6to Sem Geometria Pre 2006-izulema

CICLO PRE UNIVERSITARIO 2006-I

SEMINARIO Nº 06

D)

GEOMETRIA 1. En la base de un cilindro recto de revolución se inscribe una región rectangular de área S. Halle el volumen del mayor cilindro recto en donde la generatriz es igual al doble del diámetro de la base. 3 S S C) 4 S 5 A)  S 2S B) D)  S 3S

2 S 5 E) 2

A)

 5 D) 

B)

2

 1 E) 

C)

3

3 E) 2V

2

4. Halle el volumen del cilindro de revolución inscrito en un octaedro regular de arista a, de modo que las bases del cilindro se encuentran contenidas en dos caras opuestas del octaedro. a3 a3 a3 3 A) B) C) 2

3

5. De todos los cilindros circulares rectos 2 de área total igual a 2 a , halle el volumen del cilindro de máximo volumen. 2 a3 3  a3 3  a3 2 A) B) C) 9 2 a3 2 D) 9

A) D)

6

A1 A2

6 3



B)

2 6

3 3

E)



C)



4 3



3 2



7. En un hexaedro regular ABCD–EFGH, AB=a, halle el volumen del cilindro cuyas bases están inscritas en las secciones EBD y FHC.  a3 3  a3 3  a3 3 A) B) C) 12  a3 2 D) 12

9

E)

a

2

8

3

9

8. En un cilindro de revolución se traza la recta L que intercepta al punto medio B de una generatriz y a un punto A de la circunferencia de su base de manera que AB sea máxima, la mediatriz de AB intercepta a la base en un punto C de manera que la mACB  90 , si AB=10. Halle el volumen máximo del cilindro. A) 2 7

2

D)

CEPRE-UNI

6 3 a3 3 E) 8

6. En un prisma regular de área lateral A1 se inscribe un cilindro de área



3. Un octoedro regular de volumen V esta inscrito en un cilindro de revolución de modo que 2 vértices opuestos se encuentran en los centros de las bases. Halle el volumen del cilindro. V 2 V 3 V A) B) C) 3 D) V

6 6

E) a3 2

lateral A2. Halle

2. Halle la relación entre los volúmenes de un hexaedro regular y un cilindro de revolución inscrito de tal manera que ambas bases están inscritas en caras opuestas del hexaedro. 4

a3 3

5 6 3

B) 3 7 E)

C)

5 7 4

3 2

GEOMETRIA

-1-

CICLO PRE UNIVERSITARIO 2006-I

SEMINARIO Nº 06

9. Un cilindro circular tiene a sus bases inscritas en dos caras opuestas de un cubo de arista a. Un plano diagonal del cubo intercepta al cilindro determinando una sección transversal cuya área se pide calcular. 2 a 2 2  a2 2  a2 2 A) B) C) 2

D)

3 2 a 2 2

3

3

E)

 a2 2 4

10. En un tronco de cilindro recto de base circular, AD y BC son las generatrices mínima y máxima respectivamente, (A y B en la base tronco). Si P es un punto de la circunferencia de la base, además AD=3u, BC=5u y PC2+PD2=50u2, entonces el volumen de dicho tronco es (en u3): A) 12  B) 15  C)16  D) 18  E) 21  11. Si AA ' // BB ' y paralelos a las generatrices. Halle la intersección entre la recta AB y el tronco de cilindro. A

B B’ A’

12. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) En un tronco de cilindro de revolución cualquier sección plana es una región elíptica o un círculo. II) El eje de cualquier tronco de cilindro de revolución es igual a la semisuma de dos generatrices diametralmente opuestas. III) Dado un cilindro de revolución de eje AB entonces cualquier plano secante que pase por el punto medio de AB e intercepta a todas las generatrices determinado dos troncos de cilindro equivalentes. A) FVV B) VVV C) VVF D) FFF E) FFV 13. Dado un tronco de cilindro de revolución cuyo radio de base mide R, con generatriz mayor y menor de 3R y R respectivamente; se inscribe un cono de revolución donde su vértice es el centro de la base de radio R del tronco de cilindro. Halle el volumen del cono.  R3 2 R 3 2 R 3 A) B) C) 3  R3 D) 4

5 2 R 3 E) 7

3

14. Se muestra un tronco de cilindro de revolución, en el cual la base superior y la base inferior forman un ángulo diedro de medida 30°. Si el radio de la base mide 2. Calcule el volumen del tronco de prisma triangular regular inscrito en el tronco del cilindro, sabiendo que una de las aristas laterales coincide con la generatriz mayor AB. B

C

CEPRE-UNI

GEOMETRIA

A

-2-

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A) 4 D) 5 2

B) 5 E) 6 3

SEMINARIO Nº 06

C) 6

15. Un tetraedro regular de arista a se inscribe en un tronco de cilindro recto de base circular tal que su vértice coincide con el centro de la cara superior. Calcule el volumen del tronco de cilindro.  a3 6  a3 6  a3 6 A) B) C) 6  a3 2 D) 3

6  a3 6 E) 8

18. En la figura ABCD es un paralelogramo AB= 6u, AD=10u. Calcule la relación entre los volúmenes de los cilindros que se obtienen al girar los rectángulos DMFC y BHEC alrededor de FM y HE respectivamente. F

9

C

B M

16. Si el cilindro mostrado, está inscrito en un cubo de arista a, entonces su área lateral es: A

H

2 3 7 D) 4

A)

A) 2.5  a2 D)  a2

B) 1.5  a2  a2 E)

C)2  a2

2

17. Una cuña cilíndrica está definida por un ángulo diedro de 60°, el radio de su base r y generatriz g. Halle el área total. rg   6 3 rg   7 C) 3

A)

CEPRE-UNI

rg   5 3 rg   4 D) 3

B)

E

D

B) E)

5 3

C)

7 3

9 4

19. Un cilindro circular recto de altura 15 cm. y radio igual 3 cm es cortado por 2 planos paralelos que forman un ángulo de 30° con el eje del cilindro; cada uno de los planos intercepta a sólo una de las bases en un único punto. El área lateral de la parte del cilindro comprendida entre estos dos planos es (en cm2): A)  3 B) 3 3 C) 6 3 D) 12 3 E) 18 3

GEOMETRIA

-3-

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20. En un cono de revolución se corta una cuña cónica de ángulo central 30°. El área de la base del cono es Bu2 y el área de la sección que determina un plano axial es Au2. Calcule el volumen del sólido que queda. 11 2  A B 36 11 A B C) 36 11 A B E) 36

11 B A 36 11 B A D) 36

A)

B)

6  L3  3  6 2 C) 6  L3  6  3 E) 2

3  L3  6  2 3 D) 2

22. Si 1 y 2 pertenecen al plano de la base y la recta AB está incluida en el plano (123). Halle la intersección de la recta AB con el cono truncado.

3

3

 21   2 2    a  b a  b D) a b a  b  C) 3

3

a  b  a 2

3

24. Al desarrollar la superficie lateral de un cono de revolución, se obtiene un semicírculo. Halle la medida del ángulo que forman dos generatrices diametralmente opuestas. A) 30 B) 45 C) 60 D)90 E) 120 25. Dos rectángulos congruentes de lados a y 3a tienen un lado común que mide a y forman un diedro de 30°. En uno de los rectángulos reposa la base de un cono circular, la cual es tangente a los lados mayores. Calcule el volumen de este cono, si su vértice se encuentra en el lado menor del otro rectángulo. 2 a 3  a3  a3 A) B) B) 15  a3 D) 4

3 B

+ 1

23. En un cono de revolución de vértice O, se traza la altura OH y luego HJ perpendicular a una generatriz OA, siendo AJ=a y JC=b. Halle el volumen del cono. 3  21   3  ab A) B) ab a  b  2

E)

21. Se tiene un hexaedro regular ABCD– EFGH de arista L. Halle el volumen de cono que se encuentra en el interior del hexaedro, con vértice en el punto A y base circular inscrita en el triángulo GHC.  L3   L3  3  2 2 3  2 2 A) B)

A

SEMINARIO Nº 06

+ 2

9  a3 E) 2

8

26. En un cono de revolución, la cuerda AB de la base y la distancia del vértice del cono a AB mide 10 2 . Si AB=8u y el área lateral es 48 6  , Entonces el volumen del sólido limitado por el cono es. 128 38 125 38 A) B) 3

3

116 34 9 E) 40 38

C)

CEPRE-UNI

E)

116 34 3

GEOMETRIA

-4-

CICLO PRE UNIVERSITARIO 2006-I

27. En un cono de revolución de vértice V, por el centro O en su base se traza el diámetro AB y se ubica un punto P  B en la circunferencia de la base, halle los valores enteros del ángulo OPB para que la m  VPB sea mínima. A) 79° y 36° B) 26° y 45° C) 25 y 89° D) 59° y 61° E) 1° y 89° 28. Un cono de revolución de área de su base SB y área SA de la región triangular comprendida entre dos generatrices diametralmente opuestas, es cortada para retirarse una cuña cónica de ángulo central 30° entonces el volumen del sólido que queda es: 11 2  SASB 36 11  SA SB C) 36 13 SB  SA E) 36

A)

11 SB  SA 36 11 SA  SB D) 36

B)

29. En un tronco de cono de revolución se traza un plano por el centro de la base menor y paralelo a una generatriz determinando una sección trapezoidal cuyas bases miden 2 y 2 3 . Si la altura del tronco de cono mide 10 y el radio de la base mayor mide 2. Halle el área de la sección aproximada. A) 25,6 B) 26,3 C) 27, 4 D) 28,5

SEMINARIO Nº 06

30. Halle el volumen del sólido limitado por un cono recto de revolución de dos hojas cuyos radios de las bases miden R y r, las bases distan H. H  2 2 R  r  2Rr  A) B) C) D) E)

6 H  2 2 R  r  Rr  3 H  2 R  2r 2  3 H  2 2 R  r  Rr  3 H  2 2 R  r  Rr  6

31. En un cono oblicuo su altura es trisecada por dos planos paralelos a la base. Calcule la relación entre el volumen del sólido comprendido entre los planos paralelos y del sólido comprendido entre la base y el inmediato plano paralelo. 5 19 9 D) 19

B)

C)

7 19

32. Los radios de las bases de un tronco de cono miden a y b (a>b). ¿Cuánto mide el radio de la sección paralela a las bases que determina dos sólidos equivalentes?. A)

3

a3  b3 3

B)

3

a3  b3 6

C)

3

a3  b3 2

D)

3

a3  b3

E)

CEPRE-UNI

1 3 1 E) 2

A)

3

a3  b3 2

GEOMETRIA

-5-

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33. El radio de la base de un cono de revolución es R y su altura es H, se inscribe un cilindro recto de área lateral máxima. Calcule la altura y el radio del cilindro. H R , 2 3 2H 2R , D) 3 3

H R , 3 2 H R E) , 2 2

A)

B)

C)

H R , 4 4

3 AR E) 6

2 2 g 3 1 E)  g 2 2

D)

B)

5 2 g 2

C)

3 2 g 2

36. Halle la altura del tronco de cono cuyos radios básicos son R y r, si la suma de las áreas de las bases es igual a la área lateral del tronco. 2Rr Rr Rr D) Rr

A)

CEPRE-UNI

2Rr 5 R  r  Rr E) 2 R  r 

B)

64 3 32 E) 7

D)

B)

32 5

C)

32 3

38. ¿En que porcentaje aumenta el volumen de una esfera, si el área de su superficie esférica aumenta en 1 %? 4

35. La generatriz (g) de un tronco de cono recto de revolución forma un ángulo de 60° con la base inferior, y es perpendicular a la recta que une su extremo superior con el extremo inferior de la generatriz opuesta. Halle el área lateral del tronco de cono. A)  g 2

37. Se tiene una esfera de radio R y de centro O. Se traza un plano secante que contiene al punto O. Halle la relación entre los volúmenes de la esfera de centro O y aquella esfera tangente interior a la primera y al plano secante. A) 64

34. Un tronco de cono de revolución de área total A, esta circunscrita a una esfera de radio R. Halle el volumen del tronco.  AR  A) B) R 2 A C)RA 3 AR D) 3

SEMINARIO Nº 06

C)

3Rr 5 R  r 

A) 0,275% D) 0,475%

B) 0,375% C)0,45% E) 0,50%

39. El área de la superficie total de un cono es igual a 25 veces el área de la superficie esférica inscrita en el cono. Si el volumen del cono es 175u3. Calcule el volumen de la esfera(en u3). A) 4 B) 5 C) 7 D) 9 E) 15 40. En un cono equilátero se encuentra inscrita una esfera. El plano que contiene a los puntos de tangencia de la superficie lateral y la esfera determina dos casquetes esféricos. Halle : E

1 2 1 D) 5

A)

Area del menor casquete esférico Area del mayor casquete esférico 1 1 B) C) 3 4 2 E) 3

GEOMETRIA

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CICLO PRE UNIVERSITARIO 2006-I

41. En un tetraedro O–MNP, trirectángulo en O, si las aristas OM, ON y OP miden 16, 8 y 16 respectivamente, entonces el área de la superficie esférica circunscrita es: A) 597  B) 507  C) 547  D) 567  E) 576  42. El área de la superficie total de un cono recto circunscrito a una esfera es 25 veces el área de la superficie de dicha esfera. Si el volumen del cono es V, entonces el volumen de la esfera es: V A) 24 V D) 25

V B) 27 V E) 26

V C) 28

43. Con centro en los vértices de un tetraedro regular de arista a, se trazan

SEMINARIO Nº 06

45. Halle el radio de la esfera inscrita en el tetraedro trirectángulo S–ABC de aristas : SA=12, SB=24. y SC=36. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 46. Halle el volumen de una semiesfera inscrita en un tronco de cilindro si la generatriz máxima y mínima tiene por longitud 6 y 4 respectivamente. A) 24 6 B) 32 6 C) 24 3 D) 36 6 E) 24 6 47. Esferas de radio r tienen sus centros ubicados en los vértices de un tetraedro de arista 2r. Una esfera de radio R contiene a las 4 esferas y es tangente a cada una de ellas, calcule R r .

a esferas de radios ; sea una esfera 2

A)

2 1

B)

de radio R que contiene a las 4 esferas y es tangente con cada una,

D)

3 1

E)

a R A) 2 6  4

halle:

D)

3 1

B) 2  2 E) 2  1

C) 3  3

44. Una esfera sólida de metal de radio R, es utilizada para construir una pirámide triangular sólida cuyas caras laterales son regiones triangulares equiláteras. Halle la altura de la pirámide. 4 3 R 3 4 3 3 D) R  3

A)

4 R 3

B)

3

E)

2R 3 3 4 3

C)

4R 3 3 3

C) 2 3  1

48. Una esfera sólida de latón y radio r, es fundida para construir una pirámide triangular sólida cuyos ángulos poliedros son congruentes, calcule la altura de la pirámide. 43 3 3 4 3R 3  C) 3 4 3R E) 3

4 3 R  3 2 3 3 4 R D) 3

A)

B)

49. En que relación se encuentran los volúmenes de las esferas inscrita y tangente a las aristas en un tetraedro regular. 3 18 3 D) 72

A)

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6 2 2 6 2 2

3 3 74 3 3 E) 75

B)

GEOMETRIA

C)

3 3 25

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50. Halle el radio de la menor esfera que en su interior puede contener cuatro esferas congruentes de radio a. a 3  2 6  3 a C)  3  6  3 a E)  3  3  3

A)

a 3  6  3 a D)  3  3  3

B)

51. El centro de una esfera pertenece al de la base de un tetraedro regular y es tangente a las aristas de la base de longitud 6. Determine la altura del segmento esférico exterior a las caras laterales del tetraedro. A)

3 3  2 2  3

C)

3 5  2 3  3

E)

3 4  3  3

B) D)

3 4  2 3  3 3 5  3  3

52. Una superficie esférica es tangente a las aristas AB, AD y AE y a la cara EFGH del hexaedro regular ABCD– EFGH de arista  2  1 de longitud . Halle la longitud del radio de la superficie esférica. A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 2,5 53. Una superficie esférica de radio 10u está inscrita en un cono de revolución. Un plano tangente a la superficie esférica es perpendicular a la generatriz del cono, cuyo vértice dista de dicho plano 9u. Halle el diámetro menor de la sección que determina el plano (en u). 5 1127 29 5 1131 C) 29

A)

CEPRE-UNI

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54. Si la generatriz de un cono de revolución y el diámetro de su base son congruentes entre si ¿Cuántas veces mayor es el área lateral del cono respecto a la superficie de la esfera inscrita en el cono? 1 2 7 D) 2

3 2 9 E) 2

A)

B)

C)

5 2

55. Un cono de revolución esta inscrito en una esfera de radio 3u. Halle el volumen máximo del cono (en u3). 25  3 32  D) 3

28  3 34  E) 3

A)

B)

C)

31  3

56. Si en una esfera se inscribe un cilindro equilátero y un cono equilátero. Demostrar que volumen del cilindro es media proporcional entre los volúmenes de la esfera y el cono. 57. Una esfera es tangente a las aristas de un octaedro regular. Halle el área de todas las zonas esféricas que se determinan en cada cara del octaedro, la arista mide a.  a2  4 6  6 A) B)  a 2  6  6  6  a2  6  6 C) 3  a2  2 3 E) 3

3

D)

a 4

2

6 

3

58. En un cono de revolución, se inscribe una esfera de radio “R”. Halle el volumen mínimo del cono.

5 1129 29 5 1132 D) 29

B)

GEOMETRIA

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59. Una superficie esférica esta inscrita en un huso esférico y dos semicírculos máximos de una esfera, si el área del huso esférico es 24u2 y su radio es 6u entonces el área de la superficie esférica máxima inscrita es (en u2): A) 12  B) 14  C) 16  D) 18  E) 20  60. En un octaedro regular cuya arista miden a. Se ubica una esfera tangente a las aristas. Calcule el área de uno de los casquetes que se determinan sobre una las caras del octaedro.  a2   a2 3  2 A) B) 2  a2  2 3 C) 6  a2  5  2 E) 4

7  a2  3  6 D) 6

61. Se tiene una cuña esférica cuyo ángulo mide 60° y con radio R. Se traza un plano perpendicular al diámetro AB por su punto medio O. Interceptando a los semicírculos máximos que limitan la cuña en los segmentos OM y ON . Halle la razón entre el área del huso esférico que limita a la cuña descrita y el área total del poliedro ABMN. 4 2 4 A) B) C) D)

12  3 7 4

12  7 3

73 2 4 E)  3

73 2

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62. Se traza un plano secante a una superficie esférica determinando dos casquetes esféricos de áreas A1 y A2 (A1
A1A2 A1  A2

A1A2 D) 2 A1  3 A2

A1  A2 A2  A1

C)

2A1A2 A1  A2

A12  A1A2  A22 E) A1  A2

63. Una esfera esta inscrita en un cono recto de revolución de altura 12u y radio 5u. Calcule el radio de la sección circular determinada por un plano tangente a la esfera y paralelo a la base del cono. 10 3 20 D) 9

A)

20 3 14 E) 3

B)

C)

10 9

64. Un hexaedro regular de arista a se encuentra inscrito en una semi esfera. Calcule el volumen de la semiesfera. 6 3 a 2 10 3 D) a 3

A)

2 3 a 2 2 3 3 E) a 3

B)

C)

5 3 a 2

65. Un tronco de cono cuya generatriz y radio de su base mayor son de igual medida, está inscrito en una semiesfera. Halle el volumen de esta semiesfera, si el área lateral del tronco es 6  . 11  3 16  D) 3

A)

CEPRE-UNI

B)

13  3 17  E) 3

B)

GEOMETRIA

C)

14  3

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66. Se tiene una superficie esférica de radio R= 1cm. Se trazan dos planos secantes paralelos entre si y equidistantes del centro. Halle la distancia entre los planos, si el área de la zona esférica es igual a la suma de las áreas de las regiones limitados por esas secciones (en cm). A)  2  1 B) 2  2  1 C) 3  2  1 D) 4  2  1 E) 5  2  1

70. En un segmento esférico cuya altura mide h u se traza un plano equidistante de las bases determinando una sección cuya radio mide r u. Halle el volumen del segmento esférico( en u3). h  2 h  2 5r  h 2  2r  h 2  A) B)

67. En una semicircunferencia cuyo radio mide 2m, se prolonga el diámetro AB hasta F tal que BF=2m. Por F se traza la tangente FM . Calcule el área de la superficie engendrada por la línea mixta AMF al girar una vuelta completa alrededor de AF (en m2). A) 2  B) 4  C) 8  D) 12  E) 18 

71. En una esfera se trazan dos círculos menores paralelos y distantes 2 m. entre sí. Si sus áreas son de 9  m y 25  m2, calcule el área de la superficie esférica (en m2). A) 132  B) 136  C) 140  D) 116  E) 128 

68. Dos planos paralelos determinan en una esfera dos círculos de 16  y 25  u2 de área. Si la distancia entre ellos es de 4u y se encuentran a un mismo lado del centro de la esfera. Halle el volumen del segmento esférico de dos bases(en u2). 280 279 278 A) B) C) 3 278 D) 3

2 275 E) 2

3

2r 2  h 2  5 h  12r 2  h 2  E) 12

C)

C) 420  E) 525 

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164 41  3 D) 500 

B)

12

9r 2  h 2 

F

5

Dos planos paralelos determinan en una esfera dos círculos de 16  u2 y 25  u2 de área. Si la distancia entre ellos es 1u y están a un mismo lado del centro. Calcule el volumen de la esfera (u3) A) 50 41 

D)

h 

72. En la figura F pertenece al semicírculo de diámetro BC (BC=2R) y AEF es un cuadrante. Si m FC =150°, halle el volumen el sólido generado cuando la superficie sombreada rota alrededor del eje AC.

A

69.

5

h 

B E

O

3 R 3 2  3  A) 8 3 R 3 4  3  C) 8 3 R 3 2  3  E) 4

C

3 R 3 B) 2 5 D)  R 3 3

GEOMETRIA

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SEMINARIO Nº 06

73. En un cuadrado ABCD de lado se traza el cuadrante ADC y la diagonal BD , BD AC  N , halle el volumen del sólido de revolución que resulta de hacer girar 1 vuelta la región mixtilínea limitada por AB , AN y BN .  3  3 7 6 A) B) 2

C) E)

 2

 2

76. Un conjunto de pilas plata zinc utilizado en un satélite están confinadas en un recipiente cuya forma es generada tal como se muestra la figura. Calcule el volumen del recipiente.

3

3

3 

3



2

D)

 3

3

2 

2

2  1

b

74. Una región triangular de área 60u2 gira alrededor de un eje coplanar siendo la distancia de sus vértices al eje de giro 10u, 11u y 42 u. Calcule el volumen generado (en u3). A) 1250  B) 2520  C) 2780  D) 3250  E) 4270  75. Halle el volumen del sólido generado por la región cuadrada ABCD al girar alrededor del eje XY (  =3.1416)

C

D

5u

Y 30° A

B

a

A) B) C) D) E)

2  abR+  a2b  abR+2  a2b  abR +  a2b  abR +  b2a  abR –  b2a

77. El lado de un cuadrado ABCD, mide 10 cm. Halle el volumen del sólido engendrado al girar el cuadrado, una vuelta, alrededor de un eje coplanar que pasa por el punto D, haciendo un ángulo de 8° con CD exteriormente al cuadrilátero ( en cm3). A) 800 2  B) 700 2  C) 800 3  D) 500 3  E) 600 2  78. Se tiene un círculo de centro O de

X

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cm2 de área y un eje L coplanar a

 una distancia de 10 cm. de sus centro. Calcule el volumen del sólido generado por la región circular cuando gira 180° alrededor de L (en cm3). A) 100 2 B) 100 C) 100 D) 200 2 E) 200

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79. En el gráfico, halle el área de la superficie generada por el cuadrado ABCD de 6 cm. de lado, cuando gira alrededor de la recta L (en cm2). B

5 A) 3 3 D) 2

3 B) 5

3 C) 4

E) 3

82. Halle la relación de volúmenes de los sólidos generados a girar las regiones MBN y AMNC, alrededor del eje MN , si AM=MB y BN=NC

C A 15°

B

D

A) 324  C) 108  E) 162 

L

M

B) 216  D) 270 

80. Los lados de un triángulo miden 11, 13 y 20. La región triangular gira alrededor de uno de sus lados obteniéndose un sólido de máximo volumen. Halle dicho volumen . A) 528 B) 582 C) 825 D) 852 E) 285 81. Halle la relación de los volúmenes generados al rotar las siguientes regiones sombreadas alrededor de los ejes indicados .

O2 OO 22

N

A 1 2 1 D) 5

A)

C 1 3 1 E) 6

B)

C)

1 4

83. Usando el teorema de Pappus – Guldin, deducir la posición del centro de gravedad, de: A) Una semicirculo de radio r B) Una semicircunferencia de radio r C) Un cuarto de circunferencia de radio r D) Un cuarto de círculo de radio r

O3

O1 R

O2

O1

O3

R CEPRE-UNI

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84. El reactor de ensayo de fusión Tokamak es un gran toroide que produce un campo magnético para confinar partículas cargadas. Se muestra la región que lo genera y el eje de giro, calcule el volumen.

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C)  R 2  4  cos   2sen  D)  R 2 16  cos   sen  E)  R 2  8  2cos   2sen  86. En la figura mostrada, calcule el área de la región que genera la línea ABC cuando se hace girar una vuelta alrededor de AC . R

B a

R

R

C

A 4 A) a  R    R 3 3 4 C) a R 2   R 3 3 2 E)  a R  4 R 3

4 B) a  R   R 3 3

2

2

D)  aR 2  4 R 3

85. Calcule el área que genera la línea OAB cuando se hace girar una vuelta alrededor de L. L A R

O

 

B 2R

A) B) C) D) E)

 R 2   2R 2  2R 2  R2  R2  R2  R2  R2 R 2  2 R 2

87. En un triángulo ABC de área S se traza la mediana AM y la ceviana BN de manera que NC=2AN, si AM AB  D , calcule el volumen que genera la región CABDM al girar una vuelta completa alrededor de CB , si el volumen que genera la región ABC al girar una vuelta completa alrededor de BC es V. 7 A) V 8 6 D) V 7

2 V 5 7 E) V 3

B)

C)

3 V 5

A)  R 2  8  2cos   4sen  B)  R 2  8  2cos   4sen  CEPRE-UNI

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M 50Acm CICLO PRE UNIVERSITARIO 2006-I

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88. Un sector circular de radio R y ángulo y ángulo central que mide 60°, se hace girar una vuelta alrededor de un eje coplanar distanciado de su vértice en un valor de a y cuyo ángulo formado por la prolongación del segmento que une el vértice y su centro de gravedad con el eje de giro mide  , si a rel="nofollow">R calcule su volumen. A)  R3sen B)  R 2a C)  Ra2 3 E)  R 2asen D)  R cos 89. En la figura mostrada, calcule el volumen que genera la región sombreada al girar una vuelta alrededor de AC Datos : AB=a AC=b

91. Un hexágono regular cuyo lado mide a, gira alrededor de uno de sus lados. Halle el volumen del sólido generado ( en u3). 9 3 a 2 9 D)  a 3 5

9 3 a 4 7 E)  a 3 2

A)

B)

C)

1 3 a 2

92. Un rectángulo descansa sobre la recta L, se inclina el rectángulo con un ángulo que mide 60. si la diagonal determina con el lado mayor un ángulo que mide 30 y además el mayor lado mide a. Calcule el volumen del sólido generado al rotar alrededor de L.

B

60°

2 3 a 3 2 D)  a 3 5

A)

A

C

A)

2 4 a2  2  2a2  b  a   1 4  b  a2     2 2 b  a  b  a 3 b 3 b 

B)  a2b C)  b2a   b 2  a 2 a D)   b2  a2  a 

B)

3 3 L a 4

C)

 3

a3

E)  a3

93. Calcule el peso del volante de fundición que se genera al gira la sección mostrada alrededor del eje L. Dato: Densidad de la fundición es 7, 2.

a2 b 2

1 b 2  a2

L



E)  b2a 20

90. Si el volumen de un neumático de automóvil mide Vu3 y su área total Au2 y el radio de la sección transversal en r, tal que Ar=60u3. Calcule V (en u3). A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

80

40

100

40

En mm.

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