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mdicnlar a i;ada 11110 ele ellos. Di cs;i 1nismn ligura. po (próximo a cero). Dividícndo.)a diferencfa de. los v1#orcs v--~=;:t.v"po·r· t, obteitériios la aceleración á. ~l. vector óti puede. ser dctcrminad·o sumando los vectores - ·v0 y li _(vfulse la fig. 6~)· ¿CÓMO ESTÁN DiiüGIDOS LOS VECTORES OE- VEJ;,OCIOAP Y ACELERACIÓN? El ápgulo entre los vecto('\:S iJ0 y iJ es muy .pequéño e i'gual ;iJ .hngulo cp entre los radios OA y 08, ya que los lados dé estos ángulos son perpendiculares, En el pariigrafo anterior aclaramos que,_ s_ie~dó pequeño el hngulo , dQnde·v·es el módulo de los :vectores 110 y v, así pues: ' óv =vcp.
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griega "omega".):,
·ro·=.!... ·1 Para brevcdatl sucÍc.dccirse.quc oí es. la. v~locidad angula r no del radio, sino que del p~opio punto. · · "Pqr vclocidllé! angu lar
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... -~
l
Ou rnnlc el 111ov·i111fo1110 uniforme sobre· una circunferencia, · la vclocid:i(I linciil' 11 es igu;i l al móélulo de la velocidad instanll111ca (magni llld vectorial). · Entre t.1 vc!ocida¡j .angular y lineal éxistc tiilá sencilla tClación. Si en la cxprcsÍqn v =;.i/L· po1\cili1i~ eñ lug:ir dc-:}'á ..longit ud d'el ·arco el valor 1== rq>, obtendreh1os :" · · · · .(2)
La. veloc.iclad de .movimiento <;le\ cücr¡>O (puniq): ~obre u(la circuníerencia a menudo l:unhi'én se expresa nicdían1c ·el l'lÜMERO br; REVOLUCl0NES .POR U~lfJAD DI! TIEMPO. Es f!Ícil,, !igar la yclocid¡i<Í .angular con el número de revoluciones.por unida.d de tiempo. E¡i·.cfccto, durante u11a n~volucion, el radio
h:ir.r e un ángu lo·igual a.21t rad. Esto quiere decif, que ·aJ realizar durante .la unidad ele tiempo, pot.cjeinplo i1 revoluciones, el radio girará un ánguio de 2irn rad. Por esca causa, la vdoc'idad :111gul'arto y•el niimero de revoh,\cioncs 11 por unidad de licmpo, están cn)awcios ·por medio de la expresión ro=2mr. El número de revoluciones por unidad de t iempo 11 recibe el nombre
2it
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T=-c:.,- .
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Hablan~o en rigor, en Ja·cxpresión ~ (i)
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o> es la velocidad .
angul~
mctfo c.n el tiempo t... Si el.cuerpo se moviera sobre la circunferencia no u11ifonncma11.:, hahria que introducir el concepto de velocidad angular instan tánc.1.
66
l. ¡,A qué es igual el m6du10. de.L1.diíercncia de dos vectores de un mismo
módulo ·que form an ün ~quci\o ~ngulo? 2. ¡_Qué es la velocidad an.811!ar? ¿En _qué unidades se !"idc? 3. ¿Cómo están Jigad:is entre st la v~loc1dad angular y la h neal? 4. ¿Cómo están ligadas entre si la velocidad angular y la írecucncoo de rotación ? 5.. ¿Qué es el.período de rotaei\>n? ¿Cómo está cnlaz~do con la-velocidad ~ngu lar de rotación; con la vclocidud li nea l? Ejcrcicios 9 l. Hallar el módulo de la d iferencia de dos vectores d~ \'clocid:d. cuyos módulos s0 n los mismos e igua les a 1S m/s, si aquéllos forman entre~¡ un Angulo .de 5º. 2. El módu!odc la diferencia de dos v,·ctorcs de despfazami~ntci, idln:i~cs
en módufo~ c.~ iguat
:t
2 cm, el
án~u!o
entre los
\'CClorC.'i coa~tiluy..!
2º.
Nafülr el mOdt!lo c.!c ?.os projl!os v~to:-c.> de <~~:;1 :t~z:f.a:~n: ..). · 3. Calcular la vclodd;icl nngu!nr )' 1im:al dd 1r.._ovim ic11hl de J;i Tit::-f:t alrcdcd<:>r del Sol. El rldio de lá ór!Jita de l:i ·1~'<'l'f>1 se co;is::!cn• i;r'I a 150 000 000 kin. 4. _¿Cu:il es fa vclocidad .linc.il del c<.lr~mo de la
3.3.
Aceleración en ca.;o de moviniicnto u:~ifc¡· ,.,.-;·o de un cuerpo sobre una circunferen.:ia
Ahora, retomemos a n uestro problema, es d<Xir, a h:llla~ la aceleración de un cuerpo (que considemmos pun to material¡ co movimiento siguiendo una drcunfcrcucia a unn velocidad C!)nswntc según el módulo.
·
Como sabemos, 1:1 aceleración se define con ayuda de !a fórmula .
ü-ú.
a~--,-,
donde 60 . ~s la velocidad del cuerpo en d momento- inicial de tiempo; 6, su velocidad después del intervalo de tie.mpo t. Dc.~ignemos la variación de la velocidad ti - 1i0 por L\11. Entonces d ::. - . 1
Supongamos que e l cuerpo se mueve sobre unu circunferencia de r
6'7
Fig. .62
que lrnriscurra d 'intervalo de ticm,po 1.. el 'cuerpo se cnconl~ará. en el puntq /J, pero :ihora, su vclocid;1d· iJ cstar11 dirigid:i por la l:lngcntc a c.~lc punto. Sin cmbargl)', las vclo._cidátlcs ¡10 y iJ son iguales ~n ri16i.Jufo. Qomo foncino.s que llallar la t1ccler:íci6n e11· el punto' A, el punto B. debe elegirse muy cerca del primero', dc.fqr¡n·'\ que el arcó·4JíJiencJ_a i! CO!ICentr<\rS~ Crl .un .pUO IO, micnfraS que el' imgulo
Ya que á =óü/1, la acelcra!=ión en el punto A (y, por consiguiente, tambii:n · . en cualquier otro punto de la ci~cunferenciá) va dirigidtr<:)dmismo mo.do que el , vectór M. Esto quiere decir que la a~él~rac16n de'un punio, en· movi.mienl'o uniforme sobre una circuriferencia," tán:lbiéil está dirigida de manera perpendicular ahector de velocidad· en c.~c' punto, o sea, su direecióri coinCide con la del radio h¡_1cit~ el .centro .de la ci'rcunferencia. Por esta. caúsa,_ recibe el nombre de ACELER'ACtON CENTRiPETA. Para el casó de movimíenio uniforme· de un cuerpo sobre una circµnfcrencia, Ja aceleración en cualesquiera de sus puntos·es centrípeta, es decir, está dir-igida perpendicularmente· a la velocidad de movimicnt'o a lo largo del radio · de la circunfcr.encia hacia su centro. En la lig. 63 se muestra esta partieularidád de la aceleración de un cuérpo (pun10)
Fig.
6~
Fig. 64
. ¿A QUÉ ES IGUAL. EL MÓDULO DE LA ACELERACIÓN? El valor del módul¡¡ de la aceleración centrípeta a scri1 hallado al dividi r óv = 11c¡i por el tiempo e:·
••P
l l =-·· '" .
1
De la fórrnu la (1) del parf1grafo anterior ~e desprende c¡uc 1
lJIH! V
I
11=-·-. r ! Pero por definición ¡ - =u, t
O Se3,
--u-,(J)
·lf·= - . r
En c;1so de movimiento u11iformc sobre una circunfc;encia, un cuerpo se mueve con acclerncíón, cuyo módulo es igual a v2/1-, y q ue ~'Slá didgid:i por el radio de la cfrcunfcrcncia hacia el centro. La aceleración centrípeta puedé ser tamb.il:n expresada por la velocidad angular ro. ~n c,fccto, sabemos que v = ror. Poniendo este valo.r de v en la fórmula anterior, obtenemos: (2)
Recordemos que la aécleración durante el movimiento uniforme sobre una circunferencia nos· interesa, ya que podernos representar todo mo1•imiento a lo largo de una trayectori;1 curvilínea como· un movimiento por arcos de circunferencias de diversos ratlio~.
69
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Fic. 65
Fi¡¡. ,66
/\hora.. ya podemos decir que siendo el movimiento uniíorme, en cu:ilquicr punto de una trayectoria curvilinca, el cuerpo se mueve con aceleración di rigida al centro d.e aquella circunferencia de fa que es parte el sector de la tr.iycctoria prc'ixima :1 dicho 1>unlo. En lo que :1tañc al módulo de la aceleración, éste depende de la velocidad del cucr.po .en dicho ¡mnto y d'cl radio de la correspondicnic circunfcrenci.a. t,¡, lig. (,4 ofrece cicrl:1 tray~~tClri:r complic:illa y se indican los ·vectores de la ;icclcración centrípc1<1 en diferentes puntos ,le a4uí:lla. PltOll LEMA. Un avión, al sa1ir del picado, se mueve por una traycctoría que en su parte inferior c.~ el 5rco de una circunferencia de;: 500 m de radio (lig. 65). Calcular la aceleración del avi~n en el pun to mt'5 bajo, si su velocidad es úc 800 k1ñ/h, y comparar el resu ltado con la aceleración de la caida libre. So/11ció11. La aceleración del avión se calcula por la fórmula a= u1/r.
Poniendo en ella los valores numéricos .de 800- 103 m U·=
3600 $
m
::::
·y r
222 -
= SOO m,
$
obtenemos;
(m ;)' a=
SOO m
m
•98,6 7·
Como
m
g=9,8 7• resulta que n z 10 g: l. ?
1. ¿Cómo cstil diri¡,;i
una circonfcrencta a velocidad constante scgúo el módulo"! ¿A qué es igual el módulQ de esta acelcnci6n? 2. Si dura.ntc el movimiento de un cuerpo siguiendo una circunferencia el módulo de la velocidad vaña, ¿cstart dirigida la accler:icitin del cuerpo hncia el ccnuo de la circunferencia? J. ;.Pndcmo.• con,idcrnr el 1novimicn10 sohrc uno cireunfcrcnci:t cC>n a~'Clernción ~onslnnlc según el mó1lulo como movimiento u11iíormcmcnlc variado?
to
~.
¿Por qué en las curvas de pequeño rndio los· cl:ókrcs c!c IM automóviles disminuyen la \•cloci<13d7 5. Una lanch:i motora ~uc arrastro a un deportista sobre esqui aco~tico se mueve por u~ circunícrcocia. El cleportista pucd~ seguir b lancha por Ja misma circunferencia que ella, pero puo.:le hacerlo fuera y dcn!ro de ella. ¿Cuál es la corrc!acibn de velocidades (lir.cnles) del dcponista en esos tres eue>s?
.Ejercicios 1O l. Una picdrn de afilar, cuyo radio e~ igual A 10 cm, durante su rotación .da una vuclla cada 0,2 s. !fallar la \'Clocidad de los puntos más alcj~dos del eje de rotación. 2. 1,ln automóvil se muel'c por una curva de In earrctcr:i de 100 m de radio a UM velocidad~c 54 km/h. Dc/inir la acclcr:ición ccntripcta del automóvil. 3. El periodo de rot:u:iún
3.4.
Sobre la r elat ivida d d e l movimiento ·de un cuerpo a l girar el s ist e ma d e referencia
En los 1.8 y 1.9 ya hemos hab!ado de la rel~tividad del movimicnlo cu;indo ios cuerpos 5e mueven de nwdo rcctilinco y uniíormc. Pudimos apreciar, que Jos movimientos de un mismo cuerpo en refaeión unos respecto de otros, pueden diíerenci:irse considcr~blcmcntc. Pero tambií:n pueden ser de: referencia cuerpos en rotación. Par~ nosntws, el ejemplo más evidente es la Tierra que gira alrcdcc!or de su eje :t una ''c!ocidad, en realidad pequeña, de f vuelta po~ día (w ~ 7 · 10 - 5 rac!/s). Como cue.rpo de referencia podemos asimismo tomar un tiovivo en rotación' y •.111 sa lélite de la Tierra en su órbita, cte. Examinemos como ejemplo el movimient o de una bola (o anillo) ascntac!o sobre una barrita (aguja) que gira en el plano horizontal alrededor de uno de sus extremos. Semejante experimento puede hacerse en casa. Un anillo de alambre se asienta en una aguja para hacer punto y, sujetando uno de s;is extremos en la mano, la primera !;e hace girar con rapidez a cierto i.ngulo en el plano horizontal. Con ello, el anillo se desprenderá de la aguja. ¿Cómo podemos explicar esto? Enlacemos el sistema inmóvil de coordenadas con el plano hori1.0n1al (~is tema X O \1, mientras que el ~istcma móvil, con la barrita en rot:ici6n (X 1 0t l' , ) (fig. 66). 71
Fi!l. 67
En el momento en que Ja barril.a se encuentra en la posición J y la bola en la barrila ocupa la posición del punto A, distando r 1 del punto O,, la primera transmite a la bola Ja velocidad liA, que es perpe1Jtlic11lar a aqui:lfa. L.1 bol:t se desplaza en dicha.dirección. Al cabo· de 11n pequci1o intervalo de tiempo, la barrita cfc.:túa-una pcquciln vuchn y'ocupa 13 posición /l, micnlras que la bola, q'úc no está lijada cnJa barrita, pasará ai punto n. distando r 1 dc.I pl\n\o p, . Como vemos cri la lig. 66, 0 18 es la'hipotcnusn del trHingulo'.~0 1 IJ, ~n ta.oto que O1¡I, su c:ite'lo. De formo qucr2 > r1 , o sea, In bola se ha alejado del centro de rolnción. En este momento, l<\ barcitií. ~QJ)lUnÍC.1 3. la bola la velocidad U/J en In dirccció11 pcr.pcndiCular a la. barrita y, cuando ~t:¡, dcspu~ dc.re:ilizar una vucll:i pequaía más, ocúpe la posición 11 l, la bola ~e hallara en la. posición C, a una distancia r3 que es mayor que r'l. La rotación de la barrita está constituida por dichas pcquciias vueltas. En lo que a la bola atañe cada va se alcj:1 mi\s del punto iJ, ,.dc.~lizllndosc a lo largo de la barrita. Respecto del sislemn inmóvil de referencia, la bola se mueve describiendo una complic:1dn trayectoria en forma de una cspíral que se desenrolla. Á'I mjsmo tiempo, e11 rd<1dr}11 <:011 la liarrila (eje X 1 ) la /¡ola se 11111eve a lo largo de. e.tia por u11a recta. Pasa aproxim.adamcnte lo mismo con los niños· que se encuentran en un disco que gir~ alrededor de un eje vertical (lig. 67). Los niños se dcslizo1n p11r lineas rectas hacia los bordes del disco. Un observador inmóvil, situado íuera del disco, vcrfl que cada uno de los niños se mueve por una espiral que se desenrolla. · ·
Lo más importante . en el tercer capitulo En caso de movimiento curvilíneo, Ja di rección del vector de velocidad varia constantemente y en cada punto de la trnyecroria cstú dirigido por la tangente a ésta en el punto dado. Por esta razón, incluso el movimiento uniformé a lo largo de una trayectoria curvilínea, para el cual el módulo de la velocid ad es constante, resulta ser un movimiento acelerado. ·l;:I moviiúicnt o de ü'.n t:ucrp<> (punto matcri(11) sobre una cin.:unfcrcncia, no sólo puede ~er .descrito mediante magn itudes linea les, es dec!r, el desplazamiei1to .y la vcloddad, sino que también recurriendo a magnitucks ;iht_uJares, a -sab.cr:.cí bngulo de giro cp del ri1d io, trazado desde el centro de la cifctmfcrcncia hacia.el cuerpo, y la velocidad anguhtr ro. L:t rel~ci6n er.trc la ~clqi;id~CÍ ·linea l y la angular se eitpresa con la fórmula v.-= ror,
donde r es el radio de la circun fcrcncia. Siendo el movimiento uniforme sobre una circunferencia, el ,·cctor de aceleración en cualquier punto de aquélla es perpendicular ~I vector de vcloci· dad y .se dirige al centro de la circunferencia. El módulo del vecto r de la aceleración centrípeta se expresa por la igua ldad p•
a=vw=-;;;ru1 r. r
Respecto de una barrita (eje) en rotación, un cuerpo (pur{to) no fijado en ella se ·mueve a lo largo de la b:irrita en d irección opuesta al eje de rotación.
Fundamentos de dinámica
4
LEYes ·· oE MOVlli'llENTO
0
LA MÁS IMPORTANTE PREGUNTA, IPOR QUÉ t
En la parle dcdic.1da a la "Cinemi1tica" hemos estudiado las magniludcs que se emplean pa ra describir divc_rsos movimientos que 51; .0!1scr'van en e! -mundo que nos rodea. Tambi~n hemO$ aprendido que pa;.1 c:ileulur la~. velocidades dcJo~ cuerpos,.' sus dc.~plazamicntos· y, por 'úll imp,, las coordenadas de.tos mismos, en todo momento dc·t\cmpo, hay que conocer la acelcr:icjón, ya que prccisaméntc tsla, lo que diferencia un movimiento de otro. Por ejemplo, el movimiento rccti!ineo uniforme se distingue óe lós demás, en que · pcis~c :lc~lcráéioii nula; el movimiento rectilíneo üniío~niemcnte variado; ·tn que su aceleración es' c
es
4.1.
Los cuerpos y lo que los rodea . ... Primera ley de Newton
Con el fin de hallar la causa del $urgimicnto de l;is i1cclcracioncs, hay que dirigirse a la pr!1c1ica, :i las (lhscrvncíoncs. Para cmpcznr, aclararemos bajo qué condiciones el cuerpo se 7-4
'
-
o
o
F'ig. 68
Fig. 69
mueve si11 .accler.ac_iú11, .cs. decir. cuando su velocíd¡1d no varí:i con el tiempo. Tos)o cuerpo, en movimicn10 o en reposo, no cxiS!C a solas en el mundo. /). su , alrededor h\IY o!ros muchos cuerpos, cercanos y lejanos, grandes j . pc4uc¡'\os, ·en movimiento o en reposo. Es. natun\I 4uc supongamos que tÍlgunos éle ellos y, posiblemente todos, actitan de nlgunn forma sobre el cuerpo cjde Obscryamos, de cierto modo ejercen iníluen¡:ia sobre el estado de su movimiento. De antemano no se puede decir culllcs de los cuerpos que lo l'Odcan, in.íluy~ de manera considerable y cuáles, poco inciden sobre dicho estado. En cada caso ppr separado a esto dct>cmos dcdieM una Investigación. Para. elflpczar, examinc111os cierto cuerpo en reposo. Tanto la velocidad, como la acclc.ración d'e dicho cuerpo son nulas. En la fíg. 68 se ofre.;e una bolita colgada de un cordón de goma. Respecto de la Tierra cfüi'ºcstá en reposo. En las proximidades de la bolita hay gran cantidad de div.ersos cuerpos: el cordón, del que está colgada, las paredes de la habitación, muJ'titud de objeios en ella y 'en los locales vecinos y, claro está, la Ticm~. Es naturnl, que.no todos c.~tos cuerpo.~ nctlian de la misma manera sobre la bolita. Por ejemplo, si .s acamos Jos muebles de la habitación o los mudamos de lugar en· ella, .esto no causará n.otoria iníluencia sobre la bolita. Pero si cortamos el coréJ'ó n (fíg. 69), la bolita comcnZaril a caet de inmediato CO!l aceleración. . Es bien conocido, que prcciSamente bajo la iníluencia de la Tierra todos los cuerpos caen sobre ella. Pero mientras no sea cortado el cordón, la bolita se encontrará en reposo. Este sencillo experimente;> muestra que de todos los cuerpos que rodea.o la bolita, sólo dos iníluyen notoriam ente sobre ell3: el cordón de goma y Ja T,icrra, su iníluencia conjunta asegura el estado de reposo de la bo'iita. Resultó suficiente eliminar uno de dichos cuerpos-el cordón, y' dicho estado, se alteró. Si conscr~a~do el inílujo del cordón alargado pudiéramos retirar... la Tierra, esta acción también pcrtu~baría el reposo de la bolita: ésta comenzaría a moverse en direó::ión opuesta. Lo dicho nos. conduce a la conclusión de que los influjos de dos cuerp-0s. el cordón y l:i Tierra, sobre la bolita se co111¡"•11sm1 (a veces dicen, se ct¡11i/ib,.cm) entre si.
7S
l'ig. 70
Cuando decimos que las iníluencias de dos o vnrios cuerpos se compensan entre sí, csro quiere decir, que el rcsul1ado de su iiiíluencia conjunta és el mismo ~¡u.; lcm.lria lugar si dichos cuerpos no existieron. El ~jemplo que hemos cxaminodo y otro,s muchos ·Semejantes, permiten llcg:ir a t:i siguiente coilclusión:' r111 i;11cr¡1o'sé c11t11ei1trp.e11 rcpo.~o si los f11j111jqs tic olrvs ·cuerpos_ sobre el se compe1ua11. • Pero ya salx.-mos, que el m~vimicnt 0•ycl repaso son relativos..Si respecto de un' s\slerna
76
relación a la Tierra, se encuentra en ccposo o está en movimiento roctilinco uniíorme. l!.~ta afirmación es justa, pero no para todos los sistcm:is de rcíercncia. J>or ejemplo, con relación al jugador de hockey que emprende un ataq:1e, por lo que se mueve respecto de la Tierra con cierta aceleración. el puck también se encuentra en movimiento varindo. Aunque, claro cst~ . este jugador nos diri1 que el efecto de la Tierra y del hielo sobre el puck se compensan cnlre si. De esta forma llegamos a una de las leyes fundamental.:.~ dc' mccitn:ca que recibe el nombre de PRtME)tA l.EY DE NEWTQN. Existen tales sistemas de referencia con relación a los cuales los cuerpos en movimiento de traslación conservan su velocidad constante si sobre ellos no actüan otros cuerpos (o si la acción de éstos se compensa). El propio íenómeno de conservación de la velocidad de movimiento de un cuerpo (incluyendo el estado de reposo), cuando los innujos exteriores sobre el mismo cstf111 compensados, es ll:unado IN.!;RCli\. J>or 1..-sta caus~t. la 11rimcra ley de . Newton se ·denomina con frecuencia PRINCIPIO DE INERCli\. Reciben el n.ombrc de si~tcnrns inerciales de reícrcncia aquellos respecto de lós cuales un cuerpo está• en movimiento .uniforme y rcctíllnco, cuando los efectos exteriores se compensan. En el ejemplo del puck p.~ra jugar ·111 hockey que hemos eicamjnado, como sistemas inerciales de referencia figuran el que estll relacionado con la Tierra y el que estll ligado con el jugador, que respecto de ésta avanza en movimiento uniforme y rectilíneo. Pero no sólo ellos. Estll claro, que tambi~n será inercial cualquier sistema'de reíercncia en movimiento rectilíneo y un iíorme, respecto a la Tierra. Así pues, si de la práctica co11ocemos aunque 1011 sólo seo 1111 sistema i11crcial 1/e referencia, serán. también i11ercialcs cualesquiera otros sísrem
s.olirc 1;b·mq5:a;:11;1n)iiCfo·~ozámlcñii>.~u:t ~ccit>ri "dc aq\1~11()~. qüe ~ifáil 'ó;:tiñjfüjai1 ·1:rmcsa es nceésaíiá pata com pensar~¡ rozamfonto. Galileo llego a la d'educéión d.c que, si -110 hubiera- ro:?,arñicnto., el .cucrP,o (ta· mesa) después de .p\!esto. ~n movimiento continu<1ría .éste a, velocidad constante "inéluso. sin que .actúen in· llujo~ ex\eriorcs. . • ·, " . _ ·., : .. "' . El genial fisieo ingl~ ISA'AC'NEWTON generalizó·las deducciones d.c. Galiley; las incluyó. CÍI las ·leyes ÍUndami:ntafos ;de .mqvimienlQ. • ?
(,.
J: Uno!; rc111tldórcs int~nt~ñ'qucJ;t bar.6 avan~ cQntra corricm~;··n!) lo consiguen, ·qucdan
l.
.2.
Aducir ejemplos' ·<.le cuerpos' que se cncucntrnn en rcpo$o. .¿t.as (lccioncs de
qu~
los cuerpos,
~uy:is
•·
42
~ · ~
cuerpos se compcnsa1.1 en. c;stos casos?
,
en mo-:imicnto rectilíneo y uniforme. Indicar ·acciones ·se c.óinpens.:1n en· cslc caso. ·
Qa tcj;:l!'P.lus'dc.~µcrpos r ,· , :, ..: ~·\
. • ··.:,
• ~ · .. -: : · •.':,
oL •.
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C;-. ;.~ -
~ ,
..,:
lnt~racdó" de los.. c_uerpos, Acel.el'.aciQn .de ,l9s...i:-uer.p~s -~Ul'.C!_l'J.te . sµ)l!t~ra_s~i.Ól'.I
'bra_ruer~d.·o -~oh. 'a'prime(~.l~fdi: Newton, un <:úcrj>o está en
r~o~iili\cnto. sii(acclcra~iól), cs ..decir, reétilín~o y_ · uniíormc 'c9n rcbción al'siiieina in(ircial 'd\: 'reférencia, 5¡·sobre ci cuerpo 'r)o. actúan ó\rb.~ cuerpo~ 0 'bien si :u:;tírnn su~ influjos qu·c"está.n· cómp,cnsados. ' · ·· " · ./\clar.cJn·o~ ah.o~a b,ajo q)¡é .;ondi~i~n~ ·'tos euerpós · ~c l)'lueven Ci)n acelcr.aéión:~t cxpcricn.CÍ;l.ÍT\UCstr;Í.qÜc;C,\iandO UD CUerpO c$tá cÍ1 movimielt!O con -:ac~!c~aci9n, siem'¡ir!< pué.de.ser ir¡Clii:ado uno. o var-ios otros cuetpqs, cuya influencia · provci!;Ó la .,~ccler~ciór¡. .:P.so, ceimichza a movcl'S!l con aceleración (fig. 11¡,:provocada p_or .la accióQ del .imim. _!Vf icntras actt11< el imán, la boliw se moverá con acélci'ación, aumenlando su vélocidad·constántcmenlc. Si acercamÓs el imán a I~ 'bolit;I e'n ;niovimienlo d~ la: íorrila que s~.inucstr:~ en la fig. 72, variara ia dfr~c.Ciói; d~ su vetoeÜiad :.la tÍaycc'tqri<1. ~e. Ja~ b'oii(:i.se encorvará, ·có·ino .. ya. $3,l~cl)los, ~li:l. sígnifjea c¡uc la b'olita hll ·adqu'irido acel crnció1i'ce~Hipch. En::~'le cXpcriineni<>"vfiños de n.uevo q11c l.a influencia dc_. la acción de un cuerpo exterior es la causa:de 'la variación del· moyiniiénto .y rio del propio movimiento. ¡Pi1csfa lx>líta ~e movía antes de quc· accrcl1r;•t11<>~ cl imim! 78
Fig. 71
De forma que la causa de la accforaciún riel c11er¡10 c.~ 1.r i11jlwmci11 de oiros él. . , ¿Dé qué dépendc el módulo y la dir<XX:ión de la aceleración (luc se comunica a tin cu~rpo· gracia,S a la inílµencia de otro cuerpo? Para hallar la respuesta a esta prégunla recurramos 'de nuevo a u11 experimento. JN.TERA'CCIÓN DE LOS CUERPOS. 'E11· el caso. más sencillo, en nuestro experi~eoio deben participar dos cúqrpos: aquel que influye y el que suírc dich:i 'influencia. · Pero en la' realidad, ambos cuer.pos son, por asi decirlo, "equivalentes". Cad:r uno efe CÍlos li10uye ~ob(e el olro cuerpo y se somete a la inílucncia. Por ejemplo, cuando un futbolí.~llt, corriendo a grnn velocidad, choca con oc ro jugador, ·ambos cambian. su· vclocid11d. En gencrnl, cada vez qué.cierto cuerpo A recibe acclcrnción a causa de que sobre él aclú:1 el cuerpo B, c.~te úliimo 1:1mbién tom11 aceleración. Se produce la ll:unada J¡..¡Tl!RACCtÓN de los cuerpos y los dos toman acclcr:1ció11. ¡,Cnitks son estas aceleraciones? Múl.tiples experimentos realizados con diversos cuerpos nos han mostrado que durante la i11teracció11 de dos cuerpos, sus e1celeracio11cs es1·á11 dirigidas en direcciones opuesta$. Adem.ás, rcsulla que para dos cuerpos dados en ínlerac;¡ción, la raz611 de los modulvs de. sus acckracioncs, es siempre fo misma y no depende en abs.oluto de cómo transcurre la interac;ción ¡le los cuerpos. Ésta pucci'e ser ei choque d'c dos cuerp'Os; la interacción de esos mismos cuerpos lig<1clOS' con 1,1¡1 mücllc. hilo, aJnmb~c; por último, los cuerpos pueden estar en fotctacé'ión sin cntraf en cont:icto, ·como, por ejemplo, los planetas y el Sol o· bien la Luna y la Tierra, el imán y un trozo de hierro. En lo que se refiere a los propios módulos de las aceleraciones de cada. uno de los cuerpos pueden ser totalmente diferentes para distintas aceleraciones. Sólo es igual la razón de sus c11~pos .~obre
aceler3cion~.
y
l?or ejemplo, si tomáramos dos carritos del mismo tamaño, uno de aluminio ólro de acero (fig. 73) y los obligáramos a cho.car, durante el impacto ambos /\cero
V¡
/\lominio
Fig. 73 19
V1 =O
't.".
11
\
Alumin.io.. '
'•
'
Fig. 74. ·.
Las
vaciarían su veloddaci; tomá.;ian aceleración. mcdicio_n,<;S ..nos mostrarían que la·aceleración a1·del carrito de ª luminio es ircs ·V~)riªypr pot SU .Tl\ó'd1JIO que la aceleración a2 ciel de acero, independientefü.c1ite- de cu:\lcs ·eran rn:s velocidades de los carritos ·anfcs del chQque .
~!.=;. "1
.Las dir~c'ioncs. de fa aceleración de. ambos car.ritos serian opuestas.· Duf.tlnlc el choque lle los.carritos e~ muy .dificil· medir Ja acelcrnci611, ya q.ue aquél dura. muy. po.coJíémpo. .Ei; mucho.más sencillo realizar un experimento en el que fos cuc'í:pos en inJeracción están ch movimiento. uniforme sobre ·una ci.rcuiifcrc)i'Cia y··:medir: la acelc~i!Ción'"ceñtrípet¡i"de ·dichos c.uerpos. El e\iqui:ma de senie]aritc cxpcrÍ¡ñc.iilo viciic ·r~tirc.scñfad·o en I;\ rlg. 14. Dos cilin·qros de igual lamaño;:...uhó de.almnin io y 'el otto de ácero ~q tie por el eje 1ienen11n agujero, cst~n 'ásentidos sobre una bárra, a;fo,largo de la cual pueden tlCslizarse ton ¡;~queijq toiami.ento. Instalemos ··1a barra eón los· ·ciliñs'cilindros no hay ' , interaccion. Liguemos ahorn los cilindros con un finó liilo y de n.ucvo hagamos girnr la b;irr;1. E11 c¡;(c c;l~o, los cilindros aclúar:i entre sí por medio del hil.o que.lo,s·l!ga. · ' Cuando los cilindrós ocupen ·determinadas dis!an.~ias l1t1s'i:1., el eje de rotaclon de la barra,. ellos dejarán de dcslizar~e por g;1a y se wovcii111 describiendo circuiifereitc.ias.· Los radios rr·Yr 2.de dichl\s. cir.cunf~rencias son h1s distan,cias enlre los cilindros'/ el eje de rouicip!l,·Pero sob ~c 1i1 círctiuÍc.rcnéi;i él cuérpo se mueve con aceiefación· cciltr~ppla, CÍifÍ~ida"(1acia el ccrltro e i~ual a o:i2 r, donde ro ~fa velocidad angular de rotación..de la ·barra; "~ el ·raoio de la circunferencia. La razóp ~¡iti'e los módulo$ ·a e las i1cclcpciones de los cilindros de aluminio y de acero, por lo tanto, es igual a )
;
Al medir los r.adios r ,. y. ·r.2 , observ.aremO:s que para. CI cílin(jro de aluminio el radio r1 e.~· Ir es v·!)CCS.:mayor que el radio r2 d\: la circunferencia por la que se mueve cl'Ci'tindro de acero. !!sto significa que la razón de.las aceleraciones d~ los cilindros c.~ igual a tres. Se puede cambhir la longitud del hilo que lign los cilindros, así como vari<1r 80
!a velocidad de rotación de la barra. Todo esto conduce a la variación de la ::ccleracion de c:ida uno de los dlindros. Pero el expcri:nento mos:rará que Ja razón entre lns aceleraciones queda igual a.3 en todo caso. De este· modo, nos hemos cerciorado de que para cualquier interacción entre dos cuerpos dados la razó n el.e los módulos de sus aceleraciones es siempre la misma. l. /.Qué es la causa ce In aceleración? 2. ¿Qué se puede decir sobre lns nce!~raciones de dos cuerpos en interncción? 3. Como resultado de la int"racción ele dos cuerpos, fa velocidad de uno de ellos aumentó. ¿Cómo vnrió In velocidad del c lro cuerpo?
• ? G •
Ejercicios 11 1. Dctcronin;ir la velocidad del c:1rrito de a luminio del que lmblí1b:unos en csrc p~rú¡¡rnío, después de chocar con el carrito de accrn, si la velocidad in icial de este últim_o crn igu:•t "4 n1/s dcspué.< c'.d cl11,q11e, 2 m/s. carrito tic :i!uminio aotcs del choque <'$lnba en reposo. 2. Lós cilindros i:Íc aluminio "i de acero, con los cual¡:.~ se h:i descrito un cKpcrirncnto en este par~gr,,fo. c
y
m
hi lo? Tarea
Aducir ejemplos qcc mucotr~n que la interacción de los cuerpos e-; la caw;~
de la variación dd n:oyimicn:o (vclockbd) c!c é!.1os y nn dd propio mo.vimiento.
...
4 3.•
l ~efti
de los c uer pos
En· él p¡trl1grafo antcripr, ·hcmo-~ cstt:d iado c~perimcntos
es
y
81
cuerpo es igual ·ll la razón entre la variaéión de la velocidad y eí, intecvalo de tiempo 1, en el cual se produjo dicha variación: · .
ú-óo
a~--.
1
Por eso, cuah fo menor se<1 la aceleración, del cuerpo, tanto· en •l!.e11or grndo el transcurso . ([el licmpo cl:11lo 1. Accrc:1 del -cuerpo que como r.9Sultado de Ja internccióri v;iria menos ~u vclociú:1d, suele.decirse que es más in~rte,que el segundo, Y.ª que si su velocidad no hubie_ra can~biado por completo, el ~uerpo permanecería en movimiento por inercia, es decir, rcctillnca y unifórmemen te.. L~ INER)lOAÍ:> es una propiedad inherente a_-todos los cuct'pos. Consfa1c. c11 1111r para 1>t1ric¡r la 1•elocitloJ del c11erfH! se neccsitcr cierto tiempo. Cuomo 11111yor sea este, mlis.,i11erte..scrá el cuupo. De d.os cuerpos en interacción, m.U inerte resulHI el qué , va.ria su velocidad. con más lentitud. El slguient'e ·experimento muestra con claridad cómo se manifiesta Ja incrlida
l. 7
1.¿Puedc la velocidad de un cu.crpo cambiar de forn¡a i1~":tntá11cn1 2. ;,,En qué consiste l:i propiedad de los cuerpos llamada incrliuall'I
82
·' l'ár.c3 Adtick cjcmj>IO$ que n¡u~frcn que vclooid:¡<\ de .arnb< eucrp0s.
4..4.
d11r~:11~
l:i
in1crJcci611 varia la
P.rimera magnitud dinámica:
.lo i:nasó de los cuer pos
, .La~·i~~r.!idact, cualidad iuhercnle a cad;·I cuerpo, es u:1a de sus :-- iniis· iinportanles propiedades. ya que di.: ella dcper.de la aceleracion- 'del cuerpo como resultado de si1 btenicción con ·otros. ··En.'.ffsi¿a ·:se csrudi;ur aquellas propiedades de Jos cuerpo~ que p~?~(;lcn ser caracterizadas por una dclc1mi¡1ada magnitud. Por ejemplo, la propi«
-
111J
(J)
·p:·, - . ·
:u.i • ·m ,
'. _J.,(i}azó11 ti!! /Os móa11los de las aceleraciolJ(•S de dos c11crpos 'c11 i11CL'rocció11 e.t la: razón .inversa de· sus masas. ·., :P.or ejemplo, ,hemos visto que la razón ent re la aceleración de un cilindro de alínninjÓ·y la·de otro·de acero es igual a tres. El motivo de esto radica en que l
.a.
1=~ o bien (2)
83 6'
Fig. 7(;
donde me y oc son la mnsn y el módulo.de la aceleración del cuerpo; 1~1p y ap, la masa y cJ.módulo de la aceleración del patrón. Pero la masa del palrón es igual a la unidad, por lo que me •
!f.
unidadc:o de rnasa.
tic
L:t masa del cuerpo«:.~ la magnitud. que ex,prcs:t su inertidad. Determina In rar.c'm e1i'trc el inódulo de la a~cleración .del patrón de masa y el .módu lo de In acclcradón del cuerpo dura11tc su interacción. Recordemos· (véase A. V, Piórishkin; N.A. Ródina. Física 1-) que como patrón de masa cstft adoptado un cilindro de una alc;1ción de pt·nüno e iridio, especialmente í:lbricado. Ln mas:i !)e este ceilin<,lro es Ja unidad internacional de masa, ~'S decir, el K ILOGRAMO (kg). Con suficiente precisión se pu~ccon.~idcrar que 1 1 de agua pura a 1SºC tiene; u.0a masa de J .kg. Junto col) tales magnitudes como la IQng)tud y el tiempo, la masa figura entre las ,magn itudes fundamentales clcl SJ. . No se d~bc. pcns;1r que e;icla vez, cuando hace folla medir la masa de cierto cucrp0¡ h;iy que.someterlo'' la intcracciqn con el patrón de masa y' determinar la aceleración de; ambos. E11 la práctica, clar9 está, semejante ·prpccdimi~nto es incómodo. PQ( fortuna, existe otro método para medir la m·,:isa, ~I PESAJIJ. del que, por rcgla,se hace uso. Sobre este procedimiento de mcdicipn de.la masa ya nos familiarizamos en el curso antcribr de lisien. Pero en algunos casos, la definición de la masa ateniéndose n las aceleraciones durantcfainter:icción cs el único procedimiento posible. Por ejemplo, resulta im posible det~rmi1rnr por pesaje la masa de los planetas, estrellas y. otros cuerpos celestes. 'Tampoco c.~ posible medir eQ una báscula masas. n;iuy p,c<¡ucñas, por ejemplo, las ge los átomos 'y de las p11rtí'cul.as de que él ·está' cons,litu,ido. La masa de un cuerpo expresa.'un¡¡ propiedad exclusiv.a (inertidad) in.~crent c a éste, que no depende ni de las interaccion.es en las que el cu.erpo 'actú.a, ni de cómo él se mueve. lndependicntell'lcl)tededóndc~ encuentra el cu~{po. ?e cómo se mueve, su masa queda invariable. .,,,.- • LAS MASAS SE SUMAN. CQnoccrcmos una interesante e importante propiedad de la masa si realizamos un experimento mlls (lig. 76). Unamos dos cilindros idénticos de aluminio y repitamos el experimento eón la"máquina ccntrííuga (véase 4.2). Ahorn. el cilindro de acero entra en acción mutua no con u110, sino que con dos cilindros de aluminio unido.~. El experimento mostrar(1 que ~i! _rn7.ón entre la acclcrnción de estos últimos y la nceler;1ci6n del cilind ro de
acero ya no es igual a :l, sino que a Jlz· Esto significa que h.t mas~ de los dos cilii1dros i- Por lo lanlo, CUQlf(/Q dos o Vllrios .c11c:rpo.• se 1111c11 forma11dd 1111 todo •101icp, s11.1 111(1.MS se s1.11111111. Esto sigue de la suposición que hemos adoptado acerca de que la razón de los módulos de J.•s aceleraciones de,cuer¡>0.s'.en inleracción es igual a la razón inversa de sus ma;as .: · (fórmula 1). A ;cau.sa qc esta propíédad de la masa, a veces dicen que ésta expresa la cantidad:de sustancia en el cuerpo. Está en absoluto claro que dos cilindros de ,:aJUmi'nfo . coi1tie(i~n. una cantidad do~ veces mayor de éste que uno. UNA YEZ·MAS SODRE LA TEORIA DE LA RELATIVIDAD. Hemos senalado que..la masa del cuerpo no depende de cómo éste se mllevc. Pero esto no c:S:dcl totlo'justo~- En,1 .9 se.indicó que de acuerdo con IH teoría de la ~dativi1(fad'cn.dii;lintos s!stem'as de referencia, en moviniienfo unos respecto de otros, el !ic°mp0 ,tnins.!=urre .il~ dífercntc forma. 'Esto conduce a nsombrosas consecuencias. En· partictilar, resulta que la masa del cuerpo varí;t dur<1ntc su ,movimiento. Supo·ng.a!flOS ·que la rr.a~a de cierto cuerpo <'11 r1tposo es 1110 • Si . pudiér(lmós,.por ej<¡.mpio,.con una mf1quina centrifuga medir la masa de ese rnisit)o cucr'pd·cuai¡do si: mueve ·:t una velocidad 1i, rcsullal'ia que aqu(;Jla 110 serí¡i, Yª;:'ígual. a 111 0 , sino que a
"' :.d-.oiÍd~ e·(fa la velocidad de la luz. Por consiguiente, la masa del cuerpo resulta mi1yQr. No obslaJ1te, este aumento de Ja masa es notorio sólo a vclocida
Luna ·· ~
,...,
ft1 ~ \
de~~/
Ccnlro la Tíccrn
'•.
-
Tierra
Fi~.
Fig. 7R
77
asimismo, describiendo 1111;1 circ11nfcrencia, el centro de la Ticrr;i (fig. 78). O sc
flL
-;;;- = w21·T
l"L
= ;;·
Pero la razón entre los módulos de h1s aceleraciones de los cuerpos en interacción es igual, como sabemos, a la razón inversa de los masas. por lo que
mr _Ti . . =-. 'T
Como
'L~3SOOOO
"'T m1•
ml
km y
,.,.~4700
km
JHOOOO
--~-----~RI .
;, ?
4700
l. ¿Qué nmgni1ud es la que carae1eriza la inertidad de un cuerpo' 2. ¿Qu~ ligazón c.'islc c111rc bs masas de Jos cuerpos y los mbdulos de las acelcr;icion~s que ellos reciben durnnle la in1crncción? J. ¡.Cómo se dclcrmina In mnsn de un cuerpo uislatlo? 4. ¿Qué es el p<1lró11
86
tJCrCKIOS
12
l. lJn carrito se mueve por una superficie horízontal a un'a velocidad de SO cm{s. Con é.I choca un segundo c.1rrito en movimiento en la misma
dirección a una velocidad de 150 cm/s.
Ocspu~
del choque, los dos
carrito$ continUan el movimiento en l::t mísiná dirección a igu31
vclocid:id, igual a l(l() cm/s. Hallar la raz6n de las masa.< de los carritos 2. Un carrito se mueve p<>r un ph1110 horizontal a una velocidad de JO cm/~ y choca coo otro carrito en reposo de la misma masa que el primero. Como resultado del choque el carrito rn movimiento, se para. ¿A qué velocidad $C moverá el otro carrito'!
4.5.
Segunda magnitud dinámica : la fuerzo
Recordemos que nuestro objetivo consiste en coooccr cómo calcular Ja aceleración de los cuerpos en movimiento, sin lo que es imposible resolver el problema fundamental de mecánica. En los parágrafos anteriores, vimos que cuando cierto cuerpo J, cuya masa es igual a m1, adquicce una aceleración Ó¡, esto es el resultado de que sobre él actúa otro cuerpo 2 de masa 111,. que a su ve?. también recibe la aceleración ti 2• Con ello '11¡
n1 = - a 2 .
"'• De esta íórmula, al parecer se desprende que no se puede estudiar el movimiento y ca lcular fa aceleración de sólo un cuerpo, que llamaremos cuerpo que se acelera. Obligaloriamcntc hay que conocer la masa y fa aceleración de olro cuerpo m~s. el acelerador. Mas, por regla, nos interesa, precisamente. el tnovímiento de uno de ellos, del cuerpo que se acelera y no del cuerpo o los cuerpos que sobre él actúan, comunicf1ndole la ~tcclcrnción. Por ejemplo, cuando un proyectil abandona el cañón, dc.
Fig. 79
li¡: HO
Fl(:. 81
1¡)
incluido el extremo 8, actúa una fuerza, que recibe el l1ombre de FUl;RU f!LÁSTIC"A del muelle. Cuando el muelle no está alargado, dicha fuerza es nula. De aqui se deduce que la fuer?.a clllstica del muelle sólo depende de su alargam1cnto, es decir, de la disposición mutua de sus partes. Si en el extremo de un muelle al;irgado o comprimido se fija un cuerpo, bajo 1:1 acción del muelle éste adquirirá acclcración, lo que quiere decir, que sobre el cuerpo actúa la fuerµ elástica por parte del muelle alargado. He aquí otro ejemplo. Como sabernos, todos los cuerpos en caid11 libre o lanzados hacia arriba, se mueven con acclemción. L;i caus;i de ~ta es, por lo visto, la iníluencia que ejerce la Tierra. Pero ahora, debemos decir que sobre d cuerpo actú¡i unn fuerza desde la Tierra que le comunica aceleración. Esta fucrm denominase FUCltZll TJE Lll 0111\ VCDAr>. LA FUERZA I!S UNA MAGNITUD FiSICA. La fuerz11 elástica y la de la !_!ravcdad como que no se pnrccicscn por completo. Esta foltn de parecido se 111:1111fic.~ta aunque y;1 sen por el hccliu de que el muelle nctúa sobre el cu<.:rlJO con el que entra en contncto, mientras que la Tierra, sin semejante cont11cto. ./\·t as estos dos innujos son similares en que ambos comu11ican a los cuerpos aceleración. Una fuem1 es capaz de comunicar a un cua-po gran arela-ación, otra-· pequeña. l'or consiguiente. In fuerza es una magnitud lisie.a que puede ser cxprcsuda con un número. Y no sólo con éste, ya que la fuerza es una magnitud vectorial, lo que se infiere, por ejemplo, en la lig. 81,b. En ella se muestra una pesa suspendida de un muelle y que en esta posición se encuentra en reposo. Sobre la pesa ~ctúa la fucrw de la gravedad F. Además, en ella iníluyc la fuerza elástica F cl(Ui. ya que el muelle está extendido (compúrcsc con la lig. 81,a). Cada una de cstns íucrzas puede transmitir al cuerpo acclcrac16n. Pero el cuerpo cst~ en reposo. Esto signific:i que la aceleración g, comunicada a Ja pesa por la fuerza de la gravedad, está dirigida en sentido opuesto a la aceleración ñ, que proporciona la fuerza cl~stica. El módulo de las dos aceleraciones liene que ser el mismo, es decir, d - - g. Por esta causa, tambi~n las fuen.as que comunican al cuerpo aceleraciones iguale$ en módulo y de direcciones contrarias, son de iguales módulos y están
Isaac Newton {1643-1727)-uno Je los mi1s célebres fisicos y matcmi1icos de tt>dos los tiempos. El sabio cnunc::i6 lu leyes generales dtl movimiento nu:d· nico, dcscubn6 la ley de la ¡;rnvitaci6n universal y cre6 Jos fundamentos de Jos cMculos diícrcncrnl e intcgrnl. Newton rcaliib m11g111Ílcus trab;1jos cclacionndos cn11 la ópt1c.1. Fundamentalmente. Newton cícctu6 todos cslos dcsc:11brim1cnlos e inve
dirigid:is en scn1idos opuestos t.1 ~,.=
- fi .
De :iqui llegamos a l:i conclusión de que la íuena se expresa tanto con un número, como con una dirección. Por es1a caus.i, en Ja Jíg. 81,h hemos representado la íucrza Fl'ltstY la íucna F en forma de ncchas de igual longilud,
dirigidas en scnlidos opuestos. ¿Pero qu é clase de magnitud Cli la íuc1·w 1 ¡,Qué es prccisnmc111c lo que tienen igual las dos fuerzas del ejemplo llducido? ¿Como cstf111..Jigadas Ja íucrz."I y In acclcrnción? A es1as preguntas nos r~pondc la ~c.gunda ley de Newton, unn de lns rnils importantes de mecónicn.
4.6.
Fuer2a y aceleració n
P.1r.1 aclnrar cómo están lig:11J:is la fuerza y la ncclcración, nos dirigiremos a un experimento. Este debe consistir en que baJO la acción de una misma íue.r7,a (es indiferente, cuál) hay que animar el movimiento acelerado de diferentes cuerpos. es decir, de distinta masa y medir su aceleración. Con el fin de realizar el experimento, hay que elegir un cuerpo que actúe sobre Lodos los otros cuerpos con igual fuerza. Semejante cuerpo p1:1cde ser un muelle alargado o comprimido, en el que actúa la fucn:i elüstica. Esta se distingue de todáS las dcm~s fuerza~ por la notoria singularidad de que, como hemos visto, so1,odcpc11dc de la longitud a l:i. que cst:i 3Jnrgado o comprimido el muelle, pero no depende del cuerpo en el que este se fija ll. Por esto, sobre TODO cuerpo sujeto en un muelle, alargado a una longitud detC1minada, actúa 11 l,a prác11c~ muc.~lra
que no hny otros cuerpos en la naiurnlcza que
poscnn 1al propiedad. 89
a
l'ig. 82
tma misma fuerza, la de elasticidad del mueite. Por ejemplo, podemos realiz.1r un experimento que, a primera vista, es sencillo (cil realidad, es bastante dificil). ·En un carrito de masa m conocida se fija un extremo.del muellé, mientras que en el olro sujetamos un hilo con uila pesa que pasa por una polea (fig. 82, a). A causa de la atracción de Ja Tierra, la pesa se desplaza hacia abajo y alarga el muelle. Éste.• alargado hasta una longitud detc(minada 61, ·actúa por intermedio de la íuerza elástica sobr~ el carrito y le comunica una aéclcraci'ón que puede ser medida, p<>r ejemplo, aplicando el método estroboscópico (véase 2.2). Sea que obtuvimos la aceleración a. Rcpilamos este experimento recurriendo no a unó, sino a dos carritos iguales, unidos entre sí (fig. 82, /1), de forma que su masi1 total sea igual a 2 111. Como la fuerza debe Ja misma, hemos de medir la aceleración de este "tren.., si1•111/11 d ml.vml) e/ 11/arg11111ie11Lo 1/el muelle 61. Para que éste sea el mismo 1¡11c en el primer experimento, habrfl <JUC clcgi'r y suspender del hilo otra pcs:i (la dificultad del CApcrimcnto consiste prccisamc11tc co la elección de las pesas). El experimento nos mostrará que manteniendo el mi.~mo alargamiento 6/ del muel le, la aceleración de tos dos carritos será igunl a af2. Si componemos un "tren" de tres, cuatro y má~ carritos, para el alargamiento 6/ del muelle, la aceleración será tres, cuatro y así sucesivamente veces menor que la de un carrito. Resulta que al aumentar la masa del carríto cierto número de veces, I<• aceleración que se le transmite p<>r una misma fueria, disminuye ese mismo número de veces. fato significa que resulta igual el producto tle la masa del <:arriro .Por su <1celer11ciótt. Este nusmo experimento es mas mei l organizarlo comunieaJldo a cuerpos de diversa masa aceleraciones centrípetas. Hagamos de nuc1•0 uso de la máquina centrifuga. Asentemos el cuerpo M, en forma de un cilindro de aluminio con un agujero taladrado de lado u lado a lo largo del eje, en la barra de la centrifuga (fig. 83,a). Fijemos en el cilindro uno de los extremos del muelle, sujetando el segundo en la armazón de la máquina en el punto A. Pongamos la máquina centrífuga
ser
90
M
A
Fi¡;. SJ en rotación. En tnl caso. como vimos en 3.4, el ci lindro M comcnz;1 r:í ;i dcsliwrsc por Ja b;1rra ;1 Jcj!111dosc tlcl punto 11 y, coo ello. cslir;mclo el muelle. Si no cstuvicrn presente el muelle, el cilindro llcgari;1 hasta el tope en el pu 11to JJ. Pero como consecuencia de IJ ru~r.w eU1stica del muelle a largado, el cilindro, después de alejarse en cierta medida del eje de rotación (a 1:1 distancia x), comcnzarh a girar por una circunferencia de radio r (fig. 83, b). La aceleración centrípeta del cilindro M está dirigida siguiendo el radio hacia el centro. El eje del muelle también está dirigido n lo largo del rad io. Por lo tanto. la dirección de la aceleración del cilindro M va a lo largo del eje del muelle, lo mismo que la fuerw el6slica. Es evidente, que esta fuerza es la que co111unic:1 al cilindro J;1 aceleración centrípeta. Como sabemos, el módulo de ésta es 1
C1"' (l) r ,
donde ffi es la velocidad angular de rotación de la máquina. Si medimos la velocidad nngu lar w y el radio r, hallaremos el módulo de la ;1cclcradó11 ci. Sustituyamos ahora el cilindro de aluminio por otro de acero de iguales dimensiones. Como ya sabemos, su masa es tres veces mayor que la del cilindro de aluminio. Pongamos de nuevo la máquina en rotación y elijamos una velocidad tal de giro, bajo la cual el alargnmicnto del muelle resulte igual al obtenido cuando giramos el cilindro de al11minio. En semejan le caso, la fuerza que actúa sobre el cilindro de acero será también la misma. Del experimento nos enteraremos que la aceleración de este último es trc.5 veces menor que la del cilindro de aluminio. En la fig. 84 viene representada la fotografia de un instrumento en el que en la escuela se realiza el experimento descrito. ¿A QUÉ ES IGUAL LA FUERZA? 131 experimento que hemos estudiado puede ser organizado para muchos cuerpos de las 01íis distintas masas. Lo mismo que en el primer experimento con los carritos. veremos que, s1 sobre distintos cuerpos actúa una misma fuerza, las aceleraciones de dichos cuerpos scifm diferentes, pero el producto de 1:1 masa del cucr(lO por su aceleración rcsulwrá ser el mismo.
91
Fig. 84
Por esta rar.611, es natural que consid.ercmos que djcho producto es la 111ag11ítud que CJ1prcsa 1:1 íucrza. & prccis:nncntc ésta la que sirve de medida tic la acción de un cuerpo sobre otro: la fuerza es grande sí comunica al cuerpo tal aceleración con la que se obtiene un gran producto de é.5la por la masa del cuerpo sobre el que actúa la primera.. Pero siendo grande la masa del cuerpo, incluso una gnm fücrza .puede comunícarlc pequeña .acel.cración. Designando 'la ruerza que nctúa sobre el cuerpo con F, la aceleración de éste con ci y sú masa con 111, podemos escribir
F=má . ¿Pero puede ser que esta igualdad sólo sea justa para la fuerza eláslica de 1111 11111cllc alargado y no sirva para otras fuerzas? Con el fin de responder a c.5ta pregunta, retornemos a la fig. 81 (pág. 88). Alli vin:ios que cuando sobre ut~ cuerpo de masa 111 están aplicadas ta íuerza elástica F cl~t y la de la gr.:m:dad F y el cuerpo se encuentra en reposo, ti= - g y F= ~ FclAsi- Mas Ja íucrza eli1stica que actúa sobre el cuerpo, como acabamos de aclarar, es igual al produc10 de su masa por ta acclernción que la fuerza comunica al cucrp.>, es
•
~ci~
pd(i
~
- lll!Í ·
Esto significa que la fuerza de ta gravedad
F, igual a
-
f. cl&si. será
igual a
F=m§ . De est¡1 manera hemos establecido que la fucrzn de 111 gravedad tambii:11 es igual al producto de la masa del cuerpo por la aceleración que dicha fuerza le coi;nunica.
4.7.
Segunda ley de Newton
Los experimentos, semejantes a los que hemos considerado en el parágrafo anterior y muchos otros, permitieron a Newton cnuncinr ull:\ de las mí1s imporwntcs lcyc.~ de mcciinica, o sea, la .'>r',GUNnA LIW llF Nl!WTON.
92
La fucna <JUC actúa sobre cierto cuerpo es igual al producto de la nrnsa de éste por 1:1 aceleración que dicha fuerza comunica al cuerpo. La segunda ley de Newton de forma matemlnica se expresa con· la fórmula
F=má, de donde
t
..d - - .
"'
De la fórmula f.~ má en ningún caso se debe llegar a la eonclu~ióu de que la fuerza depende de la masa y de la aceleración del cuerpo sobre el que ella cstil aplicada. Anle lodo queda claro que la fuc!'7.a no puede depender de la aceleración que ella comunica al cuerpo. La fuerza es la causa de Ja aceleración, de modo que la causa no puede ser función del efecto. Por ejemplo. <.le Ja fóm11ola 11 = s/t, que se refiere al movimiento uniforme, no $0 puede sacar la conclusión deque la velocidad depende del tlcspla;i;amicnto o del tifmpo. Ya hemos ~isto que existen difcrcnrcs fucr.ws: de rozamiento, cfüs1ica, de la gravedad. De qué depende cilda fucrz.1 11 se puede saber no de la segunda ley de Newton, sino tan sólo de la práctica, del experimento. La indicada ley sólo significa. y en ello consiste su esencia, que toda fuerza, indepca:dicnlcmcnte de lo que ella dependa, es igual al produc10 de la masa del cuerpo, al que cs!á aplicada, por su aceleración. Es de suma importancia comprender, que de la segundtl h:y de Newton se infiere que las fuerzm que octúcm sobre el cuerpo detcrmi11C/11 su 11celeroc1ó11, es decir, la variación de la velocidad y no la propia velocidad del cuerpo. Por esta causa, la dirección de la oceleracló11 siempre coincide con la dirección rle la fi1crza que ar.t.:i:i. Mientras que el sentido de Ja velocidad y, por lo tanto del desplazamiento, puede no coincidir con la dirección de la fuer.1.a actuante. Por ejemplo, la fuerw puede estar constantemente dirigida de manera perp~ndicular a b velocidad de movim ien to ¡)el cuerpo. Eo tal caso, el movimiento transcurre sobre una circunferencia, mientras que la aceleración, Jo mismo que la fucrw, está dirigida a lo largo del radio tr07.ado del cuerpo en movimiento al centro. Así se movía el cuerpo bajo la acción de la fuer:r.a elástica en la máquina ecnlrífu¡;a. LAS FUERZAS SE SUMAN DE FORMA VECTORIAL. Si el cuerpo se cucuentra en interacción no con uno, sino que con varios cuerpos, sobre él actúa no una, sino que varias fuerzas, con Ju particularidad de que éstas "no moles!antt unas a otras a comunicar al cuerpo, sobre el que acuian, su aceleración. Por esta causa la acel.eraciOn, que transmiten conjuntamente al cuerpo todas las fuerzas que sobre él actúan, será, la misma que le comunicaría una sola fucrw igual a la suma de todas las fuerzas indicadas. Como la fuerza es una magnitud vectorial, bajo el concepto suma de rodas las fi1erzas del>crá comprcmlerse 1111a suma vectorial. Semejante suma recibe el nombre de RESULTANTF. de todas las fuerzas aplicadas al cuerpo. En la fórmula " De esto 1ra1arcmos con detalle 93
e11
el siguiente capilulo.
f: = m
la segunda ley de Newton, h3y que entender. por F la rcs11lt:1nle de todas las fucrz.1s que acrúan sobre el cuerpo. H e aqul un sencillo ejemplo. En la fig. 85 vemos un tiovivo con sus "pasajeros", cada uno de los cuales se mueve dCSCTibieodo una circunferencia. Las fuerzas que sobre ellos actúan se muestran csquemálicamenle en la lig. 86. Sobre los "pasajcrosM vienen aplicadas al mismo licmpo dos fuerzas: F1 -por p:1rte de la Tierra, dirigida hacia abajo, y.la fuerza ft 2 - por parte del cable, dirigida a lo largo de éste. Bajo el cf~to de las dos fuerzas. el "pasajero" se mueve siguiendo una circ;unfcrcncia, en torno .de Ja columna en fa que el cable cslfl sujeto. Esto signific.1, que In_ acclcraci611.se dirige a l oeotro de la circunferencia y no a lo largo óe la fuena F 1 o f. 1 . De laiigu ra se infiere que hacia el centro de la circunferencia tambii:n csrá dirigida la fuerza P, que es igual a la suma geoml:1rica de las fucn.a.s f. 1 y F1 • Por lo tan ro, el ~pasajero" se mueve como si sobre él acruascn no las dos fuerzas F1 y F1 , sino que sólo una. su rcsul lante f.:
p,. ¡:·, + f:l. L;1 suma vcc1ori;1I de las f11cri::1s que sobre el cuerpo aclÍlan, también pucd~ resultar nula. en tal caso, la aceleración será asimismo igm1l a cero y el cuerpo permanecerá en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. Precisamente. este c:iso 1eni:imos en ·cttcnta en 4.1, cuando hablábamos de la compcnsaci6n del efecto de v:irios cuerpos sobre el cuerpo dado. En el ejemplo que allí aducimos. sobre la bolita colgada de un cordón, la compensación consiste en que !:is fue17A1s. con las que el cord6n y la Tícrra actúan sobre la bolita, son de dirección opuesta e iguales por su valor absoluto (f1 "' - F1), por lo que su fuerza resultan te es cero (lig. 87). E11 la figura 88 se ilustra el cuso en que és nu la la resu ltante, es decir, la su1na vectorial no de dos. sino· que de tres fuerzas F1. F2 y F3 que aciúan sobre el
94
T l
"'; Fig. S7
Fig. 88
cuerpo (farol). Ahora, li:icicnd(l uso del c<>nccplo de fucr/•1, podemos oírccer 01ra enunciación de la seglinda ley de ' Newton. Existen sistemas de referencia, resp1..'Clo tic los cualc.~ nn 1:ucrpo en movimiento de traslación conserva constante su vclocid:1
En el Si se toma como u11idad 1/e fuerza. aquella que a w1 currpo de 1 kg 1fo masa 1ra11smi1e ·w1a aceleración igual a 1 m/sl. Esta unidad recibe el nombre de NEWTON
o NEUTONtO (abreviado, N): kg·m IN-1-s-1- .
. ? ".
l. ;,Qui! es lo que l1:1mamos rucm1?
~cderaci6n de un cuerpo, provocoda po: la fucr¿.1 que sobre él actúa? ¿Puede un cuerpo, sobre el que actua una sola fuerza, moverse sin aceleración, cnconl rarse en reposo'/ ¿Es justa la atirmnci6n de que In velocidad de un cuerpo sólo queda dcrinida por la fuerza que sobre él ac1úa? ¿Es justa la afirmación de que un euerp<¡ siempre se mueve en la dirección de la fuerl.a que se le aplica 1 ¡,Es justa la afirmación de que el despl>7,1n1ic1110 de un cuerpo sólo viene delinido por la fuerza que sobre él aclúa? Enunciar la primera ley de Ncwlo n, empicando el concepto de füerza. Un cuerpo se mueve a cierta velocidad constante. ¿Cómo se moverá dc.1pu~ de aplicarle dos fucrias iguales en módulo y de direcciones opuestas?
2. ¿Cómo c.
4.
5. 6. 7. 8.
•> Esca deducción es justa únicamente para un punto malcrtal o para cuerpos que se encuentran sólo en movimienlo uniforme. La suma de lns rucr7,1s <JUC aclúM sobre el cuerpo puede ser igual a cero, pero el mjsmo encontrarse en rotación. Con ello. los puntos del cuerpo se mueven con aceleración. 95
9. Un cuerpo de mas:i 111 se mueve sobre una circuuícrcnci:i de radio r "velocidad ilconstantc en módulo. ¡,/1ctiJa.sobrc el una.fuer7.a? ¿A que es igual el módulo de dicha fuerza y cómo está dirigida? Ejercicios 13 L Un cuerpo de 1 kg de masa cae a tierra con aceleración constante de
9,8 m/s2 . ¿A qué es igual la fucrz:i que sobre él actúa (la· fuerza de la gravedad)? · · 2. l!n automóvil, cuya masa es de 1000 kg. se ·mueve por una carretera comolar de JOO m de radio a una velocidad dc20 m/s. ¿A que scrit.ig1rnl In fuerza _q~c actíoa sobre el auiomovil? ¿Cómo esl~ dirigida? 3. Un aulomovd de 2160 kg de mnsa, comio11.a su movimicnlo cori una aceleración que Cll el lranscurso de JO s permanece constante. Oumnlc CSIC tiempo recorre 500 m. i.CuM sera el múdulo de la íucrza aphc:od:o :ol antom6vil dunmtc dicho tiempo? 4. Mucht>s aiíos antes dC Newton, el famoso pintor y sabio it:olinno l.conar
4.8.
Medic ión de las fuerzas
La fuerza es una de las mas importantes magnitudes 1k mecánica. El motivo de esto radica en que conociendo el valor de Ja fuerza f., que actúa sobre un cuerpo de masa 111, resulta posible C<Jkular 511 aceleración
t
á=-.
m
En 1an10 que la :icelcración del cuerpo c~ precisamente aquella magnitud sin fo que no se puede solucio1rnr el problema fundamental de mccúnica. Pero p:m1 conocer el valor de la fuerza , ésta debe ser medida. ;.Cómo medir la fuc17.a aplicada a un cuerpo 1 Recordemos cómo mediamos la fuerza de la gravedad, con Ja que la Tierra actúa sobre todos los cuerpos junto a su superficie {véase A. V. Piórishk in, N.A. Ró
l'.
La fuerza Pd5
Fog. 89
X
fucr¿a conocid.1, aphcatl:i a este mismo cuerpo. El muelle es en particular cómodo para medir las fucrz;1s, ya que, al estirarlo (o comprimirlo) a una longitud dc1crminacl:t, actúa sobre 1<J
97
1-'"'
Fi¡; 91
ya 1111 instrumento ?pto para medír toda clase de fuerzas y recibe el nombre de DINAMÓMl!TRO.·
i.CÓMO SF M 1oe UNA FUERZA CON ílL DINAMÓM ITTRO? Su11onga111os que sobre cicrlo cuerpo actúa en <Íírccción horízontaf la íucrza Jo", que debe ser medida (fig. 90). Fijemos en dicho cuerpo el gancho de un din:11ni>mctrn dispuc.~to horizontalmente. El propio instrumento está inmóvil. A ct11LS:l del cícclo de la íucrza f., et cuerpo recibe uccleración y se mueve arr:~~trando consigo el gancho dcl.din
t.
4.9.
Tercera ley de Newton
Hemos indicado multitud de veces que el inílujo de los cuerpos Clltrc si siempre c.~ mutuo, que ea todos los c;isos los cuerpos csti1n en interacción. Ahora podemos decir, que cada uno de los cuerpos en interacción, actúa sobre otro con cierta fuerza. Justamente por cst:1.causa, cada uno de ellos adquiere ac.clcración. En 4.4 vimos que la razón cn tr~ los módulos Je las acclcrncíoncs de los dos cuerpos es igual a la rclnción inversa de las m;;tsns: "'2. -"• = -
De nquí m,a, = m1 a,. Allí mismo fue indicado que 1:1~ acclcracionc:.~, que se comunican a los dos cuerpos durante la i111crncción. cscirn dirigidas en direcciones contrarias. Por
98
-Af=f¡:;¡;;;¡;¡¡;;;¡
----©'--©~--'@)----~'\
~·~~""~"""""'"'""';,_.,.,.,,..,,,.?!J'f'No"">!3'''='''"'é'lfütJ •,,'---· ©--@ . ·
~
4
1
''©--'@~ ••m,;;---
fi!Jl?:..!'.;;~~.?t'!;'~• .:-\~m~~;-"·· ·~-· -::~ -¡:;rñ;t.ef".;fii . .;r ·é!'~ ~
Fig, 92
esto,. podemos escribir:
111,a, =
-1112<12 .
Pcro.m 1ti 1.= /~,. micnrras que 1111 1i1 = f.1 , donde 1\ y f. 2 , so:1 l~s ÍllfrZaS que actuan. sobre el cuerpo primero y segundo. Por consiguiente,
f.J "" -.f.,.. Esta igua)cl:1d .exprc.~a la HKCl!RA LEY IH! NEWTON. Los cuerpos actúan uno sobre otro con íuc(7.as iguales en módulo y diri· ¡;idas en sentidos opuestos a lo largo de una misma recta. Esta ley de Newton muestra que a causa de la acción "mutua" de los cuerpos entre sí, las fuerzas siempre surgen a pares. Si sobre un cuerpo actú¡i, una fuerza, existe obligatoriamente otro cuerpo sobre e\ que el primero actúa con una fuerza de valor absoluto idéntico, pero dirigida en sentido contrario. Las acelcrac.iones comunicadas por dichas fuerzas a los cuerpos, rnmbién tienen direcciones opuestas. La tercera ley de N ewton es justa en sistemas inerciales
Fig. 93 99 )º
Fig. 94
Si sobre uno de los carritos. ponei.nos cualquier peso (fig. 93), veremos que, después de liberar la placa, los dcsplnwmicntos de aquéllos 110 serán il,lualcs. E~to significa c¡11c sus acelcrnciones tampoco serán las mismas: la del carrito cargado rcsultarú menor. En este ejemplo, como en muchos otros, podemos destacar una particularidad más de :1quclh1s dos fuerzas que, de acuerdo con la tercera ley de Newton, surgen sí11111Jt[111camentc durante la intcrncci6n de dos cut:rpo~: dich;1s íucr/.as siempre son tic la misma naturalc7,1. Si, por ejemplo, sobre tin cuerpo :tctiia la íuc.:rta c1:1~tic;i clc otro cuerpo. el primero tambií:n "rcspontlc" al scguntlo con ~:t 1nism:l fuer¿,_
Siempre es necesario tener presente que las fut•rzas que s11rr¡e11 tl11ra11tc• /<1
,¡,.
los ruc•rpo,'\, c:.wún apfkrulns cr 1lif<•n. nft s ""~'·¡w. . y. por (!.\l<J, 110 ¡wetlc11 eq1illl/1r11r.w: l'lllre si. Sólo pueden eq11ilibrnrse :aquellas fuer1.as que se aplican a un mismo cuerpo. PROOLEMA_ Un hombre, scnlado en una barca,atruecon u11a cuerda otra harc~a hacia~¡ (fig. 94). La masa de la primera b;irca es de 400 kg. de la segunda, 200 kg. t:Quc dcspla?.amiento realizará cada barc:i. durante 5 ~, si la fuerw dú~tica de la cuerda tirante es 100 N? Despreciamos la fucl7.a de roz:tmiento y consideramos que el ugua cst(l en reposo. Sol11dci11 . En corrcspomlcnciü con la lcrcer;i ley de Newton, las tmrcnsrecibir.\n t1celcracioncs de direcciones opuestas y se pondrtln en movimiento al encuen tro una de otrn. Dirijamos el eje de coordenadas X en el sentido del rnovimienro de la primera barca. Entonces, podemos escribir: t1t1(·rarl'iln1
1
1
donde F 1x es Ja proyección de la fuer.ta que actúa sobre la primt'ra barct; Fi.<• la proyccción de la fuerza que actúa sobr~ la segunda barca (F2 ;r = - F 1x); y <1 2 x. las proyecciones de las aceleraciones de la primera y segunda b;irc¡\. De
ª•·•
aquí
J..,.is proyecciones de los desplazamientos de las barcas con las fórmulas:
s1 y s2 se calcu l<1n
Poniendo los datos numcrieos e.~pucstos en el planteamiCflto del problema. 100
obtenemos: IOO N·{5s) 1 Six 2·400 kg ~ J, I m, &
¿ ?
,fi1 "
== -
100 N ·(5s) 2 :::: -6,2 m. 2· 2OO kg
l. Enunciar Ja tcrccoa ley de NcMon. 2. La tcrccr3 ley de Newton t:imbien tiene Ja si¡¡uiente cnunciaci6n, ofrecida por su propio autor : "A toda acción se opone un:\ reacción igu.~I y de sentido contrario·. ¡, H~y diícrcnc1a fis1c<1 entre la acción y la r~cci6n?
J. ¿Se compensan cn1n:sí l:1.1 rueri.is que surten durante la intcrncción de dos cucepos 7 4. ;. Por qu~. cuont.lo choc;a un coche rle turismo con un e.unión cargado, tos dc1crioJos del primero son mayores que tos del segundo ? Ejercicios 14 l. Dos pcr
2. Dos niños, wya• 111:1.1a.• son 40 y 50 kg. e
Lo más importante en e l cuarto capítulo. Importancia de las leyes de Newton Ln pr~ctica y las obscrvacione< nos muestran que Ja cnus:i de las variaciones del movimiento de los cuerpos. es decir, la c:111sa de la "ariacióri de su \'Clocidad, son los inílujos de otros ccerpos sobn: ellos. !>in semejant;:s in· ílujos el movimiento de los cuerpos nó puede variar, o sea, no puede surgir In aceleración. La acción eun111i1:1tiva de 11r. cuerpo sohrc otro se expresa mediante una magnitud llamatl:1 FUEllZll. La acción de un cuerpo sobre otro no es unilaternl L<Js cuerpos aclitan mut11nmcn1c. ellos e.<1ti11 "" i11 tt•r11('(it'111. Durnnle ésta, la :iccler:1ei6r. del cuerpo dcpcmk de una propiedad singular de es te, de su incctidad, expresada por In magnitud llamada MASI\, Estos bcchos c.~pcrimcntalcs yacen en la base de las tres leyes de movimiento (de din~núca), descubiertos por Newton a fines del siglo XVJI. Eslns leyes son nsombrosamcnlc breves y scncilbs, si los movim im tos se consideran con rclacilin a si~lcmas de referencia elegid o~ de fonna nclccuad~. es decir, a sistcmns inerciales de referencia. 101
La PRIMERA LE.Y OE NEWTON alinna que cxisicn semejantes sistemas de referencia y permite hallarlos. Hay tales sistemas de referencia, respecto de los cu:iles no varía la velocidad de un cuerpo en movimiento de traslación, si es nula la suma de las fuerzas que sobre él actúan. La S!;GUNl)A LEY oi; 1%WTON establece la ligazón entre la fuena y la aceleración que ésta provoca. Independientemente de su naturaleza, la fuerza que actúa sobre un cuerpo e,, igual :il producto de la masa de éste por la acelernción que e.~ capaz de comunicarle esta fucnA-i: f=mti. La TERCERA LEY OE NEWTON muestra que la acción de un cuerpo sobre otro tiene carácter mutuo. Los cuerpos actúan entre sí con fuerzas de la misma natvralet.:i, iguales por su valor absoluto y dirigidas en sentidos contrarios:
F1=-F2. Las leyes de movimiento se expresan con ayuda de dos sencillas fórmulas (a primera vista). Pero su contenido es riqu ísimo. Pues a nuestro alrededor transcurren los más diversos movimienios: fluye el agua de los rios, caen las aguas de las ca!aratas, pasan sobre la Tierra vien1os y huracanes, avanzan por las carreteras los automóviles, nave'gan los buques por los mares, vuelan en el aíre los aviones, por el espacio sideral se mueven las g:ila.J
102
Por ejemplo, los científicos que dirigen el vuelo de una nave cósmica deben conocer, como es lógico, con anterioridad, Ja posición de la mwc en cualquier momento de tiempo. La pucclcr. determinar, haciendo uso de semejan te "cadc· na". Conocen la posición primaria de la nave en Ja plataforma de lan uunicnto y su velocidad inicial. Saben tambii:n qué fuerzas actúan sobre la nave en cualquier punto de la trayectoria. Empicando estos datos, tos eientificos resuelven el problema de dinámica en lo que ataíle al vuelo cósmico. Como las fuerzas que sobre la nave actuan varían constantemente, los cálculos son ian complicados que es preciso· acudir a la "aynda" de ordenadores electrónicos. He;nos dicl10 continuamente, que el problema fundamental de mecánica consiste en definir la posición del cuerpo en movimiento en todo momento de tiempo. Pero no se debe pcns:u que las leyes de movimiento tan sólo se usan para determinar, precisamente, la posición del cuerpo. En la práctica, es preciso calcular con frecuencia tales magnitudes, como la velocidad de un cuerpo, su aceleración, lns fuerzas c¡uc sobre él actúan, etc. Claro cst~. que las ley~ de Newton permiten también resolver semejantes problemas, m!is sencillos.
103
5
LAS FUERZAS DE LA NATURALEZA
iH AY MU C H AS FU ERZAS EN LA NAT URAL EZA?
Ya sabemos que Ja causa de la variación del movimiento es decir, de que aparC?.c:t l:t ~cclcr:1ción
ro
1 Ll!lTROMAGNÉTICAS Y LAS FU~RZAS DE LA GRAVITAC~ÓN UNIVERSAL Hablemos, primero, de las fuerzas elcctromagn~ticas.
Como sabemos del curso anterior de lisica, entre los cuerpos ckdri1,ados actúa una singular fuerza, llamada F.UERZA ELÉCTRICA. Recordemos que las fuerzas eléctricas pueden ser 1an10 de at racción , como de repulsión. En la nt1turalc1..a, existen cargas de dos tipos. Se ha convenido ll:1marlas cargas positiv:is y negativas. Dos cuerpos de cargas iguales se repelen, mientras que si C..•ta.~ son de si[!no diferente, calre los cuerpos actúan íuerza.5 de atrncción. Las cari;.as c!tc'.=icas 1icncn una interesante propiedad. Cuando se mueven unns rcspcclo de olr:ll!, entre las cargas, además de la fuerza eloctrica, surge otra mi1s. que recibe el nombre de FllERZA MAGNÉTICA. Ambas fuerzas - la eléctrica y la magnétic:1- cs1fm tnn ínlimamcntc ligadas que resulta imposible separMlos: su cfcclo es si11111lttlneo. Como con la mayor frcc:11cncin nos vemos obligad os n lrntnr con cnrgas en movimicn lo. la~ fuerza~
que cnlrc dbs aclúan no pueden ser llaimH.las ni eléctrica~ ni magné1kas. Son denominadas ELHCTROMAGNETlCAS. ;.De dónde aparece la "carga cl~c1rica" <1uc es 1:1n posible que el cuerpo tenga, como CJUC carC'lCa de ella? Todo cuerpo está constiluido por moléculas y átomos. A su vez, estos (l[timos, a pes;ir de $Cr pequeños en extremo (varias cicnn1illonésimas parl¡:.s de urt centímetro), consl:tn
5.1.
Fu er za s e lásticas
Al alargar un cuerpo, la disl
Fig. 95
Fig. 96
del cuerpo, surge una íucna que obl iga al cuerpo a retomar al estado en que estaba antes de la deíormación. Esta íuena recibe el nombre de FUERZA f:LÁSTICA
En 4.6 y 4.8 ya hemos tropezado co.n las íucrzas elásticus que ap;1rcccn ul deformar un muelle. Ahorn, ya podemos decir que la fuena clástic.'l surge cuando defnrmamo~ cualquier cuerpo y no sólo un muelle: ¡to
matemática con la igualdad
(F tlbsdx ·=
(1)
- kx .
Aqul, k es un ooeficiente de proporcionalidad ll
deformar un cuerpo (muelle), es proporcional a su alargamiento y c:>til dirigida cri sentido contrario a Ja dirección del dcspln1.amicnto de los partiGulas del cuerpo dur:rnte Ja deformación. De lo dicho, queda claro, que la fuerza elástica depende de las <'OOr1/('11t11/as
de unas partes del cuerpo respecto de otra.~. ¿Pero cómo surge la propia deformación del cuerpo'/ LA CA USA DE LA DEFORMACIÓN ES EL MOVTMilfNTO. Tomemos dos carritos en cuyas parte.~ delanteras cstlm fijadas bolílas de caucho blando (fig. 98). Pongamos en movimiento los carritos al encuentro de forma que cho· quen de frente. Cuando las bolitas entran en contacto, las dos varían su forma, es decir, se deforman. Al mismo tiempo, !ns velocidades de los carritos, en lllS que están sujetas las bolitas, comienzan a disminuir gradualmente. A fin de cuentas, los carritos se pararfin un instante y, seguidamente, empezarán a moverse hacia atrás, variando la dirección de sus aceleraciones. Está claro, que la causa de la acelernción es la fuc17.a eU1stica, sur¡;ída durante h1 deformación de las bolitas. De este experimento se deduce que la deformación se produjo a consecuencia de que, dcspu~ de entrar en contacto, las bolitas siguieron aún cierto tiempo av:tniando en la dirección inicial, hast:i que tuvo lugar su parada a cuenta de la fuena elástica surgida a causa de la deformación. Acto seguido, las bolitas deformadas, restableciendo su forma, obligaron a que los carritos se moviesen en sentido opuesto. Pero en el instante en que las bolitas restablecieron su forma, desapareció la fueJ
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tic .rns ¡mr((!s n•speC'tO tle otr(I, mieutrn.< r¡uc como efecto de la tlef11r111ació11
<1¡1t1n'Ciú la ji1crw
dtí.~tica.
Si ahora su
fig. 100 Fig. 99 Fig
podemos incluso observa r la deformación tic un balón de fútbol a c.,usa del golpe del futbolista . En la foto de la pág. 2:14 se muestra qué forma adquiere · dicho ohjcto rcclondo en el instante: clcl golpe. Ta111bién pierde su forma esférica la pelo ta de tenis ni golpe:1rla con la raqueta. L a fuco.:• cl!1st1ca que actúa sohre el cuerpo por parle dd apoyo o l:t suspensión, recibe ecl nombre de Ft)l;RZA rn: 1.A Rl' ACC' ION l>l!L Al'OYO o FtfüRZA l)[
1.A REAC'CtON l)E ),¡\ susrr:NSJÓN (o bien TENSIÓN oi; LA susr•ENStON). Los ejemplos que hem os aducido muestran que la fuco~, clilstica surge
cunndo los cuerpos en interacción entran en eon lacto. Se sobrcc111 icn
J. E11umcrar los llpos de internccioncs que existen en la n:iluralcza. ;.A culll de ellas se refiere la in teracción que conduce> In 11paridon de la f~1cr;:.:1 t'J:tstic~1?
2. ;:l'uMcs de las fuerz:is indicndn< al princirio de este ca¡>Ítul1> S<)ll cli1~ticas?
3. ¡, U:ijo q 11c condicinncs surgen las íucr>.as cli~•ticas·1 4. ,;Uajo qué condiciones surgen las defonnncioncs de 1<>$ cuerpo
7. ¿Qué cs la rcacci<m del apoyo? ~. ¿En qui: con
15
Oc \Jll muelle vertkal, con el extremo superior fijado, cslá suspendida un:i carga de 0, l kg de masa. O.:spués Je cesar Jns oscilaciones de ella, resultó que el muelle se a largó 2 c111. ¿Cuál es la rigidez del muelle? Dfl~ c..-..rri10~ idénticos de roo ~ de ma~n cada unn. cstún li~rirlo~ mcdim11c un muelle comprimidt>. U• lo11git11d dd muelle (ellmprimi
109
Fíg. 102
fig. 103 muelle se liberó, los carritos se "separaron~ con una neeleraeibn de 6 mf.•'. Hallar la longitutl del muelle no deformado. Tarc;1
Explicar el motivo de la :iparición de la rucnu mostrado en las ligs. 100, 101.
5.2.
f. el~•• en el experimento
Fuerza d e gravi taci6 n uni versal
Newton descubrió las leyes de movimiento de los cucr.pos. De acuerdo con ellas, el movimiento con occleración sólo es posi.ble bajo la acción de una fuerza. En vista de que los cuerpos que caen se mueveii con aceleración, sobre ellos debe actuar una fuerza dirigida hacia abajo, bucia la Tierra. ¿Pero, es sólo la Tícrra Ja qu(l pOSell la propi¡:
;,Por q11é no advertimos la alr.tcción mutua entre los cuerpos que nos rotlea n'! ;,Quidts la c., plicación radica en crue las fuerzas de atracci6n entre ellos son demasiado pequeñas? Newton logró mostrar que la fuerza de atracción entre los cuerpos depende de la masa de ambos, resultando así que alcanza notorio valor únicamente cuando Jos cuerpos en interacción (o por lo menos uno de ' ellos) tienen una masa suficien temente grande! PAPEL DE LA MASA DE LOS CUERPOS QUE SE ATRAEN. La aceleración de la caida libre se distingue por lacµriosa singu laridad de que en el lugar dado es igual para todos los cuerpos, ind·ependientemente de s.u masa. ,.Cómo explicar esta extraña propiedad? la única explicación que podemos hallar al hecho de que la aceleración no depende de la masa, consiste en que Ja .propia}irerza f.. con la que la Ti('rra atrae al
En efecto, en este c11so el ;111mento de la nrnsa m, digamos, al doble, proporcio11<1d1 el incremento del módulo de la fuerza f., dupl icándolo, micntrns 110
que 1:1 ;tcelernción, igual ;t l:t razón F/111. qucd:iri1 invariable. Newton llc1,t6 a la jnica conclusión correcta: la fuerza de gravitación universal es proporcionn l a Ju masa del cuerpo sobre el que actúa. Pero los cuerpos se atraen mul\lamente. Además según la tcm:ra ley de Newton, sobre los dos cuerpos que se atraen actúan fuerzas de igual módulo. Esto significa que la fuerza de :itrneción mutua debe ser proporcional a Ja masa de cada uno de los cuerpos que se atraen. En tal caso ambos cuerpos recibir.in aceleraciones que no dependen de sus masas. Si la fuerza es proporcional a la masa de cada uuo de los cuer.pos en interacción, quiere decir que ella es ¡10,.porcional al prot.l11e10 de les masa.< de 0111/10.s <·11erpos.
¿De qué depende la fuerza de atracción mutua de dos cuerpos '! FUNCIÓN QUE DESEMPEÑA LA DISTANCIA ENTRE LOS CUERPOS. Newton supuso que la fuerza de atracción mutua de dos cuerpos debe depender de la distancia entre ellos. De la práctica es bien conocido, que junto 11111 Tierra, la aceleración de la caida lihre es igual a 9,8 m/s 1, siendo ést;i la misma para los cuerpos 11uc caen desde altmas de I, 10 ó 100 m. l'cro de este hecho no se puede llegar a la conclusión de <1ue la acclernción no depende de la distancia hasta la Tierra. Newtou consideraba que la distancia no se tlcbia contar desde la supcrlicic terrestre, sino que desde su centro. Pero el J~Hlio dd globo lerr:íqueo es igual a 6400 km. Por esta rnzón, queda claro que u 11as cm1n1as decenas o centenas de metros sobre la superficie de nuestro planeta º'' rueden variar notoriamente la aceleración de la caída libre. Para aclarar cómo influye la distancia entre los cuerpos sobre la fucrca de su atracción mutua, hay que conocer con qué aceleración se mueven lns cnerpos ·alejados de la superficie de la Tierra a grandes distancias. Es natural que sea dificil medir la aceleración de la caída libre de c11erpos que.se encuentran a una altura de miles de ki lómetros sobre l:i superficie de la Tierrn. ·Resulta más cómodo medir la aceleración centrípeta de un cuerpo que gira en torno de nuestro planeta, describiendo una circunferencia bajo la acción de la fucr:r.a de atr;lcción hacia la Tierra. Recordemos que este proccdirnícnto fue empicado al estudiar las fuerzas cl(1sticns. Mediamos la acclcr:icic'.>n centrípeta de un cilindro en movimiento sobre una circunferencia bajo la acci611 ele dicha fucr:.:a (véase 4.6). La propia naturnleza ha venido en ayuda de los f1sicos, al estudiar h1s fucr:r.as de gravitación universal, y ofreció la posibílid:id de determinar la aceleración de un cuerpo en movimiento sobre una circunferencia alrededor de J
cerca de la Ticrr:1. Al mismo tiempo, es conocido que la disrnncia desde -:1 centro del planeta hasta el del satélite constituye unos 384000 km. Esto es 60 veces m:iyor que el radio de Ja Tic1·ra, o sea, que la distancia desde el ce111ro de é.~ta hasta la superficie de la misma . Así pues, al aumentar 60 veces la distancia entre los cuerpos que se atraen, se produce la disminución de la aceleración 60 2 veces. De aqui se puede llegar a la conclusión de que la aceleración cou~unicada a los cuerpos por lu fuerza de gravitación. universal y, por lo tanto, la propia fuerza, c.~ razón inversa del cuadrad.o de la dislancia entre los cuerpos en interacción. /\ semejante dc.ducción llegó Newton. LEY DE GRAVlTACJON UNIVERSAL. Pór consiguiente, po
f=G Mm 2 r
(1)
•
llt>mlc res la dL~t:111cia entre los cuerpos; G, un coeíicientc de proporcionalidad. igu;i l par;1 l<xios los cuerpos en bl naturaleza. Es te coeficiente recibe el nombre de C'ONS'f/\ NTI-. 1)1\ (il\,\Vl'l'Al.'ION llNIVrnSAl.. () bien CONST,\NTE vHAVI rACIONAL.
La formula aducida expresa la LElY DElGRAVJTACIÓN UN I VERSAL descubierta por Newton. Todos los cuerpos se atraen entre sí con una íuerza cuyo módulo es razón dim:t:i del pmclnclo de sus mas;is y razón inversa del eut1dr11do de la distancia que los sc11ara. Uajo J;i acción
examinarnos la atracción de diversos cucqws por el globo \err~qu co. En semejante caso r en la fórmu la (1) es el rndio de la T ierra. La fuerza de gravitacion es un ejemplo mits de fuerza que depende de la dispo~ición mutua de los cuerpos en interacción. es decir, de sus coordenndas. y:1 que ella es función de la distanei:1 r entre los cuerpos.
5.3.
Cons t ante d e gravitación u n ive rsa l
En Ja fórmula que expresa la ley de gravi tación universa l de Newton li¡;ura el coclicicnte G, es decir, la constante de gravitnción universal. <.Qui: rcprc.~cnta en sl cs1:1 magnitud? El coelicicn le G tiene un sentido claro y sencillo. Si las masas de los dos cuerpos en intcr~cdón M y 111 ~on iguales a la unidad (M ~ m - 1 k¡;) y la di~lancia r entre ellos tamhién es igual a In unidad (r "" 1 m), como se deduce de la fórmula (1)
l' = G.
úr co1uttmte
G•-- . Mm
Si la fuel7.~ se mide en ncwtoncs (N), la distancia en md.ro~ (m) y In masa c11 kilogramos (kg), la magnilud del segundo micrnhro de la igualdad se expresará
Fifl. 104 113
en N ·m 1,lkg1 . Pero en toda íónnula, si es correcta, las magnitudes en los dos miembros de Ja igualdad deben medirse en iguales unid ades (por ejemplo, 5 m, no pueden s~r iguales a S kg). De aquí se deduce que la constante G debe estar expresada en N ·.m2/kg 2• En lo que ntaíi·e al valor numérico de Ja constante de gravitación universal, ~ólo puede SCT determinado con ayuda de experimentos, en los que, como es lógico, de algún modo se mida la fuerza Fque actúa sobre uno de los cuerpos de masa conocida 111 1 y 1111 , s eparados a una distancia r conocida. Semejantes experimentos fueron realizados múltiples veces. Uno de ellos consistía en lo siguiente. Macia uno de lós platillos de un:i sensible bnlnnia, de un largo hilo, se colgaba una bola de vidrio llena-de mercurio (fig. 104). ·En el otro platillo se pooian pesas que equilibraban Ja balanza. Después d e realizar minuciosamente esta operación debajo de la bola con mercurio se instalaba 1111:1 bola de piorno de gran masa (cerca de 6000 kg). A causa de la atracción de Ja bola de mercurio por la de plomo, el equi librio de la balanza se perturbaba. Con el fin de restablecer el equilibrio de Ja balanza, íuc nccesaño añadir una pesa más en el platiUo con los pesas. Por Jq visto, la fueru de atracción de esta pesa ad icional por la Tierra sera igual a la fuerza de atraccion de la bola de mcrcurio por la de plomo, es decir, I'= G mp1n:,_
r
.
Aqui lllpJ c.~ la masa de l
De éste y de otros muchos cxpcsimcntos, fue obtenido el valor de la constante G G
n
6,67 • 10-
11
N·m1
-
-.- · kg•
Esta rnagnilud es muy pequeña. Precisamente, gracias a que es tan pequeña no notamos 1:1 ;1tracción entre los cuerpos que nos rodean. En efecto, incluso dos esíctas cada una con m;isa de una tonelada que distan l m se atraen entre si con una fuer¿;1 igual a 6,67 cienmilésimas de newton. . ?
'· .
t. ¡,Cómo \'aro11rí1 la fuerza de :otrnccion entre dos ci;ferns, si: a) una de ella:; se susutuyc por olno, cuy• m :1:1<1 es dm v = mayor; b) se StL\li· luye tambrén la sc¡:und• Qfcra por otra de doble m= 1 2 ¿Cómo varrar~ la fucf7a de atrnccron cnlrc dos esferas si la dis1'lnci> que las :ocp~ra se duplica 1 3. Los cuerpos que $C encuentran en la ·superficie de In Tierra se arracn mutuamcnrc. ¡,Por qué no lo notamos? 4. ¿Qui: fucrz.i obliga a la Tierrn y n otros planctns a moverse otrcdcdor
del Sol?
Ejercicios 16 l. En el experimento d=rito en eslc p3r~gr:ifo, 13 m••a de la bol• de mercurio er:1 igunl • 5 ltg. ~u rndio, 4..S cm, la mas3 de la bol3 de plomo, ·6 t , su r~dio, 0,_5 m. ¿Cuf1l ha de ·~r 1'I nii1sa de la pesa que es rcciso añadir al pl:ili!lo dcr•"t:ho de la oalanza, r~ra cqud!brnr la uel'7.a de atracción elllr~ las bolas de plon>o y de mercurio? 2. Dos naves con una masa de SOOOO t cada una se encuentra o en la rada de un puerto a una dist3Jlcia de 1 km una de o:ra. ¿Cuál :era la fue=
r.
de atracción entre ellas?
3. Calcular la fucrzn de atracción rnrrc la Luna »la Tierra. La mas.~ de la Luno es mi.:::: 7 • 1012 kg. la m:sa de la Tierra, "'r :::: 6.· !O" kg. la distancia entre ellas se conside
5.4. .
fuerza de gra'
FUER:ZA DE GRAVEDAO. Una de las manifcsiaciones de la fuerza de gravitación universal, es la fuera de gravedad, o sea, la fuerza con que la Tierra atrae a los cuerpos. Designemos la masa de la Ticrr a por M y .su radio por R, la masa del cuerpo dado por 111. Entoncc-s., de acuerdo con la ley de gravilación universal, la fucna que actúa sobre el cuerpo en l:is p roximidades del planeta scr{l: (1)
Así obtuvímos la fuerza de gravedad. dirigida al centro de la Tierra Si sobre el cuerpo actúa sólo cstn fuerza (todas 1:1.~ demás están equilibradas), él realiza la cnídn libre. La ;ocelcración de h1 c:1it!n libre se puede h:ill;1r haciendo uso de la segunda ley de Newton: F m
Mm R'm
M R'
o~-~o-- = G - .
(2)
De aqui vemos que lo a1;elm1< ión de /a'caida libre y 110depc11de1((! la masa m del cuerpo y, por lo tanto, es igunl para todos los cucr¡:-.os. Ahora podemos escribir que ll fuerLa de grnvedad
F= wi. Esta expresión para la fucna de gravedad ya l;i h;ibiamos deducido antes (v~:i.sc 4.6). L3 fuerza de gnwedad, que actúa sobre el cuerpo, es igual al producto tlc b m:isa de. é.~te por Ja acclernc:ión
115
libre se considera con rclnción a un sislcma inercial de referencia. En ia· superficie ele la Tierra pueden ser considerados ínercialcs los sistemas de· referencia que están rclacionadqs con los polos del ·planeta, puc5to que éstos no t~man parre en su rotación diaria. Todos los demás puntos de la superficie terrestre se mue.ven describiendo circunferencias con aceleraciones centrípetas, por lo que l os si.~t
u~ GR':::: 9.83
m/s 1•
Por esta caus.1, al rc.aliwr cálculos aproximados, se menosprecia el hecho de que el sistema .de referencia relacionado con [¡t superficie de la Tierra no es inercial (es d~ir, no se tiene en cuenta la rotación del globo terráqueo), así como el hecho de que la forma de Ja Tierra no es del todo esférica. La aceleración de Ja caída libre se considera igual dondequiera y se calcula . np1icando la fórmu la (2). En cierta.> regiones de la esfera terrestre, fa aceleración de la caída libre difiere del valor aducido más arriba por otra causa más. Semejantes discrepancias se observan en aquellos. lugares, donde en las entrañas de Ja Tierra yacen minerales cuya densidad es mayor o menor que Ja m<Jdia para la Ticrrn. Allí, donde hay yacimienlos de minerales mits densos, el valor de y es mayor. Esto permite a Jos geólogos hallar Jos yacimientos de minerales midiendo el v:ilor de g. Por último, la fuerza de gravedad y, por lo tanto la aceleración de la caída 1ibrc, v11rian al alejarse de la superficie terrestre. Si el cuerpo se cncucnlra a Ja altura h sohrc dic;ha superficie, la expresión para el módulo de l:i aceleración g, deberá C'Scribirse en la forma M
g~G (R+h)'. Por ejemplo, al subir a una :iltura de 300 km la aceleración de la caida libre disminuye 1 m/si. De la fórmula aducida se infiere que, siendo las alturas sobre la Tierra no sólo de varias dcccn:is o bien centenas de metros, sino que incluso de muchos kilómetros, Ja fuerza de gravedad puede considerarse constante, independiente de la posición del cuerpo. Sólo por esta causa, la caída libre cerca 116
de· !n Tierra se puede considernr como mm•imicl:to 1111f(ormcmc11te vtiric1do. PESO DE UN CUERPO. Recordemos (véase A. V. Piórishkin, N. A. Ródina. 'Física 1) que la fuerza de gravedad, que actúa sobre un cuerpo, debe distingui~se del ¡)eso del cuerpo. Se denomina peso de un cuerpo la fuerza con la que éste actúa sobre el apoyo o suspensión a causa de su atracción hacia Ja Tierra P.o r eso, hay qt:c tener presente que el peso del cuerpo y la fuerza de gravedad siempre están aplicados a diferentes cuerpos. El peso del cuerpo <:<> una fue\'Za prov~ada por su deformación al estar en interacción con el apoyo o bien la suspensión. MEDICIÓN DE LA MASA DEL CUEHPO MEDIANTE SU PESAJE. En el capítulo cuarto hemos llegado a saber que podemos determinar la masa d,e un c11.erpo, midi'cndo la razón de los módulos de las acclcracionc~ durante b interacción del cuerpo dado con otro cuerpo tomado como patrón de masa. I'.s evidente que este metodo es muy incómodo y, por regla, no se utiliza en la pr!1ctica. Vamos ¡i cxamiu::r oíro proccdimic11to, nmclio má< có1:wdo. par;1 medir la masa. Este procedimiento rcdbc e( nombr.:: de r.t:SAJE. L~. dcterminadón ·d c la mns:i según dicho mi:to
La fuerw de gravedad puede ser nrndida con una babn1~1. )':I que por su módulo es igual al peso del cuerpo, si la balan1.a ju:ll<> ccn el c11crp(I que se pesa está en reposo o bien en movimiento rectilíneo y uniforme rcspc<.:lo de la T1em1. Por eso, micicodo el peso del cuerpo P = F en una babuz.a Je rcso.-tc y conociendo la aceleración de la caída libre !j. en el lugar donde ~;e rc:iliza el pc:saje, es posible calcular la masa empicando la fórmula p m::;;- ,
g
Es mús cómodo ai:n dctcrmin;tr la masa pesando el cuerpo en una balanza de brazos, en la que se compara el peso del cuerpo y el oorrcspoudicute a la~ pesas. Cuando la balanza está e<1uilibrml;1, se puede afirmar que el peso dd cuerpo es i(;ual ni de las pci;as. ,Pero si los pesos de los cuerpos son iguales, lo son también sus masas. Como en las pesas se indic:u1, procismnentc, sus masas. la masa del cuerpo se obtiene sumando simplemente los nlimcros indicados en las pesas. L:1 bal¡mw de brazos es un instrumento muy sensible. La menor mas11, que puede. apreciarse con una balanza de precisión, constituye millon6simas de gramo. PROBLEMA. Calcular la ma~a de la Tierra si conocemos la aceleración de la caíd:1 libre cerca de su supcrlicie. . Solución. Como es lógico, Ja masa de la Tierra no puede ser medida poniéndola .sobre una balanza. Pero su cálculo es posible haciendo uso de ta fórmula para la aceleración de la caída libre: ,M y= Gfii" ·
11 7
De aquí, la masa de la Tierra
M~!!!!:_ G
Los valores nwnéricos de g y G fueron determinados a su tiempo por vía ex peri mental: G,. 667· IO- " N ·m'
'
kg'
y lll
ga9,8 7
·
8 radio medio tic la Tierra también es conocido: 1< = 6370 km= 6,37. (06 m. Poniendo los valores de g, R y G en la fórmula para M. obtenemos; 9,8
-~ (6.37 - tO'' m) 2 s
M=
6.67 . 10-
11 -
N·m'
~6·1024 kg.
-
kgª
i La nrnsa de la Tierra es casi igual a < 7
scL~
cuatrillones de kilogramos!
l. ,,Qué se llnm• fucr7;1 de ¡;ravedad? 2. l.a acclernciun de In c:1íd11 libre de tus c11crpos 110 depende de su rn•s:• ;.Ocurre lo mismo con In lucn;a de grave
gravedad? S. i. Variar!1 In fuerza de gravedad que actíoa
7. ;.En qué: consiste bi diferencia enue el peso del cuerpo y la fucrz:i de gravedad aplicada " él1 Ejercicios 17 ¿('uál ser~ b masa del cuerpo, si la fucna de grovcdad que nctí1a sobre
el es igual ~ 49 N? El cuerpo se encuentra cerca de la superfic:ie de In Tierra.
2. ;,/\qué: :11lur11•obre1:1 Tierra. la fuerza de grnvcJad que actúa sobre el
cuerpo disminuye dos veces? 3. Hallar la fucna de a1racción que actúa sobre un cuerpo de 1 kg de m;ssa en las pro• imidades de la superficie de la Luna. ¿En cu~nlas veces diícrirfi la fuer¿.~ de gravedad que sobre ese mismo cuerpo actiia junto a la supcrlicic de la Tierra? 4 C:ileular In acclcrneión de In caída libre de los cuerpos en las pro~imi· JaJes de In superficie de Marlc. La niasn de M arlc es igual a 6 · 10" k~
su radio, 3300 km.
118
5.5.
Fuer:z:a de rozamiento. Rozamiento en reposo o estático
Ya hemos hablado de una de lns manifcstacionc.~ de las inleracciones elé<:lricas entre los cuerpos, a saber, de la fuerw elástica. Otra de tas manifestaciones de dichas in teracciones es la ruer7.a de ro:z.irniento,-a 13.que nos hemos referido mf.s de um1 vez. !;s necesario hablar de ella ya que en las condiciones terre.~lrc.~ acompaña a lodo movimie.nlo de los ·cue~pos. A consecuencia de lu fuerza de rozamiento el movimiento de los cuerpos, al fin y al c;ibo, cesa, claró estil si es que sobre el cuerpo nu acliia1\ algunas d~ las demás íuer1~1s, por ejemplo, la elil~tica o de gravedad. Recordemos (vcase A. V. Piórishkin, N. A. Ródina. Fisicn I} que ll• fuena de rozamiento surge durante el contacto directo de los cuerpos y siempre csl!l dirigida a lo 1a·rgo de la superficie de contacto, a diferencia de la foer¿¡1 cli1stic:1, dirigida en se111ido perpendicula r a dicha superficie. E~(udiemos en un experimento el prnccso de aparición de l:t fucrz;1 de ro.z.1miento. En l:i fo to (lig. 105) ~e nrncstra el instrumento para. rcalil.ar el experimento. En el cuerpo sil u;id<»sobrc el snporte. cs1:1 fijado .el din:1111ú1~~ctrn. de cuyo éordó11 tiramos con la mano. En la fig. 106 viene rcprcscr·1fado el csquem:1 del experimento, en el que la acción de la 111;1110 se ha sustituido pür i:l de una pesa, fijada de un cordón que pasa por una polca. Sobr~ el ·C:l!Cr.pn acluan las siguientes iuerzas: la fuerza f. paralidll a la srrpaficie ill.' cm11auo de aquél con la mesa. Esta fuerza es la que muestra el din:tmómetro. Ad~:nús, sobre el cuerpo actüa la fuert.a de grnvcditd (en la fig. 106 no se muestra) y la fuerza de la rc;1cci6n del apoyo Ñ, que la equilibra, esta ultima viene provocad
-
¡:,.
Fig. 105 11 9
í-ig. J06
Precisamente es!;; fuerza es la llamada FU.F.RZJ\ DI: ROZAMlEN'rQ EN REl'OSO o r..ST ATIC'O.
t\umcntcnllls la car¡¡:i, ;iil:tdié!1dole un;t pcs;1 ml1s gr;mdc. El
La fuerza de ro?.amientc> c.~tillico es, justamente, la fuerza que nos difícuha mover ob;ctos pesados: un armario, una mesa, un c.,jón, cte. ¡.('ero, por q11é ~de importancia el hecho de que el objeto sea pesado'! t\ fin ele cue11ws, no lo movemos hacia <1rriba, o sea, en contra de la fuerza de gravcc~ad. /1 esia pregunta hall.aremos rc,spuesta en un e;1:perimenlo.
Fi¡;. 107
120
f"i¡;. IOS
Coloq11cmo.5 sobre el cuerpo cierta carga. con el fin de apretarlo :1 fa mc.~a con ml1s fucn:a (figs. 107, 108) (en lugar de esto podemos presionarlo con fa mano. con un muelle. cte.), Oc este modo aument:tmos 1:1 fuen,1 dirigida pcrpcndicularmcntc a 1;1 superficie de coutacto i:i11rc el cuerpo y la mesa. 1Jid1a fucna recibe el nombre de Flll\R7.A o¡¡ rR!l.'ili>N. Si :1l1ora de nuevo medimos la fucr1.a m~xima de ro1.;1micnto en reposo, es decir, la íuerza necesaria para que el euer¡>o comience a dc.~h:rnrse, observaremos que aumentó tantas vL-cCS como creció Ja fuC!7;1 de presión. La fucrz.'I mfutima de rozamiento en reposo es proporcional a la fuerw de presión. Según la tercera ley de Newton, la fue17A1 de presión del cuerpo sobre d apoyo es, según el módulo. igual a la rcacciün del apoyo. Por esta raz611, la fuerza máxinm de roz.1micnto en reposo es proporcional a la fucna de la reacción del apoyo. Por consiguien te, p:ir:i los módulo~ de rlíchas fuer?..:ts podemos escribi r: F,0 7.. nilll = 1tN,
donde 11 (letra griega "my"') es un cuclicicntc de propo1cion:1lidad, ll:unado COEl'ICIENTI: DE ROZAMtJ;NTO.
EL ROZAM IENTO NO SIEMPRE ES OBSTÁCULO PARA EL MOV IMIENTO. liemos dicho que la fucrz., de ro:r.;unicnto obstaculiza el com1enio del movimiento. Pcm. por otro lado, hay casos en que la fuerza de rowmic1110 en reposo es l:i cnusa tlcl moviruicnto del cuerpo. Asi. por ejemplo, ni ¡mdar es precisamente la fuerza de roiamiento en reposo r\ , que actúa sobre In sucia, la que nos comunica la acelernción (í\g. 109). La suela no se dc.~lizn hacia atri1s y, por consiguiente, el rozamiento entre ella y el suelo es el rc>u11niento en reposo. Si la sucia resbala. resulta imposible andar. En lo que ataiic u la fuc17.:t F1 , igual y opuesta a f. 1 , comunica la aceleración a la T1err.1. De este mismo modo, las ruedas de un automóvil y de otros \'chiculos autopro· pulsados, parece como si se repelieran de l:i ticrr.1 y esta fueri.a de repulsión es la de rozamiento en reposo. Cuando en una transmisión por correa ésta obliga a girar a la polca (lig. l 10). la fuerza 11uccomu111ca la ¡icclcraciú11 a fo c\11'011.1 d e !;1 p<)k;1 1a111bii:11 es Ju de ro1.,;unien10 en reposo entre la correa molri1. y la polc.1.
121
Fig. 111
Fig. l()I}
Fig. 110 l. Un niño empuja una líbrcria con el mluimo esfuerzo que puede Jcsarrollar, pero no logra dcsplaiarln. ¿lfay aquí o no violnc16n de In segunda ley de Newton, de acuerdo con la cual un cuerpo sobre el que actúa unn fuerzo varía su velocidad? 2. i.Actúa o no In fücrza de rozamiento sobre una mesa ubicada en In hnbilación? 3. ¡,Durante qué. circunstancfas aparece la íucrza de ro1.amícn10 en reposo? ¿Cómo cst!t dirigid., esta ruen:i? 4. ¿Que es la fuerza de presión?
5.6.
Fuerza de rozamiento de desli zamiento o cinemático
1::11 el pari1grnfo anterior hemos aclarado que si la fuem1, nplicada hacia el cuerpo en sentido paralelo a su superficie de concacto con ocro cuerpo, es aunque sólo sc:i un poco mayor que Ja fucr1~1 máxima de rozamiento en reposo, el cuerpo adquiere acclcraci6n y comienza a deslizarse por Ja superficie del olro cuerpo. Sin embargo, en semejante caso .~obre el cuerpo tambii:n actúa la íue17.a de rozamiento. Sólo que aquí tropcz.amos con FUERU DE ROZAMIENTO DE DfSl.IZl\MIENTO, también dcnominndu ROZAMIENTO CINl:MATtCO. Las mediciones nos muestran que.en módulo esta última es aprollimadamenie igual a fa fuerza máxima de ro7;1mícn10 en reposo. u1 fuerza de rozamiento de deslizamiento (que a continuaci'ó n vamos a llamar simplemente fuerza de rozamiento) cscá siempre dirigida en senlido concrario a L'l velocidad rel~tiva de los cuerpos en contncto. Esta es la singul11ridad mas importante de la fuerni de ro:iamienlo. La dirección de la fueria de rozamiento (cinemático) es opuesta al sentido de fa velocidad de movimiento del cuerpo, con relación al que $C encucncra en contacto. La acckradún .co m11nicada al cuerpo por la fuerza de rnza111íc:nlo, cambién 122
tiene dircccion opuesta a la de su velocidad relativa, es decir, la fuerza de rozamiento de deslizamiento siempre conduce a la disminución de la velocid;uJ relativa del cuerpo. Lo mismo que la íucrza máxima de rozamiento en reposo, la de deslizamiento es proporcional a la fuerza de- presión (y por lo tanto, a In fuerza de la reacción del apoyo Ñ) que sobre el cuerpo actúa:
Froz = µN. Et·codicientc de proporcionalidadµ es aquí el mismo que en la fórmula para la fuerza maxima de rozamiento en reposo. De la fórmula para la fuerza de rol.amiento, se desprende que µ es igual a ta raión de los módulos de tas fucr7.as de rozamiento y de la reacción del apoyo: F
µcN. Por regla, este coeficiente c.~ menor que la unidad. E.5lo significa que la fuerza de r ozamiento es menor que la de presión. Por ejemplo, si el coclícic11tc de roz;;unicnia sobre 1;1 supcrfici.c de la mesa (lig. 111) c.~ igual a 0,5, quiere decir ques.io;n!,lo el peso de uoa barreta de 20 N, ésl
d<1d, cambia ta111bié11 el sentido de la fuerza el~ rozamiento. Para ciertos mntcrialcs, Jos va láres del coeficiente de rozamiento se indic:m en la siguiente tab la : Matcri.~lcs
Cocficicnlc
de rozamicncc
Madera sobre madera . . . Caucho sobre hormigón . . Correa de cuero sobre una de fu11dic1im . . . Acero sobre acero . . . . .
lll
. . . . . . poica
0,25 0.75
. . ..
0,20
o.s<>
-
V
F;
•
~
l'igl12 ~
'
-
V
Fig. 113
Estos valores del coeficiente de rozamiento se refieren a las superficíeo; sin engrase. í;.,tc dis111inuye 11otori:11ncntc Ja íuerza de rc>7J11nic11to. Por ejemplo, el acero sobre acero con engrase se desliza con Ju m i~ma facilidad que el neero s11brc el hielo: el coclícicnle de roz:uniento ennslitnyc tnn sólo 0.04. El nw.mnicntO cnhc sólidos en contacto (sin engrase) recibe el NOMDRll DI! SECO. ¿POR QlJÚ EL ENGRASE DE LAS SUPERFICl.ES EN CONTACTO REDUCE EL COEFICIENTE DE ROZAMIENTO? L.-i cuestión radica en que cu1mdo los sólidos se mueven, haciendo con tacto con liquidos o g:tScs. también surge una fuerza paralela a la superficie de contacto y dirigida en sentido opuesto a la velocidad relativa de los cuerpos. Por este rasgo se parece a la fuerza de rozamiento seco. Con írccuenein, la denominan FUERZA OE ROZl\MIENTO IJQVlDO o viscoso. Pero por sus manifestaciones difiere de aquella de manera notable. Es mucho menor que la fuc,rza de rozamiento seco, justamente por esto el engrase disminuye la íucrza de rozamiento. A veces, In fuer1.a de rozamiento liquido recibe el nombre de f'Ul!RZA DE RESISTENCIA. Examinemos con mayor de1alle la fuer7.a de resistencia que surge durante el nmvimiento de un cuerpo en el seno de un liquido o gas. Al moverse un sólido en un liquido o gas, no aparece la fuer7.n de rozamiento en reposo. esto quiere decir que incluso la mM pcquci1a fucm1, aplicada al cuerpo, comunica a éste aeelernci6n. Por nueo;tra propia experiencia, muchos sabemos que, al estar en una bal$a, con un pequeño esfuerzo es posible arrancar de la orilla empicando una pértiga. Pero con este mismo procedimiento, montados sobre la mi$rna balsa, no merece 1:1 pena n1 siquiera intentar moverse por tierra lírme. La carcncilt de la, fuer:w de rowmiento csti\lico en Jos líquidos puede obscrvnrsc con facilidad en el siguiente experimen to. Pongamos un trocito de madera sobre el agua con1cnid:1 e11 un ancho rccipientc(líg. 112). Resulta íácil ponerlo en movimiento (variar su velocidad) incluso con una pequeña fuCl7.a : es suficiellle soplar o bien empujarlo con una banda de papel. Pero si ponemos ese mismo trocito de 111;1dcrn sobre la mcs;i, sólo podremos ponerlo en movimiento aplicándole una fucrw bast:intc grande, que supere Ja fuerza mi1xima de rozamiento en reposo. /\
rcsistencin es proporcional a l:l velocidad, mien tras que a grandes velocidades es ya proporcional al cuadrado de la vclocid;id. Además, la fu crla de rcsitcncia depende en
i. 7
l. ¿Qui: es la fuerza de roz:imienlo de desliwmiento (rozamiento seco)'! ¿Cómo es1r1 dirigida?
2. {.Qué es el coeficiente de rozamicmo? 3. ;,Por qué es pcli¡¡roso conducir un coche por una carretera hclnda' 4. i.Qué ínerza debe estar aplicada al cuerpo, c¡ne yace sobre un plano horjzontal, para ponerlo en movimiento por dicho plano'/ 5, La Cucr1..1 de rozamicnlO entre las ruedas de una biciclcca y el !\uclo casj no depende de la velocidad. Pero s:tbemos que cuanto mayor ~ca la velocidad que desarrolle el ciclistn, tanto mayor fucna muscul.u tiene que aplicar ~I sobre los pedales. /.Con qué está lis3do scmcj:u11c fenómeno? 6. ¿Es necesario darles forma acrodi11i11nica o las naves cósmicas? ¿Y a los cohetes que se lanzan 3 la órbita? 7. ¿Por qu~ a los tractores y apisonadoras no se les da forma acrodinAmica?
Ejm:icios f 8 Cak:ulnr L, rucr7., COll la que h:iy que empujar una barrela de madera de 20 kg de masa sobre un suelo de madera a ,·clociúad constante. ¿Cómo se movcta la barreta si se le aplica ona fuerza mayor que la calculada? 2. Durante un trnbajo prolongado, un caballo dc.~rroll;i una fuerza de 600 N . ¿Qué carga mfuima podra transportar sobre un trineo, cuyn masa es de 100 kg. si el coelícicmc de rozamiento de los patines con la nieve es 0.05? Hay que eonsidernr que L1S lanzas del trineo son paralelas al camino. Un;i barreta de caucho está oprimida por un muelle contra una pared vertical de hormigón. La fuer1.a cl á~tica del muelle es perpendicular a In pared y su ml>dulo es igual a 100 N. ¿Qué fue!7.a hay que aplicar sobre Ja barreta para ponerla en movirniento1
Lo más importante en el qu into capitulo Todas las fuerzas conocidas en la 11alur:tlC7.a son manifestaciones de pocos t ipos de interacciones. Las fuerzas que se estudian en medmica son la maniícstación nada más que de dos intcraceionc.~: clcctromagnétic:1s y gravit.alorías. Las fuerzas elás tica y de rozamien to son representaciones de In interacción electromagnética. L11ji1el'2t1 eltís1ie<1 su rge durante Ja c.lcíormación de un cuerpo a causa del dc.~plazamiento de una de sus partes respecto de otras: la proyección de Ja f\icrza clr1~tica queda definida por 1:1 ecuación (ley de Hookc):
/.,(1 .fue.na tic• /1.1 g1·e1vitaciri11 interncción gravitatoria:
1111iv~rsc1/
es también manifestación de la
mJm 2
F = G-,-,-.
Las fuerzas elást ica y de gravitación dependen ele la dl~posición mutua de los cw•r¡ms en /11teracció11 , es .tfccir, de s11s coorde11ndas. La fuerza de atracción de los cuerpos por la T ierra, en las proximidadc.~ de su s11pcrlicie, c.~ igual ;i 111!/ y p11cde considerarse constante, si las distancias de k\$ cucq)Os desde la superficie de 111 Tierra son pcqueilas en comparnción con el radio de nucslro planeta. L11/11aw 11!' r<1wmi<•111n surge entre los cuerpos en contncto, tn1110 entn: los que se encuentran en reposo (rozamiento en reposo}, como en movimiento (rozamiento de deslizamiento). Esta fuerza está dirigida 11 lo largo tic lo >11p~,. jicir! de contacto. en sent ido opuesto a la dirección del movimiento n:lalivo de los cuerpos en contacto. La fuerza de rozam iento no depende de la coordenada ele un cuerpo respecto del otro, sino que de su 1,"t"/oe'itlt1d l'datii~1.
6
A PLIC ACIÓ N DE LAS LEY E S DE DI NÁMICA
PARA TODAS LAS FU ERZAS EXISTEN LAS MIS MAS LEYES DE M OVIM IEN TO
Haciendo uso de las leyes de movimiento, descubiertas po r Newton. y sabiendo medir o calcular las fucrzns, puede ser resucito el prohlcma fuod~mental de mecilnica: partiendo de las fuerzas conocidas y las condiciones iniciales, se puede delerminar la aceleración. conociendo ~la, la velocidad y, por fin, las coordenadas (posición) del cuerpo CJl todo momento de tiempo. Rara vc. se observa que sobre un cuerpo actúe sólo una fuerza, a saber: la el~s1ica, de rozamiento o bien de gravedad. En la mayofta de los casos, sobre el cuerpo aclúan de forma simulláne-.i varias fuerzas. En scmcj3nle caso, 1:1 aceleración viene determinada por la rcsullilnte de todas l~s fucr¿¡1s apliClldas Pero puede ocurrir que, aunque el cuerpo csl~ sometido al efecto de varias fuc!'Z<'l$, sólo un a de ellas tenga importancia e.~cncial. Las demás o se comp<:nsm1 entre sí, o bien por su valor absoluto son pequeñas. Vamos, precisamente, a comenzar por semeja ntes c¡1sos.
Movi m ien to de un cuerpo bajo el efecto de la fuerxa e lás t ica
6.1.
Parn cmpc7.a r, cx;uninemos el ctiso cunndo la vclociclad inicia.1 úcl cuerpo es igual a cero o bien cstft dirigida en paralelo a In fucn.a elástica :1plicada. Y:1 s;ibcmos que la proyl-cción de esa fucrw sobre el eje X (Fdiutl< == - b. Esto ~ignifii;;1 que In fucn:a Pel~" varia al cambiílr la posición del cuerpo :il 11uc csti1 aplicada. Recordemos que el alargamiento de un muelle (o de cualquier otro cuerpo ell1stico) determina, justamente, In postción úcl cuerpo respecto al cxlremo de un muelle no deformado. ¿Cómo se mueve el cuerpo bajo el inílujo de ~cmcj:mte fuen.'l vJriablc? Esto lo podemos observar recurriendo a un experimento. Fijemos el extremo de un muelle en un carrito sobre el que se encuentra un cuerpo macizo. El otro extremo del muelle Jo sujetamos en la pared (líg. 114). Tirando del carrito lo desplazamos a varios ce11tí111etros, dc.~pucs de lo cua l lo soltamos. Veremos que el carrito ~e mover:• pcritidicamcnte a Ja derecha y ;i la 1zqu1erda rc-;pccto de su posición inicial. Semcj:ulle movimiento es llamado OSCILATORIO
o
VIBRATORIO.
Aún más sencillo rcsuha observar el movimiento vibratorio de un cuerpo al colgarlo de un muelle (líg. 115). Estirando el muelle a varios centímetros y soltándolo veremos que el cuerpo comcnzurá a reali7.ar el movimiento vibratorio. 127
'~ª ¡::::.:¡.... .-.--,.,,,_. .-.-r .. ~rJCfi
Fog. 114
l"ig. 115 Haciendo uso de la segunda ley de Newton, es posible hallar la posición del cuerpo en cualquier momento de tiempo. Pero semejante problema es complicado, ya que la fuerui elástica es una magnitud variable. El movimiento vibratorio será estudiado con detalle en los sisuicntes grados de la escuela. Oc manera dist inta por completo se mueve JJll cuerpo al que le ha sido comunicada una velocidad inicial, perpendicular a la fuerza elástica aplicada al cuerpo.
Semejante caso fue examinado en 4.6 (fig. 83). Allí aclaramos que, para semCJan1e dirección mullrn de la fuerza eláslica y la veloCidad, el cuerpo se mueve dcscribicodo una circunferencia. Por coru;iguienlc, cunndo la fuer¿.'\ elástica ttcne dirección pcrpcmlicular respcc10 de la velocidad inicial de movimiento del cuerpo, aquélla le comunica aceleración ccnlripcla y o.bliga a que el cuerpo se mueva sobre una circu11fcrcncia. , ?
l. , Qu~ movimiento rcahr., un cuerpo si la única rucria que $Obre él
acrúa es la cl6srica7 2. ¿Qué podcmo.~ decir nccrca de la •cclcrnci6n de un cuerpo sobre el que acH1a una luena vari11blc (por CJcmplo. la rucn.1 clástic.,)? J. , Conduce siempre la aplicnc16n de la ruco.a clil$t ica sobre 1111 cuerpo al movimicnlo vibralono de ~le? Tarea
Observar el comportamiento de un cuerpo suspendido de uo muelle. i Pasui el primero de inmedia10 al csr:ido ~ reposo?
6.2.
M ovimiento bajo el efec to de la fu erza d e gravedad: el cuerpo se m ueve en la dirección vertica l
Ya a line.~ del siglo xvr, Galileo Galilci . estableció que el movimiento de un cuerpo en caída libre es uniformemcnlc vanado. Ademas, determinó que todos los cuerpos caen con igual aceleración. Más tarde, se realizaron mediciones y fue aclarado que por su módulo dicha 128
aceleración es igual a 9,8 m/s 1 . Entonces, en los remotos licmpos de Galileo y prolongado 1iempo después de ~l. estos hechos, e1tablccidos por observaciones y mediciones, parecían bastante enigmáticos y no cn<:ontraban explicación alguna. Sólo las leyes de movimiento de Newton y la ley de gravitación universal ponen en claro dichos hechos. Durante ta caída, los cuerpos se mueven con aceleración porque sobre ellos actú a la fuerza de gravedad. La aceleración de los cuerpos que caen· es constante a causa de que cerca de la superficie de la Tierra, dicha fuerza es constante. Por último, el que lodos los cuerpos, inde· pendientemente de su masa, se mueven con igual aceleración, se explica por e! hecho de que la fuerza de gravedad, como en general la fucna de gravitación universal, es proporcional a la masa del cuerpo al que está aplicada. Sobre esto hablamos en 5:2. Así pues, bajo la acción de la fuerza de gravedad, el cuerpo está en movimiento uniformemente variado, el vector de aceleración g estll dirigido hacia abajo \'abajo" es la dirección del vector gen el lugar dado), mientras que su módulo 'es igual a 9,8 m/s 2• Es necesario tener en cuenla que la aceleración de un cuerpo que cae no cambiar11 si le .d amos un empujón hacia abajo, comunid.ndole Ja velocidad inicial ii0 • Sólo que, entonces, el crecimiento de la velocidad comenzará. 110 desde su valor nulo, sino que desde 110 • Tampoco variará la aceleración tanto en módulo, como en dirección en el caso de lanza r el cuerpo hacia arriba a cierta velocidad in icial. En todos estos casos, la trayectoria del cuerpo serll una recta vertical, lo que quiere decir que el cuerpo está en movimiento rectilineo uniformemente variado. Al resolver problemas dedicados a ese movimiento, en calidad de cuerpo de referencia es cómodo, aunque no obligatorio, tomar la Tierra, eligiendo el origen de registro de la coordenada en su superficie o bien en cualquier punto dispuesto más arriba o más abajo de ~ta, además el eje de coordenada~ conviene dirigirlo por la vertical hacia arriba o hacia abajo. La altura se suele designar con la letra h. Entonces (v~c la fig. J J6), la coordenada y del cuerpo serll simplemente su altura sobre el origen de rcgislro. En este caso, la proyección del desplazamiento del cuerpo y- y0 corresponde a la variación de la allura. Por eso Ja proyección del desplazamiento es igual ah - Jr 0 , donde 11 0 es la allura inicial (11 0 =Yo ). Las !6rmulas para calcular las coordenadas (alturas) y las velocidades, en nada difieren de las obtenidas en 2.2- 2.4 para el movimiento reclilín eo uniformemente variado. La coordenada del cuerpo (altura) será:
(1) La velocidad del cuerpo en cualquier momento de tiempo: Py
= llo~ + gpl·
(2)
129
y
y
--.v=o vo
"'
s:;
!·
l·
o
.e 11
v
11
h
Yo
Fig. 116
o
Fig. 117
o
La velocidad del cuerpo e11 cualquier punto del recorrido:
v; = l'~y + 2g1 (h - li
(3)
0 ).
La proyección g1 es ¡xisillva si el eje 1' está dirigido hacia abajo y negativa si dicbo eje se dirige hacia arriba. Las proyecciones 1101 y 111 son positivas, si la velocidad tiene la misma dirección que el eje, y negativas, en el caso contrario. Examinemos e¡emplos sencillos. PROBLEMA t. Cierto cuerpo ha caido de una allurn de 100 m. Hallar el uempo que dura la caída del cuerpo a la tierra y su velocidad cuando el primero choca con la segunda. Sol11ci611. Elegimos el origen de registro de la coordenada y (altura) en la superficie dela Tierra, mientras que el eje de coordenadas Y lo dirigimos hacia arciba {véase la fig. J16). Entonceli 9r = - g, ºr"' - 11, llo¡• =O {1el cuerpo ha caído, no ha sido laniado !). Por último, en el momento de su aterrizaje, /1 =O. El llempo de la caída lo hallaremos empicando la fórmula (1), que se representará asi:
0 = h0 +0- ~ . 2
De aquí
La velocidad de aterriiaje se calcula de acuerdo con la fórmula (2), que se c.1cribirá así: ..,
- voO - gt, o bien u=gt, 130
v• 9,8
111
-;r·4,S s e:: 44 s·
PROBLEMA 2. ¿A qué allura se elevará un cuerpo, lanzado hacia arriba a una velocidad inicial 110 ·= 44 m/s? Calcular el tiempo de la subida a dicha altura. Solución. Lo mismo que al resolver el problema anterior, dirigimos el eje de coorden~das hacia arr.iba (lig. 117). En este caso, v0 y = v0 , By= - g. En el punto más alto de la subida u= O. Entonces, la ecuación (2) tendrá la forma : O=v0 -gt.
De aquí hallamos el tictnpo de la subida: m 44-
''•
/el)
1
s
e ---~
m
4,5
S.
(5)
9,8 -;>
Ya que /1 0 = O, la altura de la subida se puede calcular haciendo uso de la fórmula (3). Tomando en consideración las condiciones del problema:
0 = vJ - 2'Jli, de donde
(6)
Comparnndo los problem as 1 y 2, vemos que el tiempo de la caída de un cuerpo dcsdccicrla altura, es igual al tiempo de la subida a c.~a misma altura, si lü velocidad inicial del cuerpo lnnz:ido .hacia :trriba, es la misma que la velocidad final del cuerpo que cae. Este hecho no e.~ asombroso, pues sobre el cuerpo que cae y sobre el que fue lanzado hacia arriba aclíra una misma fueri.a: la de gravedad· mg, que les comttniea una acclernción idéntica g. l. ?
l. ;,Qué se llnma caida libre de un cuerpo? 2. ,, Con qu~ aceleración se mueve un cuerpo en caída libre; un cuerpo lan?.ado hacia abajo? 3. ¿Con qué aceleración se mueve un cuerpo lanzado hacia arriba? ¿A qué es igual y cómo está dirigida e.\ta aceleración? 4. ¿En qué difiere la aceleración que la focrza de graved:id comunica a las ·cuerpos de la aceleración que les comunican otras fuerzas? 5. ¿Por qué la acclcraci6n eomunicadu a un cuerpo por ta íuer7.a de gravedad e~ constante y no depende de su masa? 6. ;.Si un cuerpo cayera a la Tierra de una altura de varias ceutenas o milcs de kif6me1ros, seria C.\te movimiento uniíormcmenle vanado? En este caso ¿dependería o no la aceleración de la masa del cuerpo?
13 1 ?"
Ejcrcicfos 19 Al resolver los problemas es necesario coiuiderar que se desprecia la resistencia del aire. " l. Hasta d foodo de un barranco 13 caldo de un cuerpo duró 4 s. ¿Cuál sera la profundidad del barranco? 2. <.Cu~nto liempo lardaría en caer un cuerpo desde el punto superior de la torre de tcJcvisiOn de Ostánkioo (540 m)? 1.Cubl suia su velocidad en el momenco de c•cc en lo lierr•? 3" i En el transcuroo de qué tiempo, un cuerpo que comcniO la caída desde el cstndo de reposo recorrerá 4,9 in? ¿Cuál será su ydocídnd al íonol de dicho rccortido? 4. E.n:u1do en el borde de unn pcñ"a de 180 m de altura sobre la ticcrn, un niiio dc¡O cner una piedra y después de pasar un segundo, LiniO haci• nbajo la segunda picdra.¿Qut velocidad inicial comuoicó a la segundo piedra 1i fa.• dos llegoron a la tierra al mismo tiempo? S. Un C\•erpo ene líl>rcmcntc de un• al1um de 20 m sobre L~ ticrr.i. ,:Que velocidad tcndr~ el ctltrpo 21 chocar con h Úc:m\ y a qut altura su vclocid:iU sera dos vce<:s menor? 6. En la l~m111a en colores 1 vienen representada.• las posiciones sucesivas de una boli la en caída hbre registradas cada 0,1 s. Haciendo uso de In Jigurn dctcrminnr In aceleración de la caída libre, si la velocídnd inicinl de la bolitn ern igual a cero. La escala se ha elegido de lal forma que el tamaiio de la red es 0,18 x 0,18 m. 7. Una Occha fue la01.::1rlll con un arco en dirección vertical hacia arrib~ a una velocidad de 30 m/s. ¿A que altura subirá? 8. Un cuerpo lanzado en dirccci6n vertical hacia arriba desde la tierra. cay6 después de 8 "" Hallar la allura a que sub16 y euaJ fue su velocidad 1n1dal.
9. Oe unn pistol:I de resorte mstalado a una altura de 2 m sobre la t1erm, luedisp.irada verticalmente hacia arriba una bolita a una velocidad de S m/s. [)clcrn1in:1r la altura máxima a que sube y qué velocidad lcndr2 la boln en el momento de l;1 caída n In tierra. ¿Cuanto licmpo se encontrci c11 vuelo la bola? ,;Cultl fue su dcsplainmiento durante lo$ primcr\lS 0,2 $ Je vuelo? 10. Un cua:po ha sido lanzado verticahncntc hncia arriba a una velocic.htd dc40 1t1/S-tA qut ah urn se cnconlrMb dcsr111i:s de 3 y 5 s y a qut velo· cidadcs se mover~ en esos momentos? Tomnr ge ro rn/s'. 11 . Dos cuerpos han sido 120?.:Jdos en dirccc1011 vertical hvcia .. ribi n distinlns vcloci
6.3.
Movimiento bojo el efecto de lo fuen:o de gravedad : la yelocidad inicial del cuerpo está dirigido formando cierto ángulo hacia el horizonte Con bastante frecuencia se tropieza con el rnovimicnlo de cuerpos que han recibido velocidad inicial no paralela a la fuerza de gravedad, sino que formando eicrlo ángulo respecto de ella (o con relación al horizonte). Acerca de semejante cuerpo, suele decirse que ha sido lanzado etl ilngulo al hori7.onte. Por ejemplo, cuando un deportista lanza el 132
8
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eeºººe
e
8
8
8
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e
e
e rii;. 11s
&
e
o
peso, el disco o la jabalirra, comu11 ica a estos objetos, precisamente, semejan le velocidad inicial. Al disparar una pieza de artillcrln, a su cañón se le <:omunica cierto ~ngulo de elevación, de forma que a l lanzar el proycc1il , éslc también recibe una velocidad inicial dirigida en cierro ~ugulo al horizonte. Consideraremos que Ja rcsisrcncia del aire puede ser despreciada. En este c:iso, ¿cómo 5C mueve el cuerpo? en f3 fig. J J8 y en la p:ig. .233 se muestra la fotogrofia cstroboscópic:<1 de una bolit:i lairú1d:1 formando un ángulo de
v
y
........
V
/ ~
rii; 119
'\
/
\
I
\ fl)
X
vector de la velocidad inicia l ú0
:
Como sobre el cuerpo sólo actúa la íuerza de gravedad, dirigida verticalmente hacia abájo, duranle el movimiento del cuerpo únicamente v~riará la proyceció~· de! vector de velocidad ri sobre el eje Y, en tanlo que la proyección" de Ja velocid°ad sobre el eje X no cambiará. Por esta causa, la coordenada x del cuerpo con el correr del tiempo varía del mismo modo que ch ' caso del movimiento rcailínco uniforme: (1)
En lo que respecta a la coordenada y, ésta cambia supeditándose al movimiento rectilíneo uniformemente variado: (/¡·I '
y=u0 ¡,t+ -
2
- .
(2)
Con el fin de !razar fa trayectoria de movimiento del cuerpo, es menester sustituir en las ecuaciones (1) y (2) los valores del tiempo¡ en aumento sucesivo y calcular la~ coordenadas x e y para cada momento de tiempo c. Ateniéndose a estas coordenadas se pueden marcar los puntos que representarán las posiciones sucesivas del cuerpo. La suave curva, que se obtiene al unir esos puntos, es la trayectoria .que nos interesa. Viene mostrada en la lig. 119. Teniendo dicha curva, podemos dcterm'inar el valor de una de las coordenadas conociendo uno u ot ro valor de la otra coordenada. ¿POR QUÉ ES UNA PARÁBOLA? El valor de una coordenada, a panir del valor conocido de Ja otra, puede ser hallado (además, con mayor precisión). si obtenemos la fórmula que liga dichas coordenadas. En efcclo, de la fórmula (1) se desprende que el momento de tiempo e, cunndo la abscisa es x, queda definido por Ja expresión t = x/vox. Hallemos la coordenada y en ese mismo instante. Pára ello, en Ja fórmula (2) ponemos en lugar de e su valor e= x/v0 x. Obtenemos:
(3) Designemos los coeficientes de x 2 y de x en esta igualdad por a y /¡;
a~-4-; b=~ 2t>n~
<'o.x
Entonces, la igualdad (3) tomará la forma: y~ax 2 +bx.
(4)
Del curso de f•ll,!cbra sabcnlC>s que la grflfica de la función, escrita en forma de !:1 ecuación (4), es una parábola. La ecuación, que liga cnlrc si las coordcnad¡1s del cuerpo en movimiento, recibe el nombre de ECUACIÓN DE LA TRAYcCrORIA (en 134
Fig. 121
l'ig. 120
o
X
esta ecuación el tiempo no figura). Hemos mostrado cómo se mueve tlcsc.-ibicndo una parábola ci cuerpo l;!nZndo con cierto ángulo h:1ci:i d horizonte. MOVIMIENTO DE UN CUERPO LANZADO HORIZONTAL· MENTE. El cuerpo puede ser también Janzatlo, de manera que ~u vdo~:ci.:1 inicial ti0 eslé dirigida horizontalmeme (o: - O). Por ejemplo, asi está dirigida la velocidad inicial de un cuerpo que se ha separado de un avión en v::c!o horizontal. Es fácil aclarar por qué: trayectoria se moveri1 131 cccrpo. Con este fin recurramos a la líg. 119, la que ofrece 1~1 trayectoria de movimiento de ua cu.c rpo lanzado con cierto ángulo h
dirección horizontal o no. Incluso podemos decir que en todos estos c.'\SOS el cuerpo cstl1 sometido a la caída libre. Por ejemplo, a causa de esto, la bala de un fusil disparada por un tirador en dirección hori7.0ntal, caerá a tierra al mismo tiempo que una bal;i que casualmente ha dejado caer el tírador en el momento del disparo. Pero esta. última, caerll junto a los pies del tirador, mientras que ljl que se disparó del fusil, · 1 a varias centenas de metros de él. En la lámina en colores J, b viene represen tada 131'.rotografia estroboscópica de dos bolitas, una de las cuales cae verticalmente, mieñlras que a la segunda, en el momento en que comenzó a caer la primera, le fue comunicada cierta velocidad en d irco:ión horizontal. En la foto vemos que en los mismos momentos de llempo (inst~ntcs en que se enciende la luz) ambas bolit;is se c11cucnlr:111 a una misma altu°(a y. claro es ta, llegnn n tierra simultáneamente. Al resolver ·problemas, que se refieren a semejante movimiento, hay que con~idcra r por scp:1rado cómo varían las CllOrdcnad:i.~ x, y. La coonlc11:1.Ja .-.: cambia dcaeucrdo con la fórmula (1), mientras que la coordenada y, con la
(2). PROBLEMA l. Un proyecti l íuc disparado de un c:11lón en un !lng11lo et. hacia el horiwntc, a velocidad inicial li0 • Hallar: a) el tiempo de vuelo del proyectil; b) Ja altura máxima de su elevación ; e) la distancia que cubrirfl el proyectil. Sol11ció11, El movimiento de un cuerpo lanzado con cierto lmgulo hacia el hori;r,onte. se describe mediante las ecuaciones (1) y (2). Como ""v0 cos et, v01 .. v0 sen a, y1 .. - g, entonces
ºo.•
X= llolCOS <X,
gt'
yc1101scna-T.
a) Al final del vuelo del proyectil y= O, por lo tanto, el tiempo de dur:1ción del vuelo serl1 hallado de In ecuación para h1 coordcnuda y: 0-
111•
0 0 /KR«-2 ·
Resolviéndola, obtenemos: 11 •
0;
2o sen a
11
0 =---.
11
El valor 1, =O corrc.~ponde al comienzo del vuelo (en este instante la coordenada y también c.5 igual a cero), en tanto que ti es el tiempo de duración del vuelo: , _ _ _ _g_ _ _ 2o0 scn<1
Grncms n la sirnelria de la parl1bola, el tiempo de elevación hasta su vértice, es 136
ll\JC
el tiempo de vuelo, es decir, 0 ~cnu
t·
lcbact6• =--- (/- .
b) La allura máxima de elevación hmb. es el valor de la coordenada y que se obtiene, si en la expresión para dicha coordenada se pone en lugar de 1 el valor hallado del tiempo de elevación: 110 sen a: g ( 110 sen ex)' ·h. •Lsencx ...., = .,,
-g - - -2 -
-9 -
o bien. rlcspui:s de simptílícar: P~$cn 2Cl
h.... = --211- -
c) L;1 dí.~tancia de vuelo I c.<: igual al valor de la coordenada x que ohtcudrcmos. ~¡en la íórm11l;1 para dicha coordenada ponemos en lugar do.: 1 el ti empo de duración del vuelo. l'or lo tanto, 2r•0 ~en ex 2•~ sen ex cos tt 1===v0 c~a ---~ g
9
Es fácil c.<;tablccer con qué Angulo a. la dista.ncia de vuelo es la máxima. Como sabemos de la trigonometría, 2 sen a.cosa. = sen 2a.. P or lo tanto, ta expresión para la distancia de vuelo puede ser escrita así: 1= •~sen 2tt g
De aqul se infiere que la distancia de vuelo ser~ la mayor si sen 2a = 1. Esto quiere decir. que 2a. 90º o bien a= 45º. PROBLEMA 2. De un avión que vuela en direcció n hori2ontal con una velocidad 110 = 720 km/h, a una alturn /1 = 3920 m sobre la tierra. fue lanzada una carg:i. ¿A qué dis1aneia caer!\ ésta a tierra respecto del lugar sobre el que la lanz.1ron ? Sof11cló11. En el instante en que se separa del avión, la c:irga lanzada tiene una velocid ad v0 , dirigida horizontalmente e igual en módulo a la del avión. Tomemos este instante como origen de cuenta del tiem po, mientras que como origen de coordenadas, elijamos e.I punto desde el que fue lanzada la carga. Dirijamos el eje X de modo hor izonta l, micnt(as que el eje Y, verticalmente hacia arriba (fig. 122). El movimiento de la carga se describe por las ecuaciones que ya conocemos:
=
X = Vol COS CX,
91' 2
y = • 01 sen ti - -- .
En nuestro problema, a.= O, por lo tanto, sen a - O, cosa = 1. Entonces. las ecuaciones que describen el movimiento de la carga lanzada desde el avión
y
V,,
...,...~o.lt!",,...!!!..,..,__~~~--x
' ............, \
h
''
\
\
\
\
\
\
1 1 1 1
1
Fig. 122~--1--------.1..';_
l
1
loman la forma :
L.~ distancia de vuelo res el valor de la coordenada x <1uc ésta tendrá si en lugar del tiempo r ponemos el tiempo de la caída de la carga. Dicho tiempo puede ser hallado de la ecuación para la coordenada y. En el momento del aterrizaje - y - lt, por lo tanto
91'
-Ji = - -2- .
De aquí hallamos el tiempo que dura la caída de la carga : t=
v21•. !1
Por consiguiente,
l = c•o~·
mv2·3920m 1= 200 :>: 5600 m. s m . 9,8
sz
Cuando estudiamos el movimiento de un cuerpo lanzado en sentido horiwntal o con cierto imgulo rcspcclo del horizonte, hemos considerado que el cuerpo s61o se encuentra bajo el erecto de la íucrza de gravedad. En realidad, es to no e,~ así. Junio con esta úllima, sobre el cuerpo siempre actúa la fuerza de resistencia (row miento) que provoca el aire, lo que conduce a la reducción de fo velocidad. Por esta ca usa, la distancia de vuelo de un cuerpo lanzado en dirección horizontal o en cierto angulo hacia el horizonte, siempre es menor que la q11e ~e desprende de l~s fórmulas, obtenidas en este paritgrafo; la altura de subida de un cuerpo, lanzado por 1;1 vertical, siempre es menor que la calculada aplicnn
La acción de la íucrw de rc.~istcnci.n también conduce a que la t r:iycctoria de movuniento del cucrpo, lanz:;ido en sentido horizontal o bien con cierto ~ngulo hacia el horizon te, no sea unn parábola, sino que un:i curva más complic:ida. ¿ ?
l. ¿Qué hay de eomiln en cl moVJmicmo de los cuerpos l:mz..,dos et•
sentido vertical, horrlonrnl y en cierto ~1ngulo h•cia el horiwntc? 2. ¿Por qué trnycc1oria se mueve un cuerpo lnn>.ado con cier10 ~ngulo respecto del horizonte7 3. ¿Qué fuerza ae1ua sobre un cuerpo dura nte su movimiento, si h• ~:do 1..nz.ado formando cierto ángulo respecto del horizonte? 4. ¡.Podemos considerar 1111iformcmentc variado el moviinicnto de un cuerpo l:inzndo en cicr10 angulo hacia el horiz.ontc? S. ¿Con qut acelcracibn se mueve un cuerpo lanzado con cierto ~n¡,;ul,) hacia el horizonte? ¿Cbmo está dirigida d icha aceleración 7 llldicari611. Al responder 3 la.• preguntas hay que considerar que el r01.ami"nto puede ser despreciado. Ejcreicios 20 t . Un balón ha sido 1:101.ado en un lmgulo de 30' hnc1n el horizonte a ur.J velocidad inicinl de 1O1n/s. Dclcrrnio:ir la nlturn úe clcv•dón, as1 como el cicmpo d e cl11rnci6n y la di~tnnc1a del vuelo. 2. Unn b:1l:t es disrinrada en ~cntido hori1.0ntul y vuel• :1 uca vclocit!.1d media de 800 m/s. ¿Cu~nto dcsce11dcrf1 la bnln en dirccci(ln vcn ical durante el vuelo s1 l• distancia hasta el ohjctivo es de 600 m"!
T;:a.rcas l. Mostrar que las f6rmul3s que describen el movimiento de un cuerpo
lan2<1do verticalmCflte hacia ;irriba (f6rmul:is S, 6 en 6.2). se obtienen como un c:nso particular de los f6rmu la~ parn el movimiento de un cuerpo lanzado formnndo un ~ngulo con el hori>.onte, si consideramos que este ángulo e~ inunl a 90'" (a • 90"). 2. Construir la trayectoria de movimiento de un cuerpo lanzado en un angulo de 45• hacia el horizonte. La escala de Ja velocidad inicial y de las coordenadas elljalas por su cuenta.
6.4.
Peso de un cuerpo que se mueve con aceleración
¿CUÁNDO EL PESO ES IGUAL A LA F UERZA DE G RAVEDAD? Recordemos que el peso de un cuerpo es igual a la fuerza con la que él actúa sobre el apoyo o la suspc1Jsi6n. Sí estos últimos estiln en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme con relación a la Tierr:t, el peso del cuerpo será igual a la fuerza de gravedad 111~. ¿CUÁ NDO EL PESO DE UN C UERPO DIFI ERE DE LA fUERZA DE GRA VEDAD? Pero el peso de un cuerpo puede diferenciarse notablemente del valor de la íucr?.a de gravedad, si el apoyo o la suspensión se mueven con aceleración hacia arríba o abajo. ¿Por qué? Recordemos que el peso es la íuerz:;i medida con una balanza, digamos, de resorte. Veamos qué indicar~ ésta, si junto oon el cuerpo suspendido de ella se encuentr:i en movimiento aceler:ido hacia arriba o nbajo. Colgticmus
.
'
Fog. 123 Y mg
f mg
fig. 124
mg
balanza con la carga y bruscamente hacerlas descender (fig. 123), comuniclm· doles una aceleración dirigida hacia abajo. Veremos que, al bajar Ja balanza con la carga, Ja aguja de la primera se desplazará hacia arriba. Eslo quiere decir que duran1c la bajada el peso de la carga ha disminuido, en comparación con el que moslraba la balanw en reposo. Y viceversa, si subimos bruscamente la balanza, su aguja se desplazará hacia abajo, mostrando así que el peso ha aumentado (fig. 124). ¿Cómo explicar la disminución o el aumento del peso dur:,¡l\e el movimiento acelerado del dinamómetro (la balanza) con la carga? Hallam os la respuesta en la segunda ley de Newlon. Analicemos a qué fucr7.i.s c.~tá sometida la rarga. Sobre clia actúan la fuerza de gravedad m!} dirigida hacia abajo, y la f\lcm1 elástica F del resorte de la balanza, dirigida hacia arriba. Bajo el efecto de estas dos fuerzas, el cuerpo se mueve con aceleración ti, que puede estar dirigida tanto hacia abajo como hacia arriba, en dependencia de cómo movamos la balanza: la subimos o la bajamos. Según la segunda ley de Newton
má =mg +F. Oc donde
F=mci-mfi.
(1)
Con una fuerza igual por su módulo, pero de dirección opuesta ;1 P, la carga aclúa sobre el muelk Siendo CStll fuerza la correspondiente al peso P.
P= -F. Por consiguiente, /;= -(111cl-111g);111(g-ii). 140
(2)
Fig. 125
y
Los vectores P, ¡j y ci son paralelos a Ja vertical. Dirigiendo el eje de coordenadas Ypor Ja vertical hacia abajo(véanse las figs. 123 y 124), podemos escribir la expresión (2) en íorma algebrnic
~
Para la dirección elegida del eje Y, en el caso ilustrado en la íig. 123, las proyecciones 1'1, y1 y a1 son positivas e iguales a Jos módulos de los propios vectores. Por esta razón, Ja expresión (J) se puede escribir en la íorm
P=m(g - a) . Oc aqui vemos que si "
(4)
< g, J' < my,
El peso de 11n cuerpo, cuya aceleración está
rn
f41
que ese mismo autonlóvil parado En efeclo, el movimiento por un el movimiento sobre una p'arte de mueve con aceleración ccnlrlpeta,
en dicho pue,nte. puente.convexo se puedi; considerar como la circuníerencia. Por eso, el vehiculo se cuyo módulo es igual a:
v'
a::-,
r
donde 11 es fa velocidad linc:al del automóvil; r, el radio de curvatura. En el instante en que el auto se halla en el punto superior del puente dicha aceleración está dirigida hacia ;ibajo El vel1kulo ;idquiere aceleración bajo la acción de la resultante de la fuerza de gravedad 111§ y la fuerza Ñ de reacción del puente. L;i ccuadón, que expresa la segunda ley de Newton en forma vectorial, se escribe asi:
my+Ñ ==1111i. Dirijamos el eje de coordenadas Y en sentido vertical hacía abajo y escribmnos de nuevo la ecuación anterior para las proyecciones de los vectores sobre dicho eje:
mgy + N¡, = "'ªr· Es evidente que
Entonces
u' r
mg-N ~11J -- ,
de donde
N=11{11 - ",'). De acuerdo con la tercera ley de Newton, el peso del ;iutom{lvil P(o sea, la fuerza con la que ésle presiona sobre el puente) está dirigido en sentido opuesto a ta fuerza de reacción del puente Ñ, pero por su módulo estas fuerzas son iguales, por consi¡¡uicnte, P=N=m(g- :').
f'<mg.
Del mismo modo se reduce el peso de los pasajeros que viajan en un automóvil por un puente conve:ito. La disminución del peso será tanto mayor, cuanto mayor sea Ja velocidad del auto. A causa de la rotación de la Tíerra, todo cuerpo que en el ecuador está en reposo, se encontrará en un estado análogo 'at de los pasajeros del automóvil 142
que se mueve por un puente convexo. Su peso se calcula por la íórmula
P=m(g - ~)·rn(g-0> 1 R), donde R y wson, respectivamente, el radio de la Tierra y su velocidad angular de rotación. En el polo, el peso de esos mismos cuerpos seria igual a mg. Como 0>2 R~3.4 · JO - • m/s 1 , al realizar cálculos aproximados, la magnitud w 2 R se desprecia y se considera que en el ecuador el peso del cuerpo tambien es igual n mg.
2. Un piloto que saca el avión del picado (fig. 126), sufre sobreca rga en la parle iníerior de la trayectoria. En realidad, en la parte indicada de tsla, el avión se mueve describiendo una circuníercncia con aceleración centrípeta dirigida al centro verticalmente hacia arriba El módulo de la aceleración es igual a: u'
,
a~ -.
Pero sobre el eje vertical, dirigido hacia abajo, su proyección es negativa: t•y• - a = -
u' 7 .
As! puc.~, el peso del piloto, es decir, Ja fuerza cou la que ti nctúa sobre el apoyo (el asiento), de acuerdo con la íónnula (3), será determinado por Ja expresión
P1 -m(g1 -o1)•m(g+ º:).o sea, P>mg. De forma, que el peso del piloto es mayor que el "normal", igual a la fuerza de gravedad mg, en la magnitud mt12/r. Sí al salir del picado la aceleración centrípeta 1>1/r por su módulo supera la aceleración g de Ja caída libre 11 veces (11 2/r = 119), el peso del piloto P-m(g + 119) = mg(n + l),
o sea, será 11 + 1 veces mayor que el pc.~o "normal" del piloto. Duran le la sobrecarga, aumentan también su peso los órganos internos del piloto, crece la fuerza con la que ellos actúan en tre si y sobre el esqueleto. Esto provoca sensaciones dolorosas. Ademb, sobrecargas cxccsi vamente grandes pueden ser peligrosas para la salud. Los pilotos bien entrenados aguantan sobrecargas hasta de 10 mg (por regla, la sobrecarga se expresa no mediante la magnitud mg, sino mediante lag y se dice que la sobrecarga es, por ejemplo, 10 g). ¿ ?
l. ¿Cómo varia el peso de un cuerpo cuando su movimiento es acelerado? 2. ¿Cambi3 et peso de un cuerpo, si éslc se mueve con aceleración en sentido horizontal? l. ¿Cómo varia el peso de un c:osmonaut• durante el lanuimicnlo del
cohete que pone en órbua la nave cósmica? f43
4. ¿Cómo vario el ~o de un cosmonauta duranle el frenado de uno nave que va 3 alcrci7~,r7 S. 0 Qui podcm0$ decir
6.5.
Ingra videz
Sólo nos queda considerar el caso en que la carga Junto con la balanza cae hbremente, es decir, cuando soltamos la balanza de la mano (fíg. 127). La experiencia mucslra que, durante la calda libre, la aguja de la bálanza se establece en el cero: el peso resulta ser nulo. Esto está claro. En erecto, cuando la e.irga cae bajo Ja acción de la atracción hacia la Tierra, el resorte de la balanza "correspondicntcme11te sigue a la primera" (vtase la fíg. 127). Por eso el resorte no se deícrm~ Pero si esto es así, el cuerpo suspendido del rC30rtc no estará sometido a la acción de ninguna íuen;a por parte del mismo. Por esta misma causa. la carga tampoco se deformará y no actuará sobre el muelle. L.1 carg;1 resulta ingrávida. El hecho de que, durante la caída libre, el peso del cuerpo es igual a cero, se desprende en directo de la fórmula (4) del parágraro antedor
P = m(g- a). Durante la calda libre de un cuerpo a= g. Asf que P = m(g- g) =O.
Bajo esta condición desaparece la acción recíproca entre el apoyo y el cuerpo. Lo causa de la lngravida co11siste en q11t la fuerza de grav11ació11 11111versal comunico iguales aceleraciones al c:uerpo y a si1 apoyo. Por esin ca11sa, todo cuerpo que se mueve sólo bajo la acción de las fuerzas dr la gr11oitació11 u11ivcrsal se c11cue.111.rn en estado de i11grnoldez. Precisamente en semejantes condiciones se halla un cuerpo en calda hbrc. Este asombroso hecho ~e ilustra con ayuda del siguiente e interesante
•
r
F..~'f?··:<,•
~-.,,,.#.?-'!-'"'E'~ .
.
l
fig. 128 11
Fis. 127 experimento (fig. 128). Entre dos pesas macizas se coloca una tira de papel de periódico o secante, cuyo extremo libre se lija con seguridad en la orcjeta del soporte. Las pesas se dejan descender lentamente, éstas tensan y rompen la lira de papel. De aquí se puede concluir que la tira de papel estaba suficientemente apretada entre las pesas. La tira de papel rola se C?mbia por otr;i igual pero nueva y se deja. que las cargas caigan libremente. l.,;'I Lira de papel se libera y queda colgada del sopor:c. El cxpcrimcato nrncstra que, durante la caída libre, desaparece la presión de las pesas sobre el apoyo, es decir, durante su ~aida, las pesas se encuentran en estado de ingravidez. ¡, ?
J. ¿En qué casos el cuerpo se cncueotra cu estado de ingraYidez y cuál es Ja causa general que provoca la ingravidez? 2. ¿Se hallará c.n estado de ingravidez un cuerpo lanzildo en sentitlo vertical hacia urriba? Despreciar el ro1.amiento del aire.
º"
3. ¿Se encontrará en estado d e ingravidez durante su movimiento cuerpo lanzado horizontalmcutc? 1.Y un cuerpo lanuido con cforlo ~nguln hacia el horizootc? Dc.~prcciar el rozamiento del rurc. 4. En un marco, que ruede clesplaz:irsc por dos bMras de guía (fig. 129), están s11spe11didas de dos muelles iguales enrgas disll:llas. Si cortamos el hilo, mediante el cual estaba fijado el m~rt::>, (•ste caerá libremente (el rozamjcnto es pequeño y puede despreciarse) ¡· con ello desaparecerá. la deformac16n de los muelles. Explicar ¡>or qué desoparecc la dtformaci6n de los muellé.~ en caso dc 1:1 caida libre.
14S
6.6.
Satélites artificiales de la T ie rra. Prime ra velocidad cósmica .
Eo 6.3 estudiamos cómo se mueve un cuerpo al que, a una altura /1 sobre la Tierra, le fue comunicada una velocidad iJ en dirección horizontal, es decir, en paralelo a la superficie del planeta. El cuerpo describe. una trayectoria singular - una parábola, desplazándose por la cual, cae a la: Tierra. Cuando examinamos semej3nte movimiento del cuerpo, considerábamos que Ja supcr'rteíe de Ja Tierra era plana. Siendo las velocidades ü relativamente pequeñas, para las cuales el desplazamiento del cuerpo en dim:ci6n horizont:il es pc<¡ueño, semejante simplilicaci6n es j usta (lig. 130). LA T IERRA SE ESCAPA DEL CUERPO. En la realidad la Tierra es una esfera. Por esta r37.6n, al mismo tiempo que el cuerpo se desplaz;i por su tr:iycc.loria. la Tierra se aleja un poco de él (líg. 131). Se puede elegir un valor tal de la velocidad v del cuerpo, con el cual la superficie de la Tierra, a causa de su curvatura, se ¡¡lcjnr6 del cuerpo a la mis ma magnitud que el cuerpo se acerca a ella debido a su atraccióu. Enlonccs, el cuerpo ~o 111overf1 a una disluncia /1 constante <.le la supcrlicic del plnnclU, 1.-i; llccir, por una circunfcrcnci¡¡ de radio /~ + 11, donde R es el radio del globo le!rcslrc (líg. 132). ¿Cuál es esa velocidad? SATELITE ARTIFIC'IAL DE LA T IERRA. Ya que el cuerpo se mueve unifom1cmcnte sobre una circunferencia, su aceleración será igual en módu lo a:
,¡ a= R+h · La que comunica esta nccleración al cuerpo es la fuerza de gravedad de la Tierra, cuyo módu lo es igua l a: F ~
Mm (R
+ ¡'Jf'
(nqui M es la masa de la Tierra, m la masa del cuerpo). Según la segunda ley de Newton o= f_ ..
Por consiguiente,
u2
ñ+h •
M
G (R
+ h)' ,
de donde
v=
Va
M, .
R+•
(!)
Así pues, si en dirección horiwntal comunicamos a l cuerpo la velocidad uclermin:lda por 111ooio de In fórmula (1) , aquél se moverá alrededor de
Fig. 130
Tierra. planeta.
1;1
e:;
úccir. se convertir<\ en un satélite :1rtilicial de nuestro
PRIMERA VELOCIDAD CÓS MICA . Un cuerpo de cualquier mas;1 puede ser satélilc de Ja Tierra, claro está si es que se le trnnsmile una velocidad sufícicnte. Calculemos ~la para un sat~lilc que se lanz.a en las vecindades de la superfície terrestre (11 = O):
u~10f. Recordemos que G M/R 2
=g, así que
M
G¡¡=gR.
De aquí
Poniendo en esta fórmula el valor de l:ls magnitudes g = 9,8 m/s 1 y
Fig. 132 IO'
R - 6.4· 106 m, ob1enemos: 11 c
V
m m km 9,82·6.4-JO" m ::::S· I0'-::::8-.
s
s
s
Semejante velocidad en dirección horizonlal hay que comunicar al cuerpo junto a la supcdicie terrcslre para que él no cniga y se convierta en satélile de In Tierra, describiendo una órbila circ¡¡lar. Esta velocidad recibe el nombre de PRIM CiRA CÓSMICA (véase 1<1 p~g. 235). ¡Ocho kilómetros por segundo son casi 29 mil kilómetros por hora! C.omu nicar a un cuerpo semejante velocidad naturalmente no es f;icil. Sólo en 1957, los cicntllicos sovié1icos, por primera vez en la histon:t de In humanidad, consiguieron transmitir con un potente cohete la primera velocidad cósmica a un cuerpo de más de 84 kg de masa. Dicho cuerpo íuc el primer satNitc artificial (Sputnik) de la Tierra. El movimicnlo de los satélites alrededor del globo terrestre 1ienc lugar bajo el cíeclo de una sola fuerza, la de gravitación universal que lrnnsmitc al satélite y a lodos lo~ objetos que en él se cncucnlr:m, iguales acclcracionc.~. En scmcjn11tc caso, el concepto de peso pierde su sentido, como ya dijimos en 6.5. Pues en este caso cualquier cuerpo y su "apoyo" no se dcíorman mutuamcnle y no pueden "presionar" uno sobre otro. Esto significa que todos los cuerpos en el satélite, incluidos los pasajeros, se hallan en estado de ingravidez.. ¡, ?
L ;,Cómo deber* cslnr
2. ¿Cómo estará dirisida la acdcraeión de un sati;li!e a11ilicial de la Ticrrn? ). ¿Podemos consi<.lcrar el movimien!o de un sn1élile artificial de la Tierra uniformemente varindo? 4. El ccnmonaul.a sovfüico A. IJ:ónov fue el pflmero que s:1li6 de una n•YC cósmic:i al ~fl'lCÍO cx1ravch1c11lor. ¿E.sluvo el en c
altura de 300 km. 2. Calcular la primero velocidad cósmica para una altura sobre lu Ticrrn ig11nl ni radio de i:sla. ) . ¿A qué altura la primera velocidad cósmica e< i¡¡ual a 6 km/s'I 4. ¿A qu~ allura debe ser lanzado un snttlite nrtmc1al de In Tierra para que su periodo de rotación sea ígual a 24 b?
6.7.
M ovimiento de un cu erpo bajo el efecto de l a fuerza de roza m i ento
La íucn:n de ro7.amiento de dcsli:t~miento difiere de !odas las demás rucrza s, en que está dirigida en sentido oonlrario :1 la dirección de la velocidad relativa de movimicnio de los cuerpos en conlucto. 148
Oc aqu! sígue que la uccleración, comunicada por In fuerza de roza· micnl<> a un cuerpo que se mueve sobre una superficie inmóvil, csl;\ dirigida conlrn la velocidad rdativa. Esto quiere decir, que el efecto de 111 f11erw rfe rozumi1mto co11d11c( o la dismíttucíó11 del oolor al1.wl1110 1/e la 1't'lo('itf111f del cuerpo. Si sobre un cuerpo, que se desliza por una superficie inmóvil, no actúnn otras fuer7~1s m:\s que lns de f\)7,1micnlu, ul fin y ::1 !;1 JlO.'lre, 114ui:I ~e p~rar;\, Ex:nnincmos c~tc c;iso con el que se trupiC'¿;i a mc1n1do. lm:J&inémonos que ante un tren en movimiento aparece inesperadamente 1111 obstf1culn y d 111:1quini~ ta clcscon ccta el moto r y pone en :1cció11 los frenos. Desde c.~te momento, sobre el tren sólo ;iclúa la fucna constante de roz.1micnto, ya que la fuerza de gravedad qucdu com¡x,ns:ida por la reacción de los carriles, mientras que la fucna de rcsiscencia del aire es muy pequeña. Al pasar cierto tiempo r, después de recorrer la distancia 1, llam:ida RE<"ORRIDO DE l'RENllDO. el tren se p:ir.1. Hallemos el tiempo 1, necesario para que el tren se p.irc, y la distancia I que el tren rccorrc durante ese tiempo. Bajo el efecto de la fuerza de rozamiento /:ro., el tren se moverá con b aceleración 1i = 0 Jm. Elegimos el eje de coordenadas X de form11 que su dirección positiva coincida con la velocidad de movimiento del lrcn (fig. 133). La íuerza óc roi:imicnto ¡.·,"' y la aceleración tl, que cll:t provoca, se dirigen en sentido contrario al eje X, por eso l:is proyeccio nes lle estos vectores sobre el eje X son negativas e iguales a los módulos de los pro pios vectores, tomados con signo opuesto. Así puc:s, el módulo de In acclc~:ición n = -a, • F,0 Jm Pero ª·' = (1•, - vo..)/1, donde 11.< y llQ., son bs proyecciones de las velocidades final e inicial. Las dos son positiv;1s, es dcci:, v, = r y VO.• - Vo· Oc donde
fi"
v-110
a = - -1
No.~
interesa el tiempo 1 desde el comienzo del frenado del tren (c.uand o su vclocid:id es igual a v0) hasta su parnda (v ~O). En este caso
a=!!!.. r
'1
u0 mv0 l = -:x. -
0
F,OL
ESTO ES IMPORTANTE QUE LO SEPAN TODOS. H:1Uemos la distnnci:i de frenado. f::Sta es la proyco.:iiin sobre el eje X del vce1ur s de dcsplazall\iento del t ren dur:mtc el tiempo 1. Parn calculorlo, hagamos 149
uso de la fórmula
P! -
v~,.
s.~---.
2ar
En nuestro caso, s.,= s, Vx = O, ~-' = v~ y a,= -a= - F,0 Jm. De aquí 1 = s=
mu~ . 2F'°"
De esta fórmula se desprende que el recorrido realizado hasta la paraua, es proporcional al cuadrado de la velocidad. Si la velocidad se dobla, será necesario un recorrido cuatro veces mayor para que el tren pueda parar. Esto lo deben tener en cuenta los maquinistas de los !renes, los chóferes y, en. general, todos aquellos que manejan medios de transporte. También es útil que lo lcngan ptcsentc los transeúntes al cruzar las calles con gran movimiento. Para que puedan parar los cuerpos en movimicn10, hace fo 11 a tiempo y espacio. ¿
?
1. ¿Cómo está dirigida In aceleración comunicada al cuerpo por Ja rucrza de rozamiento? 2. ¡,l'odcmos considerar uniformcmcote variado el movimiento bajo el cfcc10 de la fuerza de rozamiento? 3. ¡,Qué movimientos 1r:mseurrcn en la naturnlew sin Ja. partieipacibn <Je ·1a fttcm1 de ro1;unien1 o? 4. ¿Al frenar un cuerpo, podri1 ésto parar ins1an1;incan1c111c·1 5. ;.De qu~ magnitude.> deptndc el recorrído que reali7.a un cuerpo en movimiento dumnlc el frenado hasta su parada? ¿Cbmo varia dicho recorrido al aumentar dos veces cada una de esas magnitudes? 6. Con el fin de disminuir la distancia de frenado (es decir, el recorrido del cuerpo linsta su parada) se puede ya sea aumentar Ja fuccz.1 de r
<Jcsconcclur el motor recorrib hasta pararse una distancia de 250 m?
"= 0.02. 2. El chófer de un automóvil dc.;concctb el motor y frenó bruscamente a una velocidad de 72 kmfh. ¿Cu~nto 1iempo se movcrl1 el aulo hasta su parada, si 11 - O.ó? ¿Que recorrido realizará en dicho tiempo?
Tarea ('jtar ejemplos de movimientos de los cuerpos sólo bajo la aecibn de la fuerza de ro1,;imíenlo.
6.8.
M ovimiento de un cuerpo boj o la acción de vari as fu erzas En los par~grafos anteriores de csic capítulo hcnios aclar;tdo cómo se mueven los cuerpos, si esl:ín sometidos al afcclo
uc u1ta fucrm: elástica. ue gwvcdau, de rozamicn(o. Pero, en rcalidau, en las 150
~
condicio11cs terres1rcs. semcjantcs movimientos casi nunca tienen lugar. Junto con las íucrzas elástica y de gravedad, el cuerpo siempre se halla bajo el efecto de la íuerza de rozamiento. ¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PRODr~EMAS DE MECÁNICA . SI SOBRE EL CUERPO ACTÚAN VAR IAS FUERZAS? Ante todo, recordemos que en la ecuación que expresa la segunda ley de Newton,
F-mu, F
es Ja resultante de todas las íue17,.-is aplicadas al cuerpo, o sea, la suma geométrica de los vectores de dichas íucrz.1s. Por esto, al comenzar a resolver cualquier problema, primero hay que :ielarnr qué íuerzas actúan sobre .:1 cuerpo, cuáles son sus módulos y dirc:cciones. A conlinuación, representando en un dibujo las íucrz;~~ aplicadas al cuerpo, hallar su resultante y, hacicmlo uso de las leyes de movimiento de Newton , resolver el problema. _Sin embargo, se puede no recurrir n la suma geométrica de los vectores de las íucrias. En 1.4 hemos sabido que la proyección de la suma de varios vectores sobre cualquier eje es igual a Ja suma de las proycccionc.~ de dichos vectores sobre ese mismo cje. Esto nos permite sustituir L1 suma geométrica de los vectores por la sumn algebraica de sus proyecciones. En calidad de ejemplo cxam incmos la sol uciún de los siguientes problemas. PROBLEMA l. Por un plano oblicuo, con ángulo de inclinac16n a (lig. 134), se mueve la barreia A de masa m. El coeficiente de rozamiento de la barreta con el plano es igual a µ . Hallar la aceleración de Ja barreta . Sal11ci611. Sobre la barrct:\ act úan tres íuerzas; la de yavcdad my, la re<1Cción del apoyo Ñ (íucl7.'I cl:lstica) y la de rozamiento F1a1: L.1 dirección de cst:is íucrz;~~ se indica en la ligur.1. En conjunto, dichas fuerzas son las que comuníc:in a la barreta la aceleración {I, dirigida a lo largo de ella hacia abajo'>. Dirijamos los ejes ele coordenadas X e Y, respectivamente, en paralelo a l plano en declive y en sentido perpendicular a éste. En forma vcctotia l, la segunda ley de Newton se escribe: así: md =
mg + Ñ + f:,02 •
(1)
Con el objeto de escribir esta ecuación en íorma algebra ica, hay que encontrar las proyecciones de los vectores sobre los ejes X Y Y. Comencemos por las proyecciones sobre el eje X. La proyección del sobre este eje es positiva e igu al a l módulo del vector de :iceleración a. La proyecció n del vector de la vector ñ (1l'Stc es paralelo a X!) : fuera de gravedad mg es positiva y, como vemos del triángulo ABD
o
ª•
ª• ..
11 Para simpliílcar la lig. t 34, hemos mostrado las tres fuerzas aptie.'ldas a un mismo punto, t.1 decir, al centro de 13 barrela. En realidad, las fuer>.as f ,"' y Ñ están aplicadas a la b•sc de Ja barrcl3.
X
Fo¡;. 134
(vi:ase Ja lig. 134), igual a my sen ex. La proyecci6n del vector de la fuen;a de rozamiento f:,0 z es negativa e igual a - F,.,,,. Por último, la proyecci6n del vector de Ja fuerza de reacción del apoyo Ñ es nula, ya que este vector es perpendicular al eje X: N" .. O. La ecuación de la segunda ley de Newton para las proyecciones sobre el eje X tiene la forma: ma = mg sen ex - F,0 ...
(2)
Ahora determinemos las proy«eioncs sobre el eje Y. La del vector de aceleración á sobre dicho eje es nula (id es perpendicular al eje Y!): a1 = O. La proyección del vector de la fuerza de gravedad mg en dicho CJC es ncgativt1 e igual, como vemos en la íig. 134, a -mgcosex. La proyct.-ción del vector de la fuerw de reacción del apoyo Ñ es positiva e igual a su mbdulo: N • - N. Para acabar, la proyección del vector de la ruerrn de ro;z;a111iento ·¡.·,."· es igual a cero. La ecuación de la segunda ley de Newlon parn las proyecciones sobre el eje Y se escribe en la forma: (3)
0= N - mgcosa.. de donde N = mgeosct..
Ya sabemos que la fuerza de rozamiento (véase 5.6) es en cuanto a su módulo igual a 11N. Por eso, F,., = µmgcosex. Poniendo esta expresión p:ira la fuerza de roza miento en la fórmula (2), obtenernos: ma = mgscn ex - µmgcoscx. Dcspu~ de simplificar eliminando m, hallaremos la aa:Jeración buscada de la barreta: a= g(senct.- µ cosa).
Como se infiere de cst:i fórmula, esta magnitud es menor que la acelera ción de la caída libre. ¿PARA QUE SE USAN LOS PLANOS JNCLlNADOS? Incluso al 152
no haber fuerza de rowmiento (µ = 0), el módulo de la aceleración de un cuerpo que se desliza por un plano oblicuo es igual a g sen a, o sea, menor que g. Precisamente por csla c.iusa, los planos inclinados se emplean con proíusión en la práctica, ya que permiten reducir la aceleración durante la caída y el movimiento hacia arriba. Esto signilic.1, que con ello, es como si la fucr:za de gravedad disminuyese {mg sen <X en lugar de mg). Claro está que la fuerza de atracción hacia la Tierra en realidad no disminuye {siempre es igual a mg). Lo que pasa es que, durante el movimiento por un plano inclinado, sobre el cuerpo, además de la fuer:za de gravedad, actúa tarnbii:n una fuerza elástica, la de reacción del apoyo. Su efecto conjunto acarrea la disminución de la aceleración. Semejante propiedad del plano inclinado se utiliza en tales "dispositivos" como la cuña, el cuchillo, el arado, la carretilla. El tornillo también es un plnno i11clin;1<.lo, pero enrollado alrededor tic un cspArrago. Sí un cuerpo se mueve por un plano inclinado unifonncmcntc, entonces a = O, o sea, sen et - µ cos<X =O, o bien
{4)
tg<X = µ.
Esta fórmula permite con relativa sencillez medir el coeficiente de ro;;:amicnto de dcslízamienlo. Para ello, variando el ángulo de inclinación del plano, en el que yace el cuerpo, se determina tal valor de dicho ángulo, con el que el cuerpo comienza a deslizarse uniformemente por el plano. Después de medir el ángulo <X de inclinación del plano respecto del horizonte, aplicando la fórmula (4) se halla µ. Examinemos un ejemplo más que tiene interés, ya que en i:I se trata del movimiento no de uno, sino de dos cuerpos. Al resolver semejantes problemas, hay quc , aplicar la segunda ley de Newton a cada cuerpo y resolver conjuntamente la.~ ecuaciones oblenidas. PROBLEMA 2. Por una polca inmóvil pasa un hilo en cuyos exircmos cst:ln fijadas las c:trgas de masas m , y m 1• con la particularid;1d de q11<: 111 1 > 1111 . Considerando que l:1s masas del hilo y la polca son pequeñas CJl comparación con 111 1 y 111 2 y que en Ja polca no hay cozamiento, hallar la aceleración de las cargas. So/11c:iú11. Dirigimos el eje de coordenadas Y verticalmente hacia ardba (fig. 135).
Si dejamos que este sistema tle cuerpos funcione por sí mismo, la e.irga de masa 111 1 se moverá hacia abajo y la de 111 2 , a la inversa. Hallemos la aceleración {I (en cuanto a su módulo será igual para los dos cuerpos, si despreciamos el alargamiento del hilo: a 1 = a1 =a). Para esto, vamos a escribir las cc:uacioncs de la segunda ley de New1on para cada una de las c.,rgas. Sobre la carga izquierda actúa la fuerz.a de gravedad m¡¡j y la fuerza de tensión del hilo t (fuerza elástica). La proyección de la fuerza de gravedad sobre el eje Y es igual al módulo del vector m 1¡j. tomado con signo contrario: m1g1'. = - m1g. La proyección de la fuerza Tes igual al módulo del vector -¡; o sea, 1). = T. La proyección de la aceleración a es igual al módu lo del vector á con signo opuesto: ªr = -a. La ecuación IS)
y
Fig. r35
de la segunda ley de New!on tiene Ja forma: ·-111,a = - 111,g + T.
(l)
Sobre la carga derecha actúa la fuerza de gravedad miU y la fuerza de tensión' t (Ja misma que sobre Ja carga izquierda). La proyección de la fuerza de gravedad es igual al módulo del vector m2 g con signo con· trarío: mJ!J1• = -m 2g. La proyección de la fuerza t es igual al módulo del vector T, o sea, 1j. == T. La proyección de Ja aceleración á es igual al módulo del vector de aceleración ci, es decir, a1 = a. La ecuación de la segunda ley de Newton para la carga derecha tendrá el aspecto; 11110- - mzg +'f. Sustrayendo (1} de (2) 111 2 a -(-m 1a)= -m 2 g+ T-(-m 1g)-T, obtenemos: (111 1 +111 1/a = (111 1 -m 2)g. Oc donde
(2)
m1 · · m2
a=---g.
m, +m 2
¿PARA QUÉ SE USAN LAS POLEAS? Como la diferencia de las masas de las cargas es menor que su suma, la aceleración a es menor que la de la eaida libre. Los bloques se utilizan para obligar a que el cuerpo caiga con aceleración menor que g. En este fenómeno se basa la aplicación de lo.~ contrapesos en los ascensores y otros dispositivos de elevación. CAiDA DE UN CUER PO EN EL SENO DE UN GAS O LIQUIDO. Un interesante ejemplo de movimiento rect ilíneo de un cuerpo sometido al efecto de dos fuerzas, es la caída de éste en el seno de un gas o líquido. En este caso, snbre el cuerpo actúan la fuerza de gravedad y Ja 154
de rcsistcnc;i:1 del gas o el liquido, con la cual nos famíliari:wn1os en el 5.6. Si despreciamos todas lus demás fuerz.is, podemos considerar que en el instante en que tan sólo empieza la c."lida del cuerpo (v = O) sobre él actúa únicamente la fuerza de gravedad nrg. L..1 fuerz.a de resistencia aún no existe. Pero en cuanto comience el movimiento del cuerpo, aparecen\ la fuerza de resistencia, es decir, la fuerza de rozamiento viscoso, que crece junto con Ja vclocidud y que está dirigida en sentido opuesto n ella. • Puesto que la fu cna de gravedad se mantiene conslantc, en tanlo que la fuerza de resistencia, dirigida en sentido contrario, crece al aumcntnr la velocid3d del cuerpo, sin duda alguna llegará un momento en que los módulos de ambas se igualarán. En cu:into esto ocu rra, la resultante de las dos fuerzas se anulará. También será igual a cero la aceleración y el cuerpo comenwrfl a moverse a velocidad con.~t:mlc. Por ejemplo. d~pué.~ de sallar con b¡¡stanle rapidez, el paracaidista empezará a wicr a velocid:1d consl:intc, lo mi~mo ocurre con los copos de nieve y lns gotas de lhrvia. Cuando un cuerpo cae en el seno de un llquido, clchcrA lencrsc en cucnt;i una fuerza m;\s, t:1mbién dirigida hacia arrib;i, :t saber, la fuerw ele empuje de Arquímedes. Pero CJmo ésta es . constante y no de¡xndc de la velocidad, ella no obslaculiza el cstablccimienlO del movimicnlo uniforme del cuerpo que cae. · En un CJCpcrimcnto muy sencillo, podemos ob$crv~r el movimiento de un cuerpo en el SCllo de un liquido a velocidad conslanle. Un lu!Jo ele ccistal, de aproximadamcnlc 1 m de largur:1, se llcm1 de agua o gliccri11:1 has1a el borde. A continuación, ~obre el agua se póne una bofiln de acero (fig. 136). Es fácil ccfciorarse de que la bolita descended1 en el líquido a velocidad cons1 ante. Esto se percibir;\ si en la superficie del lubo se hacen con pintura divisiones y se miden las distancias que l:i bolita pasa en igunlcs intervalos úc tiempo, proporcion:idos por e! s<111ido de un mc1rí>nomo. ¿ 7
l. ¿C-Omo se cn11nci.1 I~ sq:uoda ky lle Newton si sobre el cuerpo actúan varias íucr¿as? 2. ;.Que íucrT.as 2clúan sobre un cocrpa que rc.<;b21 ~ por un pllno incl inado con :sccJeración conswn1c'!
Fi¡;. 137 fSS
3. ¿Cómo se movcr.I un cuerpo por un plano ir.cliu•do, si b
proycccil>n de In fucr>.a de grovcdnd sobre Ul13 rOCln p.1mlcl~ a dicho plano es numéricamente igu3 1 3 In fuerza de roz:uuiemo?
(;j=icios 24 l. Medianlc unll conslrucción, hallar la suma geomtlricn de l:ts
2.
3 4.
S.
fuerzas aplícndas a uo3 barrera que se encuentra en un pln119 inclinado (vc11sc la fig. 134}. ¿Cómo cslA dirigida la rcsultanlc I' de cstns fueri:as respecto del plano inclinado? Desd e el vértice de un plano inclínado de 20 cm de altura se dcsli:z.3 una barrcl a. Determinar 13 vclocíd3d
Pr"-'
6.9.
Movimi e nto en las curvas
un vagón de Pcsla a
fíg. 139
Fig. 138 156
l'ig. 140
Mienlrns · el lren se mueve por un sector reclilineo de la via a velocidad constante ú, sobre cada vagón act úa, como es lógico, l:l fuer¿.1 de gravedad, pero ella se equilibra por In rucrw elástica (reacción de los rieles) dirigida hncia arriba. En lo que ataile a la íuena de rowmiento, é.~ta se equihhra por la íucrw que
F-~ r • donde 111 es la masa del vagón. La deformación del riel alcanza una n~agnitud la!, con la que la fuerui clásttc."\, provocada por ella, comunica al vagón la aceleración 2 u /r. Esta deformación es muy pcquena y a la vistu i111pcrccptible (línea bl:u1c~ n trazos en la fig. 140). Para disminuir el desgaste de los rieles y !as pcstai\as e.s preciso 1$7
Fig. 141
reducir la fuerza de rozamiento entre ellos, es
F + F,
-;=--m-' de donde
Oc aquí vemos que el .módulo de la fuerza qlic actúa sobre la pestaña es menor en la magnitud F 1 . Por eso será menor el desgaste del riel y de la pcstaiia. Las ruedas del automóvil no tienen pe.~laña . Durante el movi1nic11to <.le éste por las curva~ de la carretera, la acclctación centrípeta es comunicada por la fuerza de rozamiento seco entre las cubiertas de l:ts ruedas y el recubrimiento de _¡1sfalto (véase la lámina de la p:\g. 234). . ?.
(,
l. ¿Cómo debe cslar dirigida la fuerza aplicada a un cuerpo para que el movimiento rectilíneo se convierta en curvilíneo (en unn
curva)? , 2. En este parágrafo se c~nmina el caso de movimieolo de un vagón por una curva de la vía férrea. ¿Ln resultante de qu6 fu
158
Ejercicios 25 l. Un automóvil, en movimiento a 108 km/h de velocidad, debe p;uar una curva de radio de SO m. ¿Es posible hacerlo sin peligro sin reducir la vclocid3d, siendo la fuerza de roumicn10 en reposo de las ruedas del vehículo con el asfalto igual a <000 N. mientras que Li masa del 3Uto es 1000 kg? 4 Con qut velocidad mbuna de éste se puede pasar la curva sin riesgo? 2. Un treo se mueve describiendo una curva curo radio es 500 m.
La anchura de In via es 1,524 m. El riel C.•lcnor está 12 cm m~s .alto que el interior. /.A qué velocidad de rnovirnienlo del tren en la curva, lns pcsiañas de las rucdl\S ho · hacen prcsi6n sobre los rieles?
6.10.
1-lasta el momento, al estudiar el movimiento de los cuerpos, sumclidos :1 la acción
Fig. 143
Fii;. 144
&•f F
Fig. 146
159
Fi¡;. 147
~F
traslación. Cnmbicn¡os In dirección de la fuerza: tiremos de la recda en sentido de su lado largo hacia In derecha (frg . .143}. Ahora, Ja regl~ se mueve d.: forma que las velocidades y los desplazamientos de todos sus pu:itos son iguales. La regla realiza movimiento de traslación. Si la fuerw f no está equil.ibrada por otras fuerzas, el cuerpo se moverá con aceleración. Si el hilo está sujeto .e n el punto A, es fácil cCfciorarsc de que existe sólo una recta a lo largo de la cual debe estar dirigida la fuerza Íi para que ·ésta proyoque el movimiento acelerado de tra.~/ación de la regla. Cuando la fuerza actúa a lo largo de cualquier otra recta, In regl:t virará. Se puede c;imbiar la d irección de la fuerza por la contraría frjnrido el hilo en el punfo B (fig. 144}. De nuevo, el movimiento de fa regla será de traslación. Quiere decir que sólo tiene importancia la posición de la recta ·a lo largo de la cual actúa la íuerza (línea de acción de In fuerza). Ahor:i, sujetemos el hilo a cualquier otro punto· de Ja regla, por ejemplo al C, (lig. 145). Cambiaremos de nuevo las direcciones de tensión del hilo (en Ja figura ~lgunas de lus direcciones se muestran con rectas que parten del punto C). De nuevo llegamos a la convicción de que la regla realiza movimiento de traslación sólo en el caso, en que la fuerza c.~t{I dirigida a lo largo de una determinada recta. En la ligurn dicha dirccciim se muestra con una línea roja de trazos. Para to
El ccnlro de masas puede encontrarse también fuera del cuerpo. Por ejemplo, está claro que el movimiento de lraslación de un anillo homogéneo (fig. 147) sólo puede tener lugar cuando las íuerzus que hacia él se aplican están dirigidas en sentido de sus radios. Las lineas de acción de semejantes fuerzas se reúnen , como es lógico, en el ccn1ro geométrico del anillo. Allí se encuentra también el centro de m;:sas. Si distintas partes del anillo están hechas de diferentes materiales-, e\ centro de masas puede no coincidir con el centro geométrico del :mi!!o. En semejante caso, ese punw debe buscarse por via e.~perimcntal. Es verdad, que hay procedimientos para calcular las coordenadas del centro de musa~, pero ellos son dificilcs y hay ocasiones cuando esto resulta imposible de hacer. ¿f't•ro para q11é necesitamos co11ocer /ti po.~icih11 tlel C
el cue1·po e.~f
6.11 .
iSon siempre justos los leyes de mecánica de Newton? (movimientos desde distintos puntos de vista) Si echamos una mirada a lo que ya hemos estud iado, en
l>rimcr lugar deb~mos prcslar atención a las ideas fum!a' mc11tales de mecánica. La pri111ert1 idea consiste en que si sobre el cuerpo no ac1úan fuerzas o la resultante de tod as Ja~ fuerzas es nula, aquél se cneucnira en reposo o se mueve a velocid
Fig. 14K
el rcp
pnrcd trasera, el comenzara 11 moverse junto con la pl:uaforma. Esto 1:imbién concuerda con las leyes de mcc.'\111c:1: durante su movimiento. la pared se pone en cO•llacto con el p:isnjcro, aura en inlcr.icci6n con él y se deforma. Como resu ltado surge la fuerza ehi.stica que comunica ni p:isajero una aceleración igual a la de la plataforma. J>UNTO DE VISTA DEL PASAJERO. Al pasajero sobre los pa1incs de rodillos le partee que Ja situación es otra por completo. El pasajero percibirá que de repente se ha puesto en movimiento respecto dr lo platafor11111, avan7.ando hacia su pared trasera con cierta acekración. _Desde su punto de vista, esto no concuerda con las leyes de mcctinica. El se des.:onccrt:ir:l si intenta arlar:1r qué cuerpo es el que le ha comunicado :cclcrac1611, mas no podr:í descubrir semejante cuerpo. c.Cu31 de Jos d0$ observadores tiene la razón? Como es natural, 1:1 cuest ión no radien en las singularidades personales de los ohscrvaclorcr., sino en los sistem:~~ de rcfcrcnci:1 resrcc10 :i lt•S 1.·trnlcs dios cunsiú.:ran el 111uvi1111cnto. P.I ob.~ervador cu la cstacíc'.m habla del movimiento respecto de la Ticrr:1, que según él es un sistema inmóvil tic rcfcrcnda. En Ju IJUC nt11i1c al pasajcru e11 la plataforma, éste considera el movimiento con relacion :1l sistema de rcícrcncia li gado con la plat:iforma, que en cuanto a la Tierra se mueve con acclerneión Todo el asunto reside, prccisamt11tc. en el movimicn10 :icclerado de un sistema de referencia. es decir, la pl:llaforma, con relación a otro, o se<1. la Ticrra. Las leyes de meclmca de Newton sólo se cumrlen bajo condiciém de que los movimientos se estudien respecto de sistemas m!:n:ialcs c.!c rcfercnein. Recordemos que se llaman inerciales aquellos sistemas de rcfcrcnc1:1 en los que, cuando no hay fuerzas, los cuerpos no rcdben acclcrnC:ó:i (el pasajero queda inmóvil, hacia él se acerca lo pnred de la plataformn). Pero si en eslos ~1s1cmas ele rcfcr~"llc1a los cuerpo~ rccibe11 ncelcrac!/1:1, quiere decir que sobre ellos actua alguna fuco.a P"' parle de 01ro~ cul'rpGs (la pared trasera de la plataforma entró en contacto con el pasajero y éste comenzó a moverse con aceleración juni o con la pla1ofom1a). En el sistem:i de referencia ligado con l:i pl:11:1íorma, lns leyes de mccitnic:l no son válid:IS. Con relación a este sistema el pasajero se rnucve con aceleración cuando sobre él no actúan otros cucrp<>s. Mientras que cuando surge una fuerza real (la elástica de la pared trasera), el pasajero se para. El incumplimiento de las leyes de Newton en este sistema de referencia radica en su movimiento acelerado respecto del sistema de referencia, en el que estas leyes se cumplen, es decir, con relación a la Tierra. En erecto. en ·cuanto la plataforma, despu~ de adquirir velocidad, comience a moverse uniformcmcnt~. el pasajero sobre IO$ patines de rodillos, rodará respecto del 1ren sin aceleración. Las leyes de mecanica "cn1ran" en sus derechos. Si la~ leves de Newton son validas al cimm1onr el movimiento en lo que atui\c a· un sistcmn de rcícrcncia, 1amb1i:n lo serán rcspcclo de cualquier 01ro si:>tcma de reícrcncia que, con rch1ció11 ;11 primero, está en 163 11•
mov1m1cnlo reclilinco y uniíorme. Ellistc un conjunto inlinito de semejantes sistemas. En todos los sistemas incraalcs de referencia las leyes de movimiento son identlcas. En esto consiste d llamado PRINCIPIO DE RELATIVIDAD DE GALILEO. Todos los sistemas de referencia que se mueven con aceleración, rcspc::cto de un sistema inercial, reciben el nombre de NO INERCIALES, ya que en ellos la ley de inercia no se cumple, lo mismo que las leyes segunda y tercera de Newlon. ¡
?
l. Una pcquc~3 catga (pbidulo) cslll colg3da de un hilo suspendido en el
techo de un vag6n: ¿Qué suceder~ con el péndu lo al frenar el vng611? ¿Como CJ
l. lnvcn1u11 u111ll!posi1ivo que ol C$1nr íljndo en el cuerJl" pcrmil• medir su ncclcrat1<'111
l lnccr considcrado11c;o¡ an!llo¡;:is n In~ aducidas en este pnr:1grnfo, cu~n· do In platníorma girn uniformemente.
Lo más importante en el sexto capítulo Cualquier problema de mcdlnica se resuelve con ayuda de las leyes de Newton, si conocemos. adcmlls de las coordenadas iniciales y la velocidad, las fucnas aplicadas al cuerpo, es decir, si S3bcmos cómo dependen éstas de las coordenadas o las velocidades. Con ello, hay que 1cncr en cuenta que In fr1azt1 a /<1 r~sultnutc tfl' oorins f11t'rzns 1lctcr111i11n 110 1" IJ('lc>cic/111/ ( $11 mótlulo y tlirecció11). si110 que 111 O<'rlcrac/ó11 del cuerpo. Por cst11 causa, los cuerpos se dcsplaz.nn no obligatoriam ente en el sentido en que cstll dirigida l:t fucrw. No sólo lns fucrws aplicnclas ni cuerpo son lns que dclermin:in la trayectoria de ~re. sino que también las condiciones inici3lcs, es decir, el módulo y la dirocción de la velocidad inicial del cuerpo. El movimiento de los cuerpos puede ser considerado como el de puntos materiales cuando aquéllos avanzan en mooimimto de traslación. Pero un cuerpo se encuentra en movimiento de traslación sólo en nqud caso, en que la Unen, a lo largo de la que cstfl dirigida la resultante de todas las fuerzas, pas.1 por el ce11tro de masM del cuerpo. En caso contr.mo, adcmias de dicho movimiento, se produc1r3 el giro dd cuerpo en tomo de cierto cje. Si se examina el movimiento de un cuerpo con relación a un sistema no inercial de referencia (sistcmn de referencia que se mueve con aceleración respecto de cierto sistema inerci:il), las leyes de Newton no son v:11tdas. Respecto a un sistema no mcrcial de rcferencin. el cuerpo se mueve con ;11111 aceleración que no viene provocada por ias fucr¿as que se le npJi¡;an, m¡e:t:rns que al hobcr fucrz.as puede movers~ uniformemente.
7
ELEMENTOS DE ESTÁTICA (EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS)
iQUé SE EST UDIA EN ESTÁTICA?
Ya sabemos que l.ns léycs cJc Newton 1IOS> permiten conocer cuáles son las aeelerneioncs que adquieren los cuerpos bajo el cfcc10 cJc las íucrzas aplicadas a ellos. Pero con frecuencia, es de importancia conocer blljo qué condiciones no reciben aceleración los cuerpos sobre los que pueden actuar diversas fuerzas. De c.
7.1.
Eq ui lib r io de cuerpos que no están e n rotación
Al estudiar el movimiento de traslación de un cuerpo, se puede examinar el movimiento de tan sólo uno de sus puntos, a saber, de su centro de masas. Gn este caso debemos considerar que en el centro de masas está concenlradu toda la masa del cuerpo, así como está aplicada la resultante de todas los fuerzas que actúan sobre el cuerpo. De la segunda ley de New1on se desprende que la aceleración de este punto es igual a cero. si la suma geométrica de 1odas las fuerzas aplicadas a ~1, o sea, la rcsullante de dichas fucl7..as, ~ nula. É.~ta es Ja.condición de equilibrio de un cuerpo que no cs(i1 en rotación. 166
F;g. 149
Fig, 150
Para que·un c,ucrpo, que no se encuentra en rotación, cslé en equilibrio es necesario que sc:1 nu la la resultante de las fucnr.as aplicadas al mismo. Pero sí la suma geométrica de las íucrzas es igual a cero, la suma de las proy~'Ccioncs de los vcctorc.~ de c.'tas fucrz:1s sohrc ctHilquicr eje tam~ién es nula. Por ello la condición de equilibrio del cuerpo se puede formul
~
2
Fig. 152
Fig. 151
paralelogramo. La diagonal de ~le nos proporciona el módulo y la dirección de la rcsull.antc f.. Para que In barca esté en equilibrio, hacia ella se debe aplicar Ja fue.na F, igual a esta resultante en módulo, pero de dirección contraria. P or ejemplo, en o;alidad de esta fuel'Ul puede obrar la fuemt el!lscica de un c::1blc uno de cuyos <:Alrcmos se lija en la proa de la barca y el otro, en la orilla. S~ por ejemplo, fa fuerza con que la corriente de agua actúa sobre la barca es igual a 150 N, mientras que la del viento, ;i 100 N, la rcsultanlc de cslas fucr1~1s perpendicul;ircs entre si, puede ser calculada empicando el teorema ele J>it(1gur:t~:
F-VFll
+ ,,.11.
F .. V!t00N)1
+ (1 SON) 1 ~ !SON.
Por lo tnnto, la barca puede sujctarsc·cm plcando un cable capaz de rcsi.~tir um1 tensión de no menos de 180 N. ¿ ·1
el cuerpo (o si$tc.na de cuerpos) al ~ en equilibno? 2. A un cuerpo ""lán apli<;ndas vnrins fuerins, cuya resultante no es nula. i.Qué deber~ hacerse para que el cuerpo resulte en cquiliorio í 3. ¿En 'I"~ consiste Ja condición de equilibrio de cuerpos que no c.~l~n en ro1aaon7 4. ¿Sigllific:i, ol>lign1orinmcn1c, el equilibrio que ti cuerpo cs1(1 en rc11osu", S. Si l;o &uma gcoméuicn de las rucn:as aplicadas al cuerpo es nula, ¿¡j 1111! ser!\ igual la suma algchraica de la,, proyocc,ioncs de esta.< ÍlltnAlS sobn l. ¿Qu~ si~nilica la expresión:
cicCIO CJ<7
fii;. ISJ
168
A
l'ig. ISS
Ejcrckios 26 se de
l. Una c:tr¡t•
horizontnl<>on ny11d11 dcdosc:tl>lcs• l11s •111ese .1plic:111 íucrz,« de 500 N. Los cal>les forman entre si \111 ~ ngulo de f:tf'. Del crniin;ir In fu con
rc.
2. Una bola de 3 kg de mas:i ese~ colgnd11 de una cuerda sujeta en unól pared lisn (lig. 154). DctcrmiMr In fucn.:1 de tensión de la cuerda y de In presión de In bola contra la pared. L• cuerda forma un :iu¡;ulo tic 1) º y p;isn por el c:cntro de masas de In bola. 3. tn el centro de un cable de 20 m de lnrgurn cst:I suspendida una lámpara. cuya masa es de 3,4 kg. a c:iwa de I<> cual el cable se comhn S cm. !Xtcrminar I~ íuen.a dilstiu que surge en el cable. 4. Sobre un plano inclinado se encuentra un cn¡6n de JO kg de masa.
¿Resbnlnr:t el cnj6n h•cin abajo~¡ el codícicnce tlc rozamiento entre ~I y el plano es igual a 0,2? La longilud del plano inclinado es de 6 m, su altura, 2 m. S. El mástil de una anten a (lig. 155) está íljndo con el tiran le AD. que con el.primero forma un ángulo de 30º. La fuerza que eJcrcc la antena sobre d m~~til en el pun10 D(tensión de la antena) es i¡;u:il a tOOO N. 4 A qui: ser.\ i¡;u:1I la fucrz.u clllSlica cr. el m!1s1il compmnitlo y 13 íuerza c¡uc actil3 $Obre el 1i:-nn1c?
7.2.
Equilibrio d e cuerpos con el eje de rotació n fijado Hemos aclarado en el parágrafo anterior las condiciones de equilibrio de un cuerpo cuando no h:1y ro1ació n. i.Pcn.> cómo se asegura la fa lla de rotación de un cuerpo, es decir, su eq uilibrio, cuando sobre él actúan fuerzas? Para dar respuesta a esta pregunta examinemos un cuerpo que no pue
a) Fi~.
b)
156
Acl:ircmo.~ las condiciones p:ira las cuales un cuerpo con c,1c fijado 110 ginor:1 bajo la :icci(m de las fuer.tas aplicadas hacia él. En Ja fig. 156, " se nrncSll'a un cuerpo hacia el cual en diferentes punlos están aplicadas dos fu erzas: P, y f. z· Para determinar la resullanlc de éstas, traslademos sus puntos de aplicación al punto A (fig. 156,11). en el que se cru1.an las líneas de acción de-las dos fueras. Al construir sobre f, y F1 el paralelogramo, obtenemos '(u resultante f.. Ahora, supongamos q11e en cier.to punto O sobre la recta, a lo largo de la cual cstll dirigida la resullanle f, pasa un eje fijado, perpendicular al plano de Ja figura. Por ejemplo, nos podemos imaginar que por el punto O pasa un clavo que eslá clavado en ia pared inmóvil. En tal .caso, el cuerpo estará en reposo, ya que la rcsullanlc t se equilibra con la fuerza de reacción (elástica) Ñ que surge por parle del eje fijado (clavo): las dos están dirigidas a lo largo de una misma n..-cta, son iguales en módulo y de dirección contraria (véase ra fig. 156,b). 1rnaginémonos que la fuerza f 1 ha dejado de ac1uar y el cuerpo csl..~ sometido sólo a la acción de la fucrw !\ (lig. J57, a). Como vemos en Ja figura, ~~la fucr¿;1 obliga al cuerpo a girar alrededor del eje O en sentido horario. Si, ¡¡ la inversa. liquidar la fucr7.a F1, la rcslantc f.1 provocará la rotación en sent ido a111ihorario (lig. 157, b). Esto quiere decir, que cada una de las fuerz.1s f. 1 y f. 2 tiene acción rotativa, con la particularidad de que el sentido de la rotación animada por cada una de ellas es inverso. MAGN ITUD IGUAL PARA LAS FUERZAS F1 y f 2 • Tra1emos de hallar una magnitud que caracterice la acción rotativa .de una fuerza. Hasta ·ahora sólo sabemos que, durante el equilibrio, dicha magnitud deberá tener iguales vi1lorcs numéricos para ambas fuerzas f., y F1 , ya que cuando ellas actúan conjuntamente sus acciones rotalivas se compensan entre sí y no provocan el giro. ¡,Qué magnitud es igual para las dos fuerzas? T racemos el eje X perpendicular a la dirección de la resultante P de las fuerzas f. 1 y P2 (rig. 158). Puc.~to que
f. = t, + t 2 , 170
b)
a)
Fig. 157
f'i¡i..
15S
la proyección de la fucr.r.n Psobre el eje X es igual n l.1suma de las pniyeccionc.< de las íucrws f. , y ¡:·2 sobre ese mismo cje. Pero la proyección de la íucrza l es igu:il a cero. así, que. Fa.Y+ Fu =0, de donde F ,x = -F2x· En la lig. 158 vemos que F,. =F a sena y F 2, = - F 2 scn ~. donde« es el ángulo entre los vectores Fa y f., mientrns que ~. el ángulo enlrc los vectores f. y f. 2 • Así pues, f,scna-= F2 se11jl. De la c<>nsidcr:icíón de los 1ríángulos AOB y AOC se desprende, que d,
d,
¡OA¡
1OA 1
sona=Tn':T y scnP = - -
.
donde d, es la distancia desde el punto O (e¡c de rotaci611) hasta la line¡¡ de acción de la ruerza f.,, mientras que d 2, la dist:mcin desde el p\lnlo O hnslll In línea de acción de la fuerza Í 1. De forma que F
d, 1
IOA I -
F
d,
'TOAT'
de donde (1)
Hemos hallado la magnitud que deberá ser igual para las dos íucrws con el fin de que el cuerpo eslé en equilibrio. Rcpre1\enta el producto del módulo de la
m
fuerza pqr la distancia cntr~ su linea de acción y el eje de rolación, Est;1 mu·gnitud carac1cri1..a la acción rotativa de la fuc!'la. Por lo tnnto, Ja igualdad (J) es fa <:011dición de equilibrio de un cuerpo cjue licnc eje de rotación.
7.3.
Momento de rotación. Regla de los momentos
En el parágrafo anlcrior hemos mostrado que la acción rotativa de una fuerza se caracteriza por el producto del módulo de ést¡i por la distancia enlrc el eje de rotación y la línea de accion de la fuerza. La magnitud igual a este producto recibe el nombre de MOMENTO DE ROTAClON 1 '. o bien MOMllNTO DE FUERZA CON RELACIÓN AL EJE DE ROTACION. Si el momento de la fucrLa F se designa por Ja letra M, la distancia entre el eje de relación y la linea de su acción. por la letra 11, podemos escribir: M=Fd.
L;i magnitud 1/ l:imbito tiene su denominación: recibe el nombre de Uki\ZO FUERZA. Por regla, a Jos momentos de fus:rw que hacen que el cuerpo gire 1•11 Sl'ntit/(J lrorario se les dn t>/ sig110 positivo. mientras que en se11fido a111il1orario. el siyn" 11t>¡¡111iv1J. Cntonces, los momentos de las fuerzas fr, y Fa (véascc la Jíg. 156), respeclo del eje de rotación, tienen signos opueslos y su suma algebraica es nula. Un cuerpo, cap;1z de girar en torno de un eje fijado, estarú en equilibrio, si la suma algebraica de los momentos de las fuerzas aplicadas con relación a cslc eje se anula. t:.~1:i es jus1amcn1e la REGLA DE LOS MOMf.NTOS. o sea, la condición de equilibrio de un cuerpo con eje de rotación lijado. Para nuestra nueva magnitud, el momento de fuerza, es lógico que podamos h;11lar la unidad de medición. De la expresión M =Fd se desprende que 1'11 el SI e11 calidad de unidad tle 111111ne111<1 dr r<1lllciór1 deberá tufopiarse el 1110111e11to de la fuerza igual a 'l N, CUJ'" li11c" dt> ac.ciá11 está alejada del eje de- rotació11 o J m. Esta unidad se llama DE LA
N C!WTON·METRO (N·m).
El momento de fuerza depende de dos magnitudes: del valor absoluto de la propia fuerza y de la longitud del brazo. Un mismo momento de fuerza puede ser creado por una fuerza pequeña, cuyo brazo es grande y por una fuerza grande. cuyo brazo es pequeño. Si, por ejemplo, un hombre intenta cerrar la puerta empujándola junio a las bisagras, a eslQ puede .exitosamente contran:csta{ un niño que se ingenie en empujarla en direi:ción. opuesta, aplicando la fúerza lo más cerca posible del borde. Enlonccs, la puerta quedará en reposo (lig. J59). La regla de los momentos fue obtenida por nosotros para el caso en que ~obre el cuerpo actúan dos fuert;is. Se puede moslrar que c.~la rc&la e-; también justa al acluar sobre el cuerpo varias fuerlaS. ll La palabr:' ••momento.. en
c."'ª dcnoininaciún
licnc Ol'igcn de la
pab.brf\ lal¡m, -movimcnlum ... es decir. ''c-aratC
Fig. 160
i\clurcrnos esto con ayuda de un experimento, realiw
r.,
Fig. 162 í'ig. 161 173
J: 1r11 A
0,2kg
o "
0,4 kg
f ig. 164
e
"1.
?
A
o
r
IJ
O.S~g
f ig, l<>S
Fig. 163
l..
donde 1/ 1, tl2 y dl son los brazos de lns respectivas íuerz:ts. Es í11ci l comprender que de la regla ele los momentos se desprende la famosa RIK;LA !)F. !J\ f'ALANCA. la palanca cst11 en equilibrio, en¡¡ndo las íuer1..as que aclirnn sobre ella son rnr.611 inversa de los brnos. ¡E.~to es, ni más ni menos. otr:i expresión de la regla de los momentos! No hay <1ue pensar que sobre b palanca, obhgatoriamentc, deben estar aplicadas fuerzas paralelas. Como ejemplo, en la lig. 162 se ofrece una palanca sometida a la acción de las fuerzas P1 y frl, pcrpendicularc,<; entre sí. Enunciemos la condición general de equilibrio: Para que un cuerpo cstl: en equilibrio, es necesario que se anulen la rc~ulta nte de .las fuerzas aplicadas, así como la suma de los momentos de éstas, res pecto úcl eje de rotaeión ' l. PROm~EMA. Unn barra homogeoca de masa m - 2 kg cstft lijada mediante su extremo inferior a una articulación (lig. 16'.\). De su ot ro cxlrerno c.~lá colgada la cnrga de mas:i M = 3 kg. La barr.i se mantiene en equilibrio oon el lirante horizontal, lijado en un montante vertical inmóvil. Hacicnúo uso de J.1s cifras expuestas en la figura, hallar la fuerza de tensión del tirante. Soludái1. Sobre la barra actúan cuatro fuerzas: la de gravedad 111g aplicada en su centro, la fuerza de gravedad de la carga Mg, la F, cl~stica del lirnnte y la fuerza F2 elástica en la articu l:ición. La articulación en el ·CXIJ'cmo inferior de la barra es el eje de rotación. De las fuerzas enumeradas sólo las tres primeras crean momentos de rotación respecto de dicho eje. La linea de acción de la fuerza de rotación en la articulación pasa por el eje de ésta y su momento es nukl. De las tres fuerzas indicados sólo la fuerza elástica del lirante hace girar la barra e.n senúdo antíhorario. Las otras dos, en sentido horario. Según la rcr.la " No ob$tante. el cumplimien10 de ~tas condiciones no impide que ti cuerpo realice m<W1tnicn10 rcctili nco de trasl~cion o bien de rotación a vclocida•I nngul.ir
constante. 174
de los momentos
20 N-0,3 m + 30 N-0,6 rn - F 1 -0,8 m =0 . .Después de resolver esta ecuación, obte11cmos: F 1 = 30 N. ¿ ?
l. ¿Bajo que condiciones una fuerza aplicadn a w1 cuerpo provoca su giro en torno de un eje fijo? 2 ¿Qué es el brazo úo una focrza"? 3. ;.<).u¿ es el momento de una Íllel7.a 7 4. '¿En q11é consiste In condición de equilibrio de un cu ~rpo, que puede
girnr en torno úe un eje fijo'!
S. ;,Con qué condición l;r palanc:.1 mostrada en 1;1 fig. !62 se cncuontra c:i equilibrio?
Ejercidos 27 l. En la lig. 164 viene representada unn barra homogén~. euyl> eje de rC1laci(>0 se encuentra en el punto O. En los puntos A y O de l:t h:irrn c~l~m coJg:ufa~ 1:-ts c;;.rgas tic mas:ts 0,2 y 0,4 kg. rcspccth·amcnlc. ;.Cu!tl debe ser la m:tsa de la carga q11c se cuelga del punto C para que la barra 11crmanc1.ca en equilibrio? 2_ ! lacia una barra homo~nc:1, que puede gir:tr alrededor de un eje, estl1 fij<1da en el punto A una ~:irga de masa 0,8 kg (lig. 165). ¿C11!1! debe ser la masa de la carga que hay que fijar en el punlo B. para que la barra quede en c<111ilibrio, ,¡ Ja m:isa de esta es de 400 g?
Taren$ L Proscotnr ejcmplvs lid empico pr1Lclicv de la p;ila11c.1.
2.
7.4.
Mo~tmr
que ln regla de la p;¡lanca se deduce d·e 1'1 rcgb de
momentos.
'º'
Estabilidad de equilibrio de los cuerpos
Si el cuerpo se cncuenlra en cquilihrio, esto significa que la suma de bs fuenas aplicnd:1s hacia él es uuhl , lo mismo que 1:1 suma de lo.~ momcnlos ele tfichas fucnas rcspcclo del eje de rotación. Pero $urge l:i prcguntn: ;.scril estable ese equilibrio'} Por ejemplo, de inmediato percibimos que la posición de equilibrio de la bol:i en el vértice de un soporte convexo (lig. 166) es inestable: el m!nirno desplazamiento de la bola respecto de su posición de equilibrio obligar:\ a aquélla a rodar hacia abajo. Pero ahora examinemos a esa misma bola ubicada en un soporte cóncavo (lig. 167). Es muy dilicil obligarla a que abandone su lugar. El equilibrio tle esta bola puede considerarse estable.. ¿EN QUÉ .CONSISTE EL SECRETO DE LA ESTABILIDAD? En los ca.sos que hemos examinado la bola se encuentra en equilibrio: la fuerza de gravedad 111¡j es igual en rnódulo y opuesta en dirección a la fuerza elástica (fuerza de n:acció11) Ñ por parte del apoyo (ligs. 168 y 169). Todo radic.i, justamente, en ese mínimo desplazamiento que hemos mencionado. En ca.~o de dicho de.~pla7.1tmicnto. que siempre ocurre con moti\'O cic sacudid;1s casuales: co rrientes de aire y otras causas, el equilibrio de Ja b()la se perturba. En 1:1 lig. 168 vemos que, tan pronto la bofa en el ~oporlc convexo 17S
Fig. 166
Fíg. 147
abandona su puesto, la fuerza d.e gravedad mg deja de compensarse con la fuerza Ñ por parle del apoyo (la fuerza Ñ siempre 'está dirigida dé forma perpendicular a la superficie de conlacto cnlrc la bola y el soporte). La r~ultante de la ~uerza ele gravedad mg y la fuerza de reacción Ñ del apoyo, es decir, la fucm1 F está dirigida de tal forma que la bola se aleja más aún de la po$ición de c:quilíbrio. Un cuadro diferente por completo observamos en el soporte cóncavo (ríg. 169). Con ·un pequeño desplazamiento de la posición inicial, aquí también se _aller-:i el equilibrio. La fuerza clás1ica por parte del apoyo tampoco c~·uilibrnril aquí'la fuerza de gravedad. Pero en este caso la resultante f' está dirigida de llJ.odo qüe el cuerpo refoma a su posicfón anterior: E.n cslo co11siste la condición de· estabilidad de equilibrio. El equil ibrio de un cuerpo e~ estable si, al aparlarlo un poco de la posición de cqÜilibrio, la resultante de !ns fuerzas aplicadas al cuerpo hace que éste rclórn'e ·a la posición de eqúilibrio. E(cqulfi&rio es inestable si, al desplazarlo un poco de la posición de equilibrio, la rel
Fig. t<.S
f ig. 169 176
Ñ
Ñ
Ñ
~
1 p
l'i¡¡. 172
Fig. 173
Fig. 174
Las posicion~ de equilibrio cslable e inestable dil1ercn enlrc sí además por la posición del centro de gravedad del cuerpo. Cu:indo la bola se encuen tra en líl posición de equilibrio incstablc(vé{lseda lig. 166).su centro de 17avedad está por encima de éslc en cualquier olrn posición vecinu. Y viceversa, en l:i bola si tunda en el soporte cóncavo, el centro de gravedad en la posición de equilibrio estable (vense la lig. 167) csl~ por debajo de dicho cenlro en cualquier otra posición vecina. Esto quiere decir, qu~ ¡mra e•/ l'q11i!ibrio c~tuble el cmtru de orai't'dad del cuerpo debe c11contrarse en /u posidti11111cís baja de todus fas posibles. E11 lo qr1t e11aiie a im cuerpo q11<' cicllt eje de rotación. su rqullibri:i es esrable a cmufíci611 de que su ccmro de gravedad esté por dPbojo del tje de rotaciór. T:imbién es po~iblc tal posición de equilibrio, cuando el desplazamiento d.: 6;111 no cond uce :i variaciones del estado del cuerpo. i\~i es, por ejemplo, In posición de Ja bola en un i1poyo plano (lig. 172) o de la "1J.la suspendida de 1m 177
Fig. 176
csrú.rrago que p:1s~ por el orificio practicado en su centro de gravedad (fig. 173). l.!..~tá claro, i1ue con cu;ilquicr v;iriación de la posición del cuerpo, ésta sc~uitfi siendo de equilibrio. ·Semejante equilibrio recibe el nombre de INOIFí;RENTli,
EQU ILIBRIO DE LOS CUl;RPOS SOBRE LOS APOYOS. Acabamos de e.aminar la <;ondición de estabilidad e inestabilidad de los cuerpos con un punto o. un cj<: ele-afluyo·. Es·dc la misma importancia el caso, cuando el apoyo no .es un punto (eje), sino cieria area. Tienen árQa de apoyo un cajón e1i el suelo, 1111 vasp sobre la mesa, toda clase de odílicios, las chimeneas de las íábricas. etc. i.Cuáles··son en este caso las condiciones de equilibrio estable de los cuerpos? Sobre los cuerpos, que tienen área de apoyo, actúan y se equilibran entre si, lo n\i~·ino que en los .c asos anteriores, la íuer:za de gravedad, que podemos considerarla como ;iplícada al centro de gravedad, y la fuerza clilstica {reacción) por parte del apoyo, que es perpendicu lar a su superficie. Lo mismo que en los <::•sos C.stud iados mils arriba, el equi librio serlt eslable, si al dc,~pl;1z;1rsc de la posición de equilibrio no surge una ' Íucrz11 que a leje el cuerpo de dicha posición. Por ejemplo, cuando un prisma se encuen tra sobre una superlic1c hori1;0ntal (lig. 174), éslc se encuentra en equilibrio. Semejante equilibrio es C.5tablc, ya que, al inclinarlo un pequeño ángulo, la linea de acción de la fuerza de gravedad (que coincide con la 1í1Jea de la plomada) cru7.a la base del primsa a la izquierda de Jos puntos de apoyo (fig. 175) y la íuena de gravedad retorna el prisma a su posición anterior. Pero ·si aumentamos la inclinación del prisma (fig. 176), el resultado .será otro. La linea de acción de ht fuerza de gravedad (la linea de Ja plomad:i) cru%a ahora J;i base del prisma a la derecha de los puntos de apoyo y, bajo l:i ilCción de dicha íuerza, el prisma se inclinará aún ml\s. Al fin y al cabo. éste se cacrú. L;1 lig. 177 corresponde a la posición límite del prisma cuando él todavía 110 se ~'ac. En eslc caso, la línea de acción de la íucrza de gravedad cruw Ja 1.ínca, a lo largo de la cual se encuentran Jos puntos de apoyo del prisma. /\sí pues, parn la estabilidad dc.I cuerpo, es preciso que la vertical trazada por su centro de gravedad caiga dentro del área de apoyo. 178
Fig. 177
!'is 173
Esta úrea. de la que depende el equilibrio, no es siempre el área con la que el cuerpo IH1cc en rc:1lidad contacto con el apoyo. Por ejemplo, la mesa hace c-.onracto con el sucio sólo en aquellos lug;1rcs donde se encuentran sus pala$. Pero el ~rea de apoyo dl' la mrsa es la que abarca la supcrlieio: dentro dci contorno que obtenemos al unir con rcrtas to
t ?
l. Indicar los tipos de equilibrio para 10$ siguientes casos : aj un gimnasta hace.el puntal en las parnlcl3s; un gimnasta c.~la colgado de las anillas: b) un volalincro se cncucnl!a sobre el c~blc; e) una rued:1 c:-:1:1 as~n1ncla en d cjC'; d) 1m.1bol., cs1!1 "º·'J'ICfülfcla de un hilf'. el una hnL1 Oll:• <111o!in: L1 UU."s.,_
2. 1.Dc qué modo se :iscgura buena c:aoboliclad de los si¡;u:cnlcs obJclo<: a) un •opone úc laboratorio: b) una gni• de torre; e) 1ma l~mpnr:o t!c
mcsn?
J . Un cait>ión trnnsporta mcrc:tncias del mi•mo peso : en el primer
~:iso
son chapas tic acero; en el segundo, al¡¡odbn y en el 1c:-ccro, leila. ¿En qué caso el c.•mibn es mis cstahlc?
12·
Lo mqs importante en e l séptimo capitulo El problema del equilibrio del cuerpo, sobre el que actúan fucn:is, es importaole para el dllculo de obras que deben cnconlrarse pcrmancnlementc en reposo. Para el equilibrio del cuerpo es preciso que se cumplan dos condiciones: 1) la SUMA 0EOMÍrrRIC"A de l:is fucrtas aplicadas :d cuerpo debe ~c:r igu al 11 cero; 2) fo SUMA AL(lllllRAIC"A de los momentos etc l:L~ fucn:i.~ aplicadas d ebe ~cr igual a ccrn. 1:1 momen to de íucrw rcspet:to úc cualquier CJC .::; una nrngn itu
Principios de conservación en mecánica
8
PRINC IPIO DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO (IMPULSO)
MAGNITUDES FÍSICAS QUE SE CONSERVAN
Eu
lo~
antcriorc.< capítulos vimos cómo las
lcyc.~
de New-
1m1 permiten rc.,olvcr el problema tic movimiento de I<"
cuer pos. Por esta causa se puede crear la impresión de que aquí potlríamos acabar el estudio de la mecánica . Pero en muchos casos es muy dificil hallar el valor de l;L~ íucrz.a.~ que actúan sobre el cuerpo. Al examinar el choque de dos cuerpos, por ejemplo, dos vagones, sabemos que ellos actúan recíprocamente mediante la fuerza elástica. Sin embargo, determinar el valor de ésta suele ser dificil y a veces imposible, ya que las deforrnacionc.~ de las partes de los vagones que e11tran en contacto son de complicado carácter. Incluso en el caso tan sencillo como lo es el choque de dos bolas, Ja deformación de cada una de ellas tiene un complicado aspecto y no está claro cuáles son los valores de las magnitudes x y k en la fórmula de la ley de Hooke:
(Fc1a.1}_,
= -kx.
En estos casos,. para resolver el problema de mccánicn. ~e empican sencillos corolarios de las lcyc.-s de movimicnlo, que son modificaciones de la segunda ley de Newton. Pero en tales casos aparecen nuevas magnitudes en lugar de las fucr7..as y l
8.1.
Fuerza y cantidad de movimiento La fórmula
¡: = ma,
(1)
que expresa la ~cgu nda ley lle Newton, puede ser escrita de otru forma, si recordamos que la aceleración es igual a la rapidez de variación de la 181
velocidad del cuerpo. Eu particular, para el movimiento unííonnemetllc variado
,; = ii- Jig.
(2)
1
Poniendo esta expresion en la formula (1), obtenemos:
Pe
-m(v-6 -,- -. 0)
o bien
,:·= mV-mii0
.
(3)
1
La expresi ón (3) puede ser anulada en fa forma siguienlc: F1=111 1i-mv0
(4)
El segundo miembro de C$ta igualdad es fa variación del producto de Ja masa del cuerpo por su velocidad. El producto de la masa del c:ucrpo por fa velocidad es una magnitud física que tiene una dcno· minación especial. Recibe el nombre de CllNTIOAD DE MOVIMIENTO o IMPULSO
D~L
C:UcRPO.
Lla111amos cantidad de· movimiento de un cuerpo al producto de Ja masa de éste por su velocidad. La cantidad .de movimiento del cuerpo es una magnítud vectorial, cuya dirección coincide con la del vector de velocidad. Se suele decir que un cuerpo de masa m en movimiento a una velocidad v es portador de una cantidad de movimiento mii (o que tiene una cantidad tle movimiento mii). Es evidente, que en el SI se toma por unidad de cantidad de 111e11>i· mie1110 la correspo11die111e a u11 cuerpo de 1 kg de masa qtte se mueve a wra velocidad de 1 m/s. La unidad · de cantidad de movimiento es el K ILOGRAMO-MITTRO roR SEGUNDO '(kg. m/s). Como se infiere de Ja formula (4), la variación de la cantidad de movimiento de un cuerpo es igual al producto de la fuerza f: por el tiempo t durante el que ella actüa. La magnitud Pe también tiene una denominación especial, recibe el nombre de IMPULSO DE LA FUERZA. La variación de Ja cantidad de movimiento de un cuerpo es igual al impu lso de la fuerza. Al deducir Ja fórmula (4) supusimos que la aceleración de un cuerpo y, por lo tanto, la fuer7.a que 'sobre él actuaba eran constantes. Si la fuer7.:i varia con el tiempo, el intervalo de éste durante el que la fuerza actúa puede ser dividido en pequeños intervalos, en el transcurso de los cuales ~e puede considerar que la fuerza es constante. Para determinar la va· rinción de la cantidad de movimiento, en cada uno de dichos intervalos de tiempo, se puodc utilizar Ja fórmula (4). Después de sumar las variaciones de la c;m tidad de movimiento del cuerpo obtenidas, tendremos la vari;icióu t82
de la can1i1fad de movm11cnto para tocio el intervalo de tiempo durante el que aclúa la íucna. Si el 1icmpo de acción de la íucna es muy peque1!0, por ejemplo, en caso de un choque o golpe, es posible hacer uso directo de la fórmula (4), tomando f: c,o mo la fuerza media que sobre el cuerpo actúa. Ln cantidad de movimiento es notable por cl hecho de que varia de igual modo, bajo el efecto de la fueria dada, en tocios los cuerpos, si el tiempo de acción de la fuerza es el mismo. Una misnia fuerza, que actúa durante un determinado tiempo. añadirá igual cantidad de movimicnlo, 1:1nto a una b:ircaza cargada, como a una canoa. Pero retomemos a la cxprCC'lión (3). I..a razón mU-mtl
es la variación de la cantidad de movimiento de un cuerpo en la unidad 1lc 1ic111po. Así p u c.,, fa f11cr1.a no si>lo se ~aract cri1~1 por el prud11~111 de la masa del cuerpo por ~u acclcrnción. Como ahora vemos, In jiierw es ww 11111g11i111tl 11111nl ti In rn:im rnLre In V(lrfr1dbn de ltt r11111ttftul tlr t110t•I· mirnto ti<'/ ruerrm y el i111ermfo ti<' 1ie111pt1 r/1m1111c ('/ q11c $(' procl11jn die/ta 11<1ri<1ciim.
La fuerza que actúa sobre el cuerpo es igu
?
l. ¿Que es la co ntitlod tic movimi~nro'/ /.A que es igual el mi1dulo de la cantida1I Je movimiento de un cuerpo? ¿C6mo csl:l dirigido cJ vector de la c.1ntidad de movimiento de un cuerpo? 2. i.Que liga7.6n extste entre l:i íuerta nplic:ida al cuerpo y su eantid;id de movimiento? ¡,Podemos decir que el cuerpo tccne c:1111idnd de movimiento porque sobre él nc1í1a unn rucrza7 3. ;,Qué es el impulso de '" fuco.a? ¿/\ qui: es igual su n1ódulo y e6mo csl~ diri~ido? 4 ¿Qué relación eu.,1c cnlrc: el 11np11l•u de Jo fuerz.1 y l.1 c.mlltlaJ de movimiento del cuerpo? .' 5. ¿En qué u11idndc.<0 se mide el impulso de la fuer>•• y In cnn1idad de movimiento del cuerpo? ¿Son csra• unidades d1forcn1es?
E¡ercicios 28 l. HnllRr In con111fad de movionocnto de un cuerpo de 5 k¡; de m:1sa que está en movimiento a una velocidad de 2 m/s. 2. En la cisternn de un camión regador de 4 t de mas:. hay 2 m' de ai;ua. (.A que c.-; 1¡;uol 1:1 cantidad de movinucnto del c.1n1ión : a) cu:mdo $C mueve a una velocidad de 18 km/h hacho el lugar de regadlo; b) cuando el camión se mueve 3 una velocidad de 54 km/h dc.
U. fuerza de ro1.amic:n10 de las ruedu con el' asfalto es iguol n 5880 N. ¿A qué era igual la cantidad de movimiento del :tutomóvil en el momcnlo de pMar el motor? ¿Cu~I es lo masa del automóvil? S. Un automóvil de 2 t de masa se mueve a una vclocitl.ul de 36 km/h. ¿Cuánto tiempo hará ralla para la parada 10131 dd automóvil después de desconectar el motor, si la fuerza de rota· micnlo enlrc lns ruedas y la carretera es igual a 5880 N?
Tarea Analizar la solución de los problemas 4 y S de Jos ejercicios 28 y aeforar de qué magnitud depende el tiempo de frenado de un cuerpo en movimiento, para el valor prclijado dcf módulo de Ja rucru de frenado. Comparilr el rcsull:ido del análisis con la íór· mula aducida en 6.7.
8.2.
Pri n cipio de conservación de la cantidad de movi mi en to
A la cnnaidad de movimicnao le e$ inheren te una importanlc e in1ercsn11fc propiedad, que poseen muy pocas magni1udes Ílsica~. 8aa es la l'ROl'lt!OAO DE CONSl)RVACION. Consisle en que la sumn gcométric:i de la.' wn1id:1de• de movimjcnao de los cuerpos en in1crncción $C conserva invariable. Claro cslil, que las cantidades de movimicnlo de los cuerpos varían, ya que sobre cada cuerpo actúan las fuc17.as de interacdón, pero l.1 suma de las c;intidadcs de movimicnlo queda constanle. Esta afinnac16n recibe el nombre de principio de conservación de la canaídad de rnovimicnto. Esle principio es una de las más imporlantcs leyes de la naturaleza. Dicho principio se demuestra con suma facilidad cuando en interacción se encuentran dos cuerpos. !211 .efecto, en semejan te c:tso, si el primer cuerpo actúa sobre el segundo con una íuerw P. sobre el ·primer cuerpo actua rá el segundo con unn fucr¿.1 , que según la 1crccn1 ley de Newton, es igual n - F. Designemos las nHL~as de los cuerpos por m, y 111 2 y sus velocidades rcspccln de cierto sislerna de rcfcrCJtcia, por ti1 y ri1 . Como resultado de la interacción de los cuerpos, sus velocidades variarftn y dc.<;pués de un intervalo de licmpo 1serán iguales :i ,;¡ y .
1ií .
De acuerdo con l:i fórmula (4) del parágrafo ;interior
1:·, = m 1ai; - 1'1 -
m2 rií
m 1 ti1 ~
- 111 2 1Í1 •
Por eonsiguienle.
111,v: - 111u1= - (m2 1i~-111 1 ii2 ). Cambiando los signos en los dos miembros de esta igualdad por los contrarios. la escribimos del modo siguiente; En el primer miemhro de csan igualdad viene la sum;1 de las cantidades iniciulc.q lle movi miento de los dos cuerpos. mientras que en el segundo, la suma de las 184
Fig. t79
can tidades de movimiento después del intervalo de tiempo t. Estas sumas son iguales. De forma que, aunque la cantidad de movimiento de cada uno de los cuerpos varia durante la inlcracci6n, su cantítlad de movimiento total, es decir, In suma de l;is canl itladcs de movímíenlo de los dos cuerpos se con~crvu invariable. Lo que queríamos demoslrnr. ¿CUÁNDO t.:S VÁtlOO EL PRINCll'IO D e C'ONSERVACIÓN DE LA CANT IDAD DE MOVIMIENTO? E.~ posible demostrar y la práctica también lo c.;oníirmu, que si en i11 terncdón están no dos, ~ino que muchos cucrpos, l;a sumfl geométrica de las canlidadcs de movimiento de todos ellos o, como suele decirse, la de un sisteni;1 de cuerpos, queda invariable. Sólo es de importancia que c.~los cuerpos csté11 en intcraccibn solamente entre sí, que sobre ellos no actúen fucrws por pnrle de otros cuerpos que no [igurnn en el sistema {o bien que las fuerzas exteriores se equilibren). Ese grupo de cuerpos libre de inOucncias C)(tcciorcs por parle de cualesquiera otros cuerpo.~ que no figuran en dicho grupo, recibe el nombre de SISTEMA Cl!R RADO- Cuando m~s a rriba hablábamos de dos cuerpos en interacción, tambilm lcniamos en cuenta que cuerpos ajenos no uctuaban sobre ell os. Precisamente, para Jos sistemas cerrados es justo el PRINCIPIO nr: CONSERVACIÓN Oll LA c,\l'TIDAD Ofi MO VIMlf:NTO.
La sum;i geométrica de las eantidndcs c.le movimiento de los cuerpos, que forma n un sistema ccrrac.lo, queda constante para toda clase de inlcra<:eioncs ,1c los cuerpos c.le este sistema entre si. De aquí se desprende que la inlcracci6n de los cuerpos se reduce a que unos de ellos tr:msmitcn parte de su c;;infülac.I de movimiento a otros. La c:inlidad de movimiento es una magnitud veclorinl. Por e.'ta rnóu, si !.1 suma de las cantidades de movimiento de los cuerpos queda constante, tatnt>icn la suma de sus proyecciones sobre los ejes c.le coordenadas permanece invariable. Por este motivo, la suma geométrica de los impulsos puede ser sustituida por la suma algebraica de sus proyecciones. El principio de conservación de la cantidad de movimiento puede ser mostrado en los siguientes experimentos sencillos. L Pongamos sobre los rieles dos carretillas de igual masa 111. En la cara de una de ellas fijemos una bola de barro plástico. Sea que las carretillas se mueven a l encuentro a velocidades li de igual módulo (fíg. 179). Al chocar ambas c;¡1rrc1illas se pararhn. Explicar los rcsuhndo., del experimento es Í
ri¡;. 180
co111rari:1s). Por lo tanto. :mies de chocar, la can1idad 101al de movimiento de las carretilla.~ era nula:
1111i + ( -11111)
~o .
))cspui:s de chocar los vehículos se pararon. P or lo tanto, la canlidad sumaria de n11>vimien10 de las carretillas tambicn es nula.
2. Podemos dar vuelta a las c.1rretill:~~ de íormn que queden dirigidas mutuamente con los topes de resorte (Cig. 180). Entonces, repitiendo el cxpcrimcn10, nos cercioraremos de que, dcspu~ de chocar lns earre1ill:is, se scparar(tn en dir•..:doncs opuestas. C::n caso de semejan1e i111cracción, las velocidades de las carretillas c:tmb.i an ~us oireccioncs por las contrarias, mientras que los módulos de las vclocid:ides marilíenen los miscnos v:1lorcs que antes de la interacción. Si antes del encuentro la cnnlid::td de movimiento de la c:mciilla izquierda era igual a 1110 y la de la derecha, - mú, después del choque, esa magn itud.de la carretilla izquierda será - mu y la de la derecha, miJ. Por esta razón, la cantidad sumaria de movirnienlo de las dos carretillas es igual a cero HmlO anles, como dcspu~~ del choque, de acuerdo con el principio de conservación
+ 111 2 ) v.
Por cons1guicnlc, 111,11,
:(111, +1112)11 .
De aquí m,
3 ·104
kg·l,5~ 5
V= - - - - v 1; V= - - - - - -- =
m, +m2
S· IO'kg
09~ ' s.
En el problema no conocíamos los valo res de las fuerzas de interacción entre los vagones. Pero, haciendo uso del principio de conservación de la cantidad de movimiento, hemos hallado las velocidades de los cuerpos que nos interesaban. Está claro, que si son conocidas las posiciones iniciales de los cuerpos, sabiendo sus vclncidadc_~. es posible determinar la posición de ellos en cualquier momento de tiempo. He aquí el porqué el principio de conservación de In cantidad de movimienlo tiene gran importancia. l. ?
l. ¿Un qué consiste el principio de conservación de 1;1 c:intidud tk movimicnlo? 2. ¿Qué es un síslcm;i (errado de cuerpos? 3.. Un velero entró en mm t.Onn de c:ilm:1y ~e p;1ró. ,;Scr!1 posible ponerlo en movimiento hinchando fos velas con :iyuda do una bomba<> de CJl füellc instalado a bordo de él? 4. De un carro de combate en movimiento se dispara el cañón. ¡,lnfüoirá el cañonazo sobre la velocidad del lanquc7 ¿Qué cuerpos forman en este caso el sistema cerrado? 5. Dos bolas de igual masa ruedan al encucn1ro a vcl.,cidadcs de un mismo módulo por una supcdieic muy lisa (por esto, ambas boh" forman un sistema cerrado). Las bolas chocau, dc.~pués de lo cnal se mueven en dircxcioncs opuestas. con las misma.e; velocidades en cu:mto al módulo. ¿A qué es igual su can1idad tolal ele movimiento anlcs del choque, en eJ insl:tn1C de éste y después de /:1! 6. Puede la metralla de uno granada estallada volar en la misma dim:ción si anles de la explosión ella estat>a en reposo ? ¿Y en caso de estar "'1 mov¡micnlo?
Ujcrcicios 29 l. Un hombre de 70 kg de masa, que corre a una velocidad de 7 m/<,
alcanza un carro de JO kg de mas;1 que se desplaza a una vclocidall de 2 mfs y salla sobre él. ¿A qu~ velocidad se movcrll el c.irro
187
Propulsión a chorro o por reacción Un import;inte e interesante caso de la utilización pr~ctica del principio de conservación de Ja cantidad de movimícnto es Ja PROt'ULStON f\ CllORRO o l'OR RF.ACCIÓN. Así se denomina el procedimiento empicado para que un cuerpo avance en el espacio por efecto de expulsar a dctcm1inada velocidad cierta parte del mismo. Este tipo de propulsión se hn realizado, por ejemplo, en los COH!ITES. To
8.3.
l·íg. 181
188
Konslanlin
Eduardovich
Tsiolkovski
(1857-1935). Cicntílico e invenlor ruso,
fundador de la cosmonáutica. En los :vlos SO
é.~tos,
vuelos
~pa...
cialcs. inOuycron en afro gr:i.do sobre el desarrollo de la técnica de cohete< y cúsmica en L~ URSS y en ot ros paísc5.
clase de medios dc, comu11ic:11;.;ó11, cte. Con el cohete puede estar también ligada una nave cósmic;1, en la que se encucnlr<m los cosmonaulas. El principio de conscrv3ción de la c:1n tidad de movimic11lo permite definir la velocidad del cohete (de la cubierta). En efecto, para empezar, supongamos que ' todo el gas que se forma al q uemar el combustible, se expulsa del cohete de golpe y 110 Ouyc gradualmente. Designemos por nr8._, toda la masa del gas, en que se convierte el combustible del cohete, míentras que la velocidad del g35 que sale por rig•s . La masa y la velocidad de la cubierta seran designadas por lllcob y ticub. De acuerdo con el principio de conservación de la cantidnd de movimiento, 1:1 suma de Jos impulsos de la cubicrla y del gas después del lanwmicnto debe ser la snis111a que antes de lan1,,r el cohete, es decir, igual a cero. /\sí, puci:, lllg•s(llgas)y + lllcuh(l•cubly =O,
o bien mcub l'cuh = 111gas tJg;i~
(el eje de coordenadas Y se ha elegido en la d irección de movimicnlo de la cubierta). De aquí hallamos la velocidad de la cubierta:
(1) De esta fórmula se deduce que la velocidad de la cubierra del cohete, serú tanto mayor, cuanto mayores sean Ja velocidad del gas que se expulsa y la mzón entre fas masas del gas y de la cubierta. Por esta causa. la cubierta recibirá una velocidad suíicie11te01cnte grande en caso de que la masa del co111b11shb!c sea mucho más grande que la de la cubierta. Por ejemplo, para q ue la velocidad de la cubierta tenga un valor absoluto 4 vece.~ mayor que la velocidad de expulsión 189
Scr¡fuéí l':\vlovioh koroliov ':· •
(1907 ··196~)~
del gas, la m;1sa del combustible deberá ser esa misma cantidad de veces 1m1yor que la masa de la cubierta, o sea, ésta constituir.á una quinta parte de toda la ma;a del cohete antes del lanwmicnto. Pero hay que tener en cuenta que Ja cuhicrl;i es, precisamcnlc, la parle "util" del cohete. Hemos considerado que todo el gas se expulsa del cohete de golpe. En la re:ilidad, aqu<:I íluye no de golpe, aunque lo hace con sulicienic rapidc-,. E.•l<> significa que, a medida que c;l combustible se consume y aumenta la velocidad del cohele, fa velocidad del gas que íluyc, con relación a la Tierra, decrece. También se reduce la cantidad. de movimíento que el cohc:c adquiere al expulsar el gas. Por este motivo, la velocidad llcob del cohete resulta l)leuor que l:i c:1lcu l<1da aplicando la fórmuln (1). Esic hecho h:1cc c¡nc :wmcnte considerablemente la maim del combnstihlc necesaria para :1 lcam.:ir la velocidad dada. El cálculo muestra que para que la velocidad de 1;i cubierta sea 4 veces mayor que la del gas, la masa del combustible :mtes del lanzamiento debe ser no 4, sino que varias dccen:is de veces mayor que la masa de la cubierta. Además, si se toma en considcracion que, <11 lan zar el cohete desde la Tierra, sobre éJ accuan la fuerza de resistencia del aire, a través del cual el cohete debe pasar, y la atrnceión de la Tierra, ha de llegarse a la conclusión de que dicha relación debe ser aun más grande. A diferencia de lodos los demás medios de transporte, el cohete puede desplazarse sin entrar en interacción con ningún otro cuerpo, salvo con los productos de la combustión del propclcnte que en el mismo se cnc11cn1ra. Esta es, just:imcntc, la ~ausa por lá que los cohetes se utilizan para lanzar sati:litcs artificiales de la Tierra y naves cósmicas, asi como para el desplazamiento de éstas en el espacio cósmico. Alli nada eitistc sobre lo que se puede hall;1r apoyo o bien repelerse, como lo hacen los medios terrestres de transpone. En c;1so de necesidad, el cohete puede ser frenado. Así obran los 190
~t.~
...
•' ;·
..
Yuri Akxéycvich Gagarin (1934 - 1%X). cosmonaula$, cuando ~c.~pués de acab;ir el vuelo espacial d'cbcn reducir la velocidad Je su 11<1ve para retornar a la Tierra. Estt1 claro, que el cohete disminuirá.su velocidad si el gas que sale de su tobera, nuyc CJ} la misma dirección en que se mueve el artefacto. La idea de emplear los cohetes· p¡ara los vuelos cósmicos fue propuesta a comienzos de nuestro siglo por el famoso científico ruso K. n. TSIOLKOVSKJ • Esta idea fue realizada por los científicos e ingenieros sovié-tiCO$, bajo la dirección del eminente científico S!lR.GUIJI PÁVLOYICH .KOROt.IOv. Muchos centenares de satélites artificiales de la Tierra y naves cósmicas ~e ponen en órbita en el espacio cósmico con ayuda de cohetes. Gracias al empleo de los cohetes, e.I hombre ha visitado la Luna. Con ayuda de cohetes se han llevado a la Luna laboratorios cósmicos y cre;1do satélites artificiales de ella. El primer satélite arlificial de 1;1 Tierra en la historia fue lanzad o en la Unión Soviética con un cohete el 4 de octubre de 1957. El ciudad;1110 de la Uni611 Soviética YOMI GAGi\RIN fue el primer hombre que, en un satélite artificial, realizó 1111 vuelo al espacio cósmico. El 12 de abril de 1961 dio una vuelta al globo terrestre en la nave-satélite "Voslok". Los cohetes soviéticos fueron los primeros en alcanzar la Luna, en volar a su alrededor y fotografiar su parte "posterior", invisible, los primeros que llegaron ¡¡[planeta Venus. La URSS ocupa puesto de v¡¡nguardia c;n la investigación del espacio cósmico. ¡, ?
recibir ;1cclcr~ción en el espacio cósmico, donde a su alrededor no hny ningún ct1erpo. Pero para la acelcrnción hace falla una fuerza y ésta es la acción de 1111 cuerpo sobre otro. i. Por qut se acelero o los cohclcs? 2. ¿De qué depende la velocidad de un cohete? 3. ¿Cónio se rcaliw el frenado de una nave cósmica? 4. ;,A cuM de los t rc.< Cipos de fucr-1.as. sohre las 411c habl:imos en el quint(I capítulo, se rdíel'c 1;i fucm1 411c comuni
191
Lo más importante en el o ctav o capítulo (..;i caractenstica mfls importante del movimiento es la can litlad tic movimicnlo (el impulso) del cuerpo, magnitud vectoria l igual ni producto de la mas.1 del cuerpo por su vclocitlad. Una mi.~m:t fucrz;1 F. que act(m dur:tnlc un dctcrmin:tdo inlcrv;1Jo de licmpo 1, comunica a todos los cuerpos Ja misma cantidad tic movimiento, igual al impul~o de la fuerza Ft. P:tra Ja C
9
PRI NCIP IO DE CONSERVAC IÓ N DE LA EN ERGÍA
UNA DE LAS MÁS IMPORTANTES MAGNITUDES · EN LAS C IENCIAS Y LA T~CNICA
En el capitulo ~nterior hemos visto que gran importancia licnc de las magnitudes para la que existe el principio de conservación (la hemos llamado cantidad de movimiento). Un papel de t;m suma importancia lo desempeña también otra magnitud más que, para un sistema cerrado, asimismo queda invariable, o sea, se conserva. Esta magnitud recibe el nombre de 15NEROiA. Con ell ~ se tropieza no sólo en mecánica, sino
9.1 .
Trabajo mecánico. Definición general de . trabajo La magnitud que hemos denominado trabajo, apareció en mccúnica sólo en el siglo XIX (casi 150 años después del
descubrimiento de !ns leyes de mov:micnto de Newton), cuando la human idad cmpc7-6 n u11li7.nr am1Jliamentc máquinas y rnccani~mos. Puc.~. al habl~r sobre una máquina en fu ncionamiento, decimos <¡uc "tr;1baja". Ya hemos trope:wdo con la noción de "'trabajo mcc.\nico" en el curso de lisic;i :mteriur (vé;isc /\..V. Pi6rishkin. N. /\.. ROdina. Física 1). /\.lli se indicó, que cunndo sohrc un cuerpo se ejerce el efecto de un3 íucru constante F y el cuerpo rcaliz.1 el dcsplaz.unicnto .<, en la dirección que actún la fuerza, con ello se efcc· túa trabajo, ígu:il al producto de los mOdulos de la fuerza y el desplazamiento: A =Fs. /\.lli mismo fue introducid;1 la unidad de trabajo JULIO {J). Recordemos que'"' el SI ~" 1mtir111fe 11or 1111j 11lio . el tr11bajn que renlirn ww fuerw 1/e 1 N c1/ despinzarse s11 ¡nmto ti<' <1¡1l1cació11 a l 111
1 J = J N·m.
TRABAJO RE/\.LIZADO POR VARIAS FUER ZAS. En el curso anterio r de lisien hemos cKaminado el trahajo ejecutado por una fuer7;1 dirigida en 1lircccií rel="nofollow">11 al 1111w1micnl\> dd c11c1 J'<" l'ln M!lllCJ.ltl l C ca~o. este i1l1111w se nn•c•·e con acclcr:1ción. Con frecuencia, sobre el cuerpo actua no una. sino varias 193
íue17,as. ¿Cómo ealcl•lar el trabajo de éstas? Para empezar; consideremos el caso en que el cuerpo se encuentra en movimiento rectilinco y uniíormc. Entonces, la suma vectoria l de· las íucr..:as a las que está sometido el cuerpo es nula. Por ejemplo, dura nt e la clevacióñ de una carga con una grúa, sobre ésta actúa la fuerza de tensión del cable, dirigida en sentido del desplazamiento hacia arriba y la fuerza de gravedad. en sentido opuesto al movimiento, o sea, hacia a!>ajo. Durante el desplazam iento de una caja de caudales por el sucio, sobre ella ejercen su e(ccto Ja fuerza muscular, con la que el hombre empuja o tira. de dicha caja, y la fuerza de rozamiento de deslizamiento, dirigida en sentido inverso al movimiento. TRABAJO POS ITIVO Y NEGATIVO. ¿Realizan trabajo las fuerzas dirigidas en dírección contrari;i al movimiento? P:ira responder a esta pregunta, recordemos que si la suma vectoria l de las fucrz.as aplicadas al cuerpo es igual a cero, todo debe transcurrir como si sobre él no actuarn rucrza alguna. Pero, en lal caso, e/ trnbajo sumario lle 1odt1,, '"·' .fí1erws, a las que está sometido el cuer¡J<>, tambicn debe ser nu lo. De ;u¡uí se desprende que las fucr1~1s dirigidas en sentido contr;irio al ~lci;plat.iunicnlo rcalii.:rn asimismo tnibajo. pero éslc tiene el signo co111rnrio nl del l.rnbajo rc:1li7.<1do por la ruccza d irigida en sentido del rnovimicillo (dcsp l;11..aÍnicn10) dd cuerpo. Así pues, d trabajo ¡nw1/c ser 1111110 positivo. c1111111 ll<'iJl1lil!IJ.
Es lógico que consideremos ¡10.~itivo el trabajo cuando las clire.cc.íones tic la fuerrn !' tlel dc.~11lclw111ie11to coi11cidc11. El tra/l(ljo realiwdo ¡wr 111111 fucrw tlC' 1/in·rriiin cm1t.rt1rir1 "' 1/espl11z11111je11to del cucrpn es negativo. Por ejemplo. al elevar una carga, Ja fuerza de gravedad efectúa trabajo negativo. TRABAJO DE UNA FUERZA D IRIGIDA DAJO CJERTO ÁNGULO AL DESPLAZAMIENTO. Más arriba, hemos hablado sólo del trabajo de fucr.zi1s dirigidas bien en el mismo sentido que el movimiento, o bien en tlirccció n contraria. En el primer caso, el trabajo de la íucna lo considcrnmos positivo, en el segundo, negativo. Pero la dirección de la fuerza puede también no coincidir con 1<1 del dcspl:v.:uniento. En ln lig. 182 se muestra un trine<> tlc.~li7úndosc por una superficie ho ri7..0nl:tl, la fucr;,a f., aplicada ;1 él, cstii diri gida fo rmando el ;'.ing.ulo a. al horizonte. ¡,Cómo calcular el trabajo que cjccul:l )¡1 fucrz.a F, s! el dc~pfazamicnto del trineo es igual a S? • _ La fuerza F puede ser representada como la suma de dos fuerzas: ¡: 1 y F ~ (fig. 182,a). Como CC} senlido vert ical el desplazamiento del trinco es l)Ulo, e! trabiljo de la fuerza Fz es igual a cero. Por esta causa, el trabajo de la fucr7..a. F sólo ser;1 igual al de f. 1 :
(1)
A = f, , .
En la figura vemos que F, = F cosa., así que (2)
A = Fscosa. El tnrbajo, realizado por una fuerza const:111tc, 194
c.~
igual al producto de los
Fig. 182
módulos de In fuerza y del desplazamiento, multiplicado por el coseno del f111g11IO Cnll'e los vectores de la Íucr:r.a y el dc.~plaza.miento. Señalemos que el producto F cos ex es igual n la proyección de la fuerza ft sobre Ja dirección del desplazamiento. Por esto, podemos decir que el trab
l. /,En <1uc casos se puede dcccr que la fuerza r~liz3 trabajo? 2. ¡,fa i¡¡uo l el trabajo que rcali1.~ In íoena dada en dos sistema.. de rdercnda en movimiento uniforme y r<:elilínco uno respecto del otro? J. A pesar de todos sus esfuerzos, los remeros de una barca no consiguen que esta se ponga en movimicnlo contru In corriClllC. Pero tampoco se mueve corriente aimjo. ¿Realizan los renteros trab;uo?
í:¡crcirios JO l. C:1ll•1l:1r el tr~ba¡u que efcc1ila un concu~rntc cuando eleva uniíormcmcnlc una h.1llera de 140 k& de ma.
eleva a una velocidad úc 0,25 m/s. ¿Qué Jrabajo se rcaliza dúrnnlc 20. s de elevación? 3. Una grua eleva uniformemente una plancha de honnig6n ilc dimensiones 320 x 100 x 10 cm a una allurn de 10 m. Caléulnr el trabajo realizado al subir la plancha si la densidad del hormigon es igual a 2400 kg/m'. 4. Calcular el trabajo que realiza un niño cuando eleva un juguete de 200 g de masa a una ali ura de 50 ·cm con uon acclcraci6n de 5 m/s'.
9.2.
Trabajo: un coso más complicado
TRABAJO DE UN/\ FUERZA VARIABLE. Si In fuerza que uchia sobre un cuerpo no es conslantc, s ino que varia de punto en punto, para lmllar el tr:ibajo se obra del modo siguiente. El dc:;p]a7,1niicnto del cuerpo se divide en espacios tan pequeños s,, .~,, s3 , - .. que. a lo largo de c:1da 11110 1lc ellos. tu fucr7.a que sobre el cuerpo <1cli1a p11~'tlc ~cr consiúcrad:1 constante e igual, rcspcctiva111cnle, a f. 1 • F,. F3 , .... En cada uno de estos sectores, el tr:1bajo se calcula empicando la fórmula (2) del parl1graío antcrio1·; 11 1 = F 1 .• 1 cosa,. Ai=f 1 s 2 coso:2 ,
....
El trabajo total scrú igual a la suma
Por ejemplo, al elevar una carga, se puede decir que la fuerza de tensión del cable de la grúa efectúa trabajo en contra de la fucrz;i de gravedad: la fuerz.'t con que la locomotora actúa sobre el tren realiza trabajo en contra de la fuerza de rozamiento de las ruedas sobre los rieles y conlra la fuerza de resistencia del aire. etc. t96
l' i¡;. I RJ
'·. ?.
l. ¡.En qu6 ca.
197
9.3.
Trabaío realizado por la s fuerza s aplicadas al cue rpo y variación ·d e su velocidad
Consideremos un cuerpo sobre el que actúa una fucna constante F, ésta tambicn puede ser la resultante de varias fucrz:is. Sobre la fuerza f podemos decir lo siguiente: primero, ella ha comunicado al .cuerpo aceleración, gracias a lo cual varía su velocidad ; segundo, la fuerza F realiza trabajo, ya que el cuerpo se desplaza. Podemos esperar q ue entre el trabaj o realizado por la fue17,a yfa variación de la velocidad del cuerpo CJCistc determinada ligazón. Jntentemos eslablccerla. Examinemos el caso más sencillo, cuando los vectores de la fuerza y el desplazamiento están dirigidos a lo largo de una ·misma recta, en un mismo sentido. Dirijamos el eje de coordenadas hacía ese mismo lado (lig. '185). Entonces, las proyecciones de la fuerza f., del desplazamienlo .f, de la aceleración á y de la velocidad serán iguales a los módulos de los propio.~ vectores. El lrnbajo de la fuerza en este -.iso será:
v
A=Fs. Según la scgund;i ley de New1 on
(1)
F = ma. (2) En el segundo capílulo hemos deducido que, para el movimiento rectilí neo, el desplazamiento y la velocidad están ligados mediante Ja correlación
v;- D~
(3)
.~= ---.
la
donde v, y 1! 2 son los módulos de los vectores de las velocidades al principio y al
fín;tl del sector del camino que consideramos, rC(;orrido por el cuerpo. Pongamos en Ja fórmula (1) las expresiones para F y s de las fórmulas (2) y (3),
dc.~pués
de lo cual obtenemos
.
v: - u:
mu:
1uu~
a = fs = m.n - - - - - - - - -. 2o 2 2
(4)
Hemos hallado una fórmula que liga el trabajo rcalizndo por la fuerza ¡; con la variación de la velocidad del cuerpo (con mayor precisión, del cuadrado de la velocidad). ENERGÍA CINÉTICA. la expresión en el segimdo miembro de la igual· dad (4) es la variación de Ja magnitud
11 ;
z
,
es decir, Ja mitad del producto de la
masa del cuerpo por el cuadrado de la velocidad con que se mueve. Esta magnit ud lleva el nombre de ENERGlA CINÉTICA DEL CUEKro en movimiento y se designa por ta letra E0 • Entonces, la fórmula (4) adquiere el aspecto :
A = l.iez -
Ee, · 198
X
Fig. 185
El trnbajo de 1<1 resultante de las fuerzas, aplicadas a un cuerpo, es igu;il a la variación de ht energía cinética del cuerpo. Esta alirmación recibe el nombre de TEORF,M¡\ IJE !.A ENERGiA C:INÚTICA Cuando la fucr7.a que sobre el cuerpo :ictúa está dirigida en dirección del
. .
.
·mov1011ento y, por consiguiente, re<Jliw trabajo positivo, IJJf)~
mu~ _ 11111~ > O. 2
2
1111'~
1.:s10 q11icrc
gravitación wriversal,
C!JI
partíc11lar, la fuerza de gravedad.
También es posible mostrar que el teorema de /a ¡•nergia cill(!tica es j11Slo en aquellos casos. en que la fuerza no es co11s1t111te )' c11ando .m dincción 110 coi11cide
con la del tfesp/aza111ic11to. El sentido lisico de In cncrgla cinética es facil de comprender. fmaginl:monos que a un cuerpo en rcp~o (110 = O) de masa m hay que comunicarle Ja velocidad v; por ejemplo, es 11ccesario comunicar dicha velocidad a un proycc1il que se encuentra en reposo en el caí\ón de una pieza de artillería. Para ello deber11 realizarse determinado trabajo A. (.Culi! es este trabajo? Del teorema de la energía cinética sigue que mu 2 mu 2 A = - - - Oa - - . 2 2 Asi pues, la encrgia c.inética de un cuerpo de masa m, en movimiento a la velocidad v, es igual al trabajo que debe rc;1Jiiar la fuerza que actúa sobre el mismo en reposo, para comunicarle dicha velocidad. Un lrabajo de este mismo módulo será realizado al parar el cuerpo. Del mcncinnudo tcor<'Jtl:l también se dc.~prcn
ww may11it.111/fisk11 que ctmicteriw el mt?rpo cn 111ovimielft(I. Su va1·foc:iáu es igual "/ trabajo q11e efect1í<1 la fuerza a¡>licculn al CUL'l'/IO. 199
PROll t. EMA. ;.Qué 1r.1bajo hay que re;1lizar par:I que un tren, q11c se 111ucvc :1 la velocidad v1 72 kmjl1, aumcnle su velocidad h:1s1:1 u2 = = 108 k111j11? La masa del tren es 111 1000 l. ¡,Qué fuerza hay que aplicar al lrcn si dicho aumento de la velocidad debe transcurrir en un scc!or de 2 km de longi1ud? Considerar que el movimiento es uniformemente variadQ. Soluciá11. El tmbajo A se puede hallar por la fórmula
=
=
nw~ mv: A~ --- --
2
2
Poniendo aquí los datos del problcm:i, obtenemos:
10" xs(Jo
·':'J
( "')' .. 250 · !06, - 250000 kJ.
10" kg 20~
A = ----'-2--'--
2
Por dcJinici611 A= Fs. Por consiguiente: A
f ' = -. .<
'
r.,
250· IO' J
F • - - - = 125000N=125 kN 2000 m
l. i.Qué es l.1 energía cinética del cuerpo'/ ¿E.
2. ¿En qué consiste el ·teorema
dirección del vcclor de su velocidad? Dos hola~ 1lc igual nrn
32
A un cucrr><> en reposo de m:1.•a de 3 kg se le aplie:t un:1 rucrzn Je 40 N. ílcspués Je ci.10, el cuerpo recorre 3 m sin ro7.nm1CJJtO por una super·
í1dc Ji.a hom.on1al A con1111uoc1ón, la rueru dí.s1ninuye h•sta 20 N y el cuerpo recorre 3 m mÍIS Hallar la energía cinetica del cuerpo y su vclocKfad :ti linnl de este sector. 2. ,:Qui: trt1b:1jo dchc ser rcahinJo pam dctCJJer un tren de 1000 l de mas;c que se mueve :1 una velocidad de 108 km/h? ). Calcular In encrgia cinC!ica de un sa1clite ar1ificial de Ja Tierr:1 de 1300 kg de masa que se mueve por una orbiln circular 3 una altura de 100 km sobre la Ticrrn. 4 ' In cuerpo. que licnc energía cinélici igual a 10 J, se mueve uni· fonncmcnte por una drcunícrcncia. cuyo rddio es de O.S m. ¡,Que fucrw actirn sobre el cucr¡io? ¿Como eslá dirigida? ¿Cuál es el lrnbajo de cstn rucrzn 7 S. Un chófer desconectó el molor del nutom6vil a J;i vclncl
200
c,>ns1ituyc 5~80 N'/ ¡,Cursi es L't masa del an1on1/>vil'! 6 lln a11tomov1l de 4 1 de masá se mueve a la vc.loc1dad de J6 kg/h
Tare.i Analizar los soluciones de los problemas 5 y 6 de los ejercicios 32 y <1cl'1rnr de qu~ mo(lnitud depende la distancia de rrcn,.do del c~crpo <:11 1novi1111cn10 f1'1rll el valor prefijado del modulo de la ÍUcr7.n írcnn· dor:>. Compamr el resultado Jcl análisis con L• í6rnnda o en G. 7.
9.4.
Tra bajo de la fuerzo de gravedad
Como ya hemos indicado, el Leorcma de 1.1 energía cin~tica es justo para todas l:is fucr?.as. ya que aqu~I ~un corolario directo de 1:1 ~cgunda ley de Newton. Pero el trabajo. que rc:1li;r.;1 c;1Ja una de las fuerzas mec~nicas que conocemos, puede ser calculado no empicando el lcorcma de l.1 energía cinélic:r, sino mediante las fórmuhis parn dich;is íucn.as que obtuvimos en el cap. 5. Comencemos pur lu fucrw de gravedad, aquella con que la Tierra actúa sobre el cuerpo cerca de su superficie, donde ella puede ser consider:id.1 const:m1c e igual a my (m es la mnsa del cuerpo; y, la aceleración de la caíd:i libre). Cuando un cuerpo se mueve verticalmente hacia abajo. la fuerza de gravedad tieoe Ja misma dirección que el desplazamiento. Al p.1sar de la altura li 1 sobre cierto nivel, del cual comenzaremos a llevar Ja cuenta de la altura, h~sra Ja altura /i 2 sobre ese mismo nivel (líg. 186), el cuerpo efectúa un despla:wmienlo igual en módulo a h 1 - lt 2 • Como las direcciones del dcsplawmicn10 y Ja fuerza coinciden, el trabajo de J¡1 fucria de gravedad es positivo e igulll a A=11111(/i 1 - 11 1) .
(l)
No es obligatorio llevar la cucntn de las alluras /1 1 y /1 1 desde la supcrfü:ic de l:i Tierra. Como origen de registro se puede elegir cualqmcr nivel. É.~tc pucclc $Cí el sucio de una hab1tac1611, una mesa o el fondo de una 1A111ja cavada en la tierra, etc. Pues10 que en la f6m1ula par.i el trabajo figura la diferencia de a.llurns, que no depende desde donde empezamos a contar la altura, lo único que es preciso consisle en determ inar la altu ra del cuerpo en distintas posiciones rcspcclo de un mismo nivel. La alturn del nivel pucclc ~cr lomada igual a cero y por eso recibe el nombre de NIVEL NULO. Por ejemplo, podríam os considerar nulo el nivel 8 (véase la fig. 186). Emoncc~. el trabajo se expresaría mediante la igu;11\h1d A
=mgh,
(2)
donde /¡ c.~ la distancia vertical entre los niveles A y D. Si el cuerpo se mueve verticalmente lrncia a rriba. la f11cm1 de gravedad tiene dirección contraria al desplazamiento y su trabajo scrlt negativo. Durante 1:1 subilla ele 1111 cuerpo :1 partir
y
"· --"A
¡' 1 1
h
1
h,
'
--· B
e=' ::
ltl-i- - ---
Fi¡¡. 1&7
re11liia el trabajo A = -myh.
UNA VCZ MÁS AC'I!R CA DI!L PL.'\NO INCLINADO. Aclaremos nhora trnbajo ejecuta la íucrw de gravedad cuando el cuerpo se mueve no ven ica lmcn te. Como ejemplo, examinemos el movimiento de un cuerpo por un plano inclinado (lig. 187}. Supongamos que el cuerpo de masa 111 realiza por el plano inclinado de allur:i Ji el desplazamientos, cuyo módulo es igual a Ja longitud de dicho plano. El trabajo de la íue.n..1 de giavedad mg debe ser calculado en este C:l.So recurriendo a la fórmula A= mgs cosa. Pero en la figura vemos que qu~
scosa =Ir. Por lo lanto, A = mgh . Para el trabajo hemos ob tenido la misma e.xprcsión que la fórmula (2). Resulta que c.J trabajo de la fuen.a de grav-edad no depende de si se mueve el cuerpo verticalmente o pasa un recorrido más largo por un plano iuclinado. Para u11:1 misma ''pérdida de altura~. el trabajo de la rucn.a de gravedad c,.; el mismo (lig. 188). Entonces, ¿por qué en la téc11ic;1 y en la vida cotidiana al elevar cargas se usa con frecuencia el plano inclinado? i ~n efecto, el trabajo para desplazar la carga por un plano inclinado es el mismo que al elevarla verticalmente! La explicación es la siguiente. En caso del movimiento uniíorme de la carga por un plano inclinado In Í\lerza, que ha de ser aplicada a ella en la dirección del desplazamiento, es menor que la íucrza de gravedad. Es verdad que en este caso la carga reali;:a mayor recorrido. El aumento del recorrido es lo que se »paga" :1 cau.
-~r-;-1 ---
--------- --------- ________ _
~ ~- ~- ~~- ~
Fig. 188
efecto, supongamos que un cuerpo se mueve por cierto camino elegido a l azar, por ejemplo, por el que viene represenlado en la fig. 189. Podemos mentalmente dividir este camino en una serie de pequeños sectores: AA 1, A 1 A2 , A 2 A 3 , etc. Cada uno de ellos puede ser considerado corno un pequeño plano inclinado, mientras que toáo el movimiento del cuerpo por el camino AB lo podemos representar como el movimiento por un conjunto de pl;rnos inclinados, que pasan de unos a otros. El trnhajo de la fucr:.:a de gravedad en cada uno ele scrncj~ntc.~ planos es igual ni producto de my por la variación de la altura del cuerpo en él. Si las variaciones de las alruras en los sectores por separado son iguales a 11 1, /J 2 , h 3 , etc., los trabajos de la fuerza de gravcd:1d en ellos serán iguales a mgli, , mgli 2, my/1 3, etc. El trabajo total al recorrer el camino completo se puede hallar sumando todos esos lmbajos: Pero
A ~mgh 1 +mgh 2 +mg/1 3 + ... =11111(/1 1 +'1 2 + 11 3 + ... ). l1,+lz2+l13+ ... =h.
Por lo tanto,
A=mg/1. Así pues, el trabajo de la fuerw de gr:1ve
hocio abajo. este trabajo es positivo. para el movimiento l1acia arribe:,
11e(JC1livo.
Si después de clcv11r un cuerpo, éste retorna al punto inicial, en semejante recorrido cerrado ("ida y v11cha") el trabajo es nulo. Ésta es una de las
A
Il
T'ig. 18') 203
parlicu laridadcs de Ja fuerza de gravedad; por 111111.trayecJoria ccrr.ada, el 1rabajo la fuerza de gmocttlC1tf es 1111/0.
tfC'
,,• ?.
9.5.
l. /.Depende el lrabajo de la íuerzn de gravedad de la longitud del recorrido realizado por el cuerpo y de la masa de éslc.? 2. Un cuerpo lanzado formando cierto ángulo con el hori?.Onlc, dcscril\ió una rar~bola y cayó a la tierra. ¿A qué es igual el lrabajo de la íucrza de gravedad si los punlos inicial y final de In trayectoria yacen en una misma hori?.ontal7 3. ¿Qué íucr1~1 es Ja que rcaliz.1 trabajo· duran.le el movimicnlo de. un cuerpo por un plano inclinado sin rozamiénto? ¿Depende este lrnbajo de la lungí1ud ºdcl plano inclinado? ·
Energía potencial de un cuerpo sobre el que actúo la fuerzo de gravedad La igualdad
A-mg(lr, -11 2 ) ,
(1)
que cxprc.<;a c:l lrabajo de la fuerza de gravedad, aplicada a cicrlo cuerpo, puede ser represen lada en otra forma. Abriendo el parénlc.~is y cambiando de lugar los · lérminos. oblcncmos: A= - ·(mg/r 2 -mglr,).
(2)
/\hora, en el segundo miembro de la igualdad vemos una cxprc.~1011 que e,~ la variación de la rnagnilud, igual al producto de la masa del cuerpo 111 por el módulo de la aceleración de Ja c.1ida libre ri y por la aºHura Ir, a la que fue elevado el cuerpo. Resulta que el lr:ibajo de la fuerza de gravedad es igual a la variación de la magnilud 1119Jrll, tomada con signo contrario. Mi1s arriba (véase 9.3) denomitiamos energía cinética de un cuerpo en movimiento Ja magnitud mv~/2. cuya variación cs. igual al 1rabajo de cíeria íucrw. Ahora vemos que existe una magnitud más, cuya variación (aunque: con síg.no contrario) también es igual al trabajo de cierta fuerza, en el cas.o dado de la íuerz;1 de gravedad. Por esta causa, la magnilutl mglr lambicn es llamada energía, m:is no cinética, sino que l'OTl3NCl/IL: mg/t es la energía potencial de un cuerpo, sobre el que actúa ht fuerza de gravedad, elevado a ·1a altura¡, respecto al nivel nulo. Con frecuencia, para mayor brevedad, Ja magnilud myli r<:<:ibc el nombre de ENERGi/I rOTENCl/\L OJ!L CUERPO. Por consiguiente, el trabajo de la fuerza de gravedad es igual a In 11nrioció11 de
lu energía potencial tomada con siguo contrario. El signo ·•menos" delanle de la variación de la energía potencial significa que, siendo positivo el lrabajo de la fuerza de gravedad, esta encrgla disminuye. Y viceversa, para el trab;ijo nega1ivo de la fuerza de graved;icl (iel cuerpo fue lnllzado hacia arriba!) la energía polencial del cuerpo aumenta. Como hemos vislo, la cncrgi;1 cinética se comporta precisamente al revés. '' Reconlemos que se denominn variación de cierta magnitud I~ difacnci3 entre sus valores ulterior y anterior y no a In inversa. 204
Designando Ja energía polencial mglr por Ep, podemos escribir:
(3)
A= -(Ep2 - Er1 rel="nofollow">·
·Acordemos que a la altura /t 2 cu la fórmula (2) le corresponde el nivel nulo. Designemos la altura del cuerpo sobre dicho nivel con /1. F.ntonces, E1n = mgh 2 =O y la fóm111la (3) toma el aspcclo:
=
~p = A.
D.e aquí se desprende que la energía potencial de un cuerpo. sobre el t1ue actúa la fuerza de la gravedad, es igual al lrab:ijo r~ilir.:td o por dicha fuerza :il bajM el cuerpo h:ista el· nivel nulo. Rccordenms que en 1;1 púg. 199 dcJinicionc.~ scmcj:mtcs fueron ti.u.las para la energía cinética. Para ella el "nivel nulo" era la velocidad v =O. A diferencia de la· cinética, la cual depende de la velocid:id de movimicn10
(.
l. ¿Cómo cstll ligado el 1rabajo de la fuerza de gravedad con la cncrg.ía
p<>lcncial de un cuerpo?
2 ¡,Cún:io v•ttia J,u;ncrgí01 polcnci;1I de un <.:ucrpo durante ~u ruovimh.:nto
haci:1 arriba1 ) . ;.Qui: sucede coo la energía polcncial de un cuerpo duranlc su c:iida Jib1·e? 4. ¿En qué difiere J:a cncrg)n polcncial de un cuerpo clcv:1
c3ercicios 33 l. Una cargo de masa de 2.5 kg cae desde la altura de 10 m. ¿Cutinlo v;1riarit su ~ncrg.Ííl polcnci.11 l s t.lcspué.c; de comcnz:•r Ja cnlda (la
velocidad inicial de la carga es igual a cero)'/ 2. ,:Qué trabajo se realiza cuando un hombre de 75 kg de ma~a sube por una c.•cnlera desde la cn1rnda a la casa hnsta el 6• piso. si la altura de e<1da piso es de 3 m? Considerar que el mo,·imicnto del hombre es unifonM. (Expli<:nr por qub csla úl1ima indicación es de importancia.) 3. La diferencia de ahura cnlre la línea de s;tlida y Ja mela de una rul:1 para competiciones de esquís de monlaña cons1i1uye 400 m. Un sla lomisla parle de la linea de salida y fcfümcnlc llega a l:t met:i. ¿A que será igual el lr,bajo de la fucrz.n de gravedad que nclúa sobre el C1'4uia
4. La meta de las competiciones d~ esquís de montaña se encuentra-a una. altura de 2000 m sobre el nivel del mar, mientras que In línea de.srtlida, ~ 400 m sobre l~ mela. ¿A que será igual Ja energía potencial del esquiador en 1:i línea de salida
9.6.
Trabajo de la fuerza elástica. Energía potencial de un cuerpo deformado elásticamente Como sabemos, l:i íuerza eláslica surge <11 dcíormar los cuerpos. Por su valor absoluto es proporcional a fa deformación (¡1l~rgamicnto) y está dirigida en sentido contrario a la dircccion del desplazamiento de los puntos del cuerpo durante Ja dcíormrición. En la lig.. 190,u se muestra un muelle en su estado natural, no deformado. Su extremo derecho cstl1 fij;1do, mientras que cu el izt1uicrdo se c11c11cutrn sujeto un cuerpo. Dirijamos el eje de coordenadas X como viene mostrado en la ligu· ra. Si comprimimos el muelle,
fcl6S1.mcd(X1 - Xi).
L
206
6 4
2
o "-~--r"--_,.Fig. 190
Fig. 191
donde ºª·' y u1.< son l;is proyecciones sobre el eje X de las vcloeid ades inicial y la siguiente. De form a semejan le, el valor medio del módulo de b fuerza cl11s1ica se p11cde definir recurriendo a la f6rm11la F.i~
."C¡ + X2 = k --2-
.
Por este valor del módulo de la fuerza clf1stica hay que mulliplicJr el desplazamiento x 1 - x 2 , con el fin de obtener el trabajo de c~a fuer:r.a; Xi +.'t'l
A= k - --{x, -x,). 2 C<:in10
(x 1 + x 2)(x1 .- x 1 ) = x~ - x~. la fórmula ;interior toma el aspecto k
A=2(xf - xi). Esla fbnnul:I también se puede escribi r asi:
A= -( k;j
-
k~~).
(l)
Aquí, en el segundo miembro vemos la varíarión de la magnitud kx 2/2 con signo
.. menos". En 9.5 la magnitud m!Jli, cuya variación con signo negativo, como vimos, re<:ultó igu~I al trnbajo de la fuerza de gravedad, fue llamada energía potencia l de un cuerpo elevado. De modo análogo, la magnitud kx 1/2 denominase energía f>Olcncial de un cuerpo deformado cl~sticamente (por ejemplo, de un muelle). Así pues, la fórmula ( 1) quiere decir que el trabajo de la fuerza rlásclca es iy11t1/ 11 /ti 1•11riacirí11 d1• la ent•r!Jia ¡wtencíal tlrl 11u"''k tom11rla cm1 si111w r1mlrnri(I. Designando aquí lnmbién la energía potencial h 1/2 por hi letra Er, 107
podemos escribir de nuevo:
(2)
L
Ep= A. De aqui ~e deduce que la energía potencial de un cuerpo defonn:1do clfisticamcn lc c.~ igu;tl al trabajo que realiza la fuerza elástica, cuan do el cuerpo p¡1.<;;1 111 cs t11do c11 el cual es nula la dcform.1ción de é.' lc. Semejante estado se considera "nulo''. 1 1.Cómo se d clcrmi11" el v;1lor medio de la íuer?.a cliJSIÍcn? 2. W.11 qué C\111Si$te CI pare<:iÚO Clllrc el trabajo de l:t~ ÍUCr/11~ clfi
F.¡crcic•O~ J4 t. Un niño defénpinó la íuer7..3 m:1xima con la que
pu~'()c cstir.ir un úin:tm6mctro. Esta rc$ultó igual a 400 N. ¿Qué trabajo se rcali'1.a :iJ alargar el muelle? ta rigidez
cx1rcmo libre c~t(1 sus.pcndidi.>
\U\
cucrpn tic I S kg de m;i~a. l~n <:slas
c11ndicionc.< la longitud del muelle es Je 10 cm. Cuando del nusmo 'e '"$pende un cuerpo de 30 kg de m:t
C:tlcul:ir el trnt>ajo que dcbcrí1 r~ahzurse
a 15 cm.
I""" C.
J. l!n "' fig. 19 J se muc.
del tribngulo AO/J. 4. Se disr.,ne Je dos muelles de igual rigidez. Uno de ellos
cst~
comprimido 5 cm y el segundo, alarg:ido S cm. i.En qué difieren los alnrg:vnicntos de C
9.7.
La e nergía potencial es energía de interacción. D efi nición general de energía
Cuando en los anteriores capítulos hablllbamos de h• cnergí~: cinética o potenci;1I, nos referíamos a la energía de cuerpos aishidos. Sin ernb;ir~o, esto no es del tod<> JUSto. Sí se trilla de la energía cinética mv1 /2, ést;1 se puede, rcalmcnlc. adjudicar al cuerpo que se mueve a determinada velocidad v (con relación al sistema de referencia elegido). Pero al reícrirnos a la energía potencial el cuerpo por si mismo no puede poseer dicha energía. Í~ta queda dcíínida por la fuerza que actúa sobre un cuerpo por parte de otro. Pero los cuerpos en 111tcracció11 son ct1 tut;1tivo.~. Por o;.~lc mn livo. ,wílo 1ie11e11 cuergícr pote11cia/ lus c11i:r1><1s t'll i111en1ccitJ11. La energía potencial es la energía de intcrncción entre 10.5 cuerpos. Por ejemplo, cuando un cuerpo se encuentra sobre la Tierra y en él actúa la foerzn mg, el cuerpo también somete a la Tierra a la acción de la fu-::r<:a - "'IÍ· Además, posee energía potencia 1no el cuerpo o la Tierra por separado, sino que el sistema de cuerpos constituido por el cuerpo y nucslro planeta. Si el sistema de referencia y el nivel nu lo se ligon con la superficie de la Tierra, suelen decir, para mayor brevedad , que posee la cnergia potencial el propio cuerpo que se encuentra cerca de la superficie de la Tierra. Así es cómo opcrúba1nos mas arriha .
En el C:\S(l de un cuerpo cl.'1sti..:amcntc dcíormado, por ejemplo de un muelle, posee energía potencial no cada pu11to de éste, sino que el cuerpo entero, constituido por puntos en inlcrnccíón. Como 1;, fuerza de int eracción depende de las coordenadas de los cuerpos, la energía potencia l también es función de sus coordcn;1das. En cs10 consiste In diferencia entre la energía polc11cíal y la cini:tica. 209
Así pu~. l:t en ergía potencial de un sistema de cuerpos es igual a todo el trabajo 11ue puede ser realilad n cuando did10 sistema pasa al nivd nul o. En <:I i:.,so de la cncrgin cinética, el nivel nulo es el estado con el que la velo cid i!d del cuerpo es igual a cero. E11 general, la energía de un cuerpo o de un sistema de cuerpos es igual a todo el trabajo que puede ser realizado al pasar dicho cuerpo o sistema de cuerpos al nivel nulo.
9.8.
Princip io de conservación d e la e ne rgía m ecáni ca tota l
Al principio del capitulo, indicamos que para la energía es justo el principio de conservación. Aclaremos en qué consiste. Exanuncmo.~ cómo varia la energía de los cuerpos que cs1!1n en intcr:1q:ión scilv ~111r1• sí. Recordemos t¡ue aquéllos rorman un sistema cerrado de cuerpos (véase el c.,p. 8). Lo~ cuerpos en interacción pueden tener c11crgía ci11ética y polcncial, simuhúne;in1cnte. Por ejemplo, un satélile artilicial de la Tierra posee energía cinéci..:a :i causa e.le 11ue ~t!i en movimicnlo. Adcmf1s. el sistema sa1élilc- Ticrra. tiene cncrgfo polcncial. y:i que el $.1télile y el planct:i intcr:ictúan mediante la fucr1.a de sr:iviwciún univcr.;.11. Dos bolas q ue chocan también poseen al mismo tiempo energía cinélica, por cslar en movimicnlo, y potencial. por estar clásricamcnlc deformadas. Pero si los cuerpos que constituyen un sL~tema ccrrndo se encuentran en interacción. ellos deben moverse de alguna manera, unos rcspcclo de otros. Con ello, pueden vari:ir tanto sus velocidades. como las coordenadas. Por consiguiente. puede variar tanto la cnergia cinélic.•, como la potencial. Designemos por T::r1 la energía potencia\ de los cuerpos en interacción en cierto momento de tiempo, 1nicnlras que por Ec,. su energía cinética total en ese 11¡é<1110 msllmlc. La cncrgia po1cncial y cinética de esos mismos cuerpos en cual~1uicr otro momento de licmpo, la designaremos por T:p 1 y F..: 2 • rcspcc1ivamcn1c. En 9..S y 9.6 est~blecimos que., cuando los cuerpos están en intcracóón rncdi:1111 c lt1s fuco.ns elástica o de grnvcd ad, el trabajo A realizado por es tas f11c17as es i¡_wal a la variación de la cnergiu potencia l de los cuerpos lomndu con ~1gno conlrario: (1)
A= - .(Epi - ép 1).
Por olni !.1\10. de acuerdo con el teorema de In cncr¡;ia cin.:.1ica, el 1rnb:1jo cfccwado por es;ts mismas fuerL<1s es igual a la vad;1ció11 de la energía cinédc:1: (2)
A =E.:i - ~' ·
De la com paración de l;is fórm ulas (1) y (2) sigue t¡uc las va riaciones de la cnergta ci nc11ca y de la energía polcnc1al son iguales por su valor absoluco. mas 11cnc11 signos contrarios: (.1)
Si la cn~rgia ¡101cncml de los cuerpos n11mcnl<1, su cncrg'm cinétic:i d 1~111i1111yc "" 210
es11 mi.rn111 magnitud y viceversa. De aquí concluimos que es como si 111 viera
lugar la trn11sformací611 de 1111 tipo de e11ergia e11 otro. La fórmula (3) puede ser escrita de otro modo: (4}
De aqu í se deduce q ue la suma de l:1s energías cinética y polcnci:il de los cuerpos, que forman un sistema cerrado y que cs1[tn en interacción por medio de las fuerzas de· gravitación universal y elúslka, siernpre queda constante. En esto consiste Ja esencia del PRINCIPIO DE CONSFJRVACIÓN 1)1! LA ENERGlA. Por regla. la suma de las energías cinélica y potencial de un sistema de cuerpos recibe el nombre de ENERGIA Ml'.CANICA TOTAL. La energía mcc!mica total de un sistema cerrado de cuerpos. que están en iu(cracci6n mediante las fuerzas de gravitación universal y elitstica. siempre es ir'lvariablc, Uno de Jos ml1s :idmirnblcs ícnómcnos de In naturaleza es la tr;insíornwción de h1 energía potencial en.cinética o bien J:i energía cinética en polcncial. Esta es la propk-dad distintiva íundamcnta·I de la energía. El principio de conservación y transformación de lil cncrgia permite comprender mejor el scntitlo fisico del trabajo. Del hecho de que un mismo trnbajo conduce al aumento de la energía cinétic.-'I y a la disminución de la energía po¡cnci:i l en esa misma magnitud, se desprende que el m1bajo es igual a la e11ergía 11ue se transforma de un lipa " otro. En el octavo capítulo estudiamos el principio de conservación ele la c;in tidad de movimiento de un sistema cerrado de cuerpos. Ahora hemos obtenido el segundo principio de conservación, el de la energía. Estos dos principios tienen el carácter mils general y son de absoluta precisión, incluso cuando las leyes de la mecánica de Newton dejan de ser justas. El principio de conservación de Ja energía total puede ser utilizado para resolver múltiples problemas de mcc~nica PROBLEMA l. ¿Qué allura /J alcanza un cuerpo lanzado hacia arriba a velocidad inicial ú0 ? Solucfó11. Tornemos como origen de registro de la altura el punlo desde el que fue lanzado el cuerpo. En este punto la energía potencial del cuerpo será nula, mientras que la cinética, igual a nw~/2. Por lo tanto, la energía total del cuerpo: O+ mv~/2 = mv~/2. En el punto supcdor, a Ja altura /r, la energía potencial será mglt, mientras que la cinética, nula. Así pues, en d icho punto la energía total será igual a mgf1. De acuerdo con el principio de conservación de la energía tola] /IJIJ~
11111/r = - 2- ·
De donde Ir =
0
~.
2g
PROBLEMA 2. Una bohl de inasa m = 3 kg se encuent ra a una altura/¡ = 211
9 h
~b}
~
a)
~
~
i
Fi[:. 192
f,::;;;
- 3 m sobre u11a rne<;ita fijada c11 un muelle (fig. 192.ll). Dctcrsni11ar la m!1xima 1del muelle cuando la bol u cae sobre Ja mesita (fig. 192, b), si su rigido. k = 700 N/ m. Las masas dc.I muelle y la mesita se desprecian . .'ifll11d1i11 La energía potencial de la hola cuando ella se encuentra sobre la mesita, con la m:rynr comprcsion del muelle (nivel nulo), será conmlcrada nula. Entonces, la energía polcncial de la bola en el momento inicial: comprc.~ion
T:p 1 = mg(h + /). En c.~c instanle la energía cinética de la bola es nula. P or consiguienle, la energía towl é, del sislcma bola - muelle viene definida en el momento inicial por la energía potencial de la bola:
r:, =- Ep
1
= m!J(li
+ /).
Ct1;111do In compresión del muelle es máxima, la energía cinélica de la bola es igual a cero, mientras que e) muelle posee la encrgin potencial k1 2/2. Por este motivo, la energía tolal E2 de ese mismo sistema, en el instante en que la comprcsion del muelle es máxima, serll: kl'
E,•2· De acuerdo con el principio de conscrvacion de la energía
é,
o
= E1 •
bien kl' nrr¡(/1 +l)= - -. 2
ltcsolv1cntlo esta ecuación cuadrática y poniendo los valores numéricos de los dnios, hallamos que / :::: 0,5 m. PRODLEMA 3. Una grúa eleva una carga de masa m desde Ja altura /10 hasta h. Con ello, la velocidad de la carga aumenla de 110 a v. ¿Qué trabajo rcaliui fa fucr1..a P de tensión del cable del que est."t suspendida la c¡1rga 7 Snf11rith En el caso que examinamos, el sislcma de cuerpos carg:i- T ierra 212
no se puede considerar ccrrndo: ndcmás ele la fuerza de g ravedad m¡j (fucr~a de interacción con la Tierra}, sobre la carga actua la fuerza e.~tcrior F por parle del cable tensado que no pertenece al sistema. La fuerza total a que cstil sometida la cnrga, es igual a f.+ mg. Como lus fuerzas P y mg están dirigidas en sentido contrario, e l trabajo de la resultante de ellas A
=(F -
mg)(h - h.,).
De acuerdo con el teorema de la energía cinética, dicho trabajo A es igual n la variación de la cncrgla cinética de la carga:
!F - 11111)('• - 11 0) .. -
mv 2
·
nmt
2 - - 2-.
Oc aquí ¡: (h - fr0)
~ (11111/1 + ·~' )- (11111/1 0 + m;~).
La expresión en el primer miembro de la igualdad es el 1rabajo de la fuel7.1 exterior. m ientras que la que ligum en el segundo miembro. lu v.iriación de la cncrgia mccfrnica tot:il del sistcm:i. Así pues. cuando un sistema de cuerpos no es cerrado. su energía mcc.'1nica total \'aria. La variación de esta cncrgia es igual ni trabajo re:ilizado por la fuc:r7.:t exterior.Si designamos por E0 la enc.:rgia tolnl dd sistc111:1 de cuerpos antes de que las fuerzas exteriores produzcan trab;ijo y por E, dci;pués de rcaliwdo este.
E - E0 =A. Si. como sucede con frecuencia, durante la subida la c:1rga se mueve
a velocidad constante (v = v0 ). el trabajo de lu fue rza exterior es sólo igual a la variación de In energía potencial del 5istcma.
- - - ---------- - ---- --- --------- - -
,, ?
1 l Qué '~ l:t cncrsj:l mcdni<:u 1nrnl de un cuerpo? 2. ;.En que consiste el principio de conservación de la energía mcdnic;1 tola! de un cuerpo, cuando este $e mueve bajo el cícero de Ja fucn.1 de gravedad? ¿En qué consiste el principio de con.scrvaci6n de Ja encrgin mcc~nicn lotal de un cuerpo durante su movimiento bajo la Acción de la fucru
cl1lstic;1? 4 ¿Se cumple el prmc1p1odcconsavación de la encrgi:t mcctnica total de un cuerpo (o sisten1a de cuerpos) s1 actúan simulr~ncnmentc las íucn:3.S de gravedad y elástica? S. Un satélite girn en torno de la Tierra
35
l. Un cuerpo cae desde cicrla altura sobre la tierra; en el instante en que
contr~ es1a so vclocidnd es de 30 m/s. ¿Oc qué altura cae el cocrpo1 Un prt,ycclil. ttUC al ser disp:ir,uto dd '"i\611 rt"Cib16 una 1·dcic11tatl inicial c.le '280 m/s. vuela verlicalmcntc hacia :irriba. i.A que ah11r:.
choca
213
sobre ~l lugar d.el dispar
lierrn. Cnlcular In éncrgia cinética del cuerpo en el instante en que se halla n una :illura de 1S m ~obre la tierra y cuando cliocn co11 elfo. 4. La ma7,i de un martincle, ni caer desde una :tltu ra de 8 m, posee un;i cncrgia cinl:tic.i de 18000 J. ¿Cuál es la masa de la maza? 5. Al comprimirse. un muelle alargado nrrru;tra un éuerpo de mas.i de SO g por tin plano horizontal sin cozamícnto. En el instante en que ·1a dcíormación del muelle resulta nula, el cuerpo adquiere una veloddad de 5 m/s. (./). qu~ m:\goi111d estaba alorgado el muelle, si su rigidC"l es igu:il o 10000 N/rn'/ (1. Un cuerpo de400 gdc masa cstfi ftjndocn un muelle comprimido. cuya rigi<.lc7. es iguaf a 100 N/m, Después de lii>crar el muelle, el cuerpo rc;11í:z..1 tales oscilaciones, con .las que el alar.gamiento m~ximo del muelle e<>ns1ituyc IO·cn1. ¿Cuál es la velocidad mlixima del cuerpo en '"cilncí(m? (Se dc.,prccia el peso del muelle.) Una bol:i de 50 g de masa~ mueven una velocidad de 10 m/s y choc" con un;i bola inmóvil de 110 g de mas.L ¿Cuáles serán lns vclocidadc.1 ele ambas bolas dc.1pllés del choque? Se debe considc.-ar que el movimiento transcurre a Jo largo de la llnea que une l\JS ccnlr
l11dimciú11. /\ l rlc111a, hay que hacer uso Je 11>:< principios de conserv:ici611 de la cncr¡¡ia y de In cantidad de movimiento. La suma de las encrgins cinétic;is y la suma de las proycccionc.' de In.< cn111idadcs de movimiento sobre el eje tra>.ado por los centros de li1s bolos deben ser igunles antes y después del cboqne.
Trabajo de la fuerza de rozamiento y energía mecánica
9.9.
Todavía nos quccla poc considerar el. t·rabajo de la tercera fuerza medinica, es decir, de .la fuerza de rozamiento de
e'""~ 2
- nwf , 2
Como la fuerw de rowmicnto cstil dirigida en contra del vector de velocidad, 11 2 < 11 1 y el trabajo A tiene signo ncgalivo. C trnndo sobre un cuerpo actúa la fuerza de gravedad o la clústiea, éste puede moverse e11 co111ru de la dirección de la fuerza (por CJClllplo, así se mueve un cuerpo lanzado h:icfo arrib:t) y en l:t d irección de la fuerza (el cuerpo que c:1c 214
libremente). En el primer caso el lrnbajo de la fuerza es negalivo, en el segundo. positivo. Cuando el cuerpo se mueve .. ida y vuelta", el trabajo lota! es nulo. . Esto mismo no se puede decir sobre el trabajo de la fuerza de rozamiento. Esta siempre está dirigida en sentido conlrario a la velocidad relativa de los cuerpos en inleraceión. Por esta causa, el tral>ajo de l11f11erzo de rozarnie1110110 es 1f11/o c11011do los CUC!rpos .~e 11111eve11 rccorric11do una trayectorict cerrada. Si lanzamos un cuerpo hacía arriba, comenzará a moverse en contra de la fuerza de graveifad, la que en este caso re<1lizará trabajo negativo. Por eso su energía einctica disminuirá. Al alcanzar el punto superior de la trayectori~. el cuerpcrsc p;irará un instante, dcspul-s de lo cu:1I comcnzarú su recorrido inverso hacia abajo. Si empujamos un cuerpo, que yace sohre una surx:rlicic horizontal, comenzará a moverse en contrn de la fu erza de rozamiento que con ello surge y que, como la fucr7A1 de graved;id en el ejemplo anterior, reali7..an1 trnbajo negativo. disminuyendo la energía d nética del cuerpo. Dcspucs de pasar ciena distancia el cuerpo asunismo se par.iri1. Pero no "por un inslanlc" como en el ejemplo del cuerpo lanzado hacía arriba. Se pararf1 por completo y ya no se pondrf1 en movimiento en sentido con1r:1rio. La cucstí6n radica en que en el primer ejemplo, la energía cinética disminuía gradualmenlc convirtii:ndose en energía potencial que, a continuación, de nuevo se transformaba en cinética.. En lo que at;i.ñc al caso del movimiento efe un cuerpo por un plano horizontal. bajo el efecto de la íuerza de rozamiento, la energía cinética del cuerpo disminuye, pero no se convierte en energía potencial. Por eso, después de la parada, el cuerpo no se pone en movimíento en sentido inverso: no hay energía a cuenta de la cual pudiera realizarse trabajo en caso efe semejante moví miento. La energía mcc:inica del cuerpo en movimiento 110 se ha transformado en otro t ipo de energía mecánica, sino que simplemente desapareció. LA ENERGÍA MECÁNICA NOSIEMP RESC CONSERVA. Resulta que cuando un cuerpo cstú sometido a la ;icción de l;i fuerza de rozamiento (por ~'i sola o junto con otras íucr1~i.s), se viola el principio de conservación de la energía meciinica: la energía cinética di~minuyc, pero en su lugar 11 0 surge i.1 energía potencial. La energía mecánica tot;il disminuye. Semejante disminución de la energía mecánica total se observnscrvadun de f¡1 energía sólo es aparente. imaginaria. La cosa consisle co que el rozamiento úc 215
un cuerpo con otro siempre acarrea el calentamien to de ambos cuerpos. el aum ento de su temperatura. Del curso anterior de fisic:1 sabemos que Ja 1cmpcratur11 de los cuerpos queda dcfínidn por el movimiento delas molé<;t¡lu~, de las que estlm constiltlido.~ todos los cuerpos y, por lo tanto, de su cnerg)a cinética. Por esta raión, durante el c.-ilcntamienlo de los cuerpos en rolllmicnto aumenta la energía dc.I movimiento de las moléculas o bien, como se suele decir, la ENJ;R.GIA INTERNA DEI. CUERl'O. ¿No se producirá di<:ho aumento de In cncrnia intcrn:i precisamente a cuenta de Ja energía cinética de movimiento de todo el cuerpo .. perdida"? Minuciosa.~ mediciones han. mostrado que, cuando k>s cucrp~>s en movímiento disminuyen su energía· cini:tic:1 n c:1Usa del inílujo de la fuc17.:1 de rozamiento, su energía intcrn n (Ja energía de movimiento de las molécuh1s en el cuerpo) :111mcnta en realidad. :tc1cmf1s en una m:>gnitu
l Sobre un cuerpo adU:1 fo íucn..1 e.le ro1.mnicolu ¿Puo,fc ser nulo d
trab.1jo •le ~t3 rucr7.a! 2. S•1111 cucrro.sobrccl que obra 13 íue17,~ de roi.1niicn1<1, vuelve al punto inicial d.:.-1pul"' de recorrer eicrta lmycctoriu, ¡.5cr!1 nulo el trabu¡o Je la íucrzil de
ro1..11111cn10·1
l . ,:Cómo vnrin la cncrgin mec:inica de un cuerpo cuando sol>1c él :1«t(1a l:i fucrrn de ro-1,1miento de dcsln:amicnlo ? Ejercicios 36
1. Un trinco Je (.0 kg de masa. después de rcsb.1lar cucsl• "bnJO, ha recorrido 20 m ror 11 11 sector horizonwl del c~mino. Hallar el 1r:1ba.io Je la fucr1~1 de roi;imicnto en dicho sector, si el coeficiente <.le ro7,arnicnlo de los palincs del trineo sobre la nieve es igual :1 0,02. l. Con una íuer7.:\ de 20 N se ~prieta a una picdr.i Je amolar de 20 cm de r.idio I• picz.'I que se :ilila. Determinar qu~ tcabajo ,.,,,¡¡¡.,~ d motor en el tr:mscu~o de 2 min, si la piedra de :unolar efectúa 180 rpn1 y el coeficiente Je roz.1miento de la pieza con la picdr:t C$ 0,3. J. El clu)íer de 1111 autom6vll Jcsconccla el molor y comicnz:1 a frenar 20 111 ame• del l'Cmilforo (ln cnrrclem c.• horizontal). Considcrnmlo <1nc la fucf7.a de ro1,amion10 c.~ igua l n 400 N, h:1llnr In mi1ximn vclocídnd del automóvil bajo la cual l•lc logrará pararse ante d scmMoro. si la masa dd vehículo es igual a t,6 t. 216
4. Sobre un cuerpo tn movimiento por un plano horizontal ncli1u la fucua de rozamiento de 100 N en el transcurso de un recorrido de IS m. ¿Cn el cuerpo un;1 cnida Jibrc o se movja por el uirc? 7. Una bala de 10 g de 01asa, que vuela en dirección horizontal a una velocid;id de 600 111/s. v:i n p:1rar a una vigueta de madera de 2 kg de
01•lsa y se atasca en ella. Con ello, 1~ baJ;:i y la vigueta se calicn1an i,Qué cantidad de energía <e empica para el calentamicn10? Lu íuerza de
rc.<;;i.stcncín dct alrc .se puede
Tarea ('il:u uno de los
111UJ1iplc~
lolnl
9.1 0.
~e
cjccnplo.i:;, c-n los que la cncr,tia mccún1cn i:onscrva.
Potencia
.Recordemos (véase A. V. Piórishkin, N.A. Ródina. f'isica 1) que toda rnflquina., utilizada pura ejecutar lrabajo, se carncterizn por una magnitud especial, llamada POT ENCIA. La potencia de una m~quina o mecanismo es igual a la razón cn1re el trabajo producido y el inlcrvalo de tiempo durante el que fue efectuado. Si design:11nos por N la potencia obtc11dremos
N=
A
(lj
De la fónnula (1) vemos que en el SI la unidad de potencia c.< 1 J/~ (JULIO Semejante unidad rccihc un nombre especial : VATIO (W):
roR Sf!GUNl>U).
J
1w~1- .
s
Esla unidad
es relativamcnle pcqueñ:i. En la técnica se hace con frecuencia
uso de una unidad JOOO veces mayor que el vat io, a saber, el KILOVATIO (kW}. /\ vcc~. se empica una unidad un millón de veces mayor que el vatio, llmna
(MW). He aquí un cjetnplo. En la central hidrocléclrica Krasnoyúrskaya, la más grande del mundo, cada segundo de la presa de 100 m de altura ene un nujo de agua con un volumen de 5000 m3 o una m;1sa de 5 · 106 kg. Es evidente que la potencia de la central sera igual al trabajo que la fuerza de gravedad realiza ME.GAVATIO
sob re
c.~la masa lle agua en
mqli
N
=-"¡- :
el
!ran.~curso
m
-¡ ¡¡11. 217
de 1 s:
Tomando en considera.ción que 111/1 - 5 · 106 kg/s, obtenemos: kg
Nm5 · 106 7
m 1 ·9,8 s' · 100m::::.S·109 smS· I06 kW.
Siendo conocida la potencia N, el trabajo A. producido durante el tiempo 1, se expresa mediante la fórmula A=Nt .
Oc uquí se desprende que por unidad de trabajo se puede tomar é.~lc n:<1li1<1do
Pero el julio y, asimismo el vatio-segundo, son unidades muy pcqueílas. Con mayor frecuencia se utilizan unidadc.~ mhs grandes, o sen, el Kll,OVATIO · llORA (kW·h) y el MllGAVATIQ-llORA (MW·h): lkW·h "'IOOOW·3600s::o3,6· 106W ·s~3,6· 1 06 J , 1 MW ·h .. 1 000000 W ·3600s =3,6·109 W·s = 3,6· IOv J. l,os aviones. buques, cohetes, automóviles y otros medios de transporte se mueven con frecuencia a velocidad constante. ·Esto significa, que las fuerzas que sobre ellos actúan, grncias al trnbajo
Por consiguiente. Fs N=- . 1
La ra7ón s/I = 11, do1H.lc v es el módu lo de la velocidad de movimiento del .:u~rpo. Por In t::inlo, N = Fv ,
(2)
o bien
N
l f ' = - ..
F
De esta fórmula se desprende que siendo constante Ja fuerza de resistencia, la velocidad del cuerpo es proporcional a la potencia del motor. Por esta causa, los trenes y automóviles de alta velocidad necesitan motores de gran potencia. Sin cmb:irg.o, en la realidad, en muchos casos la íucn.a de resistencia no c.~ const::1111c, sino que crece al aumentar la velocidad. En el quinto capitulo (5.6) vimos que a grandes vclocidodcs, con las que se mueven los b11ques y aviones, 1::1 fuerza de resistencia del aire y del agua (el 218
rozamiento interno o liquido) es proporcional al cuadrado de la velocidad. Esto puede ser expresad o por la fó rmu la F"' ~v 2 , donde p (letra griega "beta") es el coeficien te de proporcionalidad. Poniendo en la fórmula (2) en lugar de F la magnitud Po 1 , o btenemos para la potencia la expresión N"' pv 3 • Asi pues, Ja pot~ncia de los motores de aviación y de barco es proporcional no a la primera potencia, sino que al cubo de la velocidad . Por ejemplo, si queremos aumentar dos veces Ja velocidad de un avión, la potencia de sus motores debe ser aumentada ocho veces. He aquí la causa de que cueste tanto trab<1jo cada nuevo éxito en el aumento de la velocidad de los aviones, buques y o¡ros medios de transporte. De la fórmula F = N/v también se deduce que cuando la potencia N del motor es constante, la fuer?.~ aplicada al cuerpo e11 movimiento gracias al tr:lbajo del motor, es mayor a pequc1ias velueidadcs que a grandes. Prcc:isa menle por cs1a causa, los chóferes tic los auloniúvilcs a l sub ir :1 la monl
A=mY.11. Por lo tanto, la potencia q ue desarroll;i el hombre es N = 111¡¡11 . r
Poniendo en c:;la fórmula los vhlorcs numéricos dados en el planteamiento del problema , obtcnc1nos: m 70 kg ·9.8¡ · 10 111 5 N=---·=460W. l
ss
PRODLEMA 2. ¿La c;irga de qué masa puede elevar una gr ua con motor de 12 kW de potencia a una velocid ad de 90 m/min? Sol11cí611. De la fórmu la para Ja potencia
N=Fv se puede expresar la fuerza con la que la grúa actúa
sobr~
la carga que se eleva:
N F =--
v
Pero cuando la elevación c.1 uniforme cst:1 fuerw es de modu lo igual a mg . Por esto N
219
o bien N
m=-.
vg
Poniendo en esta fórmula los valores numéricos expuestos en el planteamiento del problema, ootenemos: J2000W 111=-----;:;,.800 kg. m m
9,8-;r· 1,5 7
.
')
'·.
J. ¿Que es la potencia? 2. ¿A 1¡ué magnitudes se refiere 1:. potenci:i. a las cscalures
o bien
V.'<-ioriules? 3. ;.De que depende IR velocidad del movimiento uniforme de un cuerpo at:dorrndo por un motor·r 4. "Qué unidades de potencia se uliliwo en la lccnica y en la vida cotidiana? i,Qué C<>rrcl:1ciones existen entre ello"? 5. ¿A que 111agnil11d pcrlcnccc la unid:1d kilovalio-hora?
Ejcrcici(}S 37 1. Un avión vuela Cn movimiento rcctiHneo y uniforme a unn vclocidall de 900 km/h. ;.Cuhl c.< la fticr1.a de rcsistcnci:i •I avance, si 1.a potcnci;i que desarrollan sus motores es igual a 1800 kW'/ 2. Una ¡:rúa con moior de 8 kW eleva UQa cM¡;a a velocidad constanlc de 6 m/min. ;,Cufil es la mns:1 de la carsa? 3. En un torno se maquina un hrbol. La polencia que dcsarrolh1 el motur del torno es igunl a 3 kW. ¿Qué lmbajo se realiza en eslc caso. si el iirl>ol se Jabra en 2 inin 'l 4. i.Qué lr.,b:IJO .'\C rcaffr.;¡ en untLcentral hidroclCctncn <.lornntc un ni\o. ::;j l.t potencia media ele los generadores es igual :t 2,.5 MW '/
5. Un aulomóvil de 2000 kg de mnsn se mueve por una carre1cra honzonl:tl :1 un:i vcloc1d'1d de 72 km/h. Ln fuc1w de rcsis1cncia al movnnicnlo consliluyc 0,05 del peso del vch!culo. Oclcnninar qu~ potencia dc."arrolla en este caso el moror.
9.11 .
Transfor maciones de energía y utilización de las máquinas Han pasado ya casi doscientos años desde que el hombre empezó 11 ulilízar extcnsame111e toda clase de máqu inas. El movimienlo de i!.<;tas se anima con molorc.~, los que a su vez reciben la energia de Ulla 11 olra rucnte. Desde el punto de visl<1 de mccfmica, el empico de las máquinas se reduce a que. con s11 ayuda, ciertas fuerzas realiz:in lr:tbajo. Pero realizar trabajo significa consumir energía en una cnnlidnd, por lo menos. igu:1l a dicho trabajo. En nu~tro tiempo los tipos íunclnmcntales de energía, a cuenta de la que se ejccuia el trab:tjo. es l:t que se libera al quemar el combustible (carbón, pclrólco, gas), la 220
energi¡¡ de la caída del agua y Ja llamada cncrgia nuclear, que se obtiene en los reactores nucleares. De todos c:stos tipos de energía, ninguno de ellos se transmite directamente a las mi1quinas. Al dirigirse a las máquinas, en las que se cíectúa el trabajo, la energía sufre una serie de transforrnaciones de una a otra forma. Por ejemplo, la energía de la reacción de las partículas del combustib le con el oJCígeno (energía potencial) se convierte, primero, en Ja encrgla interna de aquellas partículas <¡uc se forman durante la combustión. ¡\ continuación, esta energía, en forma de c.1Jor, s~ transmite al vapor de agua y de éste a la turbina de vapor que pone en movimiento el generador eléctrico. En este último la energía mccí111ica de rotación se transforma en la energía de la corriente eléctrica. Así funciona una central tcrmocléctricll. Desde el generador de la central eléctrica. la energía se tnmsmite por c:1blcs a los electromotores, instalados en la infinita cantidad de mllquinas-herrnmicntas y otros dispositivos. La energía en los electromotores de nuevo ;e transforma en energía mecánica que mediante diversos mecanismos de tran;misión, por CJCmplo. palancas, planos inclinados, tornillos, polcas, se comunica a las mf1quinas-hcrramientas y a otras. Hemos aducido aquí la cadena de tn111sformacioncs que sufre la energía "rccorricntlu el caminoºº desde el hog~r de la central tcnnocloctrk:1 l1asl;t la m!1quina. A est9 hay que añadir que el propio combustible apareció en la Tierra como resultado de una complicada c.'\dena de transformaciones de energía, cuyo principio se halla en el Sol, manantial de Ja vida en nuestro planeta. Para nosolros, lo importante aquí consiste en que estas transformaci.ones (hemos enumerado sólo algunas de ellas) están subordinadas al principio de conservación de la energía. del que se desprende que para eualcsqoicra transformnciones es imposible obtener mayor cantidad de la energía de un tipo, que la gastada de o tro tipo. En ningún motor se puede obtener mayor energía mecinica que la eléctrica o interna consumida. No puede existir un motor en el que el trabajo producido sea mayor que la energía consumida. A la inversa. en los motores reales, una parte de la energía se pierde inevitablemente a causa de la fuerza d.e rozamiento. Se pierde en el sentido de que parle de la energía, a consecuencia del trabajo de la fuerza de rozamiento, transfórmnsc en energía interna y conduce al calentamiento del motor. Del mismo modo, el trabajo rc.'ll i?.ado por las fuerws, que actúan sobre la máquina, siempre es algo menor que la energía consumida. SOBRE LOS "MÓVILES PERPETUOS". Todt) lo dicho con anterioridad sólo fue conocido a mediados del siglo XTX, cuando se descubrió el principio de conservación de l:i energía. Basta -aquel entonces, en el transcurso de siglos rcalízáronse obstinados intentos de crear una máquina que permitiera ejecutar mayor cantidad de trabajo que la energía consumida. Ella recibió de antemano el nombre de ''móvil perpetuo'" (f1r!rpeW11111 mohile). Pero semejante mi1quina nunca fue, y no puede ser, crc.1
·i .
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Fis. l?.l
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;1gua, micntrns que otra parle se encuentra en el aíre. El autor del proy~clo aseguraba que lo5 cajones derechos (en la figura) al emerger bajo In acción de la fuera de Arquímedes (de empuje) obligarán a que las ruedas giren. A cambio de los cajones que ·emergen, otros se sumergen en el agua, manteniendo el movin1icn10 "pc·rpctuo". Las ruedas en rotación pueden accionar el movimiento de gc1\erRdores eléctricos, ofreciendo así energía "gratuita" en cantidad ilimitada, ya qué el dispos.itivo funciona "pcrpeluamenle". No obstan le, en la r.ealidad, en el proyecto hay errores y semejante motor no puede funcionar. La cucstion radica ·en que si unos cajones emergen, otros, a la inversa, entran en el agua y deben ejecutar lrabajb en contra de la fuer¿;¡ de Arquimcdes. Además, ellos penetran en el agua por abajo, donde sobre dios actúa la presión de !oda la columna de agua, siendo la fuerza de ·esta presión mayor que la fuer7,,1 de empuje. Errores similares pueden ser hall:idos en cualquier proyecto del "móvil perpetuo". Los in len los de crear un dispositivo de este tipo están condenados al fracaso, ya que el principio de conservación de la energía "prohíbe" la obtención de una cantidad de trabajo mayor que la energía consumida, Es curioso indicar que incluso en nuestros dias siguen apareciendo "inventores" que 110 abandonan Jos vanos intentos de crear móviles perpetuos. La larca de la técnica consiste no en trat ar de eludir el principio de conservación de la energia, sino en reducir las pérdidas de energía en las máquinas, motores, generadores. ¿ ?
l. ¿Para qué sirven los generadores, motores, máquin:is? 2. ;.En qué consisle la idea del "móvil perpetuo"? ;,Por qué csla idea es irrealizable? J. ,:Qué trnosformncioncs
9.12.
R endimiento Cuando en cierta m!'lquina se realiza tr;1b:ijo a cucnt:i de la energía consumida, hay que distinguir el llamado TRi\111\JO UTIL
DEL TRl\01\JO TOTl\L REl\LIZ.AOO.
El trabajo útil es aquel para el que fue creada y se empica la m:\quina. Por ejemplo, para uua grúa es el trabajo de elevación de la carga, para un torno, el trabajo contra las fuerzas de rozamiento del artículo que se maquina con la cuchilla, cte. Pero en toda mi1quina, en cualquier motor, el trabajo útil siempre es menor que el trabajo total, ya que en lodo momento existen fuerzas de rozamícnto. cuyo trabajo negativo conduce al calentamiento de diversas partes de k1 múquina o el motor. El calentamiento no puede ser considerado en cal idad de resultado útil del funcionamiento de la máquina, utilizada para ejecutar trabajo mecanico. El calentamiento es motivo de que parte de la energía transmitida al motor no se lrnnsforme en mecán ica, sino <111c en encrgí:l interna que, por rc:;la, no puede ser empicada para efectuar trabajo. Por est:I rni>ón cada maquina, motor o mecanismo, se caracteriza por una magnitud especial que muestra la eficacia con la que aquéllos util i1.an la cnergia que se les comunic;a. Recordemos (vé:lse A. V. Piórishkin, N.A. Ródina. Física J) que dicha magnitud se llama RllNDJMlí;NTO. También podemos hablar del rendimiento de un generador, en el que una forma de energía se convierte en otra. Por ejemplo, en el generador clcclrico la energía mecánica se transforma en el trabajo de la corriente e!i:ctrk:1. A consecuencia del trabajo de las fuerzas e.le rozamiento y por otras ca11s~1s. d trabajo de la C-Orricnte eléctrica es siempre algo rncnnr que la encrgí;t mc.::[1níc:1 que consume la turbina. Recibe el nombr~ de rendimiento de un generador la razón entre el trnbaj-0 útil o&tenido y la energía consumida. El rendim iento no puede ser mayor <111c Ja unidad. En las mllr1uin:1s. motores y generadores reales aquél siempre es menor que la unidad a caus.1 M las pérdidas irremediables de energía provocadas, ante todo, por el trabajo negativo de las fucrws de rozamien lo. Pero ndcmils existen otras c:iusas, no mecánicas, de pérdida de energía. Remarquemos una vez más que la pa labra ..pérdida" no significa que la energía dcsapncccc. Sólo quiere decir, que p;irte de ella se convierte no en lo que e$ necesario y se pierde para su empleo útil. El rendimiento se expresa en tanto por ciento. Si designamos el rendimiento por 11 (letra griega "eta"), el trabajo útil (o bien la energía) por A~~ el trab njo total realizado (o la energía consumida) por Acon. obtenemos
11 ~~ 1 00"/o.
A..,.
PROBLEMA l. Una grúa se nccioua con un motor
Sol11ció11. Con ayuda de la grúa se debe rcal i:t.ar el s iguiente trabajo util: Au 1 = mg/1.
Todo el lrabajo realizado Acon· se expresa por la íórmula Acon • Nt ,
donde N es Ja po1 encia del motor; L, el tiempo de trabajo de la grún. De acuerdo con el plan1eamicnto del problema, sólo el 75"/. del trabajo que se realiza en el motor se emplea con utilidad. Por eso, Aúc • 0,75Nt.
Oc donde
•
m
2000 kg ·9,8 "il·SO.m 1
= 0,75 . Hl'
!.
::; 130 s.
s
PR013LEMI\ 2. Un automóvil de 2 l de masa, con los frenos accionados, desciende a velocidad constante por una canelera de montaña y pasa un sector del recorrido bajando 80 m, según la altura. ¿Qu~ cnntidad de eilergia Q se ha desprendido c11 los frenos? Solución. Si los frenos no estuvieran en acción. el decrecimiento de la energia potencial seria igual al crecimiento de la energía cinél ica. Pero como el nu1omóvil se movía a velocidad ennslanle, dicha energía durnn1c la bajada 110 aumentó. Por consiguicn1c, toda la energía potencial perdida se convir1ió en in1crior, o sea,
Q = mg(lr, - li 2 ). Poniendo los valores numéricos. obtenemos
Q .. 2000 kg -9,s-'-1}· 80m~1 ,6·106 J. s ,: ?
l. ¿Qué sene Je transformaciones de la cner¡;ja conduce al dcsprcndi-
mic1110 de cnlor en un hornillo clbolrico, si la energía cléclrica se transmite n la red desde uoa central h1drocléctrica? Se debe eomcnz.ir por el Sol. 2. Un cuerpo h!I caido a ill Tierra dcsJe ciert;1 ahurn. i.En qué se h.1 convertido su cnergin potencial? 3. Un herrero elevó el martillo y golpeó sobre una pieza colocada en el yunque. 1,Qu6 translom1aciones d e cncrgla cienen lu~ar en este cuso? 4. Un muelle metMieo deformado se sumerge en un ~e1do que diluye el metal del q ue está hecho el muelle. ¿En qué se convirtió l.1 cnergla polet1eial del muelle dcsputs de diluirse tste?
C:jcrci<:ios 38 l. Una grú11 se acciona por un molor de 7.36 kW de potencia. Dclcrmin.ir la m:tsa de In e.irga que eleva la grúa, n un:1 velocidad de 6 rn/min, si el ret1d1m icn10 del motor es igual :rl 80"/. 2. Un avión vueln de modo rectilíneo y uniforme n una velocicl:id de 800 km/h. Mnllnr el empuje de los motor.:$, si In potencia de ~.ios c.~ 224
igual a 1800 kW. Considerar el rendimiento igunl al 70"/.. ). Una bomba con motor de 3 kW de potencia, eleva el ngua de un pozo de 20 m de profundidad. Determinar )3 mas:i de a,g ua que se eleva en el transcurso de 2 h, si el rendimiento de la bomba es el 70"/.. 4. De la presa de una ecntral Jiidroeltctrica con 30 m de altura, caen por segundo 170 L de agua. La potencia c\tctrica que proporciona la ccolr31esigual a10 MW. ¿Cuál es el rendimiento de la transformaei6n de la energía del agua que cae en energía c!tctrica?
· Movimiento de un líquido por tubos. Ley qe Be rn oulli
9• 13 •
En este parilgrafo haremos uso del principio de conservación de la energía, en lo que atañe al movimiento de un liquido o gas por tubos. En la vida cotidiana y en la tl:cnica, con el movimiento de un liquido por tubos se tropieza frcx:ucntemenle. Por tubos se alimenta el agua ¡i nuestras casas, a los lugares de su consumo. En las máquina.~ el aceite para el engrase, el combustible a los motores se alimenta por tubos, cte. A menudo. en la naturaleza tambi~n vemos el movimiento de líquidos por tubos. Es suficiente mencionar la cin;ulaci6n de la sa ngre de los animales y el hombre, consistente en el nujo de la s.1ngre por tubos, es decir, por Jos vasos sanguíneos. Hasta cierto grado, la corriente del agua por el cauce de los ríos, también es una variedad de ílujo de un líquido por tubos_ El cauce de un río es un tubo peculiar para la corriente del agua. Como sabemos, de acuerdo con la ley de Pascal, un líquido inm611il en un recipiente transmite sin variación la presión exterior en todas las direcciones y hacia todos los puntos del volumen. Sin embargo, cuando el líquido nuye sí11 rozamiento por un tubo con diíc:rcnte área de la sección trnnsversal en distintos sectores, como muestra la práctica, la presión a lo largo del tubo no es la misma. Aclaremos la causa de la dependencia entre Ja presión de un liquido e11 111oulmle1110 y el área de la sección transversal del tubo. Pero, para empezar. estudiemos una importante: singularidad de todo flujo de liquido. VELOCIDAD DE UN LIQUIDO Y SECCJÓN DEL TUBO. Supongamos que un liquido fluye por un tubo horizontal, cuya ~ón es distinta en diversos lugares, por ejemplo, por el tubo, parte del cual viene mostrada en la fig. 194. Si trazflsemos mentalmente a lo largo del tubo varias secciones, con las áreas S 1 , S 2 , S 3 , respectivamente, y midiéramos el volumen del liquido que pasaría por cada una de ell as durante cierto intervalo de tiempo 1, advertiríamos que por cada una de las secciones íluiría un mismo volumen de liquido. Esto significa que todo el liquido q ue durante el tiempo t pasa por la primera sección, en el mismo intervalo de tiempo pasa por la tercera, aunque
..... s,
s,
)
s.
Fig. 194
Fig. 195 215
ésta en cuanto a su área es mucho menor que la primera. Si esto no fuera nsi y por la sección de flrea S3 en el lapso t, por ejemplo, pasara menos liqu.i do que por la sección de flrea S,, el exceso de liquido deberla acumularse en cierto lugar. Pero el liqu.i do después de llenar el tubo no tiene lugar para acumularse. ¿Cómo puede un líquido, que fluyó por la sección ancha, pasar en ese mismo intervalo de tiempo por la estrecha? Es evidente, que al pasar por las partes angostas del tubo, In velocidad de movimiento debe ser precisamente tantas veces mayor, cuanfas veces es menor el flrea de l;i sección., En efecto, examinemos cierta sección de la columna de llquido en movimiento, que en el momento inicial de líempo coincide con una de las secciones del tubo (lig. 195). Durante el tiempo e es te ilrea se desplaiará a una distancia /,que es igual a uc, donde u es el módulo de la velocidad de la corriente del liquido. El volumen V del liquido. que ha pasado por la sección del tubo, es igual al producto del ttrea de esta sección por In longitud /: V=SI,
o bien
v.. su1.
(1)
En la unidad de tiempo fluye un volumen de líquido V/t; esta magnitud recibe el nombre de f'L UJO DEL LIQUIDO. Oc la fórmula (t) sigue que éste se puede c~prcsar así: V
- = Su . 1
El Oujo del líquido, que pasa por la sección de un tubo, es igual al produclo del área de la sección transversal del tubo por Ja velocidad de la corricnlc. Como acabamos de ver, este nujo debe ser el mismo en diversas secciones del tubo. Por esta razón, cuanto menor sea la sección del tubo, tan to mayor será la velocidad de movimiento. ,Tanto líquido como pasa por una sección de un tubo en el transcurso de cierto intervalo de tiempo, debe pasar durante ese mismo tiempo por cualquier otri\ sección. · Con ello, consideramos que la masa dada del liquido, siempre tiene el mismo volumen, que el liquido no puede comprimirse y reducir su volumen (de los líquidos dicen que son i11compresib/es). Es bien conocido, por ejemplo, que en los lugares angostos de los ríos, la velocidad con que Ouye el agua es mayor que en los anchos. Si designamos Ja velocidad del flujo de un liquido en lns secc iones S 1 , S » S,. s. por 111 , ri1 , ti3 , li4 , podemos escribir: (2)
VELOCIDAD Y PRESIÓN. De la correlación (2) vemos que al pasar el líquido del sector del tubo de mayor itrea al sector oon ilrea menor, Ja velocidad del flujo crece, es decir, el liquido se mueoe con oce/eració11, lo que, de acuerdo con la segunda ley de Newton, quiere decir que :sobre el líquido actúa cierta fucna. ¿Qué íucrw es ~ta? Esta fuena sólo puede ser la diferencia entre las fuerzas de presión en los 226
Oonicl llcrnoolli (1700-1782) - matcmá· 1ico y mecánico. Desde 172S ha~t:t 1733 uabap en la Academia de Ciencias de Rusia, donde, ad~ de las matemática.• y la lisien. se ocup•ba tambien de fisiología. En Rusia c.o;cribib el libro "Hidrodin~micn". en el que ofreció la dcducci6n de fa ecuación que describe el movimicn10 de un liquido pafccto, conoei
sectores ancho y ~trecho del tubo. De este modo, en el sector ancho la presión del líquido debe ser mayor que en el estrecho. Esto mismo lambif:n se desprende del principio de conservación de la energía. En realidad, si en los lugares estrechos del tubo aumenta la velocidad de movimiento del liquido, tambicn crece su energía cinética. Y como hemos admitido que el movimiento del liquido transcurre sin rozamiento, dicho incremento de la energía cinttica debe ser compensado con la disminución de la energía potencial, ya que la energía total debe manten ase constante. ¿De qué cnergia potencial se trata1 Si el tubo es horizontal, la energía potencial de interacción con la Tierra es igual en todas las partes del tubo y no puede variar. Esto significa, que sólo queda la energía potencial de la interacción elAstica . La fuerza de presión, que obliga al líquido a fluir por el tubo, es la fuerza elástica de compresión <.lel liquido. Cuando decimos que un líquido es incompresible, sólo tenemos en cuenta que él no puede ser comprimido hasta ta.I grado, con el t¡uc varíe notoriamente su volumen, pero una pcqucii:i compresión, que provoca l:i aparición de fuerzas elásticas, se produce inevitablemente. Estas íucrzas crean la presión del líquido. Justamente dichá compresión de éste disminuye en los lugares estrechos del tubo, compensando el aumento de la velocidad. Por esta causa. en los lugares angostos de los tubos la presión del líquido debe ser menor que en los anchos. · En esto consiste la ley descubierta por el académico de Petcrsburgo, DANIEL llERNOULLI .
La presión de un liquido en movimiento es mayor en nquellas secciones del ílujo, en las que su velocidad es menor y, viceversa, en aquellas secciones donde In velocidad es mayor, la presión es menor. Por muy raro que esto parezca, cuando un liquido pasa por Jos sectores estrechos del tubo, su compresión no aumenta, sino que disminuye. Esto se confirma por la práctica. Recordemos una vez más que en el liquido en reposo la presi ón es igual en tod o lugar. Si un tubo por el que nuyc un liquido se equipa con tubos abiertos, soldados al primero, es decir, con MANÓMETROS (lig. 196), se podrá observar la distri-
m
Aire
hg. 196
1-ig. 197
t bución tic la presión a lo l;1rgo del tubo. En los lugares estrechos de t:stc, la allura de la columna del liquido en el tubo manométrico será menor que en los anchos. Esto significa, que en los primero~ la presión es menor. Cuanto menor sea la sección del tubo, mayor serfl en ella la velocidad del flujo y más pequeña la presión. Es evidente, que puede ser elegida una sección tal en la cual Ja presión resulte igual a la atmosíuica exterior (la altura del nivel del líquido en el ma.nómetro será igual a cero). Si la sección se toma aCm menor, la presión del líquido en ella serll inferior a la atmosíérica. Tal liquido fluyente puede utilizarse para In evacuación (succión) del aire. E.~te es el principio de funcionamiento de la bomba llamada A CHORRO DE AGUA. En la fig 197 viene representado el esquema de una bomba de este tipo. El chorro de agua se hace pasar por el tubo A, que en su extremo tiene un pequeño orificio. La presión del agua en este úl¡imo es menor que la atmosférica. Por esta causa, el gas del volumen que se bombea se a~pira por el tubo O hacia el extremo del tubo A y se evacua junto con el agua. Todo Jo dicho. acerca del movimiento de un liquido por tubos, t.1mh1én ,;e refiere al movimiento de un gas. Si la velocidad del Oujo del gas 110 es muy grande (ancnor que la del sonido en un gas) y éste no se comprime hasta lal grado que su volumen Y3ríe y, además, si es despreciado el r07.amicnlo, la ley de llcrnoulli es asimismo jusl3 para los Oujos de g¡is. En las partes estrechas de los tubos, donde el gas se mueve a mayor velocidad, su presión es menor que en tos sectores anchos y ésta puede ser menor que la atmosférica. En algunos casos incluso se puede prescindir de tubos para que se manifieste lnl fenómeno. Podemo$ realizar ti siguiente experimento sencillo. Si soplamos hacia una hoja de papel a lo largo de su superficie, como se muestra en la lig. 198, veremos que el papel se despl3ZMá hacia arriba, lo que sucede a causa de la reducción de Ja presión en el chorro de aire sobre el papel. Este mismo fenómeno tiene lugar durante et vuelo de un avión . La corriente d e aire ni encuen tro, incide sobre Ja cara superior d el ala del avión en vuelo y
UB
Fig. 199
a cuenta de esto reduce la presión. Sobre el ala ésta resulta menor que debajo de ella (lig. 199). Justamente por esta causa, surge la fuer.la sustentadora del ala. La teoria del ala fue confeccionada por el eminente científico ruso N.S. ZHUKOVSKt, a quien V. l. Lenin llamó "padre de Ja aviación rusa". l ?
J. i.A qut es igu:ol el volumen de un líquido que pasa por uo tubo en la unidad de tiempo? 2. ¿Por qué en las parles estrechas de una tubería lo velocidad del liquido (o gas) es mayor que en las Mchas7 3. ¿En qué consiste la ley de Bernoulli? 4. ¿Qué fuerza provoca el aumento de la velocidad de un líquido y, por consiguiente, de su encrgla cinética al pasar aquél de la parte ancha a la estrecha de uno tubería? S. ¿Se l?ucdc considerar que la ley de Bernoulli es un corolario del principio de conservación de la energía?
Ejercicios 39 t . La velocidad tolerable con que íluye el petróleo por los tubos es igual a 2 m/s. ¿Qué volumen de petróleo pasa por un tubo de 1 m de di~metro en el lranscurso de una hora 7 2. ¿Cuál tiene que ser el diámetro de una tubería por Ja que han de pasar 5600 m' de agua por hora? La velocidad tolerable de la corriente c.5 igual a 2,5 m/s. 3. ¿Cuál ha de ser el diámetro de un tubo con el que hay que sustituir otro de 8 cm de diámetro para que la velocidad de la corriente del liquido sea dos veces mayor? Tarea Medir la cantidad de agua que corre del grifo de agua durante un tiempo determinado t. Determinar la velocidad de la corriente de agua, midiendo el diámetro del tubo dispuesto delante del griío.
229
Nrcolay l!(:úrovi<:h Zhukovski rt R47-192fJ.
9.14.
A cer co de lo importáncio de los p r incipios
de cons er vació n Los principios de conservación de la cantidad de movimiento y de la encrgla, que hemos estudiado en los dos ultimos c.~pitulos, no sólo tienen un profundo scntjdo fisico, sino que también lilos61ico. Éstos significan que el movimiento de la materia no puede ni ser destruido ni creado de nuevo. En efecto, cuando \ an cuerpo en movimiento se para, parece·que ·es posible decir que su movimiento ha desaparecido. Cuando un cuerp.o en reposo se pone en movimiento, podemos llegar a la conclusión de que ha surgido un movimiento que antes no había. Pero los principios de conservación de la cantidad de movimiento y de la energía lnucstran que esto no es así. La cuestión reside en que si el cua-po se detuvo, esto se produjo no sin causa. La parada fue provocada por la acción de cierto otro cuerpo, por el efecto de alguna fuerz:i. Si é.~ta es la de rozamiento, quiere deci r que en lugar del movimiento mecánico desaparecido ha surgido otro movimiento, el de las partículas en el interior del cuerpo. Cuando la causa de la parada es la fue123 de gravedad o la elástic;1, en lugar de un movimiento mecf.tnico aparece otro, el de un cuerpo alquecl cuerpo que se paró transmitió ·su cantidad de movimiento y energía, o ·bien el movimiento de ese mismo cuerpo en dirección contraria. De este modo, el movimiento puede cambiar su forma, puede ser transmitido de un cuerpo a otro, pero durante todas estas variaciones se cumplen los principios de conservación de la cantidad de movimiento y de la energía. En la naturaleza no puede haber fenómenos y procesos en Jos que tales carncteristicas del movimiento, como ta energía y la cantidad de movímicnlo, surjan y desaparezcan sin ser compensadas. Esto signilica que se co11serve1 el 111011imi1mto de la materia. 230
Hemos visto que los principios de conservación de la cantidad de movimiento y de la energía permiten resolver los problemas de met:Anica, cuando por diíerentcs motivos son desconocidas las fuerzas que actúan sobre los cuerpos. Pero la importancia de los principios de conservación no se limita en lo dicho. Partiendo de nuestros conocimientos actuales, podemos decir que los indicados principios son en absoluto precisos. Esto no se puede decir, por ejemplo, de las segunda y tercera leyes de Newton. Como es sabido, si las partículas se moeven n velocidades próximas a la de la luz, las leyes de Newton adquieren otra forma. Desde este punto de vista, las leyes de Newton son aproximadas. Para los principios de conservación de la cantidad de movimiento y de la energía no hay exclusiones. Si alguien dice que ha descubierto un fenómeno o proceso para el cual no se cumplen los principios de conservación, podemos afirmar sin vacilación, que ello es un error. Los principios de conservación son la estrella polar al examinar cualcs'quiera problemas relacionados con el estudio de la natura.lcz:i. Son una especie de control primario de que cualquier afirmación es correcta. En todos los apartados de lisica haremos frecuente uso de los principios de conservación.
Lo más important~ del noveno capitulo El trabajo de una fuerza es una magnitud escalar igual al producto del módulo de la fuerza por el módulo d.cl desplazámj_cnto del cuerpo y por el coseno del ángulo entre las direcciones de los vcciores de fuerza y de desplazamiento. El trabajo es positivo si el ángulo es agudo y negativo, al ser éste obtuso. Sólo cuando una fuerza está aplicada a un cue.rpo en movimiento, podemos hablar del trabajo de ella. Si sobre un cuerpo e11 movimiento se aplican varfas fuc17~,s. cuya suma vectorial es nula (el cuerpo está co movimiento uniforme), la suma algebra ica de todos los trabajos de las fuerzas es igual a cero, pero el Lrabajo de cada una de las fuerzas no es nulo (salvo aquellas fuerzas, cuya dirección es perpendicular al desplazamiento). Si sobre un cuerpo actúan fuerzas, cuya resultante no es igual a cero, como resultado de la acción de estas fuerzas variarfl la magnitud mu 1/2 que caracteriza el movimiento y que recibe el nombre de ENERGIA CINÉTICA del cuerpo. Su variación es igual al trabajo de la resultante de las fuerzas. Si sobre el cuerpo actúa Ja fuerza de gravedad (en general, la fuerza de la gravitación universal) o bien una fuerza elástica, la variación de la energía cinética va acompañada de la modificación de la ENl!RGIA POTENCIAL, igual en módulo y de signo contrario. En el caso de la fuerza de gravedad, la energía potencial respecto de un nivel nulo oonvencional, es igual a mg!J, donde hes la altura
Si, además de las fuerzas de gravedad y elCstiea, actúa también la fuerza de rozamiento, la energía mecánica total no se cc·nserva. Parte de ella se convierte en energía interna de aquellos cuerpos que est: n sometidos ni efecto de la fuerza de rozamiento.
232
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al T rayectoria de movimiento de un cuerpo lan7.ado con cierto ~ngulo hacia el horizonte. Al no haber resistencia del aire, un proyectil lanzado por un cañón vol:tria describiendo una parñbola. La distancia m:himn de vuelo se alcanzarla siendo el ~ngulo de lanzamiento del proyectil igunl a 45•, Siendo los ángulos 45° - a y 45º +a. la d istancia de vuelo seria la misma. b) Los dibujos han sido hechos sobre la base de fotogralias cstroboscópicas del movimiento de bolas mclálicas bajo la acción de Ja íuena de grnvtdad : la bola I fue lnnzadn de forr1>n horizont:1l ; las bolas 2 y J cainn libremente, micntrtl$ que l:i bola 4 íue lanzada formando cierto ángulo con el horizonte. l)J
11 a) En la figura vemos la radiogralin del pie de un futbolista y del balón, en el momento cuando el primero golpea sobre el segundo. Se ve la deformación del hueso del pie. J..a fuerza cl;\stica, que actúa sobre el bnlón, surge como resnlt"'1o de la deformación de ·1a bota. · b) Figura hecha sobre la base de Ja fotograíi.i de una raqueta y una p
l34
L11,1 km/s
a)
b) 111 a) Velocidades cósmicas. Si Ja velocidad de la nave oósmic;o es igual a v0 :::: 7,9 km/s y esl~ dirigida paralelamente a Ja superficie de la Tierra, dicha nave se convierte en satélilc de nuestro planeta, descóbiendo una órbita circular a una altura rcla1ivamcn1c pequeña de la Tierra. A una velocidad entre 7,9 y 11,1 km/s, la órbita de l:t nave será ellptica. A Ja velocidad de 11 ,2 km/s Ja nave se moverá por uno ri;u'(1hola, mientra• que o mnyor vcloci
IV Arriba-fotograJia de un~ central bidroel!ctrica modcrn:l. Abajo-corte csquem11ico de la central. Durante su caída desde d nivd superior al íaíc:rior, la encrgia potencial del agua se tnnsforma en cncsgfa cinetica. Cuando d agua pasa por la 1urbina su cncrgja cinttica se transmite al rodete de la turbina y al generador ligado a ella. (En la ligurn se han ma.rcado con cifras: 1- oámara de la turbina : 2- hidroturbina: J-hidrogcncr•dor; 4-tubo de nspíracibn ; S-disposilivos de dí,iin. bucíón (cll:ciricos); 6- 1ransrormador; 7-grúas de pórtico.) 236
· conclusión La mcc!nica es una amplia ciencia que representa una de las mois importantes partes dela fisica, ciencia aún extensa. Sólo hemos estudiado sus elementos. Muchos de los apartados de rnccflnica, por ejemplo, el movimiento de rotación de los sólidos o el movimiento oscilatorio, han quedado al margen de nuestros estudios. Algunos problemas de mecánica no cstfln aún resueltos. /\ pc.~ar de todo, el curso que hemos cstudi;ido nos oíre<:e Ja posibilidad de contornc;ir los rasgos cacacteristicos de esta ciencia, dicho sea con nrnyor precisión, de aquella porte de ella denominada mcd1nica clí1sicn o bien de Newton. ya que sobre su bnse ynccn las lcyc.~ de c.~e eminente s:1bio. Hemos visto que dichas leyes csl{m expresadas en formn de correlaciones matcm(Hicas entre una serie de magnitudes (cantidad de movimiento, aceleración, masa, fuerza, etc.). Se plantea la pregunta: ¿hasta que grado son precisas las leyes de Newton? LÍMITES DE APLlCACION DE LAS LEYES DE NEWTON. Hasta finales del pasado siglo, no babia Ja menor duda de que las leyes new1011ianas eran justas en absoluto. No obstante, eo el siglo XX fue aclarado que csns leyes no son del todo exactas. No se pueden aplicar cuando los cuerpos se mueven a grandes velocidadc.~. comparables con la de la luz. Einstein, llnmado Newton del siglo XX. pudo enunciar leyes de mov;miento más gencrnlcs que son justas iambién para el movimiento a velocidades próximas a Ja de la lw_ Estas leyes son Ja base tic la mcc:inica relativista o bien de la teoría de la rclativitlad. Las leyes de Newton son el corolario de dichas leyes, cuando las velocidades de los cuerpos son ~qucñns, al compararlas con In de la luz.
mas
Rccolocci
El laboreo de una trinchera para la vla fá"rca es rcaliudo por excavadoras de cuchara.
Asimismo "faUan" .las leyes de Newton al estudiar Jos movimientos de las partículas interatómicas. Para estos movimientos existe su "códjgo" de leyes, llamado mcc:!lnica cu~ntica, del cual la mcc!lnica clásica resulta set también un caso particular. Es notorio que los principios de conservación de Ja cantidnd de movimiento y de.la energía, deducidos de las leyes de Newton, son válidos tanto en la mecánica cutmtica, como en Ja tcoria ele la relaíividad. Corno vemos, la mcc!lnica yace en Ja base de todas las ciencias naturales. Sólo hemos estudiado una pequeña parte de la mccáruca cl~sica. Pero esta parte nos serfl nec<:Saria y la aplicaremos durante todo el curso de ftsic:i.
Con
ayud~
de bul!dozcrcs se realizan movimientos de cierras.
llB
Con excavadoras ·de rotor se cíoctúa la extracción del carbón.
MECÁNICA Y MECANIZACIÓN DE LA PRODUCCIÓN. Las leyes de Newton fueron establecidas en la época, en que el hombre comenzó a hacer uso de diferentes máquinas y aparatos que sustituían el trabajo manual. Hasta la focha continúa el proceso de sustitución del d uro trabajo manu11l por los correspondientes mecanismos. La mecanización ha entrado sólidamente en nuestra vida. Por ejemplo, muchos han olvidado y los escolares no saben, que varias decenas de años atrlis, durante la construcción de los edilicios, los ladrillos y otros materiales cra·n transportados por el obrero, subiendo por los andam ios. Ahora, este trabajo lo rc:ilíz:m las grúas, instaladas junio a cada edilicio en construcción. Sólo conocemos el trabajo agotador de los sirgadorcs por el famoso cuadro ''Los sirgadorcs", obra maestra del pincel del eminente pintor ruso Rcpin. Esta profesión ha desaparecido. Prficticamente, han desaparecido tales profesiones como cargador, fogonero, calandrador, etc., cuyo duro trabajo lo rc.1lizan hoy día las correspondientes máquinas mecánicas. E l famoso poeta ruso N.A. Nckrásov nos relata en su poema "La vía férrea" acerca del agotador trabajo de los obreros que construían el ferrocarril. En nuestros tiempos, en la construcción de las vías férreas se ut il izan diferentes máquinas y mecanismo.s, tales como e¡ccavadoras, bulldozcres, máquinas para colocar la via, etc. Particular importancia han adquirido múltiples m:iquinas agdcol:\s que han transformado una de las más importantes ramas de la economía nacional, es decir, la agricultura. Una gran rama de la industria se ocupa de la producción de dichas máquinas. En la propia industria de con~truccibn de mnquinaria, trnnsc11rrc en nuestros días la revolución técnica. Los trabajos que antes se efectuaban por 139
Las &rúas de pórtico son los principales ayudantes de los cargadores. r ·.r.,'L ~.:,-'~~ .,~,... ·J:
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1
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1
Sobre el tcrrnpléu de la via (érrc.> en construcción, los rieles se instalan con ayuda de máquinas colocadoras de la vía.
gran número de obreros de la más alta calificación, hoy se réalizan en máquinas-herramientas autom(lticas, casi sin lá participación del hombre. Todas las máquin·as, desde las más sencillas hasta· aquellas que son sumamente complicadas, se calculan de acuerdo con las. leyes de Newton y la explotación correcta de ellas requiere el conocimicrito de .dichas leyes. No ha habido caso que "fallen" las leyes oewtonianas. 'En ello consiste la enorme importancia practica de estas leyes.
240
Trabajos de laboratorio
1. Determinoci6n de lo oceleroci6 n de un cuerpo en caso de movimiento uniformemente variado OBJ ETIVO DEI. TRABAJO; calcular la aceleracl6n con q ue rueda una bola por un canal inclinado. Con este r.n, $C mide la longi1ud del desplazam iento I que recorre la bola durante un ucmpo t conocido. Como en caso de movimiento uni· formemcnte variado sin velocidad inicial s ~ at 2 /2, midiendo s y t se puede ballar la acclcracl6n de la bola. mediante la f6rmula: 2s O=-¡r· (1) INSTRUMEl'tTOS y MATERIAL(;S: 1) canal; 2) bola; 3) cinla mctrb; 4) metrónomo (o ~-ron6me1ro); S) soporte con acoplamic.n tos y pa1a ; 6) cil indro 11~c1Mico.
OrdM de realiznción del rrabajo J. Fijar el canal inclinado en el soporte, formando un pequeño ~ngulo con el horiionlc (lig. 200). En el exlremo inferior del canal, coloenr el cilindro metMico. 2. Junto con el golpe del metrónomo soltar la bola en el cilremo superior del canal, contar et número de golpes del metr6nomo hasta el choque de la bola con el cilindro. Es c6modo realizar el experimento regulando el metrónomo a 120 JOlpcs en UJ'l minu10. 3. Variando el ~ngulo de inclinación del canal hacia el hom:ontc, conseguir que entre los instantes en que se suelta la bola y l:sta cboc3 con el cilindro haya 4 golpes del metrónomo (3 intervalos entre los golpes). 4. Calcular el tiempo de movimiento de la bola. 5. Con la cinta mttrica, dctcnninar la longitud del dcsplniamiento ! recorrido por la bola. Ninguna medición se rcnliin con absoluta procisión. L.as mediciones siempre se re•liian con cierto error, ligodo eon la impcrfccc16n de los ap3ra los, el proccdim icn lo elegido de medida y por otr:ts causas. Hay una serie de m~todos p:irn aprccfor In outenticidad del resultado de la medición. El mis sencillo de ellos, aunque no el de mayor uactitud, es el calculo del resultado medio ari'm~tico de varias mediciones indcpcn· dientes de la mngnitud que se dC1cnnina Esto e¡ lo que proponemos h3ccr en cs1e trabajo.
Fig. 200 24f
6. Sin cambiar las condiciones del experimento, rcpelif S~ veces las mediciones de la longitud del desplazamiento J. . 7. Empicando ta fórmula (1), hallar la aceleración de la-bota en coda experimento. 8. Determinar el valor medio aritmético de la aceleración. 9. Hallar la difc~encia entre "med .Y la aceleración de la bola m~ida en cada experimento. Éste es el error de cada medición individual de la a~elcraci6n ó.a. 10. Calcula r el valor medio aritmttico del error cori que se inidc la aceleración. JI. Confeccionar la tabla de resultados de los e~pcrimentos; .. >f>. del CKpe· rimcnto
N6mero de golpes del
t
I
o
....od
Ó.o= l•mo.t
-al ·
-
lJ.a,.,..s
rnctr6nomo
12. Anotar el resultado de las mediciones en la forma a "' u,,,.,,
± llo....i .
l. Medición de lo rigidez de un muelle OOl llTJVO DEL TR/\BAIO: definir la rigidez de un muelle, midiendo los alargamientos de ~te, al someterlo :t diferentes valores de la fuerza externa que equilibra la fuerza elástica. INSTRUMENTOS Y MATERIALES: 1) soporte con acoplamientos y pata; 2) muelle espiral; 3) juego de pesas; 4) regla con divisiones milim~ricas.
Orden de realizaci6n, del trabajo
.
t. Fijar en el soporte el extremo del muelle espiral (su otro extremo está equipado de una flecha-indicadora y un gancho, fig. 201). 2.• Junto al muelle o detrás de ti instalar y fijar la regla con divisiones milimtlricas. 3. Marcar y ..anotar la división de la regla frente a Ja cual se encuentra la llcchaindicadora del muelle. 4. ~olgar del muelle una pesa de masa conocida y medir el alargamiento producido por .cll¡i.
Fig. 201
242
5. A la primera pesa alladir la segunda, tercera. etc., Motando cada vet d alargamiento M del muelle. 6. Pata cada valor de la masa de la pesa colgada calcular el valor de la rigidez del muelle de acuerdo con la í6rmula
k~~ ól. donde"' es Ja suma de las masas de las pesas colgadas; g, el módulo de la aceleración de la calda libre y_!J./, el alar¡¡amicnto del muelle. 7. Calcular la media arolmttíca de los valores hallados de In rigidtt del muelle y el er1or medio de las mediciones. 8. Confeccionar la tabla de los resultados : 1'f? dd npeumento
"'
~=~
"' "'
t-
6k -
llk...,¡
-lkmo1-
- tJ
9. Escribir el resultado de las mediciones en la forma k
~
k.,.,.¡ ± 6"'-i.
l. Determinaci6n del coeficiente de rozamiento de deslizamiento OBJETIVO DEL TRABAJO : determinar el codic1cotc dc roumiento de una barreta de madera que resbala por una regla dc madera. Con este fin, mediante un dinamómetro se mide la íueru con la que hay que tirar de Ja barreta cargada con pesas a lo lnrgo de una supcrlicic horiiontal, para que aqutll• se mueva uniformemente. Por su m6
(JI INSTRUMENTOS y MATERIALES: 1) regla: 2) cinta métrica; 3) di· nani6metro; 4) barreta de madera; S) juego de pesas; 6) soporte ~n acoplamientos y pata.
OrJtn de rcali:ación del trabajo. l. Colocar la barreta en la regla de madera dispuc.
24)
9. Confeccionar la labia de los rcsull:ldos de los u¡)erimtntos: l cdlcocioo., ,. :?..!',:pe- del dinam6meuo, F,.
~
.. ,
F,w
µ_.
Alt • óp· • IP-• -pi
10. Anolar el resultado de las mediciones en la forma µ ~ µ,,,..i
± Ól'mcd ·
4. Estudio del movimiento d e un cuer po deseribiendo una porábola OBJETIVO DEL TRABAJO:csludiar la trayectoria de una bola, a la que se com unicl1 velncidnd inicial en dirección horizontol y que rueda dcspub por un pl;mo inclinndo. Si 1:1 bola se ha lonzado horizonl:ilmente a lo fargo de un plano inclinado, ella •e mueve dc
-........_
............
,
X
...
' ...\
\
/'Fl'lll'l'J'jlJ'J'l'l'l 'I i'l'l'I C'i'l'l'\ 1 \'l\'\1 \ 1 \i\'\\ \'\'\
Fig. 202 24'4
A
eo
X¡
X2
x3 A x0
1
1 1 1 1 1 1
Y,
Y2
b'1 1
1
. . -----¡----(
/ ;----4------
Y3
/~
1, B
(
'..........
y 0
r
Fíg. 204
0
i,
B
\ /
_.........
~
\
F,
Fig. 203 INSTRUMENTOS Y, MATERIALES · l) cinta métrica; 2) sopor le con acoplamientos y pata; 3) canal para lanzar la bola; 4) labia de contrnehnpado; 5) bola, 6) bote con va$clina; 7) papel; 8) chinches; 9) papel de lihrar.
Ordtn de realización dtl trabajo l. Con ayuda del soporte lijar la tabla decontl'llchapado bajo un ~ogulo, que con el plano de la mesa forme unos 30". En la pala se lip el saliente del canal (véase la lig. 202). El extremo doblado del canal debe ser hori7.ontal. 2. Con chinches !ijar una hoja de papel en la tab!a. 3. Engrasar la bola con vaselina y sollarla en el canal. Al rodar por el papel, dcjar6 en él huellas oscuras. 4. Frotar la bola con papel de filtrar. 5. Trazar con !Apiz la curva a lo largo de las huellas de 111 bola. 6. Trazar en el papel los ejes de coordenadas y marcar en ellos las coordcnodns de los puntos de 14 curva dcspub de intervalos consecutivos iguiles de tiempo. Medir la longitud de los sectores entreJ:is coordenadas consecutivas de la bola a lo largo del eje Y. 7. Cerciorarse de que
Y1Yi - Oy, - y,y, - J'.tY1 - By, - y,y,. 8. RepClir la construcción, dividiendo el scgmcnlo OA en mayor cantidod de parles igu3IC$
S. Estud io del movimiento de un cuerpo sobre una circunferencia bajo la acción
de varias fuerzas OllJETIVO DEL TRABAJO: determinar la aceleración centripe¡a de I~
bola de un pa¡dulo cónico. Los cabnlh1os examinados en 4.7 (véase la lig. 86) son. prccinmcnle. un péndulo cbnico. En el laboratorio, en lugar del "pasajero" se mueve una bola suspendida del soporte con 11yuda de un hilo (lig. 204). En la fig. 204 se mue:
Ja íucrui
fr = fr, +fr,, donde F1 ~ mg es la íucrza de gravedad a que está sometida la bola; tensión del hilo. La íucna f: es la que comunica a la bola Ja aceleración centripcla. El valor de a se calcula con Ja fórmula
F2 ,
la
o'
a = -, r
donde o es la velocidad lineal de la bola. Pero la medición directa de esta velocidad es dir.cullosa. Resuha más fácil medir el periodo T de las oscilaciones del p1'ndulo, que mediante una sencilla correlación está ligado con la velocidad lineal o (véase 3.2):
Por lo 1anto, (1)
Midiendo T y r, hallamos a. INSTRUMENTOS Y MATERIALES: 1) cinta m~trica~ 2) reloj con aguja segundera; 3) soporle con acoplamientos y un aro; 4) bola; 5) hilo con un nudo en su cxlremo. Orden de realitación tlfl trabaja 11 1. El hilo con el nudo en el extremo se hace pasar por el orificio de la bola y se suspende del aro en el soporte. 2. Uno de los escolares coge con dos dedos el hilo en el punto de suspcn· sibn y pone en rotación el péndulo. 3. El segundo escolar mide ~on Ja cinta métrica el radio r de la circunferencia por la que se mueve la bola. (La circunferencia puede trazarse de anlcmano en un papel y luego hacer que el p~dulo se mueva sobre dicha circunferencia.) 4. Con ayuda del reloj con aguja segundera dctcmúnar el período T de rotación del p~ndulo. Para ello, el escolar que hace girar el péndulo, al compás de éste, dice en vo1; alta: cero, cero, cte. El segundo escolar con el reloj en la mano, después de elegir con Ja aguja segundera un momento cómod<'> para comenzar el registro. pronuncia: "cero", acto seguido el primer escolar en voz alta cuenta el número de revoluciones. Después d e conlar 30-40 revoluciones (N), se fija el inlcrvalo de 1icmpo pasado lJ.t. El período de las oscilaciones del péndulo T = lJ.1/N. S. Mediante la fórmula (1) calcular Ja aceleración ccnlrípeta. 6. Confeccionar la tabla de resuhados: Ht del .cxpuirncnlo
'1
r
4n 1r
11='N lllt T : ~ N 1'
Este trabajo lo realizan dos es<:olares. 246
6. Aclaración de las condiciones de equillbrio de una palanca OBJETIVO DEL TRABAJO : establecer las correlaciones entre los momentos de las fucnas, aplicadas a los bra:z.os de una palanca durante su cquilibño. Con este lin, a uno de los brazos de la palancA se cuelgan una o v3rias cargas, mientras que al otro se fija pn dinamómetro (fig. 205). Con ayuda de l:stc se mide el módulo de la fuerza F que cs preciso aplicar pa.r a que la palanca se encuentre en equilibrio. A coolinuaci6n, mc<\iante ese mismo dinamó· metro. se mide d módulo del peso de las ca_rgas P. Las longitudes de los brazos de la p~lanca se miden con una rcgl3, Oc;spué!_ de esto se definen los vóllorcs absolutos de los momentos de las fucnas F y P, qu~ son_ iguales a los productos F/1 y PI, . Los momentos obtenidos de las fuenas F y P se comp:i.ran entre si. INSTRUMENTOS Y MATERIALES: 1) regla de medición ¡ 2) dinam6metro; 3) juego de cargas; 4) soporte con acoplamientos; 5) pal3nC3.
Orden de rtallzoción del 1robajo L Instalar la palanca en el soporte y equilibrarla en posición horizontal con las tuercas móviles situadas en sus extremo,. 2. Colgar una carga en cierto punto de uno de los brll.llos de la palnnca. 3. Fijar el dinamómetro en el otro brazo de la p3lanca y determinar la íuerca que es necesario aplicar sobre ella para que la misma se encuentre en equilibrio. 4. Con la regla medir la longitud de los br.120< de ta p~lanca. S. Dclenninar con el dinam6rnc1ro d peso de la carga P. _ 6. Hallar los valores absolutos de los momentos de las fuerzas F y f>. 7. Las magnitudes halladas se ao;itan en la tabla: No del cxpcrimento
1,
1,
p
F
PI,
Ff,
8. Comparar los momentos de las fuerzas t y P. 9. Repetir el experimento varias veces, fijando en la p3lanca diversa cantidad de cargas y eambinndo los brnzos de la pnlancn.
_t L,
tf€##*
™=
Fig. 206
Fig. 205
247
&
&
7. D eterminación del centro de gravedad de una placa plana OBJETIVO DEL TRABAJO: hallar el punto que s irve de ccnlro de gravedad de la placa. Si suspendemos una plica plana de algüo punto, se dispondri de tal modo. que Ja recta vertical trazada por el punto de suspcnsibn (lig. 206), pas:iri por el centro de gravedad. Esla propicd:id pcnnitc baUar dicho centro en las placas planas por vía experimental. Con este fin, es preciso oolgar la placa de cualquier punto, 1rai.ar en ella una recta vertical que pase por el punto de suspensión. A continuación, se ~litan esas mismas operaciones, colgando la placa de ot~o punto. El punto de intersección de In.• rectas. nos ofrece el centro de gravedad de 1:1 pl•c.i. Para cerciorarse de esto, la placa se puede colgar del tercer puDlo. L.1 recia vertical que pasa por el punto de suspensión, debe también atravesar el punto de intersa:ción de las d os rectas, primeras. T:imbi~n es posible equilibrar la placa en la punt a de un alfiler. Aquélla se cnconlrar! m equilibrio si el pu.n to de apoyo coincide con d centro de gravedad. INSTRUMENTOS Y MATERIALES : 1) regla; 2) placa plana tic rorrna arbitraria; 3) plomada; 4) alíolcr; SJ soporte con p:ita y acoplamiento; 6) lapón de oorcho. Ortle11 de rcalizoclim da/ rrobqjn • l. En In pata del soporle se ftjn el tapón en posición hori7.on1al. 2. En el a lfiler. que se clava en el tapón, se suspenden la placa y la plomada. 3. Con un lipiz bien eíílado se marca la línc;i de la plomada en los bordes superior e inferior de la placa. 4. La placa se descuelga y se lraza una linea que u11c los puntos marcados. 5. Repdir d experimento colg:indo Ja placa de otro punto. 6. Cerciorarse de que el punto de intcrseccibn de las rectas trazadas es el ccnlrn de gravedad de la pl:ica.
8. Comparación del trabajo realizado por una fuerza y la variación de la energía del cuerpo OllJl!TIVO DEL TRAOAJO: comparar dos magnilu~cs: el trabajo de b fucm> aplicadn al cuerpo y la variación de su cnergia potencial. INSTRUM ENTOS Y M1\TERIALES : 1) dinamómetro con ÍIJ•t
Orden de r ea/iznción del trabaja l. La bola se suspende por medio de un hilo resistente en d gancho dd di113mómetro y se mide su peso P • mg (el peso se lec en la escala del dinn· m6mctro). 2. f:lev<1r la bola con la mnno, descargando nsi el muelle, y colocar el lijador 248
L1, ..
Fig . 207
abajo, junto a la grapa. 3. S\lbir la bola hasta la :ilturn del gancho y soltnrla i\l caer. ¡, boto ~tira muelle. Ocspu~ la bola se quita y por Ja posieibn del fijador se mide con rc~la el abrgamicnto máximo Al,.¡, del muelle. Del mismo modo, con la regla mide la altura h de la calda de la bola (c.• igual a la largura del hilo m:ís alargamiento del muelle). 4. E.~tirando el muelle con Ja mano, hasta que el fijador haga contacto con Ja grnpa limitndora, se Ice en la escala el valor de In íueru el:lstic;, del muelle. Esta corrcs¡>omlc • 1~ rucn., clf1.
el la se el
F,.».
A - --Alooh 2 y Ja variación {disn>inucibn) de la enctgia potencial por la fórmula
l!.Er - rr.gli = Ph.
6. Anotar los rcsul!ados en la 1abla: ~del a pcrimen to Pe ólmi• ~ ,. mg
.."
h
iA
D
F "'" t.lmf.> óE,.c:
l
- mgf•
7. Comparar los datos de las dos últimas column3S en la 1abla. 249
Sol.uciones de lps ejercicios I; s, ~ 4 m; • 1 - -3 m. 2. x = 2,2 m; y"' 4 m; 6 m; JO". 3. 13 km. l. :::: J,S km al sureste; ::::: 42 mip. 2. 90 km/h . 3. 3,4 km. J. l. 7 m. 2. 0,1 m/s. 4. l. 950 km/h; 850 lcm/h. 2. 15 km. 4. x - 72 km ; y~ 1440 km; : = 8 km. El eje OX cst! dirigido de occidente a orien1c, el eje O Y. de sur a norte, el eje 07., vcrliealmcnlc hacia arriba. Elcrc. S. l. 70 km/h. 2. ::::: 54,S km/h. E¡crc. 6. 1. IO s. 2. -2.5 3. 6.25 s. 4. 64800 km/h. EJerc. 7, l. a) 27 m; b) 4 s; 8 m. 2. &! el punlo A v,. - 2 m/s; "" = O.S m/s. En el punlo2 D v,. = 2 m/s; .v,. = 8 m/s; o 1, = O; "'! 2 m/s 1 ; a,, = 0,5 m/s ; 3. n 1, • 1 m/s 1 ;. a., = 0,4 m/s1 ; 1J,. 0.5 m/s . 4. OA e • 9 m/s; ÓB • 3 m/s; OC = 4,S s; 1 m/s 2 ; -2 m/s'. 5. ::::: 6.7 m's'; ::::: 746 m . 6. 0,6 m. 7. ::::: 2,4 km. 8. 15876 ~m. E~erc. 8. l. J,75 m/s . 2. 500 m. 3. ::::: 700 m. EJcrc. 9 l. :::: 1,3 m/s. 2 ::::: S7,3 cm. 3. ::::: 2· 10- 2 rad/s; 30 lc.mjs. 4. 6,1 . ¡o-• m/s; :::: l,7· 10- 3 rad/s. S. 0.00007 rad/s; 448 m/s. Ejcrc. 10. l. :::: J,14 m/s. 2. 2,2S m/s 1 . 3. ::::: 7,7 km/s. 4. ::::: 67,8 km/h. 5. :::: 0,63 m/s; 1 s. 6. ::::: 2,7· IO- l m/s'. Ejcrc. 11. l. 6 m/s. 2. 2 cm: 6 cm. 3. 12 cm. Eierc. 12. l. l. 2. 30 cm/s. EJcrc. 13. 1. 9,8 N. 2. 4· IO' N. 3. 2400 N. 4, Error: d llcmpo es no 2, sino ¡/i veces menor. Ejerc. 14. l. No. 2. 0,25 m/s1 ; 0,2 m/s2. J. :::: 16 N . Ejerc. 1S. l. 49 N/m. 2. 10 cm. F.1erc. 16. l. :::: 0,1 mg. 2. 0,16 N . 3. l,9· 10'º N. 4. ::::: 585 va;cs. S. :::: 2'600 lc.m. Ejcrc. 17. l. 0,S kg. 2 . 2600 m. 3. 1,55 N; 6 veces menor. 4. 4 m/s1. Ejcrc. IS. l. :::: 49 N . 2. -:::: 11 00 kg. J. 75 N . Ejcrc. 19. 1. 78,4 m. 2. :::: 10..S s; :::= IOJ m/s. 3. 1 s; 9,8 mfs . 4. ::::: 11,5 m/s. S. :::: 20 m/s; ::::: 15 m. 7.:::: 46 m.8. :::: 78 m ;::::: 39,2 m/s. 9.::::: 3,25 m;::::: -8 m/s;:::: 1,3 s: :::::0.8 m. 10. 15 m; 10 mjs; -IOmfs. 11. Dos veces. 12. - 12 mfs. E¡erc. 20. l. ::: 1,3 m; 1 s; ::::: 8,7 m. 2. ::: 2,8 m. EJcrc. 21. t. En lodos los casos 4900 N. 2. a) 1010 N; b) 980 N; e) 940 N; d) O. 3. Disminuye en S600 N . 4. :::: 9,77 N. Ejcrc. 22. l. 89 min. 2. ::::: 5,63 km/s. 3. ::; 4700 lc.m. 4. 38000 km. Eicrc. 23. l. 1O m/s. 2. ::::: 3,3 s; ::::: 33 m. 24. 2. 2 m/s. 3. ::::: 300. 4. ::::: 10 m/s 1• 5. ::::: 5,5 m/s2. E~erc. 2S. 1. No se puede, ::::: SO km/h. 2. :::: 70.S km/h. EJcrc. 26. l. ::::: 865 N ; 1000 N ; ::: 700 N; SOO N ; O. 2 ::::: 11,6 N: ::: 23,2 N. 3. 3400 N. 4. Habr~ S. :::: 1730 N ; 2000 N. EjCTC. 27. 1. 0,1 kg. 2. 0,2 kg. Ejcrc. 28. t. JO kg · m/s. 2. a) 3· 10' kg·m/s; b) 6· 10' kg·m/s. 3. 0,2 kg·m/s; 2 N. 4. ::: 20000 ltg·rn/s; :::: 1000 kg. S. 3,4 s. E~crc. 29. 1. S,S m/s. 2. 0.3 m/s. 3. 4,5 kg. E¡erc. JO. l . 2774 J. 2. 36,75 kJ. 3. ::::: 77 kJ . 4. ::::: l,S J. E~erc. JI. l. SOOJ; :::: 0,7. 2. ::::: lSOOJ; :::::lSON. 3. 1 19 .W J. EJtrc. 32. l. 180 J: :::: l l m/s. 2. 4,S · 101 J. 3. 4,16·.1 01 J. 4. :::::40 N ; por el radio; A= O. S. ::::: 200000 J ; ::::: 1000 kg. 6. 34 m. Ejcrc. Ejcrc. EJCrc. EJtn:.
l. 2.
rnf•'·
º" =
º'•
a,. - a,. ,.
e,crc.
°
250
=-
=
o,. -
Ejerc. 33. l. ::: 120 J. 2. 11,25 kJ. 3. 2,74· IO' J. 4. 2,74 · IO' J; 1372 kJ. Ejerc. 34. l. 8 J. 2. 16,5 J. 3. 0,08 J. 4. Por el signo. 5. 2,25· 10-• J. 6. 8 J. Ejerc. 35. l. :::: 45 m. 2. 2000 m. 3. 294 J ; 588 J. 4. :::: 229,S kg. 5. :::: 0,01 m. 6. :::: 1,58 m/s. 7. -3,75 m/s; 6,25 m/s. Ejerc. 36. l. :::: 240 J. 2. :::: 2713 J. l. 36 km/h. 4. La energja cintlica disminuyó en 1500 J. 5. :::: 700 kJ. 6. Estaba ro movimicnlo por el ni re. 7. :::: 1190 J. Ejerc. 37. l. 7200 N. 2. 8 1. 3. 360 kJ. 4. 7,8· IO" J. 5. 20 kW. Ejcrc. 38. l. :::: 6 l. 2. 5700 N. 3. :::: 77 t. 4. ::: 20"/.. Ejerc. 39. l. 5652 ml. 2. :::: 0,9 m. 3. 5,66 cm.
Índice alfabé tico de autores y materias
Aceleración 45 - c:cn1r1pcta 61 - de la caída libre 57, 115 Ángulo de giro 64 Bernou/lf Daniel 227 Brazo de una fucna 172
Caída libre 58 Cnnlidntl de movimiento de un cuerpo !impulso) 181, 182 Centro de grav<Xlad 161
F uer:i:a de presión 121 - - rcsistcooa 124 -- rozamiento 119 - -- de dcslii.1micn10 122 - -- en reposo o csttltico 120 - -- liquido o YlSC030 124 - · ehbtica 88, JOS, 106 - clcctromagn~tic.1 JOS -, medición de una 96 - resu ltante 93 - sustcn~dorn del afa 229
- - mMaS 160
Gognrin lk A. 191 Galrleo Galílei 9, 58, 77
Cínemálic• 12 Coeficiente de r
Gráfica de movimiento 27 -- velocidad :Z.1 Impulso de fucn.a 182 Inercia 77 lncrtidad (inertancio) 82 Jngrovidez 144
Deformación l OS DcsplllUlmicnto 16, 17, 24, SO Oinirnica 74 Encrgl~
Juho 193 K ilogromo 84 Korollov S. P. l90
181, 193, 210
- cin~ticn 198 - in1cma 216 - 01cc;ánic• 211 - po1enci3I ~. 209 13$pacio 11, IS - 1
r rccucncfa 66 Fucria 87 - de la gravedad 88, 115 -- - gravitación universal 110 -- - rcac:ci6n 109
Ley (Priocipio) - de Bemoulli 227 -- conservaci6n de la cantitfad de mov>micnto 185 ----- cnergla 211, 221 - - llJ'OYitación universal 11i - - Hoolce 106. 107 -- Newton, primera 77, 95 - --. ~egunda 92 - --. tercera 99 Longitud de rccorñdo (trayectoria) 17 Magnitud cinemática 16, 23, 4S - dinllmica 74, 83, 87 - escalar 17
252
Magnitud vectorial 16 Masa 83 M3tcri.i 9 M tdoica 10 Metro 38 Módulo (longitud) de un vector 16 Momento de fuerza o de rotación J72 M ovimien to curvilineo 61 - - uniforme 63 - de traslación 12 - - un Uquido 225 - mecánico 1O. 11 - rcctillnco uniforme 23 - - uniformemente variado (acelerado) 4S -, relatividad del 34, 71 - sobre un;¡ circunícrencin 64 - vnrfodo 4 1 - víbratorio (~cilotorio) l 27
Ntwtm1 Isaac 78, 89 Ncu1onio (ocwton, unidnd ele rucn.•) 95 Origen de coordenadas 14 - - referencia 14 P3r~bola 133 Periodo 66 Pesaje 117 Peso 117, 139 Polencia 217 Principio de conservoci6n de 1• ca111idad de movimiento 185 ---- - energia 21 t, 221 -- la rclauvtdod de Gallico 164 Problema fundnmciual de mcclnica 11, 16, 17, 49, 104, 127 Propulsión a chorro o por reacción 188 Proyección de un vector J8, 2 t Punto mnrcrinl 13
Rndián 64 Regla de tos momen tos 172 -- la palanca 174 Rendimiento 223 Rcwrrido de frenado 149
Rigidez 107 Rozamiento liquido o vio;coso 124 - seco 124 Segundo 39 Sistema cerrado 185 - de coordenadas t 5 - - referencia 1S - inercial de referencia 76, 77, J 63 - no inercial de referencia 164 - internacional de unidades 39 - de unidades de medición 39 Sobrecarga 141 Teomna de la energía cinttica 199 Tiempo 11 Trabajo 193, 194, 196 Trnycctoria 17, 28 1Siolkoo$kl K. E. 189 Unidndcs de medición 38 - - - de aceleración 46 ---- dngulo 64 ---- cnnlidad de movimiento 182 ---- fucrz.a 9S ---- longitud 38 ---- masa 114 ---- momento de fuerza 172 ---- potencia 217 ---- tiempo 39 ---- trabajo 193 -- -- velocidad 39 Vatio 217 Yec:tor 16, 2S - de dcsplninmicnro 16 - rcsullante 20 Velocidad 23, 24 - nngulM 6S - cósmica, primera 148 - instantánea 42, 43 - lineal 66 - media 41, S2
Zhukowkl N. E. 230
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B. Bújovtsev, lk Klímontóvich, G. Mlákishev. "Flsica
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El manual contiene la exposición sistemática de lo~ fenómenos térmicos, de la fisica molecular y de los fundamentos de la clcctrodinámic;i. En el libro se profundizan y desarrollan las nociones acerca de la estructura de la materia, expuestas en ''Flsica 1" y ''Física 2", además se muestra que todos los fenómenos térmicos se subordinan u delenninadas leyes. El descubrimiento de estas leyes ha pcmlitido utilizarlas en la prflctica y .la técnica con la máxima efic:1cia. La teorla cinético-molecular se cicplica ateniéndose :\ los fcnómcn05 térmicos que tienen lugar en los cuerpos macroscópiCO$ y l~.s prnpicdadcs inlernas de éstos, asl como basándose en la idea de que todos los cucr.P,OS están constituidos pÓr partlculas independientes que se mueven caóticamente. Se dan los principales conceptos sobre la termodinámica y sus principios básicos, que fueron establecidos por vla experimental, asi:nismo se analizan las bases de la mecánica estadística. En el apartado dedicado a la electrodinámica se introducen las ideas básicas acerca de la naturaleza de los fenómenos electromagnéticos. Se analizan los mecanismos de la corriente eléctrica en diferentes medios, inelnye~do las descargas en un gas, los haces electrónicos en el vaclo, los semiconductores.' En la parte dedicada al magnetismo se hace hincapié al descubrimiento de la esencia de la interacción entre Ja materia y los campos eléctrico y magnético, así como de su interrelación. El manual está dotado de un extenso material ilustrnüvo, contiene muchos ejercicios con las correspondientes soluciones, al final se dan algunos trabajos de laboratorio para los alumcos.
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G. Miúkl.~liev, tJ. D1íjovtsev. " Física 4"
En el m~1111al se ex ponen los cu rsos de oscilaciones y ondas, la óptica, la fisica atómica y nuclear. En el :1partatlo sobre las oscifociones y ondas se analizan las oscilaciones mecánicas (libres y fon;idas); las oscilaciones cléctric:1s asimi~mo las libres y las forzadas, es1as últimas son las que producen la corriente clé:clrica :11lcm¡1; las ondas mecánicas y el son iclo; lns ondas elcclromagnélica.s. En la parte dedicada a la óptic<1 se exponen las bases de Ja
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