Libro Geometria Y Trigonometria

Partida · Félix · Castro · Sánchez · López · Salas

Agnimi, tem qui blaboriti voluptaspere consendis dia quae volecae. Dunt odici re que sitam, ommolor epuditatur mint quaeprerum nianditas doluptati aperit vel eatin nost, undam, sinum quibust doluptatquat pe nem fugitiae intiis adis aut opturis abore odi sit assusapedic torit volorestias entur, nobis ad molessectum quis et adicia sum fuga.

ISBN: 978-607-32-3682-9

Visítenos en: www.pearsonenespañol.com

TRIGONOMETRÍA José Partida Robles Francisca Isabel Félix Martínez Ulises Castro Peñaloza Luis Ricardo Sánchez Fregoso Óscar William López Freer María Trinidad Salas Leyva

Geometría y Trigonometría

Olore sunt quiae nimus dolum, eniasi to dus, ipsam fugiaep eribus inctius idesciendis volum vollabo rruntis as moluptaquia voluptas eum et pererrumque voluptat omnimpo riatisc iatur? Quissimus eratecte doluptatur sequossus, am qui iur sequo maxim fugit et prepudamende es nulparitat que seniet rest officiuntias ut qui di apersped qui delestio quam quis saperore, omnihil iusamet omnis aligenis sunt eius et debiti odignient pe sequid erum dolore omnis is endiati aeruntiis molor alia doluptaque nobis magnimi nctiatur?

GEOMETRÍA Y

Unidad

1

Tema 1

Figuras geométricas (origen y ángulos)

Origen de las figuras geométricas y métodos de razonamiento

Contenido • Antecedentes históricos • Conceptos básicos de la geometría euclidiana • Métodos de razonamiento

Competencias Disciplinares 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Genéricas 7.2 Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos. 7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

Contenidos procedimentales • Identifica los antecedentes históricos de la geometría plana Euclidiana • Comprende los conceptos fundamentales de punto, línea y plano o superficie. • Emplea el lenguaje de la notación matemática para representar la simbología de un punto, líneas rectas, semirrectas, segmentos de recta, rectas perpendiculares y paralelas • Identifica los métodos inductivo y deductivo para la demostración de teoremas. • Comprende el significado de axioma, postulado, teorema y corolario

Contenidos transversales • La comprensión de la situación problemática. • La identificación de datos y variables. • La representación de las relaciones entre las variables a través de un modelo matemático. • La resolución de modelos mediante métodos matemáticos. • La interpretación y argumentación de la solución, es decir, el dar significado a los datos matemáticos en un contexto real.

Contenidos actitudinales • Expresa sus ideas mediante el lenguaje

geométrico y algebraico • Trabaja en equipo y respetará a sus

compañeros al resolver problemas • Participa activamente en la construcción del conocimiento 2

Tema 2

Ángulos

Contenido • • • • • •

Definición y notación de ángulo Clasificación de ángulos Clasificación de parejas de ángulos Sistemas de medición de ángulos Conversiones entre grados y radianes Pares de ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal

• Resuelve problemas y ejercicios relacionados con parejas de ángulos. • Identifica los pares de ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal • Resuelve problemas y ejercicios utilizando los teoremas sobre pares de ángulos: Correspondientes, alternos internos, alternos externos, opuestos por el vértice

Contenidos transversales Competencias Disciplinares 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Genéricas 7.2 Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos. 7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

• La comprensión de la situación problemática. • La identificación de datos y variables. • La representación de las relaciones entre las variables a través de un Modelo matemático. • La resolución de modelos mediante métodos matemáticos. • La interpretación y argumentación de la solución, es decir, el dar significado a los datos matemáticos en un contexto real.

Contenidos actitudinales • Expresa sus ideas mediante el lenguaje geométrico y algebraico • Trabaja en equipo y respetará a sus compañeros al resolver problemas • Participa activamente en la construcción del conocimiento

Contenidos procedimentales • Comprende el concepto de ángulo • Identifica los diferentes tipos de ángulos de acuerdo a su abertura • Comprende los sistemas de medición de los ángulos en grados y radianes • Convierte las medidas de los ángulos de grados a radianes y viceversa • Identifica las parejas de ángulos más representativas: Adyacentes, opuestos por el vértice, complementarios y suplementarios. 3

E V A L U A C I Ó N

D I A G N Ó S T I C A

Analiza los siguientes ejercicios y resuelve aplicando los conocimientos previos. 1 La base de un rectángulo mide 6 pies más que su altura y el perímetro es de 96 pies.

Encuentre las dimensiones del rectángulo.

2 La base de un cuadrado sin marco mide el doble de su altura. Si el marco tiene

2 pulgadas de ancho y su área es de 208 pulgadas cuadradas, encuentre las dimensiones del cuadrado sin marco.

3 Hallar el valor de x en la siguiente figura:

105° (2x – 11)°

4 Encuentre la medida de los ángulos indicados con letras minúsculas en la figura.

Suponga que las líneas horizontales son paralelas. Justifique su respuesta. a

40°

b

c

60°

5 ¿Cuál es el ángulo agudo formado por las manecillas del reloj cuando marcan las 14:15

horas?

6 ¿Cuál es el complemento de un ángulo que mide 30° 30′?

7 ¿Cuál es el ángulo que es igual a su suplemento?

8 Observa la siguiente figura y determina el valor para x.

2x x

80°

9 Hallar el ángulo complementario de 23°.

10 Menciona a los matemáticos griegos que otorgaron a la geometría el carácter de ciencia

deductiva.

6

Geometría y trigonometría

Tema 1 Origen de las figuras geométricas y métodos de razonamiento

Antecedentes históricos Introducción a la geometría euclidiana Definición de geometría La geometría es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades intrínsecas de las formas y de los cuerpos; para ello se vale del uso de postulados, definiciones y axiomas, mismos que permiten establecer teoremas.

División de la geometría La geometría se divide, según sus objetos de estudio, en: • Geometría plana.  Estudia las propiedades de las figuras que están en un plano, es decir, las de dos dimensiones. • Geometría del espacio o espacial.  Estudia las propiedades de los cuerpos geométricos cuyos puntos no están todos en el mismo plano, es decir, las figuras de tres dimensiones: volumen y superficie de sólidos geométricos. Existen otras geometrías especializadas en diferentes campos de las matemáticas, por ejemplo: • Geometría analítica.  Estudia las propiedades de las figuras geométricas y resuelve los problemas que éstas presentan mediante sistemas de coordenadas y métodos algebraicos que se representan como grupos numéricos. Asimismo, las figuras están modeladas por ecuaciones. • Geometría descriptiva.  Estudia las características de los cuerpos en el espacio por medio de sus proyecciones sobre determinados planos. Destacan también las geometrías de proyección, finita, no euclidianas, etcétera.

Ejercicio Contesta las siguientes preguntas y socializa tus respuestas.

l. ¿Qué estudia la geometría?



2. ¿En cuántas partes se divide la geometría y qué estudia cada una de ellas?



3. Cita otras geometrías especializadas en diferentes campos de las matemáticas.



4. ¿Qué estudia la geometría analítica?



5. Investiga las bases fundamentales de la geometría no euclidiana.



6. Investiga la definición de geometría finita y la de proyección.

Unidad 1 • Figuras geométricas (origen y ángulos)

Antecedentes históricos de la geometría Para que la geometría adquiriera la estructura propia de una práctica científica tuvieron que pasar muchos siglos, hasta que la cultura griega ordenara los conocimientos empíricos adquiridos por el hombre desde tiempos muy remotos, reemplazando la observación y experimentación por deducciones racionales o lógicas. A continuación recorreremos brevemente los hechos que, en el transcurso de muchos siglos, se acumularon hasta propiciar el nacimiento de la geometría.

Sumerios y babilonios La rueda, inventada por los sumerios 3500 años a. C., marca en la historia el inicio de la civilización; además, su escritura, la aritmética que emplearon y las construcciones de sus ciudades revelan cierta comprensión de las figuras geométricas. En la antigua Mesopotamia florece la cultura de los babilonios, herederos de los sumerios; ellos adaptaron la rueda a sus carros de guerra, descubrieron las propiedades de la circunferencia y dedujeron el valor de 3 como relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. De acuerdo con sus estudios astronómicos, calcularon que el año tiene aproximadamente 360 días, motivo por el cual dividieron la circunferencia en 360 partes iguales y obtuvieron así el grado sexagesimal. También tenían el conocimiento de cómo trazar un hexágono regular inscrito en el círculo; conocían una fórmula para hallar el área del trapecio rectángulo.

Egipcios Los egipcios, obligados por las constantes crecidas del río Nilo que año con año inundaba sus tierras de cultivo, tuvieron que rehacer la división de terrenos para calcular los impuestos que cada dueño tenía que pagar de acuerdo a la superficie cultivada; la aplicación de sus conocimientos geométricos se efectuó sobre la medida de la tierra, de lo cual se deduce el significado de geometría (medida de la tierra) cuyas raíces griegas son geˆ (tierra) y metrón (medida). También aplicaron sus conocimientos de geometría en la construcción de pirámides como la de Keops, Kefren y Mekerinos, que son cuadrangulares en sus bases, y sus caras laterales son triángulos equiláteros. Los conocimientos geométricos de los egipcios están contenidos en cinco papiros; el de mayor interés es el de Rhind, en el que se establecen las reglas para calcular las áreas del triángulo isósceles, del trapecio isósceles y del círculo; también determinaron el valor de 3.1604 como relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo, valor mucho más aproximado que el de los babilonios para π. Los egipcios empleaban el cordel (tendedores de cuerda) para sus operaciones de construcción y diseño; este instrumento fue empleado como regla, compás y escuadra.

Griegos Los conocimientos egipcios sobre la geometría eran netamente empíricos, ya que no se cimentaban en una sistematización lógica deducida a partir de axiomas y postulados. En Grecia comenzó la geometría como ciencia deductiva, con las aportaciones de matemáticos como Tales de Mileto, Herodoto, Pitágoras de Samos y Euclides de Alejandría, quienes fueron a Egipto a iniciarse en los conocimientos de la geometría.

7

8

Geometría y trigonometría

Tales de Mileto (Siglo vii a. C.) Fue uno de los siete sabios y fundador de la escuela Jónica. Hizo aportaciones a la filosofía y a las ciencias, especialmente en la geometría. Resolvió algunos problemas, como el cálculo de la altura de las pirámides conociendo la sombra que proyectan; la igualdad de los ángulos de la base en el triángulo isósceles; el valor del ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto; demostró algunos teoremas asociados con la proporcionalidad de segmentos determinados en dos rectas cortadas por un sistema de paralelos.

Teorema de Tales de Mileto 1. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales. 2. Todo diámetro biseca a la circunferencia. 3. Los ángulos inscritos en una semicircunferencia son iguales.

Pitágoras de Samos (Siglo vi a. C.) Fue discípulo de Tales de Mileto. Fundó en Crotona, Italia, la escuela pitagórica. Se le atribuye el teorema que lleva su nombre, y que enuncia: “El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos”. Otro de sus teoremas expresa que la suma de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es igual a dos rectos. También demostró la construcción del pentágono y poliedros regulares, como: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Euclides de Alejandría (Siglo iv a. C.) Fue uno de los más distinguidos maestros de la universidad de Alejandría. Por encargo de Ptolomeo, rey de Egipto, reunió y ordenó los teoremas y demás proposiciones geométricas en su obra llamada Elementos, que ha sobrevivido hasta el presente, por lo que se le considera el padre de la geometría. A continuación se describen los temas abordados en cada uno de los 13 libros: • Libro I.  Relación de igualdad de triángulos; teoremas sobre paralelas; suma de las áreas de triángulos de un polígono; igualdad de las áreas de triángulos o paralelogramos de igual base y altura; teorema de Pitágoras. • Libro II.  Conjunto de relaciones de igualdad entre áreas de rectángulos que conducen a la resolución geométrica de la ecuación de segundo grado. • Libro III.  Circunferencia; ángulo inscrito. • Libro IV.  Construcción de polígonos regulares inscritos o circunscritos a una circunferencia. • Libro V.  Teorema general de la medida de magnitudes bajo forma geométrica; números irracionales. • Libro VI.  Proporciones; triángulos semejantes. • Libros VII, VIII y IX.  Aritmética: proporciones, máximo común divisor y números primos.

Unidad 1 • Figuras geométricas (origen y ángulos)

• Libro X.  Números inconmensurables (que no se pueden comparar) bajo forma geométrica a partir de los radicales cuadráticos. • Libros XI y XII.  Geometría del espacio y, en particular, relación entre volúmenes de prismas y pirámides, cilindro y proporcionalidad del volumen de una esfera al cubo del diámetro. • Libro XIII.  Construcción de los cinco poliedros regulares.

Platón (Siglo iv a. C.) En la primera mitad de este siglo, se inició en Atenas un movimiento científico a través de la Academia de Platón; su filosofía establece que la matemática no tiene una finalidad práctica, sino simplemente se cultiva con el único fin de conocer; por esta razón se opuso a las aplicaciones de la geometría. Dividió la geometría en elemental y superior. La elemental comprende todos los problemas que se pueden resolver con regla y compás; la superior estudia los tres problemas más famosos de la geometría antigua, no solubles con regla y compás.

Los tres problemas más famosos de la geometría antigua 1. La cuadratura del círculo. Se trata de construir, utilizando solamente la regla y el compás, el lado de un cuadrado que tenga la misma área que un círculo dado. 2. La trisección del ángulo. El problema de dividir un ángulo en tres partes iguales utilizando como apoyo solamente la regla y el compás; sólo es posible resolverlo para casos particulares, como la división del ángulo de 90°. 3. La duplicación del cubo. Consiste en hallar, mediante una construcción geométrica, un cubo que tenga un volumen doble del de un cubo dado. No se trata de problemas que en la actualidad no se hayan resuelto prácticamente, sino de problemas que tienen una importancia totalmente teórica.

Arquímedes de Siracusa (287-212 a. C.) Estudió en Alejandría y sin duda fue una de las máximas figuras de las matemáticas griegas. Después de grandes disputas con Euclides, se retiró a Siracusa, donde cultivó todos los campos de las matemáticas (geometría y aritmética principalmente), la astronomía y la física. Calculó un valor más aproximado del área de la elipse, el volumen del cono y de la esfera; estudió la llamada espiral de Arquímedes, que se aplicó para la solución de la trisección del ángulo.

Apolonio de Perga (260-200 a. C.) Estudió ampliamente las secciones cónicas que 18 siglos después sirvieron a Kepler en sus investigaciones de astronomía, y logró determinar casi todas sus propiedades. En su obra se encuentran también las ideas que coadyuvaron a René Descartes a crear la geometría analítica, 20 siglos después.

Herón de Alejandría (Siglo ii d. C.) Su obra destaca la demostración de la fórmula que lleva su nombre, y que se emplea para calcular el área de un triángulo en función de sus lados.

9

10

Geometría y trigonometría

Conceptos básicos de la geometría euclidiana Punto: no existe una definición real del punto; sin embargo, lo podemos imaginar como la huella que dejaría la punta afilada de un lápiz. Es tan pequeño que carece de dimensiones, es decir, que no tiene longitud ni ancho ni fondo. Su posición se puede establecer sólo con un marco de referencia. Al punto lo podemos encontrar en los extremos de un segmento de una línea recta y en la intersección de dos líneas que se cortan (como los vértices de un triángulo). Para denotar un punto se utilizan letras mayúsculas, como se indica en las siguientes figuras. A

A

A

B

C

C

D

B

B

Línea: es un concepto matemático que tiene distintas acepciones. Podemos definirla como una sucesión infinita de puntos, como el límite de una superficie o como la intersección de dos superficies. La línea sólo tiene una dimensión: la longitud. Tipos de líneas

Características

Línea recta

No tiene principio ni fin

Semirrecta

Tiene principio, pero no tiene fin

Segmento de recta

Tiene principio y fin

Línea curva

Es una línea que no tiene partes rectas

Figura

a A A

B a

Superficie: en geometría, la superficie es una extensión en la que sólo se consideran dos dimensiones: el ancho y el largo.

Algunos ejemplos de superficies son: una sombra, la cara de un cuerpo geométrico o la última capa de pintura de las paredes de una habitación, sin considerar el espesor. Plano: en geometría es una superficie plana que contiene infinitos puntos y rectas. Es una de las unidades fundamentales, junto con el punto y la recta. Se dice que un plano se extiende hacia el infinito.

Unidad 1 • Figuras geométricas (origen y ángulos)

Plano cartesiano y Eje de las ordenadas 8 7 6 5 4 3 2 1

Origen –11 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

2

3

4

5

6

7

8

x Eje de las abscisas

Tipos de rectas Dos rectas pueden ser: • Paralelas: son las que se prolongan indefinidamente y nunca se cruzan. a b

a  b Se lee: “la recta a es paralela a la recta b”.

• Perpendiculares: son las rectas que al cruzarse forman ángulos rectos. a

b

a  b Se lee: “la recta a es perpendicular a la recta b”.

• Oblicuas: son rectas que se cortan sin formar ángulos rectos. O

A C

D B

11

12

Geometría y trigonometría

Métodos de razonamiento Método deductivo El método deductivo es aquel que parte de los datos generales, aceptados como verdaderos, para deducir por medio del razonamiento lógico varias suposiciones, es decir, parte de verdades previamente establecidas como principios generales para luego aplicarlos a casos individuales y comprobar así su validez. Este método es utilizado en varias ciencias, principalmente en la geometría, y consiste en encadenar conocimientos que se suponen verdaderos de manera tal que se obtengan nuevos conocimientos, es decir, llegar a nuevas proposiciones como consecuencia lógica de otras.

Elementos básicos del método deductivo (demostración) Proposición matemática: es un enunciado verdadero. Las proposiciones matemáticas se clasifican en axiomas, postulados, definiciones, teoremas y corolarios. • Axioma: proposición que por ser evidente no requiere demostración.

Ejemplos: ° Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí. ° Si una cantidad es mayor que otra y ésta es mayor que una tercera, la primera es mayor que la tercera.

• Postulado: proposición cuya verdad, aunque no sea evidente como un axioma, se admite sin demostración.

Ejemplos: ° Por dos puntos dados cualesquiera es posible hacer pasar una recta y sólo una. ° El camino más corto entre dos puntos es la recta que los une.

• Definición: es una proposición que implica siempre la descripción de algo.

Ejemplos: ° Ángulos opuestos por el vértice son aquellos en que los lados de uno son prolongaciones de los lados del otro. ° Paralelogramo es el cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos. ° Dos ángulos que suman 90° son complementarios.

• Teorema: proposición cuya verdad necesita demostración. Ejemplos: ° En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. ° La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°. • Corolario: proposición que es consecuencia inmediata de otra y cuya demostración requiere poco o ningún razonamiento nuevo.

Ejemplos: ° Dos rectas no pueden cortarse en más de un punto. ° En un punto cualquiera de una recta puede levantarse una perpendicular a esa recta y sólo una.

Unidad 1 • Figuras geométricas (origen y ángulos)

Método inductivo Es un razonamiento que parte de conocimientos o verdades particulares para obtener mediante ellos una verdad general. Empleamos el método inductivo cuando a partir de la observación de los hechos particulares obtenemos proposiciones generales, o sea, es aquel que establece un principio general una vez realizado el estudio y el análisis de hechos y fenómenos en particular. La inducción es un proceso mental que consiste en inferir de algunos casos particulares la ley general que los rige y que vale para todos los de la misma especie.

Ejemplo

El perro es mamífero y es cuadrúpedo, el gato es mamífero y es cuadrúpedo, el león es mamífero y es cuadrúpedo, por lo tanto, todos los mamíferos son cuadrúpedos. (Este resultado nos daría el método inductivo, aunque sabemos que hay mamíferos que no son cuadrúpedos, por lo que las conclusiones que arroja el método requieren una demostración).

Ejemplo

Si observamos una batería de triángulos rectángulos podemos establecer que cada triángulo tiene dos ángulos menores de 90°, llamados agudos, y que en todos los casos estos ángulos suman 90°, por lo que podemos concluir que en todo triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos es siempre 90°.

d Activida

Examina las proposiciones siguientes e identifica con una A si se trata de un axioma, con una P si es un postulado, con una D si es un definición o con una T si es un teorema. Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre éstos. Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles son iguales. Dos ángulos que suman 180° son suplementarios. Dado un segmento hay un punto y sólo uno que lo divide en dos partes iguales. En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales. Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos internos son iguales. La mediatriz de un segmento es la perpendicular trazada en su punto medio. El ángulo central es aquel que tiene su vértice en el centro de un círculo.

(  ) ( 

)

(  (  (  (  ( 

) ) ) ) )

(  ) (  ) (  )

13

14

Geometría y trigonometría

d Activida

Indica de qué teorema es consecuencia inmediata cada corolario (un teorema puede tener más de un corolario). Teorema: a) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a… (  ) b) Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre éstos. (  ) c) En todo triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. (  ) Corolario:

1. 2. 3. 4.

Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto ni más de uno obtuso. Todo triángulo equilátero tiene sus tres ángulos iguales. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90°. Dos triángulos rectángulos son iguales si tienen iguales sus catetos.

Tema 2 Ángulos

Definición y notación de ángulo Definición de ángulo: abertura comprendida entre dos semirrectas o rayos que parten de un punto común llamado vértice. Dichas semirrectas o rayos reciben el nombre de lados del ángulo. Notación de ángulo: para denotar un ángulo se utiliza cualquiera de las siguientes formas: A a B

C

 a ángulo a,   B ángulo B,   ABC ángulo ABC,   CBA ángulo CBA Nota: cuando se utilizan tres letras mayúsculas la letra del vértice va en medio. Es común que para denotar la abertura de un ángulo se utilicen letras griegas como α, ∅, ∂, φ, ω, β, γ, δ.

Clasificación de ángulos Los ángulos se clasifican de acuerdo con la abertura de sus lados de la siguiente manera:

Ángulo agudo: aquel cuya magnitud es menor de 90°. 0° < α < 90°

Unidad 1 • Figuras geométricas (origen y ángulos)

Ángulo recto: aquel cuya magnitud es igual a 90°. α = 90°

Ángulo obtuso: aquel cuya magnitud es mayor de 90°. 90° < α < 180°

α ≡ 0°

Ángulo nulo: aquel cuya magnitud es de 0°.

α ≡ 180°

Ángulo llano: aquel cuya magnitud es de 180°.

180° < α < 360°

Ángulo cóncavo: aquel cuya magnitud es mayor de 180°, pero menor de 360°. α ≡ 360°

Ángulo perigonal: aquel cuya magnitud es de 360°.

Clasificación de parejas de ángulos Tipos de parejas de ángulos

Ángulos adyacentes

Ángulos opuestos por el vértice

Definición

Gráfica

Nomenclatura

B

Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice.

BAC es adyacente a DAC

C α A

β

Dos líneas que se intersecan generan ángulos opuestos por el vértice.

1

D

3 4

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. 3 = 4 1 = 2

2

B

Ángulos complementarios

Son ángulos adyacentes que suman 90°.

C α A

Ángulos suplementarios

Son ángulos adyacentes que suman 180°.

β

α + β = 90° D C

B

α β A

α + β = 180° D

15

16

Geometría y trigonometría

Sistemas de medición de los ángulos Dada la definición de ángulo como la abertura comprendida entre dos semirrectas que parten de un mismo punto, llamado vértice, consideremos la siguiente figura. B

A

O

Teniendo en cuenta las dos semirrectas OA y OB que parten de un mismo punto O, el cual representa el vértice del ángulo, si mantenemos fija la semirrecta OA y hacemos girar OB desde la posición inicial OA hacia la posición final OB, esto es, en sentido contrario a las manecillas del reloj, podemos decir que se generó el ángulo AOB que se denota AOB. Medir un ángulo es comparar su amplitud con la de otro al que se considera como patrón. Los ángulos se pueden medir conforme a dos sistemas de medición: el sexagesimal, cuya unidad de medida son los grados, minutos y segundos, y el circular o decimal, cuya unidad de medida es el radián.

Sistema sexagesimal Éste es el sistema más común, fue creado por los sumerios y se basa en los 360 días del año, es decir, que su unidad se obtiene al dividir la circunferencia en 360 partes iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de grado. Esto implica que una circunferencia tiene 360 grados y un grado es igual a 1/360 de una circunferencia. Al igual que en el sistema horario —que también es sexagesimal—, un grado se divide en 60 minutos y un minuto en 60 segundos, así, los ángulos, en este sistema se miden en grados, minutos y segundos, que se representan de la siguiente forma: grados ( ° ), minutos ( ′ ) y segundos ( ″ ).

Sistema circular La unidad utilizada en este sistema es el radián. Un radián es el ángulo con lados que comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. R

R

1 rad

Conversiones entre grados y radianes Si dividimos el perímetro de una circunferencia entre la magnitud del radio, el resultado es aproximadamente 6.283, por lo que podemos decir que en una circunferencia caben aproximadamente 6.283 radios y cada uno de éstos representa un radián, por lo tanto: 360° = 6.283 radianes

Unidad 1 • Figuras geométricas (origen y ángulos)

El número 6.283 es un número irracional y es el doble del número irracional π, que equivale aproximadamente a 3.141592, entonces: 360° = 2π radianes De aquí se desprende que π radianes = 180°

s

Ejemplo

Convierte de grados a radianes las siguientes medidas de ángulos. a) 135°

(Para convertir grados a radianes, se multiplica el ángulo por el factor

Entonces:

π radianes ). 180°

π radianes  3 = π radián = 2.356 radianes 135° = 135°   180°  4

b) 37° 30′

El primer paso es convertir los minutos a parte decimal, para lo cual se dividen los minutos entre 60.



37° 30′ = 37.5°



Ahora se multiplica por el factor de conversión, considerando π = 3.1416

π radianes  = 0.6545 radianes 137°30′ = 37.5   180° 



s

Ejemplo

Convierte las siguientes cantidades dadas en radianes a grados, minutos y segundos. π a)   rad  4 180° ). (Para convertir radianes a grados, se multiplica el ángulo por el factor π rad π π 180°  rad = rad  = 45°  π rad  4 4 b) 2.7328 rad

180°  2.7328 rad = 2.7328  = 156.5775°  π rad 

Ahora convirtamos la parte decimal de los grados a minutos y segundos. Para hacerlo se multiplica ésta por 60 y así tenemos que 156.5775° = 156° 34.65′ Ahora convirtamos la parte decimal de los minutos a segundos, nuevamente multiplicando por 60. 156° 34.65′ = 156° 34′ 39″

17

18

Geometría y trigonometría

s

Ejemplo

Pares de ángulos a) Encuentra el ángulo complementario de 37° 14′.

Los ángulos complementarios son aquellos que suman 90°.



Para encontrar el complemento de un ángulo, éste se le resta a 90°.



Recordemos que

1° = 60′ 90° = 89° 60′ = 89° 59′ 60″ 180° = 179° 60′ = 179° 59′ 60″

Resolviendo el problema: 89° 60′ – 37° 14′ = 52° 46′

b) Encuentra el ángulo suplementario de 105° 37′ 52″.

Los ángulos suplementarios son aquellos que suman 180°.



El suplemento de 105° 37′ 52″ es 179° 59′ 60″ – 105° 37′ 52″ = 74° 22′ 08″



Ejemplo

Sean A y B ángulos suplementarios; si el primero es 15° menor que el doble del segundo, halla los ángulos. (Recordemos los contenidos transversales que ejemplifican los pasos para resolver cualquier problema de matemáticas). Una vez entendido el problema, se definen las variables A y B: A = A    B = 2A – 15 Se plantean las ecuaciones: A + B = 180° Se sustituyen valores y se llevan a cabo operaciones:

A + 2A – 15 = 180°

3A = 180 + 15

B = 2A – 15 B = 2(65) – 15



A = 195/3

B = 130° – 15



A = 65°

B = 115°

Unidad 1 • Figuras geométricas (origen y ángulos)

Ejemplo

Hallar los valores de x y y de la siguiente figura:

(9y – 187)° (7x – 248)° (11y – 253)° (x + 44)°

En la figura se muestran los pares de ángulos opuestos por el vértice, que una vez aplicado el teorema dan como resultado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resolver. Ecuación 1 Ecuación 2

9y – 187 = x + 44 11y – 253 = 7x – 248

Multiplicando por –7 la ecuación 1 y sumando con la ecuación 2 tenemos:

−63 y + 1309 = −7 x − 308 11y − 253 = 7 x − 248 −52 y + 1056 =

− 556

–52y = –556 – 1056 –52y = –1612 y = –1612 / –52



y = 31 Sustituyendo el valor de y en la ecuación 1 y despejando x: 9(31) – 187 = x + 44



x = 271 – 187 – 44



x = 48

d Activida

Conversiones Completa las tablas siguientes. a) Convierte de grados a radianes. 30°

45°

60°

90°

135°

180°

225°

270°

300°

330°

360°

19

20

Geometría y trigonometría

b) Convierte de radianes a grados.

π rad 4

3 π rad 2

d Activida

Indica qué clase de ángulo es a) El complemento de un ángulo agudo. b) El suplemento de un ángulo obtuso. c) El suplemento de un ángulo recto.

d Activida

Halla dos ángulos complementarios tales que a) Uno sea el doble del otro. b) Uno sea 20 mayor que el otro. c) Uno sea 10 menor que el triple del otro. d) Uno sea 5 menor que el cuádruple del otro. e) Uno sea 6° mayor que el doble del otro.

d Activida

Halla dos ángulos suplementarios tales que a) Uno sea el cuádruple del otro. b) Uno sea 20 mayor que el triple del otro. c) Uno sea 60 menor que el doble del otro. d) Uno sea 36 mayor que el doble del otro. e) Uno sea 10 mayor que las dos terceras partes del otro.

Unidad 1 • Figuras geométricas (origen y ángulos)

d Activida

Halla los valores de x en las siguientes figuras. (6x + 19)° x°

105° (2x – 11)°

78° (5x – 2)°

Pares de ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta trasversal Considera L1 y L2 dos rectas paralelas y L3 una recta transversal que corta a las rectas paralelas como se indica en la siguiente figura. L3 1

2 3

L1

4 5

6

7

8

L2

De acuerdo con la figura llamaremos ángulos internos a los que están dentro de las paralelas, los cuales son 3, 4, 5 y 6. Entonces los ángulos externos serán aquellos que estén fuera de las paralelas, es decir, 1, 2, 7 y 8. De acuerdo con la figura se pueden establecer los siguientes pares de ángulos:

21

22

Geometría y trigonometría

Ángulos correspondientes Se llaman ángulos correspondientes a dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (uno interno y otro externo). Los ángulos correspondientes tienen la propiedad de ser congruentes y sus medidas son iguales. Son ángulos correspondientes: 1 = 5  2 = 6  3 = 7  4 = 8

Ángulos alternos internos Se llaman ángulos alternos internos a dos ángulos situados a uno y otro lado de la transversal (alternos), y dentro de las paralelas (internos). En la figura anterior son ángulos alternos internos (con base en la propiedad, demostrable, de que los ángulos correspondientes son iguales, se puede deducir que los ángulos alternos internos también son iguales): 3 = 6    4 = 5

Ángulos alternos externos Se llaman ángulos alternos externos a dos rectas cortadas por una transversal, son dos ángulos externos a las rectas pero alternos en la transversal. Los ángulos alternos externos también son iguales. 1 = 8    2 = 7

d Activida De acuerdo con la figura, si b = 65°, encuentra el valor de los ángulos faltantes identificando los teoremas o propiedades que correspondan.

a b c d

e g

f h

Si  b = 65°, el ángulo c también mide 65°, ya que los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Si  b = 65°, el ángulo a es el suplemento del ángulo b y mide 180° − 65° = 115°. Para calcular el ángulo d se tienen muchas variantes, consideremos que es igual al ángulo a, ya que son opuestos por el vértice y mide también 115°. Si  b = 65°, el ángulo g también mide 65°, ya que los ángulos alternos externos son iguales. Los ángulos faltantes se calculan de forma similar.

Unidad 1 • Figuras geométricas (origen y ángulos)

d Activida

En la figura halla los valores de los ángulos señalados con letras minúsculas, si h = 80°.

a b e f

c d g h= 80°

d Activida

Halla los valores de x y y en cada una de las siguientes figuras. Considera que las rectas son paralelas. a) 2x

5y

4x – 30

s

b)

3x + 20

5x + 4

y

s

23

24

Geometría y trigonometría

Instrumentos de evaluación Conforme al desempeño que tuviste en esta unidad, evalúa cada uno de los siguientes aspectos. Al terminar, suma los resultados obtenidos y coloca al final el resultado de ésta.

Autoevaluación Tema 1. Origen de las figuras geométricas y métodos de razonamiento Insuficiente 4 puntos

Indicadores de desempeño

Identifico los antecedentes históricos de la geometría plana euclidiana

Elemental 6 puntos

Bueno 8 puntos

Excelente 10 puntos

 

 

 

Comprendo los conceptos fundamentales de punto, línea y plano o superficie.

 

 

 

 

Empleo el lenguaje de la notación matemática para representar la simbología de un punto, líneas rectas, semirrectas, segmentos de recta, rectas perpendiculares y paralelas

 

 

 

 

Identifico los métodos inductivo y deductivo para la demostración de teoremas.

 

 

 

 

Comprendo el significado de axioma, postulado, teorema y corolario.

 

 

 

 

Total Si tu puntuación total es menor a 30 puntos te sugerimos revisar las actividades del tema

Tema 2. Ángulos Insuficiente 4 puntos

Indicadores de desempeño

Elemental 6 puntos

Bueno 8 puntos

Excelente 10 puntos

Comprendo el concepto de ángulo.

 

 

 

 

Identifico los diferentes tipos de ángulos de acuerdo con su abertura.

 

 

 

 

Conozco los sistemas de medición de los ángulos, grados y radianes.

 

 

 

 

Convierto las medidas de los ángulos de grados a radianes y viceversa.

 

 

 

 

Figuras geométricas (origen y ángulos)

Identifico las parejas de ángulos más representativas: Adyacentes, opuestos por el vértice, complementarios y suplementarios.

 

 

 

 

Resuelvo problemas y ejercicios relacionados con parejas de ángulos.

 

 

 

 

 

 

 

 

Identifico los pares de ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal. Resuelvo problemas y ejercicios utilizando los teoremas sobre pares de ángulos: Correspondientes, alternos internos, alternos externos, opuestos por el vértice. Total

Si tu puntuación total es menor a 48 puntos te sugerimos revisar las actividades del tema

Coevaluación Evalúa el trabajo de tres compañeros de grupo. 3. Muy bien  2. Bien  1. Regular  0. Deficiente Lista de cotejo Categorías de evaluación

Responsabilidad individual en clase Responsabilidad y compromiso en clase Disponibilidad para trabajar en equipo Colaboración con los compañeros de clase Disposición para realizar las actividades Adquisición y asimilación de conceptos Disposición al intercambio de ideas Realización de los trabajos extraclase

Compañero 1

Compañero 2

Compañero 3

25

Unidad

2

Tema 3

Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

Triángulos

Contenido • • • • • • • •

Definición y notación de los triángulos. Clasificación de los triángulos. Rectas y puntos notables en el triángulo. Teoremas sobre triángulos. Triángulos congruentes. Semejanza de triángulos. Teorema de Tales. Teorema de Pitágoras.

Competencias Disciplinares

• Comprende el concepto de triángulo como la • • • •

superficie delimitada por tres líneas rectas que se cortan una a una. Identifica los diferentes tipos de triángulos de acuerdo con la medida de sus lados y la medida de sus ángulos. Resuelve ejercicios y problemas utilizando los teoremas sobre los ángulos interiores y exteriores de un triángulo. Resuelve ejercicios y problemas aplicando el teorema de Tales. Resuelve ejercicios y problemas cotidianos utilizando el teorema de Pitágoras.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

• La comprensión de la situación problemática. • La identificación de datos y variables. • La representación de las relaciones entre las

Genéricas

• La interpretación y argumentación de la

7.2 Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos. 7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

24

Contenidos procedimentales

Contenidos transversales

variables a través de un modelo matemático.

• La resolución de modelos mediante métodos matemáticos. solución, es decir, el dar significado a los datos matemáticos en un contexto real.

Contenidos actitudinales • Expresa sus ideas mediante el lenguaje geométrico y algebraico. • Trabaja en equipo y respeta a sus compañeros al resolver problemas. • Participa activamente en la construcción del conocimiento.

Tema 4

Polígonos, circunferencia, áreas y volúmenes de figuras geométricas

Contenido • • • • • •

Definición, notación y clasificación de polígonos. Ángulos interiores y exteriores de polígonos. Diagonales de un polígono. Circunferencia y círculo. Líneas y ángulos notables de la circunferencia. Áreas y volúmenes de figuras geométricas.

Competencias Disciplinares 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Genéricas 7.2 Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos. 7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

• Calcula la medida de los ángulos interiores de un polígono regular.

• Comprende la diferencia entre una circunferencia y un círculo.

• Identifica las rectas notables en una circunferencia.

• Identifica los diferentes tipos de ángulos que se pueden trazar en una circunferencia.

• Resuelve ejercicios y problemas sobre áreas y volúmenes de figuras geométricas.

Contenidos transversales • La comprensión de la situación problemática. • La identificación de datos y variables. • La representación de las relaciones entre las variables a través de un modelo matemático.

• La resolución de modelos mediante métodos matemáticos.

• La interpretación y argumentación de la solución, es decir, el dar significado a los datos matemáticos en un contexto real.

Contenidos actitudinales • Expresa sus ideas mediante el lenguaje geométrico y algebraico.

• Trabaja en equipo y respeta a sus compañeros al resolver problemas.

• Participa activamente en la construcción del conocimiento.

Contenidos procedimentales • Comprende el concepto de polígono. • Identifica el nombre de un polígono por el número de sus lados.

• Identifica los diferentes tipos de polígonos de acuerdo con la longitud de sus lados.

• Identifica los diferentes tipos de polígonos de acuerdo con la longitud de sus ángulos interiores.

• Calcula el número de diagonales que se pueden trazar en un polígono.

25

E V A L U A C I Ó N

D I A G N Ó S T I C A

Analiza y resuelve los siguientes ejercicios aplicando tus conocimientos previos. 1 Un lado de un triángulo mide el doble de otro. El tercer lado es de 6 pulgadas y el

perímetro es de 18 pulgadas. Encuentra la longitud de cada uno de los lados.

2 Para evitar que un poste de luz se rompa, se debe colocar un cable de acero desde

su punta hasta el piso, como se muestra en el dibujo. El poste mide de altura 4 m y el cable en el piso debe estar separado 3 m de la base del poste. ¿Cuál deberá ser la medida del cable de acero para que no falte ni sobre?

4m

3m 3 Juan mira la punta de un poste y observa que proyecta una sombra de 12 m, mientras

que él proyecta una sombra de 2 m. Juan quiere saber qué altura tiene el poste si él tiene una estatura de 1.70 m. Determina la altura del poste con estos datos.

4 Calcula la altura de un triángulo equilátero cuyos lados tienen una longitud igual

a 12 cm.

5 Determina el valor de la altura del triángulo utilizando el teorema de Pitágoras.

A

20 cm 10 cm

B

h

C

6 Los siguientes triángulos son semejantes, determina la longitud del lado a en el triángulo

ABC. C

C′ a′ = 4

a 40° A

c = 24

B

A′

c′ = 6

7 A los polígonos que tienen sus lados iguales les llamamos:

8 Determina el número de diagonales que tiene un pentágono:

9 Si el radio de una esfera es de 15 cm, calcula su volumen.

B′

28

Geometría y trigonometría

Tema 3 Triángulos Definición y notación El triángulo es un polígono de tres lados, que está determinado por tres puntos no colineales llamados vértices. Los vértices se pueden denotar por letras mayúsculas: A, B y C. Los lados son los segmentos que unen dos vértices del triángulo y se denotan con la misma letra que el vértice opuesto. Es decir: el lado a es el segmento que une los vértices B y C, el lado b es el segmento que une los vértices A y C, y el lado c que es el que une los vértices A y B. El triángulo también se define como la porción de un plano que se encuentra limitada por tres rectas que se intersecan en tres puntos llamados vértices. Si A, B y C son tres puntos (vértices) cualesquiera no alineados, entonces los segmentos AB, AC y BC determinan un triángulo. C γ

b

A

α

a β

c

B

Clasificación de los triángulos Los triángulos se clasifican por la longitud de sus lados y la magnitud de sus ángulos. Por la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en: • Triángulo equilátero: sus tres lados son iguales. Este triángulo es simétrico respecto a sus tres alturas. • Triángulo isósceles: dos de sus lados son iguales. Este triángulo es simétrico respecto a su altura, que es diferente. • Triángulo escaleno: sus tres lados son diferentes. No tiene ejes de simetría. C C

C

Equilátero A

Isósceles B

A

Escaleno B

A

B

Por la magnitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en: • Triángulo rectángulo: tiene un ángulo recto (90°). A los dos lados que forman un ángulo recto se les denomina catetos y al lado restante hipotenusa. • Triángulo acutángulo: es aquel cuyos tres ángulos son agudos (menores de 90°). En particular, el triángulo equilátero es un ejemplo de triángulo acutángulo.

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

• Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°) y los otros dos son agudos. C C C

A

B

A

A

B

Rectángulo ∠ A = 90°

B Obtusángulo ∠ A > 90°

Acutángulo ∠ A < 90° ∠ B < 90° ∠ C < 90°

Rectas y puntos notables Son rectas y puntos en un triángulo que tienen características especiales, y son los siguientes. Altura: es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el lado opuesto.

A

C

Circuncentro: es el punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo.

C

Baricentro

Baricentro

A A

B

Bisectriz: es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales.

Mediatriz: recta perpendicular que corta un segmento en su punto medio.

B

Ortocentro

Mediana: es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del lado opuesto.

Incentro: es el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo.

a

c

Ortocentro: es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo.

Baricentro: es el punto de intersección de las tres medianas de un triángulo.

C

b

C

B C

Incentro

A

Incentro

B

B

A

Circuncentro

C Circuncentro C

B A

B

A

29

30

Geometría y trigonometría

Teoremas sobre triángulos Teorema 1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º. Disponiendo los ángulos del triángulo en forma consecutiva se obtiene un ángulo llano. C d

c

e ∠ a + ∠ b + ∠ c = 180°

A

a

b

B

Hipótesis ∠ a + ∠ b + ∠ c son ángulos interiores del triángulo ABC. Tesis ∠ a + ∠ b + ∠ c = 180° Demostración Por ser ángulos suplementarios ∠ d + ∠ c + ∠ e = 180°. La recta que pasa por el vértice C es paralela a AB. Por ser ángulos alternos internos entre paralelas: ∠ a = ∠ d. Por ser ángulos alternos internos entre paralelas: ∠ b = ∠ e. Por sustitución: ∠ a + ∠ b + ∠ c = 180°. Teorema 2. Un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes a él. C

A

B

p

Hipótesis En el triángulo ABC, ∠p es un ángulo externo del triángulo. ∠ A y ∠ C son ángulos interiores no adyacentes a él. Tesis

∠p=∠Ay∠C Demostración ∠ p + ∠ B = 180° porque es un ángulo llano.

∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° es la suma de ángulos internos.



∠ A + ∠ B + ∠ C = ∠ p + ∠ B por la propiedad transitiva.



∠ A + ∠ C = ∠ p porque una igualdad no se altera si a los miembros se les resta la misma cantidad. ∠ p = ∠ A + ∠ B + ∠ C – ∠ B por tanto, ∠ p = ∠ A + ∠ C.

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

Teorema 3. La suma de los ángulos exteriores en un triángulo es igual a 360°. P

C

A

B N

M Hipótesis

∠ M + ∠ N + ∠ P son ángulos externos del triángulo ABC. Tesis

∠ M + ∠ N + ∠ P = 360°

Demostración

∠ M + ∠ A = 180° forman un ángulo llano.



∠ N + ∠ B = 180° forman un ángulo llano.



∠ P + ∠ C = 180° forman un ángulo llano.

∠ M + ∠ A + ∠ N + ∠ B + ∠ P + ∠ C = 3(180°) = 540°, pero

∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° es la suma de ángulos interiores, por tanto,



∠ M + ∠ N + ∠ P = 540° – 180° = 360°



∠ M + ∠ N + ∠ P = 360°

Ejemplo

Calcula el valor de los ángulos del siguiente triángulo. C 2x

A

3x

x

Solución Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°. 3x + x + 2x = 180° 6x = 180° 180° x= = 30° 6 Si x = 30°, entonces:

∠ B = 30°, ∠ C = 60°, ∠ A = 90°

B

31

32

Geometría y trigonometría

Ejemplo

Calcula el valor de los ángulos del siguiente triángulo. D

C

B

53°

130°

A Solución Los ángulos interiores ∠ C + 53° = 130°. donde ∠ C = 130° – 53° = 77° Por ser ángulos suplementarios:

∠ A + 53° = 180°  ∠ A = 180° – 53° = 127°

∠ B + 130° = 180°  ∠ B = 180° – 130° = 50°

∠ C + ∠ D = 180°  ∠ D = 180° – ∠ C = 180° – 77° = 103°

Por tanto, ∠ A = 53°, ∠ B = 50°, ∠ C = 77° y ∠ D = 103°.

Ejemplo

Determina el valor de los ángulos del siguiente triángulo. C 4x – 30°

2x

x A

Solución La suma de los ángulos interiores es de 180°. x + 2x + 4x – 30° = 180° 7x – 30° = 180° 7x = 180° + 30° x=

210° 7

x = 30°

B

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

Por ser ángulos suplementarios:

∠ A + x = 180°  ∠ A = 180° – x = 180° – 30° = 150°



∠ B + 2x = 180°  ∠ B = 180° – 2x = 180° – 60° = 120°



∠ C + 4x – 30° = 180°  ∠ C = 180° – 4x – 30° = 180° – 90° = 90°

Por tanto, ∠ A = 150°, ∠ B = 120° y ∠ C = 90° ∠ x = 30°, ∠ 2x = 60°, ∠ 4x – 30° = 90°

Ejemplo

La medida de los ángulos interiores de un triángulo está representada por las expresiones algebraicas de la figura. ¿Cuál es la medida de cada ángulo?

4x – 8° 4x + 4°

4x Solución Sean los ángulos

4x + 4x + 4° + 4x – 8° = 180°

12x – 4° = 180° ad

Activid

12x = 180° + 4° 184° 12 s lo x = 15.3333° = 15°20′ Ejemp x=

El valor de cada uno de los ángulos es 61°20′, 65°20′ y 53°20′.

s

Ejjercicio



1. Calcula el valor de los ángulos exteriores del siguiente triángulo.

s

Ejemplo nes

de conversio

x – 5°

145° x

33

34

Geometría y trigonometría



2.  Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide ocho veces lo que el otro, ¿cuánto mide cada ángulo? 8x

x

3. Encuentra el valor de los ángulos A y B si el triángulo ABC es isósceles. C 32°

A

B

4. Encuentra el valor de los ángulos A y B si el triángulo ABC es rectángulo. A x

x/2

B

C

5. Determina el valor de los ángulos interiores del triángulo ABC. A

2x – 5°

B

y

4x + 15° C

110° + x

6. Determina el valor de los ángulos del siguiente triángulo. A x

B

82°

28° C

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)



7. Calcula las medidas de los ángulos internos del triángulo ABC. A 4x + 24° 4x – 21°

x

C

B

8.  Si el lado AC es bisectriz del ángulo ∠BAD, determina los ángulos interiores de los triángulos ABC y ACD sabiendo que ∠BAC = y + 8°, ∠CAD = x + 13°,   ∠ABC = 3x – 6° y ∠ACD =

10 y + 7° 3

A

145° B

C

D

9. Si AC ⎢⎢ DE y ∠DAC = 90°, determina las medidas de los ángulos interiores de los triángulos ABC, ADE, BDE y AEC.

A

D B

140°

75° E

C

10. Determina el valor de x de acuerdo con las propiedades de los triángulos.

x

47°

35

36

Geometría y trigonometría

Triángulos congruentes Los triángulos congruentes son aquellos que tienen la misma forma y el mismo tamaño. Teorema I. Lado, lado, lado (LLL). Regla de congruencia de los triángulos que establece que cuando los tres lados de un triángulo son congruentes con los tres lados correspondientes de otro triángulo, los dos triángulos son congruentes. A

A′

AB = A′B′ AC = A′C′ BC = B′C′

B

C

B′

C′

Teorema II. Ángulo, lado, ángulo (ALA). Regla de congruencia de los triángulos que establece que cuando dos ángulos y el lado incluido entre ellos en un triángulo son congruentes con los dos ángulos correspondientes y el lado incluido de otro triángulo, los triángulos son congruentes. A

A′

BC = B′C′ ∠ B = ∠ B′ ∠ C = ∠ C′ B

C

B′

C′

Teorema III. Lado, ángulo, lado (LAL). Regla de congruencia de los triángulos que establece que cuando dos lados y el ángulo incluido entre ellos de un triángulo son congruentes con los dos lados correspondientes y el ángulo incluido entre ellos de otro triángulo, los dos triángulos son congruentes. A

A′

AB = A′B′ Lados homólogos: son aquellos cuyos ángulos adyacentes son iguales. Congruente: que tiene igual forma y tamaño. Su símbolo es ≅. El símbolo ~ se lee “es semejante”. Proporcionalidad directa: cuando al incrementarse o disminuir una cantidad, la otra también se incrementa o disminuye. Proporcionalidad indirecta: cuando una cantidad aumenta y la otra disminuye.

∠ B = ∠ B′ BC = B′C′ B

C

B′

C′

Semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma y cuando sus ángulos son iguales o congruentes; aunque el tamaño de sus lados sea diferente, sus lados son proporcionales. B B′ a

c a

C

b

A

C′

El triángulo ABC es semejante al triángulo A′B′C′.

c

b

A′

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

Propiedades fundamentales   1. Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son homólogos iguales y sus lados son homólogos proporcionales. • Ángulos homólogos: ∠A = A′, ∠B = B′ y ∠C = C′ • Lados homólogos: AC y A′C′, AB y A′B′, BC y B′C′   2. La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza. AC AB BC = = A′C ′ A′B′ B′C ′

Teoremas de semejanza de triángulos Teorema I. Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos iguales (homólogos). C C′

Si ∠A = ∠A′ ∠B = ∠B′ entonces Δ ABC ∼ Δ A′B′C′

A

A′

B

B′

Teorema II. Dos triángulos son semejantes si sus tres lados correspondientes son proporcionales. C Si

C′

a b c = = a ′ b ′ c′

b

a

b′

entonces Δ ABC ∼ Δ A′B′C′

A

A′

B

c

a′ B′

c′

Teorema III. Dos triángulos son semejantes cuando tienen un ángulo igual y los lados correspondientes son proporcionales. C C′

a b Si ∠C = ∠C ′ y = a′ b′

b

a

Δ ABC ∼ Δ A′B′C′

 

A

c

a′

b′

entonces B

A′

c′

B′

37

38

Geometría y trigonometría

Ejemplo

Aplica los teoremas de semejanza. Si Δ ABC ∼ Δ A′B′C′, encuentra el valor de b y c. B B′ a = 18

c a=6

C

b

A

C′

c = 10

b=8

A′

Despeja los lados proporcionales. 18 b c = = , de lo cual se obtiene 6 8 10 c 18 b 18 6c = 180 6b = 144 = = 10 6       8 6          180 144 c= b= 6 6 c = 30 b = 24 Para comprobar si son semejantes se deben comparar sus lados correspondientes y ver si son proporcionales. 18 24 30 = = =3 6 8 10 (18)(8) = (6)(24) 144 = 144

(24)(10) = (8)(30) 240 = 240

Los triángulos son semejantes, ya que sus lados son proporcionales.

Teorema de Tales Tales de Mileto fue un filósofo, matemático, geómetra, físico y legislador griego, y el primero en proponer un sistema sencillo para medir la altura de la pirámide de Keops, que consistió en colocar un palo vertical en la tierra y hacer una marca en el suelo que tuviera la misma longitud del palo. Cuando la sombra de éste coincidiera exactamente con la marca, la sombra de la pirámide mediría lo mismo que su altura máxima. Otra aportación de Tales es el teorema que lleva su nombre, que formuló al observar lo que ocurría siempre que dos rectas paralelas cortaban a dos rectas secantes. Él trazó el dibujo de las dos secantes y las cortó en paralelas. Midió los segmentos que determinaban esas paralelas sobre las secantes y encontró que entre ellos había una proporcionalidad directa. El teorema de Tales establece lo siguiente: “un sistema de rectas paralelas que cortan a dos transversales determinan en ellas segmentos correspondientes proporcionales”.

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

De lo anterior aplicado a los triángulos deducimos que toda paralela a un lado de un triángulo divide a los otros dos lados en segmentos proporcionales. A

Q

B

X

Y

P

R

La figura anterior muestra el teorema de Tales de Mileto. Demostración  1. AB ⎢⎢ XY ⎢⎢ PR son rectas paralelas.  2. QP y QR son transversales.   3. Por el teorema de Tales: QX QY = XP YR

Ejemplo

Determina el valor de x utilizando el teorema de Tales.

5 cm 3.4 cm

3.9 cm x

Solución (3.9)(3.4) 13.26 5 3.9 x= = = 2.6 cm = 3.4 x       5 5

s

Ejemplo



1. Encuentra el valor de x aplicando el teorema de Tales.

x 40 cm 36 cm

60 cm

39

40

Geometría y trigonometría

Solución (36)(60) 2 160 60 x = x= = = 54 cm 40 36 40 40

2. Encuentra el valor de x aplicando el teorema de Tales. C 15 E 20 B

d Activida

12

D

A

x

x 20 Solución = 12 15 15x = 20(12)

s 15x = 240 Ejemplo  

x=

240 = 16 15

s

Ejjercicio

Encuentra el valor de x en cada caso aplicando el teorema de Tales.

s

Ejemplo

a)

b)

A

A

nes de conversio

x D

28

x D

E

12

14

B

C

5

12

E

x+4

7

B

C

Resuelve los siguientes problemas:   1. Para encontrar la anchura AB de un río se construyeron 2 triángulos semejantes, como se muestra en la figura. Y al medir se encontró que: AC = 17 m, CD = 5 m, DE = 20 m. AC = 17 m, CD = 5 m, DE = 20 m. ¿Cuál es la anchura del río?

D C A

B

  2. Para medir lo largo de un lago se construyeron los siguientes triángulos semejantes, en los cuales se tiene que: AC = 215 m, A ' C = 50 m, A ' B ' = 112 m. ¿Cuál es la longitud del lago?

A

A' C

E

B

B'

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

  3. Para medir la anchura de un río se forman los siguientes triángulos, en los que: AO = 32 m, CD = 30 m, OD = 6 m. Encuentra AB .

A

B

O

D

C

  4. Un árbol proyecta una sombra de 5 m a la misma hora en que un poste de 2 m de altura, muy próximo al árbol, proyecta 2 una sombra de m. Determina la altura h 3 del árbol, si tanto éste como el poste son perpendiculares al terreno.

41

A h

A' 2m B

5m

C

B' 2 C ' m 3

  5. Un árbol de 14 m de altura próximo a una torre, proyecta una sombra de 24 m a la misma hora. Determina: a) La altura de la torre, si su sombra es de 48 m. b) La sombra que refleja la torre, si su altura es de 70 m.

14 m 24 m

Teorema de Pitágoras Si conocemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado y funciona únicamente en los triángulos rectángulos. Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto de 90º. Un triángulo rectángulo tiene un lado más grande que se llama hipotenusa y los otros lados se llaman catetos. En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. B

Cateto C

c2 = a2 + b2

Hipotenusa

Cateto

A

Pitágoras de Samos (580-500 a. C.), filósofo y matemático griego considerado el primer matemático. Contribuyó de forma importante al avance de la matemática griega, la geometría y la aritmética.

Geometría y trigonometría

Teorema En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. C D b

a

h

A

B

c

El triángulo ABC es rectángulo en A. BC = a es la hipotenusa.



AB = c

es un cateto.

AC = b es un cateto.

Tesis a² = b² + c²

Se traza la altura (h) correspondiente a la hipotenusa.

Demostración a b a c y = =   Cada cateto es medida proporcional entre la hipotenusa y su proyección. b CD c DB Se despejan los catetos

b² = a(CD)



c² = a(DB)

Por suma de igualdades

b² + c² = a(CD) + a(DB)

por propiedad aditiva.

Se tiene

b² + c² = a(CD + DB)

por factorización,

pero como

CD + DB = a

por suma de segmentos,



b² + c² = a(a)

por sustitución

y

b² + c² = a²

por simplificación.

Ejemplo

Calcula el lado de un rombo cuyas diagonales miden 32 y 24 mm, respectivamente.

24 mm

32 mm

42

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

Puede tividad que se forman cuatro triángulos rectángulos iguales, cuyos catetos son la Acobservarse mitad de cada diagonal, por lo tanto, la hipotenusa del triángulo es el lado del rombo. c2 = a2 + b2

s

c = a2 + b2

Ejemplo



c = 162 + 122 = 256 + 144 = 400 = 20 mm



s

Ejjercicio



1. Encuentra el cateto que falta en la figura siguiente.

s

Ejemplo nes

de conversio

10 cm

b

8 cm



2. Cuando descubrieron la pirámide de Keops, en Egipto, fácilmente midieron cada lado de su base, la cual es de 233 m, y la longitud de su pendiente, que es de 186.784 m, pero la altura no la midieron físicamente, sino que la calcularon.    Haz el cálculo de la altura de la gran pirámide.

186.784 m

233 m

233 m

? 233 m

43

44

Geometría y trigonometría



3. En un campo de futbol la altura de la portería es de 2.4 m y la distancia desde el punto de penalti hasta la raya de gol es de 11.2 metros. ¿Qué distancia recorre un balón que se lanza desde el punto de penalti y choca en el punto central del larguero?



4. Un automóvil se desplaza desde el punto A hasta el punto B y recorre una distancia horizontal de 36 m, mientras se eleva a una altura de 15 m. ¿Cuál es la distancia, en metros, que separa a los puntos A y B?



5. Un faro de 16 m de altura proyecta su luz a una distancia horizontal sobre el mar de 63 m. ¿Cuál es la longitud en metros del haz de luz?

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)



6. Un papalote está atado al suelo con un cordel de 200 m de longitud. Cuando la cuerda está totalmente tensa, la vertical del papalote al suelo está sujeta 16 m. ¿A qué altura está volando el papalote?

7. Si a y b son los catetos de un triángulo y c su hipotenusa, determina el lado que falta:

a)  a = 15, b = 20

  e) a = 12, c = 20

  i) a = 6 m y b = 3



b)  a = 5, b = 4

  f  ) b = 6, c = 8

  j) a = 12 m y c = 13 m



c)  a = 8, b = 4

  g) b = 15, c = 17

  k) a = 14 cm y b = 15 cm



d )  a = 7, b = 7

   h) a = 5 2 , c =10

  l ) b = 15 dm y c = 20 dm

Determina la naturaleza de los siguientes triángulos, cuyos lados miden: 1 3 , y 1 cm 2 2

  a) 4, 5 y 7 cm

    d ) 7, 24 y 25 cm

  g)

  b) 5, 12 y 13 cm

    e) 6, 8 y 10 mm

 h) 0.5, 0.7 y 0.8 m

  c) 7, 9 y 11 cm

    f) 1,

2 y 2 cm

   i) x, x – 1 y

2x 2 − 2x + 1

  j) En el triángulo rectángulo PQR, con Q el ángulo recto y QS como altura trazada hacia la hipotenusa: R

S

P



• Determina QS si PS = 12 y SR = 5



• Encuentra QR si PR = 25 y RS = 13



• Halla QR si PS = 6 , PQ = 2 15 y RS = 4



• Encuentra PQ si PS = 21 y RS = 15



• Determina PQ si RS = 6 , RQ = 10 y QS = 8



• Determina QS si PQ = 13 y QR = 7



• Encuentra RS si PQ = 17 y QS = 13

Q

45

46

Geometría y trigonometría



8. Resuelve los siguientes problemas: a) Se tiene un terreno en forma de triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 300 y 800 m. ¿Qué cantidad de malla se necesita para cercarlo?

800 m

300 m

d



b) Con una escalera de 6 m se desea subir al extremo de una barda de 4 m de altura. ¿A qué distancia se necesita colocar la base de la escalera para que el otro extremo coincida con la punta de la torre?



c) Calcula la altura de un triángulo isósceles si su base mide 60 cm y cada uno de sus lados mide 50 cm.



d) Calcula la altura de un triángulo equilátero que de lado mide 10 cm.



e) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado, cuya diagonal mide 8 m?



f ) ¿A qué altura llega una escalera de 10 m de largo en un muro vertical, si su pie está a 3 m del muro?



g) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado si su diagonal mide 5 2 cm?



h) Si el lado de un hexágono regular mide 16 cm, ¿cuánto mide su apotema?



i) Una persona camina 7 kilómetros hacia el sur, 3 hacia el oeste, 2 hacia el sur y 6 más hacia el oeste. ¿Cuál es la distancia entre el punto de partida y su destino? N

E

O

S



j) La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles mide 10 cm. Encuentra la longitud de los catetos.



k) En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es igual a m y la mediana de uno de m 3 los ángulos agudos es igual a . Determina la magnitud de los catetos. 3 l) En un triángulo rectángulo, m y n representan la longitud de las medianas trazadas a los catetos. Obtén la longitud de éstos y la hipotenusa en función de m y n.



Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

Tema 4 Polígonos, circunferencia, áreas y volúmenes de figuras geométricas Polígonos Definición y clasificación Un polígono es una figura plana, cerrada y delimitada por segmentos de recta. Los polígonos reciben su nombre de acuerdo con su número de lados. A continuación te presentamos algunos ejemplos: Polígonos

Figura

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Los nombres de algunos polígonos son los siguientes:

Número de lados

Nombre

Número de lados

Nombre

 3

Triángulo

12

Dodecágono

 4

Cuadrilátero

13

Tridecágono

 5

Pentágono

14

Tetradecágono

 6

Hexágono

15

Pentadecágono

 7

Heptágono

16

Hexadecágono

 8

Octágono

17

Heptadecágono

 9

Nonágono

18

Octadecágono

10

Decágono

19

Nonadecágono

11

Undecágono

20

Icoságono

47

48

Geometría y trigonometría

Clasificación Los polígonos se pueden clasificar mediante dos criterios:   1. Por la longitud de sus lados: a) Regulares: son aquellos polígonos que tienen la longitud de todos sus lados igual. b) Irregulares: son aquellos polígonos que tienen la longitud de sus lados diferente.   2. Por la medida de sus ángulos interiores: a) Convexos: son los polígonos que todos sus ángulos interiores son menores a 180°. b) Cóncavos: son los polígonos donde uno de sus ángulos interiores mide más de 180°. Ángulo mayor de 180°

Una manera de observar si un polígono es convexo o cóncavo es trazando segmentos de recta en su interior. Si existe una zona dentro del polígono en la cual al trazar un segmento de recta, ésta sale de la superficie de la figura y vuelve a entrar en ella, entonces se trata de un polígono cóncavo; de no ocurrir esto, el polígono será convexo. C

A B

D

Polígono A

Polígono B

En la figura anterior observamos que en el polígono A al trazar segmentos de recta dentro de la superficie, éstos no salen de ella, es el caso del segmento de recta AB; mientras que en el polígono B, al trazar el segmento de recta CD, éste sale por un momento de la superficie.

Elementos de los polígonos A continuación te presentamos algunos elementos del polígono: • Vértice: es el punto donde se unen dos lados. • Lados adyacentes: son los lados que están unidos por el vértice. • Ángulo interior: es el que se forma dentro de la superficie del polígono entre dos lados adyacentes. • Ángulo exterior: es el que se forma entre la prolongación de uno de los lados del polígono y su lado adyacente. • Diagonal: es el segmento de recta que parte de uno de los vértices a otro vértice no adyacente. Prolongación del segmento AB B

Ángulo exterior Ángulo C interior

Vértice A

Diagonales E

D

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

Cálculo de ángulos interiores y exteriores de un polígono regular Ángulos interiores Para determinar la suma total de los ángulos interiores de un polígono utilizamos S = 180°(n – 2) donde S = suma total de los ángulos interiores n = número de lados del polígono En un polígono regular todos los ángulos interiores tienen el mismo valor, por lo que lo podemos calcular con la siguiente fórmula: i=

180°(n − 2) n

donde i = ángulo interior n = número de lados del polígono

Ejemplo

Determina el valor de cada ángulo interior de un octágono regular. Para este caso utilizamos i=

180°(n − 2) n

Si n = 8 i=

180°(8 − 2) = 135° 8

Por tanto, cada ángulo interior de un octágono regular mide 135°.

Ejemplo

Cada ángulo interior de un polígono regular mide 150°. Determinemos el número de lados y el nombre del polígono. Partamos de 180°(n − 2) i= n Despejemos n de la fórmula, pasemos n multiplicando al lado izquierdo de la ecuación y desarrollemos el producto del miembro de la derecha de la ecuación. in = 180n – 360 in – 180n = –360

49

50

Geometría y trigonometría

Multipliquemos por −1 y reordenemos la ecuación. 180n – in = 360 Factoricemos n en el miembro de la izquierda de la ecuación y despejemos. n=

360° 180° − i

Ahora sustituyamos en la ecuación i = 150° 360° 180° − 150° n = 12 n=

Con esto concluimos que se trata de un polígono regular de 12 lados llamado dodecágono.

Ejemplo

Con base en la figura determina el valor de cada uno de los ángulos interiores. A B

2x + 35° F

3x + 55° x + 60° E

5x + 25° x + 45°

C

4x + 50° D

Para determinar el valor de cada uno de los ángulos necesitamos encontrar primero el valor de x y después sustituirlo en las expresiones de cada uno de ellos. Para hacerlo, determinemos la suma de los ángulos interiores del polígono formado por las intersecciones de los seis segmentos de recta. Apliquemos entonces S = 180°(n – 2) = 180°(4) = 720° Después de hacer el cálculo, sabemos que la suma de los ángulos interiores debe ser igual a 720º. ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F = 720° Al sustituir tenemos 2x + 35° + 5x + 25° + x + 45° + 4x + 50° + x + 60° + 3x + 55° = 720° Al simplificar obtenemos 16x + 270° = 720°

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

Despejando x de la ecuación: x=

270° − 270° 450 = = 28.125° 16 16

A = 2x + 35° = 2(28.125) + 35° = 91.25° B = 5x + 25° = 5(28.125) + 25° = 165.625° C = x + 45° = 28.125 + 45° = 73.125° D = 4x + 50° = 4(28.125°) + 50° = 162.5° E = x + 60° = 28.125° + 60° = 88.125° F = 3x + 55° = 3(28.125) + 55° = 139.375°

Diagonales de un polígono Las diagonales de un polígono son segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Para determinar el número de diagonales que se pueden trazar desde un solo vértice de un polígono consideremos la siguiente figura. B

A F

C E

D

Como mencionamos, las diagonales son segmentos de recta que unen dos vértices no consecutivos, ya que la figura es un hexágono, del vértice B al resto de los vértices se pueden trazar cinco segmentos de recta, pero dos de ellos, BA y BD, son consecutivos y no se consideran diagonales. Entonces, las diagonales son BF, BE y BD. Concluimos lo siguiente: d=n–3 donde d = diagonales que se pueden trazar desde un vértice. n = número de lados del polígono Ahora bien, si de cada vértice del polígono se pueden trazar n – 3 diagonales y la figura en cuestión tiene seis lados podríamos concluir que el número de diagonales del polígono es n(n – 3) pero tendríamos que considerar que la diagonal BF es la misma que la diagonal FB, y lo mismo sucedería con cada vértice, ya que se está duplicando la cantidad de diagonales, por lo que tendríamos que corregir este producto dividiendo por dos y la fórmula quedaría como sigue: D= donde D = diagonales totales n = número de lados del polígono

n(n − 3) 2

51

52

Geometría y trigonometría

Ejemplo

Determinemos el número de diagonales que se pueden trazar desde un solo vértice en un heptágono y el número de diagonales totales del polígono. B

A

C

G D

F

E

Si n = 7, entonces aplicamos d=n–3 Sustituimos d=7–3=4 Por otra parte, para determinar el número de diagonales totales tenemos D= Sustituimos de nuevo n = 7 D=

n(n − 3) 2

7(7 − 3) = 14 2

Ejemplo

Determinemos el polígono en el que se pueden trazar 44 diagonales en total. Partamos de n(n − 3) D= 2 Sustituyamos D = 44 y reordenemos la fórmula anterior, primero pasemos multiplicando al lado izquierdo de la igualdad el número 2. 2(44) = n2 – 3n 88 = n2 – 3n Reordenando la ecuación e igualando a cero tenemos: n2 – 3n – 88 = 0 Esta ecuación de segundo grado se puede resolver por factorización o aplicando la fórmula general, en esta ocasión la resolveremos por factorización, por ser más sencillo al tener una solución exacta que será el número de diagonales. n2 – 3n – 88 = 0 (n – 11)(n + 8) = 0 (n – 11) = 0 (n + 8) = 0 n = 11 n = –8 Ya que el valor buscado es un entero positivo (número de diagonales), el resultado es n = 11, el otro valor, es decir, n = –8, se elimina. Entonces el polígono es un undecágono.

s

Ejemplo

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

s

Ejjercicio

Resuelve los siguientes problemas:

1. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un solo vértice en un undecágono? s

Ejemplo

s de conv2. el polígono en el que se pueden trazar 17 diagonales desde un solo vértice. ersioneDetermina



3. Calcula el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice en un decágono.



4. Determina cuál es el polígono en el que se pueden trazar 9 diagonales desde un vértice.



5. ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar 6 diagonales desde un vértice?



6. Calcula el número total de diagonales que se pueden trazar en cada uno de los siguientes polígonos:

a) Icoságono b) Dodecágono c) Nonágono

d) Hexágono e) Pentadecágono f ) Heptágono

g) Hexadecágono h) Octadecágono i) Undecágono



7. ¿En qué polígono se pueden trazar 14 diagonales en total?



8. ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar en total 104 diagonales?



9. Determina el polígono en el cual se pueden trazar 119 diagonales en total.

10. Precisa en qué polígono se pueden trazar en total 152 diagonales. 11. ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales en total es el doble que su número de lados? 12. ¿En qué polígono el número de lados es la cuarta parte de su número de diagonales en total? 13. Determina el polígono en el cual el número de lados equivale al número de diagonales en total. 1 14. Precisa el polígono cuyo número de lados es del número de diagonales en total. 5 9 15. Determina el polígono en que el número de diagonales en total son los del número 2 de lados. 16. Encuentra el polígono cuyo número de diagonales en total, equivale al número de lados del polígono en el que se pueden trazar 170 diagonales. 1 17. ¿En cuál polígono el número de diagonales trazadas desde un vértice es del 10 número de diagonales en total?

Ángulos de un polígono La magnitud de los diferentes ángulos de un polígono se obtiene con las fórmulas siguientes: Suma de ángulos interiores de cualquier polígono

Ángulo interior de un polígono regular

Si = 180°(n – 2) i =

180° ( n − 2 ) n

53

54

Geometría y trigonometría

Suma de ángulos exteriores de cualquier polígono

Ángulo exterior de un polígono regular e =

Se = 360°

360° n

Donde n = número de lados.

s

Ejemplo



1. Cuatro ángulos interiores de un polígono de 5 lados miden respectivamente: 120°, 90°, 75° y 135°. ¿Cuánto mide el quinto ángulo? Solución En un pentágono n = 5, entonces la suma de sus ángulos interiores es: Si = 180° (n – 2)    →   Si = 180° (5 – 2) = 180° (3) = 540° Luego, el quinto ángulo se obtiene así: 540° – (120° + 90° + 75° + 135°) = 540° – 420° = 120° Por tanto, el quinto ángulo mide 120°.



2. ¿Cuál es el polígono regular cuyos ángulos interiores suman 1 440°? Solución De acuerdo con el problema Si = 1 440°, entonces: Si = 180°(n – 2)    donde    180°(n – 2) = 1 440° n–2=



1440° 180°

n = 8 + 2 = 10

Por consiguiente, el polígono es un decágono. 3.

¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior es de 120°? Solución En este caso i = 120°, al sustituir en la fórmula y resolver la ecuación, se obtiene:

180° ( n − 2 ) 180° ( n − 2 )   →   120° =   →  120° n = 180° n – 360 n n 360° = 180° n – 120° n         i =

360° = 60° n 6 = n Finalmente, resulta que el polígono es un hexágono.

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)



4. ¿En cuál polígono regular el ángulo exterior mide 20°? Solución En este caso e = 20°, al sustituir en la fórmula y resolver la ecuación, resulta que: e=

360° 360°    →   20° =    →   20° n = 360° n n 360° 20°



n=



n = 18 Entonces, el polígono del que se trata es un octadecágono.



5. Determina los ángulos interiores del siguiente polígono:

D 7x – 23° C

4x – 8°

3x + 31° B

3x + 5°

E

4x + 10° A

Solución En un pentágono la suma de los ángulos interiores es igual a 540°, entonces se calcula el valor de x para encontrar los ángulos: (3x + 31°) + (4x – 8°) + (7x – 23°) + (3x + 5°) + (4x + 10°) = 540° 21x + 15° = 540° 21x = 525° x=

En consecuencia, los valores de los ángulos son:

∠ A = 4x + 10° = 4(25) + 10 = 110°



∠ B = 3x + 31° = 3(25) + 31 = 106°



∠ C = 4x – 8° = 4(25) – 8 = 92°



∠ D = 7x – 23° = 7(25) – 23 = 152°



∠ E = 3x + 5° = 3(25) + 5 = 80°

525° = 25° 21

55

s

Ejemplo 56

Geometría y trigonometría

s

Ejjercicio

1. Calcula la medida de un ángulo interior de los siguientes polígonos:

a) Hexágono s Ejemplo b) Octágono nes de conversio c) Dodecágono d) Polígono de 20 lados e) Polígono de 18 lados f  ) Polígono de 42 lados

2. Calcula la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos:

a) Un pentágono b) Un decágono c) Un pentadecágono d) Un octágono e) Un tridecágono f  ) Un polígono de 37 lados

3. ¿Cuál es el polígono cuya suma de sus ángulos interiores es 1 260°?



4. Precisa en cuál polígono el total de sus ángulos interiores suma 900°.



5. Determina en cuál polígono la suma de sus ángulos interiores es 2 520°.



6. ¿En cuál polígono el total de sus ángulos interiores suma 1 620°?



7. ¿Cuántos lados tiene el polígono regular cuyos ángulos interiores suman 720°?

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)



8. Determina el polígono regular cuyo ángulo interior mide 157.5°.



9. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior es de 140°?

10. Determina en cuál polígono regular el ángulo exterior mide

π rad. 6

11. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular con un ángulo interior de 135°?

12. Determina en cuál polígono regular el ángulo interior mide 60°.

13. Precisa en cuál polígono regular el ángulo exterior es de 60°.

14. Determina el polígono cuyo ángulo interior equivale a

15. ¿En cuál polígono el ángulo exterior es

13 de su ángulo exterior. 2

2 de su ángulo interior? 7

15 16. Determina el polígono en el cual la suma de ángulos interiores equivale a de su 2 ángulo exterior.

57

58

Geometría y trigonometría

17. Calcula el valor de los ángulos interiores de un pentágono si su magnitud es 12 respectivamente: x, x , 2.4x, 2x y 2.2x. 5

18. Calcula el valor de cada uno de los ángulos de un pentágono si valen, respectivamente: x, x –10°, x + 5°, x + 25° y x – 30°.

19. Calcula el valor de los ángulos interiores de un heptágono cuyos valores son: x, 2x, 3x, 4x, 5x, 7x y 8x.

20. Encuentra los ángulos exteriores del siguiente polígono: D x + 15°

C 3x + 5°

x + 20° E 2x

2x + 5°

B

A

21. Determina los ángulos exteriores del siguiente polígono: F A

3x 3x – 10°

B

2x – 20° C

5x – 75°

E

4x – 5° 3x – 10°

D

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

22. Determina el polígono en el que se pueden trazar 17 diagonales desde un sólo vértice.

23. Determina el polígono en el que se pueden trazar nueve diagonales desde un vértice.

24. Calcula el número total de diagonales que se pueden trazar en cada uno de los siguientes polígonos:

a) Icoságono b) Dodecágono c) Nonágono d) Hexágono e) Pentadecágono f) Heptágono g) Hexadecágono h) Octadecágono i) Undecágono

25. ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar un total de 104 diagonales?

26. Menciona en qué polígono se pueden trazar un total de 152 diagonales.

27. ¿En qué polígono el número de lados es la cuarta parte de su número de diagonales en total?

28. Menciona el polígono cuyo número de lados es

1 del número de diagonales en total. 5

29. Encuentra el polígono cuyo número de diagonales en total equivale al número de lados de un polígono en el que se pueden trazar 170 diagonales.

59

60

Geometría y trigonometría

Circunferencia y círculo Definiciones Circunferencia es la línea que se forma con todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo. Al punto fijo se le llama centro y a la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se le denomina radio. Otra definición es el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia a un punto fijo llamado centro es siempre constante. La distancia de un punto de la circunferencia al centro es el radio C = Punto fijo = Centro B A

d

Circunferencia CB

C dCA

d CD

D

d CE

E Distancias de los puntos A, B, D y E al punto C dCA = dCB = dCD = dCE = radio Mientras que a la superficie limitada por la flecha es a lo que llamaremos círculo. Circunferencia

Círculo

El arco es una porción de la circunferencia y la semicircunferencia es la mitad de la circunferencia. A Arco = AB B A

B

Semicircunferencia = AB

Rectas notables de una circunferencia Las rectas y segmentos de recta que se pueden trazar en una circunferencia son: • Radio: es el segmento de recta que se traza desde el centro de la circunferencia a cualquier punto de ella. • Cuerda: es el segmento de recta que sale de un punto de la circunferencia y llega a otro punto sin pasar por el centro.

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

• Diámetro: es el segmento de recta que sale de un punto de la circunferencia a otro punto pasando por el centro. • Sagita: es el segmento de recta que parte del punto medio de la cuerda a la circunferencia y es perpendicular a la cuerda. • Secante: es la recta que interseca en dos puntos a la circunferencia. • Tangente: es la recta que toca en un solo punto a la circunferencia. El punto que toca se llama punto de tangencia. G T

T = Punto de tangencia C = Centro de la circunferencia

A

CA = Radio

H C

B

BD = Diámetro

D J

E

L

F

GH = Tangente IJ = Cuerda

K

EF = Secante

I

KL = Sagita

Partes o secciones en las que se puede dividir un círculo Revisemos las porciones en que se puede dividir el círculo. • Sector circular: es una parte del círculo limitada por dos radios y el arco. • Segmento circular: es la superficie comprendida entre la cuerda y el arco. • Semicírculo: es la superficie limitada por el diámetro y el arco, representa la mitad del círculo. r

r C

C

Sector circular

C

Segmento circular

Semicírculo

Circunferencias y polígonos Cuando los vértices de un polígono forman parte de una circunferencia se dice que el polígono está inscrito en la circunferencia, dicho de otro modo, que la circunferencia está circunscrita al polígono, es decir, que los lados del polígono son cuerdas de la circunferencia. A E B D C

61

62

Geometría y trigonometría

Cuando los lados del polígono tocan tangencialmente a la circunferencia se dice que el círculo está inscrito en el polígono o, lo que es lo mismo, que el polígono está circunscrito a la circunferencia. A D B C

Ángulos de la circunferencia Ángulo central: es aquel que tiene por vértice el centro de la circunferencia y está limitado por dos radios. B AB A

r

r

C

El ángulo central es igual al arco del sector circular. ∠ACB = AB Ángulo inscrito: es el ángulo que tiene por vértice un punto de la circunferencia y por lados, dos cuerdas que parten del mismo vértice. D B

C A

El ángulo inscrito es igual a la mitad del arco limitado por las cuerdas, por lo tanto, es igual a la mitad del ángulo central. D B

C A

∠BAD =

BD ∠BCD = 2 2

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

Ángulo semiinscrito: es el ángulo formado por una cuerda y una tangente cuyo vértice forma parte de la circunferencia. D A C

B

El ángulo semiinscrito es igual a la mitad del arco del segmento circular generado por la cuerda. D A B

C

AB ∠BCA = 2 2 Ángulo interior: es el ángulo cuyo vértice es un punto interior de la circunferencia el cual se forma cuando dos cuerdas se cortan. ∠BAD =

A D C E

P B

El ángulo interior lo podemos calcular como la mitad de la suma de los arcos formados por las prolongaciones de los lados de dicho ángulo. ∠BPD =

BD + AE 2

Ángulo exterior: es el ángulo cuyo vértice está por fuera de la circunferencia y se forma por la prolongación de dos rectas secantes. A

B P

C E D

63

64

Geometría y trigonometría

El ángulo exterior lo podemos calcular obteniendo la mitad de la diferencia de los arcos que se forman con sus lados. ∠BPE =

AD − BE 2

Ángulo circunscrito: es aquel ángulo cuyo vértice está por fuera de la circunferencia y sus lados son rectas tangentes. A E

C

D

P

B El ángulo lo podemos obtener como la mitad de la diferencia entre los arcos que se forman entre sus lados. ADB − AEB 2

∠BPB =

s

Ejemplo

1. Si BE = 32° y AD = 68° calcular ∠BPE. A

B P

C E

D Si Sustituimos

∠BPE =

∠BPE =

AD − BE 2

68° − 32° 36° = = 18° 2 2

Por tanto, el ángulo exterior es de 18o.

2. Si BD = 94° y AE = 96 ° calcular ∠BPD. A D C E

P B

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

Si BD + AE ∠BPD = 2

Sustituimos

∠BPD =



94° + 96° 190° = = 95° 2 2

Por lo tanto el ángulo interior es 95º.

Áreas y volúmenes de figuras geométricas Algunas de las áreas y volúmenes conocidos se presentan a continuación:

Áreas de figuras geométricas Triángulo Si conocemos la base y la altura

h

b El área la podemos calcular con Donde b = base y h = altura

A=

b⋅h 2

s

Ejemplo

1. Determina el área de un triángulo cuya base mide 22 cm y tiene una altura de 30 cm.

h = 30 cm b = 22 cm

Aplicando la fórmula A=

b⋅h 2

65

Si quieres profundizar más acerca del tema puedes consultar las páginas 106 y 107 (ejercicio 28) del libro del Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Geometría y trigonometría. México. Pearson. ISBN: 978607-442-350-1.

66

Geometría y trigonometría



Sustituyendo tenemos A=



(22 cm) ⋅ (30 cm) 660 cm 2 = = 330 cm 2 2 2

Por tanto, el área del triángulo es de 330 cm2.

2. El área de un triángulo es de 100 cm2 si la base es de 8 cm, ¿cuál es su altura?

A = 100 cm2 h

b = 8 cm Despejemos h de la fórmula





A=

Si



b⋅h 2A =h= 2 b

Sustituyendo en la fórmula despejada tenemos h=

2(100 cm 2 ) 200 cm 2 = = 25 cm 8 cm 8 cm



Podemos concluir que la altura del triángulo es de 25 cm.



Si conocemos la longitud de los lados

c

a

b



El área la podemos determinar con A = S ( S − a)( S − b)( S − c) donde S =

a+b+c 2

Donde a, b y c son los lados del triángulo y S el semiperímetro, recordemos que el perímetro será P = 2S = a + b + c

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

3. Determina el área de un triángulo cuyos lados miden 7 cm, 8 cm y 11 cm respectivamente.

11 cm 8 cm 7 cm



Utilicemos la fórmula de Herón: A = S ( S − a)( S − b)( S − c) donde S =



a+b+c 2

Si a = 7 cm, b = 8 cm y c = 11 cm S=

7 + 8 + 11 26 = = 13 2 2

= A = 13(13 − 7)(13 − 8)(13 − 11) = 13(6)(5)(2) = 780 cm 2

A = 780 cm 2 ≈ 27.92 cm 2 Es decir que su área es de 27.92 cm2.

4. Si conocemos los lados de un triángulo determina la fórmula que nos ayude a calcular su altura.

a c b









h

Utilicemos las siguientes fórmulas a=

b⋅h yA= 2

S ( S − a)( S − b)( S − c) donde S =

a+b+c 2

Las igualamos b⋅h = S ( S − a)( S − b)( S − c) 2 Si el lado b del triángulo lo tomamos como la base y despejamos la altura h h=

2 S ( S − a)( S − b)( S − c) b

67

68

Geometría y trigonometría

Cuadriláteros Cuadrado

l l Su área y perímetro los podemos determinar con 2

A = l y P = 4l Donde l es la longitud de sus lados.

Ejemplo

Si los lados de un cuadrado miden 7 cm, determina su área.

7 cm 7 cm Sustituimos directamente en la fórmula 2

A = l = A = (7 cm)2 = 49 cm2 Podemos decir entonces que el área del cuadrado es de 49 cm2.

Rectángulo

h b Su área y perímetro los podemos determinar con A = b ⋅ h y P = 2(b + h) donde b = base y h = altura

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

Ejemplo

Si los lados de un rectángulo miden 8 y 11 cm respectivamente, determina su área.

8 cm 11 cm Utilizando la fórmula A=b⋅h Sustituyendo y calculando tenemos A = (8 cm)(11 cm) = 88 cm2 Por tanto, podemos decir que el área del rectángulo es de 88 cm2.

Trapecio b a

h

c

B Para determinar su área y perímetro aplicamos la siguiente fórmula A=

( B + b)h y P = a+b+ B+c 2

Donde b = base menor, B = base mayor y h = altura

Ejemplo

Si las bases de un trapecio son de 10 y 12 cm respectivamente, determina su área si la altura es de 6 cm. b = 10 cm h = 6 cm

B = 12 cm

69

70

Geometría y trigonometría

Utilicemos la fórmula A=

( B + b)h 2

Si B = 12 cm, b = 10 cm y h = 6 cm A=

(12 cm + 10 cm)(6 cm) (22 cm)(6 cm) 132 cm 2 = = = 66 cm 2 2 2 2

Por tanto, el área del trapecio es de 66 cm2.

Ejemplo

El área de un trapecio es de 120 cm2, si su altura es de 5 cm y una de sus bases mide 8 cm determina su base faltante. b = 8 cm

A = 120 cm2

h = 5 cm

B Despejemos B de la fórmula Si A =

( B + b)h 2A =B= −b 2 h

Sustituimos en la fórmula despejada B=

2A 2(120 cm 2 ) 240 cm 2 −b= B= − 8 cm = − 8 cm = 48 cm − 8 cm = 40 cm 5 cm 5 cm h

Por tanto, su base faltante mide 40 cm.

Paralelogramo h

b Para determinar el área y el perímetro aplicamos A = b ⋅ h y P = 2(a + b) Donde b = base, h = altura y a es uno de los lados.

a

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

Ejemplo

Si la base de un paralelogramo es de 20 cm y su altura es de 15 cm, determina su área. h = 15 cm

b = 20 cm Utilizando la fórmula A=b⋅h Sustituyendo y calculando tenemos A = (20 cm)(15 cm) = 300 cm2 Por tanto, podemos decir que el área del paralelogramo es de 300 cm2.

Rombo a

D

a

d

a

a

Para determinar el área y el perímetro aplicamos la siguiente fórmula. D⋅d y P = 4a 2 Donde D y d son las diagonales y a es lo que mide cada lado. A=

Ejemplo

Si las diagonales de un rombo son 10 y 12 cm respectivamente, determina su área.

d = 10 cm

D = 12 cm

71

72

Geometría y trigonometría

Utilizando la fórmula A=

D⋅d 2

Sustituyendo y calculando tenemos: A=

(12 cm)(10 cm) 120 cm 2 = = 60 cm 2 2 2

Por tanto, podemos decir que el área del rombo es de 60 cm2.

Círculo r

El área del círculo es A = π r2 Donde r = radio y π = 3.1416.

Ejemplo

Determina el área del círculo, si tiene un radio de 5 cm.

r = 5 cm

Si el área del círculo se calcula con A = π ⋅ r2 Sustituyendo el radio obtenemos A = π ⋅ (5 cm)2 = π 25 cm2 = 25 π ⋅ cm2 = 78.54 cm2 Por tanto, el área del círculo es 78.54 cm2.

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

Área del sector circular 

r r

Para determinar el área del sector circular aplicamos A=

φ ⋅π ⋅r2 360°

Y para el perímetro del sector circular tenemos l=

φ ⋅π ⋅r ∴ P = l + 2r 180°

Donde φ se mide en grados sexagesimales, r = radio, π = 3 y  = longitud de arco.

Ejemplo

Determina el área del sector circular cuyo ángulo es de 60º de un círculo de radio 12 cm.

r = 12 cm



= 60° r = 12 cm

El área del sector circular se calcula con A=

φ ⋅π ⋅r2 360°

Sustituimos en la fórmula

A=

60° ⋅ π (12 cm)2 8640 ⋅ π ⋅ cm = = 24 ⋅ π ⋅ cm 2 ≈ 75.39 cm 2 360° 360°

Por tanto, el área del sector circular es 75.39 cm2.

73

74

Geometría y trigonometría

Área del segmento circular

r

r b

h

 Para determinar el área del segmento circular aplicamos

φ ⋅π ⋅r2 b ⋅ h = 360° 2 Para el perímetro del segmento circular tenemos A=

=

φ ⋅π ⋅r ∴P = l + b 180°

Donde φ se mide en grados sexagesimales, r = radio, π = 3.1416, b = cuerda o base del triángulo formado, h = a la altura del triángulo formado y  = longitud de arco.

Ejemplo

Determina el área del segmento circular cuyo ángulo es de 50º, de un círculo con radio es de 12 cm, cuerda de 10.14 cm y altura 10.87 cm.

= 50°

r = 12 cm h = 10.87 cm

b = 10.14 cm

El área del segmento circular se calcula con A=

φ ⋅π ⋅r b ⋅ h − 360° 2

Sustituimos en la fórmula A=

(50°) ⋅ π ⋅ (12 cm)2 (10.14 cm)(10.87 cm) 7200 ⋅ π ⋅ cm 2 − = − 55.1109 cm 2 360° 2 360

20 ⋅ π cm2 – 55.1109 cm2 ≈ 7.72 cm2 Por tanto, el área del sector circular es 7.72 cm2.

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

Polígonos regulares

a

a

 A=



P⋅a y P = n 2

Donde P = perímetro, n = número de lados,  = longitud de cada lado y a = apotema.

Ejemplo

Determinar el área de un pentágono regular cuyos lados miden 12 unidades y tiene una apotema de 5 unidades.

a=5U  = 12 U Retomemos la fórmula A=

Pa 2

Sustituyendo tenemos P = n ⋅  = (5)(12) = 60 U A=

(60 U)(5 U) 300 U 2 = = 150 U 2 2 2

Por tanto el área del pentágono regular es de 150 U 2.

Volúmenes de figuras geométricas Cubo

l l l

Donde l = longitud de cada lado.

V = l3

75

76

Geometría y trigonometría

Ejemplo

Determina el volumen de un cubo cuyos lados miden 5 cm.

l = 5 cm l = 5 cm l = 5 cm La fórmula para calcular el volumen es V = l3 Si l = 5 cm = V = (5 cm)3 = 125 cm3 El volumen del cubo es de 125 cm3.

Prismas r

A h

h

V = Ah Donde A = área de la base y h = altura.

Ejemplo

Si el radio de la base del cilindro es de 10 cm, y la altura del cilindro es de 20 cm, determina su volumen. r h

Como r = 10 cm y h = 20 cm Sustituimos en la fórmula V = π ⋅ r2 ⋅ h V = π (10 cm)2(20 cm) = π (100 cm)2(20 cm) = V = 2 000 π cm3 = 6283.2 cm3 Por tanto, el volumen del cilindro es de 6283.2 cm3.

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

Cono

h r 1 V = π ⋅ r 2h 3 Donde r = radio de la base, π = 3.1416 y h = altura.

Ejemplo

Si el radio de la base del cono es de 6 cm y la altura es de 10 cm, determina su volumen.

h = 10 cm

r = 6 cm Como r = 6 cm y h = 10 cm Sustituimos en la fórmula 1 V = π ⋅r2 ⋅h 3 1 1 V = π (6 cm)2 (10 cm) = π (36 cm 2 )(10 cm) = V = 120 π cm 3 ≈ 377 cm 3 3 3 Por tanto, el volumen del cono es de 377 cm3.

Esfera r

4 V = πr3 3 Donde r = radio de la base y π = 3.1416.

77

78

Geometría y trigonometría

Ejemplo

Determina el volumen de la esfera cuyo radio es de 3 cm.

r

Partiendo de la fórmula

d Activida

4 V = π ⋅r3 3

Reemplazando en la fórmula tenemos

s

Ejemplo

4 π 108 cm 3 r = 3 cm V = π ⋅ (3 cm)3 = = 36π cm 3 3 3

Por tanto, el volumen de la esfera es de 113.09 cm3.

s

Ejjercicio

Resuelve lo siguiente. 1. Si cada lado del cuadrado mide 15 cm, determina su área.

s

Ejemplo

nes de conversio



2. Si el área de un cuadrado es de 169 cm2, determina su perímetro.



3. Si los lados de un rectángulo son 10 y 12 cm, calcula su área.



4. La base de un triángulo es de 15 cm y su altura es de 12 cm, determinar su área.

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)



5. Si los lados de un triángulo miden 10, 12 y 16 cm respectivamente, determina su área.



6. Si un triángulo equilátero tiene un área de 200 cm2, determina su base y su altura.



7. Si los valores de las diagonales de un rombo son 15 y 10 cm respectivamente, calcula su área.



8. Las bases de un trapecio miden 28 y 12 cm, determina su área si éste tiene una altura de 10 cm.



9. El área de un paralelogramo es de 100 cm2, calcula la altura si su base mide 12 cm.

10. Si la diagonal de un cuadrado es de 12 cm, determina el perímetro del cuadrado.

11. Calcula el área de un círculo con un radio de 15 cm.

12. Si el área del círculo es de 31.14 cm2, determina su radio.

13. Determina el área de un sector circular con ángulo de 38º y radio de 15 cm.

14. Un octágono regular tiene un perímetro de 40 cm y apotema de 6 cm.

79

80

Geometría y trigonometría

15. Un dodecágono regular tiene un perímetro 144 cm y apotema de 22.4 cm.

16. Si un cubo tiene un volumen de 1000 m3, determina el valor de sus aristas.

17. Si un cono tiene una base de radio 15 cm y una altura de 30 cm, determina su volumen.

18. Determina el volumen de una esfera con radio de 37 cm.

19. Si la altura de un cilindro es de 25 cm determina el radio de la base si ésta tiene un volumen de 1000 cm3.

20. Si la base de un prisma es un pentágono regular el cual tiene un perímetro de 125 cm con apotema 17 cm. Calcula su volumen si su altura es de 45 cm.

Nota: si buscas un reto mayor puedes consultar las páginas 127, 128, 129 y 130 (ejercicio 32) del libro del Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Geometría y trigonometría. México. Pearson. ISBN 978-607-442-350-1.

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

Instrumentos de evaluación Autoevaluación Evalúa tu nivel de desempeño. Tema 3. Triángulos Insuficiente 4 puntos

Indicadores de desempeño

Elemental 6 puntos

Bueno 8 puntos

Excelente 10 puntos

Comprendo el concepto de triángulo como la superficie delimitada por tres líneas rectas que se cortan una a una.

 

 

 

 

Identifico los diferentes tipos de triángulos de acuerdo con la medida de sus lados.

 

 

 

 

Resuelvo ejercicios y problemas utilizando los teoremas sobre los ángulos interiores y exteriores de un triángulo.

 

 

 

 

Resuelvo ejercicios y problemas aplicando el teorema de Tales.

 

 

 

 

Resuelvo ejercicios y problemas cotidianos utilizando el teorema de Pitágoras.

 

 

 

 

 

 

 

 

Identifico los diferentes tipos de triángulos de acuerdo con la medida de sus ángulos.

Total

Si tu puntuación total es menor a 36 puntos te sugerimos revisar las actividades del tema.

81

v

82

Geometría y trigonometría

Tema 4. Polígonos, circunferencia, áreas y volúmenes de figuras geométricas Insuficiente 4 puntos

Indicadores de desempeño

Elemental 6 puntos

Bueno 8 puntos

Excelente 10 puntos

Comprendo el concepto de polígono.

 

 

 

 

Identifico el nombre de un polígono por el número de sus lados.

 

 

 

 

Identifico los diferentes tipos de polígonos de acuerdo con la longitud de sus lados.

 

 

 

 

Identifico los diferentes tipos de polígonos de acuerdo con la longitud de sus ángulos interiores.

 

 

 

 

Calculo el número de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados.

 

 

 

 

Calculo la medida de los ángulos interiores de un polígono regular.

 

 

 

 

 

 

 

 

Comprendo la diferencia entre una circunferencia y un círculo. Comprendo la diferencia entre una circunferencia y un círculo. Comprendo la diferencia entre una circunferencia y un círculo. Resuelvo ejercicios y problemas sobre áreas y volúmenes de figuras geométricas. Total

Si tu puntuación total es menor a 36 puntos te sugerimos revisar las actividades del tema.

Unidad 2 • Figuras geométricas (triángulos, polígonos y circunferencias)

Coevaluación Evalúa el trabajo de tres compañeros de grupo. Obtengan la suma del puntaje de acuerdo con la siguiente escala. 3. Muy bien  2. Bien  1. Regular  0. Deficiente Lista de cotejo Indicadores de evaluación

Compañero 1

Compañero 2

Compañero 3

Responsabilidad individual en clase

 

 

 

Responsabilidad y compromiso en clase

 

 

 

Disponibilidad para trabajar en equipo

 

 

 

Colaboración con los compañeros de clase

 

 

 

Disposición para realizar las actividades

 

 

 

Adquisición y asimilación de conceptos

 

 

 

Disposición al intercambio de ideas

 

 

 

Realización de los trabajos extraclase

83

Unidad

Relaciones trigonométricas

3

Tema 5

Relaciones y funciones en el triángulo

Competencias

Contenido

Disciplinares

• • • • •

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Razones trigonométricas. Resolución de triángulos rectángulos. Uso de la calculadora científica. Funciones trigonométricas de ángulos notables. Funciones trigonométricas de ángulos notables en el plano cartesiano. • Resolución de triángulos oblicuángulos. • Identidades fundamentales.

Genéricas 7.2 Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos. 7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

86

Contenidos procedimentales • Comprende las relaciones entre los lados y los • • • • •

ángulos de un triángulo rectángulo como funciones trigonométricas básicas. Aplica las funciones trigonométricas básicas para resolver triángulos rectángulos. Identifica las funciones trigonométricas de los ángulos notables de 30°, 45° y 60°. Identifica las funciones trigonométricas de los ángulos notables de cuadrante. Resuelve triángulos oblicuángulos aplicando las leyes de los senos, cosenos y tangentes. Comprueba identidades trigonométricas haciendo uso de las relaciones fundamentales: recíprocas, cocientes y pitagóricas.

Contenidos actitudinales • Expresa sus ideas mediante el lenguaje geométrico y algebraico. • Trabaja en equipo y respeta a sus compañeros al resolver problemas. • Participa activamente en la construcción del conocimiento.

Contenidos transversales • La comprensión de la situación problemática. • La identificación de datos y variables. • La representación de las relaciones entre las variables a través de un modelo matemático.

• La resolución de modelos mediante métodos matemáticos.

• La interpretación y argumentación de la solución, es decir, el dar significado a los datos matemáticos en un contexto real.

87

E V A L U A C I Ó N

D I A G N Ó S T I C A

Analiza los siguientes ejercicios y resuélvelos aplicando tus conocimientos previos. 1 ¿Qué es un triángulo rectángulo?

2 ¿Qué establece el teorema de Pitágoras?

3 Explica en qué condiciones dos triángulos son semejantes.

4 Determina el valor de la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo.

6 cm 8 cm

5 Determina el valor del cateto a del siguiente triángulo rectángulo.

6 cm

10 cm

a

6 Determina el valor α del siguiente triángulo.

60°

60°

α

7 ¿Qué estudia la trigonometría?

8 Escribe dos diferencias entre geometría y trigonometría.

9 Nombra las funciones trigonométricas.

10 Define las funciones trigonométricas para un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.

90

Geometría y trigonometría

Tema 5 Relaciones trigonométricas Razones trigonométricas En la unidad anterior estudiamos el triángulo rectángulo y la relación que existe entre sus lados por medio del teorema de Pitágoras (figura). En un triángulo rectángulo también existen otras relaciones llamadas razones o funciones trigonométricas, las cuales relacionan los lados de un triángulo con sus ángulos internos. Estas relaciones permiten calcular las funciones trigonométricas para ángulos de cualquier valor. En esta unidad estudiaremos tales relaciones y observaremos algunos ejemplos. B (Hipotenusa) h

A

α b (Cateto adyacente)

(Cateto opuesto) a a2 + b2 = h2

C

Teorema de Pitágoras

Las funciones trigonométricas básicas son seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Generalmente, estas funciones se expresan mediante una abreviación y siempre van acompañadas de su argumento o ángulo. Por ejemplo: donde • Sen es la abreviación de seno. • α es el ángulo, que puede estar expresado en grados, radianes o gradianes.

Sen(α)

Tomando como referencia la figura anterior, se pueden definir las funciones trigonométricas básicas, de la siguiente forma. Nombre de la función

Seno

Definición

Sen(α) =

cateto opuesto a = hipotenusa h

Coseno

Cos(α) =

cateto adyacente b = hipotenusa h

Tangente

Tan(α) =

cateto opuesto a = cateto adyacente b

Otras tres funciones trigonométricas básicas consisten en el inverso de las tres primeras.

Unidad 3 • Relaciones trigonométricas

Nombre de la función

Definición

Cotangente

Cot(α) =

cateto adyacente b = cateto opuesto a

Secante

Sec(α) =

hipotenusa h = cateto adyacente b

Csc(α ) =

Cosecante

hipotenusa h = cateto opuesto a

Resolución de triángulos rectángulos Para resolver un triángulo rectángulo se utilizan las funciones trigonométricas básicas y el teorema de Pitágoras, y consiste en calcular cualquiera de sus ángulos agudos o la longitud de sus lados considerando dos datos conocidos, además del ángulo recto.

s

Ejemplo



1. Para el triángulo de la figura siguiente, encuentra el valor del cateto adyacente (b), dados los valores del ángulo β y el cateto opuesto (a). α

β = 40° a = 5 cm b=?

c

a 90°

β b

Solución En este caso, la razón trigonométrica que involucra al cateto adyacente (b), al cateto opuesto (α) y al ángulo β es Tan(α) =

cateto opuesto a = cateto adyacente b

Sustituyendo los valores en la ecuación, tenemos que Tan(40°) =

5 b

Al evaluar la tan(40°) con una calculadora científica, observamos que el resultado no es un valor finito, por lo que en esta ocasión utilizaremos tres cifras significativas del punto a la derecha. 5 0.839 = b

91

92

Geometría y trigonometría

Resolviendo la ecuación para b: b=

5 cm = 5.959 cm 0.839

2.  Para el triángulo de la figura siguiente, encuentra el valor del cateto α, dados los valores del ángulo β y la hipotenusa (c). α

β = 35° c = 10 cm b=?

c

a 90°

β b

Solución En este caso, la razón trigonométrica que involucra al cateto adyacente (b), a la hipotenusa (c) y al ángulo (β) es Sen(α) =

cateto opuesto a = hipotenusa c

Sustituyendo los valores en la ecuación, tenemos que Sen(30°) =

cateto opuesto c

El valor de sen(30°) no es un valor finito, pero en esta ocasión utilizaremos cuatro cifras significativas del punto a la derecha.

0.5735 =

10 c

Resolviendo la ecuación para c:

c= En Internet El explorador de Google tiene una aplicación que es calculadora científica. Para acceder a la calculadora de Google escribe la siguiente dirección en un explorador de Internet.

http://tinyurl.com/calculadoragoogle

10 cm = 17.43 cm 0.5735

Uso de la calculadora científica para el cálculo de funciones trigonométricas Las calculadoras científicas han sustituido a las tablas para el cálculo de funciones trigonométricas, lo cual facilita significativamente el proceso para encontrar las relaciones entre ángulos y lados de un triángulo.

s

Ejemplo

Unidad 3 • Relaciones trigonométricas

s

Ejjercicio

a



1. Calcula el valor de la función trigonométrica para el ángulo indicado. Utiliza una calculadora científica y expresa el resultado con cuatro dígitos del punto a la derecha.

plos

EjemRecuerda que es importante verificar las unidades de la calculadora. nes

de conversio

a) Sen(10°) b) Cos(15°) c) Tan(80°) d) Cot(5°) e) Sec(89°) f)

Csc(0.5°)

2.  Para el triángulo de la figura siguiente, encuentra el valor del ángulo β, dados los valores del cateto opuesto y la hipotenusa.



α

β=? c = 10 cm b = 5 cm

c

a 90°

β b

Solución En este caso, la razón trigonométrica que involucra al cateto opuesto, a la hipotenusa y al ángulo β es Sen(β) =

cateto opuesto = hipotenusa

Sustituyendo los valores en la ecuación, tenemos que Sen(β) =

cateto opuesto a 5 cm = = = 0.5 hipotenusa c 10 cm

Sabemos ahora que sen(β) = 0.5. Para obtener el valor de β en grados, es necesario el uso de una calculadora científica que evalúe la función arcsen(sen(β)), es decir: β = arcsen(0.5) Usando una calculadora científica obtenemos: β = arcsen(0.5) = 30°

Cabe mencionar que la función arcsen(x) es diferente de la función sen −1 (β) =

1 sen(β)

93

94

Geometría y trigonometría

s

Ejemplo



1. Se sitúa un punto a 20 metros de un edificio. Si el ángulo de elevación al punto más alto del edificio es de 46° 23′, encuentra la altura del edificio.

Solución Se representa el problema con un dibujo:

h 46° 23′ 20 m

Para hallar la altura del edificio se utiliza la función tangente, ya que se tienen como datos un ángulo y el cateto adyacente a éste, y la altura representa el cateto opuesto al ángulo dado: h tan 46° 23′ = 20 Al despejar h: h = (20) (tan 46° 23′) = (20) (1.04949) ≈ 21 m De acuerdo con el dato anterior, la altura del edificio es de 21 m. 2. En la construcción de una carretera se encuentra una montaña de 250 metros de altura, a través de ella se construirá un túnel. La punta de la montaña se observa bajo un ángulo de 48° 30′ desde un punto P en un extremo de la montaña, y bajo un ángulo de 38° desde el otro extremo. ¿Cuál será la longitud del túnel? Solución

T

250 48º 30′ P

a

38º R

b

Q

La longitud del túnel está determinada por a + b.    Para obtener a, se utiliza el triángulo PRT y se aplica la función tangente de ∠P: En Internet Una herramienta muy útil para el cálculo de funciones trigonométricas es el proyecto Wolfram Alpha. Para acceder a la página de Wolfram Alpha escribe la siguiente dirección en un explorador de Internet.

tan 48° 30′ =



Al despejar a a=



http://www.wolframalpha. com/input/?i=arcsin%28.5%29



250 a

250 250 = = 221.19 m tan 48°30 ' 1.1302

Para obtener b, se utiliza el triángulo QRT y se aplica la función tangente de ∠Q: 250 tan 38° = b Al despejar b 250 250 = 320.02 m b= = tan 38° 0.7812 Por tanto, la longitud del túnel es: 221.19 + 320.02 = 541.21 m.

s

Ejemplo

Unidad 3 • Relaciones trigonométricas

s

Ejjercicio

Calcula el valor del cateto, la hipotenusa o el ángulo, según sea el caso.

plos

Ejem 1. nversiones

de co

β = 5° c = 15 cm b=?

α c

a 90°

β b

2.

β = 15° b = 25 cm a=?

α c

a 90°

β b

3.

α = 70° a = 25 cm c=?

α c

a 90°

β b

4.

α

b = 2/5 cm c = 3 cm α=?

c

a 90°

β b

95

96

Geometría y trigonometría

5.

α = 35° β = 45° c=?

α c

a 90°

β b

Resuelve los siguientes problemas:

1. En una torre de 40 m que está sobre un peñasco de 65 m de alto junto a una laguna, se encuentra un observador que mide el ángulo de depresión de 20° de un barco situado en la laguna. ¿A qué distancia de la orilla del peñasco se encuentra el barco?

20° 40 m

65 m d



2. A una distancia de 10 m de la base de un árbol, la punta de éste se observa bajo un ángulo de 23°. Calcula la altura del árbol.

h 23°

Unidad 3 • Relaciones trigonométricas



3. Una persona cuyos ojos están a 1.20 metros del suelo, observa una pintura que se encuentra a un metro del suelo y mide 1.50 metros. Dicha persona se encuentra a 2 metros de distancia de la pintura.

a)  ¿Cuál es el ángulo de visión?

b)  ¿A qué distancia se debe parar la perso­na para que el ángulo de visión sea de 45°?

1.5 m

1.5 m θ

45°

1.2 m





1.2 m

1m 2m

       

1m d

4. Un niño tiene un papalote, el cual hace volar sosteniendo una cuerda a un metro del suelo. La cuerda se tensa formando un ángulo de 45° con respecto a la horizontal. Obtén la altura del papalote con respecto al suelo si el niño suelta 20 metros de cuerda.

20 m

h

45° 1m

97

98

Geometría y trigonometría



5. Determina el ángulo de elevación del Sol si un poste de 2.56 metros proyecta una sombra de 1.85 metros.

2.56 m θ 1.85 m



6. Un globo de aire caliente sube con un ángulo de elevación con respecto a un punto A de 46° 10′. Calcula la altura a la que se encuentra el globo, con respecto a un punto P del suelo, si la distancia de éste al punto A es de 50 metros.

h

P

46° 10′

A

50 m



7. Desde lo alto de una torre cuya altura es de 25 m, se observa un automóvil alejándose de la torre, con un ángulo de depresión de 32°; si un instante después el ángulo es de 26°, ¿qué distancia se ha desplazado el automóvil? 32° 26° 25 m

d

Unidad 3 • Relaciones trigonométricas



8. Un maleante es perseguido por un patrullero, quien es apoyado desde el aire por un helicóptero, como se muestra en la figura. Si el ángulo de depresión desde el helicóptero hasta donde se encuentra el delincuente es de 25° y el ángulo de depresión hasta donde se encuentra el patrullero es de 65°, y su distancia a éste es de 25 metros,

65°

25°

25 m

PDF

calcula: La distancia entre el helicóptero y el delincuente. La distancia entre el patrullero y el delincuente. La altura del helicóptero.



9. Un ingeniero civil desea conocer el ángulo de elevación del topógrafo, así como la distancia a la que se encuentra del asta bandera, si se sabe que el asta bandera mide la cuarta parte de la altura del edificio que es de 16 metros, y la distancia entre ambas es de 9 metros.

16 m θ d

9m

99

100

Geometría y trigonometría

10. Una araña que se encuentra en la base de una caja desea alcanzar una mosca ubicada en la esquina opuesta de la caja, como se muestra en la figura. Las esquinas están conectadas por un cable tenso, determina cuál es el ángulo de elevación del cable y la distancia que recorrería la araña hasta llegar a la mosca por el cable. 3 3 dm

Cable

5 dm

12 dm

11. Se tienen dos poleas de radios R, r y la distancia entre sus ejes es l, ¿cuál es la longitud de la cadena de transmisión?

R

l

r

12. Debido a un accidente en unos laboratorios químicos, se tuvieron que desalojar las casas que estuvieran en un radio de 500 m de los laboratorios. Una familia vivía a 250 m al este y 195 m al sur de los laboratorios. Determina si la familia desalojó su casa. N E

O S Laboratorio químico Casa de la familia

195 m 250 m

Unidad 3 • Relaciones trigonométricas

Funciones trigonométricas de ángulos notables En ejemplos anteriores, estudiamos que al evaluar una función trigonométrica para un ángulo dado, no se obtuvieron valores finitos o exactos. Por ejemplo: Tan(40°) ≈ 0.8391 Sen(35°) ≈ 0.5736 Los valores anteriores son difíciles de obtener sin una calculadora científica o tablas trigonométricas. Sin embargo, no es así para todos los ángulos, existen algunos otros, conocidos como ángulos notables, para los que se puede calcular el valor de las funciones trigonométricas de manera relativamente simple y sin calculadora.

Funciones trigonométricas para 0 < α < 90 Empecemos con los ángulos de 30° y de 60°. Considere el triángulo equilátero de la figura. Aunque podemos asignar cualquier valor para a, definiremos a = 1 y dividiremos el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos. Ahora, con sólo uno de los triángulos rectángulos podemos determinar el valor del sen(60°).

1

1/2

30° h

30°

1 60° 1/2

1 60° a/2

Para la mitad del triángulo equilátero, el teorema de Pitágoras quedaría establecido de la siguiente forma. 2

 a  + h2 = 1  2 Si a = 1, entonces 2

Despejando h: Por tanto,

 1  + h2 = 1   2 1 + h2 = 1 4 h2 = 1 − h=

1 3 = 4 4

3 3 3 = = 4 4 2

3 cateto opuesto h 3 Sen(60°) = = = 2 = hipotenusa 1 1 2

101

102

Geometría y trigonometría

El cos(60°) se obtiene al dividir el valor de a, que en este caso es igual a 1 entre el valor de la hipotenusa. Por lo tanto, cateto adyacente a 1 = = 2 2 hipotenusa

Cos(60°) =

Una vez calculados los valores de sen(60°) y cos(60°), podemos calcular la tan(60°), de la siguiente forma. 3 cateto opuesto 3 2 Tan(60°) = = = = 3 1 cateto adyacente 1 2 De manera similar, se puede calcular el valor de sen(30°), cos(30°) y tan(30°). Considera el triángulo rectángulo de la siguiente figura: 1

60°

a/2

30° h Mediante el teorema de Pitágoras definimos 2

 a  + h2 = 1  2

Si a = 1, entonces

2

 1  + h2 = 1   2



1 + h2 = 1 4

Obteniendo el valor para h: Por lo tanto,

h2 = 1 − h=

1 3 = 4 4

3 3 3 = = 4 4 2

a 1 cateto opuesto 2 2 1 Sen(30°) = = = = hipotenusa 1 1 2 El cos(30°) se obtiene al dividir el valor de h, que en este caso es igual a

3 entre 1. Por lo tanto, 2

3 cateto adyacente 3 2 Cos(30°) = = = hipotenusa 1 2 Una vez calculados los valores de sen(30°) y cos(30°), podemos calcular la tan(30°), de la siguiente forma. 1 cateto opuesto 1 Tan(30°) = = 2 = 3 cateto adyacente 3 2

s

Ejemplo

Unidad 3 • Relaciones trigonométricas

s

Ejjercicio



1. Calcula el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo indicado. Para ello, no uses la calculadora científica; ayúdate con el análisis basado en la circunferencia losplano. Ejemypel nes

de conversio

a) Cot(60°)

b) Sec(60°)

c) Csc(60°)

d) Cot(30°)

e) Sec(30°)

f) Csc(30°)

103

104

Geometría y trigonometría



2. Compara los resultados del ejercicio anterior con los obtenidos al usar una calculadora científica y completa la siguiente tabla.

α

Con circunferencia y plano Csc

Sec

Con calculadora

Cot

Csc

Sec

Cot

Diferencia Csc

Sec

Cot

30° 60°

Para calcular el valor de las funciones trigonométricas de un triángulo de 45° se utiliza un cuadrado de una unidad por lado, el cual se convierte en dos triángulos rectángulos si trazamos una diagonal, tal como se muestra en la figura. 1

1

c

b=1

a=1 Primero, calcularemos la longitud de la diagonal del cuadrado, que equivale a la hipotenusa de cada triángulo rectángulo. Considerando que cada lado del cuadrado es igual a 1 y utilizando el teorema de Pitágoras, tenemos que c2 = a2 + b2 Sustituyendo dichos valores, según la figura anterior. c2 = (1)2 + (1)2 Por lo tanto, c= 2 Teniendo el valor de la hipotenusa es posible calcular los valores de sen(45°) y cos(45°).

Sen(45°) =

cateto opuesto 1 cateto adyacente 1 = = Cos(45°) = hipotenusa 2    hipotenusa 2

Unidad 3 • Relaciones trigonométricas

De la misma forma que en ejemplos anteriores, calculamos el valor de la tan(45°) con los resultados obtenidos del sen(45°) y cos(45°). 1 cateto opuesto Tan(45°) = = 2 =1 1 cateto adyacente 2

3. Calcula el valor de las funciones trigonométricas siguientes. Para ello, no uses la calculadora científica; ayúdate con el análisis basado en la circunferencia y el plano.

a) Cot(45°)

b) Sec(45°)

c) Csc(45°)



4. Compara los resultados del ejercicio anterior con los obtenidos con una calculadora científica y completa la siguiente tabla.

Con triángulos

Con calculadora

Diferencia

α Csc

45°

Sec

Cot

Csc

Sec

Cot

Csc

Sec

Cot

105

106

Geometría y trigonometría

Funciones trigonométricas en el plano cartesiano Entre la circunferencia y el plano cartesiano existe una relación por la cual se definen las funciones trigonométricas para cualquier ángulo. En este apartado estudiaremos dicha relación. Empecemos por estudiar cómo se vinculan la circunferencia, los ángulos y el plano cartesiano. En la siguiente figura observamos una circunferencia cuyo centro se encuentra en el origen del plano. Dicha circunferencia se conoce como unitaria, ya que tiene como radio la unidad. 2

Cuadrante II

Cuadrante I y

–2

1

0

–1

1

x

2

–1

Cuadrante III

Cuadrante IV –2

Circunferencia unitaria en el plano cartesiano

Utilizando la circunferencia unitaria y el plano cartesiano es posible ubicar un punto p sobre la circunferencia. Una forma de hacerlo es mediante el ángulo entre el eje x y una línea recta que va desde el origen del plano hasta el punto p. La otra es mediante sus coordenadas (x, y), tal como se muestra en la figura. y

1

p(x1, y1)

Sen(α) –2

–1

α 0

Cos(α)

1

x

2

–1

Funciones seno y coseno de un ángulo

A partir de la proyección del punto p sobre los ejes x y y, se definen dos de las funciones trigonométricas básicas: el seno y el coseno de un ángulo. A partir de la relación que existe entre el seno y el coseno, se define otra de las funciones trigonométricas básicas: la tangente. Tan(α) =

Sen(α ) Cos(α )

Unidad 3 • Relaciones trigonométricas

Observa el triángulo rectángulo que se forma a partir de las proyecciones del punto p con los ejes x y y del plano. Debido a que se trata de una circunferencia unitaria, el valor de la hipotenusa es igual a 1 (h = 1). y

1

p(x1, y1)

Sen(α) –2

h

α 0

–1

Cos(α)

1

x

2

α Cos(α)

–1

Seno y coseno de un ángulo

Ejercicio Marca con una X la coordenada del ángulo al que corresponde, según las funciones trigonométricas del ángulo dado. Coordenada (x, y)

α = 30°

α = 45°

α = 60°

 1 3  2 , 2   1 3  2 , 2   1 3  2 , 2 

Funciones trigonométricas para α = 90° Si α = 90°, tal como se muestra en la siguiente figura, el sen(90°) tiene la proyección de h en su máxima longitud sobre el eje y, por lo que es igual al radio de la circunferencia. En el caso del cos(90°), no existe sobre x una proyección. Por tanto,

Sen(90°) = 1 Tan(90°) =

Cos(90°) = 0

Sen(90°) 1 = =∞ Cos(90°) 0 y

–2

–1

1

0

–1

p

1

x

2

107

s

Ejemplo 108

Geometría y trigonometría

s

Ejjercicio



1. Calcula el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo dado. Para ello, no uses la calculadora científica; ayúdate con el análisis basado en la circunferencia y s plano. Ejemelplo

nes de conversio

a) Cot(90°)

b) Sec(90°)

c) Csc(90°)



2. Compara los resultados del ejercicio anterior con los obtenidos al usar una calculadora científica y completa la siguiente tabla.

Plano y circunferencia α

90°

Cot

Sec

Csc

Con calculadora Cot

Sec

Csc

Diferencia Cot

Sec

Csc

Unidad 3 • Relaciones trigonométricas

Funciones trigonométricas para 90° < α < 180° Un ángulo mayor a 90° y menor de 180° significa que el punto p se encuentra en el segundo cuadrante del plano, en el cual el eje de las x tiene sólo valores negativos y el eje de las y positivos. En la figura se muestra dicho caso. y 1

p

Sen(α) α

β

–1 Cos(α) 0

1

x

–1

Ejemplo

Digamos que el ángulo α es igual a 120°. Su complemento, llamémoslo β, es igual a 60°, es decir, β = 180° − 120° = 60°. Ahora, trabajemos con el triángulo rectángulo que se forma con el ángulo complementario, como se muestra en la siguiente figura.

30°

1 60°

Anteriormente, calculamos el sen(60°), que consiste en la proyección del punto p sobre el eje y. Así también, calculamos el cos(60°) que es la proyección del punto p sobre el eje x. Para ambos casos se obtienen los siguientes resultados. Sen(60°) =

3 1 Cos(60°) = 2 2   

Sin embargo, como el punto p se encuentra en el segundo cuadrante, el cos(120°) tiene un valor negativo. 3 1 Cos(120°) = − 2    2 Considerando ambos valores, calculamos la tan(120°). Sen(120°) =

3 2 Tan(120°) = =− 3 1 − 2 De manera similar se calculan los valores de las funciones trigonométricas para ángulos de 135° y 150°, ambos en el segundo cuadrante. Para ello, se utilizan triángulos con ángulos de 45° y 30°, respectivamente.

109

s

Ejemplo 110

Geometría y trigonometría

s

Ejjercicio



1. Calcula el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo dado. Para ello, no uses la calculadora científica; ayúdate con el análisis basado en la circunferencia y s plano. Ejemelplo

nes de conversio

a) α = 135°

b) α = 150°



2. Compara los resultados del ejercicio anterior, además del resultado para α = 120° con los obtenidos al usar una calculadora científica y completa la siguiente tabla. α

Con plano y circunferencia Sen

Cos

Con calculadora

Tan

Sen

Cos

Tan

Diferencia Sen

Cos

Tan

120° 135° 150°

Funciones trigonométricas para α = 180° Si α = 180°, tal como se muestra en la figura, el sen(180°) tiene la proyección de h en su máxima longitud sobre el eje x en su parte negativa. Por ello, no existe proyección sobre el eje y. En el caso de cos(180°), la proyección es igual al radio de la circunferencia con signo negativo. Por lo tanto, Sen(180°) = 0

Tan(180°) =

Cos(180°) = –1

Sen(180°) 0 = =0 Cos(180°) −1 y 1

α –1

0

–1

1

x

s

Ejemplo

Unidad 3 • Relaciones trigonométricas

s

Ejjercicio



1. Calcula el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo dado. Para ello, no uses la calculadora científica, ayúdate con el triángulo rectángulo correspondiente lossolución. Ejemapsu nes

de conversio

a) Cot(180°)

b) Sec(180°)

c) Csc(180°)



2.  Compara los resultados del ejercicio anterior con los obtenidos al usar una calculadora científica y completa la siguiente tabla.

α

Con plano y circunferencia Cot

Sec

Con calculadora

Csc

Cot

Sec

Csc

Diferencia Cot

Sec

Csc

180°

Funciones trigonométricas para 180° < α < 270° Un ángulo mayor a 180° y menor de 270° implica que el punto p se encuentra en el tercer cuadrante del plano, en el cual tanto los ejes x como y están constituidos por valores negativos. Un ejemplo del punto p en el a cuadrante se muestra en la figura. y 1

α –1

β

0

–1

1

x

111

112

Geometría y trigonometría

En este caso, β = 210° − 180° = 30°, entonces podemos dibujar un triángulo como el que se muestra en la siguiente figura. 30° 60°

60°

1 30°

Recordemos que anteriormente obtuvimos las funciones trigonométricas usando un triángulo similar. En el caso del cos(210°), la proyección de p sobre el eje x tiene una longitud igual a la de cos(30°), pero con valor negativo, la misma situación que ocurre con el sen(210°). Por lo tanto,

d Activida

3 2 1 s Sen(180°) − 1 Ejemplo Tan(180°) = = 2 = 3 Cos(180°) 3 − 2

Sen(210°) = −Sen(30°) = −

Cos(210°) = − Cos(30°) = −

1 2

s

Ejjercicio



1. Calcula el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo dado. Para ello, no uses la calculadora científica; ayúdate con el análisis basado en la circunferencia y s m je plano. E elplo

nes de conversio

a) α = 225°

b) α = 245°



2.  Compara los resultados del ejercicio anterior, además del resultado para α = 210° con los obtenidos al usar una calculadora científica y completa la siguiente tabla.

α

Con plano y circunferencia Sen

210° 225° 245°

Cos

Tan

Con calculadora Sen

Cos

Tan

Diferencia Sen

Cos

Tan

Unidad 3 • Relaciones trigonométricas

Funciones trigonométricas para α = 270° Si α = 270°, tal como se muestra en la figura, el sen(270°) tiene la proyección de h en su máxima longitud sobre el eje y en su parte negativa. Esto es igual al radio de la circunferencia. En el caso de cos(270°) no existe proyección sobre el eje x. Por tanto, Sen(270°) = –1

Tan(180°) =

Cos(270°) = 0

Sen(180°) −1 = =∞ Cos(180°) 0

y 1

d Activida –1

0

1

x

s

Ejemplo

–1

s

Ejjercicio



1. Calcula el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo dado. Para ello, no uses la calculadora científica; ayúdate con el análisis basado en la circunferencia y s plano. Ejemelplo nes

de conversio

a) Cot(270°)

b) Sec(270°)

c) Csc(270°)

113

114

Geometría y trigonometría



2.  Compara los resultados del ejercicio anterior con los obtenidos al usar una calculadora científica y completa la siguiente tabla. Con plano y circunferencia

α

Cot

Sec

Con calculadora

Csc

Cot

Sec

Diferencia

Csc

Cot

Sec

Csc

270°

Funciones trigonométricas para 270° < α < 360° Un ángulo mayor a 270° y menor de 360° implica que el punto p se encuentra en el cuarto cuadrante del plano. En este cuadrante, el eje y está constituido por valores negativos y el eje x por valores positivos. Un ejemplo de ello es el punto p que se muestra en la figura. y 1

α

d Activida

–1

1

x

p –1

s

Ejemplo

Sen(270°) = –1

Cos(270°) = 0

Tan(180°) =

Sen(180°) −1 = =∞ Cos(180°) 0

s

Ejjercicio



1. Calcula el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo dado. Para ello, no uses la calculadora científica; ayúdate considerando la relación que existe entre el plos y la circunferencia. Ejemplano nes de conversio

a) α = 300°

b) α = 315°

Unidad 3 • Relaciones trigonométricas



2.  Compara los resultados del ejercicio anterior, además del resultado para α = 330° con los obtenidos al usar una calculadora científica y completa la siguiente tabla. Con plano y circunferencia

α

Sen

Cos

Con calculadora

Tan

Sen

Cos

Diferencia

Tan

Sen

Cos

Tan

300° 315° 330°

Funciones trigonométricas para α = 0° y α = 360° Si α = 0° o α = 360° tal como se muestra en la figura, en ambos casos el punto p tiene la proyección de h en su máxima longitud sobre el eje x en su parte positiva, por lo que no existe proyección sobre el eje y. Por tanto, Sen(0°) = sen(360°) = 0

Cos(0°) = cos(360°) = 1

Tan(0°) =

Sen(180°) 0 = =0 Cos(180°) 1

y 1

d Activida –1

s

Ejemplo

0

1

x

–1

s

Ejjercicio



1. Calcula el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo dado. Para ello, no uses la calculadora científica; ayúdate considerando la relación que existe entre el plos y la circunferencia. Ejemplano nes

de conversio

a) Cot(360°)

115

116

Geometría y trigonometría

b) Sec(360°)

c) Csc(360°)

d) Cot(0°)

e) Sec(0°)

f) Csc(0°)



2. Compara los resultados del ejercicio anterior con los obtenidos al usar una calculadora científica y completa la siguiente tabla.

α

Con plano y circunferencia Cot

0° 360°

Sec

Csc

Con calculadora Cot

Sec

Csc

Diferencia Cot

Sec

Csc

Unidad 3 • Relaciones trigonométricas

Resolución de triángulos oblicuángulos Ley de senos La razón que existe entre un lado de un triángulo oblicuángulo y el seno del ángulo opuesto a dicho lado es proporcional a la misma razón entre los lados y ángulos restantes. C

b

Ley de senos: a b c = = sen A sen B sen C

a

B

c

A

La ley de senos se utiliza cuando: • Los datos conocidos son 2 lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. • Los datos conocidos son 2 ángulos y cualquier lado.

s

Ejemplo



1. En el triángulo ABC, b = 15 cm, ∠ B = 42° y ∠ C = 76°. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes. A

c

b = 15 cm

C

76°

a

42° B

Solución Para obtener ∠ A, se aplica ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°, despejando,



∠ A = 180° – ∠ C – ∠ B = 180° – 42° – 76° = 62°

Se conoce el valor del lado b y el ángulo B, opuesto a dicho lado, también se proporciona el ángulo C, por tanto, se puede determinar la medida del lado c,



c b = sen C sen B

Al sustituir ∠ C = 76°, ∠ B = 42° y b = 15 cm, se determina que,



15 c = sen 76° sen 42°

117

118

Geometría y trigonometría

De la expresión anterior se despeja c, c=



(15)(sen 76°) (15)(0.9703) = sen 42°

0.6691

= 21.75 cm

Por último, se determina el valor del lado a con la siguiente relación: a b 15 a = = sen A sen B    donde   sen 62° sen 42°

Al despejar a:

a=



(15)(sen 62°) (15)(0.8829) = = 19.8 cm sen 42°

0.6691

2. En el triángulo MNP, ∠ P = 76º, p = 12 cm y m = 8 cm. Resuelve el triángulo. Solución P 76° m = 8 cm

n

M

N

p = 12 cm

Con los datos del problema, se calcula el valor de ∠ M con la siguiente relación: m p = sen M sen P Al despejar sen M y sustituir los valores, se obtiene: sen M =

Entonces:

m sen P (8)(sen 76°) (8)(0.97029) = = = 0.6469 12 12 p



∠ M = arcsen (0.6469)



∠ M = 40° 18′

Por otro lado,



∠ N = 180° – ∠ P – ∠ M = 180° – 76° – 40° 18′ = 63° 42′

Se aplica la ley de senos para encontrar el valor del lado n: n p = sen N sen P

Al despejar n, n=

p sen N

sen P Por consiguiente,

=

(12)(sen 63°42') sen 76°

=

(12)(0.8965) 0.9703

∠ M = 40° 18′, ∠ N = 63° 42′ y n = 11.09 cm

= 11.09 cm

Unidad 3 • Relaciones trigonométricas

Ley de cosenos El cuadrado de un lado de un triángulo oblicuángulo es igual a la suma de los cuadrados de los lados restantes, menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo opuesto al lado buscado. C

Ley de cosenos: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

a

b

c

A

B

La ley de cosenos se utiliza cuando: • Se tiene el valor de 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos. • Se tiene el valor de los 3 lados.

s

Ejemplo



1. En el triángulo ABC, a = 15 cm, c = 18 cm, ∠ B = 70º. Resuelve el triángulo. Solución C

a = 15 cm

b

70º A

c = 18 cm

B

Para calcular el valor del lado b se utiliza la fórmula: b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

Donde,

2 2 b = (15) + (18 ) − 2 (15)(18 ) cos 70º = 225 + 324 − 2 (15)(18 )( 0.34202 ) = 364.3

b = 19.09 cm Conocidos los 3 lados del triángulo se calcula el valor de ∠ A:



cos A =

2

2

2

364.43 + 324 − 225 b 2 + c 2 − a 2 (19.09 ) + (18 ) − (15 ) = = = 0.6743 2bc 2 (19.09 )(18 ) 687.24

119

120

Geometría y trigonometría

Donde: ∠ A = arccos 0.6743 = 47° 36′    Por último, se determina la medida de ∠ C:



∠ C = 180º – ∠ A – ∠ B = 180° – 47° 36′ – 70° = 62° 24′

Por tanto, los elementos restantes del triángulo ABC son: b = 19.09 cm, ∠ A = 47° 36′ y ∠ C = 62° 24′



2. En el triángulo ABC, a = 50, b = 45, c = 32. Resuelve el triángulo. Solución

C

b = 45

A

a = 50

c = 32

B

Para obtener ∠ A: 2 2 2 2 025 + 1024 − 2500 b 2 + c 2 − a 2 ( 45) + ( 32 ) − ( 50 ) = = = 0.1906 cos A = 2bc 2 ( 45)( 32 ) 2880 Donde,





∠ A = arccos 0.1906 = 79º

Para obtener ∠ B: 2 2 2 2500 + 1 024 − 2 025 a 2 + c 2 − b 2 ( 50 ) + ( 32 ) − ( 45) = = = 0.4684 cos B = 2ac 2 ( 50 )( 32 ) 3200

Donde,



∠ B = arccos 0.4684 = 62° 4′

Para calcular ∠ C:



∠ C = 180° – ∠ A – ∠ B = 180° – 79° – 62° 4′ = 38° 56′

Por consiguiente, los ángulos del triángulo ABC son:



∠ A = 79°, ∠ B = 62° 4′ y ∠ C = 38° 56′

Ley de tangentes En todo triángulo oblicuángulo la razón entre la diferencia de 2 lados y la suma de los mismos, es igual a la razón entre la tangente de la semidiferencia de los ángulos opuestos a cada uno de los lados, y la tangente de la semisuma de dichos ángulos. Fórmulas: A−C B−C A − B tan  tan  tan   2  b−c  2   2  a−c a−b = = = a + c tan  A + C  , b + c tan  B + C  y a + b tan  A + B   2   2   2 

Unidad 3 • Relaciones trigonométricas

s

Ejemplo

En el triángulo ABC, c = 10, A = 68°, C = 36°. Resuelve el triángulo. Solución Se determina el ∠ B: ∠ B = 180° – ∠ A – ∠ C = 180° – 68° – 36° = 76° Se aplica la ley de tangentes para encontrar el valor del lado a: A−C tan   2  a−c = a + c tan  A + C   2  Al sustituir los valores de c = 10, ∠ A = 68° y ∠ C = 36°, se obtiene: a − 10 = a + 10

⎛ 68° − 36° ⎞ tan ⎜ ⎟⎠ tan 16° 0.2867 ⎝ 2 = = = 0.2240 ⎛ 68° + 36° ⎞ tan 52° 1.2799 tan ⎜ ⎟⎠ ⎝ 2

Entonces, de la expresión resultante: a − 10 = 0.2240 a + 10

Se despeja a: a – 10 = 0.2240a + 2.240    →    a – 0.2240a = 2.240 + 10 0.776a = 12.240 12.240 a= 0.776 a = 15.77 cm Se aplica la ley de tangentes para encontrar el valor del lado b: B−C tan   2  b−c = b + c tan  B + C   2  Al sustituir los valores de c = 10, ∠ B = 76° y ∠ C = 36°, se determina que: b − 10 = b + 10

De la expresión resultante,

⎛ 76° − 36° ⎞ tan ⎜ ⎟⎠ tan 20° 0.3639 ⎝ 2 = = = 0.2454 ⎛ 76° + 36° ⎞ tan 56° 1.4826 tan ⎜ ⎟⎠ ⎝ 2

b − 10 = 0.2454 b + 10

Se despeja b: b – 10 = 0.2454b + 2.454    S    b – 0.2454b = 10 + 2.454 0.7546b = 12.454 b = 16.5 cm Por tanto, los elementos restantes del triángulo son: ∠ B = 76º, a = 15.77 cm y b = 16.5 cm

121

s

Ejemplo 122

Geometría y trigonometría

s

Ejjercicio

Resuelve en tu cuaderno el siguiente triángulo oblicuángulo de acuerdo con los datos proporcionados. s Ejemplo C nes de conversio

a

b

A

c

1. ∠ B = 57º 20′, ∠ C = 43º 39′, b = 18 2. ∠ A = 63º 24′, ∠ C = 37º 20′, c = 32.4 3. ∠ A = 85º 45′, ∠ B = 26º 31′, c = 43.6 4. ∠ C = 49º, ∠ A = 54º 21′, a = 72 5. ∠ B = 29º, ∠ C = 84º, b = 12.3 6. ∠ A = 32º, ∠ B = 49º, a = 12 7. a = 5, ∠ A = 32º, b = 8 8. c = 13, b = 10, ∠ C = 35º 15′ 9. ∠ B = 56º 35′, b = 12.7, a = 9.8 10. a = 9, c = 11.5, ∠ C = 67º 21′ 11. a = 15, b = 16, c = 26 12. a = 32.4, b = 48.9, c = 66.7 13. a = 100, b = 88.7, c = 125.5 14. a = 15, b = 12, c = 20 15. a = 12, b = 15, ∠ C = 68º 16. a = 28, c = 32, ∠ B = 76º 17. b = 45, c = 75, ∠ A = 35º 18. a = 12.6, b = 18.7, ∠ C = 56º Demuestra que para el triángulo se cumple: a b c • sen A = sen B = sen C

2 2 2 • a = b + c − 2bc cos A



2 2 2 • b = a + c − 2ac cos B



2 2 2 • c = a + b − 2ab cos C

B

Unidad 3 • Relaciones trigonométricas

s

Ejemplo



1.  Para calcular la distancia entre 2 puntos a las orillas de un lago, se establece un punto P a 100 metros del punto M; al medir los ángulos resulta que ∠ M = 110º y ∠ P = 40º. ¿Cuál es la distancia entre los puntos M y Q? Solución

Se realiza una figura que represente el problema: M

d

110°

Q

100 m 40° P

De acuerdo con los datos se determina el valor de ∠ Q:



∠ Q = 180° – 110° – 40° = 30°

Sea MQ = d, entonces, al aplicar la ley de senos se obtiene: d 100 = sen 40° sen 30°

De la cual se despeja d: d=

(100)(sen 40°) sen 30°

=

(100 )( 0.6427 ) = 128.54 0.5

En consecuencia, la distancia entre los puntos es de 128.54 metros.

2.  Un observador se encuentra en un punto P que dista de 2 edificios, 250 m y 380 m, respectivamente. Si el ángulo formado por los 2 edificios y el observador es 38º 20′, precisa la distancia entre ambos edificios. Solución d 250 m 38° 20′ 380 m P

Sea d la distancia entre ambos edificios; entonces, por la ley de cosenos: d=

( 250 )2 + ( 380 )2 − 2 ( 250 )( 380 ) cos 38 º 20 ' =

62 500 + 144 400 − 149 038.98 = 240.55

Finalmente, la distancia entre los edificios es de 240.55 m.

123

124

Geometría y trigonometría



3.  Se inscribe un octágono regular de lado 1 cm en una circunferencia; determina el área del círculo. Solución

Si se inscribe un polígono regular en una circunferencia, la distancia del centro al vértice es el radio, si se trazan 2 radios a 2 vértices se forma un triángulo isósceles y la medida 360° = 45°, como lo muestra la figura: del ángulo central es 8

r 45° r x x 1 cm

Sea x la medida de cada ángulo de la base en un triángulo isósceles, entonces: 2x + 45º = 180º    S    2x = 135º    S    x =

135º = 67.5º 2

Por la ley de senos se tiene la igualdad: r 1 = sen 45º sen 67.5º



Al despejar r de la expresión anterior:

d Activida



r=

sen 67.5 = 1.3 cm sen 45º

Luego, el área del círculo está dada por la expresión:

s Ejemplo Se sustituye r = 1.3 cm y se obtiene:

A = π r2

A = π (1.3 cm)2 = 1.69π cm2



s

Ejjercicio

Resuelve los siguientes problemas: 1. Para establecer la distancia desde un punto A en la orilla de un río a un punto B de plosun agrimensor selecciona un punto P a 500 metros del punto A, las medidas Ejeméste, s ne de conversio de ∠ BAP y ∠ BPA son 38° y 47° 32′. Obtén la distancia entre A y B. 500 m A

38°

47° 32′

B

P

125

Unidad 3 • Relaciones trigonométricas



2. El horario y el minutero de un reloj miden respectivamente 0.7 y 1.2 cm. Determina la distancia entre los extremos de dichas manecillas a las 13:30 horas. d



3. Un barco sale de un puerto a las 10:00 a.m. a 10 km/h con dirección sur 30°20′O. Una segunda embarcación sale del mismo puerto a las 11:30 horas a 12 km/h con dirección norte 45°O. ¿Qué distancia separa a ambos barcos a las 12:30 horas?

N E

O S

45°

30° 20’



4. La distancia entre 2 puntos A y B es de 20 km. Los ángulos de elevación de un globo con respecto a dichos puntos son de 58° 20′ y 67° 32′. ¿A qué altura del suelo se encuentra?

A

67° 32’

58° 20’

B

20 km



5. Una persona se encuentra a 3.7 m de un risco, sobre el cual se localiza una antena. La persona observa el pie de la antena con un ángulo de elevación de 30° y la parte superior de ésta con un ángulo de 70°. Determina la altura de la antena.

h

70° 30°

3.7 m

126

Geometría y trigonometría

Identidades fundamentales Las identidades trigonométricas son fórmulas para simplificar expresiones más complejas o simplemente para transformar una expresión a una forma conveniente. Estas identidades se derivan de las funciones trigonométricas elementales y se clasifican en tres tipos: inversas, de cociente y pitagóricas. A continuación, se define cada una de ellas.

Identidades trigonométricas inversas Sen(α) =

1 1 1 Cos(α) = Tan(α ) = Csc(α)    Sec(α)    Cot(α)

Identidades trigonométricas de cociente Tan(α) =

Sen(α ) Cos(α ) Cot(α) = Cos(α )    Sen(α)

Identidades trigonométricas pitagóricas Sen2(α) + Cos2(α) = 1   Tan2(α) + 1 = Sec2(α)  1 + Cot2(α) = Csc2(α) Las identidades anteriores se obtienen a partir de las razones trigonométricas. Para demostrar este hecho, utilicemos el triángulo rectángulo propuesto anteriormente, el cual se muestra en la figura. α c

a 90°

β b

Sen(β) =

a b a Tan(β) = Cos(β) = c    b c   

Csc(β) =

c c b Sec(β) = Cot(β) = a    b    a

Probemos una de las identidades trigonométricas inversas. Tan(β) =

a b

Cot(β) =

b a

Para ello recordemos que

Tomemos el lado derecho de la identidad que queremos probar. 1 1 = b Cot(β) a

Unidad 3 • Relaciones trigonométricas

Simplificando la división:

1 1 1 1 a = = = Cot(β) b b b a a

d Activida Por último, como la Tan(β) =

a concluimos que b

s

Ejemplo

Tan(β) =

1 Cot(β)

De manera similar es posible comprobar las otras dos identidades trigonométricas inversas.

s

Ejjercicio

Comprueba las siguientes identidades trigonométricas.

s

plo β) = EjemSen( 1. nes

de conversio

2. Cos(β) =

1 Csc(β) 1 Sec(β)

3. Tan 2 ( x ) =

1 − Cos 2 ( x ) 1 − Sen 2 ( x )

4. Sen 2 (β) + Cos 2 (β) = 1 5. Sen(β) = 1 − Cos 2 (β)

Identidades trigonométricas recíprocas Fórmula principal

1 Sen(β) = Csc(β)

Cos(β) =

1 Sec(β)

1 Tan(β) = Cot(β)

Variaciones de la fórmula

a) Csc(β) =

1 Sen(β)

b) Csc(β)Sen(β) = 1 a) Sec(β) =

1 Cos(β)

b) Sec(β) = Cos(β) = 1 a) Cot(β) =

1 Tan(β)

b) Cot(β) = Tan(β) = 1

127

128

Geometría y trigonometría

Identidades trigonométricas de cociente Fórmula principal

Tan(β) =

Sen(β) Cos(β)

Variaciones de la fórmula

a) Cos(β) =

Sen(β) Tan(β)

b) Tan(β)Cos(β) = Sen(β)

Cot(β) =

Cos(β) Sen(β)

a) Sen(β) =

Cos(β) Cot(β)

b) Sen(β)Cot(β) = Cos(β)

Identidades trigonométricas pitagóricas Fórmula principal

Variaciones de la fórmula

a) Sen 2 (β) = 1 − Cos 2 (β)

Sen (β) + Cos (β) = 1 2

2

b) Sen(β) = 1 − Cos 2 (β) c) Cos 2 (β) = 1 − Sen 2 (β) d) Cos(β) = 1 − Sen 2 (β) a) Sec(β) = Tan 2 (β) + 1

Sec 2 (β) = Tan 2 (β) + 1

b) Tan(β) = Sec 2 (β) − 1 c) Sec 2 (β) − Tan 2 (β) = 1 a) Csc(β) = Cot 2 (β) + 1 b) Cot 2 (β) = Csc 2 (β) − 1

Csc (β) = Cot (β) + 1 2

2

2 c) Cot(β) = Csc (β) − 1

d) Csc 2 (β) − Cot 2 (β) = 1

Unidad 3 • Relaciones trigonométricas

Instrumentos de evaluación Autoevaluación Evalúa tu nivel de desempeño. Tema 5 Relaciones y funciones en el triángulo Insuficiente (4 puntos)

Elemental (6 puntos)

Bueno (8 puntos)

Excelente (10 puntos)

Comprendo las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo como funciones trigonométricas básicas.

 

 

 

 

Aplico las funciones trigonométricas básicas para resolver triángulos rectángulos.

 

 

 

 

Identifico las funciones trigonométricas de los ángulos notables 30°, 45° y 60°.

 

 

 

 

Identifico las funciones trigonométricas de los ángulos notables de cuadrante.

 

 

 

 

Resuelvo triángulos oblicuángulos aplicando las leyes de los senos, cosenos y tangentes.

 

 

 

 

Compruebo identidades trigonométricas haciendo uso de las relaciones fundamentales: recíprocas, cocientes y pitagóricas.

 

 

 

 

Total

 

 

 

 

Si obtuviste menos de 36 puntos, te sugerimos revisar las actividades del tema.

129

130

Geometría y trigonometría

Coevaluación Evalúa el trabajo de tres compañeros de grupo. Obtengan la suma del puntaje de acuerdo con la siguiente escala. 3. Muy bien  2. Bien  1. Regular  0. Deficiente Lista de cotejo Indicadores de evaluación

Compañero 1

Compañero 2

Compañero 3

Responsabilidad individual en clase

 

 

 

Responsabilidad y compromiso en clase

 

 

 

Disponibilidad para trabajar en equipo

 

 

 

Colaboración con los compañeros de clase

 

 

 

Disposición para llevar a cabo las actividades

 

 

 

Adquisición y asimilación de conceptos

 

 

 

Disposición al intercambio de ideas

 

 

 

Realización de trabajos extraclase