Armadura Plana

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS 3ra PRACTICA

ARMADURA PLANA DATOS DEL PROBLEMA: Módulo de Elasticidad: 3.1×105 MPa. Diámetro de la sección constante de cada viga: 50 mm. Carga PA: 5000 N. Carga PB: 4000 N. Carga PE: 2000 N.

PE = 2000 N

PA = 5000 N 45°

PB = 4000 N

1500

45° 45°

Determinar la distribución de esfuerzos de una armadura plana.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS 3ra PRACTICA

1.- Análisis de nodos y cargas por método de elementos finitos

1

2

3

4

7

5

6

X

Q1

Q3

Q5

Q4

Q6

Q2

Q9

Q7

Q8

Q10

Y

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS 3ra PRACTICA

2.- Grados de libertas y coordenadas Como observamos en las figuras, hacemos uso de las coordenadas X-Y en la posición mostrada, para así poder tener las posiciones de los 5 nodos de la armadura plana y así poder cuantificar dichos nodos. Para esto procedemos hacer el siguiente cuadro:

Elemento

1 2

Nodos (1)

(2)

1

2

2

3

3

3

4

4

4

2

5

4

1

6

4

5

7

5

1

Tabla de conectividad:

Le (mm) NodoGDL X(mm) 1 2 3 0 2 1500 4 3 3000 1 2 3 1500.00 4 1500 5 4 0 3

4

5

5

6 6

7

7

8 8

3

7

4 8

1

7

2 8

9

1500.00

10 9 10

1

2

Ae en ( Y(mm) 0 2 0mm ) 0 1963.5 1500 1500 1963.5

Ee en (N/

mm2 ) 3.1 x 105 5

3.1 x 10

2121.321

1963.5

3.1 x 105

1500.00

1963.5

3.1 x 105

2121.32

1963.5

3.1 x 105

1500.00

1963.5

3.1 x 10

1500.00

1963.5

3.1 x 105

5

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS 3ra PRACTICA

3.- Matriz de rigidez de los elementos

Respecto a

X:

Resulta:

EA le

e

K sr =Lrt ( K 'tw ) Lws

Respecto a (X, Y):

e

( )

K ers =

( ) [−11 −11 ]

EA K = e l ' tw

'

[

l2 lm −l 2 −lm

(tracción simple)

donde

lm −l 2 −ml m2 −lm −m2 −lm l 2 lm −m2 lm m2

Lws =Lrt

]

4.- Matriz de rigidez estructural ϵ

K iJ =∑ k esr | s → i (conectividad de modelo) e=1

r→J

[

]

8.1158 0 −4.0579 0 0 0 0 4.0579 0 0 0 −4.0579 −4.0579 0 5.4926 −1.4347 −1.4347 1.4347 k ij = x 10 5 0 0 −1.4347 1.4347 1.4347 −1.4347 0 0 −1.4347 1.4347 6.9273 0 0 −4.0579 1.4347 −1.4347 0 6.9273

5.- Cargas nodales En coordenadas X’ se sabe que:

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS 3ra PRACTICA

F ' w =[ F ' 1 F ' 2 ] ' e

e

e

En coordenadas X-Y se tiene: e

[

e

e

e

e

]

F s= F1 F 2 F 3 F 4 '

6.- Ecuación de rigidez Fi =K iJ QJ Remplazando los datos de las matrices k y F obtenemos Q.

[][

0 8.1158 0 −4.0579 0 0 0 2000 0 4.0579 0 0 0 −4.0579 5000 0 5.4926 −1.4347 −1.4347 1.4347 5 −4.0579 =10 4000 0 0 −1.4347 1.4347 1.4347 −1.4347 0 0 0 −1.4347 1.4347 6.9273 0 0 0 −4.0579 1.4347 −1.4347 0 6.9273

[ ][ ] Q3 0.0219 Q4 0.0720 Q5 0.0399 = 0.1631 Q6 Q7 −0.0243 0.0667 Q8

Por tanto el vector carga total será:

][ ] Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS 3ra PRACTICA

[ ][ ] Q1 Q2 Q3 Q4

Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10

0 0 0.0219 0.0729 0.0399 = 0.1631 −0.0243 0.0667 0 0

7.- Distribución de esfuerzos En coordenadas X’ se sabe que el esfuerzo de cada elemento se halla así: e

'

σ =E Bt q t

(Tracción simple)

Pero en coordenadas X-Y se puede escribir del siguiente modo: e

σ =E Bt Ltr qr Resultando:

[]

q1 q E σ e = e [ −l −m l m ] 2 l q3 q4 e

( )

(Es el esfuerzo para cada elemento finito)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS 3ra PRACTICA

[ ][ ] σ1 4.5837 σ2 4.5837 σ 3 −2.8810 σ 4 = −1.0186 4.3215 σ5 −5.0930 σ6 0 σ7

8.- Diagrama de flujo

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS 3ra PRACTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

9.- Programación en Matlab

CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS 3ra PRACTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS 3ra PRACTICA

clear all format short disp('InserTar ([mm. N.]):::::') disp(' '); x=input('Datos de coordenadas nodales [x1 y1;x2 y2;...;xnn ynn] ->'); disp(' '); c=input('Nodos para cada elemento (en orden): [a1 b1;a2 b2;...;an bn] ->'); disp(' '); disp('Indicar condiciones de frontera (soportes fijos:0/moviles:1)') M=input('Condiciones para :[Q1;Q2;Q3;Q4;...;Q(2nn-1) Q(2nn)]->'); disp(' ') E=input('Modulo de elasticidad para cada elemento [E1;E2;..;En] ->'); disp(' ') A=input('Area para cada elemento [A1;A2..;An]->'); disp(' ') F=input('Fuerzas Externas sin reacciones [F1;F2;F3;F4;...;F]->'); %tabla de cosenos directores cosdir=[]; for i=1:length(c) le(i)=sqrt((x(c(i,2),1)-x(c(i,1),1))^2+(x(c(i,2),2)-x(c(i,1),2))^2); cosdir=[cosdir;[i le(i) (x(c(i,2),1)-x(c(i,1),1))/le(i) (x(c(i,2),2)x(c(i,1),2))/le(i)]]; end %Tabla de conectividad y GDL gld(:,1)=1:2:2*length(c)-1;gld(:,2)=2:2:2*length(c);T=[]; for i=1:length(c) T=[T;[gld(c(i,1),:) gld(c(i,2),:)]]; end T=[cosdir(:,1) c T]; disp('ELemento Conectividad GDL') disp(T) disp(' Le l m') disp(cosdir(:,2:end)) %matriz de rigidez KT=zeros(2*length(x));esf=[]; for i=1:length(le) l=cosdir(i,3);m=cosdir(i,4); esf=[esf;E(i)/le(i)*[-l -m l m]]; k=zeros(2*length(x)); k(T(i,4:7),T(i,4:7))=E(i)*A(i)/le(i)*[l^2 l*m -l^2 -l*m;l*m m^2 -l*m -m^2;-l^2 -l*m l^2 l*m;-l*m -m^2 l*m m^2]; KT=KT+k; end disp(' ') disp('MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL K') disp(' ') disp(KT) %condiciones de frontera m=[]; for i=1:2*length(x) if M(i)==1 m=[m;[i]]; end end for i=1:length(m)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

for j=1:length(m) kr(i,j)=KT(m(i),m(j)); end f(i)=F(m(i));

CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS 3ra PRACTICA

end q=kr\f'; Q=M; for i=1:length(m) Q(m(i))=q(i); end FT=KT*Q; disp(' ') disp('DESPLAZAMIENTOS mm') disp(Q) disp(' ') disp('FUERZAS TOTALES (reacciones y externas) N') disp(FT) %esfuerzos for i=1:length(le) ES(i)=esf(i,:)*[Q(T(i,4));Q(T(i,5));Q(T(i,6));Q(T(i,7))]; end disp(' ') disp('ESFUERZOS N/mm2') disp(ES) D=[];DF=[]; for i=1:length(c) D=[D;[x(c(i,1),:);x(c(i,2),:)]]; DF=[DF;[x(c(i,1),:)+[Q(T(i,4)),Q(T(i,5))];x(c(i,2),:)+ [Q(T(i,6)),Q(T(i,7))]]]; end plot(D(1:2,1),D(1:2,2),'LineWidth',3) hold on plot(DF(1:2,1),DF(1:2,2),'r','LineWidth',2.3) for i=3:2:2*length(c)-1 plot(D(i:i+1,1),D(i:i+1,2),'LineWidth',3) plot(DF(i:i+1,1),DF(i:i+1,2),'r','LineWidth',2.3) end hold off grid on axis([-max(abs(D(:,1)))/2 3/2*max(abs(D(:,1))) -max(abs(D(:,2)))/2 3/2*max(abs(D(:,2)))]) xlabel({['Abscisas de ',int2str(length(x)),' nodos'];'(mm)'},'Color','w','FontWeight','bold'); ylabel({['Ordenadas de ',int2str(length(x)),' nodos'];'(mm.)'},'Color','w','FontWeight','bold'); title({'GRAFICO';'DEFORMACION EN ARMADURAS PLANAS';['Numero de elementos: ',int2str(length(le))]},'Color','w','FontWeight','bold') legend('Armadura inicial','Armadura deformada',3) set(gcf,'Color',[0.6,0.6,0.6]);

10.- Conclusiones

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS 3ra PRACTICA

 La barra 2 presenta el mayor esfuerzo tracción, esto debido a que en el nodo 4 es la que sostiene cargas en los ejes de coordenadas.  La barra 6 presenta el mayor esfuerzo de compresión.  Los valores de las deformaciones en el sistema son muy pequeñas, lo que se traduce en que las fuerzas aplicadas no varían significativamente el sistema.  Las sumatoria de las fuerzas halladas es igual a cero, lo cual se traduce en que el sistema está en equilibrio de traslación, estas fuerzas también podrían hallarse de forma analítica en función del gráfico.  Este tipo de análisis es muy recomendado debido a que a partir de éste, podremos deducir el comportamiento (deformaciones) de cualquier armadura sometida a diferentes fuerzas, siempre y cuando estas estén aplicadas en las posiciones nodales.