Distribucion Gumbel O Extrema Tipo I

4.5 DISTRIBUCION GUMBEL O EXTREMA TIPO I La distribución Gumbel es también denominada extrema tipo I. Esta distribución es una familia importante de distribuciones usadas en el análisis de frecuencia hidrológico es la distribución general de valores extremos, la cual ha sido ampliamente utilizada para representar el comportamiento de crecientes y sequías es decir de máximos y mínimos. 4.5.1 Función de densidad: La distribución de Gumbel tiene como una función de densidad.

En donde α y β son los parámetros de la distribución de la función de densidad donde la variable es continua. 4.5.2 Estimación de parámetros La estimación de los parámetros α y β son de la siguiente manera:

Donde

−¿ ¿ x

son la media y

S

es la desviación estándar estimadas con

la muestra. Β se obtiene una vez obtuvo α. 3.3.3

Factor de frecuencia:

Dónde:

KT

es el factor de frecuencia.

Tr

es el periodo de retorno.

Para la distribución Gumbel se tiene que el caudal para un período de retorno de 2.33 años es igual a la media de los caudales máximos. 3.3.4

Limites de confianza

X t ± t (1−∝) Se

Donde: Se error de estimación. Y se determina de la siguiente manera. Donde: S es la desviación estándar.

t (1−∝)

KT es el factor de frecuencia y

es la variable normal estandarizada

para una probabilidad de no excedencia de 1- α es decir de un año.

EJEMPLO:

En un río se tienen 30 años de registros de Qmáximos instantáneos anuales con x= 15 m3/s, S = 5 m3/s (media y desviación estándar para los datos originales). xy=2.655, sy = 0.324 (media y desviación estándar de los datos transformados). Encontrar el caudal para un periodo de retorno de 100 años y los límites de confianza para un

∝ = 5%.

Encontrar el Q de 100 años de periodo de retorno y los intervalos de confianza. x= 15 m3/s, s = 5 m3/s.

K T =3.1 4

QTr 100 =x+ K T s QTr 100 =15+ ( 3.14∗5 )=¿ 30.7 m3/s

Intervalos de confianza t (1−∝) =t (0.95)=1.645 tabla de la normal δ =[ 1+1.1396 ( 3.14 ) +1.1 ( 3.14 )

Se=

1 2 2

]

=3.93

δ . s (3.93)(5) = =3.58 m3 /s √n √30

X t ± t (1−∝) S e 3

30.7 m /s ±(1.645)(3.58)

3

30.7 m /s+(1.645)(3.58)=36.58

30.7 m 3 /s−(1.645)(3.58)=24.81

El intervalo de confianza para

Q Tr 100

es.

3

[24.83 m /s

36.58 m3/s]

http://es.slideshare.net/freddysantiagord/metodos-probabilisticos-de-hidrologia http://fluidos.eia.edu.co/hidrologiai/probabilidad/probabilidad.htm

4.6 Selección de la frecuencia para el diseño El análisis de frecuencia se usa para predecir el comportamiento futuro de los caudales en un sitio de interés, a partir de la información histórica de caudales. Es un método basado en procedimientos estadísticos que permite calcular la magnitud del caudal asociado a un período de retorno. Su confiabilidad depende de la longitud y calidad de la serie histórica, además de la incertidumbre propia de la distribución de probabilidades seleccionada. Para determinar la magnitud de eventos extremos cuando la distribución de probabilidades no es una función fácilmente invertibles se requiere conocer la variación de la variable respecto a la media. Chow propusó determinar esta variación a partir de un factor de frecuencia KT que puede ser expresado:

y se puede estimar a partir de los datos

Para una distribución dada, puede determinarse una relación entre K y el período de retorno Tr.

El análisis de frecuencia consiste en determinar los parámetros de las distribuciones de probabilidad y determinar con el factor de frecuencia la magnitud del evento para un período de retorno dado. 4.7 Análisis probabilístico de precipitaciones.

El comportamiento de las variables aleatorias discretas o continuas se describe con la ayuda de Distribuciones de Probabilidad. La variable se designa por mayúscula y un valor específico de ella por minúscula. Por P(x = a) se denota la probabilidad de que un evento asuma el valor a; similarmente P(a  x  b) denota la probabilidad de que un evento se

encuentre en el intervalo (a,b). Si conocemos la probabilidad P(a  x  b) para todos los valores de a y b, se dice que conocemos la Distribución de Probabilidades de la variable x. Si x es un número dado y consideramos la probabilidad P(X  x): F(x)= P(X  x): y llamamos F(x) la función de distribución acumulada. Momentos de las distribuciones

Las propiedades de las distribuciones pueden ser definidas completamente en términos de los momentos. Los momentos en estadística son similares a los momentos en física. para la variable continua

para la variable discreta o respecto a la media (eje de rotación diferente al origen) para la variable continua

para la variable discreta Los estadísticos extraen información de una muestra, indicando las características de la población. Los principales estadísticos son los momentos de primer, segundo y tercer orden correspondiente a la media, varianza, y asimetría respectivamente.

Media : Es el valor esperado de la variable misma. Primer momento respecto al origen. Muestra la tendencia central de la distribución.

El valor estimado de la media a partir de la muestra es:

Varianza ²: Mide la variabilidad de los datos. Es el segundo momento respecto a la media

El valor estimado de la varianza a partir de la muestra es

En el cual el divisor es n-1 en lugar de n para asegurar que la estadística que no tenga una tendencia, en promedio, a ser mayor o menor que el valor verdadero. Las unidades de la varianza son la media al cuadrado, la desviación estándar s es una medida de la variabilidad que tiene las mismas dimensiones que la media y simplemente es la raíz cuadrada de la varianza, se estima por s.

Efectos de la función de densidad de probabilidad causados por cambios en la desviación estándar

Coeficiente de variación

es una medida adimensional de la

variabilidad su estimado es

Coeficiente de asimetría  la distribución de los valores de una distribución alrededor de la media se mide por la asimetría. Se obtiene a partir del tercer momento alrededor de la media, dividiéndolo por el cubo de la desviación estándar para que sea adimensional.

tercer

momento

respecto

a

la

media

Un estimativo del coeficiente de asimetría está dado por:

4.8 Gráfico de curvas IDF 4.8.1 Definición de las curvas IDF. Las curvas Intensidad – Duración – Frecuencia (IDF) estas curvas resultan de la unión de los puntos representativos de la intensidad media en intervalos de diferente duración, y correspondientes todos ellos a una misma frecuencia o período de retorno. Surgen otros elementos a considerar, como son la intensidad de precipitación, la frecuencia o la probabilidad de excedencia de un determinado evento. Por ello es de importancia tener claro los Conceptos de cada una de estas variables, de modo de tener una visión más clara de las curvas Intensidad-Duración-Frecuencia. Intensidad, según Chow et al, se define como la tasa temporal de precipitación, o sea, la profundidad por unidad de tiempo (mm/hr), y se expresa como:

i=

P Td

Donde P es la profundidad de lluvia en mm o pulg, y Td es el tiempo de la duración, dada usualmente en hr. 4.8.2. Construcción de las Curvas IDF. La construcción de las curvas Intensidad-Duración-Frecuencia (IDF), según diversos autores, plantean distintas formas o métodos para su construcción. Para Aparicio existen dos métodos: 



El primero, llamado de intensidad - período de retorno, relaciona estas dos variables para cada duración por separado, mediante alguna de las funciones de distribución de probabilidad usadas en hidrología. El otro método relaciona simultáneamente la intensidad, la duración y el período de retorno en una familia de curvas, cuya ecuación es:

m

I=

k∗T (d +c )n

Donde k, m, n y c son constantes que se calculan mediante un análisis de correlación lineal múltiple, y en tanto que I y d corresponden a la intensidad de precipitación y la duración, respectivamente. Chow et al, plantean dos formas de trabajar con las curvas: 



La primera, utiliza un análisis de frecuencia de la lluvia, considerando para ello una función de distribución de probabilidad de valor extremo como la función Gumbel. El segundo método, expresa las curvas IDF como ecuaciones, con el fin de evitar la lectura de la intensidad de lluvia de diseño en una gráfica.

Wenzel, dedujo para algunas ciudades de los Estados Unidos, algunos coeficientes para utilizarlos en una ecuación de la forma:

I=

c e (Td + f )

Donde I es la intensidad de lluvia de diseño, y Td la duración, en tanto c, e y f son coeficientes que varían con el lugar y el período de retorno. Varas y Sánchez, han propuesto otra metodología para el diseño de las curvas IDF. Dicho procedimiento plantea la siguiente la siguiente ecuación para estimar las intensidades máximas, para distintos períodos de retorno y duraciones:

Pt , T =K∗P10, D∗C d , t∗C f ,T Dónde:

Pt , T = Lluvia con período de retorno de T años y duración t horas en (mm). K = Coeficiente para obtener la lluvia máxima absoluta en 24 horas en función del valor máximo diario ( k= 1,1).

P10, D C d ,t

= Lluvia Máxima diaria con 10 años de período de retorno. = Coeficiente de duración para t horas.

C f ,T = Coeficiente de frecuencia para T años de período de retorno.

Donde la intensidad máxima de precipitación queda dada por:

Pt , T (mm /hr)=

Pt ,T d

Dónde: d = Duración en hr. Se pueden diseñar las curvas IDF siguiendo estas metodología, en aquellas ciudades o zonas en que sólo exista información pluviométrica, para lo cual se deberán seleccionar los coeficientes de duración y frecuencia de la estación pluviográfica más cercana. Otra forma o método para determinar las curvas IDF, corresponde al que ha planteado Témez, el cual relaciona las intensidades de precipitación para distintos períodos de retorno, con el propósito de graficar la relación entre las tres variables (Intensidad- Duración –Frecuencia), y cuyo esquema de la curva IDF es el siguiente:

D = Duración en horas. I = Intensidad de precipitación en mm/hr. A, B y C representan distintos períodos de retorno en años. http://eias.utalca.cl/Docs/pdf/Publicaciones/manuales/b_modulo_IDF.pdf