Vectores En El Plano

FACULTAD DE INGENIERÍA 

ESCUELA: INGENIERÍA CIVIL

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ASIGNATURA: ALGEBRA VECTORIAL

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TEMA: VECTORES R2

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DOCENTE: LIC. IVAN SILVANO SAAVEDRA PONTE

IGUALDAD DE PARES ORDENADOS 1. Para qué valor o valores de x se tiene

que (2x2 – 7x + 1; 3x – 1) = (-2; 8). 2. Hallar los elementos del conjunto: A={(x,y)|(2x2+7x; 4y2–19y)=(x;-12)}

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 3. Demuestre que el triángulo ABC con vértices A(1,-3), B(3,2) y C(-2,4) es un triángulo isósceles. 4. Demuestre que los puntos A(-4,4), B(-2,-4) y C(-1,-5) son los vértices de un triángulo rectángulo.

R2 COMO ESPACIO VECTORIAL 5. Si A(-2,3) y B(4,-1), hallar el vector V=2A+3B. 6. Hallar el vector x en la ecuación: 2(-1,2)+3x=(4,-

5). 7. Hallar todos los números reales r y s tales que r(4,-6)+s(5,-2)=(7,6). 8. Hallar los elementos del conjunto: V={(m,n)ЄR2| (|2m-1|,|2n+1|=(5,9))} 9. Dados los vectores A=(3x-5, x-2y+2) y B=(x-y2,3-2y), hallar x e y tales que 3A=4B. 10. Si A=(2m-3n,4n-m) y B=(2,-3), hallar los valores de m y n que hacen que A=5B

VECTOR LOCALIZADO 11. Hallar el vector localizado de P1P2, si P1(5,-2) y 12. 13.

P2(2,3). Interpretar geométricamente el resultado. Un vector que va de A(3,5) a B(x,y) representa al mismo vector que va de B(x,y) a C(8,1). Hallar B(x,y). En los ejercicios siguientes, hallar el punto S(x,y) tal que PQ y RS sean representaciones del mismo vector: a) P(2,5), Q(1,6), R(-3,2) b) P(0,3), Q(5,-2), R(7,0) c) P(-1,4), Q(2,-3), R(-5,-2)

MAGNITUD Y DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN R2 14. Hallar la magnitud del vector de extremos A(1,3) y 15. 16. 17. 18.

19.

B(-2,7). Hallar la magnitud y dirección del vector V=(-3,4). Expresar el vector V=(3,-3√3) en términos de su magnitud y de su ángulo dirección. Hallar un vector unitario que tiene la misma dirección y sentido del vector V=(-3,√7). Hallar un vector de módulo 10, que tenga la misma dirección y sentido opuesto al vector que va de S(4,2) a T(1,6). Hallar un vector unitario en la dirección del vector V de longitud 5, que tiene su punto inicial en (1,-1) y su punto terminal tiene abscisa 4

OPERACIONES VECTORIALES FUNDAMENTALES 20. Dados los vectores A=(-1,1) y B=(3,2), hallar A+B

21. 22. 23.

y construir una gráfica que muestre las representaciones ordinarias correspondientes a los vectores. Si A=(4,2) y B=(-3,3), hallar la diferencia A-B y trazar una gráfica que muestre la representación ordinaria de los tres vectores. Sea x un vector tal que (3,4)=x+(1,-6). Si (3,2)=tx+r(-2,1), hallar el valor de 3r+6t. Dados: A=(-2,2), B=(3,-2) y C=(-1,1), resolver la ecuación 3A-2[3(B-2C)+2A]+3x=2C+x

VECTORES PARALELOS 23. Determinar si los vectores dados son paralelos: 24. 25. 26. 27.

a) A=(4,-1), B=(-12,3) b) A=(3,-6), B=(1,2). Si A=(1-2m,1) y B=(-7,m+2), hallar los valores de m, de modo que A sea paralelo a B. Si al vector A=(1,18) lo expresamos como A=X+Y, donde X||B e Y||C. Si B=(-1,4) y C=(2m,3m), hallar el vector X. Si A=(m,2m), A-B=(2m,p), A||B y la norma de A-B es 20, hallar la norma de B. El vector A=(3,0) se descompone en dos vectores B y C paralelos a los vectores (2r,-3r/2) y (p,-3p) respectivamente, donde r≠0 y p≠0. Hallar las longitudes de B y C.

PRODUCTO ESCALAR 28. Hallar la norma del vector B=(-3m,m), sabiendo 29. 30.

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que ha sido descompuesto en el vector A=(-5,3) y en otro vector paralelo al vector C=(1,1). Si A=(-6,15), B=(-2,9) y C=(-2m,3m) y se sabe que X+Y=A, X||B e Y||C; hallar X.Yḻ. Si A+B+C=0 y ||A||=2, ||B||=5, ||C||=8; hallar A.B Dados los vectores A=(m,3p) y B=(-2p,n), calcular la norma de A–Bḻ, sabiendo que A+B=(8,-4) y A.Bḻ=0.

RELACIONES ENTRE VECTORES 32. Hallar el valor del ángulo que forma el vector A que 33.

34. 35. 36.

va de P(4,5) a Q(6,4), con el vector B que va de S(3,1) a T(-2,-2). Hallar la norma del vector D, sabiendo que A y B forman un ángulo de 60º, D=A+B, ||A||=3 y ||B||=5. Calcular A.B, donde A y B son vectores de la figura mostrada, para los cuales: ||A||=4 y ||B||=2√3. Los vectores A y B forman entre sí un ángulo de 30º y la norma de A es √48. Hallar la norma de B sabiendo que A-B es perpendicular al vector A. Los vectores A y B forman un ángulo de 30º. Sabiendo que ||A||=√3 y ||B||=1, hallar el ángulo entre los vectores U=A+B y V=A-B

37. Si A=(12,5) y B=(-3,4), hallar la ProyeBA y ProyvBA 38. Hallar la proyección ortogonal y la componente 39. 40. 41. 42.

escalar del vector A=(-3,-4) sobre el vector B=(4,-2). Los lados de un triángulo son los vectores A, B y AB. Si ||A||=5, ||B||=3 y compBA=-5/2, hallar la longitud del lado A-B. Los lados de un triángulo son los vectores A, B y A+B. Si ||A||=5, ||B||=2√2 y ||A+B||=√53, hallar: 2compBA-compB(A+B). Si el vector B forma un ángulo de 30º con el semieje positivo de las x, ||B||=2, proyBA=-2 y proyBḻA=2√3; hallar el vector A. Si A=(-2,√12) y B=(-3,√3), hallar el ángulo formado por los vectores A y ProyBḻA

ÁREA DEL PARALELOGRAMO Y DEL TRIÁNGULO 43. Sean P(-3,1), Q(7,-1) y R(5,3) tres vértices 44. 45. 46.

consecutivos de un paralelogramo. Hallar su área. Hallar el área de un paralelogramo sabiendo que sus diagonales están contenidos en los vectores U=(3,3) y V=(5,1). Se dan los puntos A(3,-2), B(-3,2) y C(2,7). Si P divide al segmento BC en la razón BP:PC=2:3; hallar el área del triángulo APC. Los vértices de un triángulo son A(2,-1), B(4,2) y C pertenece a la recta y=x-2. Si su área es 5u2, hallar la suma de las ordenadas de todos los posibles valores del vértice C

LOS VECTORES Y LA FÍSICA 47. Un hombre salta desde un automóvil en marcha de

48.

49.

manera que si el coche hubiese estado quieto, su velocidad habría tenido magnitud 10km/h y habría formado un ángulo de 60º con la dirección al frente del automóvil. Si el coche avanza a 30km/h, con qué velocidad sale el hombre del automóvil. Un aeroplano vuela hacia el noreste con una velocidad de 400millas/h. Cuál es la velocidad resultante del aeroplano, con respecto a la tierra, y que curso debe seguir el piloto. Una avioneta pequeña vuela a 150km/h si hay quietud en el aire. Qué curso tendrá que seguir el piloto cuando hay viento de 25km/h que sopla desde el suroeste, y que tiempo tardará en llagar a su destino situado a 200km al norte

50. Un automóvil recorre 3km hacia el Norte y luego

51.

52.

5km hacia el Noreste. Representar y hallar el desplazamiento resultante del recorrido. A un maratonista que recorre hacia el Sur-Este a 20km/h, le parece que el viento sopla hacia el este; pero a un ciclista que va hacia el Este a 40km/h, le parece que el viento sopla hacia el Sur. Hallar la componente de la velocidad del viento en la dirección de un vector que señala la trayectoria del maratonista. Sobre un sólido puntual en P actúan 3 fuerzas coplanares que se muestra en la figura. Hallar la fuerza resultante necesaria que se debe aplicar en P para mantener en reposo al sólido.

53. Se da el siguiente sistema de fuerzas: F1 de 50kg,

54. 55.

que actúa de A(1,5) a B(-3,8) y F2 de 65kg que actúa de C(-3,-5) a D(2,7). Hallar la resultante R del sistema y el trabajo realizado por R al desplazarse de P(4,3) a Q(9,5). Un sólido de 100kg de peso está suspendido por el centro mediante una cuerda, tal como se indica en la figura. Hallar la tensión T en la cuerda. Sobre un cuerpo que descansa en un plano inclinado, actúan tres fuerzas: gravedad G, na Fuerza N de reacción que es perpendicular al plano y una fuerza F de fricción que se dirige hacia arriba en la dirección del plano. Se define coeficiente de fricción U, como la razón de ||F|| a ||N|| cuando el ángulo Ө de inclinación es tal que el cuerpo está a punto de deslizarse. Demostrar que: U=tgӨ

56. Un cuerpo de w=500lb de peso está suspendido como se indica en la figura. Determinar cada una de las fuerzas que ejercen sobre el punto C A

30º

C

w

B

ANÁLISIS VECTORIAL 1. Un clavo empotrado en el techo es jalado por las

fuerzas F1 de módulo 120N y F2, según muestra el gráfico. Determine el módulo de F2, de tal manera que dicho clavo salga verticalmente. Asimismo, determine el módulo de la fuerza resultante debido a F1 y F2

60º

F1

37º

F2

2. En el sistema de vectores que se muestra, determine el módulo de la resultante. Y A = 10√2 u C=5u

45º 37º B=5u

X

3. Dados los vectores A y B,

A = (20; 15)u y B = (24√2; -7 √2)u determine: 1. A.B 2. El ángulo que forman los vectores A y B

4. Sobre un clavo incrustado en un plano inclinado

actúan dos fuerzas que se representan mediante los vectores F1 y F2. Si su resultante está en la vertical y F2 = 30N, determine los módulos de las componentes de F1 en una dirección paralela y perpendicular al plano inclinado F1

60º

F2

23º

5. Determine el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrados.

2u

4u B

D

C

3u A

6. Un buque navega mar adentro con rumbo al sur;

N

después de desplazarse 23km cambia de rumbo hacia el oeste avanzando 32km; finalmente cambia de rumbo E16ºN avanzando 25km. ¿Cuál es el módulo del desplazamiento efectivo del buque? E

O S

7. Exprese el vector X en función de A y B. Considere G baricentro del triángulo PMN P

B

G

A

x M

N

8. Se tiene dos vectores A y B tal como se muestra. Si |A|=20u ¿Qué valor tiene la resultante de estos vectores, si se sabe que es mínima?

A

B 37º

9. Sabiendo que el resorte está comprimido 2cm y

que el bloque de 2kg, se encuentra en reposo; determine la lectura del dinamómetro ideal. (Considere K = 10N/cm y g = 10m/s2)

g

10. La pequeña esfera de 4kg está en reposo. ¿Qué

valor tiene la fuerza F y la fuerza de tensión (g = 10m/s2)?

37º

F m

11. Del siguiente gráfico, determine el módulo de la tensión que soporta la cuerda que sostiene el bloque de 8kg en reposo. (g = 10m/s2)

F1

liso

30º

12. En el sistema mostrado, el pequeño bloque es de

2kg, la tabla de 5kg y las poleas son ideales. Si el sistema se mantiene en reposo; determine el módulo de la fuerza que el bloque ejerce sobre la tabla. (g = 10m/s2)