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Índice general

H.I - Propiedades de los fluidos e hidrostática 1

Propiedades de los fluidos ................................................................................... 9 1.1 Definición de fluido y concepto de viscosidad...............................................................9 1.2 Densidad, peso específico y módulo de compresibilidad ............................................. 12 1.3 Ebullición y cavitación. Presión de vapor. Presión atmosférica ................................. 14 1.4 Tensión superficial ...................................................................................................... 16

2

Hidrostática ....................................................................................................... 19 2.1 Principios básicos de la hidrostática ........................................................................... 20 2.2 Empuje hidrostático.................................................................................................... 22

3

Flotación. Equilibrio de sólidos sumergidos ...................................................... 26 3.1 Equilibrio de sólidos parcialmente sumergidos ........................................................... 28

H.II - Ecuaciones fundamentales 1

Definiciones previas........................................................................................... 47 1.1 Volumen de control y sistema ..................................................................................... 47 1.2 Condiciones permanentes y variables .......................................................................... 48 1.3 Línea de corriente y trayectoria. Tubos de corriente .................................................. 50 1.4 Caudal ........................................................................................................................ 52

2

Ecuaciones fundamentales ................................................................................. 55 2.1 Ecuación de conservación de la masa .......................................................................... 55 2.1.1 Simplificaciones a la ecuación de conservación de la masa.................................... 57 2.2 Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento ............................................ 59 2.2.1 Simplificaciones de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento ... 61 2.3 Ecuación de conservación de la energía ....................................................................... 62 2.3.1 Comentarios sobre el carácter “energético” de la ecuación de Bernoulli ............... 66 2.3.2 Aplicación de la ecuación de Bernoulli a una sección de conducción .................... 67

1

H.III - Disipación de la energía. Movimiento laminar y turbulento 1

Movimiento laminar .......................................................................................... 87 1.1 Campo de velocidades en régimen laminar.................................................................. 89

2

El número de Reynolds como frontera entre el flujo laminar y el flujo turbulento .......................................................................................................................... 92

3

Movimiento turbulento ..................................................................................... 95

H.IV - Análisis dimensional y semejanza hidráulica 1

Introducción .....................................................................................................105

2

Definiciones y principios básicos ......................................................................109 2.1 Principios básicos ...................................................................................................... 111

3

Teorema “P” o de Buckingham .......................................................................113

4

La “ecuación general de la hidráulica” .............................................................118

5

Teoría de la semejanza .....................................................................................123

H.V - Flujo en presión. Fundamentos de cálculo 1

Introducción .....................................................................................................143

2

Análisis de un segmento simple de tubería ......................................................144 2.1 Principios básicos de la hidrostática.......................................................................... 159 2.2 Empuje hidrostático .................................................................................................. 163 2.3 Ecuación de conservación de la energía ..................................................................... 165 2.3.1 Efecto sobre la línea de energía ........................................................................... 170 2.4 Bombeos .................................................................................................................... 174 2.4.1 Curva resistente de una impulsión. Punto de funcionamiento ............................ 178 2.4.2 Ubicación de la bomba. NPSH ........................................................................... 179 2.4.3 Agrupaciones de bombas ..................................................................................... 182

3

Redes de tuberías en régimen permanente ......................................................186 3.1 Introducción en el cálculo de válvulas de funcionamiento automático...................... 190

4

Redes en régimen cuasi-no permanente en tuberías ........................................193

2

H.VI - Introducción al movimiento no permanente en tuberías 1

Introducción .....................................................................................................249 1.1 Analogías previas ....................................................................................................... 251

2

Descripción del fenómeno.................................................................................254

3

Acotación de las principales variables que definen el golpe de ariete ..............259 3.1 Breve discusión sobre la celeridad de la onda de presión .......................................... 259 3.2 Empuje hidrostático .................................................................................................. 261 3.3 Determinación del valor de la celeridad de onda. Balance integral de masa............. 263

4

Importancia del tiempo de maniobra ...............................................................266

5

Métodos para paliar el golpe de ariete .............................................................270 5.1 Métodos en línea (o de protección directa) ............................................................... 271 5.2 Empuje hidrostático .................................................................................................. 272

H.VII - Movimiento en lámina libre. Introducción 1

Introducción .....................................................................................................291 1.1 Concepto de flujo de lámina libre.............................................................................. 291 1.2 Clasificación de movimientos en lámina libre............................................................ 292 1.3 Notación básica ......................................................................................................... 294

2

Ecuaciones del flujo en lámina libre .................................................................298 2.1 Hipótesis previas a la deducción de las ecuaciones de Saint-Venant......................... 298 2.2 Empuje hidrostático .................................................................................................. 300 2.3 Ecuación dinámica ..................................................................................................... 301 2.4 Simplificaciones a las ecuaciones de Saint-Venant para flujos permanentes ............. 305

3

Movimiento permanente y uniforme ................................................................307 3.1 Ecuación del movimiento permanente y uniforme .................................................... 307 3.2 Cálculo del calado normal ......................................................................................... 310 3.3 Evaluación del coeficiente de Manning...................................................................... 313 3.4 Influencia de la forma. Eficiencia de una sección ...................................................... 319

3

H.VIII - Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen 1

Ecuación del movimiento permanente gradualmente variado ..........................327

2

El número de Froude (Fr) ...............................................................................330

3

Integración de la ecuación del régimen permanente gradualmente variado ....337 3.1 Análisis intuitivo de la ecuación. Curvas de remanso ............................................... 339 3.1.1 Análisis de las curvas de pendiente moderada (M) ............................................. 342 3.1.2 Análisis de las curvas S, C, H, A......................................................................... 352 3.2 Integración numérica de la ecuación del régimen permanente y uniforme ................ 358 3.2.1 Cálculo inverso .................................................................................................... 365 3.2.2 Cálculo de n......................................................................................................... 366

4

Transiciones y cambios de régimen ..................................................................367 4.1 Cambios de régimen .................................................................................................. 371 4.1.1 Cambio de régimen lento a régimen rápido. Calado crítico ................................ 371 4.1.2 Cambio de régimen rápido a régimen lento. Resalto hidráulico .......................... 377 4.2 Ejemplo de recapitulación ......................................................................................... 390

H.IX - Fenómenos locales 1

Diagramas de energía .......................................................................................427

2 Fenómenos locales derivados de variaciones en las características del canal o del flujo .........................................................................................................................433 2.1 Ensanchamientos y estrechamientos ......................................................................... 433 2.1.1 Análisis de un estrechamiento brusco en régimen lento ...................................... 436 2.1.2 Otros casos vinculados a estrechamientos y ensanchamientos ............................ 444 2.2 Escalones en solera .................................................................................................... 451 3

Variaciones en el caudal ...................................................................................456

4

Nomenclatura

E0

energía específica

F

esfuerzo genérico

Fr

número de Froude

g

aceleración de la gravedad

H

altura piezométrica

H

B

I

altura de bombeo pendiente motriz

 k

vector unitario de dirección z

K

módulo de compresibilidad volumétrica del fluido

L

longitud

m.c.a.

metros de columna de agua

Pm

perímetro mojado

Q

caudal

Rh

radio hidráulico

sc

superficie exterior del volumen de control

t

tiempo

v

velocidad

vc

volumen de control

W

potencia

yc

calado crítico

yn

calado normal

ߩ

densidad

ߤ

viscosidad del fluido

 

gradiente

ߪ

coeficiente de tensión superficial



tensión tangencial



viscosidad dinámica

γ

peso específico   g

5

6

H1

- Propiedades de los fluidos e hidrostática

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

Contenidos

1

Propiedades de los fluidos

1.1 Definición de fluido y concepto de viscosidad

9 9

1.2 Densidad, peso específico y módulo de compresibilidad

12

1.3 Ebullición y cavitación. Presión de vapor. Presión atmosférica

14

1.4 Tensión superficial

16

2

Hidrostática

19

2.1 Principios básicos de la hidrostática

20

2.2 Empuje hidrostático

22

3

Flotación. Equilibrio de sólidos sumergidos

3.1 Equilibrio de sólidos parcialmente sumergidos

4

Ejercicios

26 28

32

4.1 Problema – 1 A

32

4.2 Problema – 1 B

36

4.3 Problema – 1 C

39

8

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

Los contenidos de la asignatura Hidráulica e Hidrología comienzan en las ecuaciones fundamentales de la hidrodinámica, por lo que los conceptos vinculados a las propiedades de los fluidos y a la hidrostática se suponen conocidos (ya se han tratado en asignaturas previas, como Física). Pese a ello, se incluye una síntesis de estos conceptos a modo de recordatorio.

Propiedades de los fluidos

En este apartado se presentan las propiedades más relevantes de los fluidos, entendiendo como tales aquellas que van a tener una aplicación más o menos inmediata en la asignatura, y otras, como la tensión superficial, que se incluye como mero recordatorio, pues realmente no tiene una aplicación evidente en la hidráulica de conducciones de interés en ingeniería civil, aunque sí en otras conducciones (en el flujo sanguíneo, por ejemplo).

1.1 Definición de fluido y concepto de viscosidad Se define un fluido (en este texto se sobreentiende líquido, y más concretamente agua) como un medio continuo (no se analiza a nivel molecular, sino como un continuo), deformable, con una total carencia de rigidez. Esto quiere decir que se deforma de modo indefinido (sin parar) si se lo somete a esfuerzos cortantes.

De este modo, los fluidos, que soportan esfuerzos normales de compresión con una deformación limitada, no pueden soportar tracciones sin perder su integridad, y se deforman de modo continuo ante esfuerzos tangenciales.

9

H1

Esta última frase significa que si se somete a un fluido a un esfuerzo tangencial, el fluido no dejará de moverse nunca (no hay una deformación como respuesta al esfuerzo, sino un movimiento continuado en el tiempo).

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

Fig. 1.1 Esfuerzo de compresión y esfuerzo cortante

La ecuación que vincula la respuesta (deformación) ante una solicitación (esfuerzo) define las características reológicas de un fluido. Los líquidos adoptan distintos comportamientos según su naturaleza. El más frecuente es el conocido como “newtoniano”, que responde a la ley (ver Fig. 1.1):

τ =µ

dv dy

[1.1]

τ : tensión tangencial

v: velocidad µ : constante de proporcionalidad, se conoce como viscosidad dinámica

La “ley de los fluidos newtonianos” vincula la tensión con una variación de velocidad: la deformación es ilimitada si se mantiene la carga, lo que se mide es la velocidad a la que se deforma el fluido. La ley de Newton es lineal: µ es una constante. No todos los fluidos la cumplen, aunque el agua la cumple con mucha aproximación si los esfuerzos son pequeños (siempre que no aparezcan esfuerzos de naturaleza turbulenta). Una ley homóloga para sólidos sería la ley de Hooke:

τ = k ⋅ ε (tensión = constante · deformación)

[1.2]

sólo que en fluidos sometidos a esfuerzos cortantes la tensión es lineal con la variación de la deformación: •

τ = µ·ε

[1.3]

La dependencia de la deformación respecto del tiempo se puede ver explícitamente cambiando las variables:

10

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

Fig. 1.2 Respuesta de un fluido a un esfuerzo cortante

tg(dγ ) ≈ (dγ ) =

dvdt dy

Las unidades de la tensión son: τ = Las unidades de

;

• dv dγ = = γ dy dt

[1.4]

F MLT −2 = = ML−1T −2 A L2

dv LT −1 son = T −1 dy L

De donde las unidades de la viscosidad ( µ ) son: ML-1T-1. En el Sistema Internacional sus unidades son (Pascal·segundo). La viscosidad ( µ ) recibe el nombre de viscosidad dinámica, en oposición a la viscosidad cinemática (ν ) que se define como

ν=

µ ρ

(ρ: densidad)

[1.5]

Sus unidades son ML-1T-1/ML-3=L2T-1, lo que justifica su nombre (sólo hay longitudes y tiempos, lo que es propio de la cinemática).

Como ejemplo se puede pensar en un mazo de naipes nuevos sobre la mesa. Si se empuja con un dedo un naipe hacia delante, todo el mazo se desplaza con facilidad. Si se repite la misma operación con un mazo de naipes usados, la

11

H1

La viscosidad de un fluido debe ser entendida como la resistencia que de modo intrínseco ofrece a la deformación al ser solicitado por una tensión tangencial: una mayor viscosidad implica una mayor rigidez ante un mismo esfuerzo. Tras el concepto de esfuerzo tangencial y respuesta newtoniana está la hipótesis de comportamiento laminar: el fluido se comporta como una sucesión de capas que deslizan una sobre otra, y la viscosidad actúa como un coeficiente de fricción entre las capas.

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

respuesta no es tan suave porque la suciedad sobre los naipes ejerce un efecto de fricción.

Fig. 1.3 Flujo laminar. Analogía con un mazo de naipes

En el caso de que las velocidades que se alcanzan en el fluido sean importantes, la ordenación de estas capas se pierde y aparece otro tipo de flujo, más complejo en su definición, que es el turbulento. La ecuación de Newton no explica la respuesta de un fluido en condiciones turbulentas. La viscosidad (como la mayoría de las propiedades que se presentarán) no es un invariante para un fluido. Depende fuertemente de la temperatura. Los gases aumentan su viscosidad con la temperatura, mientras que los líquidos presentan una clara disminución de la viscosidad a medida que la temperatura crece. Como ejemplo se puede pensar en la miel o el aceite; cuando la temperatura baja tienden a adoptar mayor rigidez. El valor de la viscosidad cinemática del agua a temperatura ambiente es del orden de ν = 10-6 m2/s. Este es el valor que se considerará habitualmente para el cálculo en condiciones normales.

1.2 Densidad, peso específico y módulo de compresibilidad La densidad del agua en unidades del Sistema Internacional (SI) es de 1000 kg/m . En general se considera al agua un fluido razonablemente incompresible, salvo en algunos casos, como las sobrecompresiones súbitas en conductos cerrados, en que hay que apelar al carácter lineal de la respuesta a la compresión. Esto se verá más adelante. 3

Muy vinculado con la densidad aparece el concepto de peso específico, que se define como

γ =

Masa ⋅ g Peso = = ρg Volumen Volumen

[1.6]

El peso específico del agua en unidades del Sistema Internacional, es 9800 N/m . Para fluidos distintos del agua, es muy habitual hablar en términos de densidad o peso específico relativos (al del agua): 3

12

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

ρr =

ρ → peso específico del fluido ρ w → agua (patrón )

[1.7]

Obviamente, el peso específico relativo o la densidad relativa son adimensionales. Como se ha mencionado, el agua es un fluido poco deformable por compresión, pero no es cierto que sea absolutamente rígido. Ante esfuerzos de compresión pura, se postula un comportamiento elástico lineal (similar ahora sí, para este tipo de esfuerzos, a la ley de Hooke):

Fig. 1.4 Esfuerzo de compresión pura

Un incremento de tensión de compresión pura isótropa (presión) genera un decremento de volumen según:

K=

− dp dV V

[1.8]

El módulo de comprensibilidad volumétrica K tiene unidades de presión, como se deduce de modo evidente de su definición. El módulo K varía levemente con la temperatura; se puede considerar un valor medio del orden de 2100 MPa.

H1

El signo (–) en la definición de K deriva del hecho que un incremento positivo de presión implica un incremento negativo de volumen. Se puede paliar esta deficiencia estética planteando la definición no en función del volumen sino de la densidad:

13

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

K=

dp dρ

(Masa = Cte. = ρ ⋅V )

[1.9]

ρ  dV − dρ  d (Masa ) = 0 = dp ⋅V + ρ·dV ⇒  = V ρ  

1.3 Ebullición y cavitación. Presión de vapor. Presión atmosférica El diagrama de fases del agua permite pasar de la fase líquida a la gaseosa aumentando la temperatura a presión constante, o disminuyendo la presión a temperatura constante. Aunque se trata de un mismo fenómeno, el cambio de fase provocado por un incremento de temperatura se llama ebullición (y se dice que el agua hierve) y el provocado por decremento de presión se llama cavitación (el agua cavita). Obviamente se pueden lograr esos cambios de fase variando simultáneamente presión y temperatura. A la presión que dé lugar a un cambio de fase asociada a una temperatura concreta se le llama presión de vapor. El agua hierve a 1000C a presión atmosférica, pero lo haría a temperaturas muy inferiores si la presión fuese menor. Para que el agua hierva (o cavite) a 200C, la presión absoluta debe ser realmente pequeña (del orden de 0.23 m.c.a.). La presión del aire sobre el agua realiza un efecto taponador sobre los esfuerzos de agitación interna del agua, similar al que realiza la tapadera de una sartén en la que se están cocinando palomitas de maíz. Si se quita la tapa o no se sostiene con fuerza, las palomitas saltan y esto, a grandes rasgos, es lo que pasa si se descomprime la superficie libre del agua. La agitación interna del agua prevalece sobre los esfuerzos de cohesión interna en la superficie del agua y el fluido escapa pasando a fase vapor.

Fig. 1.5 Tensión de vapor

14

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

La presión atmosférica es importante al evaluar este cambio de fase, y con frecuencia es fácil no comprender su existencia. Como se ha visto, la presión atmosférica es del orden de 1,033 kp/cm2 (unidades algo obsoletas pero aún utilizadas), 0,1013 MPa o 10,33 m de columna de agua. Como se puede ver, es una presión considerable cuyo efecto nos pasa desapercibido. Si abrimos la palma de la mano, exponemos hacia arriba una superficie del orden de 100-150 cm2, lo que supone que soportamos el peso de 100-150 kg de aire. Parece difícil que una mano abierta soporte sin ningún esfuerzo ese peso, pero no es extraño si comprendemos que también por debajo actúa esa carga.

Fig. 1.6 Presión atmosférica

Fig. 1.7 Compensación de la presión atmosférica

15

H1

La siguiente pregunta que nos haríamos es por qué la mano no se aplasta entre esos dos esfuerzos: la respuesta es que la mano no es impermeable; al igual que el resto de nuestro cuerpo, contiene multitud de huecos que se llenan de aire (a presión atmosférica), de modo que el efecto de “aplastamiento” se acaba reduciendo a pequeñas láminas de tejido que aguantan el pequeño esfuerzo que ello supone sin problemas.

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

1.4 Tensión superficial Otra característica del agua que conviene resaltar, es la tensión superficial. Los esfuerzos que se movilizan en este caso son de tipo cohesivo, entendiendo como tales los esfuerzos de atracción que aparecen al poner en contacto dos partículas (moléculas) del mismo material. Si el contacto es entre partículas distintas, el esfuerzo se llama adhesivo (o de adhesión). En el contacto entre un fluido y el aire, los esfuerzos de cohesión superan a los de adhesión con el aire, y el agua parece limitada en su superficie libre por una película que amortigua los movimientos diferenciales bruscos entre puntos cercanos. Este esfuerzo se pone de manifiesto de modo evidente al llenar un vaso hasta el borde. Aunque nos excedamos, el agua no se cae, y parece rodeada por una tela o un plástico invisible que permite que el agua desafíe la gravedad. En realidad sí hay un entretejido de esfuerzos de cohesión que mantiene unida la superficie del agua, y estos esfuerzos son propiamente la tensión superficial. Este entretejido de esfuerzos “aprieta” el agua hacia adentro igual que las correas que se usan para asegurar las cargas en las cajas de los camiones o en las bacas de los coches.

Fig. 1.8 Tensión superficial

Éste es el esfuerzo que justifica que una gota de agua no se desparrame y mantenga su forma más o menos semiesférica sobre una mesa plana.

Fig. 1.9 Efecto de la tensión superficial sobre una gota de agua

16

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

La presión en el interior de la gota es mayor que la atmosférica, debido al esfuerzo de sobrecompresión inducido por la tensión superficial. La tensión superficial se expresa como un esfuerzo por unidad de longitud, y es el esfuerzo que las fuerzas de tensión superficial desarrollan a lo largo de una unidad de longitud en su superficie para mantenerla unida. Si imaginamos dos sábanas hilvanadas y tiramos de ellas para separarlas, el esfuerzo necesario para romper el hilvanado por unidad de longitud da una idea física del concepto cuantitativo de tensión superficial.

Fig. 1.10 Tensión superficial: concepto físico

A temperatura ambiente, el agua tiene una tensión superficial de σ = 0,074 N/m. Es un valor bastante alto, muy por encima de la mayoría de los líquidos, salvo el mercurio.

H1

En la interfaz entre un líquido y un sólido, es posible que algún esfuerzo de adhesión supere a los de cohesión. Esto puede dar lugar al avance del agua por la superficie del sólido, e incluso a que el agua ascienda por el sólido. El caso más notable es el de “ascensión capilar”, en que el agua, sometida a los esfuerzos de adhesión, va avanzando hacia arriba por el interior de un tubo delgado, y va generando una tela (algo así como una cúpula invertida) de la que cuelga la columna líquida.

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H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

Fig. 1.11 Ascensión capilar

La altura de equilibrio se calcula según la Ley de Jurín, imponiendo un equilibrio entre los esfuerzos de tensión superficial y los gravitatorios (ver Fig. 1.11). El ángulo de contacto (θ) entre el sólido y el líquido, indicador del grado de “avidez trepadora” del agua (o el líquido en general) es un factor dominante, y es una característica de los materiales en contacto (del fluido y del sólido). H =

2σ ·cos θ Rγ

[1.10]

θ : ángulo de contacto agua-vidrio ≈ 0º, lo que genera una cúpula invertida prácticamente semiesférica A continuación se recapitulan en forma de tabla las propiedades del agua a distintas temperaturas. Nótese como algunas propiedades, como la tensión de vapor o la viscosidad, son muy sensibles a variaciones térmicas. En este curso no se va a considerar este efecto, y se entenderá que el agua está a una temperatura entre 10 y 30 grados, franja en que los parámetros son sensiblemente constantes.

18

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

Tabla 1-1 Propiedades físicas del agua a distintas temperaturas

Temperatura Densidad

Peso específico

Viscosidad dinámica

Viscosidad cinemática

Tensión superficial

Tensión de vapor

Módulo de elasticidad

N/m3

Ns/m2

m2/s

N/m

m.c.a

N/m2

C

kg/m3

0

999,9

9.809,02 1776 x 10-6 1.78 x 10-6

0,07564

0,062

19,52 x 108

4

1.000,0

9.810,00 1570 x 10-6 1.57 x 10-6

0,07514

0,083

.

10

999,7

9.807,06 1315 x 10-6 1.31 x 10-6

0,07426

0,125

20,52 x 108

20

998,2

9.792,34 1010 x 10-6 1.01 x 10-6

0,07289

0,239

21,39 x 108

30

995,7

9.767,82

824 x 10-6

0.83 x 10-6

0,07122

0,433

21,58 x 108

40

992,2

9.733,48

657 x 10-6

0.66 x 10-6

0.06965

0,753

21,68 x 108

50

988,1

9.693,26

549 x 10-6

0.55 x 10-6

0,06769

1,258

21,78 x 108

60

983,2

9.645,19

461 x 10-6

0.47 x 10-6

0,06632

2.033

19,88 x 108

80

971,8

9.533,39

363 x 10-6

0.37 x 10-6

0,06259

4,831

.

100

958,4

9.401,90

275 x 10-6

0.28 x 10-6

0,05896

10,333

.

0

Hidrostática

H1

La hidrostática estudia los fluidos en reposo, lo que significa total ausencia de velocidades (v = 0). Un fluido no puede estar en reposo si se le aplica una tensión cortante, luego los campos de tensiones hidrostáticas siempre son normales, de compresión pura. En estas condiciones hay características del fluido, como la viscosidad, que carecen de interés, ya que no se movilizan (la viscosidad solo tiene interés si aparecen esfuerzos tangenciales).

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H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

2.1 Principios básicos de la hidrostática Los principios fundamentales de la hidrostática fueron enunciados por Blaise Pascal en 1653, y siguen vigentes. A continuación se presenta el Principio de Pascal, con una notación algo distinta de la utilizada en su origen. Considérese un plano horizontal de fluido, en el que se traza un triángulo como el de la figura

Fig. 2.1 Esfuerzos hidrostáticos

Si se acepta que estamos en condiciones hidrostáticas, las resultantes de los esfuerzos según los ejes x e y son nulas (no hay aceleraciones), de donde

p1·dx − p3·ds·sen α = 0 ;

ds· sen α = dx

[2.1]

p2·dy − p3·ds·cos α = 0 ;

ds·cos α = dy

[2.2]

⇒ p1 = p 2 = p 3

[2.3]

El principio de Pascal demuestra pues que el campo de presiones hidrostático, en ausencia de otros esfuerzos, es isótropo. No obstante, el fluido está generalmente sometido a algún esfuerzo adicional (típicamente su propio peso, al menos). Para incluir este esfuerzo (u otros esfuerzos genéricos), se presenta el principio de un modo más general, lo que lleva a la: •

Ecuación general de la hidrostática: supóngase un volumen de fluido sometido a la presión que se genera en el contacto con el resto de fluido

20

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

 y a un campo de esfuerzos por unidad de masa “ b ”, que se supone genérico pero que puede visualizarse típicamente como el peso del fluido:

Fig. 2.2 Ecuación general de la hidrostática. Esfuerzos en un volumen de control

 En la Fig. 2.2 𝑝𝑝 es la presión y b es un campo de fuerza por unidad de masa.  En sus componentes, el campo se presenta como b = (X,Y,Z). En el caso de que represente el peso sólo habrá componente Z 2.2):

Planteando el equilibrio para una de las componentes, por ejemplo “y” (Fig. p·dx·dz − (p +

∂p dy )dx·dz + ρ·Y·dx·dy·dz = 0 ∂y →

∂p = ρ·Y ∂y

[2.4] [2.5]

En general (con las tres componentes) se puede escribir la ecuación como:    ∇p = ρ·b ( ∇ : gradiente)

   Lo usual es que b sea el campo gravitatorio terrestre: b = -g· k . Si se multiplica por la masa para lograr un esfuerzo se llega a la forma usual:    [2.6] F = −m·g·k ( k : vector unitario de dirección z) Si se aplica la ecuación general al campo gravitatorio terrestre se tiene:

p = − ρ·g·z + C ;

p + ρ·g·z = C

[2.7]

De donde se observa que las isobaras (líneas de igual presión) son planos horizontales (dado un valor de la cota, se conoce el valor de la presión). Aceptando

21

H1

 ∂p  = − ρ·g ∇p = − ρ·g·k ⇒ ∂z

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

una presión en la superficie libre igual a la atmosférica, p 0 y un cero de cotas también en la superficie libre tenemos: = p p0 − ρ·· gz

[2.8]

Lo que significa, para cota negativas (por debajo del nivel del agua), que la presión crece linealmente con la cota, con la adición de una constante (la presión atmosférica).

Fig. 2.3 Campo hidrostático de presiones

Prescindiendo de la presión atmosférica, el valor de la presión hidrostática en un punto es igual al del peso de la columna de fluido que se soporta en ese punto. Es habitual ignorar el efecto de la presión atmosférica; las presiones así expresadas se llaman relativas, o manométricas, y es la forma común de expresarlas. La unidad de presión más usual en hidráulica es el metro de columna de agua (m.c.a), que es la presión equivalente a una columna de agua de una cierta altura. Para pasar de unidades de presión (Pa) a (m.c.a) se divide la presión (en términos relativos) entre el peso específico del agua (9800 N/m3) ( p / γ = h ). De este modo, un MPa equivale aproximadamente a 102 m.c.a. Conviene recordar que es una medida “análoga” a la presión, pero no una presión propiamente dicha.

2.2 Empuje hidrostático El empuje hidrostático es el esfuerzo que el agua en reposo ejerce sobre cuerpos con los que está en contacto. Dado que es un esfuerzo de contacto, el esfuerzo se transmite a lo largo de la superficie que comparten el agua y el cuerpo. Esta superficie puede ser plana o curva. La evaluación de los esfuerzos a lo largo

22

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

de una superficie curva se suele obtener como suma (o integral) de los esfuerzos en pequeñas superficies planas cuya suma reproduce (en el límite) la forma curva. Si se considera una figura plana sumergida en un fluido (se entiende que las presiones sólo se ejercen en una cara), se puede definir un sistema de referencia formado por la superficie libre del agua y el plano soporte de la figura estudiada, del modo:

Fig. 2.4 Empuje hidrostático sobre una figura plana

En el punto P, la presión relativa o manométrica (sin tener en cuenta la presión atmosférica) es ρgz P o bien γ z P . Para hallar la resultante de los esfuerzos sobre la cara superior de la figura basta integrar las presiones sobre el área, del modo: = = F ∫γ·· z dS γ= ·sin θ ∫x·dS γ·sin θ·xG·S ∫x·sin θ·dS γ= S

S

[2.9]

S

Donde se ha tenido en cuenta la definición de centro de gravedad (𝑥𝑥𝐺𝐺 ):

xG =

∫ Sx·dS

[2.10]

S

El punto de aplicación de este esfuerzo se calcula igualando el momento de la resultante a la resultante de momentos:

= F·yC

γ= x·dF ∫x··· z dS ∫=

2 γ·sin θ ∫x= ·dS γ·sin θ·I yy

[2.11]

y·dF ∫y··· γ= z dS ∫=

γ·sin θ ∫y·· = x dS γ·sin θ·I xy

[2.12]

S

S

= xC

S

S

S

S

γ·sin θ·I yy

I yy I xy = = yC γ·sin θ·xG·S xG·S xG·S

23

[2.13]

H1

= F·xC

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

Los ejes x e y no son intrínsecos para la figura; se pueden trasladar las expresiones anteriores al centro de gravedad, aplicando el teorema de Steiner (= I yy IGyy + S·xG2 ) :

xC = xG +

I Gyy

xG·S

[2.14]

En el caso de que las superficies a estudiar no sean planas, como ya se ha comentado, se propone una discretización de las mismas:

Fig. 2.5 Empuje hidrostático sobre superficies curvas

Según este esquema, para dS, tenemos: dFx dF z z dSy    = = ·cos α·ds γ= ··cos α·ds γ·· dFy dF z z dSx = = ·sin α·ds γ= ··sin α·ds γ··

[2.15]

Donde dS x y dS y son proyecciones de dS sobre planos verticales y horizontales, respectivamente. Para una figura concreta, las presiones se pueden visualizar en sus componentes x e y (horizontal y vertical), suponiendo una discretización escalonada de la figura:

Fig. 2.6 Descomposición de una superficie curva en segmentos rectos

La suma de esfuerzos sobre las superficies verticales es directamente el esfuerzo sobre un plano vertical equivalente:

24

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

Fig. 2.7 Suma de componentes horizontales del esfuerzo hidrostático

La suma de esfuerzos horizontales es el peso de las columnas de agua que soporta cada segmento:

Fig. 2.8 Suma de componentes verticales del esfuerzo hidrostático

Así, los esfuerzos sobre la figura objeto de estudio son:

H1

Fig. 2.9 Esfuerzo hidrostático sobre una superficie curva

25

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

Flotación. Equilibrio de sólidos sumergidos

El último aspecto básico que se va a repasar es el de empuje hidrostático, y sus repercusiones sobre las condiciones de equilibrio y estabilidad de cuerpos flotantes. Considérese un sólido sumergido en un fluido. Los esfuerzos a los que está sometido son su peso y el conjunto de las presiones ejercidas por el fluido.

Fig. 3.1 Cuerpo totalmente sumergido. Esfuerzos exteriores

Si la componente vertical de la resultante de las presiones es ascendente y de mayor valor absoluto que el peso, el sólido tiende a aflorar en la superficie. Si el peso tiene mayor valor absoluto, el sólido tiende a ir al fondo. En el caso milagroso de que sean iguales, el sólido permanece en equilibrio en el seno del fluido. La pregunta clave es cuánto vale la resultante de las presiones: esto es la base del... Principio de Arquímedes (287-212 a.C.): todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical ascendente igual al peso del fluido desalojado. El carácter casi mítico de este principio tiende a oscurecer la naturaleza de este empuje, que es de hecho la resultante de las presiones. Para entender que

26

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

efectivamente es cierto, basta considerar como caso particular que el cuerpo que hay en el fluido sea de hecho una porción del propio fluido, que supondremos que se puede distinguir del resto trazándolo con un colorante. El volumen del fluido trazado está en equilibrio con el resto: ni sube ni baja, ni se mueve en un plano horizontal. Los esfuerzos a los que está sometido son esfuerzos por unidad de masa (su peso) y esfuerzos exteriores. Dado que está en equilibrio, se cumplirá: W = ∫ P·dS ≡ Empuje S

peso.

[3.1]

Al no haber momento, el punto de aplicación del empuje coincide con el del

Si se hace el ejercicio mental de sustituir la porción de fluido por un sólido, se comprende que el peso cambiará, porque es inherente al sólido, y si el sólido no es homogéneo el punto de aplicación del peso también cambiará, pero las presiones son fuerzas externas y serán las mismas, y se mantendrá su resultante y su punto de aplicación. Aceptando ya el principio de Arquímedes, es inmediato comprender que sólo un sólido con densidad media igual a la del agua se mantiene en equilibrio completamente sumergido. Si su densidad media es menor, flota (se mantiene parcialmente sumergido), y si es mayor, se va hacia el fondo.

Fig. 3.2 Cuerpos parcial y totalmente sumergidos

H1

Si el sólido está parcialmente sumergido, el volumen del fluido que desaloja es el de la porción sumergida: el empuje corresponde al peso del volumen de fluido correspondiente a esa porción, y el punto de aplicación es el centro geométrico de esta porción; a este punto se le llama “centro de carena: C”, y al volumen sumergido, volumen de carena.

27

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

Fig. 3.3 Centro de gravedad y centro de carena de un flotador

Si el sólido está en equilibrio, el peso y el empuje deben estar sobre la misma vertical: el centro de carena y el centro de gravedad del sólido deben estar sobre la misma vertical.

3.1 Equilibrio de sólidos parcialmente sumergidos Los principios de la flotación estable distan de ser triviales y para su compresión se desarrolla una línea de conocimiento que no se va a analizar aquí. Sí se van a exponer las ideas fundamentales, y se enunciarán los principios básicos. Al hablar de estabilidad de un sólido parcialmente sumergido (flotador), se entiende que el sólido puede flotar en muchas posiciones pero no todas son estables, ni todas son igualmente ventajosas para nuestros intereses (por ejemplo, no es particularmente interesante que una canoa sea estable cuando está boca abajo, y sí es interesante que sea estable cuando está boca arriba). Un flotador flota en cualquier posición, y ocupa el mismo volumen de carena; esto es evidente si se recuerda que el peso es igual que el empuje y éste es lineal con el volumen desalojado. El peso de un flotador no depende de su posición, luego desaloja siempre el mismo volumen. El centro de gravedad del cuerpo no varía, pero sí lo hace el centro de carena. Así, el centro de carena y el de gravedad no siempre están alineados sobre una vertical, y aparecen momentos que llevan a que esas posiciones no sean de equilibrio.

28

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

Fig. 3.4 Estabilidad de un flotador

Una vez aceptado que no todas las posiciones del flotador son de equilibrio, hay que plantearse si las que efectivamente lo son, plantean un equilibrio estable o inestable; es decir, si un pequeño alejamiento de la posición de equilibrio deriva en una recuperación o en un vuelco. El caso es análogo al típico ejemplo de la pelota en un valle o en la cima de un monte: en ambos casos está en equilibrio, pero en el último caso es claramente inestable. A partir de una posición de equilibrio, no todas las excitaciones dan lugar a la misma inestabilidad. El pequeño movimiento de un flotador respecto de un eje puede ser más inestable que respecto de otro. Esto es bastante obvio si se piensa en una canoa: cuando vuelca, lo hace respecto de su eje longitudinal, no cabecea. Una ola, que es un tipo de excitación que aparta a la canoa del equilibrio, no afecta igual si ataca la canoa por la proa o por el costado. Cada eje de excitación genera una respuesta distinta, pero en general a un flotador le acaban afectando todas, lo que obliga a buscar el eje de respuesta pésima.

Fig. 3.5 Par estabilizador

29

H1

Las excitaciones generan un momento, definido por el peso y el empuje, que se localizan en el centro de gravedad y el centro de carena, respectivamente. Si el centro de gravedad está bajo el centro de carena, el flotador es estable para cualquier excitación ya que todo momento es recuperador, como se observa en la Fig. 3.5:

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

Si el centro de carena está bajo el centro de gravedad, el momento puede ser volcador o recuperador; si se suponen dos posiciones para el plano de flotación, una estable y otra ligeramente alejada de la estabilidad, el centro de carena varía, según la Fig. 3.6:

Fig. 3.6 Posición del metacentro (µ). Par estabilizador (izq) y volcador (dch)

El punto de cruce de las líneas GC y la vertical por C’ se llama metacentro (µ). Hay un metacentro para cada excitación. Cuanto más bajo sea el metacentro, más posible es que se dé un momento que tienda a volcar el flotador. Hay que escoger el eje de excitación pésima para localizar el menor metacentro. La distancia Cµ para un eje de excitación es:

Cµ =

I V

(2do Teorema de Euler)

[3.2]

Donde V es el volumen de carena e I es el momento de inercia de la intersección del sólido con el plano de flotación respecto del eje de oscilación. El eje de oscilación pasa por el centro geométrico de dicha intersección y pertenece al plano de flotación (1er Teorema de Euler). Si el mínimo metacentro está sobre G, la flotación es estable; si existe un eje tal que Cµ< CG, la flotación es inestable. Ejemplo: Supóngase un bidón circular homogéneo de 2 m de altura y 1 m de diámetro, con una masa de 1000 kg. Se plantea su flotabilidad.

30

H1. Propiedades de los fluidos e hidrostática

Fig. 3.7 Ejemplo sobre equilibrio de flotadores

El volumen del bidón y el momento de inercia de la sección (para cualquier eje, por simetría) se calculan como: Vb = π × 0.5 2 × 2 = 1.57m 3

I =

π·r 4 4

= 0.049m 4

[3.3]

El volumen desalojado o de carena (V), equivalente a los 1000 kg, es de 1 m3, lo que equivale a un cilindro de 1.274 m de altura. La distancia OG (ver dibujo) desde la base del cilindro al centro de gravedad es de 1 m, y la distancia OC al centro de carena es de 1.274/2=0.637 m. La distancia Cµ se calcula a partir del segundo teorema de Euler como:

Cµ =

I 0.049 = = 0.049m V 1

[3.4]

H1

La distancia de la base al metacentro se calcula como OC+ Cµ=0.637+0.049=0.686, menor que la distancia OG=1 m, con lo que el metacentro queda bajo el centro de gravedad, y el bidón es inestable.

31

H1 - Propiedades de los fluidos e hidrostática

PROBLEMA – 1 A

ENUNCIADO

Un depósito cilíndrico de acero de alta resistencia, de 10 m de longitud, 2 m de diámetro y 5 mm de espesor se llena de agua hasta una presión de 1.96·106 Pa. Determinar la masa de agua contenida en el depósito. Se considera que el módulo de compresibilidad volumétrica K del agua es de 2.06·109 Pa y el módulo de elasticidad E del depósito es de 2.06·1011 Pa. Se supone que el acero trabaja a la misma tensión a lo largo de su espesor.

PLANTEAMIENTO

En este ejercicio, un depósito cilíndrico de acero de dimensiones conocidas se llena de agua hasta una determinada presión. Se pide determinar la masa de agua contenida en el depósito. Como resultado de la presión interna, la longitud del depósito y su diámetro cambiarán. Por tanto, para conocer la masa de agua contenida en el depósito, necesitamos calcular primero las dimensiones del depósito cuando se alcanza dicha presión. Asimismo, tenemos que determinar la densidad del agua en esas condiciones. La masa de agua será el producto del volumen final por la densidad. Calcularemos en primer lugar la densidad final del agua en el depósito, a partir de la definición del módulo de compresibilidad volumétrica y del incremento de presión. A continuación, determinaremos el volumen deformado dentro del tanque. Del análisis en dirección longitudinal, obtendremos la longitud final, mientras que del análisis en dirección transversal, determinaremos el diámetro final. En ambos casos

32

H1 - Propiedades de los fluidos e hidrostática

aplicaremos la Ley de Hooke, que relaciona la tensión con la deformación producida.

RESOLUCIÓN

1) Densidad final En el llenado del depósito se parte de unas condiciones iniciales de presión y densidad de fluido de: p 0 =0 Pa y ρ 0 =1000 kg/m3, y se llega a un estado final con: p f =1.96·106 Pa y ρ f . Para calcular el valor de la densidad final ρ f aplicamos la definición del módulo de compresibilidad volumétrica del fluido (K) en función de la densidad, de la forma:

dp = K

dρ

[1]

ρ

Integrando: f

f

∫ dp = ∫ K 0

0

dρ

[2]

ρ

Resulta: pf − p0 = K ⋅ ln

ρf ρ0

[3]

Despejamos de la ecuación anterior el valor de la densidad final:

ρf = ρ0 ⋅ e

pf − p0 K

1.96·106 − 0

= 1000 ⋅ e

2.06·109

= 1000.95 kg/m3

[4]

2) Deformación en dirección longitudinal Analizamos el esfuerzo longitudinal σ L en la pared del cilindro, como se muestra en la Fig 1. Denominamos D 0 al diámetro exterior y D i al diámetro interno. En base a las dimensiones del enunciado: [5]

H1

Di = D0 − 2 ⋅ e = 2 − 2 ⋅ 0.005 = 1.99 m

33

H1 - Propiedades de los fluidos e hidrostática

Fig 1 Esfuerzo longitudinal en la pared σ L y presión interna

Para el equilibrio del cuerpo libre mostrado en la Fig 1 se tiene el siguiente resultado:

π 4

(

D20

−

D2i

) ⋅σ

L

π ⋅ D2i

= 4

pf

D2i ⋅ pf 1.992 ⋅ 1.96 ⋅ 106 1.945 ⋅ 108 Pa = = = σL 2 2 2 2 D0 − Di 2 − 1.99

[6] [7]

De acuerdo con la ley de Hooke, la deformación longitudinal ε L es:

= εL

σ L 1.945 ⋅ 108 9.44 ⋅ 10−4 = = 11 E 2.06 ⋅ 10

[8]

La longitud final del cilindro (la nueva longitud interna) es:

Lf = L + L ⋅ ε L = 10 + 10 ⋅ 9.44 ⋅ 10−4 = 10.0094 m

[9]

3) Deformación en dirección transversal Analizamos la tensión normal al plano que pasa por el eje del cilindro, como se muestra en la Fig 2.

Fig 2 Esfuerzo transversal en la pared del cilindro σ T y presión interna

34

H1 - Propiedades de los fluidos e hidrostática

Primero se calcula el esfuerzo transversal σ T en la pared del cilindro. Para el equilibrio del cuerpo libre mostrado en la Fig 2 se tiene el siguiente resultado: 2e ⋅ L ⋅ σ T = Di ⋅ L ⋅ pf

σT =

Di ⋅ pf 1.99 ⋅ 1.96 ⋅ 106 = = 3.900 ⋅ 108 Pa 2e 2 ⋅ 0.005

[10] [11]

De acuerdo con la ley de Hooke, la deformación transversal ε T es:

= εT

σ T 3.900 ⋅ 108 = = 1.89 ⋅ 10−3 11 E 2.06 ⋅ 10

[12]

El diámetro final del cilindro (el nuevo diámetro interno) es:

Df = D + D ⋅ ε T = 1.99 + 1.99 ⋅ 1.89 ⋅ 10−3 = 1.9937 m

[13]

4) Volumen deformado y masa de agua Por tanto, el volumen final del depósito es:

Vf =π ⋅

Df 2 4

⋅ Lf =π ⋅

1.9937 2 ⋅ 10.0094 =31.248 m3 4

[14]

Y la masa de agua contenida en él: [15]

H1

m = Vf ⋅ ρf = 31.248 ⋅ 1000.95 = 31277.3 kg

35

H1 - Propiedades de los fluidos e hidrostática

PROBLEMA – 1 B

ENUNCIADO

Sean dos cilindros coaxiales de altura h y radios R 1 y R 2 (R 1
Fig 3 Cilindros coaxiales en rotación (sección transversal)

PLANTEAMIENTO

En este ejercicio dos cilindros coaxiales separados por un fluido de viscosidad μ rotan con distinta velocidad angular, ω 1 y ω 2 . Se pide calcular el momento que hay que aplicar sobre cada cilindro para que giren a velocidad constante.

36

H1 - Propiedades de los fluidos e hidrostática

Para resolver este ejercicio hay que aplicar la ley de viscosidad de Newton. A partir de la distribución de velocidades angulares en el fluido, calcularemos la tensión tangencial sobre los cilindros y los momentos generados por esas tensiones en cada uno de ellos con respecto al eje de rotación.

RESOLUCIÓN

1) Ley de velocidades en el fluido El fluido en contacto con una frontera sólida debe tener la misma velocidad de la frontera. Si se supone un perfil de velocidad lineal en el aceite, tal y como se indica en el enunciado, resulta la siguiente distribución de velocidades angulares:

Fig 4 Ley de velocidades angulares en el aceite, de espesor R 2 -R 1

Teniendo en cuenta la ley de velocidades representada en la figura anterior, su gradiente será:

37

[16]

H1

dv ω1·R1 + ω2·R2 = dr R2 − R1

H1 - Propiedades de los fluidos e hidrostática

2) Tensión tangencial sobre los cilindros La Ley de Newton de la viscosidad permite relacionar el gradiente de velocidad con la tensión, de la forma:

τ =µ

dv dr

[17]

donde τ es la tensión tangencial y μ es la viscosidad. Aplicando dicha ley se halla el valor de la tensión tangencial que actúa sobre cada uno de los cilindros:

ω ·R + ω2·R2 dv = τ µ= µ 1 1 dr R2 − R1

[18]

3) Momento respecto del eje de rotación La superficie sobre la que actúa la tensión tangencial calculada es la superficie lateral del cilindro, que es igual a 2πRh. El brazo de dicha tensión respecto del eje del cilindro (eje de rotación) es su radio R. Por tanto, el momento M se calcula como:

M = fuerza ⋅ brazo = superficie lateral ⋅ τ·brazo

[19]

Tomando momento de las tensiones que actúan sobre cada uno de los cilindros, se hallan los momentos que hay que realizar sobre los cilindros interior y exterior, M 1 y M 2 , para que giren con velocidad angular constante. Para el cilindro 1 resulta:

M 1 = 2π ⋅ R1 ⋅ h ⋅ τ ⋅ R1 = 2π ⋅ R12 ⋅ h ⋅ µ ⋅

ω1·R1 + ω2·R2 R2 − R1

[20]

ω1·R1 + ω2·R2 R2 − R1

[21]

en sentido horario. De igual forma, para el cilindro 2 se obtiene:

M 2 = 2π ⋅ R2 ⋅ h ⋅ τ ⋅ R2 = 2π ⋅ R22 ⋅ h ⋅ µ ⋅ en sentido antihorario.

38

H1 - Propiedades de los fluidos e hidrostática

PROBLEMA – 1 C

ENUNCIADO

Una compuerta de clapeta de 10 m de radio, 20 m de longitud y 14 m de altura está articulada en A. El centro de la compuerta está 5 m por encima de A. ¿Qué fuerza vertical F hay que aplicar sobre el punto B para que la compuerta esté en equilibrio?

Fig 5 Esquema de la compuerta

Para resolver este ejercicio hay que calcular el empuje hidrostático sobre la compuerta curva sumergida. Calcularemos por separado el

39

H1

PLANTEAMIENTO

H1 - Propiedades de los fluidos e hidrostática

valor de las dos componentes, horizontal y vertical, del empuje. El empuje vertical será el peso de líquido (real o imaginario) por encima de la compuerta, mientras que el empuje horizontal será la resultante de la ley de presiones sobre la proyección de la compuerta en un plano perpendicular a la superficie libre. Plantearemos el equilibrio de momentos generados por el empuje hidrostático y la fuerza F en el punto A de articulación de la compuerta, para calcular el valor de F.

RESOLUCIÓN

1) Empuje vertical El empuje vertical ascendente sobre la parte inferior de la compuerta (la parte situada por debajo de la línea de puntos) es el peso del volumen sombreado en la Fig 6 (izquierda). El empuje vertical descendente sobre la parte superior (la parte por encima de la línea de puntos) es el peso del volumen sombreado en la Fig 6 (derecha).

Fig 6 Volúmenes que determinan el empuje vertical ascendente sobre la parte inferior de la compuerta (izquierda) y el empuje vertical descendente sobre la parte superior de la misma (derecha)

Por tanto, el empuje vertical ascendente resultante sobre la compuerta viene dado por el peso de la columna de agua S 1 -S 2 según se muestra en la Fig 7:

40

H1 - Propiedades de los fluidos e hidrostática

Fig 7 Volúmenes de fluido que determinan el empuje vertical ascendente sobre la compuerta

Calculamos las superficies S 1 y S 2 por consideraciones geométricas, de acuerdo con la Fig 8.

Fig 8 Definición geométrica de las superficies S 1 y S 2

h 

 5 

o θ= θ= arcsen  1= arcsen  =  30 1 3  R   10   

41

[22]

H1

Los ángulos ϴ 1 , ϴ 2 y ϴ 3 vienen dados por:

H1 - Propiedades de los fluidos e hidrostática

h   9  o θ2 arcsen = = =  2  arcsen   64.16  10  R

[23]

La superficie S 1 es igual al área del sector circular de radio R y ángulo (ϴ 1 + ϴ 3 ) menos el área del triángulo de base 2·h 1 y altura R·cos ϴ 1 . Resulta así: S1 = =

(

(θ1 + θ3 )· π

R2 −

)⋅

⋅ 102 −

2 30 + 30 2

180

π 180

1 h1 ⋅ R ⋅ cos θ1 ⋅ 2= 2 1 cos 30 9.06 m2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 10= 2

[24]

La superficie S 2 puede calcularse a partir del área del rectángulo de base Rcosϴ 3 y altura h 2 . Hay que sustraer el área del sector circular de radio R y ángulo (ϴ 2 - ϴ 3 ), el área del triángulo de base Rcosϴ 3 y altura h 1 y el área del triángulo de base Rcosϴ 2 y altura h 2 . Por tanto, S 2 resulta:

(θ2 − θ3 ) ⋅

1 R 2 − h1 ⋅ R ⋅ cos θ3 − 2 180 2 64.16 − 30 π 1 − h2 ⋅ R ⋅ cos = ⋅ θ2 10 cos 30 ⋅ 9 − 102 − 2 2 180 1 1 − ⋅ 5 ⋅ 10 cos 30 − ⋅ 9 ⋅ 10 cos 64.16 = 6.87 m2 2 2

S 2 = R ⋅ cos θ3 ⋅ h2 −

π

(

)

[25]

La componente vertical del empuje E v es el peso de la columna de agua S 1 -S 2 , por tanto:

(

)

(

)

E v =γ S1 − S2 L =9800 9.06 − 6.87 20 =4.29 ⋅ 105 N

[26]

2) Componente horizontal del empuje La componente horizontal del empuje es igual al empuje sobre un plano vertical de igual altura que la compuerta (14 m en este caso), como se muestra en la siguiente figura.

42

H1 - Propiedades de los fluidos e hidrostática

Fig 9 Empuje horizontal sobre la compuerta

Por tanto, la componente horizontal E h resulta:

Eh =

1 1 9800 ⋅ 142 ⋅ 20 = 1.92 ⋅ 107 N γ ⋅ h2 ⋅ L = 2 2

[27]

3) Fuerza vertical F

Fig 10 Fuerzas actuantes sobre la compuerta

43

H1

Puesto que la compuerta tiene sección circular la resultante del empuje pasa por el punto C. En la siguiente figura se muestran las fuerzas actuantes sobre la compuerta.

H1 - Propiedades de los fluidos e hidrostática

Igualando a cero el momento del empuje (E h , E v ) (que pasa por C) y de la fuerza F (aplicada en B) respecto del punto A, se obtiene el valor de la fuerza F que hace que la compuerta esté en equilibrio:

(

)

R cos θ3 − cos θ2 F + R ⋅ cos θ1 ⋅ E v − h1 ⋅ E h = 0

[28]

Sustituyendo:

(

)

10 cos 30 − cos 64.14 F + 10 cos 30 ⋅ 4.29 ⋅ 105 − 5 ⋅ 1.92 ⋅ 107 = 0 [29] Se obtiene un valor de F= 2.15·107 N

44

H2

- Ecuaciones fundamentales

H2. Ecuaciones fundamentales

Contenidos

1

Definiciones previas

47

1.1 Volumen de control y sistema

47

1.2 Condiciones permanentes y variables

48

1.3 Línea de corriente y trayectoria. Tubos de corriente

50

1.4 Caudal

52

2

Ecuaciones fundamentales

2.1 Ecuación de conservación de la masa 2.1.1 Simplificaciones a la ecuación de conservación de la masa 2.2 Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento

55 55 57 59

2.2.1 Simplificaciones a la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento 61 2.3 Ecuación de conservación de la energía

62

2.3.1 Comentarios sobre el carácter “energético” de la ecuación de Bernoulli 66 2.3.2 Aplicación de la ecuación de Bernoulli a una sección de conducción 67

3

Ejercicios

71

3.1 Problema – 2 A

71

3.2 Problema – 2 B

76

46

H2. Ecuaciones fundamentales

1 Definiciones previas

Las ecuaciones que se presentarán en los siguientes apartados se plantean utilizando conceptos que deben ser previamente definidos y asimilados. Algunos de ellos son contrapuestos o expresan una misma realidad desde distintos puntos de vista: en esos casos se presentarán como pares de definiciones.

1.1 Volumen de control y sistema El análisis de una realidad física, y más concretamente en el ámbito de la mecánica de los fluidos, puede realizarse de dos maneras:

•

Acotando una porción de espacio, que se considerará inmutable en el tiempo, y observando los fenómenos que se dan en ella, y los flujos externos hacia o desde esa porción de espacio. El carácter de inmutabilidad debe entenderse en términos absolutos, de modo que la porción de espacio se mantendrá invariable con independencia de que la masa de fluido incluida en ella varíe, o se vea sometida a uno u otro estado tensional. Esta porción fija de espacio se conoce como “volumen de control”. Distinguiendo un conjunto de partículas o una porción de masa y observando su evolución en el tiempo. Esa porción de masa puede comenzar agrupada y disgregarse sin que por ello pierda su condición de objeto de análisis. Este conjunto de partículas o porción de masa se conoce como “sistema”.

H2

•

47

H2. Ecuaciones fundamentales

Fig. 1.1 Volumen de control (izq.) y sistema (dch.)

El estudio de un fenómeno físico a través de un volumen de control se conoce como “descripción euleriana”. Si el análisis se realiza mediante un sistema, se conoce como “descripción lagrangiana”. Ambas son válidas y su uso depende del fenómeno concreto que se analice, que en algunos casos es más fácilmente comprensible usando una u otra metodología. Las ecuaciones generales que se presentarán en los párrafos siguientes se plantearán en su forma euleriana, utilizando por tanto un volumen de control como objeto de análisis.

1.2 Condiciones permanentes y variables Se dice que un fenómeno vinculado al movimiento de los fluidos se da en condiciones permanentes si las variables que lo describen (o aquellas que se consideran relevantes para su análisis) no varían a lo largo del tiempo si analizamos su evolución en puntos concretos del espacio. Esto no quiere decir que las variables tengan que tener el mismo valor en distintos puntos del espacio sino que fijado arbitrariamente un punto del espacio, no se observará variación en el valor de las variables en ese punto concreto a lo largo del tiempo, y esto será así para cualquier punto que se escoja. Si se observan variaciones en el tiempo de las variables en un punto determinado del espacio, el movimiento no será permanente. En estas condiciones se habla de movimiento no permanente o variable. Cabe plantear si en un movimiento permanente puede haber aceleración. El hecho de que no haya variaciones en las variables punto a punto induce a pensar

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H2. Ecuaciones fundamentales

intuitivamente que no la habrá, pero un simple ejemplo aclarará que esto no es cierto. Considérese por ejemplo un grupo de ciclistas que ascienden por una carretera de montaña para coronar un puerto, en una competición contra reloj, y supóngase que sus condiciones físicas son más o menos iguales. Si se consideran tres puntos de control de velocidad, uno en la parte más dura de la cuesta -A-, otro al coronar -B- y otro en la pendiente de descenso tras la coronación -C-, se observará que los registros de velocidad en A son similares entre sí, y lo mismo sucede en B y en C, pero es evidente que los ciclistas aceleran una vez coronan.

Fig. 1.2 Movimiento permanente con aceleración. En cada punto la velocidad es constante

En términos generales, el flujo permanente implica la anulación de las derivadas parciales de las variables con respecto al tiempo:

( ) =0

∂ … ∂t

49

[1.1]

H2

La aceleración (se desarrollará más adelante) tiene dos componentes: una llamada “local”, que se corresponde a la derivada parcial de la velocidad respecto del tiempo, y que es nula en régimen permanente, y otra, llamada “convectiva”, que no se anula y que viene dada por la asignación de distintas velocidades a distintos puntos del espacio (sin entrar a valorar los motivos), de modo que cuando una partícula va de uno a otro va adoptando esas distintas velocidades, lo que implica una aceleración.

H2. Ecuaciones fundamentales

1.3 Línea de corriente y trayectoria. Tubos de corriente Si observamos el movimiento de una masa de agua (por ejemplo en un acuario), imaginando que fuera posible observar la velocidad de las partículas en forma de vectores (como en la figura, obtenida con un equipo de laboratorio llamado “Particle Image Velocimeter – PIV”), nos resultaría sencillo trazar curvas tangentes a los vectores velocidad, de un lado a otro de la imagen. En la fotografía, que representa un flujo en dos fases (el agua va en dos sentidos, de izquierda a derecha abajo y de derecha a izquierda arriba), habría dos familias de curvas, representando ambas tendencias.

Fig. 1.3 Flujo bifásico medido mediante un equipo PIV

Estas curvas, que se trazan en un instante determinado a lo largo de una región determinada del espacio, se llaman líneas de corriente o de flujo, responden a la ecuación (en forma continua): dx dy dz = = u v w

[1.2]

Donde (dx, dy, dz) suponen un incremento de espacio (un avance), y (u, v, w) son las tres componentes del vector velocidad. De ese modo, la ecuación nos dice que la curva así definida es en todo momento tangente al campo de velocidades, que va “guiando” su desarrollo. Una definición aparentemente vinculada con esta es la de trayectoria de una partícula, que se puede definir como el lugar geométrico de las posiciones que va ocupando una partícula en su movimiento, a lo largo del tiempo.

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H2. Ecuaciones fundamentales

Hay una clara diferencia entre los dos conceptos: para definir las líneas de corriente basta una fotografía, que incluya las velocidades en la zona de análisis (volumen de control). Para definir una trayectoria, hace falta observar la evolución en el tiempo de una partícula. Trayectoria es un concepto lagrangiano, mientras que línea de corriente es un concepto euleriano. Pese a todo, las líneas de corriente y las trayectorias pueden coincidir, si el flujo es permanente. En estas condiciones, todas las fotografías que obtendríamos a lo largo del tiempo serían iguales y las partículas se verían impelidas a seguir las “indicaciones” marcadas por el campo de velocidades, con lo que a efectos prácticos no habría diferencias entre unas y otras curvas. En el caso de que el flujo sea variable, las trayectorias no coincidirán con las líneas de corriente, en general. Una definición derivada de la de línea de corriente es la de tubo de corriente o tubo de flujo. Se puede definir como la superficie engendrada por el conjunto de líneas de corriente que comienzan o pasan por una curva (en general cerrada) a la que podríamos llamar directriz (utilizando la nomenclatura usual en geometría). Abusando del lenguaje geométrico, las líneas de corriente serían las generatrices y la superficie obtenida tendría un referente evidente en un cilindro, si la directriz fuese circular y las generatrices rectas.

El tubo de flujo se utilizará más adelante como un caso simple de volumen de control. Debe entenderse que un tubo de flujo sólo mantiene su forma (y por lo tanto constituye un volumen de control en sentido estricto) en el caso de que el flujo sea permanente. Por tanto, el concepto de tubo de flujo se asociará (salvo que se indique lo contrario) al flujo permanente. Una característica fundamental de los tubos de corriente es que las partículas de agua (o en general del fluido analizado) que “entran” atravesando la superficie

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H2

Fig. 1.4 Tubo de corriente o de flujo

H2. Ecuaciones fundamentales

definida por la directriz (el círculo del cilindro, por ejemplo), no pueden salir por el lateral, sino que siguen y “salen” por el otro extremo (si se define una segunda directriz que marque un segmento de tubo). Esto es así por la propia definición de tubo de corriente. Al estar definida su superficie lateral por curvas tangentes al vector velocidad, cuando la partícula se acerca (infinitesimalmente) a la superficie exterior, su velocidad se hace tangente a la superficie, y, sin una componente normal a ésta, no puede salir (no tiene tendencia a salir). De este modo, el flujo de partículas a lo largo de la superficie lateral es nulo.

1.4 Caudal El caudal es quizá la variable fundamental de la hidráulica (en dura competencia con la presión) y aunque su definición en términos coloquiales es conocida, para su uso formal como ingrediente de las ecuaciones fundamentales se requiere una definición rigurosa. Es habitual hablar del caudal como “el agua que pasa por un río” o “el agua que sale de un grifo”, y sus unidades usuales en ambos casos son, respectivamente, m3/s o L/s. En estas alusiones coloquiales aparecen los tres elementos vinculados en la definición: una cierta cantidad de agua, evaluada en términos de volumen, una superficie a través de la cual pasa el agua, y un tiempo para la evaluación de ese volumen. De este modo, el caudal que atraviesa una superficie se puede definir como el volumen de fluido que atraviesa una determinada superficie por unidad de tiempo. Si se analizan las unidades del caudal: m3/s, se observa que responden de modo directo a la definición anterior, siendo protagonistas evidentes el volumen y el tiempo de evaluación, y quedando enmascarada o implícita la superficie, pero también cabría plantear las unidades del caudal como m2·m/s. Desde este segundo punto de vista, si consideramos una superficie (por ejemplo un aro circular, ver Fig. 1.5) y lo introducimos en una corriente de agua, el caudal sería el producto de la velocidad de la corriente (supuesta constante) por la superficie del aro. Para un aro de 1 m2 y una velocidad de 1 m/s, el caudal que atraviesa la superficie es de 1 m3/s. Si se visualiza el cilindro de agua entrando a esa velocidad, es evidente que entra a razón de 1 m3 cada segundo.

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H2. Ecuaciones fundamentales

Fig. 1.5 Caudal que atraviesa una superficie circular

Este segundo enfoque es más concordante con el concepto físico de flujo de una magnitud vectorial (en este caso la velocidad) a lo largo de una superficie. El concepto de flujo (ya conocido en otros ámbitos, como el electromagnetismo), pone de manifiesto el carácter vectorial de las magnitudes implicadas, tanto la velocidad como la superficie (que se puede representar por su vector director, ortogonal a la misma y hacia fuera, si define un volumen interior). Una vez asumido su origen vectorial, si se nos pregunta cuál es el caudal que atraviesa un aro de 1 m2 al introducirlo en una corriente de velocidad constante de 1 m/s, cabe preguntar antes de responder cuál es la orientación del aro respecto del flujo. Si el aro se enfrenta ortogonalmente a la corriente (y su vector director es paralelo a la misma, por tanto, como en la Fig. 1.5), el caudal será de 1 m3/s, pero si no es así, el caudal será menor, llegando al extremo de que el plano del aro sea paralelo a la velocidad, en cuyo caso el caudal será nulo. De este modo, no toda la velocidad del agua contribuye a atravesar una superficie, sólo lo hace aquella componente que es ortogonal a la misma, por lo que se podría definir el caudal como el producto de la superficie por la proyección de la velocidad sobre la superficie: [1.3]

De un modo más general, y atendiendo al carácter vectorial de la velocidad y la superficie, se observa que el caudal es de hecho el producto escalar de los vectores velocidad y superficie:   [1.4] Q = v·A Hasta ahora se ha considerado que la superficie es plana, y que el campo de velocidades es uniforme. En un caso genérico, con superficies cualesquiera y campos de velocidades que admitan variaciones de la velocidad punto a punto, el

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H2

Q = A·vA

H2. Ecuaciones fundamentales

caudal se obtendrá como suma (integral) de los caudales obtenidos sobre superficies infinitesimales.   Q = ∫v·dA [1.5] A

Al provenir de un producto escalar, es evidente que el caudal es una magnitud escalar. Dado que las superficies que delimitan un volumen interior tienen su vector director hacia afuera, el caudal que entra en el volumen tiene signo negativo (los vectores velocidad y superficie definen ángulos mayores de 900), mientras que los que salen tienen signo positivo (los ángulos entre los vectores son menores de 900, con lo que su coseno es positivo).

Fig. 1.6 Velocidad entrante (arriba) generando un caudal negativo, y saliente (abajo) generando un caudal positivo

El caudal que se ha presentado se conoce también como caudal volumétrico, para distinguirlo del denominado caudal másico, cuyas unidades serían kg/s, y cuya definición coloquial sería la masa (de agua, por ejemplo) que atraviesa una superficie por unidad de tiempo. Dado que el volumen y la masa se relacionan a través de la densidad (ρ), la definición rigurosa de caudal másico sería:   Qm = ∫ρ·· v dA

[1.6]

A

La integral representa la masa total que atraviesa una superficie (saliente – entrante), por unidad de tiempo.

54

H2. Ecuaciones fundamentales

2 Ecuaciones fundamentales

Las ecuaciones que gobiernan el flujo de los fluidos pueden presentarse de distintas maneras y con distintos grados de rigor. Se presentan en este texto de un modo general en el caso de las ecuaciones de conservación de la masa y de la cantidad de movimiento, porque su uso en esta forma será necesario más adelante. En el caso de la ecuación de conservación de la energía, se opta por una forma más simple orientada a justificar la ecuación de Bernoulli, que es la principal herramienta del cálculo de conductos a presión en régimen permanente. La deducción de las ecuaciones de conservación de la masa y de la cantidad de movimiento es similar, y de hecho podría utilizarse una teoría genérica para deducirlas ambas (el teorema del transporte de Reynolds), pero se opta por introducirlas con una explicación más material y por tanto menos elegante, en aras de una mejor comprensión de sus aspectos prácticos.

2.1 Ecuación de conservación de la masa

De este modo, la ecuación de conservación de la masa en términos eulerianos se puede presentar diciendo que la diferencia entre la masa que entra y la masa que sale de un volumen de control durante un intervalo determinado es igual a la masa acumulada en ese volumen a lo largo de dicho intervalo. Esta ley se aplica de modo inconsciente en muchos ámbitos cotidianos (el más evidente es el monetario: si guardo monedas en una hucha, la cantidad de dinero que meto menos la cantidad de dinero que saco es igual al dinero que ahorro) y no conviene perder de vista su carácter de realidad evidente, aunque, como se verá, su plasmación rigurosa en un enunciado general es algo farragosa.

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H2

La ecuación de conservación de la masa, conocida también como ecuación de continuidad, postula que un sistema mantiene constante su masa (lo que es evidente si no se consideran transformaciones de masa en energía y otras sutilezas que no proceden en el ámbito de la hidráulica). La aplicación del teorema del transporte de Reynolds justifica de modo inmediato la trasposición de este postulado claramente lagrangiano a su versión euleriana, en la que el objeto de análisis no es un sistema sino un volumen de control.

H2. Ecuaciones fundamentales

Para presentar la ecuación, considérese un volumen de control de forma arbitraria. La forma literal del principio que se quiere formalizar es: masa entrante por unidad de tiempo (u.t.) - masa saliente por u.t. = acumulación de masa por u.t

Fig. 2.1 Volumen de control arbitrario. Flujos entrantes y salientes

La masa entrante menos la masa saliente por unidad de tiempo a lo largo del contorno del volumen de control es el flujo o caudal másico neto entrante (suma de flujos entrantes menos salientes), lo que, atendiendo a la definición de caudal másico, sería:   v dA masa entrante por u.t. - masa saliente por u.t. = − ∫ρ· · Donde el signo negativo del caudal másico alude a que en este caso se trata del caudal neto entrante, y no al saliente (que es el positivo de modo natural en la definición del caudal). La acumulación de masa por unidad de tiempo dm / dt en el interior del volumen de control se puede expresar (recuérdese que la masa es el producto de la densidad por el volumen) como:

( )

dm d ρV = = dt dt

∂ρ

∫ ∂t dV

[2.1]

V

Obsérvese que se ha despreciado la derivada del volumen respecto del tiempo, ya que en un volumen de control no es admisible que el volumen varíe (por la inmutabilidad de los volúmenes de control). La ecuación de conservación de la masa se presenta pues como:

∂ρ     ·· = − ρ dV v ∫ ∂t ∫ dA V A

56

[2.2]

H2. Ecuaciones fundamentales

2.1.1 Simplificaciones a la ecuación de conservación de la masa La ecuación de conservación de la masa rara vez se usa en su enunciado general. Existen condiciones en las que algunos términos pueden despreciarse. A continuación se presentan algunas de ellas. Simplificación para fluidos incompresibles (fluidos de densidad constante) Un fluido nunca es absolutamente incompresible, del mismo modo que un sólido nunca es absolutamente indeformable, pero en ocasiones puede considerarse que la densidad varía muy poco y a efectos prácticos pueden despreciarse esas variaciones. El agua en concreto tiene un módulo de compresibilidad volumétrico muy alto, lo que supone que debe imponérsele una importante cantidad de presión para percibir un mínimo incremento de densidad, el módulo de compresibilidad del agua es de 2100 MPa, lo que implica que para aumentar la densidad en un uno por mil hay que comprimir con 2,1 MPa (del orden de 214 metros de columna de agua). Rara vez se superan estas presiones en las conducciones a presión. Si se acepta que la densidad se mantiene constante, su derivada parcial respecto del tiempo (y en general respecto de cualquier otra variable) es nula, con lo que el primer término de la ecuación se anula. Adicionalmente, se puede extraer la densidad de la integral (dado que es constante), y eliminarla de la ecuación, al estar igualada a cero. Por último, se puede eliminar el signo negativo, con lo que la ecuación quedaría del modo:   0 = ∫v·dA [2.3] A

Lo que significa en esencia que el flujo neto entrante es igual al flujo neto saliente, y que no se produce acumulación de masa en el interior del volumen de control (lo que es lógico, ya que el volumen de control es constante en su magnitud y la densidad también lo es, con lo que su producto debe ser asimismo constante. Un flujo es permanente si las variables relevantes se mantienen constantes en el tiempo punto a punto. Dado que la densidad es una variable muy relevante, su derivada parcial respecto del tiempo debe ser nula, y por tanto la ecuación quedaría:   0 = ∫ρ·· v dA [2.4] A

En este caso la densidad no puede extraerse de la integral, dado que nada impide que adquiera valores distintos en distintos puntos del espacio (de la superficie del volumen de control, donde se evalúa la integral).

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Simplificación para flujo permanente

H2. Ecuaciones fundamentales

De nuevo se impone en estas condiciones que la masa contenida en el volumen de control se mantenga constante en el tiempo (ni crezca ni decrezca) lo que por otro lado es inherente al concepto de régimen permanente. Simplificación para un tubo de flujo, en régimen permanente Aceptando la simplificación del apartado anterior, se plantea ahora la aplicación de la ecuación a un tubo de flujo. Se puede pensar en un tubo de flujo como un equivalente conceptual a una tubería, donde el agua entra por un extremo y sale por el otro. Se imponen adicionalmente algunas hipótesis: •

•

Las velocidades a la entrada son iguales en módulo, dirección y sentido a lo largo de toda la sección (se entiende que la sección es suficientemente pequeña o que el flujo es absolutamente uniforme). Lo mismo sucede a la salida. Las dos superficies directrices son ortogonales al campo de velocidades en la entrada y la salida del tubo, respectivamente.

Fig. 2.2 Tubo de flujo con directrices de tamaño infinitesimal y orientadas al flujo

En esas condiciones, la ecuación de conservación de la masa, que en general se expresa para un flujo permanente como:   0 = ∫ρ·· v dA [2.5] A

Puede detallarse para cada una de las tres superficies que componen el contorno del volumen de control (la cara de entrada –A 1 -, la cara de salida –A 2 y la superficie lateral –A L -).       0 = ∫ ρ·· v dA + ∫ ρ·· v dA + ∫ ρ·· v dA [2.6] A1

A2

AL

En el caso de la superficie lateral se cumple por la propia definición de línea   de corriente que v ⊥ dA y por tanto su producto escalar es nulo. En el caso de

58

H2. Ecuaciones fundamentales

las superficies 1 y 2, al ser las velocidades constantes en las respectivas superficies (y el área infinitesimal), se pueden calcular las integrales y se obtiene:

= 0 ρ1·v1·A1·cos v A + ρ2·v 2·A2·cos v A 1 1 2 2

[2.7]

Como se recordará, los flujos de entrada generan productos escalares negativos (en este caso el coseno del ángulo formado por la velocidad y la superficie es -1), mientras que los flujos de salida son positivos (coseno del ángulo igual a 1), con lo que finalmente queda:

ρ1·v1·A1 = ρ2·v 2·A2

[2.8]

En el caso adicional de que el fluido pueda considerarse incompresible, se pueden eliminar las densidades de la ecuación: v1·A1 = v 2·A2

[2.9]

El producto de la velocidad media de la sección por el área se llama “caudal medio”, y en general se abusa del lenguaje y se le llama simplemente caudal. Aceptando esta definición, tendríamos: Q= Q= cte 1 2

[2.10]

Es decir, el caudal se mantiene constante a lo largo del tubo de flujo (el caudal en 1 es igual al caudal en 2 y en general es igual al caudal en cualquier sección que arbitrariamente se pudiese definir), siempre que el flujo sea permanente y el fluido sea incompresible.

La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento es la plasmación de la segunda ley de Newton, que indica que la suma de fuerzas que diversos agentes externos aplican a un sistema hace variar su cantidad de movimiento. El enunciado es claramente lagrangiano, ya que quienes reciben las fuerzas son las partículas, y son asimismo las partículas quienes modifican su cantidad de movimiento. De nuevo, se prefiere un enfoque euleriano (centrado en un volumen de control) lo que exige un cambio de referencia o enfoque. Se plantea ese cambio de enfoque en los párrafos siguientes, utilizando los subíndices (vc) para el volumen de control y (s) para sistema. Se consideran asimismo dos instantes temporales: un instante inicial (t=0) y un pequeño incremento (t=dt) sobre los que evaluar la variación de cantidad de movimiento.

59

H2

2.2 Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento

H2. Ecuaciones fundamentales

es:

La ecuación en su forma más compacta y conocida (segunda ley de Newton)   dM ∑Fext = dt

[2.11]

Para poder evaluar el segundo término se requiere conocer el valor de la cantidad de movimiento del sistema en los instantes final e inicial, y referenciarlos al volumen de control.

Fig. 2.3 Volumen de control y evolución en el tiempo del sistema que lo ocupaba en t=0

Considérese un volumen de control como el de la figura, con una forma arbitraria, que en el instante inicial incluye una cierta cantidad de masa, que será el sistema a observar. Tras un intervalo temporal dt parte de la masa del sistema habrá salido del volumen de control y junto con ella su cantidad de movimiento (dM sal ), y parte de masa ajena al sistema habrá entrado en el volumen de control, aportando su propia cantidad de movimiento (dM ent ). En el instante inicial la cantidad de movimiento contenida en el volumen de control coincide con la cantidad de movimiento del sistema, ya que inicialmente toda la masa incluida en el volumen de control es del sistema (así se ha definido):   M s ,0  = M vc ,0

[2.12]

En el instante dt, la cantidad de movimiento del sistema es la que contiene el volumen de control, más la que salió durante dt (que era del sistema), menos la que entró en dt (que no era del sistema):     [2.13] M s ,dt  =M vc ,dt + dM sal ,dt − dM ent ,dt

60

H2. Ecuaciones fundamentales

pues:

La variación en el tiempo de la cantidad de movimiento del sistema será,

   dM M s ,dt − M s ,0 = = dt dt

(

    M vc ,dt + dM sal ,dt − dM ent ,dt − M vc ,0

)

dt

Y reordenando los términos:      M   M − dM dM sal ,dt − dM ent ,dt vc ,dt vc ,0 = + dt dt dt

(

)

[2.14]

[2.15]

El primero de los dos cocientes es la derivada parcial de la cantidad de  movimiento respecto del tiempo ( ∂M / ∂t ) (se expresa la variación explícitamente respecto de esta variable en el volumen de control, que no depende a su vez de ninguna otra variable), y el segundo es el flujo neto saliente de cantidad de movimiento. El flujo neto saliente de cantidad de movimiento se puede expresar a partir del flujo o caudal másico si se recuerda que la cantidad de movimiento es el   producto de la masa por la velocidad ( M = m·v ). De este modo, recuperando la definición de flujo o caudal másico como caudal neto saliente, y asumiendo que a cada partícula de masa que entra o sale se le puede asociar su velocidad, se puede plantear el flujo neto saliente de cantidad de movimiento como:   dM sal ,dt − dM ent ,dt    = ∫ρ·v v·dA [2.16] dt A

( )

Y por tanto la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento puede expresarse como:   ∂M    [2.17] F v · = + ρ ∑ ext ∂t ∫ v·dA A

( )

En el caso de que el movimiento sea permanente, la variación local de la cantidad de movimiento respecto del tiempo se anula, con lo que el primer sumando del segundo término es nulo, y la ecuación queda reducida a:     F = ρ v · [2.18] ∑ ext ∫ v·dA A

61

( )

H2

2.2.1 Simplificaciones a la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento Movimiento permanente

H2. Ecuaciones fundamentales

Aplicación a un tubo de flujo

Fig. 2.4 Tubo de flujo infinitesimal con directrices orientadas al flujo

En el caso de que la ecuación (simplificada para régimen permanente) se aplique a un tubo de flujo como el presentado en el apartado 2.1.1 y que se reproduce en la Fig. 2.4, la integral a lo largo de la superficie del volumen de control queda reducida a las caras de entrada y salida, y siguiendo el mismo proceso de razonamiento usado en 2.1.1, se llega a:     [2.19] ρ ρ = + · · · · cos · F v v A v A v ·v ·A ·cos v A 1 1 2 2 2 2 2 2 ∑ ext 1 1 1 1 Recordando que las velocidades entran de modo ortogonal en 1 y que su ángulo es de 1800, y que salen en 2 de modo asimismo ortogonal pero con un ángulo de 00 (porque el vector superficie se define siempre hacia afuera), se llega a:    [2.20] F v v A · · · · = ρ − ρ ∑ ext 2 2 2 2 1 v1·v1·A1 Recordando que en flujo permanente el producto de la velocidad por la superficie (caudal medio) se mantiene constante en 1 y 2, y asumiendo que el fluido sea incompresible, se puede llegar a una forma compacta (sólo válida para esta aplicación concreta):    = F · Q v − v1 ρ [2.21] 2 ∑ ext

(

)

2.3 Ecuación de conservación de la energía Para llegar a una ecuación de conservación de la energía con el mismo grado de generalidad con el que se ha trabajo en los dos casos anteriores, habría que partir del primer principio de la termodinámica, y, tras algunas consideraciones y

62

H2. Ecuaciones fundamentales

simplificaciones, se llegaría al resultado final esperado, que es la ecuación de Bernoulli, base del cálculo de conducciones. Para ese fin, es más intuitivo partir de un problema ya simplificado, y de la segunda ley de Newton, en este caso en su enunciado habitual: 

∑Fext

 = m·a

[2.22]

Considérese un recinto lleno de agua, como una piscina o acuario. Se propone la aplicación de esta ley a un volumen de control de tamaño infinitesimal como el de la figura, contenido dentro de ese acuario y sin ningún tipo de frontera física que lo delimite, con una forma esencialmente cilíndrica y que constituye un tubo de corriente para el régimen de velocidades que se percibe en ese instante. Debe entenderse que habrá partículas de agua vecinas, a ambos lados de la superficie ideal que limita el volumen de control, que se ejercen esfuerzos y que están en contacto.

Fig. 2.5 Volumen de control infinitesimal. Esfuerzo de peso y presión

Se considera que el sistema contenido en el tubo de flujo está sometido a una serie de esfuerzos (usuales en mecánica de fluidos), como son: Su propio peso Las presiones que recibe del resto del fluido circundante (de sus partículas vecinas)

Se reconoce asimismo la existencia de esfuerzos de rozamiento del fluido que circula por el contorno del volumen de control con el resto del fluido (con sus partículas vecinas) si existe un gradiente de velocidades, lo que en general sucederá. No obstante, estos esfuerzos cortantes se desprecian para desarrollar esta ecuación. Despreciar esfuerzos que existen conducirá a una ley que será esencialmente falsa cuando se aplique a un flujo real.

63

H2

• •

H2. Ecuaciones fundamentales

Si se echa en falta el empuje hidrostático sobre el volumen de control, se recuerda que éste no es otra cosa que la resultante de las presiones sobre su contorno, como ya se ha explicado en temas precedentes. A continuación se detalla el valor de los esfuerzos considerados (sólo en la dirección -s- del flujo, en la que se va a particularizar la ecuación). El peso se expresará como el producto del volumen del cilindro por su densidad y el valor de la aceración de la gravedad. Dado que sólo se considera la componente en la dirección -s-, habrá que multiplicar por el coseno del ángulo (θ, en la figura). Aceptando como positiva la dirección de -s- definida en la figura, la componente del peso es negativa:

Peso = − ρ·dA·ds··cos g θ

[2.23]

Si se considera la relación geométrica entre las direcciones z y s, se observa:

cos θ =

∂z ∂s

[2.24]

O sea:

∂z Peso = − ρ·dA·ds·· g ∂s

[2.25]

Las presiones sólo tienen componente en la dirección del flujo en las superficies de entrada y salida, si se asume que el volumen de control tiene forma de cilindro recto de generatrices ortogonales a la directriz (recuérdese que las presiones son ortogonales a la superficie, y todas las generatrices son paralelas a la dirección -s-). De este modo, las presiones pueden expresarse como:  ∂p  ∂p p·dA −  p + ds  dA = − ds·dA ∂s  ∂s 

[2.26]

Una vez evaluados el peso y las presiones, falta por desarrollar el concepto de aceleración. Ya se comentó en apartados anteriores que la aceleración, entendida como variación de la velocidad respecto del tiempo, requiere un desarrollo cuando las velocidades dependen de variables (como la posición de las partículas) que asimismo dependen del tiempo. De este modo, la aceleración se define como:   dv t , x t  dv [2.27] = = a dt dt

( ( ))

Particularizando en la dirección -s-, tenemos:

dv(t , s) ∂v dt ∂v ds ∂v ∂v as = =· + · = + v dt ∂t dt ∂s dt ∂t ∂s

64

[2.28]

H2. Ecuaciones fundamentales

El primero término se conoce como aceleración local (y es nula en régimen permanente, al ser una derivada parcial respecto del tiempo). El segundo término es la aceleración convectiva, y no se anula en régimen permanente (recordar el ejemplo de los ciclistas y la Fig. 1.2). De este modo, la ecuación (segunda ley de Newton aplicada a este caso particular), sería:

∑Fsext

= − ρ·dA·ds·g

 ∂v ∂z ∂p ∂v  ds·dA = m·as = ρ·dA·ds  + v  − ∂s ∂s ∂s   ∂t

[2.29]

Pasando todos los miembros a un lado de la ecuación y dividiendo entre (ρdAds) (la masa del elemento), queda:

0= g

∂z 1 ∂p ∂v ∂v + · + + v· ∂s ρ ∂s ∂t ∂s

[2.30]

Asumiendo que el flujo es permanente, el término que recoge la aceleración local se anula, y la única variable es -s-, con lo que se pueden expresar las variaciones como derivadas ordinarias (no parciales):

0 =g

dz 1 dp dv + · + v· ds ρ ds ds

[2.31]

Se puede plantear esta suma de derivadas como la derivada de una suma (asumiendo que la aceleración de la gravedad y la densidad son constantes), con lo que se tiene:  p v2  d  g·z + +   ρ 2   =0 ds

[2.32]

Lo que significa que la variación del trinomio recogido en el paréntesis es nula a lo largo de una línea de corriente (a lo largo de -s-). Expresado de este modo, sería: p

ρ

+

v2 = cte 2

[2.33]

Esta forma de la ecuación de conservación de la energía es usual, pero lo es mucho más otra, en la que se divide entre la aceleración de la gravedad: v2 = cte = E z+ + γ 2g p

[2.34]

Esta expresión se conoce como “ecuación de Bernoulli” y el trinomio que se mantiene presuntamente constante se conoce como “trinomio de Bernoulli”, y se

65

H2

g·z +

H2. Ecuaciones fundamentales

presenta con las letras B o E, aludiendo bien al propio Bernoulli o a la energía que representan (en este texto se usará la letra E). 2.3.1 Comentarios sobre el carácter “energético” de la ecuación de Bernoulli El trinomio de Bernoulli recoge tres sumandos, cada uno de los cuales representa un tipo de energía mecánica. Las unidades del trinomio (metros, de modo evidente si se observa la cota), indican que lo que se expresa no es realmente energía, sino una magnitud derivada de ésta. Siguiendo el desarrollo matemático del apartado anterior, se observa que, partiendo de la segunda ley de Newton, donde ambos miembros tienen unidades de fuerza (N), se simplifican las expresiones dividiendo entre la masa (ρdAds) y posteriormente dividiendo entre la aceleración de la gravedad, con lo que los esfuerzos considerados han sido adimensionalizados por unidad de peso (masa por aceleración de la gravedad). La integral a lo largo de la línea de corriente aporta una magnitud (longitud) y confiere un carácter de “trabajo” a los esfuerzos (fuerza por desplazamiento), con lo que las unidades del trinomio de Bernoulli (metros) pueden ser consideradas en realidad el cociente entre energía (joule) y peso (N). Para visibilizar esto es conveniente analizar cada uno de los términos por separado. Las componentes energéticas recogidas en el trinomio de Bernoulli son: •

•

Energía potencial por unidad de peso (z): En efecto, la energía potencial se expresa como m·g·z, con lo que al dividir entre el peso (m·g) se obtiene la cota, como representante “adimensionalizado” de este tipo de energía. Energía cinética por unidad de peso (v 2 / 2g ) : La energía cinética se expresa como (1 / 2)m·v 2 , con lo que si se divide entre el peso (m·g),

•

se obtiene la expresión de la energía cinética por unidad de peso. Energía elástica de compresión por unidad de peso (p / γ ) : al comprimir un fluido, el trabajo de compresión se expresa como ( pV · ) . Si se divide

entre el peso, expresado como ( γ·V ) , se llega a la expresión de la energía acumulada en forma de compresión elástica.

De este modo, el trinomio de Bernoulli expresa la energía acumulada en el fluido en tres conceptos distintos: energía potencial gravitatoria, energía potencial elástica y energía cinética, y el enunciado de la ecuación de Bernoulli dice que si se sigue una línea de corriente, la suma de estas tres componentes energéticas se

66

H2. Ecuaciones fundamentales

mantiene constante, o lo que es lo mismo, que no se disipa (o se pierde) energía en el movimiento. Este enunciado es evidentemente falso en el mundo real, ya que no existen movimientos de fluidos que no tengan asociados una pérdida o disipación de energía. Si nos planteamos entonces por qué el principio de Bernoulli llega a una ecuación falsa en la práctica, debemos recordar que al comienzo de su deducción se despreciaron las fuerzas de rozamiento, que como se verá más adelante son las verdaderas causantes de la disipación de la energía. La aplicación práctica de esta ley implicará asumir que de hecho la energía no se conserva, y que su disipación deber ser evaluada: E= E 2 + ∆E 1

[2.35]

Fig. 2.6 Disipación de energía entre la sección final y la inicial de un tubo de flujo de área infinitesimal

2.3.2 Aplicación de la ecuación de Bernoulli a una sección de conducción La ecuación de Bernoulli se ha desarrollado a lo largo de una línea de corriente y sólo es completamente válida (asumiendo las hipótesis que se han utilizado) en ese dominio. Por otro lado, la evaluación de la energía y su disipación tiene un interés práctico muy limitado si sólo se puede realizar a lo largo de una línea de corriente, siendo mucho más interesante su evaluación en una sección completa de tubería, por ejemplo. En efecto, sería muy interesante asociar una energía a una sección 1, y poder evaluar su pérdida cuando se avanza a otra sección 2. Para poder hacer esto,

67

H2

Para la evaluación de esta disipación de energía deberá analizarse la naturaleza de los esfuerzos disipativos, lo que se hará en posteriores apartados.

H2. Ecuaciones fundamentales

todos los puntos de una sección deberían tener la misma energía, lo que a priori no está muy claro. Si se consideran los puntos A, B y C de una sección de tubería (Fig. 2.7), y se plantea si tienen la misma energía, expresada como: z + (p / γ ) + v 2 / 2g , es evidente para empezar que tienen distinta cota. También, si aceptamos la componente hidrostática a lo largo de la sección, está claro que tienen distinta presión, como se puede apreciar en la figura.

Fig. 2.7 Componentes de la energía en distintos puntos de una sección

La suma de los términos de cota y presión se mantiene constantes; se puede observar que los puntos con menor cota tienen mayor presión y que la diferencia de presión entre dos puntos (por ejemplo el A y el C) se puede expresar como γ·Δz . De este modo, sólo queda aceptar que los puntos de una sección tienen la misma velocidad. Es en este aspecto cuando surgen las dificultades, ya que al realizar mediciones sobre perfiles de velocidades en secciones de conducción se observa que no en todos los puntos se registra la misma velocidad. En efecto, se constata experimentalmente que los puntos cercanos al contorno tienen velocidades pequeñas (nulas en el contorno, de hecho), mientras que en la zona central las velocidades son muy superiores. Si se quiere hablar de la energía de una sección, debe entenderse pues que no se puede hablar de la energía de todos y cada uno de los puntos de la sección, sino de la energía promedio en la sección, que será la suma de los términos de cota y presión (que como suma sí son constantes para todos los puntos) y un término cinético promediado. El concepto “promediado” no es trivial en este ámbito. No se trata de calcular el promedio de las velocidades en la sección, sino de calcular el flujo total de energía cinética a lo largo de la sección.

68

H2. Ecuaciones fundamentales

Hay que entender que no es lo mismo calcular el promedio de las velocidades y elevar esta cifra al cuadrado, que calcular el promedio del cuadrado de las velocidades (p.e. el promedio de los números 1 y 2 es 1,5, cuyo cuadrado es 2,25; el promedio de sus cuadrados -1 y 4- es 2,5). Adicionalmente, como las velocidades en la zona central son mayores, entran en la sección más partículas por el centro que por los contornos, con lo que la contribución de las partículas rápidas al flujo energético es mayor. Si se analiza el apartado 2.1, en el que se habla del flujo de cantidad de movimiento, se puede deducir que el flujo de energía cinética (1/2 mv2) en una sección se puede expresar como:

v 2   v 2   v dA = ∫ γ·· v dA ∫ 2 ρ·· 2g A A

[2.36]

Si consideramos un campo de velocidades homogéneo y ortogonal a la sección con velocidad v constante (igual al promedio, calculado como v = Q / A ) a lo largo de una sección, el flujo integrado sería: v2 v·A γ 2g

[2.37]

Dado que realmente este campo homogéneo de velocidades no es cierto (las velocidades no son uniformes en la sección), hay un factor de corrección entre ambos, que se puede definir como:

v2 v 2   v dA α· γ v·A = ∫ γ·· 2g 2g A

[2.38]

O bien:

v2 γ v·A 2g

[2.39]

Es decir, que se puede representar el flujo real de energía que atraviesa la sección considerando un flujo promediado equivalente (considerando que v es la velocidad promedio de la sección, entendida como la relación entre el caudal y la superficie), y afectándolo de un coeficiente corrector, que se conoce como “coeficiente de Coriolis”. De este modo, aplicando el coeficiente de Coriolis a la ecuación de Bernoulli y considerando el valor de la velocidad media en la sección, se tiene una evaluación exacta de la energía cinética por unidad de peso que atraviesa la sección. El problema de orden práctico es la evaluación del coeficiente.

69

H2

α =

v 2   v dA ∫ A 2g γ··

H2. Ecuaciones fundamentales

Esección = z +

p

γ

+α

v2 2g

[2.40]

En el caso trivial de un flujo ideal homogéneo (que no existe en la realidad), el coeficiente de Coriolis vale la unidad. En el caso de un flujo laminar (se justificará más adelante) el coeficiente de Coriolis vale exactamente 2. Como se comentará, el flujo laminar no es muy común en conducciones, siendo más usual el turbulento. En el caso de flujos turbulentos, el valor del coeficiente de Coriolis no se puede determinar con exactitud, aunque se estima en el intervalo 1,1-1,3. Esta indefinición puede parecer un problema pero conviene acotar el valor absoluto de cada uno de los tres miembros del trinomio, en el caso frecuente de una tubería de abastecimiento: •

•

•

El término de cota puede tener variaciones a lo largo de una conducción del orden de varios metros (para adaptarse a las irregularidades del terreno), con lo que la energía de cota, en los puntos altos, puede tener valores respecto del cero de referencia local en el entorno de 30-40 metros, fácilmente. El término de presión, que será mayor en los puntos bajos (recíprocamente a lo que se exponía en el caso anterior) suele tener valores también en el entorno de los 40-50 metros de columna de agua (el agua debe llegar a los pisos altos de los edificios). La suma del término de cota y el de presión puede estar por tanto en el entorno de 30-50 metros, de un modo más o menos constante (donde haya menos cota habrá más presión). Para evaluar el término cinético hay que comentar que la velocidad del agua en una tubería ronda usualmente el valor de 1 m/s, lo que supone, en términos de trinomio de Bernoulli, un valor de unos 5 centímetros de columna de agua ( v 2 / 2g ).

De este modo, el término cinético, en el ámbito concreto de las conducciones a presión, es muy inferior a los otros dos. Plantear si este término vale 5 cm o bien 1,1 veces 5 cm, cuando la suma de los otros dos términos es de 50 m; es decir, plantear si la energía total es de 50,05 m o bien de 50,055 m es llegar a un grado de sutileza innecesario e inalcanzable en un problema de ingeniería real, con lo que en régimen turbulento (el más usual) se tiende a admitir que el coeficiente de Coriolis vale 1, y se ignora el efecto de la falta de homogeneidad del campo de velocidades.

70

H2. Ecuaciones fundamentales

PROBLEMA – 2 A

ENUNCIADO

Calcular la fuerza que ejerce el agua sobre el codo reductor de la figura para un caudal circulante de 8.5 m3/s. El agua entra en el codo con una presión de 0.28 MPa y el peso del agua contenida en el mismo es de 9000 kg. Considerar una pérdida de energía en el codo de

0.15 v 22 2g , siendo v 2 la velocidad del agua en la sección de salida.

Fig 1 Dimensiones del codo reductor

Un codo es un accesorio de tubería que realiza un cambio de dirección. En este caso se trata de codo reductor, por lo que a medida que varía la dirección del eje se produce también una disminución del diámetro. Los datos del problema incluyen la geometría del codo, el peso del agua contenida en el mismo y la presión en la sección de entrada para un

71

H2

PLANTEAMIENTO

H2. Ecuaciones fundamentales

determinado caudal circulante. La incógnita del problema es la fuerza que ejerce el agua sobre el codo en estas condiciones. El ejercicio se resuelve aplicando la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento sobre el volumen de control constituido por el interior del codo. Esta ecuación relaciona las fuerzas que actúan sobre dicho volumen con la cantidad de movimiento, permitiendo así calcular la fuerza ejercida por la pared del codo sobre el fluido. La reacción a esta fuerza, es decir, la fuerza causada por el flujo interno sobre el codo es nuestra incógnita. Para poder aplicar la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento, es necesario calcular previamente la velocidad en las secciones extremas del codo y la presión en la sección de salida. Para ello, utilizaremos las otras dos leyes fundamentales de los fluidos: la ecuación de continuidad y la ecuación de conservación de la energía. Por un lado, el caudal circulante tiene que ser igual en la sección de entrada y en la de salida para que se conserve la masa. Por otro lado, en el tránsito de una partícula desde un punto de la sección de entrada a un punto de la sección de salida se producirá una pérdida de carga función de la velocidad en la salida, en base al enunciado.

RESOLUCIÓN

1) Ecuación de continuidad La ecuación de conservación de la masa entre las secciones de entrada y salida (1 y 2) puede escribirse de la siguiente forma: Q = Q = Q 1 2

[1]

v1 ⋅ A1 = v 2 ⋅ A2 = Q

[2]

o lo que es lo mismo:

Las velocidades en la sección de entrada y salida del codo resultan así:

= v1

Q = A1

Q 8.5 = = 3.34 m/s 2 D1 1.802 π π 4 4

72

[3]

H2. Ecuaciones fundamentales

= v2

Q = A2

8.5 Q = = 7.52 m/s 2 D2 1.202 π π 4 4

[4]

2) Ecuación de conservación de la energía La ecuación de conservación de la energía aplicada sobre una línea de corriente entre 1 y 2 puede escribirse de la siguiente forma: [5]

H= H 2 + ∆H 1− 2 1

siendo ΔH 1-2 la pérdida de energía entre las secciones de entrada y 2 salida, que toma el valor de 0.15 v 2 2g según el enunciado.

Si expresamos la energía como suma de sus tres componentes (potencial, de presión y cinética), la ecuación de conservación de la energía resulta: z1 +

p1

γ

+

v12

2g

= z2 +

p2

γ

+

v 22

2g

+ 0.15

v 22

2g

[6]

Aunque no conocemos las cotas z 1 y z 2 , su diferencia z 2 -z 1 sí es un dato del problema. Por tanto, la única incógnita es la presión p 2 . Sustituyendo resulta: p2

γ

=−3 +

0.28 ⋅ 106 3.342 7.522 + − (1 + 0.15) =22.8 m 9810 2 ⋅ 9.81 2 ⋅ 9.81

p2 = 22.8 m ⋅ 9810 N/m3 ⋅ 10-6 MPa Pa = 0.22 MPa

[7] [8]

3) Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento puede escribirse como:

∑ F=

∫SC ρ ⋅ v (v ⋅ dA )

[9]

Para aplicar esta ecuación, representamos gráficamente nuestro volumen de control, constituido por el interior del codo, y las fuerzas que actúan sobre él (Fig 2). Las fuerzas superficiales incluyen los efectos de las presiones a la entrada y a la salida del codo, y las fuerzas de volumen, el peso del fluido en el volumen de control. Representamos también la fuerza ejercida por la pared del codo sobre el fluido, que denotamos como R . Incluimos en el esquema los vectores velocidad y

73

H2

donde F son las fuerzas que actúan sobre el volumen de control, v el vector velocidad y A el vector área.

H2. Ecuaciones fundamentales

los vectores área en las secciones de entrada y salida (perpendiculares al área considerada y dirigidos hacia fuera). Hay que tener en cuenta que la integral de superficie sólo tiene que efectuarse en las superficies de entrada y de salida del volumen de control, ya que el producto escalar v ⋅ dA es cero en las paredes.

Fig 2 Volumen de control

La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento es una ecuación vectorial. Las ecuaciones de las componentes escalares en la dirección x y en la dirección z pueden escribirse tomando las componentes de los vectores F y v . Luego:

∑ Fx=

∫SC ρ ⋅ vx (v ⋅ dA )

[10]

∑ Fz=

∫SC ρ ⋅ vz (v ⋅ dA )

[11]

En dirección x, considerando el sentido de los ejes mostrado en la figura anterior, resulta: p1 ⋅ A1 + p2 ⋅ A2 ⋅ cos 60° − Rx =

ρ ⋅ v1 ⋅ v1 ⋅ A1 ⋅ cos180° − ρ ⋅ v 2 ⋅ cos 60° ⋅ v 2 ⋅ A2 ⋅ cos 0°

74

[12]

H2. Ecuaciones fundamentales

Sustituyendo se halla el valor de R x : Rx = 0.28 ⋅ 106 ⋅ 2.54 + 0.22 ⋅ 106 ⋅ 1.13 ⋅ 0.5 +

+1000 ⋅ 3.342 ⋅ 2.54 + 1000 ⋅ 7.522 ⋅ 0.5 ⋅ 1.13 = = 895786 N  0.90 MN

[13]

De igual forma, en dirección z resulta:

−p2 ⋅ A2 ⋅ sen 600 − W + Rz = ρ ⋅ v 2 ⋅ sen 60° ⋅ v 2 ⋅ A2 ⋅ cos 0°

[14]

Sustituyendo se halla el valor de R z : Rz = 0.22 ⋅ 106 ⋅ 1.13 ⋅ 0.87 + 9000 ⋅ 9.81 + 2

+1000 ⋅ 7.52 ⋅ 0.87 ⋅ 1.13 = 360167 N  0.36 MN

[15]

La fuerza ejercida por la pared del codo sobre el fluido es R = (0.90, 0.36) MN . La incógnita del problema es la reacción a esta

H2

fuerza, la causada por el flujo interno sobre el codo, que tiene igual módulo y sentido opuesto: (−0.90, −0.36) MN .

75

H2. Ecuaciones fundamentales

PROBLEMA – 2 B

ENUNCIADO

Determinar el caudal necesario para mantener en equilibrio una pesa de 100 g de masa, considerando el impacto del chorro sobre las siguientes superficies: A) Superficie de impacto plana B) Superficie de impacto semiesférica, con salida del agua a 1800 C) Superficie de impacto curva, con un ángulo de desviación del agua de 1200 El diámetro del chorro es de 8 mm.

Fig 3 Instalación de la práctica de laboratorio sobre impacto de un chorro

76

H2. Ecuaciones fundamentales

PLANTEAMIENTO

En este ejercicio se presenta el desarrollo teórico de una de las prácticas de laboratorio de la asignatura, la correspondiente al impacto de un chorro de agua sobre superficies. Calcularemos la fuerza de impacto de un chorro sobre una placa fija con diferentes geometrías.

Fig 4 Esquema de las tres geometrías consideradas

Para ello, aplicamos la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento sobre el volumen de control constituido por una porción del chorro. Esta ecuación relaciona las fuerzas que actúan sobre dicho volumen con la cantidad de movimiento, permitiendo así calcular la fuerza ejercida por el chorro sobre la superficie.

Teniendo en cuenta estas relaciones, la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento proporciona el caudal del chorro necesario sobre la placa en cada caso. También se pueden obtener las expresiones para calcular la fuerza total sobre la placa en función del caudal.

RESOLUCIÓN 77

H2

El chorro de agua está generado por una tobera de diámetro interior conocido, por lo que el área de la sección transversal del chorro A 1 es un dato del problema. Al impactar contra la superficie, el chorro abandona ésta con una velocidad v 2 convertido en una lámina de área transversal A 2 . Aplicando la ecuación de conservación de la energía a lo largo del chorro (a una línea de corriente entre la sección de entrada y la de salida) se llega a que la velocidad de salida es igual a la velocidad incidente (v 2 =v 1 ). Por tanto, la conservación de la masa implica A 2 =A 1 .

H2. Ecuaciones fundamentales

A) Superficie plana La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento puede escribirse como:

∑ F=

∫SC ρ ⋅ v (v ⋅ dA )

[16]

donde F son las fuerzas que actúan sobre el volumen de control, v el vector velocidad y A el vector área.

Para aplicar esta ecuación, representamos gráficamente nuestro volumen de control, constituido por una porción del chorro, y las fuerzas que actúan sobre él (Fig 5). Despreciamos la masa del chorro y de la placa. Por tanto, la fuerza ejercida por la placa sobre el volumen de control es directamente el peso de la pesa, que denotamos como W . La presión es la ambiente tanto en la sección de entrada del chorro incidente como en las de salida de los dos deflectados. Representamos también en el esquema los vectores velocidad y los vectores área en las secciones de entrada y salida (perpendiculares al área considerada y dirigidos hacia fuera). El chorro de agua está generado por una tobera de diámetro interior conocido, cuya área denominamos A 1 . Al impactar contra la superficie, el chorro abandona ésta con una velocidad v 2 convertido en una lámina de área transversal A 2 . Hay que tener en cuenta que la integral de superficie sólo tiene que efectuarse en las superficies de entrada y de salida del volumen de control, ya que el producto escalar v ⋅ dA es cero en las paredes.

Fig 5 Volumen de control en el caso A

78

H2. Ecuaciones fundamentales

La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento (Ecuación 1) es una ecuación vectorial. La ecuación de las componentes escalares en la dirección z puede escribirse tomando las componentes de los vectores F y v . Luego:

∑ Fz=

∫SC ρ ⋅ vz (v ⋅ dA )

[17]

Considerando el sentido de los ejes mostrado en la Fig 5, resulta: − ρ ⋅ v1 ⋅ v1 ⋅ A1 ⋅ cos180° W =

[18]

Expresando la velocidad como el cociente entre el caudal y el área, y el peso como la masa por la aceleración de la gravedad, se tiene: Q Q 0.1g = −ρ ⋅ A −1 A1 A1 1

( )

[19]

Despejando resulta:

= Q

0.1g ⋅ A1 =

0.0082 4= 2.22 ⋅ 10−4 m3 /s 1000

0.1 ⋅ 9.81π

ρ

[20]

Con este caudal, la fuerza del chorro sobre la superficie de la placa (F) equilibra el peso de la pesa (W). Si expresamos el caudal directamente en función del peso, obtenemos la expresión genérica para cualquier peso:

Q=

W ⋅ A1

ρ

[21]

Alternativamente, podemos calcular la fuerza del chorro sobre la placa (F) en función del caudal, despejando el peso de la expresión anterior:

Q2 ⋅ ρ A

[22]

B) Superficie semiesférica, ángulo de 1800 Procedemos de la misma forma que en el caso anterior. Aplicamos la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento al nuevo volumen de control definido en la siguiente figura.

79

H2

F =

H2. Ecuaciones fundamentales

Fig 6 Volumen de control en el caso B

La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento en dirección z puede escribirse como:

∫SC ρ ⋅ vz (v ⋅ dA )

∑ Fz=

[23]

Considerando el sentido de los ejes mostrado en la Fig 6, resulta:

W = − ρ ⋅ v1 ⋅ v1 ⋅ A1 ⋅ cos180° + ρ ⋅ v 2 ⋅ v 2 ⋅ A2 ⋅ cos 0°

[24]

Aplicamos ahora la ecuación de conservación de la energía a lo largo del chorro, en una línea de corriente entre la sección de entrada y salida. Si expresamos la energía como suma de sus tres componentes (potencial, de presión y cinética), y despreciamos las pérdidas de energía entre las secciones 1 y 2, la ecuación de conservación de la energía resulta: z1 +

p1

γ

+

v12

2g

= z2 +

p2

γ

+

v 22

2g

[25]

La presión es la ambiente en toda la entre fase aire-agua, así como en las secciones de entrada del chorro incidente y las de salida de los dos deflectados. Dado que z 1 =z 2 se llega a: [26]

v1 = v 2

La conservación de la masa implica que los caudales circulantes en las secciones 1 y 2 sean idénticos: v1 ⋅ A1 = v 2 ⋅ A2

80

[27]

H2. Ecuaciones fundamentales

por lo que: [28]

A1 = A2

Expresando la velocidad como el cociente entre el caudal y el área, y el peso como la masa por la aceleración de la gravedad, la ecuación 9 resulta: Q Q Q Q 0.1g = −ρ ⋅ A1 −1 + ρ ⋅ A +1 A1 A1 A1 A1 1

( )

( )

[29]

Despejando el caudal se obtiene:

= Q

0.1g ⋅ A1 = 2ρ

0.0082 0.1 ⋅ 9.81π 4= 1.57 ⋅ 10−4 m3 /s 2 ⋅ 1000

[30]

Con este caudal, la fuerza del chorro sobre la superficie de la placa (F) equilibra el peso de la pesa (W). Si expresamos el caudal directamente en función del peso, obtenemos la expresión genérica para cualquier peso:

Q=

W ⋅ A1 2ρ

[31]

Alternativamente, podemos calcular la fuerza del chorro sobre la placa (F) en función del caudal, despejando el peso de la expresión anterior:

F =

Q 2 2ρ A

[32]

Por tanto, la fuerza teórica sobre la placa semiesférica es el doble que la fuerza teórica sobre la placa plana. C) Superficie curva, ángulo de 120O

H2

Procedemos de la misma forma que en el caso anterior, con el volumen de control definido en la figura siguiente.

81

H2. Ecuaciones fundamentales

Fig 7 Volumen de control en el caso C

La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento en dirección z, considerando el sentido de los ejes mostrado en la Fig 7, resulta:

W = − ρ ⋅ v1 ⋅ v1 ⋅ A1 ⋅ cos180° + ρ ⋅ v 2z ⋅ v 2 ⋅ A2 ⋅ cos 0°

[33]

O lo que es lo mismo:

0.1g = − ρ ⋅ v1 ⋅ v1 ⋅ A1 ⋅ cos180° + ρ ⋅ v 2 ⋅ cos 60° ⋅ v 2 ⋅ A2 ⋅ cos 0° [34] Al igual que en apartado anterior, se llega a que la velocidad de salida es igual a la velocidad incidente (v 2 =v 1 ) aplicando la ecuación de conservación de la energía a lo largo del chorro. Por tanto, la conservación de la masa implica A 2 =A 1 . Expresando la velocidad como el cociente entre el caudal y el área: Q Q Q 1 Q −ρ ⋅ A1 −1 + ρ ⋅ ⋅ A +1 0.1g = A1 A1 A1 2 A1 1

( )

( )

[35]

Sustituyendo:

3 Q2 0.1g = ρ 2 A1

[36]

Despejando el caudal se obtiene:

Q =

0.1g 2A1 = 3ρ

0.0082 0.1 ⋅ 9.81 ⋅ 2π 4= 1.81 ⋅ 10−4 m3 /s 3 ⋅ 1000

[37]

Con este caudal, la fuerza del chorro sobre la superficie de la placa (F) equilibra el peso de la pesa (W). Si expresamos el caudal directamente

82

H2. Ecuaciones fundamentales

en función del peso, obtenemos la expresión genérica para cualquier peso:

Q=

W 2A1 3ρ

[38]

Alternativamente, podemos calcular la fuerza del chorro sobre la placa (F) en función del caudal, despejando el peso de la expresión anterior:

Q2 3ρ 2A

[39]

H2

F =

83

H2. Ecuaciones fundamentales

84

H3

- Disipación de la energía.

Movimiento laminar y turbulento

H3. Disipación de la energía. Movimiento laminar y turbulento

Contenidos

1

Movimiento laminar

87

1.1 Campo de velocidades en régimen laminar

89

2

El número de Reynolds como frontera entre el flujo laminar y el flujo turbulento 92

3

Movimiento turbulento

95

4

Ejercicios

98

4.1 Problema – 3 A

98

86

H3. Disipación de la energía. Movimiento laminar y turbulento

1 Movimiento laminar

La ecuación de Bernoulli se ha planteado despreciando los términos disipativos (esfuerzos debidos al rozamiento o esfuerzos cortantes), lo que ha llevado a una ecuación de interés práctico pero falsa en el fondo, que requiere de un ajuste, en forma de evaluación del término conocido como “perdida de carga” que corrige esa carencia de fondo. La pérdida de carga (o disipación de energía) tiene su origen en el movimiento relativo entre partículas fluidas (moléculas, en última instancia) que se visibilizan a nivel macroscópico como esfuerzos tangenciales. La aproximación molecular no es propia de la hidráulica ni de la mecánica de fluidos, disciplinas en las que se considera que el fluido es un medio continuo que sufre esfuerzos y en el que se perciben tensiones a lo largo de superficies de contacto (con los contornos o entre capas del propio fluido).

Aceptando de entrada que la interacción entre partículas de fluidos con diferentes velocidades promedio genera una disipación de energía (lo que invalida la hipótesis de existencia de fluidos ideales no disipativos), se suele distinguir entre movimientos o flujo laminares o turbulentos, básicamente en función de cómo (o más bien de cuánto) se disipa la energía. Las expresiones “flujo laminar” o “flujo turbulento” se usan en general con una absoluta falta de rigor. Existe el convencimiento intuitivo de que el agua “mansa” tiene un comportamiento laminar mientras que el agua “brava” tiene un comportamiento turbulento. Esto es falso. En un ámbito ingenieril, y en general cuando se analizan grandes masas de agua en movimiento, lo más probable (de un modo casi aplastante) es que el flujo sea turbulento.

87

H3

En un líquido, el número de moléculas por mm3 puede ser del orden de 1021, lo que hace que sea posible asumir que a las escalas usuales en ingeniería nunca percibiremos los esfuerzos moleculares de modo aislado, sino como un agregado. Obviamente, si ampliáramos el zoom para ver el comportamiento de una molécula aislada, muchas de las hipótesis o comportamientos supuestamente ordenados que postulamos carecerían de sentido, pero sí lo tienen cuando consideramos un comportamiento promediado.

H3. Disipación de la energía. Movimiento laminar y turbulento

El ejemplo más común es el de un río. Se asume como cierto que un río en el que el agua discurre de un modo calmado es laminar, mientras que al llegar a los rápidos se vuelve turbulento. Lo cierto es que el flujo en el río será turbulento en ambos casos, y la diferencia entre estos dos tipos de comportamiento tiene que ver con otro factor (el número de Froude), ajeno por completo a los conceptos de flujo laminar y turbulento. Se admite una conceptualización macroscópica del flujo laminar, avalada por la experimentación, según la cual en este tipo de movimiento se pueden percibir una serie de capas de fluido que se mueven de un modo ordenado las unas respecto de las otras, y en las que se perciben diferencias relativas de velocidad entre unas y otras capas, que generan tensiones cortantes. Si se ampliase el foco hasta un nivel molecular, estas capas no se harían tan evidentes, y se percibiría un cierto nivel de caos, pero un promediado hasta cualquier nivel perceptible tampona ese caos y efectivamente la percepción física del fluido como medio continuo es la de un comportamiento totalmente ordenado. Existe un vínculo muy estrecho entre el concepto de flujo laminar y el concepto de fluido newtoniano. Como se vio en apartados anteriores, la ecuación de los fluidos newtonianos postula una relación lineal entre la respuesta (velocidad de deformación) y la solicitación (esfuerzo cortante) en un fluido.

τ =µ

dv dy

[1.1]

La ley de Newton es lineal: μ es una constante. No todos los fluidos la cumplen, aunque el agua la cumple con mucha aproximación si los esfuerzos son pequeños (siempre que no aparezcan esfuerzos de naturaleza turbulenta). Es decir: hay fluidos que no la cumplen en ningún caso (fluidos tixotrópicos, dilatantes, plásticos…) y otros que, como el agua, la cumplen sólo en un rango determinado de tensión y/o velocidad. Es adecuado considerar que a medida que aumenta la energía en el sistema, van apareciendo catalizadores de la turbulencia, que de alguna manera buscan romper ese frágil orden que se percibe en el flujo laminar. La viscosidad, esfuerzo tamponador de irregularidades y “guardián” del orden, se ve superado por esfuerzos generadores de caos cuando las velocidades crecen en módulo y cuando las masas en movimiento son asimismo grandes. Así, es incorrecto decir que el agua se comporta siempre como un fluido newtoniano. En régimen turbulento esa relación no se cumple, aunque, a decir verdad, el concepto de tensión tangencial en régimen turbulento es difícil de definir con propiedad (tampoco es estrictamente cierto en régimen laminar, sólo es una aproximación macroscópica).

88

H3. Disipación de la energía. Movimiento laminar y turbulento

1.1 Campo de velocidades en régimen laminar Supongamos que estamos en las condiciones en que el agua responde según la ley de los fluidos newtonianos y el flujo es por tanto laminar. Se propone para la comprensión de las implicaciones de esta ley el análisis del flujo entre dos placas planas paralelas de anchura unitaria separadas una pequeña distancia “a”, ver Fig. 1.2 (si la distancia fuese muy grande se desarrollaría un flujo turbulento). Dado que se quiere imponer un flujo, se consideran tres posibles fuentes de generación de movimiento: • • •

Un movimiento relativo entre las placas, con una velocidad constante de valor “U”. El propio peso del fluido, si se asume que cada una de las placas define un plano inclinado ( ∆z / ∆l =cte ) .

Un gradiente constante de presión ( ∆p / ∆l =cte ) .

H3

De estos tres esfuerzos (o generadores de esfuerzos) quizás el último requiera una explicación. Si se consideran dos depósitos A y B conectados por un tubo (Fig. 1.1), con niveles de agua distintos, se puede aceptar intuitivamente que se establecerá un flujo de A hacia B. El agua sale de A con un nivel de energía dado por el nivel de la cota del depósito A, y llega a B con un nivel de energía igual al nivel de la cota de B. Se puede admitir que se disipa una cantidad de energía igual a E A -E B en el desplazamiento por el tubo.

Fig. 1.1 Disipación de la energía en un tramo recto de tubería

Dado que la tubería es horizontal, no hay variaciones en la cota a lo largo de la misma (no se pierde cota). Si se recuerda la ecuación de conservación de la masa, si se admite que agua es prácticamente incompresible, el caudal se mantiene constante a lo largo de la conducción, con lo que la velocidad es constante a lo

89

H3. Disipación de la energía. Movimiento laminar y turbulento

largo del tubo. Por tanto, sólo se puede perder presión a lo largo de la conducción, y aunque de momento no se puede admitir con rotundidad (se demostrará más adelante), supongamos que la pérdida se realiza de modo lineal. Esto supone que la variación de presión a lo largo de la longitud es constante (gradiente constante de presión). Esta hipótesis de esfuerzo puede ser pues idealizada por dos depósitos a distinta cota que promueven un movimiento. Se plantea un diagrama de esfuerzos sobre un pequeño volumen de control en el interior del fluido (no en contacto con las placas, o no necesariamente) en el que se indican todas las variables relevantes. Se postulan además dos hipótesis: • •

Flujo permanente (el caudal que atraviesa cualquier sección será constante). Flujo uniforme (a lo largo de una línea de corriente no se observarán variaciones en la velocidad)

La hipótesis de flujo uniforme es muy aceptable en una conducción a presión en régimen permanente, ya que el caudal es constante a lo largo de la conducción, y es asumible que los campos de velocidades se reproduzcan de una a otra sección. Dado que se admite que no habrá aceleraciones locales (flujo permanente) ni convectivas (flujo uniforme), la suma de esfuerzos que actúa sobre el volumen de control debe ser nula:

Fig. 1.2 Esfuerzos en el flujo entre dos placas planas de anchura unitaria

  ∂p  ∂τ  0 = p·dy −  p + dl  dy + τ + dy  dl − τ·dl + γ·dy·dl·sin θ ∂l  ∂y   

[1.2]

Donde se admite que la pérdida de cota a lo largo de “l” es el seno del ángulo θ. Conviene asimismo destacar que la distribución de tensiones tangenciales se repetirá sección tras sección (no depende de “l”) dado que el flujo es uniforme, y que la variación de presiones a lo largo de “y” puede despreciarse y considerar solo el gradiente a lo largo de “l” debido al escaso espesor entre las placas.

90

H3. Disipación de la energía. Movimiento laminar y turbulento

Estas consideraciones llevan a que las dos derivadas parciales enunciadas en la ecuación anterior puedan ser sustituidas por derivadas ordinarias. Si se simplifica, se divide entre la unidad de volumen (arbitraria) (dy·dl), y se indica explícitamente el valor de sin 𝜃𝜃, queda: dτ d = p + γz   dy dl

(

)

[1.3]

Conviene destacar que el segundo término de esta ecuación, pese a su aspecto amenazador, es una constante, ya que el gradiente de presión es constante y la pendiente también. Esta ecuación diferencial tiene de hecho como única variable la vinculada al espesor “y”. Se puede pues integrar a lo largo de “y” para obtener el campo de tensiones tangenciales:

τ (y )= y

d p + γ·z + A dl

(

)

[1.4]

La ecuación resultante, que muestra un campo de tensiones lineal a lo largo de “y”, es válida con independencia de que el flujo sea o no laminar, y de que el fluido sea o no newtoniano. Sólo se particularizará la ecuación anterior para flujo laminar cuando se imponga que la relación entre las tensiones y los gradientes de velocidad deben corresponderse por la ecuación τ = µ·dv / dy con lo que:

τ = µ

dv d = y p + γ·z + A dy dl

(

)

[1.5]

De donde se puede extraer el campo de velocidades a lo largo de “y”, como:

dv 1 d A y p + γ·z + = dy µ dl µ

(

)

[1.6]

E integrando:

1 2d A y p + γ·z + y + B 2 µ dl µ

(

)

[1.7]

Para fijar las constantes de integración y pasar de la solución general a la particular, se imponen las condiciones en los contornos, que imponen que las partículas de agua pegadas a éstos se mueven a su misma velocidad (o no se mueven, en el caso del contorno fijo): • •

u(0)=0 u(a)=U

Con lo que queda, tras operar:

U·y 1 d v y = − a·y − y 2 p + γ·z a 2µ dl

()

(

) (

91

)

[1.8]

H3

()

v y =

H3. Disipación de la energía. Movimiento laminar y turbulento

Si se analizan los perfiles de velocidad que se obtienen al aplicar cada uno de los tres esfuerzos o solicitaciones, se tiene que: •

Si sólo se aplica la variación de velocidad entre las placas, sin pendiente ni gradiente de presión, el campo de velocidad obtenido es lineal (se anula completo el término que contiene las variaciones d ( p + γ·z ) / dl ).

•

Si sólo se aplica una pendiente, o sólo se aplica un gradiente de presión, el campo de velocidades es parabólico (dependencia de y2), y si se recuerda que la derivada que se incluye es de hecho una constante, es fácil ver (derivando e igualando a cero), que el máximo de la velocidad se da para y=a/2.

Fig. 1.3 Campos de velocidades en régimen laminar, con distinta configuración de esfuerzos

En general se admite que el campo de velocidades en un flujo laminar es parabólico. Se volverá sobre este asunto al comenzar el tema de cálculo de conducciones a presión. Es conveniente destacar que la experiencia constata que el flujo turbulento no responde a este patrón de flujo.

2 El número de Reynolds como frontera entre el flujo laminar y el flujo turbulento Osborne Reynolds publicó en febrero de 1883 el artículo: “An Experimental Investigation of the Circumstances Which Determine Whether the Motion of Water Shall de Direct or Sinuous, and the Law of Resistance in Parallel

92

H3. Disipación de la energía. Movimiento laminar y turbulento

Channels”, Proc. R. Soc Lond, 1883 – 35, pp 84-99, en el que planteaba, entre otras cuestiones, las siguientes (comentarios escritos sin cursiva): “Las ecuaciones de la hidrodinámica, aunque son aplicables al movimiento directo, es decir, sin remolinos -entiéndase laminar-, y muestran una relación lineal entre la resistencia al flujo y la velocidad -se verá más adelante-, no han arrojado sin embargo ninguna luz sobre cuáles son las variables que gobiernan ese movimiento. Y aunque en los últimos tiempos se han aplicado estas ecuaciones al estudio de los remolinos, no se han aplicado en absoluto al movimiento del agua que es de hecho un conjunto de remolinos -entiéndase flujo turbulento-, ni han aportado pista alguna para demostrar por qué en este caso la resistencia al flujo depende del cuadrado de la velocidad -se verá más adelante-. De este modo, la aplicación de la hidrodinámica a problemas como la descripción de las olas y el movimiento del agua en tubos capilares aporta un buen ajuste con la experimentación, pero no aporta una explicación coherente de por qué los explica, y falla de modo total al intentar describir las leyes de resistencia al flujo de cuerpos moviéndose en el agua a velocidades apreciables, o del agua circulando por conductos de ciertas dimensiones -flujos turbulentos, como se verá-” En el mismo artículo, amplio y diverso, planteaba distintas razones que le llevaban a considerar que la frontera entre ambos tipos de flujo (laminar y turbulento) dependía de una serie de variables, que agrupaba en un monomio adimensional (conocido como número de Reynolds):

µ

= Re

[2.1]

Donde el numerador agrupa factores (velocidad, diámetro, densidad) que promueven un movimiento más energético (y por tanto más tendente a generar turbulencias), mientras que el denominador contiene a la viscosidad como parámetro tamponador de las irregularidades turbulentas. En efecto, cuanto mayor es la velocidad, o cuando más masa de fluido (D, ρ) hay en movimiento, más propicio es el flujo para generar turbulencia. Con esta base, Reynolds propone en el artículo una serie de experimentos de los que uno de ellos, que se conoce coloquialmente como “el experimento de Reynolds”, está orientado a discernir una frontera entre el régimen laminar y turbulento en una tubería circular. El experimento se basa en introducir en un flujo a presión una aguja con un trazador (colorante), y observar si el colorante se mantiene en una línea y no se mezcla (régimen laminar) o bien se difumina de modo inmediato (régimen turbulento). Realizando este experimento con distintos diámetros de tubo,

93

H3

v·D·ρ

H3. Disipación de la energía. Movimiento laminar y turbulento

distintos caudales (velocidades, por tanto) y distintos fluidos (viscosidades y densidades) se puede determinar el valor de la frontera.

Fig. 2.1 Experimento de Reynolds. Flujo laminar (izq.) y turbulento (dch.)

El valor límite del número de Reynolds se mueve en el entorno (2000-3000). En este intervalo se admite la existencia de un flujo de transición, que en el experimento se visualiza como la formación de remolinos de modo que el colorante no se difumina por completo de modo instantáneo, pero sí oscila y acaba por mezclarse al cabo de una cierta distancia. Para evaluar qué condiciones se puede asociar a cada tipo de flujo, conviene recordar el valor de las constantes implicadas para el agua. El número de Reynolds puede expresarse en función de la viscosidad cinemática (ν = µ / ρ ) , y queda:

Re =

v·D

[2.2]

ν

Donde la viscosidad cinemática, en unidades del sistema internacional (m2/s) tiene un valor numérico de aproximadamente 10-6, a temperatura ambiente. Si se considera una velocidad del agua del orden de 1 m/s (usual en conducciones a presión), el valor del número de Reynolds para distintos diámetros sería: Tabla 1 Número de Reunolds en un tubo circular con una velocidad de 1 m/s

Diámetro (m)

Re

Tipo de flujo

1

1.000.000

Turbulento

0,1

100.000

Turbulento

0,01

10.000

Turbulento

0,001

1.000

Laminar

Se puede observar que incluso una “tubería” de 1 cm de diámetro genera un flujo turbulento, con lo que en el ámbito de la ingeniería civil, el flujo laminar se da de modo excepcional. En el caso de flujos en conductos no circulares (a presión

94

H3. Disipación de la energía. Movimiento laminar y turbulento

o abiertos), se puede utilizar como variable representativa de la sección el radio hidráulico (R h ), que se define como la relación entre el área de flujo y el perímetro mojado de la sección. Para un tubo circular lleno, el radio hidráulico se calcula como: R= h

A π·R 2 R D = = = Pm 2π·R 2 4

[2.3]

De este modo, se asume en primera aproximación el valor de 4R h como sustitutivo del diámetro para secciones no circulares.

3 Movimiento turbulento

El propio Reynolds, en otro artículo, en 1895, propone una modificación a las ecuaciones generales de la mecánica de los fluidos (ecuaciones de NavierStokes), en la que se propone que las velocidades se separen como suma de dos componentes: un promedio ( v ) estable en el tiempo y una fluctuación ( v ' ) que refleje la intensidad de las inestabilidades, y así se desarrollan las ecuaciones RANS o Reynolds Averaged Navier Stokes (este tema se desarrollará detalladamente en el bloque H19). Al desarrollar las ecuaciones RANS en tres dimensiones aparecen unos términos ( ρ·u '·v ' ) que se conocen como “tensiones de Reynolds” o “tensiones turbulentas”, tanto porque tienen unidades de tensión como porque se han desarrollado (sobre todo en las primeras décadas del siglo XX) distintas teorías para asimilar estas “tensiones” a las del régimen laminar (que también eran una aproximación macroscópica a una realidad compleja a nivel molecular), y conseguir así una expresión similar a la ecuación de los fluidos newtonianos:

95

H3

El análisis del movimiento turbulento excede con mucho el alcance de este texto, y es un problema que actualmente no está cerrado. Como se vio en el apartado anterior, ya en 1883, Reynolds plantea que el flujo laminar y el turbulento tienen diferencias sustantivas no sólo en lo cualitativo (flujo en capas frente a flujo desordenado) sino también en lo cuantitativo (pérdida de carga lineal con la velocidad o pérdida de carga lineal con el cuadrado de la velocidad, según se indica en el artículo de Reynolds, a partir de mediciones en laboratorio).

H3. Disipación de la energía. Movimiento laminar y turbulento

τt = η

dv dy

[3.1]

Donde 𝜏𝜏𝑡𝑡 sería la tensión (o pseudotensión) turbulenta y 𝜂𝜂 sería la viscosidad (o pseudoviscosidad) turbulenta (también conocida como “viscosidad de remolino” -eddy viscosity-). El problema de esta expresión es que el valor de 𝜂𝜂 depende del flujo (no es una constante propia del fluido, como sí lo era la viscosidad µ ), y que su evaluación no es trivial, con lo que su aplicación práctica es compleja (al menos a nivel de cálculos básicos).

De hecho, en las primeras décadas del siglo XX, autores muy destacados, como Ludwig Prandtl, desarrollaron teorías para cuantificar el valor de esta viscosidad turbulenta, la más conocida de las cuales es la de la “longitud de mezcla”. A lo largo del siglo XX y principios del XXI se ha ido avanzando en el conocimiento de los mecanismos de disipación de la energía debido a la turbulencia, y cómo la turbulencia genera una especie de “cascada de remolinos” (este concepto se debe a Kolmogorov) que funciona como un sistema de engranajes de tamaños decrecientes (desde remolinos muy grandes hasta microscópicos) que van transmitiendo energía hasta su disipación última en los vórtices microscópicos por efectos viscosos. En la actualidad existen distintas corrientes de pensamiento y distintos enfoques (desde los que intentan una solución física y formalmente robusta hasta los que esencialmente buscan un método de cálculo que reproduzca decentemente la realidad), y en general los métodos de cálculo se van haciendo más y más complejos. Afortunadamente, para poder calcular la pérdida de carga en una tubería no es preciso comprender el fenómeno de la turbulencia hasta sus últimas consecuencias. Ya en la época de Reynolds había algunos aspectos claros que eran (y siguen siendo) claves a la hora de calcular conducciones en régimen turbulento: • •

El perfil del campo de velocidades en un conducto en flujo laminar es parabólico, mientras que en flujo turbulento no lo es. La disipación de energía por unidad de longitud es proporcional a la velocidad del fluido en régimen laminar, mientras que en régimen turbulento no lo es.

Estas realidades constatables son la base de muchas de las teorías que se desarrollaron a principios del siglo pasado, de modo que las teorías se desarrollaban en muchos casos “a medida” de los datos empíricos. En concreto, el perfil de velocidades en un tubo en régimen turbulento responde bien a una interpolación logarítmica (también a una exponencial, pero en sus inicios tuvo

96

H3. Disipación de la energía. Movimiento laminar y turbulento

más “éxito” la logarítmica), lo que llevó a teorías que acabasen generando campos de velocidades logarítmicas (del mismo modo que la integración del campo de tensiones del apartado 1.1, a partir de la ecuación de los fluidos newtonianos, lleva a una ley parabólica). Así, se admitió como un hecho cierto que el campo de velocidades al alejarse de contorno sólido (y=R-r, ver Fig. 3.1) es:

()

= v y A·log y + B

[3.2]

Esto es cierto en la generalidad del tubo salvo en un entorno del contorno, en la que debido a su escasa velocidad se admite que el flujo es laminar. A esa zona se la conoce como “subcapa laminar”. Se hablará de ella más adelante.

El segundo de los hechos empíricos incuestionables, el relativo a cómo se disipa la energía al variar la velocidad, es el más importante y el que realmente define una diferencia cuantitativa clara entre el régimen laminar y el turbulento. Aunque se volverá sobre este tema más adelante, lo que indica Reynolds en su artículo es que la pérdida de carga es proporcional a la velocidad en régimen laminar, mientras que la relación se hace cuadrática en régimen turbulento. Esto quiere decir, a modo de ejemplo, que si con una velocidad de 1 m/s se pierde una cierta cantidad de energía en régimen laminar, a 2 m/s se perderá el doble, mientras que en régimen turbulento se perderá el cuádruple. Es obvio que esto no es un matiz sino una diferencia conceptual, y sus implicaciones serán comentadas con detalle en el bloque H5.

97

H3

Fig. 3.1 Campo de velocidad en flujo laminar (izq.) y turbulneto (dch.). Se incluye una estimación de los coeficientes de Coriolis

H3. Disipación de la energía. Movimiento laminar y turbulento

PROBLEMA – 3 A

ENUNCIADO

Un fluido newtoniano se mueve en régimen permanente por una tubería circular de radio R debido a una diferencia de presión por unidad de longitud constante (dp/dx = constante, siendo x la dirección longitudinal de la tubería). Determínense los campos de tensiones tangenciales y de velocidades en una sección y las velocidades media y máxima. Se acepta que la ley de Newton es aplicable directamente a contornos no rectos.

PLANTEAMIENTO

En este ejercicio se analiza el flujo generado en una tubería debido a un gradiente constante de presión. Se considera que el agua responde según la ley de los fluidos newtonianos y dicho flujo es por tanto laminar. Las incógnitas del problema son los campos de tensiones tangenciales y de velocidades. Para obtener la ley de tensiones tangenciales, definiremos un volumen de control e integraremos las fuerzas actuantes sobre el mismo. La aplicación de la ley de Newton de la viscosidad nos permitirá relacionar las tensiones tangenciales con la ley de velocidades.

RESOLUCIÓN

1) Ley de tensiones tangenciales Definimos un volumen de control de forma cilíndrica, radio r y longitud dx en la tubería, como se muestra en la siguiente figura. Además de las

98

H3. Disipación de la energía. Movimiento laminar y turbulento

presiones, la viscosidad del fluido genera un esfuerzo cortante sobre la pared del cilindro.

Fig 1 Volumen de control

Puesto que el fluido se mueve en régimen permanente el caudal es constante y por tanto el flujo es uniforme, la aceleración es nula y por consiguiente también se anula la componente, en la dirección del eje de la tubería, de las fuerzas que actúan sobre el volumen de control:

∑ Fx

=0

[1]

Las fuerzas actuantes incluyen los efectos de las presiones a la entrada y salida del volumen de control, así como la tensión tangencial en la superficie lateral de dicho volumen. Resulta así:

 dp  p·· π r 2 −  p + dx  π·r 2 − τ 2π·· r dx = 0 dx  

[2]

O lo que es lo mismo:

dp π r2 = dx·· 2π·· r dx·τ dx

[3]

Despejando se halla la ley de tensiones tangenciales:

τ = −

1 dp r 2 dx

[4]

Para que el sentido del flujo sea el definido en la figura 1, dp/dx<0. Se cumple por tanto que τ>0. 2) Ley de velocidades La Ley de Newton de la viscosidad relaciona el gradiente de velocidad con la tensión, de la forma:

τ = −µ

99

dv dr

[5]

H3

−

H3. Disipación de la energía. Movimiento laminar y turbulento

Por tanto, en este caso:

τ 1 dp dv = − dr = r·dr µ 2 µ dx

[6]

Integrando la ley de velocidades se llega a:

= v(r )

1 dp

dv ∫ · r·dr ∫= 2µ dx

[7]

1 dp 1 dp r 2 ·= r · dr · · +C 2 µ dx ∫ 2 µ dx 2

[8]

v= (r )

Las partículas de agua pegadas a los contornos de la tubería no se mueven, puesto que la tubería es un contorno fijo. Por tanto, imponemos como condición de contorno: v=0 en r=R para obtener el valor de la constante C.

0 =

1 dp 2 · R +C 4 µ dx

[9]

1 dp 2 · R 4 µ dx

[10]

Con lo que queda, tras operar:

C = −

Por tanto, la ley de velocidades resulta:

v =

1 dp 2 · r − R2 4 µ dx

(

)

[11]

Hemos obtenido así un campo de velocidades parabólico. Como se ha señalado en la teoría, se admite que el campo de velocidades es de este tipo en flujo laminar (Fig. 1.3). 3) Velocidad media Integrando la ley de velocidades se obtiene la velocidad media:

vmed =

1 v·dA A∫

[12]

O lo que es lo mismo:

vmed =

1

R

r dr ∫ v 2π·· π·R 2 0

[13]

Introduciendo la ley de velocidades calculada anteriormente:

vmed =

1

R

∫ π·R 2 0

1 dp 2 · r − R 2 2π·· r dr 4 µ dx

(

)

100

[14]

H3. Disipación de la energía. Movimiento laminar y turbulento

Operando se llega a: vmed =

2 1 1 dp  R 4 2 R  R · 2 π −   2  π ·R 2 4 µ dx  4

[15]

La velocidad media resulta así: 1 1 dp  R 4  1 dp vmed =2 · 2π  − = − · R2  8 µ dx π·R 4µ dx  4 

[16]

4) Velocidad máxima De la ecuación de la distribución de velocidades (ecuación [11]) se concluye que la velocidad máxima se produce en el centro de la tubería, con r=0, y es:

1 dp 2 · R 4 µ dx

[17]

H3

v max =

101

H3. Disipación de la energía. Movimiento laminar y turbulento

102

H4

- Análisis dimensional y semejanza hidráulica

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

Contenidos

1

Introducción

105

2

Definiciones y principios básicos

109

2.1 Principios básicos

111

3

Teorema “P” o de Buckingham

113

4

La “ecuación general de la hidráulica”

118

5

Teoría de la semejanza

123

6

Ejercicios

131

6.1 Problema – 4 A

131

6.2 Problema – 4 B

137

104

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

1 Introducción

En el capítulo anterior se comentó cómo Osborne Reynolds, al intentar definir la frontera entre el régimen laminar y el turbulento, estableció un monomio adimensional (el número de Reynolds) que compactaba todas las variables relevantes en su problema. Este enfoque le permitió sistematizar la labor experimental, y expresar sus resultados con gran simplicidad, ya que en lugar de analizar rangos de diámetros, velocidades, etc., por separado, el uso del número de Reynolds ofrece un resultado muy nítido y aplicable a cualquier conducción.

La utilidad del análisis dimensional en su aplicación a la hidráulica se puede sintetizar en algunos puntos: • • •

Permite reducir el número de variables o grados de libertad de un problema Permite independizar un problema de su escala (de que lo que se analice sea “grande” o “pequeño”) Permite establecer un programa de análisis empírico orientado a determinar un número inferior de parámetros que en el caso de que el problema se afronte de modo genérico.

Considérese por ejemplo, para ilustrar estos puntos, un problema que nada tiene que ver con la hidráulica. Supóngase que una civilización primitiva intenta averiguar una expresión para medir superficies de triángulos, con fines agrarios. Tras generaciones de estudios empíricos, se vislumbra que puede haber una relación entre la superficie (A), la medida de un lado (B) y la distancia de ese lado al vértice opuesto (H), (altura en nuestra nomenclatura usual).

105

H4

El análisis dimensional es una disciplina que excede al ámbito de la hidráulica y que de hecho tiene más que ver con otras, como el álgebra lineal. En cualquier caso, en el ámbito de la hidráulica se utiliza con profusión y por tanto es usual introducir unas mínimas bases de sus fundamentos en los cursos de hidráulica básica. En todo caso, no se persigue en absoluto presentar esta disciplina con rigor.

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

Un sabio de esa época postula esa relación del modo usual y (usando notación moderna), la relación sería:

(

A = F B, H

)

[1.1]

Una vez orientada la experimentación en esa dirección, surgen varios problemas: •

•

Hay tres variables implicadas, lo que hace compleja la resolución del problema y su plasmación gráfica, ya que si se utiliza para representar los resultados un sistema cartesiano (que no existe en la remota época que estamos analizando), haría falta utilizar tres ejes. Si se intenta comprobar una ley sobre triángulos pequeños (modelos que quepan en una mesa, por ejemplo), no hay garantías de que se cumpla en triángulos grandes (en fincas agrarias).

El análisis dimensional plantea reformular el problema utilizando monomios adimensionales, que se obtienen combinando las variables originales. En el caso que nos ocupa, por ejemplo, se podría escoger una de las variables, por ejemplo la base B, y redefinir el problema en términos adimensionales, lo que supondría llegar a la expresión: H  A f =   B2 B 

[1.2]

Que tiene dos ventajas evidentes sobre la anterior: • •

Tiene una dimensión menos, con lo que los resultados experimentales se pueden plasmar en un gráfico plano. Al ser las variables adimensionales, para cubrir todo el rango de posibilidades no hace falta medir triángulos de distinto tamaño, sino sólo de distinta “forma” (acutángulos y obtusángulos, por ejemplo).

Con este enfoque y un cierto número de triángulos de papel (o del material disponible en la época), se puede realizar una campaña experimental cuyo resultado sería como el de la gráfica.

Fig. 1.1 Determinanción experimental de la superficie de un triángulo en función de su base y su altura

106

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

A partir de aquí, el sabio debe inferir una relación, que en este caso se apunta lineal. Con un número suficiente de ensayos, se podría llegar a determinar, siempre de un modo aproximado, la relación:

A H = 0,5 2 B B

[1.3]

O bien A = B·H / 2 , aunque es posible que el valor de la constante no se determinase de un modo tan elegante, y se obtuviese una cifra como 0,498 por el error experimental.

H4

El primer documento en el que se plasma el cálculo de la superficie de un triángulo es el “papiro Rhind”, escrito en Egipto en el siglo XVI a.C., copia de un documento previo del siglo XIX a.C. En concreto es el problema 51 de dicho papiro, que incluye muchos otros problemas aritméticos y geométricos.

Fig. 1.2 Problema 51 del Papiro “Rhind”

El problema que se ha planteado es un problema geométrico, en el que todas las magnitudes vinculadas son longitudes o pueden ponerse en función de longitudes (las superficies son productos de longitudes). De este modo, todas las variables involucradas pueden adimensionalizarse utilizando una de ellas como patrón. Esto no tiene por qué ser siempre así. En el segundo ejemplo se considera el análisis de un péndulo simple con pequeñas oscilaciones. Supóngase que tras años de observaciones en distintos planetas, un astronauta poco dado a la lectura de los clásicos ha llegado por su cuenta a la conclusión de que las variables que

107

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

influyen en el periodo de oscilación (T) son la longitud (L) del péndulo y la aceleración debida a la gravedad (g) Galileo ya observó esto en el año 1581 en la catedral de Pisa –no visitó varios planetas, sin embargo-; Huygens, en 1673 calculó la expresión que permite calcular el periodo de oscilación, y que figura en los libros de educación secundaria. La ecuación dimensional que describe el problema es:

(

T = F L, g

)

[1.4]

Pero ahora no basta con una variable para adimensionalizar al resto, ya que es imposible representar la longitud en términos del tiempo, por ejemplo. De este modo, para compactar la información es preciso utilizar dos variables “adimensionalizadoras”, lo que permite construir un único monomio. Escogiendo por ejemplo las variables L y g, el monomio adimensional se definiría a partir de: T La g b

[1.5]

Y para que fuera en efecto adimensional, los valores de a y b deberían ser: T = L g −1/2 1/2

T L/g

[1.6]

A partir de esta expresión, nuestro inculto (pero curioso) navegante estelar constataría por experimentación que el número adimensional así definido tiene el valor aproximado 6,3 con independencia de la longitud y el planeta concreto (del mismo modo que Reynolds pudo establecer una frontera numérica única), lo que llevaría a la expresión final: T ≅ 6, 3 L / g

[1.7]

Que es lo mejor que cabe esperar de este método. De un modo analítico, se puede demostrar fácilmente que el resultado correcto es: T = 2π L / g

[1.8]

En este segundo ejemplo, que ilustra un caso cinemático, han sido necesarias dos variables para adimensionalizar el problema. En el siguiente apartado se intentará formalizar mínimamente esta necesidad.

108

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

2 Definiciones y principios básicos

El análisis dimensional se basa en el análisis de un problema a partir de las magnitudes que lo definen, y de las dimensiones de éstas. Sin pretender aportar definiciones rigurosas sino ideas intuitivas, se entiende que la longitud, la fuerza, la superficie, el peso, etc., son magnitudes, entendiendo con ello que son propiedades observables y medibles. Las unidades de cada una de estas magnitudes son observaciones particulares (por ejemplo, un metro es un caso particular de longitud) que se utilizan como patrón para comparar con el resto. A estas magnitudes también se les puede llamar “variables dimensionales”, dado que a las medidas de uno u otro tipo que se usan para describirlas se las conoce también como dimensiones.

• • •

Problema geométrico: las variables son del tipo longitud, área o volumen, o relaciones entre estas variables. Problemas cinemático: dado que se trata de describir el movimiento, se manejan desplazamientos, velocidades, aceleraciones, tiempos, etc. Problemas dinámicos: al pretender establecer relaciones entre los movimientos y las fuerzas que los motivan aparecen, además de las anteriores, las fuerzas, las masas, densidades, etc.

Un problema dinámico general puede incluir una cantidad muy elevada de magnitudes, pero no todas son dimensionalmente independientes. Podríamos pensar en un conjunto mínimo de magnitudes que permitiesen, mediante su combinación expresar al resto. Se define como conjunto de magnitudes fundamentales a un cierto número de magnitudes que cumplen dos propiedades: • •

No es posible representar a una de ellas como combinación del resto. Cualquier otra magnitud puede ser obtenida como combinación del grupo escogido.

El concepto “combinación” no ha sido definido. Debe entenderse que la magnitud A se obtiene como combinación de B y C si, desde un punto de vista dimensional:

109

H4

Los problemas físicos manejan variables dimensionales. En función del tipo de problema que manejemos el número o tipo de dimensiones es diferente. Analicemos tres tipos de problemas:

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

A = B bC c

[2.1]

Por ejemplo, la magnitud aceleración se puede expresar en función de las magnitudes longitud y tiempo del modo: −2 a LT = =

L T2

[2.2]

Debe entenderse que esto no es una definición de la aceleración, sino la constatación de que las unidades de la aceleración son las de la longitud entre las del tiempo al cuadrado. El concepto de sistema de magnitudes fundamentales es muy similar al de base de un espacio vectorial, y las dos propiedades que lo definen tienen su correspondencia en la independencia lineal y la capacidad generadora de las bases. Existe un gran paralelismo entre la teoría vinculada a los espacios vectoriales y la vinculada al análisis dimensional. De este modo, podemos utilizar el concepto de rango como el número mínimo de magnitudes que definen un sistema de magnitudes fundamentales, y que dependen del problema concreto. En el caso de los problemas geométricos, basta la longitud para definir al resto de variables (A=L2, V=L3). En el caso de los problemas cinemáticos, basta con dos magnitudes, por ejemplo longitud y tiempo, para definir al resto (v=L/T, a=L/T2...). La elección de las dos magnitudes con las que se puede representar al resto tiene una cierta componente de arbitrariedad. En efecto, se podría haber escogido otro par (longitud y velocidad, por ejemplo), y también sería posible representar al resto (t=L/v...). Los problemas hidráulicos son problemas dinámicos. Interesa no sólo describir el movimiento del agua sino analizar los esfuerzos implicados. No suele interesar sin embargo explorar las implicaciones termodinámicas (que exigirían introducir otra variable fundamental, la temperatura), ni eléctricas (que implicaría la inclusión, por ejemplo de la intensidad de la corriente eléctrica), ni otras (lumínicas…). Por tanto, se necesita un sistema de magnitudes fundamentales capaz de reproducir tanto las variables cinemáticas como las vinculadas a los esfuerzos. El sistema usual (el homólogo a la base canónica de un espacio vectorial) es el que incluye la longitud, el tiempo y la masa [M,L,T]. La analogía con una base canónica no es perfecta, ya que ésta cumple algunas propiedades (es ortonormal, por ejemplo), mientras que la elección del sistema citado es esencialmente arbitrario, y aunque ahora puede sonarnos natural, se debe esencialmente a la costumbre.

110

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

De hecho, hay otros sistemas de magnitudes fundamentales que se han utilizado, y que incluyen como magnitudes la longitud, el tiempo y la fuerza (L, T, F). Es el caso de llamado “sistema técnico”, ahora en desuso. La unidad básica de fuerza era el “kilopondio”. El sistema de magnitudes [M,L,T] se puede corresponder con varios sistemas de unidades. El sistema internacional (que en la actualidad es el más utilizado en el mundo), propone las unidades (kilogramo, metro, segundo) como patrones para describir las magnitudes básicas. El resto de magnitudes tienen unidades que se obtienen como combinación de las anteriores: por ejemplo, las unidades de aceleración son m/s2. Existen otros sistemas de unidades, como el “cgs” (también en desuso), que aunque mantiene como magnitudes básicas el sistema [M,L,T] propone como unidades el sistema (centímetro, gramo, segundo). Otros sistemas (sí utilizados) son los ingleses y sus derivados, que incluyen como unidades de longitud la pulgada (entre otras) y como unidad de masa la onza. Este sistema no es métrico decimal (hay distintos patrones que se usan, según las dimensiones de la magnitud a medir, como el pie, la yarda, o la milla, para la longitud). No se comentarán, aunque es frecuente encontrar estas unidades en libros escritos por autores de origen anglosajón.

H4

Recapitulando, un sistema fundamental de magnitudes consta de un número distinto de elementos según el tipo de problema que se analice (1 si es geométrico, 2 si es cinemático, 3 si es dinámico, por ejemplo), y existe una cierta arbitrariedad (o libertad) al escogerlas, así como al asignar a cada una de ellas una medida patrón, a la que se llama unidad de medida.

2.1 Principios básicos Al enunciar una ley física es fundamental respetar la homogeneidad dimensional. Este principio, que postula que las leyes físicas deben ser dimensionalmente correctas, es muy intuitivo y tiene un enunciado que se explica a los niños en los colegios en la forma “no se pueden sumar peras con manzanas”. A modo de ejemplo, no sería admisible una ley física que propusiese, por ejemplo:

F= m + a

[2.3]

Porque las unidades de la masa son distintas de las de la aceleración, y su suma no es posible, y ambas son distintas de las de la fuerza. Sólo es pues admisible la suma de magnitudes homogéneas, y sólo se pueden igualar magnitudes homogéneas. Por ejemplo, en la ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

111

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

x = x 0 + v 0t + a·t 2

[2.4]

Cada uno de los sumandos tiene dimensiones de longitud, lo que permite que puedan ser sumados, y ambos términos tienen dimensiones coherentes (de longitud). El análisis dimensional busca relaciones dimensionalmente coherentes. Un segundo principio (principio de las relaciones monomias) indica que dado un conjunto de magnitudes que definen un proceso físico, la ley que las vincula se puede expresar en forma de monomio que incluye potencias de las variables dimensionales y un factor adimensional:

(

)

[2.5]

F A,  B ,  C ,  D... = k·Aa·B b·C c·Dd

Este principio puede demostrarse a partir del concepto de función homogénea (Toda función continua incondicionalmente homogénea es un monomio) y sus implicaciones, pero no se incidirá en la teoría subyacente en este texto. De los dos principios básicos enunciados se deduce que sólo se pueden aplicar operaciones de suma o resta a magnitudes dimensionalmente homogéneas (el conjunto x 0 + v 0·t + a·t 2 sería considerada una única magnitud (x) al aplicar el principio de las relaciones monomias) y que sólo se pueden aplicar funciones trascendentes a agrupaciones adimensionales o constantes (no sería admisible incluir sin v pero sí sin v·t / L , que a todos los efectos sería un parámetro

()

(

)

( )

invariante respecto a cambios de unidades, como sin π ). De este modo, serían leyes físicas correctas: = F m = ·· a T 2π

L = x t A·cos ω·t + θ g

()

(

)

[2.6]

La primera de ellas incluye un monomio sin constantes, la segunda incluye una constante adimensional, y la tercera incluye una función (cos) que afecta a un grupo adimensional (donde se suman cantidades homogéneas -el radián es la relación entre dos longitudes, arco y radio-).

112

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

3 Teorema “P” o de Buckinham

Una vez fijados los principios básicos, se debe presentar un procedimiento para establecer el paso de un problema definido mediante variables dimensionales a otro en que se represente con números adimensionales (se les llama números precisamente porque son adimensionales, por ejemplo el número de Reynolds). Fourier, en 1822, ya utiliza los principios básicos enunciados en el apartado anterior para justificar algunas de sus aportaciones (lo que lo convierte en el padre de esta disciplina, de alguna manera), y Rayleigh, en su “Teoría del Sonido” de 1878 desarrolla también un método para analizar problemas físicos basado en el análisis dimensional (su método de asignación de variables adimensionales es más intuitivo que formal, en todo caso).

Las teorías enunciadas por Vaschy caen en un cierto olvido, y en 1911, de modo independiente, Riabouchinsky enuncia y demuestra en Rusia el mismo teorema. Entre 1914 y 1916, Buckingham escribe una serie de artículos donde, ya en su forma actualmente aceptada, presenta el teorema, sin citar explícitamente a los autores previamente mencionados (aunque existe la constancia de que conocía, al menos, los trabajos de Riabouchinsky) y adquiere notoriedad por ello, hasta el punto de que el teorema se asocia en general a su nombre. El teorema P o de Buckingham se puede enunciar así: “Un problema físico en el que intervengan n magnitudes que se pueden generar mediante un sistema de m magnitudes fundamentales puede ser descrito de forma adimensional mediante un conjunto de n-m agrupaciones o números adimensionales.”

(

)

(

F A1 , A2 , A3 , ….., An= f Π1 , Π2 , … Πn −m

)

[3.1]

Donde los números adimensionales suelen representarse con la letra Π, lo que justifica el nombre que se le suele dar al teorema. Su demostración, farragosa

113

H4

Los primeros avances para formalizar este paso se dan en Francia a finales del siglo XIX. Varios autores trabajan sobre este tema, y en concreto Aimé Vaschy, en 1892, formula un enunciado sensiblemente igual al que se presentará más adelante como teorema P.

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

aunque no compleja, se encuentra en muchos textos, incluyendo el original de Buckingham. La aplicación del teorema a los dos problemas que se enunciaron en la introducción sería: •

•

Dado un problema geométrico (cálculo de superficies de triángulos), con tres variables A, B, H (n=3, por tanto), que pueden generarse a partir de una de ellas, por ejemplo B, (m=1, por tanto), se puede plantear también en forma adimensional utilizando n-m=3-1=2 números adimensionales (H/B, A/B2) Dado un problema cinemático (cálculo del periodo de oscilación de un péndulo simple en pequeñas oscilaciones), con tres variables L, g, T (n=3, por tanto), que pueden generarse a partir de dos de ellas, por ejemplo L y g (m=2, por tanto), se pude plantear también en forma adimensional utilizando n-m=3-2=1, un sólo número adimensional (T / L / g ) .

Una vez admitido el teorema, su enunciado es trivial, y lo realmente interesante es disponer de una operativa que permita definir esos números adimensionales. Se ilustrará con un ejemplo.

Fig. 3.1 Esfuerzo hidrodinámico sobre una superficie circular

Supóngase un cuerpo cilíndrico que se opone a un flujo (por ejemplo, se puede pensar en la sección de la pila de un puente en un río). Se desea conocer el esfuerzo que el flujo genera contra la pila y se ha llegado al convencimiento (esto es lo más difícil) de que las variables relevantes son la propia fuerza (F), la velocidad del agua (v), la densidad del agua ( ρ ), la viscosidad del agua ( µ ) y el diámetro de la pila (D). De este modo, la expresión dimensional sería:

ψ ( F ,  v ,  ρ ,  µ ,  D ) = 0

114

[3.2]

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

La aplicación del teorema lleva a admitir que tenemos 5 variables en un sistema dinámico (de tres magnitudes fundamentales), con lo que se debería poder expresar en función de 5-3=2 números adimensionales. Para la determinación de esos números se plantea el desarrollo de cada una de las variables en un sistema “simple”, como el [M,L,T]. En la siguiente tabla se plantean los exponentes [M,L,T] correspondientes a cada variable cuando se las expresa del modo: [3.3]

l t A = M m LT

Tabla 1

F

v

1

𝛍𝛍

D

0

𝛒𝛒

m

1

1

0

l

1

1

-3

1

1

t

-2 -1

0

-1

0

El siguiente paso es escoger de entre las n variables (5 en este caso) un conjunto de m (3) capaces de generar al resto. Este concepto es similar al de escoger vectores linealmente independientes. Para ello, basta cerciorarse de que el determinante de la matriz de 3x3 elementos que se obtiene al escoger las tres columnas correspondientes a las variables escogidas es distinto de cero. En el ejemplo que estamos desarrollando esto sucede para tres cualquiera de ellas, pero pensemos por un momento que incluimos la aceleración de la gravedad (g) al sistema. La matriz generada por las variables v, D y g tendría determinante nulo, como se puede ver en la tabla que se presenta a continuación. De un modo más intuitivo, las variables escogidas son incapaces de representar masa, o fuerza, o densidad, porque son todas cinemáticas y no son independientes entre sí (la aceleración se puede escribir en función de la velocidad y la longitud).

115

H4

Por ejemplo, la fuerza es masa por aceleración, es decir MLT −2 , y así sucesivamente.

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica Tabla 2

F

v

g

1

𝛍𝛍

D

0

𝛒𝛒

m

1

1

0

0

l

1

1

-3

1

1

1

t

-2 -1

0

-1

0

-2

En el caso que nos ocupa cualquier grupo de tres variables es apto para representar al resto, así que tenemos plena libertad para ello (aparece una cierta arbitrariedad en la elección, que dará lugar a agrupaciones distintas según optemos por uno u otro conjunto). En este caso, optaremos por el conjunto velocidad, diámetro y densidad, con el objetivo de conseguir dos números que adimensionalicen la fuerza y la viscosidad (que son las otras dos variables). Tabla 3

v

D

𝛒𝛒

m 0

0

1

l

1

1

-3

t

-1 0

0

De este modo, los dos grupos serán:

µ F ,  d e f b c v ·D ·ρ v ·D ·ρ a

[3.4]

Se pueden calcular los coeficientes (a, b, c, d, e, f) de un modo más o menos manual, imponiendo que el total de masas, longitudes y tiempos debe ser igual en el numerador que en el denominador, lo que por ejemplo, para el primer número, supone: 2 ) a ( 0,1, −1) + b ( 0,1,0 ) + c (1, −3,0 ) (1,1, −=

[3.5]

O sea: 1 =c;

1 =a + b − 3c;  − 2 =−a

[3.6]

De donde se obtiene, de modo inmediato: = a 2,=   b 2, =   c 1

116

[3.7]

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

Pero es mucho más elegante y sistemático recordar la analogía con los espacios vectoriales, y asumir que la matriz de cambio de la base [M,L,T] a la v, D, ρ es la inversa (A-1) de la matriz (A) que expresa las coordenadas de v, D,

ρ en la base “canónica”: 0 0 1 0 0 −1     −1 A= A 1 1 − 3            = 3 1 1      −1 0 0  1 0 0     

[3.8]

De este modo, para ambos números se tiene: a    = b  c   

0 0 −1  1     3 1 1 = 1 1 0 0   −2    

2  d       ; e  2  = 1   f     

0 0 −1  1     3 1 1 =  −1 1 0 0   −1   

1   1 1  

[3.9]

Con lo que los dos números adimensionales obtenidos serán:

F µ ,  2 v ·D ·ρ v·D·ρ

[3.10]

2

Con esto finaliza la aplicación del análisis dimensional. En lo que sigue, y admitiendo que el problema se puede escribir en la forma:

(

)

ϕ F/ (v 2·D 2·ρ ), µ / (v·D·ρ ) = 0 , se puede enfocar el problema desde un punto

 µ  F = k·v 2·D 2·ρ·ψ    v·D·ρ 

[3.11]

Una vez realizada la campaña experimental, el resultado (el esfuerzo conocido como “arrastre” o “drag” -en inglés-), se suele representar como: = F

 µ  1 2 1 2 = v ·A·· ρ CD  v ·A·· ρ C D Re  2  v·D·ρ  2

( )

[3.12]

Donde se ha sustituido el cuadrado del diámetro por el área (lo que afecta a los coeficientes numéricos), se ha incluido la constante ½, y C D es el conocido “coeficiente de arrastre”, que depende de la forma de la figura que se interpone al flujo y del número de Reynolds, y que se determina experimentalmente. El número µ / (v·D·ρ ) que se presenta en la ecuación anterior es el inverso del que en su momento se denominó número de Reynolds, pero se admite que las combinaciones adimensionales de magnitudes tienen un nombre característico (cuando lo tienen) válido aunque se inviertan, se eleven al cuadrado, etc.

117

H4

puramente adimensional y realizar una campaña experimental a partir de aquí, o incluso explicitar la variable de interés, del modo:

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

4 La “ecuación general de la hidráulica”

Supóngase un problema genérico vinculado con la hidráulica, que consideramos de un modo abstracto pero del que queremos que sea general. En ese hipotético problema podrían ser relevantes todas las magnitudes que han ido apareciendo en este texto, y que, de forma sintética, se comentan a continuación: • • • •

Una longitud (L), por ejemplo el diámetro de una conducción La velocidad del fluido (v) Un esfuerzo genérico (F) (como el del apartado anterior) La densidad del fluido ( ρ )

•

La viscosidad del fluido ( µ )

• • • • •

El módulo de compresibilidad volumétrica del fluido (K) El coeficiente de tensión superficial ( σ ) La aceleración de la gravedad (g) El tiempo (t) Una segunda longitud (d), que permita establecer relaciones entre, por ejemplo, la anchura y la altura de la sección de un canal

El conjunto de magnitudes considerado no es un sistema fundamental de magnitudes (hay 10, y un sistema fundamental en hidráulica tiene 3), y tampoco es absolutamente exhaustivo (falta la masa, por ejemplo, o el peso específico, o el caudal, o la presión, o la viscosidad cinemática, etc…). En todo caso, es un conjunto en el que se manifiestan de modo explícito muchos de los esfuerzos (o magnitudes vinculadas a esfuerzos) que se han ido viendo con anterioridad. Así, está implícito el peso a partir de la aceleración de la gravedad, aparece la compresibilidad (como esfuerzo normal) y la viscosidad (como esfuerzo cortante), y la tensión superficial (como resultante de esfuerzos de cohesión interna). Este conjunto de magnitudes se considera (tras un proceso histórico de afino y convergencia) suficientemente representativo, y si figura, por ejemplo, la densidad y no la masa, se debe a cuestiones más vinculadas con la tradición que al rigor en el proceso. El problema tal y como aquí se plantea dará lugar a una forma adimensional concordante con la que se maneja en todo el mundo (aunque no es la única posible). Es, por decirlo así, un estándar.

118

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

El problema, planteado en su forma dimensional, es:

ϕ ( F , µ , K ,  σ ,  g,  t ,  d ,  v ,  L, ρ ) = 0

[3.13]

Aplicando el teorema Π , se observa que se podrán obtener 10-3=7 agrupaciones adimensionales (que obviamente no serán todas relevantes en todos los problemas). En la “base” [M,L,T] las “componentes” de cada una de las magnitudes son: Tabla 4

g

t

d v

L

m 1

1

𝛔𝛔

1

0

0 0 0

0

1

l

1

-1 -1 0

1

0 1 1

1

-3

t

-2 -1 -2 -2 -2 1 0 -1 0

F

𝛍𝛍

K 1

𝛒𝛒

0

Se escoge, igual que en el ejemplo del apartado anterior, el sistema de magnitudes fundamentales v ,  L,  ρ , y se determinan los exponentes necesarios

0 0 −1  1     F 3 1 1   1  =    1 0 0   −2 

2  0 0 −1  1       µ 3 1 1   −1 2    ;  =      1  1 0 0   −1

1   1     1

0 0 −1  1  2       K 3 1 1   −1 = 0  1 0 0   −2  1      

0 0 −1  1     σ 3 1 1   0  = 1 0 0   −2     0 0 −1 0     t 3 1 1  0  =  1 0 0  1    

2  0 0 −1  0       1    ;   g 3 1 1   1  = 1  1 0 0   −2        −1   1 0  

119

2    −1 0  

[3.14]

[3.15]

H4

para adimensionalizar cada una de las 7 magnitudes restantes (la matriz de cambio de base es la misma que la usada en el apartado anterior, ya que es el mismo sistema de magnitudes fundamentales):

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

0 0 −1 0  0       d 3 1 1  1  = 1   1 0 0  0  0      

[3.16]

Lo que da lugar a los números: F µ K ;  Π µ ; ΠK ; = = 2 v·· Lρ v ·L·ρ v 2·ρ g t d σ = Πσ = ; Πg = ; Πt = ; Πd 2 2 −1 −1 L v ·L·ρ v ·L v ·L

ΠF =

2

[3.17]

Algunos de estos números tienen nombres propios (en honor de personas relevantes que avanzaron en los campos del conocimiento afines a cada uno de los números, sin que ello signifique que los propusieran explícitamente), y/o se presentan en formas distintas de las que se han recogido en las fórmulas anteriores. A continuación se comenta brevemente cada uno de ellos. En los comentarios aparecerá el concepto genérico “fuerzas de inercia o término cinético” que en general alude al denominador de los números según la presentación que se ha utilizado en las fórmulas anteriores. En sentido estricto, sólo el correspondiente a F, es decir v 2·L2·ρ tiene dimensiones de fuerza, y de alguna manera representa esfuerzos derivados de la “cantidad de movimiento”, “energía cinética”, “velocidad” o, en general, del hecho de que el fluido es una masa en movimiento. A esto (con o sin dimensiones de fuerza) se le llamará esfuerzos (o fuerzas de inercia o término cinético). Los números que se presentarán, en algunos casos, deben ser entendidos como relaciones entre los esfuerzos motivados por alguna causa (por ejemplo la viscosidad) y los esfuerzos de inercia. Número de Euler (Eu) (en honor a Leonhard Euler (1707-1783)) El primero de los números que se ha deducido se conoce como número de Euler (en algunos textos también como número de Newton (Ne), en honor a Isaac Newton (1643-1727)). Su denominación como número de Newton es más usual cuando se explicita una fuerza. Si se considera que la fuerza dividida entre L2 da lugar a una presión y se compacta el número, se usa más el término (Eu). En cualquier caso es el mismo número. Los números adimensionales, como se ha indicado, reciben la misma denominación tanto si se invierten como si se elevan a una cierta potencia. Es usual ver el número de Euler (y al resto, como se verá) en su forma de relación entre velocidades. Π= Ne = F

F p = 2 = Eu     ;   Eu = 2 v ·L·ρ v ·ρ 2

120

v p/ρ

[3.18]

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

El significado del número de Euler es algo abstracto, ya que F puede ser un esfuerzo cualquiera. Si se considera por ejemplo la relación entre presiones y término cinético en una conducción, como se verá más adelante, este número informa sobre la sensibilidad de un conducto a la cavitación. En cualquier caso, los números representan distintas relaciones entre “esfuerzos” según el caso concreto que se esté analizando. Número de Reynolds (Re) (en honor a Osborne Reynolds (1842-1912)) El número de Reynolds representa la relación entre esfuerzos viscosos y fuerzas de inercia. El numerador (en la forma en la que ha sido deducido) presenta a la viscosidad como causante de esos esfuerzos, y garante del “orden laminar”, frente al denominador, donde la velocidad, la densidad y el diámetro tienden, al aumentar, a propiciar la turbulencia. Este número ya ha sido comentado con anterioridad. Se presenta tanto en la forma que se ha deducido como en su forma inversa (que es la que define la frontera 2000-3000 para el umbral laminar/turbulento en tuberías), y tanto en función de la viscosidad dinámica como en función de la viscosidad cinemática.

= Πµ = Re

µ

ν

= =        ;       Re v·· L ρ v·L

v·· L ρ v·L =

µ

ν

[3.19]

El número de Cauchy muestra la relación entre esfuerzos vinculados a la compresibilidad (trabajo vinculado a energía elástica) y esfuerzos de inercia. Su forma usual puede ser la deducida, pero también se puede expresar como relación de velocidades, en cuyo caso, se conoce como número de Mach (Ma) (en honor de Ernst Mach (1838-1916). Π= Ca = K

K        ;      Ma = v 2·ρ

v K /ρ

[3.20]

El cociente del número de Mach es la velocidad de propagación de una onda de compresión (por ejemplo el sonido), con lo que este número es una relación entre la velocidad de un fluido y la velocidad del sonido en ese fluido, o bien, en otro ámbito, la relación entre la velocidad de un cuerpo que se mueve en el seno de un fluido y la velocidad del sonido en ese fluido. Si el número de Mach es superior a la unidad de habla de flujo supersónico, mientras que si es inferior a la unidad se habla de flujo subsónico. Este número no tiene un gran protagonismo en ingeniería civil (salvo en algunas singularidades del flujo a presión), pero es un número muy relevante en

121

H4

Número de Cauchy (Ca) (en honor a Augustin Louis de Cauchy (17891857))

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

algunas áreas de la mecánica de fluidos, como por ejemplo en aquellas que tienen que ver con la aeronáutica. Número de Weber (We) (en honor a Moritz Weber (1871-1951)) El número de Weber es la relación entre los esfuerzos vinculados a la tensión superficial y las fuerzas de inercia. Tiene relevancia en flujos capilares, y en las superficies de separación entre gases y líquidos o entre líquidos y sólidos, siempre que las dimensiones sean reducidas. En general no es un número relevante en la práctica de la ingeniería civil, salvo en algunas aplicaciones particulares en las que por las reducidas dimensiones de las infraestructuras puedan manifestarse sus efectos (chorros de poca entidad, vertidos con muy pocas lámina, etc.). Se presenta tanto en su forma directa (la que proviene de la aplicación del teorema de Buckingham) como en la inversa, o como relación de velocidades (velocidad del agua frente a la celeridad de las ondas capilares). We Π = = σ

σ v ·L·ρ 2

     ;     We =

v

σ / ( ρ·L)

[3.21]

Número de Froude (Fr) (en honor a William Froude (1810-1879)) El número de Froude representa la relación entre esfuerzos gravitatorios y esfuerzos de inercia. Es el número más importante en el análisis de flujos en lámina libre (ríos, canales) y el responsable de la diferencia entre el flujo de apariencia “plácida” o de apariencia “brava” en un río (que la gente suele confundir con el flujo laminar o turbulento). Suele expresarse como cociente de velocidades (o su cuadrado). g = 2 −1      ;    Fr = Π= Fr g v ·L

v

v2 =      ;    Fr g·L g·L

[3.22]

La velocidad que está en el denominador ( g·L ) se conoce como “celeridad de las ondas de perturbación gravitatoria”, y es por ejemplo la velocidad a la que se mueven las ondas concéntricas que se dan en un estanque cuando lanzamos una piedrecita, o, en el otro extremo, los tsunamis. El valor de L suele ser la profundidad, en ambos casos. Si se considera un tsunami en aguas profundas, la velocidad puede ser alarmantemente alta. Número de Strouhal (St) (en honor a Vicenz Strouhal (1850-1922)) El número de Strouhal alude al tiempo, pero también, y más usualmente, a la frecuencia (su inverso) o a la frecuencia angular en fenómenos oscilatorios. No es un número usual en la hidráulica básica, y sólo se manifiesta al evaluar flujos con una cierta componente oscilatoria o periódica a lo largo del tiempo.

122

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

St Π= = t

t v v =        ;      St = ϖ·L v ·L f·L −1

[3.23]

La relación entre longitudes no tiene nombre propio. En algunos ámbitos puede utilizarse para definir la relación entre anchura y altura (por ejemplo en un canal). En el cálculo de conducciones, se definirá una relación entre el tamaño de las irregularidades que definen la rugosidad en una conducción y su diámetro. A esta relación se la conoce como rugosidad relativa.

5 Teoría de la semejanza

Con esta idea, aparece la posibilidad de realizar experimentación en modelos reducidos (maquetas) que permitan observar a pequeña escala fenómenos que después se reproducirán en el prototipo real. Esto tiene especial relevancia si lo que se desea es proyectar una infraestructura importante (una presa, por ejemplo), y se quiere conocer a priori su funcionamiento hidráulico (los posibles problemas derivados del vertido de las crecidas por los órganos de desagüe, por ejemplo), o diseñar una turbina para optimizar su forma. Las modificaciones a pequeña escala son fáciles de implementar, y si se tiene la constancia de que existe un paralelismo entre el funcionamiento del modelo (lo pequeño) y el prototipo (lo grande), se podrá mejorar mucho el diseño del prototipo trabajando en el modelo. Para ello, se deben comentar los aspectos básicos de lo que se conoce como “teoría de la semejanza”. Existen distintos tipos de semejanza entre un modelo y un prototipo, cada uno de los cuales incluye a la categoría anterior. El mínimo requisito de semejanza es el que se conoce como “semejanza geométrica”, en el que se impone que para

123

H4

El análisis dimensional tiene como uno de sus objetivos (al menos en hidráulica) orientar adecuadamente la experimentación. Como en el primer ejemplo que se presentó (el de los triángulos), un análisis dimensional previo permite una experimentación orientada y, sobre todo, independiente del tamaño de aquello que se analiza (lo válido para triángulos pequeños es válido para triángulos grandes).

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

que un modelo y un prototipo sean semejantes, deben ser geométricamente semejantes, lo que impone que las relaciones entre dos longitudes cualesquiera en el modelo y el prototipo deben ser iguales, así como deben ser iguales todos los ángulos.

Fig. 5.1 Figuras geométricamente semejantes

La semejanza geométrica introduce el concepto de escala geométrica (o escala de longitudes, o escala, sin adjetivos), como relación entre longitudes homólogas en prototipo (p) y modelo (m):

λL= λ=

Lp

Lm

[4.1]

Puede parecer un requisito necesario y simple, pero en realidad es complejo de conseguir. Por ejemplo, la rugosidad de los materiales se representa por una longitud (la altura media de las irregularidades) y reproducirla adecuadamente a escala puede ser complicado. El mismo tipo de problema aparece cuando se pretende, por ejemplo, hacer el modelo de un cauce fluvial con lecho erosionable. La composición del fondo (arenas, por ejemplo) pasa en el modelo a un tamaño mucho más fino, en el que, en algunos casos, se desarrollan fenómenos indeseados (cohesión) que no se dan en las arenas del prototipo. Estos problemas que surgen al reducir el tamaño se conocen como “efectos de escala” y deben tenerse siempre presentes. Es posible que los efectos de escala invaliden los resultados de un modelo, si son muy relevantes.

124

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

Además de la escala de longitudes, se puede definir la escala de superficies y la escala de volúmenes, que serán, respectivamente: Ap L2p = = = λA Am L2m

2

 Lp  Vp L3p 2 = = λ     ;   = λV  =  L  V L3m m  m

3

 Lp  λ3  =  L   m

[4.2]

Es bastante obvio que si observamos un cuadrado y un cubo de 1 metro de lado, su área y su volumen son 1 m2 y 1 m3, respectivamente, mientras que si su lado se duplica, su área pasa a ser 4 m2 y su volumen 8 m3, con lo que las relaciones para calcular las nuevas longitudes, área y volúmenes son 2, 22=4 y 23=8, respectivamente. El segundo requisito para la semejanza se conoce como “semejanza cinemática”, que implica que además de la relación de longitudes, la relación entre velocidades se mantenga constante entre el modelo y el prototipo (las líneas de corriente deben ser geométricamente semejantes). La idea es que para recorrer espacios semejantes en modelo y prototipo se tarden tiempos asimismo semejantes, lo que establece una escala de tiempos ( λt ), única para cualquier No es sencillo comprender el concepto de escala de tiempos. Se apela al concepto de escala de superficies o de volúmenes para aceptar, de momento, que cada magnitud puede tener su propia escala. En todo caso, si se considera un ejemplo simple, como un cuerpo cayendo desde una cierta altura por efecto de la gravedad, es obvio que el tiempo en caer desde una altura diez veces superior no es diez veces más grande, con lo que se puede entender que la escala de tiempos y la de longitudes no tienen por qué coincidir. A partir de aquí se puede considerar la escala de velocidades. Ampliando a otras magnitudes cinemáticas, se puede definir también la escala de aceleraciones (cuya deducción no se detalla):

L    vp Lp tm λL λL λ λ  t p λ = = = = =     ;   = λa = v 2 vm  L  Lm t p λt λt λt λt2    t m

[4.3]

Estas relaciones de escala deben mantenerse constantes para cualesquiera velocidades y aceleraciones si se cumple la semejanza cinemática.

125

H4

tiempo considerado.

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

Fig. 5.2 Figuras cinéticamente semejantes

Dado que el campo de velocidades y de aceleraciones depende en definitiva del campo de esfuerzos imperante, la razón por la que puede dejar de darse semejanza cinemática tiene que ver con aspectos dinámicos. Si al reducir el tamaño aparecen como relevantes esfuerzos que en el prototipo no lo serán (por ejemplo la tensión superficial, que se manifiesta como importante sólo en pequeñas dimensiones), pueden percibirse alteraciones en las líneas de corriente o en los campos de velocidades debidos a estas causas. Esto también constituye un efecto de escala, y, de ser relevante, puede invalidar el modelo. Esto en el fondo implica que los modelos a escala no pueden ser muy pequeños (deben superarse las dimensiones en las que la tensión superficial es relevante, como norma general). El último tipo de semejanza, que engloba a los anteriores y que es la causa última de que se produzca la semejanza cinemática, es el de “semejanza dinámica”, que implica que se deben dar relaciones entre esfuerzos iguales en el modelo y en el prototipo. Las fuerzas pueden ser de muy distinta naturaleza (se indica su expresión y, en su caso, su forma dimensional): •

FG m·g → ρ·L3·g Gravitatorias: =

•

 dv  Viscosas: FV µ   A → µ·· vL =  dy  Debidas a la tensión superficial: FT = σ·L

•

FE K·A → K·L2 Elásticas: =

•

m·a ρ·L3 Inercia: FI =→

•

L = ρ·v 2·L2 −2 T

126

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

Fig. 5.3 Figuras dinámicamente smejantes

El incluir como fuerza a la inercia (como m·a) vincula el campo de esfuerzos con el de aceleraciones, y, por tanto, con el de velocidades, y admitir la semejanza dinámica en sentido amplio (incluyendo las fuerzas de inercia) implica incluir la cinemática, lo quiere decir en la práctica que si garantizamos que los esfuerzos son efectivamente proporcionales, los campos de aceleraciones y de velocidades (como derivados de estos) cumplirán las leyes que les correspondan. El hecho de que se exija semejanza dinámica quiere decir, en un problema genérico que incluya este tipo de esfuerzos, que deben darse todas las relaciones del tipo. Escogiendo por ejemplo las fuerzas gravitatorias y las de inercia y recordando el concepto subyacente en los números adimensionales, se tiene:   FG  ρ·L3·g ρ·L3·g =    → =    ;  Frp = Frm    2 2 2 2 F ρ · v · L ρ · v · L p m  p  I m

[4.4]

H4

 FG   FI

(m: modelo, p: prototipo) Si se expresan las relaciones entre los esfuerzos homólogos en modelo y prototipo, se deduce de modo directo que: FG ,p FV ,p FT ,p FE ,p FI ,p = = = = FG ,m FV ,m FT ,m FE ,m FI ,m

[4.5]

Existe un problema serio para el cumplimiento de estas relaciones, vinculado a la existencia de constantes absolutas (que no se pueden escalar) que aparecen en las igualdades ρ , g, µ ,  σ , K . Admitir las expresiones anteriores implica de

(

)

hecho que todos los números adimensionales presentados (Re, Fr, Eu, We, Ca) sean iguales en modelo y prototipo, ya que representan relaciones entre esfuerzos, como se ha visto para el número de Froude en los párrafos anteriores. Si se imponen simultáneamente todas estas condiciones, aparecen inconsistencias, debido a que no se pueden alterar las constantes intrínsecas. Se ilustrará con un

127

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

ejemplo, en el que se impone simultáneamente la igualdad de los números de Reynolds y Froude. Al imponer que el número de Froude se conserve en modelo y prototipo, estamos imponiendo que la escala de los números de Froude sea la unidad: L·g Frp v2 = 1=    p = Frp= Frm     ; λFr= Frm L·g v2 m

 Lp  L  m

  gp   g  m

  v2   m2  v  p

 = λ·λg·λv−2  

[4.6]

Obviamente, no vamos a cambiar las condiciones gravitatorias para hacer un modelo reducido de una obra hidráulica, con lo que la escala de la aceleración de la gravedad debe ser la unidad (esto obliga a que todas las aceleraciones respeten esa misma escala). Si se da esta condición ( λg = 1 ), tenemos que: −2 = 1  λ·λg·λ = λ·1·λv−2      →    = λ λv2    ;   = λv λ 1/2 v

[4.7]

La escala de velocidades es pues la raíz cuadrada de la escala geométrica. Esto quiere decir que si en un modelo medimos una cierta velocidad (pongamos 0,5 m/s), y el modelo se ha construido a escala 10, la velocidad que cabrá esperar en el prototipo es de 0,5 10 = 1,58 m   /s . El número de Froude alude a relaciones entre fuerzas gravitatorias y fuerzas de inercia. Un caso claro en que aparecen ambos tipos de esfuerzos es la caída libre de un cuerpo sometida a la gravedad. La velocidad que dicho cuerpo adquiere, desde una altura H, es

2gH . Esta es una relación que surge

directamente de la aplicación del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Considérese un modelo a escala 10, para simular la caída de un cuerpo desde una altura de 100 m. En este caso, tendríamos H p =100, 𝜆𝜆 = 10 y por tanto H m =10. Para analizar la relación entre las velocidades que aparecerán en el modelo y el prototipo podemos considerar:

= λv

vp = vm

2g·H p = 2g·H m

Hp = Hm

= λ

10

[4.8]

Como se ve, las relaciones entre escalas no hacen más que recoger las leyes físicas que se imponen, y los campos de velocidades ya reflejan de modo natural la imposición derivada de que tanto en el modelo como en el prototipo rige la misma aceleración de la gravedad. Así, en un modelo en el que la gravedad es un esfuerzo relevante, la escala de velocidades es la raíz cuadrada de la escala geométrica.

128

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

Hagamos ahora el mismo ejercicio con el número de Reynolds. Imponer que la relación entre los esfuerzos viscosos y los de inercia se mantenga entre modelo y prototipo implica: Rep = Rem    

λRe=

L·· vρ

Rep

µ p  Lp   v p = 1=    =   L v Rem L·· vρ m   m µ

  ρp   ρ  m

 µ  m  µ  p

 = λ·λv·λρ·λµ−1  

[4.9]

m

Aunque podría plantearse utilizar fluidos distintos en el modelo y en el prototipo no es lo usual, con lo que lo más frecuente es que tanto en el modelo como en el prototipo el fluido que circula sea agua. Esto lleva a que las escalas de densidades sea la unidad, y a que la escala de viscosidades también sea la unidad. De modo análogo a lo que se comentó con el número de Froude, esto conlleva:

λµ−1 λ·λv·1·1    → = λv λ −1 = = 1 λ·λv·λρ·

[4.10]

Es decir, en un modelo en el que se consideren sólo los esfuerzos viscosos y de inercia, la trasposición de velocidades entre modelo y prototipo sigue una ley como la indicada λv = λ −1 , muy distinta de la anteriormente deducida para el Es pues evidente que si en un modelo se incluyen tanto fuerzas gravitatorias como viscosas, no se pueden trasponer las velocidades del modelo al prototipo (y no habrá por tanto semejanza dinámica ni cinemática) porque las leyes válidas para trasponer velocidades derivadas de campos de esfuerzos gravitatorios son distintas de las derivadas para campos de esfuerzos viscosos. Esto sólo se podría solucionar escalando las constantes (densidad, viscosidad, aceleración de la gravedad) lo que en general es inviable en la práctica. A este efecto se le conoce como “paradoja de la imposibilidad” e invalida en la práctica la semejanza dinámica en el caso de que, además de la inercia, haya varios esfuerzos dominantes. Sólo en el caso de que, por ejemplo, sólo la gravedad sea relevante, y el resto de esfuerzos sean despreciables (los viscosos, la tensión superficial, etc.) se podrá aplicar una ley de semejanza, que será una ley en la que se impondrá que las relaciones entre los esfuerzos de inercia y los esfuerzos relevantes se mantengan. En el caso indicado, deberá mantenerse por tanto el número de Froude, y se hablará de “semejanza de Froude”. En el caso de flujos con una dominancia de esfuerzos viscosos, se hablará de “semejanza de Reynolds”. Distintos problemas en mecánica de fluidos implican distintos esfuerzos dominantes y por tanto distintos tipos de semejanza. Cuando se analiza un perfil de ala de avión, un coche en un túnel de viento, o un barco en un canal

129

H4

número de Froude.

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

hidrodinámico, suele ser relevante el efecto de la viscosidad, en cuyo caso se utilizan modelos de Reynolds, aunque a altas velocidades pasa a ser mucho más relevante la compresibilidad, y en ese caso los modelos se realizan atendiendo al número de Mach. En ingeniería civil, los modelos de vertido a través de aliviaderos de presas, o de flujo en encauzamientos, paso bajo puentes, etc., suelen tener como esfuerzo dominante la gravedad, por lo que los modelos en ingeniería civil suelen atender al criterio de Froude. Los modelos deben ser lo suficientemente grandes como para que otros esfuerzos (como los viscosos o la tensión superficial) no distorsionen los resultados, generando efectos de escala. A lo largo de los párrafos anteriores se han calculado algunas escalas para magnitudes geométricas, y se han comentado las escalas asociadas a la velocidad para los criterios de semejanza de Froude y Reynolds. Obviamente, el resto de magnitudes también tiene su propia escala, que es distinta si se considera el criterio de Froude, el de Reynolds, u otro. A continuación se presentan las escalas asociadas a las principales magnitudes: Tabla 5

Magnitud

Dimensiones

Longitud

L

Superficie

L2

Volumen

L3

Tiempo

T

Velocidad

Escala según el criterio o ley de semejanza Froude

Reynolds

Weber

Mach

λ

λ

λ

λ

λ2

λ2

λ2

λ2

LT-1

λ1⁄2

λ2

λ

λ3⁄2

Aceleración

LT-2

Caudal

L3T-1

Presión

ML-1T-2

Fuerza

MLT-2

λ3

λ3

λ1⁄2 1

λ−1

λ5⁄2

λ

λ

λ3

130

λ3 1

λ−3

λ−1

λ−2 1

λ3

λ−1⁄2 λ−2

λ3 1

λ3/2

λ2

λ

λ−1

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

PROBLEMA – 4 A

ENUNCIADO

Dentro del proyecto de construcción de una nueva central hidroeléctrica, se ha diseñado una toma de agua en una de las márgenes en un embalse existente. Por la toma circulará un caudal máximo de 135 m3/s, que se alcanzará a los 4 minutos desde el arranque de la central.

H4

Se desea elaborar un modelo físico para caracterizar el flujo en el embalse en las proximidades de la toma cuando la central entra en funcionamiento. La geometría del prototipo es la mostrada en la siguiente figura.

Fig 1 Vista en planta y sección de la toma. Dimensiones en metros.

131

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

Se dispone de un área rectangular de 10 m x 5 m para la construcción del modelo en el laboratorio. El modelo se construirá en hormigón. En función de su acabado, su rugosidad se corresponderá con un coeficiente de Manning entre 0.011 y 0.015 m-1/3·s. La caracterización hidráulica del flujo en las proximidades de la toma estará basada en mediciones de velocidad y calado, como se muestra en la siguiente figura.

Fig. 5.4 Modelo físico e instrumentación: medida de velocidades (izquierda) y calados (derecha)

Se pide: A) Determinar la mayor escala geométrica posible en base a la capacidad del laboratorio. Para esa escala, ¿cuál será la altura total del modelo, considerando un resguardo de 10 cm desde el nivel máximo del agua? B) ¿Qué semejanza se debe emplear para realizar el modelo? ¿Cuál es la escala de velocidades, calados, caudales y tiempos de ensayo? C) ¿Con qué caudal se debe ensayar el modelo? ¿Cuál debe ser la duración del ensayo? D) Analizar si el material con el que se construirá el modelo permite evitar efectos de escala en términos de rugosidades, si el número de Manning se estima de 0.024 m-1/3·s en prototipo.

132

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

PLANTEAMIENTO

En este ejemplo se quiere estudiar el flujo en las proximidades de una toma de agua en un embalse. Para ello, se va a construir un modelo a escala en el laboratorio. En primer lugar, hay que establecer la escala geométrica en función de las dimensiones en prototipo y del espacio disponible en el laboratorio. A continuación se definirá el tipo de semejanza, según el fenómeno a estudiar. Se calcularán entonces las relaciones de escala para las variables del problema (en este caso, para el calado, la velocidad, el caudal y el tiempo). Mediante estas relaciones se definirán los parámetros del ensayo, que en este ejemplo son el caudal y la duración. Finalmente, se analizará la escala de rugosidades (coeficiente de Manning) para seleccionar el material de construcción del modelo.

RESOLUCIÓN

Las relaciones entre dos longitudes cualesquiera en el modelo y el prototipo deben ser iguales. Para determinar la escala geométrica máxima, comparamos las dimensiones del prototipo con las del área disponible en el laboratorio. Tabla 1 Comparación entre las dimensiones del prototipo y las del laboratorio

Dimensiones (m) Laboratorio Prototipo

Escala geométrica (λ) máxima

Longitud

10

400

40

Anchura

5

170

34

En base al área disponible en el laboratorio, la longitud del prototipo impone una escala máxima de λ=40.

133

H4

A) Escala geométrica

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

De acuerdo con la sección de la toma, la diferencia entre la altura máxima de lámina de agua y la cota mínima (en la conducción a presión) es de 208.1 m – 174.4 m = 33.7 m en prototipo. Con una escala geométrica de λ=40, esta altura equivale a 0.84 m en modelo. Considerando un resguardo de 10 cm (en modelo), la altura total del modelo será de 0.94 m. = Altura

( 208.1 − 174.4 ) ⋅ 401 + 0.10=

0.94 m

[1]

B) Tipo de semejanza Debemos usar la semejanza de Froude por tratarse de un flujo en lámina libre, cuyo esfuerzo dominante es la gravedad. Calculamos las diferentes escalas que permitirán la traslación de las magnitudes de modelo a prototipo utilizando la semejanza de Froude. Partimos de la escala geométrica (o escala de longitudes) λ calculada en el apartado anterior. La escala de calados λ h es directamente la escala de longitudes, es decir: [2]

λh= λ= 40

Calculamos ahora la escala de velocidades λ v . Si utilizamos semejanza de Froude estamos afirmando que el monomio adimensional dado por: Fr =

v

[3]

g·L

permanece constante entre el prototipo y el modelo. Ello implica que:  L·g   2   Lp   g p Frp  v p  =1 = = L  g  L·g  Frm m  m   2   v m

  v2  m   v2  p

  =λ ⋅ λ ⋅ λ −2 g v  

[4]

Las condiciones de gravedad serán iguales en prototipo y modelo, es decir, λ g =1. Por tanto, la escala de velocidades resulta:

λv = λ 1/2

[5]

En este caso, la escala de velocidades toma el siguiente valor: = λv

= 40 6.32

[6]

Obtenemos ahora la escala de tiempos λ t . Conocida la longitud y la velocidad, el tiempo es una magnitud derivada:

134

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

L v

T =

[7]

Por tanto:

λ λv

= λt

=

λ λ

= λ 1/2

1/2

[8]

En este caso, la escala de tiempos resulta: = 40 6.32

= λt

[9]

Finalmente, calculamos la escala de caudal λ Q . El caudal es una unidad derivada de la longitud (volumen) y el tiempo, dada por: Q =

L3 T

[10]

Por tanto: = λQ

λ3 λ

= λ 5/2 1/2

[11]

En este caso, la escala de caudales toma el valor: 5/2 = λQ 40 = 10119.3

[12]

C) Parámetros del ensayo La relación entre los caudales en prototipo y en modelo viene dada por: [13]

siendo Q P el caudal en prototipo, Q m el caudal en modelo y λ la escala geométrica. El caudal máximo a ensayar en modelo es por tanto:

= Qm

Qp = 5/2

λ

135 = 0.013 m3 /s 5/2 40

[14]

En el ensayo se busca caracterizar el flujo en el embalse desde el arranque de la central hasta que se alcanza este caudal máximo. De acuerdo con el enunciado, se trata de un período de 4 minutos. La relación entre los tiempos en prototipo y modelo es la siguiente: t p = λt ⋅ tm = λ 1/2 ⋅ tm

[15]

siendo t P el tiempo en prototipo, t m el caudal en modelo y λ la escala geométrica. En base a esto, la duración mínima del ensayo debe ser de:

135

H4

Qp = λQ ⋅ Qm = λ 5/2 ⋅ Qm

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

tp 4 = = 0.63 min = 38 s λ 1/2 401/2

= tm

[16]

D) Rugosidad Empleamos en este apartado la fórmula de Manning, que puede escribirse como:

I =

n2 ⋅ v 2 Rh 4/3

[17]

donde n es el coeficiente de rugosidad, I es la pendiente motriz, v es la velocidad y R h es el radio hidráulico. El radio hidráulico tiene unidades de longitud, ya que se define de modo general como la relación entre el área de flujo y el perímetro mojado. La escala de rugosidades λ n resulta así:

λn =

np

nm

=

vm ⋅ I p1/2 ⋅ Rh , p 2/3 vp ⋅ Im

1/2

⋅ Rh ,m

2/3

=λv −1 ⋅ λ 2/3 =λ −1/2 ⋅ λ 2/3 =λ 1/6 [18]

Por tanto, para conservar el número de Manning si éste es de 0.024 m −1/3·s en prototipo: n= m

np =

λn

np 0.024 = = 0.013 m -1/3·s 1/6 1/6 λ 40

[19]

El número de Manning en modelo debe ser de 0.013 m-1/3·s. Este valor se encuentra dentro del rango señalado en el enunciado para el hormigón, por lo que sería un material adecuado para la construcción del modelo.

136

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

PROBLEMA – 4 B

ENUNCIADO

H4

La hidrodinámica en las escalas de peces de hendidura vertical depende de seis variables: el caudal circulante (Q), la pendiente geométrica (S), la anchura de hendidura (b), el calado característico del flujo (y), la aceleración de la gravedad (g) y la densidad del agua (ρ). Calcular los parámetros adimensionales que se pueden formar con estas variables.

Fig 2 Esquema de una escala de peces de hendidura vertical

PLANTEAMIENTO

En este ejemplo se plantea el estudio del flujo en las escalas de peces de hendidura vertical. En el enunciado se indican las variables más

137

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

relevantes que intervienen en el problema y se busca reducir su número mediante análisis dimensional. Para ello, hay que expresar dichas magnitudes físicas en función del conjunto de variables fundamentales. Después seleccionaremos, dentro de las magnitudes físicas más relevantes, el conjunto linealmente independiente sobre el que se expresarán las demás como monomios adimensionales. Para saber el número de grupos adimensionales independientes que se pueden formar, aplicaremos el teorema Π de Buckingham.

RESOLUCIÓN

El propio enunciado nos indica las variables relevantes del problema. Por tanto, la expresión dimensional del problema puede escribirse de la siguiente forma:

(

)

Ψ Q, S , b, y , g, ρ = 0

[20]

Si n=6 es el número de variables del problema y r=3 es el número de variables fundamentales involucradas en estas variables [M,L,T], entonces el teorema Π de Buckingham del análisis dimensional nos dice que se pueden obtener n-r=3 grupos adimensionales independientes. Expresamos las variables del problema en función de las variables fundamentales [M,L,T], de la siguiente forma: Tabla 6 Ecuaciones dimensionales de las variables consideradas

Variable Ecuación dimensional Q

L3 T-1

S

adimensional

b

L

y

L

g

L T-2

ρ

M L-3

138

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

Cada variable A está así expresada según: l t A = M m LT

[21]

Formamos una matriz con los exponentes m, l, t correspondientes a cada variable: Tabla 7 Exponentes para cada variable

Q

S

b

y

g

ρ

m

0

0

0

0

0

1

l

3

0

1

1

1

-3

t

-1

0

0

0

-2

0

El siguiente paso es escoger de entre las n variables (6 en este caso) un conjunto de m (3 en este caso) capaces de generar al resto. El determinante de la matriz seleccionada debe ser distinto de cero. Escogemos el grupo b, g, ρ.

b

g

ρ

M

0

0

1

L

1

1

-3

T

0

-2

0

H4

Tabla 8 Exponentes para las tres variables seleccionadas

Comprobamos que el determinante de la matriz 3x3 resultante es efectivamente distinto de cero. 0

0

1

1

1

−3 =−2 ≠ 0

0 −2

[22]

0

Seleccionando este conjunto b, g, ρ, los grupos serán: Q b

α1

,

S

⋅ gα 2 ⋅ ρ α 3 b

α4

⋅g

α5

⋅ρ

α6

,

y b

α7

⋅g

α8

⋅ ρα 9

[23]

Imponemos que el total de masas, longitudes y tiempos debe ser igual en el numerador que en el denominador. Para el primer número supone: 139

H4. Análisis dimensional y semejanza hidráulica

3, −1) ( 0,=

α1 ( 0,1, 0 ) + α 2 ( 0,1, −2 ) + α 3 (1, −3, 0 ) 0 = α3

[24] [25]

3 = α1 + α 2 − 3α 3

−1 =−2α 2

Resulta α 1 =5/2, α 2 =1/2 y α 3 =0, por tanto: = Π1

Q = b 5/2 ⋅ g 1/2 ⋅ ρ 0

Q 5

b ⋅g

[26]

Para el segundo número implica que: 0, 0, 0 ) (=

α 4 ( 0,1, 0 ) + α 5 ( 0,1, −2 ) + α 6 (1, −3, 0 )

[27]

Resulta α 4 = α 5 = α 6 =0, por tanto: = Π2

S S = b ⋅ g0 ⋅ ρ0 0

[28]

De igual forma para el tercer número: 0,1, 0 ) (=

α 7 ( 0,1, 0 ) + α 8 ( 0,1, −2 ) + α 9 (1, −3, 0 ) 0 = α9

1 = α 7 + α 8 − 3α 9

[29] [30]

0 = −2α 8

Resulta α 7 =1, α 8 =0 y α 9 =0, por tanto: = Π3

y y = b1 ⋅ g 0 ⋅ ρ 0 b

[31]

Comprobamos la adimensionalidad de los grupos obtenidos para evitar posibles errores: = Π1

Q = b5 ⋅ g

L3 ⋅ T −1 L3 ⋅ T −1 = L3 ⋅ T −1 L5 ⋅ L ⋅ T −2

Π2 = S (adimensional)

Π3 =

y L = b L

[32] [33] [34]

De esta forma se han obtenido tres números adimensionales para estudiar el flujo en escalas de peces de hendidura vertical.

140

H5

- Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Contenidos

1

Introducción

143

2

Análisis de un segmento simple de tubería

144

2.1 Planteamiento de los problemas básicos

159

2.2 Fórmulas empíricas

163

2.3 Pérdidas localizadas de energía

165

2.3.1 Efecto sobre la línea de energía

170

2.4 Bombeos

3

174

2.4.1 Curva resistente de una impulsión. Punto de funcionamiento

178

2.4.2 Ubicación de la bomba. NPSH

179

2.4.3 Agrupaciones de bombas

182

Redes de tuberías en régimen permanente

186

3.1 Introducción en el cálculo de válvulas de funcionamiento automático 190

4

Redes en tuberías

5

Ejercicios

régimen

cuasi-no

permanente

en

193 197

5.1 Problema – 5 A

197

5.2 Problema – 5 B

206

5.3 Problema – 5 C

216

5.4 Problema – 5 D

223

5.5 Problema – 5 E

235

142

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

1 Introducción

H5

Existe una división clara entre dos tipos de conducciones de agua: las que la transportan a presión y las que lo hacen en lámina libre. Las redes de abastecimiento a poblaciones y las redes de regadío son ejemplos de sistemas de conducciones a presión, en oposición a los sistemas de saneamiento, que son en general conducciones en lámina libre, asimilables a canales. Los ríos también son conducciones en lámina libre, así como los tubos que no trabajan a sección llena. Abusando del lenguaje, se habla a veces de flujo en tuberías en lugar de flujo en presión, aunque si por esas mismas tuberías circula el agua sin llenarlas, el flujo será en lámina libre.

Fig. 1.1 Flujo en presión y flujo en lámina libre

Las técnicas para el cálculo de unos y otros tipos de conducciones son muy distintas, como lo son las variables que se pretende determinar. En un conducto a presión la geometría es un dato (el diámetro, el área de flujo, son datos conocidos) mientras que en lámina libre, con un grado de llenado variable, la sección o en general la geometría de los conductos son incógnitas a priori desconocidas. Recíprocamente, la presión en un conducto lleno es una variable a determinar, y puede alcanzar valores muy altos que hacen prácticamente despreciable la componente hidrostática, mientras que en lámina libre, dada la geometría, la distribución de presiones (únicamente hidrostática) es inmediata.

143

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Ya centrándonos en los flujos a presión, el objetivo del cálculo de un conducto o una red de conductos es garantizar su funcionamiento; esto se puede traducir en garantizar que se van a servir los caudales necesarios, o que las presiones de suministro son las adecuadas (el agua debe llegar a los pisos altos de los edificios, dentro de un orden), y que además no se van a producir disfunciones en ningún punto de la conducción o de la red. En función de si se trata de comprobar el estado de una red existente o de diseñar una red nueva, aparecen varios enfoques, o varían las incógnitas; así, en un proyecto de comprobación o rehabilitación, las dimensiones de las conducciones son un dato, y las incógnitas pueden ser los caudales de suministro. En un proyecto de diseño, los caudales de suministro suelen ser el dato de partida, y las dimensiones (diámetros) de los tubos son las incógnitas. Independientemente del tipo de análisis, existen variables instrumentales que siempre deben ser calculadas y que realmente gobiernan el flujo. La fundamental, junto con el régimen de caudales, es la distribución de presión en la conducción o la red.

2 Análisis de un segmento simple de tubería

Una red de conducciones es un entramado de líneas o segmentos que comienzan o acaban en uniones a las que usualmente se llama “nudos”. El agua circula a través de las conducciones movida por el desequilibrio energético de los nudos (circula de un nudo donde hay más energía a un nudo donde hay menos), y cabe inferir que lo hace con más interés (con más velocidad) cuanto mayor es ese desequilibrio. Se comienza el análisis considerando una línea simple (un único segmento) limitado en sus extremos por sendas condiciones energéticas que se esquematizan como depósitos equivalentes. Esto no quiere decir que los depósitos realmente existan, sólo se dibujan para plasmar de un modo gráfico el nivel de la energía en los extremos. Dado que esa energía puede darse en forma de presión, más difícil de visibilizar, el ubicar un depósito equivalente es más visual. El régimen será

144

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

permanente en la medida en que el nivel de los depósitos se mantenga constante, ya que nada cambia en el tiempo, con lo que se supone que estos depósitos equivalentes tienen un volumen ilimitado.

Fig. 2.1 Red de tuberías a presión. Esquema básico de un conducto simple limitado por depósitos

En efecto, en el esquema que se presenta, si E 1 > E 2 , se establece un flujo

intuitivamente, será mayor cuanto mayor sea el desequilibrio de niveles E 1 − E 2 .

En esta fase del cálculo se desean cuantificar estas impresiones que apunta la intuición. Para ello es necesario introducir o recordar algunos conceptos y ecuaciones. La energía asociada a una partícula de fluido, se supone compuesta de tres sumandos: • • •

energía potencial o cota. energía de presión o elástica. energía cinética.

Es habitual considerar agrupados los dos primeros términos en lo que se conoce como altura piezométrica ( H ). Para ello, se adapta dimensionalmente el sumando de presión al de cota, según se mencionó en el apartado de hidrostática. H =z +

p

γ

[2.1]

γ : peso específico H : altura piezométrica Aceptando una velocidad adaptada a unidades de longitud (altura equivalente a la energía cinética), tenemos que la energía se expresa del modo:

145

H5

de 1 hacia 2 con un cierto caudal, constante. La presión en el punto A del depósito 1 es mayor (por soportar una mayor columna de agua) que la del punto B del depósito 2. En un punto intermedio de la tubería es de esperar que la presión tenga un valor asimismo intermedio, y el caudal Q circulante parece que,

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

E =H +

v2 p v2 =z+ + 2g γ 2g

[2.2]

Expresión conocida como “trinomio de Bernoulli”. La ecuación de conservación de la energía en una línea de corriente establece que, en ausencia de esfuerzos disipativos, la energía se conserva. Es decir, que la suma de las tres componentes de la energía no se ve alterada a lo largo de una línea de corriente. La extensión de esta ecuación a una sección ya fue discutida en apartados anteriores Obviamente, la experiencia indica que realmente se pierde energía, y eso se debe a la existencia de esfuerzos disipativos, de naturaleza viscosa o turbulenta. Así, entre dos puntos A y B de una línea de corriente, se establece:

E A − E B = I AB ⋅ LAB = ∆E AB

[2.3]

donde LAB es la distancia entre A y B a lo largo de la línea de corriente, e I AB , variable fundamental conocida como “pendiente motriz” o “pendiente de energía” se define como la pérdida de energía por unidad de longitud debida a los esfuerzos disipativos. Volviendo a la tubería simple, si su diámetro es constante y el flujo es permanente, de acuerdo con la ecuación de continuidad puede afirmarse que el caudal es constante, y la velocidad del agua debe mantenerse asimismo constante a lo largo de toda la conducción: Q(cte) = v ⋅ A(cte ) ⇒ v(cte)

[2.4]

La variación del término cinético 𝑣𝑣 2 ⁄2𝑔𝑔 será pues nula a lo largo del tramo, y la pérdida de energía ∆E AB será igual a la pérdida de altura piezométrica ∆H AB .

Si adicionalmente se supone que la tubería es horizontal, la pérdida de energía es, directamente, una pérdida de presión, ya que la cota “z” de la tubería se mantiene constante. La definición rigurosa de I en un tramo infinitesimal de tubería, es: I =−

dE dx

[2.5]

Donde x es la coordenada curvilínea que define la línea de corriente. Si la sección es constante (y por tanto la velocidad es constante), tenemos (obsérvese que una pérdida de cota implica una pendiente positiva): p  p d  + z  d   γ dH  = −  γ  + sin α I =− =−  dx dx dx

146

[2.6]

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Fig. 2.2 Definición de a como variación de z respecto de x

A la perdida de cota por unidad de longitud, que se presenta en la ecuación como sin α , se la conoce como pendiente geométrica (i), y es positiva si se pierde cota (si la tubería baja, como en la figura). Para conocer la distribución de presiones en la conducción, basta pues conocer la presión en un extremo (la altura de uno de los depósitos virtuales), y el valor de la pendiente motriz a lo largo de la conducción para ir reconstruyendo los valores a lo largo de todo el conducto. La pendiente motriz es la pérdida de energía por unidad de longitud, y se debe a las tensiones disipativas (fricciones), que se dan en la conducción, cuya naturaleza última puede ser turbulenta o viscosa. Si se considera un segmento de tubería de longitud infinitesimal (dx), los esfuerzos sobre un cilindro de fluido de radio “r” genérico, menor que el radio de la tubería, rodeado por tanto por el resto del fluido son, en la dirección de x :

Fig. 2.3 Esfuerzos sobre un volumen de fluido

•

Peso: W

= γ ⋅ dx ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ senα

•

Presiones: A ⋅ (p ) − A ⋅ (p + dp ) = −A ⋅ dp = −A

•

Fricción (tensiones tangenciales equivalentes a los esfuerzos viscosos o turbulentos): τ 2π ⋅ r ⋅ dx

147

∂p ∂p dx = −π ⋅ r 2 dx ∂x ∂x

H5

Evaluación de la pendiente motriz

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Dado que se considera que el flujo es estacionario, y las velocidades se mantienen constantes a lo largo de la conducción, tanto la componente local como la convectiva de la aceleración es nula, con lo que también la suma de todos los esfuerzos lo es: ∂p dx − τ 2π ⋅ r ⋅ dx = 0 ∂x

[2.7]

 p ∂p  ∂   ∂x = A γ  senα −  γ   = A γ ⋅ I L  ∂x  L      

[2.8]

γ ⋅ dx ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ senα − π ⋅ r 2 De donde:

τ =

π ⋅ r 2 ⋅ senα ⋅ γ − π ⋅ r 2 2π ⋅ r

A: área de la sección ( π ⋅ r 2 ) L: perímetro de la sección ( 2π ⋅ r ) A la relación A⁄L se la conoce como “radio hidráulico” de la sección ( Rh ), que para una sección circular llena se corresponde con r⁄2. Así, la relación entre los esfuerzos disipativos y la pendiente motriz, se expresa como:

τ = Rh ⋅ γ ⋅ I =

r γ ⋅I 2

[2.9]

Esta ecuación pone de manifiesto que los esfuerzos disipativos que dan lugar a las tensiones tangenciales (turbulentas y viscosas) son los causantes de la disipación de energía (explicitada en la pendiente motriz), pero no es una expresión que permita calcularla, ya que se desconoce el valor de estos esfuerzos. Es por ello necesario analizar la naturaleza de estos esfuerzos para poder expresarlos en función de variables fáciles de conocer. Dado que estos esfuerzos serán de distinta naturaleza en régimen laminar y en régimen turbulento, es preciso analizar por separado ambos casos. Evaluación de la pendiente motriz en régimen laminar En régimen laminar, los esfuerzos disipativos son de tipo viscoso, y responden a la ecuación de los fluidos newtonianos:

τ (r ) = − µ

dv dr

[2.10]

Si se combina esta ecuación con la obtenida en el apartado anterior, que vincula los valores de τ y de la pendiente motriz, se tiene:

τ (r ) = − µ

r dv = τ (r ) = Rh (r ) ⋅ I = γ ⋅ I 2 dr

148

[2.11]

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Integrando: v(r ) = −

γ I ⋅r 2 +C 4µ

γ ⋅I ( )= (R2 − r 2 ) 4µ

v r

[2.12]

( )

, v R = 0

[2.13]

Donde se ha impuesto que la velocidad en el contorno rígido es nula (v(R)=0). Se observa aquí el campo de velocidades parabólico, característico del régimen laminar. Si se integra el campo en toda la sección utilizando coordenadas polares y elementos de superficie en forma de coronas circulares, se obtiene el valor de la velocidad media, y su relación con la pendiente motriz. = r R= r R

1 γ·· I R2 = v r dA v = r 2 π ·· r dr A r ∫0=r ∫0 8µ =

= v

()

()

[2.14]

De donde, despejando la pendiente motriz, se tiene:

8µ ⋅ v γ ⋅ R2

[2.15]

Esta ecuación se conoce como “Ley de Poiseuille”, en honor a Jean Léonard Marie Poiseuille (1799-1869), que dedujo esta ley y comprobó su validez dentro de su ámbito (flujo laminar). Como se puede apreciar, calcular el valor de la pendiente motriz es inmediato a partir de parámetros básicos de la conducción y el flujo, y se observa además que la relación entre la pendiente motriz y la velocidad es lineal (𝐼𝐼 = 𝑘𝑘𝑣𝑣̅ ). Ejemplo:

Dada una tubería de 20 mm de diámetro, por la que circula un fluido de densidad 1000 kg/m3 con una velocidad de 0,1 m/s, y una viscosidad cinemática de 10-6m2/s, la pendiente motriz se calcula como:

I =

8 ⋅ 1000 ⋅ 10 −6 ⋅ 0,1 = 0,00081 9,8 ⋅ 1000 ⋅ 0,01 ⋅ 0,01

( Re =

0,1 ⋅ 0,02 = 2000 ) 10−6

[2.16]

La relación lineal entre la pendiente motriz y la velocidad es una característica del flujo laminar: la caída de altura piezométrica entre dos puntos depende linealmente de la longitud que los separa y de la velocidad (o caudal) Es importante comprobar que el flujo se enmarca en el rango laminar para aplicar esta ecuación, que no es válida en el rango turbulento. El comportamiento lineal es análogo a la ley de Ohm, identificando caudales con intensidades de corriente y pérdidas de carga con caídas de tensión.

∆V = R ⋅ I

∆E = K ⋅ Q

149

[2.17]

H5

I =

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Evaluación de la pendiente motriz en flujo turbulento. Análisis dimensional En flujo turbulento no hay una ley fiable que permita evaluar las tensiones tangenciales y vincularlas con la pendiente motriz, como es la ley de Newton en el caso del flujo laminar. Se tiene la “certeza experimental” de que las tensiones están vinculadas a los parámetros básicos del flujo ( D , v , ρ ), a la viscosidad, en el caso de que la turbulencia no sea completa, y a la rugosidad de la tubería, que potencia el desarrollo de la turbulencia. La rugosidad se representa a partir del parámetro geométrico “K” (altura de las irregularidades o rugosidad absoluta).

Fig. 2.4 Rugosidad absoluta (k)

Así se puede plantear la ley dimensional (se obvia la barra sobre la velocidad: en lo sucesivo se asume que es la velocidad promedio en la sección): τ = τ (ν , ρ , v , D, K )

[2.18]

que, aplicando el teorema de Buckingham, da lugar a un conjunto de tres números adimensionales:  ν τ K , ,  = 0 2  v ⋅ D ρ ⋅v D 

ψ 

 1 τ K ; ψ  , ,  = 0 2  Re ρ ⋅ v D 

[2.19]

Donde Re es el número de Reynolds, K⁄D se conoce como rugosidad relativa y 𝜏𝜏⁄𝜌𝜌𝑣𝑣 2 es un número de Euler. En este caso, se prefiere no mantener como un monomio el número de Euler y explicitar su valor en función de los otros dos números para despejar el valor de la tensión tangencial:

K τ = v 2 ⋅ ρ ⋅ ψ  Re,  D 

[2.20]

Como se recuerda, lo que se busca es explicitar el valor de la pendiente motriz en función de variables conocidas o fáciles de estimar. Si se sustituye τ por su valor en función de I ( τ = Rh ⋅ γ ⋅ I ): I =

v2 ⋅ ρ  K v2 K ψ  Re,  = ψ  Re,  D Rh ⋅ γ  D D g  4

150

[2.21]

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Dado que ψ representa una función cualquiera, se modifica levemente para dejar de forma explícita el término cinético de la energía:

1 v 2 ' K I = ⋅ ψ  Re,  D 2g  D

[2.22]

A la función Ψ ' se la conoce como “coeficiente de fricción de DarcyWeisbach” ( f ), y a la ecuación que resulta como “ecuación de Darcy-Weisbach”:

f ⋅v2 I = 2g ⋅ D El valor de

f

[2.23]

se determina experimentalmente. Existe suficiente

experiencia sobre conductos cerrados para definir su valor con precisión. A continuación se exponen las bases de su determinación. Esta ecuación, aproximadamente en esta forma, fue enunciada por Julius Weisbach en 1845, pero el factor f no era una función basada en números

En 1857 Henry Darcy publica un trabajo adaptando la ecuación de Prony a flujos turbulentos. La ecuación de Prony era del tipo= I k·v + k ′·v 2 , y Darcy comprueba experimentalmente que el término lineal es despreciable en flujos turbulentos, y establece que la constante a determinar para calcular la disipación de energía depende sólo del diámetro y la rugosidad. Aunque Darcy nunca expresó estas conclusiones utilizando la fórmula de Weisbach, se le reconoce un avance significativo para la determinación del coeficiente 𝑓𝑓. Evaluación del coeficiente de fricción ( f ).

En todo el apartado anterior no se ha impuesto en ningún momento de modo explícito que el flujo fuese turbulento (salvo en los apuntes históricos). Todo lo dicho es válido para flujo laminar. Es pues una prueba de coherencia el comprobar que la expresión de Darcy-Weisbach funciona para el flujo laminar. Si se identifican las fórmulas de Poiseuille y de Darcy-Weisbach, se llega a:

I =

f ⋅v2 8µ ⋅ v = γ ⋅ R 2 2g ⋅ D

[2.24]

De donde, simplificando, se llega a la expresión f = 64 / Re que es otra forma de expresar la ecuación de Poiseuille, y que es consistente con lo esperado por dos motivos: •

f es una función de Re, según se impone en el análisis dimensional

realizado.

151

H5

adimensionales sino un coeficiente empírico a determinar. Hasta ese momento, las formulaciones más utilizadas eran las de Prony (1755-1839) y las de Chezy (17181798).

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

•

f no depende de K⁄D, lo cual es lógico, ya que no hay turbulencia, y

la rugosidad relativa sólo tiene sentido como catalizador o potenciador de la turbulencia. Para evaluar f en régimen turbulento, se apela a las leyes que definen los campos de velocidades en este tipo de régimen, y al análisis experimental que acota sus valores. El régimen turbulento se divide en tres tipos, en función del grado de desarrollo de la turbulencia o de la importancia o no de la disipación viscosa. Como elemento de separación, se utiliza la relación entre la rugosidad absoluta y el espesor de la subcapa laminar, cuyo significado se detalla en el párrafo siguiente. El desarrollo de la teoría de la capa límite (que incluye la subcapa laminar) se debe a Ludwig Prandtl (1875-1953), ya en los inicios del siglo XX. El desarrollo de la turbulencia se acentúa con el incremento de la velocidad. Si la velocidad del agua es pequeña en alguna zona de la conducción (concretamente junto a los contornos), el flujo puede ser laminar. En las cercanías de los contornos sólidos de las tuberías, la velocidad es nula o muy pequeña, y puede establecerse una lámina o capa de flujo laminar de muy delgado espesor, llamada “subcapa laminar”. Si esta capa, de espesor “ δ ”, engloba a las irregularidades de la tubería ( δ > K ), el flujo turbulento percibe una imagen lisa de la tubería, ya que la subcapa laminar “lubrica” el contorno y las irregularidades no llegan a ejercer su efecto potenciador de la turbulencia. Si las irregularidades son tan grandes que la subcapa laminar no tiene continuidad alguna y no limita de modo significativo el efecto de la rugosidad ( K >> δ ), la percepción del flujo general sobre la tubería es la de un material rugoso, que fomenta el desarrollo de la fluctuación, y el efecto viscoso pasa desapercibido. Existe una amplia banda intermedia, en que ambos efectos (rugosidad y viscosidad) tienen su importancia.

Fig. 2.5 Tipos de movimiento turbulento

152

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Así, se definen tres tipos de flujo turbulento:

•

•

Movimiento turbulento liso ( δ > K ).La rugosidad no es percibida por el flujo principal y no influye en el movimiento. No cabe esperar por tanto que exista dependencia de K⁄D. Movimiento turbulento rugoso o completamente desarrollado (δ << K ). La viscosidad no influye en el movimiento al no desarrollarse una subcapa laminar real. A partir de un cierto valor umbral, el valor concreto de Re es irrelevante. Movimiento turbulento intermedio. Tanto la rugosidad como la viscosidad deben ser tenidas en cuenta, y por tanto el número de Reynolds como la rugosidad relativa deben ser tenidos en cuenta para su evaluación.

Es decir, dado que las irregularidades de la superficie son enmascaradas por la zona viscosa en el movimiento turbulento liso, la pérdida de energía no debería depender de su valor ( K ) en este tipo de flujo. Del mismo modo, dado que una rugosidad muy grande evita el desarrollo de la subcapa laminar, si ( δ << K ) la viscosidad carece de interés y en régimen turbulento rugoso el número de Reynolds debería ser irrelevante, ya que los efectos viscosos no son significativos. Estas impresiones tienen un reflejo en el valor del coeficiente de fricción de DarcyWeisbach: • • •

Régimen turbulento liso: f = f (Re)

Régimen turbulento rugoso: f = f  K 

D  Régimen turbulento intermedio: f = f  Re, K  D 

Las expresiones de cálculo para f se obtienen de un modo semiempírico, conjugando la constancia de que el perfil de velocidades en una sección se adapta a un perfil logarítmico, lo que insta a buscar formulaciones logarítmicas, e incluso teorías que deriven en formulaciones logarítmicas, con una muy amplia campaña experimental orientada a fijar los parámetros o constantes que reproduzcan esos perfiles y a partir de ellos la disipación de energía en la sección. No cabe buscar un desarrollo analítico muy riguroso; las expresiones pueden ser consideradas como ajustes o regresiones de datos experimentales, con una estructura (logarítmica) predefinida. Las justificaciones semiteóricas que aportan la estructura logarítmica a las ecuaciones se basan en la “teoría de la longitud de mezcla de Prandtl”, y en desarrollos posteriores del propio Prandtl y su colaborador Theodor von Karman (1881-1963), en Gottingen. En la actualidad se acepta que este desarrollo teórico sólo representa la realidad de un modo muy grosero (lo que no resta mérito al

153

H5

•

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

trabajo, enmarcado en su época). En el mismo centro, otro colaborador de Prandt, Johann Nikuradse (1894-1979), encabeza una sistemática campaña de experimentación sobe tuberías con rugosidad conocida que aporta los coeficientes de ajuste y garantiza que las expresiones “funcionan” desde un punto de vista práctico. Estos desarrollos culminan en los primeros años de la década de los 30 en el siglo XX. Posteriormente, decenas de grupos de investigación han seguido aportando datos que confirman la validez de las expresiones. La expresión para tuberías lisas es (todos los logaritmos son decimales en las expresiones que se presentan):

1 = 2 log Re f − 0.8 f

(

)

[2.25]

Que se conoce como “primera ecuación de Karman-Prandtl”. Se trata de una ecuación implícita, que presenta una relación entre el número de Reynolds y el coeficiente de fricción, como cabía esperar. En el caso de tuberías lisas la rugosidad no tiene relevancia, como ya se ha comentado. Para tuberías con turbulencia completamente desarrollada (flujo turbulento rugoso), la ecuación propuesta es:

1 D = 2 log  + 1,14 f K 

[2.26]

Que se conoce como “segunda ecuación de Karman-Prandtl”, válida para el régimen turbulento rugoso, y en la que no aparece el número de Reynolds, como cabe esperar y de un modo consistente por lo ya apuntado por Darcy. Para el régimen turbulento intermedio, y tomando como base las ecuaciones de Karman-Prandtl, se propone una ecuación que, representando bien los valores obtenidos experimentalmente, tiende asintóticamente a la primera si es bajo y a la segunda si es alto. Esta ecuación, que es la verdaderamente implementada en la práctica totalidad de los paquetes informáticos de cálculo de tuberías, se conoce como ecuación de Colebrook y White (1937). Los autores incorporaron resultados de mediciones sobre tuberías cuya rugosidad no era tan uniforme como la que se implementaba en los ensayos de Nikuradse, y se considera en general una aproximación realista en el flujo turbulento intermedio, y también en sus tendencias asintóticas. La ecuación, implícita en 𝑓𝑓, tiene la expresión:

1 D − 2 log  f K 

D     = 1,14 − 2 log 1 + 9,35 K  Re f     

154

[2.27]

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Debe entenderse que en 1937 no era sencillo determinar el valor de f, dado que no había calculadoras. De este modo, la ecuación de Colebrook y White se desarrollaba en forma de tablas (para valores de K, D y Re conocidos), o bien en forma de ábacos o gráficos. En 1942, Hunter Rouse presenta un ábaco que permite de un modo más o menos directo calcular el caudal que transporta una tubería dada la rugosidad y el diámetro. Sobre esta base, Lewis Moody, en 1944 rehace el ábaco, de modo que sea directa la determinación de f a partir del número de Reynolds y la rugosidad relativa.

H5

El ábaco de Moody es una herramienta que se sigue utilizando en la actualidad, pese a que cualquier calculadora actual permite determinar el coeficiente de Darcy-Weisbach con un mínimo esfuerzo de programación (o sin él, según el modelo).

Fig. 2.6 Ábaco de Moody

Las entradas al ábaco son el número de Reynolds (eje x), en vertical, y la rugosidad relativa, según las ramas curvilíneas, que son líneas de valor K⁄D constante. El valor de f se lee en horizontal (eje y) a partir de la intersección de la recta vertical y la línea curva K⁄D=cte. A continuación se esquematizan varios ejemplos: •

Para los valores bajos del número de Reynolds (por debajo de 3.000), el ábaco incluye la ecuación f = 64 Re , que aparece como una recta.

155

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

•

Para flujo laminar, f se calcula de modo sencillo a partir de la recta indicada, conocido el valor del número de Reynolds (Re). Para flujo turbulento, en el ejemplo 1 (ver gráfica), el valor de la rugosidad relativa es K=0,0001 y Re = 35.000 . Se aprecia que la rama K D = 0,0001 se difumina en una asíntota, con lo que habría dado lo mismo que la rugosidad relativa fuese algo mayor o menor. Quien marca el valor de f es la intersección del valor del número de Reynolds con la asíntota, que es, de hecho, la representación gráfica de la primera ecuación de Karman-Prandtl. El valor de es, en este caso, de 0,022 (adimensional).

Fig. 2.7 Ábaco de Moody. Primer ejemplo. Régimen turbulento liso

•

En el ejemplo 2, el punto se obtiene como intersección de la rama K D = 0,002 con la recta Re = 55.000 . La intersección está en la zona intermedia, y se corresponde con un valor de f = 0,027 .

156

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Fig. 2.8 Ábaco de Moody. Segundo ejemplo. Régimen turbulento intermedio

El ejemplo 3 considera los valores K D = 0,002 y Re = 10 6 .El valor de f es del orden de 0,024. Como se puede observar, si el valor del número de Reynolds hubiera sido Re = 10 7 , el resultado habría sido sensiblemente similar. Ello se debe a que este punto está en la zona de turbulencia completa, y por tanto el valor del número de Reynolds es irrelevante. En la zona de turbulencia completa, el ábaco de Moody responde a la segunda ecuación de Karman-Prandtl.

Fig. 2.9 Ábaco de Moody. Tercer ejemplo. Régimen turbulento rugoso

157

H5

•

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Es muy importante analizar en este momento la relación entre la velocidad del agua en la conducción y la disipación de energía que se produce. La ecuación de Darcy-Weisbach es una relación del tipo: I = K ⋅ vα

(I =

f v2 ) 2g ⋅ D

[2.28]

Donde α , aunque aparentemente es 2, tiene uno u otro valor según el flujo sea laminar o turbulento, y, en la zona turbulenta, según el tipo de turbulencia. Así, en el caso de que el régimen sea laminar, tenemos: 64 f = Re

64 64ν v2 v2 I = ⋅ = ⋅ = K ⋅v 2g ⋅ D Re 2g ⋅ D v ⋅ D

[2.29]

y se observa que la relación entre la pérdida de carga por unidad de longitud y la velocidad es lineal (esto ya se había visto de modo explícito en la ecuación de Poiseuille). En el caso de que la turbulencia sea completa f = f (K D ) no depende de la velocidad (al no depender del número de Reynolds), con lo que se llega a: I =

f v2 = K ⋅v2 2g ⋅ D

[2.30]

Las pérdidas de carga aumentan en este caso con el cuadrado de la velocidad. Este dato es importante, ya que pone de manifiesto la gran diferencia entre la disipación viscosa y la disipación turbulenta. En régimen turbulento, un aumento de velocidad genera mucha más disipación que en régimen laminar. Adicionalmente, la implementación en el cálculo de una ley cuadrática es mucho más compleja que la de una ley lineal. En régimen turbulento liso, la ecuación es del tipo (desarrollando la 1ª ecuación de Karman-Prandtl, que sí depende del número de Reynolds): [2.31]

I = K ⋅ v 1,75

Y en régimen turbulento intermedio, el exponente adquiere valores en el intervalo (1,75; 2) dependiendo de que el régimen esté más o menos cerca de uno de los dos tipos de turbulencia (lisa o rugosa) que constituyen sus tendencias asintóticas. Resumiendo, la ecuación que vincula la disipación de energía con la velocidad, y que verdaderamente define a efectos prácticos el tipo de flujo es, según el caso: • • •

Régimen laminar: Régimen turbulento liso: Régimen turbulento intermedio:

I = K ⋅v

•

Régimen turbulento rugoso:

I = K ⋅v

158

I = K ⋅ v 1,75 I = K ⋅ vα 2

( α ∈ (1,75;2 ) )

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

2.1 Planteamiento de los problemas básicos Recordando que el objeto actual de análisis es un segmento simple, un único ramal limitado por condiciones energéticas, se pueden plantear varios tipos de problema, en función del dato que se desconozca. A continuación se desarrolla cada uno de ellos.

Dada la longitud (L) del tramo y la rugosidad del material (K) de que está compuesta la tubería, y conocido el fluido que transporta ( ρ ,ν ), los problemas básicos son: Determinación de la pérdida de carga o disipación de energía Enunciado: Dado el diámetro de la conducción (D) y el caudal que se transporta (Q), determinar la pérdida de carga ( ∆E ). Este sería por ejemplo el caso de un conducto existente, por el que circula un cierto caudal, y cuya capacidad se quiere aumentar hasta un valor de referencia Q elevando la cota del depósito 1. Se desea saber cuál debe ser la diferencia de cotas que garantice la demanda. Se puede plantear su solución a partir de una serie de sencillos pasos, como si fuese una receta de cocina: • •

1. Dado K y D , se calcula K⁄D. 2. Dado Q y D , se calcula la velocidad v, y Re = v·D ν

•

3. A partir del ábaco de Moody, o de la ecuación de Colebrook y White, se calcula f .

•

4. Se calcula I = f·v / 2g·D

•

5. Se calcula ∆E como ∆E = I ⋅ L

2

159

H5

Fig. 2.10 Tramo simple

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

La longitud L debe ser la longitud de la tubería. Si es sensiblemente horizontal, se puede sustituir por su proyección horizontal, sin mucho error. Para un ángulo de 10O, el error es del orden del 1,5%, que es admisible Determinación del caudal Enunciado: Dado el diámetro de la conducción (D) y la pérdida de carga ( ∆E ) calcular el caudal circulante (Q). Este es el caso de una tubería existente, cuyo funcionamiento quiere conocerse, antes de ponerla en servicio o antes de proceder a una modificación. Solución: • •

1. Dados K y D, se calcula la rugosidad relativa K⁄D. 2. Al no disponer del valor de Q, se desconoce v, y por tanto Re. El proceso de cálculo debe ser por tanto iterativo (tanto si se usa el ábaco de Moody como si se usa directamente la ecuación de Colebrrok-White, a partir de una solución inicial aproximada para 𝑓𝑓). Se esquematiza el proceso: Es usual tomar como valor inicial el valor de f correspondiente al régimen turbulento rugoso (que no depende de Re). Para ello, basta con el valor de K D , del que se dispone. Dado este valor f inicial, se puede *

calcular

Q * , como: Q* =

Dado

Q * , se calcula

∆E 2g ⋅ D A L ⋅ f*

[2.32]

Re * y se itera sobre el ábaco de Moody (por

ejemplo). Si el nuevo valor de f coincide con

f * , se da por bueno el

proceso: esto querrá decir que el régimen era efectivamente turbulento rugoso. Si no coincide, se repite el proceso, calculando nuevos valores de Q y Re hasta que el valor de f no varíe. El proceso es convergente

•

(tiende a la solución correcta) y no se requieren más de dos o tres iteraciones. 3. Una vez se dispone del coeficiente de fricción, se calcula el caudal que realmente circula, como: Q =

∆E 2g ⋅ D A L⋅f

[2.33]

El uso de ecuaciones implícitas (como la de Colebrook y White) y su trasposición al ábaco de Moody, que sólo es explícito para calcular la disipación de energía, conlleva este cálculo algo farragoso. Se han propuesto varias ecuaciones alternativas a la de Colebrook-White, que aunque den resultados algo inexactos

160

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

(del orden de un 1-2% de error), permitan agilizar los cálculos, planteando el valor de 𝑓𝑓 en forma explícita. De entre todas, la más exitosa es la de Swamee y Jain, publicada en 1976: f =

0.25

  K 5.74   + log  0. 9     3.7D Re  

2

[2.34]

Utilizando esta ecuación, en la que el valor del coeficiente de fricción es explícito, el problema se puede plantear como una sola ecuación: 0.25 Q2 · L ∆E = 2 2 2   K 5.74     D   + log  0.9    π    2g·D   3.7D Re     2    

[2.35]

0.25 Q2 · L ∆E = 2 2 2      D        π    2g·D       2     K   5.74 + log    0.9   3. 7D    Q·D      2          π D / 2 υ   

(

[2.36]

)

El modelo de cálculo EPANET utiliza esta expresión simplificada, con lo que no tendría sentido no usarla para calcular a mano en ejemplos académicos. Determinación del diámetro Enunciado: Dado el caudal de demanda Q y la pérdida de carga Δ𝐸𝐸, determinar el valor del diámetro. Este problema corresponde al diseño de una conducción, en el que se sabe qué caudal se debe suministrar (porque se conoce la población a suministrar, por ejemplo) y de las cotas del punto de abastecimiento y de suministro (las cotas del depósito elevado y las de la ciudad a abastecer, por ejemplo), y se desea conocer las dimensiones D de la tubería que garantiza la demanda. Solución: No se conoce el diámetro, luego no se pueden calcular los parámetros básicos (K⁄D, Re). Se debe partir de una semilla inicial “razonable”, e iterar, como se

161

H5

Donde el valor de Re también puede explicitarse en función del diámetro, de modo que queda una única ecuación, que casi cualquier calculadora resuelve directamente, y donde la única incógnita (implícita) es el caudal:

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

indicó en el apartado anterior. Dado que en este caso no se puede calcular ni la rugosidad, no se puede apelar al régimen turbulento rugoso como iteración inicial. El proceso será por tanto, del modo: Dado un diámetro inicial D * , que se escogerá de un modo más o menos arbitrario (imponiendo que la velocidad que se genera a partir de Q esté en un rango razonable, que “suene” razonable en función de la experiencia previa, etc.), se pueden calcular los valores de: K , Re * * D

[2.37]

y entrando en el ábaco de Moody, se puede calcular

f * . El valor de la pérdida de

carga es un dato, pero se puede calcular el que se obtiene a partir de f * ⋅V * ∆E = 2g·D* *

2

f * cómo: [2.38]

En general, se cumplirá que ∆E * ≠ ∆E . De todos modos, se tiene una base para la iteración, a partir de la relación, que se cumple para f = cte :  D*  ∆E   = ∆E *  D 

5

[2.39]

Esta relación es inmediata desarrollando la ecuación de Darcy-Weisbach, y permite, dado D * , ∆E * y ∆E , obtener un nuevo valor de D , e iterar (en pocos pasos) hasta llegar al diámetro D que cumple que la pérdida de carga en el tramo es ∆E . Hay que tener en cuenta que el diámetro D que se obtendrá no coincidirá en general con un diámetro nominal del producto que se desee utilizar (no será un diámetro comercial), con lo que habrá que escoger, en general, el inmediatamente superior. Dado que la relación ∆E − D es del tipo: ∆E =

K D5

[2.40]

para f supuesta constante, el pasar del diámetro que surja del cálculo al diámetro comercial superior (de 261 mm a 315 mm, por ejemplo) variará notablemente el ajuste obtenido (el caudal que pasará por la conducción puede ser sustancialmente superior al requerido). De nuevo, la ecuación de Swamee y Jain permite obviar todas las iteraciones y plantear el problema mediante una única ecuación donde la única incógnita sea el diámetro:

162

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

0.25

Q2

∆E = · L 2 2       D 2       π    2g·D       2     K  5.74 + log   0. 9    3. 7D    Q·D      2          π D / 2 υ   

(

[2.41]

)

De la aplicación de esta ecuación se obtendrá el diámetro que logra exactamente una disipación de energía igual a Δ𝐸𝐸. Bastará escoger el diámetro comercial superior para finalizar el cálculo.

2.2 Fórmulas empíricas

H5

Además de la formulación general propuesta, basada en el análisis dimensional, a lo largo de la historia se han propuesto y utilizado distintas formulaciones, con base empírica, o semiempírica, de las que se recoge aquí una pequeña muestra, incluyendo las más utilizadas: Ecuación de Chèzy (1769):

v = C ⋅ Rha ⋅ I b

[2.42]

La ecuación de Chèzy es un marco general de referencia, en que se reconoce una relación entre la pendiente motriz y la velocidad, incluyendo también las características de la conducción. Muchas de las fórmulas empíricas son interpretaciones o ajustes de parámetros de la ecuación de Chèzy. Como ejemplo, se indica la fórmula de Bazin (1897), que sobre el esquema de Chèzy, propone: C =

87 Rh

Rh + γ

a =b =

1 2

[2.43]

Otras interpretaciones de la fórmula de Chèzy son: Fórmula de Manning (1889): v =

1 1 23 Rh ⋅ I 2 n

o bien

I =

v 2·n 2 Rh 4 / 3

[2.44]

La fórmula de Manning tiene actualmente poco uso en conductos a presión, pero es la expresión hegemónica para el cálculo de la disipación de energía en lámina libre (canales y ríos). Es, pese a esto, una fórmula empírica y, como se puede observar, dimensionalmente incorrecta. El coeficiente “n” que representa la

163

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

rugosidad del conducto, tiene que asumir para dar coherencia a la ecuación unas unidades realmente extrañas e inadecuadas al concepto de rugosidad. En cualquier caso, hay una amplia base de datos sobre el valor de este coeficiente para distintos tipos de material. Hazen-Williams (1905):

v = 0,85C H ⋅ D 0,63 ⋅ I 0,54

[2.45]

Esta expresión es habitualmente muy utilizada en el continente americano en cálculos reales de conductos a presión, probablemente por encima de la formulación de Darcy-Weisbach. Es una expresión basada en datos empíricos, y dimensionalmente incorrecta, como se ve. De nuevo, el coeficiente C H responde a la rugosidad, y sus valores están tabulados para distintos materiales. Tanto la fórmula de Bazin como la de Manning presentan una relación del tipo:

V = K' ⋅I

1

2

o bien

I = K ⋅V 2

[2.46]

Lo que indica que se restringen al ámbito del flujo turbulento rugoso (tuberías de grandes dimensiones o con velocidades muy importantes). La ecuación de Hazen-Williams, sin embargo, presenta una relación del tipo: V = K ' ⋅ I 0,54

o bien

I = K ⋅ V 1,85

[2.47]

Lo que la sitúa en el ámbito del régimen turbulento intermedio (ámbito usual en sistemas de abastecimiento). Existen ecuaciones válidas para el régimen turbulento liso (a pesar de que apenas se da en la realidad). Las dos más conocidas pueden expresarse en función del coeficiente de Darcy-Weisbach, a partir de ajustes experimentales, sin tener en cuenta los perfiles de velocidad que dan lugar a las ecuaciones de KarmanPrandtl. Estas expresiones son: Blasius (1913): f =

0,316 Re 0,25

(I = K ⋅ V ) 1,75

Nikuradse (1932): f = 0,0032 +

0,221 Re 0,237

[2.48]

(I = K ⋅ V ) 1,763

[2.49]

A pesar de que todas estas expresiones dan una buena aproximación a la solución si se respeta su ámbito de validez, su uso está siendo desplazado por la ecuación de Darcy-Weisbach y las ecuaciones de Colebrook-White, de ámbito general y de validez muy contrastada, salvo quizá la de Hazen-Williams en el continente americano, como ya se ha citado.

164

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

2.3 Pérdidas localizadas de energía El tramo de tubería simple que ha protagonizado los apartados anteriores presentaba como único elemento de disipación de energía la fricción, bien viscosa, bien turbulenta, que de modo continuo se produce a lo largo de la conducción. Si se recuerda la expresión de cálculo de la disipación de energía por unidad de longitud (Darcy-Weisbach):

I =

f ⋅ v2 2g·D

[2.50]

Y se acepta que el flujo es permanente y que la tubería tiene un diámetro constante, se observa que todas las variables de las que depende la pendiente motriz (disipación de energía por unidad de longitud) son de hecho constantes, ya que:

Q (cte ) A(cte )

;

 v (cte ) ⋅ D (cte ) K (cte )  K  f = f  Re,  = f  , D D (cte )  ν (cte )  

[2.51]

Con lo que, en todo el tramo, se verifica que I = cte . Eso quiere decir que la disipación de energía es lineal a lo largo de la tubería, y se puede esquematizar del modo:

Fig. 2.11 Línea de energía en conducciones sin elementos de disipación local

La línea que une los niveles de los depósitos representa, en ausencia de otras fuentes de disipación, la energía en cada punto de la conducción. En la medida en que la tubería sea sensiblemente horizontal, la representación gráfica de la línea de energía es un buen indicador visual del gradiente de energías por unidad de longitud. Si se detrae el término cinético en cada punto, se define la línea piezométrica (que sólo incluye los términos de cota y presión). Esta línea será paralela a la de energía si la velocidad es constante, lo que sucederá si el diámetro es constante. A partir de la línea piezométrica se deduce el campo de presiones

165

H5

v=

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

p( x ) . De hecho, gráficamente la presión se puede observar como el segmento

vertical que va desde un punto de la tubería hasta la línea piezométrica. Lo cierto es que incluso en un tramo simple hay fuentes de disipación de energía adicionales a las ya comentadas. Todo estrechamiento o ensanchamiento, toda variación en la dirección del flujo, toda alteración de las líneas de corriente genera una pérdida adicional de energía. Estas pérdidas de energía se consideran, según indica la experimentación, lineales con el cuadrado de la velocidad: ∆E = K ⋅ v 2

[2.52]

entendiendo implícitamente que se acepta que el flujo es mayoritariamente turbulento rugoso y, de no serlo, el valor de cálculo es ligeramente conservador. Se pueden distinguir varias tipologías de fuentes de disipación de energía: • • • •

Cambios de dirección (“codos”). Derivaciones (“tes”). Estrechamientos y ensanchamientos. Obstrucciones (válvulas o llaves de paso).

Es usual mostrar la disipación de energía provocadas por cada uno de estas singularidades a través de coeficientes de pérdida de carga localizada. La notación habitual de estos coeficientes coeficiente ( λ ) responde a la expresión:

∆E = λ ⋅

v2 2g

[2.53]

No debe deducirse de esta notación que se produce una minoración del término cinético. De hecho, la pérdida de energía suele ser de presión, y el valor de λ puede ser mayor que la unidad. Para entender esto, se analizará el caso de un codo como ejemplo. Considérese un codo como el de la figura, de 90 grados y situado en un plano horizontal (para evitar consideraciones sobre la cota). Si se observan las líneas de corriente (el gráfico reproduce lo que la experiencia corrobora), las que van pegadas al borde exterior se ciñen al contorno físico del codo, mientras que las que van por la zona interior se “abren para tomar la curva”, produciéndose así un empaquetamiento de líneas de corriente en la zona exterior del codo, quedando una zona muerta en el interior.

166

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Fig. 2.12 Codo de 90 grados

Cabe preguntarse qué ocupará la zona interior. Las tres respuestas inmediatas son: Agua Aire Nada

El aire, a pesar de que sea difícil de percibir, es un material que no surge de la nada, y para que el hueco que generan las líneas de corriente se llene de aire éste debe provenir de algún lado. En general, las tuberías se diseñan para evitar que entre aire, con lo que no es de esperar que exista aire disponible para ocupar el hueco. La nada, entendida como vacío absoluto, generaría un importante problema de desequilibrio. Supóngase por ejemplo que la presión en esa tubería es del orden de 30 m.c.a (valor usual en abastecimientos). Una gota de agua dentro del chorro que se pega al contorno exterior tendría esa presión, mientras que el hueco ocupada por “la nada” tendría una presión de -10 m.c.a. (siempre hablamos en términos de presión relativa, por lo que el vacío tendría una presión negativa, aceptando que la presión atmosférica tiene un valor nulo). Esto quiere decir que esa gota de agua (que podría estar en el contorno del chorro colindante con la nada, percibiría un desequilibrio de presión de 40 m.c.a. que la impulsaría a llenar ese espacio, lo que haría inmediatamente y con mucho interés. De este modo, el hueco que generan las líneas de corriente está lleno de agua, que por un efecto cortante del chorro dominante se ve impelida a moverse de un modo constante e inútil, describiendo una circulación cerrada que podríamos denominar “remolino”, con un centro estático y unos extremos de máxima velocidad, provocándose así grandes tensiones cortantes en el seno del remolino.

167

H5

• • •

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Estas tensiones, unidas al hecho de que el empaquetamiento de las líneas de corriente genera un incremento importante de la velocidad en el entorno del codo, son los causantes últimos de la disipación de energía, cuyo carácter, como se observa, es absolutamente turbulento (tensión generada por gradientes de velocidad), y justifica por tanto que la disipación de energía crezca de modo cuadrático con la velocidad (o con el caudal). En todo caso, en régimen permanente el caudal que entra al codo es igual que el que sale (en caso contrario vulneraríamos la ecuación de continuidad), con lo que a lo largo del codo no se pierde velocidad. Si aceptamos que el codo es horizontal, tampoco se altera la cota, con lo que el término energético que sufre la merma es el de presión. Se pierde por tanto tanta más presión cuanto mayor sea la velocidad. Sobre este tema se volverá más adelante. A continuación se comenta someramente el efecto de otros fenómenos locales, cuyo fundamento en lo que respecta a las pérdidas es similar. La pérdida de carga en una variación de sección depende de la naturaleza de la variación (expansión o contracción) y de la brusquedad de la misma. Es de destacar que, contra lo que la intuición podría indicar, las pérdidas de carga son mayores en las expansiones que en las contracciones. Esto se debe a que, como en el caso anterior, es la formación de remolinos la que genera la disipación, y estos se producen de un modo más extenso en el caso de una expansión que en la contracción homóloga (como se esquematiza en la figura).

Fig. 2.13

Conviene aclarar que al atravesar el agua un estrechamiento no gana presión sino que la pierde (gana necesariamente velocidad dado que el caudal se conserva y esto conlleva por la ecuación de Bernoulli una pérdida de presión). En todo caso, las variaciones de presión no son directamente relevantes para evaluar la disipación de energía, dado que la presión es un esfuerzo conservativo (vinculado con la energía elástica del agua), y su pérdida o ganancia no conllevan disipación alguna.

168

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Un caso particular de ensanchamiento es la salida o llegada de una tubería a un depósito. Las conducciones que tienen su principio o fin en un depósito están sometidas a una pérdida de carga en el punto de enlace. De nuevo como en el caso anterior, la entrega al depósito genera más pérdida de carga que la salida desde el mismo, y el valor numérico de la pérdida de carga en la salida desde depósito depende fuertemente de la configuración de las líneas de corriente, o dicho de otro modo, de la geometría de la acometida. En el caso de la llegada, se admite en general un coeficiente de valor 1 (se pierde una cantidad equivalente al término cinético).

H5

En lo que respecta a las válvulas o llaves de paso, se comentarán algunas tipologías usuales (este es un texto conceptual, no tecnológico, pero es trivial encontrar información sobre este tipo de elementos en la bibliografía o en la red). Se escogen por su simplicidad conceptual las de compuerta, mariposa o esféricas.

Fig. 2.14 Tipologías simples de válvulas

En el caso de válvulas de compuerta, el seccionamiento se produce por la interposición de una placa plana, ortogonal al eje de la tubería, que entra limitando la sección de modo puntual. La forma en que se ejecuta el cierre, y la distribución de líneas de corriente a las que da lugar, hacen que genere el efecto de un estrechamiento muy localizado en la conducción, lo que conlleva que un grado pequeño de cierre prácticamente no afecta al flujo, mientras que los últimos centímetros de cierre ejercen una importante disipación de energía. En el caso de las válvulas de mariposa el flujo se interrumpe asimismo mediante la interposición de un disco o lenteja, que genera un estrechamiento local. La válvula se considera abierta cuando el disco está en un plano que contiene al eje de la tubería, y está cerrada cuando está en un plano ortogonal al eje. Posiciones intermedias definen distintos grados de apertura. El ámbito de aplicación de las válvulas esféricas va desde las pequeñas llaves de jardinería hasta las mayores válvulas de los grandes sistemas hidroeléctricos. El principio de cierre es el giro de una esfera a la que se le ha practicado un agujero cilíndrico, del diámetro de la tubería. En la posición de válvula abierta,

169

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

el agujero cilíndrico coincide en prolongación recta con la tubería. En la posición cerrada, el agujero cilíndrico tiene un eje ortogonal al de la tubería. Posiciones intermedias marcan distintos grados de apertura. De nuevo el efecto conceptual equivalente es el de un estrechamiento localizado. Como se ve, el mecanismo de disipación de las válvulas es similar al de los estrechamientos y ensanchamientos, con lo que es válida una expresión que vincule su pérdida de carga al cuadrado de la velocidad (o el caudal). El valor del coeficiente de una válvula suele ser mayor que la unidad (a veces incluso cuando está completamente abierta, ya que su mera inclusión en la tubería supone una singularidad que las líneas de corriente acusan). 2.3.1 Efecto sobre la línea de energía El incluir las pérdidas localizadas en el cálculo de la conducción afecta (y mucho) al susodicho cálculo. La ecuación de conservación de la energía que, incluyendo las pérdidas continuas, tiene la forma: E A = E B + I AB ⋅ LAB

[2.54]

Fig. 2.15 Línea de energía sin pérdidas localizadas

debe ser modificada en el caso de que en otros puntos (C, D, E, F, por ejemplo) existan fuentes de disipación local de energía. Así, llamando ∆E L a las

disipaciones locales de energía, la ecuación resultante será: B

E A = E B + I AB ⋅ LAB + ∑ ∆E L A

[2.55]

Dadas E A y E B , las características de la conducción y los coeficientes de pérdida de carga, la ecuación anterior permite calcular el caudal circulante, y definir la línea de energía, la línea piezométrica y el campo de presiones. a:

En efecto, si se desarrolla la expresión de conservación de la energía, se llega

E A − E B = LAB

v2 v2 v2 v2 f ⋅ v2 + λC + λD + λE + λF 2g 2g 2g 2g 2g·D 170

[2.56]

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Donde f depende de la velocidad sólo si el flujo no es turbulento rugoso, y en cualquier caso, la única incógnita es “v”. Una vez se resuelve y se obtiene su valor, se puede calcular cada uno de los términos disipativos y plantear la línea de energía (y la de presiones).

v2 v2 v2 v2 ∆ ∆ = ∆ = = λ λ λ E E E ; ; ; E F D F D E 2g 2g 2g 2g I ⋅ L = ∆ECONT = LAB

f ⋅ v2 2g

[2.57] [2.58]

Fig. 2.16 Línea de energía con pérdidas localizadas

Es muy obvio si se analizan las ecuaciones que la velocidad del agua (y por tanto del caudal circulante), en el caso de que existan elementos que disipen energía de modo localizado, es inferior que en el caso de que no los haya. Esto puede parecer una cierta incoherencia respecto de lo apuntado en párrafos anteriores, en los que se comentó que a lo largo de un codo, por ejemplo, no se pierde velocidad (ni caudal) sino presión. Conviene detenerse un momento y analizar ambas expresiones: • •

A lo largo de un codo se produce una disipación de energía en forma de presión, el caudal que entra y sale del codo es el mismo. Si en un sistema se incluyen elementos que generen disipación local, el caudal que circula por el sistema disminuye.

No hay, si se analiza con calma, incoherencia alguna. Hablamos aquí de dos situaciones “temporales”, si se quiere, antes y después de colocar los elementos disipativos, y la segunda afirmación nos informa de que el caudal que observamos “después” es menor que el que observábamos “antes”. Cada uno de esos caudales (el anterior y el actual) circula a lo largo de toda la tubería (en régimen permanente el caudal se mantiene constante), lo que quiere decir que ese caudal

171

H5

∆EC = λC

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

“mermado respecto de la situación anterior” entra y sale por todos y cada uno de los elementos locales sin que se perciba cambio alguno entre lo que entra (en un codo, por ejemplo) y lo que sale. ¿Por qué disminuye el caudal, entonces? Pues porque el desequilibrio energético disponible (E A -E B ) se gasta en el primer caso sólo en pérdidas continuas, lo que permite obtener un valor de la pendiente motriz alto (y una velocidad alta, por tanto), mientras que en el segundo caso ese mismo desequilibrio energético tiene que “pagar” además los “peajes” de paso a lo largo de cada uno de los elementos disipativos, con lo que la energía remanente para el término “I·L” es menor y por tanto la velocidad (que depende de la pendiente motriz) es menor. Pero debe entenderse que el caudal disminuye respecto de la situación anterior, no entre un punto y otro de la conducción. El caudal, una vez introducidos los elementos disipativos, es constante a lo largo de toda la tubería. Como recapitulación de estos apartados se analizarán un par de ejemplos numéricos, con y sin pérdidas localizadas: A.- Considérese un sistema formado por dos depósitos de nivel constante y una tubería de 300 mm de diámetro, con una rugosidad absoluta de 1 mm, y un desarrollo de 5650 m, formando el sifón que se esquematiza en la figura. Se pide determinar el caudal circulante. La determinación del caudal exige los siguientes cálculos (se utilizará como herramienta en este ejemplo el diagrama de Moody): •

•

1. Determinación del coeficiente de fricción de Darcy-Weisbach, dada la rugosidad relativa, que se obtiene como K/D (en este caso 1/300= 0,0033). Con este valor se obtiene el coeficiente de fricción para régimen turbulento rugoso, con la ayuda del ábaco de Moody (f=0,025). En el caso de que tras el cálculo se compruebe que el régimen no es turbulento rugoso, se deberá iterar sobre esta solución inicial. 2. Cálculo del caudal, dada la energía disponible (50 m.c.a –30 m.c.a), como:

50 − 30 = 20 = L •

f·Q 2 0,025Q 2 ; ⇒ Q = 0,065 m 3 / s = 5650 2 A 2g·D 0,0294

[2.59]

3. Comprobación de que el régimen es turbulento rugoso, mediante el cálculo del número de Reynolds: v =

Q = 0,91m / s A

Re =

v·D

υ

= 273830

[2.60]

Entrando en el Ábaco de Moody con este valor, el régimen es prácticamente turbulento rugoso, con lo que la estimación del coeficiente de fricción es adecuada y el caudal calculado es correcto.

172

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Fig. 2.17 Sifón correspondiente al ejemplo A

•

•

1. El cálculo del caudal incluye la estima del coeficiente de fricción a partir del régimen turbulento rugoso dada la rugosidad relativa, que se obtiene como K/D (en este caso 1/300= 0,0033). Con este valor se obtiene el coeficiente de fricción para régimen turbulento rugoso, con la ayuda del ábaco de Moody (f=0,025). 2. El principio de conservación de la energía (ecuación de Bernoulli), entre los dos depósitos, da lugar a la ecuación:

f·v 2 + 50 − 30 = 20 = L 2g·D

∑H

i

=

v2 0,025v 2 = 3000 + ( 0,5 + 0,6 + 0,6 + 0,6 + 0,6 + 1) 5,89 2g

[2.61]

20 = 12,73v 2 + 0,2v 2 = 12,93v 2 ; ⇒ v = 1,24 m / s; ⇒ Q = 0,088 m 3 / s [2.62] Entrando en el Ábaco de Moody, se comprueba que la hipótesis de flujo turbulento rugoso es correcta.

173

H5

B.- Considérese un sistema formado por dos depósitos de nivel constante y una tubería de 300 mm de diámetro, con una rugosidad absoluta de 1 mm, y un desarrollo total de 3000 m, con una serie de pérdidas locales de energía cuyos coeficientes se indican en la figura. Se pide de nuevo determinar el caudal circulante.

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Fig. 2.18 Esquema de la tubería correspondiente al ejemplo B

2.4 Bombeos Las bombas, sea cual sea su tipo, son elementos que inyectan energía al agua. El objeto de este apartado es indicar cuál es el efecto de un bombeo sobre la conducción, y los problemas que puede conllevar su ubicación. Dada una conducción (seguimos de momento considerando una única línea), considérese que en un punto genérico se sitúa una bomba. Cabe plantearse cuál es la componente de la energía que se incrementa. Para ello, basta hacer una simple reflexión (gemela de la realizada en el apartado anterior): Si el diámetro de las conducciones de entrada y salida es igual (1 y 2) es igual, la velocidad en 1 y 2 debe ser igual ya que no hay acumulación de caudal en la bomba, ni creación del mismo. De esto se deduce que el término cinético es igual en 1 y 2. La cota de la conducción no varía, luego z 1 = z 2 . El incremento

de energía debe ser pues un incremento de presión.

La conclusión del párrafo anterior es un poco sorprendente, si se tiene en cuenta que las bombas suelen ponerse para aumentar el caudal. Nada de lo dicho es incoherente, como se ha comentado con anterioridad. Una vez la bomba está funcionando y se establece el régimen permanente, los caudales en 1 y en 2 son iguales, pero ambos son mayores que los que se daban en ausencia de bombeo. El bombeo se representa como una discontinuidad de la línea de energía. Si se representan las situaciones con y sin bombeo, se entiende perfectamente lo comentado.

174

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Fig. 2.19 Línea de energía incluyendo una impulsión

La pendiente motriz I ini , que se daría si no hubiese bombeo, es netamente turbulencia completa, es lineal con el cuadrado de la velocidad, con lo que la velocidad, y por tanto el caudal, en el caso de existir un bombeo, es netamente superior a la que se daría de no haberlo. Un hecho destacable es que la bomba no actúa sólo sobre el agua que tiene por delante, sino también sobre la que tiene detrás, a la que succiona y acelera. La potencia que la bomba comunica al agua es función de una serie de magnitudes cuya dependencia dimensional se expresa (en primera aproximación) como: W = Q ⋅ HB ⋅ γ

[2.63]

Donde W : potencia (watt); H B : altura de bombeo (m); Q: caudal (m3/s); γ : peso específico (N/m3). Es decir, dada una bomba de una determinada potencia por la que circula un determinado fluido, cuanto mayor es la altura de bombeo menor es el caudal impulsado, y recíprocamente, cuanto mayor es el caudal, menor es la altura impulsada. La potencia eléctrica requerida por la bomba y la potencia transmitida al agua no son iguales. Existen unos rozamientos en la maquinaria que se traducen en un rendimiento. La expresión para la potencia nominal de la bomba (que incluye esas pérdidas), es:

W =

Q ⋅ HB ⋅ γ η

175

[2.64]

H5

inferior a la que realmente se da I bom . Como se comentó, la pendiente motriz, en

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Donde η es el valor del rendimiento, menor que la unidad, por tanto. La expresión que recoge la potencia en función de Q , H B y γ no pasa de ser una fórmula derivada del análisis dimensional. La apariencia de que la potencia es lineal con Q , H B y γ es falsa, en la medida que el rendimiento η no es constante, y es también una función de Q y H B (el rendimiento de una bomba no es el mismo transportando un determinado caudal o transportando otro, hay condiciones en las que está más “cómoda”). Así, la función potencia de una bomba tiene la expresión:

W =

Q ⋅ HB ⋅ γ η ⋅ (Q, H B )

[2.65]

Una bomba puede trabajar en distintas configuraciones de caudal y altura de bombeo. Si una bomba mueve un gran caudal, le comunica poco incremento de presión. Si mueve un caudal menor, le comunica más presión. Cada bomba tiene unos rangos de caudal y presión (altura de bombeo) comunicada que el fabricante declara en forma de gráficos H B − Q , se conocen como “curvas

característica de la bomba”. Estas curvas se obtienen experimentalmente en bancos de prueba.

Fig. 2.20 Curva característica de una bomba

El producto H ⋅ Q en cada punto de la curva sería constante si el rendimiento y el consumo fuesen constantes, pero no es así. De hecho, la concavidad esperable de estas curvas sería la de una hipérbola (si se analiza la ecuación) y no la que se presenta en el gráfico, que es la que se corresponde con la mayoría de los casos reales. Esto confirma de nuevo que los rendimientos son variables.

176

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Existe por tanto una zona óptima de uso y zonas en que la configuración de la bomba genera más fricción debido a condicionantes de su diseño. Esto se suele representar en una curva de rendimientos:

Por último, tampoco es cierto que el consumo sea constante. En función del caudal circulante, el consumo eléctrico requerido es uno u otro (como en el caso de los coches, no siempre gastan lo mismo). Así, se puede considerar también la curva de potencias, y se puede ampliar la ecuación que conceptualmente define el funcionamiento de la bomba, del modo:

W (Q, H B ) =

Q ⋅ HB ⋅ γ η ⋅ (Q, H B )

Fig. 2.22 Curva de potencia de una bomba

177

[2.66]

H5

Fig. 2.21 Curva de rendimientos de una bomba

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

2.4.1 Curva resistente de una impulsión. Punto de funcionamiento A todos los efectos, el valor H B (altura de bombeo) tiene el efecto de un incremento neto del desnivel entre los depósitos (o niveles de energía) de aguas abajo y aguas arriba. En ausencia de pérdidas locales, el caudal que circula por la tubería del esquema propuesto (tubería simple limitada por los puntos 1 y 2) es:

H1 = H2 + L ⋅

f ⋅Q2 A 2 2g·D

Q 2 = A 2 2g·D ⋅

(H 1 − H 2 )

[2.67]

f ⋅L

Si se introduce una bomba, y existe la constancia de que la altura de bombeo es H B , el nuevo caudal es: H1 + HB

2

f ⋅ Q' = H2 + L ⋅ 2 A 2g·D

2

Q' = A 2 2g·D ⋅

(H 1 + H B

f ⋅L

− H2)

[2.68]

Y esto es independiente de en qué punto de la conducción se ubique la bomba. Se observa que para cada desnivel hidráulico (H 1 − H 2 ), (H 1 + H B − H 2 ) o

en general ∆H , se obtiene un caudal. La expresión que define el caudal es del tipo: Q 2 = A 2 2g·D ⋅

∆H f ⋅L

[2.69]

En ausencia de pérdidas locales. En general, se puede aceptar que el desnivel hidráulico y el caudal están vinculados por una ecuación del tipo:

Q 2 = K ⋅ ∆H

[2.70]

A esta ecuación se la llama “curva característica de la conducción”, o “curva resistente”. Este es un concepto fundamental, que pone de manifiesto un vínculo entre el caudal que circula y la altura del bombeo. Dada una bomba, no se puede escoger la altura de bombeo que proporcionará. Ésta viene condicionada por dos restricciones: • • HB

su propia curva característica H B − Q la curva resistente de la conducción Q − ∆H

La curva resistente, dados H 1 y H 2 , se puede también considerar una relación − Q , con lo que las dos condiciones se pueden superponer en un gráfico.

178

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Fig. 2.23 Punto de funcionamiento de una impulsión

instalación. Así, el diseño de una impulsión exige el cálculo del punto de funcionamiento.

El punto de funcionamiento de la impulsión puede modificarse accionando las válvulas que existan en el sistema (con lo que se actúa sobre la curva resistente), o utilizando bombas con velocidad de rotación variable. Las bombas de velocidad variable permiten adaptar su rendimiento y su caudal a la demanda, de modo que la bomba siempre trabaja en un nivel de rendimientos razonable. Es una solución interesante cuando cabe prever variaciones de caudal en una instalación, como alternativa más simple a la instalación de un grupo de bombas. La tecnología y coste de las bombas de velocidad variable las hace competitivas en el mercado. 2.4.2 Ubicación de la bomba. NPSH Como ya se ha comentado, la bomba actúa no sólo sobre el agua que tiene por delante, sino también sobre la que tiene detrás. La readaptación de la línea de energía se manifiesta como un incremento de presión aguas arriba de la bomba, y un decremento de presión aguas abajo:

179

H5

El punto de intersección de las dos curvas es el único que cumple ambas restricciones, y se conoce como “punto de funcionamiento de la impulsión”. Debe entenderse lo que esto significa: cuando se sitúa una bomba en una impulsión, no se puede escoger el incremento de carga que proporcionará; la bomba trabajará en un punto (H B − Q ) que le vendrá impuesto por la curva resistente de la

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Fig. 2.24 Tubería simple con una impulsión

Tanto el punto de presión máxima como el de presión mínima son importantes. Es bastante comprensible que la presión máxima (presión de diseño, en la terminología usual) no debe superar la presión nominal de la tubería (presión de funcionamiento admisible), ya que de esto podría derivarse su colapso, o al menos el incumplimiento de la normativa. Del mismo modo, la presión mínima no debe superar un valor mínimo, que no viene dado en general por la conducción, que suele poder soportar presiones ligeramente por debajo de la atmosférica (aunque en general no conviene abusar de esta capacidad), sino por la propia bomba, en cuyo interior no deben producirse presiones cercanas a la de vapor. Los valores de la presión mínima y máxima dependen de la posición de la bomba. Esto se puede apreciar en el tramo horizontal que se está usando como ejemplo, y evidentemente debe ser tenido en cuenta en un tramo real, con variaciones de cota:

Fig. 2.25 Ubicación de la bomba. Bandas de presiones máxima y mínima

Las dos paralelas que se presentan son las envolventes de la energía máxima y mínima en ausencia de pérdidas locales. Como se ve, en las posiciones cercanas al depósito 1 los problemas pueden venir originados por las presiones máximas,

180

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

mientras que en el entorno del depósito 2, los problemas vendrán originados por las presiones mínimas, por debajo de la atmosférica, ya que la línea de energía pasa por debajo de la de cota. Si el término cinético v / 2g se considera despreciable, y se supone que la 2

línea de energía es sensiblemente igual a la de presiones, los niveles de presión máxima y mínima impuestos por los condicionantes de la conducción (máximos) y la bomba (mínimos) marcarían el intervalo en que se puede ubicar la bomba.

La presión mínima requerida ( NPSH r ) es la necesaria para que, con una adecuada salvaguarda de seguridad, el agua no cavite en los álabes de la bomba, donde se ve sometida a incrementos de velocidad por variaciones de la sección. De este modo, se requiere una reserva de presión por encima de la de vapor, tanto mayor cuanto mayor es el caudal circulante (dado que cuanto mayor es el caudal, mayor es la velocidad, y este incremento genera un decremento de la presión, de acuerdo con la ecuación de Bernoulli). Las gráficas de NPSH se expresan en presión relativa menos presión de vapor ( p / γ − pv / γ ), y su aspecto es del tipo:

Fig. 2.26 Curvas de NPSH requerido para una bomba

181

H5

El modo de definir la posición de la bomba descrito en el párrafo anterior peca no obstante de falta de realismo. En un proyecto real, las pérdidas localizadas no pueden ser despreciadas, ni el término cinético, y las tuberías no son tan simples. En un caso real, el análisis de las presiones máximas y, sobre todo, de las mínimas en la succión de la bomba, debe llegar al detalle, y la presión mínima debe ser comparada con la mínima que requiere el fabricante, que se conoce como NPSH (Net Positive Suction Head) requerido ( NPSH r ) .

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

En general, se acepta que el agua llegue a la bomba con presiones algo por debajo de la atmosférica. En el caso de que la bomba se sitúe por encima de un pozo, y se extraiga mediante una succión (que requerirá un cebado), este valor es crítico. El esquema de la comprobación a realizar, sería, a modo de ejemplo:

Fig. 2.27 Bombeo desde pozo de succión

zd = zb +

v 2 pb + + I ⋅ L + ∑ ∆H L 2g γ

pb v2 ( ) = − − − I ⋅ L − ∑ ∆H L z z o sea, d b γ 2g

[2.71] [2.72]

Se observa que 𝑝𝑝𝑏𝑏 ⁄𝛾𝛾 es un valor intrínsecamente negativo si z b > z d . Se

puede definir el valor del NPSH disponible (prescindiendo del término cinético, lo que nos sitúa del lado de la seguridad) como: NPSH= d

pb

γ

−

pV

γ

[2.73]

En estas condiciones, se debe cumplir: NPSH r > NPSH d

[2.74]

2.4.3 Agrupaciones de bombas En muchas ocasiones no se confía todo el bombeo a un sólo equipo, sino que varios grupos de bombeo trabajan en conjunto, bien para suministrar más caudal, bien para generar más altura de bombeo. En realidad, lo uno y lo otro no pueden desligarse, ya que ambos parámetros estarían vinculados por las curvas (H − Q ) características de las bombas. Al describir una agrupación de bombas, se distingue entre dos esquemas fundamentales: 182

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

• •

Bombas en serie Bombas en paralelo

Se entiende por una agrupación en serie aquella en que todo el caudal pasa sucesivamente por cada una de las bombas que forma la agrupación. En el caso más simple de que sean dos bombas iguales, la configuración sería:

Fig. 2.28 Bombas en serie

Si imaginamos el flujo a lo largo del sistema, cada una de las bombas trabaja

sobre su curva de funcionamiento, y define sobre ella un punto (Q − H B ). Dado que el caudal que atraviesa cada una de las dos bombas es el mismo, a efectos prácticos, el conjunto de las dos bombas supone un punto de funcionamiento del (genérico), los puntos de

funcionamiento para cada caudal se obtendrían de una gráfica como la que se indica en la figura:

Fig. 2.29 Bombas en serie. Curva característica de una bomba y del conjunto de dos bombas en serie

Se puede definir la curva característica del bombeo, sumando las ordenadas (duplicándolas, en este caso).

183

H5

tipo (Q − 2H B ). Si el caudal circulante es Q

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

En el siguiente esquema, se ha incluido la curva correspondiente a las dos bombas, como (H 2 , Q2 ) . Se puede apreciar que, si sólo se conecta una bomba, el punto de funcionamiento es (H 1 , Q1 ) . Queda claro pues que se modifican tanto el caudal como la altura del bombeo, y que el hecho de que la curva característica se obtenga duplicando las ordenadas no implica que el caudal circulante al incluir una segunda bomba se duplique.

Fig. 2.30 Bombas en serie. Punto de funcionamiento

Se entiende por una agrupación en paralelo aquella en que el caudal se divide en dos (o más) conductos que incluyen los grupos de bombeo, para unirse inmediatamente después. La altura de bombeo que comunica cada bomba es igual, si las bombas son iguales y las conexiones son simétricas, y el caudal debe dividirse también de modo simétrico. De no ser así, se vulnerarían las ecuaciones de conservación de la energía y la de conservación de la masa, respectivamente. Se comenta en los siguientes párrafos. Dado que este esquema no puede considerarse de hecho como un segmento simple, sino como un circuito, donde una gota de agua puede optar por uno u otro segmento al llegar al nudo de derivación, es importante aclarar algún concepto. Si se analizan dos líneas de corriente, inicialmente paralelas, cada una de las cuales se dirige a una de las bombas, en el entorno del nudo inicial (P), se puede comprender que, en ausencia de pérdidas locales, la energía a lo largo de la línea de corriente se mantiene constante (en caso contrario se vulneraría la ecuación de Bernoulli), con lo que no cabe plantear que la energía al llegar a P se divida o minore para repartirla entre los ramales. Conviene recordar que a lo que llamamos “energía” es en realidad energía por unidad de peso, energía intrínseca de cada gota, por decirlo así, y ésta acompaña a la gota cuando decide hacia qué bomba se dirige. De este modo, la energía (en términos del trinomio de Bernoulli) en los puntos P, P 1 y P 2 se mantiene constante.

184

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Fig. 2.31 Bombas en paralelo. Análisis del nudo inicial (P)

Si las dos bombas son iguales los puntos de funcionamiento coinciden, lo que supone que tanto el caudal como la altura de bombeo de cada bomba son iguales, ya que las curvas características correspondientes a las dos bombas son iguales (al ser las bombas iguales). El caudal total se halla pues duplicando el caudal que pasa por un ramal, lo que equivale a duplicar las abscisas de la curva característica de la bomba en el gráfico:

Fig. 2.32 Bombas en paralelo. Punto de funcionamiento

De nuevo se observa que el duplicar la curva característica de la bomba no supone que el caudal al introducir una segunda bomba en paralelo Q 2 se duplique respecto del que había con una sola bomba Q 1 . El caudal es algo mayor, y la atura de bombeo de cada bomba también es algo mayor.

185

H5

En lo que respecta al caudal, es obvio que se reparte, y si existe simetría total en el sistema no hay ningún motivo que justifique que la repartición no sea equitativa. Si los ramales no fuesen simétricos o las bombas no fuesen iguales, habría que tratar el problema como una red, no como un segmento simple. Este tipo de análisis se comentará más adelante.

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

3 Redes de tuberías en régimen permanente

Una vez analizado el funcionamiento de una tubería simple, el siguiente paso es el análisis de redes. Una distinción usual consiste en el carácter ramificado o mallado de las redes. Se habla de redes ramificadas cuando no se establecen circulaciones cerradas, mientras que se habla de redes malladas cuando sí las hay. Aunque conceptualmente no hay grandes diferencias, y los modelos actuales de cálculo no las establecen, tradicionalmente se ha separado su estudio, debido a que las redes ramificadas aceptaban en un pasado más o menos reciente procedimientos de cálculo más inmediatos y explícitos mientras que las malladas requieren una formulación implícita. En la actualidad esto no supone una diferencia. En todo caso, se presentarán distintos tipos para ilustrar esa distinción. Al igual que en el caso de los tramos simples, las incógnitas a tener en cuenta en el problema pueden ser de distinta naturaleza: cálculo de diámetros, caudales o niveles en los depósitos. Se considera, como ejemplo, que se conocen los niveles en los depósitos y las dimensiones de los tubos, y se quiere calcular el caudal circulante por cada ramal. Las ecuaciones básicas para el análisis de redes son la ecuación de continuidad y la ecuación de conservación de la energía. La ecuación de continuidad se aplica en las confluencias (nudos), de las que algo ya se comentó al analizar agrupaciones de bombas en paralelo, y la de conservación de la energía a lo largo de los tramos, definidos entre depósitos. Considerando el ejemplo de la figura, la aplicación de estas ecuaciones lleva a un sistema de ecuaciones que permite llegar a una solución:

186

H5

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Fig. 3.1 Red ramificada

Ecuaciones de conservación de la energía, que consisten en analizar la disipación de energía a lo largo de una línea de corriente: por ejemplo, se pueden definir desde todos los depósitos de aportación hasta el de llegada (suponiendo arbitrariamente un flujo globalmente hacia el depósito 5). Aceptando que no hay pérdidas locales, tenemos: H 1 − H 5 = I 1 ⋅ L1 + I 4 ⋅ L 4 + I 5 ⋅ L 5 + I 7 ⋅ L 7

[3.1]

H 2 − H 5 = I 2 ⋅ L2 + I 4 ⋅ L 4 + I 5 ⋅ L5 + I 7 ⋅ L7

[3.2]

H 3 − H 5 = I 3 ⋅ L3 + I 5 ⋅ L5 + I 7 ⋅ L7

[3.3]

H 4 − H 5 = I 6 ⋅ L6 + I 7 ⋅ L7

[3.4]

Donde I 1 = I 1 (Q1 ) , y así sucesivamente. La función I 1 (Q1 ) puede ser la de Darcy-Weisbach (ecuación [2.23]) u otra, como la de Manning (ecuación [2.44]), Hazen-Williams (ecuación [2.45]), etc. El haber aceptado unas direcciones de flujo a priori no es un problema. Si hemos cometido un error, simplemente obtendremos un caudal negativo.

187

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Es importante entender que cada una de estas ecuaciones representa la circulación a lo largo de una línea de corriente, y que cada punto del sistema y en concreto cada nudo tiene un nivel de energía único, con independencia de que el agua le llegue de uno u otro lado. Por ejemplo, una gota que saliendo del depósito 1 llegue a la confluencia de los tubos 1 y 2 tiene la misma energía que otra gota que llegue a esa misma confluencia partiendo del depósito 2, ya que la energía de la sección (en este caso del nudo) es en definitiva la cota (que es constante en el nudo, salvo pequeñas variaciones a lo largo del diámetro vertical del tubo) más la presión (que no es variable en la sección salvo la pequeña componente hidrostática que se compensa con la de cota), más la componente cinética, cuyas variaciones se asumen en el coeficiente de Coriolis y en general son despreciables respecto de los otros términos. De hecho, es usual trabajar con incógnitas auxiliares adicionales que representan la energía en el nudo. Para el nudo A de la figura, este párrafo se podría resumir como:

E1 = I 1·L1 + E A     ;    E 2 = I 2·L2 + E A

[3.5]

Las ecuaciones de los nudos representan la distribución del caudal, y son: Q1 + Q 2 = Q 4

[3.6]

Q4 + Q3 = Q5

[3.7]

Q6 + Q5 = Q7

[3.8]

Con lo que se define un sistema de 7 ecuaciones con 7 incógnitas (Q1 − Q 7 ) , donde algunas de las ecuaciones son no lineales. Existen métodos para simplificar estos cálculos, utilizando variables adicionales (energía en los nudos), pero dado el desarrollo de los métodos actuales de cálculo, no merece la pena detallarlos. Cualquier modelo comercial de distribución pública, como EPANET, de la U.S. Environmental Protection Agency, resuelve estas redes de modo eficiente y suficientemente exacto, incluso incluyendo pérdidas locales, y válvulas antiretorno o de funcionamiento automático (se comentará este tema más adelante). Redes malladas en régimen permanente El rasgo diferenciador de una red mallada es la existencia de circuitos cerrados. Esto lleva a que los haces de líneas de corriente en algunos casos se bifurquen (esto no sucedía antes: todo el flujo del depósito 2 va hacia el depósito 5, no hay división del flujo) y la ley de conservación de la energía se puede aplicar no solo a una circulación directa (del depósito 2 al depósito 5, por ejemplo) sino a una malla cerrada.

188

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Así, recordando la terminología usual en electrotécnica se puede hablar de ecuaciones de nudo (continuidad) y de malla (conservación de la energía), aunque siguen siendo válidas las ecuaciones que plantean la ecuación de conservación de la energía a lo largo de circulaciones directas.

Considérese a título de ejemplo un sistema muy simple con dos mallas cerradas, como el de la figura, y con 4 nudos por los que en principio puede entrar o salir agua. Se consideran estas extracciones o entradas conocidas, así como los niveles energéticos (o niveles de los depósitos de las tuberías inicial y final).

Fig. 3.2 Red simple mallada

Las ecuaciones que se pueden plantear (estableciendo unos sentidos de circulación a priori) son (siete incógnitas, y por tanto siete ecuaciones): Continuidad: Q1 = QA + Q2 + Q3

Q3 = QC − Q4 + Q6

;   Q2 = QB + Q4 + Q5 ; ;   Q5 + Q6 = QD + Q7

189

[3.9]

H5

Las ecuaciones a lo largo de un circuito cerrado imponen que la energía con la que se sale de un punto del circuito es la energía con la que se llega al mismo tras la circulación, entendiendo que habrá flujos en el sentido del cálculo (que generan pérdida de carga en sentido estricto) y flujos inversos (que generan pérdida de carga “negativa” a efectos de este cómputo). Es más correcto considerar que para ir desde el punto A al D de una malla cerrada (pongamos cuadrangular), la pérdida de energía yendo por el itinerario ABD deber ser igual a la que se gasta yendo por el itinerario ACD, ya que de otro modo el punto D no tendría asignada su energía de modo único. Hay que entender que los flujos (los caudales) se distribuyen a lo largo de los distintos itinerarios posibles para lograr que cada punto tenga su nivel de energía definido de modo unívoco.

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Energía: Circulaciones de P a Q, considerando distintas líneas de corriente que salen del primer depósito y llegan al segundo, y suponiendo nulas (por simplicidad) las pérdidas locales:

E P =EQ + I · L + I 2·L2 + I 5·L5 + I 7·L7 1 1

[3.10]

E P =EQ + I · L + I 3·L3 + I 6·L6 + I 7·L7 1 1

[3.11]

E P =EQ + I · L + I 2·L2 + I 4·L4 + I 6·L6 + I 7·L7 1 1

[3.12]

Algunas de estas ecuaciones de circulación (las dos últimas, por ejemplo) se podrían sustituir por ecuaciones de malla (más simples). Respetando los signos impuestos a priori (si no son ciertos, se obtendrán resultados negativos), estas ecuaciones serían:

0 = I 2·L2 + I 4·L4 − I 3·L3      ;     0 = I 5·L5 − I 6·L6 − I 4·L4

[3.13]

Donde I 1 = I 1 (Q1 ) , etc. El sistema que se genera es no lineal, pero esto no es un problema para los programas actuales de cálculo de redes. En el caso de utilizar la formulación de Darcy-Weisbach algunas de estas expresiones pueden ser implícitas. Es usual aceptar la simplificación de Swanee-Jain para poder plantear un sistema de ecuaciones resoluble de un modo más o menos simple. En el caso de que uno o varios de los tubos tengan elementos que contengas pérdidas locales, las ecuaciones se hacen un poco más farragosas, pero no hay ningún elemento que aporte dificultad conceptual. Para la primera de las ecuaciones de malla citadas, por ejemplo, si se considera que existen pérdidas, la expresión sería: 0= I 2·L2 +

∑∆E

2

+ I 4·L4 +

∑∆E

4

− I 3·L3 − ∑∆E 3

[3.14]

3.1 Introducción en el cálculo de válvulas de funcionamiento automático Como se ha visto en el apartado anterior, el pasar de un conducto simple a una red no aporta una gran dificultad conceptual, una vez aceptado que los nudos tienen un nivel de energía determinado (la energía por unidad de peso no se reparte, sino que se mantiene) y que el caudal se distribuye en los nudos. A pesar de esta simplicidad, la resolución de cualquiera de los dos ejemplos simples (de sólo siete tuberías, en ambos casos) presentados como ejemplo puede suponer un problema si no se cuenta con elementos de cálculo adecuados. En un pasado no muy remoto estos medios de cálculo no estaban disponibles, y se desarrollaron métodos de cálculo manual sobe los que no se va a hablar pero

190

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

que hacían factible la resolución de estos sistemas de tuberías con un coste temporal asumible. Sistemas de varias decenas de tubos, no obstante, ya eran mucho más farragosos de abordar, y sistemas reales (de decenas o miles de tubos) eran directamente inabordables. Adicionalmente, los sistemas de tuberías actuales incorporan elementos, como las válvulas de funcionamiento automático, que suponen un problema adicional para el cálculo. No se pretende en este tema entrar en aspectos tecnológicos de estos dispositivos, pero sí es necesario indicar mínimamente cuál es su función para entender lo que suponen en complejidad añadida. Las válvulas de funcionamiento automático tienen la particularidad de que se accionan para cumplir una o varias funciones cuando ellas mismas consideran que deben hacerlo, en función de unas consignas preestablecidas.

Estos dispositivos incluyen decisiones simples, y de hecho su “lógica” es muy directa y viene directamente inducida por el agua (por el sentido del caudal o por el nivel del depósito). Hay otros dispositivos algo más complejos, donde a una válvula con una buena capacidad de regulación (a una válvula de asiento plano, por ejemplo) se le incorpora una motorización y un conjunto de reglas lógicas algo más complejas (bien inducidas hidráulicamente, como en los casos anteriores, bien a través de la medición directa de ciertos parámetros y una decisión basada en un “ordenador”, más o menos sofisticado. Las válvulas más usuales (o las lógicas más usuales asociadas a válvulas de regulación) son: •

•

Válvulas reductoras de presión, cuya principal misión es garantizar que en su extremo de aguas abajo no se supere una determinada presión, que se indica como una consigna. En el caso de que se perciba una presión superior a esta consigna, la válvula se cierra parcialmente hasta lograr que esta presión baje hasta el nivel de consigna. Si la presión medida es inferior a la consigna, la válvula permanece abierta. Adicionalmente, son válvulas que impiden el flujo inverso. Válvulas sostenedoras de presión, cuya principal misión es garantizar en su extremo de aguas arriba una presión mínima, que se fija a priori. En el caso de que se perciba que la presión está bajando de ese umbral, la válvula se cierra parcialmente para garantizar esa presión. Adicionalmente, se evita el flujo inverso

191

H5

Los casos más evidentes son las válvulas de retención (las clapetas, por ejemplo), que sólo permiten que el flujo vaya en una dirección y se cierran si perciben flujo inverso, o las válvulas asociadas a boyas en los depósitos, que se cierran cuando el nivel en los mismos es alto.

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

•

Válvulas limitadoras de caudal, cuya misión, muy simple, es cerrarse parcialmente si se percibe que el caudal que pasa es excesivo (caudal de consigna). Adicionalmente evitan el flujo inverso.

Es importante entender que efectivamente cerrar una válvula implica generar un salto puntual de presión, lo que lleva a que la presión aguas abajo disminuye y la presión aguas arriba aumenta (lo que justifica que se planeen las lógicas de las dos primeras válvulas comentadas en esos términos). También es importante entender que esa energía se disipa y que por tanto el caudal que pasará será menor, con lo que incorporar este tipo de válvulas redunda en un cierto coste energético, además del monetario de la propia instalación, con lo que hay que analizar muy bien la necesidad de su instalación. En todo caso, el objeto de este apartado no es el analizar las posibilidad técnicas de estos equipos, sino constatar el hecho de que si se incluyen algunos de ellos en una red, además de ecuaciones algebraicas aparecen reglas o ecuaciones “lógicas” que influyen en el proceso de resolución. De este modo, hemos ido diciendo hasta ahora que se pueden prefijar sentidos de circulación a priori y si son erróneas la resolución nos lo indicará dando soluciones negativas. En el caso de que hay válvulas que impidan el flujo inverso, esto no es así, ya que de darse esa posibilidad, la válvula se cerrará del todo (coeficiente de pérdida local infinito asociado a ese sentido, a efectos de cálculo). En el caso de que haya válvulas de dinámica más compleja, su coeficiente de pérdida local dependerá de la presión (o del caudal), lo que hace que el cálculo se vuelva mucho más complejo. Resolver a mano un sistema como los del apartado anterior, pero incluyendo tres o cuatro consignas lógicas, no es algo ya simple en absoluto, y no se plantea pues a efectos prácticos que los sistemas reales de conducciones se calculen a mano.

192

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

4 Redes en régimen cuasi-no permanente en tuberías

Un análisis en régimen no permanente de la red, que incluya variaciones súbitas de caudal o presión, exigiría cálculos demasiado complejos para el objetivo que se persigue, y en todo caso se comentará en el siguiente capítulo. Se propone en este punto un método de análisis cuasi-no permanente, en que, definido un incremento temporal finito (5 minutos, 10 minutos, etc.), se supone un régimen permanente en el intervalo, y variaciones finitas de las condiciones (niveles energéticos o niveles de depósitos) de intervalo en intervalo. A título de ejemplo, si se considera un sistema simple con niveles iniciales E 1 y E 2 , y se considera que los depósitos tienen una capacidad limitada, el flujo durante (un tiempo finito, del orden de 5 minutos, por ejemplo) del depósito 1 al 2 genera variaciones en los niveles:

Fig. 4.1 Flujo cuasi-no permanente. Variación de niveles en los depósitos

193

H5

Al planificar una red no puede dejar de tenerse en cuenta que las demandas son variables con el tiempo: el consumo en las horas centrales del día es muy superior al que se da por la noche. Si se diseña para un consumo medio, es posible que el caudal punta no se suministre convenientemente. De este modo, es interesante diseñar la red para un ciclo diario, considerando una variación de las demandas y en los niveles de los depósitos.

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

(

)

Una vez transcurrido ∆t , se recalculan E 1 y E 2 E 1 , E 2 , y se obtiene otro caudal

(Q ) que se mantiene durante otro intervalo '

'

'

∆t ' , y así sucesivamente.

Esto lleva a una variación de caudales en el sistema que permite observar una evolución temporal, utilizando “fotogramas” espaciados cada incremento de tiempo. Ya en un caso práctico, si se considera una red compleja, y ante una ley de demanda (evolución de la extracción de caudales a lo largo del tiempo) en cada punto:

Fig. 4.2 Discretización de la demanda diaria

Se inicializa el sistema con los niveles registrados en el instante inicial y, a partir de un estado permanente, se evalúa tras el intervalo temporal la variación de cada altura de depósito como: S

dE − ∑ Qi = 0 dt

[4.1]

S: superficie del depósito E: cota de la superficie libre del depósito Q i : caudales afluentes al depósito (con su signo) La resolución para ∆t finito es: a) forma explícita: E (t + ∆t ) = E (t ) +

∑ Q (t ) ∆t S

[4.2]

∑ Q (t ) : balance de caudales en el instante

En este cálculo E (t + ∆t ) se obtiene de forma explícita, pero se acepta que la variación del nivel es brusca, lo que genera errores en su evaluación.

194

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

b) forma implícita: E (t + ∆t ) = E (t ) +

∑ Q (t ) + ∑ Q (t + ∆t ) ∆t 2S

[4.3]

En este caso se supone que durante ∆t circula un caudal promedio entre Q (t ) y Q (t + ∆t ) . Es una variación lineal mucho más estable desde el punto de vista numérico. El hecho de que el cálculo sea implícito complica mucho el esquema de resolución. c) forma mixta (predicción-corrección): Se parte de una solución explícita para calcular y se itera: E P (t + ∆t ) = E (t ) + E C (t + ∆t ) = E (t ) +

Q (t ) ∆t S

(Q (t ) + Q

P

2S

→ Q P (t + ∆t ) : predicción

(t + ∆t ))

∆t

→ Q C (t + ∆t ) : corrección

[4.4] [4.5]

El modelo EPANET Se cita a continuación el código numérico de uso público “EPANET”, que distribuye la Environmental Protection Agency: http://www.epa.gov/nrmrl/wswrd/dw/epanet.html El modelo EPANET calcula redes de tuberías en régimen cuasi-no permanente, e incluye tanto aspectos cuantitativos como cualitativos (transporte de sustancias, p.e. cloro). Sus principales características son:

• • • • • • • •

Manejo de sistemas de cualquier tamaño. Evaluación de las pérdidas continuas con las ecuaciones de DarcyWeisbach, Hazen-Williams o Manning. Pérdidas locales de cualquier tipo. Válvulas, incluyendo elementos de funcionamiento automático. Bombeos (modelados con curvas características o métodos simplificados) de velocidad constante o variable. Cálculos energéticos y de costes para los bombeos. Almacenamiento en depósitos de cualquier forma y tamaño. Se definen patrones temporales de demanda en cualquier punto. Cálculo en régimen cuasi-no permanente

195

H5

Este método de dos pasos es muy eficiente y da muy buenos resultados. Está implementado en gran parte de los modelos comerciales de cálculo de tuberías. El cálculo de redes en este tipo de régimen no es abordable a mano, salvo para casos de mero interés académico.

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

•

El modelo admite controles de gestión sencillos o complejos (condiciones impuestas por el usuario: p.e., si un nivel baja, se enciende una bomba, etc.)

Todos los cálculos que se han ido presentando y desgranando en este capítulo son abordables de un modo simple mediante el uso de EPANET, cuya capacidad de hecho excede lo aquí presentado. En la actualidad, EPANET constituye el estándar de cálculo de sistemas de tuberías en todo el mundo.

196

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

PROBLEMA – 5 A

ENUNCIADO

Calcular la distribución de caudales en el sistema de la figura en los siguientes casos: A) El nivel en el depósito C es de 10 m.

H5

B) El nivel en el depósito C es de 4 m. Se instala una válvula sostenedora de presión en el tramo 2, en el extremo que conecta con el nudo D, para mantener el mismo caudal que en el apartado anterior fluyendo hacia el depósito de cota 28 m.

Fig 1 Esquema del sistema de tuberías ramificadas

PLANTEAMIENTO

En este ejemplo se interconectan tres tanques con cotas de agua conocidas, formando una unión D a una elevación no especificada. Se desea determinar los diferentes caudales circulantes. Se conocen las

197

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

longitudes, rugosidades y diámetros de los distintos tramos y un sentido de flujo, el correspondiente al tramo 3. Para resolver el problema hay que definir los restantes sentidos de flujo o, en su defecto, hacer una hipótesis al respecto. El sentido del flujo dependerá de la energía total en la unión: fluirá desde el extremo con mayor energía al de menor. En primer lugar, se compara la energía en la superficie libre de cada uno de los depósitos. Del depósito que tenga mayor cota de la superficie libre, en este caso el A, saldrá un caudal hacia la unión. La energía en la unión D será inferior a los 50 m de altura total de este depósito. Dado que el flujo en el tramo 3 va desde la unión D hacia el depósito B (dato del enunciado), la energía en la unión debe ser mayor de 28 m (cota de la superficie libre del depósito B). Por tanto, el sentido del flujo en la tubería 2 será de la unión D hacia el depósito C, ya que la energía total en el depósito C es inferior a 28 m. Teniendo en cuenta estos sentidos de flujo, plantearemos los balances de energía entre cada depósito y el nudo central. Aplicaremos asimismo la ecuación de continuidad en la unión. De esta forma obtendremos un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas (el caudal en cada tubería y la energía en el nudo central). En el segundo apartado se debe mantener el mismo caudal en el tramo 3, lo que implica mantener la energía en la unión.

RESOLUCIÓN

A) Nivel de 10 m en el depósito C 1) Sentido del flujo Teniendo en cuenta las consideraciones del planteamiento, definimos los sentidos mostrados en flujo de la siguiente figura.

198

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Fig 2 Sentido del flujo

Dado que no conocemos los valores del número de Reynolds en las tuberías, vamos a suponer un valor inicialmente. Este valor no condiciona la resolución del problema. Vamos a suponer que las tuberías se encuentran en régimen turbulento rugoso para estimar el valor del coeficiente de fricción de Darcy-Weisbach f. Vamos a utilizar el ábaco de Moody. Necesitamos por tanto conocer la rugosidad relativa en cada una de las conducciones, que es el cociente entre la rugosidad y el diámetro (adimensional). Para las tuberías 1 y 2 resulta: k1 k2 1 = = = 2.5 ⋅ 10−3 D1 D2 400

[1]

Para la conducción 3: k3

D3

=

1 = 5 ⋅ 10−3 200

[2]

Entrando con estos valores en el diagrama de Moody, en la zona de régimen turbulento rugoso, se obtienen unos valores del coeficiente de fricción de f 1 =f 2 =0.025 y f 3 =0.03.

199

H5

2) Coeficientes de fricción

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Fig 3 Obtención de los coeficientes de fricción en el ábaco de Moody: tramos 1 y 2 en color rojo y tramo 3 en color azul

Alternativamente, se puede utilizar la ecuación de Swamee-Jain para calcular el factor de fricción f. Su principal ventaja frente a ecuaciones como la de Colebrook-White es que se trata de una ecuación explícita, de la forma:

f =

0.25   k 5.74   + 0.9   log    3.7D Re  

2

[3]

Para flujo turbulento hidráulicamente rugoso resulta:

f =

0.25   k  log     3.7D  

2

[4]

Si se opta por emplear esta ecuación, se obtiene:

f= f= 1 2

0.25    1 log     3.7 ⋅ 400  

200

0.025 = 2

[5]

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

= f3

0.25 = 0.03 2    1 log     3.7 ⋅ 200  

[6]

Los valores del coeficiente de fricción obtenidos por ambos métodos son idénticos. 3) Balance de energía entre el depósito A y el nudo D El balance de energía entre la superficie libre del depósito A y la unión puede escribirse de la siguiente forma:

H= H D + ∆H A −D A

[7]

La pérdida de energía puede descomponerse en suma de pérdidas de energía continuas, por fricción en la tubería, y pérdidas de energías localizadas. En este caso, despreciamos las pérdidas localizadas a la salida del depósito y consideramos únicamente las pérdidas de energía continuas. Expresamos también la energía en la superficie libre del depósito como suma de sus tres componentes (potencial, de presión y cinética) a través de la ecuación de Bernoulli (ecuación [2.2] de teoría). La altura de presión y la cinética toman valor cero, ya que la altura de presión es relativa a la atmosférica y el fluido está en reposo en el depósito. El balance de energía entre el depósito A y la unión resulta:

f1 ⋅ L1 v12 zA = HD + ⋅ D1 2g

[8]

Expresando la velocidad en función del caudal (Q=v·A) se obtiene: zA = HD +

f1 ⋅ L1 D1

⋅

Q12    2g  π ⋅  4    D12

[9]

2

Sustituyendo: 0.025 ⋅ 5000 HD + ⋅ 50 = 0.4

201

Q12  0.42  2 ⋅ 9.81  π   4  

2

[10]

H5

siendo H A la energía en el depósito inicial, H D la energía en la unión y ΔH A-D la pérdida de energía en la tubería 1.

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

El primer balance de energía resulta así: 50 H D + 1008.6Q12 =

[11]

4) Balance de energía entre el nudo y el depósito C Planteamos ahora un segundo balance de energía entre el nudo y el depósito C, de la forma:

H= HC + ∆H D −C D

[12]

siendo H D la energía en la unión, H C la energía en el depósito final, y ΔH D-C la pérdida de energía en el tramo 2. Despreciamos la pérdida localizada en la entrada al depósito C y expresamos la energía en la superficie libre del depósito como suma de sus tres componentes (potencial, de presión y cinética) a través de la ecuación de Bernoulli. De nuevo, la altura de presión y la cinética toman valor cero, con lo que resulta:

f2 ⋅ L2 v 22 HD = zC + ⋅ D2 2g

[13]

Expresando la velocidad en función del caudal: HD = zC +

f2 ⋅ L2 D2

⋅

Q22  D2 2g  π 2  4 

   

[14]

2

Sustituyendo: HD

0.025 ⋅ 5000 = ⋅ 10 + 0.4

Q22  0.42  2 ⋅ 9.81  π   4  

2

[15]

El segundo balance de energía resulta así: H D= 10 + 1008.6Q22

[16]

5) Balance de energía entre el nudo y el depósito B El tercer y último balance de energía se plantea entre la unión y el depósito B, de la siguiente forma:

H= H B + ∆H D −B D

[17]

siendo H D la energía en la unión, H B la energía en depósito final y

∆H D −B la pérdida de carga en el tramo 3.

202

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Siguiendo el mismo razonamiento que en los apartados anteriores, el balance resulta:

f3 ⋅ L3 v 32 HD = zB + ⋅ D3 2g

[18]

O lo que es lo mismo: HD = zB +

f3 ⋅ L3 D3

⋅

Q32  D2 2g  π 3  4 

   

[19]

2

Sustituyendo: HD

0.03 ⋅ 1000 = ⋅ 28 + 0.2

Q32  0.22  2 ⋅ 9.81  π   4  

2

[20]

El tercer balance de energía resulta así: [21]

6) Ecuación de continuidad La última ecuación necesaria para completar nuestro sistema de 4 ecuaciones y 4 incógnitas será la ecuación de continuidad, de la forma:

Q= Q2 + Q3 1

[22]

7) Distribución de caudales y energía en el nudo El sistema de ecuaciones obtenido es el siguiente: = 50 H D + 1008.6Q12

H D= 10 + 1008.6Q22

28 + 7746.3Q32 H= D

[23]

Q= Q2 + Q3 1

Cuya solución es: Q 1 =0.145 m3/s, Q 2 =0.136 m3/s, Q 3 =0.0093 m3/s, H D =28.7 m En caso de que hubiésemos planteado incorrectamente los sentidos de flujo, habríamos obtenido un sistema sin solución. Los valores anteriores han sido calculados a partir de una suposición de los valores de los factores de fricción. Es necesario comprobar ahora que con esta distribución de caudales el régimen es realmente turbulento rugoso.

203

H5

H= 28 + 7746.3Q32 D

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Los números de Reynolds toman los siguientes valores en cada uno de los tramos: = Re 1

v1 ⋅ D1 Q1 ⋅ D1 = = ν A1 ⋅ ν

0.145 ⋅ 0.4 = 4.6 ⋅ 105 2 0.4 π 10−6 4

[24]

Re = 2

v 2 ⋅ D2 Q2 ⋅ D2 = = ν A2 ⋅ ν

0.136 ⋅ 0.4 = 4.3 ⋅ 105 2 0.4 π 10−6 4

[25]

Re= 3

v 3 ⋅ D3 Q3 ⋅ D3 0.0093 ⋅ 0.2 = = = 5.9 ⋅ 104 2 A3 ⋅ ν ν 0.2 10−6 π 4

[26]

La rugosidad relativa en los tramos 1 y 2 es de 2.5·10-3 y en el tramo 3 es de 5·10-3. Sólo es necesario comprobar el régimen en los tramos 2 y 3. Si el régimen es turbulento en el tramo 2, también lo será en el tramo 1, con igual rugosidad relativa y mayor velocidad. Entramos con los valores de Reynolds y rugosidad relativa en el ábaco de Moody, como se muestra en la figura 4:

Fig 4 Comprobación del tipo de régimen en el diagrama de Moody: tramo 2 en color rojo y tramo 3 en color azul

204

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Nos encontramos en la zona de transición del diagrama de Moody en los tres casos, por lo que es necesario realizar una nueva estimación de los coeficientes de fricción. No obstante, los valores difieren muy ligeramente de los correspondientes a régimen turbulento rugoso. Las nuevas estimaciones para los tres tramos serían así: f 1 =0.025, f 2 =0.025, f 3 =0.031. Por tanto, se considera correcta la distribución de caudales calculada anteriormente: Q 1 =0.145 m3/s, Q 2 =0.136 m3/s, Q 3 =0.0093 m3/s, con H D =28.7 m. B) Nivel de 4 m, válvula sostenedora de presión Para garantizar que Q 3 se mantiene, hay que mantener la energía en la unión H D =28.7 m antes de la válvula. Al mantener H D la distribución de caudales será la misma que en el apartado anterior. La válvula disipa toda la diferencia energética al pasar de 10 a 4 m el nivel en el depósito: [27]

H5

∆H v = zC ,inicial − zC , final = 10 m − 4 m = 6 m

205

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

PROBLEMA – 5 B

ENUNCIADO

El sistema de la figura consta de un depósito de regulación de nivel variable, al que llega un caudal constante, a determinar, y una conducción de 150 mm de diámetro, 1 mm de rugosidad y 1000 m de longitud. La sección del depósito es cuadrada de 10 m de lado.

Fig 5 Esquema de la instalación

En su extremo final, la tubería dispone de una válvula que le permite dar, mediante su operación, una ley de caudales diarios como la que se indica en la figura 6. Para la condición más restrictiva, la válvula se mantendrá completamente abierta, cerrándose parcialmente para el resto de situaciones.

206

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Fig 6 Ley de demanda diaria

Se pide: A) Caudal constante que permite una operación día tras día de modo que el depósito mantenga sus niveles máximo y mínimo. B) Capacidad útil del depósito. Nivel máximo y mínimo del depósito y horas del día a las que esto se produce.

D) Ley de pérdidas de carga en la válvula a lo largo del día, definida al menos por las situaciones a las 4, 6, 6, 16, 18 y 20 horas. La ley se trazará uniendo a estima los valores en estos puntos.

PLANTEAMIENTO

El sistema del ejercicio está formado por un depósito de regulación, una tubería y una válvula, con la que se suministran los caudales definidos por una ley de demanda diaria. Se busca determinar el caudal constante que debe ser suministrado al depósito, la variación de niveles que se producirá en el mismo y la ley de pérdidas de carga en la válvula a lo largo del día. Para ello, hay que calcular el volumen de agua total demandado en un día y el caudal constante necesario para suministrar ese volumen. En base a este caudal constante, definiremos los períodos de llenado y vaciado del depósito, así como los volúmenes de llenado y vaciado (que serán idénticos). Teniendo en cuenta el área del depósito, obtendremos la diferencia de niveles para ese volumen.

207

H5

C) Definición de la condición de cálculo más desfavorable, que coincidirá con la válvula abierta.

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

A continuación, analizaremos la evolución temporal de los niveles en el depósito y calcularemos el nivel mínimo necesario en el mismo. Para ello, examinaremos cuál es la situación más desfavorable para cumplir con la ley de demanda de caudales y aplicaremos la ecuación de conservación de la energía entre la superficie libre del depósito y el extremo final de la tubería. Una vez establecido el nivel mínimo en el depósito, podemos calcular la ley de variación de pérdidas de carga localizadas en la válvula a lo largo del día. Para ello, plantearemos de nuevo el balance de energía entre la superficie libre del depósito y el extremo final de la tubería.

RESOLUCIÓN A) Caudal constante de entrada al depósito 1) Calculamos el volumen de agua demandado en un día, al que denominamos V d . O lo que es lo mismo, el área bajo la curva (Q,t) en la siguiente figura.

Fig 7 Volumen de agua demandado en un día V d

 60 + 20  Vd= 20 l/s ⋅ 4 h +   l/s ⋅ 4 h + 60 l/s ⋅ 8 h + 2    60 + 20  + h 960 l/s ⋅ h  l/s ⋅ 4 h + 20 l/s ⋅ 4 = 2  

[28]

El caudal constante que hay que suministrar al depósito será dicho volumen dividido por las 24 horas que tiene un día:

= Q

960 l/s ⋅ h = 40 l/s 24 h 208

[29]

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

B) Capacidad útil del depósito

Fig 8 Ley de demanda diaria y caudal medio suministrado, períodos de llenado y vaciado del depósito

Calculamos el volumen de llenado o el volumen de vaciado (son iguales). El volumen de vaciado (V v ) será igual al área comprendida por debajo la ley de caudales y por encima del caudal medio, como se muestra en la siguiente figura.

Fig 9 Volumen de vaciado V V

209

H5

Representamos el caudal constante suministrado al depósito sobre la ley de caudales del enunciado, para definir los períodos de llenado y vaciado del mismo. Para calcular la capacidad útil del embalse partimos de un estado de depósito en nivel mínimo en t=18 h. Entre las 18 horas y las 6 horas se produce una entrada neta de caudal y el depósito se estará llenando durante ese período. En t=6 horas en depósito está en su nivel máximo y comienza una salida neta de caudal que provoca su vaciado hasta t=18 h.

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Resulta así:

 20 + 0   20 + 0  = Vv  = ⋅2 h  l/s ⋅ 2 h + 20 l/s ⋅ 8 h +   l/s  2   2  = 200 l/s ⋅ h

[30]

Este volumen, expresado en m3: = Vv 200 l/s ⋅ h ⋅ 3600 s/h ⋅ 0.001 m3 /l=720 m3

[31]

La sección del depósito es cuadrada de 10 m de lado, por lo que su área es de 100 m2. Esa capacidad útil supone una diferencia de niveles en el depósito de:

∆h = 720 m3 /100 m2 =7.2 m

[32]

De esta forma, la evolución temporal de los niveles en el depósito es la siguiente: En t=18 h:

H 18h = H min

[33]

En t=20 h: H 20h = H min +

20 l/s ⋅ h 100 m 2

H min + =

72 m 3

H min + 0.72 m =

100 m 2

[34]

En t=0 h : H 0h = H 20h +

80 l/s ⋅ h

288 m 3

= H min + 0.72 m +

100 m 2

100 m 2

= H min + 3.6 m [35]

En t=4 h: H 4h =H 0h +

160 l/s ⋅ h 100 m 2

=H min + 3.6 m +

288 m 3 100 m 2

=H min + 6.48 m [36]

En t=6 h: H 6h = H 4h +

20 l/s ⋅ h 100 m 2

= H min + 6.48 m +

72 m 3 100 m 2

= H min + 7.2 m

[37]

=H min + 6.48 m

[38]

En t=8 h: H 8h =H 6h −

20 l/s ⋅ h 100 m 2

=H min + 7.2 m −

72 m 3 100 m 2

210

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

En t=16 h:

H 16h = H 8h − = H min

160 l/s ⋅ h

100 m 2 + 0.72 m

H min + 6.48 m − =

576 m 3 100 m 2

=

[39]

C) Nivel mínimo en el depósito Para calcular el nivel mínimo necesario en el depósito, que se producirá en t=18 horas, tenemos que analizar cuál es la situación más desfavorable para cumplir con la ley de demanda de caudales. Aplicaremos la ecuación de conservación de la energía entre la superficie libre del depósito A y el extremo final de la tubería B, de la forma:

H= H B + ∆H A −B A

[40]

La pérdida de energía puede descomponerse en suma de pérdidas de energía continuas, por fricción en la tubería, y pérdidas de energías localizadas. De acuerdo con el enunciado, consideramos las pérdidas localizadas a la salida del depósito, en la válvula y en la salida de la tubería. La altura de presión en la salida de la tubería toma valor cero, ya que la altura de presión es relativa a la atmosférica. El balance de energía resulta así: z A= z B +

v2 f ⋅ L v2 v2 + ⋅ + ∆HV + λ1 + λ2 2g D 2g 2g

(

)

[41]

donde ΔH V son las pérdidas de energía localizadas en la válvula, f es el factor de fricción de Darcy-Weisbach, λ 1 es el coeficiente de pérdidas localizadas en la salida del depósito y λ 2 es el coeficiente de pérdidas localizadas en la salida de la tubería. En la situación más desfavorable, la válvula estará abierta y ΔH V =0. El balance en ese escenario será por tanto:   v2 f ⋅L z A = zB +  1 + + λ1 + λ2  D   2g

[42]

Conocer la situación más desfavorable no es inmediato, debido a la variación del valor de Q demandado. Hay dos posibles situaciones más desfavorables:

211

H5

siendo H A la energía en el depósito, H B la energía en la salida de la tubería y ΔH A-B la pérdida de energía en la tubería.

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

• •

En t=18 horas: el depósito se encuentra en su nivel mínimo (H min ) y el caudal demandado es Q=40 l/s. En t=16 horas: el nivel en el depósito es de H min +0.72 m y el caudal demandado es Q=60 l/s.

El resto de situaciones son más favorables: •

•

Entre t=18 h y t=6 h la demanda de caudal es menor y el depósito está más lleno, por lo que son escenarios más favorables. Entre t=8 h y t=16 h el caudal demandado es el máximo y el nivel en el depósito desciende gradualmente. El escenario más desfavorable se corresponde por tanto con t=16 h.

C.1) Si t=18 h es el escenario más desfavorable. Con el caudal de 40 l/s las velocidades en la tubería serán: Q 0.04 = = 2.26 m/s 2 D 0.152 π π 4 4

= v

[43]

El número de Reynolds de la tubería (adimensional) es por tanto:

Re =

v ⋅ D 2.26 ⋅ 0.15 = = 3.4 ⋅ 105 6 − ν 10

[44]

Calculamos el valor del coeficiente de fricción de Darcy-Weisbach f mediante la ecuación de Swamee-Jain: f =

0.25   k 5.74   + log  0.9     3.7 ⋅ D Re  

2

[45]

Se obtiene un valor del coeficiente de fricción de:

= f

0.25 = 0.033 2       1 5.74 + log  0.9   5   3.7 ⋅ 150  3.4 ⋅ 10   

(

[46]

)

Del balance de energía (ecuación [42]) se obtiene:   2.262 0.033 ⋅ 1000 H min = 20 +  1 + + 0.5 + 1  = 79.1 m 0.15   2 ⋅ 9.81

C.2) Si t=16 h es el escenario más desfavorable.

212

[47]

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Con el caudal de 60 l/s las velocidades en la tubería serán: = v

Q 0.06 = = 3.39 m/s 2 D 0.152 π π 4 4

[48]

Calculamos el nuevo valor del coeficiente de fricción de DarcyWeisbach mediante la ecuación de Swamee-Jain. El valor número de Reynolds para este caudal es el siguiente:

Re =

v ⋅ D 3.39 ⋅ 0.15 = = 5.1 ⋅ 105 6 − ν 10

[49]

De la ecuación de Swamee-Jain (ecuación [45]) resulta así:

0.25 0.033 = 2       1 5.74 + log   0.9  5   3.7 ⋅ 150  5.1 ⋅ 10   

(

[50]

)

De la ecuación de conservación de la energía (ecuación [42]) se obtiene:   3.392 0.033 ⋅ 1000 H min + 0.72 = 20 +  1 + + 0.5 + 1  = 152.5 m 0.15   2 ⋅ 9.81

[51]

El escenario más desfavorable es, por tanto, el correspondiente a t=16 h, que obliga a mantener un nivel mínimo en el depósito de H min =152.45-0.72=151.73 m D) Ley de pérdidas de carga a lo largo del día Una vez establecido el nivel mínimo en el depósito, podemos calcular la ley de variación de pérdidas de carga localizadas en la válvula a lo largo del día. Planteamos de nuevo el balance de energía entre la superficie libre del depósito A y el extremo final de la tubería. z A= z B +

v2 f ⋅ L v2 v2 + ⋅ + ∆HV + λ1 + λ2 2g D 2g 2g

(

)

[52]

Conocido el nivel en el depósito y el caudal circulante, podemos calcular la pérdida de carga en la válvula en cada tiempo como: ∆HV = z A − z B −

v2 f ⋅ L v2 v2 − ⋅ − λ1 + λ2 D 2g 2g 2g

213

(

)

[53]

H5

f =

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

En los apartados anteriores se ha calculado el valor del factor de fricción f para un caudal de 40 l/s y 60 l/s, en ambos casos resulta f=0.033. Calculamos ahora el valor del coeficiente de fricción para el caudal de 20 l/s. Con este caudal, la velocidad y el número de Reynolds en la tubería serán: = v

Re =

Q 0.02 = = 1.13 m/s D2 0.152 π π 4 4

[54]

v ⋅ D 1.13 ⋅ 0.15 = = 1.7 ⋅ 105 6 − ν 10

[55]

De la ecuación de Swamee-Jain (ecuación [45]) resulta un valor del factor de fricción de:

f =

0.25 0.034 = 2        1 5.74 + log  0.9     3.7 ⋅ 150 1.7 ⋅ 105    

(

[56]

)

Ya tenemos todos los datos necesarios para calcular la ley de pérdidas de carga localizadas en la válvula. Podemos generar la tabla siguiente. Tabla 1 Ley de pérdidas de carga localizadas en la válvula

t (h)

Q (l/s)

18

HA= zA

H= zB + B

v2 2g

f ⋅ L v2 ⋅ D 2g

( λ1 + λ2 ) v2g

2

ΔH V (m)

(m)

(m)

(m)

(m)

40

151.73

20.26

58.40

0.39

72.68

20

20

152.45

20.07

14.73

0.10

117.55

0

20

155.33

20.07

14.73

0.10

120.43

4

20

158.21

20.07

14.73

0.10

123.31

6

40

158.93

20.26

58.40

0.39

79.88

8

60

158.21

20.59

130.98

0.88

5.76

16

60

152.45

20.59

130.98

0.88

0.00

214

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Las pérdidas de carga en la válvula se representan en la siguiente gráfica, generada al unir los puntos calculados en la tabla anterior mediante líneas rectas.

H5

Fig 10 Ley de demanda diaria y ley de pérdidas de carga localizadas en la válvula

215

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

PROBLEMA – 5 C

ENUNCIADO Determinar el número, potencia y posibles posiciones del mínimo conjunto de bombas iguales (mínimo número de bombas y mínima potencia de las mismas) que logran impulsar un caudal de 100 l/s desde A hasta B con las siguientes condiciones: p min /γ= -5 m p max /γ= 35 m (presiones referidas a la atmosférica) Despréciense las pérdidas locales (excepto la de la desembocadura en B, con λ=1) y considérese que, dado que la velocidad será pequeña, la línea de energía coincide con la piezométrica, despreciando el valor de la diferencia (el término cinético). La rugosidad de la tubería es de 1 mm y su diámetro es de 300 mm. Se bombea agua con un rendimiento constante de 0.8.

Fig 11 Esquema del sistema de tuberías

216

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

PLANTEAMIENTO

En este ejemplo se plantea el diseño de un bombeo entre dos depósitos, para un caudal determinado y cumpliendo con unas limitaciones de presión mínima y máxima. En primer lugar, calcularemos la altura de bombeo necesaria (H bombeo ) aplicando la ecuación de conservación de la energía entre los dos depósitos. A continuación, estableceremos la altura máxima de cada bomba (H max-1bomba ) teniendo en cuenta los límites de presión impuestos por el enunciado. A partir del cociente entre la altura de bombeo total y la altura máxima de cada bomba obtendremos el número de bombas, la altura real suministrada por cada una (H 1bomba ) y su potencia (el rendimiento es un dato del enunciado).

H5

Finalmente, estudiaremos las posibles posiciones de las bombas analizando gráficamente el trazado de la línea piezométrica.

RESOLUCIÓN

1) Pendiente motriz Para las condiciones del enunciado la velocidad en la tubería será de: = v

0.100 = 1.41 m/s 0.32 π 4

[57]

Calculamos el valor de coeficiente de fricción de Darcy-Weisbach mediante el ábaco de Moody. Los valores de la rugosidad relativa y el número de Reynolds son los siguientes:

Re =

k 1 = = 3.3 ⋅ 10−3 D 300

[58]

v ⋅ D 1.41 ⋅ 0.3 = = 4.2 ⋅ 105 − 6 ν 10

[59]

De forma que el coeficiente de fricción f toma un valor de 0.027 (Fig 12).

217

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Fig 12 Obtención del coeficiente de fricción a partir del ábaco de Moody

Calculamos la pendiente motriz I, que será la pendiente de la línea de energía del flujo, mediante la ecuación de Darcy-Weisbach (ecuación [2.23] de la teoría): I =

f v 2 0.027 1.412 ⋅ = ⋅ = 9.12 ⋅ 10−3 D 2g 0.3 2 ⋅ 9.81

[60]

2) Balance de energía entre el depósito A y el depósito B La ecuación de conservación de la energía entre la superficie libre de los depósitos A y B puede escribirse de la siguiente forma:

H A + H bombeo = H B + ∆H A −B

[61]

siendo H A la energía en el depósito inicial, H B la energía en el depósito final, H bombeo la altura de bombeo total y ΔH A-B la pérdida de energía en la tubería. La pérdida de energía puede descomponerse en suma de pérdidas de energía continuas, por fricción en la tubería, y pérdidas de energías localizadas. En este caso, consideramos únicamente las pérdidas localizadas en la desembocadura en B (por el enunciado) y las pérdidas de energía continuas. El balance de energía resulta así: v2 H A + H bombeo= H B + λ + I ⋅L 2g

218

[62]

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

donde λ es el coeficiente de pérdidas de energía localizadas y L es la longitud total de la tubería. Por el enunciado, λ=1 en la desembocadura del depósito. Un coeficiente de pérdida de carga igual a la unidad implica que la pérdida de energía es igual a la energía de velocidad de flujo. Esto es coherente con el fenómeno de frenado del flujo que se produce en la entrada de la tubería al depósito, donde el flujo debe pasar de la velocidad v dentro de la tubería a pararse completamente. Sustituyendo en la ecuación de conservación de la energía resulta:

0 + H bombeo= 100 + 1 ⋅

1.412 + 9.12 ⋅ 10−3 ⋅ 3000 2 ⋅ 9.81

[63]

Con lo que se obtiene una altura de bombeo H bombeo =127.4 m 3) Altura de cada bomba

pmax − pmin

H max −1bomba =

γ

= 35 − (−5)m= 40 m

[64]

El mínimo número de bombas necesario será el menor número entero que satisfaga: n >

H bombeo

H max −1bomba

127.4 3.2 = = 40

[65]

El primer entero mayor que 3.2 es n=4. Por tanto son necesarias 4 bombas con una altura de bombeo en cada una de:

H 1= bomba

H bombeo 127.4 = = 31.9 m 4 n

[66]

4) Potencia de las bombas La potencia de cada bomba puede calcularse como: P=

γ ⋅ Q ⋅ H 1bomba η

[67]

Donde es el η es su rendimiento. Sustituyendo resulta:

= P

9800 ⋅ 0.1 ⋅ 31.9 = 39077 = W 39 kW 0.8

219

[68]

H5

En base a las condiciones de presión establecidas en el enunciado, fijamos en la aspiración de cada bomba la presión mínima de -5 m.c.a y en la salida la presión máxima de 35 m.c.a. La altura de bombeo máxima de una bomba resulta así:

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

5) Posición de las bombas Analizamos gráficamente las posibles posiciones de las bombas. En este caso consideramos que la línea piezométrica es igual a la línea de energía, tal y como se indica en el enunciado (despreciamos el término cinético). Para que se cumplan los niveles de presiones impuestos por el enunciado, dicha línea piezométrica se tiene que mover entre z+p max /γ y z+ p min /γ. Dibujamos estos límites trasladando cada punto de la tubería 5 m hacia abajo (p min /γ) y 35 m hacia arriba (p max /γ). En las siguientes figuras estos límites se han representado como líneas punteadas en color azul. En primer lugar, representamos la situación límite en la que se alcanzan las presiones mínimas de -5 m.c.a. Como se ha señalado anteriormente, trasladamos cada punto de la tubería 5 m hacia abajo para definir el límite inferior de la línea piezométrica. Comenzamos dibujando la línea piezométrica desde el deposito inferior (depósito A), con la pendiente motriz calculada. En el punto en el que la línea piezométrica alcanza el límite, ubicamos la primera bomba. Se produce por tanto un incremento de energía de H 1bomba =31.9 m. Continuamos el dibujo hacia el depósito B de la misma forma, ubicando las 3 bombas restantes. Obtenemos así la línea piezométrica mostrada en la siguiente figura.

Fig 13 Posición límite de las bombas en la que se alcanzan las presiones mínimas

220

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

H5

Analizamos ahora el escenario en el que se alcanzan las presiones máximas. Trasladamos cada punto de la tubería 35 m hacia arriba, éste sería el límite superior de la línea piezométrica. Comenzamos la representación gráfica de la línea piezométrica desde el depósito superior (depósito B), con la misma pendiente motriz que en el caso anterior (y por tanto, la misma pendiente de la línea piezométrica). Cuando la línea piezométrica alcanza el límite superior, ubicamos una bomba (la número 4). La variación de energía en la bomba es de H 1bomba =31.9 m. Continuamos el dibujo hacia el depósito A de la misma forma, hasta ubicar las 3 bombas restantes. Obtenemos así la línea piezométrica mostrada en la siguiente figura.

Fig 14 Posición límite de las bombas en la que se alcanzan las presiones máximas

De esta forma, hemos definido las ubicaciones límite entre las que pueden posicionarse las bombas, como se muestra en la siguiente figura.

221

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Fig 15 Rango de posiciones en las que se puede ubicar las bombas

222

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

PROBLEMA – 5 D

ENUNCIADO

H5

El esquema de la figura muestra una conducción entre dos depósitos, de diámetro 300 mm y rugosidad 1 mm, en la que se instala una bomba y una válvula. El coeficiente de pérdida localizada en la válvula es de λ= 20 y la curva característica de la bomba está definida en tabla que se adjunta. Las pérdidas localizadas a la entrada y salida de los depósitos se consideran despreciables.

Fig 16 Esquema de sistema de tuberías

Tabla 2 Curva característica de la bomba

Q (l/s) H bombeo (m) 50

40

150

30

200

10

Determinar el punto de funcionamiento de la impulsión y dibujar la línea de energía en los siguientes casos: A) Se instala una única bomba.

223

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

B) Se colocan dos bombas iguales en serie. C) Se colocan dos bombas iguales en paralelo.

PLANTEAMIENTO

En este ejemplo se analiza el problema práctico de conectar una bomba, con curva característica conocida, a un sistema de tuberías. En este caso el sistema está formado por dos depósitos conectados entre sí por una tubería, en la que está instalada además una válvula. Se conoce la geometría de la red, la cota de agua en los depósitos, el diámetro y la rugosidad de la tubería, la curva característica de la bomba y el coeficiente de pérdida localizada de la válvula. Debe calcularse el punto de funcionamiento del sistema en estas condiciones, es decir, el caudal circulante por el mismo y la altura de bombeo que debe proporcionar la bomba. En el punto de funcionamiento se unifican las características de operación de la bomba con las del flujo en el sistema de tuberías. Por ello, es necesario conocer la curva característica de la bomba, es decir, la altura de bombeo H bombeo que es capaz de proporcionar la bomba para cada caudal. Además, hay que definir la curva característica de la instalación (también denominada curva resistente), que establece la altura de bombeo requerida para que circule un caudal determinado. Su intersección será el punto de operación de los dos sistemas (Fig. 2.23). En el caso de que se coloquen dos bombas en serie (apartado b) o en paralelo (apartado c) hay que determinar el punto de funcionamiento conjunto, a partir de la curva característica conjunta de las bombas (Fig. 2.30 y Fig. 2.32). Cuando dos bombas están acopladas en serie, el tubo de impulsión de la primera está unido al de aspiración de la segunda. Por tanto, duplican la altura para un mismo caudal en la curva característica. En cambio, dos bombas en paralelo se colocan en ramales independientes, de forma que el caudal total demandado se reparte entre ellas. En ambos escenarios, la curva resistente de la instalación será la calculada en el apartado A. Para dibujar la línea de energía se calcula la pendiente motriz, es decir, la pérdida de energía por unidad de longitud en la conducción, y la pérdida de energía local que se produce en la válvula en cada caso.

224

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

RESOLUCIÓN

A) Una única bomba 1) Curva característica de la bomba A partir de los tres puntos conocidos de la curva característica, ajustamos una función polinómica de la forma H Bombeo = a ⋅ Q 2 + b ⋅ Q + c. Trabajamos en unidades del SI (caudal en

m3/s en lugar de l/s), por lo que se obtiene el siguiente sistema: 40 = a 0.052 + b0.05 + c 30 = a 0.152 + b0.15 + c

[69]

10 = a 0.202 + b0.20 + c

De donde a=-2000, b=300, c=30. La curva característica de la bomba resulta así: [70]

H5

H Bombeo = −2000Q 2 + 300Q + 30

Fig 17 Curva característica de la bomba

En la figura anterior se pueden observar alturas de bombeo superiores a 40 m para caudales entre 50 y 100 l/s. Esto es debido a la aproximación de la curva por una función parabólica. La curva

225

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

característica real presentaría alturas de bombeo inferiores en este tramo. 2) Curva resistente de la instalación El balance de energía entre la superficie libre de los dos depósitos, teniendo en cuenta el término de altura de la bomba, puede escribirse de la siguiente forma:

H A + H Bombeo = H B + ∆H A −B

[71]

siendo H A la energía en el depósito inicial, H bombeo la altura de bombeo, H B la energía en el depósito final y ΔH A-B la pérdida de energía en la tubería. La pérdida de carga puede descomponerse en suma de pérdidas de energía continuas, por fricción en la tubería, y pérdidas de energía localizadas, en este caso causadas por la válvula. La energía en los depósitos puede expresarse como suma de sus tres componentes (potencial, de presión y cinética), a través del trinomio de Bernoulli (ecuación [2.2] de teoría). La altura de presión en la superficie libre de los depósitos toma valor cero, ya que es relativa a la presión atmosférica. Asimismo, la altura cinética se anula en los depósitos. La ecuación de conservación de la energía entre el depósito A y el depósito B resulta así: z A + H Bombeo = z B +

f ⋅ L v2 v2 ⋅ +λ D 2g 2g

[72]

Dado que no conocemos el valor del número de Reynolds en la tubería, vamos a suponer un valor inicialmente. Este valor inicial no condiciona la resolución del problema. Vamos a suponer que se encuentra en régimen turbulento rugoso para estimar el valor del coeficiente de fricción de Darcy-Weisbach f. La rugosidad relativa de la tubería, que es un valor adimensional, se calcula como:

k 1 = = 3.3 ⋅ 10−3 D 300

[73]

Del Diagrama de Moody (o la ecuación Colebrook-White) se obtiene un valor del coeficiente de fricción de f=0.027.

226

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Sustituyendo en el balance de energía (ecuación [72]) resulta:  0.027 ⋅ 3000  v2 80 + H Bombeo = 70 +  + 20  0.3   2g

[74]

Expresando la velocidad en la tubería en función del caudal (Q=v·A) se obtiene:

H= 290 Bombeo

Q2

= − 10 290 2g ⋅ A2

Q2 2

 π 0.3  2g   4   

2

− 10

[75]

Resulta así la siguiente curva resistente de la instalación: = H Bombeo 2958.2Q 2 − 10

[76]

donde Q es el caudal en m3/s y H bombeo es la altura de bombeo en m. 3) Punto de funcionamiento La intersección de la curva resistente con la curva característica de la bomba define el punto de funcionamiento de la instalación. Igualamos por tanto la expresión de ambas curvas:

−2000Q 2 + 300Q = + 30 2958.2Q 2 − 10

227

[77]

H5

Fig 18 Obtención del coeficiente de fricción a partir del ábaco de Moody

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Se obtiene Q=0.125 m3/s, que se corresponde con H bombeo = 36.2 m (Fig 20). La velocidad en la tubería es por tanto: v =

Q = A

0.125 = 1.77 m/s 0.32 π 4

[78]

Estos valores del punto de funcionamiento H bombeo =36.2 m y Q=0.125 m3/s han sido calculados a partir de una suposición del valor del factor de fricción f. Es necesario comprobar ahora que con esta velocidad el régimen es realmente turbulento rugoso, suposición que había sido utilizada para calcular el factor de fricción de la tubería. El número de Reynolds toma el valor: = Re

v ⋅D Q ⋅D = = A ⋅ν ν

0.125 ⋅ 0.3 = 5.3 ⋅ 105 2 0.3 10−6 π 4

[79]

Con una rugosidad relativa de 3.3·10-3 y Re=5.3·105 nos encontramos efectivamente en régimen turbulento rugoso (Fig 19).

Fig 19 Comprobación de régimen turbulento rugoso en el diagrama de Moody

228

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Fig 20 Curva característica de una bomba y curva resistente de la instalación

Calculamos la pendiente motriz I, que será la pendiente de la línea de energía del flujo, mediante la ecuación de Darcy-Weisbach (ecuación [2.23] de la teoría): I =

f v2 0.027 1.77 2 ⋅ = ⋅ = 0.0143 D 2g 0.3 2 ⋅ 9.81

[80]

Las pérdidas continuas en los tres tramos de la tubería (depósito 1 – bomba, bomba – válvula y válvula - depósito 2) resultan así: 0.0143 ⋅ 1500 = 21.5 m I ⋅ L1−B = ∆H 1−Bomba =

0.0143 ⋅ 1200 = 17.2 m I ⋅ LB −V = ∆H Bomba −Válvula =

[81]

0.0143 ⋅ 300 = 4.3 m I LV − 2 = ∆HVálvula − 2 =⋅

Calculamos también la pérdida localizada que produce la válvula, que asciende a: ∆HVálvula = λ

1.77 2 v2 20 3.2 m = = 2g 2 ⋅ 9.81

[82]

Una vez realizados estos cálculos ya podemos dibujar la línea de energía que se muestra en la siguiente figura. Dado que la pendiente motriz no varía, las líneas de energía en los tres tramos de tubería deben ser paralelas.

229

H5

4) Línea de energía

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Fig 21 Línea de energía con una bomba

Como se aprecia en la figura anterior, a la entrada de la bomba hay presiones negativas (la línea de energía se encuentra por debajo del eje de la tubería). B) Dos bombas en serie 1) Curva característica conjunta de las dos bombas en serie La curva característica conjunta de las dos bombas en serie puede escribirse como:

(

)

H2Bserie = 2 −2000Q2 + 300Q + 30 = −4000Q2 + 600Q + 60

[83]

De forma que por las dos bombas circula el caudal total, mientras que la altura de bombeo es la suma de las alturas correspondientes a cada bomba: = Q Q= QB 2 B1

H Bombeo = H B1 + H B 2

[84]

2) Punto de funcionamiento Igualamos la curva característica conjunta de las dos bombas en serie y la curva resistente (ya calculada en el apartado anterior):

−4000Q 2 + 600Q = + 60 2958.2Q 2 − 10

[85]

Se obtiene Q=0.152 m3/s, que se corresponde con H bombeo = 58.6 m (Fig 22). La velocidad en la tubería es por tanto: = v

Q = A

0.152 = 2.15 m/s 0.32 π 4

230

[86]

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Fig 22 Curva característica de dos bombas en serie y curva resistente de la instalación

3) Línea de energía Calculamos la nueva pendiente motriz I, que será la pendiente de la línea de energía del flujo: I =

f v2 0.027 2.152 ⋅ = ⋅ = 0.0212 D 2g 0.3 2 ⋅ 9.81

[87]

Las pérdidas continuas en cada uno de los tramos resultan así: ∆H A −Bomba = I ⋅ LA −Bomba = 0.0212 ⋅ 1500 = 31.8 m

∆H Bomba −Válvula = I ⋅ LBomba −Valvula = 0.0212 ⋅ 1200 = 25.4 m

[88]

0.0212 ⋅ 300 = 6.4 m ∆HVálvula −B =⋅ I LValvula −B =

Calculamos también la pérdida localizada en la válvula, que asciende a: ∆HVálvula

v2 2.152 20 4.7 m = λ = = 2g 2 ⋅ 9.81

[89]

Una vez realizados estos cálculos ya podemos dibujar la línea de energía que se muestra en la figura siguiente. Dado que la pendiente motriz es

231

H5

No es necesario comprobar que el flujo está en régimen turbulento rugoso, ya que las velocidades son mayores que las obtenidas en el apartado A.

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

mayor que la calculada en el apartado anterior (con una única bomba), la línea de energía debe tener una mayor pendiente. Al igual que en el apartado a, las líneas de energía en los tres tramos de tubería deben ser paralelas.

Fig 23 Línea de energía con dos bombas en serie

C) Dos bombas en paralelo 1) Curva característica conjunta de las dos bombas en paralelo La curva característica conjunta de las dos bombas en paralelo puede escribirse como: 2

H 2Bparalelo

Q  Q  = −2000   + 300   + 30 = −500Q 2 + 150Q + 30 [90] 2 2

De forma que el caudal total del sistema se divide en dos partes iguales, una para cada bomba, y cada bomba proporciona la altura correspondiente a ese caudal mitad: = Q QB 1 + QB 2

H Bombeo = H= HB2 B1

[91]

2) Punto de funcionamiento Igualamos la curva característica conjunta de las dos bombas en paralelo y la curva resistente (ya calculada en el apartado a):

−500Q 2 + 150Q = + 30 2958.2Q 2 − 10

232

[92]

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Se obtiene Q=0.131 m3/s, que se corresponde con H bombeo = 41.1 m (Fig 24). La velocidad en la tubería es por tanto: = v

Q = A

0.131 = 1.85 m/s 0.32 π 4

[93]

H5

No es necesario comprobar que el flujo está en régimen turbulento rugoso, ya que las velocidades son mayores que las obtenidas en el apartado a.

Fig 24 Curva característica de dos bombas en paralelo y curva resistente de la instalación

3) Línea de energía Calculamos la nueva pendiente motriz I, que será la pendiente de la línea de energía del flujo: I =

f v2 0.027 1.852 ⋅ = ⋅ = 0.0157 D 2g 0.3 2 ⋅ 9.81

[94]

Las pérdidas continuas en cada uno de los tramos resultan así: ∆H A −Bomba = I ⋅ LA −Bomba = 0.0157 ⋅ 1500 = 23.6 m

∆H Bomba −Válvula = I ⋅ LBomba −Válvula = 0.0157 ⋅ 1200 = 18.9 m ∆HVálvula −B =⋅ I LVálvula −B = 0.0157 ⋅ 300 = 4.7 m

233

[95]

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Calculamos también la pérdida localizada en la válvula, que asciende a:

λ ∆HVálvula =

1.852 v2 20 3.5 m = = 2g 2 ⋅ 9.81

[96]

Una vez realizados estos cálculos ya podemos dibujar la línea de energía que se muestra en la figura siguiente. Al igual que en los apartados anteriores, las líneas de energía en los tres tramos de tubería deben ser paralelas.

Fig 25 Línea de energía con dos bombas en paralelo

La resolución gráfica de los tres apartados del ejercicio se muestra en la Fig 26:

Fig 26 Representación gráfica de los tres puntos de funcionamiento analizados

234

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

PROBLEMA – 5 E

ENUNCIADO

1- Caudal máximo si la bomba se sitúa en el punto A. 2- Caudal máximo si la bomba se sitúa en el punto C. 3- Caudal máximo si se sitúa en el punto intermedio del tramo (punto B). 4- Posición X en la que ambas condiciones son igualmente restrictivas (ambas se cumplen simultáneamente).

Fig 27 Sistema de tuberías

La rugosidad de la tubería es de 1 mm y su diámetro es de 300 mm. Considérense las pérdidas locales a la salida del depósito 1 y a la entrada en el depósito 2, de acuerdo con la figura anterior.

235

H5

Se desea colocar una bomba en algún punto del tramo A-C de la conducción de la figura, para incrementar el caudal. Por condicionantes en la conducción y la bomba, la presión máxima no puede superar los 100 m.c.a., y la restricción de presión mínima debe cumplir NPSH r >5 m.c.a. Indicar:

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

PLANTEAMIENTO

En este ejemplo se plantea el diseño de un bombeo entre dos depósitos, para incrementar el caudal circulante entre los mismos, cumpliendo con unas limitaciones de presión mínima y máxima. En primer lugar, analizaremos el funcionamiento de la instalación sin bomba y calcularemos el caudal circulante en esas condiciones. A continuación, estudiaremos el funcionamiento del sistema cuando se incorpora la bomba. Obtendremos la curva resistente de la instalación aplicando la ecuación de conservación de la energía entre los dos depósitos. Dicha curva resistente será independiente de la posición de la bomba. En los tres primeros apartados del problema, la posición de la bomba es un dato. Para calcular el caudal circulante en cada caso, aplicaremos la ecuación de conservación de la energía entre el depósito inicial y la posición de la bomba, considerando los límites de presiones del enunciado. Para establecer la condición de presión máxima, aplicaremos la ecuación de conservación de la energía entre el depósito inicial y un punto situado inmediatamente aguas abajo de la bomba. En dicho punto impondremos la altura de presión máxima permitida. Para imponer la restricción de presión mínima, aplicaremos la ecuación de conservación de la energía entre el primer depósito y un punto situado en la aspiración de la bomba. En la aspiración de la bomba fijaremos la presión mínima según el NPSH requerido. De esta forma, habremos calculado los caudales límite con los que las presiones alcanzan el valor máximo y mínimo permitido en la instalación. La condición más restrictiva, que permite un menor caudal, será la que defina el caudal circulante en cada caso. En el último apartado desconocemos la posición de la bomba. Procederemos de forma análoga al apartado 3. Para cada una de las ecuaciones de conservación de la energía, obtendremos una expresión de la velocidad (o del caudal, dado que el diámetro de la conducción es un dato del problema), en función de la distancia entre el depósito inicial y la bomba. Dado que buscamos que las ambas condiciones se cumplan simultáneamente, igualaremos dichas expresiones para obtener la posición de la bomba.

236

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

RESOLUCIÓN

0) Sin bomba Calculamos el caudal circulante sin bomba. El balance de energía entre la superficie libre de los dos depósitos puede escribirse de la siguiente forma:

H= H 2 + ∆H 1− 2 1

[97]

La pérdida de energía puede descomponerse en suma de pérdidas de energía continuas, por fricción en la tubería, y pérdidas de energía localizadas, a la salida y entrada del depósito 1 y 2, respectivamente. La energía en los depósitos puede expresarse como suma de sus tres componentes (potencial, de presión y cinética), a través del trinomio de Bernoulli. La altura de presión en la superficie libre de los depósitos toma valor cero, ya que es relativa a la presión atmosférica. Asimismo, la altura cinética se anula en los depósitos. La ecuación de conservación de la energía entre el depósito 1 y el depósito 2 resulta así: z1 = z 2 +

f ⋅ L v2 v2 v2 ⋅ + λ1 ⋅ + λ2 ⋅ D 2g 2g 2g

[98]

donde f es el coeficiente de fricción de Darcy-Weisbach, L es la longitud total de la tubería (L=1000+30+10=1040 m) y λ es el coeficiente de pérdidas localizadas (λ 1 =0.5, λ 2 =1). Dado que no conocemos el valor del número de Reynolds en la tubería, vamos a suponer un valor inicialmente. Este valor inicial no condiciona la resolución del problema. Vamos a suponer que se encuentra en régimen turbulento rugoso para estimar el valor del coeficiente de fricción de Darcy-Weisbach f. La rugosidad relativa de la tubería, que es un valor adimensional, se calcula como: k = D

1 = 3.3 ⋅ 10−3 300

[99]

Del diagrama de Moody (o la ecuación Colebrook-White) se obtiene un valor del coeficiente de fricción de f=0.027.

237

H5

siendo H 1 la energía en el depósito inicial, H 2 la energía en el depósito final y ΔH 1-2 la pérdida de energía en la tubería.

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

Fig 28 Obtención del coeficiente de fricción a partir del ábaco de Moody

Sustituyendo en el balance de energía:  0.027 ⋅ 1040  v 2 v2 ⋅ + + 50 = 20 +  1 0.5  0.3 2g   2g

(

)

[100]

Resulta así: v=2.49 m/s Esta velocidad en la tubería se corresponde con un caudal de:

Q =v ⋅ A =v ⋅ π

D2 0.32 = 2.49π = 0.176 m3 /s = 176 L/s [101] 4 4

Este caudal ha sido calculado a partir de una suposición del valor del factor de fricción f. Es necesario comprobar ahora que con este caudal el régimen es realmente turbulento rugoso. El número de Reynolds toma el siguiente valor: = Re

v ⋅D Q ⋅D = = ν A ⋅ν

0.175 ⋅ 0.3 = 7.4 ⋅ 105 2 0.3 π 10−6 4

[102]

Entramos con los valores de Reynolds y rugosidad relativa en el diagrama de Moody, como se muestra en la Fig 29. Nos encontramos efectivamente en régimen turbulento rugoso.

238

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

H5

Fig 29 Comprobación de régimen turbulento rugoso en el diagrama de Moody

1) Bomba en el punto A Estudiamos en primer lugar el funcionamiento del sistema cuando se incorpora una bomba, en cualquier posición. Para calcular la curva resistente de la instalación planteamos el balance de energía entre la superficie libre de los dos depósitos. Teniendo en cuenta el término de altura de la bomba, dicho balance puede escribirse de la siguiente forma:

H 1 + H bombeo= H 2 + ∆H 1− 2

[103]

siendo H 1 la energía en el depósito inicial, H bombeo la altura de bombeo, H 2 la energía en el depósito final y ΔH 1-2 la pérdida de energía en la tubería. De nuevo, descomponemos la pérdida de carga en suma de pérdidas de energía continuas y pérdidas de energía localizadas. Expresamos la energía en los depósitos como suma de sus tres componentes (potencial, de presión y cinética), a través del trinomio de Bernoulli. Tanto la altura de presión como la altura cinética toman valor cero en la superficie libre de los depósitos. Resulta así:

239

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

z1 + H bombeo = z 2 +

f ⋅ L v2 v2 v2 ⋅ + λ1 + λ2 D 2g 2g 2g

[104]

El caudal cuando se incorpora una bomba será superior al caudal inicial (el caudal en el escenario sin bomba, apartado 0). Con el caudal inicial nos encontramos en régimen turbulento rugoso, tal y como se comprobó en el apartado anterior. Por tanto, en el escenario con bomba nos encontraremos también en dicho régimen. El valor del coeficiente de fricción de Darcy-Weisbach será asimismo el calculado en el apartado anterior: f=0.027. Sustituyendo:  0.027 ⋅ 1040  v 2 v2 50 + H bombeo = 20 +  1 0.5 + +  0.3 2g   2g

(

)

[105]

Se obtiene así la siguiente curva resistente de la instalación, independientemente de la posición de la bomba: H= 4.85v 2 − 30 bombeo

[106]

Analizamos ahora el funcionamiento del sistema con la bomba posicionada en A. Por la proximidad de la bomba al depósito inicial, la condición más restrictiva en este caso es la de presión máxima. Por tanto, aplicamos la ecuación de conservación de la energía entre el depósito inicial y un punto situado inmediatamente aguas abajo de la bomba. En dicho punto imponemos la altura de presión máxima permitida. El balance de energía entre el depósito inicial y un punto A situado inmediatamente aguas abajo de la bomba puede escribirse como:

H 1 + H bombeo = H A + ∆H 1−A

[107]

siendo H 1 la energía en el depósito inicial, H bombeo la altura de bombeo, H A la energía en el punto A y ΔH 1-A la pérdida de energía en la tubería entre el depósito y el punto A. La energía en el punto A puede expresarse como suma de sus tres componentes (potencial, de presión y cinética), a través del trinomio de Bernoulli. En el enunciado se indica que el punto A está a cota 0, por lo que se anula la energía potencial. La altura de presión será la máxima permitida según el enunciado: pA

γ

= 100 m

240

[108]

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

El balance de energía resulta así: z1 + H bombeo =

pA

v 2 f ⋅ L1−A v 2 v2 + + ⋅ + λ1 ⋅ 2g 2g 2g D γ

[109]

Sustituyendo: 50 + 4.85v 2 − 30 = 100 +

v 2 0.027 ⋅ 30 v 2 v2 + ⋅ + 0.5 2g 0.3 2g 2g

[110]

Se obtiene: v=4.15 m/s Por lo tanto, el caudal circulante es:

Q =v ⋅ A =v ⋅ π

D2 0.32 = 4.15π = 0.293 m3 /s = 293 L/s [111] 4 4

Mediante la curva resistente de la instalación (ecuación [106]), podemos calcular la altura de bombeo: H bombeo = 4.85v 2 − 30 = 4.85 ⋅ 4.152 − 30 = 53.3 m

[112]

Analizamos ahora el funcionamiento del sistema con la bomba posicionada en C. Por la proximidad de la bomba al depósito final, la condición más restrictiva en este caso es la de presión mínima. Por tanto, aplicamos la ecuación de conservación de la energía entre el depósito inicial y un punto C situado en la aspiración de la bomba. En dicho punto imponemos la altura de presión mínima en base al NPSH requerido. El balance de energía entre el depósito inicial y un punto C situado en la aspiración de la bomba puede escribirse como:

H= HC + ∆H 1−C 1

[113]

siendo H 1 la energía en el depósito inicial, H C la energía en el punto C y ΔH 1-C la pérdida de energía en la tubería entre el depósito y el punto C. Procedemos de igual forma que en el apartado anterior. La energía en el punto C puede expresarse como suma de sus tres componentes (potencial, de presión y cinética), a través del trinomio de Bernoulli. En el enunciado se indica que el punto C está a cota 0, por lo que se anula la energía potencial.

241

H5

2) Bomba en el punto C

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

El balance de energía resulta: pC

v 2 f ⋅ L1−C v 2 v2 z1 = + + ⋅ + λ1 2g 2g 2g D γ

[114]

La altura de presión en C será la mínima permitida según el enunciado. En este caso, el NPSH requerido marca la presión mínima en la aspiración de la bomba: pasp − pvapor

γ

=5m

[115]

La altura de presión de vapor del agua es aproximadamente -10 m (presiones relativas a la atmosférica). Por tanto, la altura de presión en la aspiración de la bomba (el punto C) resulta: pasp

γ

=5 +

pvapor

γ

=5 − 10 =−5 m

[116]

Sustituyendo en el balance de energía: 50 =−5 +

v 2 0.027 ⋅ 1030 v 2 v2 + ⋅ + 0.5 2g 0.3 2g 2g

[117]

Se obtiene: v=3.38 m/s Por lo tanto, el caudal circulante en este caso es de:

D2 0.32 Q =v ⋅ A =v ⋅ π = 3.38π = 0.239 m3 /s = 239 L/s [118] 4 4 Y la altura de bombeo resulta: H bombeo = 4.85v 2 − 30 = 4.85 ⋅ 3.382 − 30 = 25.4 m

[119]

3) Bomba en el punto B Analizamos ahora el funcionamiento del sistema con la bomba posicionada en el punto medio del tramo A-C. En este caso, no sabemos a priori qué limitación de presión es más restrictiva, si la de presión máxima o la de presión mínima. En primer lugar, aplicamos la ecuación de conservación de la energía entre el primer depósito y un punto B situado inmediatamente aguas abajo de la bomba, fijando la presión máxima permitida en este punto. El balance de energía entre el depósito 1 y el punto B puede escribirse como:

H 1 + H bombeo = H B + ∆H 1−B

242

[120]

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

siendo H 1 la energía en el depósito inicial, H bombeo la altura de bombeo, H B la energía en el punto B y ΔH 1-B la pérdida de energía en la tubería entre el depósito y el punto B. Procediendo de igual forma que en los apartados anteriores se llega a: pB

z1 + H bombeo =

γ

+

v 2 f ⋅ L1−B v 2 v2 + ⋅ + λ1 2g 2g 2g D

[121]

v 2 0.027 ⋅ 530 v 2 v2 + ⋅ + 0.5 2g 0.3 2g 2g

[122]

Sustituyendo: 50 + 4.85v 2 − 30 = 100 +

Se obtiene: v=5.84 m/s Por lo tanto, el caudal circulante es de:

Q =v ⋅ A =v ⋅ π

D2 0.32 = 5.84π = 0.413 m3 /s = 413 L/s [123] 4 4

En este caso, el balance de energía entre el depósito 1 y el punto B es de la forma:

H= H B + ∆H 1−B 1

[124]

siendo H 1 la energía en el depósito inicial, H B la energía en el punto B y ΔH 1-B la pérdida de energía en la tubería entre el depósito y el punto B. Procediendo de igual forma que en los apartados anteriores se llega a: z1 =

pB

γ

v 2 f ⋅ L1−B v 2 v2 + ⋅ + λ1 D 2g 2g 2g

[125]

v 2 0.027 ⋅ 530 v 2 v2 + ⋅ + 0.5 2g 0.3 2g 2g

[126]

+

Sustituyendo: 50 =−5 +

Se obtiene: v=4.68 m/s Por lo tanto el caudal circulante:

Q =v ⋅ A =v ⋅ π

D2 0.32 = 4.68π = 0.331 m3 /s = 331 L/s 4 4

243

[127]

H5

En segundo lugar, planteamos la ecuación de conservación de la energía entre el depósito inicial y un punto B situado en la aspiración de la bomba, imponiendo la condición de presión mínima en este punto.

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

De esta forma, hemos calculado los caudales límite con los que las presiones alcanzan el valor máximo y mínimo permitido en la instalación. La condición más restrictiva, que permite un menor caudal, es la condición de presión mínima. El caudal circulante con la bomba situada en el punto B es, por tanto, de 331 L/s. 4) Bomba en la posición X, condiciones igualmente restrictivas En primer lugar, aplicamos la ecuación de conservación de la energía entre el primer depósito y un punto X situado inmediatamente aguas abajo de la bomba, imponiendo la condición de presión máxima en este punto (p X /γ=100 m). El balance de energía entre el depósito 1 y el punto X puede escribirse como:

H 1 + H Bombeo = H X + ∆H 1− X

[128]

siendo H 1 la energía en el depósito inicial, H bombeo la altura de bombeo, H X la energía en el punto X y ΔH 1-X la pérdida de energía en la tubería entre el depósito y el punto X. Procediendo de igual forma que en los apartados anteriores se llega a: pX

z1 + H Bombeo =

γ

+

v 2 f ⋅ L1− X v 2 v2 + ⋅ + λ1 D 2g 2g 2g

[129]

donde L 1-X es la distancia entre el primer depósito y la bomba. Sustituyendo: 50 + 4.85v 2 − 30 = 100 +

v 2 0.027 ⋅ L1− X v 2 v2 + ⋅ + 0.5 2g 0.3 2g 2g

[130]

Resulta así: v2 =

80 4.77 − 0.00459L1− X

[131]

En segundo lugar, planteamos la ecuación de conservación de la energía entre el depósito inicial y un punto X situado en la aspiración de la bomba, imponiendo la condición de presión mínima en este punto

(pX / γ = −5 m ).

El balance de energía entre el depósito 1 y X es el siguiente:

H= H X + ∆H 1− X 1

244

[132]

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

siendo H 1 la energía en el depósito inicial, H X la energía en el punto X y ΔH 1-X la pérdida de energía en la tubería entre el depósito y el punto X. Procediendo de igual forma que en los apartados anteriores se llega a: z1 =

pX

γ

v 2 f ⋅ L1− X v 2 v2 + ⋅ + λ1 2g D 2g 2g

[133]

v 2 0.027 ⋅ L1− X v 2 v2 + ⋅ + 0.5 2g 0.3 2g 2g

[134]

+

Sustituyendo: 50 =−5 +

Resulta así: 55

0.00459L1− X + 0.0764

[135]

De esta forma, hemos calculado las velocidades con la que se alcanzan las presiones máximas y mínimas permitidas en la instalación, en función de la posición de la bomba (ecuaciones [131] y [135], respectivamente). Dado que buscamos que las ambas condiciones se cumplan simultáneamente, igualamos dichas expresiones para obtener la posición de la bomba (la distancia L 1-X ): 80 55 = 4.77 − 0.00459L1− X 0.00459L1− X + 0.0764

[136]

Resulta: L 1-X =413.5 m. La bomba estará situada a 413.5 m - 30 m = 383.5 m del punto A para que las condiciones de presión máxima y presión mínima en la instalación sean igualmente restrictivas.

245

H5

v2 =

H5. Flujo en presión. Fundamentos de cálculo

246

H6

- Introducción al movimiento no permanente en tuberías

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

Contenidos

1

Introducción

249

1.1 Analogías previas

251

2

Descripción del fenómeno

3

Acotación de las principales variables que definen el golpe de ariete 259

3.1 Breve discusión sobre la celeridad de la onda de presión

254

259

3.2 Determinación del valor de ∆p. Balance integral de cantidad de movimiento 261

3.3 Determinación del valor de la celeridad de onda. Balance integral de masa 263

4

Importancia del tiempo de maniobra

266

5

Métodos para paliar el golpe de ariete

270

5.1 Métodos en línea (o de protección directa)

271

5.2 Métodos fuera de línea (o de protección indirecta)

272

6

Ejercicios

275

6.1 Problema – 6 A

275

248

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

La operación de los elementos activos en una tubería (bombas, válvulas) en tiempos reducidos lleva a funcionamientos transitorios, que conllevan efectos emergentes, no apreciados en régimen permanente, como se verá. Se excluyen en este apartado los ya tratados previamente, considerados movimientos cuasipermanentes, para estudiar aquellos fenómenos en que las variaciones de los parámetros del flujo, y particularmente del caudal, son súbitos. Un ejemplo evidente es el que se percibe al abrir o cerrar un grifo: el caudal que circula pasa, de un modo casi instantáneo, de valer una cierta cantidad a hacerse nulo o viceversa. El comportamiento cuasi-permanente, que se da en las redes de distribución urbanas, lamina todos estos transitorios “domésticos”, dado que no suceden todos simultáneamente. Lo que la red principal percibe, es una variación más o menos suave de la demanda. En determinados puntos, no obstante, la propia red principal experimenta variaciones bruscas: el encendido o paro de un bombeo, el funcionamiento activo de una válvula de control, el cierre de una válvula de regulación, generan variaciones de caudal en intervalos que pueden ser muy reducidos. Estas maniobras, de ser muy bruscas, pueden dar lugar a efectos secundarios indeseados, que se conocen con el nombre genérico de “golpe de ariete” y que suponen “golpes de presión” sobre las tuberías y los elementos de la red. El término golpe de ariete pretende plantear la analogía con las máquinas bélicas utilizadas para derribar las puertas de las fortificaciones. Hay grabados sobre ellas en relieves del Imperio Asirio desde el siglo IX a. C., aunque no es descartable que en otros imperios o culturas se usara con anterioridad, dada su simplicidad conceptual. Más cerca de los actuales referentes culturales, el ariete “Grond” fue utilizado en el sitio de Gondor (El Retorno del Rey, tercer tomo de “El Señor de los Anillos”). Escribiendo “Grond” en la comunidad de videos YoutubeTM se accede a multitud de vídeos que lo muestran. La palabra inglesa para describir el golpe de ariete es “waterhammer”, también muy explícita. Los movimientos no permanentes implican transformaciones energéticas. Los más evidentes se observan si se considera un tubo en forma de “U”. Si se provoca

249

H6

Introducción

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

un desequilibrio entre los niveles de las dos ramas verticales, se establece un flujo, como se puede apreciar en la figura inicial de la serie que se presenta.

Fig. 1.1 Movimiento no permanente en un tubo en forma de “U”

Los niveles de equilibrio serían los marcados con las letras A-A’. Si se provoca un desequilibrio que lleve a la posición B-B’ aparece un movimiento que tiende a restablecer la posición inicial. Si analizamos las distintas figuras, la posición B-B’ es la que induce el movimiento, de B hacia A y de B’ hacia A’. Al alcanzar estas posiciones, no obstante, el agua habrá adquirido velocidad, y pasará de largo, debido a su inercia, hasta llegar, idealmente, a la posición C-C’ (supongamos despreciable el rozamiento). En este punto, el agua se para, por un instante, para volver a adquirir velocidad, en este caso de C-C’ hacia A-A’, y de nuevo se rebasarán estas posiciones para volver a alcanzar los puntos B-B’ (si hubiera rozamiento la amplitud de los movimientos se iría atenuando). Si se analiza la energía de un punto, por ejemplo el punto 1, inicialmente en B, se observa que en el instante inicial (en B), tiene una cierta energía potencial y no tiene energía cinética (en ningún caso tiene presión porque está en contacto con la atmósfera), al pasar por A ha perdido parte de su energía potencial pero ha adquirido energía cinética (esto no es algo que sorprenda, tras el tema anterior), pero al llegar a C, se observa que tiene un mínimo de energía potencial y también ha perdido su energía cinética. Si se aplica la ecuación de Bernoulli a las distintas posiciones que el punto 1 va aplicando, se observa que entre el punto B y el punto C hay una pérdida neta de energía que no puede ser atribuida al rozamiento porque se ha despreciado. Más aún, en el siguiente ciclo, de C a B, el punto 1 experimentará una ganancia neta de energía, lo que contraviene claramente la ecuación de Bernoulli. Esto no debería sorprendernos. La ecuación de Bernoulli se dedujo para una línea de corriente en régimen permanente, y no es de aplicación cuando el régimen

250

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

es transitorio. Los balances energéticos que se observan en los transitorios no pueden ser explicados (ni por supuesto calculados) a la luz de la ecuación de Bernoulli. El ejemplo del tubo en “U” ilustra un transitorio en el que la transformación energética se da, esencialmente, entre las componentes cinética y potencial. Este tipo de transitorios se da en algunas estructuras hidráulicas, como las chimeneas de equilibrio, pero son en general de interés menor en los sistemas habituales de distribución.

H6

Los transitorios más importantes, sin duda, movilizan las características elásticas tanto del agua como de la tubería para acumular y ceder energía. No se puede comprender el fenómeno del golpe de ariete si no se acepta que, en esos transitorios bruscos, el agua aumenta o disminuye de forma cuantificable su densidad y la tubería aumenta o disminuye asimismo su diámetro.

1.1 Analogías previas La energía elástica no se suele visibilizar como tal en un problema hidráulico, y puede ser algo compleja de imaginar. No está de más, pues, recordar algún caso evidente de transformación de energía cinética en energía elástica, fuera del campo de la hidráulica. Si se considera un frontón y una pelota, y aceptamos que el frontón es absolutamente rígido y la pelota es elástica, se podría plantear por qué la pelota vuelve al golpear contra la pared. La pelota, al alcanzar el frontón, lleva una cierta velocidad y, por tanto, una energía cinética. Al sufrir un choque supuesto elástico (sin disipación de energía) con la pared, sufre una deformación (la pelota se aplasta contra la pared) y simultáneamente se para. La energía cinética está ahora contenida en ese “aplastamiento” de la pelota en forma de energía elástica. La pelota es como un muelle (el eterno referente en materia de elasticidad) al que se comprime respecto de su posición de equilibrio. Al no ser esa situación estable, la pelota, apoyándose (literalmente) en la pared, se descomprime y sale despedida, cediendo energía elástica y ganando energía cinética (idealmente la misma que tenía antes de la compresión). El ejemplo por antonomasia que ilustra la transformación de energía que sucede en el golpe de ariete, y que verdaderamente tiene grandes analogías con el mismo, tiene que ver con los trenes:

251

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

Fig. 1.2 Analogía de un tren con uniones elásticas entre vagones

Al ser los muelles los elementos que tradicionalmente han representado los comportamientos elásticos (lo que ha hecho mucho daño a la comprensión real del concepto), hay analogías entre el fenómeno del golpe de ariete y el comportamiento de un tren formado por bloques (vagones) rígidos unidos entre sí mediante muelles. Si se imagina dicho tren circulando hacia una topera a velocidad constante, el paro de cada uno de los vagones no será simultáneo al alcanzar la topera, sino que primero parará el vagón 1, luego el 2 etc. A medida que los vagones van frenando, la energía cinética (que se pierde) se va “almacenando” en los muelles, en forma de energía elástica. Una vez todos los vagones se han frenado, las uniones están claramente en estado de desequilibrio respecto de su posición original (en este caso por un exceso de compresión).

Fig. 1.3 Punto de máxima compresión

El último vagón, el 4, en este caso, está claramente en desequilibrio, porque se ve solicitado por el muelle que lo une con 3, y no tiene ningún tipo de restricción en el otro extremo (el resto de vagones sí las tienen), y por tanto tenderá a salir disparado (como la pelota) en sentido contrario al de la marcha original, obligado por el muelle que lo une con el 3. Posteriormente irán saliendo el 3 (a medida que la unión 3-4 deje de suponerle un esfuerzo, al irse el coche 4), el 2 y el 1. Esta secuencia de acontecimientos refleja un fenómeno levemente análogo al de golpe de ariete, pero se puede mejorar variando las condiciones de la analogía. Si se considera que el primer vagón (1) se hinca en la topera de modo irreversible (por ejemplo mediante un clavo o lanza que penetra en la topera), el tren no podrá volver hacia atrás. Al intentarlo, los muelles pasarán por su situación de equilibrio con una cierta velocidad y esta velocidad (como en el caso de un péndulo) obligará a los muelles a estirarse, traccionándolos más allá del

252

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

equilibrio hasta su frenado total. La energía cinética del tren intentando irse se almacena de nuevo en forma de energía elástica, en este caso de tracción.

Es importante destacar que los muelles, y en general los materiales, pueden adquirir energía elástica tanto si se los comprime como si se los tracciona, aunque no todos los materiales reaccionan igual. El acero admite una gran cantidad de energía elástica tanto en el proceso de tracción como en el de compresión. El hormigón, sin embargo, apenas es capaz de adquirir energía asociada a la tracción sin deformarse de modo irreversible. El agua, respecto de su nivel inicial de compresión (que nunca es nulo, porque siempre están sometidos al menos a la presión atmosférica) es capaz de almacenar energía de modo muy notable si se la comprime, y de un modo algo más limitado si se la tracciona, ya que puede llevar al umbral de la cavitación, donde su respuesta ya no es elástica. Volviendo al tren, el muelle unido a 4 tira ahora de él hacia 3 (y no hay ningún esfuerzo que lo compense), y lo mismo va sucediendo con el resto, de modo gradual, con lo que el conjunto tiende a volver a la topera, comprimiéndose de nuevo. Si no hay pérdidas de energía, el tren se comprimiría y expandiría como un acordeón de modo indefinido. La analogía es así casi completa, como se verá, pero se puede mejorar si se interpreta que el tren, que se puede considerar de juguete (y sin la lanza o clavo del caso anterior), es impulsado hacia la topera por la mano de un niño, que sigue manteniendo su esfuerzo aún después de chocar. El contacto entre el vagón 1 y la topera viene ahora garantizado por el esfuerzo mantenido de la mano del niño. Al chocar, los cuatro vagones se comprimen y, posteriormente tienden a descomprimirse. La mano, al notar que el tren tiende al retroceso, cede pero persevera, con lo que el tren no llega a una descompresión total y 1 no se llega a separar de la topera. La mano percibe una serie de golpes, que son los sucesivos intentos de descompresión, en un movimiento claramente periódico. Sólo en el caso de un golpe de cierta brusquedad, en el que el niño acompaña con su mano al tren previamente acelerado, se puede producir un retroceso tal que venza la resistencia de la mano, y efectivamente el vagón 1 se separe de la topera. Este último suceso seria el homólogo de la deformación irreversible por tracción.

253

H6

Fig. 1.4 Almacenamiento de la energía elástica en tracción

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

Descripción del fenómeno

Tras esta analogía, considérese ahora un segmento de tubería limitado en su extremo de aguas arriba por un depósito, y en su extremo de aguas abajo por una válvula, cuyo cierre se considerará instantáneo (es decir, en un tiempo cero, lo cual es físicamente imposible, pero se aceptará de momento):

Fig. 2.1 Tubería simple. Cierre de válvula

Este es el caso con el que se va a trabajar para ilustrar el fenómeno, aunque es mucho más frecuente que los transitorios se den por paros de bomba (de los que se hablará someramente más adelante). Se escoge no obstante este caso por su mayor simplicidad conceptual. En condiciones permanentes, la válvula está abierta y la presión en el punto 1 es la que marca el depósito menos las pérdidas continuas a lo largo de la tubería, que, por el momento, se considerarán despreciables. Al cerrar súbitamente la válvula, el agua que debía atravesar esa sección se ve frenada en seco, lo que redunda en un aumento súbito de la presión, que genera una sobrecompresión del agua y una dilatación de la tubería. Si se considera una velocidad en régimen permanente igual a “v”, un razonamiento apresurado podría llevar a pensar que la componente energética a “recolocar” es “v2/2g”, lo que supone, en general, un muy leve incremento energético. Por ejemplo, para una velocidad (usual) de 1 m/s, el término cinético supone una presión equivalente a 5 cm de columna de agua. Este razonamiento, que deriva de la aplicación de la ecuación de Bernoulli, es falso, porque no estamos en condiciones de flujo permanente (que es el campo de validez de la ecuación de

254

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

Bernoulli), y por tanto no se deben hacer este tipo de “cuentas” que en el capítulo anterior sí eran válidas.

La expresión “casi instantáneamente” tiene más enjundia de la que parece. Los procesos indicados llevan un tiempo (contracción del agua, expansión de la tubería, llenado del subsiguiente hueco) que quizá pueda expresarse en segundos o en microsegundos, pero en definitiva es un tiempo, lo que quiere decir que primero se frenará la rebanada cercana a la válvula, después la siguiente, y así sucesivamente. Es conveniente en este momento apuntar que los fenómenos que se dan apelan al carácter elástico tanto del agua (que se comprime y deja un hueco) como de la tubería (que se expande, y deja también un hueco), y estas compresiones y expansiones responden a leyes que se consideran elásticas.

Fig. 2.2 Transmisión de la onda de compresión

Una variable de importancia capital es la velocidad de transmisión de la perturbación que se ha comentado, conocida como “celeridad de propagación de la onda de presión” (c ) . Esta velocidad es la que mide cómo las distintas secciones de la tubería se van sobrecomprimiendo (y frenando). En la analogía del tren, sería la relación entre la longitud del tren y el tiempo que tarda el último vagón en frenarse. En nuestro caso, es la relación entre la longitud del tramo de tubería (L ) y el tiempo que tarda toda el agua de la tubería en frenarse a partir del

instante de cierre (t 0 ) . La celeridad (c ) se considera medida en el seno del fluido (un observador externo percibiría la velocidad (𝑐𝑐 − 𝑣𝑣).

Suele generar confusión la aparición de esta velocidad. Conviene destacar que el agua nunca viaja a velocidad “c”. En un instante intermedio entre el cierre de la válvula y el frenado de toda la tubería, hay un segmento de la misma en la

255

H6

Volvamos al problema: si se considera el fluido formado por una serie de rebanadas (sabemos que no es cierto, pero admitamos la idealización por un momento), la primera de ellas se frena en seco, se comprime (y se contrae) y deja por tanto una pequeña holgura para el movimiento de la siguiente que, casi instantáneamente, se comprime también.

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

que el agua circula a velocidad “v” (el segmento que todavía no ha sido afectado por el transitorio) y otro segmento a velocidad “0” (el ya frenado). La celeridad “c” nos indica la velocidad a la que se van frenando las respectivas rebanadas, pero ninguna partícula de agua se mueve a esta velocidad. Así, una tras otra, y a velocidad “c”, las rebanadas se van comprimiendo como los vagones del tren hasta que el conjunto de la tubería adquiere una sobrepresión respecto de la impuesta por el depósito. En ese momento (𝑡𝑡 = 𝐿𝐿⁄𝑐𝑐), dado el desequilibrio que aparece, el agua empieza a fluir hacia el depósito para disipar la sobrepresión.

Fig. 2.3 Instante (𝐭𝐭 = 𝐋𝐋⁄𝐜𝐜)

La primera rebanada que fluye hacia el depósito es la más cercana a él, porque es la que está en desequilibrio (las presiones a ambos lados no son iguales. Al ceder agua hacia el depósito, la rebanada pierde presión (porque pierde masa) y genera un desequilibrio sobre la segunda rebanada, que cede a su vez masa que atraviesa la primera y llega finalmente al depósito. La pérdida de presión deja a esta rebanada con una presión igual a la del depósito (la de equilibrio), y con velocidad hacia el depósito. Es importante recordar en este momento el carácter elástico y lineal del agua y de la tubería. Esto quiere decir que se puede establecer una paridad “monetaria” entre la energía cinética del agua asociada a una velocidad “v” y la energía elástica asociada a una sobrepresión “Δ𝑝𝑝”. La velocidad inicial “v” generó la sobrepresión “Δ𝑝𝑝”. Al volver a la presión de equilibrio, se establece un flujo en sentido inverso pero también de velocidad “v”, ya que la elasticidad asume que cargas iguales dan respuestas iguales. Aparece pues un flujo hacia el depósito alimentado por el excedente de agua provocado por la sobrecompresión (desde que se cerró la válvula hasta que se paró toda la tubería siguió entrando agua). Las rebanadas van cediendo algo de agua de modo gradual, para alcanzar su presión de equilibrio, y ese excedente va fluyendo a través de las que ya cedieron masa hasta el depósito. Desde el punto

256

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

Fig. 2.4 Instante (𝐭𝐭 = 𝟐𝟐𝟐𝟐⁄𝐜𝐜)

La tubería tiene en este momento sus dimensiones de equilibrio, mientras que el agua presenta velocidad hacia el depósito. El punto 1 quedaría sin agua debido a esta inercia (como el tren que retrocede) si no fuese por la presión impuesta desde el depósito (P0 ) que impide al agua que se separe de la válvula. Sólo si el transitorio es muy brusco ∆p > P0 , puede suceder que haya cavitación en 1. El nivel del depósito actúa como la mano del niño en la analogía de los trenes, impidiendo el retroceso. En efecto, supongamos por un momento que la rebanada junto a la válvula, debido a su velocidad, se despega de la misma. La rebanada siguiente la presiona con una presión igual a la estática (impuesta desde el depósito) más la presión atmosférica (ya que la rebanada en 1 dejaría el vacío tras de sí), mientras que la cara junto a la válvula no sufriría presión alguna. Se hace evidente que esta rebanada no puede irse de la válvula sin más. La rebanada puede alimentar el flujo aportando algo de agua (y bajando su masa y su presión), pero mientras lo hace se aparta de su presión de equilibrio, y transforma energía cinética en energía elástica (de descompresión, en este caso). Para frenar del todo esta velocidad inversa “v” hace falta alejar del equilibrio a la presión en una magnitud “Δ𝑝𝑝”, pero en este caso descomprimiendo (como en el caso de un muelle, se puede adquirir energía respecto de una posición de equilibrio tanto por compresión como por tracción). De este modo, si para frenar el agua es preciso rebajar la presión en “Δp”, asumiendo una presión de equilibrio P 0 , se alcanzarán en la tubería presiones de valor P0 − ∆p al volver a frenarse el agua, comenzando por la rebanada cercana

257

H6

de vista de una rebanada intermedia, el excedente que le llega es igual al que cede, con lo que no se afecta su masa total (ni su presión). Al llegar este proceso a la rebanada junto a la válvula (𝑡𝑡 = 2𝐿𝐿⁄𝑐𝑐), se percibe un flujo neto hacia el depósito de toda la tubería.

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

a la válvula y sucesivamente hacia el depósito. Se llegará a un estado en que la tubería estará parada y la presión en la misma será inferior a la de equilibrio, concretamente de valor P0 − ∆p . Es el instante (t = 3L⁄c).

Fig. 2.5 Instante (𝐭𝐭 = 𝟑𝟑𝟑𝟑⁄𝐜𝐜)

Este desequilibrio, de modo similar a lo ya comentado, invita a que vuelva a entrar agua desde el depósito para restituir la presión de equilibrio, y una vez toda la tubería adquiere la velocidad “v” se reproducen por un instante las condiciones del instante inicial (instante t = 4L⁄c ), dando lugar así a un proceso periódico idealmente ilimitado en el tiempo, que realmente se va amortiguando por efecto de la fricción, con sucesivos valores altos y bajos de la presión. A efectos prácticos, si se calcula de modo manual, sólo la primera compresión y a la primera descompresión (que son las de mayores valores absolutos) son interesantes. Los valores de estas presiones dependen como se verá de una serie de factores, como son el fluido, el flujo (la velocidad del agua), y la brusquedad del transitorio.

Fig. 2.6 Instante (𝐭𝐭 = 𝟒𝟒𝟒𝟒⁄𝐜𝐜)

258

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

Para evaluar las sobrepresiones que se producen en una tubería debido al cierre total e instantáneo de una válvula, hay que recurrir a las ecuaciones fundamentales, como son la de continuidad, la de conservación de la cantidad de movimiento, y los comportamientos tenso-deformacionales del agua y de la tubería. Las variables que se pretende acotar son el incremento dinámico de presión (𝛥𝛥𝛥𝛥) (idealmente a lo largo de la tubería y a lo largo del tiempo) y la celeridad de la onda de presión (c). La descripción completa del fenómeno exigiría plantear las ecuaciones generales a un segmento infinitesimal de tubería, y un análisis con incrementos temporales asimismo infinitesimales, y el uso de modelos numéricos de cierta complejidad que exceden al ámbito de este texto. Se optará aquí por una aproximación semicuantitativa en la que a partir de unos balances globales se acoten las variables en puntos e instantes concretos (significativos, en todo caso).

3.1 Breve discusión sobre la celeridad de la onda de presión Como paso previo a este análisis conviene entender algo mejor el concepto de celeridad de onda, que es una de las variables clave. Para poder entender su significado, y las variables de las que es razonable que dependa, es bueno plantear unos ejemplos previos. Supóngase como primer ejemplo un tubo por el que circula no un fluido, sino una barra continua de un material indeformable. Dado que este material no existe en la actualidad, supongamos que esto sucede en un futuro en el que los materiales han evolucionado y es realmente un metal (como por ejemplo el mítico “adamantium”, que postularon en la antigua Grecia y se materializó en la estructura ósea de “Lobezno”) absolutamente indeformable. Supóngase además que el tubo es de este mismo material, así como la válvula. Si se considera esta barra (pongamos de 100 m de longitud) incidiendo contra la válvula cerrada en un punto determinado del tubo, en el instante de contacto se frenará en seco la 259

H6

Acotación de las principales variables que definen el golpe de ariete

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

sección de contacto entre el tubo y la válvula, e instantáneamente se frenará toda la barra (instantáneamente quiere decir en un tiempo cero), ya que no hay deformación alguna, ni readaptación, y todas las secciones por tanto pararán al unísono. En este caso, la celeridad de onda será c=100⁄0→∞. Si se supone una barra algo más real, con un tiempo de paro total infinitesimal pero no nulo, la celeridad no será infinita pero en todo caso será muy alta. En un segundo ejemplo se considera un fluido convencional (agua, por ejemplo), en un tubo muy, muy flexible (una manguera con la elasticidad de los globos que usan los niños para jugar, por ejemplo). Si se piensa en esa circulación en un tubo de 100 m de longitud, y el cierre instantáneo de una válvula, da la impresión de que el incremento de volumen que admitirá el tubo será grande, y se percibirá (visualmente) un abultamiento cercano a la válvula, similar al inflado del globo, que poco a poco irá avanzando hacia atrás, hasta al cabo de un tiempo relevante acabar por hinchar la totalidad del tubo. En este caso el avance de la onda puede seguirse visualmente y la velocidad no será grande (da la impresión de que el avance se podrá seguir a pie, incluso a un paso muy moderado). En este caso, por tanto la celeridad será pequeña (pongamos inferior a un metro por segundo, por acotar). Por último, supóngase un tubo convencional (de acero, por ejemplo) por el que circula un fluido altamente compresible (un gas, por idealizar la compresibilidad). Si en este tubo, de 100 metros de nuevo, se cierra una válvula, aumentará localmente la presión cerca de la válvula y poco a poco el incremento de presión se irá propagando hacia atrás para, en un tiempo relevante comprimir toda la conducción. Es en esencia un caso similar al anterior. Analizando ahora el conjunto de los tres ejemplo, se observa que sólo cuando el conjunto de tubo y fluido presentan una importante rigidez la celeridad es alta, mientras que si la tubería o bien el fluido son muy deformables, la celeridad baja drásticamente. Cabe plantear adicionalmente la violencia esperada del impacto sobre la válvula. En el primer caso, de extrema rigidez, el impacto será importante (se trata de un golpe de ariete en sentido literal), mientras que en los otros dos, no cabe esperar un incremento de presión muy brusco. Se puede inferir pues una relación entre la celeridad y el incremento de presión esperado. En el caso del agua circulando en una tubería convencional, la rigidez global del sistema es bastante alta. El agua tiene un módulo de compresibilidad “K” muy alto (2100 MPa) (hay que comprimir mucho para deformar muy poco), y las tuberías tienen un módulo de rigidez “E” que depende del material (mayor para el acero y menor para los plásticos), pero en general el comportamiento global es

260

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

rígido. De este modo, son esperables en general celeridades altas, y golpes de presión asimismo relevantes.

Para determinar el valor de la sobrepresión dinámica (conocida como pulso de presión, o también pulso de Joukowski, pulso de Joukowski-Frizell o pulso de Allievi), se planteará la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento a un segmento finito (no infinitesimal) de tubería, en unas condiciones que se detallan en los siguientes párrafos. La deducción de esta ecuación fue presentada por Joukowski en 1898, por Frizell en el mismo año, y por Allievi en 1902, de modo independiente (la era de la globalización no había llegado todavía). Rankine, en 1870, basándose en trabajos previos de Saint-Venant (1867) ya había presentado una ecuación similar para medios continuos en general, sin ceñirla al ámbito del golpe de ariete. El problema a analizar es de nuevo el cierre instantáneo de una válvula en una tubería horizontal despreciando los efectos de la fricción. Se acota un volumen de control, indicado en la gráfica por el segmento de tubería incluido en el recuadro. Si el cierre de la válvula se produce en el instante t=0, considérese un instante t < L c , en que la onda ha llegado a una posición más o menos arbitraria A. Tardará un tiempo ∆t en llegar a B, separado de A una distancia asimismo arbitraria ∆x (o (c − v ) ⋅ ∆t ). Si se aplica la ecuación de conservación de cantidad de movimiento al volumen de control marcado en la figura, tenemos:

Fig. 3.1 Balance integral de cantidad de movimiento. Cálculo del pulso de presión

∑ Fext =

  ∂ MVC + ∫ ρ ⋅ v v ⋅ dA SC ∂t

(

)

(vc: volumen de control; sc: superficie exterior del volumen de control)

261

[2.1]

H6

3.2 Determinación del valor de ∆𝒑𝒑. Balance integral de cantidad de movimiento

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

El término de fuerzas que actúan sobre el volumen de control en la dirección del eje de la tubería (es una ecuación de carácter vectorial, pero sólo se analizará esa componente) sólo incluye en este caso la contribución de las presiones en ambos extremos, ya que se desprecia la fricción, y la tubería es horizontal, con lo que el peso no contribuye. En estas condiciones, tenemos:

∑ Fext = −∆p ⋅ A

[2.2]

Esta ecuación es válida durante el intervalo ∆t, ya que mientras la onda de presión avanza desde A hasta B las presiones en ambas caras se mantienen constantes (la estática en B y la estática más la dinámica (∆p) en el extremo cercano a la válvula). Sólo a partir del momento en que la onda llega a B (en ∆t) varia esta situación. Para evaluar la variación local de cantidad de movimiento, se plantea la simplificación: ∆MVC ∂ MVC ≈ ∂t ∆t

[2.3]

Lo que implica pasar de trabajar a nivel infinitesimal a trabajar a nivel finito (un balance durante un intervalo ∆t no necesariamente pequeño). Para que esta simplificación sea aceptable, la tasa de variación de cantidad de movimiento tiene que ser constante en el tiempo. Dado que la única masa con velocidad no nula en el volumen de control es inicialmente la contenida en el segmento A-B, y dado que la velocidad es constante en el segmento, basta observar que el segmento “activo” se acortará linealmente a medida que el frente de onda avance a velocidad constante (c-v, para un observador externo) para comprender que la pérdida de cantidad de movimiento por unidad de tiempo es constante. En concreto, el balance de cantidad de movimiento en el intervalo ∆t será:

∆MVC ∆t

=

(

)

0 − ρ ⋅ A c − v ∆t ⋅ v

[2.4]

∆t

El flujo de cantidad de movimiento a lo largo de la superficie que delimita el volumen de control sólo tiene sentido para las dos secciones extremas, aunque es obvio que en la más cercana a la válvula este flujo será nulo (porque lo es la velocidad). Por la sección definida por el punto B entrará agua a velocidad constante (v) durante todo el intervalo ∆t sobre el que se ha realizado el balance local de cantidad de movimiento, luego el flujo se mantiene constante a lo largo de ese intervalo, y se puede calcular como:   [2.5] ρ ⋅ v v ⋅ dA = 0 + ρ ⋅ v v ⋅ A ( −1) ∫ SC

(

)

(

)

Dado que los tres términos involucrados en la ecuación se mantienen constantes en el intervalo ∆t, la aproximación es válida (de hecho no es una 262

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

aproximación, es una estimación exacta) y la ecuación puede calcularse a lo largo del intervalo ∆t como: −∆p ⋅ A = −ρ

(

)

A c − v ∆t ⋅ v ∆t

− ρ ⋅ v2 ⋅ A = −ρ ⋅ A ⋅ c ⋅ v

∆p = ρ ⋅ c ⋅ v

[2.6] [2.7]

3.3 Determinación del valor de la celeridad de onda. Balance integral de masa En este caso, se considera no un segmento de tubería sino la longitud total de la misma, y se propone un intervalo temporal 𝑡𝑡0 igual al tiempo de frenado de la tubería (L⁄c). Es a este volumen de control (toda la tubería) y durante este tiempo a lo que se va a aplicar la ecuación de conservación de la masa. De la aplicación de esta ecuación se obtendrá una fórmula algebraica para determinar el valor de la celeridad de la onda de presión en función de los factores de los que depende. Este es realmente el objetivo del balance que se propone. A lo largo del desarrollo es posible que se pierda esta percepción, ya que la “aparición” del valor de “c” es bastante súbita.

Fig. 3.2 Balance integral de masa

263

H6

Esta sobrepresión es la conocida como “pulso de Allievi” o “pulso de Joukowski”. En cualquier caso, se observa cómo el incremento de presión es tanto más brusco cuanto más denso es el fluido (si se trabaja siempre con agua este término es constante), cuanto mayor es la velocidad del agua (lógico, al ser una respuesta al frenado brusco), y cuanto mayor es la celeridad de la onda, cuya evaluación será necesaria para poder calcular el valor de la sobrepresión.

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

Si se considera la tubería en su conjunto, el tiempo que tarda toda el agua en frenarse es t 0 = L c . Durante ese tiempo (t 0 ) , sigue entrando agua a la tubería desde el depósito a velocidad v , lo que supone un volumen total igual a: ∆V = v ⋅ A ⋅ t0 = v ⋅ A

L c

[2.8]

Este volumen adicional (esta masa adicional de agua) ocupa los huecos que se generan al sobrecomprimirse el agua, y al ensancharse la tubería:

∆V = ∆VW + ∆VT

[2.9]

La sobrecompresión del agua viene dada por la ley de compresibilidad volumétrica:

∆VW ∆p = VW K

[2.10]

Donde se considera un incremento positivo de volumen el aumentar la presión ya que lo que se está evaluando es el hueco generado. De este modo, se aprecia una relación entre el incremento de presión o pulso de Joukowski y el aumento de densidad del agua (o su decremento de volumen). Para evaluar el hueco generado por la tubería al expandirse, se considera que su comportamiento será elástico y lineal, y se considera además, como hipótesis, que la deformación es sólo circunferencial, sin alargamientos (se supone la tubería anclada a lo largo de su desarrollo longitudinal). En esas condiciones, se cumple: ∆VT = L ⋅ ∆A= L·∆(

π ⋅ D2 4

)= L

π ⋅D 2π ⋅ D ∆D= L ∆D 4 2

[2.11]

Se establece de este modo una relación entre un incremento de diámetro y un incremento de longitud, asumiendo que la tubería sólo sufre deformación circunferencia. La relación entre un incremento de diámetro y su repercusión en el área es inmediata si se analiza la geometría de la sección (la corona circular que se genera al aumentar el diámetro). El incremento de presión del agua repercute en un incremento de tensión del tubo, que se calcula mediante la ecuación de los tubos delgados, y que es fruto del equilibrio que se presenta en la figura.

264

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

Fig. 3.3 Equilibrio entre presión interna y tensión circunferencial de un tubo

[2.12]

La relación entre el incremento de tensión y el incremento de diámetro (deformación) se extrae directamente de la ley de la elasticidad (o ley de Hooke), expresada del modo usual a partir del módulo de rigidez (o de Young) del material de la tubería. ∆D ∆σ = E D

[2.13]

Combinado las tres ecuaciones anteriores: un aumento de presión genera un aumento de tensión, que a su vez genera un aumento de diámetro, que por último genera un aumento de volumen, se llega a la relación entre el aumento de presión y el aumento de volumen, que tiene la expresión: ∆VT =

L ⋅ D ⋅ A ⋅ ∆p e ⋅E

[2.14]

Por tanto, el volumen entrante durante (t 0 ) es suma de (se sustituye el volumen inicial 𝑉𝑉𝑤𝑤 por A·L):

∆= V v

A⋅L A ⋅ ∆p D ⋅ A ⋅ ∆p = L +L c K e ⋅E

[2.15]

Donde en este momento se debe recordar que ∆p = ρ ⋅ c ⋅ v , lo que lleva, simplificando a la expresión:

ρ ⋅c ⋅v K

+

D ⋅ ρ ⋅c ⋅v v = e ⋅E c

265

[2.16]

H6

D ⋅ ∆p = 2e ⋅ ∆σ

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

y despejando c : K c =

ρ K ⋅D 1+ e ⋅E

[2.17]

De este modo se determina el valor de la celeridad de la onda de presión. El numerador de esta expresión K⁄ρ es la velocidad de transmisión de una onda de presión (por ejemplo el sonido) en un medio fluido indefinido (en el caso del agua, del orden de 1450 m/s). El denominador alude a la rigidez del sistema. Cuanto más rígido sea el conjunto fluido-tubería, más rápida será la transmisión. Si se considera una manguera muy flexible (E muy bajo, mucha acumulación de agua), el transitorio se propagará con mucha más lentitud que en una tubería de acero. Si el fluido es muy compresible (un gas, por ejemplo) el valor de K⁄ρ es mucho menor y el transitorio es más lento (y más suave, por tanto). Valores usuales para tuberías de acero están en el entorno de los 1000 m/s. Para tuberías de hormigón o plásticos, son usuales velocidades de algunos centenares de metros por segundo.

Importancia del tiempo de maniobra

Cualquier maniobra instantánea genera un golpe de ariete igual al pulso de Allievi. Los procesos involucrados son todos elásticos y lineales (tanto en lo que respecta a la tubería como en lo que respecta al agua), lo que quiere decir que es de aplicación el principio de superposición de esfuerzos (la deformación resultante de aplicar una suma de esfuerzos es igual a la suma de las deformaciones generadas por cada uno de ellos por separado). Para el caso que nos ha ocupado en los apartados anteriores, si el cierre no es total, y sólo se genera un decremento de velocidad parcial, la sobrepresión equivalente es: ∆p = ρ ⋅ c ⋅ ∆v

266

[4.1]

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

El cierre brusco de una válvula no es el único caso en el que tiene interés el estudio del golpe de ariete, ni siquiera es el más frecuente. Es mucho más usual que el golpe de ariete se produzca por el paro brusco de una bomba. La hipótesis habitual de cálculo es que este paro se produce por una súbita caída del sistema eléctrico, que provoca el paro de la bomba sin que ningún sistema de operación orientado a la protección (como una válvula que vaya cerrando el paso del agua de modo muy gradual) tenga opción de funcionar).

H6

En este caso, el tiempo de paro de la bomba se estima en función de la energía cinética de giro de las masas móviles de la propia bomba, cuya inercia permitirá elevar una pequeña cantidad de agua adicional hasta que se pare por completo. En todo caso, se trata de un tiempo por lo general pequeño.

Fig. 4.1 Paro brusco de una bomba

En el caso del paro brusco de una bomba, o si se considera el punto aguas abajo de la válvula que se cierra bruscamente (al que hasta ahora no hemos prestado mucha atención), el primer incremento que se percibe es una descompresión, de valor ∆p . En el caso de la válvula, se puede pensar en la última “rebanada” que pudo atravesar la válvula, y que, si avanza, deja tras de sí el vacío, mientras que su rebanada vecina le está ejerciendo una presión igual a la estática (es una situación homóloga a la ya comentada en el instante 2𝐿𝐿⁄𝑐𝑐 para la rebanada situada del otro lado de la válvula). En el caso de la bomba, la última rebanada en ser bombeada tiene energía para avanzar, pero ello le obliga a dejar tras de sí un vacío, lo que de nuevo genera una descompresión.

267

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

El evitar que estas descompresiones alcancen valores peligrosos es tan importante como evitar presiones excesivas, ya que se corre el riesgo de generar cavitación. Para atenuar el efecto de los transitorios caben dos políticas: • •

Operar los elementos activos con lentitud. Incorporar medios adicionales para paliar el efecto del golpe de ariete (existe abundante bibliografía sobre ellos. No se entrará en detalle en este texto).

En el apartado actual se plantea qué importancia tiene que la maniobra se realice a una u otra velocidad. En el apartado anterior se consideró la maniobra de cierre instantánea. Es obvio que, por poco que sea, se tarda un tiempo en cerrar una válvula (o en parar una bomba), y si hablamos de fenómenos que se propagan a velocidades de 1000 m / s , un tiempo de unos pocos segundos puede no ser despreciable. No se va a incidir más en la tipología de problemas reales (como el paro de bomba) donde es de aplicación el análisis del golpe de ariete. Esta es una asignatura introductoria y conceptual, y en todo caso los contenidos que aquí se desarrollan son aplicables, con poco esfuerzo de trasposición, a cualesquiera otros fenómenos transitorios. Considérese por tanto la válvula del apartado anterior, cerrando de modo lineal en un tiempo t C (los cierres de las válvulas no suelen ser lineales, pero en este caso se aceptará este comportamiento ideal por simplicidad):

Fig. 4.2 Cierre lineal de una válvula

Acéptese que el cierre, visto a pequeña escala, es una sucesión de pequeños escalones ∆v1 , cada uno de los cuales genera un golpe de ariete de valor ∆p1 : ∆p1 = ρ ⋅ c ⋅ ∆v 1

268

[4.2]

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

Dado que todos los fenómenos considerados son elásticos y lineales, es aceptable la expresión (consistente con el principio de superposición):

∆p = ∑ ∆pi = ∑ ρ ⋅ c ⋅ ∆vi =ρ ⋅ c ∑ ∆vi =ρ ⋅ c ⋅ v

[4.3]

De modo que en cada incremento de cierre se produce un pequeño golpe, la suma de los cuales coincide con el global (pulso de Allevi). Cada uno de estos subpulsos se genera en un instante distinto, por lo que la presión dinámica en el punto aguas arriba de la válvula crece linealmente a lo largo del tiempo. Si se considera la gráfica para el caso de cierre instantáneo y para cierre en un tiempo t C , tenemos que para tC = tC < 2L c la válvula se cierra antes de que 1

considerar el golpe de ariete), y ∆𝑝𝑝 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌.

Si tC = tC > 2L c , la descompresión de los primeros subpulsos (que aparece 2

en el punto cercano a la válvula en el instante 2𝐿𝐿⁄𝑐𝑐 compensa la sobrecompresión de los últimos, y no se alcanza el valor P0 + ∆p . La máxima sobrepresión alcanzada en este caso es (aplicando sobre el gráfico el teorema de Tales sobre triángulos semejantes):

Fig. 4.3 Presión dinámica en el caso de cierre instantáneo, rápido y lento

∆p' =

t 2ρ ⋅ L ⋅ v = ρ ⋅v ⋅c 0 tC tC

[4.4]

Para una conducción con c = 1000m / s y de 1 km de longitud, un cierre en menos de 2 s supone sobrepresiones iguales a las del cierre instantáneo, mientras que un cierre de 20 s las reduce a un 10% de su valor original, lo que pone de manifiesto la importancia del tiempo de la maniobra. Se puede observar que para

269

H6

se inicie el ciclo de descompresión asociado al primer incremento, y la presión máxima alcanzada es P0 + ∆p , donde 𝑃𝑃0 es la presión estática del sistema (sin

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

un tiempo de cierre igual a 2𝐿𝐿⁄𝑐𝑐 , el valor de la presión es 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌, con lo que las dos expresiones (la correspondiente a un cierre lento y la correspondiente a un cierre rápido) son coherentes en su punto de intersección. En los ejercicios que siguen al desarrollo teórico de este capítulo se entenderá cómo evoluciona la presión a lo largo del tiempo en distintos puntos de la conducción. Es importante observar que el pulso de sobrepresión depende de la velocidad del agua pero no de su presión estática. El golpe de ariete es pues tan importante en instalaciones con mucha presión estática como en instalaciones que trabajan a baja presión. De hecho, en estos casos, en que el timbraje de las tuberías suele ser inferior, el efecto relativo del golpe de ariete es más importante. Un bombeo con poca altura de elevación en que se transporte agua a una velocidad importante es un caso claro donde el golpe de ariete puede tener mucha relevancia, ya que es posible que la primera descompresión haga cavitar al agua e incluso, si la tubería no está pensada para asumir ese efecto, se pueden producir aplastamientos debido a la succión. A título de ejemplo, un bombeo en el que la altura de elevación sea del orden de 30 m.c.a., podría sufrir cavitación si el golpe dinámico fuera de 40 m.c.a, lo que no es un valor muy alto, sobre todo para tuberías muy rígidas (acero, por ejemplo). Si se considera c=1000 m/s y el fluido que se bombea es agua, un decremento de velocidad de 0.4 m/s de modo instantáneo ya generaría problemas de succión en la tubería (depresión).

Métodos para paliar el golpe de ariete

Ante un transitorio brusco se puede optar por la política de diseñar el sistema para soportarlo, aunque en ocasiones la sobrepresión puede suponer valores tan importantes que el incremento de coste sea prohibitivo, o, incluso, que algunos elementos del sistema (válvulas...) no existan en el mercado para soportar esas presiones o deban ser fabricados ad-hoc, lo que de nuevo repercute en el coste.

270

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

Es una política más frecuente, si el transitorio realmente no es evitable, introducir elementos que lo absorban o que palien sus efectos. Se indicarán los más usuales, y su rango de eficiencia. Se trata de unos párrafos cuya misión es simplemente enunciativa e informativa. El uso de cualquiera de los mecanismos citados exigirá un estudio mucho más detallado. Se podrían clasificar en cuando a su funcionalidad, indicando cuáles son capaces de absorber sobrepresiones, cuáles absorben descompresiones, y cuáles absorben ambos fenómenos. Es más usual, sin embargo dividirlos en elementos en línea (o directos) y fuera de línea (o indirectos).

Se incluyen en este epígrafe los mecanismos que se instalan en línea (en serie) en el sistema, sin derivar el agua a recintos o tubos fuera del mismo. Son los menos frecuentes y probablemente los de menor eficacia, ya que al no derivar el agua no se produce un verdadero alivio del golpe de ariete. En realidad, esta familia está más vinculada con el apartado anterior que con una verdadera acción sobre el transitorio, ya que lo que se busca en general es que las maniobras se realicen de un modo más suave. De entre la amplia variedad de mecanismos que cumplen esta función, se destacan dos: los volantes de inercia y las válvulas de retención. Una clase genérica adicional serían las válvulas de cierre programado, en las que se define un protocolo temporal de apertura y cierre. Volantes de inercia: El paro brusco de una bomba ante una caída de la red es uno de los transitorios más severos, provocando una onda de descompresión, que viene seguida por un flujo inverso y una sobrecompresión. En la medida en que el rotor del motor siga girando un cierto tiempo, venciendo el esfuerzo hidráulico e impulsando un volumen adicional de agua, el transitorio se dará de un modo más suave. La capacidad del rotor de mantener el giro depende de su energía cinética, que es proporcional a su momento de inercia. Un volante de inercia no es más que una masa de acero en forma de disco (con gran momento de inercia) que gira de modo solidario con el eje del motor y que aporta inercia al paro (y al encendido) haciendo los transitorios más suaves. Un volante de inercia no tiene sentido si las dimensiones del bombeo son muy grandes, dado lo aparatoso del montaje necesario, y tiene unos costes de explotación no despreciables, dado que el giro continuo del volante tiene un gasto energético que debe ser asumido en la explotación. Es una tecnología algo en desuso, aunque en instalaciones de tamaño pequeño se puede considerar. Debido a que actúan sobre el tiempo de cierre, atenúan tanto la descompresión como la sobrecompresión.

271

H6

5.1 Métodos en línea (o de protección directa)

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

Válvulas de retención: Las válvulas de retención pueden ponerse aguas abajo de un bombeo para asumir el flujo inverso. La protección de las válvulas sólo es absoluta si su dinámica es rápida, pero en tal caso generan un segundo golpe de ariete, debido al cierre o clapetazo, que puede ser más pernicioso que el original. Dado que el flujo inverso es un retorno, previamente al cual hay un instante en que la tubería contiene agua sin velocidad, la válvula debe cerrarse idealmente con el primer atisbo de flujo inverso y de modo inmediato, por lo que las válvulas de tobera o con cierre asistido son en general aconsejables. La peor configuración se tiene cuando una válvula requiere una velocidad umbral apreciable para cerrarse, y el cierre se produce de modo brusco. En estas condiciones el clapetazo puede ser realmente peligroso. No es nada recomendable confiar a las válvulas de retención una misión protagonista en los fenómenos transitorios.

5.2 Métodos fuera de línea (o de protección indirecta) La base de estos métodos es dar una salida o escape al agua, de modo que disipe su sobrepresión, o permitir el acceso de agua al sistema para compensar las descompresiones. Las diferencias entre ellos aluden esencialmente al tamaño de la instalación y al hecho de que ejerzan una o las dos misiones que se citan. Chimeneas de equilibrio: Son dispositivos de grandes dimensiones, que se disponen en instalaciones importantes, como grupos hidroeléctricos o grandes impulsiones. Asumen tanto la onda de sobrecompresión como la de descompresión, movilizando grandes volúmenes de agua. Son en esencia depósitos, en general cilíndricos y de gran altura, que son atravesados por la tubería del sistema a proteger. Si existe una sobrecompresión, el exceso de agua tiende a llenar el depósito. Si existe una descompresión, el depósito aporta el agua necesaria para compensarlo. No se protege el segmento de tubería entre la fuente del transitorio (bomba, válvula) y la chimenea, pero sí el segmento aguas arriba de la chimenea. La eficiencia de la chimenea se mide con un coeficiente (coeficiente de transmisión), que alude al porcentaje de onda que continúa por el otro extremo de la tubería, en términos de sobrepresión. Dado que la chimenea queda tras el transitorio con un volumen distinto al del equilibrio estático, se pueden producir transitorios de baja frecuencia (oscilación en masa), que en algunos casos pueden provocar resonancias peligrosas. El diseño de las chimeneas debe ser estudiado con detalle. El depósito actúa en régimen permanente como un piezómetro, presentando la altura de presión en la tubería en forma de cota. Dado que debe tener una altura adicional para asumir el transitorio, su altura total es muy importante, lo

272

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

que limita a efectos prácticos su utilización en proyectos de mediana o pequeña envergadura. Adicionalmente, la interposición de una chimenea de equilibrio acorta a efectos prácticos el segmento de tubería afectado por el transitorio, con lo que los tiempos de cierre de las válvulas (por ejemplo de las de retención) deben ser estudiados con detalle.

•

• •

En grupos hidroeléctricos con galería de presión y tubería forzada, en las que el agua discurre por una galería excavada en roca (que no debe soportar mucha sobrepresión) y por una tubería de acero (que sí puede), se sitúa entre ambos tramos. Se acepta que la tubería soportará el transitorio, y la chimenea protege la galería. En grandes bombeos, inmediatamente aguas arriba de la bomba. Se protegen las maniobras de arranque, y sobre todo de paro. En la descarga de grandes sistemas hidroeléctricos, se protege de descompresiones excesivas.

Tanques unidireccionales: El principal inconveniente de las chimeneas de equilibrio es su coste excesivo para instalaciones medias, motivado por unas dimensiones necesariamente grandes. Si el principal problema a resolver es la descompresión (por ejemplo ante el paro brusco de una bomba), se puede optar por una solución basada en un tanque con una válvula anti-retorno, de modo que el agua sólo puede ir del tanque hacia la tubería, aportando así el déficit generado por el paro, pero sin efecto alguno sobre las sobrecompresiones. En este caso, la altura del tanque puede escogerse libremente, ya que no está condicionada por el nivel piezométrico en la conducción. Esto hace que sean mucho más económicos, aunque su nivel de protección es menor, y queda supeditado a la respuesta dinámica de la válvula y a la altura del agua en la cámara. Un dispositivo conceptualmente igual al tanque unidireccional es el baipás desde el depósito de suministro. Esta solución se puede utilizar siempre que la bomba tenga algo de carga en la aspiración, y es muy simple y económica. Calderines de aire comprimido: Si se persigue el control de sobrecompresiones y descompresiones, pero no es viable la construcción de una chimenea de equilibrio, se puede optar por este dispositivo, en que la condición estática se logra mediante un tanque presurizado con aire comprimido. Así, la altura geométrica de la chimenea se sustituye por presión neumática. La respuesta que se espera de un calderín, aguas arriba de una bomba, es la eliminación de la onda de descompresión, ya que al bajar la presión en el sistema, el aire comprimido inyectará agua. También la respuesta ante sobrecompresiones es aceptable. 273

H6

El funcionamiento de una chimenea de equilibrio es automático y simple. Su ubicación habitual suele cubrir tres escenarios:

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

Las dimensiones del calderín vienen determinadas por el volumen de agua que hay que suministrar al sistema para paliar los efectos del transitorio. Si la tubería es muy larga, se pueden disponer varios elementos a lo largo del sistema. Ventosas: Los métodos comentados anteriormente son exclusivamente dispositivos para el control de transitorios. Las ventosas, además de su uso tradicional de evitar que el aire se acumule en los puntos altos de las conducciones, ofrecen también un control de presiones por debajo de la atmosférica. Al ocurrir un transitorio, si la descompresión llega a imponer presiones negativas, el aire entra del exterior al sistema a través de la ventosa y mantiene una condición de presión atmosférica. Posteriormente, cuando las presiones se regularizan, la propia ventosa, en su funcionamiento habitual, purga el aire que ha entrado en el sistema. No todas las ventosas tienen un comportamiento dinámico que les permita realizar esta función. Válvulas de alivio: Si se busca esencialmente paliar las sobrepresiones, se pueden instalar válvulas de alivio, que, en combinación con otros elementos económicos, como ventosas o baipás, pueden dar una respuesta muy aceptable. Las válvulas de alivio, en su concepción más simple, suponen una vía de escape al agua, en general hacia la atmósfera, cuando se supera una cierta presión. Este control de presión se hace efectivo con un muelle o, en casos más sofisticados, con un piloto o un autómata.

274

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

PROBLEMA – 6 A

ENUNCIADO

Dada una tubería de 3000 m de longitud, de acero de 3 mm de espesor y 400 mm de diámetro, por la que circula agua a 0.8 m/s, calcular:

B) Distribución de presiones en el tiempo en los puntos A (junto a la válvula), B (en el punto medio) y C (junto al depósito), para los casos: B.1) Cierre instantáneo B.2) Cierre lineal en 2 s B.3) Cierre lineal en 20 s B.4) Cierre en dos golpes instantáneos, del 50% cada uno, separados 3s B.5) Cierre en dos tramos lineales consecutivos, 50% en 2 s y 50% en 4 s

Fig 1 Esquema de la tubería

PLANTEAMIENTO

En este ejemplo se analiza el fenómeno del golpe de ariete asociado al cierre de una válvula en una conducción. En primer lugar,

275

H6

A) Pulso de Allievi generado al cerrar una válvula de modo instantáneo.

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

determinaremos el valor de la sobrepresión dinámica generada por el cierre instantáneo de la válvula mediante la fórmula de Allievi (ecuación [2.7] de teoría). A continuación calcularemos la ley de sobrepresiones en distintos puntos de la tubería. Además del cierre instantáneo, consideraremos otros tipos de cierre en la válvula: cierres lineales y/o en varias etapas. Los cierres lineales pueden entenderse como una sucesión de incrementos de cierre, cada uno de los cuales genera un subpulso en un instante distinto. Dentro de este tipo de cierres distinguiremos entre cierre lento y cierre rápido, comparando el tiempo de cierre con el tiempo que tarda la onda en ir y volver (2L/c). En el caso de los cierres en etapas, la ley de presiones será la suma de los frentes generados en cada una de las etapas de cierre.

RESOLUCIÓN

A) Pulso de Allievi generado al cerrar una válvula de modo instantáneo La celeridad de propagación de la onda de presión c se calcula como:

K c=

ρ K ⋅D 1+ e ⋅E

[1]

donde E es el módulo de rigidez de la tubería = 210000 MPa = 2.1·1011 Pa, K es el módulo de compresibilidad del agua = 2100 MPa = 2.1·109 Pa, ρ es la densidad del agua = 1000 kg/m3, e es el espesor de la tubería y D es el diámetro de la tubería. Se obtiene así:

c =

2.1 ⋅ 109 1000 949 m/s = 9 2.1 ⋅ 10 ⋅ 0.4 1+ 0.003 ⋅ 2.1 ⋅ 1011

[2]

El incremento dinámico de presión Δp viene dado por: ∆p = ρ ⋅ c ⋅ v

276

[3]

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

En este caso: p 1000 ⋅ 949 ⋅ 0.8 ∆= = 759200 Pa

[4]

El incremento de presión, expresado en metros de columna de agua, resulta así:

∆p

γ

=

759200 =77.5 mca 9800

[5]

En la Fig 2 se resume el fenómeno de golpe de ariete para cierre instantáneo, tomando el origen de tiempos en el instante en el que se produce dicho cierre. Entre t=0 y t=L/c una onda de sobrepresiones va barriendo la tubería desde la válvula hasta el depósito. En t=L/c el agua empieza a fluir hacia el depósito para disipar la sobrepresión (onda estabilizadora). Al llegar este proceso a la rebanada junto a la válvula en t=2L/c, se percibe un flujo neto hacia el depósito de toda la tubería. Se genera entonces una onda de presiones negativas que va barriendo la tubería desde la válvula, alcanzando el depósito en 3L/c. En t=3L/c el agua empieza a fluir desde el depósito para restituir la presión de equilibrio. Cuando toda la tubería adquiere velocidad en dirección a la válvula en t=4L/c, nos encontramos en la misma situación que en el instante cero. Se trata por tanto de un ciclo que se repite cada 4L/c. - Distribución de presiones en el punto A (Fig 3): Dado que el punto A se encuentra junto a la válvula, las sobrepresiones positivas en A comienzan en el instante inicial (t=0). En t=L/c el agua empieza a fluir hacia el depósito para disipar la sobrepresión, pero no es hasta t=2L/c cuando se percibe un flujo neto hacia el depósito de toda la tubería (y por tanto del punto A). En el instante 2L/c se genera una onda de presiones negativas que va barriendo la tubería desde la válvula. Dado que el punto A se encuentra junto a la válvula, las presiones negativas comienzan en dicho instante. En t=3L/c el agua empieza a fluir desde el depósito hacia la válvula, pero este proceso no alcanzará el punto A hasta t=4L/c.

277

H6

B.1) Cierre instantáneo

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

Fig 2 Resumen del fenómeno de golpe de ariete para cierre instantáneo

278

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

- Distribución de presiones en el punto B (Fig 4): En el instante L/2c llega al punto B la onda de sobrepresiones positivas. En el instante L/2c + L/c = 3L/2c la salida de flujo hacia el depósito anula la sobrepresión en el punto B. En el instante 2L/c se genera la onda de presiones negativas que va barriendo la tubería desde la válvula, alcanzando el punto B en 5L/2c. En 5L/2c+L/c=7L/2c la entrada de flujo desde el depósito restituye la presión.

Fig 4 Cierre instantáneo en el punto B

- Distribución de presiones en el punto C (Fig 5): Dado que el punto C se encuentra junto al depósito, la onda de sobrepresiones llega en L/c e, inmediatamente después, la salida de flujo hacia el depósito anula la sobrepresión. De igual forma, la onda

279

H6

Fig 3 Cierre instantáneo en el punto A

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

de presiones negativas alcanza el punto C en el instante 3L/c, seguida de la salida de flujo hacia la válvula que restituye la presión.

Fig 5 Cierre instantáneo en el punto C

B.2) Cierre lineal en 2 segundos Un cierre lineal puede entenderse como una sucesión de incrementos de cierre, cada uno de los cuales genera un subpulso en un instante distinto. Se trata de un cierre rápido, ya que: 2L 2 ⋅ 3000 = =6.32 s > Tcierre c 949

[6]

Por lo que el incremento dinámico de presión en el punto inmediatamente aguas arriba de la válvula será de Δp=ρcv=759.200 Pa, es decir, igual al obtenido para el cierre instantáneo (apartado A). El fenómeno de golpe de ariete es análogo al descrito para el cierre instantáneo. No obstante, durante el tiempo de cierre de la válvula la presión dinámica crece linealmente, por lo que se observan diferencias en las distribuciones de presiones en los distintos puntos de la tubería. - Distribución de presiones en el punto A (Fig 6): En el instante inicial comienza el cierre de la válvula y aparece en A el primer incremento de presión, que inicia su marcha hacia el depósito. En el instante t=T cierre =2 s aparece en A el último incremento de presión que completa el golpe, el cierre de la válvula se ha completado y las sobrepresiones en A alcanzan su máximo. En t=L/c el primer incremento de presión llega al depósito y la primera onda estabilizadora sale del mismo, alcanzando A en 2L/c. En dicho instante se genera una primera onda de presiones negativas. Teniendo en cuenta el tiempo de

280

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

cierre, las presiones negativas máximas se alcanzan en A en t=2L/c + 2 s.

- Distribución de presiones en el punto B (Fig 7): Además del tiempo de cierre, en el caso del punto B hay que tener en cuenta su distancia a la válvula. La primera onda de sobrepresiones llega en el instante L/2c al punto B, por lo que en L/2c+2 s se alcanzarán las máximas sobrepresiones en este punto. En el instante 3L/2c la primera onda estabilizadora comienza a reducir la sobrepresión en el punto B, de forma que en 3L/2c + 2 s no hay sobrepresiones en dicho punto. En el instante 2L/c se genera la primera onda de presiones negativas que va barriendo la tubería desde la válvula, alcanzando el punto B en 5L/2c. En 5L/2c+2s se alcanzan las presiones mínimas en el punto B.

Fig 7 Cierre lineal en 2 segundos en el punto B

281

H6

Fig 6 Cierre lineal en 2 segundos en el punto A

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

- Distribución de presiones en el punto C: No hay sobrepresión dinámica en este punto (Δp= 0 Pa). B.3) Cierre lineal en 20 segundos Un cierre lineal puede entenderse como una sucesión de incrementos de cierre, cada uno de los cuales genera un subpulso en un instante distinto. En este caso se trata de un cierre lento, ya que: 2L 2 ⋅ 3000 = =6.32 s < Tcierre c 949

[7]

Por tanto, cuando la primera onda formada vuelve a la válvula, al cabo del tiempo 2L/c, encuentra la válvula a medio cerrar. Así, la descompresión de los primeros subpulsos (que aparece en el punto cercano a la válvula en el instante 2L/c) compensará la sobrecompresión de los últimos, por lo que se alcanzarán sobrepresiones inferiores a las del cierre instantáneo. - Distribución de presiones en el punto A (Fig 8): Dado que el punto A se encuentra junto a la válvula, la presión dinámica comienza a incrementarse desde el instante inicial. La sobrepresión máxima se alcanzaría tras el tiempo de cierre de 20s, pero esto no llega a producirse ya que en 2L/c llega una primera onda estabilizadora a A y se genera una onda de presiones negativas que va barriendo la tubería desde la válvula. Se trata de la descompresión asociada a los primeros subpulsos.

Fig 8 Cierre lineal en 20 segundos en el punto A

282

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

- Distribución de presiones en el punto B (Fig 9):

H6

En el punto B las primeras sobrepresiones comienzan en L/2c. Las ondas estabilizadoras asociadas a esos primeros pulsos alcanzan B en 3L/2c, con lo que los siguientes aumentos de presión previsibles quedan prácticamente compensados. En 5L/2c las ondas de presiones negativas asociadas a los primeros pulsos llegan a B.

Fig 9 Cierre lineal en 20 segundos en el punto B

- Distribución de presiones en el punto C (Fig 11): No hay sobrepresión dinámica en este punto (Δp= 0 Pa). B.4) Cierre en dos golpes instantáneos, del 50% cada uno, separados 3s

Fig 10 Proceso de cierre

283

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

En este caso tenemos un desfase de 3 segundos entre los frentes de onda generados por los cierres parciales de la válvula. - Distribución de presiones en el punto A: El primer cierre provoca en A una compresión del fluido de valor 0.5ρcv desde t=0 s hasta t=2L/c, seguida de una depresión de -0.5ρcv hasta t=4L/c. El segundo cierre instantáneo genera unas variaciones de presión de igual valor y duración, pero desplazadas temporalmente 3 segundos. La suma de ambos frentes de ondas genera la distribución de presiones que se muestra en la Fig 11.

Fig 11 Cierre en dos golpes instantáneos en el punto A

- Distribución de presiones en el punto B (Fig 12): El primer cierre provoca en B una compresión del fluido de valor 0.5ρcv desde t=L/2c hasta 3L/2c, seguida de una depresión de -0.5ρcv entre t=5L/2c y 7L/2c. El segundo cierre instantáneo genera unas variaciones de presión de igual valor y duración, pero desplazadas temporalmente 3 segundos. La suma de ambos frentes de ondas genera la distribución de presiones que se muestra a continuación.

Fig 12 Cierre en dos golpes instantáneos en el punto B

284

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

- Distribución de presiones en el punto C (Fig 13): Dado que el punto C se encuentra junto al depósito, la onda de sobrepresiones del primer cierre parcial llega en L/c e, inmediatamente después, la salida de flujo hacia el depósito anula la sobrepresión. De igual forma, la onda de presiones negativas del primer cierre alcanza el punto C en el instante 3L/c, seguida de la salida de flujo hacia la válvula que restituye la presión.

H6

El segundo cierre es idéntico, pero desplazado 3 segundos.

Fig 13 Cierre en dos golpes instantáneos en el punto C

B.5) Cierre en dos tramos lineales consecutivos: 50% en 2 s y 50% en 4 s. En este caso la maniobra de cierre está dividida en dos tramos, como se muestra en la siguiente figura.

Fig 14 Proceso de cierre

285

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

Se trata de un cierre rápido, ya que: 2L 2 ⋅ 3000 =6.32 s > Tcierre = c 949

[8]

Por lo que el incremento dinámico de presión en el punto inmediatamente aguas arriba de la válvula será igual al obtenido para el cierre instantáneo (apartado A). - Distribución de presiones en el punto A (Fig 15): En el instante inicial comienza el cierre de la válvula y aparecen en A las primeras ondas de sobrepresiones, que inician su marcha hacia el depósito. En el instante t= 2 s se produce un cambio en el ritmo de cierre de la válvula. Se trata de un cierre lineal más lento, por lo que la pendiente de la ley de sobrepresiones es menor. Las presiones máximas en A se alcanzan al completarse el cierre en t=6s. En t=2L/c las primeras ondas estabilizadoras llegan a A y se generan las primeras ondas de presiones negativas. Comienzan así a disminuir las sobrepresiones y las presiones mínimas se alcanzan en t=2L/c+6s.

Fig 15 Cierre en dos tramos lineales en el punto A

- Distribución de presiones en el punto B (Fig 16): Además del tiempo de cierre, en el caso del punto B hay que tener en cuenta su distancia a la válvula. La primera onda de sobrepresiones llega en el instante L/2c al punto B, la primera onda estabilizadora en 3L/2c y la primera onda de presiones negativas en 5L/2c. La resultante de los incrementos de presión producidos por dichos frentes será la distribución de presiones buscada.

286

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

Fig 16 Cierre en dos tramos lineales en el punto B

No hay sobrepresión dinámica en este punto (Δp= 0 Pa).

287

H6

- Distribución de presiones en el punto C:

H6. Introducción al movimiento no permanente en tuberías

288

H7

- Movimiento en lámina libre. Introducción

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

Contenidos

1

Introducción

291

1.1 Concepto de flujo de lámina libre

291

1.2 Clasificación de movimientos en lámina libre

292

1.3 Notación básica

294

2

Ecuaciones del flujo en lámina libre

298

2.1 Hipótesis previas a la deducción de las ecuaciones de Saint-Venant

298

2.2 Ecuación de continuidad

300

2.3 Ecuación dinámica

301

2.4 Simplificaciones a las ecuaciones de Saint-Venant para flujos permanentes 305

3

Movimiento permanente y uniforme

307

3.1 Ecuación del movimiento permanente y uniforme

307

3.2 Cálculo del calado normal

310

3.3 Evaluación del coeficiente de Manning

313

3.4 Influencia de la forma. Eficiencia de una sección

319

4

Ejercicios

322

4.1 Problema – 7 A

322

290

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

1.1 Concepto de flujo de lámina libre Se define flujo en lámina libre (en oposición al flujo en presión) como aquel en que hay una condición de contorno fija en presión (típicamente la presión atmosférica). Existe por tanto una superficie (superficie libre) en contacto con la atmósfera.

Fig. 1.1 Diferentes tipos de flujo

En el flujo en presión, la geometría de la sección es un dato (p.e. una tubería circular llena), y las incógnitas son la distribución de presiones y velocidades a lo largo de la conducción. En el flujo en lámina libre, se acepta una distribución hidrostática de presiones, que son conocidas si lo es la geometría. Así, las variables de este tipo de flujo son la geometría de la sección (nivel de agua) y la distribución de velocidades.

291

H7

Introducción

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción Tabla 1

Flujo en presión

Flujo en lámina libre

Geometría conocida

Incógnitas y ( x, t ) ; v( x, t )

Incógnitas p( x, t ) ; v( x, t )

p = p( y ) (se matizará a continuación)

Son ejemplos de flujo en lámina libre los que se dan en ríos, canales y sistemas de alcantarillado (con alguna excepción). Los sistemas de distribución de agua potable son sistemáticamente conducciones en presión.

1.2 Clasificación de movimientos en lámina libre El movimiento del agua en una conducción lleva en general a una variación de niveles y velocidades tanto en el tiempo como en el espacio; es decir, que para una sección concreta se pueden observar variaciones de nivel y velocidad a lo largo del tiempo, y, se den o no estas variaciones temporales, se pueden dar variaciones de las variables de una a otra sección, según se ilustra en la figura.

Fig. 1.2 Movimiento permanente (izq.) y variable (dch.)

Se habla de movimiento no permanente o variable si se dan variaciones locales de las variables; es decir, si en una sección determinada se perciben variaciones de nivel o velocidad a lo largo del tiempo. De este modo, las derivadas parciales ∂y / ∂t , ∂v / ∂t no serán nulas para este tipo de flujo. Hay una segunda distinción, según si estas variaciones son suaves o bruscas. Si la variación es suave, se habla de flujo gradualmente variable; si es brusca, se habla de flujo rápidamente variable. La frontera entre ambos tipos

292

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

viene marcada por las hipótesis que acompañan a las ecuaciones Saint-Venant. Si algunas de estas hipótesis se incumplen, el movimiento es rápidamente variable.

H7

En el caso de que no haya variación local de las funciones que definen el flujo, se habla de movimiento permanente. Queda claro que esto no implica que no haya variaciones de nivel o velocidad de una a otra sección. De hecho, se establece una segunda clasificación en función de que las haya o no: si el nivel y la velocidad no son iguales en todas las secciones, se habla de flujo permanente variado, si lo son, se habla de flujo permanente y uniforme.

Fig. 1.3 Diferentes clases de flujo en lámina libre

Si el flujo no es uniforme, se distingue entre variaciones suaves y bruscas a lo largo del espacio: si las variaciones son todas suaves, se habla de flujo permanente gradualmente variado. Este tipo de flujo en canales prismáticos da lugar a las llamadas “curvas de remanso”. -gradualmente variable -no permanente -rápidamente variable

Movimiento en lámina libre -gradualmente variado -no uniforme -permanente

-fenómenos locales -uniforme

293

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

De incumplirse las hipótesis de variación suaves (que son las mismas que se imponen para definir el movimiento no permanente gradualmente variable), se llega al movimiento permanente fuertemente variado, también conocido en la generalidad de los casos como fenómenos locales.

1.3 Notación básica En este apartado se presentan las variables con las que se define el flujo en lámina libre, y un extracto de la terminología básica en este tipo de flujo. Se abusará del término canal como representante mayoritario del flujo en lámina libre. Se entiende que un canal es prismático, sea o no rectilíneo en planta, si sus secciones transversales son todas iguales. Las secciones transversales se obtienen como intersección del terreno con un plano ortogonal a la línea media o eje del cauce. El perfil longitudinal de un canal se obtiene desarrollando en verdadera magnitud la línea media del cauce. La línea que marca los niveles de agua en este perfil se denomina perfil de la superficie libre. La obtención de este perfil (distribución de niveles a lo largo del canal) es el objetivo básico del estudio de los canales. El término nivel utilizado hasta ahora no pertenece al léxico utilizado el canales; se prefiere hablar de cota de la superficie libre (término con un significado riguroso si se acepta que el agua en una sección no experimenta variaciones de nivel, lo cual es cierto salvo excepciones -flujo de curvas o canales compuestos-), o de calado, siendo esta notación la más habitual y a la vez la más confusa, ya que el calado no es una magnitud única para una sección. Se define calado como la altura de la lámina de agua en un punto determinado (ver esquema). Es inmediato que el calado no sólo varía con el tiempo y de sección a sección, sino incluso de punto a punto en la misma sección.

z L : cota de la superficie libre z S : cota del terreno y: calado Fig. 1.4 Definición gráfica de calado

294

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

Se puede apreciar que z S + y es constante en una sección. La variable que

A nivel cuantitativo se acepta una medida intrínseca del calado, conocida como calado medio. El calado medio se obtiene como la relación, en una sección, entre el área de flujo (A) y la anchura superficial (B).

ym =

A B

[1.1]

Fig. 1.5 Cálculo de calado medio

En la bibliografía se usa a menudo la notación S (superficie) para el área de flujo: ym = S / B Otras variables relevantes son el perímetro mojado ( Pm ) definido como la longitud del contacto entre el lecho y el agua en una sección transversal, y el radio hidráulico ( Rh ), que de modo general se define como la relación entre el área de flujo y el perímetro mojado.

Rh =

Fig. 1.6 Perímtero mojado y radio hidráulico de una sección

295

A Pm

[1.2]

H7

se usa para definir el perfil de la superficie libre es la cota, aunque la práctica lleva al abuso del lenguaje y al uso incorrecto del concepto calado. En este texto también se usará el término calado, referido al eje del canal (respecto del que se obtiene el perfil longitudinal). Implícitamente se acepta que en otros puntos de la sección el calado se obtiene de la expresión z S + y = z L (cte.).

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

Para el caso de una sección circular llena, el radio hidráulico se calcula como:

A π·R 2 R R = = = h Pm 2π·R 2

[1.3]

Para una sección rectangular, el radio hidráulico es:

R = h

A B·y = Pm 2y + B

[1.4]

Fig. 1.7 Radio hidráulico en una sección rectangular

Si la sección es de aguas muy poco profundas, o de gran anchura ( B >> y ):

Rh =

A B·y B·y = ≈ =y Pm 2y + B B

[1.5]

Se define pendiente geométrica media entre A y B ( i AB ) como el cociente entre las cotas de la base del canal en dos puntos de un perfil longitudinal y la longitud que los separa según el eje del cauce:

Fig. 1.8 Variación de cota en un canal

i AB =

ZA − ZB LAB

[1.6]

No se suele distinguir entre la longitud del cauce en planta L* AB y la real, que incluiría la componente vertical; se entiende que la pendiente de un canal es

296

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

pequeña (menor del 10%), y por tanto la longitud real es igual a su proyección en planta.

LAB =

L* AB cos α

[1.7]

para tgα = 0,1 cos α = 0,995 [1.8]

Fig. 1.9 Relación entre longitud real y proyectada

Se define pendiente de energía o pendiente motriz media entre A y B (I AB ) como el cociente entre la energía de dos puntos de un perfil longitudinal y la distancia que los separa, aceptando para ésta última lo comentado en el párrafo anterior. Las dos definiciones presentadas para i e I corresponden a las pendientes geométrica y motriz media entre dos puntos. Si hay variaciones en las mismas entre los puntos inicial y final, el valor medio puede no tener sentido intrínseco; en tal caso se apelará a sus definiciones diferenciales, inmediatas a partir de las finitas. Así, si se considera i = i (x ) y I = I (x ) , las definiciones correctas serán: dE dz , I =− i =− ds dx

 p v2   E = z + +  γ 2g  

[1.9]

Fig. 1.10 Pendiente geométrica

Por último, conviene mencionar algunos términos cuyo uso es más formal que necesario, por formar parte de la jerga de la construcción y explotación de canales; así, en un canal se habla de solera a la base del canal para referirse a lo que corrientemente llamaríamos fondo o suelo, y no se habla de paredes sino de cajeros o hastiales. Los canales se diseñan dejando un margen al llenado completo que se conoce como resguardo. Independientemente del signo de la pendiente geométrica de un canal, el agua discurre desde aguas arriba hacia aguas abajo.

297

H7

LAB ≈ L*AB

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

Ecuaciones del flujo en lámina libre

Atendiendo a la clasificación presentada con anterioridad, se presentan a continuación las ecuaciones que rigen el movimiento no permanente gradualmente variable, y a partir de éstas, las del movimiento permanente gradualmente variado y uniforme, yendo así de mayor a menor complejidad. Los flujos no permanentes rápidamente variables escapan al alcance de este texto. Los fenómenos locales exigirán un tratamiento específico, que se presentará más adelante.

2.1 Hipótesis previas a la deducción de las ecuaciones de Saint-Venant El movimiento no permanente gradualmente variable se modela numéricamente mediante las ecuaciones de Saint-Venant. Se entiende que estamos en el ámbito de estas ecuaciones si: •

•

La pendiente es pequeña (i ≤ 0,1) . Esta hipótesis lleva implícita la aceptación del régimen hidrostático de presiones, que se postula. Pendientes mayores vulnerarían claramente este perfil de presiones y, si dan lugar a flujos muy rápidos (p.e. en vertederos de presa), presentarían el problema adicional de la absorción de aire. Esta hipótesis suele cumplirse en todos los ríos y canales. Es muy raro encontrar tramos con tanta pendiente. El movimiento es rectilíneo y paralelo. Se entiende que las líneas de flujo son paralelas y, de haber convergencia o divergencia, es muy suave. Esta hipótesis está de nuevo vinculada al carácter hidrostático del campo de presiones. Hay situaciones (p.e. el vertido a un depósito) en que no se mantiene esa distribución. En esos puntos, las ecuaciones de Saint-Venant no reproducen la realidad.

298

Fig. 2.1 Distribución hidrostática de presión. Posibles anomalías

•

•

•

•

Movimiento turbulento completamente desarrollado (turbulento rugoso). Esta hipótesis no es estrictamente necesaria; postula una relación lineal entre la pérdida de carga y el cuadrado de la velocidad, que vendrá impuesta en la definición de la pendiente motriz (I). Dados los números de Reynolds que se manejan en canales y ríos, es más una evidencia que una imposición. Si para un pequeño arroyo o acequia se constata que el régimen es turbulento intermedio, se puede utilizar una definición de I consecuente con esto. Una hipótesis implícita es la aceptación de las ecuaciones con las que se calcula I, definidas para flujo permanente. Distribución uniforme de velocidades a lo largo de una sección; es decir coeficiente de Coriolis ( α ) igual a la unidad. Esta hipótesis nunca se cumple del todo, pero dado que el término cinético de la energía suele no ser el dominante, un pequeño error en el mismo no repercute muy desfavorablemente. Sólo en algunos casos, como el estudio de avenidas en ríos con llanuras de inundación, es inadmisible la hipótesis. En estos casos, existen medidas paliativas (simplificaciones, promediados) que permiten usar las ecuaciones con un cierto grado de fiabilidad. Contorno no erosionable. Esta es una hipótesis fundamental que puede incumplirse en el estudio de avenidas en ríos. Este incumplimiento invalidaría el cálculo. El cálculo de ríos con lecho erosionable es un tema complejo que excede al ámbito de este texto. Canal prismático. Esta draconiana condición se palia en la práctica suponiendo un río como una sucesión de canales prismáticos. Los métodos que se usan para resolver numéricamente las ecuaciones de Saint-Venant permiten pasar de una a otra sección, con lo que la limitación no es tan importante como cabría esperar.

299

H7

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

2.2 Ecuación de continuidad Aceptando que existen deducciones más rigurosas de las ecuaciones de SaintVenant, se escoge en este texto la vía de la simplicidad, dada la orientación hacia lectores no formados en mecánica de medios continuos. Se considera aquí la conservación de la masa en un volumen de control. El balance se plantea entre la masa saliente por unidad de tiempo (se entiende “saliente” como la diferencia entre la que sale y la que entra) y a la masa acumulada en el volumen de control en esa unidad de tiempo.

Fig. 2.2 Planteamiento de la ecuación de conservación de la masa

El volumen ocupado por el agua se expresa como:

 1 ∂A V = dx + A  dx ≈ A·dx (despreciando infinitésimos de 2º orden) [2.1] A + ∂x  2 Un aumento de volumen en dt se expresa como:

(

)

∂ A·dx ∂V ∂A = dt = dt dx·dt ∂t ∂t ∂t

[2.2]

El flujo saliente en dt es:

 ∂Q  ∂Q dx  dt − Q·dt =dx·dt Q + ∂x ∂x  

[2.3]

El balance: flujo saliente = disminución de volumen se expresa por tanto como: ∂Q ∂A dx·dt = − dx·dt ∂x ∂t

300

[2.4]

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

Simplificando: ∂Q ∂A =0 + ∂t ∂x

[2.5]

La ecuación de continuidad suele expresarse utilizando como variables relevantes el calado (y) y la velocidad, en lugar del caudal (Q) y el área. Para pasar de uno a otro juego de variables se plantean las relaciones:

∂Q ∂A ∂v ∂A ∂y ∂v =v +A =v · +A ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x

[2.6]

Abusando del concepto de diferencial, y observando que las variaciones de área al variar el calado se dan en la zona superior de la sección, según la figura:

Fig. 2.3 Relación entre “dA” y “dy”

se aceptará

∂A ∂Q ∂y ∂v ≈ B y= v·B +A ∂y ∂x ∂x ∂x

∂A ∂A ∂y ∂y = · ≈B ∂t ∂y ∂t ∂t

[2.7]

Así, la ecuación de continuidad se expresa como: ∂y ∂y A ∂v +v + · = 0 ∂t ∂x B ∂x

[2.8]

2.3 Ecuación dinámica Si se considera un volumen de control como el de la figura, limitado por dos secciones y definido a lo largo de una longitud dx, se acepta que sobre él actúan básicamente tres esfuerzos:

301

H7

Q = v·A , de donde:

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

Fig. 2.4 Planteamiento de la ecuación dinámica

•

Peso: la única componente del peso que tiene relevancia es la que se da en la dirección del flujo. Se obtiene a partir de:

W = V·γ ≅

1 ∂A  dx  dx·γ A + A + 2 ∂x 

[2.9]

Despreciando infinitésimos: W ≈ A·dx·γ

γ senα La componente en la dirección del flujo es: Wx ≈ A·dx·· Se acepta aquí y en lo sucesivo un sistema de referencia pseudo-ortogonal definido por x (fondo del canal a lo largo del perfil longitudinal) e y (vertical en sentido gravitatorio). Los ejes x e y no son ortogonales, pero para ángulos pequeños, se acepta que la medida de y sobre una vertical es asimilable a la ortogonal a x.

y '≈ y

Fig. 2.5 Sistemas de referencia

Esta hipótesis se hará extensiva a la definición de secciones, con lo que las definidas antes ( A y A + ( ∂A ∂x ) dx ) se pueden considerar en una vertical, u ortogonales a dx, de modo indistinto.

302

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

•

Rozamiento:

recordando

la

definición

de

pendiente

motriz

I = −(dE / dx ) , donde E corresponde a la energía expresada a partir

del trinomio de Bernoulli (energía por unidad de peso y se supone que las líneas de flujo siguen la dirección x), se llega a considerar I como esfuerzo de fricción por unidad de peso, de donde el esfuerzo global sería:

FR = −I·A·dx·γ

[2.10]

E = z + p / γ + v 2 / 2g , donde, z representa una energía g z y v 2 / 2g representa la energía potencial, que se obtendría como E p = m··

(

) (1 / 2) m·v

cinética = Ec m = ·g v 2 / 2g

2

. Así, E se expresa como energía por

unidad de peso (mg) y por tanto I = −(∆E / ∆x ) es fuerza por unidad de peso adimensional-. •

Desequilibrio de presiones: aceptando que en dx la diferencia de calados es pequeña entre las secciones inicial y final, y que estas secciones son asimismo similares, se plantea:

Fig. 2.6 Distribuciones de presiones

(

)

FP = p·A − p + dp A = −dp·A

[2.11]

donde, despreciando el triángulo (*) de la figura por ser los calados muy similares, se aproxima dp como: dp = γ·dy (constante en A) y

[2.12]

FP = −γ·dy·A

[2.13]

303

H7

Recuérdese

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

Aplicando la segunda ley de Newton:

∑ Fext

cantidad de movimiento)

dM ∂M = = + ∫ ρ·· v v ⋅ dA (M sc dt ∂t

dM senα·A·dx·γ − I·A·dx·γ − dy·A·γ = dt

[2.14]

donde:

(

)

∂M ∂ ρ·dx·A·v ∂A ∂v v + ρ·dx·A = = ρ·dx ∂t ∂t ∂t ∂t

[2.15]

y:

∫

sc

∂( ρ·Q·v ) dx ∂x

[2.16]

(si ρ es constamte)

[2.17]

ρ·v 2·dA =ρ1·v1·v1·A1(−1) + ρ2·v 2·v 2·A2 = ρ2·v 2·Q2 − ρ1·v1·Q1 =

[coef .Coriolis = 1] ∂( ρ·Q·v ) ∂v ∂Q dx = ρ·Q dx + ρ·v dx sc ∂x ∂x ∂x

∫

o sea:

 ∂A ∂Q  dM ∂v ∂v v dx  = ρ·dx·A + ρ·Q dx + ρ·· +  dx ∂t ∂x ∂x   ∂t Recordando:

∑ Fext=

[2.18]

∂A ∂Q = 0 , tenemos: + ∂x ∂t

senα·A·dx·γ − I·A·dx·γ − dy·A·γ= ρ·dx·A

[2.19]

dM ∂v ∂v + ρ·Q dx= dt ∂t ∂x

Aceptando: senα ≅ i ; Q = vA y dividiendo entre (Adxρ ) : g·i − g·I − g

dy ∂v ∂v = +v dx ∂x ∂x

[2.20]

Atendiendo a los signos de los esfuerzos exteriores, de modo natural el peso (g·i) apoya al movimiento (de hecho el peso es la fuerza motriz en un canal), la fricción (-g·I) va en contra del movimiento y el desequilibrio de presiones (−g (dy / dx ) es negativo si crece el calado). Sobre el peso cabe decir que sólo va en contra del movimiento en los casos infrecuentes en que la pendiente (i) es adversa, la fricción se opone sistemáticamente al movimiento (I es estrictamente mayor que 0); la presión apoya al movimiento si los calados decrecen, y va en contra si los calados crecen.

304

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

2.4 Simplificaciones a las ecuaciones de Saint-Venant para flujos permanentes Las ecuaciones de continuidad y dinámica forman un juego de dos ecuaciones diferenciales en derivadas parciales habitualmente conocidas como “Ecuaciones de Saint-Venant”.

∂y ∂v ∂v + g (I − i ) = 0 +g +v ∂x ∂x ∂t

[2.21] [2.22]

La resolución analítica de estas ecuaciones no es posible ni aun en los casos más simples, por lo que dado un problema (definido por sus condiciones iniciales y de contorno), la resolución de las ecuaciones pasa por el uso de métodos numéricos (características, diferencias finitas, elementos finitos) que quedan fuera del alcance de este curso. Así, el estudio de las ecuaciones de Saint-Venant en este texto se reduce a su génesis y a la asimilación de los esfuerzos que intervienen en el movimiento de un canal. En cualquier caso, una vez se dispone de las ecuaciones de Saint-Venant, es trivial deducir la ecuación del movimiento permanente gradualmente variado (para el que rigen las hipótesis formuladas en 2.1) y, de ésta, la del movimiento permanente y uniforme. El movimiento permanente se caracteriza por la no variación temporal de las variables, así, y (x , t ) se transforma en y (x ) y v (x , t ) en v (x ) ; las derivadas parciales de las variables respecto de t se anulan y las derivadas respecto de x se pueden considerar ordinarias; de este modo, las ecuaciones del movimiento permanente gradualmente variado serían: dy A dv + · = 0 dx B dx

[2.23]

dv dy +g + g (I − i ) = 0 dx dx

[2.24]

v v

Despejando

en

la

primera

ecuación

dv / dx = −(vB / A)(dy / dx )

e

introduciéndolo en la segunda, se obtiene una ecuación diferencial ordinaria con una sola función incógnita ( y (x ) ). B dy dy −v 2 · + g +g I −i = 0 A dx dx

(

305

)

[2.25]

H7

∂y ∂y A ∂v +v + · = 0 ∂t ∂x B ∂x

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

Esta ecuación se puede poner en forma explícita, como:

g

dy  v2 B  0  1 − ·  + g I − i = dx  g A

(

dy = dx

)

i −I v2 1− A g B

[2.26] [2.27]

A esta ecuación se la conoce como ecuación de las curvas de remanso; este apelativo será comentado y matizado más adelante. El monomio v 2 / g(A / B ) es adimensional (se puede comprobar fácilmente, y se puede aceptar de modo trivial ya que está sumando al número 1 en la ecuación). Como se recordará de las lecciones de análisis dimensional, un número adimensional con la estructura del que se presenta (velocidad frente a acción gravitatoria), se conoce como número de Froude. Este número, del que se hablará más adelante, es fundamental en el estudio de canales (incluso más de lo que lo es el número de Reynolds en el estudio de tuberías), y marcará una ruptura entre los dos regímenes que se dan en un canal, que como se verá, se conocerán como régimen lento y régimen rápido. De forma compacta, la ecuación de las curvas de remanso se escribe: dy i −I = dx 1 − Fr 2

[2.28]

donde Fr = v / g (A / B ) : número de Froude. En el caso de que el movimiento sea permanente y uniforme, las variables v e y no dependen de la posición, con lo que: dy =0 dx

[2.29]

i =I

[2.30]

Que implica Esta sencilla ecuación algebraica caracteriza al movimiento permanente y uniforme, y es de este tipo de movimiento de donde partirá el estudio, ya de modo sistemático, que se va a realizar a lo largo de este curso. A continuación se estudiará el movimiento permanente y uniforme, para seguir con el movimiento permanente gradualmente variado y los fenómenos locales de mayor relevancia. No se pretende ser exhaustivo en la casuística, sino presentar y afianzar los conceptos fundamentales.

306

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

H7

Movimiento permanente y uniforme

3.1 Ecuación del movimiento permanente y uniforme

Fig. 3.1 Perfil de un canal en movmiento permanente y uniforme

El movimiento permanente y uniforme se define como aquél en que las variables del flujo (y, v) se mantienen constantes a lo largo del canal. Las hipótesis que rigen para definir las ecuaciones de Saint-Venant se aceptan también aquí; el hecho de que el canal sea prismático no es en este caso una exigencia accesoria sino fundamental, ya que las secciones a lo largo del canal deben ser iguales por imperativo de la definición de este tipo de movimiento. Para entender este tipo de movimiento conviene remontarse al origen y, aunque su ecuación ya ha sido deducida, es interesante llegar a ella no como una simplificación, sino a partir de un planteamiento propio. De este modo, se recupera el concepto de energía asociada a un tubo de flujo (ecuación de Bernoulli). A partir de esta ecuación se llegará a definir la ecuación del movimiento permanente y uniforme. Como se recordará, la energía asociada a un tubo de flujo en un punto del mismo es: E =z+

p

γ

307

+

v2 2g

[3.1]

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

En el cálculo de tuberías, al aceptar en general p γ >> D (diámetro), se considera que para una sección de la tubería, la cota z es constante, y la presión también lo es (se prescinde de la componente hidrostática). El término cinético puede corregirse con un coeficiente de Coriolis, que en la práctica suele considerarse la unidad. Así, se extiende el concepto de energía de un tubo de flujo a energía de una sección ya que todos los puntos de la sección tienen la misma energía. Cabe plantear si este concepto tiene validez en canales. A primera vista, no todos los puntos de una sección tienen la misma cota, ni la misma presión, y ambos términos son de un orden similar, luego no cabe hablar de simplificaciones. El término cinético sí se postula como constante, ya que se ha aceptado que el coeficiente de Coriolis es igual a la unidad. Si se observan distintos puntos de una sección, se pueden dibujar segmentos correspondientes a la cota de cada punto (respecto de un cero de referencia), y segmentos correspondientes a la presión (expresada como p / γ , aceptando una distribución hidrostática de presiones).

Fig. 3.2 Relación enre cota y presión

Como se puede apreciar, los puntos A, B, C tienen distintas cotas y distintas presiones, pero la suma z + (p / γ ) se mantiene constante. Adicionalmente, se observa que si se consideran puntos de la solera del canal o del fondo del río (como el C), la presión (p / γ ) coincide con el calado, y para cualquier punto del fondo.

z + y = cte . Aceptando así z + (p / γ ) constante en una sección y postulando α = 1 , se expresa la energía de una sección (bien definida, como se ve) como: v2 E = z +y + 2g

[3.2]

donde z es la cota del fondo o de la solera en un perfil longitudinal, y es el calado en ese mismo perfil, y v 2 2g es el término cinético extraído de la velocidad media de la sección.

308

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

H7

Entre dos puntos cualesquiera de un canal, A y B, se puede así establecer una ecuación de equilibrio energético, que se establecerá a partir de las energías características de las secciones que los contienen. Para el perfil que se presenta, y aceptando movimiento permanente y uniforme y pendiente geométrica i constante, se puede establecer:

Fig. 3.3 Esquema de dos puntos en movmiento permanente y uniforme

• •

1: El caudal en A es igual al caudal en B (movimiento permanente). 2: El calado en A es igual al calado en B, así como sus respectivas velocidades (movimiento uniforme).

Entonces: y A = y B = y ; v A = v B = v

v A2 EA = z A + yA + 2g

I AB =

EA − EB = LAB

(z A

;

EB = z B + yB +

v B2 2g

v2 v2  − z B ) + (y A − y B ) +  A − B   2g 2g  = z A − z B = i AB LAB LAB

[3.3]

[3.4]

Es decir: I = i Esta ecuación, ya conocida, pone de manifiesto: • • •

1: Las líneas que definen la solera, la superficie libre y la energía son paralelas. 2: Si la pendiente es constante (requisito imprescindible para que se de este tipo de movimiento), la pendiente motriz también lo es. 3: El hecho de que la pendiente motriz sea igual a la pendiente, y que los términos cinéticos y los calados permanezcan constantes, quiere decir que la energía que se disipa en el movimiento ∆H = IL es exactamente igual a la pérdida de cota ∆z = iL ; es decir, que la fuente de energía del movimiento es el desequilibrio de cotas: el flujo en canales es esencialmente gravitatorio, y en el caso particular del movimiento

309

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

permanente y uniforme, toda la energía que proviene de la cota se gasta en las pérdidas de carga. Como se verá más adelante, este tipo de movimiento no es el más frecuente en canales y es muy raro en ríos, pero su estudio es básico para comprender el movimiento permanente gradualmente variado; este sí, muy frecuente. Sólo en el caso de canales prismáticos de gran longitud con pendiente constante cabe hablar de movimiento permanente y uniforme.

3.2 Cálculo del calado normal Dado un canal de geometría prismática conocida, pendiente constante conocida, caudal constante conocido y material del contorno (cajeros y solera o fondo natural) conocido, el régimen permanente y uniforme da lugar a un calado constante, que se conoce como calado normal y que se calcula a partir de la ecuación:

i =I

[3.5]

donde i es la pendiente geométrica e I, pendiente motriz, debe ser evaluada con una de las expresiones, en general con base empírica, que calculan la pérdida de carga en conductos. Se recuerda aquí la ecuación de Daray-Weisbach: v2 I =f 2g·D

[3.6]

utilizada con el mismo fin en el cálculo de tuberías, siendo v la velocidad media, D el diámetro del conducto y f el coeficiente de fricción de Darcy-Weisbach, que se expresa como una función adimensional dependiente del número de Reynolds y de la rugosidad relativa: K f = f  Re,  D 

[3.7]

a través de las ecuaciones de Karman-Prandtl y Colebrook-White, recogidas en el ábaco de Moody. Esta expresión se puede adaptar a conductos no circulares a partir de la relación: D = 4Rh

[3.8]

cierta para tuberías circulares llenas y tanto más afinada cuanto más se parezca la geometría a la circular. Así, la ecuación del movimiento permanente y uniforme quedaría, en este caso:

i =

f·v 2 8g·Rh

310

[3.9]

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

Donde i es un dato, v = Q A depende del calado ( A(y ) ) para un caudal dado, y el radio hidráulico Rh = A Pm depende asimismo del calado. El coeficiente de fricción f depende del número de Reynolds sólo si el régimen no es turbulento rugoso (caso poco frecuente). En cualquier caso, la dependencia del número de Reynolds se traduce en dependencia del calado:

)

()

  ; D ≈ 4Rh  

[3.10]

y la ecuación del régimen permanente y uniforme se puede escribir como:

() ( ) 8g·R y ; o sea i ⇒ F (y ) h ( )

i =f y

v2 y

[3.11]

que ofrece un calado normal para cada valor de la pendiente, fijados los demás parámetros (Q, K, sección). Si bien esta ecuación se puede utilizar, la práctica ha llevado al uso de otra ecuación, absolutamente empírica, conocida como fórmula de Manning, cuya expresión es:

I =

n 2·v 2 Rh4/3

, o bien v =

1 1/ 2 2 / 3 I RH n

[3.12]

donde n es conocido como “coeficiente de rugosidad” o, sencillamente como “coeficiente de Manning”. A como evaluar este coeficiente se le dedicará un epígrafe específico. Aceptando que I es adimensional es fácil darse cuenta de que n no lo es; esto debe llevar a la prudencia al consultar textos cuyo sistema de unidades no sea el internacional. En general, no obstante, se suele respetar en los libros el valor de n, y se aplica un coeficiente corrector a la ecuación. En particular, si se utiliza el valor de coeficiente de Manning, n, en unidades inglesas, se tiene: v =

1.486 1/2 2/3 I ·RH n

(U .I . con v , en m / s, y Rh en m )

[3.13]

Para un coeficiente n dado, y una geometría dada, se puede observar que la fórmula de Manning es una relación del tipo:

I = K·v 2

[3.14]

lo que pone de manifiesto que sólo será válida si el movimiento que se da es turbulento rugoso. Para el cálculo de acequias en que no se tenga la certeza de que lo es, se podría usar la ecuación de Darcy-Weisbach u otras como la de Chèzy (ver Chow, V.T.):

311

H7

(

 Q / A(y ) 4R (y )   v·D K  K K h f f= ,  f , =  Re,  f =  D υ 4Rh y   υ D 

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

v = C Rh·I

[3.15]

De hecho, la mayor parte de las fórmulas empíricas (Bazin, Powell, Manning), se pueden considerar casos particulares de la fórmula de Chèzy; en particular, si:

C =

Rh 1 / 6 n

[3.16]

se obtiene la fórmula de Manning. De un modo similar, se pueden establecer relaciones entre el coeficiente de Manning y el de Darcy-Weisbach: 2

n =

f·Rh1/3 8g

= I (se obtiene igualando

f·v 2 n 2·v 2 = ) 2g 4Rh Rh4/3

[3.17]

que presentan como interés el aprovechar el valor de la rugosidad según una expresión para utilizarlo en otra, pero que en la práctica no se utilizan dada la hegemonía de la fórmula de Manning. Todas las expresiones vistas hasta ahora, del tipo: I = I (v , Rh , K )

[3.18]

representan relaciones entre parámetros del flujo (fundamentalmente la velocidad) y la pérdida de carga (expresada como pendiente motriz). No son -se desea remarcar- ecuaciones del movimiento permanente y uniforme y son aplicables (se postula así) al movimiento permanente gradualmente variado e incluso al no permanente. Esta ecuación adopta su validez como ecuación de cálculo del calado normal cuando se la combina con la del movimiento permanente y uniforme. Así, usando por ejemplo la fórmula de Manning, del sistema:

I =

n 2·v 2 Rh4/3

I =i

[3.19] [3.20]

se llega a:

i =

n 2·v 2 Rh4/3

[3.21]

Que permite calcular el calado normal, y que sí es la ecuación de un régimen permanente y uniforme. Esta última ecuación no se puede aplicar a regímenes no uniformes.

312

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

A título de ejemplo, considérese un canal rectangular de 4 m de anchura, por el que circula un caudal, con una pendiente i = 0,001 y un coeficiente de Manning n = 0,015. El cálculo de su calado normal llevaría a: 2

[3.22]

Como se ve, las ecuaciones que se manejan distan de ser lineales. El cálculo del calado normal, siendo trivial, exige apelar a métodos numéricos (implementados en muchas calculadoras disponibles en el mercado) o a tanteos.

3.3 Evaluación del coeficiente de Manning Un aspecto que suele pasar desapercibido al estudiar por primera vez el movimiento en canales es el cálculo del coeficiente de fricción, venga éste expresado en términos de la fórmula de Manning, de Chèzy, de Darcy-Weisbach o de cualquier otra. El cálculo del coeficiente f de Darcy-Weisbach en tuberías, sin ser simple, se considera asumible, ya que una tubería es un producto industrial, cuya calidad está controlada y parámetros como su diámetro y su rugosidad interior son calculables. Como se recordará, la relación entre la rugosidad y el diámetro es, junto con el número de Reynolds, el parámetro fundamental en el cálculo de f. En un canal, la geometría no tiene la misma precisión que en una tubería, y su rugosidad viene afectada por las imprecisiones de la construcción in-situ. Si a esto se une el efecto de la intemperie y de los defectos de mantenimiento, se llega a que la determinación de la rugosidad en un canal no es un tema trivial. Sobre los párrafos anteriores subyace además la idea de que los canales son obras de hormigón con geometría claramente definida; hay canales con estas características, y otros construidos utilizando otros materiales: canales excavados en roca, canales de tierras, canales definidos con membranas asfálticas o plásticas, etc. La casuística en calidades y texturas para todos estos tipos es inagotable, y a cada canal le corresponde un coeficiente de fricción, que debe aglutinar toda la información sobre microtextura, macrorrugosidad, defectos de construcción, etc. El coeficiente de Manning tiene, como se ve, una carga conceptual algo difusa que no se agota definiendo el material del canal: no basta con decir que el canal es de hormigón; interesa saber si tiene o no juntas, en qué estado está, etc. Este análisis escapa en general a la práctica profesional, y se asume un cierto error

313

H7

 3  2   0,015 2 2 4y v ·n I = i= 0,001= =   ; y n = 0,597 m 4/3 4/3 Rh  4y     2y + 4 

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

en el cálculo de este coeficiente, cuyos valores se acotan con criterios tan laxos como la experiencia profesional, etc. Si ya es complejo, como se ve, evaluar el coeficiente de Manning de un canal, piénsese en un río, con un substrato heterogéneo, una geometría variable, vegetación, etc. Aun aceptando que es casi descabellado intentar comprimir todo esto en un solo parámetro, es así como se procede, y de hecho se incluyen también otros efectos, como la curvatura del cauce, la presencia de obstáculos, etc. Como ayuda para la evaluación del coeficiente de Manning, existen distintos métodos, con mayor o menor rigor o base conceptual o empírica. Se presentarán, sin afán de ser exhaustivos, los siguientes: • • • •

Tablas. Fotografías. Fórmulas polinómicas. Métodos basados en observaciones de campo.

Las tablas de coeficientes presentan estimaciones para distintos tipos de canales y cauces. Se da un valor típico dentro de un intervalo. Su precisión es, como se verá, cuestionable. Ejemplo de una de éstas tablas, que se pueden encontrar para un rango mucho más amplio de materiales en Chow, V.T. es la Tabla 2. En esa tabla se percibe el orden de magnitud del coeficiente de Manning. Como se recordará, la relación entre la pérdida de carga y el coeficiente de Manning es del tipo:

I = K·n 2

[3.23]

Es decir, que la pendiente motriz varía con el cuadrado del coeficiente de Manning. La incertidumbre en el cálculo de la pendiente motriz (o de la pérdida de carga) se amplifica pues de modo cuadrático. Así, por ejemplo, si se considera un canal de tierra con vegetación, su incertidumbre en n está en el intervalo (0,022 -0,033), lo que supone una relación (1-1,5). Considerando sus cuadrados, la relación es (1-2,25), lo que indica que se acepta una incertidumbre del 100% en el cálculo de la pérdida de carga. Para grandes ríos, esta relación es de (1-8,2), lo que pone de manifiesto lo impreciso del método. Las fotografías, que pueden encontrarse por ejemplo en Chow, V.T. o French, R. muestran cursos de agua o canales sobre los que se han realizado medidas que han permitido definir su coeficiente de Manning. Se asocia una fotografía del cauce a un valor de n. Una sucesión de estas fotografías, de menor a mayor fricción permite hacerse una idea de los órdenes de magnitud que se manejan, y, dado el canal o río que se está estudiando, enmarcarlo en el abanico disponible y estimar por comparación su valor de n. Este método, cuestionado

314

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

por su extrema simplicidad y lo subjetivo del método de estima, da sin embargo resultados razonables si nuestro cauce es semejante a alguno de los del abanico. Tabla 2

Min.

Med.

Max.

Metal liso pintado

0,012

0,013

0,017

Acero corrugado

0,021

0,025

0,030

Hormigón liso

0,011

0,013

0,015

Gunita

0,016

0,019

0,020

Tierra, limpio y reciente

0,016

0,018

0,020

Tierra, con vegetación

0,022

0,027

0,033

Excavado en roca

0,035

0,040

0,050

Riachuelos limpios

0,025

0,030

0,033

Riachuelos con cantos

0,035

0,045

0,055

Ríos de montaña

0,040

0,050

0,070

- con hierba

0,030

0,035

0,050

- con cultivos bajos

0,030

0,040

0,050

- con árboles

0,110

0,150

0,200

0,035

0,050

0,100

n:

H7

Material

Llanuras de inundación

Grandes ríos

Las fórmulas polinómicas rescatan la idea de que el coeficiente de Manning incluye información sobre muchos aspectos, claramente diferenciables. En Chow, V.T. se distinguen hasta 10 factores que influyen en el coeficiente de Manning, y se destacan 6 de ellos como fundamentales; el cálculo de n se descompone entonces como: n = (n 0 + n 1 + n 2 + n 3 + n 4 )m 5

[3.24]

donde n0 es un valor básico, que sólo alude al material (por ejemplo, el más bajo de las tablas para cada tipo), que es lo que podríamos definir como

315

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

microrrugosidad o rugosidad de grano,

n1 , reproduce el efecto de las

irregularidades superficiales (juntas, etc.). Tabla 3

n0 (Material)

n1 (Irregularidad)

n2 (Variaciones de sección)

n3 (Obstrucciones)

n4 (Vegetación)

m5 (Curvatura, meandros)

Tierra

0,020

Excavación en roca

0,025

Grava fina

0,024

Grava gruesa

0,028

Liso

0

Leve

0,005

Moderada

0,010

Severa

0,020

Graduales

0

Ocasionalmente bruscas

0,005

Frecuentemente bruscas

0,01-0,015

Irrelevantes

0

Infrecuentes

0,01-0,015

Frecuentes

0,02-0,030

Continuas

0,04-0,060

Poca

0,050-0,010

Media

0,010-0,025

Alta

0,025-0,050

Muy alta

0,050-0,100

Baja

1,000

Media

1,150

Alta

1,300

316

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

El valor de recoge variaciones en la sección, y representa obstrucciones al flujo. La vegetación vendría representada por , siendo un indicador de la curvatura en planta del canal.

importante, se pierde la visión de conjunto, con lo que al llegar al resultado final (agregado de los anteriores) no se tiene una base de comparación (como sí sucede con las fotografías). A título de ejemplo se reproduce una tabla polinómica (tabla 3), que responde a la fórmula presentada con anterioridad, orientada a ríos o canales de tierra: (Chow, V.T.). Los métodos para la estimación del coeficiente de Manning presentados hasta ahora no pasan de dar un orden de magnitud, y no ofrecen garantías de fiabilidad ni del margen de error que se comete. En cualquier caso, cabe decir que éstos son los métodos que se utilizan habitualmente. Se puede, no obstante, llegar al cálculo del coeficiente de Manning mediante medidas de campo. Este método, que se detallará, no es de uso frecuente en la práctica, y está sujeto a limitaciones, que se comentarán.

Fig. 3.4 Calado normal en un canal con movmiento permanente y uniforme

Dado un canal, aceptando que se estudia un tramo de pendiente y sección constantes, como el de la figura, y suponiendo que se dan las condiciones que propician el movimiento permanente y uniforme, se puede definir, para cada caudal, un calado normal, a partir de la expresión:

Q2 n A2 i = 4/3 Rh 2

317

[3.25]

H7

Si bien en la referencia citada se dan criterios para estimas los distintos parámetros (n 0 − n 4 ,m 5 ) el grado de subjetivismo es enorme y, lo que es más

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

Dados i, Q, el área y el perímetro mojado son funciones del calado, lo que lleva a una relación del tipo: y = y (n ) , o su inversa n = n (y )

[3.26]

Es decir, si se puede medir el caudal que circula, y se mide asimismo el calado, que permitirá calcular el área y el radio hidráulico, estas medidas definen un coeficiente de Manning: a cada calado normal le corresponde un coeficiente de Manning. De este modo, se puede conocer el coeficiente de Manning de un canal midiendo su calado normal, supuestos conocidos el caudal y la pendiente. Lo cierto es que no es muy frecuente disponer de un tramo tan perfecto como el que se precisa para realizar este cálculo: el calado normal no es frecuente en canales y es muy infrecuente en ríos, luego quizás este cálculo no se pueda realizar ante la incapacidad de encontrar una zona en la que se produzca régimen permanente y uniforme. Los problemas apuntados en el párrafo anterior se paliarán mediante el estudio del régimen permanente gradualmente variado. En su momento se retomará el cálculo de n a partir de este tipo de régimen y, como se verá, las limitaciones serán mucho menores aunque, en contrapartida, el trabajo necesario será mucho mayor. El coeficiente de Manning de una sección no es constante con el calado. Si se piensa en términos de rugosidad relativa, un mismo canal genera más rugosidad relativa cuanto menor es el calado. Aun aceptando este hecho, se suele suponer que un canal o el cauce de aguas medias de un río tienen un coeficiente de rugosidad característico. Es este el coeficiente de rugosidad que mediremos si aplicamos la metodología planteada. En el caso de un canal, no hay nada objetable aceptado el pequeño error que se ha comentado; en el caso de un río, hay que considerar que algunos cálculos hidráulicos, orientados en general a la construcción de obras hidráulicas o puentes, plantean situaciones extraordinarias de flujo, asociadas a crecidas cuyo período de retorno es de 500 años, o aún mayor. En una avenida, el río ocupa sus llanuras de inundación, en general más rugosas en el cauce principal, y el coeficiente de fricción del cauce de aguas medias no es de aplicación para el río en crecida. En condiciones de crecida, además, no es muy usual realizar un trabajo serio de medición de caudales y calados, con lo que el método propuesto no sería de aplicación. El cálculo del coeficiente de Manning en canales compuestos (como es un río y sus llanuras de inundación) pasa por el cálculo de un coeficiente de Manning equivalente, ponderando los flujos por cada una de las áreas. Hay distintos métodos, entre los que se apuntan:

318

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

n= Fig. 3.5 Cálculo de coeficiente de Manning

)

1/2 

Pm1/2

Pm·Rh5/3

 P ·R 5/3  m h ∑  i n  1 i   N

 

[3.27]

[3.28]

La base conceptual de cada una de estas expresiones se puede encontrar en Chow, V.T.

3.4 Influencia de la forma. Eficiencia de una sección Al construir un canal, no conviene perder de vista que se trata de una obra hidráulica de la que se espera cierta rentabilidad, que se puede entender como la capacidad de transportar un máximo de caudal por unidad de superficie de la sección transversal. Cabe plantearse si unas geometrías son más eficientes que otras en este sentido, y para ello se puede apelar de nuevo a la ecuación del movimiento permanente y uniforme:

= i

n 2·v 2 n 2·Q 2 = Rh4/3 A2·Rh4/3

[3.29]

Fig. 3.6 Distintas secciones de un canal

Dadas dos posibles secciones (1) y (2), aceptando que la pendiente i es constante y suponiendo la misma área ocupada (A), y el mismo coeficiente de Manning (n), se plantea si hay motivos para pensar que el caudal transportado por cada una de ellas será el mismo.

319

H7

n=

(

N 2  ∑ Pmi·ni  1

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

Se acepta de la figura que, si bien A1 = A2 , el perímetro mojado de 1 es mayor que el de 2, con lo que el radio hidráulico Rh2 será mayor que Rh1 . Esto ya hace pensar que las dos secciones no tendrán el mismo funcionamiento hidráulico. n2 Q2 n2 i = ⋅ = Q 2·Pm4/3 = K·Q 2·Pm4/3 2 4/3 10/3 A  A  A    Pm 

[3.30]

Dado que la pendiente es constante e igual para las secciones 1 y 2, se llega a: = i K = ·Q12·Pm4/3 K·Q22·Pm4/3 1

2

Q12·Pm4/3 = Q22·Pm4/3 1

2

[3.31] [3.32]

lo que indica que aquella sección con mayor perímetro mojado tendrá asociado un menor caudal. Se considerará como sección más eficiente la que tenga un menor perímetro mojado. En general no se plantea el ejercicio en abstracto de definir la sección óptima de entre todas las geometrías posibles, sino dentro de una tipología. A modo de ejemplo, se puede plantear cuál es la relación anchura-calado óptima en una sección rectangular.

y1·B1 = y2·B2 [3.33]

Fig. 3.7 Relación anchura-calado en una sección

Se considera así una familia de secciones cuya área viene dada por A = y·B, supuesta constante. Se desea minimizar el perímetro mojado. Esta formulación corresponde a la de un problema de extremos condicionados, cuyo planteamiento sería:

320

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

minimizar: Pm = 2y + B

[3.34]

con la restricción: = A B= ·y cte

[3.35]

La solución, trivial en este caso, pasa por aplicar la restricción y hallar el mínimo de Pm derivando e igualando a cero:

dPm A A = 2 − 2 = 0 ; A = 2y 2 ; B·y = 2y 2 ; B = 2y [3.36] ; y dy y

De este modo se demuestra que el canal rectangular óptimo es aquél cuya anchura es igual a la mitad de su calado (canal semicuadrado). Mediante razonamientos similares se llega a definir la forma óptima de otras tipologías; así si se considera una sección trapecial, se demuestra que el talud óptimo es de 60º y el perímetro mojado es de 3 veces la anchura en el fondo (canal semihexagonal). Para canales circulares la sección óptima es la que llena medio círculo y para canales triangulares el óptimo es aquél cuyo ángulo de apertura es de 90º.

Fig. 3.8 Diferentes secciones tipo de canal

A la hora de plantear la forma de la sección, conviene apelar al sentido común y no hacer prevalecer el criterio de la eficiencia por encima de cualquier otro. Construir un canal semicircular puede ser antieconómico por sus costes de ejecución, al igual que puede serlo construir un canal triangular tan cerrado. Las decisiones de este tipo involucran muchos factores, y aunque no es objeto de este texto llegar a definir criterios de análisis coste-beneficio, si se apunta que el resultado del problema matemático (cálculo de extremos) realizado no es sino un elemento más dentro de un problema más complejo.

321

H7

Pm = 2y +

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

PROBLEMA – 7 A ENUNCIADO Se necesita estimar un valor de coeficiente de Manning los más exacto posible para realizar una simulación numérica de las velocidades y de los calados en un río mediante un programa informático de flujo en lámina libre. Para tal fin se dispone de los siguientes datos experimentales obtenidos a partir de medidas de campo para dos tramos del río aceptablemente largos y con calado constante: Tabla 1

i(%)

q(m3/s m)

y(m)

Tramo 1

0.3

0.5

0.45

Tramo 2

0.5

0.75

0.55

Si se acepta que la anchura del río es significativamente más grande que el calado (B>>>>y), se pide obtener una estimación de los valores del coeficiente de Manning para los tramos considerados.

PLANTEAMIENTO Los datos observados experimentalmente fueron medidos en tramos de río con calados constantes por lo que se puede deducir la existencia en esas secciones de calado normal. Lo calados normales se producen cuando la misma energía que el río gana por cota (debida a la pendiente geométrica, i) se disipa por pérdidas de energía en forma de calor o en forma de energía mecánica (perdidas que se cuantifica a través de la pendiente motriz, I). Así que el calado normal, que es el calado asociado al flujo permanente e uniforme, puede calcularse igualando pendiente geométrica y pendiente motriz, i=I.

322

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

Además existen diferentes ecuaciones que nos permiten calcular la pendiente motriz, la más usualmente utilizada en flujo en lámina libre es la Ecuación de Manning:

Si la pendiente geométrica es igual a la pendiente motriz y utilizando la ecuación de Manning para valora las pérdidas energéticas, i =I

2 2 2 2   n 2·Q 2 , con I = n ·v ⇒ i = n ·v = v = Q  = A  A2·Rh 4 3 Rh 4 3 Rh 4 3 

[1]

Con i pendiente geométrica (en tanto por uno), n coeficiente de Manning (m s-1/3), v velocidad del agua (m/s), Q caudal en (m3/s), A área de la sección (m2) y Rh radio hidráulico. El radio hidráulico se define como = Rh

Aproximación a  A B·y B·y  =  = B >> y= = y [2]  Pm sección rectangular  B + 2y B +0

Con A=área de la sección (m2) y Pm=perímetro mojado (m). Considerando que las anchuras son muy superiores a los calados según el enunciado (B>>>>y) y aproximando la sección irregular del río a una forma rectangular se puede plantear: = i

 n 2·Q2 n 2·Q2 n 2·Q2 Q = = = con = q  ⇒ B A2·Rh 4 3 B 2·y 2·y 4 3 B 2·y 10 3 

⇒ = i

n 2·q 2 y 10 3

i 1 2·y 5 3 ⇒ = n q

[3]

Por lo que el valor del coeficiente de Manning para ambos tramos será: Tabla 2

i(%)

q(m3/s m)

y(m)

n (m s-1/3)

Tramo 1

0.3

0.5

0.45

0.0289

Tramo 2

0.5

0.75

0.55

0.0348

323

H7

RESOLUCIÓN

H7. Movimiento en lámina libre. Introducción

324

H8

- Movimiento permanente

gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Contenidos

1

Ecuación del movimiento gradualmente variado

permanente 327

2

El número de Froude (Fr)

3

Integración de la ecuación del régimen permanente gradualmente variado 337

3.1 Análisis intuitivo de la ecuación. Curvas de remanso

330

339

3.1.1 Análisis de las curvas de pendiente moderada (M)

342

3.1.2 Análisis de las curvas S, C, H, A

352

3.2 Integración numérica de la ecuación del régimen permanente y uniforme 357

4

3.2.1 Cálculo inverso

365

3.2.2 Cálculo de n

366

Transiciones y cambios de régimen

4.1 Cambios de régimen

371

4.1.1 Cambio de régimen lento a régimen rápido. Calado crítico

371

4.1.2 Cambio de régimen rápido a régimen lento. Resalto hidráulico

377

4.2 Ejemplo de recapitulación

5

367

390

Ejercicios

395

5.1 Problema – 8 A

395

5.2 Problema – 8 B

404

5.3 Problema – 8 C

409

5.4 Problema – 8 D

417

326

H8

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Ecuación del movimiento permanente gradualmente variado

Se habla de movimiento permanente gradualmente variado en los casos en que las variables del flujo (calado, velocidad) varían a lo largo del canal ( y ( x ) , v( x ) ) pero no con el tiempo; es decir, en una sección concreta la cota de la

superficie libre y la velocidad se mantienen constantes. Adicionalmente, las variaciones de calado y velocidad a lo largo del canal se consideran suaves. Rigen las hipótesis que dieron lugar a las ecuaciones de Saint-Venant. Del hecho de que el área y la velocidad en una sección concreta se mantienen constantes se deduce de modo inmediato que el caudal, en este tipo de movimientos, se mantiene constante.

y1 ≠ y 2

[1.1]

v1 ≠ v 2

[1.2]

Q1 = Q 2 = Q

[1.3]

Fig. 1.1 Perfil de movimiento gradualmente variado

Considerando las secciones 1 y 2, separadas una distancia L12 , se plantea la

energía de cada una de las secciones como: E 1 = z 1 + y1 +

v 12 v2 ; E2 = z 2 + y2 + 2 2g 2g

[1.4]

La pérdida de energía entre las secciones 1 y 2 se puede expresar como: ∆H 12 = E 1 − E 2

327

[1.5]

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

y se podría definir una pendiente motriz media como: I 12 =

E1 − E 2 L12

[1.6]

La pendiente motriz (I) ha aparecido antes en dos ámbitos distintos: el cálculo de tuberías, y el cálculo del calado correspondiente al régimen permanente y uniforme. Ambos campos tienen en común que si la geometría es prismática (la tubería tiene diámetro constante y el canal sección constante) y si la rugosidad no varía, el valor de I es constante a lo largo de la conducción. El hecho de que I sea constante permite predecir la energía en una sección conocida la energía en otra y la distancia que las separa: esto es de hecho la base del cálculo de tuberías y en esto radica también la facilidad del cálculo de canales en régimen permanente y uniforme. El valor de la pendiente motriz media I12 es el mismo que el de la pendiente motriz en cualquier sección: la función I ( x ) es una constante, calculable conocida la velocidad y el calado normal (en un canal) o la velocidad y el diámetro (en una tubería). En un canal cuyo tipo de movimiento es permanente gradualmente variado, la pendiente motriz media no tiene ningún valor de cálculo. I 12 no es igual a I 1 , ni a I 2 , ni a su media aritmética. I 12 no se puede definir a priori conocidos los parámetros del flujo en una sección (sea la 1 o la 2). La función I (x ) es variable, y no es lineal (como no lo son y (x ) ni v (x ) ).

Fig. 1.2 Pendiente motriz en movimiento gradualmente variado

Dados y 1 , v 1 y L12 es un error conceptual grave plantear:

E 2 = y1 +

v12

2g

+ z1 − I 1·L12

328

[1.7]

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

como también lo sería plantear: v 12 + z 1 − I 2 L12 2g

[1.8]

ya que la pendiente motriz media que se da entre 1 y 2 no es ni I1 , ni I 2 . Como consecuencia, se destaca que no se puede aplicar la ecuación de conservación de la energía entre dos secciones separadas una longitud importante, ya que se desconoce la distribución de pérdidas de carga. Aceptando esta limitación, fundamental y característica de este tipo de movimiento, obtener una ecuación de conservación de la energía pasa por trabajar a nivel infinitesimal, aceptando, por tanto, que la definición de I (x ) es, realmente: I (x ) = −

dE dx

[1.9]

es decir:

d I (x ) = − dx

 v2   z + y +  2g  

[1.10]

dz dy d  v 2    + + dx dx dx  2g 

[1.11]

que, desarrollando, es:

−I = Recordando i = −

dz y aplicando la regla de la cadena al último miembro: dx i −I =

donde v =

dy 2v dv + dx 2g dx

[1.12]

Q , y, para Q constante: A Q  d  dv Q dA −Q dA dy  A  −= = = · · · dx dx A2 dx A2 dy dx

Recordando

[1.13]

dA ≈ B , entonces: dy

i −I =

dy v  − Q dy  +  B  dx g  A 2 dx 

329

[1.14]

H8

E 2 = y1 +

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

o sea (

Q = v ): A dy i −I = dx

que, despejando

   v2  1 −  A  g   B 

[1.15]

dy , es la ecuación, ya deducida: dx dy = dx

i −I v2 1− A g B

o bien

i −I dy = dx 1 − Fr 2

[1.16]

de donde se obtiene la distribución de calados a lo largo del canal ( y (x ) ). Se recuerda y se incide en el hecho de que I varía a lo largo del canal, al igual que Fr. De este modo, esta ecuación puede ser interpretada, además de como una forma simplificada de las ecuaciones de Saint-Venant, como la expresión infinitesimal de la ecuación de conservación de la energía (ecuación de Bernoulli). Esta expresión es la única correcta al estudiar este tipo de flujo.

El número de Froude (Fr)

En la ecuación del régimen permanente gradualmente variado, conocida también como “ecuación de las curvas de remanso”, todos los términos tienen un sentido físico evidente salvo el número de Froude. A continuación se comentará, de un modo sucinto, cuál es ese sentido, y las implicaciones que tiene que adquiera uno u otro valor. El número de Froude se define como:

Fr =

v A g B

o bien Fr =

v g·ym

( y m : calado medio)

330

[2.1]

Dado que el número de Froude es adimensional, es evidente que se trata de una relación entre dos velocidades; una de ellas, en el numerador, es la velocidad media del agua, el denominador, menos evidente, se conoce como “celeridad de onda de perturbación gravitatoria”, definida como: c =

g·ym

[2.2]

Si se piensa en un pequeño estanque, y en lo que sucede al lanzar una pequeña piedra al centro, se recordará que la piedra genera un tren de ondas que, partiendo del centro del estanque, avanza hacia las orillas. El origen de este frente es la perturbación que, sobre las condiciones hidrostáticas, ha generado la irrupción de la piedra. A este tipo de perturbación se le llama perturbación gravitatoria y a la velocidad con la que se mueven los frentes de onda “celeridad de las ondas de perturbación gravitatoria”.

Fig. 2.1 Perturbaciones en un estanque

Es interesante resaltar que la información se transmite en todas direcciones. Si en lugar de considerar un estanque circular se considera un estanque alargado (como un canal de remo, sin velocidad), la celeridad transmite información en ambos sentidos.

Fig. 2.2 Esquema de transmisión de ondas

331

H8

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Una perturbación gravitatoria en un canal también genera un tren de ondas cuyo objeto es adaptar el medio a las nuevas condiciones impuestas por los condicionantes externos (una piedra, un obstáculo). Para estimar la celeridad con la que se mueven estas ondas, se puede plantear un equilibrio global de cantidad de movimiento a un volumen de control que contenga una pequeña onda (ver Chaudhry, M.H.). Se considera un canal rectangular de anchura unitaria.

Fig. 2.3 Movimiento de un frente de ondas

Si se considera el frente de una pequeña onda, moviéndose a celeridad c sobre un medio (canal) cuya velocidad media es v, la velocidad aparente (respecto

de un observador fijo) del frente de onda es vw= v + c . Si se admite que v y c son constantes (simplificación no muy grosera en un tramo pequeño, si se cumplen las hipótesis del movimiento permanente gradualmente variado), un observador que se mueva con velocidad constante vw verá como fijo en su posición el volumen de control marcado en la figura, y las velocidades del agua respecto de este observador serán:

Fig. 2.4 Movvimiento relativo de un frente de ondas

332

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

1 1 F1 = ρ·· g y 2= ρ·g y + dy ; F2 2 2

(

2

)

[2.3]

Mientras que la variación de cantidad del movimiento es: ∆v ρ y (v − vw )   (v + dv − vw ) − (v − vw= ρ·Q·= ) ρ·y (v − vw ) dv

Imponiendo:

F ∑=

[2.4]

ρ·Q·∆v :

1 ρ·g  y 2 − y + dy 2 

(

) = 2

ρ·y (v − vw ) dv

[2.5]

Despreciando términos con ( dy ): 2

1 ρ·g −2y·dy = ρ·y v − vw dv 2

)

[2.6]

o sea: −g·dy =(v − vw ) dv

[2.7]

(

)

(

De la ecuación de continuidad: y (v − v w ) = (y + dy )(v − v w + dv )

[2.8]

Despreciando términos de segundo orden:

(

0 =y·dv + dy v − vw

)

[2.9]

Combinando con [2.7]: 2

(v − vw )

= g·y

[2.10]

Es decir: vw= v ± g·y Como se recordará: v w = v + c , de donde c = ± g·y En el caso de que el canal no fuese rectangular, se llegaría a c = ± g·ym . De este modo se justifica el concepto de celeridad de onda, cuyos valores se discuten a continuación. Retomando el sentido físico del número de Froude, debe ser interpretado como la relación entre la velocidad del agua y la velocidad de transmisión de la información acerca de variaciones respecto del “régimen hidrostático” del canal. Este apelativo entrecomillado alude a situaciones de desequilibrio hidrostático que exigen una readaptación. El caso de la piedra en el estanque es claro:

333

H8

Los esfuerzos exteriores al volumen de control, si se acepta que el canal es horizontal y se desprecia la fricción, son las presiones:

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Fig. 2.5 Desequilibro provocado por una piedra

Al entrar la piedra en el estanque se produce una alteración de la lámina de agua: el agua con más energía hidrostática (en la cresta) genera un desequilibrio que se resuelve con un movimiento oscilatorio (como el que se da en un tubo en U) y un desplazamiento aparente del frente. Ambos fenómenos se pueden modelar a nivel infinitesimal y han sido someramente justificados al deducir el valor de c.

Fig. 2.6 Frentes de onda consecuencia del desequilibrio

De considerarse un canal, y de modo consistente con lo visto en la evaluación de c, de suponer una velocidad media del agua, la velocidad del frente de onda respecto de un observador externo, v w , será: [2.11]

vw = v ± g·ym = v ±c

donde mediante los dos signos se representan los frentes que van en el sentido del agua o en sentido opuesto al agua; en el canal de remo antes comentado v = 0 y v w = ±c ,

en un canal en que el agua tiene velocidad, v w y v w adoptan distintos −

+

valores según los valores absolutos de v y c. Tomando como ejemplo un canal de 1 m de calado medio, en el que = c

g·y ≈ 3,1 m/s, las velocidades aparentes son, para distintas velocidades:

334

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

v(m/s)

v w+ (m/s)

v w− (m/s)

Fr (-)

0

3,1

-3,1

0

1

4,1

-2,1

0,32

2

5,1

-1,1

0,64

3

6,1

-0,1

0,97

3,1

6,2

0

1

4

7,1

0,9

1,29

5

8,1

1,9

1,61

Se puede observar que si v < c las ondas se propagan tanto hacia aguas abajo como hacia aguas arriba, y esto coincide con números de Froude inferiores a la unidad. Para v > c , sólo hay propagación hacia aguas abajo (y Fr > 1 ). Un observador que tirase una piedra al canal del ejemplo, circulando el agua a 4 m/s, vería como el efecto de la piedra es arrastrado por el agua hacia abajo, mientras que si la velocidad fuese de 2 m/s, percibiría como las ondas remontan el río. Dado que el estudio de los canales no se reduce al efecto de las piedras que se le arrojan, conviene citar otros casos que dan lugar a irregularidades de tipo hidrostático. Si se considera un canal perfectamente regular, por el que no circula agua y dentro del cual hay un gran obstáculo (una gran piedra, por ejemplo), se puede pensar en su efecto a medida que comienza a pasar agua. Se realiza este análisis a nivel cualitativo, sin pretender ser exhaustivos, y aceptando de entrada que el régimen no permanente que se da en este caso no es el objeto de este apartado. A pesar de todo se plantea el ejemplo por considerarlo muy ilustrativo.

Fig. 2.7 Efecto de un obstáculo en un canal

335

H8

Tabla 1

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

El obstáculo, que se supone que bloquea total o parcialmente el cauce, genera unos efectos que dependen de que el agua llegue a él de modo (abusando del lenguaje) lento o rápido. Si el agua llega lentamente (izquierda), el obstáculo la frena y genera una sobreelevación que se transmite como un frente de onda. Esto va sucediendo para toda el agua que va llegando, con lo que tras el primer frente es difícil percibir la ondulación en la superficie, en la que se confunden una multitud de pequeños frentes (situación análoga a lo que se da al estudiar el golpe de ariete con cierre gradual de una válvula). El agua retenida tras el obstáculo comienza a actuar asimismo como un obstáculo para el caudal que va llegando, y se van alcanzando situaciones transitorias de acumulación, hasta que el agua se embalsa hasta un nivel que permite el desagüe por encima del obstáculo. Si el agua llega con gran rapidez, choca de modo brusco contra el obstáculo, y puede darse el caso de que lo supere saliendo despedida sobre él, generando una zona de flujo incontrolado y con gran pérdida de carga. La primera de las situaciones descrita corresponde a un tipo de flujo en que un obstáculo repercute en el flujo aguas arriba: el hecho de que hay un obstáculo es “explicado” hacia aguas arriba mediante frentes de onda que van provocando, de modo suave, una nueva distribución de calados acorde con las nuevas condiciones. El agua unos metros aguas arriba del obstáculo fluye condicionada por el mismo: “le ha sido explicado que hay un obstáculo y actúa en consecuencia”. En el segundo caso, el agua no “es consciente” de la existencia del obstáculo hasta chocar con él. Unos metros aguas arriba el agua fluye como si no hubiera obstáculo. La capacidad de “informar” hacia aguas arriba pertenece a las ondas de perturbación gravitatoria. Si su celeridad c es mayor que la velocidad del agua ( c > v ), se propagan hacia aguas arriba, y propician un acomodo del flujo. Si c < v , las ondas no se propagan hacia arriba y el agua no puede ser informada de los condicionantes que le esperan aguas abajo. Se distinguen así dos situaciones: • •

c >v c < v

o Fr < 1 (régimen subcrítico o lento) o Fr > 1 (régimen supercrítico o rápido)

con un límite: c = v o Fr = 1 , llamado régimen crítico. Como se verá más adelante, el tipo de régimen condiciona absolutamente el funcionamiento de un canal. Cualquier distorsión de un régimen de calados constante genera perturbaciones gravitatorias, tanto una barrera física (como un obstáculo, o la imposición de un nivel alto aguas abajo) como una situación de desequilibrio motivada por presiones bajas aguas abajo (p.e. vertido libre). Todas estas

336

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

H8

situaciones dan lugar a una adaptación de calados hacia aguas arriba en régimen lento, y son ignoradas en régimen rápido.

Fig. 2.8 Influencia de desequilibrios aguas abajo

Integración de la ecuación del régimen permanente gradualmente variado

La ecuación: dy i −I = 1 − Fr 2 dx

[3.1]

es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, y requiere por tanto para su integración una condición de contorno: y (x 0 ) = y 0

[3.2]

Como se recuerda de la asignatura de cálculo, la solución general de la ecuación diferencial planteada es en general una o varias familias de curvas. Una solución particular discierne entre todas ellas gracias a la condición de contorno.

337

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

La forma general de una ecuación diferencial ordinaria explícita de primer orden es: dy = F (x , y ) dx

[3.3]

Fig. 3.1 Familia de curvas solución

Cabe plantearse si la ecuación que se maneja depende explícitamente de las dos variables (x e y) o tiene una forma más simple. Desarrollando todos los términos de la ecuación, se observa:

Rh = I = Fr =

Fig. 3.2 Variables que influyen en la ecuación

A(y ) = Rh (y ) Pm (y )

[3.4]

n 2Q 2 = I (y ) [3.5] A 2 (y )Rh4 / 3 (y )

v A g B

=

Q

A(y ) A(y ) g B (y )

= Fr (y )

[3.6] luego al tratarse de una forma más simple que la general, podría pensarse que su integración analítica es simple. Desgraciadamente, dado que las funciones implicadas (I, Fr) adquieren formas no lineales, la solución analítica no existe ni aún para geometrías simples. Debido a esto, la solución de la ecuación del régimen gradualmente variado se aborda por métodos numéricos, de gran sencillez y eficacia, como se verá. Antes de plantear estos métodos numéricos, es interesante plantear una estima de las tendencias esperadas al integrar la ecuación. Este análisis llevará a la clasificación de curvas de remanso, punto sustancial del curso.

338

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Las soluciones de la ecuación del régimen permanente gradualmente variado reciben genéricamente el nombre, sin duda abusando del lenguaje, de curvas de remanso. Son curvas y(x), donde, como se recordará, la coordenada longitudinal x no es horizontal sino que sigue el fondo o solera del cauce, y se acepta que “y” es vertical y/o perpendicular a x, indistintamente (hipótesis de pendiente pequeña).

Fig. 3.3 Variación de pendiente de la curva de remanso

Determinar y (x ) equivale a determinar la distribución de calados a lo largo del canal: la integración de la ecuación de las curvas de remanso (se acepta la notación habitual) no es un mero ejercicio matemático sino una herramienta básica para el diseño de canales y el estudio del funcionamiento hidráulico de un río. El análisis de esta ecuación es previo al uso generalizado de los métodos numéricos que coincide con la irrupción del ordenador. Boudine, en 1861, plantea la esencia de lo que aquí se explica; el clásico de Bakhmeteff (1932) contiene toda la información que se presentará aquí, y exactamente en la misma forma. El cálculo numérico permite resolver las ecuaciones prescindiendo del análisis que se realizará, pero que es en este análisis donde radican los conceptos fundamentales que pasarían desapercibidos de proponer directamente la integración de la ecuación. Podría parecer que un curso que se decanta por seguir una referencia de 1932 en lugar de por el uso de modelos implementados en el ordenador es un curso obsoleto. Es un razonamiento análogo al que llevaría a prescindir de la enseñanza de la suma a los escolares, dado que existen calculadoras. Es bien cierto que la práctica diaria lleva a que las operaciones las realicen las calculadoras, y también es cierto que las curvas de remanso las calculan los ordenadores, pero un conocimiento de las bases es necesario para comprender y criticar los resultados

339

H8

3.1 Análisis intuitivo de la ecuación. Curvas de remanso

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

obtenidos y para concebir estructuras cuyo funcionamiento se comprenda. Así, se considera que este curso no es obsoleto sino básico, y será complementado en cursos futuros con herramientas que permitan un trabajo más ágil. En apartados posteriores, no obstante, se apuntará la esencia de los métodos numéricos, no desde un punto de vista operativo, sino conceptual. Antes de comenzar con el análisis de la ecuación, es preciso establecer unas definiciones que servirán para clasificar los distintos tipos de curva que irán apareciendo. Algunas de ellas son ya conocidas, pero se incluyen de todos modos: Calado normal ( y n ): es el correspondiente al régimen permanente y uniforme, y se calcula según la expresión: [3.7]

i =I donde I se expresa en general a partir de la fórmula de Manning:

I =

n 2·v 2

[3.8]

Rh4/3

Calado crítico ( y c ): es aquél cuyo número de Froude es igual a la unidad:

Fr = 1 =

v A g B

⇒

Q2 A(y ) g → (y c ) = B (y ) A 2 (y )

[3.9]

Si el canal es rectangular: 1/3

 Q2  ⇒ yc =  2  Fr= 1=  B ·g  B·y g·y   Q

[3.10]

Estos dos calados ( y n e y c ) son la base de las definiciones que se darán a continuación. Es fácil ver que el calado normal depende de la geometría de la sección (A, Rh ) , de la pendiente (i), del caudal (Q) y del coeficiente de fricción (n), mientras que el calado crítico sólo depende de la geometría de la sección (A, B) y del caudal. De este modo, un mismo canal que adopte distintas pendientes para el mismo caudal tendrá el mismo calado crítico, pero diferentes calados normales.

Fig. 3.4 Variación del calado normal según la pendiente

340

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Además de las definiciones relativas a calados, se presenta una serie de definiciones orientadas a clasificar las pendientes de un canal: •

Pendiente moderada (M): aquella en la que el calado normal es mayor que el calado crítico ( y n > y c ).

•

Pendiente pronunciada (S): aquella en la que el calado crítico es mayor que el calado normal ( y c > y n ).

•

Pendiente crítica (C): aquella en la que coinciden el calado normal y el calado crítico ( y c = y n ).

• •

Pendiente horizontal (H): de modo trivial, aquella que cumple i = 0 . Pendiente adversa (A): aquella que cumple i < 0 .

Como se ve, las definiciones de las pendientes están vinculadas a las de los calados. La clasificación de pendientes es biyectiva: para unas condiciones de flujo dadas, toda pendiente pertenece a un grupo y sólo a uno. El grupo de pendientes M, S, C cumplen adicionalmente i > 0 . Esto está implícito en su definición, como se verá. El hecho de que una pendiente sea moderada o pronunciada no sólo depende del valor absoluto de la pendiente, sino del caudal, la geometría y el coeficiente de fricción. Un tramo de canal con un único valor numérico de su pendiente puede dar lugar a uno y otro tipo según varíen estos parámetros. Como se recordará, el calado crítico no depende de la pendiente: esto lleva a que se pueda definir el calado crítico de un canal de pendiente horizontal o adversa sin ningún problema. A la hora de definir el calado normal en un canal de pendiente horizontal, se llega a la ecuación:

i =I e i =0

[3.11]

I =0

[3.12]

que en términos de la fórmula de Manning implica, para un caudal conocido, que la velocidad sea nula y que la sección sea infinitamente grande. Dado que esto no tiene sentido físico, no existe calado normal en canales de pendiente horizontal: la teoría del régimen permanente y uniforme no es de aplicación para este tipo de pendientes. Si la pendiente es adversa:

I =i e i <0

341

[3.13]

H8

Es fácil ver que el calado normal crece con el caudal y con el coeficiente de Manning, y decrece con la pendiente. El calado crítico crece asimismo con el caudal.

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

→ I < 0;

n 2·v 2 Rh4/3

<0

[3.14]

La ecuación propuesta no tiene solución, ya que n 2 > 0 , v 2 > 0 y Rh es una distancia, y por tanto también es mayor que cero. Así, tampoco para pendientes adversas existe calado normal. Según se apuntó antes, en las definiciones de pendiente M, S y C está implícito i > 0 : esto es así ya que se postula la existencia de calado normal. Según se ha visto, en régimen permanente y uniforme es la diferencia de cota la que aporta la energía del flujo; es así coherente que si no hay diferencia de cota, o si ésta es adversa, no se pueda desarrollar este tipo de flujo. 3.1.1 Análisis de las curvas de pendiente moderada ( M ) Se define pendiente moderada a partir de la desigualdad y n > y c . Esta expresión se interpreta literalmente afirmando que el calado correspondiente al régimen permanente y uniforme es lento (o subcrítico). En efecto, y n es el calado que cumple ( i = I ) y el calado crítico es el que cumple ( Fr = 1 ). Calados superiores a y c , dado un caudal fijo, tienen menores velocidades, con lo que, si se observa la expresión del número de Froude: Fr =

v g·ym

[3.15]

la velocidad disminuye y el calado aumenta: ambos factores llevan a que el número de Froude decrezca ( Fr < 1 ) y por tanto el régimen sea lento. Dado un canal y fijado un caudal, se puede asociar un calado normal y un calado crítico a cada sección:

Fig. 3.5 Calados normal y crítico en función de la sección

342

Si el canal es prismático y la pendiente y la rugosidad son constantes, las líneas de la solera, y las que definen los calados normal y crítico de cada sección son paralelas (algo obvio, ya que en esas condiciones el calado normal y el crítico se mantienen constantes). El gráfico correspondiente a estas condiciones si la pendiente es moderada (M) será:

Fig. 3.6 Calados normal y crítico con sección, pendiente y rugosidad constantes

Si se considera el semiplano limitado inferiormente por la solera, las líneas de calado normal y calado crítico definen a su vez semiplanos y fajas de plano, con características muy resaltables: por ejemplo, la línea de calados normales marca dos regiones, que cumplen, respectivamente:

Fig. 3.7 Relación entre i e I según el calado normal

donde la figura debe ser interpretada del modo siguiente: dado un canal, con su pendiente y rugosidad fijadas, y dado un caudal, con el que se define el calado normal para cada sección, si el perfil real de la superficie libre está por encima de y n , entonces se cumple que, para ese flujo en concreto i > I , y, por el contrario, si el perfil de la superficie libre está bajo y n , se cumple i < I ; como se justifica en el párrafo siguiente.

343

H8

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Fig. 3.8 Diferentes realción entre I e i según el semiplano donde se encuentre

La expresión del régimen permanente y uniforme es i = I .Si se acepta, para Q = cte , que un incremento de calado genera un incremento en el radio hidráulico y un decremento en la velocidad, se llega a: y > y n → v < v n y Rh > Rhn

In = i =

n 2·vn2

Rhn4/3

>

n 2·v 2 Rh4/3

=I ⇒i >I

[3.16] [3.17]

donde el subíndice n alude a la pendiente motriz, velocidad y radio hidráulico correspondientes al calado normal. Aceptar i > I implica aceptar que el agua no gasta toda la energía de cota, ahorrando algo. Si se acepta i < I , el agua no sólo gasta toda la energía de cota, sino que además pierde energía de algún otro tipo. Como se recuerda, la energía de una sección responde a la expresión: E = z +y +

v2 2g

[3.18]

Si se pierde cota y se cumple i > I , la suma de los otros dos términos tiene que crecer para asumir el incremento de energía. Como en un canal prismático con Q = cte el crecimiento del calado implica el decrecimiento de la velocidad y viceversa, de hecho lo que sucede es que sólo un término crece, y asume el decremento del otro además de la contribución de cota no disipada en pérdida de carga. Si se cumple i < I , la suma de y + (v 2 2g ) debe decrecer: de nuevo hay un término que, al decrecer hace crecer al otro, pero la suma tiene un crecimiento neto negativo. La línea de calados críticos da lugar también a una interpretación, mucho más evidente, como se ve en la Fig. 3.9. Si los calados reales están por encima del calado crítico, el régimen es lento, y si están por debajo, el régimen es rápido.

344

H8

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Fig. 3.9 Diferentes valor de Fr según el semiplano donde se encuentre

Si se combinan las dos condiciones, se llega a:

Fig. 3.10 Límites de las tres regiones

con lo que el semiplano queda dividido en tres regiones, a las que se suele denominar 1, 2 y 3. La región 1 está por encima del calado normal y del calado crítico. La región 2 está entre ambos, y la región 3 está por debajo de los dos. Como se verá más adelante, la definición de la región 2 como “entre ambos” permite su generalización a otros tipos de pendiente. La ecuación de las curvas de remanso es: dy i −I = dx 1 − Fr 2

[3.19]

Es evidente que el estar por encima o por debajo del calado normal afecta directamente al numerador de la ecuación, y que estar por encima o por debajo del calado crítico afecta a su denominador. Así, por ejemplo, si estamos en la región 1, con i > I y Fr < 1 , tenemos:

i −I > 0

y

1 − Fr 2 > 0 →

dy >0 dx

[3.20]

y obtenemos una información cualitativa sobre el crecimiento del calado en el canal objeto de estudio. Se puede generalizar al resto de regiones:

345

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen Tabla 2

Región

i −I

1 − Fr 2

dy dx

1

>0

>0

>0

2

<0

>0

<0

3

<0

<0

>0

Considérese un canal de pendiente moderada, del que se conocen sus líneas de calados críticos y normales que, por simplificar, serán paralelas a la solera (canal prismático y pendiente constante). Supóngase que un observador sitúa una regla en una sección cualquiera del canal y mide el calado. y ( x 0 ) = y0

Fig. 3.11 Perfil de canal con pendiente moderada en la región 1

Este dato es una condición de contorno que, unido a la ecuación diferencial, permitirá calcular en el resto de las secciones. En el análisis intuitivo que estamos realizando, esta condición y (x 0 ) = y 0 sitúa al calado medido en una de las tres regiones, en particular, en el caso de la Fig. 3.11, en la región 1. A partir de este dato podemos plantear si los calados en x 0 − ∆x y x 0 + ∆x serán menores o mayores que y 0 . Dado que estamos en la región 1, cabe esperar y (x 0 − ∆x ) < y (x 0 ) < y (x 0 + ∆x ) , según se vio en la tabla anterior.

Si vamos avanzando o retrocediendo, podemos plantearnos las situaciones límite, que en la región 1, serían la proximidad a la línea y n ( i = I ) y el límite a medida que el calado crece (cabe plantearse si hay una tendencia en ese crecimiento).

346

H8

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Fig. 3.12 Perfil de una curva de remanso

A medida que retrocedemos el calado va siendo menor, y cabe plantearse si la pendiente dy dx adopta valores que tiendan a rebasar la línea y n , y que lleven por tanto a entrar en la región 2, o si por el contrario se tiende a mantener los calados dentro de la región 1. De modo puramente matemático se puede plantear: dy i I  lim  0 , ya que si 2 y yn dx y yn 1  Fr lim

y → yn , I → i

[3.21]

en efecto, al ser los calados cada vez más cercanos a y n , la pendiente motriz se parece cada vez más a la geométrica, y el valor absoluto de la derivada es menor a medida que retrocedemos. Así, la línea i = I se comporta como una asíntota. Al avanzar hacia calados cada vez mayores, dado que no hay ninguna línea que atravesar, cabe pensar si se llega a alguna tendencia en el tipo de crecimiento, que se deducirá del límite: dy i −I = = i lim lim 2 y →∞ dx y →∞ 1 − Fr

= , I dado que si y → ∞

n 2·v 2 Rh4/3

→ 0 y Fr 2 =

[3.22]

v2 →0 v →0 g·ym

(

)

Conviene para interpretar correctamente el valor del límite recordar que el sistema de referencia que se utiliza, en el que la coordenada x coincide con la solera del canal. En ese sistema de coordenadas, dy / dx = i , es una pendiente horizontal.

Fig. 3.13 Pendiente del canal

347

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

La curva de remanso que cumple estas tendencias, y que se mantiene dentro de la región 1, se conoce como curva M1.

Fig. 3.14 Perfil de la curva M1

Para el mismo canal, supóngase que en otras condiciones se vuelve a introducir la regla y el calado registrado corresponde ahora a la región 2.

Fig. 3.15 Perfil de canal con pendiente moderada en la región 2

Si se analiza el crecimiento de los calados, se observa i − I < 0 y 1 − Fr 2 > 0,

o sea (dy dx ) < 0 : los calados decrecen. A medida que se avanza o se retrocede aparecen dos límites de región: la línea y n y la línea y c . Hacia aguas arriba, al hacerse mayores los calados (decrecen hacia abajo), se acercan a y n , con lo que I → i y dy / dx → 0 . Hacia aguas abajo, al tender a y c , se da Fr → 1 y el denominador de la ecuación tiende a cero, con lo que la

pendiente adquiere grandes valores absolutos: dy i I  lim   2 y yc dx Fr 1 1  Fr lim

(i − I < 0)

[3.23]

Dado que las hipótesis del movimiento permanente gradualmente variado excluyen la existencia de tales pendientes, la teoría que manejamos no reproduce en rigor el problema físico en las cercanías del calado crítico: la hipótesis de distribución hidrostática de presiones, implícita en el cálculo, no se cumple en el caso de que las láminas de agua tengan mucha curvatura. Así, debemos aceptar

348

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

H8

la incapacidad de reproducir esta zona con la teoría que se presenta. El perfil de la curva será, entonces:

Fig. 3.16 Perfil de la curva M2

Esta curva, de modo análogo a la anterior, se conoce como M2. Si, por último, se percibe que la condición y (x 0 ) = y 0 está en la región 3, es decir, por debajo del calado normal y del calado crítico, el signo de dy dx viene dado por ( i − I < 0 ) y ( 1 − Fr 2 < 0 ), o sea dy dx > 0 : calados crecientes. Los límites con los que se encontrará la lámina de agua son, hacia aguas arriba, la limitación física de provocar una lámina de agua suficientemente estrecha para un caudal dado, sin mayores repercusiones en lo que a la ecuación se refiere; y aguas abajo, la tendencia al aproximarse a y c es, como en el caso anterior Fr → 1 y dy / dx → +∞ Este tipo de curva recibe el nombre de M3.

Fig. 3.17 Perfil de la curva M3

El valor del calado y min , que corresponde a un flujo de alta velocidad, debe

venir impuesto por un condicionante físico, por ejemplo por una compuerta que deje pasar una reducida lámina de agua. A continuación se ilustrarán los distintos tipos de curva con algunas de las situaciones que las provocan, y comenzando por este último caso, el esquema que podría dar lugar a una curva M3 sería, por ejemplo:

349

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Fig. 3.18 Ejemplo de condiciones que provocan una curva M3

La compuerta genera un desequilibrio hidrostático que se resuelve con un gran incremento en la velocidad en el agua que sale. Esta agua pierde energía (más de la correspondiente a i = I ) en forma de decremento de velocidad, lo que de modo colateral se traduce en un aumento de los calados. El régimen de circulación es rápido ( Fr > 1 ). Las curvas M2 se dan por ejemplo en los vertidos a un depósito con un nivel bajo. Como se justificará más adelante, la forma del vertido en este caso es:

Fig. 3.19 Ejemplo de condiciones que provocan una curva M2

Conviene resaltar que es el bajo nivel aguas abajo quien marca la forma de la curva. Esta curva está condicionada desde su extremo aguas abajo, del mismo modo que la M3 presentada está condicionada desde aguas arriba (la compuerta es quien gobierna el flujo, quien marca la tendencia). Si el nivel del depósito sube mucho, el desagüe se ve condicionado por él, y se forma un remanso; la curva que se da en ese caso es:

350

H8

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Fig. 3.20 Ejemplo de condiciones que provocan una curva M1

La curva M1 es la única curva que verdaderamente corresponde a un remanso. El resto (para este y otros tipos de pendiente) se llaman así por un abuso del lenguaje del que ya es difícil sustraerse. Hay que señalar que para el nivel de depósito condicione el vertido debe imponer un nivel de energía superior al del agua vertiendo libremente:

Fig. 3.21 Altura de depósito necesaria para una curva M1

En caso contrario, aún con niveles H por encima de 𝑦𝑦𝑐𝑐 + 𝑧𝑧 el vertido es libre y se acepta que el canal y el depósito son dos sistemas desacoplados. Del análisis realizado se destacan algunos puntos: •

•

•

No existe una identidad entre pendiente moderada y régimen lento; la curva M3 corresponde a pendiente moderada y su régimen es rápido. Lo único cierto es que el calado normal (y la tendencia asintótica o natural, por tanto) de un canal de pendiente moderada pertenece al régimen lento. Las curvas M2 y M3 “se precipitan ortogonalmente” al calado crítico en un extremo de aguas abajo, y no se puede definir, de momento, como continua el perfil de la superficie libre. En algún caso, como el ejemplo de vertido libre que se ha citado, este punto coincide con el extremo final del canal; en otros, aparece una transición o un fenómeno local: ambas situaciones se detallarán más adelante. El hecho de que el perfil adquiera una u otra curvatura viene dado por condicionantes físicos tangibles: una compuerta, un vertido, el nivel de

351

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

un depósito, un embalse, etc. Es fundamental identificar los factores que gobiernan el flujo para comprender por qué se desarrolla uno u otro tipo de curvas:

Fig. 3.22 Familia de curvas M

3.1.2 Análisis de las curvas S , C , H , A Las “curvas de remanso” de pendiente pronunciada se inscriben en tramos de canal que cumplen y c > y n , y sobre los que se pueden definir tres regiones, según la figura:

Fig. 3.23 Regiones en pendiente pronunciada

Si se plantea el crecimiento o decrecimiento de los calados, de acuerdo con los signos del numerador y el denominador de la ecuación del régimen permanente gradualmente variado, se tiene: Tabla 3

Región

i−I

1 − Fr 2

dy dx

1

>0

>0

>0

2

>0

<0

<0

3

<0

<0

>0

352

De nuevo las regiones 1 y 3 dan lugar a curvas crecientes y la región 2 a curvas decrecientes, aunque en la región 2 los signos del numerador y del denominador son los opuestos. Las tendencias en los extremos tienen los mismos condicionantes que para el caso de pendientes moderadas: •

En las cercanías de y n , dy / dx → 0

•

En las cercanías de y c , dy / dx → ∞

•

Si el calado crece mucho ( y → ∞ ), dy / dx → i

Con estas premisas, las curvas de pendiente pronunciada, S1, S2 y S3, tienen la forma:

Fig. 3.24 Familia de curvas S

Las curvas S2 y S3 pertenecen al régimen rápido, y vienen condicionadas desde aguas arriba, adquiriendo sus tendencias asintóticas aguas abajo. La curva S1, que corresponde al régimen lento, viene motivada por un nivel alto (embalse, depósito) aguas abajo, que no permite el desagüe en condiciones normales. De nuevo se observa que no hay una identidad entre pendiente pronunciada y régimen rápido, si bien las tendencias asintóticas de pendiente pronunciada llevan a un calado ( y n ) que pertenece al régimen rápido. Las curvas de pendiente crítica son un caso límite entre las de pendiente moderada y las de pendiente pronunciada, y se caracterizan por la igualdad y n = y c . Esto lleva a que una de las tres regiones desaparezca, siendo el gráfico de regiones del tipo:

353

H8

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Fig. 3.25 Regiones con pendiente crítica

Según la notación habitual, la región que desaparece es la 2. El crecimiento de las curvas viene indicado por: Tabla 4

Región

i−I

1 − Fr 2

dy dx

1

>0

>0

>0

2

<0

<0

>0

Como no podía ser de otro modo, las regiones 1 y 3 dan lugar a curvas crecientes: esto es una constante, ya que la propia definición de las regiones lleva aparejado el signo de dy dx . Las tendencias límite en el caso de curvas de pendiente crítica no se pueden generalizar, ya que en las inmediaciones de la frontera y n ≡ y c la ecuación se hace singular, anulándose tanto el numerador como el denominador: dy = lim y →yn ≡yc dx

i −I = ? lim 2 y →yn ≡yc 1 − Fr

( i − I → 0)

( 1 − Fr 2 → 0 )

[3.24]

Esta indeterminación se traduce en la práctica: se hace difícil discernir la evolución de las pendientes. Por otro lado, hay que decir que no es muy frecuente que un canal tenga pendiente crítica, ya que no hay ningún motivo que induzca a los calados normal y crítico a coincidir, y si coinciden lo harán sólo para un caudal en concreto. Esto conlleva que el régimen crítico es inestable (tiende a decantarse hacia el régimen rápido o el lento, y se mueve entre ambos, creando perturbaciones) y por tanto poco atractivo desde un punto de vista práctico. Esto lleva a que se evite la construcción de canales con pendiente crítica. En general, se prefiere definir tramos claramente de pendiente moderada, o claramente de pendiente

354

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

H8

pronunciada. De este modo, este tipo de canal queda como una singularidad sin relevancia en la práctica.

Fig. 3.26 Familia de curvas C

Los canales de pendiente horizontal permiten la definición de un calado crítico, igual que el resto de canales pero, como ya se ha discutido, no pueden cumplir la ecuación i = I para caudales distintos de cero. Así, la región 1, por encima del calado normal, no existe en los canales de tipo H:

Fig. 3.27 Regiones en pendiente horizontal

Las tendencias de crecimiento de las curvas H2 y H3 son, según lo habitual: Tabla 5

Región

i−I

1 − Fr 2

dy dx

2

<0

>0

<0

3

<0

<0

>0

lo que lleva a la definición de las curvas:

355

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Fig. 3.28 Familia de curvas H

La curva H2 tiene calados que, hacia aguas arriba tienden a crecer indefinidamente. La tendencia de dy dx es por tanto dy / dx → i = 0 . Idénticas formas presentan las curvas de pendiente adversa (A), para las que tampoco está definido el calado normal, y cuyas regiones y tablas de tendencias son:

Fig. 3.29 Familia de curvas A Tabla 6

Región

i−I

1 − Fr 2

dy dx

2

<0

>0

<0

3

<0

<0

>0

Resumiendo, las curvas de remanso tienen las formas:

356

H8

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Fig. 3.30 Tipos de curvas de remanso

Prescindiendo de las curvas C, de nula utilidad práctica, se puede observar que las tipologías se pueden agrupar en morfologías similares: • • • • •

M1; clase única, con tendencia asintótica aguas arriba y aguas abajo; régimen lento. M2, H2, A2; tendencia asintótica aguas arriba y calado crítico aguas abajo; régimen lento: M3, H3, A3; tendencia al calado crítico aguas abajo; régimen rápido. S1; clase única, con tendencia al calado crítico aguas arriba y tendencia asintótica (horizontal) aguas abajo; régimen lento. S2; clase única, con tendencia al calado crítico aguas arriba y al calado normal (asintótica) aguas abajo; régimen rápido.

3.2 Integración numérica de la ecuación del régimen permanente y uniforme La ecuación

(dy dx ) = (i − I )

(1 − Fr ) 2

junto con una condición de

contorno, del tipo y (x 0 ) = y 0 , permiten como ya se ha visto obtener el perfil de la superficie libre de un canal a partir del calado en un punto del mismo. A continuación se exponen dos metodologías para integrar esta ecuación, con ópticas radicalmente opuestas. Previamente, no obstante, se comentará la importancia de la elección correcta de la condición de contorno.

357

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Considérese un canal de pendiente moderada cuyo régimen de calados es variable según condicionantes externos, que a veces provocan curvas de tipo M1 y a veces provocan curvas de tipo M2 (piénsese por ejemplo que el canal desemboca en un depósito o embalse de nivel variable). El abanico de curvas que es esperable, para un caudal constante (lo que supone, fijada la pendiente y la rugosidad, que el calado normal es constante) tiene el aspecto:

Fig. 3.31 Posibles curvas dependiendo del nivel del embalse

La condición de contorno necesaria para reproducir la curva concreta que se desarrolla, es el calado en una posición ( x 0 o x 1 por ejemplo). Escoger la posición x 0 implica una capacidad de discernir muy inferior a la que tendríamos al escoger

x 1 , ya que en x 0 todas las curvas se compactan alrededor de y n . Un pequeño

error en la medida de y0 = y ( x 0 ) llevaría a un gran error en la curva, ya que los errores se amplifican hacia aguas abajo. Los errores hacia aguas arriba, sin embargo, se amortiguan. Esto es tanto más cierto cuanto más aguas arriba se sitúa x0 , llegándose en el caso límite de que se hayan alcanzado prácticamente las tendencias asintóticas, a una absoluta incapacidad de discernir, lo que invalidaría a ese punto como posible condición de contorno.

Fig. 3.32 Amplificación de errores (dch.) o amortiguación de errores (izq.)

Adicionalmente, cabe decir que es en x 1 , es decir, aguas abajo, donde se

están dando los condicionantes físicos para que se desarrolle la curva, y eso ya es

358

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Si esta razón es poderosa en curvas de remanso correspondientes al régimen lento, lo es más en curvas correspondientes al régimen rápido: las curvas M3, S2, S3, H3, A3 tienen como condicionante físico una acción que se da aguas arriba (imposición de niveles bajos o críticos aguas arriba; por ejemplo, por la acción de una compuerta). A partir de esta imposición, se desarrolla una curva que adopta una u otra tendencia (calado normal o crítico) según en qué región se encuentre. No sólo se observa que los condicionantes físicos están arriba, es que, además, al tratarse de un régimen rápido, con Fr > 1 y por tanto v > c , nada de lo que sucede aguas abajo en una curva de este tipo tiene repercusión alguna aguas arriba, y esto invalida de modo conceptual el uso de los puntos aguas abajo como condiciones de contorno.

Fig. 3.33 Área de influencia de un punto

Desde un punto de vista matemático, esto se formula diciendo que el segmento ( x 0 , x 1 ) no forma parte del área de influencia de x 1 , o que x 1 no está incluido en el dominio de dependencia de x 0 . De este modo, se aceptará que, de modo general: • •

Las curvas de remanso en régimen lento se integrarán a partir de una condición de contorno establecida aguas abajo. Las curvas correspondientes a régimen rápido se integrarán a partir de una condición de contorno establecida aguas arriba.

El primer método numérico que se presentará se basa en la integración de la ecuación tal y como está formulada. Dentro de esta familia de métodos, una gran cantidad de los cuales se puede encontrar en Chandhry, M.H., se destaca el método de Runge-Kutta de 4º orden, una de cuyas posibles formulaciones es: Dado:

dy = f (x , y ) ; y (x 0 ) = y 0 dx

359

dy dx

x =x 0

= f (x 0 , y 0 )

[3.25]

H8

por sí solo un motivo para escoger esa posición como condición de contorno, ya que es ahí donde efectivamente se condiciona el flujo.

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

y a partir de una discretización del dominio en x, en intervalos ∆x , se calculan las variables instrumentales:

Fig. 3.34 Discretización de x

K 1 = f (x i , y i )

[3.26]

1 1 K 2 = f  x i + ∆x , y i + K 1 ∆x  2 2  

[3.27]

1 1 K 3 = f  x i + ∆x , y i + K 2 ∆x  2 2  

[3.28]

1 K 4 = f  x i + ∆x , y i + K 3 ∆x  2  

[3.29]

El método, cuya justificación se encuentra en cualquier libro de cálculo numérico, propone un valor de y i +1 dado y i , según: y i +1 = y i +

1 (K 1 + 2K 2 + 2K 3 + K 4 )∆x 6

[3.30]

Dado (x 0 ,y 0 ) , se calcularía así y1 , y después y 2 ... Mediante este método, en que se pierde la esencia física y se confía en la bondad del ajuste numérico, se van calculando valores para y i , i = 1, ... n , correspondientes a abscisas x i , i = 1, ... n. Este método ofrece una excelente precisión, y, si su uso no se ha generalizado, así como ningún otro de los que integran directamente la ecuación, es por la imposibilidad de incorporar fenómenos locales (y pérdidas de carga localizadas) en el cálculo. Debido a que en un canal, al igual que en una tubería, es preciso a veces imponer una pérdida de carga en un punto determinado, y esto escapa a la ecuación del régimen permanente gradualmente variado, y también debido a que los canales no suelen ser prismáticos, como imponen las hipótesis de este tipo de régimen, se busca una formulación numérica algo menos rígida que la comentada con anterioridad. Se dirá que al incorporarse estas pérdidas locales ya no se está trabajando con un régimen permanente gradualmente variado, y de hecho es cierto, pero la práctica obliga a considerarlas, ya que, como se irá viendo, el régimen permanente gradualmente variado es una idealización cuyas hipótesis son más exigentes de lo que la práctica permite. El método de cálculo que se propondrá, perfectamente válido para el régimen permanente gradualmente variado, ya está preparado para incorporar las pérdidas locales, y eso es un gran activo que hace a este método muy competitivo frente al anteriormente propuesto.

360

El método que se propone se conoce como “método paso a paso” (step method) y no se basa en la resolución de la ecuación diferencial de las curvas de remanso, sino de aquella de la que proviene (ecuación de conservación de la energía). Como se comentó en 4.1, la ecuación de las curvas de remanso no es sino una interpretación infinitesimal de la ecuación de Bernoulli: al ser distintos los calados y las velocidades lo es la pendiente motriz, y la expresión (usada en tuberías y en movimiento permanente y uniforme):

E1 − E 2 = I·L12

[3.31]

no tiene sentido a nivel de cálculo al no poder conocer I, ya que I es una función que varía punto a punto. La definición de pendiente motriz media como: I =

E1 − E 2 L12

[3.32]

se sustituye a nivel de cálculo por su forma diferencial: I =−

dE dx

[3.33]

y esto da lugar a la ecuación de las curvas de remanso. Al discretizar estas curvas para la resolución de la ecuación por un método como el de Runge-Kutta, se acepta trabajar con incrementos ∆x en los que las variables modifican su valor de un modo predefinido: se aceptan como constantes, o varían linealmente… En cualquier caso, subyace una nueva definición de I, como: I =

E i +1 − E i ∆x

[3.34]

donde ∆x es lo suficientemente pequeño para que las hipótesis sobre las variaciones de calados y velocidades (p.e. de modo lineal) sean ciertas. Así, el problema ha sido transformado de global en infinitesimal y después en finito, según el esquema:

Fig. 3.35 Discretización del problema

El método paso a paso salta la fase infinitesimal, y directamente discretiza el dominio en elementos ∆x en que se supone que las variaciones de calado y

361

H8

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

velocidad pueden ser bien interpretadas a partir de variaciones predefinidas (p.e. lineales). La ecuación a resolver es la conocida ecuación:

E= E 2 ± I·L 1

[3.35]

donde L es ahora un pequeño incremento de longitud (positivo o negativo según se comience con una condición de contorno aguas arriba o aguas abajo). La restitución de la curva de remanso pasa ahora por una discretización del dominio de longitud L en elementos de longitud ≈ ∆x entre los que se plantea la ecuación:

Fig. 3.36 Ecuación discretizada

vi2 E i = z i + yi + = 2g

( )

(Ei +1 − ∆x·I )=

z i + 1 + yi + 1 +

vi2+1 2g

− ∆x·I

[3.36]

Supuesto conocido el valor en el entorno de aguas abajo (régimen lento), asumiendo, según la notación habitual E i ≡ E 0 y E i +1 ≡ E 1 , se conoce el valor de z 0 , y 0 , v 02 2g , z 1 (la geometría del fondo es conocida), ∆x y son desconocidos

y 1 y v12 2g , aunque v 1 es de hecho una función del calado ( v 1 = v 1 (y 1 ) ).

En el intervalo x 0 , x1 hay que definir una pendiente motriz para el cálculo. Podría imponerse, por ejemplo:

= I 01

n 2·v 02 Rh4/3

≡ I 0 (conocido)

[3.37]

0

De este modo, el valor de I 01 sería un dato (ya que sólo depende de variables

E1 − ∆x·I 01 sería calculable con en x 0 , todas conocidas), y la expresión E= 0 facilidad, obteniéndose un valor de y 1 , que permitiría después calcular y 2 , y 3 … hasta y A . Si se observan las curvas de remanso, se percibe que son sistemáticamente crecientes o decrecientes, y su derivada también lo es: la curva M2 esquematizada en la gráfica anterior, por ejemplo, va decreciendo de un modo

362

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

cada vez más brusco. De este modo, en el intervalo x i +1 , x i , el calado en x i +1 es sistemáticamente mayor al calado en xi , y la velocidad tiene una relación inversa. I 01 ≡ I 0 , se sobrevalora el valor de I 01 , y esto se hace de modo sistemático, con

lo que los errores se acumulan. Si se optase por imponer I 01 ≡ I 1 , se infravalorarían sus valores, también de modo sistemático. Así, parece que lo correcto es imponer: I 01 = media (I 0 , I 1 )

[3.38]

Esta media puede entenderse de distinta manera, por ejemplo: I 01 =

1 (I 0 + I 1 ) -aritmética2

I 01 = I 0 I 1

-geométrica-

I 01 =

armónica-

2·I 0I 1

I 0 + I1

-

en la práctica cualquiera de ellas ofrece buenos resultados si ∆x es pequeño y se suele escoger, por simplicidad, la media aritmética. La expresión final, descompuesta para la identificación de las variables, sería (entre 0 y 1): z1 + y1 +

( )=z

v12 y1 2g

0

v 02

∆x + y0 + + 2g 2

( ) ( )

 2 2 n 2·v 2 y  1 1   n ·v 0 + 4/3  R 4/3 Rh y1   h1  1

[3.39]

Esta ecuación implícita tiene como única variable a "y 1" y puede ser resuelta

con facilidad por cualquier método numérico al uso (p.e. Newton). De este modo, se propone un método iterativo que calculará y A dado y B con la ayuda de puntos intermedios que tienen como misión reflejar la variación de la pendiente motriz según varía el calado.

Se dijo y se mantiene que no se puede aplicar la ecuación de Bernoulli entre A y B. Si se acepta su aplicación entre 0 y 1 o entre i e i + 1 es porque ∆x es pequeño, y el promedio de la pendiente motriz (que postula su variación lineal), se considera aceptable. Si la variación de I no es lineal (y no lo es), se comete un error tanto mayor cuanto mayor es ∆x . La elección de ∆x depende de las dimensiones generales del canal y de la cercanía a una zona de calados variables. En general, en las cercanías del calado crítico conviene que ∆x sea pequeño (como orden de magnitud similar a la anchura, o menor), y en ausencia de condicionantes externos se puede ir ampliando ∆x . Como se ha comentado, ∆x viene condicionado por la curvatura de la función y (x ) . En cualquier caso, el método de prueba y error es de gran

363

H8

Esto lleva a que, de modo sistemático I i +1 < I i para este tipo de curva. Al imponer

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

ayuda: se pueden ir probando ∆x decrecientes hasta que el resultado sea prácticamente insensible al valor impuesto. Ya se han comentado las ventajas de este método sobre el de integración directa, pero a continuación, visto el desarrollo, se entenderá mejor lo que se quería decir. Considérese por ejemplo un canal con un cambio de sección en una posición intermedia C:

Fig. 3.37 Canal con variación de sección

Ei + ∆x·I El nudo C se resolverá sin mayor problema, imponiendo: Ei += 1 E i +1 = z i +1 + y i +1

Q2 Q2 + 2 ; Ei = z i + yi + 2 Ai 2g Ai +1 2g

[3.40]

donde A i +1 corresponde a la sección B-C, y Ai corresponde a la sección C-A. Aunque cabría discutir los efectos sobre la bondad del promediado de I, al ser un tramo muy localizado, el error global en pérdida de carga es despreciable, y no se tiene en cuenta. Del mismo modo, si en el punto C se produce una adición de caudal, se impondría:

Ei = z i + yi +

(Q + ∆Q )2 Ai2 2g

[3.41]

y la ecuación sigue siendo válida. El efecto de una pérdida local, de valor λ·vi2 2g , se incluirá como:

Ei += Ei + ∆xI + 1

λ·vi2 2g

[3.42]

Un lector familiarizado con el cálculo de tuberías reconocerá como natural esta formulación. Hay que recordar que la problemática del régimen permanente gradualmente variado es la variabilidad de I, lo que imposibilita imponer equilibrios entre puntos distantes. Los equilibrios entre puntos cercanos pueden

364

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Los efectos de estas variaciones locales se detallarán más adelante, se han apuntado aquí para ilustrar cómo se implementan con facilidad en el método paso a paso, que es el usado con generalidad en los programas de cálculo más conocidos. 3.2.1 Cálculo inverso La resolución de la ecuación del balance de energía (Trinomio de Bernouilli) entre dos secciones consecutivas en un canal, desarrollado en el apartado anterior (método paso a paso), permite un segundo enfoque. Nótese que si la discretización se establece sobre los caldos (∆y ) en lugar de la distancia (∆x ) entre secciones, se tendrá: v 2 (y i ) = z i +1 + y i +1 + I (y i , y i +1 ) ⋅ ∆x i i +1 z i + yi + 2g

[3.43]

Donde ahora y i e y i +1 son conocidos y por tanto v(y i ) e I (y i , y i +1 ) también lo serán, con lo que se obtiene una sencilla ecuación lineal con una sola incógnita ∆x i i +1 , que corresponde a la distancia entre las dos secciones en las que se presenten respectivamente los calados conocidos y i e y i +1 . Apréciese que fácilmente pueden de nuevo considerarse los términos correspondientes a pérdidas localizadas de energía sin que suponga ninguna dificultad añadida a la resolución de la ecuación.

Fig. 3.38 Obtención de Δx para Δy constante

Una discretización a partir de un incremento ∆y constante para todo el intervalo de variación de los calados conducirá a la obtención de distancias (∆xi i +1 ), entre secciones que estarán tanto más espaciadas cuanto más cercanos

365

H8

ser impuestos con los mismos criterios con los que se impondrían en el cálculo de tuberías. A nivel local, las formulaciones para ambos tipos de régimen coinciden.

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

estén los calados al normal, estarán tanto más próximas cuanto más cerca esté el calado del régimen crítico (mayor pendiente). Si el canal es prismático y con características hidráulicas (área y perímetro mojado) sencillas de obtener (p.e. rectangular, trapecial, etc.) el método pasos a paso inverso es especialmente simple de calcular. La mayor facilidad en la resolución de la ecuación lineal que resulta al plantear el trinomio de Bernoulli entre dos secciones, hace que éste sea un método aplicable con la mera utilización de una hoja de cálculo, a diferencia del llamado método directo que requiere de la programación de métodos numéricos algo más sofisticados, que se han descrito en el apartado anterior. Hay que comprender que la aplicación de este método requiere tener muy claro, a priori, que tipo de curva va a obtenerse (M1, S1, etc.) a fin de fijar el intervalo de calados en el que va a establecerse la discretización, o incluso decidir si existe algún intervalo en el que interese realizar una discretización más fina. Igualmente, nótese que el proceso es difícil de automatizar en el momento en que aparecen combinaciones de pendientes distintas. Por todo esto los diversos paquetes que se encuentran en el mercado para el cálculo de flujo gradualmente variado aplican el método directo en lugar del inverso. 3.2.2 Cálculo de n En los apartados anteriores se comentó un método para el cálculo de coeficiente de Manning, basado en la medida del calado normal. Se apuntó la dificultad de aplicar el método ante la imposibilidad de encontrar tramos con calado normal. Tras haber visto los métodos de cálculo de los calados en régimen permanente gradualmente variado, es fácil comprender que dada una condición de contorno 𝑦𝑦𝑥𝑥0 = 𝑦𝑦0 , distintos valores de n dan lugar a distintas curvas. Si se dispone de medidas del calado a lo largo del canal, se podrá estimar cuál es el valor de n que mejor ajusta. Obviamente, este método exige más trabajo que el comentado con anterioridad, pero es mucho más fiable.

366

H8

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Fig. 3.39 Ajuste de n a medidas de campo

Transiciones y cambios de régimen

Se entenderá como transición el paso suave de un tipo de curva de remanso a otro, motivado, por lo general, por variaciones en la pendiente del canal. En canales no prismáticos las transiciones pueden ser motivadas por otros factores; esto se verá en apartados posteriores. Las transiciones se dan de modo suave y sin ningún efecto “traumático” para el canal: el punto de la transición apenas es perceptible si se observa la superficie libre. Desde el punto de vista de la integración numérica tampoco representa ningún problema: si varía la pendiente, variará la diferencia entre z i y z i +1 (en el método paso a paso) para ∆x , y el resultado será consecuente con esta variación. Es interesante apuntar aquí que cuando se calcula con el método paso a paso no es preciso indicar qué tipo de curva estamos manejando (M1, M2…). El tipo de curva ya sale directamente del cálculo. Un usuario de un programa de cálculo que ignore las formas de las curvas podría calcular correctamente utilizando el programa, pero no se daría cuenta de la forma que adoptan los perfiles ni del porqué de esas formas. Hay que decir que los perfiles tipificados son reconocibles en canales, donde la pendiente se mantiene constante en tramos largos. En ríos, lo que se obtiene es una sucesión de transiciones entre curvas de distintos tipos o, dentro de un tipo,

367

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

de distintas tendencias. Para ilustrar esta última distinción, se pondrá un ejemplo de ambas transiciones:

Fig. 4.1 Paso de pendiente pronunciada a pendiente moderada

El caso que se recoge en la figura superior representa un canal con dos tramos: uno inicial de pendiente pronunciada y uno final de pendiente moderada. Como se observa y ya se comentó, el calado crítico coincide en ambos tramos (sólo depende del caudal) y los calados normales son distintos (dependen adicionalmente de la pendiente). Si se considera como condición de contorno un cierto calado en un punto aguas abajo del tramo de pendiente moderada, situado entre el calado normal y el calado crítico, se desarrolla en el tramo M una curva de tipo M2, que en el punto de la transición casi ha alcanzado su tendencia normal. El calado en este punto ( y A ) es la condición de contorno a partir de la cual se desarrollará el segundo segmento, en la zona de pendiente pronunciada. Al estar claramente por encima del calado crítico, y venir el calado (D) condicionado desde aguas abajo, el tipo de curva que se dará será una S1. La transición es suave y apenas se notaría observando el perfil de la superficie libre. En el segundo ejemplo que se presenta, con el mismo tramo aguas abajo y la misma condición de contorno, la transición se produce al haber un tramo de pendiente moderada aguas arriba para el que y A es un valor por encima del calado normal. El tipo de curva varía entonces, de M2 a M1, siento y A la condición de contorno para el tramo M1.

368

H8

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Fig. 4.2 Transición de curva M1 a M2

En el último ejemplo de esta serie, ambos tramos tienen pendiente moderada, y dado que y n1 > y n2 , y A es una condición de contorno que da lugar a una curva M2. Esto también es una transición, ya que aunque ambos tramos se desarrolla una curva de igual tipo (M”), sus tendencias ( y n ) son distintas.

Fig. 4.3 Transición entre curvas M2

En un río o un canal con distintos tramos las transiciones son por tanto muy corrientes. El perfil habitual de un río es del tipo:

Fig. 4.4 Perfil de un río con distintas curvas de remanso

369

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

En un canal, los tramos están más definidos; a modo de ejemplo, para su posterior discusión, se plantean dos canales, el primero con predominancia de pendientes pronunciadas, y el segundo con predominancia de pendientes moderadas:

Fig. 4.5 Canal de pendientes pronunciadas y de pendientes moderadas

Dado que en el primer caso la pendiente media es pronunciada, el régimen de circulación predominante (la tendencia natural, si no hay fuertes condicionantes) es rápido, con lo que la condición de contorno se ha impuesto arriba. Recíprocamente, si la pendiente dominante es moderada, cabe esperar que el régimen sea lento y la condición de contorno (salvo condicionantes externos) se dé aguas abajo. Si se analizan con detenimiento ambos ejemplos, se puede apreciar que no son del todo generales, y que la facilidad en el ensamblaje de las curvas puede no estar garantizada. Al observar por ejemplo el caso de pendiente dominante moderada, y se plantea que uno de los tramos S sea muy largo, curva S1 acabaría alcanzando el calado crítico. Lo mismo sucedería en el caso de pendiente pronunciada dominante si se amplía el tramo M:

370

H8

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Fig. 4.6 Ensamblaje de curvas

Estas situaciones, corrientes si se enlazan tramos largos de pendientes con distintas tendencias (al régimen rápido -S- y al régimen lento -M, H, A,-) dan lugar a cambios de régimen. Si se repasan las últimas páginas, todas las transiciones que se han presentado tienen una característica fundamental: no hay cambio de régimen. El paso de una curva S1 a M2, o M1 a M2 se da siempre en régimen lento, y el paso de S2 a M3 se da en régimen rápido. Entendemos por transición el paso de uno a otro tipo de curva, sin cambio de régimen. En el caso de que se de este cambio, no se habla de transición sino explícitamente de cambio de régimen.

4.1 Cambios de régimen Hay dos tipos posibles de cambio de régimen: cambio de régimen lento a régimen rápido y cambio de régimen rápido a lento. Como se verá, dan lugar a tipologías distintas, y se tratarán separadamente. 4.1.1 Cambio de régimen lento a régimen rápido. Calado crítico Supóngase un canal con un tramo largo de pendiente moderada y otro tramo, también largo, de pendiente pronunciada, unidos por una transición suave:

Fig. 4.7 Transición suave de pendiente moderada a pronunciada

371

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Si se analizan las tendencias naturales del flujo, se observa que en ausencia de condicionantes en los extremos, la única singularidad en el canal es el cambio de pendiente. Suficientemente lejos aguas arriba y aguas abajo cabe esperar que las tendencias asintóticas se alcancen:

Fig. 4.8 Tendencias asitóticas del calado normal

El enlace entre el calado normal en régimen lento del tramo M y el calado normal en régimen rápido del tramo S exige que las curvas de remanso que se desarrollen en cada uno de los tramos recojan los condicionantes de la transición: la zona de pendientes moderadas impone un calado alto (y > y n2 ) a la zona S y la de pendientes pronunciadas impone un calado bajo (y < y n1 ) y a la zona M. La curva de tipo M que, partiendo del calado normal, tiene calados decrecientes es la M2; la curva de tipo S que alcanza el calado normal partiendo de calados mayores es la S2; así, el enlace es:

Fig. 4.9 Enlace entre curvas de remanso

donde el único punto común entre las dos curvas es el calado crítico; es decir, que el cambio de régimen lento a rápido implica un paso por el calado crítico. Es un acuerdo suave, pero impone una singularidad en la ecuación de las curvas de remanso.

372

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

H8

Como se ha observado en las figuras, las curvas M2 y S2 tienen como punto en común el calado crítico, y el punto de paso de una a otra es aquél donde la pendiente pasa de ser moderada a pronunciada.

Fig. 4.10 Punto de cambio de pendiente

Este es el único punto en que la ecuación de las curvas de remanso reconoce el paso por el régimen crítico, y sólo aceptándolo como una singularidad: si la ecuación de las curvas de remanso se escribe como: dy (1 − Fr 2 ) = i − I dx

[4.1]

Se acepta de modo natural que i − I = 0 implica dy / dx = 0 , lo que lleva a la ecuación del régimen permanente y uniforme. Hay no obstante otra solución, que es Fr = 1 . Puede darse i = I y dy / dx ≠ 0 siempre que el calado sea crítico. Ese punto en que los calados no son constantes, pero se da i = I junto con Fr = 1 es el que se ha señalado en la figura: es el punto de ensamblaje entre las curvas M2 y S2. Si el acuerdo entre pendientes es brusco, se acepta asimismo que el cambio de régimen provoca un paso por el calado crítico:

Fig. 4.11 Transición brusca de pendientes

373

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Un caso particular e interesante se da en el paso desde una pendiente adversa a un tramo de pendiente pronunciada, una de cuyas aplicaciones prácticas sería la embocadura de un aliviadero de presa; con el agua embalsada aguas arriba:

Fig. 4.12 Paso de pendiente adversa a pendiente pronunciada

Si se considera que en un tramo tan corto la pérdida de carga es despreciable y además las pendientes son importantes ( i >> I ), la ecuación de las curvas de remanso se puede escribir como: dy (1 − Fr 2 ) = − dz dx dx

(i = −

dz ) dx

[4.2]

De donde, si dz / dx = 0 , entonces dy / dx = 0 o Fr = 1 . Se pueden encontrar casos en que la solución sea dy / dx = 0 , pero en el ejemplo propuesto, en que el agua está vertiendo y pasando de una velocidad inicial nula a una velocidad final importante, los calados deben actuar en consonancia y cabe afirmar dy / dx < 0 , con lo que en el punto de transición entre las pendientes A y S ( dz / dx = 0 ), debe cumplirse Fr = 1 .

Fig. 4.13 Punto de transición de pendientes

Otro caso singular relevante es el vertido libre. Si se considera un canal de pendiente A, H o M (se asumirá M aunque no hay diferencias) y tras él un tramo de pendiente S, variable y cada vez más pronunciada, se observa que, a pesar de

374

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

H8

que los calados normales asociados al tramo S son cada vez menores, la condición Fr = 1 en el cambio de pendiente sigue inmutable.

Fig. 4.14 Diferentes pendientes en vertido pronunciado

Así, el punto A tiene impuesto el calado crítico si los tramos S no tienen otros condicionantes (altos niveles abajo, por ejemplo), independientemente de la pendiente del tramo de aguas abajo. Si se lleva la pendiente a su límite, y se supone que el canal continúa en un muro vertical:

Fig. 4.15 Transición a vertido libre

se habla de vertido libre. Este flujo contraviene dos de las hipótesis de las ecuaciones del régimen permanente gradualmente variado: la pendiente no es pequeña y la curvatura de la lámina de agua tampoco lo es. Es fácil ver que el régimen de presiones en el vertido no es hidrostático, dado que el chorro que sale a la atmósfera está limitado por la presión atmosférica tanto en su capa superior como en su capa inferior.

375

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Fig. 4.16 Distribución de presiones en vertido libre

El vertido libre escapa a la teoría que se propone, y el análisis que se apunta sobre la tendencia del flujo a medida que aumenta la pendiente no pasa de ser intuitivo. Para llegar a concretar qué tipo de flujo se da realmente en el vertido hay que acudir a la experimentación, y el perfil de la superficie libre que se obtiene es:

Fig. 4.17 Perfil aguas arriba de un vertido libre

A efectos prácticos, y dado que la distancia (3 − 4 )y c es pequeña frente al desarrollo de un canal, se acepta en general el vertido libre como vertido en régimen crítico. Recapitulando, y a título de ejemplo, si se considera el esquema de la figura, con un tramo de pendiente moderada y otro de pendiente pronunciada; hasta ahora se reconocen dos situaciones, según el nivel aguas abajo

376

H8

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Fig. 4.18 Transiciones de pendiente moderada a pronunciada

Hay una tercera opción, que se daría para niveles intermedios, y de la que se hablará tras presentar el segundo caso de cambio de régimen: de régimen rápido a régimen lento. 4.1.2 Cambio de régimen rápido a régimen lento. Resalto hidráulico Así como el cambio de régimen anteriormente expuesto se resuelve de modo suave gracias a la conexión de las curvas M2 - S2 (o H2 - S2, A2 - S2), avalada por la singularidad de la ecuación de las curvas de remanso que también se ha planteado, no existe un modo suave de resolver el cambio de régimen rápido a lento. Si se considera el canal con dos tramos largos de la figura:

Fig. 4.19 Canal con transición de pendiente pronunciada a moderada

En los puntos A y B, suficientemente alejados del cambio de pendiente y de los extremos, cabe suponer que se establecen las tendencias asintóticas, ya que el régimen rápido que de modo natural se establece en el canal de tipo S lleva al calado normal en su extremo de aguas abajo (S2 o S3), y el régimen lento que se genera en el canal de tipo M lleva al calado normal en el extremo de aguas arriba (M2 o M1). A esto sólo cabe objetar que el propio cambio de pendiente puede desvirtuar estas tendencias, y de hecho lo hará en una zona cercana al mismo, pero sí es aceptable que las curvas se aproximan al cambio con tendencias distintas por arriba (régimen rápido) y por abajo (régimen lento). Si se recuerdan las formas de las curvas S y M, se verá que no hay ninguna combinación que

377

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

permita realizar el cambio de modo suave, al contrario de lo que sucedía con las ya citadas combinaciones M2 - S2 para el cambio de régimen planteado en el apartado anterior.

Fig. 4.20 Familias de curvas S y M

El cambio de régimen rápido a lento no es compatible con las ecuaciones del régimen gradualmente variado ni como una singularidad; es un fenómeno local, y disipa energía, con lo que la ecuación de conservación de la energía no puede reproducir el cambio de régimen si no se aporta la pérdida local como un dato adicional. De modo ideal, el problema que se quiere solucionar es el paso de un régimen rápido a un régimen lento. Asumiendo que este fenómeno se da (por simplicidad) en un tramo horizontal, el planteamiento inicial corresponde a la figura:

Fig. 4.21 Condiciones de contorno de la transición

Aceptando (como la experiencia corrobora), que el cambio de régimen es súbito y disipativo, se puede aplicar la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento al recinto en el que se limita el fenómeno: al tratarse de un fenómeno local con disipación de energía, la pérdida de carga por fricción es despreciable; los únicos efectos reseñables son la variación de presión y la variación de velocidad. El flujo pierde energía de velocidad y gana masa por unidad de

378

longitud (y energía de presión, por tanto). Esto se puede formular a partir de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento, como:   ρ·Q·∆v [4.3] ∑ F= ext Las fuerzas exteriores al volumen de control son los esfuerzos debidos a la presión en los extremos, en la dirección del movimiento, su suma es:

(

)

− Fp2 − Fp1 ; Fp =

∫s p·ds

[4.4]

Así, la ecuación se formula, en su forma general como:

(

)

(

− Fp − Fp1= ρ·Q v 2 − v1 2

)

[4.5]

o

(

Fp − F= ρ·Q v1 − v 2 p 2

1

)

[4.6]

Dado que las presiones son hidrostáticas, y conocida la geometría de la sección, se cumple:

Fp2 = Fp2 (y 2 ) ; Fp1 = Fp1 (y 1 ) ; v 1 = v 1 (y 1 ) ; v 2 = v 2 (y 2 )

[4.7]

de donde la relación propuesta es del tipo ϕ (y 1 , y 2 ) = 0 , es decir, dado el calado

y 1 , se puede calcular y 2 y viceversa. Los calados correspondientes en esta relación

se llaman “calados conjugados”. La longitud del fenómeno local es del orden de 6(y 2 − y 1 ) , y a lo largo de esta longitud se genera una gran turbulencia, que

provoca el frenado del agua y una gran pérdida de carga: a este fenómeno se le conoce como “resalto hidráulico”.

Fig. 4.22 Trasnición en forma de resalto hidráulico

Dado que la distancia 6(y 2 − y 1 ) obtenida experimentalmente suele ser

pequeña respecto de la longitud de un tramo de canal, es usual representar el resalto como una variación súbita del nivel. El resalto hidráulico se estudia aquí

379

H8

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

como mecanismo para el cambio de régimen. El estudio del resalto en sí mismo excede con mucho al ámbito de este texto. El flujo que se da en el resalto no es unidimensional ni monofásico (hay una gran absorción de aire) y no existen hasta la fecha modelos que permitan definir completamente sus propiedades. Para el caso particular de un canal de sección rectangular, la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento adquiere una forma simplificada de mucho interés a nivel de cálculo. Conviene antes de presentarla remarcar que esta fórmula es sólo válida si el canal tiene efectivamente geometría rectangular: para otras geometrías habrá que utilizar la ecuación tal y como se ha formulado. Dado un canal rectangular, los esfuerzos de presión en ambos extremos se pueden expresar como:

Fig. 4.23 Presión en una sección del canal

= Fp 1

γ

p·ds ∫= s

y12·B1 ; Fp =

2

1

2

γ 2 y ·B 2 2 2

[4.8]

Dado que: B 1 = B 2 = B , se tiene:

B·γ 2 y2 − y12= ρ·Q v1 − v 2 2

(

Recordando v =

)

(

)

Q : By

B·γ Q2  1 1 Q 2  y2 − y1  y2 − y1 y2 += y1 ρ ρ − =     2 B  y1 y2  B  y1·y2 

(

[4.9]

)(

)

[4.10]

Simplificando:

(

B·γ Q2 1 y2 + y1 ρ = 2 B y1·y2

)

Si se acepta (Q 2 = v12·B 2·y12 )

380

[4.11]

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

o sea: y 2 + y 1 =

)

v 2·B 2·y12 1 B·γ = ρ 1 2 B y1·y2

y2 2 2 y1 v1 = 2Fr12 1 g y2 y2

( Fr12 =

[4.12]

v12

g·y1

)

[4.13]

Multiplicando por y 2 :

y22 + y1·y2 − 2Fr12·y12 = 0 y Dividiendo por y :  2  y1 2 1

De donde:

[4.14]

2

 y  + 2 − 2Fr12 = 0 y1 

− 1 ± 1 + 8Fr12 y2 = y1 2

(sólo la solución positiva tiene sentido

físico) La ecuación explícita: y2 =

(

y1 − 1 + 1 + 8Fr12 2

)

[4.15]

se conoce como ecuación de Bèlanger, y permite calcular y 2 conocido y 1 (dado

que Fr1 = Fr1 (y 1 ) ). Es fácil comprobar el carácter recíproco de la ecuación, de modo que también se puede formular como:

(

y1 =

y2 − 1 + 1 + 8Fr22 2

y =

y − 1 + 1 + 8Fr 2 2

)

[4.16]

o, en general, como:

(

)

[4.17]

donde, dado un calado y (sea el correspondiente al régimen lento o al régimen rápido), se obtiene su conjugado y . La pérdida de energía se evalúa en este caso como 3

(y2 − y1 ) ∆E = 4y1·y2

(la deducción de esta expresión se deja para el lector)

A título de ejemplo, si se considera un canal rectangular de 2 m de anchura, transportando 10 m 3 / s en régimen rápido con un calado de 80 cm, su conjugado se calculará como:

y1 = 0,8m = ; v1

Q 10 Fr1 = = 6, 25m / s ;= B·y1 2 × 0, 8

381

v = 2, 23 g·y

[4.18]

H8

(

y2 + y1

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

de donde y 2 = 2,15m ; v 2 = 2,33m / s ; E 2 = 2,15 +

2,33 2 = 2,43 2g

La pérdida de carga se calcula como: E 1 = 0,8 +

2,33 2 6,25 2 = 2,43 = 2,79 ; E 2 = 2,15 + 2g 2g

∆E = 0,36m.c.a.

O bien ∆E =

(2,15 − 0,8)3

4 × 2,15 × 0,8

[4.19] [4.20]

= 0.36 m.c.a.

y la longitud estimada del resalto es: 6(y 2 − y 1 ) = 8,1m

Fig. 4.24 Ejemplo de resalto hidráulico

Si se recupera el problema que dio lugar a la necesidad de plantear un cambio de régimen, que como se recordará es el canal formado por dos tramos de la figura:

Fig. 4.25 Calados normal y crítco de la transición

y se consideran las curvas de remanso que se desarrollarán considerando las condiciones de contorno aguas arriba (régimen rápido) y aguas abajo (régimen lento) suficientemente alejadas, el esquema sería:

382

H8

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Fig. 4.26 Curvas de remanos aguas arriba y aguas abajo

El resalto hidráulico se dará entre uno de los calados de la rama inferior, y su correspondiente (conjugado) en la rama superior. No es preciso (de hecho es muy infrecuente) que el resalto se dé exactamente en el cambio de pendiente: se dará cuando los calados en la rama inferior y superior cumplan la ecuación de los calados conjugados (ecuación de conservación de la cantidad de movimiento). Una solución posible será:

Fig. 4.27 Ejemplo de transición en las curvas de remanso

Es interesante reflexionar un poco sobre los valores relativos de un calado y su conjugado. Dado un caudal, el flujo en régimen rápido es tanto más “energético” cuanto mayor es su velocidad o, dicho de otro modo, el principal activo de un flujo en régimen rápido es su velocidad. En el flujo en régimen lento, la energía viene fundamentalmente del calado. Aunque la energía de una sección y su relación con el calado se discutirán más adelante, sí parece claro que el resalto hidráulico es un estado de equilibrio entre un “chorro” de agua de alta velocidad y un “muro” de agua de gran altura. Si dado ese equilibrio, el chorro aumenta súbitamente su energía cinética, se llevará por delante al muro hasta encontrar otro estado de equilibrio (si lo hay); si aumenta el calado aguas abajo, el muro de agua anegará al chorro; simbólicamente, el esquema podría ser el mostrado en la Fig. 4.28. Así, si aislamos el núcleo del resalto, observamos que está sujeto a dos esfuerzos contrapuestos de distinta naturaleza. Aumentar la energía del flujo en régimen rápido implica aumentar su velocidad (y por tanto disminuir su calado). Esto lleva a que, al menos a nivel intuitivo, el calado conjugado de un calado muy

383

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

pequeño en régimen rápido (con gran velocidad, por tanto), debe ser un calado muy grande en régimen lento.

Fig. 4.28 Esquema de equilibrio equivalente

Desde un punto de vista analítico, y si tomamos por simplicidad la ecuación de Bèlanger, y se plantea la relación y 2 /y 1 , frente a Fr1 , se tiene: y2 1 = 2 y1

( 1 + 8Fr

2 1

)

−1

[4.21]

Para Fr1 = 1 (calado crítico), se tiene y 2 / y 1 = 1 (el calado crítico es

conjugado de sí mismo) y a partir de ahí, la relación y 2 /y 1 crece con Fr1 :

Fig. 4.29 Relación entre calados en dos puntos

es decir, que la relación entre y 2 e y 1 crece a medida que lo hace Fr1 (que crece

si crece v 1 y, por tanto, si decrece y 1 ), lo que apoya lo dicho hasta ahora. Se

puede objetar, con razón, que el crecimiento de y 2 /y 1 , no implica el crecimiento de y 2 , ya que y 1 decrece. Si se desarrolla la ecuación de Bèlanger, se tiene:

384

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

[4.22]

donde se aprecia una relación inversa (no linealmente, la potencia a la que está elevado y 1 es del orden de y 1−1 / 2 ) entre y 2 e y 1 . Esto sí evidencia que cuando y 1 decrece, y 2 crece.

Concluyendo: a pequeños calados en régimen rápido corresponden grandes calados en régimen lento, y, recíprocamente, a medida que el calado en régimen rápido crece, su conjugado decrece, coincidiendo en el calado crítico. Esto, que se ha visto para una sección rectangular, es válido para una sección prismática cualquiera: Para ilustrar todo lo comentado sobre el resalto hidráulico, se van a plantear dos escenarios en los que puede requerirse este tipo de cambio de régimen, y se discutirá cuáles son sus calados conjugados y la posible ubicación del resalto. Estos dos escenarios no cubren la totalidad de los casos en que se presenta un resalto hidráulico, pero sí la mayoría de los que se forman en un canal prismático. En el primero de ellos se plantea un canal de pendiente M (podría ser A o H y la esencia de la discusión sería similar, salvo en lo que respecta al establecimiento del calado normal) con una compuerta en su extremo de aguas arriba, que impone un calado inicial correspondiente al régimen rápido. En el extremo de aguas abajo, el canal acaba súbitamente sin ningún condicionante adicional:

Fig. 4.30 Ejemplo de compuerta y vertido libre

La compuerta impone un régimen rápido (desde aguas arriba) y el vertido libre aguas abajo provoca un régimen lento (hacia aguas arriba). De este modo, aparecen potencialmente dos curvas, M3 y M2, que habrá que compatibilizar. Para ello, bastará con calcular los conjugados de cada uno de los puntos de una de las curvas (por ejemplo la M3), obteniendo así lo que abusando del lenguaje podríamos llamar curva M3 conjugada M 3 . Aquel punto en que la curva M 3

385

H8

 y  8Q 2 y2 = 1  1 + 2 3 − 1  2  B ·· g y1  

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

intersecte con la M2, cumple que los calados propuestos por la curva M3 y la M2 son conjugados; es decir, cumplen la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento. Es en este punto donde se dará el resalto hidráulico.

Fig. 4.31 Esquema de resalto hidráulico

Se acepta que el resalto se da en una sección puntual, y, por la forma ya conocida de las curvas M3 y M2 es fácil ver que, si hay solución, es única. El problema de la unicidad se acepta como trivial, pero la existencia de solución no es tan evidente. Supóngase por ejemplo que la pendiente es pequeña y el tramo largo, y el calado normal al que tiende la curva M2 es muy alto; podría darse una configuración del tipo:

Fig. 4.32 Ejemplo de caso sin solución

En este caso no hay una intersección, y cabe preguntarse por qué. Si se observan una por una las secciones en las que hay solapamiento de las curvas M2 y M3, se ve que el conjugado de M3 es sistemáticamente menor que el calado propuesto por M2. Como ya se comentó, el resalto es una situación de equilibrio entre dos acciones, una esencialmente cinética y la otra esencialmente gravitatoria. En este caso, el calado correspondiente al régimen lento (que es el

386

definido por la curva M2) tiene sistemáticamente más “capacidad de empuje” que su oponente cinético (el de la curva M3). De este modo, no hay equilibrio porque siempre prevalece la curva M2, que llegará hasta la compuerta, no permitiendo el desarrollo de la curva M3. A esta situación se la llama “anegamiento de la compuerta”. Considérese ahora que el tramo hasta el vertido no es muy largo, hasta el punto que la curva M3 no llega a alcanzar el calado crítico, y que la disposición de los calados según las curvas M2 y M3, y los conjugados de M3 son, respectivamente:

Fig. 4.33 Segundo ejemplo de caso sin solución

En este caso tampoco hay intersección, y ello se debe a que el conjugado de cada uno de los puntos de la curva M3 es sistemáticamente mayor que el calado que ofrece la curva M2: en la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento no se llega al equilibrio porque siempre es predominante el calado en régimen rápido: haría falta un calado como y 3 para frenar a y 3 , pero sólo se dispone de y 2 , que no basta. Así, la curva M2 será expulsada, y se producirá el vertido según la curva M3 (y no en calado crítico, ya que el vertido no es libre; está condicionado por la compuerta, que le obliga a salir a gran velocidad).

El segundo ejemplo que se plantea es el ya mencionado con anterioridad de un canal con un cambio de pendiente moderada a pendiente pronunciada. En este caso, como ya se ha comentado, se plantean dos posibles sucesiones de curvas, que se solapan en los alrededores del cambio de pendiente:

387

H8

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Fig. 4.34 Ejemplo de transición pendiente pronunciada/moderada

Al igual que en el ejemplo anterior, se desea conocer cuál es el punto en el que se produce el resalto hidráulico, y cuáles son los calados conjugados. Para ello se escogerá una curva, por ejemplo la que se desarrolla en régimen rápido, y se calcularán los calados conjugados de todos los calados, llegando a definir su curva conjugada. Considerando que esta curva finaliza en su extremo de aguas abajo con calado crítico, y que la curva S1 comienza en su extremo de aguas arriba también en calado crítico, se puede observar que siempre habrá un punto de corte (si los tramos son suficientemente largos como para que efectivamente la curva M3 alcance su tendencia al calado crítico y la curva S1 también), ya que la curva conjugada de la del régimen lento parte del calado crítico aguas abajo (A) adquiriendo calados crecientes de modo continuo hacia aguas arriba, mientras que la curva de régimen lento parte del calado crítico aguas arriba (B) y va adquiriendo calados crecientes hacia aguas abajo. La curva conjugada de la correspondiente al régimen rápido puede cortar a la del régimen lento en el tramo S o en el tramo M; el resalto se dará entonces en uno u otro tramo. Si las curvas se cortasen en el punto del cambio de pendiente (lo que sería una casualidad), el resalto se daría exactamente en ese punto. En la figura se esquematizan, superpuestas, las dos opciones comentadas.

Fig. 4.35 Opciones de curvas de remanso

388

En este ejemplo se ha supuesto que los tramos S y M son ambos muy largos y que no hay fuertes condicionantes en los extremos: esto implica que, comience la curva S como S2 o como S3, cuando llega a la zona del resalto, su calado es prácticamente el normal, y esto también rige para la curva de pendiente moderada, acabe como una M1 o como una M2. En el ejemplo anterior, si el tramo es suficientemente largo, cabe esperar que la curva M2 alcance su calado normal en la zona cercana a la compuerta, donde previsiblemente se dará el resalto. Aunque el cálculo de los calados conjugados es trivial, y con la ayuda de un ordenador es inmediato obtener M 3 dada M3, es cierto que no se ha tenido en cuenta la economía de cálculo en los desarrollos de los ejemplos anteriores. Así, si realmente se han alcanzado las tendencias asintóticas de la curva M2 en el ejemplo de la compuerta, es mucho más económico calcular M 2 que M 3 , ya que M 2 ≡ y n en la zona de interés, y sólo se requiere el cálculo de un calado. La reciprocidad de los calados conjugados garantiza que el resultado será el mismo.

Fig. 4.36 Solución del caso anterior

Del mismo modo, para el segundo ejemplo, el resalto puede darse en la intersección de y n1 con S1 o en la intersección de y n2 con M3. Tal y como se planteó con anterioridad, se calculó la curva y n1 − M 3 y se buscó la intersección con

S 1 − y n2 (se insiste en que se supone que en la zona de interés se han alcanzado los calados normales). Desde el punto de vista de la economía de cálculo, es mucho más eficiente calcular y n1 y y n2 , y comprobar cuál de los dos corta a su curva respectiva (S1 o M3).

389

H8

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Fig. 4.37 Esquema del resalto hidráulico

Sólo puede haber un corte, y por la reciprocidad de los calados conjugados, debe coincidir con el calculado según el método propuesto anteriormente.

4.2 Ejemplo de recapitulación Con objeto de asentar ideas y poner en práctica de modo global todos los conceptos que individualmente han ido apareciendo en los apartados anteriores, se plantea un ejemplo práctico, que se va a desarrollar con detalle, repitiendo en algunos casos los razonamientos ya expuestos con anterioridad. Considérese un canal de sección rectangular y anchura 10 m, por el que circulan en régimen permanente 50 m 3 / s y construido con un material que ofrece una resistencia al flujo que en términos de coeficiente de Manning se evalúa como n = 0,015 . Los tramos de pendiente constante que se detallan en la figura se consideran lo suficientemente largos como para que las tendencias asintóticas que pudieran darse se den efectivamente, y existen dos condiciones de contorno externas, en ambos extremos del canal: un calado de 0,72m en el extremo de aguas arriba, provocado por una compuerta, y un calado de 2m, en el extremo de aguas abajo, provocado por un embalse. Esquemáticamente, el canal tiene el siguiente perfil:

Fig. 4.38 Perfil del ejemplo

390

Se desea estimar el perfil de la superficie libre, acotando los valores más significativos. El primer paso será la determinación del tipo de pendiente de cada uno de los tramos de que consta el canal. Para ello se calculará el calado crítico (único para una sección y un caudal dados) y los calados normales de cada uno de los tramos: Q

1/ 3

Q

 Q2  ; yc =  2  yc → Fr = 1= = A By g·y B g A g B

= 1,36m

n 2·Q 2

yn → i =

 By  B ·y    2y + B  2

2

4/3

y n = 1,911 m ( i = 0,001 ); y n = 1,06 m ( i = 0,006 ); y n = 0,72 ( i = 0,02 ) Tabla 7

i

yn

yc

Tipo

0,001

1,911

1,36

M

0,006

1,06

1,36

S

0,02

0,72

1,36

S

Los extremos condicionan o pueden condicionar el funcionamiento del canal. El extremo de aguas arriba, por ejemplo, obliga al agua a una lámina de 0,72, por debajo del calado normal y del crítico. Dado que el primer tramo es de pendiente moderada, cabe plantear la existencia de un resalto en el tramo, según se discutió en el apartado anterior. El calado aguas abajo, 2m, está por encima de los calados normal y crítico: en un canal de pendiente moderada esto da lugar a una curva de tipo M1. Así el efecto de los condicionantes externos se materializa en una curva M1 aguas abajo y una curva de tipo M3 (si no hay anegamiento) aguas arriba:

391

H8

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Fig. 4.39 Condiciones aguas arriba y aguas abajo

Al ser los tramos largos, la curva M1 alcanza en su extremo de aguas arriba el calado normal. No se puede afirmar que este calado normal llegue hasta el cambio de pendiente, ya que al tratarse de una transición S-M, puede darse un resalto en la zona de pendiente moderada. Para continuar describiendo el perfil de la superficie libre hay que pensar ahora en posibles condicionantes internos: situaciones que dan lugar a un calado concreto en un punto en concreto y/o a tendencias asintóticas en una zona en concreto, en función de las pendientes que se dan. El paso de pendiente moderada a pendiente pronunciada en un canal cuyos tramos son largos debe resolverse con un calado crítico en el cambio de pendiente, y el desarrollo de curvas M2 (aguas arriba) y S2 (aguas abajo). El primer tramo queda así resuelto a expensas de determinar el anegamiento o no de la compuerta. El tramo S de pendiente i = 0,02 alcanzará su calado normal en el extremo de aguas abajo, ya que la existencia de otro tramo de tipo S de gran longitud a continuación garantiza que no se va a dar un resalto hidráulico en el tramo.

Fig. 4.40 Primera transición de curvas de remanso

392

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

arriba del tramo por definir: este calado está por debajo del calado normal y del crítico, y definirá una curva S3 cuya tendencia aguas abajo será alcanzar el calado normal. No se puede garantizar que todo el tramo estará regido por la curva S3, ya que habrá que definir la posición del resalto que permitirá pasar del régimen rápido (S3) al régimen lento (M1). Si se alargan ambos tramos definiendo su solapamiento, según se vio en el apartado anterior, el tramo S3 da lugar a una curva M3, y el tramo M1 a una curva S1. Los dos tramos en que hay solapamiento se resolverán con sendos cambios de régimen: en el caso de la compuerta hay que discutir si el resalto será anegado o libre, y en el caso del cambio de pendiente hay que localizar el resalto en uno u otro tramo.

Fig. 4.41 Segunda transición de curvas de remanso

Comenzando con la compuerta, se plantea el calado conjugado del calado normal al que tiende la curva M2: yn = 0, 93 m . Este calado está comprendido entre la condición de contorno y = 0, 72 m y el calado crítico 1,36 m, luego dará lugar a una intersección, que definirá un resalto libre:

Fig. 4.42 Esquema de resalto aguas arriba

393

H8

El enlace entre los tramos S viene dado por un calado de 0,72m= yn aguas

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

En el cambio de pendiente se pueden plantear los valores de los calados conjugados de los calados normales del tramo de pendiente pronunciada y del tramo de pendiente moderada, que son, respectivamente yn = 1, 72 m y S

yn = 0, 93 m . Si se representan las curvas S3 y M1, sus prolongaciones M3 y S1, M

y los calados conjugados, se observa:

Fig. 4.43 Calados conjugados aguas abajo

La intersección, cuya unicidad ya se ha discutido, se da en la zona de pendiente pronunciada, lo que define un resalto en dicha zona. De este modo, se completa el perfil de la superficie libre, que adopta la forma:

Fig. 4.44 Solución al ejemplo

394

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

H8

PROBLEMA – 8 A

ENUNCIADO

En el canal con 4 tramos de la figura, los cuales son los suficientemente largos para que se alcancen las tendencias asintóticas, se pide dibujar la lámina de agua (indicando claramente el valor de los calados más representativos y nombrando las curvas de remanso que se desarrollan) y calcular los valores de las pendientes en el tramo 1 y 4. Se establecen 2 condiciones para el diseño del canal: a) Que la pendiente del tramo 1 sea la mayor posible para que la compuerta esté anegada b) Que exista un resalto hidráulico exactamente al final de canal. Datos: n=0.013 s m-1/3; Q=5 m3/s; sección rectangular de 1.2 m de anchura; i2=0.3%; i3=2%, calado bajo la compuerta, y com =1.021 m.

Fig 1 Enunciado del ejercicio

395

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

PLANTEAMIENTO

Lo que se pretende en este ejercicio es que se dibuje la lámina libre del agua en todo el canal, entendiendo por lámina libre aquella superficie del agua en contacto con la atmósfera. Se acepta en este tipo de movimiento que existe una condición constante en presión (la presión atmosférica) y que la distribución de presiones es hidrostática. Dentro del flujo en lámina libre, este problema se encuadra dentro del movimiento permanente ya que según el enunciado no existirán variaciones locales de las variables (caudal, calado, velocidad) a lo largo del tiempo (Q constante en el tiempo). Sí existirán variaciones de las variables (y, v) a lo largo del canal, pero estás variaciones serán suaves (movimiento permanente gradualmente variado). La modelización matemática de este movimiento se fundamentan en 2 ecuaciones (ecuación de continuidad y ecuación dinámica) que en conjunto se conocen como Ecuaciones de Saint-Venant (tema H7). Estas ecuaciones son de aplicación cuando se cumplen una serie de hipótesis: pendiente geométrica pequeña, movimiento del agua rectilíneo y paralelo, movimiento turbulento rugoso, distribución uniforme de las velocidades en todas las secciones, canal no erosionable y canal con sección prismática Las ecuaciones de Saint-Venant simplificadas para el movimiento permanente se pueden expresar por la llamada Ecuación de las Curvas de Remanso (ecuación [3.19] de teoría):

dy i −I = dx 1 − Fr 2

[1]

La simplificación de esta ecuación para el movimiento permanente y uniforme, junto con una expresión para evaluar la pendiente motriz, nos permitirá calcular el calado normal (ecuación [3.7] de teoría). [2]

i =I

I =

n 2·v 2 Rh

4

[3]

3

El número de Froude nos permite diferenciar entre un régimen lento (Fr<1) y un régimen rápido (Fr>1). En un régimen crítico el valor del número de Froude tiene un valor de 1, y el calado que se establece cuando el régimen es crítico recibe el nombre de calado crítico. El

396

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

yc =

3

Q2 B 2·g

[4]

Además por definición en función de la relación entre el calado normal y el calado crítico la pendiente de un canal se puede definir como: pendiente moderada (curvas de remanso tipo M), pendiente pronunciada (S), pendiente crítica (C), pendiente horizontal (H), y pendiente adversa (A). Estas curvas y sus uniones son las que definirán la superficie libre del agua.

Fig 2 Curvas de remanso M y S: nomenclatura y tipos

Existen dos formas de cambiar de un tipo de curva de remanso a otra, según haya un cambio de régimen o no. Cuando no existe un cambio de régimen (por ejemplo el paso de una curva M1 a una curva M2, ambas en régimen lento) el paso se realiza de forma suave y se denomina transición. Cuando existe un cambio de régimen (por ejemplo el paso de una curva S2 a una S1, o el paso de una M2 a una S2) este pude ser de dos tipos: a) un cambio de régimen lento a rápido que ser resuelve de forma suave mediante el paso por el calado crítico; b) un cambio de rápido a lento que se realiza mediante un resalto hidráulico (enlace a la teoría).

397

H8

calado crítico puede calcularse para un canal de sección rectangular (deducción al margen de la hoja) mediante:

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Fig 3 Ejemplos de cambios de tipo de curva.

En un resalto hidráulico se produce una gran pérdida de energía y no es compatible con las ecuaciones del régimen gradualmente variado. Los calados que están en equilibrio en ambos lados de un resalto hidráulico se denominan calados conjugados y se pueden calcular para una sección rectangular (OJO solo en el caso de que la sección sea rectangular) mediante la ecuación de Bèlanger: y=

y 2   1 + 1 + 8Fr   2

398

[5]

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Calculamos los calados más característicos, el calado normal y el calado crítico:

i calado normal, y= n

calado crítico, y c

n 2·v 2 = 4 Rh 3

yc =

3

n 2·Q 2  B·yn  B 2·yn2   2y + B   n 

4

3

Q2 B 2·g

[6]

[7]

El calado crítico solo depende del caudal y de la geometría que son datos conocidos para los 4 tramos, por tanto y c =1.21 m para todo el canal. Como inicialmente desconocemos las pendientes geométricas de los tramos 1 y 4, el calado normal solo lo podemos calcular para los tramos 2 y 3. Así con Q=5 m3/s, B=1.2 m, n=0.013 s m-1/3, i 2 =0.003, i 3 =0.02, obtenemos: y n2 =1.7 m; y n3 =0.786 m. A continuación intentaremos calcular la pendiente y el calado normal en el tramo 1. La condición que nos ofrece el enunciado es que la pendiente geométrica del tramo 1 sea la mayor posible de forma que la compuerta esté anegada. Para que la compuerta esté anegada se tiene que cumplir que el calado existente justo aguas abajo de la compuerta (y 1 ) sea mayor que el calado conjugado del calado bajo la compuerta (y com =1.021 m),

y1 ≥ ycomp = 1.42 m

Fig 4 Calado complementario en la compuerta

399

[8]

H8

RESOLUCIÓN

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Sabiendo que los tramos son lo suficientemente largos para que se produzcan las tendencias asintóticas y que además justo aguas abajo de la compuerta debe haber un calado y 1 =1.42 m, el calado que se producirá justo aguas debajo de la compuerta es el calado normal (tendencia a calado normal aguas arriba en un tramo con pendiente moderada). Por lo que se puede escribir:

y= ycomp = y= 1.42 m 1 n1

[9]

Conociendo el calado normal en el tramo 1 (y n1 =1.42 m) y utilizando la fórmula para el cálculo de dicho calado, hallamos el valor de la pendiente geométrica del primer tramo, i 1.

i1 =

n 2·Q 2  B·yn1  B 2·yn21   2y + B   n1 

4

3

[10]

con Q=5 m3/s, B=1.2 m, n=0.013 s m-1/3, se obtiene i 1 =0.0046=0.46%. La i 1 calculada es la mayor de las pendientes posibles para que la compuerta esté anegada. Para pendientes geométricas mayores i>i 1 el calado normal sería más pequeño y se produciría un resalto hidráulico a la salida de la compuerta. En ese caso existiría una curva M3 desde el calado ycomp hasta el calado conjugado del calado normal correspondiente yn . Para pendientes geométricas menores i
Con igualdad de condiciones (Q, n, sección,), mayor pendiente geométrica implica menor calado normal.

Fig 5 Esquema de resalto hidráulico en la compuerta

400

Con la pendiente geométrica calculada y el calado normal para este tramo 1, el tramo se encuentra en pendiente moderada (y n >y c , curvas de remanso tipo M) y habrá calado normal en régimen lento aguas arriba. El enunciado nos dice que existe un resalto hidráulico (RH) exactamente al final del canal. El calado que existirá al final del canal vendrá marcado por la condición de contorno dado por la cota del nivel de agua de 476.45 metros y por el valor de la cota de la solera en dicho final, 475 m, por tanto y final =476.45-475=1.45 m. En un resalto hidráulico están equilibrio dos calados que cumplen la condición de conjugados, uno en régimen rápido y otro en régimen lento. En nuestro caso el calado en régimen lento será y final =1.45 m, y el calado en régimen rápido y 4 será

y 4 = y final

[11]

Dicho conjugado puede calcularse mediante (OJO, canal de sección rectangular)

y final =

y final  2   1 + 1 + 8Fr y final  2  

[12]

con v Q 1 Fr = = c A g·y

final

Q = By final

1 g·y final

Q2 Fr = B 2·· g y3 2

⇒

[13]

final

por lo tanto

0.9974m y final= y= 4

[14]

Para que este calado y 4 =0.9974 en régimen rápido se produzca aguas abajo del tramo 4, este tramo debe tener pendiente pronunciada (canal tipo S, y n
i4 =

n 2·Q 2  B·yn 4  B 2·yn2 4   2y + B   n4 

de forma que i 4 =0.0109=1.09%.

401

4

3

[15]

H8

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

Para dibujar la lámina de agua comenzaremos por ver qué tipo de pendiente tiene cada uno de los tramos: tramo 1 pendiente moderada (1.42 m = y n1 >y c =1.21 m); tramo 2 también pendiente moderada (1.7 m = y n2 >y c =1.21 m); tramo 3 pendiente pronunciada (0.78 m = y n3
Fig 6 Opciones de tipos de curvas.

En el tramo 1 se cumplirá que existe un calado normal aguas arriba, con lo que la lámina de agua se desarrollará según una M1 o una M2 en función de la condición de contorno que exista aguas abajo del tramo. En el tramo 2, en principio como está en pendiente moderada (M) y es lo suficientemente largo habría calado normal aguas arriba y posibilidad de curvas M1 o M2. El tramo 3 está en pendiente pronunciada (S) así que la tendencia es a calado normal en régimen rápido aguas abajo con lo que encajarían las curvas S2 y S3. Finalmente en el tramo 4, también en pendiente pronunciada con calado normal y n4 aguas abajo, podrían dibujarse una S2 o una S3 en función de las condiciones de contorno aguas arriba. Una vez dibujadas todas las curvas, vamos intentar enlazarlas para darle continuidad a la lámina de agua. La lámina de agua del tramo 1 deberá recoger la condición de contorno de aguas abajo, es decir, el calado normal del tramo 2. Como el yn 2 >y n1 de las dos curvas posibles (M1 o M2) la curva que habrá en el tramo 1 es la curva M1, de forma que cumpla las condiciones del tramo: a) ser una curva de pendiente

402

H8. Movimiento permanente gradualmente variado. Transiciones y cambios de régimen

El paso del tramo 1 al tramo 2 es un paso suave, sin brusquedades, en el que no se produce un cambio de régimen, es por lo tanto una transición. Esta transición se producirá entre la M1 del tramo 1 a una curva M2 o M1 del tramo 2. El tramo 2 deberá recoger la condición de contorno del final de dicho tramo, en todo caso la curva que se produzca tanto M1 o M2 será una curva de régimen lento. El siguiente tramo el tramo 3 es un tramo donde las curvas posibles son la S2 y la S3 ambas de régimen rápido. Por lo tanto el paso del tramo 2 al tramo 3 será un paso donde se produzca un cambio de régimen, de una curva en régimen lento a una curva en régimen rápido. Este paso de lento a rápido se produce pasando por el crítico (enlace a teoría). Con esta condición la curva que habrá en el tramo 2 es la M2 (calado normal aguas arriba y calado crítico aguas abajo) y en el tramo 3 una curva S2 (calado crítico aguas arriba y calado normal aguas abajo). Finalmente la lámina de agua en el tramo 4 deberá adaptarse a una curva que tenga como condicionantes: a) aguas arriba el calado normal en el tramo 3, de forma que y n3
Fig 7 Lámina de agua

403

H8

moderada, b) ser una curva con calado normal aguas arriba, c) recoger la condición de contorno impuesta por el siguiente tramo, con un calado mayor que el calado normal del tramo 1.

H8. Propiedades de los fluidos e hidrostática

PROBLEMA – 8 B

ENUNCIADO

Por el canal de sección rectangular de un aprovechamiento hidroeléctrico en el que la anchura es mucho mayor (a efectos de cálculo) que los calados existentes circula un caudal unitario de 5 m2/s. Debido a razones topográficas, el canal consta de 2 tramos con diferente pendiente geométrica Sabiendo que la pendiente del segundo tramo es cuatro veces mayor que la del primero y que se observa un resalto hidráulico localizado justo en el cambio de pendiente, se pide: a) Obtener el valor de las pendientes de ambos tramos b) Dibujar la lámina de agua con los calados más característicos y nombrando las curvas de remanso Datos: Ambos tramos son los suficientemente largos para que alcancen las tendencias asintóticas. El calado inicial aguas arriba del tramo 1, y inicial = 0.8 m. Coeficiente de rugosidad de Mannig, n=0.015 s m-1/3. Al final del canal el vertido es libre.

PLANTEAMIENTO

El planteamiento habitual de este tipo de problemas consiste en iniciar el dibujo de la lámina de agua comenzando por calcular los calados característicos: calado normal y calado crítico. En este caso, no podemos calcular los calados normales porque desconocemos el valor de las pendientes geométricas. Primeramente calculamos el calado crítico. El calado crítico, y c, para un canal rectangular puede calcularse mediante

yc =

3

Q2 B 2·g

404

[16]

H8. Propiedades de los fluidos e hidrostática

m 3  Q  s  m 2  q =  = =  s  B m 

[17]

obtendremos el calado crítico para todo el canal (ya que no depende de la pendiente geométrica, solo del caudal y de la sección) mediante

= yc

Q2 3= 2 B ·g

3

q2 g

[18]

El enunciado nos indica que, a efectos de cálculo, consideremos la anchura del canal mucho mayor que los calados esperables, B>>>>>>y, lo que implica una simplificación a la hora de obtener el radio hidráulico de la sección rectangular, Rh, = Rh

área B·y B·y = = si B >>>>= y  = y [19] perímetro mojado 2y + B B

Como los dos tramos en que se divide el canal son lo suficientemente largos para que alcancen las tendencias naturales, es esperable que para que se produzca un resalto hidráulico justo en el cambio de pendiente, el tramo 1 estará en pendiente pronunciada (canal tipo S, con calado normal aguas abajo en régimen rápido) y el tramo 2 en pendiente moderada (canal tipo M, con calado normal aguas arriba en régimen lento). Además como el resalto hidráulico está situado justo en el cambio de pendiente, se cumplirá que el calado normal del tramo 1 y el calado normal del tramo 2 están conjugados, es decir, = yn1 y= ó yn 1 yn 2 n2

[20]

RESOLUCIÓN

Calculamos el valor del calado crítico

= yc

3

Q2 = B 2·g

405

q2 3= g

1.366 m

[21]

H8

como en el problema no se nos indica el valor de la anchura pero sí el valor de caudal unitario (caudal por unidad de anchura), q=5 m2/s

H8. Propiedades de los fluidos e hidrostática

El siguiente paso es intentar calcular el valor de los calados normales y el valor de las pendientes geométricas de los dos tramos (4 incógnitas, y n1 , y n2 , i 1 , i 2 ). Disponemos de las siguientes ecuaciones: a) Ecuación para el cálculo del calado normal, a partir de la ecuación del movimiento permanente uniforme y de la ecuación de Manning para evaluar la pendiente motriz) i =I;

n 2·v 2

I =

Rh

4

[22]

3

La pendiente motriz, es una variable adimensional, que representa la perdida de energía (m) por unidad de longitud (m). La energía se expresa en metros porque es el valor de la energía por unidad de peso. Existen muchas formulaciones para calcular el valor de la I, pero la más utilizada en flujo en lámina libre es la Ecuación de Mannnin. teniendo en cuenta Rh=y y q=Q/B i =

n 2·v 2 n 2·Q 2 n 2·Q 2 n 2·q 2 = = = 4 4 10 4 3 3 3 Rh 3 A2·yn B 2·yn2·yn yn

[23]

b) La relación entre las pendiente geométricas

i1 = 4i2

[24]

c) La relación entre los calados normales debido a la localización del resalto hidráulico [25]

yn 1 = yn 2

En resumen 4 ecuaciones para 4 incógnitas: [I]

i1 =

[II]

i1 =

10

yn= 1

[26]

3

yn 1

n 2·q 2 10

[27]

3

yn 1

i1 = 4i2

[III] [IV]

n 2·q 2

[28]

yn 2  2   1 + 1 + 8Fr yn 2  2  

406

[29]

H8. Propiedades de los fluidos e hidrostática

Utilizando las tres primeras ecuaciones (sustituyendo las 2 primeras en la tercera): 10

3

yn 1

n 2·q 2 = 4 10 3 yn 2

⇒

yn 2 1.5157 yn1 =

[30]

H8

n 2·q 2

Ahora desarrollando la ecuación [IV]

yn= 1

2 yn 2  1 + 1 + 8 q 2  g·yn32 

   

[31]

e incluyendo 1.5157 yn1 = yn 2

yn 2

= 1.5157

2 yn 2  1 + 1 + 8 q 2  g·yn32 

   

[32]

obtenemos:

yn1 = 1.101 m ; yn 2 = 1.67 m Y sustituyendo en [I] y [II]

= i1 0.00408 = 0.408% ;

= i2 0.00102 = 0.102%

Finalizamos dibujando la lámina de agua. En el primer tramo la pendiente es pronunciada (curvas tipo S) tal y como se había supuesto, ya que 1.101 m = y n1 y c =1.366 m. En el primer tramo la única curva posible arrancando de un calado inicial menor que el calado normal de ese tramo y n1 (y inicial =0.8 m <1.101 m = y n1 ) es la curva S3. En el tramo 2, de las tres curvas en pendiente moderada posibles, hay 2 curvas que cumplen la condición de que se produzca calado normal aguas arriba (M1 y M2). Además como el vertido es libre, el calado al final del canal se hará con la mínima energía, es decir con calado crítico, por lo que la lámina de agua se ajustará a una curva M2.

407

H8. Propiedades de los fluidos e hidrostática

Fig 8 Solución al ejercicio

Tal y como se calcularon los calados normales (cumpliendo la condición de conjugados), el resalto se producirán justo en el cambio de pendiente. El cambio de régimen de rápido (S3) a régimen lento (M2) se resuelve con un resalto hidráulico sin posibilidad de que se desarrolle ni una curva M3 ni una curva S1.

408

H8. Propiedades de los fluidos e hidrostática

H8

PROBLEMA – 8 C

ENUNCIADO

En el canal de hormigón de la figura de sección rectangular de 2 m. de ancho, solamente el tramo 3 está en pendiente pronunciada, el resto de tramos en pendiente moderada. Los tramos son lo suficientemente largos excepto el tramo 4 que mide 1000 m y está influenciado por el azud final que impone una condición de contorno de forma que lámina de agua en dicho tramo puede considerarse horizontal. Sabiendo que no existe ninguna curva M3 ni S1 y que las pendientes del tramo 1 y del tramo 4 son iguales, se pide dibujar la lámina de agua con las curvas de remanso correspondientes y calcular los calados más significativos (se deben utilizar los mayores valores posibles de las pendientes geométricas). Datos: Q=5 m3/s;

n=0.014 s m-1/3;

i 2 =0.1%;

Fig 9 Enunciado del ejercicio

409

y com =0.48 m.

H8. Propiedades de los fluidos e hidrostática

PLANTEAMIENTO

Según el enunciado se acepta que el caudal será constante en el tiempo por lo que estamos ante un problema de flujo en lámina libre con movimiento permanente El canal es prismático (de sección rectangular de anchura constante) de forma que el movimiento permanente será gradualmente variado. No habrá ningún fenómeno local, en general, derivados de variaciones en la sección (ensanchamientos/ estrechamientos o escalones en la solera). Por lo tanto la lámina de agua deberá conformarse siguiendo las curvas de remanso definidas por las ecuaciones de Saint-Venant simplificadas para el movimiento permanente (Ecuación de las Curvas de Remanso)

dy i −I = dx 1 − Fr 2

[33]

El calado asociado al movimiento permanente e uniforme, se denomina calado normal y se puede calcular mediante la ecuación de dicho movimiento (i=I) y la fórmula de Manning que nos permite evaluar la pendiente motriz

i= I=

n 2·v 2 Rh

4

[34]

3

En el movimiento permanente cuando el calado de la lámina de agua es igual a calado normal, la energía que gana el flujo debido a la pendiente (i) por la pérdida de cota, es igual a la energía que se disipa debida al propio movimiento (I). que para una sección rectangular se puede escribir

i= I=

n 2·Q 2  B·yn  B 2·yn2   2y + B   n 

4

3

[35]

por lo que el calado normal depende de la pendiente geométrica (i), del coeficiente de rugosidad de Manning (n), del caudal (Q) y de la sección (B). El calado crítico, y c , se obtiene de igualar el número de Froude a la unidad (Fr=1).

410

El número de Froude, es una variable adimensional que compara dos velocidades, la velocidad del flujo y la velocidad de transmisión de una perturbación de la condiciones hidrostáticas a través del agua (c, celeridad de onda de perturbación gravitatoria). Fr=v/c. Cuando la velocidad del flujo es mayor que la celeridad de onda (v>c) el flujo se denomina rápido o supercrítico (Fr>1). Por el contrario cuando el flujo es más lento que la celeridad (v
Fr =

v v Q Q2 Q2 = = ⇒ Fr 2 = 2 2 ⇒ yc = 3 2 c B ·y ·· g yc B ·g g·yc B·yc g·yc c

[36]

sección rectangular 

por lo que el calado crítico es independiente de la pendiente geométrica (i) y de la rugosidad/material del canal. En función de la relación entre el calado normal y el calado crítico la pendiente de un canal se puede definir como: pendiente moderada (curvas de remanso tipo M), pendiente pronunciada (S), pendiente crítica (C), pendiente horizontal (H), y pendiente adversa (A). La unión entre los diferentes tipos de curva mediante transiciones o cambios de régimen (paso por calado crítico o mediante un resalto hidráulico) nos permitirá definir completamente la superficie libre del agua. Según el enunciado solo el tramo 3 estará en pendiente pronunciada (curvas S) lo que implica que el calado normal en este tramo será menor que el calado crítico (y n3
H8

H8. Propiedades de los fluidos e hidrostática

H8. Propiedades de los fluidos e hidrostática

Cota es la altura medida en metros sobre un cota 0 o de referencia. No confundir con calado el valor del calado, que es la altura de la columna de agua en una sección dada. Otro condicionante que impone el problema es que además de la M3 tampoco puede existir la curva S1. Esto significa que en caso de que hubiera un cambio de régimen de rápido a lento que se resuelve mediante un resalto hidráulico, el resalto hidráulico deberá estar justo en el cambio de pendiente. Esta condición también tiene una implicación en el tramo1. En este tramo inicial con pendiente moderada la compuerta deberá estar anegada (no hay posibilidad que exista la curva M3). Además como es lo suficientemente largo se espera que haya calado normal aguas arriba, y n1 ; este calado normal debe estar conjugado con el calado bajo la compuerta y com en caso de que este último sea en régimen rápido (y com
RESOLUCIÓN

Calculamos el calado crítico para todo el canal, con Q=5 m3/s, B=2 m y sección rectangular:

Q2 3= 2

= yc

B ·g

0.86 m

[37]

En principio solo podemos calcular el calado normal para el tramo 2, yn2, ya que es para el único que se conoce la pendiente geométrica, i 2 =0.1%

Atención. El valor de la pendiente geométrica para introducir en la fórmula debe ser en tanto por uno (NO en tanto por cien).

i= I=

n 2·v 2 Rh

4

3

=

n 2·Q 2  B·yn 2  B 2·yn22   2y + B   n2 

412

4

3

[38]

H8. Propiedades de los fluidos e hidrostática

En el tramo 1 como se explicó en el planteamiento habrá calado normal aguas arriba (tramo de pendiente moderada). Como el calado inicial por debajo de la compuerta es en régimen rápido (0.48 m =y com
yn1 ≥ ycomp

ó

yn1 ≤ ycomp

[39]

como el calado normal está relacionado inversamente con la pendiente geométrica y se nos pide que utilicemos los mayores valores posibles de las pendientes, la mayor pendiente posible es la asociada al menor calado normal posible, por tanto

yn1 = ycomp

[40]

con = yn 1

ycomp  2   1 + 1 + 8Fr ycomp  2  

[41]

con Fry

comp

v Q 1 = = c A g·y

comp

Q = B·ycomp

1 g·ycomp

⇒

Q2 Fr 2 = B 2·· g y3

comp

[42] de donde obtenemos y n1 =1.407 m. Y como i 1 =i 4 , y no varían el resto de variables, y n1 = y n4 =1.407 m. A partir de la ecuación del régimen permanente y uniforme obtenemos los valores de las pendientes

i1= i 4= I=

n 2·v 2 Rh

4

3

=

n 2·Q 2  B·yn1  B 2·yn21   2y + B   n1 

4

= 0.00126= 0.126% 3

[43]

Una vez que ya conocemos el valor de la pendiente y el calado normal en el tramo 4, calcularemos el calado al inicio de dicho tramo 4. Con una pendiente i 4 =0.00126 y una longitud del tramo 4 de 1000 m puedo calcular la cota de la solera al inicio del tramo 4

413

H8

de donde y n2 = 1.544 m.

H8. Propiedades de los fluidos e hidrostática

Fig 10 Calculo del calado al inicio del tramo 4

como

cot a A = 1 + 1000 i 4 = 2.266 m

[44]

y a partir de esta cota el calado al inicio, y 4 , teniendo en cuenta que la cota de la superficie del agua es de 4 m. (condicionada por el azud final)

y4 = 4 m − cot a A = 4 m − 2.266 m = 1.734 m

[45]

Al inicio del tramo 4 no existe un calado normal y n4 =1.407 m sino un calado mayor y 4 =1.734 debido a la condición de contorno que induce el azud y a que el tramo no es lo suficientemente largo para que en su inicio haya el calado normal en régimen lento (como le correspondería a un tramo con pendiente moderada, M). En el tramo 3, que sabemos debe estar en pendiente pronunciada y es lo suficientemente largo, es esperable que aguas abajo del tramo el calado sea el calado normal, y n3 , en régimen rápido. Por lo tanto en el paso del tramo 3 al tramo 4, nos encontramos que debemos pasar de un calado en régimen rápido (calado normal y n3 y c =0.86 m) lo que ineludiblemente se resuelve mediante un resalto hidráulico. Si existe un resalto hidráulico en el cambio de pendiente del tramo 3 al 4, y además no pueden existir las curvas M3 ni S1, la única posibilidad es que y n3 y y 4 cumplan la condición de conjugados [46]

yn 3 = y 4

Aplicando la Ec. de Bèlanger (válida solo para sección rectangular)

yn 3=

y4  2   1 + 1 + 8Fr y4  2  

414

[47]

H8. Propiedades de los fluidos e hidrostática

i3= I=

n 2·v 2 Rh

4

3

n 2·Q 2

=

 B·yn 3  B 2·yn23   2y + B   n3 

4

= 0.05934= 5.93%

[48]

3

Resumiendo, antes de dibujar la lámina de agua Tabla 1

i yc yn M/S

Tramo 1 0.1% 0.86 m 1.407 m M

Tramo 2 Tramo 3 Tramo 4 0.126% 5.93% 0.126% 0.86 m 0.86 m 0.86 m 1.544 m 0.352 m 1.407 m M S M

Finalmente dibujamos la lámina de agua.

Fig 11 Dibujo de la lámina de agua

En el tramo 1 las dos posibilidades de curva son la M1 y la M2, pero sí observamos que la condición de contorno de aguas abajo del tramo coincide con el calado normal en 2 y este calado es mayor que el calado normal en 1 (y n2 >y n1 ), la lámina de agua se ajustará a la curva de régimen lento M1. En el tramo 2 serían posible también las curvas M1 y M2 pero es la M2 la que recoge el condicionante del tramo aguas abajo. El paso del

415

H8

Se obtiene y n3 =0.352 m, y utilizando la ecuación que nos permite calcular el calado normal en canales de sección rectangular podemos obtener el valor de i 3

H8. Propiedades de los fluidos e hidrostática

tramo 2 al tramo 3, es un paso de una curva M2 en régimen lento a una curva S2 o S3 en régimen rápido, en definitiva es un cambio de régimen, de calados en régimen lento a calados en régimen rápido que se resuelve mediante el paso por el calado crítico (Este paso es suave, ya que lo permite la ecuación, como se vio en 4.1.1). En el tramo 3 la curva que debe partir del calado crítico aguas arriba del tramo y desembocar en un calado normal en régimen rápido aguas abajo, y n3 , es la curva S2 y así la dibujamos. La lámina de agua pasará de un régimen rápido en el tramo 3 a un calado en régimen lento en el tramo 4 (de y n3 a y 4 ) y este cambio de régimen de lento a rápido se hace mediante un resalto hidráulico. A ambos lados del resalto hidráulico, los calados que se producen tienen que estar conjugados. En este caso fue esta la premisa de partida para el cálculo de y n3 . Por lo que y n3 e y 4 son calados conjugados.

416

H8. Propiedades de los fluidos e hidrostática

H8

PROBLEMA – 8 D

ENUNCIADO

En el canal prismático de sección rectangular de la figura, se pide dibujar la superficie libre del agua nombrando las curvas de remanso que se desarrollan y calcular los calados más significativos (calado normal, calado crítico, calados conjugados). Si existiese algún resalto hidráulico se debe indicar claramente en qué tramo se produce y entre qué calados. Datos: El calado al inicio del canal es de 0.20 m; Q=0.5 m3/s; n=0.014 s m-1/3; B=0.4 m; Todos los tramos considerados se considerarán lo suficientemente largos como para alcanzar sus tendencias naturales.

Fig 12 Enunciado del ejercicio

PLANTEAMIENTO

En este problema se partirá de los siguientes supuestos que se incluyen en el enunciado: a) canal prismático, b) igual caudal para todos los tramos del canal, c) caudal constante en el tiempo. Con estas premisas se deduce que: a) para una sección concreta del canal los calados y las velocidades no variarán con el tiempo, es decir, no hay variaciones locales de las variables; b) las variaciones de los calados y de las

417

H8. Propiedades de los fluidos e hidrostática

velocidades a lo largo del canal se regirán mediante la Ecuación de las Curvas de Remanso (movimiento permanente gradualmente variado):

dy i −I = dx 1 − Fr 2

[49]

Esta ecuación de las curvas de remanso se obtiene después de simplificar las Ec. De Saint-Venant para un movimiento permanente (en el tiempo) La clasificación de las curvas de remanso dependerá de la relación entre el calado normal y el calado crítico. Así la pendiente de un canal se puede definir como: pendiente moderada (curvas de remanso tipo M), pendiente pronunciada (S), pendiente crítica (C), pendiente horizontal (H), y pendiente adversa (A). Estas curvas y sus uniones son las que definirán la superficie libre del agua.

Fig 13 Curvas de remanso más habituales M y S: nomenclatura y tipos

Como en este problema tenemos datos para calcular el calado crítico y el calado normal para todos los tramos (Q, n, i, B) el planteamiento para dibujar la lámina de agua seguirá los siguientes pasos: 1. Cálculo del calado crítico (Fr=1) 2. Cálculo del calado normal para cada tramo (i=I) 3. Definir el tipo de pendiente para cada tramo (M, C, S, H, A) 4. Establecer para cada tramo individualmente las curvas posibles que se desarrollarán teniendo en cuenta las tendencias naturales y las condiciones de contorno. 5. Resolver los enlaces entre las curvas mediante: transiciones (suaves) o cambios de régimen (paso por calado crítico o resalto hidráulico)

418

H8. Propiedades de los fluidos e hidrostática

RESOLUCIÓN

H8

Siguiendo los paso citados: 1. Calado crítico, para una sección rectangular

Q2 3= 2

= yc

B ·g

0.54 m

[50]

como el calado crítico no depende de la pendiente, es igual para los 4 tramos del canal (Q=cte., B=cte.). 2. Calado normal, el calado normal es el calado asociado al régimen permanente e uniforme. Si simplificamos la ecuación de las curvas de remanso para un régimen permanente e uniforme (y=cte., es decir dy/dx=0)

dy i −I = = ⇒i I dx 1 − Fr 2

[51]

Esta simplificación junto con una expresión para evaluar la pendiente motriz, nos permitirá calcular el calado normal (ecuación [3.7] de teoría)

i= I=

n 2·v 2 Rh

4

=

3

n 2·Q 2  B·yn  B 2·yn2   2y + B   n 

4

3

[52]

De forma que para cada uno de los tramos obtenemos, y n1 =1 m; y n2 =0.39 m; y n3 =1 m; y n4 =1.3 m. 3. Tipo de pendiente. El tipo de pendiente dependerá del valor de la pendiente geométrica y de la relación entre el calado normal y el calado crítico. Así para pendiente geométricas negativas (i<0) el calado normal no está definido y la pendiente se denomina pendiente adversa (A). Para pendiente geométrica nula (i=0) tampoco está definido el calado normal, y la pendiente se denomina pendiente horizontal (H). Finalmente para pendientes mayores que 0 (i>0), se puede calcular tanto el calado crítico como el normal y tendremos: 1- Pendiente Moderada (M) cuando y n >y c . 2- Pendiente Crítica (C) cuando y n =y c . 3- Pendiente Pronunciada (S) cuando y n
419

H8. Propiedades de los fluidos e hidrostática

Resumiendo: Tabla 2

Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 Tramo 4 i 0.3337% 2.987% 0.3337% 0.187% yc 0.54 m 0.54 m 0.54 m 0.54 m yn 1m 0.39 m 1m 1.3 m M/S M S M M 4. Curvas posibles Evaluaremos las curvas posibles en cada tramo. En el primer tramo con pendiente moderada es esperable que exista inicialmente una curva M3 que parte del calado inicial y inicial =0.2 m < y c =0.54 m. Esta curva es una curva de remanso que pertenece al régimen rápido. Además como el tramo es lo suficientemente largo, la tendencia natural es a existir un calado normal en régimen lento aguas arriba; otra posibilidad es la existencia de las curvas de pendiente moderada con tendencia a calado normal aguas arriba, la M1 y la M2 (dependiendo de la condición de contorno aguas abajo). Al inicio del tramo habrá que definir exactamente cómo se resuelve el paso del régimen rápido al régimen lento: Resalto hidráulico.

Importante: No confundir moderada/pronunciada.

régimen

rápido/lento

con

En el segundo tramo, con pendiente pronunciada, es esperable que haya calado normal en régimen rápido aguas abajo. Por lo tanto es esperable una curva S2 o S3. En el tramo 3 las curvas posibles, previamente a considerar los enlaces de las curvas en los cambios de pendiente, son la M1 o la M2. Por el mismo razonamiento en el tramo 4, de las dos curvas posibles M1 y M2. Podemos descartar la M1 y afirmar que la curva que desarrollara será la M2 ya que el vertido en su final es libre y por tanto no es capaz de imponer un calado en dicho final. Al final del canal el calado será el calado crítico que es el calado de menor energía.

420

pendiente

H8

H8. Propiedades de los fluidos e hidrostática

Fig 14 Posibles curvas por tramos

1. Enlace entre curvas Intentaremos finalmente enlazar las curvas para acabar de definir la lámina de agua. Para enlazar el tramo 3 y el tramo 4, la curva del tramo 3 debe recoger la condición de contorno del tramo 4 que no es otra que un calado normal en régimen lento, y n4 =1.3 m. Por lo que la curva del tramo 3 será un M1 que se adapta a ese condicionante. El paso del tramo 1 al tramo 2 es un paso de curvas en régimen lento (M1 o M2) a curvas en régimen rápido (S2 o S3). La forma de resolver este cambio de régimen (de lento a rápido) es mediante el paso por el calado crítico. Por lo que el enlace se hará pasando de una curva M2 (del tramo 1) a una curva S2 (en el tramo 2) que recogen las condiciones de contorno señaladas. El paso del tramo 2 al 3 es un cambio de régimen donde se debe pasar de una S2 que acaba en calado normal en régimen rápido, a una M1 con calado normal en régimen lento. Este cambio de régimen se resuelve mediante un resalto hidráulico, que en función de la relación entre los calados normales y sus conjugados (y n2 y y n3 ) dará lugar a la siguiente secuencia S2-Rh-S1-M1 o S2-M3-Rh-M1.

421

H8. Propiedades de los fluidos e hidrostática

Fig 15 Posibles curvas por tramos

Calculamos los calados conjugados de y n2 y y n3 mediante (válida solo para canales de sección rectangular)

yn= Con la que obtenemos

yn  2   1 + 1 + 8Fr yn  2  

[53]

yn 2 = 0.73 m , yn 3 = 0.25 m

Como yn 2 ≤ yn 3 significa que el calado normal y n3 es capaz de generar un régimen lento en el tramo 2 mediante una curva S1 (curva de régimen lento en pendiente pronunciada). El resalto hidráulico se producirá entre el calado normal del tramo 2 y su conjugado ( yn 2 , yn 2 ). La secuencia correcta será: S2-Rh-S1-M1.

Importante: Si existe un resalto hidráulico la solución es única. Finalmente queda por resolver lo que ocurre al inicio del canal. Según el enunciado del problema el calado al inicio del canal es de y incial =0.20 m, este calado es un calado en régimen rápido (y incial
422

normal aguas arriba. La forma de enlazarse es mediante un resalto hidráulico que permite el paso de un régimen rápido a un régimen lento. Para establecer qué calados estarán en equilibrio en el resalto hidráulico, calculamos los calados conjugados del calado inicial (y incial =0.20 m) y del calado conjugado del calado normal del tramo 1 (y n1 ). Cuando lo calados ascendentes de una curva M3 se acercan ala calado crítico, la pendiente de la curva tiende a infinito por lo que en esa zona próxima al calado crítico no se cumplen las hipótesis de Saint-Venant para las cuales fue deducida la ecuación del movimiento permanente gradualmente variado.

yn=

yn  2   1 + 1 + 8Fr yn  2  

[54]

Con la que obtenemos yinicial = 1.166 m , yn1 = 0.25 m . Como 0.25 m = yn1 > yinicial = 0.20 m el resalto se producirá entre el

calado normal y su conjugado ( yn1 , yn1 ), siendo la secuencia: yinicial ⇒ M 3 ⇒ yn1 ⇒ yn1 ⇒ M 2....

Resumiendo, antes de dibujar la lámina de agua Tabla 3

Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 Tramo 4 i 0.3337% 2.987% 0.3337% 0.187% yc 0.54 m 0.54 m 0.54 m 0.54 m yn 1m 0.39 m 1m 1.3 m y n1 0.25 m 0.73 m 0.25m 0.167 m M/S M S M M

.

Fig 16 Perfil de la lámina libre

423

H8

H8. Propiedades de los fluidos e hidrostática

H8. Propiedades de los fluidos e hidrostática

424

H9

- Fenómenos locales

H9. Fenómenos locales

Contenidos

1

Diagramas de energía

427

2

Fenómenos locales derivados de variaciones en las características del canal o del flujo 433

2.1 Ensanchamientos y estrechamientos

433

2.1.1 Análisis de un estrechamiento brusco en régimen lento

436

2.1.2 Otros casos vinculados a estrechamientos y ensanchamientos

444

2.2 Escalones en solera

451

3

Variaciones en el caudal

456

4

Ejercicios

458

4.1 Problema – 9 A

458

4.2 Problema – 9 B

467

4.3 Problema – 9 C

474

4.4 Problema – 9 D

481

426

H9

H9. Fenómenos locales

1 Diagramas de energía En el capítulo anterior ya se han comentado situaciones que exceden los límites de validez de la ecuación de las curvas de remanso; así, han aparecido dos fenómenos locales, calado crítico y resalto hidráulico, asociados a cambios de régimen. Estos dos fenómenos aparecen en más situaciones, como se verá, si se acepta que algunas características de los canales (anchura, cota de la solera, caudal circulante) puedan variar de modo súbito. Al efecto de estas variaciones, por lo demás muy comunes, se dedicará este capítulo. Antes no obstante de comenzar su estudio, es muy conveniente introducir unos conceptos y unas técnicas que ayudarán a la comprensión de unos fenómenos nada intuitivos. Dado un canal, la energía de una sección se ha definido como:

E = z +y +

v2 2g

[1.1]

Donde z es la cota de la solera, y es el calado y v es la velocidad media del agua. Al variar las condiciones del flujo (caudal, condiciones de contorno…), sólo 2 dos de estos términos (y, v / 2g ) sufren variaciones. Así, podemos distinguir entre una componente fija de la energía (z) y otra que depende del flujo, llamada energía específica (E 0 ) :

E0 = y +

v2 Q2 =y + 2 2g A 2g

[1.2]

Si consideramos que el caudal es una constante (flujo permanente), la energía específica es una función del calado:

Fig. 1.1 Variación de energía específica

427

H9. Fenómenos locales

E 0 (y ) = y +

Q2 A 2 (y )2g

[1.3]

Es fácil ver que el primer sumando representa la energía potencial, en forma de calado, y el segundo la energía cinética; un canal limitado aguas abajo por un embalse, alcanzará calados muy altos que llevarán a grandes valores de E 0 , si el canal tiene una compuerta con un gran desnivel hidráulico, el agua saldrá de la misma con gran velocidad, lo que también conduce a grandes valores de E 0 . Si se analiza la forma de la función E 0 (y ) , se observan las siguientes tendencias en los límites:

lim E y →0

0

= ∞;

lim E y →∞

0

= ∞;

lim y →∞

E0 =1 y

[1.4]

que gráficamente, llevaría a:

Fig. 1.2 Límites de la energía específica

Donde el límite y → ∞ se dibuja bajo la curva y = E 0 ya que, de modo 2 evidente E 0 > y en cualquier caso, ya que v / 2g es positivo.

Las tendencias señaladas apuntan la posibilidad de un mínimo, que vendría de desarrollar dE 0 dy = 0 :

dE 0 Q2 =1+ 2g dy Recordando

 − 2  dA = 0  3  A  dy

[1.5]

dA ≈ B -anchura superficial-: dy = 1

Q2 Q2 = B = Fr 2 3 A g·A A2·g B

428

[1.6]

Es decir, que efectivamente existe un calado que minimiza la energía de la sección dado un caudal, y ese calado es el crítico ( Fr 2 = 1 ).

Fig. 1.3 Representación del calado crítico

De este desarrollo se pueden extraer varias reflexiones; a saber: •

•

•

•

Dado un caudal y un canal determinado, existe una infinidad de calados con los que el caudal puede ser transportado; cada calado da lugar a un valor de la energía específica, que se obtiene sumando al calado el término cinético. Si se da régimen permanente y uniforme, todas las secciones tienen el mismo valor de la energía específica. Existe una energía umbral o mínima para transportar un cierto caudal por un canal. Esta energía mínima se denomina energía crítica y es la energía asociada al calado crítico. Esto quiere decir que un nivel inferior de energía no permitiría transportar el caudal de referencia. No se debe confundir el nivel mínimo de energía con una condición de gasto mínimo: el calado crítico no es el que da lugar a un menor gasto energético. El gasto energético crece con la velocidad: grandes calados implican bajos gastos de energía, y sin embargo tienen un valor elevado de E 0 . Para valores de la energía específica mayores que el umbral o crítico existen dos calados a los que corresponde el mismo E 0 . Uno de los calados está por encima del calado crítico (y por tanto pertenece al régimen lento) y el otro está por debajo (régimen rápido). El correspondiente al régimen lento basa su energía en su calado; el correspondiente al régimen rápido en su velocidad. Estos dos calados no son conjugados y esto es evidente ya que ambos tienen la misma energía, cosa que no sucede con los calados conjugados.

429

H9

H9. Fenómenos locales

H9. Fenómenos locales

Para plasmar estas ideas en un ejemplo concreto, considérese un canal de 2 m de anchura, por el que circulan 2m 3 / s . La función E 0 (y ) se expresaría como:

E0 = y +

22 2 2 y 2 2g

[1.7]

Dando distintos valores a E 0 , se pueden obtener los calados que tienen asociada esa energía; a continuación se tabulan algunos ejemplos: Tabla 1

E 0 (mca)

y (m)

5

-0,099

4,998

0,10

(A)

1

-0,2

0,94

0,26

(B)

0,8

-0,22

0,68

0,32

(C)

0,69

-0,23

0,46

0,46

(D)

0,5

-0,26

0,38+0,22i

0,38-0,22i

(E)

Fig. 1.4 Calado para disntintos valores de E 0

Las soluciones negativas no tienen sentido físico y no se hará mención de ellas. Se aprecia como altos niveles de energía (A) dan lugar a calados muy altos (4,998 m) o calados que dan lugar a velocidades muy altas. Energías más moderadas (B) (C) dan lugar a dos soluciones alejadas de las asíntotas. La energía mínima (D) ofrece una solución doble que coincide con el calado crítico, mientras que un nivel bajo de energía (E) no ofrece soluciones reales.

430

Como curiosidad de cierta utilidad se destaca que en un canal rectangular existe una relación constante entre el calado y la energía crítica; en efecto, si se plantea la ecuación del calado crítico, se tiene: = = 1 Fr

vc 2

g·yc

; vc2 = g·yc

[1.8]

y:

E 0 =yc + c

vc2

2g

=yc +

g·yc

3 = yc 2g 2

[1.9]

( )

Luego la energía correspondiente al calado crítico es E 0 = 3 2 yc ; de lo c

que se deduce que el término cinético es vc2 2g = yc 2 . En el ejemplo anterior, para E 0 = 0,69 m, y = 0,46 m y v 2 2g = 0,23 m . La curva E 0 (y ) que se ha presentado corresponde a un valor en concreto del caudal. Otro valor del caudal daría lugar a otros valores numéricos, aunque las asíntotas seguirían siendo las mismas. Sí variarían los valores de E 0min , que serían los correspondientes a los calados críticos asociados a cada caudal. El calado crítico crece con el caudal, y la energía asociada al calado crítico también. En particular, como se ha visto, para canales rectangulares ambos crecimientos son lineales. Si se representan varias curvas correspondientes a varios caudales, en el caso de un canal rectangular su aspecto será:

Fig. 1.5 Distintas curvas de E 0 variando el caudal

Si en lugar de considerar los ejes E 0 /y se considerasen los ejes Q/y, se podrían obtener pares (Q, y) asociados a distintos niveles de energía. El paso de una a otra gráfica se esquematiza en la figura:

431

H9

H9. Fenómenos locales

H9. Fenómenos locales

Fig. 1.6 Equivalencia entre gráfica E 0 /y, y gráfica Q/y

Para distintos niveles de energía, se obtendría también una familia de curvas, del tipo:

Fig. 1.7 Distintas curvas de caudal variando E 0

Los valores del calado para Q = 0 en la gráfica anterior, que son y = 0 e

y = E 0 , indican tendencias límites: en el primer caso se tiende a Q = 0 desde flujos de alta velocidad (recuérdese que la energía E 0 es constante), y en el segundo ( y = E 0 ) con flujos de gran calado, pero sin velocidad (obviamente, ya que Q = 0 ). De hecho este último caso tiene sentido físico, representa la energía hidrostática de agua embalsada. El caso de y = 0 y Q = 0 no tiene sentido físico de utilidad real. Para cada nivel de energía se puede transportar un intervalo de caudales, desde Q = 0 hasta Q max ; éste último sólo con el calado crítico; los caudales menores se pueden transportar con calado subcrítico o supercrítico.

432

H9

H9. Fenómenos locales

2 Fenómenos locales derivados de variaciones en las características del canal o del flujo

2.1 Ensanchamientos y estrechamientos A lo largo de este apartado se supondrá, por simplicidad, que se estudian canales de sección rectangular. Dado que se busca introducir conceptos más que abundar en la casuística, esto no supone una simplificación importante. Se aceptará que las tendencias observadas en los canales de sección rectangular se dan también en los de otras tipologías. En un canal rectangular se puede definir la variable “caudal específico o unitario”, q, como:

q =

Q B

[2.1]

Es decir, q es el caudal por unidad de anchura en el canal, y se expresa en m / s , o, más usualmente, en m 3 / s / ml (ml: metro lineal). 2

La ecuación que define la energía específica será, en términos del caudal unitario:

Q2 q2 E0 = y+ 2 2 = y+ 2 B ·y 2g y 2g

[2.2]

Se puede apreciar cómo, en cualquier caso, la relación E 0 (y ) es del tipo: E0 = y +

k y2

[2.3]

De donde se deduce que las formas que adoptan las curvas E 0 (y ) para

q = cte son del mismo tipo que las obtenidas para Q = cte .

433

H9. Fenómenos locales

Fig. 2.1 Gráficas para cadual específico q

Supóngase el canal de la figura, en el que se da un estrechamiento, pasando de una anchura B 1 , a otra B 2 < B1 :

Fig. 2.2 Planta y perfil de un estrechamiento

Aceptando que la pendiente es pequeña y que también lo es el tramo en el que se da el estrechamiento, se puede aceptar, para dos puntos 1 y 2 inmediatamente antes y después del estrechamiento, z 1 ≅ z 2 . Si se acepta además

que la pérdida de carga en el estrechamiento es despreciable, se tiene: E1 = E 2 y z1 = z 2

[2.4]

→ E 01 = E 02

[2.5]

q 12 q 22 y = + 2 y 12 2g y 22 2g

[2.6]

o sea,

y1 +

Dado que B1 > B 2 , se da q 1 < q 2 ( q1 = Q B1 , q 2 = Q B2 ), y, para que se mantenga la igualdad de energía, debe haber una variación en los calados. Esta variación viene definida por la ecuación, pero se puede visualizar a través de los diagramas de energía, que no son otra cosa que la representación gráfica de la ecuación E 0 = E 0 (y ) . Si se dibujan estos diagramas para q 1 y q 2 ( > q 1 ), se tiene:

434

H9

H9. Fenómenos locales

Fig. 2.3 Diagramas de energía del estrechamiento

Supóngase conocido uno de los dos calados, por ejemplo y 1 . Dado y 1 y el

caudal, queda definido E 01 , que debe ser igual a E 02 . De esta igualdad se obtiene

y 2 . Este proceso, que en general se hará numéricamente, queda representado en

los diagramas como:

Fig. 2.4 Obtención de un calado a partir del otro

Como se observa, se obtiene y 2 < y 1 , lo que quiere decir que al pasar por un

estrechamiento, el nivel baja. Esto va contra toda intuición y contra lo que el sentido común indica, y será matizado más adelante, pero en este momento se acepta como una evidencia que se desprende de las ecuaciones. Si el valor de y 1

hubiese correspondido al régimen rápido, se habría obtenido y 2 > y 1 , más acorde con lo que indica la intuición.

435

H9. Fenómenos locales

Fig. 2.5 Variaciones de caudal en el estrechamiento

Si se produce un ensanchamiento en el canal ( B1 < B 2 ), los caudales

unitarios cumplirán la relación q 2 > q 1 , con lo que el efecto sobre la lámina de agua será el opuesto al indicado en párrafos anteriores. De nuevo en régimen lento el resultado es contrario a lo que la intuición invita a pensar.

Fig. 2.6 Variaciones de caudal en un ensanchamiento

2.1.1 Análisis de un estrechamiento brusco en régimen lento El estrechamiento que se ha propuesto en el apartado anterior no es muy estricto, pero cabría plantearse qué sucede si B 2 se hace más pequeño (y, por

tanto, q 2 más grande). Las gráficas correspondientes a q 1 y q 2 se van alejando, y el umbral mínimo de energía para transportar q 2 va creciendo.

Analicemos qué mecanismos se desarrollan al estrechar B 2 partiendo por

ejemplo de un canal prismático, con B1 = B 2 y, por tanto y 1 = y 2 (se supone que los puntos 1 y 2 son cercanos); empezamos de una situación del tipo:

Fig. 2.7 Datos previos al estrechamiento

436

Supóngase ahora que a partir de esta situación inicial se pudiese provocar un súbito estrechamiento de B 2 hasta un nivel de estrechamiento muy severo:

Fig. 2.8 Planta y diagramas del estrechamiento súbito

El umbral de energía para transportar Q a lo largo del canal de anchura B 2

está por encima de E 01 , lo que quiere decir que en las actuales condiciones, el caudal Q no podrá circular por el tramo 2. Obviamente, el agua tiene que acabar pasando por este tramo, por lo que a partir de este momento se dará una readaptación del flujo, que, como se verá, condicionará el campo de calados a lo largo de todo el canal. El estudio de esta adaptación escapa al ámbito de la asignatura, ya que se trata de un movimiento variable en el tiempo, y, si el estrechamiento es instantáneo, el movimiento es rápidamente variable. No se pretende estudiar cuantitativamente el flujo, pero sí observar, de modo cualitativo, cómo va respondiendo el canal, y cuál es la situación final. Si el tramo es de pendiente moderada (se aceptará que lo es ya que inicialmente en el dibujo y 1 ≡ y 2 > y c , y no hay condicionantes externos), el estrechar el tramo final del canal tendrá una repercusión que se manifestará desde aguas abajo; esto se tendrá en cuenta posteriormente. De momento se hará un breve análisis de lo que sucedería de no existir ese efecto. Al estudiar el movimiento como variable (de hecho lo es), el efecto local y el efecto inducido desde aguas abajo se dan simultáneamente, y esto hace que no sean perceptibles las situaciones locales que se comentan aquí.

Fig. 2.9 Variación de caudal

437

H9

H9. Fenómenos locales

H9. Fenómenos locales

En los primeros instantes, llega por el tramo 1 un cierto caudal Q, que no podrá discurrir por 2 al carecer de la energía suficiente. Si imaginamos cómo va la curva q 2 alejándose de q 1 , y cuáles serían los calados correspondientes a y 1 ,

para alguna de las situaciones intermedias, tenemos:

Fig. 2.10 Desplazamiento del diagrama de energía

Aceptando que el problema, continuo, se observa en escalones discretos, se ve que en un primer salto, de q 1 a q 3 , el calado baja a y 3 . En un segundo salto, el calado baja a y 4 , que coincide con el calado crítico. Así, el calado reacciona

ante una situación de escasez de energía disponible tendiendo a adoptar una configuración de energía mínima en la zona estrecha. Al alejarse la curva hacia q 2 , dado que el nivel de energía es E 01 y no se puede transportar, por tanto, más que q 4 , se llega a:

B Q Q∗ q4 = = ; Q∗ = Q 2 < Q B4 B4 B2

[2.7]

Lo que indica en esencia que aún en esa configuración de energía mínima

∗ sólo se podrá transportar un caudal Q < Q . El volumen de agua excedente será

∗ (Q − Q ) por cada unidad de tiempo, que se almacenará (según algún mecanismo,

y esto forma parte del cálculo no permanente), en el tramo 1. Si vemos distintos instantes, esa acumulación en 1 da lugar a un embalsamiento que más o menos tendrá el aspecto:

438

H9

H9. Fenómenos locales

Fig. 2.11 Representación de la acumulación debida al estrechamiento

Se generan calados crecientes en 1, lo que llevará a su vez a valores crecientes de E 0 (en régimen lento, el crecimiento del calado conlleva el crecimiento de E 0 ).

Ese crecimiento neto de E 0 redunda en una mayor capacidad de transporte hacia ∗ 2: al crecer E 0 , crece y c y por tanto Q , según se observa en la figura siguiente.

Fig. 2.12 Variación del diagarma del energía al crecer el calado en 1 '

A medida que q ∗ tiende a q 2 el caudal que genera el embalsamiento va

siendo menor, hasta que se alcanza un nivel yˆ1 compatible con y 2c y se estabiliza la situación:

Fig. 2.13 Situación final del estrechamiento brusco

439

H9. Fenómenos locales

Como se ve, el efecto local del estrechamiento ha afectado al canal aguas arriba ya que ha provocado un embalsamiento: el estrechamiento induce una condición de contorno hacia aguas arriba. Se comentó con anterioridad que el efecto local es sólo una de las componentes del problema. El canal aguas abajo se acomoda a la nueva situación y, una vez circula por todo él un caudal Q, se tiene una disposición como:

Fig. 2.14 Influencia aguas abajo

donde las condiciones de contorno de aguas abajo se readaptan, generando mayores calados en todo el tramo. Como se recordará, se parte de una situación inicial con un canal prismático ( B1 = B 2 ) y por tanto ( y 1 = y 2 ). Un repentino estrechamiento conduce a la situación actual, con q 2 > q 1 . Así inicialmente se

transportaba un caudal q 1 , y posteriormente se transporta q 2 , los calados normal y crítico aumentan. Si, por ejemplo, el vertido es libre aguas abajo, las curvas tienden a modificarse según:

Fig. 2.15 Variación de curva de calados

Debe entenderse que si el agua vierte con y c2 (vertido libre), calado por debajo del normal, y se da por tanto una curva M2, la energía específica de los

440

puntos aguas arriba debe ser mayor que la de los puntos aguas abajo, ya que, para y < y n , I > i y se pierde energía específica hacia aguas abajo. De este modo, es inadmisible una situación con y c2 aguas arriba (impuesta por el fenómeno local) e y c2 aguas abajo (impuesta por el vertido libre). El calado aguas arriba del tramo 2 tiende a ser el normal, y anegará a la larga el efecto local: la sobreelevación de calados atravesará el estrechamiento y se propagará hacia aguas arriba, llevando a una distribución que se presentará más adelante. Si se considera el tramo 2, el estrechamiento, que obliga al agua a salir con un calado y c2 , impone mayores calados en todos los puntos. La energía específica asociada a y c2 es mayor que la asociada a yc1 , según se ve en el gráfico de energías, y también es mayor la de y n2 que la de y n1 :

Fig. 2.16 Comparación de diagramas de energía

Si se considera que el tramo 2 se estrecha de golpe, el aumento de calado (y por tanto de energía específica) se logra de modo evidente, ya que si antes de estrechar circula un caudal Q, inmediatamente después ese mismo caudal (que ocupa un volumen), necesita más calado. En un principio el perfil de calados no dará lugar a un vertido crítico; esta configuración (forzada por un bajo nivel de energía aguas abajo) será la tendencia final.

441

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H9. Fenómenos locales

H9. Fenómenos locales

Fig. 2.17 Variacones de calados durante el estrechamiento

Si se considera el aspecto final de todo el canal, suponiendo pendiente moderada y tramos largos antes y después del estrechamiento, con vertido libre aguas abajo (esto no es muy significativo al alejarnos del extremo de aguas abajo), tenemos:

Fig. 2.18 Situación final de todo el canal

De donde se desprenden algunas ideas interesantes: •

Al alcanzarse la situación estacionaria, el calado conocido, y el que marca el nivel de energía, no es y 1 sino y 2 ≡ y n2 . Al iniciar esta

442

•

discusión se consideró el efecto local del estrechamiento. Sin perjuicio de que haya casos (ej: puentes, etc.) en que este efecto sea el dominante, en el caso de que el estrechamiento se mantenga hacia aguas abajo el efecto dominante, que anega este efecto local, es el efecto impuesto por las condiciones aguas abajo. Así, no tiene sentido plantear que el estrechamiento es demasiado brusco y el agua no tiene energía para pasar. Esto se dará de modo transitorio. A la larga, el agua tendrá energía para pasar, y no en régimen crítico sino en el que venga impuesto desde aguas abajo. Al iniciar la discusión se comentó lo extraño de la forma de la lámina en las cercanías del estrechamiento: parecía raro que la lámina descendiese al estrechar. Observando la figura que recoge la lámina de agua en todo el canal se comprende que eso no es exactamente así. Sí hay un efecto muy localizado en ese sentido, pero globalmente, el nivel pasa de y n1 a y n2 ( > y n1 ) y hay una zona de adaptación (curva M1) que actúa como un embalsamiento o depósito de carga para lograr que el agua entre con suficiente energía en la zona 2. El efecto del estrechamiento no es sólo el paso de y 1 a y n2 (casi anecdótico), sino

•

toda la curva M1 en la que el agua se desacelera, generando así menor pérdida de carga en el recorrido y ganando energía específica para poder atravesar el estrechamiento. Hay que destacar la misión “ahorrativa” del tramo de curva M1. Como se vio, la energía específica asociada a y n1 , no era suficiente para atravesar el estrechamiento. Tras el transitorio, proceso complejo que se ha esbozado y que lleva al predominio de las condicionantes aguas abajo, aparece un tramo de curva M1. En este tramo los calados crecen hacia aguas abajo y esto lleva a ganar energía específica. Cabe plantearse de dónde surge esa energía adicional: dado que los calados están por encima del calado normal, se da i > I y por tanto no se gasta toda la energía de cota: al ir más despacio se ahorra esa energía y se gana calado.

443

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H9. Fenómenos locales

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Fig. 2.19 Influecia aguas arriba

•

Todos los fenómenos que se han apuntado requieren una capacidad de adaptación del agua, una capacidad de “prever los acontecimientos”. Si se forma una curva M1 es porque el agua en la sección A ya es consciente de que en D habrá un estrechamiento. Esta capacidad de previsión y adaptación es una característica del régimen lento.

No hay en rigor estrechamientos bruscos si los tramos se prolongan con anchuras B 1 y B 2 como distancia suficientemente larga. La figura final a la que

se ha llegado es la misma que se presentó (a nivel muy local) en el apartado 2.1. Si en aquel caso se hubiese dibujado el perfil de la superficie libre a lo largo de los dos tramos, se hubiera comprendido que en ausencia de otros condicionantes, y 2 ≡ y n2 (conocido), y es y 1 quien se aleja del calado normal, creando una curva M1. La frase “supóngase conocido y 1 ”, en 2.1 es de hecho engañosa. Se puede

conocer y 1 si se mide en un canal, pero el calado “deducible” es y 2 , que, si el tramo 2 es largo, tiende a ser el calado normal.

2.1.2 Otros casos vinculados a estrechamientos y ensanchamientos Se han detallado en el apartado anterior las tendencias y los mecanismos que intervienen en un estrechamiento brusco en régimen lento, entendiendo que éste se prolonga indefinidamente. Aun aceptando que la casuística en lo que respecta a variaciones de sección es casi infinita, se estudiarán ahora dos casos en que se discuten las dos hipótesis impuestas en 2.1.1, por un lado, se considerará un estrechamiento de muy poca longitud en régimen lento, y, por otro, un estrechamiento de gran longitud en régimen rápido. En el primer caso, la planta del canal a estudiar y su perfil longitudinal son, respectivamente:

444

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Fig. 2.20 Estrechamiento de poca longitud en régimen lento

Para el caudal Q, circulante, se consideran dos anchuras posibles en la zona

' estrecha B 2 y B 2 . Se plantean así los siguientes diagramas de energía:

Fig. 2.21 Diagramas de energía para el estrechamiento

Una vez analizado el ejemplo anterior (2.1.1) ya es evidente que no sólo los factores locales deben ser tenidos en cuenta; en particular, en régimen lento, y si el canal de tipo M se prolonga hacia aguas abajo, el calado esperable en la sección D (aguas debajo de la obstrucción) es el calado normal y n1 , ya que en régimen lento son las condiciones aguas abajo las que limitan el flujo. Cabe discutir (y se discutirá) lo que sucede justamente tras la obstrucción. Supóngase una anchura en la obstrucción de valor B 2 , compatible energéticamente con E 0n1 . El perfil de la superficie libre que se daría, suponiendo conocido y D ≡ y n1 , se obtiene aplicando a nivel local el diagrama de energía. Se supone en este análisis que las pérdidas de carga locales son despreciables, y en general es aceptable suponer que si la obstrucción es corta, es asimismo despreciable la pérdida por fricción. Así, existe un calado y 2 compatible con y n1 en régimen lento, y menor que y n1 en valor absoluto, que se dará en la obstrucción. Si se acepta que el paso de D a B se hace sin pérdida de carga, puede aceptarse

445

H9. Fenómenos locales

que también el paso de B a A se hace sin pérdida con lo que se pasaría de y 2 a y n1 haciendo así el camino de vuelta en los diagramas:

Fig. 2.22 Solución de calados sin considerar pérdidas de energía

En realidad es falso considerar despreciables las pérdidas locales, sobre todo en la expansión. Habrá pérdidas, tanto mayores cuanto mayor sea la velocidad, y que, al igual que en el cálculo de tuberías, serán lineales con el cuadrado de la velocidad. Su expresión responderá a fórmulas del tipo: ∆H CONTRACCIÓN = K C (VB2 − VA2 ) ; ∆H EXPANSIÓN = K E (VB2 − VD2 )

[2.8]

que llevarán, en definitiva a la relación E 0A > E 0B > E 0D . Aceptando conocidas esas pérdidas, el perfil real de la superficie libre será:

Fig. 2.23 Solución de calados considerando pérdidas de energía ' Si se considera ahora la anchura B 2 , que no es compatible energéticamente

con y n1 , se hace evidente que los flujos en B y D quedan desacoplados: el nivel de

energía mínimo en B, correspondiente en y c' 2 , es muy superior al nivel impuesto

446

desde aguas abajo, correspondiente a y n1 . A todos los efectos el paso de B a D será similar al que se da en un vertido libre a un depósito con un nivel inferior al del calado crítico:

Fig. 2.24 Vertido libre a depósito

En este caso, el efecto local prevalece, ya que desde aguas abajo no hay ningún efecto que lo compense. El vertido de B a D provocará una alteración de la lámina de agua, y la disipación de la energía E 0B − E 0D , con lo que no se puede decir que justo aguas abajo de la obstrucción haya un calado igual a y n1 . El calado y 1 (en A) debe ser energéticamente compatible con y c2 , y debe además incluir la pérdida de energía, si la hay. Esto lleva en cualquier caso a un calado y 1 >>> y n1 , y la formación de una curva de remanso M1, que tiene el efecto, como ya se comentó en el apartado 2.1.1 de ahorro de energía para generar un nivel en A suficiente para poder atravesar un estrechamiento brusco.

Fig. 2.25 Nivel de calados final

Si el estrechamiento es realmente severo se puede dar y c' 2 > y n1 , como se ha indicado en las figuras, pero no es preciso que se dé para que los flujos se desacoplen; basta con que no sean energéticamente compatibles E 0n1 < E 0 ' . c2

447

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H9. Fenómenos locales

Supóngase ahora un canal al que se provoca un estrechamiento, bruscamente, siendo su régimen de circulación rápido antes de estrechar. Si el lector opina que no es habitual que los canales se estrechen bruscamente, y que por tanto se está incidiendo en un tema poco frecuente, ante todo hay que decir que es cierto, pero se destaca que es un modo relativamente sencillo de poner de manifiesto la respuesta del canal ante un cambio de pendiente. El modo natural de proceder, considerando un canal de geometría fija, no permite un análisis desacoplado de los distintos efectos (local y remanso). En cualquier caso, como se llega a definir la situación permanente tras el estrechamiento, el método de análisis es secundario. El canal que se considera es similar al ya definido en 2.1.1, pero su pendiente es ahora pronunciada. Este hecho es importante, ya que el régimen de circulación en ausencia de otros condicionantes será rápido, y no son esperables efectos debidos a transmisión de información desde aguas abajo. Aceptando una situación

' inicial prismática con q = q 1 y una situación final con q 2 o q 2 (según lo visto en

2.1.1), los diagramas de energía asociados a cada situación son:

Fig. 2.26 Estrechamiento de gran longitud en régimen rápido

El perfil de la superficie libre para el paso de B 1 a B 2 , entendiendo que

ambos tramos son largos, será:

Fig. 2.27 Perfil de calados en el estrechamiento

448

donde la curva que se dará aguas abajo de la singularidad será una S2 si y 2 > y n2 o una S3 si y 2 < y n2 . En cualquier caso, para la anchura B 2 es evidente a partir de los diagramas de energía que ¿ y2 > yn1 ?. Como se ve, en este caso el efecto de la singularidad sólo se manifiesta aguas abajo de la misma, lo que concuerda con lo esperado, ya que el régimen de circulación es rápido. Si se considera un cambio de anchuras de B 1 a B 2 ; se observa de modo inmediato que E 0n no es una energía suficiente para transportar el caudal de '

1

' ' referencia (Q = q B 2 ) a lo largo del tramo de anchura B 2 . En el ejemplo ' 2

desarrollado en 2.1.1 fue el efecto del tramo aguas abajo quien provocó un cambio en los niveles globales de energía en las secciones de aguas arriba (el efecto “de remanso” predominó sobre el local). En el presente caso no cabe esperar una elevación global de los niveles de energía provocado desde aguas abajo, ya que no hay condiciones de contorno aguas abajo que generen calados elevados, y la ' tendencia natural del agua en el tramo de anchura B 2 será circular en régimen

rápido.

Localmente, el caudal Q va siendo aportado y, en un primer momento, no puede atravesar el estrechamiento. Si planteamos el estrechamiento en el tiempo como una sucesión rápida de decrementos de anchura, es fácil percibir como el calado en 2 tiende al calado crítico, logrando así el desagüe del máximo caudal para el nivel de energía disponible:

Fig. 2.28 Incremento del y 2 hasta alcanzar y c

El calado crítico al que se llega en la gráfica permite desaguar un caudal

Q < Q , ya que no hay un calado compatible para la curva q 2' . Si estrechamos ' hasta B 2 , obtendremos un calado crítico que desaguará una parte del caudal, ∗

quedando un remanente almacenado a las puertas del estrechamiento. Este

449

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excedente generará una pérdida de carga al resultar un estorbo para el paso. Dado que habrá una continua aportación de excedente, se verán situaciones como:

Fig. 2.29 Acumulación de agua aguas arriba

Pasado un tiempo, la zona aguas arriba del estrechamiento es ya un “embalse”, y su energía no es ya de tipo cinético sino potencial. El flujo rápido de calado y n1 se hace compatible con este “embalse” mediante un resalto, que no está en equilibrio ya que la situación es transitoria (resalto móvil). A medida que se acumula volumen, el nivel y 1 aumenta, y por tanto aumenta E 01 , lo que permite desaguar un caudal mayor, siempre en calado crítico:

Fig. 2.30 Evolución de calados cuando se cierra el estrechamiento

En el tramo 1-2 se pasa de régimen rápido a lento, y se pierde energía, ya que hay un resalto hidráulico. De 2 a 3 se gasta menos energía de la disponible por cota, lo que supone un aumento de energía específica. Este tramo 2-3 es la clave en el aumento de energía necesario para atravesar el estrechamiento. El calado en 3, crece con el tiempo y se estabiliza cuando su energía es la del calado y c' 2 , que permite desaguar el caudal Q. En ese momento ya no hay acumulación de caudal, y la situación es estable. El ahorro de energía necesario para atravesar el estrechamiento ha tenido que venir dado por un cambio de régimen, que se producirá muy aguas arriba, ya que

450

el tramo de régimen lento debe incrementar la energía específica y asumir además la pérdida de carga generada por el resalto hidráulico. El estrechamiento genera un efecto aguas arriba, lo que no es incompatible con que el tramo sea de pendiente pronunciada, ya que la curva que se produce (S1) pertenece al régimen lento.

Fig. 2.31 Curvas de remanso solución

Como se ha podido ver, un estrechamiento (o ensanchamiento) es un condicionante que debe hacerse compatible con el resto de los que marcan los niveles en un canal (condiciones de contorno, etc.). En algunos casos, como en el último que se ha visto (estrechamiento brusco en régimen rápido), el efecto del estrechamiento es dominante. También lo es en un estrechamiento corto y brusco, pero, aunque su efecto es importante, no es el dominante en el caso detallado en 2.1.1, en el que son las condiciones de contorno de aguas abajo quienes marcan el tipo de flujo que se da. En conclusión, el análisis de un canal con singularidades debe enfocarse de modo global, imponiendo las tendencias naturales de los tramos y haciéndolas compatibles con los condicionantes puntuales. Esto, que es válido para estrechamientos y ensanchamientos, lo será también para los escalones en solera de los que se hablará en los siguientes apartados y en general para todas las singularidades.

2.2 Escalones en solera Supóngase un canal prismático de sección -por simplificar- rectangular, en el que la solera sube bruscamente un valor ∆z . Supóngase que no se pierde energía en el escalón; las distintas componentes de la energía se verán afectadas:

451

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H9. Fenómenos locales

H9. Fenómenos locales

E1 ⇒ E 2

E 1 ⇒ E 01 + z 1 Fig. 2.32 Componentes de energía en un escalón

E 2 ⇒ E 02 + z 2 ⇒ E 02 + z 1 + ∆z

E 01 ⇒ E 02 + ∆z

El hecho de que la energía se conserva lleva directamente a que la energía específica en 2 es inferior a la de 1 en un valor igual a ∆z . Sobre el diagrama de energía para el caudal circulante (Q), este fenómeno se esquematiza, si el régimen es lento, como:

Fig. 2.33 Diagrama de energía para un escalón

Se observa que el calado desciende de modo local en el estrechamiento. Dado que la cota aumenta en 2, cabe plantearse si la cota de la superficie libre en 2 (suma de calado y cota de la solera) es mayor o menor que la de 1. Si se observa el diagrama de energía, se observa que el tramo de curva definido entre 1 y 2 tiene pendiente mayor que la unidad, luego (y 1 − y 2 ) > ∆z y por tanto la cota de la superficie libre desciende, de nuevo contra toda intuición. Basta no obstante abrir el estudio a una longitud mayor de canal hacia aguas arriba y hacia aguas abajo para comprender que esa aparente incoherencia no es relevante: en efecto, si consideramos que el canal es de pendiente moderada y que los tramos son largos, el punto 2 tendrá como calado el normal y n2 ≡ y n y es de hecho el calado que se conoce a priori (al igual que sucedía en el estrechamiento). Aplicando la ecuación de conservación de la energía se calcula y 1 , y a partir de este punto y hacia aguas

arriba se da una curva M1 hasta llegar al calado normal y n1 ≡ y n . El tramo M1

452

es de hecho el efecto del escalón; se ahorra energía para asumir el incremento de cota.

Fig. 2.34 Curvas de remanso para un escalón

Desde este punto de vista global, es evidente que el nivel del agua sube al elevar la solera, pero se requiere una transición. No tiene sentido, si los tramos son largos, plantear que el flujo no tenga suficiente energía para atravesar el escalón. Para entender los procesos que darían lugar a la solución final esquematizada en la figura anterior se requeriría una discusión sobre el efecto de una elevación brusca de la solera, y la contraposición de efectos locales y globales, según lo desarrollado en 2.1.1. Se deja para el lector la adaptación de aquellos argumentos a esta situación. En el caso de que el escalón sea corto y se vuelva, tras una pequeña longitud, a la cota original, los efectos locales son dominantes y conviene detallar cómo será la forma de la superficie libre:

Fig. 2.35 Esquemas para un escalón corto

El calado conocido a priori se da en la posición E, y coincide con el calado normal, si se considera que el canal se prolonga una distancia suficiente aguas abajo de la singularidad. Para un incremento de calado ∆z , existe un calado y D energéticamente compatible. Aceptando y B ≡ y D (tramo muy corto), el calado y A

sería de nuevo y A ≡ y n y el efecto de la singularidad sería puramente local.

453

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H9. Fenómenos locales

H9. Fenómenos locales

Obviamente, si se considerasen pérdidas de carga no sería cierto que y A ≡ y E (este caso es homólogo al estrechamiento corto presentado en 2.1.2).

Fig. 2.36 Calado sin pérdidas de caga

En el caso de que el incremento de cota sea superior (del orden de ∆z ′ ), el nivel de energía prefijado desde abajo, correspondiente a y n , es menor que la energía necesaria para atravesar la singularidad. El nivel de energía aguas arriba debe crecer (mediante una curva M1) hasta la situación límite que permita el paso del caudal total por encima del obstáculo (de modo homólogo a lo visto en 2.1.2). El calado en B será entonces el crítico (basta ver como y B tiende a y c a medida que ∆z crece). El nivel de energía en B ≡ D es muy superior al nivel en E, con lo que se dará un vertido libre, con la consiguiente disipación del excedente de energía:

Fig. 2.37 Curva de remaso aguas arriba de un escalón corto

Si el canal es de pendiente pronunciada, y en ausencia de otras condicionantes el régimen de circulación es rápido, la discusión varía, de modo similar a lo que sucedía en 2.1.2. Según se aprecia en los diagramas de energía, el calado en la zona elevada es mayor que en la zona inicial; si a esto se añade el incremento de cota, se percibe una clara elevación de la superficie libre:

454

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H9. Fenómenos locales

Fig. 2.38 Diagrama de energía de un escalón

En el caso representado en la figura, si el tramo inicial es largo cabe suponer y 1 ≡ y n y el efecto del escalón se reduciría al tramo de curva S2 que lleva al cabo de unos metros a recuperar el calado normal. No hay efectos aguas arriba, dado que en ningún caso el régimen deja de ser rápido. Si ∆z es un valor importante es posible que E 0n − ∆z no sea compatible con ningún punto del diagrama de energía correspondiente al caudal circulante. Al igual que sucedía en 2.1.2, se deberá producir una adaptación, mediante una curva S1 (en régimen lento), que imponga un calado antes del escalón compatible con el nivel de energía crítica tras él. El perfil global de la superficie libre será:

Fig. 2.39 Curvas de remanso con un escalón

absolutamente homólogo, como se ve, al obtenido en 2.1.2. De hecho, se puede observar que todas y cada una de las situaciones expuestas en este apartado tienen su gemela en 2.1.1-2.1.2.

455

H9. Fenómenos locales

3 Variaciones en el caudal

Para terminar con este capítulo, se comentará el efecto de una adición o una detracción de caudal en un canal rectangular. Se supondrá por simplicidad que estas variaciones en el caudal no conllevan variaciones en la energía, lo que en general no es cierto. Considerar estas variaciones de energía no representa un problema adicional, como ya se vio en 2.1.2 al discutir una contracción corta, por lo que se aceptará como hipótesis simplificativa. Dado un canal rectangular indefinido de pendiente moderada, se considera una adición de caudal, con lo que se pasa de un caudal circulante Q1 a un caudal Q1 + ∆Q = Q 2 :

Fig. 3.1 Adición puntual de caudal a un canal

Si se plantean los diagramas de energía para ambos caudales, y se acepta que el calado conocido es y 2 ≡ y n (si el tramo aguas abajo se prolonga suficientemente), se obtiene el perfil:

Fig. 3.2 Diagrama de energías antes y después de un cambio de caudal

456

A nivel local y 1 > y 2 , pero globalmente el calado crece, ya que y n1 < y n2 y el tramo M1 es el efecto creado por la singularidad. En régimen rápido se distingue entre dos situaciones, según ∆Q sea un caudal pequeño o importante. Reproduciendo las discusiones de 2.1.2 y 2.2 los perfiles que se obtendrían serían, respectivamente:

Fig. 3.3 Diferentes curvas de remanso según la aportación de caudal

Este problema, como se ve, es absolutamente homólogo a un cambio en la anchura. En 2.1 se discutía en base a caudales específicos, q 1 , q 2 . En este caso,

se discute sobre caudales globales, Q1 ; Q2 , pero todos los argumentos son idénticos. Se deja al lector el detalle de las deducciones que han dado lugar a los gráficos que se presentan.

457

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H9. Fenómenos locales

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PROBLEMA – 9 A

ENUNCIADO

En el canal de sección rectangular con pendiente pronunciada en todos sus tramos de la figura, se observa que el máximo calado se produce en el punto D, y D =1.86 m. La anchura de los tramos 2 y 3 es la mínima posible de forma que del punto A al punto B no exista un cambio de régimen. Se pide: a) el valor máximo del caudal que se incorpora entre los puntos D y E b) dibujar la lámina de agua con los nombres de las curvas de remanso y los calados más significativos Datos: Q 1 =Q 2 = 3 m3/s; n=0.014 s m-1/3. Los tramos son todo lo largos que se desee a efectos de cálculo. El estrechamiento y la incorporación de caudal no llevan acompañada una pérdida de energía significativa. Y inicial = 0.30 m. Vertido libre al final del canal.

Fig 1 Vista en planta y perfil del canal del enunciado

458

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H9. Fenómenos locales

PLANTEAMIENTO En este problema se observa una variación brusca de la sección, pasando de una sección de anchura de B 1 =3 m a una anchura B 2 =B 3 justo en el cambio del tramo 1 al tramo 2. También se observa una variación local del caudal, ya que existe la incorporación de un cierto caudal al final del tramo 2. Con estas condiciones la lámina de agua en los cambios de tramo no responderá a la ecuación del movimiento permanente gradualmente variado, ya que en estos puntos no se cumplen las hipótesis de Saint-Venant para la cual fue deducida (el canal no es prismático y el caudal no es constante). Donde no se puede aplicar la ecuación del movimiento permanente gradualmente variado deben resolverse aplicando la ecuación de conservación de la energía entre 2 puntos los suficientemente próximos:

E= E 2 + ∆E12 1

[1]

Pudiéndose escribir la energía total, utilizando la energía específica:

E = z +y +

v2 = z + E0 2g

[2]

siendo E o , la energía específica:

E 0 =y +

v2 Q2 Q2 =y + 2 =y + 2 2g A 2g Ay 2g

[3]

la E o , la energía específica, depende para una sección con geometría conocida y un caudal constante del calado, y, así gráficamente se puede representar la energía específica frente al calado para distintos caudales.

Fig 2 Diagramas de energía específica.

459

H9. Fenómenos locales

Cada curva es la representación de la energía específica frente al calado para un caudal, está divida en dos ramas por el calado crítico (que es el calado asociado a la energía específica mínima) La rama superior de la curva pertenece a los calados en régimen lento o subcrítico, en dicha rama cuando el calado aumenta también aumenta la energía específica. La rama inferior de la curva pertenece a los calados en régimen rápido o supercrítico, en dicha rama cuando el calado disminuye, aumenta la energía específica Estos diagramas de la energía específica nos sirven para comprender la relación entre los calados en los fenómenos locales.

RESOLUCIÓN

Iniciaremos la resolución calculando los calados característicos, calado normal y calado crítico, en los tramos de los que disponemos datos. Calado crítico para un canal de sección rectangular yc =

3

Q2

[4]

B 2g

solo es posible para el tramo 1, ya que para el tramo 2 no conocemos su anchura y para el último tramo no conocemos el valor del caudal Q 3 , así el calado crítico para el tramo 1 es y c1 =0.467 m. Para calcular el calado normal del tramo 1 (en los siguientes tramos no conocemos la anchura del canal) utilizamos la ecuación del movimiento permanente uniforme i= I=

n 2v 2 Rh

4

3

=

n 2Q 2  Byn  B 2yn2   2y + B   n 

4

[5] 3

de forma que, y n1 =0.199 m. El siguiente paso es intentar calcular la anchura B 2 y a partir de ahí el calado normal en el tramo 2, y n2 . Debemos partir de las premisas del enunciado: a) todos los tramos en pendiente pronunciada, b) anchura

460

del tramo 2 es la mínima para que no exista un cambio de régimen entre los puntos A y B. El tramo 1 en pendiente pronunciada llevará en su extremo aguas abajo a un calado normal en régimen rápido (en el punto A habrá y n1 ). Para que de A a B no se produzca un cambio de régimen, la anchura en el tramo 2 será aquella de forma que la energía asociada al calado normal y n1 sea mayor que la energía máxima que produciría un cambio de régimen (estos es, la energía debe ser mayor que la energía crítica en el punto B)

E A ≥ EB + ∆E AB

[6]

con E A =Ey

=z A + EoA =z A + Eoy

n1

EB =Ey =z B + EoB =z B + Eoy

[7]

n1

c2

c

En el límite z A + Eoy = z B + Eoy n1

c2

[8]

+ ∆E AB

Suponiendo que a efectos de cálculo, como enuncia el problema, no se produce una pérdida significativa de energía en el estrechamiento de A-B (∆E AB =0) y que los puntos A y B están lo suficientemente próximos para considerar que z A =z B , entonces Eoy

n1

Eoy

n1

c2

= Eoy ⇒ yn1 + c2

⇒ yn 1 +

Q2 B 2·yn21 2g

[9]

= Eoy

vn21

= yc 2 +

2g

= yc 2 +

1

vc22 2g

⇒

Q2

[10]

B 2·yc22 2g 2

Además como la energía crítica en un canal rectangular se puede escribir de forma simplificada en función del calado crítico:

 Q Ec =yc + =yc +   B·y 2g c  vc2

2

 1 Q2  · =yc +  2g B 2·yc2 2g 

[11]

Teniendo en cuenta el valor del calado crítico en un canal rectangular: y= c

3

Q2 B 2·g

Y sustituyendo:

461

3 ⇒ yc=

Q2 B 2·g

[12]

H9

H9. Fenómenos locales

H9. Fenómenos locales

Ec =yc +

yc3

2yc2

1 3 yc ⇒ Ec = yc 2 2

[13]

3 y 2 c

[14]

=yc + Eoy = c

Con lo que con y n1 =0.199, B 1 =3 m, Q 1 =3 m3/s, Eoy = Eoy n1

⇒ yn 1 +

c2

Q2 B 2yn21 2g 1

=

3 y 2 c2

[15] [16]

yc 2 = 0.99 m

y a partir del calado crítico

Q2

= yc 2

3= 2

B 2·g

0.99 m

[17]

obtenemos B 2 =0.974 m. Una vez conocida la sección del tramo 2 podemos calcular su calado normal, con i 2 =0.05=5%, B 2 =3 m, Q 2 =3 m3/s, n=0.014 s m-1/3

i2= I=

n 2·v 22 Rh

4

3

n 2·Q 22

=

 B2·yn 2  B 22·yn22     2yn 2 + B2 

4

[18] 3

Así y n2 =0.7 m. Una vez conocido el calado normal en el tramo 2 y la anchura de los tramos 2 y 3, intentaremos calcular el valor del caudal en el tramo 3. Si los puntos D y E consideramos que están lo suficientemente próximos para que tengan la misma cota y se considera así mismo que las pérdidas de energía en la incorporación del caudal son próximas a 0, se puede escribir y E= E E + ∆E DE D

[19]

E= EoE + ∆E DE oD

[20]

EoD = EoE

[21]

Conocemos además que el calado aguas abajo del tramo 2 será el calado normal (y n2 ) ya que es la tendencia natural de un canal en pendiente pronunciada. Por otro lado el calado máximo en todo el canal es el calado en el punto D que conocemos por el enunciado, y D =1.86 m. De forma que

462

Q 22

EoD = yD + 2 2 = 2m B ·yD 2g

[22]

2

E= E= 2m oD oE

Q 32 = EoE = yE + 2 2 2m B ·yE 2g

[23] [24]

3

En la fórmula anterior tenemos 2 incógnitas Q 3 y y E . Para que al final del tramo 2 (y D ) que tiene pendiente pronunciada exista un calado en régimen lento (y D >y c2 ) es necesario que al inicio del tramo 3 haya un calado que provoque ese régimen lento. Ese calado al inicio del tramo 3 es el calado crítico (y E =y c3 ) y obviamente es más energético que el calado normal en el tramo 2 ( escribir

E yc3 > E y n 2

Q 32

). De forma que podemos

Q 32

3 2 m [25] EoE = yE + 2 2 = yc 3 + 2 2 == Eo y = yc 3 2 c3 B ·yE 2g B ·yc 3 2g 3

3

3 y = 2 m ⇒ yc 3 = 1.33 m 2 c3

[26]

De donde con B 3 =0.974 m, yc= 3

3

Q 32 4.7 m 3 / s = 1.33 m ⇒ Q= 3 2 B 3·g

Por lo que ∆Q=Q 3 -Q 2 = 1.7 m3/s Resumiendo, antes de dibujar la lámina de agua Tabla 2

Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 i 0.05 0.02 0.02 3 3 Q 3 m /s 3 m /s 4.7 m3/s B 3m 0.974 m 0.974 m yc 0.467 m 0.99 m 1.33 m yn 0.199 m 0.7 m 1m yn 0.917 m 1.348 m 1.73 m M/S S S S

463

[27]

H9

H9. Fenómenos locales

H9. Fenómenos locales

El calado inicial viene dado por el enunciado, y inicial =0.30 m así que se partirá de este calado que es inferior al calado crítico del tramo 1. La única curva que podemos dibujar en el tramo 1 es la curva S3 que partirá del calado 0.30 m y finalizará en el punto A con calado normal (y A =y n1 ). Entre los puntos A y B se producirá un fenómeno local, pasando de un calado normal en A (y A =y n1 ) a un calado crítico en B (y B =y c2 ) de forma “brusca”. Para dibujar la lámina del tramo 2 tenemos que amoldarnos a 2 condiciones: a) calado crítico al inicio del tramo, y b) calado y D =1.86 m al final del tramo. Son dos las curvas con las que podemos dibujar la lámina de agua: la S2, curva en régimen rápido que parte del calado crítico, y la S1, curva en régimen lento que finaliza en y D =1.86 m al final del tramo. La forma de combinar el paso de una S2 a S1 (cambio de régimen rápido a régimen lento) es mediante un resalto hidráulico. Como el tramo 2 es lo suficientemente largo la curva S2 alcanzará el calado normal y n2 y se establecerá un resalto hidráulico entre este calado normal y su conjugado (y c1 -S2-y n2 -RH- y n2 -S1-y D ). El fenómeno local producido por el aumento de caudal entre el tramo 2 y el tramo 3, se resuelve entre el calado y D =1.86 m y el calado crítico del tramo 3 (y c3 =1.33 m). Finalmente en el tramo 3 la lámina de agua tendrá la forma de una curva S2 (curva de régimen rápido que parte del calado crítico) finalizando en el calado normal del tramo (y n3 =1 m).

Fig 3 Perfil de la lámina libre

Podemos utilizar los diagramas de energía para comprender la secuencia de las curvas de remanso y los fenómenos locales. Como puede observase en el diagrama de la energía específica, donde se

464

representa la relación entre el calado y la energía específica (y-E o ) para los tres caudales unitarios (q 1 , q 2 , q 3 ), la lámina de agua empieza en la curva correspondiente al q 1 con un calado inferior al crítico. Desde este calado crítico lo calados van aumentando y la energía específica disminuye siguiendo una curva S3 hasta llegar al calado normal (y n1 ). Desde el calado normal del tramo 1 se “salta” mediante un fenómeno local a la curva del caudal q 2 (q 2 >q 1 ya que Q 2 =Q 1 pero B 2
Fig 4 Secuencia de curvas de energía

465

H9

H9. Fenómenos locales

H9. Fenómenos locales Tabla 3

y inicial

1.654

yA

1.502

yB

0.94

yD

2.66

yE

1.65

yf inal

1.5

466

PROBLEMA – 9 B

ENUNCIADO

Dibujar la lámina con los nombres de las curvas de remanso y los calados más influyentes en el canal de sección rectangular de la figura en el que existe un vertido libre en su final. El caudal es 10 m3/s, la pendiente geométrica del 1% y el coeficiente de Manning tiene un valor de 0.0142 s m-1/3. El canal tiene una anchura de 1.5 m. Los escalones tienen unos desniveles de ∆z 1 =1 m y ∆z 2 =0.5 m. El calado al inicio del canal tiene un valor de 1 m. Nota: todos los tramos se pueden considerar lo suficientemente largos para alcanzar las tendencias naturales.

Fig 5 Problema B

PLANTEAMIENTO

El canal está dividido en tres tramos por 2 escalones, un escalón de bajada (del tramo 1 al 2) y un escalón de subida (tramo 2 al tramo 3). Por lo tanto (no estamos ante un canal prismático de sección constante) entre puntos muy próximos (A-B, D-E) donde el canal modifica abruptamente la cota de la solera, la lámina de agua tendrá una discontinuidad mediante sendos fenómenos locales.

467

H9

H9. Fenómenos locales

H9. Fenómenos locales

Para dibujar la lámina de agua seguiremos el siguiente proceso: a)

calcularemos los calados normales y críticos para los tres tramos

b) dibujaremos las curvas de remanso tentativas para cada tramo, teniendo en cuenta las tendencias naturales y las condiciones de contorno c) resolveremos las uniones entre las curvas de remanso (cambios de régimen y fenómenos locales) calculando los calados precisos mediante: el cálculo de calados conjugados y planteando la conservación de energía entre puntos próximos. d)

finalmente acabaremos dibujando la lámina de agua

RESOLUCIÓN Calculamos los calados más característicos, el calado normal y el calado crítico:

i calado normal, y= n

calado crítico, y c

n 2v 2 = 4 Rh 3

n 2Q 2  Byn  B 2yn2   2y + B   n 

yc =

3

4

3

Q2 B 2g

[28]

[29]

que para Q=10 m3/s, B=1.5 m, n=0.0142 s m-1/3, se obtiene y c =1.65 m (igual para todos los tramos ya que no varía la sección transversal ni el caudal), y n =1.5 m (igual para todos los tramos ya que tampoco varía la pendiente geométrica).

Fig 6 Posibles curvas de remanso

468

Todos los tramos se encuentran en pendiente pronunciada (S, y n
E= EB + ∆E AB A

[30]

z A + E 0 = z B + E 0 + ∆E AB

[31]

A

B

si consideramos que las pérdidas energéticas en este escalón de bajada son mínimas ∆E AB ≈ 0

z A + E 0 =z B + E 0

[32]

∆z AB + E 0 = E0

[33]

A

B

A

B

considerando y A =y n1 =1.5 m, con Q=10 m3/s, B=1.5 m y ∆z AB = 1 m. ∆z AB + Eo = ∆z AB + yA + A

Q2 B 2yA2 2g

= yn 1 +

1 + 2.5 = 3.5 = Eo = yB + B

Q2 B 2yn21 2g

Q2 B 2yB2 2g

= Eo

B

[34] [35]

de donde podemos obtener el valor del calado y B . Esta ecuación tiene 3 soluciones, dos de ellas con valores positivos para el calado que son las únicas que tienen sentido físico. De las dos soluciones matemáticas positivas una de ellas será en régimen lento (y B >y c , y Bl =3.29 m) y otra en régimen rápido (y B
469

H9

H9. Fenómenos locales

H9. Fenómenos locales

Fig 7 Energía y calados en cada punto

En este caso el calado en régimen rápido en el punto A (y A =y n =1.5 m) provocará un régimen también rápido en el punto B, por lo que el calado se observará en B será y B = y Br =0.94 m. El siguiente paso será resolver el paso de D-E en el escalón de subida igualando la energía entre los puntos D y E, considerando las pérdidas de energía insignificantes a efectos de cálculo:

E= E E + ∆E DE D

[36]

=z E + E 0

[37]

E= E 0 + ∆z DE 0

[38]

zD + E0

D

D

E

E

Si establecemos como hipótesis inicial que el calado en D es el calado normal, ya que el tramo está en pendiente pronunciada y es lo suficientemente largo (calado normal aguas abajo), y D =y n =1.5 m, podemos evaluar la energía específica en D considerando y D =y n =1.5 m, con Q=10 m3/s, B=1.5 m y ∆z DE = 0.5 m. [39]

Eo − ∆z DE =Eo D

Eo − ∆z DE= yn + D

Q2 B 2·yn21 2g

E

− ∆z DE= 1.5 + 1 − 0.5= 2 m= Eo [40] E

y por lo tanto Q2

Eo = yE + 2 2 = 2m E B ·yE 2g

470

[41]

Al intentar resolver esta ecuación con la única incógnita de y E , observamos que no existe una solución positiva. Es decir, no existe ningún calado en E de forma que la energía específica tenga un valor de 2 m, ya que para cualquier calado en y E la energía específica siempre tendrá un valor superior a 2 m. La energía específica mínima en E es la energía asociado al calado crítico

Fig 8 Energía en el punto E

3 3 2.475 m EoEminima = Eo =yc = ⋅ 1.65 = yc 2 2

[42]

Por lo que la hipótesis de partida para resolver el paso de D-E no es correcta. En el punto D no habrá calado normal (y D ≠y n ). La energía mínima en el punto E, que será la energía mínima que debe tener el agua para poder superar el escalón de subida será E= E 0 + ∆z DE E E

E= Eo + ∆z DE = E yc

3 y + ∆z DE = 2 c

3 = ⋅ 1.65 + 0.5 =2.475 m + 0.5 m =2.975 m 2

[43]

[44]

Por lo tanto E D =E E pero el nivel energético no lo marca el calado normal en D sino el calado crítico en E. De forma que debemos calcular un caldo y D , sabiendo que el calado en y E será el caldo crítico (y E =y c )

E= E= 2.975 m E D

471

[45]

H9

H9. Fenómenos locales

H9. Fenómenos locales

Q2 ED = Eo = yD + 2 2 = 2.975 m D B ·yD 2g

[46]

con Q=10 m3/s, B=1.5 m, de la ecuación anterior obtenemos dos valores positivos (una solución en régimen lento y otra solución en régimen rápidos) para el calado en el punto D, y Dl = 2.65 m, y Dr =1.1 m. De las dos soluciones posibles, será el calado en régimen lento el que realmente se observará. El calado crítico en el punto E producirá un calado en el punto D (aguas arriba de dicho punto) en régimen lento, ya que el régimen lento es el único régimen capaz de generar una influencia hacia aguas arriba. Lo que ocurre es que el nivel de energía crítica en el punto E impone un calado antes del escalón, y E , compatible con dicho nivel energético. Como la energía del calado normal en régimen rápido del tramo 2 no tiene la energía suficiente para transportar el caudal y “subirlo” por el escalón, el agua debe acumular más energía y esto lo hará mediante un cambio de régimen a un régimen lento (de forma que al aumentar el calado aumenta la energía).

Fig 9 Diagrama de energías para los puntos E y D

Después de resolver los calados existentes en los dos fenómenos locales existentes (A-B, D-E) dibujamos la lámina de agua en todo el canal pendiente de resolver el resalto hidráulico que eventualmente se producirá en el tramo 2. El tramo 1 (con pendiente pronunciada, S) parte de un calado y inicial =1 m por debajo del calado normal y debe

472

acabar en el calado normal en el punto A (y A =y n ) por lo que la lámina de agua se adaptará a una curva de remanso S3. El tramo 3 también con pendiente pronunciada (S) finalizará aguas abajo en calado normal y partirá de un calado crítico (y E =y c ) siendo la curva que dibujaremos la S2.

Fig 10 Curvas de remanso solución

El tramo 2 deberá recoger las condiciones de contorno del punto inicial del tramo 2, y B =0.94 m (calado en régimen rápido) y del punto final y D =2.65 m (calado en régimen lento). Esto significa que la lámina de agua se adaptará inicialmente a una curva S3 de forma que los suficientemente aguas abajo finalice en el calado normal, después habrá un resalto hidráulico para poder cambiar de régimen (entre el calado normal y el conjugado de dicho calado normal ( yn -RH- yn ) y finalizar con una S1 (curva en régimen lento) que ganando calado aumenta la energía hasta alcanzar la energía en D suficiente para igualar la energía mínima necesaria en el punto E.

473

H9

H9. Fenómenos locales

H9. Fenómenos locales

PROBLEMA – 9 C

ENUNCIADO

Dibujar la lámina de agua en el canal de sección rectangular de la figura en el que los tramos son lo suficientemente largos. El coeficiente de Manning tiene un valor en todo el canal de n=0.012 s m-1/3, el caudal que transporta es de 8 m3/s y la altura de subida del escalón es de 0.4 m. Datos: B 1 = 10 m; B 2 =B 3 = 8 m; i 1 =1%; i 2 =0.12%; i 3 =0.12%; y A =0.33 m.

Fig 11 Esquema del canal

PLANTEAMIENTO

En la resolución de este problema partiremos de que se conocen sobradamente los conceptos de curva de remanso, calado crítico, calado normal, transición, cambio de régimen y calados conjugados. Por lo tanto nos centraremos en resolver los dos fenómenos locales que

474

eventualmente se producirán en los cambios de tramo, debidos a un aumento de caudal súbito y a una variación brusca de la solera. De forma general, la forma de calcular los calados justo antes y después de un fenómeno local consiste en: 1. Plantear la ecuación de conservación de la energía entre ambos puntos 2. Calcular la energía asociada a cada punto, suponiendo en cada uno de los puntos los calados derivados de las tendencia naturales de los tramos, y valuar cuál de las 2 suposiciones es más energética (solo una será válida) y, por tanto, cuál es la que marca el nivel de energía en el fenómeno local 3. Calcular el calado inducido por la suposición más energética y elegir la solución hidráulicamente correcta (régimen lento o régimen rápido).

RESOLUCIÓN

Calculamos los calados más característicos, calado crítico, calado normal y el calado conjugado del calado normal: calado normal, y= i n

n 2·v 2 = 4 Rh 3

calado crítico, y c calado conjugado, yn yn=

n 2·Q 2  B·yn  B 2·yn2   2y + B   n 

yc =

3

Q2 B 2·g

yn  2   1 + 1 + 8Fr yn  2  

4

[47] 3

[48] [49]

que para para B 1 = 10 m, B 2 =B 3 = 8 m, i 1 =1%, i 2 =0.12%, i 3 =0.12%, n=0.012 s m-1/3, Q= 8 m3/s, se obtiene

475

H9

H9. Fenómenos locales

H9. Fenómenos locales Tabla 4

Tramo 1

Tramo 2

Tramo 3

y c1 = 0.403 m

y c2 = 0.467 m

y c3 = 0.467 m

y n1 = 0.25 m

y n2 = 0.558 m

y n3 = 0.558 m

y n1 =0.608 m

y n2 = 0.387 m

y n3 = 0.387 m

S

M

M

El tramo 1 está en pendiente pronunciada por lo que es esperable que se establezca un calado normal aguas abajo. En principio podremos suponer que en B existe calado normal, y B =y n1 . El tramo 2 está en pendiente moderada, con lo que la hipótesis de partida será la existencia de calado normal en régimen lento aguas arriba, y D =y n2 . Planteamos la ecuación de conservación de la energía entre los puntos B-D:

E= E D + ∆EBD B

[50]

z B + E 0 = z D + E 0 + ∆EBD

[51]

B

D

si consideramos que las pérdidas energéticas debidas a la variación brusca de la sección de B a D (B 1 =10 m, B 2 = 8 m) son mínimas ∆EBD ≈ 0 ; y que B y D tienen la misma cota ( z B ≈ z D ) ya que están muy próximos, entonces E0 = E0 B

yB +

D

Q2

Q2 = y + D B 12·yB2 2g B22·yD2 2g

[52] [53]

El siguiente paso es evaluar la energía en B y en D a partir de las hipótesis más plausibles señaladas: a)

Hipótesis en B, y B =y n1 =0.25 m,

Q2 Q2 = = E0 = yB + 2 2 yn 1 + 2 2 0.772 m B B 1·yB 2g B1·yn1 2g b)

[54]

Hipótesis en D, y D =y n2 =0.558 m, Q2 Q2 E0 = yD + 2 2 = yn 2 + 2 2 = 0.721 m D B2·yD 2g B2·yn 2 2g

476

[55]

De las 2 hipótesis utilizadas, la más energética y por tanto la que marca el nivel energético en B-D es la hipótesis de existencia de calado normal en régimen rápido en B, y B =y n1 =0.25 m, de forma que: E= E= 0.772 m 0 0 B

D

= yD + 0.772 m

Q2 B22·yD2 2g

[56] [57]

Fig 12 Diagrama de energías

Dicho calado normal en régimen rápido en B (más energético que el calado normal en régimen lento en D) producirá en D un régimen rápido. De las dos soluciones positivas de la anterior ecuación (y Dr =0.346 m; y Dl =0.652 m) la solución correcta será la de régimen rápido, y Dr =0.346 m. Así el fenómeno local se producirá entre y B =y n1 =0.25 m, y y D =0.346 m, existiendo una elevación local de la lámina de agua producida por el estrechamiento. Solucionaremos a continuación el fenómeno local producido por el escalón de subida en la solera entre E y F. Planteamos conservación de la energía entre E-F. z E + E 0 = z F + E 0 + ∆E EF E

F

[58]

si consideramos que las pérdidas energéticas debidas a la variación brusca de la sección de E a F son nulas ∆E EF ≈ 0 ; y que z F − z E = ∆z , entonces: E= E 0 + ∆z 0 E

yE +

Q2

F

Q2 = y + + ∆z F B22·yE2 2g B32·yF2 2g

477

[59] [60]

H9

H9. Fenómenos locales

H9. Fenómenos locales

El tramo 2 está en pendiente moderada por lo que al final del tramo, en el punto E, el calado dependerá de la condición de contorno de aguas abajo. Pero sea cual sea el calado en E, lo que sí se tiene que cumplir es que la energía en E será como mínimo la energía crítica (es decir la mínima energía necesaria para transportar el caudal Q por la anchura B 2 ) Por su parte el tramo 3 está en pendiente moderada por lo que se puede establecer la hipótesis de que habrá calado normal lo suficientemente aguas arriba de este tramo, de forma que y F =y n3 . Así planteamos las siguientes hipótesis: Hipótesis en E, y E =y C2 =0.467 m, Q2 Q2 3 E0 = yE + 2 2 = yc 2 + 2 2 = yc 2 = 0.7 m E B2·yE 2g B1·yc 2 2g 2

[61]

Hipótesis en F, y F =y n3 =0.558 m, E 0 + ∆z= yF + F

= yn 3 +

Q2 B32·yn23 2g

Q2 B32·yF2 2g

+ ∆z=

[62]

z 0.721 m + 0.4 m + ∆= = 1.121 m

Repitiendo el razonamiento del anterior fenómeno local, de las 2 hipótesis utilizadas, la más energética y por tanto la que marca el nivel energético en E-F es la hipótesis de existencia de calado normal en régimen lento en F, y F =y n3 =0.558 m, de forma que: E= E0 + ∆ = z E0 0 E

yE +

F

n3

+ ∆z

Q2

Q2 = y + + ∆z= 1.121 m F B22·yE2 2g B32·yF2 2g yE +

Q2 B22·yE2 2g

= 1.121 m

[63] [64] [65]

El calado normal en régimen lento del tramo 3 es la más energética de las hipótesis y es por tanto dicho calado quien marca el nivel energético en E-F.

478

H9

H9. Fenómenos locales

Fig 13 Energía en el escalón

El calado que habrá en E deberá ser compatible energéticamente, de forma que la energía con la que el agua llegue a E sea suficiente para “subir” el escalón y transportar el caudal con calado normal y n3 . Entre E-F se produce localmente un descenso puntual de la lámina de agua a consecuencia del escalón de subida en régimen lento. Así de las dos soluciones de la ecuación anterior, y El =1.078 m e y Er =0.241 m, la hidráulicamente correcta es la de régimen lento (y El =1.078 m). Una vez resueltos los fenómenos locales terminamos dibujando la lámina de agua enlazando las curvas de remanso del tramo 2 (M3 a M1) mediante un resalto hidráulico. En el tramo 3 el calado se inicia con y D =0.346 m por debajo del crítico con una M3 (curva de régimen rápido) hasta el calado conjugado del calado normal de dicho tramo 3, de forma que la secuencia será: y D -M3- yn 2 -RH-y n2 -M1- y E .

Fig 14 Curvas de remanso solución

En el tramo 1 habrá una S2 que parte del calado inicial y A =0.33 m y llega a calado normal y n1 en el punto B (y B = y n1 =0.25 m). Entre el punto B y el punto D habrá un fenómeno local derivado del

479

H9. Fenómenos locales

estrechamiento brusco de la sección, entre y B e y D =0.346 m. El tramo 2 ya se comentó en el párrafo anterior y el tramo 3 se iniciará con el fenómeno local entre el punto E (justo al final del tramo 2, y D = 1.078 m) y el punto y F =y n3 =0.558 m. A partir de dicho calado normal se desarrollará una M2 para acabar en el calado crítico en el punto G (y G =y c3 =0.467 m). La secuencia completa de la lámina de agua es: y A  S2  yB= yn1  FL  yD  M3  yE  FL  yF= yn3  M2  FL  yG

480

y n2

 RH  yn2  M1 

PROBLEMA – 9 D

ENUNCIADO

En el canal de sección rectangular de la figura, existe un vertido libre al final del tramo 3. La altura de los hastiales del canal en los tramos 1 y 2 es de 1.2 m (la atura del tramo 3 no tiene interés para la resolución del problema). Sabiendo que siempre se debe guardar un resguardo mínimo de 0.3 m y que todos los tramos son lo suficientemente largos para alcanzar las tendencias naturales, se pide: a) Calcular el máximo caudal que se puede aportar al inicio del tramo 2 b) Si la altura del escalón es de 0.6 m, dibujar la lámina de agua con los nombres de las curvas de remanso y los calados más influyentes Datos: B= 3 m; Q1=10 m3/s; n=0.012 s m-1/3; i1=0.95%; i2=0.95%; i3=0.09%; yA=0.5 m

Fig 15 Esquema del canal

481

H9

H9. Fenómenos locales

H9. Fenómenos locales

PLANTEAMIENTO

El canal está dividido en tres tramos, con una adicción de caudal del tramo 1 al 2 y un escalón de bajada del tramo 2 al 3. Además conocemos el calado al inicio del canal, yA=0.5 m y también sabemos que al final del canal, punto G, el vertido es libre. Primero intentaremos calcular el valor del caudal incorporado al inicio del tramo 2. Este caudal es el caudal máximo que se puede aportar con la limitación que nos impone el problema de la altura de los hastiales, de forma que el calado máximo que puede producir dicho caudal en estos tramos es ymax=altura de los hastiales – resguardo = 1.2 m – 0.3 m = 0.9 m. Determinaremos los posibles calados en B y D inducidos por el tipo de pendiente (curvas S o M) y plantearemos la ecuación de la conservación de la energía entre ambos puntos. En el fenómeno local que se producirá en el escalón de bajada entre los puntos E-F plantearemos también la ecuación de la conservación de la energía con las hipótesis más plausibles para los calados en E y F en función de las tendencias naturales de los tramos. Elegiremos el calado de la hipótesis más energética y obtendremos el calado en el punto adyacente.

RESOLUCIÓN

Calculamos el calado normal y el calado crítico en el tramo 1 donde conocemos todas las variables implicadas (Q=10 m3/s, B=3 m, n=0.012 s m-1/3, i1=0.95%): calado normal, yn = i

calado crítico, yc

n 2·v 2 = 4 Rh 3

n 2·Q 2  B·yn  B 2·yn2     2yn + B 

yc =

3

Q2 B 2·g

482

4

[66] 3

[67]

de donde yn1=0.68 m y yc=1.04 m. Por lo tanto el tramo 1 está en pendiente pronunciada S (yn1
E= E D + ∆EBD B

[68]

z B + E 0 = z D + E 0 + ∆EBD

[69]

B

D

Simplificando con ∆EBD ≈ 0 y z B ≈ z D entonces [70]

E0 = E0 B

D

E= E= E= 0 0 0 B

yB +

c2

D

Q12

3 y 2 c2

Q 22

3 = y + = yc 2 D B 2·yB2 2g B 2·yD2 2g 2

[71] [72]

Con yB= yn1=0.68 m 0.68 +

102

3 = yc 2 3 ·0.68 ·2g 2 2

2

[73]

Se obtiene yc2=1.27 m y Q2=13.43 m3/s. Esta solución no es válida ya que implica un valor de yD= yc2=1.27 m mayor que el calado máximo permitido debido a la altura de los hastiales (yD> ymax=0.9 m). Analizamos la segunda hipótesis, con ∆EBD ≈ 0 y z B ≈ z D [74]

E0 = E0 B

yB +

Q12 B 12·yB2 2g

483

D

Q 22

= yD + 2 2 B2·yD 2g

[75]

H9

H9. Fenómenos locales

H9. Fenómenos locales

Con yB= yn1=0.68 m y yD= ymax=0.9 m

0.68 +

Q 22

102 32·0.682·2g

= 0.9 + 2 3 ·0.92·2g

[76]

Se obtiene Q2=11.98 m3/s que si es caudal máximo que se puede aportar al inicio del tramo 2.

Fig 16 Diagrama de energías

Una vez que ya conocemos el caudal en todo el tramo (Q2=Q3=11.98 m3/s) resolvemos el escalón de la solera entre E-F. Calculamos los calados más significativos para los tramos 2 y 3: Tabla 5

Tramo 1

Tramo 2

Tramo 3

yc1= 1.04 m

yc2= 1.176 m

yc3= 1.176 m

yn1= 0.68 m

yn2= 0.771 m

yn3= 1.82 m

S

S

M

Planteamos la ecuación de conservación de la energía entre los puntos E-F: E= E F + ∆E EF E

484

[77]

zE + E0

E

[78]

=z F + E 0F + ∆E EF

si consideramos que ∆E EF ≈ 0 ; y que ∆z = z E − z F [79]

E 0 + ∆z =E 0 F

D

El siguiente paso es evaluar la energía en E y en F a partir de las siguientes hipótesis: Hipótesis en E, yE=yn2=0.77 m,

E 0 + ∆z= yE + E

Q22

Q22

= yn 2 + 2 2 + ∆z= B 22·yE2 2g B2·yn 2 2g

[80]

= 2.138 m + 0.6 m= 2.738 m Hipótesis en F, yF=yn3=1.82 m,

Q32

Q32

E0 = yF + 2 2 = yn 3 + 2 2 = 2.065 m F B3·yF 2g B3·yn 3 2g

[81]

La hipótesis que marca el nivel energético en E-F es la hipótesis de existencia de calado normal en régimen rápido en E, yE=yn2=0.0.771 m, de forma que:

E 0 + ∆z= E 0 = 2.738 m= yF + E

F

Q32

B 32·yF2 2g

[82]

Con Q3=11.98 m3/s, B=3 m obtenemos dos valores de yF. El valor correcto será el calado en régimen rápido ya que el calado aguas arriba en régimen rápido más energético produce aguas abajo un calado también en régimen rápido. Así de las dos soluciones de la ecuación (yFr=0.619 m; yFl=0.2.62 m) la solución correcta será la de régimen rápido, yDr=0.619 m. Así el fenómeno local se producirá entre yE=yn2=0.771 m, y yF=0.619 m.

485

H9

H9. Fenómenos locales

H9. Fenómenos locales

Fig 17 Variación de energía en el escalón

Finalmente dibujamos completa la lámina de agua con el resalto hidráulico que se producirá en el tramo 3. En este tramo la lámina de agua arranca con un calado en régimen rápido (yF=0.619 m) mediante una curva M3 y debe de cambiar de régimen mediante un RH para alcanzar el calado normal en régimen lento (yn3=1.82 m). Según se puede ver en la figura el tramo 3 tendrá la siguiente secuencia: yE= yn2  FL  yF  M3 

y n3

 RH  yn3  M2  yG= yC3

Fig 18 Curvas de remanso solución

En el tramo 1 la lámina de agua se desarrollará según una S3, partiendo del calado inicial que nos da el problema como dato yA=0.5 m hasta el calado normal yn1=yB=0.68 m. Mientras que en el tramo 2 de

486

desarrollará una S2 que parte del caldo yD=0.9 m para finalizar en el calado normal aguas abajo yE=yn2=0.77 m.

487

H9

H9. Fenómenos locales

H9. Fenómenos locales

488

Índice de términos

A 

F 

Ábaco de Moody ∙ 155, 156, 157, 172, 173  Altura de bombeo ∙ 175, 176, 178, 182, 184, 185,  217, 218, 219, 224, 226, 227, 230, 239, 240, 241,  242, 243, 244 

Fenómeno local ∙ 351, 378, 379, 410, 441, 464, 465,  475, 477, 478, 479, 480, 482, 483, 485 

H  B 

Hidrostática ∙ 7, 9, 19, 20, 21, 22, 68, 143, 145, 188,  291, 299, 308, 334, 348, 396, 432 

Bernoulli ∙ 46, 55, 63, 65, 66, 67, 69, 70, 87, 146, 168,  173, 181, 184, 201, 202, 226, 237, 239, 240, 241,  250, 254, 303, 308, 330, 360, 363, 365  Bomba ∙ 142, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181,  182, 183, 184, 185, 196, 217, 219, 220, 221, 223,  224, 225, 226, 227, 229, 230, 232, 235, 236, 237,  239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 254, 267, 268,  271, 272, 273 

L  Laminar ∙ 11, 12, 70, 85, 86, 87, 88, 89, 91, 92, 93,  94, 95, 96, 97, 98, 100, 105, 121, 122, 148, 149,  150, 151, 152, 153, 156, 158 

C 

M 

Calados conjugados ∙ 379, 383, 385, 388, 389, 390,  394, 398, 416, 417, 422, 423, 429, 468, 474  Cambio de régimen ∙ 371, 372, 373, 377, 378, 380,  382, 385, 397, 403, 408, 412, 416, 421, 450, 458,  460, 461, 464, 472, 474  Cantidad de movimiento ∙ 55, 59, 60, 61, 69, 72, 73,  74, 77, 78, 79, 80, 82, 120, 259, 261, 262, 304,  332, 378, 379, 380, 383, 386, 387  Cierre lineal ∙ 280, 282, 286  Conservación de la energía ∙ 55, 62, 65, 72, 73, 77,  80, 82, 146, 170, 173, 184, 186, 187, 188, 189,  208, 211, 213, 217, 218, 219, 226, 236, 237, 240,  241, 242, 243, 244, 329, 330, 360, 378, 452, 459,  469, 475, 476, 477, 482, 483, 484  Conservación de la masa ∙ 55, 56, 57, 58, 72, 77, 80,  82, 89, 184, 263, 300 

Manning ∙ 132, 133, 136, 163, 164, 187, 195, 311,  312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 323,  324, 340, 341, 366, 390, 406, 410, 467, 474 

N  No permanente ∙ 48, 142, 193, 195, 247, 250, 292,  294, 298, 312, 335, 438  NPSH ∙ 179, 181, 182, 236, 241, 242  Número de Froude ∙ 88, 122, 127, 128, 129, 306,  326, 330, 331, 333, 340, 342, 396, 410, 411 

P  Peso específico ∙ 8, 12, 13, 22, 118, 145, 175  Piezométrica ∙ 145, 146, 149, 165, 166, 170, 216,  217, 220, 221 

D  Darcy ∙ 151, 153, 154, 155, 158, 162, 164, 165, 172,  187, 190, 195, 199, 211, 212, 213, 217, 218, 226,  229, 237, 240, 310, 312, 313 

R  Régimen lento ∙ 306, 326, 337, 351, 353, 357, 358,  359, 362, 371, 372, 377, 378, 381, 382, 383, 384,  385, 386, 388, 393, 396, 397, 401, 403, 405, 408,  414, 415, 416, 420, 421, 422, 423, 429, 436, 439, 

489

444, 445, 451, 455, 460, 463, 464, 465, 469, 472,  473, 475, 476, 477, 478, 479, 486  Régimen rápido ∙ 306, 326, 337, 353, 354, 357, 358,  359, 371, 372, 377, 378, 381, 382, 383, 384, 385,  387, 388, 393, 396, 401, 402, 403, 405, 411, 412,  413, 414, 416, 420, 421, 422, 423, 429, 435, 444,  448, 449, 450, 451, 457, 460, 461, 464, 465, 469,  470, 472, 473, 475, 477, 479, 485, 486  Resalto hidráulico ∙ 379, 382, 383, 385, 386, 388,  390, 392, 395, 397, 398, 400, 401, 404, 405, 406,  408, 411, 412, 414, 416, 417, 418, 421, 422, 423,  427, 450, 451, 464, 465, 472, 473, 479, 486  Reynolds ∙ 55, 86, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 105, 108,  113, 117, 121, 128, 129, 130, 150, 153, 154, 155,  156, 157, 158, 172, 199, 204, 212, 213, 214, 217,  226, 228, 237, 238, 299, 306, 310, 311, 313 

S  Sobrepresión ∙ 256, 261, 263, 266, 269, 270, 272,  273, 276, 277, 279, 281, 282, 283, 285, 287 

V  Válvulas ∙ 191, 192, 195, 272, 274  Vertido libre ∙ 336, 351, 374, 375, 376, 385, 440, 441,  442, 447, 454, 467, 481  Viscosidad ∙ 8, 9, 10, 11, 12, 18, 19, 36, 37, 38, 46,  86, 88, 93, 94, 96, 98, 99, 114, 116, 118, 120, 121,  129, 130, 149, 150, 152, 153 

490

Referencias

1

2

3

Autor

M. Sánchez-Juny, Ernest Bladé, Jerónimo Puertas Agudo

Título

Hidráulica

Editorial

A Coruña: Universidade da Coruña, 2007. ISBN 978-84-9749-260-7

Autor

Joaquín Suárez López, Jerónimo Puertas Agudo, Fernando Martínez Abella

Titulo

Manual de conducciones uralita: sistemas de conducciones en infraestructuras, riego y edificación

Editorial

Thomson-Paraninfo, 2004. ISBN 84-283-2882-X

Autor

María Bermúdez Pita

Título Evaluación hidráulica y biológica de diseños de escalas de peces de hendidura vertical para especies de baja capacidad natatoria

4

Editorial

Universidade da Coruña (2013).

Autor

Luís Pena Mosquera

Titulo Estudio hidráulico en modelo de escalas de peixes de fenda vertical de fenda profunda aliñadas: aproximación á avaliación experimental da enerxía cinética turbulenta Editorial

Universidade da Coruña (2004).

491