Actividad 11_taller-práctico Aplicado_eliminación Gaussiana Y Gauss Jordán

Operaciones matriciales. Taller-práctico aplicado. (Aplicación práctica)

Resolver por eliminación de Gaussiana 1. Un grupo de amigos fueron dos días a un bar, donde hicieron un consumo por el cual pagaron con un fondo común. Ahora quieren saber el gasto que hizo cada uno, pero no recuerdan los precios de los artículos. Recuerdan que el primer día pagaron 21,60 € por 5 bocadillos y 8 bebidas, y que el segundo día pagaron 13,20€ por 3 bocadillos y 5 bebidas. Todos los bocadillos tenían el mismo precio, al igual que todas las bebidas. Calcula el precio de cada bocadillo y cada bebida. Solución: Primero plantearemos un sistema de ecuaciones que permitan determinar los precios que buscamos, para esto necesitamos determinar cuáles son nuestras incógnitas. X= Precio de cada bocadillo Y= Precio de cada bebida Como el primer día consumieron 5 bocadillos y 8 bebidas con un costo de 21,60 € tenemos: 5𝑥 + 8𝑦 = 21,60 El segundo día consumieron 3 bocadillos y 5 bebidas, con un costo de 13,20€, tenemos: 3𝑥 + 5𝑦 = 13,20 Por lo tanto, nuestro sistema de ecuaciones es:

{

5𝑥 + 8𝑦 = 21,60 3𝑥 + 5𝑦 = 13,20

Resolvemos por eliminación gaussiana

Transformamos la matriz aumentada del sistema en una matriz en forma escalonada 108 5 8 5 ( | ) 3 5 66 5

3 𝑥 (− ) 5

Multiplicamos la fila 1 por 3/5 y la restamos a la fila 2 108 5 8 5 ( | ) 3 5 66 5

3 𝑥 (− ) 5

108 5 8 3 1| 5 ) 𝐹2 − ( ) ∗ 𝐹1 → 𝐹2 ( 6 0 5 5 25

Tenemos entonces: 108 5𝑥 + 8𝑦 = 5 { 1 6 𝑦= 5 25 Despejamos el valor de y de la ecuación 2 1 6 6 𝑦= → 𝑦= 5 25 5 Reemplazamos el valor de y en la 1 ecuación. 5𝑥 =

108 108 6 − 8𝑦 → 5𝑥 = − 8 ( ) → 5𝑥 = 12 5 5 5 12 𝑥= 5

Concluimos entonces: X= Precio de cada bocadillo= 2,4 € Y= Precio de cada bebida= 1,2 € 2. En la empresa plástica “Elsa” se fabrican dos tipos de productos: botellas, garrafas y bidones. Se utiliza como materia prima 10 kg de granza de polietileno cada hora. Se sabe que para fabricar cada botella se necesitan 50 gramos de granza, para cada garrafa 100 gramos y para cada bidón 1 kg. El gerente también nos dice que se debe producir el doble de botellas que de garrafas. Por último, se sabe que por motivos de capacidad de trabajo en las

máquinas se producen en total 52 productos cada hora. ¿Cuántas botellas, garrafas y bidones se producen cada hora? Solución: Primero plantearemos un sistema de ecuaciones que permitan determinar los precios que buscamos, para esto necesitamos determinar cuáles son nuestras incógnitas. X= Número de botellas Y= Número de garrafas Z= Número de bidones Hallamos nuestra primera ecuación: “Se utiliza como materia prima 10 kg de granza de polietileno cada hora. Se sabe que para fabricar cada botella se necesitan 50 gramos de granza, para cada garrafa 100 gramos y para cada bidón 1 kg.”

0,05 𝑥 + 0,1 𝑦 + 𝑧 = 10 Hallamos nuestra segunda ecuación: “doble de botellas que de garrafas” 𝑥 = 2𝑦 Hallamos nuestra tercera ecuación: “52 productos cada hora” 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 52 Por lo tanto, nuestro sistema de ecuaciones es:

0,05 𝑥 + 0,1 𝑦 + 𝑧 = 10 {𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 52 𝑥 = 2𝑦

Resolvemos por eliminación gaussiana Transformamos la matriz aumentada del sistema en una matriz en forma escalonada 1 (20 1 1

1 1 10 10 | 52) 1 1 0 −2 0

1 𝐹2 − 20 𝑥 𝐹1 → 𝐹2 (20 0 1

(−20) 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 1 𝑝𝑜𝑟 20 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 2 1 10 −1 −2

10 | −148) −19 0 0 1

1 𝐹3 − 20 ∗ 𝐹1 → 𝐹3 (20 0 0

1 10 −1 −4 1 (20 0 0

(−20) → 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 1 𝑝𝑜𝑟 20 𝑦 𝑙𝑎 − 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 3

10 | −148) −19 −200 −20 1

(−4) 𝐹3 − 4 ∗ 𝐹2 → 𝐹3

1 10 1 10 | −148) −1 −19 392 0 56

Nuestra nueva ecuación nos queda: 1 1 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10 20 10 −𝑦 − 19𝑧 = −148 56𝑧 = 392 Resolvemos para obtener los valores de nuestras incógnitas: Comenzamos despejando la variable z de la ecuación 3 56𝑧 = 392 → 𝑧 = 7 Reemplazamos el valor de z en la ecuación 2 para obtener y −𝑦 = −148 + 19𝑧 → −𝑦 = −148 19(7) → −𝑦 = −15 𝑦 = 15

Sustituíamos los valores de y, z en la ecuación 1 1 1 1 1 𝑥 = 10 − 𝑦−𝑧 → 𝑥 = 10 − (15) − 7 20 10 20 10 1 3 𝑥 = → 𝑥 = 30 20 2

Concluimos entonces que se produce en total 2 productos por hora y se cumple que el número de botellas es el doble al de garrafas. X= Número de botellas = 30/ hora Y= Número de garrafas = 15/ hora Z= Número de bidones = 7/ hora 3. Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la primera de ellas descuenta un 4% en un cierto producto A, un 6% en el producto B y un 5 % en el producto C. A las dos semanas pone en marcha la segunda oferta descontando un 8% sobre el precio inicial de A, un 10% sobre el precio inicial de B y un 6 % sobre el precio inicial de C. Se sabe que, si un cliente compra durante la primera oferta de un producto a, dos B y tres C, se ahorra 16 euros respecto al precio inicial. Si compra tres productos A, uno B y cinco en la segunda oferta el ahorro es de 29 euros. Si compra un producto A, uno B y uno C, sin ningún tipo de descuento, debe abonar 135 euros. Solución: Sacamos nuestras incógnitas del enunciado y empezamos a resolver X= Precio del producto A Y= Precio del producto B Z= Precio del producto C Empezamos a calcular las ofertas que nos ofrecen y sacar valores

Sin oferta 1. Oferta 2. Oferta

A x 0,96 x 0,92 x

B y 0,94 y 0,90 y

C z 0,95 z 0,94 z

1. Ecuación: Un producto a, dos B y tres C, se ahorra 16 euros 0,96 𝑥 + 2 (0,94 𝑦) + 3(0,95 𝑧) = 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 16 0,96 𝑥 − 𝑥 + 1,88 𝑦 − 2𝑦 + 2,85 − 3𝑧 = −16 4𝑥 + 12𝑦 + 15𝑧 = 1600

2. Ecuación: Si compra tres productos A, uno B y cinco en la segunda oferta el ahorro es de 29 euros 3(0,96 𝑥) + 1 (0,94 𝑦) + 5(0,95 𝑧) = 3𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 − 29 2,76 𝑥 − 3𝑥 + 0,90𝑦 − 𝑦 + 4,7𝑧 − 5𝑧 = −29 12𝑥 + 5𝑦 + 15𝑧 = 1450 3. Si compra un producto A, uno B y uno C, sin ningún tipo de descuento, debe abonar 135 euros 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 135 Nuestro nuevo sistema de ecuaciones es el siguiente: 4𝑥 + 12𝑦 + 15𝑧 = 1600 {12𝑥 + 5𝑦 + 15𝑧 = 1450 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 135 Resolvemos por método gaussiana 4 ( 12 1

12 15 1600 5 15| 1450) 1 1 135

4 (−3) 𝐹2 − 3 ∗ 𝐹1 → 𝐹2 (0 1

4 12 1 0 −31 𝐹3 − ( ) ∗ 𝐹1 → 𝐹3 ( 4 0 −2

(

15 1600 −30 | ) −3350 11 − −265 4

4 12 0 −31 0

0

12 15 1600 −31 −30| −3350) 135 1 1

(−

1 (− ) 4

2 2 ) 𝐹3 − ( ) ∗ 𝐹2 → 𝐹3 31 31

1600 15 −30 −3350 101| 1515) − − 124 31

De esta manera nuestro sistema de ecuaciones es el siguiente: 4𝑥 + 12𝑦 + 15𝑧 = 1600 −31𝑦 − 30𝑧 = −3350 { 101 1515 − 𝑧= − 124 31 De la ecuación 3 hallamos el valor de z 101 1515 𝑧= − 124 31 𝑧 = 60 Reemplazamos el valor de z, reemplazamos en la ecuación 2 y hallamos el valor de y −31𝑦 = −3350 + 30𝑧 → −31𝑦 = −3350 + 30(60) → −31𝑦 = −1550 𝑦 = 50 Teniendo el valor de dos incógnitas, reemplazamos en la primera ecuación para hallar x 4𝑥 = −12𝑦 − 15𝑧 + 1600 → 4𝑥 = −12 (50) − 15(60) + 1600 → 4𝑥 = 100 𝑥 = 25 Sin oferta 1. Oferta 2. Oferta

A 25 24 23

B 50 47 45

C 60 57 56,4

Comprobamos nuestros resultados 25 + 50 + 60 = 135 135 = 135

4𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −3 4. 3𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = −2 −𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5 Solución:

Transformamos nuestra matriz aumentada del sistema en una matriz en forma escalonada

4 1 −2 −3 ( 3 −1 4 | −2) −1 1 1 5

4 1 −2 −3 3 3 7 11 1 ∗ (− ) 𝐹2 − ( ) ∗ 𝐹1 → 𝐹2 ( 0 − | ) 4 4 4 2 4 −1 1 1 5

4

1 7 1 0 − 𝐹3 − (− ) ∗ 𝐹1 → 𝐹3 4 4 5 0 4 (

4 0 (

0

−2 −3 11 1 2 || 4 1 17 2 4)

5 ( ) 7

1 ( ) 4

5 𝐹3 − (− ) ∗ 𝐹2 → 𝐹3 7

1 −2 −3 7 11 1 − 4 2 || 4 31 31 0 7 7)

Nos queda entonces: 4𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −3 7 11 1 − 𝑦 + 𝑧= 4 2 4 31 31 𝑧 = { 7 7 De la ecuación 3 hallamos el valor de z 31 31 𝑧 = 7 7 𝑧=1 Reemplazamos el valor de z, reemplazamos en la ecuación 2 y hallamos el valor de y −

7 11 1 7 1 11 7 21 𝑦 + 𝑧 = → − 𝑦 = − (1) → − 𝑦 = − 4 2 4 4 4 2 4 4 𝑦=3

Teniendo el valor de dos incógnitas, reemplazamos en la primera ecuación para hallar x 4𝑥 = − 𝑦 + 2𝑧 − 3 → 4𝑥 = −3 + 2(1) − 3 → 4𝑥 = −4 𝑥=1

5𝑥 5. 𝑥 2𝑥

− 𝑦 + 3𝑦 − 𝑦

+ 3𝑧 = −6 −𝑧 = 10 + 4𝑧 = −2

Solución:

Transformamos nuestra matriz aumentada del sistema en una matriz en forma escalonada 5 −1 3 −6 (1 3 −1| 10 ) 2 −1 4 −2

5 −1 3 −6 1 1 16 8 56 ∗ (− ) 𝐹2 − ( ) ∗ 𝐹1 → 𝐹2 (0 − | ) 5 5 5 5 5 2 −1 4 −2

−1 3 −6 16 8 56 2 0 − | 𝐹3 − ( ) ∗ 𝐹1 → 𝐹3 5 5| 5 5 3 14 2 0 − ( 5 5 5)

2 (− ) 5

5

5 0 (

0

3 ( ) 16

𝐹3 − (−

3 ) ∗ 𝐹2 → 𝐹3 16

−1 3 −6 16 8 56 − | 5 5| 5 5 5 0 2 2)

Nos queda entonces: 5𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = −6 16 8 56 𝑦 − 𝑧 = 5 5 5 5 5 𝑧 = { 2 2 De la ecuación 3 hallamos el valor de z 5 5 𝑧 = 2 2 𝑧=1 Reemplazamos el valor de z, reemplazamos en la ecuación 2 y hallamos el valor de y

16 8 56 𝑦 − 𝑧 = 5 5 5

→

16 8 56 16 64 𝑦 = (1) + → 𝑦= 5 5 5 5 5 𝑦=4

Teniendo el valor de dos incógnitas, reemplazamos en la primera ecuación para hallar x 5𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = −6 → 5𝑥 = 𝑦 − 3𝑧 − 6 → 5𝑥 = 4 − 3(1) − 6 → 5𝑥 = −5 𝑥 = −1

Resolver por Gauss Jordán 6. Se disponen tres botones alineados; cada botón puede estar en dos estados distintos: encendido o apagado. Al pulsar el botón 1 cambia el estado del botón 1 y del botón 2; al pulsar el botón 2 cambia el estado del botón 2 y del 3 y al pulsar el botón 3 cambia únicamente su propio estado. El estado inicial de los tres botones es de encendido y se pretende conseguir apagar los tres botones. Plantear un sistema de ecuaciones que resuelva este juego, y encontrar la secuencia de botones que hay que pulsar para apagarlos. Solución: -

Al pulsar el botón 1 cambia el estado del botón 1 y del botón 2 [1 1

-

Al pulsar el botón 2 cambia el estado del botón 2 y del 3 [0 1

-

0|𝐴] 1|𝐵]

Al pulsar el botón 3 cambia únicamente su propio estado [0 0

1|𝐶]

1 1 [0 1 0 0

1 𝐴 1| 𝐵 ] 1 𝐶

Tenemos:

Inicio:

[1 -

1 1|0]

Botón A [0 0

-

1|𝐴]

Botón C

[0

0 0|𝐴 + 𝐶]

Operamos: 1 1 [ 0 0

[

1 1 1 0 1 0 0 0

1 0 [ 0 0

1 0 ] 1 1 1 1 0 0

1 1 0 0

1 0 [ 0 0

1 𝐹3 1 ] ∗ (−1) → 𝐹3 −1 (−1) 1

1 1 ] 1 0

1 1 0 0

1 (−1) 𝐹2 − 1 ∗ 𝐹1 → 𝐹2 [ 0 0 0 1 0 [ 0 0

1 0 (−1) 𝐹2 − 1 ∗ 𝐹3 → 𝐹2 [ 0 0

0 0 ] 1 0

∗ (−1) 𝐹1 − 1 ∗ 𝐹2 → 𝐹1

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0

1 −1 ] 1 1

1 1 ] 1 1 1 0 ] 1 0

1 0 [ 0 0

𝐹3 ↔ 𝐹2

(−1) 𝐹4 − 1 ∗ 𝐹3 → 𝐹4

∗ (−1) 𝐹1 − 1 ∗ 𝐹3 → 𝐹1

0 1 0 0

0 0 ] 1 0

7. Una fábrica de perfumes dispone de 750L de un producto a y de 400L de otro producto B. Mezclando los productos A y B se obtienen diferentes perfumes. Este año se quieres preparar dos clases de perfume: el de la primera clase llevará tres partes de A y una de B y será vendido a 50 dólares el L, y el de la segunda clase llevará los productos A y B al 50% y será vendida a 60 dólares el L. a. ¿Cuántos litros de cada clase de perfumes se podrán preparar?

b. ¿Qué ingresos totales se obtendrán por la venta de la totalidad de los productos fabricados? Solución: X= Litros que se preparan de la primera clase Y= Litros que se preparan de la segunda 3 𝑥 {4 1 𝑥 4

1 𝑦 = 600 2 1 + 𝑦 = 400 2

+

Resolvemos por gauss Gordan Transformamos la matriz aumentada del sistema en una matriz en forma escalonada 3 (4 1 4

1 2| 600) ∗ (4) 𝐹1 → 𝐹 1 1 400 3 3 4 2

1 ( 0

2 3| 800) ∗ 3 𝐹2 → 𝐹 (1 2 1 200 1 0 3 3

2 3| 800) 1 400 2

1 ( 1 4

2 800 3| 600) 1 1 0

(

1 1 ∗ (− ) 𝐹2 − ( ) ∗ 𝐹1 → 𝐹2 4 4

2 ∗ (− ) 3

2 𝐹1 − ( ) ∗ 𝐹2 → 𝐹1 3

0 400 | ) 1 600

La respuesta para el primer inciso es: X= Litros que se preparan de la primera clase: 400 Y= Litros que se preparan de la segunda: 600 b. Se obtendrá un ingreso total de 400*50+600*60= 56.000 dólares

−8𝑥 + −23𝑥 + 8. 1 −2𝑥 −

12𝑦 + 32𝑦 − 5 3

𝑦

−

34𝑧 43𝑧 47𝑧

= 14 = 90 =

−25

Solución: Transformamos la matriz aumentada del sistema en una matriz en forma escalonada −8 −23 ( 1 − 2

12 32 5 − 3

34 14 1 𝐹1 −43 | 90 ) ∗ (− ) → 𝐹1 8 −8 −47 −25

1 𝐹2 − (−23) ∗ 𝐹1 → 𝐹2

0 1 (− 2

1 −23 1 − ( 2

3 17 7 − 2 4 − 5 563| 4 199 − − 2 4 | 4 5 − −47 −25) 3

−

1 − 𝐹3 − (−

1

−

3 2

0

1

(0

0

29 ) ∗ 𝐹2 → 𝐹3 12

7 17 − 4 4 199 | 563 | − 10 10 2219 1 − 2608)

3 2

0

1

(0

0

−

∗ (−

∗ (23)

−

1 1 ∗ ( ) 𝐹2 − (− ) ∗ 𝐹1 → 𝐹3 2 2

3 17 7 − 1 − 2 4 4 2 𝐹1 5 563| 199 ∗ (− ) → 𝐹2 0 0 − − 5 −5 2 4 | 4 2 29 393 207 − 0 − − ( (0 8 ) 12 8 1

3 17 7 − 2 4 − 32 −43 || 4 90 5 − −47 −25 3 ) −

−

3 2

1 −

29 12

17 7 − 4 4 563 | 199 − 10 | 10 393 207 − − 8 ) 8 −

17 7 − 4 4 15 563 | 199 ∗( ) − 1304 10 10 | 1304 2219 − 30 ) 15

29 ∗( ) 12

−

1

563 563 ) 𝐹2 − (− ) ∗ 𝐹3 → 𝐹2 10 10

3 1 − 0 17 2 𝐹1 − (− ) ∗ 𝐹3 → 𝐹1 | 4 0 1 0 0 0 1 (

0 0 (

55979 10432 146061 5216 2219 − )

𝐹3 → 𝐹3 1304 15

3 − 2 1 0

7 − 17 4 − 146061 4| 0 5216 2219 1 − 2608 )

−

2608

3 3 ∗ ( ) 𝐹1 − (− ) ∗ 𝐹2 → 𝐹1 2 2

17 ∗ ( ) 4

95551 2608 0 146061 0| 1 5216 2219 − )

1 0 0 1 0 0 (

2608

Por lo tanto, nuestros valores son: 𝑥=

95551 ≅ 36.64 2608

𝑦= 𝑧=−

146061 ≅ 28 5216 2219 ≅ 850.84 2608

4𝑥 + 3𝑧 = −6 3𝑦 − 9𝑧 = 10 9. −5𝑥 − 6𝑦 = −21 Solución: 3 3 4 0 3 −6 1 0 − 1 𝐹1 4 | 2) (0 → 𝐹1 ( 3 −9| 10 ) ∗ ( ) 4 4 0 3 −9 10 −5 −6 0 −21 −5 −6 0 −21

3 3 1 0 − 4 2 1 0 3 −9|| 10 ∗ ( ) 3 15 57 0 −6 − ( 4 2)

(

1

0

0

1

0

0

3

−

𝐹2 → −𝐹2 3

1 0 0 (

3 3 − 2 0 4 10 | ∗ (6) 𝐹3 − (−6) ∗ 𝐹2 → 𝐹3 1 −3| 15 3 57 −6 4 − 2)

3

2 1 4 4 𝐹3 10 ∗ (− ) → 𝐹3 −3 || 0 57 − 57 57 3 17 4 − 0 4 − ( 2)

(5) 𝐹3 − (−5) ∗ 𝐹1 → 𝐹3

0 1 0

3

−

3

2 10

4| −3 3 1 34 57 )

∗ (3) 𝐹2 − (−3) ∗ 𝐹3 → 𝐹2

3 3 2 292 4| 0 57 1 34

37 1 0 0 19 292 0 1 0| 0 0 1 57 34 −

−

1 0 0 1 0 0 (

57

3 3 ∗ (− ) 𝐹1 − ( ) ∗ 𝐹3 → 𝐹1 4 4 )

(

57

)

Tenemos como solución: 𝑥=− 𝑦= 𝑧=

37 19

292 57 34 57

10.

Juan para ingresar a la universidad debe rendir un examen tipo

test que consta de 20 preguntas. Por cada respuesta correcta obtiene 0,5 puntos y por cada respuesta incorrecta o no contestada se le resta 0,25 puntos. Si luego de corregida la prueba obtuvo 7 puntos, calcular cuántas respuestas correctas tuvo. Respuesta: X= Cantidad de buenas Y= Cantidad de malas o no contestadas 0,5 por cada buena y 0,25 por cada mala o no contestada Nuestro sistema de ecuaciones es el siguiente 𝑥 + 𝑦 = 20 0,5 𝑥 + 0,25𝑦 = 7 Resolvemos: 1 1 20 (1 1 | ) 7 2 4

(

1 1 20 | ) 0 1 12

1 1 1 1 𝐹 1| 20 ) ∗ (−4) 2 → 𝐹2 ∗ (− ) 𝐹2 − ( ) ∗ 𝐹1 → 𝐹2 ( 1 0 − −3 2 2 (− 4) 4 1 0 8 | ) 0 1 12

∗ (−1) 𝐹1 − 1 ∗ 𝐹2 → 𝐹1 (

Por lo tanto. Luis saco: X= Cantidad de buenas= 8 Y= Cantidad de malas o no contestadas= 12