Analisis Cuantitativo Financiero Modulo 1

Módulo 1: Introducción a las Finanzas Fundamentos del valor tiempo.

y

Introducción El primer módulo, introduce al alumno en la materia a los fines de que el mismo entienda la importancia de la matemática financiera en la toma de decisiones financieras y estratégicas en cuanto al manejo del dinero a lo largo del tiempo.

Desarrollo 1. Introducción a las Finanzas y Fundamentos del valor tiempo. 1.1 Introducción al estudio de las Finanzas 1.1.1 Por qué estudiar Finanzas Gracias a la “Globalización”, hoy en día es común que los individuos se encuentren pendientes de la suba o de la baja del Nasdaq y las consecuencias producidas en las Bolsas del mundo; de la devaluación o revaluación del Euro con respecto al dólar, de la suba de tasa en Estados Unidos, del aumento/baja del riesgo país de los mercados emergentes, entre otros. En consecuencia, podemos decir que el estudio de las Finanzas es uno de los aspectos más relevantes dentro de las Ciencias Económicas y Ciencias Empresariales. Lo que hace que todo profesional de éstos ámbitos deba conocer ciertas herramientas de cálculo y análisis para poder tomar decisiones, ya sea de inversión o financiación, o también para medir los resultados de decisiones tomadas con anterioridad (evaluación de gestión).

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Por una parte, tanto los particulares como las empresas o los gobiernos, tienen ingresos provenientes de sus remuneraciones, ventas o cobros de impuestos respectivamente y a su vez, deben afrontar egresos en concepto de pagos de servicios, salarios, proveedores, etc.

Ingreso de las Familias (Salarios)

EMPRESA

FAMILIAS

Consumo

Consumo

GOBIERNO

Impuestos

Créditos

SISTEMA FINANCIERO

Depósitos

Gráfico 1: Esquema de Flujo de Fondos

Es decir, existirá para cada entidad una serie de movimientos permanentes de fondos, (cobros y pagos periódicos). Habrá momentos en que los recursos monetarios no serán suficientes para cubrir los egresos, tal vez exista un sobrante o superávit; o puede ser que los fondos sean insuficientes y se deba recurrir a recursos externos (préstamos bancarios, colocación de capital o deuda en los mercados de capitales, tanto nacionales como internacionales). En función de ello, podemos observar que el estudio de las Finanzas abarca dos grandes ramas: Finanzas Corporativas y el Sistema Financiero. El estudio de las Finanzas Corporativas se basa en el aprendizaje de las técnicas a aplicar en la administración de los recursos de las empresas, minimizando el riesgo en la toma de decisiones lo que trae como consecuencia que el costo de capital sea mínimo aumentando por ende, el valor de la empresa para sus accionistas. La función básica de un gerente financiero es balancear rentabilidad y riesgo. Una de las principales funciones del gerente financiero es optimizar la captación y aplicación de los recursos, ya que lo más importantes es obtener la mayor rentabilidad con el menor riesgo posible. Para ello, tendrá como aliado principal al Sistema Financiero, que en su rol de intermediario y a través de sus diversos productos, le proporcionará al administrador de empresas, la posibilidad de invertir los recursos excedentes como así también obtener financiamiento para sus actividades habituales o para el lanzamiento de nuevos proyectos.

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1.1.2 Las Finanzas y las Matemáticas El mundo de las finanzas está basado en el dinero y por ende en el manejo de los números. Y cuando de números se trata, no podemos prescindir de las matemáticas. El cálculo financiero funciona a modo de ejemplo como una receta de cocina, en la cual se combinan ciertos ingredientes (los datos de entrada al problema: tasas de interés, tasa de inflación, costos, tipo de cambio, etc.) que combinada en forma adecuada (a través de la aplicación de fórmulas, programas de cálculo y teoremas) darán como resultado el plato terminado (obtendrá el rendimiento o costo de una operación) que no será más que el elemento clave para la toma de decisiones financieras (de inversión, de financiación y política de dividendos) y decisiones estratégicas (de control de gestión y de dirección).

1.1.2 Los modelos matemáticos y la realidad Los modelos sirven para poder detectar y desentrañar datos, información y detalles que necesitamos para identificar un problema, una situación o un suceso económico que nos permitirán obtener beneficios o minimizar pérdidas. Los modelos son estructuras básicas teóricas que facilitan un proceso de análisis lógico para evitar situaciones, y que, adaptados en mayor o menor medida a casos concretos, serán herramientas muy útiles para la toma de decisiones. El buen manejo de la teoría y sus modelos permitirá al administrador financiero comprender y entender lo que sucede en el ámbito en que se desempeña, le ayudará a plantear las cuestiones en forma correcta en un mundo cambiante y encarar con lógica los nuevos problemas que se presentan día a día.

1.2 El Cálculo Financiero 1.2.1 El Dinero, Definición y Funciones Según la definición típica, el Dinero es el medio de pago utilizado por la sociedad para efectuar el intercambio de bienes. El dinero posee básicamente tres funciones: 

Es depósito de valor: es un activo que tiene valor a lo largo del tiempo. Si tenemos un depósito de valor, podemos efectuar compras en una fecha futura.



Es una unidad de cuenta: es la unidad en la que se miden los precios y se hacen las anotaciones en los registros contables.



Es un patrón de pagos diferidos: las unidades monetarias se utilizan en las transacciones a largo plazo

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FINANZAS

Estudio de los Flujos de Efectivo

EFECTIVO = DINERO

- Medio de Pago (intercambio de bienes - Depósito de Valor (comprar en fecha futura) - Unidad de Cuenta (precios y registros) - Patrón de pagos diferidos (préstamos)

Gráfico 2: El Dinero como objeto de estudio de las finanzas

1.2.2 El valor tiempo del dinero Suponga usted que posee $ 50.000 y que puede tomar tres decisiones: guardar el dinero en su casa, comprar un auto cero kilómetro o efectuar un depósito a plazo fijo por un año en una entidad bancaria. ¿Por cuál de estas opciones optaría? El primer problema a resolver será: ¿presto el dinero al Banco o lo guardo en casa? Si lo guardo en casa, dentro de un año seguiré teniendo la misma cantidad de dinero, con el riesgo de que en el transcurso del año, le poder adquisitivo del mismo se haya deteriorado (es decir puedo comprar menos bienes de los que podía con dicha cantidad al comienzo del período); o pudo entrar un ladrón en la casa y robar el dinero. El segundo problema es decidir: presto el dinero al Banco o me compro el auto. Si en la actualidad compro el auto, dentro de un año no tendré el dinero pero tendré el bien, aunque deberé asumir los gastos correspondientes (garaje, patente, combustible, cubiertas, etc.), además de la consiguiente pérdida del valor del auto (si dentro de un año decido venderlo me pagarán menos de lo que pagué cuando era un cero kilómetro). Finalmente, si deposito un plazo fijo hoy, dentro de un año recuperaré el capital que coloqué, pero además el Banco deberá pagarme algo más por el uso que hizo su dinero en ese tiempo. Por lo tanto, por cada instante que mi dinero esté en poder del

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banco el mismo deberá reconocerme un cargo a mi favor, es lo que llamamos INTERÉS. A medida que transcurre el tiempo, el dinero genera intereses. No es lo mismo tener los $50.000 hoy que dentro de un año, porque hoy los puedo invertir y al cabo del año tendré más dinero. Por supuesto que el hecho que tenga más dinero. De la misma forma, considere la posibilidad de adquirir un activo financiero que dentro de un año generará un capital de $50.000, por ejemplo una Letra del Banco Central (LEBAC), ¿cuánto pagará hoy por dicho activo? Menos de $50.000, el resultado de descontar intereses no devengados.

1.2.3 La operación Financiera Imagine que usted es el administrador financiero de una empresa, que dispone de un cierto excedente de fondos por corto plazo y decide efectuar un depósito en una entidad financiera. ¿Cuánto retirará al vencimiento? El dinero colocado y algo más, porque su intención fue obtener un beneficio. Por lo tanto retirará un capital mayor al colocado. Usted realizó una operación financiera, la cual tiene los siguientes elementos: capital, plazo y beneficio. Gráficamente, se puede representar la operación financiera de la siguiente manera: 0

Co

1 t

C1

Donde: “0”: momento inicial en el cual se efectúa la colocación de fondos “1”: momento final, en que se retiran los fondos “t”: plazo de la operación expresada en días “Co”: capital inicial “C1”: capital final El capital inicial está representado por la cantidad de billetes en términos nominales que se deberá depositar. Tienen que ser mayor que cero porque sino, estarían regalando dinero. Por su parte, el capital final estará representado por la cantidad nominal de billetes y monedas que retirará al vencimiento de la operación. Es mayor que el capital inicial porque incluye un beneficio, ya que hay una intención de lucro. Y como mencionamos anteriormente, ese beneficio se denomina INTERÉS. Entonces el AXIOMA DE COMPORTAMIENTO, es el siguiente:

0 < Co < C1

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1.2.4 La Colocación y Toma de Fondos Definidos los elementos de la operación financiera, podemos analizar dos situaciones básicas: a) Que la empresa disponga de excedente o b) Que tenga necesidad de ellos. Entonces si posee fondos excedentes podrá efectuar una COLOCACIÓN o una INVERSIÓN, a fin de obtener un BENEFICIO. Pero si necesita fondos, podrá TOMARLOS prestados, asumiendo un COSTO por el uso del dinero ajeno. Y entonces ¿qué es una OPERACIÓN FINANCIERA? Nada más y nada menos que la compra y venta de una mercadería muy especial: el DINERO. Ahora bien, usted podrá decir que no está de acuerdo con el “Axioma de Comportamiento”, porque no es seguro que siempre el capital final de una inversión sea superior al capital invertido.

1.2.5 Renta Fija y Renta Variable Cuando definimos a la operación financiera como la toma y colocación de fondos no tenemos ninguna duda al respecto, la cuestión es el análisis del rendimiento. Existen básicamente dos tipos de inversiones, a renta fija y a renta variable. Una inversión a renta fija es aquella en la cual se establece el pago de algún tipo de interés sobre un capital inicial o sobre un valor nominal. Es el caso de la operación financiera planteada a la cual se refería el “Axioma de Comportamiento”. Esta es la operación financiera propiamente dicha en la cual se pacta de antemano una tasa de interés, la que puede ser fija o variable en función de alguna tasa de referencia (por ejemplo LIBOR, Prime, BADLAR, BAIBOR, etc.). En ésta categoría podemos incluir, entre otros a depósitos en plazo fijo, préstamos bancarios y bonos. Una inversión a renta variable es aquella en la cual no hay un compromiso previo de renta. Por ejemplo, las acciones pagan dividendos, pero previamente la empresa debe generar ganancias y asamblea de accionistas decidir distribuirlas para que existan dividendos, por lo tanto el dividendo es una renta variable. En éste caso además el tenedor de la acción es socio de la empresa por eso se dice que la compra de capital es una inversión de capital y no una operación financiera propiamente dicha. La compra y venta de acciones genera un resultado que puede ser positivo, negativo o neutro en función de que el precio de venta sea superior, inferior o igual al precio de compra. Este resultado se conoce como el resultado por tenencia. Y en la misma situación se encuentra la compra y venta de monedas extranjeras y de cuotas partes de fondos comunes de inversión.

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En el caso de los bonos, nos encontraremos con una combinación de resultados, un bono es por parte del emisor, una promesa de pago del valor nominal más los intereses en las fechas establecidas en las condiciones de emisión. Por el tenedor del mismo, o inversor no necesariamente elegirá quedarse con el bono hasta su vencimiento definitivo. Si decide venderlo con anterioridad habrá percibido por un lado los intereses prometidos por el título (resultado financiero puro) y por el otro el diferencial entre el precio de venta y el precio de compra (ganancia o pérdida de capital o resultado por tenencia). Por todo lo visto, es esencial, tanto para el inversor como para el tomador de fondos, conocer el manejo de las herramientas de cálculo indispensables para medir resultados y tomar decisiones pertinentes.

Colocador

Tomador

Intermediario Financiero

Instrumento Financiero

Inversiones a Renta Fija: hay compromiso de renta (pago de interés)

Inversiones a Renta Variable: no hay compromiso de renta (pago de dividendos)

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1.3 El Sistema Financiero De acuerdo a la definición tradicional, un sistema es un conjunto de elementos relacionados entre sí, con un objetivo en común. SISTEMA FINANCIERO

Mercados Financieros Colocador o Inversor

Marco Regulatorio

Intermediarios Financieros

Tomador o Emisor de Deuda

Instrumentos Financieros

Calificadora de Riesgo

Organismos de Control

Cuando hablamos de Sistema Financiero, también encontraremos un conjunto de personas, tanto físicas como jurídicas, interesadas en tomar y colocar fondos, con la intervención de determinados intermediarios y que interactúan en diversos mercados, regidos por un marco regulatorio específico que deberán aplicar y supervisar los Organismos de Control de cada país.

1.3.1 Participantes Participarán en una operación financiera, aquellos sujetos poseedores de excedentes de fondos o superávit, llamados COLOCADORES O INVERSORES, tales como particulares, empresas, gobiernos e inversores institucionales (Fondos Comunes de Inversión, Compañías de Seguro, ART, etc.) y aquellos con necesidades de fondos o déficit, es decir TOMADORES de fondos o EMISORES de deuda, como ser particulares, empresas, gobiernos, organismos multilaterales, etc. Tanto los colocadores como los tomadores se relacionan entre sí a través de los INTERMEDIARIOS FINANCIEROS, estos son: Bancos y Entidades Financieras, Agencias de Cambio, Bancos de Inversión, Agentes Bursátiles y de Mercado Abierto. Los colocadores de fondos acceden a los mercados con diversos objetivos tales como la inversión, la especulación, el arbitraje o el control.

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Por Inversión entendemos la adquisición de activos financieros (como por ejemplo acciones o bonos) que, proporcionen unos flujos de caja que compensen el riesgo asociado a la operación. En general es el inversor que mantendrá en su poder el activo, por un plazo normalmente prolongado.

Los inversores suelen perseguir algunos o todos de los siguientes objetivos: - Crecimiento: seleccionarían empresas que históricamente muestran crecimiento sostenido en los beneficios y con posibilidades de continuar haciéndolo a buen ritmo en el futuro. Estas empresas reparten pocos dividendos y reinvierten las utilidades por lo que siguen creciendo. Este crecimiento se traduce en un aumento en el valor de mercado de las acciones. - Rentabilidad: el inversor adquirirá acciones de compañías que tradicionalmente reparten dividendos o bonos que pagan flujos de fondos periódicos. - Seguridad: este tipo de inversor buscará bonos de alta calidad (emitidos por el Estado o por compañías de primera línea) o acciones preferentes, y si fuese necesario, acciones ordinarias de las empresas más seguras. La Especulación consiste en comprar o vender títulos a fin de obtener el mayor beneficio posible en el menor tiempo. El especulador es necesario en el mercado de valores, dado que proporciona liquidez al mismo. No hay que confundir al especulador con al arbitrajista, el primero corre un riesgo, no así el segundo. El Arbitraje consiste en negociar con el mismo activo financiero en dos mercados distintos comprando el activo en que está más barato y vendiéndolo en el que está más caro. Todo el proceso se realiza instantáneamente, por lo que no existe riesgo. Existen también colocadores de fondos que desean obtener el Control de la empresa, por lo que adquirirán el suficiente número de acciones ordinarias que les permita tomar parte de su gestión o dirigirla directamente.

1.3.2 Activos Financieros Cuando efectuamos una operación financiera, en realidad estamos comprando y vendiendo dinero. Como toda transacción en necesario instrumentarla a través de la confección de un “papel”, un contrato, denominado INSTRUMENTO O ACTIVO FINANCIERO, esto es lo que realmente se negocia. Un activo financiero es un derecho de propiedad que confiere al colocador de fondos el derecho de percibir un flujo de fondos y la devolución del capital invertido y al tomador una obligación de pago. Como ejemplos se encuentran los siguientes: certificado de depósito a plazo fijo, pagaré, bono, contrato de préstamo, etc.

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Las características más singulares de los Activos Financieros pueden ser, entre otras, las siguientes: -

Mayor o menor liquidez: admiten su transformación en dinero con cierta facilidad sin sufrir pérdidas. Riesgo: en función del crédito del prestatario, o de cambio en función de las divisas negociadas. Rentabilidad: en función del interés pagado y el régimen fiscal. Discreción: que la transacción esté amparada en el anonimato. Retención de Impuestos: pueden afectar la rentabilidad. Adaptación a las necesidades: de acuerdo a la necesidad del prestatario el diseño del instrumento financiero.

Dependiendo del plazo, los activos financieros se pueden clasificar en: a) Financiación a corto plazo: letras del tesoro, commercial papers, certificados de depósito. b) Financiación a mediano y largo plazo: bonos. c) Emisión de Acciones.

1.3.3 Mercados Financieros Los sujetos descriptos anteriormente, se vinculan entre sí a través de ámbitos llamados MERCADOS. Los mercados transfieren recursos monetarios de unidades económicas superavitarias a otras deficitarias. Dependiendo del plazo, la moneda y estructura de los Instrumentos Financieros que se negocien, se pueden definir tres tipos básicos de MERCADOS: -

MERCADO DE DINERO: se negocian instrumentos financieros de corto plazo (menos de 1 año) en moneda local o doméstica. Ejemplos: depósito a plazo fijo, cajas de ahorro, papeles comerciales, pagarés, operaciones de call, toma de fondos contra títulos, pases, repo’s, adelantos de cuenta, préstamos personales, sobregiros en cuenta corriente, cauciones bursátiles, créditos de corto plazo, tarjetas de crédito, obligaciones negociables de corto plazo.

-

MERCADO DE DIVISAS: se negocian monedas extranjeras e instrumentos financieros denominados en moneda extranjera y a corto plazo. Ejemplos: compra y venta de divisas, cheques de viajero, tarjetas de créditos en divisas, operaciones de pase, toma y colocación de fondos a corto plazo, papeles comerciales y certificados de depósitos.

-

MERCADO DE CAPITALES: se negocian instrumentos financieros a más de un año, denominados en cualquier moneda, que representen decisiones de inversión y financiación a mediano y largo plazo tanto para el sector público

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como el privado. Ejemplos: títulos del gobierno, acciones, obligaciones negociables, bonos. Podemos subdividir al mercado de capitales en mercados de subasta (Bolsa de Valores) y mercados electrónicos (MAE).

En la práctica ésta división no es tan nítida ya que los mercados interactúan entre sí, dado que los papeles emitidos a largo plazo pueden ser negociados a corto en los mercados de divisas o mercados de dinero (buscando un resultado financiero solo en las diferencias de precios, entre las compras y a venta). Por otra parte, papeles que tradicionalmente actúan en los mercados a corto plazo, gracias a arbitrajes y renovaciones entran en el mercado de capitales a largo plazo. Un tema que ha impactado en los últimos años en los mercados financieros es el “riesgo” y la forma de cubrirlo; en función de ello se ha desarrollado un cuarto mercado. -

MERCADO DE DERIVADOS: es el mercado más sofisticado y complejo. Se encarga de complementar operaciones, principalmente del mercado de capitales, donde las puntas que se han unido tienen diferentes necesidades y deben compatibilizarse.es utilizado básicamente para cubrir riesgos. Las operaciones típicas son futuros, opciones y swaps. Mercados Financieros

Mercado de Divisas

Mercado de Dinero

Mercado de Capitales

Mercados Derivados

Por otra parte, si tenemos en cuenta la posibilidad de los colocadores y tomadores de fondos de acceder a Mercados Financieros Internacionales, es necesario distinguir: MERCADOS NACIONALES: -

MERCADOS DOMÉSTICOS: los emisores de activos financieros son residentes en el país en cuestión, que es donde se realizan sus emisiones y en donde los activos se negocian.

-

MERCADOS EXTRANJEROS: donde los agentes económicos no residentes pueden financiarse en la moneda nacional del país en cuestión sin necesidad

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de asumir las mismas regulaciones que afectan a los residentes de ese país. Pero las transacciones están sujetas a las reglas y usos prevalecientes en el respectivo mercado doméstico. MERCADOS INTERNACIONALES: -

EUROMERCADOS: es el mercado internacional por excelencia u off-shore, son fuentes de financiamientos alternativos a los mercados nacionales y su principal característica es la falta de regulaciones. El carácter supranacional de las transacciones financieras están denominados en monedas distintas a las del país donde el mercado está localizado y se ofrecen simultáneamente a los inversores que se encuentran en varios países.

1.3.4 Organismos de control y marco regulatorio A fin de que los participantes en los mercados financieros puedan interactuar en forma ordenada y equitativa para las partes, existe un Marco Regulatorio compuesto por leyes, decretos, resoluciones y reglamentaciones aplicadas por los organismos de control, estos son el Banco Central (BCRA) y la Comisión Nacional de Valores (CNV). El Banco Central es la autoridad de aplicación de la Ley de Entidades Financieras, por tanto es el Organismo de Control del Sistema Bancario y Cambiario. Para tal fin, elabora Comunicaciones que son de estricto cumplimiento para las entidades comprendidas en la Ley citada. El Banco Central no solo controla el funcionamiento de los intermediarios financieros sino también autoriza las distintas operaciones que es posible realizar. Por su lado, la Comisión Nacional de Valores, es la autoridad de aplicación de la Ley de Oferta Pública y regula el funcionamiento del Mercado de Capitales, tanto a sus agentes como los distintos tipos de instrumentos que allí se negocian.

1.4 Exponentes y Leyes Nos introduciremos en el tema de los exponentes enteros positivos. El producto de un número real que se multiplica por sí mismo, se denota por “a X a” o “aa”. Para simplificar este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notación abreviada tal que:

a. a = a² a. a. a = a³ a. a. a. a. a= a

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En la que el símbolo a se llama base y al número escrito arriba y a la derecha del mismo se le denomina exponente. Este último indica el número de veces que la base a se toma como un factor. Por lo tanto, podemos decir que si n es un número entero positivo y a es cualquier número real, n

a. a. a. … a= a n factores n

El término a se expresa como “a elevado a la n-ésima potencia” donde a es la base y n es el exponente o potencia.

1.4.1 Leyes de los exponentes Si a y b son números reales distintos de cero, y m y n son enteros positivos, entonces se pueden aplicar las siguientes leyes de los exponentes. a) PRODUCTO DE DOS POTENCIAS DE UNA MISMA BASE Para encontrar el producto de dos potencias de la misma base, se debe elevar la base de una potencia igual a la suma de los exponentes. m

a .a

n

=a

m+n

b) COCIENTE DE DOS POTENCIAS DE LA MISMA BASE Para encontrar el cociente de dos potencias de la misma base, es necesario elevar la base a una potencia igual al exponente del numerador menos el exponente del denominador.

Ejemplo: Por la definición de potencia se tiene:

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Al cancelar factores iguales queda:

Por lo tanto, como regla general obtenemos: El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes.

c) POTENCIA DE UNA POTENCIA Para elevar la m-ésima potencia a la n-ésima potencia se debe elevar la base a, a una potencia igual al producto de los dos exponentes.

Ejemplo: Por la definición de potencia se tiene:

Por lo tanto, como regla general obtenemos:

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La potencia de otra potencia de la misma base (distinta de cero) es igual que la base elevada al producto de los exponentes.

d) POTENCIA DEL PRODUCTO DE DOS FACTORES Para determinar la n-ésima potencia de dos factores, se debe encontrar el producto de cada factor elevado a la n-ésima potencia.

Ejemplo: (ab)³ Al aplicar la definición de potencia: (ab)³ = ab • ab • ab (ab)³ = a • a • a • b • b • b Y como la potencia es una multiplicación abreviada, queda: a³b³ Por lo tanto, como regla general obtenemos: La potencia de un producto es igual que el producto de la misma potencia de los factores

e) POTENCIA DEL COCIENTE DE DOS FACTORES

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Para determinar la n-ésima potencia del cociente de dos factores es necesario encontrar el cociente de cada factor elevado a la n-ésima potencia.

Ejemplo: Aplicando la definición de potencia:

Por lo tanto, como regla general obtenemos: Para elevar una fracción a un exponente se eleva el numerador y el denominador a dicho exponente.

1.4.2 Exponente cero, negativo y fraccionario f) EXPONENTE CERO Si a es un número real diferente de cero, a 0= 1. Esta aseveración puede demostrarse aplicando la regla del cociente de dos potencias de la misma base. Considere el siguiente cociente:

Pero el cociente de la división (cuando el divisor y dividendo son iguales) es 1, entonces:

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Por transitividad: a° = 1 Por lo tanto, como regla general obtenemos: Todo número diferente de cero con exponente 0 es igual a 1

g) EXPONENTE NEGATIVO Si n es un entero positivo y a ≠ 0 :

y se sabe que:

Por transitividad:

Por lo tanto, como regla general obtenemos:

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Todo número exponente negativo es igual a su inverso con exponente positivo

h) EXPONENTES FRACCIONARIOS Sea a la base de una potencia, y m/n el exponente al cual se encuentra elevada dicha base, entonces:

Ejemplo: Si se eleva a la potencia que indica el denominador del exponente resulta que:

Por la definición:

Por la propiedad transitiva:

Si se extrae la raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad, se tiene:

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Al eliminarse la raíz y la potencia (operaciones inversas):

Por lo tanto, como regla general obtenemos:

1.5 Logaritmos: cálculo y progresiones 1.5.1 Cálculo con logaritmos Sea N un número positivo y b un número positivo diferente de 1; entonces, el L logaritmo en base b del número N es el exponente L de la base b tal que b = N. El enunciado de que L es el logaritmo en base b del número N se escribe como: L = logb N

log 2 8  3 (logaritmo en base 2 de 8 es igual a 3 pues 3 es el exponente al que hay 3 que elevar 2 para que nos de 8  2  8 1 1  3 8 (logaritmo en base 2 de 8 es igual a -3) pues -3 es el exponente al que 1 1 1 23  3  2 8 hay que elevar 2 para que nos de 8  log 2

log10 10000  4 (logaritmo en base 10 de 10000 es igual a 4) pues 4 es el exponente 4 al que hay que elevar 10 para que nos de 10000  10  10000 En la práctica común se utilizan dos tipos de logaritmos: naturales, cuya base es el número e = 2.718281829…, y los logaritmos comunes cuya base es b = 10. Ambos se pueden determinar fácilmente con ayuda de una calculadora financiera. Los logaritmos en base 10 se denominan logaritmos comunes y para identificarlos se utiliza el símbolo:

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L = log10 N = log N.

Los logaritmos naturales en (base e) se simboliza como sigue: ln = log nat N = loge N = Ln

En lo sucesivo, la palabra “logaritmos” se referirá a los logaritmos comunes (base 10). Por definición se tiene: log 1000 = 3 log 100 = 2 log 10 = 1 log 1 = 0 log 0.10 = -1 log 0.010 = -2 log 0.0010 = -3

ya que ya que ya que ya que ya que ya que ya que

10³ = 1000 10² = 100 1 10 = 10 0 10-1= 1 10-2= 0.10 10-3= 0.010 10 = 0.0010

Es necesario destacar que N debe ser un número positivo, en tanto que el log N puede ser cualquier número real positivo, negativo o cero.

1.5.1.1 Leyes de los Logaritmos. 1) EL logaritmo del producto de dos números positivos, es igual a la suma de los logaritmos de los números.

log (A.B) = log A + Log B 2) El logaritmo del cociente de dos números positivos, es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

log (A/B) = log A – log B 3) El logaritmo de un número elevado a la potencia n, es n veces el logaritmo del número.

log An = n log A

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1.5.1.2 Característica y Mantisa Todo número positivo puede ser escrito en la forma de un número básico B tal que (1 < B < 10) multiplicado por una potencia entera de 10. Por ejemplo: 4.354 = 4,354 x 10³ 1

65 = 6,5 x 10

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0,078 = 7,8 x 10

Para calcular el logaritmo de un número de éstos se procede de la siguiente manera: Si N = 4.354 = 4,354 x 10³ log (4.354 x 10³) = log 4,354 + log 10³ = 0,638888 + 3 Si N = 0,078 = 7,8 x 10 -2 Log (7,8 x 10-2 ) = log 7,8 + log 10-2 = 0,55388303 - 2

1.5.1.3 Antilogaritmos Si L = log N, N es el llamado antilogaritmo de L y se denota como N = antilog L cuando L = log N. Por ejemplo, 200 = antilog 2,301030

ya que

log 200 = 2,301030

0,5 = antilog 0,698970 – 1

ya que

log 0,5 = 0,698970 – 1

El antilogaritmo de un logaritmo dado puede ser determinado mediante el empleo de una calculadora electrónica o por medio de tablas.

1.5.1.4 Redondeo En el presente apunte, se utilizarán las siguientes reglas para redondear: - El dígito retenido permanece sin cambio si los dígitos despreciados son menores de 5 000. Ejemplo: 0,13783 se redondea como 0,1378 si se desean 4 cifras significativas.

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-

-

El dígito retenido se incrementa en 1 si los dígitos despreciados son mayores de 5 000. Ejemplo: 0,68917 se redondea como 0,69 si se desea los 2 decimales. El dígito retenido se convierte en par (se incrementa en 1 cuando es necesario) si los dígitos despreciados son exactamente iguales a 5 000. Ejemplo: 0,235 se redondeará como 0,24 si se desean dos decimales, en tanto que 0,14325 se redondeará como 0,1432 si se desean 4 decimales.

1.5.2 Progresiones Aritméticas Una progresión aritmética es una sucesión de números llamados términos, tales que dos números cualesquiera consecutivos de la sucesión están separados por una misma cantidad llamada diferencia común. 1, 4, 7, 10… es una progresión aritmética cuya diferencia común es 3. 30, 25, 20, 15… es una progresión aritmética cuya diferencia común es -5. Si se considera t1 como el primer término de una progresión, d como la diferencia común y n el número de términos de la misma, se genera una progresión de la forma: t1, t1+d, t1+2d, t1+3d ……., t1+ (n-2)d, t1+ (n-1)d El último número de una progresión será igual al primer término de la misma adicionado de (n – 1) diferencias: u1 =, t1+ (n-1)d En una serie de 3 términos puede verse claramente esto: t1, t1+d, t1+2d El último término (t1 + 2d) es igual al primer término (t1) adicionado de (n – 1) veces la diferencia común, ya que n = 3, n – 1 = 2.

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La suma de una progresión aritmética puede escribirse como sigue: S = t1 + (t1 +d) + (t1+2d) + …..+ (u – 2d) + (u – d) + u Pero también puede escribirse en forma inversa: S = u + (u – d) + (u – 2d) + …..+ (t1+2d) + (t1 +d) + t1 Sumando las dos expresiones término a término: 2S = (t1+ u) + (t1+ u) + …..+ (t1+ u) + (t1+ u) 2S = (t1+ u) S= n/2 (t1+ u) Así, la suma de una progresión aritmética de n términos es igual a la suma del primero y el último término multiplicado por n y dividido entre dos. S=n

t1 + (n – 1) d

2

Simplificando, se obtiene: S = n/2

2 t1 + (n – 1) d

EJEMPLO 1.5.2.1. Determine el 10mo. Término y la suma de la siguiente progresión aritmética: 3, 7, 11…

SOLUCIÓN a) Se determina el último término aplicando (1.11) y se considera t1 = 3, n = 10 y d = 4. u =, t1+ (n-1)d u= 3 + (10-1)4 u= 36+3 u=39

b) Para determinar la suma se aplica la fórmula respectiva:

Análisis Cuantitativo Financiero

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S= n/2 (t1+ u) S= 10/2 (3+39) S= 5 (42) S=210

c) Una alternativa de cálculo es: S = n/2

2 t1 + (n – 1) d

S= 10/2

2(3) + (10-1)4

S= 5 (42) S = 210

EJEMPLO 1.5.2.2. Se recibe un préstamo bancario de $12.000, el cual se acuerda pagar mediante 12 pagos mensuales de $1.000 más intereses sobre saldos insolutos a razón de un 5% mensual. ¿Qué cantidad de intereses se paga en total? SOLUCIÓN El primer pago que debe hacerse será de $1.000 de capital más $600 de intereses (5% de 12.000). El segundo será de $1.000 más $550 (5% de 11.000); el tercero de 1.000 más 500 (5% de 10.000), y así sucesivamente. t1 = 600

d = - 50

n = 12

Aplicando la fórmula se tiene: S = n/2

2 t1 + (n – 1) d

S = 12/2 2(600) + (12-1)(-50) S= 6 1200 + (-550) S= 6 (650) S= 3900

Análisis Cuantitativo Financiero

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Deberá pagar $3.900 de intereses.

1.5.3 Progresiones Geométricas Una progresión geométrica es una sucesión de números llamados términos, tales que dos números consecutivos cualesquiera de ella, guardan un cociente o una razón común. En otras palabras, esto quiere decir que cualquier término posterior se puede obtener del anterior multiplicándolo por un número constante llamado cociente o razón común. 3, 6, 12, 24, 48… es una progresión geométrica cuya razón común es 2. -2, 8, -32, 128… es una progresión geométrica cuya razón común es -4. t, tr, tr², tr³… es una progresión geométrica cuya razón común es “r”. Tomando el último ejemplo se puede generar una progresión geométrica con 6 términos: t1, t1 r, t1 r2, t1 r3, t1 r4, t1 r5 De ella se desprende que el último término es igual a: u= t1, r n-1 Y que una progresión con n términos adoptará la forma: t1, t1, r, t1 r2…….. t1 r n-3 + t1 r n-2 + t1 r n-1 La suma de ésta progresión es igual a: S= t1,+ t1 r + t1 r2 + ……. t1 r n-3 + t1 r n-2 + t1 r n-1 Luego, si se multiplican ambos lados de la ecuación por r, se tiene: rS= t1 r + t1 r2 + t1 r3 + …….+ t1 r n-2 + t1, r n-1 + t1 r n s – rS = t1 - t1 r n Por lo que: S (1-r) = t1 - t1 r n S = t1 - t1 r n 1-r

= t1 (1- r n) 1-r

S = t1 (1- r n) 1-r

Análisis Cuantitativo Financiero

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Es conveniente utilizar la fórmula anterior cuando r<1 y la expresión S = t1 (r n - 1) r-1 cuando r > 1 Una progresión geométrica será creciente si la razón común r es positiva mayor que 1.

EJEMPLO 1.5.3.1. Genere una progresión de 5 términos con t1 = 3, r = 4

SOLUCIÓN 3, 12, 48, 192, 768 Una progresión geométrica será decreciente si la razón común r es positiva menor que 1.

EJEMPLO 1.5.3.2. La inflación de un país se ha incrementado un 40% en promedio durante los últimos 5 años. ¿Cuál es el precio actual de un bien que tenía un precio de $100 hace 5 años?

SOLUCIÓN t1 = 100

r = (1 + 0,40)

n=6

t6 = ?

Aplicando la fórmula respectiva se obtiene: S = t1 (r n - 1) r-1 S=1 2

48 - 1 4-1

S = 10922,50

Análisis Cuantitativo Financiero

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Puede esperarse que el precio del bien se haya más que quintuplicado en ese periodo dada una inflación promedio de 40%, puesto que dicha inflación se va calculando sobre la del año anterior, que a su vez lo fue sobre la del año previo y así sucesivamente.

1.5.3.1 Progresiones Geométricas Infinitas Considere la siguiente progresión geométrica 1, ½, ¼, ⅛… cuyo primer término es 1 y cuya razón es r ½ La suma de los n primeros términos es: Sn = 1 – (1/2)n 1–½ Sn =

1 - (1/2)n 1-1/2 1-1/2

Sn = 1 - (1/2) n 1/2 1/2 Sn = 2 – (1/2) n-1

Para cualquier n, la diferencia 2 – Sn = (½) es positiva, y se reduce a medida que (n-1) crece n. si n crece sin límite (tiende al infinito), se dice que S se aproxima a 2 como límite. lim Sn = 2 n→∞ En el caso de una progresión geométrica del tipo: t1, t1r, t1r², t1r³ … la suma de los n términos puede escribirse como Sn = t1 (1- r n) 1-r

= t1 - t1 r n 1-r 1-r n

Análisis Cuantitativo Financiero

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Cuando ( -1 < r < 1 ), si n crece indefinidamente, el término r , tiende a 0 y Sn tiende a ( t1 / 1-r ). Así se dice que S=

t1 1-r

cuando -1 < r < 1

y se le considera una progresión geométrica infinita.

EJEMPLO 1.5.3.3. Determine la suma de una progresión geométrica infinita: 1, 1/3, 1/9, 1/27… SOLUCIÓN Se tiene que t1 = 100, r =1/3 y ya que (- 1 < r < 1), se aplica la fórmula: S=

t1 1-r

cuando -1 < r < 1

S= 1 1 – 1/13 S = 1.5

TEMAS DE ACTUALIDAD

Variables macroeconómicas y su impacto en la empresa La evolución macroeconómica puede afectar el correcto funcionamiento del sector empresarial, sobre todo si se trata de empresas con un alto grado de “apalancamiento” (un gran volumen de deuda en relación con su capital) que además operan en un entorno que no favorece la buena gestión empresarial. Por ello, se deben tener presente los siguientes apartados: 

Las variaciones de las tasas de interés mundial y las primas por riesgo país pueden hacer variar notablemente el costo del endeudamiento de las empresas que poseen una deuda externa significativa.

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

Una acelerada depreciación del tipo de cambio puede elevar el costo del servicio de la deuda de las empresas, además de desestabilizar el sector empresarial e incluso amenazar la viabilidad y sostenibilidad futura de muchas empresas.



Un alto nivel de deuda a corto plazo de las empresas en moneda extranjera aumenta la vulnerabilidad de la macroeconomía ante la depreciación del tipo de cambio y las salidas de capital repentinas (fuga de capitales). Por ejemplo, en el segundo semestre de 2007 salieron de la Argentina unos u$s 4.800 millones de capitales privados, mientras que en abril del 2008 la cifra llegó a los u$s 1.500 millones.



Los efectos adversos sobre la demanda interna y el crédito bancario que puede tener una política monetaria restrictiva con altas tasas de interés, aplicada para contener la rápida depreciación del tipo de cambio, se ven intensificados por la cuantiosa deuda de las empresas y pueden, por ende, empeorar la situación financiera del sector empresarial.

De igual modo, el sector empresarial puede afectar la macroeconomía mediante los siguientes vínculos: 

La reestructuración de las empresas con un nivel de apalancamiento excesivo, que luchan por mantenerse financieramente a flote, puede ampliar la desaceleración económica y contraer la inversión.



La reducción del crédito a las empresas provocada por una insuficiencia de capital bancario puede obligar a los gobiernos a desviar los recursos fiscales hacia la recapitalización de los bancos (recuérdese los acontecimientos registrados en la economía argentina en la crisis del año 2001).



Si el sector empresarial cae en la insolvencia, la disminución de la inversión y el largo período que exige la reestructuración de las empresas pueden generar trabas y ralentizar el crecimiento económico de un país.

La historia de los países modernos, es abundante en cuanto a ejemplificaciones de pérdidas de confianza con fuertes implicancias para la economía en su conjunto. El 29 de Octubre de 1929, se producía el crac, que luego daría paso a la crisis mundial del año ´30 o período también conocido como “La gran depresión”. En aquel entonces el Dow-Jones industrial trepó por encima de los 216 puntos, al cabo de una gran burbuja de 3 años. ¿Qué ocurrió en aquellos tiempos? El futuro réportage, instrumento que había sido creado en París hacia fines del siglo diecinueve, era una modalidad de operatoria que consistía en pagar sólo l0% de una compra de acciones al agente bursátil, el resto lo cubría un banco que caucionaba la operación.

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El negocio era redituable cuando la acción había crecido lo suficiente, como para que su reventa posterior permitiese cubrir el adelanto realizado, pagar las comisiones inherentes a la operación y dejar una ganancia. Esta modalidad condujo a la emisión de acciones por US$ 30.000 millones. Como la Reserva Federal mantenía las tasas de interés muy bajas, comprar acciones en reportaje resultaba un negocio por demás interesante, lo que formó una burbuja ficticia con gravísimas secuelas no sólo para Estados Unidos, sino para la economía mundial en su conjunto. Más cercano en el tiempo, en el mes de Agosto de 1998, en la Federación Rusa, la caída del rublo y el hundimiento de los bonos del Tesoro de fuerte rendimiento (rechazados por los inversores extranjeros) pusieron al descubierto la endeble gestión del sistema financiero. Numerosos clientes alcanzaron a retirar sus depósitos y un número importante de bancos fue a la quiebra llevándose el ahorro de cientos de particulares. El 30 noviembre de 2001, la Argentina inmersa en una recesión económica prolongada, y ante el temor de una crisis de mayor envergadura, es testigo de un escenario en el cual miles de ahorristas acuden a los bancos a retirar su dinero. Más de mil millones de dólares son retirados en una sola jornada. La aplicación de instrumentos precisos y oportunos puede ayudar a los responsables de la política económica a evaluar la vulnerabilidad de las empresas antes de que surja una crisis y a formular políticas encaminadas a reducir el riesgo de una crisis aún más grave, además de resolver los problemas causados por un apalancamiento excesivo de las empresas.

¿Cómo podemos apreciar esta relación para el caso de la economía argentina? En el sector financiero, los bancos comenzaron a formular a partir del año 2008 estrategias para aumentar su liquidez y en sintonía con el escenario del país aumentaron gradualmente las tasas para captar nuevas colocaciones. Los plazos fijos se convirtieron en opciones atractivas tanto para mayoristas como para el pequeño inversor porque si se comparaba la tasa de ajuste esperada del dólar (10%) era claramente inferior al rendimiento de los depósitos (18%). La contracara de esta situación es que a la par que se incrementa la tasa de los depósitos, también lo hace la de préstamos. En algunos casos, las subas llegaron hasta 22% para los créditos a pequeñas empresas, y comenzó la suspensión de la financiación en 12 cuotas fijas para la compra de electrodomésticos. Todas estas señales fueron negativas para el consumo y aumentaron el nivel de incertidumbre sobre el futuro inmediato tanto a nivel empresarial como para el consumidor estándar.

Un aumento de tasas origina que los deudores a tasa variable realicen previsiones para destinar un porcentaje mayor de su ingreso a pagar las obligaciones contraídas

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vía crédito, mientras que desde el sector productivo se comienza a pensar muy seriamente en suspender o directamente cancelar los planes de inversión. Otro ejemplo es la situación de las pequeñas, medianas y grandes empresas que libran una desigual lucha para evitar los efectos colaterales de la situación económica imperante. Algunas no encuentran más solución que disminuir su nivel de actividad (reducción en la producción) y por consiguiente aplicar suspensiones al personal.

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