Distribucion Discreta

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Equipo de Estadística Sesión N° 06

CASO 1: PRODUCCIÓN DE TORNILLOS En un proceso de producción de tornillos, donde los niveles de calidad están fuera de los permitidos, se tiene que de cada 100 tornillos producidos, 8 son defectuosos. Si se toma una muestra de 16 tornillos: ¿Es posible tener un modelo matemático, que nos permita estimar si menos de dos tornillos son defectuosos?

CONTENIDO o Variable aleatoria o Distribuciones de Probabilidad o Principales Distribuciones de Probabilidad discretas: Binomial y Poisson. Características y uso de tablas

Logro específico (de sesión):

 Al término de la sesión, el estudiante resuelve problemas de situaciones reales en Ingeniería considerando variables aleatorias y distribución de probabilidad discreta, con orden en el procedimiento y exactitud en el resultado.

DEFINICIONES PRELIMINARES: I. VARIABLE ALEATORIA: • Se denota por una X. • Es aquella que puede tomar diferentes valores a través del tiempo o de sujeto a sujeto. • Si una variable, es una variable aleatoria, entonces tiene una distribución de probabilidad.

EJEMPLOS: • • • • • • • • •

X: X: X: X: X: X: X: X: X:

Nº de casas vendidas en Trujillo. Nº de ingenieros reconocidos a nivel nacional. Ventas diarias de una empresa. Nº de clientes que llegan diariamente a Plaza Vea. Nº de automóviles que llegan a una Estación de Servicio. Nº de llamadas telefónicas que recibe una secretaria. Edad de las personas. Tiempo de vida de un neumático. Nº de artículos defectuosos de un proceso productivo.

II. FUNCION DE PROBABILIDAD:  • Es una fórmula matemática que nos permite calcular probabilidades. • Una función de probabilidad, calcula la probabilidad para cada valor individual de la variable aleatoria X. • Se denota por:

f (x) = P[ X = x ] EJEMPLOS: Distribución Binomial:

 n P[X  x]   p x q n  x  x

Distribución Poisson:

eλ λ x P[X  x]  x!

III. FUNCION DE PROBABILIDAD ACUMULADA: • Llamada también función de distribución que se denota por F(x). • Es aquella que nos permite calcular probabilidades acumuladas. • Se denota por:

Por ejemplo:

F(x) = P[ X ≤ x ]

•

F(1) = P[X≤1]=P(X=0) + P(X=1)

•

F(2) = P[X≤2]=P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

•

F(3) = P[X≤3]=P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)+P(X=3)

DISTRIBUCIONES DISCRETAS Distribución Binomial

Distribución Poisson

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL CARACTERISTICAS: • Los parámetros de la distribución binomial son “n” y “p”., donde: n=Número de ensayos o tamaño de muestra p = probabilidad de éxito en cada ensayo. De aquí se obtiene que la probabilidad de fracaso es q = 1-p • Si una v.a. X tiene una distribución binomial, esta se denota por:

X  B ( n, p )

• Su función de probabilidad está dada por:

P(X  x)  C xn p x (1  p) n  x , x  0,1,2,......n

Parámetros:

n,p

EJERCICIO: En la empresa Aceros Arequipa, el inspector de control de calidad ha determinado que el 25% de los lingotes producidos son defectuosos.

Función de probabilidad

P(X  x)  C xn p x (1  p ) n  x

Para probar su afirmación extrae una Solución: muestra de 5 lingotes de acero y a 5 0 5 partir de ello desea calcular las a. P(X  0)  C0 0.25 (0.75) siguientes probabilidades: = 0.237 a. Ninguno sea defectuoso. 5 1 4 b. P(X  1)  C1 0.25 (0.75) b. Exactamente 1 sea defectuoso. c. Menos de 2 sean defectuosos.

= 0.396 c. P(X  2)  P(X  1)  P(X  0)  P(X  1)

PARAMETROS: n=5 p = 0.25

= 0.633

MANEJO DE TABLA: Para el uso de tabla tener en cuenta lo siguiente A. A. PP((XX≤≤aa))==Usar Usardirectamente directamentela latabla tabla B. B. PP((XX>>aa)) ==11-- PP((XX≤≤aa)) C. C. PP((XX≥≥aa)) ==11-- PP((XX≤≤aa--11)) D. D. PP((XX==aa)) ==PP((XX≤≤aa))--PP((XX≤≤aa--11)) E. E. PP((aa≤≤XX≤≤bb))==PP((XX≤≤bb))--PP((XX≤≤a-1 a-1)) F. F. PP((aa≤≤XX<
EJEMPLO DE APLICACIÓN 2: En general, el 45% de los postulantes fallan en una prueba de selección de personal. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 15: a) b) c)

Fallen exactamente 4. Fallen por lo menos 8. Fallen más de 4.

SOLUCIÓN: X = Candidatos que fallan en una prueba de selección Parámetros: n = 15 candidatos p = probabilidad que un candidato falle en una prueba de selección. p = 0.45; q = 0.55 Función de probabilidad: x 15  x P(X  x)  C 15 (0 . 45 ) ( 0 . 55 ) , X  0,...,15 x

a) Fallen exactamente 4. P(X = 4) = 0.078 = 7.8% b) Fallen por lo menos 8. P(X ≥ 8) = 1 - P(X ≤ 7) = 1 - 0.6535 = 0.3465 = 34.65% c) Fallen más de 4. P(X rel="nofollow"> 4) = 1 - P(X ≤ 4)= 1 - 0.1204 = 0.8796 = 87.96%

DISTRIBUCIÓN POISSON Es otra de las distribuciones discretas más importantes del cálculo de probabilidades. Se utiliza cuando se quieren evaluar variables aleatorias discretas pero ocurridos en espacios continuos. Estos espacios continuos pueden ser el tiempo, volumen, espacio, etc. Función de probabilidad

e λ λ x P X  x/λ   x! Donde λ = Número esperado de éxitos. e = Constante matemática. x = Número de éxitos por unidad.

Parámetro:

λ

Simeon Poisson

EJEMPLOS • • • • • •

Número de manchas en un metro cuadrado de un esmaltado de un refrigerador. Número de personas que llegan a una tienda de autoservicios durante una hora. Número de llamadas telefónicas en un día. Número de clientes que llegan a un banco durante las 10 y 12 p.m. Número de bacterias en un cm3 de agua. Número de solicitudes de seguro procesadas por una compañía en un tiempo determinado, etc.

Función de probabilidad

EJERCICIO:

e λ λ x P X  x/λ   x!

Se conoce que el número promedio de arribos de camiones a la central de abastos es de 3 camiones por minuto. Calcular las siguientes probabilidades: a.Lleguen exactamente dos arribos en un minuto. b.Lleguen a lo más 2 arribos en un minuto. Solución: a. Se tiene que λ = 3 arribos por minuto.

e3 32 P  X  2   0.224 2!

b. P  X �2   P(X  0)  P(X  1)  P(X  2)

e 3 30 e 3 31 e 3 32     0.497  0.149  0.224  0.423 0! 1! 2!

EJEMPLO DE APLICACIÓN 2:

La central telefónica de una empresa recibe un promedio de 3.4 órdenes de pedido por hora. Estas ocurrencias se producen al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan: a) Exactamente 4 órdenes de pedido en una hora dada. b) Como máximo 5 órdenes de pedido en una hora. c) Más de 5 órdenes de pedido en dos horas.

SOLUCIÓN

l  3.4 órdenes de pedido / hora a) Exactamente 4 órdenes de pedido en una hora dada.

b) Como máximo 5 órdenes de pedido en una hora. P(X ≤ 5) = 0.8705 = 87.05% c) Más de 5 órdenes de pedido en dos horas.

P(X > 5) = 1 - P(X ≤ 5) = 1 - 0.327 = 0.673 = 67.3%

FIN