Ejerccios Capitulo #5.docx

1.- El problema de la urna: Un frasco contiene cinco pelotas: tres rojas y dos blancas. Dos pelotas se escogen al azar sin restituirlas (sin devolverlas al frasco) y se registra el número x de pelotas rojas. Explique por qué x es o no es una variable aleatoria binomial. (SUGERENCIA: Compare las características de este experimento con las características de un experimento binomial dado en esta sección.) Si el experimento es binomial, dé los valores de n y p. No es binomial; ensayo de pendientes; p varia de intento a intento n= 5, p = 0.30, q= 0.70, k= 2.

𝑃(𝑥 = 𝑘) = 𝐶𝑘𝑛 ∗ 𝑝𝑘 ∗ 𝑞 𝑛−𝑘 𝑃(𝑥 = 2) = 𝐶25 ∗ 0,302 ∗ 0,705−2 = 0,3087 1. Evalúe estas probabilidades binomiales: 𝑃(𝑥 = 2) = 𝐶28 ∗ 0,32 ∗ 0,78−2 = 0,2964 𝑃(𝑥 = 4) = 𝐶04 ∗ 0,50 ∗ 0,954−0 = 0,8114 𝑃(𝑥 = 3) = 𝐶310 ∗ 0,53 ∗ 0,510−3 = 0,1171 𝑃(𝑥 = 1) = 𝐶17 ∗ 021 ∗ 0,87−1 = 0,3670 2. Evalúe estas probabilidades binomiales: a. 𝑃(𝑥 = 0) = 𝐶08 ∗ 0,20 ∗ 0,88−0 = 0,1677 b. 𝑃(𝑥 = 1) = 𝐶18 ∗ 0,21 ∗ 0,88−1 = 0,3355 c. 𝑃(𝑥 = 2) = 𝐶28 ∗ 0,22 ∗ 0,88−2 = 0,2936 d. 𝑃(𝑥 ≤ 1) 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 = 8, 𝑝 = 0.2 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0.2 = 0,8

2

𝑃(𝑥 ≤ 1) = 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) = 𝐶08 ∗ 0,20 ∗ 0,88−0 + 𝐶18 ∗ 0,21 ∗ 0,88−1 𝑃(𝑥 ≤ 1) = 0,1677 + 0,3555 = 0,5032 e. P (dos éxitos o menos) 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 2) 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 𝐶08 ∗ 0,20 ∗ 0,88−0 + 𝐶18 ∗ 0,21 ∗ 0,88−1 + 𝐶28 ∗ 0,22 ∗ 0,88−2 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 0,7968 3. Sea x una variable aleatoria binomial con n =7, p =0.3. Encuentre estos valores: 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,3 = 0,7 a. 𝑃(𝑥 = 4) = 𝐶47 ∗ 0,34 ∗ 0,77−4 = 0,09724 b. 𝑃(𝑥 ≤ 1) = 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) = 𝐶07 ∗ 0,30 ∗ 0,77−0 + 𝐶17 ∗ 0,31 ∗ 0,77−1 𝑃(𝑥 ≤ 1) = 0,08235 + 0,2470 = 0,3293 c. 𝑃(𝑥 > 1) = 1 − 𝑃(𝑥 ≤ 1) = 1 − 0,3293 = 0,6707 d. 𝜇 = 𝑛𝑝 = 7 ∗ 0,3 = 2,1 e. 𝜎 = √𝑛𝑝𝑞 = 1,21 4. Sea x una variable aleatoria binomial con n =10 y p =0.4. Encuentre estos valores: 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,4 = 0,6 a. 𝑃(𝑥 = 4) = 𝐶410 ∗ 0,44 ∗ 0,610−4 = 0,2508 b. 𝑃(𝑥 ≥ 4) = 1 − 𝑃(𝑥 < 4) 𝑃(𝑥 ≥ 4) = 1 − 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 2) + 𝑃(𝑥 = 3)

3

𝑃(𝑥 ≥ 4) = 1 − 𝐶010 ∗ 0,40 ∗ 0,610−0 + 𝐶110 ∗ 0,41 ∗ 0,610−1 + 𝐶210 ∗ 0,42 ∗ 0,610−2 + 𝐶310 ∗ 0,43 ∗ 0,610−3 𝑃(𝑥 ≥ 4) = 1 − 0,0060 + 0,0403 + 0,1209 + 0,2149 = 0,6177 c. 𝑃(𝑥 > 4) = 1 − 𝑃(𝑥 ≤ 4) 𝑃(𝑥 ≥ 4) = 1 − 𝐶010 ∗ 0,40 ∗ 0,610−0 + 𝐶110 ∗ 0,41 ∗ 0,610−1 + 𝐶210 ∗ 0,42 ∗ 0,610−2 + 𝐶310 ∗ 0,43 ∗ 0,610−3 + 𝐶410 ∗ 0,44 ∗ 0,610−4 𝑃(𝑥 ≥ 4) = 1 − 0,0060 + 0,0403 + 0,1209 + 0,2149 + 0,2508 = 0,3668

d. 𝑃(𝑥 ≤ 4) = 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 2) + 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(𝑥 = 4) 𝑃(𝑥 ≤ 4) = 𝐶010 ∗ 0,40 ∗ 0,610−0 + 𝐶110 ∗ 0,41 ∗ 0,610−1 + 𝐶210 ∗ 0,42 ∗ 0,610−2 + 𝐶310 ∗ 0,43 ∗ 0,610−3 + 𝐶410 ∗ 0,44 ∗ 0,610−4 𝑃(𝑥 ≤ 4) = 0,0060 + 0,0403 + 0,1209 + 0,2149 + 0,2508 𝑃(𝑥 ≤ 4) = 0,6331 e. 𝜇 = 𝑛𝑝 = 10 ∗ 0,4 = 4 f. 𝜎 = √𝑛𝑝𝑞 = 1,54 5. Sea x una variable aleatoria de Poisson con media µ = 2. Calcule estas probabilidades:

𝜇𝑘 ∗ 𝑒 −𝜇 𝑃(𝑥 = 𝑘) = 𝑘! a. 𝑃(𝑥 = 0) = b. 𝑃(𝑥 = 1) =

20 ∗𝑒 −2 0! 21 ∗𝑒 −2 1!

= 0,1353 = 0,2706

c. 𝑃(𝑥 > 1) = 1 − 𝑃(𝑥 ≤ 1) = 1 − d. 𝑃(𝑥 = 5) =

25 ∗𝑒 −2 5!

= 0,0360

20 ∗𝑒 −2 0!

+

21 ∗𝑒 −2 1!

= 0,5939

4

6. Poisson vs. Binomial: Sea x una variable aleatoria con n = 20 y p =0.1. a. Calcule P (x ≤ 2) usando la tabla 1 del apéndice I para obtener la probabilidad binomial exacta. 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 2) 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 𝐶020 ∗ 0,10 ∗ 0,920−0 + 𝐶120 ∗ 0,11 ∗ 0,920−1 + 𝐶220 ∗ 0,12 ∗ 0,920−2 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 0,677 b. Use la aproximación de Poisson para calcular P (x ≤ 2). 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 2) 𝝁 = 𝑛𝑝 = 20 ∗ 0,1 = 2

𝑃(𝑥 ≤ 2) =

20 ∗ 𝑒 −2 21 ∗ 𝑒 −2 22 ∗ 𝑒 −2 + + = 0,6767 0! 1! 2!

c. Compare los resultados de los incisos a) y b). ¿Es precisa la aproximación? SI. 7. Seguridad en un aeropuerto: El mayor número de pequeños aviones de vuelos

cortos

en

aeropuertos

importantes

ha

aumentado

la

preocupación por la seguridad en el aire. Un aeropuerto de la región este ha registrado un promedio mensual de cinco accidentes que casi ocurren en aterrizajes y despegues en los últimos 5 años. a. Encuentre la probabilidad de que durante un mes determinado no haya accidentes que casi ocurren en aterrizajes y despegues en el aeropuerto. 𝝁=𝟓

𝑃(𝑥 = 0) =

50 ∗ 𝑒 −5 = 0,0067 0!

5

b. Encuentre la probabilidad de que durante un mes determinado haya cinco accidentes que casi ocurren.

𝑃(𝑥 = 5) =

55 ∗ 𝑒 −5 = 0,1755 5!

c. Encuentre la probabilidad de que haya al menos cinco accidentes que casi ocurren durante un mes particular. 𝑃(𝑥 ≥ 5) = 1 − 𝑃(𝑥 < 5) = 0,560 𝑃(𝑥 ≥ 5) = 1 −

50 ∗ 𝑒 −5 51 ∗ 𝑒 −5 52 ∗ 𝑒 −5 53 ∗ 𝑒 −5 54 ∗ 𝑒 −5 + + + + 0! 1! 2! 3! 4!

𝑃(𝑥 ≥ 5) = 0,560

8. Propenso a accidentes: Los padres preocupados porque sus hijos son “propensos a accidentes” pueden estar tranquilos, de acuerdo a un estudio realizado por el Departamento de Pediatría de la Universidad de California, San Francisco. Los niños que se lesionan dos o más veces tienden a sufrir estas lesiones durante un tiempo relativamente limitado, por lo general un año o menos. Si el número promedio de lesiones por año para niños en edad escolar es de dos, ¿cuáles son las probabilidades de estos eventos? 𝜇=2 a. Un niño sufrirá dos lesiones durante el año. 22 ∗ 𝑒 −2 𝑃(𝑥 = 2) = = 0,271 2! b. Un niño sufrirá dos o más lesiones durante el año. 𝑃(𝑥 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑥 < 2)

6

𝑃(𝑥 ≥ 2) = 1 −

20 ∗ 𝑒 −2 21 ∗ 𝑒 −2 + = 0,594 0! 1!

c. Un niño sufrirá a lo sumo una lesión durante el año. 𝑃(𝑥 ≤ 1) = 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) 20 ∗ 𝑒 −2 21 ∗ 𝑒 −2 𝑃(𝑥 ≤ 1) = + = 0,406 0! 1! 9. Bacterias en muestras de agua: Si una gota de agua se pone en la platina y se examina bajo un microscopio, el número x de un tipo particular de bacteria presente se ha encontrado que tiene una distribución de probabilidad de Poisson. Suponga que la cantidad máxima permisible por espécimen de agua para este tipo de bacteria es cinco. Si la cantidad media para el suministro de agua de usted es de dos y usted prueba una sola muestra, ¿es probable que la cantidad exceda la cantidad máxima permisible? Explique. 𝜇=2 𝑃(𝑥 > 5) = 1 − 𝑃(𝑥 ≤ 5) 20 ∗ 𝑒 −2 21 ∗ 𝑒 −2 22 ∗ 𝑒 −2 23 ∗ 𝑒 −2 24 ∗ 𝑒 −2 25 ∗ 𝑒 −2 𝑃(𝑥 > 5) = 1 − + + + + + 0! 1! 2! 3! 4! 5! 𝑃(𝑥 > 5) = 0,017

Improbable 10. Evalúe estas probabilidades: 𝑁−𝑀 𝐶𝑘𝑀 𝐶𝑛−𝑘 𝑃(𝑥 = 𝑘) = 𝐶𝑛𝑁

a.

𝐶13 𝐶12 𝐶25

=

(3)(2) 10

= 0,6

7

b.

c.

𝐶24 𝐶13 𝐶37 𝐶45 𝐶03 𝐶48

=

=

(6)(3) 35

(5)(1) 70

= 0,5143

= 0,0714

11. Sea x el número de éxitos observado en una muestra de n = 5 artículos seleccionados de entre N =10. Suponga que, de los N =10 elementos, 6 eran considerados “éxitos”. Para este ejercicio, N = 10, n = 5, M = 6 y (N – M) = 4. Entonces. a. Encuentre la probabilidad de no observar éxitos. La probabilidad de no tener observar es cero ya que al seleccionar cinco artículos se tendrá por lo menos un excito b. Encuentre la probabilidad de observar al menos dos éxitos. 𝑃(𝑥 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑥 < 2) 𝑃(𝑥 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) 𝑃(𝑥 ≥ 2) = 1 −

10−6 𝐶06 𝐶5−0 10 𝐶5

+

10−6 𝐶16 𝐶5−1 10 𝐶5

= 0,99

c. Encuentre la probabilidad de observar dos éxitos.

𝑃(𝑥 = 2) =

10−6 𝐶26 𝐶5−2 = 0,24 𝐶510

12. Sea x una variable aleatoria hipergeométrica con N=15, n =3 y M= 4. a. Calcule p (0), p (1), p (2) y p (3).

𝑃(𝑥 = 0) =

𝑃(𝑥 = 1) =

15−4 𝐶04 𝐶3−0 = 0,36 𝐶315 15−4 𝐶14 𝐶3−1

𝐶315

= 0,48

8

𝑃(𝑥 = 2) = 𝑃(𝑥 = 3) =

15−4 𝐶24 𝐶3−2

𝐶315 15−4 𝐶34 𝐶3−3

𝐶315

= 0,145 = 0,01

b. Use las fórmulas dadas en la sección 5.4 para calcular µ= E(x) y 𝜎 2 . 𝑀 4 𝜇 = 𝑛 ( ) = 3 ( ) = 0,8 𝑁 15 𝑀 𝑁−𝑀 𝑁−𝑛 4 15 − 4 15 − 3 𝜎2 = 𝑛 ( ) ( )( ) = 3( )( )( ) 𝑁 𝑁 𝑁−1 15 15 15 − 1 𝜎2 = 0,5028

¿Qué proporción de la población de mediciones cae en el intervalo (𝜇 ± 2𝜎)? ¿En el intervalo (𝜇 ± 3𝜎)? ¿Estos resultados concuerdan con los dados por el teorema de Chebyshev? (𝜇 ± 2𝜎) = 0,99 (𝜇 ± 3𝜎) = 0,99 Estos datos concuerdan con los datos por el teorema de Chebyshev. 13. Chips de computadora defectuosos Una pieza de equipo electrónico contiene seis chips de computadora, dos de los cuales están defectuosos. Tres chips de computadora se seleccionan para inspeccionarlos y se registra el número de los defectuosos. Encuentre la distribución de probabilidad para x, el número de chips de computadora defectuosos. 𝑛 = 3 ,𝑁 = 6 ,𝑀 = 2

𝑃(𝑥 = 0) =

6−2 𝐶02 𝐶3−0 = 0,2 𝐶36

𝑃(𝑥 = 1) =

6−2 𝐶12 𝐶3−1 = 0,6 𝐶36

9

6−2 𝐶22 𝐶3−2 𝑃(𝑥 = 2) = = 0,2 𝐶36

14. ¿Sesgo en el género? Una compañía tiene cinco solicitantes para dos puestos de trabajo: dos mujeres y tres hombres. Suponga que los cinco solicitantes están igualmente calificados y que no se da preferencia para escoger género alguno. Sea x igual al número de mujeres escogido para ocupar las dos posiciones. a. Escriba la fórmula para p(x), la distribución de probabilidad de x. Para este ejercicio, N = 5, n = 2, M = 2 y N – M = 3. Entonces

𝑃(𝑥) =

6−2 𝐶𝑥2 𝐶3−x 𝐶36

b. ¿Cuáles son la media y la varianza de esta distribución? 2 𝜇 = 2 ( ) = 0,8 5 2 3 5−2 𝜎2 = 4 ( ) ( ) ( ) = 0,72 5 5 5−1 c. Construya un histograma de probabilidad para x. Los valores posibles para x son 0, 1 y 2 con probabilidades

10