Vectores

VECTORES

TEMAS

Vectores, Características, Producto de un escalar por un vector, Suma de vectores, Propiedades de la suma de vectores, Componentes de un vector, vectores unitarios, Suma y resta analitica de vectores, Producto escalar, Producto vectorial

Cantidades físicas Escalares Asociadas a propiedades que pueden ser caracterizadas a través de una cantidad

Vectoriales Asociadas a propiedades que se caracterizan no sólo por su cantidad sino por su dirección y su sentido

Las cantidades vectoriales, para quedar definidas , además de la cantidad expresada en números y la unidad, requieren que se señale la dirección.

VECTOR

Vector y A

Notación Módulo

A

 x

A >0

Dirección o Línea de Acción



z

Vectores θθ

A y



Notación

A

x

Módulo

A >0 θ, 

Dirección

θ, 

PROPIEDADES DE LOS VECTORES

Propiedades de Vectores

 A

 B

 C

Todo vector se puede desplazar por el espacio si se mantiene la magnitud, dirección y sentido

ABC

Propiedades de Vectores

A Sea el vector A

Si multiplicamos un escalar “ λ ” y un vector “A” El resultado es otro vector en la misma dirección

Para: λ > 0 , el vector B es paralelo al vector A

B= l A

B

λ >0

Propiedades de Vectores

A Sea el vector A

Si multiplicamos un escalar “ λ ” y un vector “A” El resultado es otro vector en la misma dirección

Para: λ < 0 , el vector B es anti paralelo al vector A

B

B= l A

 A

 1  B A 2

 B  A

 B

 1  B A 4

COLINEALES.- Cuando las líneas de acción son paralelas.

A B

C

Propiedades de Vectores

A Sea el vector A

Si multiplicamos un escalar “ λ ” y un vector “A” El resultado es otro vector en la misma dirección

Para: λ = 1 , el vector B es igual al vector A

B

λ = 1

B= l A

VECTORES IGUALES.- Si tienen su módulo, dirección y sentido iguales

A

B

α

Si A y B son iguales se cumple [ A] = [ B] α=β Sentido de A = Sentido de B

β

Propiedades de Vectores

A Sea el vector A

Si multiplicamos un escalar “ λ ” y un vector “A” El resultado es otro vector en la misma dirección

Para: λ = -1 , el vector B es opuesto al vector A

B= l A

B

λ = -1

Tipos de Vectores COLINEALES.- Si se encuentran sobre la misma línea de acción. A

B

C

CONCURRENTES.- Si sus líneas de acción concurren en un mismo punto. A

B Punto de Concurrencia C

SUMA y RESTA de VECTORES

Suma de dos Vectores

Si deseamos sumar dos vectores, se coloca un vector a continuación del otro vector

El vector que empieza en el origen de uno de los vectores y termina en el final de el otro vector es el vector suma R B A

B

R A

R A

B

Suma de dos Vectores R

A 

B

R

A

2

B

2

 2AB.cosθ

Si los vectores son perpendiculares

Suma de dos Vectores

B

R

A

R A B 2

2

Ley de Senos o Ley de Lamy R

α

B β

A

r

Suma de n Vectores

C

A

B

C

A B R

Propiedades de la suma de Vectores

Ley Conmutativa

R  AB  BA

Ley Asociativa        R  A  (B  C)  ( A  B)  C

Resta de Vectores

A

R  A  (-B)

B

R

-B

A

A

B

R=A+B

A B R=A-B

COMPONENTES DE UN VECTOR

COMPONENTES DE UN VECTOR A

A

A

A

Un vector tiene muchas componentes , un caso particular son las componentes rectangulares

y

COMPONENTES RECTANGULARES EN EL PLANO

A

Ay

A x  A cos 

Ay

A y  A sen 

 x

A x Ax AX , AY : proyecciones o componentes

AX , AY : vectores componentes

A = AX + AY

COMPONENTES RECTANGULARES EN EL ESPACIO

AZ

Ax

A = Ax + Ay + Az

VECTORES UNITARIOS

Vector Unitarios • Un vector cuya magnitud es la unidad y es paralelo al vector, se denomina vector unitario.

A uA = A

A u

Vectores unitarios en el plano cartesiano

y

ˆj ˆi

ˆj

ˆi

x

Vector unitario en la dirección del eje x+ Vector unitario en la dirección del eje y+

Vectores unitarios en el espacio

z

ˆk ˆi x

ˆj

y

z

Representación de un vector con vectores unitarios

Az

θ

A Ay

y



Ax

x

    z kAx i  Ay j  Az k A  Ax i  Ay j A A A A 

Ax2  Ay2  Az2

OPERACIONES ANALÍTICAS CON VECTORES

SUMA ANALÍTICA DE VECTORES 

j

Y



i 

R

BY

AY



A = AX i + AY j

B

B = BX i + BY j



A AX

BX

X

R =A + B   A xi  Bxi +  A y j  By j 