Módulo Nivel

CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD MODULO ACADÉMICO

AUTORES: ALVARO BONETT PERTUZ SARAI BLANCO LINERO LUCY GRACIA GAMARRA CARLOS OROZCO AGUINAGA DAINER ZUÑIGA OLIVERA

INGENIERÍA INDUSTRIAL UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA SANTA MARTA 2012

INDICE 1. CONCEPTOS Y PRINCIPIOS DE LA CALIDAD 1.1 SIGNIFICADOS DE LA CALIDAD: 1.2 FILOSOFÍA DE CALIDAD Y ESTRATEGIAS DE ADMINISTRACIÓN 1.3 COSTOS ASOCIADOS A LA CALIDAD

5 5 8 11

2. TÉCNICAS ESTADÍSTICAS ÚTILES PARA EL MEJORAMIENTO DE LA CALIDAD. 14 2.1 DEFINICIONES BÁSICAS 2.2 TEORIA DE LA PROBABILIDAD: 2.3 VARIABLES ALEATORIAS 2.4 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 2.4.1 DISTRIBUCIONES DISCRETAS IMPORTANTES 2.4.2 DISTRIBUCIONES CONTINUAS 2.4.3 ALGUNAS APROXIMACIONES ÚTILES 2.5 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE JI-CUADRADA 2.5 HERRAMIENTAS ESTADISTICAS BÁSICAS PARA EL CONTROL DE LA CALIDAD: 2.5.1 HISTOGRAMA: 2.5.2 DIAGRAMA DE PARETO: 2.5.3 DIAGRAMA DE CAUSA Y EFECTO 2.5.4 DIAGRAMA DE DISPERSIÓN: 2.5.5 CARTA DE VERIFICACIÓN: 2.5.6 DIAGRAMA DE CONCENTRACIÓN DE DEFECTOS

3 ANÁLISIS DE CAPACIDAD DEL PROCESO

14 19 22 22 22 27 29 30 38 38 40 42 43 45 46

49

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

DEFINICIONES BASICAS 49 CAPACIDAD DE PROCESO 50 INDICE DE CAPACIDAD POTENCIAL DEL PROCESO 52 INDICE DE CAPACIDAD REAL DEL PROCESO 54 INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS PARA EL VALOR DE LOS ÍNDICES DE CAPACIDAD 55 ¿CÓMO BUSCAR CANTIDAD DE PRODUCTOS NO CONFORMES? 55 ¿CÓMO HACER UNA RECOLECCIÓN DE DATOS PARA HACER UN ANÁLISIS DE CAPACIDAD O CUALQUIER ESTUDIO ESTADÍSTICO? 57

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4 CARTAS DE CONTROL

68

4.1 GENERALIDADES: 4.2 OBJETIVOS DE LAS CARTAS DE CONTROL. 4.3 CARTAS DE CONTROL Y PRUEBA DE HIPÓTESIS. 4.4 ANALISIS DE PATRONES EN LAS CARTAS DE CONTROL 4.5 CONDICIONES NECESARIAS PARA APLICAR LAS CARTAS DE CONTROL 4.6 TIPOS DE CARTAS DE CONTROL 4.6.1 CARTAS DE CONTROL PARA VARIABLES 4.6.2 CARTAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS

68 69 70 71 74 75 75 104

5 MUESTREO DE ACEPTACIÓN 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

GENERALIDADES TIPOS DE PLANES DE MUESTREO LA CURVA DE OPERACIÓN (OC) DISEÑO DE PLANES DE MUESTREO INSPECCIÓN CON RECTIFICACIÓN MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR VARIABLES MUESTREO CONTINUO

119 119 121 126 130 134 137 140

6 HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS PARA EL CONTROL DE CALIDAD 149 6.1 CAPACIDAD DEL PROCESO 6.2 CARTAS DE CONTROL

APÉNDICE

149 153

167

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3

Capitulo

1

INTRODUCCIÓN A LA CALIDAD

La calidad se ha convertido en uno de los factores de decisión más importantes de los consumidores para elegir entre productos y servicios que compiten. El fenómeno es generalizado, sin importar si el consumidor es un individuo, una organización industrial, una tienda minorista o un programa de defensa militar. Hay muchas maneras de definir calidad. La definición tradicional de calidad se basa en el punto de vista de que los productos y servicios deben cumplir con los requerimientos de quienes los usan

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INTRODUCCION A LA CALIDAD

CONCEPTOS Y PRINCIPIOS DE LA CALIDAD

1.1 SIGNIFICADOS DE LA CALIDAD: Hay muchas maneras de definir Calidad. El concepto de calidad que se forma la mayoría de la personas se relaciona con una o más característica deseables que debería poseer un producto o servicio. Algunas definiciones generalmente aceptadas son: “Un sistema que permite que las características de un producto o servicio satisfagan en forma económica los requerimientos del consumidor.” “Las técnicas operacionales y actividades que sustentan la calidad de un producto o servicio para satisfacer ciertas necesidades.” ANSIZI.7-1971 “La integración de las características que determinan en qué grado un producto satisface las necesidades de su consumidor.” ISO 9000 “La bondad o conformidad de un producto.” Shewhart (1931) “Adecuar las características de un producto al uso que le va a darel consumidor”, es decir, “Calidad es que un producto sea adecuadopara su uso.” Juran (1990) “La calidad es la totalidad de detalles y características de un producto o servicioque influye en su capacidad para satisfacer necesidades básicas.” ASQ “Conjunto de propiedades y características de un producto o servicio que le confieren su aptitud para satisfacer unas necesidades expresadas oimplícitas.” UNE 66-001-92 “La calidad de un producto es la (mínima) pérdida impuesta por este productoa la sociedad durante la vida de dicho producto.” Taguchi (1979) “La calidad la define el cliente. Es el juicio que este tiene sobre un producto oservicio (el cual por lo general es de aprobación o rechazo) resultado del gradocon el cual un conjunto de características inherentes al producto cumplen conlos requerimientos. La calidad es ante todo satisfacción del cliente” Gutiérrez & De La vara (2004) Montgomery en su libro Control Estadístico de la Calidad, señala que en general, para los diferentes autores, la Calidad significa ADECUACIÓN PARA Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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INTRODUCCION A LA CALIDAD

USO y trasciende el aspecto de conformidad con las especificaciones al considerar tanto el desempeño como la opinión del Cliente. En la adecuación para su uso se distinguen dos aspectos generales: 1) CALIDAD DE DISEÑO: variaciones en los grados o niveles de calidad en la que influyen los tipos de materiales usados en la construcción, especificaciones de los componentes y la confiabilidad derivados del desarrollo de ingeniería. 2) CALIDAD DE CONFORMIDAD: es la medida en que el producto se ajusta a las especificaciones requeridaspor el diseño. Infortunadamente, las definiciones de calidad han sido relacionadas más con el aspecto de la conformidad de la calidad que con su diseño, lo que conlleva a prestar menos atención al cliente y a que la calidad se aborde como la conformidad con las especificaciones, sin importar si es producto, cumpliendo lo antes mencionado, es en realidad apto para su uso por el cliente. En este sentido, Douglas Montgomery en su texto, prefiere definir la calidad de esta manera: “La Calidades inversamente proporcional a la variabilidad”.

Industria Japonesa

Industri a EEUU

Esta definición involucra que si la variabilidad (indeseable o perjudicial) de las características importantes de un producto disminuyen, la calidad aumenta. Dimensiones de la Calidad: La calidad de un producto puede ser evaluada de varias formas, por tal razón resulta importante distinguir las diferentes dimensiones de la calidad, las cuales se resumirán a continuación:

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INTRODUCCION A LA CALIDAD

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

Desempeño (Perfomance): ¿Servirá el producto para el fin proyectado? Confiabilidad (Reliability): ¿Con qué frecuencia falla el producto? Durabilidad (Durability): ¿Cuánto tiempo dura el producto? Facilidad de servicio (Serviceability): ¿Qué tan fácil es reparar el producto? Estética (Aesthetics): ¿Cómo luce el producto? Características incluidas (Features): ¿Qué hace el producto? Calidad percibida (Perceibed Quality): ¿Cuál es la reputación de la compañía o del producto? Conformidad con los estándares (conformance): ¿El producto se fabrica exactamente a cómo se diseñó?

Por otro lado, al igual que calidad es también importante definir:  Aseguramiento de la Calidad  Control de la Calidad  Ingeniería de Calidad ¿Qué es el Aseguramiento de la Calidad? Para dar respuesta a este interrogante se presentan las siguientes definiciones: “El conjunto de las actividades planeadas formalmente para proporcionar la debida certeza de que el resultado del proceso productivo tendrá los niveles de calidadrequeridos” ISO 9000 “Un problema de variación que puede ser controlado y prevenido mediante laeliminación a tiempo de las causas que lo provocaban, de forma que la producciónpudiese cumplir con la tolerancia de especificación de su diseño” Shewhart . “Conjunto de acciones planificadas y sistemáticas que son necesarias paraproporcionar confianza adecuada de que un producto o servicio satisfarálos requisitos dados sobre la calidad” Carot (2001) ¿Qué es el Control de la Calidad? El control de la calidad se define de la siguiente manera: “El conjunto de las actividades y técnicas realizadas con la intención de crearuna característica específica de calidad.” ISO 9000

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INTRODUCCION A LA CALIDAD

“La aplicación de principios y técnicas estadísticas en todas las etapas de producción para lograr una manufactura económica con máxima utilidad del producto por partedel usuario.” Deming (1986) “Se dice que un fenómeno está controlado cuando, a través del uso de experienciasprevias podemos predecir, cuando menos dentro de ciertos límites, cómo se esperaque dicho fenómeno varíe en el futuro. Aquí se entiende por predicción dentro deciertos límites, que podemos asegurar, al menos de forma aproximada, que elfenómeno observado caerá dentro de ciertos límites dados” Shewhart (1980) “Método mediante el cual podemos medir la calidad real, compararla con lasnormas y actuar sobre la diferencia.” Juran, Gryna & Bingham (1990) “Técnicas y actividades de carácter operativo utilizadas para satisfacer los requisitos relativos a la calidad.” Carot (2001) ¿Qué es la ingeniería de calidad? “Es el conjunto de actividades operativas, administrativasy de ingeniería que emplea una compañía a fin de asegurar que las características de la calidad de un producto se encuentren en los Niveles nominales o requeridos” Douglas Montgomery. Puesto que la variabilidad solo puede describirse en términosestadísticos, los métodos estadísticos juegan un papel muyimportante en los esfuerzos de mejoramiento de calidad. Cuando se aplican métodos estadísticos en la ingeniería de calidad, es muy común clasificar los datos sobre las Características de la calidad como datos de atributo o bien de variables. 1.2 FILOSOFÍA DE CALIDAD Y ESTRATEGIAS DE ADMINISTRACIÓN Muchas personas han contribuido en la metodología estadística del mejoramiento de calidad. Sin embargo, en términos de la filosofía de la implementación y la administración, surgen tres individuos como líderes: W. E. Deming, J. M. Juran y A. V. Feigenbaum.  W. Eduwards Deming La filosofía del Dr. Deming es un importante marco para implementar el mejoramiento de la calidad y la productividad. A continuación se presenta los 14 principios de administración manejados por Deming: 1) Crear la constancia en los propósitos enfocados en el mejoramiento de productos y servicios. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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INTRODUCCION A LA CALIDAD

2) Adoptar la nueva filosofía de rechazar la mano de obra deficiente, los productos defectuosos o los malos servicios. 3) No confiar en la inspección en masa para controlar la calidad. 4) No hacer contratos con proveedores atendiendo únicamente al precio, sino considerando también la calidad. 5) Enfocarse en el mejoramiento continuo. 6) Poner en práctica métodos de capacitación modernos e invertir en la capacitación de todos los empleados. 7) Poner en práctica métodos de supervisión modernos. 8) Sacudirse el miedo. 9) Derribar las barreras entre las áreas funcionales del negocio. 10) Eliminar objetivos, lemas y metas numéricas para la fuerza de trabajo. 11) Eliminar las cuotas y los estándares de trabajo numéricos. 12) Eliminar las barreras que desalientan a los empleados a realizar sus trabajos. 13) Instituir un programa progresivo de capacitación y educación para todos los empleados. 14) Crear una estructura en la alta gerencia que propugne con decisión por los 13 primeros puntos.  Dr. Joseph M. Juran Uno de los padres fundadores del control estadístico de calidad. Fue invitado a dar pláticas a líderes de la industria japonesa cuando iniciaron su transformación industrial a principios de los años 1950. Es coautor (con Frank M. Gryna) de Quality Control Handbook, una referencia obligada para los métodos y el mejoramiento de calidad desde su publicación original en 1957. La filosofía de Juran se basa en la organización del cambio y en la implementación de mejoras que él llama la “penetración administrativa”. La secuencia de la penetración es en realidad un proceso estructurado para la solución de problemas.  Dr. Armand Feigenbaum Fue el primero en introducir el concepto de control de calidad en toda la compañía en su histórico libro Total Quality Control (la primera edición se publicó en 1951). Este libro ejerció una gran influencia en los inicios de la filosofía de la administración de calidad en Japón a principios de los años 1950. El interés del Dr. Feigenbaum se centra más en la estructura organizativa y en el enfoque de los sistemas para mejorar la calidad que en los métodos estadísticos. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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INTRODUCCION A LA CALIDAD

 Administración de calidad Total (TQM) Es una estrategia para implementar y administrar las actividades de mejoramiento de calidad con base en la organización completa. La TQM nació a principios de los años 1980, con las filosofías de Deming y Juran como punto focal. Evolucionó en un espectro más amplio de conceptos e ideas, incluyendo las organizaciones y una cultura laboral participativa, el cliente como centro de atención, el mejoramiento de calidad del proveedor, la integración del sistema de calidad con las metas del negocio y muchas otras actividades para enfocar todos los elementos de la organización en torno a la meta del mejoramiento de calidad.  Estándares de calidad y certificación La Organización Internacional de Normas (ISO, por sus siglas en inglés) ha desarrollado una serie de estándares de calidad que incluyen la serie ISO 9000, los cuales también son adoptados por el Instituto Americano de Estándares Nacionales y la ASQ. El punto central de estos estándares es el sistema de calidad, incluyendo componentes tales como: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Responsabilidad de la administración de calidad. Control del diseño. Control de datos y documentos. Administración de compras y contratos. Identificación y rastreabilidad de productos. Inspección y prueba, incluyendo el control del equipo de medición e inspección. 7) Control del proceso. 8) Manejo de la producción disconforme, acciones correctivas y preventivas. 9) Manejo, almacenamiento, empaque y entrega del producto, incluyendo actividades de servicio. 10) Registros de control de calidad. 11) Auditorías internas. 12) Capacitación. 13) Metodología estadística.  Seis Sigma De manera típica, son grandes las probabilidades de que ocurran fallas o defectos en los productos de alta tecnología con muchos componentes Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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INTRODUCCION A LA CALIDAD

complejos. Motorola desarrolló el programa seis sigma a fines de los años 1980 en respuesta a la demanda de estos productos. Este programa se centra en llevar la variabilidad de las características de calidad clave a niveles en los que las fallas o los defectos sean en extremo improbables. Six Sigma se basa en la curva de la distribución normal para conocer el nivel de variación de cualquier actividad, posterior a esto desarrolla una serie de pasos para el control de calidad y la optimización de procesos industriales. Estos pasos se conocen como el ciclo DMAMC (Definición, Medición, Análisis, Mejora, Control) La finalidad del Six Sigma es proporcionar la información adecuada para ayudar a la implementación de la máxima calidad del producto o servicio en cualquier actividad, así como crear la confianza y comunicación entre todos los participantes, pues se debe tener en cuenta que la actividad del negocio parte de la información, las ideas y la experiencia, lo cual ayuda a elevar la calidad y el manejo administrativo.  Justo a tiempo, manufactura, Poka-Yoke, y otras. Ha habido muchas iniciativas destinadas a mejorar el sistema de producción. Entre ellas se encuentra el enfoque justo a tiempo, que hace énfasis en la reducción del inventario dentro del proceso, una etapa de arranque rápida y en un sistema de producción jalado por la demanda; el enfoque Poka-Yoke o a pruebas de errores de los procesos; el sistema de producción Toyota y otras técnicas de manufactura japonesa; la reingeniería; la teoría de restricciones; la manufactura ágil; la manufactura esbelta; etc. La mayoría de estos programas, dedican muy poca atención a la reducción de la variabilidad, lo cual, impide que estos esfuerzos alcancen su potencial pleno. Los Gurúes de la Calidad

Entre los grandes exponentes de la calidad se puede mencionar:        

W. Edwards Deming Joseph Juran Philip B. Crosby Genichi Taguchi Shigeo Shingo Armand Feigenbaum Shigeru Mizuno Kaoru Ishikawa

1.3 COSTOS ASOCIADOS A LA CALIDAD

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INTRODUCCION A LA CALIDAD

Todas las organizaciones utilizan controles financieros. Estos controles financieros implican una comparación de los costos reales y los presupuestados, junto con un análisis asociado y acciones sobre las diferencias o varianzas entre las cifras reales y las presupuestadas. Se acostumbra aplicar estos controles a nivel departamental o funcional. Durante muchos años no hubo ningún esfuerzo directo por medir o explicar los costos de la función de calidad. Sin embargo, el incremento de los costos de calidad en la complejidad de los productos, una mayor conciencia de los costos del ciclo de vida y la necesidad de traducir estos costos a dinero, han sido punto de partida para estructurar los costos de calidad como herramientas de control financiero. En términos generales, los costos de la calidad consisten en aquellas categorías de los costos que se asocian con la producción, identificación, evitación o reparación de productos que no cumplen con los requerimientos. Estas categorías de los costos son las siguientes: COSTOS DE PREVENCIÓN

COSTOS DE VALUACIÓN

Planeación e ingeniería de calidad

Inspección y prueba del material de entrada

Desechos

Ajustes de quejas

Revisión de nuevos productos

Inspección y prueba del producto

Reprocesamiento

Diseño del producto/proceso

Materiales y servicios consumidos

Repetición de pruebas

Producto / materiales devueltos Cargos por garantía

Control del proceso

Encendido Capacitación Adquisición y análisis de datos sobre calidad

COSTOS DE FALLAS INTERNAS

Análisis de fallas Mantenimiento de la precisión del equipo de prueba

COSTOS DE FALLAS EXTERNAS

Costos de responsabilidad legal

Tiempo ocioso Pérdidas de rendimiento Costos indirectos Degradación (fuera de especificación)

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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

Capitulo

2

TÉCNICAS ESTADÍSTICAS PARA EL MEJORAMIENTO DE LA CALIDAD

Es importante recordar que la Estadística es la ciencia encargada de la recolección, organización e interpretación de datos, para obtener conclusiones de una población. Según se haga el estudio sobre todos los elementos de la población o sobre un grupo de ella, se diferencian dos tipos de Estadística: 

Estadística Descriptiva: Realiza el estudio sobre la población completa, observando una característica de la misma y calculando unos parámetros que den información global de toda la población.



Estadística Inferencial: Realiza el estudio descriptivo sobre un subconjunto de la población llamado muestra y, posteriormente, extiende los resultados obtenidos a toda la población.

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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

1. TÉCNICAS ESTADÍSTICAS ÚTILES PARA EL MEJORAMIENTO DE LA CALIDAD.

2.1 DEFINICIONES BÁSICAS

POBLACIÓN: Es el conjunto de todos los elementos, individuos o entes sujetos a estudio y de los cuales se quiere obtener un resultado. MUESTRA: Subconjunto de la población. VARIABLE: Característica o propiedad de los elementos o individuos de la población a estudiar. Existen dos categorías o tipo de variables: Variable cualitativa: se refieren a atributos o cualidades que no pueden ser medidas con números, por ejemplo: rubio, moreno, lugar de residencia, etc. Variable cuantitativa: se refiere a aquellas características que pueden ser expresadas numéricamente: edad, peso, número de hijos, etc. Esta a su vez se subdivide en: 



Variable discreta: es aquella que entre dos valores próximos puede tomar a lo sumo un número finito de valores. Ejemplos: el número de hijos de una familia, el de obreros de una fábrica, el de alumnos de la universidad, etc. Variable continua: es aquella que puede tomar infinitos valores dentro de un intervalo. Ejemplo, peso, estatura, distancias, etc.

EXPERIMENTO ALEATORIO: Es aquel experimento que puede producir resultados diferentes, aún cuando se repita siempre de la misma manera. ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se denota por S. Por ejemplo, se considera el experimento de lanzar un dado, si el interés se centra en el número que muestra la cara superior, el espacio muestral sería: *

+

EVENTO: Es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. Para cualquier experimento dado, se puede estar interesado en la ocurrencia de ciertos eventos, por ejemplo se puede estar interesado en el evento A en que el resultado cuando se lanza un dado sea divisible entre 3; este ocurrirá si el resultado es un elemento del subconjunto: *

+

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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

Con frecuencia es necesario describir combinaciones de eventos existentes:

nuevos

eventos a

partir

de



Unión de dos eventos: Es el evento que consta de todos los resultados que están contenidos en cualquiera de los dos eventos. La unión se denota por:



Intersección de dos eventos: Es el evento que consta de todos los resultados que están contenidos en los dos eventos. La intersección se denota por:



Complemento de un evento: Es el conjunto de resultados en el espacio muestral que no están en el evento. La complemento se denota por:



Eventos mutuamente excluyentes: Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes, si estos no presentan elementos en común; dos eventos denotados como E1 y E2 tales que son mutuamente excluyentes.

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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Son indicadores estadísticos que muestran hacia qué valor (o valores) se agrupan los datos. Existen varios procedimientos para expresar matemáticamente las medidas de tendencia central, de los cuales, los más conocidos son:  la media aritmética  la mediana  La moda LA MEDIA ARITMÉTICA Equivale al cálculo del promedio simple de un conjunto de datos. Para diferenciar datos muéstrales de datos poblacionales, la media aritmética se representa con un símbolo para cada uno de ellos: si trabajamos con la población, este indicador será µ; en el caso de que estemos trabajando con una muestra, el símbolo será ̅ . Media aritmética (µ o ̅ ): Es el valor resultante que se obtiene al dividir la sumatoria de un conjunto de datos sobre el número total de datos. Solo es aplicable para el tratamiento de datos cuantitativos. Hay que entender que existen dos formas distintas de trabajar con los datos tanto poblacionales como muéstrales, sin agruparlos o agrupándolos en tablas de frecuencias. Esta apreciación nos sugiere dos formas de representar la media aritmética. 

Media aritmética para datos no agrupados: Observe que la variación de ambas fórmulas radica en el tamaño de los datos (N identifica el tamaño de la población, mientras que n el de la muestra). ∑ POBLACION



̅

∑ MUESTRA

Media aritmética para datos agrupados: Cuando los datos se agrupan en tablas tipo A, la media aritmética es igual a la división de la sumatoria del producto de las clases por la frecuencia sobre el número de dato. La sumatoria parte desde el primer intervalo de clase (i = 1) hasta el último (Nc), siendo Xi la clase del intervalo i. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

Las Tablas Tipo A se caracterizan por manejar un conjunto pequeño de posibles resultados de una variable dentro de la muestra o población. Por lo general, su uso tiende al manejo de datos cualitativos o variables cuantitativas discretas. ∑

̅

∑

POBLACION

MUESTRA

Cuando los datos se agrupan en tablas de frecuencias tipo B, el cálculo de la media varía un poco, ya que existe una pérdida de información en el momento en que se trabaja con intervalos de frecuencia y no con los datos directamente (los datos se agrupan por intervalo, desconociendo el valor exacto de cada uno de ellos). Las marcas de clases (Mc) cumple la función de representar los intervalos de clase. ∑

̅

POBLACION

∑

MUESTRA

LA MEDIANA Valor que divide una serie de datos en dos partes iguales. La cantidad de datos que queda por debajo y por arriba de la mediana son iguales. La definición de geométrica se refiere al punto que divide en dos partes a un segmento. Por ejemplo, la mediana del segmento es el punto C.

Existen entonces dos segmentos iguales: AC = CB Formula:

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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

LA MODA Indica el valor que más se repite, o la clase que posee mayor frecuencia. En el caso de que dos valores presenten la misma frecuencia, decimos que existe un conjunto de datos bimodal. Fórmula para determinar la moda para tablas de frecuencia. ( Donde la Moda.

)

(

)

equivale al límite superior del intervalo anterior donde se encuentra

MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las medidas de dispersión permiten reconocer que tanto se dispersan los datos alrededor de un punto central; es decir, nos indican cuanto se dispersan o separan las observaciones alrededor de su valor central. Este tipo de medidas son parámetros informativos que nos permiten conocer como los valores de los datos se reparten a través de eje X, mediante un valor numérico que representa el promedio de dispersión de los datos. Las medidas de dispersión más importantes y las más utilizadas son la Varianza y la Desviación estándar.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR 

Población ∑( √

̅)

Es la desviación estándar de la variable de interés tomada del total de la población de tamaño N. 

Muestral

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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

∑( √

̅)

Es la medida de variabilidad de un conjunto de n datos que se obtiene al promediar las desviaciones individuales de cada dato. VARIANZA (S2): Es el cuadrado de la desviación estándar.

2.2 TEORIA DE LA PROBABILIDAD: Leyes de probabilidad Definición de términos utilizados ( )

( )

( ) Probabilidad de que ocurra por lo menos uno de los dos eventos o, lo que es lo mismo, de que ocurra A o B, o ambos simultáneamente. Eventos mutuamente excluyentes: A y B son eventos mutuamente excluyentes cuando no pueden ocurrir simultáneamente, o sea que no existen puntos muestrales que pertenezcan simultáneamente a ambos. Eventos Independientes: A y B son dos eventos independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro. En estos casos, ( ⁄ )

( )

( ⁄ )

( )

S

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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

Espacio muestral finito con n puntos equiprobables

S

Espacio muestral finito con eventos mutuamente excluyentes Teorema de la Adición: Si aplicamos la definición básica de probabilidad para el caso de experimentos equiprobables, tenemos que: (

(

) ( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

)

En el caso de eventos mutuamente excluyentes, (

)

(

Y se tiene que: (

)

( )

( )

Teorema de la multiplicación: (

)

( ) ( ⁄ )

Se puede explicar esta relación aplicando la definición de probabilidad al evento ⁄ así:

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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

( ⁄ ) ( )

( ⁄ )

( ) ( )

El número de puntos en ( ⁄ ) corresponde a aquellos que están simultáneamente en B y en A, o sea: ( ), porque el evento expresa que A ya ocurrió. El número total de puntos muestrales, que se utiliza como denominador en la anterior expresión, es el número de puntos que corresponden al evento A, ( ), el cual se constituye como nuevo universo o espacio muestral por la condicionalidad expresada de que A ya ocurrió. Ahora, ( Y se obtiene que: (

) ( ) )

( )⁄ ( )⁄

( ) ( )

( ⁄ )

( ) ( ⁄ )

Si se intercambia el orden de los eventos, se llega también a esta otra expresión del teorema de multiplicación: (

)

( ) ( ⁄ )

Si A y B son eventos independientes, entonces: (

)

( ) ( )

Formula de Bayes: Esta fórmula nos permite hallar probabilidades de causa de un resultado experimental que ya se ha observado. Si se supone que un evento A puede ocurrir como consecuencia de k causas diferentes: H1 , H2 ,…,Hi, …, Hk, mutuamente excluyentes. Se desea hallar una expresión para la probabilidad de que la causa H i , haya originado el evento A, al cual ya se ha observado al realizar el evento: ( ⁄ )

(

) ( )

(

)

( ) ( ⁄ ) ( )

(

)

El numerador de expresión anterior se obtiene mediante la aplicación del teorema de multiplicación. El denominador es una aplicación del teorema de adición, ya que el evento A puede ocurrir conjuntamente con H1, o con H2, o con Hk. Por lo tanto, la fórmula de Bayes de expresa así: Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

( ⁄ )

( ) ( ⁄ ) ∑ ( )

2.3 VARIABLES ALEATORIAS Una variable aleatoria es una función que asigna un numero real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio1. Se dice que X es aleatoria porque involucra la probabilidad de los resultados del espacio muestral, y X es una función definida sobre el espacio muestral, de manera que transforme todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas2. Variable Aleatoria Discreta:aquella tal que la cantidad de valores posibles quepuede tomar es finita, o infinita pero numerable. En otras palabras, aquella cuyosvalores posibles son todos puntos aislados del conjunto de valores posibles. Dichoincluso de una tercera forma: aquella tal que si tomamos dos cualesquiera de susvalores posibles, hay entre ellos una cantidad finita de valores posibles. Variable Aleatoria Continua: aquella tal que lacantidad de valores posibles es infinita y no numerable. Se dice que una variable aleatoria X es continua si sus valores consisten en uno o más intervalos de la recta de los reales. 2.4 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD La distribución de probabilidad o distribución de una variable aleatoria X es una descripción del conjunto de valores posibles de X (rango de X), junto con la probabilidad asociada a cada uno de estos valores.Estas son modelos matemáticos que relacionan el valor de una variable aleatoria con la probabilidad que tiene ese valor de ocurrir en una población. Hay dos tipos de distribuciones de probabilidad: 1. Distribuciones Discretas: Se utilizan cuando el parámetro que se está midiendo sólo puede asumir ciertos valores dentro de un intervalo. 2. Distribuciones Continuas:Se utilizan cuando la variable que se está midiendo se expresa en escala continua (variable aleatoria continua) 2.4.1 DISTRIBUCIONES DISCRETAS IMPORTANTES Varias distribuciones de probabilidad discretas se presentan con frecuencia en el control estadístico de calidad, entre estas tenemos:

1

MONTGOMERY, Douglas. Probabilidad y Estadística aplicada a la Ingeniería, 2° Edición. México D.F: Limusa. 2005. Pág. 100. 2 CANAVOS, George. Probabilidad y Estadística, Aplicaciones y métodos. México D.F: McGraw Hill. 1998. Pág. 53. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

22

HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

Distribución Uniforme Es la más simple de todas las distribuciones de probabilidad discreta pues la variable aleatoria discreta X puede tomar una cantidad finita de n valores X 1, X2, X3,…, Xn, cada uno de estos con una probabilidad idéntica 1/n, es decir, con probabilidad uniforme. La distribución de probabilidad o función de masa de esta variable aleatoria es: ( )

(

)

Su media y varianza son: ∑

( )

∑

( )

(

)

Ejemplo: Cuando se lanza un dado de seis caras, la función de masa de la variable aleatoria es: (

)

La media y varianza son: ( ) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Distribución Binomial3 Un experimento aleatorio que consta de n ensayos repetidos, tales que: 1) Los ensayos son independientes, es decir el resultado de cada ensayo no depende del resultado de ensayos anteriores. 2) Cada ensayo produce únicamente dos resultados posibles, etiquetados como “éxito” y “fracaso”. 3) La probabilidad de un “éxito” en cada ensayo, denotada como p, permanece constante. Se llama experimento Binomial. La variable aleatoria X que es igual al número de ensayos nque producen un éxito tiene una distribución binomial con parámetros py n = 1, 2,… La función de masa de probabilidad de X es: ( )

. /

(

)

Su media y varianza son: ( )

( )

(

)

Donde: p = Probabilidad de éxito. 1 - p = Probabilidad de fracaso 3

Síntesis tomada de: MONTGOMERY, Douglas, Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería, Segunda edición, México D.F: Limusa, c2005.Parte final del Capítulo 3 y Capítulo 4, Páginas 91-136.

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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

x = Número de éxitos deseados n = Número de ensayos efectuados Para indicar que una variable X es una binomial de parámetros n y p, se escribirá X∼ B(n, p). Ejemplo: Se tiene una línea de producción de cilindros para gas natural vehicular. Se sabe que la probabilidad de que un cilindro sea defectuoso es de 0,02. Adicionalmente para el jefe de producción es conocido que el primer cilindro que se fabrica al dia es defectuoso debido a la calibración de la maquinaria. Encuentre la probabilidad de obtener más de dos cilindros defectuosos en los primeros dos cilindros que se fabrican en un día. R/.

( ) ( )

(

)

( (

) )

(

∑. / ∑. /( )

) (

(

)

(

)

. /(

) (

)

(

)

. /(

) (

)

(

)

( )(

) (

)

,

, (

)

(

)

) (

)-

-

Distribución Geométrica Si en una serie de ensayos de Bernoulli independientes, con probabilidad constante de éxitop, sea la variable aleatoria X el número de ensayos hasta la obtención del primer éxito. Entonces X tiene una distribución geométrica con parámetro p y ( ) ( ) Si X es una variable aleatoria geométrica con parámetros p, entonces la media y la varianza de X son: ) ( ) ( ) ( ⁄ ⁄ Distribución Binomial Negativa Sea un escenario binomial en que se observa una secuencia de ensayos independientes, la probabilidad de éxito en cada ensayo es constante e igual a p. en lugar de fijar el numero de ensayos en n y observar el numero de éxitos, Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

supóngase que se continúan los ensayos hasta que han ocurrido exactamente r éxitos. En este caso la variable aleatoria es el número de ensayos necesarios para observar r éxitos. Esta situación lleva a los que se conoce como distribución binomial negativa con parámetros p y r = 1,2,3,…. p = probabilidad de éxito. 1-p = probabilidad de fracaso. ( )

.

/(

)

Si X es una variable aleatoria binomial negativa con parámetros p y r, entonces la media y la varianza de X son: ( ) ( ) ( ) ⁄ ⁄ Distribución Hipergeométrica Se emplea para calcular la probabilidad de obtener determinado número de éxitos en un espacio muestral de n ensayos; pero que a diferencia de la distribución binomial, aquí los ensayos no son independientes, dados que las muestras se extraen sin reemplazo en una población finita; por esto es que el resultado de una observación es afectado por el resultado de observaciones anteriores. Un conjunto de N objetos contiene K objetos clasificados como éxitos N-K objetos clasificados como fracasos Se selecciona una muestra con tamaño de n objetos, al azar (sin reemplazo) de entre los N objetos, donde y Sea que la variable aleatoria X denote el número de éxitos en la muestra. Entonces X tiene una distribución hipergeométrica, con: ( )

. /.

/

(

. /

)

Si X es una variable aleatoria hipergeométrica con parámetros N, K y n, entonces la media y la varianza de X son: ( )

( )

(

).

/

Ejemplo: Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tuberías del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local? Sea X igual al número al número de piezas de la muestra del proveedor local. Entonces, X tiene una distribución hipergeométrica y la probabilidad pedida es P(X=4). Por consiguiente:

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25

HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

(

)

.

/. .

/ /

¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local? (

)

.

/. .

/

.

/.

/

.

/

.

/

/. .

/ /

¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local? (

)

(

)

.

/. .

/ /

Distribución de Poisson Siempre que la probabilidad que se produzca un suceso determinado sea muy pequeña en cualquier instancia específica, pero a la vez, el número de instancias posibles sea enormemente grande, la distribución de los sucesos se realiza mediante la distribución de Poisson. Dado un intervalo de números reales, suponga que el conteo de ocurrencias es aleatorio en dicho intervalo. Si puede hacerse la partición del intervalo en subintervalos con una longitud suficientemente pequeña tales que 1) La probabilidad de más de una ocurrencia en un subintervalo es cero. 2) La probabilidad de una ocurrencia en un subintervalo es la misma para todos los subintervalos y proporcional a la longitud del subintervalo. 3) El conteo de ocurrencias en cada subintervalo es independiente de los demás subintervalos. Entonces el experimento aleatorio se denomina proceso de Poisson. Si el número promedio de ocurrencias en el intervalo es la variable aleatoria X, que es igual al número de ocurrencias en el intervalo, tiene una distribución de Poisson con parámetro, y la función de masa de probabilidad de X es ( ) Si X es una variable aleatoria de Poisson con parámetro entonces la media y la varianza de X son: ( ) ( ) Ejemplo: La contaminación constituye un problema en la fabricación de discos de almacenamiento óptico. El número de partículas de contaminación que ocurre en un disco óptico tiene una distribución de Poisson y el número promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del disco es 0.1. El área de un Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

disco bajo estudio es 100 cm2. Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del disco bajo estudio. Sea que X denote el número de partículas en el área de un disco bajo estudio. Puesto que el número promedio de partículas es 0.1 partículas por cm 2. Por lo tanto, ( ) ⁄ (

)

2.4.2 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL4 El modelo de uso más generalizado para la distribución de una variable aleatoria continua es la distribución normal. Siempre que se hace la repetición de un experimento aleatorio, la variable aleatoria que es igual al resultado promedio (o total) de las repeticiones tiende a tener una distribución normal, cuando el número de repeticiones es grande. Una distribución Normal también se conoce como distribución de Gauss o Gaussiana. Una variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad ( )

(

)

√ Tiene una distribución normal con parámetros , donde Además ( ) ( )

y

.

Para graficar la función de densidad de probabilidad de una distribución normal, en el eje horizontal se levantan perpendiculares en dos puntos a y b, el área bajo la curva delimitada por esas líneas indica la probabilidad de que la variable de interés X, tome un valor cualquiera en ese intervalo. Puesto que la curva alcanza su mayor altura en torno a la media, mientras que sus "ramas" se extienden asintóticamente hacia los ejes, cuando una variable siga una distribución normal, será mucho más probable observar un dato cercano al valor medio que uno que se encuentre muy alejado de éste.

4

Tomado de: MONTGOMERY, Douglas, Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería, Segunda edición, México D.F: Limusa, c2005.Pág. 157-171

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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

Gráfica de la Distribución de Probabilidad Normal

A una variable aleatoria normal con y se le llama variable aleatoria normal estándar. Una variable aleatoria normal estándar se denota como Z. La función de distribución acumulada de una variable aleatoria normal estándar se denota como ( ) ( ) Existen un sinnúmero de distribuciones de probabilidad normal, cada una de las distribuciones puede tener una media (µ) o una desviación estándar distinta (σ). Por tanto, el número de distribuciones normales es ilimitado y sería imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinación de y σ. Para resolver este problema todas las distribuciones de probabilidad normales se relacionan algebraicamente a una distribución normal estándar, haciendo antes una transformación simple. Primero, convertiremos la distribución real en una distribución normal estándar utilizando un estadístico Z, así:

( ) Es una variable aleatoria normal con ( ) . Es decir, Z, es una variable aleatoria normal estándar. De esta manera, un valor Z mide la distancia entre un valor especificado de X y la media aritmética, en las unidades de la desviación estándar. Al determinar el valor Z utilizando la expresión anterior, es posible encontrar el área de probabilidad bajo cualquier curva normal haciendo referencia a la distribución normal estándar en las tablas correspondientes (Tabla normal estándarAnexos), dicha tabla proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria normal estándar Z tome un valor situado a la izquierda de un número z, P (Z
28

HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

(

)

(

(

)

)

Lo que implica que el 0.25% de los resistores tienen una resistencia inferior a 16 ohmios. b) ¿Qué porcentaje de resistores tendrán una resistencia superior a 35 ohmios? (

)

(

)

(

)

(

)

Por lo tanto, el 0.09% de los resistores tienen una resistencia superior a 35 ohmios. c) ¿Qué porcentaje de resistores tendrán una resistencia entre 20 y 32 ohmios? (

)

( (

) )

(

(

)

)

Por lo tanto, el 92.6% de los resistores tiene una resistencia entre 20 y 32 ohmios. d) ¿Por encima de qué valor está el 10% de los resistores con mayor resistencia? ( )

2.4.3 ALGUNAS APROXIMACIONES ÚTILES En ciertos problemas de control de calidad, a veces es útil aproximar una distribución de probabilidad con otra. Esto es particularmente útil en situaciones en las que la manipulación analítica de la distribución original es difícil. A continuación se presentan tres de estas aproximaciones: Aproximación 1:De Hipergeométrica a Binomial. Siempre que el tamaño de la muestra (n), es excesivamente pequeño con relación al tamaño de la población (N), la distribución hipergeométrica puede ser aproximada por la función de probabilidad binomial, en la que el parámetro . Aunque en términos estrictos, la aproximación solo puede usarse cuando n es extremadamente pequeño con relación a N, en la práctica se puede se puede aplicar esta aproximación siempre que N sea 10 veces mayor que n.

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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

Esta aproximación es útil en el diseño de planes de muestreo de aceptación. Recuérdese que la distribución hipergeométrica es el modelo apropiado para el número de artículos disconformes obtenidos en una muestra aleatoria de artículos de un lote de tamaño finito . Por tanto, si el tamaño de la muestra es pequeño en comparación con el tamaño del lote , puede emplearse la aproximación binomial, con lo cual por lo general se simplifican considerablemente los cálculos. Como un ejemplo, suponer que un lote de producción de 200 unidades contiene 5 unidades que no cumplen con las especificaciones. La probabilidad de que una muestra aleatoria de 10 unidades no contenga ningún artículo disconforme es, por la función de distribución hipergeométrica: ( )

. /.

Obsérvese que como

.

/ /

es relativamente pequeño, podría usarse

la aproximación binomial con

n=10 para calcular a partir de

la función de distribución binomial: ( )

. /(

) (

)

Aproximación 2: De Binomial a Poisson Cuando el parámetro p es muy pequeño (tiende a cero) y n tiende a infinito es un número pequeño, la función de probabilidad binomial puede ser aproximada por medio de la función de probabilidad de Poisson, donde el parámetro λ=np (constante). La aproximación generalmente es buena para grande y si , aunque pueden utilizarse otros criterios; entre más grande sea el valor de y menor sea el valor de , mejor será la aproximación. Aproximación 3: De Binomial a Normal Siempre que el parámetro p sea aproximadamente igual a 0,5, la función de probabilidad binomial puede sr aproximada por medio de la función de probabilidad normal, donde los parámetros y son iguales a y ( ), respectivamente. 2.5

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE JI-CUADRADA

La prueba de bondad de ajuste es una prueba de hipótesis que se realiza con frecuencia cuando no se conoce la distribución fundamental de la población y se quiere probar la hipótesis de que una distribución particular será satisfactoria como modelo de la población.

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30

HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

Un procedimiento formal para probar la bondad de ajuste es el basado en la distribución ji-cuadrada. Este procedimiento requiere una muestra aleatoria de tamaño n de la población cuya distribución de probabilidad es desconocida. Suponer que las observaciones de la muestra están agrupadas en k clases, siendo la cantidad de observaciones en cada clase Con el modelo de distribuciónespecificado se puede calcular la probabilidad que un dato cualquiera pertenezca a una clase . Con este valor de probabilidad se puede encontrar la frecuencia esperada para la clase , es decir, la cantidad de datos que según el modelo especificado deberían estar incluidos en la clase :

Tenemos entonces dos valores de frecuencia para cada clase i : Frecuencia observada (corresponde a los datos de la muestra) : Frecuencia esperada (corresponde al modelo propuesto)

Estadístico para la prueba de bondad de ajuste Ji-cuadrado es: ∑ Distribución Ji-cuadrado con

(

)

grados de libertad

Donde p es la cantidad de parámetros de la distribución hipotética, estimados por los estadísticos muéstrales. Esta aproximación mejora conforme n incrementa. Es una condición necesaria para aplicar esta prueba que Formalmente, se está interesado en probar las hipótesis siguientes:

Dado un valor de (error deseado tipo I), aceptamos y aceptamos si ( ) .

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si

(

)

31

HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

Ejemplo 1 distribución exponencial: Se han observado los tiempos (en minutos) de llegadas de vehículos al peaje de Tasajera en la ruta Santa Marta-Barranquilla, estos tiempos se muestran a continuación: tiempo observado de llegadas

suma

0,72 0,73 0,93 1,17 1,5 5,05

0,01 0,03 0,04 0,04 0,05 0,17

0,07 0,08 0,1 0,1 0,11 0,46

total 0,11 0,19 0,22 0,27 0,29 1,08

0,36 0,46 0,51 0,54 0,56 2,43

9,19

Dado que fueron 25 observaciones entonces se puede obtener el promedio de vehículos que llegan por minutos ̅ Se pretendo probar si:

Se prueba si los datos son consistentes o no con una variable aleatoria exponencial (A) cuya densidad es Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

32

HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

( ) Luego se escoge el numero de categorías este caso es

y la probabilidad es

que es la

o sea

( ) para

. Esto da como valor esperado

para cada categoría. Para establecer los límites de cada categoría es necesario determinar la función acumulada ( ), para A. ( )

(

)

∫

Luego:

Donde (

)

; (

)

; (

)

, (

)

Como ( ) , entonces cualquier número p, el valor t que satisface ( ) se podría determinar como sigue:

luego despejando t se obtiene: (

) (

)

(

)

(

)

(

)

Por lo tanto las categorías son las siguientes: Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

33

HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

Después de clasificar los datos en estas categorías, observamos que , mediante la construcción de las categorías , enseguida calculamos ( ): (

)

(

) (

El

(

)

(

)

(

)

(

)

)

de la tabla es 7,81

Por lo tanto para un error tipo 1 de 0.05 se acepta la hipótesis nula, concluyendo que los datos provienen de una distribución exponencial. Ejemplo 2, distribución normal: En la siguiente tabla se muestra los datos que representa el diámetro de los agujeros realizados por un taladro sobre la base giratoria de una grúa. Se desea saber si los datos presentan una distribución normal lo cual certifica que el taladro está trabajando en buena condición. Datos del diámetro de los agujeros 16 16 15,8 15,7 16,2 15,9 15,3 15,6 15,9 16,1 16 15,7 15,9 15,6 15,8 16

16 16,2 16,2 15,6 15,7 16 16,3 16,1 15,9 15,8 16,3 15,9 16,2 16,4 15,6 15,7

16,2 15,6 15,9 16,2 16,3 15,9 15,8 16,3 15,8 16,2 15,6 15,9 16,1 16,2 16,1 15,9

16,2 16 15,8 16,1 15,7 15,8 15,9 15,7 15,8 16,2 16,4 15,7 16,1 15,9 15,8 15,8

15,5 16,2 16,2 16,5 16,1 16,1 15,6 16 16 16,1 15,9 15,6 16 15,7 15,6 15,9

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X promedio

sigma

15,98 16 15,98 16,02 16 15,94 15,78 15,94 15,88 16,08 16,04 15,76 16,06 15,96 15,78 15,86

0,28635642 0,24494897 0,20493902 0,37013511 0,28284271 0,11401754 0,37013511 0,28809721 0,083666 0,16431677 0,32093613 0,13416408 0,11401754 0,33615473 0,20493902 0,11401754 34

HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

16,1 16 16 16,4

16 15,5 15,6 16,7

15,7 16,1 16,1 15,9

15,7 16,2 15,9 15,6

16,2 16,2 16 16,2

15,94 16 15,92 16,16 15,954

0,23021729 0,29154759 0,19235384 0,42778499 0,23877938

Pasos: 1. Planteamos las hipótesis

2. Se halla el numero de intervalos de clase k y la longitud del intervalo h (

)

3. Se verifica cuantos datos caen el intervalo, así como lo muestra la siguiente tabla: k 1 2 3 4 5 6 7 8

intervalos de clase INF 15,3 15,475 15,65 15,825 16 16,175 16,35 16,525

SUP 15,475 15,65 15,825 16 16,175 16,35 16,525 16,7

frecuencia 1 13 20 29 26 20 4 1

4. Luego se halla la probabilidad para cada intervalo (

(

(

(

̅

))

))

(

)

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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

(

(

))

(

(

)

(

(

( )

))

)

))

(

(

(

(

(

))

)

Así sucesivamente, los datos se muestran en la tabla siguiente:

k 1 2 3 4 5 6 7 8

intervalos de clase INF 15,3 15,475 15,65 15,825 16 16,175 16,35 16,525

SUP 15,475 15,65 15,825 16 16,175 16,35 16,525 16,7

Z acumulado

probabilidad

-2,006 -1,273 -0,540 0,192 0,925 1,658 2,391 3,124

P(Z
5. Luego se obtienen las frecuencias esperadas las cuales salen de multiplicar

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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

k

intervalos de clase INF 15,3 15,475 15,65 15,825 16 16,175 16,35 16,525

1 2 3 4 5 6 7 8 suma

frecuencia

esperada

1 13 20 29 26 20 4 1

2 8 19 28 25 13 4 1 100

SUP 15,475 15,65 15,825 16 16,175 16,35 16,525 16,7

Debido que es una condición necesaria que , entonces los datos observados del intervalo 1 se le suma al intervalo 2, de la misma manera 6, 7 y 8 se suman y luego se le aplica el estadístico de la chi cuadrada.

k

intervalos de clase

1 2 3 4 5

INF 15,3 15,65 15,825 16 16,175

observada

esperada

prueba chi

14 20 29 26 25

10 19 28 25 18

1,6 0,05263158 0,03571429 0,04 2,72222222 4,45056809

SUP 15,65 15,825 16 16,175 16,7 chi calculado

O sea: (

)

(

) (

(

)

(

)

(

)

(

)

)

Chi de la tabla: Por lo tanto como el estadístico observado es menor que el estadístico de la ) tabla ( ( ), se acepta la hipótesis nula

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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

2.5 HERRAMIENTAS ESTADISTICAS BÁSICAS PARA EL CONTROL DE LA CALIDAD: Existen siete herramientas principales que apoyan el efectivo desarrollo del Control Estadístico de Procesos, estas facilitan la identificación de las oportunidades de mejora, así como también a reducir la variabilidad del proceso y por consiguiente a la reducción de los desperdicios. Las herramientas básicas se enlistan a continuación proporcionan a cualquier organización los medios para recolectar, presentar y analizar la mayor parte de sus datos: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

El Histograma. Diagrama de Pareto. Diagrama de Causa-Efecto o de Ishikawa. Diagrama de Dispersión. Hoja de Verificación. Diagrama de concentración de defectos. Cartas de control. 2.5.1 Histograma:

En muchos casos, si los datos han sido tomados de forma correcta, se puede obtener conclusiones a partir de los mismos de forma inmediata; pero si no es así, con frecuencia puede ser necesaria una adecuada representación gráfica de los mismos. El histograma es una representación gráfica de los datos en la que se puede observar: 1) Forma.  Simétrica  Asimétrica: sesgada a la derecha y sesgada a la izquierda  Multimodal: bimodal (2 picos), trimodal (3 picos), etc.  En peine: puntos anormales no definidos.  Plana: tendiendo a ser una distribución uniforme.  Sin distribución definida. 2) Localización o tendencia central. Si el histograma no es simétrico, entonces los datos no están centralizados. Se debe comparar la media muestral con el valor nominal para darnos cuenta si se pueden cumplir con las especificaciones. 3) Dispersión o expansión. Cuando la variabilidad de un proceso es muy amplia, se pueden presentar un número de defectos, es decir, el no cumplimiento Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

con las especificaciones. Para saber si esto ocurrirá, se hace el estudio de capacidad de los procesos. Para la construcción de un histograma es aconsejable seguir los siguientes pasos: 1) Colocar los datos a representar en filas de aproximadamente diez números. 2) Identificar y señalar el máximo y el mínimo de cada fila. 3) A partir del máximo y el mínimo de cada fila, localizar el máximo y el mínimo global. 4) Calcular el Rango de los datos.

5) Seleccionar un número de intervalos que se ajuste al número de datos obtenidos, para lo cual se recomienda usar la siguiente tabla:

Número de Datos Número de Intervalos <50 50-100 100-250 >250

5-7 6-10 7-12 10-20

√

O haciendo

6) Determine la amplitud

de los intervalos:

y redondear el valor

obtenido a un múltiplo exacto de la precisión de los datos. 7) Fijar los límites de los intervalos (marca de clase). Se recomienda fijar el valor del extremo mínimo la mitad de la amplitud. 8) Rellenar la tabla de frecuencias, indicando el número de veces que aparecen datos dentro de cada uno de los intervalos definidos.

Frecuencia de los datos por intervalo ( )

Intervalos

(

1 2 3 4 5

(

)

)

( -

(

(

))

)

(

)

(Marca de clase)

A

-2

-2A

4A2

B

-1

-B

B2

-

C D E

0 1 2

0 D 2E

0 D2 4E2

-

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39

HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

N = número de datos = (∑ ) Cabe anotar que en Ui, si se tiene un k par, toma el valor de cero en el intervalo de mayor frecuencia. 9) Construir el histograma. 10) Además se puede calcular la media y la varianza de los datos, utilizando las siguientes fórmulas: Para la media: ̅ Para la varianza: √ Donde

es el promedio de las marcas de clase.

Y los valores de

y

∑

/.

se obtiene haciendo:

∑ ∑(

)

2.5.2 DIAGRAMA DE PARETO: Existen muchos aspectos de cualquier actividad industrial y no industrial susceptibles de mejoras. En algunos casos, la mejora es obligada, pero el problema a abordar es de tal envergadura que parece imposible de resolver. En este sentido el Diagrama de Pareto es de mucha utilidad, éste pone en manifiesto que cuando se analizan las causas de un problema, en realidad son algunas pocas las responsables de su mayor parte. A estas pocas se les llama causas fundamentales y al resto, que son muchas pero ocasionan una pequeña parte del problema se les denomina causas triviales. Todo el esfuerzo debe concentrarse en la eliminación de las causas fundamentales, ignorando en principio las triviales, que ya serán atacadas en el futuro. En este orden de ideas, el Diagrama de Pareto puede aplicarse a situaciones muy distintas con el fin de establecer las prioridades de mejora y siempre refleja el mismo principio de “pocas fundamentales y muchas triviales” o dicho de otra manera el 20% de las causas ocasionan el 80% del problema. Para la construcción de un Diagrama de Pareto se pueden seguir los siguientes pasos: Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

1) Plantear con exactitud el problema a investigar, qué datos serán necesarios, cómo recogerlo y durante qué periodo. 2) Tabular los datos recogidos, para facilitar enumerar la frecuencia de cada causa. 3) Ordenar las cusas de mayor a menor importancia, situando las triviales al final. 4) Iniciar la realización del diagrama dibujando los ejes. Se coloca un eje horizontal dividido en tantas partes como causas y dos ejes verticales. El eje de la izquierda se marca desde 0 hasta el total ocurrencias de las causas y en el eje de la derecha se colocan los porcentajes marcándose de 0 a 100%. 5) Construir el diagrama de barras. La altura de cada barra de corresponder al número de observaciones correspondiente a cada causa, de acuerdo con la variación del eje de la izquierda. 6) Graficar el porcentaje acumulado, el cual se obtiene así:

Causa

Núm. de veces que se presenta la causa

Frecuencia Acumulada

A B C D E F Otras Total

104 42 20 10 6 4 14 200

104 146 166 176 182 186 200

Porcentaje acumulado

Porcentaje 52 21 10 5 3 2 7 100

52 73 83 88 91 93 100

DIAGRAMA DE PARET0 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% A

B

C

D

E

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F

Otras

41

HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

2.5.3 DIAGRAMA DE CAUSA Y EFECTO En muchas ocasiones cuando se presenta un problema, se confunde su resolución con la eliminación de los efectos que produce y esto puede traer consigo malas consecuencias. Kaoru Ishikawa, en su libro ¿Qué es el control total de calidad?, relata un caso de su propia experiencia. Explica que cierto dispositivo iba unido a una máquina por medio de cuatro pernos, el perno 1 se rompía con frecuencia por lo que se decidió sustituirlo por otro de mayor diámetro. A partir del cambio no se volvió a partir el perno 1, pero el perno 2 se empezó a romper, ante la nueva situación se decidió que los cuatro pernos debían ser más grandes y se procedió al cambio. Con estas medidas ya no se volvió a romper ningún perno, pero empezaron a aparecer fracturas en la placa de hierro en la que estaba situado el dispositivo, por tal motivo se procede a cambiar la placa de hierro por otra más gruesa. Posteriormente con la realización de un estudio profundo se puso en manifiesto que una vibración que llegaba al dispositivo era lo que ocasionaba los fenómenos de ruptura y que si no se eliminaba terminaría rompiendo la nueva placa metálica o inutilizando el dispositivo por graves consecuencias. En este caso lo que se estaba haciendo era intentar evitar el efecto del problema, pero sin eliminar su causa y si la causa permanece el efecto vuelve a manifestarse de forma aún más perjudicial. Por tal razón, para solucionar un problema deben estudiarse sus causas y eliminarlas, en el caso que planteaba Ishikawa la causa era la vibración, aunque también debería haberse investigado el origen de la misma. Para saber cuáles son las posibles causas que hay detrás de un efecto es conveniente construir un diagrama de causa-efecto, para lo cual se sugiere seguir los siguientes pasos: 1) Determinar e identificar claramente cuál es el efecto (el problema, la característica de calidad, etc.) a estudiar. 2) Realizar una lista de posibles causas. 3) Construir el diagrama teniendo en cuenta que en este diagrama presentan de forma jerarquizada y agrupada grandes grupos denominados causas primarias, las cuales suelen ser: mano de obra, maquinaria, materiales, métodos, medio ambiente y mantenimiento (conocidas como las seis M); cada causa primaria está integrada por varias secundarias, esta por terciarias y así sucesivamente, tal como se muestra en la siguiente figura. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

42

HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

2.5.4 DIAGRAMA DE DISPERSIÓN: Un Diagrama de Dispersión es la forma más sencilla de definir si existe o no una relación causa efecto entre dos variables y que tan firme es esta relación, El Diagrama de Dispersión es de gran utilidad para la solución de problemas de la calidad en un proceso y producto, ya que nos sirve para comprobar que causas (factores) están influyendo o perturbando la dispersión de una característica de calidad determinada o variable del proceso a controlar. Los motivos más comunes de este tipo de diagrama son analizar:    

La relación entre una causa y un efecto. La relación entre una causa y otra. La relación entre una causa y otras dos causas. Un efecto y otro efecto.

La construcción de un diagrama de dispersión puede realizarse de la siguiente manera: 1) Reunir pares de datos de las variables cuya relación se desea investigar. Con menos de 30 pares es difícil sacar conclusiones, 50 suele ser suficiente. 2) Trazar los ejes. Decidir las escalas de forma que ambos ejes tengan aproximadamente la misma longitud. Si una variable es una característica de calidad y la otra un factor (de diseño o de producción), se sitúa la primera en el eje vertical. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

3) Situar los puntos en el gráfico. Si dos o más puntos coinciden, se señala marcando círculos concéntricos. 4) Incorporar toda la información pertinente que ayude a interpretar el gráfico (título del diagrama, número de pares de datos, título y unidades de cada eje, etc.).

Los diagramas de dispersión pueden presentar distintos aspectos según el tipo de relación que exista entre las variables a continuación se representan diversos tipos de diagramas que aparecer.

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44

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2.5.5 CARTA DE VERIFICACIÓN: Es común que con frecuencia sea necesario colectar datos de operación, sean históricos o actuales, acerca del proceso bajo investigación, una hoja de verificación puede ser de gran utilidad en esta actividad. En esta se resume información en función del tiempo, lo cual es particularmente valioso para buscar tendencias y otros patrones importantes. Por ejemplo, si muchos defectos ocurren durante el verano, una posible causa que deba investigar es la contratación de obreros eventuales durante un periodo vacacional. Cuando se diseña una hoja de verificación, es importante especificar claramente el tipo de datos que van obtenerse, el número de parte u operación, la fecha, el analista y cualquier otra información útil para diagnosticar la causa del desempeño pobre. Si la hoja de verificación es la base para realizar cálculos adicionales, o si se usa como hoja de trabajo para capturar datos en una computadora, entonces es importante asegurarse de que la hoja de verificación adecuada para este propósito antes de que se inviertan esfuerzos considerables en la obtención real de los datos. HOJA DE VERIFICACIÓN DATOS DE DEFECTOS DE 1988-1989 A LA FECHA Nº de parte Lugar Fecha de estudio Analista

TAX Bellevue 06/05/1989 TCB

Defecto Partes Dañadas Problemas de Maquinado

1088 1

2 1

3 3

4 3 3

5 1

6 2

7

1989 8 1 1

9 8

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10 10

11 3 3

12

1 2 8

2 2 3

3 7

4 2

5

Total 34 29 45

HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

Partes Suministradas Oxidadas Obturación Insuficiente Soldadura desalineada Procesamiento fuera de orden Remisión de la parte incorrecta Estructura aerodinámica no determinada Falla de adherencia Alodino en polvo Pintura fuera de los límites Pintura dañada por corrosión Película sobre las partes Latas de pintura tapa poros dañada Vacíos en piezas fundidas Compuesto deslaminado Dimensiones incorrectas Procedimiento de prueba inadecuado Falla de roció de sal

3

1 6

1 4

3

2 1

9

2 2

13 17 2 4 3 3

2 1

2 3 1

1

2

1

1

1

1

6

2

1 1

1

1 3

1 1

1 1

1 2 13

7

13

1

20

7

4 29

7

1 4

5

14

12

5

9

9

6

10

14

7

6 1 2 1 5 1 2 2 36 1 4 166

2.5.6 DIAGRAMA DE CONCENTRACIÓN DE DEFECTOS Un diagrama de concentración de defectos es un dibujo de la unidad, donde se muestran todas las vistas relevantes, se marcan en el dibujo los diferentes tipos de defectos, y el finalmente se analiza para determinar si la localización de los defectos en la unidad transmite cualquier información útil sobre las causas potenciales de los defectos. Cuando los datos de los defectos se representan en un diagrama de concentración de defectos para u número suficiente de unidades, es común que surjan patrones y la localización de estos patrones suele contener mucha información sobre la causa de los defectos. En la siguiente figura se muestra un diagrama de concentración de defectos en la etapa de ensamblaje final de un proceso de fabricación de refrigeradores:

Parte Superior

Lado Izquierdo

Parte posterior Frent Control estadístico de la calidad eIngeniería industrial Universidad Del Magdalena

Lado Derecho

46

HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

Parte inferior

En este diagrama se puede observar los defectos de terminado superficial que se identifican como las áreas sombreadas oscuras en el refrigerados. Al inspeccionar el diagrama parece claro que el manejo de material es el causante de la mayoría de estos defectos. La unidad se mueve fijando un cinturón en la parte media y este cinturón está muy flojo(o muy apretado), desgastado, está hecho de un material abrasivo o es demasiado angosto. Además, cuando la unidad se mueve se están dañando las esquinas. Es posible que la fatiga del trabajador sea un factor en este proceso. De cualquier modo, los métodos de trabajo apropiados y el manejo mejorado de los materiales probablemente mejorarán este proceso sustancialmente.

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47

Capitulo

3

CAPACIDAD DEL PROCESO

Las técnicas estadísticas pueden ayudar durante el ciclo del producto a reducir la variabilidad y a mejorar la capacidad de los procesos, para cuantificar la variabilidad del proceso, para analizar esta variabilidad respecto de los requerimientos o especificaciones del mismo.

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48

CAPACIDAD DEL PROCESO

3 ANÁLISIS DE CAPACIDAD DEL PROCESO El análisis de la capacidad del proceso es un paso básico dentro de cualquier programa de control de calidad. Su objetivo es tratar de analizar hasta qué punto pueden resultar conformes al proyecto los artículos producidos mediante un proceso. El objetivo del análisis de capacidad es determinar la variación natural de un proceso cuando se han minimizado los efectos de todos los factores ajenos y que no contribuyen al mismo. Además en la variación natural, hay dos factores que influyen en la capacidad del proceso; en primer lugar, las tolerancias y especificaciones del producto y, en segundo, las mismas tolerancias y especificaciones en la medida en que afectan a la producción. 3.1 

 









DEFINICIONES BASICAS Proceso: Éste se refiere a alguna combinación única de máquinas, herramientas, métodos, materiales y personas involucradas en la producción. Capacidad del proceso: Es la aptitud del proceso para producir productos dentro de los límites de especificaciones de calidad. estado de control:  Un proceso se dice que se encuentra bajo control estadístico si sólo se ve afectado por un conjunto de causas aleatorias de variación  Si el proceso se encuentra afectado por causas asignables de variación, se dice que está fuera de control Capacidad medida: Esto se refiere al hecho de que la capacidad del proceso se cuantifica a partir de datos que, a su vez, son el resultado de la medición del trabajo realizado por el proceso. Capacidad inherente: Se refiere a la uniformidad del producto que resulta de un proceso que se encuentra en estado de control estadístico, es decir, en ausencia de causas especiales o atribuibles de variación. Variabilidad natural: Los productos fabricados nunca son idénticos sino que presentan cierta variabilidad, cuando el proceso está bajo control, solo actúan las causas comunes de variación en las características de calidad. Valor Nominal:Las características de calidad tienen un valor ideal óptimo que es el que desearíamos que tuvieran todas las unidades fabricadas pero que no se obtiene, aunque todo funcione correctamente, debido a la existencia de la variabilidad natural.

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49

CAPACIDAD DEL PROCESO

3.2

CAPACIDAD DEL PROCESO

La capacidad del proceso es la forma en que se compara la variabilidad inherente de un proceso con las especificaciones o requerimientos del producto. Se utiliza este método estadístico para medir el funcionamiento de un proceso. Se dice que un proceso está funcionando bajo control estadístico cuando las únicas causas de variación son causas comunes (naturales). El proceso debe controlarse estadísticamente detectando y eliminando causas especiales (imputables) de variación. El objetivo de este sistema es proporcionar una señal estadística cuando aparezcan causas de variación imputables, es decir, la detección oportuna de la ocurrencia de causas especiales para tomar acciones correctivas antes de que se produzcan unidades defectivas o no conformes, para esto se utilizan las cartas de control en línea (Tema que explicaremos en la siguiente unidad), permitiendo también la estimación de la capacidad o habilidad del proceso y la reducción continua de la variabilidad hasta donde sea posible. La capacidad del proceso se refiere a la uniformidaddel mismo. Evidentemente, la variabilidad del proceso es una medida de la uniformidad de la salida. Se acostumbra tomar la dispersión seis sigma en la distribución de la característica de la calidad del producto como una medida de la capacidad del proceso. A continuación se muestra un proceso para el que la característica de calidad tiene una distribución normal con media μ y desviación estándar σ. Los “límites de tolerancia natural” superior e inferior del proceso son , es decir:

Para una distribución normal, los limites de tolerancia natural incluyen el 99.73% de la variable o dicho en otros términos, solo el 0.27% de la salida del proceso quedara fuera de los limites tolerancia natural. Es necesario recordar dos puntos:  

El valor 0.27% fuera de las tolerancias naturales suena pequeño, pero corresponde a 3.4 partes por millón disconformes. Si la distribución de la salida del proceso no es normal, entonces el porcentaje de la salida que quedara fuera de puede diferir considerablemente de 0.27%.

La estimación de la capacidad del proceso puede estar en la condición de una distribución de probabilidad que tenga una forma, centro (media) y dispersión (desviación estándar) especificados. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

50

CAPACIDAD DEL PROCESO

En el estudio de capacidad del proceso por lo general se miden los parámetros funcionales del producto, no el proceso en sí. Cuando el analista puede observar directamente el proceso y puede controlar y monitorear la colección de datos, el estudio es un verdadero estudio de capacidad del proceso, ya que al controlar la colección de datos y conocer la secuencia en el tiempo de los datos, es posible hacer inferencias en la estabilidad del proceso en el tiempo. Por esta razón, para desarrollar un análisis de capacidad del proceso, es necesario utilizar los siguientes supuestos, o comprobarlos a través de herramientas estadísticas:  

Los datos obtenidos en el desarrollo de un muestreo se ajustan a una Distribución Normal. El proceso se encuentra bajo control estadístico, es decir, es afectado únicamente por su variabilidad natural.

Entre los usos principales de los datos de un análisis de capacidad del proceso se encuentran los siguientes:       

Predecir la medida en que el proceso se apegará a las tolerancias. Brindar asistencia a los responsables del desarrollo y diseño del producto para seleccionar o modificar un proceso. Brindar asistencia para establecer un intervalo entre el muestreo para monitorear el proceso. Especificar los requerimientos de diseño para el equipo nuevo. Seleccionar entre proveedores competidores. Planear la secuencia de los procesos de producción cuando está presente un interactivo de los procesos sobre las tolerancias. Reducir la variabilidad en un proceso de manufactura.

Por tanto, el análisis de capacidad del proceso es una técnica que tiene aplicación en muchos momentos del ciclo del producto, incluyendo el diseño de productos y procesos, la fuente de proveedores, la planeación de la producción o la manufactura y la propia manufactura. En el análisis de capacidad del proceso se utilizan tres técnicas principales: histogramas, graficas de probabilidad, cartas de control y experimentos diseñados.

CAUSAS COMUNES Y ESPECIALES DE VARIACION

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51

CAPACIDAD DEL PROCESO

 Causas Comunes o causas Naturales:La variabilidad natural siempre existe en cualquier proceso de producción, no importa que tan bien diseñado esté. Esta variabilidad natural es denominada causas comunes o aleatorias de variabilidad, es decir:  Inherentes al proceso. Siempre existen.  Esta variación es el efecto de varias pequeñas causas y no puede ser totalmente eliminada.  Cuando la variación es pequeña se dice que el sistema está en estado estable de causas comunes  bajo control estadístico. Ejemplos:   

Variación de materia prima de un proveedor calificado. Vibración de la maquinaria. Cambios en las condiciones de trabajo.

 Causas Asignables o Especiales: Se trata de variaciones en un proceso de producción que pueden atribuirse a causas especificas, es decir:  La variabilidad originada por causas asignables es algo para lo cual se puede determinar una razón.  La magnitud de la variación en estas circunstancias es mayor que la influencia de causas comunes. Ejemplos: • • •

Uso de herramientas inadecuadas Inadecuada materia prima. Errores de los operadores.

Grafica de especificación de Proceso

a) Proceso bajo control estadístico Variabilidad natural

3.3

b) Proceso Fuera de Control Variabilidad especial

INDICE DE CAPACIDAD POTENCIALDEL PROCESO Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

52

CAPACIDAD DEL PROCESO

La capacidad del proceso según se mide con Cp, se refiere a la variación en un proceso alrededor del valor promedio y el índice de Cpk refleja la proximidad de la media actual del proceso al límite de especificación superior (LES) o bien, al límite de especificación inferior (LEI). Uso e interpretación del Índice El índice Cp mide la capacidad potencial, suponiendo que el promedio del proceso es igual al punto medio de los límites de especificación y que el proceso está operando bajo control estadístico. Se puede decir también que es una forma cuantitativa simple para expresar la capacidad del proceso. Su valor está dado a partir de una relación entre la Tolerancia de las especificaciones del proceso, determinadas por petición del cliente, y la variabilidad natural del proceso, para este caso seis sigma ( ).

LSE, representa el límite superior de especificación y LIE el límite inferior. En este orden de ideas, de acuerdo al valor que tome el índice de capacidad , los procesos pueden clasificarse de la siguiente manera: Valor del Cp Cp>1.33

Clase de proceso 1

1
2

0.67
3

Cp<0,67

4

Decisión Más que adecuado Adecuado para el trabajo, pero requiere de un control estricto conforme al Cp se acerca a uno. No adecuado para el trabajo. Un análisis del proceso es necesario. No adecuado para el trabajo. Requiere de seria modificaciones.

Aunque este parámetro es de gran utilidad, su cálculo no toma en consideración dónde se localiza la media del proceso respecto de las especificaciones. El solamente mide la extensión de las especificaciones en comparación con la dispersión seis sigma del proceso. En distintas situaciones su valor puede indicar un proceso más que adecuado, es decir, capaz, pero si la media del proceso no coincide con la media de las especificaciones (Valor Nominal), es muy probable que se encuentre arrojando productos fuera de especificaciones, o sea, no conformes, ya sea por el límite superior o por el inferior. Esta situación se puede apreciar en la siguiente distribución de datos: Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

53

CAPACIDAD DEL PROCESO

Situación en la que el índice

3.4

es ineficaz

INDICE DE CAPACIDAD REAL DEL PROCESO

Uso e Interpretación del Índice Este índice si toma en cuenta el centrado del proceso respecto a las especificaciones, en este caso se denomina Cpk, cuando el índice es ineficaz, es decir, cuando no hay coincidencia entre la media del proceso y la media de las especificaciones, es necesario el uso de , índice conocido también como capacidad real del proceso. De esta manera, es común decir que mide la capacidad potencial del proceso, mientras que la capacidad real. Si el promedio actual es igual al punto medio del rango de especificación, entonces Cpk= Cp. Entre más alto sea el valor de Cpk, más baja será la cantidad de producto que esté fuera del los límites de especificación Se evalúa tomando el mínimo entre los Cp’s correspondientes a cada lado de la media, como sigue, (

) ̅ ̅

A continuación un ejemplo grafico de dos procesos pueden tener un Cpk igual a uno, pero sin embargo no necesariamente están centrados respecto a la media de las especificaciones como se muestra a continuación:

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54

CAPACIDAD DEL PROCESO

Procesos con Cpk = 1 pero con centrado diferente

LIE

LSE

LSE

LIE

Proceso A: CPk=1

Proceso B: CPk=1

Interpretación de los resultados para el valor de los índices de capacidad 1. Proceso Capaz y centrado (

)

2. Proceso potencialmente capaz pero descentrado ( 3. Proceso Incapaz y centrado (

)

)

4. Proceso Incapaz y descentrado (

)

Cada una de estas situaciones en un proceso productivo es presentada a continuación:

Tipos de procesos en relación a su capacidad.

Un supuesto importante subyacente en la discusión de la capacidad del proceso y de los índices es que su interpretación usual se basa en una distribución normal de la salida del proceso. Si la distribución fundamental no es normal, entonces, los enunciados acerca de la porción caída del proceso atribuido a un valor particular pueden estar equivocados 3.5

¿Cómo buscar cantidad de productos no conformes?

Dado que el proceso se ajusta a una distribución normal, la proporción de productos no conformes (%PNC), es el porcentaje de productos por cada límite de la función de densidad de probabilidad Normal que rebasa los límites de especificación. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

55

CAPACIDAD DEL PROCESO

Para el límite superior: ̅̅̅ Luego, (

)

(

)

(

)

Para el límite inferior: ̅̅̅ Luego, (

)

(

)

De esta manera, la cantidad total de productos no conformes es la suma de la proporción por cada uno de los límites. En el momento de hallar , se debe tener en cuenta que si el primer valor es mayor que 1, entonces la proporción de productos no conformes por el límite superior es tan insignificante que no se tiene en cuenta, de igual forma sucede con el segundo valor pero para el porcentaje de productos no conformes por el límite inferior. Para un proceso que genera una proporción de productos no conformes como el siguiente, se tienen algunas alternativas:

LSE

LIE Reducir la desviación estándar

LIE

LSE

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56

CAPACIDAD DEL PROCESO

Cambiar la media y hacer Centramiento

LIE

LSE

Lo ideal sería cambiar ambas

LIE 3.6

LSE

¿Cómo hacer una recolección de datos para hacer un análisis de capacidad o cualquier estudio estadístico?

Para la recolección de los datos se toman k muestras de tamaño n, en un tiempo determinado por días, horas o minutos, según los requerimientos del proceso, la media, la desviación estándar y el recorrido de los datos se obtienen de la siguiente manera:

k 1 2 3 4 5

1 3,4 -

n (Para este caso, 4) 2 3 5,3 2,1 -

4 3,8 -

̅ 3,65 ∑̅

3,2 ̅

∑

̅

Los valores utilizados para realizar el análisis de la capacidad del proceso son ̅ y ̅. El valor de la desviación estándar

se determina de la siguiente manera: ̅

Donde es una constante, su valor depende del tamaño de la muestra y puede tomarse de las tablas de constantes para el manejo de la calidad de un proceso, estas tablas se encuentran en la parte final del módulo (Sección 7). Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

57

CAPACIDAD DEL PROCESO

Es útil la construcción e interpretación de histogramas para el manejo de este tema, este procedimiento es explicado en la sección 2 del módulo. A continuación se dará un ejemplo de un ejercicio de aplicación de la temática tratada. Ejemplo 1: En cierto proceso de maquinado se ha llevado una grafica diámetro de cierta parte.

̅ ̅ sobre el

Después de verificar si el proceso está bajo control estadístico y que los datos se comportan como una distribución normal, se tienen los siguientes datos. ̅

̅

a) Calcule los índices Cp y Cpk y haga un análisis completo de la capacidad del proceso. b) Obtenga la proporción esperada fuera de especificación unilateral y de manera total. c) Calcular el inciso a) y b) con el proceso centrado d) Entre que valores debe oscilar ̅ , de tal manera que la fracción de no conformes sea a lo sumo de 1% (Ventana de Operación). Solución: a) Índices de Capacidad ̅

Se obtuvo de la tabla factores para construir cartas de control para variables.

Como

decimos que el proceso no es capaz Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

58

CAPACIDAD DEL PROCESO

(

)

̅̅̅

̅̅̅

(

)

El es menor que 1 entonces está arrojando productos no conformes por el límite superior. b) %PNC ̅̅̅

( (

)

)

El proceso arroja 1,25% de productos no conformes. Entonces se dice que el proceso no es capaz, no está centrado y arroja 1,25% de productos no conformes. Para reducir la cantidad de productos no conformes arrojados por el proceso, incurriendo en el menor costo, lo recomendable es centrar el proceso, es decir, hacer que coincida la media del proceso con el valor nominal. Esta técnica resulta más económica que la reducción de la variabilidad, que sería lo ideal, aunque muy costosa, pues requiere un análisis riguroso de las 6M de producción (Maquinaria, Mano de Obra, Mediciones, Medio Ambiente, Métodos y Materiales). c) Teniendo en cuenta el ejemplo desarrollado, si centramos el proceso, se tiene:

̅ Con el proceso centrado el ̅̅̅

(

)

Pero como se sale por los dos lados por estar centrado %PNC= 0,003*2 =0,006 Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

59

CAPACIDAD DEL PROCESO

%PNC = 0,6% d) La Ventana de Operación son los valores entre los que puede oscilar , para arrojar a lo sumo una proporción de productos no conformes especificada. En este caso esa proporción de productos es de 1%. Para producción no conforme por el límite superior: ( (

)

)

̅ ̅ ̅

(

)

Para producción no conforme por el límite inferior: (

)

̅ ̅ ̅

(

)

La ventana de operación para una producción de productos no conformes de -. 1% es , Ejemplo 2: Un proceso productivo tiene un

, y está centrado.

a) Estime la proporción de productos no conformes b) Si el proceso esta descentrado a , que valor toman los índices

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y

60

CAPACIDAD DEL PROCESO

Solución a) Como el proceso está centrado %PNC ̅ ̅ ̅

(

)

(

)

Como está centrado está arrojando la misma cantidad de productos no conformes por ambos lados tenemos

b) Si el proceso esta descentrado a ̅ ̅

0

1 ,

-

̅

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61

CAPACIDAD DEL PROCESO

0

0

1⁄

1⁄

EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Un proceso está bajo control con ̅ . Las especificaciones del proceso son . El tamaño de la muestra es . a) Estimar la capacidad potencial. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

62

CAPACIDAD DEL PROCESO

b) Estimar la capacidad real c) ¿Cuánto podría reducirse la porción caída del proceso cambiando la media a la dimensión nominal? Suponer que la característica de calidad tiene una distribución normal. 2) Una fábrica de herbicidas tiene un reactor donde fabrica un producto, el Tx-100. El TX-100 es un ingrediente selectivo que tiene un ingrediente activo el cual al entrar en contacto con la maleza, se libera y la ataca alterando el fenómeno de la fotosíntesis. Ello conduce a que la maleza muera y que el cultivo quede libre. Las especificaciones para el ingrediente activo liberable son: 36%±6%. Se quiere conocer el patrón estadístico del proceso en el reactor y para tal efecto se han tomado datos de los últimos 200 lotes de cada uno de ellos con relación al % del ingrediente activo liberable y se le han construido los respectivos histogramas. Haga un análisis estadístico exhaustivo sobre la capacidad del proceso, para cada uno de los reactores. Se anexa cuadro extraído del histograma. INTERVALO

Fi

[30,6433-31,0382] [31,0382-31,4331] [31,4331-31,8280] [31,8280-32,2229] [32,2229-32,6178] [32,6178-33,0127] [33,0127-33,4078] [33,4078-33,8025] [33,8025-34,1974] [34,1974-34,5923] [34,5923-34,9872] Total

1 0 4 14 43 51 44 25 14 4 0 200

¿Entre que valores puede oscilar ̅ de tal manera que la fracción de no conforme sea a lo sumo 10%? De los lotes no conforme que exceden el límite superior de especificación el 60% de ellos se pueden reprocesar a un costo unitario de 80u.m y quedan aceptables. Los lotes no conforme por el límite inferior son reprocesables en un 90% y ocasionan un costo unitario adicional de 30u.m. el costo de producción de cada lote es de 300u.m; ¿Cuánto cuesta producir un lote conforme?.

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CAPACIDAD DEL PROCESO

3) Un proceso está bajo control estadístico con parámetros ̅ y desviación . Las especificaciones son . Entre que valores puede oscilar ̅ de tal manera que la fracción no conformes sea a lo sumo 4%. De los artículos no conformes que excedan el límite de especificación superior, el 70% se pueden reprocesar a un costo unitario de 80 u.m. y quedan aceptables. Los artículos no conformes por el límite inferior no son reprocesadles y ocasionan un costo unitario de 30u.m. el costo de producción de cada artículo es de 250u.m. ¿Cuánto cuesta producir un artículo conforme? 4) Aceros S.A. produce laminas de acero se 3mm de espesor y 1200 mm de ancho, característica que se considera la más relevante por el cliente debido al uso que se puede dar. Por esta se implementa un programa de control con esta característica de calidad con una muestra n=, la carta y su media es ̅ y el promedio de la carta rango ̅ . Las especificaciones requeridas por la lámina son mm para el ancho de las láminas. El costo de producción de las láminas es 11000u.m. por políticas de la empresa por cada lamina que cumpla con las especificaciones, se obtiene una utilidad del 35% sobre costos de producción. Las láminas que no cumplan las especificaciones por el límite superior perdiendo el 10% del precio de venta de la lámina. Por cada lámina que no cumple por el límite inferior se obtiene solo una utilidad del 15%. La empresa recibe un pedido de 1000 láminas. a) b) c) d)

Cuál es su opinión sobre la capacidad del proceso Calcular la fracción productos no conformes del proceso Qué debo hacer para reducir la cantidad de productos no conformes De acuerdo al numeral anterior calcule el precio de venta promedio de cada lamina e) Cual debe ser el corrimiento de la media para que se genere en total un 30% de productos no conformes. 5) Un proceso tiene un índice de capacidad , pero la media esta, dos desviaciones típicas por encima del límite superior de especificación. ¿Cuál es la probabilidad de fabricar un producto dentro de los límites de especificación? 6) Arturito S.A., fabrica tubos de aluminio. Para tener el proceso bajo control estadístico emplea un gráfico XbarraR. Se encontró que el promedio de los promedios de las muestras es 105 mm, tomando muestras de tamaño 5, y el promedio de los promedios fue de 12 mm. Las especificaciones del diámetro de los tubos, es de y si una unidad es defectuosa por el LSE es reprocesada a un costo de 35 Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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CAPACIDAD DEL PROCESO

u.m. y solo el 77% de estas queda como producto conforme. Además producir una unidad cuesta 250 u.m. El precio de venta es de 400 u.m. a) Actualmente, ¿cuál es la cantidad de productos no conformes del proceso? b) ¿Cómo podría mejorarse la situación actual? ¿En cuánto se reduce? c) ¿Qué corrimientos serían permitidos en la media del proceso, para que se genere un 8% de productos no conformes? d) ¿Según la capacidad del proceso que tipo de proceso es? e) Si los costos y gastos fijos de la empresa son de 150.000 u.m., ¿Cuál es el punto de equilibrio de la empresa? Tenga en cuenta que una unidad defectuosa se puede rematar a 60% del costo de producción 7) Un proceso está bajo control estadístico con ̅ , las especificaciones del proceso son 95±10. La característica de la calidad tiene una distribución normal. a) Estimar la capacidad potencial b) Estimar la capacidad real c) Cuanto podría reducirse la porción de productos no conformes si la media del proceso toma el valor nominal. 8) Un proceso de llenado de bolsas de harina está generando en total 15% de productos no conformes con relación al peso mínimo y máximo de la bolsa llena. La cantidad de productos no conforme por uno de los límites de especificación es el doble con relación a la cantidad de productos no conformes que se generan por el otro limite de especificación. a) Calcule la capacidad general del proceso b) Calcule la capacidad real del proceso c) Repetir a y b si el 15% total de no conformes se genera en igual proporción por cada uno de los límites de especificación. 9) Los planos de un ajuste eje-agujero indican una tolerancia ISO 40H8/f7, que fija los siguientes limites de tolerancia (en mm): Agujero: Eje: Por los requerimientos de servicio del ajuste, esta tolerancia tiene siempre juego positivo:

(

) Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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CAPACIDAD DEL PROCESO

El proceso de torneado del desviación típico desviación típica

eje se realiza con un torno y tiene una y el fresado del agujero tiene una .

a) Calcule los de los procesos de mecanizado. b) ¿Cuál es la desviación típica del juego? Justifique la respuesta. c) Se está estudiando reducir la variación admitida al juego a un 75% de la actual, manteniendo el juego medio. Si se mecanizan los ejes y los agujeros en el centro de sus respectivos intervalos de tolerancia, ¿Qué fracción de los ajustes fabricados no cumplirían los nuevos criterios impuestos al juego? d) Si se pretende disminuir la fracción defectuosa con los nuevos criterios impuestos al juego, ¿Qué sería más eficaz, mejorar el proceso de torneado del eje o el de fresado del agujero? Justifique la respuesta. Observaciones: Como se puede observar, en este tipo de ajustes, el nominal está fuera del intervalo de tolerancias. El juego se define como la diferencia de la dimensión del agujero y del eje.

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66

Capitulo

4

CARTAS DE CONTROL

Una carta de control es un gráfico en el que se representa el comportamiento de un proceso en el tiempo.El objetivo principal de los gráficos de control es detectar lo antes posible cambios en el proceso que puedan dar lugar a la producción de unidades defectuosas.

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67

CARTAS DE CONTROL

4 CARTAS DE CONTROL 4.1 GENERALIDADES: Las cartas de control son la herramienta más poderosa para analizar la variación en la mayoría de los procesos. Han sido difundidas exitosamente en varios países dentro de una amplia variedad de situaciones para el control del proceso. Las cartas de control enfocan la atención hacia las causas especiales de variación cuando estas aparecen y reflejan la magnitud de la variación debida a las causas comunes. Se dice que un proceso está bajo Control Estadístico cuando presenta causas comunes únicamente, cuando ocurre esto tenemos un proceso estable y predecible. Cuando existen causas especiales el proceso está fuera de Control Estadístico; las gráficas de control detectan la existencia de estas causas en el momento en que se dan, lo cual permite que se puedan tomar acciones al momento. TIPOS DE CAUSAS Causas asignables (causas especiales): Son causas que pueden ser identificadas y que se necesitan descubrir y eliminar, por ejemplo, una falla de la maquina por desgaste de una pieza, un cambio muy notorio en la calidad del plástico, etc. Estas causas provocan que el proceso no funcione como se desea y por lo tanto es necesario eliminarlas para lograr el correcto funcionamiento del proceso. Estas variaciones no son normales, no pertenecen al proceso y no serán aceptadas. El objeto del Control estadístico de Calidad, es encontrar y separar las Causas Asignables. (Aun cuando no estén causando defectos). Estas causas se comportan de manera irregular e inestable en el tiempo, por lo que resultan imprevisibles. Cuando los puntos se encuentran fuera de los límites de control o muestran una tendencia particular, decimos que el proceso está fuera de control, y esto es debido a las Causas Asignables. Causas no asignables o fortuitas (Causas comunes): La característica principal que define a este tipo de causas es que Actúan constantemente, de una forma estable, provocando una variabilidad homogénea y sobre todo previsible. Son causas que aparecen y desaparecen de forma aleatoria, produciendo una variabilidad regular que podemos disminuir pero no eliminar. Este tipo de causas son inevitables en el proceso y tratar de eliminarlas puede resultar estéril y en la mayoría de los casos extremadamente caro. Por lo que no pueden ser reducidas o eliminadas a menos que se modifique el proceso. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

68

CARTAS DE CONTROL

Por otra parte estas variaciones dentro de ciertos límites pueden ser totalmente tolerables y no causan reales disminuciones en la calidad del producto. Estas variaciones se aceptan y se les consideran inherentes al proceso. Cuando el proceso trabaja afectado solamente por un sistema constante de variables aleatorias no controladas (causas no asignables) se dice que está funcionando bajo control estadístico. Principios básicos A continuación s muestra una carta de control típica, que representa alguna característica de calidad de un producto.

Car ac ter ística de la calidad muestral.

Figura 1.

Numer o de muestr as o tiempo

La carta contiene, una línea central (LC), que representa el valor promedio de la característica de calidad que corresponde al estado bajo control(es decir cuando únicamente están presentes causas fortuitas.) También se muestran dos líneas horizontales, llamadas límite de control superior (LCS) y limite de control inferior (LCI). Estos límites de control se eligen de tal modo que si el proceso está bajo control, casi todos los puntos muéstrales se localizan entre ellos. En tanto los puntos graficados se localicen dentro de los límites de control, se supone que el proceso está bajo control y no es necesaria ninguna acción. Sin embargo, puede ocurrir que todos los puntos se encuentran dentro de los límites de control, pero si su comportamiento ocurre de manera sistemática o no aleatoria, podría ser un indicio de que el proceso se encuentra fuera de control. Estos y otros comportamientos se estudiaran más adelante. 4.2 OBJETIVOS DE LAS CARTAS DE CONTROL.     

Estandarizar los procesos. Verificar si el proceso está bajo control estadístico. Ayudar a reducir la variabilidad. Monitorear el proceso. Inferir sobre tendencias futuras. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

69

CARTAS DE CONTROL

 Proveer evidencias de problemas de calidad.  Ofrecer información confiable para tomar acciones oportunas. Cuando un proceso está en control estadístico puede predecirse su desempeño respecto a las especificaciones. En consecuencia, tanto el productor como el cliente pueden contar con niveles consistentes de calidad y ambos pueden contar con costos estables para lograr ese nivel de calidad. 4.3 CARTAS DE CONTROL Y PRUEBA DE HIPÓTESIS. Existe una estrecha relación entre las cartas de control y la prueba de hipótesis; si decimos que:

Cuando un punto se localiza dentro de los límites de control es equivalente a no poder rechazar la hipótesis de control estadístico, y cuando un punto se localiza fuera de los límites de control es equivalente a rechazar la hipótesis de control estadístico. Por otro lado en las cartas de control, pueden ocurrir dos tipos de riesgo o errores. Decir que el proceso esta fuera de control, cuando en realidad no lo esta, es decir.

  PError tipo I



 PRechazar H 0 H 0 es verdadera



2

2

  0

Decir que el proceso está bajo control, cuando en realidad no

b

lo está. Es decir.

b  PError tipo II

 PNo rechazar H 0 H 0 es falsa 

  0 Así mismo el error tipo 1 representa el complemento de la confiabilidad con la que se maneja la prueba de hipótesis y el error tipo 2 el complemento de la potencia que tiene la carta para detectar puntos por fuera de los límites de especificación. Entonces: Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

70

CARTAS DE CONTROL

La potencia: La confiabilidad:

*

;es ; es

| *

+ |

+

Estos riesgos son inversamente proporcionales, puesto que cuanto más confiable se es, la potencia disminuye, y cuanto más potente se es la confiabilidad es menor. Abriendo los límites de control decrece riesgo de error tipo I (falsa alarma) sin embargo se incrementa el riego de error tipo II y viceversa. Con límites de control de 3-sigma la probabilidad de error tipo I es de 0.0027.

4.4 ANALISIS DE PATRONES EN LAS CARTAS DE CONTROL Una carta de control puede indicar una condición fuera de control aún cuando ningún punto particular se localice fuera de los límites de control, cuando el patrón que forman los puntos graficados muestra un comportamiento no aleatorio o sistemático. En muchos casos, el patrón de los puntos graficados proporcionará información de diagnostico útil sobre el proceso, y esta información puede usarse para realizar modificaciones que reduzcan la variabilidad. Estos patrones ocurren con bastante frecuencia y su eliminación es necesaria para poner el proceso bajo control. En general, los gráficos de control se limitan a registrar la variabilidad existente. Nuestra labor consistirá en interpretar la información que nos proporcionan, identificando las posibles variaciones y anomalías que pueden presentarse y aplicando las medidas convenientes en cada caso. A continuación se muestran los patrones más comunes en las cartas de control. Punto fuera de control Un punto único fuera de los límites de control casi siempre se produce por una causa especial. Una razón común por la que un punto cae por fuera de un límite de control, es un error en el cálculo de ̅ para la muestra. Cada vez que esto ocurra, se deberán revisar los cálculos. Otras causas posibles son una interrupción de energía repentina, una herramienta descompuesta, un error en la medición o una operación incompleta u omitida del proceso.

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CARTAS DE CONTROL

M E D I D A S C A L I D A D

LSC

Región de control, captura la variación natural del proceso original

LIC

Tendencia del proceso Causa Especial

El proceso ha cambiado

identifcada

TIEMPO

Proceso con puntos fuera de control Tendencias: Se pueden presentar tendencias hacia arriba o hacia abajo en las cartas de control (ascendentes o descendentes), se considera que 7 puntos o más indican una situación fuera de control. Las tendencias suelen deberse al desgaste o deterioro gradual de una herramienta o de algún otro componente crítico del proceso, también pueden ser resultado de causas humanas, tales como fatiga del operador o la presencia del supervisor así como resultar de influencias estacionales, como la temperatura.

Proceso fuera de control por tendencias

Corrimiento en la media del proceso:un número inusual de puntos consecutivos que caen a un lado de la línea central casi siempre es una indicación de que el promedio del proceso se desplazo de forma repentina. Una regla sencilla para detectar el cambio es que si 8 puntos consecutivos caen en un lado de la línea central, se podría llegar a la conclusión de que la media cambio. Este corrimiento puede ser generado por un cambio en métodos, operadores, materias primas, métodos de inspección, etc.

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CARTAS DE CONTROL

LSC

LC

LIC

Patrón de anormalidad con corrimiento de la media Estratificación:ocurre cuando casi todos los puntos caen cerca de la línea central y se muestra como una adhesión a la media. Esto puede ser causado por límites mal calculados, tomar piezas de procesos diferentes o falta de resolución del equipo de medición. LSC

LC

LIC Patrón de anormalidad de “estratificación” Patrones cíclicos: los ciclos son patrones cortos repetidos, que alternan crestas elevadas y valles bajos. Son el resultado de causas que vienen y van en forma regular. LSC

LC

LIC

Patrón de anormalidad cíclico Mezclas de lotes: Se presenta cuando los puntos graficados se localizan cerca o fuera de los límites de control, con muy pocos puntos cerca de la línea central, puede ser causada por un sobre control de los operadores sobre el proceso o cuando se toman productos de varias fuentes con diferente media. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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CARTAS DE CONTROL

LSC

LC

LIC

Patrón de anormalidad con mezcla de lotes

Para reconocer un patrón de comportamiento no sólo se requiere conocer las técnicas estadísticas, sino también tener un conocimiento profundo del proceso. En resumen los patrones de anormalidad más comunes son:  Un punto fuera de los límites de control.  Siete puntos formando una tendencia ascendente o descendente.  Dos de tres puntos a más de dos sigma de la línea central en el mismo lado.  Cuatro de cinco puntos consecutivos que se encuentren a una distancia de 1-sigma o más allá a partir de la línea central.  Catorce puntos alternándose arriba y debajo de la media.  Quince puntos consecutivos encontrados entre más menos 1-sigma de la línea central (adhesión a la media).  Un patrón no usual o no aleatorio de datos. Hay que tener cuidado de no exagerar en la aplicación de las reglas ya que se pueden tener muchas falsas alarmas. 4.5 CONDICIONES NECESARIAS PARA APLICAR LAS CARTAS DE CONTROL Para que tenga sentido la aplicación de los gráficos de control, el proceso ha detener una estabilidad suficiente que, aún siendo aleatorio, permita un cierto grado de predicción. En general, un proceso caótico no es previsible y no puede ser controlado. A estos procesos no se les puede aplicar el gráfico de control ni tiene sentido hablar de capacidad. En lo sucesivo, se supondrá que los procesos tienen un cierto grado de estabilidad. Podemos distinguir dos casos: Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

74

CARTAS DE CONTROL

 El proceso está regido por una función de probabilidad cuyos parámetros permanecen constantes a lo largo del tiempo. Este sería el caso de un proceso normal de media constante y desviación típica constante. Este es el caso ideal y al que se pueden aplicar los gráficos de control para detectar la presencia de causas asignables.  El proceso está regido por una función de probabilidad alguno de cuyos parámetros varía ligeramente a lo largo del tiempo. Este sería el caso de un proceso normal cuya media varía a lo largo del tiempo (por ejemplo, una herramienta de corte que va desgastando la cuchilla de corte). Estrictamente hablando, este desgaste de la herramienta sería una causa especial; sin embargo si puede conocerse la velocidad de desgaste, podría compensarse resultando un proceso análogo al caso anterior. Debe tratar de conocerse todo lo que sea posible de los fundamentos tecnológicos del proceso, ya que puede dar pistas sobre el tipo de distribución que seguirán los datos. En ningún caso debe “darse la normalidadporsupuesta”. Debe comprobarse y en caso de que los datos no sean normales, deben aplicarse métodos especiales. 4.6 TIPOS DE CARTAS DE CONTROL En general, los gráficos de control dirigen la atención hacia las causas especiales y hacia la magnitud de la variación. Aportan pruebas de que el proceso está bajo control estadístico. Se pueden analizar en ellos tanto variables como atributos. Según las características a estudiar, los gráficos de control se pueden clasificar de la siguiente manera: 4.6.1 CARTAS DE CONTROL PARA VARIABLES Muchas características de calidad pueden expresarse en términos de una medición numérica, por ejemplo, el diámetro de un rodamiento podría medirse con un micrómetro y expresarse en milímetros. A una característica particular medible de la calidad, tal como una dimensión, peso o volumen se le llama variables. Cuando se trata con una característica de la calidad que es una variable, por lo general es necesario monitorear tanto el valor medio de la característica de calidad como su variabilidad. El control del promedio del proceso, o nivel de calidad medio, suele hacerse con la carta de control para medias, o carta ̅ . Por su parte la variabilidad del proceso puede monitorearse con una carta de Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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CARTAS DE CONTROL

control para la desviación estándar, llamada carta S, o bien con una carta de control para el rango, llamada carta R. Por lo que tenemos: ̅

  

Las cartas ̅ y R (ó S) se encuentran entre las técnicas estadísticas de monitoreo y control de procesos en línea más importantes y útiles. Cartas de Medias/Rangos ( ̅

)

El conjunto de estos dos gráficos es el procedimiento de control estadístico de proceso más utilizado. Su uso es demandado cuando se tiene una característica en particular que se desea controlar, puesto que estos gráficos se utilizan cada vez para una sola característica. La carta ̅ monitorea la variabilidad entre las muestras (la variabilidad del proceso con el tiempo) y la carta R mide la variabilidad dentro de las muestras (la variabilidad instantánea del proceso en un tiempo dado). Estas cartas se grafican de forma separada, pero su análisis es conjunto, solo el hecho de que una no cumpla los requisitos o criterios establecidos, indica que el proceso no se encuentra bajo control estadístico. Procedimiento Paso 1: Recolectar los datos. Los datos son el resultado de la medición de las características del producto, los cuales deben de ser registrados y agrupados.

 

Paso 2: Calcule el rango promedio  R  y la media del proceso X .

R  X mayor  X menor R

R1  R2  ......RK K

X

X 1  X 2  .......X K K

Paso 3: estime la desviación

para ̅

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76

CARTAS DE CONTROL

̅

Paso 4: Calcule los límites de control Los límites de control son calculados para determinar la variación de cada subgrupo, están basados en el tamaño de los subgrupos y se calculan de la siguiente forma: Limites de control para la carta R ̅ ̅ ̅

Limites De Control para la Carta ̅ ̅

|

|

̅

|

|

√

̅ √ Limites De Control para la Carta ̅ trabajando con (

)

̅ ̅

̅ ̅ ̅ (

√

)

Nota: Las constantes A2, d2, D3 y D4 se encuentran tabuladas en función de n para facilitar el cálculo de los límites de control, en las tablas de constantes para gráficos de control. Paso 5: Trace la gráfica de control y analícela. Dibuje las líneas de promedios y límites de control en las gráficas. Marcar los puntos en ambas gráficas y unirlos para visualizar de mejor manera el comportamiento del proceso. Estructura de una carta de control ̅ Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

77

CARTAS DE CONTROL

Estructura de una carta de control

Análisis de la carta ̅ Al determinar si un proceso está bajo control estadístico, siempre se analiza primero la grafica R. Debido a que los límites de control de la carta ̅ dependen del rango promedio. Sin embargo es importante aclarar que el análisis de estas cartas es conjunto. Los limites de control representan el rango en que se espera se ubiquen todos los puntos; si el proceso está bajo control estadístico. Si cualquiera de los puntos cae fuera de los límites de control o si se observa algún patrón fuera de lo común, es posible que alguna causa especial haya afectado el proceso y éste se deberá estudiar para determinar la causa. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

78

CARTAS DE CONTROL

Cuando existen puntos fuera de los límites de control, es necesario revisarlos examinando cada uno de los puntos por fuera y buscando una causa asignable. Si no se encuentra una causa asignable, el punto se descarta y los limites de control se calculan de nuevo utilizando únicamente los puntos restantes. Luego es necesario volver a examinar para el control, porque con el cambio, los límites de control se tornan más estrechos y es posible que los puntos que inicialmente estaban bajo control ahora no lo estén. Este proceso se realiza hasta que todos los puntos estén bajo control y se hace tantas veces como sea necesario. Por otro lado cuando muchos puntos se localizan fuera de control, no es recomendable eliminarlos de manera arbitraria porque se tendrá una situación insatisfactoria, ya que quedarían pocos datos con los cuales volver a calcular límites de control confiables. Este enfoque ignoraría mucha información útil contenida en estos datos. Además es poco probable que la búsqueda de una causa asignable para cada punto fuera de control sea exitosa. Para estos casos lo mejor es concentrarse en el patrón que forman estos puntos. Generalmente, es sencillo identificar la causa asignable asociada con el patrón de puntos fuera de control. Una vez que se establece un conjunto de límites de control confiables, la carta de control se usa para monitorear la producción futura. Limites de control, especificación y tolerancia natural Algo que debe tenerse muy claro es que no hay ninguna relación entre los límites de control de la carta ̅ y los limites de especificación del proceso. Pues los limites de control están regidos por la variabilidad natural del proceso (medida por la desviación estándar del proceso), es decir, por los limites de tolerancia natural del proceso. La determinación de los límites de especificación es externa. Pueden ser establecidos por la administración, por los ingenieros de manufactura, por los desarrolladores/diseñadores del producto, teniendo en cuenta las necesidades de los clientes. Es necesario conocer la variabilidad inherente cuando se establecen las especificaciones, pero recuérdese que no existe ninguna relación matemática o estadística entre los límites de control y los limites de especificación Monitoreo de un proceso a través de una carta En el monitoreo de un proceso, una carta detecta un cambio en la media, dependiendo del tamaño de este. Si es considerablemente grande su detección será inmediata, de lo contrario la potencia de la carta será menor. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

79

CARTAS DE CONTROL

A este cambio en la media lo llamaremos corrimiento, y su valor será determinado por: |̅

̅|

Donde ̅ es el nuevo valor de la media, después que el corrimiento tuvo lugar. Es importante tener claro que dos procesos no se pueden evaluar si no se encuentran bajo las mismas circunstancias, es decir, solo se pueden comparar cuando presentan un mismo corrimiento y una misma desviación. Por otro lado, la potencia o capacidad que tiene la carta para detectar un cambio en la media del proceso se calcula de la siguiente manera. Si el corrimiento fue hacia el límite superior, se tiene: |

(

|

√ )

Si por el contrario, fue hacia el límite inferior, se tiene: (

√ )

Donde es una relación entre el corrimiento y la desviación estándar del proceso, a saber:

El valor de n dado en esta ecuación, es distinto al tamaño de la muestra para la toma de datos y análisis del proceso, pues ahora indica el tamaño de la muestra utilizada en el monitoreo. Si se desea conocer la probabilidad de que la carta detecte el corrimiento en la media en una muestra determinada, este puede ser calculado de la siguiente manera: Sea X, el evento en el cual se detecta el corrimiento de la media en la muestra k, se tiene ( ) De la misma manera, si se desea conocer el valor esperado de productos no conformes generados hasta llegar a una muestra k, se puede hallar, inicialmente, determinando la cantidad generada en el tiempo que se toman las muestras para el monitoreo (PNC), y se aplica la siguiente ecuación: (

)

(

)

(

Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

)

(

)

80

CARTAS DE CONTROL

Un parámetro importante para el monitoreo del proceso, es el tamaño de la muestra a monitorear, esta se puede determinar haciendo uso de la siguiente ecuación: | | | | * + Finalmente, existe un factor que mide el número de muestras que es necesario analizar antes de encontrar puntos por fuera de los límites de control, este factor se conoce como longitud promedio de corrida (LDP). Su valor se calcula de la siguiente manera: Sea ( ) la probabilidad de encontrar puntos por fuera de los límites de control Trabajando con alfa en los límites de control de la carta ̅ ( )

( )

Trabajando con alfa medio en los límites de control de la carta ̅ ( )

( )

Cartas de Medias/Desviaciones ( ̅

)

Aún cuando es muy común la utilización de las cartas ̅ , en ocasiones es deseable estimar la desviación estándar del proceso directamente, en vez de indirectamente mediante el uso de rango R. Esto lleva a las cartas de control para ̅ , donde S es la desviación estándar. En general las cartas ̅ son ̅ preferibles a sus contrapartes familiares, las cartas , cuando:  El tamaño de la muestra n es moderadamente grande.  Cuando el tamaño de la muestra n es variable. El procedimiento para realizar las cartas de control ̅ es similar al de las cartas ̅ la diferencia consiste en que el tamaño de la muestra puede variar y es mucho más sensible para detectar cambios en la media o en la variabilidad del proceso. Mientras la Carta X monitorea el promedio del proceso para vigilar tendencias, la Carta S monitorea la variación en forma de desviación estándar. Establecer y operar las cartas de control ̅ requieren aproximadamente la misma secuencia de pasos que para la carta ̅ . Las formulas a utilizar son: √

∑

(

̅) Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

81

CARTAS DE CONTROL

̅ ̅ Limites de control cartas ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (

√

)

Limites de control Carta ̅ ̅ ̅ ̅

EJEMPLOS: Ejemplo 1 La empresa Magdalena S.A. fabrica repuestos para una ensambladora automotriz. Las especificaciones de la ensambladora son milimetros. El departamento de calidad utiliza una carta X barra para monitorear el proceso con muestras de tamaño 5. El riesgo de que una carta me indique que la media del proceso ha cambiado siendo que no ha cambiado es de 0,012. Los límites de control de la carta son 12,5 milímetros y 14,5 milímetros. a) Calcular el % de productos no conformes que produce Magdalena S.A. b) Si se acepta a lo sumo 12% de productos no conformes, ¿Cuánto es la probabilidad de que una carta con , detecte el cambio en la media del proceso cuando se está produciendo el porcentaje de productos no conformes fijado anteriormente? c) ¿Qué pasa con de la carta del inciso b) si trabajamos con de ? Justifique su respuesta.

en lugar

Datos:

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82

CARTAS DE CONTROL

Para la carta ̅ :

SOLUCION: a) ̅ NOTA: Siempre es recomendable trabajar con ⁄ pues la carta se hace más potente, ya que los límites de la misma se tornan más estrechos, no obstante es opción del estudiante trabajar con alfa.

. Los límites de control se

Conociendo el valor LCS podemos calcular trabajan con ⁄ . ̅

|

⁄

|

̅)

( √

| (

⁄

(

{

}

(

)

⁄

|

) √ |

|

{

√

) ̅ ̅

,

(

)

-

*

}

+

Como

decimos que el proceso esta descentrado. Además, lo cual nos indica que el proceso está arrojando productos no conformes por el límite superior. Ahora procedemos a determinar el porcentaje de PNC. (

)

(

)

Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

(

̅

)

83

CARTAS DE CONTROL

(

b) Si:

(

)

,

y

)

:

Dado que los productos no conformes se están presentando por el límite superior y entonces el valor de Z es:

A partir del valor de Z podemos hallar el nuevo valor de la media: ̅ ̅

̅

( |̅

̅|

̅

) |

|

La potencia con la que la carta detectaría el cambio en la media es: |

( .

|

|

√ )

(

√ )/

|

|

|

|

(

|

)

c) Sabemos teóricamente que mientras más grande sea el tamaño de la muestra, más confiable es el resultado del monitoreo. También sabemos que el error tipo I ( ) es el complemento de la confiabilidad de la carta ( ), por lo tanto si n aumenta, la carta se hace más confiable y por consiguiente será menor. Esto se comprueba a continuación: | *

|

|

|

|

|

+

|

|

√

|

| |

(

)

√

|

|

|

Por tabla de Distribución Normal tenemos que para Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

:

84

CARTAS DE CONTROL

Como podemos ver, el valor de disminuyó con respecto al valor dado en el inciso b) y esto es, como se dijo anteriormente, por el aumento que se dio en el tamaño de la muestra. Ejemplo 2 FIBRAS S.A.es una empresa dedicada a la fabricación de piezas en materiales compuestos a base de fibra de vidrio, kevlar y fibra de carbono. Sus clientes son empresas de alta tecnología que precisan incorporar a sus diseños componentes con un elevado límite elástico y bajo peso. Las exigencias de estos clientes son cada vez mayores y las especificaciones impuestas a la pieza son 7,5 uf y 12,5 uf. FIBRAS S.A.es licenciataria de una empresa norteamericana, AMERICAN COMPOSITES, Inc.,que es quien aporta el know-how. En este acuerdo los técnicos de AMERICAN COMPOSITESrealizaron el diseño de los procesos de fabricación, formaron al personal de FIBRASy aportaron toda la documentación técnica necesaria para operar los procesos de fabricación, además estabilizaron el proceso con 50 muestras de tamaño 5, arrojando como resultado una media de 10,2 uf y un rango promedio de 1,93 uf. A partir de ese momento, los técnicos de FIBRAS S.A se hicieron cargo de la operación de la planta, monitoreando el proceso con muestras de tamaño n=7. Además, AMERICAN COMPOSITESrealiza una auditoría anual de los procesos, comprobando que éstos se llevan a cabo sin desviaciones de las instrucciones técnicas. Recientemente FIBRAS S.A está en negociando un importante contrato de suministro de componentes. De momento se encuentran en la fase de aprobación del prototipo. Para ello debe presentar unos prototipos, acompañados de sus protocolos de ensayos, en los que se debe indicar el valor medio de la característica de calidad, con un nivel de confianza del 95%. FIBRAS S.A. está en capacidad de producir 25000 piezas por jornada laboral. Se trabaja durante 3 turnos las 24 horas del día, y las muestras para el monitoreo se toman cada 30 minutos. Si la media del proceso cambia se cambia a un valor de 11,1 uf:

a) Realice un análisis de la capacidad del proceso y calcule la probabilidad de que el cambio en la media se detecte entre las primeras 5 muestras (a partir del momento en que dicho cambio tuvo lugar). Calcular el valor esperado de productos no conformes fabricados hasta el momento. b) Hay una disminución en la media del proceso en 0,8 uf. Diseñe una carta X barra que detecte con una probabilidad del 90%, el cambio en Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

85

CARTAS DE CONTROL

alguna de las 3 muestras consecutivas a partir del cual el cambio tuvo lugar y con riesgo tipo 1 de 0,06. c) Si la media del proceso cambiara a 10,8 uf, ¿Cuál es el mínimo valor que puede tomar el CP general del proceso, tal que por lo menos el 95% de los artículos producidos sean conformes? SOLUCION: Datos:

̅ ̅

̅ ̅

a)

Análisis de la capacidad del proceso con la media original: ̅

{

} ̅

̅

El proceso esta descentrado y arrojando productos no conformes por el límite superior.

Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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CARTAS DE CONTROL ̅

 (

) ̅

 (

) 

Análisis de la capacidad del proceso con la media corrida: ̅

{

} ̅

̅

El proceso esta descentrado y arrojando productos no conformes por el límite superior. ̅

 (

) ̅

 (

) 

Ahora calculamos la probabilidad de detectar el cambio en las primeras 5 muestras: |

( |

|

|

|

|

|

√ ) |

Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

87

CARTAS DE CONTROL

|

|

(

√ )

(

)

(

)

El valor esperado de productos no conformes con ̅ (

) (

(

)

es: (

)

(

)

)

Pero:

, entonces: (

) (

)

Tenemos que:

)(

( (

)(

), )

(

(

) )

(

)-

b) Hay un corrimiento hacia la izquierda:

̅ Para calcular los límites de control debemos conocer primero el valor de n:

√

Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

88

CARTAS DE CONTROL

| *

|

|

|

+

| *

|

|

|

+

[

]

Ahora si podemos calcular los límites de control de la carta ̅ : ̅ ̅

|

|

̅

|

|

√

√

|

|

|

|

√

√

√

√

Observación: en esta ocasión se decidió trabajar con

y no con

⁄

para calcular los limites de control.

c) Si: ̅

y

, entonces: (

)

Buscando en la tabla de distribución Normal, tenemos que:

Con el valor de valor de :

podemos hallar el valor de

y posteriormente calcular el

̅

, por lo tanto decimos que el proceso no es capaz.

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89

CARTAS DE CONTROL

Ejemplo 3

Número de Replicas

Una empresa empaca el producto A en sacos de 50 Kg, pero el cliente ve mal que los sacos pesen menos de 50 Kg por lo que se establece una tolerancia inferior de 49 Kg y una superior de 51 Kg, tal que el valor nominal sea 50 Kg por lo que si un saco cae dentro del rango 49 – 51, se considera tolerable. Para el caso se toma cada hora una muestra de 4 sacos que han sido llenados consecutivamente, los datos obtenidos en 3 días de muestra se observan en la siguiente tabla. La confiabilidad de la carta es 95%. 1

2

3

4

1

50,2

49,9

49

50,1

2

50,3

50,2

50

49,3

3

49,8

50

50

49,7

4

50

49,4

50,1

50,5

5

50,2

49,8

49,1

49,9

6

49,2

50,7

49,1

49,8

7

49,6

49,9

49,5

49,9

8

50,2

49,8

49,5

50,6

9

50,1

49,3

49

49,3

10

50,8

49,6

49,8

50,4

11

48,8

50,7

49,9

50,1

12

50,3

49,9

49,4

49,3

13

49,3

49,3

49,2

50,5

14

50,2

50,5

50,2

50,9

15

48,8

50,2

49,5

49,6

a) Realice una carta de control X-R y analice los resultados. ¿El proceso está bajo control estadístico? b) ¿Cuál es la capacidad del proceso? ¿Se están generando productos no conformes?

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90

CARTAS DE CONTROL

SOLUCIÓN Datos:

⁄

Número de Réplicas

Número de Muestras ( )

̅

R

1

2

3

4

1

50,2

49,9

49

50,1

49,8

1,2

2

50,3

50,2

50

49,3

49,95

1

3

49,8

50

50

49,7

49,875

0,3

4

50

49,4

50,1

50,5

50

1,1

5

50,2

49,8

49,1

49,9

49,75

1,1

6

49,2

50,7

49,1

49,8

49,7

1,6

7

49,6

49,9

49,5

49,9

49,725

0,4

8

50,2

49,8

49,5

50,6

50,025

1,1

9

50,1

49,3

49

49,3

49,425

1,1

10

50,8

49,6

49,8

50,4

50,15

1,2

11

48,8

50,7

49,9

50,1

49,875

1,9

12

50,3

49,9

49,4

49,3

49,725

1

13

49,3

49,3

49,2

50,5

49,575

1,3

14

50,2

50,5

50,2

50,9

50,45

0,7

15

48,8

50,2

49,5

49,6

49,525

1,4

49,8366667 1,0933 Para realizar los cálculos debemos conocer primero el valor de la media del proceso y el rango promedio, para ello es necesario hacer el siguiente procedimiento:

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91

CARTAS DE CONTROL

Donde: ,∑

̅

-

Media del Proceso [∑

̅

̅]

Rango Promedio [∑

̅

]

Sabemos que ̅

Límites carta X-barra ̅̅̅

|

⁄

|

√

|

|

|

|

√

̅ ̅̅̅

|

⁄

|

√

√

Límites de la carta ̅ Para calcular los límites de la carta ̅ se deben conocer los valores de las constantes de la tabla de constantes (sección 8). Con

̅ ̅ ̅

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92

CARTAS DE CONTROL

Las gráficas para ambas cartas son las siguientes:

51

CARTA DE CONTROL X CON K=15

PESO EN KG

50.5

Medias del proceso LCS

50 49.5

LCI

49

LC

48.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 MUESTRAS Carta de Control ̅ del proceso actual.

3

CARTA DE CONTROL R CON K=15

RANGOS

2.5

Rangos muestrales LCS

2 1.5

LCI

1

LC

0.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 MUESTRAS Carta de Control ̅ del proceso actual.

La carta de control ̅ nos muestra que hay un punto por encima del límite de control superior, es decir, que el proceso no está bajo control estadístico. Para procurar hacer que el proceso esté bajo control es necesario eliminar la causa que ocasiona la alteración (cepillar) y diseñar una nueva carta.

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93

CARTAS DE CONTROL

Número de Réplicas

Número de Muestras ( )

̅

R

1

2

3

4

1

50,2

49,9

49

50,1

49,8

1,2

2

50,3

50,2

50

49,3

49,95

1

3

49,8

50

50

49,7

49,875

0,3

4

50

49,4

50,1

50,5

50

1,1

5

50,2

49,8

49,1

49,9

49,75

1,1

6

49,2

50,7

49,1

49,8

49,7

1,6

7

49,6

49,9

49,5

49,9

49,725

0,4

8

50,2

49,8

49,5

50,6

50,025

1,1

9

50,1

49,3

49

49,3

49,425

1,1

10

50,8

49,6

49,8

50,4

50,15

1,2

11

48,8

50,7

49,9

50,1

49,875

1,9

12

50,3

49,9

49,4

49,3

49,725

1

13

49,3

49,3

49,2

50,5

49,575

1,3

14

48,8

50,2

49,5

49,6

49,525

1,4

49,7929

1,12143

Volvemos a calcular los parámetros y posteriormente los límites de control de las cartas ̅ y R: ̅

,∑

-

Media del Proceso ̅

,∑

̅-

,∑

-

Rango Promedio ̅

Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

94

CARTAS DE CONTROL

Sabemos que ̅

Límites carta X-barra ̅̅̅ ̅̅̅

|

⁄

|

|

⁄

|

√ √

|

|

|

|

√ √

Límites de la carta ̅ Para calcular los límites de la carta ̅ se deben conocer los valores de las constantes de la tabla de constantes (sección 8). Con

̅ ̅ Las nuevas cartas de control para el proceso cuando se ha cepillado son las siguientes:

CARTA DE CONTROL X CON K=14

PESO EN KG

50.5 Medias del proceso LCS

50 49.5

LCI

49

LC 48.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 MUESTRAS Carta de Control ̅ actualizada.

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95

CARTAS DE CONTROL

CARTA DE CONTROL R CON K=14

3

RANGOS

2.5 Rango Muestral LCS

2 1.5 1

LCI

0.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 MUESTRAS Carta de Control ̅ actualizada.

En las graficas podemos ver que ningún punto está por fuera de los límites de control. Por consiguiente podemos decir que el proceso está bajo control estadístico. b) Ahora que el proceso está bajo control estadístico, procedemos a calcular su capacidad y verificar si se están o no productos no conformes:

Como

decimos que el proceso no es capaz (

)

̅̅̅

̅̅̅

(

)

Como entonces el proceso no esta centrado. Además son menores que 1 entonces el proceso está arrojando productos no conformes por ambos límites. Sin embargo, , esto nos indica que el proceso está arrojando mayor porcentaje de productos no conformes por el límite inferior. ̅̅̅

 (

)

(

)

Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

96

CARTAS DE CONTROL ̅̅̅

 (

)

El proceso está arrojando 1,34% de PNC por el límite superior y 7,28% de PNC por el límite inferior. Decimos entonces que el proceso no es capaz, no está centrado y arroja 8,62% de productos no conformes. Ejemplo 4 Este problema se refiere a los requerimientos del torque respectivo al movimiento vertical del lado brillante de un espejo de prueba. El diseño especifica de 8 a 14 pulg-lb de torque en el movimiento vertical y un torque ligeramente mayor en el movimiento horizontal (no considerado en el estudio). En un intento para corregir el problema, se han gastado $2’500.000 durante un periodo de 2 años en el mantenimiento de la matriz, a fin de controlar una dimensión en el mecanismo de rodilla, además en los periodos en los que se tuvieron dificultades extremas con las herramientas, se detuvo la producción en la línea de ensamble hasta que se pudieran efectuar los cambios requeridos en la matriz. Los costos de reparación de un espejo de alto torque son considerablemente menores que los de un espejo de bajo torque. Un mecanismo de rodilla ajustado puede repararse usualmente aceitándolo y haciéndolo girar hasta que el aceite quede entre este y el asiento. La operación la realizó una persona del grupo de operación de la línea de ensamble y su costo fue aproximadamente de $7 por espejo. El costo de reparación de un mecanismo de rodilla flojo es mucho mayor, ya que no puede repararse en la línea y tiene que enviarse al departamento de recuperación, en donde se le quita el espejo, y se desensambla el mecanismo. El costo por retirar el espejo es de $6 por pieza. Además, debe tomarse en cuenta que un 10% de los espejos se rompen y cada uno cuesta $6,5. Otros costos son desensamblar el mecanismo ($14 por espejo) y re ensamblar el mecanismo ($58 por espejo). Para determinar el porcentaje de cada defecto producido se utilizó una gráfica Xbarra R para registrar las medidas del torque, con muestras de 8 piezas tomadas al azar cada hora durante un periodo de 20 horas, dando por resultado: ∑̅ ∑

Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

97

CARTAS DE CONTROL

Como puede observarse, el torque promedio está por debajo del requerido. Una investigación demostró que esto ha ocurrido para remediar las demandas de la planta de ensamble, con respecto al esfuerzo para obtener un alto torque. Al mismo tiempo, también hubo demandas acerca del bajo torque. Además, las preguntas que se expusieron mostraron que el método de comprobación del torque varió entre los departamentos de producción e inspección. Cuando se examinaron las cartas en forma crítica, se comprendió el por qué la planta de ensamble malinterpretó el método de comprobación. Se habló con el departamento de ingeniería y este estuvo de acuerdo en emitir nuevas cartas para aclarar el método apropiado. El siguiente paso concierne al departamento de herramientas. Los datos del estudio se utilizaron para demostrar que existió el torque. Se explicó que si el asiento del mecanismo puede mantenerse en el límite alto, el torque debe dirigirse al lado alto (14 pulg-lb). Además si el departamento de proceso puede mantener el asiento dentro de una redondez de 0,0001 y 0,0003 pulgadas en su ubicación, pueden conservarse las especificaciones del torque, y se realizó otro estudio del torque con el mismo número de muestras y de igual tamaño dando como resultado: ∑̅ ∑ De esta manera, se logró estabilizar el proceso. La planta tiene una capacidad de producir 4800 piezas en un día de trabajo y ésta trabaja a tres turnos. A partir de la información suministrada anteriormente, desarrolle los siguientes puntos: Realice un análisis de capacidad y determine si el costo total se vio reducido por el cambio. 1) El ingeniero de la planta sabe por el comportamiento del proceso que a medida que la media aumenta su valor, los costos de reproceso van disminuyendo, hasta llegar a un punto donde los costos comienzan a tener un nuevo ascenso. Por el contrario, si la media disminuye, el costo de los reprocesamientos se aumentaría y por restricciones económicas se sabe que este no puede exceder en cuatro veces el costo cuando el proceso se encuentre en estado estable, esto es que la media no debe superar el valor de 9,645 pulg-lb. Para ello monitorean el proceso con muestras de tamaño 12. Dadas estas condiciones: a) ¿con qué probabilidad se detectará el cambio anteriormente mencionado? Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

98

CARTAS DE CONTROL

b) ¿cuál es la probabilidad de que la carta detecte el cambio, posterior a la segunda muestra consecutiva después de que el cambio ocurre? 2) Para el gerente de la planta sería grave que el cambio no se detectara a tiempo, por lo que realiza un análisis del proceso y obtiene que se requiere un 99% de probabilidad de detectar el cambio a lo sumo en la segunda muestra después de que el cambio ocurre para evitar inconvenientes a posteriori. Le solicita a usted como ingeniero que le recomiende un tamaño de muestra para monitorear el proceso. ¿Qué tamaño de muestra le recomendaría usted? 3) Suponga que la corrida de los incisos anteriores realmente ocurrió. Después de eso se conformaron lotes de 100 artículos de manera aleatoria y eran inspeccionados 100%. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a lo sumo 5% de espejos no conformes debido a un torque flojo? SOLUCIÓN: Datos:

Las muestras se tomas cada hora

Costos de reparar espejo defectuoso por alto torque = $7/espejo Costos de reparar espejo defectuoso por bajo torque: costo de retirar el espejo=$6/espejo costo de reemplazar espejos rotos=$6,5/espejo %espejos rotos=10% de los no conformes por bajo torque costo de desensamblar el mecanismo=$14/espejo costo re ensamblar el mecanismo= $58/espejo

1) Capacidad del proceso antes del reprocesamiento de la matriz.

̅ ̅ Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

99

CARTAS DE CONTROL ̅

Sabemos que Luego

Como

decimos que el proceso no es capaz (

)

̅

̅

(

)

Como entonces el proceso no esta centrado. Además es menor que 1 entonces me están arrojando productos no conformes por el límite inferior. ̅

(

)

El proceso arroja 67,36% de productos no conformes, todos por el límite inferior, entonces se dice que el proceso no es capaz y no está centrado. Productos no conformes/día=%PNC*Rp=0,6736*4800=3233,28≈3234productos no conformes por día. Como los PNC se están dando por el límite inferior, sabemos que estos son espejos de bajo torque, por ende, el costo de reparación de estos es:

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

El costo por día por reparar las unidades no conformes es de $254.354,1/día

Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

100

CARTAS DE CONTROL

Capacidad del proceso después del reprocesamiento de la matriz. ̅ ̅ ̅

Sabemos que Luego

Como

decimos que el proceso no es capaz (

)

̅

̅

(

)

Como entonces el proceso no esta centrado. Además son menores que 1 entonces me están arrojando productos no conformes por ambos límites. ̅

(

̅

(

)

)

El proceso arroja un 17,62% de PNC por el límite superior y un 4,01% de PNC por el límite inferior. Entonces decimos que el proceso no es capaz, no está centrado y arroja 21,63% de productos no conformes. Productos no conformes (alto torque)/día = 4800*0,1762 = 846 (

)

(

Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

)

101

CARTAS DE CONTROL

Productos no conformes (bajo torque)/d a =4800*0,0401= 192,48 ≈ 193 productos no conformes por día (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

El costo por día por reparar las unidades no conformes es: $5922 + $15179,45 = $21101,45/día. Se presenta un ahorro de: $254354,1- $21101,45 = $233252,65/día

2) Análisis Ingeniero de planta ̅ Tamaño de muestra para el monitoreo:

Como la media tuvo un corrimiento debemos calcular nuevamente la capacidad del proceso, esto es.

Como

decimos que el proceso no es capaz (

)

̅

̅

(

)

Como entonces el proceso no está centrado. Además son menores que 1 entonces el proceso está arrojando productos no conformes por ambos límites pero en mayor proporción por el límite inferior. ̅

(

)

0,9741 0,0259

Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

102

CARTAS DE CONTROL

̅

(

)

El proceso arroja un 2,59% de PNC por el límite superior y un 23,12% de PNC por el límite inferior. Decimos entonces se que el proceso no es capaz, no está centrado y arroja 25,71% de productos no conformes. a) Potencia de la carta. |

|

Luego como el corrimiento de la media es hacia la izquierda la potencia de la carta es: Con (

√ )

(

√ (

)

)

La carta detecta el cambio con una probabilidad del 70,02%. b) La probabilidad de que la carta detecte el cambio después de la segunda muestra que ocurrió el cambio es: (

)

3) El tamaño de la muestra recomendado para que la probabilidad de detectar el corrimiento de la media a lo sumo en la segunda muestra sea 99%, es: (

) √

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103

CARTAS DE CONTROL

| * | *

|

|

|

|

|

|

+

+

4) La probabilidad de encontrar a lo sumo 5% de productos no conformes es: (

( )

)

. /

(

(

)

∑. /

(

)

∑.

) (

/ (

)

) (

)

4.6.2 CARTAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS Los diagramas de control por atributos constituyen una herramienta esencial para controlar características de calidad cualitativas, esto es, características no cuantificables numéricamente. El termino atributo, es la propiedad que tiene una unidad de producto de ser buena o mala, esto es, la característica de calidad esta dentro de los requisitos especificados o no. Este tipo de carta surge porque existen muchas situaciones en que la característica de calidad que interesa controlar no es una característica medible, sino que es cierto atributo que puede poseer o no el producto. Incluso se pueden estudiar varias cualidades del mismo producto y analizar si permanecen estables a lo largo del tiempo. Dado que los atributos son características de calidad no medibles, los gráficos de control por atributos se basaran en la determinación de la cantidad o porcentaje de unidades defectuosas en una población de productos obtenidos de un proceso. Las cartas de control por atributos se pueden clasificar de la siguiente manera:     Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

104

CARTAS DE CONTROL

Ventajas frente a los gráficos para variables 1) Los gráficos de atributos se pueden utilizar para estudiar diferentes tipos de errores al mismo tiempo, en tanto que en un grafico de variable sólo sirve para estudiar una característica de calidad 2) La toma de datos en los gráficos de atributos es mucho más simple que en los gráficos de variables. Simplemente necesitamos conocer si el artículo inspeccionado cumple las especificaciones requeridas. 3) Los gráficos de atributos se pueden utilizar en inspecciones visuales para atributos, tales como limpieza, etiquetado correcto, color correcto, etc. 4) Los gráficos de variable necesitan un menor tamaño de muestra. 5) Las cartas por atributos son particularmente útiles en la industria de servicios y en los esfuerzos de mejoramiento de la calidad fuera de la manufactura, ya que no es sencillo medir en una escala numérica un gran número de características de calidad. Grafico o carta p El gráfico p mide la proporción de unidades defectuosas en relación al tamaño de la muestra, se utiliza cuando los individuos de un proceso se clasifican en defectuosos-no defectuosos, enfermo-sano, conforme-no conforme, etc., y se desea controlar la proporción p de individuos en uno de estos grupos. El control del proceso se realiza anotando la proporción de individuos defectuosos en el gráfico. Los principios estadísticos que sirven de base a la carta de control p se basan en la distribuciónBinomial. Para este grafico se necesitan muestras grandes, recogidas en un mismo periodo de operación del proceso, y estas han de tener un tamaño tal que permita la aparición de defectos. Del mismo modo el grafico de control p se puede utilizar cuando el tamaño de la muestra es o no constante. Pasos a seguir en la implementación del gráfico p: 1) Frecuencia y tamaño de la muestra Se establece la frecuencia con la cual los datos serán tomados (horarios, diarios, semanales). Los intervalos cortos entre tomas de muestras permitirán una rápida retroalimentación al proceso ante la presencia de problemas. Los tamaños de muestra grandes permiten evaluaciones más estables del desarrollo del proceso y son más sensibles a pequeños cambios en el promedio del mismo. Se aconseja tomar tamaños de muestra iguales aunque Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

105

CARTAS DE CONTROL

no necesariamente se tiene que dar esta situación, el tamaño de muestra debería de ser mayor a 30. El tamaño de los subgrupos será de 25 o más. 2) Cálculo del porcentaje defectuoso (p) del subgrupo. Se registra la siguiente información para cada subgrupo: El número de partes inspeccionadas n El número de partes defectuosas np Calcule la fracción defectuosa (p) para cada muestra mediante:

3) Calcular el porcentaje defectuoso promedio para los k subgrupos con la siguiente fórmula: ̅

(

)

4) Calcular los límites de control del gráfico mediante las formulas: ̅

̅

√

√

̅(

̅)

̅(

̅)

Así mismo cuando p y/o n es pequeño, el límite de control inferior puede resultar negativo, en estos casos el valor del límite se asumirá como: 0 Nótese que los valores de los límites superior e inferior cambian con el tamaño del subgrupo:  Cuanto mayor es n más precisión se tiene en la estimación del parámetro p.  Los límites de control así elegidos están basados en la aproximación a la normal. En general, esta aproximación es válida para la mayoría de los procesos industriales en los cuales la proporción defectuosa se puede estimar en partes por cien. En aquellos otros procesos industriales en los cuales se habla de defectos por mil, se utiliza más la aproximación a la ley Poisson.

Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

106

CARTAS DE CONTROL

5) Trazar la gráfica y analizar los resultados. Ejemplo de una carta p

Grafico Np Este grafico mide el número de unidades defectuosas encontradas en las muestras. Se aplica al mismo tipo de problemas que el gráfico P, pero cuando el tamaño de muestraes fijo. En tales casos, el control calidad en el proceso se puede realizar por el número deindividuos defectuosos observados en lugar de la proporción defectuosa. El primero es más fácil deconstruir que el segundo, ya que no hace falta hallar la fracción defectuosa, y si se quiere interpretaren términos de proporciones sólo se tiene que dividir por n la escala vertical del gráfico. Para la construcción del gráfico se utiliza de distribución de referencia la ley Binomial (n, p).En esta distribución, el número medio de individuos defectuosos es igual a npy la varianza igual anp(1-p). Como en el apartado anterior, sólo se realiza un gráfico y éste controlará el número medio deunidades defectuosas en n. Los límites se calculan mediante las siguientes fórmulas: ̅

√

̅(

̅)

̅(

̅)

̅ ̅

√

Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

107

CARTAS DE CONTROL

Para este tipo de gráfico de control se define la longitud promedio de corrida como: ( ) ( )

(

( ) ( )

( (

̅ ∑ ̅ ∑ ̅

) ) )

Por último se llevan los valores del número de defectuosos por grupo al gráfico, y se comprueba que durante laobtención de las muestras, el proceso ha estado bajo control. Si existe evidencia de que alguna causa asignable ha entrado en el proceso, antes de continuar es necesario identificar tal causa y tomar las medidas pertinentes. Ejemplo de una carta Np

Carta C En muchas ocasiones la característica que nos interesa controlar no es el número de individuos defectuosos sino el número de defectos que aparecen en un individuo. Este tipo de control puede ser más completo que los presentados anteriormente, puesto que:  El individuo puede no ser defectuoso y presentar defectos;  el carácter defectuoso puede ser de distinta magnitud dependiendo de la cantidad de defectosque presenta. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

108

CARTAS DE CONTROL

En la grafica C es completamente necesario que todas las muestras tengan un tamaño fijo, es decir, el tamaño de los subgrupos sea constante. En aquellos procesos que no generan individuos, como por ejemplo, los procesos continuos,también nos puede interesar el control del número de defectos por cierta unidad definida: metro, metro-cuadrado, hora, etc. Otros ejemplos en los que se puede aplicar estos gráficos son cuando se deseacontrolar el nº de pasajeros que toman un vuelo determinado por día, o el nº de camas ocupadas en unhospital por semana, etc. En uno u otro caso, la distribución subyacente es la distribución de poisson ( ), donde representa el número medio de ocurrencias por unidad de tiempo, superficie, etc. Cuando es suficientemente grande se puede hacer una aproximación de la ley Poisson por la ley normal. Los pasos que se deben seguir en la construcción del gráfico C son los siguientes: 1) Seleccionar lo que va a ser una unidad de medición: un individuo, un metro de cable, un metro cuadrado de tela, una hora, etc. 2) Investigar si existe información histórica del parámetro ̅ , En tal caso construir los gráficos basándose en los límites: ̅

√ ̅ ̅

̅

√ ̅

El promedio de defectos por subgrupo ̅ se calcula de la siguiente forma Donde ̅

̅

∑

Cuando el valor de ̅ no es muy grande, laconvergencia a la normal no es muy buena. En tales casos el límite inferior suele ser negativo, lo cual no tiene ningún sentido, y se sustituye por 0. 3) Acomodar los datos obtenidos en y seguir las mismas reglas de control que con los gráficos anteriores.

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109

CARTAS DE CONTROL

Ejemplo de una carta c

Carta U El gráfico U se utiliza para el mismo tipo de problemas que el gráfico C, pero cuando el tamaño de las muestras es variable. Aquí las muestras están formadas por más de un elemento y cada elemento puede tener más de un defecto. A continuaciónse presentan algunos ejemplos donde esto ocurre y que pueden ser representativos de las situacionesgenerales:  Puede resultar difícil tomar exactamente un metro cuadrado de tela, por lo que se toman piezassimilares de aproximadamente un metro cuadrado.  En el control del número de personas que acuden a una máquina registradora en una tienda, enlugar de tomar las mediciones en intervalos de tiempo iguales, se toman las mediciones enintervalos más flexibles.  Cuando se mide el número de defectos por lote, éste puede no contener un número fijo deindividuos. En el gráfico U se colocan igualmente el número de defectos por unidad, pero ahora no tieneporqué ser un valor entero. La distribución de referencia en la cual está basado el gráfico U puede sercalculada a través de la ley Poisson. En efecto si

⁄

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110

CARTAS DE CONTROL

̅

∑ ∑

Por lo que los limites de control se obtendrán con las ecuaciones ̅

√

̅⁄

̅ ̅

√

̅⁄

La variable que se dibuja en la grafica de control es el número de defectos por elemento. Ejemplo de una carta U

Interpretación de los gráficos de control por atributos Para interpretar los gráficos de control por atributos debe atenderse a los siguientes aspectos:  Puntos por fuera de los limites de control  Tendencias o tramos  Distribución de los puntos en el área de control. Puntos por fuera de los límites de control Pueden estar situados: Por encima del límite superior, lo que significa generalmente que:  Hay error en el cálculo o en la señalización  El proceso ha empeorado Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

111

CARTAS DE CONTROL

 El criterio de aceptación es más riguroso Por debajo del límite inferior, indicándonos:  Error de cálculo o de representación  Que el proceso ha mejorado  Un criterio de aceptación menos riguroso Tendencias ascendentes o tramos por encima de la media, dan a entender que:  El proceso ha empeorado y puede estar empeorando aún  El criterio de aceptación ha sido modificado Tendencias descendentes o tramos por debajo de la media, indican que:  El proceso ha mejorado y puede seguir mejorando. Debemos estudiarlo para introducir mejoras permanentes.  El criterio de aceptación fue modificado Distribución de los puntos en el área de control Se identifica como sigue: Si más del 90% de los puntos están cerca de la media, puede ser debido a:  Errores de cálculo o trazado  Muestreo estratificado  Datos modificados(eliminando o cambiando valores que se alejan mucho de la media) Si al menos el 40% de los puntos están cerca de la media, podemos atribuirlo a:  Errores de cálculo o trazado  Que las muestras contienes medidas de dos o más fuentes de comportamiento diferentes

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112

CARTAS DE CONTROL

EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Un proceso de fabricación de determinado articulo tiene, en estado estable, una media de 102 pulgadas y un rango promedio de 6 pulgadas. El estudio y estabilización del proceso se hizo con muestras de tamaño artículos y ahora se continuara monitoreando con muestras de tamaño . Las especificaciones son pulgadas. La velocidad de producción es de 6000 artículos cada tres horas. Las muestras para el monitoreo se toman una cada treinta (30) minutos. La ) carta tienen un ( Si la media del proceso cambiase a 95 pulgadas, responda: a) Si el cambio no se ha detectado antes de la decima muestra consecutiva (a partir del momento en el cual dicho cambio tuviese lugar), calcular el valor esperado de artículos no conformes fabricados hasta ese momento. b) Diseñe una carta X barra con un riesgo tipo 1 de 0,07 para el caso en que la media del proceso disminuyese en cinco (5) pulgadas (con relación al valor original de la media del proceso), de tal forma que ocho (8) de cada diez (10) medias de las muestras, en promedio, queden por fuera de los límites de control de la carta. 2) Tubos de Colombia S.A. es una empresa dedicada a la fabricación de tubos de aluminio. Las especificaciones en la longitud de los tubos es 32±2 mm. Tomando tamaños de muestras de 4, las cartas X-bar y R manejan los siguientes limites de control: Para la carta X-bar los limites son 33±1 mm y para la carta rango 0 y 3,6mm. | De acuerdo a la información anterior, determine: a) ¿Cuál es la capacidad del proceso? ¿Es engañosa esta? b) ¿Cuál es el porcentaje de productos no conformes que genera el proceso? c) ¿Cuál es la probabilidad de cometer el error tipo I? d) Después de haber examinado 40.000 muestras, ¿cuántos puntos pueden estar por fuera de los límites de control? e) ¿Cuál debe ser el corrimiento en la media para que el proceso produzca a lo sumo el 12% de productos no conformes a las especificaciones del fabricante? f) ¿Cuál es la probabilidad que con una carta cuya confiabilidad sea del 99% con n=8 se detecte el corrimiento en la media del proceso del inciso e) dado que este ha ocurrido y no fue detectado en las tres primeras muestras consecutivas después que el cambio ocurrió? g) Se desea que la carta del inciso anterior tenga una probabilidad de 0,12 de cometer el error tipo II, entonces ¿A qué nivel máximo de productos no conformes ocurre esto? Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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CARTAS DE CONTROL

h) ¿Con que tamaño de muestras se debe trabajar para que la carta del inciso f) detecte el cambio en la media del proceso en al menos una de las primeras cinco muestras consecutivas después que este ha ocurrido con una probabilidad de 0,8, cuando se está produciendo el porcentaje de productos no conformes dado en el inciso e)? i) Debido a que la carta del inciso f) no detecto el cambio en la media del inciso e) sino después de la segunda muestra consecutiva después que este ocurrió, se produjeron 2 tubos no conformes con las especificaciones. Si la tasa de producción es de 1.000 tubos cada 12minutos, ¿a qué velocidad se toman las muestras aproximadamente? j) ¿Que se debería mejorar en el proceso actual y en cuanto para que los tubos se produzcan con un 1% de productos no conformes? 3) Ladrillos y CIA es una empresa fabricante de bloques, ladrillos, adoquines y demás productos afines a la construcción. Todos los procesos de la fabrica marchan de manera excelente excepto por un pequeño problema, el cual radica en que es bastante complicado mantener centrado el proceso de fabricación de los ladrillos, debido a que actualmente estos se fabrican a partir de una nueva materia prima y aun se desconocen los porcentajes de contracción del material. Un estudio detallado de la capacidad del proceso mostró que la media en la longitud de los ladrillos es 100,25 mm y que se halla corrida 1,58 desviaciones estándar hacia la izquierda. Por otro lado la tolerancia del proceso es 37,5 mm y solo es consumida en un 80%, además el rango de los límites de control de la carta ̅ , construida en este estudio, es 5,45 mm. Tenga en cuenta que el análisis del proceso se realizó con tamaños de muestra n=9 y que para el monitoreo posterior se implementaran tamaños de muestra n=5. La empresa trabaja con un triple turno de 2 horas durante los 7 días a la semana y 4 semanas al mes y produce 1000 ladrillos en cada turno. Las muestras para el monitoreo se toman cada media hora. El costo de producción de un ladrillo es 200 UM, no hay reprocesamientos pero se carga un sobrecosto de 20 UM por eliminar cada unidad que no cumpla con las especificaciones. a) Analice el proceso y comente acerca de él, determine además que tan confiable es la carta de control construida en el estudio. b) Si la media del proceso cambia a 97mm, calcular la probabilidad de que el cambio se haya detectado entre las primeras 3 muestras (a partir de que dicho cambio tuvo lugar) y calcular el valor esperado de ladrillos no conformes fabricados hasta ese momento. c) Hay una disminución en la media del proceso en 3.25mm. Diseñe una carta ̅ que detecte con probabilidad del 90% el cambio en alguna de las dos primeras muestras consecutivas a partir del cual el cambio tuvo lugar y con riesgo tipo I de 0.06.

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CARTAS DE CONTROL

d) Si la media del proceso cambiara a 99.5mm, ¿Cuál es el mínimo valor que puede tomar el Cp general del proceso de manera que por lo menos el 95% de los ladrillos producidos sean conformes? e) Para un margen de contribución del 35% encuentre la utilidad neta mensual de la empresa si carga costos y gastos fijos a razón de 500 UM por hora. 4) Un fabricante desea que la longitud de las varillas que se producen se encuentre entre 50mm y 54mm. El fabricante para asegurar que su proceso esté bajo control implementa una carta ̅ , la cual tiene una sensibilidad del 95% cuando los tamaños de las muestras son de 5 y el corrimiento en la media es de 2 desviaciones estándares. a) ¿Cuál es error tipo I de la carta? b) ¿Cuál es la potencia para detectar un corrimiento de 3 ? ¿De un ? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un cambio de no sea detectado sino hasta después de la séptima muestra consecutiva, dado que ocurrió después de la tercera muestra? d) ¿Cuántas muestras se deben examinar para que la probabilidad de que el cambio no sea detectado dado que ocurrió sea de 0,2, en un corrimiento de un ? e) Si el Cp del proceso es 1 y la media del proceso esta corrida un respecto al valor nominal, ¿Cuántos productos no conformes adicionales se producen cuando la media se corre un respecto a la media del proceso y se han producido 1000 varillas? f) Interprete el LDP del proceso. 5) Una siderúrgica es especialista en trabajo de metales mediante procesos de troquelado y estirado. Está fabricando un nuevo producto, cuya longitud debe cumplir con especificaciones de 30m y 34 m. Juan Pérez es el ingeniero mecánico que está encargado de los procesos y maneja una carta de control la cual es diseñada con tamaños de muestra 4 y la cual indica que el proceso está bajo control estadístico cuando las medias están entre 32m y 34m y los rangos entre 0 y 3,6m. Usted ha sido contratado para estudiar el proceso actual y cambios que se puedan presentar en él. a) ¿Cuál es el porcentaje de productos no conformes que genera el proceso? b) ¿Cuál es la capacidad del proceso? ¿Es engañosa esta? c) ¿Cuál es la probabilidad de cometer el error tipo I? d) Después de haber examinado 10000 muestras, ¿Cuántos puntos pueden estar por fuera de los límites de control?

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CARTAS DE CONTROL

e) ¿Cuál debe ser el corrimiento en la media para que el proceso produzca a lo sumo el 10% de productos no conformes a las especificaciones del producto? f) ¿Cuál es la probabilidad de que una carta cuya confiabilidad sea del 98% con n=7, detecte el corrimiento en la media del proceso en el inciso e) dado que este ha ocurrido y no fue detectado en las tres primeras muestras consecutivas después que el cambio ocurrió? g) Se desea que la carta del inciso anterior tenga una probabilidad de 0,86 de no cometer el error tipo II, entonces ¿a qué nivel máximo de productos no conformes ocurre esto? h) Con que tamaño de muestra se debe trabajar en la carta del inciso f) para que detecte el cambio con una probabilidad de 0,6 en alguna de las primeras 5 muestras después que el cambio ocurrió. i) Debido a que la carta del inciso f) no detecto el cambio en la media del inciso e) sino después de la segunda muestra consecutiva después que este ocurrió, se produjeron 2 productos no conformes con las especificaciones. Si la tasa de producción es de 1000 productos cada 12 minutos, ¿A qué velocidad se toman las muestras? 6) Z&B LTDA es una compañía dedicada a la fabricación de un determinado producto. Z&B LTDA lleva mucho tiempo en el mercado nacional y por experiencia sabe que la longitud de este producto debe estar entre 101,5mm y 120,6mm. Sin embargo su proceso de producción indica que al tomar muestras de tamaño cuatro, el promedio de los promedios de las medias es 113 mm, con un rango promedio de 12 mm y una confiabilidad del 98%. Los grupos de muestras son tomados cada 5 minutos, la tasa de producción de la empresa es de 200 artículos conformes por minuto, los productos no conformes son reprocesados a un 30% adicional de su costo de producción. a) ¿Cuál es el error tipo II en el que incurre esta carta si la verdadera media del proceso es 117 mm? b) ¿Cuántos puntos están propensos a no estar registrados dentro de los límites de control, cuando la carta indique que el proceso está bajo control estadístico? c) ¿Puede el proceso estar bajo control estadístico y al mismo tiempo la capacidad del proceso indicarnos que la empresa está mal? ¿Por qué? d) ¿Cuántas muestras se necesitarían tomar para encontrar un punto por fuera de los límites de especificación? e) ¿En qué intervalo debe moverse la media del proceso de tal forma que se produzca entre 3% y 11% de productos no conformes? Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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CARTAS DE CONTROL

f) Un estudio muestra que la causas principales de productos no conformes es que la carta de control actual no es muy efectiva para detectar cambios en la media del proceso, y el gerente de producción de Z&B LTDA en estos momentos está pensando en diseñar otra carta que detecte los corrimientos de la media antes de que la quinta muestra consecutiva después que el cambio ocurra sea inspeccionada, además se desea un error tipo I de 7%, cuando el corrimiento sea de . g) ¿Cuál es la probabilidad de que la carta detecte el cambio en la media del proceso cuando se está produciendo un 10% de productos no conformes? h) Para tener una probabilidad de 0,6 de detectar un cambio en la media antes de la tercera muestra consecutiva sea inspeccionada, ¿qué porcentaje de productos no conformes se está produciendo? i) Z&B LTDA está pensando en adquirir una maquinaria para mejorar el proceso. El costo de producción de un artículo es de $250 y el vendedor de la maquina estima que este costo se puede reducir a $240. Si la empresa trabaja 8 horas diarias, 5 días a la semana, 4 semanas al mes, entonces ¿Cuál es la cantidad máxima que se puede pagar por el alquiler de la maquina?

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Capitulo

5

MUESTREO DE ACEPTACIÓN

En la actividad de control de calidad en ocasiones es necesario inspeccionar lotes de materia prima, partes o productos terminados para asegurar que cumplen ciertos niveles de calidad con un buen grado de confianza. El muestreo de aceptación es el proceso de inspección de una muestra de unidades extraídas de un lote con el propósito de aceptar o rechazar todo el lote. A continuación se hace una reseña de los conceptos y técnicas de este tipo de muestreo.

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MUESTREO DE ACEPTACIÓN

5 MUESTREO DE ACEPTACIÓN 5.1 GENERALIDADES El muestreo de aceptación se ocupa de la inspección y la toma de decisiones respecto de los productos, uno de los aspectos más antiguos del aseguramiento de la calidad. Consiste en tomar una muestra de un lote de artículos (productos o partes en proceso, o terminados), inspeccionar alguna característica de calidad de las unidades de la muestra, y con base en esta información, tomar una decisión acerca del destino del lote. Los lotes aceptados se incorporan a la producción; los lotes rechazados pueden devolverse al proveedor o someterse a otra acción de disposición del lote. Muestreo aleatorio estadístico

Muestra n Lote N

Tres aspectos del muestreo son importantes: 

El propósito del muestreo de aceptación es dictaminar los lotes, no estimar su calidad.  Los planes de muestreo de aceptación no proporcionan ninguna forma directa de control de calidad. El muestreo de aceptación se limita a aceptar algunos lotes y rechazar otros.  El uso más efectivo del muestreo de aceptación no es para inspeccionar la calidad de un producto, sino más bien como una herramienta de auditoría a fin de asegurarse de que la salida de un proceso cumpla con los requerimientos. En general hay tres enfoques para la dictaminar los lotes: 1) La aceptación sin inspección. Es útil en situaciones en que el proceso del proveedor es tan bueno que casi nunca se encuentran unidades defectuosas o cuando no existen justificaciones económicas para encontrar unidades defectuosas. Por ejemplo, si la capacidad real del proceso se estima entre 3 o 4, es poco probable que en un muestreo de aceptación se descubra alguna unidad defectuosa. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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MUESTREO DE ACEPTACIÓN

2) La inspección del 100% Se emplea cuando el componente es en extremo crítico y dejar pasar unidades defectuosas daría como resultado un costo por fallas inaceptablemente elevado en las etapas subsecuentes, o cuando la capacidad del proceso del proveedor es inadecuada para cumplir con las especificaciones. 3) El muestreo de aceptación Es de mayor utilidad en las siguientes situaciones:   







Cuando las pruebas son destructivas Cuando el costo de la inspección del 100% es muy alto Cuando la inspección del 100% no es tecnológicamente factible o requeriría tanto tiempo de calendario que se impactaría seriamente la programación de la producción Cuando son muchos los artículos por inspeccionar y la tasa de los errores de inspección es tan elevada que la inspección del 100% podría hacer que se aprobara un porcentaje más alto de unidades defectuosas que con la aplicación de un plan de muestreo. Cuando el proveedor tiene un historial de calidad excelente, y se desea cierta reducción en la inspección del 100%, pero la capacidad del proceso del proveedor es lo suficientemente baja para hacer que la cancelación de la inspección no sea una alternativa satisfactoria. Cuando existen riesgos de responsabilidad legal del producto potencialmente serios y, aún cuando el proceso del proveedor sea satisfactorio, se necesita un programa de monitoreo continuo del producto.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MUESTREO Cuando el muestreo de aceptación se compara con la inspección del 100%, presenta las siguientes ventajas:      

Suele tener costos más bajos, debido a que hay menos inspección. Hay menos manejo del producto y, en consecuencia, se reducen los daños. Puede aplicarse en las pruebas destructivas Menos personal participa en las actividades de inspección Con frecuencia reduce en gran medida la cantidad de errores de inspección El rechazo de lotes completos, por oposición a la simple devolución de las unidades defectuosas, con frecuencia proporciona una motivación mayor para que el proveedor atienda el mejoramiento de calidad. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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MUESTREO DE ACEPTACIÓN

Sin embargo, el muestreo de aceptación también presenta varias desventajas. Entre ellas se encuentran:   

Existe el riesgo de aceptar lotes malos y rechazar lotes buenos Por lo general se genera menos información acerca del producto o acerca del proceso con que se fabricó el producto. El muestreo de aceptación requiere la planeación y documentación del procedimiento, mientras que la inspección del 100% no. 5.2 TIPOS DE PLANES DE MUESTREO

Existen diferentes maneras de clasificar los planes de muestreo de aceptación. Una clasificación principal es por atributos y variables. Las variables son, desde luego, características de la calidad que se miden en una escala numérica. Los atributos son características de la calidad permisibles a través de nuestros sentidos y que se expresan en una base “pasa, no pasa”. El muestreo de aceptación es un “terreno intermedio” entre los extremos de la inspección 100% y no hacer ninguna inspección. Formación de Lotes La manera en que se forme el lote puede influir en la efectividad del plan de muestreo de aceptación. Hay varias consideraciones importantes cuando se forman los lotes para inspección. Algunas de ellas son las siguientes: 1) Los lotes deberán ser homogéneos: las unidades del lote deberán producirse por las mismas maquinas, los mismos operadores y con materias primas comunes, aproximadamente en el mismo tiempo. Cuando los lotes no son homogéneos el esquema del muestreo de aceptación quizá no funcione con tanta efectividad como podría hacerlo. 2) Son preferibles los lotes grandes a los pequeños: suele haber más eficiencia económica al inspeccionar lotes grandes, que lotes pequeños. 3) Los lotes deberán ajustarse a los sistemas de manejo de materiales usados en las instalaciones del proveedor y del consumidor: Lo que se busca aquí es lograr que resulte relativamente sencillo seleccionar las unidades de la muestra. Las unidades del lote seleccionadas para inspección deberán elegirse al azar, y deberán ser representativas de todos los artículos del lote. El concepto de muestreo aleatorio es en extremo importante en el muestreo de aceptación. A menos que se empleen muestras aleatorias, se introducirá sesgo.

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MUESTREO DE ACEPTACIÓN

A continuación, se hará una explicación detallada de los planes de muestreo por atributos. Plan de muestreo simple El plan de muestreo único es un procedimiento para dictaminar lotes en el que se selecciona al azar una muestra de n unidades del lote, y el destino del lote se determina con base en la información contenida en esa muestra. Supongamos que se ha sometido a inspección un lote de tamaño . Un plan de muestreo simple está definido por el tamaño de la muestra y el número de aceptación . El lote será aceptado solamente si el número de productos defectuosos en menor o igual a .

es

A partir de esto datos, se puede definir la probabilidad de aceptación del lote o , la cual está dada por: (

)

∑

( )(

)

( )

Como se puede apreciar, esta probabilidad es determinada haciendo uso de una distribución hipergeométrica con parámetros ( ) , donde es la proporción de productos no conformes dentro del lote, y su valor se estima del producto entre . Luego, el valor de , que es la probabilidad de hallar un producto no conforme dentro del lote, puede ser determinado por medio de un análisis de capacidad del proceso de fabricación. Para disminuir la complejidad de los ejercicios y teniendo en cuenta la relación existente entre las distribuciones Hipergeométrica y Binomial, la probabilidad de aceptación puede ser determinada, también, a partir de una aproximación a Binomial con probabilidad de éxito De esta manera, el valor de la probabilidad de aceptación podría determinarse así: (

)

∑. /( ) (

)

Ejemplo Un fabricante de cierto producto, a partir de un análisis de capacidad de su proceso productivo, pudo determinar que el porcentaje de productos no conformes arrojado era de 10%. Antes del despacho de los artículos al cliente, forma lotes de 500 productos, cada uno. Su cliente principal maneja un plan de Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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muestreo, donde . Determinar la probabilidad de aceptación de estos lotes por parte del cliente. Si se intenta determinar esta probabilidad a partir de una distribución hipergeométrica, su valor será imposible determinarlo, haciendo uso de una calculadora, por esta razón, se recomienda el uso de una distribución binomial. En este sentido se tiene: (

)

∑(

)(

) (

)

Haciendo uso de Microsoft Excel, es posible determinar el valor de esta probabilidad, utilizando una distribución hipergeométrica, es decir, de la manera correcta. Así, se tiene: (

)

∑

( )( (

) )

Como se puede apreciar ambas probabilidades se asemejan, lo que indica que la distribución binomial es una buena alternativa de encontrar la probabilidad de aceptación cuando no se cuenta con programas avanzados para su cálculo. Plan de muestreo doble En un plan de muestreo doble, la gerencia especifica dos tamaños de muestra (n1 y n2) y dos numero de aceptación (c1 y c2). Si la calidad del lote es muy buena o muy mala, el consumidor toma la decisión de aceptar o rechazar el lote. La ventaja principal del plan de muestreo doble con respecto al de muestreo único, es que puede reducir la cantidad total de inspección requerida. Este plan utiliza una segunda muestra si es necesaria para dictaminar el destino del lote. Un plan de muestreo doble se define por cuatro parámetros:

Siendo la cantidad de productos no conformes en la muestra 1, y la cantidad de productos no conformes en la muestra 2, el plan de muestreo doble se opera de la siguiente forma:

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MUESTREO DE ACEPTACIÓN

Se acepta el lote Se rechaza el lote Se pasa a una segunda muestra Se rechaza el lote Se acepta el lote

Ejemplo Dado un lote de 80 artículos, con un porcentaje de productos no conformes de 5%, determine la probabilidad de aceptación de los lotes para el siguiente plan de muestreo doble.   Este ejercicio puede resolverse utilizando un árbol de decisión. Inicialmente, se analizan los valores que pueden tomar , teniendo en cuenta las restricciones dadas para este tipo de plan.

La probabilidad para cada uno de los casos encontrados son las siguientes: 

Para la primera muestra (

)

(

)

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

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(

)

(

)



( )( ) ( ) ( )( ) ( )

Para la segunda muestra

(

)

(

)

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

La probabilidad de aceptación se determina de la siguiente manera: (

)

(

)

* (

) , (

)

(

(

)-+

)

, (

)

(

(

)-

)

Plan de muestreo múltiple Un plan de muestreo múltiple es una extensión del muestreo doble por cuanto pueden requerirse más de dos muestras para dictaminar un lote. Este plan opera como sigue: si, al término de cualquier etapa del muestreo, el número de artículos defectuosos es menor o igual que el número de aceptación, el lote se acepta. Si durante cualquiera de las etapas, el número de artículos defectuosos es igual o excede el número de rechazo, el lote se rechaza; en caso contrario, se toma la siguiente muestra. El procedimiento de muestreo múltiple continua hasta que se toma la quinta muestra, momento en el que debe tomarse una decisión en cuanto al destino del lote. Suele hacerse una inspección del 100% de la primera muestra, aun cuando las muestras subsecuentes por lo general se someten a cercenado. La ventaja de estos planes de muestreo es que las muestras requeridas en cada etapa por lo general son menores que las de un muestreo único o doble; por tanto, se relaciona cierta eficiencia económica con el uso del procedimiento. Sin embargo, la administración del muestreo múltiple es mucho más compleja.

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Plan de muestreo secuencial El muestreo secuencial es una extensión del concepto del muestreo doble y del muestreo múltiple. En el muestreo secuencial se toma una secuencia de muestras del lote y se deja que el número de muestras lo determinen por completo los resultados del proceso de muestreo. En teoría, el muestreo secuencial puede continuar de manera indefinida, hasta que se hace la inspección del 100% del lote. En la práctica, los planes de muestreo secuencial suelen truncarse después de que el número inspeccionado es igual a tres veces el número que se habría inspeccionado utilizando el plan de muestreo simple correspondiente. Si el tamaño de la muestra seleccionado en cada etapa es mayor que 1, al proceso suele llamársele muestreo secuencial grupal. Si el tamaño de la muestra inspeccionado en cada etapa es 1, al procedimiento suele llamársele muestreo secuencial artículo por artículo. No. de artículos defectuosos

ZONA DE RECHAZO

3 2

1

-1

10

20

30

40

No. de artículos inspeccionados

-2

-3

ZONA DE ACEPTACIÓN

5.3 LA CURVA DE OPERACIÓN (OC) Una medida importante del desempeño de un plan de muestreo es la curva de operación característica, la cual, es una representación gráfica del plan de muestreo. En esta curva se grafica la probabilidad de aceptar el lote (eje y) contra la fracción defectuosa del lote (eje x). Por tanto, la curva OC indica la potencia discriminatoria del plan de muestreo. Es decir, indica la probabilidad de que un lote con cierta fracción defectuosa propuesto, sea aceptado o rechazado. A continuación, en la figura se muestran tres curvas de operación características, para diferentes valores de muestra y criterios de aceptación.

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Como se puede apreciar, las curvas de operación son más estrictas conforme aumenta el tamaño de la muestra. Gráficamente, este hecho se puede apreciar por la disminución del área bajo la curva, lo que muestra un plan de muestreo estricto. Para graficar una curva de operación, basta solo con darle valores a , y teniendo en cuenta el tamaño de la muestra y número de aceptación dado para el plan, se hallan diferentes valores para . Ejemplo Trace la curva de operación característica para el siguiente plan de muestreo:  Utilizando la distribución de probabilidad Binomial para determinar se tiene: 0,02

0,9945

0,04

0,8988

0,06

0,6521

0,08

0,3750

0,1

0,1769

0,12

0,0709

0,14

0,0248

0,16

0,0077

0,18

0,0021

0,2

0,0005

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De esta manera la gráfica resulta de la siguiente forma:

Puntos específicos en la Curva OC Frecuentemente, el interés del ingeniero de calidad se centra en determinados puntos de la curva OC. El proveedor suele estar interesado en saber cuál es el nivel de calidad del lote o proceso que produce una alta probabilidad de aceptación. En este orden de ideas, es común que el consumidor establezca un plan de muestreo para un abastecimiento continuo de componentes o materia prima con referencia a un nivel aceptable de calidad (NAC) o AQL (por sus siglas en inglés). El NAC representa el nivel de calidad más pobre del proceso del proveedor que el consumidor consideraría aceptable como promedio del proceso. Este parámetro es una propiedad del proceso de manufactura del proveedor; no es una propiedad del plan de muestreo. Muchas veces el consumidor diseñará el procedimiento de muestreo de tal modo que la curva OC dé una alta probabilidad de aceptación en el NAC. Se espera que el proceso del proveedor opere con un nivel de porción caída que sea considerablemente mejor que el AQL. El consumidor también estará interesado en el otro extremo de la curva OC, es decir, en la protección que se obtiene para los lotes individuales de calidad pobre. En una situación así, el consumidor puede establecer una tolerancia del porcentaje defectuoso de un lote (LTPD, por sus siglas en inglés). El LTPD es el nivel de calidad más pobre que el consumidor está dispuesto a aceptar en un lote individual. Aún cuando podrían utilizarse dos puntos cualesquiera en la curva OC para definir el plan de muestreo, en muchas industrias se acostumbra usar los puntos NAC y LTPD para este fin. Cuando los niveles de calidad del lote Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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MUESTREO DE ACEPTACIÓN

especificados son , suele hacerse referencia a los puntos correspondientes en la curva OC como el riesgo del producto y el punto del riesgo del consumidor. Por tanto, se llamaría el riesgo del productor y se llamaría el riesgo del consumidor. Gráficamente, se puede apreciar esta relación en la figura de abajo, donde para el ejemplo se trabaja con un NAC de 2% y un LTPD de 7%. En este sentido, teniendo en cuenta la curva de operación anterior, es posible determinar el valor de ambos riesgos de la siguiente manera:

∑. /(

∑. /(

) (

) (

)

)

Representación gráfica de los parámetros NAC, LTPD, Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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MUESTREO DE ACEPTACIÓN

5.4 DISEÑO DE PLANES DE MUESTREO Diseñar un plan de muestreo es buscar un valor para parámetros establecidos: NAC, LTPD,

y

que satisfaga cuatro

Existen diferentes herramientas para el diseño de planes de muestreo, entre estas, las más importantes son las Tablas Military Standard 105D (ANSI/ASQC Z1.4, ISO 2849), y el método matemático. Tablas Military Standard Este procedimiento de muestreo fue desarrollado durante la segunda guerra mundial. Actualmente, el estándar MIL STD 105E es el sistema de muestreo de aceptación para atributos de mayor uso en el mundo. El estándar contempla tres tipos de muestreo: el muestreo único, el muestreo doble, y el muestreo múltiple. Para cada tipo de muestreo, se estipula la inspección normal, la inspección rigurosa, o la inspección reducida. La inspección normal se usa al principio de la actividad de inspección. La inspección rigurosa se establece cuando el historial reciente del proveedor se ha deteriorado. Los requerimientos de aceptación para los lotes sujetos a inspección rigurosa son más estrictos que bajo la inspección normal. La inspección reducida se establece cuando el historial reciente del proveedor ha sido excepcionalmente bueno. El tamaño de la muestra que se usa generalmente en la inspección reducida es menor que en la inspección normal. El tamaño de la muestra usado en el MIL STD 105E está determinado por el tamaño del lote y por la elección del nivel de inspección. Se estipulan tres niveles generales de inspección. El nivel II se designa como normal. El nivel I requiere aproximadamente la mitad de la cantidad de inspección que el nivel II y puede usarse cuando se necesita menos discriminación. El nivel III requiere aproximadamente el doble de inspección que el nivel II y deberá usarse cuando se necesite más discriminación. Hay también cuatro niveles de inspección especiales, S-1, S-2, S-3 y S-4. Los niveles de inspección especiales utilizan muestras muy pequeñas y solo deberán emplearse cuando son necesarios tamaños de la muestra pequeños y cuando pueden o deben tolerarse riesgos grandes en el muestreo. Para un AQL y un nivel de inspección especificados y un tamaño del lote dado, el MIL STD 105E proporciona un plan de muestreo normal que debe usarse mientras el proveedor esté produciendo el producto con la calidad AQL o mejor. Así mismo los procedimientos para cambiar entre la inspección normal, rigurosa y reducida, como se muestra a continuación:

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1) Normal a rigurosa: Cuando se tiene inspección normal, la inspección estricta se instituye cuando cuándo dos de cinco lotes consecutivos han sido rechazados. 2) Estricta a normal. Cuando se tiene inspección estricta, la inspección normal se instituye cuando cinco lotes consecutivos son aceptados en la inspección original

3) Normal a reducida. Cuando se tiene inspección normal, la inspección reducida se instituye cuando se cumple con todas las condiciones siguientes: a. Diez lotes consecutivos han sido aceptados con inspección normal y ninguno de ellos ha sido rechazado. b. El número total de defectivos en las muestras de los diez lotes precedentes es menor o igual al número límite aplicable del estándar. c. La producción de lotes ha sido continua sin interrupciones mayores. d. La autoridad responsable del muestreo considera deseable la inspección reducida. 4) Reducida a normal. Cuando se tiene inspección reducida, la inspección normal se instituye cuando se cumple cualquiera de las condiciones siguientes: a. Un lote es rechazado. b. Cuando el procedimiento de muestreo termina sin decisión de aceptación o rechazo, el lote se acepta pero se cambia a inspección normal en el próximo lote. c. La producción es irregular o se retarda en entregas. d. Otras condiciones que fuercen a cambiar a la inspección normal. 5) La Inspección se descontinúa. Cuando diez lotes se acepten con inspección estricta, la inspección bajo la estipulación del estándar MIL STD 105E deberá terminarse y emprenderse acciones a nivel del proveedor para mejorar la calidad de los lotes puestos a consideración. Procedimiento Un procedimiento paso a paso para usar MIL STD 105E es el siguiente: 1) 2) 3) 4)

Elegir el AQL (NAC) Elegir el nivel de inspección Determinar el tamaño del lote Encontrar la letra código apropiada para el tamaño de la muestra en las tablas del apéndice. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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5) Determinar el tipo apropiado de muestreo que debe usarse (único, doble, múltiple). 6) Consultar la tabla apropiada del apéndice para encontrar el tipo de plan que debe usarse. 7) Determinar los planes de inspección normal y reducida correspondientes que deben usarse cuando sea necesario. Ejemplo La empresa Róterdam Ltda., obtiene un contrato para suministrar 20 lotes de 60.000 piezas cada uno. En el contrato se establece que el cliente realiza una inspección según MIL STD, Nivel general II con un NAC = 2,5. Determine el tamaño de la muestra y el criterio de aceptación. Solución. Haciendo uso del tamaño del lote, se determina la letra código, para este caso es N. Luego, utilizando la tabla MIL STD para nivel general II, y un NAC de 2,5%, se puede apreciar que el tamaño de la muestra es de 500 y el número de aceptación de 21. Método matemático Esta herramienta para el diseño de planes de muestreo no tiene en cuenta únicamente el NAC como parámetro de decisión en el diseño del plan de muestreo, sino cada uno de los parámetros dados para su diseño, NAC, LTPD, el riesgo del productor y el del consumidor. El valor de y se determina utilizando cada una de las siguientes ecuaciones: | [

|

√

⁄

⁄

] ⁄

|

|√

|

|√

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MUESTREO DE ACEPTACIÓN

EJEMPLO Su empresa obtiene un contrato para suministrar 10 lotes de 50.000 piezas cada uno. La fabricación de estas piezas es relativamente sencilla pero representa la dificultad de tener una tolerancia bilateral muy estrecha en una de sus dimensiones. El contrato establece que el cliente realizara una inspección según MIL STD 105 E Nivel General de Inspección, AQL 2.5 simple, nivel II. a) Para poder cumplir con el pedido, su empresa piensa adquirir una nueva máquina para realizar la operación de fabricación ya mencionada. Si se supone que el proceso se mantiene centrado. Cuál es el índice de capacidad del proceso Cp que debe tener la máquina a adquirir si se pretende tener una probabilidad conjunta total de 0,85 para la aceptación de los 10 lotes. b) Cuál es la probabilidad de aceptar al menos el 50% de los lotes. Solución a) Usando la probabilidad de aceptación conjunta, hayamos la probabilidad de aceptación de un solo lote (

)

(

)

( (

) )

(

)

(

)

( ) √ Si buscamos en la tabla MIL STD observamos que n=500 y c=21, ahora debemos hallar la probabilidad de defectuosos pd. (

)

∑(

Por tanteo en Excel hayamos que Como el proceso está centrado

)

(

)

este sería el %PNC

Como está centrado

b)

(

)

(

)

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MUESTREO DE ACEPTACIÓN

(

)

∑(

)(

) (

)

5.5 INSPECCIÓN CON RECTIFICACIÓN Los programas de muestreo de aceptación suelen requerir una acción correctiva cuando los lotes son rechazados. Esto generalmente adopta la forma de una inspección del 100% exhaustiva de los lotes rechazados, donde todos los artículos defectuosos descubiertos se sacan para reprocesamiento posterior, se devuelven al proveedor o se reemplazan de un inventario de artículos satisfactorios comprobados. A estos programas de muestreo se les llama programas de inspección con rectificación, debido a que la actividad de inspección afecta la calidad final del producto de salida. Los programas de inspección con rectificación se usan en situaciones en las que el fabricante desea conocer el nivel promedio de calidad que es posible resulte en una etapa dada de las operaciones de manufactura. Por tanto, estos programas se usan en la inspección de recepción, en la inspección dentro del proceso de productos semiterminados o en la inspección final de bienes terminados. Los lotes rechazados pueden manejarse de varias maneras. El mejor enfoque es devolver los lotes rechazados al proveedor, y pedirle que realice las actividades de inspección exhaustiva y reprocesamiento. Sin embargo, en muchas situaciones, debido a que los componentes o materias primas son necesarias a fin de cumplir con los programas de producción, la inspección exhaustiva y el reprocesamiento tienen lugar en las instalaciones del consumidor. Esta no sería la situación más deseable. La calidad de salida promedio (AOQ, por sus siglas en inglés) se usa ampliamente para la evaluación de un programa de muestreo con rectificación. Este factor es la calidad en el lote que resulta de la aplicación de la inspección con rectificación. Es el valor promedio de la calidad del lote que se obtendría en una secuencia larga de lotes de un proceso con fracción defectuosa . Es sencillo desarrolla una fórmula para el AOQ. Suponer que el tamaño del lote es y que todas las unidades defectuosas se reemplazan con unidades satisfactorias. Entonces en lotes de tamaño , se tiene: 1) artículos en la muestra que, después de la inspección, no contienen unidades defectuosas, debido a que todas las unidades defectuosas descubiertas se reemplazan.

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2) artículos que, si el lote es rechazado, tampoco contienen unidades defectuosas. 3) artículos que, si el lote es aceptado, contiene defectuosas.

(

) unidades

Por tanto, los lotes en la etapa de salida de la inspección tienen un número esperado de unidades defectuosas igual a ( ), que puede expresarse como una fracción defectuosa promedio, llamada la calidad de salida promedio: (

)

Cuando el tamaño del lote se hace grande en comparación al tamaño de la muestra, esta ecuación puede escribirse como:

La calidad promedio de salida variará cuando la fracción defectuosa de los lotes de entrada varíe. A la curva que grafica la cantidad de salida promedio contra la calidad del lote de entrada se le llama curva AOQ. A continuación la figura hace una presentación de esta gráfica.

Representación gráfica del AOQ y localización del AOQL.

Por el examen de esta curva se observa que cuando la calidad de entrada es muy buena, la calidad de salida promedio también es muy buena. En contraste, cuando la calidad del lote de entrada es muy mala, la mayoría de los lotes son rechazados y se examinan, lo que lleva a un nivel de calidad muy bueno en los lotes de salida. En medio de los extremos, la curva AOQ sube, pasa por un máximo y desciende. La ordenada máxima en la curva AOQ representa la peor Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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calidad promedio posible que resultaría del programa de inspección con rectificación, y a este punto se le llama el límite de la calidad de salida promedio (AOQL, por sus siglas en inglés). Es decir, sin importar lo mala que sea la fracción defectuosa en los lotes de entrada, los lotes de salida nunca tendrán un nivel de calidad peor que el AOQL. Otra medida importante relacionada con la inspección con rectificación es la cantidad total de inspección requerida por el programa de muestreo. Si los lotes no contienen artículos defectuosos, ninguno de los lotes será rechazado y la cantidad de inspección por lote será el tamaño de la muestra n. si todos los artículos son defectuosos, cada lote se someterá a una inspección del 100% y la cantidad de inspección por lote será el tamaño del lote N. si la calidad del lote es 0
)(

)

Ejemplo Para lotes de 90.000 unidades un comprador y su vendedor acuerdan un plan de muestreo MIL STD por atributos, inspección normal, muestreo sencillo simple. NAC = 2,5%, LTPD = 5,3%. La línea del fabricante es un proceso en serie y tiene una fracción no conforme igual a 9%. Para conformar sus despachos de los lotes, el fabricante aplica un CSP al final de la línea de producción que le deja un AOQL igual a 2%. a) Calcule la probabilidad que el plan de muestreo acepte el lote b) Calcule el riesgo tipo II

Solución Teniendo como parámetros de decisión el NAC y el tamaño del lote, se determina el tamaño de la muestra y número de aceptación, haciendo uso de la tabla MIL STD para inspección normal. De esta manera se obtiene:

a) Probabilidad de aceptación Aquí se utiliza el valor del AOQL, puesto que es la proporción real de productos no conformes después de rectificación. (

)

∑(

)(

) (

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)

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MUESTREO DE ACEPTACIÓN

b) Riesgo Tipo II El riesgo tipo II se calcula a partir del LTPD, que debería tener el mayor porcentaje de productos no conformes aceptados, sin embargo se realizo una rectificación y esta proporción nunca será mayor que el AOQL, por lo que, el riesgo tipo II es cero. 5.6 MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR VARIABLES En los planes de muestreo de aceptación por variables se especifican el número de artículos que hay que muestrear y el criterio para juzgar los lotes cuando se obtienen datos de las mediciones respecto a la característica de calidad que interesa. Estos planes se basan generalmente en la media y la desviación estándar muestral de la característica de calidad. Cuando se conoce la distribución de la característica en el lote o el proceso, es posible diseñar planes de muestreo por variables que tengan riesgos especificados de aceptar y de rechazar lotes de una calidad dada. VENTAJAS  Se puede obtener la misma curva característica de operación con tamaño de muestra menor que el que requeriría un plan por atributos.  Los datos por variables proporcionan más información del proceso que los atributos. Cuando los AQLs son muy pequeños (del orden de ppm), el tamaño de muestra requerido en el caso de muestreo por atributos es muy grande y por variables muy pequeño. Cuando la inspección es del tipo destructivo, los planes por variables si se aplican son más económicos.  El grado de cumplimiento o incumplimiento (no conformidad) con el valor deseado de una característica de calidad recibe importancia cuando se utilizan los criterios para variables.  La información de variables suele dar una mejor base de orientación hacia el mejoramiento de la calidad.  Es más fácil descubrir los errores de medición con la información de variables.

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DESVENTAJAS  El probable alto costo de las mediciones vs juzgar por atributos, a pesar de que el tamaño de muestra sea menor y que sea necesario un plan de muestreo para cada característica importante del producto.  Se utiliza un plan de muestreo por cada característica inspeccionada.  Se debe conocer la distribución de la característica de calidad, la cual debe ser normal ya que de otra forma se pueden cometer errores en la aplicación del plan de muestreo por variables. Esto es más crítico cuando las fracciones defectivas son muy pequeñas. Condiciones que permiten la aplicación del muestreo de aceptación por variables 1) La característica objeto de inspección debe ser una variable o capaz de ser convertida según una escala variable. 2) La inspección de atributos o características esenciales resulta excesivamente costosa. 3) La inspección de atributos no proporcionará suficiente información; esto es, también se requieren del alcance y las consecuencias de la variación. 4) La distribución de las características debe ser aproximadamente normal. Las características distintivas de un plan de muestreo de variables, en comparación con un muestreo de atributos, son las siguientes: 1) Se obtiene una protección análoga con una muestra de tamaño. 2) Sólo puede aplicarse para la aceptación o rechazo de una característica sometida a inspección. 3) Implica mayores costos administrativos. Se precisan mejores cualificaciones, más cálculo, es posible cometer mayor cantidad de errores de cálculo y se hace preciso utilizar equipo de inspección más caro. 4) Suele proporcionar mejores fundamentos para mejorar la calidad y mucha más información en caso de renuncia.

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PROCEDIMIENTO PARA APLICAR UN PLAN DE MUESTREO POR VARIABLES Obtener una muestra aleatoria de tamaño n y calcular: a) Si hay un límite inferior de especificación:

El problema se concentra en calcular n y k b) Si hay un límite superior de especificación:

El problema se concentra en calcular n y k Se define: : Probabilidad de aceptación para una fracción defectuosa p1. : Probabilidad de aceptación para una fracción defectuosa p2. Se usa un nomograma. Inspección en cadena Se aplica en situaciones en las que las pruebas son destructivas y costosas y, por tanto, los tamaños muéstrales son pequeños y el criterio de aceptación es nulo. Permite suavizar la velocidad de caída de la CO. Los pasos a seguir son los siguientes:  Se elige una muestra de tamaño n y se observa el número de artículos defectuosos.  Si la muestra no tiene artículos defectuosos se acepta el lote.  Si se observan dos o más artículos defectuosos se rechaza el lote.  Si se observa un artículo defectuoso, se acepta el lote cuando los i lotes precedentes se hallan libres de defectos. Normalmente i suele estar entre tres y cinco. Este tipo de muestreo permite aceptar un rango más amplio de lotes con fracción de defectuosos próxima a cero. La probabilidad de aceptación, que define la ordenada de la CO, se calcula mediante la ecuación: (

)

(

), (

)-

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) Donde ( ( ) son las probabilidades de obtener 0 y 1 articulos respectivamente, de una muestra aleatoria n El muestreo en cadena se aplica especialmente cuando se dan las siguientes condiciones:  El lote forma parte de un flujo continuo de lotes de un proceso en el que existe una producción repetitiva elaborada bajo las mismas condiciones y en el cual los lotes se presentan para su aceptación en el orden de producción. Se supone que los lotes son esencialmente de la misma calidad.  Se debe disponer de un buen registro de la calidad por parte del proveedor. 5.7 MUESTREO CONTINUO Muchas operaciones de manufactura, particularmente los procesos los procesos de ensamble complejos, no resultan en la formación natural de lotes. Por ejemplo, la fabricación de muchos aparatos electrónicos, como las computadoras personales, se realiza en una línea de ensamble con una banda transportadora. Cuando la producción es continua, pueden usarse dos enfoques para formar los lotes. El primer procedimiento permite la acumulación de la producción en puntos dados del proceso de ensamblaje. Esto tiene la desventaja de crear un inventario dentro del proceso en varios puntos, lo cual requiere espacio adicional, puede constituir un riesgo de seguridad y generalmente es un enfoque ineficiente para administrar una línea de ensamblaje. En el segundo procedimiento se delimita arbitrariamente un segmento dado de la producción como un “lote”. La desventaja de este enfoque es que si un lote en última instancia es rechazado y se requiere posteriormente una inspección del 100% del lote, quizá sea necesario traer productos de las operaciones de manufactura que están muy apartadas en el proceso de producción. Esto puede requerir el desensamblaje o la destrucción parcial de artículos semiterminados. Por estas razones, se han desarrollado planes de muestreo especiales para la producción continua. Los planes de muestreo continuo consisten en secuencias alternadas de inspección muestral y exhaustivas (inspección del 100%). Los planes suelen iniciarse con una inspección del 100% y cuando se encuentra que un numero preestablecido de unidades no presenta defectos(al número de unidades i suele llamársele el numero de liberación), se establece la inspección muestral. La inspección muestral continua hasta que se encuentre un numero especificado de unidades defectuosas, momento en el que se reanuda las inspección del 100%. Los planes de muestreo continuo son planes Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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de inspección con rectificación, por cuanto la calidad del producto se mejora por tamizado parcial Plan CSP-1 Este modelo de inspección se constituye dentro de los planes de muestreo por variables como un plan de muestreo continuo. Fue desarrollado por Harold F. Dodge. Al principio del plan, todas las unidades se inspeccionan al 100%. Tan pronto como se llega al número de liberación, es decir, tan pronto como se encuentra que unidades consecutivas del producto no presentan defectos, se discontinúa la inspección 100%, y sólo se inspecciona una fracción de las unidades. Estas unidades muestrales se seleccionan al azar, una a la vez, del flujo de la producción. Si se encuentra que una de las unidades muéstrales es defectuosa, se reanuda la inspección del 100%. Todas las unidades defectuosas encontradas se someten a reprocesamiento o se reemplazan con unidades satisfactorias. Un plan CSP-1 tiene un AOQL global. El valor de este parámetro depende de los valores del número de liberación i y de la fracción muestral f. Estos valores están dados en las tablas del apéndice.

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Procedimiento para los planes CSP1 Plan CSP-2 En el desarrollo de este plan, la inspección 100% no se restablecerá cuando la producción este bajo inspección muestral hasta que hayan encontrado dos unidades defectuosas dentro de un espacio de unidades muestrales entre sí. Es una práctica común elegir igual al número de liberación . Estos planes están registrados por AOQL específicos que pueden obtenerse con diferentes combinaciones de y . Plan CSP 3 El plan CSP-3 es un refinamiento del CSP-2 y proporciona una mayor proporción contra el surgimiento espontaneo de una bajada de la calidad, es decir está diseñado para brindar protección adicional contra la producción irregular. La variación respecto al CSP-2 consiste en que cuando se encuentra una unidad defectuosa en una muestra, se inspeccionan las 4 unidades siguientes producidas y dependiendo del resultado se procederá así:  Si ninguna de estas 4 unidades siguientes es defectuosa, se continua verificando por muestreo aplicando el plan CSP-2.  Si alguna de las 4 unidades es defectuosa, se interrumpe la inspección por muestreo, comenzando la aplicación del plan CSP-2 al principio. Inspección a varios niveles Consiste en alternar la inspección 100% con la inspección por muestreo con diferentes fracciones de muestreo, dependiendo de la calidad de los lotes. Específicamente, se comienza con una inspección al 100% y posteriormente se pasa a una inspección por muestreo con fracción , cuando i artículos se encuentran libre de defectos. Si de nuevo i artículos se encuentran libres de defectos, entonces se continúa con una inspección por muestreo con fracción .

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PREGUNTAS DE REPASO

1) Explique qué es el muestreo de aceptación. 2) El muestreo de aceptación es una decisión intermedia entre dos extremos: cero inspección o inspección al 100%. Explique bajo qué condiciones se recomienda aplicar el muestreo de aceptación. 3) ¿Cuáles son las ventajas del muestreo de aceptación sobre la inspección al 100%? 4) Comente de manera general en qué consisten los planes de muestreo por atributos y por variables. 5) ¿En qué consiste un muestreo doble? 6) Explique en forma general cómo se recomienda formar un lote que va a ser sometido a un plan de muestreo de aceptación. 7) Describe qué es y cuál es la utilidad de la curva característica de operación de un plan de muestreo por atributos. 8) Apoyándose en las propiedades de la curva CO, señale qué tanta influencia tiene el tamaño de lote en el tipo de calidad que acepta un plan de muestreo de aceptación. 9) Algunas personas tienen la costumbre de tomar un tamaño de muestra igual a cierto porcentaje del tamaño de lote (10%). ¿Con base en las propiedades de la curva CO, es adecuada esta costumbre? 10) Comente el significado de los índices NCA (AQL) y NCL (AOQ), su relación con el riesgo del productor y riesgo del consumidor. 11) ¿Cuál es el propósito de los distintos niveles de inspección en las tablas de MIL STD 105E? 12) ¿Qué ventajas tiene el muestreo de aceptación para variables respecto al de atributos?

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Un proceso de llenado para recipiente de aceite en condiciones de estado estable, tiene una media de 100 lb y una desviación estándar de 3 libras en dicha etapa, la cual suministra los recipientes llenos a la etapa de despacho. La situación actual de la etapa de llenado es satisfactoria para las exigencias de despacho (100±5.8799) libras, pero consideraría de pésima calidad si los recipientes llenos viniesen con una variación en la media de ±3.5 libras, conservando su variabilidad. En el despacho se rechazan los lotes de buena calidad con 5%, caso dado, que reciben de la etapa de llenado y utilizan el doble del riesgo anterior para rechazar lotes de mala calidad; por lo que se va a poner en aplicación un plan de muestreo por atributos con un lector que clasifica los recipientes como conformes o no conformes. Cada lote que se procesa en serie en la etapa de llenado, consta de 100.000 recipientes. a) Diseñe el plan de muestreo correspondiente. b) Suponga que el proceso de llenado está generando en total el 15% de producto no conforme, la cantidad de productos no conformes por uno de los límites de especificación es el doble con relación a la cantidad de no conformes que se generan por el otro límite de especificación. ¿Cuál es la capacidad general del proceso? ¿Cuál es la capacidad real del proceso? 2) Un fabricante de productos en serie le despacha a su cliente en lotes de 100.000 unidades cada uno, quien le ha fijado un NAC=4% y un LTPD=6%. La línea de producción tiene una fracción de no conforme igual al 7%. El cliente utiliza para la recepción Nivel General de Inspección, Normal MIL STD 105E para su plan de muestreo. El fabricante utiliza un plan de muestreo CSP 1 con f=4% y un valor de i=86 para el despacho de los lotes. a) Calcular la probabilidad de aceptación de los lotes por parte del cliente. b) Calcular el riego tipo II c) Calcular la mínima probabilidad de aceptación de los lotes por parte del cliente. d) ¿para qué valor del LTPD, el riesgo tipo II del plan del cliente es de 0.1? Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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3) Su empresa obtiene un contrato para suministrar 5 lotes de 1.000 piezas. La fabricación de estas piezas es relativamente sencilla pero presenta la dificultad de tener una tolerancia muy estrecha en una de las dimensiones. El contrato establece que el cliente realizará una inspección según MIL-STD-105E, AQL=0.65, simple, nivel II. Previamente al lanzamiento de la fabricación usted realiza un estudio de capacidad del proceso de fabricación de la cota problemática y obtiene Cp=0.95. Debido a la naturaleza del proceso de fabricación resulta sencillo mantenerlo centrado. Si su empresa sirve ese pedido sin realizar una inspección final: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente acepte los cinco lotes? b) Si el cliente no ha rechazado ningún lote ¿cuál ha sido la fracción defectuosa de los lotes fabricados? c) Si el cliente ha rechazado algún lote ¿cuál ha sido la fracción defectuosa de los lotes fabricados? 4) Su empresa obtiene un contrato para suministrar 5 lotes de 1.000 piezas. La fabricación de estas piezas es relativamente sencilla pero presenta la dificultad de tener una tolerancia bilateral muy estrecha en una de las dimensiones. El contrato establece que el cliente realizará una inspección según MIL-S TD-105E, AQL=0.10, simple, nivel II. a) Hallar el tamaño de la muestra necesario para cada lote y el criterio de aceptación y rechazo. b) Dado que su empresa no tiene experiencia en la fabricación de la pieza, su jefe le pide que calcule la probabilidad de que su cliente acepte los 5 lotes en función de la fracción defectuosa fabricada, conociendo quela empresa sirve ese pedido sin realizar una inspección 100% final. c) Para poder cumplir el pedido, su empresa piensa adquirir una nueva máquina para realizar la operación de fabricación mencionada anteriormente. Si se supone que el proceso permanece centrado ¿Cual es el índice de capacidad de proceso Cp que debe tener la máquina a adquirir si se pretende tener una `probabilidad del 90% de que el cliente no rechace ningún lote? d) Debido al alto precio de la máquina anterior, su empresa decide hacer un lanzamiento piloto con la máquina antigua. Fabrica 50 unidades que se verifican todas y 2 de ellas resultan defectuosas. Se pide estimar la fracción defectuosa existente mediante un intervalo de confianza del 95%. e) Para cumplir el contrato con la maquinaria antigua, se planifica realizar una inspección final 100% para segregar las unidades defectuosas. Alguien propone reemplazarla por un muestreo. ¿Qué opina usted? Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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5) Su empresa ha acordado con un cliente las condiciones de recepción de los envíos de lotes de 5000 piezas. El plan de muestreo por atributos acordado es el siguiente: n =50. Ac = 0. Por datos históricos Ud. sabe que la fabricación de su empresa es muy estable y tiene un 0,25% de unidades defectuosas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se acepte un lote? b) Si está prevista la entrega de 400 lotes ¿qué cantidad R de lotes espera que le rechacen?Se supone que no se toma ninguna acción correctora sobre el proceso después de cada retraso. c) ¿Cuál es la probabilidad de que le rechacen exactamente “R” lotes, ni uno más, ni uno menos? d) Si los lotes rechazados se re inspeccionan al 100% y se reponen las unidades defectuosas ¿Cuál es la calidad de salida media? 6) Suponga que un proveedor envía componentes en lotes de tamaño 5000. Se utiliza un plan de muestreo simple con n=50 y c=2 para inspección a la recepción. Se tamizan los lotes rechazados y se vuelven a trabajar todos los artículos defectuosos para después regresarlos al lote. a) Trace la curva OC para este plan b) La administración se opuso al empleo del procedimiento anterior de muestreo y quiere usar un plan con numero de aceptación c=0, argumentando que esto es más acorde con su programa de cero defectos ¿Qué opina de esto? c) Diseñe un plan de muestreo simple con c=0 que corresponde a una probabilidad de 0,90 de rechazar lotes con el nivel de calidad encontrado en el inciso b). observe que los dos planes se equiparan ahora en el punto LTPD. Trace la curva OC para este plan y compárelo con aquel para el cual n=50 y c=2. 7) Cada semana Melissa Bryant Ltd. Recibe un lote de 1000 relojes Swiss para su cadena de tiendas de la Costa Este. Bryant y el fabricante han acordado el siguiente plan de muestreo: Construya una Curva OC para el plan de muestreo con ¿Satisface este plan los requisitos del fabricante y del consumidor?

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MUESTREO DE ACEPTACIÓN

Si se decide implementar un plan con rectificación, cual es la mínima probabilidad de aceptación que tendrá este plan sobre el lote. ¿Cuáles el riesgo que corre Melissa Bryant Ttd? 8) En la inspección de un producto eléctrico cuyos lotes son de unidades y , previo a su aceptación es posible aplicar uno de los siguientes planes:  Plan simple de parámetros:  Plan doble de parámetros: a) Si la elección del plan a utilizar se basa únicamente en el tamaño de la muestra, indique cual será la elección a tomar. Justifique. b) Cuál es la probabilidad de aceptación del plan elegido. c) Si se quiere optar entre el plan doble de la parte a) pero ahora con rectificación y el plan simple: , con rectificación para inspeccionar los lotes antes mencionados, ¿qué plan será más conveniente utilizar?Justifique. 9) Una empresa de montaje compra componentes a tres proveedores A, B, C que aseguran que su calidad de fabricación es del 1% defectuoso. Sin embargo, cada uno de los proveedores realiza un plan de muestreo diferente antes de enviar el pedido a la empresa de montaje: Proveedor A: n=30 y c=1 ProveedorB: n=60 y c=2 Proveedor C: n=90 y c= 3 a) ¿Cuál de los proveedores es más exigente con su muestreo? b) Si los tres proveedores envían sus productos en lotes de 2800 elementos ¿Cuál de ellos tiene un menor costo de inspección? c) La empresa planea una calidad límite de 10% defectuoso ¿cuál de los tres planes conlleva una protección mayor frente a lotes tan defectuosos?

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Capitulo

6

HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS PARA EL CONTROL DE CALIDAD

En el mercado hay un sin número de software estadísticos que cuentan con herramientas y opciones para ayudar a evaluar la calidad de los procesos, software como Satgraphics, Minitab, Supercep etc; que ofrecen una amplia gama de métodos que ayudan a evaluar la calidad de manera objetiva y cuantitativa: gráficas de control, herramientas de planificación de la calidad y análisis de sistemas de medición (estudios de medición), capacidad de procesos y análisis de confiabilidad/supervivencia. Entre tanto es importante aclarar que no hay ventajas significativas entre estos software, por lo que en este capítulo y para efectos prácticos solo utilizaremos Minitab.

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HERRAMIENTAS INFORMATICAS

6 HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS PARA EL CONTROL DE CALIDAD 6.1 CAPACIDAD DEL PROCESO En Minitab, usted puede evaluar gráficamente la capacidad de procesos al generar histogramas y gráficas de capacidad. Estas gráficas ayudan a evaluar la distribución de los datos y a verificar que el proceso esté bajo control. Sin embargo Los índices de capacidad son una forma más simple de evaluar la capacidad de los procesos. Minitab ofrece análisis de capacidad para muchos tipos de distribuciones, incluidas la normal, exponencial, Weibull, gamma, Poisson y binomial. Ejemplo A continuación se muestran los datos de cierto proceso productivo del que se desea conocer la capacidad, se sabe que la media es 264,6 y su desviación estándar 32,02, el LSE: 350 y el LIE:220 Los datos se muestran a continuación y fueron tomados consecutivamente 349,310166 283,121728 271,570921 259,294887 334,135004 318,453416 313,971604 306,503002 303,195881 300,727785 296,238577 286,104083 285,604855

280,309148 277,807806 275,555244 275,135635 274,318162 273,853313 273,046443 272,685957 271,745358

267,051921 266,157908 265,557412 265,531748 265,225026 262,289964 261,123392 261,049152 260,379235

252,716382 251,181872 249,583709 248,659022 248,512587 246,600136 246,022968 245,363693 243,738912

242,57373 242,297691 240,902895 234,9163 225,195575 221,955739 221,636142 219,922422 216,841732 216,055131

Solución Si queremos comprobar que los datos se distribuyen normalmente podemos seguir la siguiente ruta después de introducidos los datos. Estadísticas>Estadísticas Básicas>Prueba de normalidad, como se muestra en la imagen de abajo.

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149

HERRAMIENTAS INFORMATICAS

Luego aparecerá esta tabla le indicaremos donde están los datos, escogemos el tipo de prueba de normalidad y le damos aceptar

Luego de aceptar se generará una imagen como la que sigue: Gráfica de probabilidad de C1 Normal

99

Media Desv .Est. N AD Valor P

95 90

265,4 29,30 50 0,495 0,206

Porcentaje

80 70 60 50 40 30 20 10 5

1

200

220

240

260

280 C1

300

320

340

360

En la que si sus datos son perfectamente normales, entonces los puntos en la gráfica conformarán una línea recta. La línea de referencia es un estimado de la función de distribución acumulada para la población a partir de la cual se extrajeron los datos. Nota: Un software que es muy potente también para calcular el tipo de distribución que siguen los datos obtenidos, es el simulador ARENA con su herramienta input analyzer. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

150

HERRAMIENTAS INFORMATICAS

Posterior a esto y centrándonos en la capacidad del proceso procedemos con la siguiente ruta Estadísticas < Herramientas de calidad < Análisis de capacidad < Normal.

Aparecerá la siguiente ventana donde se debe hacer en su orden, esto:

2.

1.

CLIC

CLIC

4. Se define el tamaño del subgrupo

3.

CLIC

5. Se definen los valores de los límites 6. CLIC

Al igual que con otros comandos de Minitab, usted puede modificar el análisis de capacidad al especificar información en el cuadro de diálogo principal o al hacer clic en uno de los botones del cuadro de diálogo, para esto deberá dar clic al recuadro opciones que está en la parte superior derecha de la imagen anterior. Finalmente aparecerá una grafica con los respectivos resultados de la capacidad del proceso. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

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HERRAMIENTAS INFORMATICAS

Capacidad de proceso de C1 LIE

LSE

P rocesar datos LIE O bjetiv o LS E M edida de la muestra N úmero de muestra D esv .E st. (D entro) D esv .E st. (G eneral)

Dentro de General

220 * 350 265,435 50 28,3796 29,304

C apacidad (dentro) del potencial Cp 0,76 C PL 0,53 C P U 0,99 C pk 0,53 C apacidad general Pp PPL PPU P pk C pm

0,74 0,52 0,96 0,52 *

200 220 240 260 280 300 320 340 D esempeño observ ado P P M < LIE 60000,00 P P M > LS E 0,00 P P M Total 60000,00

E xp. D entro del rendimiento P P M < LIE 54693,01 P P M > LS E 1442,23 P P M Total 56135,23

E xp. Rendimiento general P P M < LIE 60515,65 P P M > LS E 1952,11 P P M Total 62467,76

Aquí se puede ver claramente que el proceso no es capaz porque todas las estadísticas de potencial son menores que 1, además se observa claramente que se están generando productos no conformes en mayor proporción por el límite inferior.

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152

HERRAMIENTAS INFORMATICAS

6.2 CARTAS DE CONTROL El siguiente ejercicio explica de forma clara el procedimiento para realizar una carta de control para variables con Minitab. Ejercicio 1 En un cierto proceso de fabricación, una de las operaciones consiste en efectuar un corte en una pieza de plástico. Dicho corte debe tener una profundidad especificada en los planos. Dado que en el procesado posterior de dichas piezas se tenían problemas debido a piezas con cortes no adecuados, un ingeniero decide recoger información del proceso. Para ello tomó datos de 20 conjuntos de piezas cada uno en intervalos de tiempo de 2 días y midió la profundidad del corte obtenido. Los datos obtenidos se muestran a continuación: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

X1 8,3 8,1 8,1 8 7,9 9 8,3 8,1 8 8 7,8 8,1 7,6 7,5 7,5 7,5 7,8 8,2 8,2 8,2

X2 8 8 8,2 8,2 8 8,4 8,4 8,2 7,9 8,1 7,5 8,2 7,7 7,6 7,5 7,8 7,5 8 8,2 8,3

X3 8,4 7,9 8,2 8 8 8,5 8,4 8,2 8 8,1 7,5 8,2 7,9 7,7 7,5 7,8 7,5 8,2 8,2 8

X4 8,4 8 8,2 8 8 8,5 8,4 8,1 8 8,1 7,5 8,2 7,7 7,7 7,5 7,8 7,5 8 8,2 8,1

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153

HERRAMIENTAS INFORMATICAS

Para realizarlos por MINITAB es necesario hacer el siguiente procedimiento: 1) Los datos se ingresan de la siguiente manera

2) Debido a que la característica de calidad que se está midiendo es una variable continúa, utilizaremos la grafica ̅ , por lo que tendremos que hacer lo siguiente. Estadística
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154

HERRAMIENTAS INFORMATICAS

3) Después de esto aparecerá una ventana, en donde escogeremos del submenú la opción las observaciones para un subgrupo están en una fila de columnas:

4) Luego aparecerá la siguiente ventana, en donde ingresaremos los datos en la segunda casilla haciendo doble clic a cada uno de nuestros subgrupos, tengan en cuenta que las observaciones para un subgrupo se encuentran en distintas columnas es por eso que seleccionaremos la segunda opción que se muestra en la caja de selección.

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155

HERRAMIENTAS INFORMATICAS

5) Finalmente y después de hacer lo anterior, se genera una grafica como se muestra a continuación. Gráfica Xbarra-R de X1; ...; X4 M edia de la muestr a

1

8,50 8,25

1 1 1

8,00

U C L=8,174 _ _ X=8 LC L=7,826

7,75 1

7,50 3

5

7

9

11 M uestr a

1 1

1

1

1

13

15

1

17

19

1

0,60

Rango de la muestr a

1

1

U C L=0,5447 0,45 0,30

_ R=0,2387

0,15 0,00

LC L=0 1

3

5

7

9

11 M uestr a

13

15

17

19

Análisis El primer grafico correspondiente al grafico X-barra, nos indica que el proceso no se encuentra bajo control estadístico, porque hay 12 puntos por fuera de los límites de control. Por su parta el grafico R nos muestra que el proceso es variable, y hay muchas observaciones cerca del límite de control inferior, lo que indica que la mayoría de los cortes están por debajo del promedio de cortes adecuados. De la misma manera podemos ver claramente un punto por encima del límite superior que se debe investigar. Nota: Si es necesario eliminar y cambiar los datos insertados en Minitab, se lo puede hacer sin ningún problema, solo que se debe actualizar la grafica; para esto se da clic derecho sobre la grafica anterior y se elige la opción actualizar grafica automáticamente. Para que el cambio surja efecto.

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156

HERRAMIENTAS INFORMATICAS

6) Si se quiere realizar una prueba del comportamiento de los datos en Minitab, se debe seguir la siguiente ruta: herramienta
Si lo desea se pueden modificar los valores de estas casillas, por ejemplo de acuerdo con las pautas de AIAG, para todas las gráficas de control, usted puede usar un valor de 7 para las pruebas 2 y 3. Cartas de control por atributos Se introducen los datos y realiza el procedimiento de la imagen, escogiendo el tipo de grafico por atributo que corresponda en cada caso. La ruta es Estadísticas
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157

HERRAMIENTAS INFORMATICAS

Para la grafica P

En una columna se consignan los tamaños de los subgrupos y junto a estos el número de productos no conformes encontrados.

Aparecera esta ventana donde se tendra que hacer:

1. Se hace clic en el espacio debajo de Variables

2. Clic sobre la columna que contiene el número de no conformidades

3. Se hace clic en el espacio junto a Tamaño de los subgrupos 4. Clic sobre la columna que contiene el tamaño de los subgrupos

5. Clic en aceptar

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158

HERRAMIENTAS INFORMATICAS

Para la grafica Np

En una columna se consignan el numero de no conformidades (NP) encontrado en cada subgrupo

Luego continuamos asi :

1. Se hace clic en el espacio debajo de Variables

2. Clic sobre la columna que contienen el número de no conformidades

3. Se hace clic en el espacio junto a Tamaño de los subgrupos y se consigna el tamaño de estos (constante) 4. clic en Aceptar

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159

HERRAMIENTAS INFORMATICAS

Para la grafica C

En una columna se consignan el número de defectos para cada muestra (C)

Ahora seguimos con los pasos mostrados en la imagen.

1. Se hace clic en el espacio debajo de Variables 2. Clic sobre la columna que contienen el número de no conformidades

3. Clic en ACEPTAR

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160

HERRAMIENTAS INFORMATICAS

Para la grafica U

En una columna se consignan los tamaños de las muestras (n) y junto a esta la cantidad de defectos encontradas (C).

Luego continuamos como sigue:

1. Se hace clic en el espacio debajo de Variables

2. Clic sobre la columna que contienen el número de defectos

3. Se hace clic en el espacio junto a Tamaño de los subgrupos

4. Clic sobre la columna que contienen el tamaño de los subgrupos

5. Clic en ACEPTAR

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161

HERRAMIENTAS INFORMATICAS

PARA EL MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR ATRIBUTOS Ejemplo Supongamos que un proveedor le suministra bolígrafos con el logotipo de su compañía, los cuales usted obsequia en eventos comerciales. Usted recibe los bolígrafos en lotes de 5000 y el hecho de que muchos de estos bolígrafos no funcionan adecuadamente le ha causado frustración. Usted decide implementar un plan de muestreo que le permita tomar la decisión de aceptar el lote entero o rechazar el lote entero. Usted tiene previsto enviar un mensaje a su proveedor en el que le informa que no aceptará bolígrafos de baja calidad. Usted y su proveedor convienen en que el AQL es 1.5% y el LTPD es 10%. Solución: Primero hacemos lo siguiente: 1 Elija Estadísticas > Herramientas de calidad > Muestreo de aceptación por atributos.

Luego aparecerá una ventana donde se deberán ingresar los datos correspondientes para hacer las respectivas graficas y se debe hacer lo siguiente: 1) Elija Crear un plan de muestreo. 2) En Tipo de medición, elija Pasa / no pasa (defectuosos). 3) En Unidades para niveles de calidad, elija Porcentaje de defectuosos. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

162

HERRAMIENTAS INFORMATICAS

4) En Nivel de calidad aceptable (AQL), ingrese 1.5. En Nivel de calidad rechazable (RQL o LTPD), ingrese 10. 5) En Riesgo del productor (alfa), ingrese 0.05. En Riesgo del consumidor (beta), ingrese 0.10. 6) En Tamaño del lote, ingrese 5000.

Curva Característica de operación (OC)

1,0

0,6

Curva de calidad saliente promedio (A OQ)

2,4 1,8 1,2 0,6 0,0 0

5

10

15

20

Pct. elementos defect. en lote entrante Curva de inspección total promedio (A TI)

0,4

Inspección total promedio

Probabilidad de aceptación

0,8

AOQ (pct. elementos defectuosos)

7) Haga clic en Aceptar y aparecerá lo siguiente:

0,2

0,0 0

5

10

15

5000

3000

1000

20

Porcentaje de defectuosos en el lote

0

5

10

15

20

Porcentaje de defectuosos en el lote

Tamaño de la muestra = 52, Número de aceptación = 2

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163

HERRAMIENTAS INFORMATICAS

Análisis Para cada lote de 5000 bolígrafos, usted necesita seleccionar e inspeccionar aleatoriamente 52 de ellos. Si encuentra más de 2 defectuosos entre estos 52 bolígrafos, debe rechazar todo el lote. En caso de encontrar 2 o menos bolígrafos defectuosos, se acepta todo el lote. En este caso, la probabilidad de aceptación en el AQL (1.5%) es de 0.957 y la probabilidad de rechazo es de 0.043. Cuando se configuró el plan de muestreo, el consumidor y el proveedor convinieron en que los lotes con 1.5% de defectuosos serían aceptados aproximadamente el 95% de las veces, a fin de proteger al productor. La probabilidad de aceptación en el LTPD (10%) es de 0.097 y la probabilidad de rechazo es de 0.903. El consumidor y el proveedor convinieron en que los lotes con 10% de defectuosos serían rechazados la mayor parte de las veces, a fin de proteger al consumidor. Los procesos de muestreo de aceptación por lo general requieren acciones correctivas cuando se rechazan lotes. Cuando la acción correctiva consiste en realizar una inspección al 100%, además de reparar las unidades defectuosas, la Calidad saliente promedio (AOQ) representa la calidad promedio del lote y la Inspección total promedio (ATI) representa el número promedio de unidades inspeccionadas después de realizar una exploración adicional. El nivel AOQ es de 1.4% en el AQL y de 1.0% en el LTPD. Esto se debe a que cuando los lotes son muy satisfactorios, o muy deficientes, la calidad saliente será satisfactoria debido al trabajo de reparación y reinspección de los lotes deficientes. El Límite de calidad saliente promedio (AOQL) = 2.603 en 4.3 por ciento de defectuosos, representa el nivel de calidad saliente en el peor de los casos. La ATI por lote representa el número promedio de bolígrafos inspeccionados en un nivel de calidad particular. Para el nivel de calidad de 1.5% de defectuosos, el número total promedio de bolígrafos inspeccionados por lote es de 266.2. Para el nivel de calidad de 10% de defectuosos, el número total promedio de bolígrafos inspeccionados por lote es de 4521.9.

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164

HERRAMIENTAS INFORMATICAS

Diagrama de Pareto Para realizar un diagrama de pareto con Minitab.

En una columna se consignan las etiquetas de los efectos y junto a dicha etiquetala frecuencia de ocurrenciadel efecto.

Luego en la opción estadística, se escoge herramientas de calidad y enseguida diagrama de pareto como se muestra en la imagen de abajo.

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165

HERRAMIENTAS INFORMATICAS

3. Se hace clic en el nombre de la columna que contiene las etiquetas, en este caso C1

5. Se hace clic en el nombre de la columna que contiene las frecuencias, en este caso C2

1.Se escoge la opción Tabla de defectos de gráfica 2. Se hace clic en el espacio junto a Etiquetas en 4. Se hace clic en el espacio junto a Frecuencias en

Clic en no combinar

Clic en ACEPTAR

Finalmente obtenemos nuestro diagrama de Pareto

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166

APENDICE

CAPÍTULO 4: CARTAS DE CONTROL RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS CAPÍTUO 3: CAPACIDAD DEL PROCESO 1) a) Cp=1.33

1. a)

,

,

,

,

,

, ̅

b)

,

( ) ⁄

b) Cpk=0.5 c) se reduce 6.67%

,

⁄

2) a) (

)

Diseñar los limites de control de la carta x

3) a) ( b) $ 250,16

)

2. a) ̅

4) a) b) %PNC= 53,687% c) %PNC= 53, 526% d) $13,764

, ,

b) c) Trabajando los limites de control con ⁄ , al final nos queda que

5) P=0,02275

d)

6) a) %PNC = 5,749% c) ( ) d) Proceso incapaz y descentrado e) Asumiendo 1.000 unidades, el

Con

,

⁄

,

f)

,

, ,

,

̅

b)

̅

)

g)

8) a)

,

( )

e)

(

7) a) b)

,

,

,

,

h) i) J) Centrando el proceso se obtiene que el mínimo porcentaje de PNC que el proceso puede alcanzar es del 9%, por lo tanto no se puede reducir este porcentaje a un 1%., a menos que se reduzca la variabilidad del proceso y se realicen inversiones significativas.

3. a)

, ,

Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

, 167

APENDICE

,

,

,

,

⁄

Confiabilidad: ,

,

,

,

,

c) Trabajando los limites de control con

,

b)

b)

⁄

|

d)

Con

⁄

, e) ̅

,

,

,

,

d)

, ,

,

, g)

,

,

,

̅

,

,

,

h)

e) Utilidad Neta = 6.182.820 UM 4.

( )

⁄

f) c) ̅

|

a)

,

|

b) Cuando

|

:

,

, , , . No puede existir tal carta con esta propiedad. i) VM = 1muestra/hora

,

Aproximadamente

6) a) Cuando

:

c)

)

(

d) Con

,

e)

.

,

b)

⁄

( )

d) LDP=50

,

Para la media inicial del proceso: ̅

, Cuando se presenta el corrimiento: si el corrimiento se da hacia la derecha: ̅

Con

̅

e) Realice un estudio detallado del proceso, donde se muestre el porcentaje mínimo de productos no conformes que puede arrojar el proceso centrado; este porcentaje es superior al 3%, así que dicho intervalo no existe. g) ̅ i) Costo Alquiler $19.200.000/mensual.

=

f) Con . Asumiendo que los limites de control se trabajaron con alfa medio: 5.

a) ̅

,

, Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

168

APENDICE

(

CAPITULO 5: MUESTREO DE ACEPTACION

)

Conclusión: Es un plan bastante exigente para el proveedor, ya que si tiene menos del 0,2% de defectuosos c) Curva CO para a y c

1. a) b)

3. Letra código: J n=80 c=1 b) (

)

4. a) n=80

9) a)

c=0 b)

(

)

(

) ( ) ( ) ( ) Entonces el plan del proveedor A es más exigente b) ( ) ( )

c) d) 0,04 5. a) b) R=48 C) d) AOQ=0, 00193 6. a) Trace la curva con las herramientas informáticas (la grafica se encuentra más adelante) b) ( ) (

( ) c) ( ) ( ) ( )

) Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

169

APENDICE

RESUMEN DE FORMULAS Cartas de control

Capacidad del proceso

Limites de tolerancia natural

Limites De Control (Carta X) ̅

|

|

̅

|

|

̅ ̅ ̅

√

√

Limites de control x-Bar (3σ) ̅

Capacidad potencial del proceso ̅ ̅

̅ ̅

Desviación

(

̅

√

)

Limites de control (Carta R)

Capacidad Real (

)

̅ ̅ ̅

̅ ̅

Limites de control cartas X-Bar-σ ̅

Estandarización ̅

̅

̅

̅ ̅

̅

Probabilidad (

)

(

)

̅

(

√

)

Limites de control Carta ̅ ̅ ̅ ̅ De la muestra Nota: un proceso está bajo control estadístico cuando las dos cartas están bajo control. Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

170

APENDICE

c

a

a

c

Valor esperado de productos no conformes generados hasta llegar a una muestra k.

Cuando no se corrió.

( (

Cambiado, cuando si cambio.

)

( (

)

) )

Determinado tiempo. Monitoreo de un proceso

Corrimiento | ̅

,(

̅|

Potencia para detectar un cambio en la media Corrimiento hacia el límite superior |

(

|

√ )

Corrimiento hacia el límite inferior (

)

(

( ) Fuera de los límites de control.

Probabilidades 

(

)

(

)



(

)

(

)

(

)

)



(

)



(

)

( (

( ) ( )

( )

Cambio en las primeras k muestras

(

)-

Trabajando con alfa

( ) Trabajando con alfa medio



(

PNC=%PNC*Tm Longitud promedio de corrida (LDP): Numero de muestras que se necesitan analizar antes de encontrar puntos por fuera.

√ )

Cambio dado que ocurra

)

Cartas de Control por Atributos

Carta P y NP. Distribución Binomial. Cartas P: cuando la muestra es variable o constante Cartas Np: la muestra siempre es constante P=proporción no conforme n= tamaño de la muestra

) ̅

)

∑ ∑

Limites de control cartas p

Calculo de n *

|

|

|

| + ̅

√

̅(

̅)

̅ Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

171

APENDICE

̅(

√ ̅

̅)

∑ ∑ Por lo que los limites de control se obtendrán con las ecuaciones ̅

Limites de control carta Np ̅

√ ̅ (

√ ̅⁄

̅

̅)

̅ ̅ ̅

√ ̅ (

¡Para Recordar! Distribución Binomial

Potencia para la carta p ̅(

̅)

̅(

̅)

√ ̅

√

[

√ ̅⁄

̅

̅)

̅

( )

. /

√ ̅(

( )

√̅(

̅) ̅

̅)

̅

( )

(

( )

.

̅

) ̅ ⁄ √

( )

Condición

/

( ) ( )

( )

Para la carta p

(

)

Distribución de Poisson Expresa la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

̅ ⁄ √

(

]

Calculo de LDP

Para la carta x

) ( )

]

Calculo de n, para la carta p. [

(

)

( )

.

Cartas C ̅ ̅ ∑ ̅

√ ̅

̅ ̅

√ ̅

Cartas U Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

172

APENDICE

MUESTREO DE ACEPTACION Usando Binomial (La más usual generalmente para lotes grandes) Pa: Probabilidad de aceptación (

)

∑. /( ) (

y

)

Usando Hipergeométrica. (

)

∑

( )(

)

( )

Numero esperado de unidades defectuosas: ( ) : Calidad de salida promedio, esta calidad resulta de la inspección con rectificación. (

) (

∑. /(

)

: Probabilidad de aceptación para lotes con fracción defectuosa p´.

)

: Limite de calidad de salida promedio Cuando el tamaño del lote se hace grande en comparación con el tamaño de la muestra: El número promedio de inspección total por lote es ATI.

NAC: Nivel de calidad aceptable, es el nivel de calidad más pobre del proceso del proveedor. ) (

∑. /(

(

)(

)

)

LTPD: Nivel de calidad más pobre que el consumidor está dispuesto a aceptar. | [

|

√ ⁄

⁄ ]

⁄ |

|√

|

|√

Control estadístico de la calidad Ingeniería industrial Universidad Del Magdalena

173

BIBLIOGRAFÍA

 CORRAL, Ramón; VERGARA, Karen; RAMÍREZ, Cesar; BERDUGO, Lizeth y IGLESIA, Álvaro. Módulo Académico: Control Estadístico de la Calidad. Santa Marta.2011.  MOTGOMERY, Douglas. Control Estadístico de la Calidad, Tercera edición, México: Limusa Wiley Editores. 2005.  PRAT, Albert; TORT-MARTORELL, Xavier; GRIMA, Pere y POZUETA, Lourdes. Control y Mejora de la Calidad. Ediciones UPC, 1998.  POLA, Angel. Aplicación de la Estadística al Control de Calidad. España: Marcombo.2009.  BERTRAND, Hansen y PRABHAKAR, Gharé. Control de Calidad: Teoría y Aplicaciones. España: Ediciones Díaz de Santos. 2008.  JURAN, Joseph Y GRODFREY, Blanton. Manual de Calidad, Quinta Edición, Volumen III, Mc Graw Hill. 2001.  BANKS, Jerry. Control de Calidad. México: Editorial Limusa Wiley. 2002.  EVANS, J. y LINDSAY, W. Administración y Control de la Calidad. México: Thomson.  KUME, H. Herramientas Estadísticas Básicas para el Mejoramiento de La Calidad. Bogotá: Grupo Editorial Norma.  KENETT, R. y SHELEMYANHU, Z. Estadística Industrial Moderna: Diseño y Control de la Calidad y la Confiabilidad. Internacional Thomson Editores, S.A. de C.V.

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