Ecuacion Vectorial De La Recta

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Ecuación Vectorial de la Recta

Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada

.

Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector

tiene igual dirección que

, luego es igual a

multiplicado por un escalar:

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director vectorial.

= (2,5). Escribir su ecuación

1 Dr. Rodolfo Márquez [email protected]

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E c u a ci on e s p a ramé t r i c a s d e l a r ec t a

A partir de la ecuación vectorial:

Realizando las operaciones indicadas se obtiene:

La igualdad de vectores se desdobla en las dos igualdades escalares:

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director paramétricas.

= (2,5). Escribir sus ecuaciones

E c u a ci ón c on ti n ua d e l a r e c t a

Si de las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro k.

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NÚCLEO ACADÉMICO TÁCHIRA Y si igualamos, queda:

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director continua.

= (2,5). Escribir su ecuación

E c u a ci ón p u nt o - pe n d i en t e d e la r ec t a

Pendiente La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX.

Pendiente dado el ángulo

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NÚCLEO ACADÉMICO TÁCHIRA Pendiente dado el vector director de la recta

Pendiente dados dos puntos

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo. 4 Dr. Rodolfo Márquez [email protected]

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NÚCLEO ACADÉMICO TÁCHIRA Ecuación punto-pendiente Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores:

Y despejado:

Como

Se obtiene:

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director pendiente.

= (2,5). Escribir su ecuación punto

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NÚCLEO ACADÉMICO TÁCHIRA Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(-2, -3) y tiene una inclinación de 45°.

E c u a ci ón g e n e r al d e la r e c ta Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores se obtiene:

Trasponiendo términos:

Haciendo

Se obtiene

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.

Las componentes del vector director son:

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NÚCLEO ACADÉMICO TÁCHIRA La pendiente de la recta es:

Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director

igual (-2, 1).

Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.

E c u a ci ón e x pl í ci ta d e l a r e c t a Si en la ecuación general de la recta

despejamos y, se obtienen:

El coeficiente de la x es la pendiente, m.

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NÚCLEO ACADÉMICO TÁCHIRA El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta siendo (O, b) el punto de corte con el eje OY

Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.

E c u a ci ón d e l a r e c t a qu e pa s a p or d os p u nt os

Sean los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) que determina una recta r. Un vector director de la recta es:

cuyas componentes son:

Sustituyendo estos valores en la forma continua.

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NÚCLEO ACADÉMICO TÁCHIRA Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,3) y B(2,-5).

R e c t a s p a ra l el a s a l os e j e s

Rectas paralelas al eje OX

Una recta paralela al eje OX y de ordenada en el origen b se expresa mediante la ecuación: y = b

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Rectas paralelas al eje OY

Una recta paralela al eje OY y que corta al eje OX en el punto (a, O) se expresa mediante la ecuación: x = a

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NÚCLEO ACADÉMICO TÁCHIRA Ejes de coordenadas

Los puntos que pertenecen al eje OX tienen como característica que su segunda coordenada es 0, la ecuación del eje OX es y = 0. Los puntos que pertenecen al eje OY tienen como característica que su primera coordenada es 0, la ecuación del eje OY es x = O.

R e c t a s p a ra l el a s

Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si éstos son linealmente dependientes.

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NÚCLEO ACADÉMICO TÁCHIRA Dos rectas son paralelas si tienen sus vectores directores iguales.

Dos rectas son paralelas si tienen sus pendientes iguales.

Dos rectas son paralelas si los coeficientes de x e y respectivos son proporcionales.

Dos rectas son paralelas si forman un ángulo de 0º.

Ejemplos Calcular una recta paralela a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3,5).

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NÚCLEO ACADÉMICO TÁCHIRA Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0, sean paralelas.

Hallar la ecuación de la recta paralela a r ≡ 3x + 2y -4 = 0, que pasa por el punto A(2, 3). 3 · 2 + 2· 3 + k = 0 k = -12 3x + 2y - 12= 0

La recta r ≡ 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s ≡ mx + 2y - 13 = 0. Calcula m y n.

I n ci d e n cia Un punto P(p1, p2) pertenece a una recta de ecuación Ax + By + C = 0, cuando las coordenadas del punto satisfacen la igualdad: Ap1 + Bp2 + C = 0 Cuando un punto P pertenece a una recta r se dice que r incide en P o que r pasa por P.

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NÚCLEO ACADÉMICO TÁCHIRA Analiza si los puntos A (3, 5) y B(0, 1) pertenecen o no a la recta r ≡ x + 2 y - 13 = 0. 3 + 2 · 5 - 13 = 0

A

r

0 + 2 · 1 - 13 ≠ 0

B

r

Cuando dos rectas r y s tienen un punto común, se dice que tienen un punto de intersección. Para hallar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas, se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones de las rectas. ¿Hallar el punto de intersección de las rectas de ecuaciones r ≡ 2 x - y - 1 = 0 y s ≡ x - y + 1 = 0.

P os i ci on e s r el a ti va s d e d os r e c ta s

Dadas dos rectas, Ax + By + C = 0, A'x + B'y + C' = 0, para calcular su posición relativa tendremos en cuenta que::

1 Si

, las rectas son secantes, se cortan en un punto.

2 Si

, las rectas paralelas, no se cortan en ningún punto.

3 Si

, las rectas son coincidentes, todos sus puntos son comunes.

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NÚCLEO ACADÉMICO TÁCHIRA ¿Son secantes las rectas r ≡ x +y -2 = 0 y s ≡ x - 2 y + 4 = 0? En caso afirmativo calcular el punto de corte.

E cua ci ó n ca nó ni ca o s e g me nt a r ia

La ecuación canónica o segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas.

a es la abscisa en el origen de la recta. b es la ordenada en el origen de la recta. Los valores de a y de b se se pueden obtener de la ecuación general. Si y = 0 resulta x = a. Si x = 0 resulta y = b.

15 Dr. Rodolfo Márquez [email protected]

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NÚCLEO ACADÉMICO TÁCHIRA Una recta carece de la forma canónica en los siguientes casos: 1Recta paralela a OX, que tiene de ecuación y = n 2Recta paralela a OY, que tiene de ecuación x = k 3Recta que pasa por el origen, que tiene de ecuación y = mx.

Ejemplos Una recta determina sobre los ejes coordenados, segmentos de 5 y 3 unidades, respectivamente. Hallar su ecuación.

Hallar la ecuación canónica de la recta que pasa por P(−2, 1) y tiene por vector director v = (3, −4). Hallamos la ecuación en forma continua:

Pasamos a la general: −4x −8 = 3y -3 4x + 3y + 5 = 0 Si y = 0

x = −5/4 = a.

Si x = 0

y = −5/3 = b.

La recta r ≡ x − y + 4 = 0 forma con los ejes un triángulo del que se pide su área. 16 Dr. Rodolfo Márquez [email protected]

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NÚCLEO ACADÉMICO TÁCHIRA La recta forma un triángulo rectángulo con el origen y sus catetos son la abscisa y la ordenada en el origen. Si y = 0

x = −4 = a.

Si x = 0

y = 2 = b.

La ecuación canónica es:

El área es:

Una recta pasa por el punto A(1. 5) y determina con los ejes de coordenadas un triángulo de 18 u 2 de superficie. ¿Cuál es la ecuación de la recta? Aplicamos la ecuación canónica:

El área del triángulo es:

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NÚCLEO ACADÉMICO TÁCHIRA Resolvemos el sistema:

Hallar la ecuación de una recta que determina sobre los ejes coordenados, segmentos de doble longitud en el eje de abscisas, que en el de ordenadas, sabiendo que pasa por el punto A(3, 2).

18 Dr. Rodolfo Márquez [email protected]