Práctica 3 Filtros Fir

PRÁCTICA # 2 MODULACIÓN DIGITAL EN BANDA BASE FILTROS FIR OBJETIVOS: • •

Analizar sistemas discretos en el tiempo. Diseño de un filtro FIR para el procesamiento de señales digitales.

MARCO TEÓRICO: SISTEMAS DISCRETOS EN EL TIEMPO Un sistema discreto en el tiempo es un proceso computacional que transforma una secuencia, llamada señal de entrada, en otra secuencia llamada señal de salida. Estos sistemas son representados a través de diagramas de bloques, similares al utilizado en la práctica anterior para representar la operación de muestreo; en ese caso la señal de entrada era una señal continua en el tiempo, y la señal de salida era una señal discreta en el tiempo. En esta práctica estudiaremos los sistemas discretos en el tiempo donde su entrada y salida serán señales discretas en el tiempo. En general, representaremos la operación del sistema de la siguiente forma: 𝑦[𝑛] = 𝒯{𝑥[𝑛]} Sugiriendo que la secuencia de salida se relaciona a la secuencia de entrada por un proceso que puede escribirse matemáticamente como un operador 𝒯. Dado que la señal discreta en el tiempo es una secuencia de números, estos operadores pueden describirse mediante fórmulas para computar los valores de la secuencia de salida a partir de los valores de la secuencia de entrada. Por ejemplo, la relación: 𝑦[𝑛] = (𝑥[𝑛])2 Define un sistema donde los valores de la secuencia de salida corresponden al cuadrado de los valores de la secuencia de entrada. Un ejemplo más complicado puede ser la definición del siguiente sistema: 𝑦[𝑛] = max⁡{𝑥[𝑛], 𝑥[𝑛 − 1], 𝑥[𝑛 − 2]}

En este caso, la salida depende de 3 valores consecutivos de entrada. Dado que existen infinitas posibilidades para definir sistemas discretos en el tiempo, es necesario limitar el rango de posibilidades colocando algunas restricciones en las propiedades de los sistemas que estudiamos. EL FILTRO DE MEDIA MÓVIL Una transformación simple de una señal discreta en el tiempo, pero muy útil, es el cálculo de la media móvil de dos o más números consecutivos de una secuencia, formando una nueva secuencia de valores promedios. El filtro FIR es una generalización de la idea de media móvil. El cálculo de la media es comúnmente utilizado siempre que los datos fluctúen y deban ser suavizados antes de su interpretación. Por ejemplo, los precios del mercado de valores fluctúan notablemente día a día, u hora a hora. Por lo que, podríamos tomar el promedio del precio de las acciones por varios días en busca de una tendencia. Para enfatizar la definición general de filtros FIR, consideremos la forma más simple de calcular la media como un sistema que procesa una secuencia de entrada para producir una secuencia de salida. Para ser específicos, consideraremos un método de media de 3 puntos, es decir, cada valor de la secuencia de salida es la suma de 3 valores consecutivos de la secuencia de entrada dividido para 3.

Figura 22.1 Señal de entrada 𝑥[𝑛] de longitud finita. Si aplicamos este algoritmo a una secuencia de forma triangular Figura 2.1, podemos calcular una nueva secuencia llamada 𝑦[𝑛], la cual es la salida del operador de media. La secuencia de la Figura 2.1 es un ejemplo de una señal de longitud finita. El soporte de dicha secuencia es el conjunto de valores para los cuales la secuencia es diferente de cero; en este caso, el soporte de la secuencia es el intervalo finito 0 ≤ 𝑛 ≤ 4. La media de 3 puntos de los valores

1

{𝑥[0], 𝑥[1], 𝑥[2]} = {2, 4, 6} da como respuesta (2 + 4 + 6) = 4. Este resultado define uno de 3

los valores de salida. El siguiente valor de salida se obtiene a través de la media de {𝑥[1], 𝑥[2], 𝑥[3]} = {4,6,4} dando un resultado de 14/3. Antes de avanzar debemos decidir la secuencia de índices de la salida. Por ejemplo, los valores 4 y 14/3 puede ser asignado como 𝑦[0] y 𝑦[1], pero esta es una de las muchas posibilidades. Con esta indexación, las ecuaciones para calcular la salida a partir de la entrada son: 𝒚[𝟎] =

𝟏 (𝒙[𝟎] + ⁡𝒙[𝟏] + ⁡𝒙[𝟐]) 𝟑

𝒚[𝟏] =

𝟏 (𝒙[𝟏] + ⁡𝒙[𝟐] + ⁡𝒙[𝟑]) 𝟑

El cual generaliza la siguiente ecuación: 𝒚[𝒏] =

𝟏 (𝒙[𝒏] + ⁡𝒙[𝒏 + 𝟏] + ⁡𝒙[𝒏 + 𝟐]) 𝟑

(2.1)

La ecuación en 2.1 se conoce como ecuación de diferencia. Es una completa descripción de un sistema FIR porque podemos utilizar 3.1 para calcular la señal de salida completa para todos los valores de los índices −∞ < 𝑛 < ∞. Para la entrada de la Figura 2.1, el resultado es la señal 𝑦[𝑛] tabulada de la siguiente forma: 𝒏

𝒏 < −𝟐

−𝟐

−𝟏

𝟎

𝟏

𝟐

𝟑

𝟒

𝟓

𝒏 >𝟓

𝒙[𝒏]

𝟎

𝟎

𝟎

𝟐

𝟒

𝟔

𝟒

𝟐

𝟎

𝟎

𝒚[𝒏]

𝟎

𝟐 𝟑

𝟐

𝟒

𝟏𝟒 𝟑

𝟒

𝟐

𝟐 𝟑

𝟎

𝟎

Note que los valores resaltados en la fila de 𝑥[𝑛] son los números involucrados en el cálculo de 𝑦[2]. Además, note que la salida 𝑦[𝑛] = 0 del intervalo infinito −2 ≤ 𝑛 ≤ 4; es decir, la salida tiene también un soporte infinito. La secuencia de salida se grafica en la Figura 2.2. Observe que la secuencia de salida es más larga (tiene más valores diferentes de cero) que la secuencia de entrada, y que la salida parece ser una versión más suave que la señal de entrada. Este comportamiento es característico del filtro FIR de media móvil.

Figura 2.2 Filtro de media móvil de salida, 𝑦[𝑛]. La elección de los índices de la salida es arbitraria, pero es importante al definir las propiedades del filtro. Por ejemplo, el filtro definido en la Ecuación 2.1 tiene la propiedad de que su salida empieza antes que la entrada. Esto sería indeseable si los valores de la señal de entrada vienen directamente de un convertidor Analógico a Digital, como es común en las aplicaciones de procesamiento de señales de audio. En este caso, 𝑛 se presentaría a tiempo, y podemos interpretar 𝑦[𝑛] de la Ecuación 2.1 como un cálculo de los valores presentes de la salida basada en tres valores de entrada. Dado que estas entradas tienen los siguientes índices: 𝑛, 𝑛 + 1 y 𝑛 + 2, dos de ellas se generarán “en un futuro”. En general, los valores del pasado o futuro o ambos pueden ser utilizados en el cálculo, como se muestra en la Figura 2.3. En todos los casos del cálculo de la media móvil de 3 puntos, una ventana deslizante de 3 muestras determina las muestras que serán utilizadas para el cálculo de 𝑦[𝑛].

Figura 2.3 Para el cálculo del filtro de media móvil en tiempo presente (ℓ = 𝑛) se usan valores dentro de la ventana deslizante (Sliding Window). La sección en gris indica el pasado (ℓ < 𝑛); la sección naranja el futuro (ℓ > 𝑛). Aquí, la ventana deslizante abarca valores tanto pasados como futuros.

Un filtro que usa únicamente valores del presente o pasados de su entrada se llama filtro causal, implicando que la causa no precede el efecto correspondiente. Por lo tanto, un filtro que utiliza valores futuros de la entrada es llamado no causal. Los sistemas no causales no pueden implementarse en aplicación de tiempo real, porque la entrada aún no se encuentra completamente disponible al momento de realizar el cálculo de salida. En otros casos, donde se almacenan bloques de datos que pueden ser manipulados en un computador, el problema de causalidad no es crucial. Un esquema de indexación alternativo para la señal de salida puede producir que un filtro de media de 3 puntos sea causal. En este caso, el valor de salida 𝑦[𝑛] es la media de las entradas hasta 𝑛 (el presente), 𝑛 − 1 (una muestra previa), y 𝑛 − 2 (dos muestras previas). La ecuación de diferencia para este filtro es: 𝒚[𝒏] =

𝟏 (𝒙[𝒏] + ⁡𝒙[𝒏 − 𝟏] + ⁡𝒙[𝒏 − 𝟐]) 𝟑

(2.2)

La forma dada en la Ecuación 2.2 calcula la media móvil causal. Usando la Ecuación 2.2, podemos formar la tabla de todos los valores de salida en un rango −∞ < 𝑛 < ∞. (Nótese que los valores resaltados de 𝑥[𝑛] son utilizados para calcular 𝑦[4] en lugar de 𝑦[2]) La señal 𝑦[𝑛] resultante tiene los mismos valores anteriores, pero su soporte es 0 ≤ 𝑛 ≤ 6. Observe que la salida de un filtro causal es simplemente una versión desplazada que la salida del filtro previo no causal. Este filtro es causal debido a que su salida depende únicamente de valores en el presente y pasado. Por lo tanto, la salida no es diferente de cero hasta que la entrada sea diferente de cero. 𝒏

𝒏 < −𝟐

−𝟐

−𝟏

𝟎

𝟏

𝟐

𝟑

𝟒

𝟓

𝟔

𝟕

𝒏>𝟕

𝒙[𝒏]

𝟎

𝟎

𝟎

𝟐

𝟒

𝟔

𝟒

𝟐

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝒚[𝒏]

𝟎

0

0

𝟐 𝟑

𝟐

𝟒

𝟏𝟒 𝟑

𝟒

𝟐

𝟐 𝟑

𝟎

𝟎

FILTRO FIR GENERAL Note que la Ecuación 2.3 es un caso especial para la ecuación de diferencia: 𝑴

𝒚[𝒏] = ∑ 𝒃𝒌 ⁡𝒙[𝒏 − 𝒌] 𝒌=𝟎

(2.3)

1

Cuando 𝑀 = 2 y 𝑏𝑘 = 3 para 𝑘 = 0, 1, 2, la Ecuación 2.3 se reduce al filtro de media móvil causal en 2.2. Si los coeficientes 𝑏𝑘 no son iguales, podemos decir que la Ecuación 2.3 define un cálculo de media ponderada móvil de 𝑀 + 1 muestras. Es claro a partir de la Ecuación 2.3 que el cálculo de 𝑦[𝑛] involucra las muestras 𝑥[𝑙] para 𝑙 = 𝑛, 𝑛 − 1, 𝑛 − 2, … , 𝑛 − 𝑀; es decir, 𝑥[𝑛], ⁡𝑥[𝑛 − 1], ⁡𝑥[𝑛 − 2], etc. Dado que el filtro en 2.3 no involucra valores futuros de la entrada, el sistema es causal y, por lo tanto, la salida no puede empezar antes de que la entrada sea diferente de cero. La Figura 2.4 muestra que un filtro FIR causal usa 𝑥[𝑛] y los puntos 𝑀 pasados para calcular la salida, además muestra que si la entrada tiene un soporte finito (0 ≤ 𝑙 ≤ 𝑁 − 1), habrá un intervalo de 𝑀 muestras al inicio, donde el cálculo involucrará menos de 𝑀 + 1 muestras diferentes de cero a medida que la ventana deslizante se enganche con la entrada, y un intervalo de 𝑀 muestras al final donde la ventana deslizante del filtro se desengancha de la secuencia de entrada. Puede verse además que la secuencia de salida puede ser 𝑀 muestras más larga que la secuencia de entrada.

Figura 2.4 Operación de un filtro FIR causal de orden 𝑀 mostrando varias posiciones de la ventana deslizante de 𝑀 + 1 puntos con los cuales se calcula la media ponderada. Cuando la señal de entrada 𝑥[ℓ] es finita también (𝑁 puntos), la ventana deslizante recorrerá de inicio a fin de los datos de entrada, por lo que, la señal de salida será de longitud finita también. El parámetro 𝑀 es el orden del filtro FIR. El número de coeficientes del filtro es llamado también Longitud (𝐿), donde 𝐿 = 𝑀 + 1.

UNA ILUSTRACIÓN DEL FILTRADO FIR Consideremos la señal de entrada como: 1 2𝜋𝑛 𝜋 𝑛 1.02 + cos ( + )⁡⁡⁡⁡; ⁡⁡⁡⁡0 ≤ 𝑛 ≤ 40 𝑥[𝑛] = { 2 8 4 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡; ⁡⁡⁡⁡⁡𝑂𝑡𝑟𝑜𝑠⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡

La señal se muestra en la Figura 2.5. Usualmente encontramos señales reales con esta forma, es decir, una componente que es una señal de interés (en este caso puede ser la componente exponencial 1.02𝑛 ), más otra componente que no es de nuestro interés. De hecho, la segunda componente es considerada ruido que interfiere con la observación de nuestra señal de interés. En este caso, consideraremos la componente sinusoidal

1

2𝜋𝑛

cos ( 2

8

𝜋

+ 4 ) como el ruido que

deseamos extraer.

Figura 2.5 Ilustración del filtro de media móvil. La curva exponencial creciente sólida, mostrada en cada uno de los gráficos en la Figura 2.5 conecta los valores de las muestras de la señal deseada 1.02𝑛 simplemente para referencia. Ahora suponga que 𝑥[𝑛] es la entrada a un sistema causal de cálculo de media de 3 puntos, es decir: 𝟐

𝟏 𝒚𝟑 [𝒏] = (∑ ⁡𝒙[𝒏 − 𝒌]) 𝟑

(2.4)

𝒌=𝟎

En este caso 𝑀 = 2, y todos los coeficientes son iguales a 1/3. La salida de este filtro es mostrada en la parte central de la Figura 2.5. Observe que la secuencia de entrada 𝑥[𝑛] es cero previo a 𝑛 = 0, y a partir de la Ecuación 2.4 se establece que la salida debe ser cero para 𝑛 < 0. La salida

es distinta de cero para 𝑛 = 0, y el intervalo sombreado de longitud 𝑀 = 2 muestras al inicio de la parte en la que la secuencia de salida es distinta de cero es el intervalo en el que la media de 3 puntos se ejecuta en la señal de entrada. Para 2 ≤ 𝑛 ≤ 40, las muestras de entrada dentro de la ventana deslizante son distintas de cero. Existe otro intervalo sombreado de longitud 𝑀 = 2 muestras al final, donde la ventana del filtro opera con la secuencia de entrada. Observe que el tamaño de la componente sinusoidal ha sido reducido, pero el componente no es eliminado por el filtro. La línea sólida que muestra los valores de la componente exponencial ha sido desplazada hacia la derecha 𝑀/2 = 1 muestras; cambio introducido por el filtro causal. Claramente, el filtro de media móvil de 3 puntos ha removido algunas fluctuaciones de la señal de entrada, pero no hemos recuperado la componente deseada. Intuitivamente, podríamos pensar que el promediar un intervalo de mayor longitud obtendríamos mejores resultados. La gráfica inferior de la Figura 2.5 muestra la salida de un filtro de media móvil de 7 puntos definido por: 𝟔

𝟏 𝒚𝟕 [𝒏] = (∑ ⁡𝒙[𝒏 − 𝒌]) 𝟕

(2.5)

𝒌=𝟎

En este caso, dado que 𝑀 = 6 y todos los coeficientes son iguales a 1/7, observe que las regiones sombreadas al inicio y al final de la salida son ahora de longitud 𝑀 = 6. El tamaño de la componente sinusoidal se ha reducido considerablemente y la componente sinusoidal es muy cercana a la componente exponencial de la entrada (luego del desplazamiento de 𝑀/2 = 3 muestras). Por lo tanto, la longitud del intervalo tiene un efecto importante en la señal de salida.

ACTIVIDADES A DESARROLLAR: FIR EN LABVIEW Para esta práctica se requiere la construcción del bloque FIR.vi. La siguiente tabla describe los detalles del VI que se debe implementar. FIR.vi. - Mostrar la salida del filtro en la ecuación 2.3, considerando un 𝒃𝒌 = 𝟏⁄𝟑. ENTRADAS

Nombre

Tipo de elemento

Descripción

Tamaño de la ventana

Entero

Tamaño de la ventana, 𝑴.

SALIDAS

Señal muestreada

Forma de onda

Señal muestreada 𝒙[𝒏].

FIR Output

Output Waveform

Salida del filtro.

INSTRUCCIONES: Para su realización se recomienda el uso de las siguientes funciones:

For Loop

UBICACIÓN: DESCRIPCIÓN:

ENTRADAS:

Functions>>Programming>>Structures>>For Loop Ejecuta su subdiagrama 𝑵 veces, donde 𝑵 es el valor conectado a la terminal de conteo (𝑵). El terminal de iteración (𝒊) proporciona el valor de la iteración actual, que va desde 𝟎 a 𝑵 − 𝟏. Conteo (𝑵).

Build Array

UBICACIÓN: DESCRIPCIÓN: ENTRADAS: SALIDA:

Functions>>Programming>>Array>>Build Array Concatena arreglos. Arreglo 1, Arreglo 2, etc. Arreglo concatenado.

Array Subset

UBICACIÓN:

Functions>>Programming>>Array>>Array Subset

DESCRIPCIÓN:

ENTRADAS: SALIDA:

Retorna una porción del arreglo empezando en el índice y conteniendo una cantidad de elementos, indicado en longitud. Arreglo, índice, longitud Subarreglo.

Se le ha provisto de las plantillas para el VI que necesita crear en esta práctica el cual tiene todas las entradas y salidas cableadas para usted. Lo que se requiere es terminar de construir el diagrama de bloques para proporcionar la funcionalidad del VI. Una vez construido el bloque correspondiente a FIR.vi, deberá insertarse en Filtros.vi, mostrado en la Figuras 2.6. Colocará su VI reemplazando así las versiones bloqueadas que se encuentran en Filtros.vi, y lo ejecutará.

Figura 2.6 Diagrama de Bloques de Filtros.vi.

PREGUNTAS A CONTESTAR: 1. Determine la salida de un filtro de cálculo de media centralizado: 1 𝑦[𝑛] = (𝑥[𝑛 + 1] + 𝑥[𝑛] + 𝑥[𝑛 − 1]) 3 Para la entrada de la Figura 3.1. ¿Es un filtro causal o no causal? ¿Cuál es el soporte de la salida para esta entrada? ¿Cómo se graficaría la salida en comparación con la Figura 2.2? 2. Dado el siguiente filtro de cálculo de media

Considerando la siguiente entrada:

a) Realizar un gráfico de 𝒖[𝒏] b) Calcule y grafique los valores de y[n] para el intervalo −𝟓≤𝒏≤𝟏𝟎, asumiendo que L=5. 3. Demuestre que el filtro FIR es causal, lineal e invariante en el tiempo.

4. Dado los coeficientes del filtro bk={3,-1,2,1}, la longitud del filtro L=4 y el orden del filtro M=3, determine la salida del filtro FIR y[n] en términos de la entrada del sistema x[n]. 5. Las señales mostradas en la gráfica son el resultado de aplicar un filtro FIR de longitud L=9, indique cuanto se desplaza la señal original (señal en rojo) y porque se produce este desplazamiento.

BIBLIOGRAFÍA: [1] James H. McClellan, R. W. (2008). Signal processing first.