Version Finale Arch (1)

MODELISATION HETEROSCEDASTIQUE : LE MODELE ARCH(AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity)

réalisés par WAHIBA ECHNIN MALIKA OUHMAD HICHAM AIT-BELLA

Encadrée par : Mme EL YAMANI

LE PLAN  INTRODUCTION  PARTIE THEORIQUE : les modèles ARCH  PARTIE EMPIRIQUES : le cas du MASI(euro)  CONCLUSION

INTRODUCTION L’étude des séries chronologiques a conduit au développement de plusieurs modèles parmi lesquels la spécification autorégressive la modélisation ARMA en général a été largement utilisée, à cause notamment de ses propriétés statistiques. Malgré ces avantages, les modèles ARMA(p,q) souffrent de la non prise en compte de certaines contraintes structurelles liées au phénomène faisant l’objet de la modélisation. Ces contraintes peuvent traduire le caractère volatile de certaines variables ou même le comportement rationnel des agents économiques … D’où la nécessité des nouveaux modèle ( ARCH , GHARCH… )

Partie théorique : les modèles ARCH

DÉFINITION les modèles Autorégressif Conditionnellement Hétéroscédastique ont utilisés pour caractériser et modéliser des  séries chronologiques . Ces modèles sont souvent appelés les modèles ARCH . Les modèles ARCH sont employés couramment dans la modélisation de séries temporelles financières, qui comportent des volatilités variables c'est-à-dire des périodes agitées suivies par des périodes de calme relatif

Les caractéristiques

La non stationnarité (surtout en variance)

La non normalité de la distribution d’une variable/série

Les processus ARCH linéaires :

L’hypothèse fondamentale sous-tendant les ARCH linéaires est la symétrie des spécifications quadratiques de la variance conditionnelles des erreurs.

Les processus ARCH linéaires 1. Modèle ARCH(q) 2.Modèle ARCH Generalised (GARCH(p,q)) 3. Modèle GARCH integrated (IGARCH(p,q)) 4.Modèle ARCH in Mean (ARCH-M) et GARCH in Mean (GARCH-M)

Modèles ARCH(q)

GARCH(p,q)

IGARCH(p,q)

Définitions Rappelons qu’un modèle de type ARCH(q) consiste à spécifier la variance des erreurs de façon autorégressive conditionnellement à son information passée. Une telle spécification peut généralement s’écrire : Il s’agit d’un modèle ARCH généralisé ; car, dans ce type des modèles, l’information plus éloignée dans le passé ; sur la variance conditionnelle des erreurs est prise en compte dans la spécification de celle-ci en y incluant les valeurs des variances décalées.

Le modèle GARCH intégré ou IGARCH est une spécification GARCH pour des processus non stationnaires en niveau L’on suppose donc que tel enseigne qu’un choc sur h t² se répercute sur les valeurs de (ht+m) ² (m : horizon de prévision) de façon explosive, sans s’estomper dans le temps Avec :

ARCH-M et GARCH-M

Les modèles ARCH et GARCH avec effet de moyenne sont de spécifications dans lesquelles les effets ARCH et GARCH respectivement influencent aussi la moyenne conditionnelle

Les processus ARCH non linéaires :

L’hypothèse à la base des ARCH non linéaires est la prise en compte de l’asymétrie de l’information ou effet de levier dans les spécifications quadratiques de la variance conditionnelle des erreurs.

Les processus ARCH non linéaires 1.Modèles Exponential GARCH (EGARCH) 2.Modèles Threshold ARCH (TARCH) et Threshold GARCH (TGARCH)

Modèles

Définitions Le modèle GARCH exponentiel, difficile à manier ou à interpréter, est une spécification adaptée au modèle GARCH où «a,b » sont négatifs, levant ainsi les contraintes de non négativité imposées aux paramètres. Ce type des modèles s’expriment comme suit :

EGARCH

TARCH et TGARCH

La modélisation ARCH ou GARCH à seuils consiste à intégrer l’effet d’asymétrie dans les spécifications quadratiques de la variance conditionnelle des erreurs, si bien que le signe et l’amplitude d’un choc dans les erreurs décalées soient déterminants quant à ses effets sur la variance conditionnelle au temps t Le modèle ARCH à seuils (TARCH(q)) s’écrit : Le modèle GARCH à seuils (TGARCH(p,q)) s’écrit :

Comment tester la présence d’effets ARCH dans un processus ? I. L’analyse graphique des séries brutes et stationnaires . II. L’étude des statistiques descriptives de la série . III. Les tests de marche aléatoire et de présence d’effets ARCH d’ordre supérieur à 3. IV.La spécification autorégressive de la série filtrée (stationnaire) au carré.

L’analyse graphique En représentant sur un même graphique les séries brute et filtrée, l’on aura à présumer l’existence d’une hétéroscédasticité conditionnelle si la série laisse présager des fortes variabilités ou une non stationnarité en variance.

L’étude des statistiques descriptives L’une des caractéristiques des processus ARCH est la non normalité (ou non linéarité) de la série. La statistique de Jarque-Bera, ainsi que sa probabilité associée conduisent l’inférence

Le test de marche aléatoire Basé sur la statistique de Ljung-Box, le test de bruit blanc permet de juger de l’hétéroscédasticité de la variance conditionnelle des erreurs lorsque l’on s’intéresse aux corrélogrammes des carrés des résidus. Ces derniers permettent de tester

H₀: la spécification est du type ARMA (termes du corrélogramme significativement nuls : PROBA >5%)

H₁ la spécification est du type ARCH (termes du corrélogramme significativement différent de zéro : PROBA <5%)

La présence d’effets ARCH d’ordre supérieur à 3: Aussi, le test ARCH d’hétéroscédasticité d’ordre >3 appelé aussi test du multiplicateur de vraisemblance renseigne sur la nécessité ou pas d’une modélisation du type ARCH. Les hypothèses du test sont :

H₀: Absence d’effets ARCH d’ordre >3 : PROBA >5%)

H₁ Existence d’effets ARCH d’ordre <3: PROBA <5%)

Spécification autorégressive de la série filtrée au carré Considérons un AR(1) tel que Yt = Ǿ₀ + Ǿ₁ Yt-1 + εi La spécification autorégressive d’ordre 1 de la série Yt filtrée au carré s’écrit Zt = Ǿ₀ + Ǿ₁ Zt-1 avec Zt = Δ ( Yt )²

H₀: Ǿ₁=0 Absence d’hétéroscédasticité conditionnelle (Modélisation ARMA sans effets ARCHPROBA >5%)

H₁ Ǿ₁ ≠ 0 Existence d’hétéroscédasticité conditionnelle (Modélisation ARMA avec effets ARCH: PROBA <5%)

LA PROCEDURE I. Représentations graphiques des séries « BRUTE » et «STATIONNAIRE » II. Statistiques descriptives et test de normalité de la série «BRUTE » III. Etude de la volatilité de la série «BRUTE » IV. Estimation des modèles (6) et recherche du modèle optimal (min AIKAIKE & LB2 et DW max ). V. Prévision (min MAPE et Theil proche de zéro).

Partie EMPERIQUE : UNE étude DE CAS SUE LE MASI (EURO)

Les données Pour étudier cette variable MASI (EURO) nous propose les données journalières suivantes : De 01/02/2019 jusqu’à 12/12/2019 ( la bourse de casa blanca )

ETUDE DE LA SERIE « MASIE » PAR L’APPROCHE METHODOLOGIQUE DE BOX ET JENKINS a) Etude de la stationnarité Evolution journalière de MASI(euro) (de 01/02/2019 à 12/12/2019

À la lecture du graphique, l’on présume une non stationnarité en moyenne (la série MASI(euro) accuse une tendance évolutive avec le temps) et en variance (à cause de la forte variabilité ou volatilité de la série).

b ) Corrélogramme H0 : la série est stationnaire H1 : la série n’est pas stationnaire

 Nous

rejetons, car toutes les probabilités sont inférieures à 5%, donclasérie n’est pas stationnaire

c) Test de Dickey-Fuller augmenté (ADF) :  Commençant par le 3ème modèle:

 𝐇 𝟎 : 𝐓𝐫𝐞𝐧𝐝 =𝟎

𝐇 𝟏 : 𝐓𝐫𝐞𝐧𝐝 ≠ 𝟎

 

on accepte , donc la tendance n’est pas significative.

 

le 2ème modèle:

 𝐇 𝟎 : 𝐂𝐬𝐭 =𝟎

𝐇 𝟏 : 𝐂𝐬𝐭 ≠ 𝟎

 

on accepte , donc la constante n’est pas significative

 

le 1er modèle:  𝐇 𝟎 :

𝐩𝐫 é 𝐬𝐞𝐧𝐜𝐞 𝐝𝐞 𝐫𝐚𝐜𝐢𝐧𝐞 𝐮𝐧𝐢𝐭𝐚𝐢𝐫𝐞 𝐇 𝟏 : 𝐚𝐛𝐬𝐞𝐧𝐜𝐞 𝐝𝐞 𝐫𝐚𝐜𝐢𝐧𝐞 𝐮𝐧𝐢𝐭𝐚𝐢𝐫𝐞

 

• Crtical.V (5%) = -1,94 • P= 0,89 > 5% • on accepte , il y’a la présence de racine unitaire, donc il s’agit d’un processus

DS sans dérive

Stationnarité de la série « MASI(euro) Représentation de la série en 1ére différence (DMASIE)

Le test D.F

L’identification et l’estimation du processus optimal Corrélogramme

Le choix du processus Modèle

AKAIKE

SCHWARZ

R2

AR(1) AR(5)

10,95

10,99

0,046

AR(5)

10,96

10,99

0,02

MA(1)

10,97

11,003

0,016

AR(1)

10,97

11,001

0,018

AR(5) MA(1)

10,94

10,99

0,05

Le processus générateur de la série est: ARIMA(5;1;1)

validation du modèle estimé

validation du modèle estimé

Les résidus du modèle optimal estimé ne constituant pas un bruit blanc et ne sont pas normalement distribués.

Puisque on est face aux données financières ( indice boursier MASI) dont l’évolution est souvent non linéaire et volatile. pour ce type des données, les MCO ne sont pas valides à cause de l’hétéroscédasticité donc on doit rejeter la spécification ARIMA au profit de la modélisation hétéroscédastique (ARCH) qui est adaptée à l’étude des séries chronologiques accusant une forte volatilité.

ETUDE DE LA SERIE BRUTE « MASIE » PAR LA MODELISATION HETEROSCEDASTIQUE (ARCH)

1. Représentations graphiques des séries « MASI » et « DMASI» la représentation de la série non stationnaire

La représentation de la série stationnaire

Evolution comparée de la série brute (MASI) et celle en différence (DMASI)

2 . Statistiques descriptives et test de normalité de la série « MASIE »

Corrélogramme

La représentation

La probabilité associée est de 0.00203< 5% : rejet de l’hypothèse de normalité pour la série « MASIE »

3. Etude de la volatilité de la série « MASIE »  Pour étudier la volatilité de notre série « MASIE» régressons « DMASIE » au carré sur la même série décalée (cette façon de procéder permet de juger de l’autocorrélation de la variance des résidus). la manipulation sur Eview

1. genr DMASIE2=DMASIE^2 2. ls DMASIE2 c DMASIE2(-1)

Hypothèses:

H0 : Absence d’hétéroscédasticité conditionnelle H1 : Existence d’hétéroscédasticité conditionnelle

Décision: le paramètre associé à « DMASIE2(-1) » est statistiquement significatif, ce qui permet d’accepter l’hypothèse d’hétéroscédasticité conditionnelle.

4. Estimation des modèles et recherche du modèle optimal 4.1 - Estimation du modèle ARCH Estimation du modèle AR(1) :

ls masie c masie(-1)

le modèle AR(1) est statistiquement significatif.

Test de présence d’effets ARCH sur le modèle AR(1) estimé : Hypothèses: H0 : Absence d’effets ARCH d’ordre >3

Prob>5%, Fc
H1 : Existence d’effets ARCH d’ordre<3

Prob<5%, Fc>Fth

La statistique Q de Ljung-Box indique des termes statistiquement différents de zéro, Ce qui amène à présumer la présence d’effets ARCH d’ordre >3 dans notre série « MASIE ».

Hypothèses:

H0 : Modélisation ARMA des erreurs Prob>5%, Fc
Prob<5%, Fc>Fth

Décision: Pour un ARCH(1), le coefficient associé à « RESID^2(-1) » est statistiquement significatif au seuil de 5%, d’où, nous confirmons que notre série brute « MASIE» suit un processus ARCH d’ordre 1.

Recherche du modèle optimal Estimation du modèle ARCH(1,0) :

Test d’effets ARCH sur le modèle ARCH(1,0) estimé : pas d’effets ARCH (prob>5%), le modèle ARCH(1,0) est accepté.

Estimation du modèle GARCH(1,0) : Corrélogramme des résidus aux carrés

Les résidus de l’estimation de ce modèle ne constituent pas un bruit blanc : le processus GARCH(1,0) est rejeté.

Modèle ARCH(1,0)

AIKAIKE 10,94

DW 1,71

10,94

1,72

10,94

1,71

11,0003

1,69

GARCH(1,0)-M Variance GARCH(1,0)-M Ecart-type TGARCH(1,1)

11,004

1,702

11,004

1,702

10,96

1,708

EGARCH(1,1)

10,96

1,707

ARCH(1)-M Variance ARCH(1)-M Ecarttype GARCH(1,0) Ces 3 modèles ne constituent pas un bruit blanc

LB2 26,84 (0,866) 28,49 (0,809) 28,23 (0,819) 45,41 (0,135) 46,81 (0,107) 47,680 (0,092) 23,96 (0,938) 25,91 (0,89)

Validation du modèle ARCH(1):

Toutes les probabilités >0,05 Le processus ARCH(1) constitue un bruit blanc.

Prévision: La prévision à travers une modélisation ARCH sera dite meilleure si :  

elle minimise le MAPE (Mean Absolute Pourcentage Error) présente un coefficient de Theil proche de zéro

Prévisions pour 13/12/2019, 16/12/2019:

merci pour votre attention