1 Algebra 5to 4bim 2005

CEP Santa María de la Providencia

C.E.P. Santa María de la Providencia

40

n

Cuarto Periodo

6

x 42

18

x 36

m

p

a b c =

1

1 1 1 a n .b m.n .c n.m.p

5to. de Secundaria

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Cuarto Periodo

2

5to. de Secundaria

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Capítulo 1

Cuarto Periodo

3

5to. de Secundaria

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Cuarto Periodo

4

5to. de Secundaria

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LOGARITMO DE UN NÚMERO

bx = N

x = Log b N



N>0

El logaritmo es el exponente de una potencia Entonces:

Si: 24 = 16 Si: 53 = 125

 Log 2 16  Log 5 125

¿Como hallar el logaritmo de un número en una base dada? Ejemplo: Hallar el logaritmo de 16 en base 8

Solución:

 8x = 16  (23)x = 24  3x = 4

Log 8 16 = x



Cuarto Periodo

5

x=

4 3

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EJERCICIOS I.- Calcular cada uno de los siguientes logaritmos

1) Log 7 49

06) Log 4 81

2) Log b b12

07) Log125 5

1 3) Log 7 343

08) Log z z1/5

4) Log 0,2 25

09) Log n n0,3

27 5) Log 4/3 64

7 10) Log a a

II.- Hallar “x”

1) Log 2 x = 8

05) Log 2 x = -5

2) Log 3/5 x = -3

06) Log 0,5 x = 4

3) Log 1/4 x = -2

07) Log 0,02 x = -1

4) Log 3 2 x = 6 III.- Calcular el valor de cada una de las siguientes expresiones:

1)

(2Log4256 - 3Log1000) – 2Log232

2)

5Log5125 – 2Log7343 + 3Log100

3)

2Log381 - 3Log

4)

Log1/432 + Log1/5125 – Log1/3243

5)

Log2/3

Cuarto Periodo

3

81

– Log1010

4 125 32 9 – Log5/6 216 + Log2/4 1024

6

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6)

7Log3/2

27 16 3125 8 + 2Log2/3 81 – 4Log2/3 32

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Propiedad 1: Logaritmo de la unidad

Logb1 = 0 Propiedad 2: Logaritmo de la base del sistema

Logbb = 1 Propiedad 3: Logaritmo de una potencia

Logban = n.Logba Propiedad 4: Logaritmo de una raíz n m m Logb a = Logbam/n = Logba n

Propiedad 5: Logaritmo de un Producto

Logb(p.q) =Logbp + Logbq Propiedad 6: Logaritmo del cociente p    Logb  q =

Cuarto Periodo

Logbp – Logbq

7

5to. de Secundaria

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EJERCICIOS I.- Desarrolla cada una de las siguientes expresiones como suma y resta de logaritmos.

a)

4 2 3 5 m n c Logb 1 d6

c) Logb

( x + y)

b) Log b (x3+y3)

3/4 2/5 3/2 x y 3 4 z w

d) Log b (x2+x-12)

e) Logb(2x2+x-3)1/2

g) Log b

f) Log b

4 6 4 x y z 6 3 n m

h) Log b

3 4 ( x − y) c 1/ 3 (m + n) 4 5 8 a b c 2 3 b a

II.- Reduce cada una de las siguientes expresiones a un sólo logaritmo.

a) 2Logb5 + 3Logb3 b) 7Logba – 4Logba c) 3Logam – 8Logan + Logap d)

1 2

Logba – 2Logbc

e) Logb(a2-25) – Logb(a-5) f) 4Logbx – 2Logby + 2 g) 9Logba + 5Logbp + 1 h) Logb(x2–5x +4) – Logb(x-4) i) 3Logm(a+b) – 2Logm(a-b)

Cuarto Periodo

8

5to. de Secundaria

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III.- Calcular el valor de los siguientes logaritmos a) Log3(3 ⋅ 81) b) Log7(49 ⋅ 343) c) Log1/2(1024 ⋅ 256) d) Log1/3(3 ⋅ 27) e) Log6(216 ⋅ 36) f)

Log4(256 ⋅ 64)

 49.343    g) Log1/7  7 

h) Log2 [ Log2

2]

IV.- Resolver a cada uno de los siguientes ejercicios a) Si: Log a = z , Calcula: Log a3 en función de “z” b) Si: Log

b

= d ; calcular 2Log b4 en función de d.

c) Si: Log 3 a = r ; calcular Log a1/6 en función de r. d) Si: Log a1/25 = p ; calcular Log 5 a en función de p. e) Si Loga2=m y Logb3=n; calcula Log ab en función de

myn f)

a   

Si: Log a3=p y Log b = q ; calcula Log   en función b de “p” y “q”. PROBLEMAS

Cuarto Periodo

9

5to. de Secundaria

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3 01.- El Log 5 25 , es igual a:

a) 3/2

b) –3/2

d) –2/3

d) 2/3

e) 2

02.- Si: Log 10 a = x ; entonces: Log1010ª , es igual a: a) 10+x

b) 10x

c) x

d) 2x

e) 1+x

d) –3/2

e) 9/4

d) 3

e) 60

03.- El valor de “x” en la expresión:

Log2/3X = –2 ; es: a) 2/3

b) –2/3

c) 3/2

04.- El valor de “x” en la expresión:

Log0,40,064 = x ; es: a) 4

b) 16

c) 64

05.- Hallar “x”.

Log2X + Log49 – Log26 + Log22 = 4 Dar como respuesta la suma de las cifras de “x” a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

06.- Si: Log9x + Logx = 4 , hallar el valor de “x”. a) 100/3

b) 50/3

c) 1/3

d) 3/100

e) 100

07.- Si: Log 3 M = 5/3

Cuarto Periodo

10

5to. de Secundaria

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Calcular: A = Log432 + LogM3 a) 0,833

b) –0,76

c) –0,2

d) 3,1

e) NA

08.- Hallar “n” en:

Log6n – Log6(n-1) = Log63 a) 2/3

b) 3/2

c) 1/2

d) –2/3

e) 1/3

09.- Al logaritmo de 9 3 en base 27 agregarle el logaritmo de 4 3 2 en base 4. a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

10.- La solución de: Log(3x2+2x-4) = 0 ; x∈Z+ a) 1

b) –1

c) –5

d) 2

e) –5/3

11.- Calcular:

Log3 { Log4 [Log5(Log6216 +2) + 63] + 240} a) 4

b) 5

12.- Si: 2x = a

c) 3

y

d) 6

e) 2

d) 2x

e) –2

4x = b

Cual es el valor de: Log b a a) 1/2

b) –12

c) x/2

13.- Señalar el resultado de:

Cuarto Periodo

11

5to. de Secundaria

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Log a) 2

2

[Log

b) 4

3

( 4Log

5

25 + 11) − Log2 4 ]

c) 8

c) 6

e) 16

14.- Si se cumple: x = ( Log8 2 ) Log2 8 a) –3

b) –1/3

entonces: Log3x es:

c) 1/3

d) 3

e) 9

d) 42

e) 1

15.- indicar el equivalente de:

S = 31+ Log3 2 + 21+ Log2 3 a) 12 16.- Si:

b) 4

c) 6

Log 2 [ Log 3 (Log10x) ] = 1

Hallar Log x a) 1

b) 2

c) 3

d) 9

e) 6

d) 4/3

e) 17/6

17.- Si: Logab a = 4 , calcular:

E = Logab a) 7/3 b) 5/6 18.- Simplificar:

3 a   b 

   

c) 13/6

(Log6 4 + Log6 9)Log3 (5 + Log2 16)

Cuarto Periodo

12

5to. de Secundaria

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a) 2

b) 3

c) 5

d) 4

e) 16

19.- Simplificar:

Log8 Log 4 Log

8

Log

2

2

9

a) 1/3

b) –1/3

c) ¼

d) 1/6

e) 1/9

20.- Reducir: E = Log16Log a) 4

b) 1/4

6

Log

c) 2

2

8

d) 1/2

e) 1

PROBLEMAS 01.- El valor de “x” en la expresión:

Cuarto Periodo

13

5to. de Secundaria

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Log5125 = x , es: a) 120

b) 25

c) 3

d) 2

e) NA

02.- En que base el logaritmo de 4 8 es 7/4 a) 4

b) 2

c) 8

03.- Si: Log10p = x , entonces: a) 3 x

b) 3x

d) Log10

c) x1/3

2

3p

d) x/3

e) 1 , es igual a: e) 1/3 – x

04.- Si: x” e “y” son números positivos y Logx2 = a ; Log y2 = b Entonces el valor de: x 20.Log 10 es: y a) a+b b) a–b c) b–a d) 2(a+b) e) 2(b–a) 05.- Si: a = Log 8 225 y b = Log 2 15 , entonces “a”, en función de “b”, es: a) b/2

b) 2b/3

c) b

d) 3b/2

e) 2b

06.- Hallar la suma de cifras de “x” si:

Log 5 Log 4 Log 5 (x+2) = 0 a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

e) 12

07.- Determinar el valor de “N”. Log 2 5 20 + Log 2 5 N = 4 a) 5

b) 1/5

Cuarto Periodo

c) 0,5

d) 20

14

e) 4

5to. de Secundaria

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08.- Hallar el valor de “x”

2Log 3 27 = 4Log 3 9 - 3x a) –2/3

b) 3/2

c) –3/2

d) 2/3

e) NA

09.- Si: Log m = b – Logn , entonces “m” es igual a: a) b/n

b) bn

c) n.10b

d) b–10n

e) 10b/n

10.- Hallar el valor de la expresión:

E = (Log1/55 + 2Log749).Log381 a) –1

b) –12

c) 9

d) 8

e) 12

11.- Calcular el valor de “a” : Log 2 (a2–25) – Log 2 (a+5) = Log 2 2 a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

d) 9

d) 2

e) 1

12.- ¿Cuál es el valor de: { Log (5Log 100) } 2 ? a) log50

b) 25

c) 10

13.- Al logaritmo de 9 4 3 en base 3 4 9 sumarle el logaritmo de 8 2 en base 2 8 , luego a este resultado restarle el logaritmo de 253 25 base 53 5 . a) 3/2

b) 5/2

Cuarto Periodo

c) 3,4

15

d) 2,1

e) 0,9

5to. de Secundaria

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14.- El valor de la expresión:

Log 2 (1/4) + Log 2 (1/8) – Log 2 (1/16) es: a) 1

b) 0

c) –2

d) –3

e) –1

15.- Reducir:

M = 5Log636 – 2Log27(1/9) + 3Log832 a) 47/3

b) 52/5

c) 49/3

d) 34/3

e) 37/3

Capítulo 2 Cuarto Periodo

16

5to. de Secundaria

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Cuarto Periodo

17

5to. de Secundaria

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Cuarto Periodo

18

5to. de Secundaria

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Resolver un límite consiste en levantar una indeterminación utilizando operaciones convenientes de tal manera que la expresión que se analiza tome un valor determinado. Notación

Lim

x→ n

E =k F

Caso 1

0 0 En este caso se deberá tomar en cuenta que si una expresión 0 toma la forma para x=a , entonces ; (x–a) deberá aparecer 0 en el numerador y denominador de dicha expresión. Forma:

Ejemplo: Calcular: Lim

x →4

x 2 −16 x −4

Solución:

Ejercicios en Clase 01.- Calcular: a) 0

Lim

x →−2

b) 10

Cuarto Periodo

x3 + 8 x +2

c) 12

19

d) 1

e) 8

5to. de Secundaria

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02.- Calcular: a) 1

x →−2

b) –1

03.- Calcular: a) 1

Lim

Lim

x →−3

b) 2/5

04.- Calcular: Lim

x →1

a) 1

b) 2

x 3 + 6x 2 + 12 x + 8 x2 + 4x + 4

c) 2

e) –2

d) –5/2

e) 2

d) –1

e) 0

d) 50

e) 1

d) 9

e) 0

d) 6

e) 2

d) 1/3

e) 0

d) 1/2

e) 1

x2 + x −6 x 2 + 8x + 15

c) 5/2 x −1 x −1

c) 3

05.- Calcular: Lim

d) 0

x 2 −25

x →5 2 − x −1

a) 30

b) 40

06.- Calcular: a) 1

x −1 3 x −1 x →1

Lim

b) 2

c) 3

07.- Calcular: Lim

x →9

a) 1/2

b) 1/3

08. - Calcular: Lim

x→ 0

a) 1

b) 1/2

09.- Calcular: a) 4/5

Lim

x →2

b) 5/4

Cuarto Periodo

c) –40

x −3 x −9

c) 1/6 x −1 −1 x

c) 2 x 4 −4x2 x −2

c) 1/4

20

5to. de Secundaria

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10.- Calcular: a) 6

x 2 −3 x −10 x −5

c) 9

Lim

1 x→ 3

b) 2/3

12.- Calcular: a) 2

x →5

b) 7

11.- Calcular: a) 3/7

Lim

Lim

1 x→ 2

b) 3

d) 4

e) 2

d) 1/2

e) 2

d) –9

e) 0

3x 2 + 7x + 2 3x + 1

c) 7/3 2x 2 + 7x − 4 2x 2 − 3x +1

c) 9

Tarea Domiciliaria

01.- Calcular: a) 10

b) 11

02.- Calcular: a) 1/2

x −8 3 x −2 x →8

Lim

Lim

x →16

b) 1/4

Cuarto Periodo

c) 12

d) 9

e) 2

d) –1/8

e) 1

4− x x −16

c) 1/8

21

5to. de Secundaria

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a) √2

x →0

b) √2/3

a) 2/3

c) √2/4

Lim

04.- Calcular:

x →2

a) 1/2

c) –2/3

x →3

b) 1/3

a) 1/2

c) -1/4

x →2

b) 1/3

c) 1/4

x →0

1 a +b 1

b)

d) –1/2

e) 1/2

d) 1/4

e) 3

d) -1/4

e) 3

2 x − x +2 x −2

Lim

07.- Calcular: Lim

e) 1/√2

x +1 −2 x −3

Lim

06.- Calcular:

d) 1/2

1 − 4 x −7 3 x −6

b) 3/2

05.- Calcular:

a)

x +2 − 2 x

Lim

03.- Calcular:

x + a +b − a +b x

1 2 a +b

c)

1 a −b

d)

1 2a + b

e)

a +b

08.- Calcular:

Lim

x →0

a) 2

b) 3

4−x 2− x c) 4

d) 5

e) NA

09.- Calcular:

Lim

x →3

Cuarto Periodo

x−3 x− 3

22

5to. de Secundaria

CEP Santa María de la Providencia

a) 2

b)

3

c) 2 3

d) 4

e) NA

d) 5

e) NA

d) 4

e) NA

d) 20

e) NA

d) 5

e) NA

d) 3/2

e) NA

10.- Calcular:

Lim

x →2

a) 1

b) 3

x−2 2x − 2 c) 2

11.- Calcular:

Lim

x−4

x →4 1 − 5 − x

a) 1

b) 2

12.- Calcular: a) 12

3

Lim

x →2

b) 16

13.- Calcular:

a)

c) 3

b)

Lim

x →0

2

x2 − 4 x+2 −2 c) 2 x+2 − 2 x c)

2 /4

14.- Calcular: 1 − 4x − 7 3x − 6 x →2

Lim a) 1/2

b) 2/3

c) -2/3

15.- Calcular:

Lim

x →3

Cuarto Periodo

x +1− 2 x−3

23

5to. de Secundaria

CEP Santa María de la Providencia

a) 1/2

b) 1/4

c) 1

d) 1/5

e) NA

d) 1/4

e) NA

16.- Calcular: 2x − x + 2 x−2

Lim

x →2

a) 1

b) 2

c) 1/2

17.- Calcular:

Lim

x →a

a) d)

b2 − x − b2 − a x−a

1

b)

2 b −a 1 2

1

c)

2 b −a 2

3 2 b2 − a

e) NA

b2 − a

18.- Calcular:

Lim

x →0

a) 1

b) 2

x 3

x +1−1 c) 3

d) 5

e) NA

d) 1/7

e) NA

19.- Calcular:

Lim

x →0

a) 1

b) 2

x2 + x + 1 − 1 x c) 1/2

20.- Calcular:

Cuarto Periodo

24

5to. de Secundaria

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(1 + ax)2 − (a + x)2 1− x2 x →1

Lim a) a2

b) 1- a2

c) - a2

d) 2

e) NA

Caso 2 ∞

Forma: ∞ En este caso se debe proceder a dividir numerador y denominador por xa donde “a” es el mayor exponente que afecta a la variable “x” en dicha expresión. 5 x 2 + 3x + 2 2 x →∞ 2x + 5 x + 8

Ejemplo: Calcular: Lim

Solución:

Cuarto Periodo

25

5to. de Secundaria

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Ejercicios 01.- Calcular: Lim

x →∞

a) 1/2

b) 2

02.- Calcular: Lim

x →∞

a) 1/2

b) ∞

03.- Calcular: Lim

x →∞

a) 1/2

b) 1/3

Cuarto Periodo

x 2 + 2x − 3 3 x 2 − 6x + 2

c) 1/3

d) 1

e) 0

5 x 3 − x 2 + x −1 3x 2 − 6x + 2

c) 1

d) 0

e) -1

d) –1/2

e) 0

4 x 3 + 2x 2 − 5 x + 2 − 8x 3

c) 1/4

26

5to. de Secundaria

CEP Santa María de la Providencia

04.- Calcular: Lim

x →∞

a) ∞

b) 2

05.- Calcular: Lim

x →∞

a) 1

3x 5 + x 4 − x 2 + 6 x 3 − 2x 2 + 4 x

c) 0

e) NA

x 6 − 5 x 2 + 3x 3 − 2 7x 3 − 4 x 2 + 3

b) 0

c) –1

d) ∞

e) NA

d) –1

e) + ∞

d) ND

e) -1

3x 2 −8x + 5 2x 3 −6x + 3

06.- Calcular: Lim

x →∞

a) 1

d) 1

b) ∞

c) 0

x 6 − 5x 2 + x − 6 07.- Calcular: Lim 5 x 4 − 3x 2 + 8 x →∞

a) 1

b) ∞

c) 0

08.- Calcular: 3

Lim

x →∞

a) 1

b) 0

x 6 − 2x 4 + 3x − 1 3x 3 − 4x 2 + 6 c) -1

d) ∞

e) NA

d) 5

e) NA

09.- Calcular: 4x 2 − 6x + 5 3 x →∞ 3x − 4x + 2

Lim a) 1

b) 2

Cuarto Periodo

c) 0

27

5to. de Secundaria

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10.- Calcular:

Lim

x →∞

a) 1

b) ∞

2x 3 + 2x 2 + 5x + 7 3

x5 + x 2 + 1

c) 0

d) ND

e) -1

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN En este capítulo solo tomaremos en cuenta las técnicas de derivación y no entraremos en la parte teórica que puede ser muy tedioso entender, con las pocas herramientas que el alumno tiene hasta este nivel de su preparación. Pero intentemos dar una explicación básica de la Derivada de una Función. Veamos el siguiente gráfico, es la curva dada por una función F(x).

Cuarto Periodo

28

5to. de Secundaria

CEP Santa María de la Providencia

Se ha ubicado el punto (xo ; yo) sobre f(x) y se traza la recta tangente “L” a la curva en ese punto. La pendiente de la recta es la derivada de la función en ese punto. Denotemos a la derivada de la función como: F’(x) Entonces: F’(x) = m L Si evaluamos la función en un punto en particular, hallaremos la pendiente de la recta en ese punto. Aclaremos esto con un ejemplo Sea la función F(x) = 4x2 + 8x + 1 y su gráfica:

Cuarto Periodo

29

5to. de Secundaria

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Utilizando las técnicas de derivación, que veremos mas adelante, se tendrá: F’(x) = 8x + 8 Esta nueva expresión nos permitirá hallar la pendiente de cualquier recta tangente a esta curva, tan solo cambiando el valor de la abcisa “x”. Esto porque F’(x) = m L Veamos: Tracemos una recta tangente en x = -2 Antes, existía todo un procedimiento Para hallar la pendiente de una recta. Ahora solo bastará reemplazar x = -2 en la derivada de la función y se tendrá la pendiente deseada. Así:

F’(x) = 8x + 8 F’(-2) = 8(-2) + 8 F’(-2) = -8

Como: F’(x) = m L

 m L = -8 TECNICAS DE DERIVACIÓN

1.- Propiedad fundamental Si: F(x) = xn Su derivada será:

F’(x) = n.xn-1

Ejemplos: Hallar la derivada de: a) F(x) = x7

Cuarto Periodo

 F’(x) = 7.x7-1 = 7x6

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b) F(x) = x10 c) F(x) = 2x5 d) F(x) = 3x6

 F’(x) = 10.x10-1 = 10x9  F’(x) = 2(5)x5-1 = 10x4  F’(x) = 3(6)x6-1 = 18x5

Ampliemos este criterio si tuviéramos una expresión con sumas y restas a) F(x) = x3 + 5x4 + 2x2

 F’(x) = 3x3-1 + 5(4)x4-1 + 2(2)x2-1  F’(x) = 3x2 + 20x3 + 4x

b) F(x) = x5 + 2x3 + 7x4

 F’(x) = 5x5-1 + 2(3)x3-1 + 7(4)x4-1  F’(x) = 5x4 + 6x2 + 28x3

Esto realmente, realmente, Esto es más más fácil fácil de de lo lo es que pensé, pensé, que sigamos sigamos

2.- Derivada de una función lineal Esto es una consecuencia de lo anterior Veamos: Sea: F(x) = 5x Hallar su derivada: Podemos escribir esta expresión así: F(x) = 5x1 Entonces por lo visto anteriormente: F’(x) = 5(1)x1-1 = 5x0 = 5 De manera practica:

Cuarto Periodo

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a) F(x) = 4x b) F(x) = 7x c) F(x) = 15x d) F(x) = x

   

F’(x) = 4 F’(x) = 7 F’(x) = 15 F’(x) = 1

3.- Derivada de una constante Esto es más sencillo: Veamos: F(x) = 9 Podemos escribirlo así: F(x) = 9x0 Usando la técnica básica: F’(x) = 9(0)x0-1 = Cero Es decir la derivada de una constante simplemente es CERO De manera practica: a) F(x) = 12 a) F(x) = 6 a) F(x) = 100

 F’(x) = 0  F’(x) = 0  F’(x) = 0

No olvide olvide que que cada cada F(x) F(x) No es una una curva curva en en el el es plano, yy al al hallar hallar la la plano, derivada, habremos derivada, habremos encontrado una encontrado una expresión que que nos nos expresión permita hallar la permita hallar la pendiente de de la la recta recta pendiente tangente aa la la curva. curva. tangente

Por eso si me dan por ejemplo: F(x) = 5x3 + 2x +1

Cuarto Periodo

32

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Y me piden hallar F’(2) , eso indicara que debo buscar el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva F(x) cuando x=2 Veamos:

F(x) = 2x3 + x + 8

Hallando su derivada: F’(x) = 6x2 + 1 Evaluando para x = 2  

F’(2) = 6(2)2 +1 = 25 F’(2) = 25

 m L = 25

PROBLEMAS 01.- Hallar la derivada de:

F(x) = 3x 7 + 2x 4 + 8x 2 a) 21x 5 + 8x 2 + 16x

b) 21x 6 + 8x 3 + 16x

c) 21x 7 + 8x 4 + 16x 2

d) 21x 7 + 8x 4 + 16x 2

e) NA

02.- Hallar la derivada de:

Cuarto Periodo

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F(x) = 2x 5 + x 2 + 7x + 5 a) 10x 5 + 2x −1 + x

b) 10x 4 + 2x 3 + x 2

c) 2x + 10x 4 + 7

d) 2x + 10x 4 + 7

e) NA

03.- Hallar la derivada de:

F(x) = −3x 4 + 5x + 2x 3 + 100 a) −12x 4 + 5 + 6x

b) −12x 4 + 1 + 6x 2

c) x 2 − 12x 4 + 5

d) 6x 2 − 12x 4 + 5

e) NA

04.- Hallar la derivada de:

F(x) = 2x 6 + 3x 4 + x 5 + 2 a) 6 2x 6 + 4 3x 3 + 1

b)

6x5 + 3x3 + 5

c) 6 2x 5 + 4 3x 3 + 5x 4 + 1

d) 4 3x 3 + 5x + 6 2x 5

e) 4 3x 3 + 5x 4 + 6 2x 5 05.- Hallar la derivada de:

F(x) =

x6 x8 + 2 4

a) 6x 5 + 8x 7

b) 6x 6 + 8x8

c) 3x 5 + 8x 7

d) 3x 5 + 2x 7

e) NA

06.- Hallar la derivada de:

F(x) =

x15 2x 5 1 + + 3 5 2

a) 5x14 + 2x 5 + 1

b) 5x14 + 2x 4 + 2

c) 2x 4 + 5x14

d) x 4 + 5x14

e) NA

07.- Si: F(x) = 4x5 + 2x Hallar: F’(1)

Cuarto Periodo

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a) 22

b) 23

c) 24

d) 25

e) 26

d) 24

e) 25

d) 45

e) 54

c) 18

d) 19

e) 20

c) 1/ x

d) 1/2 x

e) 2 x

d) -1/2 x

e) -2 x

08.- Siendo: F(x) = 3x2 + 4x – 2 Hallar: F’(3) a) 21

b) 22

c) 23

09.- Siendo: F(x) = 4x9 + 1 Hallar F’(1) a) 27

b) 35

c) 36

10.- Siendo: F(x) = x3 – 2x2 Hallar: F’(4) – F’(3) a) 17

b) 21

11.- Derivar: F(x) = a) 1

b)

x

x

12.- Derivar: F(x) = 2 –

x

a) -1

c) -1/ x

b) - x

TECNICAS DE DERIVACIÓN 2 1.- Derivada de un Producto de Funciones Sea: E = F(x).G(x) La derivada será: E’ = F’(x).G(x) + G’(x).F(x) …… (β) Ejemplo: Derivar:

E = (7x2+3x3+4x+1)(3x+2x4)

Sea:

Cuarto Periodo

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F(x) = 7x2+3x3+4x+1 G(x) = 3x+2x4 Hallemos las derivadas de cada uno, y usemos (β) F’(x) = 14x+9x2+4 G’(x) = 3+8x3 Reemplazando en (β) E’ = (14x+9x2+4).(7x2+3x3+4x+1) + (3+8x3). (3x+2x4)

FÁCIL FÁCIL

E = (x2+5x+3)(1+x)

Ejemplo: Derivar: Sea: F(x) = x2+5x+3 G(x) = 1+x

Hallemos las derivadas de cada uno, y usemos (β) F’(x) = 2x+5 G’(x) = 1 Reemplazando en (β) E’ = (2x+5)(1+x) + (1)( x2+5x+3) E’ = 3x2 + 12x + 5 2.- Derivada de una raíz.- La derivada de una raíz es la inversa de la función, por la derivada de la función:

F(x)

Entonces: si tenemos: Su derivada será:

1 2 F(x)

× F '(x) ………… (α)

Veamos algunos ejemplos:

Cuarto Periodo

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a) Derivar:

x3 + 5x 2 + 8

Donde: F(x) = x3 + 5x 2 + 8 Según la fórmula, debemos primero hallar F’(x) Entonces: F’(x) = 3x2 + 10x Reemplazando en (α) La derivada será:

1 2 x3 + 5x 2 + 8

b) Derivar:

× (3x 2 + 10x) =

3x 2 + 10x 2 x3 + 5x 2 + 8

6x3 + 9x 4 + 100

Primero hallamos la derivada de la expresión que esta debajo del radical. Sea: F(x) = 6x 3 + 9x 4 + 100 Su derivada: F’(x) = 18x 2 + 36x 5 Reemplazando en (α) La derivada será:

1 2 6x3 + 9x 4 + 100

× (18x 2 + 36x 5 ) =

9x 2 + 18x5 6x3 + 9x 4 + 100

3.- Derivada de una Potencia Sea: E = [ F(x) ]n Su derivada estará dada por: E’ = n.[ F(x) ]n-1 . F’(x) …… (θ) Veamos un ejemplo: a) Derivar: E = (6x2+4x+3)5

Cuarto Periodo

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Note que F(x) = 6x2+4x+3 Hallemos F’(x) = 12x+4 Usando (θ): E’ = 5.(6x2+4x+3)5-1.(12x+4) E’ = 5.(6x2+4x+3)4.(12x+4) 4.- Derivada de un Cociente Dado el cociente:

F(x) G(x)

La derivada estará dado por: Ejemplo: Derivar: Sean: F(x) = 3x2+7x G(x) = 5x+1

F '(x).G(x) − G '(x).F(x) [G(x)]2

3x 2 + 7x 5x + 1

 F’(x) = 6x+7  G’(x) = 5

La derivada será:

(6x + 7)(5x + 1) + (5)(3x 2 + 7x)

=

(5x + 1)2

45x 2 + 70x + 13 25x 2 + 10x + 1

PROBLEMAS 01.- Derivar: E = (x 3 + 1)(x 7 + 2) a) 3x 3 (x 7 + 2) + 7x 7 (x 3 + 1) b) 3x 2 (x 7 + 2) + 6x 7 (x 3 + 1) c) 3x 2 (x 7 + 2) + 7x 6 (x 3 + 1)

Cuarto Periodo

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d) 3x 2 (x 7 + 2) − 6x 7 (x 3 + 1) e) NA 02.- Si: F(x) = a) 1/3

4x + 9 ; hallar F’(0)

b) 2/3

c) 1

d) 4/3

e) 5/3

03.- Si: F(x) = (x 2 + 3)4 Hallar: F’(x) a) 8x(x 2 + 3)3

b) 8x(x 2 + 3)2

c) 8(x 2 + 3)3

e) 4(x 2 + 3)3

e) NA

c) 50/49

d) -50/49

e) 1/3

c) x7

d) 4x7

e) -2x7

a) 2(x 2 + 4)

b) 2x 2

c) 4(x 2 + 4)

d) 4x(x 2 + 4)

e) NA

04.- Si: F(x) =

x2 + 2 x3 − 1

Hallar: F’(2) a) 44/99

b) -44/99

05.- Si: G(x) = x 8 − 3x 6 + 4 Hallar: G’(x) – 8x7 + 18x5 a) 0

b) -3x7

06.- Derivar: (x 2 + 4)2

07.- Derivar: (3x5 + 8)3

Cuarto Periodo

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a) 3(15x 4 + 1)2

b) 45x 4 (3x 5 + 8)2

c) 45(3x 5 + 8)2

d) 15(x 5 + 1)2

e) NA

08.- Siendo: F(x) = (x2+1)6 Hallar: F’(x) b) (x 2 + 1)5 e) (9x)6

a) 6x(x2+1)5 2

5

d) 12x(x +1)

09.- Derivar: F(x) = a) 1

b) -1

10.- Si: F(x) = a) 12

x 4 + 2x3 x5 − x 2

; y dar como respuesta F’(1)

c) 0

d) 2

b) 13

c) 26

d) 0

d)

4

7x 2

2

(x + 3) x

(x 2 + 3)2

Cuarto Periodo

e) NA

x

1 −3 / 4 1 −3 / 4 1 −1/ 4 x b) x c) x 2 4 4

12.- Derivar: F(x) = a)

e) -2

5x8 − 2x7 + 1 ; dar como respuesta F’(1)

11.- Hallar la derivada de: F(x) = a)

c) 12x

d)

1 3/4 x 4

e) NA

x2 − 4 x2 + 3 b)

−14x 2

2

(x + 3)

c)

14x 2

(x + 3)2

e) NA

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13.- Derivar: F(x) = x 2 (x + 6) a) x2+12x

b) 3x2+12x c) 3x2+2x

d) 3x2+1

e) NA

d) 484

e) NA

14.- Dadas las funciones: F(x) = 3x4 -1 G(x) = 2x5 – 1 Calcular: F’(3) + G’(2) a) 478

b) 432

15.- Derivar: F(x) =

a) −

1 x +1

b)

c) 434

1 x +1

1 2

(x + 1)

c) -

1 2

(x + 1)

d)

1 x2

e) NA

1 x x Hallar la derivada de: F(x) = Lnx 16.- Sabiendo que: (Lnx)’ =

a)

Lnx − 1 Lnx + 1 1 b) c) d) Lnx – 1 2 (Lnx) (Lnx)2 Lnx + 1

e) NA

(1642 - 1727)

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Isaac Newton nació en un pueblito agrícola de Inglaterra en el año de la muerte de Galileo; no fue un niño prodigio, como muchos grandes matemáticos, al contrario. Nació sietemesino en una familia pobre, tuvo grandes problemas de salud y dificultades en los estudios; como era débil físicamente, no jugaba con los niños de su edad, escribía poesías, dibujaba y construía cometas con faroles que remontaba de noche para asustar a la gente. A los quince años lo sacaron de la escuela para que ayudara en la granja familiar, pero allí le fue peor que en la escuela, hasta que un día su tío lo encontró bajo un árbol, completamente absorto, leyendo un libro de matemáticas; decidieron que el joven Isaac tenía que volver a la escuela. En 1661 ingresó al Trinity College de Cambridge como estudiante, pero se pagaba los estudios haciendo servicios domésticos. El maestro de matemáticas que lo inspiró, reconoció su talento y le dio confianza fue Isaac Barrow (1630 - 1671), al que Newton reemplazó en la cátedra en 1669. En 1664 cerró la universidad debido a una plaga que invadió la región y Newton volvió a su pueblo; allí, en dos años de experimentos y reflexiones solitarias, sentó las bases de sus grandes descubrimientos: la ley de la gravitación universal, el cálculo infinitesimal, el teorema del binomio y la naturaleza de la luz; tenía 23 años. Es curioso que Newton no hablara con nadie de esos descubrimientos que fueron dados a conocer poco a poco, a veces veinte años después de su invención, provocando la crítica de otros físicos y matemáticos que no querían creer que Newton se les hubiera adelantado. En el caso del análisis infinitesimal, se creó con Leibnitz, una larga y cruel polémica, que siguió durante todo el siglo XVIII entre los matemáticos ingleses y los

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del continente europeo, los primeros acusaban a Leibnitz de haber traducido la obra de Newton, los segundos acusaban a Newton de ser el ladrón. La verdad es que los dos hombres inventaron el cálculo infinitesimal independientemente, Newton lo hizo varios años antes que Leibnitz pero publicó sus trabajos después. En una carta a Robert Hooke (cuando eran amigos, ya que después pelearon amargamente sobre la prioridad de la idea de la gravitación), declaró Newton modestamente: "Si he visto más allá que otros, ha sido porque estaba subido sobre los hombros de gigantes". Entre esos gigantes están Copérnico, que hizo girar la Tierra alrededor del Sol creando una conmoción en la iglesia, Descartes y su geometría analítica, Kepler con sus leyes del movimiento de los planetas, descubiertas empíricamente después de veintidos años de trabajo y Galileo, que ya había establecido dos de las tres leyes del movimiento de los cuerpos. En 1689, Newton fue elegido miembro de la Cámara de los Lores aunque no tenía nada que ver con la política. Se cuenta que pidió la palabra una sola vez. Se hizo un gran silencio en la sala, iba a hablar el científico más grande del mundo; se levantó Newton y dijo: "solicito que se cierre la ventana, hace mucho frío en la sala" Newton tenía un enorme poder de concentración, trabajaba 18 ó 19 horas seguidas y se olvidaba hasta de comer. A los 74 años resolvió un díficil problema que Leibnitz había propuesto a los matemáticos de Europa y explicó: "pienso constantemente en el problema y poco a poco las cosas se empiezan a aclarar hasta que se iluminan totalmente".* Newton murió a los 84 años de edad, fue enterrado en la Abadía Real de Westminster, junto con los grandes de Inglaterra. Ante su tumba, Voltaire, el filósofo francés que estaba exiliado en Londres, pronunció su célebre frase: "El mundo está progresando: Inglaterra honra a

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sus matemáticos cuando los demás países honran a sus hombres de guerra". * El problema era encontrar las trayectorias ortogonales de una familia uniparamétrica de curvas; cuando Johann Bernoulli, un matemático amigo de Leibnitz, vio la solución exclamó: "reconozco al león por su garra".

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