Física I | Darío Gómez Santibañez

Física I | Darío Gómez Santibañez

1

Física I | Darío Gómez Santibañez

2

Física I | Darío Gómez Santibañez

INDICE: BLOQUE 0: INTRODUCCIÓN FÍSICA Y MATEMÁTICA........................................13 1)

Teorema de Pitágoras...........................................................................................13

2)

Áreas.....................................................................................................................13 a.

Círculo..............................................................................................................13

b.

Rectángulo........................................................................................................14

c.

Triángulo...........................................................................................................14

3)

Ecuaciones:...........................................................................................................14 a.

Recta.................................................................................................................14

b.

Parábola Vertical...............................................................................................15

c.

Hipérbola centrada en el origen........................................................................17

d.

Circunferencia...................................................................................................18

e.

Elipse................................................................................................................20

f.

Hipérbola..........................................................................................................22

4)

Ángulos y razones trigonométricas:.....................................................................24 a.

Ángulos agudos.................................................................................................28

b.

Ángulos de 30º, 45º y 60º.................................................................................29

c.

Cualquier ángulo...............................................................................................32

d.

Ángulos complementarios................................................................................33

e.

Ángulos se diferencian 90º o π/2 rad................................................................34

f.

Ángulos suplementarios....................................................................................35

g.

Ángulos que se diferencian de 180º o π rad......................................................35

h.

Ángulos opuestos..............................................................................................36

5)

Ecuaciones e identidades trigonométricas............................................................37

6)

Teoremas del Seno, Coseno y Tangentes.............................................................40

7)

Vectores:...............................................................................................................40 a.

Concepto...........................................................................................................40

b.

Representación..................................................................................................42

c. Suma, diferencia, producto por escalar, producto escalar y potencias con números complejos...................................................................................................43 d.

Ecuaciones vectoriales, paramétricas, continuas y punto-pendiente................47 3

Física I | Darío Gómez Santibañez e.

Rectas paralelas.................................................................................................51

f.

Rectas perpendiculares. Perpendicularidad......................................................52

g.

Momento de un vector......................................................................................53

8)

Funciones..............................................................................................................55 a.

Funciones reales de variable real......................................................................55

b.

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.............................................59

c.

Dominio y recorrido de una función.................................................................61

d.

Análisis de funciones........................................................................................73

e.

Función definida a trozos..................................................................................82

f.

Valor absoluto de una función..........................................................................84

g.

Transformación de funciones............................................................................85

h.

Suma, resta, multiplicación y división de funciones........................................88

i.

Función compuesta e inversa............................................................................91

9)

Límites:.................................................................................................................95 a.

Límite de una función en un punto...................................................................95

b.

Operaciones con infinito.................................................................................100

c.

Cálculo del límite de una función en un punto...............................................105

d.

Límite de una función en el infinito y su cálculo...........................................108

e.

Operaciones con límites..................................................................................113

f.

Límites laterales..............................................................................................114

g.

Indeterminaciones...........................................................................................116

h.

Asíntotas, ramas parabólicas y continuidad....................................................118

10)

Derivadas:.......................................................................................................121

a.

Tasa de variación media e instantánea............................................................121

b.

Derivada de una función.................................................................................125

c.

Reglas de derivación.......................................................................................128

d.

Derivadas laterales. Derivabilidad y continuidad...........................................129

e.

Regla de la cadena..........................................................................................131

f.

Recta tangente y normal.................................................................................132

g.

Derivada de la función inversa.......................................................................134

11)

Sucesiones.......................................................................................................135

12)

Producto vectorial...........................................................................................139

BLOQUE 1: CINEMÁTICA.........................................................................................143 1)

Introducción al movimiento:..............................................................................143 a.

Posición...........................................................................................................143 4

Física I | Darío Gómez Santibañez b.

Trayectoria......................................................................................................144

c.

Desplazamiento y espacio recorrido...............................................................145

d.

Celeridad o rapidez.........................................................................................146

e.

Velocidad........................................................................................................147

f.

Aceleración.....................................................................................................148

g.

Movimiento rectilíneo uniforme.....................................................................150

h.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado...........................................152

i.

Caída libre – M.R.U.A....................................................................................154

2)

Movimiento en física:.........................................................................................154 a.

Movimiento y sistemas de referencia.............................................................154

b.

Vector posición...............................................................................................156

c.

Trayectoria y ecuación de posición................................................................157

d.

Desplazamiento y espacio recorrido. Diferencias...........................................158

e.

Velocidad media.............................................................................................160

f.

Velocidad instantánea.....................................................................................161

g.

Celeridad media..............................................................................................163

h.

Celeridad instantánea......................................................................................164

i.

Concepto de aceleración.................................................................................165

j.

Aceleración media..........................................................................................166

k.

Aceleración instantánea..................................................................................166

l.

Componentes intrínsecas de la aceleración....................................................166

m.

Aceleración tangencial................................................................................166

n.

Aceleración centrípeta o normal.....................................................................166

o.

Radio de curvatura..........................................................................................166

p.

Tipos de movimientos según aceleración.......................................................166

q.

Movimientos rectilíneos: Convenio de signos................................................166

r.

Ecuaciones y gráficas del M.R.U. (II)............................................................167

s.

Ecuaciones y gráficas del M.R.U.A. (II)........................................................167

t.

Caída libre (II) y lanzamiento vertical............................................................167

3)

Movimiento en dos y tres dimensiones..............................................................167 a.

Introducción al movimiento en dos dimensiones...........................................167

b.

Lanzamiento horizontal..................................................................................167

c.

Movimiento parabólico...................................................................................167

d.

Magnitudes angulares.....................................................................................167

e.

Movimiento circular uniforme (M.C.U.)........................................................167 5

Física I | Darío Gómez Santibañez f.

Ecuaciones y gráficas del M.C.U....................................................................167

g.

Movimiento circularmente acelerado (M.C.U.A.)..........................................167

h.

Ecuaciones y gráficas del M.C.U.A................................................................167

BLOQUE 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA.........................................................167 1)

Introducción a las Leyes de Newton:.................................................................167 a.

Las fuerzas......................................................................................................167

b.

Interacciones entre los Cuerpos......................................................................167

c.

Descomponiendo fuerzas................................................................................167

d.

Fuerzas concurrentes.......................................................................................167

e.

Suma de fuerzas concurrentes.........................................................................167

f.

Principio de inercia.........................................................................................167

g.

Principio Fundamental....................................................................................167

h.

Principio de Acción Reacción.........................................................................167

2)

Aplicando las Leyes de Newton:........................................................................167 a.

Diferencia entre Masa y Peso.........................................................................167

b.

Concepto de Fuerza Normal...........................................................................167

c.

Rozamiento o Fricción....................................................................................167

d.

Fuerzas y Movimiento en un Plano Horizontal..............................................167

e.

Fuerzas y Movimiento en un Plano Inclinado................................................167

f.

Momento de una Fuerza.................................................................................167

g.

Equilibrio de los Sólidos.................................................................................167

3)

Las Leyes de Newton para el Movimiento.........................................................167 a.

Las Fuerzas y sus Efectos...............................................................................167

b.

Interacciones fundamentales...........................................................................167

c.

Descomposición de fuerzas............................................................................167

d.

Fuerzas concurrentes y paralelas....................................................................167

e.

Fuerza resultante de un sistema de fuerzas.....................................................168

f.

Momento lineal...............................................................................................168

g.

Primera Ley de Newton..................................................................................168

h.

Segunda Ley de Newton.................................................................................168

i.

Tercera Ley de Newton...................................................................................168

j.

Impulso Mecánico...........................................................................................168

k.

Principio de conservación del Momento Lineal.............................................168

4)

Aplicaciones de las Leyes de Newton................................................................168 a.

¿Cómo resolver problemas de fuerzas?..........................................................168 6

Física I | Darío Gómez Santibañez b.

Problemas de fuerzas: Criterios de signos......................................................168

c.

Fuerza gravitatoria..........................................................................................168

d.

El peso.............................................................................................................168

e.

Fuerza normal.................................................................................................168

f.

Tensión de cuerdas y cables............................................................................168

g.

Fuerza elástica o restauradora.........................................................................168

h.

Fuerza de rozamiento......................................................................................168

i.

Fuerzas y movimientos verticales...................................................................168

j.

Fuerzas y movimientos horizontales...............................................................168

k.

Fuerzas en planos inclinados..........................................................................168

l.

Fuerzas y masas enlazadas..............................................................................168

m.

Fuerzas de inercia........................................................................................168

n.

Fuerza centrípeta.............................................................................................168

o.

Fuerza centrífuga............................................................................................168

p.

Fuerzas y M.C.U. en un plano vertical...........................................................168

q.

Fuerzas y M.C.U. en un péndulo cónico.........................................................168

r.

Fuerzas y M.C.U. en Curvas Planas y Curvas Peraltadas...............................168

5)

Trabajo, energía y Potencia en Procesos Mecánicos..........................................168 a.

Trabajo mecánico............................................................................................168

b.

Gráficas del Trabajo en Física........................................................................168

c.

Energía: características y tipos.......................................................................168

d.

Potencia...........................................................................................................168

e.

Energía cinética...............................................................................................168

f.

Concepto de energía potencial gravitatoria....................................................168

g.

Energía potencial elástica...............................................................................168

h.

Fuerzas conservativas.....................................................................................168

i.

Energía Mecánica...........................................................................................168

j.

Gradiente. La fuerza como gradiente de un potencial....................................168

BLOQUE 3: DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO......................................................169 1)

El sólido rígido...................................................................................................169

2)

Centro de masas..................................................................................................169

3)

Momento angular................................................................................................169

4)

Segunda Ley de Newton Aplicada a la Rotación de un sólido...........................169

5)

Rotación del Sólido rígido..................................................................................169

6)

Ecuación del movimiento de un sólido rígido....................................................169 7

Física I | Darío Gómez Santibañez 7)

Descomposición del movimiento de un sistema de partículas...........................169

BLOQUE 4: EQUILIBRIO...........................................................................................169 1)

Equilibrio traslacional........................................................................................169

2)

Equilibrio rotacional...........................................................................................169

3)

Estática del sólido rígido:...................................................................................169 a.

El método general de la estática.....................................................................169

b.

Diagrama de sólido libre.................................................................................169

c.

Ligaduras: Reacciones en apoyos...................................................................169

d.

Equilibrio del sólido rígido en un plano.........................................................169

BLOQUE 5: OSCILACIONES.....................................................................................169 1)

Vibraciones: El Movimiento Armónico Simple:................................................169 a.

Movimiento armónico simple (M.A.S.)..........................................................169

b.

Movimiento armónico simple en muelles.......................................................169

c.

Movimiento armónico simple en péndulos.....................................................169

d.

Ecuaciones y gráficas del M.A.S....................................................................169

e.

Fuerzas en el M.A.S........................................................................................169

f.

Estudio energético del M.A.S.........................................................................169

2)

Movimiento ondulatorio:....................................................................................169 a.

Concepto de Onda...........................................................................................169

b.

Ondas mecánicas.............................................................................................169

c.

Ondas Armónicas............................................................................................169

d.

Doble periodicidad de la función de onda......................................................169

e.

Frente de onda.................................................................................................169

f.

Energía, potencial e intensidad de ondas........................................................169

g.

Atenuación y absorción en el Movimiento Ondulatorio.................................169

h.

Principio de Huygens......................................................................................169

i.

Reflexión y refracción de ondas.....................................................................169

j.

Difracción de Ondas.......................................................................................170

k.

Interferencias de Ondas..................................................................................170

l.

Ondas estacionarias.........................................................................................170

m.

Efecto Doppler............................................................................................170

n.

Movimiento Armónico Simple y Oscilador Amortiguado.............................170

o.

Oscilaciones amortiguadas y forzadas............................................................170

p.

Oscilaciones forzadas. El estado estacionario................................................170

q.

Oscilador forzado y resonancia.......................................................................170 8

Física I | Darío Gómez Santibañez BLOQUE 6: COMPRESIÓN........................................................................................170 1)

Esfuerzos y deformaciones.................................................................................170 a.

Tipos de cargas...............................................................................................170

b.

Tensiones: Clases............................................................................................170

c.

Tensiones reales, admisibles y coeficientes de seguridad..............................170

d.

Esfuerzo normal..............................................................................................170

e.

Deformación unitaria longitudinal..................................................................170

f.

Ley de Hooke..................................................................................................170

g.

Deformación por tracción o compresión. Módulo de Young.........................170

h.

Coeficiente de Poisson....................................................................................170

i.

Deformación debida a tres esfuerzos ortogonales..........................................170

j.

Compresión uniforme. Módulo de compresibilidad.......................................170

k.

Cizalladura. Módulo de rigidez......................................................................170

l.

Deformación por torsión. Constante de torsión..............................................170

m.

Diagrama tensión-deformación de aceros empleados en construcción.......170

n.

Diafragma tensión-deformación de materiales frágiles..................................170

o.

Esfuerzos de una sección oblicua...................................................................170

p.

Estudio del esfuerzo cortante puro. Módulo de elasticidad transversal..........170

q.

Esfuerzos biaxiales: Círculo de Mohr.............................................................170

r.

Concentración de esfuerzos............................................................................170

BLOQUE 7: MECÁNICA DE FLUIDOS....................................................................170 2)

Fuerza y presión en los fluidos:..........................................................................170 a.

Presión............................................................................................................170

b.

Densidad.........................................................................................................170

c.

Presión, Fuerza y Fluidos................................................................................170

d.

Principio fundamental de la hidrostática........................................................170

e.

Principio de Pascal..........................................................................................171

f.

Prensa Hidráulica............................................................................................171

g.

Presión Atmosférica........................................................................................171

h.

Principio de Arquímedes................................................................................171

3)

Mecánica de fluidos............................................................................................171 a.

Fluidos reales e ideales...................................................................................171

b.

Ecuación de continuidad.................................................................................171

c.

Principio de Bernoulli.....................................................................................171

d.

Fluidos reales. Viscosidad y Ley de Poiseuille. Fórmula de Stokes...............171 9

Física I | Darío Gómez Santibañez e.

Pérdida de carga..............................................................................................171

f.

Tipos de regímenes de flujo. Número de Froude. Número de Reynolds........171

g.

Ecuación de Darcy-Weisbach.........................................................................171

BLOQUE 8: CALOR Y TEMPERATURA..................................................................171 1)

Termodinámica:..................................................................................................171 a.

Energía Térmica..............................................................................................171

b.

Temperatura....................................................................................................171

c.

Dilatación Térmica.........................................................................................171

d.

Calor................................................................................................................171

2)

Ley de Stefan-Boltzmann...................................................................................171

3)

Ley de desplazamiento de Wien.........................................................................171

BLOQUE 9: SISTEMAS TERMODINÁMICOS.........................................................171 1)

Termodinámica II:..............................................................................................171 a.

Ley Cero de la Termodinámica......................................................................171

b.

Primera Ley de la Termodinámica..................................................................171

c.

Segunda Ley de la Termodinámica................................................................171

2)

Transferencia de energía por calor y por trabajo................................................171

3)

Energía interna....................................................................................................171

4)

Ciclo Otto...........................................................................................................171

5)

Ciclo Brayton......................................................................................................171

10

Física I | Darío Gómez Santibañez

11

Física I | Darío Gómez Santibañez

12

Física I | Darío Gómez Santibañez

BLOQUE 0: INTRODUCCIÓN FÍSICA Y MATEMÁTICA 1) Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, los valores de la distancia de cada uno de sus lados se encuentran relacionados. Dicha relación se conoce como el Teorema de Pitágoras y viene dada por la siguiente ecuación: Donde: 



a se conoce con el nombre de hipotenusa y es el lado más largo del triángulo rectángulo. los lados restantes (b y c) reciben el nombre de catetos.

2) Áreas a. Círculo En el caso de que deseemos calcular el área de la superficie encerrada por una circunferencia (círculo), la expresión que debemos utilizar es la siguiente:

Donde:  

r es el radio de la circunferencia π es una de las constantes más importantes de las matemáticas cuyo valor aproximado es

π≈3,1416

13

Física I | Darío Gómez Santibañez

b. Rectángulo Para calcular el área de la superficie encerrada en un rectángulo, la expresión a utilizar es la siguiente: Donde: 

a y b son las longitudes de dos de sus lados contiguos cualesquiera.

c. Triángulo Para calcular el área de la superficie encerrada en un triángulo, la expresión a utilizar es la siguiente: Donde:  

a es el valor de la longitud de la altura del triángulo. b es el valor de la longitud de la base del triángulo.

3) Ecuaciones: a. Recta De forma general, una de las posibles representaciones de la ecuación de una recta tiene la forma que se describe a continuación. Al igual que en otro tipo de ecuaciones podemos diferenciar claramente dos constantes muy importantes:  La constante m, también denominada pendiente, que determina la "inclinación" de la recta.  Y la constante y0 que es la ordenada en el origen, es decir, donde la recta corta al eje y.

14

Física I | Darío Gómez Santibañez La fórmula anterior es una de las varias posibles que hay para representar una recta. La llamamos ecuación explícita de la recta.

PENDIENTE Hemos dicho que la pendiente determina la "inclinación" de la recta. Pues bien, conocidos dos puntos por los que pase la recta, P1(x1, y1) y P2(x2, y2), podemos calcular la pendiente de la misma según: ∆ y y 2− y 1 m= = ∆ x x 2−x 1 Demostración Si sustituimos en la ecuación explícita x e y por las coordenadas concretas de los puntos por los que pasa (es decir, de P1 y de P2), obtenemos un sistema de dos ecuaciones, cuyas incógnitas serían m e y0. Despejaríamos m y llegaríamos a la expresión señalada anteriormente: y 1=m x 1+ y 0 y 2=m x 2+ y 0 y − y 2 y 2− y 1 ∆ y y 1=m x 1+ y 0 → → m= 1 = = x1− x2 x 2−x 1 ∆ x y 2=m x 2+ y 0 y 1− y 2 =m( x1 −x2 ) Observa que la pendiente de la recta tangente también se puede escribir en función del ángulo α que forma la misma con el eje x: m=tan α Pendiente m de una recta

b. Parábola Vertical Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano en los que la distancia a una recta llamada directriz es igual a la distancia a un punto fijo (que no pertenece a la directriz) llamado foco. ¿Esta definición te resulta complicada? No te preocupes, observa la siguiente imagen. Aunque no son las únicas, en este apartado nos centraremos en las parábolas verticales, como las de la 15

Física I | Darío Gómez Santibañez figura. Probablemente ya estés familiarizado con ellas, aunque no te hayas dado cuenta aún...

EXPRESIÓN MATEMÁTICA La ecuación de una parábola vertical corresponde a un polinomio de segundo grado: y=a· x 2 +b·x +c Donde a, b y c son constantes.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA A partir de la expresión anterior, puedes ir dando valores a la x para ir obteniendo los valores de y correspondientes, y así obtener una seria de puntos (x,y) que puedas representar en el plano. Para ayudar a tu representación puedes tener en cuenta lo siguiente: Ramas  Si a>0 las ramas de la parábola están hacia arriba  Si a<0 las ramas de la parábola están hacia abajo Vértices La coordenada x del vértice, xv, se calcula según: −b x v= 2a La coordenada y del vértice, yv, se calcula sustituyendo la xv en la expresión de la parábola: y v =a x v2 +b x v +c  El vértice de la parábola es el menor valor de y si las ramas están hacia arriba (a>0)  El vértice de la parábola es el mayor valor de y si las ramas están hacia abajo (a<0) Corte con el eje y Una parábola tiene un punto de corte con el eje y. Este punto (xcy,ycy) siempre cumple que su coordenada x es cero, es decir, xcy=0. Por tanto, para encontrarlo hacemos la x 0 y vemos el valor de y en la expresión: y cy =a· 02+ b· 0+c=c Efectivamente, el punto de corte con el eje y siempre es (0, c). Corte con el eje x Una parábola puede cortar al eje x en dos puntos, en un punto o en ningún punto. Los puntos de corte de la parábola con el eje x, (xcx,ycx), siempre cumplen que sus coordenadas y valen cero, es decir, (xcy,0). Para calcular la coordenada xcx sustituimos la y por cero en la expresión de la parábola y resolvemos la ecuación de segundo grado que nos queda. y=ax 2+bx + c → 0=ax 2 +bx +c 16

Física I | Darío Gómez Santibañez   

Si la ecuación tiene dos soluciones xcx1 y xcx2, existen dos puntos de corte: (xcx1,0) y (xcx2,0) Si la ecuación tiene una sola solución xcx1, existe un único punto de corte (coincidirá con el vértice): (xcx1,0) Si la ecuación no tiene solución entonces la parábola no corta al eje x en ningún punto

PARÁBOLA SIMÉTRICA RESPECTO AL EJE Y Cuando en la expresión general b=0 la parábola es simétrica respecto al eje y. En estos casos la parábola puede expresarse tal y como aparece en la siguiente tabla. En ella podemos distinguir dos constantes importates:  La constante a, que determina la amplitud de la parábola.  Y la constante y0 que es la ordenada en el origen, es decir, donde la parábola corta al eje y. 

c. Hipérbola centrada en el origen De forma simplificada, una de las posibles representaciones de la ecuación de una hipérbola es la hipérbola equilátera, que tiene la forma que se describe a continuación. En esta expresión únicamente se distingue una constante, la cual determina su curvatura

17

Física I | Darío Gómez Santibañez

d. Circunferencia Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro punto fijo denominado centro. Circunferencia En la figura se muestra una circunferencia. Observa que cualquier punto P(x,y) de la circunferencia se encuentra siempre situado a la misma distancia de un punto C(a,b) denominado centro. Dicha distancia se denomina radio r de la circunferencia.

Si consideramos que la distancia entre cualquier punto P(x,y) a su centro C(a,b) se denomina radio y vale r, entonces: d ( P ,C )=r =√( x−a)2 +( y−b)2 Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación obtenemos que: 2

( √( x−a )2 + ( y−b )2) =( r )2 → x 2−2 ax +a2 + y 2−2 by +b 2=r 2 → → x2 + y 2 +mx+ ny+ p=0 La ecuación de una circunferencia centrada en el punto C(a,b) y con radio r se puede escribir de la siguientes formas: 2 2 ( 1 ) √ ( x−a ) + ( y−b ) =r ( 2 ) x2 + y 2 +mx+ ny+ p=0 donde:   

m=−2a n=−2b p=a2+b2−r2

EXISTENCIA DE UNA CIRCUNFERENCIA Como podrás suponer, no todas las combinaciones de m, n y p de la ecuación x2+y2+mx+ny+p=0 representan a una circunferencia. En concreto se cumple que:  Si a2+b2−p>0, la circunferencia existe.  Si a2+b2−p=0, la circunferencia es tan solo un punto ya que su radio es cero.  Si a2+b2−p<0, la circunferencia NO existe.

CÁLCULO DEL CENTRO Y DEL RADIO DE UNA CIRCUNFERENCIA Cuando disponemos de la ecuación de una circunferencia en la forma x2+y2+mx+ny+p=0 podemos determinar su centro por medio de la siguiente expresión: −m −n C , 2 2

(

)

18

Física I | Darío Gómez Santibañez De igual forma se puede obtener su radio utilizando la ecuación: 1 R= √ m 2 +n2−4 p 2

CASOS PARTICULARES DE CIRCUNFERENCIAS Ecuación de una circunferencia centrada en el origen Cuando una circunferencia tiene su centro en el origen de coordenadas C (0,0) es posible sustituir las coordenadas de este punto en su ecuación de tal forma que: √(x−0)2 +( y−0)2=r → x2 + y 2=r 2 La ecuación de una circunferencia centrada en el origen de coordenadas tiene la forma: x 2+ y 2=r 2 Donde r es el radio de dicha circunferencia. Ecuación de una circunferencia que pasa por el origen Cuando una circunferencia de ecuación x2+y2+mx+ny+p=0 pasa por el origen de coordenadas se cumple que: 02 +0 2+ m·0+n· 0+ p=0 → p=0 La ecuación de una circunferencia centrada en el punto C(a,b) que pasa por el origen de coordenadas tiene la forma: x 2+ y 2+ mx+ny=0 Donde:  

m=−2a n=−2b

Ecuación de dos circunferencias concéntricas Si observas bien la ecuación x2+y2+mx+ny+p=0 el único término que depende directamente del radio es p. Por tanto, dos circunferencias concéntricas (centradas en el mismo punto y con radio distinto) diferirán en este coeficiente.

19

Física I | Darío Gómez Santibañez

Las ecuaciones de dos circunferencias concéntricas de radio r y r' respectivamente centradas en el punto C(a,b) disponen de los mismos coeficientes n y m y difieren únicamente en el valor de p. Por tanto: x 2+ y 2+ mx+ny + p=0 x 2+ y 2+ mx+ny + p '=0 Donde:    

m=−2a n=−2b p=a2+b2−r2 p'=a2+b2−r'2 e. Elipse

La elipse se define como una línea curva cerrada tal que la suma de las distancias a dos puntos fijos, F y F’, llamados focos, es constante. Ten en cuenta que para cualquier punto de la eclipse siempre se cumple que: d ( p , F ) +d ( P , F ' ) =2· a Donde d(P, F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P al foco F y al foco F' respectivamente.

ELEMENTOS DE LA ECLIPSE Los siguientes elementos se encuentran en cada elipse: 1. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Es, además, centro de simetría. 2. Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de simetría. 3. Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatríz del segmento que une los focos. 4. Vértices: Puntos de intersección de la elipse con los ejes. 5. Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2·c. 20

Física I | Darío Gómez Santibañez 6. Semidistancia focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c. 7. Semieje mayor o principal: Segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a. 8. Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje secundario. Su longitud es b y cumple b=√ a2−c2 9. Radio vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radio vectores que son los segmentos que unen dicho punto a cada uno de los focos. Para un punto P(x , y) se cumple que d(P , F) = a -e·x y d(P, F') = a+e·x

ECUACIÓN DE LA ECLIPSE Ecuación de eje mayor horizontal centrada en un punto cualquiera P (x0, y0) La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es horizontal viene dada por: (x−x 0 )2 ( y− y 0)2 + =1 a2 b2 Donde:  x0, y0:  Coordenadas x e y del centro de la elipse  a: Semieje de abscisas  b: Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe cumplirse que b ⩽ a. Ecuación de eje mayor vertical centrada en un punto cualquiera P (x0, y0) La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es vertical viene dada por: (x−x 0 )2 ( y− y 0)2 + =1 b2 a2 Donde:  x0, y0:  Coordenadas x e y del centro de la elipse  a: Semieje de abscisas  b: Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe cumplirse que b > a.

EXCENTRICIDAD La excentricidad nos permite conocer lo alejados que están los focos del centro de la elipse.

√

e= 1−

b2 a2

21

Física I | Darío Gómez Santibañez Observa que 0 < e < 1. Cuando e ≈ 0 los focos se superponen y la elipse es una circunferencia.

f. Hipérbola Una hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano en el que la diferencia de distancias a dos puntos fijos denominados focos, F y F', es siempre constante. Por tanto, debes tener en cuenta que para cualquier punto de la hipérbola siempre se cumple que: |d ( P , F )−d( P , F ' )|=2 · a Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P de la hipérbola al foco F y al foco F' respectivamente. Y donde 2a es una constante

ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA En las hipérbolas podemos distinguir ciertos elementos comunes que se detallan a continuación:  Focos (F y F'). Puntos fijos en los que la diferencia de distancia entre ellos y cualquier punto de la hipérbola es siempre la misma.  Eje focal, principal o real. Recta que pasa por los focos.  Eje secundario o imaginario. Mediatriz del segmento que une los dos focos.  Centro (O). Punto de intersección de los ejes focal y secundario.  Semidistancia focal (c). La mitad de la distancia entre los dos focos F y F'. Su valor es c.  Distancia focal (2c). Distancia del segmento que une los dos focos F y F'. Su longitud es 2c.  Los vértices (A y A'). Puntos de la hipérbola que cortan al eje focal.  Semieje real (a). Segmento que va desde el origen O hasta cuaqluiera de los vertices A o A'. Su longitud es a.   Semieje imaginario (b). b=√ c 2−a2

ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA

22

Física I | Darío Gómez Santibañez De manera general podemos encontrarnos dos tipos de hipérbolas, aquellas en las que el eje focal se encuentra horizontal o vertical. De este modo podemos definir dos tipos de ecuaciones. Hipérbola de eje focal horizontal centrada en un punto P (x0, y0) cualquiera La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal viene dada por: 2 (x−x 0 )2 ( y − y 0 ) − =1 a2 b2 Donde:  x0, y0:  Coordenadas x e y del centro de la hipérbola  a: Semieje real  b: Semieje imaginario Hipérbola de eje focal vertical centrada en un punto P (x0, y0) cualquiera 

La ecuación de una hipérbola de eje focal vertical viene dada por: 2 ( y− y 0)2 ( x−x 0 ) − =1 a2 b2 Donde:  x0, y0:  Coordenadas x e y del centro de la hipérbola  a: Semieje real   b: Semieje imaginario

CASOS PARTICULARES DE LAS HIPÉRBOLAS Si las hipérbolas se encuentran centradas en el origen de coordenadas, las ecuaciones anteriores se pueden reducir considerablemente ya que x0=0 e y0=0. Teniendo en cuenta este hecho: Hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen viene dada por: Donde:  a: Semieje real   b: Semieje imaginario

23

Física I | Darío Gómez Santibañez Hipérbola de eje focal vertical centrada en el origen La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen viene dada por: y2 x2 − =1 a2 b 2 Donde:  a: Semieje real   b: Semieje imaginario

EXCENTRICIDAD DE LA HIPÉRBOLA A partir de la semidistancia focal y el semieje real es posible obtener un valor numérico que nos indique como de "abierta" o "amplia" es una hipérbola. Dicho valor recibe el nombre de excentricidad. La excentricidad e de una hipérbola es el cociente entre si semidistancia focal y su semieje real: c e= a Donde:  a: Semieje real  c: Semidistancia focal Este valor siempre será mayor que 1 y cuanto mayor sea su valor más "estrecha" o "cerrada" será la hipérbola.

ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA En las hipérbolas es posible dibujar dos rectas que pasan por su origen y que son tangentes a la hipérbola en el infinito. Dada cualquier hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen es posible dibujar dos asíntotas cuyas ecuaciones son: b y= x a −b y= x a Donde:  a: Semieje real   b: Semieje imaginario 24

Física I | Darío Gómez Santibañez

4) Ángulos y razones trigonométricas: CONCEPTO DE ÁNGULO Un ángulo en un plano es cualquiera de las dos regiones que quedan separadas por dos semirectas que poseen un origen común. Ambas semirrectas reciben el nombre de lados y el origen común el nombre de vértice.

CRITERIO DE ORIENTACIÓN DE ÁNGULOS Aunque te resulte algo extraño, los ángulos pueden representarse como ángulos positivos o ángulos negativos.  Dicho valor se obtiene dependiendo del sentido que se utilice al girar una de las dos semirrectas (semirrecta origen) sobre la otra (semirrecta extremo). De esta forma,   Un ángulo es positivo si el giro de la semirrecta origen sobre el destino se realiza en sentido contrario de las agujas de un reloj analógico.  Un ángulo es negativo si el giro de la semirrecta origen sobre el destino se realiza en el sentido de las agujas de un reloj analógico.

SISTEMA DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Para determinar la amplitud de un ángulo, o lo que es lo mismo medirlo, suelen utilizarse distintas unidades. En concreto, las más utilizadas son los grados sexagesimales, los grados centesimales o los radianes. Todas ellas se basan en el concepto de ángulo completo, es decir el mayor ángulo que existe entre una semirrecta y ella misma.

25

Física I | Darío Gómez Santibañez

Sistema sexagesimal En este sistema se divide un ángulo completo o lo que es lo mismo, una circunferencia completa, en 360 partes iguales por medio de segmentos que poseen como origen común el radio de dicha circunferencia. El ángulo determinado por cada región recibe el nombre de grado sexagesimal (1º). Cada grado a su vez se divide en 60 minutos (60 ') y cada minuto en 60 segundos (60''): 1 º=60 ' 1' =60 ' ' Por tanto, en el sistema sexagesimal un ángulo completo está formado por 360º o 21600' o 1296000 ''

Sistema centesimal De forma similar al sistema sexagesimal, el ángulo completo se divide en determinadas partes denominadas grados centesimales (1g), aunque en esta ocasión dicha división se realiza en 400 partes iguales. Cada grado centesimal se divide en 100 minutos centesimales (100m) y cada minuto se divide en 100 segundos centesimales (100s). 1g =100m 1m=100 s

Cálculo en radianes

26

Física I | Darío Gómez Santibañez Al igual que los grados sexagesimales o centesimales existe otra unidad denominada radián (rad) cuya principal diferencia es que relaciona el ángulo que representa con la longitud del arco recorrido al girarlo. Un radián es el ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arco coincide con el radio de la misma.

Si tenemos en cuenta que la longitud de una circunferencia es 2·π·r se cumple que un ángulo completo en radianes es:

TRANSFORMACIÓN ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES Grados Sexagesimales a Radianes Para transformar cualquier ángulo expresado en grados sexagesimales (Ej. 10º 12' 24'') a radianes, en primer lugar, vamos a convertirlo completamente a grados y posteriormente a radianes: 1. Convertiremos los grados, minutos y segundos a un valor expresado únicamente en grados (si ya no lo está). Para ello: 1. Multiplica los minutos (') por 1º/60'. Ej. 12' = 12' · 1º/60' = 0. 2º 2. Multiplica los segundos ('') por 1º/3600''. Ej 24" = 24" · 1º/3600" = 0.007º 3. Súma los dos resultados anteriores a los grados del ángulo y ese será el mismo ángulo expresado únicamente en grados. Ej. 10º 12' 24'' = 10º+0.2º+0.007º = 10.207º  2. El ángulo en radianes se obtiene al multiplicar los grados calculados anteriormente y multiplicarlos por π rad/180º. Ej.  10.207º = 10.207º · π rad/180º = 0.178 rad Radianes a Grados Sexagesimales 27

Física I | Darío Gómez Santibañez Para transformar cualquier ángulo en radianes (Ej. 2.23 rad ) en primer lugar lo convertiremos completamente a grados y posteriormente a grados, minutos y segundos. 180º 1. Multiplica los radianes por . De esta forma obtenemos los grados. Ej. 2.23 πrad rad = 2.23 rad · 180º/π rad = 127.7695º 2. Si obtenemos decimales, los multiplicamos por 60'/1º. Ej 0. 7695º · 60'/1º = 46.17' 3. Si obtenemos nuevamente decimales los multiplicamos por 60"/1'. Ej 0.17' · 60"/1 = 10.2" 4. La parte entera de cada uno de los resultados obtenidos en los pasos 1, 2 y 3 es el ángulo sexagesimal: Ej. 127º 46' 10"

REDUCCIÓN DE UN ÁNGULO A PRIMER GIRO Imagina un coche dando vueltas en una pista circular. Tras varias vueltas el ángulo que se habrá desplazado será mayor que la de un ángulo completo: 360º = 2 π rad, aunque al final el ángulo de su posición se pueda determinar únicamente con el ángulo de su última vuelta (entre 0º y 360º). Por esta razón: Si un ángulo tiene mayor valor que 360º (2π rad) o menor que 0º (0 rad) se puede transformar a un ángulo equivalente comprendido entre 0º y 360º Reducir grados sexagesimales al primer giro 1. Si el ángulo es mayor de 360º, el ángulo reducido es el resto de la división entre el ángulo y 360º. 2. Si el ángulo es menor de 0º, el ángulo es la resta entre 360º y el resto de la división entre el valor absoluto del ángulo y 360º.  Reducir radianes al primer giro 1. Si el ángulo es mayor de 2π rad, el ángulo es el resto de la división entre el ángulo y 2π rad. 2. Si el ángulo es menor de 0 rad, el ángulo es la resta entre 2π rad y el resto de la división (calculado como en el primer caso) entre el valor absoluto del ángulo y 2π rad.

a. Ángulos agudos RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO A partir de cualquier ángulo agudo α (menor de 90º) es posible construir un triángulo rectángulo ABC como el que puedes apreciar en la siguiente figura. Teniendo en cuenta dicha figura geométrica y los ángulos formados en cada uno de sus vértices es posible obtener una serie de razones que reciben el nombre de razones trigonométricas conocidas como seno, coseno, tangente, cosecante y cotangente. Seno 28

Física I | Darío Gómez Santibañez El seno de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto (c) al ángulo y la longitud de la hipotenusa (a). Se representa como sen(α) o sin(α). cateto opuesto c sin α = = hipotenusa a Coseno El coseno de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto contiguo (b) al ángulo y la longitud de la hipotenusa (a). Se representa como cos(α). cateto contiguo b cos α= = hipotenusa a Tangente La tangente de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto al ángulo (c) y la longitud del cateto opuesto (b). Se representa como tg(α) o tan(α). cateto opuesto c tan α= = cateto contiguo b

Cosecante La cosecante de un ángulo agudo α es la relación inversa del seno, es decir el cociente entre la longitud de la hipotenusa (a) y la longitud del cateto opuesto al ángulo (c). Se representa como cosec(α) o csc(α). 1 hipotenusa a csc α = = = sin α cateto opuesto c Secante La secante de un ángulo agudo α es la relación inversa del coseno, es decir, el cociente entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto contiguo al ángulo (b). Se representa como sec(α). 1 hipotenusa a sec α= = = cos α cateto contiguo b Cotangente La cotangente de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto contiguo al ángulo (c) y la longitud del cateto opuesto (b). Se representa como cotg(α) o cot(α). 1 cateto contiguo b cot α = = = tan α cateto opuesto c

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO 1. Dado que se trata de un ángulo agudo (0 < α < 90º) podemos deducir que: 0< sin α <1 0< cos α <1 2. A partir del teorema de Pitágoras podemos deducir lo que se conoce como identidad pitagórica: 2 2 sin α + cos α =1

29

Física I | Darío Gómez Santibañez 3. De igual forma, si dividimos la identidad pitagórica por cos2(α) obtenemos que: 2 2 tan α +1=sec α

b. Ángulos de 30º, 45º y 60º RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 30º y 60º Si cogemos un triángulo equilátero ABC, que como recordarás tiene todos sus lados (l) y sus ángulos iguales (60º), y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triángulos rectángulos. l 2 l =h + ; 2

() l 3 3 h= l −( ) = l =√ l 2 4 2 √ √ 2

2

2

2

2

A partir de esta figura y aplicando la definición de seno, coseno y tangente de cualquier ángulo agudo podemos obtener las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º. Razones trigonométricas de los ángulos de 60º

Razones trigonométricas de los ángulos de 30º

30

Física I | Darío Gómez Santibañez

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 45º Para determinar las razones trigonométricas de un ángulo de 45º tomaremos un cuadrado de lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triángulos isósceles. Recuerda que un triángulo isósceles tiene dos ángulos de 45º y uno de 90º.

Si aplicamos las definiciones de las distintas razones trigonométricas sobre el anterior triángulo isósceles obtenemos que:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

31

Física I | Darío Gómez Santibañez

Si observas la anterior tabla con atención puedes darte cuenta que para cualquier ángulo agudo se cumplen las siguientes ecuaciones: sin α =cos (90 º−α ) cos α=sin ( 90º −α ) tan α=cot(90 º−α)

c. Cualquier ángulo Para determinar las razones trigonométricas de cualquier tipo de ángulo utilizaremos una circunferencia goniométrica. La utilización de una circunferencia goniométrica no es casual, ya que dado que el radio es la unidad: y x sin α = = y cos α = =x r r Por tanto, las razones trigonométricas de cualquier ángulo: 32

Física I | Darío Gómez Santibañez

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO α Dado que el seno y el coseno de cualquier ángulo α corresponden respectivamente con los valores y y x de la circunferencia goniométrica, sólo pueden tomar valores entre -1 y 1: −1 ≤sin α ≤1 ;−1 ≤ cos α ≤ 1 Además, si aplicamos el teorema de Pitágoras se cumple que: x 2+ y 2=12 Sustituyendo x e y obtenemos lo que se conoce como la identidad fundamental de la trigonometría: sin 2 α + cos2 α =1

SINGOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS POR CUADRANTES

33

Física I | Darío Gómez Santibañez

d. Ángulos complementarios Se dice que dos ángulos α y β son ángulos complementarios cuando su suma es 90º (α + β = 90º) o lo que es lo mismo π/2 rad (α + β = π/2 rad) Si observas la figura en la que se representan dos ángulos complementarios α y β, el triángulo OQP es equivalente al triángulo OQ'P' ya que poseen la hipotenusa y dos ángulos (α) iguales. QP = Q'P' y OQ= OQ' Por tanto:

34

Física I | Darío Gómez Santibañez

e. Ángulos se diferencian 90º o π/2 rad En la figura se muestran dos ángulos suplementarios cualesquiera α y β. β está determinado por el segmento OP' y α por el segmento OP. Si observas bien puedes darte cuenta de que el ángulo β al atravesar el semieje Y positivo crea un triángulo OQ'P' idéntico al triángulo OPQ creado por el ángulo α, por lo que para estudiar las razones trigonométricas del ángulo β podemos utilizar las del ángulo α. Así podemos observar que, tal y como estudiamos en el apartado de las razones trigonométricas de cualquier ángulo, la longitud del segmento OQ (cos α) es igual a la longitud de OQ' (sin β) y la longitud de PQ (sin α) es idéntica a la de P'Q' con la diferencia de que al encontrarse en el segundo cuadrante el valor de la abscisa es negativa. Partiendo de estas similitudes podemos establecer que:

f. Ángulos suplementarios Se dice que dos ángulos son suplementarios si suman 180º o lo que es lo mismo π rad. En la figura se muestran dos ángulos suplementarios cualesquiera α y β, el primero está determinado por el segmento OP y el segundo por el segmento OP’. Si observas bien puedes darte cuenta de que el ángulo β al atravesar el semieje Y positivo crea un triángulo OQ'P' idéntico al triángulo OPQ creado por el ángulo α, por lo que para estudiar las razones trigonométricas del ángulo β podemos utilizar las del ángulo α.

35

Física I | Darío Gómez Santibañez Así podemos observar que, tal y como estudiamos en el apartado de las razones trigonométricas de cualquier ángulo, la longitud del segmento OQ (cos α) es igual a la longitud de OQ' (cos β), con la diferencia de que al encontrarse en el segundo cuadrante el valor de la abscisa es negativa y la longitud de PQ (sin α) es idéntica a la de P'Q’ (sin β). Partiendo de estos hechos podemos establecer que:

g. Ángulos que se diferencian de 180º o π rad En la figura se muestran dos ángulos α y β que difieren 180º, el primero está determinado por el segmento OP y el segundo por el segmento OP’. Si observas bien puedes darte cuenta de que el ángulo β al atravesar el semieje X negativo crea un triángulo OQ'P' idéntico al triángulo OQP creado por el ángulo α, por lo que para estudiar las razones trigonométricas del ángulo β podemos utilizar las del ángulo α.

Así podemos observar que, tal y como estudiamos en el apartado de las razones trigonométricas de cualquier ángulo, la longitud del segmento OQ (cos α) es igual a la longitud de OQ' (cos β) y la longitud de PQ (sin α) es idéntica a la de P'Q’ (sin β) con la diferencia en ambos casos de que al encontrarse el segmento OP' en el tercer cuadrante el valor de la abscisa y de la ordenada es negativa. Por tanto:

36

Física I | Darío Gómez Santibañez

h. Ángulos opuestos En la figura se muestran dos ángulos α y β que suman 360º (ángulos opuestos), el primero está determinado por el segmento OP y el segundo por el segmento OP’. Si observas bien puedes darte cuenta de que el ángulo β al atravesar el semieje Y negativo crea un triángulo OQ'P' idéntico al triángulo OQP creado por el ángulo α, por lo que para estudiar las razones trigonométricas del ángulo β podemos utilizar las del ángulo α. Así podemos observar que, tal y como estudiamos en el apartado de las razones trigonométricas de cualquier ángulo, la longitud del segmento OQ (cos α) es igual a la longitud de OQ' (cos β) y la longitud de PQ (sin α) es idéntica a la de P'Q’ (sin β) con la diferencia que en este último caso de que al encontrarse el segmento OP' en el cuarto cuadrante el valor de la ordenada es negativa. Por tanto:

5) Ecuaciones e identidades trigonométricas ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Las ecuaciones trigonométricas son aquellas ecuaciones cuyas incógnitas se tratan de ángulos que forman parte del argumento de una o varias razones trigonométricas. Dado 37

Física I | Darío Gómez Santibañez que se tratan de ángulos, tienen infinitas soluciones que pueden pertenecer a uno o dos cuadrantes como máximo. (Infinitas debido a que un mismo ángulo representa todos los posibles giros). Aunque en las ecuaciones suelen aparecer distintas razones trigonométricas es común transformarlas por medio de las identidades trigonométricas de tal forma que contengan una única razón y así poder resolverlas de manera inmediata. Existen una serie de igualdades en las que intervienen razones trigonométricas que son válidas para todos los ángulos. Dichas igualdades reciben el nombre de identidades trigonométricas.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA DIFERNENCIA DE DOS ÁNGULOS

38

Física I | Darío Gómez Santibañez

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD

TRANSFORMACIÓN DE SUMAS O DIFERENCIAS EN PRODUCTOS 39

Física I | Darío Gómez Santibañez Transformación de sumas o restas de senos en productos

Transformación de sumas o restas de cosenos en productos

Transformación de productos en sumas

6) Teoremas del Seno, Coseno y Tangentes 40

Física I | Darío Gómez Santibañez Hasta ahora hemos estudiado las razones trigonométricas de los ángulos de triángulos rectángulos. ¿Pero qué ocurre con aquellos que no son de este tipo? Para responder a esta pregunta se hace uso de lo que se conoce como el teorema del seno y/o el teorema del coseno.

TEOREMA DEL SENO Dado un triángulo cualquiera, las longitudes de sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. a b c = = ^ sin C ^ sin ^ A sin B

TEOREMA DEL COSENO Dado un triángulo cualquiera, uno de sus lados elevado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble de su producto multiplicado por el coseno del ángulo que forman. a 2=b2 +c 2−2 bc· cos ^ A 2 2 2 ^ b =a +c −2 ac· cos B 2 2 2 ^ c =a + b −2 ab· cos C

TEOREMA DE LA TANGENTE En cualquier triángulo se cumple: A +B tan a+b 2 = a−b A−B tan 2

7) Vectores: a. Concepto En física, el concepto de vector está íntimamente relacionado con el concepto de magnitud y para poder entender qué es un vector en primer lugar debemos entender qué es una magnitud. A grandes rasgos, una magnitud es una propiedad que podemos observar en cualquier cuerpo y que podemos cuantificar (darle un valor numérico) mediante un proceso de medida. Ejemplos de magnitudes pueden ser la masa de un objeto (m), la temperatura (T), la velocidad (v), etc. Independientemente de la magnitud de la que estemos hablando, al medirla (cuantificarla) empleamos una cantidad arbitraria que se toma como patrón y que denominamos unidad física. Por ejemplo, para la masa solemos emplear como unidad el gramo (20 gramos o abreviado 20 gr) o para la posición los metros (3 metros o abreviado 3 m). 41

Física I | Darío Gómez Santibañez

Dentro de las magnitudes distinguiremos 2 tipos:  Magnitudes escalares o numéricas. Aquellas que quedan definidas por un valor numérico y su correspondiente unidad. Por ejemplo, para saber la masa de un objeto no necesitamos más información que su valor y su unidad (3 Kg).  Magnitudes vectoriales. Aquellas que quedan definidas mediante tres atributos: o Módulo. Se trata del valor numérico absoluto (siempre positivo) acompañado de la unidad. o Dirección. Recta sobre la que se encuentra aplicada la magnitud. o Sentido. Uno de los dos posibles que se pueden dar a lo largo de la recta definida por la dirección. Por ejemplo, cuando nosotros aplicamos una fuerza sobre un objeto, por un lado, aplicamos una "cantidad" de fuerza (módulo) y además lo hacemos en una determinada dirección y sentido. Por lo tanto, la fuerza, entre otras muchas magnitudes, es una magnitud eminentemente vectorial.

Como puedes deducir de la tabla anterior, las magnitudes vectoriales se identifican mediante una flecha situada encima del símbolo que se utiliza para representar la magnitud. En el caso de querer representar su módulo su símbolo se suele encerrar entre dos barras o simplemente se le elimina la flecha. Por ejemplo, en el caso de la Fuerza: 42

Física I | Darío Gómez Santibañez  

F La magnitud vectorial se representa ⃗ F| o simplemente F y el módulo de la magnitud vectorial como |⃗

b. Representación REPRESENTACIÓN GRÁFICA Gráficamente, un vector se representa como una flecha ubicada en un eje de coordenadas. En esta flecha podemos identificar cada uno de los elementos que lo conforman y que estudiamos en el apartado anterior, además de algunos más.

    

Tienen un punto desde el que nace la flecha llamado origen o punto de aplicación. De igual forma, tienen otro punto donde termina la flecha llamado extremo. La recta sobre la que "descansan" los puntos de extremo y origen se denomina dirección o recta soporte.  La distancia entre el punto origen y extremo corresponde con su módulo. A mayor distancia entre ellos, el módulo será mayor. La punta de la flecha determina su sentido, dentro de los dos posibles que se podría dibujar siguiendo su dirección, es decir hacia un lado de la recta o hacia el otro.

REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Todo vector se puede expresar como la suma de otros vectores que sirven de patrón o referencia. Estos vectores reciben el nombre de vectores unitarios ya que su módulo vale 1 (módulo unitario). En concreto se emplean: u x es un vector unitario en la dirección del eje X   i⃗  o ⃗ ⃗ u y es un vector unitario en la dirección del eje Y  j  o ⃗

Como se muestra en el ejemplo anterior, hemos obtenido una forma de representar analíticamente un vector a partir de su gráfica. A continuación, puedes encontrar otras formas de representación posibles. De esta forma, un vector a⃗  con origen en el punto A = (Ax,Ay) y extremo en el punto B = (Bx,By) se puede representar analíticamente de la siguientes formas:

43

Física I | Darío Gómez Santibañez

MÓDULO DE UN VECTOR Las coordenadas cartesianas (ax y ay) son muy importantes, ya que a partir de ellas es posible calcular el módulo y dirección del vector. Este último, teniendo en cuenta el ángulo α formado entre el vector y el semieje X positivo (o por el ángulo β formado entre el vector y el semieje Y negativo).

c. Suma, diferencia, producto por escalar, producto escalar y potencias con números complejos REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA SUMA Como los vectores tienen módulo y dirección, la suma de vectores no sigue las reglas de la suma tradicional de los escalares. De forma gráfica, la suma de dos vectores a⃗  y b⃗   nos dará como resultado otro vector c⃗  que podemos obtener mediante 2 métodos distintos: el método de la cabeza con cola (o del extremo con origen) y la regla del paralelogramo. Método de la cabeza con cola Respetando la dirección y sentido de ambos vectores, 1. Desplazamos el vector b⃗  de tal forma que su origen se encuentre a continuación del extremo de a⃗ . 44

Física I | Darío Gómez Santibañez 2. c⃗  será el segmento recto que podamos dibujar desde el origen de a⃗  hasta el extremo de b⃗ .

Regla del paralelogramo La podemos aplicar si los vectores no tienen la misma dirección: 1. Se sitúan los vectores a⃗  y b⃗  con los orígenes en el mismo punto 2. Desde el extremo de cada uno se dibuja una paralela al otro vector. Al final podremos ver un paralelogramo. 3. c⃗  será el vector que parte desde el origen común de a⃗  y b⃗  a través de la diagonal del paralelogramo.

REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE LA SUMA La suma de dos vectores a⃗ y b⃗ , da como resultado otro vector c⃗ cuyas componentes son la suma de las respectivas componentes de a⃗ y b⃗ . c⃗ =⃗a + ⃗b =( a x + b x ) · i⃗ + ( a y +b y ) · ⃗j Se llama opuesto de un vector a⃗ a otro vector en la que sus componentes tienen el signo contrario a las del dicho vector.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA DIFERENCIA De forma gráfica, la resta de dos vectores a⃗ y b⃗ nos dará como resultado otro vector c⃗ =⃗a− ⃗b que podemos expresar como una suma: la suma de a⃗ y el opuesto de b⃗ . c⃗ =⃗a− ⃗b=⃗a + (−⃗b )

Dado que hemos convertido la resta en una suma, lo único que tenemos que hacer es representar el opuesto del segundo vector y proceder a representar la suma del primer vector con el opuesto del segundo empleando cualquiera de los métodos estudiados en el apartado anterior: 45

Física I | Darío Gómez Santibañez

REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE LA DIFERENCIA La resta de dos vectores a⃗ y b⃗ , da como resultado otro vector c⃗ =⃗a− ⃗b cuyas componentes son la diferencia de las respectivas componentes de a⃗ y b⃗ . c⃗ =⃗a− ⃗b=( ax −b x ) · ⃗i + ( a y −b y ) · ⃗j

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PRODUCTO POR UN ESCALAR Al multiplicar un vector a⃗  por un escalar (número)  λ, obtenemos un nuevo vector b⃗ =λ · ⃗a que tiene las siguientes características: ⃗  y b⃗  son la misma  La dirección de a  Si λ es: ⃗  y b⃗  tendrán el mismo sentido o positivo. a ⃗  y b⃗  tendrán distinto sentido. o negativo. a ⃗ ⃗  o lo que  El módulo de b  será el valor absoluto de sumar n veces el módulo de a ⃗ | b | = | λ | · | a ⃗ | es lo mismo

De esto se desprende una ecuación muy interesante. Y es que, cualquier vector puede expresarse como un producto de un escalar y otro vector. El producto entre su módulo y el vector unitario (modulo 1) que coincide con la dirección y sentido de dicho vector. a⃗ =|a⃗|· ⃗ ua =a· ⃗ ua

REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO POR UN ESCALAR El producto de un vector a⃗  por un escalar λ, nos da como resultado otro vector cuyas componentes son el producto escalar de λ por cada una de las componentes del vector a⃗ . λ· ⃗a =( λ· ax ) · ⃗i + ( λ·a y ) · ⃗j

Calculo del vector unitario ua. Partiendo de Como vimos anteriormente, todo vector se puede expresar como a⃗ =a· ⃗ esta ecuación se obtiene que:

46

Física I | Darío Gómez Santibañez ax a ·⃗ u x+ y · ⃗ uy a a

( ) ( )

ua = ⃗

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PRODUCTO ESCALAR El producto escalar de un vector a⃗ y otro b⃗ , denotado como a⃗ · ⃗b devuelve un número (escalar) tal que, a⃗ · ⃗b =|⃗a|·|⃗b|· cos α Donde α es el ángulo que forman los vectores a⃗  y b⃗ . El cálculo del producto escalar de estos dos vectores se simplifica cuando estos son perpendiculares o paralelos entre sí:  Si son perpendiculares, el ángulo forma 90º y el producto es 0  Si son paralelos, tenemos dos posibilidades: o Si tienen el mismo sentido, el producto escalar es la multiplicación de sus módulos o Si NO tiene el mismo sentido, el producto escalar es la multiplicación de sus módulos añadiéndole el signo negativo.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR El producto escalar de dos vectores a⃗ y b⃗ no nulos se puede entender como el producto del módulo de b⃗ por el valor de la proyección de a⃗ sobre la recta que define la dirección de b⃗ .

REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR El producto escalar de dos vectores a⃗ y b⃗ devuelve un escalar que se obtiene como la suma de las multiplicaciones una a una de las componentes cartesianas de los 2 vectores a⃗ y b⃗ . En el caso de vectores en dos dimensiones, podemos usar la expresión: a⃗ · ⃗b =( a x · b x ) + ( a y · b y )

LOS NÚMEROS COMPLEJOS Los números complejos son una extensión de los números reales. En el campo de la Física, estos números tienen un especial interés, ya que facilitan la comprensión y el cálculo de ciertas magnitudes en numerosas áreas como la electrónica y el electromagnetismo.

REPRESENTACIÓN BINÓMICA DE NÚMEROS COMPLEJOS 47

Física I | Darío Gómez Santibañez Se pueden representar como la suma de un número real y un número imaginario (múltiplo de una unidad imaginaria, denotada con una i), llamada representación binómica. a+ b·i donde i=√ −1

POTENCIAS DEL NÚMERO IMAGINARIO i La potencia del número imaginario i, se puede obtener tomando como base las siguientes potencias: i 0=1 ; i1 =i; i 2=−1 ; i3 =−i Ya que: i n=i n mod 4 Donde mod es la operación de obtener el resto al dividir n entre 4.

d. Ecuaciones vectoriales, paramétricas, continuas y puntopendiente ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA Cualquier recta r que puedas dibujar sobre una hoja de papel puede ser determinada analíticamente por medio de punto A que forme parte de dicha recta y una dirección que se puede expresar mediante un vector no nulo ⃗v. El vector encargado de determinar la dirección de la recta recibe el nombre de vector director y como podrás imaginar este no es único ya que cualquier vector paralelo a este nos sirve también para determinar la dirección de la recta. De esta forma, si ⃗v es un vector director de la recta r, también lo serán cualquier múltiplo de ⃗v ( λ· ⃗v λ ∈ R ).

La ecuación vectorial que permite determinar cada punto (x,y) de cualquier recta r se obtiene por medio de la siguiente expresión: ( x , y ) =( a1 , a2 ) + λ ( v 1 , v2 ) λ ∈ R Donde:  x e y son las coordenadas de cualquier punto P(x,y) de la recta.  a1 y a2 son las coordenadas de un punto conocido de la recta A(a1,a2). 48

Física I | Darío Gómez Santibañez  

v1 y v2 son las componentes de un vector director ⃗v =( v1 , v 2 ) de r. λ es un valor real que determina cada coordenada P(x,y) dependiendo del valor que se le asigne.

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA Las ecuaciones paramétricas de cualquier recta r se obtienen por medio de la siguiente expresión: x=a1 + λ· v 1 λ∈R y=a 2+ λ· v 2

{

Donde:  x e y son las coordenadas de cualquier punto P(x,y) de la recta.  a1 y a2 son las coordenadas de un punto conocido de la recta A ( a 1 , a2 ). v =( v1 , v 2 ) de r.  v1 y v2 son las componentes de un vector director ⃗  λ es un valor real que determina cada coordenada P(x,y) dependiendo del valor que se le asigne. Explicación Cualquier recta r que puedas dibujar sobre una hoja de papel puede ser determinada analíticamente por medio de punto A que forme parte de dicha recta y una dirección que se puede expresar mediante un vector no nulo ⃗v.

El vector encargado de determinar la dirección de la recta recibe el nombre de vector director y como podrás imaginar este no es único ya que cualquier vector paralelo a este nos sirve también para determinar la dirección de la recta. De esta forma, si ⃗v es un vector director de la recta r, también lo serán cualquier múltiplo de ⃗v ( λ· ⃗v λ ∈ R ).

Tal y como estudiamos en la ecuación vectorial de una recta, si A(a1,a2) es un punto conocido de una recta r que posee un vector director ⃗v =( v1 , v 2 ) y P(x,y) un punto cualquiera de ella sabemos que: ( x , y ) =( a1 , a2 ) + λ ( v 1 , v2 ) λ ∈ R De aquí podemos deducir que: 49

Física I | Darío Gómez Santibañez

( x , y ) =( a1 + λ· v 1 , a2 + λ· v 2 ) λ ∈ R Si a continuación igualamos las componentes a uno y otro lado de la ecuación obtenemos lo que se denominan ecuaciones paramétricas de la recta: x=a1 + λ· v 1 λ∈R y=a 2+ λ· v 2

{

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA CONOCIDOS DOS PUNTOS DE LA MISMA Si en vez de conocer un punto A y un vector director v de una recta conocemos al menos dos puntos de la misma A y B, también podremos calcular su ecuación paramétrica. Para ello, basta con utilizar ambos puntos para calcular un vector director aplicando la propia definición de vector. De esta forma, un posible vector podría ser ⃗v =( b 1−a1 , b2−a 2 ). Las ecuaciones paramétricas de cualquier recta r se pueden obtener por medio de la siguiente expresión: x=a1 + λ· ( b1−a1 ) λ∈R y=a 2+ λ· ( b 2−a2 )

{

Donde:  x e y son las coordenadas de cualquier punto P(x,y) de la recta.  a1 y a2 son las coordenadas de un punto conocido de la recta A(a1,a2).  b1 y b2 son las coordenadas de otro punto conocido de la recta B(b1,b2).  λ es un valor real que determina cada coordenada P(x,y) dependiendo del valor que se le asigne.

ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA CONOCIDOS UN PUNTO Y UN VECTOR DIRECTOR Tal y como estudiamos en las ecuaciones paramétricas de la recta, si A(a1,a2) es un punto conocido de una recta r que posee un vector director ⃗v =( v1 , v 2 ) y P(x,y) un punto cualquiera de ella sabemos que sus coordenadas x e y son: x=a1 + λ· v 1 λ∈R y=a 2+ λ· v 2

{

Si despejamos λ en ambas ecuaciones: x −a1 y−a 2 λ= λ= v1 v2 Y las igualamos obtenemos lo que se denomina ecuación continua de la recta: La ecuación continua de cualquier recta r se obtiene por medio de la siguiente expresión: x−a1 y−a 2 = v1 v2 Donde:  x e y son las coordenadas de cualquier punto P(x,y) de la recta.  a1 y a2 son las coordenadas de un punto conocido de la recta A(a1,a2). v =( v1 , v 2 ) de r.  v1 y v2 son las componentes de un vector director ⃗ 50

Física I | Darío Gómez Santibañez

ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA CONOCIDOS DOS PUNTOS DE LA MISMA Si en vez de conocer un punto A y un vector director v de una recta conocemos al menos dos puntos de la misma A y B, también podremos calcular su ecuación continua. Para ello, basta con utilizar ambos puntos para calcular un vector director aplicando la propia definición de vector. De esta forma, un posible vector podría ser ⃗v =( b 1−a1 , b2−a 2 ). La ecuación continua de cualquier recta r se pueden obtener por medio de la siguiente expresión: x−a 1 y−a2 = b1−a2 b 2−a2 Donde:  x e y son las coordenadas de cualquier punto P(x,y) de la recta.  a1 y a2 son las coordenadas de un punto conocido de la recta A(a1,a2).  b1 y b2 son las coordenadas de otro punto conocido de la recta B(b1,b2). En ocasiones también verás escritas las coordenadas de los puntos A y B como A(x1,y1) y B(x2,y2), donde los subíndices 1 y 2 en este caso hacen referencia al primer punto (A) y al segundo punto (B). De esta manera la ecuación queda: x−x 1 y − y 1 = x2 −x1 y 2− y 1

ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTA Tal y como estudiamos en la ecuación continua de la recta, si A(a1,a2) es un punto conocido de una recta r que posee un vector director ⃗v =( v1 , v 2 ) cualquier punto P(x,y) de la recta cumple la siguiente ecuación: x−a1 y−a 2 = v1 v2 Reorganizando la ecuación podemos reescribirla de la siguiente forma: v2 y−a2= ( x−a1 ) v1 La ecuación punto-pendiente de cualquier recta r se obtiene por medio de la siguiente expresión: y−a2=m· ( x−a1 ) Donde:  x e y son las coordenadas de cualquier punto P(x,y) de la recta.  a1 y a2 son las coordenadas de un punto conocido de la recta A(a1,a2).  m recibe el nombre de pendiente de la recta r y se puede calcular de la v2 siguiente forma: m= . v1

51

Física I | Darío Gómez Santibañez

e. Rectas paralelas COMO DETERMINAR SI DOS RECTAS SON PARALELAS vr y ⃗ v s son Dos rectas r y s, se dice que son paralelas (r ∨¿ s) si sus vectores directores ⃗ proporcionales o sus pendientes m r y m s son iguales.

Recuerda que cuando las rectas se encuentran expresadas en forma general (Ax+By+C=0) la pendiente se puede obtener fácilmente mediante el cociente de las variables A y B de la ecuación general. Así mismo, cuando se encuentra en forma vectorial, paramétrica o continua puede ser útil obtenerla mediante el cociente de las componentes del vector director. v2 −A m= o m= B v1 Dos rectas r y s son paralelas si se cumple: mr =ms o ⃗ v r =k· ⃗ v s con k ∈ R Donde:  mr y ms son las pendientes de r y s respectivamente. vr y ⃗ v s son vectores directores de r y s respectivamente.  ⃗  k es un número real.

CÁLCULO DE UNA RECTA PARALELA A OTRA DADA Como hemos visto anteriormente, cuando disponemos de dos rectas expresadas en su ecuación general: r ≡ Ax+ By+ C=0 s ≡ A' x+ B' x+C ' =0 Podemos determinar fácilmente si ambas son paralelas comprobando que se cumple la siguiente ecuación: A − A' A A ' m r =m s →− = ' → = B B B' B Observa que el hecho de que dos rectas sean paralelas dependen de los coeficientes A, B, A' y B' de la ecuación general de sus rectas, nunca de C ni C'. Esto nos permite determinar que siempre que A=A' y B=B' ambas rectas serán paralelas independientemente del valor de C y C'. Si las ecuaciones generales de dos rectas r y s tienen la siguiente forma, ambas son paralelas: 52

Física I | Darío Gómez Santibañez r ≡ Ax+ By+ C=0 s ≡ Ax+ By+ K =0 K ∈ R

RECTAS PARALELAS AL EJE OX Cualquier recta r que sea paralela al eje OX tiene la forma: y=a a ∈ R

RECTAS PARALELAS AL EJE OY Cualquier recta r que sea paralela al eje OY tiene la forma: x=a a∈ R

f. Rectas perpendiculares. Perpendicularidad COMO DETERMINAR SI DOS RECTAS SON PERPENDICULARES Dos rectas, r y s, se dice que son perpendiculares (r ⊥ s) si sus vectores directores ⃗v r y ⃗v s son perpendiculares ( ⃗v r · ⃗v s=0) o sus pendientes m r y m s son inversas y cambiadas de

(

signo mr =

−1 . ms

)

Recuerda que cuando las rectas se encuentran expresadas en forma general (Ax+By+C=0) la pendiente se puede obtener fácilmente mediante el cociente de las variables A y B de la ecuación general. Así mismo, cuando se encuentra en forma vectorial, paramétrica o continua puede ser útil obtenerla mediante el cociente de las componentes del vector director. v2 −A m= o m= B v1 Dos rectas r y s son perpendiculares si se cumple: −1 mr = o ⃗v r · ⃗v s =0 ms Donde:  m r  y m s  son las pendientes de r y s respectivamente. v r y ⃗v s son vectores directores de r y s respectivamente.  ⃗

CÁLCULO DE UNA RECTA PERPENDICULAR A OTRA DADA Como hemos visto anteriormente, cuando disponemos de dos rectas expresadas en su ecuación general: r ≡ Ax+ By+ C=0 53

Física I | Darío Gómez Santibañez s ≡ A' x+ B' y+ C' =0 podemos determinar fácilmente si ambas son perpendiculares comprobando que se cumple la siguiente ecuación: −1 A −1 −A B' mr = →− = → = ' ms B −A B A' ' B Observa que el hecho de que dos rectas sean perpendiculares depende de los coeficientes A, B, A' y B' de la ecuación general de sus rectas, nunca de C ni C'. Esto nos permite determinar que siempre que A=-B' y B=A' ambas rectas serán perpendiculares independientemente del valor de C y C'. Si las ecuaciones generales de dos rectas r y s tienen la siguiente forma, ambas son perpendiculares: r ≡ Ax+ By+ C=0 s ≡−Bx+ Ay+ K =0 K ∈ R

RECTAS PERPENDICULARES AL EJE OX Cualquier recta r que sea perpendicular al eje OX tiene la forma: x=a a∈ R

RECTAS PERPENDICULARES AL EJE OY Cualquier recta r que sea perpendicular al eje OY tiene la forma: y=a a ∈ R

g. Momento de un vector V respecto a un punto O o respecto a una recta o eje e es otro El momento de un vector ⃗ vector que relaciona al propio vector con su punto de aplicación respecto del punto O o la recta e. En este apartado vamos a estudiar tanto uno como otro, así como también sus aplicaciones en Física.

MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN PUNTO V respecto de un punto O como el producto Se define el momento de un vector ⃗ V respecto del punto O por el vectorial del vector de posición del origen del vector ⃗ ⃗ propio vector V . ⃗ M o=⃗r × ⃗ V Donde: V : Vector al que vamos a calcular su momento  ⃗ V   respecto al punto O  r⃗ : Vector de posición de ⃗ ⃗  M o: Vector momento. Es un vector perpendicular al plano formado por los vectores r⃗ y ⃗ V. La siguiente imagen es una representación gráfica del momento:

54

Física I | Darío Gómez Santibañez V . El vector ⃗ V no es un Observa que hemos llamado P al punto de aplicación del vector ⃗ vector libre ya que entonces su momento respecto de cualquier punto sería cero con sólo tomar un equipolente con origen en dicho punto. Por otro lado, el momento no es más que un producto vectorial. Esto quiere decir que tiene las siguientes características: ⃗|=r·V· sin α M o|=|r⃗ × V  Módulo. |⃗ V  Dirección. Perpendicular al plano formado por r⃗ y ⃗  Sentido. Para determinarlo puedes usar la regla de la mano derecha: Utiliza la V por el camino más corto. El palma de tu mano, orientándola desde r⃗ hasta ⃗ dedo pulgar determina el sentido del producto, tal y como se ve en la figura anterior  Recuerda que, para el cálculo del producto vectorial, también puedes utilizar su expresión analítica en forma de determinante 3x3, especialmente útil cuando conocemos las componentes cartesianas de cada vector. ⃗i ⃗j ⃗k ⃗ M o=⃗r × ⃗ V = rx r y r z Vx Vy Vz

|

|

TEOREMA DE VARIGNON El momento de un vector se puede descomponer en la suma de los momentos de cada una de las componentes de dicho vector. Se trata de la aplicación de la propiedad distributiva del producto vectorial. Así, en el caso de las coordenadas cartesianas, nos queda: ⃗ M o=⃗r × ⃗ V =⃗r ×V x · ⃗i + ⃗r × V y · ⃗j + r⃗ ×V z · ⃗k

USO EN FÍSICA El momento vectorial es muy importante en Física. Cobra especial relevancia cuando estudiamos la dinámica de un sistema de partículas. En concreto, nos permite conocer el cambio en el estado de rotación de un sólido rígido.

MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN EJE Al momento de un vector respecto a un eje también se le conoce como momento de un vector respecto a una recta y momento áxico. V respecto a un eje e como la proyección sobre Se define el momento de un vector ⃗ dicho eje del momento de ese vector con respecto a un punto cualquiera del eje. Normalmente, y por comodidad, solemos escoger el punto del eje más próximo al V . Su expresión viene dada por: origen del vector ⃗ ⃗ M e =( r⃗ × ⃗ V ) · u⃗ e =⃗ M o · ⃗ue =M o ·cos α Donde: V : Vector al que vamos a calcular su momento  ⃗  r⃗ : Es el vector de posición del vector respecto de un punto cualquier del eje e. Normalmente se suele escoger, por comodidad, el punto del eje más próximo al origen del vector ⃗ e : Vector unitario en la dirección del eje e  u ⃗  M o: Es el momento del vector ⃗ V respecto al punto considerado del eje e. Se trata V y r⃗   de un vector perpendicular al plano definido por el vector ⃗ ⃗  α: Ángulo formado entre el M o y el eje e  M e : Momento del vector ⃗ V respecto al eje o recta e. Es un escalar La siguiente imagen es una representación gráfica de lo anterior: 55

Física I | Darío Gómez Santibañez

Observa que, de la propia definición, podemos extraer varias conclusiones: 1. Al estar definido a partir de un producto escalar, el momento respecto a un eje es un escalar (una proyección respecto a un eje). En ocasiones, sin embargo, usamos el mismo nombre para referirnos a la magnitud vectorial correspondiente (el vector proyección respecto a dicho eje). Como adivinarás, dicho vector tiene como módulo el del momento del vector respecto al eje y como dirección la que marca el eje. Su expresión en este caso vendría dada por: ⃗ M e =M e · ⃗ue =M o · cos α · u⃗ e 2. Es independiente del punto elegido sobre el eje.  En el siguiente "Experimenta y aprende" puedes comprobarlo tú mismo

8) Funciones a. Funciones reales de variable real Una función es una relación entre dos conjuntos en la que, a cada valor del primer conjunto, denominado dominio, le corresponde un único valor del segundo conjunto, denominado recorrido. Decimos que estamos ante una función real de variable real cuando tanto el primer conjunto como el segundo está formados por números reales.

DEFINICIÓN Se define una función real de variable real, o simplemente función real, como aquella función matemática que hace corresponder a cada número real x ∈ R otro número real y ∈ R a través de una regla de transformación f(x). Formalmente: f : Dom f → R x ↦ y=f ( x) Donde:  f : Es la función de R en R, es decir, una regla de correspondencia que asigna a cada valor R del dominio otro número real  Dom f : Es el dominio de definición de la función f, también llamado campo de existencia. Esto es, el conjunto de posibles valores que puede tomar la entrada de la función, es decir, que tienen imagen. Puede ser, o bien el conjunto completo de los reales (R), o bien un subconjunto de este: Dom f ⊆ R . Más formalmente: Dom f = { x ∈ R∨∃ y=f ( x)∈ R }  R: Es el codominio de la función, es decir, el conjunto de posibles valores que podría tomar la variable dependiente  x: Es la variable independiente. En este caso, un número real que hace las veces de entrada de la función  y=f (x ): Es la variable dependiente, imagen de x. Es un número real que hace las veces de salida. Para obtener su valor se aplica la función sobre el elemento x 56

Física I | Darío Gómez Santibañez Ten presente que, aunque no esté en la definición, el recorrido es igualmente importante. Es llamado también conjunto imagen o simplemente imagen de la función, y es el conjunto de valores que realmente toma la salida. Formalmente, Rec f = { y ∈ R∨∃ x ∈ Dom f con f ( x )= y } Es un error muy habitual confundir el recorrido con el codominio. Recuerda que este último es el conjunto de valores que podría tomar la salida. En las funciones reales de variable real tanto el dominio, como el codominio, como el conjunto imagen son números reales ( Dom f ⊆ R , Cod f ⊆R , Rec f ⊆ R ). Visita el apartado de funciones matemáticas si necesitas aclarar estas ideas.

RESTRICCIONES DEL DOMINIO En ocasiones puede resultar útil restringir el dominio de una función real a un subconjunto de ℝ. Recuerda que, aunque no se suela dar de manera explícita, tanto el dominio como el codominio forman parte de la propia definición formal de una función, y pueden cambiar enteramente las propiedades de esta, o incluso hacer que una correspondencia deje de ser considerada una función. De manera general, restringiremos el dominio de una función:  Cuando sea matemáticamente imposible realizar alguna operación con ciertos valores x  Cuando el contexto real del que se ha obtenido la función así lo determine  Cuando lo necesitemos por alguna otra razón Dedicaremos un apartado a aprender a calcular el dominio de una función real cuando no nos lo den de manera explícita. De momento, los siguientes ejemplos de funciones reales te ayudarán a entender mejor los casos señalados.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA Una función real de variable real está constituida por pares ordenados de elementos de ℝ, en la forma (x,f(x)). Dichos pares pueden ser representados sobre un sistema de ejes cartesianos mediante puntos P(x,y), con y=f(x). Sigue los siguientes pasos: 1. Elige el intervalo de valores del dominio que vas a representar. Por ejemplo, vamos a representar el intervalo [-2, 2] de la función f(x)=x2 2. Decide el número de puntos que vas a representar. Por ejemplo, cinco puntos. Recuerda que, en el dominio de los números reales, la cantidad de puntos que podrías representar es ilimitada, así que cuantos más puntos decidas representar, más precisa será la representación 3. Elabora una tabla de valores con los puntos que vas a representar. La coordenada x de cada punto, debe pertenecer al dominio. Los puntos estarán situados de manera equiespaciada. La coordenada y de cada punto se obtiene como la imagen de los valores de x anteriores, aplicando la definición de la propia función. En nuestro caso, dado que hemos elegido 5 puntos, nos quedará x1=-2, x2=-1, x3=0, x4=1, x5=2 , y la tabla nos queda: 57

Física I | Darío Gómez Santibañez

4. Pinta un sistema de coordenadas cartesianas x-y (eje de abscisas-eje de ordenadas)

5. Pinta cada punto sobre el sistema de coordenadas anterior

6. Une los puntos y obtén la representación final

58

Física I | Darío Gómez Santibañez

LA PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL En una función real, a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento imagen. De esta manera, a cada par (x,y) le corresponde en el plano un único punto P(x,y) = P(x,f(x)). Esto se traduce en que la gráfica de una función nunca vuelve "hacia atrás". Por tanto: En una gráfica de una función y=f(x) ninguna recta vertical la debe cortar en más de un punto.

APLICACIONES EN FÍSICA Las funciones nos sirven para describir fenómenos reales. La física está llena de relaciones entre magnitudes que pueden ser estudiadas como funciones reales. Así, por ejemplo, la energía cinética de un cuerpo viene dada por la ecuación 1 Ec = · m· v 2. Si nos interesase estudiar la evolución con la velocidad de la energía 2 cinética de un cuerpo, consideramos la velocidad la variable independiente, y fijaríamos 1 2 la masa: Ec ( v )= · m· v . De otro lado, si nos interesase estudiar la energía cinética que 2 tendrían distintos cuerpos a una determinada velocidad, consideraríamos la masa la 1 2 variable independiente, y fijaríamos la velocidad: Ec ( m )= · m·v . 2

59

Física I | Darío Gómez Santibañez

b. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Podemos clasificar las funciones atendiendo a la relación que guardan entre sí los elementos del dominio, del codominio y de la imagen. Antes de ir a por ello, es bueno que recuerdes:  Una función es una relación entre dos conjuntos en la que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto  En la definición formal de función se da el conjunto inicial, denominado dominio, el conjunto final, denominado codominio, y la regla de correspondencia entre ellos. Por ejemplo, en: f :N →R n ↦ y =f ( n ) =π n El dominio es el conjunto de los números naturales, ℕ , el codominio es el conjunto de los números reales, ℝ ,y la regla de correspondencia es f ( n )=π n.  El conjunto imagen o recorrido de la función es el subconjunto del codominio formado por los valores que realmente toma la función, una vez se aplica a los elementos del conjunto inicial o dominio. En el caso del ejemplo anterior sería el subconjunto de los reales y que se obtienen al aplicar, a cada número natural n, y=π n .



En una función real de variable real el dominio y el codominio (y por tanto el recorrido) son subconjuntos de los números reales.

FUNCIONES INYECTIVAS Una función es inyectiva cuando no hay dos elementos del dominio que tengan la misma imagen. Formalmente: ∀ a , b ∈ Dom f , si f ( a ) =f ( b ) → a=b Es decir, para cualesquiera dos elementos a y b, pertenecientes al dominio de la función Dom f , si sus imágenes f(a) y f(b) son iguales, los elementos son necesariamente iguales.

60

Física I | Darío Gómez Santibañez

Por tanto, si te piden una demostración de que una función no es inyectiva, puedes hallar dos valores distintos del dominio cuyas imágenes sean iguales. Si las encuentras, la función no es inyectiva. En el caso de funciones reales, para saber si son inyectivas:  Cuando están dadas mediante una ecuación, podemos utilizar la propia definición. Así, la función f(x)=2·x+1 es inyectiva, pues: f ( a )=2 a+1 Si f ( a )=f ( b ) →2 a+1=2b +1→ a=b f ( b )=2 b+1

}

Por otro lado, la función f ( x )=x 2 no es inyectiva pues: f ( a )=a2 Si f ( a )=f ( b ) → a2=b 2 → a=± b 2 f ( b )=b

}



Cuando están dadas gráficamente se trata de buscar dos imágenes iguales en la misma. Observa la siguiente ilustración y lo entenderás más claramente:

No debes confundir la prueba de la recta vertical, utilizada para saber si una gráfica corresponde a una función, con la prueba de la recta horizontal, utilizada para saber si una función es inyectiva.

FUNCIONES SOBREYECTIVAS Una función es sobreyectiva, también llamada suprayectiva o exhaustiva, cuando el codominio y el recorrido coinciden. Formalmente: ∀ y ∈ Cod f ∃ x ∈ Dom f ∨f ( x )= y Es decir, para cualquier elemento y del codominio existe otro elemento x del dominio tal que y es la imagen de x por f.

61

Física I | Darío Gómez Santibañez Las funciones reales son sobreyectivas cuando Rec f =R , ya que, por definición, en ellas Cod f =R . Por tanto, si te piden una demostración de que una función real es sobreyectiva, puedes hallar la imagen de dicha función. Si la imagen es el conjunto de los reales, la función es sobreyectiva. En caso contrario, no.

FUNCIONES BIYECTIVAS Una función es biyectiva, cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo. Formalmente: ∀ y ∈ Cod f ∃ ! x ∈ Dom f ∨f ( x )= y Es decir, para cualquier elemento y del codominio existe un único elemento x del dominio tal que y es la imagen de x por f.

c. Dominio y recorrido de una función DOMINIO DE UNA FUNCIÓN Una función es una relación entre dos conjuntos, en la que, a cada valor del primer conjunto, denominado dominio, le corresponde un único valor del segundo, denominado recorrido. Aunque ya hemos introducido este concepto en apartados anteriores, en este vamos a profundizar en su estudio para el caso de las funciones reales, y aprenderemos a calcularlo.

DEFINICIÓN El dominio de una función real, también llamado dominio de definición o campo de existencia de 62

Física I | Darío Gómez Santibañez la misma, es el conjunto de elementos para los cuales la función está definida. Dicho de otra manera, el subconjunto de los números reales que tienen imagen. Formalmente: Dom f = { x ∈ R∨∃ y=f ( x)∈ R }  Dom f : Es el dominio de la función. También se puede denotar por Dom(f) o, simplemente, D. Puede ser todo el conjunto de los números reales, o bien un subconjunto de este: Dom f ⊆ R  x: Es un número real, perteneciente al dominio de la función, que recibe el nombre de variable independiente  y: Es otro número real, perteneciente al conjunto imagen de la función, que recibe el nombre de variable dependiente. Su valor se obtiene aplicando la función f al valor de x : y=f(x) . Para un par de valores concretos (x,y) decimos que y es la imagen de x, y que x es la antiimagen de y

RESTRICCIÓN El dominio forma parte de la propia definición de una función. Recuerda: f : Dom f → R x ↦ y=f ( x) Sin embargo, no es habitual dar las funciones de esta manera. Como hemos hablado en apartados anteriores, en general verás las funciones reales escritas como ecuaciones matemáticas y tendrás que ser tú mismo el que "deduzca" el dominio. Este será, o bien todo el conjunto de los reales Dom f =R , o bien un subconjunto de este Dom f ⊂ R (Con lo que podemos escribir que, en general, Dom f ⊆ R ). Puede restringirse el dominio por las siguientes razones:  Cuando sea matemáticamente imposible realizar alguna operación con ciertos valores x  Cuando el contexto real del que se ha obtenido la función así lo determine  Cuando lo necesitemos por alguna otra razón Vamos a centrarnos en el primer caso, viendo cómo restringir de manera concreta el dominio, según el tipo de función.

COMO CALCULAR EL DOMINIO Para calcular el dominio "quitaremos" de la ecuación aquellos valores que hagan imposible realizar alguna operación matemática.

Funciones polinómicas f ( x )=c o+ c 1 · x+ c2 · x 2 +…+ cn · xn El dominio es R ya que al sustituir un número real cualquiera x ∈ R, siempre va a existir f (x).

63

Física I | Darío Gómez Santibañez

Funciones racionales P ( x) Q( x ) El denominador debe ser distinto de cero. Si P(x) y Q(x) son polinomios, entonces el dominio es Dom f = { x ∈ R∨Q(x) ≠0 }, es decir, el conjunto de valores que no anulan el denominador. f ( x )=

Cuando simplifiques una función racional el dominio debe coincidir con el de la función original, y no debes caer en la tentación de recalcularlo.

Funciones irracionales Cabe distinguir aquellas raíces de índice impar de las de índice par. f ( x )= √n r (x ) - Índice impar: En estos casos, la raíz no impone ninguna restricción adicional al dominio, con lo que coincidirá con el del radicando r(x). Si r(x) es un polinomio, entonces: Dom f =R . - Índice par: En estos casos la raíz impone que los valores del radicando r(x) siempre sean mayores o iguales que cero. Si r(x) es un polinomio, entonces: Dom f = { x ∈ R∨r (x) ≥ 0 }

64

Física I | Darío Gómez Santibañez

Funciones exponenciales f ( x )=ae(x) En estos casos, la exponencial no impone ninguna restricción adicional al dominio, con lo que coincidirá con el del exponente e(x). Si e(x) es un polinomio, entonces: Dom f =R .

Funciones logarítmicas f ( x )=log n (a ( x )) En estos casos el logaritmo impone que el argumento a(x) sea un número positivo. Si a(x) es un polinomio, entonces: Dom f = { x ∈ R∨a ( x ) > 0 }

Función seno f ( x )=sin(a ( x )) En estos casos el seno no impone ninguna restricción adicional al dominio, con lo que coincidirá con el del argumento a(x). Si a(x) es un polinomio, entonces: Dom f =R

65

Física I | Darío Gómez Santibañez

Función coseno f ( x )=cos ( a ( x ) ) En estos casos el coseno tampoco impone ninguna restricción adicional al dominio, con lo que coincidirá con el del argumento a(x). Si a(x) es un polinomio, entonces: Dom f =R .

Función tangente f ( x )=tan(a ( x ) ) En estos casos es bueno recordar que la tangente se define como sin(a ( x )) tan ( a ( x ) ) = , con lo que cos(a ( x ) ) impone que el valor del argumento a(x) no sea un múltiplo impar de π/2 (valores que hacen cero el coseno, y por tanto anularían el denominador). Si a(x) es un polinomio, entonces: π Dom f = x ∈ R∨a ( x ) ≠ ( 2 k +1 ) con k ∈ Z 2

{

}

Función cosecante f ( x )=csc(a ( x )) 1 , sin( a ( x ) ) con lo que impone que el valor del argumento a(x) no sea un múltiplo de π (valores que hacen cero el seno, y por tanto anularían el denominador). Si a(x) es un polinomio, entonces: Dom f = { x ∈ R∨a( x )≠ kπ con k ∈ Z } En estos casos es bueno recordar que la cosecante se define como csc( a ( x ) )=

Función secante 66

Física I | Darío Gómez Santibañez f ( x )=sec(a ( x ) ) 1 , cos (a ( x )) con lo que impone que el valor del argumento a(x) no sea un múltiplo de π/2 (valores que hacen cero el coseno, y por tanto anularían el denominador). Si a(x) es un π polinomio, entonces: Dom f = x ∈ R∨a ( x ) ≠ ( 2 k +1 ) con k ∈ Z 2 En estos casos es bueno recordar que la secante se define como sec (a ( x ))=

{

}

Función cotangente f ( x )=cot(a ( x )) En estos casos es bueno recordar que la cotangente se define como cos (a ( x )) 1 tan(a ( x ))= = , con lo que impone que el valor del argumento a(x) no tan(a ( x )) sin( a ( x ) ) sea un múltiplo de π (valores que hacen cero el seno, y por tanto anularían el denominador). Si a(x) es un polinomio, entonces: Dom f = { x ∈ R∨a( x )≠ kπ con k ∈ Z }

Dominio a partir de operaciones con funciones Cuando las funciones anteriores aparecen como partes de otra función, ya sea en sumas, restas, multiplicaciones o divisiones, buscamos el dominio de la función global como el conjunto de aquellos valores que cumplen a la vez todas las restricciones vistas, esto es: Dom f + g=Dom f −g =Domf·g =Domf ∩ Dom g Dom g Dom f / g =Domf ∩ Dom g− x ∈ =0 g(x) Ten presente que para poder simplificar una función que hayas obtenido operando con otras funciones debes indicar claramente el dominio, y este debe ser el de la

{

}

67

Física I | Darío Gómez Santibañez función original. De lo contrario podrías obtener una función después de la simplificación que no coincida con la original.

Función compuesta Como veremos en detalle en un apartado dedicado, dadas dos funciones f(x) y g(x) podemos obtener otra función llamada función compuesta que transforma cada valor de x en un valor g[f(x)]. A dicha función se la llama f compuesta con g y se denota por (g ∘ f) (x). Dom g ∘ f : x ∈ Dom f ∧ f ( x )∈ Domg Donde el símbolo ∧ representa la condición "y", es decir, la intersección de los conjuntos de valores obtenidos al aplicar cada condición. Visita el apartado señalado para profundizar en el estudio de la función compuesta, su dominio y sus propiedades.

Función definida a trozos En ocasiones una función no está dada por una sola ecuación, sino que cambia su comportamiento según los valores de x. Una función definida a trozos es una función en la que cada tramo de valores de x o rama corresponde con una ecuación distinta. El dominio de una función definida a trozos es la unión de los dominios de cada rama.

Funciones definidas gráficamente Si encuentras una función expresada gráficamente puedes calcular su dominio proyectándola sobre el eje de abscisas (eje x). Para ello puedes imaginar que iluminas con una luz desde la propia función hacia el eje x. La zona iluminada del eje corresponde a los valores incluidos en el dominio. Recuerda que la búsqueda del dominio consiste en buscar los puntos de x que tienen imagen. Las siguientes convenciones en la representación gráfica de funciones son útiles para el cálculo del dominio:  Un punto sólido en la gráfica de la función indica que el mismo forma parte de la gráfica  Un punto transparente en la gráfica de la función indica que el mismo no forma parte de la gráfica  Una línea vertical punteada a la que se aproxima la función, sin tocarla, por su lado izquierdo, por su lado derecho, o por ambos, representa una asíntota vertical. El valor de x de la asíntota no es alcanzado por la función  Si el extremo de una gráfica, derecho o izquierdo, no incluye ningún punto como los anteriores, se supone que la gráfica continuaría con la misma tendencia en ese extremo

RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN Una función es una relación entre dos conjuntos, en la que, a cada valor del primer conjunto, denominado dominio, le corresponde un único valor del segundo, denominado recorrido o conjunto imagen.

DEFINICIÓN El recorrido de una función real, también llamado conjunto imagen o simplemente imagen de la misma, es el conjunto de valores 68

Física I | Darío Gómez Santibañez que toma la propia función, es decir, el conjunto de valores que se obtienen como salida al aplicar la función sobre los elementos del dominio: Rec f = { y ∈ R∨∃ x ∈ Dom f con f ( x )= y } Donde:

Rec f : Es el recorrido de la función. También se puede denotar Rec(f), Imf o Im(f). Puede ser todo el conjunto de los números reales, o bien un subconjunto de este: Rec f ⊆R  x: Es un número real, perteneciente al dominio de la función, que recibe el nombre de variable independiente  y: Es otro número real, perteneciente al conjunto imagen de la función, que recibe el nombre de variable dependiente. Su valor se obtiene aplicando la función f al valor de x : y=f(x) . Para un par de valores concretos (x,y) decimos que y es la imagen de x, y que x es la antiimagen de y Observa que al recorrido también se le llama imagen (de la función, se sobreentiende). No debes confundir este conjunto imagen, con la imagen de un elemento concreto del dominio. Así decimos que la imagen de la función f(x)=x+2 es el conjunto de los reales (Rec(f)=ℝ); por otro lado, también decimos que el 5 es la imagen del 2 (y=f(3)=5) o que el -3 es la imagen del -5 ((y=f(-5)=-3)). El contexto te dejará claro si nos referimos a la imagen de la función o a la de un elemento. 

Tampoco debes confundir el recorrido de una función con el codominio. Recuerda que este último es el conjunto de valores que podría tomar la salida, frente al recorrido que es el conjunto de valores que realmente toma. En las funciones reales de variable real tanto el dominio, como el codominio, como el conjunto imagen son números reales ( Domf⊆ℝ, Codf⊆ℝ, Recf⊆ℝ ). Visita el apartado de funciones matemáticas si necesitas aclarar estas ideas.

CÓMO CALCULAR EL RECORRIDO A diferencia de lo que ocurría con el dominio, no vamos a tener un método que podamos aplicar de manera general para el cálculo del recorrido. En este punto vamos a centrarnos en estudiar dos procedimientos:  El que podemos seguir cuando la función está definida gráficamente  El que podemos seguir cuando la función tiene inversa Finalmente estudiaremos el dominio de algunas funciones concretas que son muy representativas.

Función definida gráficamente Si encuentras una función expresada gráficamente puedes calcular su recorrido proyectándola sobre el eje de ordenadas (eje y). Para ello puedes imaginar que iluminas con una luz desde la propia función hacia el eje y. Las zonas que reciben luz del eje corresponden a los valores del recorrido. Las siguientes convenciones en la representación gráfica de funciones son útiles para el cálculo del recorrido:  Un punto sólido indica que el mismo forma parte de la gráfica  Un punto transparente indica que el mismo no forma parte de la gráfica  Una línea horizontal punteada a la que se aproxima la función, sin tocarla, por arriba o por abajo, representa una asíntota horizontal. El valor de y de la asíntota no es alcanzado por la función 69

Física I | Darío Gómez Santibañez 

Si el extremo de una gráfica, derecho o izquierdo, no incluye ningún punto como los anteriores, se supone que la gráfica continuaría con la misma tendencia en ese extremo

Función con inversa El dominio de la función inversa es el recorrido de la función original. Como veremos en el apartado dedicado, solo las funciones inyectivas tienen inversa. Con estas dos ideas, podemos seguir el siguiente procedimiento para calcular el recorrido de una función inyectiva: 1. Hacemos f(x)=y 2. Intercambiamos x e y 3. Despejamos y en función de x. Esta función obtenida es la inversa de la original 4. Estudiamos el dominio de la nueva función inversa. Dicho conjunto es el recorrido de la función original

Recorrido de funciones habituales -

Función constante

f ( x )=k

- Función polinómica de grado impar ( ) f x =c o+ c 1 · x+ c2 · x 2 +…+ cn · xn con n impar

-

Función polinómica de grado par f ( x )=c o+ c 1 · x+ c2 · x 2 +…+ cn · xn con n par El recorrido en los polinomios de índice par depende del coeficiente que acompaña a la x de mayor grado (cn). Cuando cn es positivo, las ramas de la función están hacia 70

Física I | Darío Gómez Santibañez arriba, y el recorrido abarca desde el valor mínimo de la función (ymin(f)) hasta el infinito. Cuando es negativo cn, las ramas están hacia abajo, y el recorrido abarca desde menos infinito hasta el valor máximo de la función (ymax(f)). En apartados posteriores aprenderemos a calcular máximos y mínimos de funciones cualesquiera. De momento nos centramos el caso de la parábola, en el que el máximo (o el mínimo) está marcado por su vértice.

f ( x )=

Función racional 1/x

1 x

Por extensión, y aplicando operaciones de funciones puedes darte cuenta que el k + b es Rec f =R−{b } recorrido de las funciones en la forma f ( x )= c·x−a - Función raíz impar de x n f ( x )= √ x con n impar

71

Física I | Darío Gómez Santibañez

Por extensión, y aplicando operaciones de funciones puedes darte cuenta que el recorrido de las funciones en la forma f ( x )= √n c·x + a+b, con n impar, es Rec f =R

- Función raíz par de x f ( x )= √ x con n par n

Por extensión, y aplicando operaciones de funciones puedes darte cuenta que el recorrido de las funciones en la forma f ( x )= √n c·x + a+b, con n par, es Rec f =¿. - Función exponencial de x x f ( x )=e

Por extensión, y aplicando operaciones de funciones puedes darte cuenta que el recorrido de las funciones en la forma f ( x )=ac·x +k +b, con la base a>0, es Rec f =(b , ∞ ) - Función logaritmo en base b de P(x) f ( x )=log b (P ( x ) )

72

Física I | Darío Gómez Santibañez

- Funciones seno y coseno de P(x) f ( x )=sin ( P ( x ) ) f ( x )=cos( P ( x ))

Por extensión, y aplicando operaciones de funciones, puedes darte cuenta que el recorrido de las funciones en la forma f ( x )= A· sin( P ( x ) )+k, o f ( x )= A· cos ( P ( x ) ) + k, es Rec f =[k− A , k+ A ] - Funciones tangente y cotangente de P(x) f ( x )=tan ( P ( x ) ) f ( x )=cot(P ( x ) ) Por extensión, y aplicando operaciones de funciones, puedes darte cuenta que el recorrido de las funciones en la forma f ( x )= A· tan( P ( x ))+k , o f ( x )= A· cot(P ( x ) )+k , es también Rec f =R

73

Física I | Darío Gómez Santibañez

Recuerda, la tangente y la cotangente se pueden relacionar con el seno y el coseno: tan(x)=sin(x)/cos(x) y cot(x)=1/tan(x)=cos(x)/sin(x).

- Cosecante y secante de P(x) f ( x )=csc( P ( x ) ) f ( x )=sec( P ( x ))

Por extensión, y aplicando operaciones de funciones, puedes darte cuenta que el recorrido de las funciones en la forma f ( x )= A· csc (P ( x ) )+ k , o f ( x )= A· sec (P ( x ))+k , será Rec f =¿ ⋃ ¿ Recuerda, podemos relacionar la cosecante con el seno y la secante con el coseno: csc(x)=1/sin(x) y sec(x)=1/cos(x).

d. Análisis de funciones DOMINIO Como ya sabes, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales está definida. Ya hemos visto que se puede restringir el dominio de una función real por distintas razones:  Cuando sea matemáticamente imposible realizar alguna operación con ciertos valores x. Por ejemplo, en la función f(x)=1/x, el valor de x puede ser cualquiera 74

Física I | Darío Gómez Santibañez salvo x=0, ya que ningún número se puede dividir entre cero. De ahí que Domf=ℝ-{0}  Cuando el contexto real del que se ha obtenido la función así lo determine. Por ejemplo, en el caso del valor de la fuerza gravitatoria con que se atraen dos partículas, la fuerza puede ser considerada como una función que depende de la distancia entre las mismas, y no tiene sentido que esta sea negativa  Cuando lo necesitemos por alguna otra razón Es habitual empezar el análisis de una función estudiando su dominio. Recuerda: Para calcular el dominio:  Si tenemos la expresión analítica de una función (su ecuación), determinamos su dominio buscando los valores de x para los que no está definida y quitándolos de ℝ  Si lo que tenemos es la gráfica de la función, el dominio se calcula proyectando la función sobre el eje horizontal x

RECORRIDO El recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la función. Ya hemos visto en un apartado anterior como calcularlo. Recuerda: Para calcular el conjunto imagen o recorrido de la función:  Si tenemos la expresión analítica de la función, y esta tiene inversa, el dominio de esta última es el recorrido de la función original  Si lo que tenemos es la gráfica de la función, o podemos esbozarla, determinamos el recorrido proyectando sobre el eje y

CEROS Los ceros de una función son los puntos de corte con el eje horizontal x. Todos cumplen que f(x)=y=0. Son importantes porque en ellos la función puede cambiar de signo.

Para calcular los ceros:  Si tenemos la expresión analítica de una función (su ecuación), resolvemos f(x)=0  Si lo que tenemos es la gráfica de la función, los ceros son los puntos de corte de la gráfica con el eje x

SIGNO

75

Física I | Darío Gómez Santibañez Estudiar el signo de una función consiste en determinar el conjunto de valores de x para los cuales f(x)>0, (signo positivo) y el conjunto de valores para los cuales f(x)<0, (signo negativo). Para calcular los intervalos de signo constante:  Si tenemos la expresión analítica buscamos los valores de x en los que la función puede cambiar de signo. Estos son: o Los ceros de la función o Las asíntotas verticales (en el caso de las funciones racionales, por ejemplo, los puntos que anulan el denominador) o Los cambios de rama Éstos valores de x dividen la recta real en varios intervalos. Para averiguar el signo de la función en cada uno de ellos, se elige un valor de x al azar de cada intervalo (xi) y se calcula su imagen (f(xi)). El signo de f(xi) será el signo de la función en ese intervalo.  Si lo que tenemos es la gráfica de la función, los intervalos de signo positivo son aquellos en los que la función queda por encima del eje x, y los de signo negativo, aquellos en los que queda por debajo

MONOTONÍA Estudiar la monotonía de una función consiste en estudiar su crecimiento y su decrecimiento, sus máximos y sus mínimos. En este punto vamos a introducir todos estos conceptos, y a darte una primera aproximación sobre cómo puedes trabajarlos. En apartados posteriores te enseñaremos a hacerlo de manera más sistematizada, mediante derivadas.

Crecimiento y decrecimiento A la vista de estas ideas intuitivas podemos hacer las siguientes definiciones. Decimos que una función f(x) es creciente en un intervalo (li, ls) de su dominio si para cualquier par de valores x1, x2 pertenecientes a dicho intervalo y con x2>x1, se cumple que f(x2)≥f(x1). Si además se cumple que f(x2)>f(x1) decimos que la función es estrictamente creciente en ese intervalo. Decimos que una función es creciente (a secas) cuando lo es en todo su dominio. Igualmente, decimos que una función es estrictamente creciente (a secas) cuando lo es en todo su dominio. 76

Física I | Darío Gómez Santibañez Decimos que una función f(x) es decreciente en un intervalo (li, ls) de su dominio si para cualquier par de valores x1, x2 pertenecientes a dicho intervalo y con x2>x1, se cumple que f(x2)≤f(x1). Si además se cumple que f(x2
Observa que una función no necesariamente tiene que ser creciente o decreciente en todo su dominio, sino que puede tener intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento. Además, recuerda que una función también puede ser constante cuando cumple f(x)=k.

Criterio de la recta tangente La recta tangente a la función es creciente en los intervalos de crecimiento (pendiente positiva m>0) y decreciente (pendiente negativa m<0) en los de decrecimiento. Este criterio supone la base para sistematizar el estudio de la

77

Física I | Darío Gómez Santibañez monotonía de las funciones, y, cómo te hemos dicho, volveremos a él cuando conozcas las derivadas.

Máximos y mínimos A los máximos y mínimos se les denomina de manera genérica extremos de la función y pueden ser absolutos o relativos. A partir de esta idea intuitiva, veamos dónde pueden encontrarse. Cuando una función pasa de creciente a decreciente la función tiene un extremo llamado máximo. Cuando pasa de decreciente a creciente la función tine un extremo llamado mínimo. Estos extremos pueden ser locales (relativos) o globales (absolutos). Un máximo es absoluto cuando la función nunca iguala ni supera el valor del máximo en ningún otro punto de su dominio. Es decir, si existe un máximo absoluto debe ser único. Si no es absoluto, el máximo es relativo. Análogamente, un mínimo es absoluto cuando la función nunca iguala ni queda por debajo de la imagen del mínimo en todo su dominio. Igualmente, de existir el mínimo absoluto debe ser único. Si no es absoluto, el mínimo es relativo Los extremos de la función pueden aparecer, además, en los extremos del dominio o en los puntos de cambio de rama en el caso de las funciones definidas a trozos. 78

Física I | Darío Gómez Santibañez

Ten presente que algunos textos no consideran la posibilidad de que un máximo o un mínimo aparezca en los extremos del dominio. Por otro lado, y de manera general, para encontrar los máximos y los mínimos de una función hay que calcular sus puntos críticos. No tengas prisa, te enseñaremos a hacerlo cuando te hayamos presentado las derivadas, pero, ¿sabrías decir ya qué pasa en los máximos y los mínimos con la recta tangente? De manera particular, la parábola vertical es un ejemplo sencillo en el que puedes calcular sus máximos o mínimos absolutos, así como sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Recuerda que el vértice de la misma constituía el mínimo absoluto de la función si esta tenía las ramas hacia arriba (a>0), o el máximo absoluto si tenía las ramas hacia abajo (a<0). La siguiente tabla recoge estas ideas: Expresión general ( ) f x =a· x 2 +b·x +c a> 0

a< 0

(

Mínimo

Máximo

Decrecimiento

Crecimiento

Vértice −b −b ,f 2a 2a

∄

(−∞, x v )

( xv , ∞ )

∄

Vértice −b −b ,f 2a 2a

( xv , ∞ )

(−∞, x v )

( ))

(

( ))

CURVATURA Estudiar la curvatura de una función consiste en estudiar su concavidad y su convexidad, así como sus puntos de inflexión. En este punto vamos a introducir todos estos conceptos, y a darte una primera aproximación sobre cómo puedes trabajarlos. Al igual que con la monotonía, en apartados posteriores te enseñaremos a hacerlo de manera más sistematizada, mediante derivadas.

Concavidad 79

Física I | Darío Gómez Santibañez Decimos que una función es cóncava en un intervalo cuando el segmento que une dos puntos cualesquiera del intervalo siempre queda debajo de la gráfica. A las funciones cóncavas también se las llama cóncavas hacia abajo. Matemáticamente, una función es cóncava en un intervalo (x1, x2) cuando cualquier valor x∈ (x1, x2) se cumple: f ( x 2 )−f (x 1) f ( x )−f ( x 1) ≤ x2 −x1 x−x 1 Decimos que una función es cóncava cuando lo es en todo su dominio. Observa que, en el entorno de un máximo, la función que pasa de creciente a decreciente es cóncava.

Convexidad Decimos que una función es convexa en un intervalo cuando el segmento que une dos puntos cualesquiera del intervalo siempre queda encima de la gráfica. A las funciones convexas también se las llama cóncavas hacia arriba. Matemáticamente, una función es cóncava en un intervalo (x1, x2) cuando cualquier valor x∈ (x1, x2) se cumple: f ( x 2 )−f (x 1) f ( x )−f (x 1) ≥ x2 −x1 x−x 1 Decimos que una función es convexa cuando lo es en todo su dominio. Observa que, en el entorno de un mínimo, la función que pasa de decreciente a creciente es convexa. En ocasiones puedes encontrar textos en los que los criterios de concavidad y convexidad sean justo los contrarios a los que te hemos presentado aquí.

Criterio de la recta tangente La recta tangente a la función queda siempre por encima de esta en las funciones cóncavas y por debajo en las funciones convexas. Este criterio de puede ayudar a identificar los intervalos de concavidad y convexidad en las gráficas de funciones.

80

Física I | Darío Gómez Santibañez

Puntos de inflexión Una función tiene un punto de inflexión cuando cambia su curvatura, es decir, cuando pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. En un punto de inflexión la recta tangente queda por encima de la función en un lado, y por debajo en otro, es decir, la "atraviesa".

ACOTACIÓN De manera intuitiva, podemos decir que una función está acotada por arriba cuando el valor de sus imágenes nunca supera un determinado valor constante. Análogamente, podemos decir que una función está acotada por abajo cuando el valor de sus imágenes nunca es inferior a un determinado valor constante. Veamos unas definiciones un poco más formales. Una función está acotada superiormente si existe un número real k tal que f(x)≤k para cualquier valor de x∈Domf. Al valor y=k se le llama cota superior de la función.

Una función está acotada inferiormente si existe un número real k tal que f(x)≥k para cualquier valor de x∈Domf. Al valor y=k se le llama cota inferior de la función.

81

Física I | Darío Gómez Santibañez

Cuando una función está acotada superior e inferiormente podemos decir que la función está acotada (a secas). Una función está acotada si existe un número real k tal que |f(x)|≤k para cualquier valor de x∈Domf. El valor y=k será una cota superior de la función, e y=-k una cota inferior, aunque no necesariamente serán el supremo y el ínfimo respectivamente.

Finalmente, observa que cuando una función está acotada, los extremos de su recorrido son necesariamente valores finitos. Para calcular si una función está acotada, calculamos su recorrido:  Si el extremo superior es un valor finito, la función está acotada superiormente. Si, además, la función alcanza su supremo en un único punto, este es un máximo absoluto  Si el extremo inferior es un valor finito, la función está acotada inferiormente. Si, además, la función alcanza su ínfimo en un único punto, este es un mínimo absoluto

SIMETRÍA También llamada paridad, la simetría hace referencia a la correspondencia exacta entre dos partes de una función. Se puede distinguir entre simetría par o impar. Decimos que una función presenta simetría par cuándo es simétrica 82

Física I | Darío Gómez Santibañez respecto del eje de ordenadas y. Esto quiere decir que para cualquier x∈Domf, se cumple: f ( x )=f (−x ) Decimos que una función presenta simetría impar cuándo es simétrica respecto del origen. Esto quiere decir que para cualquier x∈Domf, se cumple: −f ( x )=f (−x ) Existen funciones que son simétricas respecto a otros ejes distintos del eje x o del origen. También existen funciones que simplemente no son simétricas en absoluto. En resumen, para calcular la simetría par o impar de una función cualquiera:  Si tenemos su expresión analítica, calculamos f(x). Si coincide con f(x) es simétrica par. Si coincide con -f(x) es simétrica impar  Si tenemos su gráfica seguimos el método señalado de doblar la hoja "mentalmente". Si obtenemos coincidencia al doblar por el eje y, tenemos simetría par. Si no, volvemos a doblar por el eje x y si hay coincidencia esta vez, tenemos simetría impar

PERIODICIDAD Decimos que una función es periódica cuando su forma se repite cada cierto intervalo llamado periodo. Formalmente: Una función es periódica de período T si cumple que f(x)=f(x+T) para todo x∈Domf.

83

Física I | Darío Gómez Santibañez

Si lo piensas un poco, te darás cuenta que una función que se repite cada T, también se repite cada 2·T, 3·T y así sucesivamente. T sería, por tanto, el período mínimo de repetición, es decir, su período fundamental. Para calcular si una función es periódica:  Si tenemos la expresión analítica partimos de f(x+T) y estudiamos si existe algún T que haga f(x+T)=f(x). Si existe, la función es periódica  Si lo que tenemos es la gráfica de la función, buscamos si la forma se repite cada cierto intervalo. Si es así, es periódica, y la longitud del intervalo es el período T

e. Función definida a trozos Una función definida a trozos es una función con distinto comportamiento según el intervalo de su variable independiente considerado. A cada uno de estos intervalos se les conoce con el nombre de ramas.

CONCEPTO Una función a trozos, también llamada función a tramos, función segmentada o función seccionada, es aquella que se define con una expresión analítica diferente para distintos intervalos de su dominio. Tienen la forma general: Expr 1 si Subconjunto1 Expr 2 f ( x )= si Subconjunto2 ⋮ ¿ si Subconjunton Expr n

{

Donde: 



Expr1, Expr2, Exprn : Son las fórmulas concretas con las que se obtiene el valor de la función f(x) (variable dependiente y). Se utiliza una u otra según la rama o intervalo del dominio en el que esté la variable independiente x Subconjunto1, Subconjunto2, Subconjunton: Son los intervalos de números reales para los cuales está definida esa rama. Deben expresar un rango de valores disjuntos de la variable independiente x. Dicho de otra manera, un valor de x no puede estar en dos ramas distintas

GRÁFICA

84

Física I | Darío Gómez Santibañez Para realizar la gráfica de una función definida a trozos, simplemente hay que tener en cuenta que cada tramo corresponde con una fórmula distinta y, por tanto, también con una forma gráfica distinta. Procederemos elaborando una tabla de valores para cada rama, teniendo en cuenta que los valores de x que escojamos deben pertenecer a dicha rama. Posteriormente representaremos la rama en el rango de valores para el que es válida. Para ello debes prestar especial atención a los extremos de cada rama, que han de estar incluidos en la tabla. Así mismo, debes tener claro el significado de los signos <, ≤, ≥ y >. Aunque dos ramas distintas pueden estar definidas para subconjuntos en los que aparezca el mismo valor en su extremo, solo uno de ellos como máximo tendrá un signo igual (≤ o ≥). El valor de la función en un cambio de rama se obtiene justamente sustituyendo el valor de x en la rama que tiene el signo igual. La siguiente imagen ilustra estas ideas.

ANÁLISIS El estudio de una función definida a trozos abarca los mismos puntos que el análisis de una función de una sola rama, esto es, la monotonía, la curvatura, simetría, etc. En este tema procederemos generalmente representando la gráfica de la función y estudiando esta. Sin embargo, en temas posteriores aprenderemos a:  Estudiar la continuidad de una función a trozos  Calcular la expresión de su derivada  Estudiar su derivabilidad Mención especial merece el estudio del dominio.

Dominio En una función definida a trozos el dominio es la unión de los diferentes subominios asociados a cada una de las ramas.

85

Física I | Darío Gómez Santibañez

f. Valor absoluto de una función El valor absoluto de un número n es ese mismo número, cuando el número es positivo, o su opuesto cuando el número es negativo. |n|= n si n ≥ 0 −n si n<0 Análogamente, el valor absoluto de una función se obtiene dejando la función igual, para aquellos tramos de la función que sean positivos, y cambiando su signo para aquellos tramos negativos. El ejemplo más sencillo es:

{

DEFINICIÓN De manera general, el valor absoluto de una función f(x), o función en valor absoluto, se define según: si f ( x)≥0 y=|f (x )|= f (x) −f (x) si f ( x ) <0

{

EXPRESIÓN GRÁFICA En una función afectada por el valor absoluto todos los valores de y deben ser positivos, por lo que su gráfica siempre quedará en la parte del semieje y positivo. De esta manera, conocida la gráfica de una función cualquiera, puedes obtener fácilmente su valor absoluto "reflejando" los tramos negativos en el eje x. Observa:

EXPRESIÓN ANALÍTICA Como puedes intuir a partir de la propia definición, las funciones en valor absoluto se pueden transformar en funciones a trozos. En general, para poder representar gráficamente una función a la que se haya aplicado el valor absoluto debes comenzar transformándola en una función definida a trozos, pues así vas a poder saber los intervalos que debes "reflejar" (los negativos). Para convertir una función en valor absoluto en una función a trozos: 1. Iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y despeja la x, es decir, calcula sus raíces 2. Las raíces forman intervalos. Evalúa el signo de la función en cada intervalo

86

Física I | Darío Gómez Santibañez 3. Define la función a trozos teniendo presente que, en los intervalos donde la función es negativa, se cambia el signo de la misma Recuerda, lo que debe ser positivo en el valor absoluto de una función es el valor de la misma, es decir, la f(x), o, si lo prefieres, la y. Los valores de x, en cambio, no presentan ninguna restricción adicional a la que imponga el dominio, pudiendo por tanto ser positivos o negativos. El dominio de una función en valor absoluto siempre coincide con el dominio de esa misma función a la que no se ha aplicado el valor absoluto. Es decir: Dom|f |=Domf

g. Transformación de funciones En ocasiones es posible realizar la representación gráfica de una función g(x) a partir de transformaciones elementales sobre otra función f(x) cuya gráfica ya conocemos. El resultado final dependerá de la operación concreta aplicada. En general, cuando la operación afecta a y=f(x) se producen cambios en el eje vertical. Cuando la operación afecta a x, los cambios son en el eje horizontal. TRASLACIÓN VERTICAL: g ( x )=f ( x ) +k ; g ( x ) =f ( x )−k En este caso estamos sumando (o restando) una constante k a la coordenada y de la función f(x) para así obtener la nueva coordenada y de g(x). El efecto es un desplazamiento en el eje vertical (eje de ordenadas) de la función original, quedando igual en el eje horizontal (eje de abcisas). Como ejemplo concreto piensa en la parábola centrada en el origen f(x)=x2. Conocida su gráfica, la de g(x)=f(x)+3=x2+3 será igual, pero desplazada 3 unidades hacia arriba. La de g(x)=f(x)-3=x2-3 será igual, pero desplazada 3 unidades hacia abajo. TRASLACIÓN HORIZONTAL: g ( x )=f ( x +k ) ; g ( x ) =f ( x −k ) En este caso estamos sumando (o restando) a la coordenada x de la función f(x) una constante k para obtener la nueva gráfica de g(x). El efecto es un desplazamiento en el eje horizontal (eje de abcisas) de la función original, quedando igual en el eje vertical (eje de ordenadas). Debes evitar la tentación de desplazar hacia la izquierda cuando veas f(x-k) o a la derecha cuando veas f(x+k). El desplazamiento se produce en el sentido contrario al del signo que acompaña a k. Como ejemplo concreto, veamos una función lineal f(x)=x+1. Si construimos una función g(x)=f(x+3) lo que debemos hacer es poner x+3 allá donde veamos x en f(x). 87

Física I | Darío Gómez Santibañez Así pues g(x)=f(x+3)=(x+3)+1. Ahora observa que el valor y=1, por ejemplo, se obtenía para x=0 en f(x). Ahora ese valor se obtiene para x=-3 en g(x) ya que (-3+3)+1=1. El valor y=2 se obtenía para x=1. Ahora se obtiene para x=-2 ya que (-2+3)+1=2. En definitiva, el efecto gráfico es que, a pesar del signo + en f(x+3), la función se desplaza hacia la izquierda. REFLEXIÓN VERTICAL: g ( x )=−f ( x) La reflexión vertical ocurre cuando cambiamos el signo al eje y de una función f(x) o, dicho de otro modo, cuando lo multiplicamos por -1. El efecto es el de obtener la función simétrica respecto al eje x.

Como ejemplo concreto, la función f(x)=x2+1. Si queremos construir g(x)=-f(x)=(x2+1)=-x2-1 y conocemos la gráfica de la original f(x), no tenemos más que invertirla respecto al eje x. Esto es, que el punto (0, 1) pasaría a ser el (0, -1), el (1, 2) pasaría a ser el (1, -2) y así sucesivamente. REFLEXIÓN HORIZONTAL: g ( x )=f (−x) La reflexión horizontal ocurre cuando sustituimos cualquier aparición de x de una función f(x) de la que conocemos la gráfica por -x. El efecto es el de obtener la función simétrica respecto al eje y.

Observa que las funciones que presentan paridad par, es decir, simetría respecto al eje y no varían su gráfica. Como ejemplo concreto, piensa en la función simétrica respecto al eje de ordenadas f(x)=x2+1. Gráficamente sabes que es una parábola con las ramas hacia arriba y con el vértice en (0,1). Si la invertimos "gráficamente" respecto al eje y, la gráfica no cambia. Observa ahora lo que ocurre analíticamente; la nueva función g(x)=f(-x) se obtiene cambiando todas las apariciones de x en f(x) por -x, quedando: g(x)=f(-x)= (-x)2+1=x2+1, que tiene la misma expresión que la función original f(x). 88

Física I | Darío Gómez Santibañez

EXPANSIÓN Y CONTRACCIÓN VERTICAL: g ( x )=k·f ( x ) Cuando multiplicas la coordenada y de la función original f(x) por una constante k:  Si k>1, la función se dilata (se expande) en el eje y  Si 01 o 0<|k|<1 respectivamente. Como ejemplo concreto, volvemos a una parábola centrada en el origen f(x)=x2. Conocida su gráfica, la de g(x)=3·f(x)=3·x2 presentará una dilatación en el eje y. Así, el punto (0,0) permanece siendo el (0, 0), pero el (1, 1) pasa a ser el (1, 3), el (2, 4) pasa a ser el (2, 12) y así sucesivamente. EXPANSIÓN Y CONTRACCIÓN HORIZONTAL: g ( x )=f (k·x) En este caso multiplicamos la coordenada x de la función f(x) por una constante k para obtener la nueva gráfica de g(x). Se trata de sustituir todas las apariciones de x en la función original f(x) por k·x:  Si k>1, la función contrae en el eje x  Si 01, o de contraerla cuando 01 o se compactaría si 0
Física I | Darío Gómez Santibañez (3·(±1))2=9. En definitiva, el efecto gráfico es que, a pesar de multiplicar por un k mayor que 1, la función se contrae. Si k es negativo procedemos en primer lugar invirtiendo la función, como hemos visto en reflexión horizontal. Posteriormente contraemos o extendemos la misma según |k|>1 o 0<|k|<1 respectivamente.

TRANSFORMACIONES CONSECUTIVAS Será habitual que te pidan aplicar varias de las transformaciones que hemos visto para determinar la gráfica de una función g(x) a partir de otra función f(x). En estos casos, el orden en que apliques las transformaciones puede variar el resultado final obtenido. Cuando tengas que aplicar varias transformaciones sobre una función comienza por aquellas que afectan al eje x, y termina por las que tengan que ver con el eje y. Si la función está en la forma: g ( x )=¿ Deberás comenzar las transformaciones del eje x (en azul) por el desplazamiento horizontal (±e), y terminar las transformaciones del eje y (en verde) por el desplazamiento vertical (±h). El resto de transformaciones las puedes realizar en el orden que quieras, siempre que las del eje x precedan a las del eje y. En caso de que la forma de la ecuación no sea la indicada, te recomendamos que la transformes y así puedas aplicar el orden propuesto.

h. Suma, resta, multiplicación y división de funciones SUMA Y RESTA DE FUNCIONES SUMA Se define la suma o adición de dos funciones f(x) y g(x) como: ( f + g )( x )=f ( x )+ g ( x) Si alguna de las funciones tiene una imagen que no está definida para algún valor de x, la función suma, que es en definitiva la suma de las imágenes, tampoco lo está. Dicho de otra forma, el dominio de la nueva función es: Dom f + g=Dom f ∩ Dom g Observa que el dominio de la función suma es el conjunto intersección de los dominios de las funciones f y g, de manera que si este fuese el conjunto vacío ∅, la nueva función carecería de dominio, es decir, no existiría. Esta es una diferencia fundamental con los números reales, dónde la suma de dos números cualesquiera siempre existe. Desde fines del siglo XX, en la matemática, particularmente en la Teoría axiomática de Conjuntos de ZF o la teoría intuitiva de conjuntos, el conjunto vacío es el que no posee elemento alguno. Puesto que lo único que define a un conjunto es la propiedad que satisfacen sus elementos, el conjunto vacío es único.

Propiedades -

Conmutativa: f +g=g+ f

90

Física I | Darío Gómez Santibañez - Asociativa: ( f + g ) +h=f +(g +h) Puede que no estés muy familiarizado con el concepto de elemento neutro o elemento identidad, por un lado, y el de elemento simétrico de otro. Ambos se definen para una operación determinada (vamos a presentarlos para la suma, en este caso). Dicho de un modo simple, el elemento neutro o elemento identidad de la suma de funciones es aquel que, al operarlo con cualquier otro elemento, en este caso cualquier otra función, da como resultado la propia función. Como ves, es el elemento que tiene un efecto neutro al aplicar con cualquier otro elemento la operación para la cual se define. Por otro lado, un elemento simétrico de otro es aquel que al operarlo con este da como resultado el elemento neutro. Pues bien, hechas estas precisiones nos queda: - Elemento neutro: f ( x )=0 Es decir, el elemento neutro de la suma de funciones, denotado a veces f0 es la función constante f(x)=0, ya que al sumarla con cualquier otra función da como resultado la propia función: g(x)+0=g(x). Siguiendo con nuestras analogías, en el mundo de los números reales, y para la operación suma, el elemento neutro es el número 0. - Elemento simétrico: f ( x ) ⟹−f ( x) Es decir, dada una función cualquiera f, su función opuesta es el elemento simétrico respecto a la suma de funciones ya que: f(x)+[-f(x)]=0=f0. En el mundo de los números reales, y para la operación suma, el elemento simétrico de cualquier otro es su opuesto: el opuesto del 3 es el -3 porque 3+(-3) = 0).

RESTA Se define la resta o sustracción de dos funciones f(x) y g(x) como: ( f −g ) ( x )=f ( x )−g(x ) Si alguna de las funciones tiene una imagen que no está definida para algún valor de x, la función resta, que es en definitiva la resta de las imágenes, tampoco lo está. Dicho de otra forma, el dominio de la nueva función es: Dom f −g =Domf ∩ Dom g De igual manera al caso de la suma, la resta puede no estar definida en ciertos casos. De hecho, la resta se puede considerar un caso particular de la suma de funciones: f −g=f +(−g) Cuando se realiza una suma o una resta de funciones y se simplifica la expresión resultante, esta debe ser acompañada de su dominio. De lo contrario, podrías deducir un dominio después de la simplificación que no sería el correcto. Recuerda que dos funciones son iguales cuando las imágenes y el dominio son el mismo.

MULTIPLICACIÓN DE FUNCIONES DEFINICIÓN Se define la multiplicación o producto de dos funciones f(x) y g(x) como: ( f·g ) ( x )=f ( x ) · g( x ) Si alguna de las funciones tiene una imagen que no está definida para algún valor de x, la función producto, que es en definitiva la multiplicación de las imágenes, tampoco lo está. Dicho de otra forma, el dominio de la nueva función es: Dom f·g=Domf ∩ Dom g Presta atención al hecho de que, al igual que sucedía con la suma y con la resta, el dominio de la función producto es el conjunto intersección de los dominios de las funciones f y g, de manera que si este fuese el conjunto vacío ∅, la nueva función 91

Física I | Darío Gómez Santibañez carecería de dominio, es decir, no existiría. Esta es una diferencia fundamental con los números reales, dónde la multiplicación de dos números cualesquiera siempre existe. Cuando se realiza una multiplicación de funciones y se simplifica la expresión resultante, esta debe ser acompañada de su dominio. De lo contrario, podrías deducir un dominio después de la simplificación que no sería el correcto. Recuerda que dos funciones son iguales cuando las imágenes y el dominio son el mismo.

PROPIEDADES - Conmutativa: f·g=g·f - Asociativa: ( f·g ) · h=f·( g·h) - Distributiva respecto de la suma: f· ( g +h )=f·g +f·h Cuando veíamos la suma de funciones presentábamos el concepto de elemento neutro y el de elemento simétrico de manera general, y luego particularizábamos para el caso de dicha operación. El elemento neutro o elemento identidad de una operación, decíamos, es el elemento que, al operarlo con cualquier otro elemento, en este caso con cualquier otra función, da como resultado la propia función. Es decir, se trata del elemento que tiene un efecto neutro al aplicar con cualquier otro elemento la operación para la cual se define. Por otro lado, un elemento simétrico de otro es aquel que al operarlo con este da como resultado el elemento neutro. Pues bien, con este breve repaso en mente, nos queda: - Elemento neutro: f ( x )=1 Es decir, el elemento neutro del producto de funciones, denotado a veces f1, es la función constante f(x)=1, ya que al multiplicarla con cualquier otra función da como resultado la propia función: g(x)·1=g(x). Siguiendo con nuestras analogías, en el mundo de los números reales, y para la operación producto, el elemento neutro es el número 1 1 - Elemento simétrico: f ( x )= f (x) A la función 1/f(x) se la suele denominar inversa respecto a la multiplicación, y también inversa multiplicativa o recíproca respecto al producto. No debes confundirla con la función inversa, que se refiere normalmente a la función inversa respecto a la operación de composición de funciones. No todas las funciones tienen una inversa respecto a la multiplicación. Ten en cuenta que para aquellos valores de x que hacen f(x)=0 es imposible encontrar un elemento simétrico g(x) tal que f(x)·g(x) = 1 (ya que para esos valores f(x)=0). Esto implica que, como cabía esperar, el dominio de 1/f es: Dom 1 =Dom f − { x ∈ Dom f ∨f ( x )=0 } f

Por otro lado, en el mundo de los números reales, y para la operación producto, el elemento simétrico de cualquier otro (salvo del 0, que no tiene) es su inverso: el inverso del 3 es el 1/3 porque 3· (1/3) = 1

DIVISIÓN DE FUNCIONES DEFINICIÓN Se define la división o cociente de dos funciones f(x) y g(x) como: ( f /g )( x )=f ( x )/g ( x) Si alguna de las funciones tiene una imagen que no está definida para algún valor de x, la función cociente, que es en definitiva el cociente de las imágenes, tampoco lo está. 92

Física I | Darío Gómez Santibañez Por otro lado, tampoco está definido el cociente para aquellos valores que anulan el denominador g(x). Dicho de otra forma, el dominio de la nueva función es: Dom f / g =Domf ∩ Dom g−{ x ∈ Dom g∨g ( x )=0 } Al igual que sucedía con la suma, con la resta y con la multiplicación, el dominio de la función cociente es el conjunto intersección de los dominios de las funciones f y g, de manera que si este fuese el conjunto vacío ∅, la nueva función carecería de dominio, es decir, no existiría. Esta es una diferencia fundamental con los números reales, dónde la división de dos números cualesquiera, siempre existe cuando el denominador es distinto de cero. Cuando se realiza una división de funciones y se simplifica la expresión resultante, esta debe ser acompañada de su dominio. De lo contrario, podrías deducir un dominio después de la simplificación que no sería el correcto. Recuerda que dos funciones son iguales cuando las imágenes y el dominio son el mismo.

PROPIEDADES La división de funciones no cumple las propiedades que hemos visto en el resto de operaciones. Observa: - No conmutativa: f /g ≠ g/ f - No asociativa: ( f /g) /h ≠ f /(g/h) - No distributiva: f /( g+h) ≠ f / g+ f / h Finalmente, tampoco tiene sentido hablar de elemento neutro de la división de funciones en general, aunque sí de elemento neutro por la derecha. Recuerda que este es el elemento que deja cualquier función igual cuando se opera con él, con lo que el elemento neutro por la derecha de la división de funciones es la función constante f(x)=1 (cualquier función g(x) cumplirá que g(x)/1=g(x)).

i. Función compuesta e inversa FUNCIÓN COMPUESTA La función compuesta es aquella que se obtiene mediante una operación denominada composición de funciones, que consiste en aplicar de manera sucesiva las funciones que forman parte de la operación. Así, la función compuesta de f(x) y g(x) es otra función obtenida aplicando g a las imágenes de f.

DEFINICIÓN Se define la función compuesta de dos funciones f(x) y g(x) cualesquiera, y designada por (g∘f) (x), a la función que transforma x en g[f(x)]: x f f ( x ) g g [ f ( x ) ] =( g∘ f )( x ) →

→

Donde: 93

Física I | Darío Gómez Santibañez 

(g∘f)(x): Se lee f compuesta con g. Es la propia función compuesta que

permite transformar directamente x en g[f(x)] Observa que la función (g∘f)(x) se lee "f compuesta con g ", a pesar de ser g la primera que aparece. La razón es que es en realidad f la primera que se aplica. De manera complementaria, (f∘g)(x) se leería "g compuesta con f ".

¿CÓMO SE CALCULA? Para realizar la composición propiamente dicha de dos funciones ilustramos el proceso con el ejemplo con el que abríamos el apartado: siendo f(x)=x2 y g(x)=x+2, podemos calcular (g∘f)(x) sin más que sustituir f(x) en los lugares donde pone x en g(x), es decir: ( g ∘ f )( x )=g [ f ( x ) ]=g ( x 2 )=x + 2|x⟹ x =x 2+2 Observa que en general (g∘f)(x)≠(f∘g)(x). En el ejemplo: ( f ∘ g )=f [ g ( x ) ]=f ( x +2 ) =x 2|x⟹ x+2=( x +2 )2=x 2+ 4 x + 4 2

DOMINIO El dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales está definida. En el caso de la función compuesta (g ∘ f)(x), este depende de los dominios de las funciones f y g. Observa, que al hacer g∘f, actúa en primer lugar f sobre x, y posteriormente g sobre f(x), es decir: x f f ( x ) g g [ f ( x ) ] =( g∘ f )( x ) →

→

Por tanto, el dominio de la función compuesta debe satisfacer simultáneamente las condiciones que le imponga la primera función que actúe (x∈Domf), y los de la segunda, teniendo en cuenta que esta última actúa f(x) y no sobre x (f(x)∈Domg). El dominio de la función compuesta (g ∘ f)(x) es el conjunto: Dom g ∘ f : x ∈ Dom f ∧ f ( x )∈ Domg Donde:  El símbolo ∧ representa la condición "y", es decir, la intersección de los conjuntos de valores obtenidos al aplicar cada condición Y eso es todo, aunque podemos profundizar un poco en esta idea contándote que pueden darse dos casos:  Que el recorrido de la primera función esté incluido en el dominio de la segunda. En este caso el dominio de la función compuesta coincide con el de la primera función. Dom g ∘ f =Dom f 

Que el recorrido de la primera función no esté incluido en el dominio de la segunda. En este caso el dominio de la función compuesta serían aquellos valores de la primera función que son antiimagen de los valores del dominio de la segunda: Dom g ∘ f =Dom f ∩ f −1 ( Dom f )

94

Física I | Darío Gómez Santibañez En la expresión anterior aparece f-1. Se trata de la función inversa, que vamos a estudiar en el apartado inmediatamente posterior del tema. De momento te bastará con saber que, de manera complementaria a f(x), que nos permite pasar de un valor del dominio a su imagen (que es un valor del recorrido), la función inversa f-1(x), nos permite pasar de un valor del recorrido a su antiimagen (que es un valor del dominio).

PROPIEDADES - No conmutativa: g ∘ f ≠ f ∘ g - Asociativa: h ∘ ( g ∘ f ) =(h ∘ g) ∘ f Por otro lado, recuerda que el elemento neutro de una operación es aquel que, al ser operado con cualquier elemento, lo deja igual, es decir, aquel que hace que la operación tenga un efecto neutro. En el caso de la composición de funciones, el elemento neutro es la función identidad I(x)=x. f ∘ I =I ∘ f =f Observa que para el caso concreto de la función identidad si se cumple la propiedad conmutativa. Por otro lado, dada una función cualquiera f(x) y una operación (en este caso la composición de funciones), otro elemento importante es el elemento simétrico de f(x). Se trata de aquella función que, al operarse con f(x) da como resultado el elemento neutro, es decir, la función identidad en este caso. El elemento simétrico de la composición de funciones es la función inversa, que pasamos a estudiar en el siguiente apartado del tema.

FUNCIÓN INVERSA Dada una función f(x) que asocia a cada elemento x del dominio su imagen f(x) del recorrido, su función inversa o recíproca f-1(x), de existir, es aquella que, aplicada sobre los elementos del recorrido de f(x), les asocia su antiimagen en el dominio de la misma.

DEFINICIÓN Dada una función inyectiva f(x), se define su función inversa, también conocida como función recíproca, como: f −1 : Rec f → Dom f y ↦ x=f −1 ( y ) , con f ( x )= y Donde: 95

Física I | Darío Gómez Santibañez Recf : Es el dominio de la función f-1, y a su vez es el recorrido de la función f Domf : Es el recorrido de la función f-1, y a su vez es el dominio de la función f y : es un elemento cualquiera del dominio de f-1, y a su vez del recorrido de f x : es un elemento cualquiera del recorrido de f-1, y a su vez del dominio de f Lo anterior es una definición formal, y como tal puede resultarte un poco complicada a primera vista. Te recomendamos que, para entenderla bien, te familiarices con el concepto y la definición formal de una función en matemáticas. Mientras tanto quizás te resulte más sencillo identificar una función inversa de otra a partir de las siguientes propiedades: - ( f ∘ f −1 ) ( x )= ( f −1 ∘ f ) ( x )=x Es decir, componiendo una función con su inversa el resultado es la función identidad (la función x se denomina identidad). Recuerda que lo anterior es equivalente a f[f−1(x)]=f−1[f(x)]=x. Utilizando esta condición puedes saber si, dadas dos funciones, una es la inversa de la otra. - Si f ( a )=b entonces f −1 ( b )=a Se trata de la condición que ya habíamos estudiado al comienzo del apartado.    

La inversa de la composición de dos funciones f(x) y g(x) cumple la siguiente propiedad: ( f ∘ g )−1=f −1 ∘ g−1 Por otro lado, observa que en la propia definición obligamos a que f(x) sea inyectiva. Recuerda que una función se dice que es inyectiva cuando todos los elementos del dominio tienen imágenes distintas. Esto se traduce en que, en la gráfica de una función inyectiva no existen rectas horizontales que la corten en varios puntos. La condición de inyectividad es necesaria para la existencia de la inversa porque, de lo contrario, dado un elemento del recorrido ¿qué elemento debería devolver la función inversa?

No debes confundir la función inversa aquí estudiada, que es la inversa respecto a la composición de funciones, f-1, con la inversa multiplicativa o inversa respecto a la multiplicación de funciones, 1/f. En general, si no se especifica, el contexto te hará saber a cuál nos estamos refiriendo.

¿CÓMO SE CALCULA? Para calcular la función inversa de una función f(x) dada: 1. Hacemos f(x)=y 96

Física I | Darío Gómez Santibañez 2. Intercambiamos x e y 3. Despejamos y en función de x. Esta función obtenida es la inversa de la original Es habitual utilizar la función inversa para determinar el recorrido de una función inyectiva. Como hemos visto, el dominio de la función inversa es el recorrido de la función original: Rec f =Dom f −1

GRÁFICAS La gráfica de una función y su inversa se caracterizan por ser simétricas respecto a la recta y=x.

Cuando estudiemos las derivadas descubrirás que la relación que guardan la derivada de una función y la de su inversa puede ayudar con el cálculo de algunas derivadas complejas.

9) Límites: a. Límite de una función en un punto De manera intuitiva, el límite de una función real en un punto 'a' es el valor L al que se aproxima la función (es decir, su coordenada y) a medida que la coordenada x se aproxima a a. En la siguiente imagen queda recogido el concepto y la notación que se suele utilizar:

97

Física I | Darío Gómez Santibañez

APROXIMACIONES SUCESIVAS Imagina que te pedimos que recorras la mitad de la distancia que te separa de la puerta de tu habitación. Una vez allí, te pedimos que lo hagas de nuevo... y una vez allí, una vez más... ¿Llegarías finalmente a recorrer la distancia que te separaba de la puerta al principio si seguimos dándote, una y otra vez, la misma orden? Lo cierto es que en cada iteración te aproximarías al valor de la distancia total, y, si repitieras el proceso infinitas veces, efectivamente, lo alcanzarías. Apliquemos a una función esta idea de aproximarnos sucesivamente a un punto: x 2−4 x +3 ( ) y=f x = 2 x−6 ¿Qué valor alcanza la función (es decir, su coordenada y) cuando la x se aproxima a 3? Tu primera tentación puede ser intentar calcular f(3)... pero vemos que queda 0/0, y ya sabemos que no tiene sentido en matemáticas dividir entre 0 (y mucho menos si el número que divido es el propio cero). Pero observa qué ocurre cuando hacemos varias aproximaciones sucesivas:

A medida que me aproximo a x=3, sin llegar a alcanzarlo, el valor de la función se aproxima a 1. Observa que todos los valores de x que hemos tomado eran ligeramente 98

Física I | Darío Gómez Santibañez menores que tres. Podemos repetir el proceso, tomando esta vez valores ligeramente mayores que tres:

Como vemos, la sucesión de valores también nos conduce a 1. Por tanto, podemos decir x 2−4 x+3 que 1 es el límite de f ( x )= cuando x se aproxima a 3, y escribir: 2 x−6 x 2−4 x+3 lim f ( x )=lim =1 2 x−6 x →3 x→ 3

Aunque decimos "límite de una función en un punto", cuando calculamos el límite lo que hacemos es estudiar si las imágenes de la función se acercan a un valor concreto cuando la variable independiente x "tiende a" a (o "se acerca a" a). Dicho de otra manera, el límite es un concepto dinámico.

LÍMITE POR LA IZQUIERDA, POR LA DERECHA Y LIMITE DE LA FUNCIÓN Para determinar el valor del límite del ejemplo hemos seguido en realidad un doble camino:  Nos hemos acercado a x=3 por la izquierda, es decir, tomando valores ligeramente menores que 3, y...  nos hemos acercado también por la derecha, es decir, tomando valores ligeramente superiores a 3 Como ambos procesos nos llevaban al mismo valor de la función, concluíamos que x 2−4 x+ 3 lim =1. Lo que hemos hecho, en realidad, es calcular los límites laterales: 2 x −6 x →3 El valor del límite de una función f(x) cuando x tiende a a por la izquierda es el valor al que se acerca y=f(x) cuando x se acerca a a tomando valores menores que a. Se denota: 99

Física I | Darío Gómez Santibañez lim

¿

−¿

x→ a f (x)= L¿

Donde:  f(x): es la función cuyo límite por la izquierda estoy calculando −¿¿  x → a : se lee "x tiende a a por la izquierda", es decir, con valores menores que a. Ten presente que, por ejemplo, 0.99 está a la izquierda de 1, pero -1.001 está a la izquierda de -1  L: Es el valor del límite lateral. Puede ser un número real cualquiera, pero también infinito ∞ o menos infinito -∞ Observa algunos ejemplos: El valor del límite de una función f(x) cuando x tiende a a por la derecha es el valor al que se acerca y=f(x) cuando x se acerca a a tomando valores mayores que a. Se denota: lim ¿ +¿

x→ a f (x)= L¿

Observa algunos ejemplos:

Límite de una función en un punto La condición necesaria y suficiente para que exista el límite de una función en un punto es que ambos límites laterales existan y sean iguales. Entonces decimos que el límite existe y tiene ese mismo valor: lim ¿ −¿

x→ a f (x)=

+¿

lim

x →a f( x)=L ↔lim f ( x)=L ¿

¿¿

x→a

100

Física I | Darío Gómez Santibañez

Aunque estrictamente hablando no existe el límite cuando los límites laterales son distintos, por convención si un límite lateral es +∞ y el otro -∞ decimos que el límite de la función en el punto es ∞.

DEFINICIÓN FORMAL Con las ideas más o menos intuitivas vistas hasta ahora, ya estamos en disposición de estudiar el cálculo de algunos límites. Sin embargo, puede que hayas venido a parar aquí buscando una definición formal de lo que es un límite en matemáticas, y no vamos a decepcionarte, aunque insistimos, no es necesario que la aprendas para seguir avanzando en este nivel educativo. Iremos desarrollando ideas de más intuitivas y menos formales a menos intuitivas y más formales. Hemos dicho que el límite de una función f(x) cuando x tiende a a es L si a medida que tomo valores más próximos a a, los correspondientes valores de f(x) son más próximos a L. Esto es: Si|x−a|→0 ⇒|f ( x )−L|⟶ 0 Pero... ¿qué significa exactamente "tender a 0"? Podemos formalizar esta idea a partir de la noción de entorno. Recuerda que un entorno de centro a y radio r es un intervalo abierto de valores próximos a dicho número real y que lo contiene, es decir, E(a,r) = (a−r, a+r), que también se puede expresar como aquellos valores x que cumplen |x-a|
101

Física I | Darío Gómez Santibañez f (x )=L cuando Decimos que lim x→ a para cualquier entorno de L que tomemos con radio épsilon, E(L,ε)=(L-ε,L+ε), podemos encontrar un entorno de a con radio delta,E(L,δ)=(L-δ,L+δ), cuyos elementos tienen su imagen en el entorno de L, sin importar lo que ocurra en a. La siguiente imagen te lo aclarará:

Finalmente, como hemos dicho antes un entorno puede ser expresado como una desigualdad con valor absoluto, según E(r,a)=|x-a|
cuando para cada ε>0, hay un δ>0 que cumple que |f(x)-L|<ε cuando 0<|x-a|<δ: lim f ( x )=L ⇔ ∀ ε >0 , ∃δ >0 x→ a

∣ ∀ x ∈ Dom f , 0<¿ x−a∨¿ δ ⇒∨f ( x)−L∨¿ ε Donde:  |f(x)−L|<ε: Es un entorno con centro L y radio ε variable (de ahí el ∀ para cualquier)  0<|x−a|<δ: Es un entorno con centro a y radio δ. El hecho se indique que |x-a|>0 implica que el valor x del entorno no puede ser a. Es lo que, en la definición equivalente usando entornos, decíamos "sin importar lo que ocurra en a"  ∀x∈Domf: Nos aseguramos que los valores de x considerados pertenecen al dominio de la función Observa en las definiciones anteriores no nos permiten calcular el valor del límite, pero sí, una vez conocido este, comprobar si lo es o no. Si una función tiene límite en un punto, este es único.

PROPIEDADES f ( x )=L, siendo L un valor finito. Entonces se cumplen las Supongamos que lim x→ a siguientes propiedades:  El límite de la función en el punto es único  La función queda acotada en un entorno reducido de a 102

Física I | Darío Gómez Santibañez  

Si L≠0, entonces existe un entorno reducido de a en el que el signo de f(x) es el mismo que el del límite L Si dos funciones f(x) y g(x) tienen límite cuando x tiende a a y además toman los mismos valores en un entono reunido de a, entonces tienen el mismo límite, es f ( x )=lim g ( x) decir, lim x→ a x→ a

b. Operaciones con infinito El infinito (∞) es un concepto que ha ocupado la mente de filósofos, matemáticos y grandes científicos a lo largo de la historia. Aunque la definición concreta depende del campo en el que nos encontremos (geometría, teoría de conjuntos, análisis de funciones), todas ellas tienen en común la noción de una cantidad sin límite.

CONCEPTO Podemos definir el infinito, y representarlo ∞, como el elemento matemático usado para expresar un valor mayor que cualquier cantidad asignable. Lo primero que tienes que tener claro es que el infinito no es un número real, es, más bien... una idea. Piensa en un número muy grande. Por ejemplo, 100000. O mejor... 100000. O mejor... 1099.. o mejor.. 9999999... o mejor... ¡espera!. Observa que sea cual sea el número en el que pienses, en el momento que lo haces, ya es un número finito y el infinito siempre estará por encima. De hecho, así llegamos a la segunda idea que tienes que tener muy clara. Cualquier número real x cumple que: −∞< x <∞ Un número real, y por consiguiente el valor de una función f(x), nunca pueden ser infinitos, pero pueden aproximarse. ¿Y qué concepto usamos en matemáticas para aproximarnos? Efectivamente, el del límite. Por tanto, aunque no lo indiquemos explícitamente, detrás de la idea de infinito siempre están los límites. El infinito no es la expresión de un número, sino la expresión de un límite. Aunque el valor de un número o de una función no puede ser infinito,  un número puede tender a infinito: x→∞ ó x→−∞ y,

103

Física I | Darío Gómez Santibañez 

también una función cuando su variable independiente se aproxima a a: lim f (x )=∞ ó lim f ( x )=−∞ x→ a

x→ a

Esto quiere decir que, en ocasiones, nos será posible utilizar el infinito como si fuese uno valor más, y realizar operaciones con él. Para ello siempre hay que tener presente la idea subyacente de límite y, además, que el infinito es cota de cualquier otro número real. En el siguiente punto verás que esto es mucho más sencillo de lo que parece.

OPERACIONES CON INFINITO Como hemos dicho, operar con el infinito presenta ciertas particularidades que lo diferencian de los números de cualquier otro tipo. Comenzamos presentándote una tabla que puedes utilizar como futura referencia: A continuación, vamos a explicarte cada una de estas operaciones, ya que lo importante no es que memorices la tabla, sino que aprendas a razonar de la manera adecuada cuando se te presente el infinito en cualquier operación. No olvides respetar siempre la regla de signos: +(∞)=∞ −( ∞ )=−∞ + (−∞ ) =−∞ −(−∞ ) =+ ∞

Suma y resta - Infinito frente a un número real Siendo k cualquier número real mayor, igual o menor que cero, razonamos: "Si a algo infinitamente grande, sin límites, le sumamos o restamos cualquier número finito k, el resultado sigue siendo inmensamente grande y sin límites". De esta manera nos queda:  k ∈ R: o ∞ +k =∞ o −∞+k =−∞ - Infinito frente a infinito En este caso razonamos: "Si a algo infinitamente grande, sin límites, le sumamos algo infinitamente grande y sin límites, nos queda algo infinitamente grande y sin límites". Por tanto, nos queda:  ∞ +∞=∞  −∞−∞=−( ∞ +∞ ) =−∞

Multiplicación -

Infinito frente a un número real

104

Física I | Darío Gómez Santibañez Siendo k cualquier número real mayor, o menor que cero, razonamos: "Si a algo infinitamente grande, sin límites, lo multiplicamos por cualquier número finito k≠0, el resultado sigue siendo inmensamente grande y sin límites, y tendrá el signo que corresponda aplicando la regla de signos". De esta manera nos queda:  k>0 o ∞ · k=∞ o −∞ · k=−∞ k < 0  o ∞ · k=−∞ o −∞ · k=∞ En el caso de que k=0, tenemos una indeterminación. - Infinito frente a infinito Podemos razonar de la siguiente manera: "Si algo infinitamente grande, sin límites, lo multiplicamos por algo inmensamente grande, también sin límite, el resultado será inmensamente grande, y sin límites, y tendrá el signo que corresponda aplicando la regla de signos". En este caso tendríamos:  ∞ · ∞=(−∞ ) · (−∞ ) =∞  ∞ · (−∞ )=(−∞ ) · ∞=−∞

Cociente - Infinito frente a un número real en el denominador Siendo k cualquier número real razonamos: "Dividir entre k es lo mismo que multiplicar por 1/k, con lo que los resultados deben ser iguales a los de la multiplicación". De este modo tenemos:  k>0 ∞ o =∞ k −∞ =−∞ o k  k<0 ∞ =−∞ o k −∞ o =∞ k Mención especial merece el caso k=0. Sabemos que no tiene sentido dividir entre 0, por lo que estrictamente también es una indeterminación. Pero si vemos el 0 como un valor al que nos aproximamos (de igual manera que ya hemos indicado que tras el ∞ también está implícita la idea de límite), tenemos algo infinitamente grande dividido entre algo infinitamente pequeño, con lo que nos quedaría:  k =0 ∞ o =± ∞ 0 −∞ =∓∞ o 0 El signo más o menos de los resultados dependerá de si me acerco al 0 con números un poco mayores que 0 o con números un poco menores que 0. Volveremos a esta idea cuando estudiemos las indeterminaciones. 105

Física I | Darío Gómez Santibañez - Infinito frente a un número real en el numerador Siendo k cualquier número real razonamos: "Si cualquier número finito lo "repartimos" (dividimos) entre algo infinitamente grande, el resultado es cero". De esta manera nos queda:  k ∈R k =0 o ∞ k o =0 −∞ - Infinito frente a infinito En este caso, siempre que dividimos infinitos entre infinitos nos queda una ∞ indeterminación ± . ±∞ - Otras posibilidades Cuando observamos el 0 al igual que hacemos con el infinito, como un valor al que nos aproximamos y no como un valor concreto, podemos obtener dos casos que también merecen nuestra atención: k =± ∞  0 0  , que es una indeterminación 0 Aunque el signo del resultado de k/0 y del ∞/0 depende de si nos acercamos a 0 por la derecha o por la izquierda, es habitual abreviar diciendo que k/0=∞.

Potencias - Infinito frente a un número real en la base Razonamos: "Cualquier número finito, mayor que 1, elevado a algo inmensamente grande da algo inmensamente grande, sin límites. Si el número está entre 0 y 1, al elevarlo a algo inmensamente grande el resultado se hace cada vez más pequeño (se acerca a 0). Si el exponente tiene signo negativo se aplica que a-k=1/ak". Veamos:  k>1 o k ∞=∞ 1 1 −∞ o k = ∞ = =0 ∞ k  0> k >1 o k ∞=0 1 −∞ o k = ∞ =∞ k Mención especial para este último caso. Observa que, siendo k un número menor que 1, al elevarlo a infinito (es decir, multiplicarlo por si mismo "un número incontable" de veces) el valor se aproximaría a 0 (en cada multiplicación obtendríamos un número siempre mayor que cero, pero cada vez más próximo a este). Si divides uno entre un número que se aproxima muchísimo a 0 obtienes un número inmensamente grande, es decir infinito. Por otro lado, tenemos indeterminación en el caso de que k sea 1: 1±∞ ⟹ IND 106

Física I | Darío Gómez Santibañez Recuerda que en las funciones exponenciales la base debe ser positiva, por lo que no tendría sentido plantear: k ±∞ con k <0 - Infinito frente a un número real en el exponente Podemos razonar de la siguiente manera: "Si algo inmensamente grande, sin límites, es elevado a un número finito mayor que cero, el resultado será inmensamente grande, sin límites". Aplicando que a-k=1/ak, podemos contemplar también los casos en que el número finito sea menor que cero:  k>0 o ∞ k =∞  k<0 1 1 k o ∞ = −k = =0 ∞ ∞ En este caso las indeterminadas se presentan cuando elevásemos infinito a cero: ∞ 0. Por otro lado, recuerda que cuando la base es -∞ habrá que tener en cuenta la paridad del exponente, -∞par=∞ y -∞impar=-∞. En ocasiones también te será útil recordar que las potencias de exponente finito se pueden escribir también como radicales, es decir, como raíces. Por ejemplo: 1

k 2 =√ k 5

3

k 3 =√ k 5

- Infinito frente a infinito Aquí podemos razonar de la siguiente manera: "Si algo inmensamente grande, sin límites, es elevado a algo inmensamente grande, el resultado es algo inmensamente grande". Aplicando que a-k=1/ak, podemos contemplar también los casos en que el infinito del exponente sea negativo:  ∞ ∞ =∞ 1 1 −∞  ∞ = ∞ = ∞ =0 ∞ Cuando la base es menos infinito, tenemos una indeterminación −∞ ∞ , pues no podemos saber la paridad de infinito. - Otras posibilidades Una vez más observando el 0 en el sentido de los límites, nos quedan dos operaciones con potencias que merecen nuestra atención, aunque ninguna de ellas implica directamente al infinito:  k0. Esta es evidente, pues cualquier número elevado a 0 es 1...  ...salvo 00, que es una indeterminación Si en una operación obtienes una expresión indeterminada, eso no quiere decir que no tenga un resultado. Simplemente hay que buscar otro camino para resolverla. En apartados posteriores te explicaremos algunos métodos para resolver algunas de las indeterminaciones más comunes.

EN LA PRÁCTICA Ahora que ya sabes realizar operaciones con infinito puede que te estés preguntando como se aplica esto en el mundo real, en ciencias, por ejemplo, en física... ¿tiene sentido?

107

Física I | Darío Gómez Santibañez Lo cierto es que sí, en numerosas ocasiones despreciamos cantidades o hacemos aproximaciones que tienen mucho que ver con las dimensiones del problema que estemos tratando... Si no estás convencida de esto, prueba a aplicar la ley de la gravedad para calcular la fuerza que ejerce la Tierra sobre ti, y posteriormente calcula la fuerza que ejerce una hipotética estrella situada a 240 años luz de masa 2·1030 kg. ¿Y si la distancia fuera de 240 años luz y 1 metro?

c. Cálculo del límite de una función en un punto MÉTODO GENERAL De manera general, podemos decir que el primer paso para la resolución de un límite es sustituir en f(x) el valor hacia el que tiende x. Entonces puedo obtener:  Un valor concreto  Una expresión cuyo resultado no se puede conocer. A este tipo de expresiones se les denomina indeterminaciones o indeterminadas. Por ejemplo, son indeterminaciones 0/0, ∞-∞, y otras muchas que estudiaremos en el apartado correspondiente Si obtienes un valor concreto, ¡ya está! Ese es el valor del límite de la función cuando x se aproxima a a. Pero tranquilo, si obtienes una indeterminación, no quiere decir que el límite no exista... solo que debemos resolverla, esto es, encontrar otro camino que haga desaparecer la indeterminación y nos dé el resultado del límite. Cada tipo de indeterminación tiene una manera concreta de resolverse, que estudiaremos en el apartado dedicado a ello. De momento vamos a estudiar algunos casos sencillos para los que podemos prescindir de la resolución de indeterminaciones. Sólo tiene sentido que estudiemos el límite en puntos a los que podamos acercarnos cada vez más, esto es, puntos que pertenezcan al dominio de la función, o muy 1 próximos a estos. Por ejemplo, podemos intentar el cálculo del límite lim , porque x →0 x los puntos del entorno de 0 sí están en el dominio, pero no tiene sentido que lim √ x. calculemos el límite x→−3

FUNCIONES CONTINUAS En los puntos en los que las funciones son continuas, el valor del límite coincide con el de la propia función. Aunque aún no hemos estudiado nada sobre la continuidad de las funciones, aprovechamos para adelantarte las siguientes ideas:

108

Física I | Darío Gómez Santibañez de manera intuitiva sabemos decir si una función es continua en un punto cuando podemos dibujarla 'sin levantar el lápiz del papel en los alrededores de ese punto', y...  ...decimos que una función es continua (a secas) cuando lo es en todo su dominio, es decir, cuando toda ella puede dibujarse 'sin levantar el lápiz del papel' La mayoría de las funciones estudiadas son continuas en todos los puntos de su dominio, esto es, los puntos en los que estás definidas, con lo que podemos decir: Si f(x) es una función habitual definida por una sola expresión analítica y que está definida en x=a, entonces el valor del límite de la función cuando x tiende a a es f(a): lim f ( x )=f (a) 

x→ a

Se trata del caso más habitual que estudiaremos, y también el más sencillo. Veamos algunos ejemplos. En ellos, todo lo que tienes que hacer es evaluar la función en el punto. ¿Demasiado sencillo?

Funciones polinómicas lim x +1=f ( 0 ) =0+1=1 x →0

Funciones con radicales lim √ x=f ( 0 )=0 x →0

Funciones exponenciales lim 2x =f ( 0 )=20 =1 x →0

Funciones logarítmicas lim log 2 ( x+ 1)=f ( 1 )=log 2(2)=1 x →1

Funciones seno y coseno En el caso de las funciones trigonométricas, se asume, a no ser que se diga lo contrario, que el valor de x está en radianes. Así, tendríamos: lim cos( x )=f ( 0 )=cos (0)=1 x →0

lim sin( x + π)=sin x→

π 2

( π2 + π )=sin ( 32π )=−1

FUNCIONES RACIONALES Cuando tenemos el cociente de dos polinomios f ( x )=

P ( x) y queremos calcular Q( x )

lim f ( x ), comenzamos sustituyendo el valor de a en f(x). Entonces podemos distinguir x→ a

los siguientes casos:  El denominador no se anula P ( x ) P(a) Q ( a ) ≠ 0⟹ lim = x⟶ a Q ( x ) Q(a) La función es continua en a, y por tanto el límite coincidirá con el valor de la función en el punto, como hemos visto hasta ahora.  El denominador se anula Al sustituir obtenemos una expresión en la forma k/0 o 0/0 según se anule sólo el denominador o el numerador y el denominador respectivamente. Sabemos que no se 109

Física I | Darío Gómez Santibañez puede dividir un número entre 0, tampoco el propio 0. Se trata de 2 tipos de indeterminaciones distintas, cada uno con su propio método de resolución. P(x) ±∞ = 1) Q ( a )=0 y P ( a )=k ≠ 0⟹ lim x⟶ a Q ( x ) ∄ Tenemos que, a medida que x se acerca a a, P(x) se acerca a un valor concreto (k) y Q(x) se aproxima a 0. Observa que, aunque no podemos dividir un numero entre 0, sí que podemos dividirlo entre un número próximo a 0. En definitiva, para saber lo que ocurra con la función en las proximidades del valor x=a, en el que se anula el denominador, pero no el numerador habrá, que estudiar los límites laterales. Para calcular el límite del cociente de dos polinomios en un punto en el que se anula el denominador pero no el numerador, se calculan los límites laterales lim ¿ y lim ¿. Estos pueden ser ∞ o −∞.

{

−¿

x→ a f (x)¿

+¿

x→ a f (x)¿

f ( x ) existe y vale ∞  Si ambos límites laterales coinciden, decimos que lim x→ a o -∞ según sea el valor de los límites laterales f ( x)  Si ambos límites laterales no coinciden, decimos que ∄ lim x →a

( x−a ) · P s ( x ) P (x) P(x) = lim = lim s x⟶ a Q ( x ) x ⟶ a ( x−a ) · Q s ( x ) x ⟶ a Q s (x) Tenemos que tanto el numerador como el denominador se anulan en x=a, esto es, x=a es una raíz de ambos polinomios, con lo que se puede factorizar tanto numerador como denominador, quedando así una función racional simplificada. Recuerda que decimos que x=ri es una raíz del polinomio P(x) cuando P(ri)=0. Por tanto… Para calcular el límite del cociente de dos polinomios en un punto en el que se anulan el numerador y el denominador, se simplifica el cociente sacando como factor (x-a). Una vez hecho esto se calcula el límite de la función simplificada: ( x−a ) · Ps ( x ) P (x) P(x) P(x ) P ( x )=( x−a ) · P s (x) Q ( a )=P ( a )=0 ⇒ ⇒ lim =lim ⇒ lim =lim s Q ( x )=( x−a ) · Qs ( x) x →a Q(x ) x→ a ( x−a ) · Qs (x) x → a Q(x) x →a Q s ( x) Donde Ps(x) y Qs(x) son los polinomios resultados de dividir P(x) y Q(x) respectivamente entre (x-a). 2) Q ( a )=0 y P ( a )=0 ⟹ lim

FUNCIONES A TROZOS Mención especial merecen las funciones a trozos. Partimos de una función con dos ramas, aunque el procedimiento es fácilmente generalizable. f ( x )= f 1 (x) si x ≤ b f 2 (x) si x >b

{

Primeramente, tenemos que identificar si nos piden el límite en un valor de x de cambio de rama o no. En la expresión anterior, el cambio de rama se produce en x=b. lim f ( x ) x→ b

En este caso, la función se comporta de manera diferente si nos aproximamos a b por la izquierda (lo haría con la expresión de f1), o por la derecha (lo haría con la expresión de f2). El cálculo por tanto se reduce al cálculo de los limites laterales, ya que, como recordarás, estos deben coincidir. 110

Física I | Darío Gómez Santibañez ¿

PROPIEDADES DEL CÁLCULO DE LÍMITES Cuando estés operando con límites te será de gran utilidad conocer la siguiente tabla de propiedades. Sean lim f ( x )=a y lim g ( x ) =b. Entonces tenemos: x→ p

x→ p

d. Límite de una función en el infinito y su cálculo APROXIMACIONES SUCESIVAS AL INFINITO Ya hemos hablado en apartados anteriores de la estrecha relación que guardan los límites con la idea de aproximarnos sucesivamente a un valor concreto. En este caso, y estrictamente hablando, el infinito no es un valor, sino más bien una idea. ¿Qué significa por tanto que x→∞? Veámoslo con un ejemplo concreto: 1 f ( x )= x Vamos a darle valores cada vez mayores a la x:

Como puedes intuir, a medida que nos acercamos al infinito, el valor de la función se 1 aproxima a cero. Es por eso que decimos que lim =0. Sin embargo, esto no significa x→ ∞ x 1 que =0 (en realidad, no sabemos cuánto vale esa expresión). Vemos de nuevo, que el ∞ límite es un concepto dinámico, que tiene que ver con el aproximarse a ciertos valores, frente al valor de una función en un punto, que es un concepto estático.

VALOR FINITO 111

Física I | Darío Gómez Santibañez El límite de una función cuando x tiende a infinito es L si podemos conseguir que f(x) esté tan próximo a L como queramos, dándole a x valores suficientemente grandes. Para hacer la definición formal, nos valemos de la idea de entorno. Recuerda que un entorno de centro a y radio r es un intervalo abierto de valores próximos a dicho número real y que lo contiene, es decir, E ( a , r )=(a−r , a+r ), que también se puede expresar como aquellos valores x que cumplen ¿ x−a∨¿ r.

Formalmente: Decimos que el límite de una función f(x) cuando x tiende a ∞ es L si para cualquier entorno de centro L y radio ε, tan pequeño como se quiera, se puede encontrar un número real h, tan grande como sea necesario, a partir del cual las imágenes de x>h pertenecen a dicho entorno: lim f ( x )=L ⇔ ∀ ε> 0 ,∃ h ∈ R∨Si x> h⟹|f ( x ) −L|<ε x→ ∞

De manera análoga, podemos decir que el límite de una función cuando x tiende a menos infinito es L si podemos conseguir que f(x) esté tan próximo a L como queramos, dándole a x valores suficientemente pequeños. Decimos que el límite de una función f(x) cuando x tiende a -∞ es L si para cualquier entorno de centro L y radio ε, tan pequeño como se quiera, se puede encontrar un número real h, tan pequeño como sea necesario, hasta el cual las imágenes de x>h pertenecen a dicho entorno:

lim f ( x ) =L⇔ ∀ ε >0 , ∃h ∈ R∨Si x< h⟹|f ( x ) −L|<ε

x→−∞

Algunos autores hacen una diferenciación entre +∞ y ∞, de manera que ∞ englobaría al -∞ y al +∞. Así, si: lim f (x)= lim f (x )=L⟹ lim f ( x ) =L x→−∞

x →+∞

x→ ∞

VALOR INFINITO El límite de una función cuando x tiende a infinito es infinito si podemos conseguir que f(x) sea tan grande como queramos, sin más que dar a x valores suficientemente grandes. Formalmente: 112

Física I | Darío Gómez Santibañez Decimos que el límite de una función f(x) cuando x tiende a ∞ es ∞ si para cualquier número real k se puede encontrar otro número real h a partir del cual las imágenes de x>h son mayores que k: lim f ( x )=∞⇔ ∀ k ∈ R ,∃ h ∈ R∨Si x >h ⟹ f ( x ) >k x→ ∞

Análogamente, el límite de una función cuando x tiende a menos infinito es infinito si podemos conseguir que f(x) sea tan grande como queramos, sin más que dar a x valores suficientemente pequeños. Formalmente: Decimos que el límite de una función f(x) cuando x tiende a -∞ es ∞ si para cualquier número real k se puede encontrar otro número real h hasta el cual las imágenes de xk x→−∞

VALORES MENOS INFINITO El límite de una función cuando x tiende a infinito es menos infinito si podemos conseguir que f(x) sea tan pequeña como queramos, sin más que dar a x valores suficientemente grandes. Formalmente: Decimos que el límite de una función f(x) cuando x tiende a ∞ es -∞ si para cualquier número real k se puede encontrar otro número real h a partir del cual las imágenes de x>h son menores que k: lim f ( x )=−∞⇔ ∀ k ∈ R ,∃ h ∈ R∨Si x> h⟹ f ( x )
Así mismo, el límite de una función cuando x tiende a menos infinito es menos infinito si podemos conseguir que f(x) sea tan pequeña como queramos, sin más que dar a x valores suficientemente pequeños. Formalmente: Decimos que el límite de una función f(x) cuando x tiende a -∞ es -∞ si para cualquier número real k se puede encontrar otro número real h hasta el cual las imágenes de x
113

Física I | Darío Gómez Santibañez

De manera general, cuando la función "se va" a infinito (o a menos infinito) en infinito (o en menos infinito) se dice que la función diverge en infinito (o en menos infinito).

MÉTODO GENERAL DE CÁLCULO Para resolver límites en el infinito seguimos los siguientes pasos: 1. Sustituimos x, en f(x), por ∞ 2. Operamos con ∞ 3. Si obtenemos un valor real concreto, ∞ ó -∞, ya hemos terminado. Ese es el valor del límite buscado. 4. Si obtenemos una expresión indeterminada, debemos resolverla Si en lugar de x→∞, tenemos que x→-∞ debes comenzar, con un paso previo, realizando un cambio de variable x por -x, y operando. Se trata, en definitiva, de aplicar: lim f (x)=lim f (−x) x→−∞

x →∞

Como ves, esto te permitirá también cambiar por -∞ por ∞ y continuar con los pasos señalados. El primer paso de la lista es bien sencillo. Se trata simplemente de poner ∞ allá donde ponga x en la función. Para operar con infinito, en el segundo paso, debes estar familiarizado con las expresiones que puedes obtener (por ejemplo 3/∞, ∞-1000, etc.). Aunque te recomendamos que visites el apartado enlazado, te lo resumimos en la siguiente tabla. Ten presente que k representa un número real:

114

Física I | Darío Gómez Santibañez

Como hemos dicho, si obtienes un valor concreto, ¡ya está!. Ese es el valor del límite. Pero tranquilo, si obtienes una indeterminación, no quiere decir que el límite no exista... solo que debemos resolverla, esto es, encontrar otro camino que haga desaparecer la indeterminación y nos dé el resultado del límite. Cada tipo de indeterminación tiene una manera concreta de resolverse, que estudiaremos en el apartado dedicado a ello. Por el momento vamos a estudiar algunos casos sencillos para los que podemos prescindir de resolución de indeterminaciones. En todos ellos subyace la idea de la comparación de infinitos... veamos de qué se trata. Recuerda que sólo tiene sentido calcular el límite de una función en infinito, o en menos infinito, si estos forman parte del dominio. Así, por ejemplo: Dom√ x =¿ ⟹ lim √ x x⟶−∞

COMPARACIÓN DE INFINITOS Ya sabemos que el infinito no es un valor concreto, sino más bien algo inmensamente grande a lo que nos acercamos. Cuando estudiamos valores de límites en el infinito estamos estudiando realmente el valor al que se acerca la función, es decir, su coordenada y. Imaginemos que la función se acerca (o tiende) a infinito. Sean f(x) y g(x) tales que lim f ( x )=±∞ y lim g ( x )=± ∞. Se dice que el de f(x) es un x→ ∞

x→ ∞

infinito de orden superior al de g(x) cuando se cumple cualquiera de las dos condiciones equivalentes siguientes: f (x) g( x ) lim =± ∞ ⟺ lim =0 x→ ∞ g (x) x →∞ f ( x) Por el contrario, se dice que el infinito de f(x) y el de g(x) son de igual orden cuando: f (x) lim =k con k ≠0 g (x) x→ ∞ 115

Física I | Darío Gómez Santibañez

LÍMITES EN INFINITO DE POLINOMIOS Cuando, siguiendo el método general señalado más arriba, sustituyes las apariciones de x por infinito en un polinomio, será habitual que te encuentres con indeterminaciones del tipo ∞-∞. Aun así, comparando los infinitos de los distintos integrantes del polinomio resulta claro que: El límite de una función polinómica en infinito (o menos infinito) es infinito o menos infinito. El coeficiente del término de mayor grado es el que determina el resultado final.

LÍMITE EN INFINITO DE RAÍCES m

Como hemos indicado, los radicales no son más que una forma de potencia, √n x m=x n .

Por tanto, en algunos casos, podremos aplicar la misma regla. En algunas ocasiones puede que no seas capaz de distinguir claramente qué infinito prevalece. No te preocupes, en el apartado dedicado a indeterminaciones veremos una manera más sistemática de resolver estos límites.

COCIENTE DE POLINOMIOS El límite de una función cociente de polinomios P(x)/Q(x) en infinito (o menos infinito) da lugar a indeterminaciones del tipo ∞/∞. Para resolverlas por comparación de infinitos nos fijamos en los términos de grado máximo de cada polinomio: P(x ) =lim P( x ), es decir,  Si grado P > grado Q, entonces manda P y lim x→ ∞ Q( x) x→ ∞ infinito o menos infinito P(x ) =0  Si grado P < grado Q, entonces manda Q y lim x→ ∞ Q( x)  Si grado P = grado Q, entonces tenemos que fijarnos en los coeficientes que acompañan a las x de mayor grado en numerador (a) y en denominador (b), P(x ) a = quedando lim b x→ ∞ Q( x)

e. Operaciones con límites LÍMITE DE LA SUMA Y RESTA DE FUNCIONES El límite de la suma o diferencia de dos funciones es la suma o resta de los límites de cada función. Así, si lim ⁡f ( x)=a y lim ⁡g(x)=b entonces: lim [ f ( x ) ± g ( x ) ] =lim f ( x ) ± lim g ( x )=a ±b Ten presente que esta operación puede dar lugar a una indeterminación de tipo ∞-∞ (cuando a y b sean valores infinitos) que habría que resolver por otros métodos.

LÍMITE DEL PRODUCTO DE FUNCIONES El límite del producto de dos funciones es el producto de los límites de cada función. Así, si lim ⁡f ( x )=a y lim g (x)=b entonces: lim [ f ( x ) · g ( x ) ]=lim f ( x ) · lim g ( x )=a·b Ten presente que esta operación puede dar lugar a una indeterminación de tipo 0·∞ que habría que resolver por otros métodos.

116

Física I | Darío Gómez Santibañez

LÍMITE DEL COCIENTE DE FUNCIONES El límite del cociente de dos funciones es la división de los límites de cada función. Así, si lim ⁡f ( x)=a y lim ⁡g(x)=b, con b≠0, entonces: f (x) lim ⁡f ( x) a lim = = g ( x ) lim ⁡g( x) b Ten presente que el cociente de funciones puede dar lugar a indeterminaciones de distintos tipos (k/0, 0/0 ó ∞/∞).

[ ]

LÍMITE DE LA FUNCIÓN CONSTANTE El límite de una constante es la propia constante: lim k=k De lo anterior se puede deducir que las constantes pueden "salir" fuera de los límites: lim k · f ( x ) =lim k · lim f ( x ) =k· lim ⁡f (x )

LÍMITE DE LA POTENCIA DE FUNCIONES El límite de la potencia de dos funciones es el valor de la potencia de los límites de cada función. Así, si lim ⁡f ( x)=a y lim ⁡g(x)=b, entonces: lim [ f ( x )g ( x ) ]=lim f ( x )lim ⁡g (x) =ab ⁡ Ten presente que el límite de la potencia de funciones puede dar lugar a indeterminaciones de distintos tipos (00, ∞0 ó 1∞). Recuerda que la función potencia f(x)g(x) o g(x)f(x) solo se define para valores positivos de la base.

LÍMITE DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sea f una función potencial de exponente racional, logarítmica, exponencial o trigonométrica. Sea g(x) una función cuyo límite en el punto considerado (o en el infinito) conocemos lim ⁡g(x)=a. El límite de la función compuesta (f∘g, g compuesta con f) viene dado según: lim ( f ∘ g ) ( x )=lim ( f [ g ( x ) ]) =f [ lim ( g ( x ) ) ]=f (a) ⁡ La expresión anterior nos da la clave para el cálculo de límites de raíces, funciones potenciales, logarítmicas y trigonométricas, como vamos a ver. Recuerda que, como siempre, si obtienes alguna indeterminación, deberás resolverla por lo métodos que veremos en el apartado correspondiente.

f. Límites laterales LÍMITE POR LA IZQUIERDA El valor del límite de una función f(x) cuando x tiende a a por la izquierda es el valor al que se acerca y=f(x) cuando x se acerca a a tomando valores menores que a. Pueden darse los siguientes casos. 117

Física I | Darío Gómez Santibañez

LÍMITE POR LA DERECHA El valor del límite de una función f(x) cuando x tiende a a por la derecha es el valor al que se acerca y=f(x) cuando x se acerca a a tomando valores mayores que a. Pueden darse los siguientes casos.

CÁLCULO En general, para determinar el valor de los límites laterales se sigue el mismo procedimiento que ya hemos visto para el cálculo del límite de una función en un punto, pero con algunas consideraciones adicionales. Así, si f(x) es una función habitual definida por una sola expresión analítica y que está definida en el entorno de x=a, entonces el valor del límite de la función cuando x tiende a a- (o a a+) es f(a-)≃f(a) (o f(a+) ≃f(a)). Aunque estrictamente hablando no existe el límite cuando los límites laterales son distintos, por convención si un límite lateral es +∞ y el otro -∞ decimos que el límite de la función en el punto es ∞. En este caso, dicho infinito indica que la función diverge en el punto.

118

Física I | Darío Gómez Santibañez

g. Indeterminaciones TIPOS DE INDETERMINACIÓN Las principales indeterminaciones que te encontrarás resolviendo límites son las siguientes: k/0, 0/0, ∞/∞, ∞-∞, ∞·0, 1∞, 0∞, ∞0 y 00.

RESUMEN A continuación, tienes el cuadro resumen con las técnicas habituales a aplicar en cada caso. Visita los puntos correspondientes para entender cada uno de ellos, y estudiar los ejemplos asociados.

RESOLUCIÓN DE K/0 Ya sabemos que no es posible dividir un número entre cero, al fin y al cabo, si tienes algo, y lo quieres dividir entre nada... ¿qué operación es esa? Si lo intentas en tu calculadora, te dará error. Sin embargo, recuerda que cuando hablamos de límites el cero no es un valor 'estático', sino un valor al que nos aproximamos. Un número k dividido entre otro muy próximo a cero da un número muy grande, que será positivo o negativo según la relación que haya entre los signos de k y del 0... Un momento... ¿el cero tiene signo? Ya sabes que no, pero sí que existe signo cuando nos aproximamos a cero por la derecha (0+), o por la izquierda (0-). Por todo ello: Para resolver una indeterminación del tipo k/0 calculamos los límites laterales. Estos serán ∞ o -∞ según la relación entre k y 0. Por otro lado, este tipo de indeterminación marca la existencia de una asíntota vertical. Recuerda que, por convención, aunque los límites laterales sean distintos, se suele decir que k/0=∞, indicando así que la función diverge en el punto.

RESOLUCIÓN DE 0/0 119

Física I | Darío Gómez Santibañez Si preguntas a Siri, el famoso asistente de los iPhone, cuánto es 0/0 te dará una respuesta que parece muy loca: "Imagínate que tiene cero galletas y las repartes entre cero amigos. ¿Cuántas galletas le tocan a cada amigo? No tiene sentido. ¿Lo ves? Así que el monstruo de las galletas está triste porque no tiene galletas y tú estás triste porque no tienes amigos." Lo que trata de decirte es, simplemente, que estás proponiéndole una indeterminada. Por otro lado, ya Newton en el S.XVII, antes de que se formalizara el estudio de los límites como lo conocemos hoy día, escribió en relación al 0/0: "Hay que entender la razón de las cantidades, no antes de que desaparezcan ni después, sino la razón con la que desaparecen." En cualquier caso, desde un punto de vista práctico, el 0/0 indica la presencia de un factor común, tanto en numerador como denominador, con lo que: Para resolver la indeterminación de tipo 0/0:  Si estamos ante un cociente de polinomios, factorizamos y simplificamos el factor común de numerador y denominador y resolvemos el nuevo límite  Si estamos ante un cociente con raíces, ya sea en el numerador, en el denominador, o en ambos, multiplicamos numerador y denominador por el/los conjugados y resolvemos. Es muy importante que recuerdes que "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados" RESOLUCIÓN DE ∞ /∞ Ya sabemos que no todas las funciones que se acercan al infinito (o al menos infinito) lo hacen a igual velocidad. Dicho de otra manera, no todos los infinitos tienen igual grado. Es precisamente por eso que: Para resolver una indeterminación del tipo ∞/∞ comparamos los grados de los infinitos del numerador y del denominador:  Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, el límite es infinito o menos infinito, según la relación de signos entre los términos de mayor grado del numerador y del denominador  Si el grado del denominador es mayor que el grado del denominador, el límite es cero  Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, el resultado es un valor finito que depende de los términos de mayor grado del numerador y del denominador RESOLUCIÓN ∞−∞ Por la misma razón que no podemos decir que ∞/∞ sea 1, tampoco podemos decir que ∞-∞ sea 0: Cada función que da origen a dicho infinito puede acercarse a él a distinta velocidad (es decir, cada infinito puede tener un grado distinto). Podemos decir que: Para resolver una indeterminación del tipo ∞-∞ podemos proceder de las siguientes formas:  Por comparación de infinitos, cuando podemos apreciar a simple vista el grado de los infinitos  Operando la diferencia que origina la indeterminación y calculando después el límite que quede  Cuando hay raíces se debe multiplicar y dividir por el conjugado para hacer desaparecer la raíz que dificulta el cálculo del límite RESOLUCIÓN DE ∞ ·0

120

Física I | Darío Gómez Santibañez Cuando multiplicas un número por 0, el resultado es cero. Pero ya sabemos que ni el infinito es un número ni el 0 en los límites es un valor 'estático', sino un valor al que nos aproximamos... Podemos decir: Para resolver una indeterminación del tipo 0·∞ trataremos de operar convirtiéndola en otra de tipo 0/0 o ∞/∞. RESOLUCIÓN DE 1∞ Sabemos que 1 elevado a cualquier número n, es decir, multiplicado por sí mismo n veces, da 1. Sin embargo, cuando nos aproximamos a 1 y elevamos a infinito a la vez (recuerda que estamos calculando límites), no podemos estar seguros de lo que ocurre. Es por eso que estamos, de nuevo, ante una indeterminación. Normalmente la regla práctica para resolver las indeterminaciones de tipo 1∞ es: ( ) lim f ( x )g x =e lim [ f ( x )−1] · g( x) Siendo lim ⁡f ( x) bien lim f (x) o lim f ( x ) x→ ∞

x→ a

RESOLUCIÓN DE 0 ∞ , ∞ 0 y 00 De nuevo, por la misma razón que hasta ahora, nos encontramos ante dos indeterminaciones. La forma de proceder: Todas ellas provenientes de una función elevada a otra, transformaremos el límite utilizando las propiedades de los logaritmos. Así, si lim ⁡f ( x)=b y lim ⁡g(x)=a, nos quedará: lim [ f ( x )g ( x ) ]=elim ⁡[ g ( x ) ·ln (f ( x ))]=ea· ln(b)

h. Asíntotas, ramas parabólicas y continuidad ASÍNTOTAS VERTICALES Decimos que la recta x=k es una asíntota vertical de la función f(x) cuando se cumple: lim f ( x )=± ∞ o lim ¿ x →k

−¿

x →k f ( x)=±∞ o lim +¿

x →k ± ∞ ¿

¿¿

Por tanto, para saber si una función presenta asíntotas verticales en un punto, habría que estudiar el límite en él. Basta con que solo uno de los límites laterales exista, para que consideremos x=k una asíntota vertical.

121

Física I | Darío Gómez Santibañez

Cálculo en funciones racionales Ya sabes que una función racional es aquella que se puede expresar como el cociente de dos polinomios: f(x)=P(x)/Q(x). En estos casos: 1. Simplificamos f(x) factorizando P(x) y Q(x) y eliminando las raíces comunes 2. Las raíces del denominador son las asíntotas verticales de f(x), con lo que las buscamos haciendo Q(x)=0 Encontrarás asíntotas verticales en aquellas funciones racionales que den lugar a una indeterminación del tipo k/0.

Cálculo en funciones logarítmicas Las funciones logarítmicas tienen una asíntota vertical en el punto en que se anula el argumento. Así, por ejemplo: lim ¿ +¿

x→ 0 ln( x)=−∞ y

lim

¿¿

+¿

x →0 log 1 ( x)=∞ ¿ 2

Funciones trigonométricas

122

Física I | Darío Gómez Santibañez Las funciones trigonométricas seno y coseno no tienen asíntotas de ningún tipo. Las funciones que se forman a partir de estas, tangente, cosecante, secante y cotangente, tienen asíntotas verticales cuando se anula el denominador. Recuerda que: sin ( x ) 1 f ( x )=tan ( x )= ; f ( x )=csc ( x )= ; cos ( x ) sin ( x ) cos (x) 1 f ( x )=sec( x )= ; f ( x )=cot ( x)= cos( x ) sin(x )

ASÍNTOTAS HORIZONTALES Decimos que la recta y=k es una asíntota horizontal de la función f(x) cuando se cumple: lim f (x)=k o lim f ( x)=k x→ ∞

x→−∞

Donde: k: Es el valor real, por ejemplo 3, 0 ó -1, al que se aproxima la función (su coordenada y) cuando la x se hace infinitamente grande, por la derecha (x→∞) o por la izquierda (x→-∞)  f(x): Es la función que presenta la asíntota Por tanto, para a saber si una función presenta asíntotas horizontales, basta calcular los límites anteriores, en infinito y menos infinito, y ver si alguno da un valor real concreto. 

Cálculo en funciones racionales

123

Física I | Darío Gómez Santibañez En este caso, siendo f(x)=P(x)/Q(x) una función racional, resulta inmediato el cálculo de lim f ( x ) mediante comparación de infinitos. Así podemos distinguir dos casos: x→ ±∞

 

Si grado P(x) < grado Q(x), y=0 será asíntota horizontal. Si grado P(x) = grado Q(x), el cociente entre los términos de mayor grado del numerador y del denominador es la asíntota horizontal

Cálculo en funciones exponenciales Las funciones exponenciales tienen una asíntota horizontal en menos infinito o en infinito según la base sea mayor que uno o esté entre 0 y 1 respectivamente.

ASÍNTOTAS OBLÍCUAS Decimos que la recta y=m·x+n es una asíntota oblicua de la función f(x) cuando se cumple:  lim f ( x)=± ∞ x→ ∞

 

f (x) x x→ ∞ n=lim ( f ( x )−mx) m= lim x→∞

Donde:  





x→∞: Puede ser también x→-∞ m: Es la pendiente de la asíntota, y por tanto debe ser un valor real distinto de cero, ya que si fuera cero nos encontraríamos ante una recta horizontal n: Es el otro parámetro que define la recta, su ordenada en el origen. Esta vez sí puede ser 0, para el caso de las asíntotas que pasan por el origen (0,0) f(x): Es la función que presenta la asíntota

Cálculo en funciones racionales Cuando la función es racional, f(x)=P(x)/Q(x), se producen asíntotas oblicuas siempre que grado P(x) - grado Q(x) = 1. Si es así, realizaremos la división de P(x) entre Q(x): El cociente de la misma, en la forma m·x+n, es la asíntota oblicua. - Justificación Recordamos que, según la "prueba de la división", el dividendo, P(x), es igual a cociente, C(x), por divisor, Q(x), más el resto, R(x), con lo que: ⇒

R( x ) 1 1 P(x ) P ( x ) =C ( x ) · Q ( x ) + R ( x ) = =C ( x ) + Q(x) Q ( x ) Q ( x ) Q(x) El cociente R(x)/Q(x), en rojo, tiende a ser cada vez más pequeño para valores altos de x (ya que el grado del resto R(x) será menor al del divisor Q(x), con lo que la función P(x)/Q(x) se comportará de manera cada vez más parecida a la del cociente C(x), que es

124

Física I | Darío Gómez Santibañez un polinomio de grado 1, es decir, la recta oblicua que constituye la asíntota de la función.

10)

Derivadas: a. Tasa de variación media e instantánea TASA DE VARIACIÓN MEDIA La tasa de variación media de una función en un intervalo nos permite estudiar el cambio que experimenta dicha función en el intervalo.

CONCEPTO Como ves, ambas funciones crecen lo mismo, pero el intervalo que le lleva a la primera alcanzar esa variación es de 4 unidades (pues el intervalo [1,5] "mide" 4 unidades), mientras que la segunda alcanza esa variación en tan solo 2 (pues el intervalo [1,3] "mide" 2 unidades). Así pues, para caracterizar el comportamiento de la función en el intervalo podemos hacer uso de otra expresión más precisa: la tasa de variación media.

EXPRESIÓN Como puedes suponer, para obtener la tasa de variación media (T.V.M.) en un intervalo [a, b] dividimos la variación de la función (es decir, su tasa de variación) entre la variación de x: 125

Física I | Darío Gómez Santibañez Variación de y ∆ y = Variación de x ∆ x La variación que se produce en y es, como ya hemos visto, f(b)-f(a). La variación que se produce en x es directamente b-a. Más formalmente: Definimos la tasa de variación media de una función f(x) en un intervalo [a, b] como: f ( b )−f (a) T . V . M [ a , b]= b−a La expresión anterior está dada en función de los extremos del intervalo (a y b). En ocasiones es habitual expresar un intervalo como [a, a+h], siendo h la longitud del mismo. En este caso: La tasa de variación media también puede ser expresada como: f ( a+h )−f (a) T . V . M [ a , a+h ]= h T . V . M [ a , b ]=

Comprobación Si consideramos b=a+h nos queda: f ( b )−f (a) f ( a+h ) −f (a) f ( a+h ) −f (a) T . V . M [ a , b]= = = b−a a+ h−a h Cuando la tasa de variación media en un intervalo es positiva, significa que la función crece en dicho intervalo. Si es negativa, la función decrece.

REPRESENTACIÓN E INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Geométricamente, la tasa de variación media es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a,f(a)) y (b, f(b)).

Justificación Conocida la ecuación de una recta en forma explícita, y=m·x+y0, que pasa por los puntos (x,y) = (a,f(a)) y (x,y) = (b,f(b)), podemos escribir: −f ( a )=−a·m− y 0 f ( b ) =b·m+ y 0 f ( b )−f (a) ① ( a , f ( a ) ) ⇒ f ( a )=a·m+ y 0 ⇒ −1· ① ⇒m= b−a f ( b )−f ( a )=m·(b−a) ② ( b , f ( b ) ) ⇒ f ( b )=b·m+ y 0

}

}

126

Física I | Darío Gómez Santibañez Como ves, calculando m, la pendiente de la recta que pasa por los puntos considerados, obtenemos el mismo valor de la T.V.M.

EJEMPLOS EN FÍSICA La tasa de variación media es una magnitud muy utilizada en ciencias para estudiar cómo cambian ciertas magnitudes respecto a otras. Por ejemplo, para estudiar como varía la velocidad en un intervalo de tiempo estudiamos su velocidad media, que no es más que la tasa de variación media de la posición respecto al tiempo. Cuando la velocidad media es grande, la posición varía mucho para una variación de tiempo dada. Otro ejemplo sería la segunda ley de Newton. Así, para estudiar la fuerza aplicada a un cuerpo en un intervalo de tiempo de tiempo estudiamos la tasa de variación media del momento lineal respecto al tiempo en ese intervalo. Cuando la fuerza aplicada en el intervalo es alta, el momento lineal varía mucho en ese intervalo de tiempo. Cuando la fuerza aplicada es pequeña, la variación del momento lineal también es pequeña. Te invitamos a que navegues los contenidos de la web para encontrar fórmulas que puedas interpretar bajo este punto de vista.

TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA La tasa de variación instantánea de una función en un punto nos dice cuánto varía la función en dicho punto, es decir, cuál es su crecimiento.

CONCEPTO Recuerda que la tasa de variación media nos daba el crecimiento en un intervalo, por tanto, haciendo el intervalo infinitamente pequeño obtenemos la variación o rapidez de cambio en el punto, que es precisamente lo que andábamos buscando.

EXPRESIÓN Se define la tasa de variación instantánea de una función f(x), en un punto a - T.V.I.(a) como el límite cuando el intervalo se hace infinitamente pequeño de la tasa de variación media. Expresando el intervalo como [a, b], este se hace infinitamente pequeño cuando b se aproxima a a, quedando: f ( b )−f (a) T . V . I . ( a )=lim b−a b→ a Expresando el intervalo en función de su longitud h como [a, a+h], la T.V.I.(a) puede ser reescrita como:

127

Física I | Darío Gómez Santibañez

T . V . I . ( a )=lim h→ 0

f ( a+h ) −f (a) h

Comprobación Puedes verificar que ambas expresiones son equivalentes, haciendo b=a+h. De esta manera: ⇒

b → a b=a+h h → 0 Por otro lado: f ( b ) −f (a) ¿ f ( a+ h )−f (a) f ( a+ h )−f (a) = b−a b=a+h a+h−a h Con lo que… f ( b )−f (a) f ( a+h ) −f ( a) T . V . I . ( a )=lim =lim b−a h b→ a h →0

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Geométricamente, la tasa de variación instantánea en el punto a es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto:

RELACIÓN CON LA DERIVADA A la tasa de variación instantánea de la función, en el punto a, también se le denomina derivada de la función en el punto a, y es designada f'(a). Por otro lado, podemos generalizar esta idea para cualquier valor genérico de x. Así, dada una función cualquiera f(x), se conoce como función derivada de esta a aquella función que hace corresponder cada valor de x con el valor de la derivada de la función en ese x concreto, es decir, con el valor de la tasa de variación instantánea de f en ese punto. Matemáticamente no hay más que cambiar a por x en la definición de f'(a): f ( a+ h )−f (a) f ( x +h )−f (x ) f ' ( a )=lim ⇒ f ' ( x ) =lim h h h→0 h→0

b. Derivada de una función La derivada de una función f(x), o función derivada de f(x), es aquella función, denotada f'(x), que asocia a cada x la rapidez de cambio de la función original f(x) en ese punto, es decir, su tasa de variación instantánea.

CONCEPTO Ya sabes que la tasa de variación instantánea de f(x) en un punto a, T.V.I.(a), nos dice la rapidez de cambio de f(x) en ese punto. A esa tasa de variación instantánea de f(x) en el punto también se le llama derivada de la función en el punto, y se denota habitualmente f'(a). Así, pues: f ( a+h )−f ( a) T . V . I . ( a )=f ' ( a )=lim h h→0 128

Física I | Darío Gómez Santibañez Decimos que una función es derivable en x=a cuando existe la derivada en el punto, f'(a) y además ésta es continua en él. Vamos ahora a tratar de generalizar esta idea para cualquier x, y no solo para el punto a. Pensemos en una función concreta, por ejemplo, f(x) = x2. Podemos confeccionar la siguiente tabla: Como ves, a partir de f(x) hemos desarrollado otra función con el valor de la tasa de variación instantánea de f en cada abscisa x y la hemos llamado f'(x). Bueno... realmente solo tenemos los valores de f'(x) en algunas abscisas (x=-2, x=-1, x=0, x=1 y x=2). Si somos capaces encontrar la expresión de la función que pase por esos puntos, habremos encontrado la función derivada de f para cualquier x (y no solo para a). Se le denomina función derivada porque proviene (deriva) de otra. Con estas ideas en mente ya podemos definir formalmente la función derivada y enseñarte a calcularla de manera sistemática.

DEFINICIÓN Se llama función derivada de f(x), o simplemente derivada de f, y se denota normalmente como f'(x), al límite: f ( x +h )−f ( x) f ' ( x )=lim h h→ 0 Como ves, se trata de la tasa de variación media, cuando el intervalo considerado tiende a una longitud 0 y su extremo inferior se encuentra en un valor genérico x. El conjunto de puntos en que una función es derivable se conoce como dominio de derivabilidad y se cumple que: Dom ( f ' ) ⊆ Dom(f ) Volviendo a la función de nuestro ejemplo f(x)=x2, podemos calcular su función derivada aplicando la definición: f ( x +h )−f ( x ) ( x+ h )2−x 2 2 xh+h2 f ' ( x )=lim =lim =lim =¿ h h h x →0 h→0 h→0 ¿ lim 2 x +h=2 x ⇒ f ' ( x )=2 x h→0

Que es, justamente, el resultado que habíamos deducido a partir de la tabla anterior.

129

Física I | Darío Gómez Santibañez A no ser que te lo pidan específicamente, no será necesario que apliques la definición cada vez que tengas que calcular la derivada de una función, sino que harás uso de las reglas de derivación que veremos en un apartado posterior.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Geométricamente, la derivada de una función en el punto a es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto: Recuerda que la pendiente de una recta que pasa por los puntos (x1, y1), (x2, y2) se puede expresar como: y 2− y 1 m= x 2−x 1 Ahora bien, si esta es la interpretación de la derivada de una función en un punto, ¿qué representa la función derivada?

DERIVADAS SUCESIVAS Es posible calcular la derivada de la derivada de una función, y a su vez volver a calcular la derivada de la función resultante. Puedes repetir este proceso tantas veces como quieras. De esta manera, tendríamos la primera derivada f'(x), la segunda derivada f''(x), la tercera derivada f'''(x) y así sucesivamente. Originalmente, la notación de estas derivadas sucesivas consistía en ir añadiendo de superíndice números romanos que indicaban el orden de la derivada, por ejemplo, fII para la derivada segunda y fV para la derivada quinta. No obstante, en la actualidad se añade un símbolo prima (') a f(x) hasta la tercera derivada, y a partir de ahí sí que se utilizan números romanos. Volviendo a la función de nuestro ejemplo, su derivada segunda queda: f ( x )=x 2 ; f ' ( x ) =2 x f ' ( x+ h )−f ' (x) 2 ( x +h )−2 x '' f ( x ) =lim =lim =2 ⇒f ' ' ( x )=2 h h h→0 h →0 En ocasiones puede que veas la derivada enésima escrita como fn'. Así pues, la derivada 5 sería f5' y la 20 sería f20'.

NOTACIONES A lo largo de la historia se han utilizado distintas notaciones para representar la derivada. La utilizada hasta ahora, f' fue propuesta por Lagrange (1736 - 1813) y es el símbolo para referirnos a la función derivada de f. Como "extensión" de la misma, en ocasiones se identifica f con y, y se escribe y' (si f(x)=y, entonces f'(x)=y'). Es también muy habitual que veas la notación Df. Dicha notación, propuesta por Euler no designa la función derivada, sino que se trata de un operador, es decir, es la orden de derivar la función f. De esta manera, Df=f'. 130

Física I | Darío Gómez Santibañez Aunque en ocasiones sucede, estrictamente hablando sería incorrecto escribir (x+2)', pero no D(x+2). Otra notación habitual, especialmente en ciencias, es debida a Leibniz (1646 - 1716) y consiste en representar la derivada como un cociente del incremento infinitesimal (esto es, un incremento infinitamente pequeño) de dos magnitudes. Así, si utilizábamos el símbolo ∆ para designar un incremento (por ejemplo ∆x es incremento de x), utilizamos el signo d para designar un incremento infinitamente pequeño (por ejemplo, dx significa incremento infinitesimal de x), y nos queda la derivada como: ∆y dy → ∆x dx Esta notación es de particular interés para el caso de las derivadas parciales, esto es, funciones de varias variables que se pueden derivar respecto a cada una de ellas. La notación de Leibniz indica respecto a qué variable se deriva la función. Así df(x)/dx indica que derivamos f(x) respecto a x, y ds(t)/dt indica que derivamos s(t) respecto a t. Finalmente, aunque menos usada en la actualidad, también podrás encontrar la notación de Newton (1643 - 1727) en la que se coloca un punto sobre el nombre de la función que estamos derivando. Por ejemplo x˙ .

USOS DE LA DERIVADA Históricamente, las derivadas surgieron para dar respuesta a problemas de naturaleza aparentemente distinta: el cálculo de la recta tangente a una curva (función) en un punto, y el cálculo de la velocidad instantánea. Una vez sistematizado su estudio, podemos aplicarlo a:  Cálculo de la recta tangente  Cálculo de la recta normal  Representación gráfica de funciones: Nos permiten estudiar el crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad de las funciones  Variación instantánea de una magnitud respecto a otra. Así pues, la velocidad es la variación de la posición respecto al tiempo, la fuerza que se aplica en un cuerpo es la derivada de su momento lineal respecto al tiempo y un largo etcétera.

c. Reglas de derivación La función derivada es aquella que, en cada punto de abscisa x, asocia a una determinada función f(x), el valor de su variación instantánea. Recuerda que, aunque suele ser más laborioso, siempre puedes utilizar la propia definición de función derivada para su cálculo: f ( x +h )−f ( x) f ' ( x )=lim h h→ 0

TABLA RESUMEN

131

Física I | Darío Gómez Santibañez

d. Derivadas laterales. Derivabilidad y continuidad DEFINICIÓN Puesto que la derivada de una función es, por definición, un límte, podemos calcular las derivadas laterales en un punto. Se define la derivada por la izquierda de una función f(x) en x=a como: f '¿ Decimos entonces que f es derivable por la izquierda en x=a. Se define la derivada por la derecha de una función f(x) en x=a como: f '¿ ¿ Decimos entonces que f es derivable por la derecha en x=a. 132

Física I | Darío Gómez Santibañez Ya sabes, de apartados anteriores, que una función se dice derivable en x=a cuando f ( a+ h )−f (a) existe f'(a) y f'(x) es continua en x=a. Dado quef ' ( a )=lim , podemos h h→0 afirmar que si una función es derivable en un punto entonces las derivadas laterales existen y son iguales, con lo que podemos escribir: f ( x ) derivable en x=a ⇔ f ' ¿ ¿ Observa que la expresión anterior también se puede leer de derecha a izquierda (siempre que f(x) sea continua en x=a), es decir, que cuando las derivadas laterales en x=a existen y son iguales a f'(a), la función es derivable en x=a. Algunos autores utilizan la notación f'- y f'+ para referir la derivada la lateral izquierda y la derecha respectivamente.

PUNTO ANGULOSO Podemos interpretar gráficamente las ideas anteriores. Recuerda que la derivada de una función en un punto es la pendiente de su recta tangente. En una función en la que las derivadas laterales coincidan en un punto (es decir, en una función derivable en x=a), los cambios en la pendiente de la función son "suaves". Por el contrario, en aquellos puntos en los que las derivadas laterales no coincidan aparecerán puntos angulosos.

PUNTO DE RETROCESO Un caso particular ocurre cuando las dos derivadas laterales existen en x=a, pero son infinitas y de distinto signo. En estos casos hablamos de un punto de retroceso.

CÁLCULO Te recomendamos que sigas los siguientes pasos 1. Comienza derivando f(x) y obteniendo f'(x). Utiliza para ello las reglas de derivación ya estudiadas 2. Aplica los límites laterales para obtener el valor concreto de la derivada lateral, así: ' f ¿ f '¿ Algunos casos particulares:  En las funciones habituales derivables en todo su dominio, y definidas por una sola expresión analítica, el valor de las derivadas laterales coincidirá con el valor de la derivada de la función en el punto. Por ejemplo: 133

Física I | Darío Gómez Santibañez f ( x )=3 x 2 +2⇒ f ' ¿  En las funciones definidas a trozos, si el punto pedido es justamente un punto de cambio de rama, derivamos cada rama por separado, y utilizamos la rama izquierda o derecha según estemos calculando la derivada lateral izquierda o la derecha. Por ejemplo: 3 f ( x )= xx si x< 1 ⇒ e si x ≥ 1 ' f ¿ f '¿  En las funciones definidas a trozos, si el punto pedido no es un punto de cambio de rama, actuaremos normalmente, teniendo en cuenta la rama a la que pertenece x=a. Por ejemplo: 3 f ( x )= xx si x< 1 ⇒ f ' ¿ e si x ≥ 1 lim ¿

{ {

3

+¿

x→−2 D (x )=

lim +¿

2

¿¿

x→−2 3x =12¿

Aunque es más tedioso, también puedes aplicar directamente la definición de derivada lateral que hemos visto al comienzo del apartado. Ten presente que solo tiene sentido calcular el valor de la derivada de una función en aquellos puntos en los que la función sea continua.

EXPRESIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN A TROZOS Llegados a este punto no debe serte complicado encontrar la expresión para la derivada de una función definida a trozos.  La expresión de cada rama en la función derivada será la derivada de la rama original  Los extremos de cada rama son los mismos que los de la función original, teniendo en cuenta que si en la función original hay un signo =, la función derivada solo puede tener el signo igual cuando la función sea derivable en ese punto, es decir, cuando: o Sea continua o ...y cuando sus derivadas laterales coincidan El siguiente ejemplo te aclarará las ideas. Si... f ( x )= 3 2x+ 2 si x <1 x + x si x ≥ 1 derivando cada rama, podemos estar seguros de que: f ' ( x )= 3 si x <1 2 x +1 si x> 1 Ahora bien, ¿podemos poner el signo ≥ en la segunda rama (o el signo ≤ en la primera)? Solo si la función es continua y sus derivadas laterales coinciden en x=1. Comenzamos por la continuidad: ¿ Como no coinciden, la función no es derivable en x=1, con lo que no podemos colocar el signo ≥ en la segunda rama (ni el signo ≤ en la primera). Así, solo podemos escribir: f ' ( x )= 3 si x <1 2 x +1 si x> 1

{

{

{

134

Física I | Darío Gómez Santibañez Aunque las derivadas laterales pueden coincidir, como es el caso del ejemplo, la función debe ser continua en el punto de cambio de rama para poder colocar el signo igual en el cambio de rama.

e. Regla de la cadena Al estudiar las reglas de derivación es habitual aprender una tabla con la derivada de las funciones habituales. En ella, encontrarás la derivada de las funciones en su forma más sencilla posible. La regla de la cadena es una fórmula que te permitirá obtener la derivada de funciones más complejas. Desde un punto de vista práctico, la regla de la cadena nos permite decir "si en lugar de x tengo f(x), a la hora de derivar sustituyo x por f(x) en la regla que corresponda, y multiplico por f'(x)".

DEFINICIÓN En realidad, la regla de la cadena es una consecuencia de la derivada de la composición de funciones. La regla de la cadena no es más que la aplicación de la derivada de la composición de funciones, y establece que si f es derivable en x y g lo es en f(x), g∘f será derivable en x y tendrá por expresión: D [ ( g ∘ f )( x ) ] =D [ g ( f ( x ) ) ]=g' ( f ( x ) ) · f ' ( x)

DEMOSTRACIÓN

Comenzaremos aplicando la propia definición de derivada a la función compuesta: g [ f ( x +h ) ] −g [ f ( x ) ] D ( g [ f ( x ) ] )=lim h h →0 Multiplicando y dividiendo por f(x+h)-f(x), y reordenando nos queda: g [ f ( x +h ) ] −g [f (x )] g [ f ( x+ h ) ] −g[ f (x)] f ( x+ h )−f (x ) g [ f ( x +h ) ]−g[f ( x)] f ( x+ h )−f (x lim =lim · =lim · h h h h→ 0 h→0 f ( x+ h )−f (x ) h →0 f ( x+ h )−f (x) Como el límite de un producto es el producto de los límites, podemos escribir: g [ f ( x +h ) ] −g [ f ( x ) ] f ( x +h ) −f ( x ) lim · lim =¿ h h→ 0 f ( x +h )−f ( x ) h→0 g [ f ( x +h ) ] −g [f ( x ) ] ¿ lim · f ' ( x) h→0 f ( x+h )−f (x) Como ves, el segundo factor es la derivada de f, ahora vamos a demostrar que el primero es g'[f(x)].

135

Física I | Darío Gómez Santibañez Para ello supondremos, en primer lugar, que existe un entorno de x en el que el valor de la función es distinto al de f(x), es decir, supondremos que existe un entorno de x en el que la función no es constante. Formalmente, esto equivale a decir que podemos encontrar un ε>0 tal que, si a∈(x-ε,x+ε), entonces f(a)≠f(x). Bajo estas condiciones, podemos decir que cualquier valor f(x+h) podrá ser escrito como f(x)+k con k≠0 siempre que |h|<ε. En consecuencia:  g[f(x+h)]=g[f(x)+k]  Si h→0, entonces k→0 Ya estamos en condiciones de reescribir el primer factor que nos quedaba aplicando la definición de la derivada a la composición de funciones, quedando:

g [ f ( x +h ) ] −g [ f ( x ) ] ' g [ f ( x )+ k ]−g [ f ( x ) ] ' · f ( x )=lim · f ( x )=¿ h→ 0 f ( x +h )−f ( x ) k→0 f ( x )+ k−f ( x ) g [ f ( x )+ k ]−g [f ( x )] ¿ lim · f ' ( x )=g' [ f ( x ) ] · f ' (x ) k k→ 0 lim

f. Recta tangente y normal EXPRESIÓN DE LA RECTA TANGENTE Se define la recta tangente a una función en un punto de abscisa x=a como aquella recta que pasa por (a,f(a)) y tiene por pendiente la derivada de la función en el punto, f'(a). Su expresión es: y−f ( a ) =f ' ( a ) ·(x−a) Demostración Sabemos que la ecuación de una recta viene dada por y=m·x+n, siendo:  m la pendiente de la misma  n es la ordenada en el origen, es decir, donde la recta corta al eje y Por tanto, para determinar la ecuación de la recta tangente debemos calcular m y n. Por la definición de recta tangente que hemos dado sabemos que: 1. La pendiente de la recta tangente en x=a coincide con el valor de la derivada en x=a, con lo que m=f'(a) 2. La recta 'toca' a la función en el punto, es decir, pasa por (a,f(a)). Sustituyendo en la ecuación genérica de la recta x por a, e y por f(a), nos queda f(a)=m·a+n Sustituyendo la ecuación de 1 en 2, obtenemos: ⇒

f ( a )=m·a+n m=f ' ( a ) f ( a )=f ' ( a ) · a+ n⇒ n=f ( a )−f ' ( a ) ·a Ya tenemos, por tanto, los valores de m y n que buscábamos. Sustituyendo y reagrupando obtenemos la expresión buscada: ( a ) −f ' ( a ) · a ⇒ y−f ( a )=f ' ( a ) ·(x−a) y=f⏟ '( a) · x+ f⏟ m

n

Relación con la secante

136

Física I | Darío Gómez Santibañez Tal y como veíamos al estudiar la tasa de variación instantánea a partir de la tasa de variación media, una manera alternativa de definir la recta tangente es considerarla como la recta secante que pasa por dos puntos infinitamente próximos de la función. En ocasiones se define la recta tangente como aquella que corta a la función en un único punto. Aunque es una definición muy intuitiva, estrictamente hablando se trata de una definición errónea. Efectivamente, observa las siguientes gráficas:

EXPRESIÓN DE LA RECTA NORMAL Se define la recta normal a una función en un punto de abscisa x=a como aquella recta que es perpendicular a la recta tangente en ese punto. Por tanto, pasa por (a,f(a)) y tiene por pendiente -1/f'(a). Su expresión es: −1 y−f ( a ) = ' ·( x−a) f (a ) Demostración

137

Física I | Darío Gómez Santibañez Siguiendo un procedimiento análogo al de la recta tangente tenemos: 1. La pendiente de la recta normal en x=a es m=1/f'(a) 2. La recta 'toca' a la función en el punto, es decir, pasa por (a,f(a)). Sustituyendo en la ecuación genérica de la recta x por a, e y por f(a), nos queda f(a)=m·a+n Sustituyendo la ecuación de 1 en 2, obtenemos: −1 −1 y= · x+ f⏟ ( a )−f ' ( a ) · a ⇒ y−f ( a )= ' ·( x−a) f ' (a) f ( a) ⏟ n m

Recuerda que, si dos rectas son perpendiculares, se cumple que el producto de sus pendientes vale -1: m1 ⊥ m2 ⇒ m1 · m2=−1 Donde:  m1 y m2 son las pendientes de las rectas consideradas

g. Derivada de la función inversa Conocida una función f, y su inversa f-1, es posible obtener la derivada de esta última a partir de la siguiente expresión: ' ( f −1 ) = ' 1−1 f [f ] Demostración La composición de una función con su inversa resulta en la función identidad: f [ f −1 ] =x

Derivando ambos miembros obtenemos: 1 f [f −1] Donde hemos aplicado la regla de la cadena para derivar la función compuesta f[f-1]. El uso de la expresión anterior es de particular interés para el cálculo, por ejemplo, de la derivada de las funciones trigonométricas arcoseno, arcocoseno y arcotangente, cuyas '

'

f ' [ f −1 ] · ( f −1 ) =1 ⇒ ( f −1 ) =

'

138

Física I | Darío Gómez Santibañez recíprocas, el seno, el coseno y la tangente, tienen derivadas que se pueden obtener fácilmente aplicando la definición.

11) Sucesiones CONCEPTO DE SUCESIÓN Una sucesión es un conjunto de elementos (generalmente números) denominados términos, dispuestos uno detrás de otro y con un cierto orden. De manera general se suelen representar de la siguiente forma: a1, a2, a3, ..., an donde:  a1, a2, a3, ... son los términos de la sucesión.  El subíndice de cada término nos indica su posición dentro de la sucesión  an recibe el nombre de término general. Está formado por una expresión algebraica que permite obtener cualquier término a partir de su posición. 

TIPOS DE SUCESIONES - Finitas o infinitas Dependiendo de si la sucesión termina alguna vez o no, podemos distinguir dos tipos de sucesiones:  Sucesiones finitas. La sucesión termina en un momento determinado.  Sucesiones infinitas. La sucesión no termina nunca. - Sucesiones opuestas Se dice que dos sucesiones con términos generales an y bn respectivamente son sucesiones opuestas si el valor absoluto de sus términos generales es el mismo. |a n|=|bn| - Sucesiones inversas Se dice que dos sucesiones con términos generales an y bn respectivamente son sucesiones inversas si uno de sus términos generales es el inverso del otro término general. 1 a n= bn Dentro de las sucesiones, es posible distinguir dos tipos muy particulares que se presentan en multitud de situaciones de la vida. Estos tipos son las denominadas progresiones aritméticas y geométricas. - Sucesiones crecientes Se dice que una sucesión es creciente si cada uno de sus términos es mayor o igual que el anterior. a n+1 ≥ a n - Sucesiones decrecientes Se dice que una sucesión es decreciente si cada uno de sus términos es menor o igual que el anterior. a n+1 ≤ a n

- Sucesiones estrictamente crecientes Se dice que una sucesión es creciente si cada uno de sus términos es mayor que el anterior. a n+1 >an - Sucesiones estrictamente decrecientes 139

Física I | Darío Gómez Santibañez Se dice que una sucesión es creciente si cada uno de sus términos es menor que el anterior. a n+1
140

Física I | Darío Gómez Santibañez

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética se puede obtener por medio de la siguiente expresión. a 1 + an S= ·n 2 donde:  a1 es el primer término de la progresión aritmética.  an es el último término que deseamos sumar.  n es el número total de términos que se suman. En general, la suma del primer y último término de una progresión aritmética es igual a la del segundo con el del penúltimo, pero también igual a la del tercero y el antepenúltimo y así sucesivamente. Por tanto, se cumple que: a 1+ an=a 2+ an−1=a 3+ an−2=a4 +a n−3=… Demostración Supongamos que deseamos sumar los n primeros términos de una sucesión S cuyo primer término es a1 y que posee de diferencia d: S=a1 +a2 +…+ an−1 +an Si te das cuenta a1 = a2 - d y an = an-1 + d, por lo que si deseamos calcular a1+an tenemos que: a 1+ an=a 2−d +a n−1 + d ⇒ a 1+ an=a 2+ an−1 En general, la suma del primer y último término es igual a la del segundo con el penúltimo, pero también igual a la del tercero y el antepenúltimo y así sucesivamente. Por tanto, se cumple que: a 1+ an=a 2+ an−1=a 3+ an−2=a4 +a n−3=… Si ahora sumamos en columnas la misma sucesión 2 veces, aunque con los términos en orden inverso tenemos que: S=a1 +a2 +…+ an−1 +an S=an +a n−1 + …+ a2 +a1 2 S=( a1+ an ) + ( a2 +an−1 ) +…+ ( an−1 +a 2) +(a n+ a1) Dado que todos los paréntesis valen lo mismo podemos concluir que: 2 S=n·(a1 +an ) Despejando obtenemos la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. a 1 + an S= ·n 2

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Las sucesiones formadas por números reales, en las que cada término excepto el primero se obtiene al multiplicar al término anterior una misma cantidad, reciben el nombre de progresiones geométricas. La cantidad constante con la que se multiplica recibe el nombre de razón. Por ejemplo, las siguientes son progresiones aritméticas:  4, 8, 16, 32, 64, ... (el primer término es a1 = 4 y la razón es r = 2)   2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... (el primer término es a1 = 2 y la razón es r = 1/2)  141

Física I | Darío Gómez Santibañez  1, -3, 9, -27, 81, ... (el primer término es a1 = 1 y la razón es r = -3)  En las progresiones geométricas se cumple que el termino general es: a n=a1 · r n−1 donde:  a1 es el primer término de la progresión geométrica.  n es la posición del término que queremos calcular.  r es la razón utilizada en la progresión geométrica.

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Suma de los n primeros términos La suma de los primeros n términos de una progresión geométrica se puede obtener por medio de la siguiente expresión. a 1 ·(r n −1) S= r−1 donde:  a1 es el primer término de la progresión geométrica.  r es la razón de la progresión geométrica.  n es el número total de términos que se suman. Demostración Supongamos que deseamos sumar los n primeros términos de una progresión geométrica cuyo primer término es a1 y su razón es r: S=a1 +a2 +…+ an−1 +an Si tenemos en cuenta que an = an-1·r, al multiplicar S·r obtenemos: S·r=a⏟ 1 · r +a 2 · r +…+ a n−1 · r +a n · r ⇒ ⏟ ⏟ a2

a3

an

S·r=a 2+ a3 +…+a n+ an ·r Si ahora a este resultado le restamos S, es decir, calculamos S·r - S: S·r=a 2+ a3 +…+a n+ an ·r − S=a 1+ a2 +a3 +…+ an S·r−S=a1 +an · r De esta forma: S· ( r −1 )=a n · r−a1 Y dado que an=a1·rn-1, si lo sustituimos en la expresión obtenemos que: a 1 ·(r n −1) S= r−1 Suma infinita de términos Si en el punto anterior hemos estudiado cuánto vale la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica, cabe la posibilidad de preguntarnos cuánto valdría dicha suma si tomamos todos sus términos, es decir, infinitos términos. Para ello, Si analizamos la expresión de la suma de n términos y el valor de la razón obtenemos que sí:  r ≥1. En este caso si el valor de n es cada vez más grande (tiende al infinito) el valor de rn es todavía más grande, por lo que la suma sería un valor enorme: infinito. S = +∞

142

Física I | Darío Gómez Santibañez  r ≤1. En este caso rn a veces tomará un valor negativo y otras veces positivo dependiendo de si n es par o impar lo que hace que la suma no tienda hacía un valor determinado.  −1
√

√

P= ( a1 · an )

12)

n

Producto vectorial

El producto vectorial de un vector a⃗ y otro b⃗ , denotado como a⃗ × ⃗b, es un vector r⃗ tal que: ⃗ × ⃗b|=|a⃗|·|b⃗|· sin( α)  Módulo:  |a  Dirección: Es perpendicular al plano que definen ambos vectores  Sentido: Queda definido por cualquiera de las siguientes reglas: o Regla del sacacorchos o del tornillo. El sentido es el mismo sentido de avance de un sacacorchos o tornillo que girase desde a⃗ hasta b⃗   por el camino más corto

143

Física I | Darío Gómez Santibañez o

o

Regla de la mano derecha con la palma. También puedes utilizar la palma de tu mano, orientándola desde a⃗ hasta b⃗ por el camino más corto. El dedo pulgar determina el sentido del producto, tal y como se ve en la figura inferior Regla de la mano derecha con tres dedos. Otra opción es utilizar tu mano derecha y los dedos índice (⃗a ), corazón o medio (b⃗ )  y pulgar (⃗a × ⃗b ), tal y como se ve en la figura inferior

Cómo puedes observar, el producto vectorial no es conmutativo ( a⃗ × ⃗b ≠ ⃗b× ⃗a ) sino anticonmutativo ( a⃗ × ⃗b=−⃗b × a⃗ ).

EXPRESIÓN ANALÍTICA La expresión analítica del producto vectorial r⃗ =⃗a × b⃗ expresa r⃗ en función de sus componentes cartesianas rx  , ry  , rz  , a partir de las componentes cartesianas de a⃗ , a x a y az y b⃗ , b x b y bz . Utilizamos para ello los determinantes de rango 3x3: i⃗ ⃗j ⃗k a⃗ × ⃗b= a x a y a z =¿ bx by bz ¿ ( a y · b z−b y · a z ) · i⃗ + ( az · b x −b z ·a x ) · ⃗j+ ( a x · b y −b x · a y ) · k⃗

|

|

¿Qué pasa si los vectores son sólo de dos componentes? En ocasiones, para simplificar cálculos, solemos trabajar con vectores en dos dimensiones. Teniendo en cuenta que la dirección del producto vectorial es siempre perpendicular al plano que forman los vectores, necesitaremos una tercera dimensión para poder expresarlo. Para obtener la expresión analítica podemos suponer que la componente z de cada vector es cero, tal y como hacemos en el siguiente ejercicio.

144

Física I | Darío Gómez Santibañez

ÁREA DEL PARALELOGRAMO Geométricamente, el módulo del producto vectorial tiene igual valor que el área del paralelogramo obtenido a partir de los vectores a⃗ y b⃗ , tal y como puede verse en la figura. Observa que: |a⃗ × ⃗b|=¿ ¿ a· b· sin(α ) =¿ ⏟ h

¿ a·h=¿ ¿ Área del paralelogramo

REPRESENTACIÓN EN TRES DIMENSIONES

145

Física I | Darío Gómez Santibañez

CONCLUSIÓN En este apartado hemos presentado el producto vectorial. En física necesitamos 3 dimensiones para expresarlo. Dependiendo del problema concreto al que nos enfrentemos podemos expresar el producto vectorial r⃗ =⃗a × b⃗ :  Cómo un módulo r y un vector unitario u⃗ N que marque dirección, obtenida a partir de la regla de la mano derecha r· u⃗ N  Según sus componentes cartesianas, a partir de la expresión analítica (determinante 3x3), r⃗ =( r x , r y ,r z ) =r x · i⃗ +r y · ⃗j+r z · ⃗k

146

Física I | Darío Gómez Santibañez

BLOQUE 1: CINEMÁTICA 1) Introducción al movimiento: a. Posición Existen dos conceptos clave para describir los movimientos de los cuerpos: el lugar en el que se encuentra el cuerpo o, dicho de otra forma, su posición y el momento en el que se encuentra en ese lugar o, dicho de otro modo, el instante de tiempo. Vamos a explicar esos dos conceptos.

INSTANTE El instante de tiempo es uno de los parámetros usados para describir los movimientos en Física. Se representa por la letra t, en ocasiones acompañada por uno o varios subíndices que pueden indicar el lugar que ocupa el dato en un conjunto de medidas. Por ejemplo, para denotar dos instantes de tiempo consecutivos se puede utilizar los subíndices 1 y 2, quedando la representación de los mismos como t1 y t2. En otras ocasiones para indicar un instante inicial y otro final se puede indicar por ti y tf respectivamente. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el segundo [s]. Para indicar el tiempo transcurrido entre dos instantes concretos se suele usar ∆ t· ∆ es la letra griega 'delta' mayúscula que solemos usar en Física para indicar incrementos (o decrementos si es negativa) de una magnitud. Imagina que obtienes una serie de datos por la lectura directa del cronómetro de tu teléfono móvil: 0s, 5 s, 10 s, 15 s, 20 s.

POSICIÓN Para determinar la posición de un cuerpo primero establecemos el sistema de referencia. En un plano, en dos dimensiones, la coordenada X corresponde al eje de abscisa, eje horizontal y la coordenada Y al eje de ordenada, eje vertical. El observador se sitúa en el origen del Sistema de referencia (SR) y mediante un aparato de medida adecuado o a través de relaciones matemáticas, se determina el valor de cada posición (X, Y). Ese par, (X, Y), son las coordenadas del vector posición, o simplemente posición, que une el punto en el que se encuentra el cuerpo con el origen de coordenadas. En Física, la posición o vector de posición de un cuerpo respecto a un sistema de referencia se define como el vector que une el lugar ocupado por el cuerpo con el origen del sistema de referencia. La unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro [m]. Si conoces la posición de un cuerpo en cada instante de tiempo, el movimiento del mismo queda perfectamente descrito. El vector posición, como todo vector, cuenta con un módulo, una dirección y un sentido.

147

Física I | Darío Gómez Santibañez



 

Módulo: Su expresión viene dada por: modulo=√ x2 + y 2 Representa la distancia al origen de coordenadas. Gráficamente se corresponde con el tamaño del vector. El vector se corresponde con la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene como catetos las coordenadas X e Y. De ahí que podamos usar el teorema de Pitágoras para su cálculo: Dirección: Se trata de la recta que contiene al vector. Sentido: El sentido, marcado por la punta de la flecha, apuntando al objeto en movimiento.

b. Trayectoria Piensa en un objeto que veas moverse de forma cotidiana. Por ejemplo, el péndulo de un reloj de pared, un avión en el cielo, el muñeco de Elvis que tienes en el salpicadero de tu coche, etc. ¿Cómo describirías su movimiento? Lo más evidente de un movimiento es la forma del camino que describe mientras se mueve. Este es el concepto de la trayectoria. La trayectoria de un cuerpo es la línea geométrica que un cuerpo describe en su movimiento. Es importante señalar que la trayectoria depende del sistema de referencia elegido y de si éste está en movimiento o en reposo. Por ejemplo, la luna vista desde la Tierra tiene una trayectoria circular en cambio si la observas desde el sol tiene una trayectoria epicicloide. Algunos cuerpos, al moverse, dejan una marca que permite observar la trayectoria seguida de forma clara. Por ejemplo, el rastro que deja un avión por la condensación de los gases que expulsa el motor mientras se desplaza o las señales sobre la nieve que dejan los esquiadores al descender las pistas.

148

Física I | Darío Gómez Santibañez

c. Desplazamiento y espacio recorrido DESPLAZAMIENTO Imaginemos un automóvil moviéndose desde una posición inicial Pi en el plano hasta una posición Pf. Llamamos desplazamiento o vector desplazamiento al vector que une el punto Pi con el punto Pf. La unidad de medida del vector desplazamiento en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro [m]. El módulo del vector desplazamiento es la distancia en línea recta que separa los puntos inicial Pi y final Pf y su expresión viene dada por: 2 2 |∆ ⃗r|= ( x f −x i ) + ( y f − y i ) Donde:  |∆ ⃗r|: Es el módulo del vector desplazamiento  x i , x f , y i , y f : Son las coordenadas de los puntos inicial Pi (x i , y i ) y final Pf (x f , y f )

√

La dirección del vector desplazamiento es la de la recta que une Pi con Pf y su sentido el que va del punto Pi a Pf.

ESPACIO RECORRIDO Existe un concepto que a veces se confunde en la vida cotidiana con el de desplazamiento pero que en Física tienen significados bien distintos: el espacio recorrido, tambien conocido como distancia recorrida. Dado que el espacio recorrido o distancia recorrida mide longitudes, la unidad de medida del espacio recorrido en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro [m] Cuando un cuerpo se desplaza por una trayectoria, lo hace recorriendo un espacio. La imagen inferior representa la trayectoria seguida por un ciclista. En ella puedes apreciar la diferencia que hay entre el desplazamiento (un vector) y el espacio recorrido (un escalar). El espacio recorrido o distancia recorrida se mide siempre sobre la trayectoria, a diferencia del desplazamiento, en el que sólo cuentan el punto inicial y final del movimiento. Cuando la trayectoria es una línea recta, el espacio recorrido es igual al módulo del desplazamiento. 149

Física I | Darío Gómez Santibañez Por último, puede que te estés preguntando por qué son necesarias dos magnitudes similares, espacio recorrido y desplazamiento, para que el cambio de posición de un cuerpo quede bien definido. Para responder a esta pregunta, puedes observar la figura anterior. Por ejemplo, si tan sólo indicásemos el espacio recorrido o distancia recorrida entre P1 y P2, no sabríamos si el ciclista se encuentra viajando de España a Francia o de Francia a España. Por esta razón, es necesario conocer la dirección y el sentido del movimiento.

d. Celeridad o rapidez Definimos la celeridad o rapidez de un cuerpo que se mueve entre dos puntos P1 y P2 como el cociente entre el espacio recorrido y el intervalo de tiempo en que transcurre el movimiento. Su expresión viene dada por: ∆ s s2−s 1 c= = ∆ t t 2−t 1 donde:  c: Celeridad en el intervalo estudiado. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo (m/s)  Δ s: Espacio recorrido en el intervalo estudiado. Se mide sobre la trayectoria. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m)  Δt : Tiempo empleado por el cuerpo en realizar el movimiento. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el segundo (s)  s1 , s 1: Espacio recorrido sobre la trayectoria por el cuerpo hasta los puntos inicial P1  y final P2 del movimiento. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m)  t 1 , t 2: Instantes de tiempo en los que el cuerpo se encuentra en los puntos inicial P1  y final P2 respectivamente. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el segundo (s) La celeridad es una magnitud escalar, y se mide sobre la trayectoria. Por tanto, no contiene información sobre la dirección o el sentido del movimiento. La unidad de medida de la celeridad o rapidez en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo (m/s). Por último, una aclaración. Todo lo dicho hasta ahora se refiere a la celeridad media o rapidez media de los cuerpos que es la que tiene un cuerpo entre dos instantes diferentes de tiempo. Aunque existe la celeridad instantánea o rapidez instantánea, la celeridad que tiene un cuerpo en un instante determinado de tiempo, su estudio lo abordaremos en niveles más avanzados.

e. Velocidad

150

Física I | Darío Gómez Santibañez El concepto cotidiano de velocidad surge cuando apreciamos la rapidez o lentitud con que se mueve un cuerpo. De alguna manera relacionamos el desplazamiento realizado con el tiempo invertido en él. En este tema de introducción al movimiento para el nivel intermedio, vamos a estudiar dos magnitudes relacionadas con el concepto cotidiano de velocidad: la celeridad o rapidez y la velocidad. En este apartado abordamos el estudio de la velocidad de una forma sencilla que te permita entender con claridad este concepto en niveles más avanzados. Esto nos servirá para tener una primera aproximación de qué se entiende en Física por velocidad. Si necesitas información más precisa no dudes en consultar otros niveles más avanzados.

CONCEPTO DE VELOCIDAD El concepto de velocidad está asociado al cambio de posición de un cuerpo a lo largo del tiempo. Cuando necesitamos información sobre la dirección y el sentido del movimiento, así como su rapidez recurrimos a la velocidad. La velocidad es una magnitud vectorial y, como tal, se representa mediante flechas que indican la dirección y sentido del movimiento que sigue un cuerpo y cuya longitud representa el valor numérico o módulo de la misma. Depende del desplazamiento, es decir, de los puntos inicial y final del movimiento, y no como la rapidez, que depende directamente de la trayectoria. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo (m/s), esto quiere decir que cuando por ejemplo afirmamos que la velocidad (módulo) de un cuerpo es de 5 metros por segundo (m/s), estamos indicando que cada segundo ese mismo cuerpo se desplaza 5 metros.

La velocidad puede definirse como la cantidad de espacio recorrido por unidad de tiempo con la que un cuerpo se desplaza en una determinada dirección y sentido. Se trata de un vector cuyo módulo, su valor numérico, se puede calcular mediante la expresión: ∆r v= ∆t Donde:  v: Módulo de la velocidad del cuerpo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo (m/s)  ∆ r: Módulo del desplazamiento. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m)  ∆ t: Tiempo empleado en realizar el movimiento. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el segundo (s) 151

Física I | Darío Gómez Santibañez

En el caso de los coches de la figura anterior, por ejemplo, parten y llegan a la vez a la meta. Aunque la velocidad de los dos es la misma (concepto vectorial de la velocidad), A ha recorrido mayor espacio en el mismo tiempo y, por tanto, su celeridad es mayor que B. Otro aspecto de la velocidad es que un cuerpo que varía la dirección de su movimiento no mantiene constante la velocidad, ya que esta tiene en cuenta la dirección del mismo. Esto sucede, aunque el módulo de la velocidad no cambie. Estudiaremos con más profundidad este aspecto en niveles más avanzados.

ACLARACIONES En este tema de introducción al movimiento y en este nivel educativo:  Trabajamos con la velocidad en un intervalo de tiempo (entre dos instantes de tiempo), o velocidad media. Aunque existe la velocidad instantánea, la velocidad que tiene un cuerpo en un instante determinado de tiempo, su estudio lo abordaremos en niveles más avanzados.  El módulo de la velocidad media es igual a la celeridad media o rapidez media cuando la trayectoria es una línea recta y no se produce cambio de sentido. En estos casos, y aunque el módulo de un vector es siempre una cantidad positiva, solemos adoptar, para facilitar cálculos, el siguiente convenio de signos: o v rel="nofollow"> 0: El móvil se mueve en el sentido positivo del eje o v< 0: El móvil se mueve en el sentido negativo del eje  Con lo dicho hasta ahora, en los ejercicios de este nivel es frecuente que te encuentres el término velocidad referido a la celeridad media.

f. Aceleración Al estudiar el comportamiento de un cuerpo en movimiento será usual que te encuentres con que este no mantiene su velocidad constante. El hecho de que un cuerpo pueda aumentar el módulo de su velocidad (también conocida como rapidez o celeridad) mientras se mueve, es lo que se conoce cotidianamente como aceleración. Cuando disminuye el módulo de la velocidad, se habla cotidianamente de frenado. Ambos tipos de movimiento son estudiados en Física por la misma magnitud: la aceleración. En este apartado vamos a dar una primera aproximación de qué se entiende en Física por aceleración. Si deseas profundizar más, no dudes en consultar niveles más avanzados.

CONCEPTO DE ACELERACIÓN 152

Física I | Darío Gómez Santibañez Decimos que un cuerpo tiene aceleración cuando varía su velocidad en el transcurso del tiempo ya sea en:  Módulo  O en dirección Por tanto, la aceleración es una magnitud vectorial. Por ejemplo, decimos que "está acelerando" un coche que aumenta su velocidad de 90 km/h a 120 km/h. Pero también decimos que un coche tiene aceleración si la disminuye de 70 km/h a 40km/h. A esta aceleración, responsable de que cambie el módulo de la velocidad (también llamado rapidez o celeridad), se le llama aceleración tangencial. Por otro lado, en Física también decimos que un cuerpo tiene aceleración cuando varía la dirección de su movimiento. Así, un ciclista que toma una curva tiene aceleración, independientemente de que la velocidad que marque su cuentakilómetros no cambie. ¿Por qué? El ciclista recorre una trayectoria circular, y por tanto, la dirección del vector velocidad va cambiando a medida que toma la curva, independientemente del módulo que tenga (que es lo que mide el cuentakilómetros). A este tipo de aceleración, responsable de que cambie la dirección de la velocidad, se le denomina aceleración normal o centrípeta.

EXPRESIÓN DE LA ACELERACIÓN La expresión de la aceleración tangencial viene dada por: ∆ v v f −v i a= = ∆ t t f −t i Donde:  a: Es la aceleración del cuerpo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo al cuadrado (m/s2)  ∆ v , v f , v i : Se trata respectivamente del incremento de velocidad experimentado por el cuerpo, de la velocidad final y de la velocidad inicial. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo (m/s)  ∆ t ,t f , t i: Se trata respectivamente del intervalo de tiempo en el que transcurre el movimiento, del instante final y del instante inicial. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el segundo (s) La unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) de la aceleración es el metro por segundo al cuadrado (m/s2). Un cuerpo con una aceleración de 1 m/s2 varía su velocidad en 1 metro/segundo cada segundo. Aclaraciones En este tema de introducción al movimiento y en este nivel educativo: 1. Trabajamos los movimientos rectilíneos y por tanto el único tipo de aceleración presente es la aceleración tangencial 2. Trabajamos con la aceleración en un intervalo de tiempo, o aceleración media. Tal y como ocurría con la velocidad y con la celeridad, es posible calcular la aceleración en un instante concreto de tiempo, pero lo estudiaremos en niveles más avanzados 3. La aceleración es una magnitud vectorial, pero trabajaremos únicamente con su módulo o valor numérico usando, por lo general, el mismo criterio de signos seguido con la velocidad: o a> 0: Aceleración en el sentido positivo del eje o  a< 0: Aceleración en el sentido negativo del eje

153

Física I | Darío Gómez Santibañez 4. Cuando la aceleración y la velocidad tienen igual sentido se produce un aumento de la rapidez del cuerpo. Cuando tienen sentidos contrarios se produce un frenado. Por tanto, cuando hablemos de aceleración, a secas, en este tema nos referimos a la aceleración media y tiene carácter tangencial.

g. Movimiento rectilíneo uniforme El movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.), es aquel con velocidad constante y cuya trayectoria es una línea recta. Un ejemplo claro son las puertas correderas de un ascensor, generalmente se abren y cierran en línea recta y siempre a la misma velocidad. Observa que cuando afirmamos que la velocidad es constante estamos afirmando que no cambia ni su valor (también conocido como módulo, rapidez o celeridad) ni la dirección del movimiento. Un movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.) es aquel que tiene su velocidad constante y su trayectoria es una línea recta. Esto implica que:  El espacio recorrido es igual que el desplazamiento.  En tiempos iguales se recorren distancias iguales.  La rapidez o celeridad es siempre constante y coincide con el módulo de la velocidad.

ECUACIONES Y GRÁFICAS DEL M.R.U. Velocidad En los m.r.u. la velocidad del cuerpo es constante y por tanto igual a la velocidad inicial. Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo (m/s). v=v 0 =cte Donde:  v es la velocidad  v 0 es la velocidad inicial

154

Física I | Darío Gómez Santibañez Posición Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m) y se obtiene por medio de la siguiente expresión: x=x 0 +v·t donde:  x0 es la posición inicial.  v es la velocidad que tiene el cuerpo a lo largo del movimiento.  t es el intervalo de tiempo durante el cual se mueve el cuerpo. Observa lo que t representa en la ecuación de posición: El intervalo de tiempo durante el cual se mueve el cuerpo. Dicho intervalo a veces es representado por t y otras por ∆t. En cualquiera de los casos, t=∆t = tf - ti siendo tf y ti los instantes de tiempo inicial y final respectivamente del movimiento que estamos estudiando. 

La inclinación de la recta de la gráfica depende de la velocidad. A mayor pendiente, mayor velocidad. Por otro lado, recuerda puedes deducir esta de la gráfica de la fila superior teniendo en cuenta que la distancia recorrida coincide con el área encerrada entre el eje x y la línea que representa la velocidad en el intervalo de tiempo considerado (que en nuestro caso hemos llamado t). ¿Sabrías hacerlo? Aceleración Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo al cuadrado (m/s2). Su valor a lo largo del movimiento siempre es cero.

En aquellos casos en los que la posición inicial es cero ( x 0=0 ), la distancia recorrida y la posición coinciden, y su valor es: s=v·t Por último, cuando tengas que usar las ecuaciones anteriores recuerda el siguiente convenio de signos: 155

Física I | Darío Gómez Santibañez  

La posición del cuerpo se considera de igual signo que el semieje (semieje positivo o semieje negativo) en el que se encuentre. La velocidad se considera de igual signo que el sentido del eje (sentido positivo o sentido negativo) en el que se desplace.

h. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Encontrar el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.) en tu día a día es bastante común. Por ejemplo, si dejas caer una moneda al suelo (caída libre), esta realizará un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.). En este apartado vamos a estudiar las ecuaciones y las gráficas que definen a este movimiento. Un cuerpo realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.) cuando su trayectoria es una línea recta y su aceleración es constante. Esto implica que la velocidad aumenta o disminuye su módulo de manera uniforme. A la aceleración responsable de que cambie el módulo de la velocidad (también llamado celeridad o rapidez), se le denomina aceleración tangencial.

ECUACIONES Y GRÁFICAS DEL M.R.U.A. Velocidad Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo (m/s). Cambia de manera uniforme y se obtiene por medio de la siguiente expresión: v=v 0 + a·t 156

Física I | Darío Gómez Santibañez donde:   

v0 es la velocidad inicial. a es la aceleración que tiene el cuerpo. t es el intervalo de tiempo en el que se estudia el movimiento.

A mayor pendiente, mayor es la aceleración del cuerpo. Posición Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m) y se calcula mediante la siguiente expresión: 1 x=x 0 +v 0 t+ a t 2 2 donde:  x0 es la posición inicial.  v0 es la velocidad inicial.  a es la aceleración.  t es el intervalo de tiempo en el que se estudia el movimiento. Gráficamente se trata de una parábola donde x0 representa la posición inicial del cuerpo y a la aceleración del mismo.

Aceleración Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo al cuadrado (m/s2). Su valor permanece constante y distinto de 0. a=cte Cuando:  a> 0, la velocidad aumenta su valor y se dice que el cuerpo está acelerando.  a< 0, la velocidad disminuye su valor y se dice que el cuerpo está frenando. 157

Física I | Darío Gómez Santibañez Observa lo que t representa en las ecuaciones anteriores: El intervalo de tiempo durante el cual se mueve el cuerpo. Dicho intervalo a veces es representado por t y otras por ∆t. En cualquier caso, t=∆t = tf - ti siendo tf y ti los instantes de tiempo inicial y final respectivamente. Por último, recuerda que, si consideras el eje vertical y, puedes encontrar la ecuación de posición anterior en la forma 1 y= y 0+ v 0 t+ a t 2 2

i. Caída libre – M.R.U.A. En el S.XVII Galileo estudiaba el movimiento de los cuerpos que se dejan caer libremente soltándolos desde la torre de Pisa. Descubrió que todos los objetos, independientemente de cual fuera su masa, tardaban los mismo en llegar al suelo (prescindiendo del efecto del rozamiento del aire). Él fue el primero que los estudió de una manera rigurosa y supuso una verdadera revolución para la Física. Los movimientos de caída libre son movimientos rectilíneos uniformemente acelerados (m.r.u.a) o movimientos rectilíneos uniformemente variados (m.r.u.v.) y por tanto están regidos por las mismas ecuaciones y gráficas, teniendo en cuenta que:  Se suele considerar el eje y, eje vertical, en lugar del x  La aceleración, en la superficie de la Tierra, tiene un valor de 9.8 m/s2, aunque en ocasiones se aproxima a 10 m/s2. Se trata de la aceleración de la gravedad que suele designarse por la letra g  La posición inicial del cuerpo, y0, coincide con el valor de la altura y su valor lo llamaremos H  El cuerpo parte del reposo y por tanto la velocidad inicial del cuerpo v0 se considera cero Con todo nos queda: 1 y=H − g t 2 2 v=−g·t a=−g

13)

Movimiento en física: a. Movimiento y sistemas de referencia SISTEMA DE REFERENCIA Queremos proponerte un ejercicio de imaginación: Imagina que viajas en autobús. Sentado en tu asiento, puedes afirmar sin temor a equivocarte que el conductor del autobús no se mueve mientras conduce. Al fin y al cabo, no cambia su posición respecto a ti. Sin embargo, un observador sentado en el banco de un parque, que vea pasar el 158

Física I | Darío Gómez Santibañez autobús por la carretera diría que el conductor del autobús estaba en movimiento. El observador externo veía al conductor en movimiento porque cambia su posición respecto a él. Podemos definir un sistema de referencia como un sistema de coordenadas respecto del cual estudiamos el movimiento de un cuerpo. Supone la posición del observador respecto al fenómeno observado. Hasta ahora han aparecido dos conceptos clave para entender el movimiento de un cuerpo  Su posición  El sistema de referencia El sistema de referencia en Física es muy importante a la hora de estudiar los movimientos: Te resultará fundamental a la hora de establecer la posición del cuerpo estudiado. Normalmente en Física usamos el sistema formado por los ejes cartesianos y las coordenadas cartesianas como sistema de referencia. Dicho sistema está formado por 3 ejes perpendiculares (OX, OY y OZ) llamado espacio o 3 dimensiones, aunque también es posible utilizar únicamente 2 ejes (OX, OY) llamados 2 dimensiones o plano e incluso, un único eje (OX) conocido como 1 dimensión o recta.

Recuerda que si estás estudiando el movimiento de un cuerpo que se produce en una o dos dimensiones puedes simplificar eligiendo adecuadamente el sistema de referencia: en dos dimensiones, sólo nos quedaremos con 2 ejes (generalmente OX y OY) y en una dimensión con 1 eje (generalmente OX).

En ocasiones, puede que el origen y orientación de los ejes nos dificulte la comprensión o la resolución de un problema, por lo que siempre podemos realizar transformaciones de forma que nuestro sistema se ajuste a un punto de vista más cómodo para nosotros. En el ejemplo anterior, en el que se ve a una bola cayendo sobre un plano inclinado, podríamos plantear un sistema como el de A o como el de B, según nos convenga. En A la bola se mueve en 2 dimensiones (cambia sus coordenadas en el eje x e y mientras se desplaza) y en B se mueve en una sola dimensión (solo se mueve en el eje x). Realizar cálculos en una dimensión suele ser mucho más fácil que en dos, por lo que sería más conveniente escoger el sistema B. 159

Física I | Darío Gómez Santibañez En cualquiera de los casos, tendremos que asegurarnos que las nuevas referencias se ajustan al cambio que hemos realizado en el sistema. Por ejemplo, en A la bola empieza a moverse en el punto (0,3) y en B empieza a moverse en (0,0).

SISTEMAS DE REFERENCIA INERCIALES Y NO INERCIALES Según su estado de reposo o movimiento relativo, podemos clasificar los sistemas de referencia en:  Sistemas de referencia inerciales. Dicho de un modo simple, un sistema de referencia se dice inercial cuando están fijos o tienen movimiento relativo uniforme.  Sistemas de referencia no inerciales. De un modo simple, un sistema de referencia no inercial es aquel que está sometido a una aceleración. Cuando estudiemos el principio de inercia o primera ley de Newton, profundizaremos en este concepto.

b. Vector posición En Física, la posición, vector de posición o vector posición de un cuerpo respecto a un sistema de referencia se define como el vector que une el lugar ocupado por el cuerpo con el origen del sistema de referencia. Su expresión, en coordenadas cartesianas: r⃗ =x i⃗ + y ⃗j+ z k⃗ Donde:  r⃗ : Es el vector de posición.  x , y , z: Son las coordenadas del vector de posición.  i⃗ , ⃗j, k⃗ : Son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes OX, OY y OZ respectivamente. La unidad de medida de la posición en el Sistema Internacional es el metro [m]. Como todo vector, el vector posición en Física cuenta con módulo, dirección y sentido. El módulo del vector posición es la distancia que separa al cuerpo del origen del sistema de referencia. Para calcularlo puedes utilizar la siguiente fórmula: |r⃗|=√ x 2+ y 2 + z 2 En el caso de aquellos problemas en los que sólo estés trabajando en dos dimensiones, puedes simplificar las fórmulas anteriores eliminando la componente z. De esta manera, el vector de posición en dos dimensiones queda r⃗ =x i⃗ + y ⃗j+ z k⃗ =x i⃗ + y ⃗j, y so módulo |r⃗|=√ x 2+ y 2 + z 2=√ x 2+ y 2. En la figura siguiente tenemos estos elementos representados.

160

Física I | Darío Gómez Santibañez

c. Trayectoria y ecuación de posición CONCEPTO DE TRAYECTORIA Y ECUACIÓN DE POSICIÓN Cuando un cuerpo se desplaza desde un punto a otro, lo hace describiendo una línea geométrica en el espacio. A esa línea geométrica se le denomina trayectoria, y está formada por las sucesivas posiciones del extremo del vector posición a lo largo del tiempo. Es, por tanto, frecuente encontrar las coordenadas x, y y z del vector de posición escritas en función del tiempo como x(t), y(t) y z(t) para representar la evolución de la posición los cuerpos a lo largo del tiempo. La trayectoria de un cuerpo es la línea geométrica que un cuerpo describe en su movimiento. La ecuación de posición o ecuación de trayectoria representa el vector de posición en función del tiempo. Su expresión, en coordenadas cartesianas y en tres dimensiones viene dada por: r⃗ ( t )=x ( t ) i⃗ + y ( t ) ⃗j + z (t) k⃗ Donde:  r⃗ ( t ) : es la ecuación de posición o ecuación de la trayectoria  x ( t ) , y ( t ) , z (t): son las coordenadas en función del tiempo  i⃗ , ⃗j, k⃗ : son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes OX, OY y OZ respectivamente. En el caso de aquellos problemas en los que sólo estés trabajando en dos dimensiones, puedes simplificar las fórmulas anteriores eliminando la componente z. De esta manera, la ecuación de posición en dos dimensiones queda r⃗ ( t )=x ( t ) i⃗ + y ( t ) ⃗j + z ( t ) ⃗k =x ( t ) i⃗ + y (t) ⃗j . En la siguiente animación se ilustra el concepto de la ecuación de posición o ecuación de trayectoria.

TIPOS DE ECUACIÓN DE TRAYECTORIA Además de la expresión anterior, existen otras formas de expresar la trayectoria del movimiento de un cuerpo. A continuación, señalamos otros tipos de ecuaciones de posición o ecuaciones de trayectoria:   Ecuaciones de la trayectoria paramétricas: Se establece cada una de las coordenadas en función del tiempo en la forma x=x(t), y=y(t), z=z(t). Por ejemplo, las coordenadas paramétricas de un cuerpo que se desplaza en el plano x-y pueden ser: o x=t +2 o y=t 2  Ecuación de la trayectoria explícita: Se obtiene eliminando el parámetro t de las expresiones anteriores y despejando una variable en función de la otra. En el caso de nuestro ejemplo nos quedaría: o x=t +2⇒ t=x−2 o y=t 2⇒ y=( x−2 )2  Ecuación de trayectoria implícita: Se obtiene haciendo f(x,y)=0. o ( x−2 )2− y =0 Tomemos el siguiente ejemplo, imagina que un tren se desplaza en dirección este a razón de 50 metros cada segundo. En el primer segundo el cuerpo se encuentra a 50 metros del origen. En el segundo 2, el tren se encuentra a 100 m del origen y así sucesivamente. Por tanto, podríamos escribir:  La coordenada x del movimiento en función del tiempo: x=50 t 161

Física I | Darío Gómez Santibañez  

Su ecuación de posición r⃗ =50t ⃗i La distancia al origen, dada por el módulo del vector de posición: |r⃗|=50 t

d. Desplazamiento y espacio recorrido. Diferencias. VECTOR DESPLAZAMIENTO El desplazamiento de un cuerpo en un intervalo de tiempo es equivalente al cambio de su posición en ese intervalo. Dado que la posición de un cuerpo es una magnitud vectorial, el desplazamiento de un cuerpo también lo es. Se define el vector desplazamiento o simplemente desplazamiento de un cuerpo entre las posiciones Pi y Pf como la diferencia de los vectores de posición del cuerpo en los puntos Pi y Pf. Su expresión, en coordenadas cartesianas viene dada por: ∆ r⃗ =⃗r f −⃗r i= ( x f −x i ) i⃗ + ( y f − y i ) ⃗j+( z f −z i) ⃗k Donde:  ∆ r⃗ : vector desplazamiento o desplazamiento  r⃗ i , ⃗r f : Vectores de posición de los puntos en los que se encuentra el cuerpo al principio (Pi) y al final (Pf) del movimiento  x i , x f , y i , y f , z i , z f : Coordenadas x, y, z en los puntos Pi y Pf. La unidad de medida del desplazamiento es el metro [m] y su módulo viene dado, en tres dimensiones por la siguiente expresión: |∆ ⃗r|= ( x f −x i )2+ ( y f − y i )2+ ( z f −z i )2 Es importante que te des cuenta que un cuerpo puede estar en movimiento entre dos instantes de tiempo y sin embargo su desplazamiento ser 0. Esto pasará siempre que las posiciones inicial y final del cuerpo en el intervalo estudiado sea la misma. En la siguiente imagen puedes ver el vector desplazamiento y los distintos conceptos presentados, en un espacio tridimensional. En el caso de que nos encontremos analizando el problema sólo en dos dimensiones, podemos prescindir de la coordenada z, simplificando las expresiones anteriores. El vector desplazamiento quedaría en este caso como:

√

∆ r⃗ =⃗r f −⃗r i= ( x f −x i ) i⃗ + ( y f − y i ) ⃗j+ ( z f −zi ) k⃗ =( x f −x i ) i⃗ + ( y f − y i ) ⃗j Y su módulo vendría dado por la expresión: |∆ ⃗r|= ( x f −x i )2+ ( y f − y i )2+ ( z f −z i )2 = ( x f −x i )2 + ( y f − y i )2

√

√

ESPACIO RECORRIDO Imaginemos que vamos en un viaje en automóvil desde Santurce a Bilbao. Antes de salir hemos puesto el cuentakilómetros a cero. A medida que avanzamos en nuestro camino el cuentakilómetros irá incrementando su valor hasta que, al llegar a Bilbao marque el espacio recorrido entre las dos ciudades (por ejemplo 22 km). A esta 162

Física I | Darío Gómez Santibañez longitud, medida sobre la trayectoria, se la denomina espacio recorrido. Se trata de un escalar y cómo toda longitud, su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro [m]. El espacio recorrido, Δs es la longitud del tramo de trayectoria entre la posición inicial y final del móvil.

En general, el cálculo del espacio recorrido es equivalente al cálculo de la longitud de la curva que sirve de trayectoria. Este cálculo no es inmediato y requiere de herramientas matemáticas que exceden el nivel en el que nos encontramos. Sin embargo, si es importante que recuerdes que, en el caso de trayectorias circulares, el cálculo del espacio recorrido es equivalente al cálculo de la longitud del arco de circunferencia que viene dado por: L=θ·r Donde:  L: Longitud del arco   θ: Ángulo del arco de circunferencia en radianes  r: Radio del arco Por último, recuerda que el espacio recorrido es siempre positivo, pues la longitud de la curva que un cuerpo describe al moverse será siempre un escalar mayor o igual que cero.

DIFERENCIA ENTRE DESPLAZAMIENTO Y ESPACIO RECORRIDO Es importante señalar la diferencia que hay entre espacio recorrido y desplazamiento ya que son, en general, conceptos distintos que se suelen confundir. El espacio recorrido es una magnitud escalar que se mide sobre la trayectoria. El desplazamiento es una magnitud vectorial que sólo depende de la posición inicial y final del cuerpo y es independiente de la trayectoria. Imagina un cuerpo que se desplaza trazando una trayectoria circular volviendo, así, al punto inicial. El espacio recorrido por el cuerpo será 2πr (la longitud de la circunferencia). En cambio, el vector desplazamiento vale 0 ya que el vector posición al inicio del movimiento y el vector posición al final son iguales.

163

Física I | Darío Gómez Santibañez

A continuación, señalamos algunas similitudes y diferencias que se pueden deducir fácilmente de lo dicho anteriormente.

e. Velocidad media El concepto cotidiano de velocidad surge cuando apreciamos la rapidez o lentitud con que se mueve un cuerpo. De alguna manera relacionamos el desplazamiento realizado con el tiempo invertido en él. En este apartado vamos a precisar qué se entiende en Física por velocidad media. Este concepto nos servirá para entender otras definiciones relacionadas con la velocidad que veremos en apartados posteriores.

VELOCIDAD MEDIA Se define la velocidad media de un cuerpo que se mueve entre dos puntos P1 y P2 como el cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo en que transcurre el desplazamiento. Su expresión viene dada por: ∆ r⃗ ⃗r −⃗r ⃗ v m= = 2 1 ∆ t t 2−t 1 donde: v m: Vector velocidad media en el intervalo estudiado  ⃗  ∆ r⃗ : Vector desplazamiento en el intervalo estudiado  Δt : Tiempo empleado por el cuerpo en realizar el movimiento 164

Física I | Darío Gómez Santibañez r⃗ 2 , ⃗r 1: Vectores de posición de los puntos inicial P1  y final P2  del movimiento  t 2 , t 1: Instantes de tiempo en los que el cuerpo se encuentra en los puntos inicial P1  y final P2respectivamente Además, el vector velocidad media cumple lo siguiente:  Matemáticamente, la velocidad media es la tasa de variación media del vector de posición respecto al tiempo  Si utilizamos unidades del Sistema Internacional (S.I.) tanto en el numerador (metros) como en el denominador (segundos), podemos deducir la ecuación de dimensiones de la velocidad media [v]=[L][T]-1.  La unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) de la velocidad es el metro por segundo [m/s]  Su módulo (el "tamaño" del vector) es igual al módulo del vector desplazamiento dividido entre el tiempo transcurrido  Su dirección y su sentido son los mismos que los del vector desplazamiento Es importante que notes que la velocidad media de un cuerpo en un intervalo de tiempo depende de los vectores de posición al comienzo y al final del movimiento. Aunque pueda resultarte paradójico, esto implica que, si la posición inicial y final del movimiento coinciden en ese intervalo, la velocidad media del cuerpo será 0. 

f. Velocidad instantánea El concepto cotidiano de velocidad surge cuando apreciamos la rapidez o lentitud con que se mueve un cuerpo. De alguna manera relacionamos el desplazamiento realizado con el tiempo invertido en él. En este apartado vamos a precisar qué es la velocidad física, también conocida como velocidad instantánea o, simplemente, velocidad. Para entenderlo bien, te recomendamos que previamente leas el apartado en el que te presentamos la velocidad media.

VELOCIDAD INSTANTÁNEA La velocidad física de un cuerpo en un punto o velocidad instantánea es la que tiene el cuerpo en un instante específico, en un punto determinado de su trayectoria. Se define la velocidad instantánea o simplemente velocidad como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo considerado tiende a 0. También se define como la derivada del vector de posición respecto al tiempo. Su expresión viene dada por: lim ∆ r⃗ d ⃗r ∆t→ 0 ⃗v = lim ⃗v m= = t dt ∆t→0

donde: 165

Física I | Darío Gómez Santibañez 

v⃗ : Vector velocidad instantánea. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro por segundo (m/s)  ⃗v m: Vector velocidad media. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro por segundo (m/s)  Δ ⃗r: Vector desplazamiento. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro (m)  Δt : Intervalo de tiempo que tiende a 0, es decir, un intervalo infinitamente pequeño. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el segundo (s) La velocidad es una magnitud vectorial. Su ecuación de dimensiones viene dada por [v]= [L][T]-1. ¿Cómo se deduce la expresión de la velocidad instantánea? Para definir el concepto de velocidad instantánea con precisión vamos a partir del concepto de velocidad media que hemos estudiado con anterioridad y vamos a ayudarnos de la gráfica de la figura.

El procedimiento para definir la velocidad instantánea o, simplemente, velocidad en un punto A consiste en calcular la velocidad media entre A y un punto lo más próximo posible a A. Esto se traduce en calcular la velocidad media en un intervalo de tiempo lo más pequeño posible. En la gráfica puedes ver el vector de posición del punto A y del resto de puntos B, C y D. Estos son r⃗ A , r⃗ B , r⃗ C , ⃗r D respectivamente. Además, está representado el vector desplazamiento entre A y cada uno de los puntos B, C y D. Estos ∆ r AB , ⃗ ∆ r AC , ⃗ ∆ r AD respectivamente. Como puedes ver en la gráfica anterior, a son ⃗ medida que el segundo punto es más próximo a A, el vector desplazamiento, se va haciendo tangente a la trayectoria y su módulo se aproxima al valor del espacio recorrido sobre la trayectoria. Lo más común es que encuentres el vector velocidad escrito mediante sus componentes cartesianas quedando:  Vector velocidad en 3 dimensiones coordenadas cartesianas: ∆x ⃗ ∆y ⃗ ∆ z ⃗ dx ⃗ dy ⃗ dz ⃗ ⃗v =v x i⃗ +v y ⃗j + v z k⃗ = lim i + lim j + lim k = i+ j+ k dt dt dt ∆t→ 0 ∆ t ∆t→0 ∆ t ∆t→ 0 ∆ t  Vector velocidad en 2 dimensiones coordenadas cartesianas: ∆x ⃗ ∆ y ⃗ dx ⃗ dy ⃗ ⃗v =v x i⃗ +v y ⃗j = lim i + lim j= i + j dt dt ∆ t →0 ∆ t ∆t→ 0 ∆ t También es posible que, al igual que cualquier otro vector, lo encuentres escrito en función de su módulo. Para ello basta multiplicar el módulo del vector velocidad por un

(

(

) (

) (

) (

)

)

166

Física I | Darío Gómez Santibañez vector unitario con la misma dirección y sentido que ⃗v y que llamaremos u⃗ t por ser tangente a la trayectoria. ⃗v =v· u⃗t Cómo puedes observar, la velocidad instantánea es una magnitud vectorial que cumple:  Su módulo se puede expresar: o En función del módulo del vector desplazamiento o en función del espacio recorrido: |∆ r⃗| ∆s |⃗v|= lim |⃗v m|= lim = lim ∆ t →0 ∆ t →0 ∆ t ∆t→0 ∆ t o Cuando el vector velocidad se expresa mediante coordenadas cartesianas en 3 dimensiones: 2 2 |⃗v|= √ v x +v y + v 2z o Cuando el vector velocidad se expresa mediante coordenadas cartesianas en 2 dimensiones: 2 2 |⃗v|= √ v x +v y  Su dirección es tangente a la trayectoria (la toca en un solo punto).  Su sentido es el mismo que el del movimiento.

CONCLUSIÓN En este apartado hemos definido el concepto de velocidad instantánea a partir de la velocidad media, hemos estudiado su módulo, su dirección y su sentido. Aunque hemos tratado distintos puntos de vista y distintas expresiones para el vector velocidad y su módulo, normalmente calcularás la velocidad como la derivada del vector posición respecto al tiempo.

g. Celeridad media El concepto cotidiano de velocidad surge cuando apreciamos la rapidez o lentitud con que se mueve un cuerpo. De alguna manera relacionamos el desplazamiento realizado con el tiempo invertido en él. En este apartado vamos a precisar qué se entiende en Física por celeridad media y sus diferencias con la velocidad media.

CELERIDAD MEDIA Se define la celeridad media o rapidez media de un cuerpo que se mueve entre dos puntos P1 y P2 como el cociente entre el espacio recorrido y el intervalo de tiempo en que transcurre el movimiento. Su expresión viene dada por: ∆ s s −s cm= = 2 1 ∆ t t 2−t 1 donde:  c m: Celeridad media en el intervalo estudiado. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo (m/s)  Δs : Espacio recorrido en el intervalo estudiado. Se mide sobre la trayectoria. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m)  Δt : Tiempo empleado por el cuerpo en realizar el movimiento. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el segundo (s)

167

Física I | Darío Gómez Santibañez 



s 1 , s 2: Espacio recorrido sobre la trayectoria por el cuerpo hasta los puntos inicial P1 y final P2 del movimiento. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m) t 1 , t 2: Instantes de tiempo en los que el cuerpo se encuentra en los puntos inicial P1 y final P2 respectivamente. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el segundo (s)

La celeridad media es una magnitud escalar. La unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) de la celeridad media es el metro por segundo (m/s). La celeridad media es, por tanto, un escalar, a diferencia de la velocidad media, que es un vector. Por otro lado, a diferencia de lo que ocurría con la velocidad media, que dependía de los vectores de posición inicial y final del movimiento, la celeridad media depende del espacio recorrido sobre la trayectoria. Por ello un cuerpo que está en movimiento v m|, siempre tendrá una celeridad media mayor que 0. En general, se cumple que c m ≥|⃗ siendo el caso límite en el que son iguales el que corresponde a un movimiento rectilíneo y sin cambio de sentido.

h. Celeridad instantánea El concepto cotidiano de velocidad surge cuando apreciamos la rapidez o lentitud con que se mueve un cuerpo. De alguna manera relacionamos el desplazamiento realizado con el tiempo invertido en él. En este apartado vamos a precisar qué se entiende en Física por celeridad instantánea y sus similitudes y diferencias con la velocidad instantánea.

CELERIDAD INSTANTÁNEA Cuando te desplazas en un coche puedes mirar el velocímetro marcando la "velocidad" que llevas en cada instante de tiempo. Aunque cotidianamente llamamos a ese valor velocidad a secas, hemos definido con anterioridad la velocidad como un vector. En realidad, el velocímetro del coche te devuelve el módulo del vector velocidad instantánea, que coincide con la celeridad calculada en un instante de tiempo siguiendo un procedimiento análogo al que seguimos para calcular la velocidad instantánea a partir de la velocidad media, esto es, haciendo el límite de la celeridad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero ( ∆t →0). Se define la celeridad instantánea como el límite de la celeridad media cuando el intervalo de tiempo considerado tiende a 0. Su expresión viene dada por: ∆s c= lim ∆t→0 ∆ t 168

Física I | Darío Gómez Santibañez donde:  c : Celeridad instantánea o simplemente celeridad  Δs : Espacio recorrido en el intervalo estudiado  Δt : Tiempo empleado por el cuerpo en realizar el movimiento La unidad de medida de la celeridad en el Sistema Internacional (S.I.) de la celeridad instantánea es el metro partido segundo [m/s]. El valor de la celeridad instantánea coincide con el del módulo de la velocidad instantánea en ese punto. Sin embargo, no te confundas: La velocidad instantánea o simplemente velocidad es un vector mientras que la celeridad instantánea es un escalar. En el siguiente "Experimenta y aprende" puedes comprobar que, tal y como señalamos con anterioridad, cuando tomamos puntos muy próximos, el valor de la celeridad media se va aproximando al valor del módulo de la velocidad media. En el límite, son iguales.

i. Concepto de aceleración Al estudiar el comportamiento de un cuerpo en movimiento será usual que te encuentres con que este no mantiene su velocidad constante. El hecho de que un cuerpo pueda aumentar el módulo de su velocidad (también conocida como rapidez o celeridad) mientras se mueve, es lo que se conoce cotidianamente como aceleración. Cuando disminuye el módulo de la velocidad, se habla cotidianamente de frenado. Ambos tipos de movimiento son estudiados en Física por la misma magnitud: la aceleración. Por ejemplo, decimos que "está acelerando" un coche que pasa en una recta de 90 km/h a 120 km/h, o cuando soltamos una pelota de goma y la dejamos caer en el vacío, podemos ver cómo su rapidez aumenta a medida que pasa el tiempo (aumenta debido a la gravedad). Sin embargo, en Física también decimos que un cuerpo tiene aceleración cuando modifica la dirección de la velocidad. Por ejemplo, un tren que toma una curva modifica la dirección de la velocidad. Decimos que un cuerpo tiene aceleración cuando varía su velocidad en el transcurso del tiempo ya sea en:  módulo o  dirección

TIPOS DE ACELERACIÓN En Física solemos hablar de distintos tipos de aceleración, en función de distintos factores. A continuación, tienes una clasificación, así como los enlaces para que puedas entender a qué nos referimos en cada caso:  Atendiendo al intervalo de tiempo considerado o Aceleración media o Aceleración instantánea  Atendiendo al sistema de referencia utilizado o Aceleración tangencial o Aceleración normal

169

Física I | Darío Gómez Santibañez

j. Aceleración media En Física decimos que un cuerpo tiene aceleración cuando se produce un cambio del vector velocidad, ya sea en módulo o dirección. En este apartado vamos a estudiar el concepto de aceleración media, que representa la variación de velocidad que, de media, tiene lugar en un intervalo de tiempo.

ACELERACIÓN MEDIA Se define la aceleración media entre dos puntos P1 y P2 como la división de la variación de la velocidad y el tiempo transcurrido entre ambos puntos: ⃗v −⃗v ∆ ⃗v a⃗ m= 2 1 = t 2−t 1 ∆ t donde:  a⃗ m: Es la aceleración media del punto material  ⃗v 2 , ⃗v 1: Vectores velocidad en los puntos P1 y P2 respectivamente  t 2 , t 1: Instantes de tiempo inicial y final respectivamente  ∆ ⃗v : Variación de la velocidad entre los puntos inicial y final P1 y P2  Δt : Tiempo invertido en realizar el movimiento entre P1 y P2 Además, el vector aceleración media cumple lo siguiente:  La ecuación de dimensiones de la aceleración media es [am] = LT-2  Unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) de la aceleración es el metro por segundo al cuadrado (m/s2). Un cuerpo con una aceleración de 1 m/s2 varía su velocidad en 1 metro/segundo cada segundo.  Su módulo (el "tamaño" del vector) es igual al módulo del vector variación de la velocidad dividido entre el tiempo transcurrido  Su dirección y su sentido son las mismas que las del vector variación de la velocidad

Es importante que recuerdes que los movimientos coloquialmente llamados "de frenado" también son considerados en Física movimientos acelerados, ya que, al fin y al cabo, está variando el vector velocidad (disminuyendo su módulo más concretamente).

k. Aceleración instantánea En Física decimos que un cuerpo tiene aceleración cuando se produce un cambio del vector velocidad, ya sea en módulo o dirección. Así lo hemos visto en el apartado dedicado al concepto de aceleración. En este apartado vamos a estudiar la aceleración instantánea, que representa la variación de velocidad que está teniendo lugar en un instante concreto.

170

Física I | Darío Gómez Santibañez

ACELERACIÓN INSTANTÁNEA La aceleración instantánea de un cuerpo es la que tiene el cuerpo en un instante específico, en un punto determinado de su trayectoria. Para definir el concepto de aceleración instantánea con precisión podemos partir de la aceleración media en un intervalo y hacer este infinitamente pequeño ( ∆t →0). Este proceso es análogo al que seguíamos con la velocidad media para calcular la velocidad instantánea. Se define la aceleración instantánea, o simplemente aceleración, como el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo considerado tiende a 0. También se define de manera equivalente como la derivaaada de la velocidad respecto al tiempo. Su expresión viene dada por: ∆ ⃗v d ⃗v a⃗ = lim a⃗ m= lim = dt ∆t→0 ∆ t →0 ∆ t donde:  a⃗ : Es la aceleración del cuerpo  a⃗ m: Vector aceleración media  Δ ⃗v : Vector variación de la velocidad  Δt : Intervalo de tiempo que tiende a 0, es decir, un intervalo infinitamente pequeño La aceleración es una magnitud vectorial. La ecuación de dimensiones de la aceleración instantánea es [a] = [L][T]-2 y por tanto su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo al cuadrado [m/s2]. Podrás encontrar el vector aceleración escrito mediante sus componentes cartesianas quedando:  Vector aceleración en 3 dimensiones coordenadas cartesianas: ∆vx ∆vy ∆ vz ⃗ ⃗j + lim a⃗ =a x i⃗ +a y ⃗j+ az k⃗ = lim i⃗ + lim k =¿ ∆t→0 ∆ t ∆t→0 ∆ t ∆ t →0 ∆ t d vx d v y d vz ⃗k ⃗j+ ¿ i⃗ + dt dt dt  Vector aceleración en 2 dimensiones coordenadas cartesianas: ∆vx ∆vy dv dv ⃗j= x ⃗i + y ⃗j a⃗ =a x i⃗ +a y ⃗j= lim i⃗ + lim dt dt ∆t→0 ∆ t ∆t→0 ∆ t Cómo puedes observar, la aceleración instantánea es una magnitud vectorial que cumple:  Su módulo se puede expresar: o Mediante coordenadas cartesianas en 3 dimensiones:

(

(

) (

) (

) (

)

)

|a⃗|= √a 2x +a2y +a 2z o Mediante coordenadas cartesianas en 2 dimensiones: 2 x

|a⃗|= √a +a2y 

Su dirección y sentido, en general, no coincide con la del vector velocidad, sino que dependen del cambio que experimente esta. No confundas las componentes cartesianas de la aceleración con las componentes intrínsecas, que 171

Física I | Darío Gómez Santibañez estudiaremos en apartados posteriores. Las componentes cartesianas son, simplemente, la descomposición del vector aceleración en los ejes cartesianos. Las componentes intrínsecas son la descomposición del vector aceleración en el sistema de referencia propio o intrínseco del movimiento, como estudiarás en el apartado dedicado a ello. Por último, indicarte que, al igual que cualquier otro vector, es posible que en ocasiones encuentres el vector aceleración escrito en función de su módulo. Para ello basta multiplicar el módulo del vector aceleración por un vector unitario con la misma dirección y sentido que a⃗ y que llamaremos u⃗a por ser el vector unitario que contiene la dirección del vector aceleración. a⃗ =a· ⃗ua

l. Componentes intrínsecas de la aceleración En Física decimos que un cuerpo tiene aceleración cuando se produce un cambio del vector velocidad, ya sea en módulo o dirección. En apartados anteriores hemos visto que si este cambio se produce en un intervalo de tiempo se habla de aceleración media en el intervalo y si se produce en un instante de tiempo se habla de aceleración instantánea. En este apartado vamos a estudiar las componentes de la aceleración atendiendo al efecto que producen en la velocidad.

CONCEPTO DE COMPONENTES INTRÍNSECAS En apartados anteriores hemos definido la aceleración como el cambio del vector velocidad con el tiempo. Hemos dicho que el vector velocidad puede cambiar en módulo o en dirección. Por tanto, aparecen claramente dos efectos de la aceleración:  La variación del módulo de la velocidad  La variación de la dirección de la velocidad Para poder estudiar claramente estos efectos, utilizamos un sistema de referencia intrínseco en cada punto de la trayectoria, tal y como se puede ver en la figura.

Se define el sistema de referencia propio o intrínseco para cada punto de la trayectoria como un sistema de coordenadas formado por dos ejes:  Eje tangente: Su dirección es tangente a la trayectoria y el sentido positivo será el de la velocidad en ese punto. Se define por el vector unitario u⃗ t  Eje normal: Su dirección es perpendicular a la trayectoria y el sentido positivo será el que se dirige al centro de curvatura de la trayectoria. Se define por el vector unitario u⃗n Este sistema de referencia es el que se usa para "observar" los cambios del vector velocidad en módulo y dirección. Se definen las componentes intrínsecas de la aceleración como la descomposición del vector aceleración en los ejes intrínsecos. 172

Física I | Darío Gómez Santibañez A la componente que se proyecta sobre el eje tangente se le llama componente tangencial y es la responsable del cambio del módulo de la velocidad.  A la que se proyecta sobre el eje normal se le llama componente normal o componente centrípeta y es la responsable de la dirección de la velocidad. Se puede expresar la aceleración en función de sus componentes en la forma: a⃗ =⃗at +⃗an =at u⃗ t + an ⃗un Donde: ⃗ : Es el vector aceleración en un punto determinado  a ⃗ t , ⃗an , at , an: Son los vectores aceleración tangencial y normal y sus respectivos  a módulos u ⃗ n : Son los vectores unitarios en las direcciones del eje tangente y del eje  ⃗t , u normal respectivamente Cómo puedes observar en la siguiente figura, dado que los ejes son perpendiculares entre sí, el módulo de la aceleración puede calcularse como: |a⃗|= √a 2t + a2n Es importante que te des cuenta que, independientemente de si el movimiento se está realizando en dos o en tres dimensiones, el módulo del vector aceleración descrito en función de sus componentes intrínsecas tiene dos variables a lo sumo: la de la aceleración tangencial que se corresponde al eje tangente y la de la aceleración normal correspondiente al eje normal. 

m. Aceleración tangencial En Física decimos que un cuerpo tiene aceleración cuando se produce un cambio del vector velocidad, ya sea en módulo o dirección. En apartados anteriores hemos visto que la aceleración se puede clasificar según el efecto que produce en la velocidad en aceleración tangencial (si hace que cambie el módulo del vector velocidad) y aceleración normal o centrípeta (si hace que cambie su dirección). Son las componentes intrínsecas de la aceleración. En este apartado vamos a desarrollar con mayor profundidad el concepto de aceleración tangencial.

ACELERACIÓN TANGENCIAL Con anterioridad hemos visto que la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo. Por otro lado, hemos visto que podemos expresar el vector velocidad como el producto de su módulo por un vector unitario tangente a la trayectoria: ⃗v =v· u⃗t . Si desarrollamos estas dos ideas nos queda: D (a·b) d u⃗ d ⃗v d ( v· u⃗ t ) dv a⃗ = = ¿⏞ ⃗ut + v t dt dt dt dt Donde hemos aplicado la regla de derivación de un producto D(ab)=a'b+ab'.

173

Física I | Darío Gómez Santibañez

Vemos que el primer término

( ddt⃗v u⃗ ) es tangencial a t

la trayectoria por estar multiplicando el vector unitario u⃗ t . A dicho término se le conoce con el nombre de aceleración tangencial y coincide con el concepto cotidiano de aceleración, que es el del cambio del módulo de la velocidad. La aceleración tangencial mide los cambios del módulo de la velocidad en el tiempo. Su expresión viene dada por: dv a⃗ t= u⃗t dt El valor de la aceleración tangencial puede ser:  Mayor que cero (> 0): Cuando el cuerpo tiene un movimiento acelerado, es decir, el módulo del vector velocidad aumenta con el tiempo  Menor que cero (<0): Cuando el cuerpo tiene un movimiento retardado o decelerado, es decir, el módulo del vector velocidad disminuye con el tiempo  Igual a cero (= 0): Cuando el cuerpo tiene un movimiento uniforme, es decir, el módulo del vector velocidad permanece constante

n. Aceleración centrípeta o normal En Física decimos que un cuerpo tiene aceleración cuando se produce un cambio del vector velocidad, ya sea en módulo o dirección. En apartados anteriores hemos visto que la aceleración se puede clasificar según el efecto que produce en la velocidad en aceleración tangencial (si hace que cambie el módulo del vector velocidad) y aceleración normal o centrípeta (si hace que cambie su dirección). Son las componentes intrínsecas de la aceleración. En este apartado vamos a desarrollar con mayor profundidad la aceleración centrípeta o normal.

ACELERACIÓN CENTRÍPETA O NORMAL La aceleración normal o centrípeta mide los cambios de dirección de la velocidad en el tiempo. Su expresión viene dada por: v2 a⃗ n= u⃗ n ρ Donde:  a⃗ n: Es la aceleración normal o centrípeta del cuerpo  v: Es el módulo de la velocidad del cuerpo en el punto estudiado  ρ : Es el radio de curvatura. En el caso de los movimientos circulares, coincide con el radio de giro del cuerpo. La aceleración normal puede ser:  =0: En los movimientos rectilíneos, donde la dirección permanece constante.  >0: En los movimientos curvilíneos, donde la velocidad cambia continuamente de dirección. Observa que cualquier trayectoria que describa un cuerpo se puede considerar como una composición de trayectorias rectas y curvas. Las partes curvas de

174

Física I | Darío Gómez Santibañez la trayectoria pueden a su vez considerarse arcos de circunferencia. La siguiente imagen ilustra este concepto. Como vemos, el centro de curvatura de un punto de la trayectoria curva es el centro de la circunferencia que pasa por él. El radio de dicha circunferencia es el radio de curvatura de dicho punto.

Demostración de la aceleración normal Con anterioridad hemos visto que la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo. Por otro lado, hemos visto que podemos expresar el vector velocidad como el producto de su módulo por un vector unitario tangente a la trayectoria: ⃗v =v· u⃗t . Si desarrollamos estas dos ideas nos queda: D (a·b) ⃗u d ⃗v d ( v· u⃗ t ) dv a⃗ = = ¿ ⃗ut + v t ⏞ dt dt dt dt Donde hemos aplicado la regla de derivación de un producto D(ab)=a'b+ab'. Vemos que el segundo término es el producto del módulo de la velocidad por la derivada de u⃗ t respecto al tiempo. Podemos demostrar que, en realidad, dicho vector es normal a la trayectoria:

175

Física I | Darío Gómez Santibañez  Expresamos u⃗ t en función del ángulo genérico θ u⃗t =cos θ i⃗ +sin θ ⃗j  Aplicamos la regla de la cadena θ=s / ρ s=vt d u⃗ t d u⃗ t dθ dθ dθ 1 ds v ⃗ ⃗ = =(−sin θ i +cos θ j ) =u⃗ n ¿⏞ u⃗ n ¿⏞ ⃗un dt dθ dt dt dt ρ dt ρ  De lo anterior se deduce: d ⃗ut dv dv v dv v2 a⃗ = ⃗ut + v = u⃗ +v ⃗un= u⃗ t + u⃗ n dt dt dt t ρ dt ρ El término encuadrado corresponde a la aceleración centrípeta o normal y es la responsable de que la velocidad cambie su dirección a lo largo del tiempo.

o. Radio de curvatura En el lenguaje ordinario, decimos que un trozo de carretera Δs tiene más curvatura que otro cuando el cambio de dirección Δθ es mayor a igualdad de camino recorrido en ambos. Compárese la figura de la izquierda con la de la derecha El radio ρ de curvatura medio e instantáneo se definen, respectivamente, ∆s ∆ s ds ¿ ρ>¿ ; ρ= lim = ∆θ dθ ∆ s→ 0 ∆ θ El radio de curvatura ρ y el centro C de curvatura se determinan del siguiente modo: Se traza la tangente a un punto de la trayectoria y a continuación, se traza la normal. Se toma un punto muy próximo al anterior, se traza la tangente y la normal en dicho punto. Las normales se cortan en un punto denominado centro de curvatura C, y la distancia de C a uno u otro punto de la trayectoria, infinitamente próximos entre sí, se denomina radio de curvatura ρ. Si el ángulo comprendido entre las dos tangentes es dθ, este es el ángulo que forman las dos normales. La longitud del arco entre los dos puntos considerados es ds=ρ·dθ. Dada la función y=f(x), vamos a determinar la fórmula que nos permite calcular el radio de curvatura ρ de la curva en la posición de abscisa x. Como vemos en la figura, en el triángulo rectángulo de base dx, altura dy e hipotenusa ds, establecemos las siguientes relaciones: dy dy 2 ; ds=√ d x2 +d y 2= 1+ dx dx dx La fórmula del radio de curvatura es tanθ=

√

( )

176

Física I | Darío Gómez Santibañez dy dy 2 dy 2 1+ dx 1+ dx 1+ dx dx dx ds ρ= = = = 2 dθ dy d y d2 y d arctan dx dx d x2 d x2 dy 2 1+ dx El radio de curvatura es una cantidad positiva.

√

( )

√

( )

2 3 2

( ( ))

( )

p. Tipos de movimientos según aceleración En Física decimos que un cuerpo tiene aceleración cuando se produce un cambio del vector velocidad, ya sea en módulo o dirección. En apartados anteriores hemos visto que la aceleración se puede descomponer según el efecto que produce en la velocidad de la siguiente forma:  aceleración tangencial. Responsable de que cambie el módulo del vector velocidad  aceleración normal o centrípeta. Responsable de que cambie la dirección y/o sentido del vector velocidad.  Ambos conceptos se conocen como las componentes intrínsecas de la aceleración y sus valores nos pueden servir para clasificar los movimientos, tal y como veremos a continuación.  Los movimientos en los que la aceleración normal es igual a 0 son movimientos rectilíneos y serán rectilíneos acelerados o rectilíneos uniformes dependiendo de su aceleración tangencial.  Los movimientos en los que la aceleración normal es distinta de 0 son considerados curvilíneos o circulares en función de si el radio de curvatura ρ permanece o no constante. Los movimientos con un radio de curvatura constante tienen por trayectoria una circunferencia y serán acelerados o no en función del valor de la aceleración tangencial a⃗ t. En la siguiente tabla puedes encontrar una clasificación de los movimientos atendiendo a los valores de las componentes intrínsecas de la aceleración (aceleración normal y aceleración tangencial).

177

Física I | Darío Gómez Santibañez

q. Movimientos rectilíneos: Convenio de signos Cuando un cuerpo se desplaza a lo largo de una línea recta se dice que tiene un movimiento rectilíneo y se cumplen una serie de propiedades que nos permitirá estudiarlo de una manera sencilla, utilizando magnitudes escalares en lugar de vectores y siguiendo un convenio de signos o criterio de signos adecuado. Un movimiento rectilíneo es aquel cuya trayectoria es una línea recta. En los movimientos rectilíneos podemos tratar las magnitudes cinemáticas vectoriales como si fuesen escalares x, v y a. El convenio de signos usado normalmente se resume en la siguiente ilustración.

Este convenio también es válido para otras magnitudes vectoriales como la fuerza o el momento lineal.

CARACTERÍSTICAS DE LOS MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS Las características principales de los movimientos rectilíneos son las siguientes:  Su trayectoria es una línea recta

178

Física I | Darío Gómez Santibañez 



No tienen aceleración normal, que, recordemos, era la responsable del cambio de dirección del movimiento. La única aceleración presente es la aceleración tangencial, responsable del cambio de módulo de la velocidad Si elegimos el sistema de referencia de modo que se hace coincidir uno de los ejes con la dirección del movimiento, se pueden expresar las magnitudes cinemáticas vector de posición r⃗ , desplazamiento Δ ⃗r, velocidad ⃗v y aceleración a⃗ como magnitudes escalares con un signo para indicar el sentido



La posición del cuerpo queda definida por una de sus coordenadas: o La coordenada x, en el caso de los movimientos horizontales. Normalmente se sigue el siguiente criterio de signos para la posición: Si el cuerpo se encuentra a la derecha del origen, la coordenada es positiva. Si se encuentra a la izquierda, la coordenada es negativa. La ecuación de posición en movimientos horizontales: r⃗ =x u⃗ x =x ( t ) u⃗ x → x=x (t) o La coordenada y, en el caso de los movimientos verticales. Normalmente se sigue el siguiente criterio de signos para la posición: Si el cuerpo se encuentra encima del origen, la coordenada es positiva. Si se encuentra debajo, la coordenada es negativa. La ecuación de posición en movimientos rectilíneos verticales: r⃗ = y u⃗ y = y ( t ) ⃗u y → y= y (t)  La velocidad del cuerpo queda definida por el escalar v o Su valor viene dado por la misma expresión, tanto en el eje x como en el y nos queda: ⃗v =v u⃗ x =v ( t ) u⃗ x → v=v (t) ⃗v =v u⃗ y =v ( t ) ⃗u y → v=v ( t) o El criterio de signos para la velocidad normalmente será el siguiente:  Velocidad positiva cuando el cuerpo se mueve en el sentido positivo del eje  Velocidad negativa cuando el cuerpo se mueve en el sentido negativo del eje

179

Física I | Darío Gómez Santibañez o Es usual que usemos el término velocidad para referirnos tanto a la velocidad como a la celeridad. En realidad, la celeridad en el caso de los movimientos rectilíneos, es el valor absoluto de v  La aceleración, que es aceleración tangencial, queda definida por el escalar a. o Su valor viene dado por la misma expresión, tanto en el eje x como en el y nos queda: a⃗ =a u⃗ x =a ( t ) u⃗ x → a=a(t ) a⃗ =a u⃗ y =a ( t ) ⃗u y →a=a (t) o El criterio de signos para la aceleración será normalmente el siguiente:  Aceleración positiva cuando el cuerpo se mueve en el sentido positivo del eje  Aceleración negativa cuando el cuerpo se mueve en el sentido negativo del eje Las siguientes imágenes ilustran las ideas anteriores. En la primera el movimiento del cuerpo se estudia mediante vectores. En la segunda pasamos a sus correspondientes magnitudes escalares gracias a los criterios que hemos presentado.

r. Ecuaciones y gráficas del M.R.U. (II) DEFINICIÓN DE M.R.U. A pesar de que encontrar el movimiento rectilíneo uniforme o m.r.u en la naturaleza es bastante extraño, es el movimiento más fácil de estudiar y nos servirá para estudiar otros más complejos. El movimiento rectilíneo uniforme cumple las siguientes propiedades:  La aceleración es cero (a=0) al no cambiar la velocidad de dirección ni variar su módulo  Por otro lado, la velocidad inicial, media e instantánea del movimiento tienen el mismo valor en todo momento Un cuerpo realiza un movimiento rectilíneo uniforme cuando su trayectoria es una línea recta y su velocidad es constante. Esto implica que recorre distancias iguales en tiempos iguales.

ECUACIONES DE M.R.U. Las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniforme son: x=x 0 +v·t v=v 0 =cte a=0 180

Física I | Darío Gómez Santibañez Donde:  x , x 0: La posición del cuerpo en un instante dado (x) y en el instante inicial (x0). Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m)  v , v 0: La velocidad del cuerpo en un instante dado (v) y en el instante inicial (v0). Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo (m/s)  a : La aceleración del cuerpo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo al cuadrado (m/s2) Para deducir las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniforme m.r.u. hay que tener en cuenta que:  La velocidad media coincide con la velocidad instantánea.  No hay aceleración Con esas restricciones nos queda: x−x 0 ∆x vm= = ⏟¿ ∆ t t =0 y → x−x 0=v·t → x=x 0 +v·t 0

v m=v

}

GRÁFICAS DE M.R.U. Gráfica posición-tiempo (x-t) x=x 0 +v·t La gráfica posición-tiempo (x-t) de un movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.). representa en el eje horizontal (eje x) el tiempo y en el eje vertical la posición. Observa como la posición (normalmente la coordenada x) aumenta (o disminuye) de manera uniforme con el paso del tiempo. Podemos distinguir dos casos, cuando la velocidad es positiva o negativa:

A partir del ángulo α puedes obtener la velocidad. Recuerda para ello que, en un triángulo rectángulo se define la tangente de uno de sus ángulos como el cateto opuesto partido cateto contiguo: cateto opuesto ∆ x x−x 0 tan α= = = =v cateto contiguo ∆ t t El valor de la pendiente es la propia velocidad. Por tanto, a mayor pendiente de la recta, mayor velocidad posee el cuerpo. Gráfica velocidad-tiempo (v-t) v=v 0 =cte La gráfica velocidad-tiempo (v-t) de un movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.) muestra que la velocidad permanece constante a lo largo del tiempo. De nuevo, podemos distinguir dos casos: 181

Física I | Darío Gómez Santibañez

Observa que el área que limitada bajo la curva v entre dos instantes de tiempo es el espacio recorrido. En este caso resulta inmediato calcular dicha área, al tratarse de un rectángulo. Pero, ¿sabrías qué herramienta matemática permite el cálculo de áreas bajo una curva, sea cual sea su forma? Gráfica aceleración-tiempo (a-t) a=0 La gráfica aceleración-tiempo (a-t) de un movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.) muestra que la aceleración es nula en todo momento. En este caso, tanto si la velocidad del cuerpo se considera positiva como negativa, tenemos una sola posibilidad, ilustrada en la figura:

s. Ecuaciones y gráficas del M.R.U.A. (II) CONCEPTO DE M.R.U.A. Encontrar el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) en tu día a día es bastante común. Un objeto que dejas caer y no encuentra ningún obstáculo en su camino (caída libre) ó un esquiador que desciende una cuesta justo antes de llegar a la zona de salto, son buenos ejemplos de ello. El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) es también conocido como movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v) y cumple las siguientes propiedades:  La trayectoria es una línea recta y por tanto, la aceleración normal es cero.

182

Física I | Darío Gómez Santibañez 

La velocidad instantánea cambia su módulo de manera uniforme: aumenta o disminuye en la misma cantidad por cada unidad de tiempo. Esto implica el siguiente punto.  La aceleración tangencial es constante. Por ello la aceleración media coincide con la aceleración instantánea para cualquier periodo estudiado (a=a m). Un cuerpo realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.) cuando su trayectoria es una línea recta y su aceleración es constante y distinta de 0. Esto implica que la velocidad aumenta o disminuye su módulo de manera uniforme.

Observa que, aunque coloquialmente hacemos distinción entre un cuerpo que acelera y otro que frena, desde el punto de vista de la Física, ambos son movimientos rectilíneos uniformemente variados. La única diferencia es que mientras que uno tiene una aceleración positiva, el otro la tiene negativa.

ECUACIONES DE M.R.U.A. Las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.) son: v=v 0 + a·t 1 x=x 0 +v 0 t+ a t 2 2 a=cte Donde:  x , x 0: La posición del cuerpo en un instante dado (x) y en el instante inicial (x0). Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m)  v , v 0 : La velocidad del cuerpo en un instante dado (v) y en el instante inicial (v0). Su unidad en el Sistema Internacional es el metro por segundo (m/s)  a : La aceleración del cuerpo. Permanece constante y con un valor distinto de 0. Su unidad en el Sistema Internacional es el metro por segundo al cuadrado (m/s2)  t : El intervalo de tiempo estudiado. Su unidad en el Sistema Internacional es el segundo (s) Aunque las anteriores son las ecuaciones principales del m.r.u.a. y las únicas necesarias para resolver los ejercicios, en ocasiones resulta útil contar con la siguiente expresión: v 2=v 20 +2 · a· ∆ x

183

Física I | Darío Gómez Santibañez La fórmula anterior permite relacionar la velocidad y el espacio recorrido conocida la aceleración y puede ser deducida de las anteriores, tal y como puede verse a continuación. v=v 0 + a·t ⇒ 1 x=x 0+ v 0 ·t + ·a· t 2 2

{

v−v 0 a v−v 0 1 v−v 0 1 ∆ x=v 0 · t+ · a· t 2 ⇒ ∆ x=v 0 + · a· 2 a 2 a

{

t=

(

)

(

2

)

2 · a· ∆ x=v 2−v 20

DEDUCCIÓN ECUACIONES M.R.U.A. Para deducir las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.) hay que tener en cuenta que:  La aceleración normal vale cero: a n=0  La aceleración media, la aceleración instantánea y la aceleración tangencial tienen el mismo valor: a=a m=at =cte Con esas restricciones nos queda: am=a x−x 0 → v −v 0 =a·t → v=v 0 +a·t ∆ v v −v 0 am = = ¿⏟ ∆ t t−t 0 t =0 t 0

}

Esta primera ecuación relaciona la velocidad del cuerpo con su aceleración en cualquier instante de tiempo y se trata de una recta (v) cuya pendiente coincide con la aceleración y cuya coordenada y en el origen es la velocidad inicial (v0). Nos faltaría por obtener una ecuación que nos permita obtener la posición. Para deducirla hay distintos métodos. Nosotros usaremos el teorema de la velocidad media o teorema de Merton: "Un cuerpo en movimiento uniformemente acelerado recorre, en un determinado intervalo de tiempo, el mismo espacio que sería recorrido por un cuerpo que se desplazara con velocidad constante e igual a la velocidad media del primero" Esto implica que: ∆ x=v m ·t El valor de la velocidad media, en el caso de que la aceleración sea constante, se puede observar claramente en la siguiente figura:

184

Física I | Darío Gómez Santibañez

Si desarrollamos las ecuaciones vistas hasta ahora obtenemos la ecuación de la posición en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.): 1 2 v + v 0 v 0 +at+ v 0 2 at 2 ∆ x=x −x0 =v m · t ¿⏞ t ¿⏞ t = v0 t + ⇒ 2 2 2 2 1 x=x 0 +v 0 t+ a t 2 2 Donde hemos aplicado: v + v0 1. v m= 2 2. v=v 0 + a·t Por último, indicarte que en las ecuaciones anteriores se ha considerado que el movimiento se realiza en el eje x. Si nos moviéramos en el eje y, por ejemplo, en los movimientos de caída libre o de lanzamiento vertical, simplemente sustituirías la x por la y en la ecuación de posición, quedando: 1 y= y 0+ v 0 t+ a t 2 2

185

Física I | Darío Gómez Santibañez

t. Caída libre (II) y lanzamiento vertical De entre todos los movimientos rectilíneos uniformemente acelerados (m.r.u.a.) o movimientos rectilíneos uniformemente variados (m.r.u.v.) que se dan en la naturaleza, existen dos de particular interés: la caída libre y el lanzamiento vertical. En este apartado estudiaremos la caída libre. Ambos se rigen por las ecuaciones propias de los movimientos rectilíneos uniformemente acelerados (m.r.u.a.) o movimientos rectilíneos uniformemente variados (m.r.u.v.): 1 y= y 0+ v 0 t+ a t 2 2 v=v 0 + a·t a=cte

CAÍDA LIBRE En la caída libre un objeto cae verticalmente desde cierta altura H despreciando cualquier tipo de rozamiento con el aire o cualquier otro obstáculo. Se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.) en el que la aceleración coincide con el valor de la gravedad. En la superficie de la Tierra, la aceleración de la gravedad se puede considerar constante, dirigida hacia abajo, se designa por la letra g y su valor es de 9'8m/s2 (a veces se aproxima por 10 m/s2). Para estudiar el movimiento de caída libre normalmente utilizaremos un sistema de referencia cuyo origen de coordenadas se encuentra en el pie de la vertical del punto desde el que soltamos el cuerpo y consideraremos el sentido positivo del eje y apuntando hacia arriba, tal y como puede verse en la figura. Con todo esto nos quedaría: v 0=0 ; y 0=H ; a=−g ; La caída libre es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.) en el que se deja caer un cuerpo verticalmente desde cierta altura y no encuentra resistencia alguna en su camino. Las ecuaciones de la caída libre son: 1 y=H − g t 2 2 v=−g·t a=−g Donde:  y : La posición final del cuerpo. Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m)  v: La velocidad final del cuerpo. Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m/s)  a : La aceleración del cuerpo durante el movimiento. Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo al cuadrado(m/s2). 186

Física I | Darío Gómez Santibañez   

t : Intervalo de tiempo durante el cual se produce el movimiento. Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el segundo (s) H : La altura desde la que se deja caer el cuerpo. Se trata de una medida de longitud y por tanto se mide en metros. g: El valor de la aceleración de la gravedad que, en la superficie terrestre puede considerarse igual a 9.8 m/s2.

LANZAMIENTO VERTICAL En el lanzamiento vertical un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba o hacia abajo desde cierta altura H despreciando cualquier tipo de rozamiento con el aire o cualquier otro obstáculo. Se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.) en el que la aceleración coincide con el valor de la gravedad. En la superficie de la Tierra, la aceleración de la gravedad se puede considerar constante, dirigida hacia abajo, se designa por la letra g y su valor es de 9.8 m/s2. Para estudiar el movimiento de lanzamiento vertical normalmente utilizaremos un sistema de referencia cuyo origen de coordenadas se encuentra en el pie de la vertical del punto desde el que lanzamos el cuerpo y consideraremos el sentido positivo del eje y apuntando hacia arriba, tal y como puede verse en la figura. El lanzamiento vertical es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.) en el que se lanza un cuerpo verticalmente con cierta velocidad inicial desde cierta altura y no encuentra resistencia alguna en su camino. Podemos distinguir dos casos según el sistema de referencia considerado:  Lanzamos el cuerpo hacia arriba y por tanto velocidad inicial positiva (v0>0). En este caso las ecuaciones del lanzamiento vertical hacia arriba son: 1 y=H + v 0 t− g t 2 2 v=v 0 −g·t a=−g  Lanzamos el cuerpo hacia abajo y por tanto velocidad inicial negativa (v0<0). En este caso las ecuaciones del lanzamiento vertical hacia abajo son: 1 y=H −v 0 t− g t 2 2 v=−v 0−g·t a=−g Donde:  y : La posición final del cuerpo. Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m) 187

Física I | Darío Gómez Santibañez     

v , v 0: La velocidad final e inicial del cuerpo respectivamente. Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m/s) a : La aceleración del cuerpo durante el movimiento. Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo al cuadrado (m/s2). t : Intervalo de tiempo durante el cual se produce el movimiento. Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el segundo (s) H : La altura desde la que se lanza el cuerpo. Se trata de una medida de longitud y por tanto se mide en metros. g: El valor de la aceleración de la gravedad que, en la superficie terrestre puede considerarse igual a 9.8 m/s2.

14)

Movimiento en dos y tres dimensiones a. Introducción al movimiento en dos dimensiones

En el tema "El Movimiento en Física" hemos estudiado qué entendemos en Física por movimiento. Hemos definido las magnitudes cinemáticas (posición, velocidad y aceleración) que nos permiten analizar y predecir el comportamiento de un cuerpo en movimiento, ya sea este un avión, un balón o un satélite. Por último, hemos estudiado algunos movimientos simples en una dimensión, como son el movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u) y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.), sus ecuaciones y sus gráficas señalando cómo realizar el cálculo de la posición, velocidad y aceleración bajo estas circunstancias. Lo cierto es que, a partir de estos movimientos simples, es posible estudiar otros movimientos más complejos que se dan con frecuencia en la naturaleza. Por ejemplo, cuando un jugador de futbol cabecea a puerta, el movimiento del balón no sigue una trayectoria en línea recta sino más bien una parábola que puede describirse como la composición de un movimiento rectilíneo uniforme y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. A lo largo de este tema descubriremos que algunos movimientos no rectilíneos que requieren más de una dimensión se pueden estudiar cómo la composición de movimientos rectilíneos. Para ello basta observar aisladamente el movimiento en cada uno de los ejes del sistema de referencia, aplicando el principio de superposición.

188

Física I | Darío Gómez Santibañez

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS Fue Galileo quien primero se percató de que un movimiento complejo puede ser estudiado como composición de otros más sencillos: se trata del conocido principio de superposición que es utilizado en otras áreas de la Ciencia. Aplicado a la cinemática: El movimiento que resulta de someter a un cuerpo a varios movimientos se puede obtener mediante la suma vectorial de los movimientos que lo componen, tanto si son simultáneos como si son sucesivos. Para estudiar un movimiento que se realiza en varias dimensiones como superposición de otros más sencillos seguimos los siguientes pasos:  Determinar el tipo de cada movimiento componente que forma parte del movimiento más complejo. Por ejemplo, en el caso del cabeceo a puerta de la figura anterior, se trataría de la composición de un movimiento rectilíneo uniforme en horizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado o movimiento rectilíneo uniformemente variado (de caída libre) en vertical  Resolvemos cada movimiento con las ecuaciones cinemáticas propias de los movimientos componentes  Aplicamos el principio de superposición. De esta manera, las magnitudes cinemáticas nos quedarían: r⃗ T =⃗r 1 + r⃗ 2 ; ⃗v T =⃗v 1 + ⃗v 2 ; a⃗T =⃗a1+ ⃗a2 Movimiento en dos y tres dimensiones Las expresiones y ejemplos anteriores corresponden a movimientos en dos dimensiones, por ser los más habituales: observa que solo tienen dos componentes. Decimos que un cuerpo se mueve en dos dimensiones cuando el movimiento se realiza en un plano. Normalmente identificaremos el plano como OXY por los ejes que nos servirán de referencia. Hay casos, sin embargo, en los que cambian las 3 coordenadas del vector de posición. Estos casos suponen una mayor complejidad matemática, pero los procedimientos indicados son igualmente válidos en tres dimensiones. Así, las magnitudes cinemáticas contarían en este caso con tres componentes: r⃗ T =⃗r 1 + r⃗ 2 + r⃗ 3 ; ⃗v T =⃗v 1 + ⃗v 2+ ⃗v 3 ; ⃗aT =⃗a1 + a⃗2 + ⃗a3

b. Lanzamiento horizontal CONCEPTO Y REPRESENTACIÓN El lanzamiento horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura. En la siguiente figura puedes ver una representación de la situación: El lanzamiento horizontal resulta de la composición de un movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u. horizontal) y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado de caída libre (m.r.u.a. vertical).

189

Física I | Darío Gómez Santibañez

ECUACIONES Las ecuaciones del lanzamiento horizontal son:  Las ecuaciones del m.r.u. para el eje x x=x 0 +v x · t  Las ecuaciones del m.r.u.a. para el eje y v y =v 0 y +a y · t 1 y= y 0+ v 0 y · t+ · a y · t 2 2 Dado que, como dijimos anteriormente, la velocidad forma un ángulo α con la horizontal, las componentes x e y se determinan recurriendo a las relaciones trigonométricas más habituales:

Finalmente, teniendo en cuenta lo anterior, que y0 = H, x0 = 0, y que ay = -g , podemos reescribir las fórmulas tal y como quedan recogidas en la siguiente tabla. Estas son las expresiones finales para el cálculo de las magnitudes cinemáticas en el lanzamiento horizontal:

Ecuación de posición y de trayectoria en el lanzamiento horizontal La ecuación de posición de un cuerpo nos sirve para saber en qué punto se encuentra en cada instante de tiempo. En el caso de un cuerpo que se desplaza en dos dimensiones, recuerda que, de forma genérica, viene descrita por: r⃗ ( t )=x ( t ) i⃗ + y (t ) ⃗j Sustituyendo las expresiones anteriores de la posición en el eje horizontal (m.r.u.) y en el eje vertical (m.r.u.a.) en la ecuación de posición genérica, podemos llegar a la expresión de la ecuación de posición para el lanzamiento horizontal. La ecuación de posición del lanzamiento horizontal viene dada por: 1 r⃗ =( x 0+ v·t ) i⃗ + y 0− · g· t 2 ⃗j 2

(

)

190

Física I | Darío Gómez Santibañez Por otro lado, para saber qué trayectoria sigue el cuerpo, es decir, su ecuación de trayectoria, podemos combinar las ecuaciones anteriores para eliminar t, quedando: 1 y= y 0− · g· x 2= y 0 −k· x2 2 2· v 0 1 · g es una constante a lo largo de la trayectoria. Donde k = 2· v 20

c. Movimiento parabólico CONCEPTO Y REPRESENTACIÓN El movimiento parabólico, también conocido como tiro oblicuo, consiste en lanzar un cuerpo con una velocidad que forma un ángulo α con la horizontal. En la siguiente figura puedes ver una representación de la situación. El movimiento parabólico o tiro oblicuo resulta de la composición de un movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u. horizontal) y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado de lanzamiento hacia arriba o hacia abajo (m.r.u.a. vertical).

ECUACIONES Las ecuaciones del lanzamiento horizontal son:  Las ecuaciones del m.r.u. para el eje x x=x 0 +v x · t  Las ecuaciones del m.r.u.a. para el eje y v y =v 0 y +a y · t 1 y= y 0+ v 0 y · t+ · a y · t 2 2 Finalmente, teniendo en cuenta lo anterior, que y0 = H, x0 = 0, y que ay = -g, podemos reescribir las fórmulas tal y como quedan recogidas en la siguiente lista. Estas son las expresiones finales para el cálculo de las magnitudes cinemáticas en el movimiento parabólico o tiro oblicuo:  Posición (m): o Eje horizontal x=v x · t=v 0 · cos( α )· t o Eje vertical 1 1 y=H + v 0 y · t− · g· t 2 =H+ v 0 ·sin ( α ) ·t− · g· t 2 2 2  Velocidad (m/s): o Eje horizontal v x =v 0 x =v 0 · cos(α ) o Eje vertical 191

Física I | Darío Gómez Santibañez v y =v 0 y −g·t =v 0 · sin ( α )−g·t  Aceleración (m/s2): o Eje horizontal a x =0 o Eje vertical a y =−g Ecuación de posición y de trayectoria en el movimiento parabólico La ecuación de posición de un cuerpo nos sirve para saber en qué punto se encuentra en cada instante de tiempo. En el caso de un cuerpo que se desplaza en dos dimensiones, recuerda que, de forma genérica, viene descrita por: r⃗ ( t )=x ( t ) i⃗ + y (t ) ⃗j Sustituyendo las expresiones anteriores de la posición en el eje horizontal (m.r.u.) y en el eje vertical (m.r.u.a.) en la ecuación de posición genérica, podemos llegar a la expresión de la ecuación de posición para el movimiento parabólico. La ecuación de posición del movimiento parabólico viene dada por: 1 r⃗ =( x 0+ v 0 x ·t ) ⃗i + H + v 0 y · t− · g· t 2 ⃗j 2 Por otro lado, para saber qué trayectoria sigue el cuerpo, es decir, su ecuación de trayectoria, podemos combinar las ecuaciones anteriores para eliminar t, quedando: x 1 x 2 y=H + v 0 y · − · g· =H + k 1 · x−k 2 · x2 v0 x 2 v0 x v k 1= 0 y ; vx 1 k 2= ·g 2 · v 20 x Como cabía esperar, se trata de la ecuación de una parábola. Por otro lado, será frecuente que en los ejercicios te pidan alguno de los siguientes valores.

(

( )

)

( )

ALTURA MÁXIMA Este valor se alcanza cuando la velocidad en el eje y, vy, vale 0. A partir de la ecuación de velocidad en el eje vertical, e imponiendo vy = 0, obtenemos el tiempo t que tarda el cuerpo en llegar a dicha altura. A partir de ese tiempo, y de las ecuaciones de posición, se puede calcular la distancia al origen en el eje x y en el eje y.

TIEMPO DE VUELO Se calcula igualando a 0 la componente vertical de la posición. Es decir, el tiempo de vuelo es aquel para el cual la altura es 0 (se llega al suelo).

ALCANCE Se trata de la distancia máxima en horizontal desde el punto de inicio del movimiento al punto en el que el cuerpo impacta el suelo. Una vez obtenido el tiempo de vuelo, simplemente sustituye en la ecuación de la componente horizontal de la posición.

ÁNGULO DE LA TRAYECTORIA El ángulo de la trayectoria en un determinado punto coincide con el ángulo que el vector velocidad forma con la horizontal en ese punto. Para su cálculo obtenemos las

192

Física I | Darío Gómez Santibañez componentes vx y vy y gracias a la definición trigonométrica de tangente de un ángulo, calculamos α: cateto opuesto v y −1 v y tan(α )= = ⇒ α =tan cateto contiguo v x vx

( )

d. Magnitudes angulares RADIANES Y GRADOS La unidad en el Sistema Internacional (S.I.) para medir ángulos es el radián (rad). Una circunferencia tiene 2π radianes. Por otro lado, podemos medir los ángulos en grados. Una circunferencia tiene 360º. Teniendo en cuenta la relación anterior, para convertir entre grados y radianes puedes utilizar la siguiente expresión: 180 π θ grados=θradianes ⇔ θradianes =θ grados π 180

POSICIÓN ANGULAR La posición angular φ es una magnitud angular fundamental que representa el ángulo que forma en cada momento el vector de posición de un cuerpo con el semieje X positivo. Su unidad en el Sistema Internacional de Unidades (S.I.) es el radián (rad).

DESPLAZAMIENTO ANGULAR El desplazamiento angular (∆φ) representa el ángulo recorrido. Viene dado por la diferencia entre una posición angular final φf y una posición angular inicial φi: ∆ φ=φ f −φi

VELOCIDAD ANGULAR Representa el desplazamiento angular (∆φ) experimentado por un cuerpo en cada segundo. Su unidad en el Sistema Internacional de Unidades (S.I.) es el rad/sg aunque en ocasiones verás que se puede utilizar también las revoluciones o vueltas por minuto, r.p.m. (1 r.p.m. = 2π/60 rad/s). Al igual que sucedía con la velocidad, existe la velocidad angular media ωm y la velocidad angular instantánea ω (o simplemente velocidad angular) según se considere un intervalo de tiempo ∆t o un instante de tiempo respectivamente dt.

ACELERACIÓN ANGULAR Representa la variación de velocidad angular (∆ω) respecto del tiempo. Su unidad en el Sistema Internacional de Unidades (S.I.) es el rad/sg2. Al igual que sucedía con las 193

Física I | Darío Gómez Santibañez magnitudes lineales equivalentes, existe la aceleración angular media αm y la aceleración angular instantánea α (o simplemente aceleración angular) según se considere un intervalo de tiempo ∆t o un instante de tiempo respectivamente dt.

ACELERACIÓN NORMAL O CENTRÍPETA Aunque no es una magnitud angular, propiamente dicha, pues no se mide en unidades angulares, es importante recordar aquí la expresión de la aceleración normal o centrípeta. v2 2 a n= =ω · R R Recuerda que la aceleración normal o centrípeta es la responsable del cambio de dirección del vector velocidad y es por ello que aparece en todos los movimientos circulares.

RELACIÓN ENTRE MAGNITUDES ANGULARES Y LINEALES Podemos relacionar las magnitudes angulares y lineales en los movimientos circulares a través del radio R.

VECTORES DE MAGNITUDES ANGULARES Hasta ahora hemos estudiado las magnitudes angulares como magnitudes escalares. En realidad, se trata de magnitudes vectoriales, pero para los propósitos de este nivel, las consideraremos escalares. No obstante, adelantamos aquí la relación que guardan la velocidad lineal con la angular y la aceleración tangencial con la angular, en forma vectorial, que viene dada a través del producto vectorial: ⃗v =⃗ ω×⃗ R a⃗ t=⃗ α ×⃗ R

e. Movimiento circular uniforme (M.C.U.) CONCEPTO DE M.C.U. 194

Física I | Darío Gómez Santibañez La Naturaleza y tu día a día están llenos de ejemplos de movimientos circulares uniformes (m.c.u.). La propia Tierra es uno de ellos: da una vuelta sobre su eje cada 24 horas. Los viejos tocadiscos o un ventilador son otros buenos ejemplos de m.c.u. El movimiento circular uniforme (m.c.u.) es un movimiento de trayectoria circular en el que la velocidad angular es constante. Esto implica que describe ángulos iguales en tiempos iguales. En él, el vector velocidad no cambia de módulo, pero sí de dirección (es tangente en cada punto a la trayectoria). Esto quiere decir que no tiene aceleración tangencial ni aceleración angular, aunque sí aceleración normal. Eligiendo el origen de coordenadas para estudiar el movimiento en el centro de la circunferencia, y conociendo su radio R, podemos expresar el vector de posición en la forma: r⃗ =x· i⃗ + y· ⃗j=R· cos( φ)· ⃗i + R· sin(φ) · ⃗j De esta manera, la posición y el resto de magnitudes cinemáticas queda definida por el valor de φ en cada instante.

CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Algunas de las principales características del movimiento circular uniforme (m.c.u.) son las siguientes: 1. La velocidad angular es constante (ω = cte) 2. El vector velocidad es tangente en cada punto a la trayectoria y su sentido es el del movimiento. Esto implica que el movimiento cuenta con aceleración normal 3. Tanto la aceleración angular (α) como la aceleración tangencial (at) son nulas, ya que la rapidez o celeridad (módulo del vector velocidad) es constante 4. Existe un periodo (T), que es el tiempo que el cuerpo emplea en dar una vuelta completa. Esto implica que las características del movimiento son las mismas cada T segundos. La expresión para el cálculo del periodo es T=2π/ω y es sólo válida en el caso de los movimientos circulares uniformes (m.c.u.) 5. Existe una frecuencia (f), que es el número de vueltas que da el cuerpo en un segundo. Su valor es el inverso del periodo

f. Ecuaciones y gráficas del M.C.U. ECUACIONES DEL M.C.U. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son las siguientes: φ=φ 0+ ω·t ω=cte α =0 Donde:

195

Física I | Darío Gómez Santibañez 

 

φ , φ 0 : Posición angular del cuerpo en el instante estudiado y posición angular del cuerpo en el instante inicial respectivamente. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el radián (rad) ω : Velocidad angular del cuerpo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el radián por segundo (rad/s) α : Aceleración angular. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el radián por segundo al cuadrado (rad/s2)

RELACIÓN ENTRE MAGITUDES ANGULARES Y LINEALES Podemos relacionar las magnitudes angulares y lineales en los movimientos circulares a través del radio R.

PERIODO Y FRECUENCIA EN EL M.C.U. El movimiento circular uniforme (m.c.u.) es un movimiento periódico, es decir, se repite cada cierto tiempo con iguales características. Esto nos permite definir las siguientes magnitudes:  Período: Se trata del tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta completa. Se representa por T y se mide en segundos (s). Su expresión viene dada por: T =2 π /ω  Frecuencia: Se trata del número de vueltas que el cuerpo da en cada segundo. Se representa por f y se mide en la inversa del segundo (s-1), que también se denomina hercio (Hz). Su expresión viene dada por: ω f= 2· π La frecuencia es la inversa del período. Relacionando frecuencia, período y velocidad angular mediante las expresiones anteriores, por tanto, nos queda: f =1/T 2· π ω= =2· π·f T Finalmente recuerda que la relación entre la velocidad angular y la velocidad lineal nos permite escribir la última de nuestras expresiones que relaciona velocidad angular, velocidad lineal, período, frecuencia y radio en el movimiento circular uniforme (m.c.u.): 2· π v=ω·R= · R=2 · π·f·R T 196

Física I | Darío Gómez Santibañez No olvides que el concepto de frecuencia y de período sólo tiene sentido en los movimientos periódicos, así, en el movimiento circular uniformemente acelerado, por ejemplo, no tiene sentido hablar de frecuencia o de período.

DEDUCCIÓN DE ECUACIONES DEL M.C.U. Para obtener las ecuaciones del movimiento circular uniforme (m.c.u.) procedemos de forma similar a como lo hacíamos con el movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.), pero considerando magnitudes angulares, en lugar de lineales. Tendremos en cuenta las siguientes propiedades:  La aceleración angular es cero (α=0)  Por otro lado, esto implica que la velocidad angular media e instantánea del movimiento tienen el mismo valor en todo momento Con esas restricciones nos queda: ω m=ω φ−φ 0 → φ−φ0 =ω·t → φ=φ0 +ω·t ∆ φ φ−φ0 ω m= = ¿ ⏟ ∆ t t−t 0 t =0 t 0

}

GRÁFICAS DE M.C.U. Gráfica posición angular-tiempo (ϕ-t) φ=φ 0+ ω·t La gráfica posición angular - tiempo (φ-t) de un movimiento circular uniforme (m.c.u.). representa en el eje horizontal (eje x) el tiempo y en el eje vertical la posición angular. La posición angular, φ, medida en radianes según unidades del Sistema Internacional (S.I.) aumenta (o disminuye) de manera uniforme con el paso del tiempo. Podemos distinguir dos casos, según la velocidad angular es positiva o negativa:

A partir del ángulo α puedes obtener la velocidad angular ω. Recuerda para ello que, en un triángulo rectángulo se define la tangente de uno de sus ángulos como el cateto opuesto partido cateto contiguo: cateto opuesto ∆ φ φ−φ 0 tanθ= = = =ω cateto contiguo ∆ t t El valor de la pendiente es la propia velocidad angular ω. Por tanto, a mayor pendiente de la recta, mayor velocidad angular ω posee el cuerpo. Gráfica velocidad angular-tiempo (ω-t) ω=ω 0=cte

197

Física I | Darío Gómez Santibañez La gráfica velocidad angular - tiempo (ω-t) de un movimiento circular uniforme (m.c.u.) muestra que la velocidad angular ω, medida en radianes por segundo (rad/s) según el Sistema Internacional (S.I.), permanece constante a lo largo del tiempo. De nuevo, podemos distinguir dos casos:

Observa que el área que limitada bajo la curva ω entre dos instantes de tiempo es el espacio angular recorrido, es decir, la porción de ángulo recorrido: ∆φ = φ - φ0).

En este caso resulta inmediato calcular dicha área, al tratarse de un rectángulo. Pero, ¿sabrías qué herramienta matemática permite el cálculo de áreas bajo una curva, sea cual sea su forma? Gráfica aceleración angular-tiempo (α-t) α =0 La gráfica aceleración angular - tiempo (α-t) de un movimiento circular uniforme (m.c.u.) muestra que la aceleración angular, medida en el Sistema Internacional (S.I.) en radianes por segundo al cuadrado (rad/s2), es nula en todo momento. En este caso, tanto si la velocidad del cuerpo se considera positiva como negativa, tenemos una sola posibilidad, tal y como se ilustra en la figura:

g. Movimiento circularmente acelerado (M.C.U.A.)

198

Física I | Darío Gómez Santibañez

h. Ecuaciones y gráficas del M.C.U.A.

BLOQUE 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA 1) Introducción a las Leyes de Newton: i. Las fuerzas j. Interacciones entre los Cuerpos k. Descomponiendo fuerzas l. Fuerzas concurrentes m. Suma de fuerzas concurrentes n. Principio de inercia o. Principio Fundamental p. Principio de Acción Reacción. 15) Aplicando las Leyes de Newton: a. Diferencia entre Masa y Peso b. Concepto de Fuerza Normal c. Rozamiento o Fricción d. Fuerzas y Movimiento en un Plano Horizontal e. Fuerzas y Movimiento en un Plano Inclinado f. Momento de una Fuerza g. Equilibrio de los Sólidos 16) Las Leyes de Newton para el Movimiento a. Las Fuerzas y sus Efectos b. Interacciones fundamentales c. Descomposición de fuerzas d. Fuerzas concurrentes y paralelas e. Fuerza resultante de un sistema de fuerzas f. Momento lineal g. Primera Ley de Newton h. Segunda Ley de Newton i. Tercera Ley de Newton j. Impulso Mecánico k. Principio de conservación del Momento Lineal 17) Aplicaciones de las Leyes de Newton a. ¿Cómo resolver problemas de fuerzas? b. Problemas de fuerzas: Criterios de signos c. Fuerza gravitatoria 199

Física I | Darío Gómez Santibañez

18)

d. El peso e. Fuerza normal f. Tensión de cuerdas y cables g. Fuerza elástica o restauradora h. Fuerza de rozamiento i. Fuerzas y movimientos verticales j. Fuerzas y movimientos horizontales k. Fuerzas en planos inclinados l. Fuerzas y masas enlazadas m. Fuerzas de inercia n. Fuerza centrípeta o. Fuerza centrífuga p. Fuerzas y M.C.U. en un plano vertical q. Fuerzas y M.C.U. en un péndulo cónico r. Fuerzas y M.C.U. en Curvas Planas y Curvas Peraltadas Trabajo, energía y Potencia en Procesos Mecánicos a. Trabajo mecánico b. Gráficas del Trabajo en Física c. Energía: características y tipos d. Potencia e. Energía cinética f. Concepto de energía potencial gravitatoria g. Energía potencial elástica h. Fuerzas conservativas i. Energía Mecánica j. Gradiente. La fuerza como gradiente de un potencial.

BLOQUE 3: DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 1) El sólido rígido 19) Centro de masas 20) Momento angular 21) Segunda Ley de Newton Aplicada a la Rotación de un sólido 22) Rotación del Sólido rígido 23) Ecuación del movimiento de un sólido rígido 24) Descomposición del movimiento de un sistema de partículas

BLOQUE 4: EQUILIBRIO 200

Física I | Darío Gómez Santibañez

1) Equilibrio traslacional 25) Equilibrio rotacional 26) Estática del sólido rígido: a. El método general de la estática b. Diagrama de sólido libre c. Ligaduras: Reacciones en apoyos d. Equilibrio del sólido rígido en un plano

BLOQUE 5: OSCILACIONES 1) Vibraciones: El Movimiento Armónico Simple: e. Movimiento armónico simple (M.A.S.) f. Movimiento armónico simple en muelles g. Movimiento armónico simple en péndulos h. Ecuaciones y gráficas del M.A.S. i. Fuerzas en el M.A.S. j. Estudio energético del M.A.S. 27) Movimiento ondulatorio: a. Concepto de Onda b. Ondas mecánicas c. Ondas Armónicas d. Doble periodicidad de la función de onda e. Frente de onda f. Energía, potencial e intensidad de ondas g. Atenuación y absorción en el Movimiento Ondulatorio h. Principio de Huygens i. Reflexión y refracción de ondas j. Difracción de Ondas k. Interferencias de Ondas l. Ondas estacionarias m. Efecto Doppler n. Movimiento Armónico Simple y Oscilador Amortiguado o. Oscilaciones amortiguadas y forzadas p. Oscilaciones forzadas. El estado estacionario q. Oscilador forzado y resonancia

BLOQUE 6: COMPRESIÓN 1) Esfuerzos y deformaciones r. Tipos de cargas 201

Física I | Darío Gómez Santibañez

s. Tensiones: Clases t. Tensiones reales, admisibles y coeficientes de seguridad u. Esfuerzo normal v. Deformación unitaria longitudinal w. Ley de Hooke x. Deformación por tracción o compresión. Módulo de Young y. Coeficiente de Poisson z. Deformación debida a tres esfuerzos ortogonales aa.Compresión uniforme. Módulo de compresibilidad. bb. Cizalladura. Módulo de rigidez cc. Deformación por torsión. Constante de torsión dd. Diagrama tensión-deformación de aceros empleados en construcción ee.Diafragma tensión-deformación de materiales frágiles. ff. Esfuerzos de una sección oblicua. gg.Estudio del esfuerzo cortante puro. Módulo de elasticidad transversal. hh. Esfuerzos biaxiales: Círculo de Mohr ii. Concentración de esfuerzos

BLOQUE 7: MECÁNICA DE FLUIDOS 28) a. b. c. d. e. f. g. h. 29) a. b. c. d. e.

Fuerza y presión en los fluidos: Presión Densidad Presión, Fuerza y Fluidos Principio fundamental de la hidrostática Principio de Pascal Prensa Hidráulica Presión Atmosférica Principio de Arquímedes Mecánica de fluidos Fluidos reales e ideales Ecuación de continuidad Principio de Bernoulli Fluidos reales. Viscosidad y Ley de Poiseuille. Fórmula de Stokes Pérdida de carga 202

Física I | Darío Gómez Santibañez

f. Tipos de regímenes de flujo. Número de Froude. Número de Reynolds. g. Ecuación de Darcy-Weisbach

BLOQUE 8: CALOR Y TEMPERATURA 1) Termodinámica: h. Energía Térmica i. Temperatura j. Dilatación Térmica k. Calor 30) Ley de Stefan-Boltzmann 31) Ley de desplazamiento de Wien

BLOQUE 9: SISTEMAS TERMODINÁMICOS 1) Termodinámica II: a. Ley Cero de la Termodinámica b. Primera Ley de la Termodinámica c. Segunda Ley de la Termodinámica 32) Transferencia de energía por calor y por trabajo 33) Energía interna 34) Ciclo Otto 35) Ciclo Brayton

203