4. Razonamiento Matemático 1 Ejercicios De Aplicacion

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

© Ing. Raúl Fernández Bejarano Ing. Edson Fernandez Romero

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CAPÍTULO V

PROPORCIONALIDAD

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Se dice que 2 magnitudes son directamente proporcionales (DP) cuando el cociente de sus valores correspondientes es constante. Ejemplo:

Se observa que al aumentar o disminuir el valor de una de ellas, la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción.

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Se dice que 2 magnitudes son inversamente proporcionales (IP) cuando el producto de sus valores correspondientes es constante. Ejemplo:

Se observa que al aumentar o disminuir el valor de una de ellas, la otra también disminuye o aumenta, respectivamente, en la misma proporción. n.° de obreros x n.° de días = 15 x 20 = 30 x 10 = 5 x 60 = cte. (n°. de obreros) IP (n° de días)  n° de obreros x n° de días=k

COMPARACIÓN SIMPLE Cuando de todas las magnitudes solo varían dos de ellas y las demás permanecen constantes. Ejemplo: n obreros pueden pintar un muro de 120 m de largo, pero si el muro fuese 40 m más largo, se necesitarían 5 obreros más. Calcula “n”.

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Resolución: n.° de obreros

Longitud n

n+5

120 m 160 m

4n = 3n + 15 n = 15 Rpta: El valor de “n” es 15. COMPARACIÓN COMPUESTA Cuando de todas las magnitudes relacionadas varían más de dos de ellas. Ejemplo: 12 costureras tejen 80 chompas en 3 días trabajando 6 h/d. ¿En qué tiempo 10 costureras que son el triple de eficientes que las anteriores harán 100 chompas que son 3 veces más difíciles que las anteriores trabajando 9 h/d? Resolución:

Respecto a sus valores:

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PROPIEDADES Sean las magnitudes A; B; C y D se cumple:

EJERCICIOS 01.-Una proporción es la igualdad entre dos o más razones. Se escribe:

a)

7

= 3

14 6

=

b) 10/50 = 5/25 = c)

6/3, 4/2, 2/1

02.- ¿Qué cantidad se obtiene, al aumentar 5.600 en un 20 %? Forma 1: Aplicación directa Se pide calcular el 120% de 5.600 el 20% más. Calculamos directamente el 120% de 5.600: Forma 2: Utilizando proporciones 04.- ¿Qué cantidad se obtiene al disminuir 5.600 en un 20 %? Forma 1: Aplicación directa Se pide calcular el 80% de 5.600 el 20%menos. Calculamos directamente el 80% de 5.600: Forma 2: Utilizando proporciones 05.- ¿Qué porcentaje es 60 de 1.200? 06.- 50 es el 20% ¿de qué cantidad?

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07.- Halle el 2% del 6% de 35 000 08.- Si vendiera un libro en 40% menos, costaría S/. 12. ¿Cuál es el precio del libro? 09.- Un señor desea comprar un TV por S/.800, pero el vendedor le dice que si compra 4 le hace una rebaja, por lo que paga S/. 2 000 más. ¿Qué porcentaje del precio de lista representa la rebaja? 10.- Un señor desea comprar un TV por S/.800, pero el vendedor le dice que si compra 4 le hace una rebaja, por lo que paga S/. 2 000 más. ¿Qué porcentaje del precio de lista representa la rebaja?

Magnitudes directamente proporcionales 1. Si aumentamos una cantidad de la primera magnitud, aumenta la cantidad homóloga de la segunda magnitud. 2. Si disminuimos la cantidad de la primera magnitud, disminuye la cantidad homóloga de la segunda magnitud. Calculo de magnitudes directamente proporcionales 11.- Calculo de magnitudes directamente proporcionales. Para el cálculo de estas

magnitudes se utiliza la regla de tres simple directa. Ej.: Javier trabaja 8 horas y cobra 48€. Si trabaja 10 horas cuanto cobraría: Proporcionalidad compuesta 12.- Cuatro agricultores recolectan 10 000 Kg de cerezas en 9 días. ¿Cuántos Kilos recolectarán seis agricultores en 15 días? Se trata de una regla de tres compuestas inversas: 13.- Cinco trabajadores tardan 16 días en construir una pequeña caseta de aperos trabajando 6 horas diarias. ¿Cuántos trabajadores serán necesarios para construir dicha casita en 10 días si trabajan 8 horas diarias?

Se trata de una regla de tres compuesta mixta 14.- En 8 días, 6 máquinas cavan una zanja de 2 100 metros de largo. ¿Cuántas máquinas serán necesarias para cavar 525 m trabajando durante 3 días?

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CAPÍTULO VI

FRACCIONES

NÚMERO RACIONAL Está representado por la división indicada de dos números enteros, donde el divisor es diferente de cero. Se denota:

𝑎

𝑄 = { / 𝑎 ∈ 𝑍 𝑦 𝑏 ∈ 𝑍 − {0}} 𝑏

FRACCIÓN Todos números racionales que cumple las siguientes condiciones, se denomina fracción. Fracción:

a

Numerador Denominador

b Donde:

Representación gráfica de una fracción Se debe considerar lo siguiente:

Ejemplo:

Principales tipos de fracciones

Fracciones equivalentes Dos o más fracciones son equivalentes, cuando con términos distintos expresan la misma parte de la unidad o total.

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RELACIÓN PARTE-TODO Es una relación geométrica de una cantidad asumida como parte respecto a otra asumida como todo

Ejemplo: ¿Qué parte del área de la región no sombreada es el área de la región sombreada en la siguiente figura?

Resolución: Piden:

𝑅𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 𝑅𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎

=

6𝑆 10𝑆

=

3 5

FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL Los números decimales pueden ser:

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EJERCICIOS 01. Wilson reparte su dinero de la siguiente manera: a Félix le da la cuarta parte a Henry la tercera parte, y a Mauro la sexta parte; quedándole aún S/.1800. ¿Cuánto le tocó a Mauro?

02.- En un aula hay 80 alumnos; se sabe que 3 de 4 alumnos son mujeres, y de éstas 2 de cada 5 gustan escuchar música cuando estudian. ¿Cuántas mujeres estudian en silencio, si se sabe que todas estudian?

03.- En una reunión de 38 personas, se observa que la quinta parte de las mujeres son delgadas y la séptima parte de los hombres son gordos. ¿Cuántos hombres son delgados?

04.- En una reunión de 38 personas, se observa que la quinta parte de las mujeres son delgadas y la séptima parte de los hombres son gordos. ¿Cuántos hombres son delgados?

05.- Una librería tiene para vender cierto número de libros. Vende primero las 3/5 partes y después le hacen un pedido de los 7/8 de lo que queda; pero antes de servir este pedido se le inutilizan 240 libros y por lo tanto, enviando todos los libros útiles que le quedan; sólo cubre los 4/5 de la cantidad pedida. ¿Qué cantidad de libros se vendieron?

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06.- En un tonel hay 60 litros de vino A y 40 litros de vino B. Si cada litro de vino A cuesta S/.10 y cada litro de vino B cuesta S/.5, cuánto cuesta 45 litros de la mezcla.

07.- Una cisterna tiene 100 litros de vino. Se saca ¼ del contenido y se reemplaza con agua; luego se saca ¼ de la mezcla y se reemplaza con agua si se hace eso por tercera vez, ¿qué cantidad de vino queda en el tonel?

08.- Un tonel contiene 120 litros de vino. Se extrae sucesivamente 20; 30 y 40 litros, reemplazando sucesivamente con agua. ¿Qué volumen de vino queda al final de la última operación?

09.- Un obrero puede realizar un trabajo solo en 20 horas, otro obrero puede hacerlo en 30 horas. ¿Si trabajan los dos juntos, qué tiempo se tardarán en realizar dicho trabajo?

10.- El caño A llena un tanque en 6 horas y un desagüe B lo descarga en 10 h. ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque, si B se abre 2 horas después que estuvo abierto A?

11.- Una bomba A puede llenar piscina funcionando solo en 4 horas. Otra bomba B lo puede llenar en 5 horas; pero otra bomba C lo puede descargar totalmente en 20 horas. ¿Qué tiempo emplearán las tres bombas, funcionando a la vez, para llenar totalmente la piscina?

12.- Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días; trabajan juntos durante 6 días, al cabo de los cuales se retira el ayudante y el albañil termina lo que falta en 30 días ¿En cuánto tiempo terminaría la obra el ayudante trabajando solo?

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CAPÍTULO VII

RAZONAMIENTO INDUCTIVO DEDUCTIVO

RAZONAMIENTO INDUCTIVO Es el método mediante el cual la inferencia lógica nos permite analizar pequeñas experiencias (casos particulares) para poder llegar a una conclusión (caso general) válida para todos los casos que se presenten

Ejemplos: ¿Cuántos triángulos se podrán contar en la figura 20?

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Resolución:

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO Es el método en el cual una conclusión ya establecida (caso general) es aplicada a una experiencia (caso particular. Ejemplo: En la siguiente multiplicación todas las cifras son números primos. Calcular la suma de cifras del producto total.

Resolución:

Rpta: Suma de sus cifras 2+5+5+7+5=24

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EJERCICIOS 1.- Calcular cuantas bolitas se puede contar en total, en la siguiente figura

2.- De cuantas maneras diferentes se puede leer la palabra "ESTUDIO" uniendo circulos consecutivos.

3.- A una hoja cuadrada y cuadriculada con 100 cuadritos por lado, se le traza una diagonal. (principal) Cuantos triangulos como maximo podra contarse en total?

4.- ¿Cual es el menor numero que se debe multiplicar por 360 para obtener el cubo perfecto?

5.- ¿Cuantas bolitas hay en total, en la siguiente figura=

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06.- Calcula "E" y dar como respuesta la suma de cifras del resultado

07.- Hay dos pares de niños entre 2 niños; un niño delante de 5 niños y un niño detrás de 5 niños ¿Cuántos niños hay como mínimo?

08.- En una cena hay 3 hermanos; 3 padres; 3 hijos; 3 tíos; 3 sobrinos y 3 primos, ¿Cuál es el mínimo de personas reunidas?

09.- Para cortar un aro en cinco partes iguales, ¿cuántos cortes se deben realizar?

10. Para electrificar una avenida de una ciudad de 6km de largo; que en uno de sus lados los postes están colocados cada 30m y en el otro cada 20m, cuántos postes se necesitarán?

11.- Una caja grande contiene 2 cajas y 3 guantes, cada una de estas cajas contiene otras 2 cajas y 3 guantes, y finalmente cada una de estas últimas cajas contiene 2 cajas y 3 guantes. Entonces, respecto al total:

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CAPÍTULO VIII

OPERACIONES MATEMÁTICAS

OPERACIÓN MATEMÁTICA Es aquel procedimiento que transforma una o más cantidades en otra cantidad llamada resultado, bajo ciertas reglas y/o condiciones convenidas. Toda operación matemática tiene un símbolo que la representa llamado operador matemático. Operación matemática

Operador matemático

Adición

+

Sustracción

-

Multiplicación

X

División

÷ √

Radicación Logaritmación

Log

Sumatoria

∑

Productoria

∏

Valor Absoluto

| |

Máximo entero

⟦ ⟧

Límite

Lím ∫

Integración

Las operaciones matemáticas y sus respectivos operadores mostrados en el cuadro de arriba, son universalmente conocidas; lo que haremos ahora será establecer otras operaciones matemáticas, con su respectiva regla de definición basándonos en las operaciones matemáticas ya conocidas.

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Estas nuevas operaciones matemáticas a definir tendrán una regla de definición arbitraria en donde se hará uso de otros operadores matemáticos para representarlas, como por ejemplo: *, #, 4, 3, 4, >, 5, @,

Ejemplo: Se define la operación: r  s = r2 + s2 - rs Veamos:

EJERCICIOS

Determinar el término que continúa en cada una de las siguientes sucesiones: 2.- Qué número altera la sucesión en cada uno: 2 ; 22 ; 4 ; 20 ; 8 ; 18 ; 10 ; 16; 16 ; 32 ; 14

3.- En la sucesión: 4; 10; 16; 22; …; 178. Calcule el número de términos.

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4.- Calcule la suma del vigésimo término y el número de términos. - 8 ; - 5 ; - 2 ; … ; 79.

5.- José se propone a escribir un libro. El primer día escribe 5 hojas; el segundo día 12 hojas; el tercer día 23 hojas; el cuarto día 38 hojas y así sucesivamente hasta que el último día escribió 6.- 467 hojas ¿Cuántos días estuvo escribiendo José?

7.- Halle el término que ocupa el lugar 20 de la sucesión y dar como respuesta la suma de sus cifras. 4 ; 8 ; 12 ; 52 ; 164 ; …

8.- Qué número continúa en la siguiente sucesión. 2 , 2 , 2 , 4 , 24, ... Dar como respuesta la suma de cifras del resultado.

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9.- ¿Cuál es el número que falta: 2 6 3 8 16 2 10 40 …

10.- Calcule el número que falta.

18 12 8 32 8 2 28 ….. 7

11.- Calcule el número que falta. 8 3 16 5 10 … 6

1 9

12.- Calcule el valor de la serie. 6+10+14+18+…….+202

13.- Calcule el valor de ‘q’ en la siguiente serie: 2+4+6+8+……..+q=1640

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14.- Calcule la suma de los 20 primeros números triangulares, sabiendo que un número triangular es el semi producto de los números naturales tomados de dos en dos. 15.- Dado el siguiente arreglo de números:

15.- Dado el siguiente arreglo de números:

1 2 4

3 5

6 7 8 9 10 ………………........... Halle la suma de la fila 20

16.- Un comerciante ha estado ahorrando en este mes 178 solesy tiene con esto, S/ 1410 en la caja de ahorros, habiendo economizado cada mes S/ 12 más que el mes anterior. ¿Cuánto ahorro el primer mes?

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