Escuela Profesional De Ingeniería En Industrias Alimentarias

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS

TEMA: APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIA

INFORME DE: ECUACIONES DIFERENCIALES

PRESENTADO POR:  Quispe Pongo Clinton Washignton DOCENTE: Ing. Jesús Arias Escobar

2018

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

INTRODUCCIÓN La importancia de las ecuaciones diferenciales en las matemáticas y especialmente en sus aplicaciones, ya sea en ingeniería, biología, química y otros se debe principalmente al hecho de que la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de tales ecuaciones. Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.

OBJETIVOS:  Aplicar las ecuaciones diferenciales en la industria alimentaria.  Demostrar y explicar en el salón un modelo matemático de ecuaciones diferenciales aplicando en la industria alimentaria.

DEFINICIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Una ecuación diferencial es una expresión matemática que involucra al menos una derivada de una función desconocida de una o más variables. General mente, estos modelos matemáticos producen una ecuación que contiene algunas derivadas de una función incógnita. Esta ecuación recibe el nombre de Ecuación Diferencial.

MARCO TEORICO Muchos problemas en la Ingeniería y otras ciencias pueden ser formulados en términos de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, (enfriamiento, decaimiento, crecimiento) que pueden ser usados en la industria alimentaria, trayectorias balísticas, teoría de satélites artificiales estudio de redes eléctricas, curvaturas dé vigas, estabilidad de aviones, teoría teoría de vibraciones reacciones químicas y otras aplicaciones, de aquí la importancia de su solución.

PROBLEMA 01

CALCULAR EL TIEMPO En el laboratorio al sacar las placas Petri de la estufa, que fueron puestas a una temperatura de 65°C, si la temperatura ambiente es de 18°C, pero después de 3 min la temperatura de las placas Petri con % de materia seca disminuyen a 60°C. ¿En cuánto tiempo se enfriara a la temperatura de 20°C para poder separar la materia seca de la placa Petri?

Datos: 𝑇0 = 65°C 𝑇𝑎 = 18°C 𝑇3𝑚𝑖𝑛 = 60°C 𝑡20°𝐶 =? MODELO MATEMATICO 𝒅𝑻 ∝ 𝑻 − 𝑻𝒂 𝒅𝒕 𝒅𝑻 = 𝑲(𝑻 − 𝑻𝒂 ) 𝒅𝒕 Ley de enfriamiento de Newton 𝒅𝑻 = 𝑲𝒅𝒕 (𝑻 − 𝑻𝒂 )

∫

𝒅𝑻 = 𝑲 ∫ 𝒅𝒕 (𝑻 − 𝑻𝒂 )

∫

𝒅𝒖 = 𝐥𝐧 𝒖 + 𝒄 𝒖

𝐥𝐧(𝑻 − 𝑻𝒂 ) + 𝑪𝟏 = 𝑲𝒕 + 𝑪𝟐 𝐥𝐧(𝑻 − 𝑻𝒂 ) = 𝑲𝒕 + 𝑪𝟐 − 𝑪𝟏 𝐥𝐧(𝑻 − 𝑻𝒂 ) = 𝑲𝒕 + 𝑾

𝑒 𝐥𝐧(𝑻−𝑻𝒂) = 𝑒 𝑲𝒕+𝑾

(𝑻 − 𝑻𝒂 ) = 𝑒𝑲𝒕+𝑾

𝑒 𝑎+𝑏 = 𝑒 𝒂 + 𝑒 𝒃 (𝑻 − 𝑻𝒂 ) = 𝑒𝑲𝒕 ∗ 𝑒𝑾

𝑒𝑾 = 𝑍 (𝑻 − 𝑻𝒂 ) = 𝑍𝑒𝑲𝒕 𝑲𝒕

+ 𝑻𝒂

𝑲𝒕

+ 𝟏𝟖

𝑻 = 𝑍𝑒

𝑻 = 𝑍𝑒

𝑇0 = 65°C 𝑡0 = 65°𝐶 Condición inicial

𝟔𝟓 = 𝑍𝑒

𝑲(𝟎)

+ 𝟏𝟖

𝟔𝟓 = 𝑍 + 𝟏𝟖

𝑍 = 47 𝑻 = 𝑍𝑒

𝑲𝒕

𝑻 = 47𝑒

+ 𝟏𝟖

𝑲𝒕

+ 𝟏𝟖

𝑇3𝑚𝑖𝑛 = 60°C 𝑡3 = 60°𝐶 𝟔𝟎 = 47𝑒

𝟑𝑲

+ 𝟏𝟖

𝟔𝟎 − 𝟏𝟖 = 47𝑒 𝟒𝟐 = 47𝑒

𝟑𝑲

𝟑𝑲

42 = 𝑒 3𝐾 47 𝟎. 𝟖𝟗𝟒 = 𝑒𝟑𝑲 𝐥𝐧 𝟎. 𝟖𝟗𝟒 = 𝐥𝐧 𝑒𝟑𝑲 𝐥𝐧 𝟎. 𝟖𝟗𝟒 = 𝟑𝑲 𝐥𝐧 𝟎. 𝟖𝟗𝟒 =𝑲 𝟑 −𝟎. 𝟎𝟑𝟕 = 𝑲

𝑻 = 47𝑒

𝑲𝒕

+ 𝟏𝟖

𝑻 = 47𝑒

−𝟎.𝟎𝟑𝟕𝒕

+ 𝟏𝟖

𝑻 = 47𝑒

−𝟎.𝟎𝟑𝟕𝒕

+ 𝟏𝟖

𝟐𝟎 = 47𝑒

−𝟎.𝟎𝟑𝟕𝒕

𝟐 = 47𝑒

+ 𝟏𝟖

−𝟎.𝟎𝟑𝟕𝒕

𝟐 = 𝑒−𝟎.𝟎𝟑𝟕𝒕 𝟒𝟕 𝐥𝐧 𝟎. 𝟎𝟒𝟑 = 𝐥𝐧 𝑒−𝟎.𝟎𝟑𝟕𝒕 𝐥𝐧 𝟎. 𝟎𝟒𝟑 = −𝟎. 𝟎𝟑𝟕𝒕 𝐥𝐧 𝟎. 𝟎𝟒𝟑 =𝒕 −𝟎. 𝟎𝟑𝟕 T=85.04min

CONCLUSIÓN 

Las ecuaciones diferenciales, es muy útil para poder calcular cualquier problema matemático, como en este caso fue la ley de enfriamiento de Newton, el cual nos ayuda para poder calcular el tiempo en que se puede enfriar cualquier material o materia prima, como lo es en este caso que nos dio un tiempo de enfriamiento de 85min para que llegue a una temperatura de 20°C y poder separar la materia seca de la placa Petri.

WEBGRAFIA 

https://es.vbook.pub.com/document/310021149/Marco-Teorico



https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial



http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/ec_diferenciales.htm