Coordenas Espacio

SEMANA 3 Tema

COORDENADAS EN EL ESPACIO

:

SISTEMA DE COORDENADAS EN TRES DIMENSIONES Análogamente como en el caso del sistema de coordenadas en R 2 , se tienen los elementos  x; y; z   R3 y se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres rectas mutuamente perpendiculares que se cortan en el punto O (origen). Estas rectas formas los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes X , Y y Z ).

Ejes coordenados: X , Y , y Z y planos coordenados: XY , XZ , YZ .

Los tres planos cartesianos dividen al espacio en ocho partes llamadas octantes. Ubicar en el plano los puntos  2; 5;3 ,  2;5;4  ,  3;3; 2  y 1;6;0 

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COORDENADAS CILÍNDRICAS Un punto P  R 33 en coordenadas cilíndricas está denotado como  r , , z  donde r y  son las coordenadas polares.

Entonces las transformaciones serían: A) De Cilíndricas a Rectangulares:

x  r cos  y  r sin  zz

B) De rectangulares a Cilíndricas:

r  x2  y 2  y  

  arctan   x zz Ejemplo: Determinar las coordenadas cilíndricas correspondientes al punto P  6;6;2  Solución: Puesto que sabemos el punto en coordenadas rectangulares, sabemos que

x6

y

y6 2

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Por tanto

r   62  62 r  6 2 Además

tg  Luego



6 6

 4

 

El punto P , se representa en coordenadas cilíndricas en la forma P  6 2;



 ;2  , o como 4 

   P  6 2; ;2  4   Ejemplo (Conversión de coordenadas cilíndricas a rectangulares) Determinar la coordenada

   ;8   3 

cartesiana correspondiente al punto P  4; Solución: Se sabe qué

r4

y 

 3

, entonces se tiene:

x  r cos    4cos   3 2

Y

y  rsen    4s en   3 2 3



Por tanto, la coordenada rectangular es P 2;2 3;8



Observación: las coordenadas cilíndricas son muy convenientes para representar cilindros y superficies de revolución en general, para las cuales el eje Z sea un eje de simetría.

x 2  y 2  a 2 en coordenadas cartesianas, Cilindro: cilíndricas.

r  a , en coordenadas

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Cono: x 2  y 2  z 2 en coordenadas cartesianas, r  z , en coordenadas cilíndricas.

OTRAS SUPERFICIES Ejemplo Hallar la ecuación en coordenadas cartesiana del lugar geométrico cuy a ecuación cilíndrica es r  3csc , e identifique el lugar geométrico Solución: Sabiendo que

y  rsen

y

csc 

Luego, reemplazando en la ecuación original r  3csc , se tiene

1 sen

rsen  3 Esto implica que

y 3

Por tanto, el lugar geométrico es una recta paralela al eje de las abscisas.

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Ejemplo Hallar la ecuación en coordenadas cilíndricas del lugar geométrico cuya ecuación



cartesiana es x 2  y 2



2

 a2  x2  y 2 

Solución: Se sabe que

x  r cos

r 2  x2  y 2

y  r s en

En consecuencia, se tiene que 2

 r cos 2   rsen 2   a 2  r cos 2   rsen 2     

 r 2  cos2   s en2   a 2 r 2  cos2   s en2      2

 r 2   a 2  r 2 cos  2  2

r 2  a 2 cos  2 

COORDENADAS ESFÉRICAS Un punto P  R 33 , puede ser denotado también como un vector con punto inicial en el Origen de R 33 y punto final P   , ,   donde: -

 magnitud del vector OP

-

Angulo θ, que forma su proyección r en el plano XY con respecto a la dirección positiva del eje x.

-

Φ es el ángulo que forma el semieje positivo Z con la semirrecta que une el origen de coordenadas con el punto P.

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Entonces las transformaciones serían: A) De Esféricas a Rectangulares:

x   sin  cos  y   sin  sin  z   cos  B) De rectangulares a Esféricas:

  x2  y 2  z 2  y   z   arccos   

  arctan   x

O también:

  x2  y 2  z 2 cos( )  cos( ) 

x x  y2 2

z x2  y 2  z 2

Observación: cuando un sólido o una superficie son simétricos respecto a un punto, es muy probable que las coordenadas esféricas desempeñen un papel de simplificación. La esfera x 2  y 2  z 2  a 2 en coordenadas esféricas es   a .

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

Ejemplo: Determinar las coordenadas esféricas correspondientes al punto P 1;1; 2



Solución: Se sabe que

  x2  y 2  z 2   arc cos

z x  y2  z2 2

  arctg

y x

Luego tenemos:

  2,

2 , 2

  arctg

  45 ,

  45

  arc cos

1 1

Por tanto

  2,

Luego el punto P en coordenadas esféricas es P  2;45;45  .

RELACIÓN ENTRE LAS COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS A) De Esféricas a Cilíndricas:

r   sin    z   cos 

B) De Cilíndricas a Esféricas

  r2  z2   r  

  arctan   z Es necesario que cada estudiante, demuestre estas fórmulas para luego poder utilizarlas en la solución de ejercicios de la hoja de trabajo.

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