Conjuntos

ISP Nº3 - Profesorado de Matemática - Matemática General Prof. Lorena Gambini

0

PROFESORADO DE MATEMÁTICA PRIMER AÑO

UNIDAD Nº 1 : ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

PROFESORA:

LORENA GAMBINI

ISP Nº3 - Profesorado de Matemática - Matemática General Prof. Lorena Gambini

1

ALGEBRA DE CONJUNTOS NOCIÓN DE CONJUNTOS El concepto de conjunto aparece en todas las ramas de la matemática. En este contexto, la palabra “conjunto”, es un término primitivo; es decir, un concepto que todos entendemos intuitivamente de la misma manera y que no requiere ser definido en términos de conceptos más elementales. Así, en lugar de intentar definir dicho concepto, presentamos a continuación algunos ejemplos y observaciones que contribuyen a precisar lo que habremos de entender por conjunto:    

La totalidad de libros de la biblioteca de la facultad. Las personas de este salón menores de 20 años. Los puntos de una recta. Los triángulos isósceles.

Los libros de la biblioteca, las personas, los puntos, los triángulos, son los “elementos” de los diversos conjuntos mencionados. Los conceptos “conjuntos” y “elementos” se explican mutuamente y no es posible concebirlos por separado: un conjunto está formado por elementos y a la vez ciertos elementos constituyen un conjunto. Una característica importante de los conjuntos es la siguiente: siempre se debe poder afirmar, categóricamente, si un ente u objeto dado pertenece o no pertenece a un conjunto determinado. SIMBOLOGÍA Y DESCRIPCIÓN Como símbolos para representar a los conjuntos usaremos letras mayúsculas y para representar los elementos letras minúsculas. Para indicar que x es un elemento del conjunto S (se dice también que “pertenece” a S) escribimos: x  S. Si x no pertenece al conjunto S, se escribe x  S. 1) Dar una lista completa de los elementos del conjunto, o sea enumerando los elementos del mismo (definición por “enumeración o extensión”). Ej.: A = {a ; e ; i ; o ; u} es el conjunto de vocales del alfabeto. Denota el conjunto A cuyos elementos son las letras a, e, i, o, u. Notemos que los elementos van separados por comas y encerrados entre llaves { }.

2) Dar una propiedad característica indicando las condiciones que deben satisfacer los elementos (definición por “comprensión” o por propiedad”). Por ejemplo, B = {x / x son los números enteros, x  0} que se lee “B es el conjunto de los x tales que x son enteros y mayores que cero”, describe el conjunto B cuyos elementos son los enteros positivos. Una letra, generalmente x, se emplea para identificar el elemento representativo del conjunto; el símbolo / se len como “tal que” y la coma como “y”. Veamos otro ejemplo: A = {x / x = 2 n  1  n  }. Nota: la barra que está a continuación del elemento genérico significa “tal que” y  es el conjunto de los números enteros. Ejemplo 1: El conjunto B dado anteriormente se puede escribir como B = {1; 2; 3; ...}. Observemos que -6  B, 3  B y   B.

ISP Nº3 - Profesorado de Matemática - Matemática General Prof. Lorena Gambini

2

Ejemplo 2: El conjunto A dado anteriormente también se puede escribir como A = {x / x es una letra del alfabeto, x es una vocal} Observemos que b  A, e  A y p  A. Ejemplo 3: Sea E = {x / x2 – 3 x + 2 = 0}. En otras palabras, E consta de aquellos números que son soluciones de la ecuación x2 – 3 x + 2 = 0, denominado algunas veces el conjunto solución de la ecuación dada. Ya que las soluciones de la ecuación son los números 1 y 2, podemos también escribir E = {1; 2}.

CONJUNTO VACIO Y CONJUNTO UNIVERSAL Un concepto quizá no tan intuitivo, pero sí indispensable, es el “conjunto vacío”. Se llama así a un conjunto sin elementos, al cual se representa mediante unas llaves {} o también mediante el símbolo . Por otra parte, un conjunto que contiene a todos los elementos posibles, o al menos a todos los que van a considerarse en una situación dada, se llama “conjunto universal” y se representa con la letra . Ejemplo: si A = {x / 2 x = 5  x = 0}, es importante especificar el conjunto : Si tomamos

5  = R, entonces A =  0;  2 

Si tomamos

= , entonces A = {0}

Si tomamos

= , entonces A =

R es el conjunto de los números reales.  es el conjunto de los números enteros.  es el conjunto de los números naturales. 0 es el conjunto de los números naturales y el cero.  es el conjunto de los números racionales.  es el conjunto de los números irracionales. Veamos más ejemplos: Ejemplo 1: En geometría plana, el conjunto

consta de todos los puntos en el plano.

Ejemplo 2: En estudios de población humana, el conjunto

tiene toda la gente del mundo.

Ejemplo 3: Sea A = {x / x2 = 4, x es impar}. Entonces A es vacío, A = . Ejemplo 4: Sea B el conjunto de personas de más de 200 años de edad. De acuerdo con las estadísticas, B es el conjunto vacío. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Un conjunto es finito si consta exactamente de n elementos diferentes, donde n es algún entero positivo; de otra manera es infinito. Ejemplo 1: Sea M el conjunto de los días de la semana. En otras palabras M = {lunes ; martes ; miércoles ; jueves ; viernes ; sábado ; domingo} Entonces M es finito. Ejemplo 2: Sea Y = {2; 4; 6; 8; ....}. Entonces Y es infinito. Ejemplo 3: Sea P = {x / x son los ríos de la Tierra}. Aunque sea difícil contar el número de ríos en la Tierra, P es un conjunto finito.

ISP Nº3 - Profesorado de Matemática - Matemática General Prof. Lorena Gambini

3

SUBCONJUNTO

Definición: Sean A y B dos conjuntos, se dice que A es subconjunto de B y se escribe A  B, si: a  A se cumple que a  B. También se dice que A está incluido en B.

AB

Ejemplo: Si A= {triángulos equiláteros}; B = {triángulos}

Nota: Si A no está incluido en B, se escribe A  B. y nos dice que existe una x  A tal que xB. Ejemplo 1: Consideremos los conjuntos A = {1; 3; 5; 7; ....}, B = {5; 10; 15; 20; ....} C = {x / x es primo, x  2} = {3; 5; 7; 11; ....} Entonces C  A ya que todo número primo mayor que 2 es impar. Por otra parte, B  A ya que 10  B pero 10  A. Ejemplo 2: Sea  el conjunto de los enteros positivos,  el conjunto de los enteros,  el conjunto de los números racionales y  el conjunto de los números reales. Entonces       Ejemplo 3: El conjunto E = {2; 4; 6} es un subconjunto del conjunto F = {6; 2; 4}, ya que cada número 2; 4; 6 que pertenece a E también pertenece a F. En efecto, E = F. De una manera semejante puede demostrarse que todo conjunto es un subconjunto de sí mismo. Como se anotó en el ejemplo precedente, A  B no excluye la posibilidad de A = B.

IGUALDAD DE CONJUNTOS Se considera que dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos, sin importar el orden en que estos se encuentran expresados o que algunos de ellos esté considerado más de una vez. Así, por ejemplo, son iguales los conjuntos A = {a ; b ; c} y B = {a ; c ; b} Como también lo son los conjuntos A = {a ; b ; c} y C = {a ; b ; a ; c ; b} Apoyándonos en el concepto de subconjunto, podemos definir la igualdad así:

Definición: Sean A y B dos conjuntos, se dice que A es igual a B, y se escribe A = B, si: AB

BA

y

Si A y B no son iguales, se dicen distintos y se escribe A  B. De esta manera, para los conjuntos A, B y C descriptos anteriormente, se tiene que A=B

A= C y

B=C

Mientras que, si D = {a; b} se tendrá que: AD , B D y C D Para los conjuntos A y D se cumplen también las siguientes relaciones DA

A= D

y

DA

Ejemplo: Sea E = {x / x2 – 3 x + 21 = 0}, F = {2 ; 1} y G = {1; 2; 2; 1;

6 }. 3

ISP Nº3 - Profesorado de Matemática - Matemática General Prof. Lorena Gambini

4

Entonces E = F = G. Observemos que un conjunto no depende de la manera como se presentan sus elementos. Un conjunto queda igual aunque sus elementos se repitan o reagrupen.

DIAGRAMA DE VENN Los conjuntos pueden ser interpretados gráficamente por medio de los llamados diagramas de Venn. En tales diagramas, los conjuntos están representados por regiones cerradas al plano, cuyos puntos interiores corresponden a los elementos del conjunto. Dichas regiones se dibujan usualmente dentro de un rectángulo que represéntale conjunto universal. De esta forma los conjuntos: A

P

A = {x / x es una letra del alfabeto castellano} B = {a; e; i; o; u}

B

C = {a; b; c; d; e} P = {2 n / n es un entero positivo}, es decir, P es el

C

conjunto de los números enteros positivos pares. Pueden quedar representados mediante el siguiente diagrama de Venn.

, es el conjunto de todas las letras del alfabeto y de todos los números

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS: unión, intersección, diferencia y complemento La unión de dos conjuntos es agrupar los elementos de ambos en un solo conjunto, llamado la unión de estos, como se establece a continuación.

Definición: Sean dos conjuntos, la unión de A y B es el conjunto A  B = {x / x  A o x  B} En esta definición la “o” está empleada en un sentido no excluyente; es decir, en la unión se consideran tanto los elementos que pertenecen a algunos de los dos conjuntos como los que pertenecen a ambos. En el siguiente diagrama la unión de A y B está representada por la región sombreada.

A A

B

A B

A  B = A si B  A

A B

B

ISP Nº3 - Profesorado de Matemática - Matemática General Prof. Lorena Gambini

5

La intersección de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a ambos, es decir, por los elementos comunes.

Definición: Sean A y B dos conjuntos, la intersección de A y B es el conjunto A  B = {x / x  A y x  B}

En el siguiente diagrama la intersección de A y B corresponde el área sombreado. A

B

A B

A  B = B si B  A

A B = 



A y B se dicen conjuntos disjuntos

La diferencia “A menos B” de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B, como lo indica la siguiente definición:

Definición: Sean A y B dos conjuntos, la diferencia A menos B es el conjunto A - B = {x / x  A

x  B}

y

Es importante observar que, en general, la diferencia A - B y la diferencia B - A son dos conjuntos diferentes. Para los conjuntos A y B representados en el siguiente diagrama, la diferencia A - B corresponde a la región rayada y la diferencia B - A a la región punteada. A-B A

A

A B

B

B

B-A

A-B

B -A= 

A- B =A

B -A= B A y B disjuntos

ISP Nº3 - Profesorado de Matemática - Matemática General Prof. Lorena Gambini

6

El complemento de un conjunto está constituido por todos los elementos que no pertenecen a dicho conjunto (y que pertenecen, claro está, al conjunto universal). Así, apoyándonos en la definición de diferencia, podemos establecer el concepto de complemento de la siguiente manera:

Definición: Sean A un conjunto cualquiera y el conjunto universal, el complemento de A es el conjunto -A A =

El complemento de A está representado en el siguiente diagrama por la región rayada. A

A

Existe otra operación llamada diferencia simétrica:

Definición: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es la unión de los conjuntos A – B y B – A. A  B = (A – B)  (B – A) El diagrama correspondiente es:

B A

Otra identificación de la diferencia simétrica es: A  B = (A  B )  (B  A ) Que se deduce como consecuencia inmediata de la definición, teniendo en cuenta que la diferencia entre dos conjuntos es igual a la intersección del primero con el complemento del segundo. Resulta también: A  B = (A  B) - (A  B) Para ilustrar el empleo de las operaciones que acabamos de definir, consideramos nuevamente los conjuntos A = {x / x son las letras del alfabeto castellano} V = {a ; e ; i ; o ; u} C = {a ; b ; c ; d ; e} P = {2 n / n son los enteros positivos} y sea

el conjunto de todas las letras y todos los números.

Ejercicio: verificar que para tales conjuntos se tiene: V  C = {a ; b ; c ; d ; e ; i ; o ; u} V  C = {a ; e}

ISP Nº3 - Profesorado de Matemática - Matemática General Prof. Lorena Gambini

7

AV=A AV=V A  P =  (por lo tanto, se dice que A y P son conjuntos disjuntos) V - C = {i ; o ; u} C - V = {b ; c ; d} A - V = {x / x son las consonantes del alfabeto castellano} V - A=  A-P=A A P= A A P=P A C=

(V  C)  A = A (V - C)  (A - V) =  A continuación, se presentan varias igualdades las que se cumplen para conjuntos A, B y C cualesquiera, por lo que ellas constituyen leyes de la teoría de conjuntos. 

A=A



A



A A=A



A A =



A - A= 

A-  = A



A

 =



A= 



A



A A=A



A A =



A- B =A B



=

= A

=A

=

Leyes conmutativas:  AB=BA

 AB=BA

Leyes asociativas:  (A  B)  C = A  (B  C)

 (A  B)  C = A  (B  C)

Leyes distributivas:  A  (B  C) = (A  B)  (A  C)  (B  C)  A = (B  A)  (C  A)

 A  (B  C) = (A  B)  (A  C)  (B  C)  A = (B  A)  (C  A)

ISP Nº3 - Profesorado de Matemática - Matemática General Prof. Lorena Gambini

Leyes de De Morgan:   A  B  A  B  A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

8

  A  B  A  B  A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

Nota: cada una de las leyes anteriores proviene de la ley lógica análoga de la unidad Nº 1. Teorema Cada una de las condiciones siguientes es equivalente a A  B. 1º) A  B = A 3º ) B  A 5º ) B  A = 2º ) A  B = B 4º ) A  B =  Entonces podemos realizar el siguiente resumen:

  

y

  

CARDINAL DE UN CONJUNTO Sea A un conjunto cualquiera, llamaremos “cardinal de A” al número de elementos de A y lo notaremos como # A. Ejemplos: Si V = {x/x son las estaciones del año} entonces # V = 4 Si P = {x/x es un número primo par} entonces # P = 1 Si L = {x/x son los números pares menores de 20} entonces # L = 9 Conociendo el cardinal de ciertos conjuntos dados, podemos obtener el cardinal de otros conjuntos que son unión, intersección, diferencia o complementos de los conjuntos dados. Si tenemos dos conjuntos A y B definimos el cardinal de la unión de estos conjuntos de la siguiente forma: # (A  B) = # A + # B  # (A  B) En el caso de ser tres conjuntos: # (A  B  C) = # A + # B + # C  # (A  B)  # (B  C)  # (C  A) + # (A  B  C) Si los conjuntos son disjuntos (A  B = ), entonces la relación anterior se reduce a: # (A  B) = # A + # B

Ejemplo 1: “Se realiza una encuesta entre 42 personas y se observa que 26 de ellas tienen registro para conducir autos, 14 registros para conducir motos y 8 registros para conducir ambos vehículos.” Analizamos la situación presentada: 42 personas encuestadas = {x / x es persona encuestada} 26 tienen registro para A = {x / x es persona encuestada con registro conducir autos para conducir autos} 14 tienen registro para M = {x / x es persona encuestada con registro conducir motos para conducir motos} 8 tienen registro para A  M = {x / x es persona encuestada con conducir autos y motos registro para conducir autos y motos}

Graficamos a partir de los datos anteriores sabiendo que:

ISP Nº3 - Profesorado de Matemática - Matemática General Prof. Lorena Gambini

# U = 42

# M = 14

# A = 26

9

# (A  M) = 8

# = 42 # (A  M) = 8 (autos y motos)

8 # M = 14

# A = 26

Si # A = 26 # (A  M) = 8

# (A – M) = # A - # (A  M) = 18

Si # M = 14 # (A  M) = 8

# (M – A) = # M - # (A  M) = 6

# = 42

# (A – M) = 18 autos y no motos

18

8

# A = 26

# (M – A) = 6 motos y no autos

6 # M = 14 10

# A  M = 8 autos y motos

= 10 no autos ni motos #

Ahora podemos contestar todas las preguntas que quieran hacernos sobre esta situación problemática.

CONJUNTO POTENCIA Se llama conjunto potencia de un conjunto dado, al conjunto de todos los subconjuntos del conjunto A y se indica P(A). Ejemplo: El conjunto A = {a ; b ; c}, entonces el conjunto potencia de A es: P(A) = { ; {a} ; {b} ; {c} ; {a ; b} ; {a ; c} ; {b ; c} ; {a ; b ; c}} El número de subconjuntos del conjunto dado, se calcula con: |P(A)| = 2n siendo n el número de elementos del conjunto A. Entonces, en el caso del ejemplo dado, se tiene: 23 = 8 subconjuntos TRABAJO PRÁCTICO Nº 1 1- ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son iguales: {r; t; s}, {s; t; r; s} ; {t; s; t; r} ; {s; r; s; t}?

ISP Nº3 - Profesorado de Matemática - Matemática General Prof. Lorena Gambini

10

2- Determinar si alguno de los conjuntos siguientes es vacío: a) X = {x / x 2 = 9  2 x = 4} ; b) Y = {x / x  x} ; c) Z = {x / x + 8 = 8} 3- Expresar los siguientes conjuntos por el método de extensión a) A = {x / x  N , 5  x  18  x es par} b) B = {Las letras de la palabra matemática} c) C = { x / x 2 – 16 = 0} 4- Sean V = {d}; W = {c ; d} ; X = {a ; b ; c}; Y = {a ; b} y Z = {a , b , d}. Determinar cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos y cuáles falsos: a) Y  X, b) W  Z, c) Z  V, d) V  X, e) X = W, f) W  Y. 5- Dados los conjuntos M, N y P no vacíos, se sabe que: M – (N  P) = {a,b,c} y M  (N  P) = {d ,e} Hallar el conjunto M. 6- Sean los siguientes conjuntos P = {r ; s ; t ; u ; v ; w} Q = {u ; v ; w ; x ; y ; z}

R = { s; u ; y ; z} S = {u ; v}

T = {s ; u} V = {1} Z=

Determinar cuál de estos conjuntos: a) es subconjunto de P y Q únicamente (propio). b) es subconjunto de R pero no de Q. c) no es subconjunto de P ni de R. d) no es subconjunto de R pero si de Q. e) es subconjunto de todos los demás. 7- Sean = {1; 2; ..... ; 8; 9}, A = { 1; 2; 3; 4}, B = {2; 4; 6; 8} y C = {3; 4; 5; 6}. Encontrar: a) A b) A  C c)  A  C  d) A  B e) B – C 8- Sea el conjunto universal = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Y los subconjuntos A = {1; 3; 5; 7} ; B = {2; 4} ; C = {1; 2; 3} Especificar por extensión los siguientes conjuntos A ; B ; C 9-

Especificar por extensión el conjunto  A  si = {Administración, Contabilidad, Finanzas, Informática, Mercadotecnia, Producción, Relaciones Humanas} y el subconjunto A = {Mercadotecnia, Producción}

10- Sombrear en cada uno de los siguientes diagramas A  B A B A B A

11- Sombrear en cada uno de los siguientes diagramas A  B. A

B

B

B

A

B

ISP Nº3 - Profesorado de Matemática - Matemática General Prof. Lorena Gambini

A

12- Sombrear: A

a) A  B

B

11

A

b)

B

B

 A  B A

A

c)  B - A  B

A

B

13- Sea A = {a ; e ; i ; o ; u} B = {a ; b ; c ; d ; e ; u} Hallar: A – B y B–A

14- Sea P = {1; 2; 3; 5; 7} Q = {2; 3; 4; 6} R = {1; 2; 9; 11} Encontrar los siguientes conjuntos: a) P – Q ; b) (P – Q) – R ; c) Q – R ; d) P – (Q – R) ; e)   (P  Q  R) 15- Sombrear: a) A  (B  C) A

C

b) (A  B)  (A  C)

B

A

c) (A – C)  B B

A

C

16- Sea = {a; b; c; d; e; f; g} P = {a; c; d; e} Hallar: P  Q ; P ; P  Q ; P  Q ; P  P

B

C

y

Q = {a; b; f}

17- Observar las siguientes proposiciones y decir si son correctas o falsas. Justificar. a) A   b) 3  {3; 5} c) {4; 8; 23 ; 3} = {( 2) 2 ; 8; 3} d) {a; b; c} = {c; b; d; e; a} e)   {1; 2; a; b} f)0   g)   h) {2; 4} = {{2} ; {4}} 18-- En una encuesta de 60 personas, se observó que 25 leen "El Tiempo", 26 leen "La Prensa" y 26 leen "El Mundo". También 9 leen tanto "El Tiempo" como "El Mundo", 11 leen tanto "El Tiempo" como "La Prensa", 8 leen tanto "La Prensa" como "El Mundo" y 8 no leen ninguno de los 3 periódicos. a) Encuentre el número de personas que leen los tres periódicos. b) Confeccione el diagrama de Venn llamando a los conjuntos T, P y M c) Determine el número de personas que leen exactamente 1 periódico

ISP Nº3 - Profesorado de Matemática - Matemática General Prof. Lorena Gambini

12

19- En una encuesta realizada en algunos países acerca de los productos de mayor exportación se encontró que: 8 países exportan café, 15 países exportan petróleo, 13 países exportan frutas, 6 exportan sólo frutas y petróleo, 4 sólo frutas, 3 exportan los 3 productos y sólo café y petróleo ninguno. a) ¿Cuántos países fueron encuestados? b) ¿Cuántos exportan sólo café? c) ¿Cuántos países exportan sólo petróleo? 20- 100 personas respondieron a un cuestionario formado por 3 preguntas. Se sabe que: 8 contestaron bien las 3 preguntas, 9 contestaron bien sólo la primera y la segunda, 11 contestaron bien sólo la primera y la tercera, 6 contestaron bien sólo la segunda y la tercera, 55 contestaron bien la primera por lo menos, 32 contestaron bien la segunda por lo menos y 49 contestaron bien la tercera por lo menos. ¿Cuántas personas contestaron negativamente las tres preguntas? 21-¿Puede creerse a un investigador que informa que, de cada 1000 habitantes, a 816 les gusta el azúcar, a 723 el helado, a 645 los pasteles, y así mismo que a 562 les gusta el azúcar y el helado, a 463 el azúcar y los pasteles y a 470 los pasteles y el helado, y sólo a 310 les gustan las tres cosas?

22- Simplificar las siguientes expresiones: a) ( A  B  A)  ( A  B  B)  b)

 A  B    A  B     A  B    A  B   

c) [(A  d) 





 

)  A]  A  A  A 

 A  A  A

 A

23- Considere el siguiente Diagrama de Venn.

C

D

4

12

16

1

A

E 9

7

2 6 3 5

11 F 15

10

8

13 14

B

Poner en el paréntesis de cada uno de los incisos una “V” o “F” según corresponda:

ISP Nº3 - Profesorado de Matemática - Matemática General Prof. Lorena Gambini

13

a) F  (C – D)

(……….)

k) B  A

b) E  D

(……….)

l) D –

c) E  (C  D)

(……….)

m) (B – A) ={5 ; 8}

(……….)

d) (A  B) = 

(……….)

n) 3  (A  B)

(……….)

(……….)

o) 11  (C – D)

(……….)

e) (D – C)  (B – A) f) D = {1; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 13 ; 14} g) (C  D) = {14 ; 15 ; 16} h)

– (C  D) = {4 ; 15 ; 16}

i) E – (C  D) = {6} j) (C  D) = {1; 2; 3 ; 5 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 14}

(……….) (……….) (……….) (……….) (……….)

(……….) =

p) (F  E)  C q) (C  D)  r) (C  E) =  s) (E – F)  D

(……….)

(……….) (……….) (……….) (……….) (……….)

t) (B – E)  (D – C)

24- Demuestra que para los conjuntos arbitrarios A, B y C se cumple: a) A-B = A  B c b) A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) c) ( A  B )  C  ( A  C )  ( B  C ) 25- Dado K= 1,2,3,4 , calcula el número de subconjuntos que se pueden formar e indica cuáles son. 26- En una pequeña ciudad árabe con 300 habitantes, 110 son hombres, 120 musulmanes y 50 son hombres musulmanes. Calcula el número de habitantes que son: a) mujeres, b) mujeres musulmanes y c) son mujeres no musulmanes. 27-Sea A el conjunto de los números en forma 4n+1, n  N y B el conjunto de los números pares. ¿Son A y B mutuamente excluyentes? 28-Sean A el conjunto de los números naturales divisibles por 6, B el conjunto de los números naturales divisibles por 2 y C el conjunto de los números naturales divisibles por 5. Encuentra: a) A  B b) A  C c) B  C d) A  B e) A  C f) B  C g) A-C h) A-B i) B-A j) A  B  C k) A  B  C 29-Sea A el conjunto de los números impares y B el conjunto de los números de la forma 4n, siendo que n pertenece al conjunto de los números Naturales. Encuentra A  B 30- Determina las cardinalidades siguientes:

ISP Nº3 - Profesorado de Matemática - Matemática General Prof. Lorena Gambini

a) b) c) d) e) f) g)

n(A) n(B) n(C) n( A  B ) n(B-C) n(( A  B  C ) n(( A  B )  C )

BIBLIOGRAFÍA

      

De Cortés, Graciela, “Matemática 1” , Editorial Stella Allendoerfer y Oakley, “Matemática Universitaria”, Ed. Mc Graw Hill Oubiña, Lía, “Introducción a la Teoría de Conjuntos”, Ed. Eudeba. Lipstchutz, “Teoría de Conjuntos y temas afines” Serie Schaum, Ed. Mc Graw Hill Ralph Grimaldi, “Matemáticas Discreta y Combinatoria”, Ed. Addison Wesley Longmann Wisniewski, Banegas, Martínez Hernández. Indroducción a las Matemáticas Universitarias. Ed. Mc Graw Hill. Apunte de la Prof. Mónica Rinke.

14