223 Geometria Y Trigonometria-1

RENÉ JIMÉNEZ

El contenido de este libro tiene como propósito introducir a los lectores al estudio de la geometría y trigonometría. Su importancia reside en que permite tener una visión y una

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

capacidad de análisis de la geometría del entorno que nos rodea, por lo que nos lleva a la construcción de modelos matemáticos para resolver situaciones reales que se nos

estudio del cálculo.

El texto está destinado a comprender los aspectos elementales y las propiedades de la geometría euclidiana para que los estudiantes desarrollen un pensamiento crítico y reflexivo, en cuanto a la identificación y relación de las formas, dimensiones y características de las figuras que componen el mundo.

Los métodos didácticos utilizados en este libro hacen que el estudiante sea el eje central del proceso educativo, y cumplen así con las tendencias educativas globales y las reformas curriculares más actuales. Con tal propósito se parte frecuentemente de la aplicación práctica de los conceptos, hasta llegar al desarrollo analítico y teórico de las propiedades algebraicas y geométricas de las figuras.

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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

presentan cotidianamente, además de que es un antecedente fundamental en el

RENÉ JIMÉNEZ

G E O M E T R Í A

Y

T R I G O N O M E T R Í A

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Primera edición

René Jiménez Colegio de Bachilleres

REVISIÓN TÉCNICA Silvia Rascón Corral Instituto Tecnológico de Chihuahua Maestra de Matemáticas del Colegio de Bachilleres Plantel 1, Chihuahua

JIMÉNEZ, RENÉ Geometría y trigonometría PEARSON EDUCACIÓN, México, 2007 ISBN: 978-970-26-1018-2 Área: Matemáticas Formato: 19
23.5 cm

Páginas: 168

Editor:

Enrique Quintanar Duarte e-mail: [email protected] Editora de desarrollo: Felipe Hernández Carrasco Supervisora de Producción: Adriana Rida Montes PRIMERA EDICIÓN, 2007 D.R. © 2007 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5º Piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Estado de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031. Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 10: 970-26-1018-4 ISBN 13: 978-970-26-1018-2 Impreso en México. Printed in México. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 – 10 09 08 07

A toda mi familia, y a todos mis compañeros maestros por permitirme compartir este trabajo y a todos aquellos que dediquen su tiempo a la lectura de este material.

C o n t e n i d o

INTRODUCCIÓN UNIDAD 1

UNIDAD 2

ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

VII 1

Geometría La geometría como un elemento natural Generalidades Ángulos en el plano. Definición Clasificación por sus medidas Clasificación por la suma de sus medidas Clasificación por la posición de sus lados Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante Triángulos. Definición Clasificación por sus lados y ángulos Rectas y puntos notables en un triángulo Congruencia de triángulos Semejanza de triángulos Teorema de Pitágoras

16 21 22 26 33 37 40

POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA

45

Polígonos. Definición Clasificación Elementos de un polígono Perímetros y áreas Cuadriláteros La circunferencia. Definición Rectas y segmentos asociados a la circunferencia

2 3 5 10 11 13 15

46 47 47 51 54 61 61

viii • U N I D A D 1

Ángulos y triángulos

Ángulos en la circunferencia Propiedades de los ángulos en la circunferencia Tangentes a los círculos Perímetro y área de un círculo UNIDAD 3

TRIGONOMETRÍA

Trigonometría. Definición Funciones trigonométricas para ángulos agudos Funciones trigonométricas recíprocas Funciones trigonométricas de ángulos complementarios Valores naturales de las funciones trigonométricas Sistemas de unidades para medir ángulos Cálculo de las funciones trigonométricas de los ángulos de 30°, 45° y 60° Resolución de triángulos rectángulos Ángulos de cualquier magnitud Ángulos en las coordenadas cartesianas Signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes Círculo unitario. Funciones representadas por un segmento Identidades trigonométricas Ecuaciones trigonométricas Gráficas de las funciones seno, coseno y tangente UNIDAD 4

63 65 77 80 89

90 90 96 99 100 105 110 113 123 124 125 130 132 140 143

LEYES DE SENOS Y COSENOS

14 7

Ley de senos Resolución de triángulos oblicuángulos con la ley de senos Aplicaciones Ley de cosenos Resolución de triángulos oblicuángulos con la ley de cosenos Aplicaciones

148 148 151 154 155 156

I n t r o d u c c i ó n

El contenido de este libro tiene como propósito introducir a los estudiantes y a los compañeros maestros de matemáticas al estudio de la geometría y trigonometría. Su importancia y fundamentación residen en que permite tener una visión y una capacidad de análisis de la geometría del entorno que nos rodea y nos lleva a la construcción de modelos matemáticos para resolver situaciones reales que se nos presentan cotidianamente, además de ser un antecedente fundamental en el estudio del cálculo. La parte central de este libro está destinada a comprender los aspectos elementales y las propiedades de la geometría euclidiana para que los estudiantes desarrollen un pensamiento crítico y reflexivo en cuanto a la identificación y relación de las formas, dimensiones y características de las figuras que componen el mundo. Las unidades 1 y 2 corresponden al estudio y análisis de las figuras geométricas elementales, desde una perspectiva euclidiana, para que el alumno construya figuras básicas y a la vez se forme juicios y llegue a conclusiones de los patrones de comportamiento de las figuras geométricas. Evidentemente se abordan los temas de semejanza y congruencia, con el fin de relacionar al estudiante de manera implícita en los métodos inductivos y deductivos y hacer más fácil y amigable la tarea de demostrar los teoremas que sean necesarios en un curso de matemáticas de bachillerato. La trigonometría se estudia en las unidades 3 y 4 y, de alguna manera, representa una síntesis de los conocimientos previos de los estudiantes en las áreas de aritmética, álgebra y geometría euclidiana. Este material proporciona al estudiante la posibilidad de transitar sin dificultades a cursos posteriores o paralelos de física, geometría analítica, cálculo, etcétera. Los temas de geometría que se abordan en el presente curso son: los ángulos, triángulos, polígonos y circunferencia, atendiendo obviamente a sus aplicaciones prácticas y teóricas. Por otro lado, en la trigonometría tratamos básicamente los temas de funciones trigonométricas y las leyes de senos y cosenos, destacando la utilidad del círculo unitario y de las coordenadas cartesianas. Los métodos didácticos empleados en este libro privilegian al estudiante como eje central del proceso educativo, y cumplen así las tendencias educativas globales y las reformas curriculares más actuales, para ello se parte frecuentemente de la aplicación práctica de los conceptos hasta llegar al desarrollo analítico y teórico de las propiedades algebraicas y geométricas de las figuras. Por último, ratificamos que el libro fue pensado y planeado especialmente para estudiantes de bachillerato que pretenden continuar sus estudios posteriores, pero también para todos aquellos que estén interesados en adquirir un preparación personal más analítica, crítica y reflexiva, que les permita integrarse de manera más competente en una sociedad cada vez más cambiante, compleja y exigente. Espero que el presente curso sirva de herramienta para que los estudiantes y personas que dediquen su tiempo a estudiarlo cumplan estos objetivos y encuentren las respuestas que están buscando en cuanto a los temas aquí tratados. René Jiménez

U N I D A D

1 Á N G U L O S

Y

T R I Á N G U L O S

Geometría

2

La geometría como un elemento natural

3

Generalidades

5

Ángulos en el plano. Definición

10

Clasificación por sus medidas

11

Clasificación por la suma de sus medidas

13

Clasificación por la posición de sus lados

15

Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante

16

Triángulos. Definición

21

Clasificación por sus lados y ángulos

22

Rectas y puntos notables en un triángulo

26

Congruencia de triángulos

33

Semejanza de triángulos

37

Teorema de Pitágoras

40 1

2 • UNIDAD 1

G

Ángulos y triángulos

E O M E T R Í A

Los primeros conocimientos de geometría adquiridos por el hombre se limitaban a los que tomaban de la naturaleza, de donde sacaron las primeras formas, tanto rectas como curvas. Estos conocimientos estaban subordinados a reglas muy sencillas y prácticas. Para que la geometría fuera considerada una ciencia debieron transcurrir muchos siglos, hasta llegar a la cultura griega. En Grecia se empezaron a ordenar estos conocimientos empíricos, remplazando la observación y la práctica con deducciones racionales que permitieron elevar la geometría hasta un plano rigurosamente científico.

EUCLIDES El matemático griego Euclides (300 a.C.) escribió una de las obras más valiosas de todos los tiempos, considerada fundamental en el desarrollo de la geometría. Euclides escribió la obra Elementos, a partir de definiciones, postulados y axiomas con los cuales demostró teoremas que, a su vez, le sirvieron para comprobar otros teoremas. Es importante destacar que, en la actualidad, su obra ha sobrevivido y sigue siendo una de las más leídas.

Conceptos geométricos Definición. Explicación clara y exacta de un concepto. Axioma. Es una proposición tan sencilla y obvia que se admite sin demostración, por ejemplo: “El todo es mayor que sus partes.” Postulado. Es una proposición no tan obvia como el axioma, pero que tampoco necesita demostración, por ejemplo: “Una línea está formada por infinidad de puntos.”

fuego cosmos

tierra agua aire

Teorema. Es una proposición que puede ser demostrada por medio de un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición.

Geometría y trigonometría

L

A

G E O M E T R Í A

C O M O

U N

E L E M E N T O

•

3

N AT U R A L

El rompecabezas Tangram 7

Un ejemplo del uso de la geometría en la vida cotidiana son los rompecabezas, pues pueden resultar juegos por demás interesantes y ponen a prueba la inteligencia y la capacidad de abstraer las formas y figuras del entorno a nuestra mente. El siguiente ejercicio te servirá para integrarte al mundo de la geometría. Observa detenidamente el cuadrado de la figura 1. Estas siete piezas son las del famoso rompecabezas chino Tangram, que tiene unos 4 000 años de antigüedad.

5 6

1 3

Figura 1. Rompecabezas de Tangram.

¿Cómo deben colocarse las siete piezas del Tangram para formar las figuras que aparecen abajo? Sugerencia: Prolonga con una línea negra los lados de cada una de las siete figuras geométricas.

4

2

7 5 6

1 3 2

4

4 • UNIDAD 1

Ángulos y triángulos

Escribe la primera idea intuitiva que tengas respecto del concepto de geometría.

Solución: El ejercicio de la página anterior debió quedarte de la siguiente manera.

Geometría Es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades intrínsecas de las figuras, es decir, las propiedades que no se alteran con el movimiento de las mismas.

Geometría y trigonometría

G

E N E R A L I D A D E S

Observa los dibujos de la tabla 1 y escribe en el espacio correspondiente el concepto que se sugiere. Tabla 1 Dibujo

Descripción La marca más diminuta que se puede dibujar, no tiene ubicación, longitud, anchura, ni altura. Puede ser la imagen de un rayo luminoso, el filo de una regla, se extiende en dos sentidos, no comienza ni termina y sus puntos conservan la misma dirección. Es el corte más delgado posible de una superficie y puede ser una pared, un piso, etcétera.

Tiene un punto de origen y se prolonga hacia el infinito en el otro extremo.

A

A

B

Recta cortada por dos puntos. Son rectas que se desplazan en la misma dirección.

Son rectas que se cortan en un ángulo de 90°.

Estamos inmersos en él, es todo lo que nos rodea y es ilimitado.

Concepto

•

5

6 • UNIDAD 1

Ángulos y triángulos

Soluciones a la tabla 1. Tabla 2 Dibujo

Descripción

Concepto

La marca más diminuta que se puede dibujar, no tiene ubicación, longitud, anchura, ni altura.

PUNTO

Puede ser la imagen de un rayo luminoso, el filo de una regla, se extiende en dos sentidos, no comienza ni termina y sus puntos conservan la misma dirección.

RECTA

Es el corte más delgado posible de una superficie y puede ser una pared, un piso, etcétera.

A

A

B

PLANO

Tiene un punto de origen y se prolonga hacia el infinito en el otro extremo.

SEMIRRECTA

Recta cortada por dos puntos.

SEGMENTO DE RECTA

Son rectas que se desplazan en la misma dirección.

PARALELAS

Son rectas que se cortan en un ángulo de 90°. PERPENDICULARES

Estamos inmersos en él, es todo lo que nos rodea y es ilimitado.

ESPACIO

Geometría y trigonometría

1. Investiga si la recta AB es perpendicular a la recta CD. ¿Cuál es mayor?

A

C

D

2. Determina si las rectas verticales son paralelas.

B

•

7

8 • UNIDAD 1

Ángulos y triángulos

3. Observa los trazos y la posición de las escuadras y reprodúcelos dibujando en el espacio de la derecha dos líneas perpendiculares entre sí. Paso 1

Paso 2

4. Observa los trazos y la posición de las escuadras y reprodúcelos dibujando en el espacio de la derecha varios ejemplos de líneas paralelas. Paso 1

Paso 2

Geometría y trigonometría

5. Indica el nombre de la porción señalada en gris en la figura anexa.

6. Mediante el compás, reproduce la figura mostrada y coloréala a tu gusto.

•

9

10 • U N I D A D 1

Á

Ángulos y triángulos

N G U L O S

E N

E L

P L A N O

. D

E F I N I C I Ó N

Ángulo. Es la abertura que se genera entre la posición inicial y la posición final de una semirrecta cuando ésta gira sobre uno de sus puntos extremos llamado vértice. posición inicial

posición final

vértice

posición inicial

posición final

posición final

posición inicial

Para notar o distinguir un ángulo podemos utilizar: Tabla 3

1 . Una letra mayúscula situada prácticamente en el vértice. El ángulo A A

2 . Una letra griega dentro del ángulo. j

El ángulo j (se lee fi)

3 . Tres letras mayúsculas de manera que quede enmedio la letra situada en el vértice del ángulo.

C

El ángulo ABC B

A

Geometría y trigonometría

Con frecuencia, para sustituir la palabra ángulo se utiliza el símbolo
, que se lee ángulo, y se coloca en la testa de la letra o letras que lo designan. A veces, se antepone el símbolo ∠ a la letra que designa al ángulo. El ángulo A se puede escribir como A o también ∠A. El ángulo ABC se puede escribir también como ABC. Medida de ángulos El sistema sexagesimal es uno de los sistemas más empleados para medir ángulos y consiste en dividir una circunferencia en 360 partes iguales llamadas grados; el grado en 60 partes iguales llamadas minutos, y cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos.

Símbolo de estas unidades Grado

°

Minuto

’

Segundo

’’

Existen otros sistemas de medida de ángulos que se tratarán más adelante.

C

L A S I F I C A C I Ó N

P O R

S U S

M E D I D A S

Tabla 4 Ángulo

Medida

Llano

180º

Agudo

entre 0º y 90º

Obtuso

entre 90º y 180º

Entrante o de una vuelta

360º

Recto

90º

Dibujo

•

11

12 • U N I D A D 1

Ángulos y triángulos

1. En el reloj de la derecha ¿cuánto tiempo debe pasar para que las manecillas formen un ángulo… a) llano?

Respuesta: __________

b) recto?

Respuesta: __________

c) de una vuelta?

Respuesta: __________

2. Encuentra el valor de cada ángulo si A
2x y B
4x

2x 4x 2x

3. Determina el valor de cada ángulo si A
2x  15 y B
4x  25

4x  25°

Geometría y trigonometría

•

13

4. Calcula el valor de cada ángulo si A
2x, B
3x y C
5x

5x 3x

C

L A S I F I C A C I Ó N

P O R

L A

S U M A

D E

Tabla 5 Ángulos

Complementarios

Medida

Dibujo

µ + j = 90º

j µ

Suplementarios

µ + j = 180º µ j

Conjugados

µ + j= 360º µ j

S U S

2x

M E D I D A S

14 • U N I D A D 1

Ángulos y triángulos

En la siguiente tabla observa cómo a partir de un ángulo de 20º encontramos sus ángulos complementario, suplementario y conjugado. Tabla 6 Ángulo

Complemento 70°

20°

70°

70° 20°

Conjugado

Suplemento 160°

340°

160° 20°

20°

20° 340°

Utiliza tu transportador y completa cada una de las columnas a partir del ángulo dado. Ilustra tu respuesta con un dibujo.

Ángulo

Complemento

Suplemento

Conjugado

Complemento

Suplemento

Conjugado

42°

Ángulo 120°

Geometría y trigonometría

Ángulo

Complemento

Conjugado

Suplemento

210°

CLASIFICACIÓN S U S L A D O S

P O R

L A

P O S I C I Ó N

D E

Tabla 7 Ángulos adyacentes. Son los que están formados de manera que tienen un lado común y los otros dos pertenecen a la misma recta.

Ángulos consecutivos. Son los que tienen un lado en común y están en un mismo plano.

c

b

b

a

Ángulos opuestos por el vértice. Son los que resultan cuando dos rectas se cortan de manera que se forman dos pares de ángulos iguales.

a

b c

a d

a
c

b
d

•

15

16 • U N I D A D 1

Ángulos y triángulos

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS PA R A L E L A S Y U N A S E C A N T E

Secante. Recta o superficie que corta a otras rectas en un punto o línea si es una superficie.

Nombremos los ángulos que se forman con las letras que están en la figura de abajo y enseguida separemos en dos grupos de ángulos: internos y externos. b

a c

d

Estos ángulos tienen especial importancia en geometría y trigonometría porque nos ayudan a resolver varias situaciones que se presentan en los triángulos y las figuras geométricas. Para diferenciarlos se les ha clasificado por pares: ángulos correspondientes, ángulos alternos internos, ángulos alternos externos y ángulos colaterales o conjugados.

f

e g

h

a c

b

d e

R E C TA S

f g

h

Ángulos externos

Ángulos internos Figura 2.

Ángulos correspondientes

a

b c

d

f

e

g a
e

b
f

h c
g

d
h

Los ángulos correspondientes son iguales entre sí. En cualquiera de las figuras anteriores es evidente que si sobreponemos una paralela sobre la otra utilizando la secante como directriz, los ángulos correspondientes van a ser iguales de dos en dos.

Geometría y trigonometría

Ángulos alternos internos

c

d

f

e

c
f

d
e

Teorema. Los ángulos alternos internos, situados a uno y otro lado de la transversal, son iguales entre sí. Demostración

Hipótesis. Es lo que se supone. Tesis. Es lo que se quiere demostrar.

Hipótesis: Las rectas AB y CD son paralelas y cortadas por una transversal. Tesis: El ángulo c es igual al ángulo f

B

c

Razonamiento ∠c
∠b ∠b
∠f ∠c
∠f

b

A

C

porque son ángulos opuestos por el vértice. porque son ángulos correspondientes, por tanto, propiedad transitiva.

f

Ángulos alternos externos a

b

g

h a
h

b
g

Teorema. Los ángulos alternos externos, situados a uno y otro lado de la transversal, son iguales entre sí.

D

•

17

18 • U N I D A D 1

Ángulos y triángulos

Demostración Hipótesis: Las rectas AB y CD son paralelas y cortadas por una transversal.

a

A

B d

Tesis: El ángulo a es igual al ángulo h C

D h

Razonamiento ∠a
∠d porque son ángulos opuestos por el vértice. ∠d
∠h porque son ángulos correspondientes, por tanto, ∠a
∠h propiedad transitiva.

Ángulos colaterales

a c e

b

d f g

c  e
180°

d  f
180°

h

a  g
180°

b  h
180°

Teorema. Los ángulos colaterales, situados del mismo lado de la transversal, son suplementarios entre sí. Demostración Hipótesis: Las rectas AB y CD son paralelas y cortadas por una transversal. Tesis: El ángulo a y el ángulo g suman 180°.

a

A

c

B

C

D g

Razonamiento ∠a  ∠c
180° porque forman un ángulo llano. ∠c
∠g porque son ángulos correspondientes, por tanto, ∠a  ∠g
180° sustituyendo ∠c por ∠g

Geometría y trigonometría

1. Determina el valor de cada ángulo indicado.

a

c

d

60°

a e

f

g

d

c

h

f e h g

2. Calcula el valor del ángulo θ si el ángulo dado de 29° es la mitad de ∠AOB.

O

A 29°

θ

B

3. Determina el valor de los ángulos α, j y θ. α

56°

θ j

48°

•

19

20 • U N I D A D 1

Ángulos y triángulos

4. Elabora la siguiente figura en un acetato, recorta el dibujo por la línea punteada y luego sobrepón las dos mitades. Escribe tus observaciones.

b

a c

d

f

e g

h

5. En la tabla escribe los nombres de los ángulos señalados en la figura. Ángulo b

a c

Nombres

aⴝd d

cⴝf eⴝh f

e g

h

6. En la figura dibuja la bisectriz de los ángulos α, j y θ.

aⴝh cⴝg

Bisectriz. Semirrecta que tiene su origen en el vértice de un ángulo y lo divide en dos partes iguales (figura 3).

θ Pasos para trazar una bisectriz Paso 1

Paso 2

α j

Paso 3 Figura 3.

Geometría y trigonometría

T

R I Á N G U L O S

. D

•

21

E F I N I C I Ó N

Thales de Mileto (siglo VII a.C.) fue el primer geómetra griego y uno de los siete sabios de Grecia. Tuvo como discípulo a Pitágoras. A él se le atribuye la enseñanza de algunos axiomas como: la suma de los tres ángulos de un triángulo es de 180°; los ángulos opuestos por el vértice son iguales; todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia son rectos. En su edad madura se dedicó al estudio de la filosofía y las ciencias, especialmente la geometría como ciencia racional.

C A  B  C
180°

B

A

α

θ

Pitágoras de Samos (siglo VI a.C.). Se dice que fue discípulo de Thales, fundó en Cretona, Italia, su famosa escuela pitagórica. Su principal descubrimiento fue el conocido Teorema de Pitágoras, donde afirma que los números son el principio de todas las cosas. Se le atribuye también a la escuela pitagórica la construcción geométrica del polígono estrellado de cinco lados.

Las velas del barco de la figura 4 ilustran diferentes formas de triángulos, que se pueden clasificar por sus lados y ángulos.

Figura 4. Barco formado por varios triángulos.

22 • U N I D A D 1

Ángulos y triángulos

Triángulo. Es una figura geométrica formada por tres rectas que se cortan de dos en dos y que forman entre sí tres ángulos (figura 5).

B θ

α

j

A

C

Figura 5. Triángulos.

C

L A S I F I C A C I Ó N

P O R

Equilátero. Tiene tres lados iguales.

a

a

a

Rectángulo. Tiene un ángulo recto.

S U S

L A D O S

Isósceles. Tiene dos lados iguales.

b

b

Y

Á N G U L O S

Escaleno. Tiene tres lados desiguales.

b c

a

Acutángulo. Tiene tres ángulos agudos.

a

Obtusángulo. Tiene un ángulo obtuso.

Geometría y trigonometría

Un triángulo se indica con letras mayúsculas en sus vértices y en los lados opuestos a éstos con la letra minúscula correspondiente (figura 6).

•

C b

A

a B

c Figura 6.

Tabla 7

1 . Utilizando tu juego de geometría, construir cada uno de los triángulos siguientes. Rectángulo, con un ángulo de 60°.

Acutángulo, con ángulos de 30° y 70°.

Obtusángulo, con un ángulo de 120°.

Escaleno, con lados de 2, 3 y 4 cm.

Isósceles, que sus lados iguales midan 4 cm.

Equilátero, con lados de 4 cm.

23

24 • U N I D A D 1

Ángulos y triángulos

2. ¿Cuál es el valor de los ángulos de tus escuadras? C

C

A

B

Aⴝ ______

Aⴝ ______

Bⴝ ______

Bⴝ ______

Cⴝ ______

A

B

Cⴝ ______

3. Los lados de un triángulo miden 3, 4 y 5 cm. Construye el triángulo y calcula su perímetro.

Geometría y trigonometría

•

4. Construye un triángulo que tenga un ángulo de 50° y los lados que lo forman midan 5 y 3.5 cm.

5. Dibuja un triángulo que tenga un lado de 6 cm y sus ángulos adyacentes midan 30° y 70°.

6. Traza un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 y 4 cm.

25

26 • U N I D A D 1

R

E C TA S

Ángulos y triángulos

Y

P U N T O S

N O TA B L E S

E N

U N

T R I Á N G U L O

Medianas. Segmentos que van de un vértice al punto medio del lado opuesto.

baricentro

Baricentro. Punto donde se intersecan las medianas, también es el centro de gravedad del triángulo.

Mediatrices. Rectas que cortan perpendicularmente el punto medio de los lados de un trángulo.

circuncentro circuncentro

Circuncentro. Punto donde se intersecan las mediatrices que equidistan de los tres vértices y es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Geometría y trigonometría

Alturas. Rectas que van perpendicularmente de un vértice al lado opuesto.

ortocentro

Ortocentro. Es el nombre del punto donde coinciden las alturas.

Bisectrices. Rectas que pasan por los vértices partiendo al ángulo en dos partes iguales.

incentro

Incentro. Punto donde coinciden las bisectrices.

incentro

•

27

28 • U N I D A D 1

Ángulos y triángulos

1. En los triángulos siguientes traza las rectas y/o curvas que se te piden.

Medianas

Mediatrices y circunferencia circunscrita

Alturas

Bisectrices y circunferencia inscrita

2. Observa bien los triángulos, dibuja líneas a partir del punto medio de un lado hasta otro punto medio de otro lado y obtén cuatro triángulos más pequeños en cada caso y fíjate que sean de la misma forma que el original.

Geometría y trigonometría

•

3. Esta figura contiene 27 triángulos equiláteros, identifica el mayor número posible.

4. Construye un triángulo que tenga un lado de 6 cm y los dos ángulos adyacentes midan 30° y 70°. Traza las bisectrices y dibuja la circunferencia inscrita.

Teorema sobre triángulos Teorema 1. En todo triángulo la suma de sus ángulos internos es igual a 180°.

Demostración

C

M r

N s

Hipótesis: ∠A, ∠B y ∠C son los ángulos interiores del triángulo ABC. Tesis: ∠A  ∠B  ∠C
180°.

A

B

29

30 • U N I D A D 1

Ángulos y triángulos

Razonamiento MN es paralela a AB por construcción. ∠r  ∠C  ∠s
180° porque forman un ángulo llano. ∠r
∠A y ∠s
∠B son ángulos alternos internos, por tanto, sustituyendo ∠A  ∠C  ∠B
180° Teorema 2. En todo triángulo la suma de sus ángulos externos es igual a 360°. Demostración

q

C

Hipótesis: ∠p, ∠q y ∠r son los ángulos externos del triángulo ABC. Tesis: ∠p  ∠q  ∠r
360°.

r A

Razonamiento

B

p

∠p  ∠A
180° porque forman un ángulo llano. ∠q  ∠C
180° porque forman un ángulo llano. ∠r  ∠B
180° porque forman un ángulo llano. ∠p  ∠A  ∠q  ∠C  ∠r  ∠B
(3)(180°)
540°, pero ∠A  ∠C  ∠B
180°, suma de ángulos interiores, por tanto, ∠p  ∠q  ∠r
540°  180°
360° ∠p  ∠q  ∠r
360° Teorema 3. En todo triángulo un ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él. Demostración C

Hipótesis: En el triángulo ABC, ∠p, es un ángulo externo. ∠A y ∠C son ángulos interiores no adyacentes a él. Tesis: ∠p
∠A  ∠C

p A B

Razonamiento ∠p  ∠B
180° porque forman un ángulo llano. ∠A  ∠B  ∠C
180° suma de ángulos interiores. ∠p  ∠B
∠A  ∠B  ∠C propiedad transitiva. ∠p
∠A  ∠B  ∠C  ∠B por tanto, ∠p
∠A  ∠C

Geometría y trigonometría

En cada uno de los siguientes casos determina el valor del ángulo x. 1.

x

30°

40°

2.

x 30°

70°

3.

x

65°

•

31

32 • U N I D A D 1

Ángulos y triángulos

4. 37° x

110°

5. x

65°

Ejercicio especial. Observa la siguiente secuencia geométrica y describe qué estamos demostrando con ello. C Doblamos aquí

A

B

Ahora doblamos aquí

C A

Así queda

C B

A

B

Geometría y trigonometría

C

O N G R U E N C I A

D E

T R I Á N G U L O S

Con frecuencia, en la realidad se presentan procesos de producción de piezas que deben ser idénticas, es decir, mismo tamaño e igual forma para que puedan ser empleadas para el fin que se diseñaron. En geometría, a las figuras que tienen la misma forma e igual tamaño se les llama congruentes. También se requiere una definición apropiada para decidir cuándo dos figuras son iguales o congruentes.

Así, por ejemplo, si los triángulos ABC y A'B'C' los sobreponemos y coinciden sus tres lados y sus tres ángulos, decimos que son congruentes. Por tanto: ABC
A'B'C' B' B

B'

B

A' C

A

C'

A'

C

A

C'

Sin embargo, para construir un triángulo es necesario conocer únicamente tres partes de éste. Se encuentra que el tamaño y la forma quedan definidos totalmente dada la siguiente información.

9

7

4 45°

45° 5

Dos lados y el ángulo comprendido.

50° 5

Dos ángulos y el lado comprendido.

6 Los tres lados.

•

33

34 • U N I D A D 1

Ángulos y triángulos

De lo antes dicho se obtienen los postulados o criterios de congruencia de triángulos. Tabla 8 Figura 1

Postulado

C

Dos ángulos y el lado comprendido entre éstos A = A'

Figura 2 C'

B = B'

c = c'

A

B

c

A'

c' C'

C

Dos lados y el ángulo comprendido entre éstos

B'

b'

b

A = A' c = c'

b = b'

Los tres lados iguales a=a'

b=b'

B A'

A

B' c'

c

C'

A'

C

A

c=c' B'

B

1. Desde tu personal perspectiva, ¿cuáles triángulos son congruentes en la serie que aparece abajo? y A

B

y y C D

1 3

2

Geometría y trigonometría

•

2. Demuestra que el triángulo ABD es congruente con el triángulo CDB a partir de que sabemos que ∠1
∠2 y que ∠3
∠4. A

4

1

B

2

3

C

3. En la figura identifica con la misma letra los triángulos que sean congruentes.

4. Dibuja un triángulo idéntico al siguiente.

D

35

36 • U N I D A D 1

Ángulos y triángulos

Propiedades de los triángulos 1. En un triángulo, a ángulos iguales se oponen lados iguales y recíprocamente (figura 7).

C

Si A
B entonces a
b

a

b

B

A c Figura 7.

2. En un triángulo, un lado es menor a la suma de sus otros dos y mayor a la diferencia. a < b  c pero a > b  c

3. En un triángulo, al lado mayor se opone el mayor ángulo y recíprocamente (figura 8).

C

B es el ángulo mayor y b es el lado mayor. b

A

a

B

c

Figura 8.

4. La altura correspondiente a la base de un triángulo isósceles es también la mediana y la bisectriz del triángulo (figura 9). C

∠A
∠B luego a
b

Altura, bisectriz y mediana a

b

A

B c

Figura 9.

Geometría y trigonometría

S

E M E J A N Z A

D E

T R I Á N G U L O S

Las figuras geométricas son semejantes cuando tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. En la figura 10 observa cuántas formas geométricas semejantes hay.

Figura 10.

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus respectivos ángulos iguales y sus lados respectivamente proporcionales (figura 11). C C' b

a b'

A

B

A'

c

a' B'

c'

Figura 11.

Estos triángulos son semejantes porque tienen sus ángulos respectivamente iguales ∠A
∠A';

∠B
∠B';

∠C
∠C'

y sus lados son proporcionales, es decir,

a
b
c a' b' c'

Las razones de esta proporcionalidad también reciben el nombre de razón de semejanza.

•

37

38 • U N I D A D 1

Ángulos y triángulos

Aplicaciones Calcular la altura de un árbol que proyecta una sombra de 7 metros y, en el mismo plano, una barra vertical que mide 2 metros de altura proyecta una sombra de 1.5 metros, como se muestra (figura 12). Solución: En la figura por ser proporcionales los lados de los dos triángulos que se forman: h 7 (7)(2)
de donde h
2 1.5 1.5

luego h ≈ 9.3333

h

2m

1.5 m

7m

Figura 12.

Casos de semejanza de triángulos 1. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales. C

∠A
∠A'

C'

∠B
∠B'

A

B

B'

A'

2. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y proporcionales los dos lados que lo forman. ∠A
∠A' b

b
c b' c'

b' A

A' c

c'

Geometría y trigonometría

•

3. Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados proporcionales. C

a
b
c a' b' c'

C' b

a b'

A

B

A'

a' B'

c

c'

1. Calcula la altura de la pirámide. Considera que un hombre que mide 1.80 m de estatura proyecta una sombra de 2.5 m cuando la sombra de la pirámide es de 32 metros.

m

2.5

32m

2. Como es prácticamente imposible medir el ancho de un río, se han hecho los trazos indicados con las medidas señaladas para tal fin. ¿Cuál es la distancia PQ correspondiente al ancho del río? P

AB = 3 BC = 4 QC = 15

B A

C

Q

39

40 • U N I D A D 1

Ángulos y triángulos

3. Calcula la distancia BC, dado que AB
12 m, EB
8 m y CD
120 m. D

E

A

T

E O R E M A

D E

P

C

B

I T Á G O R A S

Uno de los teoremas más importantes, útiles y conocido en la geometría plana es el Teorema de Pitágoras, llamado así en honor al matemático griego Pitágoras. El teorema dice que el área de un cuadrado construido con la hipotenusa como lado de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos del triángulo (figura 13).

a

us

en

t ipo

cateto

H

cateto Triángulo rectángulo

c

b

a Figura 13.

c

2

ⴝ

ⴙ

a2

b

2

Teorema de Pitágoras. Si ABC es un triángulo rectángulo, entonces el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos.

Geometría y trigonometría

Prueba. Construye cuadrados sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC y observa cómo se descompone el cuadro de la hipotenusa en un pequeño cuadro de área (b  a)2 y cuatro triángulos rectángulos iguales al original de área ab . 2

Por tanto,

⎛ ab ⎞ 2 c = 4⎜ ⎟ + (b − ⎝ 2 ⎠

(b  a)

2

ab 2

ab 2

2

A ab 2

ab 2

2

c

O bien, al acomodar términos,

b

b a

C

c2
b2 a2

B

a

2

que es lo que queríamos demostrar.

1. En cada uno de los siguientes triángulos establece si es correcta la ecuación dada.

a

2

2

2

a)

c
2ab  b  2ab a desarrollando y reduciendo c2
b2 a2 restando 2

a

b

+ b

2

= c

c

b

2

x

2

+ y

2

= z

2

w

2

+ v

2

= u

2

u x

z

v a

y

w

•

41

42 • U N I D A D 1

Ángulos y triángulos

2. En cada uno de los siguientes triángulos calcula el valor de x .

x 3

7 15

x 5

4 x

x

17

x

x

3. Si deseas medir la distancia horizontal entre dos puntos A y B en un terreno muy accidentado, donde el terreno está a 0.75 m más alto en el punto medio y si la cinta de medir indica 26 m. ¿Cuál es la distancia AB? 0.75

Cinta de medir

B

A

4. En cada uno de los triángulos rectángulos de la figura, calcula los valores de las hipotenusas a, b, c y d. 1

1

1 c d

b a

1

1

Geometría y trigonometría

•

5. Observa la siguiente secuencia geométrica y calcula el valor de la diagonal AC.

A

C

C

C

5

5

5

B

B

A

5

5

A

B

5

5

6. A partir de los siguientes cuadrados, cuyos lados miden a  b, prueba que el teorema de Pitágoras es verdadero.

a c b

c

a

b

a b

a

b

c

43

U N I D A D

2 P O L Í G O N O S

Y

C I R C U N F E R E N C I A

Polígonos. Definición

46

Clasificación

47

Elementos de un polígono

47

Perímetros y áreas

51

Cuadriláteros

54

La circunferencia. Definición

61

Rectas y segmentos asociados a la circunferencia

61

Ángulos en la circunferencia

63

Propiedades de los ángulos en la circunferencia

65

Tangentes a los círculos

77

Perímetro y área de un círculo

80

45

46 • U N I D A D 2

P

Polígonos y circunferencia

O L Í G O N O S

. D

E F I N I C I Ó N

Polígono. Es una porción de plano limitada por una curva cerrada, llamada línea poligonal. El polígono se llama convexo cuando su línea poligonal es convexa, es decir, que su poligonal tiende a una curvatura exterior. Es cóncavo cuando está formado por una poligonal cóncava o que tiende a una curvatura hacia adentro. D

D C

C B

E

B

F G

A

H

A convexo

E

cóncavo

Los lados y vértices de la línea poligonal son los lados y vértices del polígono. También se le define como la figura geométrica que resulta cuando se cortan tres o más segmentos en tres o más puntos y que al menos tres de éstos son no colineales. Nuestro mundo está lleno de ejemplos de polígonos, de todas formas y tamaños, y se pueden clasificar en función de los lados, ángulos y las relaciones entre éstos. Ángulos internos. Son los ángulos formados por dos lados consecutivos. Ángulos externos. Son los ángulos adyacentes a los interiores, se obtienen prolongando los lados en un mismo sentido. Ángulos interiores: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E

Poligonal. Línea cerrada formada por rectas o curvas.

D C

Ángulos exteriores: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5

3

4

2

Perímetro. Es la longitud de la línea poligonal y es igual a la suma de los lados del polígono. Perímetro = AB + BC + CD + DE + EA

E B 5 1

A

Geometría y trigonometría

C

•

47

L A S I F I C A C I Ó N

Polígono regular. Tiene todos sus lados y ángulos iguales, es decir, es equilátero y equiángulo. Evidentemente, si no tiene todos sus lados y ángulos iguales es un polígono irregular. De acuerdo con el número de lados, los polígonos reciben nombres especiales, por ejemplo:

triángulo

cuadrilátero

heptágono

octágono

pentágono

hexágono

eneágono

decágono

Si es de once lados se llama undecágono, de doce dodecágono, de quince pentadecágono. Los polígonos de 13, 14, 16, 17 o más lados no tienen nombre especial.

E

L E M E N T O S

D E

U N

P O L Í G O N O

Los polígonos, además de sus lados y ángulos, cuentan con los siguientes elementos. diagonal

Diagonal. Es el segmento determinado por dos vértices no consecutivos.

Centro. El centro del polígono es el centro de las circunferencias circunscrita e inscrita.

Centro

48 • U N I D A D 2

Polígonos y circunferencia

Radio. Es el segmento que une el centro del polígono con un vértice, es también el radio de la circunferencia circunscrita.

Apotema. Segmento que une el centro del polígono perpendicularmente con cualquier lado, y es el radio de la circunferencia inscrita.

io

Rad

Apotema

B

Ángulo central. Es el ángulo formado por los radios correspondientes y dos vértices consecutivos.

O

A

Teoremas sobre polígonos Teorema 1. La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 180° (n – 2), donde n es el número de lados del polígono. C

Demostración Hipótesis: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D y ∠E, son los ángulos internos del polígono. Tesis: ∠A
∠B
∠C
∠D
∠E  180°(n – 2) Razonamiento

D B

A

E

AC y AD son diagonales.

Por construcción.

En todo polígono se forman (n – 2) triángulos.

También por construcción.

Geometría y trigonometría

La suma de los ángulos internos del polígono es la suma de los ángulos de los triángulos.

El todo es igual a la suma de sus partes.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

Teorema que vimos en los triángulos.

Por tanto, la suma de los ángulos interiores del polígono es ∠A
∠B
∠C
∠D
∠E  180°(n – 2) Cuando tratamos con un polígono regular, el valor de cada uno de sus ángulos es el mismo y es igual a la división de la suma de los ángulos interiores entre n, es decir, 180° (n − 2) n Encuentra el valor del ángulo interno de un octágono regular. Ángulo interior =

Solución: La suma de sus ángulos internos es 180°(8 – 2)  1080° Ángulo interior = 1 080° = 135° 8 Teorema 2. La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 360°. C

Demostración Hipótesis: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, y ∠5 son los ángulos externos del polígono. Tesis: ∠1
∠2
∠3
∠4
∠5  360° Razonamiento El ángulo interior y exterior de un vértice en un polígono suman 180°.

3

D 2

4

B

1 A

5

E

Por ser ángulos adyacentes.

Multiplicando 180° por el número de vértices n obtenemos la suma de ángulos exteriores e interiores.

Operaciones elementales.

La suma de los ángulos exteriores es 180°(n – 2).

Teorema anterior.

La suma de los ángulos exteriores es 180°(n) – 180°(n – 2), es decir, 180°(n – n
2)  360°.

•

49

50 • U N I D A D 2

Polígonos y circunferencia

Por tanto, la suma de los ángulos exteriores del polígono es 360°. Cuando tratamos con un polígono regular, el valor de cada uno de sus ángulos es el mismo y es igual a la división de la suma de los ángulos exteriores entre n, es decir, Ángulo exterior = 360° n ¿Cuál es el polígono regular que tiene un ángulo exterior de 120°. Solución: La suma de sus ángulos externos es 360° 360° Ángulo exterior = 360° n = 120°; por tanto n = 120° = 3 se trata entonces de un triángulo equilátero.

Teorema 3. El número de diagonales que pueden trazarse desde los vértices de un polígono es igual al producto n(n – 3) y todo dividido por 2. Demostración

C

Hipótesis: ABCDE es un polígono n lados. Tesis: Número de diagonales = n (n − 3 )

D

2

B

E

A

Razonamiento

De cada vértice pueden trazarse (n – 3) diagonales porque siempre habrá tres vértices a los cuales no se les puede trazar diagonal: el vértice desde donde se trazan y los dos contiguos. Pero como cada diagonal toca dos vértices, entonces estamos contando doble número de diagonales, por tanto,

Número de diagonales =

n (n − 3 ) 2

Por construcción.

Geometría y trigonometría

P

E R Í M E T R O S

Y

Á R E A S

Perímetro. El perímetro de un polígono se calcula sumando la longitud de cada uno de sus lados. Área. El área de un polígono regular es igual al semiperímetro multiplicado por su apotema. Ap⋅a Si n es el número de lados de un polígono y l es la longitud de su lado, entonces su perímetro es P  nl Luego, si triangulamos el polígono, tenemos tantos triángulos como lados tiene, o sea n. a El área de cualquiera de los triángulos es al , base 2 por altura entre 2, donde a es la apotema del polígol no y la altura del triángulo. Entonces, el área del polígono será el área de un triángulo multiplicado por n, es decir, n al pero como nl es el semiperímetro p, entonces el área es 2 2 Ap⋅a

1. Encuentra el valor del ángulo interior de un hexágono regular y dibuja el polígono.

•

51

52 • U N I D A D 2

Polígonos y circunferencia

2. Calcula el valor del ángulo exterior de un pentágono regular y dibuja el polígono.

3. ¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores vale 540°?

4. ¿Cuál es el polígono cuyo ángulo interior vale 90°?

5. Encuentra la suma de los ángulos exteriores de un heptágono.

Geometría y trigonometría

6. ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior mide 120°?

7. Calcula el número de diagonales que se pueden trazar desde el vértice de un octágono.

8. ¿Cuál es el polígono regular en el que se pueden trazar seis diagonales desde un vértice?

9. Calcula el número de diagonales que se pueden trazar en un decágono.

•

53

54 • U N I D A D 2

C

Polígonos y circunferencia

U A D R I L Á T E R O S Cuadrilátero. Es un polígono de cuatro lados y se clasifican en paralelogramos y trapecios. Paralelogramo. Cuadrilátero que tiene los lados opuestos paralelos de dos en dos. Trapecio. El cuadrilátero tiene únicamente un par de lados opuestos paralelos.

Tabla 1 PARALELOGRAMOS

TRAPECIOS

Trapecio rectángulo Tiene dos ángulos rectos.

Trapecio isósceles Los lados no paralelos son iguales.

Cuadrado Lados y ángulos iguales.

Rectángulo Cuatro ángulos rectos y lados opuestos iguales.

Rombo Lados iguales y ángulos contiguos desiguales.

Romboide

Trapecio escaleno

Lados y ángulos contiguos desiguales.

Son los que no son ni isósceles ni rectángulos.

Elementos de un trapecio Bases. Las bases son los lados paralelos, y al ser desiguales, una se llama base mayor y la otra base menor (figura 1).

Base menor Altura

Base media. Segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos y tiene la particularidad de que es la mitad de la suma de las bases.

Base media

Base mayor Figura 1.

Altura. Es la distancia entre las bases y es la perpendicular que tienen en común.

Geometría y trigonometría

Trapezoide. Es un cuadrilátero que no tiene ningún lado paralelo a su opuesto (figura 2). Trapezoide

Figura 2.

Perímetros y áreas Cuando hacemos referencia al perímetro de una figura, estamos hablando del límite que tienen las superficies, que a su vez determinan la forma de los cuerpos geométricos. El perímetro se obtiene a partir de medir la longitud del contorno de una figura geométrica. Área. Es la medida de una superficie, es decir, estamos midiendo el tamaño de una forma geométrica en el plano. Enseguida mostramos algunos ejemplos de perímetros y se anotan con la letra P (figura 3). a

a b

b

b

c a

P  2 a
2b

P a
b
c

r

l

P  6l

P  2 r  d Figura 3. Perímetros.

Áreas de algunas figuras geométricas Aunque ya vimos que el área de un polígono regular se obtiene con la mitad del producto del perímetro P por la apotema a. Es conveniente tratar algunas áreas en lo particular porque son más utilizadas.

•

55

56 • U N I D A D 2

Polígonos y circunferencia

Área de un rectángulo. Se obtiene a partir de multiplicar la base por la altura.

A = bh

altura = h

Calcula el área de un rectángulo que tiene de base 6 cm y de altura 3 cm. A  bh  (6)(3)  18 cm2

base = b

Área de un paralelogramo en general. Se obtiene al multiplicar la base por la altura. La figura nos muestra que es igual al área de un rectángulo.

altura = h

A = bh

base = b

Encuentra el área de un paralelogramo que tiene de base 30 cm y de altura 20 cm. A  bh  (30)(20)  600 cm2

Área de un triángulo. Es resultado de multiplicar la base por la altura y dividir todo entre 2. El triángulo auxiliar (figura 4) dibujado con línea discontinua nos muestra que finalmente es el área de un paralelogramo, pero dividida en dos partes iguales.

altura = h A = bh 2 base = b Figura 4.

Calcula el área de un triángulo que tiene de base 6 cm y de altura 5 cm. A=

bh 2

=

(6 )(5 ) 2

= 15 cm2

Geometría y trigonometría

Área del rombo. El área de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales. Si construimos las diagonales d1 y d2 vemos que se forman dos triángulos iguales y una diagonal puede ser la base y la mitad de la otra es la altura, de manera que el área total es la suma de las áreas de los dos triángulos que se forman (figura 5).

d1

A=

Calcula el área de un rombo cuyas diagonales miden d1 y d2 respectivamente. El área de cualquiera de los dos triángulos que se forman es

d1 d 2 2 d2

Figura 5.

a =

d1

d2 ⋅ 2

2 = d1 d 2 ; el área del rombo será 4

A = 2a = 2 ⋅

d1 d 2 4

=

d1 d 2 2

Área de un trapecio. Es igual a la semisuma de sus bases multiplicada por su altura. b2 altura = h

A1 A2

b1 A=

(b1
b2)h 2

Encuentra el área de un trapecio que tiene de base mayor b1, base menor b2 y altura h. El área del trapecio es la suma de las áreas A1 y A2 que corresponden a dos triángulos con bases b1 y b2, respectivamente, y altura h. A1 =

b1 h 2

;

A2 =

A = A1 + A2 =

b2 h

b1 h 2

; entonces

2

+

b2 h 2

=

h 2

(b1 + b 2)

•

57

58 • U N I D A D 2

Polígonos y circunferencia

Área de un polígono regular. El área de un polígono regular es igual a la mitad del perímetro de éste por su apotema.

A = pa

Calcula el área de un hexágono regular que tiene 5 cm de lado y 2 cm de apotema.

a

A=

(6 ⋅ 5 )(2 ) 2

= 30 cm2

l

Área de un polígono irregular. Se obtiene descomponiendo la figura en triángulos, se calcula el área de cada triángulo y la suma de todas las áreas es el área del polígono. A4 A1

Apolígono  A1
A2
A3
…
An A2

1. Calcula el área de un rectángulo de base 15.38 m y altura 3.5 m.

A3

Geometría y trigonometría

•

2. El área de un rectángulo es 216 m2 y su base es 6 m mayor que su altura. Encuentra sus dimensiones.

216 m2

h

b = h +6

3. La diagonal de un rectángulo mide 10 m y su altura 6 m. Halla su área.

10 m

4. Halla el área de un triángulo sabiendo que la base mide 6.8 m y la altura 9.3 m.

6m

59

60 • U N I D A D 2

Polígonos y circunferencia

5. Encuentra el área de esta figura, las medidas están dadas en centímetros.

50

30

35 a

b

6. Obtén el valor del área sombreada. 4

4

7. Calcula el valor del área sombreada. altura = 2

base = 2

Geometría y trigonometría

L

A

C I R C U N F E R E N C I A

. D

E F I N I C I Ó N

Una de las líneas más familiares para todos nosotros es la circunferencia. Desde la antigüedad llamó la atención del hombre por su belleza y equilibrio. La rueda, uno de los inventos más antiguos, que impulsó el desarrollo de la humanidad, se construyó a partir de esta figura básica. En la presente sección aprenderemos a emplear las propiedades de esta curva valiéndonos de su definición a partir de sus características geométricas.

Circunferencia

P radio

Centro

Una circunferencia es un conjunto de puntos en un plano que están situados a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

R A

E C TA S Y S E G M E N T O S A S O C I A D O S L A C I R C U N F E R E N C I A

Tabla 2 Elemento Radio

Definición Segmento que une el centro con cualquier otro punto de la circunferencia.

Figura P radio Centro

•

61

62 • U N I D A D 2

Polígonos y circunferencia

Tabla 2

(continuación) Elemento Cuerda

Definición

Figura

Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

B

Centro

A

Diámetro

Cuerda que pasa por el centro.

B Centro A

Arco

B

Parte curva de la circunferencia. arco AB

Centro A

Secante

Recta que corta la circunferencia en dos puntos.

B Centro A

Tangente

Recta que corta a la circunferencia en un solo punto.

A Centro

1. Escribe el nombre de cada uno de los elementos señalados en las circunferencias.

Geometría y trigonometría

•

2. En cada circunferencia dibuja lo que se te pide.

El radio

Una cuerda

Una tangente

Una cuerda que pase por el centro

3. Traza un círculo con centro C, una recta tangente en B y señala con los puntos F y G un arco cualquiera.

Á

N G U L O S

E N

L A

C I R C U N F E R E N C I A

Tabla 3 Ángulos Central

Definición

Figura

Tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.

B O A

Inscrito

A

Es aquel que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y sus lados son secantes. O B

C

63

64 • U N I D A D 2

Polígonos y circunferencia Tabla 3

(continuación) Definición

Ángulos Semi-inscrito

Figura

Es un ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y uno de sus lados es una tangente y el otro una secante.

A C B

O

C

Ángulo que tiene su vértice dentro de la circunferencia pero no coincide con el centro.

Excéntrico o interior

B O

C

Es aquel que tiene el vértice fuera de la circunferencia y sus lados pueden ser uno secante y el otro tangente o ambos secantes, o ambos tangentes.

Exterior

A

A O

B

C

C

B

B A A

1. Escribe el nombre de cada uno de los ángulos señalados en las circunferencias. C

C

C

A

A

A

B O B

O

B C

A

O B

O

A

O B

Geometría y trigonometría

•

2. En cada una de las circunferencias dibuja el ángulo que se te indica. Exterior

Interior

Central

Inscrito

3. Traza un círculo y nombra un arco CD. Dibuja dos ángulos inscritos diferentes y que intercepten al arco CD.

P

R O P I E D A D E S D E L O S Á N G U L O S E N L A C I R C U N F E R E N C I A

Ángulo central. La medida de un ángulo central es la medida en grados del arco correspondiente. A

∠AOB  arcoAB

O B

65

66 • U N I D A D 2

Polígonos y circunferencia

Ángulo inscrito. La medida de todo ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. A

∠ ABC =

arcoAC 2

B

O

C

Demostración Hipótesis: El ∠ABC es un ángulo inscrito en la circunferencia. Tesis: ∠ ABC = arcoAC . 2 Razonamiento Trazamos el radio OA, y se forma el triángulo AOB que es isósceles.

Construcción auxiliar.

En el triángulo AOB; ∠A  ∠B

Es un triángulo isósceles.

∠A
∠B  ∠AOC

Ángulo externo igual a la suma de los dos internos opuestos a él.

Como ∠A  ∠B, entonces; ∠B
∠B  ∠AOC; o bien, 2∠B  ∠AOC  arcoAC

Ángulo central.

∠B=

arcoAC 2

La demostración anterior corresponde al caso en que el ángulo inscrito tiene uno de sus lados en el centro de la circunferencia. Entonces, es necesario mencionar que existen otros dos casos: cuando el centro está entre los dos lados y cuando el centro es ex-

Geometría y trigonometría

terior al ángulo inscrito. De cualquier forma, en ambos casos la demostración es análoga al primer caso. A

A

B

O

C

B

Centro entre los lados del ángulo

O

C

Centro exterior al ángulo

1. Si arcoAC  72°. ¿Cuánto vale el ángulo B?

A

Como el ángulo es inscrito, entonces

arcoAC ∠B = 2

=

72° 2

B

O

= 36°

C

2. Si ∠A  32°. ¿Cuánto vale el ángulo ∠MON? ∠A  ∠M porque es un triángulo isósceles.

A M O

∠MON  (2)(32°)  64°

N

•

67

68 • U N I D A D 2

Polígonos y circunferencia

Otras propiedades que resultan de cualquier ángulo inscrito son las siguientes: 1. Todos los ángulos inscritos en el mismo arco son iguales.

2. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. D

D

B

A

C

A

B

O

∠ B = ∠D =

C

O

arcoAC 2

∠C

= ∠ D = arcoAB = 180° = 90° 2

2

1. Si ∠AOB  80°. Halla el ∠C. B

80° O A C

2. ¿Cuánto es el valor del ∠B? A

B

64º O

C

Geometría y trigonometría

Ángulo exterior. La medida del ángulo exterior es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados. θ

C

B

arcoCD − arcoBE ∠α = 2

O

α

j E

D

Demostración Hipótesis: El ∠α es un ángulo exterior en la circunferencia. Tesis: ∠ α = arcoCD − arcoBE 2 Razonamiento Trazamos CE, formándose el triángulo AEC.

Construcción auxiliar.

En el triángulo AEC; ∠j  ∠α
∠θ

Ángulo exterior del ∆AEC.

∠α  ∠j  ∠θ

Despejando.

Pero: ∠ θ = arcoBE 2

Inscrito.

∠ j = arcoCD 2

∠α =

Inscrito.

arcoCD arcoBE − 2 2

∠α =

Sustituyendo, por tanto,

arcoCD − arcoBE 2

A

•

69

70 • U N I D A D 2

Polígonos y circunferencia

Si el arcoAE  80° y el arcoBD  40°. ¿Cuánto vale el ángulo C? Como el ángulo es exterior, entonces

∠α =

E

arcoAE − arcoBD 2

D α

O B

80° − 40° ∠α = = 20° 2

A

1. Si el arcoPQ  10° y ∠S  40°. ¿Cuánto vale el arcoMN? M Q

40º S

O P

Respuesta: 90°.

2. Si el arcoBD  10° y ∠B  40°. ¿Cuánto vale el ángulo C?

N

A

O

40º

B C D

Respuesta: 35°.

E

Geometría y trigonometría

Ángulo semi-inscrito. El ángulo semi-inscrito tiene por medida la mitad del arco comprendido entre sus lados. C j

∠α =

B

arcoBC 2

θ α O

E A

Demostración Hipótesis: El ∠α es un ángulo semi-inscrito en la circunferencia. Tesis: ∠ α = arcoBC 2 Razonamiento Trazamos BD

Construcción auxiliar.

Entonces, ∠α  ∠j
∠θ

Construcción auxiliar.

∠θ =

arcoBD y arcoCD ∠j = 2 2

Luego, ∠ α =

∠α =

Casos anteriores.

arcoBD arcoCD + 2 2

Sustituyendo.

1 (arcoBD + arcoCD) 2

Factorizando.

Como arcoBD
arcoCD  arcoBC, entonces, ∠α =

arcoBC 2

D

•

71

72 • U N I D A D 2

Polígonos y circunferencia

Si el arcoAB  210°. ¿Cuánto vale el ángulo B?

B

Como el ángulo es semi-inscrito, entonces ∠B =

arcoAB 2

∠B =

210° = 105° 2

A

C

O

1. Si el arcoAB  110°. ¿Cuánto vale el ángulo α?

A O α B

C

2. Si el ∠AOB  110°. ¿Cuánto vale el ángulo α? B

C α

O A

Geometría y trigonometría

•

73

Ángulo excéntrico o interior. El ángulo interior tiene por medida la mitad de la suma de los arcos comprendidos por sus lados y sus prolongaciones. C

∠α =

arcoBC + arcoAD 2

B

α

O

A

D

Demostración Hipótesis: El ∠α es un ángulo interior en la circunferencia. Tesis: ∠ α =

arcoBC + arcoAD 2

Razonamiento Trazamos AC

Construcción auxiliar.

En el ∆ que se forma; ∠α  ∠A
∠C

Por ser un ángulo exterior.

∠A =

arcoBC 2

y ∠C =

arcoAD 2

arcoBC arcoAD + 2 2 arcoBC + arcoAD ∠α = 2

Luego; ∠ α =

Por tanto, ∠ α =

Por ser ángulos inscritos.

Sustituyendo. Sumando.

arcoBC + arcoAD 2

Si el arcoDC  40° y el arcoAE  80°. Encuentra el valor del ángulo α Como el ángulo es interior, entonces ∠α =

C

D

α

arcoAE + arcoDC

∠B =

2 80° + 40° 2

O

= 60° A

E

74 • U N I D A D 2

Polígonos y circunferencia

1. Si el arcoAB  50° y el arcoAE  80°. ¿Cuánto vale el ángulo α? B A

α

O

C D

2. Si el ∠AOB  110° y el arcoCD  25°. ¿Cuánto vale el ángulo α? B

α O

C

A D

Perpendiculares a las cuerdas Para encontrar el centro de un círculo es de gran relevancia considerar la recta perpendicular a una cuerda, es decir, su bisectriz, pues ésta determina el centro. Bisectriz. Recta perpendicular que corta a una cuerda AB de una circunferencia en su punto medio.

bisectriz

A

B

Geometría y trigonometría

Teorema. La bisectriz perpendicular a una cuerda de una circunferencia contiene el centro del círculo. A

Demostración

l

Hipótesis: AB es una cuerda del círculo y l es su bisectriz.

O B

Tesis: Probar que O es el centro y un punto de l.

Razonamiento 1. l es la bisectriz perpendicular de AB

Dado.

2. OA = OB

Son dos radios del círculo.

3. O está en l

Es un punto equidistante de A y B.

Aquí se aprecia cómo encontrar el centro de un círculo. 1. Trazar dos cuerdas cualesquiera, AB y CD.

A

C

2. Trazar las respectivas bisectrices a las cuerdas. O

3. La intercepción de las bisectrices es el centro O. B

D

Propiedades consecuentes del teorema anterior 1. Si una recta que pasa por el centro de un círculo es perpendicular a una cuerda que no sea el diámetro, entonces biseca a la cuerda y a su arco menor. 2. Si una recta que pasa por el centro de un círculo biseca a una cuerda que no es su diámetro, entonces es perpendicular a la cuerda.

•

75

76 • U N I D A D 2

Polígonos y circunferencia

En la figura mostrada, el radio es de 4 cm y la cuerda AB está a 3 cm de O. Encuentra el valor de AB. Según el Teorema de Pitágoras 2

2

A

2

(BC ) + 3 = 4 , de donde 2

2

BC = 4 − 3 =

C

O

7 , luego B

AB = 2 BC = 2 7 .

1. En la figura mostrada, el radio es de 10 cm y OC  3 cm. Encuentra el valor de AB.

O A C B

2. Calcula la distancia del centro a la cuerda AB.

O 10 B

14

A

Geometría y trigonometría

•

3. Con compás y regla dibuja una cuerda a la que biseque P.

O P

4. En un círculo de radio 5 cm, AB es una cuerda que mide 8 cm. ¿Qué distancia hay entre AB y el centro del círculo? Haz un dibujo para apoyar la solución.

TA

N G E N T E S

A

L O S

C Í R C U L O S

En secciones pasadas vimos que una recta es tangente a un círculo si lo interseca exactamente en un punto. En esta sección aprenderemos a resolver el problema de trazar tangentes a los círculos.

77

78 • U N I D A D 2

Polígonos y circunferencia

En cada una de las siguientes figuras, ¿es l una recta tangente? l

O O

O l l

Teorema. Si una recta es perpendicular a un radio en un punto de un círculo, entonces la recta es tangente al círculo. Demostración Hipótesis: l es perpendicular OA.

O

l

Tesis: l es tangente al círculo.

l

O A

A

B

Razonamiento l interseca al círculo en un segundo punto B.

Suposición.

OA es perpendicular a la recta l.

Es conocido.

OB es una hipotenusa de un triángulo rectángulo.

Por definición.

OB > OA

Una hipotenusa es mayor que un lado.

OB  OA

Definición de círculo.

Como las dos últimas afirmaciones del razonamiento no son congruentes, entonces l no interseca a la recta y es por tanto tangente al círculo. Propiedades consecuentes del teorema anterior 1. Si una recta es tangente a un círculo, entonces el radio trazado hasta el punto de contacto es perpendicular a la tangente. 2. Si una recta es perpendicular a una tangente en un punto del círculo, entonces la recta contiene al centro del círculo.

Geometría y trigonometría

•

1. Utiliza tu juego de geometría y el teorema de las tangentes para encontrar el centro del círculo.

2. PA y PB son tangentes al círculo y perpendiculares entre sí. Encuentra el valor de PO.

B

O

P

A

3. PA y PB son tangentes al círculo PA  20 mm. Halla el valor de PB. B

O

P

A

79

80 • U N I D A D 2

Polígonos y circunferencia

4. PA y PB son tangentes al círculo PA  5 cm y ∠BPO  17°. Calcula el valor de ∠APB. B

O

P

17°

A

5. CP, CD y PB son tangentes al círculo CD  4 y CP  9. Encuentra el valor de AB. D

C

O B

A

60º

P

E R Í M E T R O

Y

Á R E A

D E

U N

C Í R C U L O

Las figuras de abajo muestran una secuencia didáctica de polígonos regulares, cuyo perímetro se acerca poco a poco al perímetro del círculo.

a

a

a

Geometría y trigonometría

¿Qué nos enseña la secuencia anterior? Que la circunferencia de un círculo es el número al que se aproximan los perímetros de los polígonos regulares inscritos y que la apotema se acerca al radio conforme se incrementa el número de lados de los polígonos regulares.

Razón de la circunferencia a su diámetro La razón del perímetro del círculo a su diámetro es constante para todos los círculos.

O'

O r

r'

s A

B

s' A'

B'

Demostración 1. Se seleccionan dos círculos de radios diferentes con el mismo polígono regular inscrito. 2. Se trazan dos triángulos isósceles, ∆AOB y ∆A'B'C', cuya base es el lado del polígono. 3. Las razones de los perímetros de los polígonos p y p' a sus respectivos radios es la misma porque son triángulos semejantes. p p' r = r' 4. Al crecer mucho el número de lados del polígono los perímetros p y p' se aproximan a la circunferencias C y C', por tanto, la proporción anterior se puede escribir como ' C = C' o bien r r

' C = C' 2r 2r

C . Este número es un d irracional, porque no puede escribirse como decimal exacto y es aproximadamente igual a 3.14159... y se representa por la letra griega π. Por tanto, podemos concluir que: Dado un círculo de radio r y diámetro d  2r, su perímetro se da por la expresión: que es la razón del perímetro del círculo a su diámetro, es decir,

P  2πr  πd

•

81

82 • U N I D A D 2

Polígonos y circunferencia

En la figura 6 determina la longitud x del arco AB, si el radio de la circunferencia es 10.5 cm. Solución: A

x

Consideremos la proporción 120º

120° x , por tanto, = π(21 ) 360° x=

B

120°(21) π = 7 π ≈ 22 cm 360° Figura 6.

1. En la siguiente tabla completa los números que faltan. Radio

Diametro ´

Circunferencia

4

2 6

8 5/ 16

2. Encuentra la longitud del arco interceptado por un ángulo central de 65° en un círculo de radio 10.

Geometría y trigonometría

•

3. Este rectángulo tiene una altura de 10 pulgadas y cuando se enrolla se forma un tubo de 5 pulgadas de diámetro. ¿Cuál es el área del rectángulo?

10 plg

4. Dos poleas funcionan como se muestra en la figura. ¿Qué longitud tiene la banda que mueve las poleas? 60 cm

7.5 cm

Área del círculo Al igual que el perímetro, el área de un polígono de n lados también es una buena aproximación al área de un círculo circunscrito cuando el número de lados tiene un valor muy grande, porque el valor de la apotema se acerca mucho al valor del radio.

a

r

a

r

83

84 • U N I D A D 2

Polígonos y circunferencia

El área del polígono es la mitad de su perímetro nl por su apotema a; es decir, A=

pa nla = 2 2

donde, n es el número de lados del polígono, l el lado del polígono y p su perímetro. Cuando n es muy grande, podemos observar en la figura que el valor de a está mucho más cerca del valor de r. Por tanto, el área del polígono es muy próxima al área del círculo. Luego, el área A del círculo será A≈

pa 2π r ⋅ r 2 ≈ = πr 2 2

Dado un círculo de radio r, el área A está dada por la expresión A  πr2.

1. Dos círculos tienen radios de 4 y 5 cm. ¿Cuál es la razón entre sus áreas? Solución: A1 = π (4 ) = 16 π 2

4

A2 = π (5 ) = 25 π 2

Entonces, la razón de sus áreas es

A1 A2

=

16 π 25 π

5

= 0 . 64

lo que significa que el área A1 representa el 64% del área A2.

2. Una tarta de manzana de 12 pulgadas de diámetro se corta en ocho pedazos iguales, ¿cuál es el área de cada pedazo? Solución: Llamemos x el área buscada x 45° , de donde 2 = 360° π (6 ) x=

1 9 2 ⋅ 36 π = π plg 8 2

45°

Geometría y trigonometría

3. Encuentra el área de la región sombreada. El lado del cuadrado es 4 cm.

⎛ π(2 )2 ⎜ 2 ⎝

Área sombreada = 4 − 2 ⎜ 2

⎞ ⎟ = 4 (4 − π) ⎟ ⎠

1. Encuentra el área de un círculo con radios. a) 3

b) π

c)

3

2. Calcula el área de un círculo con perímetros. a) 10

b) 2π

c) 12π

•

85

86 • U N I D A D 2

Polígonos y circunferencia

3. Encuentra el radio de un círculo con áreas. b) 144π

a) 100

c) 12π

4. Calcula el área de los sectores sombreados.

90° 10

3 120°

4

5. Halla el área de la región sombreada en cada figura.

figura 1

figura 2

Geometría y trigonometría

•

6. Los círculos tienen radios iguales y están colocados como se muestra en el rectángulo. ¿Qué fracción de la región rectangular está sombreada?

Respuesta: 3d (4 − π) 2

7. Si d1  2d2. ¿Qué fracción del círculo está sombreada?

d2

Respuesta:

2 3 πd 2 4

C

d1

87

U N I D A D

3 T R I G O N O M E T R Í A

Trigonometría. Definición

90

Funciones trigonométricas para ángulos agudos

90

Funciones trigonométricas recíprocas

96

Funciones trigonométricas de ángulos complementarios

99

Valores naturales de las funciones trigonométricas

100

Sistemas de unidades para medir ángulos

105

Cálculo de las funciones trigonométricas de los ángulos de 30°, 45° y 60°

110

Resolución de triángulos rectángulos

113

Ángulos de cualquier magnitud

123

Ángulos en las coordenadas cartesianas

124

Signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes

125

Círculo unitario. Funciones representadas por un segmento

130

Identidades trigonométricas

132

Ecuaciones trigonométricas

140

Gráficas de las funciones seno, coseno y tangente

143 89

90 • U N I D A D 3

T

Trigonometría

R I G O N O M E T R Í A

. D

E F I N I C I Ó N

Trigonometría. Es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. Estas relaciones sirven de aplicación en los triángulos para el calcular los elementos de interés que son desconocidos en estas figuras geométricas. De acuerdo a las raíces griegas, es decir, etimológicamente, trigonometría significa medida de triángulos. La diferencia entre la trigonometría y la geometría, estriba básicamente en que la geometría generalmente se basa en los lados de las figuras para determinar los elementos desconocidos de éstas, mientras la trigonometría es más genérica en este sentido, pues se vale siempre de los lados y los ángulos en el cálculo de los elementos de un triángulo o una figura geométrica.

FUNCIONES A G U D O S

T R I G O N O M É T R I C A S

PA R A

En geometría elemental hemos visto que ángulo se define como la abertura comprendida entre la posición inicial y la posición final de una recta que ha girado en torno de uno de sus puntos permaneciendo siempre en el mismo plano. Cuando el lado móvil gira de forma que la posición final coincide con la posición inicial, el ángulo se llama ángulo de una vuelta. Si ocurre que el lado móvil forma una misma recta con la posición inicial, el ángulo es de lados colineales. Y si la posición final es perpendicular a la inicial, el ángulo resultante se llama ángulo recto.

Á N G U L O S

α Ángulo alfa

Ángulo de una vuelta

Ángulo de lados colineales

Ángulo recto

Geometría y trigonometría

•

91

Ángulo trigonométrico. La magnitud de un ángulo depende de la amplitud de su rotación; pero esta amplitud, que en geometría nunca se considera más de una vuelta, en trigonometría puede ser ilimitada. El ángulo trigonométrico se distingue, además, en que puede ser positivo o negativo; mientras que en geometría siempre se considera con su valor absoluto.

β α

405º

Ángulo de más de una vuelta

Ángulo positivo

Ángulo negativo

Antes de definir las funciones trigonométricas de ángulos agudos, vamos a caracterizar la manera de describir y nombrar los lados de un triángulo rectángulo en términos de sus ángulos agudos. Tabla 1 Lado

Ángulo B

Ángulo C

a

hipotenusa

hipotenusa

b

cateto opuesto

cateto adyacente

c

cateto adyacente

cateto opuesto

Históricamente, las funciones trigonométricas de ángulos agudos se han definido como las razones geométricas entre los lados de un triángulo rectángulo.

C

a

b

A

c

B

Razón geométrica. Es la comparación de dos cantidades por división. Por ejem3 = 0.6 significa que 3 es el 60% de 5. plo, 5

Definición de las funciones trigonométricas Para definir las funciones trigonométricas, consideremos un ángulo agudo cualquiera de un triángulo rectángulo, por ejemplo el ∠B. Se definen como se muestra en la tabla 2.

92 • U N I D A D 3

Trigonometría Tabla 2

Nombre seno de B coseno de B

Definición cateto opuesto a B hipotenusa

Notación

cateto adyacente a B hipotenusa

cos B

sen B

tangente de B

cateto opuesto a B cateto adyacente a B

tan B

cotangente de B

cateto adyacente a B cateto opuesto a B

cot B

secante de B cosecante de B

hipotenusa

sec B

cateto adyacente a B hipotenusa cateto opuesto a B

csc B

Considerando las definiciones anteriores y el triángulo que está a la derecha figura 1, completa la siguiente tabla.

Funciones del ∠ B

Funciones del ∠ C

sen B


sen C


cos B


cos C


C

a b

tan B


tan C


cot B


cot C


sec B


sec C


csc B


csc C


B Figura 1.

Continúa de la misma manera con la siguiente tabla.

A c

Geometría y trigonometría

Funciones del ∠α

Funciones del ∠β β

sen α


sen β


cos α


cos β


tan α


tan β


cot α


cot β


sec α


sec β


csc α


csc β


5

4

α 3

Las tablas debieron quedarte de la siguiente manera.

Funciones del ∠ B

Funciones del ∠ C

b sen B
a

c sen C
a

c cos B
a

b cos C
a

tan B


b c

tan C


C

a b

c b A

B

b c

cot B


c b

cot C


sec B


a c

a sec C
b

a csc B
b

csc C


a c

Continúa de la misma manera con la siguiente tabla.

c

•

93

94 • U N I D A D 3

Trigonometría

Funciones del ∠ α 4 sen α
5

Funciones del ∠ β

β

3 sen β
5 5

3 cos α
5

4 cos β
5

4 tan α
3

3 tan β
4

cot α


3 4

4 cot β
3

sec α


5 3

5 sec β
4

5 cscα
4

5 cscβ
3

4

α 3

1. En este triángulo calcula las seis funciones del ángulo A.

B

37

A

a

C 12

Geometría y trigonometría

95

•

2. En el siguiente triángulo calcula las seis funciones del ángulo α.

42.71 α 31.68

3. Calcula las seis funciones del ángulo B. B

c

1

A

C 2

4. Dado el triángulo BAC rectángulo en A, con a
4 y b
1. Halla las seis funciones del ángulo A.

96 • U N I D A D 3

Trigonometría

5. Dado el triángulo BAC rectángulo en A, con a
5 y b
4 y c
3. Calcula los siguientes productos.

C

sen B csc B
5

cos B sec B


4

sen B csc B
B

F

U N C I O N E S

T R I G O N O M É T R I C A S

A

3

R E C Í P R O C A S

En el ejercicio anterior notaste que cada uno de los productos dio como resultado 1, precisamente es el concepto de funciones recíprocas. Funciones recíprocas. Dos funciones trigonométricas, cuyo producto es 1, son recíprocas.

Funciones recíprocas

sen B =

b a

cos B =

c a

b c c cot B = b a sec B = c a csc B = b

C

tan B =

a b

A

B c

Geometría y trigonometría

Demostración 1. sen B csc B =

2. cos B sec B =

3. tan B cot B =

b a  =1 a b

c



a

sen B csc B = 1

=1

cos B sec B = 1

b c  =1 c b

tan B cot B = 1

a

c

1. ¿Puede valer 2 el seno de un ángulo? ¿Por qué?

2. ¿Es admisible el valor de 0.75 para la secante de un ángulo? ¿Por qué?

•

97

98 • U N I D A D 3

Trigonometría

3. Si el seno de un ángulo es igual a 2 . ¿Cuánto vale la cosecante del mismo ángulo? Justifica tu 5 respuesta dibujando un triángulo rectángulo.

4. La secante de un ángulo vale 7. ¿Cuánto vale el coseno? Justifica tu respuesta dibujando un triángulo rectángulo.

5. En el triángulo de la figura el cos B =

3 5

, si la hipotenusa vale 25 cm, ¿cuánto valen los catetos? C

25

A

B

Geometría y trigonometría

6. En el triángulo de la figura el cos B =

•

3 , si la hipotenusa mide 12 cm, ¿cuánto valen los catetos? 4 C

12

A

B

7. Calcula en el siguiente triángulo las funciones que se te piden. sen B


cos C


tan B


cot C


sec B


csc C


C

A

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS C O M P L E M E N TA R I O S

5

4

D E

3

Á N G U L O S

Dos ángulos son complementarios cuando entre ambos suman 90°, de manera que en un triángulo rectángulo, sus dos ángulos agudos son complementarios. Al calcular las funciones de los ángulos agudos en un triángulo rectángulo es fácil observar que las funciones de un ángulo agudo son iguales a las cofunciones del ángulo complementario, es decir, éste es el significado del prefijo ‘’co’’.

B

99

100 • U N I D A D 3

Trigonometría

Cofunciones

Funciones b

sen B =

cos C =

a b

tan B =

cot C =

c a

sec B =

csc C =

c

Cofunciones

Funciones

b

c a

sen C =

a b

c

tan C =

c a c

c

cot B =

b a

sec C =

c a

cos B =

b a

csc B =

b

b C

Conclusión. Las funciones de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son iguales a las cofunciones de su complemento. a b

A

B c

VA

L O R E S N AT U R A L E S T R I G O N O M É T R I C A S

D E

L A S

F U N C I O N E S

De las definiciones anteriores podemos concluir que los valores de las funciones trigonométricas son razones entre longitudes y además son valores abstractos, es decir, que cuando hay semejanza de triángulos, las funciones trigonométricas son iguales e independientes de la magnitud de sus lados (figura 2). Por ejemplo, por la semejanza de triángulos

C

a = b' = c' a' b c Por tanto, sen B =

C' a

b

sen B'

Figura 2.

a'

b'

' =b =b a a'

Figura 2.

A

c

B

A'

c'

B'

Geometría y trigonometría

Lo que nos demuestra que los valores de las funciones trigonométricas son independientes de la magnitud de los lados de un triángulo. Para calcular los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos, en el pasado se construyeron tablas que facilitaban los cálculos trigonométricos, pero en la actualidad, con el desarrollo de las calculadoras y la tecnología, han caído en desuso, y por esa razón no vamos abordar su manejo. Dependiendo de la marca de tu calculadora puedes calcular el valor de una función trigonométrica directa, o bien inversa; es decir, nos enfrentamos a dos problemas fundamentales: 1. Dado un ángulo, calcula sus funciones trigonométricas, o 2. Dada una función trigonométrica, calcula el ángulo.

1. Determina sen 25.37°. Ésta es una posible secuencia para calcular este valor en tu calculadora (figura 3). 25.37º

Ingresa

sen

Presiona

Éste es el resultado

0.428462 Figura 3.

2. Encuentra tan 47° 35’ (figura 4). 47º 35’

Ingresa

tan

Presiona

Éste es el resultado

1.094500 Figura 4.

El ángulo de 47° 35’ lo puedes ingresar como 47.58333° si conviertes los minutos en grados de la siguiente manera.

⎛ 35 47° 35 ’ = 47° + ⎜ ⎝ 60 = 47.58333°

⎞° ⎟ ⎠

•

101

102 • U N I D A D 3

Trigonometría

3. Calcula sec 23.52° (figura 5). En tu calculadora podrás observar que no tiene las funciones cotangente, secante ni cosecante, por ser recíprocas de tangente, coseno y seno, respectivamente, del mismo ángulo y porque no son de uso frecuente en la resolución de triángulos. De manera que:

Ingresa

23.52º

1 = 1 . 090697 sec 23. 52° = cos 23 . 52° Presiona

cos

Éste es el resultado

0.916921

Presiona

Éste es el valor de la secante.

1.09069 Figura 5.

4. Dado sen A
.83216, calcula el valor del ángulo A. Éste es el caso inverso de los ejemplos anteriores, pues ahora conocemos la función del ángulo y tenemos que determinar su valor. Sigue este procedimiento de la figura 6. Ingresa

0.83216

Presiona

shift

sen -1

Presiona

sen

Éste es el valor del ángulo.

56.3212º Figura 6.

significa que A
56.3212°

Geometría y trigonometría

1. Calcula el valor natural de cada una de las siguientes funciones.

sen 23.57°


tan 35°40’


sec 23°30’


cot 14°17’


csc 72.75°


sen 85.25°


tan 45°


sen 30°


cos 60°


cos 75.25°


tan 23.57°


cot 66.43°


sen 90°


sen 0°


sen 57°


2. Dado el valor de la función trigonométrica, determina el ángulo correspondiente.

sen A
0.5225 A
cos A
0.8542 A
tan A
2.2290 A


sen x
0.7698 x
cos y
0.2634 y
tan x
19.76 x


sen B
0.1576 B
cos C
0.5225 C
cot y
42.75 y


•

103

104 • U N I D A D 3

Trigonometría

3. Concluye si hay diferencia entre 2 sen 30° y sen(2 ⋅ 30°).

4. ¿Es lo mismo 2 tan 30° que tan 60°?

5. ¿El cos 30° es la mitad de cos 60°?

Geometría y trigonometría

S

I S T E M A S

D E

U N I D A D E S

PA R A

M E D I R

Símbolos de estas unidades °

minuto

’

segundo

’’

El sistema cíclico tiene como unidad a la unidad cíclica o unidad circular y es el ángulo central de una circunferencia, cuyos lados interceptan un arco de longitud igual a la del radio. Radián es el nombre que se la da a la unidad cíclica en este sistema. s r Cuando la longitud de s es igual a la de r, el ángulo α es α 1 radián, es decir, r

Sí s
r; entonces α
1 radián

Equivalencia entre los sistemas cíclicos y sexagesimal Como la longitud de la circunferencia es 2π r, y si representamos por x el número de grados de un radián, podemos establecer la siguiente proporción: x 360° de donde 360° r 180° ; = x = = r 2π r 2π r π entonces, x
57.29578°, que es el valor de 1 radián en grados, pero es más fácil y práctico recordar que:

π radianes
180°

x

r 1 radián

r

105

Á N G U L O S

Medida de un ángulo. Para medir un ángulo dado se le compara con otro que es la unidad, el número de veces que contiene ese ángulo dado al ángulo unidad es su medida. La medida de un ángulo puede expresarse en diferentes unidades, pero aquí vamos a estudiar dos de gran relevancia: el sistema sexagesimal y el sistema cíclico. El sistema sexagesimal es uno de los más empleados para medir ángulos y consiste en dividir una circunferencia en 360 partes iguales llamadas grados, el grado en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos.

grado

•

106 • U N I D A D 3

Trigonometría

1. Expresa en radianes el ángulo de 45°. Para la conversión vamos a multiplicar 45° por el factor 45° = 45° ⋅

π rad 180°

π rad π = rad = 0.78539 rad 4 180°

2. Expresa en radianes el ángulo de 58.25°. 58. 25° = 58. 25° ⋅

π rad = 1. 01665 rad 180°

3. Convierte 85° 35’ en unidades cíclicas. Primero expresemos el ángulo en grados:

⎞° ⎟ = 85. 5833° ⎠

⎛ 35 ⎝ 60

85° 35’= 85° + ⎜

85. 5833° = 85. 5833° ⋅

π rad = 1. 49371 rad 180°

4. Transforma 2.5 rad en unidades sexagesimales. Ahora procedemos de forma semejante, sólo que el factor de conversión es 180° . π rad 2.5 rad

= 2.5 rad ⋅ 180° = 143. 23° π rad

5. Transforma 2 rad en unidades sexagesimales. 3 2 2 180° rad = rad ⋅ 3 3 π rad

= 120 rad = 38. 1971° π

Geometría y trigonometría

6. Convierte

2 rad en unidades sexagesimales. 3 2 2 180° π rad = π rad ⋅ 3 3 π rad

1. Expresa en radianes los siguientes ángulos. a) 33.25°

b) 55° 28’

c) 36° 25’40”

d) 65° 15’30”

= 120°

•

107

108 • U N I D A D 3

Trigonometría

2. Expresa en grados los siguientes ángulos, dados en unidades cíclicas.

a)

3 rad 5

b)

23 rad 4

c) 2.43 rad

d)

3 rad

e) 123 rad

3. Encuentra el número de grados de los siguientes ángulos, dados en función de π rad.

a)

3π rad 5

b)

3π rad 6

c) 2π rad

d)

π rad 4

e) π rad 3

Geometría y trigonometría

•

109

4. Calcula la longitud del arco de 60° en una circunferencia de 7 cm de radio.

5. La longitud de un arco de 25° es de 16 cm. Calcula el radio de la circunferencia.

6. ¿Qué ángulo central corresponde a un arco de 35 cm en una circunferencia de 52 cm de radio?

110 • U N I D A D 3

Trigonometría

C

Á L C U L O D E L A S F U N C I O N E S D E L O S Á N G U L O S D E 3 0 ° , 4

T R I G O N O M É T R I C A S 5° Y 60°

Para determinar el valor de las funciones de un ángulo particular, como el de 45°, sin necesidad de utilizar calculadora, observa la secuencia gráfica de la figura 7.

1. Consideremos un cuadrado de lado 1. 2. Con una diagonal dividamos el cuadrado en dos triángulos iguales, como el de la derecha. 3. Calculemos la hipotenusa con el Teorema de Pitágoras hipotenusa

= 1 +1 = 2 2

2

4. Finalmente, calculemos las funciones trigonométricas.

2

1

1

45º 1

1

sen 45° =

cot 45° = Figura 7.

1

cos 45°

2

1 1

=1

sec 45°

=

1

=

2

tan 45° =

2

1

= 2

csc 45°

=

1 1

=1

2 1

= 2

Geometría y trigonometría

Las razones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60° pueden calcularse dibujando un triángulo equilátero de lado 2 y procediendo de manera análoga a la de las funciones de 45° (figura 8). 1. Consideremos un triángulo equilátero de lado 2. 2. Dibujemos una de las alturas del triángulo equilátero para dividirlo en dos triángulos rectángulos congruentes. 3. Calculemos el valor de dicha altura utilizando el Teorema de Pitágoras. altura =

2 −1 = 2

2

3

4. Finalmente, calculemos las funciones trigonométricas.

30º

altura

2

2

60º

60º

30º

2

3

60º 1

2 Funciones de 30°

sen 30° = cos 30° = tan 30° =

Figura 8.

1

Funciones de 60°

3

sen 60° =

2 3 2 1

cos 60° =

2 1 2

tan 60° =

3

cot 60° =

1

3

cot 30° =

3

sec 30° =

2

csc 30° = 2

3

3

sec 60° = 2 csc 60° =

2 3

•

111

112 • U N I D A D 3

Trigonometría

1. Si la diagonal de un cuadrado mide 4 2 . ¿Cuál es el área del cuadrado?

4 2

l

l

Respuesta: 16

2. Demuestra que en un triángulo equilátero de lado x, su altura mide

3 2

x.

3. En un triángulo rectángulo e isósceles con hipotenusa 12, ¿cuál es la longitud de la altura a la hipotenusa?

altura

12

Geometría y trigonometría

R

E S O L U C I Ó N

D E

T R I Á N G U L O S

•

113

R E C T Á N G U L O S

La trigonometría tiene como principal propósito resolver situaciones que pueden ser modeladas por un triángulo. Las situaciones más sencillas de modelar ocurren cuando involucran a triángulos rectángulos. Determinar las medidas de los lados y ángulos de un triángulo se conoce como resolución del triángulo. Con frecuencia, en la resolución de triángulos debemos considerar ángulos formados por la horizontal y la línea de visibilidad de un observador. Cuando ocurre que la línea de visibilidad está por encima de la horizontal, se llama ángulo de elevación, y si está por debajo se llama ángulo de depresión. Ángulo de elevación

Ángulo de depresión

1. Revuelve el siguiente triángulo rectángulo de la figura 9. C

Solución: ∠C
90°  42.4°
47.6°; ángulos complementarios

a

7

7 7 ≈ 10 . 3810 = sen 42. 4°, despejando a = sen 42. 4° a 7 7 ≈ 7. 6659 = tan 42. 4°, despejando c = tan 42 . 4° c

42.4º Figura 9.

B

c

A

114 • U N I D A D 3

Trigonometría

Evidentemente, el cateto c se podía haber obtenido a partir del Teorema de Pitágoras: c

≈ (10. 8 ) − ( 7 ) ≈ 58 . 7672 ≈ 7. 6659 2

2

2. Resuelve el siguiente triángulo rectángulo de la figura 10. Solución: La hipotenusa a la calculamos con el Teorema de Pitágoras: a

C

= (10 ) + (7 ) = 149 ≈ 12 . 2065 2

2

a

10

10 tan B = ≈ 1. 4285, entonces; 7 −1

B = tan (1. 4285) ≈ 55. 0079°

B

∠ C = 90° − 55. 0079° = 34. 9921°

7

A

Figura 10.

3. Resuelve el triángulo rectángulo de la figura de la figura 11. Solución: El cateto c lo calculamos con el Teorema de Pitágoras; c

≈ (20 ) − (13. 2 ) ≈ 2

cos B =

2

225. 76

C

≈ 15. 0253

20

b

13. 2 = 0. 6600, entonces; 20 −1

B = cos (0 . 6600 ) ≈ 48. 7001°

B

∠ C = 90° − 48. 7001° = 41. 2998°

13.2

A

Figura 11.

4. Resuelve el triángulo rectángulo de la figura 12. Solución Podemos usar la función sen B o cos B

B

b , despejando b
40 sen 65°
36.25 sen 65° = 40 cos 65° =

c ; despejando c
40 cos 65°
16.9047 40

∠C
90°  25°
25°

Figura 12.

65º

40

c

A

b

C

Geometría y trigonometría

5. Una escalera de 10 m está recargada sobre una pared, ¿qué altura alcanza si forma con el suelo un ángulo de 72°? (Figura 13). Por los datos que tenemos, la sugerencia es hacer uso de la función sen 72°; tenemos que h = sen 72° ⇒ h = 10 sen 72° = 9 . 51 m 10

10 m

h 72º

Figura 13.

6. ¿Cuál es el radio de una circunferencia que inscribe a un heptágono regular de 2 cm por lado? 360° = 51. 42° y 7 forman junto con el lado del polígono un triángulo isósceles, como se muestra en la figura 14. Por tanto, siguiendo la secuencia gráfica, 1 1 = 2 . 3051 cm = sen 25. 71° ⇒ r = r sen 25. 71° El ángulo central que interceptan dos radios de la circunferencia es

51.42º

r

r

r

51.42º

25.71º

2

2

1

Figura 14.

7. La base de un triángulo isósceles mide 4 cm, si cada uno de sus lados iguales mide 5 cm. Calcula el valor de los ángulos iguales (figura 15). C

Aquí la pertinencia es usar la razón trigonométrica: cos A = cos B =

Figura 15.

5 cm

5 cm

2 = 0. 4 5

Entonces, A
B ≈ 66.4218°

C

A

B 4 cm

A

B 2 cm

•

115

116 • U N I D A D 3

Trigonometría

1. Resuelve el siguiente triángulo rectángulo. Es decir, calcula el lado b, y los ángulos B y C. C

b

A

5 cm

B

2 cm

2. Resuelve el siguiente triángulo rectángulo, es decir, calcular la hipotenusa, y los ángulos B y C. C

a

B

6 cm

4 cm

A

3. Un triángulo BAC es rectángulo en A. Si el cateto b
20. Halla los demás elementos del triángulo. Bosqueja la figura.

Geometría y trigonometría

•

117

4. Un obrero tiene una escalera de 12 m. ¿Qué ángulo debe formar con el piso para alcanzar una altura de 8 m? Haz un esquema de la situación.

5. ¿Cuál es la longitud de la apotema y el área de un hexágono inscrito en una circunferencia de radio 10 cm? Dibuja el hexágono inscrito utilizando tus reglas y compás.

6. Un árbol de 15 m de altura proyecta una sombra de 20 m. ¿Cuál es el ángulo que forma el sol con el horizonte?

15 m α 20 m

118 • U N I D A D 3

Trigonometría

1. El arco de la figura mide 66° y corta una cuerda de 30 m. Calcula el radio del arco (figura 16). 30 m

30 m

15 m

r

r

r 30º

60º

60º Figura 16.

En la secuencia gráfica podemos ver que: 15 = sen 30°, luego, si despejamos, r = 15 = 30 m sen 30° r 2. La base de un triángulo isósceles mide 36 cm, si la altura mide 42 cm. Calcula el valor de los ángulos de la base (figura 17). Aquí la pertinencia es usar la razón trigonométrica: tan A = tan B =

C

C

42 = 2 . 33333 18

42 cm

42 cm

Entonces, A
B ≈ 66.81409° Figura 17.

A Figura 17.

B

B 18 cm

36 cm

3. Un barco navega desde P hacia el noroeste hasta el punto A, distante 27 km de P. ¿A qué distancia se halla x cuando el barco está en A? (figura 18). Este ejercicio lo podemos resolver con la función sen 45° o cos 45°. x = cos 45° ⇒ x = 27 cos 45° 27 x ≈ 19 .0918 km

A

N

NE x

45º P

Figura 18.

A

E

Geometría y trigonometría

•

119

1. Un barco parte del punto B y se dirige al sur S, después de recorrer 25 millas se ve desde la embarcación el punto F con un ángulo de 23.5°. ¿A qué distancia BF estaba el barco en el momento de partida?

B

F

23.5º S

2. Un cable guía de 52 pies de longitud va desde el nivel del piso hasta lo alto de una antena. El cable forma un ángulo de 68.6° con la antena. ¿A qué distancia de la base de la antena está anclado el cable?

52 pies

68.6º x

120 • U N I D A D 3

Trigonometría

3. Un globo se eleva verticalmente. Un observador al nivel del piso está a 100 pies del punto de partida. En un instante, el observador mide el ángulo de elevación del globo y es de 30°. Un minuto después es de 70°. ¿Cuánto viajó el globo en ese minuto?

b

70°

a

30°

100 pies

1. Un automóvil que lleva una velocidad de 50 mph viaja en el carril derecho de una carretera que tiene tres carriles en cada dirección. Otro lo rebasa a su izquierda (≈ 25 ft) y 2 segundos después se estima que el ángulo entre la dirección del movimiento y su línea de visibilidad hacia el otro automóvil es de aproximadamente 30°. ¿A qué velocidad está viajando el automóvil que rebasó? (Figura 19.) Fácilmente se puede ver que el lado conocido se relaciona con el lado x x considerando la función tangente. x = tan 60° 25

t=0

t=2 x 30°

⇒ x = 25 tan 60 o x ≈ 43. 3012 ft

25 ft

Figura 19.

Por tanto, la velocidad del automóvil que rebasó en esos dos segundos con relación al rebasado es: v=

43. 3012 ft 2 seg

= 21. 65

ft seg

⋅

1milla 5280 ft

⋅

3600 seg 1hr

= 14 . 76 mph

Geometría y trigonometría

2. Desde el nivel del piso, el ángulo de elevación con respecto a un risco distante es de 30°. Al caminar 600 m directamente hacia la base del risco, su ángulo de elevación se convierte en 45°. ¿Cuál es la altura h del risco? (Figura 20.) Para la solución vamos hacer un esquema como el mostrado a la derecha. Por tanto, h

h = tan 45° ⇒ h = x tan 45° = x x

30º 600 m

Figura 20.

También h = tan 30°; x + 600

⇒

Figura 20.

45º x

h = ( x + 600 ) tan 30° h = 0 . 57735x + 346. 4101

Igualando las dos ecuaciones que resuelven h encontramos el valor de x. 0.57735x  346.4101
x resolviendo esta ecuación x =

346. 4101 ≈ 819. 61 0. 42265

Por tanto, h
x
819.61 m

3. Desde lo alto de un edificio de 14 m, a cuyo pie pasa un río, el ángulo de depresión del borde de la orilla opuesta es de 55°. ¿Cuál es el ancho del río si el aparato con el que se midió el ángulo mide 1.5 m? (Figura 21.) tan 35° =

x

14 − 1. 5

= x

55º

12 . 5

x = 12 . 5 tan 35° = 8. 7525 m

14 m

1.5 m x

Figura 21.

•

121

122 • U N I D A D 3

Trigonometría

1. Desde la punta B de una torre el ángulo de depresión de la punta D de otra torre, que dista 30 m de la primera, es de 28°. Si la torre más alta mide 62 m, ¿cuál es la altura de la torre menor? B 28° D 62 m

30 m

2. Una rampa de 20 m de largo está inclinada 5° con respecto al nivel del piso. ¿Qué tanto se eleva la rampa sobre el nivel del piso?

3. La cima de la torre mostrada está a 200 m de altura. ¿Qué distancia se debe recorrer, a partir del pie y horizontalmente, para que el ángulo de elevación de la cima sea de 25°?

200 m 25º

Geometría y trigonometría

•

123

4. Una cuesta tiene una pendiente de 9 mm por cada metro. ¿Qué ángulo forma con el horizonte?

5. Determina el valor de la distancia y.

y 5° 25 m

40 m

Á

N G U L O S

D E

C U A L Q U I E R

M A G N I T U D

Hemos mencionado en secciones anteriores que la geometría no considera casi nunca ángulos mayores de una vuelta y siempre son positivos. En cambio, la trigonometría estudia ángulos de cualquier magnitud y distingue además ángulos positivos y negativos. En esta sección estudiaremos las funciones de cualquier ángulo, a partir de su signo y magnitud, y para ello nos valdremos de las coordenadas cartesianas o rectangulares. Coordenadas cartesianas. Es un sistema de correspondencia que hay entre cada punto geométrico y un par de números reales en el plano. Este sistema está formado por dos ejes, uno horizontal y otro vertical, que se cortan perpendicularmente para formar cuatro regiones llamadas cuadrantes.

124 • U N I D A D 3

Trigonometría

A continuación se muestran los elementos que componen este sistema (figura 22).

P(x, y) es un punto geométrico, en donde (x, y) representan un par de números reales. x se llama abscisa y la y se llama ordenada; juntas se conocen como coordenadas. I, II, III y IV se llaman cuadrantes y definen los signos de las coordenadas (x, y). O es el origen. Eje de las y

II (−,+)

I (+,+) P(x, y) Eje de las x O

III (−,−)

IV (+,−)

Figura 22.

Á

N G U L O S

E N

L A S

C O O R D E N A D A S

C A R T E S I A N A S

Ahora se ilustra la posición de un ángulo α atendiendo a su lado móvil en cada uno de los cuadrantes del sistema de coordenadas cartesianas (figura 23).

α O

0° < α < 90° Figura 23.

α x

y

y

y

y

O

90° < α < 180°

α

α x

O

180° < α < 270°

x

O

270° < α < 360°

x

Geometría y trigonometría

•

125

Si a un ángulo cualquiera se le suma o resta una o varias circunferencias o una fracción de éstas, el valor y signo de las funciones dependerá de la posición final del lado móvil en los cuadrantes.

S

I G N O S D E L A S F U N C I O N E S E N L O S C U A D R A N T E S

T R I G O N O M É T R I C A S

Signo de las funciones en el primer cuadrante y sen α = r ; positiva x cos α = r ; positiva y tan α = r ; positiva x cot α = y ; positiva r sec α = x ; positiva r csc α = y ; positiva

r

y α x

O

En el primer cuadrante, tanto la abscisa como la ordenada son positivas.

Signo de las funciones en el segundo cuadrante Observa que en el segundo, tercero y cuarto cuadrante el ángulo α coincide con un ángulo agudo θ y evidentemente sus funciones coinciden porque la posición de su lado móvil es la misma. y sen α = r ; positiva –x cos α = r ; negativa y tan α = –x ; negativa –x cot α = y ; negativa r sec α = –x ; negativa r csc α = y ; positiva

y

r

α

θ −x O

En el segundo cuadrante, la ordenada es positiva y la abscisa negativa.

126 • U N I D A D 3

Trigonometría

Signo de las funciones en el tercer cuadrante –y sen α = r ; negativa –x cos α = r ; negativa –y tan α = –x ; positiva –x cot α = –y ; positiva r sec α = –x ; negativa r csc α = –y ; negativa

α -x -y

O

θ r

En el tercer cuadrante, la abscisa es negativa y la ordenada también lo es

Signo de las funciones en el cuarto cuadrante –y sen α = r ; negativa x cos α = r ; positiva –y tan α = x ; negativa x cot α = –y ; negativa r sec α = x ; positiva r csc α = –y ; negativa

α x O

θ

-y

r

En el cuarto cuadrante, la abscisa es positiva y la ordenada negativa.

Los signos de las funciones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud, dependiendo del cuadrante donde quede posicionado el lado móvil del ángulo, pueden resumirse en la tabal 1. Tabla 1 Funciones

Primer cuadrante

Segundo cuadrante

Tercer cuadrante

Cuarto cuadrante

Seno y cosecante









Coseno y secante









Tangente y cotangente









Geometría y trigonometría

Aplicaciones 4 , calcula las demás funciones de α teniendo en cuenta su posición en 5 las coordenadas cartesianas.

1. Dado sen α =

Existen dos únicas posiciones para el ángulo en esas condiciones, en el primero y segundo cuadrantes, por el signo positivo de la ordenada. 2 2 Con el Teorema de Pitágoras calculamos la abscisa; x = 5 − 4 = 3. Primer cuadrante sen α = 4 cos α = 3 5 5 tan α = 4 3

cot α = 3 4

sec α = 5 3

csc α = 5 4

5 4 α O

3

Segundo cuadrante sen α = 4 5

cos α = 3 5

tan α = 4 3

cot α = 3 4

sec α = 5 3

csc α = 5 4

4

5 α 3

O

2. Dado tanα = 3 , calcula las demás funciones de α teniendo en cuenta su posición en 2 las coordenadas cartesianas. Las posiciones para el ángulo, en esas condiciones, están en el primero y tercer cuadrantes por el signo positivo de la tangente. 2 2 Con el Teorema de Pitágoras calculamos la hipotenusa r = 2 + 3 = 13.

•

127

128 • U N I D A D 3

Trigonometría

Primer cuadrante sen α = tan α = sec α =

3 13 3 2

cos α = cot α =

13 2

2 13 13

2 3

3 α

csc α =

13 3

cos α =

2

O

2

Tercer cuadrante sen α = tan α = sec α =

3 13 3 3 = 2 2

cot α =

13 2

csc α =

13 2 2 = 3 3

α 2 O

13 3

3

13

1. Dada la gráfica del ángulo A en las coordenadas cartesianas, calcula las seis funciones trigonométricas de A.

3

A

3

O

Geometría y trigonometría

•

129

2. Dada la gráfica del ángulo A en las coordenadas cartesianas, calcula las seis funciones trigonométricas de A.

A

O

3. Dada la gráfica del ángulo A en las coordenadas cartesianas, determina las seis funciones trigonométricas de A.

A

O

35 , considera todas las posibles posiciones en las coordenadas cartesianas para 37 el ángulo A y calcula sus funciones trigonométricas.

4. Dado cos A =

130 • U N I D A D 3

Trigonometría

5. Dado sec A
5 , determina las demás funciones considerando la posición del ángulo en los diferentes cuadrantes.

7 , calcula las demás funciones considerando la posición del ángulo en los dife5 rentes cuadrantes.

6. Dado tan B = −

C

Í R C U L O U N I TA R I O . R E P R E S E N TA D A S P O R

F

U N C I O N E S U N S E G M E N T O

Círculo trigonométrico. Círculo trigonométrico es el que se traza con un radio igual a 1. 1

x

y

Geometría y trigonometría

•

Funciones trigonométricas representadas por rectas Para comprender bien las funciones trigonométricas representadas por rectas es muy importante hacer las siguientes consideraciones. 1. Los triángulos OPB, OAT y OCS son triángulos semejantes. 2. Los segmentos OB
OA
OC
1. Con estos argumentos estamos listos para calcular las funciones del ángulo, pero debemos tener en cuenta cada uno de los círculos de la figura 24. T

C

B 1

1

α

O

S

1 α

α

P

α

O

O

A

Figura 24.

sen α =

PB

cos α =

OP

1

1

= PB

tan α =

= OP

sec α =

AT OA

OT OA

=

AT

=

AT

1

1

= AT

cot α =

= OT

csc α =

CS OC

OS OC

=

CS

=

OS

1

Evidentemente estos resultados se pueden obtener en cualquier cuadrante por analogías. Por tanto, en el círculo trigonométrico podemos concluir lo siguiente: PB es el segmento equivalente a sen α. OP es el segmento equivalente a cos α. AT es el segmento equivalente a tan α. CS es el segmento equivalente a cot α. OT es el segmento equivalente a sec α. OS es el segmento equivalente a csc α.

1

= CS

= OS

131

132 • U N I D A D 3

Trigonometría

Las funciones trigonométricas representadas por segmentos las podemos ilustrar también de la siguiente manera (figura 25).

α c cs

se

n

1 α O cos α

tan α

sen α

α

cot α α α

O

O

Figura 25.

I

D E N T I D A D E S

T R I G O N O M É T R I C A S

Una de las aplicaciones más importantes y prácticas del círculo unitario en las matemáticas es la obtención de las identidades trigonométricas más elementales. Identidad trigonométrica. Es una igualdad algebraica entre razones de un mismo ángulo que se verifica para cualquier valor que se le asigne al ángulo. Por ejemplo, en secciones anteriores ya consideramos las siguientes identidades. Funciones recíprocas

Funciones complementarias

1. sen α csc α
1

4. sen α
cos(90°  α)

2. cos α sec α
1

5. cos α
sen(90°  α)

3. tan α cot α
1

6. tan α
cot(90°  α) 7. cot α
tan(90°  α) 8. sec α
csc(90°  α) 9. csc α
sec(90°  α)

Además de las identidades anteriores, vamos a obtener las fórmulas más usadas del círculo unitario ilustrado en la figura 26. Por el Teorema de Pitágoras es evidente que x2  y2
1; luego y

1

= sen α = y

x 1

1 α O x

= cos α = x Figura 26.

y

Geometría y trigonometría

Con esto podemos obtener otra identidad: 10. x2  y2
sen2 x  cos2 x
1 Otra vez atendiendo al círculo (figura 26) 11. tan α =

y sen x = x cos x

secα =

1 = cos1 x x

Pero, sec α =

2

cos x

=

sen x + cos x

También como csc α =

2

cos x

2

sen x

Tenemos la identidad

sen x 2

cos x

+ 1 = tan x + 1 2

13. sec2 x
tan2 x  1

sen x + cos x 2

1

1 1 = sen y x

2

=

2

Entonces resulta la identidad

2

csc α =

2

1

2

x cos x 12. cot α = y = sen x

=

2

2

sen x

2

=1 +

cos x 2

sen x

= 1 + cot x 2

14. sec2 x
tan2 x  1

Tabla 2

Identidades elementales 1 . sen α csc α = 1

8 . sec α

= csc (90° − α)

2 . cos α sec α = 1

9 . csc α

= sec (90° − α)

3 . tan α cot α = 1

2

10 . sen

x + cos x = 1 2

4 . sen α

= cos(90° − α)

11 . tan α

= senx

5 . cos α

= sen(90° − α)

12 . cot α

x = cos senx

6 . tan α

= cot(90° − α)

13 . sec x

7 . cot α

= tan(90° − α)

14 . sec x

cos x

2

= tan x + 1

2

= tan x + 1

2 2

•

133

134 • U N I D A D 3

Trigonometría

Aplicaciones 1. Si sen A
0.25, ¿cuánto vale csc A? Como sen A csc A
1, despejando, tenemos que csc A =

1 = 1 =4 sen A 0 . 25

2. Si tan A
5, ¿cuánto vale cot A? Como tan A cot A
1, resulta que cot A =

1 = tan A

1 5

= 0.2

3. Comprobar que cos2 x  sen2 x
2 cos2 x  1. Sugerencia: Para probar que el primer miembro de la identidad es igual al segundo, se deben efectuar las operaciones necesarias, sólo en el primero, hasta evidenciar que los dos miembros son idénticos, como se demuestra a continuación. 2 2 2 2 cos x − sen x = cos x − ⎛1 − cos x ⎞

⎠

{

⎝

2

sen x

= cos x − 1 + cos x 2

2


2 cos2 x  1 que es lo que queríamos probar. 4. Comprobar que cos2 x
(1  sen x)(1  sen x). Partimos del primer miembro cos2 x
1  sen2 x
(1  sen x)(1  sen x) factorizamos 5. Comprobar que (tan x  cot x)sen x cos x
1.

⎛ sen x cos x ⎞ + ⎟ sen x cos x ⎝ cos x sen x ⎠

(tan x + cot) sen x cos x = ⎜

=

sen 2 x + cos 2 x cos x sen x

sen x + cos x = 1 2

2

⋅ sen x cos x

Geometría y trigonometría

1. Si cos x =

3 . ¿Cuánto vale la secante del mismo ángulo? 5

2. Si cot x =

7 . ¿Cuánto vale la cotangente del ángulo complementario? 5

3. Si sec x =

7 . ¿Cuánto vale la secante del ángulo complementario? 5

•

135

136 • U N I D A D 3

Trigonometría

4. Prueba que cos2 x  sen2 x
1  2 sen2 x

5. Demuestra que cos2 x  sen2 x
2 cos2 x  1

6. Comprueba que sec x sen(90°  x)
1

Geometría y trigonometría

7. Demuestra que tan α tan(90°  α)
1

8. Prueba que sen2 α  sen2(90°  α)
1

9. Demuestra que 1  tan2 x
2  sec2 x

•

137

138 • U N I D A D 3

Trigonometría

10. Comprueba que tan2 x
(sec x  1)(sec x  1)

1. Demuestra que sec2 u csc2 u
sec2 u  csc2 u. sec u csc u = ( tan u + 1)( cot u + 1 ) 2

2

2

{ {

2

2

2

sec u

csc u

= tan u cot u + tan u + cot u + 1 multiplicando término 2

2

2

2

a término.

= 1 + tan u + cot u + 1 2

{ {

2

2

2

sec u

csc u

= sec u + csc u 2

2

2. Demostrar que sen4x  cos4 x
sen2 x  cos2 x sen x − cos x = ( sen x + cos x ) ( sen x − cos x ) 4

2

2

{

4

1

= sen x − cos x 2

2

2

2

Geometría y trigonometría

1. Demuestra que cot x − cos x = 2

2

4

cos x 2

sen x

2. Comprueba que sec x(sec x  cos x)  tan2 x
0

3. Demuestra que (1  cot2 x)cos2 x
cot2 x

•

139

140 • U N I D A D 3

Trigonometría

4. Prueba que sec4 x(1  sen4 x)  2 tan2 x
1

E

C U A C I O N E S

T R I G O N O M É T R I C A S

Ecuación trigonométrica. Es una igualdad algebraica entre razones trigonométricas de un mismo ángulo, que sólo se satisface para determinado valor o valores del ángulo. Todo valor del ángulo que satisface a una ecuación trigonométrica se le llama raíz de la ecuación, es decir, es la solución de la ecuación.

Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas. 1. sen2 x
3 cos2 x Como cos2 x
1  sen2 x, la ecuación puede escribirse de la siguiente manera para tener una sola variable. sen2 x
3(1  sen2 x) sen2 x
3  sen2 x 4 sen2 x
3 sen x =

3 4

= ±

3 2

sustituyendo cos2 x
1  sen2 x. multiplicando por 3. trasponiendo términos. resolviendo para sen x.

Entonces, x1 es un ángulo cuyo seno vale x2 es un ángulo cuyo seno vale 

3 2 3 2

Geometría y trigonometría

Por tanto, los ángulos son: x1
60° y x2
120°. Comprobación: 2

⎛ 3⎞ 1 ⎟ = 3⎛⎜ ⎞⎟ (sen 60° ) = 3 (cos 60°) ; es decir ⎜⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠ 2

2

2

2

⎛ 3⎞ 1 ⎟ = 3⎛⎜ ⎞⎟ (sen 120°) = 3 (cos 120°) ; es decir ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ 2

2

2

2. 3 tan y + 3 cot y = 4 3 Como cot y =

1 , la ecuación puede escribirse de la siguiente manera para tener tan y

una sola variable. 3 tan y + 3

1 tan y

1

sustituyendo cot y =

= 4 3

.

tan y

2

multiplicando por tan y .

2

trasponiendo términos nos resulta una ecuación de segundo grado cuya incógnita es tan y.

3 tan y + 3 = 4 3 tan y 3 tan y − 4 3 tan y + 3 = 0 Resolviendo esta ecuación resulta:

2

tan y =

tan y =

Entonces,

−(− 4 3 ) ± (− 4 3 ) − 4( 3)( 3) 2 (3 ) 4 3 ± 16 (3 ) − 36 6

=

4 3 ±2 3 6

y1 es un ángulo cuya tangente vale

y2 es un ángulo cuya tangente vale

3 3 1 3

= =

(2 ± 1 ) 3 3

•

141

142 • U N I D A D 3

Trigonometría

Por tanto, los ángulos son: y1
60° y y2
30°. Comprobación: 3 tan 60° + 3 cot 60° = 3 3 3 tan 30°

Resuelve las siguientes ecuaciones.

1. 4 cos x  3 sec x
0

2. 3 tan2 α  1
sec2 α

+ 3 cot 30° = 3

+3

1 3

1 3

= 4 3.

+ 3 3 = 4 3.

Geometría y trigonometría

•

3. 4 sen2 α  8 sen α  3
0

4. 2 sen α + cos α − 2

7 4

=0

G

R Á F I C A S D E Y TA N G E N T E

L A S

F U N C I O N E S

S E N O

,

C O S E N O

Gráfica de la función seno (senoide) Para bosquejar la gráfica de la función seno pueden tomarse valores de ángulos de 15 en 15 grados, calcular los valores correspondientes y construir una tabla como el tabla 3.

Tabla 3 x sen x

0° 0

15° 0.26

30°

45°

60°

75°

90°

0.50

0.70

0.86

0.96

1

105°

120°

0.96

0.86

135° 0.70

... ...

143

144 • U N I D A D 3

Trigonometría

Los pares de valores se grafican en las coordenadas cartesianas y se traza la curva, o bien un círculo trigonométrico, se dibujan radios cada 15 grados y a partir de la intersección de éstos con la circunferencia se trazan horizontales, como se muestra en la figura 27. Cuando se crucen con rectas verticales trazadas cada 15 grados se consideran puntos de la curva senoide. Recuerda que el círculo trigonométrico tiene radio 1.

225° 45°

90°

135°

270°

315°

360°

180°

senoide Figura 27.

Conclusiones 1. 2. 3. 4.

La curva es indefinida en ambos sentidos en el eje de las equis. La gráfica se repite cada 360 grados. La función es positiva en el primero y segundo cuadrantes. La función crece en el primero y cuarto cuadrantes y decrece en el segundo y tercero.

Gráfica de la función coseno (cosenoide) Para su gráfica se procede de manera análoga que la figura anterior. x

cos x

0

15

30

45

60

75

90

1

0.97

0.87

0.70

0.5

0.26

0

135°

180°

105

225° 45°

90°

cosenoide Figura 28.

120

270°

135

... ...

315°

360°

Geometría y trigonometría

Conclusiones 1. 2. 3. 4.

La curva es indefinida en ambos sentidos en el eje de las equis. La gráfica se repite cada 360 grados. La función es positiva en el primero y cuarto cuadrantes. La función decrece en el primero y segundo cuadrantes y crece en el tercero y cuarto.

Gráfica de la función tangente (tangentoide) Siguiendo el mismo procedimiento, resulta la curva de las variaciones de la función tangente (figura 29). x tan x

0° 0

15° 0.26

30°

45°

60°

75°

0.57

1

1.73

3.73

90°

105°

225° 45°

90°

135°

180°

tangentoide Figura 29.

120°

270°

135°

... ...

315°

360°

•

145

146 • U N I D A D 3

Trigonometría

Conclusiones 1. La curva es indefinida cerca de los 90 grados. 2. Se repite cada 180 grados. 3. Es positiva en el primer y tercer cuadrantes y negativa en el segundo y cuarto cuadrantes. 4. Pierde su continuidad a los 90°, 120°, 450°, etcétera. Como actividad de investigación y para que te familiarices, bosqueja las gráficas de las funciones, cotangente, secante y cosecante.

U N I D A D

4 L E Y E S

D E

S E N O S

Y

C O S E N O S

Ley de senos

148

Resolución de triángulos oblicuángulos con la ley de senos

148

Aplicaciones

151

Ley de cosenos

154

Resolución de triángulos oblicuángulos con la ley de cosenos 155 Aplicaciones

156

147

148 • U N I D A D 4

L

E Y

D E

Leyes de senos y cosenos

S E N O S Cuando es necesario resolver un triángulo oblicuángulo, es decir, que no tiene ningún ángulo recto, es necesario conocer tres elementos y al menos uno de ellos debe ser un lado, pues tres ángulos no nos dan suficiente información. Para resolverlo necesitamos: 1. 2. 3. 4.

Un lado y los ángulos adyacentes. Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Dos lados y el ángulo comprendido. Los tres lados.

Las leyes de senos y cosenos son dos de los mejores argumentos que nos sirven para la resolución de estos triángulos.

R

E S O L U C I Ó N D E O B L I C U Á N G U L O S

L O S T R I Á N G U L O S C O N L A L E Y D E S E N O S

En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. a b = sen A sen B

a c = sen A sen C

b c = sen B sen C

Pueden presentarse dos casos: que los ángulos del triángulo sean agudos o que tenga un ángulo obtuso. B Si observamos en los dos casos se cumple que h
c sen A y h
a sen C,

c

h

a

porque sen A
sen(180°  A) A

luego h
c sen A
a sen C, por tanto, a = c sen A sen C y si dibujamos las otras alturas, se obtienen evidentemente las otras igualdades.

b Triángulo agudo

C

B

h

a c 180° – A b A Triángulo obtuso

C

Geometría y trigonometría

1. Dado el triángulo ABC, con A
50.1°, B
70.6° y c
10.5, resuelve el triángulo. Empecemos por dibujar un triángulo y señalar sus elementos, luego lo resolvemos.

C

C = 180° − ( 50. 1° + 70. 6°) = 59. 3° a

b

10. 5 = sen 59. 3 sen 50.1° a

a = b sen 70. 6°

10. 5 ( sen 50 .1°) sen 59. 3

=

50.1º

A

≈ 9. 37

70.6º B

10.5

10 . 5 (sen 70. 6°) 10. 5 ≈ 11. 6277 ; despejando tenemos que b = sen 59. 3 sen 59. 3

Cuando conocemos un lado y dos ángulos, como en el ejemplo anterior, no hay dificultad en el uso de la ley de senos, pero hay otro caso: cuando conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos puede ocurrir cualquiera de las siguientes situaciones si analizamos los datos que tenemos. C

C a

b

b

A

B c Triángulo rectángulo

A

Solución imposible

C b A

c

a

a B

A

C

C b

b

a

c

Dos posibles soluciones

B

A

a

c Una sola solución

B

•

149

150 • U N I D A D 4

Leyes de senos y cosenos

2. Dado el triángulo ABC, con A
24.5°, a
6 y b
12.2, resuelve el triángulo. Como en el caso que mencionamos, en que se pueden presentar varias situaciones, entonces no podemos dibujar el triángulo. Determinemos otro ángulo. 12. 2 sen 24 . 5° 6 ≈ 0. 8432, pero entonces B tiene dos = 12.2 ; ⇒ sen B = sen B sen 24. 5° 6 posibles soluciones, porque el seno de ángulos suplementarios es igual, es decir, B tiene dos posibles valores.

⎧⎪57. 48° B=⎨ ⎪⎩180° − 57. 48° = 122. 5°

Primera solución: (B
57.48°)

C = 180° − (24. 5° + 57. 5°) = 98° c sen 98°

=

C b = 12.2

12 . 2 ; entonces sen 57. 5° A

12. 2 sen 98° ≈ 14 . 32 c = sen 57. 5°

Segunda solución: (B
122.5°)

C = 180° − (24. 5° + 122. 5°) = 33° c sen 33°

=

c =

12 . 2 ; entonces sen 57. 5° 12. 2 sen 33° ≈ 7.88 sen 57. 5°

a=6 57.5º

24.5º c

B

Geometría y trigonometría

A

P L I C A C I O N E S

Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos en que se da:

1. a
50.28,

2. c
35,

B
38° 20’,

A
36° 24’,

3. b
12.48,

c
9.78,

C
77° 10’

B
44° 35’

B
29° 38’

•

151

152 • U N I D A D 4

4. a
58.3,

Leyes de senos y cosenos

c
56.86, C
68.7°

5. c
33.18, a
28.09,

6. b
12.48,

c
9.78,

A
53° 28’

B
29° 38’

Geometría y trigonometría

•

153

7. Los puntos A y B están en lados opuestos de un río. El punto C está a 200 yardas de A, el ángulo A
87.5°, el ángulo C
67.2°. ¿Cuál es la distancia entre A y B?

8. Un puente horizontal de 23.80 m de largo une dos colinas cuyas laderas forman con el horizonte ángulos de 23° y 32°. ¿Cuál es la altura del puente con respecto al vértice del ángulo formado por las dos laderas?

9. Dos barcos parten de un puerto al mismo tiempo. Uno navega hacia el sur con una velocidad de 34 kilómetros por hora y el otro hacia el sur-sureste a 28 kilómetros por hora. ¿A qué distancia se hallarán después de media hora?

154 • U N I D A D 4

L

E Y

D E

Leyes de senos y cosenos

C O S E N O S Con la ley de senos hemos aprendido a resolver un triángulo oblicuángulo cuando tenemos: a) Un lado y dos ángulos. b) Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. La ley de cosenos nos será útil para resolver triángulos oblicuángulos siempre que conozcamos: a) Dos lados y el ángulo comprendido. b) Los tres lados. Ley de cosenos. En todo triángulo el coseno de un ángulo es igual a la suma de los cuadrados de los lados que lo forman, menos el cuadrado del lado opuesto, dividido todo entre el doble producto de los lados que forman dicho ángulo.

cos A =

b

2

+ c 2 − a2 2 bc

cos B

=

a

2

+ c2− b2

cos C

2 ac

=

Atendiendo al triángulo de la figura 1 tenemos que

a

2

+ b2 − c 2 2 ab

C

h
b sen A y x
b cos A Luego, por el Teorema de Pitágoras

a

b h

a2
h2  (c  x)2 a2
(b sen A)2  (c  b cos A)2 sustituyendo hyx a2
b2 sen2 A  c2  2bc cos A  b2 cos2 A desarrollando

A

B

x c

Figura 1.

a2
b2 (sen2 A  cos2 A)  c2  2bc cos A factorizando b2 a2
b2  c2  2bc cos A porque sen2 A  cos2 A
1

Geometría y trigonometría

despejando cos A =

b

2

+ c2 − a 2 2 bc

⇒

a

2

•

2 2 = b + c − 2 bc cos A ; y

De la misma manera se obtiene cos B y cos C

cos B

=

a

cos C

=

a

+ c 2 − b2

2

2 ac

2

+ b2 − c 2 2 ab

⇒

b

⇒

c

2

= a + c − 2 ac cos B

2

= a + b − 2 ab cos C

2

2

2

2

R

E S O L U C I Ó N D E T R I Á N G U L O S C O N L A L E Y D E C O S E N O S

O B L I C U Á N G U L O S

Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos. 1. a
4, b
6 y C
120°. Primero dibujemos el triángulo. B

c2
42  62  2(4)(6) cos 120°
76 c

c =

4

76 ≈ 8 . 7

C

4 + (8. 7 ) − 6 2

cos B =

2

2 (4 )(8. 7 )

2

= 0. 800144; entonces, B ≈ 36. 85°

A = 180° − ( 36. 85° + 120° ) = 23. 15°

A = 23. 15°

120º 6

A

155

156 • U N I D A D 4

Leyes de senos y cosenos

2. a
4, b
5 y c
6. 5 +6 − 4 2

cos A =

2

= 0.75

2 (5 )( 6 ) 4 +6 − 5 2

cos B =

2

2

⇒

A ≈ 41. 41° 5

2

= 0. 5625

2 (4 )( 6)

C

⇒

B ≈ 55. 77° B

A

4 + 5 − 6 2

cos C =

2

2 (4 )( 5)

6

2

= 0.125

⇒

4

A ≈ 82. 82°

Observa que la suma de los tres ángulos es 180°.

3. Un puente está sostenido por soportes triangulares. Si los lados de cada soporte tienen longitudes de 63, 46 y 40 pies, encuentra la medida del ángulo opuesto al lado de 46 pies. C

( 40 ) + ( 63) − ( 46 ) 2

cos B =

2

2 (40)( 63)

2

= 0 . 685119

B ≈ 46. 76°

A

P L I C A C I O N E S

Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos en que se da: 1. a
12,

b
10,

C
30°

46

A

40

B 63

Geometría y trigonometría

2. a
30,

b
20,

c
35.

3. b
24,

c
30,

A
135°

4. a
46.90,

b
38.73,

c
33.17

•

157

158 • U N I D A D 4

Leyes de senos y cosenos

5. Dos observadores, distantes a 328 m en terreno horizontal, miden los ángulos de elevación de un globo cautivo, situado en el mismo plano vertical que ellos, y hallan que son 39° y 47.5°. ¿A qué altura está el globo?

6. Desde un punto se observan los extremos de un lago; el ángulo formado por las dos visuales es de 48° 25’ y las distancias del punto a los extremos observados son, respectivamente, 215 y 184 m. Calcula la distancia que hay entre dichos extremos.

18

4

m

C

A

48º25’ 215 m

B

RENÉ JIMÉNEZ

El contenido de este libro tiene como propósito introducir a los lectores al estudio de la geometría y trigonometría. Su importancia reside en que permite tener una visión y una

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

capacidad de análisis de la geometría del entorno que nos rodea, por lo que nos lleva a la construcción de modelos matemáticos para resolver situaciones reales que se nos

estudio del cálculo.

El texto está destinado a comprender los aspectos elementales y las propiedades de la geometría euclidiana para que los estudiantes desarrollen un pensamiento crítico y reflexivo, en cuanto a la identificación y relación de las formas, dimensiones y características de las figuras que componen el mundo.

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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

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