38. Curso De Epistemologia: Modulo 3 + Ciencia En La Antiguedad

LICENCIATURAS / EPISTEMOLOGÍA MATERIAL DE TRABAJO / 2011 PROF. DR. JORGE NORO. [email protected]

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EPISTEMOLOGÍA = MODULO 3 CIENCIA Y CONCEPCIÓN DE LA CIENCIA EN LA ANTIGÜEDAD PROF. DR. JORGE EDUARDO NORO [email protected]

01. LA ORIENTACIÓN PITAGÓRICA O LA CONSTITUCIÓN DEL SABER  Los Pitagóricos se constituyen en escuela y como secta a partir la presencia y de las enseñanzas de PITÁGORAS, un sabio que une a su existencia histórica, la mitificación de que fue objeto por parte de sus discípulos y seguidores que re-constituyeron su vida y sus enseñanzas hasta un nivel en que no se tiene certeza de sus afirmaciones. La obsecuencia de sus seguidores acuñó la frase “magíster dixit” (él lo dijo o el maestro lo dijo).En su escuela se asociaban los elementos científicos (matemáticos y astronómicos), los filosóficos y los religiosos (principalmente asociados a los cultos órficos, prácticas religiosas que los griegos realizaban en lugares ocultos y entre unos grupos de elegidos...).1  Lo que debe marcarse es un tipo de ciencia primitiva que tiene más significado para los lectores (o para la posteridad) que para los pitagóricos. Es verdad que con ellos, la búsqueda racional de un primer principio que pudiera dar una explicación de todo lo real encuentra un salto cualitativo importante, al definir al número como la base y fundamento de lo real. 1º. Los números gobiernan los fenómenos del universo: el año, las estaciones, los meses, los días. El mismo tiempo de gestación de los animales, los ciclos del desarrollo biológico y los distintos fenómenos de la vida se rigen según principios numéricos. 2º. Los sonidos y la música – que representaba para ellos un instrumento de purificación y de catarsis – pueden traducirse en magnitudes numéricas, en números. El sonido del martillo en el yunque (según el peso) o de las cuerdas (según la longitud) permite concluir en la definición de las relaciones armónicas del diapasón (quinta, cuarta) con las leyes numéricas que las gobiernan. 3º. Sobre estos principios pudieron avanzar en relaciones, descubrimientos y correspondencias que no eran observables en la realidad, sino que desde un criterio racional (a priori) podían imponerse con un criterio ordenador y organizador. El número no era para ellos una abstracción mental o un ente de razón, sino una cosa real, principio constitutivo de las cosas. Se asociaban arbitrariamente – aunque dentro de una lógica de legitimación – ideas y números. Si la justicia es sinónimo de reciprocidad o igualdad debe identificarse con el número 4 (2x2) o el 9 (3x3) porque son el cuadrado 1

Ya los babilonios habían asociado las medidas numéricas a las cosas que los rodeaban. Es probable que el movimiento de las ideas – como en otros autores – haya provenido de la cultura mesopotámica. A veces ciertas innovaciones científicas toman identidad en manos de un autor o de una escuela, ocultando el verdadero origen de las ideas... (BOYER:78)

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del primero número par o impar; la inteligencia y la ciencia debía asociarse a la persistente inmovilidad del número 1 y la opinión mudable – oscilando en direcciones opuestas – debía coincidir con el 2... 4º. Lentamente llegaron a una afirmación que sobrepasa la ciencia o que arbitrariamente la sobredimensiona: todas las cosas proceden de los números. Los números son el primum absoluto del que deriva el resto de la realidad. Las matemáticas se constituyen en metafísica. Pero los números mismos son entidades misteriosas porque son la resultante de la unión de elementos determinantes e indeterminados. En los números impares (masculinos o perfectos) predominan los elementos determinantes o limitadores... mientras que en los pares (femeninos o imperfectos) los elementos indeterminados.2 5º. El uno de los pitagóricos no es ni par ni impar: es un “par-impar”: de él proceden todos los números (sumado a un par engendra un impar; sumando a un impar genera un par). La Tetraktis era el número perfecto (= diez) visualmente simbolizada mediante un triángulo equilátero, formado por los cuatros primeros números y cuyos lados consistían en el número 4. Y con juegos variados juegos numéricos: la década contiene por igual lo par (2,4, 6,8) y lo impar (3, 3, 7,9); posee por igual números primos y no divisibles y números divisibles; múltiplos y submúltiplos hasta 5 y de 6 a 10... A su vez cada número tenía su equivalencia (1: el punto / 2: la línea / 3: el triángulo / 4: la pirámide...El número diez se convirtió en un número perfecto y principio de medición universal. Hasta se lo asoció a la tabla de los 10 contrarios opuestos que expresan el conjunto de lo real. 6º. El número como origen y fundamento de lo real: los números eran concebidos como puntos (masas) y por consiguiente como sólidos: era evidente el paso desde el número a las cosas físicas. A partir de lo ilimitado o de lo vacío el UNO logra un proceso de determinación para dar origen a las diversas cosas. Los cuatro elementos fundamentales se asocian a los cuatro sólidos geométricos: tierra=cubo; fuego=pirámide; aire=octaedro; agua=icosaedro... asociadas a determinadas analogías como la solidez del cubo en la tierra, etc. Pero, además, si el número es orden y todo está determinado por el número, todo es cosmos. Pitágoras es el primero en encontrar esa denominación. A su vez la asimilación de las cosas del universo a figuras geométricas y la posibilidad de efectuar con ellas los necesarios cálculos y mediciones permite recorrer el sentido inverso en el ordenamiento de lo real. La aritmética permanece asociada a la geometría, llegando a pensar que lo que no se podía representar o dibujar no existía. 7º. El cosmos (orden, racionalidad, verdad) – que ha surgido de la negación de vacío o del des-orden o del caos (potencias oscuras e indescifrables) – permite que sus cuerpos celestes puedan girar de acuerdo al número y la armonía. Al hacerlo producen una celestial música, la música de las esferas, que nuestros oídos no perciben porque están habituados a ella desde siempre.3 8º. Tomando como referencia el número diez proponen también el primer sistema astronómico no geocéntrico. En el centro del universo había un fuego central, alrededor del cual giraban uniformemente la tierra y los siete planetas (incluidos el sol y la luna). A estos nueve elementos celestes – aparte de las estrellas fijas – se supone (y exige) la existencia de un décimo cuerpo, una “contra-tierra” alineada siempre con la tierra y con el fuego central y con el mismo período de revolución diaria en torno a dicho fuego central. La contra-tierra y el fuego central podían ser vistos sólo por quienes habitaban el otro hemisferio, el desconocido.4(BOYER: 80ss) 2

Usando la representación gráfica de puntos o piedras (cálculos = piedras = calcular) los pares distribuidos permiten separarlos en dos dejando un espacio vacío, mientras que los impares siempre tiene una unidad adicional que delimita y determina. 3 La idea será retomada y retrabajada curiosamente por Kepler en los inicios de la modernidad. 4 Esta propuesta pitagórica reaparece en manos de Copérnico que para sostener su teoría del movimiento de la tierra no era tan revolucionara, argumentaba que ya había sido presentada por los pitagóricos...

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Es necesario recordar que en la interpretación de los griegos (y en la observación natural y a-crítica) el sol y las estrellas eran los únicos cuerpos celestes visibles a simple vista. El problema despertaba cuando aparecían los planetas. Su misma denominación muestra el concepto griego: vagabundo. Mientras las estrellas estaban fijas (y las posiciones relativas eran estables)... los planetas “vagabundeaban” por el espacio: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter, Saturno, El Sol, La luna. Todos tenían un comportamiento comparable al del sol... pero los movimientos eran más complejos y más difíciles de explicar. (KUHN: 76) La pregunta era: ¿Cómo ordenar de forma simple y operativa los complejos y variados movimientos planetarios? ¿Cómo explicar el movimiento normal que, por otra parte, no deja de verse sometido a una serie de irregularidades?  Con los Pitagóricos – y su particular visión de la ciencia – el hombre aprende a ver el mundo con un orden perfecto y al mismo tiempo objeto de interpretación perfecta a través de la razón. “Todas las cosas que se conocen poseen número; sin el número no sería posible pensar ni conocer nada...” (REALE-ANTISERI: 45-50) Lejos de comprobar si efectivamente era así, el postulado científico anticipa una interpretación y fuerza desde ella a la realidad misma para que pueda responder al orden impuesto. Al volverse vigente, la ciencia se legitima socialmente y la realidad no se resiste a la interpretación... hasta que un nuevo paradigma o alguna innovación metodológica produce una ruptura interpretativa y genera otro modelo interpretativo.

TEXTOS Y OTROS APORTES COMPLEMENTARIOS

 Bajo diversas formas se ha conservado una breve fórmula pitagórica de difícil interpretación que, según es de suponer, contenía algo muy cercano a la quinta esencia del espíritu pitagórico. En la versión más corriente reza así: “NO, POR AQUÉL QUE HA ENTREGADO A NUESTRAS ALMAS LA TETRAKTIS, UNA FUENTE QUE CONTIENE LAS RAÍCES DE LA NATURALEZA ETERNA"." Este rasgo secretista de la enseñanza pitagórica primitiva fue mitigado más adelante. El extraño "No" rotundo del juramento aparece convertido en SI en los Versos Áureos, una compilación de enseñanzas pitagóricas escrita probablemente en el segundo o tercer siglo después de Cristo, teniendo a la vista fuentes mucho más antiguas, y destinada a expandir la doctrina pitagórica a todos los hombres.  Al parecer constituye un juramento de secreto sobre el contenido de la enseñanza pitagórica, reservado a miembros de la comunidad exclusivamente. "Aquél", por supuesto, es Pitágoras mismo, a quien los pitagóricos primitivos no osaban nombrar. La Tetraktis, o cuaterna, consiste probablemente en los números 1, 2, 3,4, que conjuntamente solían representar los pitagóricos en esta forma figurativa.

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 ¿En qué sentido la Tetraktis podía ser "fuente de las raíces de la naturaleza eterna"?. Según parece, la Tetraktis alude a la iluminación pitagórica inicial y fundamental sobre las proporciones numéricas que rigen las notas musicales consonantes: el tono (1:1), la octava (1:2), la quinta (3:2) y la cuarta (4:3). En la experiencia pitagórica esta observación debió de constituir el estímulo decisivo hacia la extrapolación cuasi mística de que el cosmos es en algún modo alcanzable a través del número. Tal vez es en este sentido en el que se exalta la Tetraktis como fuente del conocimiento de las raíces de la armonía de la naturaleza eterna, en el cual se basa la existencia pitagórica.  Se puede uno preguntar: ¿cuál fue el sentido del secreto pitagórico que el juramento solemnemente impone? Entonces, como hoy, el secreto compartido constituye un fuerte vínculo de conexión de los miembros de una comunidad reducida. La comunidad pitagórica llegó a tener una complicada organización interna, con largos períodos de noviciado, pruebas de silencio y de robustecimiento del espíritu a través de experiencias encaminadas a fomentar la humildad y la asimilación paulatina del espíritu pitagórico. Muchas de las doctrinas esotéricas de los pitagóricos se prestaban, fuera de su contexto total, a malentendidos que era conveniente evitar. Las mismas enseñanzas matemáticas cobraban probablemente un halo especial al colocarlas en dentro del ambiente de los iniciados pitagóricos, constituyendo para ellos un soporte de su camino de vida con un significado que va mucho más allá del carácter de mera curiosidad especulativa que podía constituir para los espectadores externos. Por otra parte, en la vida religiosa de la Grecia contemporánea a Pitágoras abundaban extraordinariamente los misterios o ceremonias asimismo secretas de iniciación y purificación progresiva, con la finalidad de provocar en el espíritu del iniciado un estado de veneración, fervor religioso y entusiasmo místico, llevadas a cabo en una parte oculta del templo. Los festivales nacionales de Delfos, Eleusis, incluían misterios celebrados con genuina exaltación religiosa. Parece muy probable que Pitágoras adoptase en la tarea de formación de sus adeptos los métodos y técnicas que había observado ser de gran eficacia.  La filosofía pitagórica aparece fuertemente emparentado con la mentalidad del orfismo, un movimiento religioso que, probablemente viniendo de oriente, se instaura en Grecia empezando por Tracia en siglo VI a. de C. La Grecia anterior al siglo VI tenía en los libros homéricos un equivalente de las escrituras sagradas de otros pueblos. De hecho el panorama de creencias religiosas es totalmente diferente en el siglo IV a. de C. El orfismo tenía a Dionisos como dios y a Orfeo como su sacerdote, reuniendo cierto sentido místico con una ascética de purificación. . El pensamiento de un alma inmortal es totalmente ajeno al espíritu griego antiguo. Pero al parecer esta situación cambió radicalmente a partir del siglo VI, muy posiblemente bajo la influencia de multitud de movimientos religiosos que procedentes de Persia, de la India y de Egipto, se asentaron en el mundo griego. El espíritu humano procede de otro mundo y se encuentra como desterrado en este, encadenado al cuerpo por la sensualidad. Existe un mundo de acá y otro de más allá y la vida debe vivirse como una fuga de lo terreno.  Muy probablemente Pitágoras amalgamó elementos órficos con otros, posiblemente de origen persa, como el del eterno retorno que aparece mencionado en el punto 3 de Diocaiarcos, y con sus propias concepciones sobre la constitución del cosmos y sobre el modo concreto de purificación a través de la contemplación, dando primacía al elemento racional y matemático sobre el poético de aquellas cosmogonías primitivas, para producir una síntesis que resultó profundamente atrayente no sólo para sus contemporáneos, sino para los muchos movimientos de inspiración pitagórica durante más de diez siglos. Al parecer, en el modo de vida de los pitagóricos primitivos la metafísica como tal era poco importante. Lo que verdaderamente importaba era la vida pura, concretada en la armonía del alma con el cosmos, que habría de concluir con la liberación del alma del círculo de

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reencarnaciones. Lo que importaba era la elevación del alma al cielo de los bienaventurados tras la muerte. 5  En tiempos de Platón y Aristóteles (siglo IV a. de C.), y en virtud sobre todo de los esfuerzos de los pitagóricos anteriores, el cuerpo de doctrina de las ciencias exactas ya estaba plenamente codificado. Las ciencias estaban constituidas por los cuatro mathemata. Mathema es etimológicamente "lo que se aprende". Los cuatro mathemata (= aritmética, geometría, astronomía y música) constituían, por lo tanto, el saber por antonomasia. Así se expresa Aristóteles en uno de los fragmentos conservados, sobre la relación de los pitagóricos con las ciencias exactas (Metafísica 985 b), del que se pueden señalar los párrafos más clarificadores:  "En este tiempo (de Leucipo y Demócrito, segunda mitad del siglo IV a. de C.) y ya antes se ocuparon los llamados pitagóricos de las ciencias matemáticas (ta mathemata). Ellos fueron los primeros que cultivaron estas ciencias y, al introducirse en ellas, llegaron a la opinión de que los principios de estas ciencias son los principios de todas las cosas. Y como los números son por naturaleza los primeros de entre estos principios y como pensaban ver en los números muchas semejanzas con lo que es y lo que ocurre, más bien que en el fuego, tierra y agua, opinaron que una cierta cualidad de los números era la justicia, otra el alma y la razón, otra la ocasión adecuada, etc. Y como también veían que las propiedades y relaciones de la armonía musical están determinadas por los números y que todas las cosas están también conformadas según los números y que los números son lo primero en toda la naturaleza, pensaron que los elementos de los números son los elementos de todas las cosas y que el cielo entero es armonía y número".

PITAGORAS DE SAMOS: LOS VERSOS DE ORO Honra, en primer lugar, y venera a los dioses inmortales, a cada uno de acuerdo a su rango. Respeta luego el juramento, y reverencia a los héroes ilustres, y también a los genios subterráneos: cumplirás así lo que las leyes mandan. Honra luego a tus padres y a tus parientes de sangre. Y de los demás, hazte amigo del que descuella en virtud. Cede a las palabras gentiles y no te opongas a los actos provechosos. No guardes rencor al amigo por una falta leve. Estas cosas hazlas en la medida de tus fuerzas, pues lo posible se encuentra junto a lo necesario. Compenétrate en cumplir estos preceptos, pero atiénete a dominar ante todo las necesidades de tu estómago y de tu sueño, después los arranques de tus apetitos y de tu ira. No cometas nunca una acción vergonzosa, Ni con nadie, ni a solas: 5

Resulta importante resaltar que el universo explicativo de los PITAGORICOS se expresaba en las matemáticas y en los números, pero intentaba “armar” un universo cerrado y sujeto a explicaciones aún en aspectos que excedían el ámbito de la ciencia. El mundo de los seres humanos y de las almas también se muestra cerrado y postulan – desde lo filosófico y lo religioso – una interpretación de las almas y de sus movimientos totalmente gobernable y previsible. La ciencia funciona en conexión con otros aspectos interpretativos de la realidad.

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Por encima de todo, respétate a ti mismo. Seguidamente ejércete en practicar la justicia, en palabras y en obras, Aprende a no comportarte sin razón jamás. Y sabiendo que morir es la ley fatal para todos, que las riquezas, unas veces te plazca ganarlas y otras te plazca perderlas. De los sufrimientos que caben a los mortales por divino designio, la parte que a ti corresponde, sopórtala sin indignación; pero es legítimo que le busques remedio en la medida de tus fuerzas; porque no son tantas las desgracias que caen sobre los hombres buenos. Muchas son las voces, unas indignas, otras nobles, que vienen a herir el oído: Que no te turben ni tampoco te vuelvas para no oírlas. Cuando oigas una mentira, sopórtalo con calma. Pero lo que ahora voy a decirte es preciso que lo cumplas siempre: Que nadie, por sus dichos o por sus actos, te conmueva para que hagas o digas nada que no sea lo mejor para ti. Reflexiona antes de obrar para no cometer tonterías: Obrar y hablar sin discernimiento es de pobres gentes. Tú en cambio siempre harás lo que no pueda dañarte. No entres en asuntos que ignoras, mas aprende lo que es necesario: tal es la norma de una vida agradable. Tampoco descuides tu salud, ten moderación en el comer o el beber, y en la ejercitación del cuerpo. Por moderación entiendo lo que no te haga daño. Acostúmbrate a una vida sana sin molicie, y guárdate de lo que pueda atraer la envidia. No seas disipado en tus gastos como hacen los que ignoran lo que es honradez, pero no por ello dejes de ser generoso: nada hay mejor que la mesura en todas las cosas. Haz pues lo que no te dañe, y reflexiona antes de actuar. Y no dejes que el dulce sueño se apodere de tus lánguidos ojos sin antes haber repasado lo que has hecho en el día: "¿En qué he fallado? ¿Qué he hecho? ¿Qué deber he dejado de cumplir?" Comienza del comienzo y recórrelo todo, y repróchate los errores y alégrente los aciertos. Esto es lo que hay que hacer. Estas cosas que hay que empeñarse en practicar, Estas cosas hay que amar. Por ellas ingresarás en la divina senda de la perfección. ¡Por quien trasmitió a nuestro entendimiento la Tetratkis, la fuente de la perenne naturaleza.

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¡Adelante pues! ponte al trabajo, no sin antes rogar a los dioses que lo conduzcan a la perfección. Si observares estas cosas conocerás el orden que reina entre los dioses inmortales y los hombres mortales, en qué se separan las cosas y en qué se unen. Y sabrás, como es justo, que la naturaleza es una y la misma en todas partes, para que no esperes lo que no hay que esperar, ni nada quede oculto a tus ojos. Conocerás a los hombres, víctimas de los males que ellos mismos se imponen, ciegos a los bienes que les rodean, que no oyen ni ven: son pocos los que saben librarse de la desgracia. Tal es el destino que estorba el espíritu de los mortales, como cuentas infantiles ruedan de un lado a otro, oprimidos por males innumerables: porque sin advertirlo los castiga la Discordia, su natural y triste compañera, a la que no hay que provocar, sino cederle el paso y huir de ella. ¡Oh padre Zeus! ¡De cuántos males no librarías a los hombres si tan sólo les hicieras ver a qué demonio obedecen! Pero para ti, ten confianza, porque de una divina raza están hechos los seres humanos, y hay también la sagrada naturaleza que les muestra y les descubre todas las cosas. De todo lo cual, si tomas lo que te pertenece, observarás mis mandamientos, que serán tu remedio, y librarán tu alma de tales males. Abstiénete en los alimentos como dijimos, sea para las purificaciones, sea para la liberación del alma, juzga y reflexiona de todas las cosas y de cada una, alzando alto tu mente, que es la mejor de tus guías. Si descuidas tu cuerpo para volar hasta los libres orbes del éter, serás un dios inmortal, incorruptible, ya no sujeto a la muerte.

 La doctrina pitagórica de la Armonía de las Esferas es la quintaesencia de la belleza en la explicación pitagórica del Cosmos divino armonizado de forma fascinante por la concordancia de las

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proporciones aritméticas y musicales, que extrapoladas al universo entero determinarían que los cuerpos celestes debían emitir en sus movimientos unos tonos musicales armoniosos cuya combinación producía una maravillosa melodía permanente: «La Música de las Esferas». Tal vez Pitágoras se remontaría a la Mitología puesto que en el himno de Ares, Homero se dirige a los planetas como si fueran un coro de voces divinas. Además, conocemos la afición de los pitagóricos a los ritos de Orfeo vinculados al poder del número y de la música. De modo que Pitágoras racionalizaría el sistema y la daría un valor místico y científico.  La música cósmica se produce porque los cuerpos celestes, al ser de tamaño tan grande y moverse a velocidades gigantescas, emitían a través del éter un conjunto de sonidos de la misma manera que los cuerpos terrenales producen vibraciones cuando se mueven en el aire, como por ejemplo las velas de un barco cuando suenan con la brisa. Pero los hombres no pueden escuchar la melodía del barco cósmico porque han crecido acostumbrados a ella, lo mismo que el herrero se ha acostumbrado al ruido de sus martillos. Además, los cuerpos celestes que giran sin tregua en sus órbitas circulares, producen permanentemente armonías, de modo que al no haber intervalos de silencio no se puede apreciar la música cósmica.  Es decir, el sonido armonioso de las esferas nos es congénito, pero no lo podemos oír ya que el sonido y el silencio se perciben por mutuo contraste. En realidad la música de los hombres no es más que un eco de la Música de las Esferas, pero su instinto innato que hace que su alma resuene con la música, le proporciona un indicio de la naturaleza de las armonías matemáticas que se hallan en su fuente cósmica. El sonido emitido por cada esfera corresponde a un tono diferente de la escala musical, dependiendo de los radios de sus órbitas como los tonos musicales emitidos por laS cuerdas dependen de su longitud. La vida en la Tierra se ve afectada por la Música de las Esferas porque ésta gobierna los ciclos temporales de las estaciones, los ciclos biológicos y todos los ritmos de la naturaleza. He aquí en breve síntesis la doctrina pitagórica de la Armonía de las Esferas, desarrollada de forma clara y crítica por Aristóteles en su obra Del Cielo.

IMÁGENES Y VIDEOS http://www.youtube.com/watch?v=OB4tp3aXMBI&feature=fvwrel DEL CAOS AL COSMOS = ORIGEN DEL PENSAMIENTO http://www.youtube.com/watch?v=hMKuc--bq2s CARL SAGAN = PITÁGORAS Y PLATON http://www.youtube.com/watch?v=qjvy2jcbv8w&feature=related DEMOSTRAR TEOREMA DE PITÁGORAS (PORTUGUÉS) http://www.youtube.com/watch?v=q7dxX2Lk9Nc&feature=fvst PITAGORAS DE SAMOS

02. PLATON. FILOSOFIA Y MATEMATICA. FUNDAMENTACIÓN DEL SABER6

 Una de las manifestaciones más ostensibles del carácter teórico de la ciencia griega se vincula con la pretensión de ofrecer una explicación plausible de los fenómenos que se observan en el cielo a lo largo de los días, meses y años. El disímil comportamiento de estrellas y planetas a medida que transcurre el tiempo es notorio. La posición relativa de las estrellas no se modifica y por ello es posible agruparlas en regiones al modo en que se parcela una gran superficie de tierra. (...) 6

BOIDO Guillermo (1996), Noticia del planeta tierra. Galileo Galilei y la revolución científica. Buenos Aires. Edit.. A-Z. Pag. 24 - 28

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 ¿Cómo explicar este comportamiento de las estrellas? Hay para ello una respuesta de larga data. Basta suponer que la Tierra, esférica e inmóvil, ocupa el centro del universo, y que las estrellas se encuentran clavadas como tachuelas en la parte interna de una inmensa superficie esférica cuyo centro coincide con el de la Tierra y que rota uniformemente alrededor del eje norte-sur. Este eje forma con el plano del horizonte un ángulo igual a la latitud del lugar de observación, y la así llamada "esfera de las estrellas fijas" invierte 23 horas y 56 minutos en realizar cada giro. Puesto que nuestro observador realiza su observación cada 24 horas y en una misma dirección, la diferencia de cuatro minutos hace que, noche a noche, lo que observa se irá modificando a medida que transcurren los meses. El desfile se completará una vez transcurrido un año, pues la acumulación de cuatro minutos a lo largo de 360 días equivale a 24 horas. Tal modelo teórico también explica satisfactoriamente por qué ciertas estrellas sólo son visibles desde determinadas latitudes, o por qué a otras, desde un mismo punto de la Tierra, se las observa durante todo el año.  Más no sólo de estrellas se compone el firmamento. Hay astros cuyo comportamiento es mucho más complejo, pues, además de acompañar a las constelaciones en su rotación diaria, se desplazan con relación a ellas a medida que transcurren los días, meses y años. Son los planetas. La palabra deriva del griego: significa "errante" o "vagabundo". Desde la antigüedad el término fue aplicado no sólo a Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno sino también a la Luna y al Sol, astros que se comportan "como hormigas sobre una rueda de alfarero", según la pintoresca analogía del arquitecto romano Vitruvio. El problema central de la astronomía teórica fue, a partir del siglo IV a.C., época de Aristóteles, explicar la complejidad de sus movimientos con respecto al telón de fondo de las estrellas fijas.

http://www.youtube.com/watch?v=DayVP53ZUpA LA ATLANTIDA = LA CIUDAD PERFECTA, LA CIUDAD PERDIDA http://www.youtube.com/watch?v=p1wQN4-Bh_I&feature=related DIALOGOS DE PLATON SOBRE LA ATLANTIDA  ¿Por qué podemos afirmar que el Sol, por ejemplo, es un astro vagabundo? Basta observar, poco antes de su salida o poco después de su puesta, en qué constelaciones se halla. A lo largo del año se irá desplazando hacia el este a través de doce de ellas, las constelaciones zodiacales o "casas del Sol" que constituyen el Zodíaco. Si se marcan en un mapa estelar las posiciones que el Sol ocupa diariamente y se unen dichos puntos veremos que queda trazada, al cabo de un año, una curva que atraviesa las constelaciones zodiacales: la eclíptica. Esta, un círculo máximo de la esfera estelar, acompaña a las estrellas en su movimiento diurno, y el Sol, a su vez, se desplaza a lo largo de ella. Completa su recorrido al cabo de un año. Este movimiento del Sol sobre la eclíptica permite explicar la desigual duración de días y noches en distintas épocas del año, esto es, las estaciones.  La Luna, a su vez, se mueve en proximidades de la eclíptica hacia el este a una velocidad trece veces mayor que la del Sol, pues en algo más de 27 días visita las doce constelaciones zodiacales que

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aquél recorre en un año. Si en determinado momento el Sol y la Luna se hallan en Aries, al cabo de un mes la Luna habrá completado su viaje y volverá a estar allí, mientras que el Sol apenas se habrá desplazado a la constelación zodiacal siguiente, Tauro. El resto de los astros vagabundos marchará cada uno según su propio ritmo. Marte demora 683 días, aproximadamente, mientras que Júpiter lo hace en algo más de once años. Para mayor desdicha del astrónomo, las velocidades con que los planetas recorren su trayecto zodiacal es variable y el trayecto mismo es intrincado. (...)  Se atribuye a Platón, a principios del siglo IV a.C., el haber formulado por primera vez la índole del problema que iba a desvelar a los astrónomos hasta la época de la revolución científica. Detrás de lo que fluye y cambia, afirma Platón, de que captan nuestros sentidos, existe una realidad trascendente e inmutable: el mundo real de las formas o ideas, en el que reinan la belleza, la perfección y la armonía, al que sólo es posible acceder por medio del intelecto. La pura evidencia sensorial es contingente, engañosa, y el auténtico conocimiento es el conocimiento las formas. Podemos dibujar con tiza o lápiz este o aquel círculo particular, hallar distintos objetos circulares en la vida cotidiana, y los sentidos nos permiten captarlos, pero la "circularidad" pertenece al mundo de las formas, de la cual aquellos círculos concretos, materiales e individuales participan o son copias imperfectas e irreales. Nuestro comercio con las cosas apenas nos permite obtener creencias y formular opiniones acerca de lo concreto y particular, mas disponemos de facultades para "distanciarnos" de los sentidos y acceder, por medio de una intelección, al mundo real de las formas, ahora sí contempladas en su inmediatez y sin intermediaciones.  Aunque el auténtico conocimiento se logre por medio de tal intelección, Platón reconocía sin embargo que existen procedimientos que ofrecen la posibilidad de ejercitar el "intelecto innato del alma", paso previo para el acceso al mundo real de las formas. A tal efecto, otorgó el mayor privilegio al estudio de la matemática, ciencia de los números y las figuras, y en este punto se advierte la profunda influencia que sobre él ejerció la escuela pitagórica. Puesto que el geómetra estudia las propiedades del círculo sin hacer referencia a círculos particulares, su conocimiento matemático le permite hallarse en inmejorable disposición para acceder, en una etapa siguiente de intelección, a la "circularidad" que habita en el mundo de las formas. Entendida en su pureza conceptual (y no como recurso de contadores y agrimensores), la matemática, como afirma el propio Platón, cumple la noble función de "sacar el alma de lo que deviene para llevarla a lo que es". Para Platón, el movimiento aparente de los planetas, esto es, el que captan nuestros sentidos cuando contemplamos el firmamento, es antiestético y desordenado, y por ello es necesario intelegir la real armonía de los astros, en el mundo de las formas, con el recurso previo a la geometría.  El problema de los planetas consistía, en el marco de la filosofía platónica, en poner en evidencia que la Tierra, el Sol, la Luna y los restantes astros vagabundos constituyen una totalidad ordenada y armoniosa, y que la irregularidad de sus movimientos aparentes no es otra cosa que una mera ilusión de los sentidos. Platón no pensaba que la solución del mismo fuese un aporte a la astronomía "práctica" de los agricultores o los navegantes, a la que consideraba materia indigna para los intereses de la filosofía; la respuesta a su problema no estaba destinada, por tanto, a explicar o predecir detalladamente la posición de los astros con el transcurso del tiempo. Por el contrario, afirmaba, para poder inteligír el orden reinante en el firmamento es necesario recurrir a la geometría "y no perder el tiempo observando los cielos". Sin embargo, más allá de esta pretensión filosófica original, el problema de los planetas se volvió rápidamente un objetivo central de aquella astronomía que tanto desdeñaba Platón. Se convirtió en la búsqueda de una serie de suposiciones geométricas y cinemáticas que permitiesen calcular con la mayor precisión posible la posición de los astros errantes con respecto a las estrellas. Dicho de otro modo, la propuesta de Platón condujo al desafío de diseñar un modelo teórico planetario que, a la manera de un instrumento, fuera capaz de predecir dónde se hallará determinado astro errante en cada instante de su viaje zodiacal. Sin embargo, los astrónomos conservaron dos condiciones adicionales que impuso Platón al formular su problema: (1) que los únicos movimientos permisibles del modelo planetario fuesen circulares y (2) a la vez uniformes, característica que presenta

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el de las estrellas fijas durante su rotación diurna. Se trata de exigencias estéticas, fundadas en la convicción platónica de que la forma circular goza del más alto grado de perfección y de que la uniformidad del movimiento garantiza la mayor simplicidad posible del modelo. Entre el siglo III a.C. y principios del siglo XVII, al menos la primera de ellas fue aceptada por todos los astrónomos que abordaron el problema de los planetas (incluyendo a Copérnico). No extraña que los historiadores la hayan llamado, irónicamente, la "maldición del círculo".  La primera respuesta al problema de los planetas se debe a Eudoxo, un discípulo de Platón. Imaginó un modelo constituido por superficies esféricas que giran uniformemente alrededor de ejes no coincidentes y que se intersectan en la Tierra. La superficie más alejada contiene a las estrellas y en su interior hay grupos de superficies esféricas, uno para cada planeta; éste se halla ubicado en la superficie interna de cada grupo y su movimiento resulta de la composición de rotaciones de todas las superficies del grupo alrededor de sus correspondientes ejes. En total Eudoxo debió introducir veintisiete superficies esféricas para poder explicar las retrogradaciones particulares de cada planeta.

02. ARISTÓTELES Y LA CIENCIA. CONSOLIDACIÓN DE LA CIENCIA

 La CIENCIA GRIEGA DEMOSTRATIVA, la que aparece en los momentos de madurez en el desarrollo del pensamiento y está íntimamente relacionada con el pensamiento filosófico, procedió a una doble ruptura con los saberes empírico-técnico-racionales que generaban ciencias no sujetas a una suficiente exigencia de rigor y de crítica y con saberes simbólico-míticos-mágicos (narraciones fantásticas y peligrosas)  ARISTÓTELES es el filósofo que con mayor rigor arma un sistema universal del conocimiento englobando todos los saberes bajo el nombre general de FILOSOFIA. Sin embargo, hablando con propiedad, aporta los elementos fundamentales sobre la Filosofía de la ciencia, la Epistemología y la Metodología de las ciencias trata no sólo de despertar el afán del conocimiento (para lo cual es necesario armar una serie de condiciones), sino de otorgar una serie de estrategias para que ese conocimiento sea efectivo y certificable (verdadero).La ciencia no es una aventura o desventura del científico, del amante del saber, sino un intento de conocer, apresar, describir y explicar la realidad, las cosas mismas, nuestra casa grande: el cosmos.

EL COSMOS PRE-ARISTOTELICO  “El universo de LAS DOS ESFERAS está compuesto por una esfera interior para el hombre y otra exterior para las estrellas. (...) El universo de lasa dos esferas no es un modo alguno una verdadera cosmología, sino un marco estructural en que encuadrar concepciones globales sobre el universo. (...) El origen del sistema es oscuro, pero, en contrapartida, no lo es en absoluto comprender las razones que sustentan su fuerza de persuasión. La esfera de los cielos es muy similar a la bóveda celeste propuesta por babilonios y egipcios. (...)  Hay un argumento de orden estético a favor de un universo esférico. Puesto que las estrellas se desplazan formando un todo y parecen ser lo más alejado de nosotros que nos es dado observar, es natural suponer que no sean otra cosa que simples marcas sobre la superficie externa del universo y se desplacen solidariamente con dicha superficie. Asimismo, dado que las estrellas se mueven eternamente con una regularidad perfecta, la superficie sobre la que se mueven debe ser también perfectamente regular y su movimiento siempre el mismo. ¿Qué figura responde mejor a tales

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condiciones que la esfera, la única superficie perfectamente simétrica y una de las pocas que puede girar eternamente sobre sí misma ocupando exactamente el mismo espacio en todos cada uno de los instantes de su movimiento? ¿Bajo qué otra forma podría haber sido creado un universo eterno y autosuficiente?7  Muchos de los argumentos dados por los antiguos a favor de la esfericidad de la tierra responde a lo que sintetiza Platón: ¿Qué otra figura podría convenir mejor a la tierra, la morada del hombre, que la misma figura perfecta con la que ha sido creado el universo?” No se pueden silenciar un gran número de pruebas sobre la esfericidad: la nace que “desaparece” en el horizonte, la sombra de la tierra sobre la superficie lunar en los eclipses, etc.  “¿En qué dirección podía caer un cuerpo situado en el centro de una esfera? No existe “abajo” respecto al centro y todas las direcciones apuntan idénticamente hacia arriba. En consecuencia, la tierra debe permanecer suspendida en el centro, eternamente estable, mientras el universo gira a su alrededor. (...) La simetría del universo de las dos esferas establecía estrechos vínculos entre el pensamiento astronómico, el pensamiento físico y el pensamiento teológico. (...) La tierra esférica está situada en el centro de una esfera mayor, la de las estrellas. Un observador terrestre situado en un punto, sólo puede ver la mitad de la esfera.”(KUHN: 52-65)

EL COSMOS ARISTOTÉLICO  El universo entero – para Aristóteles - estaba comprendido en la esfera de las estrellas, dentro de la superficie externas de dicha esfera. En todos y cada uno de los puntos del interior de la esfera había materia; los agujeros y el vacío no tenían razón de ser en el universo. En el exterior de la esfera no había nada, ni materia, ni espacio; nada absolutamente. En la ciencia aristotélica materia y espacio van juntos; son dos aspectos de un mismo fenómeno y, por consiguiente, la misma noción de vacío es completamente absurda8. Partiendo de este presupuesto Aristóteles daba explicación al tamaño finito y a la unicidad del universo. Espacio y materia deben acabar a un mismo tiempo: no tiene sentido construir un muro que limite el universo y preguntarse qué es lo que limita el muro. Este cielo es único y perfecto: no hay ni puede haber varios cielos, ni existieron antes ni existirán después. 9  El universo de Aristóteles se contiene a sí mismo y es autosuficiente, no deja nada fuera de sus límites.  El universo aristotélico está lleno en su mayor parte por un solo elemento, el éter, que se agrega en un conjunto de caparazones homocéntricos (= 56 caparazones cristalinos que encerraban en un mecanismo físico el sistema de las esferas homocéntricas planteado por autores anteriores) para formar una gigantesca esfera hueca, limitada en su parte exterior por la superficie de la esfera de las estrellas y en la interior por la superficie de la esfera homocéntrica que arrastra el planeta más bajo, la luna.

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cfr. PLATÓN, Timeo. 34 b La resistencia de los contemporáneos de Galileo a sus propuestas de ordenamiento a priori de lo matemático obedecía a una obsecuente fidelidad a Aristóteles y la imposibilidad de concebir el vacío (físico). 9 ¿Cabía alguna duda de que GIORDANO BRUNO debía ser objeto de persecución cuando en 1580 escribe y publica en Londres, rodeado de una multitud de filósofos y hombres de ciencias seguidores de Aristóteles, SOBRE EL INFINITO UNIVERSO Y LOS MUNDOS? ¿Cómo imponer – casi literariamente – otro paradigma para suplantar al vigente que gozaba del apoyo de todos los poderes? 8

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 El éter es el elemento celeste, de sólido cristalino. Es puro, inalterable, transparente, sin peso. Los planetas y las estrellas – así como los caparazones esféricos concéntricos cuya rotación explica los movimientos celestes – están hecho de éter.” (KUHN: 116 /118)

EL COSMOS POST-ARISTOTÉLICO Después de la muerte de Aristóteles la idea de los caparazones de gran espesor engranados entre sí para producir y desencadenar el movimiento añadió nuevos elementos técnicos a la astronomía para poder efectuar un cálculo mas ajustado de los movimientos de los planetas. (KUHN: 119 ss) A pesar de los avances en las interpretaciones de los movimientos planetarios, que nunca descubrió o propuso empujes o atracciones exteriores, la tierra siempre se mantuvo como inmóvil, ocupando el centro del universo. Los últimos aristotélicos no llegaron a sugerir que la tierra fuera un planeta o que no fuera el centro del universo. Una innovación de estas características se revelaba particularmente difícil de comprender o de admitir para cualquier discípulo de Aristóteles, porque la idea de una tierra central y única se entretejía con fuerza en el seno de un vasto conjunto de conceptos que sustentaban el armazón del edificio del pensamiento aristotélico. “La idea de una tierra central e inmóvil era uno de los pocos grande conceptos básicos sobre los que gravitaba una visión coherente y globalizadora de un determinado sistema del mundo”. (KUHN : 121 – 123)

 La ASTRONOMIA representaba en sí mismo un conocimiento cuya importancia asociaba la matemática, la física y la misma metafísica, pero Aristóteles intenta ordenar la totalidad de la ciencia y manifiesta – en sus Segundo analíticos – que el verdadero conocimiento, el fundamentado (= episteme) sólo se alcanza en una etapa peculiar y final de un proceso de conocimiento (Tekné), el método demostrativo (aristotélico) : (1º) El proceso del conocimiento es una serie de pasos a través de los cuales van despertando nuestra aptitud para el conocimiento y se formulan hipotéticas verdades generales o leyes acerca de lo real. (2º) En una segunda etapa la problemática se centra alrededor de los procedimientos mediante las cuales sería posible verificar las potenciales verdades o leyes científicas formuladas. 

Pero, a su vez, hay una serie de pasos para efectuar la prueba del saber o de la ciencia: (1) Para cada ciencia o disciplina hay un género o tipo de entidades que constituye el objeto el propósito de estudio. Un género es una clase de entidades caracterizadas por rasgos o propiedades esenciales compartidas entre sí y ajenas a otros. Los géneros deben ser suficientemente amplios como para no circunscribir los saberes a cuestiones específicas. Ej. Geometría / Trigonometría.Las disciplinas responden a un tipo de género o tipo de entidades que constituye el objeto o el propósito de la misma. Para que haya ciencia (claramente delimitable) es necesario que se pueda establecer una clara distinción con respecto a otras: GEOMETRÍA, ASTRONOMIA, FÍSICA, MATEMÁTICA, BIOLOGÍA... A diferencia de concepciones actuales que asocian los cuerpos científicos a situaciones problemáticas ARISTÓTELES prefiere determinar la ciencia junto con el objeto de referencia. (2) Una ciencia no es sólo un cuerpo discursivo respecto a un determinado universo, sino un conjunto de objetos, una realidad extralingüística que pueden identificarse en la realidad y que puede designarse/expresarse a través de discursos científicos que también tienen una entidad específica. No se trata de escribir sobre la realidad, sino de llegar al conocimiento (fundamento) de las cosas.

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(3) Aunque el investigador pueda obtener – por diversos medios – conocimientos, lo principal es determinar cómo se condensa o cristaliza en afirmaciones sistemáticas y coherentes. La ciencia – cada ciencia – tiene hace constructo y un recorte lingüístico para expresa su universo discursivo acerca una parcela de lo real (signos + afirmaciones). (4) Debe determinarse la verdad de los enunciados de la ciencia, es decir la adecuación entre la descripción de la realidad y la realidad misma. Se trata de concluir que la estructura lingüística construida por la ciencia (discurso) tiene toda la información requerida y no contiene informaciones parciales o inadecuadas. (5) Las afirmaciones de la ciencia deben ser generales y no simples afirmaciones sobre casos particulares; deben cubrir todos los objetos y todos los casos posibles. Cuando se formula una ley se está aludiendo a esta universalidad. Las afirmaciones, por tanto, rigen para todos los casos presentes y futuros. Estos enunciados deben ser necesarios porque están aludiendo a la esencia de las cosas mismas, a su naturaleza y no a aspectos accidentales. “Es imposible que las cosas sean o sucedan de otra manera”. Es la generalidad y la necesidad lo que convierte a los conocimientos en disciplinas científicas. (6) Las consecuencias lógicas de enunciados de una disciplina científica forman parte de ella, siempre que el universo discursivo de la misma se mantenga sin variaciones. Lógicamente las conclusiones se derivan necesariamente de las premisas: todo lo que se deduce dentro de una ciencia pertenece a esa misma ciencia. El método deductivo permite un avance seguro e ilimitado del conocimiento superando otros procedimientos que quedan circunscriptos a la observación o la certificación experimental. Todo el aporte de la lógica aristotélica apunta a garantizar que esta afirmación efectivamente conserva la verdad. (7) ¿Cómo se verifican las verdades científicas? Para evitar un “regreso al infinito” en el encadenamiento de preguntas y pseudorespuestas o el “círculo vicioso” porque el la verificación se supone por recurrencia a los miembros de un conjunto cerrado e interdependiente, Aristóteles propone enunciados de punto de partida. Se justifican por la evidencia, cuya aprehensión es inmediata y permiten construir el edificio de la ciencia a través del método deductivo. Propone como principios los axiomas (por su evidencia exhiben su propia verdad), los postulados (se admiten como verdaderos porque de los contrario la ciencia no podría construirse) y las definiciones (enunciados cuya verdad proviene de razones metafísicas o semánticas, según se trate de definiciones reales o nominales, por el sentido o el valor que se le ha asignado a los términos utilizados en la ciencia)  La presentación de esta serie de condiciones no está determinando la validez absoluta de las mismas. Hay interrogantes que recorren la historia de la filosofía y que surgen en la epistemología que pueden aplicarse al planteo aristotélico (demasiado entusiasmado por las prácticas de determinadas ciencias): presupone y exige la existencia de una facultad humana que puede, en virtud de las relaciones entre las ideas y significados involucrados en ciertos enunciados, autojustificar a éstos. Pero, ¿cómo sabemos que una evidencia no está perturbada, distorsionada o se trata meramente de una pseudociencia? (KLIMOVSKY: 106 – 115)  Si bien Aristóteles es reconocido principalmente por su contribución a la constitución orgánica de la filosofía (como ciencia primera y fundante, y ciencia del todo), los aportes a la ciencia se dieron principalmente en el terreno de la física, la matemática y otras ciencias de la observación. Su física se ocupa – con un acentuado perfil filosófico, al punto tal que se toma como fuente de desarrollo de algunos temas metafísicos, la Física – de las sustancias sensibles y móviles, y de ellas: las formas y de las esencias: teoría del movimiento(consiste en pasar desde el ser en potencia hasta el ser en acto), el espacio(es el lugar común en el que están todos los cuerpos y es el lugar particular en el que

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manera inmediata está cada cuerpo, es el límite de cada cuerpo sin ser nada de lo que cada cuerpo u objeto contiene), el tiempo (depende del antes y después del movimiento percibidos por el alma como principio numerador y de medida), el infinito, la división y la clasificación del mundo físico(dos esferas claramente diferenciadas entre sí: el mundo sublunar sometido a la mutación y al cambio, a la generación y a la corrupción, y el mundo supralunar o celestial, caracterizado por el movimiento perfecto o circular). (REALE: 175 ss)

TEXTO COMPLEMENTARIO: LA COSMOLOGÍA ARISTOTÉLICA 10

 Aristóteles utilizó los saberes anteriores para diseñar la cosmología más acabada de la antigüedad, destinada a explicar con la mayor coherencia posible, no sólo la variedad de los seres que percibimos en el cielo y en la Tierra, sino también sus cambios. No todas sus suposiciones fueron enteramente originales; por ejemplo, sus ideas astronómicas provenían de Eudoxo, mientras que su concepción de la naturaleza de la materia terrestre (la teoría de los "cuatro elementos"), de un filósofo anterior, Empédocles. Pero la audacia y novedad de su obra radica en haber formulado un ambicioso programa de síntesis, cuya culminación fue una propuesta relativamente coherente y unificada, que intenta a la vez dar cuenta del movimiento de planetas y piedras, de la conversión de ciertos materiales en otros, del nacimiento, la evolución y la muerte de los seres vivos. Buena parte de este programa fue formulado y desarrollado en sus libros Física y Sobre el Cielo. Hoy resulta un lugar común afirmar que su intento fue prematuro, pero es significativo que un programa similar, llevado a cabo dos milenios después con la revolución científica, tuviera éxito allí donde fracasó Aristóteles. De hecho, no surgió hasta el siglo XVII una cosmología rival que pudiese sustituir a la de quien fuera llamado simple y admirativamente el Filósofo por sus seguidores medievales.  Consideremos, en primer lugar, la constitución de la región celeste del universo aristotélico, en la que habitan la Luna, el Sol, los planetas y las estrellas. El modelo de Eudoxo, destinado a resolver el problema filosófico planteado por Platón, era una construcción geométrica que sólo pretendía justificar a grandes rasgos las observaciones astronómicas, pero no describir una auténtica realidad física: sus veintisiete superficies esféricas eran ideales matemáticos, no cuerpos sólidos. Pero ello no podía satisfacer a un cosmólogo como Aristóteles, quien, en calidad de tal, se hallaba mucho más cerca de lo que hoy llamaríamos un físico, un químico o un biólogo realista, es decir, alguien que intenta formular afirmaciones verdaderas acerca de la realidad.  Aristóteles, a diferencia de su maestro Platón, no profesaba un culto abstracto por la matemática y, de hecho, no se conoce ninguna contribución suya a esta disciplina. Siguiendo a Eudoxo, concibió un mundo celeste constituido por caparazones esféricas (o simplemente "esferas") vinculadas entre sí y destinadas a transmitir el movimiento de la esfera exterior de estrellas a las internas, en las que se hallan los planetas, el Sol y la Luna. La esfera de las estrellas es movida por un "motor inmóvil", entidad metafísica que es puro acto y pura forma, y que los aristotélicos medievales identificarían con Dios. Para asegurar el correcto funcionamiento de su universo, Aristóteles debió emplear 56 esferas, y el resultado semeja un sistema físico de transmisión de movimientos antes que una construcción geométrica o meramente cinemática como la de Eudoxo.  Todo cuanto existe en el universo aristotélico está constituido por elementos, cuerpos simples o primeras formas que recibe la materia a partir de los cuales se originan todas las cosas. A la región 10

BOIDO Guillermo (1996), Noticia del planeta tierra. Galileo Galilei y la revolución científica. Buenos Aires. AZ. Pp. 28 - 42

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celeste corresponde un único elemento incorruptible, el éter (o quintaesencia, en la terminología medieval), especie de cristal que dará lugar a la denominación de "esferas cristalinas" para las caparazones planetarias. El movimiento de los astros es eterno. Con excepción de los movimientos que resultan de la composición de rotaciones uniformes de las esferas celestes, no se admiten otros cambios en esa región perfecta, privilegiada. Tal perfección deriva de su constitución por el incorruptible éter, inexistente en la Tierra y sus proximidades, y por ello no será posible advertir en los cielos generación, transformación e corrupción: aparición de nuevos planetas, desaparición de estrellas, presencia de manchas en el Sol.  Pero algo muy distinto acontece en la región sublunar, es decir, en vecindades de la superficie terrestre y en la Tierra misma. Aquí predomina el cambio de todo orden, el movimiento, la generación, la descomposición, la transformación y la muerte; todo cambio, en cuanto es la actualización de una potencia, implica un comienzo y un final, lo cual no acontece en la región celeste. El movimiento circular de los astros es eterno, pues carece de punto de partida o de llegada: es una "actualización perpetua". No puede haber, para Aristóteles, distinción más tajante que la que existe entre los cielos y la Tierra. En la región sublunar los elementos son cuatro: térreo, aéreo, acuoso e ígneo. Esta doctrina de los cuatro elementos le permite a Aristóteles explicar vaga y cualitativamente la constitución de los materiales existentes a nuestro alrededor y sus transformaciones. Cuando se quema un leño verde, por ejemplo, se observa su descomposición en aquellos elementos primigenios: en el líquido que exuda, el humo que se desprende, las llamas que ascienden y las cenizas que perduran reconocemos la predominancia, respectivamente, de los elementos acuoso, aéreo, ígneo y térreo que originariamente constituyeron la madera. De no rotar la esfera de la Luna, estos elementos se dispondrían en capas concéntricas de acuerdo con su pesantez o levedad: un núcleo térreo seguido respectivamente por caparazones de los elementos acuoso, aéreo e ígneo. Pero ello no ocurre porque la esfera lunar transmite su movimiento a la región que se extiende por debajo de ella, la cual resulta así agitada y cambiante. La rotación de la esfera de las estrellas fijas es por tanto responsable de todos los cambios que acontecen en el universo aristotélico.

03.

DILEMA DE EPICURO (341 ac – 270 ac)

La física de Epicuro es un fundamento para su ética, porque “si no nos perturbasen el temor ante los fenómenos celestiales y ante la muerte y desconocer la frontera de los placeres y los dolores, no tendríamos necesidad de la ciencia de la naturaleza”. Es una verdadera ontología, porque representa una visión global de la realidad en su totalidad y en sus principios últimos. No es original en sus construcciones sin o que recurre a la tradición atomistas, filósofos presocráticos. Sus fundamentos físicos se expresan en los siguientes términos:

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(1) Nada nace del no ser y nada se disuelve en la nada. Si nada nace y nada perece, el todo – la realidad en su totalidad – siempre ha sido como es ahora y siempre será igual.

(2) Este todo está determinado por dos elementos esenciales: los cuerpos y el vacío. Los sentidos nos prueban la existencia de los cuerpos, mientras que la existencia del espacio y del vacío se infiere del hecho de la existencia del movimiento. Para que haya movimiento es necesario que exista espacio vacío. El vacío no es no-ser sino espacio o naturaleza intangible. No hay una tercera cosa entre los cuerpos y el vacío.

(3) La realidad es infinita. En infinita en cuanto totalidad. Es infinita la multitud de cuerpos e infinita la extensión del vacío para poder contener a los cuerpos infinitos.

(4) Algunos cuerpos son compuestos, mientras que otros son simples y absolutamente indivisibles. Los átomos permiten encontrar un fundamento para no extender la divisibilidad de los cuerpos hasta el infinito (lo que llevaría a las cosas a disolverse en el no-ser)

(5) Introduce la teoría del ciclamen para explicar el movimiento infinito de los átomos: los átomos pueden desviarse en cualquier momento del tiempo y en cualquier punto del espacio con respecto a la línea recta y durante un intervalo mínimo, encontrándose así con los demás átomos. Esta teoría permite a Epicuro encontrar una razón a los movimientos para descartar cualquier intervención mítica o asociada a la presencia de los dioses o del destino. Aunque para huir de tales planteo terminen creando arbitrariamente una explicación que se rige por la casualidad y lo fortuito (ya que no puede tener libertad porque la finalidad y la causalidad le son absolutamente ajenas.

(6) De los principios infinitos atómicos se derivan mundos infinitos: algunos son iguales o análogos a los nuestros, mientras que otros son muy diferentes. Estos infinitos mundos nacen y se desvanecen, algunos con más rapidez y otros más lentamente. Son infinitos en el espacio y en la infinita sucesión temporal.

(7) No hay ninguna inteligencia, ningún proyecto, ninguna finalidad que se sitúe en la raíz de esta constitución de infinitos universos. Solo existe la casualidad y lo fortuito.

(8) No solo nuestros cuerpos, sino que el alma es un agregado de átomos, que arman la parte irracional y alógica del alma junto con la específicamente racional. El alma no es eterna sino mortal.

(9) También los dioses son átomos, aunque a diferencia de los compuestos atómicos que se pueden disolver, los dioses tienen una entidad eterna, aunque no tiene una explicación lógica que lo justifique. En el plano ético – que es lo que más se conoce de Epicuro – afirma que el verdadero placer consiste en la ausencia de dolor en el cuerpo (aponía) y carencia de perturbación en el alma (ataraxia). El placer que se debe buscar no es un placer descontrolado y desmesurado, sino un placer que conduzca a estos dos estados porque lo que interesa es ese estado de absoluta serenidad que supera todas las necesidades. Para ello Epicuro realiza una serie de distinciones con respecto a los placeres. De esta manera todos los males se pueden soportar o sobrellevar, y la misma muerte no debe considerarse algo temible en sí mismo, porque lo que se afirma de ella son falsas opiniones: cuando nos llega ya no sentimos nada.11

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REALE G. – ANTISERI D. (1988: 216), Historia del pensamiento filosófico y científico. Herder.

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DILEMAS  "O Dios quiere evitar el mal, pero no puede, y entonces es impotente; o puede y no quiere, y entonces es malo; pero tanto en un caso como en otro no sería Dios. Por que Dios es necesariamente bueno y omnipotente. Por lo tanto el mal que existe en el mundo es suficiente prueba de que Dios no existe”.  “Tenemos necesidad de encontrar una explicación racional a todo lo real, pero esa explicación supone la posibilidad de lograr un alto de grado de certidumbre y de previsibilidad acerca de los acontecimientos futuros. Pero esa afirmación implica la presencia de un determinismo instalado en la realidad. Si es así, ¿cómo se puede salvar la libertad y la creatividad propio de la naturaleza humana?”  Este planteo original de EPICURO ha sido retomado por la epistemología contemporánea que – especialmente con los aportes de PRIGOGINE que trabaja desde el ámbito de la física – ha renunciado a una concepción de ciencia determinista y segura para crear espacios de incertidumbre, caos, creatividad y libertad. La seguridad de los cálculos o de la traducción en términos matemáticos de los grandes temas no permite concluir que el futuro deba tener un formato predefinido. 12  La cumbre del placer es simple y pura destrucción del dolor: aponía (ausencia de dolor físico y de necesidades físicas) y ataraxia (ausencia de dolor y necesidades) no padecer dolor en el cuerpo. Ni turbación en el alma…

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PRIGOGINE Y. (1992), El Fin de las certidumbres. Barcelona. Taurus. “El fin de las certidumbres2 es el título de un libro de Ilya Prigogine. En el mismo, Prigogine describe el trastorno epistemológico en el pensamiento de muchos físicos y otros científicos. Ellos consideran que la base metafísica de la física moderna desde Newton y Descartes - el determinismo, las evoluciones lineares, la reversibilidad del tiempo - nos han llevado por mal camino, y que esta concepción del universo no es aplicable más que a unas pocas situaciones muy restringidas y particulares. Piensan que lo esencial de la realidad es que el universo está lleno de incertidumbres, y, por lo tanto, de posibilidades inmensas de creatividad. Prigogine y sus colegas ponen en el centro de sus análisis la flecha de la historia donde existen bifurcaciones sucesivas de las cuales es intrínsicamente imposible saber de antemano qué camino seguirá la flecha.

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04. ARISTARCO DE SAMOS (III a.c.) La historia de la ciencia muestra un escenario dual y antinómico en el que conviven los científicos, las ideas y las obras.  Por una parte la ciencia aparece como un reflejo/espejo de la realidad que se observa; se respetan los fenómenos, se los pretende salvar a toda costa y dar un marco teórico para justificarlos y encuadrarlos. Prima la necesidad de preservar el sentido común, lo que los fenómenos dicen y expresan en su literalidad. Tal vez – en este sentido – la historia de la ciencia antigua y medieval predominante (oficial) tiene una exagerada carga de fidelidad a los fenómenos. No hay otra manera de explicar y justificar los fenómenos.  Pese a todo, en este mismo contexto, subyacen una serie de presupuestos que como no pueden ser inferidos de la mera observación se presentan como hipótesis válidas extrapolándolos de principios de carácter metafísico (Ej. La clasificación de los cuerpos, de los entes o del movimiento). Es decir que en el corazón mismo de la fidelidad al fenómeno, en la sujeción a los hechos, aparecen aportes que se juzgan científicos aunque no tienen un marco conceptual que permita sostenerlos. 13  Por otra parte asoma en la historia de la ciencia una concepción a priori de la realidad por la que la intención del hombre de ciencia es superar el fenómeno, la apariencia, el sentido común... y llegar a un principio explicativo que pueda superar todas las objeciones... o soportar (en términos socráticos) todas las refutaciones. Se trata de pre-concebir cómo debe ser la realidad, apelando a modelos de carácter racional, modelos geométricos y matemáticos, y obligar a los fenómenos a sujetarse a esa explicación. Estos principios explicativos son más seguros y concluyentes, pero no llegan a convencer fácilmente a los interlocutores porque no se trata de abrir los ojos o los oídos y mirar o escuchar... sino de mirar o escuchar en cierta dirección para interpretarlos de determinada manera...  Lo curioso es que desacredita una difundida creencia de que la matemática – por ocuparse de los números – debe ser quien mejor refleja la realidad, quien mejor la expresa o la que más trabaja con ella (concreta). El ordenamiento a priori que efectúa genera modelo o paradigmas organizativos que prescinde de la realidad directa, tangible, para ocuparse del todo... Es natural que en esta concepción abunde la resistencia, la discusión, le negación y la condena... Esta aclaración previa permitirá

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Cierta visión de la edad media trata de negar todo conocimiento científico en contraposición con el aporte de la antigüedad... pero sobre todo en vista del revolucionario aporte de la ciencia moderna. Por el contrario la CIENCIA MEDIEVAL está demasiado atada al modelo de ciencia de los griegos y asociada a los paradigmas metafísicos de la antigüedad (con el natural enlace con doctrina de carácter religioso) con una obsesiva preocupación por la observación, la clasificación y – sobre el final – la experimentación...

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ingresar con mayores elementos en la mano para entender y valorar el aporte de ARISTARCO y el de los científicos y filósofos posteriores.  Fue el primero en determinar la distancia a la Luna. Para ello lo primero que tuvo que hacer es determinar la distancia de la Tierra al Sol. Dedujo que cuando la Luna estaba exactamente en Cuarto Creciente el triángulo Tierra-Luna-Sol era rectángulo. Así que midiendo el ángulo que forman el Sol y la Luna en dicho instante quedará determinada la distancia solar tomando como unidad la distancia lunar. Halló para dicho ángulo 87º y determinó que el Sol estaba 19 veces más lejos que la Luna. Hoy sabemos que dicho ángulo es 89º 51' y que el Sol está unas 400 veces más lejano que la Luna. Sin embargo aunque los valores determinados por Aristarco estaban muy equivocados, no sufrieron modificaciones importantes durante la Antigüedad y Edad Media y dieron como fruto una nueva concepción del Universo que fue muy avanzada para su época. 14  De los eclipses se sabía que el tamaño angular del Sol y la Luna eran iguales. Si el Sol estaba 19 veces más lejos su diámetro era 19 veces más grande que el de la Luna y por tanto en volumen era 6859 veces mayor que la Luna. Como veremos, de los eclipses totales de Luna Aristarco deduce que el diámetro de la Tierra es 57/20 el diámetro lunar. Así que el volumen de la Tierra es 23 veces el tamaño lunar. Por tanto el Sol es 6859/23=300 veces mayor que el diámetro de la Tierra. Estos cálculos favorecieron la revolucionaria idea de Aristarco de que era la Tierra la que giraba en torno al Sol (teoría heliocéntrica) y no al revés (teoría geocéntrica). Sin embargo el paradigma en vigor era el de la Tierra fija en el centro del Universo y el hombre centro de la Creación. Hubo que esperar hasta 1543 d.C. para que Copérnico volviera a plantear la idea.

 De Aristarco sólo nos queda una obra: "Sobre los tamaños y distancias del Sol y de la Luna", que se ha salvado, posiblemente gracias al hecho de que en ella se adopta un punto de vista geocéntrico y geostático, es decir el modelo astronómico tradicional entre los antiguos. La obra Aristarco 14

Cálculo de la distancia lunar: Aristarco determinó por primera vez la distancia a la Luna basándose en un eclipse lunar de máxima duración, con el fin de que la Luna pasase por el centro de la sombra de la Tierra. Averiguó que el tiempo que tardaba la Luna en ocultarse por la sombra de la Tierra era aproximadamente el doble que el tiempo que duraba el eclipse total de Luna, por lo que el diámetro de la sombra era unas dos veces el tamaño del diámetro lunar. Además el tiempo que tardaba la Luna en ocultarse era aproximadamente de 1 hora es decir que la Luna avanzaba en el cielo en 1 hora su propio diámetro. Como se sabía que la Luna tardaba 29,5 días en dar la vuelta a la Tierra, resultaba que hacían falta 708 diámetros lunares para formar el círculo completo. Así que la distancia lunar era de 225,4 veces el radio lunar.

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combina los datos observacionales y experimentales con los razonamientos matemáticos. Esta obra fue anterior a los libros de la hipótesis heliocéntrica y tal vez la favoreció, ya que en ella se obtuvo que el volumen del Sol es unas 300 veces mayor que el de la Tierra y esto puede haber sido un elemento a favor de la hipótesis heliocéntrica ya que a Aristarco le debió parecer absurdo que a pensar que el Sol, que era tan grande, girara alrededor de la Tierra. Su hipótesis fue la primera manifestación del reconocimiento de la insignificancia astronómica de la Tierra. La idea heliocéntrica tenía que surgirle a un hombre que por primera vez se había formado una idea cualitativamente correcta de las dimensiones respectivas.  Precursor del modelo heliocéntrico: Aristarco es, sobre todo, famoso por haber propuesto un modelo astronómico heliocéntrico y helioestático, para explicar las irregularidades en el movimiento de los planetas, 1.800 años antes de que Copérnico lo hiciera. La idea de que la Tierra se movía no era del todo original ya que los pitagóricos habían considerado que la Tierra también era un astro.  Según Aristarco todos los movimientos periódicos observables en el cielo se podían explicar imaginando que la esfera celeste estaba quieta y que la Tierra daba una vuelta completa al día alrededor de un eje que pasara por la propia Tierra. El movimiento diurno de nacimiento y ocaso de los astros se podía explicar por el movimiento de rotación de la Tierra alrededor de un eje. Además se podía explicar los cambios con ciclo anual que tenían lugar en el cielo y los movimientos de retrogradación de los planetas si. se tomaba como hipótesis que la Tierra y los cinco planetas visibles giraban alrededor del Sol con un movimiento de traslación.  Esta hipótesis heliocéntrica, en la que se utilizaban exclusivamente los movimientos circulares, uniformes, tiene una ventaja posterior: explica el hecho desconcertante de que los planetas sean más luminosos durante la retrogradación, ya que en ese momento están más próximos a la Tierra. Pero la genial intuición de Aristarco era demasiado revolucionaria para la mentalidad de la época y chocaba con numerosas objeciones ligadas al sentido común, de carácter filosófico, religioso, físico, astronómico, y matemático. 15  Críticas de sus contemporáneos:16Esta nueva representación del sistema astronómico fue, por lo tanto, severamente criticada en la antigüedad. La idea de que la Tierra se movía resultaba inaceptable y parecía estar en contradicción con el sentido común y con las observaciones cotidianas. Además la hipótesis se contraponía directamente a las doctrinas filosóficas clásicas, según las cuales la Tierra debía tener un papel especial respecto a los demás cuerpos celestes y su lugar debía ser el centro de Universo. Estos filósofos afirmaban, basándose en la teoría aristotélica, que los cuerpos pesados se mueven naturalmente hacia el centro de la Tierra17. Otra implicación de la teoría de los movimientos naturales de Aristóteles era que todo cuerpo, una vez alcanzado su lugar natural se paraba, ya que “los elementos y los cuerpos se ven constantemente arrancados de sus ubicaciones naturales por la necesaria intervención de una fuerza; todo elemento se resiste a desplazarse y cuando lo hace intenta volver a su posición natural a través del camino más corto posible”. (KUHN: 124)  Las consecuencias de esta teoría llegaban a conclusiones en parte verdaderas y en parte falsas. Se deducía: (1) que la Tierra debía tener forma esférica. Pero también (2) que la Tierra permanecía del todo inmóvil en el centro del Universo. 15

KUHN en el libro trabajado hace reiteradas referencias a ARISTARCO al plantear el desarrollo de la REVOLUCION COPERNICANA. En el APÉNDICE TÉCNICO revisa algunos de los cálculos efectuados por ARISTARCO sobre diversas mediciones del universo (tierra, sol, luna). Puede resultar de interés consultarlo para quienes trabajan la co-relación de los problemas de la ciencia con los cálculos matemáticos que la acompañan. Cfr. La revolución copernicana. Hyspamérica. II. 350 y ss. 16 Cfr. KUHN: 72-75 17 Cfr. KUHN: 123 y ss . Integración de física (movimiento)y astronomía.

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 Los científicos antiguos se daban cuenta de que si la Tierra gira sobre su eje cada 24 horas, la velocidad de un punto dado sobres la superficie de la Tierra debe ser muy alta. ¿Como podrían, entonces, las nubes o los proyectiles que se desplazaban por el aire superar la velocidad y el movimiento de la Tierra? Nunca se podría realizar ningún movimiento hacia el este porque la Tierra se adelantaría siempre.  El argumento principal de los astrónomos se basaba claramente en la fracasada observación del fenómeno del paralaje anual de las estrellas: si la Tierra gira alrededor del Sol debería haber algunas variaciones en las posiciones relativas de las estrellas, observadas desde diferentes puntos de la órbita terrestre. Si las cosas eran como Aristarco afirmaba debía verificarse un desplazamiento de las estrellas fijas en el curso de un año, pero los astrónomos griegos no habían notado nada parecido en sus observaciones.  Este hecho podía explicarse de dos formas: (1).La Tierra no gira alrededor del Sol; (2) La Tierra gira alrededor del Sol, pero las estrellas están tan lejos que el desplazamiento es tan pequeño que no puede ser apreciado a simple vista. Esta segunda hipótesis era la correcta. Pero empleando los mejores instrumentos para observar las estrellas, el paralaje anual no pudo ser descubierto hasta 1838, con las investigaciones de Bessel. Aristarco tuvo la suficiente imaginación como para sostener que las estrellas podían estar inmensamente lejos, cosa que ha confirmado plenamente la ciencia.  El sistema de Aristarco con sus movimientos circulares, fallaba en lo que se considera lo más importante: "salvar" los fenómenos, es decir, proporcionar una predicción lo suficientemente exacta. Y no explicaba lo más sencillo como era la desigual duración de las estaciones. Es cierto que Aristarco no debió ser el único que creía en su hipótesis pero, en los textos antiguos se han borrado los nombres de sus sacrílegos seguidores. Al único al que se recuerda es a SELEUCO DE SELEUCIA (150 A.C.), un astrónomo babilonio, que vivió un siglo después de Aristarco y que retomó la teoría heliocéntrica con bases argumentadas. Fue quien intentó defender el sistema frente a numerosos opositores que reforzaron la tesis egocéntrica: APOLONIO DE PERGA / HIPARCO DE NICEA.

El caso de ARISTARCO es un CASO GALILEO en la antigüedad y sin condena, pero un PARADIGMA de la forma en la ciencia avanza y de sus marchas y contramarchas, He aquí la pregunta: ¿Por qué un nuevo paradigma interpretativo era resistido y archivado sin ofrecerle la posibilidad de sumarse a la explicación de la realidad? Si ARISTARCO había construido una teoría que respondía más a la verdad, si estaba en lo cierto y podía sostenerlo con rigor matemático, ¿Por qué no pudo sobreponerse a la teoría tradicional de ARISTÓTELES y de PTOLOMEO? Porque no tienen suficiente fortaleza explicativa para superar todos los inconvenientes lógicos y porque se le suman resistencias de otro tipo (la ciencia no se impone por sí misma, ni resiste sólo con sus estrategias demostrativas): (1) oposición religiosa (2) oposición de sectas filosóficas helenísticas con fuerte influencia aristotélica (3) diferencia respecto al sentido común (4) algunos fenómenos continuaban sin explicación... (REALE: I, 262 y ss)

05. EL SISTEMA DE CLAUDIO PTOLOMEO (siglo I/II d.C.)  Ptolomeo se muestra convencido de la clara superioridad de las ciencias teóricas (sobre las creadoras y las prácticas) y, entre éstas, concede preeminencia a las matemáticas. Considera la física como la ciencia de los entes sometidos al cambio (sujetos al movimiento):

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 “A los géneros de la parte teórica (teología y física) habría que atribuir el carácter de conjetura, que no el de aprehensión científico: al género teológico por su absoluta invisibilidad e inconcebibilidad, y al físico, por la inestabilidad y la oscuridad de la materia, de modo que no se puede esperar que en estos dos géneros se llegue a un acuerdo entre los filósofos.  Sólo el género matemático, si se encara con rigor, ofrece a quien lo cultiva una ciencia sólida y cierta, dado que la demostración aritmética o geométrica, se lleva a cabo mediante procedimientos incontrovertibles.”  Por eso Ptolomeo opta por investigar en las matemáticas y sobre todo en aquella parte suya que tiene como objeto las cosas divinas y celestiales, que son las inmutables y ontológicamente estables, y permiten una aprehensión clara y ordenada, colaborando asimismo con las otras ciencias. La astronomía permite abrir el camino al género teológico, puesto que puede aproximarse correctamente a la actividad inmóvil y separada, moviéndose en las cercanías de ésta, donde se hallan aquellas sustancias que son sensibles, movientes y movidas (los cielos), siendo empero eternas y carente de modificaciones, en cuanto a los desplazamiento y al orden de los movimientos”. 

Con respecto al mundo y la tierra, son cinco sus tesis fundamentales:

(1) el mundo (el cielo) es esferiforme y se mueve del mismo modo que una esfera; (2) la tierra considerada en su conjunto es esferiforme; (3) la tierra está situada en el medio del mundo, como un centro; (4) en lo que se refiere a las distancias y los tamaños, la Tierra es como un punto en comparación con la esfera de las estrellas fijas (la que abarca el cielo) (5) la tierra no realiza ningún movimiento de lugar: es inmóvil. (REALE-ANTISERI: 315/16)  Lo mismo que Matemáticos y Astrónomos anteriores, y siguiendo a los grandes pensadores de la antigüedad, postularon un universo esencialmente geocéntrico, debido al hecho de que una tierra en movimiento parecía dar lugar a graves dificultades (ausencia de paralaje estelar apreciable y aparentes inconsistencias de un teórico movimiento de la tierra con los fenómenos de la dinámica terrestre) mientras que – avalando su propio principio explicativo – relativizó otras dificultades tales como la inmensa velocidad que se requería para que la esfera de las estrellas fijas girase diariamente alrededor de la Tierra. “Durante los diecisiete siglos que separan a Hiparco de Copérnico, todos los astrónomos técnicos mas creativos se esforzaron en inventar un nuevo conjunto de modificaciones geométricas menores que convirtieran el esquema: epiciclo (=un pequeño círculo que gira con movimiento uniforme alrededor de un punto situado sobre la circunferencia) y deferente (=segundo círculo en rotación con mayor amplitud) en una base apta para amoldarla a los movimiento observados de los planetas. Ptolomeo fue el que llevó adelante la más importante de los intentos de la antigüedad”. (KUHN: 101)  El sistema de Ptolomeo que aparece en el libro I del ALMAGESTO18 y que se constituyó en una referencia obligada durante 1500 años, se sostuvo sobre el respeto servil al sentido común y la posibilidad de ser representado con facilidad. La realidad era sometida a dos principios discutibles pero realmente operativos: que la generalidad estuviera de acuerdo con la explicación y que la expresión gráfica o las construcciones fueran objeto de una reproducción simple y accesible

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Originalmente la producción de Ptolomeo se denominó Síntesis Matemática agrupando en ella los tratados astronómicos mayores para distinguirlos de la producción “menor” de Aristarco y de otros. Las frecuentes referencias al primero de los tratados con el nombre de megiste transformó el nombre entre los Arabes que lo rebautizaron como ALMAGESTO (=el más grande)

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(planetario). No es la primera vez, ni será la última que la ciencia (y los científicos) cede/n a la imposición de sujetarse al dictado de la evidencia aparente y compartida.

 Por otra parte Ptolomeo refuerza la tradición griega iniciada por los Platón y los Pitagóricos. Se supone que Platón19 - como ya lo hemos anticipado - había propuesto a sus discípulos que “salvaran los fenómenos”, que – mediante un artificio matemático-geométrico -- intentaran una representación geométrica de los movimientos del Sol, de la Luna y de los cinco planetas conocidos. Tácitamente se suponía (y a priori se exigía) que los únicos movimientos resultantes tendrían que estar compuestos únicamente de movimientos circulares uniformes básicos (=perfectos). Eudoxo de Cnido(circa 400/350 ac) consiguió dar para cada uno de los siete cuerpos celestes una representación satisfactoria por medio de un sistema compuesto por esferas concéntricas con centros en el centro de la tierra y de radios variables; cada esfera giraba uniformemente alrededor de un eje fijo con respecto a la superficie de la esfera siguiente en tamaño, de menor a mayor: sistema de las esferas homocéntricas. Aristóteles retomó esta explicación y la convirtió en el patrimonio explicativo del occidente durante 2000 años.

 La solución de Ptolomeo al problema del movimiento de los planetas y de los cuerpos celestes no respetó los postulados anteriores, sino que introdujo modificaciones y artificios para poder encontrar un principio explicativo que efectivamente respetara todos los fenómenos (los movimientos 19

Los historiadores de la ciencia no coinciden en certificar los aportes PLATÓNICOS a las matemáticas y a la astronomía, aunque haya sido quien mayor importancia se asignó en la formación general y, especialmente, en el acceso a los estudios superiores. Sin embargo, en esta configuración y explicación de la realidad a partir de los requerimientos de los principios racionales, Platón no representa una excepción: (1) la mezcla de elementos de carácter matemático y astronómico con elementos de carácter metafísico . En el Timeo, un diálogo de la vejez, en diálogo con un pitagórico desarrolla y explica los famosos sólidos platónicos; (2) la asignación de un papel relevante a determinadas figuras (como el triángulo) y al dodecaedro, representación del universo mismo (instrumentos del Demiurgo y formado por 360 triángulos). Platón prolonga la tradición pitagórica que universaliza la interpretación geométrica de todo lo real que de este modo se vuelve mensurable y permite reducirlo al número como principio universal. (cfr. BOYER, 1996: 120 y ss.)

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observados de los fenómenos), abandonando la persistente exigencia griega de la uniformidad de los movimientos circulares. Lo que se conoce como el sistema de Ptolomeo – reproduciendo algunos aspecto de la tradición pitagórica – reúne (1) lo escrito y producido por el mismo Ptolomeo, (2) los escritos y elaboraciones que el mismo Ptolomeo asumió y re-trabajó, (3) todos lo que le sucedieron con valiosos aportes. Una verdad científica ancla en un representante; quienes lo anticipan y lo suceden en el tiempo se ven eclipsado no sólo por la figura del mentor de la teoría, sino por la formulación misma; suele suceder que algunas interpretaciones anteriores o posteriores (de segunda línea o con una trascendencia menor) aporta una solución o una expresión discursiva mas clara... y termina siendo asignada a quien mejor representa a la teoría.  “No hay duda alguna de que la contribución de Ptolomeo es la más descollante. Con justicia se asocia su nombre a toda la técnica para resolver el problema de los planetas, ya que fue él quien por primera vez reunió una particular combinación de círculos que explicaba, no sólo los movimientos del sol y de la luna, sino también las regularidades y las irregularidades cuantitativas observadas en los movimientos aparentes de los siete planetas. ALMAGESTO fue el primer tratado matemático sistemático que daba una explicación completa, detallada y cuantitativa de todos los movimientos celestes. Sus resultados fueron de tal precisión y los métodos empleados gozaron de tal poder de resolución que el problema del planeta tomó un sesgo completamente nuevo a partir de Ptolomeo. (...) Los sucesores intentaron nuevas explicaciones pero el problema de los planetas se había convertido en una simple de disposición de los diversos elementos que entraban en juego, problema que se atacaba básicamente a través de una redistribución de los mismos.” (KUHN: 102 – 110)20  Algunos de los dispositivos utilizados por Ptolomeo convencieron a sus contemporáneos, pero dejaban interrogantes que reaparecieron cuando el paradigma explicativo pudo ser sometido a discusión: Copérnico partió formulando objeciones estéticas a las soluciones ptolomeicas y de allí nace su itinerario de rechazo del sistema y la búsqueda de un cálculo totalmente diferente.  El ALMAGESTO no es la suma de observaciones que concluyen – por inducción y generalizacióna las conclusiones del sistema. Está formado por tablas trigonométricas, diagramas, fórmulas, demostraciones, extensos cálculos ilustrativos y, también, largas listas de observaciones. Curiosamente el germen de la sustitución del sistema de Ptolomeo y la revolución copernicana se encuentra en el análisis de detalles matemáticos de cálculos e interpretaciones(minucias técnicas fueron socavando el fundamento del paradigma astronómico de la antigüedad). (KUHN: 110)  Curiosamente a esta visión global del sistema (astronomía), Ptolomeo le sumó un estudio de la ubicación matemática de los lugares en la tierra, con su Geografía y su sistema de coordenadas (latitud y longitud) obedeciendo arbitrariamente a medidas que fueron invalidadas por la realidad; además, la representación de la superficie terrestre en el plano: Analemma y Planisferio; y finalmente un curioso Tetrabiblos en el que la matemática se suma a elementos de astrologías constituyendo una curiosa religión sideral. (BOYER, 1996: 218 y ss)  El sistema de Ptolomeo no fue ni el más complejo ni una versión última y definitiva de la línea teórica iniciada desde la antigüedad. Hubo aportes de sus contemporáneos, en el mundo árabe y en la Europa medieval. Los agregados aportaban precisión al costo del aumento de la complejidad del sistema (falta de economía) y, por eso, ninguna de las versiones del sistema pudo superar con éxito 20

Kuhn desarrolla sintéticamente los aportes de PTOLOMEO: parte de un nuevo dispositivo ordenador del movimiento del sol para aceptar su imposibilidad de “retrogradar” y ajustar sus movimientos aceptando las diversas consecuencias climáticas observadas en la tierra. Nuevos epiciclos menores se fueron sumando en el sistema para encontrar las explicaciones necesarias. Cfr. KUHN:102 - 109

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la prueba de nuevas y más precisas observaciones. Se necesitaba una revolución científica que recién se produjo en los albores de la modernidad. Durante 18 siglos, la idea de un universo centrado en la tierra y compuesto por una serie de órbitas circulares dominó cualquier ataque técnico al problema de los planetas: aun reconociendo problemas y falta de economía en algunas de las explicaciones...gozó de una muy considerable longevidad. (KUHN: 110 y ss) http://www.youtube.com/watch?v=nNqCpuJ0dQ4 CLAUDIO PTOLOMEO = GEOCENTRISMO http://www.youtube.com/watch?v=gdOS1xN3kME&feature=related OTRO PTOLOMEO Y EL HELENISMO en la PELICULA ALEJANDRO MAGNO

06. EUCLIDES (circa 330 / 277 ac)  La importancia de Euclides se debe a su monumental construcción, LOS ELEMENTOS que constituyó una suma de la matemática antigua y con vigencia hasta el siglo XIX. Su presencia en ALEJANDRIA da cuenta del valor cultural e intelectual de la ciudad antigua, reconocida especialmente por sus escuelas y por su biblioteca. No podemos hablar de una producción original, sino de la capacidad de Euclides para sistematizar las producciones griegas de los tres siglos precedentes. Su síntesis constituye – en el sistema – a la ciencia y le da un ordenamiento necesario: organización racional específica que instituye en su conjunto un pluralismo racional y define cada una en su campo una norma epistémica de valor histórico.  En Alejandría y en sus escuelas la organización de la enseñanza superior distinguía diversas funciones: la investigación, la administración y la enseñanza. Es probable que Euclides no haya sido un investigador sino un destacado maestro. El libro que lo caracteriza parece un “libro de texto”, en que se reúnen los conocimientos adquiridos para la exposición didáctica. Ha sido el único que ha sobrevivido, pero no desarrolla todos los conocimientos matemáticos y geométricos, sino que se limita a la presentación de los temas más importantes en una institución de nivel superior. (BOYER: 145)  El procedimiento utilizado es el del discurso axiomático. Una vez establecidas ciertas cosas, de ellas se siguen otras por necesidad deductiva y concatenada estructuralmente. La estructura de la deducción – que Aristóteles había reglamentado en su lógica – opera de una precisa. En el sistema de Euclides funcionan las definiciones, los principios o axiomas comunes y los postulados propios de la matemática21. Los axiomas deben ser convincentes por sí mismos por ser verdades comunes a todas las ciencias; los postulados son menos evidentes y no presuponen el asentimiento del que está aprendiendo, posteriormente se entendió a los axiomas como “algo aceptado como obvio” y a los postulados como “algo que se exige en el sistema de demostración”.

DEFINICIÓN

AXIOMA

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“Un punto: lo que no tiene parte”. “Una línea es longitud sin anchura” “ Cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre sí” “El todo es mayor que la parte”

cfr. el QUINTO POSTULADO que generó una serie de problemas y discusiones... y que constituye la cuña para insertar una revolución en geometría: la GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA.

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POSTULADO

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”Todos los ángulos rectos son iguales”. “Una línea recta se traza desde un punto a otro cualquiera”.

LIBRO 1

Geometría del plano. La mayoría de las proposiciones forman parte de la enseñanza general de la geometría, conocidos teoremas sobre los triángulos y construcciones con regla y compás, propiedades de las rectas, los paralelogramos. Aparece una curiosa demostración del teorema de 22 Pitágoras.

LIBRO 2

Es uno de los más cortos con sólo 14 proposiciones. A pesar de la importancia que tenía en tiempos de Euclides, no juega ningún papel en los libros actuales (con el álgebra simbólica y la trigonometría). Este libro como el anterior recogía la enseñanza y las obras de los Pitagóricos.

LIBRO 3 LIBRO 4

Están dedicados a la geometría del círculo, con material tomado de Hipócrates de Chios. Su desarrollo se acerca a los actuales teoremas actuales sobre el tema. El libro IV tiene 16 proposiciones relativas a figuras inscrita o circunscritas a una circunferencia.

LIBRO 5

Representa la teoría general de las proporciones con 25 proposiciones que algunos consideran no sólo bajo la influencia de Eudoxo, sino obra suya, afirmando que la idea de la proporcionalidad había sido discutida entre los griegos y postergada en su desarrollo por el mismo Euclides.

LIBRO 6

Presenta las proporciones en la geometría del plano: teoremas relativos a razones y proporciones que se presentan al estudiar triángulos, paralelogramos y otros polígonos semejantes.

LIBRO 7

Junto a los libros siguientes está dedicado a los “números”, que entre los griegos eran los naturales o enteros positivos. Comienzan con 22 definiciones distinguiendo los diversos tipos de números: par/impar, primo/compuesto, plano/sólido (producto de dos o tres factores) y número perfecto (aquel que es igual a sus propias partes)= 6, 28, 496, 8128 (todos los números pares)

LIBRO 8

 Entre los procedimientos de argumentación utiliza con frecuencia el método de la reducción al absurdo que no es otra cosa que un desarrollo específico de los recursos utilizados por los eleatas, especialmente Zenon (aporías o paradojas imposibles de resolver). ¿Qué contienen los ELEMENTOS, escrito alrededor del 300 a.c. y de gran influencia en la historia de la matemática?

Es uno de los menos interesantes. Comienza con varias proposiciones acerca de números en proporción continua (o en progresión geométrica) y se dedica después a algunas propiedades sencillas de los cuadrados y los cubos.

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No utiliza el método tradicional de los libros de textos, sino otras figuras como el Molino de viento, silla de la novia, cola de pavo real o silla de novia. (BOYER: 149-150) El triángulo central y los cuadrados construidos sobre cada uno de los lados permiten construir en su conjunto diversas figuras.

LIBRO 9

Es el de últimos de los números que presenta la teoría de los números. En la proposición 20 demuestra que los números primos son infinitos (la hipótesis de un número finito de primos conduce a una contradicción). La proposición 35 contiene la fórmula para hallar una suma de números en progresión geométrica. Las proposiciones que van desde la 21 a la 36 muestran una unidad de teoremas que constituyen un sistema autocontenido, posiblemente el más antiguo de la historia de la matemática. Otros sostienen que las proposiciones del libro IX fueron tomadas de algún texto pitagórico.

LIBRO 10

Presenta el desarrollo y la clasificación de los inconmensurables (Irracionalidad algebraica). El más admirado y el más temido antes del álgebra moderno. Es un libro sobre los números irracionales, aunque Euclides lo consideraba parte de la Geometría (álgebra geométrica, considerada por los griegos más general). Contiene 115 proposiciones y es el mayor de todos, con equivalente geométricos de propiedades de lo que actualmente se denomina irracionales cuadráticos.

LIBRO 11

Comprende 39 proposiciones relativas a la geometría tridimensional (geometría elemental de sólidos: lo que tiene longitud, anchura y profundidad)

LIBRO 12

Ofrece 18 proposiciones y se refieren todas a la medida de figuras, utilizando el método de la 23 exhausción.

LIBRO 13

Está dedicado a las propiedades de los cinco sólidos regulares, casi como glorificación a la tradición filosófica precedente que unía la geometría con el orden del cosmos. El objeto es inscribir cada uno de los sólidos regulares en una esfera, es decir, hallar la razón de la arista del sólido al radio de la esfera circunscrita. La última de las proposiciones (la nº 18) que cierra el libro demuestra que no puede haber ningún otro poliedro regular aparte de los cinco mencionados. Kepler – 1900 años después – impresionado por esta afirmación imagina un ordenamiento cósmico en base a estos 24 cinco sólidos regulares. (BOYER: 147 – 161) (REALE ANTISERI: 254-256)

LIBRO 14 LIBRO 15

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Son considerados libros apócrifos, tradicionales agregados de comentaristas y copistas a textos 25 26 clásicos de las ciencias.

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método que utiliza las matemáticas para establecer la igualdad de dos números probando que su diferencia es menor que cualquier otra cantidad por pequeña que sea. (ESPASA. 22 : 1515) ¿Cálculo infinitesimal posterior? 24 Un sucesor destacado de EUCLIDES fue APOLONIO DE PERGAMO, que aportó rigurosos sobre las SECCIONES CONICAS. Sus aportes sufrieron pocas modificaciones posteriores. Se mantuvo dentro de la matemática. Si hubiera aportado sus cálculos sobre la elipse, la parábola y la hipérbole al ordenamiento de las órbitas planetarias hubiera adelantado las contribuciones de Kepler que permitieron resolver con cálculos exactos los aportes de la revolución copernicana. 25 Traducido al árabe y posteriormente al latín, se imprimió por primera vez en 1482. Se estima que se han realizado un millar de ediciones desde entonces. El autor del apócrifo libro XV pudo ser un arquitecto del 500 d.c. (Constantinopla) interesado en retrabajar el tema de los sólidos 26 Ver también BELL, Historia de las matemáticas. FCE. Pp 82- 94

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07. ARQUÍMEDES (287 / 212 ac)

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GEOMETRÍA

 Para muchos fue el más genial de los científicos griegos. Aunque se desempeñó en todos los campos, especialmente en la resolución de problemas concretos y de valiosos inventos mecánicos, su mayor orgullo era los productos de su pensamiento.

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Sus aportes más brillantes son las relacionadas con la problemática de la cuadratura del círculo, la rectificación de la circunferencia y la formulación de polígonos (llegó al desarrollo de un polígonos de 384 lados): Sobre la medida del círculo; Sobre la Esfera y el Cilindro; Sobre los conoides y los esferoides; Espirales. En muchas de las obras asume, prolonga y completa los escritos de Euclides. (REALE-ANSIERI: 258). Algunos de sus libros no han llegado completos y de otros se conocen referencias aunque no la obra específica. Se dice que descubrió todos los 13 posibles sólidos llamados semi-regulares (poliedro cuyas caras son también polígonos regulares, pero no del mismo tipo)(BOYER: 171)

Cfr. la curiosa muerte de ARQUÍMEDES a quien asesinan las tropas romanas, aunque su JEFE había ordenado conservar con vida por respeto al enemigo que había aplicado el genio científico en la defensa de la ciudad de SIRACUSA. Sobre su tumba hizo grabar una esfera inscrita en un cilindro como recuerdo de sus descubrimientos y sus aportes, Es la representación gráfica de su teorema favorito: “Cualquier segmento esférico es al cono de la misma base y la misma altura en la misma razón que La suma del radio de la esfera y la altura del segmento complementario es a la altura del segmento complementario”.

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ARITMÉTICA

Si bien los griegos prefería distinguir entre el cálculo o la aplicación práctica de los números (tarea de los esclavos) o lógística y el estudio teórico de las propiedades de los números (aritmética, ocupación filosófica honorable) Posiblemente en tiempos de ARQUÍMEDES se comienza a producir un necesario cambio de notación (descuidada hasta entonces) y ARQUÍMEDES en El Arenario se introduce en el cálculo desarrollando el número de grados de arenas necesarios para llenar el universo. Concluye – utilizando el modelo egocéntrico – en un número gigantescos, partiendo del cálculo del grado de arena y llegando al cálculo del universo. (prematuro anticipo de los logaritmos). (BOYER: 169-171)

HIDROSTÁTICA

Aporta sus bases en Los cuerpo flotantes cuyo principio de Arquímedes es conocido: “las magnitudes más pesadas que un líquido, al ser abandonadas en este líquido, se desplazan hacia abajo, hacia el fondo, y resultarán tanto más ligeras dentro de líquido, cuanto sea el peso del líquido que tenga un volumen igual al volumen de la magnitud sólida”. (REALE-ANSIERI:258) Otras contribuciones que se manejaron en el campo de la física matemática pudieron tener inmediata aplicación en cuestiones de ingeniería naval o cuestiones de hidrología. (BOYER: 167-169)

ESTÁTICA

Aporta los elementos en el Equilibrio de los planos. Estudió las leyes de la palanca. “Dos pesos están en equilibrio cuando se hallan a distancia que estén en proporción recíproca a sus pesos específicos. La famosa frase que lo identifica refiere un hecho real: el movimiento de una nave gigantesca con un sistema de palancas. (REALE-ANSIERI:258) No es el primero en formular aportes al respecto, ya que Aristóteles había formulado algunas leyes, pero es quien recurrió a principios de la estática (los cuerpos bilateralmente simétricos están en equilibrio) y no de la cinemática como Aristóteles. (BOYER: 166 – 167)

MÉTODO CIENTÍFICO

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En su obra Sobre el método (re-descubierta a comienzos del siglo XX)28 pretende mostrar y demostrar que trabaja de un modo inductivo e intuitivo (a través de la mecánica). Muchos pensaban que Arquímedes había ocultado celosamente su método de investigación, pero en este libro revela sus procedimientos. Muestras las “investigaciones mecánicas preliminares” para llegar a los “descubrimientos matemáticos” posteriores. Construía modelos y luego pasaba a la constatación, demostrando con rigor lo que había anticipado. “Algunas cosas que se me han presentado primero a través de la mecánica, he podido probarlo después mediante la geometría, puesto que la investigación por medio de este método no es una verdadera demostración” (REALE-ANSIERI:258, BOYER: 183)

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Se descubrió casi por casualidad en 1906. Un científico danés toma conocimiento de que en Constantinopla se había encontrado un palimpsesto (= pergamino en el que la escritura ha sido lavada para poder escribir un nuevo texto sobre él) de contenido matemático. Un examen matemático minucioso permitió recuperar el escrito compuesto de 185 hojas (entre ellas, el buscado ejemplar de EL METODO) copiadas en el siglo X. En el siglo XIII se había intentado reutilizar el pergamino para escribir oraciones de la iglesia ortodoxa oriental. (BOYER: 187)

APORTES A LA INGENIERÍA

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Máquinas balísticas para la defensa de la ciudad; aparatos para transportar pesos; invención de la bomba de irrigación; construcción de un planetario; descubrimiento del peso específico. Utilizaba un método intuitivo que la experiencia podía comprobar y los cálculos matemáticos justificar teóricamente.29 (REALE – ANTISERI: 258 – 260)

 En ARQUÍMEDES hay un necesario entrecruzarse de metodologías porque los dominios de los saberes que aborda imponen procedimientos diversos. Mientras la mecánica y los procedimientos de ingeniería parten de la observación, la definición de la necesidad, la intuición de la respuesta, la construcción del modelo y finalmente la justificación teórica (formulación de la regla), la matemática y la geometría trabajan con el cálculo y los procedimientos estrictamente demostrativos. Lo curioso en el desarrollo de ciencias con dominios cercanos (o que se entrecruzan) es la diversidad de procedimientos que permite avanzar sobre el conocimiento de la realidad o en su transformación. 30 http://www.youtube.com/watch?v=knrwolc1J44 ARQUÍMEDES + VIDA Y APORTES A LA CIENCIA http://www.youtube.com/watch?v=5gq3Vm4vifU&feature=related EL TORNILLO DE ARQUÍMEDES http://www.youtube.com/watch?v=A7yK6CPb5bc&feature=related EL PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

ALGUNAS CONCLUSIONES: 1. “Existe un abismo entre el empirismo práctico de los agrimensores egipcios y la geometría de los griegos del siglo VI a.c. Aquello fue lo que precedió a las matemáticas; esto, las matemáticas propiamente dichas; ese abismo lo salva el puente del razonamiento deductivo aplicado de forma 29

Tan famosa como la frase de la Palanca para mover al mundo, es su EUREKA en la mitad de un baño de inmersión... cuando encuentra la manera de probar si la corona de HIERON el rey de Siracusa era de oro, hundiendo dos bloques (oro y plata) de igual peso que la corona, para establecer la diferencia relativa en la aleación preparada por el deshonesto artesano. 30 Ver también BELL, Historia de las matemáticas. FCE. Pp 82- 94

LICENCIATURAS / EPISTEMOLOGÍA MATERIAL DE TRABAJO / 2011 PROF. DR. JORGE NORO. [email protected]

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consciente y deliberada a las inducciones prácticas de la vida diaria. Las matemáticas no existen sin la estricta demostración deductiva a partir de hipótesis admitidas y claramente establecidas como tales. Lo anterior no niega la intuición, los experimentos, la inducción y el golpe de vista, se juzga o no matemática. (...)

2.

“No se sabe cuándo o dónde se estableció por vez primera la distinción entre la inducción – el cúmulo de experiencia primitiva - y la demostración deductiva basada en un grupo de postulados; pero esta demostración fue claramente conocida por los matemáticos griegos del siglo IV ac. (...) En general, se ha apreciado la importancia de la matemática desde Babilonia y Egipto hasta la fecha como fuente primordial de aproximaciones aplicables a las complejas necesidades de la vida diaria. (...) Pero lo que cuenta en la matemática es la imaginación, la inventiva y la rigurosa demostración, y no la exactitud numérica de una máquina o de los cálculos que se puedan operar sobre la realidad”.

3. “El desarrollo inicial de la matemática se completó cuando el ser humano se dio cuenta de que la experiencia práctica es muy compleja para describirla en forma precisa. En el siglo IV ac. Euclides esta circunferencia, y tal que todas las rectas trazadas de cierto punto interior, llamado centro, hacia la circunferencia, son iguales”. No hay señales de que haya visto algún ser humano alguna figura como el círculo de Euclides; no obstante, el círculo ideal de Euclides no es sólo el de la geometría escolar, sino el de los ingenieros o de los más elevados cálculos. El círculo matemático de Euclides es el producto de una simplificación deliberada y de la abstracción de los discos observados entonces. Esta abstracción de la experiencia práctica es una de las principales fuentes de la utilidad de la experiencia y el secreto de su poder científico.” (BELL: 14-19) MOLEDO Leonardo (1994)31 DE LAS TORTUGAS A LAS ESTRELLAS. UNA INTRODUCCIÓN A LA CIENCIA. Buenos Aires.    

Universo artesanal (Aristóteles) (16) Aristóteles y el movimiento (71) Geometría no euclidiana (180) 32 Aquiles y la tortuga (186)

http://www.youtube.com/watch?v=hdRFisIX1sw TODOS LOS APORTES DE LA CIENCIA GRIEGA

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De las Tortugas a las estrellas (1995); La evolución (para niños, 1995); El Big Bang (para niños, 1995); Dioses y demonios en el átomo (1996): Curiosidades del Planeta Tierra (1997); La relatividad del movimiento (para niños, 1997); Curiosidades de la ciencia (2000); Diez teorías que conmovieron al mundo (I y II), (Coautor: Esteban Magnani, 2006, publicado en España con el título Así se creó la ciencia): El café de los científicos, sobre Dios y otros debates , (Coautor: Martín de Ambrosio, 2006): La leyenda de las estrellas (2007): Lavar los platos (Coautor: Ignacio Jawtuschenko)(2008): Los mitos de la ciencia (2008) 32 Para integrar matemática, filosofia y literatura cfr. BORGES J.L. (Discusión. 1932): La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga y Avatares de la Tortuga. Obras completas. Emecé. 244 Y 254