Curso Básico De Topografía - Fernando García Márquez

CURSO BÁSICO DE

TOPOGRAFÍA planimetría • agrimensura • altimetría

CURSO BÁSICO DE

TOPOGRAFÍA planimetría • agrimensura • altimetría

•

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FERNANDO GARCÍA MÁRQUEZ

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árbol editorial

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© 1994 Árbol Editorial, S.A. de

c.v.

Av. Cuauhtémoc 1430 Col. Sta. Cruz Atoyac Tel.: 688/6458 Fax: 605/7600 [email protected] México, D.F. 03310 Tercera reimpresión ISBN 968-461-003-3 Reservados todos los derechos Impreso en México/Printed in Mexico

DEDICATORIA Al Heroico Colegio Militar) mi Alma Mater) en cuyas aulas me inicié en 1943 como cadete en el estudio de esta disciplina) y a la Escuela Militar de Ingenieros) en la cual he participado en la' enseñanza de la Topografía desde 1963 a la fecha.

A LOS ALUMNOS

Esta obra fue elaborada con el propósito de facilitar el estudio de la Topografía a los alumnos. Cada capítulo contiene problemas resueltos, seleccionados cuidadosamente, que sirven de guía al alumno para la resolución de otros p'roblemas. Si logro evitar esfuerzos inútiles a los estudiantes de esta asignatura me sentiré satisfecho. INO. FERNANDO OARCIA MARQUEZ

CONTENIDO ~

Capítulo 1

ff~ 1

GENERALIDADES Aplicaciones de la Topografía, 1 División de la Topografía, 3 Levantamiento, clases de levantamientos, Levantamientos topográficos, 4 Poligonal, clases de poligonales, 5 Los errores, 5

4

Capítulo lJ

PLANIMETRIA

9

Levantamientos plaJ)'imétricos, 9 Medida directa de distancias, 9 !Medidas con cinta, ] O Errores en la medida de distancias con cinta, 12 Tolerancias en medida de distancias con cinta, 13 Problemas, 14 Problemas resueltos con cinta, 16 Problemas, 27 Levantamientos con cinta,

31

Métodos de levantamiento con cinta, 36 Método de radiaciones, 36 Método de diagonales, 37 Método de líneas de liga, 37 Método de alineaciones, 38 Método de coordenadas rectangulares, 39 Levantamiento de edificaciones, 40 Levantamiento de detalles, 40 ,Problemas, 41

X

Contenido Levantamientos con brújula y cinta,

50

Definiciones, 50 Descripción de la brújula, 59 Condiciones que debe satisfacer toda brújula, 61 Usos de la brújula, 61 Ventajas en el uso de la brújula, 62 Inconvenientes en el uso de la brújula, 62 Atracciones locales, 62 Mét.xlos de levantamiento con brújula y cinta, 64 Método de itinerario, 65 Problemas, 68 Método de radiaciones, 78 Método de intersecciones, 79 Método de coordenadas rectangulares, 79 Dibujo de la poligonal, 80 Compensación gráfica, 81 Determinación de la superficie del polígono por medio del planímetro, 84

Levantamientos

COIl

tránsito )' cinta,

88

Descripción del tránsito, 88 Usos del tránsito, 91 Condiciones que debe satisfacer un tránsito para su buen funcionamiento, 91 Vernier, 96 Medida de ángulos, 99 Medida simple, 99 Medida por repeticiones, lOO Medida por reiteraciones, 102 Métodos de levantamiento con tránsito y cinta, 103 Método de medida directa de ángulos, ] 03 Orientación magnética, 104 Medida de los ángulos, 105 Comprobación del ángulo medido, ] 05 Problema, 124 Método de deflexiones. 130 Prohlema, 136 Método de conservación de azimutes, 141 Problemas. 149 Prohlemas, 154

Capít/llo 111 205

AG RlMENSURA Métodos gráficos, 205 Métodos mecánicos, 206 Métodos analíticos. 206 ~:vlU'f!l-ro¡jlRff

.5

Contenido Triangulación del polígono, 206 'P roblemas, 207 Método de las coordenadas, 208 Problemas, 21 1 Método de las dobles distancias meridianas, Problemas, 21 6 Regla de los trapecios, 220 Problemas, 222 Regla de Simpson, 224 Problemas, 225 Agrodesia, 227 Problemas, 229

XI

214

Capítulo IV ALTIMETRIA O NIVELACION . .

245

Nivelación directa o topográfica, 247 Niveles, 247 N iveles fijos o topográficos, 248 Condiciones que debe reunir un nivel tipo americano, 250 Condiciones que debe reunir un nivel ,t ipo inglés, 252 Errores en la nivelación, 254 Nivelación diferencial. 259 Problemas, 264 Comprobación de una nivelación, 266 Problemas, 267 Nivelación de perfil, 272 Construcción de un perfil, 275 'P roblemas, 277 Nivelación trigonométrica, 281 .. Eclímetro, 282 Eclímetro de la brújula, 283 Plancheta de pendientes. 284 " ~ 'Problemas, 285 Nivelación barométrica. 297 Barómetros, 297 Barómetros de mercurio. 297 Aneroides, 300 Termobarómetros o hipsómetros. 302 Medición de alturas. 304 Prohlemas, 30ó

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CAPÍTULO I

GENERALIDADES Definic7ón, aplicaciones y división de la topografía

Se define la TOPOGRAFÍA (dél griego: topos, lugar y graphein, describir) como la ciencia que trata de los principios y métodos empleados para determinar las posiciones relativas de los puntos de la superficie terrestre, por medio de medidas, y usando los tres elementos del espacio. Estos elementos pueden ser: dos distancias y una elevación, o una distancia, una dirección y una elevación. La TOPOGRAFÍA, en general, es una aplicación de la geometría y, por tanto, sin el conocimiento de esta ciencia, sería imposible que aquélla llenara el cometido que tiene asignado. La TOPOGRAFÍA define la posición y las formas circunstanciales del suelo; es decir, estudia en detalle la superficie terrestre y los procedimientos por los cuales se pueden representar, todos los accidentes que en ella existen, sean naturales o debidos a la mano del hombre. El medio usual de expresión es el dibujo. La TOPOGRAFÍA se encuentra directamente relacionada con la Tierra. El estudio de la Tierra como cuerpo en el espacio le corresponde a la Astronomía; y como globo terrestre en lo que concierne a su configuración precisa y a su medida le corresponde a la Geodesia; pero el hombre tiene necesidad de algo más, de un estudio detallado de un territorio determinado de la tierra, en el cual orientará su existencia diaria. He aquí donde entra la topografía: ayuda a determinar los linderos de la propiedad, con sus divisiones interiores y diversos cultivos, las viviendas, los caminos y los ríos, los puentes, los ferrocarriles, los montes con sus valles y barrancos, los bosques, los pantanos, etc., y, en suma, todas aquellas particularidades del terreno que puedan interesar en las cuestiones que se presentan en las necesidades de la vida práctica. . APLICACIONES DE LA TOPOGRAFIA A la topografía se le puede considerar como una de las herramientas básicas de la ingeniería civil, aunque se le llega a utilizar en otras espe1

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Curso básico de topografía

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cialidades. Las materias propedéuticas son la geometría, la trigonometría, la física y la astronomía, por tanto, se puede decir que la topografía es una ciencia aplicada. Además del conocimiento de las materias mencionadas, 1?'ara la realización de los trabajos topográficos se hacen necesarias algunas cualidades personales como: iniciativa, habilidad para manejar los aparatos, habilidad para tratar a las personas y buen criterio. La topografía tiene un campo de aplicación extenso, lo .que la hace sumamente necesaria. Sin su conocimiento no podría el ingeniero por sí solo proyectar ninguna obra. Sin un buen plano no podría proyectar debidamente un edificio o trazar un fraccionamiento; sin el levantamiento de secciones transversales no le sería posible proyectar presas, puentes, canales, carreteras, ferrocarriles, etc. Tampoco podría señalar una pendiente determinada como se requiere en un alcantarillado. Además, al ingeniero recién graduado que ingresa a una empresa constructora o institución, generalmente los primeros trabajos que se le encomiendan son sobre topografía. Así pues, toda recomendación para que se preocupe en el conocimiento de los métodos topográficos es pequeña y el estudiante así debe entenderlo. Las actividades fundamentales de la topografía son el trazo y el levantamiento. El trazo es el procedimiento operacional que tiene como finalidad el replanteo sobre el terréno de las condiciones establecidas en un plano; y el levantamiento comprende las operaciones necesarias para la obtención de datos de campo útiles para poder representar un terreno por medio de su figura semejante en un plano. La topografía tiene una gran variedad de aplicaciones: Levantamiento de terrenos en general, para localizar y marcar linderos, medida y división de superficies y ubicación de terrenos en planos generales. Localización, proyecto, trazo y construcción de vías de comunicación: caminos, ferrocarriles, canales, líneas de transmisión, acueductos, etc. La topografía de minas tiene por objeto fijar y controlar la posición de trabajos subterráneos y relacionarlos con las obras superficiales. Levantamientos catastrales hechos con el propósito de localizar límites de propiedad y valorar los inmuebles para la determinación del impuesto correspondiente. Topografía urbana es la denominación que con frecuencia se da a las operaciones que se realizan para la disposición de lotes, construcción de calles, sistemas de abastecimiento de agua potable y sistemas de drenaje. La topografía hidrográfica estudia la configuración de océanos, lagos, ríos, etc., para propósitos de navegación, suministro de agua o construcción subacuática. La topografía fotogramétrica es la aplicación a la topografía de la ciencia de las mediciones por medio de fotografías. Se usa para levanta-

Generalidades

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mientos topográficos generales, levantamientos preliminares de rutas, para fines militares y aun para levantamientos en áreas agrícolas. La topografía también es usada para instalar maquinaria y equipo industrial; en la construcción de barcos y aviones; para preparar mapas geológicos y forestales; en la navegación por control electrónico para fijar la situación de puntos determinados sobre los planos empleados; en cuestiones militares (táctica, estrategia, logística, etc.); en la fabricación y . montaje de proyectiles dirigidos, etc. Así pues, la topografía sirve y está en mayor o menor escala en caSI todas las obras que el hombre hace o pretende hacer, desde medir una propiedad hasta para lanzar un cohete al espacio. DIVISION DE LA TOPOORAFIA Para su estudio la topografía se divide en tres partes: TOPOLOGÍA que estudia las leyes que rigen las formas del terreno. TOPOMETRÍA que establece los métodos geométricos de medida. PLANOGRAFÍA que es la representación gráfica de los resultados y constituye el dibujo topográfico. Para que sea completa la representación gráfica de una porción de la superficie terrestre, deberá contener: La forma general del terreno, o sea, su contorno o perímetro y los detalles interiores (construcciones, caminos, puentes, ríos, etc.). La diferencia de altura que guardan los puntos del terreno, unos respecto a otros; y La superficie del terreno. Por lo antes expuesto, se deduce que la topografía (topometría), según las operaciones que se ejecutan para representar el terreno, se divide en tres partes que son: PLANIMETRÍA que estudia los instrumentos y métodos para proyectar sobre una superficie plana horizontal, la exacta posición de los puntos más importantes del terreno y construir de esa manera una figura similar al mismo. ALTIMETRÍA que determina las alturas de los diferentes puntos del terreno con respecto a una superficie de referencia; generalmente correspondiente al nivel medio del mar. AGRIMENSURA que comprende los procedimientos empleados para medir la superficie de los -terrenos y para fraccionarlos.

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Curso básico de topografía

LEVANTAMIENTO El levantamiento es uno de los más VIeJOS artes practic~dos por el hombre, porque desde épocas tempranas ha sido necesario marcar límites y dividir la tierra. Es una operación técnica que consiste en medir directamente el terreno. Se puede definir el levantamiento como el conjunto de operaciones y medios puestos eL práctica para determinar las posiciones de puntos del terreno y su representación en un plano. Clases de levantamientos

En cuanto a su extensión, los levantamientos pueden ser topográficos o geodésicos. LEVAN1AMIENTOS TOPOGRÁFICOS son los que se extienden sobre una porción relativamente pequeña de la superficie de la Tierra que, sin error apreciable, se considera como si fuera plana. Las dimensiones máximas de las zonas representadas en los planos topográficos no superan en la práctica los 30 Km de lado, correspondientes aproximadamente a un círculo de 30 Km de diámetro, límites dentro de los cuales se puede hacer abstraccióR de la curvatura de la superficie terrestre. LEVANTAMIENTOS GEODÉSICOS son aquellos que abarcan grandes extensiones y obligan a tomar en cuenta la forma de la Tierra, ya sea considerándola como una verdadera esfera, o más exactamente, como un esferoide de revolución. Estos levantamientos se salen de los límites de la topografía y entran en el dominio de la geodesia. LEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOS Los levantamientos topográficos en cuanto a su calidad se dividen como SIgue: PRECISOS, que se ejecutan por medio de triangulaciones o poligonales de precisión. Se emplean para fijar los límites entre naciones o estados, en el trazo de ciudades, etc. REGULARES, los cuales se .realizan por medio de poligonales, levantadas con tránsito y cinta. Se usan para levantar linderos de propiedades, para el trazo de caminos, vías férreas, canales, ciudades pequeñas, etc., y en obras de saneamiento en las ciudades. ~ff

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Generalidades

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TAQUIMÉTRICOS, en los cuales las distancias se miden por procedimientos indirectos. Generalmente se ejecutan con tránsito y estadía, y se emplean en trabajos previos al trazo de vías de comunicación, en trabajos de configuración y de relleno, y también para la formación de planos a pequeña escala. EXPEDITIVOS, efectuados con aparatos portátiles, poco precisos, como: brújula, sextante, podómetro, telémetro, estadía de mano, etc., Y. cuando no se dispone de aparatos se ejecutan a ojo o por informes proporcionados por los habitantes de la región. Estos levantamientos se emplean en reconocimientos del terreno o en las exploraciones militares. POLIGONAL En topografía se da el nombre de poligonal a un polígono o a una línea quebrada de n lados. También se puede definir la poligonal como una sucesión de líneas rectas que conectan una serie de puntos fijos. Clases de poligonales

De la definición de poligonal se deduce que las poligonales pueden ser cerradas abiertas.

°

POLIGONAL CERRADA es aquella cuyos extremos inicial Y final coinciden; es decir, es un polígono. POLIGONAL ABIERTA es una línea quebrada de n lados o aquella poligonal cuyos extremos no coinciden. Existen dos cIases de poligonales abiertas: las de enlace Y los caminamientos. POLIGONAL DE ENLACE es una poligonal abierta cuyos extremos son conocidos de antemano y, por tanto, puede comprobarse. CAMINAMIENTO se denomina a una poligonal abierta, en la cual sólo se conoce el punto de partida y por esto no es susceptible de comprobación. LOS ERRORES No se puede medir exactamente ninguna magnitud; por perfectos que sean los procedimientos y aparatos que se empleen; cada medida que se

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Curso básico de topografía

haga estará siempre afectada por un error. Al considerar una magnitud cualquiera debemos distinguir en ella tres valores: valor verdaderp, valor observado y valor más probable. Valor verdadero de una magnitud es el que está exento de todo error; y por lo mismo, será siempre desconocido para nosotros.

Valor observado es el que resulta de la observación o experiinentación, después de hechas todas las correcciones instrumentales y del medio en que se trabaja. Valor más probable de una cantidad es el que más se acerca al valor verdadero de acuerdo con las observaciones hechas o medidas tomadas. Al referimos a las medidas, es importante distinguir entre exactitud y precisión. Exactitud es la aproximación a la verdad o bien el grado de conformidad con un patrón. Precisión es el grado de refinamiento con que se lee una medida o el número de cifras con el que se hace un cálculo. También se define como el grado de refinamiento para ejecutar una operación o para dar un resultado. De estas dos definiciones, compatibles entre sÍ, se sigue, que una medida puede ser exacta sin ser precisa, y viceversa. Por ejemplo, una distancia puede medirse cuidadosamente con una cinta, aproximando hasta los milímetros, y tener; sin embargo, un error de varios centímetros por ser incorrecta la longitud de la cinta. La medida es precisa, pero no exacta. Fuentes de error

Una de las funciones más importantes del ingeniero es obtener medidas que estén correctas dentro de ciertos límites de error, fijados por la Naturaleza y objeto del levantamiento, para lo que se requiere que conozca las fuentes de error, el efecto de los diferentes errores en las cantidades observadas, y esté familiarizado con el procedimiento necesario para mantener la precisión requerida. En las medidas hechas en topografía no es posible tener el valor exacto a causa de los inevitables errores inherentes al operador, a la clase de instrumentos empleados y a las condiciones en que se efectúa la medida. Los errores personales se producen por la falta de habilidad del observador para leer los instrumentos. La apreciación de una lectura en una cinta, por ejemplo, depende de la agudeza visual del observador y se

~ff

.5

Generalidades

7

comprende que a causa de la imperfección de nuestros sentidos, nOo es pOosible que se pueda hacer una coincidencia perfecta 00 una lectura exacta. Los errores instrumentales se Ooriginan por las imperfecciOones 00 ajuste defectuoso de los instrumentOos con que se toman las medidas. Los errores naturales se deben a las variaciOones de los fenómenos de la Naturaleza comOo la temperatura, la humedad, el viento, la gravedad, la refracción atmosférica y la declinación magnética. Clases de errores

Error verdadero es la diferencia entre el valOor verdaderOo de una cantidad y el OobservadOo, razón por la que siempre será descOonocido para nosOotros; y como lOo único que llegamos a conocer es el valor más probable; es decir, el más cercanOo al verdadero, la diferencia entre este valOor y el observado se designa cOon el nombre de error residuo o residuo simplemente. Los errores pueden dividirse en sistemáticos y accidentales.

Errores sistemáticos son aquellos que siguen siempre una ley definida física o matemática y, mientras las cOondiciones en que se ejecutan las medidas permanezcan invariables, tendrán la misma magnitud y el mismo signo algebraico; por tantOo, son acumulativos. La magnitud de estos errOores se puede determinar y se eliminan aplicandOo métodos sistemáticos en el trabajOo de campo o correcciones a las medidas. Los errores sistemáticos pueden ser instrumentales, persOonales o naturales. Errores accidentales son los que obedecen a una combinación de causas que no alcanza el Oobservador a controlar y para las cuales no es posible obtener correcciones; para cada Oobservación la magnitud y signOo algebraico del errOor accidental dependen del azar y no pueden calcularse. Como todos los errOores accidentales tienen las mismas probabilidades de ser positivos que negativos, existe ciertOo efectOo compensador y por ellOo muchos de lOos errOores accidentales se eliminan. Los errores accidentales sólo se pueden reducir por mediOo de un mayor cuidado en las medidas y aumentando su númerOo. Eq uivocaciones

Una equivocación es una falta involuntaria ·Ooriginada por el mal criterio, falta de cuidado o de conocimientos, distracción o confusión en la mente del OobservadOor. Las equivocaciones no pertenecen al campOo de la teoría de los errores y, a diferencia de éstos, nOo pueden cOontrolarse y estudiarse. Las equivOocaciOones se encuentran y se eliminan comprobandOo todo el trabajOo.

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Curso básico de topografía

Discrepancia

Una discrepancia es la diferencia entre dos medidas de la mjsma magnitud: distancia, ángulo o desnivel. Valor más probable

El valor más probable de una magnitud medida varias veces, en idénticas condiciones, es el promedio de las medidas tomadas o media aritmét:'ca. Esto se aplica tanto a ángulos como a distancias y desniveles. Comprobaciones

En todo trabajo de topografía, se debe buscar siempre la manera de comprobar las medidas y los cálculos ejecutados. Esto tiene por objeto descubrir equivocaciones y errores, y determinar el grado de precisión obtenic3. Tolerancia

Se entiende por tolerancia el error máximo admisible en la medida de ángulos, distancias y desniveles.

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•

CAPÍTULO

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PLANIMETRíA Se llama planimetría al conjunto de los trabajos efectuados para tomar en el campo los datos geométricos necesarios que permitan construir una figura semejante a la del terreno, proyectada sobre un plano horizontal. Levantamientos planimétricos

Estos levantamientos pueden ejecutarse de varias maneras:

Con cinta exclusivamente. Por medio de poligonales, determinando las longitudes de los lados y los ángulos que éstos forman entre sí; y Por triangulaciones, cubriendo la zona que se va a levantar, con redes de triángulos ligados entre sí. Por lo regular este método se elliplea en el levantamiento de grandes extensiones de terreno, y se hace la medida directa de uno de sus lados que se denomina base, así como la de los ángulos de los triángulos. Los levantamientos planimétricos por medio de poligonales, se clasifican como sigue: Levantamientos Levantamientos Levantamientos Levantamientos

con con con con

brújula y cinta. tránsito y cinta. tránsito y estadia. plancheta.

Medida directa de distancias

En topografía, se entiende por distancia entre dos puntos la distancia horizontal. La medida directa de una distancia consiste en la aplicación material de la unidad de medida a lo largo de su extensión. El método más común de determinar distancias es con la medida directa por medio de la cinta. 9

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Curso básico de topografía

"~UéH¡~#

.5 Medidas con cinta

El equipo que se emplea en la medida directa de distancias es el siguiente: Cinta de acero de 20, 30 o 50 metros de longitud, graduadas en centímetros; generalmente tienen una anchura de 7.5 milímetros. Cinta de lona en la que se han entretejido alamLres delgados de latón o de bronce para evitar que se alargue. Cinta de metal invar, de uso general para medidas muy precisas. E1 invar es una aleación de acero y níquel a la que afectan poco los cambios de temperatura. La dilatación térmica de la cinta de metal invar es aproximadamente la décima parte de las cintas de acero. Balizas de metal, madera o fibra de vidrio. Son de sección circular, tienen una longitud de 2.50 m y están pintadas de rojo y blanco, en tramos alternos de medio metro. Las de madera y las de fibra de vidrio están protegidas en el pie por un casquillo con punta de acero. Se usan como señales temporales para indicar la posición de puntos o la dirección de líneas. Fichas de acero de 25 a 40 cm de 10ngitud. Se emplean para marcar los extremos de la cinta durante el proceso de la medida de la distancia entre dos puntos que tienen una separación mayor que la longitud de la cinta empleada. Un juego de fichas consta de 11 piezas. Plomadas, generalmente de latón, de 280 a 450 gramos, provistas de una punta cambiable de acero de aleación resistente al desgaste, y de un dispositivo para ponerles un cordón que queda centrado. En roca o pavimento pueden marcarse los puntos con crayón o pintura de aceite. Medidas de distancias sobre terreno horizontal

Para medir la distancia entre dos puntos del terreno, previamente se materializan los extremos de la línea. La medida exige dos operadores: el zaguero o cadenero de atrás y el delantero o cadenero de adelante. La operación se realiza en la forma siguiente: El zaguero contará las fichas y entregará al delantero 10 de ellas; tomará la cinta colocando la marca cero en coincidencia con el eje de la ficha inicial, mientras el delantero tomando el otro extremo de la cinta se encaminará en la dirección de la línea por medir y atenderá las indi-

Planimetría

11

caciones del zaguero para que la cinta quede alineada. Durante el proceso de alinear, el cadenero de adelante está a un lado, frente a la línea, sosteniendo firmemente la cinta; con una mano coloca la ficha verticalmente en línea y con la otra mantiene la cinta estirada y la pone en contacto con la ficha. Como comprobación, vuelve a estirar la cinta y verifica que el extremo de las graduaciones de la cincta coincida con el eje de la ficha plantada. Entonces grita "bueno"; y el cadenero de atrás suelta la cinta; el de adelante avanza; y de esta manera se repite el proceso. Al partir, el zaguero recoge la ficha. De esta manera, siempre hay una ficha en el terreno, y el número de fichas que trae el zaguero indica en cualquier tiempo el número de puestas de cinta del origen a la ficha que está en el terreno. Cuando el delantero llegue al extremo de la línea que se está midiendo, hará la lectura de la fracción correspondiente. La distancia total medida se obtendrá multiplicando el número de fichas que recogió el zaguero por la longitud de la cinta y añadiendo la fracción leída en el extremo de la línea. Para distancias largas, se usan generalmente 11 fichas de las cuales 10 recoge el cadenero de atrás; cuando el zaguero comprueba que ya tiene 10 fichas volverá a entregarlas al delantero. Si se opera con una cinta de 20 metros, por ejemplo, cada cambio o tirada corresponderá a 200 metros medidos. Medidas de distancias sobre terreno inclinado

Cuando la pendiente del terreno es muy variable, se emplea el método llamado de escalones, presentándose los dos casos siguientes:

Terreno descendente. A partir del punto inicial el zaguero colocará ~l extremo de la cinta en el suelo y en coincidencia con dicho punto y el delantero manteniendo la cinta horizontal, a ojo, ejercerá tensión sobre ella de manera que se reduzca al mínimo la curvatura que toma bajo la acción de su peso; cuando el delantero es é alineado, utilizando una plomada, marcará el punto del terreno, en el sitio señalado por la punta de la plomada, y colocará la ficha correspondiente. El zaguero se trasladará entonces en esa dirección y comenzará la medida siguiente en la forma indicada. Este procedimiento adolece de que la horizontalidad de la cinta extendida es aproximada, porque se estima a ojo. Terreno ascendente. Cuando la medida se realiza en terreno ascendente, además del error por la horizontalidad aproximada de la cinta, se comete otro debido a que la baliza plantada al lado de cada ficha no se encuentra en posición vertical. En este caso el zaguero levantará la cinta, manteniéndola a 10 largo de la baliza, hasta que el delantero, teniendo la

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Curso básico de topografía

cinta horizontal a ojo, haga contacto con el suelo y una vez alineado por el zaquero coloque la ficha. Si se requiere mayor precisión debe usarse la plomada en vez de la baliza. Si la pendiente del terreno es constante, la cinta puede ponerse paralela al terreno, y deberá medirse también el ángulo vertical o la pendiente para calcular posteriormente la distancia reducida al horizonte o sea la proyección horizontal de la distancia medida. Errores en la medida de distancias con cinta SISTEMÁ TICOS

Longitud incorrecta de la cinta. Se determina, por longitud de cinta, comparándola cm: un patrón. Si la longitud de la cinta es mayor que la correcta, el error es negativo y, por tanto, la corrección será positiva y viceversa. Catenaria. Se comete este error cuando la cinta no se apoya sobre el terreno sino que se mantiene suspendida por sus extremos, formando entonces una curva llamada catenaria. Este error es positivo y se elimina aplicando la corrección calculada. Alineamiento. incorrecto. Se produce este error cuando la alineación se separa de la dirección verdadera. Es positivo y, en consecuencia, la corrección es negativa. Este error es de poca importancia, pues una desviación de 2 cm en 20 m, apenas produce un error de 1 mm. Inclinación de la cinta. Si se opera en terreno quebrado hay que colocar a ojo, en posición horizontal, toda la cinta o parte de ella. El error es positivo, por tanto, la corrección debe aplicarse con signo contrario al error. Variaciones de temperatura. Los errores debidos a las variaciones de temperatura se reducen mucho utilizando cintas de metal invar. La cinta se dilata al aumentar la temperatura y se contrae cuando la temperatura disminuye; en el primer caso el error es positivo y negativo en el segundo. Variaciones en la tensión. Las cintas, siendo elásticas, se alargan cuand9 se les aplica una tensión. Si ésta es mayor o menor que la que se utilizó para compararla, la cinta resultará larga o corta con relación al patrón. Este error sistemático es despreciable excepto para trabajos muy precisos. ACCIDENTALES

De índice o de puesta de ficha. Consiste este error en la falta de coincidencia entre el punto terminal de una medida y el inicial de la siguiente. Se evita colocando las fichas en posición vertical. ~r»ff

.5

Planimetría

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Variaciones en la tensión. En los trabajos comunes la tensión que se da a la cinta es la natural ejercida por los cadeneros, y puede ser mayor o menor que la usada en la comparación de la cinta con el patrón. Apreciación de fracciones al leer las graduaciones. Este error se comete al hacer las lecturas de las fracciones, por no coincidir las marcas colocadas en el terreno con las graduaciones de la cinta.

TOLERANCIAS EN MEDIDA DE DISTANCIAS CON CINTA

1Q Si no se conoce la distancia entre dos puntos, puede determinarse midiéndola en los dos sentidos; es decir, de ida y regreso. En este caso la tolerancia se calcula aplicando la fórmula siguiente:

T

= 2e ~ ~L

(1)

en la cual: T = e = L = 1 =

tolerancia, en metros. error cometido en una puesta de cinta, en metros. promedio de medidas, en metros. longitud de la cinta empleada, en metros.

Error: Si se hacen dos o más medidas, el error de cada una de ellas es la diferencia con el promedio aritmético de medidas, o valor más probable. 2Q Si se conoce la verdadera longitud de la línea, la cual puede haber sido obtenida por métodos más precisos, y después se tiene que volver a medir la distancia, por ejemplo, para fijar puntos intermedios, la tolerancia está dada por la fórmula: (2)

siendo:

= = =

tolerancia, en metros. error cometido en una puesta de cinta, en metros. longitud medida, en metros. 1 = longitud de la cinta, en metros. K = error sistemático por metro, en metros.

T e L

El error está dado por la diferencia entre la longitud conocida y la longitud media.

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Curso bási:o de topografía

Los valores de "e" y "K" pueden tomarse de la tabla de valores experimentales que figuran en el libro MÉTODOS TOPOGRÁFICOS del Ing. Ricardo Toscano: Condiciones de las medidas

e (metros)

K (metros)

Terreno plano, cinta bien comparada y alineada, usando plomada y corrigiendo por temperatura Terreno plano, cinta bien comparada Terreno quebrado Terreno muy quebrado

0.015 0.02 0.03 0.05

0.0001 0.0003 0.0005 0.0007

PROBLEMAS 1.

En la medida de una distancia, en terreno quebrado, usando una cinta de 50 m, se obtuvieron los dos valores:

Ll

=

150.04 m (ida)

y

L2

=

150.08 m (regreso)

Calcular el error cometido, la toleran'cia y el valor más probable de la distancia medida, indicando sí se acepta el resultado o debe repetirse la medida. SOLUCIÓN DATOS: Ll = 150.04 m L,2 = 150.08 m Terreno quebrado 1 = 50 m

Designemos por L el valor más probable: 2 L = Ll + 2 L

E

E =

error = ?

E = L2

T =

tolerancia = ?

2e~ ~L

150.06 m ~ff

L = valor más probable de la distancia medida = ?

T =

=

.5

= 2(0.03)

=

~

Ll - L -

2 X

=

150.04 150.06 L = 150.08 150.06 E = +0.02 m

=

- 0.02 m

=

+ 0.02 m

5~0.06 = +0.06~ 300~12

T = +0.15 m

Planimetría

Se acepta el resultado, porque: E < T Y el valor más probable para la distancia medida: 2.

1S

L = 150.06 m

La distancia entre dos puntos, en terreno plano, es de 298.10 m. Con una cinta comparada, de 30 m, y corrigiendo por temperatura al medir esta distancia resultó de 298.02 m. ¿Es correcta la medida o debe repetir-se? SOLUCIÓN

Longitud conocida = 298.10 m Distancia medida = 298.02 m Terreno plano Longitud de la cinta = 30.00 m Error = 298.10 - 298.02 = 0.08 m Tolerancia = 2 ( 0.015 ~ 29: 02 + 0.0001 X 298.02 )

0

= 0.03~29~~02 + 0.0002 X 298.02 Tolerancia = 0.15 m La medida es correcta, porque: 3.

E

= 0.0945

+ 0.0596

< T.

En terreno muy quebrado, se empleó una cinta de 20 m para medir una distancia, obteniéndose los siguientes resultados: Ll = 120.38 m (ida) L 2 = 120.06 m (regreso) Si se acepta el resultado, ¿cuál es el valor más probable de la distancia? SOLUCIÓN

Error = 120.38 Error

= 120.06 --

120.38

+ 120.06

120.22

= -0.16 m

2

= 120.38 120.22 = +0.16 m E = -+-0.16 m

Tolerancia

= 2(0.05) ~

2 X ;gO.22

= 0.1 v' 12.022 =

-+-0.35 m

T = -+-0.35 m

E


por tanto, el valor más probable para la distancia medida es: L ,= 120.22 m.

Curso básico de topografía

16

PROBLEMAS RESUELTOS CON CINTA Trazo de perpendiculares

A.

Levantar una perpendicular en cualquier punto sobre una línea. 1.

Se puede determinar dicha perpendicular por medio de_ID!. .. triángulo rectángulo cuyos lados estén en la proporción ~:I\ pues un triángulo en el que se cumple esta condición, siempre es rectángulo. En efecto: (5n)"l = (4n)2

+ (3n)2

Al emplear este método, la distancia correspondiente a uno de los catetos se mide a lo largo de la línea de referencia. Si un cadenero junta la extremidad O de la cinta con la marca de 12 metros y otro cadenero la detiene en la marca de 3 metros, y un tercero en la de 7 metros, y se mantiene tensa la cinta, se estará formando un triángulo rectángulo. (Fig. NQ 1.)

~ff

.5 4m.

A .

~

IV~ &(

B

3m. Figura 1

Este procedimiento tiene los inconvenientes de que se requieren tres personas y que la cinta no se puede doblar completamente en los ángulos del triángulo. 2.

Desde un punto cualquiera P, descríbase un arco de círculo con un radio P A, intersectando MN en C. El punto B de la perpendicular AB a la línea MN se encuentra prolongando CP; es decir, B se halla en línea con CP y PB = CP. (Fig. NQ 2.)

Planimetría

17

I

P

/

~

/ I

/

/ M __----______~~--------~~~-----------A e Figura 2

Por ejemplo, si se usa una cinta de 30 metros, establézcase el punto P a 15 metros desde A, deteniendo la marca O en A.

El punto e se encuentra, manteniendo en P e intersectando la línea MN con la extremidad do luego la marca O de la cinta en e, con la prolónguese la cinta hasta que la marca 30 punto B.

3.

la marca 15 metros O de la cinta; tenienmarca 15 aún en P, metros determine el

La perpendicular AB al alineamiento MN se puede trazar también, midiendo distancias iguales a uno y otro lado del punto A. (Fig. NQ 3.)

Se eligen dos puntos B y e, de tal manera que AB = Ae; con la cinta se trazan arcos de igual radio, haciendo centro en B y e. La intersección de los arcos será el punto D de la perpendicular buscada. D

AB = Ae BD = eD

~1 ________*-__+-~__~__~__~~/________

B

A Figura 3

2

Curso básico de topografía

18

B.

Desde un punto exterior a un alineamiento bajar una perpendicular a éste.

1.

Bajar del punto D la perpendicular DA al alineamiecto MN. (Fig. NQ 4.)

Con un radio arbitrario, mayor que AD, trácense las intersecciones en B y en C sobre el alineamiento MN. Mídase la distancia BC y materialícese el punto A pie de la perpendicular" buscada, toJ

mando a partir de B, sobre la línea MN, la distancia BA

~ff

D

.5

/ \

/

\

/

/

\

j

X / /

M:

= ~ BC.

'-

..

\ \

/

\

j90 0

I

\
((<

----- .. B

~

A

-N

C

Figura 4

2.

Este problema puede resolverse también de la manera siguiente (Fig. NQ 5):

/

ci /, j

j\ Be = CD \

\

/

/

M,

~o~\l/

:>A

B Figura 5

N

Planimetría

19

Tómese un punto B arbitrario sobre el alineamiento y materialícese el punto medio C de la distancia BD. Luego, con centro en C y radio igual a CB, trácese el arco CA. El punto A de intersección de este arco con el alineamiento M N es el pie de la perpendicular buscada. 3.

Del punto D bajar una perpendicular a la línea MN. (Fig. NC? 6.) Fíjese uno de los extremos de la cinta en el punto D y moviéndola a lo largo de la línea MN, la menor lectura de la cinta determinará el punto A, pie de la perpendicular DA al alineamiento MN. D

/ I

I I

/ / / I ~--------~~--~--~~--~~--------

N

Figura 6

Trazo de paralelas

1.

Por un punto C trazar una paralela al alineamiento MN. (Fig. NQ 7.)

e

M____~__+_--------------~~------p Q Figura 7

Curso básico de topografía

20

Determínese y mídase la perpendicular CP a la línea MN desde el punto dado; luego, en algún otro punto de la línea, como el Q~ levántese la perpendicular QD al alineamiento MN ·Y mídase QD = CP. El punto D pertenece a la paralela buscada. 2.

Si se quiere trazar por C una paralela a MN (Fig. NC? 8), escójase un punto P sobre la línea dada y materialícese el punto Q a la mitad de la distancia CP. Se marca otro punto, como el R, sobre la línea MN; se mide la distancia RQ y se prolongá, midiendo

= RQ.

QD

Así se encuentra el punto D por el cual pasa la paralela CD a la línea MN.

N

\1 p

R Figura 8

3.

En el caso de la figura NC? 9, a partir del punto A, marcado

~ff

.5

~~1

;

V

\'

A

B Figura 9

N

Planimetría

21

sobre el alineamiento MN, se mide la distancia AC y se prolonga, materializando el punto O, de tal manera que CO = AC; luego se mide la distancia OB, cuyo punto medio D pertenece a la paralela CD al alineamiento MN. Trazo de alineamientos entre puntos invisibles uno de otro

1.

Si entre ambos puntos M y N, existe un obstáculo cualquiera, se traza la línea MP que salve el obstáculo y del punto N se baja la perpendicular NQ a la línea MP. Se eligen, convenientemente, sobre la línea MQ, los puntos a, b, e ... y se miden las distancias MQ, NQ, Ma, Mb, Me. .. Comparando los triángulos semejantes formados, se encuentran las distancias aa', bb', ce' . .. , cuyos extremos a', b', e' . .. corresponden al alineamiento MN.

M

_

_ .

,' .,/ e ___ _ " a~b'~' d "

.

N

o

Figura 10

ASÍ,

de la proporción:

aa' _ bb' _ ce' _ NQ _ Ma Mb Me MQ

~-- -~----K

se deduce:

aa'

=

NQ Ma MQ

bb'

=

K' Mb

=

(1)

K . Ma

ce' = K· Me

2.

Si se interpone una colina entre los puntos M y N (Fig. NQ 11), se emplean dos baliceros, los cuales se sitúan en puntos tales, como A y B, que desde ellos se vean M y N.

22

Curso básico de topografía El balicero situado en A, alínea al ubicado en B con el extremo N de la línea; y el que se halla en B, alínea al situado en A en la dirección de M; y así prosiguen sucesivamente hasta que los cuatro puntos queden en línea recta.

-- ---- ----- ---- --flm7hA"......

- --

-

--

~UC#lDff

~

M

Figura 11

Intersección de alineamientos

Para materializar en el terreno la intersección de los alineamientos MN y PQ (Fig. N9 12), márquense sobre uno de ellos, dos puntos que estén situados a ambos lados del otro alineamiento, como los puntos A y B de la figura. Luego, extiéndase la cinta o un cordel entre A y B, marcando la línea AB en el terreno y sobre ésta se localiza el punto 1, üitersección de los dos alineamientos.

;ft

~M

"- ,

, B

/

P >(

/

"

''1( N Figura 12

Planimetría

23

Determinación de distancias a puntos inaccesibles pero visibles

1.

Determinar la distancia A B al punto B inaccesible, pero visible. (Fig. NQ 13.)

A ~~--------~ p Figura 13

El problema se resuelve, trazando AP perpendicular a la línea AB y bajando de A la normal A Q a la línea BP; se miden las distancias AP, AQ Y PQ Y se calcula la distancia AB. Comparando los triángulos semejantes BAP y AQP, se encuentra: AQ-AP AB = PQ

2.

Determinar la distancia A B al punto B inaccesible, pero visible. (Fig. NQ 14.) Se trazan AP y CQ perpendiculares a la línea AB y se miden las distancias AP, CQ yAC: Los triángulos semejantes BA P Y QQ'P, permiten establecer la proporción: ( 1)

24

Curso básico de topografía B

~. \

~

==t-~:-5 ·

I ......,., ¡.

\ \.

\

\

E=--=~ -X·_-

\ \

e

Q

~ff

~

AY'~ !

''f' P

Q' Figura 14

Ahora bien, en la figura se ve que: QQ' =AC Q'P =AP - CQ

}

(2)

por tanto, sustituyendo (2) en (1), se encuentra: AB AC AP - AP - CQ

AB

AP'AC CQ

= AP -

Medida de distancias salvando un obstáculo

1.

Para hallar la distancia AB (Fig. NQ 15) se forma un triángulo

AL

~~~~~..-

Figura 15

\'B

Planimetría

25

rectángulo, bajando del punto B la perpendicular BP a la línea AP; y se miden los catetos AP y BP.

V (AP )' +

AH =

2.

(HP) '

I

También se puede determinar la distancia AB, por triángulos semejantes (Fig. NQ 16). Para aplicar este procedimiento- se elige

.B

~--------------~¡~.~\,~\~~~------~

Figura 16

un punto C desde el cual se vean los puntos A y B . Se I1l ide n AC y BC y se marcan D y E, de manera que CD tenga con CA. la misma relación que CE tiene respecto a CR. Se mid en DE \' CD. De la propoTción: AB AC DE - eD

se obtiene:

AB

= AC' DE CD

Trazo de ángulos con cinta

1.

Para trazar el ángulo a (Fig. NQ 17), sobre la lín ea base se mide la distancia AC y se calcula la normal BC. El punto B se marc a en el terreno y determina la dirección del lado A B 4u e con la línea A C forman el ángulo .a.

I

BC

= AC

tan

a

26

Curso básico de topografía

línea base-"¡

e

A Figura 17

2.

El ángulo a se puede trazar también por el método de la cuerda (Fig. NQ 18).

/~J-nff

~

e Figura 18

La cuerda se calcula aplicando la fórmula siguiente: 1

sen 2 a

=

BM AC

2BM 2AC

BC

2AC

:. \ BC = 2AC sen

~a

Escogida convenientemente la distancia AC = AB, Y calculada la cuerda BC, podrá materializarse el punto B y el ángulo a quedará trazado.

Planimetría

27

PROBLEMAS NUMERICOS 1.

Para levantar la perpendicular AB al alineamiento MN, se sujetaron los extremos de la cinta, en los puntos A y C del terreno. Si se usó una cinta de 50 metros y se juntaron las marcas de 25 y 30 metros en el punto B ¿qué distancia existe entre A y C? (Fig. N<'> 19). 30

rJ_._._.~

e

.---.

.

900

.¡ 50

...... ----

N

A Figura 19

(Sujetando los extremos de la cinta este trabajo lo puede ejecutar una sola persona.) SOLUCIÓN

AC

= V (BC)2 -

= V (25)2

(AB)-2

AC

2.

= 15

m

- (20) 2 = \1'225

I

Calcule la distancia AB con los datos de la figura siguiente:

= 38.50 = 29.10

m m AC = 15.80 m AB = ?

AM CN

SOLUCIÓN

Trácese NQ / / AC y compárense los 6. semejantes BAM y NQM.

28

Curso básico de topografía

A

_ _~/B

t/

.//

/'

./ /'

N

Q /' ,/

./

M Figura 20

AB _NQ AM MQ

AB = AM·NQ

---

AM·AC AM-CN

(1)

Si se sustituyen los datos en (1), se obtiene: AB = 38.5 X 15.8

38.5 - 29.1 3.

=

608.3 9.4

AB = 64.71 m

Con el vértice A del ángulo a como centro, se hizo girar la cinta, colocándose fichas en los puntos M y N donde el arco intercepta los lados AB y AC del ángulo. Se midió la cuerda MN y se conoce el radio de giro de la cinta. ¿Cuál es el valor del ángulo a? (Fig. NQ 21). B

~ff

.5

MN = 15.76 m AM = 30.00 m

A

p,wE:: J

l'

Figura 21

e

Planimetría

29

SOLUCIÓN DATOS:

MN = 15.76 m AM =30.00 m

1

MN 1 "2 7.88 sen'2 a = AM = 30 = 0.26266

~a = 15°14' 2

4.

Para determinar la distancia AB al punto B inaccesible, pero visible (Fig. NQ 22), se trazaron AP perpendicular a la línea AB

p Figura 22

y AQ normal a la línea BP, y se midieron AP, AQ Y PQ. De esta manera se tienen elementos suficientes para obtener la distancia AB. Calcúlela. SOLUCIÓN DATOS:

AP AQ PQ AB

=24.00 m =21.70 m = 10.25 m = ?

Los triángulos rectángulos BAP y AQP son semejantes, por tanto, se puede establecer la proporción:

30

Curso básico de topografía AB _AQ AP - PQ

A

- AQ'AP _ 21.7 X 24 B PQ 10.25

AB = 50.81 m

5.

¿Qué longitud debe tener la perpendicular CB a la línea AB, para que el ángulo ,a sea de 25°30'?

~ff

.5

0' := 25° 30'

A

B Figura 23

Se midió la distancia:

AB

=

20.00 m.

SOLUCIÓN

BC

=

AB tan ,a

= 20 tan 25°30'

BC = 20(0.47698) = 9.54 m

I 6.

BC

= 9.54

m

I

¿A qué distancia del punto auxiliar C, sobre CB, se debe situar el punto E, para que los triángulos ACB y DCE sean semejantes (Fig. N9 24) y, una vez medida la distancia DE, pueda calcularse AB? SOLUCIÓN DATOS:

AC = 42.00 m CD = 15.00 m CB = 31.60 m CE = ?

Planimetría

31

e

B

Figura 24

CE CB

CD CA

CE CE

=

CD·CB CA

= 11.29

15

31.6 42

X

m

LEVANTAMIENTOS CON CINTA Estos levantamientos se emplean cuando el terreno es sensiblemente horizontal, descubierto y accesible. El levantamiento de un terreno con la cinta se efectúa dividiéndolo en triángulos y tomando suficientes medidas de los lados, alturas y ángulos de los triángulos que permitan calcular el resto de lados y ángulos necesarios para dibujarlo yca1cular las superficies. Para fijar las posiciones de puntos del terreno, se traza una figura llamada polígono de base o poligonal, que siga aproximadamente el perímetro del terreno que se desea levantar. El polígono de base se transforma en una figura rígida dividiéndolo en triángulos bien conformados; es decir, lo más cerca posible del equilátero y evitando ángulos menores de 20°. El levantamiento con cinta, comprende dos clases de trabajos: de campo y de gabinete. A.

TRABAJO DE CAMPO.

Este incluye las operacIOnes siguientes:

1. Reconocimiento del terreno donde se ejecutará el levantamiento, para elegir el método adecuado, estimar el tiempo y el personal necsarios, definir los vértices del polígono de base, etc.

32

Curso básico de topografía

2. Materialización de los vértices del polígono de base, por medio de estacas, marcas sobre roca o pavimento, fichas, etc. 3.

Elección del método que se aplicará en el levantamiento.

4. Dibujo del croquis del polígono de base, orientado aproximadamente. 5. M edición de los lados del polígono de base y de las líneas auxiliares (radiaciones, diagonales, líneas de liga, etc.), empleadas para dividir en triángulos el polígono de base.

6. Medición de las distancias necesarias para el levanltamiento de detalles con relación al polígono de base. Los datos recogidos en el levantamiento deberán anotarse en forma clara y ordenada en la libreta de campo, al mismo tiempo que se ejecuta el trabajo. Se deberá utilizar un lápiz 3H o 4H con buena punta. La libreta de campo debe tener papel de buena calidad, con una pasta dura, y ser del tamaño adecuado para llevarla en el bolsillo. En general, los datos numéricos se escriben en las páginas del lado izquierdo; los croquis y las notas aclaratorias en las de la derecha. Los números deberán ser claros; y no se deberá anotar un número sobre otro. Los datos numéricos no deben borrarse; si un número está equivocado, se le trazará una raya encima y el valor corregido se colocará arriba. Los croquis se dibujan a mano libre y son la guía y base para la con3trucción del plano. Las notas aclaratorias se emplean para explicar lo que los datos numéricos y los croquis dejan de hacer. El registro de campo refleja la competencia del ingeniero y su valor depende, en gran parte, de la claridad y lo completo que se haya llevado. B . TRABAJO DE GABINETE. Se entiende por trabajo de gabinete la ordenación de los datos tomados en el campo y los cálculos que con ellos se ejecutan, con objeto de obtener los elementos necesarios para construir el plaíD .

Este trabajo se hace en el orden siguiente: 1.

Cálculo.

a)

De los ángulos interiores del polígono de base.

~$

~

En cada uno de los triángulos en que se divide el polígono de base, los ángulos interiores se calculan aplicando las fórmulas siguientes:

Planimetría

•

= ..! (p -

tan ~ A

1

2

b) (p - e) . p(p - a) ,

tan!. B 2

33

$uuen;jflUf/

= J

(p - a) (p - c) ~ p(p - b)

1e ~ (p - a)(p - b) tan- = 2 p(p - c)

Como comprobación, la suma de los ángulos calculados debe satisfacer la condición geométrica: A + B + e = 180 0 Una vez calculados los ángulos interiores de todos los triángulos en que se dividió el polígono de base, podrán obtenerse los ángulos interiores de éste.

De la superficie del polígono de base.

b)

Esta se encuentra sumando las superficies de los triángulos en que fue dividido el polígono. La superficie de cada triángulo se determina por la fórmula :

S = vp(p - a)(p - b)(p - c) En las fórmulas anteriores, a, b y c, son los lados del triángulo y p el semipedmetro.

2.

Dibujo.

Antes de construir el plano se debe, en algunas ocasiones, determin!ir la escala que se utilizará. En otros casos la escala, según la finalidad del trabajo, ya está especificada. La escala de un plano es la relación fija que todas las distancias en el plano guardan con las distancias correspondientes en el terreno. Se puede expresar por relaciones numér'ica o gráficamente. a)

Escala numérica: es la relación de la distancia del plano a la distancia correspondiente en el terreno. Una unidad de longitud en el plano representa un número determinado de las mismas unidades de longitud en el terreno, como: 1 1: 1000 ó

1000

Escala gráfica es una línea subdividida en distancias del plano que corresponden a unidades de longitud en el terreno. (Fig. N
100

50

O

100

200 Figura 25

3

300

400

500

Curso básico de topografía

34

En la escala gráfica de la figura N9 25, un centímetro representa 100 metros. La fórmula general de la escala es:

1

I

Y-M

~ff

en la cual:

~

L = longitud medida en el terreno. I = longitud en el plano, y M = denominador o módulo de la escala. b)

Construcción del plano.

De preferencia la parte superior del plano debe representar el norte, aunque la forma del terreno levantado, o la dirección de algún detalle principal, pueden exigir otra orientación. El estilo de letra será sencillo; para datos referentes al terreno se usará el tipo romano moderno vertical y para los datos referentes a las aguas (lagos, ríos, mares, etc.), el tipo cursivo, dibujados en la proporción que se necesite y procurando que sean agradables a la vista. La dirección de los letreros en un plano se indica en el esquema siguiente (Fig. N9 26):

Sonora

~ C,) ~

~

O

Figura 26

Los cuadros de los títulos de los planos se situarán en el ángulo inferior derecho.

Planimetría

35

Un título de un plano debe contener todos los datos que se necesiten de los que a continuación se citan. Clase del plano. Objeto del plano, si se representan detalles especiales. Localización del terreno levantado. Nombre del propietario. Escala del plano (a menos de que se ponga en otra parte). Fecha. Nombre del iegeniero responsable. Los datos que deben aparecer en los planos topográficos son: La longitud de cada lado del polígono. El ángulo entre cada par de lados consecutivos. La superficie del terreno incluido. El nombre del propietario del terreno y de los propietarios de los terrenos adyacentes al levantado. La dirección de la meridiana (magnética o astronómica). La escala. Símbolos o clave de símbolos que no sean de los correspondientes a signos convencionales. Un símbolo es un diagrama, dibujo, letra o abreviatura que por convención se supone que representa una característica específica u objeto y su tamaño deberá ser en cierta forma proporcional a la escala del plano. Los dibujos a lápiz y los provisionales se hacen en papel de manila. Para planos, en general, es conveniente usar el papel de calca o la tela de calca. Los instrumentos de dibujo son:

EscaIímetros, de sección triangular, con seis escalas. Regla de acero niquelada o de acero inoxidable, de un metro de longitud, con una de sus aristas longitudinales achaflanada. Juego de escuadras. Transportador para medir y trazar ángulos. La forma usual para dibujar planos consiste en un círculo completo o en un arco semicircular de metal, celuloide o papel dividido en grados y fracciones de grado. Compás de regla para dibujar los arcos de los círculos, con radios mayores de 15 cm. Máquina de dibujo que combina las funciones de la regla T, la regla, las escuadras, escalas y el transportador. Las operaciones de la construcción de un plano son, en cierto modo, inversas de las operaciones efectuadas para su levantamiento. El proceso del dibujo del plano comprende:

36

Curso básico de topografía

1. La determinación de los la poligonal o polígono de base; 2. La localización de los angulares y lineales de los lados

puntos de control que son los vértices de y

detalles del plano, empleando medidas y vértices del polígono de base.

METODOS DE LEVANTAMIENTO CON CINTA Comúnmente se emplean los siguientes: Rarliaciones. Diagonales. Líneas de liga. Prolongación de alineaciones; y Coordenadas rectangulares.

/.VUff~ff

~

Método de radiaciones

Este método se emplea cuando desde un punto interior del polígono de base sea posible ver los vértices de éste y no se dificulte la medida de las distancias del punto interior a los vértices. Estas líneas auxiliares se denominan radiaciones y con ellas se divide en triángulos el polígono de base. Además de las radiaciones, se miden los lados del polígono y los resultados se anotan ordenadamente en el registro de campo, como se indica en el ejemplo siguiente (registro 1): REGISTRO DE CAMPO 1 MEXICO, D. F. 20-MAR-72 Levantó: José Gómez H.

Levantamiento con cinta de 30 metros, por el método de radiaciones DISTANCIAS Est.1 P.V. 1 - - - - - , - - - - - - - - Ida

CROQUIS Y NOTAS

- - - - -1- - -- - - - - - - -

o 1

2 2 3 3 4 4

1 2 O 3

O 4 O

33.53 31.97 37.64 49.98 29 .23 47.72 38.26 62.91

33.55 31.95 37.64 49.94 29.23 47 .72 38.28 62.95

33.54 31.96 37.64 49.96 29.23 47.72 38.27 62.93

2.óOm

t

Planimetría

37

Est. = ESTACIÓN: vértice desde el cual se hace la observación o medida. P.V. = PUNTO VISADO. El método descrito puede aplicarse cuando el terreno por levantar es de pequeñas dimensiones y suficientemente despejado y debe procurarse que los triángulos que se formen difieran poco del equilátero o en su defecto del isósceles. Método de diagonales

Consiste este método en dividir en triángulos el polígono de base por medio de las diagonales de dicha figura. Las longitudes de los lados del polígono y de las diagonales se miden, anotándose los resultados en el registro de campo. (Registro 2.)

REGISTRO DE CAMPO 2

Levantamiento con cinta de 30 me· tras, por el método de diagonales Est.

o 1

2 2 3 3 4

4 O

DISTANCIAS P. V . I - - - - - , - - - - - - , - - - - - -- I Ida Regreso Promedio 1 2 O 3 1 4 1 O 3

27.80 33.49 46.55 29.67 57.31 33.67 43.78 28.42 56.93

27.82 33.49 46.57 29.67 57.35 33.67 43.82 28.42 56.97

ZACATENCO, D. F. 24-ABR-63 Levantó: Enrique Zárate CROQUIS Y NOTAS

27.81 33.49 46.56 29.67 57.33 33.67 43.80 28.42 56.95

Método de líneas de liga

Cuando el terreno encerrado por la poligonal es de tal naturaleza que no permite el empleo de los métodos de levantamiento hasta ahora descritos, por la existencia de accidentes naturales o artificiales que impidan ver tres vértices consecutivos del polígono de base, el procedimiento indicado en tales circunstancias es el conocido con el nombre de método de líneas de liga, que consiste en medir los lados del polígono de base y, además, las líneas que ligan dos puntos pertenecientes a lados contiguos. El registro de campo se lleva como se ilustra en el siguiente ejemplo (registro 3):

38

Curso básico de topografía REGISTRO DE CAMPO 3 MEJfICO, D, F. 4-MAY-73 Levantó: Felipe Zárate

Levantamiento con cinta de 30 metros, por el método de líneas de liga DISTANCIAS Est. 1 P . V . I - - - - - - - - - . . , . - - - Ida Regreso Promedio ----1 19.CK> 1 o a 4.00 4.00 . h 6.20 h a

CROQUIS Y NOTAS

1

-11 2 I b

40.44

40.46

b c c

5.CK> 5.94

-- -2

e e

3

O

-- --

f

I .

()

\,,~e'lfo

r:.e \\~'IJ.

11.58 6.00 6.00 9.33

3 d

d

40.45 4.00

N

41.65

41.65

41.65

f

5.CK>

g g

6.00 6.71

~~.ff Método de alineaciones

~

Consiste este método en encerrar el polígono por levantar dentro de un rectángulo director cuyos lados se pueden medir con cinta, y en prolongar los lados del polígono, que pueden ser los muros de una construcción o los linderos de una propiedad, hasta su encuentro con los lados del rectángulo, y se miden las distancias de los vértices del rectángulo a los puntos en que los alineamientos prolongados intersectan los lados del rectángulo, como se indica en el ejemplo siguiente. Se miden también, como comprobación, los lados del polígono AB, BC, CD y DA, o bien las distancias Aa', Aa", Bb', Bb", ... Este método es adecuado para levantar perímetros de construcciones irregulares.

Planimetría

39

REGISTRO DE CAMPO 4

Levantamiento eon cinta de 30 metros, por el método de alineaciones Est.

DISTANCIAS Ida

Regreso

Promedio

M

d a"

6.75 4.04

N

b' b"

4.00 10.61

P

e' e"

8.30 3.22

Q

d' d"

2.50 7.20

A B C D

B

C D A

comprobación: 49.12 I 49.08 26.50 26.50 49.01 48.99 28.50 28.50

16-AG0-64

Levantó: Manuel Ortiz H. CROQUIS Y NOTAS

P.v.

-- --

ZACATENCO, D. F.

49.10 26.50 49.00 28.50

~----4t!~N

b"

~------------~~~

c"

Método de coordenadas rectangulares

Este es en muchos casos el mejor procedimiento, porque permite fijar cada vértice del polígono de base independientemente de los demás. Consiste en proyectar todos los vértices del polígono sobre dos ejes rectangulares convenientemente elegidos y en medir las distancias del pie de cada perpendicular al origen. En algunos casos el método se facilita trazando solamente un eje y bajando perpendiculares de los vértices del polígono a este eje; entonces se miden, a partir del origen, las distancias al pie de las perpendiculares y las longitudes de éstas, anotándose los resultados en el registro de campo, como se indica en el ejemplo siguiente.

40

Curso básico de topografía

~Jnff

.5 REGISTRO DE CAMPO 5 Lemntamiento COII cinta por el m étodo de coordenadas rectangulares

MEXICO, D. F. 4-SEP-74 Levantó: Othón Ríos

COORDENADAS Vértices

x 10.00

5.00

2

11.40

30.44

3

30.76

33 .78

4

39.79

20.66

5

30.40

1.86

1-2 3-4 4-5 5-1

Comprobación: 25.47 15.93 21 .00 20.65

CROQUIS Y NOTAS

y N

y

~ .1

J.I _.

_J I_. . l

•

X

proyección

LEVANTAMIENTO DE EDIFICACIONES Si se trata de levantar la planta de un edificio, por ejemplo, se pueden fijar las ~uatro esquinas de cada habitación o patio, midiendo en cada u.no los cuatro lados del perímetro y las diagonales. Se facilita este levantamiento, empleando este método en combinación con el de coordenadas o el de radiaciones, pero a veces se puede hacer todo el levantamiento dividiendo la planta en cuadriláteros y tomando nota del espesor de los muros. Sobre los claros, si no son muy grandes, se pueden medir las diagonales por dos operadores, de una azotea a otra. Si los claros son grandes, puede haber necesidad, en algunos casos, de emplear líneas de liga, para tener los ángulos. -También pueden levantarse por este método los predios y lotes pequeños, en la parte no edificada. LEVANTAMIENTO DE DETALLES Los detalles se fijan por intersecciones; es decir, por medio de dos distancias Fig. NQ 27) o bien por normales a los lados del polígono de base o a la prolongación de los lados del polígono.

Planimetría

41

poi ígono d.e base

-

........

4

-

A--- n orm al al lado 4-5

intersecciones Figura 27

PROBLEMAS 1.

Calcular la longitud que tendrá en un plano cuya escala es 1: 10,000 una línea que en el terreno mide 450 metros. SOLUCIÓN

DATOS:

L

M l

= 450 = =

m

10,000 ?

De la fórmula general de la escala: l L

1

l =

se deduce:

M

.!::... = M

450 10,000

l = 0.045 m

2.

Determinar la longitud en el terreno de una línea medida en el plano. Sea 1 :5,000 la escala del plano, l = 14 mm la distancia medida en él, y L su homóloga en el terreno. SOL U CIÓN

DATOS:

l = 14 mm M = 5,000 L= ?

3.

L = l'M

~

0.014 X 5,000 = 70 m

IL =

70.00 m

Conocidas la distancia real y la longitud de su homóloga en el plano, determinar la escala que se usará para dibujar el plano. DATOS :

L = 128.50 m l = 0.065 m M= ?

SOLUCIÓN

M

L

= -l =

128.50 0.065

=

1976.9 ::::: 2,000

Se usará la escala

1 : 2,000

I

Curso básico de topografía

42 4.

Calcular los ángulos interiores y la superficie de un terreno triangular cuyos lados se midieron con cinta.

B DATOS

a;:::: 19.90 m

a A

-

/

Il'\.B

-

X ,..

14q. b

= 50.90

m

e = 54.00 m

1'"1 .YO

+ 50 .'to .54.0 0 114.80

b

b

1~

a=

19.90

b=

50.90

FÓRMULAS

tan ! A = ...1 (p - b) (p - e)

e = 54.00 2p= 124.80

p =

62.40

p- a=

42.50

p-b=

11.50

p-c=

e

(por logaritmos):

SOLUCIÓN

1

2

p(p-

s = yp(p 1 S = -ab sen

2

8.40

a)

a)(p - b)(p - e)

e

El cálculo por logaritmos se dispone como sigue: log (p - b) =

1.060698

=

0.924279

colog p =

8.204815

log (p - e)

.'

= log (p - e) = colog p = colog (p - b) = B 210g tan 2" = log (p - a)

colog (p - a) = 8.371611 A 2log tan 2" = 18.561403

A log tan 2"

~= 2

B

log tan 2" =

= 9.2807015 10°48'

A = 21 °36'

~ff

~

1.628389 0.924279 8.204815 8.939302 19.696785 9.8483925

.!!..2 =

35°12'

=

70°24'

B

Planimetría

log (p - a)

= 1.628389

log (p - b) =

1.060698

=

8.204815

colog p

43

colog (p - e) = 9.075721 C 2log tan 2" = 19.969623 C log tan -

2

=

~ = 2

9.9848115 44°00'

Comprobación: A =

B

=

C

=

21 °36' 70°24' 88°00' Comprobación:

log p = 1.795185 lag (p - a)

=

1.628389

log (p - b) = 1.060698

2<:l

SOLUCIÓN

=

C -_ tan2

~(P

=

1.706718 9.999735 - 10

2.704276

S = 506.1464 m2

(por funciones naturales):

J(p - a) (p - e) p(p - b)

1

log b

lag S =

I

tan A - .... /(p - b) (p - e) "2 - 1 p(p - a)

tan!: 2

1.298853

colog 2 = 9.698970 - 10 log S 22.704276 - 20

log S = 2.7042755 S = 506.1464 m

=

log sen C =

lag (p - e) = 0.924279 2log S = 5.408551

2

log a

=....1 11.5

= 0.190854; ~ = 10048'.3

=J

=

X 8.4 162.4 .x 42.5

-42.5 X 8.4 162.4 X 11.5

2

0.705331;

~ =

35011'.8

- a) (p - b) __ ~42.5 X 11.5 4 = 0.965632; C = 43059'.9 p(p - e) 62.4 :x 8. 2

44

Curso básico de topografía Comprobación:

21 °36'.6 B = 70°23'.6 C = 87°59'.8 -A-+-B --,...+-C=----,--:18:-:::0-=-°OO~,.-=-0 A =

~ff

~ S

1

= 2. be

sen A

1

= 2" (50.9) (54) (0.368294) = 506.1464

m2

Comprobación:

S 5.

1

1

= 2. ab sen C = 2: (19.9) (50.9) (0.99939) = 506.1461

Con los datos del registro de campo siguiente, calcular la superficie del polígono de base. ZA CA TENCO, D. F. 24-ABRIL-76 Levantó: Alejandro Garda L.

Levantamiento con cinta de 30 m por el método de radiaciones Est.

P. V.

Distancias

O 1 2 3 4 A " " "

1 2 3 4 O O 1 2 3 4

22.92 26.84 17.40 25.00 28.60 21.21 24.67 20.96 17.82 18.94

"

m2

I

CROQUIS Y NOTAS N ·1

"

""

85

/ //

/

/

", / S4 --- --~" '" 81

/

82

I

s., "-

I • <>

3

2

SOLUCIÓN

SI =

y 34.40

S2 =

y 36.235

11.48

X

X

13.19

X

9.73

y 50682.3480

= 225.1271

= Y 60138.3990 = 245.2313 Ss = Y28.09 X 7.13 X 10.69 X 10.27 = Y21988.1860 = 148.2841 S4 = Y30.88 X 13.06 X 5.88 X 11.94 = Y28314.0580 = 168.2678 S5 = Y 34.375 X 15.435 X 5.775 X 13.165 = Y 40338.7250 = 200.8450 X

11.565

X

15.275

X

9.395

I ST =

987.7553 m 2

J

Planimetría

6.

Calcular los ángulos interiores y la superficie del polígono de base levantado por el método de diagonales, comprobando el cálculo, con los datos del siguiente registro de campo. MEXICO, D . F. 30-AGOSTO-54 Levantó: Fd(). García L.

Levantamiento con cinta de 50 m, por el m étodo de diagonales Est.

- -

45

P.V. Distancias --

1 2 3 4

2 3 4 1

50.60 35.10 56.40 39.00

1 2

3 4

61.50 68.30

1-

CROQUIS Y NOTAS N

4 banque,ta::==~=:~===~==~~=3.00 ro Calle Feo. i. M¡¡:!!''O

SOLUCIÓN

Triángulo 1 - 2 - 4 a =

b=

50.60 ID a _/39.95 X 10.65 39.00 " tan '2 = "78.95 X 28 .35

= 0.435994;

e=

68.30 " 2p = 157.90 p = 78.95 p - a=

tan~= 2

28.35

p - b = 39.95 p - e = 10.65

-'28.35 X 10.65 = 0309397' " 78.95 X 39.95 ' ,

~2 =

17 011'.5

"'-

tan.!. = /39.95 X 28.35 2 , 78.95 X 10.65 SI =

V 78.95

X

=

I 160604' ' ,

28.35 X 39.95 X 10.65

= 975.8561

Comprobación:

f3 a

+ f3 +

=

SI =

~ (50.6) (39.0) (0.98902)

34°23'.0

1 = 98 °30'.2 1 = 180°00'.0

SI = 975.8660 m 2

m".?

46

Curso básico de topografía Triángulo 2 - 3 - 4

a'= 35.10 m a' ¿,j235x116 5640" tan ""2 = . , ' . = 0.275963; e = 68:30" 79.9 X 44.8

b' =

a'

- = 15°25'.6 2

tan 11' = J 44.8 X 11.6 = 0526090' /3' = 27°44' 9 2 " 79.9 X 23.5 · ' '2 .

2p = 159.80 p = 79.90 p - a' = 44.80 P - b' == 23.50 p - e = 11.60

A

tan ~ = J 44.8 X 23.5 = 1.065787; 2 " 79.9 X 11.6 S2 '=

V79.9

A

~=

46049'.4

2

X 44.8 X 23.5 X 11.6 = 987.8143 m 2

Comprobación:

=

30°51'.2

f3' =

55°29'.8

a'

S2 =

1

2:

(35.1) (56.4) (0.99797) 1=

A

a'

+ f3' +

93°38'.8 3 3 = 179°59'.8

S2 = 987.8107 m2

1= 98°30'.2 A

= a + a' 2 = f3 + /3' S = S1 + S2 4

2= 89°52'.8

A

3= 93°38'.8 4= 77°58'.0 1

/.VUWUfh1nff

-.5

7.

ÁNGULOS INTERIORES

+

2

+

3

+4=

359°59'.8

S1 =

975.8561

S2 =

987.8143

Sr = 1963.6704 m 2

SUPERFICIE

Calcular los ángulos interiores del cuadrilátero levantado por el procedimiento de líneas de liga, comprobando el cálculo, con los datos del registro siguiente:

Planimetría

ZACATENCO, D. F . 28-DIC-70 Levantó: Javier González

Levantamiento con cinta de 30 metros, por el método de lineas de liga Est.

P.v .

A

B a

e e

b

D d

C

d

e e

D

A

A

N

a b

rr

97.63 9.00 9.00 10.78

g g

.:>

D

•

SOLUCIÓN

cff~

Triángulo a-A-h Aa = Ah = ah = 2p ';=

33~70

p

16.85

=

10.00 10.00 13.70

B

100.00 8.00 8.00 10.83

f

/

CROQUIS Y NOTAS

69.88 7.00 7.00 11.79

C b

B

Distancias 70.86 10.00 10.00 13.70

h h

a

47

p - Aa = 6.85 p - Ah = 6.85 p - ah = 3.15

tan ~ = J (6.85) 2 .= 0940 2 " 16.85 X 3.15 . . 2

Triángulo b-B-e Bb -= 7.00 p - Bb = 5.895 Be = 7.00 p - Be ;= 5.895 be = 11.79 p - be :::-: 1.105 2p = 25.79 p = 12.895

tan ~ 2

~

= .. 1

(5.895) 2 " 12.895 X 1.105

- 57°22'

=

1.5617

I B = 114°44' I

Triángulo d-C-e Cd = 8.00 p - Cd = 5.415 Ce = 8.00 p - Ce = 5.415 de = 10.83 p - de = 2.585 -2p 26.83p = 13.415

tan ~ 2 C 2

= J

(5.415) 2 " 13.415 X 2.585

= 0.9195

48

Curso básico de topografía Triángulo f-D-g

Df = 9.00 Dg = 9.00 fg = 10.78 2p 28.78

p - Df = 5.39 p - Dg = 5.39 p - fg = 3.61

=

p

=

D _

tan 2"'

J

D = 36°47'.5

2

14.39

=

(5.39):! X 3.61

- ., 14.39

I

D

0.7478

=

73 °35'

Comprobación:

A

8.

+

+e+

B

A = 86°28' B ;= 114°44' C = 85 °12' D = 73 °35' D = 359 °59'

~Ufhlnff

~

Con los datos del registro siguiente a) Dibuje el plano a la escala 1: 500. b) Calcule la superficie del cuadrilátero 1-2-3-4-1, comprobando el resultado.

L evantamiento con cinta de 50 m etras, por el método de prolongación de alineaciones Est.

P.v.

P

l'

1"

Q

2' 2"

N

3' 3"

M

4' 4"

1 2 3

2 3

4

1

4

Distancias

L

17.10 6.80 13.20 7.00 13 .20 8.80 9.91 3.65 50.60 35.10 56.40 39.00

Lomas de Sote/o, D. F. 15-FEB-75 Levantó: Guillermo Garda O.

I

CROQUIS Y NOTAS p

1~

1 "",

11

1

Q

12

J 2"

~'-J3"

4" M

rectángulo di rec to r 2'.

I

4'

3'

~.

E o o

o

tt:)

I

IN

I

~<

I

j-

80.0fun

SOLUCIÓN

s = 1963.5967 9.

m2

I

En el levantamiento con cinta del predio que se indica en el registro de campo, se obtuvieron los datos siguientes:

Planimetría

49

Calcule la superficie. Calcule las longitudes de los lados y compare los resultados con los obtenidos directamente en el campo. Dibuje el plano del predio levantado (Escala 1: 100').

a) b)

e)

Levantamiento con cinta de 30 metros, por el método de coordenadas rectangulares

MEXICO, D. F. 26-MAY-76 Levantó: Enrique Garda

COORDENADAS Vértices

x

. y

26.87 40.00 8.42 3.55

1.92 20.00 28.90 11.62

1 2 3 4

CROQUIS Y NOTAS

y

N

Lados: 22. 35 32. 82 17.95 25. 25

1-2 2-3 3-4 4-1

m

m m m

3.00 m

o l'

2'

4'

X

3'

SOLUCIÓN

Cálculo de la superficie:

a)

s= ~[

(Xl

+ X.

2)

(Y 2

-

Yl )

+ (X + Xa) (Ya -

(X a + X 4 ) (Y 4

s = ~ [ (21.92) (13.13) +

S

= ~ [ 287.8096 -

2

-

Ya)

Nota: 4

+

+ (X + X l) (Y1.

- Y4 )

4

(48.9) (-31.58)

+

(40.52)(-4.87)

+

1544.2620 - 197.3324

S = 569.0160 m'

Y2)

+

J

(13.54) (23.32)J

J

315.7528

I

El signo de la superficie sólo indica el sentido en que se ha recorrido el polígono.

50

Curso básico de topografía Cálculo de los lados:

b)

d

1 - 2 = V (20 - 1.92F

_

(Y i

(40 - 26.87) 2

=

22.34 m

-

.

= 32.81

Y1F

m

o

4 - 1

Nota:

+

= V (11.62 - 28.9):! + (3.55 - 8.42)2 = 17.95 m

3 - 4 _

+

- X 1 )2

= V (28.9 - 20P + (8.42 - 40)"2

2 - 3 _

= V (X;!

= V (1.92

- 11.62):!

+

(26.87 - 3.55)2 . 25.26 m

Los lados calculados coinciden con los medidos en el caqlpo y que figuran en el registro respectivo.

LEVANTAMIENTOS CON BRUJULA y CINTA Generalidades

La orientación topográfica, en términos generales, tiene por objeto dar a las lí'1eas de un plano la misma dirección que guardan sus homólogas en el terreno. La dirección de cualquier línea se determina por el ángulo horizontal que forma con alguna referencia real o imaginaria que tiene una dirección fija. Comúnmente se emplean como líneas de referencia la meridiana astronómica, la meridiana magnética o una meridiana elegida arbitrariamente que se denomina meridiana supuesta. Definiciones

Plano meridiano astronómico o verdadero de un punto es el círculo máximo que pasa por ese punto¡y por los polos terrestres. Plano meridiano magnético es el plano vertical en que se coloca una aguja imanada y orientada bajo la acción única del campo magnético terrestre. Meridiana astronómica o verdadera es la dirección norte-sur dada por la intersección del plano meridiano astronómico con el horizonte. Meridiana magnética es la línea paralela a las líneas magnéticas de fuerza de la Tierra; su dirección es la que toma una aguja magnética suspendida- libremente. Lo:; polos magnéticos están a alguna distancia de los }Jolos geográficos, por tanto, la meridiana magnética no es paralela a la verdadera. La situación de los polos magnéticos está cambiando constantemente; y por eso la dirección del meridiano magnético no es constante. Sin embargo, la meridiana magnética se emplea como una línea de referencia en los levantamientos aproximados en los que a menudo se usa una brújula. Los diversos instrumentos de orientación suelen llevar todos una brújula.

Planimetría

51

Se llama declinación magnética el ángulo entre la meridiana astronómica y la magnética. En nuestro país la declinación magnética es oriental; es decir, el extremo norte de la aguja de la brújula apunta al Este de la meridiana astronómica o verdadera. (Fig. N9 28.)

eS

= Declinación magnética

Figura 28

La declinación cambia de valor de un lugar a otro y está sujeta a variaciones seculares, anuales, diarias e irregulares. La variación secular es igual a varios grados en un ciclo de aproximadamente 300 años. Debido a su magnitud, es de mucha importancia para el topógrafo, especialmente para retrazar líneas, cuyas direcciones se encuentran referidas al meridiano magnético como existía en años anteriores. La variación anual es una oscilación periódica diferente de la variación secular y en la mayor parte de la República Mexicana su magnitud es menor de 1'. A la variación diaria se le llama variación solar diurna y ocurre todos los días. La variación media es menor de 8', cantidad tan pequeña que no es necesario tomar en cuenta en los trabajos en los que se emplea la brújula. Las variaciones irregulares se deben a perturbaciones magnéticas y 10 más probable es que se produzcan en las tormentas magnéticas. Pueden alcanzar la magnitud de 1 o o más, especialmente a elevadas latitudes.

52

Curso básico de topografía

Se llaman líneas isogónicas a las que unen los distintos lugares de la Tierra que tienen la misma declinación.

Líneas agónicas son las que unen los puntos de declinación nula. Inclinación magnética de un lugar es el ángulo vertical que la aguja imanada libre forma con el plano horizontal. Para contrarrestar la atracción magnética en el sentido vertical, en las brújulas fabricadas para su empleo en el hemisferio norte, se pone en la punta sur de la aguja una pequeña corredera de alambre, que permite mantener 13. aguja en posición horizontal e identificar las puntas norte y sur. Lineas isóclinas son aquellas que unen puntos de igual inclinación magnética y corresponden a los círculos de igual latitud. La dirección de cualquier línea con respecto a una meridiana dada puede definirse por el azimut o por el rumbo. Azimut de una línea es su dirección dada por el ángulo horizontal entre el meridiano y la línea; se mide a partir del norte en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj y su valor varía entre 0 0 y 360 0 • Los azimutes se llaman astronómicos o magnéticos según si el meridiano e3 el verdadero o el magnético. Azimut directo de una línea es el que se toma en el origen de la línea y azimut inverso el tomado en su extremo final. Entre ambos azimutes, directo e inverso, existe una diferencia de 180 0 , esto es Azimut inverso = Azimut directo ± 180 0

I

N ~ff

.5 N

levantamiento

•

Az. BA

--B A

Figura 29

Az. BA = Az. AB

+ 180

0

Planimetría

53

Cuando el azimut directo es mayor que 180°, para obtener el azimut inverso, se le restan 180°; Y si el azimut directo es menor que 180°, entonces el inverso se obtiene agregándole esa cantidad. EJEMPLOS

Si: entonces: 1.

2. Si: entonces:

Az. directo = 75 ° 12' Az. inverso = 75 °12' Az. directo = 230°40'

+ 180° =

255 ° 12' t)o~ ~

Az. inverso

= 230 °40' -

180°

:::s

60 °30

I 1

Rumbo de una línea es el ángulo horizontal que dicha línea forma con la meridiana; su valor está comprendido entre 0 ° y 90 °; y se mide a partir , del Norte o desde el Sur, hacia el Este o hacia el Oeste. El rumbo se llama astronómico o magnético según que el meridiano sea el astronómico o el magnético. El rumbo de una línea se indica por el cuadrante en el que se encuentra y por el ángulo agudo que la línea hace con el meridiano en ese cuadrante. ASÍ, en la figura NQ 30, los rumbos de las líneas OA , OB, OC Y OD, se indican como sigue: N

Rbo. OA = N 61 ° 10' E

W _ _ _ _...L.L.-"*~_---E

Rbo. OB

=S

42 °07' E

Roo. OC = S 59 °32' W

Rbo. OD = N 31 °40' W

e B

s

Figura 30

S4

Curso básico de topografía

Como en el caso de los azimutes, los rumbos pueden ser directos e inversos. Se llama rumbo directo de una linea, el que se toma en la dirección general del levantamiento y rumbo inverso, el tomado en la dirección opuesta. (Fig. NQ 31.) El rumbo directo y el rumbo inversO' -de una misma línea tienen el mismo valor y se localizan en cuadrantes opuestos.

N

\V

A

l

E N

R bo. inverso

s

directo

W

?ti

B

E

~ff

.5

s Rbo. AB = S 60° 15' E Rbo. BA = N 60° 15' W Figura 31

Conversión de azimutes magnéticos a azimutes astronómicos

Cuando se conocen el azimut magnético de una línea y la declinación magnética, se puede obtener el azimut astronómico de la línea mediante la relación siguiente (Fig. N
Planimetría

ss

Azimut astronómico de la 1in ea AB Azimut magnét ico de la 1in ea AB

A B

Figura 32

Az. astronómico = Az. magnético

+

Declinación

EJEMPLO

Determine el azimut astronómico de la línea AB. DATOS:

Az. magnético AB = 93 c'28'.

Declinación magnética :

8 = 1+ 9 °43'. SOLucrÓN

Az. astronómico A B = 93 °28'

+ 9 °43'

Az. astronómico A B = 103 o tI '

Conversión de rumbos magnéticos a rumbos astronómicos

Para convertir rumbos magnéticos a rumbos astronómicos se suma o se resta la declinación al rumbo magnético, según el cuadrante.

56

Curso básico de topografía

o

o B

1 er cuadrante

Rbo. astr.

=

Rbo. mago

29 cuadrante

+

8

Rbo. astro

o

=

Rbo. mago - 8

o B

3 er cuadrante

Rbo. astro

=

Rbo. mago

~J»ff

+ 81

.5

49 cuadran.te

I Rbo. astro = Rbo. mago -

8

Figura 33

1e r y 3 e r cuadrantes:

Rumbo astronómico = Rumbo magnético + Declinación.

29 y 49 cuadrantes.

Rumbo astronómico = Rumbo magnético Declinación.

Planimetría

57

EJEMPLO:

El rumbo magnético de una línea es S 42 °40' W , y la declinación magnética es 6°10' E. ¿Cuál es el rumbo astronómico de la línea? DATOS:

Rbo. magnético = S 42 °40' W. Declinación = 6°10' E. Rbo. astronómico = ? . SOLUCIÓN

Dibuje un croquis.

o A

W----------~-----------E 6° 10' B

s Figura 34

Rbo. astronómico Rbo. astronómico

= rumbo magnético + declinación. = S 42 °40' W + 6° 10'.

Rbo. astronómico = S 48 °50' W

I

Conversión de azimutes a rumbos y viceversa

Con frecuencia hay necesidad de convertir los azimutes en rumbos y viceversa. Para facilitar esta conversión, con el auxilio de las figuras siguien-

58

Curso básico de topografía

tes, estableceremos la relación entre azimut y rumbo en cada uno de los cuatro cuadrantes. (Fig. NQ 35.) N

r..;

1 B

w

... "- ,

'(\z

A l

W

E

K

E

A

s

s 1('f cuadrante

Rbo

29 cuadrante

= Az

Az = Rbo

N

=

180 0

-

Az

Az = 180 0

-

Rbo

Rbo

N

~~ff

.5 B

W

E

ti:

"1

B

s

s

4Q cuadrante

3
Roo = Az - 180'" Az

=

Rbo

180 : ' + Rbo

Az Figura 35

= 360 : = 360 - -

Az Rbo

Planimetría

59

EJEMPLOS

1.

Convertir a rumbos los siguientes azimutes :

A zimutes

Rumbos

124°35' 283 °07' 72 ° 10' 198°52'

S 55 °25' E

2.

N 76°53' W N 72 ° 10' E S 18°52' W I

SOLUCIÓN

179°60' 124°35' S 55 °25' E

359 °60' - 283 °07' N 76°53' W

198°52' 180° S 18°52' W

Convertir a azimutes, los rumbos siguientes:

Rumbos

Azimutes

S 23 °40' W N 56°21' E S 9°56' E N 81 °03' W

203 °40' 56°21' 170°04' 278 °57'

SOLUCIÓN

+

180° 23°40' 203 °40'

359 °60' - 81 °03' 278°57'

Descripción de la brújula

La brújula es un instrumento topográfico que sirve para determinar direcciones con relación a la meridiana magnética. (Fig. Nq 36.) Casi todos los trabajos antiguos de topografía fueron hechos con la brújula, y por lo tanto es esencial un conocimiento de la brújula y de su aplicación en los trabajos de topografía, para la comprensión de los ejecutados antiguamente y que a menudo tienen que ser resueltos por el topógrafo moderno. Las partes principales de la brújula son: 1. La caja que lleva un círculo graduado de 0 ° a 360° en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, o de 0 ° a 90° en ambas direcciones del N y del S y, generalmente, los puntos E y W invertidos debido al movimiento relativo de la aguja respecto a la caja. 2. Un nivel circular que se usa para mantener el círculo graduado en un plano horizontal, cuando se van a tomar direcciones con la brújula. 3. Pínulas ocular y objetivo,. que son los elementos que sirven para dirigir la visual y están colocados en línea con los puntos cardinales N y S de la caja de la brújula, y 4. Una aguja imantada que puede girar libremente sobre un pivote colocado en el centro del círculo graduado. La punta S lleva un contrapeso para contrarrestar la atracción magnética en el sentido vertical.

60

Curso básico de topografía

pínula

contrapeso de la aguja

• fJ11

nivel circular nivel del eclímetro

pínula

.l"u,r"",1 ~#

-5 Figura 36

Planimetría

61

Condiciones que debe satisfacer toda brújula

1. La aguja debe ser móvil. Se conoce que la aguja llena esta condición cuando separada de su posición normal la recobra exactamente después de varias oscilaciones regularmente decrecientes. La faIta de limpieza o los defectos de suspensión pueden ser causa de que no se cumpla esta condición.

2. La aguja debe ser sensible. Esta propiedad se reconoce por el número y la velocidad de las oscilaciones. Una aguja de longitud media deberá dar Ull3S 30 oscilaciones para recobrar su posición normal y su período no debe pasar de 2 segundos. Cuando la aguja pierde su sensibilidad puede devolvérsele frotándola del centro a las puntas con el polo de nombre contrario de un imán en he"rradura de 200 g de fuerza. 3. La línea de los ceros debe estar en el plano qUf~ pasa por la visual, definida por las pínulas. Si esta condición no se cumple las direcciones marcadas por la aguja, no quedarán referidas a la meridiana magnética. 4. La línea que une las dos puntas de la aguja debe pasar por el eje de rotación de la aguja. Esta condición se cumple, si la diferencia de las lecturas entre las dos puntas, en cualquier posición de la aguja es de 180 0 • Se corrige enderezando la aguja. 5. El pivote sobre el que reposa la aguja debe estar en el centro del CÍrculo graduado. Se revisa observando si la diferencia de lectura de las dos puntas es de 180 0 en alguna posición y en otras no. El defecto consiste en que el pivote de la aguja se haya desviado. Se corrige enderezando el pivote. 6. El eje magnético de la aguja debe coincidir con su eje geométrico. Si no se cumple esta condición los rumbos dados por la brújula no serán los reales y la figura no quedará correctamente orientada, pero este defecto no tendrá influencia en la posición relativa de los lados. Usos de la brújula

La brújula es útil solamente para hacer levantamientos aproxImados. Se emplea para: -

levantamientos secundarios. levantamiento de detalles para el relleno de planos a pequeña escala. tomar radiaciones en trabajos de configuración. reconocimientos. trabajos preliminares, y exploraciones militares.

62

Curso básico de topografía

Ventajas en el uso de la brújula

-

La brújula es ligera, se carga con facilidad y demanda poco tiempo para visar y para leer. - Un error en la dirección de una línea no afecta necesariamente a las demás líneas del levantamiento. - La brújula se adapta especialmente para correr líneas rectas a través de un obstáculo, pues puede instalarse salvando éste y continuar después COI: el rumbo directo leído anteriormente. Inconvenientes en el uso de la brújula

-

Los rumbos o azimutes no pueden obtenerse con una aproximación mayor de 15 minutos. La aguja es insegura y en algunos casos nula, a causa de las atracciones locales, por tanto, la brújula no debe emplearse en poblaciones y en la proximidad de vías férreas, estructuras metálicas, líneas de alta tensión, etc. .'·I"f'I,;/,1~'f

.5

Atracciones locales

La aguja magnética puede cambiar de su posición natural por la atracción de cualquier sustancia magnética que se encuentre cerca de ella, como son el hierro, los rieles del ferrocarril, estructuras de acero de los edificios, hierro magnético en terrenos de naturaleza volcánica, etc. Corrección por las atracciones locales

Si en cualquier estación de un levantamiento existe una atracción local producida por una fuente fija, ésta afectará los rumbos de atrás y de adelante tomados en esa estación, en la misma cantidad. Tomando en consideración que el ángulo calculado entre los lados de cualquier estación, se puede determinar correctamente de los rumbos observados sin que importe que la aguja esté afectada localmente, empezando por el lado de la poligonal que no esté afectado por la atracción local, se pueden calcular los rumbos correctos de los lados siguientes. EJEMPLO

En el levantamiento de una poligonal, con brújula, se obtuvieron los datos siguientes:

Planimetría

63

REGISTRO DE CAMPO 6 Lados A - B B- C C-D D-E

...

Rumbo directo

Distancias

Rumbo inverso

Croquis y notas ~

60.50 119.00 72.40

S 45·00' W N 62"00' W N 30·00' E

N 45·00' E S 60·00' E S 31·00' W

o

•

... 9

t

i

Como los rumbos directo e inverso del lado AB coinciden, se supone que las estaciones A y B están libres de atracciones locales. Por tanto, el rumbo directo de Be, s 60°00' E es correcto. (Fig. NQ 37.) N

, J

NI

B atracción local

D Figura 37

El ángulo en e, calculado de los rumbos observados, es:

e -=

180° - (62 °

+ 31 ° ) =

87 °

e = 8r es el ángulo correcto a pesar de la atracción local, excluyendo desde luego los errores de observación. Con el valor de e, se calcula ahora el rumbo correcto del lado eD. 180° - (60 + 87) = S 33 °00' W También se pueden hacer las correcciones de los rumbos observados, sin calcular los ángulos de la poligonal, teniendo en cuenta la magnitud y dirección del error debido a atracciones locales.

Roo. eD

=

64

Curso básico de topografía EJEMPLO

En el registro de campo del ejemplo anterior, se ve que el rumbo inverso correcto de BC es N 60 0 0
I I

!L-- desviación de la aguja a

N ~2 ° causa de atracciones

1

B

locales

I

rumbos correctos

s

..

')0

'.'''''("1'Jo' N~

-5

D Figura 38

Si las discrepancias entre los rumbos directo e inverso son pequeñas y aparentemente no son de carácter sistemático, es razonable suponer que los errores se deben a causas diferentes de las atracciones locales. Las atracciones locales se presentan con frecuencia y el topógrafo debe tener especial cuidado en evitar los errores a que ellas pueden conducir. METODOS DE LEVANTAMIENTO CON BRUJULA y CINTA Se emplean los siguientes: - Itinerario. - Radiaciones.

6S

Planimetría

-

Intersecciones, y Coordenadas rectangulares.

El método de itinerario es el principal y se usa para el levantamiento del polígono de base, en tanto que los tres restantes se emplean como auxiliares del primero, para el levantamiento de detalles. Método de itinerario

Este método consiste en recorrer el perímetro de la poligonal, tomando los datos necesarios para la 'construcción del plano correspondiente. A.

Comprende las operaciones siguientes:

Trabajo de campo.

1. Reconocimiento del terreno. 2. Materialización de los vértices de la poligonal. 3. Dibujo del croquis de la poligonal. 4. Recorrido del perímetro del polígono de base o de la poligonal, a partir del vértice elegido como origen, tomando en cada uno de los vértices, los rumbos (o azimutes) directo e inverso de los lados que en dicho vértice concurren y midiendo con la cinta los lados de la poligonal. 5. Levantamiento de detalles aplicando para el efecto los métodos auxiliares procedentes. Los datos recogidos en el levantamiento se anotan, en forma clara y ordenada, en el registro de campo, como se ilustra en el ejemplo siguiente: REGISTRO DE CAMPO 7 Levantamiento con brújula de 30' de aprox. y cinta de acero de 50 metros, por el método de itinerario

Lomas de Sote lo, D . F . 30-MAY-75 Levantó: Ja vier del Río

RUMBOS

P.v.

Dist. (m)

O

1

37.00

N 45 °00' E

S 45°30' W

1

2

40.50

N 37 °00' W

S 37°00' E ,l

2

3

36.50

S 70°30' W

N 70 · 00' E l

3

4

37.45

S

4

o

35.00

S 75°00'E

Est.

Directos

2 °00' E

Inversos

N

CROQUIS Y NOTAS

I

- -2

N

~

3

1

roO' W

I I ,

I I

4

N 75°30' W

I

prados

I

J

5

.

I

Curso básico de topografía

66

Las distancias se comprueban midiéndolas dos veces (ida y regreso) y los rumbos (o azimutes) tomando el directo y el inverso de cada lado. B.

Trabajo de gabinete.

1. Se calculan los ángulos interiores del polígono, a partir de los rumbos (o azimutes) observados. El error angular (EA) se determina comparando la suma de los ángulos interiores obtenidos en función de los rumbos (o azimutes) observados con la suma que da la condición geométrica:

I¡ siendo:

ángs. interiores = 180 0 (n - 2)

n = número de lados del polígono.

El error angular no deberá exceder la tolerancia angular, que para este caso es: [ T A = ±a 'in

.o"rlrJ"'

.5

,#

= tolerancia angular, en minutos. a = aproximación de la brújula, en minutos = -+-30'. n = número de vértices de la poligonal.

TA

Si:

EA

> TA ,

deberá repetirse el trabajo.

La determinación del error angular debe hacerse en el campo, al terminar el trabajo, porque en caso de resultar mayor que la tolerancia se puede repetir el levantamiento, evitándose tener que regresar al campo y pérdida de tiempo. 2. Se escoge un rumbo que se supone correcto. Este puede ser el de un lado cuyos rumbos directo e inverso hayan coincidido mejor, y se denomina rumbo base. 3. Luego con los ángulos interiores corregidos y el rumbo base, se calculan nuevos rumbos para todos los lados del polígono, que serán los

rumbos calculados. 4. Se elige la escala (o se emplea la especificada para el trabajo efectuado) . 5. Se dibuja el polígono. 6. Como a pesar de todas las precauciones tomadas en el terreno y en la construcción del plano, generalmente, el extremo final del polígono de base no coincide con el origen, la distancia gráfica entre dichos puntos es el error de cierre que no deberá ser mayor que la tolerancia lineal dada por las fórmulas siguientes:

Planimetría Terreno

Si:

Tolerancia lineal

PLANO

TL

= 0.015 vI: +

QUEBRADO

TL

= 0.020 VL

MUY QUEBRADO

TL

-

TL L n E

67

0.025

0.OO08L

+ 0.1 Vn -

1

Vn

- 1

VL + 0.OO08L I+ 0.1 Vn

- 1

+ 0.OOO8L + 0.1

= tolerancia

lineal, en metros. = perímetro o desarrollo de la poligonal, en metros. = número de lados de la poligonal.

> T,

debe repetirse el levantamiento.

También se puede calcular la tolerancia lineal T L, para trabajos con brújula y cinta, aplicando las fórmulas siguientes: Terreno

Tolerancia lineal

PLANO

T L = 1000

ACCIDENTADO

L

T

L

= tolerancia lineal, en metros. L = perímetro de la poligonal, en

=

L 500

TL

metros.

7. Si el error de cierre no rebasa la tolerancia establecida, se compensará el error gráficamente. 8. Una vez compensado el error, se dibujarán los detalles, partiendo de la estación origen, constituyendo éstos el verdadero valor del plano topográfico. 9. La precisión o error relativo en los levantamientos con brújula y cinta, en terreno plano es 1/1000 y en terreno accidentado 1/ 500. La precisión obtenida en un levantamiento se calcula dividiendo el error de cierre por el perímetro del polígono. . _ Error de cierre d 1 r Precisión o error re latlVo - P ' enmetro e po 19ono

68

Curso básico de topografía

Si designamos por P la precisión, El, el error de cierre y 'J.,L el perímetro de la poligonal, se tiene:

~ ; P=V; I

(1)

Se acostumbra representar la precisión como una fracción cuyo numerador es la unidad. De (1) se deduce: EL EL P = ~L

E J,

1 -'i,L El,

1 P="5..L E J,

(2)

La expresión (2) indica que habrá una unidad de error por cada cierto número de unidades medidas. PROBLEMAS 1.

En un levantamiento con brújula de 30' y cinta de acero, en terreno muy quebrado, se tienen los datos siguientes: 'J.,L n

= 2,500

m

'i,

=

17 EL = 3.50

m

ángulos obtenidos en función de los rumbos

= 2698°00'

Calcular: a) b)

c) d)

Tolerancia angular. Erro.:- angular. Tolerancia lineal. Precisión.

.rlf~f'''e),/ J~

-5

SOLUCIÓN ~

ángs. ints

=

180 0 (n - 2)

=

180°(17 - 2)

=

180°(15)

= 2700°

Comparando esta suma con la de los ángulos obtenidos en función de los rumbos observados, se encuentra el error angular:

I E,[ = TA

= +a

yn

-2 °00'

= +123' ~ EA = T A

+30' y17

+2 °

TA

=

+2°

Planimetría

69

Para terreno muy quebrado la tolerancia lineal se calcula aplicando la fórmula:

TL

= 0.025 VL+ 0.OOO8L + 0.1 Vn - 1 = 0.025 V2500 + 0.0008(2500) + 0.1 V17 = 1.25 + 2.00 + 0.40 =

1 TL

3.65

= 3.65

m

El error relativo o precisión obtenida en el levantamiento es: p= EL =3.50=00014 'J,L 2500 .

2.

ó

1 1 p = 2500 = 714 3.50'

Dados los rumbos directos e inversos tomados en un levantamiento con brújula: a)

Calcular los ángulos interiores del polígono.

b)

Determinar el error angular.

e)

Calcular la corrección angular, y

d)

Obtener los ángulos interiores corregidos.

Lados

Rumbos inversos

Rumbos directos

0-1 S 30°30' W 1 - 2 S 83 °00' E 2-3 N 2 °00' W 3-4 S 89°30' W 4-0 S 29 °00' E

N N S N N

30°30' E 84 °00' W 2 °30' E 89 °00' E 28 °00' W

SOLUCIÓN

Para obtener los ángulos interiores a partir de los rumbos observados dibújese un croquis del polígono anotando los valores angulares de los rumbos. (Fig. NI? 39.)

70

Curso básico de topografía

4

4

*

" •

29

2° 30'

.1?Uf'lr~.I

30° 30' 0

30 30' 1

3

-5

84~~1

P 83

/#

.

U

2°'

2

Figura 39

L O = 180° + 28 ° + 30°30' = 238°30' L 1 = 180° - (30 °30' + 83 °) 66°30' L 2 = 84° - 2° 82°00'

L 3 = 89 °30' + 2°30' L 4 = 180° - (89° + 29 ° ) ¡ ángulos interiores

92 °00' 62°00' = 541 °00'

(obtenidos a partir de los rumbos observados). En este caso la condición geométrica, para n = 5, da: ¡ ángs. ints = 180 0 (n - 2) ·= 180°(3) = 540°00'

Si se comparan las sumas de los ángulos interiores, una obtenida a partir de los rumbos observados y la otra por la condición geométrica, se encuentra el error angular:

Planimetría EA

= 541 °()()'

- 540 °00'

= + 1°

EA = + 1°

71

1

La corrección que se aplicará a cada uno de los ángulos interiores, con signo contrario al error, se obtiene dividiendo el error angular, expresado en minutos, entre el número de ángulos del polígono. Corrección angular

= -60' = 5

12'

Los ángulos corregidos se hallan aplicando la corrección a los obtenidos a partir de los rumbos observados, como sigue:

L O= 238 °30' L 1 = 66°30' L 2 = 82°00' L 3 = 92°00' L4= 62 °00'

- 12' = 238 °18' - 12' = 66° 18' - 12' = 81 °48'

- 12' = 91 °48' - 12' = 61°48' ~ ángulos interiores = 540°00'

3.

fr,

~ r ( '.1IJNI."

Como la línea O - 1 del problema anterior, tiene rumbos directo e inverso iguales, tómese como rumbo base y con los ángulos interiores corregidos, calcúlense los nuevos rumbos de los lados del polígono. SOLUCIÓN

Dibújese un croquis del polígono y anótense los valores del rumbo base y de los ángulos interiores corregidos (Fig. NI? 40) Y así podrán encontrarse fácilmente los rumbos buscados.

Rbo. O - 1

= S 30°30' W

(Rumbo base)

Rbo. 1 - 2 = 180° - (30 °30'

+ 66°18')

Rbo. 1 - 2 = S 83 °12' E Rbo. 2 - 3 = 83 °12' - 81 °48' = 1 °24'

Rbo. 2 - 3 = N ]024' W _ Rbo. 3 - 4 = 180°00' - (91 °48' - 1 °24')

Rbo. 3 - 4

= N 89 °36' W

Rbo. 4 - O = 89 °36' - 61 °48'

Rbo. 4 - O = S 27°48' E

:=

27 °48'

72

Curso básico de topografía

.'·I"(,"JOI;~

-5 4

ti,.,.

dmJ 3 91 0 48'

lrW'1'1'//l

1 0 24'

238 o 18' 1 0 24'

1

048' 83 012'

2

Figura 40

4.

Con los siguientes datos del registro de campo calcular: a)

Los ángulos interiores del polígono a partir de los rumbos observados.

b)

El error angular (EA).

e)

La tolerancia angular (T,d

d)

La corrección angular (C).

e)

Los ángulos interiores corregidos.

f)

Los rumbos, a partir del rumbo base y los ángulos interiores corregidos. (Tómese como rumbo base el del lado 1 - 2).

g)

Los rumbos astronómicos (8 = 9 °30' E).

h)

La tolerancia lineal (terreno plano).

i)

La precisión (supóngase: EL = 0.40 m).

a '= 30'

Planimetría

Est.

-O 1

2

3 4

P.V.

1 2

3 4 O

Distancias (m)

Rumbos directos

37.00 40.50 36.50 37.45 35.00 186.45 m

N N S S S

45 °00' E 37 °00' W 70°30' W 2°00'E 75 °00' E

I

73

Rumbos inversos

S S N N N

45 °30' W 37 °00' E 70°00' E 2°00' W 75 °30' W

SOLUCIÓN

a)

Dibújese el croquis del polígono y anótense los valores angulares de los rumbos observados. Los ángulos interiores se hallan como se indica en seguida (Fig. NQ 41):

3

Figura 41

74

Curso básico de topografía OPERACIONES

75 °30' + 45 ° LO - 120°30'

37 ° + 45 °30' - 82 °30' 179°60' L1 9'7 °30'

180° - 72 ° L 3 = 108 °

LO= L2

=

L3= L4 = b)

182° - 75° L 4 = 107° 75 °30' 180° -

L1=

37° 70°30' L 2 = 107 °30'

~

+ 45 ° = 120°30' (37" + 45 °30') =

LO L1 L2 L3 L4 ángs.

= =

= = = =

120°30' 97 °30' 107°30' 108°00' 107°00' 540°30'

Angulos interiores del polígono, calculados con los rumbos directos e inversos observados durante el levantamiento.

9]030'

+ 70°30' = 107°30' 180° - (70° + 2 ° ) = 108°00' (180° + 2 ° ) - 75 ° = 107°00' 37 °

El error angular (EA) se obtiene comparando las sumas de los ángulos calculados a partir de los rumbos observados, y de los ángulos interiores que da la condición geométrica:

::s ángs. ints

= 180

0

(n - 2)

En este caso:

.'·IfU·UiJ,1 J~

n=5

.5

por tanto: ! . ángs. interiores

= 180°(5

- 2)

=

180° (3)

=

540°00'

I

(1)

Por otra parte: ::s ángs. calculados = 120°30' ~

ángs. calculados

+

97°30'

+

107°30'

+

+

lOrOO'

= 540°30' I

(2)

De las igualdades (1) y (2), se deduce: c)

108 °00'

EA

= +30'

La tolerancia angular se encuentra aplicando la fórmula: TA

=

+a

-In = +30' '.15 = EA

< TA

+67'

[ TA

=

±67'

Planimetría d)

7S

La corrección que se aplicará a cada uno de los ángulos interiores, es en este caso: Esta corrección se aplica con signo contrario al error.

e)

A continuación, los ángulos corregidos se obtendrán aplicando a los calculados la corrección respectiva.

rumbo base

1 0 42'

Figura 42

Angulas sin corregir

SUMAS:

f)

Corrección

120°30' 97°30' 107°30' 108°00' 107°00'

"G" - 6' - 6' - 6' - 6' - 6'

540°30'

-30'

Angulas corregidos 120°24' 97°24' 107°24' 107°54' 106°54' 540°00'

Con los ángulos corregidos y el rumbo base, se calcularán los nuevos rumbos. Esta operación se facilitará dibujando un cro-

76

Curso básico de topografía

quis y anotando en él los valores de los ángulos interiores corregidos y el rumbo base. (Fig. N
(Rumbo base)

= S 70°24' W 4 = 180° - (70°24' + 107°54') = S ]°42' E O = (180° + 1 °42') - 106°54' = S 74°48' E 1 = 120°24' - 74°48' = N 45°36' E

Rbo 2 - 3 = 107°24' - 37° Rbo 3 Rbo 4 Rbo O g)

Cálculo de los rumbos astronómicos

(8 = 9°30' E).

O:

O

(> 1

3

3er.cuadrante

ler.cuadrante 4 <2 cuadrante

]er

cuadrante

N 45°36' E + 9°30' N 55 °06' E

4
3 er cuadrante

N 37°00' W - 9°30' N 27°30' W

S 70°24' W + 9°30' S 79 °54' W

= N 55°06' E 2 = N 27°30' W 3" = S 79°54' W 4 = S 7°48' W O = S 65 ° 18' E

Rbo. astron. O - 1 Roo. astron. 1 Rbo. astron. 2 Rbo. astron. 3 Rbo. astron. 4 -

~tnff

~

Planimetría

77

2 ~/cuadrante 0

1 42'

29 cuadrante

29 cuadrante

',: 9 °30' S - 1 °42' E S 7°48' W h)

S 74°48' E - 9 °30' S 65 ° 18' E

La tolerancia lineal (T L), para terreno plano, se calcula por medio de la fórmula:

= 0.015 yL+ 0.0008L 1+ 0.1 Vn - 1 L = perímetro de la poligonal, en metros = 186.45 n = número de lados de la poligonal = 5 T = 0.015 Y 186.45 + 0.0008(186.45) + 0.1(2)

TL

m

L

TL i)

= 0.21 +

0.15

+

0.20

=

0.56 m

La precisión obtenida en el levantamIento es: .. ~ P reClSlon

=

EL 0.40 O 0021 ¡L = 186.45 = .

o bien: .. , 1 1 1 PreClSlon = ¡L = 186.45 - -46-6 EL

0.40

TL

= 0.56

m

I

Curso básico de topografía

78

Precisión

=

O. 0021

1

= 466

Métodos usados para el levantamiento de detalles, con brújula y cinta

Se toman como auxiliares del método de itinerario, para fijar detalles referidos al polígono de base, los siguientes métodos: -

Radiaciones. Intersecciones, y Coordenadas rectangulares.

Método de radiaciones

Sean 4, 5, 6, ... , vértices .de la poligonal que se va levantando por el método de itinerario (Fig. N9 43) Y M, una mojonera que es necesario hacer figurar en el plano. ~»ff

N

.5

M

fl>.~e

oe"Q

, Ó.o~o ~~ "

6

~o

_........ 5

Figura 43

El punto M puede levantarse por el método de radiaciones que consiste en dirigir una visual a ese punto, midiendo el rumbo de la línea que dicho punto determina con la estación desde la cual se observa, así como la distancia del punto a la estación. En el ejemplo que se ilustra en la figura, la posición del punto M estará determinada, tomando el rumbo (o azimut) de la línea 4 - M Y midiendo la distancia 4 - M. Estos datos se anotan en el registro de campo.

Planimetría

79

Método de intersecciones

Cuando haya detalles inaccesibles o lejanos de los vértices de la poligonal, ,de tal manera que no puedan medirse sus distancias a los vértices, podrán fijarse por intersecciones, observándolos desde dos estaciones sucesivas o no de la poligonal (Fig. NQ 44).

8 Figura 44

Desde las estaciones 7 y 9, se han medido los rumbos de las líneas que determinan dichos vértices y el punto P, que se desea levantar. En este caso no es necesario medir las distancias 7 - P y 9 - P, porque las líneas que unen las estaciones desde las cuales ha sido observado P, son de longitud conocida, quedando determinada su posición por la intersección de las direcciones 7 - P y 9 - P. Método de coordenadas rectangulares

Este método se emplea en los casos en que sea necesario tomar datos para fijar la dirección de un río, camino, canal, etc., a fin de que figuren en el plano correspondiente. Para ello se toma como eje de las abscisas un lado de la poligonal que se está levantando, procurando que sea el más próximo al accidente de que se trate, y como ordenadas se toman las perpendiculares que se vayan levantando desde distintos puntos del lado de la poligonal, elegido como eje de las abscisas, al obstáculo o accidente que se desea levantar (Fig. NQ 45).

80

Curso básico de topografía

polígono de base

5'

~PlHff

~ Figura 45

Debe determinarse el rumbo de las líneas 5 - 5', ad, bb', ce', ... , para que sean perpendiculares al lado 5 - 6 de la poligonal, escogido como eje de las abscisas. RboS--':':-6

En el ejemplo propuesto, si: entonces: Rbo aa' =Rbo bb'

= Rbo

ce'

= ... = N

=N a

(90 0

-

O

E

a) W

Una vez definida la dirección de las ordenadas, con la cinta se miden las longitudes de ésta~ y las distancias del vértice 5 de la poligonal al pie de cada una de las perpendiculares levantadas.

DIBUJO DE LA POLIGONAL Para construir un plano valiéndose de la información obtenida en el éampo por medio de la brújula y la cinta, se escoge primero la escala apropiada y luego se estudian ligeramente los datos para determinar dónde trazar la línea Norte-Sur y el primer lado del polígono, de modo que el dibujo pueda acondicionarse al tamaño del papel. Generalmente la parte superior del dibujo debe ser Norte. Cuando el punto inicial y la dirección del meridiano se han trazado sobre el papel, la dirección del primer lado del polígono se traza por medio del transportador. Para ello se coloca el centro del transportador en el punto inicial o vértice O del polígono, haciendo coincidir el cero de la graduación del transportador con la línea Norte-Sur trazada y, con un

Planimetría

81

lápiz de punta fina, se marca en el papel el rumbo (o azimut) del lado O - 1; luego, se retira el transportador y con una escuadra, se traza la línea que una el origen o punto inicial con el punto l' marcado, prolongándola lo necesario para tomar sobre ella, a la escala elegida, la distancia que haya entre los vértices O y 1. (Fig. 46.) N

4

2

Figura 46

Se vuelve a colocar el transportador en el punto inicial O y se marca el rumbo de la línea 1 - 2; en seguida se coloca una escuadra en tal forma que uno de sus lados esté en coincidencia con los puntos O - 2 Y ~olocando una segunda escuadra contra otro de los lados de la primera, se desliza ésta hasta coincidir con el vértice 1, desde el cual se traza una línea cuya longitud estará determinada por la escala y por la distancia que haya entre los vértices 1 y 2. Estas operaciones se continúan en la misma forma hasta que se llegue al punto inicial O. COMPENSACION GRAFICA Sea la poligonal 0 ,- 1 - 2 - 3 - 4 .:=... 0', la cual se comenzó a construir en el punto inicial O y se terminó en el punto O', el cual debía haber coincidido con O, si no hubiera habido errores de observación. 6

82

Curso básico de topografía

La distancia entre O y O' se llama error de cierre E. (Fig. NQ 47.) Si el error de cierre E no rebasa la tolerancia establecida, la poligonal se corrige en forma gráfica de la manera siguiente: a) Se calculan las correcciones considerando que los errores son proporcionales a las longitudes de los lados de la poligonal.

L2 ~ff

~

poligonal SIn compensar

o

2

L5 poligonal compensada

4'

J

Figura 47

El error unitario o error por metro, "e" se calcula dividiendo el error de cierre E entre el perímetro de la poligonal ¡L. E

E

e= ¡L

=

e("2.L)

(1)

Calculado e, las correcciones se obtienen como sigue: C l = eL! C:!

C3

Cl

= = =

e(L l

+

e(L l

+L +L + L z + L3 + L + L z + L3 + L4 + L

e(L1

C o ' = e(L l

C o' = e(¡L)

Lz) 2

3)

4)

5)

(2)

Planimetría

83

De las igualdades (1) y (2), se concluye que: Co' = E; es decir, que la corrección que se aplique en el punto O', tiene el mismo valor absoluto que el error de cierre. Por los vértices de la poligonal se trazan paralelas al error de cierre, en sentido contrario al error. b)

En seguida, sobre la paralela trazada por el vértice 1, se toma una longitud igual a Cl , a partir del vértice 1, obteniéndose así el punto 1'; sobre la paralela que pasa por el vértice 2, y a partir de este punto, se toma una distancia igual a C:2 y se obtiene el punto 2'; Y así sucesivamente se encuentran los puntos 3' y 4'. e)

Por último, uniendo los puntos O, 1', 2', 3', 4' Y O se encuentra la poligonal compensada. d)

Cuando se trate de una poligonal abierta, cuyos extremos son conocidos, para compensar gráficamente el error se procederá de una manera análoga a la ya descrita para poligonales cerradas. (Fig. NQ 48.) E

e=-¡L A

poligonal sin compensar

\.

15

poligonal compensada

Figura 48

Correcciones: AA' = el =e~ B-B' = C'2 = e(Ll CC' = Ca = e(Ll 23 - 23' = C2a ' =e(Ll

+ L.2) + L2. + La) + L 2 + La +

L-4)

=

e(¡L)

Caso particular

Si los lados de la poligonal, cerrada o abierta, tienen 'aproximadamente la misma longitud, la compensación gráfica se simplifica porque se evita el cálculo de las corr' 'ciones.

Curso básico de topografía

84

En este caso, el error de cierre se divide en tantas partes iguales como lados tenga la poligonal; luego, por los ' vértices de la misma se trazan paralelas al error de cierre y en sentido contrario al error; a cOlltinuación, sobre la paralela trazada por el vértice 1 se toma una longitud igual a una de las partes en que se dividió el error de cierre; sobre la paralela que pasa por el vértice 2, se toma una longitud igual a dos de esas partes, y así sucesivamente. La poligonal compensada se halla uniendo los puntos O, i', 2', 3', 4' Y O (Fig. N9 49). E = q n

-

....--poligonal sin compensar

Cl = q

e

'2

poligonal compensada

= 2q

C3 = 3q C4 C() '

= 4q = 5q

\16 4'

~ff

4

~

L4

Figura 49

DETERMINACION DE LA SUPERFICIE DEL POLIGONO POR MEDIO DEL PLANIMETRO Las superficies se pueden determinar mecánicamente, con un planímetro. Este procedimiento es útil, especialmente, cuando la superficie que se necesita determinar está limitada por un perímetro irregular, con curvas y rectas, y a veces sin forma muy precisa. El planímetro (de plano y del gr. metron, medida) es un instrumento para medir superficies de figuras planas. Hay dos clases de planímetros: polar y rodante. El que más se emplea es el planímetro polar, por su sencilla operación.

Planimetría

85

Descripción del planímetro polar

El planímetro polar está formado por dos brazos unidos por un eje (Fig. NQ 50): uno, que se denomina brazo polar que lleva el punto fijo o polo P, y el otro que se llama brazo trazador y tiene marcada una graduación G para ajustar su longitud, según la escala del dibujo, y en su extremo lleva la punta trazadora T.

Figura 50

El planímetro se apoya en tres puntos: el polo P, el rodillo R y la punta: trazadora T. El tambor del rodillo, está dividido en 100 partes y en contacto con un vernier V que va fijo a la armadura del planímetro. Por medio de un tomillo sinfín, el rodillo cuando gira hace girar al disco graduado D en la relación 10: 1. El número completo de vueltas del rodillo se lee en el disco D por medio de un índice; los centésimos de vuelta del rodillo los indica la lectura del tambor en el índice del vernier V; y los milésimos se obtienen por la lectura del vernier. Reglas prácticas para el uso del planímetro

1. El rodillo debe girar libremente y sin sacudidas. 2. La superficie sobre la cual se mueve el planímetro debe ser plana, horizontal y perfectamente pulida. 3. Con la punta trazadora se seguirá el perímetro, en sentido retrógrado, colocando el ojo en la parte superior. 4. No debe dirigirse la punta trazadora a lo largo de una regla, porque la compensación de errores en este caso es menor que procediendo de la otra manera. 5. Cuando al recorrer el perímetro se desvía el trazador o se pasa del último vértice, debe retroceder siguiendo el mismo camino, anulándose en esta forma el error.

86

Curso básico de topografía

Determinación de superficies

Cuando se va a determinar la superficie de un polígono, se coloca la aguja del polo en el papel en el punto que convenga y se mantiene en su posición mediante el peso W. A continuación, la punta trazadora se coloca en un punto definido del peJ.'ímetro del polígono, y se hace una lectura inicial. Luego· se recorre el perímetro hasta que la punta trazadora vuelve a quedar en su posición original, y se toma una lectura final. El recorrido del perímetro con la punta trazadora se ejecutará en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj. La diferencia entre la lectura final y la inicial es el número n de revoluciones del rodillo.

n = L, - Li

(1)

en la que n es positiva si la rotación es hacia adelante y negativa si es hacia atrás. Cuando el polo queda fuera de la figura y el planímetro hace el recorrido en el sentido de las manecillas del reloj, la lectura final L, será mayor que la inicial Lh y n será positiva. La superficie S de la figura es directamente proporcional al número n de revoluciones del rodillo: ~~nff

.5

I

S

=

nK

=

(L, - LdK

(2)

"La superficie de la figura se obtiene multiplicando la diferencia de lecturas por la constante del planimetro."

El factor de proporcionalidad K se llama la CONSTANTE DEL PLANÍEl valor de K es igual al producto de la longitud del brazo trazador por la circunferencia del rodillo. Cuando el brazo trazador se sostiene en tal posición con relación a] brazo polar, que el plano del rodillo pasa por el polo, la punta trazadora puede describir una circunferencia sin que el rodillo se mueva y, por tanto, no se registra esta superficie. A este círculo, cuya superficie no se registra, se le llama el círculo del cero. A esto se debe que si el polo del planímetro se coloca dentro de la figura cuya superficie se desea determinar, la diferencia de lecturas que se obtiene únicamente, corresponde a la superficie que queda fuera del círculo del cero. Además, las lecturas resultan positivas si la rotación del rodillo es hacia adelante y la superficie de la figura es mayor que el círculo del cero; y negativas cuando la rotación del rodillo es hacia atrás y la superficie de la figura es menor que la del círculo del cero. METRO.

Planimetría

87

La superficie del CÍrculo del cero se puede determinar recorriendo el perímetro de una figura, una vez con el polo fuera de la figura y otra con el polo dentro de ella. La primera operación da la superficie de la figura: S= n·K

y la segunda da una superficie: S' = n'K

que representa la diferencia entre la superficie de la figura y la del CÍrculo del cero: Superficie del CÍrculo del cero n' n'

> 0, < 0,

si: si:

S S

>

<

=

nK - n' K = (n - n')K

Supo del CÍrculo del cero Supo del CÍrculo del cero.

según la direcciór-. de rotación del rodillo. Por lo anteriormente expuesto, se conúdera más conveniente determinar las superficies, colocando el polo fuera de la figura. Si ésta es mayor que la que puede trazarse en una operación, se puede dividir en figuras pequeñas y determinar por separado sus superficies. Determinación de la constante del planímetro

Se puede determinar el valor de la constante del planímetro recorriendo el perímetro de una figura de superficie conocida, con la punta trazadora. La operación, de preferencia, debe repetirse unas cinco veces y utilizarse el promedio. De la fórmula:

se deduce: (3)

El valor de la constante K del planímetro se obtiene dividiendo la superficie conocida S entre la diferencia de lecturas tomadas al iniciar el recorrido del perímetro y al final del recorrido. Los constructores de estos instrumentos dan una tabla en la que se indican las constantes 'para diferentes longitudes del brazo trazador y para diversas escalas.

88

Curso básico de topografía

Precisión en la determinación de superficies con planímetro

Las superficies deben dibujarse empleando una escala que esté de acuerdo con la precisión deseada. La precisión en la determinación de superficies con planímetro, depende en gran parte de la habilidad del operador para seguir el perímetro del polígono con la punta trazadora, pues hay una tendencia del Gperador, a desviarse en uno u otro sentido. Si la figura es grande el error relativo en la superficie será pequeño, y viceversa. En la medida de superficies pequeñas generalmente se puede esperar una precisión del uno por ciento y en la medida de figuras de tamaño grande que estén bien dibujadas dentro de 0.1 % ó 0.2 % . ~ff

LEVANTAMIENTOS CON TRANSITO Y CINTA

.5

Generalidades

Se denominan goniómetros los aparatos que sirven para medir ángulos. Estos instrumentos constan esencialmente de un limbo o círculo graduado y de una alidada. Se llama limbo o círculo graduado a la corona circular cuyo contorno está dividido con trazos finos. Los círculos se gradúan en 360 0 sexagesimales o en 40~ centesimales. La alidada está formada por un anteojo estadimétrico ligado a un disco giratorio cuyo eje debe coincidir con el eje del limbo y lleva consigo un Índice en el extremo de dicho disco y un vernier para conocer el valor del ángulo en una forma más precisa. Descripción del tránsito

El "tránsito" (Fig. NQ 51), tomado del inglés "transit", es un gomometro cuyo anteojo puede dar una vuelta completa alrededor del eje de alturas. Consta esencialmente de las partes siguientes: El anteojo, elemento fijado a un eje transversal horizontal denominado eje de alturas que descansa en los cojinetes de los soportes. El anteojo se puede hacer girar alrededor de su eje horizontal y se puede fijar en ~ualquier posición en un plano vertical, por medio del tornillo de presión del movimiento vertical; una vez fijo este tomillo se pueden comunicar pequeños movimientos al anteojo alrededor del eje horizontal, haciendo girar el tornillo tangencial del rrwvimiento vertical. El círculo vertical se encuentra unido al eje horizontal y fijado a uno de los soportes del anteojo está el vernier del círculo vertical. El anteojo lleva en su parte inferior un nivel de burbuja que sirve para usar el tránsito como nivel.

Planimetría

89

2

1.- Visera o sombra. 2.- Tomillo de enfoque. 3.- Tomillo de presión del movimiento vertical. 4.- Tomillo tangencial del movimiento vertical. 5.- Objetivo. 6.- Ocular. 7.- Tomillos de la retícula. 8.- Eje de alturas. 9. Nivel del anteojo. 10.- Círculo vertical. 11.- Vernier del círculo vertical. 12.- Círculo horizontal. 13.- Niveles del cír6ulo horizontal. 14.- Vernier 4el círculo horizontal.

15.- Tomillo de presión del movimiento particular. 16.- Tornillo tangencial del movimiento particular. 17.- Brújula. 18.- Tornillo para fijar el agua de la brújula. 19.- Tornillo de presión del movimiento general. 20.- Tomillo tangencial del movimiento general. 21.- Tornillos niveladores. 22.- Plataforma o base en la que descansan los tomillos niveladores. 23.- Tripié. 24.- Cadena con gancho para colgar la plomada.

90

Curso básico de topografía

Se dice que el anteojo está en posición directa cuando el nivel queda abajo de él, y en posición inversa, cuando está arriba. El giro que se le da al anteojo para pasar de una posición a la otra es lo que se llama vuelta de campana.

~~.ff

.5

Figura 51

En el interior del tubo del anteojo está el sistema óptico que le da el poder amplificador. Según los diversos aparatos, el poder amplificador varía, generalmente, entre 18 y 30 diámetros. El poder amplificador es la relación de la longitud aparente de la imagen a la del objeto. Cuanto mayor es el poder amplificador tanto menor es la iluminación y menor es el campo visual. Cuando se visa un objeto, se acciona el tornillo de enfoque del objetivo hasta que la imagen aparece clara y el ocular, hacia adentro o hacia afuera, hasta que aparezcan claros los hilos de la retícula. La función principal del objetivo es formar una imagen visible. El centro óptico del objetivo es el punto interior de las lentes por el que pasa cualquier rayo de luz sin cambiar de dirección. El foco principal es un punto en el eje óptico atrás del objetivo en el que los rayos que entran al anteojo y que son paralelos al eje óptico, van a dar al foco. La distancia focal del objetivo es la distancia de su centro óptico a su f.oco principal. La imagen formada en el objetivo es invertida. El ocular que comúnmente se usa, llamado de imagen recta, reinvierte la imagen de manera que aparece alojo en su posición normal. El anteojo está provisto de una retícula de tres hilos horizontales, paralelos entre sí y equidistantes y de un hilo vertical que corta por en medio

Planimetría

91

a los tres anteriores. Estos hilos se obtienen de los capullos de las arañas o se hacen de alambre de platino muy delgado y se sujetan a un anillo metálico que constituye el anillo de la retícula; este anillo es menor que el tubo del anteojo, y se mantiene en su lugar con cuatro tomillos de calavera por medio de los cuales se puede mover vertical u horizontalmente, o puede hacerse girar un ángulo pequeño alrededor del eje del anteojo. La línea de colimación está definida por la intersección de los hilos de la retícula y el centro óptico del objetivo. El disco superior o disco del vernier, al cual están unidos los soportes del anteojo y el disco inferior, al cual está fijo un círculo graduado o limbo horizontal, están sujetos, respectivamente a una espiga y un mango, cuyos ejes de rotación coinciden y están situados en el centro geométrico del círculo graduado. El mango o eje exterior que lleva el disco inferior puede sujetarse en cualquier posición por medio del tornillo de presión del movimiento general. Una vez apretado este tomillo, se pueden producir pequeños movimientos haciendo girar el tornillo tangencial del movimiento general. De la misma manera, la espiga que lleva el disco superior puede sujetarse al mango exterior por medio del tornillo de presión del movimiento particular. Después que se ha apretado éste se pueden comunicar pequeños movimientos por medio del tornillo tangencial del movimiento particular. El eje alrededor del cual giran la espiga y el mango verticales se llama eje azimutal del instrumento. Sobre el disco superior se encuentra montada una brújula. Si el círculo graduado de la brújula es fijo, sus puntos N y S se encontrarán en el mismo plano vertical de la visual del anteojo. Existen tránsitos en los cuales puede hacerse girar el círculo graduado de la brújula con respecto al disco superior, de manera que puede marcarse la declinación magnética y obtener directamente los rumbos astronómicos de las líneas. En uno de los costados de la caja en donde se encuentra la brújula hay un tomillo que sirve para asegurar el movimiento de la aguja cuando no está en uso y evitar que se doble el pivote de apoyo durante el transporte del aparato. El disco superior lleva montados dos niveles de burbuja en ángulo recto y que sirven para nivelar el tránsito. El círculo horizontal está graduado generalmente en medios grados, pero algunas veces en terceras partes de grado o cuartos de grado. Todos los tránsitos tienen dos vemiers, llamados A y B para leer el CÍrculo horizontal. Sus índices tienen una separación de 1800 • El mango o eje exterior se encuentra asentado en un hueco cónico de la cabeza de nivelación. La cabeza de nivelación tiene abajo una articulación de rodilla que fija el aparato al plato de base, pero permitiendo la rotación, quedando la misma articulación como centro.

92

Curso básico de topografía

Los tornillos niveladores presionan la cabeza de nivelación contra el plato de base. Cuando se giran estos tornillos el aparato se mueve sobre la articulación de rodilla; y cuando los tornillos niveladores se encuentran flojos no hay presión sobre el plato de base y el tránsito puede moverse lateralmente con respecto al plato. Del extremo de la espiga cuelga una cadena con un gancho para suspender la plomada. El instrumento se monta en un tripié atornillando el plato de base en la cabeza del tripié. Las partes principales del tripié son la plataforma, el sistema de unión con el aparato y los pies. Usos del tránsito

Debido a la gran variedad de usos que se le dan, el tránsito es el aparato universal para la topografía. El tránsito puede emplearse para: a)

Medir ángulos horizontales y verticales.

b)

Trazar ángulos horizontales y verticales. Medir distancias. Determinar diferencias de elevación. Medir direcciones, y Trazar y prolongar líneas.

c) d)

e) f)

Condiciones que debe satisfacer un tránsito para su buen funcionamiento. Revisión y ajustes

1. Las directrices de los niveles del limbo horizontal deben ser perpendiculares al eje azimutal cuando las burbujas estén en el centro. Revisión: Con el movimiento general póngase uno de los niveles en la dirección de dos de los tornillos diametrales de la plataforma para nivelar (Fig. NI? 52).

Fíjese el movimiento general y valiéndose de los tomillos niveladores a,a, llévese al centro la burbuja del nivel. Aflójese el tornillo de pres;~;, r!~1 movimiento particular y gírese el anteojo 180 0 , fijando dicho movimiento. Si la burbuja del nivel queda en el centro después de este giro, en esta nueva posición, el nivel está correcto, pero si se desvía la burbuja se procede a corregirlo.

Planimetría

93

Ajuste: Corríjase la mitad del error por medio de los tornillos de calavera de que están provistos los niveles. La otra mitad se corrige con los tornillos niveladores. Nunca se corrigen los niveles con una sola operación y hay que repetirla tantas veces cuantas sea necesario hasta tener la seguridad de que el nivel está correcto. nivel

r

\

I

a,a,b,b,

~

direcciones paralelas

tomillos niveladores Figura 52

2. El hilo vertical de la retícula debe estar en un plano perpendicular al eje horizontal. Revisión: A una distancia de 60 m de donde se tiene el tránsito, colóquese la plomada sumergida en un recipiente que contenga agua o aceite, para evitar las oscilaciones que produce el viento. Hágase coincidir el cruzamiento central de los hilos de la retícula con el hilo de la plomada y obsérvese si el hilo vertical se confunde con el de la plomada. Si esto acontece el hilo vertical está correcto; pero si no sucede así, el hilo requiere corrección.

Ajuste: Aflójense dos tomillos de ca1avera contiguos. Imprímase un giro a la retícula hasta que coincida el hilo vertical en toda su longitud con el hilo de la plomada. Una vez lograda la coincidencia del hilo vertical y la plomada, apriétense los mismos dos tomillos de calavera.

94

Curso básico de topografía

3. La línea de colimación del anteojo debe ser perpendicular al ele horizontal. Revisión:

Nivélese el instrumento. VÍsese un punto A (Fig. NQ 53) a una distancia de 150 m aproximadamente, con el anteojo en posición directa y fíjense los movimientos particular y general del instrumento.

2a posición

"B I I

A. 150 m apr'jf. \

(

~, '

•I ••• --~---- --------'-.-:...,---1-, ......... -.... ' -.. , -.. -........... -- - --.. .;. D

...

..... -

- --

.

- --...... e -

I

I

Figura 58

Dése vuelta de campana al anteojo, quedando éste en poslclon inversa y colóquese otro punto B en la línea de colimación y aproximadamente a la misma distancia en el lado opuesto del tránsito. Aflójese el movimiento general e inviértanse los extremos del anteojo, haciéndolo girar alrededor del eje azimutal, y vÍsese otra vez A. Fíjese el movimiento general y dése vuelta de campana al anteojo; si la línea de colimación cae en B el aparato está correcto; en caso contrario se procede a corregirlo. Ajuste:

Colóquese un punto e en la línea de colimación cerca de B. Márquese otro punto D, a la cuarta parte de la distancia de e a B. Ajústese el anillo de la retícula, por medio de los dos tornillos horizontales opuestos, hasta que la línea de colimación pase por D. Repítase la operación hasta tener la seguridad de que está correcto. Los puntos visados deberán estar aproximadamente a la misma altura que el instrumento. (Fig. NQ 54.)

Planimetría

-----

t-

----~-:::-_--

95

---- - ------

J

150 m aprox.

r

Figura 54

4. El eje horizontal o eje de alturas debe ser perpendicular al eje vertical o eje azimutal. Revisión: Colóquese el tránsito cerca de un poste, pared de un edificio o alguna otra construcción que tenga un punto A perfectamente bien definido y que para visado, el anteojo deba formar con la horizontal un ángulo vertical mayor de 45 o (Fig. N
Figura 55

96

Curso básico de iopografía

Imprímase un giro hacia abajo al anteojo y fíjese el punto B sobre la parte baja del muro o poste o bien sobre el suelo, según convenga. Dése vueita de campana al anteojo e inviértanse sus extremos haciéndolo girar alrededor del eje vertical y vísese otra vez A. Inclínese hacia abajo el anteojo hasta visar el punto B. Si esto ocurre el aparato está correcto; de no ser así debe ajustarse. Ajuste:

Márquese el punto

e

que indica la línea de colimación, junto a B.

Mídase la distancia que hay entre B y e, y a la mitad márquese otro punto D, que quedará en el mismo plano vertical que A. Vísese el punto D y elévese el anteojo hasta que la línea de colimación quede cerca de A. . Aflójense los dos tomillos que sujetan la tapa del cojinete; y súbase o bájese el apoyo del eje horizontal, opuesto al círculo vertical, con el tomillo de corrección que tiene para el objeto, hasta que la línea de colimación quede en el mismo plano vertical que A. Repítase la operación para su comprobación. VERNIER La lectura de ángulos horizontales y verticales, sobre los círculos graduados se hace con vernier para aumentar la aproximación que tienen las graduaciones. Para medir los ángulos horizontales, los tránsitos en su mayoría están provistos de dos verniers colocados a 180 0 uno de otro, y que se mueven junto con el anteojo. Definición del vernier

"El vernier es una pequeña placa dividida independientemente del limbo y en contacto con él y que tiene por objeto apreciar fracciones del menor espacio en que está dividido el limbo." Teoría del vernier

El . fundamento del vernier es dividir la extensión ocupada por un número Un" de divisiones del limbo en un número "n + 1" partes en que se divide el vernier. La extensión que ocupan las un" divisiones del limbo es igual a la extensión ocupada por las "n + 1" divisiones del vernier.

Planimetría

97

Si s~ tiene un arco dividido en Un" partes, se puede sobreponerle otro concéntrico a aquél, pero dividido en "n + 1" partes. El primer arco formará parte de la circunferencia del limbo; el segundo arco es el vernier (Fig. NQ 56). I

I

r-

-1

"tI

I VE"N/E" 50

20

A

10

i H11111 II,I\I\I\I//I!IU ¡1111~~\rr I I

o

10

"

~

L/M.O

I

~\

Figura 56

Si ~ designa por D el valor de la menor división del limbo, y por d el de una del vernier, el arco MN expresado en divisiones del limbo, tiene por valor: (1)

MN = Dn

y, en divisiones del vernier, vale:

=

MN

d(n

+ 1)

(2)

Comparando las igualdades (1) Y (2), se halla: Dn

=

d(n

+

(3)

1)

Se llama aproximaclOn del instrumento la menor fracción del limbo que se puede apreciar por medio del vernier, y es igual a la diferencia que existe entre el valor de la menor división del limbo y el de una división del vernier. Designánriola por a, se tiene:

(4)

a=D - d

sustituyendo ahora (4) en (3), se encuentra:

+

1)

1) - a(n

+

Dn = (D - a) (n

y efectuando operaciones: Dn 7

=

D(n

+

1)

Curso básico de topografía

98

a(n a=

+ 1)

= D(n

+ 1)

-: Dn = Dn

+D

- Dn

a = aproximación del vernier. D = valor de la menor división del limbo. n + 1 número de divisiones del vernier.

D

=

Por tanto, Para conocer la aproximaclOn que da el vernier, dividas~ el valor de la menor división del limbo, expresada en minutos o segundos, entre el número de divisiones del vernier. EJ'EMPLOS

1. El limbo horizontal de un tránsito está dividido en medios grados y el número de divisiones del vernier es 30. ¿Cuál es la aproximación del aparato? DATOS:

D

n

+

= -1°2 = 30'

1 = 30 SOLUCIÓN

a

=

30' .. = 30

D

= l'

a

= l'

2. El valor de la última división del limbo horiwntal de un tránsito es de 20' y el número de divisiones del vernier, 60. ¿Qué aproximación tiene el instrumento? DATOS:

D = 20'

n

+1=

60 SOLUCIÓN

D

a

=n+

1

=

20' 60

=

20' X 60" 60

a

= 20"

= 20"

I

Planimetría

99

Lectura del vernier

En casi todos los tránsitos la graduación del limbo horizontal va en 'os dos sentidos y contada de 0 ° a 360°. El vernier también es doble para poder hacer las lecturas en uno u otro sentido y tiene su cero en el centro. El cero del vernier marca siempre el punto en el limbo cuya lectura quiere hacerse. Para obtener el valor de la lectura, léase primero sobre el limbo, en la dirección de la graduación, los números enteros que se encuentren antes d:! llegar al cero del vernier. En seguida, léase el valor de la fracción sobre el vernier, contando el número de divisiones que haya desde el cero hasta que se encuentre la coincidencia de una división del vernier con una división del limbo. Las dos lecturas, tanto la del limbo como la del vernier deben hacerse en la misma dirección y deben sumarse para obtener el valor total. (Fig. NQ 57.)

LIMBO

Lectura en el limbo = 252 °30' Lectura en el vernier = 11 ' Lectura total = 252°41' Figura 57

Medida de ángulos

La medida de los ángulos puede ser: simple, por repeticiones, o por reiteraciones. Medida simple

Supongamos que desde el vértice e de la figura NQ 58; se mide el ángulo ACR. El procedimiento es el siguiente:

100

Curso básico de topografía

Pónganse en coincidencia el cero del limbo horizontal con el cero del vernier y fíjese el movimiento particular. Valiéndose del movimiento general, vísese el punto A, haciendo coincidir el centro de la retícula con el pulito A, Y fíjese el movimiento general. Aflójese el tornillo de presión del movimiento particular y •diríjase el anteojo al punto B, haciendo coincidir dicho punto con el centro de la retícula. Hágase la lectura del ángulo en el vernier. A

e

,

•B

y

Figura 58

Medida por repeticiones

Tiene por objeto obtener el valor de un ángulo lo más aproximado posible a su valor verdadero, que no puede dar directamente el instrumento debido a su escasa aproximación. Este método consiste en medir el ángulo varias veces pero acumulando las lecturas, de esta manera las pequeñas fracciones que no se pueden leer con una lectura simple por ser menores que la aproximación del vernier, al acumularse pueden ya dar uría fracción que sí se puede leer con el vernier. Para repetir un ángulo, como ACB, con el tránsito en C se mide el valor sencillo del ángulo como se describió anteriormente. No se mueve la posición del vernier y con el movimiento general se vuelve a visar el punto A. (Fig. NQ 59.) En seguida, con el movimiento particular se dirige el anteojo al punto B; y el ángulo ahora se ha duplicado. De esta manera se continúa el proceso, hasta que el ángulo se ha multiplicado el número de veces requerido. El valor del ángulo repetido se determina dividiendo la diferencia entre las lecturas inicial y final por el número de veces que se repitió el ángulo. Si la lectura inicial es 0 °00', el valor del ángulo se obtendrá dividiendo la última lectura entre el número de repeticiones.

Planimetría

e

~_---'l"""";¡L...:L.....

____

101

B

FlgtU'& 59

EJEMPLO

Supongamos que el ángulo ACB (Fig. NQ 59) tenga un valor verdadero de 30°15'23" Y que se tiene que medir con un tránsito cuya aproximación es de l' . No será posible hacer la apreciación de los 23" con el instrumento, con el cual sólo se leerá 30°15'; pero si una vez hecha la primera lectura, se hace una nueva acumulando la anterior, la amplitud recorrida por el limbo habrá sido de 60°30'46", por consiguiente, el limbo permitirá leer 60°31', lo que dará para el ángulo un valor de 30°15'30", aproximado al verdadero. Ahora bien, si a las dos lecturas anteriores les acumulamos una tercera lectura, la amplitud recorrida por el limbo será de 90°46'09", y la lectura apreciable con el instrumento será de 90° 46'. En este caso, el valor del ángulo, repetido 3 veces, se obtendrá tomando la tercera parte de la última lectura: Entonces: 90°46' valor ángulo repetido = 3 = 30°15'20" que se aproxima más al valor verdadero. La precisión aumenta directamente con el número de repeticiones hasta 6 u 8; más allá de este número, la precisión no aumenta apreciablemente,

102

Cuno básico de topografía

debido a los errores accidentales, así como a los ocasionados por las coincidencias imperfectas de la línea de colimación. Medida por reiteraciones

Los ángulos se determinan, con este método, por diferencias de direcciones. El origen de las direcciones puede ser la línea N-S o una línea cualquiera. . Si desde la estación A se tienen que observar los vértices 1, 2, 3, 4 (Fig. N~ 60), se dirigirá primero la visual al extremo de la línea escogida como origen de las direcciones. Supongamos que la línea A - 1 sea el origen de las direcciones; una vez visado el punto 1, con uno de los vemiers marcando 0°, se fijará el movimiento general y con el particular se continuará la observación de los puntos 2, 3 Y 4, haciendo en cada caso la lectura de los dos verniers, y después de haber completado la vuelta de horizonte, se volverá a visar el punto inici¡¡l para verificar si no sufrió algún movimiento el instrumento durante la observación. Es conveniente tomar tantos orígenes como líneas concurran a la estación, de manera que en el ejemplo propuesto, se tomaría en seguida como origen la línea A - 2, Y después la línea A - 3. Los valores de los ángulos 1 - A - 2, 2 - A - 3, 3 - A - 4, 4 - A - 1 se obtienen por düerencias entre los ángulos observados alrededor del vértice A; Y el valor más probable de cada ángulo será el promedio de los valores obtenidos. Este método de observación se emplea cuando hay que medir varios ángulos alrededor de un punto. 1

2

4 .n"r"tJ.lJ~

~

Figura. 60

Planimetría

103

Cuando se mide sólo un ángulo se va cambiando la lectura de origen alrededor de toda la graduación, tantas veces como reiteraciones se vayan a hacer. Así, por ejemplo, si se van a efectuar 4 reiteraciones, los orígenes para medir serán: 0°, 90°, 180°, 270° Y de esta manera disminuirá la influencia de los errores que pueda tener la graduación del limbo horizontal. CENTRAR EL TRÁNSITO es hacer coincidir el hilo de la plomada suspen-. dida del aparato con la vertical que pasa por el punto marcado en la cabeza de la estaca que señala el vértice del polígono. NIVELAR EL TRÁNSITO es colocar el limbo horizontal en un plano realmente horizontal. Esto se logra centrando las burbujas de los niveles perpendiculares entre sí, montados uno sobre la caja y otro sobre uno de los soportes del anteojo, por medio de los tornillos niveladores. ORIENTAR EL TRÁNSITO es colocarlo de manera que cuando estén en coincidencia los ceros del limbo horizontal y su vernier, el eje del anteojo esté en el plano del meridiano (magnético o astronómico) y apuntando al Norte. Métodos de levantamiento con tránsito y cinta

Se emplean los siguientes métodos: Medida directa de ángulos. Deflexiones, y Conservación de azimutes. Método de medida directa de ángulos

Consiste este método en medir en todos los vértices del polígono los ángulos que forman los dos lados que concurren al vértice de observación. Se toman los ángulos interiores cuando se recorre el perímetro del polígono en sentido contrario del movimiento de las manecillas del reloj y se miden los ángulos exteriores cuando el recorrido se hace en el sentido de dicho movimiento. Este método se emplea preferentemente en el levantamiento de poligonales cerradas. Trabajo de campo

Comprende las operaciones siguientes: 1. Reconocimiento · del terreno. 2. Materialización de .Jos vértices del polígono. 3. Dibujo del croquis de la zona que se va a levantar, en la libreta de campo. A\ 4. Orientación magnética ( o astronómica) de un lado de la poligonal, generalmente el primero.

104

Curso básico de topografía

5. Levantamiento del perímetro, midiendo los ángulos (interiores o exteriores) y las longitudes de los lados y tomando también los rumbos magnéticos de los lados. 6. Levantamiento de detalles. Los datos recogidos en el levantamiento se anotan en forma clara y ordenada en el registro de campo, como se indica en el ejemplo siguiente: REGISTRO DE CAMPO 8 Levantamiento con tránsito de l' y cinta de acero de 50 m, por el método de medida directa de ángulos

Lomas de Sotelo, D. F. U-ABR-76 Levantó: Simón Villar A.

Est.

P.V.

Distancias

B

R.M.O.

O

1

241.00

N 12"30' W

1

2

231.00

2

3

245.90

3

4

248.40

4

O

258.30

97°08' 194° 16' 116°42' 233 °25' 110°50' 221°40' 100°35' 201 °10' 114°47' 229°33'

-e- =

círculo horizontal.

Orientaci6n magnética

CROQUIS y NOTAS N

N 76°00' W S 35°00' W S 44°30' E

N 70°00' E Az 0-1::::1: 347 0 22'

R .M.O . = rumbo magnético obserVado.

.,.,,,r,,

";1 ~#

La orientación magnética tiene por objeto conocer el azimut de una línea. Supongamos que se desea orientar el lado 0--=--1 de la poligonal que se muestra en el registro 8. Para determinar el azimut magnético del lado O - 1, se procede de la manera siguiente: Se centra y se nivela el instrumento en la estación O. Se ponen en coincidencia los ceros del limbo horizontal y su vernier y se fija el movimiento particular. 3. Se deja en libertad la aguja de la brújula y con el movimiento general se hacen coincidir la aguja de la brújula y la línea N-S, marcada en el círculo graduado de la misma, fijando el movimiento general. 4. Se afloja el movimiento particular y se visa el vértice 1. La lectura hecha en el limbo será el azimut magnético del lado O - 1, puesto que cuando el anteojo apuntaba al norte magnético, el índice del vernier señalaba 0°00'. 1. 2.

Planimetría

105

Medida d. los ángulos

En cada estaci6n: 1. Centrado y nivelado el instrumento se ponen en coincidencia los ceros del limbo horizontal y su vernier y se fija el movimiento particular. 2. Con el movimiento general se dirige el anteojo a visar el vértice de atrás y se fija dicho movimiento. 3. Por medio del movimiento particular, se imprime un giro al anteojo, en el sentido de: movimiento de las manecillas del reloj, para visar el vértice de adelante y se hace la lectura del ángulo horizontal que se anota en el registro. Comprobaci6n del ángulo medido

4. A continuación, con el movimiento general se vuelve a visar el vértice de atrás y se verifica la lectura con el objeto de cerciorarse de que no se ha movido, fijando el movimiento general. 5. Por último, con el movimiento particular se vuelve a visar el vértice de adelante, efectuando la lectura del ángulo horizontal que deberá ser el doble de la obtenida en la primera operación o cuando más con un minuto de diferencia, lo que es tolerable porque significa que el valor del ángulo leído es con mayor probabilidad un ángulo de 30" más grande o más pequeño que el primero. Si hay una diferencia mayor de un minuto se hace de nuevo la medida del ángulo desde el principio. LA COMPROBACIÓN DEL ÁNGULO MEDIDO también puede efectuarse de la manera siguiente; después de realizadas las operaciones indicadas en los puntos 1, 2 y 3, continúe con: 4. Se da vuelta de campana al anteojo y queda éste en posición inversa. 5. Se afloja el movimiento general y se lleva el anteojo a visar el vértice de atrás y se fija dicho movimiento. 6. Con el movimiento particular se hace girar el anteojo hasta visar el vértice de adelante, fijando el movimiento particular. La lectura del ángulo horizontal debe ser el doble de la primera o diferirá en un minuto. Esta lectura se anota también en el registro de campo. Una vez medido el ángulo horizontal y comprobado éste con el doble ángulo, se mide la distancia de la estación al vértice de adelante y, en la brújula del tránsito, se toma el rumbo magnético del lado del polígono, determinado por la estación y el vértice de adelante. Estos datos se anotan en el registro de campo.

106

Curso básico de topografía

Condición geométrica que debe satisfacer un polígono levantado por el método de medida directa de ángulos

Si el recorrido de la poligonal cerrada se hace en sentido contrario del movimiento de las manecillas del reloj, se toman los ángulos interiores (Fig. NI? 61).

4

ángulos interiores

o

2

.OUfU,,),1

,#

~

Figura 61

I~

ángs. ints'= 180 0 (n - 2)

I

CD

Cuando la poligonal se recorre en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, se miden los ángulos exteriores (Fig. NI? 62) . En las fórmulas CD y 0 , n es el número de lados de la poligonal. Comprobación de cierre angular

En el campo, al terminar el levantamiento se determina el error angular comparando la suma de los ángulos observados con la suma que, para la poligonal levantada, da la condición geométrica.

Planimetría

107

sentido del recorrido

ángulos exteriores

~

ángs. exts=1800(n+2) Figura 62

Esto es: EA =

~

ángs. obs. - 180 0 (n - 2)

\ ~i se miden ángulos interiores

~

ángs. obs. - 180 0 (n + 2)

Isi

o bien: EA =

se toman ángulos exteriores.

La tolerancia angular se calcula aplicando la fórmula: TA =

+avn

en la cual: T A = tolerancia angular.

a = aproximación del aparato. n = número de vértices del polígono.

®

108

Curso bós;co de topogroflo

Si el error angular es menor o igual que la tolerancia, el trabajo se ejecutó correctamente; en caso contrario se repite el levantamiento. EJEMPLO

En el levantamiento de un polígono, con tránsito de l' Y cinta de acero, por el método de medida directa de ángulos, la suma de los ángulos observados fue: 540°02'; n = 5. - Determine el error angular. - Calcule la tolerancia angular, y - Concluya si se acepta el resultado o debe repetirse el trabajo. SOLUCIÓN

EA = ~ ángs. obs. - 180 0 (n - 2) = 540°02' - 180°(3) T A = +a"'¡n= +1' ...¡ 5 +2' EA = T A , por tanto, se acepta el resultado.

+2'

,,'I(U'1f,).1 J~

.5

Trabajo de gabinete

Se entiende por trabajo de gabinete, la ordenación de los datos tomados en el campo y los cálculos que con ellos se ejecutan, con objeto de obtener los elementos necesarios para construir el plano. Todos estos elementos se anotan en una hoja de papel con rayado especial que se denomina planilla de qálculo. Las operaciones se ejecutan en el orden siguiente: l.

Compensación angular del polígono.

Esta operación consiste en distribuir entre todos los ángulos del polígono, el error angular encontrado, siempre que éste se encuentre dentro de los límites de tolerancia. La corrección angular puede efectuarse de dos maneras: Distribuyendo el error por partes iguales en los ángulos compren':' didos entre lados más pequeños, con objeto de que el cierre lineal no sea muy grande, o b) Aplicando la corrección a un ángulo cada cierto número n' de estaciones, para no tener que llevar en cuenta fracciones de minuto y tomar como corrección mínima -la aproximación del vernier. a)

En este caso:

n TI' = EA

Planimetría

109

siendo n el número total de vértices o estaciones del polígono y EA el error angular. EJEMPLO

Ejecutar la compensación angular de un polígono, levantado con tránsito de l' Y cinta de acero, por el método de medida directa de ángulos con los siguientes datos: DATOS LADOS P.V. Est. A

B

B

C D E

C D E

F G

F G

H 1 A

H 1 SUMAS :

Angulos observados 57°11' 90°00' 117°12' 216°04' 125°04' 180°01' 75°00' 222"07' 177°24' 1260°03'

SOLUCION C

--

Angulos compensados 57°11' 90°00' 117°11' 216°04' 125°04' 180°00' 75°00' 222°07' 177°23' 1260°00'

-1' -1'

o- V

--

SOLUCIÓN

1.

Se determina el error angular EA:

EA =

~

ángS. obs. - 1800 (n - 2)

EA = 1260°03' - 180° (9 - 2) EA = 1260°03' - 1260°00'

2.

=

+3'

Se calcula la tolerancia angular T A:

TA

= -+av n = -+1' v9 = -+3'

4. Se ejecuta la compensación angular, porque el error angular encontrado no rebasa la tolerancia establecida.

110

Curso básico de topografía

Para determinar los ángulos que se corregirán, se calcula n':

, _ n _ 9 _ 3' n - ---EA 3 ' este cociente indica que la corrección angular se aplicará cada 3 estaciones. En este caso se corregirán los ángulos observados en las estaciones e, F e J. La corrección angular e se aplica con signo contrario al error angular EA' Una vez efectuad~ la compensación angular el polígono queda como una figura angularmente correcta.

2.

Cálculo de los azimutes de los lados del polígono.

Sea la poligonal 0- 1 - 2 - 3 -, ... , Az 0- 1 = azimut del primer lado determinado en forma magnética o astronómica; ,IX, {3, 'y, .. . , ángulos horizontales observados en las estaciones 1, 2, 3, . . . (Fig. N
jAZ 0-1

r"

<>,-_1

N

+-.. . . .

. ~/ \

N

AZ2-3

\ J

' . . J_/

I

1

1180° 1

"

I

\ 2 "

I -

..

- I - .....

1 180 °

.

I ..... "t':

""- .... 4

18()'o-.J.-.... ,.7 ........ 1

J

.'"turuJ;II~

Figura 63

.5

En la figura anterior se observa: Az 1 - 2 = Az 0 - 1

+ 180 + a

=

+ 180 + {3

Az 2 - 3

Az 1 - 2

Az 3 - 4 = Az 2 - 3

0

0

+

180 0

+y

(1)

Planimetría

111

pero:

+ 180° = Az. 2 + 180° = Az. 3 + 180° = Az.

Az O - 1

inv O - 1

Az 1 -

inv 1 - 2

Az 2 -

(2)

inv 2 - 3

y, sustituyendo (2) en (1), se encuentra: mv O - 1

+a

Az. inv 1 - 2

+13

Az 3 - 4 = Az. inv 2 - 3

+y

Az 1 - 2

= Az.

Az 2 - 3

=

(3)

a = ángulo horizontal medido en la estación 1.

13 = ángulo horizontal medido en la escación 2. y = ángulo horizontal medido en la estación 3.

Los re:mltados obtenidos (3), permiten establecer la siguiente regla:

"El azimut de un lado cualquiera de una poligonal se obtiene sumando al azimut inverso del lado anterior el ángulo horizontal tomado en la estación que es origen del lado cuyo azimut se busca." Est.l regla se puede expresar por medío de la fórmula: ___

Az Be

= Az.

__

A

inv. AB

+B

EJEMPLO

Dados el azimut del primer lado de una poligonal y los ángulos compensados (interiores o exteriores), calcular los azimutes de los demás lados. DATOS Lados Est.

P.v.

A

B

e

B

e

D

D

E A

E SUMA:

Angulos compensados

119°08' 116°33' 40°24' 224°42' 39 °13' 540°00'

Azimutes

261 °09'

112

Curso básico de topografía

El cálculo se facilita disponiéndolo de la manera siguiente:

=

261 °09' - 180°00' 81 °09' Az. inv. AB = 116°33' I+ B= Az. AB

----

.1"1"""J.I ~~

Az. BC =

197°42' - 180°00' Az. inv. BC = 17 °42' +C=

40°24'

Az. CD =

58°06'

+

A:z.. inv. CD

=

+D=

-5

Las operaciones aritméticas se comprueban calculando el azimut del lado de partida.

0

180 ()()' 238°06'

224°42' -462-0 48T

> 360°

- 360° Az. DE = -f02°48'

+

Az. inv. DE = ~2°48' +E=

39° 13'

Az. EA =

322°01' - 180°00'

Az. ¡nv. EA

=-

142°{flT

+A=

119°08'

Az. AB =

261 °09'

3.

SOLUCIÓN

180 0 ()()' Lados Est.

P.V.

A

B C D E

Azimutes

!

•

B C D E

A

197°42' 58 °06' 102°48' 322°01'

I

Transformación de azimutes a rumbos.

Esta operación se ejecuta en la forma expuesta anteriormente (Levantamientos con brújula y cinta). 4.

Cálculo de proyecciones de los lados del polígono.

En topografía se llaman proyecciones de un lado del polígono a los catetos de un triángulo rectángulo formado por una vertical que parte de la estación hasta encontrar a la horizontal que parte del punto visado.

Planimetría

113

En la recta AB (Fig. NQ 64), A, es la estación y B el punto Visado. La vertical que parte de la estación les A e y la horizontal que parte del punto visado hasta encontrar a la vertical es Be y ambas rectas, AC y Be, son las proyecciones de la recta AB. Si la proyección vertical va hacia el Norte, tiene signo positivo y se designa con la letra N; y si va hacia el Sur, su signo es negativo y se designa con la letra S. La proyección horizontal tiene signo positivo si va hacia el Este y negativo si va al Oeste, designándose por las letras E o W, respectivamente. Las proyecciones verticales se designan de una manera general con la letra y, y las proyecciones horizontales con la x. En el triángulo rectángulo formado por el lado del polígono y sus dos proyecciones, el rumbo es el ángulo del triángulo que corresponde a la estación. N

tI I

I I

eI x---+E - - - - - --+-..,..--...;....~ B 90° Y Rbo

A Figura 64

AC = y = proyección vertical del lado AB Be = x = proyección horizontal del lado AB AB = L = lado del polígono LA = Rbo. = rumbo del lado AB Por trigonometría, en el triángulo rectángulo ABe, se tiene:

x = L sen Rbo

(1)

y=LcosRbo

(2)

Las fórmulas (1) y (2) son las que se usan para el cálculo de las proyecciones. El cálculo de ellas se ejecuta de tres maneras distintas: 8

114

Curso básico de topografía

Por logaritmos. b) Por funciones naturales, y e) Por tablas de coordenadas.

a)

.'-tu('"4;1 ~~

~

EJEMPLO

Calcular las proyecciones de los lados de un polígono, dad'as las longitudes y rumbos de los lados. SOLUCIÓN DATOS:

~

Lados Est. P.V. Distancias

-O 1 2 3 4

1 2 3 4 O

______________

23.24 23.82 22.32 25.29 22.04

E

S 56°14'E S 66°26' W S 52"32' W N 2"13' E N 60°48' E

19.32

______________

Proyecciones W N

I Rumbos

~A~

S 12.92 9.52 13.58

21.83 17.72 0.98 19.24

~

25.27 10.75

SOLUCIÓN

a) Por logaritmos. se halla:

Aplicando logaritmos a las igualdades (1) y (2),

log x = log L log y = log L

+ log + log

sen Rbo

( 1')

cos Rbo

(2')

Cuando las proyecciones se calculan por logaritmos el cálculo se dispone como se indica a continuación: DATOS:

L

=

23.24 m

Roo = S 56°14' E En las tablas de logaritmos: log sen Roo = 9.919762 log cos Rbo = 9.744928 log L = 1.366236

x = 19.32E log x = 1.285998 log sen Roo = 9~9T9762 log L = 1.366236 } log cos Roo = 9.744928 log Y = rrrfI64 y = 12.92 S

}++

Planimetría

115

De la misma manera se obtienen las proyecciones de los otros lados.

x=

21.83 W log x = 1.339120 log sen Roo = 9.962178 log L = 1.376942 log cos Roo . 9.601860 log Y = 0.978802 y= 9.52 S

17.72W 1.248354 9.899660 1.348694 9.784118 1.132812 13.58 S

19.24 E 1.284187 9.940975 1.343212 9.688295 1.031507 10.75 N

0.98 E 9.990418 8.587469 1.402949 9.999675 1.402624 25.27 N

b) Por funciones naturales. El cálculo por funciones naturales de las proyecciones de los lados del polígono, se reduce a buscar en la tabla de líneas naturales el valor del seno y del coseno del rumbo y multiplicarlo por la longitud del lado. •

Jr, rr#.UH."

Pruyecciones

Lados

{x = 23.24 sen 56°14' = 23.24 (0 . 83131) = 19.32E cos " = " (0.55581) = 12.92 S 1 -:. 2 {x = 23.82 sen 66°26' 23.82 (0.91660) 21.83 W y = " cos " = " (0.39982) = 9 . 52S 2 _ 3 {x = 22.32 sen 52°32' 22.32 (0.79371) = 17.72 W y= " cos " = " (0.60830)=13.58S

0-1

Y =

"

=

=

=

3_4{X=25.29 sen Y= " cos

4 _ O

2°13'=25.29(0.03868)= 0.98E " = " (0.99925) = 25 . 27 N

{xy== 22.04 sen 60°48' " cos "

= 22 . 04 (0 . 87292) = 19.24E =

"

(0.48786)=10 . 75N

c) Por tablas de coordenadas. Las tablas de coordenadas están construidas para evitar el trabajo de la multiplicación que se ejecuta con las fórmulas antes expresadas usando funciones naturales. 5. Determinación de los errores Ex y By. Una vez calculadas las proyecciones de los lados del polígono, se suman las proyecciones E, W, .

Ny~

La diferencia entre las sumas de las proyecciones E y W es el error de las "x" y se designa por E",. La diferencia entre las sumas de las proyecciones N y S es el error de las "y" y se designa por Ej}. E", = ¡ proy. E - ¡ proy. W E1I = ¡ proy. N - ¡ proy. S

116

Curso básico de topografía

Ahora bien, si se designan de una manera general con la letra x las proyecciones horizontales y con la y las proyecciones verticales, las igualdades anteriores pueden expresarse como sigue:

E.,

= ¡Xg

-

(1)

¡XIV

EfI = ¡YN - ¡Ys

(2)

6. Cálculo del error de cierre lineal (EL)' Si se hace coincidir la estación inicial O del polígono con el origen del sistema de coordenadas rectangulares (Fig. NQ 65), los errores E", y El! son las coordenadas del

y

.. O' (Ex,Ey)

I

E:~lllllll

Ey X

.I-¡U('Ir,.hl #~

.5

Figura. 65

punto de llegada O' que, por los errores cometidos durante el levantamiento, no coincide con el punto de partida O. La distancia 00' es el error de cierre lineal y se designa por EL. En la figura NQ 65 se ve que la distancia 00' es la hIpotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son E z Y E y , por tanto, el valor del error de cierre lineal s~ encuentra aplicando el Teorema de Pitágoras. EL

= Vf:2 + E2 '"

ti

7. Cálculo de la tolerancia lineal (TL)' La tolerancia en el cierre lineal de un polígono levantado con tránsito y cinta, se calcula con las fórmulas siguientes:

Planimetría Orden del levantamiento

117

Tolerancias

PRECISO

TL =

V P(O.Ooo 000 011P + 0.000 02)

PRIMERO

TL

V P(O.OOO 000 045P + 0.000 08)

SEGUNOO

TL =

V P(O.OOO 000 l8P + 0.0002)

TERCERO

TL =

V P(O.OOO 000 40P + 0.0005)

-

I

T L = tolerancia lineal, en metros P = desarrollo de la poligonal, en metros y en la práctica, pueden emplearse las fórmulas: Orden

Tolerancias

PRECISO

TL

PRIMERO

TL

SEGUNDO

TL

TERCERO

TL

= PilO 000 = PI5 000 = P/3 000 = P/1 000

8. Cálculo de la precisi6n P. La' precisión o error relativo se calcula dividiendo el error de cierre lineal EL por el perímetro del polígono ¡L:

P= EL

¡L

1 P=¡L EL

o bien :

Precisi6n

1

TAQUIMÉTRICA

1000 1

BUENA:

3000

a

1

5000

1 MUY BUENA:

10000

9. Compensaci6n lineal del polígono. Si el error de cierre lineal EL es menor o igual que la tolerancia lineal T L, se puede hacer la compensación lineal del polígono. En los levantamientos con tránsito y cinta se supone que los errores E:r y E y de las proyecciones son proporcionales a

118

Curso básico de topografía

sus valores absolutos. Para la corrección lineal del polígono, se calculan primero los factores unitarios de corrección K,e y K y, o sean las 'correcciones por metro:

K., =

.,.,U,.I',};I ~~

~Xg

E~

+ ~xw

.5 y

K =

EII

~YN + ~Ys

error de las "x" = E y = error de las "y" = E.,

=

+ ~xw = ~YN + ~Ys = ~XE

~Xg ~YN

~xw

- ~Ys

suma aritmética de las '¡x" (E y W) suma aritmética de las "y" (N Y S)

En seguida se calculan las correcciones que deben aplicarse a las proyecciones. Las correcciones xI, x 2 , Xa, ... , x,., así como YI, Y2, Ya, ... , Y.. , se obtienen multiplicando las proyecciones de los lados del polígono, por los factores unitarios de corrección correspondientes. Los signos de las correcciones se aplican tomando en consideración las sumas de las proyecciones E y W o N Y S. Para la compensación de las abscisas, la corrección se resta a las proyecciones cuya suma sea mayor y se agrega a aquéllas que corresponden a la suma menor, así se igualan ambas sumas, las de las proyecciones E y W, y se distribuye el error E.,. De igual manera se procede para compensar las ordenadas. Como resultado de la compensación lineal del polígono, las sumas de las proyecciones corregidas cumplirán las condiciones siguientes: ~Xg =~xw

~YN =~Ys

EJEMPLO

Efectuar la compensación lineal de una poligonal cerrada, levantada con tránsito y dnta 4;On los datos del registro siguiente:

Planimetría PLANILLA DE CALCULO Proyecciones sin corregir

Lados Est.

--

P.V.

Distancias

1 2 3 4

112.00 139.80 139.60 148.10 132.00 671.50

O

1 2 3 4

O

Rumbos N S S S N

-w

+E

47°57' E 79°20' E 7°47' W 78°15' W 25°21' W

83.17 137.40

SUMAS:

220.57

-s

+N 75.02

18.91 145.00 56.52 220.43

25.88 138.30 30.16 119.30 194.32

194.34

SOLUCIÓN

a)

b)

Determinación de los errores Ex y E,,:

= ¡XE

Ey

= ¡YN -

= V E2z

¡Ys

= 220.57 = 194.32 -

220.43 194.34

= =

+0.14 -0.02

ID ID

+ E2y

= V (+0.14)2

+ (-0.02)2 · 0.14

ID

Cálculo de los factores unitarios de corrección Kx Y Ky :

Ky d)

- ¡xw

Cálculo del error de cierre lineal EL:

EL e)

Ez

=

EII ¡YN + ¡Ys

=

0.14 441.00

=.

0000

0.02 388.66

= 0.00005

32

Cálculo de las correcciones: XO- l .

Xl- :2

x

X :2-3 X3--4

X4-0

4"

83 .17 X 0.00032 = 0.026....:... 0.03 = 137.40 X " = 0.043....:... 0.04 = 18.91 X " = 0.006· O = 145.00 X " = 0.046....:... 0.05 = 56.52 X " = 0.018....:... 0.02 0.14 = E z =

/ t I lY'#JNI."

YO~l =

y

75.02 X 0.00005 = 0.003....:... O Y1-:2 = 25.88 X " = 0.001....:... 0 , Y:2-3 = 138.30 X " = 0.006....:... 0.01 Y 3-4 = 30.16 X " = 0.001· O h-o = 119.30 X " = 0.005 ....:... 0.01 0.02

= Ey

119

120

Curso básico de topografía

Como: ~XE > ~xw, la corrección se . aplicará con signo - a las proyecciones E y con signo + a las proyecciones W. Por lo que atañe a la compensación de las "y", en virtud de que: ~YN < ~Ys, la corrección se agregará a las proyecciones N y se "restará a las proyecciones S.

Cálculo de las proyecciones corregidas:

e)

Las proyecciones corregidas se obtienen aplicando las correcciones calculadas, con el signo que corresponda, a las proyecciones sin corregir, como se indica en el cuadro siguiente:

Proyecciones sin corregir E

W

83.17 137.40

1:

N

75.02

S

Correcciones x

-0.03 -0.04

25.88 18.91 138.30 O 145.00 30.16 +0.05 56.52 119.30 +0.02 220.57 220.43 194.32 194.34

Proyecciones corregidas E

y

O O

83 .14 137.36

W

S

N

75.02

-0.01

18.91 145.05 +0.01 56.~4 119.31 1: 220.50 220.50 194.33 O

25.88 138.29 30.16 194.33

-------

10.

Cálculo de las coordenodas de los vértices del polígono:

Las coordenadas de los vértices de la poligonal se calculan sumando algebraicamente las proyecciones de cada lado a las coordenadas de la estación anterior. Si no se conocen las coordenadas del punto de partida se le atribuyen coordenadas arbitrarias, elegidas de tal modo que las correspondientes a todos los demás vértices de la poligonal sean positivas; es decir, que la poligonal quede alojada en el primer cuadrante para facilitar el dibujo del plano.

"Las coordenadas de un vértice cualquiera se obtienen sumando algebraicamente las proyecciones de los lados comprendidos entre el origen y el vértice cuyas coordenadas se desea conocer." .'·IU(''',):I )~

EJEMPLO

-5

Calcular las coordenadas de los vértices de una poligonal, eligiendo las del vértice de partida de tal manera que la poligonal quede en el primer cuadrante.

Planimetría

121

DATOS:

Lados

,PrCYyecciones corregidas

Est.

P.V.

O 1 2 3 4

1 2 3 4 O

E

W

83.14 '137.36

~

N

S

75.02 18.91 145.05 56.54 220.50

220.50

25.88 138.29 30.16 119.31 194.33

194.33

SOLUCIÓN

a) Se eligen las coordenadas del vértice O, de modo que las correspondientes a los demás vértices de la poligonal sean positivas.

En el problema planteado esta condición se satisface tomando: 0(0; b)

+ 120.00)

El cálculo de las coordenadas se dispone como sigue: Coordenadas

Vértices

0.00 83.14

O 1 2

+ + 83.14 + 137.36 + 220.50 -

3

y

X

18.91

+ 201 .59 - 145 .05

4

+ -

56.54 56.54

--

O

+

0.00

+ 120.00 + 75.02 + 195 .02 -

25.88

+ 169.14 - 138.29 + -

30.85 30.16

+ 0.69 + 119.31 + 120.00

La comprobación del cálculo se hace determinando para el vértice de partida, como se ve en el ejemplo anterior, los mismos valores de las coordenadas que se le asignaron al principio del cálculo.

122

Curso básico de topografía

11 . Cálculo de la superficie del polígono en función de las coordenadas de los vértices.

Sea el polígono O - 1 - 2 - 3 - 4 - O cuya superficie S se desea conocer (Fig. NQ 66).

X3

3' 2'

Y3

4' Y2 Y4

y

:v11

11

V

VIII

a

VVliY

X

-. t'IU"I'J~I ~~)

Figura 66

-5

Si se proyectan los vértices O, 1, 2, 3 Y 4, sobre el eje de las "Y", se obtienen los puntos O', 1', 2', 3' Y 4', formándose tantos trapecios como lados tiene el polígono. Las bases de cada uno de estos trapecios son las abscisas de dos vértices consecutivos del polígono y su altura la diferencia de ordenadas de dichos vértices. En la figura NQ 66 se ve que:

S =l:}.O'Oll' + 01'122' +02'233' - C3'344' -0.4'400'

123

Planimetría

o bien:

s=

X o + Xl (Y _ 1': )

2

+

o

1

,

s = ~ [ (Xo + Xl) (Y + (X:2 + Xa) (Ya - Y

l

-

Xl

_ Xa

y o)

+X

2

2

+ X. 2

(Y _ Y ) 2

1

(Y _ Y ) _ a

x. + X o (Y 2

+ (Xl + X~) (Y

Y) t2

_ Y )

i

4

o

4

Y1 ) +

2 -

(X a + X 4 ) (Ya - Y 4 )

2 )-

+ X ,z 2+ Xa (Y a _

-

+X

(X.

Q)

(Y. - Yo)]

El primer factor de cada uno de los productos encerrados en el paréntesis rectangular será positivo si la figura se encuentra en el primer cuadrante, en tanto que el segundo factor dado por la diferencia de ordenadas, será positivo cuando la ordenada del vértice de adelante sea mayor que la del vértice anterior y negativo en caso contrario. Entonces el valor de S puede obtenerse sin necesidad de un croquis por medio del cual se sepa el signo que debe aplicarse a las superficies de los trapecios para encontrar la del polígono. De una manera general la fórmula anterior puede escribirse como sigue:

s= ~[ + (X 2

(X o + Xl) (Y1

+ X a) (Ya -

-

YI()

+ (Xl + X

Y 2) + (X a + X 4 ) (Y4

(Y2

2)

Ya)

-

Yl

-

+

)

+

(X 4

+ X o) (Yo

- y.)]

puesto que : - (X a + X 4 ) (Ya - Y 4 )

-

(X 4

+ X o) (Y

= (Xa + X 4 ) (Y 4

Yo) =

4 -

-

Ya)

+ (X + X o) (Yo 4

Y4 )

Ahora bien, para un polígono de n vértices, se tendrá:

s=~[ (Xl

+X

t2 )

(Y12

-

Yl

)

+ (X + X a) (Ya 2

+ (Xn-'l

+ x")(y,,

Y~ ) +(Xa

- Y n-'¡)

+X

4)

(Y. - Ya)

+ (X" + X 1)(Yl

+ ...

- Y,,) ]

EJEMPLO

Calcular la superficie de un triángulo dadas las cooraenadas de sus vértices.

124

Curso básico de topografía

DATOS:

Coordenadas

Vértices

y

X

+ O + 46.70 + 8.77

O 1 2

+ O + 33.38 + 27.48

SOLUCIÓN

Si se aplica la fórmula general, se tiene:

= ~[

s

(Xo + X,) (Y, - y.)

+ (X, + X.) (Y.

- Y,)

+ S=

~[

=~[

S

+

+ Xo)(Yo -

(X,

Y.) ]

(46.70)(33.38) - (55.47)(5.90) - (8.77)(27.48) ] 1558.8460 - 327.2730 - 240.9996 ]

I S = 495.2867 m' I Con los datos del registro de campo siguiente, calcular la poligonal levantada con tránsito de l' y cinta de acero, por el método de medida directa de ángulos. Problema.

REGISTRO DE CAMPO 9 Est.

P.v. pistane¡as

-- -O

1

241.00

1

2

231.00

2

3

245.90

.3

4

248.40

O

258.30

4

G97°08' 194 ° 16' 116° 42' 233 °23' 110° 50' 221 ° 40' 100°35' 201 ° 10' 114 ° 47' 229°34'

R.M.O.

I

N lr30' W

Croquis y notas AL 0- 1

=

347°22' N

N 76°00' W 2

B

S 35°00' W S 44°30' E

N 70°00' E

I

-j

I

3

t

I 1.

4

j

Planimetría

125

SOLUCIÓN

1.

-

DetermiMción del error angular EA:

Angulos observados:

¡ ángs. observados

-

97°08' 116°42' 110°50' 100°35' 114°47' 540°02'

=

(a)

Condición geométrica: n=5 ~

EA

2.

ángs. interiores

=~

180 0 (n - 2)

ángs. obs - 180 0 (n - 2)

=

= 540°00' 540°00' = +2'

180°(3)

= 540°02'

-

(b)

Cálculo de la tolerancia angular T A: TA

3.

=

=

-+-a

vii" =

-+-1'

v5 =

-+-2'

Comparación del error angular con la tolerancia angular:

<

Si: EA T A , el trabajo se ejecutó correctamente; en caso contrario se repite el levantamiento. Estas operaciones se efectúan en el campo, al terminar el trabajo. 4. Compensación angular. Para no tener que considerar fracciones de minuto, se aplicará la corrección angular C cada cierto número n' de estaciones. n 5 n'=-=-=2 E"l 2

El cociente indica que la corrección C se aplicará cada 2 estaciones, por tanto, se corregirán los ángulos observados en las estaciones 1 y 3. La corrección angular se aplicará con signo contrario al error.

Curso básico de topografía

126

PLANILLA DE CALCULO Lados Angulas Est. Distancias observados

P.V

1 2 ·3 4 O

241.00 231.00 245.90 248.40 258.30

97°08' 116°42' 110° 50' 100°35' 114°47'

SUMAS:

1224.60

540°02'

O 1 2 3 4

5.

A

lU4 u U3'

+2

= 110°50' 2 - 3 = 214°53' - 180° 34 53' A + 3 = 100°34' 3 - 4 = 135 °27' + 180° 315 u 27' + 4 = 114°47' 430°14' - 360° 4 - 0- 70°14' + 180° 250°14' + 0= 97°08' O - 1 = 347°22' V

A

Az

A

Az

-1'

Azimutes

Rumbos calculados

97°08' 116 ° 41' 110° 50' 100°34' 114°47'

347°22' 284 °03' 214°53' 135°27' 70° 14'

N 12"38' W N75°57'W S 34°53' W S 44°33'E N 70°14' E

540°00'

SUMAS: .

I

-

Cálculo de los azimutes de los lados del polígono.

A

Az

-1'

Angulas compensados

---- - ---

Az O - 1 = 347°22' - 180° 167°22' + 1 = 116°41' Az 1 - 2 = 284°03' - 180°

Az

e

6.

Conversión de azimutes a rumbos.

359 °60' - 347°22' N 12°3-8' W 359°60' - 284°03' ¡;'¡-75°57' W 214°53' - 180°00' S 34°53' W 179°60' - 135°27' S 44°33' E

N

70°14' E .'"lfn·uJ,' J~)

-5

Los resultados obtenidos en el cálculo de la poligonal se anotan en la planilla.

Planimetría

7. Cálculo de las proyecciones de los lados del polígono. las fórmulas:

127

Se aplican

x '= L. sen Rbo { y .= L. cos Rbo

= 241.00 y = 241.00 x = 231.00 y = 231.00 x = 245.90 y = 245 .90 x = 248.40 y = 248.40 x = 258.30 y = 258.30

= 241.00 (0.21871) = 241.00 (0.97579) 75°57' = 231.00 (0.97008) 75°57' = 231.00 (0.24277) 34°53' = 245.90 (0.57191) 34 °53' = 245.90 (0.82032) 44°33' = 248.40 (0.70153) 44°33' = 248.40 (0.71264) 70°14' = 258.30 (0.94108) 70°14' = 258.30 (0.33819)

0- 1 { x

sen 12°38' cos 12°38'

1_ 2 {

sen cos

2 _ 3 { 3_ 4 } 4 _ O} 8.

9. EL

sen cos sen cos sen cos

Determinación de los errores Ez

= ¡XE

E'I

= ¡YN -

= 378.60 -

= ...¡ E2z + p.11 = ...¡ (-0.09)2 +

-0.09 m

=

-0.14 m

(-0.14)2

= 0.17

= ...¡ 0.0277 ..

0.166 m

m

Cálculo de la tolerancia lineal T L. TL

11.

378.74

=

Cálculo del error de cierre lineal EL.

1 EL

10.

Ex y By.

- ¡xw = 417.34 - 417.43 ¡Ys

= 52.71 W = 235.17 N = 224.09 W = 56.08 N = 140.63 W = 201.72 S = 174.26 E = 177.02 S = 243.08 E = 87.35 N

=

¡L = 1224. 60 = O 244 5000 5000 . m

T L = 0.24 m

Comparación del error de cierre lineal con la tolerancia lineal.

I

EL


L

por tanto, el trabajo se ejecutó correctamente y se prosigue el cálculo. 12.

Cálculo de la precisión obtenida en el levantamiento. _EL_

p -

¡L -

0.17 1224. 60

0000

=.

14

128

Curso básico de topografía 111 P = ¡L = 1224.60 - 7204

-o:-r7-

EL

13. Compensación lineal del polígono. Cálculo de los factores unitarios de corrección Kx Y Ky.

E.

Kx

0.09 = 0.00011 -34.77

= ¡XE + ¡XIV E¡¡

Kv = ¡YN 14.

= 0.00018

0.14

+ ¡Y8

Cálculo de las correcciones que se aplicarán a las proyecciones. Xo-1 X 1...J2 .:ti2-3

x -<

.,·",,.u,.J'O'b') -5

=

52.71

0.00011

X

= 224.09 ,X = 140.63 X

XH

= 174.26

X4-{)

= 243.08 X

X

= 0.01 0.02 0.02 0.02 0.02 0.09 = Ex

= = = =

" " " "

235.17 X 0.00018 = 0.04 Y1-'2 = 56.08 X " = 0.01 YI2-3 = 201.72 X " = 0.04 YH = 177.02 ·x " = 0.03 Y.~ = 87.35 X " = 0.02 0.14 = Ev Yo-1. =

y

15. Obtención de las proyecciones corregidas. Estas se encuentran aplicando a las proyecciones sin corregir las correcciones calculadas. Esta operación es muy fácil y se ejecuta en la misma planilla de cálculo, en la cual se anotan los resultados. (Continuación)

PLANILLA DE CALCULO Rumbos calculados

Proyecciones sin corregir E

SUMAS :

W

N

S

52.71 235.17 224.09 56.08 201.72 140.63 174.26 177.02 243.08 87.35 417.34 417.43 378.60 378.74

Correcciones y

x·

-.01 -.02 -.02 + .02 +.02

Proyecciones corregidas E

W

N

S

52.70 235.21 +.04 224.07 56.09 +.01 - .04 201.68 140.61 -.03 174.28 176.99 243.10 87.37 +.02 SUMAS: 417.38 417.38 378.67 378.67

Planimetría

129

16. Cálculo de las coordenadas de los vértices del polígono. Con objeto de que el polígono quede alojado en el primer cuadrante, se asignarán a la estación O, las coordenadas (+ 500.00; + 500.00) .

Coordenadas Estaciones

X

Y

O

+500.00

+500.00

-

52.70

+235.21

+447.30

+735.21

-224.07

+ 56.09

+223.23

+791.30

-140.61

-201.68

+ 82.62

+589.62

+ 174.28

-176.99

+256.90

+412.63

+243.10

+ 87.37

+500.00

+500.00

~

(:;;, ren,UN."

1 2 3 4

O

17. Cálculo de la superficie del polígono en función de las coordenadas de los vértices.

Se aplica la fórmula:

s = ~[

(X o + Xl.) (Y l - Yo) + (Xl + X,2) (Y2

+ (X2 + (XI) + Xl) (Y l -

X 3 ) (Ya - Y 2 )

yo) = (500

+ ...

Yl.)

-

+

+ (X 4 + X o) (Yo - Y 4 )

+ 447.3 ) (735.21 - 500

) = + 222814.4300

(Xl + X2)(Y 2 - Y l )

=

(447.3 + 223.23)(791.3

- 735 .21)

+ 9

= 37610.0270

130 (X 2

Curso básiCo de topografía

+ X a) (Ya -

Y2)

=

(223.23

+

82.62) (589.62 - 791.3 ) -

(Xa· + X 4 ) (Y 4

-

Ya)

( 82.62

+ 256.90) (412.63

61683.8280

- 589.62) -

(X 4

+ X o) (Yo

-

Y 4 ) = (256.9

+ 500

) (500

=

= 60091. 6440

- 412.63J =

+

66130.3530

Los resultados anteriores se anotan en la planilla de cálculo. PLANILLA DE CALCULO V értices

-O 1 2 3 4

Coordenadas X

+500.00 +447 .30 +223.23 + 82.62 +256.90

X. - J + X.

Y. - Y.- J

Y +500.00 +735.21 +791.30 +589.62 +412.63

947.30 670.53 305.85 339.52 756.90

+235.21 + 56.09 - 201.68 -176.99 + 87.37

2S=

•

Dobles superficies (+ )

.'·luru"J_' ~~

(Continuación)

s=

(

)

222814.4300 37610.0270 61683 .8280 60091.6440 66130.3530 326554.8100 121775.4720 204779.3380

121775.4720

102389.6690 m 2

Método de deflexiones

Cuando dos rectas se unen en un punto formando ·un ángulo, se entiende por deflexiól'. el ángulo que forma la prolongación de una de estas rectas con la otra. La deflexión puede ser hacia la derecha de la recta prolongada o bien hacia la izquierda. La primera es positiva y se designa por la letra D; y la segunda es negativa y se designa por la letra l. (Fig. N
Planimetría

131

Puede aplicarse este método en el levantamiento de poligonales cerradas. En este caso la comprobación angular se obtiene sumando las deflexiones positivas y las negativas. La diferencia entre ambas sumas debe ser igual a 360°. Lo que falte o sobre de esta cantidad será el error de cierre angular que se debe sujetar a la fórmula de la tolerancia establecida. La condición geométrica del cierre angular del polígono se expresa de la siguiente manera: ~

~

Deflexiones (+) -

Deflexiones (-)

= 360°00'

"En una poligonal cerrada la suma algebraica de las deflexiones es igual a 360°." N

1

Figura 67

Cuando se aplica este método es indispensable tener, como en el anterior, un azimut de partida para deducir de él, los azimutes de los lados de la poligonal. Por tanto, es necesario orientar un lado de la poligonal.

Trabajo de campo. Comprende las operaciones iniciales indicadas para el método de medida directa de ángulos. Una vez orientado el lado inicial de la poligonal, la forma de operar en cada una de las estaciones para tomar las deflexiones, es la siguiente: Se centra y se nivela el instrumento. 2. Se ponen en coincidencia los ceros del limbo horizontal y su vernier y se fija el movimiento particular. 3. Se da al anteojo vuelta de campana y .queda en posición inversa. l.

132

Curso básico de topografía

4. Con el movimiento general se dirige el anteojo a visar la estación de atrás y se fija dicho movimiento. 5. Nuevamente se da al anteojo vuelta de campana, quedando ahora en posición directa y señalando la prolongación del lado anterior. 6. Con el movimiento particular se dirige el anteojo a visar 'la estación de adelante y se hace la lectura de la deflexión. Para evitar la propagación de errores de la línea de colimación, conviene observar el punto de atrás alternativamente en posición directa y en inversa; es decir, en B se observa A en directa y e en inversa; en e, se observa B en inversa y D en directa, y así sucesivamente. También se puede proceder midiendo la deflexión en cada vértice dos veces, una visando la estación de atrás en posición inversa y la otra, visándola en posición directa del anteojo. Así se elimina el error de colimación y se comprueba la lectura angular. En los instrumentos de numeración corrida de 0° a 360°, la deflexión cuyo valor esté comprendido entre 0° y 180° es positiva y su valor es igual a la lectura hecha. Si la lectura está entre 180° y 360° la deflexión es negativa y su valor es igual a la diferencia entre 360° y la lectura hecha. Todos los demás datos que se toman en el campo son los mismos que en el método de levantamiento descrito antes. El registro de campo se lleva como se indica en el siguiente ejemplo: REGISTRO DE CAMPO 10 Levantamiento con tránsito de l' y cinta de acero de 50 m, por el método de deflexiones Est. O

1 2 3 4

P.V. Distancias 1 2 3 4 O

34.67 28.81 25.67 34.24 49.54

R.M.O.

Deflexiones 92°16' 1 114°18' 1 55°41' D 119°09' 1 90°00' 1

Lomas de Sotelo, D. F. 24-ABR-77 Levant6: Crist6bal Vera V.

N N N N S

89°00' E 25°00' W 30°30' E 88°30' W 1 °30' W

Croquis y notas Az. 0- 1 = 89°09'

1"1"('1'J.II~

Trabajo de gabinete.

-5

Este sólo difiere del expuesto con anterioridad, para el método de medida directa de ángulos, en la manera de calcular los azimutes de los lados de la poligonal.

"El azimut de un lado se obtiene sumando algebraicameTllte la dejlexión al. azimut del lado anterior." Si la deflexión es negativa y mayor que el azimut se le agregan a éste 360° para que la resta resulte positiva.

Planimetría

133

EJEMPLO

Calcular los azimutes de los lados de una poligonal, con los siguientes datos: Lados Est. P.v.

Deflexiones

Azimutes

O 1 2 3 4

92°16' 1 114°17' 1 55°41' D 119°08' 1 90°00',1

89°09' 334°52' 30°33' 271 °25' 181°25'

1 2 3 4 O

SOLUCIÓN

El levantamiento se empezó en la estaciÓIi O. Se observó el azimut del lado 0- 1 Az O - 1 = 89°09' En la estacion 1 se ejecutó la serie de operaciones descrita y se hizo la lectura 245°43'. Por la lectura se ve que la deflexión es negativa, esto es, que está a la izquierda de O - 1 Y su valor será: De!l. 1 - 2 = 360° - 245°43' = 114°17' 1 Para obtener el azimut de ·l a línea 1 - 2, en atención a que la deflexión es mayor que el azimut de la línea anterior, habrá que agregar a éste 360°, para que la resta resulte positiva. El cálculo de los azimutes se dispone como sigue: Az. O - 1

= 89°09' + 360°

449 ó= 09"""- 114°17' 1 Az. 1 - 2 = 334 652' + 55°41' D

3906 J3'- 360° Az. 2 - 3 = -30°=3=3''~60°

390°=3-=-3''- 119°08' 1 Az. 3 - 4

= 211"25"'-

- 90°00' 1 Az. 4 - 0= T8T025"'92°16' 1 Az. O - 1 = 89 6 09"'-

134

Curso básico de topografía

El azimut O - 1 calculado es igual al observado al iniciar el levantamiento y, por tanto, la operación estuvo correcta. Generalmente esto no ocurre en la práctica y es necesario determinar el error angular y hacer la compensación angular, si procede: antes de calcular los azimutes. La compensación angular se efectúa, si: E"l T A'

<

.

Para obtener los rumbos de los lados, a partir del rumbo del primer lado y de las deflexiones, se pueden seguir las siguientes reglas:

Si el lado de la poligonal está en el cuadrante NE o SW se agrega al rumbo del lado la deflexión derecha y se resta la deflexión izquierda; y si el lado está en el cuadrante SE o NW se agrega al rumbo del lado la deflexión izquierda Y se resta la deflexión derecha. Cuando la suma del rumbo con la deflexión exceda de 90°, se toma el suplemento y se cambia la letra N por S y viceversa; y si al tomar la diferencia entre un rumbo y la deflexión, ésta resulta negativa, se cambia la letra E por W, y viceversa. EJEMPLO

Calcular los rumbos de los lados de una poligonal, dados el rumbo del primer lado y las deflexiones. DATOS:

Lados Est.

-O

1 2 3 4 5 6 7

...

P.v.

1 2 3 4 5 6 7 8

...

SUMAS

SOLUCIÓN

Deflexiones D

Rumbos

1

N 81 °36' E

82 °12' 36°50' 98 °27' 34 °23' 104°08' 35°14' 40°32'

El primer lado O - 1 de la poligonal está en el cuadrante NE, por tanto, de acuerdo con la regla, debe 'agregarse la deflexión del lado 1 - 2, por ser derecha, para hallar el rumbo del lado 1 - 2. Rbo 0- 1

.

157°07' 274°39'

=

N 81 °36' E

+ 82°12' D 163°48'

Como la suma excede de 90°, se toma el suplemento y se cambia la letra N por S:

179°60' 163°48' Rbo 1=- 2 = S 16°12' E

Planimetría

135

Ahora bien, el lado 1 - 2 se encuentra en el cuadrante SE, luego debe agregársele la deflexión izquierda del lado 2 - 3, para encontrar el rumbo del lado 2 - 3.

Rbo 2 - 3

=

S 16° 12' E + 36 °50' l S 53 °02' E

Al rumbo del lado 2 - 3; que está en el cuadrante SE, se le agregará la deflexión 98 °27' l. Rbo 2 - 3 = S

+

53 °02' E 98°27' l 151 °29'

La suma del 'rumbo y la deflexión excede de 90°, por tanto, se tomará el suplemento, cambiando la letra S por N: 179 °60' - 151 °29' Rbo 3 - 4 = N 28 °31' E Por encontrarse el lado 3 - 4 en el cuadrante NE, se le debe agregar la deflexión 34°23' D del lado 4 - 5, para obtener el rumbo del lado 4 - 5.

Rbo 4 - 5

~

N 28 °31' E + 34°23' D N 62 °54' E

A continuación, para hallar el rumbo del lado 5 - 6, al rumbo del lado 4 - 5, localizado en el cuadrante NE, se le resta la deflexión 104 °08' l del lado 5 - 6:

N 62 °54' E - 104°08' l - 41 ° 14' Como 11 diferencia entre el rumbo y la deflexión resultó negativa, se cambia la letra E por W: Rbo 5-6 '=N41 ° 14'W El lado 5 - 6 está en el cuadrante NW , por tanto, al rumbo del lado 5 - 6 se le agregará la deflexión izquierda 35 ° 14', del lado 6 - 7, para encon trar el rumbo del lado 6 - 7. N 41 ° 14' W + 35°14' l Rbo 6 - 7 = N 76 °28' W

136

Curso básico de topografía

Por último, para obtener el rumbo del lado 7 - 8; por estar el lado 6 - 7 en el cuadrante NW, se le restará la deflexión derecha 40°32' al rumbo del lado 6 - 7: N 76°28' W

Rbo 7 - 8

=

- 40°32' D N 35°56TW~-

Comprobación del cálculo de los rumbos. tiLa suma algebraica de las deflexiones, con su signO' correspondiente, se sumará algebraicamente al primer rumbo y el resultado deberá dar el último rumbo calculado." En el problema planteado:

¡ Defl. (+) = 157°07' ¡ Defl. (-) = 274°39' --='"'!'"-¡ algebraica Defl. = - 117°32' '+ primer Rbo. = + 81 °36' Ultimo Rbo. calculado = - 35°56'

ter rumbo:

N 81 °36' E Ultimo rumbo: N 35°56' W

Problema. Con los datos del registro de campo siguiente, calcular la poligonal levantada con tránsito de l' Y cinta de acero, por el método de deflexiones. REGISTRO DE CAMPO 11 Est.

P.V.

O 1 2 3 4

1 2 3 4 O

Distancias Deflexiones 169.90 129.00 117.40 135.40 124.60

74°43' 1 8r 51' 1 66°46' 1 60° 10' 1 75°32' 1

R.M.O. N N S S S

Croquis y notas

29°30' E 53°00' W 60°00' W 0°00' W 75°30' E

Az O -

1

=

89 °09' ,

SOLUCIÓN

1.

I-E-=-+-2-'- I ~

¡ Defl. = 360°02'

2.

~ff

Determinación del error angular EA:

A

Cálculo de la tolerancia angular T A :

T A = -+-a ...; n

=

-+-1'

"';5 =

-+-2'

ITA =

±2'

Planimetría 3.

Comparación de EA con T A :

[

E A

=

137

TA

El trabajo se ejecutó correctamente. 4.

Compensación angular.

.

la corrección angular C se aplicará cada dos estaciones, con signo contrario al error. Se corregirán los ángulos observados en las estaciones 1 y 3. 5.

Cálculo de los az.imutes de los lados del poligono.

Az O - 1

Az 1 Az 2 -

Az 3 Az 4 Az O 6.

=

29 ° 49' + 360° -389 °49' - 82 °50' 1 2 = -306 °59-' - 66 °46' 1 3 = 240°13' - 60°09' 1 4 = - -180 °04' - 75 °32' 1 O= 104°32' - 14°43' 1 1 = - -29° 49-'

Conversión de azimutes a rumbos.

359 °60' 240 ° 13' 180°04' 179 °60' - 306 °59' - 180° - 180° - 104°32' N 53 °01' W S 60° 13' W S 0 °04' W S 75 °28' E 7.

0-1 1_ 2 2_ 3 3_ 4

Cálculo de las proyecciones de los lados del poligono.

J x= 169.90 1 y = 169.90 J x = 129.00 1 y = 129.00

sen 29 °49'= 169.90(0.49723) = 84.48E cos 29 °49' = 169.90 (0.86762) = 147.4 1 N sen 53°01' = 129.00 (0.79881) = 103.05 W cos 53 °01' = 129.00 (0.60158) = 77.60 N

J x = 117.40

sen 60°13' y = 117.40 cos 60° 13'

1 Jx= 1y =

135.40 sen 135.40 cos

= 117.40 (0.86791) =

=

101.89 W 117.40 (0.49672) = 58.31 S

0°04' = 135.40 (0.00116) = 0.16 W 0 °04' = 135.40 (0.99999) = 135.40 S

4 _ O { x = 124.60 sen 75°28' = 124.60 (0.96800) = 120.61 E Y = 124.60 cos 75 °28' = 124.60 (0.25094) = 31.27 S

138

Curso básico de topografía Determinación de los errores Ex y By.

8.

Ex = ¡Xg - ¡Xw = 205.09 - 205.10 = -0.01 m E y = '5..YN - ¡Ys = 225.01 - 224.98 = +0.03 m 9.

Cálculo del error de cierre lineal EL'

EL =

10.

VE2

V (-0.01)2

+ E2!J =

J:

+ (0.03)2 = y' 0.0010'= 0.03 m

Cálculo de la tolerancia lineal T L.

¡L 676.30 T L = 5000 = -~~~ = 0.14 m 11.

Comparación del error de cierre lineal con la tolerancia lineal. EL

12.

<

se prosigue el cálculo.

TL

Cálculo de la precisión obtenida en el levantamiento. p

~ff

=

EL _ 0.03 ¡L - 676.30 = 0.000044

p=_l_=

¡L

~

EL

1

1

67630=-0.03

13. Compensación lineal del polígono. Cálculo de los factores unitarios de corrección Kx Y Kyo Kx ,= "'x ..... g

K y ¡YN 14.

+ ¡xa-

Ex

0.01 0.01 = 0.000024 ) + 205.10 - 410.19

EJI

0.03

+ '". . .Ys

=

0.03 = 0.000067

Cálculo de las correcciones que se aplicarán a las proyecciones.

x

84.48 X 0.000024 = 0.002 = 103.05 X " = 0.002 = 101.89 X " = 0.002 = 0.16 X " = 0.000 ~ 120.61 X " = 0.003'

__ __ __ __ 0.01 0.01 = E z

Planimetría

147.41 77.60 58.31 135.40 31.27

X X X X X

= 0.009· = 0.005 -=-

0.000067 " " " "

139

0.01 0.01

= 0.003 = _ _

= =

0.009· 0.01 0.002 = _ _ 0.03 = E y 15. Cálculo de las proyecciones corregidas. Se ejecuta en la misma planilla aplicando las correcciones calculadas a las proyecciones. 16. . Cálculo de las coordenadas de los vértices del polígono. Coordenadas Estaciones

O 1 "

2 3 4 O

X

y

+ 150.00 + 84.48 + 234.48

0.00 + 147.40 + 147.40 + 77.59 + 224.99 58.31 + 166.68 - 135.41 + 31.27 31.27 0.00

- 103.05 + 131.43 - 101.89 + 29.54 0.16 + 29.38 + 120.62 + 150.00

17. Cálculo de la superficie del polígono en función de las coordenadas de los vértices. Se aplica la fórmula:

S=H (X o + Xl) (Y l - yo)

+

(Xl

+X

2)

(Y2

-

Yl )

+

(X'2

+ X a) (Ya -

+ ... + (X, + X o) (Yo S

=

H

+

(384.48)(147.40)

+

Y2 )

Y,) ]

-

+ (365.91)(77.59) + (160.97)(58.31) + +

(58.92)(135.41)

+

(179.38)(31.27) ]

140

Curso básico de topografía

s = ~[

56672.3520

+ 28390.9569

- 9386.1607 - J978.3572 - 5609.2126 ]

S

= ~[

85063.3089 - 22973.7305 ] S = } [ 62089.5784 ]

~ff

~

S ,= 31044.7892 ni'

I

Los resultados obtenidos en el cálculo de la poligonal se anotan en la planilla) como a continuación se indica. P.LANILLA DE CALCULO

Est.

Lados P.V. 1 2 3 4 O

O 1 2 3 4

SUMAS:

EA

Distancia~

Deflexiones observadas

e

74°43' 1 8r51'I 66°46' 1

-1'

60° 10' 1

-1'

169.90 129.00 117.40 135.40 124.60 676.30

84.48 103.05 101.89 0.16 SUMAS

TA

N

29°49' 306° 59' 240° 13' 180°04' 104 °32'

=

-+-a

x

I

29°49' E 53°01' W 60°13' W 0°04' W 75°28' E

----

E

-.01 -.01

84.48

-

EL

-


L

p=

W

103.05 101.89 0.16

-

58.31 135.40 +.01 31.27 +.01 SUMAS 224.98

E.1. ;:::::: T A

Proyecciones corregidas

y

I

Ey

T L = 5000 = 0.14 m

N N S S S

vn = -+-1' V5 = -+-2'

Correcciones

S

Ele = -0.01 m = +0.03 m E L = ,1 v E2le + E2y = 0.03 m

Rumbos calculados

360°00'

147.41 77.60

120.61 205.09 205.10 225.01

~L

74°43' 1 82°50' 1 66°46' 1 60°09' 1 75°32' 1

360°02'

= 2' W

AzimuteJ

75°32' 1

Proyecciones sin corregir E

Deflexiones compensadas

120.62 205.10 205.10

--

K Ie =

¡XE

N

I

S

147.40 77.59 58.3 1 135.41 31.27 224.99 224.99

1

Ele

+ ¡XlI'= 0.000024

-.! K y-- ¡YN E'II + 2:ys = 0.000067

142

Curso básico de topografía

1 - 2. Es evidente que el cero del limbo y del vernier concordarán cuando el anteojo esté dirigido al Norte y, por consiguiente, el instrumentO' quedará orientado. N

",,""

", , ~ff

.5

Figura 68

Con el mO'vimiento particular se dirige el anteojo a visar la estación 3 y el ángulo que da el limbo: N - 2 - 3 será el azimut de la línea 2 - 3; se mide la distancia 2 - 3, se toma el rumbo magnético como compro~ bacÍón y se pasa a la estación 3. d)

En igual fO'rma se procederá en las demás 'estaciones de la pO'ligonal, conservando siempre la lectura del azimut hecha en la estación anterior. Esta manera de orientar el instrumento tiene el incO'nveniente de necesitar que la línea de colimación esté correcta, pues de no ser así al dar la vuelta de campana .al anteojo, no señalaría la prolongación de la recta visada sino una línea quebrada y el cero no correspondería al Norte. En este caso el azimut que se obtenga al visar la estación siguiente estará afectado de un error. Para obtener el azimut correcto es necesariO' hacer una doble observación y tomar el promedio de los dos azimutes.

Aplicación del método, sin vuelta de campana del anteojo. En este caso, las operaciO'nes se ejecutan como sigue (Fig. N
Planimetría

143

N N

4

Figura 69

1. Con el anteojo en posición directa, en la estación 1, se orienta el instrumento y se mide el azimut del lado 1 - 2. 2. En la estación 2, para evitar la vuelta de campana, se ve por la figura que si se inscribe en el vernier HA" el ángulo exterior N - 2 - 1, Y con esta graduación se visa la estación 1, con el anteojo en posición directa, el cero evidentemente corresponderá al Norte, puesto que el ángulo N - 2 - 1, es el azimut inverso de la línea 1 - 2. Por lo anterior se ve que en la estación 2 se deben ejecutar las operaciones siguientes: a) Se calcula el azimut inverso de 1 - 2, se inscribe este azimut en el vernier HA", y se fija el movimiento particular del instrumento. b) Con el movimiento general se visa con el anteojo en posición directa la estación 1 y se fija dicho movimiento. e) Por medio del movimiento particular, se dirige el anteojo a visar la señal puesta en la estación 3 y la lectura será el azimut de la línea 2 - 3. Se pasa a la estación 3, procediéndose de idéntica manera. Si se trabaja en la forma expuesta no hay que preocuparse por la línea de colimación, pues ' suponiéndola incorrecta, el ángulo N - 2 - 3 será correcto cualquiera que sea la posición que tenga la línea de colimación. Este procedimiento elimina la vuelta de campana, pero desvirtúa el método de conservación de azimutes que así se llama precisamente porque se funda en la conservación de los azimutes leídos en cada estación.

144

Curso básico de topografía

Comprobación de cierre angular. Supongamos que se ha levantado el polígono 1 - 2 - 3 - 4 - 5 (Fig. N
~

1

~lnff

~

Figura 70

Tomando como azimut de partida el azimut del lado 1 - 2, observado directamente, se recorre el perímetro del polígono y se llega a cerrar a la estación 1, punto de partida. Al llegar de vuelta a la estación 1, se deduce el azimut 1 - 2, que teóricamente debe resultar igual al de partida, si es que las operaciones se hicieron en forma correcta. Esto sólo por casualidad acontece en la práctica y, generalmente, se encuentra una diferencia entre el azimut del lado 1 - 2, observado directamente y el azimut de este mismo lado, deducido a la vuelta. La diferencia entre estos dos azimutes es el error de cierre angular del polígono que debe sujetarse a la fórmula de la tolerancia angular. TA

=

-+-a

vn

en la cual: T A = tolerancia angular. a = aproximación del instrumento, y n = número de estaciones del polígono.

Planimetría

145

El registro de campo se lleva como se indica en 'el ejemplo siguiente:

REGISTRO DE CAMPO 12 Levantamiento con tránsito de l' Y cinta de acero de 30 m, por el método de conservación de azimutes Est. 1 2 3 4 5 1

P.V. Distancias Azimutes 2 3 4 5 1 2

R.M.O.

220°25' 311°55' 5°41' 91 °23' 149°21' 220°23'

164.10 134.30 152.10 124.40 131.40

México, D. F. 24-Abr-73 Levantó: A . Garda Lara

S N N S S

Croquis y notas

40°30' W 48°00' W 5°30' E 88°30' E 30°30' E

~

$~

Az. deducido a la vuelta. Error de cierre angular: E A = Az. de llegada - Az. de salida

=

220°23' - 220°25'

E A ;::=: -2' Trabaio de gabinete

Es semejante al descrito en los métodos de levantamiento anteriormente expuestos. La ventaja que tiene el empleo del método de conservación de azimutes consiste en que no es necesario ca1cular los azimutes de los lados del polígono porque se van obteniendo directamente con el instrumento. El cálculo de la poligonal levantada con tránsito de l' y cinta de acero, con los datos del registro de campo anterior, se ejecuta de la ~anera siguiente: 1.

Error de cierre angular (E.J: E A = Az. llegada - Az. salida

2.

220°23' - 220°25'

:..=

-2'

Tolerancia angular (T.J: TA

3.

=

= +a vn= +1; v5= +2'

Comparación de EA con T A :

'lo

EA = T A

El error angular no rebasa la tolerancia; por tanto, se procede a la compensación angular del polígono. 10

Curso básico de topografía

146

4.

~ff

Compensación. angular: Orden Est.

n

= EA =

~

5 2 =: 2

El cociente indica que las correcciones a los azimutes se aplicarán a partir de las estaciones de orden par que en este caso son la 2 y la 4. Ahora bien, la corrección de l' aplicada al azimut tomado en la estación 2 se propaga a todos los azimutes de las estaciones siguientes; pero como la corrección es de 2' ,entonces a partir de la estación 4, se aplicará la corrección de 2'. La corrección se aplica, con signo contrario al error angular, en la forma siguiente: Azimutes observados

Est.

1 2 3 4 5 1 5.

220°25' 311°55' 5°41'

Corrección

Azimutes compensados

+ l' + l' + 2' + 2' + 2'

220°25' 311°56' 5°42' 91 °25' 149°23' 220°25'

,

91 °23' 149°21' 220°23'

Transformación de azimutes a rumbos:

220°25' 359°60' 5°42' - 180° - 311 °56' S 40°25' W N 48°04' W N 5°42' E 6.

179°60' 91 °25' S 88°35' E

179°60' - 149°23' S 30 ó 37' E

Proyecciones de los lados del polígono:

Se aplican las fórmulas:

x

=

L sen Rbo

y = L cos Roo LADOS

PROYECCIONES

y

= 164.10 sen 40°25' = 164.10 (0.6483) = 106.39 W = 164.10 cos 40°25' = 164.10 (0.7613) = 124.93 S

2- 3 { x

= 134.30 sen 48°04' = 134.30 (0.7439) = 99.90 W

1- 2 { x

y = 134.30 cos 48°04' = 134.30 (0.6682) =

89.74 N

Planimetría

3 - 4 { x = 152.10 sen Y = 152.10 cos 4 - 5 { x Y

5 - 1

7.

= 124.40 sen 88°35' = 124.40 (0.9997) = 124.40 cos 88°35' = 124.40 (0.0247)

{X= 131.40 sen 30°37' = Y

=

131.40 cos 30°37'

Errores

Ex

y By:

E z = ~XE - ¡xw E y = ¡YN - ¡Ys

S.

=

=

131.40(0.5093) 131.40 (0.8606)

= 241.08

-

15.10 E 151.34 N

=

= 124.36 E =

3.07 S

= =

66.92E 113.08 S

= +0.09 241.08 = O

206.38 - 206.29

m

y E; + ~ = y (0.09)2 + 0=0.09 m

Tolerancia lineal (TJ: ¡L 706.30 T L = 5000 = 5000

10.

=

Error de cierre lineal (EIJ: EL =

9.

5°42' = 152.10 (0.0993) 5°42' = 152.10 (0.9950)

147

Comparación de

~

= 0.14

m

con Tu'

prosígase el cálculo. 11.

Precisión o error relativo: 0.09 706.30

_ EL _ P - ¡L -

P

12.

00

= .

0013

111 ¡L = 706.30 - 7848 EL 0.09

=

Compensación lineal. Factores unitarios de corrección Kx Y Ky : Kz

=

K y-

Ez ¡XE

~YN

+

Ey

+

=

¡xw

0.09 - O 00022 412.67 - .

O

¡Ys - 482.16 =

O

Curso básico de topografía

148 ] 3.

Correcciones que se aplicarán a las proyecciones: 106.39 (0.00022) = 0.02 99.90 " = 0.02 15.10 " =O 124.36 " = 0.03 66.92 " = 0.02 SUMA = 0.09

~

m

J

x=

~ff

m

m

m m = Ez

1

En este caso: ~x¡.; > ~XII'; por tanto, la correCClOn se aplicará con signo menos a las proyecciones E y con signo más a las proyecciones W.

14. Proyecciones corregidas. Se obtienen aplicando las correcciones calculadas a las proyecciones incorrectas. 15. Coordenadas de los vértices del polígono. Se asignarán al vértice 1 del polígono las coordenadas convenientes, a fin de que éste quede alojado en el primer cuadrante, para facilitar el dibujo del plano. Entonces, tomaremos:

1 (+210.00;

+ 125 .00).

El cálculo de coordenadas se dispone de la manera siguiente: Coordenadas

. --_._-_ oEst. . ____________ ----

-

.- .-- - - -- --,-

1

+ 210.00 - 106.41

2

+

I

Y

X

-

+

125.00 - 124.93

- .

3

103.59

0.07

99.92

+

+ '+ ._+

3.67 15.10

+ 89.81 + 151.34 + 241.15

---

4

+

_..

18.77

+ 124.33 - - _._--

-

5

+ +

143.10 66.90

+

1

+ 210.00

+

89.74

3.07

238.08 - 113.08 125.00

16. Cálculo de la superficie del polígono; en función de las coordenadas d~ los vértices.

Planimetría Dobles superficies

Coordenadas

Vértices

X

--

+ + + + +

1 2 3 4 5

Y

210.00 103.59 3.67 18.77 143.10

+ + + + +

149

Xl

+ X,

Y 2 - Y¡

- 124.93

313.59 107.26 22.44 161.87 353 .10

125.00 0.07 89.81 241.15 238 .08

-

+

+ 89 .74 + 151.34

39176.7987 9625.5124 3396.0696

-

3.07 - 113.08 SUMAS

~

2S =

$~

5=

496.9409 39928 .5480 79602.2876

13021.5820 79602.2876 66580.7056 33290.3528 ' m 2

Comprobación del cálculo de la superficie, por productos cruzados. Coordenadas

Vértices 1 2 3 4 5 1 I

I

Y

X

+ 210.00 + 103.59 + 3.67 + 18.77 + 143.10 + 210.00

I

+ + + + + +

125.00 0.07 89.8 t 241.15 238.08 125.00 SUMAS

Productos cruzados

(+)

(- )

12948,7500 14.7000 0.2569 9303.4179 1685.7337 885.0205 34508.5650 4468.7616 49996.8000 17887.5000 I 32559.4000 99140;1056 99140.1056

25 = 66580.7056 5= 33290.3528

m2

Problema. Calcular la poligonal levantada con tránsito de l' y cinta de acero, por el método de conservación de azimutes, con los datos del registro de campo siguiente: LolrUls de Sote/o, D , F. 26-May-71 Levantó: Guillermo Garda O.

Levantamiento con tránsito de l' y cinta de acero, por el método de conservación de azimutes Est.

i

P.V.

A

B

B

C D E

C D E A

A

B

Distancias

Azimutes

241.00 231.00 245.90 248.40 258.30

34r22' 284°03' 214°53' 135°27' 70° 15' 34r23'

R.M.O. N N S S N

12°30' W 76°00' W 35°00' W 44°30' E 70°00' E

Croquis y notas

-

e B

o A

. E

150

Curso básico de topografía Az AB (salida)

=

Az AB (llegada)

=

347°22' 347°23'

SOLUCIÓN

Error angular (E.J:

2.

Tolerancia angular (TA):

3.

Comparación de

4.

Compensación angular:

EA

T A = +a

con T A : OEST

Se corregirá el azimut tomado en la con signo contrario al error:

5.

EA

< TA

= ;A = ~ = 5~

5

estación, aplicando la corrección

EA = 70°15' - l'

Az

+ l' ','/,1= +1' v5= +2'

EA = 347°23' - 347°22' =

1.

=

70°14'

~ff

~

Transformación de azimutes a rumbos:

359°60' 359°60' 214°53' 179°60' 70° 14' - 347°22' - 284°03' - 180° - 135°27' N 12°38' W N 75°57' W S 34°53' W S 44°33' W N 70°14' E 6.

A-B

B-C

C-D .D-E

E-A 7.

Proyecciones de los lados del polígono: X {

y

rx

í'- o y 'x

= 241 = 241 = 231 = 231

= 241 = 241 75°57' = 231

sen 12°38' cos 12°38'

(0.21871) (0.97579)

sen cos 75°57'

(0.97008) (0.24277)

=

= 231

= 52.71 W = 235.17 N = 224.09 W

=

56.08 N

= 245.9 (0.57191) = = 245.9 (0.82032) = 44°33' = 248.4 (0.70153) =

140.63 W 201.72 S

245.9 sen 34°53' { y == 245.9 cos 34°53' {.

{

X

= 248.4 sen

y

=

X

== 258.3 sen 70°14' = 258.3 (0.94108) = 243.08 E

248.4 cos 44°33'

y = 258.3 cos 70°14'

= 248.4 (0.71264) =

=

258.3 (0.33819)

174.26 E 177.02 S

=

Errores Ex y By:

417.43

=

-0.09 m

E y = ¡YN - ¡Ys = 378.60 - 378.74

=

-0.14 m

Ez

= ¡XE -

¡XlV

= 417.34 -

87.35 N

Planimetría 8.

Error de cierre lineal (EJ:

9.

Tolerancia lineal (T J:

=

1224.60 5000

=

_ EL _ 0.17 P - - - 1224.60 ¡L

=

T L

¡L

5000

=

151

O 24 . m

10. 11.

Precisión:

P=~= ¡L EL

12.

Compensación lineal. Factores unitarios de corrección (KJ y (Ky): K z -

Ez 0.09 - 00001 ¡XE '+ ¡Xw - 834.77 - . 1

K E,I y - ¡YN i+ ¡Ys

13.

x

=

Y=

14.

0.00014 1 1 1224.60 - 7204 0.17

=

0.14 757.34

000

= .

018

Correcciones que se deben aplicar a las proyecciones: 52.71 X 0.00011 = 0.01 " = 0.02 224.09 X 140.63 X " = 0.02 174.26 X " = 0.02 " := 0.02 243.08 X 235.17 X 0.00018 56.08 X " 201.72 X " " 177.02 X 87.35 X "

= = ~

=

=

0.04 0.01 0.04 0.03 0.02

por tanto: la corrección se aplicará con signo + a las proyecciones E; y con signo - a las proyecciones W. ¡YN

<

¡Ys

luego: la corrección se sumará a las proyecciones N y se restará a las proyecciones S.

Proyecciones corregidas:

Se obtienen aplicando a las proyecciones incorrectas, las correcciones calculadas. Esta operación se ejecuta directamente en la planilla de cálculo.

152

Curso básico de topografía

15.

Coordenadas de los vértices del polígono:

Como el origen de coordenadas se puede tomar arbitrariamente, es recomendable que la figura quede en el primer cuadrante para que las coordenadas de todos los vértices sean positivas, lo cual facilita el dibujo del plano. Si se asume: A( +500.00; +500.(0), se procederá a calcular las coordenadas de los demás vértices del :polígono, como sigue:

A

+ 500.00 52.70

+ 500.00 + 235.21

B

+ 447.30 - 224.07

+ 735.21 + 56.09

C

+ 223.23 - 140.61

+ 791.30 - 201.68

D

+ 82.62 + 174.28

+ 589.62 - 176.99

E

+ 256.90

+ 412.63 + 87.37 + 500.00

+ 243.10

+ 500.00

A

16. Cálculo de la superficie del polígono, en función de las coordenadas de los vértices:

s= ~[

(X A + B.)(Y. - YA)

+ S,=

!

(Xc

+

+ XD)(YD -

]<947.30)(235.21)

+

(X. Y c)

+ Xo)(Yo + ... +

(670.53)(56.09)

+

y.)

(X E

+

+ XA)(Y A

-

YE )

(305.85)( -201.68)

l +

+ (339.52)( -176.99) + (756.90}(87.37) ] S

=

!

Problema. siguiente:

]326554.8100 - 121775.4720]

= 102389.6690

m'

Calcular la poligonal con los datos del registro de campo

Planimetría Levantamiento con tránsito de l' y cinta de acero, por el método de conservación de azimutes Est.

P.V. Distancias Azimutes

-O 1 2 3 4 O'.

49.39 41.98 42.17 47.14 38.28

1 2 3 4 O 1

'

Acatlán, Edo. de México 30-May-73 Levantó: Enrique Cárdenas

R .M.O .

353°31' '64°39' 156°59' 197°43' 295°46' 353°29'

N N S S N

153

Croquis y notas

6°30' W 65°00' E 23°00' E 18°00' W 64°00' W

-

$~

Az. de llegada. SOLUCIÓN

PLANILLA DE CALCULO Lados Est.

P.v.

O 1 2 3 4

1 2 3 4 O

--

SUMAS:

Distan- Azimutes cia observado

49.39 41.98 42.17 47.14 38.28 218.96

C

353°31' 64 °39' +1' 156°59' +1' 197°43' +2' 295°46' +2'

y

+E

W

+N

-- --

S

5.58 49.08 37.93 17.96 - -0.01 -0.01 16.48 38.81 14.37 ' 44.89 -0.01 34.46 16.66 -- - - -SUMAS: 54.41 54.41 83.70 83.70 +0.01

--

+E

-w

N+

-S

353°31' N 6°29' W 5.58 49.07 64 °40' N 64°40' E 37.94 17.96 157°00' S 23°()()' E 16.48 38.82 197°45' S lr45' W 14.37 44.90 295°48' N 64°12' W 34.46 16.66 SUMAS: 54.42 54.41 83.69 83.72

Correcciones Proyer:ciones corregidas x

Proyecciones sin corregir

Azimutes Rumbos compensadm calculados

V értices O

1 2 3 4

Coordenadas

X + 10.()() + 4.42 + 42.35 + 58.83 + 44.46 + 10.00

Y

I

+ + + + + +

Productos cruzados

(+)

(-)

--

20.00 88.409 0 69.08 690.8000 2925.5380 87.04 384.7 168 5 120.5632 48.23 2042.5405 2 i 14.3058 3.34 196.4922 33.4000 889.2000 20.00 SUMAS: 4203.7495 10312.2070 - 10312.2070 2S = - 6108.4575 S = - 3054.22875 m 2

* El signo de la superficie sólo indica el sentido en que se ha recorrido el polígono y en nada afecta su valor.

1S4

Curso básico de topografía

E¿l

= 353 °29'

T,l = +a E A

vn

- 353 °31' = +1'

=

v-S'

-2' +2'

= TA 0.03 p = 218.96 = 0.00014

= + 0.01 m E = - 0.03 ID E L = Y E .r"J + E:.!. = E.e

1

y

,j

~L

T

L

= 5000 =

0.03

y

218.96 5000

=

218.96 - 7299 0.03 0.01 K z = 108.83 = 0.00009 p

ID

= 0.04

1

ID

0.03 = 000018 K y = 167.41 .

PROBLEMAS 1.

Calcular el rumbo y la longitud del lado AB de un polígono conocidas las coordenadas de A y B. DATOS:

A( + 12.3;

+

16.8)

B(+153.4; + 130.2) SOLUCIÓN

Con el auxilio de un croquis se obtienen las fórmulas para calcular los elementos requeridos. (Fig. NQ 71.) N y I ___ II_ _ _ _ _ _ _ _

I

~-

B (XB, YB)

I

I

I

I

I

I Rbo AB

I I

I

YB

I

I I

. --lA (XA-:-VA)

-----i C I

J

+-~--~--------------~~X

O*XA)

XB

( Figura 71

Planimetría AC = X B BC

=

YB

-

XA

-

YA

155

Por trigonometría, en el triángulo rectángulo A CB de la figura, se tiene:

sen Roo AB

=

En la fónnula

XB-X A AB

AB =

XB

XA. sen Rbo. AB -

o

CD:

Si: X B - X A > 0, la proyección del lado AB sobre el eje X va hacia el E; pero si: X n - X A < 0, entonces la proyección del lado AB sobre el eje X va hacia el W. De la misma manera: YB - Y A > 0, la proyección del lado AB sobre el eje Y va hacia el N; pero si: Y B - Y A < 0, entonces la proyección del lado AB sobre el eje Y va hacia el S. Si:

Sustituyendo ahora las coordenadas conocidas de A y B, en las fórmulas CD y 0, se halla: +(E)

tan Rbo AB = 153.4 - 12.3 = 141.1 = 1 244268 113.4 . 130.2 - 16.8

+(N) Rbo AB

=N

51°13' E

AB = 153.4 - 12.3

sen 51 ° 13' 141.1 0.77952 = 181.01 AB

=

181.01 m

156

Curso básico de topografía El cálculo por logaritmos del problema planteado, se dispone de la manera siguiente: log tan Rbo AB log AB 10g(Xn

= Iog(XB = 10g(XB

XA) =

-

-

XA)

-

XA)

2.1495~7

YA) = 2.054613 log tan Rbo AB =-0.094914

- 10g(YB

-

-

(1)

log sen Rbo AB 10g(XB

-

(2)

X A ) = 2.149527

- log sen Rbo AB = 9.891827 log AB = -2~257706

Rbo AB = N 51 ° 13' E 2.

Y ..d

Iog(Y u -

¡

AB

=

181.01

ID

I

En dos lados consecutivos AB y BC de un polígono se conocen la longitud del primero, el rumbo del segundo y las coordenadas de los vértices extremos. Calcular el rumbo del primer lado y la longitud del segundo. DATOS:

AB = 1275.89 m

Rbo BC

=

S 55°33' E

A (-3448.0; C( -1564.7;

Roo AB

=

+ 15492.8) + 14508.4)

?

BC =?

SOLUCIÓN

a)

b)

:para ,facilitar la solución del problema, se dibujará un croquis formando el triángulo ABC, cuyos ángulos interiores los designaremos a, f3 y y . (Fig. N9 72.) Cálculo del rumbo y longitud del lado AC. (E)

Xc - X A

tan Roo AC = - - - Y(' - YA

- 1564.7 - (-3448.0) 14.508.4 - 15492~8- -

+ 1883.3 - 984.4

(S) Rbo AC = S 62 °24' E

Planimetría

AB' =AB

B' \ '

vi" \JI' \

157

"

""

\ \\ \

\

" "-

\

N

"-

"-

""

Figura 72

AC

=

Xc - X A sen Rbo AC -

1883.3 0.886203

= 2125.12

AC = 2125.12 m

e)

Cálculo del ángulo

"y:

En el croquis se ve que: y =

Rbo AC - Rbo BC

= 62 °24' - 55 °33' = 6 °51'

Cálculo del ángulo ,(3:

d)

La ley de los senos aplicada al triángulo ABC, da: sen ¡fJa

=

AC sen "Y AB

=

2125.12 sen 6°51' 1275.89

=

O 1986 . 57

(3' = 11 °28'

este ángulo es el suplemento del ángulo /3 dibujado en el croquis. (3

= 180° - 11 °28' = 168°32'

En el triángulo ABC se conocen los lados AB y AC y el ángulo y opuesto al lado AB. El problema admite dos soluciones, una tomando (3' = 11 °28' Y otra, su suplemento f3 = 168 °32'. ll.l

SOLUCIÓN:

/3' = 11 °28'

158

Curso básico de topografía e)

Cálculo del ángulo a':

a' = 180° -

f)

({3'

+ 'y) =

180° - (11°28'

+ 6°51')

Cálculo del rumbo del lado AB': Rbo AB' = (Rbo AC + ,a ') - 180° = = (62°24' + 161 °41') - 180° Rbo AB'

= 161°41'

= 224°05' - 180

0

= N 44 °05' W

Cálculo de la longitud del lado B'C:

g)

B'C

=

AB' sen ,a ' = 1275.89 sen 161 °41' = 3361.87

sen

'y

I

B'C

sen 6 °51 '

= 3361.87 m

I

2~ SOLUCIÓN:

e)

Cálculo del ángulo a: a = 180° - ({3 + y)

=

180° - (168 °32'

f)

= 4°37'

Cálculo del rumbo del lado AB: Rbo AB

;::=

I g)

+ 6°51')

Rbo AC

+ ,a =

62°24'

+ 4°37' =

67 °01'

Rbo AB = S 67 °01' E

Cálculo de la longitud del lado BC: BC = AB sen a

sen y

=

1275.89 sen 4°37' _ sen 6 °51'

I BC == 861.03

m

3. Calcular los rumbos de dos lados consecutivos de un polígono, conociendo sus longitudes y las coordenadas de los vértices extremos. DATOS:

AB = 816.40 BC

=

ID

922.80 m

Planimetría

1S9

A (+ 124.8; + 79.6)

C( + 1598.7; +927.9) Rbo. AB =? Roo. BC =? SOLUCIÓN

Con los datos proporcionados dibújese un croquis. (Fig. N9 73.)

a)

e

N

Figura 73

o

AB = AB' BC = B'C b)

Cálculo del rumbo y de la longitud del lado A C del triángulo ABC, cuyos ángulos .a, f3 y y se indican en el croquis. (E)

tan Roo. AC

=

1598.7 - 124.8 927.9 - 79.6

X o - X.a Yo - YA

+ 1473.9 + 848.3 (N)

AC =

lag 1473.9

Xo - XA

1473.9

sen Rbo AC

sen 60°05'

= 3.168469

- lag 848.3 = 2.928549 lag tan Roo. AC = 0.239920 "".

Rbo AC

= N 60 c 05' E

lag 1473.9

= 3.168469

- lag sen 60°05' = 9.937895 lag AC. = 3.230574 ...

AC = 1700.49 m

Planimetría d)

Cálculo de los rumbos de los lados AB y Be:

1~ SOLUCIÓN:

Figura 74

Rbo AB

= Roo

AC - a

=

60°05' - 12°54'

Roo AB = N 47°11' E Rbo BC = Rbo AC

I

+y =

60°05'

+ 11 °22'

Rbo BC = N71°27' E

2~ SOLUCIÓN:

Rbo AB'

= Rbo

I 11

AC

+ a = 60°05' + 12°54'

Roo AB' = N 72°59' E

I

161

162

Curso básico de topografía

~"'igura

75

Rbo B'C = Roo AC - y = 60°05' - 11 °22' f'

I Rbo B'C = N 48°43' E I 4.

Calcular las longitudes de dos lados consecutivos de un polígono, conociendo sus rumbos y las coordenadas de los vértices extremos. DATOS:

Rbo AB = N 30°02' E Rbo BC ;:::: N 76°50' E A(- 10.4; -17.3)

C( + 101.6; +76.8) AB =? BC= ?

Planimetría

163

SOLUCIÓN

a)

Con los datos del problema planteado se dibuja un croquis para guiar las operaciones numéricas. (Fig. NQ 76.)

Rbo AB

Figura 76

b)

Cálculo del rumbo y longitud del lado AC del triángulo ABC. (E)

tan Roo AC

=

101.6 - (-10.4) 76.8 - (-17.3)

Xo - XA Yo - YA

+112.0 +94.1 (N)

AC =

Xo

XA sen Rbo AC -

log 112.0 = 2.049218 - log 94.1 = 1.973590 log tan Rbo AC = 0.075628 :.

Rbo AC = N 49°58' E

1U.O

sen 49°58'

log 112.0 = 2.049218 - log sen 49°58' = 9.884042 logAC:= 2.165176 AC

= 146.28 m

164

Curso básico de topografía e)

Cálculo de los ángulos interiores del triángulo ABC: A = Rbo AC - Rbo AB = 49 °58' - 30°02' = 19°56' B = a + f3 ::::: Roo AB + (180° - Roo BC) = = 30°02' '+ 103 °10' = 133°12' C = Roo Be - Rbo AC = 76°50' - 49 °58' = 26°52' Comprobación del cálculo de los ángulos del triángulo A BC : A + B + C = 19°56' + 133 ° 12' '+ 26°52' = 180°00'

d)

Cálculo de las longitudes de los lados AB y Be. Aplicando la ley de los senos al triángulo ABe, se tiene: AB

BC

AC

sen C

sen A

sen B

AB

=

Be

= AC

AC sen C = 146.28 sen 26°52' sen B sen 133 °12'

log 146.28 = 2.165176 + log sen 26°52' = 9'.655058 colog sen 133 °12' = 0.137291 log AB = 1.957525

:. I 5.

AB

=

90.68 m

sen A sen B

146.28 sen 19°56' sen 133°12'

log 146.28 = 2.165176 + log sen 19 °56' = 9.532661 colog sen 133 °12' = 0.137291 log Be = 1.835128

I

BC = 68.41 m

Durante el levantamiento del predio O - 1 - 2 - 3 - 4 - O, fue necesario fijar el punto auxiliar P, para salvar el obstáculo existente ,entre los vértices 1 y 2. (Fig. NQ 77.) Determinar el rumbo y la longitud del lado 1 - 2, así como los ángulos interiores O - 1 - 2 Y 1 - 2 - 3 del predio, con los datos siguientes obtenidos al calcular la poligonal O - 1 - P 2 - 3 - 4 - O. DATOS:

1 (+215.60; + 153.50) 2( + 144.90; +205.11) Rbo O - 1 = N 65°10' E Rbo 2 - 3 = S 84 °04' W Roo 1 - 2 = ? 1-2=? <0-1-2=? <1-2-3=?

Planimetría p

N

3

165

r-----=-~~

~\\\\\\'\

4

o o Figura 77

SOLUCIÓN

a)

Cálculo del rumbo y de la longitud del lado 1 - 2. (W)

144.9~ - 215.60

=

205.11 - 153.50

-70.70 = 1.370 +51.61 (N)

I Rbo 1- 2

=

=

XJ. sen Rbo 1 - 2 X2

I b)

1- 2 -

N 53 °52' W

70.70 sen 53 °52'

1 - 2 = 87.55 ro

70.70 0.8075

I

Cálculo de los ángulos interiore& O - 1 - 2 Y 1 - 2 - 3 del predio. En el croquis dibujado con los datos del problema, vemos que:

166

Curso básico de topografía

LO- 1 - 2

=

180° - (RbQ O - 1 + + Roo 1 - 2) = 180° - (65°10' L O- 1 - 2

L1- 2 - 3

= Rbo

I 6.

+- 53°52')

= 60°58' = 53°52'

1 - .2 + Roo 2 - 3

+ 84°04'

L 1 - 2 - 3 = 137°56' I

Conocidas las coordenadas de los vértices de un polígono: Calcular los rumbos y longitudes de los lados, así como los ángulos interiores; y b) Comprobar el cierre angular.

a)

DATOS:

Coordenadas Vértices

X

y

1 2 3 4 5

+40.00 +48.68 +35.24 + 5.43 + 1.54

+ 0.00 +32.80 +65.73 +48.55 + 5.39

SOLUCIÓN

a)

Cálculo de los rumbos y longitudes de los lados: (E)

tan Rbo 1 - 2

=

=

X z - Xl Y2 - YI

48.68 - 40 32.80 - O

=

+8.68 +32.80

=

0.264634

=

33.93

(N)

Rbo 1 - 2 2

1-

X2

-

Xl

_

= sen Roo 1 - 2

=N

14°49' 21" E

8.68 sen 14°49'21"

I

8.68 0.255825

ID

(W)

tan Rbo 2 - 3

=

X:J - X 2 Ya - Y:z

=

35.24 - 48.68 65.73 - 32.80

-13.44 +32.93

(N)

=

0.408138

Planimetría

I

Rbo 2 - 3 = N 22°12'08" W 2 - 3=

X3

13.44

X2

-

sen Rbo 2 - 3

161

13.44 0.377877 = 35.57 m (W)

tan Rbo 3 _ 4 = X 4 Y.l

-

-29.81 -17.18

X 3 = 5.43 - 35.24 Y:i 48.55 - 65.73

(S) 1

3 - 4

=

Roo 3 - 4 = S 60°02'40" W

X4 - X3 sen Rbo 3 - 4

29.81 29.81 sen 60°02'40" = ,0.866413 = 34.41 m

I

(W)

1.54 - 5.43 5.39- 48.55

-3.89 -43.16 = 0.0901297

(S)

I Roo 4 4 - 5

=

X s - X, sen Rbo 4 - 5

tan Roo 5 - 1 =

X

1

Yl

-x

S

-

Ys

5 = S 5°09'00" W 3.89 sen 5 °09'00"

3.89 0.089763 = 43 .34 m

I

(E)

40 - 1.54 0-5.39

-=-35~~~6

= 7.135436

(S) Rbo 5 - 1 '= S 82°01'20" E

5 - 1=

Xl - X s

sen Rbo 5 - 1

I

38.46 38.46 sen 82001'20" = 0.990322 = 38.84 m

I

Cálculo de los ángulos interiores del polígono. Una vez calculados los rumbos de los lados, con el auxilio de un croquis, pueden obtenerse fácilmente los ángulos interiores. (Fig. NQ 78.)

168

Curso básico de topografía

L 1 = Rbo 5 - 1 + Rbo 1 - 2 = 82°01'20" + 14°49'21"

I L 1 = 96 °50'41". I L 2 = 180° - (Rbo 1 - 2 + + Rbo 2 - 3) = 180° - (14 °49'21" + + 22°12'08")

60 ° 02'40"

I L 2 = 142°58'31" I

22 012'08"

L3

= Rbo 2 - 3

I

N L4

60°02'40"

L 3 = 82°14'48"

= (180 + Rbo 4 - 5) 0

=

- Roo 3 - 4 · 180° + 5 °09' - 60°02'40"

I L 4 = 125 °06'20" I

1

L 5 = 180° - (Rbo 4 - 5 '+ + Roo 5 - 1) = 180° - (5 °09'00" + + 82 °01'20")

Figura ,78

I b)

+ Rbo 3 - 4

= 22°12'08" '+

L 5 = 92°49'40"

Comprobación del cierre angular: Condición geométrica:

¡ ángs. interiores

=

180 0 (n- 2)

=

180°(3) = 540°00'

Suma de los ángulos calculados:

= L2 =

142°58'31"

L 3=

82°14'48"

L4

=

125 °06'20"

L5

=

92°49'40"

¡ ángs. ints.

=

540°00'00"

L 1

96°50'41"

Planimetría

7.

169

En el levantamiento del terreno triangular que se muestra en la figura N9 79, se midieron los rumbos y longitudes de los lados AB yAC.

Calcular el rumbo y la longitud def lado BC, así como los ángulos interiores del triángulo, haciendo la comprobación del cierre angular. N DATOS:

Roo AB

;:=

N 86°30' E

Rbo AC

=

S 12°00' W

117 .30

ID

AB = 117.30 m AC = 145.70 m

Rbo ·BC =? BC= ? LA =? LB =? LC =?

SOLUCIÓN

a)

Cálculo del ángulo A: LA = 180°

+ Rbo

AC - Roo AB

Figura

=

180°

7~

+ 12° - 86°30'

I LA = 105 °30' b)

Cálculo del lado BC: BC

= ~ AB2 + AC'2

- 2· AB-· AC · cos A

V (117.3)2 + (145.7)2 - 2(117.3) (145 .7)cos 105 °30' cos 105°30' BC

=

-cos 74 °30' = -0.267238

= V 13759.29 + 21228.49 + 9134.52 = V44122.30 , BC= 210.05 m

I

170

Curso básico de topografía e)

Cálculo de los ángulos B y C. Aplicando la ley de los senos al triángulo A BC, se tiene: sen B

sen C

AC

AB

- AC sen A Be

145.7 sen 105°30' 210.05

145.7 X 0.9636 210.05

=

117.3 sen 105°30' 210.05

117.3 X 0.9636 210.05

sen B sen C

sen A BC

AB sen A Be

sen 105°30'

d)

sen 74°30' l= 0.9636

sen B

= 0.6684

LB

= 41 °57'

I

sen C

= 0.5381

LC

= 32°33'

I

Cálculo del rumbo del lado BC: Rbo. Be = Rbo AB - LB

I Rbo BC e)

=

= 86 °30'

- 41 °57'

= S 44 °33' W

Comprobación del cierre angular. Condición geométrica : ~

ángs. interiores de un triángulo = 180°00'

Suma de los ángulos calculados: LA = 105°30' LB =

41 °57'

=

32°33'

LC ~

8.

ángs. interiores

= 180°00'

Con las coordenadas de los vértices de un predio, calcular: a) b) e)

Rumbos de los lados. Longitudes de los lados, y Angulos interiores, comprobando el cierre angular.

Planimetría DATOS:

Coordenadas Vértices

X

Y

A

-30.00 +30.00 +20.()() -20.00

-40.00 -20.00 +30.00 +60.00

B

e

D

SOLUCIÓN

a) y ' b)

Cálculo de los rumbos y longitudes de los lados:

(E) tan Roo AB

=

XB

-

X.A.

YB

-

YA

=

30 - (-30) + -60 - 3.O - 20 - (- 40) - + 20 -

(N)

I AB

=

Roo AB

=N

71°34' E

X B - X.A. _ __6=-0~~ sen Rbo AB sen 71 °34'

I

AB = 63.24 m

60 0.9487

=

63.24

=

0.2

=

50.94

\ (W)

tan Rbo Be =Xc - X B Yc - YB

=

20 - (+30) 30 - (-20)

=

-10 +50 (N)

I Be =

Rbo BC

N 11 ° 19' W

I

10 10 sen 11 °19' - 0.1963

X c "- X B

sen Roo BC

I

=

BC = 50.94 m

I (W)

tan Rbo CD

=

XD YD

-

-

Xc Yo

=

-20 - (+20) -40 60 - ( + 30) = +30 = 1.333

(N)

171

174

Curso básico de topografía b)

Cálculo de las coordenadas del vértice B: Coordenadas

A proys. AB B e)

X

Y

+200.00 +201.65 +401.65

+200.00 - 11.86 +188.14

Cálculo del rumbo y de las proyecciones del lado BC:

= 180

Rbo BC

(Rbo AB + Defl. BC) = = 180° - 170°23' = N 9°37' E

0 -

Proyecciones del lado BC: x y

=

=

BC sen Rbo BC BC cos Rbo BC

= =

250 sen 9°37' = = 250(.16706)

(E)

=

41.77 m

250 cos 9°37' = = 250(.98595) = 246.49 m (N)

d)

Cálculo de las coordenadas del vértice C: Coordenadas

B proys. BC C e)

X

Y

+401.65 + 41.77 +443.42

+188.14 +246.49 +434.63

Cálculo del rumbo y de la longitud del lado AC:

1+ tan Rbo AC

Xc - X A Ya _ YA -

=

443.42 - 200 434.63 - 200

=

(E)

243.42 234.63

=

1.03746

(N) Rbo AC

AC

=

= N 46°03' E I

Xc - X A sen Rbo AC AC = 338.10 ro

243.42 sen 46°03'

I

=

243.42 .71995

= 338.10

Planimetría

175

También se puede calcular A C aplicando la fórmula : AC= V(X O -X A)2+ (yo- YAF~

= V (243.42)~ +

10.

(234.63):!

=

338.09 m

Para levanta:- el predio ABCD fue necesario, por los accidentes del terreno, establecer un triángulo de apoyo, en el interior del predio, desde cuyos vértices, por radiaciones se fijaron los vérticesA. B, CyD. Con los datos del registro de campo siguiente, calcular: Las coordenadas de los vértices A, E, e y D; b) Los rumbos y las longitudes de los lados A B, BC, CD

a)

y DA;

e)

Los ángulos interiores, comprobando el cierre angular, y

d)

La superficie del predio. Libreta de campo

Levantamiento con tránsito de l' y cinta de acero, por el método de medida directa de ángulos Est. 1

2

57 ° 18' 229°50'

S 11°30' E

14 °07' 13r36' 234 ° 12'

N

B

181.00 51.58 48.80

1 D

52.35 48.95

108°35' 200°26'

N 69°00' W

3 C

3

~

R.M.O.

203.75 23.39

A

2

O

P.v Distancias

-- --

Tehuacán, Pue. 15-SEP-76 Levantó: F. Garda Lara

cierre angular: = 57° 18 ' 1 2 = 14°07' 3 = 108°35 ' ángs. obs = 180°00 '

Az 1 - 2

168°35'

=

N

EA.

3°00' E

=

O

SOLUCIÓN

Cálculo del triángulo de apoyo: Error angular:

Croquis y notas

EA = O

D

e

176

Curso básico de topografía

Azimutes de los lados del triángulo: Az 1 - 2

=

168 °35'

+ 180° 348 °35'

+L2 =

14°07' 362°42'

- 360° Az 2 - 3 = 2°42' + 180° 182°42'

+L3 = Az 3/ - 1

=

108°35' 291 °17'

- 180° 111 ° 17'

+ Ll= 57°18' Az 1 - 2 = 168°35' Conversión de azimutes a rumbos. 179°60' - 168°35' Rbo 1 - 2 = S 11 ° 25' E ,

Rbo 2 - 3

=N

2°42' E - 291 °17' Rbo 3 - 1 = N 68°43' W

Proyecciones de los lados del triángulo:

1- 2

X {

2 - 3

{

3 - 1

{

Ex Ey

= 203.75

y

=

X

=

y

=

X

=

y

=

= !X E = !y" -

sen 11 °25' = 203.75 ( .19794) = 40.33 E 203.75 cos 11 °25' = " (.98021) = 199.72 S

181.00 sen 181.00 cos

2 °42' = 181.00(.04711) = 8.53 E 2°42' = " (.99889) = 180.80 N

52.35 sen 68°43' 52.35 cos 68 °43'

= =

52.35(.93180) " (.36298)

48.78

=

+0.08 m

Iys = 199.80 - 199.72

=

+0.08 m

S: xw

=

48.86 -

= =

48.78 W 19.00 N

Planimetría

177

Error lineal: EL E L '=

VE! ,+

= V (0.08)2 +

E~

(0.08)2

=

0.11 m

Tolerancia lineal T L ¡L 437.10 T L = 3000 = .3000 = 0.15 m Compensación lineal del triángulo de apoyo. Factores unitarios de corrección: Ez Kz=----

0.08 000 97.64 = . 082

E1I K1I=---¡YN'+ ~Ys

3~~~2 = 0.00020

¡XE

,+ ~x w

Correcciones que se aplicarán a las proyecciones:

x

¡

y

Xl-.2

=

X 2- 3

=

8.53 X

"

= 0.01

X3- 1

=

48.78 X

"

=

0.04 "

Yl-2 = 199.72 X 0.00020

=

0.04 m

Y2~3 =

40.33 X 0.00082 = 0.03 m "

180.80 X

"

= 0.04 "

19.00 X

"

= -

40.33 - 0.03

=

40.30 E

Y = 199.72 '+ 0.04

199.76 S

8.53 - 0.01

= =

Y = 180.80 - 0.04

=

180.76 N

48.78 '+ 0.04 = 19.00 O =

48.82 W 19.00N

{ Y3-1

=

"

Proyecciones corregidas: 1_ 2 { x 2 _ 3 { x 3 - 1

= =

{X = y =

8.52 E

Después de aplicar las correcciones calculadas a las proyecciones de los lados del triángulo 1 - 2 - 3, se tiene: ¡XE -

¡ X lV =

48.82 -

48.82 = O

¡YN - ¡Ys = 199.76 - 199.76 = O 12

178

Curso básico de topografía Coordenadas de los vértices del triángulo: Para que el triángulo de apoyo y los vértices del predio ABCD, levantados por radiaciones, queden alojados en el primer cuadrante, se asumirá:

1 (+ 100.00;

+300.00)

Estaciones

X

y

1

+100.00 + 40.30

+300.00 -199.76

2

+140.30 + 8.52

+ 100.24 +180.76

3

+ 148.82 - 48.82

+281.00 + 19.00

1

+100.00

+300.00

~

$~

Los resultados del cálculo del triángulo de apoyo se anotan en una planilla, como a continuación se indica: Lados Est.

P.V. Distancias

- - -1 2 3

2 3 1

'1:,L=

203 .75 181.00 52.35

57° 18' 14 °07' 108°35'

437.10

180°00'

Correcciones

E

y

E

-0.03 -0.01 +0.04

+0.04 -0.04

40.30 8.52

O

48.82

W

W

168°35' S 11 °25' E 40.33 8.53 2°42' N r42' E 291 ° 17' N 68°43' W 48.86

SUMAS

Proyecciones corregidas

x

SUMAS

Proyecciones sin corregir

Angulos Rumbos Comp. Azimutes calculados

N

N

S 199.72

48.78

180.80 19.00

48.78 199.80 199.72

Coordenadas

S

Vértices

X

Y

199.76

1 2 3

+ 100.00 + 140.30 + 148.82

+300.00 +100.24 +281.00

180.76 48.82 19.00 48.82 199.76 199.76

Cálculo del rumbo y de las proyecciones de las líneas 1 - A, 2 - B, 2 - e y 3 - D. (Fig. NQ 81.)

180

Curso

básico de topografía

Roo 1 - A -= 180° - (229°50' - 68°43') = 180° - 161 °07' Rbo l-A=N18°53'W Rbo 2 - B =234°12' - (11°25' + 180°) = 234°12' - 19~025' Rbo 2 - B = S 42°47' W Rbo 2 -

e

= (180° + 11 °25') - 137°36' = 191 °25' - 137 °36' Rbo 2 - C = S 53°49' E Rbo 3 - D = (2°42' + 200°26') - 180° = 203°08' - 180° Rbo 3 - D =N 23°08' E Proyecciones:

l-A 2 - B 2-C

3-D

a)

{

x = 23.39 sen 18°53' = 7.57 W y = 23.39 cos 18°53' = 22.13 N

{

x = 48.80 sen 42 °47' = 33.15 W y = 48.80 cos 42 °47' = 35.82 S

{

x = 51.58 sen 53 °49' y = 51.58 cos 53°49'

{

x = 48.95 sen 23°08' = 19.23 E y = 48.95 cos 23 °08' = 45.01 N

Cálculo de las coordenadas de los vértices del prediO'.

1 Proys. l-A

~

= 41.63 E = 30.45 S

$~

(+ 100.00; -

+300.00)

A

7.57; (+ 92.43;

'+ 22.13 -+ 322.13)

2

(+ 140.30;

+ 100.24)

+ 41.63; (+ 181.93;

-

(+ 140.30;

+ 100.24)

- 33.15; (+ 107.15;

- 35.82 + 64.42)

(+ 148.82;

+281.00)

+ 19.23; (+ 168.05;

+ 45.01 +326.01)

Proys. 2-C C

2 Proys. 2-B B

3 Proys. 3-D

D

30.45 + 69.79)

Planimetría

181

Cálculo de los rumbos y longitudes de los lados AB, Be, CD y DA.

b)

(E) Rbo AB

=

XB YB

-

-

XA YA

= 107.15 - 92.43

+14.72 -257.71

64.42 - 322.13

= 0.057118

(S)

I AB

=

Rbo AB

= S 3° 16' E

14.72 sen 3°16'

XB - XA sen Rbo AB

I

14.72 0.05698

= 258.34

I

AB ·= 258.34 m

(E) Rbo BC = Xc - X B = 181.93 - 107.15 Yc - YB 69.79 - 64.42

+74.78 = 13.92551 1+5.37 ~

(N)

I BC

=

$~

Roo BC '= N 85"53'.5 E 74.78 sen 85°53'.5

Xo - XB ----=-:----=-__=_ sen Rbo BC

74.78 0.99743

BC = 74.97 m

= 74.97

I (W)

Rbo CD = X D YD

-

-

Xc = Yo

168.05 - 181.93 326.01 - 69.79

-13.88 +256.22

= 0.05417

(N)

I Rbo CD = N 3°06' W CD

=

XD

Xo

-

sen Rbo CD

13.88 sen 3 °06'

13.88 0.05408

= 256.66

CD = 256.66 m (W)

Rbo DA

=

-

XD

= 92.43 - 168.05

YA -

YD

322.13 - 326.01

XA

-75.62 - 3.88

(S)

=

19 48969 .

182

Curso básico de topografía

I Roo DA = S 87°04' W DA

=

75.62 sen 87°04' -

X A -XD

sen Roo DA

I e)

DA

= 75.72

m

75.62 0.99869 = 75.72

I

Cálculo de los ángulos interiores del predio ABCD.

Una vez conocidos los rumbos de los lados del predio, se dibuja un croquis que permite obtener los ángulos interiores con mayor facilidad. A = 180° - (Rbo AB = 180° -

B

= Rbo

AB

= 3°16'

C

D

= =

(3°16'

+ Roo

+ 87°04')

+ 85°53'.5 = 89°09'.5

180° -

+ Roo CD) (85°53'.5 + 3°06') = 91°0'.5

CD

== 3°06'

= 89°40'

+ RboBC

180° - (Roo BC

= Rbo

DA)

+ Roo

DA

+ 87°04' = 90°10'

Comprobación:

Planimetría

N

N

A

3 016'

N N

3 0 06' B

85° 53'.5

Figura 83

e

183

184

Curso básico de topografía d)

D

• Dobles superficies

Coordenadas

Vértices A B C

Cálculo de la superficie del predio.

X

Y

+ 92.43 + 107.15 + 181.93 +168.05

+322.13 + 64.42 + 69.79 +326.01

X ..- 1 + X ..

199.58 289.08 349.98 260.48

Y .. -

Y .. - J

-257.71 + 5.37 +256.22 - 3.88 SUMAS

~

2S

=

s=

-

+

.51433.7618 1552.3596 89671.8756 1010.6624 52444.4242

91224.2352 52444.4242 38779.8110 19389.9055 m.2

Comprobación del cálculo de la superficie.

Vértices

-A

B

e D A

11.

Productos cruzados

Coordenadas X

Y

+ 92.43 +107.15 + 181.93 + 168.05 + 92.43

+322.13 + 64.42 + 69.79 +326.01 +322.13

\¡+

.l'-

34516.2295 11719.9306 11728.2095 30133.1043

5954.3406 7477.9985 59310.9993 54133.9465 126877.2849 88097.4739 SUMAS: 88097.4739 38779.8110 2S = s = 19389.9055 m.2

Con los datos del registro de campo que a continuación se inserta, calcular: a)

Las coordenadas de los vértices del predio ABCD;

b)

Los rumbos y las longitudes de los lados AB, BC, CD y DA;

c)

Los ángulos interiores A, B, C y D, Y

d)

La superficie.

Planimetría

185

Libreta de campo Levantamiento con tránsito de l' Y cinta de acero, por el método de medida directa de ángulos EsJ. O

1

2

P.V. Distancia:

Piedra Gorda, Cuautitlán 29-JUN-74 Levantó: E. Garda Castro

R.M.O.

-& 101 °02' 243°00'

S 46°30' E

A

31.96 23.60

2 B

49.96 20.46

92°30' 236°05'

N 46°00' E

3 C

47.72 18.90

101°55' 206° 16'

N 32°00' W

1

Croquis y nOH1S

r

O

D

62.93 23.20

S 32°30' W

~

:.--

N

!

~1Ji:onaJ

\'h rí'\ ~ A

J

133°32'

-;¡ -.~.

\ I

64°33' 213 °02'

=

e

3

I

3

Az 0- 1

Cal le Leona Vicario

8

SOLUCIÓN

Cálculo de la poligonal de apoyo. Error angular (EAJ LO=101°02'

~

L 1

=

L2

= 101 °55'

L 3 = 64°33' ángs. obs = 360°00'

ángs. ints

Azimutes de los lados: Az O - 1 = 133 °32'

+ 180°

92°30'

Condición geométrica: ~

-

= 360°00'

313 °32'

+ L1=

92°30' 406°02' - 360° Az 1 - 2 = 46°02'

+ 180° 226°02' + L 2 = 101 °55' Az 2 - 3 = 327°57' - 180° 147°57' +L3 = 64°33' Az 3 - O = 212°30' - 180° 32°30' + .L 0 = 101 °02' Az O - 1 = 133°32'

df" apoyo

186

Curso básico de topografía

-

Conversión de azimutes a rumbos:

179°60' - 133°32' S 46°28' E -

359°60' - 327°57' N 32°03' W

212°30' - 180° S 32°30' W

Proyecciones de los lados:

0-1

31.96 sen 46°28' = { Yx === 31.96 cos 46°28' =

1- 2

{ Y = 49.96

31.96(.72497) = 23.17 E 31.96(.68878) = 22.01 S

x = 49.96 sen 46°02' = 49.96(.71974) = 35.96 E cos 46°02' = 49.96(.69424) = 34.68 N

2-3

{

x = 47.72 sen 32°03' = 47.72(.53066) = 25.32 W y = 47.72 cos 32°03' = 47.72(.84759) -:- 40.45 N

{

x = 62.93 sen 32°30' = 62.93(.53730) = 33.81 W y = 62.93 cos 32°30' = 62.93(.84339) = 53.07 S

3-0 -

Errores Ez =

Ex

¡XE -

y By:

¡xw = 59.13 - 59.13/= O

ElI ;:::: ¡YN - ¡Ys = 75.13 - 75.08 = +0.05 m

-

Error lineal (EJ:

V E; + t:; = V O + (0.05 F = 0.05 m - Tolerancia lineal (T J: EL =

¡L = 192.57 = 006 T L = 3000 3000 . m -

Compensación lineal de la poligonal de apoyo.

Factores unitarios de corrección: O 118.26 = O 0.05 = 0.00033 15-0.21

Planimetría

-

187

Correcciones que se aplicarán a las proyecciones:

y

YQ-'.l

= 22.01

Yl~

= 34.68 X

"

= 0.01 "

= ==

40.45 X

"

=

53.07 X

"

= 0.02 "

)':2--3 Y.3-'O

-

X

0.00033

= 0.01

m

0.01 "

Proyecciones corregidas:

{x:...... Y=

O_ 1 .

23.17 22.01 ,+ 0.01 I

=

23.17 E

= 22.02 S

1 - 2 { x = 35.96 = 35.96 E Y = . 34.68 - 0.01 = 34.67 N X =:

2 - 3

{

3- O

{

=

Y

X =:

-

=

y

25.32 40.45 - 0.01

=

=

25.32 W 40.44 N

33.81 53.07 1+ 0.02

= =

33.81 W 53.09 S

Coordenadas de los vértices de la poligonal de apoyo: Est.

X

Y

O

+ 100.00 + 23.17

+ 100.00 22.02

1

+123.17 + 35.96

+ 77.98 + 34.67

2

+ 159.13 - 25.32

+ 112.65 + 40.44

3

+ 133.81 - 33.81

+153.09 - 53.09

O

+100.00

+100.00

~

$~

Planilla de cálculo Lados Est.

O

31.96 49.96 47.72 62.93

101 °02' 92°30' 101°55' 64 °33'

SUMAS:

192.57

360°00'

O 1 2 3

Proyecciones sin corregir

Angulos Azimu- Rumbos P.V. Distancias Comp. tes calculados 1 2 3

133 °32' 46°02' 327°57' 21Z030'

S N N S

E

W

N

46°28' E 23.17 46°02' E 35.96 32°03' W 25.32 32°30' W 33.81

34.68 40.45

59.13 59.13

75.13

SUMAS

'.

S 22.01

53.07 75.08

Curso básico de topografía

188

Correcciones x --

-

Proyecciones corregidas

y

E

+0.01 -0.01 -0.01 +0.02

23.17 35.96

SUMAS

W

S

22.02 25.32 33.81

59.13

N

59.13

34.67 40.44 53.09 75.11

Vértices

° 1 2 3

Coordenadas

X + 100.00 +123.17 + 159.13 + 133.81

Y + + + +

100.00 77.98 112.65 153.09

75.11

Cálculo del rumbo y de las proyecciones de las líneas O - A, 1 - B, 2 - e y 3 - D. (Fig. NQ 84.) D

e A

Figura 84

Planimetría

Rbo O - A

= 360°

- (32°30' + 243°00')

Rbo O - A = N 84°30' W

Roo

1- B

=

236°05' - (46°28' + 180°00')

Rbo 1 - B = S 9°37' W

Roo

2 - C

Rbo 2 - C

Roo

3- D

.. (206°16' + 46°02') - 180°00'

= N 72 °18' E = 213°02' - (32°03'

+ 180°00')

Rbo 3 - D = N 0°59' E Proyecciones: 23.60 cos 84 °30'

= =

= =

20.46 sen 20.46 cos

9°37' 9°37'

y

= =

3 - D { x

=

y

==

. x

O-A 1-B

{

y

{

x y X

2 - C

a)

{

= =

23.49 W

23.60(.09585)

= =

= =

20.46(.16706) 20.46(.98595)

= =

3.42 W 20.17 S

18.90 sen 72°18' 18.90 cos 72° 18'

= =

18.90(.95266) 18.90( .30403)

= =

18.01 E 5.75 N

23.20 sen 23.20 cos

= =

23.20(.01716) 23.20(.999,85)

= =

0.40 E 23.20 N

23.60 sen 84°30'

0 °59' 0°59'

23.60(.99540)

2.26 N

Cálculo de las coordenadas de los vértices del predio. (+ 100.00; O Proy. O - A - 23.49; (+ 76.51; A

+ 100.00) + 2.26 + 102.26)

2 (+159.13; Proy. 2 - C + 18.01; C (+177.14;

+ 112.65) + 5.75 + 118.40)

(+123.17; 3.42; Proy. 1-B B (+119.75;

+ 77.98) 20.17 + 57.81)

(+133.81; 3 Proy. 3-D + 0.40; D (+134.21;

+ 153.09) 23.20 + 176.29)

1

~

$~

+

189

190

Curso básico de topografía .

b)

Cálculo de los rumbos y longitudes de los lados AB, Be, CD y DA. (E)

tan Roo AB = X B

-

YB

-

I AB

=

XA YA

=

119.75 - 76.51 57.81 - 102.26

1+43.24 -44.45

= 097278 .

(S) Roo AB ,= S 44°13' E

X B - X,A. sen Rbo AB

43.24 sen 44°13' AB 1= 62.00 m

43.24 0.69737

= 62 00 .

I (E)

tan Roo BC

=

Xc - X B Yc - YB

=

+ 57.39 = 094719

177.14 - 119.75 118.40 - 57.81

+ 60.59

.

(N)

Roo BC = N 43°27' E BC

=

Xc - X B sen Roo BC

_

57.39 57.39 sen 43°27' - 0.68772 = 83.45

¡ BC = 83.45

m (W)

tan Roo CD

=

XD YD

-

Xc Yo

=

134.21 - 177.14 176.29 - 118.40

= -

42.93 + 57.89

=

(N)

I Roo CD= N 36°34' W ¡ CD =

X D - Xc 42.93 42.93 sen Roo CD - sen 36°34' - 0.59576 = 72.06

074158 .

Planimetría

I Rbo DA DA =

X,A - X D sen Roo DA

= S 37°56' W

57.70 sen 37°56'

I

57.70 = 93 86 0.61474 .

DA = 93.86 m e)

Cálculo de los ángulos interiores del predio ABCD.

Estos se hallan con el auxilio del croquis siguiente:

6° 34'

44 0 13'

B

Figura 85

191

Curso básico de topografía

192

A = 180° - (Roo AB

=

180° - (44°13'

B = Roo AB

C

= = =

D =

-+-

+

Rbo DA)

+ 37 °56') = 97°51'

Rbo Be

+ 43 °27' = 87°40' 180° - (Roo BC + Rbo CD) 180° - (43°27' + 36 °34') = 99°59' Rbo CD + Rbo DA 44° 13'

Comprobación: A =

97 °51' 87°40' C = 99°59' D = 74°30' ángs. ints. = 360°00' B =

~

d) Vértices -A

B

e D

Cálculo de la superficie del predio. Coordenadas X

Y

+ 76.51 +119.75 + 177.14 + 134.21

+102.26 + 57.81 + 118.40 +176.29

Dobles superficies X"- J

+X

196.26 296.89 311.35 210.72

ft

Y,,- Y"- J

+

-44.45 +60.59 +57.89 -74.03

17988.5651 18024.0515

SUMAS

2S

=

s

8723 .7570

36012.6166 24323.3586 11689.2580 = 5844.6290 m 2

Comprobación del cálculo de la superficie: Coordenadas

Vérti ces

-AB

e D A

X + + + + +

76.51 119.75 177.14 134.21 76.51

Productos cruzados y

\1+

-

,1'-

+102.26 12245.6350 + 57.81 4423 .0431 10240.4634 + 118.40 14178.4000 15890.4640 +176.29 31228.0106 13487.9479 +102.26 13724.3146 SUMAS: 63553.7683 51864.5103 51864.5103 2S = 11689.2580 s = 5844.6290 m 2

15599.6016 24323.3586

Planimetría

12.

193

Una barda de piedra en el lindero oriente del predio O - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - O impidió hacer estación con el tránsito en los vértices 3, 4, 5 Y 6 del mismo. En consecuencia, se establecieron las estaciones A, B Y C, para levantar por radiaciones los . vértices mencionados. Calcular, con los datos del registro de campo siguiente: a. La poligonal O - 1 - 2 - A - B - C - 7 - O; b. Las coordenadas de los vértices 3, 4, 5 Y 6; c. Los ángulos interiores del predio, y d. La superficie del mismo. Libreta de campo Toluca de Lerdo, México 23-MAY-77 Levantó: A. García Lara

Levantamiento con tránsito de l' y cinta de acero, por el método de medida directa de ángulos Est.

P. V. Distancias

O

1

147.50

1

2

87.30

2

A

34.06

B 3

250.50 19.40

C

78.17 20.27 10.04

Á

B

4 5

I

B-

Croquis y

R.M.O.

270°01'

no~a.J.

Az 0- 1 = 81 °08'

N 81 °00' E

N

4°30' E N S 000' E

218° 16' S 4rS2'

177°33' S 7°00' E 109°42' S 75°00' E 139° 11' S 45°00' E

B

-

~ 5

C

7 6

146.40 13.09

7

o

280.00

263°41' 143°17'

S 7rOO' W S 44°00' E

-

6

7

SOLUCIÓN

a.

Cálculo de la poligonal O - J - 2 - A - B - C - 7 - O.

LO = 270°01' L 1 = 90°29' L 2 = 325 °33' LA = 218°16' LB = 177 °33' L C = 263°41' L 7 = 274°25' -.;' ángs. obs = 1619 c 58'

(1)

Curso básico de topografía

194

Condición geométrica:

¡ ángs. exteriores = 180° (n + 2) n=7 ¡ ángs. exteriores = 180°(9) = 1620°00' Error angular: EA Tolerancia angular:

==

1619 °58' - 1620°00' = -2' -- .. T A = +ay n = +1'y 7 = +2.6'

r

(2)

EA

<

TA

Compensación angular: Orden Est.

n

7

= EA = 2 =

3

La corrección angular C se aplicará, con signo contrario al error, a los ángulos observados en las estaciones 2 y C. Est.

Angs. observados

o

270°01' 90°29' 325 °33' 218 ° 16' 177 °33' 263 °41' 274°25'

1 2 A B

C 7

e

+ l' + l'

Angs. compensados

270°01' 90°29' 325°34' 218°16' 177°331' 263°42' 274°25'

+2'

SUMAS:

Azimutes de los lados: 317 ° 11'

Az O - 1 =

81 °08' + 180° 261 °08' + L 1 = 90°29' Az 1 - 2 = 351 °37' - 180° 171 °37' + L 2 = 325°34' 497 °11' - 360° -Az 2 - A = 137° 11 ' + 180 0 317 ° 11'

+ LA = 218°16' 535 °27' - 360° Az A - B = 175°27' + 180° 355°27' + LB = 177°33' 533°00' - 360° Az B - C = 173 °00' + 180° 353°00' + L C = 263°42' 616 b42'

Planimetría 195 351 °07' - 180° 171 °07' + LO = 270°01' 441 °08' - 360° Az O - 1 = 81 °08'

616 °42' - 360° Az C - 7 = 256°42' - 180° 76 °42' + L 7 = 274°25' Az 7 - O = 351 °07' Conversión de azimutes a rumbos: Rbo O - 1 = N 81 °08' E

180° - 173° Rbo B - C = S 7 °00' E

359 °60' - 351 °37' Rbo 1 - 2 = N 8 °2 3' W

256°42' - 180° Rbo C - 7 = S 76 °42' W

179 °60' - 137°11' Rbo 2 - A = S 42 °49' E

•

359°60' - 351 °07' Rbo 7 - O = N 8 °53' W

179°60' - 175°27' Rbo A - B = S 4 °33' E Proyecciones de los lados:

0-1 { yx

= =

147.5 147.5

87.3 1 - 2 { yx= = 87.3

sen 81 °08' cos 81 °08' sen cos

8°23' = 8°23' =

x= 34.06 sen 42°49' 2-A { y= 34.06 cos 42°49' A _ B {

x = 250.5 sen = 250.5 cos

y

B _ C { x = y =

C _ 7 { x y

7 _ O { x y

78.17 sen 78.17 cos

= 147.5 (.98805) = 145.74 E = 147.5 (.15414) = 22.74 N 87.3 ( .14580) = 12.73 W 87.3 (.98931) = 86.37 N

= 34.06(.67965) = 23.15 E = 34.06(.73353) = 24.98 S

4°33' = 250.5 (.07933) = 19.87 E 4°33' = 250.5 (.99685) = 249.71 S 7 °00' = 7°00' =

78 .17(.12187) = 78.17(.99255) =

= 146.4 = 146.4

sen 76°42' = 146.4 (.97318) cos 76°42' = 146.4 (.23005)

= 280.0 = 280.0

sen cos

9.53 E 77.59S

= 142.47 W = 33.68 S

8°53' = 280.0 (.15442) = 43.24 W 8°53' = 280.0 (.98800) = 276.64 N

196

Curso básico de topografía Errores Ex y By:

Ex = ¡XE - ¡Xw = 198.29 - 198.44 = -0.15

ID

E y = !.YN - ¡Ys = 385.75 - 385.96 = -0.21

ID ..

Error lineal: EL =

V E2x + E y2 ' V (-0.15)2 + (-0.21)2 = 0.26

ID

Tolerancia lineal:

=

T L

¡L

3000

=

1023.93 3000

=

O 34 .

ID

Compensación lineal de la poligonal. Factores unitarios de corrección: 0.15 396.73

=

0.0

00

0.21 771.71

=

0.00027

38

Correcciones que se aplicarán a las proyecciones:

X

Xo-'l

=

X l -2

-

12.73

"

---

-X:2-A

=

23.15

"

XA - B

=

19.87

"

= =

X B-C

=

9.53

"

- --

X C-7

=

142.47

"

X7-'O

43.24

"

= =

Y{)--l

22.74(0.00027)

Yl-2 -

86.37

"

145.74(0.00038)

y'2-A

=

24.98

"

YA-B

=

249.71

"

77.59

"

Y C-7

= -

33. 68

"

Y 7-'0

=

276.64.

"

y YB- C

=

0.06

ID

0.01 " 0.01 " 0.05 " 0.02 "

= 0.01 = 0.02 = 0.01 = 0.07 = 0.02 = 0.01 = 0.07

ID

" " " " " "

e

Planimetría

197

Proyecciones corregidas.

Aparecen anotadas en la planilla de este problema y se obtienen aplicando a las proyecciones, las correcciones calculadas. Coordenadas de los vértices de la poligonal:

~

$~

Y

X

Est.

O

+100.00 +145.80

+400.00 + 22.75

1

+245.80 - 12.73

+422.75 + 86.39

2

+233.07 + 23.16

+509.14 - 24.97

A

+256.23 + 19'.88

+484.17 -249.64

B

+276.11 + 9.53

+234.53 - 77.57

e

+285.64 -142.42

+156.96 - 33.67

7

+143.22 - 43.22

+123.29 +276.71

O

+100.00

+400.00

PLANILLA DE CALCULO Lados Est. O

1 2 A B

e

7

Distancias P.V.

1 2 A B

e

7

o SUMAS:

147.50 87.30 34.06 250.50 78.17 146.40 28Ó.00 11023.93

Angulos compenRumbos Azimutej calculados sados

270°01' 90°29' 325°34' 218 ° 16' 17r33' 263 °42' 274 °25' 1620°00'

81 °08' 351 °37' 137° 11' 175°27' 173 °00' 256°42' 351 °07'

N N S S S S N

Proyecciones sin corregir +E

81 °08' E 145.74 8°23' W 42°49' E 23.15 4°33' E 19.87 7°00' E 9.53 76°42' W 8°53' W SUMAS: 198.291

W

+N

12.73

22.74 86.37

-s 24.98 249.71 77.59 33.68

142.47 43.24 276.64 198.44 385.75 385.96

Curso básico de topografía

198

Correcciones

Proyecciones corregidas

x

y

+E

+0.06

+0.01 +0.02 -0.01 -0.07 -0.02 -0.01 I +0.07

145.80

+ 0.01 +0.01

-0.05 -0.02

12.73

+N

198.37

142.42 43.22 198.37

-s

22.75 86.39 24.97 249.64 77.57 33.67

23.16 19.88 9.53

SUMAS:

b.

-w

276.71 385.85

Coordenadas

Vértices

Y

X + l00~OO

O 1 2

+24~.80

+233.07 +256.23 + 276.i 1 +285.64 +143.22

A B

C 7

+400.00 +422.75 +509.14 +484.17 +234.53 + 156.96 +123.29

385.85

Cálculo del rumbo y p'royecciones de las líneas A - 3, B - 4, B - 5 Y e - 6 Y de las coordenadas de lw vértices 3, 4, 5 Y 6 del predio. (Fig. NQ 86.) Rumbos:

Roo A - 3 = L 2A3 - Rbo 2 - A

=

= 47°52' - 42°49' = N 5°03' E

Rbo B - 4

= =

180° - (LAB4 - Roo AB) = 180° - (109°42' - 4°33') = S 74°51' E

Rbo B - 5

= =

180° - (LAB5 - Roo AB) = 180° - (139°11' - 4°33') = S 45°22' E

Roo C - 6

= =

180° - (LBC6 - Rbo BC) = 180° - (143°17' - 7°00')

= S 43°43' E

Proyecciones: A - 3

X {

=

19.40 sen

y = 19.40 cos

5°03' 5°03'

= =

19.40(.08803) 19.40(.99612)

= =

1.71 E 19.32 N

. x = 20.27 sen 74°51' = 20.27(.96524) = 19.57 E = 20.27 cos 74°51' = 20.27(.26135) = 5.30 S

B-4 { y B-5

C-6

= 10.04 sen 45°22' Y = 10.04 cos 45°22'

X {

X {

y

= =

13.09 sen 43°43' 13.09 cos 43 °43'

= =

10.04(.71162) = 7.14 E 10.04(.70257) = 7.05 S

=

13.09(.69109) 13.09(.72277)

=

=

=

9.05 E 9.46 S

Planimetría

N

2

6

Figura 86

199

200

Curso básico de topografía Coordenadas: A proy. A - 3 3

( +256.23; ....l1.71; ( + 257.94; I

+484.17) + 19.32 +503.49)

~

$~

B

4

( +276.11; + 19.57; ( +295.68;

+234.53) 5.30 +229.23)

B proy. B - 5 5

(+276.11; + 7.14; ( +283.25;

+234.53) 7.05 +227.48)

C proy. C - 6 6

( +285.64; + 9.05; ( +294.69;

+156.96) 9.46 +147.50)

proy. B - 4

.

Cálculo de los rumbos y longitudes de los lados 2 - 3, 3 - 4, 4 - 5, 5 - 6 y 6 - 7.

C.

(E) tan Rbo 2 - 3

=

X3

-

+!~~!~ = 4.401770

257.94 - 233.07 503.49 - 509.14

X2

Y3 - Y 2

(S)

I 2 - 3

=

Rbo 2 - 3 ,= S 77 ° 12' E 24.87 sen 77 ° 12'

Xa - X2

sen Rbo 2 - 3

I

24.87 = 25.50 ro 0.97515

(E) tan Rbo 3- 4

=

X4

-

Xa

Y4

-

Y3

=

295.68 - 257.94 229.23 - 503.49

=

+ 37.74 - 274.26

=

O 137601 .

(S)

I Rbo 3 3- 4=

X4

-

X3

sen Rbo 3 - 4

4

=

S 7°50' E

37.74 sen 7°50'

I

37.74 0.13629

=

276.91

ID

Planimetría

201

(W)

X5 - X4 tan Rbo 4 - 5 = Y5 - Y 4

283.25 - 295.68 227.48 - 229.23

-=- 1:'~~3

= 7.102857

(S) Rbo 4 - 5 = S 81 °59' W

4- 5=

X 5 - X4 sen Rbo 4 - 5

12.43 . sen 81 °59'

12.43 . 0.99023 = 12.55 ro

(E) X6

-

X5

tan Rbo 5 - 6 = Y 6

-

Y5

294.69 - 283.25 147.50 - 227.48

+ 11.44 = O 143036 -79.98 . (S)

I 5 - 6=

X6

-

Rbo 5 - 6 = S 8 °08' E 11.44

X5

sen Rbo 5 - 6

-sen -8°08'

11.44 = 80.86 0.14148

ID

(W)

X1 tan Rbo 6 - 7 = Y 1

-

X6 143.22 - 294.69 Y 6 = 123.29 - 147.50

- 151.47,= 6.256506 - 24.21

(S) Rbo 6 - 7 = S 80°55' W 6 - 7 =

d.

X1 - X6 sen Rbo 6 - 7

151.47 sen 80°55'

151.47 0.98746 - 153.39

ID

Cálculo de los ángulos interiores del predio. (Fig. NQ 87.) L 0 '= 180° - (Rbo 7 - O + Rbo O - 1) = 180° - (8°53' '+ 81 °08')

L 1 = 180° = 180°

+ (Rbo O - 1 '+ Rbo + 81 °08' '+ 8°23' L 1 = 269°31'

1 - 2)

I

Planimetría

203

L 2 - ' Roo 2 - 3 - Rbo 1 - 2 = 77° 12' - 8°23'

L3 =

180~

=

180°

+ Roo 3 - 4 - Roo + 7°50' - 77°12' .

I =

¿4

L3

=

2 - 3

110°38' I

180° - (Roo 3 - 4 + Rbo 4 - 5) + 81 °59')

= 180° - (7°50'

L5

= 180° + Rbo 4 - 5 + Rbo 5 - 6 = = 180°

L5 L6

=

= 270°07' I

180° - (Roo 5 - 6

I L 7 = Roo 6 - 7

L6

+ 81 °59' + 8°08'

=

+ Roo

6 - 7) = = 180° - (8°08'

+ 80°55')

90°57'

+ Roo 7

- O = 80°55'

+ 8°53'

I L 7 = 89°48' Comprobación del cálculo de los ángulos interiores.

LO= 89°59' Ll= 269°31' condición geométrica: L2= 68°49' ~ ángs. ints = 180° (n - 2) L3= 110°38' ,L 4= 90° 11' n=8 L5:..-. 270°07' L6= 90°57' ¡ ángs. ints = 180°(6) = 1080°00' L7= 89°48' ~

ángs. ints '= 10'80°00'

Curso básico de topografía

204

e.

Cálculo de la superficie del predio. Coordenadas

Vértices

Y

X

+ 100.00 +400.00 +245.80 +422.75 +233.07 +509.14 +257.94 . +503.49 +295.68 +229.23 +283.25 +227.48 +294.69 + 147.50 +143.22 + 123.29

O

1 2 3 4 5 6 7

Dobles superficies X,.-l + X .. y,. - Y ..- l

345.80 478.87 491.01 553.62 578.93 577.94 437.91 243.22

+ 22.75 + 86.39 5.65 -274.26 1.75 - 79.98 - 24.21 +276.71

2S

.5

=

S

=

67301.4062 116537.9355 212448.5975 212448.5975 95910.6620 / 47,955.3310 m 2

Comprobación del cálculo de la superficie. Coordenadas Vértices O 1 2 3 4 5 6 7 O

X

+ 100.00 +245.80 +233.07 +257.94 +295.68 +283.25 +294.69 + 143.22 + 100.00

Y

Productos cruzados ~(+)

-

2774.2065 151835.8212 1013.1275 46223.6412 10601.8011

SUMAS

~ff

+ 7866.9500 41369.5793

/'(-)

98320.0000 +400.00 42275.0000 98530.3425 +422.75 +509.14 125146.6120 · 131327.5716 +503.49 117348.4143 148871.9232 64929.3975 +229.23 59127.5862 67036.0812 +227.48 67261.2864 21124.9500 + 147.50 41779.3750 12329.0000 + 123.29 36332.3301 +400.00 57288.0000 SUMAS: 546558.6040 642469.2660 642469.2660 95910.6620 25= S = 47,955.3310 m:2

I

CAPÍTULO

III

AGRIMENSURA La agrimensura (del latín ager-campo y mensura-medida) es la parte de la topografía que se ocupa de la medida y división de superficies de terrenos. La superficie se determina por cualquiera de los métodos siguientes: Métodos gráficos

Para aplicar estos métodos es necesario el plano de la figura para tomar los datos con ayuda de la escala. Se requiere además de una construcción del plano ejecutada con el mayor esmero, una escala bastante grande para medir con suficiente precisión las líneas necesarias, ya que las superficies se obtienen por medio del producto de las distancias y cualquier error que haya en éstas tiene mucha influencia en los resultados. Cuando no se tienen los datos requeridos para efectuar el cálculo de la superficie, se puede emplear alguno de los métodos que se exponen a continuación : 1. Dividir el polígono en figuras geométricas cuya superficie pueda calcularse con facilidad ( triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios) y medir gráficamente sobre el dibujo las longitudes de las líneas necesarias, a fin de poder aplicar las fórmulas correspondientes. Se puede tomar como unidad el milímetro cuadrado y multiplicar luego el resultado por el número de metros cuadrados que representa un milímetro cuadrado. Si, por ejemplo, la escala es 1: 500, cada milímetro cuadrado del dibujo representará 0.25 metros cuadrados del terreno. 2. Utilizar una cuadrícula de mica o papel tran spar,en te, dividida en milímetros cuadrados: Colocándola sobre el dibujo y contando el número de milímetros cuadrados dentro del polígono, apreciándose a ojo las fracciones, o b) Determinando gráficamente las coordenadas de los vértices con relación a un sistema de ejes elegidos de entre las líneas de la cuadrícula a)

206

Curso básico de topografía

y haciendo después el cálculo por alguna de las fórmulas que dan a conocer la superficie en función de las coordenadas. Métodos mecánicos

~ff

.5

Las superficies se pueden determinar mecánicamente, con planímetro. Los planimetros son instrumentos por medio de los cuales se va siguiendo con un punzón el perímetro del polígono dado, transmitiéndose este movimiento a un tambor graduado, en el cual se lee el número de revoluciones recorridas, siendo este número proporcional a la superficie. Existen dos clases de planímetros: polar y rodante. El planímetro polar es el que más se usa por la facilidad de su manejo. (En el capítulo relativo a los levantamientos con brújula y cinta figuran la descripción del planímetro polar y las reglas prácticas para su empleo.) Este método es útil cuando las superficies que se necesita conocer están limitadas por líneas curvas o son muy irregulares. Ordinariamente, se puede esperar en la medida de superficies pequeñas una precisión del 1 %, y en la medida de figuras de tamaño grande la precisión puede ser de 0.1 a 0.2 % . Métodos analíticos

Para aplicar estos métodos no es absolutam-ente indispensable un plano -exacto, cuyo único objeto es el de guiar las operaciones numéricas, obteniéndose el mismo resultado con un simple croquis del terreno, porque no se toma ningún dato directo del plano o del croquis. La superficie se determina analíticamente: .... Por Po; Por Por Por

triangulación del polígono; coordenadas; medio de las dobles distancias meridianas; la regla de los trapecios, y la regla de Simpson.

Triangulación del polígono

Este procedimiento sólo se emplea para polígonos de dimensio.nes reducidas y lo.s cálculos se basan en las medidas lineales y angulares hechas en el campo. La superficie de cada uno. de los triángulos en los que se puede dividir el terreno, se obtienen aplicando las fórmulas geométricas y trigonométricas procedentes.

Agrimensura

207

PROBLEMAS 1.

Calcular la superficie de un terreno triangular cuyos lados se midieron con cinta y comprobar el cálculo. DATOS:

FÓRMULA:

a = 203.75 m b = 181.00 " e = 52.35 "

s = Vs(s -

a) (s - b)s - e)

SOLUCIÓN

1

1

s=2 (a+b+e)

=2" (437.10) =218.55

s - a = 218.55 - 203.75 = 14.80 s - b = 218.55 - 181.00 = 37.55 s - e = 218.55 - 52.35 = 166.20

s=

V218.55(14.8) (37.55) (166.2)

=

4492.8999 m2

Comprobación:

1 1 S = -be sen A = - (181) (52.35) (0.948324)

2

2

= 4492.8509 m2

sen ~ = .f(s - b) (s - e) .= .... / (37.55) (166.2) = 2 "be " (181)(52.35) 0.811564; 2.

A

2

= 54°15';

A

= 108°30';

sen A = 0.948324

Calcular la superficie del triángulo con los datos que se indican en la Fig. NQ 88. DATOS:

=

A B =

e

=

38°40' 75°10' 104.70 m

FÓRMULA:

e 2 sen A sen B 2 sen C

S=------

208

Curso básico de topografía

\.1

~ff

Ac

.5

/

/ b

\

/

\

/

\ a

\

/

\

/ /

s=?

\

\

//

/

75010~

/,\38 4 0 ' ] A/

0

c= 104.70m Figura 88 SOLUCIÓN

s=

(104.7) 2 sen 38 040' sen 75 010' 2 sen 66 10' 0

(104.7)2(0.62479) (0.96667) . 2(0.91472)

s=

3618.9910 m 2

Método de las coordenadas

El procedimiento consiste esencialmente en encontrar las superficies de los trapecios formados al proyectar los lados del polígono sobre un par de ejes coordenados. Deducción de la fórmula gen.eral empleada para obtener la superficie de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices. (Fig. 89.) En la figura: XI, Yl; X ',! , y',!; ... , X 5 , Y5 son las coordenadas de los vértices 1, 2, . .. , 5, respectivamente. 1'2' = y : ! - Y 1 , es la proyección vertical del lado 1 - 2; 2'3' = Y a - y:!, es la proyección vertical del lado 2 - 3 ... y 5'1' = Y1 - y " la del lado 5 - 1. Obs~rvemos que la superficie del polígono 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 1 es igual a la suma de las superficies de los trapecios formados con los lados

Agrimensura

209

y

5

- - - ·2 'VM'#l.W){,/A-

-"1 ~~"~'.1 LL'kIJ~

y2

Y1

o

x Figura 89

1 - 2, 2 - 3 Y 3 - 4 menos la suma de las superficies de los trapecios formados con los lados 4 - 5 Y 5 - 1. Si designamos por S la superficie del polígono, se tendrá: S

=

~ 1'122'

~ 2'233'

+

+

~ 3'344' -

- ~ 4'455' -

~ 5'511'

(1)

Ahora bien, la superficie de un trapecio es igual a la mitad del producto de la altura por la suma de las bases, por tanto: S=

1

2"

(Xl

+X

2 )

(Y2

-

Yl )

+ 21 (X + Xa) 2

(Ya - Y. 2 )

+ 1

- 2 (X 4 + X 5 )

(Y4

2S = (X''.

-

Y5)

-

2:1

(X 5

+ Xl) (Y

5 -

4

(Xa

4)

(Y4

4)

4 -

3)

-

-

Y3)

Yl )

+ X 2) (Y2 - Y 1) + (X'2 + X 3) (Ya - Y.2) + + (X + X (Y Y (X + X (n - (X + Xl) (Y 3

5)

4

5

14

+X

5

Y5) Y1)

210

Curso básico de topografía

Efectuando las operaciones indicadas: 2S

= X :1Y.z

- X1Y 1 + XiY i - X'z Y 1 + XzY.a - X!Y~ + X"Y" X 4Y 4 + - XaY,z + X aY 4 X 9 Y 9 + X4Y.~ X 4 fa + X 4 Y 5 - X 5 Y 4 + X 5 Y 5 - X 5 Y 5 + XSY 1 - X 1Y 5 + X1Y 1

simplüicando: ~=~~-~~+~~-~~+~~-

- X 4Y a + X 4Y 5

X 5Y 4

-

+ XSY 1 -

X1.Y s

(2)

y sacando las x como factor, se encuentra: 2S = X1(Y Z

-

Y5)

+X

12

(Y.a - Y1)

+ X ,a (Y 1':2) + + X (Y S - Ya) + X 4 -

4

5

(Y1. - Y 4 )

Luego, "la doble superficie es igual a la suma algebraica de los productos que se obtienen multiplicando la abscisa de cada vértice por la diferencia entre la ordenada siguiente y anterior al vértice de que se trata". De una manera semejante se demuestra que "la doble superficie de un polígono es igual a la suma algebraica de los productos que se obtienen multiplicando la ordenada de cada vértice por la diferencia entre las abscisas siguiente y anterior al vértice considerado". Y, si en la igualdad ® se ordenan los términos, colocando primero los positivos y después los negativos, se halla: ~=~~+~~+~~+L~+~~-

- X 2 Y1. - X aY'2 - X 4 Ya - X SY 4

-

X'l.Y 5

A este resultado se puede llegar con mayor facilidad si se tabulan ordenadamente las coordenadas de los vértioes, repitiendo al final las del primero. Si se hacen los produotos cruzados se obtienen los mismos productos de la fórmula anterior. Coordenadas Vértices

1 2 3 4 5 1

X

Y

X'l Xz Xa X4 Xs X 'l

Y1

~

Y2 Ya Y4 Y5 Y1

7'(-)

(+)

X1Y1Z X :zYa X.gY4 X 4Y S XSY'l. ¡ Prod '\¡

/~ff

~

Productos cruzados

X'2 Y l XaY.2 X.Ya XsY. X1Y s ¡ Prod 7' -

S 1=

~

[

-

-

-

- --- --

--- -- - - - -

(.>: Prod '") - (1: Prod ;') ]

211

Agrimensura

PROBLEMAS 1.

Calcular la superficie de un polígono dadas las coordenadas de sus vértices. DATOS:

1 (+25.00; 2( + 14.36; 3(+ 4.37; 4( + 5.88; 5(+18.31;

+25.00)

+ 12.51) +21.49) +36.62) +36.31)

SOLUCIÓN

Coordenadas Vért.

Productos

y

X

Y"+l -

Diferencia

Y,,-l

-

+

,

1 2 3 4 5

+25.00 +14.36 + 4.37 + 5.88 + 18.31

+25.00 +12.51 +21.49 +36.62 + 36.31

12.51 21.49 36.62 36.31 25.00

-

36.31 25.00 12.51 21.49 36.62

-23.80 - 3.51 +24.11 + 14.82 -11.62 SUMAS

2S =

s

=

595.0000 50.4036 105.3607 87.1416 212.7622 858.1658

192.5023 -858.1658 665.6635 332.83175 m 2

Comprobación: Coordenadas Vért.

X

1 2 3 4 5 1

+25.00 + 14.36 + 4.37 + 5.88 + 18.31 +25.00

Productos cruzados y

+25.00 + 12.51 +21.49 +36.62 +36.31 +25.00 SUMAS

2S = S=

~

(+)

/' (-)

359.0000 54.6687 126.3612 670.5122 907.7500

312.7500 308.5964 160.0294 213.5028 457.7500 2118.2921 1452.6286 2118.2921 665.6635 332.83175 m 2

Curso básico de topografía

212

2.

Calcular la superficie de un pfedio con los siguientes. datos: A (+28.3; + 11.2) B( +41.7; +21.5)

C( +24.8; +41.8) D( + 13.6; +28.9)

SOLUCIÓN

Vért. A B

e D

Coordenadas y X +28.3 +41.7 +24.8 +13.6

+ 11.2 +21.5 +41.8 +28.9

Productos Xn+l - Xn- l

41.7 24.8 13.6 28.3

-

13.6 28.3 41.7 24.8

Dil·

+ 314.72

+28.1 - 3.5 -28.1 + 3.5

75.25 1174.58

SUMAS

2S

~ff

=

s=

101.15 415.87 1249.83 1249.83 833.96 416.98 m 2

.5

comprobación:

Vért. - A B

e D A

Productos cruzados

Coordenadas y X +28.3 +41.7 +24.8 +13.6 +28.3

\¡(+)

+ 11.2 +21.5 +41.8 +28.9 + 11.2 SUMAS

2S

=

s=

-

/' (-)

467.04 608.45 533.20 1743.06 568.48 716.72 817.87 152.32 3220.55 2386.59 2386.59 833.96 416.98 m 2 ----

Agrimensura

3.

213

Calcular la superficie de un po.lígo.no. cuando. se co.no.cen las co.o.rdenadas de sus vértices y comprobar el cálculo.. DATOS:

A(- 4.15;

+11.25)

B( + 6.10;

+22.45)

C( +25.10;

+

D( + 16.35;

6.75) -28.30)

E( -

8.95;

-20.65)

F( -

4.00;

9.15) SOLUCIÓN

Productos

Coordenadas Vértices A B

C DE

F

Yn +1 - Y n-1

X

Y

- 4.15 + 6.10 +25.10 + 16.35 - 8.95 - 4.00

+ 11.25 +22.45 + 6.75 -28.30 -20.65 - 9.15

-

+

+ 31.60 - - 4.50 - -50.75 --27.40 - + 19.15 - + 31.90 - -

I

SUMAS SUPERFICIE

131.1400 27.4500 1273.8250 447.9900 171.3925 127.6000 2179.3975 = 1089.69875 m 2

comprobación:

Vértices A B

C D E F

A

Coordenadas y X - 4.15 + 6.10 +25.10 + 16.35 - 8.95 - 4.00 - 4.15

Productos cruzados ~

+ 11.25 +22.45 + 6.75 -28.30 -20.65 - 9.15 + 11.25 SUMAS:

2S

=

SUPERFICIE

(+)

7' (-)

+ 93.1675 + + 41.1750 + - 710.3300 + - 337.6275 + + 81.8925 + 45.0000 -1063.0575 + -1116.3400 2179.3975 = 1089.69875 m 2

68.6250 563.4950 110.3625 253.2850 82.6000 37.9725

-

1116.3400

214

Curso básico de topografía

Método de las dobles distancias meridianas

El cálculO' de la superficie de un pO'lígO'nO' pO'r este método no implica el uso' directO' de las cO'O'rdenadas de los vértices. La superficie se obtiene en función de las prO'yecciones de lO's lados y se tO'ma cO'mO' meridiano de referencia el que pase por algún vértice del polígO'nO', generalmente y pO'r cO'modidad el vértice que queda más hacia el W y se calculan las dO'bles distancias meridianas y el dO'ble de las superficies de lO's trapecios o triángulO's fO'rmadO's pO'r la proyección de IO's lados del polígO'nO' sobre el meridiano. La suma algebraica de estas dO'bles superficies es el doble de la superficie del pO'lígO'nO'. Distancia m-eridiana de un punto es la IO'ngitud de la perpendicular bajada del puntO' al meridianO' de referencia. Doble distancia meridiana de un lado es la suma de las distancias meridianas de sus extremO's.

d

I I I

e

e b

- Ji-

I

~~

~

I I I

,le'- -,k.íf- _i

e

I I

B Figura 90

En la figura NQ 90, la distancia meridiana de B es Bb. La doble distancia meridiana del ladO' BC es Bb + Cc. En la misma figura se ve que cada trapecio o triángulO' formadO' pO'r las prO'yecciO'nes, al que correspO'nde un ladO' de la poligO'nal, está limitado al nO'rte y al sur por distancias meridianas y al O'este pO'r la proyección del ladO' que se cO'nsidera sO'bre el meridiano.

Agrimensura

215

El doble de la superficie de cualquier triángulo o trapecio formado por las proyecciones de un lado determinado sobre el meridiano es igual al producto de la doble distancia meridiana del lado por la proyección del lado sobre el meridiano. ASÍ, la doble superficie del trapeciO' BCeb, es: 2S ~

BCcb ¡;::::

+ Ce)be

(Bb

En la figura anterior, la doble distancia meridiana de AB es simplemente la proyección del lado AB sobre el eje de las X, pues la distancia meridiana de A es nula, luego: d.d.m. AB

= Bb = X A B

(1)

La proyección del lado sobre el eje de las abscisas es positiva si su sentido es hacia el E y negativa si es hacia el W. La doble distancia meridiana de Be es: d.d.m. BC

=

Bb

+

Ce

=

Bb

+

eb'

+

~

b'C

$ut~

pero:

Bb = d.d.m. AB eb' = proyección del lado AB sobre el eje de las X ,= b'C = proyección del lado BC sobre el eje de las X ,=

XAB XBC

luego: d.d.m. BC = d.d.m. AB

+ XAB + XB C

(2)

La doble distancia meridiana de CD es: eb'

+ b'C -

d.d.m. CD

=

Ce

+

Dd

=

Ce

+

eb'

+

b'd'

=

Ce

+

d'C

ahora bien: Ce

+ eb' = Ce + Bb = d.d.m. BC b'C = proyección del lado BC

sO'bre el eje de las X = d'C = proyección del lado CD sobre el eje de las X =

X BC X CD

por tanto : d.d.m. CD

= d.d.m.

BC

+ XBC

-

(3)

X CD

La doble distancia meridiana de DE es: d.d.m.

~E

+ Ce = d.d.m.

CD

= Dd + Ee = Dd + Ce -

Cd' - d'e'

pero:

Dd

Cd' d' e'

= proyección del = prO'yección del

lado CD sobre el eje de las X lado DE sobre el eje de las X

= X CD

=

XmíJ

216

Curso básico de topografía

luego: d.d.m. DE

= d.d.m.

CD -

XCD -

(4)

XDE

Por último, la doble distancia meridiana de EA es: d.d.m. EA siendo:

X EA

=

= Ee =

(5)

XEA

proyección del lado EA sobre el eje de las X ..

De aquí la siguiente regla: "La doble distancia meridiana de un lado cualquiera de un polígono es igual a la del lado anterior más la suma algebraica de las proyecciones sobre el eje de las abscisas del lado anterior y del que se considera, con excepci -Sn del primero y del último lados cuya doble distancia meridiana es simplemente igual a su proyección sobre el eje de las abscisas." Podrían haberse utilizado las dobles distancias paralelas, tomándose como p:lfalelo de referencia el más meridional. En la práctica; sin embargo, se usan poco, excepto como comprobación del cálculo de la superficie por medio de las dobles distancias meridianas. En realidad el método de las dobles distancias meridianas es una aplicación del anterior, pues las y no son sino las diferencias de ordenadas y n-Y nr-l y las d.d.m., son las sumas de dos abscisas consecutivas Xnr-l y X n, así es que la diferencia estriba en que no se hacen intervenir las coordenadas sino simplemente las proyecciones. ~ff

.5

PROBLEMAS 1.

Calcular la superficie de un polígono por el método de las dobles distancias meridianas, dadas las proyecciones de los lados. DATOS:

Proyecciones corregidas Lados

0-1 1- 2 2-3 3-4 4-0 SUMAS

+E 17.72 21.82

-w 19.32 19.24 0.98

39.54

39.54

+N 13.58 9.52 12.92

-S

10.75 25.27 36.02

36.02

Agrimensura

217

SOLUCIÓN

a)

Cálculo de las dobles distancias meridianas: O1234 -

d.d.m. d.d.m. d.d.m. d.ct.m. d.d.m. b)

1= 2= 3 "= 4 = O=

17.72 17.72 + 17.72 + 21.82 = 57.26 57.26 + 21.82 - 19.32 = 59.76 59.76 - 19.32 - 19.24 = 21.20 0.98

Cálculo de las dobles superficies: 2S0-'1 = 17.72( + 13.58) = +240.6376 2S1-'2 = 57.26( + 9.52) = +545 .1152 2$2-3 == 59.76( + 12.92) = +772.0992 2S3 - 4 = 21.20( -10.75) = -227.9000 284-'0 = O.98( -25.27) = - 24.7646

e)

Cálculo de .la superficie del polígono: 2S0 - '1-'2-3-4-'O

== [(240.6376 + 545.1152 + 772.0992) - (227.9000 + 24.7646)]

2S0-'1..J2-3-4..JO

=

I d)

1305.1874 SO-'1--'2-,3-4-'O

= 652.5937 m 2

Comprobación del cálculo de la superficie por medio de las dobles distancias al paralelo de referencia. Dobles distancias paralelas: d.d.p. d.d.p. d.d.p. d.d.p. d.d.p.

O12 3 4 -

1= 2 = 3 = 4 = O=

13.58 13.58 + 13.58 + 9.52 = 36.68 36:68 + 9.52 + 12.92 = 59.12 59.12 + 12.92 - 10.75 = 61.29 25.27

'Dobles superficies: 2So-1= 2S1 -;2 = 25;2--3 = 283-4 = 2S4 - 0 =

13.58(+17.72) 36.68( +21.82) 59.12( -19.32) 61.29(-19.24) 25.27( ~ 0.98)

= + 240.6376 = + 800.3576 = -1142.1934 = -1179.2196 = 24.7646

218

Curso básico de topografía 2S()-Jl--'2-3-4~O

Si()-'1-'2-3-4~O

= -

=-

1305.1874

652.5937 m 2

El signo de la superficie no tiene importancia y depende únicamente del orden en que se tomen los lados del polígono. 2.

Por el método de las dobles distancias meridianas calcule la superficie de un polígono con los siguientes datos: Proyecciones corregidas

+E

Lados

0-1 1- 2 2-3 3-4 4-0

-w

,

140.97

17.69 136.65 33.89

188.23

SUMAS -

-

--

- - -- -

--

-s

+N

_

- - --

107.13 81.10 188.23

.. _ - - - -

25.00 138.33 79.48 101.84 242.81

242.81

Compruebe el cálculo de la superficie" en función de las coordenadas de los vértices.

~ff

~

SOLUCIÓN

a)

El cálculo de la superficie se simplifica disponiéndolo de la manera siguiente: Dobles superficies

Proyecciones Lados

x

0-1 1 - "2 2-3 3-4 4-0

+ 17.69 + 136.65 + 33.89 -107.13 - 81.10

y

d.d.m.

-140.97 17.69 + 25.00 172.03 + 138.33 342.57 + 79.48 269.33 -101.84 81.10 SUMAS

2S=

s=

+

-

2493.7593 4300.7500 47387.7081 21406.3484 8259.2240 10752.9833

73094.8065 -10752.9833 62341.8232 31170.9116 m 2

Agri'7"ensura d.d.m. O - 1 =

17.69

+

17.69

+ 136.65 d.d.m. 1 - 2 = 172.03 + 136.65 +

33.89

d.d.m. 2 - 3 = 342.57 +

33.89

- 107.13 d.d.m. 3 - 4 = 269.33 - 107.13 81.10 d.d.m. 4 - 0= 81.10 b)

Comprobación del cálculo de la superficie: Coordenadas

Vértices

O

1

2

3

4

O

X

y

O

O

+ 17.69

-140.97

+

17.69

-140.97

+ 136.65

+ 25.00

+154.34

-115.97

+ 33.89

+138.33

+ 188.23

+ 22.36

-107.13 + 81.10

+ 79.48 + 101.84

81.10

-101.84

O

O

219

220

Curso básico de topografía

Coordenadas V értices O 1 2 3 4 O

~

~)

Productos cruzados

X

Y

O

O -140.97 -115.97 + 22.36 + 101.84 O

~

(+)

?' (-)

O - 21757.3098 O - 2051.5093 -21829.0331 + 3451.0424 + 1813.3960 + 19169.3432 O O SUMAS + 20568.8763 - 41772.9469 41772.9469 62341.8232 2S = S =31170.9116 m 2

+ 17.69 + 154.34 + 188.23 + 81.10 O

f

Regla de los trapecios

Si el linderO' de un prediO' sigue una línea irregular O' curva, cO'mO' un ríO', un arrO'yO', una barranca O' un caminO', se puede trazar una poligO'nal en una posición cO'nveniente cerca del linderO' y IO'calizar éste por O'rdenadas de la p~ligO'nal. CuandO' el linderO' es una curva gradual, generalmente las O'rdenadas se tO'man a intervalO's regulares. SupO'ngamO's que la figura NQ 91 representa una pO'rción de un prediO' que queda entre el lado AB de una pO'ligO'nal y un lindero irregular CD, habiendO' tO'mado las O'rdenadas Y 1 , Y 2 , Y 3 , • • • , Y n a intervalos regulares d.

RIO DE LOS REMEDIOS

el

I

I

~

I

yl

I

I hl

y2

J

I

I

I

A.

d

'h2 J I

,1

d

I

~ I

y3 Ih3 I

y4

I I

I

J

h4

I

y5 Ih

I I

, hn-ll

I

J

I I

I I

1

I

d

d

d

d

I

Figura 91

yn

- B

Agrimensura

221

La suma de las superficies de los trapecios es la superficie total S: S

=

Y1

+ Y2 d +

Y~

2

+Y

3

d

+

Ya

+y

2

4

d

+

+

y n-l

2

+

yn d

2

o bien:

s

=

~

[ Y.

+ 2(Y, + Y, +

y. + .. , +

Y.-.)

y designando por s la suma de las ordenadas intermedias Y z

+ ... +

nrb

+

+

y.]

Ya

+y + 4

la igualdad anterior queda así:

en la ClJal:

= superficie total buscada d = distancia común entre ordenadas Y Y n = primera y última ordenadas s = suma de las ordenadas intermedias. S

y1

Esta fórmula se puede expresar prácticamente en la forma de la regla siguiente: Regla de los trapecios: "Súmense las ordenadas extremas al doble de la suma de las ordenadas intermedias y el resultado obtenido multiplíquese por la mitad de la distancia común entre ordenadas." En la misma figura hl' hz, ha, . . . , h n..: 1 , representan las medianas de los trapecios, de manera que:

por tanto, la superficie total buscada en función de las medianas es: S

= h d + hzd + hgd + ... + hn-'l d 1

S

o bien:

= d (h + hz + h + ... + hn-l) 1

S -=

g

d(~h)

®

de aquí ,que "la superficie es igual al producto de la distancia común entre ordenadas por la suma de las medianas de los trapecios".

Curso básico de topografía

222

PROBLEMAS 1.

Por la regIa de los trapecios calcule la superficie comprendida entre un lado de una poligonal y un lindero curvo, tomando ordenadas a intervalos de 20 m. Los valores de las ordenadas son: Y1 = 3.20 metros, Y'2 = 10040 m, Ya = 12.80 m, Y4 = 11.20my Ys ~ 4AOm. SOLUCIÓN

S

~ff

d

= -2 (Y + 2s + Y n) = 1

= S = 10[3.20

2~

[ 3.20

+ 2(10.40 + 12.80 + 11.20) + 4.40]

+ 2(34.40) + 4040]

= 10(3.20

+ 68.80 + 4040)

S = 764.00 m 2

Comprobación del cálculo: S = d(¡h) h1

= 3.20 ~

10040

6.8

h 2 = 10040 ~ 12.80

= 11.6

ha = 12.80 ; 11.20 = 12.0 h4

= 11.20 ¿-

4040 =

7.8

¡h = 38.2

S = 20(38.2) = 764

I 2.

S = 764.00 m 2

I

Determinar la superficie total de la parte disponible del terreno (Fig. NQ 92), abarcando las dos márgenes del río. La distancia común entre ordenadas es de 20 m.

223

Agrimensura

20m

Q

p

15.3

18.4

19.0

17.2

21.1

25.0

p'

Q'

M"

N' 28.6

22.5

14.4

15.1

20.0

19.7

M Figura 92 SOLUCIÓN

a) S1

Cálculo de la superficie PQQ' p'

= 2~ [ Sl

b)

=

15.3

Sl

+ 2(18.4 + 19.0 + 17.2 + 21.1) + 25.0

10(15.3

+ 151.4 + 25.0) = 1917.00

]

m2

Cálculo de la superficie MNN' M' = S2

0

S, = 22 [ 28.6

+ 2(22.5 + 14.4 + 15.1 + 20.0) + 19.7

s'2 = 10(28.6 c)

:=

+ 144.0 + 19.7)

]

= 1923.00 m 2

Cálculo de la superficie total: S

= Sl + S2 =

1917.00

+ 1923.00 =

3840.00 m 2

comprobación:

h1

=

15.3 ~ 18.4 = 16_85

h2 = 18.4; 19.0 = 18.70

ha

=

19.0 ; 11.2 = 18.10

h1

= 28.6 ;

h 2 = 22.5 ;

22.5

= 25.55

14.4 = 18.45

15.1 = 1475 ha. = 14.4 + 2 .

224

Curso

básico de topografía

h4 = 17.2 ; 21.1 = 19.15

h4 = 15.1 ,;

h5 = 21.1 ~ 25.0

h5 = 20.0 1~ 19.7 = 19.85

=

23 .05

¡h

¡h = 95.85 S1

=

=

20(95 .85)

1917.00 m 2

s=

S1

20.0 = 17.55

S2 = 20(96.15)

+ S2 =

=

=

96.15

1923.00 m 2

3840.00 m2

Regla de Simpson

Cuando los linderos curvos son de carácter tan definido que lo justifiquen, la superficie se puede calcular con mayor precisión, suponiendo que el lindero está formado de arcos de parábolas. Supongamos en la figura N
D

r--e F

I

----,-

~

I

I

I 'y3 I

I y2

Iy 1 I I

~ff

----~

I I I

A + v

..~

d

"

I B ~ d

1/

01

Figura 93

La superficie entre el lado de la poligonal y la curva puede considerarse compuesta del trapecio ABEC más la superficie del segmento entre el arco parabólico CDE y la cuerda CE. Una de las propiedades de la parábola es que la superficie del segmento CDE es igual a dGs· terciDS de la superficie del paralelogramo ECFDG; por tanto, la superficie entre el lado de la poligonal y el lindero curvo dentro de la longitud de 2d es: S1 = (Y 1

=

Y1

4

+Y

3

2d

+~(

Y:2 _ Y 1

+Y

232

+ Y 3) d + "3 y 2d

2

- 3 (Y1

+ Y 3) d

3

)

2d

=

Agrimensura 1

d

4

= 3(Y~ + Ya)d + 3" Y d

Sl = 3(Y1

2

d = 3"(Y1

+ Y + 4Y 3

225

2)

+ 4Y 2 + Ya)

(1)

y para los dos intervalos siguientes, de manera semejante, se tendrá: (2)

La suma de las áreas parciales S¡, S2' ... , para (n - 1) intervalos, siendo n un número impar y representando el número de ordenadas, es: S=

~

[ Y1

+ Yn + 2(Y, + Y, + ... + Y.-, ) + + 4(Y, + Y , + . .. + Y .-a ) ]

Esta fórmula que es aplicable si el número de ordenadas es impar, se puede expresar por medio de la siguiente Regla de Simpson: "La superficie buscada se obtiene multiplicando un tercio de la distancia común entre ordenadas por la suma total de las ordenadas extremas, el doble de la suma de las ordenadas intermedias nones y cuatro veces la suma de las ordenadas intermedias pares." PROBLEMAS 1.

Por medio de la Regla de Simpson determínese la superficie entre el lado de la poligonal y el lindero curvo (Fig. NQ 94).

e

--

D

yi

--

y2

y3

y4

y5

y6

y7

A d

d

)1

d

d

Figura 94 15

I!

}

d

d

B

226

Curso básico de topografía d = 30 m . Yl

y,:a Y3 Y4 Y:;

Y6 Y7

=

24.80 = 29.10 = 31.20 = 32.50 = 31.30 = 28.40 = 22.60

m " " " " " "

~ff

-5 SOLUCIÓN

d

S

= 3"

S -

~O

[Y 1

+

Y7

+ 2(Y + Y:;) + 4(Y + 3

+Y

Y4

6 )]

+ 22.6 + 2(31.2 + 31.3) + 4(29.1 + 32.5 + 28.40)]

[24.8

S = 10[47.4

+ 2(62.5) + 4(90)] =

I 2.

2

S

=

10[47.4

+ 125.0 + 360.0]

5324.00 m'

Dadas las siguientes ordenadas de un lado de una poligonal a un lindero irregular, tomadas con intervalos de 25 m, calcúlese la superficie aplicando la regla de Simpson. Distancias en metros

Ordenadas en metros

O 25 50 75 100 125 150 175 200

16.60 35.10 39.30 42.00 28.20 11.90 30.70 43.40 22.50 SOLUCIÓN

S=

~5 [

16.6

+ 22.5 + 2(39.3 + 28.2 + 30.7) + + 4(35.1 + 42.0 +

11.9

+ 43.4)

]

Agrimensura

s'= ~5

+

[39.1

2(98.2)

+

4(132.4)] _

s = 6375.83 3.

~5

(39.1

+

196.4

+

227 529.6)

m::!

Con los datos del problema anterior calcúlese la superficie aplicando la fórmula: S ·= d(¡h) en la cual: d ¡h

= distancia = suma de

común entre ordenadas las medianas de los trapecios. SOLUCIÓN

h1

=

h2

=

h3

=

h4

=

h5

=

h6

=

h7

=

hs

=

+

16.6

35.1

25.85

2

+

35.1

39.3

37.20

2

+

39.3

42

40.65

2 42

+

28.2

2 28.2

+

s= -

11.9

+

30.7

+

43.4

2 43.4

+ 2

22.5

35.10

21.30

2 30.7

6253.75 m 2

20.05

2 11.9

s = 25(250.15)

-

37.05 32.95

¡h = 250.15 AGRODESIA La parte de la agrimensura que se ocupa del fraccionamiento de terre;nos se llama Agrodesia (ager-campo y daisia-división) palabra que significa división del campo o del terreno. Los problemas de fraccionamientos los podemos reducir a los siguientes:

228

Curso básico de topografía

1. Separar una parte determinada de terreno desde un punto situado en el lindero, por medio de una línea cuya dirección no haya sido fijada de antemano. EJEMPLO:

La figura N
F

t("U'l{l//l//T/IlZ!lan

f:z:e,.\ D

e Figura 95

El pro<;edimiento para hallar la dirección y longitud de la línea divisoria es el siguiente: Se traza una línea DA al vértice de la poligonal que queda cerca de la divisoria buscada. b) Se calcula la superficie ABCDA y se determina la diferencia entre esta superficie y la deseada. a)

En la figura se supone que la superficie ABCD es mayor que la deseada y que DG es la posición correcta de la divisoria, por tanto el triángulo ADG representa la superficie en exceso. e) Se calcula la longitud y el rumbo de la línea AD y el ángulo A del triángulo ADG. d) Conocidos la superficie, el ángulo A y el lado AD del triángulo ADG, se calcula la distancia AG, con la fórmula: S

1

= -2AG·AD sen

A

2S AG

= AD sen

A

Agrimensura

229

e) Con el rumbo y la longitud de AG, se calculan las proyecciones de AG y las coordenadas de G. f) Por último, se calcula la superficie BCDGB que debe ser igual a la mitad de la superficie del predio.

En el campo se traza DG en la dirección requerida, con lo que se obti~ne una comprobación de su trazo y de los cálculos. PROBLEMA:

Dividir el polígono O - 1 - 2 - 3 - 4 - O en dos partes iguales, por medio de una línea que parta del vértice 1. (Fig. N9 96.)

Lados Dist. 0-1 1- 2 2-3 3-4 4-0

22.32 23.82 23.24 22.04 25.29

Rumbos calculados N N N S S

52 °52' E 66°26' E 56°14' W 60°48' W 2°13' W

Proyecciones

Coordenadas

x

y

Vért.

X

y

+ 17.72 + 21.82 -19.32 -19.24 - 0.98

+ 13.58 + 9.52 + 12.92 -10.75 -25.27

O

O

O

1 2 3 4

+ 17.72 +39.54 +20.22 + 0.98 O

O

2S= S=

4

Figura 96

~

+

/'-

O

O + 13.58 +23.10 409.3320 +36.02 1424.2308 +25.27 510.9594 SUMAS

3

Productos cruzados

536.9532 467.0820 35.2996 O

O

2344.5222 1039.3348 1039.3348 1305.1874 652.5937 m 2

230

Curso básico de topografía

SOLUCIÓN

En el plano s~ ve a qué vértice habrá que unir el punto 1, para separar una fracción que dé aproximadamente la superficie, siendo l~ línea 1 - 3 la que reúne tales condiciones. Cálculo de la longitud y rumbo de la línea 1 - 3:

a)

(E)

20.22 - 17.72 _ tan Rbo 1 - 3 = 36.02 _ 13.58 -

0.111408

(N)

~ff

~

Rbo 1 - 3

Dist. 1 - 3

=

=

N 6°21' E

20.22 ~_1??2

= _ ?.~~ __ =

22.60 m

Cálculo de la superficie del triángulo 1 - 2 - 3:

b) S¡-:!-3

+ 2.50 + 22.44 =

=

ys(s - a)(s - b)(s - e)

= y 34:83(lf.Ol)(11.59) (12.23) '= = 233.1446

m'!

a = 23.82 b

s- a

= 23.24

s - b

e = 22.60 2s = 69.66

= 11.01 = 11.59

s - e ,= 12.23

s = 34.83 e)

Diferencia entre la superficie calculada y la buscada: Superficie del polígono: Superficie buscada: Superficie calculada:

s=

652.5937 m 2

~S =

326.2969 m 2

= 233.1446 m 2 Diferencia = 93.1523 m$ S1-.2-3

d) Cálculo del ángulo 1 - 3 - A Y del lado 3 - A del triángulo 1 - 3 - A. (Fig. N
1 - 3 - A = Roo 3 - 4 - Roo 3 - 1 = 60°48' - 6°21' = 54°27' 1 - 3 - A = 54°27'

Agrimensura

231

54? 27'

60 0 48' 4

lFigura 97

Ahora, aplicando la fórmula: 2S 1- 3 - A = 1 - 3 . 3 - A sen 1 - 3 - A se tiene: 2(93.1523 ) 22.6 sen 54°27'

2S1 - 3 - A

3 -A = ----------------~ 1 - 3 sen 1 - 3 - A

3-A=10.13m e) Cálculo de las proyecciones del lado 3 - A Y de las coordenadas del punto A: X3-A Y3 - A

= 10.13 = 10.13

sen 60°48' cos 60°48'

Vért.

3 proys. 3 -

A~

I

A

= 8.84 = 4.94

m (W) m (S)

Coordenadas y X

+20.22 - 8.84 + 11.38

+36.02 - 4.94 +31.08

232

Curso básico de topografía

f)

Cálculo del rumbo y longitud de la línea divisoria 1 - A: (W)

Roo 1 -

tan

A

-6.34 17.50 = 0.362~86

= 11.38 - 17.72

(N) Rbo 1 - A

.

DISt. 1 - A g)

= N 19°55' W

~ff

~

= 11.38 -___17.72 ___ = _ _6.34 . _ ___ = 18.61

m

Cálculo de la superficie O - 1 - A - 4 - O: Dobles superficies

Coordenadas Vértices

X

O 1

O + 17.72 + 11.38 + 0.98

A

4

Y

X"-l + X"

O + 13.58 + 31.08 +25.27

17.72 29.10 12.36 0.98

y" -

Y"-l

+ 13.58 + 17.50 - 5.81 -25.27 SUMAS

2S = Superficíe que se busca: S =

-

+ 240.6376 509.2500

749.8876 96.5762 653.3114 326.6557

71.8116 24.7646 96.5762

m2

2. Separar una parte determinada de terreno desde un punto situado en el interior del polígono, por medio de linderos cuya dirección no se fija previamente. EJEMPLO:

Ccando se ha hecho el levantamiento de un predio y se conocen sus dimensiones (Fig. NQ 98), para fraccionarlo desde un punto interior F, se procede como sigue: Se liga el punto F al perímetro por medio de su distancia al vértice A, por ejemplo, y del ángulo EAF que forman el lado AE del polígono y la línea AF. a)

b)

Se calculan las proyecciones de la línea A F Y las coordenadas del

punto F. Si se ha de dividir el polígono en dos partes iguales se calculan rumbo, longitud y proyecciones del lado FD que limita aproximadamente la superficie buscada. e)

Agrimensura

233

D

DE

e

Figura 98

Se calcula la superficie AEDFA, determinándose la diferencia entreesta superficie y la que se desea. e) Con los -elementos conocidos del triángulo DFG y procediendo como en el caso anterior, se obtiene la distancia DG. f) En seguida, se calculan las proyecciones de la línea DG, así como las coordenadas del punto G. g) Finalmente, se calcula la superficie AEDGFA que será igual a la superficie buscada. d)

PROBLEMA:

Con los dato!.: siguientes, divida el predio O - 1 - 2 - 3 - 4 - O en dos partes iguales, desde el punto medio de la línea que une los vértices 1 y 4. (Fig. NQ 99.)

I Lados DistanciaJ 0-1 1- 2 2- 3 3-4 4-0

16.99 12.90 11.74 13.54 12.46

Rumbos calculados N N S S S

29°49' E 53°01' W 60°13' W 0°04' W 75°28' E

Proyecciones y

x + 8.45 -10.30 -10.19 - 0.02 + 12.06

Coordenadas Vért

+ 14.74 O + 7.76 1 - 5.83 2 -13.54 3 - 3.13 4

S = 310.4048 m 2

X

+ 12.06 +20.51 + 10.21 + 0.02 O + + 12.06

y

Productos cruzados ~

(+)

7'(-)

O O + + 14.74 177.7644 150.4954 +22.50 461.4750 0.4500 + 16.67 170.2007 O + 3.13 0.0626 37.7478 O O SUMAS 809.5027 188.6932 188.6932 2S= 620.8095

234

Curso básico de topografía SOLUCIÓN

~ff

2

~

1

.;'

.;'

/'

/

M

/'

.;'

Figura 99

a)

Cálculo de las coordenadas del punto interior M.

20.5~ + O = 10.255

XM =

Y M = 14.74 b)

¿- 3.13 =

8.935

Cálculo de la superficie 2 - 3 - 4 - M - 2:

Vért.

·2

3 4 M

2

Coordenadas y X

+10.21 + 0.02 O + +10.255 + 10.21

+22.50 +16.67 + 3.13 + 8.935 +22.50 SUMAS

2S =

s=

Productos cruzados \¡

(+)

;,,(-)

0.4500 170.2007 O 0.0626 32.0982 O 91.2263 230.7375 401.0008 123.7745 123.7745 277.2263 138.6132 m 2

I

Agrimensura

e)

Diferencia entre la superficie calculada y la que se busca:

s= 1 - S= 2

Superficie del polígono: Superficie que se desea: Superficie calculada 2 - 3 - 4 - M - 2:

d)

235

310.4048 ro 2 155.2024 ro'

= Diferencia =

-138.6132 m~ 16.5892 ro2

Cálculo del rumbo y longitud de la línea 2 - M: (E)

Roo 2 - M tan

= 10.255

- 10.21 = 8.935 - 22.50

=

+ 0.045 - 13.565

O 003317 .

(S) Rbo 2-M=So011'E Dist. 2 - M

=

=

10.255 - 10.21 sen 0° 11'

0.045 0.0032

=

14.06 m

e) Cálculo del ángulo M - 2 - N Y del lado 2 - N del triángulo M - 2 - N:

M - 2 - N =ROO 2 - 1 - Rbo 2 - M = 53°01' - 0°11' = 52°50' 2 - N =

2(16.5892) 14.06(0.796882) = 2.96 m

2SM -'2-N 2 - M sen 52°50'

f)

Cálculo de las proyecciones del lado 2 - N Y de las coordenadas del punto N: X2-N

YZ-N

= 2.96 = 2.96

sen 53°01' cos 53 °01'

= 2.36 = 1.78

m(E)

m (S)

Coordenadas

proys. 2

Vért.

X

y

2

+10.21 + 2.36 + 12.57

+22.50 - 1.78 +20.72

-N IN

236 g)

Curso básico de topografía Cálculo de la superficie O - 1 - N - M - 4 - O: Coordenadas

Vértices O 1 N M 4

Y

X

+ 12.06 + 20.51 + 12.57 + 10.255 O

Productos

O

+ 14.74 +20.72 + 8.935 + ~.13

Y n+1

-

Y n- 1

14.74 20.72 8.935 3.13 0-

Diferencias

+

+ 11.61 +20.72 - 5.805 -17.59 - 8.935

140.0166 424.9672

3.13 O 14.74 20.72 8.935

SUMAS

2S superficie buscada:

=

S ,=

-

72.9689 180.3854 O 253.3543

564.9838 -253.3543 311.6295 155.8148 m 2

-------------------

3. Separar un? superficie determinada con linderos de dirección previamente fijada. EJEMPLO:

1}

~.ff

.5

B Figura 100

Sea ABCDEPA un predio de dimensiones y superficie conocidas (Fig. NQ 100), que se desea dividir en dos partes, cada una de ellas de una superficie determinada, por una línea trazada en una dirección dada. El problema se resuelve de la manera siguiente: Por el vértice que se estime que pasará la línea que divida el predio en las proporciones deseadas, se traza una línea de tanteo DG en la dirección dada. a)

Agrimensura

237

b) En el triángulo D FG se conocen las coordenadas de los vértices D y F Y los rumbos de los lados DG y GF. Con estos datos se calculan las dis!1ncias DG y GF. e) Luego se calculan las proyecciones de los lados DG y GF, así como las coordenadas del puntO' G. d)

líne1

(<

~

A continuación se calcula la superlicie DEFGD, separada por la tanteO' DG.

Se obtiene la diferencia entre la superlicie calculada DEFGD y la que se busca. Esta diferencia está representada en la figura por el trapecio DMNG, cuya base DG se conoce. Los ángulos D y G se pueden obtener porque se conocen los rumbos de los lados DG, GF Y DE y, por tanto, se pueden determinar los ángulos a y f3. (Fig. NC? 10l.) e)

D G' '\ ....

."

\

e

\

?- \~

Figura 101

f)

Cálculo de la altura x del trapecio DMNG.

La superlicie del trapecio es: SDMNG

= DG· x -

GG', G'N 2

DD'.D'M

2

pero: GG'

= x,

DD' = x ,

= D'M = G'N

x tan (3

x tan a

(1)

238

Curso básico de topografía

valO'res que sustituidO's en la igualdad (1), dan: SDMNG

=

DG . x -

SDMNG

X2

= DG· x -

tan f3 2

tan a

X2

~ff

~

2

X2

2" (tan

+ tan 13)

a

(2)

La altura x del trapeciO' se encuentra resO'lviendo la ecuación (2). g)

Se calculan DM, GN Y MN, cO'mO' sigue: cO's

a -

cO's f3

=

x DM '

x

GN=

GN

+ G'N) = x(tan a + tan f3)

MN = DG - (D'M MN

= DG

-

x

DM=

cO's

,a

x

cO's f3

DG - (x tan a

+x

tan /3)

Se calculan las prO'yecciO'nes de IO's lados DM y GN Y las coordenadas de los puntos M y N. h)

Por último, se calcula la superficie EFNME que debe ser igual a la superficie buscada. i)

PROBLEMA:

Dividir el polígonO' O' - 1 - 2 - 3 - 4 - O' en dos partes que guarden la relación 2: 3 y con un linderO' de rumbo S 45°0'0" E (Fig. NQ 10'2).

Rumbos Lados Dist. calculados

- --

0 - 1 41.17 1-2 21.32 2-3 30.66 3 - 4 I 32.56 4 - 0 / 25.39

N N S S S

Proyecciones x

y

2 °27' E + 1.76 + 41.13 26 °03' E + 9.35 + 19.15 28°10' E + 14.46 -27.03 0°18' W¡- 0.17 -32.56 88°27' Jt -25.40 - 0.69

Vért.

Coordenadas y X

O

+

1

+ 1.76 + 11.11 +25.57 +25.40 O

2 3 4

O

Superficie total del predio por fraccIOnar:

+

O +41.13 +60.28 + 33.25 + 0.69

Productos cruzados '\a (+)

7' (-)

-

O

O 456.9543 106.0928 1541.3596 369.4075 844.5500 17.6433 O O O SUMAS 493.1436 2842.8639 2842.8639 2S = 2349.7203 S = 1174.8602 m 2

Agrimensura

239

SOLUCIÓN

3

4

o a)

Figura 102

Cálculo de la superficie que se debe separar: S'

2 =5

S

2 =5

(:r1174.8602 ) = 469.9441 m

2

En la figura se ve que por el vértice 1 del predio se puede hacer pasar la línea de prueba 1 - A, en la dirección fijada; es decir, con el rumbo S 45 °00' E. e) En seguida, resolviendo el triángulo 1 - 3 - A, se encuentran las distancias 1 - A Y A - 3, pues se conocen las coordenadas de los vértices 1 y 3 Y los rumbos de 1 - A Y de 3 - A. b)

(E)

tan

Roo

1 - 3 = 25.57 - 1.76 33.25 - 41.13

23.81 -7.88

(S)

= 3.021574

240

Curso básico de topografía Rbo 1 - 3 =S 71°41' E .

25.57 - 1.76 DISt. 1 - 3 = sen 71°41'

+ 23.81

= 25.08 m

LA-1-3=

Rbo 1 - 3 - Rbo 1 - A

=

71 °41' - 45°00' = 26°41'

Ll-3-A=

180° - (Rbo 3 - 1

+ Rbo

3 - A) = 180° - (71 °41'

+ 0 °18')

L 1 - 3 - A =180° - 71°59' = 108°01' LI-A-3=

Rbo 1 -A

+

Rbo A - 3

=

45°00'

+

0°18'

=

45°18'

comprobación: .L 1

+ L 3 + LA

= 26°41'

+

108 °01'

+ 45°18' =

180°00'

Aplicando la ley de los senos, se encuentra:

1-A

A - 3

sen 1 - 3 - A

sen A - 1 - 3

1- 3 sen 1 - A - 3 25.08 sen 71 °59' sen 45° 18'

1 _ A = 1 - 3 sen 1 - 3 - A sen 1 - A - 3

= A _ 3

=

23.850242 0.710799

=

33.55 m

15.08 sen 26°41' sen 45°18'

1 - 3 sen A - 1 - 3 sen 1 - A - 3

11.262402 = 15.84 m = 0.710799

~ff

~

d) Cálculo de las proyecciones de los lados 1 - A Y A - 3 Y de las coordenadas del punto A. /

(

{

Xi-A

= 33.55 sen 45°

= 23.72 m (E)

Yi-A.

= 33.55 cos 45°

= 23.72 m (S)

X3-A

= 15.84 sen

0°18' =

Y3-A

= 15.84 cos

0°18' = 15.84 m (S)

0.09 m (W)

Agrimensura

cálculo

Vért.

-1

proys. 1-A A

comprobación

y

Coordenadas X

+ 1.76 +23.72 +25.48

Coordenadas

II

y

241

X

y

+ 25.57 - 0.09 +25.48

+33.25 - 15.84 + 17.41

Vért.

I

3 proys. 3 -A A

+41.13 I -23.72 +17.41 I

Cálculo de la superficie 1 - 2 - 3 - A - 1 separada por la línea de prueba 1 - A. e)

Coordenadas

X

Y

+ 1.76 + 11.11 +2$.57 +25.48 + 1.76

+41.13 +60.28 +33.25 +17.41 +41.13

Vértices

1 2 3 A

Productos cruzados ':,¡

(+)

~

(-)

456.9543 106.0928 1541.3596 369.4075 847.2100 445.1737 30.6416 1047.9924 1968.6664 2876.1655 2876.1655 907.4991 453 .7496 ro:!

SUMAS:

2S = s=

f) Diferencia entre la superficie calculada 1 - 2 - 3 - A - 1 Y la que se busca.

Superficie que se busca: S' Superficie calculada 1 - 2 - 3 - A - 1 Diferencia g)

= 469.9441 = 453.7496 = 16.1945

m2 m2

Cálculo de la altura x del trapecio ABe1 (Fig. NQ 103). A'BA

LO - 1 - A

f3

=

1- A - 3

= Roo 1 -

A

=

45°18'

'+ Rbo

O- 1

=

47°27'

= 90° - 47 c 27' = 42°33'

La superficie del trapecio es: SABOl 16

m2

=

1 - A .x

+

A'A· A'B 2

1'1 . l'e 2

242

Curso básico de topografía

N

,,

l' /

,

JC..

e

,

~ff

~

"",, ,

3

,

N

",

"

o

"

Figura lOS

pero: = 16.1945 m 2 1 - A = 33.55 m SABe!

A'A = 1'1 = x A'B = x tan ,a = x tan 44°42' l'C = x tan .f3 = x tan 42°33'

y, sustituyendo los valores

® en la CD, se obtielle la ecuación:

16.1945 = 33.55x

X2

+2

(tan 44 °42' - tan 42°33') 4

o bien :

0.035822x2 -33.55 ± x

=

+

33.55x - 16.1945 = O

y (33.55)2 - 4(0.035822) (-16.1945) 2(0.035822)

®

Agrimensura

h)

x=

-33.55 ± -y 1127.9230 0.071644

x=

- 33.55 + 33.585 0.071644

Cálculo de AB, 1 AB=

1-C=

BC

AA'

e

COSa

1'1 cos {3

---cos f3

=1-

A

0.035 = 0.48 m 0.071644

0.48 0.48 = 0.68 m cos 44°42' 0.710799

COS a

x

- 33.55 ± 33.585 0.071644

y Be:

x

-

243

0.48 cos 42°33'

+ A'B - l'e =

1- A

0.48 = 0.65 m 0.736687

+x

tan

=1BC

= 33.55 + 0.48(tan

Be

= 33.55 + 0.48(0.0716446) =

a -

x tan p

+ x (tan

A

= tan f3)

a -

44°42' - tan 42°33') 33.55

+ 0.03 = 33.58

m

Cálculo de las proyecciones de los lados AB y 1 - e y de las coordenadas de los puntos B y e. i)

YAB

= =

XI-C

= 0.65 sen 2°27' = 0.03 m (W)

YI-C

= 0.65 cos 2°27' = 0.65 m (S)

XAB {

{

0.68 sen 0°18' 0.68 cos 0°18'

= 0.00 m = 0.68 m

(W) (S)

Coordenadas

Coordenadas

Proys

Vértices

X

Y

Vértices

X

A AB B

+25.48 - 0.00 +25.48

+ 17.41 - 0.68 + 16.73

1 1-C C

+ 1.76 -0.03 + 1.73

Proys

Cálculo de la superficie 1 - 2 - 3 - B igual a la que se desea separar. j)

e-

Y +41.13 - 0.65 +40.48

1 que debe ser

244

Curso básico de topografía Coordenadas Vértices

X

1 2 3 B

+ 1.76 +11.11 +25.57 +25.48 + 1.73 + 1.76

C

I

y

+ 41.13 +60.28 + 33.25 + 16.73 +40.48 +41.13 SUMAS

~,

~

f

2S' = S'=

Productos cruzados \¡

(+)

7'(-)

456.9543 1541.3596 847.2100 28.9429 71.2448

106.0928 369.4075 427.7861 1031.4304 71.1549 2945.7116 2005.8717 2945.7116 939.8399 469.9199 m 2

CAPÍTULO

IV

ALTIMETRÍA O NIVELACIÓN Generalidades

Recibe el nombre de nivelación o altimetría el conjunto de los trabajos que suministran los elementos para conocer las alturas y forma del terreno en sentido vertical. Todas las alturas .de un trabajo de topografía, están referidas a un plano común de referencia. Este plano llamado de comparación es una superficie plana imaginaria, cuyos puntos se asumen con una elevación o altura de cero. (Fig. NQ 104.)

B.N.

cota del B. N. plano de comparación

Figura 104

Se denomina cota, elevación o altura de un punto determinado de la superficie terrestre a la distancia vertical que existe desde el plano de comparación a dicho punto. Comúnmente se usa como plano de comparación el del nivel medio del mar, que se establece por medio de un gran número de observaciones 245

246

Curso básico de topografía

en un aparato llamado mareógrafo a través de un largo período de años. En los trabajos topográficos, dada su limitada extensión sup~rficial, el plano de comparación no es necesariamente el nivel medio del mar, sino que el operador lo elige a su arbitrio, procurando que todas las cotas resulten positivas para comodidad del cálculo. El plano de comparación se considera como un plano solamente en extensiones cortas, ya que en realidad es una superficie de nivel. Se entiende por superficie de nivel aquella que en todos' sus puntos es normal a la dirección de la gravedad; por tanto, el desnivel entre dos puntos es la distancia que existe entre las superficies de nivel de dichos puntos. (Fig. NQ 105.) superficie de nivel __ ~--#l--

hlAB

superficie del nivel de

_-"*"-----

h AB

= desnivel entre los puntos AyB. Figura 105

Se llama banco de nivel (BN) a un punto fijo, de carácter más o menos permanente cuya elevación con respecto a algún otro punto, es conocida. Se usa como punto de partida para un trabajo de nivelación o como punto de comprobación de cierre. (Fig. NQ 106.) Los B.N. se emplean como 4

~ff

.5

Banco de. Nivel (B.N.) Figura 106

varilla

Altimetría o nivelación

247

puntos de referencia y de control para obtener las cotas de los puntos del terreno. Se establecen sobre roca fija, troncos de árboles u otros sitios notables e invariables y también por medio ' de monumentos de concreto, con una varilla que defina el punto. La elevación de un B.N. puede referirse al nivel medio del mar o asumirse convencionalmente, dándosele en este caso un valor de CERO o de CIEN. Métodos de nivelación

Exhten varios métodos que han surgido de las necesidades de los trabajos a ejecutar, pero los básicos son los siguientes: Nivelación directa o topográfica. Nivelación indirecta o trigonométrica. Nivelación física o barométrica. NlVELACION DIRECTA O TOPOGRAFICA La nivelación directa o topográfica es la que se realiza por medio de los aparatos llamados niveles y se llama directa porque al mismo tiempo que se va ejecutando, vamos conociendo los desniveles del terreno. Niveles

En los trabajos de ingeniería se emplean varias clases de niveles, a saber: Niveles de albañil: de regla, de plomada y de manguera. Niveles fijos o topográficos: tipo ame'ricano y tipo inglés. Nivel de mano.

,

tubos de vidrio si la manguera es opaca

Niveles de albañil

\,

----H--- --

nivel de regla nivel de plomada Figura 107

Figura 108

nivel de manguera Figura 109

248

Curso básico de topografía

Niveles fijos o topográficos

Esto.s aparato.s se llaman fijos o "montados" porque se fijan en un tripié. Constan esencialmente de un anteojo. y un nivel d~ burbuja que van unidos a una barra '
Descansa so.bre do.s soportes de forma de Y y sus características principales son las siguientes: El anteojo puede girarse sobre su propio eJe independientemente de los soportes. b) El anteojO' es desmontable y puede invertirse su posición sacándolo de los soportes. El objeto. de esta construcción -es el de facilitar el ajuste o corrección del instrumento. e) El nivel de burbuja -está unido al anteojo. d) Lo.s soportes son ajustables. ~ff a)

Nivel tipo inglés

~

a) Tiene el anteojo fijo a la barra, ID cual no permite que pueda quitarse de sus soportes y po.r lo mismo no puede girar sobre su propio eje. b) Este instrumento es más simple y compacto que el anterior y aunque es menos fácil de ajustar, su ajustamiento dura más. e) El nivel va fijo a la barra de sostén de los so.portes. d) Los soportes son fijo.s, unidos rígidamente a la barra, y sin ajuste.

Nivel de mano

Pertenece a los aparatos empleados para la nivelación directa o topográfica ya que su uso se ajusta en to.do a la técnica del nivel fijo.

Altimetría o nivelación

249

El nivel de mano permite, como todo nivel, dirigir visuales horizontales y está formado por un tubo que lleva en su parte superior un nivel de burbuja. El tubo tiene practicada una ventana en su parte superior y median~e un espejo colocado con una inclinación de 45 o con respecto al eje de figura del anteojo, se puede ver la posición que guarda la burbuja. El nivel de mano no tiene ningún poder amplificador, pero es de gran utilidac. para trabajos que no requieren gran "'exactitud. Esta,dal

Es una regla de madera, de 3 o 4 metros de largo, y de 4, 5, 8 Ó 10 centímetros de ancho, por 2 centímetros de espesor. Existen muchos modelos, pero los principales son los que se ven en las figuras 110, 111 Y 112.

__...,...~~._28_3. m

Figura 110

Figura 111

250

Curso básico

de topografía

~f

Figura 112

En algunos estadales se pueden leer hasta milímetros, por medio del uso del vernier, que va fijo a una rodela que puede correrse a lo largo del estadal. Condiciones que debe reunir un nivel tipo americano

1.

Uno de los hilos de la retícula debe ser horizontal y perpendicular al eje de rotación. Revisión:

Se enfoca un punto fijo, coincidiendo en un extremo del hilo horizontal; se fijan los movimientos y se gira lentamente el anteojo con el tomillo tan-

gencial del movimiento horizontal y el punto debe verse coincidiendo con el hilo hasta el otro extremo. Ajuste:

Si el punto se separa del hilo deberá enderezarse la retícula aflojando los tomillos que la sujetan al tubo, moviéndola, y apretándolos nuevamente. Estas operaciones pueden hacerse con uno o con los dos hilos, vertical y horizontal. 2.

La línea de co!i11UlCión debe coincidir con el eje de figura del tubo

del anteojo.

Altimetría o nivelación

251

Revisión: Se aflojan las abrazaderas y se visa un punto haciéndolo coincidir con el cruce de los hilos de la retícula. En seguida, se gira el anteojo dentro de las abrazaderas, hasta que el nivel quede arriba, y el punto visado permanezca en el cruce de los hilos.

Ajuste: Si la condición anterior no se cumple, se mueven los tomillos opuestos ·de la retícula, simultáneamente, con dos punzones, primero los horizontales y después los verticales, hasta lograr la coincidencia del cruce de los hilos de la retícula con el punto visado.

3.

La línea de colimación debe ser paralela a la directriz del nivel. Esta revisión y ajuste comprende dc;>s partes:

La línea de colimación y la directriz del nivel debenl quedar en el mismo plano vertical. a)

Revisión: Se aflojan las abrazaderas y se centra la burbuja del nivel. A continuación, se gira el anteojo ligeramente y la burbuja debe permanecer centraca.

Ajuste: Si la burbuja se sale, el nivel se corrige con los tomillos de calavera del movimiento lateral.

La línea de colimación y la directriz del nivel deben estar en dos planos horizontales paralelos. b)

Revisión: Se aflojan las abrazaderas, se centra la burbuja y se desmonta el anteojo sin mover la regla. Invirtiéndolo extremo por extremo, se monta nuevamente y en esta nueva posición la burbuja debe quedar en el centro.

Ajuste: Si no sucede aSÍ, se corrige la mitad de la desviación de la burbuja con los tomillos que fijan el nivel al anteojo, y la otra mitad, con los tomillos niveladores.

252

4.

Curso básico de topografía

La regla debe ser paralela a la directriz del nivel. Revisión:

"~ff

~

Se c~ntra la burbuja del nivel y se hace girar el anteojo 180 0 , debiendo quedar centrada la burbuja en esta segunda posición.

Ajuste: Si la burbuja no queda en el centro después del giro de 180 0 que se dio al anteojo, se corrige la mitad de la desviación de la burbuja con los tomillos de los soportes, y la otra mitad con los tomillos niveladores. Condiciones que debe reunir un nivel tipo inglés

1.

Un hilo de la retícula debe ser horizontal; es decir, perpendicular al eje de rotación. La revisión y el ajuste se ejecutan como en el nivel tipo americano.

2.

La directriz del nivel debe ser paralela a la regla. Revisión:

Se centra la burbuja y se da un giro de 180 0 al anteojo. En esta nueva posición la burbuja debe quedar en el centro.

Ajuste: Si la burbuja no queda centrada, la mitad de la desviación se corrige con el tomillo de ajuste del nivel y la otra mitad con los tomillos niveladores.

3.

La directriz del nivel debe ser paralela a la línea de colimación.. Revisión:

Se marcan dos puntos fijos, a una distancia de unos 100 metros uno de otro, en un terreno sensiblemente plano. Se instala el instrumento a igual distancia de los dos puntos, se nivela y se toman lecturas en estadales colocados en dichos puntos. (Fig. NQ 113.) La diferencia de lecturas dará el desnivel entre los puntos y este desnivel será el verdadero aunque el aparato esté incorrecto, por estar a igual distancia de los dos puntos, ya que los errores que se producen en ambas lecturas son iguales. Se traslada el instrumento a uno de los puntos y se acerca lo más posible al estadal, para tomar una lectura prácticamente sin error. Esta lec-

Altimetría o nivelación

253

estadales

1.518

t-______~:x:7-------D--1.723

--- - -- ------.---1-

Figura 118

tura se toma visando por el objetivo y con el ocular hacia el estada!. Con esta lectura y el desnivel se calcula lo que deberá leerse en el otro punto. (Fig. NQ 114.) ..Ajuste:

En 'caso de no observar en el otro punto la lectura calculada, se sube o se baja la retícula hasta que marque dicha lectura.

1.5

L=?

100 m aprox. Figura 114

B

254

Curso básico de topografía

Este ajuste se comprueba cambiando de altura de aparato en el mismo punto o bien instalando el instrumento en el otro punto y repitiendo la operación. EJERCICIO:

Con los datos de las figuras anteriores, que corresponden a las operaciones realizadas en el campo, para revisar y ajustar un nivel tipo inglés, a fin de que la directriz del nivel sea paralela a la línea de colimación, calcule: a) El desnivel entre los puntos A y B de la figura NQ 113. b) La lectura que deberá tomarse en el punto B, si el nivel está correcto. (Fig. NQ 114.) SOLUCIÓN

a)

b)

= lectura en B - lectura en A = 1.723 - 1.518 = Lectura en B == lectura en A + h = 1.582 + 0.205 =

h

0.205 m

1.787 m

Errores en la nivelación

Algunos de los errores que comúnmente ocurren en los trabajos de nivelación son: Error Error Error Error Error

por curvatura de la Tierra y refracción atmosférica. por no estar vertical el estada!. por no estar centrada la burbuja del nivel. por reverberación. de apreciación de fracciones en las lecturas del estad al.

1.- Objetivo. 2.- Ocultar del anteojo. 3.- Ocultar del nivel de coincidencia. 3~ 4.- Tomillo de enfoque. 5.- Tornillo de presión del movimiento 2 azimutal: 6.- Tomillo tongencial del movimiento azimutal. 7 7.- Tomillo de inclinación. 8. Espejo orientable. 9. Tomillos niveladores. 10. Tripié. ~f

.5

Figura 115

6 9

-lO

Altimetría o nivelación

1.

255

Error por curvatura de la Tierra y refracción atmosférica.

Se comete un error por curvatura de la Tierra cuando se dirige una visual a un estadal para tomar una lectura; pero por la refracción atmosférica los rayos luminosos son desviados, cometiéndose un error por refracción que disminuye ,el de curvatura, como puede verse en la figura siguiente. nivel aparente de A -visual desviada por refracción 1\1

R

o

Figura. 116

A = estación h = desnivel entre A y B. B = punto visado R = radio terrestre MP = error por curvatura de la Tierra = Ec MN = error por refracción atmosférica = E,. NP = error total = MP - MN = E E

=

E, - E.

Error por curvatura y refracción

I

= Error por curvatura - Error por refracción

a)

Error por curvatura de la Tierra.

En el triángulo rectángulo OAM, se tiene: AM2

=

OM2 - OA:2

256

Curso básico de topografía

pero:

J AM

.~

D = distancia entre los puntO's A y B

1 OM = OP l OA =R

+ MP

= R

+ Ec

luegO':

D2

=

(R

+ Ec)2

=

- R'2

R2

+ 2R . Ec + El

- R2

y, considerandO' que Ec2 es muy pequeñO', puede despreciarse su valO'r sin cometer un errO'r apreciable y, entO'nces queda:

D2

=

2R· Ec

~ff

D2 Ec b)

=

~

®

2R

Error por refracción atmosférica.

Si en el mismO' triángulo OAM (Fig. NQ 116), pO'r un razonamiento semejante, en vez, del radiO' de la Tierra se toma 7R que es un valO'r aproximado del radiO' de curvatura de IO's rayos refractados, se encuentra: AM2

=

(7R

y si se desprecia

+ Er)2

E;

-

(7R)2

=

(7R)2

+ 14R· E + El 1•

(7R)2

por ser muy pequeñO' su valor, queda:

D2 = 14R ·Er D2

Er =

14.R

®

Si se sustituyen los valores hallados para Ec y Er, en la igualdad (D, se obtiene:

. E

=

D2

D·2

2R -

14R

=

1)

D·2 ( 2R 1- 7

6D·2 = 14R

=

D2 0.43

R

y, pO'r últimO', tomandO' el valO'r del radiO' terrestre: R = 6340000 m se encuentra: E = 0.000 000 0.67

D2/

E = errO'r pO'r curvatura de la Tierra y refracción atmO'sférica, en metros. D = distancia entre los puntO's, en metros.

A,l timetría o nivelación

257

EJERCICIO:

Calcule el error por curvatura y refracción, cuando la distancia entre la estación y el punto visado es de 500 metros. DATOS:

D = 500 m E =? SOLUCIÓN

E E

= =

0.000000067 D"2 = 0.000 000 067 (500)2 0.017 m

En los trabajos de nivelación directa el error por curvatura y refracción no es apreciable, porque las visuales son del orden de 100 metros; sin embargo, para evitar que este error se haga acumulativo es conveniente que las visuales tengan, aproximadamente, la misma longitud.

2.

Error por no estar vertical el estadal.

Para evitar este error se imprime al estad al un movimiento de vaivén, hacia adelante y hacia atrás ("bombeo"), para que el operador tome la mínima lectura, que corresponde al paso delestadal por la vertical (Fig. NQ 117), o se usa un nivel especial para estada!.

Figura 117

3.

Error por no estar centrada la burbuja del nivel.

Para evitarlo conviene llevar la burbuja al centro, después de haber apuntado el anteojo al estadal, antes de hacer la lectura. En algunos niveles 17

258

Curso básico de topografía

europeos y norteamericanos el control de la burbuja se facilita mediante un tornillo que permite pequeños movimientos de inclinación del anteojo.

4.

Error por reverberación.

~ff

~

Es debido a que el suelo al estar más caliente que el aire, produce corrientes de abajo hacia arriba, que hacen que la imagen del estadal oscile. En virtud de no poder evitar este fenómeno, conviene" no tomar lecturas menores de 10 cm en el estada!.

5.

Error de apreciación de fracciones en las lecturas del estadal.

NIVELACIÓN DIFERENCIAL Se llama así a la nivelación que tiene por único objeto determinar la diferencia de elevación 'e ntre dos o más puntos del terreno sin tomar en cuenta distancias. La nivelación diferencial puede ser simple o compuesta. Nivelación simple

La nivelación diferencial es simple cuando el desnivel entre dos puntos puede obtenerse haciendo solamente una estación con el instrumento. Este caso se presenta cuando los puntos cuyo desnivel se desea conocer no están separados por una distancia mayor de 200 metros y el desnivel entre los mismos no es mayor que la longitud del estadal. EJEMPLO:

Para determinar el desnivel entre los puntos A y B (Fig. NQ 118), se estaciona el instrumento a igual distancia de ambos puntos, para eliminar los errores por curvatura de la Tierra y refracción atmosférica, y se toman las lecturas de estadal en A y B. El desnivel se obtiene por la diferencia de las lecturas de estadal hechas en A y B. LA

= lectura

de estadal en el punto A.

LB

= lectura

de estadal en el punto B.

h

= desnivel

7\

= altura de instrumento.

~

entre A y B.

$~Jnla/

El desnivel entre A y B, en este ejemplo, es: h

:=

LA - LB

=

2.108 - 1.583

=

+0.525 m

Altura de instrumento es la elevación de la línea de colimación con respecto al plano de comparación y no la altura del anteojo con respecto al suelo del lugar donde esté instalado el instrumento.

259

--

260

urso básico de topografía estadales

LB

LA

~w!t~~~AwAVJi~1!'1 Jhr\ 200 m aprox. plano de comparación Figura 118

Se indica por las iniciales AJ. o con la figura

7\.

Lectura atrás es la que se hace en el estadal colocado sobre un punto de elevación conocida y se indica con signo positivo. Lectura adelante es la que se toma en el estad al sobre un punto de elevación desconocida y se indica con signo negativo. En este ejemplo: h = lectura de atrás - lectura de adelante.

Si la diferencia resulta positiva indicará que el punto de adelante está más alto que el punto de atrás y viceversa. Las lecturas atrás y adelante se indican con signos positivo y negativo, respectivamente, porque la primera se SUMA a la elevación del punto donde se hace la lectura para obtener la ALTURA DE INSTRUMENTO, Y la segunda se RESTA de la altura del instrumento para determinar la ELEVACIÓN del punto donde se hace la lectura. En el ejemplo anterior, se da la cota de A, por tanto, la lectura del estad al en este punto debe sumarse a la cota del mismo, para obtener la altura del instrumento; y la lectura hecha en el punto B se restará de la altura del instrumento para hallar la cota de B. Las operaciones pueden disponerse como sigue: Cota A =

~ff

~

84.153 m 2.108 " 7\ 86.261" :- 1.583 " Cota B = 84.678"

+

Nivelación diferencial

261

Cuando se conoce la ELEVACIÓN o COTA del punto A y se desea obtener la correspondiente al punto B, se emplea la siguiente fórmula: COTA

B

=

COTA

A -+- DESNIVEL ENTRE A Y B

En el ejemplo propuesto el desnivel resultó positivo, lo que indica que el punto B o de adelante está más alto que el punto A o de atrás, luego: COTA

B

=

84.153

+ 0.525 =

84.678 m

Nivelación compuesta

Cuando no puedan cumplirse las condiciones señaladas para la nivelación simple porque los puntos extremos de la línea cuyo desnivel se desea conocer estén muy lejanos uno de otro, o hay obstáculos intermedios, entonces d desnivel se obtiene por medio de una nivelación compuesta, que consiste en repetir la operación indicada para la nivelación simple, tantas veces como sea neCesario, estableciendo puntos intermedios denominados puntos de liga (P.L.) donde se hacen dos lecturas en el estadal, una adelante y otra atrás. Los P.L. deben ser puntos definidos y se establecerán empleando objetos naturales o artificiales como rocas, troncO's de árboles, estacas con clavos o grapas y marcas pintadas o -labradas con cincel. La nivelación diferencial compuesta requiere una serie de cambios de instrumento a lo largo de la ruta general y, para cada cambio, una lectura atrás en el estada: colocado sobre un punto de elevación conocida y otra lectura adelante al punto de elevación desconocida. El trabajo yel registro se llevan como se indica en el ejemplo siguiente (Fig. NQ 119): BN - 1 representa un banco de nivel de elevación conocida y BN - 2 un banco que se va a establecer. Se desea determinar la elevación de BN - 2. Un estadal se coloca sobre BN - 1; el instrumento se instala en un lugar conveniente, como A, a lo largo de la ruta general, pero no necesariamente en la línea directa que une BN - 1 a BN - 2. El nivelador hace la lectura atrás eD el estadal colocado en BN - 1, anotándola en el registro de campo. Luego, elestadalero se dirige hacia adelante y, según las indicaciones del nivelador, marca un punto de liga (PL 1 ), sobre el cual coloca el estadal para que el nivelador haga ahora la lectura adelante y la anote también en el registro. En seguida, el nivelador instala el instrumento en otro punto, como B, Y toma una lectura atrás en el estadal colocado sO'bre PL1 ; después el estadalerO' va a establecer un segundo punto de liga (PL:.J , Y el nivelador hace la lectura adelante en el estadal colocado sobre PL2; y así se va repitiendO' el procedimiento, hasta llegar a BN - 2.

262

Curso básico de topografía

+

0.943

~ff

.5 estad al nivel 1.874

ota PL2

cota PLl elevo BN-l =

plan

paraClon

Figura 119

En la figura NQ 119 se ve que si se suman la lectura atrás y la elevación del punto en que se tomó, se obtiene la altura del instrumento; y que si se resta a la altura del instrumento la lectura adelante, se determina la elevaciór. del punto sobre el cual se tomó la lectura. Además, la diferencia entre la lectura atrás, tomada en un punto de elevación conocida, y la lectura adelante, tomada en el punto siguiente, es igual al desnivel entre los dos puntos. De esto se infiere que la diferencia entre la suma de todas las lecturas atrás y la suma de todas las lecturas adelante, da el desnivel entre los bancos de nivel BN - 1 Y BN - 2. Registro de campo Lugar: México, D. F. Fecha: 24-ABR-72 Niveló: Alejandro García L.

Nivelación diferencial Est.

+

BN -1 PL - 1 PL-2 BN- 2

1.874 2.108 0.943 4.925

7\

-

0.912 0.714 1.819 3.445

Cotas

Notas

209.776 Monumento de concreto, a 25.50 m a la izquierda de Est. 7 + 280 del Camino Sola de Vega-Juquila.

Nivelación diferencial

263

En la página izquierda de la libreta de campo, se anotan los datos numéricos y la página derecha se reserva para descripciones de bancos de nivel y estaciones, a fin de que puedan encontrarse en el campo sin dificultad. Las alturas de instrumento y las elevaciones de las estaciones pueden calcularse en el gabinete, a menos que las elevaciones se necesiten durante el trabajo que se está desarrollando o para comprobación del mismo. El cálculo de las alturas de instrumento y las elevaciones puede disponerse de la manera siguiente: Elev. BN - 1 =

209.776

+ 7\=

1.874 211.650

=

0.912 210.7.38

Elev. PL - 1 7\

Elev. PL - 2 7\

Elev. BN - 2

=

+

=

altura de instrumento en A

2.108 212.846 ~ altura del instrumento en B 0.714 212.132

=

=

~

+

0.943 213.075 ~ altura del instrumento en

e

1.819 211.256

La comprobación del cálculo de las alturas de instrumento y las elevaciones, se conoce generalmente como "comprobación aritmética" y se realiza como sigue: Se suman todas las lecturas (1+); se suman todas las lecturas (-); la diferencia entre estas dos sumas debe ser igual a la diferencia entre las elevaciones de la última y primera estación. En el ejemplo propuesto, la comprobación aritmética es: -

¡ Lecturas (+) = 4.925 ~ Lecturas (-) = 3.445 h = -+-1:--.4""-::"8--:::-"0 m

-

Elev. B.N. - 2 (llegada) = Elev. B .N . - 1 (salida) h =

211.256 209.716 + 1.480 m

264

Curso básico de topografía PROBLEMAS

1.

Con los datos del registro de campo siguiente: a)

b)

Determine las alturas de instrumento y las elevaciones. Haga la comprobación aritmética de las operaciones. Lomas de Sote/o, D. F. 30-AGO-70 Niveló: Enrique Cárdenas L.

Nivelación diferencial

+

Est. BN PL PL PL BN

-4 - 1 -2 - 3 - 5

0.871 0.745 0.659 0.511

SUMAS

2.786

7i

-

74.278

-

-

Orilla camino viejo I

------- -- - - ----

Cálculo de alturas de instrumento y elevaciones. Cota BN - 4 = 74.278 + 0.871 7\ = 75.149 - 2.433 Cota PL - 1 = 72.716 + 0.745 7\ = 73.461 - 1.917 Cota PL - 2 = 71.544 + 0.659 7\ = 72.203 - 1.614 Cota PL - 3 = 70.589 + 0.511 7\~ "7i.100 - 1.518 Cota BN - 5 = 69.582

I

Sobre grapa, en tronco de cedro

SOLUCIÓN

a)

.

Notas

Cotas

2.433 1.917 1.614 1.518 7.482

I

b)

Comprobación aritmética.

= 2.786 = 7.482 -=-4.696 m

-

¡ Lecturas (, +) ¡ Lecturas (-) h

-

Cota BN - 5 = 69.582 Cota BN - 4 = 74.278 h =-4.696 m

~ff

~

Nivelación di'erencial 2.

265

Con los datos de la figura N
b)

Elabore el registro de notas. Calcule las elevaciones de los PL y ..._3_.1_8_8_----E-:-0.....8_6_5_~

e)

Haga la comprobación del cálculo .

a)

J

.129 h

2.451

Elev. BN-10 = 504.018 m. Figura 120

Elev. BN - 1

= 504.018

ID

SOLUCIÓN

Est.

+

7\

BN - 10 PL-1 PL- 2 PL- 3

2.451 3.129 3.188

506.469 509.366 512.411

SUMAS

8.768

comprobación aritmética: ¡ Lecturas (+) = 8.768 - ¡ Lecturas (-) = 1.240 h = +7.528 ro

-

0.232 0.143 0.865 1.240

Cotas 504.018 506.237 509.223 511.546

266

Curso básico de topografía -

3.

Cota PL - 3 (llegada) = Cota BN - 10 (salida) = h=

511.546 504.018 + 7.528 rn

Completar el registro de nivelación que sigue, comprobando las operaciones. Est.

BN - 1

PL - 1 PL - 2 PL - 3 BN- 2

+ 1.038 2.479 1.823 1.694

7\

-

Cotas

100.000 0.876 2.256 1.168 1.699

~ff

~

Comprobación de una nivelación

El trabajo de campo de una nivelación puede comprobarse por alguno de los procedimientos siguientes: a) Repitiendo la nivelación en sentido contrario, ya sea siguiendo la misma ruta u otra distinta. Este procedimiento tiene la ventaja de que al repetir la nivelación en dirección contraria, se pueden eliminar ciertos errores de acumulación. b) Por medio de dos nivelaciones llevadas al cabo en el mismo sentido, pero con distintos puntos de liga. Este procedimiento empleado para comprobar una nivelación se llama de doble punto de liga, porque se eligen dos series de puntos de liga, de tal manera que se tenga la misma altura de instrumento en ambas series de observaciones, pero diferentes lectura:> de estada!. c) Por doble altura de ap'arato, ejecutando a la vez dos nivelaciones en igua~ dirección con los mismos puntos de liga, pero con diferentes alturas de instrumento. Los dos últimos procedimientos son útiles cuando las líneas de nivelación son muy largas y no se quiere regresar al punto de partida. Como al efectuar la comprobación de una nivelación, se obtienen dos valores para el desnivel total, el valor más probable es el promedio de los dos resultados o media aritmética. El error de cada nivelación es la diferencia entre cada uno de los desniveles obtenidos y el valor más probable del desnivel.

Nivelación dilerencial

267

Tolerancias en nivelaciones topográficas comunes Nivelaciones

Tolerancias, en metros

T

DE IDA Y REGRESO

P

=

P

=

yP

=

+0.015

yP

Doble de la distancia recorrida, en km.

T

POR DOBLE ALTURA

+0.01

Suma de las distancias recorridas en una y otra dirección, en kilómetros

T

POR DOBLE PUNTO DE LIGA

=

=

+0.02

vI>

DE APARATO

P ENTRE DOS PUNTOS DE COTAS CONOCIDAS, para nive-

=

Doble de la distancia recorrida, en km.

T= +0.02 P

=

yP

Distancia recorrida de un banco al otro, en km.

lar bancos intermedios

PROBLEMAS 1.

Para establecer el BN - 2 se corrió una nivelación diferencial a partir del BN - 1, de cota 100.000 m. La comprobación de la nivelación se hizo por el procedimiento , de doble altura de aparato, obteniéndose los datos de los registros siguientes: a)

Calcule las cotas de los P.L. (s) y del BN - 2.

b)

Compruebe el cálculo de cotas.

e)

Determine el error en la nivelación.

d)

Calcule la tolprancia, sabiendo que la distancia entre los B.N. es 125.00 m.

e)

Obtenga la cota definitiva para el BN - 2.

268

Curso básico de topografía DATOS:

1<:1 posición

2<:1 posición

+

P.V. BN-1

1.193 1.901 1.916 1.719

PL - 1 PL - 2 PL - 3 BN-2

6.729

SUMAS

Cotas

-

7\

P.V.

100.000 BN-1 PL - 1 1.147 PL- 2 2.535 PL - 3 1.495 BN-2 1.926 SUMAS 7.103

SOLUCIÓN

Cálculo de cotas de los P.L.(s):

a)

Cota BN - 1

= 100.000

+ 1.193 7\ = 101.193 Cota

Cota

Cota

Cota

1.147 PL - 1 = 100.046 + 1.901 7\ = 101.947 2.535 PL - 2 = 99.412 + 1.916 7\ = 101.328 1.495 PL - 3 = 99.833 "+ 1.719 7\ = 101.552 1.926 BN - 2 = 99.626

+

-

7\

1.423 1.999 2.047 1.825 7.294

¡ Lect (+)

=

-2; Lect (-) -:

h

= 2 =

6.729 7.103 - 0.374 m

Cota BN 99.626 Cota BN - 1:;=: 100.000 ·h = - 0.374 m

h

= desnivel entre los bancos BN

I

100.000 1.377 2.633 1.628 2.028 7.666

.

~ff

~

100.000 + 1.423 101.423 1.377 100.046 + 1.999 102.045 2.633 99.412 + 2.047 101.459 1.628 99.831 + 1.825 101.656 2.028 99.628

Comprobación aritmética:

b)

CottM

7.294 7.666 0.372 m 99.628 -100.000 0.372 m - 1 Y BN - 2.

1

N ivelación diferencial c)

269

Error en la nivelación. El valor más probable para la cota del BN - 2, es: cota BN - 2

= 99.626 ~ 99.628 = 99.627 m

y el error:

99.626 - 99.627 = -0.001 m E= { 99.628 - 99.627 = +0.001 m

( 1~ posición) (2~

posición)

E = +0.001 m d)

Tolerancia en la nivelación: La comprobación de la nivelación se hizo por doble altura de aparato, por tanto, se aplica la fórmula: T

=

+0.02

yP

siendo P el doble de la distancia recorrida, en kilómetros. P

= 2(.125) =

T

= +0.02 Y0.250 .

0.250 km

luego: +0.010 m

E
Cota definitiva para BN - 2: El error resultó menor que la tolerancia, lo cual indica que el trabajo se ejecutó correctamente y, por consiguiente, se adoptará como cota definitiva para el BN ·- 2, el promedio de las cotas obtenidas o valor más probable. COTA BN

2.

-.·2 ::::: 99.627 m

En la nivelación ·entre dos puntos, por doble punto de liga, se tomaron las lecturas de estadal que aparecen en los registros de campo siguientes:

Curso básico de topografía

270

+

P.V.

-

7\

BN-l PL - 1 PL- 2 PL - 3 BN-2

1.252 1.507 0.196 0.183

SUMAS

3.138

---

1.075 0.223 0.384 0.563 2.245

--

Cotas

P.V.

+

115.217 BN-1 PL - 1 PL- 2 PL - 3 BN- 2

1.252 1.591 0.309 0.702

SUMAS

3.854

-

7\

Cotas 115.217

1.149 0.582 0.671 0.563 2.965

----

La distancia del BN - 1 al BN - 2 es de 290.00 m. a) b) c) d) e)

Calcule las cotas de PL(s) y BN - 2. ~ff Haga la comprobación aritmética. Determine el error en la nivelación. ~ Calcule la tolerancia, y Obtenga el valor más probable para la cota del BN - 2. SOLUCIÓN

a)

Cálculo de las cotas de los P.L.(s) y del BN - 2: cota BN - 1 = 115.217 1.252 * 7\ = 116.469 1.075 1 = 115.394 + 1.507 7\= 116.901 0.223 2 = 116.678 0.196 +---7\= 116.874 0.384 3 = 116.490 + 0.183 7\= 116.673 0.563 * 2 = 116.110

cota BN - 1 = 115.217

'+

cota PL -

+ 7\ =

cota PL - 1

=

+ 7\ =

\

cota PL -

cota PL -

cota BN -

*

cota PL

~.

2

=

+

7\

=

cota PL - 3

=

+ 7\=

cota BN - 2

=

1.252 * 116.469 1.149 115.320 1.591 116.911 0.582 116.329 0.309 116.638 0.671 115.967 0.702 116.669 0.563 * 116.106

La primera y la última lecturas son iguales en ambas nivelaciones.

.

Nivelación diferencial b)

Comprobación aritmética; ¡ Lect (+) = 3.854 - ¡ Lect (~) = 2.965 h = -+~0.-=8-=-89'="' m

¡ Lect (+) = 3.138 - ¡ Lect (~) = 2.245 h = --:+--=0,--,.8,. . ",. 9-=-3 m

-

cota BN cota BN

~

~

h

e)

271

2 = ,116.110 1= 115.217 h = + 0.893 m

= desnivel

cota BN - 2 = 116.106 -cota BN - 1 = 115.217 h = + 0.889 m

entre BN - 1 Y BN - 2.

Valor más probable para la cota del BN - 2: cota BN - 2 = 116.110 ~ 116.106 = 116.108 m

d)

Error en la nivelación:

E= e)

I

116.110 - 116.108 = +0.002 { 116.106

~

116.108 = -0.002

E

==

±0.OO2 m

Tolerancia en la nivelación: T

=

+0.015

V 0.580

= +0.011

ID

E ·< T 3.

Con los datos del registro siguiente: Calcule las cotas de los P.L(s). b) Compruebe el cálculo, y e) Determine el error, indicando si está dentro de la tolerancia establecida. a)

P.v.

+

BN-l PL - 1 PL- 2 PL - 3 PL- 4 BN-l

1.003 2.545 1.331 1.250 3.702

SUMAS

9.831

7\

-

3.124 2.655 1.953 1.393 0.701 9.826

Cotas

Notas

40.485

Monumento de concreto, Desarrollo de la línea nivelada = 0.720 km

1

272

Curso básico de topografía SOLUCIÓN

a)

Cálculo de las cotas de los P.L.(s):

cota BN - 1

= 40.485 * * Cuando partiendo de un punto

+

7\

=

cota PL - 1 =

+

7\=

cota PL - 2 =

+

1.003 41.488 3.124 38.364 2.545 40.909 2.655 38.254 1.331 39.585 1.953 37.632 1.250 38.882 1.393 37.489 3.702 41.191 0.701 40.490 *

_ .

7\ =

cota PL - 3

=

+

7\

cota PL - 4

= =

+

7\ =

cota BN - 1 = b)

.~ -~

de cota conocida, se vuelve a él después de una serie de estaciones, se debería, teóricamente, encontrar como resultado final la cota de partida, pero generalmente se encuentra una diferencia que se denomina ERROR DE CIERRE.

c)

~-

Error en la nivelación:

E = cota llegada - cota salida E = 40.490 - 40.485 = 0.005 m T = -+-0.01 ,¡-0.720 = -+-0.008 m

El trabajo se ejecutó correctamente, puesto que:

E
Comprobación del cálculo:

Lect (.+) = Lect ( - ) = Dif. =

9.831 9.826 + 0.005 m

~%

~

cota BN - 1 (llegada) = 40.490 - cota BN - 1 (salida) = 40.485 Dif. = 0.005 m NIVELACION ,D E PERFIL En la nivelación de perfil el objeto es encontrar las elevaciones de puntos a distancias conocidas, obteniéndose el perfil del terreno a lo largo de la línea de nivelación.

Nivelación diferencial

273

Durante la localización y trazo de caminos, ferrocarriles, canales, etc., se colocan estacas a intervalos regulares para materializar el eje de la vía de comunicación de que se trata. Ordinariamente, el intervalo entre estacas es de 20 m y los puntos colocados a cada veinte metros desde el principi:> de la línea se llaman estaciones completas. El trabajo de campo en la nivelación' diferencial y en la nivelación de perfil, es casi' el mismo; la diferencia principal es que en la primera, todas las estaciones son puntos de liga, mientras que en la segunda hay estaciones intermedias. Además, en la nivelación de perfil, se miden las distancias entre las estaciones intermedias. En los BN y PL el estadal se coloca sobre la varilla, estoperol o grapa de estos puntos, se le imprime' movimiento de vaivén, hacia adelante y hacia atrás para tomar la mínima lectura y ésta se aproxima al milímetro; en cambio, en las estaciones intermedias, el estad al se coloca en el terreno porque éste es el dato que se necesita, manteniéndolo vertical a ojo y las lecturas se toman generalmente al centímetro. En la figura NQ 121 se ilustran en planta y en elevación las operaciones que se ejecutan para levantar un perfil.

I-L

o o

Figura 121 18

274

Curso básico de topografía

Supongamos que se trata de un camino. En este caso las estacas se colocan cada 20 metros. Se coloca el instrumento en un lugar conveniente A y el estadal, en el BN - 1, con elevación de 91.049 m y se toma la lectura (1+3.401 m). Luego se toman lecturas de estadal en las estaciones sucesivas 1 y 2, a lo largo de la línea. Estas lecturas (2.39 y 1.99) se denominan intermedias para distinguirlas de las lecturas tomadas en los BN o en los PL y se anotan en la columna L.I. del registro de nivelación. Cuando el estadal llega a un punto donde ya no pueden tomarse lecturas en las estaciones intermedias, se elige un PL1 y se hace la lectura (-0.042) para determinar su elevación. A continuación se transporta el instrumento hacia un nuevo punto B donde se instala y se hace la lectura en el PL 1 que se acaba tle colocar. Se toman las lecturas de las estaciones intermedias (3 y 4) Y se elige un punto de liga PL 2 , para cambiar al punto e el instrumento; y de esta manera va ejecutándose el trabajo hasta llegar al punto final de la línea. El registro de la nivelación de perfil se lleva como se indica en el ejemplo siguiente:

~ff

.5

Estaciones

+

BN-1 O + 060 + 080 PL - 1 0+100 + 120 PL- 2 + 140 + 160 PL - 3 + 180 O + 200 BN-2

3.041

SUMAS ·

7\

-

L.I.

Cotas 91.049

2.39 1.99 3.087

0.042 3.24 0.03

3.908

0.026 3.77 3.12 0.034

3.976

3.85 2.67 14.012

--

3.991 4.093

---

El cálculo de las cotas de los PL y BN - 2, Y la comprobación del cálculo se efectúan como en la nivelación diferencial. Las cotas de' las estaciones intermedias se obtienen restando las lecturas intermedias correspondientes de la altura del instrumento y se registran aproximándolas al centímetro.

Nivelación diferencial

a)

Cálculo de cotas de

~L(s):

cota BN - 1 = 91.049 3.041 + 7\= 94.090 0.042 cota PL -1= 94.048 3.087 + ]\= 97.135 0.026 cota PL - 2 = 97.109 3.908 + 7\ = 101.017 0.034 cota PL - 3 = 100.983 + 3.976 7\ = 104.959 3.991 cota BN - 2 = 100.968 b)

Comprobación aritmética:

¡ Lect (+) = 14.012 --¡ Lect (-) = 4.093 h = + 9.919 m -

275

Cálculo de cotas de estaciones intermedias: c)

7\

=

94.09 2.39 91 .70

94.09 1.99 92.10

7\

=

97.14 3.24 93.90

97.14 0.03 97.11

7\

= 101.02 3.77 97.25

101.02 3.12 97.90

7\= 104.96 3.85 101.11

104.96 2.67 102.29

Los resultadO's del cálculO' se anotan en el registro de la nivelación.

cota BN - 2 = 100.968 cota BN - 1 = 91.049 .. h =--:-+-9".919 m

Construcción de un perfil

Concluidos lO's trabajO's de campo cO'rrespondientes a una nivelación de perfil, se procede a la cO'nstrucción del perfil. Una vez calculadas las cotas de tO'dO's lO's puntO's y cO'nO'cidas las distancias horizontales de punto a punto, se dibuja el perfil, generalmente, en papel milimétrico (Fig. NQ 122). En el perfil hay que representar dO's clases de distancias: las horizO'ntales, de punto a punto; y las verticales contadas desde el plano de cO'mparaC:0n a las cotas dadas. Las escalas para representar estas distancias deben ser diferentes. Debe ser mucho menO'r la hO'rizontal que la vertical para apreciar mejO'r la diferencia de alturas entre lO's puntos del terreno.

276

Curso básico de topografía

Se fija primero la escala horizontal y, por lo general, adoptada ésta, la escala vertical se hace diez veces mayor. Así pues, si para las distancias horizontales se toma 1: 1,000, para las verticales será 1: lOO.. Aún cuando es lo común adoptar las escalas en la forma expuesta, no es indispensable, pues la escala vertical será la que mejor convenga.

~ff

~

terreno natural

ESCALAS: oriz ertic

kilometraje

o

+

m

o

o

+

00

o

o

o

o

+ ¡....a.

+ ¡....a.

+ ¡....a.

o

l'V

~

o

Figura 122

o

o

o

+ ¡....a.

·m o

+ ¡....a. 00 O

o

+

l'V O

o

Nivelación diferencial

277

PROBLEMAS l.

Con los datos del registro de nivelación siguiente: a)

Calcule las elevaciones de los PL(s) y de' las estaciones intermedias.

b)

Compruebe el cálculo.

e)

Construya el pedil correspondiente (escalas: horizontal 1: 1,000 y vertical 1: 100) . Estaciones

+

7\

BN - 3

1.003

41.488

1 + 460 + 480 1 + 500 + 520 + 540 + 560 + 580 1+600 PL - 1 + 620 + 640 + 660 + 680 1 + 700 + 720 + 740 PL - 2 + 760 + 780 1+800 + 820 + 840 + 860 + 880 1 + 900 PL - 3 + 920 + 940 + 960

L.I.

1.08 1.25 1.36 1.50 1.72 2.05 2.56 3.15 0.545

38.909

3.124 1.18 1.69 2.04 2.27 2.43 2.57 2.65

1.331

37.585

2.655 1.34 1.32 1.35 1.40 1.61 1.51 1.77 1.97

1.250

36.882

1.953 1.14 1.16 1.54

BN-4 SUMAS

-

4.129

1.393 9.125

Cotas 40.485 40.41 40.24 40.13 39.99 39.77 39.44 38.93 38.34 38.364 37.73 37.22 36.87 36.64 36.48 36.34 36.26 36.254 36.25 '36.27 36.24 36.19 35.98 36.08 35.82 35.62 35.632 35.74 35.72 35.34 35.489

278

Curso básico de topografía comprobación aritmética: ~ -~

4.129 Lect (+) = Lect (-) = 9.125 h = -4.996 m h

=

-

desnivel entre BN - 3

cota BN - 4 cota BN - 3 h

= 35.489 = 40.485 = - 4.996

m

Y BN - 4.

SOLUCIÓN

Los resultados del cálculo aparecen en el registro anterior. 2.

Con los datos de la figura N
Elabore el registro de notas.

b)

Calcule las cotas de los PL.

c)

Haga la comprobación aritmética del cálculo, y

d)

Obtenga las cotas de . los puntos intermedios.

~ff

~

M

1.0 ~

I

OQ

ftUoI• I ro! CJ:J.

PL-l

Cota BN - 1 = 508.715 m Figura 128

~

~I

M

tM

I~

,.....,

c.o

~I

~l

~

.::z:..

M

o

cv:l

Nivelación diferencial

279

SOLUCIÓN

a)

Registro de notas:

P.V.

-

+

BN-l

7\

b)

Cálculo de las cotas de los PL:

Cotas

0.751

508.715

a

0.98 1.36

b PL - 1 e d PL- 2 e

= 508.715 + 0.751 7\ = 509.466

BN - 1

COTA

L.l.

1.209

2.314

COTA

PL

COTA

PL

2.06 1.25 1.516

1.289 1.61 1.49

f PL - 3

2.113

1.417

g

1.92 1.51

h PL-4 SUMAS

c)

1.306 5.221

6.694

COTA

PL

COTA

PL

1.209 -.1 = 508.257 + 2.314 7\ = 510.571 1.289 - 2 = 509.282 + 1.516 7\= 510.798 1.417 - 3 = 509.381 + 2.113 7\ = 511.494 1.306 - 4 = 5io.188

Comprobación aritmética: Metros

¡ Lect (+) = - ¡ Lect (-) = Diferencia = d)

6.694 5.221 + 1.473

= 509.47

7\

=

cota a

0.98 508.49

cota c

=

7\

= 509.47

7t

=

cota b

1.36 508. f1

=

cota PL - 4 (llegada) = cota BN - 1 (salida) Diferencia =

510.188 508.715 + 1.473

Cálculo de las cotas de los puntos intermedios:

7\

=

Metros

cota d

=

510.57 2.06 508.51 510.57 1.25 509.32

7\ "--

cota e

=

7'\

=

cota f

=

510.80 1.61 509.19

7\= cota g

=

510.80 7\ 1.49 509.31 cota h

= =

511.49 1.92 509.57 511.49 1.51 509.98

Las alturas de instrumento y las cotas calculadas deben anotarse en el registro de la nivelación.

'.

"

NIVELACIÓN TRIG,O NOMÉTRICA La nivelación indirecta o trigonométrica tiene por objeto determinar la diferencia de alturas entre dos puntos, midiendo la distancia horizontal o inclinada que los separa y el ángulo vertical que forma la línea que les une con el plano horizontal que pasa por el punto donde se hace la observación. En la topografía ordinaria la nivelación trigonométrica proporciona un medio rápido de determinar los desniveles y las cotas de los puntos en terreno quebrado. Este método se basa en las propiedades trigonométricas de los triángulos rectángulos. (Fig. NQ 124.)

B

h

A

e

Dh Figura 124

Dr = distancia real entre A y B

= distancia horizontal entre h = desnivel entre A y B

Dh

a

= ángulo

A y B

vertical o de inclinación del terreno.

Cuando se miden el ángulo ve'ftical y la distancia inclinada o real, el desnivel se obtiene por medio de la fórmula: h

= Dr· sen

la

(1)

281

Curso básico de topografía

282

y si los datos son el ángulo vertical y la distancia horizontal, entonces el desnivel se halla aplicando la fórmula: h

=

Dh' tan

(2)

a

En los reconocimientos topográficos se emplean aparatos llamados eclímetros o clisÍmetros para medir ángulos verticales y puede ser usada también la plancheta de pendientes. El uso del tránsito está reservado para las invelaciones trigonométricas de precisión. Eclímetro

~ff

~

Figura 125

El de uso más común consta esencialmente de un tubo para dirigir visuales (Fig. N9 125), de un nivel de burbuja que puede girar alrededor de un eje normal al semicírculo vertical que lleva doble graduación, una exterior para ángulos verticales y otra interior, en tantos por ciento; y de un vernier cuyo Índice se mueve junto con el nivel y marca en la doble graduación el valor del ángulo.

uso

del eclímetro:

Se observa a través del tubo el punto que se desea localizar y se mueve el nivel, por medio de un tomillo, hasta que se vea por reflexión a través de un espejo inclinado 45 o con respecto al eje del tubo, que la burbuja queda bisectada por la línea de referencia. Cuando el aparato se encuentra en esta posición, el Índice señalará el valor del ángulo, en el semilimbo graduado.

N ivelación trigonométrica

283

Eclímetro de la brú¡ula

Está formado de un nivel de forma tórica al que va unido un índice, en posición normal al nivel, que sirve para determinar las graduaciones; de un semilimbo con doble graduación, una en grados sexagesimales y otra en tantos por ciento; y de una pequeña palanca de cabeza fresada que se encuentra en la cara inferior de la caja de la brújula, en el exterior del aparato. Para dirigir visuales se usan como elementos de puntería la pínula ocular de la brújula y la línea o referencia marcada en la parte no azogada de .la tapa del aparato. (Fig. NQ 126.)

espejo semilimbo graduado

pínula ocular línea de referencia en la parte no azogada

uso

Figura 126

del eclímetro de la brújula:

Para medir un ángulo vertical con este aparato, se toma la brújula con la mano izquierda y en posición vertical, colocando el espejo de la tapa con una inclinaciór- aproximada de 45 o con relación al plano del limbo y se visa la señal colocada en el punto dado a una altura igual a la que tiene sobre el suelo el ojo del observador. Esta visual se dirige acercando el ojo a la perforación de la pínula ocular y de manera que, haciéndola pasar por la línea de referencia en la ventana de la tapa, vaya a dar al punto observado. Sin dejar de visar el punto, con el dedo medio de la mano derecha obrando sobre la cabeza de la palanca se hace que la burbuja del nivel tórico entre en sus referencias y entonces, el índice que va adherido a dicho nivel marcará el ángulo vertical. Por reflexión se ve cuando la burbuja ,del nivel queda centrada.

284

Curso básico de topografía

Plancheta de pendientes

Este aparato que también se denomina clisÍmetro de perpendículo está formado por un semicírculo de cartón, madera o lámina (Fig. NQ 127), o bien por una tabla o cartón de 25 X 25 cm. Del punto A, localizado en la parte superior y al centro de su eje se suspende un hilo con una plomada en el extremo inferior. El semicírculo o bien ,el borde inferior de la tabla lleva una doble graduación: grados sexagesimales y pendientes. Cuando el hilo de la plo-

+

25Lcm

pendientes en % ~~lnff

.5 f

JI..

25 cm

1

Figura 127

mada está en reposo y el borde superior de la plancheta de pendientes es normal a la dirección del hilo a plomo, el CERO, origen de las graduaciones, quedará coincidiendo con dicho hilo. Para poder apreciar las pendientes ascendentes y descendentes, las primeras llevan signo (+) y las segundas signo (-).

uso

de la plancheta de pendientes:

El observador dirige una visual, tangente al borde superior de la plancheta, a la marca o señal de la baliza, colocada a la misma altura que tiene sobre el terreno el ojo del observador, a fin de que la visual sea paralela al terreno; y sostiene esa posición hasta que la plomada entre en reposo; luego, con el dedo pulgar de la mano izquierda fija el hilo al

N ivelación trigonométrica

285

cuerpo de la plancheta y mirando las graduaciones toma el valor del ángulo vertical o el de la pendiente de la línea. (Fig. NQ 128.) ,.,. "

a

a

= estación

'--__ A

B = punto visado

a

= altura

de ojo del observador a = ángulo vertIcal.

A

Figura 128

PROBLEMAS 1.

En un reconocimiento topográfico se midieron la distancia inclinada a pasos y el ángulo vertical con el eclímetro. Calcular el desnivel entre los puntos A y B del terreno, con los siguientes datos (Fig. NQ 129): Amplitud del paso del topógrafo

te~!!.o_ -

---

vialal par_la al

""'.....c.::-=-==---.- -

= '0.61

m

-

I

.......__'-~ __ .Q-._. A

90°

Figura 129

~ +

D, _ a -

217~5 ~sos +7 00

h =?

286

Curso básico de topografía SOLUCIÓN

Dr = 217.5 (0.61)

h

= Dr' sen a =

= 132.68

m 132.68 sen 7°00' = 132.68 (0.1219)

Ih= 2.

+ 16.17

m

I

Para determinar el desnivel entre A y B (Fig. NQ 130), se utilizaron el podómetro y la plancheta de pendientes, obteniéndose los siguientes datos: AB = .147.50 m y pendiente de la línea AB = = -10.5%. Calcule el desnivel.

....1IIIlIInlIDlIJJ_~J~~.Y~~~a~..:e~tno

t

hl AJ

-t-----A Figura 180

-

~ff SOLUCIÓN

La pendiente de una línea es igual a la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación : pendiente AB

= -10.5% =

10.5

=

-0.105

= -tan

100 a =

= la

= tan

(-a)

-6°

luego: h = AB sen a

=

147.50 sen (-6 ° )

I 3.

=

h l= -15.41 m

- 147.5 (0.1045)

I

En la figura N
N ivelación trigonométrica

y se miden la distancia AN, el ángulo vertical

a

287

y la altura del

instrumento. Detenninar la altura del poste con los siguientes datos: /

'"

/

/

/

./'

""

./

/

/

./

d = 30 cm AN =28.60 m a = 24°37' 7\ = 1.48 m

h=?

"" ""

./ ./

.ddÁ

"" o(

.....rtfUI¡w.Ji. __________ _ Figura 181

SOLUCIÓN

En el triángulo rectángulo A'M'M, por trigonometría, se tiene: MM'

=

A'M' tan a

MM' = (28.60 MM'

= 13.17

= (

+ 0.15)

AN

+ ~ ) tan

tan 24°37'

=

a

28.75(0.4582)

m

y, en la misma figura vemos que: h

= MM' + ti. = \ h

4.

13.17

=

+ 1.48 =

14.65 ro

14.65

I

En el punto B se instaló él tránsito, se niveló y se tomó la lectura en el estadal colocado en el punto A, de cota conocida. Se tomó, con auxilio del estadal, la altura del instrumento en B , midiéndose la distancia Be', por medio de la cinta de acero, y el ángulo vertical a. (Fig. NQ 132.)

288

Curso básico

de topografía

_\

~e1.1.~o

,~ ~ "....... ~..,~e\.;,- ,..... -\j

r--

-'

~~~~

estadal

o<.. C

I

~

LA

Jj;l--· C'

Figura 132

~ff

~

DATOS:

Cota A = 128.19 m Lectura de estad al en A: Altura del instrumento en B : Distancia horizontal: Angulo vertical:

LA = 7\

=

Be' = a =

2.87 m 1.52 m 52.60 m + 19°30'

CALCULAR:

Cota B = ? Desnivel entre B y C Cota C = ?

=

h nc := ?

SOLUCIÓN

cota B

=

(cota A + L A) -

I cota B =

7\

=

(128.19 + 2.87) - 1.52

129.54 m

I

En el triángulo rectángulo BC'C, se tiene:

ce'

= h BC

h nc = BC' tan ex = 52.60 tan 19 °30' ,= 52.6(0.3541) \ h BC

=

+18.63 m

I

h

Be

Nivelación trigonométrica

Cota

e = cota B + hBc = Cota

5.

e=

129.54

148.17 m

289

+ 18.63

I

Un tránsito se instala en A y se mide su altura sobre el terreno en ese punto. Después se dirige una visual al punto B, colocando el hilo medio sobre el estadal a la misma altura que tiene el tránsito en A y se lee un ángulo vertical de .-4°58'. La distancia horizontal entre A y B es de 238.74 m. ¿Cuál es el desnivel entre A y B Y cuál la cota del punto B, si la cota del punto A es de 516.42 m? (Fig. NQ 133.)

estad al

A Figura 133

s O L U e ION h AB = 238.74 tan 4°58' = 238.74(0.0869) h AB

cota B

=

=

-20.75 m

cota A - hAB

=

516.42 - 20'.75

cota B = 495.67 m

Determinar la elevación de un punto inaccesible: Si no se conoce la distancia o es difícil medirla (Fig. NI? 134), pueden tomarse dos ángulos verticales, uno en A y otro en un punto auxiliar e, ambos situados en el mismo plano vertical ABB'; se mide la distancia d y se determina el desnivel h' entre A y C. De esta manera se obtienen los datos suficientes para calcular el desnivel entre la estación O y el punto inaccesible B, así como la elevación de B.

290

Curso básico de topografía ",

"",/

~ff

~

,/'"

"'"

,/

"'"

"","'"

/

/

/ /

h

/

/

/

Figura 184

En el triángulO' rectángulo ABB':

= BB'

AB'

cot a

(a)

y, en el triángulo rectángulo CBB': CB"

=

BB" cot .p

(b)

restando la (b) de la ( a), se halla: AB' - CB"

=

BB' cot

a -

BB" cot f3

(e)

pero: AB' - CB"

y:

BB"

=

d

= BB' + h'

valores que sustituidos en la (e) dan: d

= BB'

+ h') cot ,f3 = BB' cot a d + h' cot {3 = BB'(cot a ~

cot a - (BB'

despejando a BB':

BB'

y, por último: siendo h el desnivel buscado.

= h

d + h' col P cot la - cot f3

=

BB'

+ 7\

BB' cot f3 - h' cot

P

cot f3)

CD ®

Nivelación trigonométrica

291

Caso particular: Si el punto C quedara en el mismo plano horizontal de A, como se ve en la figura NQ 135, la fórmula CD se simplificaría, ya que en este caso h' = 0, y se tendría entonces: BB'

= ___d_ __

cot a - cot f3 A este resultado se llega también procediendo de la manera siguiente:

B

}¡'igura 135

Del triángulo rectángulo ABB' se obtiene: AB' y del triángulo rectángulo CBB':

=

BB' cot ,a

(a)

CB'

=

BB' cot {3

(b)

ahora, restando (b) de (a):

AB' - CB' pero en la figura vemos que:

=

BB' (cot a - cot (3)

AB' - CB'

=

d

luego: d 1 1

=

BB' (cot

BB'

=

tlX -

cot [3)

d

cot

,a -

cot (3

Curso básico de topografía

292

PROBLEMAS 1.

Calcular el desnivel entre la estación O y el punto isaccesible B, así como la cota de B, con los siguientes datos (Fig. N9 135): = + 7 °03' = + 11 040' = 20.00 m 7\ 1.60 m cota Est. O = 192.23 m h=? cota B = ? ,a

,(3 d

~ff

~

SOLUCIÓN

20 cot 7 °03' - col 11 °40'

d

BB' = cot 20

a -

cot f3

6.17 m

=

h

=

BB' +

7\

h

=

6.17 + 1.60

= + 7.77

=

7.77 m

m

cota B ;::: cota O + h = 192.23 + 7.77 = 200.00 m cota B 2.

=

200.00 m

Con los datos de la figura N9 136, encuentre la cota del punto B. SOLUCIÓN

BB'

= d + h' cot f3 = 23.10 + 1.76 cot 46 °08' cot ,a - cot f3

BB'

cot 31 °20' - cot 46°08'

= 23.10 + 1.76(0.9613) = 24.7919 = 36 3 - _. - -

h cota B

- - ---

0.6817

= BB' + 7\ = 36.37 + 1.47 = +37.84 = cota A + h = 614.83 + 37.84 cota B

=

652.67 m

. 7

m

N ivelación trigonométrica

293

h I

lB'

-f--'=-f~_ . _ . 1.76

In

23.10 m Elev. A

= 614.83

m

Figura 136

3.

Determine la elevación de B con respecto al punto A (Fig. N9 137) , cuando se conocen: 0', f3, 7\, d Y h'. SOLUCIÓN

En el triángulo rectángulo DB"B: DB" = BB" cot

(a)

,O'

y en el triángulo rectángulo CB' B :

CB'

=

BB' cot f3

(h)

y si se resta la (h) de la (a): DB" - CB'

=

BB" cot

10' -

BB' cot f3 = = BB" cot a - (BB" - h') cot f3

pero: 08"- CW

luego: d = BB" cot a - BB" cot f3

. '

=

+ h'

=

cot f3 = BB" (cot a - cot f3)

+ h'

cot f3

294

Curso básico de topografía

B /Á

,,///

~ff

///

~

,./

//

/

//

//

// /

//

.~

I

- --tE'

e

d

,. ---- +B" (

Figura 137

BB"

=

d - h' cot f3 cot a - cot /3

y, finalmente: Elev. B

=

BB"

+ 7i..

Determinar el desnivel entre dos puntos por el procedimiento de lecturas recíprocas:

Este método se emplea principalmente en triangulaciones cuyos lados son muy largos. Los errores por curvatura de la Tierra y refracción atmosférica se eliminan si se miden los ángulos verticales la y f3 ,el primero de elevación y el segundo de depresión. (Fig. N9 138.) La distancia horizontal A C se determina por algún método de medida. El desnivel entre A y B obtenido por medio del ángulo a, medido con el tránsito en A, es:

(a)

h B = AC tan a

Y si se designa por C la corrección por curvatura y refracción:

h

= hB + e = A C

tan a

'+ C

(b)

Nivelación trigonométrica

ho .Z

1:I Ollt a]

c

295

deB Su perficie d nivel de B

-Superficie de nivel de A

Figura 138

Ahora bien, el desnivel entre A y B, en función de {3, tomado con el tránsito en el punto. B, es: hA

=

BE tan

p

(e)

y considerando. la corrección por curvatura y refracción: h = hA - C

= BE

tan f3 - C

(d)

Si se suman las igualdades (b) Y (d), se halla: 2h = A C tan a

+ BE

tan f3

(e)

pero.: AC = BE = distancia horizontal entre A y B, que representamos por D

por tanto, de la igualdad (e) se obtiene: h=

D

2

(tan a

+ tan f3)

PROBLEMAS 1.

Calcular el desnivel entre los puntos A y B, con los siguientes datos (Fig. NQ 138): D = 1200.00

=

+3°15' f3 = -3 °17' a

h =?

ID

296

Curso básico de topografía

~ff

~

SOLUCIÓN

h

D

=2

(tan h

a

=

+ tan

1200

= -2-

(3 )

600(0.0568

+ tan

• 3 ° 17' )

+ 0.0573) = 600(0.1141)

I h = 68.46 2.

( tan 3 ° 15'

m

I

Con los mismos datos del problema 1, calcule el desnivel, entre los puntos, primero en función de ,ex y después en función de /3. Obtenga el desnivel entre A y B, promediando los desniveles hallados, y compare el resultado con el obtenido en el problema anterior. SOLUCIÓN

= D tan h:! = D tan h1

h

=

= 1200 tan 3° 15' = 1200(0.0568) = 68.16 m ,(3 = 1200 tan 3 ° 17' = 1200(0.0573) = 68.76 m

h 1 ~ h~

,ex

= 68.16 + 68.76 = 68.46 m I h = 68.46 m I

Observando la fórmula empleada en el problema 1, se ve que la solución del problema 2 debe ser la misma que se obtuvo en el anterior.

NIVELACIÓN BAROMÉ1'RICA Se llama nivelación barométrica a la que se lleva al cabo por medio del uso del barómetro. Como la presión en la atmósfera de la Tierra varía inversamente con la altura, puede emplearse el barómetro para hacer observaciones de diferencias de elevación. La nivelaciór.. barométrica se emplea principalmente en los reconocimientos y en los trabajos de exploración, cuando las diferencias de elevación son grandes, como ~n las zonas montañosas. Los instrumentos que sirven para medir la presión atmosférica y que pueden utilizarse para determinar desniveles y alturas son los barómetros y los termobarómetros. Barómetros

El barómetro (del griego baros-peso, y metron-medida) es un instrumento que sirve para medir la presión atmosférica y determinar gracias a ella la altura a que se halla el observador sobre el nivel del mar o prever aproximadamente las variaciones atmosféricas. Los barómetros que se utilizan actualmente pertenecen a dos tipos: a)

Los de mercurio, aplicación directa de la experiencia de Torricelli, y

b)

los metálicos o aneroides, basados en la elasticidad de los metales.

Barómetros de mercurio

Entre éstos se encuentran los llamados barómetros de cubeta que consisten en esencia de un tubo de vidrio, abierto en uno de sus extremos y cerrado en el otro, que se llena de mercurio y se invierte después en una cubeta que contiene también mercurio. El espacio situado por encima de la columna de mercurio sólo contiene vapor de mercurio cuya presión a la temperatura ambiente es tan pequeña que puede despreciarse. Los barómetros de cubeta dan origen a un error debido a que, cuando el nivel del mercurio sube en el tubo, desciende el nivel del mismo en la

297

298

Curso básico de topografía

cubeta; y deja, por consiguiente, de coincidir con el último el cero de la escala, y la altura barométrica leída es menor que la verdadera. Ocurre lo contrario cuando baja el nivel del mercurio en el tubo. Esa causa de error se evita en el barómetro de Fortin (Fig. NQ 139), sustituyendo la parte inferior de la cubeta por un fondo de gamuza que puede elevarse o bajarse por medio de un tomillo, con objeto de poner la superficie del mercurio al ras de una aguja que marca el cero de la escala. Un vernier permite obtener los diezmilímetros en las lecturas. En la figura es fácil ver que: Presión atmosférica p =

=

pg(h..! - h 1 )

=

pgh

(1)

peso específico del mercurio

g = aceleración de la gravedad

h

= altura

de la columna de mercurio

Es costumbre expresar la presión atmosférica en centímetros de mercurio; sin embargo, un centímetro de mercurio no es una unidad real de presión, puesto que la presión es la razón de una fuerza a un área. La medida de la presión atmosférica se reduce a medir la altura de la columna de mercurio. La altura leída no da exac~amente la verdadera presión atmosférica porque la longitud de la columna de mercurio varía con la temperatura, la altura del lugar, la latitud y por capilaridad. Por consiguiente, para tener el valor de la presión atmosférica es preciso introducir las correcciones siguientes:

'~ff 1.

~

Por temperatura:

Como el mercurio se dilata cuando aumenta la temperatura, deberán reducirse a 0 0 laE indicaciones barométricas hechas a otras temperaturas. Si se designa por L' la lectura a t O e y por L la lectura corregida o sea la reducida a 0 0 , en vista de que el coeficiente de dilatación del mercurio es 0.0001818, se tiene: L

2.

= L'(l

- 0.0001818t)

(2)

Por altura de la estación:

La lectura L de la columna de mercurio al nivel del mar se :halla por medio de la fórmula: L = L'(l - 0.0000002H)

en la cual:

(3)

N ¡velación barométrica -

299

argolla para colgar el instrumen t o

.,...¡;.-+---+-_

cámara barométrica o vac í o de Torriceli

O

vernier escala

h

pres ón atm sféri

L-l-+_ --------columna de mercurio

aguja de marfil

'-_______------cubeta fondo de gamuza

tornillo para hacer coincidir el nivel del mercurio en la cubeta con la punta de la aguja Figura 139

300

Curso básico de topografía

=

lectura de la columna de mercurio en la estación H = altura de la estación L'

3.

~ff

Por latitud diferente de 45°:

Esta corrección se calcula aplicando la fórmula:

.5

L = L'(l - 0.00'26 cos 211')

(4)

siendo: L = lectura corregida

L' = lectura a !po de latitud 4.

Por capilaridad:

Se obtiene la corrección por capilaridad en función del diámetro intefior del tubo. Diámetro

Corrección

2.0 mm 2.5 3.0 3.5 4.0 5.0 6.0

4.43 mm 3.57 2.92 2.44 2.07 1.53 1.17

Diámetro Corrección 7 mm 8 9 10 11 12 13

0.91 mm 0.71 0.56 0.44 0.35 0.26 0.20

Diámetro

Corrección

14 mm 15 16 17 18 19 20

0.16 mm 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.03

i

Los barómetros de mercurio son los únicos que se utilizan para las medidas de precisión, aunque presentan el inconveniente de ser pesados, frágiles y voluminosos. Su aproximación varía de 1 a 2 m, en desniveles hasta de 500 m, y de 2 a 4 m, en desniveles entre 500' m y 1,000 m. Barómetros metálicos o aneroides

Mientras no se dispuso de otro medio para medir la preslOn atmosférica que el barómetro de mercurio, tan incómodo y poco práctico para los trabajos de campo, quedó limitada la nivelación barométrica a un estrecho círculo de investigación por parte de los geógrafos. En 1847, Lucien Vidie, de París, construyó un aneroide (del griego a-sin, aer-aire), instrumento que medía la presión atmosférica no por el peso de una columna de mercurio sino por la elasticidad de una caja metálica en cuyo interior había practicado el vacío. (Fig. N9 140.) El de-

Nivelación barométrica

301

aro graduado

tapa de lámina delgada y ondulada

caja metálica con vacío interior ANEROIDE DE VIDlE Figura 140

pósito metálico cünsiste en una caja cuya tapa es de lámina metálica, delgada y ondulada. Las exiguas deformaciones que esa tapa sufre a consecuencia de los cambios de presión, son amplificadas por un sistema de palancas e indicadas por una aguja que recorre un arco graduado, en el cual se pueden leer los milímetros de presión, como si se tratara de un barómetro de mercurio. Poco después construyó Bourdon un aneroide (Fig. NQ 141) cuyo depósito metálicO' vaCÍo consiste en un tubo curvado, de sección elíptica, con un extremo fijo y el otrO' enlazado a un índice; cuando la presión del aire disminuye, el tubo tiende a enderezarse y, por el contrariO', tiende a encorvarse más cuando la presión del aire aumenta. Los cambios de curvatura son amplificados por el sistema de palancas que enlaza el tubo a la aguja que recorre el arcO' graduado. La graduación de los barómetros metálicos o aneroides se realiza por comparación con uno de mercurio. Para ello se cülücan juntos los dos aparatos y se lee en el barómetro de mercurio el número de milímetros que señale la columna de mercurio, misma cantidad que se anotará en el punto del arco que marque la aguja del aneroide en aquel instante; haciendo varias observaciones en distintüs lugares y ocasiones, se señalan diversas marcas, se subdividen los intervalos marcados y se numeran en los puntos en que correspondan a un númerO' completo de centímetros, quedando así determinada la graduación del aneroide.

302

Curso básico de topografía

En el campo se usa comúnmente el aneroide porque es ligero y se transporta con facilidad. Cuando se emplea se debe dar tiempo al aneroide para que adquiera la temperatura del aire antes de hacer una observación. Los barómetros metálicos o aneroides que, en vez de las presiones en milímetros, llevan grabadas las altitudes correspondientes reciben el nombre de altímetros. Los altímetros que se usan no son los de grandes dimensiones sino los de bolsillo. Dentro de un mismo sistema los constructores hacen divisiones de escalas para diferentes amplitudes; unos desde el nivel del mar hasta 2,000 m; otros desde 1,000 m a 3,000 m, y así se puede escoger el modelo cuyas altitudes extremas abarquen las de los puntos donde se va a operar. La aproximación en los desniveles obtenidos con aneroide o altímetro varía de 1.5 m a 3 m. Termobarómetros o hipsómetros

El termobarómetro, instrumento que sirve a la vez de termómetro y de barómetro, o hipsómetro (del griego hipsos-altura y metrón-medida) se emplea para medir la altura de un lugar determinando la temperatura a que hierve el agua en dicho lugar.

aguja

¡ ...{

I

tubo de sección elíptica con vacío interior

~ff

~ ANEROIDE DE BOURDON Figura 141

Nivelación barométrica

303

Los termobarómetros están fundados en el principio de que, cuando se calienta el agua hasta su ebullición, la fuerza elástica del vapor aumenta gradualmente hasta llegar a equilibrar la presión atmosférica en el instante en que comienza él hervir el líquido. Por consiguiente, puesto que la temperatura de ebullición depende de la presión atmosférica, se puede utilizar para la determinación de esta última. La tabla siguiente da a conocer las presiones atmosféricas corres~ pondientes a diversas temperaturas de ebullición.

. $~ PRESIONES EN MILIMETROS CORRESPONDIENTES A LAS TEMPERATURAS DE EBULLICION DEL AGUA, EN GRADOS CENTIGRADOS y DECIMOS DECIMOS DE GRADO

Temp. o

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Di/. por 0.01

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

355.4 370.0 385.2 400.8 417.0 433.7 451.0 468 .8 487.3 506.3 526.0 546.3 567.2 588.8 611.1 634.1 657.8 682.2 707.4 733.3 760.0

358.3 373.0 388.2 404.0 420.2 437.1 454.5 472.5 491.0 510.2 530.0 550.4 571.5 593.2 615.6 638.7 662.6 687.2 712.5 738.6 765.4

361.2 376.0 391.4 407.2 423.6 440.5 458.1 476.1 494.8 514.1 534.0 554.6 575.8 597.6 620.-2 643.4 667.4 692.2 717.6 743.9 770.9

364.1 379.0 394.5 410.4 427.0 444.4 461.6 479.8 498.6 518.0 538.1 558.7 580.1 602.1 624.8 648.2 672.3 697.2 722.8 749.2 776.4

367.1 382.1 397.6 413.7 430.3 447.5 465.2 483.5 502.5 522.0 542.1 563.0 584.4 606.6 629.4 653.0 677.2 702.2 728.0 754.6 782.0

0.15 0.15 0.16 0.16 0.17 0.18 0.18 0.19 0.19 0.20 0.21 0.21 0.22 0.22 0.23 0.24 0.25 0.25 0.26 0.27 0.28

(Tomado de las tablas meteorológicas smithsonianas.)

El termobarómetro (Fig. NQ 142) consiste esencialmente en un vaso metálico al cual se atornilla una pieza dentro de la cual va un termómetro de mercurio cuyo receptáculO' queda en el interior del vaso. Se pone en éste cierta ·cantidad de agua, de modo. que no toque · el receptáculo de mercurio del termómetro, y se calienta el líquido por medio de una lámpara de alcohol que se coloca debajo. Como la temperatura del vapor de

304

Curso básico de topografía

agua es la misma aunque ésta no sea pura, no hay necesidad de emplear agua destilada. Las lecturas deben tomarse un poco después de que ha comenzado la ebullición, cuando ha disminuido la oscilación de la columna de mercurio. Es conveniente que la escala de grados esté grabada sobre la cubierta de vidrio del termobarómetro y que sea de longitud suficiente para que se puedan apreciar décimos de grado cuando menos o hasta fracciones de décimo, a ojo.

~

I~

, . 11

11

·11

receDtáculo 1

agua

lámpara de alcohol Figura 142

Con termobarómetro, la aproximación en la determinación de los desniveles varía de 15 m a 30 m. Medición de alturas

Cuandó se sube una montaña se ve disminuir paulatinamente la altura barométrica. El fenómeno se debe a que a medida que se asciende va disminuyendo la altura de la masa de aire que gravita sobre la capa atmosférica en que se halla el observador. Por el cálculo y también por la experiencia se puede deducir la regla siguiente:

N ¡velación barométrica

305

HA diez metros de elevación corresponde aproximadamente una dismi-

nución de un milímetro en la columna barométrica." En las altas regiones donde el aire está notablemente más diluido que al nivel del mar, la regla anterior no resulta aplicable y es preciso ascender más de 10 metros para obtener una disminución de un milímetro en la columna barométrica. Si la densidad del aire fuera homogénea, la medición de alturas por las indicaciones del barómetro sería sencilla y exacta, puesto que las variaciones de nivel serían proporcionales a las variaciones de presión y de lectura del barómetro, pero el aire no tiene densidad homogénea ni constante y la determinación de alturas por las indicaciones barométricas no es un problema tan exacto ni sencillo; su exactitud sólo puede considerarse aceptable con ciertos límites de error que bastan para las necesidades de la práctica. Si sólo se trata de conocer aproximadamente el desnivel entre dos puntos, se puede emplear la fórmula siguiente:

h ·= 18312(log A - log a)

(5)

en la cual: h A a

= desnivel

entre los dos puntos, en metros = altura barométrica en la estación más baja = altura barométrica en la otra estación.

En observaciones que no requieran mucha precisión, el desnivel se obtiene aplicando la fórmula de Babinet: h

=

16000 A - a A + a

(l

+ 0.004

~

tm)

$~

siendo:

1m

=

(6)

h = desnivel entre las dos estaciones, en metros A = presión atmosférica en la estación más baja a = presión atmosférica en la otra estación T 2 + 1 = temperatura me d·la, en o e T t

= temperatura

=

en la estación más baja temperatura en la otra estación.

La fórmula de Laplace que da el desnivel entre dos estaciones en función de las lecturas barométricas, de las temperaturas de los termómetros y de la latitud, es la siguiente: h

=

18405 (1

en la cual:

+ 0.0026

cos 2rp) [ 1

+

2(T

+ 1)

1 000

]

lag

aA

(7)

306

Cur:;,o básico da topografía

= desnivel entre las dos estaCiGlll!S, en metros

h

T y

A y a

=

de hacer cada

observación, en grados centígrados lecturas barométricas en las estaciones respectivas.

Las letras mayúsculas corresponden a la estación de menor nivel y las minúsculas a las de nivel mayor. Para las observaciones barométricas y termométricas debe esperarse unos 30 minutos después de colocado el aparato en la estación, a fin de que adquiera el equilibrio en la temperatura con el ambiente que le rodea y asegurarse de que la columna barométrica no experimenta oscilaciones. PROBLEMAS 1.

Calcular la preSlOn atmosférica correspondiente a un día en que la altura barométrica es de 76 cm. DATOS:

peso específico del mercurio = 13.6 g/cm3 aceleración de la gravedad = 980 cm/seg::! altura de la columna de mercurio = 76 cm presión atmosférica =? ~ff SOLUCIÓN

~

Pa tr/• -= pgh = 13.6 X 980 X 76 = 1 013000 dinas/cm 2

La presión atmosférica puede expresarse también en kilogramos por centímetro cuadrado. Patm

=

76

X

13.6 = 1033 g/cm::! = 1.033 kg/cm 2

Una. presión de 1.033 2.

7/CTl12

se denomina una atmósfera.

¿Cuál es la presión atmosférica en la cw'lad \.. Chihuahua? DATOS:

Altura de la ciudad de Chihuahua sobre el nivel del mar Altura a nivel del mar Lectura de la columna de mercurio a nivel del mar Variación media de la columna de mercurio a cada 100 metros de elevación

= 1 430

m Om 76.2 cm

0.85 cm

Nivelación barométrica

307

SOLUCIÓN

\~~O

Variación de la lectura =

X

0.85 = 12.2 cm.

A mayor altura disminuye la presión atmosférica, por tanto:

Presión atmosférica en la ciudad de Chihuahua = 76.2 - 12.2 Presión atmosférica en la ciudad de Chihuahua = 64 cm Hg 3.

Obtener el desnivel entre dos estaciones con los Presión atmosférica en la estación más baja = Presión atmosférica en la otra estación = I>esnivel =

siguientes datos: 75.1 cm Hg 73.9 cm Hg

?

SOLUCIÓN

~

/~

Se aplic.a la fórmula: h = 18312(log A - log a)

(5)

h = 18312log 75.1 73.9 = 18312 log 1. 01624 = 18312(0. 006 995) h=128.10 m 4.

Calcular el desnivel entre dos estaciones, cuando se conocen las lecturas barométricas y las temperaturas. I>ATOS:

Presión atmosférica en la estación más baja= 628 mm Hg = 582 mm Hg Presión atmosférica en la otra estación Temperatura en la estación más baja = 24. °9 C Temperatura en la otra estación = 17. ° 4 C

=?

~~~

SOLUCIÓN

En este caso el problema se puede resolver, aplicando la fórmula de Babinet: A -a (6) h = 16 000 A + a (1 + 0.004 1m) 24. °9 e 0 I = 17. 4C

A = 628 mm Hg,

a = 582 mm Hg, 1m

~

T

=

T;

t

=

21. °15

e

308

Curso básico de topografía . sustituyendO' lO's valO'res de A, a y tm, en la fórmula (6), se encuentra: 628 - 582 h = 16000 628 + 582 [1 + 0.004(21.15)] - ..

= 16000 X

h 5.

= 659.44

0.038 X 1.0846

m

Calcular la altitud de la estación establecida en YECAPIXTLA, MOR., cÜ'n lÜ's da,t os siguientes O'btenidos simultáneamente -el 16 de junio de 1975, en la estación establecida y en Chapultepec, D'. F., cuya altitud es de 2 310m. Datos

Chapultepec

Yecapixtla

581.6 mm 17. °5 19°25'

628.4 mm 24.°9 18°53'

Presión atmosférica: Temperatura: Latitud:

2310 m

Altitud:

?

SOLUCIÓN

-

Cálculo del desnivel entre las dos estaciones aplicandO' la fórmula de Laplace:

h = 18405 (1

+ 0.0026

cos 2cp) [ 1

+

2(T+t)] A 1 000 -log

a

(7)

Latitud media: cp

=

19°25'

+ 18°53' =

19009'

2

~~

2cp = 38°18';

T

+t=

A log a

=

cos 2cp = 0.784776 17.°5 + 24. °9 '= 42.°4 628.4 log ~01 L: = log 1.0805 = 0.0336

~

(a) (b) (e)

sustituyendO' los valores (a), (b) y (e) en la fórmula de Laplace, se halla: h = 18405 (l + 0.00204) (1 + 0.0848) (0.0336) h = 672 In -

Cálculo de la altitud en

YECAPIXTLA, MOR.

La altitud buscada se obtiene restando el desnivel calculado a la alfitud de la estación en Chapultepec, D. F. Altitud erJ.

YECAPIXTLA, MOR. ,

= 2310 -

672 = 1638 m