Intersección De Dos Prismas

“Año de la Integración Nacional y el reconocimiento de nuestra diversidad”  Tema:

“Intersección de Sólidos: Modelado de Maclas”  Curso:

Geometría Descriptiva  Fecha de Entrega:

27 de noviembre del 2015  Catedrático:

Ing. Bringas Zuñiga, Jesús José  Participantes:

Flores Cierto Macquiber Giarnelly Quiñones Armando Quispe Flores Oscar Sánchez García Daniel

2015

20150047G 20152077K 20152022A 20154052E

OBJETIVOS

 Entender la definición de macla y sus tipos.  Aplicar la teoría de intersección de dos prismas en el desarrollo de las maclas.  Conocer la morfología de las maclas.  Modelar una macla en AutoCAD, con sus respectivas vistas y sus intersecciones.

MACLAS Una macla es un crecimiento conjunto simétrico de dos (o más) cristales de la misma sustancia. Estos crecimientos controlados cristalográficamente se denominan cristales gemelos. Los dos o más individuos del agregado gemelar o macla están relacionados por un elemento de simetría que no existe en un solo cristal (no gemelar). El nuevo elemento de simetría (elemento de macla) dispone uno de los cristales que está en coincidencia con el otro en posición gemelar. Generalmente es necesario verificar cuidadosas medidas morfológicas (mediante un goniómetro de reflexión), así como estudios de difracción de rayos X (principalmente por métodos de precisión de rayos X) para distinguir una macla de un crecimiento aleatorio de cristales. Las operaciones que pueden relacionar un cristal con su contrapartida en la macla son las siguientes: (1) Reflexión por un plano especular (plano de macla). (2) Rotación alrededor de una dirección cristalina común a ambas (eje de macla). Aunque hay excepciones, la rotación angular es normalmente 180 o. (3) Inversión respecto de un punto (centro de macla). Las maclas se definen por su ley de macla, que indica si hay un centro, un eje o un plano de macla y que da la orientación cristalográfica de dichos ejes o planos. Un plano de macla se identifica por su índice de Miller (por ej. (010)) y un eje de macla se identifica por un símbolo de zona (por ej. [001]). La superficie según la cual los dos cristales individuales están unidos se conoce con el nombre de superficie de composición. Si esta superficie es un plano, se le conoce como plano de composición. Este plano de composición es comúnmente, pero no siempre, el plano de macla. Sin embargo, si la ley de macla puede ser definida solamente por un plano de macla, éste es siempre paralelo a una cara posible del cristal, pero nunca lo es a un plano de simetría. El eje de macla es un eje zona o una dirección perpendicular a un posible plano reticular; pero nunca puede ser un eje de simetría par (binario, cuaternario, senario) si la rotación considerada es de 180 o. En algunos cristales, una rotación de 90 o alrededor de un eje binario puede ser considerada como una operación de macla. Los cristales maclados se designan generalmente con el nombre de maclas de contacto o maclas de penetración. Las maclas de contacto tienen una superficie de composición definida, que separa los dos cristales, y la macla viene definida ´ 1) representado en la Fig.1. Este plano por un plano de macla tal como el ( 11 ´ 1) ( 11

es uno de las cuatro direcciones posibles y cristalográficamente

equivalentes del octaedro [111] del sistema isométrico. Por tanto, si uno desea describir todos los posibles planos de macla octaédricos, se utiliza el símbolo de forma [111] en lugar de la notación (111) de un plano específico. Las maclas de

penetración están formadas por distintos cristales interpenetrados que tienen una superficie de unión irregular, y la ley de macla queda usualmente definida por un eje de macla (por ej. [111] ó [001]: veáse figs 1 d-f.

´ 1 ). Esta es FIGURA 1 (a) Octaedro con un posible plano de macla b-b ( 11 ´ 1 ]. (b) una de las cuatro direcciones octaédricas de la forma [ 11 ´ 1 ] presentada por la espinela. (c) Cristales de Macla octaédrica [ 11 ´ ), ley de las cuarzo derecho e izquierdo maclados a lo largo de (11 22 maclas del Japón. (d) Dos cubos de fluorita interpenetrados maclados sobre [111] como eje de macla. (e) Dos cristales piritoedro (en la pirita) formando la cruz de hierro con eje de macla [001]. (f) Ortoclasa mostrando la ley de macla de Carlsbad, en la cual dos cristales se Maclas repetidas o múltiples se forman por tres o más partes macladas según la misma ley. Si todas las superficies de composición sucesivas son paralelas, el

grupo resultante es una macla polisintética (fig 2 a,b y c). Si los planos de composición sucesivos no son paralelos, resulta una macla cíclica (fig 2 d y e). Cuando un gran número de cristales en una macla polisintética están estrechamente agrupados, las caras cristalinas o las exfoliaciones que cruzan los planos de composición muestran estrías, debido a las posiciones invertidas de los cristales adyacentes. La formación de maclas en los grupos de simetría inferiores produce generalmente un agregado de simetría superior a la que posee cada cristal, pues los planos de macla o los ejes de macla son elementos de simetría adicional. El origen de las maclas será tratado, una vez se haya introducido los conceptos de orden y red. Aquí nos limitaremos a la expresión morfológica de las maclas.

FIGURA 2 (a) Albita maclada polisintéticamente según [010]. (b) El mismo maclado posintético que en (a) pero visto a través de un microscopio de polarización. Las láminas claras y oscuras de la albita vienen relacionadas por una reflexión sobre [010]. (c) Macla polisintética de la calcita de cobres sobre ( 1´ 012 ), que es una de las tres direcciones del romboedro negativo. (d) Maclado cíclico en el rutilo con dos planos de macla paralelos a las caras de la forma [011]. (e) Maclado cíclico en el crisoberilo con los dos planos de

LEYES DE MACLAS COMUNES Sistema Triclínico Los feldespatos son los mejores ejemplos de maclas en el sistema clínico. Están casi siempre maclados según la ley de la albita, con plano de macla [010], según se muestra en la Figs 2.a y b. Otro importante tipo de macla en los feldespatos triclínicos es la que se da según la ley de la periclina, con el eje de macla [010]. Cuando, como ocurre frecuentemente en la microlina, las maclas de albita y periclina están íntimamente mezcladas, a través de un microscopio de polarización puede apreciarse un diagrama tíupico de entramado o “tartán” (Fig 3). Además, los feldespatos triclínicos forman maclas de acuerdo con las mismas leyes que los feldespatos monoclínicos (véase a continuación).

Sistema Monoclínico En el sistema monoclínico las maclas según {100} y {001}, son los más corrientes. La fig.4 representa una macla de yeso con el plano de macla {100} (macla de cola de golondrina). Esta misma figura muestra también tres leyes de macla que se presentan en el mineral ortoclasa. Dos de ellas son maclas de contacto: una macla de Manebach, con el plano de macla {001}, y una macla de Baveno, con el plano de macla {021}. La macla más corriente en la ortoclasa es la macla de Carlsbad, una macla de interpretación, en la cual el eje c [001] es el elemento de

macla. En este caso los dos cristales están unidos por una superficia irregular aproximadamente paralela a (010).

Sistema Ortorrómbico En el sistema ortorrómbico, el plano de macla es muy frecuentemente paralelo a una cara del prisma. La macla de contacto del aragonito, la macla cíclica del mismo mineral, y la macla cíclica de la cerusita están todas macladas en {110} (veáse figura 5 a y b). La apariencia pseudohexagonal del aragonito maclado cíclicamente es consecuencia de que (110) y ( 1 1´ 0 ) es aproximadamente 60o. El mineral estaurolita que es monoclínico con un ángulo β de 90 o, es pseudoortorrómbico y morfológicamente aparece como ortorrómbio. Se encuentra corrientemente en dos tipos de maclas de penetración. En una, con {031} como plano de macla {231}, resulta una cruz con ángulo de 60 o (Fig. 5 c)

Sistema tetragonal El tipo de macla más común en el sistema tetragonal tiene {011} como plano de macla. En la Fig. 6 se muestran cristales de casiterita y rutilo, maclados según esta ley.

Sistema hexagonal En el sistema hexagonal los carbonatos, especialmente la calcita, sirven como ilustración excelente de tres leyes de macla. El plano macla puede ser {0001}, con ´ }. c como eje de la macla (Fig. 7a), o puede ser el romboedro positivo {10 11 ´ } es más corriente y puede Pero el maclado en el romboedro negativo {00 12 originar maclas de contacto o maclas polisintéticas como resultado de la presión (Fig. 7b). La facilidad de maclado según esta ley puede er demostrada por el maclado artificial de un fragmento de exfoliación del espato de Islandia mediante una presión ejercida por una hoja de cuchillo. En la fig. 7c se representa la ley de Brasil con el plano de macla paralelo a {11 2´ 0 }. Aquí, los dos integrantes uno derecho y otro izquierdo, han formado una macla de penetración. En la fig. 7d se muestra una macla de Delfinado. Este tipo de macla es de penetración y tiene al eje c como eje de macla. Dichas maclas están compuestas por dos individuos derechos o izquierdos. En la fig 7e se ilustra ´ }. Los ángulos entrantes presentes la ley del Japòn con el plano de macla {11 22

usualmente en cristales maclados no aparecen en las maclas de Brasil o del Delfinado.

Sistema isométrico En la clase holoédrica del sistema isométrico ( 4 /m 3´ 2/m ) el eje de macla es, con raras excepciones, un eje ternario, y el plano de macla es así paralelo a la cara del octaedro. Las fig 1a y b muestran un octaedro en el plano bb como posible plano de macla, y un octaedro maclado según esta ley, formando una macla de contacto. Este tipo de macla es muy común, especialmente en la gema espinela, de aquí que se denomina macla de la espinela. La fig 1 d representa dos cubos formando una macla de penetración con el eje ternario de rotoinversión [111] como eje de macla. En la clase

2/m3 dos piritoedros pueden formar una macla de penetración (Fig.1

e) con una rotación de 90o respecto al eje de macla [001]. Esta macla se conoce como la cruz de hierro.

INTERSECCIÓN DE DOS PRISMAS a) Método de las “rectas como un punto” Dada las proyecciones en H y F de dos prismas, para hallar la traza de intersección entre ellos por éste método, seguimos el siguiente proceso: -

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Proyectamos en un plano adyacente una nueva vista de los sólidos dados donde el otro prisma se proyectará con las aristas como punto. Identificado el tipo de intersección, enumeramos según el procedimiento descrito en el acápite 12-B1 y luego procederemos a hallar los puntos de intersección de las aristas que se proyecten como punto con las caras del otro poliedro. La fig. 1, nos muestra las proyecciones de dos prismas, uno de ellos, lo disponeremos con las aristas como punto en el plano 1, donde realizamos un análisis de visibilidad preliminar de los sólidos proyectados. Se trata de una intersección por mordedura, y la numeramos como a tal para hallar los puntos de intersección. Algunos puntos, tales como: 1,2,5,7,9 y 11 podemos identificarlos por simple inspección, en el plano adyacente H, a las aristas al cual pertenecen. Los otros puntos, observamos su cota, apartamiento o alejamientos (en este caso, su apartamiento) de uno respecto al otro; por ejemplo, para el punto 4 y 10, observamos que 4 está a la derecha de 10, lo que ubicamos en el plano anexo F y corroboramos su posición en el plano M. Así continuaremos con los puntos 6,8,3 y 12 respectivamente. Ubicado los puntos de intersección, realizamos el definitivo análisis de la visibilidad ayudándonos de qué aristas son visibles o invisibles de los poliedros.

b) Método de los “planos cortantes” Luego de realizar los pasos previos para determinar la intersección (completar con trazo fino los sólidos y numerar para determinar la intersección), realizamos el siguiente proceso: (en nuestro ejemplo nos encontramos con una poligonal y 10 puntos de intersección): -

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Las proyecciones de los puntos 1,3,6,7 podemos ubicarlo en el plano F con simple inspección; para los demás puntos realizamos el siguiente artificio: Trazamos planos cortantes (en éste caso planos cortantes verticales) que nos determinan la posición de los puntos 5,6,7,8 y 2,3,4,9,10 respectivamente. En el plano cortante I se halla contenido X6 que corta RN en el punto 5 (el punto 5, se halla en la cara ACDE); y se halla contenido también X7 que le intersecta con RN en el punto 8. Del plano cortante II (cortante vertical), deducimos que 3Z corta a TP en 2; 3Y intersecta a VQ en 4; YZ, intersecta a VQ en 9 y TP en 10, como se muestra en el plano frontal. Obtenido todos los puntos, unimos estos mediante semirrectas, que serán las trazas de la intersección de los dos poliedros; concluimos realizando previamente el correspondiente análisis de visibilidad.

ELABORACIÓN DE LA MAQUETA

La maqueta fue elaborada a escala, tratando de representar el cristal Esmeralda, que está compuesta por una intersección de dos prismas regulares de base hexagonal, intersectados perpendicularmente. Los pasos para realizar la maqueta fueron los siguientes: 1. De una cartulina A3, dibujamos 6 rectángulos de medida 20 x 5 cm. 2. En grupos de 3 rectángulos, dibujamos un hexágono en el centro de estos, y así estamos dibujando la zona por dónde atraviesa el segundo prisma regular de base hexagonal al primero. 3. Luego dibujamos dos hexágonos regulares de 5 cm de radio, que serán las bases del prisma. 4. Unimos con pegamento las partes y así obtenemos el primer prisma. 5. Para representar el segundo prisma, de la misma manera, dibujamos los 6 rectángulos de medida 20 x 5 cm y dibujamos los 2 hexágonos regulares de radio 5 cm. 6. Unimos las partes y así tendremos el segundo prisma que será el que intersecta al otro. 7. Atravesamos el segundo prisma con el primero y así tendremos representada macla de la Esmeralda. EQUIPOS UTILIZADOS 1.-

2.-

3.-

PROCEDIMIENTO

El modelado virtual de la macla de estaurolita se llevó a cabo en este caso mediante el programa Autocad 2015 en su versión en español.

Nos situamos en la barra de dibujo, mediante la opción dibujar polígono, designamos un polígono de lado 4cm con un número de lados en este caso 6; y lo tomamos como un polígono circunscrito con centro en el plano XY.

Teniendo este polígono como base del prisma que queremos lograr (prisma hexagonal), hacemos uso de la herramienta extruir, en la barra de herramientas 3D; esta herramienta permite llevar un objeto de dos dimensiones a tres, es decir, crear planos o volúmenes extendiendo el objeto en un eje perpendicular al plano en el que se encuentre. Con esta herramienta extruimos el polígono hexagonal anteriormente creado hacia el eje z definiendo una altura de 20 cm.

Teniendo ya este prisma hexagonal con base en el plano XY y de una altura en el eje z de 20 cm, lo copiamos y rotamos este nuevo prisma un ángulo de 90° en un plano ZY.

Finalmente intersectamos estos prismas en los puntos obtenidos de la maqueta previamente realizada que sirve de modelo para el sólido a realizar en Autocad.

Haciendo uso de la herramienta acotamiento determinamos los puntos de intersección aproximados definiendo la distancia medida de la maqueta: 6.6 y 6.6 las distancias desde cada base del prisma de base en el plano XY; y 6.12 y 6.95 las distancias desde cada base a los puntos de intersección del prisma previamente rotado.

Una vez determinado el sólido, proseguimos a unir ambos prismas y obtener la macla propiamente dicha en su modelado en 3D, para lograr hacer visibles las distancias hacemos uso de la herramienta para poder colocar las cotas de las diferentes distancias como se aprecia en la siguiente imagen:

REFERENCIAS

Deskrép,C.L. Geometría Descriptiva(2006).Lima – Perú. UNICIT. 12va. Edición. Cornelis K. Manual de Mineralogía (2013). 2da Edición.S.Edit.