Bab 2 Akar Persamaan Tak Linear

Metode Numerik

Catatan Kuliah

BAB 2 Akar Persaman Tak Linear 1. Lokalisasi Akar 1 2. Metode Bagi Dua 3 Metode Posisi 3. Posisi-palsu palsu 4. Iterasi Titik-tetap 5 Metode Newton 5. Newton-Raphson Raphson 6. Metode Secant 7 Modifikasi Metode Newton 7. Newton-Raphson Raphson Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

1

Metode Numerik

Catatan Kuliah

Mencari penyelesaian persamaan berbentuk f(x) = 0 , yakni bilanganbilangan x0 sedemikian sehingga f(x f( 0) sama dengan nol. nol Dalam hal ini, ini f suatu persamaan atau fungsi tak linear yang diberikan. Nilai-nilai x yang memenuhi itu disebut akar atau titik nol persamaan/fungsi tersebut. Fungsi f(x) dapat berbentuk : 1. Persamaan Aljabar. Misalnya Mi l f fungsi i polinom li b berordo d >2 a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a 2 x 2 + a1 x + a 0 = 0, a n ≠ 0, n > 2 2 Persamaan Transenden, 2. Transenden persamaan yang mengandung fungsi-fungsi fungsi fungsi trigonometri, logaritma atau eksponen. −x Misalnya : e + sin x = 0 ;

ln x − 2 = 0

3. Persamaan Campuran, persamaan yang mengandung persamaan polinom dan persamaan transenden Misalnya :

x 2 sin x + 3 = 0 ; x 3 + ln x = 0

Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

2

Metode Numerik

Catatan Kuliah

1. Lokalisasi Akar Penghitungan P hi numeris i dilakukan dil k k secara iteratif, i if karena k i diperlukan itu di l k sebuah tebakan awal. Untuk memperoleh tebakan awal, akan diselidiki lokasi akar persamaan tersebut. Penyelidikan dilakukan sebagai berikut: a. Cara C G fik diterapkan Grafik, dit k untuk t k persamaan yang mudah d h untuk t k menggambarkan grafiknya. Dibedakan lagi, - Cara grafik tunggal : akar diperoleh pada perpotongan grafik / persamaan fungsi f i dengan d sumbu-x. b - Cara grafik ganda : akar diperoleh pada absis titik potong kedua grafik / persamaan fungsi tersebut. Contoh 2.1: Lokasi interval yang mengandung akar dari f(x) = e-x – x f1((x)) = x f(x) = e-x- x

akar

Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

akar f2(x) = e-x

3

Metode Numerik

Catatan Kuliah

b. Cara Tabulasi, nilai-nilai fungsi pada interval yang diminati dihitung memakai suatu lebar interval tertentu. tertentu Untuk memudahkan nilai-nilai tersebut dituliskan dalam suatu bentuk tabulasi. Apabila nilai fungsi berubah tanda pada suatu interval, maka pada interval tersebut akan terdapat suatu akar. Contoh 2.2 : Lokasi interval yang mengandung akar dari f(x) = e-x – x

x

f(x)

0,0

1,000

0,2 ,

0,619 , 9

0,4

0,270

0,6

-0,251

08 0,8

-0.351 0 351

1,0

-0,632

Terdapat akar pada interval (0,4 ; 0,6)

Untuk persamaan yang agak rumit digunakan kombinasi kedua cara di atas. Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

4

Catatan Kuliah

Metode Numerik

Lokasi Akar untuk Persamaan Polinom n n −1 2 p ( x ) = a x + a x + ... + a x + a1 x + a0 = 0, an ≠ 0, n n −1 2 Persamaan polinom :

p(x) = 0 mempunyai tepat n akar, termasuk akar bilangan imajiner. U t k melokasikan Untuk l k ik akar-akar k k yang reall digunakan di k sifat if t akar, k yaitu it 1. Aturan tanda Descartes a Akar real positif. a. positif

u = banyak kali pergantian tanda koefisien ai dari p(x). np = banyak akar real positif. Maka berlaku : np ≤ u dan u – np = 0, 2 , 4, … b. Akar real negatif.

v = banyak b k kali k li pergantian i tanda d koefisien k fi i ai dari d i p(-x). ( ) ng = banyak akar real negatif. Maka berlaku : ng ≤ v dan v – ng = 0, 2 , 4, … Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

5

Metode Numerik

Catatan Kuliah

2. Selang akar

⎧ ak r = 1 + maks Misalkan ⎨ 1≤ k ≤ n ⎩ an Maka semua akar p(x) akan

⎫ ⎬ ⎭

terletak pada interval [-r, r ].

Contoh 2.3

p( x) = x 5 − 3x 3 + x 2 − 1 Tentukan komposisi akar-akar dari polinom tersebut. Jawab Jawab. Pola tanda kefisien p(x) : + - + - . Jadi u = 3 sehingga u - np = 0 atau 2. Akibatnya np = 3 atau np = 1. Diberikan polinom

Pola tanda kefisien p(-x) p( x) : - + + - . Jadi v = 2 sehingga u - ng = 0 atau 2. Akibatnya ng = 2 atau ng = 0. Dari dua hal di atas, disimpulkan komposisi akar, 1 tiga akar real positif dan dua akar real negatif 1. 2. tiga akar real positif dan dua akar bilangan imajiner 3. satu akar real positif, dua akar real negatif dan dua akar bilangan imajiner 4. satu akar real positif dan empat akar bilangan imajiner Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

6

Metode Numerik

Catatan Kuliah

Agar interval akar dapat ditentukan, harus dihitung r. Dalam hal ini r = 4. Jadi semua akar akanterletak dalam interval [-4, 4 4 ]. ] Buat tabulasi polinom dalam interval ini.

x

p(x)) p(

-4

-817

-3

-43

(-2, -1), (-1, 0), dan (1, 2).

-2 2

-5 5

Kesimpulan komposisi akar:

-1

2

0

-1

1

-2

2

11

3

170 7

4

847

Dari tabulasi terlihat bahwa terjadi pergantian tanda sebanyak tiga kali yaitu pada interval

- satu akar real positif - dua akar real negatif - dua akar bilangan imajiner

Setelah lokasi akar diketahui, diketahui maka sebagai tebakan awal dapat diambil nilai-nilai yang terletak di dalam interval tersebut. Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

7

Metode Numerik

Catatan Kuliah

2. Metode BagiDua (Bisection) Metode bagidua didasarkan pada teorema nilai antara untuk fungsi kontinu, yaitu Misalkan fungsi f kontinu pada interval [a, [a b]. b] Apabila nilai f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau f(a).f(b) < 0 maka terdapat x dalam (a, b) sehingga f(x) = 0.

f(a)

f(T) f(T) f(b)

a

T T

b

Metode ini memerlukan dua nilai sebagai tebakan awal, misal a dan b dengan a < b dan f(a).f(b) < 0. Selang (a, b) mengandung satu akar. Pertama selang (a, b) dibagi dua sama panjang, sebut b t titiknya titik T. Dua D i t interval l baru b di diperoleh l h yaitu it interval (a, T) dan (T, b) yang salah satunya pasti mengandung akar. Berikutnya yang ditinjau adalah interval yang mengandung akar tersebut. Proses diulang dengan membagi dua interval dan memeriksa setengah interval mana yang mengandung akar. akar Pembagi duaan interval ini dilanjutkan sampai lebar interval yang ditinjau cukup kecil.

Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

8

Metode Numerik

Catatan Kuliah

Algoritma Metode Bagidua Masukan : f(x), a, b dan epsilon Keluaran : akar Langkah-langkah : 1. T ←

a+b 2

2. Jika f(a).f(T) < 0 maka b ← T jika tidak a ← T 3 Jika b – a < epsilon maka akar ← T dan Selesai 3. 4. Ulangi kembali ke langkah 1. Metode bagidua selalu menghasilkan akar sehingga metode ini selalu konvergen Besarnya epsilon tergantung ketelitian yang diinginkan, konvergen. diinginkan semakin kecil epsilon yang diberikan semakin teliti hampiran akar yang diperoleh. Contoh 2.4 Gunakan metode bagidua untuk menentukan salah satu akar dari persamaan f(x) = ex – 4x.

Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

9

Catatan Kuliah

Metode Numerik

Jawab. Setelah mencari lokasi akar, akar baik cara grafik atau cara tabulasi, tabulasi diperoleh f(x) mempunyai dua akar pada interval (0, 1) dan (2, 3). Akan ditentukan hampiran akar pada interval (0, 1). It Iterasi i 1 : a = 0 0.00000, 00000 f( f(a) ) = 1 1.00000 00000 > 0 b = 1.00000, f(b) = -1.28172 < 0 T = (0.00000 + 1.00000)/2 = 0.50000, f(T) = -0.35128 < 0 Karena f(a).f(T) < 0 maka b = T Iterasi 2 : a = 0.00000, f(a) = 1.00000 > 0 b = 0.50000, f(b) = -0.35128 < 0 T = (0.00000 + 0.50000)/2 = 0.25000, f(T) = 0.28403 > 0 Karena f(a).f(T) > 0 maka a = T Iterasi 3 : a = 0.25000, f(a) = 0.28403 > 0 b = 0.50000, f(b) = -0.35128 < 0 T = (0.25000 + 0.50000)/2 = 0.37500, f(T) = -0.04501 < 0 Karena f(a).f(T) < 0 maka b = T

Bila ditetapkan epsilon = 0.00001, metode ini akan berhenti pada iterasi ke-17 dan akan menghasilkan T = 0.357399 dan f(T)= 1.0252e-05. Jadi diperoleh Akar = 0.357399 0 357399. Tentukan juga akar pada interval (2, 3). Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

10

Metode Numerik

Catatan Kuliah

3. Metode Posisi-palsu (Regula-false) Metode bagidua belum memanfaatkan nilai fungsi untuk menghitung hampiran akar. Metode posisi-palsu memanfaatkan perbandingan antara nilai f(a) dan f(b) yang mana lebih dekat ke nol akan ikut menentukan posisi akar, apakah lebih dekat ke ujung kiri a atau ujung kanan b. b Misalkan diketahui titik (a, f(a)) dan (b, f(b)). Hampiran akar diperoleh dari perpotongan garis yang melalui titik (a, f(a)) dan (b,f(b)) dengan sumbu-x.

f(a)

c f(c) f(c) f(b)

a

c

b

Misalkan Mi lk titik potong t t tersebut b t adalah d l h titik (c, ( 0) maka dari persamaan garis lurus diperoleh b−a c = b − f (b) f (b) − f (a ) Akibatnya akar akan terletak pada interval (a, c) atau (c, b). Selanjutnya penentuan interval mana yang mengandung akar memakai cara yang sama seperti metode bagidua. Menghentikan iterasi dengan ketentuan lebar selang tidak dapat dipakai lagi. Iterasi akan dihentikan bila dua hampiran akar yang beruntun sudah hampir sama nilainya.

Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

11

Metode Numerik

Catatan Kuliah

Algoritma Metode Posisi-palsu Masukan : f(x), a, b dan epsilon Keluaran : akar Langkah-langkah : 1.

clama ← 2b − a

2. c ← b − f (b)

b−a f (b) − f (a )

3. Jika f(a).f(c) < 0 maka b ← c jika tidak a ← c 4 Jika 4.

c − clama maka akar ← c dan Selesai ≤ epsilon il c

5. Jika tidak clama

← c , kembali ke langkah 2.

Contoh 2.4 Gunakan metode posisi-palsu untuk menentukan salah satu akar dari persamaan f(x) f( ) = ex – 4x. 4 Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

12

Catatan Kuliah

Metode Numerik

Jawab. Akan ditentukan hampiran akar pada interval (0 (0, 1) 1). Iterasi 1 : a = 0.00000, f(a) = 1.00000 > 0 b = 1.00000, f(b) = -1.28172 < 0 c = 0.43827, f(c) = -0.20305 < 0 Karena f(a).f(c) < 0 maka b = c Iterasi 2 : a = 0.00000, f(a) = 1.00000 > 0 b = 0.43827, f(b) = -0.20305 < 0 c = 0.36430, , f(c) ( ) = -0.01769 < 0 Karena f(a).f(c) < 0 maka b = c Iterasi 3 : a = 0.25000, f(a) = 0.28403 > 0 b = 0.36430, f(b) = -0.01769 < 0 c = 0 0.35797, 35797 f(c) = -0.00145 0 00145 < 0 Karena f(a).f(c) < 0 maka b = c

Bila ditetapkan epsilon = 0.00001, metode ini akan berhenti pada iterasi ke 6 dan akan menghasilkan c = 0.35740 ke-6 0 35740 dan f(c) = -8.34465e-05 8 34465e 05. Jadi diperoleh Akar = 0.35740. Catatan : jika grafik fungsi berbentuk konveks di sekitar akar, maka selama proses iterasi salah satu ujung akan tetap nilainya, yang bergeser hanya ujung yang satunya. Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

13

Metode Numerik

Catatan Kuliah

4. Iterasi Titik-tetap Metode iterasi numeris adalah metode memilih suatu x0 sebarang sebagai tebakan awal dan secara berurutan menghitung barisan x1 , x2 , x3 , … secara rekursif dari relasi berbentuk

xn+1 = g(xn), untuk n = 0, 1, 2, 3, … Dengan g terdefinisi pada interval yang memuat x0 dan rentang g terletak pada interval tersebut. Jadi secara berurutan akan dihitung p g x1 = g( g(x0)),

x2 = g(x1) , x3 = g(x2) , …

Solusi dari bentuk f(x) = 0 yang ditransformasikan menjadi x = g(x) disebut yang g diberikan mungkin g bersolusi titik tetap dari g. Hasil transformasi y padanan beberapa persamaan dan kelakuan khususnya dari segi kekonvergenan, barisan iterasi x0 , x1 , x2 , x3 , … mungkin berbeda ( dan mungkin juga tergantung dari pilihan x0). Syarat cukup kekonvergenen, diatur oleh teorema berikut. Misalkan x = s adalah suatu solusi dari x = g(x) dan g mempunyai turunan kontinu dalam interval I yang memuat s. Jika g ' ( x) ≤ K < 1 dalam I, I maka proses iterasi yang didefinisikan x = g(x) konvergen untuk sebarang x0 dalam I. Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

14

Catatan Kuliah

Metode Numerik

Contoh 2.5 Gunakan iterasi titik tetap untukmencari salah satu akar dari persamaan

f(x) = x3 + x – 1 = 0. Jawab Ak terletak Akar t l t k dekat d k t x = 1. 1 Persamaan P d dapat t ditulis dit li dalam d l b t k bentuk, 1 1 x = g1 ( x) = sehingga xn +1 = 2 2 1 + xn 1+ x Maka g1′ ( x) < 1 untuk sebarang x, x sehingga akan konvergen untuk sebarang x0. Dengan memilih x0 = 1, diperoleh hasil x1 = 0.500 x2 = 0.800 Nilai hampiran akar diperoleh x= 0.682328 x3 = 0.610 x4 = 0.729 ………. Persamaan tersebut juga dapat ditulis sebagai, 2 x = g 2 ( x) = 1 − x 3 dengan g 2′ ( x) = 3 x dan ini bernilai lebih besar dari 1 dekat akar,, sehingga gg bentuk ini tidak akan konvergen. Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

15

Metode Numerik

Catatan Kuliah

5. Metode Newton-Raphson Metode Newton-Raphson adalah metode iterasi lain untuk memecahkan persamaan f(x) = 0, dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinu f’. Secara geometris, metode ini sama dengan metode posisi-palsu, yaitu menggunakan garis lurus sebagai hampiran fungsi pada suatu interval. Bedanya yang dipakai adalah garis singgung. g tebakan awal yyang g diperoleh p Mula-mula diberikan suatu nilai x0 sebagai dengan melokasikan akar-akar f(x) terlebih dahulu. Tetapkan x1 adalah titik potong antara sumbu-x dan garis singgung pada kurva f di titik x0. Kemiringan garis singgung di titik x0 sama dengan turunan pertama di titik tersebut. f ( x0 ) f ( x0 ) y y=f(x) Maka, f ′( x0 ) = sehingga x1 = x0 − f ' ( x0 ) x0 − x1 f ( x1 ) Pada iterasi kedua, x2 = x1 − f ' ( x1 ) f ((xxi −1 ) x = x − Dan seterus untuk iterasi ke-i, i i −1 f ' ( xi −1 ) x2

x1

x0

x

Pada metode ini, prinsip pengurungan akar tidak g lagi, g , sehingga gg tidak dijamin j kekondigunakan vergenannya. Iterasi dihentikan bila iterasi yang berurutan menghasilkan akar yang sama.

Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

16

Metode Numerik

Catatan Kuliah

Dalam rumus iterasi pada penyebut terdapat suku f’(xi). Agar metode ini berhasil maka selama iterasi nilai ini tidak boleh sama dengan nol. berhasil, nol Algoritma Metode Newton-Raphson Masukan : f(x), f’(x), x0, epsilon, M (maksimum banyak iterasi) Keluaran : akar Langkah-langkah : 1. Iterasi ← 1 2. Jika f’(x0) = 0 maka proses gagal dan selesai 3. xbaru

f ( x0 ) ← x0 − f ' ( x0 )

xbaru − x0 4. Jika ≤ epsilon maka akar ← xbaru dan Selesai xbaru

x0 ← xbaru 6. Iterasi ← Iterasi + 1 5.

7. Jika Iterasi ≤ M, kembali ke langkah 2. 8. Proses belum konvergen/divergen dan selesai. Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

17

Catatan Kuliah

Metode Numerik

Contoh 2.6 Gunakan metode Newton-Raphson menentukan akar dari persamaan f(x) = ex – 4x dengan x0 = 0 dan epsilon = 0.00001. Jawab Jika f(x) = ex – 4x maka turunan pertamanya adalah ff’(x) (x) = ex – 4. 4 Sehingga diperoleh berturut-turut, x1 = 0.333333 Nilai hampiran akar diperoleh x = 0.357403 x2 = 0.357246 x3 = 0.357403 x4 = 0.357403 Contoh 2.7 Susun suatu iterasi Metode Newton-Raphson untuk mencari akar kuadrat dari bilangan positif c yang diberikan. Dalam hal ini c = 2 dan x0 = 1. Contoh 2.8 Menggunakan metode Newton-Raphson, tentukan penyelesaian positif dari 2 sin x = x dengan x0 = 2. Contoh 2.9 Terapkan metode Newton-Raphson dengan x0 = 1 pada persamaan f(x) = x3 + x – 1 = 0 Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

18

Metode Numerik

Catatan Kuliah

6. Metode Secant Metode M t d Secant S t diperoleh di l h dari d i metode t d Newton N t d dengan cara menggantiti f’(x) f ( xn ) − f ( xn −1 ) dengan beda terbagi.

f ′( xn ) ≈

xn − xn −1

Kemudian sebagai ganti skema iterasi Newton diperoleh, diperoleh

xn +1 = xn − f ( xn )

xn − xn −1 f ( xn ) − f ( xn −1 )

Secara geometris, geometris metode Newton xn+1 merupakan perpotongan sumbu sumbu-xx dengan garis singgung di xn. Sedangkan metode Secant xn+1 berupa perpotongan sumbu-x dengan tali busur kurva f(x) yang berpadanan terhadap xn-1 dan xn. Metode Secant memerlukan dua tebakan awal, y

y=f(x)

x0 dan x1, tapi menghindari penghitungan turunan. Metode Secant lebih lambat dari metode Newton. Algoritmanya hampir sama dengan metode Newton Tidak dianjurkan menuliskan skema di atas seperti

x3

x2

x1

x0

xn +1 = xn −

x

xn −1 f ( xn ) − xn f ( xn −1 ) f ( xn ) − f ( xn −1 )

Karena akan menimbulkan kesukaran bila xn = xn-1. Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

19

Catatan Kuliah

Metode Numerik

Contoh 2.10 Tentukan solusi positif dari f(x) = x – 2 sin x = 0 menggunakan metode Secant, mulai dengan tebakan awal x0 = 2 dan x1 = 1.9. Jawab

x1 − x0 = 1.895747 f ( x1 ) − f ( x0 ) x2 − x1 x3 = x2 − f ( x2 ) = 1.895494 f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 = x1 − f ( x1 )

Jadi hampiran p akar adalah x3 = 1.895494 dengan g ketelitian sampai p 5 angka.

Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

20

Metode Numerik

Catatan Kuliah

7. Modifikasi Metode Newton-Raphson untuk Persamaan Polinom Untuk persamaan polinom, metode Newton memerlukan modifikasi agar lebih efisien. Misalkan persamaan polinom p(x) = 0 berderajat m mempunyai p ((xxn ) skema iterasi, iterasi x =x − n +1

n

p ' ( xn )

Diperlukan cara yang efisien untuk penghitungan p(xn) dan p’(xn) yang berulang-ulang berulang ulang dan untuk xn yang berlainan. berlainan Menghitung p(xn) untuk suatu x = k.

p( x) S Tuliskan : dengan = q( x) + x−k x−k Diperoleh, p ( x) = q ( x)( x − k ) + S

p ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + am x m q ( x ) = b1 + b2 x + b3 x 2 + ... + am x m −1 S Konstanta sisa

Untuk x = k p(k) = S Substitusikan nilai p(x) dan q(x) ke persamaan di atas, diperoleh

a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + am x m = (b1 + b2 x + b3 x 2 + ... + bm x m −1 )( x − k ) + S Samakan koefisien dari x yang berpangkat sama, diperoleh m+1 persamaan: Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

21

Metode Numerik

Catatan Kuliah

a 0 = S − kb1 a1 = b1 − kb2 a 2 = b2 − kb3 ... a m −1 = bm −1 − kbm a m = bm

Untuk membuat algoritma, misal S = b0, maka diperoleh algoritma :

bm = am Untuk i = m - 1, 1 m - 2, 2 …, 0 maka bi = ai + kbi +1 S = b0

Menghitung p’(xn) untuk suatu x = k

Turunan pertama dari p ( x) = q ( x)( x − k ) + S adalah p ' ( x) = q ' ( x)( x − k ) + q ( x) Untuk x = k p’(k) = q(k) r ( x ) = c2 + c3 x + c4 x 2 + ... + cm x m − 2 Tulis q ( x ) = r ( x )( x − k ) + T dengan T Konstanta sisa Substitusikan nilai p(x) dan q(x) ke persamaan di atas, diperoleh

b1 + b2 x1 + b3 x 2 + ... + bm x m −1 = (c2 + c3 x + c4 x 2 + ... + cm x m − 2 )( x − k ) + T Samakan koefisien dari x yang berpangkat sama, diperoleh m persamaan: Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

22

Catatan Kuliah

b1 = T − kc2 b2 = c2 − kc3 b3 = c3 − kc4 ... bm −1 = cm −1 − kcm bm = cm

Metode Numerik

Untuk membuat algoritma, misal T = c1, maka diperoleh algoritma :

cm = bm Untuk i = m - 1, 1 m - 2, 2 …, 1 maka ci = bi + kci +1 T = c1

Algoritma Metode Newton-Raphson untuk polinom Masukan : m : derajat polinom ai, i = 0, 1, 2, …, m : koefisien-koefisien polinom x0 : tebakan awal Epsilon : ketelitian maks : maksimum iterasi Keluaran : akar

Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

23

Metode Numerik

Catatan Kuliah

Langkah-langkah : 1. bm ← am : cm ← bm 2. Untuk iterasi ← 1, 2, ..., maks Untuk i ← m − 1, m − 2, ..., 1

bi ← ai + x0bi +1 ci ← bi + x0 ci +1

b0 ← a0 + x0b1 Jika c1 = 0 maka algoritma gagal dan selesai

b0 xbaru ← x0 − b c1 Jika xbaru − x0 ≤ epsilon maka akar ← x dan selesai baru xba baruu x0 ← xbaru

Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

24

Catatan Kuliah

Metode Numerik

Contoh 2.11 Gunakan algoritma metode Newton-Raphson untuk polinom, polinom untuk menentukan hampiran polinom p(x) = x3 + x – 3 = 0 dengan tebakan awal x0 = 1.1 untuk akar yangterletak pada [1, 2]. Jawab Diketahui ao = -3, a1 = 1, a2 = 0 dan a3 = 1 Maka b3 = a3 = 1, c3 = b3 = 1, m=3 Iterasi = 1 : b2 = a2 + x0b3 = 0 + (1.1)1 = 1.1 c2 = b2 + x0c3 = 1.1 + (1.1)1 = 2.2 b1 = a1 + x0b2 = 1 + ((1.1)(1.1) )( ) = 2.21 c1 = b1 + x0c2 = 2.21 + (1.1)(2.2) = 4.63 b0 = a0 + x0b1 = -3 + (1.1)(2.21) = -0.569 xbaru = x0 – (b0/c1) = 1.1 – (-0.569 / 4.63) = 1.222894 Iterasi = 2 : b2 = a2 + x0b3 = 0 + (1 (1.222894)1 222894)1 = 1 1.222894 222894 c2 = b2 + x0c3 = 1.222894 + (1.222894)1 = 2.445789 b1 = a1 + x0b2 = 1 + (1.222894)(1.222894) = 2.49547 c1 = b1 + x0c2 = 2.49547 + (1.222894)(2.445789) = 5.48641 b0 = a0 + x0b1 = -3 + (1.222894)(2.49547) = 0.51696 xbaru = x0 – (b0/c1) = 1.222894 – (0.51696 / 5.48641) = 1.213472 Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

25

Catatan Kuliah

Metode Numerik

Dengan cara yang sama, diperoleh pada: Iterasi = 3 : xbaru = 1.213412 Iterasi = 4 : xbaru = 1.213412

Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand

26