B - oo cuando p - O en todo punto del eje, pero B - oo únicamente donde circula corriente, de acuerdo con la ley de Biot y Savart, ecuación [35 .4). La figura 35.8 muestra la interacción existente entre dos hilos largos y paralelos. La fuerza por unidad de longitud sobre el hilo por el que circula una corriente /' es -Pl(z -

F

L

l'B

=

[35.27)

Esta ecuación constituye la base para la definición del amperio absoluto como la corriente que debe circular en cada uno de dos hilos paralelos de longitud suficientemente larga separados entre sí a 1 m de distancia que se atraen entre sí con una fuerza de 2 x 10-7 N por metro de longitud.

F/ L

µ 0 /1' /2rrp

I

/,,,,.- R

Fig. 35.8 Fuerza atractiva por unidad de longitud entre dos hilos rectos paralelos. Su valor es

l¼JI' /2rrp

Las corrientes pueden medirse con gran exactitud mediante el empleo de una balanza de corriente, como la que posee el National Bureau of Standards de los Estados Unidos y que se muestra esquemáticamente en la figura 35.9. Aunque la ecuación [35.27] es sólo estrictamente válida en el caso de la fuerza por unidad de longitud entre dos hilos paralelos de longitud infinita, es aproximadamente cierta para conductores de longitud finita si su distancia de separación es pequefia en comparación con sus longitu-

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1337

Brazo de la balanza

1

1 CD

:

Hacia las bobinas por las que circula corriente, convenientemente aisladas

Bobina interior m ó v i l ~ Bobina exterior fija _

.

.

Fig. 35.9 Diagrama esquemático de la balanza de corriente del National Bureau of Stan-

dards de los Estados Unidos. Las corrientes que circulan por las dos bobinas se atraen o repelen entre sí y su fuerza mutua se ve equilibrada por el peso que se sitúa en el platillo

des. La figura 35.10 muestra dos circuitos, cada uno de ellos en la forma de un rectángulo de anchura w y longitud /.·Sus planos son paralelos y están separados por una distancia a que es pequefia en comparación con

J

e -<--,;:--

I

w

-r a _L

d-

j

t~ -<· I

--·

'/YJ'Jr. (l'J'Jr.

- -;.c-

I

Fig. 35. JO Medición absoluta de una corriente a partir de la fuerza ejercida entre dos espiras con una separación muy pequeña, a <11 .Jwi. (Obsérvese que los conductores están enrollados de modo que sus campos se contrarrestan entre sí y no introducen efectos extraños.)

w y /. Si en los dos circuitos circula una corriente / con el mismo sentido en ambos, entonces los dos se verán atraídos entre sí con una fuerza dada

por

F

=

(35.28] -rra

La fuerza total se obtiene multiplicando simplemente la fuerza constante

por unidad de longitud por la longitud total del circuito, que es igual al perímetro del rectángulo. Así, puede medirse/ de modo absoluto.

(a) Calcular la inducción magnética B en el centro de la espira rectangular de hilo conductor de anchura a y longitud b si circula

Ejemplo 35.4

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1338

una corriente / a lo largo de la misma. (b) Calcular B para a = 25 cm e / = 0,5 A.

= 10 cm,

b

Solución (a) El campo en el centro es normal al plano de la espira y sefiala en la dirección del sentido de rotación de la corriente alrededor del circuito. Podemos utilizar la ecuación [35.24] para hallar la contribución al campo de cada lado de la espira; sumando estas contribuciones se obtiene B

= ~/( 41r

(b/2)

2µ.o/ _/

--va ab1r

2

~

.Ja2 +

+

b2

+

#

(a/2)

,Va2 +

b2

)

b2

(b) A partir del resultado de la parte (a), se tiene

4.3 X 10- 6 Wb/m 2

B

Ejemplo 35. 5 Se construye una espira de corriente en forma de un polígono regular de n lados con una distancia a desde el centro a cada vértice como se indica en la figura. Hallar la inducción Ben el centro de la espira.

Fig. 35.ll

La inducción debida a cada segmento está dirigida hacia el lector, siendo -8 1 = 82 = 1rln y p = a cos (1r/n). Podemos utilizar la ecuación [35.23) para hallar la contribución a B procedente de un solo lado y multiplicar su valor por n para obtener la inducción completa: Solución

B

=

nµol (sen (-ir/n)\ 2'll"a cos (1f'jn)}

nµ.0 [ 21f'a

1f'

tg -

n

35.4 Campo de una espira circular Más importante que el campo de un hilo rectilíneo es el campo de una espira circular o dipolo de corriente. Como veremos, a distancias grandes

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1339

en comparación con el radio de la espira, el campo es matemáticamente idéntico al del dipolo magnético. Sin embargo, su cálculo aunque directo es algo complicado, de modo que empezaremos examinando el campo sobre el eje de una espira de corriente. Escogeremos las coordenadas de modo que la espira L de radio a coincida con el plano xy y esté centrada en el origen, de forma que el sentido de la rotación de la corriente coincida con la dirección z positiva (ver figura 35 .12).

z

l_ dB

-- --

y

X

Fig. 35.12

Campo axial de una espira de corriente circular

A partir de la simetría resulta evidente que el campo axial sólo puede tener componente z, porque si giramos la figura alrededor de su eje no se altera la configuración de la corriente y no puede c~mbiar, por tanto, el aspecto del campo. La componente z del campo axial debido a un elemento de corriente / df = la dcp' viene
dB,

µol (Rª) dcJ,' 41r R 3

dB cosa

(.E_) R

[35.29]

puesto que el elemento de corriente / df es normal al vector R. Integrando respecto a dcJ,' desde O hasta 2,r y sustituyendo R2 = a 2 + z2, tendremos B,

2( 0 2

+

z2)3/2

En el centro de la espira, z B,

µol 2a

[35.30]

= oy [35.31]

Obsérvese la semejanza matemática con la ecuación [35.19] correspondiente al campo de una línea de corriente infinita, pero sin el factor 1r;

1340

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

evidentemente, la espira proporciona un modo más eficiente de producir un campo de una intensidad dada en una región limitada. Con objeto de hallar B en el caso general de un punto de campo r cualquiera, debemos aplicar la prescripción de la ecuación [35.16] a esta geometría. Como se ve en la figura 35.13, podemos representar el elez

X

= a d' tP Fig. 35. /3

Geometría de una espira de corriente circular

mento de corriente en el ángulo azimutal e/>' mediante un segmento de arco de longitud df = a de/>' . El vector unitario tangente a la espira es


-sene/>' i

+

cosq,' j

(35.32)

y, por tanto, se tiene

df r'

a dq,'(-sen ' i

= a(cos '

i

+

cos ' j)

+ sen e/>'

[35.33)

j)

Como el campo debe poseer simetría cilíndrica respecto al eje z, podemos escoger dicho eje de forma que esté en el mismo plano que el punto del campo y el eje de la espira de form_a que r

R

pi r -

+

(35.34)

zk r'

=

(p -

a cosq,')i -

a senq,'j

+

zk

[35.35)

en donde p es la distancia radial del punto del campo hasta el eje de la espira. Por simetría, la forma del campo magnético debe ser la misma en todo plano que contenga al eje de la espira. Podemos calcular el producto vectorial de la ecuación [35.16) como un determinante:

df

X R

i -sen e/>' ad' p ....: a cos <J>'

a dq,' [z cos ' i

+

k j o cos ' -a sen e/>' z

z sen e/>' j

+

(a -

[35.36] p

cos c/>')k]

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1341

y R2

a2

z2

+

+

p2 -

2ap cos <J>'

de modo que la fórmula correspondiente al campo de inducción total da

µol 41r

B(r)

J dl

fi

µ 0 la

41r

X R

R3

f"_,,-z(cos(a

+ senct>'j) + (a + z 2 + p 2 - 2ap

<J>' i 2

[35 .37] - pcosct>')kdct>' cos c/>') 312

Hemos escogido intencionadamente los límites de integración para demostrar que, para todo elemento de corriente en un cierto et>' = o, existe otro en et>' = -o, cuyo efecto contrarresta exactamente la componente j del campo del primer elemento. Es decir, sen (-ct>o) = -sen o, de modo que se anula la componente j de la integral. Así, pues, como cos(-c/> 0) = cos o, obtenemos

µola

B(r)

h

r

)

0

z cos et>' i + (a - p cos <J>')k dct>' (a 2 + z 2 + p 2 - 2ap cos c/>') 312

[35.38]

La ecuación [35.38] es una prescripción completamente general para el campo de una espira de corriente en un punto cualquiera del espacio, si se comprende que la componente i del campo es Bp señala radialmente hacia fuera desde el eje de la espira y que p = .J x2 + y 2 para un punto general del campo (x,y,z). Como comprobación de la ecuación [35.38] podemos demostrar que, si hacemos p = O, entonces se recupera inmediatamente la expresión determinada anteriormente para el campo en un punto del eje de la espira. Como

r

cos et>' d<J>'

º

se anula la componente i y µ 1a2

k

o

B(z)

2(a2

+

z2)3/2

de acuerdo con la ecuación [35.30] Si el punto del campo está muy lejos de la espira (es decir si r = .J p 2 + z 2 ~ a), entonces podemos aproximar el denominador de la ecuación [35.38] por un desarrollo del binomio: (r 2

+

a2

-

2ap cos <J>')- 3 / 2

2ap

-

-cos et>'

r2

)-J/2

73ap cos et>')

[35.40]

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1342

Sustituyendo esta expresión en la integral de la ecuación [35.38], se tiene µola -3

B(r)

21rr

l~

[z cosq/

. 1

o

+

(a -

p

cos ')k] ( 1

+

3 :; cos ') dq,'

[35.41]

Las integrales en cos ' se anulan, de modo que tenemos 01

ª 21rr

B(r)

µ

2

3

r[k + (-3

P cos 2

r2

)0

')(zi +

pk)] dq,'

[35 .42]

parar>'> a Así el campo «lejos» de la espira de corriente viene dado aproximadamente por ..,_

µola2

B,

4r 3 µola

2

2

4r 3 µ 0 la

a,.. B p

4r

3

(2 - 3p2) r

(3z

2 _

r2

2

1) parar» a

(3pz) r

[35 .43]

2

Comparar las ecuaciones [35.43) con las fórmulas de las ecuaciones [27 .13] correspondientes al campo eléctrico de un dipolo eléctrico. En las ecuaciones [27.13], x era la coordenada axial (zahora) e y era la coordenada radial (:p ahora). Resulta claro a partir de esta comparación que las ecuaciones [35.43] representan un campo dipolar. En función del momento del dipolo m = 1ra 2/k, podemos escribir (ver ecuación [27 .15) y problema 27 .13): µom ( 2 cos 0 r"

B

-3

41rr

+ sen 0 8~ )

~5 [3(m • r)r - r 2 m] [35.44] 41rr

en donde 0, r y 8 han de interpretarse en la forma indicada en la figura 35.13. En este contexto, la regla de la mano derecha es: si el pulgar estirado señala en la dirección y sentido de m, entonces los dedos doblados señalan el sentido de la circulación de la corriente. La intensidad del campo H = B/µ, 0 de este dipolo es equivalente al de una barra imanada de momento dipolar m = µ, 0 m. Si en r se sitúa una segunda espira de corriente de momento m' , entonces el par ejercido sobre ésta por la primera espira es T

m' X B

~5 [3(m • r)m'

X

r - r 2m' X m] [35.45]

41rr

Igual que en el caso de dos imanes en forma de barra, el par se anula cuando los dos momentos dipolares son paralelos y colineales, porque m' x m = O = m' X r. En la sección 34.2 vimos que una espira de co-

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1343

rriente se comporta como un dipolo magnético en un campo magnético y ahora hemos visto que también da origen a un campo como un dipolo magnético. Podemos generalizar estas afirmaciones: A distancias que son suficientemente grandes, toda espira de corriente

(circular o no) se comporta como un dipolo magnético. Este principio es muy importante en el estudio del magnetismo natural.

Ejemplo 35.6 Utilizando la regla de Simpson hallar el campo magnético Ben el plano de una espira de corriente en p = 2a/3.

Soluci6n Para z = O, tenemos B = Bz y podemos transformar a escala la integral de la ecuación [35.38) por

=

B,

µol

21ra

1"f(q,') dq,'

foos<J,'

l -

donde f(q,')

(1

0

+ t - feos q,') 312

Tabulando valores a intervalos de 15° (,r/12 rad) se tiene 0°

f(')

9.000

15° 5.749

f(q,')

105° 0.490

120° 0.436

<J,'

30° 2.710

45° 1.873

60° 0.972

75º 0.718

135° 0.399

150º 0.376

165° 0.364

0.360

0.576

Utilizando la regla de Simpson (ver apéndice N),

f

f(') dq,'

==

...!_

36

[J(Oº)

+

4f(15º)

+ ··· +

+

2f(30º)

2f(l65º)

+

4f(45º)

+ !(180°)]

Por lo tanto, B,

==

JI.o/ (~) 57.96

2,ra

36

1.61

JI.o[

2a

(El verdadero valor es l,58µoJ/2a). Este valor es un 600/o mayor que el campo en el centro de la espira. Así, pues, el campo dentro de la espira y en su plano es relativamente uniforme, excepto allí donde la distancia a - p de la espira resulta muy, muy pequeña- es decir, (a - p)/a -< l.

35.5

Ley de Ampere

En la sección 35.3 vimos que el campo de un hilo rectilíneo muy largo contenido en el eje z es un vector contenido en el plano xy normal al ra-

1344

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

dio cilíndrico p = -Jx 2 + y 2 que nos da la distancia desde el punto del campo r = xi + yj + zk a la línea de corriente. En notación vectorial (ver figura 35.13), - µol-- ( -y1•

B(x,y,z)

21rp2

+

')

Xj

[35.46]

Si calculamos la integral de línea, o circulación, de B a lo largo de una circunferencia C de radio p en un plano normal cual.9uiera a la línea de corriente (ver figura 35.14a), y utilizando df = p d<J> ,se tiene que

i

e

B•dl

=

µof

-

12r -pd<J> 1

21r o P

µ01

[35.47]

con independencia del radio del trayecto. Si, por otra parte, el trayecto C se compone de dos arcos circulares concéntricos que subtienden el mismo ángulo y están limitados por lados radiales como en la figura 35.14b, entonces la circulación de B es

o

(a) Corriente encerrada en el contorno C

[35.48]

(b) Contorno C en el que no se encuentra ninguna corriente en su interior

Fig. 35. 14 Demostración de fa ley de Ampere para el campo de una corriente rectilínea infinita

No existe ninguna contribución procedente de los elementos radiales di = dp porque el producto escalar B • df es cero para estos elementos. En el caso de estos trayectos especiales, la circulación de B depende de si realmente la corriente pasa a través del área encerrada por dicha línea. Si sucede así, la circulación es µof; si no ocurre así, la circulación es nula. Si la trayectoria da N vueltas alrededor de la corriente, subtendiendo un ángulo total de 2Nrr alrededor del eje z, entonces la circulación sería µoNI. Pero, ¿qué ocurre si la trayectoria en el plano xy tiene forma arbitraria? En este caso es de esperar el mismo resultado, porque podemos aproximar la trayectoria tanto como deseemos mediante un camino com-

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1345

Fig. 35.15 Descomposición de un camino arbitrario en segmentos radiales y circulares

puesto formado por segmentos radiales y arcos circulares como en la figura 35.15. Matemáticamente observemos que en un punto cualquiera (p, ) del plano es posible definir vectores unitarios radial y tangencial p y + p d )2

dl dl

(35.49]

Así, pues, para cualquier camino y con toda generalidad

i e

B•dl

=

i

1 -pd 21r e P

-µol

=

[35.50)

en donde N, el número de vueltas, designa el número de veces que la trayectoria se verifica completamente alrededor de la corriente. Esta ecuación es válida también en tres dimensiones, en donde se pueden utilizar las coordenadas cilíndricas (p,,z) de forma que el eje z sea perpendicular al plano del papel de la figura 35 .15, señalando hacia el lector. El elemento de camino df viene dado por dl

dpp

+

pd
+

dzk(coordenadascilíndricas) [35.51]

Como B • k = O, el componente k de df no contribuye para nada a la circulación y, por ello, la ecuación [35.50) sigue siendo válida. Si el sentido de rotación de la trayectoria alrededor de la corriente tiene una componente que se opone al sentido de la misma, entonces la circulación de B a lo largo de dicho trayecto debe ser negativa y, por tanto, se considera también negativo el número de vueltas N. De nuevo resulta de utilidad una regla de la mano derecha: Si los dedos curvados de la mano derecha señalan en el sentido en que se recorre el trayecto de la circulación, entonces el pulgar señalará en el sentido de la corriente en el caso de N positivo y en sentido contrario a la corriente si N es negativo.

1346

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

Si al campo magnético total contribuyen más de una línea de corriente de gran longitud h y si la trayectoria de la circulación da Nk vueltas alrededor de la corriente k-ésima, entonces el campo total es el vector suma de los campos Bk debidos a cada corriente por separado, de forma que

[35.52] Por ejemplo, en el caso indicado en la figura 35.16, tenemos

fe B• dl

=

µ 0 (/2

-

2/3

+ /4)

[35.53]

La corriente / 1 está totalmente fuera del trayecto de circulación C, de modo que N 1 = O. La segunda corriente está rodeada sólo una vez por C, de forma que N 2 = 1. La tercera corriente está rodeada dos veces

por C pero tiene una componente opuesta al sentido de rotación y N 3 = = -2. La cuarta corriente está rodeada sólo una vez y, por consiguiente, N4 = 1.

____,. ., ,--., -._ --=---/l

Fig. 35.16 La ley de Ampere aplicada a hilos rectilíneos largos

Aunque hemos deducido la ecuación [35.52] para corrientes lineales infinitas, puede generalizarse para cualquier corriente que atraviese una superficie limitada por el trayecto de circulación del campo magnético. Es decir, las corrientes Ik incluyen todas las espiras enlazadas por el trayecto de la circulación, aunque no existan corrientes lineales largas sino únicamente espiras de corriente muy pequei'ías, como se ve en la figura 35.17. En principio (y frecuentemente en la práctica), incluso un hilo rectilíneo largo puede considerarse como parte de un circuito, estando situado el resto del mismo a una distancia infinita del trayecto C de circulación. Esta generalización se conoce como ley de Ampere; aunque no pretenderemos demostrarla aquí es totalmente general y fundamental. En su forma usual, la ley de Ampere se enuncia para la circulación a lo largo de un solo trayecto cerrado en el espacio, no necesariamente plano, con números de vueltas N = :1: 1 o O: Oey de Ampere)

[35.54]

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1347

en donde 1 es la corriente neta que atraviesa cualquier superficie limitada por el lazo de circulación C. El signo de 1 es positivo si tiene una componente en el sentido de rotación de la trayectoria de circulación C y es negativo en caso contrario. Así, pues, en la figura 35.17, [35.55] en donde el primer- circuito, aunque contiene dos vueltas de hilo, está enlazado una sola vez por el trayecto de circulación; el segundo circuito está enlazado dos veces por C y la corriente tiene sentido opuesto a la circulación; el terce·r circuito está enlazado una sola vez, pero ambas vueltas están enlazadas por C. El cuarto circuito no contribuye a la circulación porque no está enlazado por la trayectoria C; la contribución de / 4 cuando corta el plano de circulación en sentido positivo está contrarrestada exactamente por la misma corriente que vuelve a cruzar el plano en sentido negativo.

Fig. 35./7 La ley de Ampere aplicada a circuitos cerrados

Ejemplo 35. 7 Calcular la circulación del campo magnético de una espira de corriente de radio a a lo largo de un camino que recorre el eje z desde -R hasta + R, siendo R - oo, y regresa al eje z recorriendo en sentido horario una semicircunferencia de radio R, como se ve en la figura.

Fig. 35.18

Solución Para valores muy grandes de R, tenemos un campo di polar B - l/ R 3, mientras que el trayecto a lo largo de la semicircunferencia es proporcional a R y, por ello, la contribución a la circulación se anula

1348

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

cuando la semicircunferencia tiene R - oo. En el eje z, según la ecuación [35.50),

f B•dl

rR (a2 +

=

½Jto/02

=

½1tola 2 [ - ; (a 2 a·

+

z2)- 3/2

dz

z2)-1/2]

R -R

Por consiguiente,

Esto concuerda con la ley de Ampere porque el trayecto de circulación enlaza a la espira solamente una vez.

La ley de Ampere puede ser muy útil en cualquier caso en que el valor de campo magnético sea constante a lo largo de cierto contorno específico o región del espacio. Consideremos el campo en el interior de un hilo recto largo de sección recta circular y radio a, en el que existe una corriente constante / uniformemente distribuida en toda ella (ver figura 35 .19). La densidad de corriente es una constante J

l

[35.56]

1ra2

Como al girar el hilo alrededor de su eje no existe ninguna diferencia física, el campo debe poseer también simetría cilíndrica y las líneas de campo deben ser circunferencias, tanto dentro del hilo como fuera de él. Sin

a

2a

a

4a

p

fig. 35.19 Campo magnético en el interior de un hilo rectilíneo largo de grosor finito. La corriente 1 está dirigida hacia el lector

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1349

embargo, en un contorno C en el que p < a, como se indica en la figura 35.19, la corriente encerrada dentro del mismo es hr p2 y así B X 21rp

[35.57)

y por tanto, B

para

p <

a

[35.58)

De aquí que el campo sea una función lineal del radio en el interior del hilo. En su centro el campo se anula y tenemos un punto neutro. Este punto se denomina tipo O, porque las líneas de campo alrededor del punto se van encogiendo y formando círculos cada vez menores hasta reducirse a un punto en el límite cuando C se reduce al punto.

Ejemplo 35.8 Por un hilo recto largo de sección circular y de radio a fluye una corriente /. Está rodeado (aunque aislado) por una corteza cilíndrica conductora de radio b = 2a. Esta corteza transporta una corriente igual y opuesta, distribuida uniformemente por toda su sección recta. Calcular y representar esquemáticamente el campo magnético de los dos conductores.

Fig. 35.10

'ª

o

a

2a

p

Solución En la figura 35.20 se muestra un gráfico de la sección recta del problema. Aplicando la ley de Ampere a dicha sección recta se obtiene el mismo resultado que el de la ecuación [35.58], B

para O :5

p <

a

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1350

en el caso del campo magnético tangencial en el radio p. No resulta evidente de modo inmediato que la corriente de la corteza no contribuya al campo dentro del hilo, pero consideremos el razonamiento siguiente: la corriente en la corteza está uniformemente distribuida, de modo que su contribución a B debe ser la misma en todos los ángulos para un valor fijo de p; 2 la circulación del campo debida a la corteza es, por tanto, igual al campo multiplicado por la longitud de la trayectoria; 3 como el camino de la circulación no encierra ninguna parte de la corriente de la corteza, se anula la circulación de su contribución y, por ello, la contribución al campo debida a la corteza debe ser idénticamente nula para todo p !:, a. Consideremos a continuación cierto valor del radio tal que a < p < 2a. Como la sección recta de la corteza vale 31ra 2, la densidad de corriente es J = //31ra 2 y la corriente /' en la corteza encerrada por un camino de circulación de radio p es /'

l(p2 -

a2)

3a 2

De aquí que, teniendo en cuenta la corriente del hilo y con la hipótesis (basada en la simetría) de que B depende únicamente del radio, obtenemos el campo tangencial a partir de la ley de Ampere:

y B

para a <

p :s;

2a

En la superficie exterior de la corteza, el campo cae a cero, por la ley de Ampere, y permanece en este valor para todos los valores mayores de p como se ve en la figura 35.20. Ejemplo 35.9 Supóngase que se desea enviar corrientes uniformes a través de los conductores coaxiales del ejemplo 35.8 (figura 35.20) de tal modo que el campo tangencial en el límite exterior de la corteza sea igual pero opuesto al campo en la frontera interior de la misma. (a) Si la corriente del hilo es /, hallar la corriente / 5 de la corteza. (b) Hallar el radio p en el que se anula el campo. Solución (a) Si aplicamos la ley de Ampere, integrando a lo largo de la circunferencia de la corteza, se tiene

1351

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

Sin embargo, este campo B debe ser igual en módulo al campo que existe en el borde interior de la corteza, de modo que B

Por consiguiente, /,

3/

teniendo Is un sentido opuesto al de /. (b) La densidad de corriente en la corteza es I

J

,

1ra·

Según la ley de Ampere sabemos que la circulación debe anularse a lo largo de una trayectoria de radio p tal que encierre una cantidad /' de corriente en la corteza que sea igual y opuesta a la corriente en el hilo conductor: /'

J1r(p2 -

a2)

.!, (p2 a·

- a2)

Así, pues, , p·

2a 2

o bien, p

.fi.a

1.414a

.35.6 Líneas de campo magnético Como en el caso de las líneas de campo eléctrico (ver sección 27 .4), podemos definir las líneas de inducción magnética como aquellas líneas matemáticas en el espacio que en todo punto son tangentes al campo B. Así, pues, si dr es un segmento diferencial de trayectoria a lo largo de la línea del campo, entonces B X dr

o

[35.59)

es la ecuación diferencial a partir de la cual podemos deducir la familia de líneas correspondientes a un campo B determinado. Matemáticamente, la situación es completamente análoga al caso de las líneas de campo eléctrico. Por consiguiente, el campo lejos de un dipolo magnético tiene la misma forma que el correspondiente a un campo eléctrico dipolar (ver ecuación [27 .40)); las líneas de campo vienen dadas por r

=

r 0 sen 2 0

[35 .60)

l

1352

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

en donde 0 es el ángulo formado entre el vector r correspondiente al punto del campo y el eje dipolar y r0 es el parámetro constante que caracteriza una línea de campo particular. De hecho esta fórmula describe al dipolo magnético con más exactitud que al dipolo eléctrico, porque las líneas de campo magnético pasan de hecho a través del origen. El campo real cerca de una espira de corriente debe enlazar también a la espira, como se ve en la figura 35.21, mientras que el campo cercano a un dipolo eléctrico tiene unas líneas de campo que van directamente desde la carga positiva a la negativa.

(a) Campo eléctrico creado por un par de cargas iguales y opuestas; el campo lejano es el de un dipolo /

(b) Campo magnético creado por un anillo de corriente; el campo lejano es el de un dipolo

/ Fig. 35.21

Campos próximos a dipolos eléctrico y magnético

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1353

Ejemplo 35.10 Utilizando la ecuación [35.59] y coordenadas cartesianas, comprobar que las líneas de campo de una línea de corriente infinita son realmente circunferencias alrededor del hilo. En coordenadas cartesianas en tres dimensiones,

Solución

B

~/ ( -y1.

=

+

XJ')

-(xdx

+

-2

21rp

=

dr

y

dx i

+

dy j

yj)

=

O

+

dz k

Por consiguiente, B X dr

=

ydy)k

+

dz(xi

+

y las ecuaciones diferenciales de los componentes dan las relaciones dife-

renciales que deben satisfacerse a lo largo de una línea de campo:

xdx

+

ydy

=

O

=

dz

y

O

Así se obtiene

x2

+

y2

=

constante

y

z

=

constante

La línea de campo que satisface estas relaciones es la intersección de un cilindro concéntrico con el eje z(x2 + y 2 = constante) con un plano normal al eje z (z = constante) -en otras palabras, una circunferencia alrededor del hilo.

Como hicimos en el caso de los campos eléctricos, definimos el número de líneas de campo que atraviesan hacia fuera un área determinada A como el número igual al flujo 4> de B a través de esta área: 4>

=

L B•dA

[35.61]

En el caso de campos debidos a una colección de polos magnéticos, en el que cada uno de ellos obedece a la ley de Coulomb del inverso de los cuadrados de las distancias, podríamos deducir inmediatamente el análogo magnético de la ley de Gauss aplicada a una superficie cerrada, , A E• dA = qle 0 • Sin embargo, nunca ha podido comprobarse la existencia de polos magnéticos aislados y, por tanto, sin que importe lo pequeña que tomemos la superficie encerrada, la «carga magnética» dentro de ella debe considerarse nula, o sea,

.... f

B•dA

=

O

[35 .62]

Aunque la ecuación [35.62] se dedujo para campos debidos a dipolos magnéticos y no a corrientes, es muy general porque los dipolos magnéti-

1354

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

Fig. 35.22

Descomposición de una espira de corriente grande en un sistema equivalente de espiras elementales de corriente

e

cos y las espiras de corriente pequeñas son indistinguibles en sus efectos magnéticos. El teorema de equivalencia de Ampere establece que una espira de corriente grande puede dividirse en un conjunto de pequeñas espiras como se ve en la figura 35.22, de forma que se supone que cada pequeña espira lleva la misma corriente / que la espira principal. Todas las espiras pequeñas juntas son equivalentes totalmente a la espira grande, porque todas las corrientes (y, por tanto, sus campos) se compensan en las ramas comunes; las únicas ramas que no se compensan son las que constituyen la espira grande. De aquí que los campos magnéticos originados por cualquier clase de espira de corriente cerrada puede considerarse como debidos a un conjunto de espiras de corriente infinitesimales. Puesto que una corriente cualquiera debe formar finalmente un circuito cerrado, la ecuación [35.62] se aplica a cualquier campo magnético originado por dipolos magnéticos o por espiras de corriente o por ambos. Puede demostrarse también que la ecuación [35.62] es válida para los campos magnéticos de cargas móviles; es, por tanto, completamente general. La condición ½A B • dA = O conduce directamente al teorema de la conservación del flujo magnético, por el cual se establece que el flujo neto a través de cualquier superficie gaussiana es nulo. Así, en el caso de la figura 35.23,

o

f

B• dA

f B• dA + f B• dA Js, Js2

[35.63]

-{flujo entrante S 1) + (flujo saliente S 2) En general, Fig. 35.23 Conservación del flujo magnético


y el flujo total de cualquier campo de inducción magnética, en un medio cualquiera, debe conservarse, porque en el volumen entra la misma cantidad que sale de él. De aquí que, a diferencia del flujo eléctrico, que empieza y termina sobre cargas eléctricas, las líneas de inducción magnética no tienen principio ni fin y deben ser cerradas.* (En el caso límite de la línea de campo axial de una espira de corriente, es costumbre considerar que la línea «se cierra en el infinito».) Además, según la ley de Ampere, toda línea de campo cerrada debe estar atravesada por una corriente neta *Como veremos en el capítulo 36, las líneas de intensidad magnética H no son cerradas.

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1355

(a) Corrientes lineales muy separadas

(b) Corrientes lineales cercanas entre si

Fig. 35.24 Distorsión de las líneas de campo magnético de dos corrientes lineales antipa-

ra/e/as

/ tal que la circulación total de B a lo largo de la línea de campo sea igual a µ.of. Recuérdese que B es la densidad de líneas por unidad de área y que varía de un punto a otro a lo largo de una línea de campo determinada. El campo originado por una línea de corriente rectilínea es excepcional por cuanto B es constante a todo lo largo de una línea de campo dada.

(a) Corrientes lineales muy alejadas

Líneas de campo límites

(b) Corrientes lineales cercanas entre sf

Punto neutro tipo X Fig. 35.25 Distorsión y aparición de líneas de campo magnético en el caso de dos corrientes lineales paralelas

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1356

La propiedad de conservación del flujo magnético es de extrema utilidad para representar los campos magnéticos en los que intervienen diversas fuentes. El campo de cada fuente puede considerarse como una colección de tubos de flujo limitados por líneas de inducción magnética de tal forma que el flujo que atraviesa un tubo determinado es siempre constante. Estos tubos pueden considerarse como semejantes a los globos llenos de gas, que están sometidos a tensión tangencial y perpendicular a sus superficies y que tienden a llenar todo el espacio disponible. Según se van afiadiendo más fuentes o bien se van modificando sus posiciones relativas, los globos se deforman adquiriendo formas diferentes, pero permaneciendo intactos (ver figura 35.24) a no ser que se vean contrarrestados por tubos de flujos del mismo valor pero sentidos opuestos (ver figura 35.25). En el origen de la figura 35.25 tenemos un punto neutro tipo X en donde las líneas de campo parecen cortarse porque los dos campos opuestos se compensan exactamente en este punto en el que B = O; la dirección de la línea de campo en este punto no está unívocamente espe·cificada. · El tubo de flujo considerado como una entidad física tangible es muy útil en aquellas ramas de la física que se ocupan de la interacción entre campos magnéticos y líquidos o gases con una conductividad muy elevada, compuestos enteramente de partículas cargadas como iones y electrones libres (ver capítulo 40).

35. 7 Láminas de corriente y solenoides En la naturaleza, en el laboratorio y en las deducciones teóricas, nos encontramos con casos en los que puede suponerse que la corriente circula en láminas u hojas -es decir, por superficies bidimensionales de un espesor relativamente muy pequeño. Si la distancia desde un punto del campo a la superficie es muy pequeña en comparación con la curvatura y la extensión de la lámina u hoja de corriente, entonces puede considerarse ésta como si fuese un plano infinito cuando se trate de calcular el campo magnético. Imaginemos una lámina de corriente que cubre el plano xz entero, teniendo una corriente distribuida uniformemente de densidad J circulando en la dirección x (ver figura 35.26). El campo magnético B' de la corriente debe ser un vector constante perpendicular a la corriente y, por simetría, debe ser tangente a la lámina de corriente, porque se compensan entre sí anulándose las componentes de B normales a la hoja, producidas por pares de elementos de corriente de anchura infinitesimal dz equidistantes de un punto del campo cualquiera. De aquí que

B'

B'k { -B'k

para y para y

> O < O

[35.64]

Considerando la circulación a lo largo de un contorno rectangular de altura L, se tiene mediante la ley de Ampere

2B'L

[35.65]

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1357

B, J'

B,

Fig. 35.16 Campo magnético B' de una lámina u hoja de corriente infinita situada en el plano xz con una densidad de corriente J y un campo externo 8 0 . El camino de circulación (trazo negro grueso) para el cálculo de B' = 0 1 corta a la lámina de corriente en los puntos gruesos.

1-µ

en donde ó es el espesor (muy pequeño) de la lámina de corriente. Así, pues, (35.66]

B'

Podemos expresar B' en función de la densidad de corriente superficial <Í' que es la cantidad de corriente que circula a través de una longitud unidad normal a la dirección de la corriente:
= Jó

Por tanto, [35.67]

B'

Si la lámina de corriente es mucho más delgada que la escala del problema, parecerá que existe una discontinuidad abrupta en el campo magnético que atraviesa la hoja. Si ésta se encuentra situada en un campo magnético uniforme B0 = -Be)<, entonces existe una fuerza neta F que se ejerce sobre el prisma de volumen LL 'ó en la figura 35.26, dada por

F

=

IL'B0 j


[35.68]

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1358

que es equivalente a una presión P, sobre la lámina:

F ll'

P,

[35.69]

en donde hemos sustituido el valor de J tomado de la ecuación [35.67]. Alternativamente podríamos tener más interés en resaltar los campos que las corrientes. Si B 1 = B 0 + B' es el campo total en la cara izquierda de la lámina y si B2 = B 0 - B' es el campo total en la parte derecha, entonces la presión neta sobre la lámina es

2[(B 1

2B'B0

P,

-

B2)/2][(B 1

+

B2)/2]

JLo

JLo

1 - -(Bf 2µo

BD

[35.70]

Podemos considerar que la hoja es una superficie matemática que separa dos tubos de flujo magnético diferentes, cada uno de los cuales ejerce una presión hacia fuera dada por

.....

p

=

_I_ B2

[35.71]

2JLo

De hecho, este tipo de presión lateral hidrostática está ejerciéndose siempre por los campos magnéticos sobre las superficies conductoras límites. En el caso especial en que el campo total se anula en la parte de la derecha, B2 = O = B 0 - B' y haciendo B 1 = B se tiene B

=

B0

+

B'

=

2B'

[35.72]

o, en notación vectorial,

..,._

n

X B

[35. 73]

en donde n es el vector unidad normal a la lámina de corriente que señala hacia la región del campo. Esta deducción supone que el conductor portador de la corriente es lo suficientemente fuerte como para resistir la presión P = B 2/2µ 0 • En el laboratorio se han producido campos magnéticos explosivos, capaces de «vaporizar» literalmente conductores en una fracción de segundo, en experimentos sobre plasmas, que son gases ionizados a temperaturas muy elevadas, compuestos por partículas cargadas (iones y electrones).

Consideremos una lámina de corriente que se extiende únicamente sobre el intervalo vertical - W :S z :S W, como se indica en la figura. (a) Hallar el campo a una distancia y de la lámina sobre el pro-

Ejemplo 35.11

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1359

pio eje y. (b) Demostrar que, para y -e W, se obtiene el valor límitf!. B' = -½-µo ti-.

a

dB Rg. 35.27 y

di

Solución (a) Supongamos que la lámina está compuesta por un número infinito de líneas de corriente de anchura dz. A lo largo del eje y, las componentes y de los campos infinitesimales se compensan por pares y el componente z es

B.

j dB cosa

w Y (~"')d 21rr z f-W;

tg

-1

W

-

y

(b) Tomando el límite cuando W se hace mucho mayor que y, se obtiene

lim B,

W/r--oo

=

Una fuente práctica de campo magnético de gran importancia es el solenoide, que es una bobina circular de hilo conductor formada por N espiras arrolladas juntas en espiral sobre un cierto soporte de radio a y longitud axial L (ver la figura 35.28a). Podemos aproximar dicha fuente como una lámina de corriente cilíndrica (ver figura 35.28b) con una densidad de corriente superficial =

NI L

-

=

ni

[35.74)

en donde n es el número de vueltas por unidad de longitud. Así pues, la contribución a la inducción magnética sobre el eje en (0,0,z) debida a la

1360

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

t

B,

í l

N espiras

l.

1---- 2a ~

f----2a~

(a) Bobina

(b) lámina de corriente cilíndrica equivalente

Fig. 35.28 Una bobina con N espiras apretadas por las que circula una corriente / puede sustituirse aproximadamente por una lámina de corriente cilíndrica de densidad de corriente superficial .<Í' = Nlll = ni. Se ha exagerado la separación del arrollamiento de la bobina.

corriente di =
dB,

utilizando la fórmula de la ecuación (35.30) para el campo axial de una espira circular. Integrando sobre toda la bobina, obtenemos B,

= tµ 0nla 2 JL¡i [a 2 + (z - z')2]- 312 dz'

(35.76]

-L/2

Como variable de integración, utilicemos el semiángulo {3 subtendido en el punto del campo por la espira de corriente diferencial:

z' - z a

cot {3

y

dz'

- a cosec 2 {3 d/3

(35.77]

Expresando la ecuación [35. 76) en función de {3, se tiene

tµ

B,

/32

0

nl

l

(-sen {3)d{3

B,

en donde cotg {3 1 = -(L/2 + z)/a y cotg /32 = (L/2 - z)/a. Si el solenoide es muy largo (L }> a) y z no está próximo a los extremos, entonces {3 1 - 1r y {3 2 - O, de modo que

B,

[35.79]

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1361

.que se reduce a la mitad de este valor en cualquiera de los dos extremos, como se indica en la figura 35.29. De hecho, la ecuación [35.78] es rigurosamente correcta para el componente z del campo axial, incluso aunque el arrollamiento no sea muy compacto y no pueda aproximarse por una lámina de corriente de forma continua. Sin embargo, en este caso el campo también tiene componentes x e y y es realmente una espiral alrededor del eje del solenoide. 8)µ.a11l

0.6

,.....- Final de la bobina 1

0.4

0.2

-5

- 4

- 3

-2

- 1

O

2

3

4

5

z/R

Fig. 35.29 Campo magnético axial en un solenoide con arrollamiento muy apretado de N vueltas, radio R y longitud L = 8R por el que circula una corriente/; n = NIL

Dentro del solenoide y no muy próximo a sus extremos, el campo es bastante uniforme en todo su interior. Algunas líneas se escapan entre las

Fig. 35.30 Campo de un solenoide estrechamente arrollado de radio R y longitud L

=

8R.

Obsérvese la discontinuidad de las lineas de campo y su densidad cuando cruzan la bobina

1362

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

espiras y existe un ensanchamiento de las líneas del campo cerca de los extremos del solenoide (ver figura 35.30). En el caso de un solenoide laminar infinitamente largo el campo sería uniforme. Como las líneas de campo sólo pueden tener componentes z y debe ser nula la circulación a lo largo del trayecto rectangular abcd de la figura 35.31 se deduce que el \V

hacia el lector

Ó'

Fig. 35.31

"

' \'

0 0 0 0 0 0 0 0

'\

..

\(y

l:,

® e

b

®

T L

d

l

d

a

®

Deducción del campo interior B1 y del campo exterior B2 de un solenoide

infinito

campo inmediato en el interior de la lámina es también B 1 = µ.('/ll. Sin embargo, como la densidad de la corriente en la lámina es
(B 1

-

B2 )L

~!-L

Y

B2

=

O

[35.80]

de modo que el campo se anula fuera del solenoide . Otro caso especial importante es el del solenoide de forma toroidal cerrado sobre sí mismo (ver figura 35.32). Para un solenoide toroidal en el - - - que la sección recta de la bobina sea mucho menor que su circunferencia - - - media L = 21rR, la densidad de flujo es muy uniforme y B = constante, de forma que casi todo el flujo de las espiras cerradas se encuentra confinado dentro de la sección recta del toroide. Si calculamos la circulación a lo largo de la circunferencia media como trayecto de circulación, se obtiene mediante la ley de Ampere Fíg. 35.32 Toroide

.....

B

que es idéntica a la ecuación 35. 79.

Ejemplo 35.12 noide?

¿Cuál es la intensidad de polo efectivo p de un sole-

Solución El momento dipolar total de las N espiras de un solenoide de longitud L es m = N(1ra 2I). Así pues, crea un campo lejano idéntico al

[35.81]

1363

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

de una barra imanada de momento m = µ 0m y, por ello, parece ser un imán en forma de barra de intensidad de polo p

m = -L =

JLoNI

--1ra

2

L

y la intensidad de polo efectivo del solenoide es igual al flujo magnético que atraviesa la bobina.

35. 8 Ecuaciones diferenciales de la magnetostática En la sección 27. 7 estudiamos la formulación de la ley de Gauss de la electrostática en función de derivadas parciales. Citábamos un teorema matemático general conocido como teorema de Gauss correspondiente a una función de punto vectorial F(r) en general,

L

(\7. F)d'V

[35.82)

en donde A es una superficie cerrada que limita un volumen 'V y utilizábamos este teorema para demostrar que podemos representar la ley de Gauss

g_ Eo

mediante la ecuación en derivadas parciales aE

=

axx

+

aE>.

ay

+

aE,

az

p_

[35.83]

Eo

en donde p es la densidad de carga en el volumen 'V y V.• E es la divergencia de E. Podemos aplicar el mismo teorema a cualquier campo magnético B. Como en la naturaleza no existen polos magnéticos aislados, la ecuación [35.62)

origina la ecuación en derivadas parciales equivalente ..,_

\7•B

=

O

(conservación del flujo magnético)

[35.84)

Esta ecuación, que expresa la conservación del flujo magnético en el espacio, es una de las cuatro ecuaciones más fundamentales de la teoría electromagnética, junto con la ley de Gauss de la ecuación [35.83). Es válida en todas las condiciones, cualesquiera que sean incluso en aquellos casos en que las condiciones pueden cambiar con el tiempo.

1364

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

En el capítulo 34 y en las secciones precedentes de este mismo capítulo, hemos estado considerando la magnetostática, que es el estudio de los campos magnéticos debidos a corrientes constantes (corrientes que no están variando con el tiempo, aunque las cargas individuales estén en movimiento). Bajo estas condiciones, existe otra ecuación en derivadas parciales que tiene en cuenta a las corrientes en el espacio como fuentes del campo magnetostático. Para expresar esta ecuación de forma más senci. lla, definiremos una última operación diferencial, el rotacional, mediante el empleo de la notación del operador nabla:

'1 X F

rot F

aF, - az aFY) i (ay

+

(ªFx aF,) j az - ax

+

(ªFy - aF.,) k ax ay (35.85]

Obsérvese que el propio rotacional es un vector. Se obtiene el segundo miembro de la ecuación [35.85] de una manera puramente formal calculando el producto vectorial V x F, recordando (como siempre) que el operador nabla siempre actúa para derivar las funciones situadas a su derecha.

Ejemplo 35.13 El vector de posición R de un punto del campo r respecto a un punto fuente r' es R = r - r'. En el ejemplo 28.6, demostramos que R

R3 Demostrar que el rotacional de esta magnitud se anula. Consideremos precisamente el componente x del rotacional:

Solución

e

:y ;3 z') - :z(y ;/') aRaR(z - z') -. - (y - y') ay az 3

Como R-3 aR- 3

ay

=

= [(x -

x')2

+

3(y - y') R5

(y - y')2 y

+

(z -

aR - 3 iJz

3

z')2]-312 =

3(z

z') R5

De aquí que los términos del componente x del rotacional se anulan exactamente y resulta cero esta componente. De forma semejante puede demostrarse que se anulan también los otros dos componentes.

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1365

En general, puede demostrarse que el rotacional de cualquier gradiente de una función escalar f se anula siempre: rot grad f

= V x Vf = O

[35.86]

Esta relación se recuerda fácilmente por analogía con la anulación del producto vectorial de dos vectores idénticos, F x F = O, aunqµe el operador nabla sólo puede calcularse cuando opera sobre funciones que están a su derecha. Un importante teorema general matemático conocido como teorema de Stokes (en honor de su descubridor, el gran físico inglés del siglo pasado, George G. Stokes) establece que, en el caso de una función puntual vectorial F(r) continuamente diferenciable,

L

(v' X F)•dA

[35.87]

en donde C es cualquier trayecto o camino cerrado en el espacio y A es cualquier área limitada por C. Es decir, la superficie A no es cerrada. Se escoge la normal a la superficie de modo que dA tenga un componente en el sentido de la rotación al recorrer C, como se ve en la figura 35.33. Una demostración completa del teorema de Stokes es bastante pesada, aunque no de difícil comprensión. Sin embargo, la aceptaremos ahora sin

Fig. 35.33 /:,Jemplo demostrativo del teorema de Stokes: la integral de línea (circulación) de una función vectorial de punto F(r) a lo largo de un trayecto cerrado Ces igual a la integral de superficie de su rotacional extendida a cualquier superficie A que esté limitada por el contorno C.

ninguna demostración. Da origen a la definición matemática general del «rotacional de un vector»: lim ('v X F)•dA

lim

dA-0

dA-O

1 F•dl

Te

[35.88]

Esta definición es independiente de los sistemas de coordenadas y puede utilizarse para obtener el desarrollo adecuado del rotacional en sistemas coordenados curvilíneos como el cilíndrico o el esférico.

1366

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

Podemos obtener ahora la forma diferencial de la ley de Ampere aplicando el teorema de Stokes:

fe B•df

=

L

(35.89]

(V X B)•dA

La corriente neta que atraviesa el área A limitada por C puede expresarse mediante la integral de superficie de su densidad de corriente sobre el área, como en la écuación [32.5]:

I

=

L

J•dA

Así puede demostrarse rigurosamente que la ecuación [35.89] es equivalente a Oey de Ampere)

[35.90]

porque las integrales deben ser iguales para cualquier camino C, por pequeño que sea. Como veremos en capítulos posteriores, esta ley se aplica únicamente a la magnetostática; no es válida cuando las corrientes y los campos eléctricos que les dan origen están variando a lo largo del tiempo. Igual que la ley de Gauss V • E = ple 0 , la ley de Ampere es la expresión diferencial que relaciona el campo con sus fuentes. En el caso de un campo vectorial conservativo cualquiera, como el campo electrostático, y por definición, cualquier integral lineal depende únicamente de los puntos extremos. De aquí que, aplicando el teorema de Stokes, O

=

fcE•df

=

L
X

E)•dA osea,

vx

E

=

O (35.91]

La condición de que un campo sea conservativo es equivalente a requerir que sea irrotacional. Esto está de acuerdo con nuestra observación previa de que el rotacional de un gradiente es idénticamente nulo y del hecho de que E = -V V en el caso de un campo electrostático.

Ejemplo 35.14 Suponiendo que todos los campos magnéticos se deben a corrientes, deducir la ecuación [35.62] y de aquí la conservación del flujo magnético, directamente a partir de la prescripción representada por la ecuación [35 .16]

Solución

La ecuación [35.16] demuestra que

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1367

Como la divergencia opera únicamente sobre las coordenadas (x,y,z) del punto del campo y no sobre las coordenadas (x' ,y' ,z') del punto fuente ni sobre df = dx'i + dy'j + dz'k, podemos considerar la expresión del segundo miembro de la proporcionalidad anterior como un producto mixto ordinario (ver sección 2.4),

-a •e

a•b X e

- a X e• b

X b

y obtener así

V•(dt

X :

1)

-V•(_!_ R·'

X

dt)

Sin embargo, hemos demostrado en el ejemplo 35.13 que R/R 3 y así, como el rotacional de un gradiente cualquiera se anula,

V• B ...., dt • V X V (

!) =

= V(IIR)

O

a partir de la cual se puede deducir la expresión deseada:

f

V•Bd'V

o

(Obsérvese de nuevo que el operador V se comporta formalmente como un vector ordinario, excepto en que debe aparecer siempre a la izquierda de cierta magnitud sobre la cual opera.)

PROBLEMAS 35.1

La ley de Biot y Savart

35.1 Dos segmentos rectilíneos de hilo de longitudes L y L' están situados con sus centros sobre el eje zen (0,0,R) y (0,0,-R), respectivamente, siendo R ;;;:, L = L'. Hallar la dirección de la fuerza magnética ejercida sobre L, (a) cuando L = Li y L' = L ' i; (b) cuando L = Li y L' = L'j.

35.2 Dos trozos de hilo rectos y cortos de longitudes L y L' están situados en (1,0,-1) y (0,1,1), respectivamente. La corriente I que circula por el primer hilo señala en dirección paralela al vector j + k y la corriente I' que circula por el segundo hilo tiene dirección paralela al vector - i -j. (a) Hallar la dirección de la fuerza ejercida por L' sobre L. (b) Si L = 1 cm, L' = 1,5 cm,/ = 2 A e I' = 1,5 A, hallar el valor de la fuerza ejercida sobre L' por L y dibujar un esquema que nos muestre su dirección.

1368

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

35.3

Demostrar que A X (B X C)

= B(A • C) - C(A • B)

'*

(A X B) X C

*35.4 Escribir un programa para valorar la fuerza existente entre los elementos de corriente rectilíneos /L e /' L' separados por una distancia R, en donde R ~ L y R ~ L'. Dibujar un diagrama de flujo y utilizar una subrutina para calcular el producto vectorial de dos vectores. Comparar los resultados con la solución al problema 35.2. 35.2

Transformaciones de campo

35.5 Dibujar un sistema cartesiano ortogonal en el que se tenga una circunferencia de radio unidad centrada en x = 2 sobre el eje x y con su plano normal al mismo. Dibujar circunferencias semejantes centradas en y = 2 normal al eje y y en z = 2 normal al eje z. Si se sitúa en el origen un pequeño elemento de corriente que señala en la dirección z, hacer un esquema que nos indique las direcciones del campo magnético debido a dicho elemento a lo largo de cada circunferencia. 35.6 Un disco de radio R gira con una velocidad angular w y lleva una carga q con densidad superficial uniforme. (a) Hallar la densidad de corriente lineal dlldr por unidad de radio. (b) Hallar el momento magnético del disco. (e) Expresar el momento magnético en función de la corriente total /. (d) ¿Por qué resulta el momento un 50 OJo mayor que el valor predicho que se utilizó en el problema 34.20? 35. 7 Dos cargas iguales q se están moviendo con velocidad v = {3c, siendo b ..¡¡ 1, paralelamente entre sí. Comparar la fuerza magnética F 8 sobre cada carga con la fuerza electrostática FE, según vería un observador estacionario. 35.8 Un dipolo eléctrico de momento p = qój tiene un observador situado en su centro. Junto a él pasa otro segundo observador con velocidad v = vi. Utilizando las transformaciones de campos, determinar los campos eléctricos y magnéticos vistos por el observador móvil, suponiendo que v ..¡¡ c. 35.9 Demostrar que las ecuaciones [35.14] y [35.15] están de acuerdo con la transformación inversa. 35. JO Una carga lineal infinitamente larga posee una sección recta de área constante A y densidad de carga lineal ).., también constante. (a) Hallar el campo magnético B' visto por un observador que se mueve con una velocidad v = vi respecto a la carga lineal, por encima y paralela a la misma, siendo v ..¡¡ c. (b) ¿Ve el observador también un campo eléctrico E'? Si es así, ¿cuál es su fórmula? (e) ¿Están B' y E' de acuerdo con las transformaciones de campo en el caso no relativista? 35. 3 Campo de un conductor rectilineo 35.11 Dos hilos paralelos distantes entre sí 2D y cada uno de ellos con .una longitud L ~ D, transportan corrientes iguales pero opuestas /. Ha-

1369

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

llar el valor de la inducción magnética 8 en el plano de los conductores a una distancia R de la línea media entre ambos. 35.12 Dos hilos paralelos infinitamente largos por los que circulan corrientes iguales pero opuestas / están separados a una distancia 2D. (a) Hallar el flujo magnético ¡ por unidad de longitud que atraviesa una tira de anchura D contenida en el plano de los conductores y que resulta cortada por la mitad por la línea intermedia entre ambos. (b) Calcular <1> 1 para / = 6 A y D = l O cm 35.13 (a) En el caso de la disposición geométrica del problema 35.12, hallar la fórmula que nos da el flujo magnético e por unidad de longitud ·que corta al plano de los hilos desde una distancia D' en el exterior de uno cualquiera de los hilos hacia el infinito. (b) ¿Para qué valor de D/D' será igual el valor de e al dado como solución del problema 35.12b? *35.14 (a) Demostrar que, si por un hilo recto infinitamente largo circula una corriente / en la dirección z, entonces el campo magnético en el plano xy puede representarse por 8

=

~ IX R 21rR 2

en donde / = + /k para / > O y en donde R = p - p', siendo p el radio vector al punto del campo en el plano xy y p' el radio vector al punto en donde la corriente corta al plano xy. (b) Escribir un programa de ordenador para calcular 8, dados 1, p y p'. 35./5 Dos corrientes rectilíneas iguales pero opuestas/ circulan en la dirección z. La corriente positiva corta al plano xy en (D,0) y la negativa en (-D,O). (a) Hallar el campo magnético total en un punto cualquiera (x,y,0). (b) Hacer un esquema del campo a lo largo de los ejes x e y. (INDICACIÓN: Utilizar la solución dada al problema 35.14a.) 35.16 Una corriente rectilínea / circula a lo largo del eje x negativo hacia el origen y luego sobre el eje y positivo. (a) Hallar el campo magnético sobre la diagonal y = -x > O en función de la distancia p al origen. (b) Hallar el campo magnético sobre la diagonal y = -x < O en función de p. 35./7 (a) Transformar la ecuación [35.23] al sistema coordenado en donde el punto del campo esté a una altura z por encima del plano xy, como se indica en la figura. (b) Demostrar que en el nuevo sistema (con z1 < O) el campo del conductor es 8

µ,o/ ( 41rp -.jp2

Z2

-

Z

+

(z2 -

Z

z)2

+

.,/p2

+

-

Z¡

(z -

)

µ, 0 /pLz (

1

(z2 -

L2¡4)2

)

T z

¡¡,

1

z,)2

(e) Deducir a continuación la ecuación [35.25]. (d) Demostrar que, en el límite de p
--¡;;:-

B

Z¡ -

'

f---P---j

1370

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

*35.18 Dos corrientes rectilíneas paralelas/ circulan por conductores de masa m por unidad de longitud y con una separación inicial en reposo de lOL, en donde L es cierta unidad de longitud. (a) Escribir la ecuación del movimiento de un hilo, siendo x su distancia desde el origen, que está en un punto medio entre los hilos. (b) Escoger L como la escala de longitud y T como la escala de tiempo. Escribir las ecuaciones adimensionales del movimiento y las condiciones iniciales. (e) Hallar el tiempo de colisión si m = 100 g/m, / = l A y L = 10 cm.

35.4 Campo de una espira circular 35. /9 Demostrar que, cuando tiende a infinito el número n de lados del polígono de la figura 35. l l, el campo en el centro tiende al de una espira circular. 35.20 Hallar la corriente / que se requiere en una espira circular de 34 cm de diámetro para neutralizar un campo externo de 100 µTen su centro. (Este campo externo es aproximadamente igual al campo geomagnético en la superficie de la tierra.)

35.21 La bobina plana indicada en la figura está arrollada de tal modo que contiene un número uniforme de vueltas por unidad de longitud a lo largo de su radio. (a) Si es N el número de vueltas total, hallar la inducción magnética B en el centro de la bobina. (b) Demostrar que, en el límite cuando b - a, el campo de esta bobina plana se aproxim:t al de una espira.

-I

-I

35.22 Una parte de un hilo recto de longitud infinita se dobla en forma de una semicircunferencia de radio R. Si por el hilo circula una corriente /, ¿cuál es la inducción magnética B en el centro de la semicircunferencia? 35.23 En el centro de una espira de 100 vueltas y l m de radio se encuentra otra espira pequeña de 100 vueltas y l cm de radio. Si se conectan en serie ambas espiras, calcular la corriente / necesaria para producir un par de 10-3 N • m sobre la espira interior cuando los momentos dipolares de las bobinas formen entre sí un ángulo de 45°. 35.24 Un conductor macizo rectilíneo largo tiene una sección recta en forma de un sector de círculo de radio R; el ángulo del sector es a. Cal-

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1371

cular la inducción magnética B en el vértice del sector, suponiendo una densidad de corriente uniforme.

35.25 El electrón orbital de un átomo de hidrógeno gira alrededor del protón que constituye su núcleo con una frecuencia de 6,6 x 10 15Hz en una circunferencia de 0,53 A de radio. (a) Hallar la corriente / equivalente. (b) Hallar la intensidad B del campo magnético debido a estacorriente en el núcleo. (e) Hallar el momento magnético del electrón (denominado el magnetón de Bohr). 35.26 Un par de Helmholtz se compone de dos espiras de corriente circulares idénticas de radio R separadas por una distancia D a lo largo de su eje común como se indica en la figura. (a) Hallar la razón DIR con la que se obtiene una uniformidad máxima én la región comprendida entre las espiras. El criterio para ello es d2B/dz 2 = O en el punto medio entre las espiras. (b) Hallar la inducción magnética B en el punto intermedio entre las espiras en este caso.

*35.27 Una corriente circular de radio a y valor / está centrada en el origen y contenida en el plano xy. Hallar, mediante integración numérica, el valor del campo B en (2a,0,2a). Comparar el resultado con las predicciones obtenidas mediante la aproximación del dipolo. 35.5 Ley de Ampere 35.28 Comprobar la ley de Ampere integrando el campo debido a un hilo recto a lo largo de un camino de forma cuadrada normal al hilo, que pasa a través del centro del cuadrado. 35.29 Un tubo conductor recto y largo de radio interior a y radio exterior b transporta una corriente / en la dirección z. (a) Expresar el campo magnético de la corriente en función de la distancia p al centro del tubo. (b) Representar un gráfico de Ben función de p para b = 2a. 35.30 En el plano xy está situada una espira por la que circula corriente, como se indica en la figura. Con objeto de demostrar que B,t, = O en todo punto, aplicar la ley de Ampere (a) al camino «cuadrado» C; (b) al camino circular grande C' en el plano xy. 35.31 En el plano xy se encuentra un hilo recto infinitamente largo de sección circular de radio b por el que circula una corriente de densidad J y

X

C'

1372

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

uniforme (como en la figura 35.19), señalando J en la dirección del flujo de corriente. (a) Demostrar que B = -½µ 0 J x p dentro del hilo, siendo p el vector de posición respecto al eje del hilo. (b) Utilizar el resultado de la parte (a) para hallar el campo magnético dentro del hueco circular de radio a en el conductor infinitamente largo cuya sección recta tiene la forma indicada. (INDICACIÓN: Esta situación es equivalente al caso de una corriente positiva de densidad J que circula a. través de la sección recta de radio b y que se encuentra compensada exactamente en el hueco por una corriente negativa de densidad -J.) 35.6 Líneas de campo magnético

35.32 En el origen y dentro de un campo uniforme Bo.i se encuentra en la dirección negativa de las z una corriente rectilínea, como se indica en la figura. Los campos, tanto el originado por la corriente rectilínea como el uniforme previamente existente se muestran superpuestos y no combinados en un campo total con una separación entre las líneas de campo sucesivas, considerando las líneas circulares y rectas como dos configuraciones separadas, escogidas de forma que incluyan una cantidad de flujo por unidad de longitud 4>, = 2BD, siendo D la escala del gráfico. (a) Si el radio de la circunferencia más grande es 5,843D, ¿cuál es el valor de la corriente n (b) ¿En qué punto se anula el campo total? (c) Este punto neutro ¿es del tipo O o del tipo X? y

B

X

35.33 El campo total producido por los campos superpuestos del problema 35.32 tiene la forma que se ve en la figura de la página siguiente. (a) Observando el comportamiento de las líneas del campo total cerca del origen, lejos del origen y en las proximidades del punto neutro, mostrar cómo se podría hacer un esquema aproximado de dicha figura en base a un razonamiento físico. (b) ¿Cuál es la ecuación diferencial correspondiente a las líneas del campo total? (e) Demostrar que la ecuación implícita de las líneas de campo es x/3D - 1n(p/3D) = constante. (d) ¿Cuál es la ecuación de las líneas límites del campo? (Obsérvese que la distancia 3D desde el origen al punto neutro es la escala natural del problema.)

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1373

y

X

*35.34 La hgura correspondiente al Problema 35.33 se dibujó con precisión mediante un ordenador. Calcular las líneas de campo indicadas en la misma y comprobar los resultados con ella. 3D e Yo = O y hacer incrementar lentamente a r.) 35.35 Considerar las líneas de campo del campo total de las dos corrientes rectilíneas / e /' indicadas. Referirse a coordenadas polares centradas sobre la corriente /. (a) Demostrar que la ecuación de las líneas de campo viene dada por

e en donde C es una constante. (b) Demostrar que, en el caso de la línea límite del campo, C = D 2/4 cuando/ = /' . •,

V

k z

*35.36 Utilizar la integral de la ecuación [35.38] para calcular el campo cercano a un dipolo originado por una espira y representar las líneas de campo en el primer cuadrante del plano xz que cortan al eje" x a distancias de a/4, a/2 y 3a/4 del origen. Hacer primero un diagrama de flujo.

1374

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

Para determinar la integral del campo, hacer una cuadratura según la regla de Simpson sobre seis intervalos de 30°. Empezar trazando cada contorno o línea de nivel desde áx == (BxlBJflz y pasar a flz == (BzlB:Jáx cuando I áx 1 > 1 ~z I y volver de nuevo atrás cuando 1 ~z 1 > 1 áx ¡. ¿Puede justificarse la razón de esto?

35. 7 Láminas de corriente y solenoides 35.37 Dos láminas de corriente planas infinitas paralelas al plano yz están separadas por una distancia finita. La densidad de corriente superficial es ,Jk en la hoja de la izquierda y - «1k en la hoja de la derecha. ¿Cuál es el campo magnético en cada una de las tres regiones del espacio limitadas por las láminas? 35.38 ¿Qué porcentaje de error se obtiene al utilizar la fórmula B = µ 0 nl para el campo en el centro de un solenoide de 30 cm de largo y 1 cm de radio? 35.39 (a) Demostrar que la fuerza ejercida por el campo magnético solenoidal en los arrollamientos de un solenoide (muy largo) da origen a una presión (b) ¿Cuál es el valor y la dirección de esta presión en función de / y n? (e) ¿Cómo se explica el hecho de que la fuerza por unidad de longitud no sea igual a nlBz? *35.40 Representar gráficamente el valor de Bz a lo largo del eje del solenoide de longitud L y radio R = L/10. Expresar Bz en unidades de µ 0 ni y z en unidades de R. 35.41 Por las paredes muy delgadas de un tubo conductor muy largo que tiene la dirección z circula una corriente. (a) Demostrar que la densidad superficial de corriente
35.42 En el plano xz circula una corriente uniforme como se ve en la figura 35.26. Sin embargo, en este caso el campo externo es B 0 = B 0i. La densidad superficial de la corriente en el plano es «1. (a) Hallar los campos magnéticos a cada lado de la corriente. (b) Hallar la fuerza neta por unidad de área sobre el plano. (e) Hallar el ángulo formado entre los campos totales B 1 y B 2 cuando
35.8 Ecuaciones diferenciales de la magnetostática 35.43 Demostrar que el campo magnético fuera y dentro de un hilo recto largo obedece la forma diferencial de la ley de Ampere. 35.44 Un cuerpo situado en una posición r se hace girar con velocidad angular w afrededor del eje z. (a) Expresar su velocidad v como un vector función de su posición. (b) Calcular V x v. (e) Calcular V • v.

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

1375

35.45 (a) Demostrar que rot grad f = O, siendo j(x,y,z) una función escalar de la posición. (b) Demostrar que div rot A = O, siendo A(x,y,z) una función vectorial de la posición. 35.46 Si F = (x - y)i + (x + y)j, hallar la circulación de F a lo largo de una circunferencia de radio R centrada en el origen en el plano xy (a) mediante integración directa sobre la circunferencia; (b) utilizando el teorema de Stokes. 35.47 Hallar la circulación de F como se definió en el problema 35.46 a lo largo de una circunferencia de radio R situada en el plano yz y centrada en el origen (a) mediante integración directa a lo largo de la circunferencia; (b) utilizando el teorema de Stokes.

35.48 Considerar el elemento de área en el plano xy en coordenadas cilíndricas como está indicado. Utilizando la definición fundamental del rotacional en función de la circulación por área unidad, demostrar que en coordenadas cilíndricas (v' X F),

=

aF,p + F,p _

.!_ (ªFp)

ap

P

P

a<1>

(INDICACIÓN: Recuérdese el tener en cuenta la variación de las longitudes de caminos tangenciales cuando p aumenta.)

35.49 Se sabe que B = V x A, en donde A recibe el nombre de potencial vector. (a) Demostrar que el flujo magnético total que pasa a través de un área limitada por una curva C viene dado por ½ A • df = 4>. (b) Demostrar que un potencial vector adecuado para las corrientes bifilares del problema 35.15 viene dado por

µol (1n R~) k 41r R:

A

(c) Utilizar este resultado para obtener la solución al problema 35.12a.

35.50 Un campo magnético debido a una colección de corrientes lineales infinitas en la dirección z puede representarse como un campo bidimensional en el plano xy. Imaginar que se encuentra situado en el origen de coordenadas un punto neutro tipo X, como está indicado. El campo es B

=

f(x,y)i

+

y

g(x,y)j

en donde f y g son funciones que pueden desarrollarse en serie en una región muy pequeña alrededor del origen. (a) Hallar la forma del desarrollo en serie más simple para f y g tal que se satisfagan en el punto neutro tanto la ley de conservación del flujo magnético como la ley de Ampere. (b) Demostrar que las líneas de campo bidimensional límites deben formar entre sí ángulos rectos: a + (3 = 1r /2.

X

1376

Campos magnéticos producidos por cargas móviles

Soluciones 35•1 (a) F = -Fk; (b) F = O 35•2 (a) F 11 (2i + j - k); (b) F = 7.5 pN 35•6 (a) d!/dr = wqrj-rrR 2 ; (b) m = wqR 2 /4; (e) m = 1rR 2l/2; (d) en el problema 34.20 se supuso dlldr = wq/21rR = constante 35 • 7 FB = (3 2FE 35•8 E'= -(2q/f 0 1ró 2)j, B' = (2µ 0 qv/1ró2)k 35•10 (a) B' = -(µ 0 Xv/27ry)k; (b) E' = E = (X/21rf 0 y)j; (e) B' = -c- 2 v X E 35• 11 B = µ 0 ID/1r(D 2 - R 2 ) 35 • 12 (a)
35•26 (a) D/R = 1; (b) B = 0.716µ 0 //R 35 • 27 En unidades de µof/21ra, los campos son Bx = 0,09855 y Bz = 0,04457. Utilizando la regla de Simpson en intervalos de 15° se tiene Bx = 0,09860 y B, = 0,04452. La aproximación del dipolo da Bx = 0,1041 Y Bz = 0,03471. 35 • 29 (a) B = O para O ~ p ~ a, B = (µ 0 l/21rp)(p2 - a 2 )/(b2 - a 2) para a S p s b, B = µ 0 //21rp para b S p < oo 35•31 (b) B = -(µ 0 cJ/2)j 35•32 (a) l = 61rDB/µ 0 ; (b) (x,y) = (3D,O); (e) tipo X 35•33 (b) dp/d0 = (psen0)/(cos0 - 3D/p); (d) x/3D - In (p/3D) = 1 35 • 36 Sobre el eje x, Bx = O y si se intenta calcular dz = (B/Bx)dx se obtienen errores incontrolables. Se produce el efecto contrario en la línea superior del campo en donde Bz = O. 35 • 37 B = µ 0.1j entre las láminas y B = O en todo otro punto. 35 • 38 error = 0.2% 35 • 39 ( b) P = µ 0 n 2/ 2/ 2, hacia fuera 35•41 (a) B~ = µ 0 (//27ra) = µ 0.1; (b) P = 6.37 N/m2, hacia dentro 35•42 (a) 8 1 = -(µ 0.1/2)k + B0 i, B2 = (µ 0 .1/2)k + B0 i; (b) F/ A = O; (e) ángulo = 90º 35 • 44 (a) v = w( -yi + xj); (b) v' X v = 2wk; (e) v' • v = O 35•46 f F • df = 27rR 2 35 • 47 f F • df = O

CAPÍTULO

36

Medios magnéticos Como es bien sabido, M. Oersted ha, descubierto recientemente una acción ejercida por la corriente voltaica sobre una aguja de acero previamente imanada. Mientras estaba repitiendo los experimentos del físico danés, observé que la misma corriente produce un desarrollo intenso de la propiedad magnética en barras de hierro o acero que antes carecían totalmente de ella. Voy a dar cuenta de los experimentos que establecieron este resultado casi en el orden en que fueron realizados. Habiendo unido un hilo cilíndrico delgado de cobre a uno de los polos de la pila voltaica, observé que, tan pronto com9 conectaba este hilo al polo opuesto, atraía limadu,:as de hierro tal y como lo haría un imán ... En cuanto se interrumpía la comunicación del hilo de conexión con los dos polos de la pila, las limaduras se despegaban por sí mismas y se caían ... M. Ampere, a quien mostré estos experimentos, acababa de hacer el importante descubrimiento de que dos hilos rectiiíneos paralelos, a través de los cuales pasan dos corrientes eléctricas, se atraen entre sí cuando las corrientes tienen el mismo sentido y se repelen mutuamente cuando sus sentidos son opuestos; a partir de este resultado dedujo además por analogía la consecuencia de que las propiedades atractivas y repulsivas de los imanes dependen de las corrientes eléctricas que circulan en las moléculas del hierro y del acero en dirección perpendicular a la línea que une los dos polos ... Estos aspectos teóricos le sugirieron a su vez la idea de que se podría tener una imanación más intensa sustituyendo el hilo recto de conexión que ya había utilizado por un hilo enrollado en forma de hélice... Después de permanecer algunos minutos en la hélice, la aguja del acero recibió una carga considerable de magnetismo; la posición de los polos norte y sur están perfectamente de acuerdo con el resultado que había deducido M. Ampere previamente a partir del sentido de los elementos de la hélice ... F. J. ARAGO, en Annales de Chimie et de Physique, 1820

DOMINIQUE

1377

Medios magnéticos

1378

Ampere descubrió que una pequeña espira de corriente experimenta el mismo par de fuerzas en un campo magnético y da origen al mismo campo magnético que si fuese un dipolo magnético. En 1820, basado en esta observación, enunció el teorema de la equivalencia de Ampere. Una espira de corriente es equivalente en todas sus propiedades magnéticas a un dipolo magnético a distancias grandes comparadas con las dimensiones de la espira. Ya hemos estudiado este teorema en la sección 35.6 (ver figura 35.21). Esta equivalencia llevó a Ampere a creer que los polos magnéticos se deben realmente a las corrientes que circulan en el interior de la materia. Así, pues, el campo de un imán en forma de barra es el campo neto producido por muchas espiras moleculares de corriente; si se corta la barra en dos se originan dos nuevos polos y se obtienen dos barras imán, idénticas a la original por lo que se refiere a la intensidad de sus polos, pero con un momento dipolar reducido a la mitad. El teorema de Ampere de equivalencia constituye la base para el estudio de los materiales magnéticos y suministra· el enlace conceptual esencial entre la estructura molecular, el magnetismo natural y la electricidad. Se conocen estas corrientes internas de la materia como corrientes de Ampere. Después de estudiar la electrostática básica, pasamos en el capítulo 30 al estudio de los dieléctricos. Análogamente, ahora pasaremos de la magnetostática simple a la interpretación y cuantificadón de las propiedades magnéticas macroscópicas de la materia en función de las cargas móviles y de las corrientes. Como los cálculos matemáticos de la magnetostática poseen tal semejanza con los de la electrostática, es de esperar que existan fuertes semejanzas formales entre las descripciones de los medios magnéticos y las descripciones de los dieléctricos. Sin embargo, existen tres respuestas claramente diferentes a la acción de los campos magnéticos aplicados externamente, razón por la cual se clasifican los medios magnéticos en diamagnéticos, paramagnéticos y ferromagnéticos. Únicamente los medios diamagnéticos recuerdan en sentido real a los dieléctricos; los otros medios tienden realmente a aumentar un campo magnético externo aplicado. Estos efectos se deben a la influencia del campo externo sobre la circulación de la carga dentro de los átomos y moléculas del medio. Los efectos acumulativos de esta influencia son observables a escala macroscópica. En este capítulo desarrollaremos la estructura teórica para la descripción y comprensión de estos efectos.

36.1 Imanación Las corrientes internas de Ampere responsables típicamente de la imanación de una sustancia no resultan evidentes; sin embargo, podemos describir las propiedades magnéticas de la sustancia en términos macroscópicos. Si se coloca dentro de un campo uniforme de intensidad H una sustancia imanada de momento dipolar magnético total m, se observa la aparición de un par T = m X H ejercido sobre el cuerpo (ver sección 34.3). Este par está relacionado con el vector suma m de todos los mo-

Medios magnéticos

1379

mentos dipolares de las corrientes individuales existentes dentro del material mediante la expresión

,,.

mXH

m X B

[36.1]

en donde el momento dipolar de espira total m = m/µ.0 se denomina imanación total del cuerpo. Es útil definir el momento dipolar de corriente neto por unidad de volumen:

...,_

M

m

[36.2]

V

en donde M se denomina intensidad de imanación, o simplemente imanación, del cuerpo. Así, pues, µe},{ es matemáticamente análoga a la polari-

zación eléctrica P de un dieléctrico y podemos aplicar directamente el análisis de la sección 30.1 al caso magnético. Por analogía con la ecuación [30.6], podemos definir una «densidad de polo superficial» ficticia (ver figura 36.1) por

.! = m • íi A

[36.3]

V

en donde íi es el vector unidad normal a la superficie sobre la cual definimos que está situada una intensidad de polo total P. Por analogía exacta con la ecuación [30.8] en el caso dieléctrico, podemos definir también la «densidad volumétrica de polo» ficticia e:n tal que { p~

d'V'

[36.4]

J'\f'

en donde A' es cualquier superficie en el espacio y 'Y' es el volumen que encierra. El volumen puede estar totalmente, en parte o no estar en absoluto dentro de una región en la que exista imanación. Como la integral del segundo miembro de la ecuación [36.4] expresa un flujo neto de

íi

+

+

+

+

Norte

Sur

/

íi Fig. 36.J

Densidad de polo superficial definida en función de la imanación M

1380

Medios magnéticos

M a través de A ', resulta claro que si la ecuación es uniforme en todo 'V', entonces no existe densidad neta de dipolos magnéticos y p:., = O. Obsérvese que debemos conservar el factor µ, 0 porque estamos describiendo la imanación en función de dipolos de corriente. El formalismo del polo magnético proporciona en algunos casos una considerable simplificación matemática, como hemos visto en el ejemplo de la barra imanada; sin embargo, no representa adecuadamente el campo próximo al dipolo de corriente (ver figura 35.21). Como los polos magnéticos no existen realmente dentro del material, sino que se definen mediante las ecuaciones [36.3] y [36.4], preferimos describir el estado de un cuerpo imanado mediante la descripción más fundamental de las corrientes circulantes de Ampere. Sin embargo, haremos uso del concepto de polos allí donde sea conveniente como método de análisis. Imaginemos un bloque cilíndrico situado en el interior de un solenoide por el que circula una corriente de conducción que crea un campo JJobina magnetizante Corrientes superficiales de Ampere I'

íl

d/'/dt'

M X

=

M

í\

Fig. 36.2 Aparece la imanación M cuando se aplica el campo magnetizante 8 0 al cilindro; el detalle muestra una sección ampliada de una porción del interior del cilindro en donde se ven las espiras de corriente elementales y las corrientes superficiales de Ampere

magnetizan/e uniforme B0 dentro del bloque (ver figura 36.2). Dibujemos a continuación, dentro del bloque, un cierto número de pequeñas unidades de materia dotadas de momentos magnéticos. Representemos cada pequeña unidad mediante una espira de corriente, en lugar de utilizar una barra imán, porque el estudio de la espira de corriente está más próximo a la realidad física. Representemos, por tanto, el cuerpo como se ve en la figura 36.2 con los momentos en su orientación estable y paralelos al campo B0 . Si suponemos que el material es homogéneo y que todo pequeño volumen d 'V' es todavía suficientemente grande como para que su imanación media sea la misma que la de todo otro pequeño volumen del mismo tamaño, entonces puede describirse el interior del material como una rejilla compuesta por espiras de corriente de Ampere infinitesimales y contiguas con corrientes di' como se ha indicado, encerrando cada espira un volumen d'V' = dA' • df', de modo que di'

Md'V' dA'

Mdl'

[36.5]

1381

Medios magnéticos

en donde df' es normal al plano de la espira (ver detalle de la figura 36.2). Así pues, cada espira tiene la misma densidad de corriente superficial

á-'

di' dt'

M

[36.6)

Como las corrientes internas se anulan entre sí por parejas, esto hace que quede únicamente una densidad de corriente de Ampere superficial de valor
n

[36.7]

Puede verse que los campos de inducción de las espiras elementales de corriente individuales harán aumentar el campo magnetizante Bo dentro del bloque; esto es exactamente lo opuesto a lo que sucede en el caso análogo del dieléctrico, en el que el campo eléctrico polarizante es decreciente. Este es el resultado de la diferencia fundamental existente entre los campos cercanos a los dipolos de las espiras magnéticas en donde las líneas del campo son continuas (ver figura 35.21) y los campos próximos a los dipolos eléctricos, cuyas líneas de campo terminan sobre cargas opuestas de los dipolos. Es decir, el campo próximo a un dipolo eléctrico M,

T dz'

1 Fig. 36.3 Imanación no uniforme 1: =

(lí -

1:)/dz' dy'

se opone siempre al campo polarizante en la región situada entre los polos, mientras que el campo cercano a una espira tiende a aumentar el campo magnetizante. Por esta razón, la descripción de un imán compuesto de polos magnéticos como en la figura 36.1 no es aplicable al interior de un imán real. Si la im·anación es uniforme en todo el bloque, entonces puede sustituirse por una espira de corriente de Ampere uniforme equivalente alrededor de la superficie del bloque con densidad superficial á-' = M. Er. el caso de que la imanación dentro del material sea no uniforme, puede existir una densidad de corriente de Ampere neta J' en puntos del interior del mismo. Consideremos dos espiras de corriente elementales adyacentes en la región de imanación no uniforme indicada en la figura 36.3, tal que M = M 1k en el centro de la primera espira y M = M 2 k en el centro de la segunda. La densidad de corriente que fluye a través del

1382

Medios magnéticos

área dA' = dy' dz', que está limitada por el contorno C, viene dada según la ecuación [36.4] como [36.8)

J'

X

Multiplicando por dA', se obtiene (M 2

-

M,)dz'

=

fe M • df

[36.9)

Es decir, el flujo neto de densidad de corriente de imanación a través de dA' es igual a la circulación de M a lo largo de la pequeña trayectoria C que limita la superficie dA', porque no existe contribución a la circula-

ción a lo largo de los segmentos horizontales de C. Intencionadamente hemos escogido el eje z' paralelo al vector de imanación local, pero podríamos haber escogido cualquier sistema coordenado para nuestra descripción sin alterar la situación física, de modo que la representación más general de la ecuación [36.9] sería J' •dA'

[36.10)

Ahora podemos generalizar esta relación a cualquier superficie finita A' en el espacio limitada por un trayecto cerrado C. Imaginemos que se divide la superficie A' de la figura 36.4 en áreas infinitesimales y consi-

deremos el flujo de la corriente de imanación que atraviesa cada una de ellas. El detalle de la figura muestra dos áreas adyacentes muy pequeñas Aí y A 2. El flujo que atraviesa su área combinada se suma como un escalar de modo que es previamente la suma de sus flujos por separado:

f

J' • dA'

[36.11)

A'1+A 2

Análogamente, debido a que las contribuciones a la circulación de M sobre los dos trayectos C 1 y C 2 se anulan entre sí en sus ramas comunes, la suma de las circulaciones de M es igual a la circulación de M a lo largo del trayecto C 12 que limitan ambas áreas combinadas:

1

Te,

M•df

+1

k

M•df

=

1 M•df Tc,2

[36.12)

Combinando las ecuaciones [36.11] y [36.12) con la ecuación [36.10) se tiene

1

Te,

M•df

J M•df

+1

Tc2

M•df

[36.13)

Medios magnéticos

1383 J'

Flg. 36.4 Dibujo esquemático para demostrar que el flujo de la corriente de imanación que atraviesa una superficie A es igual a la circulación de la imanación a lo largo de la curva C que limita A

Podemos repetir este proceso sobre todas las áreas infinitesimales de A' y así se llega a la relación general

f

J' • dA'

JA.

[36.14)

Así, pues, la circulación del vector imanación a lo largo de un trayecto cerrado que limita una superficie en el espacio es igual al flujo de la corriente de imanación a través de dicha superficie, cuando la normal a la superficie tiene una componente paralela al sentido de rotación de la circulación de la imanación. Si la normal es antiparalela al sentido de rotación de la circulación, entonces se necesitaría un signo menos en la ecuación. Puede demostrarse que esta relación es válida tanto si pasa parte, toda o nada de la superficie a través de una región de imanación. Consideremos a continuación una superficie cerrada A que limita un volumen 'V en el cual existe una corriente de imanación. Como las corrientes superficiales de imanación sobre A no contribuirán al flujo neto a través de A, el flujo de corriente total a través de A es

f

J' • dA

1

J' • dA

A¡

+

1

J' • dA

[36.15)

A¡

en donde ambas superficies cerradas A I y A 2 están limitadas por la trayectoria C como se ve en la figura 36.5. Como la normal a A 2 tiene un componente antiparalelo al sentido de rotación alrededor de C se tiene que

-1

1

J' •dA

J' •dA

A¡

[36.16)

A¡

Por tanto,

f

J'•dA

o

[36.17)

1384

Medios magnéticos J'

n,

\ Fig. 36.5 anula

El flujo neto de la corriente de imanación a través de una superficie cerrada se

t- -------, -- --

1 J'

que es la condición correspondiente a corrientes estacionarias (ver ecuación (31.10)) y no existe acumulación de cargas en ningún punto, aunque la imanación no sea uniforme.

¿Cuál es la densidad de corriente de Ampere <J,' sobre una esfera de imanación uniforme M?

Ejemplo 36.1

Supongamos que M define el eje z de la esfera, siendo O el ángulo existente entre el eje y un punto sobre la misma, como se ve en la figura 36.6. La normal a la esfera forma un ángulo 0 con el vector imanación. De aquí que,

Solución

J'

M sen 0

señalando hacia el papel.

Fig. 36.6

J w

M

1385

Medios magnéticos

Ejemplo 36.2 (a) Hallar el momento magnético m de una esfera uniformemente cargada de radio R, masa mq, carga q y momento cinético L = 2mqwR 2!5. (b) ¿Es uniforme la imanación? Solución (a) La densidad de carga de una corteza esférica de radio r y espesor dr es p = 3ql41rR3, de modo que se obtiene el momento magnético de un anillo de radio r sen () (ver figura 36.6) del modo siguiente: 1rr 2 sen 2 ()

1rpwr4 dr

dm

dm dr dr

1 R

m

0

f

(~:)

(211"r sen 0)(r d())dr

sen 3 (J d()

=

qwR1

5

(b) La densidad de corriente es evidentemente no nula excepto en el eje de rotación, de modo que la imanación de la esfera debe ser no uniforme. Realmente, como no existe corriente superficial
36.2 Susceptibilidad magnética Las propias corrientes de Ampere dan origen a campos magnéticos que obedecen a la ley de Biot-Savart, de modo semejante a como lo hacen las corrientes de conducción (o libres). Podemos considerar a las corrientes de Ampere como ligadas en el sentido de que están limitadas al interior de los átomos y moléculas. Así, pues, en el caso del elemento de corriente de volumen de Ampere /' de' = J 'd 'V' indicado en la figura 36. 7, la contribución al éampo es

~ J' 41r

X

R~ d'V' en donde R, = r - r;

R,

[36.18)

Análogamente, la contribución correspondiente a un elemento de corriente superficial de Ampere /' de' =
dB;

B'(r)

=

~

~(1L41r

tf'

X R dA'

R3

+

f

'V'

J' XJ R d'V')

R

[36.20)

en donde R = r - r'

Medios magnéticos

1386

Fig. 36. 7 Esquema geométrico para la determinación de los campos de las corrientes de imanación

dB'

o

El vector R es la separación existente entre el punto r del campo y el punto fuente u origen del campo r'. Aunque existen variaciones locales muy grandes dentro del medio a una escala atómica, si definimos B' como el campo medio sobre un volumen d'Y' macroscópicamente pequeño, pero suficientemente grande como para contener muchos átomos o moléculas, entonces la ecuación (36.20) es válida también para los puntos del campo situados dentro del material imanado. Si el bloque cilíndrico con imanación unif.orme introducido dentro del solenoide de la figura 36.2 se considera a su vez como equivalente a un solenoide de densidad de corriente superficial tf,' = M, entonces el campo de imanación en su centro (si es muy largo) viene dado por la ecuación [35.79) con ni =
B'

[36.21)

El campo total en el bloque es B = B0 + B', incluyendo el campo magnetizante B0 debido al propio solenoide. Sin embargo, este campo total únicamente puede determinarse si conocemos la relación existente entre M y B 0 • Para desarrollar un formalismo en el que pueda considerarse esta relación, debemos volver a definir y a examinar el concepto de intensidad de campo magnético H.

f---L-, d ,------~ c

a'

b'

~ ~ ·· ;

Fig. 36.8 Definición de H

= 8//lo -

M

Consideremos la sección de un solenoide infinitamente largo indicada en la figura 36.8. La integral de línea de B a lo largo del camino rectangular abcd es, según la ley de Ampere, [36.22)

Medios magnéticos

1387

en donde les la corriente total, conducción más Ampere, que pasa a través de dicho camino. Sin embargo, la circulación de la imanación a lo largo del mismo camino es

J

Lcd

(36.23]

M•df

en donde se toma la línea a' b' a una distancia infinitesimal por debajo de la superficie del material. La corriente de volumen de Ampere que pasa a través del área abb'a' es, según la ecuación [36.14],

=

l~

f J' • dA

[36.24]

tb'a' M .. df

La corriente de Ampere superficial vale

á'L

l'A

ML

E,b'cd M., df

[36.25]

porque la imanación es nula a lo largo de cd. Así la circulación de la imanación da la corriente de Ampere total a través del camino indicado:

J

Tabcd

M•dl

l~

+

[36.26]

I'

l~

Por lo tanto,

l

Tabcd

(!_ - M) •

di

µo

=

l -

I'

=

10

[36.27)

en donde 10 es la corriente libre que éruza el área limitada por abcd. Es más correcto denominar a 10 corriente libre en lugar de corriente de conducción, porque puede deberse a partículas cargadas que se muevan en el espacio. La distinción entre corrientes libres y de Ampere es análoga a la que existe entre cargas libres y ligadas en los dieléctricos. La importancia evidente de la diferencia vectorial B/ µ. 0 - M nos llevará a darle una consideración especial. Sin embargo, anticiparemos resultados posteriores utilizándola como la definición general de la intensidad magnética:

.,

B

--M

H

µo

[36.28]

y

----

f

H•dl

=

lo

[36.29]

Veremos que, en el caso especial de una barra imanada, H resulta ser el campo magnético tal y como lo definimos clásicamente en la sección 34.1. Podemos considerar a H como una magnitud ficticia construida a

1388

Medios magnéticos

base de dos magnitudes fundamentales, B y M. Pero, igual que el polo magnético ficticio, es teóricamente muy útil. En el espacio libre, en donde M = O, la ecuación [33.28] inmediatamente se convierte en la simple proporcionalidad de la ecuación [34.9), H = B/µ 0 • En vista de la semejanza existente entre la ecuación [36.29) y la ley de Ampere (½ B • df = µof), es tentador pensar que H sea precisamente la intensidad debida a las corrientes de conducción. No obstante, esto no es cierto en general -igual que tampoco podemos decir en general en el caso de los dieléctricos que D se «debe a» las cargas libres solamente, aunque ½ D • dA = q 0 • En efecto, examinemos el flujo de H a través de una superficie cerrada cualquiera:

__!_J

µO rA

B•dA -

1 M•dA rA

-fA M

9

dA [36.30)

ya que la ecuación [35.62) demuestra que ½ B • dA = O sobre cualquier superficie cerrada. Así, pues, según la ecuación [36.3), [36.31] en donde p es el polo magnético neto existente dentro de la superficie gaussiana A, y en donde A puede ser cualquier superficie cerrada en el espacio. Obsérvese que, aunque cualquier distribución de volumen neta de polos magnéticos dentro de un medio imanado no uniformemente se verá equilibrada por la distribución superficial de los polos, es posible tener una región limitada por A que esté totalmente contenida dentro de dicho medio y que poseería un polo magnético neto. Matemáticamente, esto es exactamente análogo al caso de un dieléctrico polarizado que sigue siendo neutro (ver sección 30.1). Así, pues, H obedece a la analogía magnética de la ley de Gauss y, dentro de un medio imanable, parece tener fuertes semejanzas con un campo electrostático. Además, si no existen corrientes libres dentro del medio, entonces ½e H • df = O, en donde el camino de la circulación C está dentro del medio. Esto es también exactamente análogo a la propiedad conservativa del campo electrostático, ½ E • df = O sobre cualquier trayectoria cerrada. Detengámonos un momento para resumir este conjunto peculiarmente híbrido de propiedades del vector ficticio H, que en cierto sentido matemático parece ser a la vez «magnético» y «eléctrico». De hecho podemos considerar a H como compuesto de dos partes, H 0 debida a las corrientes libres y H' debida a los polos magnéticos: H

Ho

+

[36.32)

H'

en donde H 0 se calcula a partir de las corrientes libres / 0 (r') mediante la ley de Biot y Savart, ecuación [35.16), _1

411"

J 1 (r')dl 0

I

R3

X R

donde R = r - r'

[36.33)

Medíos magnéticos

1389

y H 0 tiene las propiedades integrales

o

y

[36.34]

sobre cualquier camino cerrado C o superficie cerrada A en el espacio; 2 H' se calcula a partir de la distribución (ficticia) de polos mediante la ley de Coulomb: H'(r)

1 - - ( ( u~3 R dA' 4'lT/.Lo

JA, R

+

f P\ 'V'

R d'V') R donde R = r - r'

[36 -35 ]

L

[36.36]

y H' tiene las ¡'Jropiedades integrales y

{ H'•dA

/.Lo

sobre cualquier camino cerrado C o superficie cerrada A en el espacio. La ecuación correspondiente a H' (r) es formalmente idéntica a la ecuación correspondiente a E(r). Por consiguiente, Podemos aplicar todas las fórmulas sencillas de la electrostática al cálculo magnetostático de H' sustituyendo simplemente q, Eo y E por P, µ. 0 y H', respectivamente. Esta formulación de la intensidad magnética da las relaciones integrales apropiadas para H = H 0 + H' :

[36.37]

Como puede verse, las prescripciones generales de las ecuaciones [36.33] y [36.35] parecen prohibitivamente dificiles. Sin embargo, se reducen simplemente a los cálculos básicos que ya hemos llevado a cabo muchas veces al determinar los campos producidos por cargas y corrientes. Es comprensible que el lector se maraville de cómo puede tener valor esta proliferación de campos vectoriales ficticios. Sin embargo, fraccionando el vector diferencia H = B/µ. 0 - M en diversos componentes que son relativamente fáciles de calcular (aunque debamos acudir a los métodos numéricos como aplicación de la fuerza bruta), podemos hallar el campo real B si se nos dan las fuentes de M y el campo aplicado B0 = µ.off 0 • Este método es en general mucho más sencillo que si intentáramos calcular B como B0 + B' utilizando la ecuación [36.20].

Medios magnéticos

1390

Comparando H = B/µ 0 - M con la ecuac1on de los dieléctricos P y recordando la correspondencia entre µoM y P señalada en la sección 36.1 podemos ver que µoff y B se corresponde matemáticamente con D y con EoE, respectivamente. La diferencia de signo de M y P tiene en cuenta la diferencia en estructura de los campos cercanos a los dipolos magnéticos y eléctricos. Recuérdese también que B es la magnitud fundamental (definida operacionalmente en función de una fuerza y de un elemento de corriente, medibles ambos), igual que E es magnitud fundamental (definida operacionalmente en función de la fuerza por unidad de carga). Las ecuaciones citadas al principio de este párrafo son definiciones constitutivas de H y D. Las semejanzas matemáticas son convenientes y bien recibidas, pero no deben oscurecer la física básica. Al considerar los dieléctricos, vimos que en la mayoría de los casos es posible una considerable simplificación porque P es proporcional al campo total E (recuérdese que P = EoXeE). Es posible hallar una relación simplificativa semejante para los medios magnéticos. Como la mayoría de los medios magnéticos son lineales e isótropos, M es paralelo a B y, por tanto, M es paralelo a H. Sin embargo, por razones históricas y prácticas, definimos la susceptibilidad magnética Xm de un medio isótropo lineal como D

= EoE +

.....

[36.38]

M

en donde Xm es un número adimensional. Volviendo a escribir la ecuación [36.28) se tiene .....

B

=

µ 0 (H

+

M)

µoKmH

µH

en donde Km es la permeabilidad relativa del medio y µ = Kmµo es supermeabilidad magnética. Podemos ahora clasificar las sustancias permeables (o magnéticas) en tres categorías:

< O paramagnéticas Xm > O ferromagnéticas Xm > O diamagnéticas

Xm

- xm « 1

« Xm » Xm

1

->-r,-

l

B = µH

Fig. 36.9 Anillo de Rowland de circunferencia media L

Medios magnéticos

1391

En los medios ferromagnéticos no lineales, resulta que Xm = Xm(H). En general, el cálculo analítico del campo de inducción B originado por una combinación de corrientes y de materiales permeables es un problema difícil, a no ser que la configuración geométrica de la sustancia permeable sea tal que pueda calcularse el campo de inducción total considerando por separado los campos de la corriente libre y de imanación. El caso de un solenoide toroidal sobre un anillo permeable (llamado anillo de Rowland) es una de estas configuraciones (ver figura 36.9). (El arrollamiento real debe ser mucho más espeso que el indicado en la figura.) Como no existen superficies extremas en que puedan aparecer los polos magnéticos y las líneas de By de M son cerradas y uniformes, H se debe enteramente a la corriente libre que circula por el arrollamiento: [36.40]

o sea, Si la susceptibilidad del núcleo del anillo es Xm, entonces

M =

y

B

µNlo [36.41] L

=

en donde L es la circunferencia media del anillo. Así, el campo que atraviesa el arrollamiento se ve incrementado en un factor Km debido a la presencia del anillo permeable. El análisis de un solenoide muy largo es análogo al caso anterior, porque las caras polares están tan alejadas que tienen una influencia despreciable sobre H. En reconocimiento de la relación fundamental que existe entre la intensidad magnética y la corriente de conducción, suele expresarse H en unidades de [H] = A • vueltas/m, aunque «vuelta» no sea realmente una dimensión. Esto es equivalente a N/Wb, que es como se dio en la sección 34.1.

Ejemplo 36.3 Hallar el campo de imanación B' en el centro de una esfera uniformemente imantada de radio a e imanación M = Mk, como se ve en la figura 36.10.

Como M es uní forme, J' = O pero y según la ecuación [36.20] podemos añadir el efecto en el centro de la esfera de cada espira de corriente, utilizando la ecuación [35.30): Solución

dB'

µ 0 (Msen (})(a dO)(a

Integrando para O :S B'

sen 8) 2

2a 3 (} :S ,r,

se tiene

Medios magnéticos

1392

,J-'ad8 -

Masen8d0

Fig. 36.10

B' =

~

M/J

De hecho B' es uniforme en toda la esfera, pero fuera de la misma tiene la forma del campo de un dipolo de momento m = (41ra 3/3)M con su centro coincidiendo con el de la esfera.

36.3 Formulación diferencial de la magnetostática, continuación Si se han estudiado las secciones 27.7, 30.6 y 35.8 en donde se formulaban las ecuaciones diferenciales de la electrostática y de la magnetostática, el lector habrá reconocido probablemente que las definiciones y las relaciones integrales de las Secciones 36.1 y 36.2 pueden formularse como un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales. Con objeto de que el tema quede completo, presentamos aquí esta formulación diferencial, aunque no utilizaremos las ecuaciones diferenciales en los capítulos siguientes. Aplicando el teorema de Gauss-½ A F • dA = f 'V V • Fd 'V, en donde F(r) es una función puntual vectorial cualquier limitada, continua y diferenciable para todo el volumen 'Y limitado por la superficie cerrada A-se tiene a partir de la ecuación [36.4]

L.

P~,

d'V'

= -

µ0

L

M • dA'

-µ 0

L.

V• M d'V' [36.42)

o sea, [36.43] µo

Como el flujo magnético se conserva, V • B B/µ,o -

M,

=

O y así para H

=

.

[36.44)

Medios magnéticos

1393

que es completamente análoga a la ecuación [27 .69] o ley de Gauss correspondiente a los campos electrostáticos. Así, pues, las líneas de intensidad magnética H empiezan y terminan sobre polos magnéticos y únicamente son cerradas en ausencia de dichos polos. Los polos no son la única fuente del vector intensidad magnética. A partir del teorema de Stokes-fr F • de = IA V x F • dA, en donde F(r) es una función puntual vectorial cualquiera limitada, continua y diferenciable en todo el área A limitada por la curva cerrada C- podemos volver a escribir la ecuación [36.10] en la forma

1

[36.45]

J' •dA'

A'

o bien, "v X M

= J'

[36.46]

A partir de la ecuac10n [35.88], ley de Ampere, tenemos que V x B = µ 0 J y podemos hacer uso de ello para deducir una segunda ecuación que sirve como fuente para la intensidad magnética: J -

J'

Jo [36.47]

en donde J 0 es la densidad de corriente libre. Es decir, H puede considerarse como la suma de dos vectores matemáticamente diferentes: 1 un vector H 0 solenoidal, o con divergencia nula, que satisface

o

y

[36.48]

y que puede calcularse a partir de las corrientes libres mediante la ecuación de Biot y Savart; y 2 un vector H' irrotacional, o con rotacional nulo, que puede adscribirse a la distribución de polos ficticios y así puede calcularse a partir de la ley de Coulomb, en donde H' satisface a "v X H'

o

y

"v • H'

[36.49]

La analogía matemática entre H' y el campo electrostático E es tan grande que incluso es posible crear una función potencial a partir de la cual puede derivarse H' como su gradiente. Finalmente, el campo total H = H 0 + H' satisface exactamente a las ecuaciones [36.44] y [36.47]. Esto completa la formulación de las leyes básicas de la electrostática y de la magnetostática (incluyendo medios polarizables y magnetizables) como un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales respecto a las coordenadas espaciales. Aunque los operadores rotacional y divergencia adquieren formas diferentes en los distintos sistemas coordenados, estas

Medios magnéticos

1394

ecuaciones diferenciales se basan en las definiciones fundamentales de los operadores y así las ecuaciones son correctas en cualquier sistema coordenado tridimensional.

36.4 Solución general Hasta ahora hemos definido la imanación y hemos mostrado en principio cómo calcular los campos a los que da origen (ver la ecuación [36.20]). Sin embargo, sólo hemos resuelto hasta ahora los casos muy sencillos de un toroide o de un solenoide muy largo. Falta por resolver aún el problema general: dado un campo magnetizante exterior 8 0 que pasa a través de un medio de geometría especificada y de permeabilidad magnética µ., hallar el campo de inducción total B tanto fuera como dentro del medio. Sin embargo, en principio dicha solución puede obtenerse si comprendemos primeramente la naturaleza de las condiciones que se aplican a H en los límites del medio. A partir de ello y en el caso de un medio lineal e isótropo pueden determinarse B y M a partir de las relaciones B == µ.H y M == XmH. En la sección 30.5 dedujimos las condiciones sobre D y E en el límite entre dos dieléctricos, demostrnndo que

¡-dn~ µ2

~..----~ n. 2

la componente normal de D se conserva a través del límite, y 2 la componente tangencial de E se conserva a través del límite. Vimos que la condición 1 se cumplía únicamente en ausencia de cargas libres en la frontera o límite, pero que la condición 2 era general. Obtendremos ahora las condiciones a aplicar sobre H y B a través del límite de un medio magnético. Nos encontraremos con que existe una semejanzaformal fuerte entre H y E y entre Dy B; sin embargo, debe recordarse que las magnitudes que poseen significado físico son E y B. Fig. 36.11 Continuidad de la componente normal de la inducción en la interfase entre dos medios magnéticos

Las condiciones límites para B en el límite entre dos medios de permeabilidades µ. 1 y µ. 2 se deducen mejor a partir de la conservación del flujo magnético, ½ B • dA == O. Dibujemos en la frontera un pequeño cilindro gaussiano, como hicimos en la figura 30.13 en el caso de los dieléctricos (ver figura 36.11). Aplicando la expresión ½ B • dA == O a este cilindro se tiene

o

[36.50]

o bien, Bni

[36.51]

De aquí que la condición límite correspondiente a B sea la misma que la aplicable a D en la teoría de los dieléctricos (ver ecuación [30.60]). Expre-

Medios magnéticos

1395

sando esta condición en función de H, vemos que se resume completamente el efecto de la presencia del medio magnético por (36.52]

La condición límite para la componente tangencial de H se deduce mejor a partir de la ley de Ampere, tomando la circulación a lo largo de una trayectoria rectangular pequeña, como hicimos en la figura 30.14 en el caso de los dieléctricos (ver figura 36.12). El rectángulo puede ser todo lo estrecho que se quiera, de modo que puede despreciarse la contribu-

J/1

Fig. 36.12 Continuidad de la componente tangencial en la intensidad de la interfase entre dos medios magnéticos

ción debida a los segmentos dn. De aquí que, si no existen flujos de corriente de conducción libre en el límite,

f H•dl

=

H,,

H,2

o

=

(H,, -

H, 2)L

[36.53)

o bien, ~

=

[36.54]

A partir de las condiciones de contorno de las ecuaciones (36.52) y [36.54] puede verse que las líneas de campo cambiarán de dirección en el

Fig. 36.13 Refracción de las lfneas de intensidad de campo en la superficie entre dos medios, en donde µ, 1 < µ,2

1396

Medios magnéticos

límite entre dos medios magnéticos, como en el caso del dieléctrico. Así, pues, en la figura 36.13, los ángulos 01 y 02 están relacionados por [36.55) Por tanto, en medios isótropos en los que B = µH, las líneas de fuerza se desvían alejándose de la normal al entrar en el medio de mayor susceptibilidad magnética y acercándose a la normal si entran en el medio de menor susceptibilidad magnética. En el caso de una geometría y campo magnetizante B0 dados, un valor de µ más grande dará origen a un campo neto B mayor. De aquí, que para valores muy grandes de µ como en el hierro y en otras sustancias ferromagnéticas, el campo en su interior deberá ser mucho más alto que en el espacio que rodea a las mismas. Es posible que no suceda así si el componente normal del campo en el límite del medio es de valor comparable a la componente tangencial, porque Bn 1 = Bn2• A partir de la ecuación [36.55) vemos que, cuando µ 2/µ 1 - oo entonces, 02 - -½1r y Es de esperar que la mayoría de las líneas cerradas de la inducción se acumulen en el medio de elevada permeabilidad en una configuración tal que resulten paralelas a sus límites tanto como sea posible. Así pues, en el límite, los campos externo e interno están relacionados aproximadamente por [36.56) que se obtiene por sustitución de H 1 en la ecuación [36.54). Existe una semejanza formal entre las ecuaciones del flujo de corriente en un conductor y las que determinan la configuración de las líneas de inducción en un medio de permeabilidad alta. Esta semejanza nos llevará más adelante a hablar de «circuitos magnéticos» por analogía con el flujo de corriente y permite una gran simplificación_ de ciertos problemas difíciles. El tipo de problema que hemos estudiado aquí es en general muy dificil de resolver y sólo se dispone de soluciones analíticas completas cuando se trata de geometrías muy sencillas. En general, las corrientes de Ampere en la región de imanación tendrán un efecto sobre el campo de inducción externo neto Bext que puede describirse como un resultado del campo dipolar magnético ficticio H' : [36.57] Sin embargo, dentro de la región de imanación, el campo de imanación total B' debe incluir la imanación, de modo que B' = µoff' + µoM, puesto que los polos ficticios solos:no pueden seguir explicando completamente los campos internos qile el campo cercano de un dipolo eléctrico

Medios magnéticos

1397

puede justificar para el campo cercano a un dipolo de corriente. Así, el campo de inducción total Bint en la región de imanación es B0

+

B' [36.58]

µH

Es importante señalar que, dentro del medio permeable, B' ::¡:. µH'. En efecto, como B' = µo (H' + xmH' + xmHo), B' y H' no serán en geTabla 36.1

Efectos macroscópicos de los campos eléctrico y magnético Magnético

Eléctrico Campo fundamental Ecuación integral de la fuente Ecuaciones de campo derivadas Relaciones constitutivas Fuentes del campo total Fuentes del campo aplicado

D

= ~0E + P

H = B/µ 0

fAD•dA = q0 D = ~E

E = E0

~oO +

E'

Fuente del campo inducido en un medio uniforme*

E' debido a cargas superficiales inducidas, ley de Coulomb: u' = P•fi

Efecto del medio sobre campos derivados

D'

Efecto sobre el medio

Polarización: P

Tipos comunes de medios

Dieléctricos, Xe > O

Condiciones límites entre dos medios diferentes

D. 1

D. 2

E,1

E,2

K 2 D11

K 1 D, 2

B

=

=

~0 E'

x,E

80

+ B'

B0 debido a corrientes libres, calculado a partir de la ley de Biot y Savart

calculado mediante la ley de Coulomb

D - ~0 E 0

x,)E

B

Ea debido a cargas libres

=

M

fcH•df = 10

= ~0 KE +

-

B' debido a corrientes superficiales de Ampere, ley de Biot y Savart:

+

P

H'

= H - H 0 = B' / µ 0 - M (Tambié.n puede calcularse H' a partir de los polos superficiales inducidos mediante la ley de Coulomb: a;,, = M • fi)

Imanación: M

=

XmH

Diamagnéticos, Xm < O Paramagnéticos, Xm > O Ferromagnéticos, Xm > O

K., 1 H. 1 Km2B,1 H, 1

K., 2 H. 2 Kml B,2 H, 2

*En general despreciamos los casos de polarización o magnetización no uniforme, de modo que no hay carga neta, polo neto o densidad de carga neta dentro del medio, aunque la carga neta, el polo neto o la densidad de corrienta neta pueda resultar en las superficies límites del medio a causa de fuentes de campo inducidas.

1398

Medios magnéticos

neral ni siquiera paralelos. Realmente, puesto que H' se basa en la analogía electrostática, su sentido en el medio (desde el polo sur hacia el polo norte) se opone al de M, que señala desde el sur ficticio al norte ficticio, como B'. La tabla 36.1 resume las relaciones de los campos en medios polarizables y magnéticos.

Ejemplo 36.4 Cuando se coloca en un campo magnetizante uniforme ~ 1 resulta uniformemente imanada, como se indica en la figura. Hallar la relación entre M y B0, una esfera ferromagnética de permeabilidad µ.

Ho.

Fig. 36.14

(a) Campo de imanación B'

B

(b) Campo total B

=

B., + B'

Solución A partir del ejemplo 36.3, se tiene que el campo de imanación B' dentro de la esfera es B' µo

+

H'

M

2M 3

y, por tanto, H'

M 3

No es demasiado difícil demostrar que este resultado concuerda con el obtenido deduciendo H' a partir de la distribución superficial de polos

1399

Medios magnéticos

debida a M. La relación CJ:n = µ, 0 M cos 8 (ver figura 36.10) proporciona otro procedimiento para hallar B' porque es un dato el que M sea uniforme. El valor real de M depende del valor del campo magnetizante B0 y puede expresarse en función de la susceptibilidad, puesto que H

Ho

M

+ H'

H -o 3

Ho -

XmH

3

Así pues, H

Ho + x,,,/3

y

XmHo

M

+

Xn./3

Si se compara la figura 36.146 con la figura 30.196, se observará la evidente semejanza matemática existente entre los campos de una esfera imanada y una esfera polarizada. Sin embargo, la densidad de líneas magnéticas aumenta en la región ocupada por la esfera imanada, mientras que disminuye la densidad de líneas de campo eléctrico en la región ocupada por la esfera polarizada. Ejemplo 36.5 Se sitúa una varilla delgada larga de permeabilidad µ, con su eje paralelo al campo magnetizante 8 0, como se indica en la figura. Hallar el campo magnético Bint en el interior de la varilla.

Fig. 36./5

s{)

"º~ H'~

µ)N

Solución Cuando está imantada, la varilla resulta ser esencialmente un 1man en forma de barra, que contribuye sólo de modo despreciable al campo total junto a su misma superficie (excepto cerca de los extremos), de modo que Hext = H 0 + H' = H 0 . Sin embargo, como la componente tangencial de la intensidad debe ser continua a través de la superficie de la varilla, H ext = Hint y, por tanto,

µ

siendo B¡m aproximadamente uniforme en la varilla y con la dirección paralela a su eje. Así pues, dentro de la varilla, H = H 0 y donde M = XmH 0 Ejemplo 36.6 Se sitúa un disco plano de permeabilidad µ, con su eje paralelo al campo magnétizante 8 0 , como se indica en la figura 36.16. Hallar el campo magnético Bint y la imanación M dentro del disco.

Medios magnéticos

1400

Fig. 36.16

e,,---

(J ~ '

µ.,M

Solución Según la ecuación [36.51] las componentes normales de B son continuas a través de las caras del disco. Sin embargo, por simetría, es de esperar que las líneas de flujo permanezcan normales al disco cuando lo atraviesan (excepto cerca de sus bordes) y, por ello, B¡m = 8 0 será uniforme en todo el disco. Expresando los campos de inducción en función de H y de M, a partir de Bext = Bint se tiene o sea,

H'

-M

Pero éste es exactamente el calllPº de intensidad uniforme que corresponde lógicamente a una densidad superficial de polos a;n = µ0 M • ñ = ± M en las caras derecha e izquierda del disco, respectivamente, porque (en analogía con las cargas eléctricas) el flujo que atraviesa el disco es igual a la intensidad de polo sobre su cara norte: B'

A

=

, (Tm

y

H'

IMI

Como

M

x.,H

se tiene

M El valor de H' es despreciable fuera del disco, porque el momento dipolar del mismo es extremadamente pequeño.

Dentro de un medio permeable no son aplicables los métodos para la medición absoluta de los campos magnetostáticos mediante la medida de pares de fuerza sobre bobinas y barras imanadas o fuerzas sobre una balanza de corriente. Como en el problema análogo de los dieléctricos, se realiza la medida dentro de un hueco en el medio permeable. Debemos cortar el hueco de tal modo que Ben el interior del mismo sea igual a B dentro del medio. Esto puede hacerse cortando un disco cuyas caras sean perpendiculares a las líneas de flujo, como en la figura 36.17. El campo B es normal a los contornos de la cavidad (en el centro del disco, lejos de

Medios magnéticos

1401

sus bordes), de modo que B será el mismo dentro de la cavidad que dentro del medio permeable, porque se conserva el componente normal de B a través de la frontera .. De aquí que una medida de Ben la cavidad nos dé una medida correcta de B dentro del medio permeable.

B Fig. 36.17 Medida de 8 dentro de un medio permeable

36. 5 Circuitos magnéticos Todos estamos familiarizados con los imanes permanentes, cuyo campo de imanación B' es independiente de cualquier campo magnetizan te externo B0. En este caso, pierde su significado la permeabilidad magnética xmH. De hecho, H y B no son paralelos y estos campos porque M difieren en su aspecto notablemente. Si suponemos que M es uniforme (caso que no puede obtenerse en la práctica), podemos calcular B considerando los efectos de las corrientes superficiales de Ampere sobre los límites o contornos del imán. Así, en el caso de un imán en forma de barra cilíndrica, el campo axial sería el campo solenoidal de la ecuación [35.79), sustituyendo simplemente
*

B

JLQ(H

+

M)

[36.59)

mediante suma vectorial directa. Obsérvense las siguientes características de estos campos: las líneas de B son continuas y forman bucles cerrados que rodean el solenoide equivalente de Ampere, aunque pueden cambiar de dirección abruptamente al cruzar la superficie del imán (comparar con la ecuación [36.55));

1402

Medios magnéticos

2 las líneas de H son semejantes a las líneas de campo electrostáticos que serían originadas por una distribución de cargas positivas sobre la cara polar superior y una distribución de carga negativa sobre la cara polar inferior; 3 el número total de líneas (el flujo) de Hes diferente dentro y fuera del imán y H es discontinuo en las caras polares.

Fig. 36.18 Campos vectoriales en una barra imán permanente

(b) líneas de H

S u;, = -µ 0 M (a) Imanación uniforme M

(c) líneas de 8

En el caso del anillo de Rowland (figura 36.9) no hay ninguna línea de flujo que cruce o corte la superficie y no existen caras extremas que actúen como polos. De aquí que las líneas de H sean también continuas y se deban únicamente a la corriente existente en el arrollamiento, como se dedujo en la ecuación [36.40). En el caso de un núcleo de elevada permeabilidad, aunque el arrollamiento no sea compacto o se encuentre apretadamente concentrado sobre un segmento del toroide, las líneas de inducción «fluyen» a través del material ferromagnético con preferencia frente al espacio exterior. Existe una cierta pérdida de a través de la superficie del toroide pero es despreciable para µ, ;!3>- µ, 0 • Pero si se corta una parte del toroide como en la figura 36.19, podemos introducir un «entrehierro» de aire, que hace disminuir la inducción total que pasa a través de la bobina, debido a la aparición de polos magP.éticos sobre las caras del entrehierro. Si su longitud es Lg y resulta muy pequeña frente al grosor de la bobina, entonces las líneas de inducción se encuentran preferentemente confinadas dentro del entrehierro y el campo es aproximadamente uniforme en su interior. El efecto de los polos conFig. 36.19 Anillo de Rowland con un entrehierro de aire y una bobina concentrada

Medios magnéticos

1403

siste en disminuir el campo H dentro del toroide y aumentarlo en el entrehierro, en donde se designa la intensidad por Hg. El campo neto se encuentra todavía confinado en su gran mayoría en el toroide y entrehierro. Sería una tarea difícil el determinar el flujo total pero, si suponemos que las líneas de flujo tienen una densidad uniforme y se encuentran confinadas en el entrehierro, entonces podemos aplicar la ley de Ampere para hallar la circulación de H a lo largo de la circunferencia media del núcleo más el entrehierro:

f H•df

NI

[36.60)

en donde L = 21rR - Lg es la longitud del camino de integración en el toroide. Para resolver esta ecuación para H y Hg, haremos uso de la conservación del flujo magnético:

BA

[36.61)

En los problemas técnicos de interés práctico, es más importante determinar el flujo total. Sustituyendo el valor de Hg en la ecuación [36.60) se tiene [36.62)

NI

y, por consiguiente, µoKmNIA

BA

L

+

KmLg

[36.63)

Obsérvese que el efecto del entrehierro en el denominador es introducir el producto de Km por Lg. Es decir, en el caso de un núcleo de permeabilidad muy elevada, la intensidad del dipolo producido en las caras del entrehierro es igualmente1 ·gra.1:J.de porque es proporcional a la imanación. Por tanto, un entrehierrcaelativamente pequeño puede tener una influencia muy significativa sobre la inducción total. Cuando se trata de entrehierros mayores como el indicado en la figura 36.20, deja de cumplirse esta aproximación puesto que las líneas del campo de inducción empiezan a abrirse y a esparcirse, resultando de este modo indeterminada el área del entrehierro y dejando de ser uniforme la densidad de las líneas. Si expresamos la ecuación [36.63) en la forma NI,

[36.64) nos recuerda a la ecuación para la corriente producida por una FEM g que pasa a través de dos resistencias en serie con resistividades p y p': I

pL/A

+

p'L'/A'

[36.65)

1404

Medios magnéticos

Fig. 36.10 Efecto de un entrehierro grande en un anillo de Row/and

Arrollamientos

Este parecido no es fortuito sino que es el resultado de una estrecha analogía matemática. Ya hemos demostrado (sección 31.1) que la densidad de corriente estacionaria obedece a la ecuación ½ J • dA = O, de modo que las líneas de corriente deben formar lazos o mallas cerradas, igual que la densidad de flujo de inducción obedece a la ecuación análoga ½B • dA = O. Hemos señalado previamente la semejanza matemática entre H y E, mientras que la relación B = µH recuerda a J = uE. Finalmente, podemos definir la fuerza magnetomotriz (FMM) como 7i

=

f

H • di =

NI

[36.66]

en analogía con la fuerza electromotriz (FEM) & = ½ E • df. En el caso de materiales ferromagnéticos de elevada permeabilidad, las líneas de flujo son aproximadamente tangenciales a las superficies excepto en las caras extremas (en donde son perpendiculares) y están distribuidas uniformemente sobre la sección recta del «circuito magnético». Así, pues, existe también un notable parecido entre las condiciones de contorno aplicables al flujo de una corriente y las correspondientes a las líneas de flujo magnético. Las aproximaciones que se hacen necesarias a la hora de describir el circuito magnético no son tan buenas como las correspondientes a los circuitos eléctricos; sin embargo, al tratar con circuitos magnéticos resultan de utilidad muchos conceptos tomados de la teoría de circuitos. Por analogía podemos definir la reluctancia !R de un elemento de un circuito magnético de permeabilidad µ, longitud L a lo largo del flujo y sección recta A perpendicular al flujo como L µA

[36.67]

Medios magnéticos

1405

- - - ----.~;& 1 "

'

1

-

A~

--

1

1 ---

111

A,

L,

J_

Fig. 36.11 Circuito magnético compuesto por unas reluctancias en serie

:R; =

L¡lµ¡A¡

Consideremos a continuación un circuito magnético general compuesto por materiales de elevada permeabilidad, como se ve en la figura 36.21. En problemas de esta clase, debemos suponer como antes que el flujo magnético entero dentro de la bobina magnetizante pasa también a través de todos los demás elementos del circuito. Es decir, despreciamos el flujo de pérdida, que es el flujo que no pasa a través del circuito magnético que estamos considerando. Si en el circuito se encuentra cualquier material de baja permeabilidad (como un entrehierro de aire), sus longitudes deben ser muy pequeñas en comparación con su anchura. Dentro de cada bloque de material i, H; es esencialmente constante (despreciando los efectos de los bordes) y la circulación total de H a lo largo del circuito es [36.68] Sin embargo, si se desprecian las pérdidas, el flujo debe ser el mismo por todo el circuito: [36.69] Así, pues, la ecuación [36.68] se reduce a

7i

NI

~ "' L;

[36.70]

~1 µ,A;

de modo que E 7-f.; = 7-f.0 = 7il~, exactamente análoga a la ley de Ohm, = V//, en el caso de un circuito formado por resistencias en serie.

R

1406

Medios magnéticos

Ejemplo 36. 7 Consideremos el circuito magnético indicado en la figura 36.22a. Todas las secciones miden A y el núcleo tiene una permeabilidad µ ~ µ 0 • La longitud del entrehierro es Lg .e:¡¡¡ L. Deducir una expresión para la reluctancia equivalente :R0 de este circuito de dos ramas.

f---L - - - L----j

T ·• l

l

sf

1

NI

(M!lc)I

.l.

1

(a) Circuito magnético paralelo

(b) Circuito eléctrico análogo

Fig. 36.22

Solución La FMM es NI y el flujo total en la sección central es la suma de los flujos en las dos ramas:

g

+

'

Aplicando la ley de Ampere a las mallas C y C', se tiene

Í H • dl

NI

=

Te·

<JI

=

Como el brazo central es común a ambos caminos, podemos expresar estas integrales en función de los flujos como x(3L µA

Lr.)

+

xlr. µ0 A

+

3<1>' L

L µA

L µA

µA

<JI

S1 expresamos del modo siguiente a las reluctancias '/( <J?ft

L µA

.'R'

~

:R

µoA

3:/?, 3L -

L~

µA

entonces el caso es análogo al circuito eléctrico de la figura 36.22b. Definamos ahora una reluctancia equivalente para las ramas en paralelo de C y C' y llamémosla .'R. 0 , de forma que 'li

o sea,

<Jt

7?.n

-

:/?,



Restemos 'R, de las ecuaciones en función de los flujos obtenidas anteriormente, para tener así y

:/?' '

Medios magnéticos

1407

Sustituyendo estas expresiones para 4> g y 4>' en la primera ecuación de esta solución y eliminando 4>, obtenemos finalmente 1

'Ro

1

71' + 'R + 71~

que es exactamente análoga a la expresión correspondiente a la resistencia equivalente de las resistencias eléctricas de la figura 36.22b conectadas en paralelo. Esta expresión para ~o simplifica grandemente las soluciones siguientes para 4>, 4>' y 4>g en función de U = NI.

36. 6 Diamagnetismo y paramagnetismo Muchos materiales se ven atraídos hacia el campo de un imán. Sin embargo, otros materiales se ven repelidos, como descubrió primeramente en 1778 A.J. Brugmans en sus experimentos sobre el antimonio y el bismuto. En los años que siguieron a 1845, Faraday investigó numerosas sustancias y acuñó los términos diamagnético y paramagnético para describir aquellas sustancias que se ven repelidas o atraídas respectivamente por un imán permanente. (En este sentido las sustancias ferromagnéticas son un caso especial del paramagnetismo, aunque normalmente no se considere de este modo.) Faraday descubrió que muchos elementos y la mayoría de los compuestos eran diamagnéticos. Si un material diamagnético se ve repelido por el campo magnetizante B0, esto indica que desarrolla una imanación M que se opone a H y, por ello, Xm < O. Sin embargo, incluso en el caso más extremo (el del bismuto) Xm es únicamente -0,00017 (ver tabla 36.2). Como los electrones en un material diamagnético se mueven en órbitas aproximadamente circulares alrededor de sus núcleos, el campo magnetizante B0 aplicado externamente ejerce un par sobre ellos que hace que el plano de su rotación sufra una precesión alrededor de B0 como eje (ver figura 36.23). Como veremos, el efecto neto consiste en introducir un componente vectorial adicional al momento dipolar de cada «espira» electrónica que se opone al campo magnetizante. Fig. 36.23 Precesión diamagnética de la órbita del electrón

Consideremos un electrón de carga - e, masa me, velocidad angular w 0 y radio orbital r. En el ejemplo 35.1 veíamos que dicho electrón es equivalente a una corriente media de I = ewof21r que circula a lo largo de la órbita en sentido antiparalelo al movimiento del electrón. Así, pues, el momento dipolar m de la espira que constituye el electrón vale: m

2 - - e 1rrw = 0 21r

e,2

- -2 "'º

__e_ L

2m,

(36.71]

m

1408

Medios magnéticos

Tabla 36.2

Susceptibilidades magnéticas

Sustancia

Susceptibilidad X m

Sustancias paramagnéticas

Oxígeno, líquido (-219 ºC)

3.46 X 10-)

Paladio

8.0

X 10-•

Platino

2.8

X 10-•

Aluminio

2.1

X 10-5

Sodio

8.5

X 10-6

Oxígeno (CN)

1.9

X 10-6

Aire (CN)

4

X 10-J

Hidrógeno (CN)

-2.3

X 10-9

Agua

-9.1

X 10-6

Cobre

-9.7

X 10-6

Plomo

-1.6

X 10-5

Mercurio

-2.1

X 10-s

Bismuto

-1.65 X 10-4

Sustancias diamagnéticas

NoTA:

= Condiciones normales de presión y temperatura (20ºC y 1 atm)

CN

en donde Les el momento angular del electrón girando. Como el par sobre el electrón es r = m x B, las leyes del movimiento nos dan

r

dL

m X B

dt

_e_B X L 2m,

(36. 72)

Comparando esta ecuación con drldt = w x r para la rotación de r alrededor de un eje paralelo a w con frecuencia angular w, vemos que L gira alrededor de B con la frecuencia de Larmor

_e_B 2m,

- mB

(36.73)

L

Esta expresión recuerda a la ecuación [12.52] para la precesión con velocidad angular íl = 7/ L. En el caso de un campo de intensidad menor que 10 kT (que en el momento actual es inalcanzable), la frecuencia de Larmor wL 4¡ w 0 representa una precesión relativamente lenta. Sin embargo, esta precesión tiene el efecto de sumar al momento cinético L y al momento dipolar m, respectivamente, y

Lim

- _e_LiL

2m,

2

-

p2 B (36.74] 4m,

e

1409

Medios magnéticos

en donde p es la distancia perpendicular del electrón al eje B. La imanación se opondrá siempre a B. El valor exacto de Xm depende del número de electrones por unidad de volumen que se encuentran a diferentes valores p en un átomo; los electrones exteriores contribuyen al máximo porque t:.m - p 2• Toda sustancia es diamagnética en mayor o menor extensión. Si los átomos están orientados al azar debido a los efectos térmicos, entonces el momento neto del material es cero en el estado sin imanar. Sin embargo, cuando se aplica el campo B0, experimentarán la misma precesión todos los electrones que e.stén girando (con independencia de la orientación de m). De aquí que la susceptibilidad diamagnética x111 sea independiente de la temperatura, que es una característica particular de las sustancias diamagnéticas.

Ejemplo 36.8 ¿Cuál es el efecto de B sobre un electrón en órbita cuyo plano sea perpendicular al campo. de modo que m x B = O? Solución Nuestra deducción de w¡ en la ecuación [36. 73] es válida para cualquier ángulo no nulo entre m y B, por pequeño que sea. Por consiguiente, podemos esperar que este resultado sea válido también cuando m sea paralelo a B. Un par mecánico muy pequeño produce como máximo una variación asimismo muy pequeña del radio de la órbita, de modo que podemos suponer que al «conectar» el campo magnético no se altera el tamaño de la órbita. Pero, ¿qué le ocurre al electrón? Experimentará una fuerza radial igual a erw,>B, dirigida hacia dentro si w 0 es paralela a B y hacia fuera si w 0 es antiparalela a B. Así, pues, si ha de mantenerse el radio a pesar de la peque11a variación en la fuerza centrípeta F = mewJr, entonces debe variar la frecuencia angular. Como 2;.F

± erw0 B 2rn,.w0 r.:~w

se obtiene la conclusión de que + eB - 2m,.

±wt

Así, pues, cuando m es antiparalclo a w 0 y a B, la frecuencia angular aumenta en t:.w, creciendo la imanación que se opone al campo. Sin embargo, cuando m es paralelo a B pero anti paralelo a w0 , entonces w decrece en t:.w, reduciendo la imanación que ayuda al campo. En cualquier caso el efecto es el mismo: la imanación varía en er 2t:.w/2 de un modo tal que se opone a B.

Además del momento magnético producido por la espira de corriente equivalente de las órbitas de los electrones, existe un momento intrínseco

Medios magnéticos

1410

asociado con cada electrón. Este momento lo origina un fenómeno conocido como spin del electrón, que puede describirse como una rotación del electrón sobre su propio eje.* Los momentos orbital y de spin de cada electrón dentro de una molécula se asocian, dando un momento magnético resultante a cada molécula y haciendo así que en esencia cada molécula resulte un imán permanente. Si la sustancia no posee ningún momento magnético molecular neto, entonces muestra un comportamiento diamagnético; si el momento molecular neto no es nulo, entonces la sustancia presenta paramagnetismo. En el caso del paramagnetismo, el movimiento térmico de las moléculas impide que estos imanes elementales se alineen, de forma que se encuentran orientados aleatoriamente; así, en ausencia de un campo magnético exterior, el cuerpo como un todo no posee ningún momento magnético. Cuando se aplica un campo magnético exterior, los diminutos imanes que se comportan como si flotasen libremente, tienden a alinearse por sí mismos a lo largo del campo, mientras que sus movimientos térmicos aleatorios y los choques con los demás contrarrestan esta tendencia. Sin embargo, la distribución estadística de las orientaciones moleculares presenta una mayor probabilidad de alinearse a lo largo del campo que en las otras direcciones. En las sustancias paramagnéticas, esta tendencia hacia su alineación produce una imanación neta en la dirección del campo, con M paralela a B y, por ello, el campo total se incrementa con la inclusión de una sustancia paramagnética. En general tanto el paramagnetismo como el diamagnetismo pueden estar ambos presentes en la misma sustancia; si el paramagnetismo supera al diamagnetismo, entonces llamaremos paramagnética a la sustancia. En condiciones ordinarias de presión y de temperatura, las susceptibilidades paramagnéticas son aproximadamente un orden de magnitud mayores que las susceptibilidades diamagnéticas (ver tabla 36.2). Cuando la temperatura se eleva, es de esperar que la susceptibilidad paramagnética disminuya. Este efecto se describe mediante la ley de Curie: Xm

= e

[36. 75]

T

en donde T es la temperatura absoluta y C una constante caracteristica de la sustancia. Esta ley (descubierta por Pierre Curie en 1895) es aproximadamente válida en tanto que mB 46 kT (es decir, siempre que la energía dipolar sea mucho menor que la energía térmica). La física cuántica demuestra que los momentos angulares o cinéticos orbitales permitidos de los electrones atómicos se restringen a múltiplos enteros de i1L = ñ = = h/21r, en donde hes la constante de P/anck, h = 6,626 x 10-34 J · s. Por ello los momentos magnéticos orbitales se miden en unidades del magnetón de Bohr m 8 : _e_b.L

2m,

eh

41rm,

9.27 X 10- 24 J/T

[36.76]

*Realmente esta descripción clásica del spin del electrón es tan sólo una regla mnemotécnica útil (ver capítulo 49).

Medios magnéticos

1411

Como el momento magnético intrínseco de un electrón es siempre ± ms, B

«

kT m

300k

450T

[36.77]

Puesto que los campos permanentes más grandes conseguidos hasta ahora son del orden de 2 T, la aproximación de la ley de Curie es buena en condiciones ordinarias. Teóricamente puede demostrarse que

e

[36.78]

en donde n es la densidad numenca de moléculas paramagnéticas y m = nsms es el momento dipolar neto de la molécula de la sustancia, expresado normalmente en función del número efectivo ns de magnetones de Bohr por molécula. Los valores medidos de ns varían típicamente de 1,5 a 10,5; en estos valores se incluyen las contribuciones de los momentos intrínsecos de los electrones. Las sustancias diamagnéticas están caracterizadas por números pares de electrones y estructuras electrónicas simétricas. Entre dichas sustancias se incluyen los gases raros y los iones cristalinos como la sal, en la cual cada uno de los iones Na+ de sodio y los iones c1- de cloro poseen estructuras electrónicas simétricas debidas a la eliminación o adición de un electrón de valencia. El paramagnetismo puede observarse en todos los átomos o moléculas que poseen un número impar de electrones, como los metales alcalinos, y en los átomos y moléculas que presentan una asimetría significativa en sus estructuras electrónicas. Muchos átomos presentan también paramagnetismo nuclear debido al hecho de que los propios núcleos tienen momentos magnéticos semejantes a los momentos magnéticos intrínsecos debidos al spin electrónico. Estos momentos nucleares son de orden de melmP = 1/1836 veces al valor del magnetón de Bohr ms y suelen expresarse en unidades del magnetón nuclear mN =

=

eh/41rmP.

En nuestros cálculos del diamagnetismo, considerábamos el efecto de un campo magnético externo en la modificación del momento magnético de una distribución de electrones para los que no existía inicialmente un momento neto. Sin embargo, en los casos del paramagnetismo electrónico y nuclear, los momentos di polares magnéticos permanentes no se ven alterados por el campo aplicado; en lugar de ello, lo único que hacen es tener un movimiento de precesión a su alrededor. Para ver que esto es así, podemos generalizar la ecuación [36.72] al caso de una partícula cualquiera de momento cinético o angular L, carga q y masa mq. La teoría cuántica demuestra que los electrones y los nucleones tienen momentos magnéticos m relacionados con sus momentos cinéticos de spin L por m

[36. 79]

en donde g (denominado factor g de Landé) es del orden de 1 a 3. Incluso el neutrón posee un momento intrínseco observado de -1,9 mN,

Medios magnéticos

1412

mientras que el protón tiene un momento intrínseco de 2,8 mN. Los momentos resultantes de los átomos y núcleos pueden expresarse también en función del factor g, corno antes. Si en la ecuación [36. 72) sustituirnos L, se tiene

dm dt

0

X

m

[36.80]

en donde _ ..M_B

[36.81]

2mq

es la velocidad angular de precesión del vector m alrededor de la dirección de B. Si, además del campo estático aplicado B, afiadimos también un campo débil B' perpendicular a B y que oscila con una frecuencia igual a la frecuencia de precesión del momento dipolar paramagnético neto en el campo estático (ver figura 36.24), entonces la aplicación sincronizada ·de B' hará que finalmente el momento dipolar cambie de dirección. Al hacer esto también se altera la energía potencial del dipolo -m • B en el campo estático y en el proceso absorbe una energía significativamente más elevada del campo oscilante que cuando éste se encuentre oscilando a otras frecuencias. Mediante estos experimentos de resonancia magnética, puede medirse este efecto, determinándose íl c·.m gran precisión. Estas medidas suelen llevarse a cabo normalmente en campos

-B'

Tensión oscilante, frecuencia w = gqB12mq = O

Imanes permanentes

N

Fig. 36.24 Medidas de resonancia magnética. El campo oscilante B' produce cambios en la energía de las partículas paramagnéticas que se encuentran dentro del tubo sombreado cuando la frecuencia del campo es igual a la frecuencia de precesión de las partículas. El cono pequeño muestra la relación existente entre los vectores m, By B'. Como B' está sincronizado con la precesión de m, ejerce una influencia constante para modificar la orientación del dipolo en el campo estático B.

Medíos magnéticos

estáticos del orden de 1 T, con campos oscilantes del orden de 1 mT. En el caso de la resonancia de spin electrónico (RSE) resulta íl = 176 x 109 rad/s, o sea, v = 28.000 MHz para la frecuencia del campo oscilante; en el caso de la resonancia magnética nuclear (RMN) de un protón en el mismo campo, tenemos íl = 1,68 x 109 rad/s, o sea, v = 42,6 MHz. Las técnicas de la espectroscopia RMN y RSE sirven para medir las frecuencias y otros factores relacionados con la resonancia magnética en sustancias paramagnéticas y diamagnéticas (con las sustancias diamagnéticas se utiliza solamente la RMN). Estas medidas pueden hacerse con un elevado grado de precisión y los resultados que se obtienen son característicos de la sustancia en particular y de la estructura molecular que está siendo estudiada. De aquí que la espectroscopia RSE y RMN constituya una herramienta fundamental en física (e incluso en biología y arqueología). Estas técnicas pueden proporcionar una importante información acerca de la estructura molecular y sobre la distribución electrónica en los átomos. También se han utilizado aparatos de RMN como magnetómetros en sondas espaciales, porque pueden mediar campos magnéticos hasta una exactitud del 0,0001 % y con valores del orden de 10- 12 T. Mediante la detección de anomalías locales en el campo magnético terrestre, se ha utilizado la RMN para localizar depósitos minerales, submarinos, yacimientos arqueológicos e incluso esquiadores enterrados bajo la nieve.

36. 7 Ferromagnetismo En. general, la imanación disponible con materiales paramagnéticos y diamagnéticos es muy pequeña. Sin embargo, existe una clase de materiales conocidos como materiales ferromagnéticos en los que la imanación en un anillo de Rowland supera grandemente la intensidad H = H 0 del campo magnetizante. Estos son los elementos del grupo del hierro de la tabla periódica -hierro (Fe), cobalto (Co) y níquel (Ni)- y sus aleaciones, y los elementos gadolinio (Gd) y disprosio (Dy) de la serie de las tierras raras (a temperaturas bajas). El ferromagnetismo es un efecto colectivo debido a las peculiaridades de la estructura electrónica exterior de los átomos y a la disposición de estos dentro del cristal metálico. Los efectos magnéticos del ferromagnetismo se deben a los spines intrínsecos de los electrones. La física cuántica postula (ver capítulos 48 y 50) que los electrones se comportan como si fuesen esferas en rotación con momento cinético o angular de spin S = h/ 41r alrededor de sus propios ejes y que cada electrón posee un momento magnético intrínseco asociado m = -eSlme = -m 8 (un magnetón de Bohr). Este valor es exactamente el doble del valor clásico para el momento cinético m = qL/2mq que dedujimos en el ejemplo 36.2 a partir del momento cinético orbital L. En general, los electrones atómicos tienden a orientarse por sí mismos, de modo que los momentos magnéticos intrínsecos de los electrones se compensan exactamente por parejas, quedando un momento neto apreciable únicamente en el caso de números impares de electrones atómicos. Por ejemplo, la imanación desusadamente fuerte de los materiales

1413

1414

Medios magnéticos

ferromagnéticos se debe a la presencia de fuerzas mecánico-cuánticas interatómicas, no magnéticas, denominadas fuerzas de intercambio que tienden a alinear los spines (y, por ello, a los momentos magnéticos) de los electrones situados en átomos vecinos. Esto es contrario al comportamiento usual de los imanes, que normalmente tienden a contrarrestarse entre sí alineándose en posiciones antiparalelas. Estas fuerzas de intercambio actuando sólo a escala atómica, dan como resultado cristales ferromagnéticos que se componen de bloques microscópicos orientados al azar, o dominios, conteniendo cada uno de ellos billones de átomos. Dentro de cada dominio, los spines de los electrones se encuentran alineados, de modo que cada dominio individual tiene un momento magnético permanente muy elevado. Ordinariamente, ciertos factores como la agitación térmica limitan el tamañ.o de los dominios y los orientan entre sí aleatoriamente, de modo que el momento neto de una muestra no imanada es nulo. Cuando se aplica a una muestra ferromagnética un campo magnetizante H, se produce la imanación en dos etapas. En la primera de ellas, bajo la influencia del campo, los electrones situados precisamente en el exterior de los contornos de los dominios cuyos momentos tienen componente a lo largo del campo harán «saltar» sus direcciones de spin para ponerlas de acuerdo con las del dominio inmediato. Así los contornos o bordes de los dominios favorecidos se «expansionan», mientras que los dominios no favorecidos, tienden a «contraerse». Por ello, el campo B neto en la dirección de H aumenta con relativa rapidez con H, como se indica en las porciones rápidamente crecientes de las curvas de imanación de la figura 36.25. B. T 2.0

1.0

Fig. 36.15 Curvas de imanación para diferentes tipos de hierro

o

1000

2000

3000

H, A • vueltas/m

En la segunda etapa de la imanación, cuando los dominios han alcanzado un tamañ.o óptimo, el único modo de incrementar la imanación consiste en incrementar H, de modo que obligue a los propios dominios a girar hasta alinearse con el campo. Esta rotación es más difícil y, por ello, dB/dH disminuye de acuerdo con este proceso hasta que la curva se aproxima a la condición de saturación, en la cual los incrementos adicio-

Medios magnéticos µ,

1415

kWb/A-m

B Q

T B,

H

b

o

0.5

1.0

B, T

Fig. 36.16 Curvas de permeabilidad ferromagnética, µ. = BIH en función de B

Fig. 36.17 Ciclo de histéresis, abcd

nales de B se deben principalmente al aumento del campo magnetizante H, siendo ya esencialmente completo el alineamiento. La figura 36.26 muestra algunas curvas de µ en función de B,· existen otras muchas for-

mas del hierro con curvas de imanación de valores diferentes, pero con pi:opiedades semejantes a los ejemplos un poco extremos presentados aquí. Utilicemos las curvas de la figura 36.27 para estudiar la imanación.de un anillo de Rowland cuyo núcleo es una muestra inicialmente sin imanar de un material ferromagnético en el momento en que se aplica un campo magnetizante H para producir una inducción B en la muestra. La curva Oa representa la imanación inicial cuando H aumenta, semejante a las curvas de la figura 36.25. Si, después de haber alcanzado B 0 , se hace disminuir a cero el campo H, se mantiene la imanación; B disminuye hasta el valor B, = µoM como se indica por la curva ar. Este campo B,, conocido como campo remanente o retentividad, puede reducirse a cero (a lo largo de la curva re) mediante la aplicación de un campo desmagnetizante He conocido como fuerza coercitiva o coercitividad. Un incremento progresivo de este H invertido llevará a la muestra a lo largo de la curva cb hasta el estado b con un campo Bb = -B0 ; ahora la imanación es exactamente la opuesta de la imanación original. Si de nuevo invertimos el sentido de H, se vuelve a seguir la curva pero con todos los signos invertidos, de modo que la muestra recorre el camino bda. Así, pues, Bes una función multiforme de H, simétrica respecto al origen, que depende de la historia pasada de la muestra. Un gráfico como el de la curva abcd se denomina ciclo de histéresis. En el proceso de desimanación debe vencerse cierta cantidad de rozamiento interno en la reorientación de los dominios magnéticos. Así, pues, existen pérdidas de energía asociadas con la histéresis, que pueden ser importantes en la maquinaria construida con hierro y acero y sometida a campos alternos -como sucede en la mayoría del equipo eléctrico.

1416

Medios magnéticos

Si se calienta una sustancia ferromagnética hasta la temperatura de su punto de Curie Te (alrededor de 1000 K en el caso del hierro), la agitación térmica hace que sufra un cambio de estructura y se convierta en paramagnética, y su susceptibilidad a temperaturas más elevadas viene expresada por

e

Xm

T -

Te

para T > Te

(ley de Curie-Weiss) [36.82]

C viene dado por la ecuación [36. 78]. Obsérvese que, al aumentar T, la ecuación [36.82] se aproxima a la ley de Curie, ecuación [36.75]. Todas las sustancias paramagnéticas tienen una temperatura de Curie característica Te. Por ejemplo, las tierras raras gadolinio y disprosio tienen valores de Te de 289 K y 105 K, respectivamente, y por ello son fuertemente paramagnéticos, pero no ferromagnéticos a las temperaturas ordinarias. La ecuación [36.82] se ajusta mejor a los datos empíricos cuando se sustituye Te por la temperatura del punto de Curie paramagnético Oc > Te·

/:,¡emplo 36.9 Se construye un anillo de Rowland de 10 cm de radio medio con una muestra de hierro recocido, para la cual se han obtenido los siguientes datos empíricos de imanación:

1!_, A • vueltas/m 1 Km

,

20

40

60

80

100

400

560

1270

4500

5300

Sobre una parte del anillo se enrollan 100 vueltas de hilo, por el que se hace pasar una corriente de 1 A. Se corta en el anillo un entrehierro de 1 mm. Hallar la densidad de flujo Bg en el entrehierro. Solución Este es un problema simple de circuito magnético, complicado únicamente por el hecho de que dentro del anillo, µ = µ(B). Podemos volver a eséribir la ecuación [36.63] en función de H: f(II)

H [ K,,,(H)L,

+

L]

NI

Podríamos obtener la solución de la ecuación f(H) = NI mediante métodos numéricos como el de Newton-Raphson combinado con interpolación. Sin embargo, simulemos un experimento en el que hagamos incrementar la corriente de modo constante para producir una serie de valores de H. Utilizando los datos dados para Km(H) podemos calcular valores de /(H) simulando las lecturas experimentales sobre un amperímetro. Este método conduce a los siguientes datos simulados: H, A • vueltas/ro 1

NI, A • vueltas

o o

20

40

20.5

47.5

60

80

113.8

410.2

100 592. 7

1417

Medios magnéticos

I I

4000

I

400

I

I I I I I

I

2000

I

200

Solución

100

I

I I I I I I I

1000

I I I

800 ~~

I I I

600 400

I

K., ,,

... --

I

- 80 60

; ,, .,

!!

-¡¡

:, ;,.

•

<

;;¿

- 40 NI

Fig. 36.28

200 -

- 20

100 .___ _.___ _..__ __.__ __.__ __.___, 10 40 20 80 100 60 H, A • vueltas/ni

El modo más simple de hallar la respuesta deseada consiste en representar gráficamente los resultados de este «experimento» como se ve en la figura 36.28. Vemos así que el valor dado de NI = 100 A • vueltas corresponde a H 57 A • vueltas/m y K,,, l 100. Por consiguiente,

=

=

Debido a los errores de la estimación, esta respuesta conduce a /(H) = = 98,4 100; una interpolación lineal de los logaritmos daría una solución más exacta.

*

Hemos utilizado un método de simulación sencillo para resolver el ejemplo 36.9. Los métodos de simulación que son esencialmente experimentos de tanteo realizados mediante el ordenador se están viendo favorecidos a ritmo creciente por los científicos y técnicos cuando es factible su empleo. Ciertamente son indispensables en el caso de sistemas muy complejos en los que la conexión entre la entrada y la salida de la información puede realizarse a través de un mazo de relaciones interdependientes, conocidas frecuentemente sólo en la forma de tablas de valores experimentales y de sistemas de ecuaciones diferenciales o implícitas. Es

1418

Medios magnéticos

característico de muchos tipos de simulaciones el que se incorporen generadores de números aleatorios en el modelo para simular los efectos que produce el azar (como en el caso del movimiento Browniano de moléculas de gas o de líquido en un proceso de difusión) o la impredicibilidad de ciertos fenómenos (como la desintegración radiactiva de núcleos individuales). Este capítulo concluye nuestro estudio de la magnetostática y constituye un punto de cambio en nuestro estudio de los fenómenos electromagnéticos. En los capítulos siguientes, prescindiremos de las condiciones estáticas o estacionarias y emprenderemos el importante estudio de los fenómenos electromagnéticos dependientes del tiempo, en los que resulta de importancia capital la interdependencia de la electricidad y el magnetismo.

PROBLEMAS 36.1

Imanación

36. J La aguja de una brújula con la forma de una varilla delgada de 4 cm de longitud experimenta un par máximo de I0- 6 N • m en un campo de 10-4 T. (a) Si la sección recta de la varilla tiene un área de 0,0314 cm 2, ¿cuál es la imanación (supuesta uniforme) M de la aguja? (b) ¿Cuál es la corriente superficial de Ampere total /'? 36.2

¿Cuál es la intensidad del polo de la aguja del problema 36. l?

36.3 Un disco grueso de espesor L y radio R está situado en el plano xy y se imana de modo que M = -½-,\10 r2 k, en donde res la distancia desde un punto del disco a su eje. (a) Hallar la corriente superficial de Ampere total. (b) Hallar la corriente de volumen de Ampére total. (e) ¿Cuál es la carga neta que gira alrededor del eje por segundo? 36.4 (a) En el problema 36.3, ¿cuál es la densidad de polo superficial? (b) ¿Cuál es la intensidad de polo de cada cara del disco? (e) ¿Cuál es la

densidad de volumen de polo? 36.5 Si se carga el disco del Problema 36.3 y se le hace girar con frecuencia w, ¿qué distribuciones de carga superficial y de volumen son necesarias para producir la imanación observada? 36.6 (a) ¿Cuál es la densidad de volumen de corriente de la esfera cargada en rotación del ejemplo 36.2? (b) ¿Cuál es su densidad de corriente superficial? (e) ¿Cuál es la densidad superficial de polos magnéticos sobre la esfera? 36. 7 Una corteza cilíndrica coaxial con el eje z tiene una imanación acimutal uniforme M = (M0 alp)
Medios magnéticos

36.2

1419

Susceptibilidad magnética

36.8 Si hubiésemos tenido que adaptarnos estrictamente a la analogía con un dieléctrico, ¿cómo habríamos definido la susceptibilidad magnética? 36.9 (a) Comparar los efectos de (1) introducir un dieléctrico entre las placas de un condensador de placas plano-paralelas y (2) llenar con un gas paramagnético un toroide de vidrio vacío que lleva arrollada una bobina por la que circula una corriente libre. (b) Demostrar que los signos de P y de M en las ecuaciones constitutivas de D y H dan como resultado (1) una disminución del campo eléctrico original entre las placas y (2) un aumento de la inducción magnética original en el arrollamiento toroidal. 36.10 Una barra imanada de intensidad de polo p está situada en el plano xy con su polo norte en (L,L) y su polo sur en (L,-L). ¿Qué corriente lineal / debe cortar al eje x en (-L,0) con objeto de que se anule la intensidad del campo magnético total? 36. IJ Una barra imán cilíndrica tiene una imanación uniforme M a lo largo de su eje. Hallar B' y H' sobre el mismo.

36.12 Una corriente / pasa por un hilo recto muy largo de sección circular con radio a y permeabilidad µ,. Hallar (a) la intensidad del campo H, (b) la inducción B y (e) la imanación M dentro del hilo a una distancia p < a del eje. 36.13 La «memoria» de un ordenador puede estar constituida por millones de anillos o «núcleos» de ferritas (óxidos de hierro en combinación química con otros metales), que recuerdan a los materiales ferromagnéticos pero generalmente no poseen una permeabilidad tan elevada. Supóngase que a lo largo del eje de un núcleo de ferrita de radio 0,3 mm y espesor despreciable con Km = 60 se encuentra un hilo_ conductor por el que circula una corriente de 75 mA. (a) ¿Cuál es la inducción B dentro del núcleo? (b) ¿Cuál es la imanación M dentro del núcleo?

36.14 Un toroide como el de la figura 36.9 lleva un arrollamiento compacto de 500 vueltas de hilo por el que circula una corriente de 1,5 A alrededor de un núcleo de hierro recocido de 0,3 m de circunferencia media y Km = 500. En el núcleo, hallar (a) la intensidad H 0 debida a las corrientes libres, (b) la intensidad H' debida a los polos, (e) la inducción B, (d) la imanación M y (e) la densidad de corriente superficial de Ampere
Formulación diferencial de la magnetostática

36.15 Utilizar los resultados del problema 36.6. (a) Demostrar que la imanación de la esfera cargada en rotación del ejemplo 36.2 viene dada por M

donde r 2 = x 2

+

y2

+

z2

1420

Medios magnéticos

(b) Hallar la densidad de volumen de los polos magnéticos. (e) Si hubiésemos tomado M = -½-Pw(R 2 - x2 - y 2), el resultado hubiese sido inconsistente. Explicar por qué. 36.16 Demostrar que la fórmula correspondiente a M del problema 36.15 es consistente con el momento magnético total m = qwR 2/5 deducido en el ejemplo 36.2. 36. 17 Utilizando la forma diferencial de la ley de Ampére, la conservación del flujo magnético y razonamientos de simetría, demostrar que el campo de imanación B' = (2µof3)M en todo punto dentro de la esfera imanada uniformemente del ejemplo 36.3. (INDICACIÓN: No es tan difícil como parece.)

36.4 Solución general 36.18

Resolver el problema 36.11 utilizando el formalismo de polos. Ver el problema 27.18.)

(INDICACIÓN:

36. 19 (a) En el problema 36.18, demostrar que el campo de imanación B' es continuo a través de la cara extrema norte de la barra imán. Supo-

ner que el imán es tan largo que no es necesario considerar la contribución procedente de la cara extrema sur. (b) ¿Cuál es el valor de B' en la cara norte? (e) Hallar ~H' cuando se cruza la cara norte del imán y se pasa al espacio vacío. 36.20 Cuando empezamos primeramente a estudiar el magnetismo, afirmamos que cada extremo de una barra imán (supuesta con imanación uniforme) da origen a un campo que se comporta de acuerdo con la ley de Coulomb: H' = (P/471'µ 0)(r/r3). Sin embargo, sabemos a partir de los problemas 36.11 y 36.19 que H' = M/2, un vector finito constante, en la cara de cada polo del imán. Si la cara en cuestión tiene una sección recta circular de radio a, entonces ¿a qué mínima distancia R a lo largo del eje respecto a la cara del polo está dada su intensidad de campo por la ley de Coulomb hasta una exactitud del 1 %? 36.21 Demostrar mediante integración directa que H' centro de la esfera imanada del ejemplo 36.3.

=

-M/3 en el

(a) En el caso de la esfera uniformemente imanada del ejemplo 36.3, calcular el campo magnético a lo largo del eje de imanación fuera de la esfera y hallar el momento dipolar equivalente del campo. Utilizar . i el sistema de coordenadas que se indica en la figura. (INDICACIÓN: Hacer /J ~ ~ uso de la analogía matemática precisa entre E y H' y de la fórmula del ~ potencial del ejemplo 28.3.) (b) Si se sabe por simetría que el campo en un punto c,_ualquiera en el exterior de la esfera sólo puede tener compoa nentes r y 8 que deban ,rnostrar una disminución semejante a la de un dio ___ polo a distancias r ~ a, hallar los componentes del campo tales que se M z satisfagan sobre la esfera las condiciones de contorno sobre B' y H' . Demostrar que el campo es exactamente como el campo dipolar para todo r > a. (e) Si la imanación de la esfera se debe a un campo magnetizante 8 0 que es paralelo a M, expresar los campos totales 8¡ 01 y Bcxt dentro y fuera de la esfera. 36.22

Medios magnéticos

36. 5 36.23

1421

Circuitos magnéticos Hallar las dimensiones de la reluctancia.

36.24 Un anillo de Rowland de circunferencia media L y permeabilidad relativa Km ;!J> 1 contiene un pequeño entrehierro de aire de longitud Lg <,¡¡ L. (a) Si L 4¡ KmLg, demostrar que la inducción en el anillo está determinada fundamentalmente por la longitud del entrehierro. (b) Si L = KmLg, hallar la variación relativa 11BIB del flujo cuando la longitud del entrehierro varía en una pequeña fracción 11L/Lg <,¡¡ l. 36.25 Un anillo de Rowland cerrado se encuentra rodeado por 250 vueltas de hilo por las que circula una corriente de 100 mA. La circunferencia media del anillo es 0,5 m. Cuando se corta en el anillo un entrehierro de 1 mm de longitud, el flujo en el anillo desciende hasta el 25 % de su valor original. (a) ¿Cuál es la susceptibilidad del anillo. (b) ¿Cuál es la inducción original B en el anillo?

36.26 En un anillo de Rowland de permeabilidad µ. y circunferencia media L se ha cortado un entrehierro de aire de longitud Lg = L/250 y se ha medido el campo en el mismo. Cuando se corta un entrehierro idéntico en la otra parte del anillo, resulta que el campo en el primero de ellos disminuye en un factor de 5/9. ¿Cuál es la permeabilidad relativa Km del anillo? 36.27 Un anillo de longitud L está construido con dos piezas semicirculares de la misma sección recta. Ambos materiales son ferromagnéticos con permeabilidades µ. 1 y µ. 2 • Mediante una bobina enrollada en una sección del anillo se obtiene una FMM. ¿Cuál es la densidad superficial neta de polos por amperio • vuelta de FMM en donde se unen los dos materiales? En la figura 36.22, sea L = 20 cm y Lg = 0,5 cm con µ. = 1 200 La sección recta del núcleo es 4 cm 2 Y 1-f = 597 A • vueltas. (a) Hallar las reluctancias '/(, :R., :R.', y :R.g. (b) Hallar la densidad de flujo Bg en el entrehierro. 36.28

µ.0•

36.29 El imán que se ve en la figura puede utilizarse como imán para desviar el flujo de partículas en una sección de un acelerador, de forma

T

l.6m

l r-

I m- > - - -

1422

Medios magnéticos

que las partículas pasan a través del entrehierro de la pata central desde la parte delantera hacia la trasera. Si Km = 500 y 1f = 100 000 A • vueltas, hallar el campo en el entrehierro. (El cálculo es forzosamente sólo aproximado.) 36.6

Diamagnetismo y paramagnetismo

36.30 En un átomo diamagnético, la distribución media temporal de los Z electrones atómicos posee simetría esférica alrededor del núcleo. de modo que las coordenadas medias satisfacen la igualdad x 2 = y2 = z2 = = r 2/3. Si existen n de dichos átomos por unidad de volumen demostrar que la susceptibilidad diamagnética vale

x,,,

nze2µ0 2

----r 6m,

36.31 Utilizando la fórmula para Xm del problema 36.30 y la tabla 36.1, calcular el radio cuadrático medio de la órbita del electrón del hidrógeno en la molécula diatómica de hidrógeno. 36.32 Si el electrón del átomo de hidrógeno se mantiene en una órbita de radio 0,53 A mediante la fuerza de atracción de Coulomb, hallar (a) la frecuencia orbital w 0 y (b) el cociente wL/ w 0 de la frecuencia de Larmor y la frecuencia de rotación en función del campo aplicado B. 36.33 Utilizando los valores de Xm de la tabla 36.2, calcular el número efectivo n 8 de magnetones de Bohr por molécula de (a) oxígeno (en CN) y (b) platino. 36.34 En el sistema cgs-uem (ver sección 34.6) es común expresar la susceptibilidad como el cociente MIH = Xuem· Los momentos dipolares de las espiras se definen como en el sistema mksA, pero las corrientes se miden en abamperios (1 abA = 10 A) y H en oersteds. Hallar la relación exist:nte entre Xm y Xuem· (Ver el problema 34.47.) 36.35 Como Xm representa el momento dipolar de espira por unidad de volumen y por unidad de intensidad de campo, se le suele denominar susceptibilidad magnética «volumétrica». En los laboratorios de física lo normal es utilizar la susceptibilidad cgs-uem Xuem (ver problema 36.34.) En química, suele ser más útil el utilizar la susceptibilidad específica Xs, que es el momento total por gramo del material. En física atómica y molecular generalmente se emplea la susceptibilidad molar (o «atómica») XM, que es el momento total por mol-g del material. Consideremos un material magnético de densidad p (en g/cm 3) y peso molecular M 0 (en g/mol-g). En función de Xuem• dar las fórmulas (con dimensiones) de (a) Xs y (b) XM para este material. (e) El valor de las tablas para la susceptibilidad del plomo es XM = -2,3 x 10-5 cm 3/mol-g. Calcular Xm y comparar el resultado con el de la tabla 36.1. 36.36 Deseamos hacer una comparación del orden de magnitud de Xs (ver~ problema 36.35) de un elemento diamagnético en cm 3/g. Suponer que r2 ""' 5 x 10-21 m 2 y Z/M0 ""' 0,5. Calcular x 5 •

Medios magnéticos

1423

36.37 Cuando una muestra delgada uniforme de sección recta A secoloca en un campo no uniforme como el indicado en la figura, experimenta una fuerza de atracción si es paramagnética y de repulsión si es diamagnética. (a) Demostrar que la fuerza vertical neta sobre la varilla es

(b) La presencia del factor-½ demuestra que no podemos considerar sim-

plemente el efecto de los polos inducidos que aparecen en los extremos de la muestra. ¿Por qué? 36.38 Utilizar los resultados del problema 36.37 para predecir la fuerza ejercida sobre 1 g de una muestra de sodio de 10 cm de longitud que está situada en un campo muy fuerte de forma que la inducción en los extremos de la varilla es 1 T y 0,5 T. 36. 7 Ferromagnetismo 36.39 (a) Si la aguja de la brújula del problema 36.1 se hace de hierro, ¿cuál e~ el número medio n 8 de magnetones de Bohr por átomo que contribuyen a la imanación global? (b) ¿Cuál es (aproximadamente) el campo de inducción B en el centro de la aguja? 36~40 Los números n 8 de magnetones de Bohr por átomo de elementos ferromagnéticos son 2,22 para el hierro, 1, 72 para el cobalto y 0,62 para el níquel. Calcular el campo de saturación máximo B obtenido cuando cada una de estas sustancias puras se imana. 36.41 En el caso del hierro, el punto de Curie es Te = 1 043 K, el punto de Curie paramagnético es Oc = l 100 K y el número efectivo de magnetones de Bohr es 3,20 por átomo. Suponer que· el peso específico del hierro es 7 ,4. (a) Hallar la susceptibilidad del hierro a 1 300 K. (b) Comparando este resultado con los valores representativos de la tabla 36.1, ¿podría decirse que el hierro es fuertemente paramagnético? *36.42 En la figura 36.28, obsérvese que la curva correspondiente a NI es casi una recta. (a) Ajustar los datos para dar la dependencia aproximada de H con / utilizando un ajuste lineal. (b) Hallar los valores de H y B8 para / = 1 A y comparar con la solución del ejemplo 36. 10. (e) Hallar los valores de H y de B8 para/ = 2 A. Soluciones 36•1 (a) M = 79.6kA/m; (b) /' = 3184A 36•2 p = 0.314µWb 36 • 3 (a) 1; = M 0 R 2L/2, girando a lo largo de la

circunferencia del disco en el sentido positivo; (b) Ií, = M0 R 2L/2, girando alrededor del eje en sentido negativo; (e) la circulación de carga neta es nula

36•4 (a) u;,,= ±µ0 M 0 p 2 /2; (b) p = ±~1rM0 R 4 /4;

(e) p:,, = O, porque el momento di polar por unidad de volumen no varía en la dirección z 36 • 5 u = M 0 R/2w, p = -M0 / w; la carga neta es cero 36•6 (a) J' = wprsen 0; (b)
=

O

1424

Medios magnéticos

36 • 7 (a) I = 21raM0 ; la corriente circula en la dirección y sentido z a lo largo de la superficie interior y en -z a lo largo de la superficie exterior y radialmente hacia fuera en la cara extrema visible; (b) J' = O 36•8 Xm = tJ.oM/B 36 • 10 J = ,fi.p / 4µ. 0 L en la dirección z 36 • 11 B' = %M/2)(cos {, 2 - cos B 1) como en la figura. 35.30, H1n, = -M + (M/2)(cos {,2 COS /j 1), H;x, = B' / /Jo 36•12 (a) H = lp/ha'; (b) B = µ.H; (e) M = (µ./ µ. 0 - 1)H; todos los vectores tienen la dirección azimutal 36• 13 (a) B = 0.003 T; (b) H = 2348 A/m 36 • 14 (a) H 0 = 2500 A/m; (b) H' = O; (e) B = !7r T; (d) M = 1.2475 MA/m; (e) J' = 1.2475 MA/m 36•15 (b) p~ = /J.oPWZ 36 • 19 (b) B' = µ. 0 M/2; (e) aH' = M 36 • 20 R = 8.66a 36•22 (a) = p/27rtJ.oz3. donde ~P = 4-¡ra 3µ. 0 M/3; (b) H' = r- 3(ai + {,8) en donde a = (2Ma 3 cos 8)/3 y /j = (Ma 3 sen 8)/3; (e) Bint = 3KmBo/(2 + Km), B... =;_B0 k + [xm/(3 + Xm)]Bo(a/r)3(2cos8r + sen 88) 36•23 [_n] = A/Wb = A 2 /J = C 2 /kg•m 2 36 • 24 (a) el> = µ. 0 NIA/ Lg; (b) aB/B == -(xm/ Km)(aLg/Lg)

n:

36 • 25

(a) Xm = 1500;

(b) B = 94.3 mT

36 • 26 Km = 1001 36•27 a~/Nl = (2µ.o/L)(µ.¡ - /J.2)/(µ.1 + /J.2) 36 • 28 (a) .n; = 331.6 kA/Wb, _n == 3.n;, _n 1

=

36 • 29 36•31

3_n; = _ng; (b) Bg = 0.5 T B = 0.6 T

r,m,=0.81Á 36•32 (a) w0 = 4.12 X 10 16 Hz; (b) wL/w 0 = (2.13 X 10- 6)B T- 1 36 • 33 (a) ns = 2.9; (b) ns = 0.7 36 • 34 Xm = 47r:Xuem 36•35 (a) X, =xuem/P (cm 3/g); (b) XM = (Mo/ Phuem (cm 3/mol-g) 36•36 X,= 0.7 X 10- 6 cm 3/g 36 • 37 (b) La imanación varía con H en la dirección z 36 • 38 F = 2.61 djnas 36•39 (a) ns= 0.1; (b) B = 0.1 T 36 • 40 BFe = 2.19 T, Bc0 = 1.82 T, BN; = 0.66T 36 • 41 (a) Xm = 0.0113; (b) SÍ 36•42 (a) H = 55.6 + 22.l lnl; (b) H== 55.6A,vueltaslm,Km = 1171, Bg = 0.082 T; (e) H = 10.9 A vueltas/ro, Km= 2193; Bg = 0.195 T

CAPÍTULO

37

Fuerza electromotriz inducida «Disponía de un anillo de hierro (dulce) de forma redonda de 7/8 pulgadas de grueso y con un diámetro exterior de 6 pulgadas. Enrollé muchas vueltas de hilo conductor alrededor de_ la mitad del anillo; ... llamo A a esta parte del anille>. En la otra parte, pero separadas de la anterior por un intervalo, enrollé hilo en dos partes que reunidas equivalían a 60 pies de longitud en el mismo sentido que la primera bobina; llamo B a esta parte. Disponía de una pila cargada formada por JO [pares de J placas de 4 pulgadas de lado. Conecté las dos bobinas de la parte B formando una sola bobina que uní por sus extremos a un hilo de cobre que pasaba junto a una aguja magnética situada a 3 pies del anillo. Luego conecté los extremos de la parte en A a la pila; inmediatamente se observó un efecto sensible sobre la aguja. Oscilaba y finalmente se detuvo en su posición original. Al romper la conexión de la parte A con la pila se observó una nueva perturbación en la aguja.» Diario de MICHAEL FARADAY, 30 de agosto de 1831

Alrededor de 1831 fue descubierto un fenómeno de extraordinaria importancia teórica y práctica por Michael Faraday en Inglaterra y por Joseph Henry independientemente 'en Estados Unidos. Ambos vieron que la acción de un campo variable de inducción magnética puede generar (inducir) una FEM y hacer que circule una corriente por un circuito. Este descubrimiento abrió el camino para la conversión práctica de la energía mecánica en energía eléctrica y viceversa e inició así el gran desarrollo industrial de la electricidad en la segunda mitad del siglo pasado. Además, del mismo modo que el descubrimiento de Oersted proporcionó la ligadu1425

1426

Fuerza electromotriz inducida

ra esencial entre los fenómenos magnéticos y sus orígenes eléctricos, así el descubrimiento de las FEM inducidas fue el punto de partida esencial para la comprensión de los fenómenos electromagnéticos, es decir, aquellos efectos dependientes del tiempo en los que son completamente interdependientes los campos eléctricos y magnéticos. La observación de que el magnetismo puede ser «causa» de la electricidad condujo posteriormente a James Clerk Maxwell a introducir el concepto de corriente de desplazamiento y a partir de ella pudo deducir una teoría de la luz como la radiación de los campos electromagnéticos. Así enlazó la óptica! una ram_¡i: básica y venerable de la física, con las teorías de la electricidad y el magnetismo. En este capítulo y en los cuatro siguientes investigaremos la naturaleza de los fenómenos electromagnéticos hasta llegar a la formulación de las ecuaciones de Maxwell y culminando con la deducción de la naturaleza de la luz y su propagación. Veremos también cómo el descubrimiento de Faraday lleva a una teoría de circuitos más general, muy semejante a la del capítulo 32 pero teniendo en cuenta las corrientes de variación periódica y los efectos de los fenómenos transitorios dependientes del tiempo.

37.1 FEM de movimiento: traslaciones Consideremos la disposición de los conductores indicada en la figura 37. la, en la que el circuito contiene una parte móvil. Se conectan entre sí dos varillas conductoras paralelas M separadas a una distancia L uniendo un extremo de cada una de ellas a los terminales de una resistencia R. Con velocidad v se mueve, como está indicado, otra barra conductora plana N, atravesada sobre las varillas M. Supongamos también la existencia de un campo uniforme de inducción magnética B dirigido perpendicularmente al plano del papel y hacia el lector. El campo de inducción magnética puede producirse mediante piezas de hierro imanadas o bien por una corriente que circula a través de un circuito externo que rodea al sistema de varillas indicado en la figura. Supongamos que el imán o circuito externo que produce B está en reposo respecto a las varillas M en la figura. Entonces se dice que las varillas M están en reposo respecto al campo de inducción magnética B, mientras que la barra N se mueve a través del campo con una velocidad v. (Nos restringiremos ahora a velocidades que son pequeñas en comparación con la velocidad de la luz en el espacio libre. En el caso de velocidades comparables a la de la luz, nuestro estudio sería incompleto; dichos problemas deben abordarse en función de la teoría de la relatividad.) De acuerdo con la ecuación [34.48], aparece una fuerza F que se ejerce sobre cualquier carga q en la barra móvil N, de forma que

F

qv X B

o sea,

F

=

qvB

[37 .1]

dirigida hacia el papel, porque v es perpendicular a B. De aquí que la carga + q en la barra N se verá impulsada en la dirección de F. Si la car-

1427

Fuerza electromotriz inducida M

,

B

L

X

0

R

®

11------x-----1

(a)

Generador

.\'

M

1

·~r(~l \

l

B

CI

-+-

R

l

v'

X L

0 t.1

(b)

Fig, 37.J

Motor de corriente continua

Configuración elemental motor/generador y circuitos equivalentes.

ga recorre la longitud L de la barra, entonces el trabajo W realizado sobre ella por el agente que mueve la barra N es

W = FL = qvBL

(37 .2)

_y el trabajo por unidad de carga es

w

BLv

q

[37.3]

Sin embargo, el trabajo realizado por unidad de carga es la fuerza electromotriz de movimiento efectiva 8 que se induce en la barra N y, por tanto,

8

[37.4]

= BLv

Por consiguiente, se induce una corriente / en el circuito:

l

=

8 R

BLv = R

[37 .5]

en donde R representa la resistencia total del circuito. Obsérvese también que la fuerza magnética ejercida sobre esta corriente en el interior del

Fuerza electromotriz inducida

1428

campo B se opone al movimiento v; si no fuese así, ¡tendríamos una máquina de movimiento perpetuo! En el estudio precedente de la FEM inducida, hemos supuesto que la inducción magnética B es perpendicular al plano del papel. Para un estudio vectorial general, supongamos que es L el vector de longitud L en la dirección del flujo de corriente convencional que recorre la barra N. Entonces el trabajo realizado por unidad de carga es

w

V

q

[37 .6]

X B•L

Señalemos para futura referencia que la variación respecto al tiempo del área A de la espira de corriente es

dA

d(xL)

[37. 7] vL dt Si definimos el área A como un vector normal a la espira y que corresponde a su momento di polar, entonces dt

dA dt

V

X L

[37 .8]

en donde el orden de los vectores en el producto concuerda con la regla de la mano derecha para la dirección del momento de la espira (compruébese). Aplicando las identidades del producto mixto vistas en la sección 2.4 o en el apéndice E, se tiene -B X v-L

-B•v X L

-B• dA dt

[37.9]

Este es un caso especial de la ley de Faraday: La fuerza electromotriz inducida en un circuito cerrado es igual a la variación respecto al tiempo del flujo magnético total que atraviesa el circuito. El agente que impulsa la barra en la figura 37. la es la fuente de esta energía eléctrica, que finalmente se disipa en pérdida por calor. Así tenemos un generador eléctrico que convierte la energía mecánica en energía eléctrica. Sin embargo, invirtamos la situación. Si la barra está en reposo y una pila de diferencia de potencial V hace circular por ella una corriente, como se ve en la figura 37. lb, entonces la fuerza ejercida sobre la barra es [37 .10] /LX B F y esta fuerza hace que la barra se mueva con velocidad v' en sentido

opuesto al de ven la figura 37. la. Tenemos ahora un motor eléctrico que convierte la energía eléctrica en energía mecánica. Sin embargo, cuando la barra N empieza a moverse, el campo B induce una FEM de movimiento 8 que se opone al sentido de /, porque v' es opuesta a la velocidad v de la figura 37. la. La potencia total cedida por la pila es p

VI

=

F • v'

+

R/ 2

/L X B•v'

+

R/ 2 [37.11]

Fuerza electromotriz inducida

=

Como L x B • v' VI

1429

L • B x v' , se tiene

(B X v' • L)/

+

R/ 2

81

+

(37 .12]

R/ 2

Así, pues, 8 = B x v' • L es la FEM de movimiento que se opone a V. Por esta razón la barra se acelerará hasta que 8 = V, en cuyo momento deja de circular corriente. Entonces se anula la fuerza en la ecuación (37 .10] y la barra se mueve con velocidad constante v'. En la geometría de la figura 37.lb, tenemos que 8 = v'LB = V, o sea

v'

V

E B

LB

[37.13]

en donde E = VIL es el campo producido en la barra móvil por la pila, porque en el equilibrio la caída de potencial total se verifica en la barra. No hemos visto todavía el valor último de este cociente EIB, que apareció primero en la ecuación (34.59]. El motor sencillo que nos ha servido en este ejemplo es el prototipo de la «propulsión iónica» para la propulsión espacial, en el cual se sustituye la barra N por un arco de gas ionizado. ¿Qué ocurre si simplemente movemos una espira de corriente a través de un campo magnético uniforme, como en la figura 37 .2a? Para ser breves, nada. Los potenciales inducidos t; entre los extremos de la espira son iguales, de modo que no existe ninguna circulación neta de cargas. El movimiento solo no es suficiente. Sin embargo, si el campo es no uniforme como en la figura 37 .2b, entonces los potenciales inducidos difieren,

I

®

© ®

© ®

(a) Movimiento en un campo uniforme; no se induce ninguna FEM neta

L

1®

g•

1

B':

@

1

I@ ~vdt~

(b) Movimiento en un campo no uniforme; se induce una FEM neta

Fig. 37.2 Espira móvil en un campo magnético

*

8 t; ', y circula una corriente J. La corriente es

8 -

8'

FEM

= vL(B -

f-v dt-j

inducida neta que impulsa la

B')

(37.14]

Si la espira recorre una distancia dx = v dt en un tiempo dt, entonces el número de líneas de inducción magnética B que atraviesa la espira dismi-

1430

Fuerza electromotriz inducida

nuye en BL dx en la parte izquierda y aumenta en B' L dx en la parte derecha. Por tanto, la FEM neta es igual, pero con signo contrario, a la variación respecto al tiempo del flujo neto a través de la espira: déf! dt

[37 .15]

Obsérvese que la ecuación [3 7 .15] es una forma más general de la ley de Faraday y que incluye a la ecuación [37. 9] como caso especial. Puede demostrarse que la ecuación [37 .15] se cumple generalmente también para el movimiento de traslación de una espira de corriente de forma arbitraria (ver figura 37 .3). Si se desplaza dicha espira en una cantidad v dt en un tiempo dt, entonces la FEM inducida d8 en un elemento di de la espira es d{J

, X

B•dl

[37.16]

-B•v X dl

+ óA

dA

= vdt

dt

X dl

Fig. 37.3 Descripción geométrica de una espira de corriente en movimiento de traslación

Sin embargo, el elemento de área dA barrido por el movimiento de di es dA y

(v dt) X dl

[37.17]

así dA dt

v X dl

[37.18]

Como el número de líneas de flujo cortadas por el elemento de la espira di en su movimiento es déf! = B • dA, la FEM total a lo largo de la espira es

-f

B•v X dl

=

dip dt

[37 .19]

Es decir, la FEM total viene dada por la velocidad con que la espira va cortando las líneas de flujo, con signo negativo. Al calcular ÍA B • dA, la ley
t-'uerza electromotriz inducida

1431

Sin embargo, como el propio campo no está variando, no existe variación del flujo que atraviesa A y, por ello, la única variación del flujo a través del área A + .1A se debe a las líneas de flujo cortadas por la espira a su paso. Por consiguiente, la ecuación [37 .19) es una prescripción muy general, aunque rara vez sea práctica. Sin embargo, la utilizaremos en el capítulo 40 cuando estudiemos campos magnéticos «ionizados» en el interior de gases muy ionizados.

Ejemplo 37.J Un tren se está moviendo a una velocidad de 36 km/h. Pasa por el campo geomagnético, el cual localmente tiene un componente vertical de 2 x 10-5 T = 0,2 gauss (G); (1 G = 10-4 T). Las ruedas y su eje metálico forman una conexión entre los carriles metálicos de la vía. Si los carriles están separados 1,4 m, ¿cuál es la FEM 8 inducida entre las ruedas? Solución

A partir de la ecuación [37.4), (2 X 10- 5 T)(l.4m)(!0m/s)

BLv

37.2

FEM

de movimiento: rotaciones

La configuración generador /motor de la figura 37 .1 es interesante desde el punto de vista teórico, pero no es práctica. Es útil principalmente como una ilustración sencilla del principio de que un generador es un motor funcionando a la inversa y viceversa. Una configuración generador/ motor que sea práctica debe ser capaz de realizar repeticiones periódicas de su ciclo básico. La forma más sencilla de movimiento periódico es el movimiento de rotación, de forma que vamos a considerar el generador formado por una espira giratoria de la figura 37 .4a. Cierto agente mecánico hace que la espira gire con velocidad angular constante w en el sentido indicado. Puede verse en la figura que la velocidad instantánea v de una parte cualquiera del circuito es perpendicular a w, como asimismo lo es a B. Así, pues, en cada brazo del circuito, el campo eléctrico inducido E = v x B es paralelo a w. · De aquí que la fuerza desarrollada en los brazos ab y cd paralelos al eje de rotación impulsa a la corriente / como está indicado. No existe ninguna contribución neta por parte de los brazos laterales be y ad. La FEM instantánea total es

8

f

(v X B) • dl

ABw sen

=

2vBL sen 8

=

2(½wL')BL sen 8

(J

Como el flujo del campo magnético que atraviesa la espira es cos 8 y podemos poner (J = wt, entonces se tiene de nuevo

(37.20)

= 0

AB

=

2.8 X 10

4

V

1432

Fuerza electromotriz inducida

= -dil> I dt. Por la resistencia R tendremos la circulación de una corriente alterna (CA): 0

I

R

ABw

- - sen R

[37.21]

wt

Esta corriente oscila sinusoidalmente cuando la espira gira. La mayor parte de nuestra energía eléctrica está generada mediante máquinas rotativas tales como las turbinas de vapor y los generadores hidroeléctricos y se distribuye asimismo como corriente alterna. En los Estados Unidos, Canadá y América Central la frecuencia normalizada es wl2'll" = 60 Hz; en Europa, Japón y la mayoría de los demás países, es común los 50 Hz. Estudiaremos con detalle los circuitos de CA en el capítulo 39. Si eliminamos el agente externo que mueve el circuito y añadimos una pila de potencial V en serie con la resistencia, entonces el campo magnético ejerce un par T = m x B sobre la espira, haciendo que gire como se indica en la figura 37.4b. Sin embargo, cuando el dipolo que es la espira gira, el momento cambia de signo. Para conseguir que la espira siga girando continuamente en un solo sentido, la espira debe conectarse al circuito de la pila mediante un colector adecuado formado por un anillo dividido en dos partes, que actúa de conmutador al deslizarse sobre sendos

(a) Generador de corriente alterna B

A R

(b) Moto, de corriente continua con colector conmutador B

R

Fig. 37.4 Configuración generador/motor con espira rotatoria

Fuerza electromotriz inducida

1433

terminales denominados «escobillas». Cada vez que en su movimiento la espira pasa por la posición de par nulo (0 = O y (J = 180°), se invierte el sentido de la corriente y, por tanto, el de m. Por consiguiente, la espira continúa girando incluso cada vez más rápidamente en vez de oscilar simplemente alrededor de una posición de equilibrio. Esta aceleración angular continúa hasta que el ritmo con que se está extrayendo energía de la pila es igual al ritmo medio con que se disipa por efecto Joule y el calentamiento consiguiente y por la resistencia que opone el campo magnético a la corriente. Como puede verse a partir de la figura 37 .4b, la FEM de movimiento se opone a la de la pila; es decir, el sentido de v x B se opone al de / (que es la corriente debida a V) porque el sentido de w ahora es opuesto al sentido de w en la figura 37.4a. A partir de la geometría de la figura 37 .4b vemos que r = m x B es paralelo a w, de modo que la potencia cedida al motor por la batería debido al trabajo realizado por el primero es p

(IABsen O)w

IABw sen

(J

[37 .22]

que es equivalente a una fuerza contraelectromotriz {; opuesta al potencial V de la pila: p

ABw sen

I

Esta

FEM

(J

[37 .23]

es simplemente la del movimiento de la ecuación [37 .20).

¿Qué ocurre si el colector o conmutador se sustituye por un simple anillo como el de la figura 37 .4a? En este caso, {; < O cuando O < O. En otras palabras, el par se opone al movimiento, de modo que la espira realiza trabajo sobre la pila cuando la energía cinética de la espira giratoria se convierte parcialmente de nuevo en la energía potencial -m • B de la bobina en el campo magnético y se disipa parcialmente en la resistencia R. La corriente real en la espira se obtiene a partir de la potencia suministrada por la pila:

=

VI

Rl 2

+

[37 .24)

{;f

Por lo tanto, I

=

V -

ABw sen R

(J

[37 .25)

Así pues, sin un conmutador, la corriente no es constante sino que puede ser mayor o menor que VIR, lo cual depende del signo instantáneo de la fuerza contraelectromotriz. Además, la resistencia R puede considerarse como R = R 0 + RL, en donde R 0 es la resistencia equivalente del circuito y RL es la resistencia de carga que representa la potencia RL/ 2 cedida en forma de trabajo en el eje a la carga unida al motor. El motor indicado en la figura 37 .4b se denomina un motor de corriente continua (ce) porque funciona con una corriente constante en lugar de utilizar una corriente alterna como fuente de su energía eléctrica. Como veremos, resulta innecesario el conmutador si se sustituye la pila o batería por una fuente de corriente alterna.

Fuerza electromotriz inducida

1434

Ejemplo 37.2 En un motor práctico de ce, se reemplaza la espira simple de la figura 37.4b por una «armadura» ferromagnética sobre la que se arrollan muchas vueltas de conductor. El motor esta proyectado de modo tal que el par T permanece constante cuando gira la armadura, con 7 = NABI, siendo N el número de vueltas y li una inducción magnética media perpendicular a las bobinas. Si la diferencia de potencial a través

de los termináles del circuito del motor es V, la resistencia del circuito del motor es R y la corriente es /, hallar la frecuencia constante II de revolución. En este caso

Solución 8

p

-

-r•w

=

I

I

NAB/w I

= NABw

A partir de la ecuación [37.24], tenemos 8

V -

RI

Haciendo NA B w w

V -

RI

=

V-

RI y despejando w se tiene 21r11

NAB y 11

de aquí, RI 21rNAB

V -

La ecuación [37 .20] correspondiente a la FEM inducida en una espira rectangular es válida para una espira plana cualquiera. Consideremos la espira que se ve en la figura 37 .5, que está girando con una velocidad angular constante w = wk en un campo uniforme B = Bi. La velocidad instantánea v = w X p de un elemento de espira a una distancia radial p del eje de rotación, es perpendicular al plano de la espira. Tanto v como B son normales a w, de modo que la fuerza por unidad de carga sobre un elemento de la espira, E = v x B señala en el sentido -w y vB sen wt

E

De aquí que la d8

FEM

E• df

=

pwB sen wt

[37.26]

desarrollada en dicho elemento sea

=

-pB(senwt)w • df

=

pB(senwt)w dz [37.27]

El signo menos desaparece en la última expresión porque dz se escoge de forma que concuerde con el sentido de df y del flujo de corriente.

1435

Fuerza electromotriz inducida

w

<

V

y

=

/s

Fig. 37.5 Descripción geométrica correspondiente a una espira plana arbitraria con su eje de giro perpendicular al campo magnético

X

Para hallar la

FEM

total a lo largo de toda la espira hagamos wB sen wt

f

p dz

[37.28)

Sin embargo, se toma dz como el valor de la componente vertical de la longitud del camino, de modo que la integral de la expresión del segundo miembro es simplemente el área A de la espira y, por consiguiente, [37.29)

wAB sen wt

Esta expresión coincide con la dada en el caso de una espira rectangular. Si la espira se sustituye por una bobina de N vueltas, entonces se incrementa la longitud del circuito en un factor de N y la ecuación [37 .29) se convierte en NwAB sen wt

= -

N déf! dt

[37.30]

En el caso de la espira rotatoria del motor de la figura 37.4b, el conmutador hace el efecto de sustituir el término sen 8 en las ecuaciones [37 .22) y [37 .25) por su valor absoluto Isen 8 j. Sin embargo, el conmutador resulta innecesario si el propio V es alterno. Supóngase que V lo suministra un generador como el de la figura 37 .4a con un flujo máximo de A' B'. Supongamos también que el generador gira con la misma frecuencia que el motor en su rotación. Si disponemos la espira del motor de forma que su desplazamiento angular a partir del instante t = O venga

1436

Fuerza electromotriz inducida

dado por O = 1r - wt, entonces la corriente I en el motor se expresa por la ecuación [37 .25] en la forma I

~ [A'B' sen wt R

~ (A'B' R

AB sen(1r -

wt)]

AB) sen wt

[37.31]

Entonces, según la ecuación [37 .22], la potencia transformada en energía cinética de la espira motora rotatoria es p

2

ABw (A' B' R

AB) sen 2 wt

[37 .32]

Si escogemos que A' B' > AB entonces la potencia cedida a la espira giratoria es siempre positiva, sin necesidad de ningún conmutador. Este dispositivo se denomina motor síncrono y es el tipo de motor que se usa con mayor frecuencia en las aplicaciones domésticas ordinarias. Para su empleo en la industria pesada se utiliza un motor trifásico síncrono que posee tres series de arrollamientos separados alrededor de un eje central rotatorio, o rotor, estando cada arrollamiento desfasado en 60° respecto a los otros dos. Por tanto, la potencia suministrada es proporcional a un factor constante: P

,_

sen 2 wt + sen 2 (wt- 60°) + sen 2 (wt+ 60º)

=

1.5 [37.33]

(Comprobar esta identidad utilizando las propiedades trigonométricas.) Así pues, resulta constante la potencia total suministrada. El amplio uso que se hace de los motores trifásicos es una de las razones para que las torres de tendido eléctrico lleven siempre tres cables suspendidos de las mismas, uno para cada una de las fuentes diferentes de tensión alterna.

Ejemplo 37.3 Una dinamo de disco de Faraday es un disco conductor que gira alrededor de un eje central en un campo de inducción magnética. Puede conectarse una resistencia eléctrica externa a una escobilla que frota contra el borde del disco, constituyendo así un circuito cerrado, como se indica en la figura 37 .6. Si un disco de Faraday de radio a está girando con velocidad angular w y con su plano normal al campo uniforme B, ¿qué FEM se induce en el disco? Solución La FEM inducida en un elemento de longitud dr a lo largo de un radio vector del disco es

Fdr q

Bwrdr

Fuerza electromotriz inducida

1437

+

R

Rg. 37.6

en donde F es la fuerza sobre una carga q, u = wr es la velocidad del elemento dr y res la distancia desde el centro del disco a dr. La FEM generada entre el eje y el borde del disco es entonces las suma de las FEM a lo largo de todos los elementos dr. Así, pues, para v = w/21r, se tiene

r

Bwrdr

=

Bwa 2

2

La dinamo de disco del ejemplo 37 .3 puede considerarse como formada por muchas ramas de corriente en paralelo entre las escobillas situadas en el centro y en la periferia del disco. Cada rama se compone de un sector del disco y de un segmento del borde. La velocidad de variación del flujo en dicha rama depende del área que corta por segundo cuando gira: dA dt

a2w 2

[37.34]

Así, pues, se tiene de nuevo

l&I =

B , ~~ ,

[37 .35]

37.3 Ley de Faraday y ley de Lenz Consideremos las dos espiras paralelas indicadas en la figura 37. 7. La espira A contiene un galvanómetro; la espira B contiene una pila y un reostato que permite variar el potencial aplicado a la espira B. Ambas espiras están montadas sobre un sistema deslizante que puede moverse fácilmente a lo largo de un eje perpendicular a las mismas. Si A se mueve de modo uniforme alejándose de B con velocidad v, entonces la FEM del movimiento v x B produce la corriente / A cuyo sentido concuerda con / 8 y

1438

Fuerza electromotriz inducida

los dos dipolos de corriente se atraen mutuamente como dos imanes, oponiéndose al movimiento. Además, aunque el flujo a través de A esté disminuyendo debido a su propio movimiento, lA da origen a un campo que es paralelo al campo original y al que hace aumentar. Consideremos a continuación la misma situación pero vista ahora por un observador situado en A. Este observador saca la conclusión de que la espira A es estacionaria y que es la espira B la que se está alejando; así pues, el observador atribuye la corriente l A inducida que se opone a la variación del campo que atraviesa la espira A al hecho de que se está moviendo la espira B. Así, pues, el observador B situado sobre la espira B puede sacar a su vez la conclusión de que la espira A contiene una FEM de movimiento como la de la sección 37 .1, pero el observador A sólo puede adscribir esta FEM a un campo magnético que está cambiando con el tiempo. Si el observador A no observase una FEM inducida, esto violaría el principio de la relatividad, que dice que no es posible distinguir un sistema de referencia absoluto. Inversamente, el hecho experimental de que el observador A ve una FEM inducida, proporciona otro argumento para la validez del principio de la relatividad, que tuvo gran importancia para el desarrollo de este principio realizado por Einstein. Sin embargo, puede que el observador A no aprecie diferencia sobre si B se está realmente moviendo o si es que el campo variable está producido por una inteligente disposición de corrientes que están Jijas en el espacio pero que varían con el tiempo. Esto sugiere un experimento final en el que no existe ningún movimiento relativo y ambas espiras permanecen estacionarias mientras que se va variando la resistencia del reostato existente en el circuito B. Se observa de nuevo la circulación de una corriente en la espira A mientras está cambiando la resistencia. Cuando la corriente la y su campo están variando, se induce una FEM en la espira A, lo que da origen a una corriente lA que se opone a la variación del flujo que atraviesa la espira A. Así, pues, si la disminuye, entonces l A circula en el sentido indicado en la figura 37.7. Sin embargo, si la disminuye, entonces lA circula en el sentido indicado en la figura 37. 7. Sin embargo, si la crece, entonces lA circula en sentido opuesto. Estas observaciones forman la base o esencia del gran descubrimiento de Faraday: Cualquier variación del flujo magnético total que atraviesa una espira (debido al movimiento relativo entre la fuente del campo magnético y la espira o bien debido a una variación del propio campo) induce siempre una FEM en la espira. Además, experimentalmente se demuestra que la expresión cuantitativa de esta ley en unidades mksA es

d
dt

Oey de Faraday)

[37 .36]

en donde el signo menos viene exigido por la ley de Lenz: La FEM inducida actúa siempre oponiéndose a la variación externa que la genera.

1439

Fuerza electromotriz inducida

A

t t

tt

B

l

E

A

e

Fig. 37. 7 Demostración de la ley de Faraday

Fig. 37.8 Convenio de signos para la ley de Lenz

Este principio. se comprueba fácilmente en todos los ejemplos descritos hasta ahora. [a ley de Lenz proporciona un método conveniente para determinar el sentido en el que actúa la FEM inducida en cada caso particular. La ley de Lenz resulta directamente de la ley de la conservación de la energía. Consideremos, por ejemplo, el circuito de la figura 37. la. Una fuerza externa aplicada hace que la barra N se mueva de derecha a izquierda. Si la fuerza que el campo de inducción magnética ejerce sobre la corriente inducida tuviese que ayudar en vez de oponerse a la fuerza aplicada, entonces una fuerza aplicada inicial muy pequefia daría origen a una aceleración de la barra N en el sentido de su velocidad y su cantidad de movimiento continuaría incrementándose espontáneamente sin gasto alguno de trabajo por la fuerza exterior, lo cual violaría el principio de conservación de la energía. Para aclarar el significado del signo dictado por la ley de Lenz, consideraremos una superficie plana cualquiera con su vector normal asociado A (ver figura 37 .8). Se escoge el sentido positivo de circulación alrededor de dicha superficie como el sentido en que habría de girar un tornillo a derechas con objeto de progresar en el sentido de A. Así, pues, en la figura 37 .8 son positivos tanto la FEM inducida a lo largo de la espira, fJ = fe E • df, como el flujo a través de la misma, = í A B • dA. Si el campo tiene la dirección indicada en la figura 37.9a y su valor está disminuyendo con el transcurso del tiempo, entonces la FEM inducida tendrá un sentido positivo de rotación respecto a B, como requiere el signo negativo de (J = -d/dt. Si el campo crece con el tiempo, entonces (J tendrá sentido negativo, como se ve en la figura 37 .9b. El vector A es una conveniencia matemática; físicamente la relación significativa es la existente entre B y el campo eléctrico inducido no conservativo E (j E • di 0). Si tenemos una bobina de N vueltas rodeando a un flujo magnético , entonces el producto N es el número de enlaces de flujo y

*

...,_

fJ

=

1

E•dt

TN espiras

=

_ d(N) dt

dl

-Nd dt

[37.37]

Fuerza electromotriz inducida

1440

B disminuyendo

/,E

r; = f E•dl > Fig. 37.9 Dos aplicaciones de la ley de Lenz

(a)

d.P/dt

<

O

O

l.E

r; = f E•dl < (b) d.P/dt >

O

o

Esta fórmula no es una generalización de la ley de Faraday; es, más bien, una simplificación. Establece que, en el caso especial de una bobina de sección recta constante, no es necesario hallar el flujo que atraviesa cada espira separadamente sino que podemos tomar el flujo que atraviesa la sección recta de la bobina y multiplicarlo por N para obtener la FEM correcta. A continuación expresemos en función de los campos respectivos la ley de Faraday dada por la ecuación [37 .36):

- _g_ dt

f B•dA A

[37.38)

en donde C es el contorno de A y la circulación concuerda en su sentido con el de A = !A dA. Por la conservación del flujo magnético podemos escoger A como una superficie cualquiera limitada por C (ver figura 35.23). La inducción magnética B puede ser no uniforme en el espacio y al mismo tiempo variar con el tiempo: B = B(x,y,z,·t). Por consiguiente, especificaremos aquí que por dB/dt realmente queremos indicar oB/ot, de modo que queda claro que el observador es estacionario y podamos evitarnos complicaciones que surjan al tener en cuenta el movimiento del observador. La ley de Faraday es una línea divisoria teórica; sefiala nuestra primera expresión directa del electromagnetismo, es decir, la interdependencia entre los campos eléctricos y magnéticos en el espacio y en el tiempo.

Ejemplo 37.4 Un electrón está girando en una órbita de radio r. Hallar la variación de su velocidad angular w cuando se le aplica repentinamente un campo magnético B. Utilizar la ley de Faraday y suponer que el radio permanece constante. Solución La variación con el tiempo de la energía del electrón debida a la FEM inducida es

dK dt

, dw ,n,.rwdt

,dB dt

± t ewr-

Fuerza electromotriz inducida

1441

Así, pues + edB

dw

-

y

2m,.

+

eB

- 2m,

El signo indicado ± es positivo si B es antiparalelo a w y negativo si ambos vectores son paralelos. Esta fórmula es la misma que la ecuación 36. 73 correspondiente a la frecuencia de Larmor de una sustancia diamagnética, dándonos así una corroboración independiente acerca del efecto diamagnético de los electrones en su movimiento orbital.

37.4 Aplicaciones de la ley de Faraday Hemos estudiado los magnetómetros absolutos (ver sección 34.3) y los magnetómetros RMN (ver Sección 36.6), pero los instrumentos más utilizados para las mediciones magnéticas son los magnetómetros de inducción, que miden campos en función de las FEM de movimiento inducidas. Por ejemplo, es posible medir un campo no uniforme moviendo en su interior una bobina que esté conectada a un galvanómetro balístico (ver sección 34.3) y midiendo luego la carga total Q que pasa a través de la resistencia del circuito R. La relación básica es R dq dt

RI

8

=

-NAdB dt

[37 .39)

Por tanto,

f Rdq

RQ

-NA

f dB

-NAt.B

[37.40)

en donde At.B es la variación neta del flujo que atraviesa la bobina. Este sistema es útil para medir campos intensos y altamente localizados como los que se encuentran entre los polos de un imán. Se define la «escala de no uniformidad» L de un campo magnético como la distancia sobre la cual el campo varía en una cantidad comparable a su orden de magnitud: B

L

=

dB dr

y por tanto,

L

=

B

dB/dr

[37.41)

Si el diámetro de la bobina es D y si L ¡'ii:>- D, entonces este procedimiento proporciona muy poca información sobre el campo. En este caso se utiliza una bobina giratoria que consiste en una bobina rígida montada de tal modo que puede hacérsele girar rápidamente 180° desde una posición en que su plano sea normal al campo. Se mide la carga que pasa a través de la bobina mediante un galvanómetro balístico cuyo periodo T sea mucho mayor que el tiempo de dicha inversión.

Fuerza electromotriz inducida

1442

El flujo se ve completamente invertido respecto a la bobina, de modo que 11B = -2B. Si la resistencia total del circuito es R, entonces la ecuación [37.40] nos da Q

2NAB

[37.42]

R

Sin embargo, de acuerdo con la ecuación [34.39], en el caso de una desviación total 8 de un galvanómetro, Q

K8T 21r

[37 .43]

en donde K = rofNA 0 B 0 es la constante del galvanómetro, siendo Ao el área de la bobina del galvanómetro y B 0 el campo que la atraviesa. Sustituyendo la ecuación [37 .43] en la ecuación [37.42], se tiene B

[37.44]

Una bobina de este tipo y de gran tamaño, o inductor terrestre, dispuesta para girar alrededor de un eje vertical u horizontal, puede medir el campo terrestre de inducción magnética. También son muy utilizados los magnetómetros de inducción en satélites y en sondas espaciales. Dichos vehículos están «estabilizados por giro» de forma que el eje de giro w pasa por el centro del cuerpo. La bobina del magnetómetro se monta con un diámetro a lo largo del eje de giro y rota con el vehículo espacial (ver figura 37 .10). La FEM inducida es sinusoidal, como en un generador de CA, y es proporcional a la componente B .1 de la inducción magnética

7 Fig. 37.10 Magnetómetro de bobina de inducción en una sonda cohete estabilizada por giro sobre su eje

Voltímetro de CA

Fuerza electromotriz inducida

1443

perpendicular al eje de giro. Si la no uniformidad del campo está a una escala del orden de L, entonces el vehículo al moverse con velocidad u deberá girar muchas veces antes de atravesar la longitud L, de modo que Bes aproximadamente constante durante cada vuelta. Por tanto, la velocidad angular de giro w deberá ser mucho mayor que 21ru/ L y la FEM inducida es € = NAB .L w. La permeabilidad magnética µ. de un material magnético puede medirse también mediante la ley de Faraday, utilizando un anillo de Rowland con dos bobinas, primaria y secundaria. Para medir la permeabilidad de una muestra µ. = KmP.o, la utilizaremos para formar el núcleo de un anillo de Rowland, como se ve en la figura 37 .11. La bobina primera tiene NP vueltas y una circunferencia media de Lp. Las Ns vueltas de la bobina secundaria están concentradas alrededor de una sección del toroide de forma que esta bobina tiene una longitud axial de Ls. El campo que atraviesa el toroide es aproximadamente uniforme. La bobina secundaria se conecta a un galvanómetro balístico con una resistencia R en el circuito. Definimos B0 como la inducción debida a la corriente magnetizante IP en la bobina primaria. Según la ley de Ampere, [37.45]

Flg. 37.IJ Medición deµ con un anillo de Rowland

A partir de la ecuación [36.39) sabemos que la densidad de flujo en el anillo es B = KmBo, de modo que el flujo magnético que atraviesa las bobinas es

BA

[37.46]

Si la corriente del primario varfa en una cantidad Ip, entonces el flujo que atraviesa el secundario cambiará en una cantidad N/f?, que según la ecuación [37.46) vale N,cp

=

µ

NpN,A I L P

[37.47]

p

De aquí que, a partir de la ecuación [37.40), la carga registrada por el galvanómetro balístico sea

Q =

N,cp R

[37.48]

1444

Fuerza electromotriz inducida

Por tanto,

µ

=

RLP NpN,A

(º)

[37.49]

IP

Según la ecuación [37.45], µ 0

=

LPB0/NPIP y, por ello,

[37 .50]

Así pues, podemos calcularµ o Km a partir del valor de Q obtenido observando el desplazamiento del galvanómetro balístico producido por una variación medida IP de la corriente del primario. Una aplicación relativamente reciente de los magnetómetros está relacionada directamente con los cambios del campo magnético que se deben a variaciones de la permeabilidad del espacio a través del cual pasa el campo. De este modo los pasajeros que embarcan en un avión pueden ser controlados en busca de objetos ferromagnéticos de gran tamafio como pistolas o granadas mediante la observación de variaciones irregulares del campo magnético cuando la persona pasa a su través. Esto puede hacerse fácilmente y sin excesivas perturbaciones utilizando bobinas estacionarias cuya salida se recibe en un osciloscopio situado en instalación aparte. Si se hace que el campo magnético sea variable con diferentes frecuencias de oscilación, un método de detección de punto cero o nulo sería muy sensible frente a cambios inesperados de la frecuencia, eliminándose así los efectos indeseables de campos magnéticos «extrafios» debidos a diversos tipos de aparatos eléctricos próximos. Un betatrón es un acelerador de partículas que aplica la ley de Faraday a la aceleración de electrones en una cámara toroidal de radio R en la que se ha hecho el vacío (ver figura 37.12). Se inyectan electrones en la cámara a una velocidad próxima a la de la luz (con energías de 50 keV aproximadamente). Dentro de la cámara se aceleran a energías mayores variando el campo magnético normal a su plano de rotación. Sin embargo, a estas velocidades tan elevadas, esta energía se transforma fundamentalmente en un incremento de la masa relativista, que viene dada por Pieza polar

Fig. 37.12 Funcionamiento del betatrón, con B creciente.

Fuerza electromotriz inducida

1445

la fórmula m = m/...JI - v2/c 2 (ver sección 19.5). Una partícula que gira en una circunferencia de radio R experimenta una aceleración centrípeta debida a la fuerza ejercida por el campo B = B(R) en dicho radio, con independencia de los valores que posea Ben el espacio. De aquí que la partícula obedece la ecuación [34.51], mu = qBR, que es correcta desde el punto de vista relativista. Así, pues, la fuerza tangencial que acelera la partícula a lo largo de su trayectoria circular de radio constante es F

=

d(mv)

eRdB dt

dt

[37 .51]

que puede relacionarse con el campo eléctrico efectivo que aprecia la partícula debido a la variación respecto al tiempo del flujo total que atraviesa el plano del toroide. De acuerdo con la ley de Faraday, si expresamos el flujo total en función de una densidad media de flujo B, entonces la FEM & a lo largo de la circunferencia completa 21rR es 1rR 2 dB dt

11íRE

[37.52]

en donde E es el campo eléctrico tangencial apreciado por el electrón. La fuerza F = eE sobre el electrón debe ser la misma, tanto en la ecuación [37.52] como en la ecuación [37.51], lo cual exige que eRdB

2

qt

o sea, B

=

B 2

[37 .53]

Esto significa que las piezas polares del electroimán que da origen al campo deben construirse de tal forma que el campo sea más denso en su centro. El campo también se conforma así con objeto de evitar las oscilaciones inestables del haz de electrones en la dirección vertical. Es típico que el electrón se acelere únicamente durante una porción del ciclo que se corresponde con el crecimiento del campo, dB/dt > O. Sin embargo, la velocidad de los electrones es tan grande y la frecuencia del campo oscilante es tan baja (de 100 a 200 Hz) que el electrón realiza de 100 000 a 1 000 000 de revoluciones antes de ser lanzado fuera del betatrón hacia un blanco exterior. En un betatrón típico, los electrones ganan alrededor de 100 eV por revolución, de modo que salen con energías de 10 a 100 MeV. El mayor betatrón construido hasta ahora produce electrones con energías de 300 Me V y requería un electroimán de 350 toneladas. El paso del metal necesario para contruir el electroimán tiende a aumentar aproximadamente en proporción al cuadrado de la energía de la partícula.

Ejemplo 37.5 Durante el ciclo de aceleración, que dura 1/60 s, el flujo dentro de un betatrón de radio 40 cm varía en 5 Wb. (a) ¿Cuánta energía

Fuerza electromotriz inducida

1446

gana un electrón en un ciclo? (b) ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico acelerador? Solución (a) La energía absorbida por el electrón es simplemente eC en julios. En electrón-voltios,

~w

1íR 2 dB

dt

5 1r(0.4f - 1/60

-

151 eV

(b) Según la ecuación [37 .52), E

6

60V/m

Si un conductor metálico macizo cualquiera se mueve a través de un campo magnético no uniforme o se somete a la acción de campos oscilantes, se inducen en el metal unas corrientes circulantes denominadas corrientes de Foucault. Estas corrientes pueden producir pérdidas de potencia serias debidas a las pérdidas por efecto Joule dentro del metal; este tipo de pérdida es corriente en la maquinaria eléctrica. Pueden reducirse construyendo la máquina con placas de metal laminadas con unos recubrimientos resistivos entre cada dos placas para reducir el flujo de las corrientes de Foucault. Sin embargo, en los velocímetros ordinarios se utilizan las corrientes de Foucault mediante el siguiente dispositivo: se conecta una placa metálica con ayuda de un cable a la rueda en rotación de forma que gire la placa con una determinada frecuencia proporcional a la velocidad de la rueda. Cerca de esta primera placa se sitúa otra segunda, unida mediante un muelle a una aguja indicadora. Si la primera placa está imanada su rotación induce corrientes de Foucault en la otra que tienden a resistir u oponerse al movimiento de la placa móvil. El par o momento de reacción hace que la placa estacionaria se desplace hasta que el par se vea contrarrestado por el par restaurador del muelle. El desplazamiento de la aguja indicadora es proporcional a la frecuencia de rotación de la rueda giratoria y, por ello, a la velocidad del vehículo.

*37.5 Movimientos del galvanómetro y método del predictor-corrector Consideremos el sistema formado por la bobina giratoria y su galvanómetro balístico de baja resistencia shunt Rs como se ve en la figura 37 .13a, siendo constante el campo permanente B del imán del galvanómetro. Supongamos que una corriente inducida en la bobina de prueba ha causado un desplazamiento inicial de la bobina del galvanómetro hacia la dirección constante de B (ver, por ejemplo, la figura 37.13b). El caso es semejante al de la espira indicada en la figura 37.4a. Mientras el movimiento del muelle unido a la bobina intenta hacerla regresar a la po-

Fuerza electromotriz inducida

1447

Bobina

do

~ ------

R R,

(a) Circuito de la bobir1a giratoria

&, dO

~ >

O

(b) FEM inducida y movimiento de la bobina del galvanómetro Fig. 37.13

Medición con ayuda de una bobina giratoria del campo magnético B

sición de equilibrio a través del campo magnético, aparecerá una FEM inducida en las N espiras del galvanómetro. Según la ecuación [37 .20], 0

=

dO

[37 .54]

-NAB sen O dt

El signo menos es necesario porque 0 se opone al movimiento que tiende a hacer crecer a O cuando el plano de la bobina oscila en su regreso hacia su posición de equilibrio de O = 1r/2 (es decir, normal a B). El par de oposición sobre la bobina debido a & es, pues, T

NIAB sen O (NAB sen 0) R,

=

§_NAB sen O

(-

dO)

2

R,

[37 .55]

dt

al cual debe añadirse el par restaurador K(1r/2 -

0). La ecuación del movimiento de la bobina es, por tanto, en el caso de una bobina con momento de inercia 10 , -K

(o _ !!:.)2 _

(NAB sen 0)2

R,

(dº)

[37 .56]

dt

Sustituyendo el ángulo complementario e/> = 1r/2 - O (con de/> = -dO), se tiene -Kc/> _ (NAB cos <J>}2

R,

(d)

[37.57)

dt

Podemos transformar esta expresión a magnitudes adimensionales haciendo t = r .J 10 / K, en donde r es la variable de tiempo a escala: 2

- - a cos 2 <J> d en donde a = (NAB) dr R,K .J 10 / K

[37.58)

Fuerza electromotriz inducida

1448

Para predecir el movimiento, únicamente es necesario resolver la ecuación [37 .58] sometida a las condiciones iniciales (O) = o y w(O) = w 0 • Obsérvese que cos == 1 en el caso de oscilaciones pequeñas, de modo que deberemos obtener una oscilación armónica amortiguada de la bobina con una constante a de amortiguamiento proporcional a 1/R 5 • Esta es la razón por la cual la resistencia shunt R 5 está conectada a través de un interruptor como se indica en la figura 37. l 3a; en el caso de Rs muy pequeña, al cerrar el interruptor se aumenta repentinamente a y se consigue que se amortigüen muy rápidamente las oscilaciones del galvanómetro. Sin embargo, podría suponerse que nuestro hipotético galvanómetro balístico tuviese un desplazamiento inicial más bien grande, de modo que no pudiésemos hacer la aproximación de amplitud pequeña. En su lugar buscaremos una solución numérica mediante el método del predíctor-corrector. Señalemos, no obstante, que las oscilaciones pequeñas resultarían críticamente amortiguadas para a = 2 (ver sección 16.5). En la sección 13.6 presentamos el método mejorado de Euler para integrar ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma dy dx

=

f(x,y)

y'

(37 .59]

tomando primeramente

=

Y

Yn+1

=

Yn

+

f(xn,Yn)Ax

(37 .60]

que se deduce a partir de una aproximación simple de primer orden que representa los dos primeros términos de la serie de Taylor alrededor de Xn : y(x) == Yn + (x - Xn)Y~- Entonces se mejoraba este valor estimado hasta una aproximación de segundo orden tomando y~+ 1 == f(Xn + 1 , Y) y hallando Yn + 1 == y~>+- 1 a partir de la derivada medía en el intervalo [xn, Xn

+

¡]:

Y~'l,

Yn

+

½(y:

+

Y~+¡)Ax

(37.61] Realmente, podríamos haber considerado a y~~ 1 como el primero de una serie de valores «correctores» y así determinar (37 .62] Luego se calcularía y~>+- 1 y así sucesivamente, hasta un valor K suficientemente grande con el que se obtuviese 1) ly (k+ n+ 1

_

y
n+ 1

¡ <

(37 .63]

e

en donde e es cierta medida arbitraria de la exactitud deseada. Así, pues, en el límite, suponiendo convergencia, tendríamos realmente la solución a la ecuación ímplfcíta para Yn + 1: lim

k-oo

Y~1

1

Yn+I

Yn

+

½.6.x[f(xn,Yn)

+

f(xn+l•Yn,+¡)J [37.64]

Fuerza electromotriz inducida

1449

Dicho método se denomina método del predictor-corrector porque el «predictor» Y se corrige sucesivamente hasta que se halla con la exactitud deseada e la solución a la ecuación implícita [37.64] para Yn+I· Sin embargo, debe señalarse que la solución de la ecuación [37 .64] es todavía sólo una aproximación a la verdadera solución de la ecuación y' = f(x,y); .es decir, Yn+ 1 = y(X11 + 1). Así, pues, existen dos tipos de errores analíticos en este proceso: uno es el error que se comete al resolver la ecuación en diferencias [37 .64]; el segundo es el error inherente al aproximar una ecuación diferencial [37 .59] por una ecuación en diferencias. El método lnkializa N = n:· máx. de in1ervalos de tiempo: ,\1 n.0 máx. de correctores por intervalo:

READ. PRl!'\T

a.

cJ,o, Wo,

.:i.1,M,N, c. e'

1

---4--~

r

l =

= error

tolerado en e;,: error tolerado en w

e'

fig. 37.14 Diagrama de .fl11jo para la .ml11ciri11 por el método del •1redictor-corrector del 111ovi111ie1110 del gall'<múmetro halístico a111or1ig11adu

0

n

I a :\'

n ·-

11 -t-

B1dc

- - - [ del i111ervato a

¡

b

=


.

2

1 -

1 -+- .:i.,

k

+ k

e

- -

+

Cálculos del corrector ~ '11 et intervalo

w, -

t/>11

+ .:i.r(w.,

w., + .:i.t(b

+ fl)/2 + B)/2

__

rCorrcc1orcs o L

WRITF

t, ,,

w,.

B ____. a

"'º - 111 ..-1..:,

l

1•

w1

~

2

<e

<

e'

Si

4> = ,

11

n

+

¡ <1>!

Si

[

<1>.n

B = g(,íl) , -

No

d' Pre 1ct0rcs

3

la M

k -

l,J>, -

w,

"'" =

,

~'

1450

Fuerza electromotriz inducida.

del predictor-corrector ha sido proyectado para controlar al primer tipo de error. Aunque este método requiere la realización de cálculos recurrentes de ¡ en cada intervalo, es más inteligente escoger un .1.x lo suficientemente pequeño como para que no se necesiten realmente más de dos o tres iteraciones. rodemos escribir los resultados de correctores sucesivos como comprobación de la exactitud. También se dispone de la opción de hacer disminuir .1..x durante el transcurso del cálculo si es demasiado grande el número de los correctores necesarios por intervalo o bien aumentar .1..x para obtener un mejor rendimiento en donde sea necesario sólo un número pequeño de correctores en cada intervalo. Esto significa una ventaja notable frente al método de Euler mejorado, en donde es necesario realizar la integración completa de nuevo para un nuevo .1.x con objeto de estimar los errores. Los métodos de predictor-corrector son también relativamente estables -es decir, aunque los errores se acumulan, tienden a permanecer con valores relativamente pequeños. La figura 37 .14 es el diagrama de flujo correspondiente al cálculo de la oscilación del galvanómetro. El cálculo procede de la forma normal para la ecuación diferencial de segundo orden [37 .58] -es decir, como dos ecuaciones de primer orden simultáneas:

yn

d<j)

dr

y

w

dw dr

-
aw

cos 2
g(<J),w)

Para los cálculos tabulados en la tabla 37 .1 hemos escogido a


o

~rad 4

[37 .65]

y un tamaño de intervalo de ~r = 0,01, para el cual vemos que no se requieren más de dos correctores en cualquiera de los intervalos para obteTabla 37.1 Cálculos por el método predictor-corrector correspondiente a las oscilaciones del galvanómetro, a = 1, 0 = 7íl4, w0 = O y ~r = 0,01 T

, rad

0.4

0.72746078

-0.27560781

0.4

0.72746095

-0.27560772

0.8

0.57908572

-0.44569398

0.8

0.57908592

-0.44569403

1.2

0.38790748

-0.49014551

1.2

0.38790764

-0.49014565

1.6

0.20027388

-0.43563372

1.6

0.20027395

-0.43563386

2.0

.0.04591695

-0.33174669

2.0

0.04591697

-0.33174678

d/dr

k

2

2

2

2

2

Fuerza electromotriz inducida

1451

ner una exactitud de seis dígitos en la solución de la ecuación [37 .64]. Un cálculo más amplio muestra que las aproximaciones coinciden prácticamente con las que deberían esperarse en el caso de una oscilación armónica amortiguada con un periodo de 21r/.J 1 - a 2/4 = 7,26 (en unidades de .J 10 / K) y con un decremento logarítmico de o = 7,62/2 = 3,63, de modo que el límite de la segunda oscilación es aproximadamente = 45° exp (-o) = 1,2°. Los cálculos numéricos reales muestran que el periodo de la primera oscilación debe ser 6,98...J / 0 / K segundos y que el valor correspondiente de debe ser 1,44°. Sin embargo, una vez que la normal pasa por la posición de equilibrio = O, la oscilación se convierte esencialmente en la de un oscilador armónico amortiguado, porque cos ='= l.

37.6 Ecuaciones de Maxwell Mediante el teorema de Stokes podemos expresar la circulación de E como la integral de superficie de su rotacional. Además, como el área limitada por el contorno de integración no varía con el tiempo, podemos colocar el operador derivada parcial dentro de la integral de superficie en la ley de Faraday, ecuación [37 .38]:

- f aBat •A

[37 .66]

A

La superficie puede tomarse todo lo pequeña que se quiera, de modo que se deduce que en todo punto del espacio

•

V

X

E

aB

[37.67]

at

que es la forma diferencial de la ley de Fadaray. (Esta expresión constituye la última de las ecuaciones de Maxwell; las otras son la ley de Gauss, la conservación del flujo magnético y la ley de Ampere.) La ecuación [37 .67] deja claro que si el flujo a través de una espira fija está variando con el tiempo, entonces aparece un campo eléctrico inducido en todos los O, aunque sólo será responsable de puntos del espacio en los que oB/ot la producción de una corriente si se encuentra presente un conductor tal como un hilo metálico, un metal líquido o un gas ionizado. Utilizaremos a continuación el concepto de corriente de desplazamiento estudiada primeramente en la sección 31.5 con objeto de completar nuestra deducción de las ecuaciones de Maxwell, que son las cuatro relaciones fundamentales de la electricidad y el magnetismo. Nos restringiremos intencionadamente al espacio libre, en donde D = 1::0 E y H = B/ µ, 0 y en donde todas las cargas y corrientes son libres, de modo que P = Po y J = J0. Deseamos generalizar la ley de Ampere para incluir la dependencia temporal y el magnetismo. Recuérdese que dedujimos la ley de Ampere para corrientes estacionarias como

*

V X B

µ 0J

(para corrientes estacionarias)

[37.68]

Sin embargo, esta ecuación es incompleta en el caso dependiente del tiempo porque la divergencia de un rotacional es siempre cero,

1452

Fuerza electromotriz inducida

V • (V x B) = O, pero la divergencia de la corriente es la variación respecto al tiempo con signo contrario de la densidad de carga, V • J = = -8p0 / at O. Así pues, para generalizar la ley de Ampere con objeto de incluir los fenómenos variables con el tiempo, debemos ajustar ligeramente el segundo miembro de la ecuación [37 .68].

*

Definamos cierto vector desconocido µ,r,J' como igual al rotacional de B en cualquier circunstancia. Como su divergencia es automáticamente nula, señalemos primeramente que J' es un vector cuyo flujo se conserva siempre. Esto puede demostrarse mediante razonamientos semejantes a los utilizados en la sección 35.5 para la conservación del flujo magnético. En segundo lugar señalemos que, en el caso estacionario, J' debe reducirse a la densidad de corriente de conducción usual J. En tercer lugar, observemos que la dependencia temporal de J' debe ser proporcional de alguna manera a 8p/ at en el sistema de referencia de un observador estacionario. En la sección 31.5 demostramos que, en el caso de corrientes transitorias en un condensador que se está descargando, la condición de que las líneas de flujo de corriente sean continuas no es válida porque la corriente no es estacionaria. Sin embargo, pudimos definir una corriente de desplazamiento ficticia de densidad aD

Jl)

[37.69]

at

tal que la corriente «total» es / 101

= / + / D•

j aD •dA

en donde [37.70]

L ai

e / 101 tiene líneas de flujo continuas a lo largo de cualquier trayectoria en el espacio, bien sea en el interior o en el exterior de un conductor. Es decir, 'i;J •

o

J,ot

[37.71]

Así, pues, J101 satisface la primera de las tres propiedades que debe cumplir el vector J' que estamos buscando. Como JD = oDI ot, el segundo sumando del segundo miembro de la ecuación [37. 71] se anula en condiciones estacionarias, satisfaciendo así la segunda condición sobre J' . Pero para corrientes variables con el tiempo, la ley de Gauss da V • D = p, de modo que a('\J•D)

ai

[37.72]

satisfaciendo también la tercera condición. La ecuación [37. 72] es consistente con la ecuación de continuidad O = V • J + oplot. Poniendo J' = J101 obtenemos la conclusión a partir de la ecuación [37. 72] de que la forma general de la ley de Ampere que satisface los tres requisitos es 'i;J X B

[37.73]

Fuerza electromotriz inducida

1453

Si no consideramos a la materia, sino que más bien suponemos que todas las cargas y corrientes existen en el espacio libre, entonces D = EoE y la ley de Ampere se convierte en [37.74] En ausencia de cualquier prueba experimental evidente que apoye esta invención de la corriente de desplazamiento y su significado teórico, constituyó realmente un paso muy atrevido (que aseguró la inmortalidad de James Clerk Nawell). Además de sus cualidades estéticas, la gran importancia física de esta osada hipótesis de Maxwell es la siguiente: Un campo eléctrico variable con el tiempo puede dar origen a un campo magnético, incluso en ausencia de corrientes eléctricas. La presencia del factor /loEo = l/c 2 (ver ejemplo 34.6) en la ecuación [37.74] sugiere que la propia luz puede ser de alguna manera un fenómeno electromagnético. La justificación final de la hipótesis de la corriente de desplazamiento se basó en la prueba experimental de que esto era realmente cierto. La ecuación [37.74] puede considerarse como el complemento de la ley de Faraday; su efecto práctico de hacer posible la era de la electrónica es comparable en importancia al del gran descubrimiento de Faraday. Sin embargo, en condiciones ordinarias, no es necesario tener en cuenta el término J D cuando se calculan los campos magnéticos producidos por conductores mediante la ley de Biot y Savart. Por ejemplo, si el conductor es un metal con a ""' 107 y el campo eléctrico está oscilando sinusoidalmente con frecuencia w, entonces el cociente entre la corriente de desplazamiento y la de conducción es

=

=

u

=

10-18w

[37.75]

Por consiguiente, la corriente de desplazamiento resulta comparable con la corriente de desplazamiento a frecuencias de w """ al fo = 10 18 Hz, que es la frecuencia de la luz ultravioleta. Podemos ya enunciar las ecuaciones de Maxwell completamente en su forma diferencial, que es válida para un observador estacionario en el espacio libre: (ley de Gauss)

o v' X E v' X B

[37.76]

(conservación del flujo magnético) [37. 77]

aB ar

(ley de Faraday)

[37 .78] [37.79]

1454

Fuerza electromotriz inducida

Las formas integrales correspondientes son

f E•dA f B•dA f f B•

g_

(37 .80]

o (conservación del flujo magnético) acp ar

E•df

df

(ley de Gauss)

Eo

_ JaB • dA ar

(ley de Faraday)

[37 .81]

[37 .82]

µ,olio, µ,o

f J º dA + f ~~ •dA (ley de Ampere) µ,oto

[37 .83]

Nos referiremos frecuentemente a estas ecuaciones en los capítulos siguientes. Veremos más adelante que conducen a la idea de que las perturbaciones electromagnéticas pueden propagarse a través del espacio como ondas electromagnéticas -sin necesitar ningún medio material a diferencia de las otras ondas que hemos estudiado.

PROBLEMAS 37.1

FEM electromotriz de movimiento: traslaciones

37.1 Supongamos que la barra conductora N de la figura 37.la no está conectada a ningún circuito sino que se mueve simplemente por sí misma con una velocidad v a través del campo magnético B. Podemos considerar a la barra como una fuente de FEM en condiciones de circuito abierto. (a) ¿Cuál es la FEM 8 que determina la separación de cargas? (b) ¿Cuál es el campo E' que crea la separación de cargas? (Referirse a la Sección 32.1.) (e) ¿Qué extremo de la varilla tiene un potencial más elevado? 37.2 Una varilla conductora de 30 cm de longitud se mueve con una velocidad v = 5 mis en un plano horizontal, formando la propia varilla un ángulo de 30° con la dirección de v. Existe un campo magnético B = 0,2 T perpendicular al plano. ¿Cuál es la FEM 8 que se desarrolla entre los extremos de la varilla? 37.3 En la figura 37.la, el trabajo realizado por la FEM inducida sobre la corriente se disipa en forma de calor por efecto Joule. Hallar una expresión para esta energía disipada y demostrar que es igual a la cantidad de energía gastada por la fuerza externa para vencer la fuerza magnética que actúa sobre la corriente en la. barra deslizante N. 37.4 Un vagón de ferrocarril con ejes de 120 cm de longitud se mueve con una velocidad de 25 cm/s a través de una región en donde la inducción total del campo magnético terrestres es 6 x rn- 5 T dirigida con un

Fuerza electromotriz inducida

1455

ángulo de «inclinación» de 70° (respecto a la horizontal). Los cuatro ejes junto con las ruedas y los carriles forman circuitos eléctricos cerrados, cada uno de los cuales posee una resistencia de 0,01 íl. Calcular la potencia adicional que debe generar la máquina por este hecho con independencia de la que es necesaria para mover el mismo vagón con la misma velocidad en un espacio libre de campo. 37.5 Suponer que se invierte el campo B de la figura 37. lb. (a) ¿En qué sentido se moverá la barra deslizante N? (b) ¿Ayuda la FEM inducida o se opone a la de la batería? (e) ¿Cuál es la velocidad final o terminal v de la barra? 37.6 En la figura 37. la supongamos que la barra deslizante N está obligada a moverse en el plano del papel por la componente F 1 de la fuerza no magnética total que actúa sobre la barra paralelamente a v. (a) Si B = Bn es la componente de B normal al plano del papel, demostrar que la velocidad de equilibrio de la barra es RF1I L 2B~. (b) Imaginemos a continuación que el plano del papel se inclina hasta formar un ángulo (J con el plano horizontal mientras que B sigue siendo vertical, como si el papel se colocase sobre un plano inclinado. Si la masa de la barra es m, ¿cuál es su velocidad de equilibrio?

*

37.7 En un campo magnético B = Bk que es inhomogéneo, dB/dz O, se cuelga una espira circular de área A por la que circula una corriente / con su momento magnético m en la dirección z. Consideremos un desplazamiento pequeño dz de la espira en la dirección z en un instante dt. Utilizando la ley de Faraday, hallar la fuerza sobre la espira debida al campo magnético.

Consideremos el movimiento de la barra deslizante N de la figura 37.l a. Suponer que la citada barra tiene una velocidad inicial v0 como se indica en la figura, pero que no actúa ninguna fuerza externa sobre la misma. Hallar la velocidad de la barra en función del tiempo. 37.8

- - - - - - - - . . . -1--;> / 37.9 El rectángulo que se muestra en la figura se está moviendo con velocidad uniforme V mientras se aleja de un hilo largo por el que circula una corriente /. Hallar la FEM t; que se induce en el rectángulo. 37.10 Un marco cuadrado construido con alambre tiene los lados de longitud L y posee una masa m y una resistencia total R. El área de la sección recta de cada alambre es A. El marco está situado de modo que la mitad de su área está dentro de un campo uniforme B y la otra mitad se encuentra fuera del mismo como se indica en la figura. (Este tipo de campo limitado puede existir en el espacio existente entre dos imanes intensos.) El campo gravitatorio está dirigido desde la parte superior de la página hacia la inferior. (a) Escribir la ecuación del movimiento del marco durante su descenso. (b) ¿Cuál es la velocidad final v1 que predice la ecuación del movimiento? Expresar el resultado en función del tiempo característico T = mRIL 2B 2• (e) Si la densidad del metal es Po y su resistividad es p, demostrar que T es independiente de las dimensiones reales del marco.

r--a--j

viCJI

Vt

..l

1456

Fuerza electromotriz inducida

*37.11 Supongamos que el marco del problema 37 .10 está construido de cobre y que el campo vale B = 0,25 T. (a) Hallar las escalas de longitud Y y de tiempo T adecuadas para hacer que la ecuación del movimiento sea adimensional en la longitud ">,. y en el tiempo 7 y escribir dicha ecuación adimensional. (b) Hallar la dependencia exacta de dy / dt = u(t) si el marco cae desde el reposo. (e) Si L = 2 cm, ¿qué porcentaje de la velocidad terminal predicha habrá alcanzado el marco en el momento en que su borde superior se salga del campo magnético? *37.12 Suponer que la espira de la figura 37.lb sea inicialmente un cuadrado de 1 m de lado, que cada uno de los lados tiene una masa de 10 g, que la pila suministra una FEM de 10 V (despreciando la resistencia interna) y que la resistencia es R = 100 íl. Cuando se aplica el campo de valor B = 1,2 T, la barra deslizante empieza a moverse desde el reposo. (a) Escribir la ecuación del movimiento de la misma. (b) Calcular el tiempo requerido para que el circuito se colapse por completo, despreciando tanto el rozamiento como las fuerzas repulsivas existentes entre la corriente que circula por la resistencia R y por la barra deslizante N. (e) Hallar la velocidad u de la barra y la corriente / en el circuito en el momento anterior a su colapso. (d) Aproximadamente, ¿cuál es la mínima distancia a que pueden estar la barra y la pila antes de que el campo debido a la corriente sea igual a 1,2 T? 37.2

FEM de movimiento: rotaciones

37./3 Una bobina de 150 vueltas y 100 cm 2 de área se hace girar en el campo magnético terrestre. La bobina está unida a un voltímetro cuya lectura a fondo de escala corresponde a 1 m V. ¿A qué frecuencia de rotación dará un campo de 1 G (o 10-4 T) una desviación a fondo de escala del voltímetro? 37.14 ¿Cuál es la potencial media generada por la espira giratoria de la figura 37.4a? 37./5 Se construye una dinamo tipo disco de Faraday utilizando una plataforma de un tocadiscos con v = 33,33 rpm y un radio de 6 pulgadas. ¿Cuántos voltios puede generar por tesla de campo aplicado normal a la plataforma? 37./6 Un disco de cobre de 15 cm de radio se coloca en el interior de un solenoide de 16 cm de radio y 2 m de longitud, coincidiendo el eje del disco con el del solenoide. El solenoide se compone de 2 000 vueltas igualmente espaciadas y por él circula una corriente de 12 A. Al disco se le adaptan unas escobillas, una en su periferia y la otra sobre su eje, y ambas se conectan a una resistencia externa. La resistencia de este circuito es 0,8 íl. El disco gira sobre su eje uniformemente a 1 800 rpm. (a) ¿Cuál es la FEM 0 inducida en el circuito? (b) ¿Cuál es la potencia eléctrica P desarrollada en el circuito? 37.17 Se hace girar el disco del problema 37.16 mediante un peso de 10 g unido a una cuerda enrollada en la periferia del disco y sometido a la acción de la gravedad. ¿Cuál será la velocidad de equilibrio de caída

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del mismo? Suponer que la resistencia eléctrica es la misma que la del problema 37.16, pero considerar que el campo de inducción magnética normal al plano del disco es 0,8 T. Despreciar el rozamiento. 37.18 Un marco rectangular conductor se suspende de cojinetes situados en P y Q, como se ve en la figura, y se le hace girar en un campo magnético B normal al plano del papel. Los dos lados del marco son de material idéntico pero de secciones rectas distintas, de modo que las resistencias R 1 y R 2 no son iguales. Hallar la razón entre las corrientes que circulan por los dos brazos del marco en rotación. R,

Q

p

R¡

®

9w

B

R_,

R

37.19 (a) Si se sustituye el disco de la figura 37 .6 por una rueda com-

puesta por una llanta y cuatro radios, como se ve en la figura, ¿cuál es la FEM inducida? (b) ¿Cuál de los dos, el disco o la rueda, produce una mayor potencia utilizable? 37.20 Una espira circular grande de radio a está conectada a una pila que produce un potencial V y a una resistencia variable, de la forma que se ve en la figura. La espira pequeñ.a de radio b situada en el centro de la espira mayor gira alrededor del eje vertical (que está en el plano de la espira mayor) con una frecuencia angular w y está conectada también a R. Las resistencias de las espiras son r a y rb. Se ajusta la resistencia R de modo que no circule corriente por la espira pequeñ.a cuando los planos de ambas espiras sean mutuamente perpendiculares. ¿Cuál es el radio de la espira pequeñ.a? 37.3

f--a---j

V

Ley de Faraday y ley de Lenz

37.21 Una espira circular de radio R está situada en el plano xy con su centro en el origen. Una barra imanada de sección recta circular ligeramente menor que la de la espira y de longitud L ;;;> R se aproxima a la espira a lo largo del eje z negativo con su longitud orientada a lo largo del mismo y con su polo norte delante. (a) ¿Cuál es la dirección de la corriente/ en la espira cuando se acerca el imán? (b) ¿Cuál es la corriente/ cuando el imán está exactamente metido hasta su mitad en la espirá? (e) ¿Cuál es el sentido de la corriente cuando el polo sur del imán sale de la espira? (d) ¿En qué puntos del movimiento del imán es máximo el valor de la corriente /?

R

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1458

37.22 Una espira de radio R es normal a un campo uniforme B = B 0 t. ¿Cuál es el valor del campo eléctrico inducido E en el interior de la espira? A

"-

1--..

1

37.23 Dos solenoides se encuentran arrollados sobre el mismo núcleo de la forma indicada en la figura. Cuando dlldt > O, ¿cuál es el sentido de/'? 37.24 Un campo B = 0,01 T es normal a una espira de radio 1 m. Si repentinamente cambia de dirección en 180° el campo durante 0,1 s, ¿cuál es la FEM inducida {; en la espira? 37.25 Una pistola pasa a través de una bobina de reconocimiento en I s aproximadamente. El campo magnetizante es 10-4 T. El cañón de la pistola tiene 16 cm de longitud y 2 cm de diámetro (no tener en cuenta el taladro) y está hecho de hierro que tiene una permeabilidad magnética relativa de 1000 cuando el campo magnetizante es pequeño. ¿Cuál es el orden de magnitud de la FEM máxima que la pistola puede generar en la bobina de reconocimiento? 37.26 Una bobina grande y otra muy pequeña están en el mismo plano, de forma que la menor se encuentra en el centro de la bobina mayor. Esta última tiene un radio de 50 cm y 10 000 vueltas en total. La bobina pequeña tiene 5 000 vueltas y un área de 3 cm 2. Cuando la corriente que circula por la bobina grande está variando a razón de 5 000 A/s, ¿cuál es la FEM inducida en la bobina pequeña? (Suponer que el campo magnético es uniforme en toda el área de la bobina pequeña.) 37.27 La bobina grande del problema 37 .26 se hace girar uniformemente alrededor de un diámetro horizontal a 2 000 rpm y por ella circula una corriente constante de 0,2 A. La bobina pequeña está en reposo con su plano horizontal en el centro de la bobina grande. Hallar la FEM inducida en la bobina pequeña en función del tiempo. 37.28 Una bobina pequeña de n vueltas y radio r está situada sobre el eje de una bobina grande de N vueltas y radio R y dista d del plano de la bobina grande. Su eje forma un ángulo fijo 0 con el eje de la bobina grande. Si por esta última circula una corriente alterna / = / 0 sen wt, ¿cuál es la FEM inducida en la bobina pequeña?

37.29 Cuando sobre la magnetosfera terrestre inciden partículas de velocidad muy elevada debidas a ciertas alteraciones de la corona solar, producen tormentas geomagnéticas (consistentes en un incremento repentino de la intensidad del campo magnético dentro de la magnetosfera). Si una tormenta moderada produce un aumento de 10-7 en la intensidad del campo norte-sur en el ecuador en un periodo de 1 minuto, ¿cuál es la FEM inducida en el ecuador en la ionosfera (que es la corteza o capa de elevada conductividad formada por gas ionizado en la parte superior de la atmósfera)? 37.30 Un campo magnético variable da origen a un campo eléctrico en el espacio que puede describirse en coordenadas cilíndricas por E = E0 p
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37.31 Dos anillos dieléctricos concéntricos están colgados en el mismo plano. El anillo exterior tiene un radio R y una masa M, mientras que el interior tiene un radio r ~ R y una masa m. Ambos anillos poseen una carga uniforme. El anillo exterior posee una carga Q y una aceleración angular a alrededor de su normal y el interior tiene una carga q ~ Q. (a) Describir el movimiento. (b) ¿Cuál es la aceleración angular a' del anillo interior? 37.32 Un betatrón de radio R = 80 cm tiene un campo B que oscila con una frecuencia de 60 Hz. Los electrones ganan 400 e V en cada revolución durante el cuarto de ciclo que están siendo acelerados. ¿Cuál es el valor máximo de B?

37.33 Una espira de área A está situada inicialmente en el plano xy y se encuentra centrada en el origen. Se Je hace girar con velocidad angular w alrededor del eje y al mismo tiempo que el campo magnético en la direc-

ción z es Bz

= B 0 sen

wt. ¿Cuál es la

FEM

C inducida en la espira?

37.4 Aplicaciones de la ley de Faraday 37.34 Una bobina de área 5 cm 2 y con 150 vueltas está conectada a un

galvanómetro balístico mientras que su normal forma un ángulo de 25° con un campo B = 0,15 T. La resistencia combinada de la bobina y el galvanómetro es 50 íl. Si se saca repentinamente la bobina del interior del campo, ¿cuánta carga pasa a través del galvanómetro? 37.35 Se conecta una bobina de 300 vueltas a un galvanómetro balístico cuya resistencia es 20 íl. El galvanómetro tiene un desplazamiento en función de la carga de 50 rad/C. El flujo que atraviesa la bobina varía rápidamente y el galvanómetro se ve desplazado en 0,02 rad. ¿Cuál es la variación del flujo que atraviesa la bobina? 37.36 Se unen dos trozos de hierro para formar un toroide de radio O, 1 m y área de sección recta I0-4 m2, como se ve en la figura. Sobre una de las piezas se arrollan dos bobinas. Una de ellas tiene 100 vueltas y por ella circula una corriente fija de 10 A proporcionada por una batería. La otra bobina tiene 1000 vueltas y está conectada a un galvanómetro balístico; la resistencia total del circuito del galvanómetro es 200 íl. Se separan entonces las dos mitades del toroide dejando un entrehierro de aire de

-

10 A ___,.

IDA

H (a)

(b)

10-'m

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10-4 m en cada lado. ¿Qué carga pasa a través del galvanómetro cuando se separan las dos piezas? (Despreciar las pérdidas de flujo y suponer Km= 6500.) 37.37 Un disco delgado de metal de conductividad a, radio R y espesor L se ~oloca en un campo magnético B = B 0 cos wt que es normal a la cara del disco. Hallar la potencia media disipada por las corrientes que el campo variable con el tiempo produce en el disco. (INDICACIÓN: Hacer uso de la simetría expresada en la solución al problema 37 .30 y de los principios de la sección 31.2.) 37.5

Movimientos del galvanómetro y método del predictor-corrector

37.38 (a) Deducir la ecuación adimensional [37 .58] correspondiente al galvanómetro balístico amortiguado. (b) Escribir un programa de ordenador para realizar los cálculos del método de predictor-corrector del diagrama de flujo de la figura 37 .14. (e) Demostrar cómo puede generalizarse este algoritmo para aceptar cualquier función g(ip,w) por referencia a una subrutina de funciones separada. *37.39 Hallar en la ecuación [37 .58] el valor de a para el amortiguamiento crítico hasta una exactitud del 0,01 para (a) ipo = 1r/4, (b) 'Po = 1r/3; (e) t/Jo = 51r/12 y (d) 'Po = 1r/2. Puede suponerse que el amortiguamiento crítico corresponde al valor de a para el cual ip permanece positivo cuando r s; 101r. 37.40 Un motor eléctrico de ce con N vueltas o espiras de área A en su bobina está conectado a una batería de potencial V y resistencia R como en la figura 37.4b mediante un colector conmutador. (a) ¿Cuál es el par instantáneo en función de la corriente/ y del ángulo 0? (b) La bobina está en reposo normal al campo en el instante t = O y el momento de inercia de la bobina respecto a su eje de rotación es 10 • ¿Cuál es la ecuación del movimiento de la bobina en función de 0? (e) Transformar a escala la ecuación al tiempo adimensional r = t/T, tal que d0/dr resulte multiplicada por una constante adimensional a. Hallar T y a. *37.41 Describir el movimiento del motor del problema 37.40 si N = 1000 vueltas, A = 1000 cm 2, V = 12 V, / 0 = 0,1 kg • m 2, R = 1 kíl y B = 1 062 G. Soluciones

37•1 (a) 0 =BLv; (b) E' arriba; (e) extremo inferior.

=

Bv dirigida hacia

0 = 0.15 V Rl 2 = B 2L 2v 1 /R = ILBv íiP= l.14mW (a) Hacia la derecha; (b) se opone = V/LB 37•6 (b) v = Rmg (tg0)/B 2L 2(cos0) 37 • 7 F = m dB / dz

37•2 37•3 37•4 37 • 5 (e) v

37•8 v = v0 exp (-t/T), donde T = mR/L 2B 2 37•9 0 = (µ 0 l/21rt)ab/(Vt + b) 2 2 37• 10 (a) m d 2y/dt 2 = mg - (L B /R)dy/dt, en donde y se mide hacia abajo desde el borde superior; (b) V¡= gT; (e) T = I6p 0 p/B 2 37• 1.1 (a) X= y/Y, en donde Y= gT 2 = 1.53 cm, r = t/T, en donde T = mRIL2B2 = 16p0 p/ B 2 = 0.0395 s, d 2X/dr 2 = l - dX/dr; (b) v = gT[l - exp (-t/T)); (e) v = 75.8% of v1

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Fuerza electromotriz inducida

37• 12 (a) m dv'/dt = BLV/R - mv'/T,en donde T= mR/L2B 2; (b) t = 0.45s; (e) u' = 3.97 m/s, / = 52.3 mA; (d) AX = 3 x 10-s m (NoT A: La solución exacta es x = At + AT[exp(-t/T) - 11, en donde A= V/LB.) 37 • 13 v = l.06 Hz 37• 14 P = (ABw) 2 /2R 37-15 8/B = 40.5 mV/T 37•16 {a) 0 = 32.0mV; (b) P = l.28mW 37• 17 v1 = 21.8 m/s 37-18 / 2/ /1 = (2R 3 + R 1)/(2R 3 + R 2) 37 • 19 (a) 8 = Bwa2-/2; (b) el disco (tiene menor resistencia interna). 37•20 b = ../2aR/µ, 0 1rw

37•29 8 = 214.5 kV 37•30 B = -2E0 tk 37•31 (b) a' = -aqQµ, 0 /81rmR 37•32 Bm., = 0.83 T 37 • 33 8 = AB0 w cos 2wt 37•34 Q = 1.02 mC 37•35 6. = 26.7 µ,Wb 37•36 Q_ = 4.38 mC 37•37 P = 1roLR 4w 2B~/16 37 • 39 (a) a = 2.00; (b) a = 2.05; (e) a= 2.18; (d) a= 2.40 37•40 (a) T = -NJABlsenOI; (b) / 0 d20jdt 2 =

37•21 (a) En sentido horario en el plano xy; (b) I = O; (c) en sentido antihorario; (d) cuando los polos está pasando precisamente por la espira. 37•22 E= RB0 /2 37 • 23 Paralelo a / 37•24 8 = 628 mV 37 • 25 8 30 µ, V 37•26 8 = 94.25 V 37•27 8 = 0.790 sen209t 37•28 8 = (1rµ, 0 10 nNr 2R 2w/2) X (R 2 + d 2)-J/Z cos wt cos 0

37 • 41 d20/ dT 2 = -lsenOI - a(sen2 0)d0 / dt, en donde a = 1. El ángulo 0 resulta cada vez más negativo de modo continuo cuando la bobina gira con rapidez creciente. La velocidad angular alcanza su primer máximo de dOldT == -1,31 a T == 5,9, estableciéndose finalmente oscilaciones regulares entre velocidades angulares de 1,37 y 1,19, con un periodo de AT == 2,45 o t = 2,17 s.

=

(NABlsenOI R)(V + NABlsen0ld0 dt); ,---l;--<''-'-,--(c) T = R/0 /NABV, a= N 3A 3B 3 /l0 RV