Actividad 3. Ejercicios De Distribución De Probabilidades

MARCELA BASURTO LUJÁN. 98856. U043. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. MTRA. ROSITA PUMARINO GRAJALES. ACTIVIDAD 3. EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES. CIUDAD JUÁREZ, CHIHUAHUA, 19 DE AGOSTO DE 2019.

a) EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 1. La probabilidad de que una persona recién egresada de la universidad con buenas calificaciones consiga trabajo en un mes es 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que 4 de 5 recién egresados con buenas calificaciones consigan trabajo en un mes? Se toma la fórmula de distribución binomial, se encuentran los valores de la 𝑛

fórmula y se empieza a sustituir n, p, k y q. Se multiplica (𝑘) por la probabilidad de éxito 𝑝𝑘 y por la probabilidad de fracaso 𝑞 𝑛−𝑘 . La probabilidad que de 4 de 5 egresados con buenas calificaciones consigan trabajo en un mes es de 32.80% n= 5, p= 0.9, k= 4, q(1-p) = (1-0.9) = 0.1 𝒏 𝑷(𝒙 − 𝒌) = ( ) 𝒑𝒌 · 𝒒𝒏−𝒌 𝒌 𝟓 𝒏 𝟓! 𝟓𝒙𝟒𝒙𝟑𝒙𝟐 𝟏𝟐𝟎 = = = = =𝟓 𝟒 𝒌! (𝒏 − 𝒌)! 𝟒! (𝟓 − 𝟒)! 𝟒𝒙𝟑𝒙𝟐𝒙𝟏 𝟐𝟒 𝟓 𝑷(𝒙 − 𝒌) = ( ) (𝟎. 𝟗)𝟒 · (𝟎. 𝟏)𝟓−𝟒 = (𝟓)(𝟎. 𝟔𝟓𝟔𝟏)(𝟎. 𝟎𝟏) = 𝟎. 𝟑𝟐𝟖𝟎𝟓 𝟒 𝑷(𝒙 − 𝒌) = 𝟑𝟐. 𝟖𝟎%

2. La probabilidad de que una persona que entra a cierta tienda haga una compra es 0.6. Encontrar las probabilidades de que de un grupo de 9 personas haga 2 una compra. Se toma la fórmula de distribución binomial, se encuentran los valores de la 𝑛

fórmula y se empieza a sustituir n, p, k y q. Se multiplica ( 𝑘) por la probabilidad de éxito 𝑝𝑘 y por la probabilidad de fracaso 𝑞 𝑛−𝑘 . La probabilidad que de un grupo de 9 personas haga una compra es de 21.23%. n= 9, p= 0.6, k= 2, q(1-p) = (1-0.6) = 0.4 𝒏 𝑷(𝒙 − 𝒌) = ( ) 𝒑𝒌 · 𝒒𝒏−𝒌 𝒌 𝟗 𝒏 𝟗! 𝟗𝒙𝟖 𝟕𝟐 = = = = = 𝟑𝟔 𝟐 𝒌! (𝒏 − 𝒌)! 𝟐! (𝟗 − 𝟐)! 𝟐𝒙𝟏 𝟐

𝟗 𝑷(𝒙 − 𝒌) = ( ) (𝟎. 𝟔)𝟐 · (𝟎. 𝟒)𝟗−𝟐 = (𝟑𝟔)(𝟎. 𝟑𝟔)(𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒) = 𝟎. 𝟎𝟐𝟏𝟐𝟑 𝟐 𝑷(𝒙 − 𝒌) = 𝟐𝟏. 𝟐𝟑%

3. La probabilidad de que una persona que entra a cierta tienda haga una compra es 0.6. Encontrar las probabilidades de que de un grupo de 9 personas haga 3, 4 o 5 compras. Se toma la fórmula de distribución binomial, se encuentran los valores de la 𝑛

fórmula y se empieza a sustituir n, p, k y q. Se multiplica ( 𝑘) por la probabilidad de éxito 𝑝𝑘 y por la probabilidad de fracaso 𝑞 𝑛−𝑘 . n= 9, p= 0.6, k= 3, q(1-p) = (1-0.6) = 0.4 𝒏 𝑷(𝒙 − 𝒌) = ( ) 𝒑𝒌 · 𝒒𝒏−𝒌 𝒌 𝟗 𝒏 𝟗! 𝟗𝒙𝟖𝒙𝟕 𝟓𝟎𝟒 = = = = = 𝟖𝟒 𝟑 𝒌! (𝒏 − 𝒌)! 𝟑! (𝟗 − 𝟑)! 𝟑𝒙𝟐𝒙𝟏 𝟔 𝟗 𝑷(𝒙 − 𝒌) = ( ) (𝟎. 𝟔)𝟑 · (𝟎. 𝟒)𝟗−𝟑 = (𝟖𝟒)(𝟎. 𝟐𝟏𝟔)(𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟗𝟔) = 𝟎. 𝟎𝟕𝟒𝟑𝟏 𝟑 𝑷(𝒙 − 𝒌) = 𝟕𝟒. 𝟑𝟏% n= 9, p= 0.6, k= 4, q(1-p) = (1-0.6) = 0.4 𝒏 𝑷(𝒙 − 𝒌) = ( ) 𝒑𝒌 · 𝒒𝒏−𝒌 𝒌 𝟗 𝒏 𝟗! 𝟗𝒙𝟖𝒙𝟕𝒙𝟔 𝟑𝟎𝟐𝟒 = = = = = 𝟏𝟐𝟔 𝟒 𝒌! (𝒏 − 𝒌)! 𝟒! (𝟗 − 𝟒)! 𝟒𝒙𝟑𝒙𝟐𝒙𝟏 𝟐𝟒 𝟗 𝑷(𝒙 − 𝒌) = ( ) (𝟎. 𝟔)𝟒 · (𝟎. 𝟒)𝟗−𝟒 = (𝟏𝟐𝟔)(𝟎. 𝟏𝟐𝟗𝟔)(𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟐𝟒) = 𝟎. 𝟏𝟔𝟕𝟐 𝟒 𝑷(𝒙 − 𝒌) = 𝟏𝟔. 𝟕𝟐% n= 9, p= 0.6, k= 5, q(1-p) = (1-0.6) = 0.4 𝒏 𝑷(𝒙 − 𝒌) = ( ) 𝒑𝒌 · 𝒒𝒏−𝒌 𝒌 𝟗 𝒏 𝟗! 𝟗𝒙𝟖𝒙𝟕𝒙𝟔𝒙𝟓 𝟏𝟓, 𝟏𝟐𝟎 = = = = = 𝟏𝟐𝟔 𝟓 𝒌! (𝒏 − 𝒌)! 𝟓! (𝟗 − 𝟓)! 𝟓𝒙𝟒𝒙𝟑𝒙𝟐𝒙𝟏 𝟏𝟐𝟎

𝟗 𝑷(𝒙 − 𝒌) = ( ) (𝟎. 𝟔)𝟓 · (𝟎. 𝟒)𝟗−𝟓 = (𝟏𝟐𝟔)(𝟎. 𝟎𝟕𝟕𝟕𝟔)(𝟎. 𝟎𝟐𝟓𝟔) = 𝟎. 𝟐𝟓𝟎𝟖 𝟓 𝑷(𝒙 − 𝒌) = 𝟐𝟓. 𝟎𝟖%

4. Suponer que la probabilidad de que se recupere un automóvil en la ciudad Puebla, en la zona sur es de 0.60. Encontrar la probabilidad de que se recuperen, por lo menos, 3 de 10 automóviles robados en la ciudad. Se toma la fórmula de distribución binomial, se encuentran los valores de la 𝑛

fórmula y se empieza a sustituir n, p, k y q. Se multiplica ( 𝑘) por la probabilidad de éxito 𝑝𝑘 y por la probabilidad de fracaso 𝑞 𝑛−𝑘 . n= 10, p= 0.60, k= 3, q= (1-0.60) = 0.40 𝒏 𝑷(𝒙 − 𝒌) = ( ) 𝒑𝒌 · 𝒒𝒏−𝒌 𝒌 𝟏𝟎 𝒏 𝟏𝟎! 𝟏𝟎𝒙𝟗𝒙𝟖 𝟕𝟐𝟎 = = = = = 𝟏𝟐𝟎 𝟑 𝒌! (𝒏 − 𝒌)! 𝟑! (𝟏𝟎 − 𝟑)! 𝟑𝒙𝟐𝒙𝟏 𝟔 𝑷(𝒙 − 𝒌) = (

𝟏𝟎 ) (𝟎. 𝟔𝟎)𝟑 · (𝟎. 𝟒𝟎)𝟏𝟎−𝟑 = (𝟏𝟐𝟎)(𝟎. 𝟐𝟏𝟔)(𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒) 𝟑 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟐𝟒𝟔 𝑷(𝒙 − 𝒌) = 𝟒𝟐. 𝟒𝟔%

5. Después de seguir un tratamiento para dejar de fumar dentro del primer mes es de 0.4. Determinar la probabilidad de que máximo 3 de 7 pacientes vuelven a fumar antes de un mes. Se toma la fórmula de distribución binomial, se encuentran los valores de la 𝑛 𝑘

fórmula y se empieza a sustituir n, p, k y q. Se multiplica ( ) por la probabilidad de éxito 𝑝𝑘 y por la probabilidad de fracaso 𝑞 𝑛−𝑘 . n= 7, p= 0.4, k= 3, q= (1-0.4) = 0.6 𝒏 𝑷(𝒙 − 𝒌) = ( ) 𝒑𝒌 · 𝒒𝒏−𝒌 𝒌

𝟕 𝒏 𝟕! 𝟕𝒙𝟔𝒙𝟓 𝟐𝟏𝟎 = = = = = 𝟑𝟓 𝟑 𝒌! (𝒏 − 𝒌)! 𝟑! (𝟕 − 𝟑)! 𝟑𝒙𝟐𝒙𝟏 𝟔 𝟕 𝑷(𝒙 − 𝒌) = ( ) (𝟎. 𝟒)𝟑 · (𝟎. 𝟔)𝟕−𝟑 = (𝟑𝟓)(𝟎. 𝟎𝟔𝟒)(𝟎. 𝟏𝟐𝟗𝟔) = 𝟎. 𝟐𝟗𝟎𝟑 𝟑 𝑷(𝒙 − 𝒌) = 𝟐𝟗. 𝟎𝟑%

6. Una empresa aplica un esquema de muestreo para aceptar lotes de ciertos insumos. Se examinan 10 artículos y el lote será rechazado si se encuentren 2 o más artículos defectuosos. Calcular la probabilidad de rechazar un lote si contiene 5% de artículos defectuosos. Se toma la fórmula de distribución binomial, se encuentran los valores de la 𝑛 𝑘

fórmula y se empieza a sustituir n, p, k y q. Se multiplica ( ) por la probabilidad de éxito 𝑝𝑘 y por la probabilidad de fracaso 𝑞 𝑛−𝑘 . n= 10, p= 0.05, k= 2, q= (1-0.05) = 0.95 𝒏 𝑷(𝒙 − 𝒌) = ( ) 𝒑𝒌 · 𝒒𝒏−𝒌 𝒌 𝟏𝟎 𝒏 𝟏𝟎! 𝟏𝟎𝒙𝟗 𝟗𝟎 = = = = = 𝟒𝟓 𝟐 𝒌! (𝒏 − 𝒌)! 𝟐! (𝟏𝟎 − 𝟐)! 𝟐𝒙𝟏 𝟐 𝑷(𝒙 − 𝒌) = (

𝟏𝟎 ) (𝟎. 𝟎𝟓)𝟐 · (𝟎. 𝟗𝟓)𝟏𝟎−𝟐 = (𝟒𝟓)(𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟓)(𝟎. 𝟔𝟔𝟑𝟒) 𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟕𝟒𝟔𝟑 𝑷(𝒙 − 𝒌) = 𝟕𝟒. 𝟔𝟑%

b) EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON 1. A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como una variable aleatoria Poisson. Suponer que, en promedio se reciben 7 llamadas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en una hora? Primeramente se saca la fórmula de la variable aleatoria de Poisson, se divide landa (λ) elevada a la k entre k! por la constante matemática (e) elevada a la menos landa (λ). De esta manera, encontraremos la probabilidad de distribución de Poisson. e= 2.7182, k= 5, λ= 7 𝑷(𝒌) =

𝑷(𝒌) =

𝛌𝒌 −𝛌 ·𝒆 𝒌!

𝟕𝟓 −𝟕 𝟏𝟔, 𝟖𝟎𝟕 ·𝒆 = · 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟗𝟏𝟏𝟖 𝟓! 𝟏𝟐𝟎

𝑷(𝒌) = 𝟏𝟒𝟎. 𝟎𝟓(𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟗𝟏𝟏𝟖) = 𝟎. 𝟏𝟐𝟕𝟕𝟎𝟓 𝑷(𝒌) = 𝟏𝟐. 𝟕𝟕%

2. En un proceso de manufactura se registran, siguiendo la distribución de Poisson, en promedio 4 fallas en un turno de 8 horas. Calcular la probabilidad de que un turno cualquiera haya entre 2 y 4 fallas. Primeramente se saca la fórmula de la variable aleatoria de Poisson, se divide landa (λ) elevada a la k entre k! por la constante matemática (e) elevada a la menos landa (λ). De esta manera, encontraremos la probabilidad de distribución de Poisson. e= 2.7182, k= 2, λ= 4 𝑷(𝒌) =

𝛌𝒌 −𝛌 ·𝒆 𝒌!

𝑷(𝒌) =

𝟒𝟐 −𝟒 𝟏𝟔 ·𝒆 = · 𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟑𝟏 𝟐! 𝟐

𝑷(𝒌) = 𝟖(𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟑𝟏) = 𝟎. 𝟏𝟒𝟔𝟒 𝑷(𝒌) = 𝟏𝟒. 𝟔𝟒% e= 2.7182, k= 3, λ= 4 𝑷(𝒌) =

𝑷(𝒌) =

𝛌𝒌 −𝛌 ·𝒆 𝒌!

𝟒𝟑 −𝟒 𝟔𝟒 ·𝒆 = · 𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟑𝟏 𝟑! 𝟔

𝑷(𝒌) = 𝟏𝟎. 𝟔𝟔𝟔(𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟑𝟏) = 𝟎. 𝟏𝟗𝟓𝟑 𝑷(𝒌) = 𝟏𝟗. 𝟓𝟑% e= 2.7182, k= 4, λ= 4 𝑷(𝒌) =

𝑷(𝒌) =

𝛌𝒌 −𝛌 ·𝒆 𝒌!

𝟒𝟒 −𝟒 𝟏𝟔 ·𝒆 = · 𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟑𝟏 𝟒! 𝟐𝟒

𝑷(𝒌) = 𝟏𝟎. 𝟔𝟔𝟔(𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟑𝟏) = 𝟎. 𝟏𝟗𝟓𝟑 𝑷(𝒌) = 𝟏𝟗. 𝟓𝟑% 𝑷(𝒌)𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟎. 𝟏𝟒𝟔𝟒 + 𝟎. 𝟏𝟗𝟓𝟑 + 𝟎. 𝟏𝟗𝟓𝟑 = 𝟎. 𝟓𝟑𝟕 = 𝟓𝟑. 𝟕%

3. A un auto lavado llegan, siguiendo la distribución de Poisson, 8 autos por hora. Calcular la probabilidad de que en una hora determinada llegue entre 4 y 7 autos. Primeramente se saca la fórmula de la variable aleatoria de Poisson, se divide landa (λ) elevada a la k entre k! por la constante matemática (e) elevada a la menos landa (λ). De esta manera, encontraremos la probabilidad de distribución de Poisson. e= 2.7182, k= 4, 5, 6 y 7 λ= 8

𝑷(𝒌) =

𝑷(𝒌) =

𝛌𝒌 −𝛌 ·𝒆 𝒌!

𝟖𝟒 −𝟖 𝟒𝟎𝟗𝟔 ·𝒆 = · 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑𝟓𝟒 𝟒! 𝟐𝟒

𝑷(𝒌) = 𝟏𝟕𝟎. 𝟔𝟔(𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑𝟓𝟒) = 𝟎. 𝟎𝟓𝟕𝟐𝟓

𝑷(𝒌) =

𝟖𝟓 −𝟖 𝟑𝟐, 𝟕𝟔𝟖 ·𝒆 = · 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑𝟓𝟒 𝟓! 𝟏𝟐𝟎

𝑷(𝒌) = 𝟐𝟕𝟑. 𝟎𝟔(𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑𝟓𝟒) = 𝟎. 𝟎𝟗𝟏𝟓𝟖 𝑷(𝒌) =

𝟖𝟔 −𝟖 𝟐𝟔𝟐, 𝟏𝟒𝟒 ·𝒆 = · 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑𝟓𝟒 𝟔! 𝟕𝟐𝟎

𝑷(𝒌) = 𝟑𝟔𝟒. 𝟎𝟖(𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑𝟓𝟒) = 𝟎. 𝟏𝟐𝟐𝟏 𝟖𝟕 −𝟖 𝟐, 𝟎𝟗𝟕, 𝟏𝟓𝟐 𝑷(𝒌) = ·𝒆 = · 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑𝟓𝟒 𝟕! 𝟓𝟎𝟒𝟎 𝑷(𝒌) = 𝟒𝟏𝟔. 𝟏𝟎𝟏(𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑𝟓𝟒) = 𝟎. 𝟏𝟑𝟗𝟓 𝑷(𝒌) = 𝟎. 𝟎𝟓𝟕𝟐𝟓 + 𝟎. 𝟎𝟗𝟏𝟓𝟖 + 𝟎. 𝟏𝟐𝟐𝟏 + 𝟎. 𝟏𝟑𝟗𝟓 = 𝟎. 𝟒𝟏𝟎𝟒 = 𝟒𝟏. 𝟎𝟒%

c) EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN NORMAL

1. El tiempo que les toma a un grupo de obreros ensamblar una serie de microchips tiene una distribución normal con media de 14.5 minutos y desviación estándar de 2.5 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que a uno de estos obreros le tome entre 11 y 16 minutos? Se saca valor de Z, haciendo una división de valor de x menos la media entre la desviación estándar para así, después de obtener el resultado, se tendrá que sacar por medio de una tabla el valor de la Z según el resultado obtenido por la fórmula de la distribución normal. A partir de los dos resultados obtenidos se hará una resta del valor mayor al valor menor así de podrá obtener la distribución exacta. x= 11 y 16, µ= 14.5, σ= 2.5 𝒁=

𝒙−𝝁 𝝈

𝒁=

𝟏𝟏 − 𝟏𝟒. 𝟓 −𝟑. 𝟓 = = −𝟏. 𝟒 𝟐. 𝟓 𝟐. 𝟓 𝒁 = −𝟏. 𝟒 = 𝟎. 𝟒𝟏𝟗𝟐 𝒁=

𝒁=

𝒙−𝝁 𝝈

𝟏𝟔 − 𝟏𝟒. 𝟓 𝟏. 𝟓 = = 𝟎. 𝟔 𝟐. 𝟓 𝟐. 𝟓 𝒁 = 𝟎. 𝟔 = 𝟎. 𝟐𝟐𝟓𝟕

𝒁 = 𝟎. 𝟒𝟏𝟗𝟐 − 𝟎. 𝟐𝟐𝟓𝟕 = 𝟎. 𝟏𝟗𝟑𝟓

2. El tiempo que les toma a un grupo de obreros ensamblar una serie de microchips tiene una distribución normal con media de 14.5 minutos y desviación estándar de 2.5 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que a uno de estos obreros le tome más de 18 minutos? x= 18, µ= 14.5, σ= 2.5 𝒁=

𝒁=

𝒙−𝝁 𝝈

𝟏𝟖 − 𝟏𝟒. 𝟓 𝟑. 𝟓 = = 𝟏. 𝟒 𝟐. 𝟓 𝟐. 𝟓 𝒁 = 𝟏. 𝟒 = 𝟎. 𝟒𝟏𝟗𝟐

𝒁 = 𝟎. 𝟓 − 𝟎. 𝟒𝟏𝟗𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟖𝟎𝟖

3. El tiempo que les toma a un grupo de obreros ensamblar una seria de microchips tiene una distribución normal con media de 14.5 minutos y desviación estándar de 2.5 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que a uno de estos obreros le tome menos de 10 minutos? x= 10, µ= 14.5, σ= 2.5 𝒁=

𝒙−𝝁 𝝈

𝒁=

𝟏𝟎 − 𝟏𝟒. 𝟓 −𝟒. 𝟓 = = −𝟏. 𝟖 𝟐. 𝟓 𝟐. 𝟓 𝒁 = −𝟏. 𝟖 = 𝟎. 𝟒𝟔𝟒𝟏

𝒁 = 𝟎. 𝟓 + 𝟎. 𝟒𝟔𝟒𝟏 = 𝟎. 𝟗𝟔𝟒𝟏

REFERENCIAS Salazar González, J.J., y López Yurda, M. (2001). “Combinatoria” y “Fundamentos de probabilidades” en Ejercicios resueltos de probabilidad, pp. 11-84.