2da Exposicion

U N I V E R S I D A D D E L

F a c u l t a d G e o l o g í a ,

C E N T R A L

E C U A D O R

d e

i n g e n i e r í a

M i n a s

,

e n

P e t r o l e o s

y

A m b i e n t a l

M A T E M A T I C A S

l l l

I N T E G R A N T E S : A b a t a F u e l

D a v i d T E M A :

A l e j a n d r o

P a s p u e l

C h r i s t i a n

P a u c a r S a n c h é z

D e g r a d o

M i s h e l A l l i s o n

Ing. Ambiental

d e

T a n q u e s

Problema 13. Tanque cónico con gotera: Un tanque con forma de cono recto con el vértice hacia abajo, está sacando agua por un agujero circular en su fondo. •

a) Suponga que el tanque tiene 20 pies de altura y tiene un radio de 8 pies y el agujero circular mide dos pulgadas de radio. En el problema 14 de los ejercicios 1.3 se le pidió mostrar que la ecuación diferencial que gobierna la altura h del agua que sale del tanque es: dh 5 =− 3 dt 6h2

En este modelo, se consideró la fricción y la contracción del agua en el agujero con c=0.6 y el valor de g se tomó de 32 pies/s². Véase la figura 1.3.12. Si al principio el tanque está lleno, ¿cuánto tarda en vaciarse? •

b) Suponga que el tanque tiene un ángulo de vértice de 60° y el agujero circular mide dos pulgadas de radio. Determine la ecuación diferencial que gobierna la altura h del agua. Utilice c= 0.6 y g=32 pies/s². Si al principio la altura del agua es de 9 pies, ¿cuánto tarda en vaciarse el tanque?

Método: Integrar por separación de variables dh 5 =− 3 dt 6h2 3

6h2 dh = −5dt 3

∫ 6h2 dh = ∫ −5dt 3

6 ∫ h2 dh = −5 ∫ dt 12 5 h2 = −5t + c 5 5

h2 = −

25 t+c 12

Parte A: Como en: t=0s h=20 Remplazamos: 5 12 (20)2 = −5(0) + c 5

c = −1788,854 Ecuación general h(t): 5

h2 = −

25 t − 1788,854 12

SI: h=0 entonces: t=?: 5

(O)2 = −

25 t − 1788,854 12

12 ∗ 1788,856 =t 25 𝐭 = 𝟖𝟓𝟖, 𝟔𝟓 𝐬 Sol: EL tanque tardará en vaciarse 858,65 (s) o 14, 31 mín.

Parte B:

r

h

AW = area del recipiente = πr 2 C.Opuesto

tan x = Hipotenusa r

tan 30 = h

30°

r = h ∗ tan 30

60 °

Aw = π(h ∗ tan 30)2 Aw=πh2 ∗1 3

Ah = area del orificio = πr1 2 2 2 Ah = π ( ) 12

Ecuación Diferencial dh Ah = −c √2gh dt Aw 2 2 π ( dh 12) = −(0.6) √2(32)h dt π(h ∗ tan 30)2

2 2 π (12)

dh √64h = −(0.6) 1 dt πh2 3

dh 1 √64h 2 −3 √64h =− = − =− h2 2 dt 60 h2 1 20 h 5 3 dh −2 = 3 dt 5h2 3

∫ 5h2 dh = ∫ −2dt 5

h2 5 = −2t + c 5 2 5

h2 ∗ 2 ∗ 5 = −2t + c 5 5

(h2 ∗ 2) + 2t = c h(0) = 9 5

(92 ∗ 2) + 2(0) = c c = 486

5

h2 = (−t +

h = (−t +

486 ) 2

486 2 )5 2

h(t) = 0

486 2 )5 2 5 486 02 = (−t + ) 2 486 0 = (−t + ) 2 0 = (−t +

t=(

486 ) 2

𝐭 = 𝟐𝟒𝟑 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐨𝐬