Clase 12 Distribucion Normal

ESTADÍSTICA I Marzo 2011

“Distribución Normal”

Aprendizajes Esperados

• Interpreta la probabilidad de un evento, en una distribución continua. • Utiliza funciones de Excel en el cálculo de probabilidades en distribuciones continuas.

VARIABLES ALEATORIAS Variable Aleatoria Continua

Una variable aleatoria X es una V.A. continua si su rango o recorrido no es numerable. Ejemplo: Veamos el juego de la ruleta.

¿Tiene sentido calcular la probabilidad que la bolita quede en un punto fijo P(X=x)?

VARIABLES ALEATORIAS Como vimos en el ejemplo anterior ya no tiene sentido calcular P(X=x). En una V.A. continua nos interesa P(x1 < X < x2). Ya no podremos representar las probabilidades en una tabla sino que tendremos que graficar y representarla como una función (que se llama función de densidad de probabilidad f.d.p.)

EJERCICIO

VARIABLES ALEATORIAS Distribución Normal Una V.A. continua se dice que se distribuye en forma normal cuando su f.d.p. tiene forma de campana y cumple las siguientes propiedades:

VARIABLES ALEATORIAS Propiedades de la Distribución Normal 1. Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana. 2.

La curva normal es asintótica al eje de las abscisas. Por ello, cualquier valor entre menos infinito y más infinito es teóricamente posible. El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1.

VARIABLES ALEATORIAS 3. Es simétrica con respecto a su media . Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor. 4. La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a una desviación típica (σ). Cuanto mayor sea más aplanada será la curva de la densidad.

VARIABLES ALEATORIAS 5. El área bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a una desviación estándar de la media es aproximadamente 0,68, y a dos desviaciones estándar de la media es igual a 0,95.

VARIABLES ALEATORIAS La probabilidad de una V.A. que se distribuye en forma normal y tiene una media μ y desviación estándar σ se puede llevar siempre a una normal con parámetros μ=0 y σ=1 mediante al fórmula: Z=

x-μ σ

Para luego calcular la probabilidad en una tabla.

Ejercicio, utilizando funciones de Excel El tiempo en horas que una persona dedica a navegar en Internet en una semana se puede considerar como una variable aleatoria, digamos X, la cual tiene un comportamiento aproximadamente normal, con un tiempo medio de navegación de 10 horas a la semana y una desviación estándar del tiempo de navegación en Internet de 2,5 horas. Si se selecciona a una persona al azar, determine:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya navegado en Internet a los más 5,7 horas en una semana? b) ¿Cuál es la probabilidad que haya navegado en Internet entre 6,2 horas y 14,8 horas en una semana?

c) ¿Cuál es la probabilidad que haya navegado en Internet por más de 12,5 horas en una semana?

El siguiente ejercicio se resolverá utilizando la función “DISTR.NORM” de Excel. Solución: Los resultados se calcularán utilizando la distribución normal de Excel. a) P(x ≤ 5,7) = DISTR.NORM(5,7;10;2,5;1) = 0,04271622 La probabilidad es de un 4,3% .

b) P(6,2 < x < 14,8) = P(x < 14,8) – P(x < 6,2) =DISTR.NORM(14,8;10;2,5;1) – DISTR.NORM(6,2;10;2,5;1) = 0,90831556 La probabilidad es de un 90,8%.

c) P(x > 12,5) = 1 – P(x < 12,5) = 1 – DISTR.NORM(12,5;10;2,5;1) = 0,15865525 La probabilidad es de un 15,9% .

Ejercicios Propuestos Ejercicio 1: Estudios realizados recientemente por una AFP han revelado que el tiempo de duración de sus cuentas de ahorro voluntario de afiliados (lapso en el que las cuentas de ahorro voluntario permanecen abiertas) sigue un comportamiento normal con una media de 24 meses y una desviación estándar de 10,2 meses. Determine:

a) Si un afiliado abre una cuenta de ahorro voluntario en la AFP, ¿cuál es la probabilidad de que esa cuenta haya aún dinero después de 32 meses? b) Si la AFP tiene 3.460 cuentas. ¿Cuántas de ellas tendrán dinero entre 18 y 30 meses?

Ejercicio 2: La fábrica de neumáticas GOMALETS produce un tipo de neumático, que tiene vida útil distribuida normalmente con media de 80.000 km. y una desviación estándar de 8.000 km. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que un neumático dure no más de 89.000 km.? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un neumático tenga una vida útil entre 76.000 y 105.920 km.? c) Si se fabrican 2.850 neumáticos. ¿Cuántos de ellos tendrían una vida útil de por lo menos 75.800 km.?